` VARIABILI FUNZIONI DI PIU Esercizi
Esercizio 1. Sono date le funzioni: (a) f (x, y) = esin x
2y
2
(b) f (x, y) = xex y + (sin x)e3y
(c) f (x, y) = x2 (y + 2) − cos(3x + y 2 ) (e) f (x, y) =
(d) f (x, y) =
3x − 2y + 1 x2 + y 2 + 3
q 3
log(x2 + 2y 2 + 2)
(f ) f (x, y) = arctan(3x2 + y + 1)
1. Verificare che tutte le funzioni sopra indicate sono definite in tutto R2 . 2. Calcolare le derivate parziali di f in un punto (x, y). 3. Calcolare le derivate di f in (0.0), nella direzione del versore v parallelo al vettore −2i + 3j e del versore w parallelo al vettore −i + j. 4. Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (0, 0, f (0, 0). Esercizio 2. Sono date le funzioni: √ (a) f (x, y) = 2x2 + 3y 2 − 2
(b) f (x, y) =
√
1 (c) f (x, y) = √ 3 − x2 − 9y 2
(d) f (x, y) = e
(e) f (x, y) = cos log(x2 + y 2 )
(f ) f (x, y) =
(g) f (x, y) =
4 − 3x2 − 4y 2
3x+2y
q
q
x2 + y 2 − 1
3x − 4y x2 y + 3x
2
(f ) (3xy)x .
log(x2 + y 2 )
1. Determinare il dominio di f . 2. Calcolare le derivate parziali di f nei punti interni al dominio di f .
1
Soluzioni Esercizio 1. (a) (1)
∂f (x, y) ∂x
= 2xyesin x
(2)
∂f (0, 0) ∂v
= 0;
(3)
z=0
2y
2
∂f (x, y) ∂y
= x2 esin x y .
∂f (0, 0) ∂w
= 0.
(b) 2
2
2
(1)
∂f (x, y) ∂x
= ex y + 2x2 ex y + cos xe3y
∂f (x, y) ∂y
= x3 ex y + 3 sin xe3y .
(2)
∂f (0, 0) ∂v
= − √413 ;
∂f (0, 0) ∂w
= − √22 .
(3)
z = 2x
(c) (1)
∂f (x, y) ∂x
= 2x(y + 2) + 3 sin(3x + y 2 )
∂f (x, y) ∂y
= x2 + 2y sin(3x + y 2 ).
(2)
∂f (0, 0) ∂v
= 0;
∂f (0, 0) ∂w
= 0.
(3)
z=1
(d) 2x
∂f (x, y) ∂x
=
∂f (x, y) ∂y
=
(2)
∂f (0, 0) ∂v
= 0;
(3)
z=
(1)
√ 3
q
3(x2 + 2y 2 + 2) 3 log2 (x2 + 2y 2 + 2) 4y q
(x2 + 2y 2 + 2) log2 (x2 + 2y 2 + 2)
.
3
∂f (0, 0) ∂w
= 0.
log 2
(e) −3x2 + 3y 2 + 4xy − 2x + 9 (x2 + y 2 + 3)2
(1)
∂f (x, y) ∂x
=
(2)
∂f (0, 0) ∂v
= − √413 ;
(3)
z =x−
2 3
y + 13 . 2
−2x2 + 2y 2 − 6xy − 2y − 6 . (x2 + y 2 + 3)2
∂f (x, y) ∂y
=
∂f (0, 0) ∂w
= − 3√5 2 .
(f ) (1)
∂f (x, y) ∂x
=
6x 1 + (3x2 + y 2 + 1)2
∂f (x, y) ∂y
=
1 . 1 + (3x2 + y 2 + 1)2
(2)
∂f (0, 0) ∂v
=
√3 ; 2 13
∂f (0, 0) ∂w
=
1 √ . 2 2
(3)
z=
1 2
y + π4 .
Esercizio 2. (a) (1) domf = {(x, y) ∈ Rq2 : 2x2 + 3y 2 − 2 ≥ 0}; `e la parte esterna dell’ellisse di centro l’origine e semiassi 1 e 2/3, compresa l’ellisse.
(2)
∂f x (x, y) = √ 2 ∂x 2x + 3y 2 − 2
∂f 3y . (x, y) = √ 2 ∂y 2x + 3y 2 − 2
(b) (1) domf = {(x, y) ∈ √ R2 : 4 − 3x2 − 4y 2 ≥ 0}; `e la parte interna dell’ellisse di centro l’origine e semiassi 2/ 3 e 1, compresa l’ellisse.
(2)
∂f −3x (x, y) = √ ∂x 4 − 3x2 − 4y 2
∂f −4y (x, y) = √ . ∂y 4 − 3x2 − 4y 2
(c) (1) domf = {(x, y) ∈ R2q: 3 − x2 − 9y 2 ≥ 0}; `e la parte interna dell’ellisse di centro √ l’origine e semiassi 3 e 1/3, esclusa l’ellisse.
(2)
∂f x (x, y) = q ∂x (3 − x2 − 9y 2 )3
∂f 9y (x, y) = q . ∂y (3 − x2 − 9y 2 )3
(d) (1) domf = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 − 1 ≥ 0}; `e la parte esterna al cerchio di centro l’origine e raggio 1, inclusa la circonferenza.
(2)
∂f 3x2 + 3y 2 + x − 3 (x, y) = 3e3x+2y · √ 2 ∂x x + y2 − 1 ∂f 2x2 + 2y 2 + y − 2 (x, y) = 3e3x+2y · √ 2 . ∂y x + y2 − 1
3
(e) (1) domf = R2 \ {(0, 0)}.
(2)
h i 2x ∂f (x, y) = − sin log(x2 + y 2 ) · 2 ∂x x + y2 h i ∂f 2y (x, y) = − sin log(x2 + y 2 ) · 2 . ∂y x + y2
(f ) (1) domf = {(x, y) ∈ R2 : x < 0, y > − x3 } ∪ {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > − x3 }, `e l’unione della parte di semipiano x < 0 che sta al di sopra dell’iperbole y = − x3 con la parte di semipiano x > 0 che sta al di sopra dell’iperbole y = − x3 .
(2)
∂f −3x2 y + 8xy 2 + 12y (x, y) = ∂x (x2 y + 3x)2
∂f −12x − 3x3 (x, y) = 2 . ∂y (x y + 3x)2
(g) (1) domf = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 − 1 ≥ 0}; `e la parte esterna al cerchio di centro l’origine e raggio 1, inclusa la circonferenza.
(2)
∂f x q (x, y) = ∂x (x2 + y 2 ) log(x2 + y 2 )
∂f y q (x, y) = . ∂y (x2 + y 2 ) log(x2 + y 2 )
(h) (1) domf = {(x, y) ∈ R2 : x < 0, y < 0} ∪ {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0}, `e l’unione del primo e del terzo quadrante, assi cartesiani esclusi.
(2)
∂f 2 (x, y) = (3xy)x · [2x log(3xy) + x] ∂x
4
∂f x2 2 (x, y) = (3xy)x · . ∂y y