funzioni_xy_nosvol

` VARIABILI FUNZIONI DI PIU Esercizi

Esercizio 1. Sono date le funzioni: (a) f (x, y) = esin x

2y

2

(b) f (x, y) = xex y + (sin x)e3y

(c) f (x, y) = x2 (y + 2) − cos(3x + y 2 ) (e) f (x, y) =

(d) f (x, y) =

3x − 2y + 1 x2 + y 2 + 3

q 3

log(x2 + 2y 2 + 2)

(f ) f (x, y) = arctan(3x2 + y + 1)

1. Verificare che tutte le funzioni sopra indicate sono definite in tutto R2 .

2. Calcolare le derivate parziali di f in un punto (x, y).

3. Calcolare le derivate di f in (0.0), nella direzione del versore v parallelo al vettore −2i + 3j e del versore w parallelo al vettore −i + j.

4. Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (0, 0, f (0, 0).

Esercizio 2. Sono date le funzioni: √ (a) f (x, y) = 2x2 + 3y 2 − 2

(b) f (x, y) =

√

1 (c) f (x, y) = √ 3 − x2 − 9y 2

(d) f (x, y) = e

(e) f (x, y) = cos log(x2 + y 2 )

(f ) f (x, y) =

(g) f (x, y) =

4 − 3x2 − 4y 2

3x+2y

q

q

x2 + y 2 − 1

3x − 4y x2 y + 3x

2

(f ) (3xy)x .

log(x2 + y 2 )

1. Determinare il dominio di f .

2. Calcolare le derivate parziali di f nei punti interni al dominio di f .

1

Soluzioni Esercizio 1. (a) (1)

∂f (x, y) ∂x

= 2xyesin x

(2)

∂f (0, 0) ∂v

= 0;

(3)

z=0

2y

2

∂f (x, y) ∂y

= x2 esin x y .

∂f (0, 0) ∂w

= 0.

(b) 2

2

2

(1)

∂f (x, y) ∂x

= ex y + 2x2 ex y + cos xe3y

∂f (x, y) ∂y

= x3 ex y + 3 sin xe3y .

(2)

∂f (0, 0) ∂v

= − √413 ;

∂f (0, 0) ∂w

= − √22 .

(3)

z = 2x

(c) (1)

∂f (x, y) ∂x

= 2x(y + 2) + 3 sin(3x + y 2 )

∂f (x, y) ∂y

= x2 + 2y sin(3x + y 2 ).

(2)

∂f (0, 0) ∂v

= 0;

∂f (0, 0) ∂w

= 0.

(3)

z=1

(d) 2x

∂f (x, y) ∂x

=

∂f (x, y) ∂y

=

(2)

∂f (0, 0) ∂v

= 0;

(3)

z=

(1)

√ 3

q

3(x2 + 2y 2 + 2) 3 log2 (x2 + 2y 2 + 2) 4y q

(x2 + 2y 2 + 2) log2 (x2 + 2y 2 + 2)

.

3

∂f (0, 0) ∂w

= 0.

log 2

(e) −3x2 + 3y 2 + 4xy − 2x + 9 (x2 + y 2 + 3)2

(1)

∂f (x, y) ∂x

=

(2)

∂f (0, 0) ∂v

= − √413 ;

(3)

z =x−

2 3

y + 13 .

2

−2x2 + 2y 2 − 6xy − 2y − 6 . (x2 + y 2 + 3)2

∂f (x, y) ∂y

=

∂f (0, 0) ∂w

= − 3√5 2 .

(f ) (1)

∂f (x, y) ∂x

=

6x 1 + (3x2 + y 2 + 1)2

∂f (x, y) ∂y

=

1 .

1 + (3x2 + y 2 + 1)2

(2)

∂f (0, 0) ∂v

=

√3 ; 2 13

∂f (0, 0) ∂w

=

1 √ .

2 2

(3)

z=

1 2

y + π4 .

Esercizio 2. (a) (1) domf = {(x, y) ∈ Rq2 : 2x2 + 3y 2 − 2 ≥ 0}; `e la parte esterna dell’ellisse di centro l’origine e semiassi 1 e 2/3, compresa l’ellisse.

(2)

∂f x (x, y) = √ 2 ∂x 2x + 3y 2 − 2

∂f 3y . (x, y) = √ 2 ∂y 2x + 3y 2 − 2

(b) (1) domf = {(x, y) ∈ √ R2 : 4 − 3x2 − 4y 2 ≥ 0}; `e la parte interna dell’ellisse di centro l’origine e semiassi 2/ 3 e 1, compresa l’ellisse.

(2)

∂f −3x (x, y) = √ ∂x 4 − 3x2 − 4y 2

∂f −4y (x, y) = √ . ∂y 4 − 3x2 − 4y 2

(c) (1) domf = {(x, y) ∈ R2q: 3 − x2 − 9y 2 ≥ 0}; `e la parte interna dell’ellisse di centro √ l’origine e semiassi 3 e 1/3, esclusa l’ellisse.

(2)

∂f x (x, y) = q ∂x (3 − x2 − 9y 2 )3

∂f 9y (x, y) = q . ∂y (3 − x2 − 9y 2 )3

(d) (1) domf = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 − 1 ≥ 0}; `e la parte esterna al cerchio di centro l’origine e raggio 1, inclusa la circonferenza.

(2)

∂f 3x2 + 3y 2 + x − 3 (x, y) = 3e3x+2y · √ 2 ∂x x + y2 − 1 ∂f 2x2 + 2y 2 + y − 2 (x, y) = 3e3x+2y · √ 2 . ∂y x + y2 − 1

3

(e) (1) domf = R2 \ {(0, 0)}.

(2)

h i 2x ∂f (x, y) = − sin log(x2 + y 2 ) · 2 ∂x x + y2 h i ∂f 2y (x, y) = − sin log(x2 + y 2 ) · 2 . ∂y x + y2

(f ) (1) domf = {(x, y) ∈ R2 : x < 0, y > − x3 } ∪ {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > − x3 }, `e l’unione della parte di semipiano x < 0 che sta al di sopra dell’iperbole y = − x3 con la parte di semipiano x > 0 che sta al di sopra dell’iperbole y = − x3 .

(2)

∂f −3x2 y + 8xy 2 + 12y (x, y) = ∂x (x2 y + 3x)2

∂f −12x − 3x3 (x, y) = 2 . ∂y (x y + 3x)2

(g) (1) domf = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 − 1 ≥ 0}; `e la parte esterna al cerchio di centro l’origine e raggio 1, inclusa la circonferenza.

(2)

∂f x q (x, y) = ∂x (x2 + y 2 ) log(x2 + y 2 )

∂f y q (x, y) = . ∂y (x2 + y 2 ) log(x2 + y 2 )

(h) (1) domf = {(x, y) ∈ R2 : x < 0, y < 0} ∪ {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0}, `e l’unione del primo e del terzo quadrante, assi cartesiani esclusi.

(2)

∂f 2 (x, y) = (3xy)x · [2x log(3xy) + x] ∂x

4

∂f x2 2 (x, y) = (3xy)x · . ∂y y