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COMPORTAMENTO LOCALE DI FUNZIONI - RICHIAMI TEORICI 1

Definizioni

(1.1) Definizione Sia x0 ∈ R ∪ {−∞, +∞}, R > 0 e f, g : IR (x0 ) \ {x0 } → R tali che esista il limite lim

x→x0

f (x) =l g(x)

(1) Diciamo che f `e O grande di g (o che f `e dominata da g) per x → x0 se l ∈ R, e scriviamo f = O(g) per x → x0 .

(2) Diciamo che f `e equigrande rispetto a g (o che f `e dello stesso ordine di g) per x → x0 se l ∈ R \ {0}, e scriviamo f (g) per x → x0 .

(3) Diciamo che f `e equivalente a g per x → x0 se l = 1, e scriviamo f ∼ g per x → x0 .

(4) Diciamo che f `e o piccolo di g (o che f `e trascurabile rispetto a g) per x → x0 se l = 0, e scriviamo f = o(g) per x → x0 .

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Propriet` a principali

(2.1) Proposizione Siano f e g funzioni definite in un intorno di x0 ∈ R ∪ {±∞}. Allora f ∼ g per x → x0 se e solo se f = g + o(g) per x → x0 .

(2.2) Proposizione Se f ∼ f1 e g ∼ g1 per x → x0 , allora lim f (x) · g(x) = lim f1 (x) · g1 (x)

x→x0

x→x0

e

lim

x→x0

f1 (x) f (x) = lim g(x) x→x0 g1 (x)

(2.3) Proposizione (Eliminazione di termini trascurabili) lim (f (x) + o(f )) · (g(x) + o(g)) = lim f (x) · g(x)

x→x0

x→x0

1

e

lim

x→x0

f (x) f (x) + o(f ) = lim x→x0 g(x) g(x) + o(g)

2

3

COMPORTAMENTO LOCALE DI FUNZIONI - RICHIAMI TEORICI

Infiniti ed infinitesimi

(3.1) Definizione Si dice che f `e infinitesima in x0 se lim f (x) = 0

x→x0

Si dice che f `e infinita in x0 se lim f (x) = +∞

x→x0

o

lim f (x) = −∞

x→x0

(3.2) Definizione Siano f, g funzioni infinitesime in x0 . Se f g per x → x0 si dice che f e g sono infinitesimi dello stesso ordine. Se f = o(g) per x → x0 si dice che f `e un infinitesimo di ordine superiore a g in x0 . Se g = o(f ) per x → x0 si dice che f `e un infinitesimo di ordine inferiore a g in x0 . In tutti gli altri casi si dice che f e g sono infinitesimi non confrontabili tra loro.

(3.3) Definizione Siano f, g funzioni infinite in x0 ∈ R ∪ {±∞}. Se f g per x → x0 si dice che f e g sono infiniti dello stesso ordine. Se f = o(g) per x → x0 si dice che f `e un infinito di ordine inferiore a g in x0 . Se g = o(f ) per x → x0 si dice che f `e un infinito di ordine superiore a g in x0 . In tutti gli altri casi si dice che f e g sono infiniti non confrontabili tra loro.

Allo scopo di confrontare infinitesimi ed infiniti tra loro si possono considerare alcune funzioni di riferimento, dette infinitesimi ed infiniti campione. Denoteremo con u(x) la generica funzione campione.

(3.4) Esempio. Elenchiamo a titolo di esempio alcune possibili funzioni campione. Sia x0 ∈ R. La funzione u(x) = |x − x0 | `e infinitesima in x0 ∈ R. La funzione u(x) = La funzione u(x) = |x| `e infinita a ±∞. Infine, la funzione u(x) =

1 |x|

1 |x−x0 |

`e infinita in x0 ∈ R.

`e infinitesima a ±∞.

(3.5) Definizione Sia f un infinitesimo (o un infinito) in x0 ∈ R ∪ {±∞}. Se esiste un numero reale α > 0 tale che f uα

per x → x0

si dice che f ha ordine di infinitesimo (o di infinito) α rispetto all’infinitesimo (o all’infinto) campione u. Se in particolare lim

x→x0

la funzione

luα (x)

f (x) =l uα (x)

si dice parte pricipale dell’infinitesimo (o dell’infinito) f rispetto al campione u

e vale la decomposizione f (x) = luα (x) + o(uα (x))

per x → x0

3. Infiniti ed infinitesimi

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(3.6) Osservazione Supponiamo di voler calcolare la parte principale di un prodotto di infiniti o di infinitesimi f , g, per x → x0 e si abbia f (x) ∼ auα (x) g(x) ∼ buβ (x)

per x → x0

Allora f (x) · g(x) ∼ abuα+β (x)

per x → x0

ovvero: la parte principale del prodotto `e uguale al prodotto delle parti principali e l’ordine del prodotto `e uguale alla somma degli ordini.

(3.7) Osservazione Supponiamo di voler calcolare la parte principale di una somma di infiniti f , g, per x → x0 e si abbia f (x) ∼ auα (x) g(x) ∼ buβ (x)

per x → x0

con α, β > 0. Allora f (x) + g(x) = auα (x) + o(uα (x)) + buβ (x) + o(uβ (x)) Se α < β allora uα /uβ = uα−β → 0 per x → x0 , cio`e uα = o(uβ ). Pertanto, eliminando i termini trascurabili si ha f (x) + g(x) = buβ (x) + o(uβ (x)) Quindi, se α 6= β, la parte principale della somma coincide con quella dell’infinito di ordine superiore e l’ordine della somma `e pari al massimo tra l’ordine di f e l’ordine di g.

Se invece f e g sono infiniti dello stesso ordine, ovvero α = β, la somma f + g ha ordine minore o uguale al massimo tra i due ordini.

Ad esempio: si considerino f (x) = x2 + log x, g(x) = x − x2 , per x → +∞ e u(x) = x. Allora f (x) = x2 + log x ∼ x2 ,

g(x) = x − x2 ∼ x2

per x → +∞

sono infiniti di ordine 2, ma f (x) + g(x) = x + log x ∼ x per x → +∞ `e infinito di ordine 1 per x → +∞.

(3.8) Osservazione Supponiamo di voler calcolare la parte principale di una somma di infinitesimi f , g, per x → x0 e si abbia f (x) ∼ auα (x) g(x) ∼ buβ (x)

per x → x0

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COMPORTAMENTO LOCALE DI FUNZIONI - RICHIAMI TEORICI

con α, β > 0. Allora f (x) + g(x) = auα (x) + o(uα (x)) + buβ (x) + o(uβ (x)) Se α < β allora uβ /uα = uβ−α → 0 per x → x0 , cio`e uβ = o(uα ). Pertanto, eliminando i termini trascurabili si ha f (x) + g(x) = auα (x) + o(uα (x)) Quindi, se α 6= β, la parte principale della somma coincide con quella dell’infinitesimo di ordine inferiore e l’ordine della somma `e pari al minimo tra l’ordine di f e l’ordine di g.

Se invece f e g sono infinitesimi dello stesso ordine, ovvero α = β, la somma f + g ha ordine maggiore o uguale al minimo tra i due ordini.

Ad esempio: si considerino f (x) = sin x, g(x) = − tan x, per x → 0 e u(x) = x. Allora f (x) = sin x ∼ x,

g(x) = − tan x ∼ −x per x → 0

sono infinitesimi di ordine 1, ma 1 f (x) + g(x) = sin x − tan x ∼ x3 2 `e infinitesimo di ordine 3 per x → 0.

per x → 0

4. Limiti notevoli

4

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Limiti notevoli

La tabella dei limiti notevoli pu`o essere espressa in modo equivalente mediante i simboli di Landau. sin x ∼ x per x → 0 1 − cos ∼

x2 2

sin x = x + o(x) per x → 0 cos x = 1 − 21 x2 + o(x2 ) per x → 0

per x → 0

log(1 + x) = x + o(x) per x → 0

log(1 + x) ∼ x per x → 0 loga (1 + x) ∼

x loga x

per x → 0

loga (1 + x) =

x log a

+ o(x) per x → 0, a > 0, a 6= 1

ex − 1 ∼ x per x → 0

ex = 1 + x + o(x) per x → 0

ax − 1 ∼ x log a per x → 0

ax = 1 + x log a + o(x) per x → 0

(1 + xα ) − 1 ∼ αx per x → 0,

1+

1 x

x

∀α ∈ R

xp = o(ax ) per x → +∞

∀a > 1, p > 0

loga x = o(xp ) per x → +∞ an = o(n!) per n → +∞

(1 + xα ) = 1 + αx + o(x) per x → 0,

∼ e per x → ±∞

∀a > 0, a 6= 1, p > 0

∀a > 0

∀a > 0

1+

1 x

x

∀α ∈ R

= e + o(1) per x → ±∞

|x|p = o(a−x ) per x → −∞

∀a > 1, p > 0

loga x = o(x−p ) per x → 0+

∀a > 0, a 6= 1, p > 0

n! = o(nn ) per n → +∞