COMPORTAMENTO LOCALE DI FUNZIONI - RICHIAMI TEORICI 1
Definizioni
(1.1) Definizione Sia x0 ∈ R ∪ {−∞, +∞}, R > 0 e f, g : IR (x0 ) \ {x0 } → R tali che esista il limite lim
x→x0
f (x) =l g(x)
(1) Diciamo che f `e O grande di g (o che f `e dominata da g) per x → x0 se l ∈ R, e scriviamo f = O(g) per x → x0 . (2) Diciamo che f `e equigrande rispetto a g (o che f `e dello stesso ordine di g) per x → x0 se l ∈ R \ {0}, e scriviamo f (g) per x → x0 . (3) Diciamo che f `e equivalente a g per x → x0 se l = 1, e scriviamo f ∼ g per x → x0 . (4) Diciamo che f `e o piccolo di g (o che f `e trascurabile rispetto a g) per x → x0 se l = 0, e scriviamo f = o(g) per x → x0 .
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Propriet` a principali
(2.1) Proposizione Siano f e g funzioni definite in un intorno di x0 ∈ R ∪ {±∞}. Allora f ∼ g per x → x0 se e solo se f = g + o(g) per x → x0 . (2.2) Proposizione Se f ∼ f1 e g ∼ g1 per x → x0 , allora lim f (x) · g(x) = lim f1 (x) · g1 (x)
x→x0
x→x0
e
lim
x→x0
f1 (x) f (x) = lim g(x) x→x0 g1 (x)
(2.3) Proposizione (Eliminazione di termini trascurabili) lim (f (x) + o(f )) · (g(x) + o(g)) = lim f (x) · g(x)
x→x0
x→x0
1
e
lim
x→x0
f (x) f (x) + o(f ) = lim x→x0 g(x) g(x) + o(g)