LIMITI - RICHIAMI TEORICI 1
Definizioni
(1.1) Definizione Dati x0 ∈ Rn , R > 0 diciamo intorno di x0 di raggio R l’insieme IR (x0 ) = {x ∈ Rn : ||x − x0 || < R}. In particolare, se n = 1 l’insieme IR (x0 ) coincide con l’intervallo aperto ]x0 − R, x0 + R[. (1.2) Definizione Per ogni R > 0, diciamo intorno di ∞ l’insieme IR (∞) = {x ∈ Rn : ||x|| > R}. In particolare, se n = 1 diciamo intorno di +∞ l’insieme IR (+∞) =]R, +∞[, e intorno di −∞ l’insieme IR (−∞) =] − ∞, R[. (1.3) Definizione Diciamo che x0 ∈ Rn `e punto di accumulazione di un insieme A ⊆ Rn se per ogni R > 0 l’insieme A ∩ (IR (x0 ) \ {x0 }) `e non vuoto. Diciamo invece che x0 ∈ Rn `e punto isolato di A ⊆ Rn se x0 ∈ A ed esiste R > 0 tale che A ∩ (IR (x0 ) \ {x0 }) = ∅. (1.4) Definizione Diciamo che ∞ `e punto di accumulazione di un insieme A ⊆ Rn se per ogni R > 0 l’insieme A ∩ IR (∞) `e non vuoto. Diciamo inoltre che +∞ (rispettivamente, −∞) `e punto di accumulazione di A ⊆ R se esiste per ogni R > 0 l’insieme A ∩ IR (+∞) (rispettivamente A ∩ IR (+∞)) `e non vuoto. (1.5) Definizione Sia f : A → R, con A = dom(f ) ⊆ Rn , e siano x0 ∈ Rn ∪ {∞} punto di accumulazione di A e l ∈ R ∪ {−∞, +∞}. Diciamo che l `e limite di f (x) per x → x0 , ovvero lim f (x) = l
x→x0
se per ogni intorno V di l esiste un intorno U di x0 tale per ogni x ∈ dom(f ) ∩ (U \ {x0 }) =⇒ f (x) ∈ V . (1.6) Osservazione La definizione precedente si pu`o riscrivere in diversi modi equivalenti, quando il punto di accumulazione x0 e il valore limite l sono entrambi finiti, o entrambi infiniti, o uno finito e l’altro infinito. Consideriamo alcuni casi con n = 1, ovvero A ⊆ R. 1
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LIMITI - RICHIAMI TEORICI
a) Sia f : A → R, con A = dom(f ) ⊆ R; sia x0 ∈ R punto di accumulazione A e l ∈ R. Allora lim f (x) = l
x→x0
se e solo se per ogni ε > 0 esiste δ > 0, tale per ogni x ∈ dom(f ) con 0 < |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − l| < ε. b) Sia f : A → R, con A = dom(f ) ⊆ R; sia x0 ∈ R punto di accumulazione A e l = +∞ (rispettivamente, l = −∞). Allora lim f (x) = l
x→x0
se e solo se per ogni R > 0 esiste δ > 0, tale per ogni x ∈ dom(f ) con 0 < |x − x0 | < δ =⇒ f (x) > R (rispettivamente, f (x) < −R). c) Sia f : A → R, con A = dom(f ) ⊆ R; sia x0 = +∞ (rispettivamente, x0 = −∞) punto di accumulazione A e l ∈ R. Allora lim f (x) = l
x→x0
se e solo se per ogni ε > 0 esiste R > 0, tale per ogni x ∈ dom(f ) con x > R (rispettivamente, con x < −R) =⇒ |f (x) − l| < ε. d) Sia f : A → R, con A = dom(f ) ⊆ R; sia x0 = +∞ punto di accumulazione A e l = +∞. Allora lim f (x) = l
x→x0
se e solo se per ogni R > 0 esiste S > 0, tale per ogni x ∈ dom(f ) con x > S =⇒ f (x) > R.
(1.7) Definizione Sia (an ) una successione di numeri reali, e l ∈ R. Diciamo che lim an = l
n→+∞
se e solo se per ogni ε > 0 esiste n ∈ N, tale che per ogni n > k =⇒ |an − l| < ε. (1.8) Osservazione La definizione precedente si modifica opportunamente se invece si ha l ∈ {−∞, +∞}. Se, ad esempio, l = +∞, diciamo che lim an = l
n→+∞
se e solo se per ogni R > 0 esiste k ∈ N, tale che per ogni n > k =⇒ an > R.
2. Teoremi principali
2
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Teoremi principali
(2.1) Teorema della permanenza del segno Sia f : A → R, con A = dom(f ) ⊆ R, x0 ∈
R ∪ {−∞, +∞}, tale che esista lim f (x) = l
x→x0
con l ∈ R ∪ {−∞, +∞}, e l > 0 (rispettivamente, l < 0). Allora esiste R > 0 tale che f (x) > 0 l > 0 (rispettivamente, f (x) < 0) per ogni A ∩ (IR (x0 ) \ {x0 }). (2.2) Teorema di limitatezza locale Sia f : A → R, con A = dom(f ) ⊆ R, x0 ∈ R ∪ {−∞, +∞}, tale che esista lim f (x) = l
x→x0
con l ∈ R. Allora esistono R > 0, M > 0 tali che |f (x)| ≤ M per ogni x ∈ A ∩ (IR (x0 ) \ {x0 }). (2.3) Teorema (Algebra dei limiti: caso finito) Siano f : A → R, g : A → R, con A = dom(f ) = dom(g) ⊆ R, x0 ∈ R ∪ {−∞, +∞}, tale che esistano i limiti lim f (x) = l,
x→x0
lim f (x) = m.
x→x0
Se l, m ∈ R, allora esistono anche i limiti lim (f (x) + g(x)) = l + m,
x→x0
lim f (x) · g(x) = l · m.
x→x0
Se inoltre m 6= 0, allora esiste lim
x→x0
l f (x) = . g(x) m
(2.4) Teorema (Algebra dei limiti: caso infinito) Siano f : A → R, g : A → R, con A = dom(f ) = dom(g) ⊆ R, x0 ∈ R ∪ {−∞, +∞}, tale che esistano i limiti lim f (x) = l,
x→x0
lim f (x) = m.
x→x0
Se l ∈ R e m = +∞, o viceversa, o l = m = +∞ allora lim (f (x) + g(x)) = +∞
x→x0
Se l ∈ R e m = −∞, o viceversa, o l = m = −∞ allora lim (f (x) + g(x)) = −∞
x→x0
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LIMITI - RICHIAMI TEORICI
Se l ∈ {−∞, +∞}, m ∈ R ∪ {−∞, +∞}, m 6= 0 (o viceversa) e concordi, allora lim f (x) · g(x) = +∞.
x→x0
Se l ∈ {−∞, +∞}, m ∈ R ∪ {−∞, +∞}, m 6= 0 (o viceversa) e discordi, allora lim f (x) · g(x) = −∞.
x→x0
Se l ∈ R e m ∈ {−∞, +∞}, allora lim
x→x0
f (x) = 0. g(x)
Se m = 0, allora lim
x→x0
1 = +∞. |g(x)|
(2.5) Osservazione I casi non trattati nel teorema precedente corrispondono a situazioni da analizzare singolarmente. In particolare, si usa chiamare forme indeterminate le situazioni seguenti ∞ − ∞,
∞ , ∞
0 · ∞,
0 0
Richiami su f g Date f, g : A → R, con A = dom(f ) = dom(g) ⊆ R, definiamo g
(f )(x) =
0 eg(x) log f (x)
se f (x) = 0 se f (x) > 0
Se, dato x0 ∈ R ∪ {−∞, +∞} esiste il limite lim g(x) log f (x) = l allora x→x0
lim (f g )(x) =
x→x0
l e
+∞ 0
se l ∈ R se l = +∞ se l = −∞
Sono forme indeterminate i casi 00 ,
∞0 ,
1∞
(2.6) Teorema del confronto a) Siano f, g : A → R, con A = dom(f ) = dom(g) ⊆ R, x0 ∈ R ∪ {−∞, +∞}, tale che esistano i limiti lim f (x) = l,
x→x0
lim f (x) = m
x→x0
Se esiste R > 0 tale che f (x) ≤ g(x) per ogni x ∈ A ∩ (IR (x0 ) \ {x0 }) allora l ≤ m.
2. Teoremi principali
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b) Siano f, g : A → R, con A = dom(f ) = dom(g) ⊆ R, x0 ∈ R ∪ {−∞, +∞}, ed esista R > 0 tale che f (x) ≤ g(x) per ogni x ∈ A ∩ (IR (x0 ) \ {x0 }). Se esiste lim f (x) = +∞
x→x0
allora esiste anche lim g(x) = +∞
x→x0
Se invece esiste lim g(x) = −∞
x→x0
allora esiste anche lim f (x) = −∞
x→x0
c) Siano f, g, h : A → R, con A = dom(f ) = dom(g) = dom(h) ⊆ R, x0 ∈ R ∪ {−∞, +∞}, ed esista R > 0 tale che f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) per ogni x ∈ A ∩ (IR (x0 ) \ {x0 }). Se esistono i limiti lim f (x) = l = lim h(x)
x→x0
x→x0
allora esiste anche lim g(x) = l
x→x0
(2.7) Teorema sul limite di funzione composta Siano f : A → R, g : B → R, con A = dom(f ), B = dom(g) ⊆ R, due funzioni tali che Im(f ) ∩ dom(g) 6= ∅. Sia x0 ∈ R ∪ {−∞, +∞} un punto di accumulazione di A, y0 ∈ R ∪ {−∞, +∞} un punto di accumulazione di B, ed esista lim f (x) = y0 ,
x→x0
Supponiamo che se y0 ∈ R, g sia continua in y0 , e che se y0 ∈ {−∞, +∞}, esista lim g(y) = z0
y→y0
Allora esiste anche lim (g ◦ f )(x) = z0
x→x0
. (2.8) Osservazione Dal Teorema precedente segue un ”Criterio di non esistenza del limite” di una funzione: se esistono due successioni xn , x0n aventi entrambe limite y0 e tali che lim g(xn ) 6= lim g(x0n )
n→+∞
allora non esiste il limite di g(y) per y → y0 .
n→+∞
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LIMITI - RICHIAMI TEORICI
Limiti notevoli
Limiti notevoli fondamentali x→0
lim
sin x x
lim
log(1+x) x
x→0
ex −1 x→0 x
lim
=1 =1
(1+xα )−1 x x→0 xp x a x→+∞
lim lim
x→+∞
1−cos x x2
lim
loga (1+x) x
ax −1 x→0 x
lim
=α
∀α ∈ R
lim
x→±∞
= 0 ∀a > 1, p > 0
=
1 2
=
1 log a
∀a > 0, a 6= 1
= log a ∀a > 0
1+
1 x
x
=e
lim |x|p ax = 0 ∀a > 1, p > 0
x→−∞
loga x xp
n lim a n→+∞ n!
lim
x→0
=1
lim
x→0
= 0 ∀a > 0, a 6= 1, p > 0
lim xp loga x = 0 ∀a > 0, a 6= 1, p > 0
x→0
n lim n n→+∞ n!
= 0 ∀a > 0
= +∞
Limiti di funzioni razionali Siano P (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an , Q(x) = b0 xm + b1 xm−1 + · · · + bm−1 x + bm , con ai , bj ∈ R per ogni i, j, a0 , b0 6= 0, n, m ∈ N. Allora
(a0 · b0 ) ∞ se n > m P (x) ±sign lim = ab 0 se n = m 0 x→±∞ Q(x) 0 se n < m dove sign (t) = 1 se t > 0, sign (t) = −1 se t > 0.