LIMITI - RICHIAMI TEORICI 1
Definizioni
(1.1) Definizione Dati x0 ∈ Rn , R > 0 diciamo intorno di x0 di raggio R l’insieme IR (x0 ) = {x ∈ Rn : ||x − x0 || < R}. In particolare, se n = 1 l’insieme IR (x0 ) coincide con l’intervallo aperto ]x0 − R, x0 + R[. (1.2) Definizione Per ogni R > 0, diciamo intorno di ∞ l’insieme IR (∞) = {x ∈ Rn : ||x|| > R}. In particolare, se n = 1 diciamo intorno di +∞ l’insieme IR (+∞) =]R, +∞[, e intorno di −∞ l’insieme IR (−∞) =] − ∞, R[. (1.3) Definizione Diciamo che x0 ∈ Rn `e punto di accumulazione di un insieme A ⊆ Rn se per ogni R > 0 l’insieme A ∩ (IR (x0 ) \ {x0 }) `e non vuoto. Diciamo invece che x0 ∈ Rn `e punto isolato di A ⊆ Rn se x0 ∈ A ed esiste R > 0 tale che A ∩ (IR (x0 ) \ {x0 }) = ∅. (1.4) Definizione Diciamo che ∞ `e punto di accumulazione di un insieme A ⊆ Rn se per ogni R > 0 l’insieme A ∩ IR (∞) `e non vuoto. Diciamo inoltre che +∞ (rispettivamente, −∞) `e punto di accumulazione di A ⊆ R se esiste per ogni R > 0 l’insieme A ∩ IR (+∞) (rispettivamente A ∩ IR (+∞)) `e non vuoto. (1.5) Definizione Sia f : A → R, con A = dom(f ) ⊆ Rn , e siano x0 ∈ Rn ∪ {∞} punto di accumulazione di A e l ∈ R ∪ {−∞, +∞}. Diciamo che l `e limite di f (x) per x → x0 , ovvero lim f (x) = l
x→x0
se per ogni intorno V di l esiste un intorno U di x0 tale per ogni x ∈ dom(f ) ∩ (U \ {x0 }) =⇒ f (x) ∈ V . (1.6) Osservazione La definizione precedente si pu`o riscrivere in diversi modi equivalenti, quando il punto di accumulazione x0 e il valore limite l sono entrambi finiti, o entrambi infiniti, o uno finito e l’altro infinito. Consideriamo alcuni casi con n = 1, ovvero A ⊆ R. 1