LIMITI - ESERCIZI PROPOSTI
1) Dire se l’insieme A = {x ∈ R : x2 ≥ |x|} ha punti isolati. 2) Determinare i punti di accumulazione degli insiemi (a) A = {1 +
(−1)n n+1
(b) B = {(−1)n +
: n ∈ N}; 1 n
: n ∈ N \ {0}}.
3) Determinare il dominio di q
1 |x − 1|
1 − 2 log4 x − p
f (x) = ed i relativi punti di accumulazione.
4) Dire se ha senso calcolare il limite per x → 0 della funzione f (x) = 5) Sia f (x) = sign(x2 − x). Determinare lim f (x) e lim f (x) . x→0
x→1
6) Determinare per quale valore del parametro α ∈ R la funzione √ x+1
f (x) =
`e continua su [−1, +∞)
[x] + α
se x ≥ 0 se x < 0
([x] `e la parte intera di x). 1
√ x4 − x2 .
2
LIMITI - ESERCIZI PROPOSTI
7) Calcolare i seguenti limiti: (a)
3x2 − x + 5 x→±∞ 2x2 + 4x + 1
(b)
x5 + 4x3 + 9 x→±∞ x3 − 2x + 5
(c)
8x3 − 4x2 + 9 x→±∞ 4x3 + x + 2
(d)
9x3 − 7x + 5 x→±∞ −2x3 + 4x2 − 1
(e)
x2 + 2x + 5 x→±∞ 2x3 − 3x2 − 4
(f )
(g)
x2 + x + 7 x→±∞ x4 − 2x3 + 7
(h)
5x − 8 x→±∞ x3 − 1
(i)
−5x5 + 4 x→±∞ 2x3 − 4x + 1
(l)
9x5 + 3x + 5 . x→±∞ x2 − 5x3 + 8
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
x→±∞
7x + 5 3 − 2x
lim
lim
8) Calcolare i seguenti limiti (a)
lim
x2 − 3x + 2 x→2 x2 + x − 6
(b)
x2 + 3x x→0 x
(c)
x2 − 8x + 15 x→3 x2 − 10x + 21
(d)
x2 − 6x + 5 x→1 x2 − 2x + 1
(e)
lim
(f )
2x − 5 . x→0 x2
lim
x→2 x2
x2 − 4 − 3x + 2
lim
lim
lim
9) Calcolare i seguenti limiti (a) (c)
1 lim √ x→4 x−2
(b)
x2 − 2 x→+∞ x
(d)
lim
lim log (x2 − 2)
(e)
x→+∞
r
(g)
lim
x→−∞
1−x x2
(a) (c)
lim
³p
x→+∞
lim
x→0
1−
1+
4x2
√ 1 + 4x2 x2
´
− 2x
2 (x − 1)2
lim (x2 + 4)
x→±∞
r
(f ) (h)
10) Calcolare i seguenti limiti
lim
x→1
lim
1+
x→0+
lim
x→−∞
4 x
√ 3 2 − x.
√ 2 − x2 − 1 (b) lim x→1 (x − 1)2 √ √ 1+x− 1−x (d) lim . x→0 x
11) Dire se esistono (ed eventualmente calcolare) i seguenti limiti √ √ (a) lim ( x + cos x) (b) lim x cos x x→+∞
(c)
cos x √ x→+∞ x lim
x→+∞
(d)
lim [x3 − x] .
x→(−1)±
LIMITI - ESERCIZI PROPOSTI
3
12) Calcolare i seguenti limiti (a)
lim
x→0
sin 2x x
(b)
(c)
lim
sin 5x − sin 3x x→0 x
(d)
(e)
1 − cos 2x x→0 x2
(f )
sin (x2 − 1) x→1 x−1
(h)
lim
(g)
lim
lim
sin (tan x) sin x
limπ
sin (cos x) cos x
x→0
x→ 2
lim x sin
x→+∞
1 x
sin 6x . tan 3x
lim
x→0
13) Calcolare i seguenti limiti (a)
x + cos x √ x→+∞ x−1
(b)
(c)
lim
sin x4 x→0 sin2 x2
(d)
(e)
lim
1 − cos 2x x→0 sin2 3x
(f )
(g)
2x3 − 5x2 − 4x + 12 x→2 x4 − 4x3 + 5x2 − 4x + 4
(h)
lim
lim
x−1 lim √ 2x2 − 1 ´ √ √ ³√ lim x x+1− x−1
x→±∞
x→+∞
sin x − 1 lim ¡ π ¢2 2 −x
x→ π2
lim
³p 3
x→+∞
2 + x3 −
p 3
´
1 + 2x2 + x3 .
14) Calcolare i seguenti limiti (a)
22x + 2−x x→±∞ (2x − 1)2
(b)
3x sin (2x − 1) x→0± 4x + 1 − 2x+1
(c)
x3 (2x − 2−x ) x→−∞ 3x + 3−x
(d)
2x + x2 x→+∞ 3x + x3
lim
lim
Ã
(e)
(g) (i)
lim
x→±∞
lim
x→0
³√
x2 + 2x + 3 x2 − x + 1 ´
1+x
lim
!x+3
1 sin x
µ
(f ) (h)
lim
cos
x→±∞
lim
1 x
¶x2
³√
x→0
´
4+x−1 µ
lim (2 − cos x)
x→0
lim
1 sin2 x
(j)
lim e−x e +
x→+∞
2 x
1 ex −1
¶x
15) Determinare per quali a ∈ R risultano continue sui loro domini le funzioni f (x) =
tan x + 3
se x < 0 x , 2 (x − 1) + a se x ≥ 0
.
4
LIMITI - ESERCIZI PROPOSTI
g(x) =
sin x + a
se x <
π 2
2 x+1
se x ≥
π 2
π
√ x( x + 1 − 1)
h(x) =
tan x2 x a2 + 3
,
se x > 0 se x ≤ 0
16) Determinare λ ∈ R in modo che lim
x→−∞
p
x2 − 1
³p
´
x2 + λ + x = 2.
.
LIMITI - ESERCIZI PROPOSTI
5
SOLUZIONI
1) 0 `e punto isolato di A.
2) Indicati con I(A) e I(B) l’insieme dei punti di accumulazione per gli insiemi A e B , si ha che a) I(A) = {1}. b) I(B) = {1, −1}.
3) dom(()f ) = (0, 1) ∪ (1, 2] e l’insieme dei punti di accumulazione di dom(()f ) `e [0,2].
4) Non ha senso perch´e 0 ´e un punto isolato del dominio di f .
5) I limiti lim f (x) e lim f (x) non esistono. Per` o si ha che x→0
x→1
lim f (x) = −1
x→0+
lim f (x) = 1
lim f (x) = 1
x→0−
lim f (x) = −1 .
x→1+
x→1−
6) α = 2
7) (a)
3 2
(b) + ∞
(c) 2
8) (a)
1 5
(b) 3
1 2
9) (a) 6 ∃
10) (a) 0
(b) + ∞
(b) 6 ∃
11) (a) + ∞
12) (a) 2
(c)
(d) 6 ∃
(c) − 2
(e) 0
(b) ±
2 2
7 2
(g) 0
(h) 0
(i) − ∞
(d) + ∞
(d)
(d) 1
(e) + ∞
lim [x3 − x] = 0 ,
x→(−1)+
(e) 2
(c) 1
(d) 1
(l) − ∞
(f ) − ∞.
(f ) 1
√
13) (a) + ∞
(f ) −
(f ) + ∞
(g) 0
(h) + ∞.
(d) 1.
(c) 0
(c) 2
9 2
(e) 4
(c) + ∞
(b) 6 ∃
(b) 1
(d) −
(e)
2 9
(g) 2
(f ) −
lim [x3 − x] = −1.
x→(−1)−
(h) 2. 1 2
(g)
7 5
(h) − 32 .
6
LIMITI - ESERCIZI PROPOSTI
14) (a)
22x + 2−x 22x + 2−x = 1 , lim = +∞ x→+∞ (2x − 1)2 x→−∞ (2x − 1)2 lim
(d) 0
15) f : a = 3
16) λ = 4 .
(e) e3
g : a=1
1
(f ) e− 2
h : a = − 52 .
1
(g) e 2
(b) ± ∞ 1
(h) e 4
(c) 0 1
(i) e 2
2
(j) e e .