polinomi

NUMERI COMPLESSI ED EQUAZIONI ALGEBRICHE

1. Esercizi Esercizio 1. Scrivere la forma algebrica, la forma trigonometrica e quella esponenziale dei seguenti numeri complessi: π π 2 5π z1 = 1 + i, z2 = 2(cos( ) + i sin( )), z3 = ei 6 , z4 = −i, z5 = 3, 3 3 3 π 7π 5π 5π z6 = 4(cos(π) + i sin(π)), z7 = 5ei 2 , z8 = 4(cos( ) + i sin( )), z9 = 2ei 3 .

4 4 Esercizio 2. Calcolare il valore delle seguenti espressioni: 3−i (1) 1+i − (1 + 2i)(2 + 2i) + 1+i ; 1−i −6

√ 11 (2) 21 + i 23 + √12 − i √12 − 2+i ; 2i 3 √ (3) 2i(−1 + i) + ( 3 + i) + (1 + i)(1 + i).

Esercizio 3. Calcolare le radici terze dei seguenti numeri complessi: 1 1 z1 = i; z2 = −8; z3 = 8; z4 = √ − i √ .

2 2 Esercizio 4. Determinare tutti i numeri complessi che verificano le seguenti condizioni:

Re(z 2 ) + Im(z(1 + 2i)) = 3 4.1)2Re(z(1 + i)) + zz = 0 4.2) arg(z) = π

Re(z) = 0 4.3) 4.4)Im((2 − i)z) = 1. zz = 4 Esercizio 5. Risolvere in C le equazioni P (z) = 0, dove 5.1)P (z) = z 2 − iz − 1 + i;

5.2)P (z) = z 3 − 2z 2 + z − 2;

5.3)P (z) = z 3 − 4z 2 + 5z.

Esercizio 6. Determinare il valore di a in modo che il polinomio P (z) = z 3 −z 2 +z +1+a abbia z = −i come radice. Per questo valore di a decomporre P (z) in fattori irriducibili sia in R, sia in C. Esercizio 7. Una delle radici quarte di z = −4 `e il numero complesso w = 1 + i.

(1) 1 − i `e una radice quarta di z; (2) −2i `e una radice quarta di z; (3) z non ha radici quarte perch´e negativo; (4) le altre radici sono i vertici di un triangolo equilatero.

Esercizio 8. Sia z = a + ib un numero complesso. Allora: (1) zz `e un numero reale negativo; (2) Re(z + z) = 0; (3) Im(z − z) = 0; (4) Im(z + z) = 0.

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Esercizio 9. I numeri complessi che verificano le condizioni

zz − Re(z(2 − i)) = −1/4 arg(z) = 3π/4 sono (1) 2 di moduli diversi; (2) ∞; (3) 1; (4) nessuno.

Esercizio 10. Il polinomio P (z) = z 2 + 2z + 2 (1) `e irriducibile su C; (2) `e irriducibile su R; (3) ha solo radici reali; (4) ha 1 + i come radice.

Esercizio 11. Il polinomio P (z) = z 2 + 2z + 2 ha −1 + i come radice. Allora (1) ha −1 − i come radice; (2) ha 1 + i come radice; (3) ha 1 − i come radice; (4) non ha altre radici complesse.

Esercizio 12. I numeri complessi z che verificano la condizione |z| = 2 formano una circonferenza di centro l’ origine e raggio 2.

(V) (F) Esercizio 13. Dati due numeri complessi qualsiasi z1 e z2 , si ha che Re(z1 + z2 ) = Re(z1 ) + Re(z2 ).

Im(z1 z2 ) = Im(z1 )Im(z2 ).

(V ) (F ) (V ) (F )

2. Soluzioni di alcuni esercizi Soluzione dell’ Esercizio 1. Ricordiamo che, se z = a+ib `e un numero complesso non nullo √ 2 in forma algebrica, allora |z| = a + b2 ed il suo argomento φ verifica le due equazioni b a trigonometriche sin φ = |z| , cos φ = |z| . Quindi la forma trigonometrica di z `e z = |z| (cos φ + i sin φ) .

L’ identit`a di Eulero afferma che eiφ = cos φ + i sin φ e quindi la forma esponenziale di z `e z = |z|eiφ .

Viceversa, se z = ρ(cos φ + i sin φ) con ρ > 0 `e un numero complesso in forma trigonometrica, ovvero z = ρeiφ `e lo stesso numero in forma esponenziale, allora la sua forma algebrica si scrive come z = Re(z) + √ Re(z) = ρ cos φ, Im(z) = ρ sin φ. √iIm(z) dove 2 2 Il modulo di z1 = 1 + i `e |z1 | = √1 + 1 = 2.√Il suo argomento si calcola dalle due equazioni trigonometriche sin φ = 1/ 2, cos φ = 1/ 2. Abbiamo k∈ √ allora φ = π/4+2kπ,

Z. Scelto k = 0, la forma trigonometrica di z1 abbiamo z1 = 2 cos π4 + i sin π4 . La forma √ π esponenziale di z1 `e z1 = 2ei 4 . π La forma esponenziale di z2 `e z2 = 2ei 3 , mentre √ la parte reale ed immaginaria di z2 sono Re(z2 ) = 2 cos π3 = 1, e Im(z2 ) = 2 sin π3 = 3. Quindi, la forma algebrica di z2 `e √ z2 = 1 + i 3.

5π La forma trigonometrica di z3 `e z3 = 23 cos 5π + i sin . La parte reale ed immaginaria 6 6 √ 3 2 5π 1 5π 2 di z3 sono rispettivamente Re(z 3 ) = 3 cos 6 = − 3 , e Im(z3 ) = 3 sin 6 = 3 . Quindi, la √ forma algebrica di z3 `e z3 = − 33 + i 13 .

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Gli altri si trattano analogamente.

Soluzione dell’ Esercizio 2. (1) Calcoliamo la forma algebrica dei vari addendi dell’ espressione, essendo tale forma la pi˘adatta per effettuare la somma.

1+i 1+i1+i (1 + i)2 2i = = = = i.

1−i 1−i1+i 2 2 (1 + 2i)(2 + 2i) = 2 + 2i + 4i − 4 = −2 + 6i.

3−i 3−i1−i 3 − 3i − i − 1 2 − 4i = = = = 1 − 2i.

1+i 1+i1−i 2 2 Quindi, si riscrive come i − (−2 + 6i) + (1 − 2i) = 3 − 7i. l’ espressione √ 3 1 i π3 (2) 2 + i 2 = e . Quindi, √ !11 √ 11π 1 3 5π 5π 1 3 +i = ei 3 = cos + i sin = −i .

2 2 3 3 2 2

π 1 1 √ √ Analogamente, − i 2 = e−i 4 e quindi 2

−6 3π 1 1 √ − i√ = ei 2 = −i.

2 2 2+i 2 + i −i −2i + 1 1 = = = − i.

2i 2i −i 2 2 √ √ 3 1 1 L’ espressione allora diventa 2 − i 2 − i − 2 + i = −i 23 .

(3) Abbiamo che 2i(−1 + i) = −2i − 2 = −2 − 2i.

3 √ √ √ √ ( 3 + i) = ( 3 − i)3 = 3 3 − 9i − 3 3 + i = −8i.

(1 + i)(1 + i) = (1 + i)(1 − i) = 2.

L’ espressione si semplifica allora come −2 − 2i − 8i + 2 = −10i.

Soluzione dell’ Esercizio 3. Le radici n−esime del numero complesso z = |z|eiφ sono i p φ+2hπ numeri complessi wh = n |z|ei n , dove h = 0, 1, . . . , n − 1. π La forma esponenziale di z1 = i `e z1 = ei 2 . Le sue radici terze sono allora i numeri complessi π 5π 3π w1 = ei 6 , w2 = ei 2 w0 = ei 6 , che in forma algebrica si scrivono come √ √ 3 1 3 1 w0 = +i , w1 = − +i , w2 = −i.

2 2 2 2 Le radici degli altri numeri complessi si calcolano analogamente.

Soluzione dell’ Esercizio 4. 4.1) Sia z = x + iy un numero complesso in forma algebrica.

Si ha che: 2Re((x + iy)(1 + i)) + zz = 2Re(x − y + i(x + y)) + x2 + y 2 = x2 + y 2 + 2x − 2y.

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2 2 Quindi, i numeri complessi cercati verificano l’ equazione √ x + y + 2x − 2y = 0 che rappresenta una circonferenza di centro (−1, 1) e raggio 2.

4.2) I numeri complessi che hanno argomento π si trovano sul semiasse negativo delle ascisse e quindi sono della forma z = x, con x ∈ R, x < 0. Sostituendo nella prima equazione, abbiamo x2 + 2x − 3 = 0, che ha soluzioni x1 = −3, x2 = 1. Poich´e x < 0, l’ unica soluzione accettabile `e z1 = x1 = −3.

4.3) I numeri complessi aventi parte reale nulla sono tutti e soli quelli della forma z = iy. Sostituendo nella seconda equazione, abbiamo y 2 = 4, e quindi le soluzioni sono z1 = −2i, z2 = 2i.

4.4) Sia z = x + iy un numero complesso in forma algebrica. Abbiamo che

Im((2 − i)(x + iy)) = Im(2x + y + i(−x + 2y)) = −x + 2y, e quindi l’ equazione diventa −x + 2y = 1 che rappresenta la retta per i punti (−1, 0) e (1, 1).

Soluzione dell’ Esercizio 5. 5.1) Essendo un’ equazione di secondo grado, possiamo usare la formula risolutiva. Calcoliamo prima il discriminante, e le sue due radici quadrate. ∆ = i2 − 4(−1 + i) = 3 − 4i = 5eiφ dove l’ angolo φ verifica cos φ = 3/5, sin φ = −4/5. Le radici quadrate di ∆ sono δ1 = √ iφ 5e 2 e δ2 = −δ1 . Calcoliamo allora cos φ2 e sin φ2 , usando le formule di bisezione ed osservando che l’ angolo φ/2 `e un angolo del secondo quadrante, essendo φ un angolo del quarto. r r 1 + cos φ 4 φ 2 cos = − =− = −√ , 2 2 5 5 mentre r r φ 1 − cos φ 1 1 sin = = =√ .

2 2 5 5

√ 2 Abbiamo quindi che δ1 = 5 − √5 + i √15 = −2 + i, e δ2 = 2 − i.

1 2 Le soluzioni dell’ equazione sono allora z1 = i+δ = −1 + i, z2 = i+δ = 1.

2 2 5.2) Si osserva facilmente che P (2) = 8 − 8 + 2 − 2 = 0, e quindi z = 2 `e una soluzione dell’ equazione. Dividendo per z − 2, abbiamo P (z) = (z − 2)(z 2 + 1), ed `e facile allora calcolare tutte le soluzioni dell’ equazione, che risultano z1 = 2, z2 = i, z3 = −i.

5.3) Una soluzione dell’ equazione `e z = 0. Mettendo z in evidenza, otteniamo P (z) = z(z 2 − 4z + 5), e quindi le soluzioni dell’ equazione P (z) = 0 sono z1 = 0, z2 = 2 + i, z3 = 2 − i.

Soluzione dell’ Esercizio 6. z = −i `e una radice se, e solo se, P (−i) = 0. Sostituendo, otteniamo un’ equazione di primo grado in a, la cui soluzione `e il valore cercato. i+1−i+1+a=0

da cui

a = −2.

Dividendo il polinomio P (z) per z + i otteniamo P (z) = (z + i)(z 2 − (1 + i)z + i).

Risolvendo l’ equazione di secondo grado, otteniamo le radici z1 = −i, z2 = i, z3 = 1. Una fattorizzazione di P (z) su C `e P (z) = (z − i)(z + i)(z − 1), mentre una fattorizzazione in fattori irriducibili di P (z) su R `e P (z) = (z − 1)(z 2 + 1).

Soluzione dell’ Esercizio 7. Le radici n−esime di un numero complesso si dispongono come i vertici di un poligono regolare ad n lati. Quindi,√dobbiamo costruire un quadrato avente 1+i come uno dei vertici. Poich´e 1+i ha modulo 2, ed argomento π4 le altre radici

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avranno lo stesso modulo ed argomenti 3π , 5π , 7π . Quindi l’ affermazione (1) `e vera, la due 4 4 4 `e falsa perch´e non ha modulo giusto, la tre `e falsa perch´e ogni numero complesso non nullo ha quattro radici quarte distinte. La (4) `e falsa per i motivi esposti in precedenza.

Soluzione dell’ Esercizio 8. zz = a2 + b2 e quindi `e un numero reale non negativo, ossia l’ affermazione (1) `e falsa. z + z = 2a e quindi l’ affermazione (2) `e falsa, mentre la (4) `e vera. z − z = 2ib e quindi risulta falsa anche l’ affermazione (3).

Soluzione dell’ Esercizio 9. Risolviamo il sistema. I numeri complessi aventi argomento 3π 4 si scrivono come −x + ix, con x ∈ R, x > 0. Sostituendo nella prima equazione, abbiamo 2x2 + 3x + 41 = 0, ovvero 8x2 + 12x + 1 = 0. Il discriminante dell’ equazione `e positivo, quindi ci sono due radici reali e distinte, ma sono entrambe negative. Ne consegue che non ci sono soluzioni, ossia l’ unica vera `e la (4).

Soluzione dell’ Esercizio 10. Ricordiamo che un polinomio `e irriducibile sul campo K se non ha radici nel campo K. La prima affermazione `e falsa per il Teorema Fondamentale dell’ Algebra. La seconda `e vera perch´e il discriminante del polinomio dato `e −4 < 0, e quindi non ha radici reali. La terza `e falsa per lo stesso motivo. P (1 + i) = 4 + 4i 6= 0, e quindi 1 + i non `e radice del polinomio.

Soluzione dell’ Esercizio 11. Poich´e il polinomio P (z) ha i coefficienti reali, avendo una radice complessa non reale, avr`a come radice anche il numero complesso coniugato.

Quindi, l’ unica affermazione vera `e la (1).

Soluzione dell’ Esercizio 12. Vero, perch´e il modulo di un numero complesso rappresenta la lunghezza di un vettore applicato nell’ origine.

Soluzione dell’ Esercizio 13. Consideriamo due numeri in forma algebrica z1 = a+ib, z2 = x + iy. Abbiamo che z1 + z2 = (a + x) + i(b + y), mentre z1 z2 = (ax − by) + i(ay + bx).

Quindi Re(z1 + z2 ) = a + x = Re(z1 ) + Re(z2 ), mentre Im(z1 z2 ) = ay + bx 6= Im(z1 )Im(z2 ).