polinomi by Andrea Di Giovanni

NUMERI COMPLESSI ED EQUAZIONI ALGEBRICHE

1. Esercizi Esercizio 1. Scrivere la forma algebrica, la forma trigonometrica e quella esponenziale dei seguenti numeri complessi: π π 2 5π z1 = 1 + i, z2 = 2(cos( ) + i sin( )), z3 = ei 6 , z4 = −i, z5 = 3, 3 3 3 π 7π 5π 5π z6 = 4(cos(π) + i sin(π)), z7 = 5ei 2 , z8 = 4(cos( ) + i sin( )), z9 = 2ei 3 . 4 4 Esercizio 2. Calcolare il valore delle seguenti espressioni: 3−i (1) 1+i − (1 + 2i)(2 + 2i) + 1+i ; 1−i −6 √ 11 (2) 21 + i 23 + √12 − i √12 − 2+i ; 2i 3 √ (3) 2i(−1 + i) + ( 3 + i) + (1 + i)(1 + i). Esercizio 3. Calcolare le radici terze dei seguenti numeri complessi: 1 1 z1 = i; z2 = −8; z3 = 8; z4 = √ − i √ . 2 2 Esercizio 4. Determinare tutti i numeri complessi che verificano le seguenti condizioni: Re(z 2 ) + Im(z(1 + 2i)) = 3 4.1)2Re(z(1 + i)) + zz = 0 4.2) arg(z) = π Re(z) = 0 4.3) 4.4)Im((2 − i)z) = 1. zz = 4 Esercizio 5. Risolvere in C le equazioni P (z) = 0, dove 5.1)P (z) = z 2 − iz − 1 + i;

5.2)P (z) = z 3 − 2z 2 + z − 2;

5.3)P (z) = z 3 − 4z 2 + 5z.

Esercizio 6. Determinare il valore di a in modo che il polinomio P (z) = z 3 −z 2 +z +1+a abbia z = −i come radice. Per questo valore di a decomporre P (z) in fattori irriducibili sia in R, sia in C. Esercizio 7. Una delle radici quarte di z = −4 è il numero complesso w = 1 + i. (1) 1 − i è una radice quarta di z; (2) −2i è una radice quarta di z; (3) z non ha radici quarte perché negativo; (4) le altre radici sono i vertici di un triangolo equilatero. Esercizio 8. Sia z = a + ib un numero complesso. Allora: (1) zz è un numero reale negativo; (2) Re(z + z) = 0; (3) Im(z − z) = 0; (4) Im(z + z) = 0. 1

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Esercizio 9. I numeri complessi che verificano le condizioni zz − Re(z(2 − i)) = −1/4 arg(z) = 3π/4 sono (1) 2 di moduli diversi; (2) ∞; (3) 1; (4) nessuno. Esercizio 10. Il polinomio P (z) = z 2 + 2z + 2 (1) `e irriducibile su C; (2) `e irriducibile su R; (3) ha solo radici reali; (4) ha 1 + i come radice. Esercizio 11. Il polinomio P (z) = z 2 + 2z + 2 ha −1 + i come radice. Allora (1) ha −1 − i come radice; (2) ha 1 + i come radice; (3) ha 1 − i come radice; (4) non ha altre radici complesse. Esercizio 12. I numeri complessi z che verificano la condizione |z| = 2 formano una circonferenza di centro l’ origine e raggio 2. (V) (F) Esercizio 13. Dati due numeri complessi qualsiasi z1 e z2 , si ha che Re(z1 + z2 ) = Re(z1 ) + Re(z2 ). Im(z1 z2 ) = Im(z1 )Im(z2 ).

(V ) (F ) (V ) (F )

2. Soluzioni di alcuni esercizi Soluzione dell’ Esercizio 1. Ricordiamo che, se z = a+ib è un numero complesso non nullo √ 2 in forma algebrica, allora |z| = a + b2 ed il suo argomento φ verifica le due equazioni b a trigonometriche sin φ = |z| , cos φ = |z| . Quindi la forma trigonometrica di z è z = |z| (cos φ + i sin φ) . L’ identità di Eulero afferma che eiφ = cos φ + i sin φ e quindi la forma esponenziale di z è z = |z|eiφ . Viceversa, se z = ρ(cos φ + i sin φ) con ρ > 0 è un numero complesso in forma trigonometrica, ovvero z = ρeiφ è lo stesso numero in forma esponenziale, allora la sua forma algebrica si scrive come z = Re(z) + √ Re(z) = ρ cos φ, Im(z) = ρ sin φ. √iIm(z) dove 2 2 Il modulo di z1 = 1 + i è |z1 | = √1 + 1 = 2.√Il suo argomento si calcola dalle due equazioni trigonometriche sin φ = 1/ 2, cos φ = 1/ 2. Abbiamo k∈ √ allora φ = π/4+2kπ, Z. Scelto k = 0, la forma trigonometrica di z1 abbiamo z1 = 2 cos π4 + i sin π4 . La forma √ π esponenziale di z1 è z1 = 2ei 4 . π La forma esponenziale di z2 è z2 = 2ei 3 , mentre √ la parte reale ed immaginaria di z2 sono Re(z2 ) = 2 cos π3 = 1, e Im(z2 ) = 2 sin π3 = 3. Quindi, la forma algebrica di z2 è √ z2 = 1 + i 3. 5π La forma trigonometrica di z3 è z3 = 23 cos 5π + i sin . La parte reale ed immaginaria 6 6 √ 3 2 5π 1 5π 2 di z3 sono rispettivamente Re(z 3 ) = 3 cos 6 = − 3 , e Im(z3 ) = 3 sin 6 = 3 . Quindi, la √ forma algebrica di z3 è z3 = − 33 + i 13 .

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Gli altri si trattano analogamente. Soluzione dell’ Esercizio 2. (1) Calcoliamo la forma algebrica dei vari addendi dell’ espressione, essendo tale forma la pi˘adatta per effettuare la somma. 1+i 1+i1+i (1 + i)2 2i = = = = i. 1−i 1−i1+i 2 2 (1 + 2i)(2 + 2i) = 2 + 2i + 4i − 4 = −2 + 6i. 3−i 3−i1−i 3 − 3i − i − 1 2 − 4i = = = = 1 − 2i. 1+i 1+i1−i 2 2 Quindi, si riscrive come i − (−2 + 6i) + (1 − 2i) = 3 − 7i. l’ espressione √ 3 1 i π3 (2) 2 + i 2 = e . Quindi, √ !11 √ 11π 1 3 5π 5π 1 3 +i = ei 3 = cos + i sin = −i . 2 2 3 3 2 2 π 1 1 √ √ Analogamente, − i 2 = e−i 4 e quindi 2 −6 3π 1 1 √ − i√ = ei 2 = −i. 2 2 2+i 2 + i −i −2i + 1 1 = = = − i. 2i 2i −i 2 2 √ √ 3 1 1 L’ espressione allora diventa 2 − i 2 − i − 2 + i = −i 23 . (3) Abbiamo che 2i(−1 + i) = −2i − 2 = −2 − 2i. 3 √ √ √ √ ( 3 + i) = ( 3 − i)3 = 3 3 − 9i − 3 3 + i = −8i.

(1 + i)(1 + i) = (1 + i)(1 − i) = 2. L’ espressione si semplifica allora come −2 − 2i − 8i + 2 = −10i. Soluzione dell’ Esercizio 3. Le radici n−esime del numero complesso z = |z|eiφ sono i p φ+2hπ numeri complessi wh = n |z|ei n , dove h = 0, 1, . . . , n − 1. π La forma esponenziale di z1 = i `e z1 = ei 2 . Le sue radici terze sono allora i numeri complessi π 5π 3π w1 = ei 6 , w2 = ei 2 w0 = ei 6 , che in forma algebrica si scrivono come √ √ 3 1 3 1 w0 = +i , w1 = − +i , w2 = −i. 2 2 2 2 Le radici degli altri numeri complessi si calcolano analogamente. Soluzione dell’ Esercizio 4. 4.1) Sia z = x + iy un numero complesso in forma algebrica. Si ha che: 2Re((x + iy)(1 + i)) + zz = 2Re(x − y + i(x + y)) + x2 + y 2 = x2 + y 2 + 2x − 2y.

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2 2 Quindi, i numeri complessi cercati verificano l’ equazione √ x + y + 2x − 2y = 0 che rappresenta una circonferenza di centro (−1, 1) e raggio 2. 4.2) I numeri complessi che hanno argomento π si trovano sul semiasse negativo delle ascisse e quindi sono della forma z = x, con x ∈ R, x < 0. Sostituendo nella prima equazione, abbiamo x2 + 2x − 3 = 0, che ha soluzioni x1 = −3, x2 = 1. Poich´e x < 0, l’ unica soluzione accettabile `e z1 = x1 = −3. 4.3) I numeri complessi aventi parte reale nulla sono tutti e soli quelli della forma z = iy. Sostituendo nella seconda equazione, abbiamo y 2 = 4, e quindi le soluzioni sono z1 = −2i, z2 = 2i. 4.4) Sia z = x + iy un numero complesso in forma algebrica. Abbiamo che

Im((2 − i)(x + iy)) = Im(2x + y + i(−x + 2y)) = −x + 2y, e quindi l’ equazione diventa −x + 2y = 1 che rappresenta la retta per i punti (−1, 0) e (1, 1). Soluzione dell’ Esercizio 5. 5.1) Essendo un’ equazione di secondo grado, possiamo usare la formula risolutiva. Calcoliamo prima il discriminante, e le sue due radici quadrate. ∆ = i2 − 4(−1 + i) = 3 − 4i = 5eiφ dove l’ angolo φ verifica cos φ = 3/5, sin φ = −4/5. Le radici quadrate di ∆ sono δ1 = √ iφ 5e 2 e δ2 = −δ1 . Calcoliamo allora cos φ2 e sin φ2 , usando le formule di bisezione ed osservando che l’ angolo φ/2 è un angolo del secondo quadrante, essendo φ un angolo del quarto. r r 1 + cos φ 4 φ 2 cos = − =− = −√ , 2 2 5 5 mentre r r φ 1 − cos φ 1 1 sin = = =√ . 2 2 5 5 √ 2 Abbiamo quindi che δ1 = 5 − √5 + i √15 = −2 + i, e δ2 = 2 − i. 1 2 Le soluzioni dell’ equazione sono allora z1 = i+δ = −1 + i, z2 = i+δ = 1. 2 2 5.2) Si osserva facilmente che P (2) = 8 − 8 + 2 − 2 = 0, e quindi z = 2 è una soluzione dell’ equazione. Dividendo per z − 2, abbiamo P (z) = (z − 2)(z 2 + 1), ed è facile allora calcolare tutte le soluzioni dell’ equazione, che risultano z1 = 2, z2 = i, z3 = −i. 5.3) Una soluzione dell’ equazione è z = 0. Mettendo z in evidenza, otteniamo P (z) = z(z 2 − 4z + 5), e quindi le soluzioni dell’ equazione P (z) = 0 sono z1 = 0, z2 = 2 + i, z3 = 2 − i.

Soluzione dell’ Esercizio 6. z = −i `e una radice se, e solo se, P (−i) = 0. Sostituendo, otteniamo un’ equazione di primo grado in a, la cui soluzione `e il valore cercato. i+1−i+1+a=0

da cui

a = −2.

Dividendo il polinomio P (z) per z + i otteniamo P (z) = (z + i)(z 2 − (1 + i)z + i). Risolvendo l’ equazione di secondo grado, otteniamo le radici z1 = −i, z2 = i, z3 = 1. Una fattorizzazione di P (z) su C è P (z) = (z − i)(z + i)(z − 1), mentre una fattorizzazione in fattori irriducibili di P (z) su R è P (z) = (z − 1)(z 2 + 1). Soluzione dell’ Esercizio 7. Le radici n−esime di un numero complesso si dispongono come i vertici di un poligono regolare ad n lati. Quindi,√dobbiamo costruire un quadrato avente 1+i come uno dei vertici. Poiché 1+i ha modulo 2, ed argomento π4 le altre radici

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avranno lo stesso modulo ed argomenti 3π , 5π , 7π . Quindi l’ affermazione (1) è vera, la due 4 4 4 è falsa perché non ha modulo giusto, la tre è falsa perché ogni numero complesso non nullo ha quattro radici quarte distinte. La (4) è falsa per i motivi esposti in precedenza. Soluzione dell’ Esercizio 8. zz = a2 + b2 e quindi è un numero reale non negativo, ossia l’ affermazione (1) è falsa. z + z = 2a e quindi l’ affermazione (2) è falsa, mentre la (4) è vera. z − z = 2ib e quindi risulta falsa anche l’ affermazione (3). Soluzione dell’ Esercizio 9. Risolviamo il sistema. I numeri complessi aventi argomento 3π 4 si scrivono come −x + ix, con x ∈ R, x > 0. Sostituendo nella prima equazione, abbiamo 2x2 + 3x + 41 = 0, ovvero 8x2 + 12x + 1 = 0. Il discriminante dell’ equazione è positivo, quindi ci sono due radici reali e distinte, ma sono entrambe negative. Ne consegue che non ci sono soluzioni, ossia l’ unica vera è la (4). Soluzione dell’ Esercizio 10. Ricordiamo che un polinomio è irriducibile sul campo K se non ha radici nel campo K. La prima affermazione è falsa per il Teorema Fondamentale dell’ Algebra. La seconda è vera perché il discriminante del polinomio dato è −4 < 0, e quindi non ha radici reali. La terza è falsa per lo stesso motivo. P (1 + i) = 4 + 4i 6= 0, e quindi 1 + i non è radice del polinomio. Soluzione dell’ Esercizio 11. Poiché il polinomio P (z) ha i coefficienti reali, avendo una radice complessa non reale, avrà come radice anche il numero complesso coniugato. Quindi, l’ unica affermazione vera è la (1). Soluzione dell’ Esercizio 12. Vero, perché il modulo di un numero complesso rappresenta la lunghezza di un vettore applicato nell’ origine. Soluzione dell’ Esercizio 13. Consideriamo due numeri in forma algebrica z1 = a+ib, z2 = x + iy. Abbiamo che z1 + z2 = (a + x) + i(b + y), mentre z1 z2 = (ax − by) + i(ay + bx). Quindi Re(z1 + z2 ) = a + x = Re(z1 ) + Re(z2 ), mentre Im(z1 z2 ) = ay + bx 6= Im(z1 )Im(z2 ).