Calcolo integrale: esercizi proposti 1
Integrali semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
Integrazione per parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
Integrazione per sostituzione
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4
Integrazione delle funzioni razionali fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
5
Integrali definiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
6
Altri esercizi
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
Calcolo integrale: esercizi proposti
1
Integrali semplici
Esercizio. Calcolare i seguenti integrali indefiniti: ·
Z 5
(a)
cos x sin x dx ·
Z 3
(b)
4
x sin x dx Z
Z
·
3
x2 ex dx
(d)
1 − cos x4 + c, 4 h
esin x cos x dx
(c)
1 − cos6 x + c, 6
¸
c∈R ¸
c∈R i
esin x + c,
c∈R
1 x3 e + c, 3
c∈R
¸
Z
(e)
tan x dx Z
(f ) Z
(g) Z
(h) Z
(i)
2
[− log | cos x| + c,
x3 + 2x2 + 3x + 2 dx x+1
·
2x4 − 2x3 + x2 + 4x − 5 dx x−1
·
x3 + x2 + 1 dx x−1 3x3 − 3 dx. x−1
·
c ∈ R] ¸
1 3 1 2 x + x + 2x + c, 3 2
c∈R
1 4 1 2 x + x + 5x + c, 2 2
c∈R
1 3 x + x2 + 2x + 3 log |x − 1| + c, 3 ·
3 x3 + x2 + 3x + c, 2
¸
¸
c∈R ¸
c∈R
Integrazione per parti
Esercizio. Calcolare i seguenti integrali indefiniti, utilizzando la formula di integrazione per parti: Z
x ex dx
(a) Z
(b)
x e−x dx
[ex (x − 1) + c, £
−e−x (x + 1) + c,
c ∈ R] ¤
c∈R
3. Integrazione per sostituzione
3
Z
h
x2 ex dx
(c)
ex (x2 − 2x + 2) + c,
i
c∈R
Z
(d)
x arctan (1 + 16x) dx ·
´ ³ 1 2 1 1 x arctan (1 + 16x) − x + log 1 + (1 + 16x)2 + c, 2 32 512 ·
Z
(e)
arctan x dx
x arctan x − ·
Z
Z
h
x2 cos x dx ·µ
Z
(h) Z
3
x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x + c,
c∈R
¶
i
¸
c∈R
x log (x + 5) − x + 5 log |x + 5| + c,
c∈R
h
log (x + 5) dx.
¸
1 1 2 x + 5x log x − x2 − 5x + c, 2 4
(x + 5) log x dx
(i)
¸
c∈R
c∈R
x log x dx
(g)
c∈R
1 3 1 x log x − x3 + c, 3 9
2
(f )
1 log (1 + x2 ) + c, 2
¸
i
Integrazione per sostituzione
Esercizio. Calcolare i seguenti integrali indefiniti, utilizzando la formula di integrazione per sostituzione: Z
(a) Z
(b) Z
(c)
√ cos x √ dx x
q
log x
x 4 + 3 log2 x
c∈R
sin (log x) + c,
c∈R
i
h
1 3
i
√ 2 sin x + c,
c∈R
4 + 3 log2 x + c,
c∈R
· q
dx
¸
1 log4 x + c, 4
h
cos (log x) dx x
Z
(d)
·
log3 x dx x
¸
4
Calcolo integrale: esercizi proposti
Z
(e) Z
(f )
4
h ¡√ 4
1 √ √ dx 4 x ( x − 1)
¯√ ¯¢ x + log ¯ 4 x − 1¯ + c,
4
√
h
e x √ dx. x
2e
√
x
i
c∈R
i
+ c,
c∈R
Integrazione delle funzioni razionali fratte
Esercizio. Calcolare i seguenti integrali indefiniti di funzioni razionali fratte: Z
(a) Z
(b) Z
(c) Z
(d) Z
(e)
Z
(f )
5
2x + 3 dx (x − 2)(x + 5)
[log |x − 2| + log |x + 5| + c, ·
·
2x + 5 dx 2 x + 2x − 3
c∈R
7 1 log |x − 1| + log |x + 3| + c, 4 4
c∈R
h
5x + 3 dx x2 + 2x − 3
x+1 dx. x2 − x + 5
"
¸
i
2 log |x − 1| + 3 log |x + 3| + c, "
¸
4 log |x − 2| − + c, x−2
x+2 dx 2 x − 4x + 4
x+1 dx x2 − 2x + 4
c ∈ R]
√ 1 2 3 x−1 2 log (x − 2x + 4) + arctan √ + c, 2 3 3
√ 1 3 19 2x − 1 2 log (x − x + 5) + arctan √ + c, 2 19 19
c∈R
#
c∈R #
c∈R
Integrali definiti
Esercizio. Calcolare i seguenti integrali definiti: (a)
(b)
Z log 4 log 3
Z 9 4
h
(5ex + 4)ex dx (ex − 2)(e2x + ex + 1)
√ 3 x+5 √ √ √ dx x(1 − x)(x + x + 2)
i
2 log 2 − log 21 + log 13 h
i
2(−2 log 2 + log 13 − log 7)
6. Altri esercizi
Z
(c)
(d)
(e)
6
π 2
− π2
Z e3 1
5
cos x √ dx 2| sin x| + 3 1 − sin x · ¸ ³ ³ √ ´ √ ´ 1 4 4 log 2 + log 2 + 2 + log 2 2 − 1 − log 3 5 5 5 √ 1 + log x √ dx x(1 + 1 + log x)
Z √5 1
h
i
2 log 3 − 2 log 2 + 1 ·
x √ dx. 2 x + 2 x2 − 1
¸
2 log 3 − 3
Altri esercizi
Esercizio 1. Data la funzione
4x + 1
f (x) =
1 4−x−3
√
se x ≤ 0 se 0 < x ≤ 4 ,
determinare: (a) tutte le primitive di f ; (b) la primitiva F di f tale che F (0) = 0. "
(
(a)
2x2 + x − 4 + c se x ≤ 0 √ √ −2 4 − x − 6 log (3 − 4 − x) + c se 0 < x ≤ 4,
"
(
(b) F (x) =
#
c∈R
2x2 + x se x ≤ 0 √ √ −2 4 − x − 6 log (3 − 4 − x) + 4 se 0 < x ≤ 4
Esercizio 2. Calcolare la media integrale della funzione f (x) =
#
ex + 1 nell’intervallo [log 2, log 3]. ex − 1 · ¸ 3 log 2 − log 3 log 3 − log 2
Esercizio 3. Calcolare la media integrale della funzione
3 x2 x e
f (x) =
nell’intervallo [−1, 1] .
1 1−x+1
√
se x ≤ 0 se x > 0 ·
3 − log 2 4
¸