prop-integrali

Calcolo integrale: esercizi proposti 1

Integrali semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2

Integrazione per parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

3

Integrazione per sostituzione

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

4

Integrazione delle funzioni razionali fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

5

Integrali definiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

6

Altri esercizi

5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2

Calcolo integrale: esercizi proposti

1

Integrali semplici

Esercizio. Calcolare i seguenti integrali indefiniti: ·

Z 5

(a)

cos x sin x dx ·

Z 3

(b)

4

x sin x dx Z

Z

·

3

x2 ex dx

(d)

1 − cos x4 + c, 4 h

esin x cos x dx

(c)

1 − cos6 x + c, 6

¸

c∈R ¸

c∈R i

esin x + c,

c∈R

1 x3 e + c, 3

c∈R

¸

Z

(e)

tan x dx Z

(f ) Z

(g) Z

(h) Z

(i)

2

[− log | cos x| + c,

x3 + 2x2 + 3x + 2 dx x+1

·

2x4 − 2x3 + x2 + 4x − 5 dx x−1

·

x3 + x2 + 1 dx x−1 3x3 − 3 dx. x−1

·

c ∈ R] ¸

1 3 1 2 x + x + 2x + c, 3 2

c∈R

1 4 1 2 x + x + 5x + c, 2 2

c∈R

1 3 x + x2 + 2x + 3 log |x − 1| + c, 3 ·

3 x3 + x2 + 3x + c, 2

¸

¸

c∈R ¸

c∈R

Integrazione per parti

Esercizio. Calcolare i seguenti integrali indefiniti, utilizzando la formula di integrazione per parti: Z

x ex dx

(a) Z

(b)

x e−x dx

[ex (x − 1) + c, £

−e−x (x + 1) + c,

c ∈ R] ¤

c∈R

3. Integrazione per sostituzione

3

Z

h

x2 ex dx

(c)

ex (x2 − 2x + 2) + c,

i

c∈R

Z

(d)

x arctan (1 + 16x) dx ·

´ ³ 1 2 1 1 x arctan (1 + 16x) − x + log 1 + (1 + 16x)2 + c, 2 32 512 ·

Z

(e)

arctan x dx

x arctan x − ·

Z

Z

h

x2 cos x dx ·µ

Z

(h) Z

3

x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x + c,

c∈R

¶

i

¸

c∈R

x log (x + 5) − x + 5 log |x + 5| + c,

c∈R

h

log (x + 5) dx.

¸

1 1 2 x + 5x log x − x2 − 5x + c, 2 4

(x + 5) log x dx

(i)

¸

c∈R

c∈R

x log x dx

(g)

c∈R

1 3 1 x log x − x3 + c, 3 9

2

(f )

1 log (1 + x2 ) + c, 2

¸

i

Integrazione per sostituzione

Esercizio. Calcolare i seguenti integrali indefiniti, utilizzando la formula di integrazione per sostituzione: Z

(a) Z

(b) Z

(c)

√ cos x √ dx x

q

log x

x 4 + 3 log2 x

c∈R

sin (log x) + c,

c∈R

i

h

1 3

i

√ 2 sin x + c,

c∈R

4 + 3 log2 x + c,

c∈R

· q

dx

¸

1 log4 x + c, 4

h

cos (log x) dx x

Z

(d)

·

log3 x dx x

¸

4

Calcolo integrale: esercizi proposti

Z

(e) Z

(f )

4

h ¡√ 4

1 √ √ dx 4 x ( x − 1)

¯√ ¯¢ x + log ¯ 4 x − 1¯ + c,

4

√

h

e x √ dx. x

2e

√

x

i

c∈R

i

+ c,

c∈R

Integrazione delle funzioni razionali fratte

Esercizio. Calcolare i seguenti integrali indefiniti di funzioni razionali fratte: Z

(a) Z

(b) Z

(c) Z

(d) Z

(e)

Z

(f )

5

2x + 3 dx (x − 2)(x + 5)

[log |x − 2| + log |x + 5| + c, ·

·

2x + 5 dx 2 x + 2x − 3

c∈R

7 1 log |x − 1| + log |x + 3| + c, 4 4

c∈R

h

5x + 3 dx x2 + 2x − 3

x+1 dx. x2 − x + 5

"

¸

i

2 log |x − 1| + 3 log |x + 3| + c, "

¸

4 log |x − 2| − + c, x−2

x+2 dx 2 x − 4x + 4

x+1 dx x2 − 2x + 4

c ∈ R]

√ 1 2 3 x−1 2 log (x − 2x + 4) + arctan √ + c, 2 3 3

√ 1 3 19 2x − 1 2 log (x − x + 5) + arctan √ + c, 2 19 19

c∈R

#

c∈R #

c∈R

Integrali definiti

Esercizio. Calcolare i seguenti integrali definiti: (a)

(b)

Z log 4 log 3

Z 9 4

h

(5ex + 4)ex dx (ex − 2)(e2x + ex + 1)

√ 3 x+5 √ √ √ dx x(1 − x)(x + x + 2)

i

2 log 2 − log 21 + log 13 h

i

2(−2 log 2 + log 13 − log 7)

6. Altri esercizi

Z

(c)

(d)

(e)

6

π 2

− π2

Z e3 1

5

cos x √ dx 2| sin x| + 3 1 − sin x · ¸ ³ ³ √ ´ √ ´ 1 4 4 log 2 + log 2 + 2 + log 2 2 − 1 − log 3 5 5 5 √ 1 + log x √ dx x(1 + 1 + log x)

Z √5 1

h

i

2 log 3 − 2 log 2 + 1 ·

x √ dx.

2 x + 2 x2 − 1

¸

2 log 3 − 3

Altri esercizi

Esercizio 1.

Data la funzione

   4x + 1

f (x) =

1 4−x−3

 √

se x ≤ 0 se 0 < x ≤ 4 ,

determinare: (a) tutte le primitive di f ; (b) la primitiva F di f tale che F (0) = 0. "

(

(a)

2x2 + x − 4 + c se x ≤ 0 √ √ −2 4 − x − 6 log (3 − 4 − x) + c se 0 < x ≤ 4,

"

(

(b) F (x) =

#

c∈R

2x2 + x se x ≤ 0 √ √ −2 4 − x − 6 log (3 − 4 − x) + 4 se 0 < x ≤ 4

Esercizio 2.

Calcolare la media integrale della funzione f (x) =

#

ex + 1 nell’intervallo [log 2, log 3]. ex − 1 · ¸ 3 log 2 − log 3 log 3 − log 2

Esercizio 3.

Calcolare la media integrale della funzione

 3 x2  x e

f (x) =

nell’intervallo [−1, 1] .

1 1−x+1

 √

se x ≤ 0 se x > 0 ·

3 − log 2 4

¸