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Quadriche R. Notari

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1. Notazioni.

Proposizione 1 Ogni quadrica si rappresenta tramite un’ equazione algebrica di secondo grado della forma σ : a11x2 + 2a12xy + a22y 2 + 2a13xz+ +2a23yz + a33z 2 + 2a14x+ +2a24y + 2a34z + a44 = 0.

Detta B la matrice quadrata di ordine 4 le cui entrate sono i coefficienti aij , e detto Y = t(x, y, z, 1), l’ equazione si scrive come σ : tY BY = 0.

Detta invece 



a11 a12 a13   A =  a12 a22 a23  , a13 a23 a33 ed X = t(x, y, z) l’ equazione si scrive come σ : tXAX + 2(a14, a24, a34)X + a44 = 0.

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2. Cambi di coordinate.

Teorema 2 Sia σ un luogo descritto da un’ equazione di secondo grado della forma σ : tXAX + 2(a14, a24, a34)X + a44 = 0, e sia 

a



  X = P X0 +  b 

c

un cambio di coordinate, con P matrice ortogonale speciale. Allora la nuova equazione di σ ` e della forma σ : tX 0A0X 0 + 2(a014, a024, a034)X 0 + a044 = 0, dove A0 = tP AP, e det(B 0) = det(B). Quindi, det(B) ` e invariante per cambi di coordinate, come anche il polinomio caratteristico di A (e quindi gli autovalori, la traccia ed il determinante di A).

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3. Tipi di quadriche.

Osservazione 3 Ellissoidi, iperboloidi e paraboloidi vengono chiamati quadriche liscie, coni e cilindri quadrici vengono chiamati quadriche singolari. Le coppie di piani ed i piani doppi vengono chiamati quadriche spezzate.

Teorema 4 Sia σ un luogo di R3 rappresentato da un’ equazione di secondo grado.

1. σ ` e una quadrica liscia se B ha rango 4.

2. σ ` e una quadrica singolare se B ha rango 3.

3. σ ` e una coppia di piani se B ha rango 2.

4. σ ` e un piano doppio se B ha rango 1.

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4. Classificazione delle quadriche liscie.

Teorema 5 Sia σ una quadrica liscia definita da un’ equazione della forma σ : tXAX + 2(a14, a24, a34)X + a44 = 0. σ` e un ellissoide reale se A ` e definita in segno e det(B) < 0, ` e un’ ellissoide immaginario se A ` e definita in segno e det(B) > 0, ` e un paraboloide se A ha l’ autovalore 0, ` e un iperboloide se A non ` e definita in segno, ma 0 non ` e autovalore di A. Proposizione 6 Sia σ una quadrica liscia. σ ` e a punti ellittici se det(B) < 0, mentre ` e a punti iperbolici se det(B) > 0.

Osservazione 7 Se P ` e una matrice ortogonale speciale che diagonalizza A allora X = P X0 definisce un cambio di coordinate che trasforma l’ equazione di σ nella forma 2

2

2

Ax0 +By 0 +Cz 0 +2Dx0 +2Ey 0 +2F z 0 +G = 0.

Quindi, a meno di una traslazione, abbiamo riportato σ in forma canonica.

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5. Classificazione delle quadriche singolari.

Teorema 8 Sia σ una quadrica singolare. σ ` e un cono se A non ha l’ autovalore nullo.

In particolare, ha punti reali se gli autovalori di A non sono tutti concordi, mentre il vertice ` e l’ unico punto reale se A ` e definita in segno. σ ` e un cilindro se A ha l’ autovalore nullo.

In particolare σ ` e un cilindro ellittico se i rimanenti autovalori di A sono concordi, ` e un cilindro parabolico se l’ autovalore nullo ha molteplicit` a 2, ` e un cilindro iperbolico se i rimanenti autovalori di A sono discordi.

Osservazione 9 I cilindri ellittici possono essere privi di punti reali.

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5. Quadriche a centro.

Osservazione 10 Le quadriche liscie o singolari aventi un centro di simmetria sono gli ellissoidi, gli iperboloidi ed i coni.

Teorema 11 Sia σ un ellissoide o un iperboloide, o un cono descritto da un’ equazione della forma σ : tXAX + 2(a14, a24, a34)X + a44 = 0.

Il centro di simmetria di σ ` e l’ unica soluzione del sistema lineare AX = − t(a14, a24, a34).

Proposizione 12 Sia σ una quadrica a centro avente C(xC , yC , zC ) come centro di simmetria, e sia P una matrice ortogonale speciale che diagonalizza A. Allora 



xC   X = P X 0 +  yC  zC ` e un cambio di coordinate che riporta σ in forma canonica.

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6. Paraboloidi e cilindri.

Proposizione 13 Sia σ un paraboloide avente V (xV , yV , zV ) come vertice, e sia P una matrice ortogonale speciale che diagonalizza A. Allora 



xV   X = P X 0 +  yV  zV ` e un cambio di coordinate che riporta σ in forma canonica.

Proposizione 14 Sia σ un cilindro ellittico o iperbolico, e sia C(xC , yC , zC ) il centro di una conica direttrice del cilindro. Allora 



xC   X = P X 0 +  yC  zC ` e un cambio di coordinate che riporta σ in forma canonica.

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7. Vertice del paraboloide.

Sia V (0)⊥ il piano per l’ origine ortogonale all’ autospazio relativo all’ autovalore nullo di A. Tale piano interseca σ lungo una conica a centro: sia γ = σ ∩ V (0)⊥ tale conica. Sia C il cilindro avente γ come direttrice e generatrici parallele ad uno degli assi coordinati (ad esempio, l’ asse x). L’ equazione di C si calcola eliminando un’ incognita dal sistema che descrive γ (nell’ esempio, l’ incognita x).

Sia L l’ intersezione di C con il piano coordinato opposto (nell’ esempio, il piano [yz] di equazione x = 0), e sia A il centro di L. La retta parallela all’ asse scelto passante per A incontra V (0)⊥ nel centro B di γ. La retta per B parallela all’ autospazio V (0) incontra σ nel vertice V. Analogo calcolo permette di ottenere il cambio di coordinate per un cilindro ellittico o iperbolico.

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8. Cilindro parabolico.

Sia V (λ) la retta per l’ origine descritta dall’ autospazio relativo all’ unico autovalore non nullo, e siano B1, B2 i punti in cui tale retta interseca il cilindro parabolico σ. Sia M il punto medio del segmento di estremi B1, B2. Anche se B1 e B2 sono punti a coordinate complesse, il loro punto medio M ` e un punto reale.

Sia α il piano parallelo a V (0) passante per M. α interseca σ lungo una retta r. La retta r contiene i vertici delle parabole sezione di σ con piani ortogonali ad r. Sia V un punto di r. Allora 



xV   X = P X 0 +  yV  zV ` e un cambio di coordinate che riporta σ in forma canonica, avendo scelto per V (0) una →→ → base ortonormale (v1,v2) con v1k r.

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9. Piani tangenti ad una quadrica.

Teorema 15 Sia σ una quadrica definita dalla equazione σ : tY BY = 0 con B matrice simmetrica, e sia A(xA, yA, zA) un punto di R3. Sia YA = t(xA, yA, zA, 1), e supponiamo che tYAB 6= (0, 0, 0, a). Sia pA il piano definito da pA : tYABY = 0.

Se A ∈ σ allora pA ` e il piano tangente a σ in A. Se A ∈ / σ, allora pA interseca σ nei punti di una conica. I punti della conica sono i punti in cui le rette tangenti a σ per A toccano σ.

Osservazione 16 Il piano pA ` e chiamato piano polare di polo A rispetto a σ.

Teorema 17 (di reciprocit` a ) Sia quadrica. Se B ∈ pA allora A ∈ pB .

σ

una

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