SPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE
1. Esercizi Esercizio 1. In R3 calcolare il modulo dei vettori (1, 2, 1), (1, −1, 2) ed il loro angolo. Esercizio 2. Calcolare una base ortonormale del sottospazio V = {(x, y) ∈ R2 |x + 2y = 0} e completarla a base ortonormale di R2 specificando se la base trovata `e positiva o negativa. Esercizio 3. Trovare una base ortonormale del sottospazio V = {(x, y, z)|x + y − z = 0} di R3 . Completare poi la base trovata a base ortonormale positiva di R3 . Esercizio 4. Trovare una base ortonormale del sottospazio V = {(x, y, z)|x+y = 0, y+z = 0} di R3 . Completare poi la base trovata a base ortonormale negativa di R3 . Esercizio 5. Calcolare i sottospazi complementi ortogonali di V = {(x, y, z) ∈ R3 |x + y + z = 0, x − y + 2z = 0} e di U = L((1, 1, −1), (1, 0, 2)), rispettivamente. Esercizio 6. Calcolare la proiezione ortogonale di v = (1, 2, 1) sul sottospazio V = {(x, y, z) ∈ R3 |x + z = 0, y − z = 0} e sul sottospazio W = {(x, y, z) ∈ R3 |x + y − z = 0}. Determinare poi i vettori simmetrici di v rispetto ai due sottospazi. Esercizio 7. Scrivere le matrici ortogonali P di ordine 2, calcolare i loro autovalori, dire quali sono diagonalizzabili, e dare una loro interpretazione come movimenti del piano. 3 − 45 0 5 Esercizio 8. Data la matrice P = 45 35 0 verificare che `e ortogonale. Ripetere 0 0 1 poi l’ Esercizio 7 con tale matrice. Esercizio 9. Sia f : R3 → R3 l’ endomorfismo che associa ad ogni vettore v il vettore f (v) simmetrico di v rispetto ad un piano α fissato passante per l’ origine. Trovare gli autovalori di f ed i relativi autovettori. Dire se f `e semplice. Fissato poi α : x − y = 0 scrivere esplicitamente l’ endomorfismo f e verificare che `e simmetrico. Scrivere la forma quadratica Q associata ad f e calcolarne una forma canonica. Esercizio 10. Sia Q : R2 → R la forma quadratica Q(x, y) = x2 + 2xy + y 2 . Trovare un cambio di coordinate che riporti Q in forma canonica, trovare la corrispondente forma canonica di Q e scrivere l’ endomorfismo simmetrico f : R2 → R2 associato a Q. Esercizio 11. Sia Q : R3 → R la forma quadratica definita come Q(x, y, z) = x2 + 2y 2 + z 2 − 2xy + 2yz. Trovarne una forma canonica, il cambio di coordinate che la riporta in forma canonica, e scrivere l’ endomorfismo simmetrico associato a Q. 1