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Sistemi lineari ed equazioni matriciali R. Notari

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1. Equazioni equivalenti Teorema 1 Siano A e B due matrici di tipo m Ă— n ed m Ă— p, rispettivamente, sullo stesso campo K, e sia M = (A|B). Se M 0 = (A0|B 0) ` e una matrice ottenuta da M tramite operazioni elementari sulle righe di M, allora le equazioni AX = B ed A0X = B 0 sono equivalenti.

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2. Esistenza delle soluzioni Teorema 2 (Rouch´ e-Capelli) Siano A e B due matrici di tipo m × n ed m × p, rispettivamente, sullo stesso campo K. L’ equazione AX = B ha soluzioni se, e solo se, r(A) = r(A|B).

In questo caso, detto q = r(A) = r(A|B), l’ equazione ha una sola soluzione se q = n, mentre n − q righe di X restano indeterminate se q < n, e si dice che l’ equazione ha ∞n−q soluzioni.

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3. Struttura delle soluzioni Teorema 3 Siano A e B matrici di tipo m×n ed m × p, rispettivamente, sullo stesso campo K, e supponiamo che r(A) = r(A|B). Siano S = {X ∈ Mat(n, p; K)|AX = B} ed S 0 = {X ∈ Mat(n, p; K)|AX = 0}, e sia X0 ∈ S. Allora 1. X0 + Y ∈ S per ogni Y ∈ S 0; 2. per ogni X ∈ S esiste Y ∈ S 0 tale che X = X0 + Y.

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4. Matrici invertibili Teorema 4 Sia A una matrice quadrata di ordine n su un campo K. Le seguenti condizioni sono equivalenti:

1. A ` e invertibile;

2. r(A) = n;

3. det(A) 6= 0.

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5. Soluzione di un’ equazione particolare Teorema 5 (Cramer) Sia A una matrice quadrata di ordine n su un campo K, invertibile. Allora, qualunque sia la matrice B di tipo n × p su K, l’ equazione AX = B ammette l’ unica soluzione X = A−1B. In particolare, se p = 1, detta X =t (x1, . . . xn), e detta Di la matrice che si ottiene da A sostituendo la sua colonna i–esima con B, abbiamo che det(Di) xi = . det(A)

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