Sistemi di equazioni differenziali Esercizi proposti
1. Si calcoli l’integrale generale del seguente sistema di equazioni differenziali: Ã
~0 = X
−4 1 6 −3
!
~ X.
Si determini poi la soluzione che soddisfa alla condizione iniziale: Ã
~ X(0) =
0 1
!
.
2. Si calcoli l’integrale generale del seguente sistema di equazioni differenziali: Ã
~0 = X
!
−3 −10 −2 −4
~ X.
Si determini poi la soluzione che soddisfa alla condizione iniziale: Ã
~ X(0) =
4 2
!
.
3. Si calcoli l’integrale generale del seguente sistema di equazioni differenziali: Ã
~0
X =
4 3 2 3
!
~ X.
Si determini poi la soluzione che soddisfa alla condizione iniziale: Ã
~ X(0) =
1
5 0
!
.
4. Si consideri il sistema in due incognite (
x˙ = −x + y y˙ = −4y.
a) Determinarne l’integrale generale. b) Scrivere la soluzione particolare tale che x(0) = 2, y(0) = −6. 5. Trovare la soluzione generale del sistema (
µ
6. Siano X =
x1 x2
¶
µ
eA=
1 −2 −2 4
x01 = x2 x02 = 4x1 + 3x2 µ ¶
¶
. Trovare la soluzione di X 0 = AX con X(0) =
0 . 5
7. Si calcoli l’integrale generale del seguente sistema di equazioni differenziali: Ã
~0 = X
−5 5 −2 −7
!
~ X.
Si determini poi la soluzione che soddisfa alla condizione iniziale: Ã
~ X(0) =
1 4
!
.
8. Si studi la stabilit`a del seguente sistema di equazioni differenziali dipendenti dal parametro reale α, specificando il tipo di punto critico ottenuto: Ã
~0 = X Si calcoli poi la soluzione, con α =
−3 α + 2 α − 2 −2
!
~ X.
√ 10, che soddisfa alla condizione iniziale: Ã
~ X(0) =
0 5
!
.
9. Sono dati i seguenti sistemi di equazioni differenziali (
(1)
x0 = −2x, y 0 = 2x − 3y.
(
(2)
x0 = −2x + ay, y 0 = 2x − 3y.
i) Scrivere tutte le soluzioni del sistema (1). ii) Studiare la stabilit`a del sistema (2) al variare a ∈ R, indicando il tipo di punto critico. iii) Determinare i valori di a ∈ R dell’equazione differenziale (2) per cui esistono soluzioni costanti non identicamente nulle.
10. Dato il sistema di equazioni differenziali (
x01 + x02 = 5x1 4x01 − x02 = −5x2
a) trasformare il sistema in un sistema in forma normale; b) scrivere l’integrale generale in forma complessa e in forma reale; c) Trovare la soluzione che soddisfa alla condizione iniziale x1 (π/3) = 0, x2 (π/3) = 4e π/3 .
SOLUZIONI 1. Ã
~ X(t) = c1
!
1 −2
Ã
e
−6t
!
1 3
+ c2
e −t ,
c1 , c2 ∈ R.
Problema di Cauchy: Ã
~ X(t) = (−1/5)
!
1 −2
Ã
e
−6t
+ (1/5)
1 3
!
e −t .
2. Ã
~ X(t) = c1
2 1
Ã
!
e
−8t
+ c2
Problema di Cauchy:
Ã
~ X(t) =2
!
5 −2
e t,
c1 , c2 ∈ R.
!
2 1
e −8t .
3. Ã
~ X(t) = c1
3 2
!
Ã
e
Problema di Cauchy:
6t
Ã
~ X(t) =
4.
+ c2
3 2
1 −1
!
!
e t, Ã
e
6t
c1 , c2 ∈ R. !
1 −1
+2
e t.
a) µ
x(t) y(t)
¶
µ ¶
= c1 e
1 0
−t
b) Si ha c1 = 0, c2 = 2 e
µ
µ
+ c2 e
x(t) y(t)
−4t
¶
1 −3
µ
= 2e
¶
−4t
1 −3
µ
¶
c1 , c2 ∈ R.
, ¶
.
5. µ
x1 (t) x2 (t)
¶
µ ¶
= c1 e 4t
1 4
+ c2 e −t
1 −1
,
c1 , c2 ∈ R.
µ
6.
x1 (t) x2 (t)
¶
µ ¶
=
2 1
µ
+
e 5t
7.
−2 4
ÃÃ
¶
.
!
Ã
!
!
1 −2 ~ X(t) = c1 e −6t cos 3t − e −6t sin 3t + 1 1 ÃÃ ! Ã ! ! −2 1 −6t −6t +c2 e cos 3t + e sin 3t , 1 1
c1 , c2 ∈ R.
Problema di Cauchy: ÃÃ
!
Ã
!
!
1 −2 3 e −6t cos 3t − e −6t sin 3t + 1 1 ÃÃ ! Ã ! ! −2 1 + e −6t cos 3t + e −6t sin 3t . 1 1
~ X(t) =
8. √
|α| < √215 |α| = 215 √ √ 15 < 10 2 < |α|√ |α| = √10 |α| > 10
9. i )
λ 1 , λ2 ∈ C λ1 = λ2 ∈ R λ 1 , λ2 ∈ R λ 1 , λ2 ∈ R λ 1 , λ2 ∈ R
Ã
x(t) y(t)
Re (λ1 ) = Re (λ2 ) = − 25 < 0 λ1 = λ2 = − 52 < 0 λ 1 , λ2 < 0 λ1 = 0, λ2 = −5 λ1 > 0, λ2 < 0
!
Ã
= c1
1 2
!
Ã
e
−2t
+ c2
0 1
fuoco stabile nodo stabile nodo stabile stabile, non asintoticamente sella
!
e−3t .
ii )
λ < − 18 λ = − 18 1 −8 < λ < 3
λ 1 , λ2 ∈ C λ1 = λ2 ∈ R λ 1 , λ2 ∈ R
Re (λ1 ) = Re (λ2 ) = − 52 < 0 λ1 = − 52 < 0 λ1 , λ2 < 0
λ=3
λ 1 , λ2 ∈ R
λ1 = 0, λ2 = 5
λ>3
λ 1 , λ2 ∈ R
λ1 · λ2 < 0
fuoco stabile nodo stabile nodo stabile stabile, non asintoticamente, rette punti critici sella
iii ) Se a = 3, c’`e una retta di punti critici, ciascuno dei quali rappresenta una soluzione costante.
10. In forma complessa µ
x1 (t) x2 (t)
¶
µ
= k1 e (1+2i)t
1 −2i
µ ¶
µ
¶
µ
+ k2 e (1−2i)t
1 2i
¶
,
k1 , k2 ∈ C;
in forma reale: µ
x1 (t) x2 (t)
¶
·
= c1 e t cos 2t
1 0
− sin 2t
0 −2
¶¸
Imponendo le condizioni iniziali si ha c1 = µ
x1 (t) x2 (t)
¶
·
+ c2 e t sin 2t
µ ¶
1 0
µ
+ cos 2t
0 −2
¶¸
, c1 , c2 ∈ R.
√ 3, c2 = 1 e quindi
µ ¶ µ ¶¸ · µ ¶ µ ¶¸ √ t· 1 0 1 0 3e cos 2t − sin 2t + e t sin 2t + cos 2t 0 0 −2 ¶ −2 µ √ 3 cos 2t + sin 2t t = e √ . 3 sin 2t − 2 cos 2t
=