sistemi_proposti

Sistemi di equazioni differenziali Esercizi proposti

1. Si calcoli l’integrale generale del seguente sistema di equazioni differenziali: Ã

~0 = X

−4 1 6 −3

!

~ X.

Si determini poi la soluzione che soddisfa alla condizione iniziale: Ã

~ X(0) =

0 1

!

.

2. Si calcoli l’integrale generale del seguente sistema di equazioni differenziali: Ã

~0 = X

!

−3 −10 −2 −4

~ X.

Si determini poi la soluzione che soddisfa alla condizione iniziale: Ã

~ X(0) =

4 2

!

.

3. Si calcoli l’integrale generale del seguente sistema di equazioni differenziali: Ã

~0

X =

4 3 2 3

!

~ X.

Si determini poi la soluzione che soddisfa alla condizione iniziale: Ã

~ X(0) =

1

5 0

!

.

4. Si consideri il sistema in due incognite (

x˙ = −x + y y˙ = −4y.

a) Determinarne l’integrale generale. b) Scrivere la soluzione particolare tale che x(0) = 2, y(0) = −6.

5. Trovare la soluzione generale del sistema (

µ

6. Siano X =

x1 x2

¶

µ

eA=

1 −2 −2 4

x01 = x2 x02 = 4x1 + 3x2 µ ¶

¶

. Trovare la soluzione di X 0 = AX con X(0) =

0 .

5

7. Si calcoli l’integrale generale del seguente sistema di equazioni differenziali: Ã

~0 = X

−5 5 −2 −7

!

~ X.

Si determini poi la soluzione che soddisfa alla condizione iniziale: Ã

~ X(0) =

1 4

!

.

8. Si studi la stabilit`a del seguente sistema di equazioni differenziali dipendenti dal parametro reale α, specificando il tipo di punto critico ottenuto: Ã

~0 = X Si calcoli poi la soluzione, con α =

−3 α + 2 α − 2 −2

!

~ X.

√ 10, che soddisfa alla condizione iniziale: Ã

~ X(0) =

0 5

!

.

9. Sono dati i seguenti sistemi di equazioni differenziali (

(1)

x0 = −2x, y 0 = 2x − 3y.

(

(2)

x0 = −2x + ay, y 0 = 2x − 3y.

i) Scrivere tutte le soluzioni del sistema (1). ii) Studiare la stabilit`a del sistema (2) al variare a ∈ R, indicando il tipo di punto critico. iii) Determinare i valori di a ∈ R dell’equazione differenziale (2) per cui esistono soluzioni costanti non identicamente nulle.

10. Dato il sistema di equazioni differenziali (

x01 + x02 = 5x1 4x01 − x02 = −5x2

a) trasformare il sistema in un sistema in forma normale; b) scrivere l’integrale generale in forma complessa e in forma reale; c) Trovare la soluzione che soddisfa alla condizione iniziale x1 (π/3) = 0, x2 (π/3) = 4e π/3 .

SOLUZIONI 1. Ã

~ X(t) = c1

!

1 −2

Ã

e

−6t

!

1 3

+ c2

e −t ,

c1 , c2 ∈ R.

Problema di Cauchy: Ã

~ X(t) = (−1/5)

!

1 −2

Ã

e

−6t

+ (1/5)

1 3

!

e −t .

2. Ã

~ X(t) = c1

2 1

Ã

!

e

−8t

+ c2

Problema di Cauchy:

Ã

~ X(t) =2

!

5 −2

e t,

c1 , c2 ∈ R.

!

2 1

e −8t .

3. Ã

~ X(t) = c1

3 2

!

Ã

e

Problema di Cauchy:

6t

Ã

~ X(t) =

4.

+ c2

3 2

1 −1

!

!

e t, Ã

e

6t

c1 , c2 ∈ R. !

1 −1

+2

e t.

a) µ

x(t) y(t)

¶

µ ¶

= c1 e

1 0

−t

b) Si ha c1 = 0, c2 = 2 e

µ

µ

+ c2 e

x(t) y(t)

−4t

¶

1 −3

µ

= 2e

¶

−4t

1 −3

µ

¶

c1 , c2 ∈ R.

, ¶

.

5. µ

x1 (t) x2 (t)

¶

µ ¶

= c1 e 4t

1 4

+ c2 e −t

1 −1

,

c1 , c2 ∈ R.

µ

6.

x1 (t) x2 (t)

¶

µ ¶

=

2 1

µ

+

e 5t

7.

−2 4

ÃÃ

¶

.

!

Ã

!

!

1 −2 ~ X(t) = c1 e −6t cos 3t − e −6t sin 3t + 1 1 ÃÃ ! Ã ! ! −2 1 −6t −6t +c2 e cos 3t + e sin 3t , 1 1

c1 , c2 ∈ R.

Problema di Cauchy: ÃÃ

!

Ã

!

!

1 −2 3 e −6t cos 3t − e −6t sin 3t + 1 1 ÃÃ ! Ã ! ! −2 1 + e −6t cos 3t + e −6t sin 3t .

1 1

~ X(t) =

8. √

|α| < √215 |α| = 215 √ √ 15 < 10 2 < |α|√ |α| = √10 |α| > 10

9. i )

λ 1 , λ2 ∈ C λ1 = λ2 ∈ R λ 1 , λ2 ∈ R λ 1 , λ2 ∈ R λ 1 , λ2 ∈ R

Ã

x(t) y(t)

Re (λ1 ) = Re (λ2 ) = − 25 < 0 λ1 = λ2 = − 52 < 0 λ 1 , λ2 < 0 λ1 = 0, λ2 = −5 λ1 > 0, λ2 < 0

!

Ã

= c1

1 2

!

Ã

e

−2t

+ c2

0 1

fuoco stabile nodo stabile nodo stabile stabile, non asintoticamente sella

!

e−3t .

ii )

λ < − 18 λ = − 18 1 −8 < λ < 3

λ 1 , λ2 ∈ C λ1 = λ2 ∈ R λ 1 , λ2 ∈ R

Re (λ1 ) = Re (λ2 ) = − 52 < 0 λ1 = − 52 < 0 λ1 , λ2 < 0

λ=3

λ 1 , λ2 ∈ R

λ1 = 0, λ2 = 5

λ>3

λ 1 , λ2 ∈ R

λ1 · λ2 < 0

fuoco stabile nodo stabile nodo stabile stabile, non asintoticamente, rette punti critici sella

iii ) Se a = 3, c’`e una retta di punti critici, ciascuno dei quali rappresenta una soluzione costante.

10. In forma complessa µ

x1 (t) x2 (t)

¶

µ

= k1 e (1+2i)t

1 −2i

µ ¶

µ

¶

µ

+ k2 e (1−2i)t

1 2i

¶

,

k1 , k2 ∈ C;

in forma reale: µ

x1 (t) x2 (t)

¶

·

= c1 e t cos 2t

1 0

− sin 2t

0 −2

¶¸

Imponendo le condizioni iniziali si ha c1 = µ

x1 (t) x2 (t)

¶

·

+ c2 e t sin 2t

µ ¶

1 0

µ

+ cos 2t

0 −2

¶¸

, c1 , c2 ∈ R.

√ 3, c2 = 1 e quindi

µ ¶ µ ¶¸ · µ ¶ µ ¶¸ √ t· 1 0 1 0 3e cos 2t − sin 2t + e t sin 2t + cos 2t 0 0 −2 ¶ −2 µ √ 3 cos 2t + sin 2t t = e √ .

3 sin 2t − 2 cos 2t

=