spazio-slides

Geometria dello spazio R. Notari

1

1. Piani.

Proposizione 1 Ogni piano di R3 si rappresenta tramite un’ equazione della forma ax + by + cz + d = 0.

Viceversa, il luogo dei punti di R3 descritto dall’ equazione precedente ` e un piano orto→ gonale al vettore v = (a, b, c).

Proposizione 2 Siano A, B, C tre punti di R3.

I tre punti non sono allineati se, e solo se, → → dim L(AB, AC) = 2. In questo caso, il piano per i tre punti ha equazione →

→

→

AP · AB ∧ AC= 0 dove P (x, y, z) ` e il punto generico di R3, ovve→

→

→

ro i tre vettori AB, AC, AP sono linearmente dipendenti.

2

2. Rette.

Proposizione 3 Siano A, B due punti distinti e sia r la retta da essi individuata. P ∈ r se, → → e solo se, i vettori AP , AB sono linearmente dipendenti.

Proposizione 4 Siano α e β due piani, orto→ → gonali ai vettori v = (a, b, c) e u = (a0, b0, c0), rispettivamente. L’ intersezione di α e β ` e → → una retta se, e solo se, dim L( v , u ) = 2. In questo caso, la retta r = α ∩ β ` e parallela al → → → → sottospazio L( v , u )⊥ = L( v ∧ u ).

Proposizione 5 Sia (

r:

ax + by + cz + d = 0 a0x + b0y + c0z + d0 = 0

una retta. I piani che contengono r sono tutti e soli quelli di equazione λ(ax + by + cz + d) + µ(a0x + b0y + c0z + d0) = 0.

3

3. Mutua posizione di due rette.

Proposizione 6 Siano (

ax + by + cz = d a0x + b0y + c0z = d0

(

ex + f y + gz = h e0x + f 0y + g 0z = h0

r: ed s:

due rette, e sia AX = B il sistema che descrive la loro intersezione. r ed s sono coincidenti se r(A) = r(A|B) = 2, sono incidenti se r(A) = r(A|B) = 3, sono parallele se r(A) = 2, r(A|B) = 3, sono sghembe se r(A) = 3, r(A|B) = 4.

Teorema 7 Siano r ed s due rette sghembe.

Allora esiste un unico piano contenente r (rispettivamente s) e parallelo ad s (risp. r).

Infine, esiste un’ unica retta ortogonale ed incidente sia r sia s.

4

4. Distanze.

Proposizione 8 Sia A un punto di R3, e sia r una retta. Allora →

d(r, A) =

→

| BA ∧ v | →

| v |

→

dove B ∈ r, e v ` e un vettore parallelo ad r.

Proposizione 9 Sia A(xA, yA, zA) un punto di R3 e sia α : ax + by + cz + d = 0 un piano. =

Allora d(α, A) = | proj

→

→

L( v ) →

(BA)| =

|axA √+byA+czA+d| dove B ∈ α e v ` e un vet2 2 2 a +b +c

tore ortogonale ad α.

Proposizione 10 Siano date le rette sghembe r ed s. Allora →

d(r, s) =

→

→

| AB · BC ∧ CD | →

→

| AB ∧ CD | dove A, B ∈ r e C, D ∈ s.

5

5. Sfere.

Proposizione 11 Ogni sfera si rappresenta tramite un’ equazione della forma x2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz + d = 0.

Viceversa, ogni equazione della foma precedente rappresenta una sfera reale se a2 + b2 + c2 − 4d > 0.

Proposizione 12 Sia σ la sfera di centro C e raggio R, e sia A ∈ σ. Una retta r per A ` e tangente a σ se, e solo se, d(C, r) = R, ovvero se, e solo se, la proiezione ortogonale di C su r coincide con A. L’ insieme delle rette tangenti a σ in A forma il piano tangente che ` e l’ unico piano per A ortogonale al vettore → AC .

6

6. Circonferenze.

Proposizione 13 Ogni circonferenza ` e l’ intersezione di un piano e di una sfera, e quindi ` e della forma (

a0x + b0y + c0z + d0 = 0 x2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz + d = 0.

Data una circonferenza γ della forma precedente, il piano che la contiene ` e unico, mentre ogni sfera che la contiene ha equazione della forma x2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz + d+ +t(a0x + b0y + c0z + d0) = 0 al variare di t ∈ R. I centri di tali sfere sono tutti allineati.

Proposizione 14 Sia α un piano e sia σ la sfera di centro C e raggio R. α ∩ σ ` e una circonferenza se d(C, α) < R. In questo caso, il centro della circonferenza ` e la proiezione ortogonale di C su α mentre il raggio della circonferenza ` e R0 =

q

R2 − d(C, α)2.

7