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SPAZI VETTORIALI Rn
OPERAZIONI SU SOTTOSPAZI DI Rn Sottospazi intersezione e sottospazi somma. Somme dirette.
Esercizio 1 Si considerino i sottospazi di R4 definiti da V = L((1, −2, 0, 0), (2, −2, 1, 0)) e W = Sol(S), dove S `e il sistema lineare x − y + 2z − 3t = 0 S: . x − 2y = 0 Determinare in forma sia implicita che esplicita il sottospazio V ∩ W. Ripetere l’esercizio con i seguenti sottospazi di R3 o R4 : 1) V = L((1, −2, 0, 0), (2, −2, 0, 0)), W = L((0, −1, 1, 3), (3, 1, 0, 1)); 2) V = L((1, 2, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (2, 1, 1, 0)), W = L((0, 2, 1, −1), (1, 0, 0, 0), (−1, 1, −1, 0)); 3) V = L((1, 1, 2), (0, 1, 1)), W = L((0, −1, 0), (3, 1, 0)); 4) V = L((1, 1, 2), (0, 1, 1)), W = L((0, −1, 0)); 5) V = L((1, 1, 2)), W = L((0, −1, 0). Esercizio 2 Dati i sottospazi di R3 definiti da V = L((1, 3, −1)) e W = L((1, 0, 1), (−1, 1, 1)), calcolare una base per il sottospazio somma V + W e dire se tale somma `e diretta (ossia se V + W = V ⊕ W ). Ripetere l’esercizio con i seguenti sottospazi di R3 o R4 : 1) V = L((1, 3, −1)), W = L((1, 0, 1)) e Z = L((0, 0, 1)); 2) V = L((0, 1, 1)), W = {(x, y, z) ∈ R3 : x − y + z = 0}; 3) V = L((1, 0, 3), (1, 1, 1)), W = L((1, −1, 0), (1, 2, 0)); 4) V = L((1, 0, 0, 1), (−1, 1, 0, 0)), W = L((2, 1, 1, 3), (0, 0, 1, 1)); 5) V = L((1, 0, 0, 1), (−1, 1, 0, 0)), W = L((2, 1, 1, 3), (0, 1, 0, 1)); 6) V = L((1, 2, 3, 0)), W = L((1, 0, 0, 1), (3, −1, 0, 0)) e Z = L((0, 0, 0, 1)). Esercizio 3 Dati i sottospazi di R3 definiti da V = {(x, y, z) ∈ R3 : y = 2x} e W = {(x, y, z) ∈ R3 : x − y + z = 0}, calcolare V ∩ W e V + W e dire se la somma `e diretta. Esercizio 4 Dati i sottospazi di R3 definiti da U = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0} e V = L((1, 1, k)), si studi U + V al variare di k ∈ R. Per quali k si ha U + V = U ⊕ V ?
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SVOLGIMENTI
Esercizio 1 Per calcolare l’intersezione di sottospazi conviene averli tutti scritti in forma implicita, quindi determiniamo la forma implicita di V , secondo il procedimento standard gi` a visto: riducendo la matrice 1 −2 0 0 1 −2 0 0 1 −2 0 0 2 −2 1 0 −→ 0 2 1 0 −→ 0 2 1 0, 1 x y z t 0 y + 2x z t 0 0 z − 2 (y + 2x) t si ottengono le condizioni
x − y + 2z = 0 t=0
che forniscono la scrittura implicita di V , ossia V = (x, y, z, t) ∈ R4 : x − y + 2z = 0, t = 0 .
A questo punto, il sottospazio V ∩ W `e definito dal sistema lineare che si ottiene prendendo tutte le equazioni che definiscono i sottospazi V e W , ossia V ∩ W = (x, y, z, t) ∈ R4 : x − y + 2z = 0, t = 0, x − 2y = 0, x − y + 2z − 3t = 0 .
Risolvendo il sistema si trova V ∩ W = L((4, 2, −1, 0)). Analogamente, negli altri casi si ottiene:
1) V ∩ W = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x = y = z = t = 0} = {(0, 0, 0, 0)} ; 2) V ∩ W = {(x, y, z, t) ∈ R4 : y + z = t = 0} = L((1, 0, 0, 0), (0, −1, 1, 0)); 3) V ∩ W = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y = z = 0} = L((−1, 1, 0)); 4) V ∩ W = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = z = 0} = {(0, 0, 0)} ; 5) V ∩ W = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = z = 0} = {(0, 0, 0)} . Esercizio 2 Poich´e la somma di due o pi` u sottospazi `e generata dall’unione di tutti i generatori dei sottospazi considerati, si ha V + W = L((1, 3, −1), (1, 0, 1), (−1, 1, 1)). Per determinare una base a partire da un sistema di generatori, possiamo procedere tramite scarti successivi o per riduzione. Ad esempio, la matrice dei generatori di V + W `e 1 3 −1 1 0 1 −1 1 1 e, riducendola, si vede subito che il suo rango `e 3, da cui deduciamo che i tre generatori sono l.i. e pertanto formano una base di V + W . Poich´e la somma di due o pi` u sottospazi `e diretta se e solo se la dimensione del sottospazio somma `e la somma delle dimensioni dei sottospazi considerati, abbiamo anche ottenuto che V + W = V ⊕ W.
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1) Procedendo come nel caso precedente, si ha V + W + Z = L((1, 3, −1), (1, 0, 1), (0, 0, 1)) e si verifica che i tre generatori sono una base per V + W + Z. Di conseguenza, risulta anche che V + W + Z = V ⊕ W ⊕ Z. 2) In questo caso dobbiamo prima ottenere una base di W risolvendo il sistema che lo definisce implicitamente: risulta W = L((1, 1, 0), (−1, 0, 1)) e quindi V +W = L((1, 1, 0), (−1, 0, 1), (0, 1, 1)). Si verifica facilmente che i tre generatori non sono lineramente indipendenti (la loro matrice ha rango 2) e che il generatore di V `e la somma dei generatori di W ; dunque V `e sottospazio di W e si ha allora V + W = W con somma non diretta (ad esempio perch´e risulta V ∩ W = V 6= {0}, mentre la somma di due sottospazi `e diretta se e solo se la loro intersezione `e data solo dal vettore nullo). Osserviamo che si sarebbe potuto notare fin da subito che il generatore di V soddisfa all’equazione di W , da cui sarebbe immediatamente seguito che V `e sottospazio di W e pertanto V + W = W con somma non diretta. 3) Si vede subito che i due generatori di V e W sono non proporzionali, per cui si ha dim V = 2 e dim W = 2. Allora risulta dim (V + W ) 6= dim V + dim W = 4 (perch´e deve essere dim (V + W ) ≤ 3 in quanto V + W `e sottospazio di R3 ) e quindi la somma V + W non `e diretta. Unendo i generatori, si ottiene V + W = L((1, 0, 3), (1, 1, 1), (1, −1, 0), (1, 2, 0)) e si verifica che i primi tre vettori formano una base di V + W , in quanto l.i.. Dunque V + W = R3 , in quanto dim (V + W ) = 3. 4) Come nel caso precendente, si vede subito che i generatori di V e W sono l.i., per cui risulta dim V = 2 e dim W = 2 (ma la somma V + W pu`o ora essere diretta, in quanto sottospazio di R4 ). Si ha V +W = L((1, 0, 0, 1), (−1, 1, 0, 0), (2, 1, 1, 3), (0, 0, 1, 1)) e si verifica che i 4 generatori sono linearmente indipendenti (ad esempio riducendone la matrice). Dunque essi formano una base di V + W e inoltre risulta dim(V + W ) = dim V + dim W , da cui segue V + W = V ⊕ W. 5) Procediamo come al punto precedente: si ha V + W = L((1, 0, 0, 1), (−1, 1, 0, 0), (2, 1, 1, 3), (0, 1, 0, 1)), dove la matrice dei 4 generatori ha rango 3 e, per esempio, i primi tre sono linearmente indipendenti. Dunque dim(V + W ) = 3 e V + W = L((1, 0, 0, 1), (−1, 1, 0, 0), (2, 1, 1, 3)) con somma non diretta, in quanto dim V + dim W = 4 6= dim(V + W ). 6) Si ha V + W + Z = L((1, 2, 3, 0), (1, 0, 0, 1), (3, −1, 0, 0), (0, 0, 0, 1)) con generatori che si verificano essere l.i.. Dunque V + W + Z = V ⊕ W ⊕ Z. Esercizio 3 Considerando congiuntamente tutte le equazioni che definiscono implicitamente V e W , si ha la scrittura implicita di V ∩ W , ossia V ∩ W = (x, y, z) ∈ R3 : y = 2x, x − y + z = 0 ,
da cui si ottiene un sistema di generatori per V ∩ W risolvendo il sistema di tali equazioni: risulta V ∩ W = L((1, 2, 1)). Ci`o prova subito che V + W non `e diretta (in quanto V ∩ W 6= {0}). Per determinare V + W possiamo procedere in due modi: • da un lato, siccome abbiamo visto che dim(V ∩ W ) = 1 e si nota subito che V e W hanno dimensione 2 (in quanto definiti da una sola equazione in R3 ), la relazione di Grassmann1 1
Relazione di Grassmann: se U1 , U2 sono sottospazi di uno spazio di dimensione finita, allora dim (U1 + U2 ) + dim (U1 ∩ U2 ) = dim U1 + dim U2 .
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assicura che dim(V + W ) = dim V + dim W − dim(V ∩ W ) = 2 + 2 − 1 = 3 e pertanto risulta V + W = R3 (sottospazio di dimensione 3 in uno spazio di dimensione 3); • dall’altro, possiamo come al solito determinare una base per V ed una per W ed unirle: si trova V = L((0, 0, 1), (1, 2, 0)), W = L((1, 1, 0), (−1, 0, 1)) e di conseguenza V + W = L((0, 0, 1), (1, 2, 0), (1, 1, 0), (−1, 0, 1)), da cui, riducendo la matrice dei 4 generatori, si deduce che i primi 3 generatori formano una base per V + W . Dunque dim V + W = 3 e pertanto V + W = R3 . Esercizio 4 Per prima cosa si deve ricavare una base per U e, risolvendo l’equazione che definisce U , si trova U = L((−1, 0, 1), (−1, 1, 0)). Allora U +V = L((−1, 0, 1), (−1, 1, 0), (1, 1, k)) e, riducendo la matrice dei generatori di U + V , si ottiene −1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 −1 1 0 −→ 0 1 −1 −→ 0 1 −1 . 0 0 k+2 0 1 k+1 1 1k Dunque • se k 6= −2, allora dim (U + V ) = 3 e U + V = U ⊕ V = R3 ; • se k = −2, allora dim (U + V ) = 2 e V `e sottospazio di U , per cui U + V = U e la somma non `e diretta.