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SPAZI VETTORIALI Rn
OPERAZIONI SU SOTTOSPAZI DI Rn Sottospazi intersezione e sottospazi somma. Somme dirette.
Esercizio 1 Si considerino i sottospazi di R4 definiti da V = L((1, −2, 0, 0), (2, −2, 1, 0)) e W = Sol(S), dove S `e il sistema lineare x − y + 2z − 3t = 0 S: . x − 2y = 0 Determinare in forma sia implicita che esplicita il sottospazio V ∩ W. Ripetere l’esercizio con i seguenti sottospazi di R3 o R4 : 1) V = L((1, −2, 0, 0), (2, −2, 0, 0)), W = L((0, −1, 1, 3), (3, 1, 0, 1)); 2) V = L((1, 2, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (2, 1, 1, 0)), W = L((0, 2, 1, −1), (1, 0, 0, 0), (−1, 1, −1, 0)); 3) V = L((1, 1, 2), (0, 1, 1)), W = L((0, −1, 0), (3, 1, 0)); 4) V = L((1, 1, 2), (0, 1, 1)), W = L((0, −1, 0)); 5) V = L((1, 1, 2)), W = L((0, −1, 0). Esercizio 2 Dati i sottospazi di R3 definiti da V = L((1, 3, −1)) e W = L((1, 0, 1), (−1, 1, 1)), calcolare una base per il sottospazio somma V + W e dire se tale somma `e diretta (ossia se V + W = V ⊕ W ). Ripetere l’esercizio con i seguenti sottospazi di R3 o R4 : 1) V = L((1, 3, −1)), W = L((1, 0, 1)) e Z = L((0, 0, 1)); 2) V = L((0, 1, 1)), W = {(x, y, z) ∈ R3 : x − y + z = 0}; 3) V = L((1, 0, 3), (1, 1, 1)), W = L((1, −1, 0), (1, 2, 0)); 4) V = L((1, 0, 0, 1), (−1, 1, 0, 0)), W = L((2, 1, 1, 3), (0, 0, 1, 1)); 5) V = L((1, 0, 0, 1), (−1, 1, 0, 0)), W = L((2, 1, 1, 3), (0, 1, 0, 1)); 6) V = L((1, 2, 3, 0)), W = L((1, 0, 0, 1), (3, −1, 0, 0)) e Z = L((0, 0, 0, 1)). Esercizio 3 Dati i sottospazi di R3 definiti da V = {(x, y, z) ∈ R3 : y = 2x} e W = {(x, y, z) ∈ R3 : x − y + z = 0}, calcolare V ∩ W e V + W e dire se la somma `e diretta. Esercizio 4 Dati i sottospazi di R3 definiti da U = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0} e V = L((1, 1, k)), si studi U + V al variare di k ∈ R. Per quali k si ha U + V = U ⊕ V ?