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SPAZI VETTORIALI Rn
SOTTOSPAZI DI Rn Combinazioni lineari e generatori. Dipendenza e indipendenza lineare, basi e dimensione.
Esercizio 1 Stabilire, giustificando la risposta, quali dei seguenti sottoinsiemi di R3 sono suoi sottospazi: 1) V1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = z}; 2) V2 = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 }; 3) V3 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 4}; 4) V4 = {(x, y, z) ∈ R3 : x − y + 2z = 0}; 5) V5 = {(x, y, z) ∈ R3 : x − y + 2z = 1}. Determinare poi una base per gli insiemi che risultano sottospazi. Esercizio 2 Dati i vettori v1 = (2, −1, 1), v2 = (4, −2, 2), v3 = (1, 1, 0), v4 = (0, −3, 1) e gli scalari a1 = 3, a2 = −1, a3 = −2, a4 = −1, calcolare la combinazione lineare dei vettori v1 , ..., v4 secondo gli scalari a1 , ..., a4 e da questa dedurre che i vettori dati sono linearmente dipendenti. Detto U = L(v1 , ..., v4 ), trovare una base di U , la sua dimensione e completare poi la base trovata a una base di R3 . Esercizio 3 Dati i vettori (1, 1), (1, 3), (2, −1) ∈ R2 , stabilire se sono linearmente dipendenti e, se possibile, scrivere il secondo vettore come combinazione lineare degli altri due. Esercizio 4 Ripetere l’Esercizio ?? con i seguenti gruppi di vettori di R3 : 1) (1, −2, −1), (5, 0, 1), (2, 1, 1); 2) (4, 2, 2), (5, 0, 1), (2, 1, 1); 3) (2, −1, 0), (1, 2, −1), (−1, 0, 2). Esercizio 5 Determinare i valori di a ∈ R per cui i vettori v1 = (1, a, a − 1), v2 = (1, 1, a − 1) e v3 = (0, a − 1, a) risultano linearmente indipendenti. Posto poi a = 1, stabilire se w = (1, −1, 2) ∈ L(v1 , v2 , v3 ). Esercizio 6 Discutere al variare del parametro reale h l’indipendenza lineare dei vettori v1 = (1, 0, −h), v2 = (2, −1, 1) e v3 = (h, 1, −1). In seguito provare che: 1) posto h = 1, il vettore v4 = (3, 1, −2) pu`o essere espresso in un solo modo come combinazione lineare di v1 , v2 , v3 ; 2) posto h = 0, il vettore v4 non pu`o essere espresso come combinazione lineare di v1 , v2 , v3 ;