svol-integrali

Calcolo integrale: esercizi svolti 1

Integrali semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2

Integrazione per parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

3

Integrazione per sostituzione

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

4

Integrazione delle funzioni razionali fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

5

Integrazione con sostituzioni speciali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6

Integrazione di funzioni definite a tratti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

7

Integrali definiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

8

Altri esercizi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1

2

Calcolo integrale: esercizi svolti

1

Integrali semplici

Esercizio. Calcolare i seguenti integrali indefiniti: Z

(a) Z

(b) Z

(c)

1 + cos x dx x + sin x

[log |x + sin x| + c, ·

3x + 2 dx x2 + 1

3 log (x2 + 1) + 2 arctan x + c, 2

dx . sin2 x cos2 x

[tan x − cot x + c,

c ∈ R] ¸

c∈R

c ∈ R]

Svolgimento (a) Consideriamo l’integrale indefinito Z

1 + cos x dx. x + sin x

Poich`e 1 + cos x `e la derivata di x + sin x, si ha che Z

1 + cos x dx = log |x + sin x| + c , x + sin x

c ∈ R.

(b) Consideriamo l’integrale indefinito Z

3x + 2 dx. x2 + 1

Si ha che ¶ Z µ Z Z Z 3x 2 3 1 3x + 2 2x dx = + dx = dx + 2 dx = 2 2 2 2 2 x +1 x +1 x +1 2 x +1 x +1 =

3 log (x2 + 1) + 2 arctan x + c, 2

c ∈ R.

(c) Consideriamo l’integrale indefinito Z

dx . sin x cos2 x 2

Poich`e sin2 x + cos2 x = 1, si ha che Z

1 dx = 2 sin x cos2 x

Z

sin2 x + cos2 x dx = sin2 x cos2 x

= tan x − cot x + c,

Z

1 dx + cos2 x

c ∈ R.

Z

1 dx = sin2 x

2. Integrazione per parti

2

3

Integrazione per parti

Esercizio. Calcolare i seguenti integrali indefiniti, utilizzando la formula di integrazione per parti: Z

(a)

h

arcsin x dx

x arcsin x + ·

Z

x2 log2 x dx

(b) Z

(c)

x

3

·

p

2−

x2 dx.

p

1 − x2 + c,

µ

1 3 2 2 x log2 x − log x + 3 3 9

¶

i

c∈R

¸

+ c,

3 5 1 2 − x2 (2 − x2 ) 2 − (2 − x2 ) 2 + c, 3 15

c∈R ¸

c∈R

Svolgimento (a) Consideriamo l’integrale indefinito Z

arcsin x dx.

Integrando per parti si ha che Z

Z

arcsin x dx = x arcsin x −

p x √ dx = x arcsin x + 1 − x2 + c, 1 − x2

(b) Consideriamo l’integrale indefinito Z

Z 2

x2 log2 x dx.

(x log x) dx = Integrando due volte per parti si ha che Z

1 2 x log x dx = x3 log2 x − 3 3 2

2

Z

x2 log x dx =

2 2 1 = x3 log2 x − x3 log x + 3 9 9

Z

x2 dx =

1 2 2 = x3 log2 x − x3 log x + x3 + c = 3 9 27 µ

1 2 2 = x3 log2 x − log x + 3 3 9

¶

+ c,

c ∈ R.

c ∈ R.

4

Calcolo integrale: esercizi svolti

(c) Consideriamo l’integrale indefinito Z 3

x

Z

p

2−

x2 dx

=

³ p

x2 x

´

2 − x2 dx .

Integrando per parti si ha che Z

³ p

´ 3 1 2 2 − x2 dx = − x2 (2 − x2 ) 2 + 3 3

x2 x

Z

3

x (2 − x2 ) 2 dx =

3 5 1 2 = − x2 (2 − x2 ) 2 − (2 − x2 ) 2 + c, 3 15

3

c ∈ R.

Integrazione per sostituzione

Esercizio. Calcolare i seguenti integrali indefiniti, utilizzando la formula di integrazione per sostituzione: Z

(a) Z

(b) Z

(c)

·

c∈R

log (1 + sin2 x) + c,

c∈R

√ √ ¡√ ¢ 2 x − 3 3 x + 6 6 x − 6 log 6 x + 1 + c,

c∈R

−

h

sin 2x dx 1 + sin2 x h √

dx √ √ . x+ 3x

Svolgimento (a) Consideriamo l’integrale indefinito Z

Posto t = log x si ha che dt = Z

dx = x log3 x

Z

1 x

¸

1 + c, 2 log2 x

dx x log3 x

dx . x log3 x

dx. Quindi

1 1 1 + c, dt = − 2 + c = − 3 t 2t 2 log2 x

c ∈ R.

i

i

4. Integrazione delle funzioni razionali fratte

5

(b) Consideriamo l’integrale indefinito Z

sin 2x dx = 1 + sin2 x

Z

2 sin x cos x dx.

1 + sin2 x

Posto t = sin x si ha che dt = cos x dx . Quindi Z

2 sin x cos x dx = 1 + sin2 x

Z

2t dt = log (1 + t2 ) + c = log (1 + sin2 x) + c, 1 + t2

c ∈ R.

(c) Consideriamo l’integrale indefinito Z

dx √ √ . x+ 3x

Posto x = t6 , si ha che dx = 6t5 dt. Quindi Z

Z µ

Z

¶

t3 1 dt = 6 t2 − t + 1 − dt = t+1 t+1 √ √ √ ¡√ ¢ = 2t3 −3t2 +6t−6 log |t + 1|+c = 2 x−3 3 x+6 6 x−6 log 6 x + 1 +c,

4

dx √ √ =6 x+ 3x

c ∈ R.

Integrazione delle funzioni razionali fratte

Esercizio. Calcolare i seguenti integrali indefiniti di funzioni razionali fratte: Z

(a) Z

(b) Z

(c) Z

(d)

Z

(e)

·

x+1 dx x (1 + x2 )

"

1 dx 3 x (1 + x2 ) ·

x3 + x2 − x dx x2 + x − 6 

dx x(x2 + 2x + 3) x2 − 10x + 10 dx. x3 + 2x2 + 5x

|x| log √ + arctan x + c, 1 + x2

1 2 x + 2 log |x − 2| + 3 log |x + 3| + c, 2

s

log

"

6

√ 1 1 + x2 log − 2 + c, |x| 2x

√ 2 x+1 − arctan √ + c, x2 + 2x + 3 6 2 x2

13 x2 x+1 − log √ arctan + c, 2 2 x2 + 2x + 5

¸

c∈R #

c∈R ¸

c∈R 

c ∈ R #

c∈R

6

Calcolo integrale: esercizi svolti

Svolgimento (a) Consideriamo l’integrale indefinito Z

x+1 dx. x (1 + x2 )

Si ha che (

(A + B)x2 + Cx + A x+1 A Bx + C = = + x (1 + x2 ) x 1 + x2 x(1 + x2 )

=⇒

A=C=1 B = −1.

Quindi Z

x+1 dx = x (1 + x2 )

Z µ

Z

=

1 1−x + x 1 + x2

1 dx + x

Z

¶

dx =

1 dx − 1 + x2

1 = log |x| + arctan x − 2 = log |x| + arctan x −

Z

Z

x dx = 1 + x2

2x dx = 1 + x2

1 log (1 + x2 ) + c = 2

|x| = log √ + arctan x + c, 1 + x2

c ∈ R.

(b) Consideriamo l’integrale indefinito Z

x3 (1

1 dx. + x2 )

Si ha che 1 A Bx + C d = + + 3 2 2 x (1 + x ) x 1+x dx

=

µ

Dx + E x2

¶

=

A Bx + C Dx + 2E + − = 2 x 1+x x3

(A + B)x4 + (C − D)x3 + (A − 2E)x2 − Dx − 2E x3 (1 + x2 )

 A = −1       B = 1

=⇒

C=D=0      1   E=− .

2

4. Integrazione delle funzioni razionali fratte

7

Quindi Z

1 dx = x3 (1 + x2 )

Z ·

µ

− Z

=−

1 x d 1 + + − 2 x 1 + x2 dx 2x

1 1 dx + x 2

= − log |x| +

Z

2x dx + 1 + x2

¶¸

Z

dx = µ

d 1 − 2 dx 2x

¶

dx =

1 1 log (1 + x2 ) − 2 + c = 2 2x

√ 1 + x2 1 = log − 2 + c, |x| 2x

c ∈ R.

(c) Consideriamo l’integrale indefinito Z

x3 + x2 − x dx. x2 + x − 6

Eseguendo la divisione fra i polinomi si ha che x3 + x2 − x 5x =x+ 2 .

2 x +x−6 x +x−6 Quindi Z

x3 + x2 − x dx = x2 + x − 6

Z µ

5x x+ 2 x +x−6

¶

1 dx = x2 + 2

Z

5x dx. (x − 2)(x + 3)

Si ha che 5x A B (A + B)x + 3A − 2B = + = (x − 2)(x + 3) x−2 x+3 (x − 2)(x + 3)

(

=⇒

A=2 B = 3.

Quindi Z

x3 + x2 − x 1 dx = x2 + 2 x +x−6 2 1 = x2 + 2

Z

5x dx = (x − 2)(x + 3)

Z µ

1 = x2 + 2 2

Z

2 3 + x−2 x+3 1 dx + 3 x−2

Z

¶

dx = 1 dx = x+3

1 = x2 + 2 log |x − 2| + 3 log |x + 3| + c, 2

c ∈ R.

8

Calcolo integrale: esercizi svolti

(d) Consideriamo l’integrale indefinito Z

dx . x(x2 + 2x + 3)

Si ha che x(x2

1 + 2x + 3)

=

=

A Bx + C + 2 = x x + 2x + 3  1   A=    3   

(A + B)x2 + (2A + C)x + 3A x(x2 + 2x + 3)

=⇒

B=−

1

 3      2  C = − .

3

Quindi si ha che Z

Z µ

dx x(x2 + 2x + 3)

=

1 1 x+2 − 3x 3 x2 + 2x + 3

1 1 = log |x| − 3 6 =

Z

¶

dx =

1 2x + 2 dx − 2 x + 2x + 3 3

1 1 1 log |x| − log (x2 + 2x + 3) − 3 6 3 "µ

2

essendo

2

x + 2x + 3 = (x + 1) + 2 = 2

Z

Z

x2

1 dx = x2 + 2x + 3

x+1 √ 2

1 1 1 = log |x| − log (x2 + 2x + 3) − 3 6 6

1 dx = + 2x + 3

#

¶2

+ 1 , si ha che

Z ·³

1

x+1 √ 2

´2

¸ dx =

+1

x+1 1 posto t = √ , si ha che dt = √ dx , quindi 2 2 √ Z 1 1 1 2 2 = log |x| − log (x + 2x + 3) − dt = 2 3 6 6 t +1 √ 1 1 2 2 = log |x| − log (x + 2x + 3) − arctan t + c = 3 6 6 √ 1 1 2 x+1 2 = log |x| − log (x + 2x + 3) − arctan √ + c = 3 6 6 2 s

= log

6

√ x2 2 x+1 − arctan √ + c , 2 x + 2x + 3 6 2

c ∈ R.

4. Integrazione delle funzioni razionali fratte

9

(e) Consideriamo l’integrale indefinito Z

x2 − 10x + 10 dx = x3 + 2x2 + 5x

Z

x2 − 10x + 10 dx . x(x2 + 2x + 5)

Si ha che x2 − 10x + 10 x(x2 + 2x + 5)

=

=

A Bx + C + 2 = x x + 2x + 5  A=2   

(A + B)x2 + (2A + C)x + 5A x(x2 + 2x + 5)

=⇒

  

B = −1 C = −14.

Quindi Z

x2 − 10x + 10 dx = x(x2 + 2x + 5)

Z µ

Z µ

=

2 x + 14 − 2 x x + 2x + 5

¶

dx =

2 x+1 13 − 2 − 2 x x + 2x + 5 x + 2x + 5

1 = 2 log |x| − 2 = 2 log |x| −

Z

2x + 2 dx − 13 2 x + 2x + 5

1 log (x2 + 2x + 5) − 13 2

Poich`e

"µ

x2 + 2x + 5 = (x + 1)2 + 4 = 4

x+1 2

¶

dx =

Z

Z

x2

1 dx = + 2x + 5

1 dx . x2 + 2x + 5 #

¶2

+1 ,

si ha che Z

1 dx = x2 + 2x + 5

=

Z ·³

4

1 x+1 2

´2

¸ dx =

+1

1 x+1 arctan + c, 2 2

1 2

Z ³

1 2

x+1 2

´2

dx +1

c ∈ R.

Quindi Z

x2 − 10x + 10 1 dx = 2 log |x| − log (x2 + 2x + 5) − 13 x(x2 + 2x + 5) 2 = 2 log |x| −

Z

1 dx = x2 + 2x + 5

13 x+1 1 log (x2 + 2x + 5) − arctan +c= 2 2 2

x2 13 x+1 = log √ − arctan + c, 2 2 2 x + 2x + 5

c ∈ R.

10

Calcolo integrale: esercizi svolti

5

Integrazione con sostituzioni speciali

Esercizio. Calcolare i seguenti integrali indefiniti utilizzando la formula di integrazione per sostituzione: Z

(a) Z

(b) Z

(c)

·

1 dx sin x

¯

¯

¯ x¯ log ¯¯tan ¯¯ + c, 2

¸

c∈R

·

dx √ 2 x 4 + x2

1 √ − + c, 2 x + x x2 + 4 ·

dx √ .

1 + 2x − x2

x−1 arcsin √ + c, 2

¸

c∈R ¸

c∈R

Svolgimento (a) Consideriamo l’integrale indefinito Z

Posto t = tan x2 si ha che dx = Z

1 dx = sin x

Z

2 1+t2

1 dx. sin x

dt. Poich`e sin x =

2t , 1+t2

¯

si ha che

¯

¯ 1 x¯ dt = log |t| + c = log ¯¯tan ¯¯ + c, t 2

c ∈ R.

(b) Consideriamo l’integrale indefinito Z

dx √ . x2 4 + x2

Posto x = 2 sinh t, quindi t = settsinh x2 = log

³

x 2

+

1 2

´ √ x2 + 4 , da cui dx =

2 cosh t dt, si ha che Z

Z

Z

dx 1 e2t 1 √ dt. dt = = 4 sinh2 t (e2t − 1)2 x2 4 + x2 √ Posto z = et , cio`e z = x2 + 12 x2 + 4, da cui dz = et dt, si ha che Z

dx √ = 2 x 4 + x2

Z

e2t dt = (e2t − 1)2

=−

x2

Z

(z 2

1 √ + c, + x x2 + 4

z 1 1 dz = − 2 +c= 2 − 1) 2z −1 c ∈ R.

6. Integrazione di funzioni definite a tratti

11

(c) Consideriamo l’integrale indefinito Z

dx √ = 1 + 2x − x2

Z

dx .

2 − (x − 1)2

p

p √ £ ¤ √ , cos t = Posto x−1 = 2 sin t, per t ∈ − π2 , π2 , si ha che t = arcsin x−1 1 − sin2 t 2 √ e dx = 2 cos t dt. Quindi Z p

6

dx = 2 − (x − 1)2

Z

x−1 dt = t + c = arcsin √ + c, 2

c ∈ R.

Integrazione di funzioni definite a tratti

Esercizio. Calcolare i seguenti integrali indefiniti di funzioni definite a tratti:  x  xe

(a)

(b)

f (x) =

f (x) =



 x  e (x − 1) + c  

se x ≤ 0

− cos x + c

sin x se x > 0

  −x3 sin (π + πx2 )



c ∈ R

se x > 0,

se x ≤ 1

 2 x − 8x + 7 se x > 1.  1 1 2 2   sin (πx2 ) + c  − x cos (πx ) + 2  2π 2π     1 10  2 1 3

3

se x ≤ 0

x − 4x + 7x + c +

2π

−

3



se x ≤ 1 se x > 1,

Svolgimento (a) Consideriamo la funzione  x  xe

f (x) =



se x ≤ 0

sin x se x > 0.

Determiniamo una generica primitiva F di f su R. Si ha che Z

Z

xex dx = xex −

ex dx = xex − ex + c1 = ex (x − 1) + c1 ,

Z

c2 ∈ R.

sin x dx = − cos x + c2 , Quindi F (x) =

 x  e (x − 1) + c1 

− cos x + c2

se x ≤ 0 se x > 0,

  

c ∈ R

c1 ∈ R,

12

Calcolo integrale: esercizi svolti

dove c1 , c2 ∈ R sono tali che la generica primitiva F `e continua in 0 . Quindi deve essere F (0) = lim F (x). x→0+

Poich`e F (0) = c1 − 1 ,

lim F (x) = c2 − 1,

x→0+

si ha che c1 = c2 . Quindi, posto c = c1 , si ha che una generica primitiva di f `e  x  e (x − 1) + c

F (x) =



se x ≤ 0 c ∈ R.

− cos x + c

se x > 0,

(b) Consideriamo la funzione f (x) =

  −x3 sin (π + πx2 )

se x ≤ 1

 2 x − 8x + 7

se x > 1.

Determiniamo una generica primitiva F di f su R. Si ha che Z

−

Z

x3 sin (π + πx2 ) dx =

Z

x3 sin (πx2 ) dx =

³

´

x x2 sin (πx2 ) dx =

integrando per parti 1 1 = − x2 cos (πx2 ) + 2π π =− Z

Z

x cos (πx2 ) dx =

1 2 1 x cos (πx2 ) + 2 sin (πx2 ) + c1 , 2π 2π

1 (x2 − 8x + 7) dx = x3 − 4x2 + 7x + c2 , 3

c1 ∈ R,

c2 ∈ R.

Quindi

F (x) =

 1 1   − x2 cos (πx2 ) + 2 sin (πx2 ) + c1   2π 2π     1 x3 − 4x2 + 7x + c2

3

se x ≤ 1 , se x > 1

dove c1 , c2 ∈ R sono tali che la generica primitiva F `e continua in 1. Quindi deve essere F (1) = lim F (x). x→1+

Poich`e F (1) = c1 +

1 , 2π

lim F (x) = c2 +

x→1+

10 , 3

7. Integrali definiti

13

si ha che c2 = c1 +

1 10 − .

2π 3

Quindi, posto c = c1 , si ha che una generica primitiva di f `e

F (x) =

 1 1   − x2 cos (πx2 ) + 2 sin (πx2 ) + c  

se x ≤ 1

    1 x3 − 4x2 + 7x + c + 1 − 10

se x > 1,

2π

2π

3

7

2π

3

c ∈ R.

Integrali definiti

Esercizio. Calcolare i seguenti integrali definiti: (a)

(b)

(c)

Z π 0

|6x − π| sin x dx

Z 0

[6π − 6] "√

2 sin2 x + 3 sin x + 3 cos x dx (sin x − 1)(sin2 x + 3)

− π2

Z e 32

"

1 ¡ ¢ dx. √ x 1 − log x − 1

e

#

3 π − 2 log 2 6 Ã

√ − 2 − 2 log 1 −

√ !# 2 2

Svolgimento (a) Consideriamo l’integrale definito Z π 0

|6x − π| sin x dx.

Si ha che Z π 0

Z

|6x − π| sin x dx = −

π 6

0

(6x − π) sin x dx +

Z π π 6

(6x − π) sin x dx =

integrando per parti h

Z

iπ

= (6x − π) cos x

6

0

−6

0

π 6

h

iπ

cos x dx + −(6x − π) cos x

h

= π − 6 sin x

iπ 6

0

h

iπ

+ 5π + 6 sin x

π 6

π 6

+6

= 6π − 6.

Z π π 6

cos x dx =

14

Calcolo integrale: esercizi svolti

(b) Consideriamo l’integrale definito Z 0 − π2

2 sin2 x + 3 sin x + 3 cos x dx. (sin x − 1)(sin2 x + 3)

Posto t = sin x, da cui dt = cos x dx, si ha che Z 0 − π2

Z 0

2 sin2 x + 3 sin x + 3 cos x dx = (sin x − 1)(sin2 x + 3)

−1

2t2 + 3t + 3 dt. (t − 1)(t2 + 3)

Si ha che 2t2 + 3t + 3 A Bt + C (A + B)t2 + (−B + C)t + 3A − C = + = (t − 1)(t2 + 3) t−1 t2 + 3 (t − 1)(t2 + 3)  A=2   

=⇒

  

B=0 C = 3.

Quindi si ha che Z 0 −1

2t2 + 3t + 3 dt = (t − 1)(t2 + 3) h

i0

= 2 log |t − 1|

−1

Z 0 µ 2

t−1

−1

√ Z + 3

+

0

−1

³

√t 3

3 t2 + 3

√1 3 ´2

¶

dt =

dt = +1

√ ¸ √ · 3 t 0 = −2 log 2 + 3 arctan √ = π − 2 log 2.

6 3 −1 (c) Consideriamo l’integrale definito Z e 23

1 ¢ dx. √ x 1 − log x − 1 ¡

e

Posto t = log x , da cui dt = x1 dx, si ha che Z e 32

1 ¢ dx = √ x 1 − log x − 1

Z

¡

e

3 2

1

1 √ dt .

1− t−1

√ Posto y = t − 1, da cui t = y 2 + 1 e quindi dt = 2ydy, si ha che Z 1

3 2

1 √ dt = 2 1− t−1

Z

√ 2 2

y dy = 2 1−y

Z

√ 2 2

µ

¶

1 dy = 1 − y 0 0 Ã √ √ ! h i 2 √ 2 2 = 2 − y − log |1 − y| = − 2 − 2 log 1 − .

0 2 1−

8. Altri esercizi

8

15

Altri esercizi

Esercizio 1. Scrivere lo sviluppo di McLaurin arrestato al sesto ordine della funzione f (x) = arctan x ·

Z x 0

2

e−t dt.

Svolgimento ` ben noto che se g `e una funzione continua definita in un intorno di 0 e se α > 0, allora E g(x) = o (|x|α ) ,

x→0

=⇒

Z x 0

³

´

g(t) dt = o |x|α+1 ,

x → 0.

Quindi utilizzando gli sviluppi di McLaurin delle funzioni arctan x e es si ottiene f (x) = arctan x · µ

³

Z x 0

2

e−t dt =

´¶ Z x µ

¶

³ ´ 1 1 1 1 − t2 + t4 + o t4 dt = = x − x3 + x5 + o x5 · 3 5 2 0 µ ¸ ³ ´¶ µ· ³ ´¶ 1 3 1 5 1 3 1 5 x 5 = x− x + x +o x · t− t + t + o x5 = 3 5 3 10 0 µ ³ ´¶ µ ³ ´¶ 1 1 1 1 = = x − x3 + x5 + o x5 · x − x3 + x5 + o x5 3 5 3 10 ³ ´ 2 37 = x2 − x4 + x6 + o x6 , x → 0.

3 90

Ne segue che lo sviluppo di McLaurin arrestato al sesto ordine di f `e ³ ´ 2 37 f (x) = x2 − x4 + x6 + o x6 , 3 90

x → 0.

Esercizio 2. Scrivere lo sviluppo di McLaurin arrestato al nono ordine della primitiva della funzione f (x) = cos 2x2 che si annulla in x = 0.

Svolgimento EssendoZf continua, Zper il Teorema fondamentale del calcolo integrale, la funzione x x F (x) = f (t) dt = cos 2t2 dt `e la primitiva di f che si annulla in x = 0. Inoltre, `e 0

0

ben noto che se g `e una funzione continua definita in un intorno di 0 e se α > 0, allora α

g(x) = o (|x| ) ,

x→0

=⇒

Z x 0

³

´

g(t) dt = o |x|α+1 ,

x → 0.

16

Calcolo integrale: esercizi svolti

Quindi utilizzando lo sviluppo di McLaurin della funzione cos s si ottiene F (x) =

Z x 0

cos 2t2 dt =

µ·

2 2 t − t5 + t9 5 27

=

¸x

³

+o x

9

Z xµ 0

´¶

0

³ ´ 2 1 − 2t4 + t8 + o t8 3

¶

dt =

³ ´ 2 2 = x − x5 + x9 + o x9 , 5 27

x → 0.

Ne segue che lo sviluppo di McLaurin arrestato al sesto ordine di F `e ³ ´ 2 2 F (x) = x − x5 + x9 + o x9 , 5 27

x → 0.

Esercizio 3. Calcolare l’area delle seguenti regioni di piano:  

(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤

(a)

A=

(b)

½ √ B = (x, y) ∈ R2 : − 5 ≤ x ≤ −1,  

(c)

C=

(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ e,



q

1

³



 

·

´

x 1 − log2 x 

µ

1 1 + log 2 log 2 1 − log 2

¾

·

x √ ≤y≤0 2 x + 2 x2 − 1

log x

x 4 + 3 log2 x

log 3 −

 

· ³ 1



3

≤ y ≤ x2 .

e3 + 1 −

¶¸

2 3

¸

√ ´¸ 7

Svolgimento (a) Posto f (x) =

1 , x(1−log2 x)

osserviamo che per 1 ≤ x ≤ 2 si ha che f (x) ≥ 0. Quindi

l’area di A `e data da AreaA =

Z 2

Posto t = log x, da cui dt = Z 2 1

³

1

´ dx =

1 1 x

f (x) dx =

1

³

x 1 − log2 x

1

0

1 1 dt = 2 1−t 2 ·

µ

Z log 2 µ 1

1 2

³

log

1+log 2 1−log 2

´

.

1 + 1−t 1+t

0

ilog 2 1h 1 1+t = − log |1 − t| + log |1 + t| = log 0 2 2 1−t

Quindi l’area di A `e AreaA =

´ dx.

dx, si ha che

Z log 2

x 1 − log2 x

Z 2

¶¸log 2 0

µ

¶

dt = ¶

1 1 + log 2 = log .

2 1 − log 2

8. Altri esercizi

17

(b) Posto f (x) =

√ osserviamo che per − 5 ≤ x ≤ −1 si ha che f (x) ≤ 0.

x √ , x2 +2 x2 −1

Quindi l’area di B `e data da AreaB = − posto t = =−

Z −1 √ − 5

Z −1 √ − 5

f (x) dx = −

Z −1 √ − 5

x2

x √ dx = + 2 x2 − 1

√ x2 − 1, da cui x2 = t2 + 1 e xdx = t dt, x √ dx = − 2 x + 2 x2 − 1

Z 0 2

t dt = − (t + 1)2

·

= − log |t + 1| + Quindi l’area di B `e AreaB = log 3 − log x , 4+3 log2 x

(c) Posto f (x) = √ x

Infatti, q

1 (t + 1)

¸0

1≤

log x

≤ x2

2

log x 4+3 log2 x h(x) ≤ e3

ogni x ∈ [1, e], cio`e f (x) ≤ AreaC =

Z e 1

¶

2 = log 3 − .

3

⇐⇒

x2

log x

q

2

≤ x3

e h(x) = x3 sono crescenti nell’intervallo [1, e] con per ogni x ∈ [1, e]. Ne segue che g(x) ≤ h(x) per

per ogni x ∈ [1, e]. Quindi l’area di C `e data da 

log x

x 4 + 3 log2 x

·

 dx =

1 3 x 3

¸e

−

Z e q

1

1

log x

x 4 + 3 log2 x

dx =

posto t = log x, da cui dt = x1 dx, ´ 1³ 3 = e −1 − 3

Z 1 0

´ t 1³ 3 √ dt = e −1 − 3 4 + 3t2 ·

¸

Z 1 0

1

t(4 + 3t2 )− 2 dt =

1 ´ √ ´ 1³ 3 1p 1³ 3 4 + 3t2 = e −1 − e +1− 7 .

3 3 3 0 ³ ´ √ Quindi l’area di C `e AreaC = 13 e3 + 1 − 7 .

=

dt =

4 + 3 log x

 x2 − q

1 (t + 1)2

osserviamo che per 1 ≤ x ≤ e si ha che f (x) ≤ x2 .

e le funzioni g(x) = √ √1 , 7

t+1

2

−

2 3.

x 4 + 3 log x

0 ≤ g(x) ≤

2

Z 0 µ 1