Calcolo integrale: esercizi svolti 1
Integrali semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
Integrazione per parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
Integrazione per sostituzione
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
Integrazione delle funzioni razionali fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
Integrazione con sostituzioni speciali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6
Integrazione di funzioni definite a tratti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
7
Integrali definiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
8
Altri esercizi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1
2
Calcolo integrale: esercizi svolti
1
Integrali semplici
Esercizio. Calcolare i seguenti integrali indefiniti: Z
(a) Z
(b) Z
(c)
1 + cos x dx x + sin x
[log |x + sin x| + c, ·
3x + 2 dx x2 + 1
3 log (x2 + 1) + 2 arctan x + c, 2
dx . sin2 x cos2 x
[tan x − cot x + c,
c ∈ R] ¸
c∈R
c ∈ R]
Svolgimento (a) Consideriamo l’integrale indefinito Z
1 + cos x dx. x + sin x
Poich`e 1 + cos x `e la derivata di x + sin x, si ha che Z
1 + cos x dx = log |x + sin x| + c , x + sin x
c ∈ R.
(b) Consideriamo l’integrale indefinito Z
3x + 2 dx. x2 + 1
Si ha che ¶ Z µ Z Z Z 3x 2 3 1 3x + 2 2x dx = + dx = dx + 2 dx = 2 2 2 2 2 x +1 x +1 x +1 2 x +1 x +1 =
3 log (x2 + 1) + 2 arctan x + c, 2
c ∈ R.
(c) Consideriamo l’integrale indefinito Z
dx . sin x cos2 x 2
Poich`e sin2 x + cos2 x = 1, si ha che Z
1 dx = 2 sin x cos2 x
Z
sin2 x + cos2 x dx = sin2 x cos2 x
= tan x − cot x + c,
Z
1 dx + cos2 x
c ∈ R.
Z
1 dx = sin2 x
2. Integrazione per parti
2
3
Integrazione per parti
Esercizio. Calcolare i seguenti integrali indefiniti, utilizzando la formula di integrazione per parti: Z
(a)
h
arcsin x dx
x arcsin x + ·
Z
x2 log2 x dx
(b) Z
(c)
x
3
·
p
2−
x2 dx.
p
1 − x2 + c,
µ
1 3 2 2 x log2 x − log x + 3 3 9
¶
i
c∈R
¸
+ c,
3 5 1 2 − x2 (2 − x2 ) 2 − (2 − x2 ) 2 + c, 3 15
c∈R ¸
c∈R
Svolgimento (a) Consideriamo l’integrale indefinito Z
arcsin x dx. Integrando per parti si ha che Z
Z
arcsin x dx = x arcsin x −
p x √ dx = x arcsin x + 1 − x2 + c, 1 − x2
(b) Consideriamo l’integrale indefinito Z
Z 2
x2 log2 x dx.
(x log x) dx = Integrando due volte per parti si ha che Z
1 2 x log x dx = x3 log2 x − 3 3 2
2
Z
x2 log x dx =
2 2 1 = x3 log2 x − x3 log x + 3 9 9
Z
x2 dx =
1 2 2 = x3 log2 x − x3 log x + x3 + c = 3 9 27 µ
1 2 2 = x3 log2 x − log x + 3 3 9
¶
+ c,
c ∈ R.
c ∈ R.
4
Calcolo integrale: esercizi svolti
(c) Consideriamo l’integrale indefinito Z 3
x
Z
p
2−
x2 dx
=
³ p
x2 x
´
2 − x2 dx .
Integrando per parti si ha che Z
³ p
´ 3 1 2 2 − x2 dx = − x2 (2 − x2 ) 2 + 3 3
x2 x
Z
3
x (2 − x2 ) 2 dx =
3 5 1 2 = − x2 (2 − x2 ) 2 − (2 − x2 ) 2 + c, 3 15
3
c ∈ R.
Integrazione per sostituzione
Esercizio. Calcolare i seguenti integrali indefiniti, utilizzando la formula di integrazione per sostituzione: Z
(a) Z
(b) Z
(c)
·
c∈R
log (1 + sin2 x) + c,
c∈R
√ √ ¡√ ¢ 2 x − 3 3 x + 6 6 x − 6 log 6 x + 1 + c,
c∈R
−
h
sin 2x dx 1 + sin2 x h √
dx √ √ . x+ 3x
Svolgimento (a) Consideriamo l’integrale indefinito Z
Posto t = log x si ha che dt = Z
dx = x log3 x
Z
1 x
¸
1 + c, 2 log2 x
dx x log3 x
dx . x log3 x
dx. Quindi
1 1 1 + c, dt = − 2 + c = − 3 t 2t 2 log2 x
c ∈ R.
i
i
4. Integrazione delle funzioni razionali fratte
5
(b) Consideriamo l’integrale indefinito Z
sin 2x dx = 1 + sin2 x
Z
2 sin x cos x dx. 1 + sin2 x
Posto t = sin x si ha che dt = cos x dx . Quindi Z
2 sin x cos x dx = 1 + sin2 x
Z
2t dt = log (1 + t2 ) + c = log (1 + sin2 x) + c, 1 + t2
c ∈ R.
(c) Consideriamo l’integrale indefinito Z
dx √ √ . x+ 3x
Posto x = t6 , si ha che dx = 6t5 dt. Quindi Z
Z µ
Z
¶
t3 1 dt = 6 t2 − t + 1 − dt = t+1 t+1 √ √ √ ¡√ ¢ = 2t3 −3t2 +6t−6 log |t + 1|+c = 2 x−3 3 x+6 6 x−6 log 6 x + 1 +c,
4
dx √ √ =6 x+ 3x
c ∈ R.
Integrazione delle funzioni razionali fratte
Esercizio. Calcolare i seguenti integrali indefiniti di funzioni razionali fratte: Z
(a) Z
(b) Z
(c) Z
(d)
Z
(e)
·
x+1 dx x (1 + x2 )
"
1 dx 3 x (1 + x2 ) ·
x3 + x2 − x dx x2 + x − 6
dx x(x2 + 2x + 3) x2 − 10x + 10 dx. x3 + 2x2 + 5x
|x| log √ + arctan x + c, 1 + x2
1 2 x + 2 log |x − 2| + 3 log |x + 3| + c, 2
s
log
"
6
√ 1 1 + x2 log − 2 + c, |x| 2x
√ 2 x+1 − arctan √ + c, x2 + 2x + 3 6 2 x2
13 x2 x+1 − log √ arctan + c, 2 2 x2 + 2x + 5
¸
c∈R #
c∈R ¸
c∈R
c ∈ R #
c∈R
6
Calcolo integrale: esercizi svolti
Svolgimento (a) Consideriamo l’integrale indefinito Z
x+1 dx. x (1 + x2 )
Si ha che (
(A + B)x2 + Cx + A x+1 A Bx + C = = + x (1 + x2 ) x 1 + x2 x(1 + x2 )
=⇒
A=C=1 B = −1.
Quindi Z
x+1 dx = x (1 + x2 )
Z µ
Z
=
1 1−x + x 1 + x2
1 dx + x
Z
¶
dx =
1 dx − 1 + x2
1 = log |x| + arctan x − 2 = log |x| + arctan x −
Z
Z
x dx = 1 + x2
2x dx = 1 + x2
1 log (1 + x2 ) + c = 2
|x| = log √ + arctan x + c, 1 + x2
c ∈ R.
(b) Consideriamo l’integrale indefinito Z
x3 (1
1 dx. + x2 )
Si ha che 1 A Bx + C d = + + 3 2 2 x (1 + x ) x 1+x dx
=
µ
Dx + E x2
¶
=
A Bx + C Dx + 2E + − = 2 x 1+x x3
(A + B)x4 + (C − D)x3 + (A − 2E)x2 − Dx − 2E x3 (1 + x2 )
A = −1 B = 1
=⇒
C=D=0 1 E=− . 2
4. Integrazione delle funzioni razionali fratte
7
Quindi Z
1 dx = x3 (1 + x2 )
Z ·
µ
− Z
=−
1 x d 1 + + − 2 x 1 + x2 dx 2x
1 1 dx + x 2
= − log |x| +
Z
2x dx + 1 + x2
¶¸
Z
dx = µ
d 1 − 2 dx 2x
¶
dx =
1 1 log (1 + x2 ) − 2 + c = 2 2x
√ 1 + x2 1 = log − 2 + c, |x| 2x
c ∈ R.
(c) Consideriamo l’integrale indefinito Z
x3 + x2 − x dx. x2 + x − 6
Eseguendo la divisione fra i polinomi si ha che x3 + x2 − x 5x =x+ 2 . 2 x +x−6 x +x−6 Quindi Z
x3 + x2 − x dx = x2 + x − 6
Z µ
5x x+ 2 x +x−6
¶
1 dx = x2 + 2
Z
5x dx. (x − 2)(x + 3)
Si ha che 5x A B (A + B)x + 3A − 2B = + = (x − 2)(x + 3) x−2 x+3 (x − 2)(x + 3)
(
=⇒
A=2 B = 3.
Quindi Z
x3 + x2 − x 1 dx = x2 + 2 x +x−6 2 1 = x2 + 2
Z
5x dx = (x − 2)(x + 3)
Z µ
1 = x2 + 2 2
Z
2 3 + x−2 x+3 1 dx + 3 x−2
Z
¶
dx = 1 dx = x+3
1 = x2 + 2 log |x − 2| + 3 log |x + 3| + c, 2
c ∈ R.
8
Calcolo integrale: esercizi svolti
(d) Consideriamo l’integrale indefinito Z
dx . x(x2 + 2x + 3)
Si ha che x(x2
1 + 2x + 3)
=
=
A Bx + C + 2 = x x + 2x + 3 1 A= 3
(A + B)x2 + (2A + C)x + 3A x(x2 + 2x + 3)
=⇒
B=−
1
3 2 C = − .
3
Quindi si ha che Z
Z µ
dx x(x2 + 2x + 3)
=
1 1 x+2 − 3x 3 x2 + 2x + 3
1 1 = log |x| − 3 6 =
Z
¶
dx =
1 2x + 2 dx − 2 x + 2x + 3 3
1 1 1 log |x| − log (x2 + 2x + 3) − 3 6 3 "µ
2
essendo
2
x + 2x + 3 = (x + 1) + 2 = 2
Z
Z
x2
1 dx = x2 + 2x + 3
x+1 √ 2
1 1 1 = log |x| − log (x2 + 2x + 3) − 3 6 6
1 dx = + 2x + 3
#
¶2
+ 1 , si ha che
Z ·³
1
x+1 √ 2
´2
¸ dx =
+1
x+1 1 posto t = √ , si ha che dt = √ dx , quindi 2 2 √ Z 1 1 1 2 2 = log |x| − log (x + 2x + 3) − dt = 2 3 6 6 t +1 √ 1 1 2 2 = log |x| − log (x + 2x + 3) − arctan t + c = 3 6 6 √ 1 1 2 x+1 2 = log |x| − log (x + 2x + 3) − arctan √ + c = 3 6 6 2 s
= log
6
√ x2 2 x+1 − arctan √ + c , 2 x + 2x + 3 6 2
c ∈ R.
4. Integrazione delle funzioni razionali fratte
9
(e) Consideriamo l’integrale indefinito Z
x2 − 10x + 10 dx = x3 + 2x2 + 5x
Z
x2 − 10x + 10 dx . x(x2 + 2x + 5)
Si ha che x2 − 10x + 10 x(x2 + 2x + 5)
=
=
A Bx + C + 2 = x x + 2x + 5 A=2
(A + B)x2 + (2A + C)x + 5A x(x2 + 2x + 5)
=⇒
B = −1 C = −14.
Quindi Z
x2 − 10x + 10 dx = x(x2 + 2x + 5)
Z µ
Z µ
=
2 x + 14 − 2 x x + 2x + 5
¶
dx =
2 x+1 13 − 2 − 2 x x + 2x + 5 x + 2x + 5
1 = 2 log |x| − 2 = 2 log |x| −
Z
2x + 2 dx − 13 2 x + 2x + 5
1 log (x2 + 2x + 5) − 13 2
Poich`e
"µ
x2 + 2x + 5 = (x + 1)2 + 4 = 4
x+1 2
¶
dx =
Z
Z
x2
1 dx = + 2x + 5
1 dx . x2 + 2x + 5 #
¶2
+1 ,
si ha che Z
1 dx = x2 + 2x + 5
=
Z ·³
4
1 x+1 2
´2
¸ dx =
+1
1 x+1 arctan + c, 2 2
1 2
Z ³
1 2
x+1 2
´2
dx +1
c ∈ R.
Quindi Z
x2 − 10x + 10 1 dx = 2 log |x| − log (x2 + 2x + 5) − 13 x(x2 + 2x + 5) 2 = 2 log |x| −
Z
1 dx = x2 + 2x + 5
13 x+1 1 log (x2 + 2x + 5) − arctan +c= 2 2 2
x2 13 x+1 = log √ − arctan + c, 2 2 2 x + 2x + 5
c ∈ R.
10
Calcolo integrale: esercizi svolti
5
Integrazione con sostituzioni speciali
Esercizio. Calcolare i seguenti integrali indefiniti utilizzando la formula di integrazione per sostituzione: Z
(a) Z
(b) Z
(c)
·
1 dx sin x
¯
¯
¯ x¯ log ¯¯tan ¯¯ + c, 2
¸
c∈R
·
dx √ 2 x 4 + x2
1 √ − + c, 2 x + x x2 + 4 ·
dx √ . 1 + 2x − x2
x−1 arcsin √ + c, 2
¸
c∈R ¸
c∈R
Svolgimento (a) Consideriamo l’integrale indefinito Z
Posto t = tan x2 si ha che dx = Z
1 dx = sin x
Z
2 1+t2
1 dx. sin x
dt. Poich`e sin x =
2t , 1+t2
¯
si ha che
¯
¯ 1 x¯ dt = log |t| + c = log ¯¯tan ¯¯ + c, t 2
c ∈ R.
(b) Consideriamo l’integrale indefinito Z
dx √ . x2 4 + x2
Posto x = 2 sinh t, quindi t = settsinh x2 = log
³
x 2
+
1 2
´ √ x2 + 4 , da cui dx =
2 cosh t dt, si ha che Z
Z
Z
dx 1 e2t 1 √ dt. dt = = 4 sinh2 t (e2t − 1)2 x2 4 + x2 √ Posto z = et , cio`e z = x2 + 12 x2 + 4, da cui dz = et dt, si ha che Z
dx √ = 2 x 4 + x2
Z
e2t dt = (e2t − 1)2
=−
x2
Z
(z 2
1 √ + c, + x x2 + 4
z 1 1 dz = − 2 +c= 2 − 1) 2z −1 c ∈ R.
6. Integrazione di funzioni definite a tratti
11
(c) Consideriamo l’integrale indefinito Z
dx √ = 1 + 2x − x2
Z
dx . 2 − (x − 1)2
p
p √ £ ¤ √ , cos t = Posto x−1 = 2 sin t, per t ∈ − π2 , π2 , si ha che t = arcsin x−1 1 − sin2 t 2 √ e dx = 2 cos t dt. Quindi Z p
6
dx = 2 − (x − 1)2
Z
x−1 dt = t + c = arcsin √ + c, 2
c ∈ R.
Integrazione di funzioni definite a tratti
Esercizio. Calcolare i seguenti integrali indefiniti di funzioni definite a tratti: x xe
(a)
(b)
f (x) =
f (x) =
x e (x − 1) + c
se x ≤ 0
− cos x + c
sin x se x > 0
−x3 sin (π + πx2 )
c ∈ R
se x > 0,
se x ≤ 1
2 x − 8x + 7 se x > 1. 1 1 2 2 sin (πx2 ) + c − x cos (πx ) + 2 2π 2π 1 10 2 1 3
3
se x ≤ 0
x − 4x + 7x + c +
2π
−
3
se x ≤ 1 se x > 1,
Svolgimento (a) Consideriamo la funzione x xe
f (x) =
se x ≤ 0
sin x se x > 0.
Determiniamo una generica primitiva F di f su R. Si ha che Z
Z
xex dx = xex −
ex dx = xex − ex + c1 = ex (x − 1) + c1 ,
Z
c2 ∈ R.
sin x dx = − cos x + c2 , Quindi F (x) =
x e (x − 1) + c1
− cos x + c2
se x ≤ 0 se x > 0,
c ∈ R
c1 ∈ R,
12
Calcolo integrale: esercizi svolti
dove c1 , c2 ∈ R sono tali che la generica primitiva F `e continua in 0 . Quindi deve essere F (0) = lim F (x). x→0+
Poich`e F (0) = c1 − 1 ,
lim F (x) = c2 − 1,
x→0+
si ha che c1 = c2 . Quindi, posto c = c1 , si ha che una generica primitiva di f `e x e (x − 1) + c
F (x) =
se x ≤ 0 c ∈ R.
− cos x + c
se x > 0,
(b) Consideriamo la funzione f (x) =
−x3 sin (π + πx2 )
se x ≤ 1
2 x − 8x + 7
se x > 1.
Determiniamo una generica primitiva F di f su R. Si ha che Z
−
Z
x3 sin (π + πx2 ) dx =
Z
x3 sin (πx2 ) dx =
³
´
x x2 sin (πx2 ) dx =
integrando per parti 1 1 = − x2 cos (πx2 ) + 2π π =− Z
Z
x cos (πx2 ) dx =
1 2 1 x cos (πx2 ) + 2 sin (πx2 ) + c1 , 2π 2π
1 (x2 − 8x + 7) dx = x3 − 4x2 + 7x + c2 , 3
c1 ∈ R,
c2 ∈ R.
Quindi
F (x) =
1 1 − x2 cos (πx2 ) + 2 sin (πx2 ) + c1 2π 2π 1 x3 − 4x2 + 7x + c2
3
se x ≤ 1 , se x > 1
dove c1 , c2 ∈ R sono tali che la generica primitiva F `e continua in 1. Quindi deve essere F (1) = lim F (x). x→1+
Poich`e F (1) = c1 +
1 , 2π
lim F (x) = c2 +
x→1+
10 , 3
7. Integrali definiti
13
si ha che c2 = c1 +
1 10 − . 2π 3
Quindi, posto c = c1 , si ha che una generica primitiva di f `e
F (x) =
1 1 − x2 cos (πx2 ) + 2 sin (πx2 ) + c
se x ≤ 1
1 x3 − 4x2 + 7x + c + 1 − 10
se x > 1,
2π
2π
3
7
2π
3
c ∈ R.
Integrali definiti
Esercizio. Calcolare i seguenti integrali definiti: (a)
(b)
(c)
Z π 0
|6x − π| sin x dx
Z 0
[6π − 6] "√
2 sin2 x + 3 sin x + 3 cos x dx (sin x − 1)(sin2 x + 3)
− π2
Z e 32
"
1 ¡ ¢ dx. √ x 1 − log x − 1
e
#
3 π − 2 log 2 6 Ã
√ − 2 − 2 log 1 −
√ !# 2 2
Svolgimento (a) Consideriamo l’integrale definito Z π 0
|6x − π| sin x dx.
Si ha che Z π 0
Z
|6x − π| sin x dx = −
π 6
0
(6x − π) sin x dx +
Z π π 6
(6x − π) sin x dx =
integrando per parti h
Z
iπ
= (6x − π) cos x
6
0
−6
0
π 6
h
iπ
cos x dx + −(6x − π) cos x
h
= π − 6 sin x
iπ 6
0
h
iπ
+ 5π + 6 sin x
π 6
π 6
+6
= 6π − 6.
Z π π 6
cos x dx =
14
Calcolo integrale: esercizi svolti
(b) Consideriamo l’integrale definito Z 0 − π2
2 sin2 x + 3 sin x + 3 cos x dx. (sin x − 1)(sin2 x + 3)
Posto t = sin x, da cui dt = cos x dx, si ha che Z 0 − π2
Z 0
2 sin2 x + 3 sin x + 3 cos x dx = (sin x − 1)(sin2 x + 3)
−1
2t2 + 3t + 3 dt. (t − 1)(t2 + 3)
Si ha che 2t2 + 3t + 3 A Bt + C (A + B)t2 + (−B + C)t + 3A − C = + = (t − 1)(t2 + 3) t−1 t2 + 3 (t − 1)(t2 + 3) A=2
=⇒
B=0 C = 3.
Quindi si ha che Z 0 −1
2t2 + 3t + 3 dt = (t − 1)(t2 + 3) h
i0
= 2 log |t − 1|
−1
Z 0 µ 2
t−1
−1
√ Z + 3
+
0
−1
³
√t 3
3 t2 + 3
√1 3 ´2
¶
dt =
dt = +1
√ ¸ √ · 3 t 0 = −2 log 2 + 3 arctan √ = π − 2 log 2. 6 3 −1 (c) Consideriamo l’integrale definito Z e 23
1 ¢ dx. √ x 1 − log x − 1 ¡
e
Posto t = log x , da cui dt = x1 dx, si ha che Z e 32
1 ¢ dx = √ x 1 − log x − 1
Z
¡
e
3 2
1
1 √ dt . 1− t−1
√ Posto y = t − 1, da cui t = y 2 + 1 e quindi dt = 2ydy, si ha che Z 1
3 2
1 √ dt = 2 1− t−1
Z
√ 2 2
y dy = 2 1−y
Z
√ 2 2
µ
¶
1 dy = 1 − y 0 0 Ã √ √ ! h i 2 √ 2 2 = 2 − y − log |1 − y| = − 2 − 2 log 1 − . 0 2 1−
8. Altri esercizi
8
15
Altri esercizi
Esercizio 1. Scrivere lo sviluppo di McLaurin arrestato al sesto ordine della funzione f (x) = arctan x ·
Z x 0
2
e−t dt.
Svolgimento ` ben noto che se g `e una funzione continua definita in un intorno di 0 e se α > 0, allora E g(x) = o (|x|α ) ,
x→0
=⇒
Z x 0
³
´
g(t) dt = o |x|α+1 ,
x → 0.
Quindi utilizzando gli sviluppi di McLaurin delle funzioni arctan x e es si ottiene f (x) = arctan x · µ
³
Z x 0
2
e−t dt =
´¶ Z x µ
¶
³ ´ 1 1 1 1 − t2 + t4 + o t4 dt = = x − x3 + x5 + o x5 · 3 5 2 0 µ ¸ ³ ´¶ µ· ³ ´¶ 1 3 1 5 1 3 1 5 x 5 = x− x + x +o x · t− t + t + o x5 = 3 5 3 10 0 µ ³ ´¶ µ ³ ´¶ 1 1 1 1 = = x − x3 + x5 + o x5 · x − x3 + x5 + o x5 3 5 3 10 ³ ´ 2 37 = x2 − x4 + x6 + o x6 , x → 0. 3 90
Ne segue che lo sviluppo di McLaurin arrestato al sesto ordine di f `e ³ ´ 2 37 f (x) = x2 − x4 + x6 + o x6 , 3 90
x → 0.
Esercizio 2. Scrivere lo sviluppo di McLaurin arrestato al nono ordine della primitiva della funzione f (x) = cos 2x2 che si annulla in x = 0. Svolgimento EssendoZf continua, Zper il Teorema fondamentale del calcolo integrale, la funzione x x F (x) = f (t) dt = cos 2t2 dt `e la primitiva di f che si annulla in x = 0. Inoltre, `e 0
0
ben noto che se g `e una funzione continua definita in un intorno di 0 e se α > 0, allora α
g(x) = o (|x| ) ,
x→0
=⇒
Z x 0
³
´
g(t) dt = o |x|α+1 ,
x → 0.
16
Calcolo integrale: esercizi svolti
Quindi utilizzando lo sviluppo di McLaurin della funzione cos s si ottiene F (x) =
Z x 0
cos 2t2 dt =
µ·
2 2 t − t5 + t9 5 27
=
¸x
³
+o x
9
Z xµ 0
´¶
0
³ ´ 2 1 − 2t4 + t8 + o t8 3
¶
dt =
³ ´ 2 2 = x − x5 + x9 + o x9 , 5 27
x → 0.
Ne segue che lo sviluppo di McLaurin arrestato al sesto ordine di F `e ³ ´ 2 2 F (x) = x − x5 + x9 + o x9 , 5 27
x → 0.
Esercizio 3. Calcolare l’area delle seguenti regioni di piano:
(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤
(a)
A=
(b)
½ √ B = (x, y) ∈ R2 : − 5 ≤ x ≤ −1,
(c)
C=
(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ e,
q
1
³
·
´
x 1 − log2 x
µ
1 1 + log 2 log 2 1 − log 2
¾
·
x √ ≤y≤0 2 x + 2 x2 − 1
log x
x 4 + 3 log2 x
log 3 −
· ³ 1
3
≤ y ≤ x2 .
e3 + 1 −
¶¸
2 3
¸
√ ´¸ 7
Svolgimento (a) Posto f (x) =
1 , x(1−log2 x)
osserviamo che per 1 ≤ x ≤ 2 si ha che f (x) ≥ 0. Quindi
l’area di A `e data da AreaA =
Z 2
Posto t = log x, da cui dt = Z 2 1
³
1
´ dx =
1 1 x
f (x) dx =
1
³
x 1 − log2 x
1
0
1 1 dt = 2 1−t 2 ·
µ
Z log 2 µ 1
1 2
³
log
1+log 2 1−log 2
´
.
1 + 1−t 1+t
0
ilog 2 1h 1 1+t = − log |1 − t| + log |1 + t| = log 0 2 2 1−t
Quindi l’area di A `e AreaA =
´ dx.
dx, si ha che
Z log 2
x 1 − log2 x
Z 2
¶¸log 2 0
µ
¶
dt = ¶
1 1 + log 2 = log . 2 1 − log 2
8. Altri esercizi
17
(b) Posto f (x) =
√ osserviamo che per − 5 ≤ x ≤ −1 si ha che f (x) ≤ 0.
x √ , x2 +2 x2 −1
Quindi l’area di B `e data da AreaB = − posto t = =−
Z −1 √ − 5
Z −1 √ − 5
f (x) dx = −
Z −1 √ − 5
x2
x √ dx = + 2 x2 − 1
√ x2 − 1, da cui x2 = t2 + 1 e xdx = t dt, x √ dx = − 2 x + 2 x2 − 1
Z 0 2
t dt = − (t + 1)2
·
= − log |t + 1| + Quindi l’area di B `e AreaB = log 3 − log x , 4+3 log2 x
(c) Posto f (x) = √ x
Infatti, q
1 (t + 1)
¸0
1≤
log x
≤ x2
2
log x 4+3 log2 x h(x) ≤ e3
ogni x ∈ [1, e], cio`e f (x) ≤ AreaC =
Z e 1
¶
2 = log 3 − . 3
⇐⇒
x2
log x
q
2
≤ x3
e h(x) = x3 sono crescenti nell’intervallo [1, e] con per ogni x ∈ [1, e]. Ne segue che g(x) ≤ h(x) per
per ogni x ∈ [1, e]. Quindi l’area di C `e data da
log x
x 4 + 3 log2 x
·
dx =
1 3 x 3
¸e
−
Z e q
1
1
log x
x 4 + 3 log2 x
dx =
posto t = log x, da cui dt = x1 dx, ´ 1³ 3 = e −1 − 3
Z 1 0
´ t 1³ 3 √ dt = e −1 − 3 4 + 3t2 ·
¸
Z 1 0
1
t(4 + 3t2 )− 2 dt =
1 ´ √ ´ 1³ 3 1p 1³ 3 4 + 3t2 = e −1 − e +1− 7 . 3 3 3 0 ³ ´ √ Quindi l’area di C `e AreaC = 13 e3 + 1 − 7 .
=
dt =
4 + 3 log x
x2 − q
1 (t + 1)2
osserviamo che per 1 ≤ x ≤ e si ha che f (x) ≤ x2 .
e le funzioni g(x) = √ √1 , 7
t+1
2
−
2 3.
x 4 + 3 log x
0 ≤ g(x) ≤
2
Z 0 µ 1