Libro a team gm 5to

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PROFESOR: ANGEL MORALES QUISPE

GEOMETRIA Y MEDIDA

GEOMETRÍA

TRIÁNGULOS I.

III. TEOREMAS FUNDAMENTALES

DEFINICIÓN Es la figura geométrica que se forma al considerar tres puntos no colineales y tres segmentos de recta que tengan por extremos dichos puntos.

1.       180º

B

2. x    

A

C

Elementos: Vértices: A, B, C Lados: AB, BC y AC Notación: 3.

 ABC: triángulo de vértices A, B y C.

x  y  z  360º

II. ELEMENTOS ASOCIADOS AL TRIÁNGULO

4. Relación de existencia B b

c

Medida de los ángulos interiores: ,  y 

A

Medida de los ángulos exteriores: y, x, z Si: a  b  c

Perímetro de la región triangular: 2p = a + b + c



Semiperímetro de la región triangular: p

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ac  b  ac

abc 2

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bcabc

ab  c ab

1

a

C

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5. Relación de correspondencia

2. Triángulo isósceles

a

b



ab 



Si: a > b     Recíproco Si:     a  b

Base: AC Lados laterales: AB y BC

IV. TEOREMAS ADICIONALES

0º <  < 90º; 0º <  < 180º 3. Triángulo equilátero

x

x  y  180º   y

      180º   60º



x  

x



B. De acuerdo a la medida de sus ángulos



1. Triángulo acutángulo

0º <  < 90º 0º <  < 90º 0º <  < 90º

m x

y

x y mn

n

2. Triángulo obtusángulo x



90º    180º 0º    90º 0º    90º

xy  y



3. Triángulo rectángulo

V. CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS A. De acuerdo a la longitud de sus lados     90 1. Triángulo escaleno

b

ab ac

Catetos: AB y BC

bc

Hipotenusa: AC Teorema de Pitágoras: b2 = a2 + c2

a

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VI. LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS AL TRIÁNGULO

D. Mediatriz

A. Ceviana B

A

D

AM = MC : Mediatriz del  ABC relativa a AC .

C

E. Bisectriz interior

BD : Ceviana interior relativa a AC .

B

A

C

E

BD : Bisectriz interior relativa a AC.

BE : Ceviana exterior relativa a AC .

F. Bisectriz exterior

B. Mediana

B  

A

Si AM = MC  BM: Mediana relativa a AC .

E

C

AB > BC

C. Altura

BE : Bisectriz exterior relativa a AC. B

B

VI. ÁNGULO DETERMINADO POR BISECTRICES

L

A

H

C

A

C

BH : Altura relativa a AC .

x  90º 

a 2

x  90º 

b 2

AL : Altura relativa a BC .

90º <  < 180º

AV : Altura relativa a BC .

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x 

c 2

x 

a  b 2

x 

m  n 2

x 

a  b 2

y

mn 2

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS I.

B. Teorema (A - L - A)

DEFINICIÓN

Si dos ángulos y el lado adyacente que se determina en un triángulo son congruentes, respectivamente con dos ángulos y el lado adyacente que se determina en otro triángulo.

Dos triángulos son congruentes si existe una correspondencia uno a uno entre sus vértices de tal manera que sus pares angulares y lados correspondientes son congruentes.

Entonces los dos triángulos son congruentes.

Notación Emplearemos la notación ABC  A ' B ' C ' para indicar

El teorema asegura que si mABC  mNMS  ;

que el ABC es congruente con el A ' B ' C '.

mACB  mMNS   y BC  NM, entonces: ABC   SMN

II. POSTULADO Y TEOREMAS DE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

C. Teorema (L - L - L) Si los tres lados de un triángulo son congruentes, con los tres lados de otro triángulo respectivamente, entonces, los dos triángulos son congruentes.

A. Postulado (L - A - L) Si dos lados y el ángulo determinado por estos de un triángulo son congruentes, con dos lados y el ángulo determinado por estos de otro triángulo respectivamente, entonces, los dos triángulos son congruentes.

El teorema nos dice que si BC  MS , AB  MN y El postulado asegura que si AB  MS , AC  NS y

AC  NS entonces ABC  SMN .

mBAC  mMSN  , entonces ABC  SMN.

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IV. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

III. TEOREMA SOBRE LOS TRIÁNGULOS ISÓSCELES Y EQUILÁTEROS

A. Teorema Dos triángulos rectángulos son congruentes si:

A. Teorema 1 1. Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los pares angulares opuestos a dichos lados son congruentes.

•

Los catetos correspondientes son congruentes.

•

Un cateto y uno de los ángulos agudos con sus correpondientes son congruentes.

•

2. Si dos pares angulares de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a dichos pares angulares son congruentes.

La hipotenusa y uno de los ángulos agudos con sus correspondientes son congruentes.

•

3. Si un triángulo es equilátero, entonces es equián-

La hipotenusa y un cateto con sus correspondientes son congruentes.

gulo.

B. Aplicaciones de la congruencia de triángulos

4. Si un triángulo es equiángulo, entonces es equi-

1. Teorema de la bisectriz

látero.

Si un punto pertenece a la bisectriz de un ángulo, entonces dicho punto equidista de los lados

B. Teoremas 2

del ángulo.

1. En un triángulo isósceles las alturas relativas a los lados congruentes son también congruentes.



Si: OP es bisectriz del AOB , entonces PB = PA y OA = OB. Si AB = BC, entonces AM = CN; debido a que

Observación:

los triángulos BMA y BNC son congruentes.

2.



En la figura d es la distancia de P hacia  2. Teorema de la mediatriz Si un punto pertenece a la mediatriz de un segmento, entonces dicho punto equidista de los

Si AB = BC y P pertenece a AC, entonces: CH = PQ + PR

extremos del segmento, también se dice que la mediatriz es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de los extremos del segmento.

3.

Si el triángulo ABC es equilátero, entonces:



BH  PQ  PR  PT



Si  es mediatriz de AB y P, pertenece a  , entonces PA = PB, luego APB es isósceles.

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Observación: En el triángulo isósceles ABC, la altura BH es también mediana y bisectriz.

Si M es punto medio de AC , entonces: BM  AM  MC

V. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES 3. Teorema de los puntos medios El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo se denomina base media y es paralelo al tercer lado, además su longitud es la mitad de la longitud del lado al cual es paralelo.

Aproximaciones trigonométricas

Si M y N son puntos medios de AB y BC respectivamente, entonces: MN / / AC y MN  AC 2

4. Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa La longitud de la mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de la longitud de dicha hipotenusa.

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ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES DESARROLLO DEL TEMA I.

REGIONES POLIGONALES

Sea: A ABC : área de la región triangular ABC.

Una región triangular es un conjunto de puntos, reunión de un triángulo y su interior.

Una región poligonal es la reunión de un número finito de regiones triangulares que se encuentran en un plano dado, tales que si dos cualesquiera de ellas se intersecan, su intersección es o bien un punto o un segmento.

B

A ABC 

h A

a.h 2

C

a

B

b

AABC 

Las líneas punteadas en las figuras anteriores indican

C

a

A

cómo se podría representar cada una de las dos regio-

a.b 2

nes poligonales mediante tal reunión. Las regiones trianB

gulares de cualquier descomposición asi se llaman regiones triangulares componentes de la región poligonal. h

A. Postulados -

AABC 

Dada una unidad de área, a cada región le corresponde un número único, llamado área de la región.

-

C

a

A

a.h 2

El área de una región poligonal es la suma de las áreas de cualquier conjunto de regiones com-

Demostración

ponentes en la cual puede dividirse.

-

Si dos polígonos son congruentes, entonces las

B

C

regiones poligonales correspondientes tienen la misma área.

h

A continuación se presentan una serie de fórmulas para calcular el área de diversas regiones triangulares.

A

B. Teoremas

•

1. El área de toda región triangular, es igual al semiproducto de las longitudes de un lado y la altura relativa a dicho lado.

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a

Sea A  ABC = A por B y D se trazan paralelas a

AD y AB , tal que: ABCD: Paralelogramo.

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D

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Entonces •  ABD   BDC, entonces

1. El área de una región triangular es igual al producto del semiperímetro y su inradio.

A ABD  A BDC  A

B

Luego A(ABCD) = A ABD  A BDC  2A

c

b

A(ABCD) = 2A ........(1)

r

Por un postulado del área de la región paralelográmica es:

A

A(ABCD) = ah ........ (2)

a

C

sea: p: semiperímetro de la región ABC

De (1) y (2) 2A = ah  A  ah 2

p  a  b2  c  r: inradio del triángulo ABC

2. Fómula trigonométrica

A ABC  p.r

El área de una región triangular, es igual al semiproducto de las longitudes de los lados del trián-

2. Teorema de Arquímides

gulo multipilicado por el seno de la medida del

El área de una región triangular es igual a la raíz

ángulo comprendido por dichos lados.

cuadrada de los productos del semiperímetro restado de la longitud de cada lado.

B

B a

A

C

b

A ABC 

A

a.b sen 2

P: semiperímetro B

a

p

 H

abc 2 A ABC  p(p  a)(p  b)(p  c)

a sen

A

C

b

3. El área de una región triangular es igual al producto de las longitudes de los tres lados dividido

Se traza la altura BH,

por cuatro veces es circunradio.

ABH.

B

BH = aSen ... (1) Sabemos AABC 

(AC)(BH) 2

b R a

Reemplazando en (1) obtenemos: AABC 

(b)(asen) 2

 AABC 

C

c

Sea:

Demostración

en

b

a



A

c

ab Sen 2 A ABC  abc 4R

C. Otros teoremas Para calcular el área de una región triangular en términos de otros elementos asociados al triángulo.

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R: Circunradio del triángulo ABC.

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C

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4. El área de una región triangular es igual producto

En la figura, BN: Mediana

del semiperímetro restado en un lado con el exEntonces:

radio relativo a dicho lado.

AABN  ABNC

2.

B b

a

S

P

Q

3S

a

b

A

AT: Semiperímetro de ABC

C

AT = P

En la figura; P y Q: puntos medios

r: exradio relativo a BC

Entonces:

A

 A ABC  (p  a)r 5.

APQC =3A

PBQ

B

3.



b A

a A

P A

m

n

T

a

C

A

A ABC  m.n Cot

A

c

 2 

b

A

A

Según el gráfico, T es punto de tangencia.

Entonces:

Q

G •

c

S

G: Baricentro de la región triangular ABC

TEOREMAS PARA RELACIONAR LAS ÁREAS DEDOS REGIONES TRIANGULARES

A

A. Teoremas

4.

AABC 6

B

B

Q •

S

1.

A a

N

N B

A

C b

A

En la figura BN : Ceviana relativa a AC

m

P

m

C

Si BP : Mediana y Q  BP

AABN  a ANBC b

A, B, N y S: Área de regiones mostradas.

B

Entonces: A B  SN

A m

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N

5. Si dos triángulos son semejantes entonces la relación entre sus áreas será igual a la relación entre los cuadrados de sus líneas homólogas.

C m

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Si:    

Si ABC  MNL , entonces:

S ABC AB.BC  SDEF EF.DF

S ABC AC2 BH2    ...  k 2 SMNL ML2 NF2

Siendo "k" la razón de semejanza.

6. Si dos triángulos tienen ángulos congruentes o suplementarios, entonces la relación entre sus áreas será igual a la relación entre los productos de las medidas de los lados que forman dichos ángulos.

Si:     180 

SMNL MN.NL  SPQR PQ.PR

ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES I.

TEOREMAS

3.

1.

(AC)(BD) Sen 2

AABCD 

Sean A, B, C y D las áreas de las regiones triangulares.

Observación:

Se cumple: A.B  C.D

B C

A

4.

D

AABCD

2.

Si :BM  MC AN  ND

(AC)(BD)  2

B B

N

A

D

C

P

M



A

C

B

A AABCD 

B

D

Observación:

C

Q

Si: AM = MB, BN = NC

(BD)(AC) 2

CP = PD y AQ = QD MNPQ : Paralelogramo

• D Se cumple

A

C Además

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AMNPQ  AABCD 2

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A B  C D

D

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II. ÁREA DE REGIONES TRAPECIALES  ABMA  1.

AABCD 2

Teoremas 1.

b

B

C

c

a Si: BC / /AD

A

d

D





AABCD  a  b  c  d R 2

2.

2.

B b C a c A

Si: BC / / AD BM= MA y CN= ND

 A

ABCD

d

D

Sea: p  a  b  c  d 2

=(MN)(BH)

AABCD  (p  a)(p  b)(p  c)(p  d)

3.

3.

BC / / AD

Se cumple: A = B Además: A.B = C.D A  CD Luego AABCD  A  B  C  D

AABCD  abcd

III. ÁREA DEREGIONES PARALELOGRÁMICAS

AABCD  2 CD  C  D AABCD 



C D



B

2

C

4.

A

H

AABCD : Paralelogramo

AABCD  (AD)(BH) Si: BC / / AD

AABCD  (AB)(AD)Sen

CM= MD

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A. Área de la región rombal AABCD 

B

d2 2

D. Propiedades En regiones paralelográmicas.

C

A

1.

B

C

A A

D AABCD

O

(AC)(BD)  2

A

A A

D

B. Área de la región rectangular B

B

C

A

C

C

D B

D

A

D

A

AABCD  (AB)(AD) A B 

AABCD 2

CD 

AABCD 2

C. Área de la región cuadrada B

a

C

d

B

2.

C A Q

A

a

D

AABCD  a2

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B

A

D

A B 

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AABCD 2

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ÁREA DE REGIONES CIRCULARES DESARROLLO DEL TEMA EL ÁREA DE UN CÍRCULO A.

Luego:    apn  n n  apn ... (1) An   n  2 2  

Círculo pero:

Es el conjunto de puntos de la circunferencia y de su interior. De otra manera, un círculo o una región circular es la reunión de una circunferencia y su interior. Cuando hablamos del "área del círculo", queremos decir el área de la región circular correspondiente. (Este es el mismo modo de abreviar que se utiliza cuando hablamos del "área de un triángulo", queriendo decir el área de la región triangular correspondiente).

2pn  n n ...(2) An 

2pn  apn = (pn  apn) 2

An  pn  apn

Esta fórmula contiene tres cantidades, cada una de las cuales depende de n, son Pn, apn y An. Para obtener la fórmula para el área de un círculo, tenemos que hallar a que límites se aproximan estas tres cantidades a medida que crece indefinidamente.

En conclusión Por brevedad, diremos simplemente: área de un círculo, en lugar de área de una región circular.

Ahora, obtendremos una fórmula para el área de un círculo.

1. ¿Qué le sucede a An? An es siempre un poco menor que el área del círculo, porque siempre hay algunos puntos que están dentro del círculo, pero fuera del polígono regular de n lados (n-gono regular).

Sin embargo, la diferencia entre A n y A es muy pequeña cuando n es muy grande, porque entonces la región poligonal cubre casi completamente el interior de la circunferencia. Así es de esperar que: An  A ...(1) Pero lo mismo que en el caso de la longitud de una circunferencia, esto no puede demostrarse, puesto que no hemos dado todavía una definición del área de un círculo.

Dada una circunferencia de radio r, inscribimos en ella un polígono regular de n lados (n-gono regular). Como se acostumbra, denotamos el área del n-gono por An, su perímetro por 2Pn y la apotema por apn. Además la longitud del lado n-gono sea  n.

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Definición. El área de un círculo es el límite de las áreas de los polígonos regulares inscritos en la circunferencia correspondiente. Así pues, A n  A , por definición.

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Además siendo de la longitud del diámetro, tenemos: d d  2 r;r  2 2 d A =    2

2. ¿Qué le sucede a la apotema apn?

La apotema apn es siempre un poco menor que r, puesto que la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo es de menor longitud que de la hipotenusa. Pero la diferencia entre ap n y r es muy pequeña cuando n es muy grande.

A=

Así, pues: apn  r ...(2) 3. ¿Qué le sucede a pn?

d2 ...(2) 4

Las fórmulas (1) y (2) son usadas indistintamente.

Por definición de la longitud de la circunferencia, tenemos 2pn  c , siendo c la longitud de la circunferencia, por lo tanto:

B.

Sector circular Es una región determinada por un arco de una circunferencia y dos radios.

2pn  2r pn  r ...(3)

B y los radios OA y OB .

Ejemplo: El arco A Reuniendo los resultados (2) y (3): pn  apn  (r)r pn  apn  r 2 pero, como An  pn  Apn entonces: A n  A; En consecuencia: A  r 2

En la figura mostrada existen dos sectores circulares, la parte sombreada y la parte no sombreada.

Así, la fórmula familiar se ha convertido en un teorema.

Sea S el área del sector circular, entonces por una regla de tres simple tenemos:

Teorema

360  r 2 (Área del círculo).

El área de un círculo determinado por una circunferencia de radio r, es: r 2

  S (Área del sector circular).

En la demostración anterior el símbolo  significa: se aproxima.

Luego:

S=

2 360

Fórmula para calcular el área del sector circular.

Ejemplo: An  A, significa que el área An se aproxima al área A.

C.

Corona circular

Sea: A: Área de la corona circular

En resumen: A  r 2 ... (1)

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A = (R 2 – r 2 )

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F.

T: Punto de tangencia

Es una región no convexa limitada por dos arcos de circunferencias secantes de distintos centros.

AB = m

A=

D.

Lunula

m2 4

Trapecio circular

Lunula de Hipócrates

Sea: A: Área del trapecio circular   mAB

A  (R 2  r2 )

E.

 360

Segmento circular Un segmento circular es una región determinada por un arco de una circunferencia y la cuerda correspondiente.

Sean: A y B las áreas de las lunulas.

Cálculo del área del segmento circular

C: Área de la región triangular ABC.

Sea S el área del segmento circular, luego: A B  C

S=

área del sector circular

–

área de la región triangular POQ

P y Q puntos de tangencia. 2 r  r Sen S=  360 2

Sea: PQ = a S: área de la región sombreada.

S=

2 r 2sen  360 2

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 S

r 2    sen   2  180 

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 S

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a2 4

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TRIGONOMETRÍA

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO DESARROLLO DEL TEMA I.

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Un ángulo  trigonométrico se determina por la rotación  de un rayo OA que gira alrededor de su origen (O), hasta una posición final , tal como se puede apreciar en la figura, donde L.I. es el lado inicial, y L.F. es el lado final.

Ahora has una pausa y observa con atención el sentido del giro que he utilizado en este ejemplo ..., efectivamente es un sentido antihorario, es decir en contra del movimiento de las manecillas del reloj. Te pido que no olvides que este sentido de rotación es arbitrario, es decir que lo elige quien va a operar con el ángulo.

B O

A

O

A

L.I.

O

(+)

Sentido antihorario

De acuerdo con la definición de ángulo trigonométrico, se puede inferir que esta es una magnitud, dado que ella acepta las comparaciones de igual, mayor o menor que ; así pues, a todo ángulo trigonométrico le corresponde una medida la cual puede expresarse por cualquier número real, tal como se indica en la figura.

L.I.

ÁNGULO

a)

1. Origen ................ O

c)

L.F.

Ángulo nulo (0) d)

Ángulo de 3 vueltas

B

 2. Lado inicial .......... OA

 3. Lado final ............ OB

b) Ángulo de 1 vuelta

Utilizando el ángulo trigonométrico que se presenta en la figura, diremos que sus elementos son:

Ángulo recto: 1/4 vuelta 

0

Sentido horario

B . Medida (  )

L.F.

A

II. ELEMENTOS DE UN TRIGONOMÉTRICO

(–)

L.I.

e)

f)

A

+

– –  < m trigonométrico < –

4. Sentido La flecha curva ( ) indica el sentido de rotación del rayo. El sentido puede ser antihorario (opuesto al movimiento de las agujas del reloj), que genera ángulos positivos y el otro sentido puede ser horario

III. PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LOS ÁNGULOS TRIGONOMÉTRICOS Dos o más ángulos trigonométricos serán coterminales si tienen el mismo lado inicial y el mismo lado final sin tener en cuenta su sentido ni su medida.

que es el que genera ángulos negativos, tal como se ilustra en la figura.

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En la figura  y  son coterminales puesto que tienen el mismo lado inicial y el mismo lado final.

B

 

A

V. SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULAR Para medir ángulos se han empleado desde tiempos antiguos dos sistemas angulares: El sexagesimal y el centesimal. En trigonometría se ha ideado el sistema radial o circular que permitemedir ángulos evitando involucrar sus unidades, de modo que solo se señala su valor numérico (su fórmula dimensional es la unidad).

Así tenemos:

A. Sistema sexagesimal (Inglés)

 Número entero de vueltas 

Unidad 1° - Un grado sexagesimal Definición: Se le define como la trescienta sesentaava parte de la medida del ángulo de una vuelta.

Número entero   de vueltas

Finalmente Ejemplo:

1 

En la figura  y  son coterminales

Equivalencias: mde1v  360 1° = 60°: Un grado sexagesimal equivale a 60 minutos sexagesimales.

B

1' = 60°: Un minuto sexagesimal equivale a 60 segundos sexagesimales

 

m  de1v 360

A

 = 1 vuelta + 

B. Sistema centesimal (Francés)

    = 1 vuelta

Unidad 1g - Un grado centesimal Definición: Se define como la cuatrocientaava parte de la medida del ángulo de una vuelta.

. SISTEMA DE REFERENCIA ANGULAR Dado un ángulo AOB, existe un ángulo central congruente con el él cuyo vértice se ubica en el origen de coordenadas rectangulares, tal como se muestra en la figura.

1g 

mde1v 400

Equivalencias:

a)

b) B



Y

mde1v  400g

P g

O

1 = 100 : Un grado centesimal equivale a c en minutos centesimales.

X

 O

A

1min = 100seg: Un minuto centesimal equivale a cien segundos centesimales.

Circunferencia: e

Queda así establecida una correspondencia entre ángulo, ángulos centrales, arcos de la circunferencia C, y puntos de la misma esquematicamente se puede establecer que:

min

C. Sistema radial (Internacional) Unidad: 1rad - Un radián Definición: Se define como la medida del ángulo central de un círculo que subtiende un arco en la circunferencia igual a la longitud de su radio.

      AOB  AOP  AP P

Ángulos  ángulos centrales  arcos de C  puntos C Si la circunferencia tiene radio 1 el sistema se llama

mAOB  rad

trigonométrico.

  OA  r  AB

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A r O rad r r B

Así:

S

180R 180    180R     20  9    20 

Finalmente el ángulo mide 9° Ejemplo (2)

Equivalencias:

Convertir 72° al sistema centesimal.

Como: S = 72 y se quiere calcular "C", utilizaremos la relación ...(1).

m 1v  2 rad

Ejemplo: 1 grado sexagesimal 20 minutos sexagesimales 30 segundos sexagesimales <> 1° 20'30''

S C 72 C 7210    C  80 9 10 9 10 9 Finalmente el ángulo mide 80g

Así:

Nota: Existe un método prácitco para poder convertir fácilmente la medida de un ángulo de un sistema a otro denominado "método del factor de conversión"

2 grados centesimales 40 minutos centesimales 60 segundos centesimales <> 2g40 min60 seg 5 radianes < > 5rad;  radianes < >  rad

1 v  180  200g  rad 2 Luego, a partir de estas igualdades buscamos la unidad así:

Se sabe que: m

VI. CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS Sean S, C y R los números de grados sexagesimales, centesimales y radianes que tiene un ángulo  , los cuales verifical la siguiente realción.

180  rad 

rad 180 1 1 rad 180

S  C  R 360 400 2 Proporcionalidad equivalente a tres reglas de tres simples.

Luego, de simplificar dicha relación tendremos:

200g  rad 

rad 200g  1 1 rad 200 g

200g  180 

10g 9 1 1 9 10 g

S  C R ...(1) 180 200 

Utilizamos la relación más apropiada encontraremos la conversión requerida. Para mejor ilustración resolveremos los últimos ejercicios, con este nuevo método.

S  C ...(2) 9 10 Asimismo de (1) deducimos: De donde deducimos que:

Ejemplo (1)

180R 200R  S C ...(3) ...(4)   Con estos resultados podemos afirmar que, conocida la medida de un ángulo en uno de estos sistemas, se podrá encontrar su medida en los otros dos sistemas por medio de las fórmulas deducidas aquí.

Convertir

 rad al sistema sexagesimal 20

180 180   rad  1  rad    9 20 20 20  rad

Ejemplo (2) Ejemplo (1) Convertir

Convertir 72° al sistema centesimal.

 rad al sistema sexagesimal 20

 y se quiere calcular "S" utilizamos la 20 relación ...(3) Como: R 

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g

g

72  1  72  200  72  10  80g 180 9

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APLICACIONES DEL ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO DESARROLLO DEL TEMA I.

DEFINICIÓN DE LONGITUD DE ARCO

a) La figura 1 nos muestra el caso en que dos ruedas tienen un punto en común (tangentes), o, están unidas por una correa de transmisión.

De acuerdo con la definición de radián podemos deducir una relación más amplia que vincule a tres magnitudes: La longitud de un arco, el ángulo central que lo subtiene y el radio de a circunferencia que lo contiene.

b)

 = L...Longitud de arco AB r...Radio de la circunferencia  ...Número de radianes del ángulo central AOB. Es fácil comprobar que a mayor arco corresponde un mayor ángulo central, luego se podrán establecer las siguientes relaciones.

Arco  Ángulo central r  1rad (definición) L   rad

1

2

a)

1

2 Fig. 1

B En ambos casos se cumple que: L 1 = L2 Donde: L1 es la longitud conducida por (1) y L2 es la longitud conducida por (2)

r rad

O

L Fig.1

r A

b) Cuando tienen un eje común en este caso Donde: Es un ángulo barrido por (1) Es el ángulo barrido por (2)

Y dado que estas relaciones correspondientes a una proporcionalidad directa, podemos plantear la siguiente proporción.

L rad  r Lrad L(1rad) =  rad(r) L =  r

1

Nota: La fórmula será válida si y solo si el ángulo central está expresado en radianes.

2

II. APLICACIONES DE LA LONGITUD DE ARCO A. Posición relativa entre dos circunferencias (Poleas, Engranajes)

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Fig. 2

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B. NÚMEROS DE VUELTAS (n)

e ...  *  2r Donde el centro de la rueda recorre el arco e tal que: e =  (R + r) n

a) Cuando un disco rueda sobre una superficie plana Al observar el desplazamiento del centro O del disco de radio r, comprobamos que éste se desplaza la distancia 2  r, cuando el disco ha dado una vuelta completa, es decir cunado el punto A de contacto inicial con el piso se ha trasladado hasta el punto B. Podemos imaginarnos una cuerda enrollada al disco e modo que sus extremos se unan inicialmente en A y que el extenderle sobre el piso, lo hace desde A hasta B. Esta longitud es sin lugar a dudas igual a la longitud de la circunferencia es decir 2  r..

De acuerdo con estas observaciones podemos establecer las siguientes relaciones:

Siendo: n ...  ... r ...

R ...

III. ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR A partir de la figura 5, podemos visualizar un sector circular AOB, cuya superficie está limitada por los radios OA y OB, así como por el arco AB. Asimismo o podemos observar que la extensión del sector depende también de la abertura existente entre los radios OA y OE lo que viene definido por el ángulo central  AOB, cuya medida está expresada por  . Por tal razón puede establecerse a siguiente relación.

r O A

B

2r

Si la rueda da una vuelta, su centro recorre

2r

Cuando da n vueltas su centro recorre :

e

número de vueltas ángulo girando en radianes radio del disco móvil radio de la superficie curva

   1v  2r   nv  e  

B r O

r

Luego deducimos que : n

A

e 2r

Donde: n es el número de vueltas, e es el espacio recorrido por el centro de la rueda y r es su correspondiente radio.

Ángulo en radianes

b) Cuando la rueda gira sobre una superficie curva Según la figura 4, podemos reconocer a un disco de radio rodando sin deslizar sobre una superficie curva de radio R. Si ahora utilizamos la relación (2, 12), tendremos que:



r 2





s

De donde: r2 S  (2.1) 2 Siendo: S de área del sector circula finalmente, con ayuda de (2) y (2, 1) se puede deducir que:



S

L2 2

Resolución.

Graficando en el sector circular el enunciado del problema, reconocemos que: Incógnita L1 - L2 =?

Por la relación 4.9 se sabe que:

O

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

Problema 1: Un arco con radio de 8m mide 3m. ¿Qué diferencia en metros existe entre la longitud de este arco y la de otro del mismo valor angular de 6m de radio?

A) 0,30 B) 0,35 C) 0,55 D) 0,75 E) 0,85

rueda móvil

e

R

Área

2

S  Lr 2

O

L



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  a  b  3x ab a    3  1  3 a.b x b b a  2 b

6m

B

 L2

3m

8m

Rpta. E Problema 3:

A

Siendo  el ángulo central de un sector circular, cuya a longitud de arco su radio, en metros. si:

L  R de donde:

3

3 L2   L 2  2, 25 8 6 Finalmente: L1 - L2 = 3m - 2,25m L1 - L2 = 0,75m

  7  10  



A) 1 D) 4 Rpta. D

B) 2 E) 2,5

C) 3

Resolución.

Resolviendo la ecuación y haciendo un cambio de

Problema 2: En la figura: AOB y DOC son sectores concéntricas.

Hallar A) 1 B) 2 C) 1/3 D) 1/2 E) 2

variable: x 

3

Resolución.

 , tendremos: 

7   7  10  3x   10 x  

3x 2  7  10x  3x 2  10x  7  0 3x

A C O

x

x

1 7 x  x 1 3

3x

b D

7

De la 1ra solución tendremos:

a B

x

   , tendremos: Asumiendo que AOB A continuación aplicaremos la realción (2,9) en el sector COD: x = a.b ... (1) 3x = a.(a + b) ... (2) Haciendo lo mismo en el sector AOB: Luego dividendo las relaciones (2) y (1) tendremos;

7  3

49   49      17,1 9 9  

Luego "  " es imposible, dado que supera el valor permisible de: 6,28 Y la 2da solución: x 1 

    1     

Finalmente, si L  R , entonces: 2  R  R=2m Rpta. B

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES A. Exactos

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B. Aproximados

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