Geometría Euclidiana

GEOMETRIA EUCLIDIANA

Antecedentes históricos 2 Método de estudio de la geometría 4 Conceptos básicos 6 Aplicaciones de la geometría

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ANTECEDENTES HISTORICOS

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Es el estudio de las propiedades geométricas de los espacios euclídeos. Es aquella que estudia las propiedades geométricas del plano afín euclídeo real y del espacio afín euclídeo tridimensional real mediante el método sintético, introduciendo los cinco postulados de Euclides.

Las principales consideraciones geométricas son muy antiguas y, al parecer, se originaron en observaciones realizadas por el hombre, gracias a su habilidad para reconocer y comparar formas y tamaños.

Muchas circunstancias en la vida humana, aún en la edad primitiva, condujeron a numerosos descubrimientos geométricos: la noción de distancia fue, sin duda alguna, uno de los primeros conceptos geométricos descubiertos; la estimación del tiempo necesario para hacer un viaje condujo, originalmente, a observar que la recta constituye la trayectoria más corta de un punto a otro; incluso, por intuición, la mayoría de los animales se da cuenta de esto.

La necesidad de limitar terrenos llevaron al hombre a la noción de figuras geométricas simples, tales como: rectángulos, cuadrados, triángulos. Otros conceptos geométricos elementales, como las nociones de vertical, de rectas paralelas, de rectas perpendiculares, pueden haber sido sugeridos por la construcción de paredes y viviendas primitivas. También muchas observaciones en la vida diaria pudieron haber conducido a los primeros seres humanos al concepto de curvas, superficies y sólidos. Por ejemplo, los casos de circunferencia fueron numerosos: la periferia del sol, de la luna, las ondas que se forman al lanzar una piedra en un estanque de agua, etc. La noción de secciones cónicas: parábolas, elipses, hipérbolas, pudo haber sido insinuada por las sombras producidas por el sol o una antorcha. Los alfareros primitivos hicieron sólidos de revolución. Además, el cuerpo del hombre, de los animales, las flores y las hojas de muchas plantas, las conchas marinas y algunos frutos, sugieren la noción de simetría. La idea de volumen viene de manera casi inmediata, al considerar y fabricar recipientes para contener agua, aceite, cereales y otros alimentos de consumo diario. De esta manera se fue creando inconscientemente, una geometría utilizada en un principio por el hombre para solucionar problema geométricos concretos, que bien pudieron presentársele de manera aislada, sin conexión aparente entre unos y otros y, claro, también la pudo utilizar en la fabricación de objetos ornamentales y artísticos.

Naturalmente, esas manifestaciones artísticas y esos problemas concretos contribuyeron al surgimiento y al posterior desarrollo de la geometría. La geometría empezaba a volverse una ciencia. Pero, ¿cuándo la inteligencia humana fue capaz de extraer de relaciones geométricas concretas una relación geométrica abstracta y general, que contenga a las primeras como casos particulares?

Realmente, no hay evidencias que permitan estimar el número de siglos que pasaron, antes que el hombre pudiera elevar la geometría al nivel de ciencia, pero todos los escritores e historiadores de la antigüedad que trataron este tema concuerdan unánimemente, con que en el valle del río Nilo, en el antiguo Egipto, fue donde la geometría empírica subconsciente se convirtió, por primera vez, en geometría científica.

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Métodos de estudio Es la relación entre signos en la propuesta por lo lógico y en ocasiones, se utilizan algunos pasos estrictos, y una manera más sencilla para seguir estos pasos se creen 1 los axiomas 2 las definiciones 3 los teoremas Los axiomas están compuestos por cinco grupos estos ayudan para que tú los puedes comprender más fácilmente a continuación te daremos una breve explicación de los axiomas Existencia incidencia: son los que nos indican dónde y cómo están los puntos rectas y planos además el cómo pueden coincidir algunos puntos etcétera, los puntos y planos pueden verse como infinitos para identificar una recta son necesarios dos puntos y diferentes, el plano pues en este son sólo tres.

Ordenación en la recta Aquí los axiomas son indispensables por que ayudan a que quede completamente bien nuestra idea, la recta en caso de que marquemos dos puntos diferentes, en la recta estos pueden cortarse en 2 clases es uno para un lado y el otro para el otro lado Continuidad Se puede realizar de igual manera, lo contrario de esto puede que sean dos rectas cada uno, en ambos lados si existe un punto que le divida La división del plano, la recta corta o divide los puntos de ese plano en dos especies o cortes y las de un lado y las del otro

Las figuras geométricas componen todo lo que está alrededor de nosotros. Pueden ser bidimensionales, como la pantalla de tu computadora, y tridimensionales, como una pelota. Cada figura geométrica tiene sus propiedades que la hacen diferente de otras figuras. Sin embargo, las figuras geométricas pueden compartir propiedades con otras, lo que requiere describirlas más detalladamente para distinguirlas de otras figuras.

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Método axiomático deductivo.

En lógica y matemáticas, un sistema axiomático consiste en un conjunto de axiomas que se utilizan, mediante deducciones, para demostrar teoremas. Unos ejemplos de sistemas axiomáticos deductivos son la geometría euclidiana.

Un sistema axiomático puede tener expresados sus axiomas de manera formal o de manera informal: 

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Una axiomatización formal usa un lenguaje formal y en él cada axioma es una cadena finita de signos en el alfabeto del lenguaje formal, siguiendo reglas combinatorias que hacen de la secuencia una fórmula bien formada.

Una axiomatización informal usa una lengua natural formalizada y definiciones no ambiguas, los libros de matemática y otras disciplinas formales normalmente redactan los axiomas de esta manera.

Los sistemas de axiomas formales son más sencillos de estudiar y son preferibles para caracterizar las propiedades de los sistemas matemáticos. En particular admiten una caracterización semántica muy clara en la teoría de modelos y sus propiedades deductivas pueden ser tratadas en la teoría de la demostración. Por el contrario, las axiomatizaciones informales sólo son útiles cuando se tiene un modelo concreto en mente y se pretenden buscar propiedades que se cumplen en el modelo.

La teoría de grupos es un sistema axiomático se puede basar en el siguiente conjunto de tres axiomas G1, G2 y G3: (G1) para todo x, y, z: (x o y) o z = x o (y o z) (G2) para todo x: x o e = x (G3) para todo x, existe un y tal que x o y = e Este conjunto de axiomas no es único, ya que pueden ser substituidos por otros equivalentes. En teoría de grupos el asunto importante es que el conjunto de teoremas sean los mismos en dos axiomatizaciones diferentes. Eso implica que las dos clases de modelos que satisfacen los dos sistemas de axiomas coinciden. Los tres axiomas anteriores pueden escribirse sin usar ninguna lengua natural usando sólo símbolos de un lenguaje de primer orden como: (G1) (G2) (G3) Donde f debe interpretarse como la función definida sobre GxG que da un elemento de G dando operación de grupo, xi son signos de variables (puede definirse una colección infinita numerable de las mismas) y c1 es una constante que requiere la teoría que se interpretará como el elemento neutro (es decir, los axiomas postulan que dicho elemento existe).

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CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA Cuerpo Físico: Son las cosas que nos rodean y tienen forma, color, peso, pureza, y ocupan un lugar en el espacio, como por ejemplo: las sillas, autos, edificios, etc.

Cuerpo Geométrico: Son aquellos de los cuales la geometría considera solamente su forma y dimensiones, por ejemplo: los conos, esferas, prismas, etc.; Los sólidos tienen tres dimensiones que son: largo, ancho y altura.

Superficie: Son los límites que separan a los cuerpos del espacio que los rodea y solamente tiene largo y ancho, por ejemplo: la sombra de un árbol, de un poste, la cara de un cuerpo geométrico, etc.

EL ANGULO: El ángulo es una figura formada por 2 semirrectas que tienen el mismo punto inicial.

EL SEGMENTO: El segmento es una parte de una recta, comprendido entre dos puntos y todos los puntos que están entre ellos.

LA SEMIRRECTA O RAYO: La semirrecta es una porción de una recta que contiene un punto A y todos los puntos que estén del mismo lado de A, la semirrecta empieza en un punto A y sigue infinitamente.

PUNTOS COLINEALES: Los puntos coloniales son los puntos que están sobre una misma recta.

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Aplicaciones de la geometría La geometría al igual que el resto de la matemática se utilizan en la vida diaria y casi siempre inconscientemente, sobre todo la geometría. Cuando vas a hacer algún tipo de cálculo mental es posible que el cincuenta por ciento de las veces sea geométrico.

Cuando juegas al fútbol utilizas la geometría ya que la pelota forma una parábola cuando va por el aire y si te fijas todos los movimientos pueden ser calculados haciendo trazos geométricos y cálculos aritméticos.

Lo usamos en muchas otras cosas más, pero tienes que tratar de ser consciente sobre esto para darte cuenta.

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INTEGRANTES Martínez Zamora Angélica Fernanda Valladolid Martínez Marisol Adriana Ramírez García Lucia Lizbeth Rojas Ceballos Ashley Natasha Rojas Ceballos Leslie Paola Grupo 2IM3 Profesora Gabriela Angélica Villegas