El Curso de Actualización La Problemática de la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas en la Escuela Primaria II, fue elaborado por la Universidad de Sonora y la Sociedad Matemática Mexicana en colaboración con la Dirección General de Formación Continua de Maestros en Servicio de la Subsecretaría de Educación Básica, de la Secretaría de Educación Pública.
Autores: Dr. Ramiro Ávila Godoy M. C. Ana Guadalupe Del Castillo B. Dr. Agustín Grijalva Monteverde Dra. Silvia Elena Ibarra Olmos M. C. Jorge Ruperto Vargas Castro M. C. Martha Cristina Villalba Gutiérrez Dr. José Luis Soto Munguía
Supervisión Técnica y Pedagógica: Maestra Ma. Alma Díaz Barriga Ing. Alma Lucía Hernández Pérez
Diseño de portada Ricardo Muciño Mendoza
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Primera edición: 2009 D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2009 Argentina 28, Colonia Centro, C.P. 06200, México D.F. ISBN en trámite.
La problemática de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en la escuela primaria II
ÍNDICE Sesión I Fracciones 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Comparando longitudes Un juego con fracciones Calculando una fracción de una fracción. Diseñando problemas con fracciones Las fracciones en el contexto de la Aritmética Las fracciones como operador multiplicativo Las fracciones en otros contextos El tiempo y las fracciones Un problema más que se resuelve utilizando fracciones
Sesión II Porcentajes 1. 2. 3. 4.
Los porcentajes en la vida cotidiana Diversas situaciones en las que es necesario calcular porcentajes Los tipos de problemas relacionados con el cálculo de porcentajes Dos dispositivos que pueden utilizarse para calcular porcentajes • La cuadrícula • Un aparato virtual para calcular porcentajes
Sesión III Resolviendo Problemas de Proporcionalidad 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
El convertidor de divisas Construyendo rectángulos Las elecciones para presidente de la sociedad de alumnos El experimento de la clase de química Los mapas Comparando cualitativamente Promoviendo una vida saludable Diseñando situaciones problemáticas que involucran a la proporcionalidad La variación directamente proporcional 9.1 Relación entre el la medida del lado de un triángulo equilátero y su perímetro 9.2 Relación tiempo-volumen 9.3 Relación distancia-tiempo 9.4 ¿Qué significa que dos cantidades sean directamente proporcionales? 10. ¿Qué significa que dos cantidades sean inversamente proporcionales?
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Sesión IV Construcciones y Clasificación de Figuras Geométricas 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Construcciones geométricas en contexto Clasificación de Polígonos Jugando con Polígonos Construyendo diferentes cuadriláteros en el geoplano Clasificación de cuadriláteros Explorando propiedades de triángulos y cuadriláteros a través del uso del Tangram
Sesión V Medición 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Área de la palma de la mano Explorando áreas en el geoplano Áreas de triángulos y cuadriláteros en el geoplano Un número especial Estimando el área del círculo Adquiriendo la noción de volumen Volumen de cilindros y conos
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ACTIVIDADES Sesión I. Fracciones En el curso precedente, denominado “La problemática de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en la escuela primaria”, se presentaron una serie de reflexiones relacionadas con el aprendizaje y la enseñanza de las fracciones que transcribimos a continuación: Las investigaciones realizadas sobre los problemas de aprendizaje de las matemáticas en la escuela primaria, muestran que, lograr que los alumnos adquieran significados apropiados de las fracciones, constituye uno de las mayores dificultades que enfrentan los maestros. Dichas investigaciones también indican que son muchos los factores que influyen para que esto sea así; tales como la diversidad de significados que tienen las fracciones en función de los contextos en que se usan, la pocas experiencias que los niños tienen con ellas antes de iniciar su estudio en la escuela, el uso prematuro de la representación simbólica, el significado que tienen los números para los niños como consecuencia de sus experiencias previas trabajando con los naturales, entre otros. Además de estas reflexiones, se plantearon algunas actividades en donde las fracciones se utilizan para analizar y resolver problemas de reparto y medición; aquí continuaremos analizando y resolviendo problemas en los que se utilizan las fracciones con nuevas significaciones, de tal manera que, al terminar de resolver los problemas de este apartado, se espera que se haya enriquecido el significado de este objeto matemático, lo cual deberá reflejarse en el logro de una mayor competencia para plantear, analizar, interpretar y resolver problemas en una mayor diversidad de contextos y de mayor grado de dificultad.
Actividad 1 Comparando longitudes Después de organizarse en equipos de dos o tres personas, el formador les proporcionará cinco tiras de cartón de diferente tamaño, las cuales deberán ordenarlas de acuerdo con su longitud, de mayor a menor y ponerles una etiqueta, que puede ser un número, una letra o cualquier otra marca que permita identificarlas y referirse a ellas, así por ejemplo, si utilizan números, podrán referirse a la tira 1, a la tira 2, etc. Hecho esto, procedan a realizar lo que, en cada uno de los siguientes incisos, se pide: a) Tomando como unidad la tira más larga, determinen qué parte de ésta es cada una de las otras cuatro. b) Procedan de la misma manera que en el inciso a), pero tomando como unidad la tira más corta.
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c) Hagan lo mismo que en los incisos anteriores, tomando alguna de las tres tiras restantes como unidad; luego háganlo con otra y después con la faltante. d) Después de haber realizado las actividades propuestas en cada uno de los incisos anteriores, comenten y contesten las siguientes preguntas: • ¿Qué significado tiene decir que una tira tiene una longitud de 1/2 o que su longitud es 1/4? • Al hacer una de las mediciones solicitadas en la actividad, si un equipo plantea que la tira más pequeña tiene una longitud de 1/2 y otro de los equipos dice que la longitud es 1/4, ¿cuál de ellos tiene razón? • ¿Puede 1/2 ser menor que 1/4? • ¿Quién es mayor 3/4 o 4/5? e) Comenten en el equipo, las reflexiones que hayan hecho al realizar esta primera actividad y repórtenlas por escrito.
Actividad 2 Un juego con fracciones Este es un juego en el que participan dos personas y gana el que llega a cinco. El juego consiste en sumar 1/2 o 1/4. Uno de los jugadores empieza anotando en un hoja, 1/2 o 1/4, luego el otro jugador, le sumará, al número escrito, 1/2 o 1/4 y escribirá el resultado; así continuarán, alternando la participación de cada uno de los jugadores que deberán sumar, en cada caso, 1/2 o 1/4 al resultado de la última suma. El que llegue a cinco, es el que gana. (El propósito del juego es diseñar una estrategia ganadora). Analicen y comenten en el equipo, las siguientes cuestiones: a)
¿Cómo hay que jugar para ganar siempre?
b) En el caso de que se establezca que gana el que llegue a cuatro o a seis, ¿qué cambio le harían a su estrategia de juego para seguir ganando? c)
Si en lugar de sumar 1/2 o 1/4, sumaran 1/2 o 1/3, ¿cuál sería la estrategia ganadora?
d)
Para dos fracciones cualesquiera, ¿cómo diseñan la estrategia ganadora?
e)
También comenten en el equipo, estas otras cuestiones: • ¿Qué opinión tienen de este juego? • ¿Consideran que puede utilizarse para aprender matemáticas? 2
• • •
En caso de que hayan contestado afirmativamente la pregunta anterior, ¿en qué grado escolar, creen que procede utilizarse? En su opinión, ¿qué se aprende en este juego? Elaboren, al menos, cuatro variantes del juego y comenten en qué grado escolar consideran que sería conveniente utilizar cada una de dicha variantes.
Actividad 3 Calculando una fracción de una fracción. Intenten resolver, de manera personal, cada uno de los siguientes problemas; cuando lo hayan hecho, procedan a comentar en el equipo, su respuesta y la manera en que la obtuvieron. a) Si dos terceras partes de un pastel se reparten en forma equitativa entre siete niños, ¿qué parte del pastel le toca a cada niño? b) Dos quintas partes del siguiente terreno se destinaron a sembrar tomate. Si el terreno representa tres cuartos de hectárea, ¿qué parte de una hectárea está sembrada de tomate?
c) Un padre, al morir, heredó a sus hijos cinco sextas partes de su fortuna, cantidad de la cual, a su hija menor, le correspondieron tres séptimas partes; si la hija heredó $75,000.00 ¿A cuánto asciende el total de la herencia que dejó el padre? d) Una familia consume, un día, la décima parte del contenido de un saco de frijol. Al día siguiente, consume la novena parte de lo que sobró, al siguiente día consume la octava parte del sobrante, al cuarto día, la séptima parte y así, de esta manera, continúa siempre, es decir, consumiendo una sexta parte, una quinta parte, etc. de lo que sobra del día anterior. Sabiendo esto, determina: • ¿Cuántos días tardará en consumirse todo el frijol del saco? • ¿Cuánto frijol consumía cada día? • ¿Cuánto era el contenido del saco antes de empezar a consumirlo? • Al igual que en los problemas anteriores, comenten, en equipo, sus respuestas y la manera en que cada quien la obtuvo.
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Actividad 4 Diseñando problemas con fracciones Con base en cada uno de los cuatro problemas de la actividad anterior, diseñen en el equipo ocho problemas nuevos que involucren los mismos datos, sólo cambiando el que corresponde a la incógnita. Por ejemplo, el problema planteado en el inciso a) de la actividad anterior, cuyos datos son: dos terceras partes del pastel, siete niños y la respuesta que seguramente, obtuvieron correctamente, es decir, dos veintiunavos de pastel, puede dar lugar a un problema como el siguiente: Al repartir, en forma equitativa, una parte de un pastel entre siete niños, a cada uno le tocó dos veintiunavas partes, ¿qué parte del pastel fue la que se repartió? De acuerdo a los datos involucrados en cada actividad ¿qué tipos de cambios de esta naturaleza pueden hacerse? Esto es, ¿cuántas posibilidades existen en cada caso para las incógnitas?
Actividad 5 Las fracciones en el contexto de la Aritmética ¿Cuánto es… a) La mitad de un tercio? b) Las dos quintas partes de cinco octavos? c) Un cuarto de dos quintas partes de 80? ¿Qué cantidad es mayor… a) La mitad de un tercio o la tercera parte de un medio? b) Dos quintos de un séptimo o un doceavo de tres quintos? c) Tres cuartas partes de 72 o dos terceras partes de 81? d) La suma de los cuadrados de un medio y un quinto o el cuadrado de la suma de esas dos mismas cantidades? ¿De qué número es… a) 1/4 el 1/2? b) Dos quintas partes el un tercio? c) Tres séptimas partes el siete octavos?
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Actividad 6 Las fracciones como operadores multiplicativos Resuelve los siguientes tres problemas en los cuales las fracciones tienen un nuevo significado y luego comenten en el equipo la manera en que procedieron, los resultados que obtuvieron y esta nueva significación. a) Un ciclista entrena todas las mañanas en una pista circular que mide 400 metros. Sabiendo esto, anota en la siguiente tabla, los metros que recorre al dar las vueltas que se indican en la columna de la izquierda Número de vueltas 1 3 5 3/2 3 y 1/2 3/4 5/3 6/7
Total de metros 400
b) En la siguiente tabla está anotado el número de metros recorridos, determina, en cada caso, el número de vueltas dadas y anótalo en la columna de la izquierda. Número de vueltas 1
Total de metros 400 1600 2800 3000 3500 3750 4125 5
4480
c) Si la pista midiera 3/4 de kilómetro, ¿cuántos kilómetros recorrería al dar 1/2 vuelta?, ¿y al dar 5/8 de vuelta?
d) Comenten en el equipo el procedimiento que cada quien utilizó para llenar las tablas de los incisos a) y b) y el que utilizaron para contestar lo que se pregunta en el inciso c). e) Reproduce, a escala, dos veces el siguiente dibujo. En la primera reproducción los D
E F
C
A B lados deben medir el doble de lo que miden en el dibujo, mientras que en la segunda, los lados que miden tres centímetros, deben medir cinco.
AB = 8 cm,
BC = 2 cm
CD = 4 cm
DE = 3 cm
EF = 5 cm
FA = 3 cm
Comenten en el equipo: • ¿Cómo procedieron en la primera reproducción y cómo en la segunda? • ¿Utilizaron el mismo procedimiento en cada caso o diferente? • Si utilizaron diferente procedimiento en cada una de las reproducciones, expliquen por qué no usaron el mismo. • En la primera reproducción, ¿qué relación hay entre el tamaño de los lados de la figura original y la reproducida? • ¿Y en la segunda reproducción? 6
Actividad 7 Las fracciones en otros contextos Continúa en la misma forma que en los casos anteriores, con los siguientes tres problemas: a) Juan Carlos tuvo que utilizar tres quintas partes del dinero que le regalaron por su cumpleaños, para comprar un juguete. Si la cantidad de dinero que le regalaron fue de $180.00, ¿cuánto le costó el juguete? b) De los $ 324.00 que tienen entre Juan Carlos y Jorge, $ 144.00 son de Juan Carlos, ¿qué parte del dinero que tienen entre los dos, es de Juan Carlos? c) Jorge gastó dos séptimas partes del dinero que tenía ahorrado y le sobraron $ 90.00, ¿cuánto dinero tenía ahorrado?
Actividad 8 El tiempo y las fracciones Procede como en los cuatro casos anteriores. a) ¿Cuántos minutos son dos quintas partes de una hora? b) ¿Qué parte de la hora son cinco minutos? c) ¿Qué parte de una hora son dos terceras partes de tres cuartos de hora?, ¿cuántos minutos son?
Actividad 9 Un problema más que se resuelve utilizando fracciones Una pila tiene dos llaves para llenarse. Cuando se abre la llave No. 1, sin abrir la No. 2, la pila se llena en dos horas; y cuando se abre la No. 2, sin abrir la No. 1, se llena en tres horas. ¿En cuánto tiempo se llenará cuando se abren al mismo tiempo las dos llaves?
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Las siguientes preguntas pueden servir de guía al tratar de resolver este problema: •
Si la llave No. 1 llena la pila en dos horas, ¿qué parte de la pila se llena, con esa llave, en una hora? • ¿Y con la llave No. 2, qué parte de la pila se llena en una hora? • Sabiendo qué parte de la pila se llena con cada una de las llaves, en una hora, ¿Qué parte de la pila se llenará en una hora cuando se abren las dos llaves al mismo tiempo? • ¿Qué parte de la pila falta por llenarse después de estar abiertas las dos llaves durante una hora? • ¿Qué parte de lo que ya se llenó (después de abrir las dos llaves una hora) es lo que falta por llenarse? • ¿En cuánto tiempo se llenará lo que falta por llenarse? • ¿En cuánto tiempo se llena la pila con las dos llaves abiertas? Comenten, en equipo: a)
¿Qué les pareció este problema?
b)
¿Qué tan fácil o qué tan difícil les resultó y por qué?
c)
¿Cómo pueden modificar los datos del problema para generar nuevos problemas?
d) Diseñen cuatro problemas más de llenado o vaciado de una pila y resuélvanlos de tarea.
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Sesión II. Porcentajes Introducción Con frecuencia, al comunicar información se utilizan expresiones relacionadas con porcentajes, algunas de las situaciones más frecuentes se presentan en el comercio donde se anuncian las ofertas informando el porcentaje de descuento o pidiendo un porcentaje de enganche en ciertas compras; también se utilizan este tipo de expresiones cuando se habla de impuestos, de incrementos salariales, tasas de inflación, tasas de interés en las inversiones y préstamos bancarios. Estos son sólo algunos ejemplos del uso de los porcentajes en la actividad cotidiana de las personas. Considerando lo anterior, se establece la necesidad de que el ciudadano medio esté familiarizado con estas expresiones del lenguaje y entienda su significado, de tal manera que esté en condiciones de tomar las decisiones más apropiadas cuando se requiera, esto es, cuando se trate de situaciones relativas a porcentajes que le incumban personalmente. Desde luego, es en la escuela primaria donde se inicia a los niños en el proceso de construcción del significado del objeto matemático denominado porcentajes, razón por la cual es necesario que los profesores reafirmen y profundicen su conocimiento sobre dicho objeto matemático reflexionando sobre los diferentes contextos de uso, las dificultades que se presentan para su aprendizaje y las estrategias que pueden utilizarse para su enseñanza. En este apartado se presentan una serie de actividades para propiciar este tipo de reflexiones con las cuales se espera que los participantes logren un mejor dominio del tema de porcentajes. Como se ha venido haciendo en los temas anteriores, habrá tres momentos al abordar las actividades, en el primero se pide que, de manera individual, reflexionen sobre lo que se pide resolver en la actividad, en el segundo comentar en equipo sus reflexiones y en el tercero confrontar las conclusiones obtenidas en cada equipo. En cada uno de estos tres momentos, el formador tiene una función que se espera cumpla con eficacia. El estudio del tema Porcentajes se hará a través de cuatro actividades, cada una de las cuales tiene propósitos particulares que serán comentados por el formador. La Actividad 1 trata de diversas situaciones de la vida cotidiana relacionadas con los porcentajes a través de las cuales se espera se reflexione sobre el sentido que adquieren en cada caso; en la Actividad 2 se plantean situaciones que conducen a la necesidad de calcular porcentajes con el propósito de reflexionar sobre los procedimientos de cálculo y su adecuado uso; la Actividad 3 trata de los diferentes tipos de problemas de cálculo de porcentajes y la Actividad 4 presenta dos dispositivos (materiales didácticos) que permiten calcular fácilmente porcentajes y permiten dar una interpretación geométrica a los mismos.
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Actividad 1 Los porcentajes en la vida cotidiana A continuación aparecen algunas expresiones y algunas preguntas relacionadas con porcentajes. Reflexione, en el caso de las afirmaciones, si lo que se dice tiene sentido o no y en el caso de las preguntas, de una respuesta, tratando de justificar su dicho o su respuesta, con un argumento matemático y luego comente con sus compañeros de equipo lo que haya concluido y la razón o razones que tiene para pensar o contestar así. La pretensión es que al comentar en el equipo, logren obtener una opinión compartida por todos los miembros del mismo. 1. Una persona afirma que en cierto centro comercial las chamarras se están vendiendo con un descuento del 110%. 2. A cualquier cantidad se le puede calcular el 150%; aunque, en ciertos casos, este cálculo no tiene sentido. Si compartes lo aquí afirmado, muestra al menos una situación en la que este cálculo sí tiene sentido y otra en la que no. 3. Dos jugadores A y B de básquetbol comparan su rendimiento en tiros libres en lo que va de la temporada. El jugador A ha lanzado 40 tiros libres y ha fallado 20, mientras el jugador B ha lanzado 50 tiros libres y ha fallado 25. ¿Cuál de los dos jugadores es mejor para lanzar tiros libres? 4. ¿Qué significa que la tasa de desempleo de un país sea del 10%?, ¿cuáles serán todos los valores posibles de la tasa de desempleo?
5. Si durante el año 2007 el salario perdió un 10% de su valor adquisitivo, ¿se requiere más o menos del 10% de aumento salarial para que el salario tenga el valor adquisitivo que tenía a principios del año 2007? 6. Un grupo de estudiantes obtuvo 80 de promedio en el curso de Álgebra. Si la calificación mínima aprobatoria es 60, ¿puede ser posible que más del 50% del grupo esté reprobado?
Actividad 2 Diversas situaciones en la que es necesario calcular porcentajes Resuelvan, en equipo, los siguientes problemas. En cada uno de ellos es importante que den una justificación detallada de su respuesta. 10
Problema 1 Una librería está anunciando el 20% de descuento en todos los libros que tiene en existencia. Arnulfo cuenta con tarjeta de cliente en esa librería, lo cual le da derecho a un descuento del 10% en cualquier libro. Si acude a la librería a comprar un libro de $150.00, ¿le conviene más que le descuenten primero el 20% y después el 10% o primero el 10% y después el 20%? a) b)
¿Su respuesta sería la misma si el libro costara $550.00? Discuta con sus compañeros de equipo la justificación matemática de su respuesta.
Problema 2 Al comprar un automóvil el vendedor me ofrece la opción de no cobrarme el IVA (15%) o bien cargarme el IVA y luego descontarme el 15%. ¿Qué opción me resulta más conveniente? a) b)
Proponga un precio para el automóvil y haga los cálculos con este precio. ¿Su conclusión depende del precio propuesto o es válida para todo precio?
Problema 3 Una compañía que distribuye computadoras anuncia 8 modelos de computadora de una determinada marca; dice en el anuncio que de dicha marca ella ofrece el 30% más modelos que ninguna otra compañía. ¿Cuántos modelos de esta marca ofrecerán las demás compañías distribuidoras? a) b)
¿Qué puede usted concluir sobre la veracidad del anuncio? ¿El anuncio podría ser más veraz con otros datos? Por ejemplo con cuáles.
Problema 4 Un diputado está proponiendo una nueva ley de impuestos. De acuerdo con esta ley, quien gane $10000.00 mensuales deberá pagar el 10% de impuestos, quien gane $20000.00 mensuales deberá pagar el 20% de impuestos, quien gane $30000.00 mensuales deberá pagar el 30% de impuestos y así sucesivamente. Si esta ley se aprueba: a) b)
¿Con qué salario se tendrá el mayor ingreso mensual? ¿Habrá quien pague más de impuestos que lo que gane de salario?
Problema 5 Don Pedro y Don Remigio acaban de cosechar la naranja de sus huertos. Ambos produjeron más naranja que el año pasado, Don Pedro produjo 17 toneladas más que el año pasado y Don Remigio 15 toneladas más que la cosecha pasada. Si el año pasado Don Pedro produjo 60 toneladas y Don Remigio 50:
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a) ¿Cuál de los dos incrementó más su producción este año? b) ¿Cuántas toneladas pudo haber producido cada quien para que sus incrementos de producción fueran iguales?
Problema 6 Un profesor necesita que su salario actual aumente el 60% para alcanzar a cubrir los pagos mensuales de despensa, renta, servicios y otras deudas. a) ¿Qué porcentaje del total de sus gastos mensuales representa su salario actual? b) Si recibe un aumento salarial del 20%, ¿qué porcentaje de sus pagos mensuales alcanzará a cubrir? Problema 7 Don Florencio invierte diariamente $ 600.00 en la compra de maíz para su tortillería. Pero el precio del maíz acaba de aumentar y ahora con ese dinero apenas compra el 80 % de la cantidad que compraba. ¿En qué porcentaje necesita aumentar su inversión diaria, si quiere seguir comprando la misma cantidad de maíz para su tortillería? Problema 8 En la figura, ABCD es un rectángulo de área 32, M es punto medio de BC, DR=BM y 2AD=AB. ¿Qué porcentaje del área del rectángulo ocupa el triángulo?
Problema 9 Una tienda ofrece dos opciones de descuento en compras mayores de $100.00. En la primera opción ofrece redondear el total de la compra al mayor múltiplo de 100 menor que la compra. En la segunda opción ofrece un descuento de 20% sobre el total de la compra. Si el cliente tiene que escoger una de las dos opciones de descuento, ¿cuándo le conviene más la primera opción y cuándo le conviene más la segunda?
Actividad 3 Los tipos de problemas relacionados con el cálculo de porcentajes. 12
Los cálculos con porcentajes se reducen esencialmente a los siguientes: 1. Calcular un porcentaje de una cantidad dada. 2. Incrementar o disminuir una cantidad en un porcentaje dado. 3. Encontrar el valor original de una cantidad que ha sido incrementada o disminuida en un porcentaje dado. 4. Expresar una cantidad como un porcentaje de otra. a) Discuta con sus compañeros de equipo los cálculos que se han requerido para resolver los problemas de las Actividad 1 y 2. Luego clasifique dichos problemas en la tabla siguiente, según el tipo de cálculos utilizados.
Tipo de cálculo 1 2 3 4
Problemas
b) Proponga un problema relacionado con cada uno de los tipos de cálculo mencionados.
Actividad 4 Dos dispositivos que pueden utilizarse para calcular porcentajes Esta actividad se refiere al uso de dos modelos con los que se pretende discutir el cálculo de porcentajes de manera significativa. Los modelos utilizados están basados en la representación gráfica de la cantidad total a la que se pretende calcular un porcentaje.
La cuadrícula. Si la cantidad sobre la cual se pretende calcular un porcentaje se representa por una cuadrícula de 10×10, entonces cada una de las cien partes de la cantidad, es decir el 1% estará representada por uno de los cuadros. Como el cálculo del 1% de cualquier cantidad se reduce a recorrer el punto decimal dos posiciones a la izquierda, entonces podemos calcular el 1% de la
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cantidad y representar con un cuadro este 1%. Luego el porcentaje pedido puede representarse con los cuadros que sean necesarios. Ejemplo: Calcular el 40% de 550. Como el 1% de 550 es 5.50, marcamos en la cuadrícula el cuadro que representará este 1% (ver figura) y luego representamos la cantidad solicitada con 40 cuadros. Como 10 de estos cuadros representarán el número 55, entonces el 40% de 550 puede ser obtenido multiplicando 55 por cuatro, arrojando al final la cantidad de 220, que estará representada en la figura por los cuadros grises.
a) Utilice la cuadrícula para calcular: 1. El 35% de 240. 2. El 2% de 760. 3. ¿Cómo utilizaría la cuadrícula para calcular el 150% de 36? b) Con ayuda de la cuadrícula, calcule las cantidades solicitadas en las preguntas siguientes: 1 2 3
Si 140 es el 20% de una cierta cantidad, ¿cuál es esa cantidad? Una camisa cuesta $220.00, porque tiene un descuento del 25%. ¿Cuál era su precio original? ¿Cuál sería el costo de un refrigerador antes de cargarle el IVA, si se sabe que se pagaron $1800.00 de IVA (15%) al comprarlo?
c) Proponga dos problemas de porcentaje y explique cómo podrían resolverse utilizando la cuadrícula.
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Un aparato virtual para calcular porcentajes Se presenta ahora un aparato virtual construido con Cabri Géomètre II, que llamaremos “porcentígrafo”. Este aparato, que se muestra en la figura, consiste de dos regletas paralelas graduadas. La regleta superior está fija y la inferior puede ser estirada “arrastrando” su extremo derecho, gracias a las características del software con el que ha sido construida. En la regleta superior se seleccionará la cantidad a la cual se le quiera calcular el porcentaje y estirando la inferior se hará coincidir el 100, de la regleta inferior, con esa cantidad; con el fin de que la cantidad, cuyo porcentaje se quiere calcular, quede dividida en 100 partes iguales; así, para calcular un determinado porcentaje de la cantidad seleccionada, bastará leer en la regleta inferior, el porcentaje que quiere calcularse y ver a qué número de la regleta superior le corresponde, que será el valor del cálculo requerido. En la figura se muestra cómo pueden calcularse diferentes porcentajes de 70, por ejemplo si se quiere calcular el 30% de 70, basta observar qué número de la regleta superior, le corresponde el 30 de la regleta inferior, en este caso, el 21, que representa el resultado, es decir, el 30% de 70.
a) “Arrastre” el extremo de la regleta inferior hasta que ambas marcas del número 100 coincidan en ambas regletas, solamente para verificar que en esta posición las graduaciones de ambas regletas coinciden. b) Utilice la el porcentígrafo para calcular: 1. El 60% de 110. 2. El 20% de 55. 3. El 40% de 120. c) Con ayuda del porcentígrafo, calcule las cantidades solicitadas en las preguntas siguientes: 1
2
¿Cómo puede interpretarse la graduación de la regleta superior para resolver el problema siguiente: se sabe que 140 es el 20% de una cierta cantidad, ¿cuál es esa cantidad? Utilice la interpretación del inciso anterior para contestar la pregunta: ¿180 es el 30% de qué cantidad?
d) Proponga dos problemas de porcentaje y explique cómo podrían resolverse utilizando el porcentígrafo. 15
Sesión III. Resolviendo problemas de proporcionalidad A continuación se enuncian algunas situaciones que involucran la noción de proporcionalidad. Sugerimos que en un primer momento sean estudiadas individualmente, después que la discusión se amplíe a equipos de tres integrantes y, finalmente, que sean abordadas por el grupo completo. Es importante resaltar que las reflexiones deberán hacerse no sólo sobre las situaciones y sus soluciones, sino también sobre las estrategias de solución.
Actividad 1 El convertidor de divisas Desde la invención de la moneda por las diversas civilizaciones de la antigüedad, hasta nuestros días, el intercambio comercial entre las diferentes comunidades ha generado la necesidad de establecer paridades o tipos de cambio entre monedas. Esto se hace más evidente en un mundo globalizado como en el que ahora vivimos. En nuestro país, es el Banco de México la institución encargada de fijar, día con día, los llamados “tipos de cambio” entre el peso mexicano y las monedas de otros países. Es decir, cuántos pesos debemos pagar si queremos obtener un dólar norteamericano, un peso guatemalteco, un yen japonés, una libra esterlina, un euro, etc. En http://www.banxico.org.mx/PortalesEspecializados/tiposCambio/TiposCambio.html, dirección electrónica de dicho organismo, encontramos el 18 de Octubre de 2009, la siguiente información: PESOS POR DIVISA EXTRANJERA Yen Japonés 0.14 Dólar Canadiense 12.59 Euro 19.53
a) Si quisiéramos planear un viaje, teniendo como alternativas: Japón, Canadá o un país europeo, y suponiendo que contamos con $150 000.00, ¿qué cantidades de cada una de estas divisas podremos obtener? b) Si un visitante procedente de Canadá quisiera cambiar 2300 dólares canadienses a pesos mexicanos, ¿cuántos obtendrá? c)
¿Cuántos dólares canadienses podemos conseguir si tenemos 200 euros?
d) Construye un convertidor de dólares norteamericanos a pesos mexicanos, tomando en consideración los datos de la tabla que se muestra a continuación. ¿Cuál es la paridad 16
entre ambas monedas?
Dólares norteamericanos Pesos mexicanos
0.5
5
15 196.5
50
90
250
500
e)
De acuerdo con la gráfica siguiente, ¿qué información nos proporciona el punto cuyas coordenadas se muestran?
f)
¿Qué otra información podrías conseguir a partir de conocer ese punto?
g) A partir de lo que has trabajado hasta este momento, ¿podrías encontrar un procedimiento general para convertir dos divisas entre sí? h) ¿Identificaste el uso de la proporcionalidad al responder los cuestionamientos previos? Argumenta tu respuesta.
Actividad 2 Construyendo rectángulos En la siguiente figura, la longitud del lado de cada cuadrado de la retícula es de una unidad.
a) De acuerdo a lo que podemos observar, si hiciéramos más grande la figura y tomáramos un rectángulo cuya altura fuera de 42 unidades, ¿Cuánto mediría su base? ¿Cómo determinaste esta medida? b) Y si la altura del rectángulo fuera de 51 unidades, ¿cuánto mediría la base? ¿Cómo determinaste la nueva medida? c) Expresa brevemente el proceso de cálculo de las nuevas medidas, ya sea que modifiques la base o la altura. d) ¿Empleaste la noción de proporcionalidad para contestar las preguntas previas? Explica tu respuesta.
Actividad 3 Las elecciones para presidente
de la Sociedad de alumnos Una estudiante ganó las elecciones para ocupar la presidencia de la sociedad de alumnos de la secundaria, elección en la cual participaron dos planillas. En el periódico mural de la escuela se comentó que la alumna ganó por una razón de 5 a 2. El profesor de matemáticas, después de leer la nota, llegó al salón de clases planteando la pregunta: ¿Cuántos votos tuvo a su favor la estudiante ganadora, si en total votaron 168 estudiantes, sabiendo que ganó por una razón de 5 a 2? Las respuestas obtenidas, junto con sus argumentaciones fueron: 1) 5 168
2 - Número de votos de la alumna
Y entonces el número de votos de la alumna lo calculamos así: obtuvo 68 votos.
67.2, por lo tanto
2) Otros estudiantes siguieron el mismo procedimiento mostrado en el inciso a), pero agregaron: “Como 68 votos no representan la mayoría, eso significa que la ganadora obtuvo 100 votos, y el candidato perdedor 68. 3) Una tercera alternativa fue: “Si de 7 votos, la ganadora obtuvo 5, entonces es posible establecer la proporción: 7 - 5 168 - Número de votos de la ganadora 120.” Por lo que el número de votos lo conseguimos calculando a) ¿Con cuál de las tres respuestas dadas por los estudiantes estás de acuerdo? En las que consideras erróneas, identifica el error cometido por los alumnos y explica en qué consiste.
Actividad 4 El experimento de la clase de química En la clase de química el profesor solicitó a sus estudiantes que mezclaran 5 litros de agua que estuviera a 15 con 5 litros de agua a 60 , pidiéndoles que midieran la temperatura de la mezcla resultante. Los alumnos encontraron que dicha temperatura era de 37.5 . Ahora, les dijo el profesor, sin hacer el experimento respondan las siguientes preguntas, argumentando sus respuestas:
a) Si ahora mezclamos 5 litros que están a 80 temperatura de la mezcla?
con 5 litros que están a 45 , ¿cuál será la
b) Y si ahora tomamos 20 litros a una temperatura de 80 que están a 45 , ¿cuál será la temperatura de la mezcla?
y los mezclamos con 20 litros
c) Consideremos ahora el caso en el que se mezclaran 6 litros de agua que está a 15 , con 12 litros de agua cuya temperatura es 60 . ¿A qué temperatura estarán los 18 litros de agua resultantes de la mezcla? ¿Y si fueran 100 litros de agua a 15
d)
con 200 litros a 60 ?
e) ¿Qué respuestas darías tú a las preguntas anteriores? ¿Usaste la proporcionalidad para encontrar la respuesta? ¿Cómo?
Actividad 5 Los mapas Luisa y María son compañeras de escuela y están realizando una tarea de su clase de geografía, la cual consiste en encontrar cuál es la distancia real a la que están situados algunos lugares en un mapa de la ciudad en la que viven. Cada una de ellas tiene un mapa, de tal manera que al buscar la distancia entre los lugares A y B, Luisa encuentra en su mapa que mide 5 cm, lo cual la lleva a concluir que la distancia real es de 15 kilómetros. Cuando María mide la distancia entre los puntos C y D, encuentra que es de 9 centímetros, por lo que la distancia real es de 27 kilómetros. a)
¿Quién está usando el mapa más grande? Argumenta tu respuesta. 1) 2) 3) 4)
b)
María Luisa Sus mapas son del mismo tamaño No existe suficiente información para saberlo
¿Usaste la proporcionalidad para encontrar la respuesta? ¿Cómo?
Actividad 6 Comparando cualitativamente Una persona realizó los siguientes dibujos:
¿Cuál de las otras casas es una reproducción (ampliada o reducida), de la casa que tiene el letrero? Argumenta tu elección.
Actividad 7 Promoviendo una vida saludable Luisa, María, Juan y Alberto, compañeros de grupo, decidieron iniciarse en la práctica sistemática de alguna actividad física. Para ello, acudieron con el profesor de educación física de su escuela, quien recomendó a Luisa y María acudir al gimnasio de su institución, iniciando su acondicionamiento con el uso de la bicicleta estacionaria. En cambio, a Juan y Alberto les sugiere correr en la pista de entrenamiento. a) Al día siguiente, cuando las chicas llegan al gimnasio, ocupan sus respectivos aparatos y observan que el contador de la bicicleta estacionaria de Luisa registra un recorrido de 200 metros cuando el de María registra 300 metros. ¿Qué registro tendrá la bicicleta de Luisa cuando el de María señale 1500 metros? ¿Cómo podemos explicar la diferencia en los registros? b) Por su parte, Juan y Alberto, no coincidieron en el inicio de su práctica, de tal forma que para cuando Alberto llevaba 12 vueltas, Juan había dado 4 vueltas a la pista. ¿Cuántas vueltas a la pista ha dado Alberto en el momento en que Juan completa 12 vueltas? c) Para resolver las interrogantes planteadas, ¿empleaste la proporcionalidad? ¿Cómo?
Actividad 8 Diseñando situaciones problemáticas que involucran a la proporcionalidad En cada una de las situaciones planteadas anteriormente, se hicieron algunas preguntas para centrar la atención en ciertos aspectos de interés. Pero en cada caso es posible cuestionarnos otros aspectos o modificar algunas características para diseñar nuevas situaciones. Por ejemplo, si nos fijamos en la actividad de paridades entre las divisas, una modificación evidente y quizá poco productiva, consiste en cambiar las cantidades específicas que se solicitan. Así, en lugar de preguntarnos por el número de pesos que se obtienen cuando se cambian 2300 dólares canadienses, pudiéramos preguntarlo para otro valor, como por ejemplo 3000. Pero seguramente existen otras modificaciones que pueden hacerse, y en ese sentido te pedimos reflexiones sobre lo siguiente: a) ¿Qué aspectos te parecen importantes en cada uno de los problemas planteados? b) Considerando el conjunto de las siete actividades previas, ¿qué tienen en común? ¿Qué tienen de diferencia? ¿Qué aspectos destacarías como los más trascendentes en estas actividades? c) Elige alguna de las actividades y plantea modificaciones, de tal manera que puedas construir una nueva situación problemática.
d) Comparte tus experiencias, primero con los miembros de tu equipo, y después con el grupo completo.
Actividad 9 La variación directamente proporcional Con el propósito de entender mejor lo que sucede en situaciones como las que hemos abordado hasta ahora, profundizaremos en dicha temática, mediante las cuatro situaciones siguientes.
Actividad 9.1 Relación entre el lado de un triángulo equilátero y su perímetro a) Si denotamos con l el lado de un triángulo equilátero, ¿cómo se mide su perímetro P? b) Calcula el valor de P si l toma los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7. c) ¿Cuáles son los posibles valores de l? ¿Y de P? d) Al aumentar el valor de l ¿qué sucede con el valor de P? e) Tomando como eje de las ordenadas (un eje vertical), los valores de P y como eje de las abscisas (un eje horizontal) los valores de l, haz una gráfica de los puntos encontrados y únelos. ¿Qué obtuviste?
f) Si l toma el valor 2 y aumenta en 3 ¿cuánto aumenta el valor de P? ¿Qué sucede con el valor de P? ¿Qué sucede si l aumenta en 3 pero a partir de un valor original de 4?
Actividad 9.2 Relación tiempo-volumen Una persona recoge en un recipiente el agua que fluye a través de una manguera y contabiliza el tiempo t que transcurre mientras el recipiente se llena. En la siguiente tabla se especifican los valores medidos. Tiempo t (en segundos) Volumen V de agua (en litros)
5 15
10 30
20 60
30 90
a) Al incrementarse el tiempo que transcurre mientras el agua fluye ¿Qué sucede con el volumen de agua en el recipiente? b) Haz una gráfica del volumen V contra t. ¿Qué obtuviste?
c) ¿Qué ocurre con el volumen de agua al duplicarse el tiempo de llenado? ¿Y al triplicarse el tiempo transcurrido? d) ¿Qué ocurre con el volumen de agua si el tiempo se modifica en un segundo? e) ¿Cómo podrías caracterizar la relación existente entre V y t? Encuentra una expresión para determinar el volumen V en función del tiempo t.
Actividad 9.3 Relación distancia-tiempo La siguiente gráfica muestra los valores de la distancia recorrida, con relación al tiempo, de un objeto que parte del reposo y se mueve en línea recta a velocidad constante. Con base en ello contesta lo que se pregunta. a) ¿Qué distancia recorrió después de 3 segundos? b) ¿Qué tiempo se requiere para que la distancia recorrida sea de 3 metros? c) ¿Qué distancia recorrerá el objeto después de 7 segundos? d) ¿Qué tiempo se requiere para recorrer una distancia de 20 metros? e) ¿Qué distancia recorre el objeto después de 25 segundos? f) Si en cada caso dividimos la distancia recorrida entre el tiempo transcurrido, ¿qué resultados se obtienen?
Actividad 9.4 ¿Qué significa que dos cantidades sean directamente proporcionales? a) Qué características comunes encontramos en las actividades 8.1, 8.2 y 8.3. b) Si decimos que en cada una de las situaciones planteadas apareció un conjunto de parejas de cantidades directamente proporcionales, ¿qué entiendes?
c) Establece tu propia definición de lo que significa que dos cantidades sean directamente proporcionales y compárala primero con los miembros de tu equipo y posteriormente con el resto de los equipos. d) Utiliza tu definición para decidir si las cantidades cuya gráfica se muestra a continuación tienen una relación de proporcionalidad directa.
Sesión IV. Construcciones y Clasificación de Figuras Geométricas Actividad 1 Construcciones geométricas en contexto 1. Se requiere construir una estación de tren de tal forma que esté sobre la vía y a la misma distancia de los pueblos Santiago y Constitución. Marque el punto sobre la vía donde debe construirse la estación.
2. En el mapa siguiente se muestra la ubicación de los pueblos Morelos y La Higuera. Se tiene proyectado construir un ramal del ferrocarril que pasará entre los dos pueblos, pero la vía aún no se traza.
a) Trace la vía de tal manera que cuando localice la estación del tren, equidistante de los dos pueblos, la solución no resulte práctica. b) Justifique por qué la solución encontrada no ha resultado práctica. 3. En una ranchería se va a perforar un pozo para surtir de agua a tres casas cercanas. Las familias que allí viven solicitan que el pozo no les quede más lejos a unos que a otros. Si las marcas de la siguiente figura representan la posición de las casas, marque el lugar donde deberá perforarse el pozo.
4. En la siguiente cuadrícula ubique tres casas y luego localice un pozo que se encuentre a la misma distancia de las tres casas. Escoja la ubicación de las casas de tal modo que la solución encontrada no sea práctica. Explique por qué la localización propuesta para el pozo no resulta práctica.
Actividad 2 Clasificación de Polígonos 1. Utilice las etiquetas de las figuras siguientes, para clasificarlas en la Tabla 1. Extraiga de esta clasificación las características que tienen los polígonos y las que poseen los no polígonos. I
I
V
VI
II
IV
VII
Polígonos
No polígonos
Características:
Características:
VIII
Tabla 1
2. Los polígonos se clasifican según el número de sus lados. Complete la Tabla 2, escribiendo las etiquetas de los polígonos que se muestran en la siguiente figura.
a
b
e
d
c
i
q
u
ñ
o
r
s
t
y
w
#
Nombre
p
x
v
z
m
l
k
j
n
h
g
f
Número de lados
Triángulo 4
$
Etiqueta de las figuras
*
5 Hexágono Heptágono Octágono 9 10 11 12
Tabla 2
3. Investigue el nombre de los polígonos cuyo número de lados se da en la Tabla 3. Complete la tabla con los nombres investigados.
Número de lados 13 14 15 16 17 18 19
Nombre del polígono
20
Actividad 3 Jugando con Polígonos En esta actividad, el reto consiste en encontrar todos los polígonos posibles en la figura mostrada. Para nombrar el polígono, utilice las letras asignadas a los vértices según el sentido en que lo recorra. Por ejemplo, en la siguiente figura, podemos nombrar al cuadrilátero ABCD, BCDA, DCBA, pero no ACBD.
Cada polígono encontrado tendrá un valor en puntos como sigue: Figura
Puntuación
Triángulo
3
Cuadrilátero
4
Pentágono
5
Hexágono
6
Mientras ejecuta la tarea, trate de encontrar una manera sistemática de identificar polígonos.
1.
¿Cuántos polígonos puede encontrar en la siguiente figura?
Polígonos
Nombres
Puntuación
Triángulos Cuadriláteros Pentágonos Hexágonos Puntuación total
2.
¿Cuántos polígonos puede encontrar en la siguiente figura?
Polígonos Triángulos Cuadriláteros Pentágonos Hexágonos Puntuación total
3.
Nombres
Puntuación
¿Cuántos polígonos puede encontrar en la siguiente figura?
Polígonos Triángulos Cuadriláteros Pentágonos Hexágonos Puntuación total
Nombres
Puntuación
Actividad 4 Construyendo diferentes cuadriláteros en el geoplano En la siguiente actividad construirá varios cuadriláteros en el geoplano, o bien, en la retícula de puntos que lo simulan. 1.
Construya un cuadrilátero en el geoplano y reprodúzcalo en la siguiente figura.
2. Señale con otra liga (o trazo rectilíneo) una de sus diagonales, de modo que quede al interior del cuadrilátero. a. ¿Qué figuras se formaron al interior del cuadrilátero?
b. ¿Tienen el mismo tamaño y la misma forma las figuras obtenidas?
3.
Señale con otra liga (o trazo rectilíneo), la otra diagonal. a. ¿Las diagonales se cortaron al interior del cuadrilátero? b. Si la respuesta al inciso anterior es afirmativa, entonces ha construido un cuadrilátero convexo; si no, ha construido un cuadrilátero cóncavo. Construya un cuadrilátero convexo y uno cóncavo en el geoplano y reprodúzcalos en la siguiente figura:
4. Compare con sus compañeros los cuadriláteros que construyó.
Actividad 5 Clasificación de cuadriláteros El propósito de la actividad es trazar diferentes tipos de cuadriláteros cuyas diagonales estén sobre las rectas que se muestran en la siguiente figura. ¿Qué tipo de ángulo forman las rectas?
Considere las siguientes posibilidades: a. Diagonales del mismo tamaño, cuyo punto de intersección es el punto medio de ambas a la vez. ¿Qué tipo de cuadriláteros se obtienen?
b. Diagonales del mismo tamaño que se cortan en el punto medio de una, pero no de la otra. ¿Qué tipo de cuadriláteros se obtienen?
c. Diagonales del mismo tamaño que se cortan en un punto que no es el punto medio ni de una, ni de la otra.
¿Qué tipo de cuadriláteros se obtienen?
d. Diagonales del mismo tamaño que no se intersecan. ¿Qué tipo de cuadriláteros se obtienen?
e. Diagonales de diferente tamaño cuyo punto de intersección es el punto medio de ambas a la vez.
¿Qué tipo de cuadriláteros se obtienen?
f. Diagonales de diferente tamaño que se cortan en el punto medio de una, pero no de la otra. ¿Qué tipo de cuadriláteros se obtienen?
g. Diagonales de diferente tamaño que se cortan en un punto que no es el punto medio ni de una, ni de la otra. ¿Qué tipo de cuadriláteros se obtienen?
h. Diagonales de diferente tamaño que no se intersecan. ¿Qué tipo de cuadriláteros se obtienen?
Compare con sus compañeros los cuadriláteros que construyó. Ahora trace diferentes tipos de cuadriláteros cuyas diagonales estén sobre las rectas que se muestran en la siguiente figura. ¿Qué tipo de ángulo forman las rectas?
Considere las siguientes posibilidades: a. Diagonales del mismo tamaño, cuyo punto de intersección es el punto medio de ambas a la vez.
¿Qué tipo de cuadriláteros se obtienen?
b. Diagonales del mismo tamaño que se cortan en el punto medio de una, pero no de la otra. ¿Qué tipo de cuadriláteros se obtienen?
c. Diagonales del mismo tamaño que se cortan en un punto que no es el punto medio ni de una, ni de la otra. ¿Qué tipo de cuadriláteros se obtienen?
d. Diagonales del mismo tamaño que no se intersecan. ¿Qué tipo de cuadriláteros se obtienen?
e. Diagonales de diferente tamaño cuyo punto de intersección es el punto medio de ambas a la vez. ¿Qué tipo de cuadriláteros se obtienen?
f. Diagonales de diferente tamaño que se cortan en el punto medio de una, pero no de la otra. ¿Qué tipo de cuadriláteros se obtienen?
g. Diagonales de diferente tamaño que se cortan en un punto que no es el punto medio ni de una, ni de la otra. ¿Qué tipo de cuadriláteros se obtienen?
h. Diagonales de diferente tamaño que no se intersecan. ¿Qué tipo de cuadriláteros se obtienen?
Compare con sus compañeros los cuadriláteros que construyó.
Actividad 6 Explorando propiedades de triángulos y cuadriláteros a través del uso del Tangram El Tangram, al igual que otros rompecabezas geométricos, da lugar a un interesante análisis de las figuras: para realizar las distintas configuraciones es necesario observar las piezas, darles vuelta, acomodarlas de distintas maneras, pero sin traslaparlas, e imaginar las combinaciones posibles para obtener determinadas formas. 1.
Recorte las piezas del tangram que le entregará el asesor.
2. Utilice los dos triángulos pequeños para formar el cuadrado, el romboide y el triángulo mediano. Reprodúzcalos en el siguiente espacio. 3. Forme todos los triángulos que pueda utilizando combinaciones diferentes de las piezas del tangram y dibuje los contornos.
4. Forme todos los cuadriláteros que pueda utilizando combinaciones diferentes de las piezas del tangram y dibuje los contornos.
5.
Con una, dos o más piezas del Tangram forme y dibuje … a. tres cuadrados diferentes,
b. cuatro triángulos diferentes,
c. seis rectángulos diferentes,
d. dos romboides diferentes,
e. un hexágono. 6. Utilizando todas las piezas del tangram se puede formar un cuadrado, como se vio al principio de la presente actividad. Utilice todas las piezas del tangram para formar las figuras especificadas y dibújelas en los espacios en blanco correspondientes. a. un triángulo,
b. un romboide,
c. un rectángulo.
7.
¿Qué utilidad puede tener el uso de rompecabezas geométricos en el aula?
8.
¿Qué actividades ha desarrollado en el aula utilizando el tangram?
9. Diseñe una actividad utilizando el tangram que pueda utilizarse con los estudiantes de su grupo.
Sesión 5. Medición Actividad 7 Área de la palma de la mano 1. Trace el contorno de su mano en alguna de las retículas que se encuentran al final de la actividad, de modo que obtenga una figura cerrada. Determine el área de esa figura utilizando el cuadrado, triángulo o hexágono como unidad de área según sea el caso. 2. ¿Qué características tienen las unidades de medida utilizadas en las retículas anteriores que facilitan la medición?
3. ¿Qué tipo de polígonos regulares tienen estas propiedades, y por lo tanto, convendría utilizarlos como unidades de área?
4. ¿Cuál es el comúnmente utilizado? Explique por qué usamos ése, si tenemos otras opciones.
5. Si las unidades cuadradas en la retícula, son de 2cm. de lado, estime el área de la huella de su mano en cm2.
6.
¿Cómo podría obtener mejores aproximaciones?
7. Se estima que la palma de la mano representa el 1% de la superficie total del cuerpo. Use este dato para aproximar el área total de la piel de su cuerpo. Utilice la cuadrícula de la página 23, como herramienta para hacer el cálculo.
Actividad 8 Explorando áreas en el geoplano Para esta actividad necesitará un geoplano y ligas de colores. En su defecto, puede utilizar las figuras cuadradas con los puntos marcados, o bien, puede utilizar un geoplano simulado con un software de geometría dinámica.
1. La unidad de área en el geoplano será la del cuadrado más pequeño que pueda obtenerse al unir cuatro clavos. A esta unidad la llamaremos unidad cuadrada.
2. En el geoplano, la unidad de longitud será la distancia vertical u horizontal entre dos clavos consecutivos.
3. Utilice el geoplano y ligas de colores, o una de las alternativas mencionadas, para reproducir las siguientes figuras y encuentre el área de cada una en unidades cuadradas:
4.
Ahora, construya las siguientes figuras: a. Un cuadrado con área de cuatro unidades cuadradas. b. Un triángulo isósceles con área de cuatro unidades cuadradas. c. Un cuadrado con área de dos unidades cuadradas.
Actividad 9 Áreas de triángulos y cuadriláteros en el geoplano Para esta actividad también necesitará un geoplano y ligas de colores. En su defecto, puede utilizar alguna de las alternativas señaladas en la actividad anterior
1. Explique cómo puede utilizar rectángulos para determinar el área de los siguientes triángulos.
2. Explique cómo puede utilizar rectángulos para determinar el área de las siguientes figuras.
.
3.
Construya las formas siguientes: a. Un triángulo con un área de 3 unidades cuadradas b. Un triángulo y un cuadrado con áreas iguales (¿Cuál tiene el perímetro más pequeño?) c. Triángulos con áreas de 5, 6, y 7 unidades cuadradas, respectivamente.
Actividad 10 Un número especial Utilice los círculos que le entregará el asesor para completar la tabla mostrada. 1. Para medir su circunferencia, coloque el círculo de modo que el punto marcado esté sobre una tira extendida de papel milimétrico de por lo menos medio metro de largo. Marque el punto sobre el papel. Ruede el círculo de modo que el punto marcado complete una vuelta exacta y vuelva a marcar el punto correspondiente sobre el papel. Mida la distancia entre las dos marcas sobre el papel. Diámetro d
Circunferencia C
Razón de C sobre d
2. Analice la tabla. ¿Qué puede decir acerca de la razón de la circunferencia sobre el diámetro de la misma?
3. Basándose en la información anterior, ¿cuál es la relación que existe entre la circunferencia y el diámetro de un círculo?
4. Escriba la fórmula para el perímetro de un círculo en términos de su diámetro. Justifíquela en términos de la información anterior.
5.
Escriba la fórmula para el perímetro de un círculo en términos de su radio.
Actividad 11 Estimando el área del círculo Mida el radio de cada uno de los cuatro círculos que le entregará el asesor y conteste las dos primeras preguntas. 1.
¿Cuánto mide el radio de los círculos?
2.
Calcule el perímetro de cada círculo.
3. Seleccione el círculo que está dividido en el menor número de partes, recorte las piezas y reacomódelas de la siguiente manera:
4.
¿Cómo se relaciona el área de la figura con el área del círculo?
5.
La figura obtenida semeja, burdamente, un paralelogramo, ¿cuál sería su altura?
6.
¿Cuánto mide la base ondulada de este “paralelogramo”?
7. Corte las piezas de los demás círculos y reacomódelas de manera similar. ¿Qué sucede con el “paralelogramo” conforme aumenta el número de piezas del círculo? 8. ¿Cuánto es su altura? ______________ ¿Cuánto es su base? __________ ¿Cuánto es su área? ________________
9. Si consideramos que el radio del círculo es r, ¿cuál sería la altura y la base del “paralelogramo”? 10. Escriba la fórmula para el área de un círculo en términos de su radio r. ¿Cómo ayuda la construcción anterior a entender esta fórmula?
Actividad 12 Adquiriendo la noción de volumen Para realizar esta actividad el asesor le entregará un semiespejo, unos cubitos y un modelo recortable de cajita. 1. Recorte y arme la cajita del modelo y colóquela hacia un lado del semiespejo y, del otro lado, el arreglo de cubitos que se le sugiere. Traslade y rote la cajita, sin levantarla del suelo, hasta que parezca que la imagen de la cajita coincide exactamente con el arreglo de cubitos. Ahora deshaga el arreglo de cubitos y cuéntelos uno por uno. Basados en esta experiencia, conteste a las siguientes preguntas: a. ¿Qué es el volumen de la cajita?
b. ¿Qué operación aritmética le permite determinar la cantidad de cubitos, sin tener que contarlos uno por uno?
c. ¿Cómo explicar el hecho de que el volumen de una caja de dimensiones enteras (paralelepípedo rectangular o prisma rectangular) sea el producto de las tres dimensiones (largo por alto por ancho)?
d. ¿Cómo influye la elección de la cara que se toma como base para el orden de los factores que determinan el volumen? Discutir ampliamente. 2. En el punto anterior, se habló de un método para encontrar el volumen de un prisma rectangular. ¿Cómo puede extenderse este resultado a prismas arbitrarios, a cilindros y a
figuras con secciones transversales paralelas y congruentes, como las que se muestran a continuación?
3. Encuentre el volumen de los siguientes sólidos, utilizando los resultados del punto 2. ¿Importa cuál cara es la base para el cálculo del volumen de cada uno de ellos?
Actividad 13 Volumen de cilindros y conos Para realizar esta actividad el asesor le entregará los modelos recortables de un cono y un cilindro del mismo radio y altura, ambos sin tapa,. Asimismo, arroz o algún polvo liviano. 1. Recorte y arme ambos modelos. 2. Escriba la fórmula para encontrar el volumen del cilindro de radio r y altura h. 3. Llene el cono con arroz y viértalo al cilindro. Repita la operación hasta que el cilindro se llene.
a. ¿Qué relación existe entre el volumen del cilindro y el volumen del cono?
b. Con base en el resultado anterior, ¿cuál es el volumen del cono de radio r y altura h?
c. ¿Este resultado puede generalizarse a la relación existente entre el volumen de un prisma y el de una pirámide de igual base y altura que el prisma? ¿Cómo podría verificarlo?