Colegio Centroamérica Managua, Nicaragua
“En todo amar y servir”
Sistema de ecuaciones lineales Nombre: Ángel Alfredo Malespín Cabrera Grado: Noveno grado Sección: “C” Profesor: William Pérez Correo electrónico: angelalfredox02@gmail.com Fecha de entrega: 07/03/2014
Concepto de sistema de ecuaciones lineales: En matemáticas y álgebra, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales es decir, un sistema de ecuaciones donde cada ecuación es de primer grado definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.
Conjunto solución de sistemas de ecuaciones lineales: El conjunto solución de sistemas de ecuaciones lineales se refiere a los valores de las variables que hacen verdadera dicha ecuación por ejemplo: 2 X − Y = 5 − 8 X + 4Y + 20
La solución son todos los numero reales y el conjunto solución corresponde a todos los pares ordenado que satisfacen la ecuación 2x-y=5
2x − y = 5 − 2x + 5 y= −1 − 8 x + 4 y = −20 8 x − 20 y= 4 − 2 x + 5 8 x − 20 = −1 4 4( − 2 x + 5) = −1( 8 x − 20 ) − 8 x + 20 = −8 x + 20 − 8 x + 8 x = −20 + 20 0x = 0
Como resolver un sistema de ecuación lineal a través del método de igualación: El método de igualación consiste en una pequeña variante del antes visto de sustitución. Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del proceso son los siguientes: . Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones . Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta . Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una de las ecuaciones despejadas de primer paso
Como resolver un sistema de ecuación lineal a través del método de sustitución: Los pasos para resolver un sistema de ecuaciones a través del método de sustitución son los siguientes: . Escoger una de las ecuaciones y despejarla para una de las variables . La ecuación que se despejo se sustituye en la variable correspondiente de la ecuación que no fue despejada . Solucionar para hallar el valor de la variable en la ecuación que tiene la sustitución . Sustituimos el valor de la variable que encontramos en la ecuación que se había despejado para obtener el valor de la otra variable . Comprobar que los valores hallados para las dos variables son correctos sustituyéndolos en las ecuaciones iniciales del sistema
Como resolver un sistema de ecuación lineal a través del método de reducción: Los pasos para poder realizar un sistema de ecuación lineal a través del método de reducción son los siguientes: . Se separaran las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que más les convenga . La restamos, y desaparece una de las incógnitas . Se resuelve la ecuación resultante . El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve . Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema
Como resolver un sistema de ecuación lineal a través del método de Determinantes: Para resolver un sistema de ecuación lineal a través del método de determinante se usan los siguientes pasos: . Se seleccionan los coeficientes de las ecuaciones para colocarlo en la matriz del sistema al cual se le asigna un nombre cualquiera . Se calcula el determinante del sistema, colocando los coeficientes del mismo en una matriz y multiplicándolo en x y restando los resultados . Se seleccionan los coeficientes numéricos de las variables sustituyendo la columna que corresponde a x con los resultados de cada ecuación, se deja los coeficientes de y en la segunda columna y se vuelve a multiplicar en x y se restan los resultados, se obtiene entonces el determinante de x . Se divide el determinante de x obteniendo entonces el valor de x
entre el determinante del sistema
. Se seleccionan los coeficientes numéricos de las variables sustituyendo la columna que corresponde a y con los resultados de cada ecuación, se deja los coeficientes de x en la segunda columna y se vuelve a multiplicar en x y se restan los resultados, se obtiene entonces el determinante de y . Se divide el determinante de y obteniendo entonces el valor de y
entre el determinante del sistema
Nota: Estos pasos son solo para ecuaciones con dos variables
Ejemplo de sistema resuelto por igualación: 2 X + 3Y = 8 5 X − 8Y = 51 2x = 8 − 3y 8 − 3y x= 2 5 x = 51 + 8Y 51 + 8Y X = 5 8 − 3Y 51 + 8Y = 2 5 5(8 − 3 y ) = 2(51 + 8 y ) 40 − 15 y = 102 + 16 y − 15 y − 16 y = 102 − 40 − 31 y 62 = − 31 − 31 y = −2 8 − 3( − 2) x= 2 8+6 x= 2 14 x= 2 x=7 conclusión : ( 7,−2)
Ejemplo de sistema resuelto por sustitución: 4 x + y = −29 5 x + 3 y = −45 4 x + y = −29 y = −29 − 4 x 5 x + 3 y = −45 5 x + 3(−29 − 4 x ) = −45 5 x − 87 − 12 x = −45 5 x − 12 x = −45 + 87 − 7 x 42 = −7 −7 x = −6 y = −29 − 4( − 6 ) y = −29 + 24 y = −5 conclusión : ( − 6,−5)
Ejemplo de sistema resuelto por reducción: 7 x + 4 y = 65 5 x − 8 y = 3
7 x + 4 y = 65( 4) 5 x − 8 y = 3( 2 ) 28 x + 16 y = 260 10 x − 16 y = 6 38 x = 266 x=7 5( 7 ) − 8 y = 3 35 − 8 y = 3 − 8 y − 32 = −8 −8 y=4 conclusión : ( 7,4 )
Ejemplo de un sistema resuelto por Determinantes: − 3x + 8 y = 13 8 x − 5 y = −2 d .sistema : −3 8
+8 −5
= 15 − 64 = −49 d .x : 13 −2
+8 −5
−3 8
+ 13 −2
= −65 − ( − 16 ) = −49 d.y :
= 6 − 104 = −98 d .x − 49 x= = =1 d .sistema − 49 d.y − 98 y= = =2 d .sistema − 49 conclusión : (1,2 )
Imagen de un ejercicio desarrollado por mĂ utilizando cualquier mĂŠtodo: