Consolación Ferrer Asensio La sucesión de Fibonacci Leonardo de Pisa, también conocido como Leonardo Fibonacci, propuso en su obra Liber Abaci un problema sobre el nacimiento de conejos que nada tuvo de significativo hasta que, a comienzos del siglo pasado, fue objeto de numerosos estudios que permitieron descubrir muchas de las propiedades que posee. Su solución es la sucesión que hoy se conoce con el nombre de Sucesión de Fibonacci. El problema está enunciado de la siguiente forma: ¿Cuántas parejas de conejos tendremos a fin de año si comenzamos con una pareja que produce cada mes otra pareja que procrea a su vez a los dos meses de vida? Para resolverlo, Fibonacci hizo una tabla en la que desglosaba el crecimiento de su familia de conejos y hacía un seguimiento del número de parejas que tenía al acabar cada mes y obtuvo la siguiente solución: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 Su fórmula definida por recurrencia es: F1 1, F2 1, Fn Fn 1 Fn 2 para n 3 Es decir, cada término de la sucesión de Fibonacci se obtiene sumando los dos términos anteriores. Se han descubierto muchas propiedades bellas e interesantes de la sucesión. Los números de la sucesión de Fibonacci aparecen en los lugares más insospechados como más adelante veremos.
La proporción áurea Cifra de apariencia humilde, conocida desde la Antigüedad, cuya continua aparición en toda clase de manifestaciones naturales y artísticas bien le han merecido apelativos tales como: Número de Oro, Proporción Áurea, Divina Proporción, … φ 1,618033988749894848204586834 1,618
Infinitas cifras decimales sin pauta alguna.
Lo que realmente es interesante es la vinculación del número de oro a la Belleza y a la Perfección. De hecho, tenemos cantidades inagotables de ejemplos en los que el número de oro ha sido usado incluso como patrón ideal de belleza, otorgándole así un carácter divino. La primera definición precisa de lo que más tarde se conoció como Proporción Áurea la realizó alrededor del año 300 a.C., Euclides de Alejandría, y su historia documentada se remonta a uno de los libros más célebres, comentados y reimpresos de la Historia: los “Elementos de Geometría” de Euclides. “Se dice que una recta está dividida en media y extrema razón cuando la longitud de la línea total es a la de la parte mayor, como la de esta parte mayor es a la de la menor” x 1 x 1 x
x 2 1 x x 2 x 1 0 1 5 x 1,61803... 2
Relación de la sucesión y Veamos que existe una profunda relación entre la sucesión y el número de oro. Históricamente, ya Johannes Kepler había relacionado la sucesión de Fibonacci con la proporción áurea y el crecimiento de las plantas, y el matemático escocés Robert Simson Fn , es decir, que la sucesión formada por los cocientes de un descubrió en 1753 que lim x F n 1 término Fibonacci entre el anterior se aproxima progresivamente al número áureo.
El cuerpo humano El hombre ideal de Leonardo Da Vinci supuso una primera reflexión sobre la presencia de en el mundo animal. A partir de entonces aparecen en la ciencia y en el arte numerosos estudios sobre la adecuación de diferentes partes del cuerpo a la proporción áurea. Se sabe que algunas partes del cuerpo humano guardan esa “proporción de oro”; por ejemplo, en el dedo, en la distancia entre la primera y la segunda falange y entre la segunda y la tercera. Hacia 1850, Adolf Zeysing (1810-1876) filósofo alemán, doctor en filosofía y profesor que estudió la proporción áurea desde el punto de vista estético y arquitectónico, constató estadísticamente que el ombligo divide al cuerpo humano según la razón áurea.
La filotaxis y la proporción áurea La filotaxis es la disciplina de la botánica que estudia la disposición de las hojas sobre el tallo, la cuál, como veremos, sigue pautas geométricas y numéricas. Se puede observar a simple vista en cualquier planta que las hojas no crecen nunca unas encima de otras, ya que de lo contrario se ocultarían la luz solar, así que es necesario que desarrollen una disposición eficiente que les permita un mayor aprovechamiento de la luz solar. De hecho, si realizamos un estudio más detallado de la disposición, veremos que hay un patrón. La filotaxis y las matemáticas comenzaron a aproximarse en el siglo XIX, de manos del naturalista alemán Karl Schimper (1803-1867) y el cristalógrafo francés Auguste Bravais (1811-1863). Ambos advirtieron la presencia de números consecutivos de Fibonacci en las piñas. En sus estudios desarrollaron la regla general de los factores de la filotaxis, que podían ser expresados como cocientes de los números de Fibonacci. Posteriormente se han hecho más estudios al respecto: en 1968 el matemático norteamericano Alfred Brosseau hizo un estudio con 4.290 piñas y pudo comprobar que en el 98,3% de los casos seguían la sucesión de Fibonacci. En 1992 se repitió el estudio por el botánico canadiense Roger V. Jean a 12.750 observaciones apareciendo en un 92% de los casos.
Ley de divergencia Las hojas de las plantas de tallo alto parten de este último siguiendo una espiral, y cumplen la ley de divergencia, que establece que, para cada especie de planta, el ángulo que forman dos hojas consecutivas es constante y se llama ángulo de divergencia. En muchas especies, la clasificación del ángulo de divergencia viene dado por la sucesión de Schimper-Braun, donde los numeradores y denominadores son términos de la sucesión de Fn Fibonacci: Fn 2 El crecimiento de las plantas se da en la punta del tallo, que tiene forma cónica. Las hojas que crecen primero y están más abajo tienden a estar alejadas del tallo en forma radial. Bravais descubrió que las nuevas hojas de algunas plantas avanzan rotando el mismo ángulo, aproximadamente 137,5º. 1
El límite de la sucesión de Schimper-Braun es 2 . Y resulta que si 1
calculamos: 360º 2 137,5º Se obtiene justamente el ángulo denominado ángulo áureo. Así se corroboró el clásico experimento de 1907 del matemático alemán Gerrit van Iterson, quien amontonó puntos sucesivos separados por 137,5º en espirales y mostró que el ojo humano observa una familia de patrones en espiral a favor y en contra de las agujas del reloj. El número de espirales en las dos familias suelen ser dos términos consecutivos de Fibonacci. El girasol es la muestra más espectacular y mejor conocida de este fenómeno. Cuando se observa, se ven espirales a favor y en contra de las agujas del reloj formadas por las semillas. Si se cuentan las que hay en cada sentido se puede comprobar que son números consecutivos de la serie de Fibonacci. Los más frecuentes son los pares 21-34, 34-55 y 89-144.
Flores y pétalos Igualmente, el número de pétalos de muchas flores suele ser también alguno de los términos de la sucesión de Fibonacci, como es el caso de la lila (3), el ranúnculo (5), la espuela (8), la caléndula (13) o el aster (21). Los diferentes tipos de margaritas tienen distinto número de pétalos, pero siempre términos de la sucesión (21, 34, 55, 89).
Aparición en el arte La divina proporción de Luca Pacioli Luca Pacioli vivió en la Italia del siglo XV y comienzos del XVI. Fueron él y Leonardo da Vinci los responsables de poner el número de oro en la órbita de la belleza y el arte. Pacioli lo hizo en su libro De Divina Proportione, escrito a finales de 1498. En él fija las proporciones que deben cumplirse para conseguir la belleza excelsa, en forma de reflexión sobre la geometría. Leonardo sólo hizo una labor de ilustrador en De divina proportione, pero el propio Pacioli habla en su obra de la importancia de los estudios matemáticos del genio en el terreno artístico. En la obra aparece su celebérrimo hombre ideal, en base a . Leonardo aplicó el conocimiento científico de las proporciones humanas a los estudios de Pacioli y Vitruvio, arquitecto de Julio César, acerca de la belleza. Siguiendo el ideal renacentista, El hombre ideal o El hombre de Vitruvio, pone al hombre en el centro del universo, puesto que está inscrito en un círculo y un cuadrado. Los genitales son el centro del cuadrado y el ombligo es el centro de la circunferencia. Las proporciones ideales del cuerpo humano que se desprenden de esa figura corresponden a la razón áurea entre el lado del cuadrado y el radio del círculo. Altura total = brazada (distancia entre las puntas de los dedos con los brazos abiertos) = 8 palmos = 6 pies = 8 caras = 1,618 * altura ombligo (distancia del suelo al ombligo)
El número de oro en la pintura Leonardo da Vinci continuó el estudio de la perspectiva, en pleno auge y desarrollo formal y teórico en su época. Aunque no se dispone de testimonio directo del uso de la proporción áurea por parte de Leonardo, la composición de obras como La última cena se solapa de forma asombrosa con diversas figuras áureas; en especial, el rectángulo. En esta obra el rectángulo áureo define tanto las dimensiones de la mesa como la disposición a su alrededor de Cristo y sus discípulos, así como las paredes de la estancia y las ventanas del fondo. El retrato de la Gioconda sigue la misma suerte: diversos estudios muestran cómo el rostro de Mona Lisa, tanto en su conjunto como en sus detalles, se enmarca con precisión en una elegante sucesión de varios rectángulos áureos. En términos generales, los pintores renacentistas influidos por la proporción áurea usaron los rectángulos áureos para las proporciones a todos los niveles de detalle. Otro ejemplo de la presencia de se encuentra en El nacimiento de Venus, de Sandro Botticelli, donde el cuerpo de la diosa muestra proporciones áureas.
El número áureo en la arquitectura e ingeniería La proporción áurea se intuye en muchas y antiguas construcciones humanas. Por ejemplo, los arcos del triunfo de la Roma clásica resiguen la proporción áurea, como también lo hacen las tumbas licias y las iglesias de la antigua ciudad de Mira (la actual Demre turca). Otras civilizaciones muy alejadas de la cultura clásica parecen coincidir en el aprecio por la razón de oro. No lejos del lago Titicaca, junto a la capital de Bolivia, La Paz, se encuentra la Puerta del Sol de Tiwanaku, monumento de una cultura preincaica regido completamente por . Pero de todas las construcciones de la Antigüedad, el ejemplo más representativo de uso clásico de la proporción áurea en la arquitectura ha sido el Partenón. No sólo la Italia del Renacimiento practicó el uso de la razón áurea en el diseño de sus edificios monumentales. La Universidad de Salamanca es la más antigua de España, data del 1218, y la relación de oro preside sus proporciones.
Arquitectura contemporánea Entre otros ejemplos está el del rompedor y radicalmente moderno arquitecto Le Corbusier (1887-1965) quiso estrechar la mano de Luca Pacioli a lo largo de los siglos cuando dijo de él que también había buscado en el pasado. Le Corbusier participó en la comisión internacional que diseñó el edificio de las Naciones Unidas en Nueva York. No es extraño, por lo tanto, que se puedan identificar tres rectángulos áureos en la fachada del monumental edificio.