Revista digital

DIGITAL MAGAZINE EDICIÓN: DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO

EDITORES: ANGÉLICA

GARCÍA

GREGORY

JOSÉ

CORDERO PARADA

MARÍA

MANRIQUE

CONTENIDO Pág. 4 Definición Sistema de Control

Pág. 6-7

Pág. 5 Objetivos de un Sistema de Control

Características de un Sistema de Control Pág. 8-9

Pág. 10-11

Fundamentos para el diseño de un Sistema de Control en tiempo discreto

Análisis de estabilidad de un sistema en lazo cerrado

Pág. 12-13

Pág. 14-15

Métodos para probar estabilidad. Prueba de Jury.

Ejemplos

Pág. 16-17 NOTAS

http://sistemascontrol.wordpress.com

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SISTEMAS DE CONTROL Un sistema de control está definido como un conjunto de componentes que pueden regular su propia conducta o la de otro sistema con el fin de lograr un funcionamiento predeterminado, de modo que se reduzcan las probabilidades de fallos y se obtengan los resultados buscados. Estos sistemas fueron relacionados por primera vez en 1948 por Norbert Wiener en su obra Cibernética y Sociedad con aplicación en la teoría de los mecanismos de control.

Hoy en día los procesos de control son síntomas del proceso industrial que estamos viviendo. Estos sistemas se usan típicamente en sustituir un trabajador pasivo que controla una determinado sistema (ya sea eléctrico, mecánico, etc.) con una posibilidad nula o casi nula de error, y un grado de eficiencia mucho más grande que el de un trabajador. Los sistemas de control más modernos en ingeniería automatizan procesos en base a muchos parámetros y reciben el nombre de controladores de en en base a muchos parámetros y reciben el nombre de controladores de automatización programables (PAC).

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Sistema de control de lazo abierto: Es aquel sistema en que solo actúa el proceso sobre la señal de entrada y da como resultado una señal de salida independiente a la señal de entrada, pero basada en la primera. Esto significa que no hay retroalimentación hacia el controlador para que éste pueda ajustar la acción de control. Es decir, la señal de salida no se convierte en señal de entrada para el controlador.

Sistema de control de lazo cerrado: Son los sistemas en los que la acción de control está en función de la señal de salida. Los sistemas de circuito cerrado usan la retroalimentación desde un resultado final para ajustar la acción de control en consecuencia.

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Señal de Corriente de Entrada: Considerada como estímulo aplicado a un sistema desde una fuente de energía externa con el propósito de que el sistema produzca una respuesta específica.

Señal de Corriente de Salida: Respuesta obtenida por el sistema que puede o no relacionarse con la respuesta que implicaba la entrada.

Variable Controlada: Es el elemento que se desea controlar. Se puede decir que es la salida del proceso.

Variable Manipulada: Es el elemento al cual se le modifica su magnitud, para lograr la respuesta deseada. Es decir, se manipula la entrada del proceso.

Conversión: Mediante receptores se generan las variaciones o cambios que se producen en la variable.

Variaciones Externas: Son los factores que influyen en la acción de producir un cambio de orden correctivo.

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Fuente de Energía: Es la que entrega la energía necesaria para generar cualquier tipo de actividad dentro del sistema.

Retroalimentación: La retroalimentación es una característica importante de los sistemas de control de lazo cerrado. Es una relación secuencial de causas y efectos entre las variables de estado. Dependiendo de la acción correctiva que tome el sistema, este puede apoyar o no una decisión, cuando en el sistema se produce un retorno se dice que hay una retroalimentación negativa; si el sistema apoya la decisión inicial se dice que hay una retroalimentación positiva.

Variables de fase: Son las variables que resultan de la transformación del sistema original a la forma canónica controlable. De aquí se obtiene también la matriz de controlabilidad cuyo rango debe ser de orden completo para controlar el sistema.

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Relación entre los planos „S‟ y „Z‟ Se deduce de la ubicación de sus polos y ceros en el plano z, dado que , la relación de ceros y polos entre los planos S y Z dependen de T (periodo o frecuencia de muestreo) A continuación se aplica esa transformación a los puntos que delimitan la franja primaria del plano complejo s:

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Representando los resultados, en la figura, se observa que la semi-franja primaria de parte real negativa se transforma en la región del plano complejo Z que está en el interior de la circunferencia de radio unidad. La semi-franja primaria de parte real positiva se transforma en la región exterior al círculo unitario. Las franjas complementarias se superponen en estas mismas regiones. Por tanto, un punto en el plano complejo Z posee infinitos puntos equivalentes en el plano complejo S. Esto es congruente con la propiedad de la periodicidad de la transformada de Laplace de una función muestreada. En realidad, el plano complejo Z posee la ventaja de que el ingeniero puede centrar su estudio en los polos que caen dentro de la franja primaria y dar por supuesto que se repite lo mismo en las franjas complementarias.

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Considerando el siguiente sistema con función de transferencia de pulso en lazo cerrado:

La estabilidad del sistema que define la ecuación (4-3), así como la de otros tipos de sistemas de control en tiempo discreto, puede determinarse por las localizaciones de los polos en lazo cerrado en el plano z, o por las raíces de la ecuación característica

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Para que el sistema sea estable, los polos o lazos cerrados en las raíces de la ecuación característica deben presentarse en el plano z dentro del círculo unitario. Cualquier polo en lazo cerrado exterior al círculo unitario hace inestable al sistema.

Si un polo simple se presenta en Z=1, entonces el sistema se convierte en críticamente estable; aunque también puede hacerlo si un solo par de polos complejos conjugados se presentan sobre el círculo unitario en el plano z. Cualquier polo múltiple en lazo cerrado sobre el círculo unitario hace al sistema inestable.

Los ceros en lazo cerrado no afectan la estabilidad absoluta y por lo tanto pueden quedar localizados en cualquier parte del plano z.

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Se pueden aplicar 3 pruebas de estabilidad directamente a la ecuación característica P (z)=0, sin tener que resolver las raíces. Dos de ellas son la prueba de estabilidad de SchurCohn y la prueba de estabilidad de Jury. Esta pruebas revela la existencia de cualquier raíz inestable, sin embargo no dan las localizaciones de las mismas, ni indican los efectos de cambios en los parámetros sobre la estabilidad del sistema, excepto en el caso sencillo de sistemas de bajo orden.

Existe otro método basado en la transformación bilineal conjuntamente con el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz.

Para esta prueba se construye una tabla cuyos elementos se basan en los coeficientes de P(z). Suponiendo que la ecuación característica P(z) es un polinomio en z, como sigue:

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Donde a0 > 0. Entonces se construye la tabla como se verá a continuación:

Obsérvese que los elementos del primer renglón están formados por lo coeficientes en P(z) arreglados en orden de potencias ascendentes de z. Los elementos del segundo renglón están formados por los coeficientes de P(z) arreglados en orden de potencias descendentes de . Los elementos correspondientes a los renglones 3 hasta 2n-3 se obtienen mediante los siguientes determinantes:

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Un sistema con la ecuaci贸n caracter铆stica P(z)=0 dado por la ecuaci贸n polin贸mica en z descrita anteriormente, y reescrito de la forma:

Donde a0 > 0., es estable, si todas la siguientes condiciones se satisfacen:

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Unos cuantos comentarios sobre la estabilidad de sistemas de control en lazo cerrado

1. Si estamos interesados en el efecto de algún parámetro de sistema sobre la estabilidad de un sistema de control en lazo cerrado, podría resultar útil un diagrama del lugar geométrico de las raíces. Puede usarse MATLAB para calcular y graficar dicho diagrama.

2. Debe notarse que, en la prueba de la estabilidad de una ecuación característica, pudiera resultar más simple, en algunos casos determinar directamente las raíces de la ecuación característica mediante el uso de MATLAB. 3. Es importante observar que la estabilidad no tiene nada que ver con la habilidad de un sistema para seguir una entrada específica. La señal de error en un sistema de control en lazo cerrado, puede aumentar sin límite, aun si el sistema es estable.

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Para más información puedes esperar nuestra próxima edición o consultar on-line el libro: “Sistemas de control en tiempo discreto” por Katsuhiko Ogata. Allí podrás encontrar variedad de ejemplos y ejercicios y ampliar conocimientos.

Ejemplo de aplicación en la vida real de un sistema de control en tiempo discreto

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