CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS Cà LCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
FUNĂ‡ĂƒO Dados dois conjuntos nĂŁo vazios A e B , denominamos função toda relação f : A → B na qual, para todo elemento de A , existe um Ăşnico correspondente em B . Observe que toda função ĂŠ uma relação, mas nem toda relação ĂŠ uma função. Desta forma podemos observar que, um diagrama de relação de em representa uma função se: de cada elemento de parte apenas uma flecha; nĂŁo “sobraâ€? elemento em . Uma função f : A → B ĂŠ tambĂŠm representada por:
, ∈ | " !"#çã "&
A lei de formação Ê uma sentença matemåtica, representada por:
ĂŠ denominado independente e , dependente
variĂĄvel variĂĄvel
Exemplo: 1. SĂŁo dados A = {− 1,0,1,2} , B = {− 2,−1,0,1,2,3,4,5} e f : A → B definida por f = {( x, y ) ∈ A Ă— B | y = 2 x}. Encontre os pares ordenados de f . 1 0 1 2
2 1 2 2 0 0 2 1 2 2 2 4
. Par ordenado
1, 2
0, 0
1, 2
1
2
0
0
1
2, 4
2
2
4
1 1 3
5
2. Considere A = {x ∈ Z | −1 ≤ x ≤ 1} , B = {y ∈ Z | −2 ≤ y ≤ 2} e a relação R : A → B , definida por
{
}
R = (x, y ) ∈ A Ă— B | y = x 2 . .
1 0 1
1 1 0 0 1 1
Par ordenado
1, 1
0, 0
1, 1
0 1 1
2 0 2 1 1
Observe que para cada elemento de A hå um único elemento em B, portanto R Ê uma função. MATEMà TICA
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DEFINIÇÃO Uma função real f é uma lei a qual para cada elemento x em um subconjunto D de ℝ faz corresponder exatamente um elemento chamado f x , em um subconjunto C de ℝ. D é denominado de domínio e C de contradomínio da função f. Exemplo: Sendo f : IR → IR , onde x a f ( x ) = 2 x + 4 , temos: a. b. c.
f (0 ) = 2 ⋅ 0 + 4 = 0 + 4 = 4 f (− 2 ) = 2 ⋅ (− 2 ) + 4 = −4 + 4 = 0 f (h + 1) = 2 ⋅ (h + 1) + 4 = 2h + 2 + 4 = 2h + 6
2
DOMÍNIO E IMAGEM E CONTRA DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO Seja f : A → B , como toda função é uma relação, temos que o domínio de f é: , A Imagem de f é formada pelos elementos de B que são correspondentes dos elementos do domínio e é definida por: -" ∈ | & O contradomínio de f é o próprio conjunto B : ., Exemplo 1. Seja a função f : A → B representada pelo diagrama abaixo:
1 2 3 5
MATEMÁTICA
4 8 5 6 9 7
Temos:
, -" 4, 5, 6, 7& .,
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EXERCICIOS 1. Dada a função f : IR → IR definida por f ( x ) =
x − 1 calcule A = f (− 1) + f (3) − 2 ⋅ f (0 ) . 3
x − 1, para x ≥ 2 , determine: 2 x, para x < 2 c. f (2 ) d. x, para que f ( x ) = 4
2. Para a função f : IR → IR definida por f ( x ) = a. b.
f (− 1) f (3)
3. Dada a função f : IR → IR definida por f (x ) = 2 x − 8 , determine o elemento do domínio para cada uma das 3 imagens: a. y = −3 c. f ( x ) = 0 b.
f (x ) = 8
d.
y = −8
4. Dadas as funções f ( x ) = 2 x + p e g ( x ) = − x + q , determine p e q , sabendo que f (− 1) = 4 e g (2 ) = −3 .
DETERMINAÇÃO DO DOMÍNIO E IMAGEM IMAGEM DE UMA FUNÇÃO REAL DEFINIÇÃO: A imagem de uma função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os quais existe
pelo menos um x ∈ D tal que f (x ) = y :
Im( f ) = {y ∈ C | ∃ x ∈ D com f ( x ) = y}
Exemplo: 1. Seja a função definida por
2. Seja a função definida por
g : IR → IR x a f (x ) = 2 x
g : IR → IR x a f (x ) = x 2
Determine a imagem da função.
Determine a imagem da função.
Im( g ) = IR
Im(g ) = IR+
MATEMÁTICA
ou Im(g ) = [0,+∞ )
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DOMÍNIO
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei de associação, convenciona-se que o seu domínio é o maior subconjunto de IR para o qual é possível avaliar a função.
Exemplo:
1. Determine o domínio da função f (x ) = C.E.: x ≠ 0 Logo, D( f ) = {x ∈ IR | x ≠ 0}
ou D( f ) = IR − {0}
1 . x
4
2. Determine o domínio de y = 2 x − 4 . C.E.: 2x − 4 ≥ 0 2x ≥ 4 4 x≥ 2 x≥2 Logo, D( y ) = {x ∈ IR | x ≥ 2}
ou
D( y ) = [2,+∞)
3. Qual é o domínio de f (x ) = C.E.:
x −x
?
x −x>0⇔
Logo,
1
⇔ x >x
⇔ x < − x ou x > x ⇔ x + x < 0 ou x − x > 0 ⇔ x < 0 ou 0 > 0
D( f ) = {x ∈ IR | x < 0} ou D( f ) = (− ∞, 0)
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EXERCĂ?CIOS
1. Encontre o domĂnio das seguintes funçþes: a. f (x ) = 4 x â&#x2C6;&#x2019; 2 b.
g (x ) =
h. h( x ) =
2 x
1 c. f ( x ) = x+3 5x + 2 d. f ( x ) = 2 x â&#x2C6;&#x2019; 4x e. h ( x ) = x f.
t (x ) = 3 x + 2
g.
f (x ) = 2 x â&#x2C6;&#x2019; 6 + 4 x â&#x2C6;&#x2019; 8
2x + 6
i.
g (x ) =
j.
g (x ) =
k.
f (x) = 4
xâ&#x2C6;&#x2019;2
x+2 x â&#x2C6;&#x2019;8 xâ&#x2C6;&#x2019;2 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 16 4
x+7 â&#x2C6;&#x2019;
x 2 â&#x2C6;&#x2019; 5x + 6 3
3x â&#x2C6;&#x2019; 9
RESUMO: DETERMINAĂ&#x2021;Ă&#x192;O DO DOMĂ?NIO
U â&#x;š â&#x201E;&#x17D; â&#x2030; 0; â&#x201E;&#x17D;
ZU â&#x;š U â&#x2030;Ľ 0;
[\]
U
Zâ&#x201E;&#x17D;
[\]
â&#x;š â&#x201E;&#x17D; > 0
Podemos determinar o domĂnio e a imagem de uma função a partir de seu grĂĄfico. Projetando a curva sobre o eixo obtemos o domĂnio e projetando a curva sobre o eixo obtemos a imagem:
Desta forma temos que: , â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;?| ` â&#x2030;¤ â&#x2030;¤ &
-" â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;?| ` â&#x2030;¤ â&#x2030;¤ &
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Exemplo: 1. Determine o domínio e a imagem das seguintes funções representadas graficamente:
, b 2, 1c -" b0, 4c
, b 2, 3c -" b 1, 4c
, ℝ∗ -" c1, 2b ∪c 2, 0b
NOÇÕES BÁSICAS DE PLANO CARTESIANO
MATEMÁTICA
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, c 2, 2b -" 1, 2&
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GRĂ FICO DE UMA FUNĂ&#x2021;Ă&#x192;O Para obtermos o grĂĄfico de funçþes definidas por leis y = f ( x ) , procedemos, em geral, da seguinte maneira: a. ConstruĂmos uma tabela a partir de valores x â&#x2C6;&#x2C6; D , obtendo y = f ( x ) .
f
â&#x2039;Ž
â&#x2039;Ž
g h
`
7
i
b. A cada par ( x, y ) associamos um ponto no plano cartesiano.
Dependendo do domĂnio e da lei de formação que define uma função, ĂŠ importante notar que o seu grĂĄfico pode ter apenas um ponto, alguns pontos, ou ainda infinitos pontos.
Exemplo 1. Construa o gråfico da função
B = {â&#x2C6;&#x2019; 1,0,1,2,3,4} . 2 1 1 2
+ 1 2 + 1 1 1 + 1 0 1+1 2 2+1 3
MATEMĂ TICA
Par ordenado
2, 1
1, 0
1, 2
2, 3
f : A â&#x2020;&#x2019; B , definida por
f ( x ) = x + 1 , para
A = {â&#x2C6;&#x2019; 2,â&#x2C6;&#x2019;1,1,2} e
Observe que neste caso, o grĂĄfico da função nĂŁo ĂŠ contĂnuo, pois o domĂnio ĂŠ um conjunto de nĂşmeros inteiros.
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2. Construa o gråfico das seguintes funçþes: a. f ( x ) = 2 x
g
2 1 2
g
2 1 2
2 0 0
l
2 2 4
b.
8
f (x ) = x 2
2 4
l
0 0
1 1
g g
1 1
2 4
c.
f ( x ) = sen (x )
l pq p
hpq p
MATEMĂ TICA
mno 0 1 0
1 0
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d.
f (x ) =
1 x g v 1 2 1 1
g g
1/2
h
9
1/3 + 2, s < 2 e. r 4, s 2 â&#x2030;¤ < 3 5, s â&#x2030;Ľ 3
EXERCĂ?CIO 1. Construa o grĂĄfico da função f : IR â&#x2020;&#x2019; IR , definida por y = â&#x2C6;&#x2019;2x + 1. 2. Construa o grĂĄfico da função f : IR â&#x2020;&#x2019; IR , definida por y = x + 5 . 3. Construa o grĂĄfico da função f : IR â&#x2020;&#x2019; IR , definida por y = â&#x2C6;&#x2019;4 x + 2 .
RECONHECIMENTO DE UMA FUNĂ&#x2021;Ă&#x192;O ATRAVĂ&#x2030; DO GRĂ FICO AlĂŠm de construir o grĂĄfico de uma função, ĂŠ possĂvel tambĂŠm reconhecer se um determinado grĂĄfico de uma relação representa ou nĂŁo uma função. Para tanto, verificamos se a cada x do domĂnio corresponde uma Ăşnica imagem, traçando retas paralelas ao eixo y e observando se cada uma delas intercepta o grĂĄfico em um Ăşnico ponto.
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Exemplo: 1. Verifique se os gråficos das relaçþes representam ou não funçþes
Ă&#x2030; FUNĂ&#x2021;Ă&#x192;O
NĂ&#x192;O Ă&#x2030; FUNĂ&#x2021;Ă&#x192;O
10
Qualquer reta paralela ao eixo intercepta o grĂĄfico em um Ăşnico ponto.
Existe uma ou mais de uma reta paralela ao eixo que intercepta o grĂĄfico em mais de um ponto.
RAIZ DE UMA FUNĂ&#x2021;Ă&#x192;O
Raiz ou zero de uma função ĂŠ todo valor de x â&#x2C6;&#x2C6; D que faz f x 0.
Para calcular a raiz, ou raĂzes, devemos igualar a função a zero e resolver a equação assim obtida. x ĂŠ raiz de â&#x;ş x 0
Raiz i
Raiz `
Raiz
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Raiz z
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Exemplo 1. O grĂĄfico abaixo representa uma função f definida em um subconjunto de IR . Determine: a. O domĂnio da função b. A imagem da função c. Os valores de f (â&#x2C6;&#x2019; 4) , f (â&#x2C6;&#x2019; 2 ) , f (0 ) e f (3) . d. Quais os zeros (raĂzes) de f .
11
ESTUDO DOS SINAIS DE UMA FUNĂ&#x2021;Ă&#x192;O Estudar o sinal de uma função significa determinar para quais valores do domĂnio essa função assume valores positivos, nulos ou negativos.
Sendo x1 , x 2 e x3 raĂzes de f ( x ) para < ` ou < < i â&#x;š < 0 para ` ou ou i â&#x;š 0 para ` < < ou > i â&#x;š > 0 MATEMĂ TICA
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Exemplo 1. Faça o estudo do sinal da função f definida pelo gråfico abaixo.
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FUNĂ&#x2021;Ă&#x192;O CRESCENTE E DECRESCENTE â&#x20AC;˘
â&#x20AC;˘
â&#x20AC;˘
Uma função real , de domĂnio ,, ĂŠ crescente num intervalo contido em , se, para quaisquer ` e desse intervalo, com > ` , ocorrer > ` .
Uma função real , de domĂnio ,, ĂŠ decrescente num intervalo contido em , se, para quaisquer ` e desse intervalo, com > ` , ocorrer < ` .
Se em um dado intervalo do domĂnio a função nĂŁo ĂŠ crescente nem decrescente, entĂŁo ĂŠ uma função constante.
Exemplo
ĂŠ Decrescente nos intervalos: < ` e < < i
ĂŠ Crescente nos intervalos: ` < < e i < < z ĂŠ constante para > z
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FUNĂ&#x2021;Ă&#x192;O CRESCENTE DEFINIĂ&#x2021;Ă&#x192;O:
Uma função real y f x , de domĂnio D, ĂŠ crescente num intervalo contido em D se, para quaisquer x` e x desse intervalo, com x > x` , ocorrer, f x > x` . Exemplo:
A função f x 2x i + x 1 Ê crescente no intervalo b 1, 1c, ou em qualquer outro intervalo.
FUNĂ&#x2021;Ă&#x192;O DECRESCENTE DEFINIĂ&#x2021;Ă&#x192;O:
Uma função real y f x , de domĂnio D, ĂŠ decrescente num intervalo contido em D se, para quaisquer x` e x desse intervalo, com x > x` , ocorrer, f x < x` . Exemplo: A função f x 2x i + x 1 ĂŠ decrescente no intervalo b â&#x2C6;&#x17E;, 1c,
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FUNĂ&#x2021;Ă&#x192;O PAR E FUNĂ&#x2021;Ă&#x192;O Ă?MPAR
FUNĂ&#x2021;Ă&#x192;O PAR DEFINIĂ&#x2021;Ă&#x192;O: Uma função real f: D â&#x;ś C ĂŠ par se f x f x , â&#x2C6;&#x20AC;x â&#x2C6;&#x2C6; D.
Exemplo: 1. Ê uma função par, pois:
14
2
f (â&#x2C6;&#x2019; x ) = (â&#x2C6;&#x2019; x ) = x 2 = f ( x ) Assim, f (â&#x2C6;&#x2019; x ) = f ( x )
2.
3 z + 5 Ê uma função par, pois: 4
f (â&#x2C6;&#x2019; x ) = 3(â&#x2C6;&#x2019; x ) + 5 = 3x 4 + 5 = f ( x ) Assim, f (â&#x2C6;&#x2019; x ) = f ( x ) 3. A função 2 3 z ĂŠ uma função par, pois:
â&#x2C6;&#x20AC;x â&#x2C6;&#x2C6; IR, 4
f (â&#x2C6;&#x2019; x ) = 2 â&#x2C6;&#x2019; 3(â&#x2C6;&#x2019; x ) = 2 â&#x2C6;&#x2019; 3 x 4 = f (x ) Assim, f (â&#x2C6;&#x2019; x ) = f (x ) O grĂĄfico de uma função par ĂŠ simĂŠtrico com relação ao eixo y!
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FUNÇÃO ÍMPAR DEFINIÇÃO: Uma função real f: D ⟶ C é ímpar se f x f x , ∀x ∈ D. Exemplo: 1.
i é uma função ímpar, pois: 3
f (− x ) = (− x ) = − x 3 = − f (x ) Assim, f (− x ) = − f (x )
15
2. 3 i + é uma função ímpar, pois: 3
(
)
f (− x ) = 3(− x ) + (− x ) = −3x 3 − x = − 3x 3 + x = − f ( x ) Assim, f (− x ) = − f ( x )
3. A função i 3 é uma função ímpar, pois:
∀x ∈ IR,
3
(
)
f (− x ) = (− x ) − 3(− x ) = − x 3 + 3 x = − x 3 − 3 x = − f ( x ) Assim, f (− x ) = − f ( x )
O gráfico de uma função ímpar é simétrico com relação origem!
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OBSERVAÇÕES: 1. Existem funções que não são nem pares nem Ímpares Exemplo: A função f x 1 x ~
Pois f 2 1 2 ~ 1— 32 1 + 32 33
e f 2 1 2~ 1 32 31, logo f 2 ≠ f 2
e f 2 33 ≠ 31 f 2
16
2. Existe uma única função que é par e ímpar ao mesmo tempo, a função nula em ℝ. f x 0
FUNÇÃO INVERSA
Dada uma função f: A ⟶ B, Bijetora, podemos obter uma função f ` de D em C invertendo-se a ordem dos pares ordenados de f. Essa função é chamada de inversa. Assim temos:
Domínio de ` Imagem de
Imagem de ` Domínio de Exemplos:
1. Encontre a inversa da função : ℝ ⟶ ℝ, definida por 2 + 3. y = 2x + 3 Trocando x por y e y por x x = 2y + 3 2y = x − 3 y=
x−3 2
Assim, f −1 ( x ) =
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x−3 2
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2. Vamos obter a inversa, o domínio e a Imagem da função f (x ) = inversa.
3x + 2 bem como de sua 5x − 8
Calculo da inversa : 3x + 2 5x − 8 Trocando x por y e y por x
y=
3y + 2 5y − 8 x ⋅ (5 y − 8) = 3 y + 2 5 xy − 8 x = 3 y + 2 x=
17
5 xy − 3 y = 8 x + 2 y (5 x − 3) = 8 x + 2 8x + 2 y= 5x − 3 Assim 8x + 2 f −1 ( x ) = 5x − 3 Cálculo do domínio da f (x ) :
Cálculo do domínio da f
3x + 2 5x − 8 C .E . 5 x − 8 ≠ 0 f (x ) =
f
−1
−1
(x ) = 8 x + 2
5x − 3 C .E . 5 x − 3 ≠ 0
5x ≠ 8 x≠
(x ) :
5x ≠ 3 3 x≠ 5
8 5
8 Assim, Dom[ f ( x )] = IR − 5 Como o domínio da f ( x ) é a imagem de f serem funções bijetoras), então:
[
Assim, Dom f −1
(x ) , e o domínio da
−1
(x )] = IR − 3
MATEMÁTICA
5
f −1 ( x ) é a imagem de f ( x ) (devido a
8 3 f : IR − → IR − 5 5 3 8 f −1 : IR − → IR − 5 5
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Podemos construir o gráfico de f ` utilizando sua lei ou a partir do gráfico de f. O gráfico de f ` é simétrico de f em relação à bissetriz do 1º e 3º quadrantes: Exemplo: Gráfico de f x x i e sua inversa f ` √x
18
COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES:
A composição de f e g é a função f o g: Dg ⟶ Cf definida por: fog x f g x .
Exemplos: 1. Sendo f ( x ) = x 2 + 3 e g (x ) = a.
x , calcule:
f o g (x ) 2
f o g ( x ) = f [g ( x )] = [g ( x )] + 3 =
b.
2
g o f (x )
g o f ( x ) = g [ f ( x )] =
( x) + 3 = x +3
f (x ) =
x2 + 3
Em geral f o g (x ) ≠ g o f ( x ) .
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Novas funções a partir de antigas: transformações de funções
1. U ∙ : ALONGAMENTOS E COMPRESSÕES VERTICAIS Multiplicar uma função f por uma constante não-negativa c tem o efeito geométrico de alongar (para c > 1) ou comprimir (para 0 < < 1) verticalmente o gráfico de f. Exemplo:
Para f ( x) = cos x e g( x) = 2 cos x .
2. U · : ALONGAMENTOS E COMPRESSÕES HORIZONTAIS
Multiplicar a variável independente de uma função f por uma constante não-negativa c tem o efeito geométrico de alongar (para 0 < < 1) ou comprimir (para c > 1) horizontalmente o gráfico de f. Exemplo:
Para f ( x) = cos x e g ( x) = cos(2 x) .
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3. U + : TRANSLAÇÕES VERTICAIS
Somar uma constante c a uma função f tem o efeito geométrico de transladar verticalmente para cima (quando c > 0) ou verticalmente para baixo (quando c < 0) o gráfico de f. Exemplo:
Para f ( x) = cos x e g (x ) = cos( x ) + 2 .
20
4. U + : TRANSLAÇÕES HORIZONTAIS
Somar uma constante c a variável independente x de uma função f tem o efeito geométrico de transladar horizontalmente para a direita (quando c < 0) ou para a esquerda (quando c > 0) o gráfico de f. Exemplo:
Para f ( x) = cos x e g (x ) = cos( x + 2) .
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5. U : REFLEXÃO COM RELAÇÃO AO EIXO
Multiplicar uma função f por 1 tem o efeito geométrico de refletir com relação ao eixo x o gráfico de f .
Exemplo:
(
)
Para f (x ) = x 2 − 4 e g (x ) = − x 2 − 4 .
21
6. U : REFLEXÃO COM RELAÇÃO AO EIXO Multiplicar a variável independente x de uma função f por 1 tem o efeito geométrico de refletir com relação ao eixo y o gráfico de f . Exemplo:
Para f ( x ) = x 3 e g ( x ) = − x 3 .
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FUNÇÃO DO 1º GRAU
Denominamos função do 1º grau a função f: ℝ → ℝ, definida pela lei y ax + b, com a e b reais e a ≠ 0.
Gráfico O gráfico da função # + é uma reta. Os pontos onde a reta intercepta os eixos são: Em : 0 ⇒ ⇒ , 0 : 0 ⇒ ⇒ 0, Em
22
Onde a é chamado de coeficiente angular e b coeficiente linear.
Exemplo: 1. Obtenha a lei da função que representa o gráfico:
Para x = 0 → y = 2 Para y = 0 → x = −2 b a 2 b= y −2=− então a b=2 2 a= 2 a =1 x=−
Assim, y = ax + b .y = x + 2
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2. Obtenha a lei da função que representa o gráfico:
Para x = 0 → y = 4 Para y = 0 → x = −2 b a 4 b= y −2=− então a b=4 4 a= 2 a=2 x=−
Assim, y = ax + b .y = 2x + 4
CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
O domínio e o conjunto Imagem da função do 1º grau são: D ℝ e Im ℝ. Se a > 0, a função é dita crescente se a < 0 a função é dita decrescente.
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FUNÇÃO QUADRÁTICA Denominamos função quadrática ou função do 2º grau a função
f : IR → IR , definida pela lei
f ( x ) = ax + bx + c com a, b, c ∈ IR e a ≠ 0 . 2
O gráfico é uma parábola, se a > 0 a parábola é côncava para cima (VALOR MÍNIMO) se a < 0 a parábola é côncava para baixo (VALOR MÁXIMO).
24
Gráfico O gráfico da função f ( x ) = ax 2 + bx + c é uma parábola. As coordenadas do vértice são:
xv = −
b ∆ e yv = − . 2a 4a ∆ b ,− . 4a 2a
O vértice é dado pelo ponto V = −
Para o cálculo das raízes, utilizamos báscara ou soma e produto.
− b ± b 2 − 4ac → báscara 2a b S : x ′ + x ′′ = − a soma e produto c P : x ′ ⋅ x ′′ = a x=
Domínio e imagem:
∆ 4a ∆ Para a < 0 : Dom = IR e Im = y ∈ IR | y ≤ − 4a Para a > 0 : Dom = IR e Im = y ∈ IR | y ≥ −
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Exemplo: 1. Determine as raízes, valor máximo ou mínimo o domínio e a imagem das funções: a. f ( x ) = x 2 − 5 x + 6 b.
f ( x ) = 6 x 2 − 12 x
c.
f ( x ) = x 2 − 16
25
FUNÇÃO MÓDULO: Da definição do módulo de um número temos:
f ( x ), se f ( x ) ≥ 0 g (x ) = f (x ) = − f ( x ), se f ( x ) < 0 Exemplo: Para f ( x) = cos x e g ( x ) = cos( x + 2) .
Exemplo:
1. Esboce o gráfico de 4 | 2|.
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FUNÇÃO EXPONENCIAL Para estudarmos função exponencial devemos relembrar alguns conceitos:
POTÊNCIA
Se x e y são números racionais, temos então as seguintes propriedades:
PROPRIEDADES DA POTÊNCIA # sã s s ú" ! s sã # s ! ú" ! s ! # s, ã : 1. # # . #
2. #
4. # #
¡
¢
¡
3. # #
5. #¢ √# ¢
Exemplo: 1. Utilizando as propriedades das potências, simplifique as expressões: −4 a. 3 5 ⋅ 3 4 ⋅ 3 −3 = 1 b.
c.
7 ⋅2 2 d. = 5 1 2 −3 ⋅ 2
57 = 58 e5e3 = e4
e.
π n + 2 ⋅ π n −2 = πn
f.
4 n ⋅ 4 −2 n ⋅ 4 n +1 = 4 2 n +5
EQUAÇÃO EXPONENCIAL Exemplo: 1. Dê o conjunto solução de cada uma das equações: a. 3 x + 2 = 9 b. 7 2 x +1 = 8 49 c.
(5 ) = (0,2) x +1 3
x −1
d. 3 x + 3 x −1 + 3 x +1 = 13 e. 25 x − 6 ⋅ 5 x + 5 = 0
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INEQUAĂ&#x2021;Ă&#x192;O EXPONENCIAL
# Â&#x17E; < # Â â&#x2021;&#x201D; < Para # > 1
# Â&#x17E; < # Â â&#x2021;&#x201D; > Para 0 < # < 1
Exemplo: 1. DĂŞ o conjunto solução das seguintes inequaçþes exponenciais: a. 25 2 x â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;Ľ 625 x 2 â&#x2C6;&#x2019;x
1 1 b.   â&#x2030;Ľ 4 ďŁ2 c. 9 x â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2039;&#x2026; 3 x > â&#x2C6;&#x2019;3
FUNĂ&#x2021;Ă&#x192;O EXPONENCIAL
As funçþes exponenciais são as funçþes da forma f x a£ , onde a base a Ê uma constante positiva. Os ` £
grĂĄficos de y 2ÂŁ e y Â&#x201C; Â&#x201D; sĂŁo mostrados abaixo. Em ambos os casos â&#x2C6;&#x17E;, +â&#x2C6;&#x17E; ĂŠ o domĂnio e a imagem ĂŠ
0, +â&#x2C6;&#x17E; . GrĂĄficos: a.
y = 2x
b.
1 y=  ďŁ2
MATEMĂ TICA
x
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c.
y = ex
Como a base é positiva e diferente de zero temos que ax 1, portanto todo gráfico de f x a£ , corta o 28 eixo y no ponto 0,1 . Se a > 1 é crescente se 0 < # < 1 f é decrescente. Exemplo: 1. Esboce o gráfico da função 3 2 e determine seu domínio e sua imagem. O domínio de uma função exponencial em geral é o conjunto dos números reais
g l
h
h , ¥¦ , ¦ g g
¦
Podemos observar que a Imagem é Im ∞, 3 .
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2. A meia-vida do estrĂ´ncio-90 ĂŠ de 25 anos. Isso significa que metade de qualquer quantidade determinada de estrĂ´ncio serĂĄ desintegrada em 25 anos. a. Se uma amostra de §xÂ&#x2013;! tem uma massa de 24 mg, encontre uma expressĂŁo para a massa que permanece apĂłs anos de t.
A cada 25 anos a massa de 24 mg do estrĂ´ncio 90 cai pela metade dessa forma temos:
Observe que apĂłs t anos a massa ĂŠ:
m 0 24 1 m 25 24 2 1 1 1 m 50 â&#x2C6;&#x2122; 24 24 2 2 2 1 1 1 m 75 â&#x2C6;&#x2122; 24 i 24 2 2 2 1 1 1 m 100 â&#x2C6;&#x2122; i 24 z 24 2 2 2 m t
1
¨ 24 ~ 2
¨
24.2Â ~
b. Encontre a massa restante apĂłs 40 anos. A massa restante apĂłs 40 anos ĂŠ :
MATEMĂ TICA
zx
" 40 24.2Â ~ 7,9 "U
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FUNĂ&#x2021;Ă&#x192;O LOGARĂ?TMICA:
Seja a função exponencial f x aÂŁ , a sua inversa f  ` ĂŠ chamada de função logarĂtmica na base a, a > 0 e a â&#x2030; 1.
log Â&#x2019; â&#x2021;&#x2019; # Â
30
PROPRIEDADES:
1. log Â&#x2019; # Â&#x17E; para todo â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;?
3. log Â&#x2019; log Â&#x2019; + log Â&#x2019;
5. log Â&#x2019; ÂŽ ! log Â&#x2019; # Â&#x17E;
2. #ÂŤÂŹÂ\ Â&#x17E; para todo > 0 Â&#x17E;
4. log Â&#x2019; Â&#x201C; Â&#x201D; log Â&#x2019; log Â&#x2019; Â
Exemplo:
1. Use as propriedades e encontre o valor de log 80 log 5: 2. Usando as propriedades desenvolva as expressĂľes: a. log(x â&#x2039;&#x2026; y â&#x2039;&#x2026; z ) b. log 3 x â&#x2039;&#x2026; y â&#x2039;&#x2026; z c. log 4 xy 3
( )
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EQUAÇÃO LOGARÍTMICA É toda equação da forma log ¯ x k ⇒ x a± ou log x log m ⇒ x m, m > 0 # > 0 # ≠ 1. Exemplo: 1. Encontre a solução das equações: a. log 2 (2 x + 1) = 3 b. log3 (5 x − 1) = log3 (8 − 2 x )
31
log 2 ( x + 1) + log 2 (3 x + 1) = 3 d. log x −1 (10 − 2 x ) = 2 c.
MUDANÇA DE BASE
log ¯ m.
Dado log ¯ m, para transformá-lo em um logaritmo de base b, basta obtermos o quociente de log ² m por log ¯ m
DEMONSTRAÇÃO:
log ² m log ² a
log ¯ m x ⇒ a£ m 1
Aplicando logaritmos de base b nos dois membros da igualdade (1):
log ² a£ log ² m ⇒ x log ² a log ² m ⇒ x
log ² m log ² a
Exemplo: 1. Vamos calcular o valor de log z 8, mudando-o para a base 2: 2. Dê o Conjunto solução de cada uma das equações logarítmicas: a. log 2 (3 x − 1) − log 1 ( x − 6 ) = log 2 (2 x − 5) 8
b. log 8 x − log 4 ( x + 1) +
1 log 2 ( x + 1) = 0 6
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INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA
log > log ⇔ > Para # > 1
log > log ⇔ < Para 0 < # < 1
Exemplo:
32
1. Dê o conjunto solução das inequações logarítmicas: a. log 3 (2 x + 4 ) < log 3 8 b.
log 1 ( x − 1) − log 1 (4 − x ) ≤ −1 2
2
LOGARITMO NATURAL
O logaritmo com base e é chamado de logaritmo natural e tem uma notação especial:
log ³ ln
log ³ ⇔
As propriedades são as mesmas, vistas anteriormente:
1. ln para todo ∈ ℝ
2. «´ para todo > 0
ln 1
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Exemplos:
1. Encontre o valor de sabendo que ln 5 ln x 5
⇒e
~
x
Ou podemos aplicar a função exponencial em ambos os membros e«´ £ e~ pela propriedade 2 acima temos; x e~
33 2. Resolva a equação ~ i 10. Basta tomar o logaritmo natural de ambos os lados ln e~ i£ ln 10 5 3x ln 10 x
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5 ln 10 3
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