Introdução à trigonometria by Anna Oliynyk

Trigonometria “Todos nós sabemos que a Ciência moderna é, na sua estrutura racionalista, um produto do génio grego. Todavia, nós devemos pensar que se, há cinco mil anos, o Homem não tivesse necessidade de talhar e medir terrenos nas margens do Nilo, talvez os filósofos gregos não tivessem matéria para as suas magníficas especulações”. José Sebastião e Silva

Curiosidades 

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A palavra TRIGONOMETRIA surge da composição de três termos gregos e significa « medida de triângulos » . METRIA (Medida)

tri - três gono - ângulo metria - medida TRI (Três)

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GONO (Ângulo)

A TRIGONOMETRIA estuda as relações entre as medidas dos ângulos e as medidas dos lados ( elementos ) de um triângulo.

Notas históricas 

O mais famoso astrónomo grego da Antiguidade foi Hiparco, nascido cerca de 160 anos a. C. Pode-se dizer que foi o Pai da Trigonometria. Nos seus estudos, que envolviam ângulos e relações trigonométricas teve necessidade de elaborar tabelas, que foram as primeiras tabelas trigonométricas conhecidas.

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Aristarco de Samos determinou as distâncias relativas da Terra ao Sol e da Terra à Lua.

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Eratóstenes de Cirene obteve a medida do raio da Terra.

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Heron de Alexandria é conhecido na história da matemática, sobretudo pela fórmula do cálculo da área de um triângulo. Mostrou através do cálculo de ângulos, como cavar um túnel numa montanha (túnel de Samos) começando ao mesmo tempo de ambos os lados, de modo a se encontrarem no meio. No séc. XV, o astrónomo prussiano Johann Müller sistematizou os conhecimentos trigonométricos até então conhecidos. No séc. XVI, Viète introduziu novos teoremas que permitiram relacionar lados e ângulos de triângulos não rectângulos. E muitos outros deram o seu contributo para o aprofundamento da Trigonometria.

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Quais as aplicações da Trigonometria? 

A trigonometria começou como uma área da Matemática eminentemente prática, para determinar distâncias que não podiam ser medidas diretamente.

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A trigonometria serviu para resolver problemas de astronomia, ajudando a prever eclipses, a estimar equinócios e a estabelecer calendários.

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A trigonometria atualmente têm importância prática na navegação, topografia e movimento harmónico simples em física.

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A trigonometria serviu e continua a servir para resolver problemas em várias áreas da ciência, nomeadamente: engenharia, astronomia, aeronáutica e medicina.

Semelhança de Triângulos •

Critério de semelhança : AAA

Dois triângulos são semelhantes se têm, de um para o outro, dois ângulos iguais (logo os três).

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Critério de semelhança : LAL

Dois triângulos são semelhantes se têm, de um para o outro, dois lados proporcionais e o ângulo por eles formado igual.

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Critério de semelhança : LLL

Dois triângulos são semelhantes se têm, de um para o outro, os três lados proporcionais.

Razões trigonométricas num triângulo retângulo •

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Observe a figura. Os triângulos [ADA’] , [BDB’] e [CDC’] são retângulos e semelhantes (critério AAA). Como em triângulos semelhantes a ângulos iguais opõem-se lados de comprimentos proporcionais, temos:



AA' BB ' CC '     DA DB DC

Ou seja, é constante a razão entre o comprimento do cateto oposto e o do cateto adjacente a a . A essa razão constante chama-se seno de a e escreve-se sena ou sina . cateto oposto a a Assim,

hipotenusa

 sena

Razões trigonométricas num triângulo retângulo (cont.) 

•

A esta razão constante chama-se cosseno de a Assim, cateto adjacente a a  cos a hipotenusa

 •



DA' DB' DC'     DA DB DC

e escreve-se cos a

AA' BB ' CC '     DA' DB' DC'

A esta razão constante chama-se tangente de a e escreve-se tga ou tana Assim, cateto oposto a a  tg a cateto adjacente a a Podemos agora concluir que qualquer uma das razões trigonométricas de um ângulo apenas depende do valor do ângulo e não das dimensões do triângulo retângulo.

Como medir os ângulos? Alguns instrumentos com que se medem os ângulos •

As medições de ângulos em engenharia e em topografia faz-se hoje com grande rigor usando aparelhos aperfeiçoados – os teodolitos. Mas nem sempre foi assim.

•

Os nossos navegadores na época dos Descobrimentos usaram principalmente o grafómetro, o astrolábio e o quadrante.

astrolábio

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quadrante

Também a navegação marítima usa o sextante

Relações entre o seno, o cosseno e a tangente de um mesmo ângulo •

•

o h

a h Dividindo sena por cosa , tem - se : o sena o  h   tg a a cosa a h sena Então,  tg a . cosa Como o triângulo é rectângulo , podemos aplicar o teorema de Pitágoras : Como sena 

e cosa 

a 2  o2  h 2 Dividindo ambos os membros por h 2 , tem - se : a 2  o2 h 2 a 2 o2 a o  2  2  2  1        1  sen 2a  cos 2 a  1 2 h h h h h h 2

Fórmula Fundamental da Trigonometria

Tabela TrigonomĂŠtrica Calculadora

Com as tabelas trigonométricas podemos resolver dois problemas  Sendo β a amplitude de um ângulo agudo obter valores aproximados das suas razões trigonométricas. Calcula:

sen 27º

cos 23º

tg 55º

 Dado um valor de sen β, cos β ou tg β Determinar um valor aproximado de β Determina β sabendo que:

cos   0,857

  31º

sen  0,811

  54º

A calculadora deve estar em modo DEG (graus)  Determina as razões trigonométricas do ângulo de 31o. Calcula:

sen 31º

cos 31º

tg 31º

 Dado o valor do seno, cosseno ou da tangente determinar o valor aproximado do ângulo. Determina β sabendo que:

sen  0,669

No visor aparece o valor do ângulo em graus. Logo,

  42º Analogamente, permitem calcular a amplitude do ângulo, conhecido o seu cosseno ou a sua tangente.

Exemplos de Aplicação

Analisando o esquema (triângulo retângulo) O que é dado: hipotenusa = 1,7 m Cateto oposto = 1,2 m

Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto com a hipotenusa? seno

comprimento do cateto oposto ao ângulo a sena  comprimento da hipotenusa

1, 2 sena   a  45º 1, 7

Analisando o esquema (triângulo retângulo) O que é dado: hipotenusa = 6 m Cateto adjacente

= 5 m

Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto adjacente com a hipotenusa? Cosseno

comprimento do cateto adjacente ao ângulo a cos a  comprimento da hipotenusa

5 cos a   a  34º 6

Analisando o esquema (triângulo retângulo) O que é dado: Cateto oposto = 25 cm Cateto adjacente

= 30 cm

Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto com o cateto adjacente ? Tangente

comprimento do cateto oposto ao ângulo a tga  comprimento do cateto adjacente ao ângulo a

25 tga   a  40º 30

Analisando o esquema acima (triângulo retângulo) O que é dado: Cateto oposto = 30 cm Cateto adjacente

= 90 cm

Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto com o cateto adjacente ? Tangente

comprimento do cateto oposto ao ângulo  tg   comprimento do cateto adjacente ao ângulo 

30 tg      18º 90

A Descolagem do Avião

Resolução: Analisando o esquema acima (triângulo retângulo) indica:

O que é dado: ângulo = 20o

hipotenusa= 400 m

O que queres saber: 1. A distancia percorrida na horizontal (d) 2. A altura atingida (a)

1. A distancia percorrida da horizontal (d) Cálculo do cateto adjacente (d) Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto adjacente com a hipotenusa? Cosseno

comprimento do cateto adjacente ao ângulo 20 cos 20  comprimento da hipotenusa d 0,94   400  d  0,94  400   d  376m

2. A altura atingida (a) Cálculo do cateto oposto (a) Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto com a hipotenusa? seno

comprimento do cateto oposto ao ângulo 20 sen20  comprimento da hipotenusa a 0,34   400  a  0,34  400   a  136m

Resolver um triângulo retângulo é encontrar as medidas dos comprimentos dos lados e as amplitudes dos ângulos internos do triângulo. Comprimento dos lados

d  136m

a  136m

Amplitude dos ângulos

20º 90º

180º 20º 90º  70º

h  400m

Resolve o seguinte triangula retângulo A

4 cm

Determinar os ângulos desconhecidos:

ˆ = 90º ABC 4 senx   senx  0,571  x  35º 7

7 cm

ˆ =180º-35º-90º= 55º CAB

x C

Determinar o lado desconhecido:

AB  4cm AC  7cm

BC cos 35º   BC  cos 35º 7  7  BC  5,733

O que é dado: Cateto oposto = 80 cm x 10º

80 cm

ângulo = 10º O que queres saber: hipotenusa

Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto com a hipotenusa? seno

comprimento do cateto oposto ao ângulo 10º sen10º  comprimento da hipotenusa

O pentágono inscrito na circunferência é regular. Assim, os ângulos agudos ao centro são geometricamente iguais.

ˆ  360º  72º BOC 5

ˆ  72º  36º AOM 2

O apótema de um polígono regular divide ao meio qualquer um dos seus lados

O que é dado: Cateto oposto = 2 cm ângulo = 36º O que queres saber:

Cateto adjacente

4 AM = = 2cm 2

Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto com o cateto adjacente ? Tangente

O que é dado: ângulo = 36º Cateto oposto = 2 cm O que queres saber: hipotenusa 36º

2 cm

Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto com a hipotenusa ? seno

Ou podemos aplicar o teorema de Pitágoras

Fórmulas Secundárias •

Se dividirmos ambos os membros da igualdade

sen 2a  cos 2a  1 por cos 2a , sendo cosa  0,

vem : sen 2a  cos 2a 1 sen 2a cos 2a 1 1  sena        1     2 cos a cos 2 a cos 2a cos 2a cos 2a cos 2a cos a   1  tg 2a  1  cos 2a 2

•

Dividindo na mesma igualdade por sen 2a , sendo sena  0, obtemos : 1 1  cotg 2a  sen 2a Nota : cotga 

cos a 1  sena tga

cotga  cotangente de a

Relações entre as razões trigonométricas de ângulos complementares •

Consideremos agora os dois ângulos agudos (complementares) do triângulo da figura e vamos determinar as expressões de cos a , sen a , cos  e sen :

cosa 

a ; h

sena 

o h

e a o ; cos  h h Logo, cos a  sen e sena  cos Como o triângul o é rectângulo , temos a    90º    90º - a . Sendo assim, podemos afirmar que : cosa  sen ( 90º - a ) e sena  cos ( 90º - a )

sen 

Nota : tg ( 90º - a ) 

1 , ou seja, tg ( 90º - a )  cotga tga

Exercícios resolvidos •

1. Determine a valor de cos a sabendo que a é um ângulo agudo e que: 1 Resolução 11. 1.1. sena  3 5 1.2. tana  2

12.

Exercícios resolvidos (cont.)

•

2. Demonstrações 2.1.

cos 2  1  sen 1  sen

2.2.

tan  

2.3.

sen 1  cos   1  cos  sen

Resolução 2.1.

1 1  tan  sen  cos 

2.2.

2.3.

Razões trigonométricas dos ângulos de 30º, 45º e 60º •

Ângulo de 45º De acordo com a figura, temos:

a a

cateto oposto a a 1 2 sen 45º      hipotenusa hipotenusa a 2 2 2

Cálculos auxiliares hipotenusa2  a 2  a 2  hip 2  2a 2  hip  a 2 , pois a  0 e hip  0

Analogamen te, cos 45º 

cateto adjacente 2  hipotenusa 2

2 sen45º Consequent emente , tg 45º   2 1 cos45º 2 2

Razões trigonométricas dos ângulos de 30º, 45º e 60º (cont.) •

Ângulos de 30º e de 60º Observando a figura tem-se que:

1 1 sen 30º  2  1 2

Cálculos auxiliares 2

1 1 x     12  x 2   1 4 2

x 3 cos 30º   x  1 2

 x2 

3 3 x , pois x  0 4 2

1 sen 30º 1 3 Consequentemente, tg 30º   2   cos 30º 3 3 3 2 Analogamen te, tem - se que : 3 2 1 cos 60º  sen 30º  2

sen 60º  cos 30º 

tg 60º 

1 3   3 tg30º 3

FIM

Prof. Deolinda Sรก