Produto Escalar de dois vetores Propriedades do Produto Escalar
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Produto escalar de dois vetores O produto escalar de dois vectores u e v , do plano ou do espaço, representa-se por u . v e é dado por: u.v u . v . cos(u ^ v ) se u 0 e v 0 u.v 0 se u 0 ou v 0 Ou, em termos de coordenadas de vectores:
u . v ac bd
sendo
u (a, b) e v (c, d )
Assim sendo o produto escalar de dois vectores é um número real.
Consequências da definição: 1) Se dois vetores são ortogonais, o seu produto escalar é igual a 0, e reciprocamente.
u (a, b) e v (c, d ) são ortogonais se e só se ac bd 0 Esta condição permite indicar rapidamente as coordenadas de um vetor perpendicular a outro, cujas coordenadas são conhecidas. Para tal basta trocar a ordem das coordenadas e o sinal a uma delas.
Um vetor perpendicu lar a u(a,b) é v (-b, a) ou v (b,-a). Uma expressão geral é k(-b,a), k \ 0
2. Se 3. Se
u .v
> 0, o ângulo dos dois vetores é agudo, e reciprocamente.
u . v < 0, o ângulo dos dois vetores é obtuso, e reciprocamente.
4. Se dois vetores são colineares e têm o mesmo sentido, têm-se
u .v u . v
5. Se dois vetores são colineares e têm sentidos opostos, têm-se
u .v u . v
6. Da definição de produto escalar de dois vetores não nulos, podemos obter a seguinte igualdade que define o ângulo de dois vetores
u.v cos(u ^ v ) u .v
Ou em termos de coordenadas, sendo
cos(u ^ v ) 7. Para cada vetor u, tem-se:
u (a, b) e v (c, d )
ac bd a b . c d 2
2
u.u u
2
2
2
Propriedades do produto escalar
• Propriedade comutativa:
u.v v.u , u , v
• Propriedade distributiva:
u.(v w) u.v u.w, u , v , w
• Propriedade associativa mista:
(t.u ).v t (v.u ) u.(t.v ), v , u , t
Exemplo 1:
Exemplo 2:
Exemplo 3:
Produto Escalar de dois vetores FIM
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