Trabalho pares

Praia

Antรณnio Almeida e Rute Resende 11ยบA

Matemรกtica A- Trabalho de Pares

Praia

Problema nยบ9

Antรณnio Almeida e Rute Resende 11ยบA

Enunciado do Problema: Numa praia da costa alentejana, mediu-se num determinado dia o nível médio das águas do mar, N, em metros, ao longo do tempo, t, em horas. Depois de registados os dados encontrou-se como modelo deste fenómeno periódico a seguinte função:

  N (t )  4  2 cos t , t  0,24 6 

Nota: O argumento da função cosseno está expresso em radianos.

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Esboço da função obtida Utilizando as capacidades da calculadora gráfica, introduziu-se a função N(t), com a janela de visualização 0,30x  0,8y , obtendo-se a seguinte representação gráfica: N(t)

t António Almeida e Rute Resende 11ºA

Estudo da Função Domínio da função com base no problema

• A função apresentada é uma função Cosseno. Assim, pôde-se retirar conclusões iniciais como:

N(t)

• A função é par (paralela em relação ao eixo das ordenadas) • O período da função é 12 ( 12 horas)

t Período 12H

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24H

• A função não é injetiva ( existem diferentes horas com o mesmo nível médio de águas)

Nível médio das águas às 14h Para calcular o nível médio das águas do mar às 14 horas, substituiuse t por 14 e simplificou-se a expressão.

   14  4  2 cos t   4  2 cos    6  6  7     4  2 cos    4  2 cos   3  3 1  4  2   4 1  2 R.: Às 14h o nível médio das N 3 águas do mar era de 3 metros António Almeida e Rute Resende 11ºA

Valores de t para os quais N(t)=5 Calculou-se a hora em que o nível     4  2 cos t   5  2 cos t   1  médio das águas 6 6     do mar tinha o 1  2  4    cos t     t   2k  t   2k  valor de 5 metros, 2 6 3 6 3 igualando a 6  expressão a 5.  2   2k   4   2k          3   1  3   1    t  t    k  0, t  4  t  8  t  0,24         k  1, t  16  t  20  t  0,24         6 6 6 6 k  2, t  28  t  32  t  0,24 12 12k 24 t  t   12k  3  3 R.: O nível médio das águas do mar é 5 metros,  t  4  12k  t  8  12k às 4h, 8h, 16h e 20h António Almeida e Rute Resende 11ºA

Horas da manhã em que o nível médio das águas do mar é superior a 4 metros Introduziu-se a função y=4 e, utilizando as capacidades da calculadora gráfica, calculou-se a interseção das duas funções obtendo os pontos assinalados em baixo:

(3,4)

(9,4) (15,4) (21,4)

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Conclui-se que o nível médio das águas do mar é superior a 4 metros, entre as 3h e as 9h da manhã, e entre as 15h e as 21h.

(Não inclusive)

1.5) Sabendo que as marés podem ser traduzidas por funções do tipo: y  a  bsen(cx  d ) , justifica graficamente se, no cotexto do problema, a pode ser igual a zero.

Sabe-se que:   N (t )  4  2 cos t , t  0,24 6  Logo

a b

c

Igualando a a zero, obtém-se:

  N (t )  2 cos t , t  0,24 6 

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Utilizando as capacidades da calculadora introduziu-se as duas funções N(t), com a janela de visualização 0,30x   3,8y , obtendo-se a seguinte representação gráfica:   N (t )  4  2 cos t , t  0,24 6    N (t )  2 cos t , t  0,24 6  Igualando a a zero e através da representação, pôde-se concluir que, a é uma transformação da função (na vertical), elevando os valores de y quatro unidades.

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Assim, sem esta transformação, y toma valores negativos, logo, é impossível o problema ser representado igualando a a zero. Isto porque N representa uma medida, que nunca pode ser negativa.

1.6) E se b fosse o simétrico do atual?

Como já concluído anteriormente b= -2, assim o simétrico de b é 2.

Utilizando as capacidades da calculadora introduziu-se a função N(t), com a transformação indicada e a função N(t) original, com a janela de visualização 0,30x  0,8y obtendo a seguinte representação gráfica: Pôde-se concluir que, com esta transformação o problema continua a     N (t )  4  2 cos t , t  0,24 ser representado 6  corretamente. No N=4 entanto, os valores   N (t )  4  2 cos t , t  0,24 de N são simétricos 6  para os mesmo valores de t, exceto em N=4, onde as António Almeida e Rute Resende 11ºA funções se cruzam.

Conclui-se que…  A função N(t) representa uma medida, tal que, os seus valores são sempre positivos. Os a valores de t horas variam entre 0 e 24 porque o problema apresentado, diz respeito a valores de um dia completo.  A função tem um período de 12, neste caso 12 horas, sendo que para resolver o problema, utilizam-se os dois primeiros períodos ( t  0,24).  Para calcular valores de N, num certo valor de t, em horas, basta substituir t por esse mesmo valor.  Para calcular valores de t, para um certo valor de N, basta igualar a função a esse valor, obtendo números variáveis consoante uma incógnita k.

Substituindo k, tendo em atenção o domínio da função N(t), obtém-se os valores de t correspondentes, neste caso, a um certo nível médio de águas do mar.  A função N(t) tem algumas transformações associadas, e substituindo esses valores por outros, ou por simétricos, as respostas ao problema tornam-se radicalmente diferentes, ou até impossíveis.

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Fim…

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