Limiteak i (ebatzibarik)

1

LIMITEEN KALKULUA (ARIKETAK) Aktibitateak 1: • •

3x = x 2 −1

lim x →1

lim

x →−1

3x = x 2 −1

•

lim

1 = x −2

•

lim

2x = x −9

•

x = x →−3 2x + 6

•

lim

x →2

2

x →3

lim

x →0

2x + 5 = 3x

Aktibitateak 2: •

lim

x 3 −1 = x 4 −1

•

lim

x 2 − 6x + 9 = x −3

•

lim

•

x 2 − 6x + 8 lim = x →4 x−4

•

lim

•

lim

• •

x →1

x →3

(1 + x ) 2 − 1

x →0

x

3x − 6 = x →2 (x − 2) 2

x 2 −1 = x →1 x 3 − 1

x +1 = −1 − x 2x + 4 lim 2 = x →−2 x − 4 lim

x →−1

=

2

Aktibitateak 3: x3 3

x −1

lim

x →∞

•

x

4

−

1

 ∞ =   ⇒ lim x 4 x x →∞  ∞ x 4

4

1 1 − 4 0 −0 x x = lim = =0 x →∞ 1 1

x4 edo inf inito baliokideak erabiliz : x 3 −1 ≈ x 3 x inf initora doanean x 3 −1

lim

x →∞

x4

x3 1 1  ∞ =   ⇒ lim 4 = lim = =0 x → ∞ x → ∞ x ∞  ∞ x

•

x 2 − 6x +1  ∞  x2 =   ⇒ lim = lim x = −∞ x →−∞ x →−∞ x x →−∞ x −3  ∞

•

lim

lim

(1 + x ) 2 − 1

x →∞

x

=

•

x 2 − 6x + 8 = x →∞ 2x 2 − 5

•

x2 −1 = x →∞ x 3 − 1

•

4x 5 − 2x 2 − x = x → −∞ x 2 −1

•

1− x 6 = x →−∞ x 3 + 1

lim

lim

lim

lim

3

∞-∞ erako indeterminazioak: • 2

 x 2 +1 − x  x 2 +1 + x   x 2 +1  − ( x ) 2      x 2 +1 − x 2 2        lim  x +1 − x  = [ ∞ − ∞] ⇒ lim = lim  = lim = x →+∞ x →+∞ x →+∞ x →∞  x 2 +1 + x x 2 +1 + x x 2 +1 + x 1 1 1 lim == = =0 2 x →∞ ∞ + ∞ ∞ x +1 + x

• • • • •

( x − 2 − 2x ) = lim ( 9x + 3x − 2 − 4x ) = 2

lim

x → +∞

2

x→ + ∞

lim

x→∞

(

(

)

x+3− x−3 =

)

lim x 4 + 1 − x 2 =

x→∞

(

)

lim x 2 + 3x − x 2 + 2 =

x→ ∞

Mota ezberdineko limiteak: x 2 − 25 = x −5

•

lim

•

lim

(1 + x ) 2

•

lim

( 2 + x) 3 − 8

•

lim

•

x2 −1 = x →∞ x 3 − 1

•

lim

•

x →∞

•

lim

• • •

x →5

−1

=

x

x →1

x

x →0

=2

x −1 + x +1 x + 1 − x −1

x →1

lim x →0

lim

(

1 − x −1 = x

)

x +1 − x =

x 2 − 3x − 4 = x → 4 x 2 − 2x − 8 2− x lim 2 = x → 2 2x − 4x x−2 lim 2 = x → 2 x − 4x + 4

(

)

lim x 2 + x − x =

x→∞

=