Planos e retas

Exercícios do slide.

RETA Equação Vetorial da reta

1. Determine uma equação vetorial da reta AB, sabendo que A(2,-1,0) e B(0,-1,3).

2. Determine uma equação vetorial da reta s, paralela à reta r do exemplo anterior, e que passa pelo ponto C(0,-1,4).

r : X = (2,−1,0) + t (−2,0,2) , t ∈ R 3.

Considere a reta r dada a seguir e faça o que se pede.

a) Verifique se os pontos A(-2,-1,4) e B(1,0,2) pertencem à reta r. b) Determine dois pontos da reta r.

Equação Paramétrica da reta

4. Determine as equações paramétricas da reta r dada a seguir.

r : P = (2,−1,0) + t ⋅ (−2,0,3) , t ∈ R

5.

x = t  r :  y = -t + 2 , t ∈ R z = 1 + 3t 

Considere a reta r dada a seguir, e faça o que se pede.

a) Verifique se os pontos P(1,1,4) e Q(2,1,7) pertencem à reta r. b) Determine dois pontos da reta r. c) Determine uma equação vetorial da reta r.

Equação Simétrica da reta

r: 6.

x = y−2 = z 2

Considere a reta r dada a seguir, e determine:

a) um ponto que pertencem à reta r. b) um ponto que não pertence à reta r. c) uma equação vetorial da reta r.

PLANO Equação Vetorial do plano

7. Determine uma equação vetorial plano ABC, sabendo que A(2,-1,0), B(0,-1,3) e C(0,2,3).

8. Considere a o plano do exemplo 1 e determine os pontos P e Q, tais que PÎa e QÏa.

Equação Paramétrica do plano

9.

x = 2 - 2t  α :  y = -1+ h , t, h ∈ R z = 3t + 4h 

Determine as equações paramétricas do plano a dado a seguir.

r : P = (2,−1,0) + b(−2,0,3) , b ∈ R 10.

s:

x = y−2= z 2

Determine as equações paramétricas do plano a que passa pelo ponto A(1,-2,5) e é paralelo às retas dadas a seguir.

11. Determine uma equação vetorial do plano b, paralelo ao plano a do exemplo anterior, e que passa pelo ponto C(0,-1,4).

Equação Geral do plano

12. Determine uma equação geral do plano a dado a seguir.

x = 2 - 2t + 2h  α :  y = -1+ h , t, h ∈ R z = 5 + 3t + h 

13. Determine uma equação geral do plano a sabendo que esse plano é perpendicular à reta r dada a seguir e que passa pelo ponto A(0,0,0).

r:

x = y−2 = z 2

14.

x = 2 + 2h  α : y = -1+ t , t, h ∈ R z = 5 + 3t + h 

Determine uma equação da reta r que é perpendicular ao plano a, dado a seguir, que passa pelo ponto A(0,4,1).

β : 2x − 3y + z + 4 = 0

15.

Determine uma equação vetorial do plano a sabendo que esse plano é paralelo ao plano b , dado a seguir, e que passa origem.

e

Posições relativas entre dois planos 16. Em cada item a seguir, determine a posição relativa dos planos a e b.

α : 2x − 3 y + z + 4 = 0 β : 4x − 6 y + 2z + 4 = 0 a)

α : y − 3 z + 4 = 0 β : −3 y + 9 z − 12 = 0 b)

x = 2 - 2t  β :  y = -1+ h , t, h ∈ R z = t + h 

α : y − 3z + 4 = 0 c)

17.

18.

 y − 3z + 4 = 0 r: − x + 2 y − 2 z + 4 = 0

Determine uma equação vetorial da reta r dada a seguir.

r : X = (1,0,0 ) + t ( 0,3,−1) , t ∈ R seguir.

Determine uma equação geral da reta r dada a