Calculo i m livro do xavier by Anselmo Rocha

Módulo III CÁLCULO I - M João Xavier da Cruz Neto

PRESIDENTE DA REPÚBLICA Luiz Inácio Lula da Silva MINISTRO DA EDUCAÇÃO Fernando Haddad UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ REITOR Luiz de Sousa Santos Júnior SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA DO MEC Carlos Eduardo Bielschowsky DIRETOR DE POLÍTICAS PÚBLICAS PARA EAD Hélio Chaves UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL COORDENADOR GERAL Celso Costa CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA À DISTÂNCIA DA UFPI Coordenador Geral de EaD na UFPI Gildásio Guedes Fernandes CENTRO DE CIÊNCIAS DA NATUREZA DIRETOR Helder Nunes da Cunha COORDENADOR DO CURSO de Licenciatura em Matemática na Modalidade EaD João Benício de Melo Neto DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CHEFE DO DEPARTAMENTO Jurandir de Oliveira Lopes EQUIPE DE APOIO Paulo Sérgio Marques dos Santos Renan de Oliveira

Este texto é destinado aos estudantes aprendizes que participam do programa de Educação à Distância da Universidade Aberta do Piauí (UAPI) vinculada ao consórcio formado pela Universidade Federal do Piauí (UFPI) Universidade Estadual do Piauí (UESPI), Centro Federal de Ensino Tecnológico do Piauí (CEFET-PI), com apoio do Governo do estado do Piauí, através da Secretaria de Educação.

O texto é composto de cinco unidades, contendo itens e subitens, que discorrem sobre: Números reais, Funções e gráficos, Limites e Continuidades, A Derivada e suas aplicações e A Integral.

Na Unidade 1, apresentamos uma breve revisão sobre conjuntos, com ênfase no corpo dos números reais e suas propriedades.

Na Unidade 2, introduzimos o estudo de funções, mostrando a importância deste conceito, os exemplos mais importantes, conhecendo

suas

características

suas

particularidades.

Apresentamos as operações de adição, multiplicação e divisão de funções, com as suas principais propriedades.

Na Unidade 3, apresentamos a noção de limite, limites laterais e limites no infinito. Definimos função contínua e mostramos várias de suas propriedades.

Estabelecemos o Teorema do Valor

Intermediário e algumas de suas aplicações.

Na Unidade 4, introduzimos um conceito muito importante no Cálculo: a derivada. Apresentamos aplicações na Física para motivar o nosso estudo. Enunciamos o Teorema do Valor Médio e fazemos várias aplicações, dentre elas, o esboço de gráficos de funções.

Na Unidade 5, introduzimos a integral indefinida usando o conceito de antiderivada de uma função. Construímos uma tabela com as integrais mais conhecidas e apresentamos técnicas para resolver as mais elaboradas.

Na parte final da unidade,

desenvolvemos a integral definida como o limite de somas de Riemann e apresentamos o Teorema Fundamental do Cálculo, com o qual determinamos a área de regiões delimitadas por curvas planas.

Em todas as unidades, indicamos alguns livros mais avançados e links para o aprofundamento de conteúdo.

UNIDADE 1. Números reais 1.1 Conjuntos

1.2 Números reais

1.3 Saiba mais

1.4. Exercícios

Referências bibliográficas

UNIDADE 2. Funções e Gráficos 2.1 Introdução

2.2 Conceito de função

2.3 Algumas funções importantes

2.4 Operações com funções

2.5 Saiba mais

2.6 Exercícios

Referências Bibliográficas

UNIDADE 3. Limites e Continuidade 3.1 Noção de limite

3.2 Funções contínuas

3.3 Limites laterais

3.4 Limites no infinito

3.5 Teorema do Valor Intermediário

3.6 Saiba mais

3.7 Exercícios

Referências Bibliográficas

UNIDADE 4. A Derivada e suas Aplicações 4.1 Definição de derivada de uma função

103

4.2 Taxa de variação

116

4.3 Variação das funções e esboço de gráfico

120

4.4 Saiba mais

130

4.5 Exercícios

132

Referências bibliográficas

139

UNIDADE 5. A Integral 5.1. Primitivas

143

5.2 Técnicas de Integração

145

5.3 Integral definida

150

5.4 Saiba mais

157

5.5 Exercícios

158

Referências Bibliográficas

165

U ni de da 1 Unidade 1

sociolo iologia gia ee a a AA soc Funções e Gráficos Soc iolo gia da Edu Educaç cação ão Sociologia da

Resumo Nesta unidade, introduzimos o estudo de funções, mostrando a importância deste conceito, os exemplos mais importantes, conhecendo suas características e suas particularidades. Apresentamos as operações de adição, multiplicação e divisão de funções, com as suas principais propriedades. Indicamos alguns livros mais avançados e links para o aprofundamento de conteúdo.

UNIDADE 5. A Integral 5.1. Primitivas

143

5.2 Técnicas de Integração

145

5.3 Integral definida

150

5.4 Saiba mais

157

5.5 Exercícios

158

Referências Bibliográficas

165

1. Numeros ´ Reais 1.1 Conjuntos

˜ faremos uma breve apresentaçao ˜ da teoria dos A t´ıtulo de revisao, ˜ e´ nosso escopo escrever um texto que sirva de reconjuntos. Nao ˆ ferencia na teoria dos conjuntos, pois o que mostraremos aqui ja´ e´ de conhecimento de muitos e encontra-se em obras mais completas, ˜ mais bela e digna de apreciaçao. ˜ Convidamos com uma apresentaçao Veja mais sobre a Teoria de Conjuntos no s´ıtio da UFSCAR.

o leitor a consultar algumas obras que indicaremos na bibliografia re˜ dos conjuntos dos numeros comendada. Omitiremos a construçao ´ naturais N = {1, 2, 3, . . .}, inteiros Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} , racionais Q = {x = p/q; p ∈ N e q ∈ Z∗ } e reais. Admitiremos conhecidas as propriedades desses conjuntos. O leitor menos experiente pode buscar um tratamento rigoroso desses conjuntos em um bom ´ ´ ´ livro de Algebra, ou mesmo de Analise Matematica. Estudaremos, com um pouco de rigor, o conjunto dos numeros ´ reais, que formam a ˜ do leitor sair do curso de Calculo ´ base de todo o livro. E´ obrigaçao ´ com um conhecimento solido das propriedades dos numeros ´ reais. ´ ˜ existe uma definiçao ˜ Ao contrario do que muitos imaginam, nao ˜ aceitavel ´ para conjunto. Qualquer tentativa de se atribuir uma definiçao ´ de exemplos. Assim, um aviso que sera´ refutada rapidamente atraves ˜ damos para nossos leitores e´ que jamais tentem dar uma definiçao para conjunto. Costumamos dizer que um conjunto e´ formado por objetos, coisas, 11

12 ˜ seus elementos, componentes. Atentemo-nos para a exisque sao ˆ ˜ possui elemento altencia do conjunto vazio, que e´ aquele que nao ˜ satisfaz a` poss´ıvel definiçao ˜ de que gum. Assim, o conjunto vazio nao ˜ de elementos. (Quais sao ˜ os elementos um conjunto e´ uma coleçao do conjunto vazio?) Costumamos designar o conjunto vazio por ∅. ˜ Tratando de conjuntos nao-vazios, geralmente designamos um conjunto da seguinte maneira: A = {a, b, c}, onde A e´ o conjunto e a, b, c ˜ seus elementos. Tambem ´ temos representaçoes ˜ ´ sao graficas, estas ˜ ja´ conhecidas pelo leitor. Muitas vezes, para uma melhor visualizaçao de certas propriedades de conjuntos, esboçamos figuras. Mas o leitor ˜ geometrica ´ deve entender que a intuiçao e´ importante e faz parte do aprendizado, mas nem sempre e´ a sua parte principal. ´ da Podemos relacionar um conjunto com seus elementos atraves ˜ de pertinencia. ˆ relaçao Dado um conjunto B qualquer, dizemos que um elemento x pertence a B, e escrevemos x ∈ B, ou B ∋ x, se x ˜ esteja em B, dizemos que ele esta´ em B. Caso um elemento y nao ˜ pertence a B e escrevemos y ∈ nao / B, ou B 6∋ y. Dados os conjuntos A e B, dizemos que A esta´ contido em B, ou A e´ um subconjunto de B, e escreveremos A ⊂ B quando todo elemento de A for um elemento de B. Ou seja, se para todo x ∈ A tivermos ˜ A ⊂ B. x ∈ B, entao

Figura 1.1: A ⊂ B

Exemplo 1.1.1. A = {1, 2, 3, 7, 9}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Clara´ que nem mente, todo elemento de A e´ elemento de B. Note tambem todo elemento de B e´ elemento de A. Quando isso acontece, escreve-

13 ˜ esta´ contido em A, A mos B 6⊂ A ou A 6⊃ B para dizermos que B nao ˜ contem ´ B, respectivamente. nao ˜ temos A ⊃ B. Quando No exemplo anterior, temos A ⊂ B mas nao ´ isso acontece, dizemos que A e´ um subconjunto proprio de B. Geral˜ mente, encontramos em alguns livros as notaçoes A ⊆ B, quando o ˜ autor quer dizer que A esta´ contido ou e´ igual a B. Claro que nao ˜ para o caso de subconjuntos proprios. ´ podemos usar esta notaçao ˜ : A $ B para dizermos que A esta´ Nesse caso, usamos a notaçao ˜ e´ igual a B. contido em mas nao ˜ dizemos que os conjuntos Quando tivermos A ⊂ B e A ⊃ B, entao ˜ iguais e escreveremos A = B. Assim, quando o leitor deseA e B sao ˜ iguais, ele deve mostrar jar mostrar que dois conjuntos quaisquer sao ´ o outro, isto e, ´ que todo elemento de um e´ elemento que um contem do outro e vice-versa. Exemplo 1.1.2. C = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3}. Nesse exemplo bem ˜ iguais. trivial, o leitor facilmente veˆ que os conjuntos C e D sao Costumamos designar um conjunto pela propriedade da qual seus ´ designamos um conjunto da seguinte maneira: elemento gozam, isto e, A = {x : x goza da propriedade P } ou A = {x : P (x)}, sendo a primeira a mais encontrada nos livros atuais. Exemplo 1.1.3. O conjunto C do exemplo anterior pode ser escrito como C = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 3}. ˆ Exemplo 1.1.4. O conjunto E = {x ∈ Q; x2 = −3} e´ vazio. (Por que?) ˆ Dado um conjunto qualquer A, dizemos que o conjunto potencia de A, ou o conjunto das partes de A, e´ o conjunto formado de todos os subconjuntos poss´ıveis de A. Denotamos tal conjunto por ℘(A), onde ℘(A) = {X ; X ⊂ A}.

14 Exemplo 1.1.5. Dado o conjunto C = {1, 2, 3}, determinar o seu conˆ ˜ O conjunto potencia ˆ junto potencia. Soluçao: de C e´ dado por ℘(C) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, C}. Note que o conjunto ˆ vazio sempre faz parte do conjunto potencia de qualquer conjunto. ˜ trivial desse fato e´ a seguinte: Se o conjunto vazio Uma verificaçao ˜ faz parte do conjunto potencia ˆ ˜ ele nao de algum conjunto X, entao ˜ esta´ contido neste conjunto X. Mas isso significa que existe um nao ˜ esta´ em X. O conjunto vazio nao ˜ possui eleelemento em ∅ que nao mentos. ˜ elementares entre Agora abordaremos rapidamente as operaçoes ´ conjuntos. O estudo delas certamente ja´ foi abordado varias vezes ´ ´ no começo nos ensino fundamental e medio, assim como tambem do curso, em disciplinas mais elementares. Apesar de elementares, ˜ imprescind´ıveis nos estudos posteriores, principalmente em elas sao ˜ constandisciplinas mais avançadas que fazem uso de tais operaçoes temente. ˜ ˜ 1.1.1 (Forma simples). Dados os conjuntos A e B, a uniao Definiçao ˜ entre eles e´ dada pelo conjunto formado pelos elementos ou reuniao, ˜ usada para tal conjunto e: ´ A ∪ B. de A e de B. A notaçao A ∪ B = {x ; x ∈ A ou x ∈ B}. Exemplo 1.1.6. Dados os conjuntos X = {−23, 1, 4} e Y = {21, 132, 400}, ˜ de X e de Y e´ dada por X ∪ Y = {−23, 1, 4, 21, 132, 400}. Note a uniao que X ⊂ X ∪ Y . O que voceˆ pode afirmar para o conjunto Y ? Por ˆ que? Exemplo 1.1.7. Dados os conjuntos A = {a, b, c} e B = {a, c, d}, o ˜ de A e B e´ dado por A ∪ B = {a, b, c, d}, ou seja, nao ˜ e´ conjunto uniao ˜ e´ certo o racioc´ıcio de que o numero ´ de elementos do conjunto uniao sempre igual a` soma dos numeros ´ de elementos dos seus conjuntos compositores. ´ claro que nao ˜ trabalhamos apenas com uniao ˜ de dois conjuntos E ou um numero ´ finito de conjuntos. Apesar de quase sempre ser algo

15 ˜ abstrato e de dif´ıcil aprendizado para o calouro, daremos a definiçao ˜ isto e, ´ a que compreende todos os exemgeral de conjunto uniao, ˜ se preocupe caso nao ˜ entenda rapidamente tal plos existentes. Nao ˜ O importante e´ o entendimento, e nao ˜ a velocidade com a definçao. qual voceˆ aprende o assunto. Tome seu tempo. Um conjunto de ´ındices e´ um conjunto de elementos com os quais podemos designar elementos de outros conjuntos. Por exemplo, se tomarmos o conjunto de ´ındices L = {1, 2, 3} e o conjunto A = {{a, b}, {c, f }, {x, z}}, ˜ A = A1 ∪ A2 ∪ A3 , onde A1 = {a, b}, A2 = podemos fazer a associaçao {c, f }, A3 = {x, z}. De uma forma mais rebuscada, poder´ıamos esS S crever A = 3i=1 Ai , ou melhor, A = λ∈L Aλ . ˜ 1.1.2. Sejam Γ um conjunto de ´ındices e {Aλ }λ∈Γ uma Definiçao ˜ desta fam´ılia e´ dada por: fam´ılia de conjuntos. A uniao [

λ∈Γ

Aλ = {x ; x ∈ Aλ , para algum λ ∈ Γ}.

Exemplo 1.1.8. Seja An = {n}, n ∈ N. O que voceˆ pode afirmar sobre S ˜ ˆ a uniao i∈N Ai ? Por que? Exemplo 1.1.9. No exemplo anterior, se nos fosse pedido com k ∈ N, ter´ıamos como resposta o conjunto {1, . . . , k}.

i=1

Ai ,

˜ elementar e conhecida pelo leitor e´ a intersecçao ˜ Outra operaçao ´ e´ de natureza bem simples, assim como de conjuntos. Ela tambem tudo neste livro, e sera´ vista rapidamente. ˜ ˜ 1.1.3 (Forma simples). Dados os conjuntos A e B, a intersecçao Definiçao entre eles e´ o conjunto formado por todos os elementos que per˜ usada para tal tencem a A e a B concomitantemente. A notaçao ´ o conjunto intersecçao ˜ e´ dado por: conjunto e´ A ∩ B, isto e, A ∩ B = {x ; x ∈ A e x ∈ B}.

˜ entre A e B Figura 1.2: Interseçao Exemplo 1.1.10. Dados os conjuntos M = {1, 3, 5} e N = {2, 3, 8}, temos que M ∩ N = {3}. ˜ entre ∅ e um conjunto D qualquer e´ Exemplo 1.1.11. A intersecçao ˆ sempre vazia. Por que? ˜ de conjuntos, temos a intersecçao ˜ Assim como no caso da uniao definida para um numero ´ qualquer de conjuntos. Passemos para a ˜ do caso geral. definiçao ˜ 1.1.4. Sejam Γ um conjunto de ´ındices e {Aλ }λ∈Γ uma Definiçao ˜ desta fam´ılia e´ dada por: fam´ılia de conjuntos. A intersecçao \

λ∈Γ

Aλ = {x ; x ∈ Aλ , para todo λ ∈ Γ}.

˜ Exemplo 1.1.12. Seja An = {n}, n ∈ N. Neste caso, a intersecçao ´ ˜ e´ composta de um eledestes conjuntos, ao contrario da sua uniao, mento. Qual? ˜ Exemplo 1.1.13. A t´ıtulo de curiosidade, reflitamos sobre a intersecçao dos seguintes conjuntos: Dk = {x ∈ Q; −1/k ≤ x ≤ 1/k, k ∈ N}. O ˜ desses conjuntos, i.e. , que voceˆ pode afirmar sobre a intersecçao T sobre k∈N Dk ? ˜ de dois ou mais conjuntos nem sempre e´ Vimos que a intersecçao ˜ ˜ nao-vazia. Quando ela e´ vazia, dizemos que os conjuntos em questao ˜ disjuntos, i.e. , nao ˜ possuem elemento em comum. sao

17 ˜ bastante importante e´ a diferença de conjuntos. Outra operaçao ´ ˜ se trata de subtrair os eleAo contrario do que muitos imaginam, nao mentos de um conjunto pelo outro. Vejamos mais detalhadamente ˜ esta operaçao. ˜ 1.1.5. Dados os conjuntos A e B, a diferença entre A e B Definiçao e´ dada pelo conjunto formado pelos elementos pertencentes a A e ˜ nao-pertencentes a B. Denotamos tal diferença por A − B, ou A \ B. A \ B = {x; x ∈ A e x ∈ / B}.

Figura 1.3: A \ B Exemplo 1.1.14. Dados os conjuntos E = {4, 5, 6} e F = {3, 4, 7}, temos que E \ F = {5, 6}, enquanto que F \ E = {3, 7}. Exemplo 1.1.15. Z\N = {. . . , −3, −2, −1, 0}. O que voceˆ pode afirmar de N \ Z? ˜ bastante usada e´ a de complementar, e ela esta´ Uma definiçao ˜ de diferença de conjuntos. O conintimamente associada a` operaçao ˜ usada, junto complementar de A em B e´ dado por A\B. Uma notaçao mas pouco vista e´ CA B. Assim, CA B = A \ B, CB A = B \ A, etc. Exemplo 1.1.16. Dados os conjutos A = {0, 1, 2} e B = {0, 3, 5}, encontre CA B, CB A, A \ A ∩ B e B \ A ∩ B. Algo interessante?

1.2 Numeros ´ Reais

´ de numero ´ ´ A ideia ´ e´ algo que intriga varias pessoas ha´ seculos. ´ ´ Objeto de muita controversia entre os filosofos, os numeros ´ ja´ fazem ` vezes, nos ´ trabalhamos com eles sem parte da nossa vida e, as ˆ mesmo atentarmo-nos para a sua existencia. Antigamente, a palavra ´ conhecemos serem os numero ´ era apenas associada ao que hoje nos numeros ´ naturais. Afinal, antigamente esses eram os unicos ´ conheciˆ dos, e ate´ mesmo estes tiveram sua existencia bastante questionada ´ ˜ e s´ımbolos a eles e´ que o naquela epoca. Somente com a atribuic¸ao ´ de numero. homem passou a aceitar satisfatoriamente a ideia ´ ´ Com o passar do tempo, varios problemas surgiram, como era de ˜ apenas contar era suficiente, mas sim resolver probse esperar. Nao ´ lemas financeiros, geometricos, etc. Assim surgiram os numeros ´ in´ isso, houve um longo tempo em que o homem teiros e racionais. Apos acreditou poder resolver qualquer problema existente com as ferra´ mentas de que dispunha. Na verdade, varios problemas eram facil´ mente resolvidos e isso ate´ que animava os pensadores da epoca a procurarem novos problemas. ´ Acreditava-se na Grecia Antiga, que o conjunto dos numeros ´ racionais ˜ de quaisquer problemas na face da Terra. era suficiente para a soluc¸ao ´ de densidade, se nao ˜ era conhecida ainda, pelo menos ja´ fazia A ideia parte do pensamento corrente. Sabia-se que entre dois racionais sempre existia outro racional, e que isso implicava que existiam infinitos racionais entre dois racionais. Isso levou os gregos a crerem ´ ˜ todos os que se dispusessemos os racionais em uma reta, entao pontos da reta teriam um correspondente racional. Assim, qualquer ´ segmento de reta poderia ser medido com ”reguas”graduadas apenas ´ com numeros ´ racionais, segmentos lineares de comprimento unitario, ´ que toda medida poderia ser expressa atraves ´ de numeros isto e, ´ racionais. ´ ˜ descobriram que a total suficiencia ˆ Os pitagoricos entao dos racionais

19 ˜ era valida. ´ nao E descobriram isto com um exemplo bem simples. ˆ ˆ ´ ´ Basta tomarmos um triangulo retangulo isosceles de lado unitario. A √ ´ com a mesma medida da hipotenusa, a saber 2, e´ incomensuravel unidade de medida dos catetos. Existe uma prova bastante conhecida √ ˜ e´ racional e convidamos o leitor a procura-la ´ em outras de que 2 nao obras. Com a descoberta de que

√

˜ ´ 2 e´ nao-racional, varios outros exem-

´ plos foram obtidos. Para se ter uma ideia, toda raiz quadrada de ˜ numero ´ primo e´ nao-racional. Como o conjunto de numeros ´ primos e´ infinito, i.e., existem infinitos numeros ´ primos, ja´ conseguimos que ˜ ˜ considerar o existem infinitos numeros ´ nao-racionais. Podemos entao ˜ ´ conjunto de todos os numeros ´ nao-racionais e chama-lo de conjunto ˜ dos dos numeros ´ irracionais, representado por I. Ao conjunto uniao numeros ´ racionais com os irracionais, damos o nome de Conjunto dos numeros ´ Reais, e o denotamos por R. Assim, R = Q ∪ I. ˜ geometrica ´ ´ A associaçao e´ inevitavel. Estamos sempre procu´ rando imaginar geometricamente as coisas vistas em Matematica. Com ´ de costume asso˜ poderia ser diferente. E os numeros ´ reais nao ˜ esta ciarmos os numeros ´ reais aos pontos de uma reta, associaçao ´ ˜ encontrara´ que tem um embasamento matematico que o leitor nao ´ aqui. Esteja livre para procurar tal embasamento em livros de Algebra, ´ Analise real, etc. Assim, grosseiramente falando, uma reta associada ao conjunto dos numeros ´ reais e´ uma reta ”sem buracos”; enquanto que, apenas com os numeros ´ racionais ou apenas com os irracionais, ela possui descontinuidades. Um problema que surge e´ como se deve proceder para trabalhar˜ oferecem mos com os numeros ´ irracionais, ja´ que os racionais nao ´ obstaculos. Sabemos facilmente operar com numeros ´ racionais, por 2 1 exemplo, sabemos como calcular a soma + , por se tratar de uma 5 3 soma de numeros ´ racionais. Mas como o leitor acha que devemos √ √ ˜ numeros somar os numeros ´ ´ irracionais. Encon2 e 5? Ambos sao ´ ˜ traremos a resposta para esse problema na proxima seçao.

1.2.1

Os numeros ´ reais e as decimais infinitas

˜ deve ser nenhum desafio para o leitor dizer quando determiNao ´ representa uma decimal finita ou uma d´ızima nado numero ´ fracionario 1 ´ representa uma decimal finita, a periodica. Por exemplo, o numero ´ 4 1 ´ sabemos que o numero saber, 0, 25. Tambem ´ racional representa 9 ´ uma d´ızima periodica, a saber, 0, 111... ´ Sabemos que toda decimal finita e toda d´ızima periodica represen˜ abordaremos com profundidade tal astam numeros ´ racionais. Nao sunto, pedimos que o leitor procure em outras obras ou verifique tais ˜ ´ afirmaçoes, como exerc´ıcio. Raciocinando dessa maneira, alguem ˜ que os irracionais sao ˜ os numeros ˜ poderia deduzir entao ´ reais que nao ´ podem ser representados por decimais finitas ou d´ızimas periodicas, ˜ representados por decimais infinitas nao˜ i. e., os irracionais sao ´ ˜ aqueles que nao ˜ conperiodicas, ou seja, os numeros ´ irracionais sao ´ de numeros ´ seguimos representar atraves ´ decimais finitos ou atraves √ ´ ˜ de 2 com alde d´ızimas periodicas. Por exemplo, a representaçao gumas casas decimais e´ 1, 4142135623730950488016887242097... (Consegue achar alguma periodicidade no numero ´ anterior?) Suponha que disporemos os numeros ´ reais sobre uma reta. Imagine que os numeros ´ inteiros estejam representados por pontos igual˜ a unidade, de acordo com mente espaçados por uma medida padrao, a figura:

Figura 1.4: Reta real ˜ ´ Como utilizamos o sistema decimal, por razoes historicas, procederemos nosso estudo de acordo com esse sistema. Mas o leitor pode ˜ de numeros (e deve) raciocinar analogamente para a representac¸ao ´

21 reais em qualquer base. Assim, suponhamos que representaremos um numero ´ real da forma ξ = y, x1x2 x3 x4 ... Como sabemos, o algarismo y representa a parte inteira deste numero. ´ Suponhamos, por ´ comodidade, que y > 0. O caso y < 0 e´ analogo e fica como exerc´ıcio para o leitor. Como a parte inteira do nosso numero ´ e´ y, localizemos na reta a ˜ e olhemos detalhadamente para o segmento da reta que sua posiçao liga y a y + 1. Dividamo-lo em dez partes, i.e., dividamo-lo nas partes 1 2 9 y + , y + , . . . , y + . Faça uma figura para melhor entendimento, 10 10 10 ´ ´ se necessario. Agora, façamos um racioc´ınio analogo ao que fizemos no começo. Localizaremos o ponto correspondente ao numero ´ y, x1 = x1 x1 + 1 x1 . y+ . Olhemos para o segmento que liga os pontos y+ e y+ 10 10 10 Novamente, dividiremos tal segmento em dez partes, olharemos para x2 x1 x2 1 x1 + 2 ey+ + 2 + 2, o o segmento que liga os pontos y + 10 10 10 10 10 dividiremos em dez partes e assim sucessivamente. (Qual a medida deste ultimo ´ segmento de reta?) ´ n iteraçoes, ˜ Com esse racioc´ınio, apos estaremos num segmento x1 x2 x2 xn x1 de extremidades iguais a y + + 2 + ... + n e y + + 2+ 10 10 10 10 10 xn 1 x1 x2 xn . . . + n + n . Dizemos que o numero ´ y + + 2 + . . . + n e´ uma 10 10 10 10 10 ˜ aproximaçao com n casas decimais do numero ´ real ξ. ´ ˜ da deSe iterassemos indefinidamente, ter´ıamos a representaçao ˜ simples, ja´ podemos ver que cimal infinita para ξ. Com esta explicaçao ˆ sempre podemos aproximar qualquer numero ´ real (e de preferencia irracional, para haver sentido) por numeros ´ racionais. Em outras palavras, x2 xn x1 ´ + 2 + . . . + n esta´ bem proximo de ξ, e o numero ´ racional y + 10 10 10 ´ podemos encontrar mais numeros ´ racionais ainda mais proximos de ˜ ξ, bastando, para isso, aumentarmos o numero ´ de iteraçoes. ˜ com os numeros As operaçoes ´ reais em geral (irracionais e racionais) procedem da maneira com a qual ja´ estamos habituados. Ou seja, somamos dois numeros ´ reais α = a, α1 α2 α3 ... e β = b, β1 β2 β3 ... da ˜ necessarias: ´ seguinte forma, fazendo as altereçoes α+β =a+b+

α1 + β1 α2 + β2 α3 + β3 + + + .... 10 102 103

22 ˜ e´ tao ˜ simples assim somarmos dois numeros Claro que nao ´ reais. ´ ˜ Na pratica, e´ muito trabalhoso somarmos dois irracionais com aproximaçoes ´ ˜ entre numeros ˜ mais razoaveis. A multiplicaçao ´ reais e´ de explicaçao complexa para o caso de numeros ´ irracionais, mas lembramos que podemos operar igualmente ao caso de numeros ´ racionais. Pense ´ no fato de que sempre temos racionais proximos de qualquer irracional desejado. Deixamos para o leitor os exerc´ıcios de formular ´ um racioc´ınio analogo ao que fizemos para o caso de bases diferentes da decimal e e explicar corretamente por que podemos dizer que os numeros ´ 1, 0 e 0, 999... representam o natural 1. Pense nisso ´ em casos como 0, 23 = 0, 22999.... Nao ˜ nos aproe raciocine tambem ´ fundaremos mais por acharmos que esta obra e´ apenas introdutoria. ˆ ˜ Terminaremos este apendice com a seguinte seçao:

1.2.2

Axiomas de R

Citaremos aqui alguns axiomas do conjunto dos numeros ´ reais e enunciaremos algumas de suas propriedades. Utilizamos a palavra ˜ explicaremos detalhadaaxioma aqui apenas pelo fato de que nao ´ mente a teoria necessaria para chegarmos a tais resultados. ˜ simples na sua maioria e provavelmente do coOs axiomas sao ˜ dadas duas operaçoes ˜ em nhecimento do leitor. Lembremos que sao ˜ e a multiplicaçao. ˜ A adiçao ˜ faz corresponder a cada par R: a adiçao ˜ faz de numeros ´ reais α, β em R a sua soma α + β. A multiplicaçao ˜ α · β. Passaremos, entao, ˜ a aprecorresponder a sua multiplicaçao ´ senta-los: (a, b, c ∈ R) ˜ • Axiomas da adiçao – Associatividade: a + (b + c) = (a + b) + c; – Comutatividade: a + b = b + a; – Elemento neutro: existe 0 ∈ R tal que x+0 = 0+x = x, ∀x ∈ R;

23 ´ – Elemento oposto ou simetrico: para todo x ∈ R existe um y ∈ R tal que x + y = y + x = 0. ˜ • Axiomas da multiplicac¸ao – Associatividade: a · (b · c) = (a · b) · c; – Comutatividade: a · b = b · a; – Elemento neutro: existe 1 ∈ R tal que x · 1 = 1 · x = x, para todo ∈ R e 1 6= 0; ´ – Elemento inverso: para todo x 6= 0 ∈ R, existe um y (tambem ˜ nao-nulo) tal que x · y = y · x = 1. • Axioma da distributividade: a · (b + c) = a · b + a · c. Ordem em R

Introduzindo os sinais ja´ conhecidos < e >, utilizados da seguinte maneira: x > y ⇔ x + (−y) > 0, podemos dizer que existe uma ordem em R de tal forma que: (x, y, z ∈ R) a) x < y, y < z ⇒ x < z; b) ou x = y, ou x < y, ou x > y, para quaisquer x, y ∈ R; c) x < y ⇒ x + z < y + z, para todo z ∈ R; d) x < y, ⇒ x · z < y · z, para todo z > 0 ∈ R. As propriedades acima chamam-se, respectivamente, de transi˜ e monotonicidade da multiplicaçao. ˜ tiva, tricotomia, monotonicidade da adiçao ˜ delas para o leitor. Deixamos a demonstraçao Conhecida a ordem em R, podemos introduzir os intervalos, que ˜ usados com frequ¨ encia ˆ sao nesta obra. Dados x, y ∈ R, x < y, temos que: 1. (x, y) = {z ∈ R; x < z < y};

24 2. (x, y] = {z ∈ R; x < z ≤ y}; 3. [x, y) = {z ∈ R; x ≤ z < y}; 4. [x, y] = {z ∈ R; x ≤ z ≤ y}; 5. (−∞, +∞) = R; 6. (x, +∞) = {z ∈ R; x < z}; 7. (−∞, y) = {z ∈ R; z < y}; 8. [x, +∞) = {z ∈ R; x ≤ z}; 9. (−∞, y] = {z ∈ R; z ≤ y}. Exemplo 1.2.1. Dizer que x ∈ [0, 1] e´ o mesmo que dizer que x ∈ R e ˜ e´ mesmo?) 0 ≤ x ≤ 1. (Simples, nao

1.3 Saiba mais ´ ´ ´ ˆ Segundo [1], as medias aritmetica, geometrica e harmonica ja´ eram ˆ ´ ha´ referencias ˆ conhecidas pelos babilonios. Tambem do uso de tais ´ ˆ ´ aproximadamente, 3.500 anos a.C. medias pelos mesopotamios ha,

˜ de cada uma dessas medias? ´ Qual tal relembrar a definic¸ao

˜ 1.3.1. Dados dois numeros Definic¸ao ´ reais positivos a, b ∈ R denominamos: ´ ´ 1. A media aritmetica A(a, b) = ´ ´ 2. A media geometrica G(a, b) =

a+b , 2 √

ab,

´ ˆ 3. A media harmonica H(a, b) =

1 a

2 +

1 b

2ab , a+b

´ ver que: ˜ 1.3.1. E´ facil Observac¸ao ´ ˆ • A media harmonica de dois numeros ´ coincide com o inverso da ´ ´ media aritmetica dos inversos dos mesmos numeros. ´ ˜ de ordem entre as medias ´ ´ ´ • Existe uma relac¸ao aritmetica, geometrica ˆ e harmonica. De fato, dados a, b ∈ R++ temos √ √ √ √ a+b . 0 ≤ ( a − b)2 = a + b − 2 ab ⇒ ab ≤ 2 Analogamente, 2 √ 1 2 2ab 1 1 1 ≤ ab = + −√ ⇒ 0≤ √ −√ a b a+b a b ab Portanto, H(a, b) ≤ G(a, b) ≤ A(a, b) ∀ a, b ∈ R++ .

(1.1)

26 ´ disso, apos ´ obtermos as medias ´ ˆ ´ • Alem harmonica e aritmetica ´ de dois numeros ´ a, b ∈ R++ , o produto de tais medias e´ igual ao ´ produto ab, isto e, H(a, b) × A(a, b) =

a+b 2ab × = ab. a+b 2

(1.2)

˜ (1.1) estabelecida na Observaçao ˜ 1.3.1 pode ser apliA relaçao ´ ˜ cada no calculo de aproximaçoes da raiz quadrada de um numero ´ real positivo, como veremos no exemplo a seguir. Exemplo 1.3.1. Para calcularmos

√

3 fatoramos 3 = 1 × 3 e obtemos

das desigualdades (1.1) a = 1, b = 3,

3 2×1×3 √ 1+3 = < 1×3 < = 2, 2 1+3 2

3 √ ≤ 3 ≤ 2. 2 3 ˜ (1.2), temos 3 = × 2 com Usando a relac¸ao 2 r 2 × 32 × 2 3 3 12 < a = , b = 2, = 3 ×2< 2 7 2 +2 2

´ isto e,

3 2

+2 7 = 2 4

7 12 √ ≤ 3≤ . 7 4 12 7 Repetindo mais uma vez o procedimento para 3 = × , e lem7 4 √ brando que 3 ≈ 1.732050808, temos

logo,

1, 731958763 ≈

97 168 √ ≤ 3≤ ≈ 1.732142857. 97 56

´ repetir esse processo poucas vezes verificamos que as medias ´ Apos √ ˆ ˜ harmonicas obtidas representam aproximac¸oes por falta de 3, en´ ´ ˜ aproximaoes ˜ quanto as medias aritmeticas sao por excesso. Que tal tentar com outro numero? ´

´ O processo de aproximar uma raiz quadrada por medias ja´ era ˜ de Alexandria (100 d.C.), e e´ atribu´ıdo por alconhecido por Herao guns a Arquitas de Taranto (428-365 a.C.).

1.4 Exerc´ıcios 1. Sejam A, B, C conjuntos, mostre que: a) A ⊂ A, para todo conjunto A; b) A ⊂ B e B ⊂ C =⇒ A ⊂ C; c) A ∪ A = A; d) A ∪ B = A ⇔ B ⊂ A; 2. Idem para: a) A ∩ A = A; b) A ∩ B = A ⇔ A ⊂ B; 3. Mostre que: a) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C); b) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). ˜ contidos num conjunto fundamental 4. Os conjuntos A e B estao ´ de usarmos as expressoes ˜ X. Ao inves CX A, CX B, usaremos ˜ conhecida, Ac e B c , respectivamente. Ou seja, uma notac¸ao Ac = X \ A, B c = X \ B. Assim, mostre que: a) (Ac )c = A, para todo conjunto A; b) A ⊂ B ⇔ B c ⊂ Ac ; c) (A ∪ B)c = Ac ∩ B c . Sabendo disso, facilmente vemos que (A ∩ B)c = Ac ∪ B c . Procedamos assim: fazendo E = Ac , F = B c , sabemos que (E ∪ F )c = E c ∩ F c , ou seja, (Ac ∪ B c )c = (Ac )c ∩ (B c )c . Logo, ˜ (A ∩ B)c = Ac ∪ B c . (Ac ∪ B c )c = (A) ∩ (B) e entao ˜ irracionais: 5. Mostre que os seguintes numeros ´ sao a)

√

√ 3

28 c)

√

6. Verifique as desigualdades: a) x +

1 ≤ 2, x < 0; x

˜ Verifique que, para todos x, y ∈ b) x2 + xy + y 2 ≥ 0. Sugestao: R∗ , temos que x < y ⇒ x3 < y 3 e analise o quociente x3 − y 3 ´ o caso de . O caso x = y e´ trivial, como tambem x−y ´ termos variaveis nulas. 7. Desigualdade de Schwarz. Verifique a seguinte desigualdade: (x1 y1 + . . . + xn yn ) ≤ (x21 + . . . + x2n )(y12 + . . . + yn2 ), ˜ Analise a expressao ˜ (x1 z+ (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ∈ R). Sugestao: y1 )2 + (x2 z + y2 )2 + . . . + (xn z + yn )2 + e aplique o que voceˆ sabe ˜ do segundo grau. sobre equac¸oes ´ ˜ 8. Usando as desigualdades de medias, obtenha uma aproximac¸ao √ ˆ casas decimais. de 5 com tres

ˆ ´ Referencias Bibliograficas ´ ´ [1] BOYER, C. B., Historia da Matematica, 2a. ed., Ed. Edgard Blucher, 1974. ´ [2] GUIDORIZZI, H.L. Um curso de Calculo, vols. 1, 2. Livros ´ Tecnicos e Cient´ıficos. 2001. ´ ´ [3] LANG, S. Calculo, vol. 1, Ed. Livros Tecnicos e Cient´ıficos, 1977. ´ ˜ Instituto de [4] LIMA, E. L. Curso de Analise, vol. 1, 8a. Edic¸ao, ´ Matematica Pura e Aplicada, CNPq, Rio de Janeiro, 2004. ´ ˜ Ed. Livros Tecnicos ´ [5] FIGUEIREDO, D. G. Analise I, 2a edic¸ao, e Cient´ıficos, 1996. [6] http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/. ` 09h40min. Acesso em 26/06/2008 as ´ [7] CARNEIRO, J. P. Q. Raiz quadrada utilizando medias. Revista do ´ ˜ Paulo: SBM, No. 45, pp. 21-28, Professor de Matematica. Sao 2001.

U ni de da 1 Unidade 2

sociolo iologia gia ee a a AA soc Limite e Continuidade Soc iolo gia da Edu Educaç cação ão Sociologia da

Resumo Apresentamos a noção de limite, limites laterais e limites no infinito. Definimos função contínua e mostramos várias de suas propriedades. E s t a b e l e c e m o s o Te o r e m a d o Va l o r Intermediário e algumas de suas aplicações. Indicamos alguns livros mais avançados e links para o aprofundamento de conteúdo.

UNIDADE 2. Funções e Gráficos 2.1 Introdução

2.2 Conceito de função

2.3 Algumas funções importantes

2.4 Operações com funções

2.5 Saiba mais

2.6 Exercícios

Referências Bibliográficas

˜ ´ 2. Func¸oes e Graficos ˜ 2.1 Introduc¸ao

´ ˆ Em todas as areas da ciencia, temos diversos problemas que necessitam de uma ferramenta cujo conceito apresentaremos neste cap´ı˜ bem simples e sucinta para tulo. Procuraremos dar uma explicaçao que o leitor realmente entenda o seu conceito e esqueça certos erros ´ adquiridos no seu Ensino Medio. ˜ estao ˜ presentes no nosso cotidiano, embora nao ˜ perceAs funçoes ´ ˜ solucionados atraves ´ do esbamos. Varios problemas rotineiros sao ˜ que simulam aproximadamente ou perfeitamente os tudo de funçoes ˆ fenomenos que ocorrem na nossa vida. Vejamos dois problemas ja´ ´ conhecidos do Ensino Medio. ˜ maxima ´ Problema 2.1.1. Deseja-se saber a variaçao entre os tama˜ de 50m de comprimento a nhos alcançados por uma barra de latao 10◦ C. Suponha que a temperatura m´ınima alcançada seja de 10◦ C e ´ ˜ linear do latao ˜ e´ ξ = a maxima de 42◦ C. O coeficiente de dilataçao 1, 9 · 10−5◦ C −1 . Problema 2.1.2. Uma part´ıcula P movimenta-se segundo um movi˜ igual a 2m/s2 e velocimento uniformemente variado com aceleraçao dade inicial igual a 10m/s. Sabendo-se que ela parte da origem do ˜ apos ´ sistema cartesiano de coordenadas, diga qual a sua posiçao 56s. 32

˜ 2.2 Conceito de func¸ao

´ termos uma pequena e motivadora introduçao, ˜ vejamos a Apos ˜ de funçao ˜ mais usual. Chamamos usual porque e, ´ a nosso definiçao ´ entendimento. ver, a de mais facil ˜ f : A −→ B ˜ 2.2.1. Dados dois conjuntos A e B, uma funçao Definiçao ˜ que faz corresponder cada elemento de A a um unico e´ uma relaçao ´ elemento de B.

˜ f :A→B Figura 2.1: Func¸ao ˜ acima, o conjunto A e´ o dom´ınio de f e B o seu conNa definic¸ao tradom´ınio. O conjunto contido em B determinado pelos elementos de

associados por f aos de A chama-se conjunto imagem de f sobre A.

˜ exigimos que A, B sejam nao-vazios. ˜ Note que nao O caso elementar

outros conteudos ´

˜ deve ser tratado como o de A = ∅ sera´ citado mais a` frente e nao

´ do ensino medio

˜ 1.2.1. que nao ˜ podemais importante. Esta´ bem claro na definic¸ao

pode

incre-

mos ter um elemento de A relacionado com dois ou mais elementos

mentado no s´ıtio

˜ relaciona cada elemento de A de B. Quando dizemos que a func¸ao

somatematica.

˜ deve estar definida com um unico ´ de B, queremos dizer que a func¸ao

estudo

˜ func¸oes

ser

˜ precisa acontecer para o caso para todo elemento de A, o mesmo nao de B. ˜ mais utilizada para nos referirmos a` funçao ˜ f associada A notaçao a um elemento a ∈ A e´ f (a). Gostar´ıamos que ficasse bem claro para ˜ esta´ correto falarmos a funçao ˜ f (x). O termo o leitor o fato de que nao f (x) nos diz apenas que e´ o valor assumido por f no ponto x. Quer

34 ˜ e´ uma relac¸ao, ˜ e sim um valor, uma imagem. Alguns dizer, f (x) nao autores o fazem por comodidade, mas de maneira incorreta. ˜ Exemplo 2.2.1. Dados os conjuntos N, A = {1, 2, 3, 4} e a func¸ao

˜ f (n) = n2 , determine seus conjunf : A → N com lei de formac¸ao tos imagem, dom´ınio, contradom´ınio.

˜ Soluc¸ao: E´ um exemplo bem trivial. Como o leitor pode ver facilmente, as imagens obtidas ao associarmos f aos elementos de A ˜ f (1) = 1, f (2) = 4, f (3) = 9, f (4) = 16. Assim, o dom´ınio e´ A, o sao: contradom´ınio e´ N e o conjunto imagem e´ Im(f ) = {1, 4, 9, 16}. (Note que o contradom´ınio de f e´ diferente do seu conjunto imagem.)   1, se x ∈ Q Exemplo 2.2.2. Seja f : R → R dada por: f (x) = .  0, se x ∈ R \ Q ˜ cada elemento esta´ Vemos facilmente que f e´ realmente uma func¸ao:

ˆ A relaçao ˜ e´ bem simassociado somente a uma imagem. (Por que?) ´ que o dom´ınio de f e´ R, como tambem ´ seu ples. Notemos tambem contradom´ınio, mas o seu conjunto imagem e´ apenas o conjuto {0, 1}. ˜ caracter´ıstica. Dado um conjunto qualquer E Exemplo 2.2.3. Funçao em um conjunto fundamental X, temos associada a eles uma simples ˜ bastante utilizada em Medida, a funçao ˜ caracter´ıstica. Ela e´ funçao, dada por:   1, se x ∈ E χ : E ⊂ X → {0, 1}, χE (x) =  0, se x ∈ X \ E

˜ f : A → B, o seu grafico ´ ˜ 2.2.2. Dada uma funçao Definiçao e´ o conjunto Gf ⊂ A × B dado por : Gf = {(x, f (x)) : x ∈ A}. ´ ´ Abordaremos o topico de graficos mais adiante. Continuemos com ´ ˜ o estudo introdutorio das funçoes. Vimos, nos exemplos anteriores, ˜ e´ igual ao seu conjunto que nem sempre o contradom´ınio da funçao ´ que nem sempre as imagens de elementos imagem. Vimos tambem ˜ distintas. Com isso, acabamos com alguns mitos adquiridistintos sao ´ dos no Ensino Medio. Ainda nesse sentido, falaremos dos tipos de ˜ quanto a` injeçao: ˜ funçoes

´ Figura 2.2: Grafico de f ˜ f : A → B e´ injetiva quando as imagens ˜ 2.2.3. Uma funçao Definiçao de elementos distintos de A por f forem distintas. Ou seja, x, y ∈ A, x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y). De outra maneira, f e´ injetiva se f (x) = f (y) ⇒ x = y, para quaisquer x, y em A. ˜ identidade IA : A → A, IA (x) = x e´ um Exemplo 2.2.4. A funçao ˜ injetiva. (Verifique!) A funçao ˜ identidade IA : exemplo trivial de funçao ˜ injetiva. (Verifique!) A → A, IA (x) = x e´ um exemplo trivial de funçao ˜ g : R → R dada por g(x) = x + k, k ∈ R e´ Exemplo 2.2.5. A funçao ´ injetiva. Basta notarmos que g(x) = g(y) ⇒ x + k = y + k ⇒ tambem x = y. ˜ Q : R → R dada por Q(x) = x2 nao ˜ e´ injetiva. Exemplo 2.2.6. A funçao Note que Q(−1) = Q(1). ˜ f : A → B e´ sobrejetiva quando o seu ˜ 2.2.4. Uma funçao Definiçao ´ quando todo conjunto imagem for igual ao seu contradom´ınio, isto e, elemento do contradom´ınio for elemento da imagem e vice-versa. ˜ caracter´ıstica descrita acima e´ sobrejetiva? Exemplo 2.2.7. A funçao ˆ (Por que?) ˜ identidade tambem ´ descrita acima e´ sobreExemplo 2.2.8. A funçao ˆ jetiva. (Por que?) ˜ h : N → N dada por f (n) = n2 e´ nao˜ Exemplo 2.2.9. A funçao sobrejetiva. (Existe natural m tal que m2 = 2? E m2 = 3?) Como o leitor esperto pode ter deduzido.

36 ˜ e´ dita bijetiva quando e´ injetiva e sobre˜ 2.2.5. Uma funçao Definiçao jetiva. ˜ identidade e´ um exemplo simples de funçao ˜ Exemplo 2.2.10. A funçao ˆ bijetiva. (Por que?) ˜ g : R → R dada por g(x) = x + k, k ∈ R e´ Exemplo 2.2.11. A funçao bijetiva. (Verifique!) ˜ caracter´ıstica nao ˜ e´ bijetiva. Exemplo 2.2.12. A funçao ˜ Daremos agora algumas notaçoes bastante utilizadas no estudo ˜ de funçoes. ˜ f : A → B, seu dom´ınio e´ denotado por Dom(f ) = Dada uma funçao A, ou Df = A. O seu conjunto imagem e´ denotado por Im(f ) = f (A) ou If = f (A). Exemplo 2.2.13. f (∅) = ∅. E´ um exemplo bastante trivial, que deve ser entendido pelo leitor. (Poder´ıamos ter f (∅) 6= ∅?) ˜ F e´ tal que F : [0, 1] → [2, 3], F (x) = x + 2. Exemplo 2.2.14. A funçao Aqui, temos que Dom(F ) = [0, 1], Im(F ) = [2, 3]. Notemos que o ˜ e´ injetiva? E contradom´ınio e´ igual ao conjunto imagem. Essa funçao sobrejetiva? ˜ se esta´ interessado em trabalhar com um Em muitos casos, nao conjunto dom´ınio muito grande, mas, apenas com subconjunto deste, ˜ de conjunto. Por exemplo, se temos nesse caso usamos as restriçoes ˜ f : R → R e queremos estudar seu comportamento apeuma funçao nas num conjunto A ⊂ R, podemos restringir f a este conjunto. A ˜ mais utilizada e´ f |A : A → R. notaçao ˜ H : {1, 2, 3, 4, 5} → N, f (n) = n + 1, Exemplo 2.2.15. Dada a funçao temos que Im(H |{1,2,4} ) = {2, 3, 5}. ˜ Q : R → R dada por Q(x) = x2 , nao ˜ e´ Exemplo 2.2.16. A funçao

injetiva. O que voceˆ pode dizer sobre Q |R+ , onde R+ e´ o conjunto dos ˜ numeros ´ reais nao-negativos? Ela e´ sobrejetiva?

37 y 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 -5

-4

-3

-2

-1

´ Figura 2.3: Grafico de Q ˜ Observaçao: O leitor deve observar que as retas representadas ˜ em escalas diferentes. por x e y estao ´ a ideia ´ de imagem inversa associada a uma funçao ˜ Existe tambem ´ e conjunto. Vejamos mais detalhadamente tal conceito. Ao contrario ˜ e´ necessariamente a do que muitos pensam, a imagem inversa nao ˜ inversa. Lembre-se que no in´ıcio do texto observamos que nao ˜ funçao ˜ f (x), mas sim funçao ˜ f e valor f (x), da funçao ˜ e´ certo falar em funçao ´ teremos um racioc´ınio parecido. A menos f no ponto x. Aqui tambem ˜ seja bijetiva, ela nao ˜ possui uma inversa bem definida. que a funçao ˜ f : A → B, a imagem inversa de X ⊂ B por Dada uma funçao f e´ o conjunto dos pontos x em A tais que f (x) ∈ X. Ou seja, f −1 (X ⊂ B) = {x ∈ A; f (x) ∈ X}.

˜ Q dada anteriormente e o conjunto Exemplo 2.2.17. Seja a func¸ao √ √ X = [1, 3]. Temos que Q−1 (X) = [− 3, −1] ∪ [1, 3]. (Concorda?) ˜ g : R × R → R, g(x, y) = (x − 1)2 + Exemplo 2.2.18. Seja a func¸ao

˜ O conjunto g −1 (0) (y + 1)2 − 9. Descreva o conjunto g −1 (0). Soluçao: ˆ e´ nada mais nada menos do que a circunferencia em R × R centrada em (1, −1) e de raio igual a 3. (Concorda?) Exemplo 2.2.19. Analogamente ao exemplo anterior, descreva o conjunto φ−1 (0), onde φ : R × R × R → R, φ(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 4. ˜ O problema e´ analogo ´ ˜ da quantiSoluçao: ao anterior, com exceçao ˜ dade de dimensoes. O conjunto φ−1 (0) e´ na verdade a esfera contida em R × R × R centrada em (0, 0, 0) e de raio 2.

38 y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

-2 -3 -4 -5

ˆ Figura 2.4: Circunferencia centrada em (1, −1) e de raio igual a 3

2 -4 -2

-4 -2

0 0 0

y 2-2

4 -4

Figura 2.5: Esfera centrada em (0, 0, 0) e de raio igual a 2 ´ de que Os exemplos acima serviram apenas para reforçar a ideia ˜ inversa ao tratarmos de imanem sempre estamos falando de funçao ˜ inversa sera´ apresentado a seguir, gem inversa. O conceito de funçao ´ a introduçao ˜ do conceito de funçao ˜ composta: apos ˜ definida em A e de ˜ 2.2.6. Seja f : A → B uma funçao Definiçao contradom´ınio B. Seja g : C ⊂ B → D tal que C ⊃ Im(f ). A composta g ◦ f : A → D e´ dada por (g ◦ f )(x) = g(f (x)). ˜ grosseira de funçao ˜ composta com um Façamos uma comparaçao exemplo grotesco. Imagine que existam duas torneiras, t1 e t2 , tais ´ ´ que t1 joga agua de um ponto P1 para um tanque T1 , e t2 joga agua do tanque T1 para um tanque T2 . Agora, a composta sera´ uma torneira t3

˜ composta Figura 2.6: Funçao ´ que joga agua diretamente de um ponto P1 para o tanque T2 . ˜ f : {1, 2, 3} → {1, 4, 9}, f (n) = n2 , Exemplo 2.2.20. Sejam as funçoes e g : {1, 4, 9} → {2, 3, 4}, g(m) = m + 1. Caracterize a composta ˜ Olhando atentamente para as definiçoes ˜ de f e de g, g ◦ f . Soluçao: conclu´ımos que podemos sim falar em composta g ◦ f . (E em f ◦ g? ˆ Assim, a composta g ◦ f e´ dada por: (g ◦ f )(n) = g(f (n)) = Por que?) g(n2 ) = n2 + 1.

Exemplo 2.2.21. Seja ξ : R → R, ξ(x) = x2 − 1. Agora considere a x ˜ η : R → R, η(x) = + 5. Existem as compostas η ◦ ξ e ξ ◦ η? funçao 2 ˜ Trata-se de um exemplo simples e deixamos como exerc´ıcio Soluçao: para o leitor. Exemplo 2.2.22. Analise a possibilidade de existir a composta entre ˜ as funçoes f : R+ −→ R+ , f (x) = x + 4 e g : R \ {2} → R, g(x) = 2 . 2−x ˜ f : A → B, uma inversa a` es˜ 2.2.7. Dada uma funçao Definiçao ˜ g : B → A tal que g◦f : A → A, g(f (x)) = querda para f e´ uma funçao ˜ h : B → A tal x, ∀x ∈ A. Uma inversa a` direita para f e´ uma funçao que f ◦ h : B → B, f (h(x)) = x, ∀x ∈ B. Quando f possuir inversa a` direita e a` esquerda, dizemos que ela e´ invert´ıvel e a sua inversa (que e´ inversa a` direita e a` esquerda) e´ representada por f −1 , f −1 : B → A. ˜ admite Deve fica claro para o leitor que nem sempre uma funçao ´ inversa, seja a` direita ou a` esquerda. Os detalhes necessarios para ˜ suficiente serao ˜ omitidos aqui. Tambem ´ uma funçao ˜ uma explicaçao ˜ possuir inversa a` direita, e pode possuir inversa a` esquerda e nao

40 ˜ e´ invert´ıvel quando possui vice-versa. Como ja´ foi dito, uma funçao inversas a` esquerda e a` direita. Quando estas existem simultanea˜ iguais e recebem o nome de inversa da funçao ˜ em mente, elas sao ˜ Uma funçao ˜ so´ e´ invert´ıvel se ela for bijetiva. questao. ˜ Q ja´ referenciada, sabemos que nao ˜ Exemplo 2.2.23. Seja a funçao ˜ e´ bijetiva. (Por que?) ˆ Mas e´ nem injetiva nem sobrejetiva, donde nao ˜ Q |R++ : R++ → R++ o e. ´ (Lembre-se : R++ = {x ∈ R; x > a restriçao

˜ = Q |R++ , a saber, S : R++ → 0}.) Assim, existe uma inversa para Q √ R++ , S(x) = x. Como estamos trabalhando no conjunto dos reais ˜ ha´ problema com algumas manipulac¸oes ˜ estritamente posistivos, nao ´ algebricas que faremos a seguir. Vejamos o que acontece com a com˜ ˜ ˜ ˜ √x) = (√x)2 = x. posta Q◦S : R++ → R++ : (Q◦S)(x) = Q(S(x)) = Q(

˜ : R++ → R++ . Analise a composta S ◦ Q

y 2.0

1.5

1.0

0.5 0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

´ Figura 2.7: Grafico de S

˜ f dada por f : R\{0} → R\{0}, f (x) = Exemplo 2.2.24. Seja a funçao 1 ˜ e´ bijetiva. (Verifique!) Assim, podemos encontrar a sua . Tal funçao x ˜ g candidata a ser a sua inversa inversa. Agora, note que uma funçao deve satisfazer g(f (x)) = x, ∀x ∈ R \ {0}. Assim, devemos ter g tal que ´ g(1/x) = x. Ora, mas essa e´ a propria f que enunciamos. Assim, a 1 inversa de f e´ ela mesma nesse caso, i.e., f (f (x)) = f (1/x) = 1 = x. x

41 y

-5

-4

-3

-2

-1

-2

-3

-4

´ Figura 2.8: Grafico de f (x) =

1 x

˜ possuem Pode parecer estranho a` primeira vista, mas as funçoes ˜ quanto a` paridade. So´ que diferentemente dos uma classificaçao ˜ numeros ´ naturais, nem todas as funçoes que podem ser entituladas ˜ f qualquer e´ par como “par” ou “´ımpar”. Dizemos que uma funçao quando f (x) = f (−x), ∀x ∈ Dom(f ), ou seja, as imagens de elemen˜ iguais. Dizemos que uma funçao ˜ g e´ ´ımpar quando tos opostos sao ´ as imagens de elementos oposg(x) = −g(−x), ∀x ∈ Dom(g), isto e, ˜ opostas. A funçao ˜ Q e´ par e a identidade e´ ´ımpar. tos sao

˜ 2.3 Algumas func¸oes importantes

´ vermos varias ´ ˜ Apos caracter´ısticas gerais das funçoes, veremos agora algumas caracter´ısticas particulares de algumas delas. E´ neces´ ˜ sario o estudo de tais caracter´ısticas, pois as funçoes apresentadas ˜ frequentes nos estudos posteriores e na nossa vida mesmo. aqui sao ˜ nos delongarmos nesta seçao, ˜ apesar dela ser de Procuraremos nao ˆ ´ suma importancia. Seria talvez um escopo inalcançavel estudar as ˜ existentes e caracter´ısticas particulares de todos os tipos de funçoes ˆ e conhecidas. Na verdade, estudamos apenas as que nos convem ˜ necessarias ´ ˜ dos nossos estudos. que sao para a perfeita conclusao ˜ faz sentido um Matematico ´ Nao (ou Qu´ımico, F´ısico, Engenheiro, etc) ´ ˜ utilizar em algum lugar esse estudar bem series de Fourier se ele nao

42 ´ ˆ ˜ podemos mais tentar aprenestudo. No estagio atual da Ciencia, nao der tudo, mas sim aprender bem determinado assunto. ˜ polinomiais elementares. Começaremos com o estudo das funçoes ´ ˜ Faremos um estudo rapido sobre as funçoes polinomiais de 1o e 2o ˜ explicaremos aqui o porqueˆ do grafico ´ ˜ poligrau. Nao de uma funçao ´ nomial do segundo grau ser uma parabola e coisas do tipo. Deixamos esta parte para um estudo independente. O importante e´ mesmo co˜ e o comportamento do grafico. ´ nhecer as propriedades da funçao ˜ polinomial do ˜ polinomial do primeiro grau. Uma funçao Funçao primeiro grau caracteriza-se principalmente por ter a estrutura de um ˆ ˜ tem a cara f : A ⊂ R → B ⊂ polinomio de grau 1, i.e., a funçao ´ ˜ e´ uma reta, que corta o eixo R, f (x) = ax + b. O grafico de tal funçao ˜ α tal que tg (α) = a. das ordenadas no ponto (0, b) e possui inclinaçao Vejamos a figura abaixo: Os casos particulares em que a = 0 e b = 0

´ ˜ polinomial de 1o Grau Figura 2.9: Grafico de funçao ˜ bem simples, pois quando a = 0, a tangente de α e´ nula e entao ˜ sao ˜ e´ nula tambem, ´ a inclinaçao ou seja, temos uma reta paralela ao eixo ˆ das abscissas, cuja distancia a ele e´ dada por b. Este e´ o caso das ˜ constantes. funçoes Ja´ para o caso em que b = 0, a reta corta o eixo das ordenadas no ponto (0, 0), ou seja, temos uma reta que passa pela origem, com ˜ conhecida. No Problema 2.1.1 dado no in´ıcio do cap´ıtulo inclinaçao ˜ polinomial do primeiro grau. A equaçao ˜ de dilataçao ˜ temos uma funçao linear e´ dada por L = L0 + ξL0 ∆θ, onde L e´ o comprimento final ´ a variaçao ˜ de temperatura, L0 e´ o comprimento inicial da barra apos

Figura 2.10: Caso em que b = 0 ˜ linear da barra (de acordo da barra, ξ e´ o coeficiente de dilataçao ˜ de com o material da qual ela e´ feita) e ∆θ = θ − θ0 e´ a variaçao ´ ´ temperatura. Uma analise rapida nos diz que temos o comprimento ˜ da temperatura. Assim, podemos considerar a equaçao ˜ em funçao L(θ) = L0 + ξL0 ∆θ. Compare com f (x) = ax + b. Substituindo os ˜ maxima ´ dados do problema, obtemos que a variaçao no tamanho da barra foi de 0, 0304m. ˜ deste tipo ˜ polinomial do segundo grau. Uma funçao Funçao caracteriza-se por ter estrutura do tipo g : A ⊂ R → B ⊂ R, g(x) =

´ ˜ desse tipo ax2 + bx + c; a, b, c ∈ R, a 6= 0. O grafico de uma func¸ao ´ ˆ e´ uma parabola, que tem o comportamento ditado pelos parametros ´ a, b, c. O leitor deve ja´ estar bem familiarizado com o estudo do grafico ˜ ´ de um racioc´ınio rapido, ´ ˆ ´ de tais func¸oes. Atraves ve-se que o grafico

´ ˜ quadratica ´ Figura 2.11: Grafico de uma func¸ao de g toca o eixo das ordenadas no ponto (0, c). A concavidade da ´ ˆ ˜ a concaviparabola e´ determinada pelo parametro a. Se a < 0, entao dade e´ voltada para baixo. Vejamos a figura:

Figura 2.12: Caso em que a < 0 ´ Caso tenhamos a > 0, a concavidade da parabola ficara´ voltada para cima. Analisando o discriminante ∆ = b2 − 4ac, temos que: ´ • ∆ > 0. A parabola corta o eixo das abscissas em dois pontos ˜ g possui duas distintos. Nesse caso, afirmamos que a func¸ao ra´ızes. Vejamos as figuras:

Figura 2.13: ∆ > 0 e a > 0

Figura 2.14: ∆ > 0 e a < 0

´ • ∆ = 0. A parabola toca, tangencia, o eixo das abscissas em um

45 unico ´ ponto. Nesse caso, dizemos que g possui uma unica ´ raiz real. Vejamos as figuras:

Figura 2.15: ∆ = 0 e a > 0

Figura 2.16: ∆ = 0 e a < 0 ´ ˜ corta o eixo das abscissas. Assim, a • ∆ < 0. A parabola nao ˜ g nao ˜ possui ra´ızes reais. Vejamos as figuras: func¸ao

Figura 2.17: ∆ < 0 e a > 0

Figura 2.18: ∆ < 0 e a > 0 No Problema 2.1.2 dado no in´ıcio deste cap´ıtulo, temos um pro˜ blema que pode ser resolvido apenas com conhecimentos de funçao ˜ a equaçao ˜ posicional polinomial de segundo grau. A t´ıtulo de revisao, de uma part´ıcula em movimento uniformemente variado e´ dada por at2 ˜ da part´ıcula em determinado , onde S e´ a posiçao S = S0 + v0 t + 2 ˜ inicial de tal part´ıcula, v0 a sua velocidade instante, S0 e´ a posiçao ˜ inicial, t o tempo e a a sua aceleraçao. Novamente, um racioc´ınio ´ ˜ polinomial do segundo rapido nos faz deduzir que temos uma funçao at2 ˜ de t: S(t) = S0 +v0 t+ . Compare com grau, e que S esta´ em funçao 2 g(x) = ax2 +bx+c. Substituindo os valores, obtemos que S(56) = 3696, ou seja, ela se encontra no ponto (56, 3696) do plano cartesiano de ´ ´ coordenadas. Trace o grafico da trajetoria da part´ıcula. ˜ do tipo h : ˜ polinomial de grau qualquer. Uma funçao Funçao ˜ R → R, h(x) = a0 + a1 x + . . . + an xn , com algum dos ak ’s nao-nulo, ˜ polinomial de grau arbitrario. ´ ´ e´ uma funçao O estudo de seu grafico ˜ e´ tao ˜ simples e veremos isso mais detalhadamente nos cap´ıtulos nao posteriores. ˜ qualquer f : A ⊂ R → ˜ Funçoes modulares. Dada uma funçao ˜ modular pode ser obtida de ´ de: B ⊂ R, uma funçao  f atraves  f (x), se f (x) ≥ 0 g =| · |: D ⊂ R → E ⊂ R, g(f (x)) =| f (x) |= .  −f (x), se f (x) < 0 Aqui, D ⊃ Im(f ). ´ Exemplo 2.3.1. Seja f : R → R, f (x) =| x |. O seu grafico e´ dado por:

-5

-4

-3

-2

-1

´ ˜ f (x) =| x | Figura 2.19: Grafico da funçao ˜ da nossa funçao ˜ da seguinte Poder´ıamos escrever a lei de formaçao   x, se x ≥ 0 ˜ do seu grafico, ´ maneira: f (x) = . Para a construçao  −x, se x < 0 ˜ basta construir os graficos ´ ˜ entao, das funçoes f˜ : R−− → R, f˜(x) = −x e f¯ : R+ → R, f¯(x) = x. ´ ˜ h, dada por Exemplo 2.3.2. Construa o grafico da funçao h : R → R, h(x) =| x2 − 5x + 6 | . ˜ Apos ´ uma analise ´ ´ Soluçao: rapida do comportamento de x2 − 5x + 6, conclu´ımos que ela possui duas ra´ızes reais distintas, 2 e 3. A ´ concavidade da parabola e´ voltada para cima. Entre as suas ra´ızes, ´ a parabola assume valores negativos. Assim, como estamos traba˜ modular, teremos: lhando com uma funçao y 4

0 0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

´ Figura 2.20: Grafico de h

3.6

3.8

4.0

4.2

4.4

4.6

48 ˜ polinomiais f e g, temos a ˜ racional. Dadas duas funçoes Funçao f (x) ˜ racional h tal que h(x) = funçao , onde o dom´ınio de h e´ conjunto g(x) ˜ anulam a funçao ˜ g. Esse tipo de funçao ˜ dos numeros ´ reais que nao ˆ ocorre com bastante frequ¨ encia em alguns problemas rotineiros. O ˜ neste tipo de funçao, ˜ ja´ que ele sera´ leitor deve reter bastante atençao abordado no cap´ıtulo de integrais. Por enquanto, fiquemos com alguns exemplo: y

-3

-2

-1

-2

´ Figura 2.21: Grafico de h(x) =

1 2−x

y 10

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-2

-4

-6

-8

´ Figura 2.22: Grafico de h(x) =

3+x x−5

49 y

-5

-4

-3

-2

-1

-10

-20

-30

-40

´ Figura 2.23: Grafico de h(x) =

12 + x x+1

y 10 8 6 4 2

-4

-2

-2 -4 -6 -8 -10

´ Figura 2.24: Grafico de h(x) =

−1 − x 4−x

˜ ˜ serao ˜ ˜ Funçoes exponencial e logar´ıtmica. Tais funçoes nao ´ abordadas aqui da maneira que achamos ser mais correta. Ao inves ˜ de uma maneira que achamos ser medisso, definiremos tais funçoes lhor para o entendimento. ˜ exponencial, como o nome ja´ diz, e´ uma funçao ˜ do tipo f : A funçao R → R++ , f (x) = ax . Aqui, a ∈ (0, +∞) \ {1}. As propriedades ope´ ´ ratorias ja´ devem ser conhecidas do leitor, e passaremos a enuncialas: • f (x1 + x2 ) = ax1 +x2 = ax1 ax2 = f (x1 )f (x2 ) • [f (x1 )]x2 = (ax1 )x2 = ax1 x2 = f (x1 x2 ) • ax1 ax2 = (a1 a2 )x

50 Existem mais propriedades, mas achamos estas as mais “essenci´ ˜ exponenciais, ais” no momento. Vejamos os graficos de duas func¸oes ˜ diferentes para o nosso a: abordando duas situac¸oes y 3.0 2.8 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4

-5

-4

-3

-2

-1

´ Figura 2.25: Grafico de f (x) = ax , 0 < a < 1

y 10

-5

-4

-3

-2

-1

´ Figura 2.26: Grafico de f (x) = ax , 1 < a Podemos ter infinitos valores para o a, mas um outro desempenha ´ um papel muito importante em Matematica, o numero ´ e. O seu valor ´ da exponencial f (x) = ex : aproximado e´ e ∼ = 2, 7183. Vejamos o grafico

51 y

´ Figura 2.27: Grafico de f (x) = ex ˜ ˆ um comportamento bastante interesNote que tais funçoes tem sante. Afirmamos que dado qualquer real b > 0 existe um unico ´ xb ∈ R tal que axb = b, onde esse a e´ o mesmo dado anteriormente. Assim, ˜ exponencial, denominada de podemos considerar a inversa da funçao logaritmo, dada por: g : R++ → R, g(x) = loga x. Deixamos a cargo ˜ das propriedade da funçao ˜ logar´ıtmica. No caso do leitor a deduçao em que a = e, temos o logaritmo natural, e o denotaremos por ln. y 1

0 0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

4.4

4.6

4.8

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

´ Figura 2.28: Grafico de f (x) = ln x

5.0

52 ˜ trigonometricas ´ ˜ estu˜ ´ Funçoes trigonometricas. As funçoes sao ´ ´ dadas em varios ramos da Matematica, da F´ısica, Engenharia, etc. Al´ ˜ trigonometricas, ´ gumas teorias Matematicas baseiam-se no estudo de funçoes ˜ solucionados atraves ´ de combinaçoes ˜ muitos problemas importantes sao ˜ trigonometricas, ´ ˆ seu comportamento estudado e de funçoes que tem ´ ´ ˜ ja´ renderam varios artigos cient´ıficos. A area de Equaçoes Diferen˜ ´ ciais faz um uso excessivo de funçoes trigonometricas para o per˜ de seus problemas. Para se ter uma ideia, ´ feito estudo e soluçao ˜ se dizer muitos) problemas de equaçoes ˜ diferenciais alguns (para nao ˆ soluçoes ˜ satisfatorias ´ ´ tem apenas com o uso de series deste tipo de ˜ funçoes. ´ seremos breves. As funçoes ˜ seno e cosseno devem Aqui tambem ser bem conhecidas pelo leitor, e passaremos a enunciar algumas caracter´ısticas das mesmas.

  sen : R → R seno  x 7→ sen x,

  cos : R → R cosseno  x 7→ cos x

a) sen 0 = 0, cos 0 = 1;    sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a      cos (a + b) = cos a cos b − sen a sen b b) ∀a, b ∈ R : ;   sen (a − b) = sen a cos b − sen b cos a      cos (a − b) = cos a cos b + sen a sen b c) ∀x ∈ R : cos2 x + sen2 x = 1;

˜ seno e´ ´ımpar e a cosseno e´ par; d) A func¸ao ˜ seno e cosseno, obtemos as demais, ja´ que A partir das func¸oes tg x =

1 1 1 sen x , sec x = , cossec x = , cotg x = . cos x cos x sen x tg x

leitor

acessar,

podera´ no

s´ıtio

IMPA, per´ıodo julho de 2004 e janeiro

˜ de tais funçoes. ˜ Fica como exerc´ıcio para o leitor a caracterizaçao ´ ˜ Para completar, vejamos os graficos dessas funçoes:

2005,

v´ıdeos

sobre o ensino de ˜ func¸oes.

53 y

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-5

-4

-3

-2

-1

-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0

´ ˜ seno Figura 2.29: Grafico da func¸ao y

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-5

-4

-3

-2

-1

-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0

´ ˜ cosseno Figura 2.30: Grafico da func¸ao y 2.0

1.5

1.0

0.5

-5

-4

-3

-2

-1

-0.5

-1.0

-1.5

-2.0

´ ˜ tangente Figura 2.31: Grafico da func¸ao y

2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

-5

-4

-3

-2

-1

1 -0.5

-1.0 -1.5 -2.0 -2.5

´ ˜ secante Figura 2.32: Grafico da funçao ˜ importantes. Nesta unidade, deixamos de ressaltar algumas funçoes ˜ delas ocorrera´ em cap´ıtulos posteriores. A apresentaçao

54 y

2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

-5

-4

-3

-2

-1

-0.5 -1.0 -1.5 -2.0 -2.5

´ ˜ cossecante Figura 2.33: Grafico da func¸ao y

2.0

1.5

1.0

0.5

-5

-4

-3

-2

-1

-0.5

-1.0

-1.5

-2.0

´ ˜ cotangente Figura 2.34: Grafico da func¸ao

˜ ˜ 2.4 Operaçoes com funçoes ˜ Para o encerramento deste cap´ıtulo, apenas definiremos algumas operaçoes ˜ ˜ com funçoes. Na maioria das vezes, encontramos em problemas nao ˜ mas sim, somas de funçoes, ˜ ˜ somente uma simples funçao, combinaçoes ˜ de funçoes, etc. Mas o mais importante e´ sabermos analisar e com˜ em si. preender cada funçao

˜ de funçoes ˜ • Adiçao ˜ ´ Primeiramente, para operarmos duas ou mais funçoes, e´ necessario ˜ nao ˜ que os seus dom´ınios sejam iguais ou possuam intersecçao ˜ resultante na interseçao ˜ vazia. Nesse caso, definimos a funçao ˜ ser importante operar duas funçoes ˜ definidas dada. Cremos nao em conjuntos disjuntos.

55 ˜ F e G tais que Desta maneira, dadas duas funçoes Dom(F ) ∩ Dom(G) 6= ∅, definimos a sua soma assim: (F + G) : Dom(F ) ∩ Dom(G) → X, (F + G)(x) = F (x) + G(x), onde X e´ o contradom´ınio a ser analisado e dado. ˜ e f : R++ → R, f (x) = −x2 + x. Como Exemplo 2.4.1. Sejam Q ˜ iguais, podemos soma-las. ´ os seus dom´ınios sao A soma sera´ ˜ + f ) : R++ → R, tal que (Q ˜ + f )(x) = x. dada por (Q ˜ por escalar • Multiplicaçao ˜ ˜ E´ talvez a mais simples das operaçoes com funçoes. Seja F : ˜ Dado o escalar (numero A → B uma funçao. ´ real) α, o produto αF e´ definido por αF : A → B, (αF )(x) = α · F (x). ˜ G : R → R, G(x) = 2x2 pode ser vista Exemplo 2.4.2. A funçao como G = 2Q. (Concorda?) ˜ de funçoes ˜ • Multiplicaçao ˜ F e G tais que Dom(F ) ∩ Dom(G) 6= ∅. DefiSejam as funçoes ˜ F · G por: F · G : Dom(F ) ∩ Dom(G) → nimos a sua multiplicaçao X, (F · G)(x) = F (x)G(x), onde X e´ um contradom´ınio a ser obtido e analisado. ˜ cos2 : R → R e´ o produto da funçao ˜ Exemplo 2.4.3. A funçao

cosseno por ela mesma. (Nunca confunda cos2 x com cos x2 !)

56 y 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

-5

-4

-3

-2

-1

´ Figura 2.35: Grafico de cos2 x y

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-5

-4

-3

-2

-1

-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0

´ Figura 2.36: Grafico de cos x2 ˜ de funçoes ˜ • Divisao ´ devemos nos preE´ um caso particular do anterior. Aqui tambem ˜ resultante da divisao. ˜ Suponha ocupar com o dom´ınio da funçao ˜ que queiramos dividir as funçoes F e G. O dom´ınio dessa di˜ deve ser, entao, ˜ dado por: {x ∈ Dom(F )∩Dom(G); G(x) 6= visao ˜ e´ poss´ıvel a divisao ˜ por zero. 0}, ja´ que nao 1 pode x ˜ da funçao ˜ constante C : R → R, C(x) = ser vista como a divisao ˜ h : R \ {0} → R \ {0}, h(x) = Exemplo 2.4.4. A funçao

˜ u : R → R, u(x) = x. (Concorda?) 1 pela func¸ao

2.5 Saiba mais ˜ do grafico ´ ˜ nem sempre e´ uma tarefa A construçao de uma funçao ˜ simples. Para algumas funçoes, onde conhecemos a curva a ser ´ traçada (reta, parabola, etc) so´ precisamos marcar alguns pontos no ´ plano cartesiano e usando a rigidez da curva, traçamos o grafico. ´ ˜ esta´ catalogada no texto didatico ´ Porem, quando a curva nao (e´ o que acontece na maioria dos casos) nossa tarefa se torna muito mais ´ dif´ıcil. Ainda em nosso texto, forneceremos ferramentas de calculo ´ ˜ como os limites e as derivadas para esboçar graficos de funçoes. ˆ Mesmo assim, em geral, ha´ carencia de exemplos e o aluno encontra ´ ˆ muitos obstaculos para compreender e, consequ¨ entemente, sente-se ´ ˜ arbitraria. ´ inseguro para traçar o esboço grafico de uma funçao Da´ı surge a necessidade do uso de softwares (programas de computador) ´ ´ ˜ dos tumatematicos que complementam o texto didatico e a atuaçao ´ ´ tores. A seguir, apresentamos alguns exemplos classicos de graficos ˜ de funçoes obtidos com o uso do software WINPLOT que e´ um programa livre e, como pode ser visto no link acima, pode ser executando no ambiente LINUX EDUCACIONAL. ˜ f : R \ {0} → R, f (x) = sen Exemplo 2.5.1. A funçao

´ Figura 2.37: Grafico de sen

1 x

58   x2 sen ´ ˜ f (x) = Exemplo 2.5.2. O grafico da func¸ao  0,

1 x

, se x 6= 0

, se x = 0. ˜ compreendido entre os esta´ em vermelho e, para maior compreensao,

´ graficos de y = x2 e y = −x2 que correspondem aos valores assumidos por f quando o seno vale ±1, respectivamente.

´ Figura 2.38: Grafico de x2 sen

1 x

˜ f : R \ {0} → R, f (x) = Exemplo 2.5.3. A func¸ao

´ Figura 2.39: Grafico de f (x) =

log(x) . x

log(x) x

2.6 Exerc´ıcios 1. Sabendo que f (x) = x2 − 2x, determine: (a) O dom´ınio de f ; (b) O seu conjunto imagem; √ (c) f (0) e f ( 2). ´ 2. Especifique o dom´ınio, o conjunto imagem e esboce o grafico ˜ das seguintes func¸oes: (a) f (x) = x (b) f (x) = x − 3 (c) f (x) = x(x + 8) (d) f (x) = x2 + 3x − 8 (e) f (x) = −8x + 54 (f) f (x) = −3x2 − 4x + 9 ˜ a seguir: 3. Ache os dom´ınios para as func¸oes 1 1−x 1 g(x) = 1 − x2 2 g(x) = √ x−5 r x+2 g(x) = x2 − 9 √ g(x) = x2 − 9x + 11 √ g(x) = x2 − 5x + 6 r 1 g(x) = 3 x + x2 − x

(a) g(x) = (b) (c) (d) (e) (f) (g)

˜ f e´ dizer que f (x) = 4. Dizer que p ∈ R e´ per´ıodo de uma func¸ao f (x + p), para todo x ∈ Dom(f ) tal que x + p ∈ Dom(f ). Da´ı ´ dizemos que f e´ p-periodica. Responda: ˜ constante possui per´ıodo? (a) Toda func¸ao

60 ˜ de uma funçao ˜ qualquer com uma periodica ´ (b) A composiçao ´ e´ periodica? ˜ periodicas. ´ (c) Deˆ exemplos de funçoes ˜ ´ 5. Deˆ exemplos de funçoes pares e ´ımpares. Faça varios produ˜ pares, entre funçoes ˜ ´ımpares e entre pares e tos entre funçoes ´ımpares. Notou algo interessante? ˜ 6. Encontre o conjunto imagem para as seguintes funçoes e es´ boce o grafico quando puder: (a) f (x) = x + 1 (b) f (x) = x2 + 3 3 x+4 x+1 (d) f (x) = x √ (e) f (x) = x (c) f (x) =

(f) f (x) = cos x (g) f (x) =| x | ´ ˜ 7. Esboce os graficos das seguintes func¸oes: (a) h(x) =| x + 1 | (b) h(x) =| x + 1 || x − 2 | (c) h(x) =|| x | −4 | (d) h(x) =| x2 + 3x − 9 | (e) h(x) =| −2x2 + 3x + 2 | (f) h(x) =|| x |2 −2 | x | +1 | ˜ polinomiais: 8. Determine as ra´ızes das seguintes func¸oes (a) f (x) = 5 − 8x (b) f (x) = 12 x + 32 (c) f (x) = x2 − 5x + 6

61 (d) f (x) = x2 + 3x − 3 (e) f (x) = x2 − 6x + 9    x2 − 3x, se x < 0      x − 1, se x ∈ [0, 3] ´ ˜ f (x) = 9. Esboce o grafico da func¸ao .   4, se x ∈ (3, 4]      −x2 + 9x, se x > 4

  | x |, se x < 0 ˜ em questao ˜ e´ 10. Idem para f (x) = . A funçao  x2 , se x ≥ 0 injetiva? E sobrejetiva? ´ ˜ produzidas caixas de papelao ˜ em formato de 11. Numa fabrica sao cubo. Sabendo que uma empresa fez uma encomenda de 1000 caixas desse tipo com volume de 0, 125m3 , determine o custo ˜ para essa encomenda, sabendo que o material do de produçao ˜ feitas as paredes das caixas custa R$ 1,50 o metro qual sao quadrado, e o material do fundo e da tampa custa R$ 3,75 o ˜ que descreve o custo para metro quadrado. Qual seria a funçao ´ ´ uma encomenda qualquer de caixas de volume arbitrario preestabelecido? 12. Uma corda de 100 metros sera´ cortada em dois pedaços. Um ˆ pedaço formara´ um quadrado e o outro formara´ um triangulo ´ ´ equil ¨ atero. Como devemos cortar a corda de modo que a area ´ total das figuras seja maxima? 13. A velocidade aproximada de queda de um corpo na Terra e´ de 4, 93t2 metros em t segundos. Suponha que um corpo de di˜ ´ mensoes desprez´ıveis caia de um predio de altura igual a 24 ´ ˜ do tempo para metros. Esboce o grafico da altura em funçao ˆ segundos. esta queda, nos primeiros tres ˜ quanto a` paridade: 14. Classifique as seguintes funçoes (a) sen 2x

62 (b) sen (x − π) (c) sen x cos x (d) x4 (e) x − cossec x ´ 15. Duas cidades A e B devem receber suprimento de agua de um ´ ` margens de um rio em linha reservatorio a ser localizado as reta, que esta´ a 16 km de A e a 9 km de B. Se os pontos mais ´ ˆ proximos de A e B guardam entre si uma distancia de 20 km ˜ do mesmo lado do rio, encontre a funçao ˜ que e A e B estao ˜ em funçao ˜ da posiçao ˜ do define o comprimento da tubulaçao ´ reservatorio.

ˆ ´ Referencias Bibliograficas ´ [1] ANTON, H. Calculo, um novo horizonte, vol. 1., Editora Bookman, Porto Alegre. ´ [2] GUIDORIZZI, H.L. Um curso de Calculo, vols. 1, 2, 3, 4. Livros ´ Tecnicos e Cient´ıficos. 2001. ´ ´ [3] LANG, S. Calculo, vol. 1, Ed. Livros Tecnicos e Cient´ıficos, 1977. ´ ˜ Instituto de [4] LIMA, E. L. Curso de Analise, vol. 1, 8a. Edic¸ao, ´ Matematica Pura e Aplicada, CNPq, Rio de Janeiro, 2004. [5] http://www.brasilescola.com/matematica/funcoes.htm. ` 12h08min. Acesso em 26/06/2008 as [6] http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/. ` 09h40min. Acesso em 26/06/2008 as

U ni de da 1 Unidade 3

sociolo iologia gia ee a a AA soc A Derivada e suas Soc iolo gia da Educaç cação ão Sociologia da Edu

Resumo Nesta unidade, introduzimos um conceito muito importante no Cálculo: a derivada. Apresentamos aplicações na Física para motivar o nosso estudo. Enunciamos o Teorema do Valor Médio e fazemos várias aplicações, dentre elas, o esboço de gráficos de funções. Indicamos alguns livros mais avançados e links para o aprofundamento de conteúdo.

UNIDADE 3. Limites e Continuidade 3.1 Noção de limite

3.2 Funções contínuas

3.3 Limites laterais

3.4 Limites no infinito

3.5 Teorema do Valor Intermediário

3.6 Saiba mais

3.7 Exercícios

Referências Bibliográficas

3. Limite e Continuidade

´ uma breve revisao ˜ sobre funçoes, ˜ Apos estamos aptos a começar os nossos estudos efetivamente. Aqui abordaremos o estudo dos limi˜ ˜ veremos todos os tipos tes e das funçoes cont´ınuas. Claro que nao ˜ vistos nos de limite, ja´ que existem alguns especiais que so´ serao ˜ cont´ınuas, cap´ıtulos seguintes. Apesar de termos dito apenas funçoes ´ veremos um pouco de funçoes ˜ ˜ tambem nao-cont´ ınuas, pois a exisˆ ˆ tencia destas e´ de grande importancia e talvez elas ocorram em nume´ ro maior do que aquelas. ´ Aqui começamos a diferenciar os estudos vistos no Ensino Medio ´ os problemas eram mais simples dos estudos do Ensino Superior. La, ˜ t´ınhamos ferramentas mais avançadas para a soluçao ˜ dos porque nao mais complexos. Ate´ a forma de pensar muda um pouco. Digamos ´ que no Ensino Medio aprendemos a pensar ”discretamente”, ja´ na Universidade aprendemos (pelo menos em tese) ”continuamente”. Uma diferença importante e´ que la´ os problemas eram adequados a` teoria explicada, e nunca poderiam ser muito diferentes do que os apresen˜ negamos a existencia ˆ tados nos textos. Aqui, nao dos problemas e ˜ dos mesmos. Com um procuramos as ferramentas para a soluçao ˆ ´ pouco mais de experiencia, o estudante universitario novato vera´ que ˜ e´ mais importante saber varias ´ ´ ´ agora nao formulas e tecnicas para resolver determinados exerc´ıcios, mas sim aprender a teoria desen˜ de diversos problemas, devolvida e pensar, refletir para a soluçao safios. 66

67 ˜ de um problema elComeçaremos este cap´ıtulo com a exposiçao ementar. Problema. Suponha que um corpo no universo se comporte de tal maneira que sua massa decresça de acordo com o passar do 1 ˜ m(t) = , o tempo sendo dado em anos. tempo, segundo a funçao t ´ passada uma quantidade O que podemos deduzir da sua massa apos incrivelmente grande de anos? O que acontecera´ com a sua massa quando t tender ao infinito?

˜ de limite 3.1 A noc¸ao

´ O topico Limites,

´ O conceito de limite e´ um conceito muito importante em Matematica.

em n´ıvel de en-

´ ´ da Utilizamos limites em todas as areas. Para o leitor ter uma ideia

´ sino medio, pode

ˆ ´ importancia do limite para a Matematica, saiba que a derivada e a in-

ser

com

˜ exemplos de limites. Entao, ˜ aprendendo bem o conceito de tegral sao

mais detalhes no

˜ devera´ encontrar muitas dificuldades nos proximos ´ limite, o leitor nao

s´ıtio da Revista

˜ cap´ıtulos. Abordaremos aqui o conceito de limite para func¸oes de

Professor

´ ˜ ´ variaveis cont´ınuas. As func¸oes de variaveis discretas possuem um

´ Matematica

´ ˜ serao ˜ abordadas aqui. lugar reservado no estudo do Calculo, mas nao

Sociedade

˜ f quando x ”tende” a um valor a Dizer que o limite de uma func¸ao

visto

Brasileira ´ Matematica.

´ e´ L significa dizer que quanto mais proximos os pontos, numeros, ´ es´ ˜ proximas ´ tiverem de a, mais proximos as suas imagens por f estarao ˜ para resumir o que foi dito: de L. Utilizamos as seguintes notac¸oes x→a

lim f (x) = L, f (x) −→ L.

x→a

˜ dissemos que o limite L esta´ no conjunto imagem da Note que nao ˜ f . Em suma, L nao ˜ precisa pertencer a Im(f ) para termos func¸ao limx→a f (x) = L. Vejamos com um exemplo simples o afirmado:   x, se x ∈ R \ 2 ˜ f dada por: f (x) = Exemplo 3.1.1. Seja a func¸ao .  3, se x = 2

Calcule limx→2 f (x).

˜ Figura 3.1: Limite de func¸ao

˜ Figura 3.2: Limite de funçao ˜ A` medida que nos aproximamos do ponto P = 2, as imagens Soluçao: de f se aproximam do valor 2. (Veremos mais na frente como calcu˜ lamos em tais situaçoes.) Neste caso, limx→2 f (x) = 2 6= 3, mesmo ˜ pertença ao conjunto imagem de f . que f (2) = 3 e o valor 2 nao

´ Quando falamos que as imagens de f se tornam muito proximas de uma valor L, quando os valores do dom´ınio de f se aproximam de um valor a; que o limite de f quando x se aproxima de a e´ L, queremos ˜ proximos ´ dizer que podemos ter valores tao quanto se queira de L, bastando para isso que nos aproximemos adequadamente do valor a. ´ Em linguagem matematica, escrevemos assim:

lim f (x) = L ⇔ ∀ 0 < ǫ ∈ R, ∃ 0 < δ ∈ R; | x − a |< δ ⇒| f (x) − L |< ǫ.

x→a

Ou seja, escolhido arbitrariamente o 0 < ǫ ∈ R, podemos encontrar ˆ um 0 < δ ∈ R tais que se a distancia de qualquer ponto no dom´ınio de ˜ a distancia ˆ f para o ponto a for menor que δ (que depende de ǫ), entao da sua imagem para o ponto L sera´ menor que ǫ. ˜ grosseira para que o entendimento seja Façamos uma comparaçao o melhor poss´ıvel. Suponha que voceˆ trabalhe numa empresa em que funcione o sistema de recompensa, i.e., quanto maior a produtividade, ´ ˜ mas imaginemos mesmo assim. Admita maior o salario. Isso e´ ficçao, ´ que um determinado valor L e´ o seu objetivo para salario. Para que ´ se aproxime do valor sonhado, e´ preciso que sua produçao ˜ seu salario ˜ voceˆ estipula taxas, ou metas. Num primeiro mes, ˆ cresça. Entao ´ quer que seu salario esteja apenas a 100 reais do desejado. Para ˜ ou seja, aproximar isso, voceˆ deve aumentar em 10% sua produçao, ˜ da produçao ˜ sonhada. Num segundo mes, ˆ voceˆ deseja sua produçao diminuir a diferença salarial para apenas 50 reais. Para isso, deve au˜ mais ainda, para aproxima-la ´ mentar a produçao da objetivo. E assim sucessivamente. Pode ser que voceˆ nunca chegue a conseguir uma diferença sala˜ proximo ´ rial nula, mas a certeza e´ que voceˆ pode chegar tao dela quanto queira, mesmo que para isso pague algum preço. ˜ em limite, primeiro estipulamos o quanto queremos aproxiEntao, ˜ de uma valor dado, para depois sabermar as imagens de uma funçao ˜ de mos o quanto devemos aproximar valores do dom´ınio da funçao ´ ˜ um certo ponto. Leia varias vezes as explicaçoes dadas acima ate´ que voceˆ entenda bem o conceito de limite. ˜ dada no exemplo anterior. Vejamos Exemplo 3.1.2. Seja a funçao ˜ e´ bem simples, e realmente o que acontece. Como a nossa funçao devemos ate´ questionar o porqueˆ de tanta simplicidade, vejamos que os valores das imagens realmente se aproximam de 2, quando nos aproximamos do ponto 2 no dom´ınio:

70 x

f (x)

1,5

1,89

1,99995

˜ de 2 atraves ´ de valores menores. VeIsso para uma aproximac¸ao jamos para valores maiores: x

f (x)

3,9

3,15

2,19

2,00008

As tabelas nos dizem que nos aproximamos do valor L = 2 seja nos aproximando ”pela esquerda”, seja ”pela direita”de a = 2. Mas ˜ sao ˜ suficientes para que afirmemos com tabelas como essas nao ´ certeza que tal limite foi encontrado. Para efeito de calculos computa˜ aceitaveis. ´ cionais e emp´ıricos, os procedimentos acima sao Mas em ´ Matematica devemos provar que tal racioc´ınio esta´ correto. Vejamos ˜ simples para o nosso limite: uma demonstraçao ˜ tomemos δ = ǫ. Assim, Seja 0 < ǫ ∈ R dado. Para a nossa funçao, 0 < δ ∈ R e : 0 <| x − 2 |< δ ⇒| x − 2 |< ǫ. Quer dizer, dado ǫ > 0 tomamos δ = ǫ e conseguimos que 0 <| x − 2 |< δ ⇒| f (x) − 2 |< ǫ, i.e., limx→2 f (x) = 2. ˜ consideramos o valor x = 2, por se tratar de uma Note que nao descontinuidade. Este termo sera´ explicado melhor adiante.   x2 , se x ∈ R \ {3} ˜ g : R −→ R, g(x) = Exemplo 3.1.3. Seja a funçao .  −1, se x = 3 Calcule lim g(x). x→3

˜ Primeiramente, fac¸amos uma tabela para vermos o comSoluc¸ao: portamento dos valores de g nas proximidades de 3:

71 x

g(x)

3,5

12,25

3,11

9,6721

3,03

9,1809

3,0008

9,00480064

3,0000002

9,00000120000004

g(x)

2,5

6,25

2,88

8,2944

2,99

8,9401

2,99994

8,9996400036

2,999999999998

8,999999999988000000000004

˜ imaginar Notamos que os valores tendem para 9. Podemos entao ˜ −1, que o limite de g quando x se aproxima de 3 e´ igual a 9, e nao ´ poderia imaginar. como alguem ˜ de que lim g(x) = 9 e´ um pouco mais complexa. A Demonstrac¸ao x→3

Começaremos agora a mostrar certas propriedades de limites. Elas ´ servem principalmente para calcularmos limites de forma mais rapida e segura. De posse de tais propriedades, o estudante pode deduzir ´ os valores de varios limites. Comecemos vendo a unicidade do limite. Suponha que determi˜ f tal que limx→a f (x) = L1 , limx→a f (x) = L2 . Uma boa nada funçao ˜ entre L1 e L2 . Vejamos mais detapergunta seria sobre a relaçao lhadamente o que acontece: • Caso em que limx→a f (x) = L1 . ˜ de limite, sabemos que dado 0 < ǫ ∈ R , existe Pela definiçao ´ 0 < δ1 ∈ R (aqui o sub´ındice servira´ apenas para destaca-lo e ´ dos demais) tais que | x − a |< δ1 ⇒| f (x) − L1 |< 2ǫ . diferencia-lo

• Caso em que limx→a f (x) = L2 .

72 ˜ de limite, temos que dado 0 < ǫ, exNovamente, pela definic¸ao iste 0 < δ2 tais que | x − a |< δ2 ⇒| f (x) − L2 |< 2ǫ . Tomando δ igual ao menor entre δ1 e δ2 (escrevemos δ = min{δ1 , δ2 }), temos que: | x − a |< δ ⇒| f (x) − L1 |< | x − a |< δ ⇒| f (x) − L2 |<

ǫ 2 ǫ 2

Percebendo que ǫ >| f (x) − L1 | + | f (x) − L2 |≥| f (x) − L1 + L2 − f (x) |=| L1 − L2 − 2 |, obtemos que para algum x˜ ∈ (a − δ, a + δ), temos ´ que | L1 − L2 |< ǫ. O fato de ǫ ser arbitrario nos diz que L1 = L2 . (Por ˆ que?) Esse fato nos garante que o limite, quando existe, e´ unico. ´ Outra ´ importante e´ a que nos garante que nas propriedade simples, porem ˜ nao ˜ ”explode”. Usamos essa exproximidades do limite, a funçao ˜ vulgar e corriqueira no caso em que a funçao ˜ cresce ou depressao cresce demasiadamente quando se aproxima de um ponto p tal que dado qualquer α ∈ R existe x ∈ Domf com | f (x) |> α. Procure enten´ ˜ tangente e cotangente. der tal ideia. Utilize como exemplos as funçoes Em que pontos elas ”explodem”? Suponha que exista limx→a f (x) e que seja igual a L. Para uma vizinhança de a, temos que existe K > 0 tal que | f (x) |< K, para todo x pertencente a esta vizinhança. ˜ como exerc´ıcio para o leitor. Apenas Deixamos tal demonstraçao ˜ de considerar ǫ = 1 e K = L + ǫ. Tenha em mente damos a sugestao que esta propriedade nos garante apenas um fato local, i.e., podemos ˜ ilimitada, mas que seja limitada em vizinhanças dos ter uma funçao pontos nos quais existe lim f . ´ importante. Agora veremos mais uma propriedade simples porem ˆ ´ ˜ os alunos iniciantes que descoA experiencia nos diz que varios sao nhecem tal propriedade ou mesmo a esquecem rapidamente. Dizer ˜ e´ limitada superiormente (ou inferiormente) por outra que uma funçao ˜ em determinado conjunto e´ dizer que as imagens da primeira funçao ˜ sao ˜ maiores (ou menores) do que as imagens da outra no funçao

73 ˜ nos mesmos pontos. conjunto em questao, Exemplo 3.1.4. Sejam f : (2, 4) → (4, 16), f (x) = x2 e g : (2, 4) → (28, 16), g(x) = −x2 + 32. Temos que f (x) < g(x), ∀x ∈ (2, 4), mas limx→4 f (x) = limx→4 g(x). Concorda? ˜ e´ verdade que f (x) < Assim, com o exemplo dado, vemos que nao g(x), ∀x ∈ A ⊂ Dom(f, g) ⇒ limx→a f (x) < limx→a g(x). A pro˜ nos diz que f (x) < g(x), ∀x ∈ A ⊂ Dom(f, g) ⇒ priedade em questao limx→a f (x) ≤ limx→a g(x), sendo trivial o caso em que a desigualdade ˜ e´ estrita. nao ˜ pode acontecer lim f (x) > lim g(x). So´ precisamos mostrar que nao x→a

x→a

ˆ (Por que?) Nesse racioc´ınio, suponha que limx→a f (x) = L1 > L2 = limx→a g(x). ˆ ˜ Existe L ∈ R tal que L2 < L < L1 . (Por que?) Assim, pela definic¸ao de limite, dado 0 < ǫ < min{| L1 − L |, | L − L2 |}, existe δ > 0 tais que   | f (x) − L |< ǫ 1 | x − a |< δ ⇒ .  | g(x) − L |< ǫ 2

Pela escolha do ǫ, obtemos que existe x˜ ∈ (a − δ, a + δ) tal que

´ f (˜ x) > L > g(˜ x). Da´ı, temos que f (˜ x) > g(˜ x), mas por hipotese temos ˜ que f (˜ x) < g(˜ x). Isto completa a demonstraçao. O leitor deve se acostumar com racioc´ınios do tipo acima. Evitamos em toda esta obra tecer racioc´ınios mais abstratos. Conti˜ nuaremos vendo algumas propriedades de limite. As seguintes sao de natureza operacional. Elas nos dizem como devemos proceder ˜ quando nos deparamos com limites com somas, multiplicaçoes, etc de ˜ ˜ a seguir, suponhamos que as operaçoes ˜ funçoes. Para as situaçoes ˜ tomadas num dom´ınio valido. ´ sao • lim [(f ± g)(x)] = lim f (x) ± lim g(x); x→a

x→a

• lim [(f · g)(x)] = lim f (x) · lim g(x); x→a

x→a

lim f (x) f , desde que lim g(x) 6= 0. (x) = x→a • lim x→a x→a g lim g(x) x→a

74 ˜ demonstraremos tais casos. O importante e´ aprender a calNao ´ uma aquisic¸ao ˜ de mais experiencia, ˆ cular os limites. Apos o leitor ˜ exibidas neste livro, como tambem ´ deve aprender as demonstrac¸oes as omitidas. Exemplo 3.1.5. Sabendo que limx→−1 x2 = 1, limx→−1 2x = −2, resolva: a) limx→−1 3x2 − 2x; b) limx→−1

−x2 + 9x; 5

c) limx→−1

x2 ; 2x

d) limx→−1 x3 . Faremos alguns casos. Para o item a), notemos que 3x2 − 2x = 3 · x2 + (−1) · (2x). Aplique um resultado visto acima. Para o item b), 2 −x2 ˜ analogos. ´ perceba que + 9x = −1 x + 92 (2x). Os outros sao 5 5 ˜ solucionados de maneira mais Na verdade, os exemplos acima sao simples. Mas optamos por expor um pouco mais de teoria para depois aplicarmos. Uma outra propriedade importante de limites e´ o teorema do confronto. Vejamos seu enunciado: ˜ bem Teorema 3.1.1 (Teorema do confronto). Sejam f1 , f2 , f3 funçoes definidas e tais que, para todo x em uma vizinhança Va de a, acontece ˜ f1 (x) ≤ f2 (x) ≤ f3 (x). Se limx→a f1 (x) = L = limx→a f3 (x), entao limx→a f2 (x) = L. ˜ Trata-se tambem ´ de uma demonstraçao ˜ bem simples. Demonstraçao. ˜ de limite e pela hipotese ´ Pela definiçao obtemos que dado ǫ > 0, existe δ > 0 tais que   | f (x) − L |< ǫ 1 | x − a |< δ ⇒ .  | f (x) − L |< ǫ 3

75 Note que a arbitrariedade de ǫ > 0 nos deixa livres para o escolhermos suficientemente pequeno de tal maneira que tenhamos (a − δ, a + δ) ⊂ Va . Sabemos que | L | −ǫ < f1 (x) <| L | +ǫ, | L | −ǫ < f3 (x) <| L | +ǫ. Mas lembremos que na vizinhanc¸a Va ocorre f1 (x) ≤ f2 (x) ≤ f3 (x). Assim, obtemos que | L | −ǫ < f1 (x) ≤ f2 (x) ≤ f3 (x) <| L | +ǫ ⇒| f2 (x) − L |< ǫ. Logo, lim f2 (x) = L, como quer´ıamos. x→a

De posse do conhecimento do Teorema do confronto, podemos ´ deduzir um resultado bastante util. ´ Passemos a enuncia-lo. ˜ Sejam f, g funçoes dadas tais que limx→a f (x) = 0 e g e´ limitada em uma vizinhança V de a, ou seja, existe K > 0 tal que | g(x) |≤ ˜ limx→a (f · g)(x) = 0. K, ∀ x ∈ V . Entao A sua prova e´ bem simples e deixamos como exerc´ıcio para o leitor. ˜ de analisar as desigualdades −Kf (x) ≤ Damos apenas a sugestao f (x)g(x) ≤ Kf (x), na vizinhança V . A propriedade anterior e´ bastante importante porque nos garante ˆ ˜ sem que saibamos a existencia do limite do produto das duas funçoes ˜ no ponto indicado. Na verao menos se uma possui limite, ou nao, ˜ possuir limite em nenhum ponto da reta. Mas o dade, ela pode nao ´ a nulidade do fato dela ser ilimitada e´ imprescind´ıvel, como tambem limite da outra. Vejamos mais detalhadamente isso com os seguintes exemplos. ˜ f : R → R, f (x) = −x e g : R → Exemplo 3.1.6. Sejam as funçoes ´ ˜ que limx→0 f (x) = 0. R, g(x) = χQ (x). Veremos na proxima seçao ˜ g e´ limitada em toda a reta real. Sabemos do cap´ıtulo 1 que a funçao Assim, podemos afirmar que limx→0 f (x)g(x) = 0. Voceˆ saberia dizer quanto vale limx→0 g(x)? Exemplo 3.1.7. Neste simples exemplo, veremos que e´ imprescind´ıvel ˜ Seja a o fato de g ser limitada nas vizinhanças do ponto em questao. 1 ˜ f do exemplo anterior e g : R \ {0} → R \ {0}, g(x) = . Temos funçao x ˜ g e´ ilimitada proxima ´ que a funçao do ponto zero, pois dado qualquer

76 1 . Assim, α ´ g(β) > α. Para o caso negativo o racioc´ınio e´ analogo e deixamos

numero ´ real positivo α, existe um β ∈ R \ {0} tal que β < como exerc´ıcio para o leitor. Analisando agora o limite limx→0 f (x)g(x), teremos: 1 lim f (x)g(x) = lim (−x) = lim −1 = −1 x→0 x→0 x→0 x .

˜ Antes de começarmos nossos estudos sobre funçoes cont´ınuas, vejamos uma ultima ´ propriedade. Ela nos diz o que devemos fazer ˜ compostas. Pedimos quando nos depararmos com limites de funçoes ˜ compostas, para ao leitor que relembre o que foi visto sobre funçoes que o entendimento de tal propriedade fique bem claro. ˜ dadas e suponhamos que as condiçoes ˜ Sejam f e g duas funçoes ´ necessarias para que exista a composta g ◦ f estejam satisfeitas. ´ que limx→a f (x) = L1 e que limy→L1 g(y) = L2 . Suponhamos tambem Assim, limx→a g(f (x)) = L2 , desde que g(L1 ) = L2 . ˜ de tal prorpiedade. Caso queira, o Omitiremos a demonstraçao ˆ ˜ Vejamos o leitor pode faze-la e conferir o porqueˆ da ultima ´ afirmaçao. seguinte exemplo. Exemplo 3.1.8. Sejam f : R → R, f (x) = 3, ∀ x ∈ R e g : R →   x2 , se x 6= 3 ˜ dadas. R, g(x) = duas funçoes  −1, se x = 3 Sabemos que limy→3 g(y) = 9 e que limx→3 f (x) = 3, mas ao analisarmos a composta g ◦ f , teremos: g(f (x)) = −1, ∀ x ∈ R, donde limx→3 g(f (x)) = −1. ˆ No exemplo anterior mais uma vez o leitor constatou a importancia ´ ´ ˜ etc. So´ das hipoteses para um teorema, corolario, lema, proposiçao, podemos utilizar os resultados obtidos em teoremas, caso nosso pro˜ estaremos fadados ao blema se encaixe completamente neles, senao fracasso.

˜ 3.2 Func¸oes cont´ınuas

´ uma breve passagem nas propriedades dos limites, vereApos ˜ ˜ mos agora uma classe muito importante de funçoes, a das funçoes ´ cont´ınuas. Afirmamos que para o calculo de muitos limites sem pre˜ atraves ´ de ǫ e δ, so´ sao ˜ necessarios ´ cisarmos de demonstraçoes co˜ cont´ınuas e um pouco de maturidade em nhecimentos sobre funçoes ˜ algebricas. ´ manipulaçoes ˜ do grafico ´ ˜ cont´ınua, usaremos Para uma visualizaçao de funçao ´ os mesmos argumentos de varios outros autores que dizem que o ´ ˜ cont´ınua e´ um grafico ´ grafico de uma funçao sem ”buracos”, i.e., ao ´ ˜ precisamos tirar a ponta do lapis ´ desenharmos tal grafico, nao em momento algum do papel. ”E´ um traço cont´ınuo”. y

26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

-5

-4

-3

-2

-1

´ ˜ cont´ınua Figura 3.3: Grafico de uma func¸ao

˜ f : A → B e´ dita cont´ınua num ponto a ∈ ˜ 3.2.1. Uma funçao Definiçao ´ disso, limx→a f (x) = A se existirem o limite limx→a f (x) e f (a), e alem ˜ e´ cont´ınua em um ponto b, ela e´ dita descont´ınua f (a). Quando f nao em b. ˜ f e´ cont´ınua num Em outras palavras, dizemos que uma funçao ´ ponto a ∈ Dom(f ) quando podemos ter imagens bem proximas de ´ f (a), desde que tomemos estas imagens de pontos bem proximos de ˜ f e´ cont´ınua num ponto a. Uma outra maneira e´ dizer que uma funçao a ∈ Dom(f ) quando dado qualquer ǫ > 0, encontramos um δ > 0 tais que f (a − δ, a + δ) ⊂ (f (a) − ǫ, f (a) + ǫ).

78 ˜ g : R → R, g(x) = x e´ cont´ınua no ponto Exemplo 3.2.1. A funçao x = 3. Checamos isto da maneira usual com que checamos os outros limites, ou seja, estabelecemos um ǫ positivo, encontramos um δ ´ positivo e dependente de ǫ, como o leitor esperto deve ter (tambem ja´ percebido) tais que | x − a |< 0 ⇒| f (x) − L |< ǫ, so´ que com a diferença que f (a) = L, obrigatoriamente. Vejamos. Seja ǫ > 0 dado. Queremos que aconteça | f (x) − f (a) |=| x − a |< ǫ. Se tomarmos para este caso δ = ǫ, obtemos que: | x − a |< δ ⇒| f (x) − f (a) |=| x − a |< ǫ. ˜ O exemplo acima serve apenas como ilustraçao. Vejamos outro exemplo: ˜ real f tal que f (x) = ax + b, com a 6= 0. Exemplo 3.2.2. Seja a funçao Mostre que f e´ cont´ınua em toda a reta real. ˜ Devemos ter em mente sempre que o objetivo e´ mostrar Soluçao: que dado ǫ > 0 existe um δ > 0 tais que | x − P |⇒| f (x) − f (P ) |< ǫ. Assim, queremos chegar a uma desigualdade do tipo | ax + b − (aP + b) |< ǫ. Agora vejamos que ax + b − (aP + b) = a(x − P ). Assim, obtemos que | ax + b − (aP + b) |=| a(x − P ) |=| a || x − P | . Se ǫ ǫ , obteremos que | x − P |< δ = ⇒| tomarmos neste caso δ = |a| |a| ´ positivo a || x − P |< ǫ, i.e., que dado ǫ positivo, existe um δ tambem ´ tais que | x − P |< δ ⇒| f (x) − f (P ) |< ǫ, onde P e´ um ponto arbitrario ǫ ?) da reta real. (Por que pudemos tomar δ = |a| ˜ e´ cont´ınua em todos os pontos do seu dom´ınio, Quando a funçao dizemos simplesmente que ela e´ cont´ınua. ˜ cont´ınuas sao ˜ ”bem-comportadas”quanto as ` operaçoes ˜ As funçoes ˜ multiplicaçao ˜ e divisao ˜ de entre elas. Quer dizer, a soma, subtraçao, ˜ cont´ınuas estao ˜ bem definidas e, alem ´ disso, temos que: funçoes ˜ ´ sao ˜ ˜ 3.2.2. Sejam f e g funçoes Proposiçao cont´ınuas. Tambem ˜ cont´ınuas as funçoes: • f ± g;

79 • f · g; •

f . g ´ Desde que tomadas em dom´ınios validos.

˜ nao ˜ sera´ mostrada aqui. Nao ˜ e´ um exerA prova de tal proposiçao c´ıcio deveras dif´ıcil, devendo ser feito pelo leitor. ˆ Algumas consequencias importantes podem ser deduzidas facil˜ acima. Uma delas e´ que toda funçao ˜ polinomente da proposiçao mial e´ cont´ınua. Podemos pensar da seguinte maneira. Sabemos ´ de um pensamento indutivo, conque f (x) = x e´ cont´ınua. Atraves cluir´ıamos que fn (x) = xn e´ cont´ınua, qualquer que seja n ∈ N. (Qual propriedade utilizamos neste racioc´ınio?) Obtemos mais ainda, que ˜ polinomial do tipo g(x) = an xn + . . . + a1 x + a0 e´ qualquer funçao cont´ınua. Para saber mais ˜ funçoes

sobre

pode-

˜ ˜ f (x) = x2 − 8x + 9 e´ polinomial, ela Soluc¸ao: Como a func¸ao

acessar

˜ limx→−1 f (x) = f (−1). Substituindo os valores, e´ cont´ınua. Entao,

cont´ınuas mos os

Exemplo 3.2.3. Calcule limx→−1 x2 − 8x + 9.

s´ıtios

temos que limx→−1 x2 − 8x + 9 = (−1)2 − 8(−1) + 9 = 2.

Exemplo 3.2.4. Calcule o seguinte limite: limx→2(x5 − 4)(x2 − 3x − 7).

Olimp´ıada Brasileira ´ Matematica

˜ dadas sao ˜ cont´ınuas. Mais rapidamente, sabemos que as duas func¸oes

(OBM) e o s´ıtio

De posse de uma certa propriedade de limites que ja´ conhecemos e

INTERAULA.

˜ serem cont´ınuas, calculamos rapidamente o limite do fato das func¸oes acima: limx→2 (x5 − 4)(x2 − 3x − 7) = (25 − 4)(22 − 3 · 2 − 7) = −252. x2 − 4 . x−2 Aqui temos um problema. Apesar de se tratar de um quociente

Exemplo 3.2.5. Calcule limx→2

˜ cont´ınuas, nao ˜ podemos tomar diretamente o limite de duas funçoes 0 ˜ do tipo ! Mas, com uma peporque ter´ıamos uma indeterminaç ao 0 x2 − 4 (x + 2)(x − 2) ˜ algebrica, ´ quena manipulaçao temos que: = = x−2 x−2 x + 2. Da´ı, x2 − 4 = limx→2 x + 2 = 4. limx→2 x−2

80 ˜ Mais geralO exemplo acima foi novamente um tipo de ilustraçao. mente, temos o seguinte: xn − an . Exemplo 3.2.6. Calcule o seguinte limite: limx→a x−a ˜ e´ bem simples e se baseia em divisao ˜ de polinomios. ˆ A soluçao O xn − an leitor deve saber que = xn−1 + xn−2 a + xn−3 a2 + . . . + xan−2 + x−a ´ isso, aplique o limite e o que voceˆ sabe sobre funçoes ˜ an−1 . Apos xn − an = nan−1 . cont´ınuas para concluir que limx→a x−a ˆ ˜ anterior. Vejamos mais um exemplo da importancia da proposiçao ´ ˜ Como o leitor ja´ deve ter percebido, os limites mais ”problematicos”s ao ˜ ˜ ˜ aqueles que envolvem fraçoes, divisoes de funçoes, principalmente ˜ podemos calcular o limite diretamente. quando nao x2 − 5x + 6 . x3 − 2x2 − x − 6 ˜ direta causa problemas. O leitordeve perceber que a substituiçao

Exemplo 3.2.7. Resolva o seguinte limite: limx→3

Mas, notando que x2 − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2) e x3 − 2x2 − x − 6 = (x − 3)(x2 + x + 2), obtemos que: x2 − 5x + 6 (x − 3)(x − 2) x−2 limx→3 3 = limx→3 = limx→3 2 = 2 2 x − 2x − x − 6 (x − 3)(x + x + 2) x +x+2 1 . 14 ´ Achamos que com os limites acima o leitor resolvera´ varios outros ˆ ´ ˜ identicos. Basta usar o mesmo racioc´ınio. Varios exemplos serao abordados nos exerc´ıcios no final deste cap´ıtulo. ˜ trigonometricas. ´ Agora veremos a continuidade das funçoes Voltando ´ ao primeiro cap´ıtulo, o leitor podera´ constatar que os graficos das ˜ trigonometricas ´ ´ ˜ cont´ınuas. funçoes se comportam como graficos de funçoes ˜ ser motivo para que afirmemos a continuidade de Apesar disso nao ˜ ˜ Nao ˜ podemos achar que e´ cont´ınua tais funçoes, serve como motivaçao. ˜ com grafico ´ em toda a reta real uma funçao do tipo mostrado na Figura 3.4. ˜ pode ter seu limite calculado com as poucas Mas nem toda funçao ´ tecnicas dadas ate´ aqui. Algumas necessitam de ferramentas mais ˜ vistos. Mais adiante falaremos avançadas e de conceitos ainda nao de limites laterais e de limites no infinito, mas antes gostar´ıamos de

81 y 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 -5

-4

-3

-2

-1

˜ descont´ınua Figura 3.4: Func¸ao ˜ pode faltar em um mostrar um resultado bastante conhecido, que nao ´ livro de Calculo. sen x =1 x→0 x

• O limite fundamental na Trigonometria: lim

˜ de varios ´ Este limite e´ simples mas ajuda na soluçao outros limi´ ˜ bastes em Matematica. Aqui mostraremos uma demonstraçao tante conhecida. Mas existem inumeras ´ formas de se mostrar ´ este resultado. Mais a` frente, no proximo cap´ıtulo, veremos uma ´ outra forma de demonstra-lo. ˜ daremos o seguinte exerAntes de começarmos a demonstraçao, c´ıcio para o leitor. Mostre que, para todos os pontos positivos em alguma vizinhança do ponto x = 0, vale:

0 < sen x < x < tg x. sen x < 1. (Por x ˜ acima por sen x?) que podemos dividir a expressao Sabendo disso, obtemos facilmente que cos x <

Agora podemos aplicar o Teorema do Confronto. Por tal teosen x rema, podemos afirmar que lim+ cos x ≤ lim+ ≤ 1. Da´ı x→0 x→0 x sen x = 1, como quer´ıamos. conclu´ımos que lim+ x→0 x Analisemos o caso dos pontos negativos em uma vizinhanc¸a do ponto x = 0. ´ Fazendo a mudanc¸a de variavel y = −x > 0, temos que sen(x) sen(−y) sen(y) = = , x −y y

82 ˜ usamos que a func¸ao ˜ seno e´ ´ımpar, isto onde na ultima ´ equac¸ao ´ sen(−x) = −sen(x). Dessa forma, temos que e, lim−

x→0

sen(x) sen(y) = lim+ = 1. x→0 x y

onde a ultima ´ igualdade e´ obtida do resultado acima. 1 − cos x . x ˜ ´ Com manipulac¸oes matematicas simples, chegamos a` seguinte sen2 x 1 − cos x 1 − cos x = . Ou seja, limx→0 = igualdade: x x(1 + cos x) x sen x sen x limx→0 . x x(1 + cos x) sen x ˜ f (x) = e´ limitada Como nas proximidades de zero a func¸ao x sen x 1 − cos x e limx→0 = 0, obtemos que limx→0 = 0. x(1 + cos x) x Exemplo 3.2.8. Calcule o limite: limx→0

3.3 Limites laterais

˜ de limites laterais vale somente para o caso da reta A definiçao ˜ faz sentido falar em limite lateral para funçoes ˜ ´ real. Nao de varias ´ ˜ variaveis. Como o leitor ja´ deve ter deduzido, os limites laterais sao aqueles obtidos ao analisarmos o limite apenas tomando valores ”de ˜ ou seja, analisando o limite apenas um lado”do ponto em questao, para valores maiores ou menores do que o ponto. ´ Ao contrario do que muitos imaginam, nem sempre os limites late˜ iguais. Quando eles sao ˜ iguais, dizemos que existe o limite rais sao ˜ no ponto analisado. Quando sao ˜ diferentes, dizemos que a da funçao ˜ nao ˜ possui limite no ponto em questao. ˜ funçao Reforçando o que ja´ foi dito, dizemos que nos aproximamos de um ponto a ∈ R pela direita quando nos aproximamos de a, mas apenas com valores maiores que a. Analogamente, dizemos que nos ´ aproximamos pela esquerda de a quando tomamos valores proximos de a, mas apenas valores menores que ele. Para dizer que nos aproximamos pela direita de a, escrevemos x → a+ , enquanto que pela esquerda escrevemos x → a− .

83 Assim, quando dizemos que estamos tomando o limite de f em a pela direita, queremos dizer que estamos analisando o comporta´ mento de f tomando valores proximos a e maiores que a. De modo ´ analogo, falamos que tomamos o limite de f em a pela esquerda ´ quando analisamos o comportamento de f tomando valores proximos a e menores que a. Escrevemos limx→a+ f (x) e limx→a− f (x), respectivamente. ˜ real f tal que f (x) = Exemplo 3.3.1. Seja a func¸ao

 

x2 ,

se x < 1

 −x + 2, se x ≥ 1

Calcule limx→1+ f (x) e limx→1− f (x). ˜ Primeiro vejamos o grafico ´ Soluc¸ao: de f : y 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

-5

-4

-3

-2

-1

-2

˜ f Figura 3.5: Func¸ao Assim, ao analisarmos tal limite pela esquerda, estaremos analˆ Da´ı: isando o limite para f (x) = x2 . (Por que?) limx→1− f (x) = limx→1− x2 = (1)2 = 1. (Concorda?) Ja´ o limite pela direita e´ dado por lim f (x) = lim+ −x + 2 = −1 + 2 = 1.

x→1+

x→1

˜ iguais, dizemos entao ˜ que limx→1 f (x) = Como os limites laterais sao 1. ˜ ocorre para o exemplo a seguir: O mesmo nao ˜ real f tal que f (x) = Exemplo 3.3.2. Seja a func¸ao Calcule seus limites laterais no ponto x = 0.

 

sen x,

se x < 0

 −x2 + 5, se x ≥ 0

˜ Novamente, comecemos analisando o grafico ´ Soluc¸ao: de f :

84 y

-5.0

-4.5

-4.0

-3.5

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

-1

´ Figura 3.6: Grafico de f Analogamente ao exemplo anterior, teremos que:

lim f (x) = lim− sen x = 0, x→0

x→0−

enquanto que

lim f (x) = lim+ −x2 + 5 = 5.

x→0+

x→0

˜ possui limite no ponto x = 0. Assim, dizemos que f nao ˆ Vejamos mais um exemplo. Ele nos diz que a existencia e a igual˜ nao ˜ implicam a continuidade dade dos limites laterais de uma funçao ˜ dessa funçao.   x sen x, se x 6= 0 ˜ g dada por g(x) = Exemplo 3.3.3. Seja a funçao .  3, se x = 0 ´ Analisando o seu grafico, teremos: y

-10

-8

-6

-4

-2

-1

-2

-3

-4

-5

´ Figura 3.7: Grafico de g

85 ˜ se nota que g(0) = 3, por se tratar apenas de um ponto. Quase nao ˜ dados por Os limites laterais sao

lim g(x) = lim+ x sen x = 0,

x→0+

x→0

lim g(x) = lim− x sen x = 0,

x→0−

x→0

˜ e´ cont´ınua, pois g(0) = 3. donde limx→0 g(x) = 0, mas g nao Com isso, abordamos mais um tipo de limite. Quando os limites ´ laterais forem iguais, o limite existira´ e sera´ igual a eles. Varios pro˜ solucionados com apenas essas ferramentas. blemas sao

3.4 Limites no infinito

˜ respondemos o problema introduzido no in´ıcio deste Ate´ agora nao ˆ cap´ıtulo. Para resolve-lo, necessitamos de um conceito bastante deli´ ´ cado em Matematica, o de infinito. Ele vem ha´ decadas gerando con´ ´ ˜ o aceitam diretamente. troversias entre os matematicos. Alguns nao ´ ˜ Eles acham que a Matematica so´ deveria trabalhar com dados naoabstratos. O que sabemos e´ que este conceito esta´ cada vez mais ˜ ha´ motivos para nao ˜ ve-lo. ˆ presente em estudos e nao Dizer que algo tende para o infinito e´ dizer que ele toma valores ´ ˜ dizer maiores que qualquer real dado, em modulo, a princ´ıpio. Entao, ˜ tem limite igual a L quando x tende para o infinito e´ o que uma func¸ao mesmo que dizer que f (x) tende a L, quando tomamos valores absur´ damente grandes. O s´ımbolo matematico utilizado para designarmos o infinito e´ ∞. De modo correto, vejamos: lim f (x) = L ⇔ ∀ ǫ > 0, ∃α ∈ R; | x |>| α |⇒| f (x) − L |< ǫ.

x→∞

Ou seja, dada a estimativa ǫ, encontramos α ∈ R tais que as ima´ gens de f se tornam muito proximas de L, sempre que tomamos pontos tais que | x |>| α |.

86 ´ ˜ especificamos a ”especie”de ´ Usamos os valores em modulo porque nao ˜ vale tanto para valores muito peinfinito. Assim, nossa definiçao quenos como para valores muito grandes. Mas quando queremos especificar o ”tipo”de infinito ao qual nos ˜ referimos, usamos as notaçoes +∞ ou −∞, quando queremos nos referir a numeros ´ deveras grandes ou deveras pequenos. Mas que ˜ e´ um numero, fique bem claro, o infinito nao ´ e´ apenas um meio de ´ do muito grande, ou muito pequeno, inalcançavel. ´ exprimirmos a ideia Tomar valores de x tendendo a −∞ significa dizer que dado qual´ real) tal que x < α. Analogaquer real α, encontramos x (tambem mente, temos o racioc´ınio de tomarmos valores de x tendendo a +∞. Vejamos com exemplos os conceitos vistos, para que o assunto fique bem fixado. Exemplo 3.4.1. Para toda constante real k, temos que limx→∞ k = k, ´ para quaisquer valores, sejam eles pequenos ou grandes, a isto e, ˜ permanece constante. Assim, o limite e´ invariante e igual a k. funçao O exemplo acima e´ talvez o mais simples para o caso de limites no infinito. Responderemos agora o problema apresentado no in´ıcio desta unidade. Exemplo 3.4.2. Suponha que um corpo no universo se comporte de tal maneira que sua massa decresça de acordo com o passar do 1 ˜ m(t) = , o tempo sendo dado em anos. tempo, segundo a funçao t ´ passada uma quantidade O que podemos deduzir da sua massa apos incrivelmente grande de anos? O que acontecera´ com a sua massa quando t tender ao infinito? ˜ ˜ que rege o comportamento da Soluçao. Sabemos que a funçao 1 ˜ do tempo e´ dada por m(t) = . Assim, analisar o massa em funçao t comportamento da massa corresponde a analisar o comportamento ˜ m. Fazendo uma tabela para compararmos a quantidade da funçao ˜ ao tempo, teremos: de massa do corpo existente em relaçao

87 t

m(t)

0, 2

500

0, 002

100000

0, 00001

108

10−8

1010000

10−10000

A quantidade de anos 1010000 e´ muito grande. Ja´ com ela pode˜ passada uma mos ver o que acontece com a massa do corpo. Entao, quantidade muito grande de anos, a massa do corpo decrescera´ uma quantidade incrivelmente grande. Agora, nosso interesse e´ quando ´ quando cresce indefinidamente. Para isso, devemos t → +∞, isto e, ´ calcular o limite lim m(t). Antes disso, relembremos o grafico da t→+∞

˜ m: func¸ao m

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

´ Figura 3.8: Grafico de m ˜ trabalhamos com um corpo de massa infinita. ApeClaro que nao 1 ˜ f (x) = . nas aproximamos o comportamento da massa com a func¸ao x ´ ´ Assim resolvemos varios problemas. O leitor pode ver que o grafico tem um comportamento interessante para valores grandes de t. A ˜ nos diz que ela tendera´ para zero, ou seja, que lim m(t) = 0. intuic¸ao t→+∞

Mas vejamos matematicamente o resultado. Dado qualquer α > 0 real, temos que existe um (na verdade infinitos) real t˜ > 0 tal que t˜ > 1 1 > 0. Mas isso implica que 0 < < α. Agora o leitor deve raciocinar α t˜

88 1 e vice-versa. Assim, α 1 da arbitrariedade de α e de t˜, resulta que limx→+∞ = 0. t Ou seja, o corpo tende a desaparecer no universo, a perder total-

que quanto maior for o numero ´ α, menor sera´

mente a sua massa. Problemas simples como esse aparecem constantemente. Mas ˜ tao ˜ trivial. Vejamos a seguir uma nem todos possuem uma soluçao propriedade que nos ajudara´ a calcular alguns tipos de limites. ˜ ˜ 3.4.1. Sejam f e g funçoes Proposiçao tais que a composta g ◦ f ˜ esta´ bem definida, lim f (x) = L e existe o limite lim g(y). Entao x→+∞

y→L

lim g(f (x)) = lim g(y).

x→+∞

y→L

˜ demonstraremos tal proposic¸ao. ˜ Apenas mostraremos alguns Nao exemplos que a utilizam. Veremos como ela nos ajuda a resolver ´ ˜ sao ˜ solucionados com as tecnicas ´ varios limites que nao aprendidas ˜ ate´ entao. 8x3 − 5x2 + x . 9x3 − 4x2 + 32x ˜ Tente resolver diretamente tal limite. Nao ˜ e´ poss´ıvel, n ˜ Soluc¸ao: ao 5 1 1 x3 8 − + 2 − 3 3 2 8x − 5x + x − 1 x x x . e´ mesmo? Notemos que = 3 2 4 32 9x − 4x + 32x x3 9 − + 3 x x (Concorda?)

Exemplo 3.4.3. Resolva o seguinte limite: limx→+∞

1 Agora, utilizando a propriedade dada acima para o caso de limx→+∞ n , x 1 n onde n e´ um natural qualquer, vemos que f (x) = , g(y) = y . Aplix 1 ˜ obtemos que limx→+∞ n = 0, ∀ n ∈ N. cando o que sabemos entao, x Deixamos como exerc´ıcio para o leitor mostrar que o limite anterior ´ e´ nulo, mas com x tendendo a −∞. tambem 1 1 5 x 8− + 2 − 3 x x x , 4 32 x3 9 − + 3 x x 3

Substituindo esse resultado no limite limx→+∞

teremos que limx→+∞

8x3 − 5x2 + x 8 = . 9x3 − 4x2 + 32x 9

89 x6 − 32x5 + 4x3 − 2 . 6x6 − 3x2 + 2x − 1 Novamente, procedamos conforme o exemplo anterior. Direta-

Exemplo 3.4.4. Calcule o seguinte limite: limx→−∞

mente, vemos que 32 4 x 1− + 3− x x 2 3 x6 6 − 4 + 5 − x x 1 6 6

limx→−∞

x6 − 32x5 + 4x3 − 2 = limx→−∞ 6x6 − 3x2 + 2x − 1 = limx→−∞ 1 . = 6

2 x6 1 x6

´ e´ analoga ´ Agora falaremos de limites infinitos. A ideia a` que intro˜ duzimos no in´ıcio desta sec¸ao. Sempre tenha em mente o que e´ o ´ certamente nao ˜ ocorrerao ˜ infinito. Com a parte principal dessa ideia, problemas nesse tipo de limites. Dizemos que lim f (x) = +∞ (ou lim f (x) = −∞) quando dado x→a

x→a

´ qualquer α real dado, temos que existe x˜ proximo de a tal que f (x) > α ˜ cresce demais (ou decresce demais) (ou f (x) < α), ou seja, a func¸ao nas proximidades de a. ´ isso para o caso de limites no infinito, isto e, ´ Podemos ter tambem ˜ f tal que lim f (x) = ±∞, ou lim f (x) = pode existir uma func¸ao x→+∞

x→−∞

˜ Claro que usamos a ±∞, dependendo do comportamento da funçao. ˜ ±∞ apenas para abordar todos os casos poss´ıveis. expressao Exemplo 3.4.5. limx→+∞ x2 = +∞. ˜ simples, Para casos simples como esse, fazemos demonstraçoes ˜ chamadas por alguns de ”demonstraçoes caseiras”. Dado qualquer √ ´ positivo) tal que x˜ > ǫ. Da´ı, x˜2 > ǫ > 0, existe um real x˜ (tambem ǫ. Da arbitrariedade de ǫ e x˜ garantimos que limx→+∞ x2 = +∞. E´ um exerc´ıcio para o leitor verificar que o limite permanece igual caso tomemos x tendendo a −∞. ´ Vejamos o proximo exemplo. Ele nos diz como devemos proceder em casos bem mais gerais. Ele sera´ bem aproveitado em limites de ˆ polinomios.

90 n Exemplo 3.4.6.  limx→+∞ x = +∞, ∀ n ∈ N. Por outro lado,  −∞, se n ∈ N for impar n limx→+∞ x = .  +∞, se n ∈ N for par

˜ mostraremos os detalhes do exemplo acima. Ele seguira´ rapiNao

´ a proxima ´ ˜ Quando lidamos com limites indamente apos explicaçao. ˜ operamos diretamente limites que possuam, ao finitos, apenas nao ˜ faz senmesmo tempo, termos que tendem para +∞ e para −∞. Nao tido tentar somar +∞ com −∞, grosseiramente falando. Mas pode˜ de duas mos dizer que tende para +∞ a soma ou a multiplicaçao ˜ que tendem para +∞ quando esses limites tomados sao ˜ no funçoes ˜ mesmo ponto ou tomados em uma direçao. Podemos dizer que limx→a f (x)+g(x) = +∞ (ou−∞) se acontecer limx→a f (x) = limx→a g(x) = +∞ (ou − ∞). O mesmo vale para o caso ˜ da multiplicaçao. 1 . x2 1 ˜ de que limx→0+ = +∞. ApeDeixamos para o leitor a verificaçao x ´ nas use argumentos ja´ vistos aqui. Na Figura 3.9, olhemos o grafico 1 de f (x) = 2 . x ´ ˜ cresce Pelo grafico, vemos que nas proximidades de zero a funçao 1 rapidamente. Assim, deduzimos intuitivamente que limx→0+ 2 = +∞. x 1 1 1 Matematicamente, notamos que 2 = . Como sabemos x x x 1 1 1 1 = que limx→0+ = +∞ (Mostre!), obtemos que limx→0+ 2 = limx→0+ x x x x +∞.

Exemplo 3.4.7. Calcule limx→0+

˜ dos seguintes Deixamos como exerc´ıcio para o leitor a verificac¸ao exemplos. Exemplo 3.4.8. limx→+∞ x5 − 4x2 + 3x3 − x2 + 1 = +∞. ˆ Dica: Coloque em evidencia o fator x5 e proceda como foi mostrado. x2 − 3x + 4 Exemplo 3.4.9. limx→−∞ = −∞. x+3 ´ Dica: Analogo ao anterior.

91 y

2.8 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-5

-4

-3

-2

-1

1 x2

´ Figura 3.9: Grafico de

´ 3.5 Teorema do Valor Intermediario

Terminaremos este cap´ıtulo falando de um importante teorema de ˜ cont´ınuas. Tal teorema tem grande importancia ˆ funçoes quando o inˆ ˜ teresse e´ mostrar a existencia de ra´ızes de certas equaçoes. Muitas ˜ para so´ depois vezes precisamos garantir que existe uma soluçao ´ ´ busca-la. Geralmente, utilizamos o Teorema do Valor Intermediario nesses casos.

y = f (x)

y = g(x)

f (b)

(c, f (c))

Não existe c Î ] a , b [ tal que g (c) = d

g (b)

f (a )

d g(a)

´ Figura 3.10: O Teorema do Valor Intermediario

92 ˜ cont´ınua. f assume toTeorema 3.5.1. Seja f : [a, b] → R uma funçao dos os valores existentes em [f (a), f (b)] (ou [f (b), f (a)]), dependendo de quem seja menor, f (a) ou f (b)). Ou seja, dado qualquer β ∈ [f (a), f (b)], existe x ∈ [a, b] tal que ´ ´ dizer f (x) = β. Analogo para o caso f (a) > f (b). Podemos tambem ˜ cont´ınua e´ um que a imagem de um intervalo fechado por uma funçao intervalo fechado. ´ ˆ Exemplo 3.5.1. Pelo Teorema do Valor Intermediario, todo polinomio p de grau ´ımpar e coeficientes reais tem ra´ız real. De fato, lembrando que o limite depende do termo de maior expoente an xn , uma ˜ das duas situaçoes se verifica: se an > 0 temos limx→−∞ p(x) = ´ −∞ e limx→+∞ p(x) = +∞, caso contrario, limx→−∞ p(x) = +∞ e limx→+∞ p(x) = −∞. Exemplo 3.5.2. Vejamos o teorema do ponto fixo de Brouwer. Ele nos ˜ f tem um ponto fixo, isto e, ´ existe diz que se f : [a, b] → [a, b] entao γ ∈ [a, b] tal que f (γ) = γ. ˜ f tal que f (x) = 1 − x2 tem um ponto fixo no Exemplo 3.5.3. A funçao intervalo [0, 1]. ˜ f e´ cont´ınua e f (0) = 1, f (1) = 0. Pelo TeoNotemos que a funçao ´ rema do Valor Intermediario, f assume todos os valores compreendidos entre [f (1), f (0)] = [0, 1]. Pelo Teorema do ponto Fixo de Brouwer, ela possui um ponto fixo em [0, 1]. Voceˆ seria capaz de dizer qual o ponto fixo de f ? ` vezes, precisamos tomar restriçoes ˜ ˜ As de funçoes para mostrar ´ ´ que elas possuem ponto fixo. Procure resolver varios exerc´ıcios analogos ao exemplo anterior.

3.6 Saiba mais ˜ de equaçoes ˜ e´ uma das grandes Como ja´ foi observado, a resoluçao ˜ ´ ´ ´ aplicaçoes da Matematica, uma vez que varios problemas praticos ˜ modelados dessa forma. Sabemos como resolver equaçoes ˜ polisao ´ nomiais do primeiro e segundo graus, existem algumas formulas para ˜ resolver equaçoes polinomiais do terceiro e quarto graus, mas foi ´ ˜ existem formulas ´ mostrado pelo matematico Abel(1802-1829) que nao ˆ simples para encontrar ra´ızes de polinomios do quinto grau em diante. ´ ˜ ha´ formulas ´ ˜ Tambem, sabe-se que nao para resolver equaçoes que ˜ ˆ ˜ envolvem funçoes transcendentes, com polinomios e outras funçoes ´ ˜ de metodos ´ ´ algebricas. Da´ı surge a necessidade da utilizaçao numericos ˜ ˜ ˜ ´ para encontrar aproximaçoes de soluçoes de equaçoes algebricas e ´ ˜ transcendentes. O Teorema do Valor Intermediario (visto na seçao ˜ anterior) e´ uma ferramenta muito util ´ quando consideramos equaçoes ´ ˜ do teorema com uma variavel. A seguir apresentamos uma versao ˜ que e´ mais adequada a estas aplicaçoes: ˜ cont´ınua em [a, b] com f (a).f (b) < Teorema 3.6.1. Se f e´ uma funçao ˜ existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0. 0 entao, ´ Vejamos como exemplo, o calculo da taxa (λ) de crescimento populacional de uma cidade que possuia no ano passado 1.000.000 de ˜ de 435.000 habitantes no ano e que, habitantes, com uma imigraçao ˜ de 1.564.000 habitantes. Usando a no presente, tenha uma populaçao ˜ ´ teoria de equaçoes diferenciais (topico que sera´ abordado em outra ´ disciplina do curso de Matematica) obtemos que para encontrar o ˜ f (λ) := valor λ desejado, e´ suficiente encontrar um zero da funçao ´ devemos resolver o seguinte (eλ −1)−1564000, isto e, 1000000eλ + 435000 λ problema: f (λ) = 0

(3.1)

´ Pelo Teorema do Valor Intermediario (TVI), temos que existe um zero ˜ (3.1) no intervalo (0, 1; 0, 3) uma vez que f (0, 1) = −1335, 588295 da equac¸ao ´ e f (0, 3) = 2, 931540786 × 105 . A escolha do proximo ponto para testar

94 ˜ sera´ feita tomando-se o ponto medio ´ o valor da funçao do intervalo (0, 1; 0, 3) e testando o sinal de f nesse novo ponto. Como f (0, 2) = ˜ o TVI indica que o novo intervalo de pesquisa 1, 389537572×105 entao, ˆ sinais contrarios). ´ sera´ (0, 1; 0, 2) (as imagens dos extremos tem Apli´ ˜ cando o mesmo procedimento (basicamente, o Metodo da Bissecçao) sucessivas vezes, podemos com o aux´ılio de um computador ou uma ˜ calculadora cient´ıfica obter as seguintes aproximaçoes: x

f (x)

0, 1

−1335, 588295

0, 3

2, 931540786 × 105

0, 2

1, 389537572 × 105

0, 15

67153, 54664

0, 125

32505, 06974

0, 1125

15484, 98364

0, 10625

7049, 909307

0, 103125

2850, 982176

0, 1015625

756, 1546967

˜ usando bissecçoes ˜ Tabela 3.1: Aproximaçoes ˜ (3.1) no interA Tabela 3.1 mostra que existe uma raiz da equaçao valo (0, 1; 0, 1015625). Que tal continuar o procedimento?

´ ´ Na proxima unidade, apresentaremos o Metodo de Newton que, na ˜ de equaçoes ˜ nao-lineares, ˜ resoluçao e´ mais eficiente e, portanto, mais ˜ praticas. ´ utilizado em situaçoes

3.7 Exerc´ıcios 1. Resolva os seguintes limites: (a) lim x2 x→−2

(b) lim x2 + 2 x→−3

(d) lim cos x x→π

(e) limπ sen 3x x→ 2

x2 − 9 x→3 x − 3 √ √ 3 x− 32 lim x→2 x−2 √ x−2 √ lim √ x→4 x+3− 7 2x5 + 2 lim x→−1 1 − x2 √ √ n x− na lim x→a x−a

(f) lim (g) (h) (i) (j)

2. Mostre que lim f (x) = L ⇔ lim | f (x) − L |= 0. (Esta e´ uma x→a

x→a

outra maneira de encontrarmos limites.) 3. Continue calculando: (a) lim 2y − 3z x→1

(b) lim 8 x→2

−5h x→4 8xz 5 (e) lim x→0 3x (d) lim

4. Calcule os seguintes limites laterais: x x→−1 | x | |x| (b) lim− x→0 x (a)

lim +

96 (c) lim+ x→3

|x−3 | x−3

  x2 − 2x, se x < 2 (d) lim− f (x), onde f (x) = .  3x−4 , se x ≥ 2 x→2 (e) lim+ cos x x→π

˜ 5. Deˆ exemplo de funçoes que possuem limites laterais em um ˜ sejam cont´ınuas neste ponto. ponto iguais, mas que nao ˜ que nao ˜ possuam limites laterais iguais 6. Deˆ exemplo de funçoes em um ponto. ˜ descont´ınuas. 7. Deˆ exemplo de funçoes ˜ cont´ınuas. 8. Deˆ exemplo de funçoes 9. Calcule os seguintes limites quando existirem. (a)

lim

sen x + 3x2

x→+∞ x5

(b) lim+ xcotg x x→0 √ (c) lim− x x→0 √ (d) lim− 3 x x→0

(e)

x2 − x + 9 x→−∞ x7 − 8x2 − 3x − 2 lim

˜ ˜ cont´ınuas nos pontos da10. Verifique se as func¸oes a seguir sao dos: (a) f (x) = 18x − 6, no ponto x = 2 (b) f (x) = x2 + (c) f (x) =

3 − 2, no ponto x = 0 x3

1 , no ponto x = π cos x

(d) f (x) = x sen x, ponto x = 0 sen x = 1, calcule os seguintes x→0 x

11. Utilizando o limite fundamental lim limites: sen (8x) x→0 8x

(a) lim

97 sen (3x) x→0 2x 4x (c) lim x→0 sen (5x) x (d) lim x→0 tg x

(b) lim

sen (x2 − 9) ? x→3 x−3

12. O que voceˆ pode dizer sobre lim

13. Mostre que lim f (x) = L ⇔ lim | f (x) |=| L |. Vale a rec´ıproca? x→a

x→a

Em caso negativo, deˆ exemplos. ˜ ˜ 14. Deˆ exemplos de func¸oes tais que lim | f (x) | existe mas nao x→a

existe lim f (x). x→a

15. Calcule os seguintes limites: (a)

lim (x −

x→+∞

√

x2 + 1)

√ √ lim ( x − 1 − x − 2) x→+∞ √ √ (c) lim ( x2 + x + 1 − x2 + x − 1)

(b)

x→+∞

(d)

lim √

x→+∞

x x2 − 2x

ˆ 16. Mostre que todo polinomio de grau ´ımpar possui pelo menos uma raiz real. ˜ f : [a, b] → R e´ Lipschitziana se ex17. Dizemos que uma funçao iste K > 0 tal que | f (x) − f (y) |≤ K | x − y |. Mostre que ˜ Lipschitziana e´ cont´ınua. Deˆ exemplos de funçoes ˜ toda funçao Lipschitzianas. ˜ 18. As laranjeiras no Parana´ produzem 60 laranjas por ano se nao ´ for ultrapassado o limite de 20 arvores por acre. Para cada ´ arvore plantada a mais por acre o rendimento baixa em 15 laran´ jas. Denote por x o numero ´ de arvores plantadas por acre. Ex˜ de presse o numero ´ de laranjas produzidas por ano em funçao ˜ cont´ınua. x e mostre que ela e´ uma funçao

98 19. Sabendo que se f (x) = x2 − 2, temos f (1).f (2) < 0, use o pro´ ˜ para encontrar uma soluçao ˜ cedimento do Metodo da Bissecçao ˜ f (x) = 0, de modo que 1 < x < 2. x da equaçao

ˆ ´ Referencias Bibliograficas ´ [1] COURANT, R. Calculo Diferencial e Integral, vol. 1., Ed. Globo, 1965. ´ ˜ Ed. Livros Tecnicos ´ [2] FIGUEIREDO, D. G. Analise I, 2a. edic¸ao, e Cient´ıficos, 1996. ´ [3] GUIDORIZZI, H.L. Um curso de Calculo, vols. 1, 2, 3, 4. Livros ´ Tecnicos e Cient´ıficos, 2001. ´ ˜ Instituto de [4] LIMA, E. L. Curso de Analise, vol. 1, 8a. Edic¸ao, ´ Matematica Pura e Aplicada, CNPq, Rio de Janeiro, 2004. [5] http://www.rpm.org.br/novo/conheca/60/limites.pdf. ` 10h10min. Acesso em 08/03/2008 as [6] http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/. ` 09h40min. Acesso em 26/06/2008 as [7] http://a1.analisematematica.vilabol.uol.com.br/pag013.html. ` 09h30min. Acesso em 25/06/2008 as

U ni de da 1 Unidade 4

sociolo iologia gia ee a a AA soc A Integral Soc iologia gia da da Edu Educaç cação ão Sociolo

Resumo Nesta unidade, introduzimos a integral indefinida usando o conceito de antiderivada de uma função. Construímos uma tabela com as integrais mais conhecidas e apresentamos técnicas para resolver as mais elaboradas. Na parte final da unidade, desenvolvemos a integral definida como o limite de somas de Riemann e apresentamos o Teorema Fundamental do Cálculo, com o qual, determinamos a área de regiões delimitadas por curvas planas. Indicamos alguns livros mais avançados e links para o aprofundamento de conteúdo.

UNIDADE 4. A Derivada e suas Aplicações 4.1 Definição de derivada de uma função

103

4.2 Taxa de variação

116

4.3 Variação das funções e esboço de gráfico

120

4.4 Saiba mais

130

4.5 Exercícios

132

Referências bibliográficas

139

4. A derivada e suas ˜ aplicaçoes ´ uma rapida ´ ˜ ao mundo das funçoes ˜ cont´ınuas e dos limApos excursao ites em geral, estamos aptos a estudar um conceito important´ıssimo ´ ˜ em Matematica: a derivada. Ela possui inumeras ´ aplicaçoes, dentre ˜ as mais conhecidas, como encontrar a reta tangente a as quais estao uma curva qualquer em um ponto dado, calcular taxas de crescimento ´ ˜ ˜ de e de decrescimento, esboço de graficos de funçoes, aproximaçao ˜ arbitrarias ´ ˜ lineares. funçoes por funçoes ˜ sentimos a importancia ˆ Apenas com essas aplicaçoes da derivada ˜ para nossos estudos. Como ja´ vimos o conceito de limite de funçoes e a derivada e´ um tipo de limite, seremos mais breves nas nossas ˜ ˆ explicaçoes, dando mais enfase nos exemplos e exerc´ıcios. Evitare˜ ´ mos dar demonstraçoes, ja´ que elas, na sua maioria, trata-se de calculos ˜ de limites. Deixaremos tais demonstraçoes como exerc´ıcio para o

leitor

curioso

Continuamos nosso estilo e apresentaremos os seguintes problemas, que tentaremos resolver com as ferramentas a serem adquiridas

pode

visitar o site do projeto da Universidade

leitor.

mais

Estadual

´ que de Maringa, produziu um interessante kit de

nesta unidade.

ˆ sobrevivencia em

Problema 4.0.1. Um corpo movimenta-se no espaço. Sua velocidade ˜ do tempo, de acordo com a equaçao ˜ pode ser expressa como funçao ˜ desse corpo no v(t) = t3 − t2 + 1, dada em m/s. Qual a aceleraçao ´ ˜ v. instante t = 5s? E no instante t = 90s? Trace o grafico da funçao

102

´ Calculo.

103 Problema 4.0.2. Uma part´ıcula movimenta-se ao longo de uma reta ˜ de posiçao ˜ S(t) = e−2t cos 3t, sendo t ”metrada” segundo a equaçao o tempo dado em segundos. ˜ da velocidade e da aceleraçao ˜ da part´ıcula; a) Encontre as funçoes ˜ no instante t = 0, 5s; b) Calcule a velocidade e a aceleraçao ´ ˜ S; c) Esboce o grafico da funçao d) Calcule lim S(t); t→+∞

e) O que esta´ acontecendo com a part´ıcula? Esta´ parando? Problema 4.0.3. Suponha que o custo seja de c(x) = 8x3 − 24x2 + 30x ˜ proreais para produzir x aparelhos de ar condicionado quando sao duzidos de 8 a 30 e que r(x) = 8x3 − 12x2 + 24x represente o rendimento da venda de x aparelhos de ar condicionado. Uma determinada empresa produz 10 aparelhos por dia. Qual sera´ o custo adicional aproximado para produzir um aquecedor a mais por dia e qual o aumento estimado no rendimento na venda de 11 aparelhos por dia?

˜ de derivada de uma func¸ao ˜ 4.1 Definic¸ao

˜ de uma reta e´ dada por r : y − y0 = mr (x − x0 ), onde A equac¸ao mr e´ o coeficiente angular da reta r e (x0 , y0 ) ∈ r. Vejamos a figura da reta s : y − 4 = 3x − 2: ´ Ja´ sabemos do Ensino Medio como encontrar retas tangentes a ˆ circunferencias em um ponto dado. Por exemplo, vejamos o caso da

104 y

16 14 12 10 8 6 4 2

-5

-4

-3

-2

-1

-2

-4 -6 -8 -10 -12

Figura 4.1: Reta s y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

-2 -3 -4 -5

ˆ circunferencia Γ : x2 + y 2 = 9 e a reta r : y = √ √ tangente a Γ no ponto ( 2, 7):

√ ! √ √ − 2 √ (x − 2) + 7, 7

´ nao ˜ estamos interessados apenas em calcular, encontrar Mas nos ˆ retas tangentes a circunferencias. Pretendemos encontrar, quando poss´ıvel, retas tangentes a quaisquer curvas. Para isso, teremos que raciocinar da seguinte maneira: • Trac¸amos as retas secantes a f passando pelo ponto (x0 , f (x0 )). ˜ destas retas sao ˜ do tipo As equac¸oes f (xn ) − f (x0 ) (x − x0 ). rn : y − f (x0 ) = yn − y0 (Concorda?) ´ • Tomando pontos cada vez mais proximos de x0 , as retas secantes tendem a` reta tangente a f no ponto (x0 , f (x0 ))

105

Figura 4.2: Retas secantes e tangente a f ´ entao, ˜ obtido pelo limite • O coeficiente angular da reta tangente e, f (x) − f (x0 ) . x→x0 x − x0 lim

˜ da reta tangente a f • Chamando tal limite de f ′ (x0 ), a equac¸ao ˜ e´ dada por: no ponto em questao

Tf : y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 ). f (x) − f (x0 ) x→x0 x − x0 e´ a derivada de f no ponto x = x0 . Com isso, ja´ aprendemos um sig˜ mais ”carregada”. O limite lim Evitamos uma notac¸ao

˜ Ela mede, no ponto x0 dado, nificado para a derivada de uma funçao. ˜ em questao ˜ no ponto o coeficiente angular da reta tangente a` funçao (x0 , f (x0 )). f (x) − f (x0 ) x→x0 x − x0 e´ dito a derivada de f no ponto x0 quando existe e e´ finito. Denotaredf mos tal limite por f ′ (x0 ) ou por (x0 ). dx ˜ 4.1.1. Sejam f e x0 ∈ Dom(f ) dados. O limite lim Definiçao

106 ´ comum nos referimos a` derivada de f (sem especificarmos o E df ponto) apenas por f ′ ou . dx Exemplo 4.1.1. Talvez a derivada mais simples que conhecemos seja ˜ constante. Seja g uma funçao ˜ constante, isto e, ´ a de uma funçao g(x) = k, para algum k real e para todo x no dom´ınio de g. Vejamos quem e´ g ′ (x0 ): k−k g(x) − g(x0 ) = lim = 0. x→x0 x − x0 x→x0 x − x0 ˜ constante e´ nula em todos Assim, a derivada de qualquer funçao

g ′(x0 ) = lim

os seus pontos. Interprete isso geometricamente. ˜ real f tal que f (x) = ax + b. Vejamos Exemplo 4.1.2. Seja a func¸ao quem e´ f ′ (x0 ): f ′ (x0 ) = lim

x→x0

ax + b − (ax0 + b)) a(x − x0 ) f (x) − f (x0 ) = lim = lim = x→x x→x x − x0 x − x0 x − x0 0 0

Portanto, a derivada de f (x) = ax + b e´ igual a a. (Quem e´ o coeficiente angular da reta y = ax + b?) Se chamarmos a diferenc¸a x − x0 de h, obtemos que quando faze´ fazendo h → 0. Podemos entao ˜ definir mos x → x0 estamos tambem ˜ f em um ponto x0 qualquer por: a derivada da func¸ao f (x0 + h) − f (x0 ) . h→0 h

f ′ (x0 ) = lim

˜ dos exemplos Deixamos como exerc´ıcio para o leitor a verificaçao a seguir. Exemplo 4.1.3. Dada Q : R \ R, Q(x) = x2 , temos que Q′ (x0 ) = 2x0 . ˜ real tal que f (x) = x3 . Entao ˜ Exemplo 4.1.4. Seja f uma funçao df (x0 ) = 3x20 . dx ˜ Um caso mais geral e´ dado pelo exemplo a seguir. A sua verificaçao ´ e´ um exerc´ıcio para o leitor. tambem ˜ real dada por f (x) = αxn , onde Exemplo 4.1.5. Seja f uma funçao ˜ f ′ (x0 ) = nαxn−1 n ∈ N e α ∈ R. Entao . 0

107 ´ Com estes exemplos podemos resolver varios exerc´ıcios. Passe˜ a ver alguns deles. mos entao ˜ f dada por f (x) = Exemplo 4.1.6. Encontre a reta tangente a` funçao √ 4x2 no ponto de abscissa x = 3. ˜ Sabemos que a derivada no ponto x0 de f e´ dada por Soluçao: √ √ ˜ da reta tangente a f f ′ (x0 ) = 8x0 . Assim, f ′ ( 3) = 8 3. A equaçao √ √ √ no ponto de abscissa 3 e´ dada por: y−12 = 8 3(x− 3). (Verifique!) ´ Vejamos o grafico: y

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

-5

-4

-3

-2

-1

-10

-20 -30 -40 -50 -60 -70 -80

Vejamos mais um exemplo que envolva retas tangentes: ´ ˜ real f (x) = Exemplo 4.1.7. Trace a reta tangente ao grafico da funçao 3x2 passando pelo ponto (−1, 3). ˜ Outro exerc´ıcio bastante simples, pois ja´ sabemos que Soluçao: ˜ dada f ′ (x) = 6x. Assim, f ′ (−1) = −6 e a reta rangente tem a equaçao por y − 3 = −6(x + 1). (Verifique!) y

70 60 50 40 30 20 10

-5

-4

-3

-2

-1

1 -10 -20 -30

108 ˜ ´ Ate´ agora todas as funçoes apresentadas eram derivaveis nos pontos indicados. Mas isso nem sempre acontece. Para se ter uma ´ existem funçoes ˜ que possuem derivadas em poucos pontos, se ideia, ˜ Na verdade, existem funçoes ˜ comparados com o dom´ınio da funçao. ˜ sao ˜ derivaveis ´ que nao em nenhum ponto. Entenderemos melhor isso ´ vermos uma proposiçao ˜ que afirma que toda funçao ˜ derivavel ´ apos ˜ nao ˜ e´ e´ cont´ınua. Com ela podemos garantir que se uma funçao ˜ ela e´ nao-deriv ˜ ´ cont´ınua, entao avel. Passemos para dois exemplos ˜ nao-deriv ˜ ´ de funçoes aveis em algum ponto dos seus dom´ınios. ˜ modular f (x) =| x | e´ nao-deriv ˜ ´ Exemplo 4.1.8. A funçao avel no ponto x = 0. Vejamos o motivo: A derivada no ponto x = 0 e´ dada por f ′ (0) = limx→0

|x|−|0| = x−0

|x| |x| ˜ existe, ja´ que os limites laterais limx→0+ . Mas este limite nao = x x |x| ˜ diferentes. = −1 sao 1 e limx→0− x   x2 , se x < 1 ˜ g dada por g(x) = . Exemplo 4.1.9. Seja a func¸ao  −x2 + 2, se x ≥ 1 limx→0

Calcule g ′ (1).

˜ Claro que e´ de facil ´ constatac¸ao ˜ que o ”problema” esta´ Soluc¸ao:

´ no ponto x = 1. Vejamos seu grafico: y

24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

-5

-4

-3

-2

-1

-2

-4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 -18 -20 -22

Como se trata de comportamentos diferentes, analisemos os limi˜ na tes laterais para a derivada de g no ponto x = 1. Preste atenc¸ao ˜ que usaremos para falarmos das ”derivadas laterais”. notac¸ao

109

′ g− (1) = lim− x→1

′ (1) = lim+ g+ x→1

g(x) − g(1) x2 − 1 = lim− = lim− x + 1 = 2. x→1 x − 1 x→1 x−1

g(x) − g(1) −x2 + 2 − 1 = lim+ = lim+ −(1 + x) = −2. x→1 x→1 x−1 x−1

˜ diferentes e nao ˜ existe o limite deOu seja, os limites laterais sao ˜ existe g ′(1). sejado. Quer dizer, nao ˜ real. Se f e´ derivavel ´ ˜ 4.1.2. Seja f uma funçao Proposiçao em um ˜ ela e´ cont´ınua em a. ponto a, entao ˜ Uma demonstrac ˜ bem Demonstraçao. ¸ ao simples e´ a seguinte. Note f (x) − f (a) (x − a), para x 6= a, e´ claro. O mos que f (x) − f (a) = x−a ˜ em interesse e´ estudar o comportamentonas proximidades de a, nao a especificamente.

f (x) − f (a) x−a

Assim, lim (f (x) − f (a)) = lim (x − a) = x→a x→a f (x) − f (a) (lim x − a) = f ′ (a) · 0 = 0 e f e´ cont´ınua em a. lim x→a x→a x−a ˜ Antes de vermos mais derivadas de outras func¸oes veremos as

˜ Com elas podemos derivar somas, subtraçoes, ˜ regras de derivaçao. ˜ e divisoes ˜ de funçoes, ˜ multiplicaçoes apenas conhecendo as derivadas ˜ envolvidas nas operaçoes. ˜ das funçoes ˜ f e g derivaveis ´ ˜ Sejam as funçoes • Regras de derivaçao. em a. f ˜ derivaveis ´ ˜ f + g, f − g, f · g, sao em a e vale: As funçoes g a)

df dg d(f + g) (a) = (a) + (a) dx dx dx

d(f − g) df dg (a) = (a) − (a) dx dx dx

df dg d(f · g) (a) = g(a) (a) + f (a) (a) c) dx dx dx

110 f df dg d g(a) (a) − f (a) (a) g dx dx d) (a) = dx [g(a)]2

˜ As demonstrac¸oes ˜ sao ˜ muito simples. Mostremos duas Demonstrac¸ao. delas. No item (a), temos que: (f + g)(x) − (f + g)(a) f (x) − f (a) + g(x) − g(a) d(f + g) (a) = limx→a = limx→a = dx x−a x−a limx→a

g(x) − g(a) d d f (x) − f (a) + limx→a = f (a) + g(a). x−a x−a dx dx

Para o item (c), notemos que (f · g)(x) − (f · g)(a) f (x)g(x) − g(x)f (a) + g(x)f (a) − f (a)g(a) = . x−a x−a ˜ tome o limite em questao, ˜ utilize o fato da conAjuste essa expressao, tinuidade de g em a e conclua o desejado. ˜ deixadas como exerc´ıcio. As outras sao ˜ f (x) = x3 + 2x2 − x + 1. Exemplo 4.1.10. Calcule a derivada da func¸ao

˜ Pelas regras de derivac¸ao, ˜ temos que f ′ (x) = 3x2 +4x−1, Soluc¸ao:

ja´ que apenas somamos ou subtra´ımos as derivadas separadamente. ˜ f (x) = Exemplo 4.1.11. Encontre a derivada para a func¸ao ˜ Primeiramente, vejamos o grafico ´ Soluc¸ao: de f : y

x2 − 3x + 5 . x−2

9 8 7 6 5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1 -1

-2 -3 -4 -5 -6 -7

˜ polinomiais. Para derivarAqui temos um quociente de duas funçoes ˜ deveremos usar as regras de derivaçao ˜ do quociente, mos tal funçao,

111 ˜ Fac¸amos por partes. Chamemos o numeda soma e da subtrac¸ao. ´ u(x) = x2 −3x+5, v(x) = x−2. rador de u e o denominador de v, isto e, Sabemos

que f ′ (x) =

u′ (x)v(x) − v ′ (x)u(x) . Da´ı, fazendo as contas, teremos: v 2 (x)

u′ (x) = 2x−3, v ′ (x) = 1 ⇒ f ′ (x) = f ′ (x) =

(2x − 3)(x − 2) − 1(x2 − 3x + 5) ⇒ (x − 2)2

x2 − 4x + 1 . (x − 2)2

˜ trigonometricas. ´ Falaremos agora das derivadas das func¸oes Seguindo nossa linha de racioc´ınio, mostraremos apenas alguns resultados e deixaremos o resto como exerc´ıcio.

˜ trigonometricas ´ ˜ 4.1.3. Sejam as func¸oes Proposic¸ao sen , cos, tg, sec, cossec, cotg ˜ dadas por: As suas derivadas sao •

dsen (x) = cos x dx

•

d cos (x) = −sen x dx

•

dtg (x) = sec2 x dx

•

d sec (x) = sec x tg x dx

•

dcotg (x) = −cossec2 x dx

•

dcossec (x) = −cossec x cotg x dx

dsen sen (x + h) − sen x 2sen (h/2) cos [(2x + h)/2 ˜ Demonstrac¸ao. (x) = lim = lim h→0 h→0 dx h h sen (h/2) lim cos [(2x + h)/2] = cos x. h→0 h/2 Verifique com cuidado todas as passagens acima. Admitindo que d cos ˜ do (x) = −sen x (Verifique!) e utilizando a regra da derivac¸ao dx quociente, obtemos que: d cos x cos x + sen x sen x 1 tg (x) = = = sec2 x. 2 dx cos x cos2 x

112 Analogamente, vejamos:

•

d − cos x cossec (x) = = −cossec x cotg x. dx sen2 x

˜ Exemplo 4.1.12. Calcule a derivada da seguinte func¸ao: h : R →

˜ da reta tangente ao grafico ´ R, h(x) = x2 + sen x. Encontre a equac¸ao de h no ponto (0, 0).

dh (x) = 2x + cos x. O codx ´ eficiente da reta tangente ao grafico de h no ponto (0, 0) e´ dado por dh ˜ de tal reta e´ dada por Th : y = x. (0) = 1. Assim, a equac¸ao dx Vejamos a figura: ˜ A derivada de h e´ dada por Soluc¸ao:

26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

-5

-4

-3

-2

-1

1 -2 -4

113 ´ ˜ f (x) = Exemplo 4.1.13. Encontre a reta tangente ao grafico da funçao π π xsen x no ponto ( , ). 2 2 ˜ Novamente, sigamos nossa ”receita de bolo”. A derivada Soluçao: π de f e´ dada por f ′ (x) = sen x+x cos x. (Concorda?) Assim, f ′ ( ) = 1. 2 ˜ da reta tangente sera, ´ entao, ˜ dada por: A equaçao

´ Tf : y = x. Vejamos o grafico: y

-5

-4

-3

-2

-1

-2

-3

-4

-5

´ tangencia o grafico ´ Note que a reta tambem em outro ponto. Voceˆ seria capaz de dizer qual e´ este ponto? ˜ exponencial e logar´ıtmica. Vejamos agora as derivadas das func¸oes ˜ faremos os calculos, ´ ´ Nao mas convidamos o leitor a procura-los em outras obras. ˜ f : R → R++ , f (x) = ex e g : R++ → R, g(x) = Sejam as func¸oes ln x exponencial e logar´ıtmica natural, respectivamente. As suas derivadas ˜ dadas por: sao •

df (x) = ex ; dx

•

dg 1 (x) = . dx x

1 esse x e´ tomado em R++ , o dom´ınio x ˜ exponencial e´ ela mesma, de g. Podemos ver que a derivada da func¸ao ˜ g ′ (x) = Claro que na func¸ao

ou seja, (ex )′ = ex . ˜ h(x) = ex sen x. Exemplo 4.1.14. Calcule a derivada da func¸ao

114 ˜ Utilizando as regras de derivaçao ˜ e o que ja´ conhecemos, Soluçao: resulta que h′ (x) = ex sen x + ex cos x = ex (sen x + cos x). (Concorda?) ˜ u(x) = x(ln x − 1). Exemplo 4.1.15. Derive a funçao 1 ˜ u′(x) = ln x − 1 + x( ) = ln x. (Interessante?) Soluçao: x ˜ de funçoes ˜ Veremos agora a derivaçao compostas. Aprendendo ˜ a derivar funçoes compostas o leitor estara´ apto a derivar a maioria ˜ ˜ das funçoes existentes. Podera´ derivar, por exemplo, funçoes como ln 2x f (x) = sen (3x2 ) + 5 . Pedimos novamente que o leitor x − x4 + 4e3x ˜ composta. relembre o conceito de funçao ˜ ˜ 4.1.4. Sejam f e g duas funçoes Proposiçao tais que exista a com´ ˜ a composta posta g ◦ f . Admitamos que elas sejam derivaveis. Entao ´ g ◦ f e´ derivavel e vale a seguinte regra, conhecida como regra da cadeia: dg df d(g ◦ f ) (x) = (f (x)) (x). dx dx dx ˜ temos que (g ◦ f )′ (x) = g ′ (f (x))f ′ (x). Em outra notaçao, ´ a sua demonstraçao. ˜ Vejamos alguns exemOmitiremos tambem ˆ ˜ plos que mostram a importancia de tal proposiçao. ˜ f (x) = tg (8x). Exemplo 4.1.16. Derive a funçao ˜ Primeiro elejamos nossas funçoes ˜ componentes da comSoluçao: ´ aplicar a proposiçao. ˜ Notemos que posta, a fim de que seja mais facil ˜ tais que h(g(x)) = tg (8x). Assim, a nossa g(x) = 8x e h(y) = tg y sao derivada sera´ dada por:

f ′ (x) = (h ◦ g)′ (x) = h′ (g(x))g ′(x) = 8 sec2 (8x). (Verifique!) ˜ f (x) = sen (3x2 ) + Exemplo 4.1.17. Encontre a derivada da funçao ln 2x 5 x − x4 + 4e3x ˜ E´ um exerc´ıcio mais trabalhoso. Mas vejamos que podeSoluçao: ˜ como soma e divisao ˜ de outras funçoes. ˜ mos encarar nossa funçao ˜ Assim, olhemos para as seguintes funçoes:

115 • f1 (x) = sen (3x2 ); • f2 (x) = ln 2x; • f3 (x) = 4e3x ; • f4 (x) =

f2 (x) . − x4 + f3 (x)

˜ iguais a: As suas derivadas sao

f1′ (x) = 6x cos 3x2 ; f2′ (x) =

1 ′ ; f (x) = 12e3x e, finalmente, x 3

1 (x5 − x4 + 4e3x ) − [ln(2x)](5x4 − 4x3 + 12e3x ) x f4′ (x) = . (Con (x5 − x4 + 4e3x )2 corda?) Logo, 1 (x5 − x4 + 4e3x ) − [ln(2x)](5x4 − 4x3 + 12e3x ) x f ′ (x) = 6x cos 3x2 + . (x5 − x4 + 4e3x )2 ˆ ˜ Uma importante consequencia da regra da cadeia para funçoes ˜ inversas. Como ja´ sabemos, duas compostas e´ derivada para funçoes ˜ ˜ ditas inversas entre si se acontece f (g(y)) = y, funçoes f e g sao g(f (x)) = x, para quaisquer x, y pertencentes aos seus respectivos dom´ınios. ˜ derivaveis, ´ Assim, assumindo que f e g sao temos que:

(f ◦ g)′ (x) = x ⇒ f ′ (g(x))g ′(x) = 1 ⇒ g ′ (x) =

1 . f ′ (g(x))

˜ para a derivada da inversa de f , sem Ou seja, temos a expressao precisarmos conhecer g. Vejamos um exemplo bem conhecido: ˜ trigonometrica ´ ˜ Exemplo 4.1.18. A inversa da func¸ao tg(x) e´ a func¸ao arco-tangente. Denotamo-la por arc tg(x). Para entendermos bem tal

116 ˜ saiba que arc tg(x) = y ⇔ arc tg(y) = x. Dizemos que y e´ o funçao, arco cuja tangente e´ igual a x. ˜ arco-tangente. Sabemos que Calculemos a derivada da funçao (tg ◦ arc tg )(x) = x. Reproduzindo o racioc´ınio visto acima, teremos que: 1 1 1 d arc tg (x) = = = . 2 2 dx sec (arc tg x) 1 + tg (arc tg x) 1 + x2 ˜ inversas nos exVeremos mais exemplos de derivadas de funçoes erc´ıcios.

˜ 4.2 Taxa de variac¸ao

˜ da derivada devido a sua imResolvemos abordar essa aplicaçao ˆ ˆ portancia para a Engenharia e para as outras ciencias, como a F´ısica, Qu´ımica, Economia, etc. Um pensamento importante que devemos ´ saber ter em mente e´ que devemos aprender a teoria, mas tambem ´ interessante o fato de a maioria dos estudantes univer´ aplica-la. E ´ sitarios atuais sa´ırem dos seus cursos sem saberem aplicar os seus ˆ conhecimentos. A Ciencia existe para melhorar a nossa vida. ´ de taxa de variaçao ˜ esta´ intimamente ligada a` F´ısica. Um A ideia ˜ e´ que, em geral, pensa-se em variaçao ˜ dos motivos dessa forte ligaçao ´ ao longo do tempo, mas outras variaveis podem ser tratadas do mesmo ˆ ˜ modo. Por exemplo, um farmaceutico pode querer saber como alteraçoes na dosagem influem na resposta de um indiv´ıduo a uma droga. Um ˜ de uma liga economista pode querer saber como o custo da produçao ´ metalica varia de acordo com o numero ´ de toneladas produzido. No exemplo a seguir, usamos o Problema 4.0.3 para apresentar ˜ de taxas de variaçao ˜ em Economia. uma aplicaçao ˜ de fabricaçao, ˜ o custo da produçao ˜ Exemplo 4.2.1. Em uma operaçao ˜ de x, o numero c(x) e´ uma funçao ´ de unidades produzidas. O custo ˜ e´ a taxa de variaçao ˜ do custo em relaçao ˜ ao marginal da produçao

117 dc . Dessa forma, se c(x) = 8x3 − 24x2 + dx ˜ o custo para produzir um aquecedor a mais, quando sao ˜ 30x entao,

˜ isto e, ´ n´ıvel de produc¸ao,

produzidos 10 por dia, e´ de aproximadamente c′ (10): c′ (10) = 24x2 − 48x + 30, c′ (10) = 1950 O custo adicional sera´ de 1.950 reais. O rendimento marginal e´ dado por: r ′ (x) = 24y 2 − 24y + 24 ˜ rendimento marginal estima o aumento no rendimento como A funçao resultado da venda de uma unidade adicional. Ao vender 10 aparelhos de ar condicionado por dia, podemos esperar que o rendimento aumente em torno de: r ′ (10) = 2184 reais se a venda aumentar para 11 aparelhos por dia. ˜ em F´ısica. Agora, vejamos o significado das taxas de variaçao ˜ de movimentos de part´ıculas, a taxa Geralmente aplicada a soluçoes ˜ nos diz o quanto o corpo esta´ acelerando, como a sua de variaçao velocidade esta´ variando, etc. Suponha que um corpo esteja se movimentando ao longo de uma ˜ com sua posiçao ˜ dependendo do tempo. Costumamos asdireçao, ˜ ao eixo das abscissas e interpretar o movimento ao sociar a direçao longo do plano cartesiano. Claro que para estudarmos movimentos mais complexos necessitamos de ferramentas, teoria mais avançadas. ˜ de posiçao ˜ do corpo seja S. A velocidade Digamos que a funçao ´ media entre os instantes t1 e t2 e´ dada por: vm =

S(t2 ) − S(t1 )) . t2 − t1

Esse quociente ja´ deve ter se tornado familiar para o leitor. Caso ˆ ´ fossemos calculando as velocidades medias entre instantes cada vez ´ ˆ mais proximos, ter´ıamos a velocidade instantanea do corpo em um

118 ˜ velocidade e´ dada por: ponto dado, ou seja, a func¸ao S(t + h) − S(t) . h→0 h

v(t) = lim

˜ do corpo e´ a variac¸ao ˜ No mesmo racioc´ınio, temos que a acelerac¸ao da velocidade. Raciocinando analogamente, teremos que: v(t + h) − v(t) . h→0 h

a(t) = lim

Podemos agora resolver, pelo menos em parte, os problemas introduzidos no in´ıcio desta unidade. Exemplo 4.2.2. Lembrando o Problema 4.0.1: Um corpo movimenta˜ do se no espaço. Sua velocidade pode ser expressa como funçao ˜ v(t) = t3 − t2 + 1, dada em m/s. tempo, de acordo com a equaçao ˜ deste corpo no instante t = 5s? E no instante Qual a aceleraçao ´ ˜ v. t = 90s? Trace o grafico da funçao v(t + h) − v(t) . Ora, h→0 h ˜ velocidade. Assim, derivando a exmas isso e´ a derivada da funçao ˜ A aceleraçao ˜ e´ dada por: a(t) = lim Soluçao:

˜ v(t) = t3 − t2 + 1, obtemos que a(t) = 3t2 − 2t. Logo, a pressao ˜ nos instantes t = 5s e t = 90s sao, ˜ respectivamente, iguais aceleraçao a a(5) = 65m/s2 e a(90) = 24120m/s2 . ´ ´ ˜ mas ja´ Apenas explicaremos a esboçar graficos na proxima seçao, ´ ˜ v: adiantamos o grafico da funçao Exemplo 4.2.3. Lembrando o Problema 4.0.2: Uma part´ıcula movimenta˜ de posiçao ˜ se ao longo de uma reta ”metrada” segundo a equaçao S(t) = e−2t cos 3t, sendo t o tempo dado em segundos. ˜ da velocidade e da aceleraçao ˜ da part´ıcula; a) Encontre as funçoes ˜ no instante t = 0, 5s; b) Calcule a velocidade e a aceleraçao ´ ˜ S; c) Esboce o grafico da funçao d) Calcule lim S(t); t→+∞

e) O que esta´ acontecendo com a part´ıcula? Esta´ parando?

119 100

-5.0

-4.5

-4.0

-3.5

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

-20

-40

-60

-80

-100

-120

-140

´ Figura 4.3: Grafico de v ˜ Sabemos que as equaçoes ˜ da velocidade e da aceleraçao ˜ Soluçao: ˜ iguais a v(t) = S ′ (t), a(t) = v ′ (t) = S (2) (t). (Aqui usamos a sao ˜ f (n) , n ∈ N, que significa a n-esima ´ ˜ f, notaçao derivada da funçao i.e., tomamos derivadas sucessivas de f . Por exemplo, a segunda ˜ e´ a obtida apos ´ derivarmo-la duas vezes.) derivada de uma funçao Logo, v(t) = (−2)e−2t cos (3t) − 3e−2t sen (3t), a(t) = 12e−2t sen (3t) − 5e−2t cos (3t). Substituindo os valores dados, conseguimos que v(0, 5) ∼ = −1, 1529m/s

´ ˜ ene a(0, 5) = 4, 2733m/s2. Como ja´ dissemos, na proxima sec¸ao ´ ´ sinaremos a esboc¸ar graficos. Mas vejamos o grafico de S:

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0 0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

-0.1

´ Figura 4.4: Grafico de S

3.8

4.0

4.2

4.4

4.6

4.8

5.0

120 Agora calculemos o limite lim S(t). Como podemos ver facilt→+∞

˜ f (x) = cos (3x) e´ limitada. (Por que?) ˆ mente, a func¸ao Como lim e−2x = 0 (Verifique!), podemos concluir por uma propriedade x→+∞

vista na segunda unidade deste livro que lim S(t) = 0. (Qual prot→+∞

priedade?) Deixamos o item (e) para o leitor refletir. O que voceˆ consegue deduzir?

˜ de funçoes ˜ e esboço de graf´ ´ ıcos 4.3 Variaçao

´ Agora encerraremos esta unidade estudando o esboço de graficos. ˜ utilizaPara isso, teremos que aprender alguns conceitos que serao ´ ˜ dos adiante. Basicamente, para esboçarmos o grafico de uma funçao, temos que entender as suas concavidades, o seu crescimento, os ˜ se define, etc. pontos onde ela nao Aproveitaremos a oportunidade e veremos os teoremas de Rolle e ´ do Valor Medio. ˜ definida num intervalo I. Consi˜ 4.3.1. Seja f uma funçao Definiçao deremos um ponto γ ∈ I. Dizemos que γ e´ um ponto de m´ınimo local de f se, para uma vizinhança V de γ se acontecer f (γ) ≤ f (x), ∀x ∈ ´ V . Dizemos que ele e´ ponto de maximo se ocorrer f (γ) ≥ f (x), ∀x ∈ V. Exemplo 4.3.1. O ponto γ =

π ´ e´ um ponto de maximo local para a 2

˜ sen |[0,π] . (Verifique!) funçao Exemplo 4.3.2. O ponto γ = 0 e´ um ponto de m´ınimo local para a ˜ f (x) = x2 . (Por que?) ˆ funçao ˜ f definida num intervalo I, dize˜ 4.3.2. Dada uma funçao Definiçao ´ mos que f assume um maximo global em I se existir x¯ ∈ I tal que ´ f (¯ x) ≥ f (x), ∀x ∈ I. Analogo para ponto de m´ınimo global.

121 ˆ ´ Note que nem sempre a existencia de pontos de m´ınimo ou maximo ˆ ´ locais implica a existencia de pontos de m´ınimo ou maximos globais. ´ Vejamos isso no proximo exemplo. 1 . x ˜ de que lim f (x) = −∞, Deixamos a cargo do leitor a verificac¸ao −

˜ f : [−1, 1] \ {0} → R \ {0}, f (x) = Exemplo 4.3.3. Seja a func¸ao x→0

´ ˜ assume nem pontos como tambem lim+ f (x) = +∞. Assim, f nao x→0

´ de maximo nem de m´ınimo globais. Mas perceba que nos intervalos ´ [1/2, 1] e [−1, −1/2] ela assume os valores m´ınimo e maximo local iguais a 1 e −1 respectivamente. (Concorda?) ˜ f e´ nao-crescente ˜ Dizemos que uma funçao num intervalo J ⊂ ˜ Dom(f ) se x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ). E dizemos que ela e´ nao˜ decrescente nas mesmas condiçoes se x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ). Dizemos que e´ decrescente ou crescente se as desigualdades anteriores na mesma ordem forem estritas. ˜ real f tal que f (x) = x2 e´ crescente no Exemplo 4.3.4. A funçao intervalo [0, +∞) e decrescente em (−∞, 0]. Repare o comportamento ´ ˜ do grafico nas duas situaçoes. 24y 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -5.0

-4.5

-4.0

-3.5

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

´ Figura 4.5: Grafico de f |(−∞,0]

0.0

122 y

24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

´ Figura 4.6: Grafico de f |[0,+∞) ˜ cont´ınua em [a, b] e deTeorema 4.3.3 (Rolle). Se f e´ uma func¸ao ´ ˜ existe γ ∈ (a, b) tal que rivavel em (a, b), com f (a) = f (b), entao f ′ (γ) = 0. ˜ Podemos concluir do teorema de Rolle que dada f nas condic¸oes ´ acima, existe γ ∈ (a, b) tal que a reta tangente ao grafico de f no ponto (γ, f (γ)) e´ paralela ao eixo das abscissas. Vejamos uma figura ilustrativa:

´ ˜ cont´ınua Teorema 4.3.4 (Teorema do Valor Medio). Seja f uma func¸ao ´ em [a, b] e derivavel em (a, b). Existe γ ∈ (a, b) tal que f ′ (γ) =

f (a) − f (b) . a−b

f (a) − f (b) e´ o coeficiente angular da a−b ´ que a reta que passa por (a, f (a)) e (b, f (b)). Ja´ sabemos tambem Perceba que o quociente

derivada num ponto representa o coeficiente angular da reta que tan´ ˜ no ponto dado. Logo, uma interpretac¸ao ˜ gencia o grafico da func¸ao ´ ´ geometrica do teorema do valor medio e´ que dados dois pontos a, b

123 ˜ f , existe um ponto γ entre eles quaisquer no dom´ınio de uma funçao ´ tal que a reta tangente ao grafico de f no ponto (γ, f (γ)) e´ paralela a` reta que passa por (a, f (a)) e (b, f (b)). ˆ ´ Uma consequencia imediata do teorema do valor medio e´ a seguinte: ˜ cont´ınua num intervalo fechado ˜ 4.3.5. Se f e´ uma funçao Proposiçao ˜ [a, b] e cont´ınua em (a, b) entao: ˜ f e´ constante em [a, b]; • se f ′ (x) = 0 para todo x ∈ (a, b) entao ˜ f e´ crescente em [a, b]; • se f ′ (x) > 0 para todo x ∈ (a, b) entao ˜ f e´ decrescente em [a, b]. • se f ′ (x) < 0 para todo x ∈ (a, b) entao ˜ Esboçaremos uma demonstraçao ˜ para essa proposiçao. ˜ Demonstraçao. f (a) − f (b) ´ Pelo teorema do valor medio, existe γ ∈ (a, b) tal que f ′ (γ) = . a−b f (a) − f (b) = Mas no primeiro caso, isso acarreta f ′ (γ) = 0, ou seja, a−b 0 ⇒ f (a) = f (b). Raciocinando indutivamente, conclui-se que f e´ ˆ constante em [a, b]. (Por que?) f (a) − f (b) > 0 ⇒ f (a) < f (b). (Lembrea−b se que a < b!) Da´ı, raciocinando novamente indutivamente, temos No segundo caso, teremos

˜ e´ crescente em [a, b]. Racioc´ınio analogo ´ que a funçao para o terceiro caso. ˜ acima ja´ nos ensina como estudar o comportamento A proposiçao ˜ quanto ao seu crescimento. Para sabermos se uma de uma funçao ˜ e´ crescente em um intervalo, basta derivarmo-la e vermos que funçao tal derivada e´ positiva para todos os pontos do tal intervalo. Para saber se e´ decrescente, basta ver se sua derivada e´ negativa, e constante se e´ nula. ´ ˜ nos dira´ como encontrarmos os pontos de A proxima proposiçao ´ ˜ m´ınimo e de maximo de uma funçao. ˜ derivavel ´ ˜ 4.3.6. Seja f uma funçao Proposiçao numa vizinhança Vc = (c − δ, c + δ), δ > 0 do ponto c tal que f ′ (c) = 0. ˜ c e´ um m´ınimo local de f ; • Se f ′ e´ crescente em Vc , entao

124 ˜ c e´ um maximo ´ • Se f ′ e´ decrescente em Vc , entao local de f Para demonstrar tal fato, o leitor deve verificar que no primeiro caso teremos f ′ (x) < 0, ∀x ∈ (c − δ, c] e f ′ (x) > 0, ∀x ∈ [c, c + δ). Ou seja, f e´ decrescente em (c − δ, c) e crescente em (c, c + δ). Raciocine analogamente para o segundo caso. (O fato de f ′ (c) = 0 e´ crucial!) ˜ das proposiçoes ˜ Exemplo 4.3.5. Vejamos uma aplicaçao anteriores ˜ real tal que f (x) = x2 . num exemplo bem simples. Seja f uma funçao Ja´ e´ sabido do leitor que f e´ decrescente em (−∞, 0] e crescente em [0, +∞). Vejamos se conseguimos isto com a ajuda das nossas ˜ anteriores. proposiçoes A derivada de f e´ dada por f ′ (x) = 2x. Assim, para x ∈ (−∞, 0) ´ temos que f ′ (x) < 0. Para x ∈ (0, +∞) temos que f ′ (x) > 0. E, alem disso, f ′ (0) = 0 e este e´ o unico ´ ponto onde f ′ ”zera”. Logo, pela ˜ acima, obtemos que f e´ decrescente em (−∞, 0) e cresproposiçao cente em (0, +∞). O fato de x = 0 ser o unico ´ ponto de m´ınimo da ˜ nos garante que podemos tomar os intervalos acima da forma funçao com que os tomamos. Se analisarmos o seguinte limite lim x2 , obtex→∞

mos que lim x2 = +∞ = lim x2 . (O que voceˆ consegue concluir x→−∞

x→+∞

disso?) ˜ seno tomada no intervalo fechado [−π, π]. Exemplo 4.3.6. Seja a funçao ˜ de tal funçao. ˜ Vejamos um estudo na variaçao ˜ A sua derivada e´ dada por sen′ x = cos x. No intervalo em questao, π −π ˜ cosseno assume valor zero nos pontos x1 = e x2 = . a funçao 2 2 No intervalo [−π, 0] ela e´ crescente e em [0, π] e´ decrescente. Pela π −π ˜ ˜ anterior, conclu´ımos que os pontos x1 = e x2 = sao proposiçao 2 2 ´ ˜ seno, respectivamente. (Conde m´ınimo e maximo locais da funçao corda?) ˜ f ′ , se existir a derivada Raciocinando analogamente para a funçao de f ′ , i.e., se existir f ′′ obtemos que: ˜ da • Quando f ′′ (x) > 0 para todo x no intervalo de definiçao ˜ entao ˜ f ′ e´ crescente; funçao,

125 ˜ da • Quando f ′′ (x) < 0 para todo x no intervalo de definiçao ˜ entao ˜ f ′ e´ decrescente; funçao, ˜ auxiliados Com isso podemos estudar o comportamento da funçao ˜ pelas informaçoes obtidas da sua derivada segunda. Nem sempre e´ simples analisar os intervalos de crescimento e decrescimento de ˜ Logo, e´ melhor estudar o sinal de f ′′ , f ′ apenas pela sua definiçao. quando esta existir. ˜ em um determinado conjunto quanto Agora qualifiquemos uma funçao ˆ a` concavidade. Para entendermos a importancia disso, vejamos as figuras: y 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

˜ crescente com concavidade para baixo Figura 4.7: Func¸ao

1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

-0.2 -0.4 -0.6 -0.8

˜ crescente com concavidade para cima Figura 4.8: Func¸ao

126 y 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 -1.2 -1.4 -1.6

˜ decrescente com concavidade para cima Figura 4.9: Func¸ao 0

0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 -100 -110 -120

˜ decrescente com concavidade para baixo Figura 4.10: Funçao ˜ basta dizer que a funçao ˜ e´ crescente em um intervalo. Ou seja, nao ˜ grosseira para os Devemos dizer como ela cresce. Uma definiçao tipos de concavidade e´ a seguinte: ˜ tem concavidade para baixo num intervalo quando as • A funçao ´ retas tangentes a ela ficam acima do seu grafico. Chamamos de ˆ ˜ concava no intervalo tal funçao; • Ela tem concavidade para cima num intervalo quando as tan´ gentes a ela ficam abaixo do seu grafico. Chamamos de convexa ˜ no intervalo tal funçao. ˜ real tal que f (x) = x2 e´ convexa em toda a Exemplo 4.3.7. A funçao reta. ˜ seno no intervalo [0, π] e´ concava. ˆ Exemplo 4.3.8. A funçao ˜ ate´ duas vezes derivavel ´ ˜ 4.3.7. Seja f uma funçao Proposiçao em ˜ f e´ convexa em I. um intervalo I. Se f ′′ (x) > 0 para todo x ∈ I, entao ˜ ela sera´ concava ˆ Se f ′′ (x) < 0 para todo x ∈ I, entao em I.

127 ˜ f (x) = x2 , temos que f ′ (x) = 2x ⇒ Exemplo 4.3.9. Para a funçao f ′′ (x) = 2 > 0, ∀x ∈ R. Logo, f e´ convexa em toda a reta real. ˜ seno no intervalo [0, π] e´ tal que: sen′ x = Exemplo 4.3.10. A funçao ˜ seno e´ cos x ⇒ sen′′ x = −sen x < 0, ∀x ∈ [0, π]. Logo, a funçao ˆ concava em [0, π]. ˜ Dizemos que um ponto Por ultimo, ´ falemos nos pontos de inflexao. ˜ para f se ela possuir concavidades c ∈ (a, b) e´ um ponto de inflexao de tipos diferentes em [a, c] e [c, b]. ´ ˜ e´ a Uma regra pratica para sabermos se um ponto e´ de inflexao seguinte: ˜ cont´ınua definida num intervalo ˜ 4.3.8. Seja f uma funçao Proposiçao ´ [a, b] e derivavel em (a, b). Dizemos que c ∈ (a, b) e´ um ponto de

˜ se tivermos f ′ (c) = f ′′ (c) = . . . = f (n−1) (c) = 0, mas f (n) (c) 6= inflexao 0, com n ∈ N e n ´ımpar. Geralmente, so´ precisamos calcular ate´ a terceira derivada de uma ˜ Nas duas primeiras derivadas, temos f ′ (c) = 0, mas f ′′′ (c) 6= func¸ao. 0. Exemplo 4.3.11. Mostremos tal fato com um exemplo simples. Seja f tal que f (x) = x3 . Notemos que: • f ′ (0) = 0; • f ′′ (0) = 0; • f ′′′ (0) = 6. ˜ Logo, o ponto x = 0 e´ um ponto de inflexao. Deixamos como ˜ de que x = 0 e´ ponto de inflexao ˜ exerc´ıcio para o leitor a verificac¸ao ´ de outro metodo, ´ ´ atraves o da analise das concavidades. Vejamos o ´ grafico de f :

128 y

120

100

-5

-4

-3

-2

-1

-20

-40

-60

-80

-100

-120

´ Figura 4.11: Grafico de f ´ ˜ Estamos agora aptos a esboçar graficos de funçoes. x3 ´ Exemplo 4.3.12. Esboce o grafico de f tal que f (x) = . x−8 ˜ nao ˜ esta´ definida no ponto Primeiramente, notemos que a funçao x = 8. Calculemos as suas derivadas:

f ′ (x) =

x3 3x2 − . (Concorda?) x − 8 (x − 8)2

f ′′ (x) =

2x3 6x2 6x − + 3 2 (x − 8) (x − 8) x−8

f ′′′ (x) =

18x 6x3 6 18x2 − − + . 3 4 (x − 8) (x − 8) x − 8 (x − 8)2

Notemos que f ′ (x) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 12. (Verifique!) Notemos ´ que f ′′ (x) = 0 ⇒ x = 0. (So´ estamos trabalhando com tambem numeros ´ reais!) 3 Agora, vejamos que f ′′′ (0) = − = 6 0. 4 Estudemos os limites: (i) lim+

x3 ; x−8

(ii) lim−

x3 ; x−8

x→8

x3 ; x→+∞ x − 8

(iii) lim

x3 . x→−∞ x − 8

(iv) lim

129 ˜ iguais a +∞, −∞, +∞, +∞, resO leitor deve verificar que eles sao ˜ deixamos como pectivamente. Sabendo que x = 0 e´ ponto de inflexao, ´ exerc´ıcio para o leitor a analise de crescimento e decrescimento da ˜ assim como as concavidades. Vejamos o grafico ´ func¸ao, de f : y

600

500

400

300

200

100

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

-100

-200

-300

-400

´ Figura 4.12: Grafico de f

˜ No final do livro daremos uma tabela com as derivadas das func¸oes mais conhecidas.

130

4.4 Saiba mais ˜ de equaçoes ˜ Como ja´ foi mencionado na unidade anterior, a resoluçao ˜ da Matematica. ´ ´ e´ uma das grandes aplicaçoes O metodo de Newton ´ ˜ da ou Newton-Raphson, consiste em uma tecnica de aproximaçao ˜ de uma equaçao ˜ f (x) = 0. Essencialmente, no metodo ´ soluçao en´ contramos o zero de retas tangentes ao grafico de f em pontos cada ´ ˜ desejada, graficamente, temos: vez mais proximos da soluçao

´ Figura 4.13: O Metodo de Newton começando em x0 ´ Perceba que, começando com um ponto x0 arbitrario, determi˜ linear (isto e, ´ enconnamos o ponto x1 ao resolvermos a equaçao ´ trando um zero da reta tangente ao grafico de f em (x0 , f (x0 ))): f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) = 0 ´ x1 = x0 − f (x0 )/f ′ (x0 ). isto e, ´ ˜ Procedendo da mesma forma, obtemos uma formula de aproximaçoes sucessivas: ˜ x0 ∈ R Passo inicial: Escolha uma primeira aproximaçao Passo Iterativo: Dado xn , encontre xn+1 com xn+1 = xn − f (xn )/f ′ (xn ).

131 ˜ do ˜ 4.4.1. E´ importante enfatizar que para a aplicaçao Observaçao ´ ˜ f ′ , deve ser nao ˜ nula nos pontos metodo, a derivada de f , funçao considerados (x0 , x1 , x2 , ...). ´ Agora, apresentamos um exemplo numerico. Exemplo 4.4.1. Considerando f (x) := 1000000ex +

435000 x (e x

− 1) −

1564000, vamos resolver o problema f (x) = 0. Para isso, vamos con˜ inicial x0 = 0, 3 (compare esse exemplo siderar como aproximac¸ao ˜ Saiba Mais da Unidade 3, Tabela com aquele apresentado na sec¸ao 3.1.). x

f (x)

0, 3

2, 931540786 × 105

0, 1186118371

23781, 82588

0, 1011434562

194, 8717684

0, 1009979397

0, 0134089706

0, 1009979297

1, 908087536 × 10−5

0, 1009979296 1, 282087068 × 10−16 ˜ usando Metodo ´ Tabela 4.1: Aproximac¸oes de Newton Lembre-se de que procurando x ∈ R tal que f (x) = 0, encontramos: x = 0, 1009979296,

|f (x)| < 10−15 ,

˜ da soluc¸ao ˜ do problema original. que e´ uma boa aproximac¸ao ´ Tente aplicar o Metodo de Newton para resolver f (x) = 0, onde f (x) = x2 − 3.

132

4.5 Exerc´ıcios ˜ 1. Calcule as derivadas das seguintes func¸oes: (a) f (x) = 3x2 − 5x + 2 (b) f (x) = 9x3 − 14x2 − 9 (c) f (x) = 100x + 1 (d) f (x) =

x+1 2x + 3

(e) f (x) = (4x2 + 13x)(tg (x) − 4x) (f) f (x) = (ex + sen x)(3x2 − 3) +

8x cos x + ln x

2 (cossec (x) − 6x2 ln x) sen x 1 3x (g) f (x) = − + (x2 − 9)2 π(x2 + 2 cos x) x

(h) f (x) = tg x + 2x2 + 3 (i) f (x) = ln x − 2 sec x (j) f (x) = 2x + 4 (k) f (x) = 0

˜ no exerc´ıcio acima, calcule f ′ (7), f ′(11) e f ′ (13). 2. Para cada funçao ˜ das retas tangentes aos graficos ´ ˜ 3. Ache as equaçoes das funçoes dadas no primeiro exerc´ıcio nos pontos x = 7, x = −13. ˜ 4. Calcule as derivadas das seguintes funçoes, quando existirem: (a) f (x) = sen (8x3 + 12x) (b) f (x) = cos (12x + 3 ln 2x) (c) f (x) = x tg ( (d) f (x) = ln 5x

2x + 3 ) (4x − 1)2

(e) f (x) = sec (2x2 + 2) − cotg [

2 2x (e + 4 ln 3x)] 5x

(f) f (x) = cos (x ln 5x3 ) (g) f (x) = (

15x6 − 3x sen (2x3 + (x − 4)2

1 ) 2x5 ) ln( 5x + 1 ) + (8√3x) 2x − 4

(h) f (x) = 2x + 8 cos (2 + x ln 5x6 )

133 (i) f (x) = x2 + sen2 (2πe2x+4 ) 1 2x ln 9x x4 − x3 (k) f (x) = x−9 x5 + cossec (2x + ln2 3x) (l) f (x) = (x2 − 12e2x7 ) (j) f (x) =

` func¸oes ˜ dadas no ponto de ab5. Encontre as retas tangentes as scissa x = 1: (a) f (x) = x2 (ln 2x) (b) f (x) = sen (3x − 5) + cos

2x2 4 + x5

(c) f (x) = sen x + cos x 3 2x + 4x (d) f (x) = ln 2sen 2x 2 (e) f (x) = e 3x 6. Mostre que a derivada de f (x) = ax , a > 1 e´ f ′ (x) = ax ln x. 1

7. Mostre que a derivada de f (x) = x n e´ f ′ (x) =

1 1 −1 x n , onde n

n ∈ N. 8. Mostre que a derivada de g(x) = xr e´ g ′ (x) = rxr−1 , onde r ∈ Q. ˜ h(x) = xα , onde α ∈ R? O que voceˆ pode deduzir para a funçao ` funçoes ˜ dadas que 9. Encontre, se poss´ıvel, as retas tangentes as ˜ paralelas a` reta r : y = 3x − 5: sao (a) f (x) = 2 cos 3x (b) f (x) = 3x(ln 2x) (c) f (x) = 4sen x (d) f (x) = 18 − 2xtg 3x2 (e) f (x) = cos x ˜ dadas, se poss´ıvel: 10. Calcule f ′ , f ′′ , f ′′′ para as funçoes (a) f (x) = 2x + 3

134 (b) f (x) = 8x4 − cos (3x + 9) (c) f (x) = cos x (d) f (x) = sen (2x) (e) f (x) = e5x (f) f (x) = 2 ˜ 11. Encontre as derivadas das seguintes funçoes: (a) f (x) = arc sen x (b) f (x) = arc cos x (c) f (x) = arc sen (2x + 4) (d) f (x) = arc cos (5x3 − 2x) 12. Uma part´ıcula movimenta-se sobre o eixo das abscissas e a sua ˜ posicional e´ dada por S(t) = t5 − 2sen t, t ≥ 0. Resequaçao ponda: ˜ da velocidade? (a) Qual a equaçao ˜ da aceleraçao? ˜ (b) Qual a equaçao ˜ e´ nega(c) Diga, caso exista, o intervalo no qual a aceleraçao tiva. (d) Calcule a velocidade no instante t = 10s. ´ ˜ velocidade e da aceleraçao. ˜ (e) Esboce o grafico de S, da funçao ˜ posicional e´ dada por 13. Idem para uma part´ıcula cuja equaçao S(t) = e2t cos (5t). ´ ˜ seno. 14. Uma part´ıcula movimenta-se ao longo do grafico da funçao Considerando apenas valores para t ≥ 0, responda: ˜ posicional? (a) Qual a sua equaçao ˜ da velocidade e aceleraçao? ˜ (b) Quais as equaçoes ˆ (c) O movimento e´ acelerado? Por que?

135 ´ ˜ (d) Esboce os graficos das func¸oes posicional, velocidade e ˜ acelerac¸ao. (e) Ha´ algum momento em que a velocidade da part´ıcula com ´ respeito ao eixo das ordenadas e´ o quadruplo da sua velocidade com respeito ao das abscissas? Caso exista, encontre o valor de t. 15. Considere um carro que se move numa avenida congestionada entre x1 = 5m no instante t1 = 3s e xf = 95m no instante tf = ´ 48s, com velocidade constante. Para desenhar o grafico de x versus t num papel quadriculado de 10cm por 10cm, escolhemos ˜ representados em 10cm de uma escala em x tal que 100m sao ˜ representados em papel e uma escala de tempo em que 50s sao ˜ 10cm de papel. Portanto, os fatores de escala sao: fx =

cm 10cm = 0, 1 100m m

ft =

10cm cm = 0, 2 50s s

˜ da reta no intervalo [3s, 4s] (a) Qual e´ a inclinac¸ao ˆ (b) Calcule a tangente do angulo no papel quadriculado (de 10cm por 10cm) ˜ diferentes (c) Os valores encontrados nos itens (a) e (b) sao ` escalas que nao ˜ poderiam ser iguais uma vez devido as ˜ f´ısicas envolvidas nos eixos serem diferque as dimensoes entes. Mas, mostre que tg(θ) =

∆x fx = 1. ∆t ft

ˆ O que significa dizer que a tangente de um angulo esta´ rela˜ por um fator que so´ depende das cionada com a inclinac¸ao escolas usadas. ˜ 16. Estude o comportamento das seguintes func¸oes: (a) f (x) = 2x + 3 (b) f (x) = 8x4 − cos (3x + 9)

136 (c) f (x) = cos x (d) f (x) = sen (2x) (e) f (x) = e5x (f) f (x) = 2 (g) f (x) = x2 (ln 2x) (h) f (x) = sen (3x − 5) + cos

2x2 4 + x5

(i) f (x) = sen x + cos x 3 2x + 4x (j) f (x) = ln 2sen 2x 2 (k) f (x) = e 3x ´ ˜ 17. Esboce o grafico das seguintes func¸oes: (a) f (x) = 3x2 − 5x + 2 (b) f (x) = 9x3 − 14x2 − 9 (c) f (x) = 100x + 1 (d) f (x) =

x+1 2x + 3

(e) f (x) = (4x2 + 13x)(tg (x) − 4x) (f) f (x) = 2x + 8 cos (2 + x ln 5x6 ) (g) f (x) = x2 + sen2 (2πe2x+4 ) 1 2x ln 9x x4 − x3 (i) f (x) = x−9 x−3 (j) f (x) = (x + 8)3

(h) f (x) =

(k) f (x) =

x4 − 3x x−2

˜ quanto a concavidade: 18. Classifique as seguintes func¸oes (a) f (x) = x4 + 9 (b) f (x) = − ln x (c) f (x) = e2 x

137 (d) f (x) = −(x + 5)2 + 7 (e) f (x) = x ln x 1 (f) f (x) = − , x > 0. x 19. Uma part´ıcula move-se ao longo do eixo x de acordo com a ˜ x(t) = at3 + bt2 , sendo x em metros e t em segundos. equaçao (a) Em quais unidades do Sistema Internacional de Unidades (SI) devem estar as constantes a e b? ˜ da velocidade instantanea ˆ (b) Obtenha a expressao da part´ıcula ˜ do tempo. em funçao ˜ da aceleraçao ˜ instantanea ˆ (c) Obtenha a expressao da part´ıcula ˜ do tempo. em funçao ´ ˜ de uma part´ıcula em funçao ˜ 20. O grafico abaixo representa a posiçao do tempo. x(m) 12 10 8 6 4 2

t (s )

-2 -4

(a) Em que intervalos a velocidade da part´ıcula e´ positiva? (b) Em que intervalos a velocidade da part´ıcula e´ negativa? (c) Em que instantes de tempo a velocidade da part´ıcula e´ nula?

138 ´ ˜ 21. Use o Metodo de Newton para encontrar aproximac¸oes de ´ Compare com o obtido por calculo direto na calculadora.

√

ˆ ´ Referencias Bibliograficas ´ [1] COURANT, R. Calculo Diferencial e Integral, vol. 1., Ed. Globo, 1965. ´ ˜ Ed. Livros Tecnicos ´ [2] FIGUEIREDO, D. G. Analise I, 2a. edic¸ao, e Cient´ıficos, 1996. ´ [3] GUIDORIZZI, H.L. Um curso de Calculo, vols. 1, 2, 3, 4. Livros ´ Tecnicos e Cient´ıficos. ´ ´ [4] LANG, S. Calculo, vol. 1, Ed. Livros Tecnicos e Cient´ıficos, 1977. ´ ˜ Instituto de [5] LIMA, E. L. Curso de Analise, vol. 1, 8a. Edic¸ao, ´ Matematica Pura e Aplicada, CNPq, Rio de Janeiro, 2004. [6] http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/. ` 09h40min. Acesso em 26/06/2008 as [7] http://www.somatematica.com.br/historia/derivadas.php. ` 19h00min. Acesso em 25/06/2008 as [8] http://www.ufes.br/circe/artigos/artigo51.doc. Acesso em ` 09h43min. 24/06/2008 as

[9] http://www.pucrs.br/famat/marcia/matqui2/aplicacoes_de_derivadas. ` 11h43min. Acesso em 26/06/2008 as [10] http://www.interaula.com/matweb/superior/derivada/derivada2.htm. ` 11h43min. Acesso em 26/06/2008 as [11] http://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada. ` 11h47min. 26/06/2008 as 139

Acesso

U ni de da 1 Unidade 5

sociolo iologia gia ee a a AA soc Apêndice: Conjuntos Soc iolo gia da Edu Educaç cação ão Sociologia da

Resumo Apresentamos uma breve revisão sobre conjuntos, com ênfase no corpo dos números reais e suas propriedades.

UNIDADE 5. A Integral 5.1. Primitivas

143

5.2 Técnicas de Integração

145

5.3 Integral definida

150

5.4 Saiba mais

157

5.5 Exercícios

158

Referências Bibliográficas

165

5. A Integral A presente unidade esta´ intimamente relacionada com a anterior. Ha´ quem estude primeiro as integrais para depois o estudo das derivadas, ´ ha´ quem faça o oposto. Seguimos aqui uma tendencia ˆ como tambem que e´ a de apresentar primeiramente as derivadas, para depois mostrar ´ a integral, ou antiderivada, como alguns costumam chama-la. E´ ape´ nas uma escolha didatica. Sendo assim, assumimos que o leitor deve ter estudado primeiro ´ pode acontecer que o leitor ja´ possua o cap´ıtulo anterior. Ou tambem ´ ˜ enconconhecimentos bem solidos em derivadas. Nesse caso, nao trara´ problemas neste cap´ıtulo. ´ Assim como a derivada esta´ relacionada com calculo de taxas de ˜ ´ ˜ variaçoes, esboço de graficos de funçoes, retas tangentes a curvas ´ possui varias ´ ˜ diversas, etc, a integral tambem aplicaçoes. As mais ˜ calculos ´ ´ ˜ quando sua famosas sao de areas, encontrar uma funçao ´ derivada e´ conhecida, calculo do trabalho realizado por uma força, etc. ´ Veremos, primeiramente, como calcular varios tipos de integrais. Depois, veremos rapidamente como a integral (no caso a de Riemann) ˜ e´ obtida e algumas de suas aplicaçoes. ˜ de um problema para moDe praxe, comecemos com a exposiçao tivar esta unidade: Problema 5.0.1. Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo das abscissas com velocidade dada por v(t) = 2e2t sen (3t) + 3e2t cos (3t). Calcule o deslocamento desta part´ıcula entre os instantes t1 = 5s e t2 = 8s. 142

143

5.1 Primitivas

´ das primitivas. Comecemos nosso estudo sobre integrais atraves ˜ real definida num intervalo I. ˜ 5.1.1. Seja f uma funçao Definiçao ˜ F , tambem ´ definida Chamamos de primitiva para f qualquer funçao em I, tal que F ′ (x) = f (x), ∀x ∈ I. Para entendermos bem o significado de primitiva, vejamos o seguinte exemplo. ˜ f : R → R, f (x) = 3x2 . Entao ˜ uma Exemplo 5.1.1. Seja a funçao ˜ F tal que F (x) = x3 . primitiva para f e´ a funçao ´ a Perceba no exemplo anterior que F ′ (x) = f (x). Mas tambem ˜ dada por G(x) = x3 + 12. (Concorda?) Na verdade, qualquer funçao ˜ do tipo H(x) = F (x)+k, onde k ∈ R e´ uma constante qualquer, funçao e´ uma primitiva para f . ˜ matematica ´ Veremos a explicaçao para esse fato com a seguinte Para

uma

boa

˜ complementac¸ao do

estudo

principais

dos resul-

´ tados do Calculo,

˜ proposiçao: ˜ cont´ınua num intervalo I ⊂ R. ˜ 5.1.2. Seja f uma funçao Proposiçao ˜ f (x) = k, onde k ∈ R e´ uma constante Se f ′ (x) = 0, ∀x ∈ I, entao

qualquer.

veja

site

˜ e´ consJa´ hav´ıamos visto no cap´ıtulo anterior que se uma func¸ao

projeto

˜ a sua derivada e´ nula em todos os pontos onde ela e´ tante, entao

Universidade

˜ diz que tambem ´ vale a volta. A dica para a definida. Essa proposic¸ao

˜ Paulo. Sao

˜ da proposiçao ˜ anterior e´ apenas o uso do teorema do demonstraçao ´ valor medio. ˆ ˜ anterior e´ que se duas Uma consequencia direta da proposiçao ˜ forem cont´ınuas e as suas derivadas forem iguais em todos os funçoes ˜ definidas, entao ˜ essas funçoes ˜ diferem entre pontos onde elas estao si por apenas uma constante real. ˜ tenha em mente o seguinte racioc´ınio. Se dada uma funçao ˜ Entao, ´ f derivavel num intervalo J ⊂ R temos a sua derivada dada por f ′ ,

144 ˜ a primitiva para f ′ e´ qualquer func¸ao ˜ do tipo F tal que F = entao f (x) + k, k ∈ R e´ uma constante real qualquer.

˜ real dada por f (x) = 2x. A exExemplo 5.1.2. Seja f uma funçao ˆ periencia com as derivadas nos diz que g(x) = x2 e´ tal que g ′ (x) = ˜ do tipo x2 + k sera´ uma primitiva para a f (x). Assim, qualquer funçao ˜ f. nossa funçao

˜ sera´ tao ˜ amador. Imagine ter que Claro que nosso estudo nao ˜ saber de cabec¸a quem e´ a primitiva da func¸ao

x f (x) = 2 + sec (3x) x −6

ln 5x 2x4

Veremos mais adiante algumas regras para encontrarmos primitivas ˜ de algumas func¸oes. ˜ f definida em um intervalo as suas Vimos que dada uma func¸ao ˜ todas do tipo F (x) + k, onde F e´ tal que F ′ (x) = f (x), primitivas sao k e´ uma constante real qualquer. A partir de agora, representaremos R R todas as primitivas de f por f (x) dx. O s´ımbolo quer dizer ”soma”

em um sentido que explicaremos depois.

d x2 = 2x. dx

Exemplo 5.1.3.

2xdx = x2 + k, ja´ que

Exemplo 5.1.4.

cos xdx = sen x + k, pois sen′ x = cos x.

A seguir apresentamos uma tabela com as primitivas mais conhecidas.

145 R

f (x) c

f (x)dx cx + k

β+1

x + k, β 6= −1 β+1 ln | x | +k

xβ x−1 sen x

− cos (x) + k

cos x

sen (x) + k x

ax tg x

a + k, 0 < a 6= 1 ln a − ln | cos x | +k

sec x

ln | sec x + tg x | +k

sec2 x

tg (x) + k

ex 1 1 + x2 ln x

ex + k arc tg (x) + k x(−1 + ln x) + k

Aprenderemos mais primitivas ao decorrer do texto. E´ interessante ˜ tente ”decorar” a tabela de integrais imediatas. Achamos que o leitor nao que ela passara´ a ser familiar com os exerc´ıcios e seu uso.

´ ˜ 5.2 Tecnicas de Integrac¸ao Como dissemos anteriormente, o conhecimento das integrais imedi˜ e´ suficiente para o calculo ´ atas nao de integrais indefinidas. Apre´ ´ sentamos a seguir, algumas tecnicas necessarias ao desenvolvimento ´ ˜ das proximas sec¸oes.

˜ por substituiçao ˜ Integraçao ˜ existe uma formulaçao ˜ similar a` Regra da Cadeia. A Na integraçao, ˜ por substituiçao ˜ e´ muito util ´ Integraçao ´ no calculo de integrais do tipo: Z

f (g(x))

dg(x) dx, dx

(5.1)

146 ˜ func¸oes ˜ definidas em intervalos convenientes. onde f ◦ g e g sao Considerando que F e´ uma primitiva para f , Z

f (u)du = F (u),

˜ (F ◦ g) e´ uma primitiva para (f ◦ g) entao, Z

dg f (g(x)) dx = dx

dg ´ , isto e, dx

f (u)du.

˜ acima, resulta da Regra da Cadeia, uma vez que A formulac¸ao d(F ◦ g) dF du du dg = . = f (u) = (f ◦ g) . dx du dx dx dx ˜ desta tecnica. ´ A seguir, alguns exemplos de utilizac¸ao R ˜ Exemplo 5.2.1. Para determinar (x2 +1)3 2xdx, seja u = x2 +1, entao du/dx = 2x e a integral pode ser reescrita como: du dx, dx

f (u)

u3 du =

˜ f sendo f (u) = u3 . a func¸ao Desse modo, obtemos Z

f (u)du =

(x2 + 1)4 u4 = . 4 4

O resultado pode ser verificado derivando

(x2 + 1)4 com o uso da Re4

gra da Cadeia. Exemplo 5.2.2. Para determinar

˜ du/dx = cos(5x)dx, seja u = 5x, entao

5 e a integral pode ser reescrita como: 1 5

5cos(5x)dx,

1 que esta´ da forma 5

f (u)du.

Desse modo, obtemos 1 5

1 f (u)du = 5

1 1 cos(u)du = sen(u) = sen(5x). 5 5

147

˜ por partes Integrac¸ao ˜ duas func¸oes ˜ derivaveis, ´ ˜ da derivada do produto de Se f, g sao entao f por g temos: d(f g) dg df =f +g dx dx dx Logo f

dg d(f g) df = −g dx dx dx

Usando que a integral da soma e´ a soma das integrais, obtemos: Z Z Z df d(f g) dg = − g f dx dx dx ´ ˜ por Partes e pode ser que e´ conhecida como a Formula da Integrac¸ao abreviada por: Z

f dg = f g −

gdf.

Exemplo 5.2.3. Para determinar a integral

ln(x)dx, dado x, seja

˜ df (x) = (1/x)dx e dg = dx. Logo, f (x) = ln(x) e g(x) = x, Z entao a integral esta´ na forma f dg. Portanto, Z

ln(x)dx =

f dg = f g −

gdf = xln(x) −

Exemplo 5.2.4. Para determinar a integral

1dx = xln(x) − x.

xex dx, dado x, seja f (x) =

˜ df (x) = 1.dx e dg(x) = ex dx. Logo, a integral esta´ x e g(x) =Z ex , entao f dg. Portanto,

na forma Z

xe dx =

f dg = f g −

gdf = xe −

ex dx = xex − ex .

˜ de funçoes ˜ Integraçao racionais ˜ de funçoes ˜ A seguir, apresentaremos alguns exemplos de integraçao ´ funçoes ˜ do tipo: racionais, isto e, f (x) =

p(x) , q(x) 6= 0 q(x)

˜ polinomios ˆ onde p, q sao com coeficientes reais. Mostraremos como ˜ racional como soma de funçoes ˜ expressar uma funçao mais simples ˜ parciais, mais faceis ´ e, denominadas fraçoes de integrar.

148 12x − 8 dx, devemos encontrar as − 2x − 3 ˜ parciais do integrando, isto e, ´ devemos reescrever frac¸oes

Exemplo 5.2.5. Para calcular

5 7 12x − 8 = + − 2x − 3 x+1 x−3

e substituindo no integrando, Z R 5 R 7 12x − 8 = + x+1 x−3 x2 − 2x − 3 = 5ln|x + 1| + 7ln|x − 3| ˜ precisamos nos preocupar com os E´ importante ressaltar que nao ˆ casos em que o grau do polinomio no numerador e´ maior ou igual que ˆ ˜ o grau do polinomio do denominador, pois pelo algoritmo da divisao, podemos escrever: p(x) = m(x).q(x) + r(x) =⇒

p(x) m(x).q(x) r(x) = + q(x) q(x) q(x)

ˆ onde oZgrau do polin r(x) e Z omio Z´ menor que o grau de q(x). Dessa r(x) p(x) dx = m(x)dx + dx. forma, q(x) q(x) Z 12x3 − 8 dx. Exemplo 5.2.6. Vamos calcular x2 − 2x − 3 12x − 8 5 79 = 12x + 24 + + − 2x − 3 x+1 x−3

Portanto, temos Z R R 5 R 79 12x3 − 8 dx = (12x + 24)dx + x+1 dx + x−3 dx 2 x − 2x − 3 = 6x2 + 24x + 5ln|x + 1| + 79ln|x − 3| No exemplo acima, para encontrarmos reescrevemos

5 7 12x − 8 = + , − 2x − 3 x+1 x−3

12x − 8 A B = + x2 − 2x − 3 x+1 x−3

e igualando numerador e denominador obtemos

Ax − 3A + Bx + B (A + B)x − 3A + B 12x − 8 = = , − 2x − 3 (x + 1)(x − 3) (x + 1)(x − 3)

que resulta em um sistema:   A+B = 12  −3A + B = −8,

149 ˜ e´ dada por A = 5, B = 7. cuja soluçao ˆ Assumindo que o polinomio do numerador tem grau menor que ˆ ´ o do polinomio do denominador, o metodo usado para reescrever ˜ ˜ ´ funçoes racionais como uma soma de fraçoes parciais (Metodo das ˜ parciais), quando conhecemos os fatores de q. fraçoes ´ (x − a)m e´ a 1. Se (x − a) e´ um fator de q de multiplicidade m, isto e, ˆ ˜ devemos associar maior potencia de (x − a) que divide q, entao a esse fator a soma: A1 A2 Am + + ... + 2 (x − a) (x − a) (x − a)m Tal procedimento deve ser feito para cada fator linear de q. ´ 2. Seja x2 + sx + t um fator quadratico de q(x). Suponha que (x2 + ˆ ˜ sx + t)n seja a maior potencia de x2 + sx + t que divide q. Entao, associe a esse fator a soma: B1 x + C1 B2 x + C2 Bn x + Cn + 2 + ... + 2 2 2 (x + sx + t) (x + sx + t) (x + sx + t)n ´ Tal procedimento deve ser feito para cada fator quadratico (irredut´ıvel) de q. p(x) ˜ parciais obtidas nos procedimentos a` soma das fraçoes q(x) ˜ dos acima e resolva o sistema obtido a partir da comparaçao

3. Iguale

coeficientes indeterminados. Exemplo 5.2.7. Calcular Z

x2 + 3 dx. (x − 1)2 (x2 + 1)

Seguindo o procedimento anterior temos: A1 A2 B1 x + C1 x2 + 3 = + + 2 2 2 (x − 1) (x + 1) x − 1 (x − 1) x2 + 1 =

A1 (x − 1)(x2 + 1) + A2 (x2 + 1) + B1 x(x − 1)2 + C1 (x2 + 1) (x − 1)2 (x2 + 1)

(A1 + B1 )x3 + (−A1 + A2 − 2B1 + C1 )x2 + (A1 + B1 − 2C1 ) = (x − 1)2 (x2 + 1)

150 que resulta no sistema:    A1 + B1      −A + A − 2B + C 1 2 1 1   A1 + B1 − 2C1      −A1 + A2 + C1

= 0 = 1 = 0 = 3,

˜ A1 = −1, A2 = 2, B1 = 1 e C1 = 0. Portanto, que tem a soluc¸ao Z Z Z Z x2 + 3 −1 2 x dx = dx + dx + dx 2 2 2 2 (x − 1) (x + 1) x−1 (x − 1) x +1 = −ln|x − 1| −

1 2 + ln(x2 + 1). x−1 2

5.3 Integral definida ˜ muito forte entre areas ´ Existe uma conexao de figuras planas e a ˜ ´ ˜ A delimitada integraçao. De fato, para determinar a area da regiao ´ a area ´ ´ pela curva y = f (x) de a ate´ b, isto e, limitada pelo grafico da ˜ f (onde f (x) ≥ 0), as linhas verticais x = a e x = b, e o eixo x, funçao ˜ da seguinte forma: como na figura abaixo, definimos uma aproximaçao Y

y = f (x )

´ Figura 5.1: Area do plano delimitada por desigualdades iniciamos subdividindo o intervalo [a, b] em n pequenos subintervalos ´ da escolha de pontos x0 , x1 , ..., xn tais que atraves a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b ˜ Desse modo, os n subintervalos sao [x0 , x1 ] , [x1 , x2 ] , [x2 , x3 ] , ..., [xn−1 , xn ]

151 ˜ e´ denominada partiçao ˜ do intervalo [a, b] e denotada Essa subdivisao ˜ ∆xi para a amplitude do i-esimo ´ por P . Usando a notaçao subintervalo [xi−1 , xi ], ∆xi = xi − xi−1 , ˜ P e´ definida pelo comprimento a norma ou comprimento da partiçao ´ do maior subintervalo, isto e, ||P || = max {∆x1 , ∆x2 , ..., ∆xn } . Ao escolhermos um numero ´ x∗i em cada subintervalo [xi−1 , xi ] e consˆ ´ tru´ırmos um retangulo Ai de base ∆xi e altura f (x∗i ), obtemos a area de Ai Ai = f (x∗i ) ∆xi . ´ ˆ A soma das areas desses retangulos e´ denominada Soma de Rie˜ P (denotada S(P, f )) e esse e´ ˜ f relativa a partiçao mann da funçao ˜ da area ´ ˜ A, isto o valor que consideramos para aproximaçao da regiao ´ e, A ≈ S(P, f ) :=

n X i=1

Ai =

n X

f (x∗i ) ∆xi = f (x∗1 ) ∆x1 + ... + f (x∗n ) ∆xn .

i=1

A escolha do ponto x∗i , fornece-nos ainda dois casos particulares dessas somas (denominadas Somas de Darboux): ˜ • S(P, f ) a soma inferior, quando f (x∗i ) e´ o valor m´ınimo da funçao f no subintervalo [xi−1 , xi ]; ´ da • S(P, f ) a soma superior, quando f (x∗i ) e´ o valor maximo ˜ f no subintervalo [xi−1 , xi ]. funçao ˜ trivial, isto e, ´ Podemos observar na Figura 5.3 que, se P e´ a partiçao ˜ vale a desigualdade P0 = {a, b}, entao S(P0 , f ) ≤ A ≤ S(P0 , f ), ˜ do ponto medio ´ refinando P , com a inserçao de [a, b], vide Figura 4.4, a+b ´ P1 = {a, , b}, obtemos a seguinte desigualdade isto e, 2 S(P0 , f ) ≤ S(P1 , f ) ≤ A ≤ S(P1 , f ) ≤ S(P0 , f ),

152 Y Y

f (x) f (x)

S ( P0 , f )

Figura 5.2: Somas com P = {a, b} Y

f (x)

S(P0 , f ) S ( P0 , f )

a +

a + b 2

Figura 5.3: Somas com P = {a, a+b , b} 2 ´ ˆ refinando sucessivamente P , de modo analogo, obtemos uma sequ¨ encia ˆ de somas inferiores e uma sequencia de somas superiores, que satisfazem as seguintes desigualdades S(P0 , f ) ≤ S(P1 , f ) ≤ ... ≤ S(Pn , f ) ≤ ... ≤ A A ≤ ... ≤ S(Pn , f ) ≤ .... ≤ S(P1 , f ) ≤ S(P0 , f ), Assumindo a continuidade de f , os limites com kP k → 0 (ou n → +∞) ˆ das sequencias {S(Pn , f )} e {S(Pn , f )} constru´ıdas acima, existem ˜ iguais a A. Alem ´ disso, esse limite e´ denominado a integral e sao ˜ x = a e x = b, ou seja, definida de f entre os limites de integrac¸ao lim S(P, f ) = A =:

kP k→0

f (x)dx.

˜ 5.3.1. Observac¸ao ˜ cont´ınua em [a, b], • Pelo Teorema de Weierstrass [6], toda func¸ao ´ assume um valor m´ınimo e um valor maximo.

153 ˜ f existe, • Quando o limite das somas de Riemann de uma func¸ao ´ ˜ cont´ınuas dizemos que f e´ integravel. Desse modo, as func¸oes ˜ integraveis. ´ sao ´ disso, vale o seguinte resultado. Alem ´ ˜ Teorema 5.3.1. Sejam f, g : [a, b] → R integraveis. Entao: ´ 1. A soma f + g e´ integravel e Z b Z b Z b g(x)dx; f (x)dx + [f (x) + g(x)]dx = a

´ 2. O produto f.g e´ integravel. Se c ∈ R,

Rb a

c.f (x)dx = c

˜ 3. Se f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b] entao ´ 4. |f (x)| e´ integravel e|

Rb a

f (x)dx| ≤

Rb a

f (x)dx ≤

f (x)dx;

Rb a

g(x)dx;

|f (x)|dx.

A seguir, apresentamos a ferramenta mais utilizada para resolver integrais definidas. ´ Teorema 5.3.2. (Teorema Fundamental do Calculo) Se f e´ uma ˜ ˜ func¸ao cont´ınua de [a, b] em R, entao existe uma primitiva F : [a, b] → R, tal que: Z

b a

f (x)dx = F (b) − F (a).

ˆ Do resultado acima, obtemos como consequencia direta o seguinte. ´ ˜ delimitada pelo grafico ´ ´ Corolario 5.3.1. Seja A a area da regiao de ˜ cont´ınua nao-negativa ˜ uma funçao f : [a, b] → R, as retas verticais ˜ x = a e x = b e o eixo das abcissas. Entao, A = F (b) − F (a), onde F e´ uma primitiva de f . ´ ˜ delimitada pelas retas Exemplo 5.3.1. Para calcular a area da regiao ˜ constante f (x) = 4 e y = 4, x = 3 e o eixo x, consideremos a funçao ˜ x = 0 e x = 3, portanto os limites de integraçao Z 3 4dx = 4x|30 = 4 × 3 = 12. 0

154 ´ verificar que a regiao ˜ A coincide com um retangulo ˆ E´ facil de base 3 e altura 4. ´ ´ ´ Em alguns problemas praticos, e´ necessario calcular a area entre ˜ duas func¸oes ˜ ˜ duas curvas. Suponha que f e g sao nao-negativas satisfazendo f (x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b], como mostra a Figura ´ ˜ A, e´ suficiente subtrair a area ´ 4.5. Para determinar a area da regiao

´ ˜ do plano entre duas curvas Figura 5.4: Area do regiao ´ ´ sob a curva inferior da area sob a curva superior, isto e, Z b Z b Z b ´ [f (x) − g(x)]dx. g(x)dx = f (x)dx − Area de A = a

˜ de nao-negatividade ˜ Na verdade, e´ poss´ıvel mostrar que a condiçao ˜ ´ das funçoes f e g pode ser retirada e a formula acima ainda per´ manece valida. ´ ˜ limitada pelas curvas Exemplo 5.3.2. Para calcular a area da regiao f (x) = x2 + 1, g(x) = 2x − 2 entre x = 0 e x = 2, e´ suficiente avaliar a integral Z 2 Z 2 14 x3 2 [x2 − 2x + 3]dx = [ − x2 + 3x]|20 = . [(x + 1) − (2x − 2)]dx = 3 3 −1 0 ´ Exemplo 5.3.3. Agora vamos usar o Teorema Fundamental do Calculo para resolver o Problema 5.0.1 que foi colocado no in´ıcio da unidade ˜ para o nosso estudo. No problema, queremos decomo motivaçao terminar o deslocamento de uma part´ıcula entre dois instantes, co˜ velocidade v da part´ıcula, isto e, ´ conhecendo a nhecendo a funçao ˜ da posiçao ˜ s. Nesse caso, s e´ a primitiva da funçao ˜ taxa de variaçao ˜ de s entre dois instantes v do problema, e para determinar a variaçao

155 ˜ v, e´ suficiente obter s por a e b, conhecendo sua taxa de variaçao ˜ e em seguida calcular a diferença entre s(b) e s(a), isto diferenciaçao ´ e, ˜ de s entre t = a e t = b vale s(b) − s(a). variaçao Logo, R t2 t1

v(t)dt =

R8 5

2e2t sen (3t) + 3e2t cos (3t)dt

= e2t sen(3t)|85 = e16 sen(24) − e10 sen(15) = −8, 0614 × 106 .

´ ´ Exemplo 5.3.4. Para determinar o valor da area A limitada pela parabola f (x) = x2 , pelas retas x = 1 e x = 3 e pelo eixo das abscissas, devemos considerar que: A=

3 1 26 x3

33 13 − =9− = . x dx = = 3 1 3 3 3 3 2

´ Logo, a area solicitada e´ igual a: A =

26 . 3

´ Exemplo 5.3.5. Para calcular a area A da figura limitada pela curva x = 2 − y − y 2 e pelo eixo das ordenadas, devemos considerar que os ˜ invertidos e devido a isso a area ´ eixos coordenados estao procurada ˜ integral: e´ dada pela expressao 1 y 2 y 3

9 (2 − y − y )dy = 2y − A= − =

2 3 2 −2 −2 Z

´ Exemplo 5.3.6. Calcular a area da figura plana compreendida entre as curvas y = x e y = x2 . ˜ dessas duas curvas ocorInicialmente observemos que as intersecc¸oes rem nos pontos de abscissas x = 0 e x = 1. Ademais, no segmento 0 ≤ x ≤ 1 temos que 0 ≤ x2 ≤ x. Portanto segue-se que: A=

1 2

(x − x )dx =

x2 x3 − 2 3

= 1 − 1 = 1.

2 3 6 0

´ Exemplo 5.3.7. Calcular a area da figura plana compreendida entre √ as curvas y = x2 e y = x.

156 ˜ entre esDa mesma forma que no exemplo anterior, as intersecc¸oes ´ sas duas curvas ocorrem nos pontos de abscissas x = 0 e x = 1. Alem √ disso, nesse segmento, temos que 0 ≤ x2 ≤ x. Assim sendo, temos: Z 1 Z 1 √ 1 2 ( x − x )dx = A= (x 2 − x2 )dx, 0

logo, A=

2 3 x3 x2 − 3 3

= 2 − 1 = 1.

3 3 3 0

Vejamos um problema que nos motiva a apresentar uma importante propriedade das integrais. ´ meia-noite, a tempeProblema 5.3.1. Estima-se que t horas apos ratura em Timon/MA seja de f (t) = −0, 3t2 + 4t+ 10 graus cent´ıgrados. ´ Qual era a temperatura media no local entre 9 horas da manha˜ e meiodia? ˜ cont´ınua em [a, b]. Entao, ˜ existe ˜ 5.3.3. Seja f uma func¸ao Proposic¸ao c ∈ [a, b] tal que

1 f (c) = b−a

f (x)dx

´ ˜ O resultado acima estabelece, em particular, que a area da regiao limitada pela curva y = f (x) sobre o intervalo [a, b] limitada pelo eixo ´ ˆ das abcissas e´ igual a area de um retangulo de base igual ao intervalo [a, b] e altura igual a f (c) para algum c ∈ (a, b). Neste caso, o valor ´ ˜ f (c) e´ denominado media da func¸ao. Desse modo, para resolver o Problema 5.3.1, e´ suficiente calcular Z b Z 12 1 1 f (t)dt = (−0, 3t2 + 4t + 10)dt = 18, 7, b−a a 12 − 9 9 ´ a temperatura media ´ isto e, e´ de 18, 7◦ C.

157

´ Figura 5.5: Propriedade do Valor Medio para Integrais

5.4 Saiba mais O leitor podera´ acessar, os s´ıtios: • http: // pt. wikipedia. org/ wiki/ Gaston_ Darboux • http: // pt. wikipedia. org/ wiki/ Riemann ˜ para saber mais sobre as realizac¸oes de Gaston Darboux, Bernhard ˜ de Integral. Riemann e sobre a definic¸ao

158

5.5 Exerc´ıcios ˜ 1. Determinar as primitivas das func¸oes indicadas em cada item abaixo:

(a)

(x3 − 4x2 + x − 1)dx

(b)

dx 2x − 1

(c)

2x + 3 dx 2x + 1

˜ f : R → R definida pela lei 2. Determinar a primitiva da func¸ao f (x) = sen(2x) que passa pelo ponto ( π4 ; 2).

˜ por Substituic¸ao ˜ 3. Determinar as seguintes integrais usando Integrac¸ao Z x3 dx (a) x4 + 2 Z (b) sen(3x)dx Z √ (c) 7x + 1dx Z (d) ex sen(ex )dx Z 2 x +1 √ (e) dx 3 x+3 Z (f) sec(x)dx

˜ por partes 4. Determinar as seguintes integrais usando Integrac¸ao Z (a) xex dx

159 (b)

x3 e2x dx

(c)

√

(d)

xarctg(x)dx

(e)

xex (1 + x)2

(f)

(x − 1)e−x dx

xln(x)dx

e1/x dx (x)2 Z √ (h) x3 1 − x2 dx (g)

˜ por frac¸oes ˜ 5. Determinar as seguintes integrais usando Integrac¸ao parciais Z 5x + 7 (a) dx 2 x − 2x − 3 Z 6x + 7 dx (b) (x + 2)2 Z 2x3 − 4x2 − x − 3 (c) dx x2 − 2x − 3 Z x2 + 4x + 1 (d) dx (x − 1)(x + 1)(x + 3) Z 2x − 3 (e) dx 2 x + x − 20 Z 3 dx (f) 2 x(x + 1)2 ´ 6. Calcular a area da figura compreendida entre as curvas y = x+1 e y = x2 .

´ 7. Calcular a area da figura compreendida entre as curvas y = x2 − 1 e y = x2 − x4 .

´ 8. Calcular a area da figura plana limitada pela curva y = ln(x − 1), pelas retas x = 2 e x = 9 e pelo eixo das abscissas.

160

´ ´ 9. Determinar a area da figura limitada pela parabola y = 2x − x2 e pela reta y = −x.

´ ´ 10. Calcular a area sob a parabola: y(x) = 3x2 − 30x + 90, entre os valores de x = 0 e x = 10.

´ ´ 11. Calcular a area do segmento da parabola y = x2 , que corta a reta y = 3 − 2x.

´ ´ 12. Calcular a area da figura compreendida entre as parabolas y= x2 3

e y = 4 − 32 x2 .

´ 13. Calcular a area da figura compreendida entre as curvas y = senx e y = x, no intervalo 0 ≤ x ≤ π2 .

´ 14. Calcular a area da figura compreendida entre as curvas y = senx e y = cos x, no intervalo 0 ≤ x ≤ π2 .

´ ˜ nos intervalos indicados: 15. Calcular o valor medio das func¸oes (a) f (x) = x3 − 102 + x − 2, x ∈ [0, 1]

161 (b) f (x) = cos(x), x ∈ [0, π] (c) f (x) = sen(x), x ∈ [0, π/2] (d) f (x) = xex , x ∈ [1, 2] (e) f (x) = x3 e2x , x ∈ [2, 3] (f) f (x) =

√

xln(x), x ∈ [2, 5]

(g) f (x) = (x − 1)e−x , x ∈ [0, 1] (h) f (x) =

e1/x , x ∈ [2, 3]. (x)2

ˆ 16. Considere o sistema massa-mola que modela o movimento harmonico ˜ de uma força que e´ valida ´ simples de uma part´ıcula sob a açao apenas para pequenos deslocamentos da part´ıcula a partir de ˜ de equil´ıbrio estavel, ´ ´ para a qual a força sosua posiçao isto e, bre ela e´ nula F = 0. Nesse caso, a força e´ definida, aproximadamente pela lei de Hooke: F (x) = −kx, onde k e´ chamada ´ de constante elastica da mola e x e´ o deslocamento da part´ıcula ˜ de equil´ıbrio estavel. ´ a partir de sua posiçao Sabendo-se que a ´ energia potencial elastica e´ definida por Z x F (x)dx, U(x) = − 0

˜ para a energia Calcule essa integral e mostre que a expressao 1 ´ potencial elastica e´ dada por U(x) = kx2 . Nesse caso, a ener2 ´ gia potencial e´ parabolica.

162 ´ 17. Considere o movimento unidimensional de um automovel em ˜ e´ a constante a - esse e´ o bem conhecido que a aceleraçao movimento retil´ıneo uniformemente variado - MRUV. Obtenha: ˜ da velocidade da part´ıcula em funçao ˜ do tempo. (a) a expressao Suponha que em t = 0, a velocidade da part´ıcula seja igual ˜ de uma part´ıcula e´ definida pela relaçao: ˜ a v0 . A aceleraçao dv ˜ e v sua velocidade. a = , onde a e´ a aceleraçao dt ˜ da posiçao ˜ da part´ıcula em funçao ˜ do tempo. (b) a expressao ˜ da part´ıcula seja igual a Suponha que em t = 0, a posiçao ˜ x0 . A velocidade de uma part´ıcula e´ definida pela relaçao: dx ˜ , onde v e´ a velocidade da part´ıcula e x sua posiçao. v= dt

18. Uma part´ıcula em movimento unidimensional, de massa m, em repouso (v = 0) na origem (x = 0) no instante t = 0, esta´ submetida a` força F (t) = F0 sen(ωt). Encontrar: ˜ da velocidade da part´ıcula em funçao ˜ do tempo, (a) A expressao ´ obter v(t). isto e, ˜ da posiçao ˜ da part´ıcula em funçao ˜ do tempo, (b) A expressao ´ obter x(t). isto e, ´ ˜ da part´ıcula. (c) Esboçar os graficos da velocidade e da posiçao

19. No trajeto Teresina-Parna´ıba, seja v(t) Km/h a velocidade de ´ t horas de percurso. um carro apos ´ (a) Escreva a integral definida que determina a velocidade media do carro durante as 2 primeiras horas. ˆ (b) Escreva a integral definida que determina a distancia total percorrida pelo carro durante as 2 primeiras horas.

163 ˜ entre os dois ´ıtens anteriores? (c) Qual a relac¸ao

˜ para a taxa (cm3 /s) segundo a qual um 20. Encontre uma expressao l´ıquido percorre um cano cil´ındrico de raio R, sendo a velocidade do l´ıquido a r cm do eixo central do cano igual a v(r) cm/s.

21. A figura abaixo representa, aproximadamente, a velocidade de ´ ˜ um automovel, deslocando-se ao longo de uma avenida em func¸ao do tempo.

s (t )

t 20

100

-20

a) Como voceˆ interpreta a mudanc¸a de sinal de velocidade em t=50s? ´ ˆ b) Em t = 70s, o automovel encontra-se a que distancia do ponto em que estava em t=20s? ´ c) Em que instante o automovel esta´ de volta ao mesmo ponto por que passou em t = 20s?

164 ˜ do automovel ´ d) Sabendo que em t = 0s a posic¸ao era x = 300m, ˜ do automovel ´ qual a posic¸ao em t = 100s?

ˆ ´ Referencias Bibliograficas ´ [1] BRADLEY, G.L. e HOFFMAN, L. D. Calculo: Um Curso Moderno ˜ ´ e suas Aplicaçoes, Ed. Ed. Livros Tecnicos e Cient´ıficos, 9a. ˜ 2008. ediçao, ´ [2] COURANT, R. Calculo Diferencial e Integral, vol. 1., Ed. Globo, 1965. ´ ˜ Ed. Livros Tecnicos ´ [3] FIGUEIREDO, D. G. Analise I, 2a. ediçao, e Cient´ıficos, 1996. ´ [4] GUIDORIZZI, H.L. Um curso de Calculo, vols. 1, 2, 3, 4. Ed. ´ Livros Tecnicos e Cient´ıficos, 2001. ´ ´ [5] LANG, S. Calculo, vol. 1, Ed. Livros Tecnicos e Cient´ıficos, 1977. ´ ˜ Instituto de [6] LIMA, E. L. Curso de Analise, vol. 1, 8a. Ediçao, ´ Matematica Pura e Aplicada, CNPq, Rio de Janeiro, 2004. ˜ ´ [7] MUNOZ RIVERA, J. E. Calculo Diferencial & Integral, vol. 1, Tex˜ Petropolis, ´ tos de Graduaçao, RJ, 2006. ´ ˜ Paulo. [8] WEIR, M. D. Calculo (George B. Thomas Jr.), vol.I. Sao Addison Wesley, 2009. [9] http: // www. isa. utl. pt/ dm/ mat2_ bio/ licao1v2. pdf . ` 09h30min. Acesso em 26/06/2008 as [10] http: // pessoal. sercomtel. com. br/ matematica/ superior/ . ` 09h40min. Acesso em 26/06/2008 as

165