Electrical Circuits Design & Analysis

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΟΣ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ – ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ

ΟΜΑΔΑ 9 Τόλια Αγγελίνα(6010) Δρακάκη Μαρία (5721) Τενεκετζόγλου Ανδρέας (5250)

Σελίδα 1 από 10

Εργαστηριακή άσκηση 4

Τόλια Αγγελίνα(6010), Δρακάκη Μαρία (5721), Τενεκετζόγλου Ανδρέας (5250)

Περίληψη Σε αυτή την άσκηση μελετάμε την απόκριση συχνότητας σε κυκλώματα δεύτερης τάξης, δηλαδή σε κυκλώματα που περιέχουν δύο στοιχεία που αποθηκεύουν ενέργεια (πυκνωτές, πηνία). Για διαφορετικές συχνότητες του σήματος εισόδου έχουμε και διαφορετική συμπεριφορά του κυκλώματος, καθώς, όπως θα δούμε και παρακάτω, μπορεί να παρουσιάζει ωμική, χωρητική ή επαγωγική συμπεριφορά. Επίσης, εισάγουμε την έννοια του συντονισμού και τη χρήση του σε κάποιες μετρήσεις όπως είναι αυτή της μέτρησης μιας άγνωστης επαγωγής. Για την άσκηση χρησιμοποιήσαμε ένα κύκλωμα RLC.

Θεωρητική Ανάλυση Το κύκλωμα RLC το οποίο μελετάμε αποτελείται από τα στοιχεία αυτά σε σειρά και έχει την παρακάτω μορφή:

Στο πεδίο της συχνότητας, για τη σύνθετη αντίσταση έχουμε: Ζ(jω) = R(ω) + jX(ω) = R + j (Lω – 1/Cω) Παρατηρώντας την εξίσωση, εύκολα συμπεραίνουμε ότι η αντίδραση Χ είναι συνάρτηση της συχνότητας, αφού παντού περιέχεται ο όρος ω. Στις χαμηλές συχνότητες, η αντίδραση της χωρητικότητας είναι μεγαλύτερη από την αντίδραση της αυτεπαγωγής, αφού ο όρος 1/Cω γίνεται όλο και μεγαλύτερος σε αντίθεση με τον όρο Lω που μικραίνει, οπότε το κύκλωμα έχει χωρητικό χαρακτήρα. Αντίστοιχα, στις υψηλές συχνότητες, το κύκλωμα έχει επαγωγικό χαρακτήρα. Σε μια συγκεκριμένη συχνότητα ω0 η αντίδραση μηδενίζεται και λέμε τότε ότι το κύκλωμα βρίσκεται σε συντονισμό. Η συχνότητα ω0 λέγεται συχνότητα συντονισμού. Στο συντονισμό το μέτρο της σύνθετης αντίστασης του κυκλώματος γίνεται ελάχιστο, αφού λείπει τελείως ο όρος jX(ω), και ο χαρακτήρας της είναι ωμικός. Από τον ορισμό του συντονισμού, όπου δηλαδή η αντίδραση μηδενίζεται, έχουμε:

Σελίδα 2 από 10

Εργαστηριακή άσκηση 4

Τόλια Αγγελίνα(6010), Δρακάκη Μαρία (5721), Τενεκετζόγλου Ανδρέας (5250)

X ( 0 )  0  L 0 

1  0  C 0

1 LC

Η φάση ανάμεσα στην τάση και στο ρεύμα είναι:

   1

L 

1 C

R

Στις χαμηλές συχνότητες, όπου η αντίδραση γίνεται χωρητική, η φάση τείνει στις -90ο ενώ στις υψηλές συχνότητες, που η αντίδραση γίνεται επαγωγική, η φάση τείνει στις 90ο. Τέλος, στην κατάσταση συντονισμού, έχουμε φ=0, επομένως η τάση βρίσκεται σε φάση με το ρεύμα. Στο συντονισμό σειράς εμφανίζεται ένα ενδιαφέρον φαινόμενο, που λέγεται φαινόμενο της υπέρτασης. Εφόσον στο συντονισμό το μέτρο της σύνθετης αντίστασης γίνεται ελάχιστο, συμπεραίνουμε ότι το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα γίνεται μέγιστο (Imax), πάντα υπό την ίδια διέγερση της πηγής τάσης V. Υπολογίζοντας τις πτώσεις τάσης πάνω στην αντίσταση, τον πυκνωτή και το πηνίο έχουμε: VR  R I max  V VC 

1 1 1 L I max   j V j V jC  RC  R C

VL  jL  I max  j

L  1 L V j V R R C

Στις παραπάνω εξισώσεις παρατηρούμε το εξής φαινόμενο. Ενώ όλη η τάση της πηγής «πέφτει» πάνω στην αντίσταση R, εμφανίζονται παράλληλα και πτώσεις τάσης πάνω στον πυκνωτή και το πηνίο, κάτι λογικό βέβαια αφού διαρρέονται από ρεύμα. Αν και αυτό με μια πρώτη εκτίμηση δείχνει άτοπο, εξηγείται εύκολα αν λάβουμε υπόψη ότι στο πεδίο της συχνότητας οι τάσεις και τα ρεύματα είναι διανυσματικά και όχι αριθμητικά μεγέθη. Εξάλλου, από τις παραπάνω εξισώσεις φαίνεται ότι οι τάσεις στη χωρητικότητα και την αυτεπαγωγή έχουν το ίδιο μέτρο αλλά διαφέρουν στη φάση κατά 180ο, οπότε το διανυσματικό τους άθροισμα, η επαλληλία τους, θα δίνει αποτέλεσμα μηδέν. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται υπέρταση.

Σελίδα 3 από 10

Εργαστηριακή άσκηση 4

Τόλια Αγγελίνα(6010), Δρακάκη Μαρία (5721), Τενεκετζόγλου Ανδρέας (5250)

Θέλοντας να περιγράψουμε και αριθμητικά το μέγεθος της υπέρτασης, χρησιμοποιούμε τον όρο συντελεστής υπέρτασης Q ή συντελεστής ποιότητας Q που δίνεται από τη σχέση

Q

1 L R C

Από τα παραπάνω γίνεται φανερό ότι, χρησιμοποιώντας το κύκλωμα συντονισμού σειράς, μπορούμε να ενισχύσουμε το πλάτος μιας τάσης. Όμως, το φαινόμενο της υπέρτασης κρύβει κινδύνους για το κύκλωμα αλλά και για τα άτομα που ασχολούνται με αυτό. Οι πυκνωτές και τα πηνία που προορίζονται να χρησιμοποιηθούν σε κυκλώματα όπου θα εμφανίζεται συντονισμός, πρέπει να διαλέγονται κατάλληλα ώστε να ανταπεξέρχονται στις εκάστοτε συνθήκες. Λόγω της υπέρτασης, μπορεί να εμφανιστούν στη χωρητικότητα και την αυτεπαγωγή τάσεις πολύ μεγαλύτερες από την τάση της πηγής οπότε είναι ευνόητο ότι τα στοιχεία θα πρέπει να αντέχουν σε αυτές τις υψηλές τάσεις. Όσον αφορά θέματα ασφαλείας, η υπέρταση είναι επικίνδυνη για τον άνθρωπο καθώς όπως αναφέραμε μπορεί να τον εκθέσει σε τάσεις πολύ μεγαλύτερες της πηγής και να υπάρξουν δυσάρεστα αποτελέσματα. Το μέγεθος της υπέρτασης εξαρτάται από τις απώλειες του κυκλώματος και την ενέργεια που είναι αποθηκευμένη σ’ αυτό. Αναλύοντας το κύκλωμα που μελετάμε έχουμε:

| Z ( ) | R 2  ( L  Z ( ) 

VC  I

1 2 ) C

V I

1 , VL  j LI , VR  IR jC

Οπότε προκύπτει: I V 1 VC   , 2 C C 1   R 2   L   C  

Σελίδα 4 από 10

VL  I  L 

V 1   R 2   L   C  

2

L

Εργαστηριακή άσκηση 4

Τόλια Αγγελίνα(6010), Δρακάκη Μαρία (5721), Τενεκετζόγλου Ανδρέας (5250)

και VR 

V 1   R 2   L   C  

2

R

η αντίστοιχα:  1   Z  R  j  2fL  2fC   V  Z I  I 

V  Z

VR  IR  R

V

2fL 

2

 1   R 2   2fL  2fC  

V

  arctan

2

  arctan

2

VC  IZ C 

1 2fC

V

R

1 2fC

2fL 

2

 1   R   2fL  2fC  

2

R

1 2fC

2fL 

2

 1   R 2   2fL  2fC  

2

  arctan

1 2fC

R



 2



 2

και VL  IZ L  2fL

V

2fL 

2

 1   R 2   2fL  2fC  

2

  arctan

R

1 2fC

Πειραματικό Μέρος Έχοντας στη διάθεσή μας τα στοιχεία R=10kΩ, C=0.01μF και L=7,2 H και έχοντας ρυθμίσει το πλάτος της γεννήτρας στα 8Vp-p, συναρμολογούμε το κύκλωμα:

Σελίδα 5 από 10

Εργαστηριακή άσκηση 4

Τόλια Αγγελίνα(6010), Δρακάκη Μαρία (5721), Τενεκετζόγλου Ανδρέας (5250)

Στη συνέχεια, κρατώντας σταθερό πλάτος, μεταβάλλουμε τη συχνότητα από τα 100Hz ως τα 5KHz και με τη βοήθεια του παλμογράφου μετράμε τις τάσεις και τις φάσεις πάνω στα στοιχεία. Τις φάσεις τις μετράμε με τη μέθοδο της χρονικής μετατόπισης. Εδώ, θα πρέπει να αναφέρουμε πως για να διεξαχθούν σωστά οι μετρήσεις, θα πρέπει να λάβουμε υπόψη τον παράγοντα της κοινής γείωσης μεταξύ παλμογράφου και γεννήτριας, ο οποίος μελετήθηκε και στην πρώτη εργαστηριακή άσκηση. Για να γίνει λοιπόν απευθείας η μέτρηση θα πρέπει το προς μέτρηση στοιχείο να βρίσκεται πάντα στο τέλος. Σχηματικά, το κύκλωμα κάθε φορά θα έχει ως εξής:

Μέτρηση της VL

Μέτρηση της VC

Μέτρηση της VR

Για τη μέτρηση της συχνότητας συντονισμού του κυκλώματος, αρκεί να προβάλλουμε στον παλμογράφο ταυτόχρονα τα σήματα εισόδου και εξόδου και να μεταβάλλουμε την συχνότητα της γεννήτριας μέχρι η μετατόπιση τ να γίνει μηδέν, δηλαδή να μην υπάρχει διαφορά φάσης. Θεωρητικά, για τα στοιχεία που διαθέτουμε, η συχνότητα συντονισμού υπολογίζεται στα f=593Hz, ενώ πειραματικά τη βρήκαμε περίπου στα 610Hz. Αυτή η διαφορά οφείλεται στην αδυναμία να διακριθούν επακριβώς οι μικρές διαφορές μεταξύ των σημάτων εισόδου και εξόδου στις απεικονίσεις του παλμογράφου Τα αριθμητικά αποτελέσματα της θεωρητικής ανάλυσης και των πειραματικών μετρήσεων συγκεντρώνονται παρακάτω σε σχετικούς πίνακες. f(Hz) 100 500 610 1500 2500 3500 4000 5000

VR(V) Π 0.44 4.3 4.6 1.3 0.7 0.44 0.42 0.2

Θ 0.52 5.8 7.91 1.38 0.75 0.52 0.45 0.36

VC<φ Π 8.50<-2.760 20.00<-7.50 21<-900 1.75<-1680 0.50<-173.70 0.23<-175.60 0.18<-179.70 0.13<-179.840

Θ 8.21<-3.70 18.71<-47.270 20.65<-98.40 1.46<-170.10 0.48<-174.70 0.24<-176.280 0.18<-176.80 0.11<-177.40

Σελίδα 6 από 10

Π 0.2<176.40 10<172.50 13.2<900 8.2<11,030 8.0<6.30 8.2<4.40 8<10 8<10

VL<φ Θ 0.23<176.30 16.2<132.73 0 21.81<81.6 0 9.36<9.90 8.44<5.40 8.213 <3.720 8.16<3.20 8.10<2.60

Εργαστηριακή άσκηση 4

Τόλια Αγγελίνα(6010), Δρακάκη Μαρία (5721), Τενεκετζόγλου Ανδρέας (5250)

Για τη διαφορά φάσης ανάμεσα στα σήματα εισόδου και εξόδου έχουμε: f 100 500 610 1500 2500 3500 4000 5000

Θ(deg) 86.30 42.74 8.4 -80.09 -84.65 -86.27 -86.77 -87.43

Π(deg) 87.24 42.5 0 -78 -83.7 -85.6 -89.7 -89.84

Ενώ για τη συχνότητα συντονισμού και τον συντελεστή υπέρτασης είναι: f0(Hz) Π 610

Q Θ 589

Π 2.9

Θ 2.68

Ακολουθούν σχηματικά διαγράμματα. Με μπλε σχεδιάζεται η θεωρητική ανάλυση ενώ με πράσινο η πειραματική.

Σελίδα 7 από 10

Εργαστηριακή άσκηση 4

Τόλια Αγγελίνα(6010), Δρακάκη Μαρία (5721), Τενεκετζόγλου Ανδρέας (5250)

Σελίδα 8 από 10

Εργαστηριακή άσκηση 4

Τόλια Αγγελίνα(6010), Δρακάκη Μαρία (5721), Τενεκετζόγλου Ανδρέας (5250)

Με εφαρμογή των όσων αναφέρθηκαν στο θεωρητικό μέρος, μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή μιας άγνωστης αυτεπαγωγής η πυκνωτή ως εξής. Συναρμολογούμε ένα κύκλωμα RLC σε σειρά, μετράμε πειραματικά τη συχνότητα συντονισμού, και έπειτα από την εξίσωση που συνδέει τη συχνότητα με τις τιμές των στοιχείων, υπολογίζουμε την άγνωστη ποσότητα. Το κύκλωμα έχει ως εξής:

Σε αυτή την περίπτωση έχουμε μια άγνωστη αυτεπαγωγή προς μέτρηση και στοιχεία R=5kΩ, C=0,001μF. Πειραματικά υπολογίσαμε το f0 = 1650Hz. Παίρνουμε τη σχέση

L

1

που συσχετίζει τη συχνότητα με τις 2 C  2f 0  τιμές των στοιχείων, και υπολογίζουμε την άγνωστη αυτεπαγωγή. Εδώ, έχουμε L=9,31Η.

Σελίδα 9 από 10

Εργαστηριακή άσκηση 4

Τόλια Αγγελίνα(6010), Δρακάκη Μαρία (5721), Τενεκετζόγλου Ανδρέας (5250)

Σχόλια - Συμπεράσματα Στον πίνακα αποτελεσμάτων παρατηρούμε ότι όσο πλησιάζουμε στον συντονισμό, δηλαδή στην περιοχή των 610Hz που υπολογίσαμε πειραματικά, τόσο η τάση στην αντίσταση τείνει να γίνει ίση με την τάση της πηγής. Αυτό είναι εξάλλου αναμενόμενο και από τη θεωρητική ανάλυση διότι, όπως αναφέραμε, οι τάσεις στον πυκνωτή και το πηνίο είναι διανυσματικά αντίθετες και «αλληλοεξουδετερώνονται». Όπως είναι επίσης αναμενόμενο, στη περιοχή που εμφανίζεται συντονισμός, οι τάσεις VL και VC παίρνουν τιμές πολύ μεγαλύτερες από την τάση εισόδου Vin, κάτι που οφείλεται στο φαινόμενο της υπέρτασης. Τέλος, οι διαφορές οι οποίες παρατηρήθηκαν μεταξύ πειραματικών μετρήσεων και θεωρητικών υπολογισμών οφείλονται στις ατέλειες των οργάνων μετρήσεως αλλά και στη μη ιδανική συμπεριφορά των στοιχείων, αφού το πηνίο εμφανίζει παρασιτικές χωρητικότητες και ο πυκνωτής ωμικές απώλειες.

Όργανα που χρησιμοποιήθηκαν Παλμογράφος: HAMEG 30MHz OSCILLOSCOPE HM303-4 Γεννήτρια: NF Ε-1201A OSCILLATOR [SYNCLATOR E] NF ELECTRONIC INSTRUMENTS Κιβώτιο Αντιστάσεων: RESISTANCE BOX TYPE RMEA 1 PER CENT 0,4W PER RESISTOR - 250V MAX Κιβώτιο Πυκνωτών

Σελίδα 10 από 10