AUTORES: ASTRID DANIELA JIMENEZ CONTRERAS
KAREN STEFANNY CABALLERO GONZALEZ DIANA KATHERINE ESTUPIÑAN PATIÑO SILVANA CAMILA JAIMES GAFARO JUAN GUILLERMO ROJAS OLEJUA JUAN DIEGO PINEDA CIFUENTES WILLIAM ANDRES ORTEGA PEÑARANDA NINI JHOJANA ALVAREZ BACCA JENNIFFER ALEJANDRA GUERRERO BUENO YESSICA JULIETH GELVES DÍAZ MARÍA FERNANDA VALBUENA GRANADOS DANNA LIZBETH CONTRERAS MEZA ZAYDA LUCY GELVEZ DUARTE LEIDDY CAROLINA MONTOYA REMOLINA DIANA CAROLINA CALDERON OYOLA PEDRO GONZALEZ RODRIGUEZ LUIS ANTONIO MARQUÉS CUEVAS ALIX CAMILA FERNANDA ARÉVALO CASTRO PAULA ANDREA MERIÑO PEÑALOZA HECTOR ELIAS MENDOZA CARDENAS
ANTONIO VICENTE GRANADOS GUERRERO DOCENTE
INGENIERÍA ECONOMICA
UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE INGENIERÍAS INGENIERÍA INDUSTRIAL SAN JOSÉ DE CÚCUTA 2018
____________________ 95 EJERCICIOS RESUELTOS DE GRADIENTES ____________________ ELABORADO POR: ESTUDIANTES DE QUINTO SEMESTRE DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ____________________ 2018
PRÓLOGO
En el momento actual de una economía globalizada, los conceptos teóricos de la Ingeniería Económica o las Matemáticas Financieras son fundamentales para apoyar la toma de decisiones acertadas sobre el manejo optimo del dinero. Los estudiantes universitarios de esta materia, que quieren llegar a tener un dominio aceptable de la misma, consideran que es imprescindible complementar los conceptos teóricos, mediante la resolución de problemas Es por esto que el documento que se presenta a continuación, el cual forma parte de un conjunto de cuatro módulos elaborados por un grupo alumnos de la materia de Ingeniería Económica del Plan de Estudios de Ingeniería Industrial de la Universidad Francisco de Paula Santander, pretende ser una
herramienta útil para apoyar el trabajo académico de los alumnos de las facultades de Ingenierías, Administración, Economía, Contaduría Pública y carreras afines en el estudio y aprendizaje de la Ingeniería Económica o las Matemáticas financieras, con una colección variada de ejercicios resueltos de Intereses Simples, Intereses compuestos, Anualidades y Gradientes, que logren estimularlos en la reflexión, la búsqueda y la investigación.
Ingeniero Antonio Vicente Granados Guerrero
Docente Cátedra Universidad Francisco de Paula Santander
En matemáticas financieras gradientes son anualidades o serie de pagos periódicos, en los cuales cada pago es igual al anterior más una cantidad; esta cantidad puede ser constante o proporcional al pago inmediatamente anterior. El monto en que varía cada pago determina la clase de gradiente: Si la cantidad es constante el gradiente es aritmético, pero si la cantidad en que varía el pago es proporcional al pago inmediatamente anterior el gradiente es geométrico.
LAS FORMULAS QUE SE UTILIZARON EN EL SIGUIENTE SOLUCIONARIO SON LAS SIGUIENTES:
GRADIENTE ARITMETICO đ?‘ƒ = đ??´á‰‚ đ??š = đ??´á‰‚
(1+đ??ź)đ?‘› −1
đ??ş (1+đ??ź)đ?‘› −1
1
(đ??ź)(1+đ??ź)
đ??ź (đ??ź)(1+đ??ź)
(1+đ??ź)đ?‘›
ቂ đ?‘›á‰ƒ +
(1+đ??ź)đ?‘› −1 (đ??ź)
đ?‘› − đ?‘›á‰ƒ
đ??ş (1+đ??ź)đ?‘› −1
ቃ+ ቂ đ??ź
(đ??ź)
− đ?‘›á‰ƒ
A = Anualidad G =Crecimiento de cada consignaciĂłn o retiro i = interĂŠs efectivo vencido n = nĂşmero de consignaciones o retiros
GRADIENTE GEOMETRICO (1 + đ?‘—)đ?‘› 1− (1 + đ?‘–)đ?‘› đ?‘ƒ = đ?‘Ž1 ∗ ྌ ྪ đ?‘–−đ?‘— 1−
đ??š = đ?‘Ž1 ྼ
(1+đ??˝)đ?‘› (1+đ??ź)đ?‘›
đ??źâˆ’đ??˝
ྊ (1 + đ??ź)đ?‘›
J = porcentaje de crecimiento
TENIENDO EN CUENTA QUE: 1 AĂ‘O = 360 DIAS 1 AĂ‘O = 12 MESES 1 AĂ‘O = 48 SEMANAS 1 AĂ‘O = 2 SEMESTRES 1 AĂ‘O = 4 TRIMESTRES 1 AĂ‘O = 6 BIMESTRES
EJERCICIO # 1 Calcular el valor de los depĂłsitos semestrales necesarios en una cuenta de ahorros, para tener en 15 aĂąos un capital de $400.000.000 si se sabe que los depĂłsitos crecen $2000 respecto del anterior y se colocan a una tasa de interĂŠs del 26% anual pagadero quincenal por los primeros 7 aĂąos y del 15 % semestral ahĂ en adelante. SoluciĂłn: EL PRIMER PASO Para realizar el ejercicio es necesario graficar y de esta manera ilustrar de una manera clara para poder desarrollarlo, se debe tener en cuenta los datos claves para $ 400.000.000
ubicarlos y utilizaros en el ejercicio.
G= 2000
P
1 semestre
7 aĂąos.
2 đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ 1 đ?‘ŽĂąđ?‘œ
26% a.p.q
= 14 semestres
14 semestres
15% s
30 semestres
15 aĂąos.
2 đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ 1 đ?‘ŽĂąđ?‘œ
= 30 semestres
ďƒ˜ Se presentan dos tasa de interĂŠs, una que abarca los primeros catorce semestres con 26% anual pagadero quincenal (i1) y del 15% semestral (i2) por los 16 semestres restantes ďƒ˜ Posee un crecimiento de 2000 se identifica como gradiente aritmĂŠtico creciente.
EL SEGUNDO PASO es transformar las tasas de interĂŠs a efectivas. i 1 = 26%a.p.q i q=
26% 24
semestral efectiva
= 1.083%đ?‘ž đ?‘’đ?‘“đ?‘’đ?‘?đ?‘Ąđ?‘–đ?‘Łđ?‘Ž
Ahora de quincenal
semestral đ?&#x;?đ?&#x;?
đ?&#x;?
(đ?&#x;? + đ?’Š đ?’’đ?’–đ?’Šđ?’?đ?’„đ?’†đ?’?đ?’‚đ?’? ) đ?&#x;? − đ?&#x;? = (đ?&#x;? + đ?’Š đ?’”đ?’†đ?’Žđ?’†đ?’”đ?’•đ?’“đ?’‚đ?’?)đ?&#x;? 1 semestre=12 quincenas. Despejamos interĂŠs semestral: đ?’Š đ?’”đ?’†đ?’Žđ?’†đ?’”đ?’•đ?’“đ?’‚đ?’? = (đ?&#x;? + đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;–đ?&#x;‘)đ?&#x;?đ?&#x;? − đ?&#x;? = đ?&#x;Ž = đ?&#x;Ž, đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;— = đ?&#x;?đ?&#x;‘, đ?&#x;•đ?&#x;—% Semestral
EL TECER PASO es identificar cual formula se va a usar para solucionarlo. Debido a que nos dan el futuro que es 119.000.000 proseguimos a usar claramente la fĂłrmula de futuro. F= A(
(1+đ?‘–)đ?‘› −1 đ?‘–
đ??ş (1+đ?‘–)đ?‘› −1
)+ đ?‘– (
đ?‘–
− đ?‘›)
DĂłnde: F: futuro n= cantidad de pagos interĂŠs A= anualidad.
G=crecimiento de cada consignaciĂłn i= tasa de
EL CUARTO PASO consiste en reemplazar los valores en la fórmula: 400.000.000= (A(
(1+0.1379)14 −1 0,1379
2000
)+0.1379 (
(1+0,1379)14 −1 0,1379
(1+0.15)16 −1
14)) (1,15)16 + (A+(2000(14))) (
0,15
−
2000 (1+0,15)16 −1
)+ 0,15 (
0,15
− 16)
400.000.000= (A(36.99)+333521,5747)(9.36)+A(28000)(55,72)+529566,2999 A= 253,987
Cuando su hijo cumple 10 años, un padre hace un deposito en una fiduciaria a nombre de su hijo con el objeto de asegurar los estudios universitarios los cuales iniciará cuando cumpla 18 años si la fiduciaria reconoce una tasa de interés del 20% a.p.t y estimando que para esa época el valor de la matrícula en la universidad será de $2.500.000 y está crecen un 5% cada semestre durante los 6 años que duran los estudios, ¿Cuál deberá ser el valor del depósito? Solución: Para realizar el ejercicio es necesario seguir una serie de pasos, y de esta manera desarrollarlo de manera eficiente y clara. EL PRIMERPASO es realizar una gráfica donde se ubiquen todos los datos importantes que nos muestra el enunciado.
J=5% 2500000 Año 10
P
p’ 17.5 Año 18
23.5 Año 24
EL SEGUNDO PASO: Ya realizada a grafica identifico los diversos datos que debo usar en la formula. Podemos observar que se maneja una tasa de interĂŠs del 20% a.p.t o 20% anual pagadero trimestral, debido a ello es necesario transformarla a una tasa de interĂŠs efectiva. 20% a.p.t
=
20% 4
= 5% đ?‘Ą
0.05 t.
1 aĂąo= 4 trimestres Ahora de trimestral efectiva es necesario convertirla en una tasa de interĂŠs semestral. đ?&#x;?
đ?&#x;?
(đ?&#x;? + đ?’Š đ?’•đ?’“đ?’Šđ?’Žđ?’†đ?’”đ?’•đ?’“đ?’‚đ?’? )đ?&#x;? − đ?&#x;? = (đ?&#x;? + đ?’Š đ?’”đ?’†đ?’Žđ?’†đ?’”đ?’•đ?’“đ?’‚đ?’?)đ?&#x;? 1 semestre= 2 trimestres Despejamos interĂŠs semestral: đ?‘– đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ = (1 + 0,05)2 -1=0.1025 semestral.= 10,25 % semestral.
i
Por otro lado la cantidad de anualidades dependerĂĄn de: El valor de la primera matricula inicia cuando cumple 18 aĂąos y se debe tener presente que los estudios se llevaran a cabo por 6 aĂąos es decir finaliza su carrera a los 24 aĂąos, pero claramente la ultimo matricula se establecerĂa en el aĂąo 23.5 o un semestre antes de que finalice su carrera, se podrĂa identificar como pagos adelantados. Por lo tanto 23.5-17.5= 6 aĂąos đ?&#x;? đ?’”đ?’†đ?’Žđ?’†đ?’”đ?’•đ?’“đ?’†đ?’”
. 6 aĂąos (
đ?&#x;?
) = đ?&#x;?đ?&#x;? đ?’„đ?’–đ?’?đ?’•đ?’‚đ?’” semestrales
n
Se utiliza 17.5 porque la primer matricula es en el aĂąo 18 de esta manera abarcarĂamos tambiĂŠn el valor de 2500000 o primera matricula y se transforma a semestral puesto que de esta periodicidad son los pagos. La matrĂcula crece 5% cada semestre
J
Por tener un crecimiento porcentual s identifica como un gradiente geomĂŠtrico creciente. La primera anualidad o depĂłsito tuvo un valor equivalente a $2500000
a1
EL TERCER PASO consiste en determinar cuĂĄl formula usar para la soluciĂłn del ejercicio, como nos estĂĄn pidiendo el valor del depĂłsito que realizĂł cuando su hijo cumple 10 aĂąos entonces hace referencia a P, por tanto, usaremos la fĂłrmula de Presente para gradiente geomĂŠtrico creciente. 1−
P=a (
(1+đ??˝)đ?‘› (1+đ?‘–)đ?‘›
đ?‘–−đ??˝
)
P= presente; J= gradiente geomĂŠtrico; n= cantidad de consignaciones o retiros; i= tasa de interĂŠs efectiva.; a1= primer retiro o consignaciĂłn.
EL CUARTO PASO consiste en reemplazar los datos en la fĂłrmula respectiva. 1−
P=2.500.000(
(1+0,05)12 (1+0,1025)12
0,1025−0.05
1
). ((1+0.1025)15)
1
Se multiplica por ((1+0.1025)15) ya que se traslada el valor total al presente (hoy, grafica en la posiciĂłn 0) puesto que se pretende saber el valor de P, y se hace una divisiĂłn ya que se estĂĄ trasladando para atrĂĄs, con un exponente que muestra los periodos mensuales necesarios para dicha ubicaciĂłn. P=4882753.692 es el valor del deposito
Una persona quiere solicitar un préstamo bancario por 3 años; su capacidad económica solo le permite realizar pagos mensuales de $1.240.000 que crecen todos los meses 3%. Si la entidad bancaria aplica una tasa de interés del 1,8% Mensual; ¿De qué valor deberá ser el préstamo? Solución: Para realizar este ejercicio es necesario realizar una gráfica con el objetivo de poder analizar mejor el ejercicio, claramente identificando los datos importantes para la solución del ejercicio. EL RPIMER PASO es graficar con los datos que aporta el enunciado
J=3%
P
1 mes
i=1.8% men sual
36 meses
3 aĂąos.
12 đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘ 1 đ?‘ŽĂąđ?‘œ
= 36 meses
Identificamos que se maneja una tasa de interĂŠs del 1.8% mensual del cual corresponde con la periodicidad de los pagos, por lo tanto, no requiere transformaciĂłn de tasa.
i.
La cantidad de pagos que corresponden a este ejercicio tienen totalidad de 36, puesto que se realizan desde el primer mes o mes uno hasta el mes 36
n
El crecimiento porcentual es del 3%, se identifica como un gradiente geomĂŠtrico creciente J
EL SEGUNDO PASO consiste en identificar cual formula es la idĂłnea para resolver el problema, como en el ejercicio nos preguntan sobre el valor del prĂŠstamo, esto hace referencia a la fĂłrmula de presente. 1−
P=a (
(1+đ??˝)đ?‘› (1+đ?‘–)đ?‘›
đ?‘–−đ??˝
)
P= presente; J= gradiente geomĂŠtrico; n= cantidad de consignaciones o retiros; i= tasa de interĂŠs efectiva.; a1= primer retiro o consignaciĂłn.
EL TERCERPASO es reemplazar en la formula (1,03)36 (1,018)36 đ?‘ƒ = 1.240.000 0,018 − 0,03 [ ] 1−
đ?‘ƒ = $ 54.231.944,82
Una persona próxima a pensionarse tiene depositado en un fondo de inversión la suma de $60´000.000. Si el fondo reconoce en promedio un interés del 12% anual pagadero quincenal ¿Cuántos retiros mensuales de $3.800.000 que crecen $50.000 se podrá hacer, a partir de la fecha de jubilación que se estima será 3 años después del depósito en el fondo? Solución: Es necesario ejecutar los siguientes pasos para poder hacer el ejercicio: EL PRIMER PASO es hacer la gráfica con el objetivo de poder analizar de manera óptima el ejercicio.
G= 50.000
A= 3.800.000 60.000.000
i =12% a.p.q
P’
36 meses (3 años)
EL SEGUNDO PASO es identificar los datos pertinentes para desarrollar el ejercicio. En primera instancia la tasa de interĂŠs es 12% a.p.q es necesario transformarla a mensual efectiva i a.p.q =
12% 24
= 0,5% quincenal
1 aĂąo= 24 quincenas. đ?&#x;?
đ?&#x;?
(đ?&#x;? + đ?’Š đ?’’đ?’–đ?’Šđ?’?đ?’„đ?’†đ?’?đ?’‚đ?’? )đ?&#x;? − đ?&#x;? = (đ?&#x;? + đ?’Š đ?’Žđ?’†đ?’?đ?’”đ?’–đ?’‚đ?’?)đ?&#x;? 1 mes = dos quincenas Despejamos interĂŠs mensual: đ?’Š đ?’Žđ?’†đ?’?đ?’”đ?’–đ?’‚đ?’? = (đ?&#x;? + đ?&#x;Ž, đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;“)đ?&#x;? − đ?&#x;? = đ?&#x;Ž, đ?&#x;Žđ?&#x;? = đ?&#x;?% Mensual
i
Otro dato importante es el crecimiento de cada retiro, que equivale a 50.000, se identifica como gradiente aritmĂŠtico creciente
G
El valor del primer retiro equivale a 3.8000.000
A
El valor del depĂłsito tiene una suma de 60.000.000
P
EL TERCER PASO es identificar que formula es idĂłnea para la soluciĂłn del ejercicio Como en este ejercicio, se hace referencia a un depĂłsito de 60.000.000 y se quiere saber la cantidad de retiros, entonces se utiliza formula de presente. (1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 đ??ş (1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 1 đ?‘ˇ = đ?‘¨[ ] + [ − đ?‘›] ∗ đ?‘–(1 + đ?‘–)đ?‘› đ?‘– đ?‘– (1 + đ?‘–)đ?‘›
EL CUARTO PASO consiste en reemplazar los datos en la fĂłrmula correspondiente (1+0.01)đ?‘› −1
đ?&#x;”đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž = (đ?&#x;‘. đ?&#x;–đ?&#x;Žđ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž ቂ0.01(1+0.01)đ?‘›á‰ƒ + n = 22 ,1 cuotas mensuales
50.000 (1+0.01)đ?‘› −1 0.01
ቂ
0.01
1
1
− đ?‘›á‰ƒ ∗ (1+0.01)đ?‘›)(1+0.01)35
Se realiza la compra de un edificio acordando la siguiente forma de pago: cuota inicial $1.000.000.000 y el resto mediante 50 pagos mensuales el primero de 30.000.000 y decrecientes a razón de 500.000 mensuales. El tipo de interés de la operación se fija en el 6 % anual. Se pide calcular la duración de la operación y el valor al contado del edificio.
Solución: Para realizar el ejercicio es importante seguir una serie de pasos con el fin de desarrollarlo de una manera más clara. EL PRIMER PASO es graficar, con el objetivo de representar los datos y analizar el ejercicio de manera óptima. 1.000.000.000
30.000.000
500.000=G
1 mes P
50 meses i =6% anual
EL SEGUNDO PASO es establecer aquellos datos relevantes en el enunciado para introducirlos en la fĂłrmula: ďƒ˜ la tasa de interĂŠs manejada es del 6% anual
i
ďƒ˜ el crecimiento tiene un valor de 500000, se clasifica como gradiente aritmĂŠtico decreciente G ďƒ˜ posee una cuota inicial de 10000000000 ďƒ˜ la primera Anualidad del gradiente aritmĂŠtico decreciente corresponde
A1
Como podemos notar la tasa de interĂŠs es del 6% anual y los pagos se hacen de manera mensual, por lo tanto, debemos transformas la tasa de interĂŠs de anual a mensual. EL TERCER PASO consiste transformar la tasa de interĂŠs de 6% anual a mensual. đ?&#x;?
đ?&#x;?đ?&#x;?
(đ?&#x;? + đ?’Š đ?’‚đ?’?đ?’–đ?’‚đ?’? )đ?&#x;?đ?&#x;? − đ?&#x;? = (đ?&#x;? + đ?’Šđ?’Žđ?’†đ?’?đ?’”đ?’–đ?’‚đ?’?)đ?&#x;?đ?&#x;? 1 aĂąo=12 meses. Despejamos interĂŠs mensual: đ?&#x;?
đ?’Š đ?’Žđ?’†đ?’?đ?’–đ?’”đ?’‚đ?’? = (đ?&#x;? + đ?&#x;Ž, đ?&#x;Žđ?&#x;”)đ?&#x;?đ?&#x;? − đ?&#x;? = đ?&#x;Ž, đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;’đ?&#x;–đ?&#x;• = đ?&#x;Ž, đ?&#x;’đ?&#x;–đ?&#x;•% Mensual
EL CUARTO PASO consiste en identificar la fórmula idónea para la solución del ejercicio de gradiente aritmÊtico decreciente, como nos preguntan sobre el valor del contado, usaremos la fórmula de presente. � = �[
(1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 đ??ş (1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 1 ] − [ − đ?‘›] ∗ đ?‘› đ?‘–(1 + đ?‘–) đ?‘– đ?‘– (1 + đ?‘–)đ?‘›
P= presente; A= primer pago; G=crecimiento del gradiente aritmĂŠtico, n=cantidad de pagos a realizar.
EL QUINTO PASO se trata de reemplazar los valores con los datos correspondientes en la fĂłrmula (1 + 0,00487)50 − 1 đ?‘ˇ = đ?&#x;?. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž + đ?&#x;‘đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž [ ] 0.00487(1 + 0,00487)50 −
500.000 (1 + 0,00487)50 − 1 1 [ − 50] ∗ 0,00487 0,00487 (1 + 0,00487)50
P=1.000.000.000+1328483228-520085197,2 P=1808398031
EL SEXTO PASO consiste en hallar la duraciĂłn de la operaciĂłn PASO 4: Hallo la duraciĂłn de la operaciĂłn 1 aĂąo ďƒ 12 meses n aĂąos ďƒ&#x; 50 meses
n=4 aĂąos y 2 meses
EJERCICIO # 6 Un prĂŠstamo se debe cancelar a 5 aĂąos y un interĂŠs de financiaciĂłn del 36% anual pagadero mensual. Si las cuotas son quincenales e iguales dentro de cada semestre, pero, semestre a semestre decrecen en $ 1.500, encontrar el valor de la primera cuota si el prĂŠstamo era de $ 3.000.000. SOLUCION En este problema nos piden hallar el valor de la primera cuota, para ello sacaremos los respectivos datos los cuales se plasmaran en la grafica
DATOS ďƒ˜ đ?‘ƒ = 3,000,000 ďƒ˜ đ?‘– = 36% đ?‘Žđ?‘?đ?‘š = 1.48% đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘Žđ?‘™ ďƒ˜ đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘”đ?‘œđ?‘ đ?‘ đ?‘’ đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Žđ?‘™đ?‘–đ?‘§đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘› đ?‘‘đ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ 5 đ?‘ŽĂąđ?‘œđ?‘ , sin đ?‘’đ?‘šđ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘”đ?‘œ, đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘œđ?‘ đ?‘‘đ?‘’đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘› đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’, đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘’đ?‘›đ?‘‘đ?‘’ đ?‘’đ?‘Ľđ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘’đ?‘› 10đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘› 5 đ?‘ŽĂąđ?‘œđ?‘ đ?‘Ś đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘?đ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ž đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’ â„Žđ?‘Žđ?‘Ś 12 đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘Žđ?‘ ďƒ˜ đ?‘‘đ?‘’đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?đ?‘’ 1,500
đ?‘– = 1.48%đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘Žđ?‘™
đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘Žđ?‘™ 1.014812 − 1 = 10.9211 0.0148 ∗ 1.014812
3.000.000
En este problema empleara la fĂłrmula de anualidades (1 + đ?‘–)đ?‘› − 1) đ?‘ƒ = đ??´( ) đ?‘– ∗ (1 + đ?‘–)đ?‘›
(1 + đ?‘–)đ?‘› − 1) 1.014812 − 1 ( ) = = 10.9211 đ?‘– ∗ (1 + đ?‘–)đ?‘› 0.0148 ∗ 1.014812
3.000.000 = đ?‘Ľ(10.9211) + (đ?‘Ľ − 1500)(10.9211)(1.0148)−12 + (đ?‘Ľ − 3000)(10.9211)(1.0148)−24 + (đ?‘Ľ − 4500)(10.9211)(1.0148)−36 + (đ?‘Ľ − 6000)(10.9211)(1.0148)−48 + (đ?‘Ľ − 7500)(10.9211)(1.0148)−60 + (đ?‘Ľ − 9000)(10.9211)(1.0148)−72 + (đ?‘Ľ − 10500)(10.9211)(1.0148)−84 + (đ?‘Ľ − 12000)(10.9211)(1.0148)−96 + (đ?‘Ľ − 13500)(10.9211)(1.0148)−108 Despejando x que es el valor de la cuota inicial đ??śđ?‘˘đ?‘œđ?‘Ąđ?‘Ž đ?‘–đ?‘›đ?‘–đ?‘?đ?‘–đ?‘Žđ?‘™ = 58,267
Un prĂŠstamo de $ 80.000.000 al 18% semestral pagadero mensual se debe cancelar en 4 aĂąos con cuotas mensuales iguales dentro de cada aĂąo, pero, aĂąo tras aĂąo crecen en $ 4.000, encontrar el valor de la Ăşltima cuota.
SOLUCION Se pide hallar el valor de la cuota final que es đ?‘Ľ + 12,000 DATOS ďƒ˜ đ?‘ƒ = 80,000,000 ďƒ˜ 48 đ??śđ?‘˘đ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘ đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?đ?‘’đ?‘› đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ ďƒ˜ đ??¸đ?‘™ đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?đ?‘–đ?‘šđ?‘–đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘’đ?‘ đ?‘‘đ?‘’ 4,000 ďƒ˜ đ?‘– = 18% đ?‘ đ?‘?đ?‘š = 3%đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™
đ?‘Ľ
đ?‘‹ + 4000
18%đ?‘ đ?‘?đ?‘š = 3%đ?‘š 6
đ?‘‹ + 8000
đ?‘‹ + 12000 Meses
Como en el problema anterior se aplicara la misma fĂłrmula de presente (1 + đ?‘–)đ?‘› − 1) 1.0312 − 1 ( )=[ ] = 9,954 đ?‘– ∗ (1 + đ?‘–)đ?‘› 0.03(1.03)12
80.000.000 = đ?‘Ľ(9.954) + (đ?‘Ľ + 4000)(9.954)(1.03)−12 + (đ?‘Ľ + 8000)(9.954)(1.03)−24 + (đ?‘Ľ + 12000)(9.954)(1.03)−36 đ?‘Ľ = 3,161,936 Como se dijo al principio el problema el valor de la cuota final đ?‘Ľ + 12,000 đ??śđ?‘˘đ?‘œđ?‘Ąđ?‘Ž đ?‘“đ?‘–đ?‘›đ?‘Žđ?‘™ = 3,161,936 + 12,000 3,173,936
Se necesita reponer una mĂĄquina dentro de 5 meses y se estima que su precio en dicho momento serĂĄ $ 170.000.000 Con tal fin se desea crear un fondo en una corporaciĂłn que pagarĂĄ un interĂŠs del 3% mensual por los primeros 2 aĂąos y del 5% bimestral de ahĂ en adelante. Hallar el valor del depĂłsito que se debe efectuar dentro de un mes si los depĂłsitos se incrementan en un 4% mensual, con respecto al depĂłsito anterior. SOLUCION Para este problema los 5 primeros meses y de allĂ hallaremos el valor del deposito
170,000,000
5 4%đ?‘š
3%đ?‘š
24
Meses
Se aplicara la fĂłrmula de gradiente geomĂŠtrico, dando como resultado 1.045 1.035 ྪ 1.035 170.000.000 = đ?‘Ľ ྌ 0.03 − 0.04 1−
El valor del depĂłsito serĂĄ igual đ?‘Ľ = 29.627.653
Si se deposita hoy $ 22.000.000 en una corporaciĂłn que reconoce el 3% mensual durante cuantos meses podrĂŠ hacer retiros de fin de mes de tal manera que cada retiro sea el 4% mayor que el retiro anterior, si se sabe que el valor del primero retiro es de $ 3.000.000.
SOLUCION En este problema nos piden hallar el tiempo en el que se podrĂĄ realizar los retiros, para ello planteamos los datos en la grafica
El đ?‘– = 3% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ Aplicando la fĂłrmula de gradientes geomĂŠtrico del presente
(1 + 𝑗)𝑛 1− (1 + 𝑖)𝑛 𝑃 = 𝑎1 ൦ ൪ 𝑖−𝑗
Reemplazando (1,04)𝑛 1− (1,03)𝑛 22´000.000 = 3.000.000 ൦ ൪ 𝑛 = 7,32 0,03 − 0,04
𝑛 = 7 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠
Encontrar el valor de un prĂŠstamo a 3 aĂąos, con un interĂŠs de financiaciĂłn del 3% mensual, si fue cancelado de la siguiente manera: la primera cuota de $3.600.000 se pagĂł un mes despuĂŠs de concedido el prĂŠstamo. Las demĂĄs cuotas durante el primer aĂąo aumentaron en el 8% mensual; la cuota 13 fue la cuota 12 disminuida en el$20.000, y las demĂĄs siguieron disminuyendo en la misma cantidad hasta la cuota 24. La cuota 25 tiene el valor de la cuota 24 aumentada en el 3%. Las demĂĄs cuotas del tercer aĂąo tambiĂŠn aumentaron en el 3%. SOLUCION En primer lugar plantearemos los datos en la grafica
3%đ?‘š
Realizamos los respectivos cĂĄlculos đ??˝ 1 đ?‘ŽĂąđ?‘œ = 8% đ??˝ 3đ?‘ŽĂąđ?‘œ = 3% đ?‘Ž2 = 3.600.000 ∗ (1,08)1 đ?‘Ž3 = 3.600.000 ∗ (1,08)2‌. đ?‘Ž12 = 3.600.000 ∗ (1,08)11 = 8.393.900 đ?‘Ž13 = 3.600.000 ∗ (1,08)11 − 20.000 = 8.373.900 đ?‘Ž14 = đ?‘Ž13 − 20.000 ∗ (1); đ?‘Ž15 = đ?‘Ž13 − 20.000 ∗ (2) ‌ đ?‘Ž24 = đ?‘Ž13 − 20.000 ∗ (11) đ?‘Ž24 = 8.373.900 − 20.000 ∗ (11) = 8,153,900 đ?‘Ž25 = đ?‘Ž24 ∗ (1,03)1
đ?‘Ž25 = 8.153.900 ∗ (1,03)1 = 8.398.517 Como lo que nos pide es el valor del prĂŠstamo, utilizamos la ecuaciĂłn de presente Reemplazando
đ?‘ƒ = 3.600.000
1 1 1 + 8.373.900 + 8.398.517 ∗ 1 13 (1,03) (1,03) (1,03)25
đ?‘ƒ = $13.208.542
Una sociedad va a iniciar su actividad industrial con la fabricación de 50.000 unidades de producto, siendo su capacidad máxima de producción de 75.000 unidades, esperando que el ritmo de producción se incrementa en un 5% anual. El estudio se realiza para un periodo de 15 años valorándose al 6 % anual. ¿Cuál sería el valor hoy de la producción si su precio de venta es de $800/ unidad?
Por medio del enunciado tenemos que son 800 unidades y 50.000 unidades, 800 unidades 75.000 unidades al realizar la operación entre estos valores tenemos que: 800unid* 50.000unid = 40.000.000 800 + 75.000 = 60.000.000
Al reemplazar el valor 40.000.000 millones por la tasa del interĂŠs mĂĄs uno elevada a la ocho tenemos que el interĂŠs anual es de seis por ciento, y el interĂŠs anual del seis por ciento nos da como resultado: a1= 40.000.000(1.05)8 40.000.000(1.05)đ?‘› = 60.000.000 i= 6% anual Para poder eliminar el exponencial aplicamos logaritmo natural n=
ln(1.5) ln 1.5
= 8.31
el 9.3
para alcanzar las 75.000 unidades se necesitan
aproximadamente 9.3 anual. Reemplazando en la ecuaciĂłn y solucionando cada parĂŠntesis, potencia, cociente, producto, adiciĂłn y sustracciĂłn tenemos que :
P= 40.000.000 ྼ P=465840296.8
(1+5%)9 (1+6%)9.3
1−
6%−5%
(1+8%)6 −1
1
ྊ + (60.000.000)9 ቂ8%(1+8%)6 ቃ* (1+8%)9
Los ingresos previstos de una instalación lúdica se estima que ascenderán a $50.000.000 en el primer año, con un crecimiento lineal esperado del 6 % anual hasta facturar un total de $68.000.000, en los tres siguientes años los ingresos se estiman constantes. ¿Cuál sería el valor actual de dichos ingresos si se valora la operación a un 5 % anual?
Del enunciado propuesto tenemos que F= 50.000.000 Tasa = 6% anual Reemplazando cada valor en la siguiente expresión obtenemos que
i = 5% anual 50.000.000(1.06)đ?‘› = 68.000.000 n = 53 a Reemplazando en la ecuaciĂłn y solucionando cada parĂŠntesis, potencia que es el valor de 6 y es el tiempo resultante hasta esta fecha, cociente, producto, adiciĂłn y sustracciĂłn tenemos que:
P =50.000.000 [1 −
P = 472, 534,924.6
(1+6%) 6 (1+5%)6 5%−6%
(1+5%)4 −1
1
]+ 68.000.000 ቂ5%(1+5%)4 ቃ (1+5%)6
Los ingresos previstos que va a obtener una sociedad por su actividad en los próximos dieciséis años se estiman en: Los cinco primeros años $60.000.000 anuales y en los ocho siguientes crecerán a un ritmo del 10 % anual ¿Cuál sería el valor actual de dichos ingresos si se valora la operación a un 5 % anual?
i= 5% anual Reemplazando en la ecuación de la tasa de interés podemos obtener lo siguiente a14= 60.000.000(1.1)13 Reemplazando en la ecuación y solucionando cada paréntesis, potencia, cociente, producto, adición y sustracción tenemos que :
P= 60.000.000 ቂ
(1+5%)5 −1
ቃ+ 60.000.000[1 − 5
5%(1+5%)
+60.000.000(1.1)13 ቂ
P = 982, 831,791.4
(1+5%)3 −1 5%(1+5%)3
ቃ+
1 (1+5%)13
(1+10%)5 (1+5%)5 5%−10%
1
] − (1+5%)5
Calcular el valor actual y final de una renta de $20.000.000 en el primer aĂąo con crecimiento anual del 10 % durante seis aĂąos, valorada al 5 % anual.
Primero determinamos mediante la ecuación el valor presente P=A ྼ
1−
(1+đ?‘–)đ?‘› (1+đ?‘–)đ?‘›
đ?‘–−đ?‘–
ྊ
P= 20.000.000 ྼ
1−
(1+10%)6 (1+5%)6
5%−10%
ྊ
P = 128, 786,437.7 Segundo se determina el valor futuro mediante la siguiente ecuaciĂłn en donde
F=A ྼ
(1+đ?‘–)đ?‘› (1+đ?‘–)đ?‘›
1−
đ?‘–−đ?‘–
ྊ * (1+i)�
F= 20.000.000 ྼ
(1+10%)6 (1+5%)6
1−
5%−10%
F = 110, 676,024.7
ྊ*(1+5%)6
Calcular la cantidad que ahorrará un señor con el siguiente plan de ahorro a 10 años: Realizará entregas al final de cada año de $5.000.000 con un crecimiento del 2 % anual, al final de cada semestre aportará $1.000.000 con un crecimiento semestral del 3 %. La entidad financiera valora la operación a un interés del 5 % anual.
Mediante la gráfica podemos observar que una cantidad de ahorro está programada a 10 años y el otro a 20 semestres para cada uno con tasa de interés diferente.
Reemplazando en la ecuación y solucionando cada paréntesis, potencia, cociente, producto, adición y sustracción tenemos que:
F= 5.000.000
1−(1+2%)10 (1+5%)10
5%−2%
F = 110, 676,024.7
൩ * (1+5%)10 + 1.000.000
1−(1+3%)20 (1+5%)20
5%−3%
൩* (1+5%)20
Dentro de presupuesto de ingresos y egresos mensuales que el señor Arteaga tiene para el próximo año, espera ahorrar al final de cada trimestre $700.000 e incrementar periódicamente dicha suma en $300.000 ¿Cuánto tendrá ahorrado al final del año el señor Arteaga, si el banco le ofrece un interés del 4.5% trimestral?
Solución.
Primero hacer la gráfica correspondiente.
En un año hay 4 trimestres.
La anualidad trimestral corresponde a 700.000
Aplicar la fórmula de valor futuro:
Respuesta. Al final del año el señor Arteaga, tendrá ahorrado una cantidad de $ 4.849.341
Usted necesita pedir un préstamo para la compra de un vehículo que vale 15 millones de pesos. Usted prevé que comprometiendo las primas que le pagan en la empresa, usted podría realizar pagos semestrales crecientes al 5% durante 5 años. Sus relaciones con la Corporación Financiera Finauto S.A. son tan buenas, que le conceden un semestre de gracia de capital e interés, y un interés del 14% semestral. Encuentre cuál deberá ser la primera y la última cuota del préstamo?.
Solución.
Interpretación gráfica:
Determinar el valor de la primera cuota en el gradiente geomĂŠtrico, para esto se toma como punto focal el semestre 0. Hallar el valor presente del gradiente y llevarlo al punto 0:
El valor de la Ăşltima cuota seria: đ?‘Ž9 = đ?‘Ž1 (1,05)8 đ?‘Ž9 = 2.942.896(1,05)8 = 4.347.998 Respuesta. El valor de la primera cuota es de 2.942.896 y el valor de la Ăşltima cuota es 4.347.998
Financiar $ 4.000.000 de hoy a tres años en cuotas mensuales que aumentan cada mes en la misma cantidad de dinero, sabiendo que la primera cuota, que será de $ 80.000, se pagará dentro de cuatro meses y que la tasa de interés sobre el saldo será del 3.3%mensual. Calcular cuál es el valor del gradiente?
Solución.
Realizar la gráfica del ejercicio:
“n” es igual a 33 cuotas
Tomamos como punto focal el mes 0 y Aplicamos la fĂłrmula:
Aplicando el programa SOLVE de la calculadora cientĂfica se tiene que: đ??ş = $ 10.778
Respuesta. El valor del gradiente corresponde a $ 10.778
Una empresa vende cada mes 5000 unidades de su producto a un precio de $1.000 por unidad durante el primer año, a $1.200 por unidad durante el segundo año, a $1.400 por unidad durante el tercer año y así sucesivamente. La empresa ahorra la décima parte de su ingreso mensual en una corporación financiera que paga el 2.5% mensual. Hallar el valor total que la empresa tendrá ahorrado al cabo de siete años.
Solución.
Realizar la gráfica que representa la situación:
Aplicar la fórmula:
Respuesta. Al cabo de siete años la empresa tendrá ahorrado $ 916.442.500
Se hace un préstamo por el valor de $10.000.000 y se acuerda pagar cada fin de año, iniciando un año después de hacer el préstamo; de tal forma que cada pago disminuye en $375.000 cada año respecto del anterior. Si se desea liquidar totalmente el préstamo en 6 años, ¿cuál será el pago al final del año 6?
Solución.
Hacer la gráfica en primer lugar:
La situación representada en la gráfica es un gradiente aritmético decreciente.
El valor de la deuda corresponde a 10.000.000
Al final del aĂąo 6 el valor de la Ăşltima cuota corresponde a la anualidad (A).
Tomamos como punto focal el aĂąo 6:
Se lleva el valor de la deuda al aĂąo 6 y se determina el valor futuro del gradiente que cae exactamente en el aĂąo 6.
10.000.000(1 + đ?‘–)đ?‘› = đ??´ ቂ
10.000.000(1,26)6 = đ??´ ቂ
(1+đ?‘–)đ?‘› −1 đ?‘–
(1,26)6 −1 0,26
đ??ş (1+đ?‘–)đ?‘› −1
ቃ− ቂ đ?‘–
ቃ−
đ?‘–
− đ?‘›á‰ƒ
375.000 (1,26)6 −1 0,26
ቂ
0,26
− 6ቃ
Aplicando el programa SOLVE de la calculadora cientĂfica se tiene que: A = 4.158.916
Respuesta. El pago final tendrĂĄ un valor de $ 4.158.916
Una empresa comercial vende equipos de sonido con una cuota inicial de$8.500.000 y 24 cuotas mensuales que crecen un 5% respecto de la anterior siendo la primera de $2.400.000 y se consigna 6 meses más delante de la cuota inicial, cargándose el 30% anual pagadero mensual, hallar el valor de contado.
Solución.
Se realiza en primer lugar la gráfica, en este caso se relaciona a un gradiente geométrico:
Transformar la tasa de interés nominal a una tasa de interés efectiva mensual.
El punto focal lo tomamos en P.
Respuesta. La cantidad de dinero de contado corresponde a $ 74.944.200
Una persona debe cancelar una deuda de $60.000.000 en 5 años mediante el pago una serie de cuotas trimestrales que crecen $60.000 trimestrales respecto de la anterior. Determinar el valor de la primera cuota si la tasa de interés es del 30% anual pagadero bimestral?. Si no efectúa los 4 primeros pagos, ¿Cuánto debe pagar al vencer la 5ta cuota, para ponerse al día su deuda.
Solución.
Primero se hace la gráfica:
Para la primera parte del ejercicio.
Transformar la tasa de interés nominal a una tasa de interés efectiva trimestral.
Aplicando el programa SOLVE de la calculadora científica se tiene que: A = 5.496.855
Respuesta. El valor de la primera cuota tendrá un valor de $ 5.496.855
Para la segunda parte del ejercicio.
Respuesta. La cantidad de dinero que debe pagar en el trimestre 5 es de $ 32.632.546 para ponerse al dĂa con la deuda.
Pedro debe pagar durante 10 años unas cuotas semestrales que crecen 5% respecto de la anterior, siendo la primera cuota de $1.000.000 y pactando una tasa de interés del 16% semestral. Inmediatamente después de efectuar el noveno pago, se desea determinar el valor a cancelar para saldar la deuda. De cuánto es ese valor?
Solución.
Realizar la gráfica:
En el semestre 9 cuando se va a realizar el noveno pago se desea cancelar la deuda que tendrá un valor “P” Tomar como punto focal el semestre 9 para determinar “P”:
Se determina el valor presente de los pagos restantes es decir entre el semestre 9 y 20 que corresponde a 12 pagos, el valor presente cae en el semestre 8 por lo tanto se debe llevar al semestre 9.
đ?‘ƒ = đ?‘Ž9 ྼ
1−
(1+đ?‘—)đ?‘› (1+đ?‘–)đ?‘›
đ?‘–−đ?‘—
ྊ ∗ (1 + đ?‘–)đ?‘›
El valor de đ?‘Ž9 = đ?‘Ž1 (1,05)8; luego: đ?‘Ž9 = 1.000.000(1,05)8 = 1.477.455
¿Qué cantidad se concedió por concepto de un préstamo el día de hoy, si se acuerda en pagar 5 cuotas mensuales la primera por un valor de $10.500.000 y está aumentara en $1,000.000 cada mes?. Considere una tasa de interés del 10.80% anual pagadero semestral.
Solución.
Realizar la gráfica:
Tomamos como punto focal el mes 0:
Respuesta. El préstamo que se concedió el día de hoy es de $ 60.797.947
Una maquinaria tiene una vida útil de 5 años y sus gastos de operación serán de $20,000.000 en el primer año, y se espera que aumente en $200,000 cada año, determine el costo presente total considerando una tasa de interés del 20% anual. Solución.
Hacer la interpretación gráfica:
Después de verificar que la tasa de interés esta vencida y efectiva en el mismo periodo de tiempo (anual), se pasa a tomar como punto focal el año “0”: En donde el valor presente de la anualidad en el año “0” será igual al costo presente “P”. El gradiente “G” es de 200.000 y “n” es igual a 5 consignaciones.
Respuesta. El costo presente corresponde a $ 60.793.467
Un préstamo de $ 5.000.000 se debe cancelar en 3 años así: doce cuotas mensuales iguales en el primer año, la cuota trece es la cuota 12 disminuida en $ 500 y así sucesivamente irán disminuyendo en la misma cantidad hasta el mes 24. La cuota 25 es la cuota 24 aumentada en $ 300 y así seguirá aumentando en $ 300 hasta el mes 36. Encontrar el valor de la última cuota si el interés es del 1,8% mensual.
Grafica Correspondiente Se realizarán pagos mensuales por 3 años, por lo tanto, se realizarán 36 pagos mensuales
G=$500
G=$300
A
0 1
$5.000.000
12 13
1.8%m
24 25
36 Pagos mensuales
Para la soluciĂłn de este ejercicio se deben sumar las diferentes formas de la grĂĄfica, con su ecuaciĂłn correspondiente, asĂ:
La clave para resolver este ejercicio es identificar los pagos 13 y 25
1. đ?‘Ž13 = đ??´ − $500 2. đ?‘Ž25
=
đ?‘Ž24 + $300
3. đ?‘Ž24
=
đ?‘Ž13
− 11 ∗ $500 =
đ?‘Ž13
− $5.500
Reemplazando 3. En 2,
4. đ?‘Ž25
=
đ?‘Ž13
− $5500 + $300 =
đ?‘Ž13
− $5.200
Reemplazando 1. en 4.
đ?‘Ž25
= đ??´ − $500 − $5200 = đ??´ − $5700
5. đ?‘Ž25
= đ??´ − $. 5700
Una vez identificado todos los pagos se plantea la ecuaciĂłn y se despeja la incĂłgnita A. Se debe tener en cuenta el traslado de todas las partes de la grĂĄfica hasta el punto focal identificado en cero ya que es allĂ donde se ubica el presente.
5000000 = đ??´ {
(1.018)12 − 1 } 0.018 (1.018)12
+ [(đ??´ − 500) { −
(1.018)12 − 1 } 0.018 (1.018)12
500 (1.018)12 − 1 1 1 { − 12} ]∗ 12 (1.018) (1.018)12 0.018 0.018
(1.018)12 − 1 300 (1.018)12 − 1 + [đ??´ − 5700 { }+ { − 12} 0.018 (1.018)12 0.018 0.018 ∗
1 ] (1.018)24
Resolviendo đ??´ = $192.041 La Ăşltima cuota seria el pago 36 que serĂa:
a36 = a25 +11*300 = a36 = A-5700+3300 = a36 = 192.041 – 5.700 + 3.300 Ultimo pago
đ?‘Ž36
= $189.641
Un producto de contado vale $ 800.000. A plazos financian el 70% del valor de contado el cual se debe pagar así: 10 cuotas mensuales, la primera de $30.000, la segunda de $32.000 y así sucesivamente. Si la primera cuota se paga 4 meses después y además se pagan dos cuotas extras iguales en los meses 9 y 18, hallar el valor de estas cuotas extras si el interés de financiación es del 2,3% mensual.
Se calcula el 70% de $800.000 $800.000 ∗ 0.7 = $560.000 Esos $560.000 es el valor que se tiene que pagar a cuotas Grafica Correspondiente Si se realizan 10 pagos mensuales y el primer pago se hace 4 meses después, el último pago será en el mes 13 X X G=$2000 0 4
9
13
$560.000 2.3%m
18
Pagos mensuales
Se calcula el presente de la grĂĄfica mĂĄs el traslado de las cuotas extraordinarias realizadas hasta el mes cero, se debe tener en cuenta que el presente del gradiente creciente se encuentra un mes atrĂĄs de su primera cuota y se debe trasladar hasta el cero
(1.023)10 − 1 2000 (1.023)10 − 1 1 1 560.000 = {30.000 [ ] + [ − 10] ∗ }∗ 10 10 3 (1.023) 0.023 (1.023) 0.023 0.023 (1.023) đ?‘Ľ đ?‘Ľ + + 9 (1.023) (1.023)18
Despejando y resolviendo X đ?‘‹ = $162.913
$162.913 serĂĄ el valor de las 2 cuotas extraordinarias realizadas en los meses 9 y 18
Un préstamo se debe cancelar con 12 cuotas mensuales así: la primera es de cierto valor, que mes a mes se incrementa en cierta cantidad constante; si se sabe que el valor de la cuota 6 es de $33.500 y el valor de la cuota 12 es de $53.500, encontrar el valor de la primera y segunda cuota al igual que el valor del préstamo si el interés de financiación es del 2% mensual.
Grafica Correspondiente Datos del problema Los siguientes datos son muy importantes pues son la clave de la solución de ejercicio A=? Primera cuota realizada en el primer mes G=? Cantidad constante que aumenta cada mes
a6 = $33.500 Cuota numero 6 a12 = $53.500 Cuota número 12 i = 2%m
0 6
1
12
Pagos mensuales
P
Para la soluciĂłn de este ejercicio se debe jugar con las ecuaciones generadas con los datos dados. Se sabe que la cuota 6 es la cuota 1 mĂĄs 5 veces el gradiente y la cuota 12 es la cuota 6 mĂĄs 6 veces el gradiente, por lo tanto:
đ?‘Ž12
=
đ?‘Ž6
+ 6 ∗ đ??ş Despejando y reemplazando los datos conocidos se obtiene el
valor de G đ??ş =
đ?‘Ž6
=
đ?‘Ž1
+ 5∗đ??ş
đ?‘Ž1
=
�6 –
đ?‘Ž12 – đ?‘Ž6 $53.500 − $33.500 = = $3.333 6 6
Despejando y reemplazando 5∗đ??ş =
đ?‘Ž1
= $33.500 − 5 ∗ $3.333 =
đ?‘Ž1 = $16.835
Valor de la primera cuota
đ?‘Ž1 = $16.835
đ?‘Ž2 = đ?‘Ž1 + $3.333 = $16.835 + $3.333 = $20.168 Valor de la segunda cuota
đ?‘Ž2 = $20168
Para hallar el valor de P se aplica la ecuaciĂłn correspondiente a la forma de la grafica
(1.02)12 − 1 $3333 (1.02)12 − 1 1 đ?‘ƒ = $16.835 [ ] + [ − 12] ∗ (1.02)12 0.02 (1.02)12 0.02 0.02
đ?‘ƒ = $363.587
Un préstamo que solicito lo conceden bajo estas condiciones: dentro de un mes recibo cierta cantidad que mes a mes decrecerá en una cantidad constante de tal manera que en el mes 16 lo recibido es cero. En el mes 17 empiezo a pagar la deuda con $70.000 y mes a mes incremento la cuota en $500 hasta el mes 35. Del mes 36 al mes 45 pago cuotas mensuales iguales a las del mes 35 y termino. Si el interés de financiación es del 1,5% mensual, encontrar el valor que recibí en el mes 1 y hallar el valor del préstamo. Como el movimiento de este problema se trata de préstamos y consignaciones, al momento de graficar, se considerará los préstamos con flechas hacia abajo y los pagos con flechas hacia arriba. Grafica Correspondiente
P flechas abajo 500 1516
1
35 36
17 G P flechas arriba
1.5%m
45
La clave para la soluciĂłn de este ejercicio es plantear las ecuaciones correctas para dejar todo en funciĂłn a una sola incĂłgnita, de la siguiente manera
a1 =? đ?‘Ž16
=
đ?‘Ž1 − 15đ??ş = đ?‘Ž1 = 15đ??ş
a17=$70.000 đ?‘Ž35 = đ?‘Ž17 + 18 ∗ $500 = $70.000 + 18 ∗ 500 = $79.000 đ?‘Ž36 = đ?‘Ž35 = $79.000 Se procede a aplicar la ecuaciĂłn de presente correspondiente ya que se tienen los datos adecuados En la primera forma de la grĂĄfica se realizan 15 pagos en la segunda forma 19 pagos y en la tercera forma 10 pagos Nota: Para calcular los pagos correspondientes sin equivocarse, se empieza a contar desde el primer pago realizado hasta el Ăşltimo pago, en cambio si se quiere conocer cuĂĄntos periodos hay entre una fecha y otra, se debe contar un periodo despuĂŠs al que tengo como base Ej.= considerando que se hacen pagos en cada mes desde el mes 30 al mes 42, cuantos pagos se realizaron y cuantos periodos en meses hay? RTA: 12 meses y 13 pagos mensuales
Se deben igualar los presentes de las flechas arriba y las flechas abajo debido a que las flechas abajo representan la deuda, y las flechas arriba representan el pago de esa deuda, por lo tanto: đ?‘ƒđ?‘“đ?‘™đ?‘’đ?‘?â„Žđ?‘Žđ?‘ đ?‘Žđ?‘?đ?‘Žđ?‘—đ?‘œ = đ?‘ƒđ?‘“đ?‘™đ?‘’đ?‘?â„Žđ?‘Žđ?‘ đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘?đ?‘Ž
(15 ∗ đ??ş) [
(1.015)15 − 1 đ??ş (1.015)15 − 1 1 ]− [ − 15] ∗ 15 (1.015)15 0.015 (1.015) 0.015 0.015 = {70.000 [ + {79000 [
(1.015)19 − 1 $500 (1.015)19 − 1 1 1 ] + [ − 19] ∗ }∗ (1.015)19 (1.015)16 0.015 (1.015)19 0.015 0.015
(1.015)10 − 1 1 ]} ∗ 10 0.015(1.015) (1.015)35
Despejando y reemplazando G đ??ş = $12.622
đ?‘Ž1 = 15 ∗ $12.622 = $189331
đ?‘ƒđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Ž đ??śđ?‘˘đ?‘œđ?‘Ąđ?‘Ž đ?‘…đ?‘’đ?‘?đ?‘–đ?‘?đ?‘–đ?‘‘đ?‘Ž
Para determinar el Presente o valor del prĂŠstamo se puede hallar el prĂŠstamo de los pagos o el prĂŠstamo de lo recibido por el banco, en este caso para facilitar el cĂĄlculo y hacerlo mĂĄs corto se hallarĂĄ el Presente de lo recibido
đ?‘ƒ = ($189.331) [
(1.015)15 − 1
0.015 (1.015)
]− 15
$12.622 0.015
(1.015)15 − 1 [ − 15] ∗
đ?‘ƒ = $1.394.127
0.015
1
(1.015)15
Un artículo de contado vale $ 700.000, a plazos exigen de cuota inicial $100.000 y el resto para ser cancelados con 9 cuotas mensuales de tal manera que cada cuota decrezca en $ 300 respecto de la anterior. Si el interés de financiación es del 2% mensual, encontrar el valor de la última cuota Grafica del Problema
$100.000 G=$300
9
1
$700.000 2%m
Pagos mensuales
Aplicando la fĂłrmula del presente correspondiente a este tipo de grafica
(1.02)9 − 1 $300 (1.02)9 − 1 1 $700.000 = $100.000 + đ??´ [ ] − [ − 9] ∗ 0.02 (1.02)9 0.02 0.02 (1.02)9
Despejando y resolviendo đ??´ = $74.669 Primera Cuota
đ?‘Ž9 = đ??´ − 8 ∗ đ??ş = $74.669 − 8 ∗ 300 = $72.269 đ?‘Ž9 = $72.269
đ?‘ˆđ?‘™đ?‘Ąđ?‘–đ?‘šđ?‘Ž đ??śđ?‘˘đ?‘œđ?‘Ąđ?‘Ž
La media del salario de los empleados de una fĂĄbrica es de $975.000 mensuales. En el contrato figura el incremento anual del 5 %. Su plantilla actual es de 16 trabajadores. Se pide calcular el valor actual de los salarios a pagar en los prĂłximos 10 aĂąos a una tasa de interĂŠs del 15 % anual.
đ?‘Ž1 = $200.063.011
Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema.
J%= 5%
0 1 ÂżP?
NOTA:
i= 15% anual
10 aĂąos
El presente se sitĂşa un perĂodo atrĂĄs de donde estĂĄ el primer valor de đ?‘Ž1 . La grĂĄfica se dibuja de esta manera porque dice que incrementa.
Segundo paso: ÂżQuĂŠ nos preguntan? Nos preguntan el presente: Âż P?
Tercer paso: Tenemos que usar todos los tĂŠrminos con las mismas unidades. Se cambia el porcentaje de interĂŠs con respecto al tiempo. En este caso se necesita un tiempo mensual. i = 15% anual a % mensual (1 + ia )1 = (1 + im )12 1
12
(1 + 0,15)12 = (1 + im )12 1
im = (1 + 0,15)12 − 1 im = 0,012 = 1,20% mensual
Cuarto paso: Planteamos las fĂłrmulas que usaremos. (1 + i)n − 1 F = A( ) i 1− P = a1 (
(1 + j)n (1 + i)n ) i−j
Quinto paso: Resolver el ejercicio a partir de las fórmulas planteadas y lo que nos preguntan. Total pago primer mes = (16) ($975.000) = $15.600.000
(1 + i)n − 1 F = A( ) i (1 + 0,12)12 − 1 F = 15.600.000 ( ) 0,12 F = $200.063.011 1− P = a1 (
(1 + j)n (1 + i)n ) i−j
(1 + 0,05)10 1− (1 + 0,15)10 P = 200.063.011 ( ) 0,15 − 0,05
P = $1.195.100.725
Una empresa estima que sus ingresos por ventas tendrĂĄn un crecimiento semestral del 3 %, ascendiendo los ingresos del primer semestre a $25.000.000 Si dichos ingresos se depositan en una entidad financiera que valora la operaciĂłn a un 5,5 % anual en los tres primeros aĂąos, a un 5 % anual en los tres siguientes y a un 7 % anual en los cuatro Ăşltimos. ÂżQuĂŠ cantidad tendrĂa ahorrada al finalizar la operaciĂłn?
Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema.
đ?‘Ž1 = $25.000.000
ÂżF?
J%= 3%
0 i= 5,5% anual
6
i= 5% anual
12
i= 7% anual
20
NOTA: El presente se sitĂşa un perĂodo atrĂĄs de donde estĂĄ el primer valor de đ?‘Ž1 . La grĂĄfica se dibuja de esta manera porque dice que incrementa. 1 aĂąo = 2 semestres 3 aĂąos = 6 semestres 6 aĂąos = 12 semestres 10 aĂąos = 20 semestres
Segundo paso: ÂżQuĂŠ nos preguntan? Nos preguntan el futuro: Âż F? Tercer paso: Tenemos que usar todos los tĂŠrminos con las mismas unidades. Se cambia los porcentajes de interĂŠs con respecto al tiempo. En este caso se necesita un tiempo semestral. i = 5,5% anual a % semestral (1 + ia )1 = (1 + is )2 1
2
(1 + 0,055)2 = (1 + iđ?‘ )2 1
is = (1 + 0,055)2 − 1 is = 0,027 = 2,70% semestral i = 5% anual a % semestral (1 + ia )1 = (1 + is )2 1
2
(1 + 0,055)2 = (1 + iđ?‘ )2 1
is = (1 + 0,05)2 − 1
is = 0,025 = 2,50% semestral i = 7% anual a % semestral (1 + ia )1 = (1 + is )2 1
2
(1 + 0,07)2 = (1 + iđ?‘ )2 1
is = (1 + 0,07)2 − 1 is = 0,034 = 3,40% semestral
Cuarto paso: Planteamos la fĂłrmula que usaremos. 1− F = a1 (
(1 + j)n (1 + i)n ) (1 + i)n i−j
Quinto paso: Resolver el ejercicio a partir de la fĂłrmula planteada y lo que nos preguntan. 1− F = a1 (
(1 + j)n (1 + i)n ) (1 + i)n i−j
(1 + 0,03)6 1− (1 + 0,027)6 F = 25.000.000 ( ) (1 + 0,027)6 (1 + 0,025)6 (1 + 0,034)8 0,027 − 0,03 (1 + 0,03)6 1− (1 + 0,025)6 + 25.000.000 (1 + 0,03)5 ( ) (1 + 0,025)6 (1 0,025 − 0,03 + 0,034)8 + 25.000.000 (1 + 0,03)11
F = $866.973.251
(1 + 0,03)8 1− (1 + 0,034)8 ( ) (1 + 0,034)8 0,034 − 0,03
En estos momentos una sociedad ha obtenido un préstamo, acordando su pago mediante pagos trimestrales que variarán razón de $500.000 cada trimestre, ascendiendo el primer pago a $2.500.000 Si la entidad financiera valora la operación a un 6 % anual en los tres primeros años y a un 7% nominal en los siete restantes ¿Cuál es la cuantía del préstamo que ha recibido?
Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema.
G= $500.000
G= $500.000
0 1 ¿P?
i = 6% anual
12 13
i = 7% anual
40
NOTA: El presente se sitúa un período atrás de donde está el primer valor de A1 . La gráfica se dibuja de esta manera porque dice que incrementa. 1 año = 4 trimestres 3 años = 12 trimestres 10 años = 40 trimestres
Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? Nos preguntan el presente: ¿ P? Tercer paso: Tenemos que usar todos los términos con las mismas unidades. Se cambia los porcentajes de interés con respecto al tiempo. En este caso se necesita un tiempo trimestral. i = 6% anual a % trimestral (1 + ia )1 = (1 + it )4 1
4
(1 + 0,06)4 = (1 + it )4 1
it = (1 + 0,06)4 − 1 it = 0,0147 = 1,47% trimestral i = 7% anual a % trimestral (1 + ia )1 = (1 + it )4 1
4
(1 + 0,07)4 = (1 + it )4 1
it = (1 + 0,07)4 − 1 it = 0,0170 = 1,70% trimestral
Cuarto paso: Planteamos las fórmulas que usaremos. P = P1 + P2 P1 = A (
(1 + i)n − 1 G (1 + i)n − 1 1 ) + ( − n) ∗ n i(1 + i) i i (1 + i)n
(1 + i)n − 1 G (1 + i)n − 1 1 P2 = A ( ) + ( − n) ∗ i(1 + i)n i i (1 + i)n
Quinto paso: Resolver el ejercicio a partir de las fórmulas planteadas y lo que nos preguntan. P1 = A (
(1 + i)n − 1 G (1 + i)n − 1 1 ) + ( − n) ∗ n i(1 + i) i i (1 + i)n
(1 + 0,0147)12 − 1 500.000 (1 + 0,0147)12 − 1 P1 = 2.500.000 ( )+ ( − 12) 0,0147(1 + 0,0147)12 0,0147 0,0147 ∗
1 (1 + 0,0147)12
P1 = $52.033.207 (1 + i)n − 1 G (1 + i)n − 1 1 P2 = A ( ) + ( − n) ∗ n i(1 + i) i i (1 + i)n (1 + 0,0170)28 − 1 500.000 (1 + 0,0170)28 − 1 P2 = 2.500.000 ( ) + ( − 28) 0,0170(1 + 0,0170)28 0,0170 0,0170 ∗
1 (1 + 0,0170)28
P2 = $ 171.777.459 P = P1 + P2 P = 52.033.207 + 171.777.459 P = $223.810.666
A su vez va a iniciar un plan de ahorro a 15 aĂąos mediante la entrega al final de cada mes de $500.000, que se irĂĄn incrementando a razĂłn de un 2 % anual. La entidad financiera acuerda con el ahorrador el pago de un interĂŠs efectivo del 6 % en los cinco primeros aĂąos y del 7 % en los cinco Ăşltimos. ÂżCuĂĄl serĂĄ la cuantĂa del capital ahorrado al tĂŠrmino de la operaciĂłn? ÂżQuĂŠ capital habrĂĄ ahorrado al finalizar el sexto aĂąo?
Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema.
J%= 2%
đ?‘Ž6 = $552.040
đ?‘Ž1 = $500.000
ÂżF?
0 1
i= 6% anual
60
i= 7% anual
120
đ?‘Ž1 = $500.000
đ?‘Ž6 = $552.040
ÂżF?
J%= 2%
0 1
i= 6% anual
60
i= 7% anual
72
NOTA: El presente se sitĂşa un perĂodo atrĂĄs de donde estĂĄ el primer valor de đ?‘Ž1 . La grĂĄfica se dibuja de esta manera porque dice que incrementa. 1 aĂąo = 12 meses 5 aĂąos = 60 meses 6 aĂąos = 72 meses 10 aĂąos = 120 meses
Segundo paso: ÂżQuĂŠ nos preguntan? Nos preguntan el futuro: Âż F?
Tercer paso: Tenemos que usar todos los tĂŠrminos con las mismas unidades. Se cambia los porcentajes de interĂŠs con respecto al tiempo. En este caso se necesita un tiempo mensual.
i = 2% anual a % mensual (1 + ia )1 = (1 + im )12 1
12
(1 + 0,02)12 = (1 + im )12 1
im = (1 + 0,02)12 − 1 im = 0,00165 = 0,165% mensual i = 6% anual a % mensual (1 + ia )1 = (1 + im )12 1
12
(1 + 0,06)12 = (1 + im )12 1
im = (1 + 0,06)12 − 1 im = 0,00487 = 0,487% mensual i = 7% anual a % mensual (1 + ia )1 = (1 + im )12 1
12
(1 + 0,07)12 = (1 + im )12 1
im = (1 + 0,07)12 − 1 im = 0,00565 = 0,565% mensual
Cuarto paso: Planteamos las fórmulas que usaremos. a6 = a1 (1 + j)5 1− F = a1 (
(1 + j)n (1 + i)n ) (1 + i)n i−j
Quinto paso: Resolver el ejercicio a partir de las fórmulas planteadas y lo que nos preguntan. Primera gráfica a6 = a1 (1 + j)5 a6 = a1 (1 + 0,02)5 a6 = $552.040 1− F = a1 (
(1 + j)n (1 + i)n ) (1 + i)n i−j
(1 + 0,00165)60 (1 + 0,00487)60 F = 500.000 ( ) (1 + 0,00487)60 0,00487 − 0,00165 1−
(1 + 0,00165)60 (1 + 0,00565)60 + 552.040 ( ) (1 + 0,00565)60 0,00565 − 0,00165 1−
F = $77.563.053
Segunda gráfica 1− F = a1 (
(1 + j)n (1 + i)n ) (1 + i)n i−j
(1 + 0,00165)60 (1 + 0,00487)60 F = 500.000 ( ) (1 + 0,00487)60 0,00487 − 0,00165 1−
(1 + 0,00165)12 (1 + 0,00565)12 + 552.040 ( ) (1 + 0,00565)12 0,00565 − 0,00165 1−
F = $36.404.516
Una persona cancela una deuda a través 20 pagos mensuales vencidos. El primer pago es de $8.000.000 y c/u disminuye en $60.000; suponga una tasa del 30% anual pagadero semestral. ¿Cuál será el valor de la deuda?
Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema.
G= $60.000 A= $8.000.000 0 1
i= 30% anual pagadero semestral
¿P?
NOTA: El presente se sitúa un período atrás de donde está el primer valor de A1 . La gráfica se dibuja de esta manera porque dice que disminuye.
20 mensualidades
Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? Nos preguntan el presente: ¿ P?
Tercer paso: Tenemos que usar todos los términos con las mismas unidades. Se cambia los porcentajes de interés con respecto al tiempo. En este caso se necesita un tiempo mensual. i = 30% anual pagadero semestral a % mensual i=
30 % anual pagadero semestral = 15% semestral = 0,15 2 semestral
(1 + is )2 = (1 + im )12 2
12
(1 + 0,15)12 = (1 + im )12 1
im = (1 + 0,15)6 − 1 im = 0,0235 = 2,35% mensual
Cuarto paso: Planteamos la fórmula que usaremos. (1 + i)n − 1 G (1 + i)n − 1 1 P = A( ) − ( − n) ∗ n i(1 + i) i i (1 + i)n
Quinto paso: Resolver el ejercicio a partir de la fórmula planteada y lo que nos preguntan. (1 + i)n − 1 G (1 + i)n − 1 1 P = A( ) − ( − n) ∗ n i(1 + i) i i (1 + i)n P = 8.000.000 ( ∗
(1 + 0,0235)20 − 1 60.000 (1 + 0,0235)20 − 1 ) − ( − 20) 0,0235(1 + 0,0235)20 0,0235 0,0235
1 (1 + 0,0235)20
P = $118.215.818
Calcular el valor actual de una renta de diez aĂąos de duraciĂłn valorada al 8 % anual, con pagos semestrales de $5.000.000 que crecerĂĄn semestralmente a razĂłn de un 2 %.
P= Âż?
đ?‘Ž1 = $5.000.000
PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio.
J%= 2%
0 1
i= 8% anual
10 aĂąos 20 semestres
NOTA: P se sitĂşa un perĂodo atrĂĄs de donde estĂĄ el primer valor de đ?‘Žđ?‘– . 1 aĂąo=2 semestres 10 aĂąos=20 semestres
La gráfica va de esta manera porque va en crecimiento.
SEGUNDO PASO: Convertir el porcentaje de interés en el tiempo estipulado, que es semestral. 8% anual
% semestral
(1 + ia )1 = (1 + is )2 1
2
(1 + 0,08)2 = (1 + is )2 1
is = (1 + 0,08)2 − 1 is = 0,0392 = 3,92%
TERCER PASO: La fórmula que se usará. 1− P = a1 (
(1 + j)n (1 + i)n ) i−j
CUARTO PASO: Resolver el ejercicio. 1− P = a1 (
(1 + j)n (1 + i)n ) i−j (1 + 0,02)20 (1 + 0,0392)20 ) 0,0392 − 0,02
1− P = 5.000.000 (
P= 81.071.593
Se realiza la compra de un camiĂłn acordando la siguiente forma de pago: como cuota inicial se abonan $10.000.000 y el resto mediante 36 pagos mensuales siendo el primero de $1.200.000 con un decrecimiento mensual de $20.000. Se pide calcular el valor al contado del camiĂłn, si se valora la operaciĂłn a un interĂŠs nominal del 6 % anual.
PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio.
$10.000.000
G= $20.000 A= $1.200.000
0 1
i= 6% anual
P= Âż?
NOTA: P se sitĂşa un perĂodo atrĂĄs de donde estĂĄ el primer valor de đ?‘Žđ?‘– . La grĂĄfica va de esta manera porque va en decrecimiento.
36 meses
SEGUNDO PASO: Convertir el porcentaje de interés en el tiempo estipulado, que es mensual. 6% anual
% mensual
(1 + ia )1 = (1 + im )12 1
12
(1 + 0,06)12 = (1 + im )12 1
im = (1 + 0,06)12 − 1 im = 0,00487 = 0,487%
TERCER PASO: La fórmula que se usará. (1 + i)n − 1 G (1 + i)n − 1 1 P = A( ) − ( − n) ∗ i(1 + i)n i i (1 + i)n
CUARTO PASO: Resolver el ejercicio. (1 + i)n − 1 G (1 + i)n − 1 1 P = A( ) − ( − n) ∗ i(1 + i)n i i (1 + i)n (1 + 0,00487)36 − 1 P = 10.000.000 + 1.200.000 ( ) 0,00487(1 + 0,00487)36 20.000 (1 + 0,00487)36 − 1 1 − ( − 36) ∗ 0,00487 0,00487 (1 + 0,00487)36 P= 38.350.684
Se va a adquirir una nave industrial y para ello va a dedicar lo que actualmente recibe por el alquiler de un inmueble de oficinas. El contrato se formalizĂł hace tres aĂąos, con pagos trimestrales de $2.500.000, con un crecimiento anual del 3 % y por un periodo de 15 aĂąos. ÂżCuĂĄl es el valor de la nave, si se valora la operaciĂłn a un interĂŠs de mercado del 6 % anual?
PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio.
J%= 3%
P= Âż?
0 1 aĂąo
i= 6% anual
NOTA: P se sitĂşa un perĂodo atrĂĄs de donde estĂĄ el primer valor de đ?‘Žđ?‘– .
15 aĂąos
La gráfica va de esta manera porque va en crecimiento.
SEGUNDO PASO: Convertir el porcentaje de interés en el tiempo estipulado, que es trimestral. 6% anual
% trimestral
(1 + ia )1 = (1 + it )4 1
4
(1 + 0,06)4 = (1 + it )4 1
it = (1 + 0,06)4 − 1 it = 0,0147 = 1,47%
TERCER PASO: Las fórmulas que se usarán. (1 + i)n − 1 F = A( ) i 1− P = a1 (
(1 + j)n (1 + i)n ) i−j
CUARTO PASO: Resolver el ejercicio. Se convierte los pagos trimestrales al período dado en el ejercicio, que en este caso es anual. Se hace hallando el futuro de una anualidad con los mismos períodos. 1 año=4 trimestres (1 + i)n − 1 F = A( ) i F = 2.500.000 (
(1 + 0,0147)4 − 1 ) 0,0147
F= $10.222.668 Ahora se halla lo que me piden, sabiendo que F es a1 . 1− P = a1 (
(1 + j)n (1 + i)n ) i−j (1 + 0,03)15 (1 + 0,06)15 0,06 − 0,03
1− P = 10.222.668 ( P= $119.235.370
)
Calcular el valor actual de una renta de diez aĂąos de duraciĂłn valorada al 8 % anual, con pagos trimestrales de $2.100.000 que crecerĂĄn semestralmente un 2 %.
PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio.
P= Âż?
J%= 2%
0 1 aĂąo 2 semestres
i= 8% anual
NOTA: P se sitĂşa un perĂodo atrĂĄs de donde estĂĄ el primer valor de đ?‘Žđ?‘– . 1 aĂąo=2 semestres 10 aĂąos=20 semestres
10 aĂąos 20 semestres
La gráfica va de esta manera porque va en crecimiento.
SEGUNDO PASO: Convertir los porcentajes de interés en el tiempo estipulado, que son trimestral y semestral. 8% anual
% trimestral
(1 + ia )1 = (1 + it )4 1
4
(1 + 0,08)4 = (1 + it )4 1
it = (1 + 0,08)4 − 1 it = 0,019 = 1,9%
8% anual
% semestral
(1 + ia )1 = (1 + is )2 1
2
(1 + 0,08)2 = (1 + is )2 1
is = (1 + 0,08)2 − 1 is = 0,039 = 3,9%
TERCER PASO: Las fórmulas que se usarán. (1 + i)n − 1 F = A( ) i 1− P = a1 (
(1 + j)n (1 + i)n ) i−j
CUARTO PASO: Resolver el ejercicio. Se convierte los pagos trimestrales al período dado en el ejercicio, que en este caso es semestral. Se hace hallando el futuro de una anualidad con los mismos períodos. 1 año=4 trimestres (1 + i)n − 1 F = A( ) i (1 + 0,019)4 − 1 F = 2.100.000 ( ) 0,019 F= $4.239.900 Ahora se halla lo que me piden, sabiendo que F es a1 . 1− P = a1 (
(1 + j)n (1 + i)n ) i−j (1 + 0,02)20 (1 + 0,039)20 ) 0,039 − 0,02
1− P = 4.239.900 (
P= $68.878.007
Una sociedad ha firmado el convenio colectivo con sus empleados para los próximos 10 años, en las siguientes condiciones: El salario medio será de $915.000 mensuales, con un crecimiento anual de $90.000 durante cinco años y en los cinco siguientes años se incrementará en un 3 % anual. Si la operación se valora al 6 % efectivo anual, se pide calcular el valor actual de los salarios.
PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio.
P= ¿? J%= 3%
G= $90.000
0 1 año
5
6
i= 6% anual
10 años
NOTA: Las gráficas van de esta manera porque va en crecimiento.
SEGUNDO PASO: Convertir el porcentaje de interés en el tiempo estipulado, que es mensual. 6% anual
% mensual
(1 + ia )1 = (1 + im )12 1
12
(1 + 0,06)12 = (1 + im )12 1
im = (1 + 0,06)12 − 1 im = 0,00487 = 0,487%
TERCER PASO: Las fórmulas que se usarán. (1 + i)n − 1 F = A( ) i (1 + j)n 1− (1 + i)n P = ai ( ) i−j (1 + i)n − 1 G (1 + i)n − 1 1 p = A( ) + ( − n) ∗ n i(1 + i) i i (1 + i)n A5 = A1 +4*G a6 = a5 (1 + j)4
CUARTO PASO: Resolver el ejercicio. Se convierte los pagos mensuales al período dado en el ejercicio, que en este caso es anual. Se hace hallando el futuro de una anualidad con los mismos períodos. 1 año=12 meses (1 + i)n − 1 F = A( ) i (1 + 0,00487)12 − 1 F = 915.000 ( ) 0,00487 F= $11.278.926
Se busca a6 que inicia en el sexto año, sabiendo que F es A1 . A5 = A1 +4*G A5 = 11.278.926+4(90.000) A5 = $11.638.926
Ahora se requiere a6 , sabiendo que A5 es a5 . a6 = a5 (1 + j)4 a6 = 11.638.926(1 + 0,03)4 a6 = $13.099.713
Hallando lo que nos piden tenemos: (1 + j)n 1− (1 + i)n − 1 G (1 + i)n − 1 1 (1 + i)n P = a6 ( ) + A( ) + ( − n) ∗ i−j i(1 + i)n i i (1 + i)n
(1 + 0,03)5 (1 + 0,06)5 0,06 − 0,03
1− P = 13.099.713 (
(1 + 0,06)5 − 1 + 11.278.926 ( ) 0,06(1 + 0,06)5 )
90.000 (1 + 0,06)5 − 1 1 + ( − 5) ∗ 0,06 0,06 (1 + 0,06)5 P= $106.214.965
Hallar el valor de un prĂŠstamo financiado al 2,8% mensual que se debe pagar con 24 cuotas mensuales, siendo de $ 3.000.000 la primera cuota y de ahĂ en adelante un crecimiento de $40.000 mensuales.
Se observa que ya tenemos ‘’A’’, ‘’i’’ y ‘’n’’ en los mismos tĂŠrminos, todos se dan de manera mensual, asĂ que podemos proceder a hallar P, utilizando la siguiente formula: (1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 đ??ş (1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 1 đ?‘ƒ=đ??´ [ ]− [ − đ?‘›] đ?‘Ľ đ?‘› đ?‘–(1 + đ?‘–) đ?‘– đ?‘– (1 + đ?‘–)đ?‘› (1 + 0.028)24 − 1 đ?‘ƒ = 3.000.000 [ ] 0.028(1 + 0.028)24 −
40.000 (1 + 0.028)24 − 1 1 [ − 24] đ?‘Ľ (1 + 0.028)24 0.028 0.028
R/. P = $58.970.303
Dentro de presupuesto de ingresos y egresos mensuales que el señor Arteaga tiene para el próximo año, espera ahorrar al final de cada trimestre $700.000 e incrementar trimestralmente dicha suma en $300.000 ¿Cuánto tendrá ahorrado al final de 10 años el señor Arteaga, si el banco le ofrece un interés del 4.5% trimestral?
Como podemos observar, el ejercicio me da los datos de ‘’A’’, ‘’e’’, ‘’i’’ en trimestres, así que debemos pasar ‘’n’’ de años a trimestres. Tenemos que 10 años equivalen a 40 trimestres, debido a que en 1 año hay 4 trimestres. Ahora, ya teniendo todo en las mismas unidades, procedemos a hallar F, que es lo que nos pide el ejercicio y lo hacemos usando la siguiente formula:
(1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝐺 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝐹=𝐴 [ ]− [ − 𝑛] 𝑖 𝑖 𝑖 𝐹 = 700.000 [
R/. F = $521.790.096
(1 + 0.045)40 − 1 300.000 (1 + 0.045)40 − 1 ]− [ − 40] 0.045 0.045 0.045
Usted necesita pedir un préstamo para la compra de un vehículo que vale 15 millones de pesos. Usted prevé que comprometiendo las primas que le pagan en la empresa, usted podría realizar pagos semestrales crecientes al 5% durante 5 años. ¿Encuentre cuál deberá ser la primera y la última cuota del préstamo?
Se observa que el valor de P se ubica en el periodo 0, esto es debido a que P se ubica un periodo antes de la primera cuota. Los pagos se dan semestrales, así que debemos transformar ‘’n’’ de años a semestres, teniendo que 5 años equivalen a 10 semestres debido a que en 1 año hay 2 semestres. Procedemos a hallar A para luego hallar a1 y a10 respectivamente, utilizando la siguiente formula:
(1 + đ?‘—)đ?‘› (1 + đ?‘–)đ?‘› đ?‘ƒ = đ?‘Ž1 ྌ1 − ྪ đ?‘–−đ?‘— 1.0510 1.0810 ྪ 15.000.000 = a1 ྌ 008 − 0.05 1−
a1 = $1.832.944.493 Procedemos luego a hallar a10: a10 = 1.832.944.493(1.05)9
Se eleva a la 9 porque es la cantidad de periodos existentes entre a1 y a10. a10 = $2.843.498.510
Hallar el valor de contado de un artĂculo que, financiado, puede adquirirse asĂ: una cuota inicial equivalente al 30% del valor de contado y el resto a 15 meses con cuotas que aumenten cada mes en el 2%, sabiendo que la primera serĂĄ de $ 230.000 y la tasa de interĂŠs serĂĄ del 34% anual pagadero mensual.
j = 2%
Se observa que ‘’n’’ se da en meses, al igual que el aumento de las cuotas, es por esto que debemos transformar la tasa de interĂŠs nominal a una tasa de interĂŠs mensual efectiva vencida, realizando el siguiente procedimiento: i apm ďƒ i mensual i đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ = 34 % = 0.02833 = 2.833% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ 12
Se divide sobre 12 debido a que en un aĂąo hay 12 meses. Ahora, ya que tenemos todo en las mismas unidades, procedemos a hallar P, utilizando la siguiente formula: (1 + đ?‘—)đ?‘› (1 + đ?‘–)đ?‘› đ?‘ƒ = đ?‘Ž1 ྌ1 − ྪ đ?‘–−đ?‘— (1 + 0.02)15 (1 + 0.02833)15 đ?‘ƒ = 0.3đ?‘? + 230.000 1 − 0.02833 − 0.02 [ ] P = $4.530.335
Un terreno que tiene un valor de $ 100.000.000 se financia a una tasa de interés del 34% anual pagadero mensual por medio del siguiente plan: cuota inicial igual al 20%, un pago por $ 5.000.000 en el mes 3, y una serie de 12 pagos que comienza en el mes 6, con un crecimiento mensual del 1,5%. Calcular el valor de la primera cuota de la serie de pagos.
i = 34% apm
Se observa que los pagos se realizan de manera mensual al igual que su crecimiento, así que debemos transformar la tasa de interés nominal a una tasa de interés mensual efectiva vencida, lo hacemos realizando el siguiente procedimiento: i apm i mensual
đ?‘– đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ =
34 % = 0.0283 = 2.83% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ 12
Ya que tenemos todo en las mismas unidades, procedemos a hallar el valor de la primera cuota, utilizando la siguiente formula: (1 + đ?‘—)đ?‘› (1 + đ?‘–)đ?‘› đ?‘ƒ = đ?‘Ž1 ྌ1 − ྪ đ?‘–−đ?‘— 100.000.000 = 20.000.000 + 5.000.000 đ?‘Ľ
1 (1.0283)3
(1 + 0.015)12 1 (1 + 0.0283)12 + đ?‘Ž1 ྌ1 − ྪđ?‘Ľ 0.0283 − 0.015 (1 + 0.0283)5
đ?‘Ž1 = $7.972.151
Un prĂŠstamo se debe cancelar con cuotas mensuales iguales dentro de cada semestre, pero semestre a semestre crecerĂĄn en $ 2.000. Si el interĂŠs de financiaciĂłn es del 24% anual, y el plazo es de 3 aĂąos, encontrar el valor del prĂŠstamo, si la primera cuota cancelada tiene un valor de $ 40.000.
ďƒ˜ Convertimos los intereses anuales a intereses mensuales e intereses semestrales para poder hallar el valor futuro del 1° semestre. 1
1
đ?‘–đ?‘š = (1.24)12 − 1 = 1.8% đ?‘š
đ?‘–đ?‘ = (1.24)2 − 1 = 11.35% đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ (1+đ?‘–)đ?‘› −1
đ??š = đ??´[
đ?‘–
]
(1.018)6 đ??š = 40.000 [ ] 0.018 đ??š = 251.062
ďƒ˜ Teniendo el valor del primer semestre (valor A), el valor gradiente y la tasa de interĂŠs, podemos hallar el valor Presente.
𝑃 = 𝐴[
(1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝐺 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 1 ] + [ − 𝑛] ∗ 𝑛 (1 + 𝑖)𝑛 𝑖(1 + 𝑖) 𝑖 𝑖
(1.1135)6 − 1 2000 (1.1135)6 − 1 1 𝑃 = 251062 [ ]+ [ − 6] ∗ 6 (1.1135)6 0.1135(1.1135) 0.1135 0.1135 𝑃 = 1.069.836
El valor del préstamo es de $1.069.836
Un prĂŠstamo se debe cancelar a 5 aĂąos y un interĂŠs de financiaciĂłn del 36% nominal anual pagadero mensual. Si las cuotas son quincenales e iguales dentro de cada semestre pero, semestre a semestre decrecen en $ 1.500, encontrar el valor de la primera cuota si el prĂŠstamo era de $ 3.000.000.
ďƒ˜ Transformamos el interĂŠs nominal a interĂŠs efectivo, y lo pasamos al periodo en que lo necesitemos đ?‘– = 36% đ?‘›đ?‘œđ?‘šđ?‘–đ?‘›đ?‘Žđ?‘™ đ?‘Žđ?‘?đ?‘š đ?‘–= 1
36 = 3% đ?‘š 12
đ?‘–đ?‘ž = (1.03)2 − 1 = 1.48%
đ?‘–đ?‘ = (1.03)6 − 1 = 19.4%
ďƒ˜ Hallamos el valor de la primera cuota. A1 con la ecuaciĂłn de presente. đ?‘ƒ = đ??´[
(1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 đ??ş (1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 1 ] − [ − đ?‘›] ∗ đ?‘› (1 + đ?‘–)đ?‘› đ?‘–(1 + đ?‘–) đ?‘– đ?‘–
(1.194)10 − 1 1500 (1.194)10 − 1 1 3.000.000 = đ?‘Ž1 [ ] − [ − 10] ∗ (1.194)10 0.194(1.194)10 0.194 0.194 đ?‘Ž1 = 705.706
ďƒ˜ El valor hallado es el valor del primer semestre, aplicamos la ecuaciĂłn de valor futuro (Anualidades) para hallar la primera cuota quincenal. đ?‘ = đ?‘¨[
(đ?&#x;? + đ?’Š)đ?’? − đ?&#x;? ] đ?’Š
(đ?&#x;?. đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;–)đ?&#x;” − đ?&#x;? đ?&#x;•đ?&#x;Žđ?&#x;“. đ?&#x;•đ?&#x;Žđ?&#x;” = đ?‘¨ [ ] đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;– đ?‘¨ = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;‘. đ?&#x;‘đ?&#x;’đ?&#x;Ž
ďƒ˜ NOTA: Usando el programa Solve de la calculadora CASIO fx-570ES PLUS el resultado es 113.340 Respuesta: El valor de la primera cuota es de $113.340
Un prĂŠstamo de $ 8.000.000 al 48% nominal anual pagadero semestral anticipado se debe cancelar en 4 aĂąos con cuotas mensuales iguales dentro de cada aĂąo, pero, aĂąo tras aĂąo crecen en $4.000, encontrar el valor de la Ăşltima cuota.
ďƒ˜ transformamos el interĂŠs nominal a efectivo y lo pasamos al periodo en que lo necesitamos. i = 48% aps anticipado ÂĄ=
48 2
= 24%đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ 1
đ?‘–đ?‘š = (1.24)6 − 1 = 3.65% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™
đ?‘–đ?‘Ž = (1.24)2 − 1 = 53.76% đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™
ďƒ˜ mediante la ecuaciĂłn de valor presente hallamos el valor de la primera anualidad.
đ?‘ƒ = đ??´[
(1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 đ??ş (1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 1 ] + [ − đ?‘›] ∗ đ?‘› (1 + đ?‘–)đ?‘› đ?‘–(1 + đ?‘–) đ?‘– đ?‘–
(1.5376)4 − 1 4.000 (1.5376)4 − 1 1 8.000.000 = đ??´ [ ] + [ − 4] ∗ (1.5376)4 0.5376(1.5376)4 0.5376 0.5376 đ?‘Ž = 5.233.939
ďƒ˜ el valor anteriormente calculado lo tomamos como valor futuro del primer aĂąo, mediante la ecuaciĂłn de valor futuro (anualidades) reemplazamos y hallamos el valor de la primera cuota mensual. (1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 đ??š = đ??´[ ] đ?‘– (1.0365)12 − 1 5.233.939 = đ??´ [ ] 0.0365 đ?‘Ž1 = 365.382
ďƒ˜ al tener la cuota a1, sabemos que l valor de las cuotas aumentan 4.000 por cada aĂąo transcurrido. Entonces a la cuota a1 le sumamos $12.000 y hallaremos el valor de la cuota a48 đ?‘Ž48 = 355.382 + 12.000 đ?‘Ž48 = 367.382
Respuesta: el valor de la Ăşltima cuota del prĂŠstamo es de $367.382
Se necesita reponer una máquina dentro de 5 meses y se estima que su precio en dicho momento será $ 17.213.648,4. Con tal fin se desea crear un fondo en una corporación que pagará un interés del 3% mensual. Hallar el valor del depósito que se debe efectuar dentro de un mes si los depósitos se incrementan en un 4% mensual, con respecto al depósito anterior.
Teniendo en cuenta los valores dados, aplicamos la ecuación de futuro y reemplazamos para hallar el valor de la primera cuota mensual.
(1 + đ?‘—)đ?‘› 1− (1 + đ?‘–)đ?‘› đ??š = đ??´ŕľŚ ྪ đ?‘–−đ?‘— (1.04)5 (1.03)5 17.213.648 = đ??´ ྌ ྪ 0.03 − 0.04 1−
đ??´ = 3.477.822
Respuesta: valor del primer deposito es de $3.477.822
Si se deposita hoy $ 14.848.644,2 en una corporaciĂłn que reconoce el 3% mensual durante cuantos meses podrĂŠ hacer retiros de fin de mes de tal manera que cada retiro sea el 4% mayor que el retiro anterior, si se sabe que el valor del primero retiro es de $ 3.000.000.
ďƒ˜ Con los valores dados aplicamos la ecuaciĂłn de presente para hallar el nĂşmero de meses. (1+đ??˝)đ?‘›
1− (1+đ?‘–)đ?‘›
đ?‘ƒ = đ??´ŕľĽ
đ?‘–−đ??˝
ྊ
(1.04)đ?‘› 1− (1.03)đ?‘› 14.848.644 = 3.000.000 ྌ ྪ 0.03 − 0.04 đ?‘› = 4.9 đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘
Respuesta: se podrĂĄ hacer retiros durante un periodo de 4.9 meses
Encontrar el valor de un préstamo a 3 años, con un interés de financiación del 3% mensual, si fue cancelado de la siguiente manera: la primera cuota de $60.000 se pagó un mes después de concedido el préstamo. Las demás cuotas durante el primer año aumentaron en el 8% mensual; la cuota 13 fue la cuota 12 aumentada en el 9%, y las demás siguieron aumentando en el mismo porcentaje hasta la cuota 24. La cuota 25 tiene el valor de la cuota 24 aumentada en el 3%. Las demás cuotas del tercer año también aumentaron en el 3%.
Solución: se realiza el grafico, teniendo en cuenta que es un gradiente geométrico:
Se hallan las cuotas mensuales, según su crecimiento: a1 = 60.000 a12= 60.000 x (1.08)11 = 139.898 a13 = 139.898 x (1.09) = 152.488 a24= 139.898 x (1.09)11 = 360.996 a25= 360.996 x (1,03) = 371.825
Se utiliza la siguiente formula de presente, donde se reemplazan los datos, es decir: 1− P= A∗
1− 60.000 ∗
(1 + j)n (1 + i)n i−j
(1 + 0,08)12 (1 + 0,09)12 1 − 1 (1 + 0,03)12 (1 + 0,03)12 + 152.488 ∗ ∗ +0 (1,03)11 0,03 − 0,08 0,03 − 0,09 P = 2.705.403
ANEXO: Al ser la tasa de interés igual al crecimiento, y hacer el cálculo da error del ultimo gradiente, entonces la respuesta es la suma de los 2 primeros gradientes, y el otro se coloca como cero. RTA/ El valor de un préstamo $2.705.403
Hallar el valor de un préstamo financiado al 2,8% mensual que se debe pagar con 24 cuotas, siendo de $ 300.000 la primera y las demás 5% de la correspondiente cuota anterior.
Solución: Se realiza el grafico, es un gradiente geométrico ya que las cuotas crecen en un porcentaje, una respecto a la otra, por esto es una curva.
Se utiliza la siguiente formula de presente, donde se reemplazan los datos, es decir:
1− P= A∗
(1 + j)n (1 + i)n i−j
1− P = 300.000 ∗
( 1 + 0,05 ) 24 ( 1 + 0,028 ) 24 0,028 − 0,05
P = 9.031.312
RTA/ el valor del préstamo es de $9.031.312 financiado al 2,8% mensual.
Una deuda se debe cancelar con 18 cuotas mensuales tales que cada cuota aumenta en el 2,4% respecto de la cuota anterior. Si el interés de financiación es del 3,1% mensual y el valor de la primera cuota es de $ 400.000. a) Encuentre el valor del préstamo, b) Hallar el acumulado de lo que se ha pagado una vez cancelada la cuota 10, y c) Si al pagar la cuota 10 se solicita refinanciar el saldo existente en dicho momento para cancelarlo con 15 cuotas mensuales iguales un interés del 3,3% mensual determine el valor de las nuevas cuotas.
Solución: Se realiza el grafico, es un gradiente geométrico ya que las cuotas crecen en un porcentaje, una respecto a la otra, por esto es una curva.
A) Se utiliza la siguiente formula de presente, donde se reemplazan los datos, es decir: 1− P= A∗
(1 + j)n (1 + i)n i−j
1− P = 400.000 ∗
( 1 + 0,024 ) 18 ( 1 + 0,031 ) 18 0,031 − 0,024
P = 6.594.715
B) Se halla el valor de cada una de las cuotas que se pagaron, aumentando un 2,4% con respecto a la otra. A 1 = 400.000 A 2= 400.000 x (1.024)1 = 409.600 A 3= 400.000 x (1.024)2 = 419.430 A 4 = 400.000 x (1.024)3 =429.496 A 5= 400.000 x (1.024)4 = 439.804 A 6 = 400.000 x (1.024)5 = 450.359 A 7= 400.000 x (1.024)6 = 461.168 A 8 = 400.000 x (1.024)7 = 472.236 A 9 = 400.000 x (1.024)8 = 483.570 A 10 = 400.000 x (1.024)9 = 495.176 A Total = 4.460.839
C) Se realiza el grafico nuevamente, siendo esta vez una anualidad, ya que se pagarán cuotas iguales.
MESES 10
34 I= 3.3% mensual
Se debe conocer primero cuánto dinero me falta para terminar de pagar el préstamo, aquel valor se vuelve en mi presente, para esto se realiza la siguiente resta: 65.947.15 – 4460839 = 2.133.876 Se utiliza la siguiente formula de presente, donde se reemplazan los datos, y se despeja A, es decir: (1 + i)n − 1 P=A∗ i(1 + i)n 2.133.876 = A ∗
(1 + 0,033)15 − 1 0,033(1 + 0,033)15
A = 182.648
RTAS/ A) El valor del préstamo es de $6.594.715 B) El acumulado de lo que se ha pagado es de $4.460.839, una vez cancelada la cuota 10. C) El valor de las nuevas cuotas es de $ 182.648 al refinanciar el saldo existente.
Al comprar una casa se quedan debiendo $ 15.000.000 los cuales se deben cancelar en 10 años con cuotas mensuales iguales dentro de cada año pero que año tras año se incrementan en el 3%. Si el interés de financiación es del 25% anual: a) encontrar el valor del primer pago, b) hallar el saldo una vez se cancele la cuota 78.
Solución: se realiza el grafico, como las cuotas son mensuales iguales, se hace una anualidad que va incrementando una respecto a la otra.
A) Se utiliza la siguiente formula de presente, se reemplazan los datos, es decir:
1− P= A∗
(1 + j)n (1 + i)n i−j
15.000.000=A1∗
( 1+ 0,03) 10 1+0,025) 10
1−(
0.25−0.03
൩
A1 = 3.856.500 anual
Se tiene la cuota anual, entonces esta se divide en 12 que es el número de meses en un año y nos da la cuota mensual, es decir: A1 =
3.856.500 12
A1= 321.375 mensual
B) Se saca el valor de cada cuota anual hasta la 7, ya que en ese año se paga la cuota mensual 78: a1 = 3.856.500 a2= 3.856.500 x (1.03)1 = 3.972.195 a3= 3.856.500 x (1.03)2= 4.091.360 a4 = 3.856.500 x (1.03)3= 4.214.101 a5= 3.856.500 x (1.03)4= 4.340.524 a6 = 3.856.500 x (1.03)5= 4.470.740 a7= 3.856.500 x (1.03)6 = 4.604.862 Teniendo la cuota 7 la divido en 12 porque son los meses que tiene el año y obtengo la cuota mensual, usando esta cuota, la multiplico por 6 ya que la cuota mensual 78 se encuentra en el año 6.5, es decir:
a7 4.604.862 = = 383.738 12 12 383.738 x 6 = 2.302.428 Luego se haya el saldo que queda, usando la cuota 6 y agregándole lo cancelado a la cuota 78, ese resultado se resta al valor del préstamo, es decir:
a6 = 4.470.740 + 2.302.428 = 6.773.168 15.000.000 - 6.773.168 $8.226.832
RTAS/ A) El valor del primer pago es de $321.375 mensual. B) El saldo una vez se cancele la cuota 78 es de $8.226.832
Un préstamo para adquirir vivienda se debe cancelar en 7 años con cuotas mensuales iguales dentro de cada semestre, pero semestre a semestre crecen en el 2%. Si el interés de financiación es del 48% anual y el valor de la primera cuota es de $ 580.000, encontrar: a) Valor del préstamo, b) ¿cuánto se estará debiendo una vez cancelada la cuota 50?
Solución: se realiza el grafico, como las cuotas son mensuales iguales, se hace una anualidad que va incrementando una respecto a la otra semestralmente.
A) ďƒ˜ Se cambia la tasa de interĂŠs de nominal a efectiva: (1 + 0,48) 2 = (1 + is) 1 đ?&#x;?
is = (1,48) đ?&#x;? − 1 = 0.2165 = 21.65%semestral ďƒ˜ Se utiliza la siguiente formula de presente, en donde se reemplazan los datos, y se halla la cuota semestral, es decir: 1− P= A∗
(1 + j)n (1 + i)n i−j
A semestral= 580.000 x 6 = 3.480.000
1− P = 3.480.000 ∗
(1 + 0,02)14 (1 + 0.2165)14 0.2165 − 0.02
P = 16.206.610 B)
ďƒ˜ Se saca el valor de cada cuota semestral hasta la 9, ya que en ese periodo se paga la cuota mensual 50: a1 = 3.480.000 a2= 3.480.000 x (1.02)1 = 3.549.600 a3=3.480.000 x (1.02)2= 3.620.592 a4 = 3.480.000 x (1.02)3= 3.693.004
a5= 3.480.000 x (1.02)4= 3.766.864 a6 = 3.480.000 x (1.02)5= 3.842.201 a7= 3.480.000 x (1.02)6 = 3.919.045 a8= 3.480.000 x (1.02)7 = 3.997.426 a9= 3.480.000 x (1.02)8 = 4.077.375
Teniendo la cuota 9 la divido en 6 porque son los meses que tiene el semestre y obtengo la cuota mensual, ya que la cuota mensual 50 está 2 meses después de pagar la última cuota semestral, se multiplica por 2, es decir: a9 4.077.375 = = 679.562 6 6 679.562 x 2 = 1.359.124 Luego se haya el saldo que queda debiendo, usando la cuota 8 y agregándole lo cancelado a la cuota 50, ese resultado se resta al valor del préstamo, es decir:
A8 = 3.997.426+ 1.359.124 = 5.356.550 16.206.610 - 5.356.550 $10.850.060
RTAS/ A) El valor del préstamo es de $16.206.610 B) se estará debiendo $10.850.060 una vez cancelada la cuota 50.
Financiar $ 6.000.000 de hoy, a tres años con cuotas mensuales que aumenten en el 3% cada mes hasta el final del segundo año y de allí en adelante permanezcan constantes. La tasa de interés será del 2,5% mensual durante los dos primeros años y del 36% anual de allí en adelante. Se debe plantear la gráfica la cual es un gradiente Geométrico debido a que crece porcentualmente y que después de la cuota 24 es decir al final del segundo año las cuotas son constantes esto quiere decir que es una anualidad, por eso en este caso en la gráfica se van a observar tanto anualidades como gradientes:
Antes de resolver el ejercicio se debe mirar que las tasas de interés estén iguales a los pagos, como se observa no pasa eso por lo tanto se debe cambiar la tasa a través de la relación:
(1 + đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ )12 = (1 + đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ )1
Despejamos el đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ y se reemplazan los valores: 1
đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ = (1 + đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ )12 − 1 1
đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ = (1,36)12 − 1 đ?‘–đ?‘š = 2,59% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™
DespuĂŠs de pasar la tasa de interĂŠs lo que se hace es igualar las flechas que van hacia abajo con las que van hacia arriba, teniendo en cuenta las relaciones de gradientes y anualidades las cuales son: Para anualidades: đ?‘ƒ = đ??´[
(1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 ] đ?‘– ∗ (1 + đ?‘–)đ?‘›
Donde A es el valor de la cuota y P es el valor presente que se encuentra un periodo atrĂĄs de donde estĂĄ el primer valor de A. Para gradientes geomĂŠtricos: (1 + đ??˝)đ?‘› 1− (1 + đ?‘–)đ?‘› đ?‘ƒ = đ?‘Ž0 ྌ ྪ đ?‘–−đ??˝ Donde đ?‘Ž0 es el valor de la primera cuota y P es el valor presente que se encuentra un periodo atrĂĄs de donde estĂĄ el primer valor de đ?‘Ž0 . Recordar que todo se debe llevar a P y que dependiendo donde este P del primer valor se multiplica por (1+i) si se debe llevar de izquierda a derecha o a dividir si se debe llevar de derecha a izquierda:
(1,03)23 (1,0259)12 − 1 (1,025)23 1 24 ) (1,025) (đ?‘Ž (1,03) $6.000.000 = đ?‘Ž0 ∗ + 0∗ [ ] 0,025 − 0,03 0,0259 ∗ (1,0259)12 [ ] 1 ∗ (1,025)24 1−
Simplificando la ecuaciĂłn anterior y despejando đ?‘Ž0 : $6.000.000 = (24,2773351)đ?‘Ž0 + (11,46594255)đ?‘Ž0 đ?‘Ž0 = $167.864 R/ El valor de la primera cuota es de $167.864
Determinar el valor de contado de un activo, si financiado se adquiere asĂ: una cuota inicial de $ 45.000.000, dieciocho cuotas mensuales iguales de $ 4.000.000 cada una, y luego cuotas trimestrales de $ 15.000.000 la primera, $ 16.000.000 la segunda, $17.000.000 la tercera y asĂ sucesivamente hasta finales del cuarto aĂąo; finalmente, seis meses despuĂŠs de la Ăşltima de estas cuotas trimestrales, un pago equivalente al 15% del valor de contado. La tasa de interĂŠs es del 36% anual. Se debe plantear teniendo en cuenta que en este caso hay una anualidad y despues un gradiente aritmĂŠtico:
A = $15.000.000
$4.000.000 0
1
0,15P
$1.000.000
$45.000.000
18
21
48
54 meses
� = 36% �����
P
Lo siguiente es cambiar la tasa de interĂŠs ya que los pagos estĂĄn mensuales y trimestrales para eso se utilizan las siguientes relaciones:
(1 + đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ )12 = (1 + đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ )1 Despejamos el đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ y se reemplazan los valores: 1
đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ = (1 + đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ )12 − 1 1
đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ = (1,36)12 − 1 đ?‘–đ?‘š = 2,59% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ Y para el trimestral: (1 + đ?‘–đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ )4 = (1 + đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ )1 Despejamos el đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ y se reemplazan los valores: 1
đ?‘–đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ = (1 + đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ )4 − 1 1
đ?‘–đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ = (1,36)4 − 1 đ?‘–đ?‘Ą = 7,99 % đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ Lo siguiente es hallar P igualando los pagos con las deudas (flechas hacia abajo): Recordar que las ecuaciones para anualidades y para gradientes aritmĂŠticos: Para anualidades: (1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 đ?‘ƒ = đ??´[ ] đ?‘– ∗ (1 + đ?‘–)đ?‘› Donde A es el valor de la cuota y P es el valor presente que se encuentra un periodo atrĂĄs de donde estĂĄ el primer valor de A. Para gradientes aritmĂŠticos: (1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 đ??ş (1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 1 đ?‘ƒ = đ??´1 [ ] + ∗ [ − đ?‘›] ∗ (1 + đ?‘–)đ?‘› đ?‘– ∗ (1 + đ?‘–)đ?‘› đ?‘– đ?‘– Donde A es el valor de la cuota y P es el valor presente que se encuentra un periodo atrĂĄs de donde estĂĄ el primer valor de đ??´1 .
đ?‘ƒ = $45.000.000 + $4.000.000 [
(1 + 0,026)18 − 1 ] 0,026 ∗ (1 + 0,026)18
(1 + 0,0799)10 − 1 + {$15.000.000 [ ] 0,0799 ∗ (1 + 0,0799)10 +
$1.000.000 (1 + 0,0799)10 − 1 1 [ ] − 10} ∗ (1 + 0,026)18 0,0799 0,0799
+ 0,15đ?‘ƒ
1 (1 + 0,026)54
Se despeja P y se halla el valor el cual es: đ?‘ƒ = $188.816.965,3 R/ El valor de contado del activo es de $188.816.965
Financiar una deuda de $ 8.000.000 de hoy, en 36 cuotas mensuales sabiendo que la primera debe pagarse dentro de 6 meses y de allí en adelante las cuotas aumentarán en el 3% cada mes hasta la vigésima cuota, y a partir de ese momento las cuotas permanecerán constantes. La tasa de interés sobre saldo será del 5% mensual durante los 6 primeros meses y del 4% mensual de allí en adelante. Determine el valor de la primera cuota.
Al mirar la gráfica se observa que la tasa de interés y los periodos están en meses, por lo tanto no hay que cambiarlas, lo que se debe hacer es igualar los pagos con deudas, es decir, flechas hacia arriba con flechas hacia abajo, recordando que hay un gradiente geométrico y una anualidad y que sus ecuaciones son:
Para anualidades: đ?‘ƒ = đ??´[
(1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 ] đ?‘– ∗ (1 + đ?‘–)đ?‘›
Donde A es el valor de la cuota y P es el valor presente que se encuentra un periodo atrĂĄs de donde estĂĄ el primer valor de A. Para gradientes geomĂŠtricos: (1 + đ??˝)đ?‘› 1− (1 + đ?‘–)đ?‘› đ?‘ƒ = đ?‘Ž1 ྌ ྪ đ?‘–−đ??˝ Donde đ?‘Ž0 es el valor de la primera cuota y P es el valor presente que se encuentra un periodo atrĂĄs de donde estĂĄ el primer valor de đ?‘Ž1 . Se procede a igualar: (1,03)19 1 1 (1,04)19 1 (1,03) 8.000.000 = đ?‘Ž1 ( ) + đ?‘Ž ) ྌ ྪ( 1 6 (1,05) 0,04 − 0,03 (1,05)6 1−
(1,04)16 − 1 1 1 + đ?‘Ž1 (1,03)19 [ ]( )( ) 16 18 (1,04) (1,05)6 0,04 (1,04)
đ?‘Ž1 = $377.773 R/ El valor de la primera cuota es de $377.773
Sustituir una obligaciĂłn que consta de tres pagarĂŠs asĂ: $ 20.000.000 para dentro de tres meses; $ 28.500.000 para dentro de 8 meses y $ 32.000.000 para dentro de un aĂąo y medio, por su equivalente en cuotas mensuales que aumenten en el 5% cada mes, debiendo pagarse la primera dentro de 6 meses y la Ăşltima dentro de 28 meses, sabiendo que para este caso se cobrarĂĄ un interĂŠs del 3,3% mensual. Se debe platear la grĂĄfica, al leer se identifica que las cuotas crecen porcentualmente lo que indica es que es un gradiente geomĂŠtrico:
J = 5% anual đ?‘Ž1
8
3 0
18 28 meses
6 $20.000.000
$28.500.000
đ?‘– = 3,3 % đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™
$32.000.000
En este caso no se debe cambiar el interes debido a que esta igual que los periodos, por lo tanto lo que se debe hacer es igualar las deudas (flechas hacia abajo) con los pagos (flechas hacia arriba), recordar que se debe llevar al mes 3 y que lo que este a la izquierda se debe multiplicar por (1+i) elevado al numero de periodos que hay entre estos y que se debe dividir si esta a la izquierda, la ecuacion de gradientes geometricos es:
(1 + đ??˝)đ?‘› 1− (1 + đ?‘–)đ?‘› đ?‘ƒ = đ?‘Ž1 ྌ ྪ đ?‘–−đ??˝
Donde đ?‘Ž0 es el valor de la primera cuota y P es el valor presente que se encuentra un periodo atrĂĄs de donde estĂĄ el primer valor de đ?‘Ž1 . Se procede a igualar: $20.000.000 + $28.500.000 ∗
1 1 + $32.000.000 ∗ 5 (1 + 0,033) (1 + 0,033)15
(1 + 0,05)23 1 (1 + 0,033)23 ŕľŞâˆ— (1 + 0,033)2 0,033 − 0,05
1− = đ?‘Ž1 ∗ ྌ
đ?‘Ž1 = $2.596 R/ El valor de la primera cuota es de $2.596
Un empleado decide ahorrar la quinta parte de su salario mensual, en una cuenta de ahorros que paga un interĂŠs del 33% anual pagadero trimestral. El empleado tiene en la actualidad un salario de $ 1.335.000 mensuales y le serĂĄ aumentado en el 12% cada aĂąo. Hallar la cantidad que tendrĂĄ ahorrada al cabo de doce aĂąos. Se debe plantear la grĂĄfica, al leer el enunciado se observa que son anualidades que crecen cada aĂąo, por lo tanto la grĂĄfica queda:
Como se lee en el enunciado el interĂŠs es del 33% anual pagadero trimestral, lo cual indica que tasa de interĂŠs es nominal y se debe pasar a efectiva, para esto se divide el 33% en 4 que es el nĂşmero de trimestres que tiene un aĂąo: 33 % = 8,25% đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ 4 Una vez hecho esto, se procede a pasar a mensual, a travĂŠs de la relaciĂłn: (1 + đ?‘–đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ )4 = (1 + đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ )12
Despejamos el đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ y se reemplazan los valores: 4
đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ = (1 + đ?‘–đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ )12 − 1 4
đ?‘– = (1,0825)12 − 1 = 2,68% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ Se debe hallar el valor de la primera cuota para esto, se divide en 5 ya que dice que es la quinta parte de su salario: đ?‘Ž1 =
1.335.000 = $267.000 5
Debido si el ejercicio se resuelve por anualidades la ecuaciĂłn queda bastante lo que se plantea es hallar el valor futuro para el primer aĂąo, con base a la ecuaciĂłn de anualidades la cual es: đ??š = đ??´[
(1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 ] đ?‘–
Donde F es el valor futuro que se encuentra situado en el Ăşltimo pago de la anualidad y A es el valor de la cuota mensual. Al sustituir valores se obtiene: (1,0268)12 − 1 (1,0268)12 − 1 đ??š = đ?‘Ž1 [ ] = 267.000 [ ] = $3.721.115,618 0,0268 0,0268 Con lo hallado anteriormente se hace otra grĂĄfica:
J = 12% anual
0
1
12 aĂąos F
Se debe pasar a efectiva, para esto se divide el 33% en 4 que es el nĂşmero de trimestres que tiene un aĂąo: đ?‘–=
33 % = 0.0825 = 8.25% đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ 4
Una vez hecho esto, se procede a pasar a mensual, a travĂŠs de la relaciĂłn: (1 + đ?‘–đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ )4 = (1 + đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ )1 Despejamos el đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ y se reemplazan los valores: 4
đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ = (1 + đ?‘–đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ )1 − 1 đ?‘–đ?‘Ž = (1,0825)4 − 1 = 0.3731 = 37.31% đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ Al hallar el valor del interĂŠs se halla el valor futuro que es el que se pide hallar, para esto se utiliza la relaciĂłn: (1 + đ??˝)đ?‘› 1− (1 + đ?‘–)đ?‘› đ??š = đ?‘Ž1 ∗ ྌ ྪ ∗ (1 + đ?‘–)đ?‘› đ?‘–−đ??˝ Se sustituyen los valores: (1,12)12 1− (1,3731)12 đ??š = $3.721.115,618 ∗ ྌ ྪ ∗ (1,3731)12 = $603.120.693 0,3731 − 0,12
R/. La cantidad ahorrada al cabo de doce aĂąos es de $603.120.693
Hallar el valor de contado de un artículo adquirido con el siguiente plan: cuota inicial de $130.000.000 y 20 cuotas mensuales; $ 15.500.000 es el valor de la primera, $ 15.700.000 la segunda, $ 15.900.000 la tercera y así sucesivamente, sabiendo que la tasa de interés es del 30% anual pagadero mensual. SOLUCION: Se realiza el diagrama económico sabiendo que: Aporte de contado de 130.000.000 20 cuotas mensuales con G=200000 I= 30%APM
A1=15.500.000
G=200.000 130.000.000 0 1
I=30%APM
20 meses
El valor de G que es la cantidad que crece mensualmente las cuotas se dedujo de la siguiente manera:
đ??ş = 15.700.000 − 15.500.000 = 200.000 Para la soluciĂłn de este ejercicio se utiliza la ecuaciĂłn de presente debido a que nos estĂĄn solicitando el valor de contado asĂ mismo se debe sumar el aporte realizado en el mes cero: (1+đ??ź)đ?‘› −1
đ??ş (1+đ??ź)đ?‘› −1
1
đ?‘ƒ = đ??´ ቂ(đ??ź)(1+đ??ź)đ?‘› ቃ + đ??ź ቂ(đ??ź)(1+đ??ź)đ?‘› − đ?‘›á‰ƒ (1+đ??ź)đ?‘› Antes de reemplazar en la ecuaciĂłn se transforma la tasa de interĂŠs, pasando los aĂąos a meses: 1 đ?‘ŽĂąđ?‘œ
30%APM Ă— 12 đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘’ = 2,5% mensual Reemplazamos en la ecuaciĂłn: (1+0,025)20 −1
đ?‘ƒ = 130.000.000 + 15.500.000 ቂ(0,025)(1+0,025)20 ቃ + P=
398.701.062
200.000 (1+0,025)20 −1 0,025
ቂ
(0,025)
1
− 20ቃ (1,025)20
Usted va a depositar dentro de 6 meses $5.000.000, dentro de 9 meses $10.000.000, dentro de 1 año $15.000.000, y así sucesivamente hasta que hace el último depósito dentro de 4 años. ¿Cuánto tendrá en ese entonces acumulado, si los depósitos ganan un interés del 8% trimestral pagadero bimestral?
SOLUCION: se realiza el diagrama económico sabiendo que: A1= 5.000.000 14 cuotas trimestrales que empiezan en el mes 6 y terminan en el mes 45 completando los 4 años G=5.000.000 I=8% TPB
G=5.000.000
0
45 meses 14 trimestres
6 F=?
El valor de G que es la cantidad que crece mensualmente las cuotas se dedujo de la siguiente manera:
đ??ş = 10.000.000 − 5.000.000 = 5.000.000 Para la soluciĂłn de este ejercicio se utiliza la ecuaciĂłn de futuro ya que nos solicitan hallar un valor acumulado en 4 aĂąos: đ??š = đ??´á‰‚
(1+đ??ź)đ?‘› −1 (đ??ź)
đ??ş (1+đ??ź)đ?‘› −1
ቃ+ đ??ź ቂ
(đ??ź)
− đ?‘›á‰ƒ
Antes de reemplazar en la ecuaciĂłn se transforma la tasa d interĂŠs: Pasamos los trimestres a bimestres: 8% TPB Ă—
4 đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ 6 đ?‘?đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘
= 5,33%
Ahora transformamos los bimestres a trimestres: 6
đ??źđ?‘Ą = (1 + 0,0533)4 − 1 = 0.081 = 8.1% Trimestral Reemplazamos en la ecuaciĂłn: đ??š = 5.000.000 ቂ F=
(1+0.081)14 −1 (0.081)
763.232.531,6
ቃ+
5.000.000 (1+0.081)14 −1 0.081
ቂ
(0.081)
− 14ቃ
Para una serie de pagos de $ 5.000.000 cada mes durante el primer año, de $ 6.000.000 cada mes durante el segundo año, de $ 7.000.000 cada mes durante el tercer año y así sucesivamente y por espacio de 10 años. Calcular el valor presente teniendo en cuenta que la tasa de interés aplicada es del 3% mensual SOLUCION: Se realiza el diagrama económico sabiendo que: Pagos mensuales que crecen anualmente por 10 años I=3% mensual
Como las cuotas son mensuales y el crecimiento es anual se halla un futuro para realizar la soluciĂłn en funciĂłn de los aĂąos, se aplica la ecuaciĂłn de futuro de anualidades: đ??š = đ??´á‰‚
(1+đ??ź)đ?‘› −1 (đ??ź)
ቃ
Realizamos el diagrama econĂłmico para hallar el futuro, el valor que se obtiene aquĂ se tomara como una anualidad posteriormente:
5000000 1
12 meses
Reemplazamos en la ecuaciĂłn: đ??š = 5000000 ቂ
(1+0,03)12 −1 (0,03)
ቃ = 70.960.147,81
Hallamos un nuevo futuro para el gradiente: 1.000.000
1
đ??š = 1000000 ቂ
12
(1+0,03)12 −1 (0,03)
ቃ = 14.192.029,56
Ahora se realiza la soluciĂłn y un nuevo diagrama econĂłmico sabiendo que: A=70.960.147,81 G=14.192.029,56 I=3% mensual G=14.192.029,56 A=70.960.147,81 1
P=? Aplicamos la ecuaciĂłn de presente: (1+đ??ź)đ?‘› −1
đ??ş (1+đ??ź)đ?‘› −1
1
đ?‘ƒ = đ??´ ቂ(đ??ź)(1+đ??ź)đ?‘› ቃ + đ??ź ቂ(đ??ź)(1+đ??ź)đ?‘› − đ?‘›á‰ƒ (1+đ??ź)đ?‘› Antes de reemplazar en la ecuaciĂłn se transforma la tasa de interĂŠs: đ??źđ?‘Ž = (1 + 0,03)12 − 1 = 0.42576 = 4,2576% anual Reemplazamos en la ecuaciĂłn: (1+0,45276)10 −1
đ?‘ƒ = 70.960.147,81 ቂ(0,45276)(1+0,45276)10ቃ + 1
10ቃ (1,45276)10 P=
228.298.225,6
14.192.029,56 ,45276
(1+đ??ź0,45276)10 −1
ቂ(0,45276)(1+0,45276)10 −
10 estudiantes recién ingresados piensan asociarse y crear un fondo de ahorros mensuales de tal forma que al culminar sus 5 años de estudio posean un capital de $10'000.000 con el propósito de fundar su propia empresa. Sus ingresos les permiten incrementar el ahorro mensual en un 2% y la entidad financiera les ofrece un interés mensual del 2.5%. ¿Cuánto deberá ser el ahorro mensual inicial de cada uno de los estudiantes? SOLUCION: Se realiza el diagrama económico sabiendo que: J= 2% incremento mensual por 5 años equivalentes a 60 meses F=10.000.000 I=2.5% mensual
a1=?
Para la soluciĂłn de este ejercicio se aplica la ecuaciĂłn de futuro y utilizando shift solve se despeja a1: đ??š = đ?‘Ž1 ྼ
1−
(1+đ??˝)đ?‘› (1+đ??ź)đ?‘›
đ??źâˆ’đ??˝
ྊ (1 + đ??ź)đ?‘›
Reemplazamos en la ecuaciĂłn:
10000000 = �1 ྼ
1−
(1+0,02)60 (1+0,025)60
0,025−0,02
ྊ (1 + 0,025)60
a1= 44.692,38 El valor obtenido se divide entre el nĂşmero de estudiantes para hallar el aporte de cada uno: $44.692,38 10
=
4.469
Una serie de pagos mensuales se inicia hoy con un pago de $ 5.000.000 y aumentará en una cantidad fija de dinero hasta llegar a $ 11.000.000 dentro de doce meses; a partir de allí disminuirá en otra suma fija de dinero hasta llegar a $7.400.000 diez meses más tarde. Para una tasa de interés del 32% anual, hallar el valor presente de esta serie.
SOLUCION: Se realiza el diagrama económico sabiendo que: Se realiza hoy un pago de 5000000 el cual aumenta en una cantidad fija G1 por 12 meses hasta llegar a 11000000. A partir de los 11000000 se empieza a disminuir en otra cantidad fija G2 por diez meses hasta llegar a 7400000. I=32% anual P=?
Antes de realizar el diagrama económico se calcula G1 y G2: G1 = 11000000 − 5000000 = G2 = 11000000 − 7400000 =
6000000 12 3600000 10
= 500000 = 360000
Conociendo estos valores se realiza el diagrama económico
11000000
10640000
G2=360000
G1=500000
7400000
Hoy
P=?
12 13
22meses
Para la soluciĂłn de este ejercicio se aplicara la ecuaciĂłn de presente teniendo en cuenta que estĂĄ dividido en dos partes por tal motivo cada parte se llevara al valor presente y como este estĂĄ ubicado en la parte izquierda se divide tantos espacios se recorran: (1+đ??ź)đ?‘› −1
đ??ş (1+đ??ź)đ?‘› −1
đ?‘›
đ?‘ƒ = đ??´ ቂ(đ??ź)(1+đ??ź)đ?‘› ቃ + đ??ź ቂ(đ??ź)(1+đ??ź)đ?‘› − (1+đ??ź)đ?‘›á‰ƒ Antes de reemplazar en la ecuaciĂłn se transforma la tasa de interĂŠs: 1
đ??źđ?‘š = (1 + 0,32)12 − 1 = 0,0234 Ahora reemplazamos en la ecuaciĂłn: (1+0,0234)12 −1
đ?‘ƒ = 5000000 ቂ(0,0234)(1+0,0234)12 ቃ + (1+0,0234)10 −1
10640000 ቂ(0,0234)(1+0,0234)10 ቃ +
P=
228.298.225,6
500000
(1+0,0234)12 −1
1
ቂ − 12ቃ (1,0234)12 + 0,0234 (0,0234)(1+0,0234)12
360000
(1+0,0234)10 −1
1
1
ቂ − 10ቃ (1,0234)10 Ă— (1,0234)12 0,0234 (0,0234)(1+0,0234)10
Una entidad financiera presta a un cliente $ 3.000.000, con un interés del 34% anual pagadero mensual por los primeros 10 años y del 16% semestral pagadero bimestral de ahí en adelante. El deudor tiene un plazo de 15 años para amortizar la deuda, mediante pagos mensuales. Suponiendo que la primera cuota es de $ 10.000 y vence al final del primer mes, ¿Cuál debe ser el porcentaje de reajuste mensual de la cuota, para cancelar la deuda? Usaremos en la línea de tiempo, un periodo en meses por lo tanto convertimos esos 15 años a meses lo que no daría 180 meses.
J= ? $10.000
0
1
120
121
$3.000.000
34% apm
16% spb
180
Meses
Primero convertimos las dos tasas de interĂŠs a tasas de interĂŠs mensuales. Convertimos la tasa de interĂŠs de 34% anual pagadero mensual a una tasa de interĂŠs mensual dividiendo 34% en 12 que es el nĂşmero de meses que tiene un aĂąo asĂ:
34% = đ?&#x;?. đ?&#x;–đ?&#x;‘% đ?’Žđ?’†đ?’?đ?’”đ?’–đ?’‚đ?’? 12
Convertimos la tasa de interĂŠs de 16% semestral pagadero bimestral dividiendo 16% en 3 que es el nĂşmero de bimestres que tiene un semestre asĂ: 16% = 5.33% đ?‘?đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ 3
Ahora convertimos la tasa de interĂŠs bimestral a una tasa de interĂŠs mensual con la siguiente formula: (1 + đ?‘–đ?‘?)6 = (1 + đ?‘–đ?‘š)12
Despejamos el interĂŠs mensual que es el que deseamos hallar asĂ: 6
đ?‘–đ?‘š = (1 + đ?‘–đ?‘?)12 − 1
6
đ?‘–đ?‘š = (1 + 0.0533)12 − 1 đ?‘–đ?‘š = 0.0263 = đ?&#x;?. đ?&#x;”đ?&#x;‘%
Empleamos la siguiente fĂłrmula para hallar el reajusto mensual (J) de la cuota.
1− P = a1 (
(1 + đ?‘—)đ?‘› (1 + đ?‘–)đ?‘› ) đ?‘–−đ?‘—
Reemplazamos: a1= primera cuota p= prĂŠstamo i= tasa de interĂŠs n=periodo de tiempo j= porcentaje de reajuste
1− $3.000.000 = $10.000
(1 + đ?‘—)120 (1 + 0.0283)120 0.0283 − đ?‘—
( 1 ∗ (1 + 0.0283)
1− + $10.000(1 + đ?‘—)120 )
{
(
(1 + đ?‘—)60 (1 + 0.0263)60 0.0263 − đ?‘— )}
đ??‰ = đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;‘đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;’đ?&#x;– = đ?&#x;‘. đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;’đ?&#x;–%
ConclusiĂłn: el porcentaje de reajuste mensual de la cuota debe ser de 3.3748% para cancelar la deuda
Una máquina se compró a plazos financiándose el 70% de su valor de contado, saldo que se canceló con 20 pagos de $ 1.000.000 el primero, 8 meses después de entregada la cuota inicial, y las demás cuotas aumentadas en $ 50.000 respecto de la cuota anterior. Sí para los primeros 12 meses se cobró el 1,75% mensual y de allí en adelante el 2% mensual, Encontrar a) el valor de contado de la máquina. b) Si la primera 8 cuotas ya se cancelaron determinar el valor a cancelar cuando se venza la cuota 9 para pagar la deuda pendiente? . NOTA: la primera cuota se realiza en el mes 8 y son 20 pagos por eso la línea de tiempo va hasta el mes 27.
Se hizo un plan de financiación de la siguiente manera:
$1.000.000
G=$50.000
Meses 8
0.70P
12
13
27
1.75% mensual
2% mensual
a) Para saber el valor de contado de la maquina utilizamos la siguiente formula: P = A(
(1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 đ??ş (1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 1 ) + ( − đ?‘›) ∗ đ?‘› (1 + đ?‘–)đ?‘› đ?‘–(1 + đ?‘–) đ?‘– đ?‘–
Reemplazamos: (1 + 0.0175)5 − 1 50.000 (1 + 0.0175)5 − 1 1 1 0.70P = {1.000.000 ( )+ ( − 5) ∗ }∗ 5 (1 + 0.0175)5 (1 + 0.0175)7 0.0175(1 + 0.0175) 0.0175 0.0175 (1 + 0.02)15 − 1 50.000 (1 + 0.02)15 − 1 + {(1.000.000 ∗ (5 ∗ 50.000)) ( ) + ( − 15) 0.02(1 + 0.02)15 0.02 0.02 1 1 ∗ }∗ (1 + 0.02)15 (1 + 0.0175)12
Despejando P: đ??Š = $đ?&#x;‘đ?&#x;Ž. đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;–
ConclusiĂłn: el valor de contado de la maquina es $30.172.128
b)
G=$50.000
16
15
Meses 27
P
Hallamos el valor de la cuota 16 asĂ: A16= $1.000.000+ ($50.000*8)= $1.400.000 Empleamos la siguiente formula:
(1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 đ??ş (1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 1 P = A( )+ ( − đ?‘›) ∗ đ?‘› (1 + đ?‘–)đ?‘› đ?‘–(1 + đ?‘–) đ?‘– đ?‘–
Reemplazando:
(1.02)12 − 1 50.000 (1.02)12 − 1 1 P = {1.400.000 [ ] + [ − 12] ∗ } ∗ (1.02)1 12 0.02 (1.02) 0.02 0.02 (1.02)12
đ??? = $đ?&#x;?đ?&#x;•. đ?&#x;—đ?&#x;’đ?&#x;Ž. đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;”
ConclusiĂłn: el valor a cancelar cuando se venza la cuota 9 para pagar la deuda pendiente es de $17.940.816
Si de mi sueldo de $ 2.400.000 espero ahorrar dentro de 9 meses el 50% y de ahí en adelante mes a mes disminuirá el ahorro en $ 15.000 hasta el mes 24, ¿Cuánto acumularé 6 meses después de realizado el último depósito, si a la cuenta le reconocen un interés del 1,5% mensual, de hoy hasta el mes 15 y de allí en adelante el 1,75% mensual?
Primero hallamos el 50% de $2.400.000 $2.400.000*0.50= $1.200.000
1.200.000 0
G=15.000 9
10
15
16
24
30
F 1.5% m
1.75% m
Utilizaremos la siguiente formulas:
(1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 đ??š = đ??´( ) đ?‘–
(1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 đ??ş (1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 đ??š = đ??´( )− ( − đ?‘›) đ?‘– đ?‘– đ?‘–
La cuota 10 tiene un valor de 1.185.000 pues durante 9 meses dio una cuota constante de $1.200.000 y a partir del mes 10 empieza a disminuir $15.000, esto quiere decir que la cuota 10 es: $1.200.000-$15.000=1.185.00 El valor de la cuota 16 se halla asĂ: a16= $1.200.000-($15.000*7)= $1.095.000 Teniendo esto en cuenta reemplazamos:
F= 1.2000.000 ቂ {1.185.000 ቂ {1.095.000 ቂ
(1.015)9 −1 0.015
( 1.015)6 −1 0.015
ቃ−
(1.0175)9 −1 0.0175
ቃ ∗ (1.015)6 (1.0175)15 +
ቃ−
15.000 (1.015)6 −1 0.015
ቂ
0.015
− 6ቃ} ∗ (1.0175)15 +
15.000 (1.0175)9 −1 0.0175
ቂ
0.0175
− 9ቃ} ∗ (1.0175)6
đ?‘ = $đ?&#x;‘đ?&#x;‘. đ?&#x;Žđ?&#x;”đ?&#x;Ž. đ?&#x;—đ?&#x;“đ?&#x;Ž
ConclusiĂłn: acumulara $33.060.950
Una camioneta tiene un valor de contado de $ 150.000.000. Financian el 70% de su valor para ser cancelado con 36 cuotas mensuales de tal manera que el valor de la primera cuota sea cierta cantidad que mes a mes crece en $ 20.000. Si el interés de financiación es el 24,48% Anual. Determinar el valor que se adeuda después de cancelada la cuota 23. b) Si una vez cancelada la cuota 23 solicita refinanciar el saldo existente para pagarlo en 10 cuotas de principio de mes, de tal manera que cada cuota sea $ 15.000 menos que la cuota anterior, encontrar el valor de la última cuota en esta refinanciación, si el interés es del 2,4% mensual. Primero hallamos el 70% del valor de contado de la camioneta así: $150.000.000*0.70= $105.000.000
G=$20.000
1
$105.000.000
24.48% anual
36
Utilizaremos la siguiente fĂłrmula para saber el valor de la primera cuota:
(1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 đ??ş (1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 1 P = A( ) + ( − đ?‘›) ∗ (1 + đ?‘–)đ?‘› đ?‘–(1 + đ?‘–)đ?‘› đ?‘– đ?‘–
Convertimos la tasa de interĂŠs de 24.48% anual a una tasa de interĂŠs simple de la siguiente manera: (1 + đ?‘–đ?‘Ž) = (1 + đ?‘–đ?‘š)12 Despejando el interĂŠs mensual:
1
đ?‘–đ?‘š = (1 + đ?‘–đ?‘Ž)12 − 1 1
đ?‘–đ?‘š = (1 + 0.2448)12 − 1
đ?‘–đ?‘š = 0.01842 = 1.842%
Reemplazando: (1 + 0.01842)36 − 1 20.000 (1 + 0.01842)36 − 1 $105.000.000 = A ( ) + ( − 36) 0.01842(1 + 0.01842)36 0.01842 0.01842 1 ∗ (1 + 0.01842)36
đ?‘¨ = $đ?&#x;‘. đ?&#x;•đ?&#x;Žđ?&#x;’. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;? Para determinar el valor que se adeuda cancelada la cuota 23 hacemos lo siguiente:
G=20000 23 24 P
36
Hallamos el valor de la cuota 24: A24= 3.704.762 + (23*20000) A24= 4.164.762 Empleamos la siguiente formula: (1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 đ??ş (1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 1 P = A( ) + ( − đ?‘›) ∗ (1 + đ?‘–)đ?‘› đ?‘–(1 + đ?‘–)đ?‘› đ?‘– đ?‘– Reemplazamos:
(1.01842)13 − 1 20.000 (1.01842)13 − 1 P = 4.164.762 [ ] + [ − 13] 0.01842(1.01842)13 0.01842 0.01842 1 ∗ (1.01842)13 đ??? = $đ?&#x;’đ?&#x;—. đ?&#x;Žđ?&#x;•đ?&#x;”. đ?&#x;•đ?&#x;–đ?&#x;“
ConclusiĂłn: la cuota que adeudarĂĄ pagando la cuota 23 es de $49.076.785
b) Como son 10 cuotas a partir de la cuota 23 por eso llega hasta el mes 32 en la linea de tiempo.
G=$15.000 22
23
$49.076.785
2.4% m
32
Emplearemos la siguiente formula:
(1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 đ??ş (1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 1 P = A( ) − ( − đ?‘›) ∗ (1 + đ?‘–)đ?‘› đ?‘–(1 + đ?‘–)đ?‘› đ?‘– đ?‘–
(1.024)10 − 1 15.000 (1.024)10 − 1 1 49.076.797 = {đ??´ [ ] − [ − 10] ∗ } ∗ (1.024)1 10 (1.024)10 0.024(1.024) 0.024 0.024
Despejando A: A = 5.512.338
Como nos piden encontrar es el valor de la Ăşltima cuota, necesitamos el valor de la cuota nĂşmero 10 que estĂĄ ubicada en el mes 32 asĂ:
A10= $5.512.338 – ($15.000*9) A=$5.377.338
ConclusiĂłn: la Ăşltima cuota de la refinanciaciĂłn de la deuda es de $5.377.338
¿Cuánto se debe consignar hoy en una corporación que nos paga un interés del 3% mensual, para atender una serie de gastos por 5 años empezando dentro de dos meses y con un valor de $ 30.000 que se incrementa mes a mes en la misma cantidad?.
La primera consignación se hará en el mes 2 y como es para cubrir una serie de gastos por eso la línea de tiempo llega hasta el mes 61.
G=$30.000 1
2
3% m
61
Meses
P
Queremos hallar el valor presente para saber cuánto se debe consignar hoy en esta corporación.
Utilizaremos la siguiente formula:
(1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 đ??ş (1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 1 P = A( ) + ( − đ?‘›) ∗ (1 + đ?‘–)đ?‘› đ?‘–(1 + đ?‘–)đ?‘› đ?‘– đ?‘–
Reemplazamos: (1.03)60 − 1 30000 (1.03)60 − 1 1 1 P = {30.000 [ ] + [ − 60] ∗ } ∗ 0.03 (1.03)60 0.03 0.03 (1.03)60 (1.03)1
đ??? = $đ?&#x;?đ?&#x;•. đ?&#x;•đ?&#x;–đ?&#x;–. đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;—
ConclusiĂłn: el valor que se debe consignar hoy en la corporaciĂłn es de $17.788.199
Calcular el valor actual de una renta de diez aĂąos de duraciĂłn valorada al 8 % efectivo anual, con pagos semestrales de 50.000.000 que crecerĂĄn anualmente a razĂłn de un 3 %.
đ?&#x;?, đ?&#x;Žđ?&#x;‘đ?&#x;— ∗ đ?‘¨
đ?&#x;?, đ?&#x;Žđ?&#x;‘đ?&#x;– ∗ đ?‘¨ đ?&#x;?, đ?&#x;Žđ?&#x;‘đ?&#x;? ∗ đ?‘¨
đ?&#x;?, đ?&#x;Žđ?&#x;‘ ∗ đ?‘¨
A
1
3
2
P
9
i= 8% anual
SoluciĂłn: - Se procede a modificar la grĂĄfica cambiando la anualidad - La anualidad es A= 50.000.000 -Se calcula la nueva anualidad con la fĂłrmula de futuro aplicĂĄndola a la primera anualidad F1
A
1
10
- Se cambia la tasa de interĂŠs a semestral para poder calcular el valor presente 1
đ?‘– = (1 + 0,08)2 − 1 = 0,0392 = 3,92% đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ (1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 đ??š1 = đ??´ ∗ [ ] đ?‘– (1 + 0,0392)2 − 1 đ??š1 = 50.000.000 ∗ [ ] 0,0392 F1 = 101.960.000 -El nuevo primer valor serĂĄ: a1= F1 = 101.960.000 F
-La grafica cambia:
j= 3% a1
10 aĂąos
1 aĂąo
i= 8% anual
P - Se calcula el valor actual de la renta con la fĂłrmula de gradientes P: (1 + đ?‘—)đ?‘› 1− (1 + đ?‘–)đ?‘› đ?‘ƒ = đ?‘Ž1 ∗ ྌ ྪ đ?‘–−đ?‘— (1 + 0,03)10 (1 + 0,08)10 0,08 − 0,03
1− đ?‘ƒ = 101.960.000 ∗ [
]
P = $ 769.811.631,1 R/: El valor actual serĂĄ por un monto de $769.811.631,1
Una constructora vende sus pisos mediante recibos mensuales de $700.000, durante 10 aĂąos, valorados al 12 % anual efectivo. Un comprador solicita pagar cantidades mensuales que crezcan anualmente en un 5 %. Se pide calcular, el valor al contado del piso y las mensualidades a pagar en los tres primeros aĂąos si es aceptada esta propuesta.
A= $ 700.000 i= 12% anual
10 aĂąos
P SoluciĂłn: - Se procede a cambiar el tiempo de la tasa de interĂŠs de modo que coincida con el periodo, en este caso se cambia a mensual. 1
đ?‘– = (1 + 0,012)12 − 1 = 0,0095 = 0,95% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ - La anualidad es A= 700.000 - Se calcula el valor de contado con la fĂłrmula de anualidades P: (1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 đ?‘ƒ =đ??´âˆ—[ ] đ?‘– ∗ (1 + đ?‘–)đ?‘›
đ?‘ƒ = 700.000 ∗ [
(1 + 0,0095)120 − 1 ] 0,0095 ∗ (1 + 0,0095)120
- El valor de contado serĂĄ P = $ 49.991.451,3
P = 49.991.451,3 i= 12% anual A
đ?&#x;?, đ?&#x;Žđ?&#x;“ ∗ đ?‘¨
10 aĂąos
đ?&#x;?, đ?&#x;Žđ?&#x;“đ?&#x;? ∗ đ?‘¨
đ?&#x;?, đ?&#x;Žđ?&#x;“đ?&#x;– ∗ đ?‘¨
đ?&#x;?, đ?&#x;Žđ?&#x;“đ?&#x;— ∗ đ?‘¨
-Se calcula la nueva anualidad con la fĂłrmula de futuro aplicĂĄndola a la primera anualidad F1
A
-La anualidad serĂĄ A = X, el primer valor queda en funciĂłn de X (1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 đ??š1 = đ??´ ∗ [ ] đ?‘– (1 + 0,0095)12 − 1 đ??š1 = X ∗ [ ] 0,0095 F1 = 12,65 * X
-El nuevo primer valor serĂĄ: a1= F1 = 12,65 X
j= 5%
10 aĂąos i= 12% anual -La grafica cambia: P a1
- Se calcula el valor de la primera mensualidad con la fĂłrmula de gradientes P, conociendo el valor de P = 49.991.451,3: (1 + đ?‘—)đ?‘› 1− (1 + đ?‘–)đ?‘› đ?‘ƒ = đ?‘Ž1 ∗ ྌ ྪ đ?‘–−đ?‘— (1 + 0,05)10 (1 + 0,12)10 0,012 − 0,05
1− 49.991.451,3 = (12,65 ∗ X) ∗ [
]
-Resolviendo para X, siendo X la primera mensualidad: X = $ 581.723,54 X2 = 1,05 * X = 1,05 * (581.723,54) = $ 610.809,7 X3 = 1,052 * X = 1,052 * (581.723,54) = $ 641.350,2 R/: El valor al contado del piso serĂĄ $ 49.991.451,3 y las mensualidades a pagar en los tres primeros aĂąos si es aceptada esta propuesta son, X = $ 581.723,54, X2 = $ 610.809,7 y X3 = $ 641.350,2
Se va a realizar la ampliaciĂłn de la actividad de la sociedad mediante la mejora de sus instalaciones lo que va a generar los siguientes costos: Los gastos de construcciĂłn ascenderĂĄn a $5.000.000 mensuales con un crecimiento semestral estimado en 500.000 durante los tres aĂąos que durarĂĄ la construcciĂłn. Los gastos de mantenimiento ascenderĂĄn a 3.000.000 mensuales con un incremento anual del 4 % por los 3 primeros aĂąos. Se pide calcular el coste actualizado de la inversiĂłn si se valora al 10 % efectivo anual.
5,đ?&#x;“đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;”
5xđ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;”
6
7
12 13
18
19
7đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;”
7,đ?&#x;“đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;”
3.000.000(đ?&#x;?. đ?&#x;Žđ?&#x;’)đ?&#x;?
3.000.000(1.04)
3.000.000 1
6,5đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;Ž
6đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;”
đ?&#x;”
24 25
30 31
i= 10% anual P SoluciĂłn: - Se procede a cambiar el tiempo de la tasa de interĂŠs de modo que coincida con el periodo, en este caso se cambia a mensual. 1
đ?‘– = (1 + 0,10)12 − 1 = 0,008 = 0,8% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™
36 meses
-Se calcula una nueva anualidad A y un crecimiento G con el fin de modificar la grĂĄfica, facilitando su soluciĂłn. -La primera cuota A serĂĄ el cĂĄlculo de futuro de la primera anualidad F1
5.000.000 1
6 meses 6
ྍ1+0,008ྯ − 1 F1=(5.000.000) ∗ ྼ ྊ = 30.606.438,52 0,008 A = F1 = 30.606.438,52 -El crecimiento G se puede calcular hallando la Ăşltima anualidad, a esta se le resta el valor de la primera y se divide entre las cuotas restantes, Ăłsea sin contar la primera cuota.
F2
7.500.000 31
36 meses
6
ྍ1+0,008ྯ − 1 F2= 7.500.000* ྼ ྊ = 45.909.657,78 0,008 đ??ş=
đ??š2 − đ??š1 45.909.657,78 − 30.606.438,52 = = 3.060.643,85 đ?‘› đ?‘?đ?‘˘đ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘ 5 đ?‘?đ?‘˘đ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘ đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘
-La grafica cambia:
Se plantea la ecuación para la gráfica, donde todo se tiene que llevar a P 6
P= ൝30.606.438
൫1+0,1൯ -1 0,1൫1+0,1൯
൩ +( 6
3.060.643,85 (1 + 0,1)6 − 1 1 )[ ]( )ൡ 0,1 0,1 (1 + 0,1)6
12
(1 + 0,008)12 − 1 1 + 3.000.000 ൩ +3.000.000(1,04) [ ] ( ) 12 0,008(1 + 0,008)12 (1 + 0,008)12 0,008൫1+0,008൯ ൫1+0,008൯ − 1
12
2
+ 3.000.000(1,04)
൫1+0,008൯ − 1
1 ൩( ) (1 + 0,008)24 0,008൫1+0,008൯ 12
-Resolviendo operaciones: P = $ 206.003.635,6 R/: El coste actualizado de la inversión tendrá un valor igual a $ 206.003.635,6
Calcular el valor actual de las siguientes rentas: a) De una renta de $150.000.000 en el primer año, con crecimiento anual previsto del 5 % en los cinco primeros años y de $5.000.000 en los cinco siguientes, valorada al 6 % anual. b) De una renta de $200.000.000 en el primer año con crecimiento del 10 % anual, durante seis años y que en los últimos cinco años decrecerá a razón de un 100.000 anualmente y valorada al 6 % anual. a) j=5% a1 = 150.000.000
1año P
A=5.000.000
5años 6años
10años
i=6%anual
Solución: - La tasa de interés se deja igual, ya que coincide con el tiempo del periodo i = 6% anual
-Se halla el valor presente con la fórmula de P de gradiente geométrico y con la fórmula de P de anualidad. (1+0,05)5 1(1+0,06)5 -1 1 (1+0,06)5 P=150.000.000 ൦ ൪ +5.000.000 [ ]* 5 0,06 - 0,05 0,06(1+0,06) (1+0,06)5 -Resolviendo operaciones: P = $ 710.055.751,9 b)
j=10%
G = 100.000
a1= 200.000.000
1año
6años i=6%anual
7años
11años
P Solución - La tasa de interés se deja igual, ya que coincide con el tiempo del periodo i = 6% anual -Se halla el valor de la consignación del año 7 a6 =200.000.000*(1+0,10)5 = 322.102.000 a7 =322.102.000 - 100.000 = 322.002.000 -Se halla la renta con la fórmula de P de gradiente geométrico y P de gradiente aritmético decreciente
(1+0,10)6 (1 + 0,06)5 -1 (1+0,06)6 +322.002.000 [ ]0,06-0,1 0,06(1+0,06)5
1P= 200.000.000 [
]
100.000 (1+0,06)5 -1 1 [ -5] * (1+0,06)6 0,06 0,06 -Resolviendo operaciones: P = $ 2.600.044.022 R/: El valor actual correspondiente a la renta del inciso a) es de $ 710.055.751,9 y para el inciso b) $ 2.600.044.022
Calcular el valor actual de las siguientes rentas: a) De 1.000.000.000 en el primer año con crecimiento anual del 6 %, durante siete años y que decrecerá a razón del 3 % anual en los cinco siguientes, valorada al 5 % anual. b) De $800.000.000 el primer semestre, crecimiento semestral de $10.000.000 en los cuatro primeros años y decreciendo en los tres siguientes años en $3.000.000. Valoración al 2 % semestral. a)
J2=3%
J1=6% a1= 1.000.000.000
1 año P
7años
8 años
i= 5%anual
Solución - La tasa de interés se deja igual, ya que coincide con el tiempo del periodo i = 6% anual -Se halla el valor de la consignación del año 8
12 años
a8 = a1*(1 + j1)n1 *(1 + j2)n2 a8 = 1.000.000.000*(1 + 0,06)6 *(1 + 0,03)1 = 1.461.074.686 - Se calcula el valor actual con la fĂłrmula de gradientes P, aplicada a cada caso: 1− đ?‘ƒ = đ?‘Ž1 ∗ [
(1 + đ?‘—1)đ?‘›1 (1 + đ?‘—2)đ?‘›2 1 − 1 (1 + đ?‘–)đ?‘›1 (1 + đ?‘–)đ?‘›2 − đ?‘Ž8 ∗ đ?‘– − đ?‘—1 đ?‘– − đ?‘—2 (1 + đ?‘–)đ?‘› ] [ ]
(1 + 0,03)5 (1 + 0,06)7 1 − 1 (1 + 0,05)5 (1 + 0,05)7 đ?‘ƒ = 1.000.000.000 ∗ ྌ ྪ − 1.461.074.686 ∗ 0,05 − 0,06 0,05 − 0,03 (1+0,05)7 [ ] 1−
P= $ 2.100.441.458 b)
G1 = 10.000.000
1 semestre
G2 = 3.000.000
8 semestres 9 semestres
14 semestres
i= 2% semestral SoluciĂłn - La tasa de interĂŠs se deja igual, ya que coincide con el tiempo del periodo i = 2% semestral -La anualidad creciente A1 serĂĄ 8.000.000.000 -Calculamos la anualidad que decrece A2, con la fĂłrmula de futuro de gradientes:
(1 + đ?‘–)n -1 G1 (1+i)n -1 đ??š = đ??´1 [ ]+ [ -n] đ?‘– i i (1 + 0,02)8 -1 10.000.000 (1+0,02)8 -1 đ??š = 8.000.000.000 [ ]+ [ - 8] 0,02 0,02 0,02 F = $ 68.955.236.693 -El valor calculado F se toma como A2 en el caso que decrece A2 = F = 68.955.236.693
- Se calcula el valor actual con la fĂłrmula de gradientes P, aplicada a cada caso: (1 + đ?‘–)n1 -1 G1 (1+i)n1 -1 1 đ?‘ƒ = đ??´1 [ ] + [ -n1] + (1 + đ?‘–)n1 đ?‘–(1 + đ?‘–)n1 i i (1 + đ?‘–)n2 -1 G2 (1+i)n2 -1 1 1 +đ??´2 [ ][ -n2] ∗ n2 n2 (1 + đ?‘–) (1 + đ?‘–)n đ?‘–(1 + đ?‘–) i i (1 + 0,02)8 -1 10.000.000 (1+0,02)8 -1 1 đ?‘ƒ = 8.000.000.000 [ ] + [ -8] (1 + 0,02)8 0,02(1 + 0,02)8 0,02 0,02 (1 + 0,02)6 -1 3.000.000 (1+0,02)6 -1 1 +68.955.236.693 [ ][ -6] 6 (1 + 0,02)6 0,02(1 + 0,02) 0,02 0,02 ∗
1 (1 + 0,02)8
P= $ 445.065.599.100 R/: El valor actual de las rentas de los incisos a) y b) son: $ 2.100.441.458 y $ 445.065.599.100 respectivamente
Un producto se debe cancelar en 20 cuotas mensuales iguales vencidas de $300.000 y un interés de financiación de 1,8% mensual. Si quiero cambiar esta forma de pago por 20 pagos que tenga forma de gradiente aritmético que crezcan $2000, hallar el valor del primer pago, si este se realiza un mes después de recibida la mercancía. Solución: Lo primero a resolver el ejercicio es plantear la gráfica de anualidad para hallar el valor presente, teniendo en cuenta que: P= incógnita, donde P es el valor presente. A= $300.000, donde A es la anualidad. i=1,8% mensual n=20, donde son las cuotas mensuales.
Para realizar este ejercicio tomamos como punto focal el mes 0, es decir en este punto las deudas y los pagos serán igual, lo que es mismo decir que las flechas de arriba son las misma que las de abajo. Σ DEUDAS = Σ PAGOS
Implementamos la fĂłrmula de presenteđ?‘ƒ = đ??´ ቂ
(1+đ?‘–)đ?‘› −1 đ?‘–(1+đ?‘–)đ?‘›
ቃ , donde n es igual a 20 ya que el
valor presente siempre queda un periodo atrĂĄs y llevamos todas las flechas al punto focal. (1+0,018)20 −1
Reemplazando datos nos queda que: đ?‘ƒ = 300.000 ቂ0,018(1+0,018)20ቃ. Resolviendo la operaciĂłn nos da P= $5.001.439. 
Ahora reemplazo P en la grĂĄfica de
gradiente
aritmĂŠtica
accedente ya que experimenta un aumento:
Para realizar este ejercicio tomamos como punto focal el mes 0, es decir en este punto las deudas y los pagos serĂĄn igual, lo que es mismo decir que las flechas de arriba son las misma que las de abajo. ÎŁ DEUDAS = ÎŁ PAGOS Implementamos la fĂłrmula de gradiente đ?‘ƒ = đ??´ ቂ
(1+đ?‘–)đ?‘› −1 đ?‘–(1+đ?‘–)đ?‘›
đ??ş (1+đ?‘–)đ?‘› −1
ቃ + [đ?‘– (
đ?‘–
1
− đ?‘›) ((1+đ?‘–)đ?‘›)] ,
donde n es igual a 20 ya que el valor presente siempre queda un periodo atrĂĄs y llevamos todas las flechas al punto focal. Reemplazando datos nos queda que: (1 + 0,018)20 − 1 2000 (1 + 0,018)20 − 1 5.001.439 = đ??´ [ ]+ [ − 20] 0,018(1 + 0,018)20 0,018 0,018 ∗[
1 ] (1 + 0,018)20
Ahora despejamos la incĂłgnita por la funciĂłn SHIFT SOLVE de la calculadora fx 570 ES PLUS, donde ĂŠsta nos arroja el resultado đ??´ = $282.183 .
RTA: El valor de la primera cuota es đ?‘¨ = $đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;‘
Dentro de un año se debe cancelar $5.000.000 como cuota inicial de un apartamento; para tal fin se efectúan depósitos mensuales empezando hoy con un ahorro de $200.000 ¿cuál debe ser el incremento constante en las cuotas posteriores si por los depósitos reconocen un interés de 1,4% mensual? Solución: Lo primero a resolver el ejercicio es plantear la gráfica de gradiente aritmético accedente ya que experimenta un aumento, teniendo en cuenta que: F= $5.000.000, donde F es el valor futuro. A= $200.000, donde A es la anualidad. i=1,4% mensual n=13 pagos, ya que empieza desde hoy y el monto que se debe pagar es dentro 1 año. σ = incognita, donde σ es el incremento constante.
0
12 MESES
Para realizar este ejercicio tomamos como punto focal el mes 12, es decir en este punto las deudas y los pagos serĂĄn igual, lo que es mismo decir que las flechas de arriba son las misma que las de abajo. ÎŁ DEUDAS = ÎŁ PAGOS Implementamos la fĂłrmula de gradiente đ??š = đ??´ ቂ
(1+đ?‘–)đ?‘› −1 đ?‘–
đ??ş (1+đ?‘–)đ?‘› −1
ቃ+ đ?‘– (
đ?‘–
− đ?‘›) , donde n es
igual a 13 ya que el valor futuro siempre queda en donde estĂĄ el Ăşltimo valor de A y llevamos todas las flechas al punto focal. Reemplazando datos nos queda que: 5.000.000 = 200.000 [
(1 + 0,014)13 − 1 Ďƒ (1 + 0,014)13 − 1 ]+ [ − 13] 0,014 0.014 0,014
Ahora despejamos la incĂłgnita por la funciĂłn SHIFT SOLVE de la calculadora fx 570 ES PLUS, donde ĂŠsta nos arroja el resultado Ďƒ = $26.417. . RTA: El incremento serĂĄ igual a $26.417
Una mercancía por valor de $ 1.000.000 y un interés de financiación del 2,5% mensual se debe cancelar con 36 cuotas mensuales de tal manera que cada cuota sea $ 2.000 menos que la cuota anterior. Si una vez cancelada la cuota 26, solicito refinanciar el saldo para ser pagado durante el mismo tiempo pero con cuotas iguales, encontrar el valor de estas nuevas cuotas. Solución: Lo primero a resolver el ejercicio es plantear la gráfica de gradiente aritmético descendiente ya que presenta una disminución, teniendo en cuenta que: P= $1.000.000, donde P es el valor presente. A= incógnita, donde A es el valor de las nuevas cuotas. i=2.5% mensual, donde i es el interés de financiación. n=36 cuotas G = $2.000, donde σ es la disminución constante.
Para realizar este ejercicio tomamos como punto focal el mes 0, es decir en este punto las deudas y los pagos serĂĄn igual, lo que es mismo decir que las flechas de arriba son las misma que las de abajo. ÎŁ DEUDAS = ÎŁ PAGOS Implementamos la fĂłrmula de gradiente đ?‘ƒ = đ??´ ቂ
(1+đ?‘–)đ?‘› −1 đ?‘–(1+đ?‘–)đ?‘›
đ??ş (1+đ?‘–)đ?‘› −1
ቃ − [đ?‘– (
đ?‘–
1
− đ?‘›) ((1+đ?‘–)đ?‘›)] ,
donde n es igual a 36 ya que el valor presente siempre queda un periodo atrĂĄs y llevamos todas las flechas al punto focal. Reemplazando datos nos queda que: (1.025)36 −1
2000 (1.025)36 −1
1.000.000 = đ??´(0.025(1.025)36) –(0.025 (
0.025
1
− 36)((1.025)36 ))
Ahora despejamos la incĂłgnita por la funciĂłn SHIFT SOLVE de la calculadora fx 570 ES PLUS, donde ĂŠsta nos arroja el resultado de A=$72.191. Ahora procedemos a hallar el valor de la cuota numero 27 ya que la cuota numero 26 ya estĂĄ cancelada y es allĂ donde me piden el refinanciamiento del saldo. Para esto tenemos que a1= $72.191 a2= $72.191-1($2.000)= $70.191, por lo tanto la cuota nĂşmero 27 es igual a: a27= $72.191-26($2.000)= $20.191. Teniendo ya este valor procedemos hacer la grĂĄfica de gradiente aritmĂŠtico descendiente ya que se presente una disminuciĂłn. Para esto tenemos en cuenta: ďƒ˜ Que el refinanciamiento se pidiĂł a partir de haber pagado la cuota nĂşmero 26, por lo tanto se comienza la grĂĄfica a partir de este dato. ďƒ˜ a27= $20.191, donde a27 es la anualidad con la que se trabajara, ya que este es el valor que tenemos de cuota. ďƒ˜ G=$2.000, donde G es la disminuciĂłn constante.
ďƒ˜ P= incĂłgnita, donde P es el valor presente del refinanciamiento.
Para realizar este ejercicio tomamos como punto focal el pago 26, es decir en este punto las deudas y los pagos serĂĄn igual, lo que es mismo decir que las flechas de arriba son las misma que las de abajo. ÎŁ DEUDAS = ÎŁ PAGOS Implementamos la fĂłrmula de gradiente đ?‘ƒ = đ??´ ቂ
(1+đ?‘–)đ?‘› −1 đ?‘–(1+đ?‘–)đ?‘›
đ??ş (1+đ?‘–)đ?‘› −1
ቃ − [đ?‘– (
đ?‘–
1
− đ?‘›) ((1+đ?‘–)đ?‘›)] ,
donde n es igual a 10 ya que el valor presente siempre queda un periodo atrĂĄs y llevamos todas las flechas al punto focal. Reemplazando datos y efectuando operaciones en la (1.025)10 −1
2000 (1.025)10 −1
calculadora nos queda que: P= 20.191(0.025(1.025)10) – (0.025 (
0.025
1
− 10)((1.025)10 ))=
$101.507. Ahora nuestro Ăşltimo paso es hallar el valor de las nuevas cuotas, para eso debemos que graficar en forma de anualidad para poder obtener la informaciĂłn mas rĂĄpido, pero para graficar debemos tener en cuenta que P=$101.507, donde P es el valor presente.
Para realizar este ejercicio tomamos como punto focal el pago 26, es decir en este punto las deudas y los pagos serĂĄn igual, lo que es mismo decir que las flechas de arriba son las misma que las de abajo. ÎŁ DEUDAS = ÎŁ PAGOS Implementamos la fĂłrmula de presenteđ?‘ƒ = đ??´ ቂ
(1+đ?‘–)đ?‘› −1 đ?‘–(1+đ?‘–)đ?‘›
ቃ , donde n es igual a 10 ya que el
valor presente siempre queda un periodo atrĂĄs y llevamos todas las flechas al punto focal. (1.025)10 −1
Reemplazando datos nos queda que: 101.507 = đ??´(0.025(1.025)10). Ahora despejamos la incĂłgnita por la funciĂłn SHIFT SOLVE de la calculadora fx 570 ES PLUS, donde ĂŠsta nos arroja el resultado A= $11.598. RTA: Las nuevas cuotas iguales serĂĄn de $11.598.
Al comprar una máquina se quedaron debiendo $ 3.000.000 los cuales se deben cancelar al 2,7% mensual y 24 cuotas mensuales de tal manera que cada cuota sea $ 2.500 más que la cuota anterior. Si una vez cancelada la cuota 9 abono $400.000 y solicito refinanciar el saldo para cancelarlo durante el mismo tiempo pero con cuotas que decrezcan en $ 500 respecto de la cuota anterior, encontrar el valor de la cuota 9 que se cancela en la primera forma de pago, al igual que el valor de la primera cuota que se pagará después de solicitada la refinanciación. Solución: Lo primero a resolver el ejercicio es plantear la gráfica de gradiente aritmético ascendiente ya que presenta un aumento, teniendo en cuenta que: P= $3.000.000, donde P es el valor presente. A= incógnita, donde A es el valor de las nuevas cuotas. i=2.7% mensual, donde i es el interés de financiación. n=24 cuotas G=$2.500, donde G es el valor que aumenta de una cuota a otra.
Para realizar este ejercicio tomamos como punto focal el mes 0, es decir en este punto las deudas y los pagos serĂĄn igual, lo que es mismo decir que las flechas de arriba son las misma que las de abajo. ÎŁ DEUDAS = ÎŁ PAGOS Implementamos la fĂłrmula de gradiente đ?‘ƒ = đ??´ ቂ
(1+đ?‘–)đ?‘› −1 đ?‘–(1+đ?‘–)đ?‘›
đ??ş (1+đ?‘–)đ?‘› −1
ቃ + [đ?‘– (
đ?‘–
1
− đ?‘›) ((1+đ?‘–)đ?‘›)] ,
donde n es igual a 24 ya que el valor presente siempre queda un periodo atrĂĄs y llevamos todas las flechas al punto focal. Reemplazando datos nos queda que: (1.027)24 −1
2500 (1.027)24 −1
3.000.000= đ??´(0.027(1.027)24) + (0.027 (
0.027
1
− 24)((1.027)24 )).
Ahora despejamos la incĂłgnita por la funciĂłn SHIFT SOLVE de la calculadora fx 570 ES PLUS, donde ĂŠsta nos arroja el resultado de A= $145.887. Ahora procedemos a hallar el valor de la cuota numero 10 ya que la cuota numero 9 ya estĂĄ cancelada y es allĂ donde me piden el refinanciamiento del saldo. Para esto tenemos que a1= $145.887. a2= $145.887+1($2.500)= $148.387, por lo tanto la cuota nĂşmero 10 es igual a: a10= $145.887+9($2.500)= $168.387. Teniendo ya este valor procedemos hacer la grĂĄfica de gradiente aritmĂŠtico ascendiente ya que se presente un aumento. Para esto tenemos en cuenta: ďƒ˜ Que el refinanciamiento se pidiĂł a partir de haber pagado la cuota nĂşmero 9, por lo tanto se comienza la grĂĄfica a partir de este dato. ďƒ˜ a10= $168.887, donde a10 es la anualidad con la que se trabajara, ya que este es el valor que tenemos de cuota.
ďƒ˜ i=2.7% mensual, donde i es el interĂŠs de financiaciĂłn. ďƒ˜ G=$2.500, donde G es el aumento de una cuota a otra. ďƒ˜ P-$400.000, es el valor presente menos el abono que se realiza.
Para realizar este ejercicio tomamos como punto focal el pago 9, es decir en este punto las deudas y los pagos serĂĄn igual, lo que es mismo decir que las flechas de arriba son las misma que las de abajo. ÎŁ DEUDAS = ÎŁ PAGOS Implementamos la fĂłrmula de gradiente đ?‘ƒ = đ??´ ቂ
(1+đ?‘–)đ?‘› −1 đ?‘–(1+đ?‘–)đ?‘›
đ??ş (1+đ?‘–)đ?‘› −1
ቃ + [đ?‘– (
đ?‘–
1
− đ?‘›) ((1+đ?‘–)đ?‘›)] ,
donde n es igual a 15 ya que el valor presente siempre queda un periodo atrĂĄs y llevamos todas las flechas al punto focal. Reemplazando datos y efectuando operaciones en la (1.027)15 −1
2500 (1.027)15 −1
calculadora nos queda que: đ?‘ƒ =168.387(0.027(1.027)15 ) + (0.027 (
0.027
1
− 15)((1.027)15 ));
P= $2.252.907. Ahora hallo el valor actual de P, haciendo P-$400.000= 2.252.907-400.000; P= $1.852.907. Una vez que tengo el valor de P puedo realizar la grĂĄfica de gradiente aritmĂŠtico descendiente, ya que esta es la otra parte del problema. Para ello debo tener en cuenta: ďƒ˜ P=$1.852.907, donde P es el valor presente. ďƒ˜ G=$500, donde G es la disminuciĂłn de una cuota a otra. ďƒ˜ A= incĂłgnita, donde A es el valor de la anualidad. ďƒ˜ i=2.7% mensual, donde i es el interĂŠs de financiaciĂłn.
Para realizar este ejercicio tomamos como punto focal el pago 9, es decir en este punto las deudas y los pagos serĂĄn igual, lo que es mismo decir que las flechas de arriba son las misma que las de abajo. ÎŁ DEUDAS = ÎŁ PAGOS Implementamos la fĂłrmula de gradiente đ?‘ƒ = đ??´ ቂ
(1+đ?‘–)đ?‘› −1 đ?‘–(1+đ?‘–)đ?‘›
đ??ş (1+đ?‘–)đ?‘› −1
ቃ − [đ?‘– (
đ?‘–
1
− đ?‘›) ((1+đ?‘–)đ?‘›)] ,
donde n es igual a 15 ya que el valor presente siempre queda un periodo atrĂĄs y llevamos todas las flechas al punto focal. Reemplazando datos y efectuando operaciones en la calculadora nos queda que:
1.852.907 = đ??´(
(1.027)15 −1 0.027(1.027)
) –( 15
2000 (1.027)15 −1
0.027
(
0.027
1
− 15)((1.027)15))
Ahora despejamos la incĂłgnita por la funciĂłn SHIFT SOLVE de la calculadora fx 570 ES PLUS, donde ĂŠsta nos arroja el resultado de A= $155.144. RTA: La cuota que pagara de la primera forma es de $145.887 y la cuota despuĂŠs de la solicitada refinanciaciĂłn es de $155.155.
Un préstamo se debe cancelar con cuotas mensuales iguales dentro de cada semestre, pero semestre a semestre crecerán en $ 2.000. Si el interés de financiación es del 24% anual, y el plazo es de 3 años, encontrar el valor del préstamo, si la primera cuota cancelada tiene un valor de $ 40.000. Solución: Lo primero a resolver el ejercicio es plantear la gráfica de gradiente aritmético ascendiente ya que presenta un aumento, teniendo en cuenta que: P= incógnita, donde P es el valor presente. A= $40.000, donde A es el valor de la anualidad. i=24% anual, donde i es el interés de financiación. G= $2.000, donde G es el valor que aumenta de una cuota a otra. n= 36 meses.
P=¿?
Para realizar este problema analizamos que las cuotas incrementan cada seis meses $2000 por lo tanto trabajamos en anualidades. Para empezar debemos convertir la tasa de interĂŠs de anual a mensual, para ello debo 1
implementar la siguiente formula: đ?‘–đ?‘š = (1 + đ?‘–đ?‘Ž)12 − 1 , donde el ia debe ir dividido en 100 para ser convertido en un nĂşmero natural. Reemplazando: 1
đ?‘–đ?‘š = (1.24)12 − 1 = 1.81% Entonces utilizamos la fĂłrmula de presente de anualidades P=A (
(1+đ?‘–)đ?‘› −1 đ?‘–(1+đ?‘–)đ?‘›
) y cada anualidad
va creciendo $2000 y es llevado al punto focal de anualidades. A=40.000 A1= 40.000+ (1)2.000= $42.000 Y asĂ sucesivamente hasta A6= 40.000+ (5)2.000= $50.000 (1.0181)6 −1
(1.0181)6 −1
1
(1.0181)6 −1
1
P= 40.000(0.0181(1.0181)6 ) + 42.000(0.0181(1.0181)6) ((1.0181)6)+ 44.000(0.0181(1.0181)6) ((1.0181)12)+ (1.0181)6 −1 (1.0181)6 −1 1 1 )( )+48.000( )( )+ 0.0181(1.0181)6 (1.0181)18 0.0181(1.0181)6 (1.0181)24
46.000(
(1.0181)6 −1
1
50.000(0.0181(1.0181)6 ) ((1.0181)30 )
Ahora solucionamos la ecuaciĂłn en la calculadora, lo que nos da un resultado de : đ?‘ƒ = $1.166.396. RTA: El valor del prĂŠstamo es de $1.166.396
Se pide calcular al 8 % anual, el beneficio actualizado del siguiente negocio: Gastos de explotación: En el primer año se estiman en 5.000.000.000, con incremento anual del 3 % en los primeros seis años y del 5 % en los cuatro restantes. Ingresos de explotación: Ingresos en el primer año de 15.000.000.000, con un incremento anual del 5 % en los siete primeros años y decreciente en un $50.000.000 anual en los tres restantes.
5%
0.
1
15000M
6
50000000
7
8
10
5000M
P
3%
5%
años
.
Datos: i = 8% Aingresos = 15000000000 Agastos = 5000000000 Jingresos = 5% Jgastos = 5%, 3% G = 50000000
Los que se quiere hallar es el presente con que se contó para el negocio así que las fórmulas de gradientes que se van a utilizar son las siguientes: Para los gradientes porcentuales:
P=A
1 - (1+j) ^n (1+i) ^n (i – j)
Para los gradientes que tengan crecimiento por consignación: P = A ( 1+ i )^n – 1 (i ( 1+ i )^n
+ G - i
(1+i)^n – 1 - n i
Como podemos observar la gráfica se divide en varios cuadros los cuales hacen que la formula no sea continua por lo tanto es necesario hallar algunos datos de más como los siguientes:
el A7 el cual está ubicado en el año 7 y es necesario hallarlo porque los ingresos crecen un 5% y luego decrece, por lo tanto, den el año 7 se va a consignar un valor de cuota cuya cuota va a decrecer en la siguiente gráfica. La consignación en el año 7 va a tener un valor de: A7 = 15000000000 (1+5%)^6 = 20101430000 A6 = 5000000000(1+3%)^5 = 5796370372 La ecuación estará igualada al ingreso menos los gastos utilizando las ecuaciones dada quería de la siguiente manera.
1−
P= 15.000.000.000
ቂ
8%−5%
50.000.000
(1+8%)3 −1
8%
8%
ቃቂ
5796370372(1.05) P=
5796370372
(1+5%)7 (1+8%)7
(1+8%)3 −1
൩+ ((20101430000-50.000.000) ቂ8%(1+8%)3 ቃ1
1
− 3ቃ ∗ (1+8%)3 ) ∗ (1+8%)7 − 50.000.000
1−
(1+5%)4 (1+8%)4
8%−5%
1
൩*(1+8%)6
1−
(1+3%)6 (1+3%)6
8%−3%
൩-
Los gastos de explotación de un negocio suponen unos gastos anuales de $800.000.000 en el primer año con un crecimiento anual de $20.000.000 en los ocho primeros años y de $50.000.000 en los cuatro últimos. Si la operación se valora al 8 % anual, calcular el valor actualizado de dichos gastos.
0
1
8
9
12.
800M
. P
20M 50M P1
Datos: A = 800000000 G1 = 20000000 G2 = 50000000 i = 8% anual utilizando la ecuación
P = A ( 1+ i )^n – 1 (i ( 1+ i )^n
+ G - i
(1+i)^n – 1 - n i
En la gráfica se muestra la división de la figura a causa del cambio de aumento por lo tanto es necesario hallar el A9 para aplicar la formula en la segunda figura, como para llegar al año 9 las cuotas han subido 8 veces entonces se puede decir que el valor del A9 es: A9 = 800000000 + (20000000) (8) = 960000000 Entonces la ecuación se aplicaría de la siguiente manera teniendo en cuenta que para el segundo cuadro el p1 se tiene que mover al presente (p).
P = 800000000 (1+ 8%)^8 – 1 (8% (1+ 8%)^8
960000000 (1+ 8%)^4 – 1 (8% (1+ 8%)^4
P=
(1+8%)^8 – 1
+ 20000000 8%
+ 50000000
-8
+
8%
(1+8%)^4 – 1 - 4
8%
7145217426
Por lo tanto, el valor presente es de 7145217426
8%
x
1 (1+8%)^8
Una empresa estima que sus ingresos por las ventas que realice tendrán un crecimiento semestral del 3 %, siendo los del primer semestre de 15.000.000. Si dichos ingresos se depositan en una entidad financiera que valora la operación a un 5,5 % anual en los tres primeros años y un 5 % nominal en los tres siguientes. ¿Cuál será el valor actualizado de los ingresos?
3% 3%
0. 1
15000000
6
7
5.5%a P
Datos: A = 15000000 J= 3% i = 5.5%a, 5%a n = 12 cuotas semestrales
12 5%a
p1
semestres
En primer lugar, transformamos las tasas de interés de anual a semestral (1 + ia) = (1+ ist) ^2 Ist = (1 + ia) ^1/2 - 1 = (1+ 5.5%)^1/2 – 1 = 2.71% semestral Ist = (1 + ia) ^1/2 - 1 = (1+ 5%)^1/2 – 1 = 2.47% semestral
Usando la siguiente ecuación P=A
1 - (1+j) ^n (1+i) ^n (i – j)
Se utiliza la ecuación normal remplazando los datos, pero teniendo en cuenta que en la gráfica se divide en dos figuras por causa de que se trabaja con diferentes porcentajes, por ello hay que hallar el A7 usaron en lo que corresponde es la segunda figura, por último, también hay que tener en cuenta que se debe mover el p1 al presente. A7 = 15000000 (1.03)^6 = 17910784.45 P = 15000000
1 - (1+3%) ^6 (1+2.71%) ^6 (2.71% – 3%)
x
1 (1+5.5%)^3
P=
178712422.2
+ 17910784.45
1 - (1+3%) ^6 (1+2.47%) ^6 (2.47% – 3%)
Se ha obtenido un préstamo a pagar mediante términos que variarán trimestralmente a razón de $50.000, ascendiendo el primer pago a $500.000. Si la entidad financiera valora la operación a un 6 % anual en los tres primeros años y a un 5 % nominal en los cuatro siguientes. ¿Cuál es la cuantía del préstamo recibido?
50000 50000
0.
500000
1
12 13
6%a
28 5%a
P
Cambiamos las tasas de interés de anual a trimestral (1 + ia) = (1+ it) ^2 It = (1 + ia) ^1/4 - 1 = (1+ 6%)^1/4 – 1 = 1.47% trimestral It = (1 + ia) ^1/4 - 1 = (1+ 5%)^1/4 – 1 = 1.23% trimestral Como la gráfica se divide en el año 13 es necesario hallar el A13 A13= 500000 +(50000*12) = 1100000
trimestres
Aplicando la ecuación para cada una de las figuras en la grafica P = A ( 1+ i )^n – 1 (i ( 1+ i )^n
+ G
(1+i)^n – 1 - n
- i
i
(1+ 1.47%)^12 – 1
P = 500000
+ 50000
(1.47% (1+ 1.47%)^12
1100000
(1+ 1.23%)^16 – 1 (1.23% (1+ 1.23%)^16
x
1 (1+6%)^3
P=
23392459.74
1.47%
+ 50000 1.23%
(1+1.47%)^12 – 1
- 12 +
1.47%
(1+1.23%)^16 – 1 - 16 1.23%
1
(1+1.47%)^12
x
1
(1+1.235)^16
Una empresa prevé unos ingresos de $900.000.000 en el primer año con un crecimiento lineal hasta alcanzar la máxima facturación prevista de $1.224.000.000, diez años después. Si la operación se valora al 8 % anual, calcular el valor actualizado de los ingresos.
0.
1
900000000
10
años
Datos: A = 900000000 F = 1224000000 i = 8%anual n = 10 cuotas anuales para hallar el valor de p es necesario hallar antes el valor de A para utilizar la siguiente ecuación:
P = A ( 1+ i )^n – 1 (i ( 1+ i )^n
+ G
(1+i)^n – 1 - n
- i
i
Entonces lo que hacemos a continuación es retarle los 900000000 a los 1224000000 para así saber cuánto incremento la última cuota con referencia a la primera 1224000000 – 900000000 = 324000000 Y este valor lo dividimos en el número de veces que se hizo el aumento que en este caso serían 9 veces, el resultado sería el valor de G. 324000000/ 9 = 36000000 Con este valor ya es posible hallar el dato P simplemente remplazando en la ecuación. P = 900000000 (1+ 8%)^10 – 1 (8% (1+ 8%)^10
P=
6974239192
+ 36000000 8%
(1+8%)^10 – 1 - 10 * 8%
1 (1+8%)^10
Determinar el valor de contado de un electrodoméstico si financiado se adquiere con el siguiente plan: una cuota inicial equivalente al 40% del valor de contado y el resto en 24 cuotas mensuales de $ 8.000, $ 8.100, $ 8.200 y así sucesivamente, sabiendo además que la primera cuota se debe pagar dentro de dos meses; y por último, después de estas cuotas, doce pagos mensuales de $2.000 cada uno. La tasa de interés sobre saldo es del 30% anual pagadero trimestral.
El periodo cero representa el día hoy, de la cuota 2 va aumentado contantemente 100 en cada cuota hasta la 25, en la cuota 26 hay pagos constantes. Las fechas representan los pagos en el diagrama económico. Para plantear la ecuación de valor se trasladan todas a un punto focal utilizando la tasa de interés del 30% apt.
En el ejercicio nos dan la tasa de interÊs nominal debemos pasarla a una tasa de interÊs efectiva para haber una relación homogenizada entre ὡ y n � = 30% apt �=
30 % t = 7.5 % t 4 1
đ?’žm = (1,075)3 − 1 = 0.02439 ≈ 2,44%m
P = 8000 [
(1.0244)24 − 1 100 (1.0244)24 − 1 1 1 ] + [ − 24] Ă— Ă— (1.0244)24 1.0244 0.0244(1.0244)24 0.0244 0.0244 12 (1.0244) − 1 1 + 2000 [ ] Ă— + 0.4P (1.0244)25 0.0244(1.0244)12
P = $289.159
Respuesta: el valor de contado del electrodomĂŠstico es de $289.159
Un artículo se compraría a crédito mediante cuotas mensuales variables durante cinco años; $ 2.500 es el valor de la primera cuota y de allí en adelante aumentarían en el 2% cada mes, hasta finales del tercer año y a partir de esa fecha aumentarían en el 3% cada mes. Se desea pagar mediante dos pagos iguales, el primero hoy y el otro dentro de 3 años. Determinar el valor de cada uno de estos pagos si la tasa de interés es del 3.5% mensual.
Se observa que el diagrama económico es un gradiente aritmético las flechas de hacia abajo nos representa los pagos, el primer gradiente tiene un aumento constante del 2% y el segundo gradiente del 3%. Debemos hallar la cuota número 36 para trabajar el segundo gradiente. Para plantear la ecuación del valor se lleva todo un punto focal utilizando una tasa de interés del 3.5% mensual.
đ?’ś36= đ?’ś1 (1 + â„?)n đ?’ś36= 2500(1.02)35
đ?’ś36= 4999 đ?’ś37= đ?’ś36 (1.03)1 X+
X (1.035)36
1−
(1.02)36 (1.035)36
= 2500 ྼ0.035−0.02ྊ + 2500(1.02)
35 (1.03)1
1−
(1.03)24 (1.035)24
1
Ă— ྼ0.035−0.03ྊ Ă— (1.035)36
đ?‘‹=$78.213
Respuesta: el valor de cada uno de los pagos si la tasa de interes es de 3.5% mensual es de $78.213
Un empleado abre una cuenta de ahorros hoy con $ 25.000 y dentro de un año empieza a hacer depósitos trimestrales de $ 4.000, $ 8.000, $ 16.000, $ 32.000, y así sucesivamente. Si la cuenta de ahorros paga el 28% anual pagadero trimestral, hallar la cantidad acumulada que el empleado tendrá en su cuenta dentro de seis años, sabiendo además que durante los dos últimos años el empleado retiró $ 40.000 cada trimestre.
El periodo cero representa el día de hoy, los restantes números del diagrama económico representa las fechas hacia arriba representan los pagos y las fechas hacia abajo representan los retiros. Para plantear la ecuación de valor, se lleva los pagos y retiros a un punto focal utilizando una tasa de interés del 28% apt. En el ejercicio nos dan la tasa de interés nominal debemos pasarla a una tasa de interés efectiva para haber una relación homogenizada entre ί y n
đ?’ž = 28% apt
đ?’ž=
28 % t = 7% t 4
(2)21 1− (1.07)8 − 1 (1.07)21 25000 Ă— (1.07)24 + 4000 ྌ ྪ Ă— (1.07)21 = 40000 [ ]+X 0.07 − 1 0.07
đ?‘‹=$9.019.707.210
Respuesta: la cantidad acumulada que el empleado tendrĂĄ en su cuenta dentro de seis aĂąos es $9.019.707.210
Un profesional recién egresado de la universidad se vincula a una empresa donde empieza devengando un salario de $ 1.150.000 mensuales el primer año, la empresa le garantiza un aumento cada año del 24% y este empleado decide ahorrar cada mes la décima parte de su salario mensual en una institución bancaria que promete pagarle el 2,5% mensual durante los cinco primeros años y el 3,2% mensual de allí en adelante ¿Cuánto tendrá ahorrado este profesional al cabo de diez años?
El periodo cero representa el día de hoy, los restantes de números representan en el diagrama económico el crecimiento anualmente que tiene cada año. Para platear una ecuación de valor debemos hallar el valor fututo de la primera anualidad, se llevan a un punto focal utilizando la tasa de interés de 2.5% m hasta el mes 60 y la tasa de interés de 3.2% m hasta finalizar.
F =? 1.150.000 đ?’žđ?‘š =2.5%
(1.025)12 − 1 F = 1150000 [ ] = 15.864.885 0.025
đ?’ža = (1,025)12 − 1 = 0.3448 = 34,48%a đ?’ža = (1,032)12 − 1 = 0.4593 = 45,93%a (1.24)5 (1.3448)5 X = 15864885 ྌ ྪ Ă— (1.3448)5 Ă— (1.4593)5 + 15864885 0.3448 − 0.24 1−
(1.24)5 (1.4593)5 Ă— (1.24)5 ྌ ྪ Ă— (1.4593)5 0.4593 − 0.24 1−
X = 2.251.217.903 2251217903 Ă— 0.10 = $225.121.790 Respuesta: el profesional tendrĂĄ ahorrado dentro de diez aĂąos $225.121.790
Una empresa produce 200 unidades de un artículo al mes. El precio por unidad es de $ 12.500 el primer año, de $ 13.000 en el segundo año, de $ 13.500 en el tercer año y así sucesivamente. El costo por unidad del artículo es de $ 8.000, y la empresa invierte mensualmente la cuarta parte de las utilidades en una institución que paga el 30% anual durante los cuatro primeros años y el 31,5% anual vencido, de allí en adelante. ¿Cuánto tendrá ahorrado la empresa al cabo de nueve años?
En el diagrama económico los números representa el cantidad de periodos que hay, anualmente del año 1 hasta el año 4 tiene una tasa de interés del 30% anual y del años 5 a el 9 tiene un incremento anual la tasa de interés del 31.5% . Para plantear una ecuación de valor llevamos todas las anualidades a un punto focal para hallar el valor final.
Como es un ejercicio nos muestra un crecimiento anual y para resolverlo hallamos el valor final y anualidad en promedio del año 1 al 5 con la tasa de interés del 30% a y del año 5 al 9 con una tasa de interés del 31.5% a.
A1=12500-8000=4500*200=900000/4=225000 A2=13000-8000=5000*200=1000000/4=250000 A3=13500-8000=5500*200=1100000/4=275000 A4=14000-8000=6000*200=1200000/4=300000 A5=14500-8000=6500*200=1300000/4=325000 A6=15000-8000=7000*200=1400000/4=350000 A7=15500-8000=7500*200=1500000/4=375000 A8=16000-8000=8000*200=1600000/4=400000 A9=16500-8000=8500-200=1700000/4=425000 F (1.025)12 − 1 F = 225000 = 75.707 1.025
225.000 F
F = 325000
(1.02625)12 − 1 = 79.959 1.02625
325.000 F
(1.025)12 − 1 F = 25000 = 8.412 1.025
(1.02625)12 − 1 F = 25000 = 8884 1.02625
25.000 F 25.000
F = 75707
(1.30)4 − 1 8412 (1.30)4 − 1 (1. 315)5 − 1 + ∗ − 4 ∗ (1.025)1 + 79959 0.30 0.30 0.30 0.315 8884 (1.315)5 − 1 + ∗ −5 0.315 0.315
F= 1902525.764 ≈ 1.902.526
Respuesta: la empresa tendrá ahorrado al cabo de nueve años $1.902.526
Una fábrica tiene costos fijos de $ 600.000 mensuales y costos variables de $ 150 por unidad. Durante los primeros 6 meses no hay producción porque este tiempo se dedicará a pruebas y ajustes. En el mes 7 se iniciará la producción con 300 unidades y cada mes la producción aumentará en 200 unidades hasta llegar al tope de 2.500 al mes. Si se espera vender la fábrica al final de 3 años, calcular el costo total de la producción en estos 3 años en pesos de hoy, suponga una tasa del 3% efectivo mensual.
SOLUCION: Grafica.
Explicación de las variables que se encuentran en la gráfica. C1: es el costo de inicio de la producción en el mes 7, se determinó de la siguiente manera. C1= (300 und. * 150) + 600.000 = $ 645.000
G: es la cantidad en costo de producci贸n que crece mensualmente, se determin贸 de la siguiente manera. G = 200 und * 150 = $ 30.000
ANUALIDAD MENSUAL: se determin贸 de la siguiente manera. 2.500 und * 150 = $375.000 Se debe determinar el valor presente, como se ve a continuaci贸n:
Una máquina produce una utilidad de un millón de pesos durante el primer año, sin embargo, la utilidad de la máquina disminuye $ 35.000 cada año debido al desgaste. Calcular en pesos de hoy el total de las ganancias suponiendo que la máquina va a trabajar por 10 años. La tasa de interés es del 30% efectivo anual.
SOLUCION: Grafica.
G es la cantidad que disminuyen las consignaciones, vale 35.000
P es el valor presente de la anualidad y refleja la cantidad de ganancias de la maquina en el aĂąo 0
Se aplica la fĂłrmula de valor presente:
Se realiza la compra de un camión acordando la siguiente forma de pago: como cuota inicial se abonan $19.000.000 y el resto mediante 36 pagos mensuales siendo el primero de $4.200.000 con un crecimiento mensual de $90.000 Se pide calcular el valor al contado del camión, si se valora la operación a un interés del 16 % mensual. SOLUCION: Grafica.
Se toma como punto focal el mes o, en este punto las deudas deben ser iguales a los pagos. La tasa de interés es del 1,6 % mensual Se debe llevar el gradiente aritmético creciente al punto o
(1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 đ??ş (1 + đ?‘–)đ?‘› − 1 1 đ?‘ƒ = 19.000.000 + đ??´ [ + − đ?‘›] ∗ ] [ đ?‘–(1 + đ?‘–)đ?‘› đ?‘– đ?‘– (1 + đ?‘–)đ?‘› (1,016)36 −1
đ?‘ƒ = 19.000.000 + 4.200.000 ቂ0,016(1,016)36 ቃ +
90.000 (1,016)36 −1 0,016
ቂ
0,016
P = 171.940.391
El valor de contado para adquirir el camiĂłn es de $ 171.940.391
1
− 36ቃ*(1,016)36
Una entidad financiera presta a un cliente $ 3.000.000, con un interés del 34%anual pagadero mensual vencido. El deudor tiene un plazo de 15 años para amortizar la deuda, mediante pagos mensuales. Suponiendo que la primera cuota es de $ 10.000 y vence al final del primer mes, ¿Cuál debe ser el porcentaje de reajuste mensual de la cuota, para cancelar la deuda?
SOLUCION: Grafica.
Se tiene un gradiente geométrico, en donde se debe hallar el valor del interés j.
Transformar la tasa de interĂŠs nominal a una tasa de interĂŠs efectiva mensual.
Se toma como punto focal el mes 0 y aplicamos las operaciones respectivas
đ?‘ƒ = đ?‘Ž1 ྼ
1−
(1+đ?‘—)đ?‘› (1+đ?‘–)đ?‘›
đ?‘–−đ?‘—
ྊ
3.000.000 = 10.000 ྼ
(1+đ?‘—)180 (1,0283)180
1−
0,0283−đ?‘—
De la ecuaciĂłn se obtiene que: .j = 5,3%
ྊ
Determinar el valor de la primera cuota en el Financiamiento una deuda de $ 5.000.000 de hoy a cuatro años con cuotas que aumenten en el 3% cada mes durante los cuatro años, suponiendo una tasa de interés para el préstamo del 33% anual pagadero mensual vencido
SOLUCIÓN: Grafica.
Cuatro años corresponden a 48 meses.
Transformar la tasa de interĂŠs nominal a una tasa de interĂŠs efectiva mensual 33
đ?‘–đ?‘š = 12 % = 2,75% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™
Se toma como punto focal el mes 48 y se determina el valor presente del prĂŠstamo para determinar el valor de la cuota a1: Aplicar la fĂłrmula de valor presente.
đ?‘ƒ = đ?‘Ž1 ྼ
1−
(1+đ?‘—)đ?‘› (1+đ?‘–)đ?‘›
đ?‘–−đ?‘—
ྊ
QuedarĂa de la siguiente manera:
5.000.000 = �1 ྼ
Respuesta: 4985993
1−
(1,03)48 (1,0275)48
0,0275−0,03
ྊ
95 EJERCICIOS RESUELTOS DE GRADIENTES ELABORADO POR: ESTUDIANTES DE QUINTO SEMESTRE DE INGENIERÍA INDUSTRIAL