AUTORES: ASTRID DANIELA JIMENEZ CONTRERAS KAREN STEFANY CABALLERO GONZALES DIANA KATHERINE ESTUPIÑAN PATIÑO SILVANA CAMILA JAIMES GAFARO JUAN GUILLERMO ROJAS OLEJUA JUAN DIEGO PINEDA CIFUENTES WILLIAM ANDRES ORTEGA PEÑARANDA NINI JHOJANA ALVAREZ BACCA
JENNIFFER ALEJANDRA GUERRERO BUENO YESSICA JULIETH GELVES DÍAZ MARÍA FERNANDA VALBUENA GRANADOS DANNA LIZBETH CONTRERAS MEZA ZAYDA LUCY GELVEZ DUARTE LEIDDY CAROLINA MONTOYA REMOLINA DIANA CAROLINA CALDERON OYOLA PEDRO GONZALEZ RODRIGUEZ
LUIS ANTONIO MARQUÉS CUEVAS ALIX CAMILA FERNANDA ARÉVALO CASTRO PAULA ANDREA MERIÑO PEÑALOZA HECTOR ELIAS MENDOZA CARDENAS
ANTONIO VICENTE GRANADOS GUERRERO DOCENTE
INGENIERÍA ECONOMICA
UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE INGENIERÍAS INGENIERÍA INDUSTRIAL
SAN JOSÉ DE CÚCUTA 2018
____________________ 95 EJERCICIOS RESUELTOS DE INTERÉS COMPUESTO ____________________ ELABORADO POR ESTUDIANTES DE QUINTO SEMESTRE DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ____________________ 2018
PRÓLOGO
En el momento actual de una economía globalizada, los conceptos teóricos de la Ingeniería Económica o las Matemáticas Financieras son fundamentales para apoyar la toma de decisiones acertadas sobre el manejo optimo del dinero. Los estudiantes universitarios de esta materia, que quieren llegar a tener un dominio aceptable de la misma, consideran que es imprescindible complementar los conceptos teóricos, mediante la resolución de problemas Es por esto que el documento que se presenta a continuación, el cual forma parte de un conjunto de cuatro módulos elaborados por un grupo alumnos de la materia de Ingeniería Económica del Plan de Estudios de Ingeniería Industrial de la Universidad Francisco de Paula Santander, pretende ser una herramienta útil para apoyar el trabajo académico de los alumnos de las facultades de Ingenierías, Administración, Economía, Contaduría Pública y carreras afines en el estudio y aprendizaje de la Ingeniería Económica o las Matemáticas financieras, con una colección variada de ejercicios resueltos de Intereses Simples, Intereses compuestos, Anualidades y Gradientes, que logren estimularlos en la reflexión, la búsqueda y la investigación.
Ingeniero Antonio Vicente Granados Guerrero Docente Cátedra Universidad Francisco de Paula Santander
El interés compuesto es aquel interés que se cobra por un crédito y al ser liquidado se acumula al capital (Capitalización el interés), por lo que, en la siguiente liquidación de intereses, el interés anterior forma parte del capital o base del cálculo del nuevo interés. Este sistema, al capitalizar los intereses hace que el valor que se paga por concepto de intereses se incremente mes a mes, puesto que la base para el cálculo del interés se incrementa cada vez que se liquidan y acumulan los respectivos intereses. Este sistema es ampliamente aplicado en el sistema financiero. En todos los créditos que hacen los bancos sin importar su modalidad, se utiliza el interese compuesto. La razón por la que existe este sistema, es porque supone la reinversión de los intereses por parte del prestamista.
LAS FORMULAS QUE SE UTILIZARON EN EL SIGUIENTE SOLUCIONARIO SON LAS SIGUIENTES: I=P+1 F=P(1+ i)n i = tasa de interés efectiva vencida y además congruente con el número de periodos
PROCEDIMIENTO PARA TRANSFORMAR UNA TASA DE INTERES NOMINAL EN UNA TASA DE INTERES EFECTIVA 1. Transformar la tasa de interés nominal a efectiva. 2. Transformar la tasa de interés anticipada a vencida. 3. Transformar la tasa de interés efectiva vencida de un periodo a efectiva vencida de otro periodo.
FORMULA PARA TRANSFORMAR TASAS DE INTERES EFECTIVA ( 1 + ia) = ( 1 + is) 2 = ( 1 + it) 4 = ( 1 + ib) 6 = ( 1 + im) 12 = ( 1 + iq) 24 = ( 1 + isem) 48 = ( 1 + id) 360
TENIENDO EN CUENTA QUE: 1 AÑO = 360 DIAS 1 AÑO = 12 MESES 1 AÑO = 48 SEMANAS 1 AÑO = 2 SEMESTRES 1 AÑO = 4 TRIMESTRES 1 AÑO = 6 BIMESTRES
EJERCICIO PRIMERO Un socio de una empresa aportó $ 125.000.000, al finalizar el quinto año se retiró de la sociedad; llegando a un acuerdo con los demás socios le entregaron $172.000.000. ¿Qué rendimiento anual obtuvo de su inversión en esa empresa?
PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio.
F= $172.000.000 0
i= ¿? n=5 años
P= $125.000.000
NOTA: El período cero (0) representa el día de hoy, ahí se sitúa P (inversión).
SEGUNDO PASO: La fรณrmula que se usarรก. F = P(1 + i)n
TERCER PASO: Resolver el ejercicio. F = P(1 + i)n 172.000.000 = 125.000.000(1 + i)5 i= 0,0659= 6,59%
¿Cuántos años hay que esperar para que después de depositar hoy $250.000.000 en una cuenta de ahorros que reconoce el 5% trimestral pagadero mensual, podamos retirar $ 388.000.000?
PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio.
F= 388.000.000 0
i= 5% trimestral pagadero mensual n= ¿?
P= $250.000.000 NOTA: El período cero (0) representa el día de hoy, ahí se sitúa P (inversión).
SEGUNDO PASO: Convertir el porcentaje de interés en el tiempo estipulado, que es anual. 5% trimestral pagadero mensual
% anual
4 trimestres=12 meses 1 trimestre=3 meses i=
5% trimestral pagadero mensual = 1,667% = 0,01667 mensual 3 meses
(1 + ia )1 = (1 + im )12 1
12
(1 + ia )1 = (1 + 0,01667) 1 12
ia = (1 + 0,01667) 1 − 1 ia = 0,2194 = 21,94%
TERCER PASO: La fórmula que se usará. F = P(1 + i)n CUARTO PASO: Resolver el ejercicio. F = P(1 + i)n 388.000.000 = 250.000.000(1 + 0,2149)n n= 2,26 años
¿En cuántos años se cuadruplicará una inversión hecha hoy con un interés compuesto del 24% anual pagadero semestral?
PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio.
F= 4P 0
i= 24% anual pagadero semestral n= ¿?
P NOTA: El período cero (0) representa el día de hoy, ahí se sitúa P (inversión).
SEGUNDO PASO: Convertir el porcentaje de interés en el tiempo estipulado, que es anual.
24% anual pagadero semestral
% semestral
1 año=2 semestres i=
24% anual pagadero semestral = 12% = 0,12 semestral 2 semestres
(1 + ia )1 = (1 + is )2 1
2
(1 + ia )1 = (1 + 0,12)1 2
ia = (1 + 0,12)1 − 1 ia = 0,2544 = 25,44%
TERCER PASO: La fórmula que se usará. F = P(1 + i)n
CUARTO PASO: Resolver el ejercicio. F = P(1 + i)n 4P = P(1 + 0,2544)n 4P = (1 + 0,2544)n P 4 = (1 + 0,2544)n n= 6,12 años
Una persona deposita hoy $ 45.000.000 en una corporación de ahorro que paga el 2.7% trimestral pagadero bimestral. Tres años después deposita $ 62.000.000, un año más tarde deposita $ 50.000.000, y dos años después decide retirar la cuarta parte del total acumulado hasta ese momento. Hallar el saldo en la cuenta de ahorros cinco meses después del retiro.
PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio.
1
X= F- 4*F n1 = 3 años
n2 = 1 año
n3 = 2 años
0
P= $45.000.000
$62.000.000
$50.000.000
i= 2,7% trimestral pagadero bimestral
n4 = 5 meses
R= ¿?
NOTA: El período cero (0) representa el día de hoy, ahí se sitúa P (inversión).
SEGUNDO PASO: Convertir los porcentajes de interés en el tiempo estipulado, que son anual y mensual. 2,7% trimestral pagadero bimestral
% anual
4 trimestres=6 bimestres 1 trimestre=1,5 bimestres i=
2,7% trimestral pagadero bimestral = 1,8% = 0,018 bimestral 1,5 bimestres
(1 + ia )1 = (1 + ib )6 1
6
(1 + ia )1 = (1 + 0,018)1 6
ia = (1 + 0,018)1 − 1 ia = 0,1130 = 11,30% 2,7% trimestral pagadero bimestral
% mensual
4 trimestres=6 bimestres 1 trimestre=1,5 bimestres i=
2,7% trimestral pagadero bimestral = 1,8% = 0,018 bimestral 1,5 bimestres
(1 + ib )6 = (1 + im )12 6
12
(1 + 0,018)12 = (1 + im )12 1
im = (1 + 0,018)2 − 1 im = 0,008960 = 0,8960%
TERCER PASO: Las fórmulas que se usarán. F = P(1 + ia )n1+n2 +n3 + P(1 + ia )n2 +n3 + P(1 + ia )n3 1
X= F- 4*F R = X(1 + im )n4
CUARTO PASO: Resolver el ejercicio. Realizar la operación hasta el momento en que se retiró la cuarta parte del total acumulado. F = P(1 + ia )n1+n2 +n3 + P(1 + ia )n2 +n3 + P(1 + ia )n3 F = 45.000.000(1 + 0,1130)6 + 62.000.000(1 + 0,1130)3 + 50.000.000(1 + 0,1130)2 F= $232.963.751 1
X= F- 4*F 1
X= 232.963.751- 4*232.963.751 X= $174.722.813
Realizar la operación con el dato anterior obtenido, para hallar el saldo en la cuenta de ahorros cinco meses después del retiro. R = X(1 + im )n4 R = 174.722.813(1 + 0,008960)5 R= $ 182.691.927
Una empresa adquiere un prĂŠstamo por $ 120.000.000 al 22,5% anual pagadero mensual y firmĂł un pagarĂŠ por $ 248.000.000. ÂżQuĂŠ plazo le concedieron para cancelar la deuda y los intereses?
PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio.
�F= $248.000.000 0
i= 22,5% anual pagadero mensual n= Âż?
VT = $120.000.000
NOTA: El período cero (0) representa el día de hoy, ahí se sitúa VT (inversión).
SEGUNDO PASO: Convertir el porcentaje de interés en el tiempo estipulado, que es anual. 22,5% anual pagadero mensual
% anual
1 año=12 meses i=
22,5% anual pagadero mensual = 1,875% = 0,01875 mensual 12 meses
(1 + ia )1 = (1 + im )12 1
12
(1 + ia )1 = (1 + 0,01875) 1 12
ia = (1 + 0,01875) 1 − 1 ia = 0,2497 = 24,97%
TERCER PASO: La fórmula que se usará. VF = VT (1 + ia )n
CUARTO PASO: Resolver el ejercicio. VF = VT (1 + ia )n 248.000.000 = 120.000.000(1 + 0,2497)n n= 3,26 años
EJERCICIO # 6 ÂżCuĂĄnto deberĂĄ pagar una persona dentro de 3 aĂąos por una deuda que adquiriĂł hoy de $ 15.600.000, si la tasa de interĂŠs que le cobra la entidad es del 3,2% bimestral?
SoluciĂłn. En primer lugar se realiza la grĂĄfica correspondiente:
Se debe transformar la tasa de interĂŠs bimestral a una tasa de interĂŠs anual: En un aĂąo hay 6 bimestres. đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ = (1,032)6 − 1 = 0,208 = 20,8% đ?‘Ž
Aplicar la fĂłrmula de interĂŠs compuesto: đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–)đ?‘› En donde F es el valor futuro, P es el valor presente y “nâ€? es igual a 3 aĂąos đ??š = 15.600.000(1,208)3 Luego F = 27.499.533,23
Respuesta. El valor que debe pagar la persona a los 3 aĂąos por el valor de la deuda es de $ 27.499.533,23
¿Cuánto se tendrá en su cuenta bancaria el día 25 de mayo del 2018 si el 7 de noviembre de 2016 la abrió con $6.300.000, el 3 de enero del 2018 hizo un depósito por $15.000.000 y el 10 de febrero de 2018 retiró $9.500.000? Suponga intereses del 7.2% anual pagadero trimestral.
Solución. Primero realizamos la gráfica respectiva:
Con la aplicación del celular “calculadora de días” determinamos la cantidad de días “n”:
La cantidad de días que hay entre el 7/11/16 y el 3/01/18 es de 422 = n
La cantidad de dĂas que hay entre el 3/01/18 y el 10/02/18 es de 38 = n La cantidad de dĂas que hay entre el 10/02/18 y el 25/05/18 es de 104 = n
Transformar la tasa de interĂŠs nominal a una tasa de interĂŠs efectiva diaria:
Tomar como punto focal la fecha 25 de mayo del 2018: en este punto, la suma de todos los retiros serĂĄn igual a la suma de todas las consignaciones. Se debe llevar todas las consignaciones y retiros a este punto focal teniendo en cuenta el nĂşmero total de dĂas correspondiente.
Aplicamos la formula 6.300.000(1 + đ?‘–đ?‘‘)đ?‘›1 + 15.000.000(1 + đ?‘–đ?‘‘)đ?‘›2 = 9.500.000(1 + đ?‘–đ?‘‘)đ?‘›3 + đ?‘‹ 422+38+104 = 564 = n1 38+104 = 142 = n2 104 = n3
Con el programa de la calculadora SOLVE, se determina el valor de “X� X = 12.784.604
Respuesta. La cantidad de dinero que hay a la fecha 25 de mayo del 2018.
¿Con cuánto se cancela hoy un crédito que se obtuvo hace 7 meses por $500.000? Considere intereses del 17.4% anual y que hace 3 meses se abonaron $200,000
Solución. Primero se realiza la gráfica:
P es el valor del crédito que se obtuvo hace 7 meses Se debe determinar el valor de “X” Antes es necesario transformar la tasa de interés anual vencida efectiva a una tasa de interés mensual vencida efectiva: en un año hay 12 meses.
Tomar el punto focal hoy, es decir el mes 7: Aplicamos la formula. đ?‘‹ + 200.000(1 + đ?‘–đ?‘š)đ?‘› = 500.000(1 + đ?‘–đ?‘š)đ?‘›
Con el programa de la calculadora SOLVE, se determina el valor de “X�
X = 340.997 Respuesta. Para cancelar el crĂŠdito se debe pagar $ 340.997
Obtenga el tamaño de cada uno de los 3 pagos que se realizan el 18 de septiembre de 2018, 3 de noviembre de 2019 y 28 de enero de 2020 para cancelar un préstamo por $48.300.000, realizado el 5 de agosto de 2016, con intereses del 12.6% semestral pagadero bimestral considerando que cada uno es un 20% menor que el anterior. Solución. Primero se realiza la gráfica:
La primera cuota tiene un valor X La segunda cuota es: X2 = X - 0,2 X, es decir X2 = 0,8 X La tercera cuota es: X3 = X2 – 0,2 X2, es decir X3 = 0,8 X2, que será: X3 = 0,8 (0,8X) = (0,8)2 X
Con la aplicaciĂłn del celular “calculadora de dĂasâ€? determinamos la cantidad de dĂas “nâ€?: Entre el 5/08/16 y el 18/09/18 la cantidad de dĂas que hay es de 774 = n Entre el 18/09/18 y el 3/11/19 la cantidad de dĂas que hay es de 411 = n Entre el 3/11/19 y el 28/01/20 la cantidad de dĂas que hay es de 86 = n Transformar la tasa de interĂŠs nominal a una tasa de interĂŠs efectiva diaria: En un semestre hay 3 bimestres y en un bimestre hay 60 dĂas.
Tomar como punto focal la fecha 3 de noviembre del 2019: en este punto todas las deudas deben ser igual a todos los pagos. Aplicamos la formula.
đ?‘‹(1 + đ?‘–đ?‘‘)đ?‘› + 0,8đ?‘‹ +
0,82 đ?‘‹ (1+đ?‘–đ?‘‘)đ?‘›
= 48.300.000(1 + đ?‘–đ?‘‘)đ?‘›
Con el programa de la calculadora SOLVE, se determina el valor de “Xâ€? X = 40.051.618, por lo tanto el valor de las demĂĄs cuotas serĂĄ:
¿Cuánto debe invertirse el 3 de febrero del 2017, al 5.18% de interés anual pagadero quincenal para disponer de $35.000.000 el 9 de mayo del 2018?
Solución. Grafica de la situación:
Con la aplicación del celular “calculadora de días” determinamos la cantidad de días “n”: Entre el 03/02/17 y el 09/05/18 la cantidad de días que hay es de 460 = n
Transformar la tasa de interĂŠs nominal a una tasa de interĂŠs efectiva diaria:
Ahora se aplica la formula general: đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–)đ?‘› , en donde F es el valor futuro y P es el valor presente que en este caso lo denotamos con la letra “Xâ€? 35.000.000 = đ?‘‹(1 + 0,0001)460
đ?‘‹=
35.000.000 (1,0001)460
X = 33.426.545 Respuesta. Debe invertirse una cantidad de $ 33.426.545
¿Cuál es el precio de un automóvil usado que se adquiere con un anticipo del 40% y 6 cuotas trimestrales de $6.300.000 cada una, y que incluyen intereses de 1.75% mensual. Solución. Realizamos la gráfica en primer lugar:
El valor de las 6 cuotas trimestrales es la misma es decir que: X1 = X2 = X3 = X4 = X5 = X6 = 6.300.000 Transformar la tasa de interés mensual a una tasa de interés trimestral:
Se toma como punto focal el trimestre 3:
Con el programa de la calculadora SOLVE, se determina el valor de “X” X = 52.720.147 Respuesta. El precio del automóvil era de $ 52.720.147
Se compra una motocicleta en $7.250.000 con un pago inicial del 30% y 4 pagos bimestrales que decrecen $100.000 cancelando intereses del 12% semestral pagadero trimestral ¿De cuánto es cada pago?
Solución. Realizamos la gráfica en primer lugar:
Pago inicial: 7.250.000 x (0.30) = $ 2.175.000 đ?‘› âˆś đ?‘?đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ Transformar la tasa de interĂŠs nominal a una tasa de interĂŠs efectiva bimestral: En un semestre hay dos trimestres y en un trimestre hay 1.5 bimestres.
El punto focal es el bimestre 2: 7.250.000(1 + đ?‘–)đ?‘› = 2.175.000(1 + đ?‘–)đ?‘› + đ?‘‹(1 + đ?‘–)đ?‘› + (đ?‘‹ − 100.000) + (đ?‘‹âˆ’200.000) (1+đ?‘–)đ?‘›
+
(đ?‘‹âˆ’300.000) (1+đ?‘–)đ?‘›
7.250.000(1,0396)2 = 2.175.000(1,0396)2 + đ?‘‹(1,0396)1 + (đ?‘‹ − 100.000) +
(đ?‘‹ − 200.000) (đ?‘‹ − 300.000) + (1,0396)1 (1,0396)2
Con el programa de la calculadora SOLVE, se determina el valor de “X� X = 1.541.941,80 Respuesta. El valor del primer pago es de $ 1.541.941,80 El valor del segundo pago es de $ 1.541.941,80-100.000 =1.441.941,80 El valor del tercer pago es de $ 1.541.941,80 – 200.000 = 1.341.941,80 El valor del cuarto pago es de $ 1.541.941,80 – 300.000 = 1.241.941,80
María Mujica tiene los capitales de $126 000.000 y $94 000.000, que por razones de riesgo están colocados a distintas tasas de interés. Como fueron colocados a plazo fijo de un año, al final del mismo se tiene que la suma de los intereses generados por estos dos capitales es una cantidad de $12.460.000. Adicionalmente, se tiene que el interés generado por uno de los capitales supera al otro en $1.280.000. ¿Cuáles son las tasas de interés anuales con la que estuvieron colocados dichos capitales?
Solución. Se deben realizar dos gráficas, una para cada capital: Para el capital 1.
Para el capital 2.
Se presta una cantidad de dinero, desde el 05/03/17. Durante los primeros 90 días, le pagaron 1,8% mensual y el resto del tiempo a 12% anual. ¿Cuál es la cantidad de dinero inicialmente prestada si la deuda el 28/09/18 es de $22.235.000?
Solución.
El punto indicado en la gráfica indica 90 días transcurridos y hasta ese tiempo se maneja la tasa de interés de 1,8 % mensual. Se determina con la aplicación “calculadora de días” que entre las dos fechas de la gráfica existen 572 días.
Primero transformo las tasas de interés dadas a una tasa de interés diaria:
Se toma como punto focal los 90 días:
Con el programa de la calculadora SOLVE se determina que: X = 18.159.366 Respuesta. La cantidad de dinero inicialmente prestada fue de $ 18.159.366
Se coloca $22.000.000 hoy a una tasa de 28% anual con capitalización trimestral por 5 años. Sin embargo, los meses 15 y 24 se retiran $5.000.000 y $6.000.000 respectivamente; a finales del mes 40 se efectuó un depósito igual a $3.000.000. ¿Qué cantidad hay al término del año 5? Solución. Grafica:
El mes 60 corresponde a 5 años transcurridos desde la consignación de los $ 22.000.000 En la gráfica las flechas hacia arriba indican retiros y las flechas hacia abajo indican consignaciones. Primero transformar la tasa de interés nominal a una tasa de interés efectiva mensual:
Se toma como punto focal el mes 40:
Con el programa de la calculadora SOLVE se determina que: X = 62.498.157 Respuesta. La cantidad de dinero inicialmente prestada fue de $ 18.159.366
Hace 11 meses deposité $ 500.000 y, 4 meses después retire $ 250.000. ¿Cuánto tendré acumulado hoy si hace tres meses deposité $ 300.000 y el interés que reconoce es del 4,7% bimestral?
Solución Para los primeros 2 meses tenemos
500.000 + (500.000 * 4.7%) = 523,500
Para los siguientes 2 meses tenemos
523,500 + (523,500 * 4.7%) = 548,104.5
Al retirar los $250.000 pesos nos quedan 548 104.5 – 250.000 = 298,104.5
De lo que podemos obtener al solucionar de la siguiente manera
298,104.5 + (298,104.5 * 4.7%) = 312,115.4115
312,115.4115 + (312,115.4115 * 4.7%) = 326,784.8358
Mas el depósito de $300.000 pesos se obtiene:
326,784.8358 + 300,000 =626,784.8358
Con la cuota de interés por los 2 meses nos queda
626,784.8358 + (626,784.8358 * 4.7%) = 656,243.72
Con la cuota de interés de 1 mes nos da como resultado
656,243.72 + (256,243.72 * 4.7%) / 2 =
671, 488.4
Esto es lo que se obtendrá del acumulado de 3 meses después y 2 meses después.
Una persona recibió una herencia de $ 1.500.000.000 y quiere invertir una parte de este dinero en un fondo de jubilación. Piensa jubilarse dentro de 15 años y para entonces desea tener $ 30.000.000.000 en el fondo. ¿Qué parte de la herencia deberá invertir ahora si el dinero estará invertido a una tasa del 2% mensual?
Grafica
Solución
Con los datos que nos ofrece el ejercicio sabemos que la tasa de interés mensual es del 2%. En 1 año hay 12 meses Interés mensual = (1+ i)12 - 1 Im = (1 + 0.02)12 -1
Im = 0.268
Con la ecuación de interés compuesto obtenemos la siguiente expresión F = P (1 + i)15 30.000.000.000 = P (1.268)15
Al reemplazar cada dato y solucionar se tiene que
P=
30.000.000.000 (1.268)15
P = 851, 789.832
Por lo tanto el capital que debe invertir para llegar a la jubilación es de 851.789.832
Un capital estuvo invertido 4 años a una tasa del 7,5% Trimestral, si se hubiera invertido al 2,5% mensual, habría producido $1.634.872 más de intereses. ¿Cuál es el capital que se invirtió?
Solución
Con los datos que nos ofrece el ejercicio podemos obtener una tasa de interés del 7.5% trimestral y del 2.5% mensual En 1 año hay 4 trimestres, por ese motivo se divide entre 4 para pasar la tasa de interés a anual. Tasa de interés =
7.5% 4
= 0.018 anual
En este caso se divide entre 12 ya que vamos a pasar de mensual a anual Tasa de interés =
2.5% 12
= 0.00208 anual
Acá nos otorgan el valor de la anualidad, es decir el valor constante del periodo
A = 1,634.872
Reemplazando en la ecuaciĂłn podemos obtener que:
P=A[
(1+đ?‘–)đ?‘› −1
]
đ?‘–(1+đ?‘–)đ?‘›
(1+7.5%)4 −1
(1+2.5%)4 −1
P= 1.634.872[7.5%(1+7.5%)4 ]+[2.5%(1+2.5%)4 ]
P = 5, 475.723
Una persona debe $5.500.000, con vencimiento en 20 meses e intereses del 7.5% Trimestral pagadero bimestral anticipado hasta el mes 8 y del 5% bimestral pagadero quincenal de ahĂ en adelante. Cuanto debe cancelar al final del perĂodo de deuda?
Grafica
SoluciĂłn
Como debe pagar el 5% y el 7.5% para poder determinar el porcentaje total se debe realizar la siguiente operaciĂłn
I tba =
7.5% 1.5
= 5%
đ?‘–đ?‘?
Ib vencido = 1−đ?‘–đ?‘? = 0.05 0.05 1−0.05
= 0.0526
5.26%
De lo que se obtiene un 5.26% ahora al reemplazar podemos observar que 1
Im = (1.0526)2 – 1 = 0.0259
Ibpq =
5% 4
= 0.0125
2.59% m
1.25%
Y al elevar este valor al cuadrado nos encontramos con Im= (1.0125)2 – 1 = 0.0251
2.51%
Para finalmente F = 5, 500,000(1.0259)8 (1.0251)12 F = 9, 086,523
Y el valor total a pagar al final del periodo de la deuda es 9.086.523 pesos
Las dos quintas partes de un capital están invertidos al 2,35% mensual pagadero semanal y el resto al 15% semestral pagadero quincenal; si los intereses anuales son $ 1.159.503. ¿Cuál es el capital?
Solución
De los datos dados en el ejercicio podemos evidenciar que, debido a que el capital está invertido a un porcentaje de 2.35% obtenemos que
En 1 mes laboral hay 4 semanas
I mpse = 2.35% / 4 = 0.587% se
Y sabiendo que el resto está a un 15%semestral obtenemos que
En 1 semestre hay 12 quincenas
I spq = 15% / 12 = 1.25 % q
Al reemplazar los datos obtenidos en la siguiente expresión Interés = (1+ i)48 – 1 1 año tiene 48 semanas Ia = (1.00587)48 – 1 = 32.43 % a = 0.3243
1 año tiene 24 quincenas Ia = (1+1.25%)24 - 1 = 0.3473 -------- 34.73%
Ahora este porcentaje equivale a
F = P (1+i)
1.159.503 = 2/5 P (1.3243) + 3/5 P (1.3473) P = 866,529
Finalmente resolvemos toda la expresión mediante la siguiente expresión, y obtenemos que el capital es: 866,529
Un señor tiene hoy una deuda por valor de $70.000.000 y le cobran un interés de 3.5% mensual. A su vez, el señor dispone hoy de $50.000.000 los cuales deposita en una cuenta al 7% mensual. ¿Dentro de cuánto tiempo (meses) el monto que tenga en la cuenta le será suficiente para cancelar la deuda existente?
SOLUCION: Lo primero al resolver es plantear la gráfica sabiendo que: I: 3.5% mensual P1:70.000.000 F1: ?
I: 7% mensual P2:50.000.000 F2: ?
70.000.000
F1=?
n=?
0 50.000.000
F2=?
El periodo 0 en el diagrama econĂłmico representa el dĂa de hoy, para el desarrollo de este ejercicio se debe tener presente que: ďƒź Se tiene que todas las flechas hacia arriba son iguales a todas las flechas hacia abajo Por lo tanto F1=F2 y aplicando la fĂłrmula de futuro đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ??ź)đ?‘› 70.000.000(1 + 0.035)n = 50.000.000(1 + 0.07)n Despejando n por solve = 10 meses R/ Dentro de 10 meses tendrĂĄ en la cuenta el monto suficiente para cancelar la deuda existente.
Un inversionista cuenta con excedentes de $10.000.000, los cuales no requerirá durante los próximos tres años. Una institución financiera le asegura una tasa del 22% anual. Por otra parte, tiene la opción de depositar sus recursos en un Banco, el cuál le pagará la tasa de interés que al inicio de cada año esté vigente en el mercado. Si la tasa para el primer año es del 25% anual, para el segundo año de 22% anual y para el tercer año 20% anual, determinar en qué institución le conviene efectuar su depósito.
SOLUCION: la solución de este ejercicio se hara en dos partes analizando las dos opciones que se contempla. Primera institución Se realiza el diagrama económico sabiendo que : P= 10.000.000 I: 22%anual n= 3 años F= ?
F=?
1
3 aĂąos I=22% anual
10.000.000
Se procede halla el valor de F aplicando la formula đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ??ź)đ?‘› đ??š = 10.00.000(1 + 0,022)3 = $18.158.480 ďƒ˜ Segunda instituciĂłn Se realiza el diagrama econĂłmico sabiendo que: 
La tasa de interĂŠs para el primer aĂąo es de 25% anual

La tasa de interĂŠs para el segundo aĂąo es de 22% anual

La tasa de interĂŠs para el tercer aĂąo es de 20% anual F=?
I=25% anual
I=22% anual 1 AĂ‘O
I= 20% anual 2 AĂ‘O
3 AĂ‘O
10.000.000
Para la soluciĂłn de este ejercicio se aplica la fĂłrmula: F = P (1 + i1) x (1 + i2) x (1+ i3) F = 10.000.000 (1+0.25) x (1+0.22) x (1+0.2N)= $18.300.000 R/ se llega a la conclusiĂłn que la mejor opciĂłn para el inversionista es la segundo instituciĂłn puesto que por medio de ella se obtienen mĂĄs ganancias.
Se obtiene un crédito de $20.000,000 a 40 días con el 24% de interés anual pagadero semanal; ¿Qué cantidad debe pagar al concluir el plazo de la deuda?
SOLUCION: Se realiza el diagrama económico sabiendo que:
P=20.000.000 n=40 días I=24% aps F=?
F=?
1 I=24% aps 20.000.000
40 días
El ejercicio nos pide calcular una cantidad en un futuro por tal motivo se utiliza la siguiente ecuaciĂłn: đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ??ź)đ?‘› Antes de reemplazar en ella debemos convertir la tasa de interĂŠs, el primer paso es pasa los aĂąos a semanas: 1
24% 48 = 0,5% đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘Žđ?‘›đ?‘Žđ?‘™ DespuĂŠs convertimos las semanas a dĂas: 48
đ??źđ?‘‘ = (1 + 0,005)360 − 1 = 0,0665% diario DespuĂŠs de este procedimiento reemplazamos en la ecuaciĂłn: đ??š = (20.000.000)(1 + 0,000665)40 F=
$20.538.957
Un comerciante
deposita $20.000.000 en un fondo de inversiones que garantiza un
rendimiento del 30% anual anticipado, si la persona retira su depósito 124 días después de haber consignado el dinero. ¿Cuánto recibe? SOLUCION: Se realiza el diagrama económico sabiendo que: P: 20.000.000 I: 30% anual anticipado n=124 días
F= ?
1
124
IT= 30% a
P= 20.000.000
El ejercicio nos pide calcular una cantidad en un futuro por tal motivo se utiliza la
siguiente
ecuaciĂłn: đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ??ź)đ?‘› Antes de reemplazar en ella debemos convertir la tasa de interĂŠs anticipada a efectiva: 0.3 1−0.3
= 0.428
DespuĂŠs la convertimos a interĂŠs diario: 1
đ??źđ?‘‘ = (1 + 0.428)360 = 0,099% Reemplazamos en la ecuaciĂłn: đ??š = 20.000.000(1 + 0.00099)124 F:
22.610.887
Una persona desea adquirir un terreno dentro de 6 meses supone que la cuota inicial que tendrá que pagar para esas fechas será de $40,000.000. Si desea tener esa cantidad dentro de 6 meses ¿qué cantidad debe invertir en su depósito de renta fija que rinde el 6% de interés anual?
SOLUCION: se realiza el diagrama económico sabiendo que:
n=6 meses F= 40.000.000 I= 6% anual
40.000.000
I= 6% anual
P=?
6 meses
Como nos piden hallar con una cantidad en un tiempo presente se aplica la siguiente ecuaciĂłn: đ??š
đ?‘? = (1+đ??ź)đ?‘› Transformamos el interĂŠs anual a mensual: 1
đ??źđ?‘€ = (1 + 0,06)12 − 1 = 0,48% Reemplazamos en la ecuaciĂłn de presente: 40.000.000
đ??š = (1+0,0048)6 F=38867108,52
Un padre de familia promete a cada uno de sus dos hijos, que al terminar la carrera le entregará a cada uno $14.000.000 para que realicen un viaje. Si al primero le faltan 2 años para terminar y al segundo 3 años. ¿Cuánto debe invertir hoy en un fondo que paga el 7.3% trimestral pagadero mensual a fin de poderles cumplir la promesa? SOLUCION: Grafica.
Transformar la tasa de interés nominal a una tasa de interés efectiva anual.
Tomar como punto focal el dĂa de hoy y aplicamos las operaciones respectivas
Una persona hace 4 años depositó $9.000.000 y hoy el banco le está entregando la cantidad de $13.500.000 La persona desea saber que tasa interés le concedió el banco; lo único que si recuerda que la inversión era interés bimestral SOLUCION: Grafica.
Despejar de la formula general de interés compuesto la tasa de interés que será anual
Ahora se transforma la tasa de interĂŠs anual a una tasa de interĂŠs bimestral y se tiene:
Una persona va a una agencia de automóviles usados y adquiere uno cuyo valor es de $65.000.000, la compra la realizó de la siguiente manera: Una cuota inicial del 25% y el resto a pagar a dos años, con una tasa de interés del 20% anual por el primer año y del 12% semestral de ahí en adelante. Determinar dicho valor. SOLUCION: Grafica.
Transformar la tasa de interés 2 que esta semestral a una tasa de interés anual.
Tomar como punto focal el aĂąo 1 y realizar las operaciones respectivas.
Un empresario contrajo una deuda, para que se le instalara un refrigerador de un gran tamaño por la cantidad de $47.650.000 a una tasa de interés del 25% anual pagadero semana por un periodo de 5 años. Si la forma de pago con cuotas iguales en los años 2,4 y 5 de que monto son cada una. SOLUCION: Grafica.
Transformar la tasa de interés nominal a una tasa de interés efectiva anual, como se ve a continuación.
Tomar como punto focal el aĂąo 2 y realizar las operaciones respectivas.
El valor de las tres cuotas corresponde a 37.653.177 cada una
Una persona puede adquirir una colección de artículos pagando $28.000.000 al contado, o bien mediante una cuota inicial de $15.000.000 al momento de la venta y cancelando otro $15.000.000 al cabo de dos años. Si puede invertir ese dinero al 8.5% anual. ¿Qué forma de pago es más conveniente? SOLUCION: Grafica.
En la gráfica se puede apreciar las dos opciones que son: de contado o a crédito. La F significa el valor presente de la deuda a crédito para poder compararla con la opción de contado.
Determinar el valor presente de la deuda a crĂŠdito:
Al comparar los dos valores se puede apreciar que la mejor opciĂłn es a crĂŠdito.
David Espinoza ha logrado reunir un capital de $33.000.000. Una persona le ofrece pagar 12% de interĂŠs anual. Por los riesgos que esta operaciĂłn representa, sĂłlo decide depositar 1/3 de su capital, por un lapso de tiempo de 8 meses, y el resto del capital logra colocarlo al 9% anual, por un lapso de tiempo, de tal forma que se generarĂa por estas dos operaciones una ganancia total de $2.860.000 ÂżCuĂĄnto tiempo tendrĂa que estar colocado el segundo capital? SOLUCION Para este problema se deberĂĄ plantear dos graficas (1)
đ??š1 đ?‘› = 8 đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘ đ?‘– = 12%đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ đ?‘ƒ = 11,000,000 1 ∗ 33,000,000 = 11,000,000 3 1
đ?‘–đ?‘š = (1,12)12 − 1 = 0,0095 = 0,95%đ?‘š (2) đ??š2
đ?‘› =? đ?‘– = 9%đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ đ?‘ƒ = 22,000,000 đ?‘”đ?‘Žđ?‘›đ?‘Žđ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘Ž đ?‘Ąđ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ = 2,860,000 33,000,000 − 11,000,000 = 22,000,000 1
đ?‘–đ?‘š = (1,09)12 − 1 = 0,0072 = 0,72%đ?‘š Se procede hallar el primer futuro đ??š1 = 11´000.000(1,0095)8 = 11´864,331.46 La ganancia generada en la primera grafica serĂĄ igual 11´864.331,46 − 11´000.000 = 864,331.46 La ganancia producida en la segunda grafica serĂĄ 2´860.000 − 864.331,46 = 1´995.668,54 El futuro dos serĂĄ igual al valor presente mĂĄs las ganancias 2 đ??š2 = 22´000.000 + 1´995.668,54 = 23´995.668,54 Como inicialmente nos piden hallar es el tiempo de la grĂĄfica nĂşmero 2 y teniendo el futuro 2, se hace uso de la formula đ??š2 = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–)đ?‘› De ella se despeja n 23´995.668,54 = 22´000.000(1,0072)đ?‘› đ?‘› = 12 đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘
Manuel Machuca es un prestamista y le expresa a Pedro Barrientos que si coloca su capital al 3,5% mensual por un lapso de tiempo, le genera un monto de $20.000.000 Finalmente, logra colocar este capital al 4,5% mensual por el mismo tiempo, generĂĄndose un monto de $36.000.000 Pedro quiere saber. ÂżCuĂĄl es el tiempo y el capital a colocar?
SOLUCION Para resolver este problema, en primer lugar se deberĂĄ plantear dos grĂĄficas para visualizar las dos situaciones que se nos presenta
đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–)đ?‘› đ??š2 = $ 36.000.000
đ??š1 = $ 20.000.000 đ?‘–2 = 4.5% đ?‘š
đ?‘–1 = 3.5% đ?‘š
đ?‘›
đ?‘› đ?‘‹
đ?‘‹
Como el problema nos afirma que el presente es igual para ambos casos đ?‘ƒ1 = đ?‘ƒ2 đ?‘ƒ1 =
đ??š1 (1 + đ?‘–1)đ?‘›
đ?‘ƒ2 =
De ellas se despeja el periodo 20.000.000 36.000.000 = 1.035đ?‘› 1.045đ?‘›
đ?‘› = 61.13 đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘
Teniendo el valor del periodo se despeja el presente đ?‘ƒ1 =
đ??š1 20.000.000 = (1 + đ?‘–1)đ?‘› 1.03561.13 đ?‘ƒ = 2,441,891.78
đ??š2 (1 + đ?‘–2)đ?‘›
El seĂąor Manuel CortĂŠs tiene un capital de $ 12.000.000 que logra colocarlo a una tasa de interĂŠs anual del 4,2%. Pasado un tiempo, le ofrecen una tasa de interĂŠs anual del 5%, considerando la mejora en la tasa, decide retirar su capital y el interĂŠs generado y colocarlo por 6 meses mĂĄs que en la anterior operaciĂłn. Al final, Manuel logra obtener por la segunda operaciĂłn, entre el nuevo capital y el interĂŠs generado, $ 16.000.000. ÂżCuĂĄl fue el lapso de tiempo en que estuvo colocado el capital en la primera operaciĂłn?
SOLUCION
đ??š1
đ??š2 = 16´000.000
đ?‘–1 = 4.2% đ?‘Ž
đ?‘–2 = 5% đ?‘Ž
� 12´000.000
đ?‘›+6 đ?‘ƒ2 = đ??š1
đ?‘–1 = 4.2% đ?‘Ž
đ?‘–1 = 0.3434% đ?‘š
đ?‘–2 = 5% đ?‘Ž
đ?‘–2 = 0.4074% đ?‘š
En este problema nos piden hallar el n, despuĂŠs de haber planteado la grĂĄfica, se procede realizar los respectivos cĂĄlculos 16.000.000 = 12.000.000(1.003434)đ?‘› ∗ (1.004074)đ?‘›+6 đ?‘› = 35.1338 đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘
La seĂąorita Vanesa Ă lvarez tiene un capital de $9.500.000 Este capital estuvo prestado y ha logrado generar una cantidad, de tal forma que aumentada en un 8% serĂa $1.450.000 La seĂąorita Vanesa sabe que su capital estuvo prestado por un aĂąo y lo que quiere saber es. ÂżA quĂŠ tasa mensual estuvo prestado? DATOS ďƒ˜ đ??şđ?‘Žđ?‘›đ?‘Žđ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘Ž = 1,450,000 ďƒ˜ đ?‘ƒ = 9,500,000 ďƒ˜ đ?‘– =? đ??š = đ??şđ?‘Žđ?‘›đ?‘Žđ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘Ž + đ?‘ƒ đ??š = 10,950,000
đ??š = 10,950,000
đ?‘› = 12 đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘ đ?‘– =? đ?‘ƒ = 9,500,000
En este problema Ăşnicamente nos piden calcula la tasa de interĂŠs đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–)đ?‘› Reemplazando los datos 10´950.000 = 9´500.000(1 + đ?‘–)12 đ?‘– = 1.2% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™
Se presta un determinado monto de dinero por 1 aĂąo al 1% mensual. Si pasados los 6 meses se tiene en total $25.000.000 ÂżCuĂĄl serĂĄ la cantidad de dinero que se tendrĂa al finalizar el aĂąo?
SOLUCION En este problema nos piden hallar el valor del futuro final DATOS ďƒ˜ đ??š đ?‘’đ?‘› 6 đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘ = 25,000,000 ďƒ˜ đ?‘› = 12 đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘ ďƒ˜ đ?‘– = 1% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™
đ??š = 25,000,000
6 đ?‘ƒ
đ?‘– = 1% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™
đ??š
đ?‘› = 12 đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘
En primer lugar se deberĂĄ hallar el presente 25´000.000 = đ?‘ƒ(1,01)6 đ?‘ƒ = 23,551,130.88 Luego se halla el futuro final F = 23´551.130,88(1,01)12 đ??š = 26’538.003,76
Isaac mattos tiene una capital que, por conveniencia, lo divide en dos partes. Una parte o primer capital es colocado a una cierta tasa de interés durante 4 meses. El resto que es mayor en $50.000.000 al primer capital, es colocado a la misma tasa de interés durante 7 meses. La diferencia entre los intereses generados asciende a $2.250.000 y la suma de estos intereses son $6.250.000 ; calcular el monto de estos capitales y la tasa de interés Solución: Lo primero a resolver el ejercicio es plantear dos graficas diferentes para cada parte, teniendo en cuenta que: P1= X, donde P1 es el valor presente de la primera parte. P2= $50.000.000+ X, donde P2 es el valor presente de la segunda parte.
I1+I2=$6.250.000, colocando esta ecuación en función de una variable nos da que I1=$6.250.000 –I2, generándonos una ecuación 2.
ďƒ˜ I1-I2=$2.250.000, reemplazando la ecuaciĂłn dos en esta ecuaciĂłn nos da que: $6.250.000 –I2-I2=$2.250.000, por lo tanto I2= $2.000.000. ďƒ˜ Despejando
de
la
ecuaciĂłn
dos
el
valor
de
I2,
nos
da:
I1+$2.000.000=$6.250.000, por lo tanto I1= $4.250.00 Ahora utilizo la fĂłrmula de futuro đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–)đ?‘› , para poder generar dos ecuaciones en funciĂłn del interĂŠs y asĂ igualarlas para que me dĂŠ la respuesta. 1
đ??š â „đ?‘› Despejando la ecuaciĂłn de futuro en funciĂłn del interĂŠs me da: đ?‘– = ( ) − 1 đ?‘ƒ1 â „4
đ??š1
Ahora reemplazo datos tanto de la parte1 como de la parte 2: đ?‘–1 = (đ?‘ƒ ) 1
đ??š2 − 1, đ?‘–2 = ( ) đ?‘ƒ2
1â „ 7
−1
Ahora igualo đ?‘–1 đ?‘’ đ?‘–2 : đ??š1
1â „ 4
(đ?‘ƒ ) 1
đ?‘Ľ + 2.000.000 ( ) đ?‘Ľ
1â „ 4
đ??š2
− 1 = (đ?‘ƒ )
1â „ 7
2
−1
50.000.000 + đ?‘Ľ + 4.250.000 −1 = ( ) 50.000.000 + đ?‘Ľ
1â „ 7
−1
Los 1 se cancelan ya que estĂĄn en lados opuestos, luego despejo X con la funciĂłn SHIFT MODE en la calculadora fx 570 ESPLUS, dĂĄndonos un valor de đ?‘Ľ = $237.567.003 . Teniendo el valor de x, ya tendrĂa el valor de P1, đ?‘ƒ1 = $237.567.003. Luego reemplazo P2, đ?‘ƒ2 = $237.567.003 + $50.000.000 -Ahora reemplazo y hallo đ?‘–1 đ??š1 đ?‘–1 = ( ) đ?‘ƒ1
-Ahora reemplazo y hallođ?‘–2
1â „ 4
đ??š2 đ?‘–2 = ( ) đ?‘ƒ2
−1
1â „ 7
−1 1⠄ 7
1â „ 4
237.567.003 + 2.000.000 đ?‘–1 = ( ) 237.567.003 đ?‘–1 = 0,21% Mensual
lo que es igual a đ?‘ƒ2 = $323.567.003
−1
323.567.003 + 4.250.000 đ?‘–2 = ( ) 323.567.003 đ?‘–2 = 0,186% Mensual
RTA: Monto1= $237.567.003, tasa de interĂŠs1=đ?‘–1 = 0,21% Mensual. Monto 2=$323.567.003 , tasa de interĂŠs 2= đ?‘–2 = 0,186% Mensual.
−1
Una empresa inmobiliaria ofrece una inversion que duplicara su dinero en 10 aĂąos ÂżQuĂŠ tasa de interes semestral le estaban ofreciendo? SoluciĂłn: Lo primero a resolver el ejercicio es plantear una grĂĄfica, teniendo en cuenta que: ďƒ˜ F=2X, donde F es el valor futuro. ďƒ˜ P=X, donde X es el valor presente. ďƒ˜ n=10 aĂąos, donde n es el tiempo.
Para este ejercicio debemos aplicar la fĂłrmula de futuro: đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–)đ?‘› Reemplazando los datos en la formula nos da: 2đ?‘‹ = đ?‘‹(1 + đ?‘–đ?‘Ž )10 Pasando X a dividir a 2X, las X se cancelan quedando solo: 2 = (1 + đ?‘–đ?‘Ž )10 DespuĂŠs resolvemos la ecuaciĂłn con la funciĂłn SHIFT MODE en la calculadora fx 570 ESPLUS, dĂĄndonos un valor de đ?‘–đ?‘Ž = 0.0717, que multiplicado por 100 me da en porcentaje: đ?‘–đ?‘Ž = 7.177% đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ . đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ = (1 + 0.07177)
c
1â „ 2
−1
Ahora convierto esta tasa anual a semestral: Donde ½ es igual a que un aùo tiene dos semestres. Resolviendo esta ecuación nos da:
đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ = 3,53%
RTA: La tasa de interĂŠs semestral es de 3.53%.
c
Dos hermanos tienen ahorrado cierto capital que difiere en $10.000.000. Un prestamista les paga por ese capital el 2% y 6% anuales respectivamente, la operaciĂłn es por seis meses. Se sabe, ademĂĄs que, si estos hermanos juntaran sus capitales, les pagarĂan 8% por 12 meses y serĂa superior en $15.000.000 al total de los intereses obtenidos en el primer caso. ÂżCuĂĄl es el capital que tienen ahorrado estos hermanos? SoluciĂłn Lo primero que hago es plantear una ecuaciĂłn para poder ver cuĂĄnto tiene cada hermano A-B= 10.000.000 :
A=10.000.000+B.
Luego procedo a graficar lo que tiene ahorrado cada hermano, teniendo en cuenta: ďƒ˜ F es el valor futuro. GRAFICA A.
Transformo la tasa de interĂŠs de interĂŠs anual a interĂŠs mensual, para ello uso la fĂłrmula: đ?‘– = (1.02)1/12 -1=0.165% mensual.
Ahora uso la fórmula de futuro 𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 , reemplazando datos y ejecutando operaciones en la calculadora nos da: 𝐹 = 𝐴(1.00165)6= 1.01A. Los intereses de A son Ia=P*i*n= 𝐴(0.00165)6 = 0.01A GRAFICA B.
Transformo la tasa de interés de interés anual a interés mensual, para ello uso la fórmula: 𝑖 = (1.06)1/12 -1=0.487% mensual. Ahora uso la fórmula de futuro 𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 , reemplazando datos y ejecutando operaciones en la calculadora nos da: 𝐹 = 𝐵(1.00487)6= 1.03B. Los intereses de B son Ib=P*i*n= 𝐴(0.00487)6= 0.03B GRAFICA (A+B).
Transformo la tasa de interés de interés anual a interés mensual, para ello uso la fórmula: 𝑖 = (1.08)1/12 -1=0.643% mensual. Ahora uso la fórmula de futuro 𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 , reemplazando datos y ejecutando operaciones en la calculadora nos da: 𝐹 = 𝐴 + 𝐵(1.00643)6 = 1.08(A+B). Los intereses de A+B son I(A+B)=P*i*n= 𝐴 + 𝐵(0.00643)6 = 0.08(A+B) Ahora planteo que los intereses de los hermanos unidos menos el de los hermanos individuales deben ser igual a $15.000.000, además reemplazo los valores de A.
0.08(A+B)-0.01A -0.03B =15.000.000 0.08 (10.000.000+2B)-0.01 (10.000.000+B) -0.03B =15.000.000
Despejando B por la operaciรณn SHIFT SOLVE de la calculadora fx570 ESPLUS, nos da que el valor de B= $119.166.667, y luego por despeje hallo el valor de A es igual a: A = 10.000.000+119.166.667 = $129.166.667 RTA: El capital de los hermanos es, el hermano A tiene $129.166.6 67 y el hermano B tiene $119.166.667.
Una familia ha logrado reunir un capital de $75.000.000 Para diversificar
el riesgo, un
tercio de este capital es colocado durante 15 meses al 24% anual, mientras que los dos tercios restantes son colocados durante 4 meses a una tasa de interés, de tal modo que al final del plazo el interés generado en total asciende a $17.500.000¿Cuál es la tasa de interés mensual a la que se colocó el segundo capital? Solución Lo primero que hay que hacer es realizar una gráfica, teniendo en cuenta: P=$75.000.000, donde P es el valor presente o capital. Se manejan dos tasas de interés en diferentes tiempos. I=$17.500.000, donde I es el interés generado.
Para observar bien cada procedimiento, decidimos separar la gráfica en dos partes:
Luego plantamos lo que el ejercicio nos decĂa: P1= (1/3) ($75.000.000)= $25.000.000 P2= (2/3) ($75.000.000)= $50.000.000 Lo primero que hicimos fue convertir el interĂŠs anual a mensual: i=(1.24)1/12-1= 1.81% mensual Luego decidimos aplicar la fĂłrmula de futuro: đ??š1 = đ?‘ƒ1(1 + đ?‘–1)đ?‘› , reemplazando y ejecutando operaciones en la calculadora nos da: F1=(25.000.000(1+0.0181 )15 )
=
$32.718.740. Con lo que pudimos concluir que lo que se ganĂł (I1)= 32.718.740 –25.000.000=$7.718.740 Para hallar el I2 planteamos la siguiente ecuaciĂłn: I2=17.500.000- I1, que reemplazando datos y ejecutando operaciones en la calculadora nos da: I2=17.500.000- 7.718.740= $9.781.260. Por lo tanto planteamos la ecuaciĂłn de futuro para 2, donde F2=P2+I2, reemplazando datos y colocando en la calculadora nos da: F2=$50.000.000+$9.781.260= $59.781.260. Luego para hallar la tasa de interĂŠs de dos, despejamos de la fĂłrmula de futuro đ??š2 = đ?‘ƒ2(1 + đ?‘–đ?‘š)đ?‘› , que reemplazando datos nos da: $59.781.260= ($50.000.000(1+im)4 ), ahora llevamos esta ecuaciĂłn a la calculadora para poder resolverlo por la operaciĂłn SHIFT SOLVE de la calculadora fx570 ESPLUS, nos da que el valor del im=4.57% mensual RTA: El interĂŠs mensual que se debe colocar en el segundo capital es de 4,57% mensual.
Giancarlo Álvarez tiene dos opciones; la primera, depositar su dinero al 1,2% trimestral por un periodo de 2 años. Una segunda opción en el caso de que incremente el primer depósito en $12.000.000 durante 1 año, le pagarían 2,6% semestral con lo que se generaría un monto igual al doble del capital original. ¿Cuál es el dinero depositado y el monto de la primera opción? Solución Lo primero que debemos hacer es realizar gráficas donde se observe el ejercicio, teniendo en cuenta que: P1= X y P2= X+12.000.000, donde P son los depósitos. F2= 2X ya que es el doble del capital original, donde F es el valor futuro.
Lo primero que hay que hacer el convertir las tasas de interés:
De interĂŠs trimestral a anual: đ?‘–đ?‘Ž = (1,012)4 − 1 = 0.0489 = 4.89%đ?‘Ž. De interĂŠs semestral a anual: đ?‘–đ?‘Ž = (1,026)2 − 1 = 0.05268 = 5.27%đ?‘Ž. Luego despejo x de la ecuaciĂłn de futuro en 2: đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–)đ?‘› , Reemplazando datos nos queda:
2đ?‘Ľ = (đ?‘Ľ + 12.000.000)(1 + 0.0527)1
, luego por la operaciĂłn SHIFT SOLVE
de la calculadora fx570 ESPLUS, nos da que el valor de
đ?‘Ľ = 13.335.163,095
Por lo tanto ya tendrĂa el valor de P1 que es igual a X, por lo tanto despejo la ecuaciĂłn de futuro en 1: đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–)đ?‘› , Reemplazando datos y ejecutando operaciones en la calculadora nos queda:
đ??š1 = 13.335.163,095(1.0489)2
que es igual a
đ??š1 = 14.671.229,221
RTA: El dinero depositado es de $13.335.163,095 y el monto de la primera opciĂłn es de 14.671.229,221
Determinar la tasa trimestral a travĂŠs de la cual se triplica un capital en cuatro aĂąos Grafica del problema 3P
0 4 aĂąos P
ia =?
Se calcula la tasa de interĂŠs despejando de la ecuaciĂłn đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–)đ?‘› 3đ?‘ƒ = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–)đ?‘› 1
đ?‘– = (3)đ?‘› − 1 Reemplazando y resolviendo 1
đ?‘– = (3)4 − 1 = 0.316 = 31.6%đ?‘Ž
Se transforma la tasa teniendo en cuenta la siguiente relaciĂłn segĂşn sea el caso (1 + đ?‘–đ?‘‘)360 = (1 + đ?‘–đ?‘ đ?‘’)48 = (1 + đ?‘–đ?‘ž)24 = (1 + đ?‘–đ?‘š)12 = (1 + đ?‘–đ?‘?)6 = (1 + đ?‘–đ?‘Ą)4 = (1 + đ?‘–đ?‘ )2 = (1 + đ?‘–đ?‘Ž)1
Se desea transformar de interĂŠs anual a trimestral, por lo tanto: (1 + đ?‘–đ?‘Ą)4 = (1 + đ?‘–đ?‘Ž)1 Despejando it 1
đ?‘–đ?‘Ą = (1 + đ?‘–đ?‘Ž)4 − 1 Reemplazando y resolviendo 1
đ?‘–đ?‘Ą = (1 + 0.316)4 − 1 = 0.0711 = 7.11%đ?‘Ą đ?‘–đ?‘Ą = 7.11%
Usando la comparaciĂłn de tasas, decidir la mejor alternativa entre invertir en un fondo de inversiĂłn que paga el 25% anual pagadero trimestral o invertir en una empresa comercial que garantiza cuadruplicar el capital en 43 meses. Para la soluciĂłn de este problema como se indica, se deben comparar las tasas de interĂŠs y definir cuĂĄl es mayor, pues se quiere invertir. A mayor tasa de interĂŠs mayores intereses. la tasa de interĂŠs puede ser diaria, semanal, quincenal, mensual, bimestral, trimestral, semestral o anual, siempre y cuando ambas sean iguales para poder comparar. En este caso, se analizarĂĄ la propuesta con tasas de interĂŠs mensual Se llamarĂĄ propuesta A al fondo de inversiĂłn y Propuesta B a la empresa comercial Propuesta A El problema indica ya una tasa de interĂŠs, por lo tanto, solo es transformarla a la tasa de interĂŠs con la cual se quiere analizar y se transforma de la siguiente manera: Primero se debe transformar la tasa nominal a efectiva asĂ 25%đ?‘Žđ?‘?đ?‘Ą = 6.25%đ?‘Ą = 0.0625 4
Se transforma la tasa de interĂŠs trimestral a mensual partiendo de la siguiente relaciĂłn: (1 + đ?‘–đ?‘‘)360 = (1 + đ?‘–đ?‘ đ?‘’)48 = (1 + đ?‘–đ?‘ž)24 = (1 + đ?‘–đ?‘š)12 = (1 + đ?‘–đ?‘?)6 = (1 + đ?‘–đ?‘Ą)4 = (1 + đ?‘–đ?‘ )2 = (1 + đ?‘–đ?‘Ž)1
AsĂ (1 + đ?‘–đ?‘š)12 = (1 + đ?‘–đ?‘Ą)4 Despejando y reemplazando 4
đ?‘–đ?‘š = (1 + đ?‘–đ?‘Ą)12 − 1 4
đ?‘–đ?‘š = (1 + 0.0625)12 − 1 = 0.0204 = 2.04%đ?‘š Propuesta B Grafica Correspondiente
4P
0 43 meses
P
im=?
Despejando el im de la ecuaciĂłn đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–đ?‘š)đ?‘› 4đ?‘ƒ = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–đ?‘š)đ?‘› 4 = (1 + đ?‘–đ?‘š)đ?‘› 1
1
đ?‘–đ?‘š = (4)đ?‘› − 1 = (4)43 − 1 = 0.0328 = 3.28%đ?‘š đ?‘–đ?‘š = 3.28%đ?‘š
La mejor propuesta es la B invertir en la empresa comercial
Una persona tiene tres deudas: la primera de ellas por $7´000.000 con vencimiento en 10 meses y una tasa de interés del 23% Efectivo anual; la segunda por $5´500.000 con vencimiento en 15 meses y una tasa del 25% anual pagadero mensual; y la tercera por $7´520.000 con vencimiento en 18 meses y una tasa del 12% anual pagadero trimestral. ¿Qué tasa de interés anual deberá ofrecerle una entidad financiera para que pague toda la deuda cancelando $25.000.000 en el mes 12? Grafica correspondiente
F1
F2
F3
15
18
12 0
10 i1 = 23%a
$25.000.000 i2 = 25%apm
i3 = 12%apt
meses
P1 = Deuda de $7.000.000 F1 = Futuro de la deuda de $7.000.000 P2 = Deuda de $5.500.000 F2 = Futuro de la deuda de $5.500.000 P3 = Deuda de $7.520.000 F3 = Futuro de la deuda de $7.520.000
Las deudas se grafican en la fecha de su vencimiento, por tal motivo se debe calcular el futuro de cada una, luego trasladar todas las flechas hacia arriba y flechas hacia abajo, hasta el punto focal determinado e igualarlas. El punto focal puede ser cualquiera, mes 10,15,8,3,12 etc., se tomarĂĄ en este caso el mes 12 como punto focal para facilitar el calculo Para determinar el valor del futuro se deben transformar las diferentes tasas de interĂŠs, a una tasa de interĂŠs mensual i1 (1 + đ?‘–đ?‘š)12 = (1 + đ?‘–đ?‘Ž)1 1
1
đ?‘–đ?‘š = (1 + đ?‘–đ?‘Ž)12 − 1 = (1 + 0.23)12 − 1 = 0.0174 = 1.74%đ?‘š
i2 25%đ?‘Žđ?‘?đ?‘š = 2.08%đ?‘š = 0.0208 12
i3 12%đ?‘Žđ?‘?đ?‘Ą = 3%đ?‘Ą 4 (1 + đ?‘–đ?‘š)12 = (1 + đ?‘–đ?‘Ą)4
4
4
đ?‘–đ?‘š = (1 + đ?‘–đ?‘Ą)12 − 1 = (1 + 0.03)12 − 1 = 0.0099 = 0.99%đ?‘š
Una vez calculadas las tasas de interĂŠs, se procede a calcular el futuro de cada deuda đ??š1 = đ?‘ƒ1(1 + đ?‘–1)10 đ??š1 = $7.000.000(1 + 0.0174)10 = $8.317.932,14 đ??š2 = đ?‘ƒ2(1 + đ?‘–2)15 đ??š2 = $5.500.000(1 + 0.0208)15 = $7.489.841,20 đ??š3 = đ?‘ƒ3(1 + đ?‘–3)18 đ??š3 = $7.520.000(1 + 0.0099)18 = $8.979.011,75
Una vez conocido el futuro de cada deuda se procede a trasladar todo al punto focal indicado Nota: al momento de trasladar a un punto focal determinado, todas las flechas hacia arriba se igualan a las flechas hacia abajo Nota: Siempre los traslados entre fechas, si se hacen de izquierda a derecha se multiplica đ??š
đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–)đ?‘› y si es de derecha a izquierda se divide đ?‘ƒ = (1+đ?‘–)đ?‘›
Para este ejercicio, el interĂŠs con el que se evalĂşa la deuda o con el que se trasladan las flechas, es la incĂłgnita del problema, por lo tanto: $25.000.000 = $8.317.932,14(1 + đ?‘–đ?‘š)2 +
$7.489.841,20 $8.979.011,75 + (1 + đ?‘–đ?‘š)3 (1 + đ?‘–đ?‘š)6
đ?‘–đ?‘š = −0.00352 = −0.352%đ?‘š
Esta tasa de interĂŠs negativa indica que no es posible pagar toda la deuda realizando un solo pago de $25.000.000 en el mes 12. TendrĂa tal vez que realizar un pago mĂĄs alto u otro pago en otra fecha de diferente valor.
Un prestamista analiza una transacción comercial llevada con anterioridad en la que invirtió un capital a la tasa de interés 6,5% mensual, la cual se convirtió en $ 3.600.000. Si hubiese invertido a la tasa de interés del 5% mensual y un año menos que en el caso anterior, el interés sería de $ 450.000 Obtener: a) Lo invertido por el prestamista. b) El tiempo de esta operación en años Grafica Correspondiente $3.600.000
0 n1
P
meses
6.5%m
F2 = P + 450.000
n1-12
P 5%m
meses
Datos del problema P=?
Capital invertido
F1 = $3.600.000
Capital obtenido en la primera inversiĂłn
i1 = 6.5%m
Tasa de interĂŠs de la primera inversiĂłn
i2 = 5%m
Tasa de interĂŠs de la segunda inversiĂłn
n1 =?
Meses transcurridos en la primera inversiĂłn
F2 =?
Capital que se obtendrĂa en la segunda inversiĂłn
n2 = n1 – 12
Meses transcurridos en la segunda inversiĂłn (se resta 12 debido a que un aĂąo tiene 12 meses)
Para la soluciĂłn de este problema se debe jugar con las ecuaciones que se conocen para tratar de darle soluciĂłn a las incĂłgnitas La soluciĂłn es la siguiente đ??š1 = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–1)đ?‘›1 đ?‘ƒ=
đ??š1 $3.600.000 = đ?‘›1 (1 + đ?‘–1) (1 + 0.065)đ?‘›1 đ??š2 = đ?‘ƒ + đ??ź2 đ??š2 = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–2)đ?‘›2 đ??š2 = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–2)đ?‘›1−12
Se igualan las dos ecuaciones F2 y se reemplaza P đ?‘ƒ(1 + đ?‘–2)đ?‘›1−12 = đ?‘ƒ + 450.000 $3.600.000 $3.600.000 (1 + 0.05)đ?‘›1−12 = + 450.000 đ?‘›1 (1 + 0.065) (1 + 0.065)đ?‘›1
Con ayuda de la calculadora se resuelve y el resultado es: n1= 19 meses Por lo tanto n2 = 7 meses đ?‘ƒ=
đ??š1 $3.600.000 = = $1.088.077 đ?‘›1 (1 + đ?‘–1) (1 + 0.065)19
El prestamista invirtiĂł $1.088.077 y el tiempo de esta operaciĂłn fue de 1 aĂąo y 7 meses
Una persona tiene hoy una deuda de $23.000.000, comprometiéndose a cancelar tal deuda dentro de 360 días, a una tasa de interés de 1% mensual. Contando con efectivo, dentro del plazo previsto realiza ciertos pagos de $13.500.000 el día 90, $4.500.000 el día 180 y $500.000 el día 270. ¿Cuál será el pago final el día 360? Grafica del problema
$13.500.000
0
90
$4.500.000
$500.000
180
270
X
360 días
$23.000.000
1%m
Para la solución de este tipo de ejercicios, como el problema pide un futuro, se llevan todas las flechas hacia arriba y flechas hacia abajo hasta el punto focal determinado en donde se encontrará el futuro.
Primero se debe transformar la tasa de interĂŠs para poder trasladar las flechas arriba y flechas abajo en el punto focal indicado. (1 + đ?‘–đ?‘‘)360 = (1 + đ?‘–đ?‘š)12 12
đ?‘–đ?‘‘ = (1 + đ?‘–đ?‘š)360 12
đ?‘–đ?‘‘ = (1 + 0.01)360 − 1 = 0.000332 = 0.0332%đ?‘‘ Se trasladan todas las flechas hasta el punto focal, teniendo en cuenta el periodo entre cada flecha (pagos y deuda) 23.000.000(1.000332)360 = 13.500.000(1.000332)270 + 4.500.000(1.000332)180 + 500.000(1.000332)90 + đ?‘‹ 23.000.000(1.000332)360 − 13.500.000(1.000332)270 − 4.500.000(1.000332)180 − 500.000(1.000332)90 = đ?‘‹
Resolviendo đ?‘‹ = 5.861.419
Este pago de 5.861.419 saldara la deuda pendiente al momento de ser cancelado en el dĂa 360
Un inversionista estudia tres proyectos: el primero tiene un rendimiento del 25% anual pagadero mensual; el segundo del 30% Efectivo Anual y el tercero del 2,5% Efectivo Mensual. ¿Cuål de los tres proyectos es mås atractivo? 
25% anual pagadero mensual

30% efectivo anual

2.5% efectivo mensual
Para el primer proyecto:
La tasa de interĂŠs del 25% anual la dividimos en el nĂşmero de meses que trae un aĂąo ya que es pagadero mensual, asĂ: 25% 12
= 2.083% mensual = 0.02083
(1 + đ?‘–đ?‘Ž) = (1 + đ?‘–đ?‘š)12 đ?‘–đ?‘Ž = (1 + đ?‘–đ?‘š)12 − 1
đ?‘–đ?‘Ž = (1 + 0.02083)12 − 1 đ?‘–đ?‘Ž = 0.2807 = 28.07%
ia = 28.07%
Para el segundo Proyecto: La tasa de interĂŠs no se debe transformar debido que ya estĂĄ en efectivo anual para hacer las respectivas comparaciones de los proyectos. ia= 30%
Para el tercer Proyecto: La tasa de interĂŠs estĂĄ en efectivo mensual lo que quiere decir que solo debemos convertirla a tasa de interĂŠs efectiva anual: (1 + đ?‘–đ?‘Ž) = (1 + đ?‘–đ?‘š)12 đ?‘–đ?‘Ž = (1 + đ?‘–đ?‘š)12 − 1 đ?‘–đ?‘Ž = (1 + 0.025)12 − 1 đ?‘–đ?‘Ž = 0.345 = 34.5%
ia= 34.5%
conclusiĂłn: La mejor opciĂłn es el proyecto 3 ya que tiene la tasa de interĂŠs anual mĂĄs alta lo cual indica mayor rendimiento.
Un concesionario de vehĂculos ofrece su Ăşltimo modelo que tiene un valor de $75´000.000 con el siguiente plan de financiaciĂłn: Una tercera parte de contado, el resto se paga a un aĂąo. ÂżCuĂĄnto deberĂĄ pagar un cliente que compra el vehĂculo al finalizar el aĂąo, si el concesionario cobra una tasa de interĂŠs del 22,5% anual pagadero mensual? Hallamos la tercera parte del valor del vehĂculo $75.000.000 lo dividimos en 3, ese resultado nos da $25.000.000 que es la cuota inicial en el plan de financiamiento lo que quedarĂa como deuda serĂan los $50.000.000 restantes.
đ?‘ = đ??? (đ?&#x;? + đ??˘)
$25.000.000
0
22,5% anual pagadero mensual
12
đ?’?
Meses
$50.000.000
La lĂnea de tiempo se manejĂł con un periodo de 12 meses correspondientes a 1 aĂąo.
Convertimos la tasa de interĂŠs 22.5% anual pagadero mensual a una tasa de interĂŠs mensual de la siguiente forma: el interĂŠs 22.5% anual pagadero mensual se divide en los meses que hay en el aĂąo porque es pagadero mensual.
22.5% = 1.875% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ 12
Hallamos el futuro de la deuda de $50.000.000 de la siguiente forma: đ??š = P (1 + i)đ?‘› đ??š = $50.000.000 (1 + 0.01875)12 đ??š = 62.485.818,83
ConclusiĂłn: El cliente deberĂĄ pagar un monto de $62.485.818,83
ÂżQuĂŠ banco es preferible para depositar los ahorros: el banco A que ofrece una tasa de interĂŠs del 7% anual pagadero trimestral o el banco B que ofrece una tasa del 7,25% anual pagadero semestral?
Banco A: Tasa de interĂŠs 7% anual pagadero mensual Primero se debe transformar la tasa nominal a efectiva asĂ: dividiendo la tasa de interĂŠs en el nĂşmero de meses que trae un aĂąo
7% = 0.583% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ 12 0.583%= 0.00583
Ahora transformamos la tasa de interĂŠs mensual a una tasa de interĂŠs anual asĂ: (1 + đ?‘–đ?‘Ž) = (1 + đ?‘–đ?‘š)12 đ?‘–đ?‘Ž = (1 + đ?‘–đ?‘š)12 − 1
đ?‘–đ?‘Ž = (1 + 0.00583)12 − 1
đ?‘–đ?‘Ž = 0.0723 = 7.23%
đ?’Šđ?’‚ = đ?&#x;•. đ?&#x;?đ?&#x;‘%
Banco B: Tasa de interĂŠs 7.25% anual pagadero semestral. Primero se debe transformar la tasa nominal a efectiva asĂ: dividiendo la tasa de interĂŠs en el nĂşmero de semestres que trae un aĂąo.
7.25% = 3.625% đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ 2 3.625% = 0.03625
Ahora transformamos la tasa de interĂŠs semestral a una tasa de interĂŠs anual asĂ: (1 + đ?‘–đ?‘Ž) = (1 + đ?‘–đ?‘ )2 đ?‘–đ?‘Ž = (1 + đ?‘–đ?‘ )2 − 1 đ?‘–đ?‘Ž = (1 + 0.03625)2 − 1 đ?‘–đ?‘Ž = 0.0738 = 7.38%
đ?’Šđ?’‚ = đ?&#x;•. đ?&#x;‘đ?&#x;–%
ConclusiĂłn: La mejor opciĂłn es la del banco B ya que da una mayor tasa de interĂŠs.
Una persona ahorra $23´000.000 en una entidad bancaria el 10 de agosto del 2017; ¿Cuåndo tendrå en su cuenta $27´500.000, si la entidad bancaria reconoce una tasa de interÊs del 8,5% anual?
$27.500.000 10/08/2017 i= 8.5% anual
n=?
DĂas
$23.000.000
Lo primero que haremos es convertir la tasa de interĂŠs anual a una tasa de interĂŠs diaria, ya que nos dan una fecha y necesitamos saber el dĂa en el que la persona obtendrĂĄ el valor de $27.500.000. Empleamos la siguiente fĂłrmula para transformar la tasa de interĂŠs anual a una tasa de interĂŠs diaria. (1 + đ?‘–đ?‘Ž) = (1 + đ?‘–đ?‘‘)360
Despejando:
1
đ?‘–đ?‘‘ = (1 + đ?‘–đ?‘Ž)360 − 1 1
đ?‘–đ?‘‘ = (1 + 0.085)360 − 1 đ?‘–đ?‘‘ = 0.000226 = 0.0226%
Queremos saber quĂŠ dĂa esta persona tendrĂĄ en su cuenta $27.500.000, nos dan el dĂa en que deposito su dinero, la cantidad de dinero que depĂłsito y la tasa de interĂŠs que se manejarĂĄ, entonces reemplazamos respectivamente:
Emplearemos la siguiente formula: đ?‘ = đ??? (đ?&#x;? + đ??˘)đ?’? $đ?&#x;?đ?&#x;•. đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž = $đ?&#x;?đ?&#x;‘. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž(đ?&#x;? + đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)đ?’?
Usando el programa Solve de la calculadora casio fx-570 Plus el resultado de n es: n= 790 dĂas 790 dĂas tienen que transcurrir a partir del 10 de Agosto 2017 para que la persona obtenga $27.500.000 a partir de esa fecha; entonces, ya teniendo el nĂşmero de dĂas, calculamos la fecha usando la aplicaciĂłn *calculadora de fechas*
10 de Agosto 2017 + 790 dĂas = 9 de Octubre 2019
ConclusiĂłn: el 9 de octubre tendrĂĄ en su cuenta $27.500.000
ÂżQuĂŠ es mĂĄs conveniente: invertir en una sociedad que garantiza duplicar el capital invertido en 10 aĂąos, o depositar el dinero en una cuenta de ahorros, que ofrece una tasa de interĂŠs del 6% anual pagadero trimestral? Para solucionar este ejercicio, se debe analizar las dos propuestas por separado y determinar la tasa de interĂŠs de cada una. Propuesta A = Invertir en la sociedad Propuesta B = Cuenta de ahorros Para la propuesta B no es necesario realizar grafico pues no se tienen los datos suficientes, solo se transforma la tasa de interĂŠs nominal a efectiva de la siguiente manera 6%đ?‘Žđ?‘?đ?‘Ą = 1.5%đ?‘Ą = 0.015 4 La tasa de interĂŠs efectiva trimestral es transformada a una tasa de interĂŠs efectiva anual usando la siguiente relaciĂłn segĂşn sea el caso (1 + đ?‘–đ?‘‘)360 = (1 + đ?‘–đ?‘ đ?‘’)48 = (1 + đ?‘–đ?‘ž)24 = (1 + đ?‘–đ?‘š)12 = (1 + đ?‘–đ?‘?)6 = (1 + đ?‘–đ?‘Ą)4 = (1 + đ?‘–đ?‘ )2 = (1 + đ?‘–đ?‘Ž)1 En este caso se utilizarĂĄ la siguiente ecuaciĂłn, se despeja la tasa de interĂŠs necesaria, se reemplaza y resuelve
(1 + đ?‘–đ?‘Ą)4 = (1 + đ?‘–đ?‘Ž)1 đ?‘–đ?‘Ž = (1 + đ?‘–đ?‘Ą)4 − 1 đ?‘–đ?‘Ž = (1 + 0.015)4 − 1 = 0.0614 = 6.14%đ?‘Ž Para la propuesta A si es necesario realizar la grĂĄfica correspondiente
2P
0 10 AĂąos
P ia =?
Se aplica la ecuaciĂłn del futuro teniendo en cuenta que el futuro serĂĄ el doble del presente por lo tanto la ecuaciĂłn queda asĂ: đ??š =2đ?‘ƒ đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–)đ?‘› = 2đ?‘ƒ = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–)đ?‘› 1
1
đ?‘– = (2)đ?‘› − 1 = (2)10 − 1 = 0.0718 = 7.18%đ?‘Ž đ?‘– = 7.18%đ?‘Ž
Conclusion: SegĂşn el analisis realizado se identifica que es conveniente optar por la propuesta A ya que tiene un interes mas alto, por lo tanto los interese ganados seran mayores para el inversionista.
Karla desea vender una pulsera de oro y recibe, el 22 de marzo de 2017, las siguientes ofertas: a) $11.789.900 de contado, b) $ 3.500.000 de cuota inicial y se firma un pagaré de $9.180.000 con vencimiento el 16 de agosto de 2017 y c) $6.300.000 de cuota inicial y se firman dos pagarés: uno por $3.630.000 a 30 días de plazo y otro por $3.980.000 con fecha de vencimiento el 17 de julio de 2017. ¿Cuál oferta le conviene más si el rendimiento normal del dinero es de 2,5% mensual?
Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema. PROPUESTA A $11.789.900 de contado. PROPUESTA B ¿F?
$9.180.000
$3.500.000 147 días 22 de marzo de 2017
i = 2,5% mensual
16 de agosto de 2017
PROPUESTA C ¿F?
$6.300.000
$3.980.000
$3.630.000 87 días
30 días 22 de marzo de 2017
21 de abril de 2017
17 de julio de 2017
i = 2,5% mensual NOTA: El número de días calculado se realiza mediante una aplicación llamada “calculadora de días” en Play Store. 12 meses = 360 días 1 mes = 30 días
Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? Nos preguntan el futuro: ¿ F? y la mejor propuesta que le dé más dinero.
Tercer paso: Tenemos que usar todos los términos con las mismas unidades. Se cambia el porcentaje de interés con respecto al tiempo. En este caso el tiempo es diario. (1 + im )12 = (1 + id )360 12
360
(1 + 0,025)360 = (1 + id )360 1
id = (1 + 0,025)30 − 1 id = 0,00082 = 0,082%
Cuarto paso: Planteamos la fĂłrmula que usaremos. F = P(1 + i)n
Quinto paso: Resolver el ejercicio a partir de la fĂłrmula planteada y lo que nos preguntan. Propuesta A $11.789.900 de contado, por lo tanto, no hay interĂŠs.
Propuesta B F = P(1 + i)n F = 3.500.000 + 9.180.000 (1 + 0.00082)147 F = $13.855.500 Propuesta C F = P(1 + i)n F = 6.300.000 + 3.630.000 (1 + 0,00082)30 + 3.980.000 (1 + 0.00082)117 F = $14.400.953
La mejor propuesta es la C
$7.540.000 fueron invertidos al 2% mensual de interés compuesto mensualmente por un dos años y medio, a) Obtenga el valor futuro al final de ese tiempo y b) ¿Cuánto más se ganó con el interés compuesto que lo que se hubiera ganado con el interés simple?
Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema. ¿F?
i = 2% mensual $7.540.000 NOTA: 0,5 años = 6 meses 1 año = 12 meses 2 años = 24 meses 2 años y medio = 30 meses
n = 2 años y medio
Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? Nos preguntan el futuro con la tasa de interés simple y compuesto: ¿ F?
Tercer paso: Planteamos las fórmulas que usaremos. F = P(1 + i)n F = P (1 + i ∗ n)
Cuarto paso: Resolver el ejercicio a partir de las fórmulas planteadas y lo que nos preguntan. Con interés compuesto: F = P(1 + i)n F = 7.540.000 (1 + 0.02)30 F = $13.657.666 Con interés simple: F = P (1 + i ∗ n) F = 7.540.000 (1 + 0,02 ∗ 30) F = $12.064.000 El interés compuesto ganó $1.593.666 más que el interés simple
Al comprar un equipo quedé debiendo $ 3.500.000 los cuales debo cancelar con cualquiera de las siguientes dos opciones: a) A los 4 meses $ 2.500.000 y a los 7, $2.005.250 b) Pagar a los 7 meses $ 4.246.688,29. ¿Qué forma de pago es más conveniente a un interés del 2,5% mensual?
Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema. Opción A
$2.005.250
$2.500.000 7 meses
4 meses i = 2,5% mensual $3.500.000
Opción B $4.246.688.29 7 meses i = 2,5% mensual $3.500.000
Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? Nos preguntan el futuro de las dos opciones: ¿ F?
Tercer paso: Planteamos la fórmula que usaremos. F = P(1 + i)n
Cuarto paso: Resolver el ejercicio a partir de la fórmula planteada y lo que nos preguntan. Opción A F = P(1 + i)n F = 2.500.000 (1 + 0,025 )4 + 2.005.250 (1 + 0,025 )7 F = $5.143.144 Opción B F = P(1 + i)n F = 4.246.688,29 (1 + 0,025 )7 F = $5.047.977 La mejor opción es la B, ya que paga $95.167 menos que la opción A
Isabel le presta a su hermano $33.500.000 por 8 meses, cobrándole una tasa de intereses simple del 1,8% mensual. Al final de este tiempo, deposita el monto obtenido en una cuenta de ahorros que le paga un 0.456% cada semana. ¿Cuánto dinero tendrá al cabo de 2 años?
Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema. ¿F1 ?
8 meses i = 1,8% mensual $33.500.000
¿F 2 ?
2 años i = 0,456% semanal ¿F1 ?
Segundo paso: ÂżQuĂŠ nos preguntan? Nos preguntan el futuro despuĂŠs de ingresar el monto a la cuenta de ahorros: Âżđ??š2 ?
Tercer paso: Tenemos que usar todos los tĂŠrminos con las mismas unidades. Se cambia el porcentaje de interĂŠs con respecto al tiempo. En este caso el tiempo es anual y mensual. i = 0,456% semanal a % anual. (1 + ia )1 = (1 + ise )48 1
48
(1 + ia )1 = (1 + 0,00456) 1 ia = (1 + 0,00456)48 − 1 ia = 0,24406 = 24,406%
i = 0,456% semanal a % mensual. (1 + im )12 = (1 + ise )48 12
48
(1 + im )12 = (1 + 0,00456)12 im = (1 + 0,00456)4 − 1 im = 0,018 = 1,8% Cuarto paso: Planteamos las fĂłrmulas que usaremos. F1 = P(1 + i)n F2 = F1 (1 + i)n
Quinto paso: Resolver el ejercicio a partir de las fรณrmulas planteadas y lo que nos preguntan. F1 = P(1 + i)n F1 = 33.500.00 (1 + 0,018)8 F1 = $38.639.102 F2 = F1 (1 + i)n F2 = 38.639.102 (1 + 0,24406)2 F2 = $59.801.169
Se compra un equipo por valor de $19.900.000, vida útil de 3 años. Se debe repararla dos años después de comprada por un valor de $2.880.000. Si la máquina produce ingresos de $9.400.000 al final de cada año. La tasa de interés es del 24% anual. ¿Debo comprarla?
Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema. i = 24% anual
¿F1 ?
1 año
2 años
$2.880.000
$19.900.000
¿F2 ?
i = 24% anual 1 año $9.400.000
1 año
1 año $9.400.000
$9.400.000
Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? Nos preguntan la rentabilidad que da al comprar este computador. Debemos hallar lo que nos produce los gastos y las ganancias, para saber cuál es la rentabilidad del equipo.
Tercer paso: Planteamos la fórmula que usaremos. F = P(1 + i)n
Cuarto paso: Resolver el ejercicio a partir de la fórmula planteada y lo que nos preguntan. Pérdidas Flechas arriba, igual a flechas abajo. F1 = 19.900.000 (1 + 0,24)2 + 2.880.000 (1 + 0,24) F1 = $41.513.017 Ganancias F2 = 9.400.000 (1 + 0,24)2 + 9.400.000 (1 + 0,24)1 + 9.400.000 F2 = $35.509.440 Rentabilidad = F2 − F1 = $35.509.440 − $41.513.017 = −$6.003.577 No es factible comprar el equipo, ya que nos ocasiona pérdidas de $6.003.577
Se tiene un capital de $ 9.000.000, que es colocado el 1/3/2016 por el que pagan 6% anualmente, y el 23/8/2017, por un apuro, retiran $3.600.000 ÂżCuĂĄl es el saldo al 24/12/2017? SoluciĂłn
F=? 3.600.000 1/3/16
540 dĂas
123 dĂas 23/8/17
PF 24/12/17
P= $9.000.000
Lo primero para resolver el ejercicio es plantear la grĂĄfica hecha anteriormente, luego observamos que nos dan fechas en las cuales se realizan consignaciones y retiros, por lo que debemos transformar la tasa de interĂŠs anual a una tasa de interĂŠs diaria, de la siguiente manera: (1 + đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™) = (1 + đ?‘–đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œ)360 Se eleva a la 360 el idiario, debido a que en un aĂąo hay 360 dĂas. Reemplazamos los datos que nos da el ejercicio en la formula anteriormente planteada:
(1 + 0.06) = (1 + đ?‘–đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œ)360 1
360
(1.06)360 = (1 + đ?‘–đ?‘‘)360 1
(1.06)360 = (1 + đ?‘–đ?‘‘) Despejando id de la formula anterior, tenemos: 1
đ?‘–đ?‘‘ = (1.06)360 − 1 = 0.000162 =0.0162% diario Una vez hallada la nueva tasa de interĂŠs, debemos hallar la cantidad de dĂas que hay entre las fechas de consignaciones y retiros. Luego, procedemos a hallar F, que es lo que nos pide el ejercicio y para esto trasladamos todas las consignaciones y retiros a la fecha focal utilizando la tasa del 0.0162% y usamos el siguiente principio: Todas las flechas hacia abajo se igualan a todas las flechas hacia arriba y llevamos todo al punto focal (PF) que en este caso establecimos como la fecha 24/12/17. 9.000.000(1 + 0.0162%)663 = 3.600.000(1 + 0.0162%)123 + F Se multiplica por (1+0.0162%) debido a que el PF se encuentra hacia la derecha y se elevan a los respectivos dĂas que hay entre cada consignaciĂłn y retiro y el PF. Despejamos F de la anterior ecuaciĂłn: F = $6.347.941
Un prestamista coloca su dinero con la condición que se lo devuelvan dentro de 4 y 14 meses $7.500.000 y $15.000.000, respectivamente. Recibe la contraoferta de parte del prestatario de cancelar la deuda con un solo pago a los 7 meses, si le cobra una tasa de interés mensual del 1.5% por lo que el prestamista acepta. ¿Cuál es el pago que tendrá que realizar éste? Solución
X 14 meses
4 7
15.000.000
$7.500.000
Para hallar X, que representa el pago que el prestatario tendrá que cancelar a los 7 meses, se utiliza el principio que nos dice que todas las flechas hacia arriba se igualan a todas las flechas hacia abajo, teniendo en cuenta que nuestro punto focal en este caso es el mes 7: X = 7.500.000(1 + 1.5%)3 +
15.000.000 (1 + 1.5%)7
Se observa que primero se multiplica la primera consignación por 1 + el interés, elevado a la cantidad de meses que hay entre esa consignación y el PF. Se multiplica debido a que el PF se encuentra a su derecha.
Por otro lado, observamos que para la segunda consignación se divide sobre 1 + el interés, elevado a la cantidad de meses que hay entre la fecha en la que se realizó la consignación y la fecha del PF. Se divide debido a que el PF se encuentra a su izquierda. Resolviendo la ecuación planteada anteriormente, tenemos: R/. X = $21.357.989
El gerente de producción de una empresa conoce que la máquina principal de su proceso de producción, actualmente en uso, llegará al final de su vida útil dentro de 3 años, para esa época será necesario adquirir una nueva máquina, la cual se estima costará unos US $200.000. Se estima que la máquina actual para esa época podrá ser vendida en US $50.000. Determinar el valor que se debe depositar hoy en un certificado de depósito a término de 3 años para asegurar la compra de la nueva máquina, si la entidad financiera garantiza una tasa de interés del 7.5% anual. Solución
F = $150.000
0
n = 3 años i =7.5% anual
P=?
Observamos que la cantidad que en realidad necesita la empresa para garantizar la compra de la nueva máquina es de US $150.000, debido a que la máquina nueva costará unos US $200.000 pero la máquina vieja podrá ser vendida en US $50.000, es decir, les haría falta US $150.000 para comprar la nueva máquina. Ahora, para hallar P, que hace referencia al valor que debe depositar la empresa para asegurar la compra de la nueva máquina, se puede hallar utilizando la siguiente formula:
đ??š = đ?‘ƒ (1 + đ?‘–)đ?‘›
Donde F es la cantidad que la empresa debe retirar dentro de 3 aĂąos para poder adquirir la nueva mĂĄquina, P es el valor que se debe depositar hoy e i es la tasa de interĂŠs que garantiza la entidad financiera, en este caso, la tasa de interĂŠs y el ‘’n’’ ya concuerdan debido a que ambos se dan en aĂąos, asĂ que no hay que realizar ninguna transformaciĂłn en la tasa de interĂŠs. Despejando P y reemplazando los datos de la formula anteriormente planteada, tenemos: P=
150.000 (1 + 7.5%)3
R/. P = US $120.744
Una empresa dispone de $38.500.000 para hacer un ahorro que está destinado para reponer una máquina que se estima que en el futuro tendrá un costo de 45.500.000. Si el banco reconoce una tasa de interés del 9,5% anual. ¿Por cuántos días la empresa deberá constituir el CDAT, para recibir el dinero necesario para comprar de contado la maquinaria? Solución F= 45.500.000
n =? días i = 9.5% anual
P= $38.500.000
Se observa que el ejercicio me pide hallar la cantidad de días que la empresa deberá constituir el CDAT, pero la tasa de interés que reconoce el banco es anual, así que debemos transformar
la tasa de interĂŠs anual a una tasa de interĂŠs diaria, lo hacemos utilizando la siguiente ecuaciĂłn: (1 + đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™) = (1 + đ?‘–đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œ)360 Reemplazamos los datos que nos da el ejercicio en la formula anteriormente planteada: (1 + 0.095) = (1 + đ?‘–đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œ)360 1
360
(1.095)360 = (1 + đ?‘–đ?‘‘)360 1
(1.095)360 = (1 + đ?‘–đ?‘‘) Despejando id de la formula anterior, tenemos: 1
đ?‘–đ?‘‘ = (1.095)360 − 1 = 0.000252=0.0252% diario Ahora, ya teniendo la tasa de interĂŠs y ‘’n’’ en los mismos tĂŠrminos, procedemos a hallar ‘’n’’, que es lo que nos pide el ejercicio, para esto usamos la siguiente formula: đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘– đ?‘› ) Reemplazamos la ecuaciĂłn con los valores que nos da el ejercicio: 45.500.000 = 38.500.000(1 + 0.025%)n Realizando la anterior operaciĂłn, tenemos que la empresa deberĂĄ constituir el CDAT por 668 dĂas. R/. n = 668 dĂas
Una empresa invierte sus excedentes financieros que suman $2.250.000.000 en un banco durante un año. a) Si el banco reconoce una tasa del 4% trimestral; ¿Cuál será el Interés que la empresa recibirá al cabo del año? Solución
F=?
i = 4% Trimestral
P = $2.250.000.000
Observamos que la tasa de interés que reconoce el banco es trimestral y me piden hallar el interés anual que recibirá la empresa, así que debemos transformar la tasa de interés anual a una tasa de interés trimestral, usando la siguiente ecuación: ( 1 + ia ) = ( 1 + itrimestral ) 4 ( 1 + ia ) = ( 1 + 0,04) 4 1 + ia = 1.1698 ia = 1.1698 -1 ia = 0.1698 = 16.98% anual
Ahora, para hallar I, que es lo que nos pide el ejercicio, utilizamos la siguiente ecuaciĂłn: I=F–P AsĂ que debemos hallar el valor de F, con la siguiente formula: đ??š = đ?‘ƒ (1 + đ?‘–)đ?‘› = 2.250.000.000 (1 + 0.1698)1 F = 2.632.050.000
Una vez obtenido el valor de F, podemos hallar I: I=F–P I = 2.632.050.000 – 2.250.000.000 R/. I = $382.050.000
Se colocan hoy $20.000.000 en una institución financiera, a una tasa efectiva de 32% anual, para cancelar una deuda que vence dentro de 34 meses. El deudor se propone hacer ajustes inmediatos (depósitos o retiros) cuando se modifique la tasa de interés de la colocación, a fin de cancelar la deuda en la fecha prevista. Al final del mes 14 la tasa de interés bajó a 20% anual capitalizable trimestralmente y al final del mes 29 la tasa aumentó a 27% efectiva anual. Calcular el valor de los dos ajustes. Solución: Lo primero al resolver el ejercicio es plantear la gráfica: F=? 0 34 meses 𝑖 = 32% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑃 = $20.000.000
Debido a que lo que me piden hallar es el valor de los dos ajustes cuando se cambia la tasa de interés, debo hallar el valor futuro evaluando todo con el primer interés: Utilizamos la ecuación: 𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
Recordar que la tasa de interĂŠs y los periodos deben estar iguales, y en este se observa que la tasa de interĂŠs esta anual y los periodos en meses, por lo cual se debe pasar todo a meses, se debe cambiar la tasa de interĂŠs anual a mensual, para esto se utiliza la siguiente relaciĂłn: (1 + đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ )12 = (1 + đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ )1 Despejamos el đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ y se reemplazan los valores: 1
đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ = (1 + đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ )12 − 1 1
đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ = (1 + 0,32)12 − 1 đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ = 2,34% Una vez hallado el interĂŠs, se calcula el valor futuro con base a la ecuaciĂłn: đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–)đ?‘› Donde F es el valor futuro, P el valor presente o el de hoy y n es el nĂşmero de periodos. Se sustituyen los valores: đ??š = $20.000.000 ∗ (1 + 0,0234)34 đ??š = $43.911.070 DespuĂŠs de hallar el valor F, se procede a hallar el valor del primer ajuste para lo cual se debe volver a plantear la grĂĄfica:
Retiros
đ??š = $43.911.070 14
0
đ?‘– = 20% đ?‘Žđ?‘?đ?‘Ą
đ?‘– = 32% đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ đ?‘ƒ = $20.000.000
34 meses
X
DepĂłsitos
Para hallar el valor del primer ajuste, pero como la tasa de interĂŠs esta anual pagadero trimestral se debe pasar a mensual, para esto primero se divide en el nĂşmero de trimestres que tiene un aĂąo: 20 % = 5% đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ 4 Se utiliza la siguiente relaciĂłn: (1 + đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ )12 = (1 + đ?‘–đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ )4 Despejamos el đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ y se reemplazan los valores: 4
đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ = (1 + đ?‘–đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ )12 − 1 4
đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ = (1 + 0,05)12 − 1 đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ = 1,64% Tomamos como punto focal X y llevamos todo a ese punto: $20.000.000 ∗ (1 + 0,0234)14 + đ?‘‹ =
$43.911.070 (1 + 0,0164)20
Se despeja X đ?‘‹=
$43.911.070 − $20.000.000 ∗ (1 + 0,0234)14 (1 + 0,0164)20
đ?‘Ľ = $4.068.051 Ese valor hallado es el del primer ajuste, para hallar el valor del segundo ajuste, se debe volver a plantear la grĂĄfica:
đ??š = $43.911.070
Retiros 29
14
0 đ?‘– = 32% đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ đ?‘ƒ = $20.000.000
đ?‘– = 20% đ?‘Žđ?‘?đ?‘Ą
đ?‘Ľ = $4.068.051
� = 27% �����
34 meses
Y
DepĂłsitos
Para hallar el valor del primer ajuste, pero como la tasa de interĂŠs esta anual se debe pasar a mensual, para esto se utiliza la siguiente relaciĂłn: (1 + đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ )12 = (1 + đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ )1 Despejamos el đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ y se reemplazan los valores: 1
đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ = (1 + đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ )12 − 1 1
đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ = (1 + 0,27)12 − 1 đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ = 2,01% Tomamos como punto focal Y, llevamos todo a ese punto, igualando todas las flechas que van hacia abajo con las que van hacia arriba, tomando en cuenta el nĂşmero de periodos que hay desde donde esta hasta donde se va a llevar: $20.000.000 ∗ (1 + 0,0234)14 ∗ (1 + 0,0164)15 + $4.068.051 ∗ (1 + 0,0164)15 + đ?‘Œ $43.911.070 = (1 + 0,0164)20 đ?‘Œ=
$43.911.070 − $20.000.000 ∗ (1 + 0,0234)14 ∗ (1 + 0,0164)15 − $4.068.051 (1 + 0,0201)5 ∗ (1 + 0,0164)15
đ?‘Œ = −$728.835 Como se observa el valor del segundo ajuste dio negativo, esto lo que indica es que el sentido que se tomo es incorrecto y en vez de ser un deposito es un retiro. NOTA: Se observa que en algunos casos el valor se multiplica (1+i) si el valor se va a llevar de la izquierda a la derecha, pero si se desea llevar de la derecha a la izquierda lo que se debe hacer es el valor dividirlo (1+i) R/ El valor del primer ajuste es de $4.068.051 y el segundo es de $728.835
ÂżCuĂĄnto tendrĂa que pagar por concepto de interĂŠs una persona que adeuda $30.000.000, si la liquida la misma 6 meses despuĂŠs y le cobran el 25% de interĂŠs anual? Lo primero que se debe hacer es plantear la grĂĄfica:
F=?
0 6 meses đ?‘– = 25% đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ đ?‘ƒ = $30.000.000
Recordar que la tasa de interĂŠs y los periodos deben estar iguales, y en este se observa que la tasa de interĂŠs esta anual y los periodos en meses, por lo cual se debe pasar todo a meses, se debe cambiar la tasa de interĂŠs anual a mensual, para esto se utiliza la siguiente relaciĂłn: (1 + đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ )12 = (1 + đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ )1 Despejamos el đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ y se reemplazan los valores: 1
đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ = (1 + đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ )12 − 1 1
đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ = (1 + 0,25)12 − 1
đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ = 1,88% Debido a que lo que se pide es lo que se debe pagar por concepto de interĂŠs se utiliza la ecuaciĂłn: đ??š =đ?‘ƒ+đ??ź De esta despejamos I, que es lo que tendrĂa que pagar por concepto de interĂŠs: đ??ź =đ??šâˆ’đ?‘ƒ Pero para poder utilizar esta ecuaciĂłn se debe tener F, este se halla a travĂŠs de la ecuaciĂłn: đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ )đ?‘› Donde F es el valor futuro, P el valor presente o el de hoy y n es el nĂşmero de periodos. Se sustituyen los valores: đ??š = $30.000.000 ∗ (1 + 0,0188)6 đ??š = $33.547.091 Una vez hallado este valor hallamos lo que se tendrĂa que pagar por concepto de interĂŠs: đ??ź = $33.547.091 − $30.000.000 đ??ź = $3.547.091 R/ Lo que se debe pagar por concepto de interĂŠs es $3.547.091
Una persona compra un reproductor de discos compactos que cuesta $1.000.000, paga una cuota inicial de $500.000 y acuerda pagar 4 cuotas trimestrales de $150.000 cada una. ÂżQuĂŠ tasa de interĂŠs quincenal le estĂĄn cobrando? Lo primero que se debe hacer es plantear la grĂĄfica: $500.000
$150.000
$150.000
$150.000
2
3
$150.000
0 1
4 trimestres
đ?‘ƒ = $1.000.000
Lo que se debe hacer es llevar todo al punto focal, igualando las flechas que van hacia abajo con las que van hacia arriba: $1.000.000 = $500.000 +
$150.000 $150.000 $150.000 $150.000 + + + (1 + đ?‘–đ?‘Ą )1 (1 + đ?‘–đ?‘Ą )2 (1 + đ?‘–đ?‘Ą )3 (1 + đ?‘–đ?‘Ą )4
NOTA: Se observa que se desea llevar de la derecha a la izquierda por lo tanto, lo que se debe hacer es el valor dividirlo (1+i) y el valor al que se eleva depende de cuantos periodos se deben desde donde estĂĄ hasta el punto focal Utilizando solve: đ?‘–đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ = 7,71% Como el interĂŠs, se pide quincenal se debe pasa de acuerdo a la siguiente relaciĂłn: (1 + đ?‘–đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘Žđ?‘™ )24 = (1 + đ?‘–đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ )4 Despejamos el đ?‘–đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘Žđ?‘™ y se reemplazan los valores: 4
đ?‘–đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘Žđ?‘™ = (1 + đ?‘–đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ )24 − 1 4
đ?‘–đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘Žđ?‘™ = (1 + 0,0771)24 − 1 đ?‘–đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘Žđ?‘™ = 1,24% R/ La tasa de interĂŠs que se le estĂĄ cobrando es del 1,24%
Una persona vendiĂł un terreno que no ocupaba por $25.000.000, al mismo tiempo tomo la decisiĂłn de invertir ese dinero en una Entidad Financiera el cual le ofrecen un rendimiento del 4% semestral pagadero bimestral, su intenciĂłn es dejar ese dinero 4 aĂąos en el banco, ÂżCuĂĄnto tendrĂĄ al final del tiempo estipulado? Lo que se debe hacer es plantear la grĂĄfica: F=?
0 đ?‘– = 4% đ?‘ đ?‘?đ?‘?
4 aĂąos
đ?‘ƒ = $25.000.000
Primero se debe pasar de un interĂŠs semestral pagadero bimestral que es un interĂŠs nominal a un interĂŠs efectivo bimestral para seguidamente convertirlo en un interĂŠs anual. Se divide en 3 ya que en un semestre hay 3 bimestres. 4 % đ?‘?đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ = 1,33% đ?‘?đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ 3 Se pasa la tasa anual, con la siguiente ecuaciĂłn:
(1 + đ?‘–đ?‘?đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ )6 = (1 + đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ )1 Despejamos el đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ y se reemplazan los valores: 6
đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ = (1 + đ?‘–đ?‘?đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ )1 − 1 1
đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ = (1 + 0,0133)12 − 1 đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ = 8,25% Como ya se tiene la tasa de interĂŠs anual se puede hallar el valor futuro con la siguiente fĂłrmula: đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ )đ?‘› Donde F es el valor futuro, P el valor presente o el de hoy y n es el nĂşmero de periodos. Se sustituyen los valores: đ??š = $25.000.000 ∗ (1 + 0,0825)4 đ??š = $34.328.247 R/ Se tendrĂĄ al final del tiempo estipulado $34.328.247
Una persona ganĂł un premio por la cantidad de $1.800.000.000 y los quiere invertir en el banco a interĂŠs compuesto, la InstituciĂłn bancaria le estĂĄ ofreciendo un rendimiento del 5.6% anual pagadero semestral, una vez aceptado lo quiere dejar en un tiempo de 8 semestres ÂżQuĂŠ cantidad de dinero recibirĂĄ al final de esa inversiĂłn? Lo primero que se debe hacer es plantear la grĂĄfica: F=?
0 đ?‘– = 5,6% đ?‘Žđ?‘?đ?‘
8 semestres
đ?‘ƒ = $1.800.000.000
DespuĂŠs se debe pasar de una tasa nominal a una tasa de interĂŠs efectiva. Se debe dividir en 2 ya que es el nĂşmero de semestres que hay en un aĂąo. 5,6 % đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ = 2,8% đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ 2 Como ya se tiene la tasa de interĂŠs semestral se puede hallar el valor futuro con la siguiente fĂłrmula: đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ )đ?‘›
Donde F es el valor futuro, P el valor presente o el de hoy y n es el nĂşmero de periodos Se sustituyen los valores: đ??š = $1.800.000.000 ∗ (1 + 0,028)8 đ??š = $2.245.005.568 R/ Se tendrĂĄ al final del tiempo estipulado $2.245.005.568
Se invierten $22’000.000 al 1,5% mensual por 3 aùos. ¿Cuål es la cantidad acumulada al tÊrmino de ese tiempo? ¿A cuånto asciende el interÊs ganado? Solución: Para poder realizar el ejercicio es necesario tener en cuenta los siguientes pasos: EL PRIMER PASO consiste en representar de manera gråfica lo que dice el ejercicio. F= ¿?
1,5% mensual
3 aĂąos
P=22’000.000
EL SEGUNDO PASO consiste en transformar la tasa de interĂŠs de manera que el tiempo y la tasa de interĂŠs sean equivalentes respecto al periodo utilizado, es decir sean congruentes. AdemĂĄs identificar los datos relevantes en el ejercicio. đ?&#x;?đ?&#x;?
đ?&#x;?
(đ?&#x;? + đ?’Š đ?’Žđ?’†đ?’?đ?’”đ?’–đ?’‚đ?’?) đ?&#x;? − đ?&#x;? = (đ?&#x;? + đ?’Š đ?’‚đ?’?đ?’–đ?’‚đ?’?)đ?&#x;?
1 aĂąo=12 meses. Despejamos interĂŠs anual: đ?’Š đ?’‚đ?’?đ?’–đ?’‚đ?’? = (đ?&#x;? + đ?&#x;Ž, đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;“)đ?&#x;?đ?&#x;? − đ?&#x;? = đ?&#x;Ž, đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;“đ?&#x;” = đ?&#x;?đ?&#x;—. đ?&#x;“đ?&#x;”% Anual 3 aĂąos
i
n
22’000.000
presente, P
EL TERCER PASO ES IDENTIFICAR que formula de interĂŠs compuesto utilizar, como nos estĂĄn preguntando sobre la cantidad acumulada en determinado tiempo usaremos la fĂłrmula de futuro. F= đ?‘ƒ(1 + đ?‘–)đ?‘› F= futuro; P=presente; i= tasa de interĂŠs efectiva vencida; n=#periodos EL CUARTO PASO consiste en reemplazar los datos en la formula correspondiente: F=22’000.000(1 + 0,1956)3 F= 37599355,44
cantidad acumulada al tĂŠrmino de ese tiempo
EL QUINTO PASO es calcular cuånto asciende el interÊs ganado, para ello primero hay que determinar que formula es idónea para la solución: I=F-P I= interÊs; F= futuro; P= presente. El SEXTO PASO consiste en reemplazar los datos en la formula anterior I=37599355,44-22’000.00= 15599355,44
asciende el interĂŠs ganado
¿Qué cantidad de dinero se habrá acumulado al cabo de 5 años si se invierten $800.000 al 2,1% bimestral capitalizable mensual? Para realizar el ejercicio es necesario tener presente los siguientes pasos: EL PRIMER PASO consiste en plasmar la gráfica con el objetivo de analizar mejor el ejercicio. F=¿?
2,1% b.c.m P=800.000
EL SEGUNDO PASO consiste en transformar la tasa de interés a efectiva vencida, congruente con “n”. Sabiendo la siguiente equivalencia:
5 años
1 bimestre= 2 meses. 21% = 1,05% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ đ?‘’đ?‘“đ?‘’đ?‘?đ?‘Ąđ?‘–đ?‘Łđ?‘Ž 2 Ahora la pasamos simplemente a anual: đ?&#x;?đ?&#x;?
đ?&#x;?
(đ?&#x;? + đ?’Š đ?’Žđ?’†đ?’?đ?’”đ?’–đ?’‚đ?’? ) đ?&#x;? − đ?&#x;? = (đ?&#x;? + đ?’Š đ?’‚đ?’?đ?’–đ?’‚đ?’?)đ?&#x;? 1 aĂąo=12 meses. Despejamos interĂŠs anual: đ?’Š đ?’‚đ?’?đ?’–đ?’‚đ?’? = (đ?&#x;? + đ?&#x;Ž, đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;“)đ?&#x;?đ?&#x;? − đ?&#x;? = đ?&#x;Ž, đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;‘đ?&#x;“ = đ?&#x;?đ?&#x;‘, đ?&#x;‘đ?&#x;“% Anual. EL TERCER PASO consiste en identificar la fĂłrmula idĂłnea para la soluciĂłn del ejercicio, como nos pregunta sobre la cantidad de dinero acumulado, es necesario utilizar la fĂłrmula de futuro: F= đ?‘ƒ(1 + đ?‘–)đ?‘› F= futuro (Âż?) P= presente (800.000) i = tasa de interĂŠs (13,35% anual) n= # periodos. (5 aĂąos) EL CUARTO PASO se trata de reemplazar los datos en la respectiva fĂłrmula. F= 800.000(1 + 0,1335)5 F= 1496916,617
dinero que se habrĂĄ acumulado.
Se invirtieron $20’000.000 en un banco por 5 años. Cuando se realizó el depósito, el banco estaba pagando el 5,6% trimestral pagadero bimestral. Tres años después la tasa cambió al 1,8% mensual. Calcule el monto al finalizar los cinco años.
Solución: EL PRIMER PASO es graficar los datos que nos presenta el enunciado. F
i 1: 5,6% t.p.b P=20’.000.000
3 años
i 2:=1,8%m
5 años
EL SEGUNDO PASO consiste en transformar las tasas de interĂŠs a efectivas vencidas y de manera que sean congruentes n. i 1= 5,6% t.p.b 5,6% 3 2
=3,73% bimestral.
Ahora proseguimos a convertirla en anual đ?&#x;”
đ?&#x;?
(đ?&#x;? + đ?’Š đ?’ƒđ?’Šđ?’Žđ?’†đ?’”đ?’•đ?’“đ?’‚đ?’? )đ?&#x;? − đ?&#x;? = (đ?&#x;? + đ?’Š đ?’‚đ?’?đ?’–đ?’‚đ?’?)đ?&#x;? 1 aĂąo=6 bimestre. Despejamos interĂŠs anual: đ?’Š đ?’‚đ?’?đ?’–đ?’‚đ?’? = (đ?&#x;? + đ?&#x;Ž, đ?&#x;Žđ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;‘)đ?&#x;” − đ?&#x;? = đ?&#x;Ž, đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;“đ?&#x;• = đ?&#x;?đ?&#x;’, đ?&#x;“đ?&#x;•% Anual. Ahora transformamos i 2, de mensual a anual. đ?&#x;?đ?&#x;?
đ?&#x;?
(đ?&#x;? + đ?’Š đ?’Žđ?’†đ?’?đ?’”đ?’–đ?’‚đ?’? ) đ?&#x;? − đ?&#x;? = (đ?&#x;? + đ?’Š đ?’‚đ?’?đ?’–đ?’‚đ?’?)đ?&#x;? 1 aĂąo=12 meses. Despejamos interĂŠs anual: đ?’Š đ?’‚đ?’?đ?’–đ?’‚đ?’? = (đ?&#x;? + đ?&#x;Ž, đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;–)đ?&#x;?đ?&#x;? − đ?&#x;? = đ?&#x;Ž, đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;–đ?&#x;• = đ?&#x;?đ?&#x;‘, đ?&#x;–đ?&#x;•% Anual.
EL TERCER PASO es identificar los datos relevantes para dar solución al ejercicio. Presente (P)=20’000.000 i 1= 24,57% anual Tasa de InterÊs
i 2= 23,87% anual n= 5 aĂąos (periodos)
EL CUARTA PASO consiste en identificar la fĂłrmula, enuncia que hay que calcular el monto final, entonces usaremos la fĂłrmula de futuro. F= đ?‘ƒ(1 + đ?‘–)đ?‘›
EL QUINTO PASO se trata de reemplazar los datos en la ecuación. F= 20´000.000(1 + 0.2457)3 (1 + 0.2387)2 F= 59320207.87
Calculo del monto al finalizar.
Una persona debe pagar en 22 meses $ 2.000.000. ¿Cuál debe ser el valor del depósito que se haga hoy en una cuenta que paga el 8% efectivo semestral para poder retirar esa suma? Solución: EL PRIMER PASO consiste en realizar este ejercicio del cual es pertinente graficar para tener un mayor análisis del ejercicio.
2.000.000
8% semestral
22 MESES
P= ¿?
EL SEGUNDO PASO: Identificamos los datos que se encuentran inmersos en el ejercicio.
n = 22 meses.
Tiempo que transcurre desde P hasta F.
i = 8% efectivo semestral F = $2.000.000
tasa de interĂŠs
valor futuro que se debe pagar.
EL TERCER PASO: transformamos la tasa de interĂŠs, para que este en los mismos tĂŠrminos que n. 8% efectivo semestral a efectivo mensual. Equivalencias: 1 semestre alberga 6 meses. 8%= 0.08. TRANSFORMANDO: đ?&#x;?
đ?&#x;”
(đ?&#x;? + đ?’Š đ?’”đ?’†đ?’Žđ?’†đ?’”đ?’•đ?’“đ?’‚đ?’?)đ?&#x;” − đ?&#x;? = (đ?&#x;? + đ?’Š đ?’Žđ?’†đ?’?đ?’”đ?’–đ?’‚đ?’?)đ?&#x;” 1 semestre=6 meses. Despejamos interĂŠs mensual: 1
đ?‘– đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ = (1 + 0,08)6 − 1 = 0,0129 = 1,29% Mensual, efectivo mensual. EL CUARTO PASO consiste en identificar la fĂłrmula para la soluciĂłn del ejercicio. Como hay que hallar el depĂłsito de hoy, se debe calcular el valor de P. đ??š
P=(1+đ?‘–)đ?‘› EL QUINTO PASO trata de reemplazar los valores. 2.000.000
P=(1+0.0129)22 P= 1508569,874
P= presente; F= futuro (2.000.000); i= tasa de interĂŠs (0,0129 m);n=22 depĂłsito de hoy.
Se invierte un capital a razón de 36 % anual capitalizado trimestralmente. Si se conoce que los intereses ganados durante un cierto año son de $500.000, determine el capital al final de ese año. Solución: Para poder realizar el ejercicio, debemos tener en cuenta los siguientes pasos. EL PRIMER PASO es ideal graficar para poder analizar el ejercicio. F
36%a.c.t P
1 año
EL SEGUNDO PASO consiste en identificar los datos del enunciado, donde I=500.000, que son los intereses ganados durante el aĂąo, por otra parte, la tasa de interĂŠs tiene valor de 36% a.c.t. EL TERCER PASO consiste en transformar la tasa de interĂŠs a efectiva vencida, congruente con n. 36% a.c.t 36% 4
% anual
= 9% trimestral (1 aĂąo= 4 trimestres). đ?&#x;?đ?&#x;?
đ?&#x;?
(đ?&#x;? + đ?’Š đ?’•đ?’“đ?’Šđ?’Žđ?’†đ?’”đ?’•đ?’“đ?’‚đ?’? ) đ?&#x;? − đ?&#x;? = (đ?&#x;? + đ?’Š đ?’‚đ?’?đ?’–đ?’‚đ?’?)đ?&#x;? 4 trimestres=1 aĂąo Despejamos interĂŠs anual: đ?’Š đ?’‚đ?’?đ?’–đ?’‚đ?’? = (đ?&#x;? + đ?&#x;Ž, đ?&#x;Žđ?&#x;—)đ?&#x;’ − đ?&#x;? = đ?&#x;Ž, đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;” = đ?&#x;’đ?&#x;?, đ?&#x;?đ?&#x;”% Anual efectiva. EL CUARTO PASO consiste en plantear las ecuaciones necesarias para la soluciĂłn del ejercicio. I= 500.000 F=P+I I=F-P F= đ?‘ƒ(1 + đ?‘–)đ?‘› EL QUINTO PASO consiste en reemplazar los datos en la formula. F=P(1 + 0,4116)1 500.000=P(1.4116)1 − đ?‘ƒ Despejando P= 1214771,623= F=12214471,623+500000=1714771,623
La empresa tiene una deuda de $80.000.000 a 15 meses a una tasa de interés del 28% anual pagadero semanal y esta vence dentro de 4 meses; además tiene otra deuda con el mismo banco de $90.000.000 contratada a dos años con una tasa de interés del 30% anual pagadero quincenal con vencimiento dentro de 17 meses. El administrador de esta empresa le ofrece al Banco una reestructuración de los créditos mediante 3 pagos de la siguiente forma el primero de inmediato el segundo a un año y el tercero a 24 meses. La institución bancaria le ofrece un rendimiento del 36%. Calcular de cuánto debe ser cada pago ya que serán iguales
convertimos los intereses nominales a efectivos y por ultimo aplicamos la fórmula de transformación de tasas de intereses efectivos para que la tasa de interés este en el periodo que la necesitamos, en este caso Meses.
28 đ?‘Ž. đ?‘?. đ?‘ % đ?‘š = 0.583% đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘Žđ?‘›đ?‘Žđ?‘™ 48 30 %đ?‘ž = 1.25%đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘Žđ?‘™ 24 I=36%a
m
(1+ia)= (1 + im)12
đ?‘–đ?‘š = (1.00583)4 − 1 = 2,35% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™
(1 + 36%)1/12 = (1 + đ?‘–đ?‘š)12/12
đ?‘–đ?‘š = (1.0125)2 − 1 = 2.51%đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™
(1.36)1/12 − 1 = đ?‘–đ?‘š 2.59% mensual
ďƒ˜ Se aplica el concepto donde la ∑ FLECHAS ARRIBA = ∑ FLECHAS ABAJO, usando la siguiente formula, en donde se reemplazan los datos ( P (1 + I) n ), teniendo en cuenta la fecha focal, es decir:
113.346.389(1.0259)8 + [
163.166.919 ] (1.0259)5
đ?‘Ľ
= đ?‘Ľ(1.0259)12 + đ?‘Ľ + [(1.0259)12 ] đ?‘Ľ
139.074.634 + 143.584.302 = 1.3591đ?‘Ľ + đ?‘Ľ + [1.3591] đ?‘Ľ = 91.331.115 Nota: Nuestro punto de referencia es la fecha focal (12 meses) Respuesta: El valor de la cuota a cancelar es de $91.331.115
El Sr. Rosales invirtiĂł un capital en el Banco y quiere saber en quĂŠ tiempo su capital que invirtiĂł que era de $12,500.000 aumenta y se convierte en $17,000.000. La InstituciĂłn bancaria le estĂĄ ofreciendo una inversiĂłn del 18.3% de inter.
ďƒ˜ Teniendo en cuenta los datos obtenidos reemplazamos en la fĂłrmula de valor Futuro. đ?‘ƒ = $12.500.000
đ?‘– = 18.3% đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ = 1.41% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ??ź)đ?‘›
đ??š = $17.000.000
17.000.000 = 12.500.000(1.0141)đ?‘› đ?‘› = 21.96 đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘
Respuesta: para que la inversiĂłn del Sr. Rosales se convierta en $17.000.000 deben transcurrir 21.96 meses.
Un comerciante adquiere un lote de mercancĂa con valor de $634.270.000 que acuerda liquidar haciendo un pago de inmediato de $115.000.000 y un pago al final de cuatro meses despuĂŠs: Acepta pagar un 30% anual pagadero semanal de interĂŠs sobre su saldo. ÂżCuĂĄnto deberĂĄ pagar dentro de cuatro meses?
ďƒ˜ Convertimos la tasa de interĂŠs nominal a efectiva y despuĂŠs la pasamos al periodo en que la necesitamos (meses). đ?‘–=
30 % = 0.625%đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘Žđ?‘›đ?‘Žđ?‘™ 48
đ?‘–đ?‘š = (1.00625)4 − 1 = 2.5%đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™
ďƒ˜ Se aplica el concepto donde la ∑ FLECHAS ARRIBA = ∑ FLECHAS ABAJO, usando la siguiente formula, en donde se reemplazan los datos ( P (1 + I) n ), teniendo en cuenta la fecha focal, es decir: đ?‘Ľ
634.270.000=115.000.000+(1.025)4
X=573.176.919 Respuesta: el valor a pagar dentro de cuatro meses serĂĄ de $573.176.919
Una persona no recuerda que capital invirtiĂł y lo Ăşnico que se acuerda es que fue a un plazo de 10 meses, a una tasa de interĂŠs del 4.3% semestral pagadero mensual, cuando la SeĂąora fue al banco a recoger su dinero le entregaron $12,589.000. ÂżCuĂĄnto invirtiĂł?
ďƒ˜ Se aplica la conversiĂłn de interĂŠs nominal a interĂŠs efectivo. 4.3 % = 0.716%đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ 6 ďƒ˜ Por ultimo tomando en cuenta los datos obtenidos, reemplazamos en la fĂłrmula de valor Futuro y despejamos para hallar valor presente. F = P(1 + I)n
$12.589.000 = đ?‘ƒ(1.00716)10 P = $11.722.130
Respuesta: la inversiĂłn inicial fue de $11.722.130
Un individuo comprĂł un automĂłvil nuevo por el cual pago $95,500.000 el 2 de enero de 2017, y lo vende el 1 de junio del 2018 en $115,000.000. Aparte del uso que ya le dio, del seguro que pagĂł, y otros gastos que hizo, considerando sĂłlo los valores de compra y venta, ÂżFue conveniente como inversiĂłn la operaciĂłn realizada si la tasa de interĂŠs del mercado era del 28% anual.
ďƒ˜ Con la ayuda de “calculadora de dĂasâ€? sabremos cuantos dĂas han transcurrido desde el dĂa que lo compro hasta el dĂa que lo vendiĂł. N° de dĂas desde el 02/01/2017 hasta el 1/06/2018 = 515 dĂas
ďƒ˜ Convertimos el interĂŠs anual a interĂŠs diario 1
đ?‘–đ?‘‘ = (1.28)360 − 1 = 0.0685% đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œ
ďƒ˜ Aplicamos la ecuaciĂłn de valor Futuro con los datos obtenidos. đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–)đ?‘› đ??š = 95.500.000(1.000685)515 F =135.881.132
ďƒ˜ Hacemos una breve comparaciĂłn entre el precio real del automĂłvil el dĂa 01/06/2018 y el precio en que lo vendiĂł el mismo dĂa, llegamos a la siguiente conclusiĂłn: Lo vendiĂł en $115.000.000 y el precio segĂşn los intereses y dĂas transcurridos era de $135.881.132 ConclusiĂłn: No fue conveniente
Una persona deposita $20.000.000 en un Banco que abona el 6% anual. Si desde el fin del primer aĂąo hasta el fin del cuarto aĂąo retira $2.000.000 cada vez. Determine el monto acumulado al final del aĂąo 9. F $2.000.000 $2.000.000 $2.000.000 $2.000.000 P.F. 1
2
3
4
9 AĂąos
i = 6% anual P= $20.000.000 SoluciĂłn: -Se define un punto focal (P.F.) en la grĂĄfica, en este caso el aĂąo 3, donde los depĂłsitos van a ser iguales a los retiros, a partir de ahĂ se calcula F, pero: Si el monto estĂĄ antes del punto focal se asume como F: đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–)đ?‘› đ??š
Si el monto estĂĄ despuĂŠs del punto focal se asume como P: đ?‘ƒ = (1+đ?‘–)đ?‘› -La ecuaciĂłn queda: 2.000.000(1 + 0,06)2 + 2.000.000(1 + 0,06)1 + 2.000.000 + +
đ??š = 20.000.000(1 + 0,06)3 (1 + 0,06)6
2.000.000 (1 + 0,06)1
-Resolviendo: 2.247.200 + 2.120.000 + 2.000.000 + 1.886.792,453 +
đ??š = 23.820.320 (1,06)6
-Se despeja y calcula la incĂłgnita F: đ??š = (23.820.320 − 2.247.200 − 2.120.000 − 2.000.000 − 1.886.792,453) ∗ (1,06)6 F = $ 22.081.133,13 R/: Esta persona tendrĂĄ acumulado al final del periodo de 9 aĂąos un monto por un valor de $ 22.081.133,13
Se coloca una cantidad de dinero asĂ: durante 9 meses a 20 % anual capitalizado semestralmente, por los siguientes 4 meses a 30 % anual capitalizado mensualmente, por 8 meses mĂĄs a una tasa de 27 % anual capitalizado trimestralmente y, finalmente, por 15 meses mĂĄs a una tasa de 24 % anual capitalizado trimestralmente. El monto al tĂŠrmino de la operaciĂłn fue de $12.000.000. Determine el capital inicial y la tasa efectiva anual de la operaciĂłn. F= $ 12.000.000 i2= 30% a.p.mensual n1= 9 mes i1= 20% a.p.semestral
n2= 4 mes
n3= 8 mes
i3= 27% a.p.trimestral
n4= 15mes i4= 24% a.p.trimestral
P
SoluciĂłn: -Se procede a cambiar las tasas de interĂŠs de nominal a efectiva y el tiempo de modo que coincidan al periodo, en este caso se cambia todas las tasas a mensual. đ?‘–1 =
20% đ?‘Ž. đ?‘?. đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ = 10% đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ 2 2
đ?‘–1 = (1 + 0,1)12 − 1 = 0,016 = 1,6% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™
đ?‘–2 =
30% đ?‘Ž. đ?‘?. đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ = 2,5% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ 12
đ?‘–3 =
27% đ?‘Ž. đ?‘?. đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ = 6,75% đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ 4 4
đ?‘–3 = (1 + 0,0675)12 − 1 = 0,022 = 2,2% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ đ?‘–4 =
24% đ?‘Ž. đ?‘?. đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ = 6% đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ 4 4
đ?‘–4 = (1 + 0,06)12 − 1 = 0,0196 = 1,96% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ -Se plantea la ecuaciĂłn, en este caso se utiliza la fĂłrmula: đ?‘ = đ?‘ˇ(đ?&#x;? + đ?’Š)đ?’? đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–1)đ?‘›1 + (1 + đ?‘–2)đ?‘›2 + (1 + đ?‘–3)đ?‘›3 + (1 + đ?‘–4)đ?‘›4 -Se despeja la incĂłgnita P y se sustituyen valores đ?‘ƒ=
đ?‘ƒ=
(1 +
đ?‘–1)đ?‘›1
(1 +
0,016)9
+ (1 +
đ?‘–2)đ?‘›2
đ??š + (1 + đ?‘–3)đ?‘›3 + (1 + đ?‘–4)đ?‘›4
12.000.000 + (1 + 0,025)4 + (1 + 0,022)8 + (1 + 0,0196)15
P = $ 5.918.175,566 -Se calcula la tasa efectiva anual de la operaciĂłn segĂşn el grĂĄfico F= $ 12.000.000
đ?’Š
P = $la5.918.175,566 -Se utiliza siguiente ecuaciĂłn, segĂşn la grĂĄfica: đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–)đ?‘›
n= 3 aĂąos
-Despejando y resolviendo para la tasa de interĂŠs: đ?‘› đ??š đ?‘– = √ −1 đ?‘ƒ
3
12.000.000
đ?‘– = √5.918.175,566 − 1 i= 0,2657 = 26,57% anual
R/: El capital inicial tendrĂĄ un valor de $ 5.918.175,566 con una tasa de interĂŠs del 26,57% anual
Un padre, al nacimiento de su hijo, deposita en una instituciĂłn financiera la cantidad de $5.000.000. La instituciĂłn le abona el 2% anual pagadero trimestralmente. Cinco aĂąos mĂĄs tarde, nace una niĂąa y entonces divide el monto del depĂłsito en dos partes: una de 3/10 para el hijo y el resto para la hija. ÂżQuĂŠ cantidad tendrĂĄ cada uno cuando el hijo cumpla 21 aĂąos?
F
P1 = 3/10 F
Ft
F2
P2 = 7/10 F ó F – P1
n1= 5 aĂąos
i= 2% a.p.trimestral
F1
n2= 16 aĂąos
P= $ 5.000.000 SoluciĂłn:
-Se procede a cambia la tasa de interĂŠs de nominal a efectiva y el tiempo de modo que coincida con el periodo, en este caso se cambia a anual, sabiendo que un aĂąo son 4 trimestres. đ?‘–=
2% đ?‘Ž. đ?‘?. đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ = 0,5% đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ 4
4
đ?‘– = (1 + 0,005)1 − 1 = 0,0201 = 2,01% đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™
-Se calcula el valor acumulado en el lapso de 5 aĂąos “Fâ€?, se utiliza la fĂłrmula: đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–)đ?‘›1 đ??š = 5.000.000 ∗ (1 + 0,0201)5 F = $ 5.523.110,6 -Con F se calcula la proporciĂłn de cada hijo đ?‘ƒ1 =
3 ∗ 5.523.110,6 = 1.656.933,2 10
đ?‘ƒ2 = 5.523.110,6 − 1.656.933,2 = 3.866.177,4 -Con los nuevos depĂłsitos de cada hijo, se calcula los montos que tendrĂĄn en el tiempo restante. đ??š1 = đ?‘ƒ1(1 + đ?‘–)đ?‘›2 đ??š1 = 1.656.933,2 ∗ (1 + 0,0201)16 F1 = $ 2.278.184,86 đ??š2 = đ?‘ƒ2(1 + đ?‘–)đ?‘›2 đ??š2 = 3.866.177,4 ∗ (1 + 0,0201)16 F2 = $ 5.315764,58
R/: Cuando el hijo cumpla la edad de 21 los montos respectivos para cada uno serĂĄn: el hijo tendrĂĄ $ 2.278.184,86 y la hija $ 5.315764,58
El gerente de producción de una empresa conoce que la máquina principal de su proceso de producción, actualmente en uso, llegará al final de su vida útil dentro de 3 años, para esa época será necesario adquirir una nueva máquina, la cual se estima costará unos US $200.000. Se estima que la máquina actual para esa época podrá ser vendida en US $50.000. Determinar el valor que se debe depositar hoy en un CDT de 3 años para asegurar la compra de la nueva máquina, si la entidad financiera garantiza una tasa de interés del 7.5% anual.
i= 7,5% anual
n= 3 años
P Solución: -La nueva máquina tiene un valor de $200.000 pero si se vende la máquina actual se obtienen $50.000 menos para asegurar la compra, con esto se calcula el valor futuro por el cual se depositará: F= 200.000 – 50.000 = $ 150.000
-La tasa de interĂŠs se deja igual, ya que estĂĄ efectiva y en la misma unidad de tiempo que el periodo. i= 7,5% anual -Se procede a despejar el presente en la formula y se calcula el valor que se debe depositar. đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–)đ?‘› đ?‘ƒ=
đ??š (1 + đ?‘–)đ?‘›
đ?‘ƒ=
150.000 (1 + 0,075)3
P = $ 120.744,08 R/: SegĂşn lo que falta para reunir el dinero de la nueva mĂĄquina la persona debe invertir un monto igual a $ 120.744,08 a un periodo de tres aĂąos
Una bicicleta tiene un valor de contado de $ 2.500.000. A plazos exigen una cuota inicial de $ 1.000.000 y el resto financiado para ser cancelado con tres cuotas de $ 1.000.000; $ 500.000 y $ 198.305,30, dos, cinco y nueve meses despuĂŠs de recibida la bicicleta. Encontrar el interĂŠs de financiaciĂłn. X= $2.500.000
n1= 2 meses Hoy P1= $1.000.000
n2= 3 meses
P.F.
n3= 4 meses
P2= $500.000
P3= $198.305.30
đ?‘ˇđ?&#x;Ž = $1.000.000
SoluciĂłn: -Se define un punto focal (P.F.) en la grĂĄfica, en este caso el mes 5, donde las cuotas van a ser iguales a los pagos, a partir de ahĂ se calcula F, pero hay que tener en cuenta quĂŠ: Si el monto estĂĄ antes del punto focal se asume como F: đ??š = đ?‘ƒ(1 + đ?‘–)đ?‘› Si el monto estĂĄ despuĂŠs del punto focal se asume como P: đ?‘ƒ =
đ??š (1+đ?‘–)đ?‘›
-La ecuaciĂłn queda: 1.000.000 ∗ (1 + đ?‘–)5 + 1.000.000 ∗ (1 + đ?‘–)3 + 500.000 +
198.305,30 (1 + đ?‘–)4
= 2.500.000 ∗ (1 + đ?‘–)5 -Resolviendo para la incĂłgnita i, quedarĂa: đ?‘– = 0,035 = 3,5% đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ R/: El interĂŠs de financiaciĂłn de la bicicleta va ser de 3,5% mensual
Una persona quiere invertir en el banco la cantidad de $65.000.000 por un tiempo de 4 años y medio, el Banco le está ofreciendo un rendimiento del 5% anual pagadero semanal. ¿Cuánto recibirá al final de los 4.5 años?
F =?
n = 4.5 años ί = 5% aps P= $ 65.000.000
Se sabe que F = P(1 + ί)n Se pasa los intereses a mensual debido que n es un exponente en la fórmula es adecuado utilizar un numero entero y no un decimal
4.5 años
X
1 año
12 meses
X=
4.5 años ∗ 12 meses = 54 meses 1 año
Como el interés que se da en el ejercicio es anual, se debe pasar la tasa de interés nominal a una tasa de interés efectiva para haber una relación homogenizada entre ί y n. ίm =(1 + ί)4 − 1 ί = 5% aps ί:
5 % = 0.1041 % semanal 48
ίm: (1 + 0.001041)4 − 1 = 0.00417 ≈ 0.417% mensual Al tener el interés a la misma relación de ί con n aplicamos la formula F = P(1 + ί)n F = 65.000.000(1 + 0.00417)54 = $ 81.377.520 Respuesta: la persona recibirá al final de los 4.5 años $ 81.377.520
Una empresa dedicada a la venta de bienes raíces desea invertir en el banco la cantidad de $250.000.000 en una inversión que la institución bancaria le ofrece, que es del 8% semestral pagadero mensual, ¿Cuánto obtendrá esta empresa si hace la inversión en un tiempo de 3 años 6 meses? F =?
n = 3.5 años ί = 8% spm P= $ 250.000.000 Se sabe que F = P(1 + ί)n Se pasa los intereses a mensual debido que n es un exponente en la fórmula es adecuado utilizar un numero entero y no un decimal 3.5 años
X
1 año
12 meses
X=
3.5 años ∗ 12 meses = 42 meses 1 año
Como el interés que se da en el ejercicio es anual, se debe pasar la tasa de interés nominal a una tasa de interés efectiva para haber una relación homogenizada entre ί y n. ί= 8% spm 8 ί: % = 1.33% mensual 6 Al tener el interés a la misma relación de ί con n aplicamos la formula F = P(1 + ί)n F = 250.000.000(1 + 0.0133)42 = $435.449.504 Respuesta: la empresa obtendrá si hace la inversión en un tiempo 3 años y 6 meses es $435.499.504
Se desea invertir la cantidad de $175.000.000 en el Banco. La inversión tendrá una duración de 2.5 años la tasa de interés corresponde al 18% anual por el primer año y de 22% anual de ahí en adelante. ¿Cuánto nos dará el banco al final del tiempo estipulado?
F =? 1 año= 12 meses
ί =18% anual
ί =22% anual
n = 2.5 años
P= $ 175.000.000 Se pasa los intereses a mensual debido que n es un exponente en la fórmula es adecuado utilizar un numero entero y no un decimal 2.5 años
X
1 año
12 meses
X=
2.5 años ∗ 12 meses = 30 meses 1 año
Como el interés que se da en el ejercicio es anual, se debe pasar la tasa de interés nominal a una tasa de interés efectiva para haber una relación homogenizada entre ί y n. En el ejercicio tenemos dos tasas de intereses una que va del punto P que es hoy hasta 1 año o 12 meses y otra tasa de interés que va del mes 13 hasta el mes 30. 1
ίm =(1 + ί)12 − 1 1
ί1 = (1 + 0.18)12 − 1 = 0.0139 ≈ 1.39% mensual 1
ί2 = (1 + 0.22)12 − 1 = 0.0167 ≈ 1.67% mensual Las dos tazas de interés se multiplican con el valor presente para hallar el valor que le dará el banco en el tiempo estipulado F = P(1 + ί1)n1 (1 + ί)n2
Reemplazamos los valores en la ecuación: F = 175.000.000(1 + 0.0139)12 (1 + 0.0167)18 = $ 278.259.724 Respuesta: el banco les dará al final del tiempo estipulado $278.259.724
Se desea encontrar el monto que representan $5.500.000 por un tiempo de 3 años 10 meses a una tasa de interés del 28% anual pagadero quincenal F =?
n = 3 años y 10 meses ί = 28% apq P= $ 5.500.000
Se sabe que F = P(1 + ί)n Primero hay que pasar el tiempo a una sola unidad de tiempo 3 años
X
1 año
12 meses
X=
3 años ∗ 12 meses = 36 meses 1 año
X= 36 meses + 10 meses = 46 meses En el ejercicio nos dan la tasa de interés nominal debemos pasarla a una tasa de interés efectiva para haber una relación homogenizada entre ί y n.
ί: 28% apq ίm =(1 + ί)2 − 1 ί:
28 % = 1.17% quincenal 24
ίm: (1 + 0.0117)2 − 1 = 0.0235 ≈ 2.35% Luego reemplazamos los valores de la ecuación inicial, F = 5.500.000(1 + 0.0235)46 = $16.010.454 Respuesta: el monto que representa $5.500.000 por 3 años y 10 meses es $16.010.454
En cuantos semestres se pueden reunir la cantidad de $75.000.000, si solamente tiene un capital de $60,000.00 y el banco le otorga por ese dinero una tasa de interĂŠs del 7.34% anual. F = $75.000.000
n =? ὡ = 7.34 % anual P= $ 60.000.000 Sabemos que F = P(1 + ὡ)n Despejando se tiene In
đ??š đ?‘ƒ
= (1 + ὡ)� , luego aplicamos logaritmo tenemos
F = In(1 + ὡ)n P
De donde đ?‘› =
đ??š đ?‘?
đ??źđ?‘› [ ] đ??źđ?‘› (1+ὡ)đ?‘›
Como la tasa de interÊs estå dada en tÊrmino anual, pasamos la tasa de interÊs a semestral porque el número de periodos serå en semestres. ὡ= 7.34 % anual
1
ὡs=(1 + ὡ)2 − 1
1
ίs = (1 + 0.0734)2 − 1 = 0.03605 ≈ 3.605% semestral Se sabe que n =
In[
75.000.000 ] 60.000.000
In(1+0.03605)
= 6.3 semestres
Respuesta: los semestres que se pueden reunir $75.000.000 son 6.3 semestres
Una inversión de $ 2.000.000 se efectúa a 15 años. Durante los primeros 8 años la tasa de interés es del 4.5% Semestral efectivo. Posteriormente, la tasa desciende al 4% Semestral efectivo, durante 4,5 años. El resto del tiempo la tasa aumenta a 1,25% Mensual efectivo ¿Cuál es el monto final de la inversión realizada?
2000000
.
8 4.5%st
12.5 4%st
15 1.25%m F
Datos: P= 2000000 i = 4.5%semestral ,4%semestral,1.5%mensual n = 15 años
Como el valor de n está en años lo primero que tendremos que hacer es pasar las tasas de interés a tasa de interés anual. Utilizan las igualdades (1 +ist) ^2 = (1 + ia) Despejando la tasa de interés anual
Ia = (1 + ist) ^2 - 1 = (1+ 4.5%)^2 – 1 = 9.2025% anual Ia = (1 + ist) ^2 - 1 = (1+ 4%)^2 – 1 = 8.16% anual Con la tasa mensual despejamos la siguiente igualdad la tasa anual (1 + ia) = (1 +im) ^12
ia = (1 + im) ^2 - 1 = (1+ 1.25%)^12 – 1 = 16.075% anual por lo siguiente se utilizará la fórmula de fututo en interés compuesto, pero tomando en cuenta con que tasa de interés se está trabajando por su respectivo tiempo. F= p (1+i) ^n F= 2000000(1+9.2025%)^8(1+8.16%)^4.5(1+16.075%)^2.5 = Por lo tanto, el monto final de la inversión es de 8035336.86
8035336.86
Si un apartamento se adquiere hoy por $ 180.000.000 y por efectos de la inflación y otros factores su valor aumenta a razón de un 3% anual, ¿cuánto podrá valer dentro de 15 años?
F 0.
15.
180000000
Datos: P= 180000000 i = 3%anual n = 15 años En este caso podemos ver que la tasa de interés es anual y la variable n nos la dan en años así que no es necesario cambiarla. Se pide el costo del apartamento en los próximos 15 años por lo tanto utilizaremos la fórmula de futuro F= p (1+i) ^n Como podemos ver ya tenemos todos los datos entonces simplemente remplazamos F= 180000000(1+3%)^15 =
280434135
Una persona abrió un Certificado de Depósito a Término con $ 14.200.000, los tres primeros bimestres le reconocieron el 2,8% bimestral y luego los renovó por dos trimestres más por 7% Trimestral ¿Cuánto tenía al finalizar el año? ¿F=? 2.8%b 0.
7%T 6
12.
14200000 Datos P=14200000 n = 12 meses i = 2.8% bimestral, 7%trimestral Aplicamos la siguiente formula: F= p (1+i) ^n Tenemos todos los datos que necesitamos y no es necesario cambiar ninguna tasa de interés ya que en los primeros 3 bimestres se trabaja con una tasa bimestral y en los dos siguientes trimestres se trabaja con una tasa trimestral. F= 14200000 (1+2.8%)^3(1+7%)^2 =
17661811.43
Al finalizar se va a tener un total de 17661811.43
¿Cuál es el valor presente de $ 11.800.000 que vencen dentro de 3 años, si la tasa de interés es del 3,2% bimestral? 11800000 0.
3.
P Datos: F= 11800000 i = 3.2% bimestral n = 3 años Cambiamos la tasa de interés de bimestral a anual con la siguiente igualdad (1 +ib) ^6 = (1 + ia) Despejando la tasa de interés anual Ia = (1 + ib) ^6 - 1 = (1+ 3.2%)^6 – 1 = 20.8% anual Despejamos p de la siguiente ecuación F= p (1+i) ^n P=
F (1+i) ^n
=
11800000
=
6693930.585
(1+ 20.8%)^3
6693939.585 es el valor que presente que se debe para que dentro de tres años su deuda suba a 11800000.
C
Si depositamos hoy $ 12.000.000, dentro de 6 meses $ 5.320.000 y 4 meses después de realizado el anterior depósito, $ 2.800.000, ¿Cuánto se tendrá acumulado 19 meses después de efectuado el primer depósito si se reconoce el 15% semestral pagadero mensual? F
0
12000000
6
10
5320000
2800000
19
Datos: Po = 12000000 P6=5320000 P10=2800000 i = 15% spm n=19meses en primer lugar, hay que transformar la tasa de interés a mensual, como la tenemos en semestral pagadero mensual la tenemos que cambiar a mensual pagadero mensual.
1 año = 2 semestres = 12 meses 15% s p m * 2/12 = 2.5% mpm Utilizando el modelo de la ecuación de fututo para cada uno de sus valores presentes F= p (1+i) ^n Corremos los 12 millones hasta el final del plaza, los cuales se tendrían que mover 19 meses, los 5320000 se tendrían que mover 13 meses y por último los 2800000 se moverían 9 meses. F = 12000000 (1+ 2.5%)^19 + 5320000(1+ 2.5%)^13 + 2800000(1+2.5%)^9 F=
30014297.3
Cuando se cumplan los 19 meses se tendrá un acumulado de 30014297.3
Se desea obtener al final de 6 meses $14.000.000, para ello se hace una consignaciĂłn de $14.000.000 en un Banco que ofrece un rendimiento del 5.8% anual de interĂŠs.
soluciĂłn: Se realiza el grafico F
Is =5.8% anual
14.000.000
ďƒ˜ Se cambia la tasa de interĂŠs de anual a mensual efectiva, con la fĂłrmula de igualdades: ( 1 + 0,058) 1 = (1 + im) 12 đ?&#x;?
đ?‘–đ?‘š = (1.058) đ?&#x;?đ?&#x;? − 1 = 0.00471 = 0,471% mensual
Se utiliza la siguiente ecuación, en la cual se reemplazan los datos y se halla el valor futuro, es decir: F = P (1 + I) n F = 14.000.000 (1 + 0,00471) 6
F = 14.400.328
RTA/ Realmente dentro de 6 meses se obtendrá $14.408.069 teniendo un rendimiento del 5.8% anual de interés.
Se pide un prĂŠstamo al Banco por $19,500.000 a un plazo de 10 meses con una tasa de interĂŠs del 22% anual, CuĂĄnto dinero se debe cancelar al final del perĂodo de prĂŠstamo?
soluciĂłn: Se realiza el grafico
F
Is = 22% anual
N =10 meses
19.500.000
ďƒ˜ Se cambia la tasa de interĂŠs de anual a mensual efectiva, con la fĂłrmula de igualdades: ( 1 + 0,22) 1 = (1 + im) 12 đ?&#x;?
đ?‘–đ?‘š = (1.22) đ?&#x;?đ?&#x;? − 1 = 0.0167 = 1.670% mensual
Se utiliza la siguiente ecuación, en la cual se reemplazan los datos y se halla el valor futuro, es decir: F = P (1 + I) n F = 19.500.000 (1 + 0,0167) 10 F = 23.012.449 RTA/ Se debe cancelar al final del período del préstamo $23.012.449 por un plazo de 10 meses.
Una Compañía tiene una deuda con el Banco de $50,000.000 con un vencimiento a 3 meses, $24,000.000 con vencimiento a 6 meses y $13,500.000 a 9 meses, el interés está ya incluido, quiere reestructurar su deuda de la siguiente manera: dos pagos iguales un con vencimiento a los 6 meses y el otro a un plazo de 12 meses: Determinar el importe de cada uno de los nuevos documentos si se sabe que el Banco le ofrece un rendimiento para la reestructuración del 28%. anual pagadero quincenal. solución: Se realiza el grafico, las deudas se colocan arriba (el valor del préstamo) y los pagos abajo, los cuales se toman como X y se toma como fecha focal 6 meses, es decir:
24.000.000
50.000.000
3 meses
6 meses
13.500.000
12 meses
9 meses
X X I: 28% APQ
ďƒ˜ Se cambia la tasa de interĂŠs de nominal a efectiva, usando el procedimiento: I quincenal =
28 % = 1.17%quincenal 24
(1 + 0,0117) 24 = (1 + im) 12 đ?‘–đ?‘š = (1,0117)
đ?&#x;?đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;?
− 1 = 0.0235 = 2.35%mensual
ďƒ˜ Se aplica el concepto donde la ∑ FLECHAS ARRIBA = ∑ FLECHAS ABAJO, usando la siguiente formula, ( P (1 + I ) n ), en donde se reemplazan los datos, teniendo en cuenta la fecha focal, es decir:
50.000.000 (1 + 0.0235)3 + 24.000.000 +
13.500.000 X =X+ 3 (1 + 0.0235) (1 + 0.0235)6
X = 48.237.569
NOTA: Se dice que si la deuda o el pago estĂĄ en posiciĂłn de izquierda a derecha res pecto a la fecha focal que es nuestro punto de referencia, se usa la formula anterior normalmente, pero si al contrario va de derecha a izquierda, se usa la misma fĂłrmula, pero se divide. AdemĂĄs, estando en la fecha focal no corre interĂŠs. RTA/ El importe de cada uno de los nuevos documentos es de $48.237.569, sabiendo que el Banco le ofrece un rendimiento del 28%. anual pagadero quincenal.
La Compañía compra artículos por $55,000.000 y le ofrecen hacer tres pagos iguales uno en 2 meses, el siguiente en 4 meses y el último a 6 meses, la empresa que se los vendió le otorgo crédito pagando al momento el 25% del valor de la mercancía y la tasa de interés que le aplica es del 14% semestral pagadero mensual. Diga usted a cuánto asciende cada documento. Solución: se realiza el grafico, las consignaciones se colocan arriba, las cuales se toman como X, abajo (el valor del préstamo) y se toma como fecha focal 4 meses.
(25%) (55.000.000)
X
X
2 meses
4 meses
X
6 meses
I: 14% SPM
55.000.000
Se cambia la tasa de interés de nominal a efectiva: I=
14 % = 2.33% mensual 6
NOTA: No se aplica la fórmula de igualdades, porque al dividir en los periodos de pagos la tasa, esta queda en efectiva en ese periodo.
Se aplica el concepto donde la ∑ FLECHAS ARRIBA = ∑ FLECHAS ABAJO, usando la siguiente formula, en donde se reemplazan los datos ( P (1 + I) n ), teniendo en cuenta la fecha focal, es decir: 13.750.000 (1 + 0.0233)4 + X ∗ (1 + 0.0233)2 + X +
X (1 + 0.0233)2
= 55.000.000 (1 + 0.0233)4 X = 15.066.329
NOTA: Se dice que si la consignación o el valor del préstamo está en posición de izquierda a derecha res pecto a la fecha focal que es nuestro punto de referencia, se usa la formula anterior normalmente, pero si al contrario va de derecha a izquierda, se usa la misma fórmula, pero se divide. Además, estando en la fecha focal no corre interés. RTA/ Asciende cada documento a $15.066.329 teniendo la tasa del interés del 14% semestral pagadero mensual.
Claudia pretende acumular $35,000.000 y para eso 6 meses antes abre una cuenta con $7,500,000 ganando intereses del 6.63% anual. Dos meses después deposita otros $10,300.000 ¿Cuánto deberá depositar 3 meses después de la apertura para lograr su objetivo? solución: se realiza el grafico, el futuro se coloca arriba (lo que quiere lograr), los depósitos son las flechas de abajo, el ultimo lo coloco X porque no lo conozco, y se toma como fecha focal el futuro (35.000.000).
35.000.000
6 meses
7.500.000
2 meses
3 meses
10.300.000
X
I: 6.63% anual
ďƒ˜ Se cambia la tasa de interĂŠs de anual a mensual efectiva, usando la fĂłrmula de igualdades: (1 + 0,22) 1 = (1 + im) 12 đ?&#x;?
đ?‘–đ?‘š = (1 + 0.0663) đ?&#x;?đ?&#x;? − 1 = 0.00536 = 0,536% mensual
ďƒ˜ Se aplica el concepto donde la ∑ FLECHAS ARRIBA = ∑ FLECHAS ABAJO, usando la siguiente formula, en donde se reemplazan los datos ( P (1 + I) n ), teniendo en cuenta la fecha focal, es decir: 35.000.000 = 7.500.000 (1 + 0.00536)6 + 10.300.000 (1 + 0.00536)4 + X ∗ (1 + 0.00536)3
X = 16.466.724
NOTA: Se dice que si el futuro o los depĂłsitos estĂĄn en posiciĂłn de izquierda a derecha res pecto a la fecha focal que es nuestro punto de referencia, se usa la formula anterior normalmente. AdemĂĄs, estando en la fecha focal no corre interĂŠs. RTA/ DeberĂĄ depositar 3 meses despuĂŠs de la apertura para $= 16.466.724 para lograr su objetivo.
95 EJERCICIOS RESUELTOS DE INTERÉS COMPUESTO ELABORADO POR: ESTUDIANTES DE QUINTO SEMESTRE DE INGENIERÍA INDUSTRIAL