Compendio de tecnicas pra la toma de decisiones

Universidad Fermín Toro Vice-Rectorado Académico Facultad de Ciencias Económicas y Sociales Escuela de Administración

COMPENDIO DE TECNICAS PARA LA TOMA DE DECISIONES

Autor: Anyerlys Rodríguez CI: 18.608.334 Cabudare, Enero de 2014.

1 .PROGRAMACION LINEAL

Según Martínez (1997) La programación lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de inecuacioneslineales, optimizando la función objetivo, también lineal.Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales. La programación lineal estudia las situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.

Restricciones La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales: a1x + b1y ≤ c1 a2x + b2y ≤c2 ... ... ... anx + bny ≤cn Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.

Solución factible El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones factibles.

Solución óptima El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o mínima según el caso).

Valor del programa lineal El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se llama valor del programa lineal.

Pasos para resolver un problema de programación lineal 1. Elegir las incógnitas.

2. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.

3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.

4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las restricciones.

5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son pocos).

6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no está acotado).

Según González. F, 1990

Ejemplo de programación lineal Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas.

El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster.

El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima?

1Elección de las incógnitas. x = número de pantalones y = número de chaquetas 2Función objetivo f(x,y)= 50x + 40y 3Restricciones Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla: pa ch dis nt aq po alo ue ni ne tas ble s alg 75 od 1 1,5 0 ón po lié 10 2 1 ste 00 r

x + 1.5y ≤ 750 2x+3y≤1500 2x + y ≤ 1000 Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más: x≥0 y≥0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles Tenemos que representar gráficamente las restricciones.

Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.

Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

Resolvemos gráficamente la inecuación: 2x +3y ≤ 1500, para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).

2·0 + 3·0 ≤ 1 500 Como 0 ≤ 1 500 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad.

De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000.

2·0 + 0 ≤ 1 00 La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto. éstos son las soluciones a los sistemas: 2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500) 2x + y = 1000; y = 0 (500, 0) 2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250)

6 Calcular el valor de la función objetivo En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices. f(x, y) = 50x + 40y

f(0, 500) = 50·0 + 40·500 = 20000 € f(500, 0) = 50·500 + 40·0 = 25000 € f(375, 250) = 50·375 + 40·250 = 28750 €

Máximo

La solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un beneficio de 28750 €.

González. 1990. Curso Práctico de Matemáticas COU II, México.

2. Método Simplex Felipe, P. (1995) El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables. Este famosísimo método fue creado en el año de 1947 por el estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso LeonidVitalievichKantorovich, con el ánimo de crear un algoritmo capaz de solucionar problemas de m restricciones y n variables. La aplicación del método simplex presupone que se tiene un sistema de restricciones lineales formado sólo por ecuaciones lineales. Esta transformación puede ser llevada a cabo de una forma muy simple introduciendo algunas variables adicionales, las cuales se denominan variables de holgura. Estas variables se definen una para cada restricción y si la misma tiene el signo ≤ la variable de holgura se adiciona y el signo fuera ≥ la variable de holgura se restara. Luego que se tiene un problema de Programación Lineal estándar, es decir, todas las restricciones tienen signos de igualdad es necesario determinar la solución básica factible inicial (S.B.F.I). Felipe, P. 1995. “Programacion Matemática”, N° 12-65, Julio- Enero, 1995. Disponible: http://www.ecured.cu/index.php/M%C3%A9todo_Simplex . [Disponible: 1995, enero 14].

Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n variables (AX=b) con m<n y rango r(A)=m. Si escogemos cualquier matriz no singular de orden mxm y si todas las (n-m) variables no asociadas con estas columnas de la matriz son iguales a cero, entonces la solución al sistema de ecuaciones resultante es llamada una solución básica. Como la matriz A consta de n columnas se puede definir la matriz B formada por m columnas linealmente independientes de A, esta matriz la llamaremos matriz básica. Con las (n-m) columnas restantes de A se puede construir otra matriz que se denominará matriz no básica y la denotaremos por W. Entonces puede escribirse la matriz A de la siguiente manera: A = (B, W).

Las variables que forman parte de la matriz B se llaman variables básicas (XB) y las que forman parte de la matriz W se llaman variables no básica.( XW ), entonces el vector X está conformado por el conjunto de variables básicas y no básicas, es decir, X = (XB, XW).

Entonces el sistema de restricciones del problema de Programación Lineal AX=b puede escribirse de la forma siguiente: AX=BXB + WXW = b. Si asumimos que las variables no básicas tomarán valor cero, la expresión anterior quedaría BXB =b. La expresión XB = B-1 b que se obtiene a partir de la anterior, permitiría calcular la solución básica factible inicial.

Para realizar la Tabla del Método Simplex El método simplex se desarrolla en la tabla simplex. Cada iteración requiere de una tabla.

En la primera columna se escribirán los coeficientes de la función objetivo correspondiente a las variables básicas, escribiendo en la segunda columna dichas variables. La tercera

columna indica los valores que toman las variables básicas en la solución que se está representando mediante la tabla simplex. El resto de la columnas representan los vectores Pj correspondientes a cada uno de los vectores aj de la matriz A (Pj es el vector coordenado de cada vector aj respecto a la base considerada). En la última fila de la tabla aparecen los valores Zj -Cj correspondiente a cada vector aj. Los coeficientes Zj se determinan utilizando la siguiente expresión: Zj =CBPj

Procedimiento computacional del Método Simplex El procedimiento iterativo en que se basa el método simplex puede resumirse en los siguientes pasos: Paso1: Convertir las inecuaciones en ecuaciones con la utilización de las variables de holgura.

Paso 2: Determinar la solución básica factible inicial XB*, los valores Z*, Pj y Zj - Cj y construir la tabla simplex que resuma toda la información sobre esta solución inicial. La solución básica inicial debe tener la característica de que la matriz básica debe ser unitaria.

Esto facilita el cálculo de la matriz inversa.

Paso 3: Examinar en la tabla simplex los valores de los coeficientes Zj – Cj. Pueden presentarse las siguientes situaciones: Caso Máximo y Caso Mínimo.

Caso Máximo Todos los Zj – Cj ≥ 0. En este caso se ha alcanzado la solución óptima. (criterio de optimalidad) Uno o más Zj – Cj< 0.En este caso debe calcularse una nueva solución básica determinando el vector ak que entra en la base mediante la siguiente expresión: ZK –CK = MIN (Zj – Cj) para todos los aj con Zj – Cj< 0 (1) Si para uno o más vectores se obtienen ese valor mínimo puede escogerse cualquiera como vector entrante. Una vez escogido el vector ak pueden presentarse dos casos: • Caso 1: Los valores Pik≤0 para cada i. Esto indica la existencia de una solución no acotada.

• Caso 2: Se tiene Pik> 0 para al menos una i. En este caso puede hallarse una nueva solución básica en la cual el valor de Z mejore o sea el óptimo.

Caso Mínimo Todos los Zj – Cj ≤ 0. En este caso se ha alcanzado la solución óptima. (Criterio de optimalidad) Uno o más Zj – Cj> 0.En este caso debe calcularse una nueva solución básica determinando el vector ak que entra en la base mediante la siguiente expresión (1).

Paso 4:Si se tiene que Pik> 0 para al menos una i, se determina el vector que sale mediante la expresión: Θ = XBr / Prk = MIN {X*Bi/ Pik, Pik> 0} Debe extraerse de la base el vector ar siendo reemplazado por el vector ak. Si para 2 o más vectores se obtienen el mismo valor de Θ puede escogerse cualquiera como vector saliente.

Paso 5: Se calculan los nuevos valores XB, Z, Pj y Zj- Cj insertando dichos valores en la nueva tabla simplex. Una vez concluido este paso, se retorna al paso 3 repitiendo el procedimiento hasta que se alcance la solución óptima.

Ejemplo método Simplex Resolver mediante el método simplex el siguiente problema: Maximizar Z = f(x,y) = 3x + 2y sujeto a: 2x + y ≤ 18 2x + 3y ≤ 42 3x + y ≤ 24 x≥0,y≥0 Se consideran las siguientes fases: 1. Realizar un cambio de variables y normalizar el signo de los términos independientes.

Se realiza un cambio en la nomenclatura de las variables. Estableciéndose la correspondencia siguiente: x pasa a ser X1 o y pasa a ser X2 Como los términos independientes de todas las restricciones son positivos no es necesario hacer nada. En caso contrario habría que multiplicar por "-1" en ambos lados de la inecuación (teniendo en cuenta que esta operación también afecta al tipo de restricción).

2. Normalizar las restricciones.

Se convierten las inecuaciones en ecuaciones agregando variables de holgura, exceso y artificiales según la tabla siguiente: Tipo de desigualdad Tipo de variable que aparece ≥ - exceso + artificial = + artificial ≤ + holgura En este caso se introduce una variable de holgura (X3, X4 y X5) en cada una de las restricciones del tipo ≤, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales: 2·X1 + X2 + X3 = 18 2·X1 + 3·X2 + X4 = 42 3·X1 + X2 + X5 = 24 3. Igualar la función objetivo a cero.

Z - 3·X1 - X2 - 0·X3 - 0·X4 - 0·X5 = 0 4. Escribir la tabla inicial del método Simplex.

La tabla inicial del método Simplex está compuesta por todos los coeficientes de las variables de decisión del problema original y las de holgura, exceso y artificiales agregadas en el paso 2 (en las columnas, siendo P0 el término independiente y el resto de variables Pi coinciden con Xi), y las restricciones (en las filas). La columna Cb contiene los coeficientes de las variables que se encuentran en la base.

La primera fila está formada por los coeficientes de la función objetivo, mientras que la última fila contiene el valor la función objetivo y los costes reducidosZj - Cj.

La última fila se calcula como sigue: Zj = Σ(Cbi·Pj) para i = 1..m, donde si j = 0, P0 = bi y C0 = 0, y en caso contrario Pj = aij. Aunque al tratarse de la primera tabla del método Simplex y ser todos los Cb nulos se puede simplificar el cálculo, y por esta vez disponer Zj = -Cj. Tabla I . Iteración nº 1 3 2 0 0 0 Base Cb P0 P1 P2 P3 P4 P5 P3 0 18 2 1 1 0 0 P4 0 42 2 3 0 1 0 P5 0 24 3 1 0 0 1 Z 0 -3 -2 0 0 0 5. Condición de parada.

Si el objetivo es la maximización, cuando en la última fila (fila indicadora) no existe ningún valor negativo entre los costes reducidos (columnas P1 en adelante) se alcanza la condición de parada.

En tal caso se llega al final del algoritmo ya que no existe posibilidad de mejora. El valor de Z (columna P0) es la solución óptima del problema.

Otro caso posible es que en la columna de la variable entrante a la base todos los valores son negativos o nulos. Esto indica que el problema no se encuentra acotado y su solución siempre resultará mejorable. Ante esta situación no es necesario continuar iterando indefinidamente y también se puede dar por finalizado el algoritmo.

De no ser así, se ejecutan los siguientes pasos de forma iterativa.

6. Elección de la variable entrante y saliente de la base.

Se determina en primer lugar la variable que entra en la base. Para ello se escoge la columna cuyo valor en la fila Z sea el menor de entre todos los negativos. En este caso sería la variable X1 (P1) de coeficiente -3.

Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior (caso de empate), entonces se optará por aquella variable que sea básica.

La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (en color verde).

Una vez obtenida la variable que entra en la base, se procede a determina cual será la variable que sale de la misma. La decisión se toma en base a un sencillo cálculo: dividir cada término independiente (columna P0) entre el elemento correspondiente de la columna pivote, siempre que ambos elementos sean estrictamente positivos (mayores que cero). Se escoge la fila cuyo resultado haya resultado mínimo.

Si hubiera algún elemento menor o igual a cero no se realiza dicho cociente. En caso de que todos los elementos de la columna pivote fueran de ésta condición se habría cumplido la condición de parada y el problema tendría una solución no acotada.

En este ejemplo: 18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8]

El término de la columna pivote que en la división anterior dio lugar al menor cociente positivo indica la fila de la variable de holgura que sale de la base. En este caso resulta ser X5 (P5), de coeficiente 3. Esta fila se llama fila pivote (en color verde).

Si al calcular los cocientes, dos o más resultados cumplen la condición para elegir el elemento saliente de la base (caso de empate), se escoge aquella que no sea variable básica (siempre que sea es posible). o La intersección de la fila pivote y columna pivote marca el elemento pivote, en este caso el 3.

2. Actualizar la tabla.

Los nuevos coeficientes de la tabla se calculan de la siguiente manera: En la fila del elemento pivote cada nuevo elemento se calcula como: Nuevo Elemento Fila Pivote = Anterior Elemento Fila Pivote / Pivote En el resto de las filas cada elemento se calcula: Nuevo Elemento Fila = Anterior Elemento Fila - (Anterior Elemento Fila en Columna Pivote * Nuevo Elemento Fila Pivote) Con esto se normaliza el elemento pivote y su valor pasa a ser 1, mientras que el resto de elementos de la columna pivote se anulan (análogo al método de GaussJordan).

Se muestran a continuación los cálculos para la fila P4: Anterior fila P4 42 2 3 0 1 0 Anterior Elemento Fila en Columna Pivote 2 2 2 2 2 2 x x x x x x Nueva fila pivote 8 1 1/3 0 0 1/3 = = = = = = Nueva fila P4 26 0 7/3 0 1 -2/3 La tabla correspondiente a esta segunda iteración es:

Tabla II . Iteración nº 2 Base P3 P4 P1 Z

Cb 0 0 3

P0 2 26 8 24

3 P1 0 0 1 0

2 P2 1/3 7/3 1/3 -1

0 P3 1 0 0 0

0 P4 0 1 0 0

0 P5 -2/3 -2/3 1/3 1

1. Al comprobar la condición de parada se observa que no se cumple ya que entre los elementos de la última fila hay uno negativo, -1. Se continúa iterando nuevamente los pasos 4, 5 y 6.

5.1. La variable que entra en la base es X2 (P2), por ser la variable que corresponde a la columna donde se encuentra el coeficiente -1.

5.2. Para calcular la variable que sale, se dividen los términos de la columna P0 entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote: 2 / 1/3 [=6] , 26 / 7/3 [=78/7] y 8 / 1/3 [=24]. Como el menor cociente positivo es 6, la variable que sale de la base es X3 (P3).

5.3. El elemento pivote es 1/3.

6. Actualizando nuevamente los valores de la tabla se obtiene: Tabla III . Iteración nº 3 Base P2 P4 P1 Z

Cb 2 0 3

P0 6 12 6 30

3 P1 0 0 1 0

2 P2 1 0 0 0

0 P3 3 -7 -1 3

0 P4 0 1 0 0

0 P5 -2 4 1 -1

2. Una nueva comprobación de la condición de parada revela que entre los elementos de la fila indicadora vuelve a haber uno negativo, -1. Significa que aun no se ha llegado a la solución óptima y hay que seguir iterando (pasos 4, 5 y 6): 5.1. La variable que entra en la base es X5 (P5), por ser la variable que corresponde al coeficiente -1.

5.2. Se escoge la variable que sale calculando el cociente entre los términos de la columna de términos independientes y los términos correspondientes de la nueva columna pivote: 6/ (-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6/1 [=6]. En esta ocación es X4 (P4).

5.3. El elemento pivote es 4.

6. Después de actualizar todas las filas, se obtiene la tabla siguiente: Tabla IV . Iteración nº 4 3 Base Cb P0 P1 P2 2 12 0 P5 0 3 0 P1 3 3 1 Z 33 0

2 P2 1 0 0 0

0 P3 -1/2 -7/4 3/4 5/4

0 P4 1/2 1/4 -1/4 1/4

0 P5 0 1 0 0

3. Fin del algoritmo.

Se observa que en la última fila todos los coeficientes son positivos cumpliéndose, por tanto la condición de parada.

La solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los términos independientes (P0), en este ejemplo: 33. En la misma columna se puede ver el punto donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base: X1 = 3 y X2 = 12.

Deshaciendo el cambio de variables se obtiene x = 3 e y = 12.

3. Lógica bayesiana

(Guiteras, 2012) La base de la lógica bayesiana o estadística bayesiana es que el investigador incorpora al análisis estadístico sus expectativas acerca de como se comporta la realidad. La estadística bayesiana es básicamente una respuesta a las tres grandes críticas que se han realizado a la inferencia estadística clásica. Guitera,x., R “ Estadística Bayesiana” N° 11-12, Enero – Diciembre,2012.

Disponible: http://www.investigacionmercados.es/estadistica-bayesiana .[Consulta:2012,Enero 2014].

En primer lugar, en la estadística clásica los resultados dependen del tamaño de la muestra: una muestra reducida probablemente no será estadísticamente significativa; en cambio, una muestra de gran tamaño representa estadísticamente sin problemas el universo al cual pertenece. O sea, que los resultados obtenidos dependen de los recursos económicos disponibles para llevar a cabo el proyecto. La estadística bayesiana no depende del tamaño muestral, aunque una muestra más grande nos permitirá valorar mejor la adecuación de las conclusiones a la realidad.

En segundo lugar, en la estadística clásica las pruebas de hipótesis sirven sólo para tomar decisiones dicotómicas (o se refuta la hipótesis nula o la alternativa) en lugar de poner el acento en la credibilidad de la adecuación de la hipótesis provisionalmente aceptada a la realidad empírica. La estadística bayesana tiene un enfoque más rico, no fundamentado en el tener que escoger entre dos hipótesis, sino que busca valorar la credibilidad de éstas.

En tercer lugar, en la estadística clásica no se contempla la información disponible previo a la adquisición de los datos del estudio. Lo único en que se centra la estadística clásica es en la refutación ya sea de la hipótesis nula o de la hipótesis alternativa basándose en los datos presentes; de este modo, se desprecia toda la infomación ya sea a nivel teórico o a nivel empírico que se ha originado en el pasado. La estadística bayesiana, en cambio, no actúa en el vacío: el conocimiento previo se tiene en cuenta formal y explícitamente.

El Teorema de Bayes se formuló por primera vez en 1763 por Thomas Bayes. Sigue un proceso inverso al descrito por el Teorema de la probabilidad total: Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).

Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).

Sea {A1, A2, ..., Ai, ..., An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/A i). Entonces, la probabilidad

P(Ai/B)

viene

dada

por

la

expresión:

Donde: Las probabilidades P(A) se llaman probabilidad a priori. Las probabilidades P(A/B) se llaman probabilidad a posteriori. A es el conjunto de eventos {A 1, A2, .... An } los cuales son mutuamente excluyentes (los eventos no pueden ocurrir simultaneamente) y exhaustivos (la combinación de los eventos es el universo entero). B es un evento simple, el cual intercepta cada uno de los eventos A.

Ejemplos de Lógica Bayesiana Este ejemplo se corresponde con la aplicación más clásica y conocida del Teorema de Bayes en el mundo médico. Una de las tareas regulares de la clínica es el diagnóstico. Por diversas razones, la clasificación binaria enfermo-sano despierta un interés especial (véase un análisis al respecto en el libro Para muchas entidades existen nítidas fronteras teóricas que permiten separar esas dos categorías. Por ejemplo, el significado de que un sujeto tenga fractura del cráneo o sea portador del VIH -por su propia naturaleza- no se presta a equívocos, independientemente de que un procedimiento concreto para establecerlo pueda dar lugar a errores.

Mucho se ha escrito en torno a las pruebas diagnósticas y a su eficacia como instrumentos para la correcta clasificación nosológica de un paciente bajo análisis.

La sensibilidad y especificidad de una prueba diagnóstica constituyen los dos indicadores clásicos para evaluar su capacidad demarcatoria. Su definición exige distinguir entre el criterio que define teóricamente la posesión del estado patológico y los procedimientos empleados para evaluar si dicho criterio se cumple. Supongamos que se puede establecer si un sujeto posee o no cierta condición patológica (está enfermo o sano), situaciones que se denotarán por E y S, respectivamente. Simultáneamente, supondremos que existe una prueba que, aplicada sobre cierto sujeto, puede dar lugar a solo uno de dos resultados posibles: positivo o negativo, que se representarán respectivamente con las letras T+ y T-. yesiana es el siguiente: En principio, el resultado T+ sobre un sujeto dado constituye un indicio de que éste tiene la condición E (es decir, de que está enfermo) y el resultado T- induciría a pensar que el sujeto en cuestión tiene la condición complementaria S (o sea, que no tiene la enfermedad). El grado de eficiencia inherente a una prueba diagnóstica se resume en los dos parámetros mencionados, conocidos como sensibilidad y especificidad.

El primero mide la capacidad de la prueba para detectar a un sujeto enfermo; expresa cuán "sensible" es dicho recurso diagnóstico a la presencia de la enfermedad y viene definido por la probabilidad condicional siguiente: . La sensibilidad es entonces la probabilidad de que la prueba identifique como enfermo a aquel que realmente lo es. E) | Pr(T = Sens  El otro parámetro mide la capacidad que tiene la prueba de diagnosticar como sanos a los que efectivamente lo son. La especificidad se define como la probabilidad condicional: . S) | Pr(T = Espec 

Procede sin embargo subrayar que, desde el punto de vista operativo, los conceptos que realmente interesan en relación con las pruebas diagnósticas no son la sensibilidad y la especificidad. El clínico procede en la dirección opuesta: partiendo del resultado de la prueba intenta deducir la condición del paciente.

Lo que este reclama de una prueba es que, si el resultado de la prueba es positivo, la probabilidad de que el sujeto esté efectivamente enfermo sea muy alta y, análogamente, que sea muy alta la de que el individuo esté sano, supuesto que la prueba arroje un resultado negativo. En términos formales, lo ideal es que sean muy altos los valores y que son probabilidades condicionales a las que ha dado en llamarse valores predictivos de la prueba. ) T| Pr(E) T| Pr(S Es bien conocido que, si bien Sens y Espec son números inherentes a la prueba (en el sentido de que no dependen de cuál sea la población o el sujeto específico a la que se aplique), no ocurre lo mismo con sus valores predictivos.

Si llamamos p a la probabilidad a priori de que el sujeto esté enfermo, y q=1-p a su complemento, aplicando el Teorema de Bayes se obtienen de inmediato las siguientes relaciones, que expresan la forma concreta que alcanzan estos valores cuando se ponen en función de los tres parámetros: Espec) - (1 q + Sens p Sens p = ) T | Pr(E    Sens) - (1 p + Espec q Espec q = ) T | Pr(S   A partir de estos valores, obviamente, se pueden obtener las probabilidades de estar sano a pesar de que el resultado haya sido positivo (ser un falso positivo) y de estar enfermo aunque la prueba haya dado negativo (ser un falso negativo): ) T| Pr(E= ) T| Pr(S 1) T| Pr(S= ) T| Pr(E 1 Supongamos que, en una comunidad, la prevalencia de padecer una enfermedad coronaria (EC) entre sujetos mayores de 50 años es 5%. Esto quiere decir que, de cada 100 sujetos que están en esa franja de edad, 5 tendrán la dolencia; o, dicho de otro modo, que la probabilidad a priori de que un sujeto elegido al azar se halle en ese caso es p=0,05.

Si a cierto individuo se le practica una angiografía (una prueba invasiva y, por ende, peligrosa), hay dos resultados posibles: T+ y T-. Después de hacerlo, ¿cuál es la probabilidad de que el sujeto esté enfermo en cada caso? Teniendo en cuenta que la sensibilidad y especificidad de una angiografía para el diagnóstico de una EC son, según Austin. respectivamente iguales a Sens=0,87, Espec=0,54 y, aplicando las fórmulas anteriores se tiene que: y 09 ,0= 46) ,95)(0,(0+87),05)(0,(087) ,05)(0,(0= ) TPr(E|99 ,0= 13) ,05)(0,(0+54),95)(0,(054) , 95)(0,(0= ) T|Pr(S de modo que la probabilidad de que el individuo esté enfermo, si la prueba fue positiva, se eleva a 0,09 y si fue negativa, tal probabilidad se reduce a 0,01 (1-0,99). Los valores 0,09 y 0,01 son las llamadas probabilidades a posteriori de estar enfermo.

4. Teoría de Juegos Según Martínez, (2001) La Teoría de Juegos estudia de manera formal y abstracta las decisiones óptimas que deben tomar diversos adversarios en conflicto, pudiendo definirse como el estudio de modelos matemáticos que describen el conflicto y la cooperación entre entes inteligentes que toman decisiones. Tales decisiones se consideran estratégicas, es decir, que los entes que participan en el juego actúan teniendo en cuanta las acciones que tomarían los demás.

La teoría de juegos es capaz de ofrecer cuestiones de interés para estudiantes de todas las ramas de las Ciencias Sociales y la Biología, así como técnicas para tomar decisiones prácticas. Aunque la palabra “juego” tiene connotaciones lúdicas y relativas al azar, la teoría de juegos no tiene como principal objetivo el estudio de los juegos de salón, aunque sí entran dentro de su dominio. Una terminología alternativa que ilustra más claramente el objeto de la Teoría de Juegos es el “análisis matemático de conflictos” y la “toma interactiva de decisiones”. Los jugadores son entes decidores que se consideran racionales, no necesariamente humanos, porque las nuevas tendencias de la Biología explican la formación de los instintos o de numerosos mecanismos de cooperación animal por medio de la Teoría de Juegos. Como ejemplos característicos de juegos podrían citarse no sólo los juegos de mesa, sino también conflictos militares, modelos de evolución biológica, campañas políticas, de publicidad o de comercialización y una innumerable lista de situaciones de competencia entre empresas. El principio fundamental para hallar la solución de un juego de decisiones simultáneas, donde los jugadores poseen información completa, es el equilibrio de Nash. También es posible tratar juegos dinámicos donde los jugadores toman sus decisiones de forma consecutiva, empleando el principio de inducción hacia atrás. Martínez, C., ”Juegos para empresarios y economistas”, N°34-66, Enero- Diciembre,2001.Diponible:http://www.deguate.com/infocentros/gerencia/mercadeo/mk10.htm.

[Consulta: 2000, Julio 16].

Tipos de juegos y ejemplos La teoría clasifica los juegos en muchas categorías que determinan qué métodos particulares se pueden aplicar para resolverlos (y, de hecho, también cómo se define "resolución" en una categoría particular). Las categorías comunes incluyen:

Juegos simétricos y asimétricos Artículo principal:Juego simétrico

E

F

E

1, 2

0, 0

F

0, 0

1, 2

Un asimétrico

juego

Un juego simétrico es un juego en el que las recompensas por jugar una estrategia en particular dependen sólo de las estrategias que empleen los otros jugadores y no de quien las juegue. Si las identidades de los jugadores pueden cambiarse sin que cambien las recompensas de las estrategias, entonces el juego es simétrico. Muchos de los juegos 2×2 más estudiados son simétricos. Las representaciones estándar del juego de la gallina, el dilema del prisionero y la caza del ciervo son juegos simétricos.3 Los juegos asimétricos más estudiados son los juegos donde no hay conjuntos de estrategias idénticas para ambos jugadores. Por ejemplo, el juego del ultimátum y el juego del dictador tienen diferentes estrategias para cada jugador; no obstante, puede haber juegos asimétricos con estrategias idénticas para cada jugador. Por ejemplo, el juego mostrado a la derecha es asimétrico a pesar de tener conjuntos de estrategias idénticos para ambos jugadores.

Juegos de suma cero y de suma distinta de cero Artículo principal:Juego de suma cero

A

B

C

1 30, -30 -10, 10 20, -20 2 10, -10 20, -20 -20, 20 Un juego de suma cero

En los juegos de suma cero el beneficio total para todos los jugadores del juego, en cada combinación de estrategias, siempre suma cero (en otras palabras, un jugador se beneficia solamente a expensas de otros). El go, el ajedrez, el póker y el juego del oso son ejemplos de juegos de suma cero, porque se gana exactamente la cantidad que pierde el oponente.

Como curiosidad, el fútbol dejó hace unos años de ser de suma cero, pues las victorias reportaban 2 puntos y el empate 1 (considérese que ambos equipos parten inicialmente con 1 punto), mientras que en la actualidad las victorias reportan 3 puntos y el empate 1.

La mayoría de los ejemplos reales en negocios y política, al igual que el dilema del prisionero, son juegos de suma distinta de cero, porque algunos desenlaces tienen resultados netos mayores o menores que cero. Es decir, la ganancia de un jugador no necesariamente se corresponde con la pérdida de otro. Por ejemplo, un contrato de negocios involucra idealmente un desenlace de suma positiva, donde cada oponente termina en una posición mejor que la que tendría si no se hubiera dado la negociación.

Se puede analizar más fácilmente un juego de suma distinta de cero, y cualquier juego se puede transformar en un juego de suma cero añadiendo un jugador "ficticio" adicional ("el tablero" o "la banca"), cuyas pérdidas compensen las ganancias netas de los jugadores.

La matriz de pagos de un juego es una forma conveniente de representación. Por ejemplo, un juego de suma cero de dos jugadores con la matriz que se muestra a la derecha.

Criterios «maximin» y «minimax» Los criterios «maximin» y «minimax» establecen que cada jugador debe minimizar su pérdida máxima: • Criterio «maximin»: el jugador A, elige que su cobro mínimo posible sea el mayor.

• Criterio «minimax»: el jugador B elige que el pago máximo a A sea el menor posible.

Equilibrio de Nash.

Los equilibrios de las estrategias dominantes están muy bien cuando aparecen en los juegos, pero desafortunadamente, eso no ocurre con frecuencia. Un par de estrategias es un equilibrio de Nash si la elección del jugador A es óptima, dada elección de B, y la de B es óptima, dada la de A. El equilibrio de Nash puede interpretarse como un par de expectativas sobre la elección de cada persona tal que, cuando la otra revela su elección, ninguna de las dos quiere cambiar de conducta.

Juegos cooperativos Un juego cooperativo se caracteriza por un contrato que puede hacerse cumplir. La teoría de los juegos cooperativos da justificaciones de contratos plausibles. La plausibilidad de un contrato está muy relacionada con la estabilidad.

Dos jugadores negocian tanto quieren invertir en un contrato. La teoría de la negociación axiomática nos muestra cuánta inversión es conveniente para nosotros. Por ejemplo, la solución de Nash para la negociación demanda que la inversión sea justa y eficiente.

De cualquier forma, podríamos no estar interesados en la justicia y exigir más. De hecho, existe un juego no cooperativo creado por Ariel Rubinstein consistente en alternar ofertas, que apoya la solución de Nash considerándola la mejor, mediante el llamado equilibrio de Nash.

Simultáneos y secuenciales Los juegos simultáneos son juegos en los que los jugadores mueven simultáneamente o en los que éstos desconocen los movimientos anteriores de otros jugadores. Los juegos secuenciales (o dinámicos) son juegos en los que los jugadores posteriores tienen algún conocimiento de las acciones previas. Este conocimiento no necesariamente tiene que ser perfecto; sólo debe consistir en algo de información. Por ejemplo, un jugador1 puede conocer que un jugador2 no realizó una acción determinada, pero no saber cuál de las otras acciones disponibles eligió.

La diferencia entre juegos simultáneos y secuenciales se recoge en las representaciones discutidas previamente. La forma normal se usa para representar juegos simultáneos, y la extensiva para representar juegos secuenciales.

Juegos de información perfecta

Un juego de información imperfecta (las líneas punteadas representan la ignorancia de la parte del jugador 2).

Un subconjunto importante de los juegos secuenciales es el conjunto de los juegos de información perfecta. Un juego es de información perfecta si todos los jugadores conocen los movimientos que han efectuado previamente todos los otros jugadores; así que sólo los juegos secuenciales pueden ser juegos de información perfecta, pues en los juegos simultáneos no todos los jugadores (a menudo ninguno) conocen las acciones del resto. La mayoría de los juegos estudiados en la teoría de juegos son juegos de información imperfecta, aunque algunos juegos interesantes son de información perfecta, incluyendo el juego del ultimátum y el juego del ciempiés. También muchos juegos populares son de información perfecta, incluyendo el ajedrez y el go.

La información perfecta se confunde a menudo con la información completa, que es un concepto similar. La información completa requiere que cada jugador conozca las estrategias y recompensas del resto pero no necesariamente las acciones.

En los juegos de información completa cada jugador tiene la misma "información relevante al juego" que los demás jugadores. El ajedrez y el dilema del prisionero ejemplifican juegos de información completa. Los juegos de información completa ocurren raramente en el mundo real, y los teóricos de los juegos, usualmente los ven sólo como aproximaciones al juego realmente jugado.

John Conway desarrolló una notación para algunos juegos de información completa y definió varias operaciones en esos juegos, originalmente para estudiar los finales de go, aunque buena parte de este análisis se enfocó en nim. Esto devino en la teoría de juegos combinatoria. Descubrió que existe una subclase de esos juegos que pueden ser usados como números, como describió en su libro OnNumbers and Games, llegando a la clase muy general de los números surreales.

Juegos de longitud infinita (SuperJuegos) Por razones obvias, los juegos estudiados por los economistas y los juegos del mundo real finalizan generalmente tras un número finito de movimientos. Los juegos matemáticos puros no tienen estas restricciones y la teoría de conjuntos estudia juegos de infinitos movimientos, donde el ganador no se conoce hasta que todos los movimientos se conozcan.

El interés en dicha situación no suele ser decidir cuál es la mejor manera de jugar a un juego, sino simplemente qué jugador tiene una estrategia ganadora (Se puede probar, usando el axioma de elección, que hay juegos —incluso de información perfecta, y donde las únicas recompensas son "perder" y "ganar"— para los que ningún jugador tiene una estrategia ganadora.) La existencia de tales estrategias tiene consecuencias importantes en la teoría descriptiva de conjuntos.

EJEMPLO: DE TEORIA DE JUEGO ESTRATEGIAS DE MAXIMIN Y MINIMAX Se arresta a dos sospechosos por robo, y si se les condena, cada uno recibiría una sentencia de 10 años. Sin embargo, si ninguno confiesa, la evidencia bastaría para una sentencia de 1 año por posesión de bienes robados. Se interroga a cada sospechoso por separado y no se permite comunicación entre ellos. El fiscal promete impunidad al que confiese, pero la totalidad de la sentencia de 10 años al que no confiese. Si confiesan ambos, cada uno obtiene una sentencia reducida de 5 años. La matriz de rendimiento para este caso sería:

La mejor estrategia para cada sospechoso es confesar, sin importar lo que haga el otro.

5. METODO DE LOCALIZACION Y TRANSPORTE Domínguez, (2001)El modelo de transporte es una técnica que determina un programa de transporte de productos o mercancías desde unas fuentes hasta los diferentes destinos al menor costo posible. El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Domínguez, J.2001. Administración de Producción y Operaciones.

8voEdi,MacGraw- Hill InteramericanaS.A, Santa Fe de Bogotá, Colombia.

Los datos del modelo son:

1. Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino.

2. El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino.

Como solo hay una mercancía un destino puede recibir su demanda de una o más fuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se enviará de cada fuente a cada destino, tal que se minimice el costo del transporte total.

La suposición básica del modelo es que el costo del transporte en una ruta es directamente proporcional al numero de unidades transportadas. La definición de “unidad de transporte” variará dependiendo de la “mercancía” que se transporte.

El esquema siguiente representa el modelo de transporte como una red con m fuentes y n destinos. Una fuente o un destino esta representado por un nodo, el arco que une fuente y un destino representa la ruta por la cual se transporta la mercancía. La cantidad de la oferta en la fuente i es ai, y la demanda en el destino j es bj. El costo de transporte unitario entre la fuente i y el destino j es Cij. Si Xi j representa la cantidad transportada desde la fuente i al destino j, entonces, el modelo general de PL que representa el modelo de transporte es:

Minimiza Z= S i=1 m S j=1 n C i j X i j Sujeta a:

S j=1 n X i j <= ai , S i=1 m X I j >= bj , X i j >=0

i=1,2,…, m j=1,2,…, n para todas las i y j

El primer conjunto de restricciones estipula que la suma de los envíos desde una fuente no puede ser mayor que su oferta; en forma análoga, el segundo conjunto requiere que la suma de los envios a un destino satisfaga su demanda.

El modelo que se acaba de escribir implica que la oferta total S i=1 m ai debe ser cuando menos igual a la demanda total Sj=1 n bj. Cuando la oferta total es igual a la demanda total, la formulación resultante recibe el nombre de modelo de transporte equilibrado. Este difiere del modelo solo en el hecho de que todas las restricciones son ecuaciones, es decir: SX i j = ai, i=1,2,..., m SX i j = bj, j=1,2,..., n En el mundo real, no necesariamente la oferta debe ser igual a la demanda o mayor que ella. Sin embargo, un modelo de transporte siempre puede equilibrarse. El equilibrio, además de su utilidad en la representación a través de modelos de ciertas situaciones prácticas, es importante para el desarrollo del método de solución que explote completamente la estructura especial del modelo de transporte. Los dos ejemplos que siguen presentan la idea del equilibrio y también sus implicaciones prácticas.

Ejemplo (Modelo de transporte estándar) MG Auto Company tiene plantas en Los Ángeles, Detroit y Nueva Orleáns. Sus centros de distribución principales son Denver y Miami. Las capacidades de las plantas durante el trimestre próximo son 1 000, 1 500, y 1 200 automóviles. Las demandas trimestrales en los dos centros de distribución son de 2 300 y 1 400 vehículos. El costo del transporte de un automóvil por tren es de 8 centavos por milla. El diagrama de las distancias recorridas entre las plantas y los centro de distribución son: Denver 1 000 1 250 1 275

Los Ángeles

Detroit

Miami 1 690 1 350 850

Nueva Orleans

Esto produce en costo por automóvil a razón de 8 centavos por milla recorrida. Produce los costos siguientes (redondeados a enteros), que representan a C i j del modelo original:

Denver

Miami

Los Ángeles

80 100 102

Detroit

215 108 68

Nueva Orleans

Mediante el uso de códigos numéricos que representan las plantas y centros de distribución, hacemos que X i j represente el número de automóviles transportados de la fuente i al destino j. Como la oferta total ( = 1 000 + 1 500 + 1 200 = 3 700) es igual a la demanda ( = 2 300 + 1 400 = 3 700), el modelo de transporte resultante esta equilibrado.

Por lo tanto, el siguiente modelo de PL que representa el problema tiene todas las restricciones de igualdad.

Minimizar Z = 80X 11 + 215X 12 + 100X 21 + 108X 22 + 102X 31 + 68X 32 Sujeto a:

X 11

X 12 X 21

X 11

X 22 X 31 X 31

X 21 X 12 X ij

X 22

X 32 X 32

= 1 000 = 1 500 = 1 200 = 2 300 = 1 400

para todas las i y j

Un método mas resumido para representar el modelo de transporte consiste en utilizar lo que se llama tabla de transporte. Esta es una forma de matriz donde sus renglones representan las fuentes y sus columnas los destinos. Los elementos de costo C i j se resumen en la esquina noroeste de la celda de la matriz (i, j). Por lo tanto, el modelo de MG se puede resumir en la tabla siguiente:

Ejemplo 2 (Modelo de transporte con equilibrio) En el ejemplo anterior suponga que la capacidad de la planta de Detroit es de 1 300 automóviles (en vez de 1 500). Se dice que la situación esta desequilibrada debido a que la oferta total (=3 500) no es igual a la demanda total (=3 700).Nuestro objetivo consiste en volver a formular el modelo de transporte de manera que distribuya la cantidad faltante(=3 700 – 3 500 = 200) en forma optima entre los centros de distribución.

Como la demanda es mayor que la oferta se puede agregar una planta ficticia con una capacidad de 200. Se permite que dicha planta, en condiciones normales, envíe su “producción“ a todos los centros de distribución. Físicamente, la cantidad de unidades enviadas a un destino desde una planta ficticia representará la cantidad faltante en ese destino.

La única información que falta para completar el modelo son los “costos de transporte” unitarios de la planta ficticia a los destinos. Como la planta no existe, no habrá ningún envío físico y el costo de transporte unitario es cero. Sin embargo, podemos enfocar la situación desde otro ángulo diciendo que se incurre en un costo de penalización por cada unidad de demanda insatisfecha en los centros de distribución. En este caso los costos de transporte unitarios serán iguales a los costos de penalización unitarios en los diversos destinos.

Los Ángeles Detroit

Denver 80 100

Miami 215 108

1 000 1 300

Nueva Orleáns Planta ficticia

102 0

68 0

1 200 200

De manera análoga, si la oferta en mayor que la demanda podemos añadir un destino ficticio que absolverá la diferencia. Por ejemplo, suponga que la demanda en Denver disminuye a 1 900cualquier automóvil enviado de una planta a un centro de distribución ficticio representa un excedente en la planta.

Los Ángeles Detroit Nueva Orleans

Denver

Miami

80 100 102

215 108 68

Destino Ficticio 0 0 0

1 000 1 500 1 200

La aplicación del modelo de transporte no se limita al problema de “transporte”.

El siguiente ejemplo ilustra el uso del modelo del transporte en otros campos.

Ejemplo 3 (Modelo de inventario de producción) Una compañía construye una planta maestra para la producción de un articulo en un periodo de cuatro meses. Las demandas en los cuatro meses son: 100, 200, 180 y 300 unidades. Una demanda para el mes en curso puede satisfacerse a través de: 1. Producción excesiva en un mes anterior almacenada para su consumo posterior.

2. Producción en el mes actual.

3. Producción excesiva en un mes posterior para cubrir pedidos de meses anteriores.

El costo de producción variable por unidad en un mes cualquiera es de $4.00. una unidad producida para consumo posterior incurrirá en un costo de almacenamiento razón de $0.50 por unidad por mes. Por otra parte, los artículos ordenados en meses anteriores incurren en un costo de penalización de $2.00 por unidad por mes. La capacidad de producción para elaborar el producto varía cada mes. Los cálculos de los cuatro meses siguientes son 50, 180, 280 y 270 unidades, respectivamente.

El objetivo es el de formular el plan de inventario de producción a costo mínimo. Este problema se puede formular como un modelo de “transporte”. La equivalencia entre los elementos de los sistemas de producción y transporte se establece de la manera siguiente: Sistema de Transporte

1. Fuente i

Sistema de Producción 1. Periodo de producción i

2. Destino j 2. Periodo de demanda j 3. Oferta en la fuente i 3. Capacidad de producción del periodo i 4. Demanda en el destino j 4. Demanda del periodo j 5. Costo de transporte de la fuente i al 5. Costo de producto e inventario del periodo i destino j al j

En tabla de abajo se presenta un resumen del problema como un modelo de transporte:

Demand a

1 2 3 4 Demanda:

Periodo 1 4 6 8 10 100

2 4.5 4 6 8 200

3 5 4.5 4 6 180

4 5.5 5 4.5 4 300

Capacidad 50 180 280 270

El costo de “transporte” unitario del periodo i al j es:

Costo de producción en i,

Cij =

i=j

Costo de producción en i / costo de almacenamiento en i a j

Costo de producción en i / costo de penalización en i a j

i<j

i>j

La definición de C i j indica que la producción en el periodo i para el mismo periodo (i = j) sólo iguala el costo unitario de producción. Si el periodo i se produce para periodos futuros j (i < j), se incurre en un costo de almacenamiento adicional. De la misma manera, la producción en i para cubrir j pedidos hechos con anterioridad (i > j) incurre en un costo de penalización adicional.

EJEMPLO DE PROBLEMA DE TRANSPORTE. En esta sección presentamos los detalles para resolver el modelo de transporte.

TECNICA DE TRANSPORTE. Los pasos básicos de la técnica de transporte son:

Paso 1: determínese una solución factible.

Paso 2: determínese la variable que entra, que se elige entre las variables no básicas. Si todas estas variables satisfacen la condición de optimidad (del método simplex), deténgase; de lo contrario, diríjase al paso 3.

Paso 3: determínese la variable que sale (mediante el uso de la condición de factibilidad) de entre las variables de la solución básica actual; después obténgase la nueva solución básica. Regrese al paso 2.

OBTENCIÓN DE SOLUCIONES BÁSICAS FACTIBLES PARA PROBLEMAS DE TRANSPORTES Podemos obtener una solución básica factible (sbf) para un problema de transporte balanceado mediante el método de la esquina Noroeste, el método de costo mínimo, o el método de Vogel.

Para obtener una sbf mediante el método de la esquina noroeste, empiece en la esquina superior izquierda del cuadro del transporte y haga a X11 lo más grande posible.

Naturalmente, X11 no puede ser mayor que el menor valor Si y así X11 S1 tache el primer renglón del cuadro de transporte; Esto indica que si habrá más variables básicas del renglón 1 del cuadro.

También d1-S1 . Si X11=d1, tache la primera la columna del cuadro de transporte y cambie S1 – d1.

Si X11= S1 = d1, tache o el renglón 1, o la columna 1 (pero no ambos), del cuadro de transporte. Si tacha el renglón 1, cambie d1 por cero; si tacha columna 1, cambie S 1 por 0.

Continúe aplicando este procedimiento a la celda mas noroeste del cuadro que no cae en un renglón eliminado o en una columna eliminada.

Finalmente, llegara un momento en el cual solo queda una celda a la cual se puede asignar un valor.

Asigne a esta celda un valor igual a la oferta de su renglón o a la demanda de su columna, y tache el renglón y la columna de la celda. Se obtiene de esta manera una solución básica factible.

OBTENER LA SOLUCIÓN ÓPTIMA PARA UN PROBLEMA DE TRANSPORTE

Paso 1: Si el problema no está balanceado, balancéelo.

Paso 2: Utilice uno de los métodos descritos anteriormente para obtener una solución básica factible.

Paso 3: Utilice el hecho de que U1=0, y Ui+Vj=Cij en todas las variables básicas para encontrar (U1,U2...Um V1,V2...Vn) para la sbf actual.

Paso 4: Si Ui + Vj – Cij es menor o igual a cero, para todas las variables no básicas, entonces la sbf actual es óptima. Si no es así se introduce la variable con valor más positivo de Ui + Vj –Cij en la base. Para hacer esto, encuentre un circuito cerrado (se puede demostrar que solamente existe un circuito cerrado) que contiene la variable que entra y algunas de las variables básicas. Después, tomando en cuenta solamente las celdas en el circuito cerrado marque las que se encuentren alejadas en número par (0,2,4,6,...) de celdas de la variable que entra como celdas pares. También marque las celdas en el circuito cerrado, que se encuentra un número impar de celdas de la variable que entra como celdas impares. Ahora encuentre la celda impar cuya variable toma el menor valor. Llame este valor teta. La variable correspondiente a esta celda impar saldrá de la base. Para realizar el pivoteo, disminuye el valor de cada celda impar en teta y aumenta el valor de cada celda par en teta. Los valores de las variables que no se encuentran en el circuito cerrado permanecen sin cambio. Ahora se completó el bloqueo.

Sí teta es igual a cero, la variable que entra será igual a cero, y una variable impar que tiene un valor actual de cero, saldrá de la base. En este caso, existía un sbf degenerada antes del pivoteo y resultará después del pivoteo.

Si más de una celda impar en el circuito cerrado es igual a teta. Puede escoger arbitrariamente una de estas celdas impares para que salga de la base; se obtendrá una vez más una sbf degenerada. El pivoteo produce una nueva sbf.

Paso 5: Regrese a los pasos 3 y 4, utilizando la nueva sbf. Para un problema de maximización, proceda como se especificó, pero cambie el paso 4 por el paso 4’.

Paso 6: Si Ui + Vj –Cij es mayor o igual a cero, para todas las variables no básicas, entonces, la sbf actual es óptima. De otra manera, coloque la variable con el valor más negativo de Ui + Vj – Cij en la base mediante el procedimiento de pivoteo.

6. TECNICA DE MONTE CARLO Sobol (1976) El método de Monte Carlo es un método no determinista o estadístico numérico, usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud. El método se llamó así en referencia al Casino de Monte Carlo (Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser la ruleta un generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Monte Carlo datan aproximadamente de 1944 y se mejoraron enormemente con el desarrollo de la computadora. La simulación Monte Carlo es una técnica matemática computarizada que permite tener en cuenta el riesgo en análisis cuantitativos y tomas de decisiones. Esta técnica es utilizada por profesionales de campos tan dispares como los de finanzas, gestión de proyectos, energía, manufacturación, ingeniería, investigación y desarrollo, seguros, petróleo y gas, transporte y medio ambiente. Sóbol, I. Métodos de Montecarlo. (1976).

Lecciones populares de Matemáticas”.Mir, Argentina.

La simulación Monte Carlo ofrece a la persona responsable de tomar las decisiones una serie de posibles resultados, así como la probabilidad de que se produzcan según las medidas tomadas. Muestra las posibilidades extremas —los resultados de tomar la medida más arriesgada y la más conservadora— así como todas las posibles consecuencias de las decisiones intermedias.

Los científicos que trabajaron con la bomba atómica utilizaron esta técnica por primera; y le dieron el nombre de Monte Carlo, la ciudad turística de Mónaco conocida por sus casinos. Desde su introducción durante la Segunda Guerra Mundial, la simulación Monte Carlo se ha utilizado para modelar diferentes sistemas físicos y conceptuales.

Cómo funciona la simulación Monte Carlo La simulación Monte Carlo realiza el análisis de riesgo con la creación de modelos de posibles resultados mediante la sustitución de un rango de valores —una distribución de probabilidad— para cualquier factor con incertidumbre inherente. Luego, calcula los resultados una y otra vez, cada vez usando un grupo diferente de valores aleatorios de las funciones de probabilidad. Dependiendo del número de incertidumbres y de los rangos especificados, para completar una simulación Monte Carlo puede ser necesario realizar miles o decenas de miles de recálculos. La simulación Monte Carlo produce distribuciones de valores de los resultados posibles.

El análisis de riesgo se puede realizar cualitativa y cuantitativamente. El análisis de riesgo cualitativo generalmente incluye la evaluación instintiva o “por corazonada” de una situación, y se caracteriza por afirmaciones como “Eso parece muy arriesgado” o “Probablemente obtendremos buenos resultados”. El análisis de riesgo cuantitativo trata de asignar valores numéricos a los riesgos, utilizando datos empíricos o cuantificando evaluaciones cualitativas. Vamos a concentrarnos en el análisis de riesgo cuantitativo.

Mediante el uso de distribuciones de probabilidad, las variables pueden generar diferentes probabilidades de que se produzcan diferentes resultados. Las distribuciones de probabilidad son una forma mucho más realista de describir la incertidumbre en las variables de un análisis de riesgo. Las distribuciones de probabilidad más comunes son: Normal – O “curva de campana”. El usuario simplemente define la media o valor esperado y una desviación estándar para describir la variación con respecto a la media. Los valores intermedios cercanos a la media tienen mayor probabilidad de producirse. Es una distribución simétrica y describe muchos fenómenos naturales, como puede ser la estatura de una población. Ejemplos de variables que se pueden describir con distribuciones normales son los índices de inflación y los precios de la energía.

Lognormal – Los valores muestran una clara desviación; no son simétricos como en la distribución normal. Se utiliza para representar valores que no bajan por debajo del cero, pero tienen un potencial positivo ilimitado. Ejemplos de variables descritas por la distribución lognormal son los valores de las propiedades inmobiliarias y bienes raíces, los precios de las acciones de bolsa y las reservas de petróleo.

Uniform – Todos los valores tienen las mismas probabilidades de producirse; el usuario sólo tiene que definir el mínimo y el máximo. Ejemplos de variables que se distribuyen de forma uniforme son los costos de manufacturación o los ingresos por las ventas futuras de un nuevo producto.

Triangular – El usuario define los valores mínimo, más probable y máximo. Los valores situados alrededor del valor más probable tienen más probabilidades de producirse. Las variables que se pueden describir con una distribución triangular son el historial de ventas pasadas por unidad de tiempo y los niveles de inventario.

PERT – El usuario define los valores mínimo, más probable y máximo, como en la distribución triangular. Los valores situados alrededor del más probable tienen más probabilidades de producirse. Sin embargo, los valores situados entre el más probable y los extremos tienen más probabilidades de producirse que en la distribución triangular; es

decir, los extremos no tienen tanto peso. Un ejemplo de uso de la distribución PERT es la descripción de la duración de una tarea en un modelo de gestión de un proyecto.

Discrete – El usuario define los valores específicos que pueden ocurrir y la probabilidad de cada uno. Un ejemplo podría ser los resultados de una demanda legal: 20% de posibilidades de obtener un veredicto positivo, 30% de posibilidades de obtener un veredicto negativo, 40% de posibilidades de llegar a un acuerdo, y 10% de posibilidades de que se repita el juicio.

Durante una simulación Monte Carlo, los valores se muestrean aleatoriamente a partir de las distribuciones de probabilidad introducidas. Cada grupo de muestras se denomina iteración, y el resultado correspondiente de esa muestra queda registrado. La simulación Monte Carlo realiza esta operación cientos o miles de veces, y el resultado es una distribución de probabilidad de posibles resultados. De esta forma, la simulación Monte Carlo proporciona una visión mucho más completa de lo que puede suceder. Indica no sólo lo que puede suceder, sino la probabilidad de que suceda.

La simulación Monte Carlo proporciona una serie de ventajas sobre el análisis determinista o “estimación de un solo punto”: Resultados probabilísticos. Los resultados muestran no sólo lo que puede suceder, sino lo probable que es un resultado.

Resultados gráficos. Gracias a los datos que genera una simulación Monte Carlo, es fácil crear gráficos de diferentes resultados y las posibilidades de que sucedan. Esto es importante para comunicar los resultados a otras personas interesadas.

Análisis de sensibilidad. Con sólo unos pocos resultados, en los análisis deterministas es más difícil ver las variables que más afectan el resultado. En la simulación Monte Carlo, resulta más fácil ver qué variables introducidas tienen mayor influencia sobre los resultados finales.

Análisis de escenario. En los modelos deterministas resulta muy difícil modelar diferentes combinaciones de valores de diferentes valores de entrada, con el fin de ver los efectos de situaciones verdaderamente diferentes. Usando la simulación Monte Carlo, los analistas pueden ver exactamente los valores que tienen cada variable cuando se producen ciertos resultados. Esto resulta muy valioso para profundizar en los análisis.

Correlación de variables de entrada. En la simulación Monte Carlo es posible modelar relaciones interdependientes entre diferentes variables de entrada. Esto es importante para averiguar con precisión la razón real por la que, cuando algunos factores suben, otros suben o bajan paralelamente.

Una ventaja de la simulación Monte Carlo es el uso del muestreo Latino Hipercúbico, que muestrea con mayor precisión a partir de un rango completo de funciones de distribución.

Ejemplo de Método Monte Carlos Una empresa está analizando la posibilidad de llevar a cabo un proyecto de inversión que requiere una inversión inicial que puede oscilar entre los 10.000 y los 14.000 euros, siendo las probabilidades asociadas a cada uno de los posibles desembolsos iniciales las que aparecen recogidas en la siguiente tabla: Desembolso inicial Probabilidad 10.000 € 0,20 12.000 € 0,45 14.000 € 0,35

Además, se sabe que la duración del proyecto de inversión es de 4 años.

Se estima que el valor del primer flujo neto de caja puede tomar cualquier valor comprendido entre los 5.000 y los 9.000 euros, siendo equiprobables los valores intermedios. Los flujos netos de caja que se generan en los años sucesivos podrán oscilar entre un 15 por ciento por encima, o por debajo, del valor del flujo neto de caja del año anterior. Además, se sabe que la rentabilidad del activo libre de riesgo es del 10 por ciento.

Con estos datos se desea conocer la viabilidad del proyecto de inversión analizado según el método de valoración del Valor Actual Neto (VAN), utilizando para ello la técnica de simulación de Monte Carlo realizando un total de cinco simulaciones.

Solución: - En primer lugar hay que seleccionar el modelo matemático que se va a utilizar, que en este caso será el Valor Actual Neto (VAN).

Por tanto: Mostrar/Ocultar , donde i = 1..4 La tasa de descuento a utilizar en las simulaciones es la tasa libre de riesgo (10 por ciento).

- A continuación habrá que identificar las variables cuyo comportamiento se va a simular.

En este caso las variables que se van a simular son tres: • • El desembolso inicial del proyecto de inversión.

• • El valor del primer flujo neto de caja.

• • El valor del resto de flujos netos de caja.

- Posteriormente hay que determinar la función de densidad de probabilidad asociada a cada una de ellas.

- El desembolso inicial del proyecto de inversión: se trata de una variable discreta que sólo puede tomar los valores 10.000, 12.000 y 14.000, con unas probabilidades asociadas respectivamente del 20, 45 y 35 por ciento. La representación gráfica de su función de densidad es la siguiente: Mostrar/Ocultar - El valor del primer flujo neto de caja: se trata de una variable continúa que puede tomar cualquier valor comprendido entre 5.000 y 9.000 euros, siendo cualquier valor intermedio comprendido entre dicho mínimo y máximo equiprobable, por lo que sigue una distribución uniforme o rectangular. Los valores superiores o inferiores a los extremos anteriormente citados tienen una probabilidad de ocurrencia nula. La representación gráfica de su función de densidad es la siguiente: Mostrar/Ocultar - El resto de flujos netos de caja: son variables continúas cuyos valores pueden oscilar entre un 15 por ciento por encima o por debajo del valor del flujo neto de caja inmediatamente anterior, por lo que también siguen una distribución uniforme o rectangular. Los valores superiores o inferiores a los extremos anteriormente citados tienen una probabilidad de ocurrencia nula. La representación gráfica de su función de densidad es la siguiente: Mostrar/Ocultar - El siguiente paso consiste en obtener las funciones de distribución asociadas a las variables.

- Para el desembolso inicial del proyecto de inversión, la función de distribución viene dada por la probabilidad acumulada, de tal forma que:

Desembolso inicial 10.000 € 12.000 € 14.000 €

Probabilidad Probabilidad Acumulada 0,20 0,20 0,45 0,65 0,35 1,00

Representación gráfica: Mostrar/Ocultar - Para el valor del primer flujo neto de caja, al seguir una distribución uniforme o rectangular, la representación gráfica de su función de distribución de probabilidad es una recta, tal y como se muestra en la figura siguiente: Mostrar/Ocultar - Para el valor del resto de flujos netos de caja, al seguir también una distribución uniforme o rectangular, la representación gráfica de su función de distribución de probabilidad es una recta, tal y como se muestra en la figura siguiente: Mostrar/Ocultar - A continuación se procede a la generación de números aleatorios comprendidos entre cero y uno, siendo necesarios tantos como variables se consideren en el modelo multiplicado por el número de simulaciones que se deseen realizar.

Para el desembolso inicial del proyecto de inversión se necesitan cinco números aleatorios, siendo en este caso los siguientes: 0,22; 0,62; 0,81; 0,07 y 0,45.

Para el valor del primer flujo neto de caja se necesitan también cinco números aleatorios, siendo en este caso los siguientes: 0,21; 0,03; 0,12; 0,80 y 0,66.

Para el valor del resto de flujos netos de caja se necesitan 15 números aleatorios, siendo en este caso los siguientes: 0,10; 0,43; 0,17; 060; 0,05; 0,18; 0,38; 0,39; 0,72; 0,12; 0,66; 0,97; 0,48; 0,56 y 0,25.

- Una vez se dispone de los números aleatorios, éstos se llevan sobre el eje de ordenadas, y se proyectan horizontalmente sobre las correspondientes funciones de distribución. De tal forma que el valor así calculado para cada variable será el valor de la muestra simulada.

Este proceso debe repetirse el número de veces necesario para poder disponer del número adecuado de valores muestrales, en este caso, cinco veces.

- Para el desembolso inicial del proyecto de inversión, cada número aleatorio se lleva sobre la columna de la probabilidad acumulada, obteniéndose así el desembolso inicial simulado.

- Para la primera simulación el número aleatorio generado ha sido 0,22; número que está comprendido entre 0,20 y 0,65; por tanto, el desembolso inicial del proyecto de inversión para la primera simulación sería de 12.000 euros.

- Para la segunda simulación el número aleatorio generado ha sido 0,62; número que está comprendido entre 0,20 y 0,65; por tanto, el desembolso inicial del proyecto de inversión para la segunda simulación sería de 12.000 euros.

- Para la tercera simulación el número aleatorio generado ha sido 0,81; número que está comprendido entre 0,65 y 1,00; por tanto, el desembolso inicial del proyecto de inversión para la tercera simulación sería de 14.000 euros.

- Para la cuarta simulación el número aleatorio generado ha sido 0,07; número que está comprendido entre 0,00 y 0,20; por tanto, el desembolso inicial del proyecto de inversión para la cuarta simulación sería de 10.000 euros.

- Para la quinta simulación el número aleatorio generado ha sido 0,45; número que está comprendido entre 0,20 y 0,45; por tanto, el desembolso inicial del proyecto de inversión para la quinta simulación sería de 12.000 euros.

Los resultados obtenidos para el valor del desembolso inicial para cada una de las cinco simulaciones aparecen recogidos en la tabla siguiente: Simulación Número aleatorio Desembolso inicial simulado Primera 0,22 12.000 Segunda 0,62 12.000 Tercera 0,81 14.000 Cuarta 0,07 10.000 Quinta 0,45 12.000 - Para el valor del primer flujo neto de caja se procede a proyectar horizontalmente los números aleatorios sobre la correspondiente función de distribución, debiéndose calcular, en este caso, la ecuación de la recta correspondiente.

Al seguir el flujo neto de caja asociado al primer año una distribución rectangular o uniforme se proyectan los números aleatorios generados sobre la recta (es posible calcular su ecuación dado que tenemos dos puntos: (5.000,0) y (9.000,1)) y se despeja el valor de la variable "x" (FNC1), de tal forma que: Mostrar/Ocultar Así, para el caso del primer número aleatorio obtenido (0,21) se sustituye en la ecuación anterior en la variable "y", obteniéndose el valor de la variable "x" (flujo de caja asociado al primer año) para la primera simulación, siendo: FNC1 = 4.000 x (0,21) + 5.000 = 5.828,48 € Gráficamente: Mostrar/Ocultar El proceso se repetirá tantas veces como simulaciones sean necesarias, en este caso cinco veces.

Segunda simulación: FNC1 = 4.000 x (0,03) + 5.000 = 5.129,28 € Tercera simulación: FNC1 = 4.000 x (0,12) + 5.000 = 5.491,59 € Cuarta simulación: FNC1 = 4.000 x (0,80) + 5.000 = 8.185,57 € Quinta simulación: FNC1 = 4.000 x (0,66) + 5.000 = 7.623,24 € Los resultados obtenidos para el valor del flujo neto de caja asociado al primer año para cada una de las cinco simulaciones aparecen recogidos en la tabla siguiente: Simulación Número aleatorio FNC1 Primera 0,21 5.828,48 Segunda 0,03 5.129,28 Tercera 0,12 5.491,59 Cuarta 0,80 8.185,57 Quinta 0,66 7.623,24 - Para el valor del resto de flujos netos de caja se procede de forma similar al caso anterior, pero teniendo en cuenta que el valor del correspondiente flujo neto de caja podrá estar un

15 por ciento por encima, o por debajo, del valor del flujo neto de caja estimado para el año anterior. De tal forma que: FNCi-1 x (1-0,15) ≤ FNCi ≤ FNCi-1 x (1+0,15) Donde i = 2, 3 y 4.

En este caso, las variables también siguen una distribución rectangular o uniforme, siendo la ecuación de la recta: Mostrar/Ocultar Es decir: FNCi = 0,3 x FNCi-1 x y + 0,85 x FNCi-1 Por tanto: FNCi = FNCi-1 x (0,3 x y + 0,85) Para la primera simulación, hay que tener en cuenta que el valor asociado al flujo neto de caja del primer año era de 5.828,48 €, por tanto: FNC2 = FNC1 x (0,3 x y + 0,85) = 5.828,48 x (0,3 x 0,10 + 0,85) = 5.128,27 € FNC3 = FNC2 x (0,3 x y + 0,85) = 5.128,27 x (0,3 x 0,43 + 0,85) = 5.022,55 € FNC4 = FNC3 x (0,3 x y + 0,85) = 5.022,55 x (0,3 x 0,17 + 0,85) = 4.521,04 € Para la segunda simulación, hay que tener en cuenta que el valor asociado al flujo neto de caja del primer año era de 5.129,28 €, por tanto: FNC2 = FNC1 x (0,3 x y + 0,85) = 5.129,28 x (0,3 x 0,60 + 0,85) = 5.276,87 € FNC3 = FNC2 x (0,3 x y + 0,85) = 5.276,87 x (0,3 x 0,05 + 0,85) = 4.570,43 € FNC4 = FNC3 x (0,3 x y + 0,85) = 4.570,43 x (0,3 x 0,18 + 0,85) = 4.137,41 € El procedimiento se repetirá con las cinco simulaciones. Los resultados obtenidos aparecen recogidos en la tabla siguiente: Número Número Número Simulación FNC2 FNC3 FNC4 aleatorio aleatorio aleatorio Primera 0,10 5.128,27 0,43 5.022,55 0,17 4.521,04 Segunda 0,60 5.276,87 0,05 4.570,43 0,18 4.137,41 Tercera 0,38 5.296,20 0,39 5.116,14 0,72 5.449,19 Cuarta 0,12 7.258,62 0,66 7.597,00 0,97 8.677,76 Quinta 0,48 7.573,52 0,56 7.706,29 0,25 7.132,44 - A continuación, se sustituyen los valores simulados en el modelo matemático, que en este caso es el VAN, para ver el resultado obtenido para las simulaciones realizadas.

Primera simulación: Mostrar/Ocultar Segunda simulación: Mostrar/Ocultar Tercera simulación: Mostrar/Ocultar,Cuarta simulación: Mostrar/Ocultar ,Quinta simulación: Mostrar/Ocultar Los resultados obtenidos para cada una de las cinco simulaciones aparecen recogidos en la tabla siguiente: Simulación FNC0 FNC1 FNC2 FNC3 FNC4 VAN Primera -12.000,00 5.828,48 5.128,27 5.022,55 4.521,04 4.398,30 € Segunda -12.000,00 5.129,28 5.276,87 4.570,43 4.137,41 3.283,77 € Tercera -14.000,00 5.491,59 5.296,20 5.116,14 5.449,19 2.935,09 € Cuarta -10.000,00 8.185,57 7.258,62 7.597,00 8.677,76 15.075,05 € Quinta -12.000,00 7.623,24 7.573,52 7.706,29 7.132,44 11.850,73 €

- En las cinco simulaciones realizadas el valor del VAN es positivo, siendo el valor del VAN medio de 7.508,59 euros, por lo que interesaría llevar a cabo el proyecto de inversión.

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