Product 2

Μηθξννηθνλνκηθή Θεωξία

Παξαγωγή κε δπν Μεηαβιεηέο Εηζξνέο 

Ο Πίλαθαο Παξαγσγήο.



Υπνθαηάζηαζε Δηζξνώλ.



Οη Κακπύιεο Ιζνπαξαγσγήο ή Ίζεο Παξαγσγήο.



Γξακκηθά Οκνγελείο Σπλαξηήζεηο Παξαγσγήο.



Σπλαξηήζεηο Παξαγσγήο κε Σηαζεξέο Αλαινγίεο.



Η Υπνθαηάζηαζε ησλ Δηζξνώλ. Ο Οξηαθόο Λόγνο Τερληθήο Υπνθαηάζηαζεο Ο Φζίλσλ Οξηαθόο Λόγνο Τερληθήο Υπνθαηάζηαζεο.



Η Οηθνλνκηθή Πεξηνρή ηεο Παξαγσγήο.



Άξηζηνη Σπλδπαζκνί Δηζξνώλ. Οη Τηκέο ησλ Δηζξνώλ θαη νη Κακπύιεο Ίζνπ Κόζηνπο. Μεγηζηνπνίεζε ηνπ Πξντόληνο κε δεδνκέλν Κόζηνο. Διαρηζηνπνίεζε ηνπ Κόζηνπο κε Γεδνκέλν Δπίπεδν Παξαγσγήο.



Ιζνθιηλήο Κακπύιεο.



Η Κακπύιε Δπεθηάζεσο.



Διαζηηθόηεηα Γαπάλεο.



Κακπύιε Δπεθηάζεσο θαη δηάθξηζε εηζξνώλ ζε θαλνληθέο θαη θαηώηεξεο.

1

Παξαγωγή κε δπν Μεηαβιεηέο Εηζξνέο. Εηζαγωγή Βξαρπρξόληα Πεξίνδν: έρνπκε δπν κεηαβιεηέο εηζξνέο πνπ ζπλδπάδνληαη κε κηα ηνπιάρηζηνλ ζηαζεξή εηζξνή. Μαθξνρξόληα Πεξίνδν: έρνπκε κόλν δπν κεηαβιεηέο εηζξνέο. Ο Πίλαθαο Παξαγωγήο. Δηζξνέο:  Η εξγαζία κεηξνύκελε ζε αξηζκό εξγαηώλ.  Η γε κεηξνύκελε ζε ζηξέκκαηα. Όπνπ θάζε ζηξέκκα είλαη ρσξηζκέλν ζε 8 αγξνηεκάρηα. Δμεηάδνπκε ηελ παξαγσγή ζηαξηνύ όρη ζε κηα δεδνκέλε έθηαζε γεο (ζηαζεξόο ζπληειεζηήο) αιιά γηα κηα κεγάιε πνηθηιία εθηάζεσο γεο θαη εξγαηώλ.  

Αλ ζεσξήζνπκε ηελ γε σο ζηαζεξή εηζξνή θηλνύκαζηε νξηδόληηα ζηνλ πίλαθα. Αλ ζεσξήζνπκε ηελ εξγαζία σο ζηαζεξή εηζξνή θηλνύκαζηε θάζεηα ζηνλ πίλαθα. (Γηα ιεπηνκεξή αλάιπζε βιέπε βηβιίν ζει. 222,223)

Τπνθαηάζηαζε Εηζξνώλ. Τν ίδην επίπεδν παξαγσγήο κπνξεί λα επηηεπρζεί κε δηαθνξεηηθνύο ζπλδπαζκνύο εηζξνώλ. Μηα εηζξνή κπνξεί λα ππνθαηαζηαζεί κε κηα άιιε θαηά ηελ παξαγσγή κηαο νξηζκέλεο πνζόηεηαο πξντόληνο. Άξα ν παξαγσγόο επηδηώθεη λα βξεη ηελ επηινγή ηνπ ζπλδπαζκνύ εθείλνπ ησλ εηζξνώλ, ν νπνίνο ειαρηζηνπνηεί ην θόζηνο παξαγσγήο γηα θάζε δεδνκέλν επίπεδν παξαγσγήο. Οη Κακπύιεο Ιζνπαξαγωγήο ή Ίζεο Παξαγωγήο. Η Κακπύιε Ιζνπαξαγσγήο είλαη κηα θακπύιε ζην ρώξν ησλ εηζξνώλ, ε νπνία δείρλεη όινπο ηνπο δπλαηνύο ζπλδπαζκνύο ησλ εηζξνώλ, πνπ κπνξνύλ λα παξάγνπλ έλα δεδνκέλν επίπεδν πξντόληνο. Οιόθιεξε ε ηξηζδηάζηαηε επηθάλεηα παξαγσγήο κπνξεί λα παξαζηαζεί αθξηβώο από ην δηζδηάζηαην ράξηε θακππιώλ Ιζνπαξαγσγήο.   

Όζν πην πάλσ δεμηά βξίζθεηαη κηα θακπύιε ηζνπαξαγσγεο ηόζν κεγαιύηεξε είλαη ε παξαγσγή πνπ αληηζηνηρεί ζηελ θακπύιε απηή. Όηαλ κεηαθηλνύκαζηε πάλω ζηελ θακπύιε ηζνπαξαγωγεο, ηόηε παίξλνπκε δηάθνξνπο ζπλδπαζκνύο εηζξνώλ πνπ αληηζηνηρνύλ όκσο ζην ίδην επίπεδν παξαγσγήο, αιιά κε δηαθνξεηηθό ιόγν εηζξνώλ (θεθαιαίνπ – εξγαζίαο). Όηαλ κεηαθηλνύκαζηε πάλω ζε κηα αθηίλα πνπ πεξλά από ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ, ν ιόγνο ησλ εηζξνώλ παξακέλεη ζηαζεξόο (κηαο θαη ε θιίζε είλαη παληνύ ε ίδηα) ελώ ην επίπεδν παξαγσγήο ζπλερώο αιιάδεη.

2

Γξακκηθά Οκνγελείο ΢πλαξηήζεηο Παξαγωγήο. Γξακκηθά Οκνγελείο = Οκνγελήο Πξώηνπ Βαζκνύ = Σηαζεξώλ Απνδόζεσλ Κιίκαθαο ζεκάλεη: αλ όιεο νη εηζξνέο κεηαβιεζνύλ θαηά ην ίδην πνζνζηό, ηόηε θαη ην παξαγόκελν πξντόλ κεηαβάιιεηαη θαηά ην ίδην πνζνζηό. Η ππόζεζε όηη ε παξαγσγή ππόθεηηαη ζε ζηαζεξέο απνδόζεηο θιίκαθαο ρξεζηκνπνηείηαη επξύηαηα από ηνπο νηθνλνκνιόγνπο ράξηλ επθνιίαο θαη ιόγσ ηεο απιόηεηαο πνπ έρεη θαη ησλ πνιιώλ ζπγθεθξηκέλσλ ζπκπεξαζκάησλ πνπ κπνξνύκε λα εμάγνπκε. Π.ρ. ε ζπλάξηεζε Cobb - Douglas q  f ( x, y )  Ax a y b ,  Α,α,β>0      1 ΙΔΙΟΣΗΣΕ΢: 1. ππνζέηνπκε όηη ηα x,y κεηαβάιινληαη θαηά ην πνζνζηό ι>0, ηόηε: q  f ( x,  y )  A( x) a ( y )b  A a b x a y b  A 1 x a y b   Ax a y b   f ( x, y )   q ΢πκπεξαίλνπκε όηη αλ κεηαβιεζνύλ όιεο νη εηζξνέο θαηά έλα πνζνζηό, ηόηε ε παξαγωγή ζα κεηαβιεζεί θαη απηή θαηά ην ίδην πνζνζηό. Άξα κεηαθηλνύκαζηε θαηά κήθνο κηαο αθηίλαο θαη αιιάδεη ην q ε παξαγωγή, ρωξίο λα αιιάμεη ν ιόγνο ηωλ εηζξνώλ.

2. Σν κέζν πξνϊόλ θάζε εηζξνήο είλαη θαη απηά νκνγελείο ζπλαξηήζεηο κε βαζκό νκνηνγέλεηαο θαηά κηα κνλάδα κηθξόηεξν. q Ax a y b y   Ax a 1 y b  Ax b y b  A( )b x x x

APX 

θαη APy 

q Ax a y b x   Ax a y b 1  Ax a y  a  A( ) a y y y

Γηαπηζηώλνπκε όηη ηα κέζα πξντόληα ησλ δπν κεηαβιεηώλ εηζξνώλ είλαη νκνγελείο ζπλαξηήζεηο κεδεληθνύ βαζκνύ, δηόηη αλ νη x θαη y κεηαβιεζνύλ θαηά ι ην APX θαη ην APY δελ κεηαβάιινληαη θαζόινπ (ήηαλ πξηλ νκνγελήο πξώηνπ βαζκνύ θαη ηώξα έγηλε ι0=1). Άξα ην APX θαη ην APY εμαξηώληαη απνθιεηζηηθά θαη κόλν από ηνλ ιόγν ηωλ εηζξνώλ.

1

1

Π.ρ. αλ Α=100 θαη α=β=1/2 θαη x=1, y=4 ηόηε q  100 12  4 2  200 θαη 1

1

q 100 12  4 2   200 x 1

Δλώ αλ Α=100 θαη α=β=1/2 θαη x=100, y=400 (κε ι=100) ηόηε 1 2

1 2

1

1 2 2

1 2

1

Η πξώηε ηδηόηεηα: q  100 100  400  100 10  (4 10 )  100 10  4 10   100 10  2 10  20.000  100  200   200   q 22

3

22

1

1

q 100 100 2  400 2 20.000  ......   200 Άξα ην κέζν Η δεύηεξε ηδηόηεηα: APX   x 100 100 y 400 4 πξντόλ παξακέλεη ην ίδην (200) δηόηη ν ιόγνο ησλ εηζξνώλ   παξακέλεη ν x 100 1 ίδηνο.

3. Σν νξηαθό πξνϊόλ θάζε εηζξνήο είλαη θαη απηά νκνγελείο ζπλαξηήζεηο κε βαζκό νκνηνγέλεηαο θαηά κηα κνλάδα κηθξόηεξν. αλ ζεσξήζνπκε ηελ y ζηαζεξή θαη κεηαβάιινπκε ηελ x εηζξνή q y MPX   aAx a 1 y b  aAx b y b  aA( )b x x θαη αληίζηνηρα αλ ζεσξήζνπκε ηελ x ζηαζεξή θαη κεηαβάιινπκε ηελ y εηζξνή q x MPy   bAx a y b 1  bAx a y  a  bA( )a y y Γηαπηζηώλνπκε όηη ηα νξηαθά πξντόληα ησλ δπν κεηαβιεηώλ εηζξνώλ είλαη νκνγελείο ζπλαξηήζεηο κεδεληθνύ βαζκνύ, δηόηη αλ νη x θαη y κεηαβιεζνύλ θαηά ι ην MPX θαη ην MPY δελ κεηαβάιινληαη θαζόινπ (ήηαλ πξηλ νκνγελήο πξώηνπ βαζκνύ θαη ηώξα έγηλε ι0=1). Άξα ην MPX θαη ην MPY εμαξηώληαη απνθιεηζηηθά θαη κόλν από ηνλ ιόγν ηωλ εηζξνώλ. Το ίδιο ιζτύει και για ηην Γενίκεσζη ηης ζσνάρηηζης Cobb – Douglas 1 T

q  A  ax  by   ,   0      1      1 αιιάδνληαο ηηο εηζξνέο θαηά έλα πνζνζηό ι αιιάδεη θαη ε παξαγσγή θαηά ι: T

T

1

1

 q  f ( x,  y )  A a( x)T  b( y )T  T  A   (axT  byT )  T  1

  A (axT  byT )     f ( x, y )   q ην κέζν θαη ην νξηαθό πξντόλ κηαο εηζξνήο είλαη νκνγελείο ζπλαξηήζεηο κεδεληθνύ βαζκνύ θαη εμαξηώληαη απνθιεηζηηθά από ηνλ ιόγν ησλ εηζξνώλ: 1

1

1

T T  axT  by T  T  axT  by T  T q A  ax  by  T APX     A  A  T 1 T x x T T x x 1

1

1

T T T T   axT  byT   T    A  ax  by  T  A  a  b  y    A      xT xT xT   x      

θαη

4

1 1 q 1 T T T 1 T 1 T T T 1 MPX   A  ax  by   Tax  aA  ax  by   xT 1  x T

 aA  axT  byT 

1T T

T   y   aA  a  b     x   

x

T

1T T 1 T

 aA  axT  by T  x T 

1T T

 axT  byT   aA   xT  

1T T



1T T

Άξα ηα κέζα θαη νξηαθά κεγέζε είλαη αλεμάξηεηα από ηα απόιπηα κεγέζε ησλ ρξεζηκνπνηνύκελσλ εηζξνώλ, δειαδή εμαξηώληαη από ηνλ ιόγν κε ηνλ νπνίν ζπλδπάδνληαη νη εηζξνέο. ΢πλαξηήζεηο Παξαγωγήο κε ΢ηαζεξέο Αλαινγίεο. Η παξαγσγή ππόθεηηαη ζε ζηαζεξέο αλαινγίεο, όηαλ ππάξρεη κόλν έλαο ζπλδπαζκόο εηζξνώλ πνπ παξάγεη θάζε ζπγθεθξηκέλν επίπεδν παξαγσγήο. Μηα ζπλάξηεζε παξαγσγήο κε ζηαζεξέο αλαινγίεο είλαη ε ζπλάξηεζε Leontief. x y q  min  ,  όπνπ a,b είλαη ζηαζεξέο θαη a,b>0 θαη ην min ζεκαίλεη όηη ην q είλαη a b ίζν κε ην κηθξόηεξν από ηνπο δπν ιόγνπο x/a ή y/b. Παξάδεηγκα:  Γηα λα παξαρζεί ην πξντόλ ρξεζηκνπνηνύληαη εηζξνέο κε ζηαζεξή αλαινγία 2 πξνο 3.  Ο απαηηνύκελνο ιόγνο θεθαιαίνπ εξγαζίαο (x/y) δίλεηαη από ηελ θιίζε ηεο αθηίλαο OR.  Οη θακπύιεο Ιζνπαξαγσγήο έρνπλ ζρήκα νξζήο γσλίαο.  Αλ κεηαβιεζεί ε πνζόηεηα κηαο εηζξνήο ελώ ε άιιε παξακείλεη ζηαζεξή ηόηε ε παξαγσγή δελ κεηαβάιιεηαη, δειαδή ην νξηαθό πξντόλ ηεο εηζξνήο είλαη κεδέλ (MP=0).

5

Παξαγωγή κε δηάθνξεο παξαγωγηθέο δηαδηθαζίεο ΢ηαζεξώλ Αλαινγηώλ.    

Τεζιαζκέλε θακπύιε ηζνπαξαγσγεο. Παξαγσγή 100 κνλάδσλ κε 5 δηαθνξεηηθέο παξαγσγηθέο δηαδηθαζίεο θαη κε δηαθνξεηηθό ιόγν θεθαιαίνπ – εξγαζίαο. Ο ιόγνο θεθαιαίνπ – εξγαζίαο δίλεηαη από ηηο αθηίλεο ΟΑ, ΟΒ θηι. Καλέλαο ζπλδπαζκόο εηζξνώλ αλάκεζα ζηα δπν ζεκεία (π.ρ. Α,Β) δελ απνθέξεη παξαγσγή 100 κνλάδσλ. Η θακπύιε Ιζνπαξαγσγήο πνπ αληηζηνηρεί ζε κηα ζπλάξηεζε παξαγσγήο κε κεηαβιεηέο αλαινγίεο, δελ είλαη παξά ην όξην ζην νπνίν ηείλεη ε ζπλάξηεζε παξαγσγήο κε ζηαζεξέο αλαινγίεο θαζώο απμάλεη απεξηόξηζηα ν αξηζκόο ησλ μερσξηζηώλ παξαγσγηθώλ δηαδηθαζηώλ.

Η Τπνθαηάζηαζε ηωλ Εηζξνώλ. Ο Λόγνο Σερληθήο Τπνθαηάζηαζεο κεηξάεη πόζν πξέπεη λα κεησζεί ε πνζόηεηα κηαο εηζξνήο γηα λα απμεζεί ε πνζόηεηα κηαο άιιεο θαηά κηα κνλάδα, έηζη ώζηε λα δηαηεξεζεί ζηαζεξό ην επίπεδν παξαγσγήο. Ο ιόγνο θεθαιαίνπ – εξγαζίαο ζην Α δίλεηαη από ηελ θιίζε ηεο αθηίλαο ΟΑ θαη είλαη 0 y1 0 y1 θαη Α’ δίλεηαη από ηελ θιίζε ηεο αθηίλαο ΟΑ’ θαη είλαη . Όηαλ θηλνύκαζηε 0 x1 0 x1 από ην Α ζην Α’ ηόηε ην θεθάιαην ππνθαζίζηαηαη κε εξγαζία θαηά: 0 y  0 y1  y  1   όπνπ ην αξλεηηθό πξόζεκν έρεη πξνζηεζεί γηα λα έρνπκε 0 x1  0 x1  x απνηέιεζκα ηειηθά ζεηηθό. Γειαδή ν ιόγνο ππνθαηάζηαζεο είλαη ε κεηαβνιή ηνπ ρξεζηκνπνηνύκελνπ θεθαιαίνπ πξνο ηελ κεηαβνιή ηεο ρξεζηκνπνηνύκελεο εξγαζίαο θαη ηζνύηαη κε ην αξλεηηθό ηεο θιίζεο ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο ΑΑ’ (εθαπηνκέλε ˆ  ). ηεο γσλίαο  Καζώο ε απόζηαζε ΑΑ’ κεηώλεηαη ε θιίζε ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο ΑΑ’ πιεζηάδεη ηελ θιίζε ηεο εθαπηόκελεο ΔΔ’ ζην ζεκείν Α. Σην όξην, γηα πνιύ κηθξέο 6

κεηαθηλήζεηο θνληά ζην Α πιένλ ε θιίζε ηεο εθαπηνκέλεο ζην ζεκείν Α κέηξα ηνλ Οξηαθό Λόγν Τερληθήο Υπνθαηάζηαζεο.

Ο Οξηαθόο Λόγνο Σερληθήο Τπνθαηάζηαζεο ηεο εηζξνήο y κε ηελ εηζξνή x ζε έλα ζεκείν ηεο θακπύιεο Ιζνπαξαγσγήο δίδεηαη από ην αξλεηηθό ηεο θιίζεο ηεο θακπύιεο ζε απηό ην ζεκείν θαη ηζνύηαη κε ην ιόγν ηνπ νξηαθνύ πξντόληνο ηεο εηζξνήο x δηα ηνπ νξηαθνύ πξντόληνο ηεο εηζξνήο y. Έζησ ε ζπλάξηεζε παξαγσγήο q= f(x,y). Παίξλνπκε ηελ νιηθή παξάγσγν θαη έρνπκε: f y  x, y  dy  f x  x, y  dx  0 γηα κεηαβνιέο ησλ y θαη x πάλσ ζηελ ίδηα θακπύιε ηζνπαξαγσγήο. Λύλνπκε σο πξνο ηελ θιίζε θαη έρνπκε: f x  x, y  ό  ϊό  x f  x, y  dy όπνπ    y  x  x dx f y  x, y  f y  x, y   ό  ϊό  y Άξα 0Α ιόγνο θεθαιαίνπ εξγαζίαο θαη ΔΔ’ ν ΟΛΤΥ y κε x Ο Φζίλωλ Οξηαθόο Λόγνο Σερληθήο Τπνθαηάζηαζεο. Ο ΟΛΤΥ y κε x ζπλερώο θζίλεη (ζε απόιπηε ηηκή) θαζώο ην θεθάιαην ππνθαζηζηάηε από εξγαζία. Απηό θαίλεηαη από ηελ θιίζε ηεο εθαπηόκελεο ζηα δηάθνξα ζεκεία ηεο θακπύιεο ηζνπαξαγσγεο θαζώο θηλνύκαζηε θάησ δεμηά. Απηό θπζηθά ηζρύεη γηαηί ε θακπύιε ηζνπαξαγσγεο είλαη θπξηή. Γηα ζηαζεξέο αλαινγίεο (Leontief) νη θακπύιεο ηζνπαξαγσγεο είλαη γσλίεο. Άξα ε θιίζε θάζε γσλίαο δελ είλαη κνλαδηθά νξηζκέλε. Σε θάζε γσληαθό ζεκείν κπνξνύκε λα θέξνπκε άπεηξεο εθαπηόκελεο (από θαηαθόξπθε έσο νξηδόληηα). Άξα 0   y  x   Σην νξηδόληην ηκήκα ηεο θακπύιεο ηζνπαξαγσγήο ν ΟΛΤΥ y κε x=0 f  x, y  dy    y  x  x  0  f x  x, y   0 dx f y  x, y  Σην θάζεην ηκήκα ηεο θακπύιεο ηζνπαξαγσγεο ν ΟΛΤΥ y κε x=∞

7



f  x, y  dy   y  x  x    f y  x, y   0 dx f y  x, y 

Η Οηθνλνκηθή Πεξηνρή ηεο Παξαγωγήο. Οη ζπλαξηήζεηο παξαγσγήο έρνπλ ηέηνηα κνξθή πνπ κπνξνύλ λα νδεγήζνπλ ζηελ θαηαζθεπή ραξηώλ θακππιώλ ηζνπαξαγσγεο. Ιδηόηεηεο θακππιώλ ηζνπαξαγσγεο:  δελ ηέκλνληαη κεηαμύ ηνπο  εθείλεο πνπ βξίζθνληαη ζε κεγαιύηεξε απόζηαζε από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ αληηζηνηρνύλ ζε κεγαιύηεξν επίπεδν παξαγσγήο.  είλαη θπξηέο  έρνπλ αξλεηηθή θιίζε ζε έλα ηνπιάρηζηνλ εύξνο ζπλδπαζκώλ εηζξνώλ.  Κάζε θακπύιε ηζνπαξαγσγεο ΄΄θάκπηεηαη πξνο ηα πίζσ΄΄ από νξηζκέλα ζεκεία θαη πέξα, επνκέλσο απνθηά θιίζε ζεηηθή.

Έζησ όηη βξηζθόκαζηε ζην ζεκείν R2’:(x2’,y2’) θαη ζηελ θακπύιε q2.  Αλ απμεζεί ε εξγαζία πέξα ηνπ x2’ κε y2’ ζηαζεξό, ηόηε νδεγνύκαζηε ζε θακπύιε ηζνπαξαγσγεο κε κηθξόηεξε παξαγόκελε πνζόηεηα.  Άξα ην R2’ ζεκείν είλαη ην Όξην Εληαηηθήο Υξεζηκνπνίεζεο ηεο Εξγαζίαο.  Σην R2’ ην νξηαθό πξντόλ ηεο εξγαζίαο είλαη ίζν κε ην κεδέλ. Άξα: f  x, y  dy    y  x  x  0  f x  x, y   0 dx f y  x, y   Η εθαπηόκελε είλαη παξάιιειε πξνο ηνλ νξηδόληην άμνλα θαη ε θιίζε είλαη κεδέλ.  Τν θεθάιαην έρεη ππνθαηαζηαζεί κε εξγαζία ζην κεγαιύηεξν δπλαηό βαζκό. Έζησ όηη βξηζθόκαζηε ζην ζεκείν R2:(x2,y2) θαη ζηελ θακπύιε q2.  Αλ απμεζεί ην θεθάιαην πέξα ηνπ y2 κε x2 ζηαζεξό, ηόηε νδεγνύκαζηε ζε θακπύιε ηζνπαξαγσγεο κε κηθξόηεξε παξαγόκελε πνζόηεηα.  Άξα ην R2 ζεκείν είλαη ην Όξην Εληαηηθήο Υξεζηκνπνίεζεο ηνπ Κεθαιαίνπ.  Σην R2 ην νξηαθό πξντόλ ηνπ θεθαιαίνπ είλαη ίζν κε ην κεδέλ. Άξα: f  x, y  dy    y  x  x    f y  x, y   0 dx f y  x, y 

8

 

Η εθαπηόκελε είλαη παξάιιειε πξνο ηνλ θάζεην άμνλα θαη ε θιίζε είλαη άπεηξε. Η εξγαζία έρεη ππνθαηαζηαζεί κε θεθάιαην ζην κεγαιύηεξν δπλαηό βαζκό.

Σπκπεξάζκαηα: Οη θακπύιεο 0R θαη OR’ δηαρσξίδνπλ ηελ νηθνλνκηθή πεξηνρή ηεο παξαγωγήο ή πεξηνρή ππνθαηάζηαζεο εηζξνώλ από ηε κε νηθνλνκηθή πεξηνρή θαη νλνκάδνληαη Κακπύιεο ή Γξακκέο Οξνζεηήζεωο. Οη θακπύιεο 0R θαη OR’ είλαη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ ζηα νπνία ην νξηαθό πξντόλ ηεο εξγαζίαο (ζηελ OR’) θαη ην νξηαθό πξντόλ ηνπ θεθαιαίνπ (ζηελ OR) είλαη κεδέλ. Άξηζηνη ΢πλδπαζκνί Εηζξνώλ. Θα αζρνιεζνύκε εδώ κε ηνλ άξηζην ζπλδπαζκό εηζξνώλ πνπ πξέπεη λα επηιέμεη έλαο παξαγσγόο. Οη Σηκέο ηωλ Εηζξνώλ θαη νη Κακπύιεο Ίζνπ Κόζηνπο. Σηόρνο ηνπ παξαγσγνύ: ε κεγηζηνπνίεζε ηνπ θέξδνπο. Έρνπκε:  ρ = εξγαζία  y = θεθάιαην  w = ηηκή εξγαζίαο (κηζζόο)  r = ηηκή θεθαιαίνπ Τν ζπλνιηθό θόζηνο ηνπ ζπλδπαζκνύ ησλ εηζξνώλ x,y, δειαδή ην πνζό πνπ πξέπεη ν c w παξαγσγόο λα δαπαλήζεη δίλεηαη από: c  wx  ry  y   x r r c Όπνπ δίλεη ηελ πνζόηεηα ηνπ θεθαιαίνπ όηαλ δελ αγνξαζηεί θαζόινπ εξγαζία r (γηα εξγαζηα=ρ=0) c w w Καη ην καο δίλεη ηελ θιίζε ηεο επζείαο y   x θαη είλαη ην αξλεηηθό ηνπ r r r Λόγνπ ηωλ Σηκώλ ηωλ Εηζξνώλ. Οη επζείεο απηέο νλνκάδνληαη Κακπύιεο Ίζνπ Κόζηνπο θαη καο δείρλνπλ ηνπο δηάθνξνπο ζπλδπαζκνύο εηζξνώλ πνπ κπνξνύλ λα ΑΓΟΡΑ΢ΘΟΤΝ κε κηα δεδνκέλε Δαπάλε (c) θαη κε δεδνκέλεο ηηο Σηκέο ηωλ Εηζξνώλ (w,r). Π.ρ w y  15  2,5 x,   2,5 r    4  y  5 Έζησ ζπλάξηεζε:    3  y  7,5    2  y  10    1  y  12,5    0  y  15

9

Γηα λα ππνθαηαζηήζω κηα κνλάδα ηνπ ρ ζα πξέπεη λα ηελ αγνξάζω ζηελ αγνξά, πνπιώληαο 2,5 κνλάδεο ηνπ αγαζνύ y (έρνληαο έλα ζηαζεξό θόζηνο). Μεγηζηνπνίεζε ηνπ Πξνϊόληνο κε δεδνκέλν Κόζηνο. Πξέπεη λα βξεζεί ν άξηζηνο ζπλδπαζκόο εηζξνώλ όηαλ έρνπκε δεδνκέλεο ηηκέο εηζξνώλ θαη δεδνκέλν θόζηνο (Κακπύιε Ίζνπ Κόζηνπο δειαδή) ώζηε λα παξαρζεί ε κεγαιύηεξε δπλαηή πνζόηεηα πξντόληνο.

Έζησ:  όηη έρνπκε κηα θακπύιε Ίζνπ Κόζηνπο c0, θαη ηξεηο θακπύιεο Ιζνπαξαγσγεο q1, q2, q3.  Η q3 δελ αλήθεη θαλ ζηνλ ρώξν ησλ εθηθηώλ εηζξνώλ νπόηε ηα επίπεδα παξαγσγήο πνπ δίλεη δελ κπνξνύλ λα επηηεπρζνύλ. w  Σην ζεκείν C ηζρύεη όηη ν  y  x  πξάγκα πνπ θαίλεηαη από ηελ r θιίζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο θακπύιεο Ιζνπαξαγσγεο ζε ζρέζε κε ηελ θιίζε ηεο θακπύιεο Ίζνπ Κόζηνπο. Άξα καο ζπκθέξεη λα ππνθαηαζηήζνπκε θεθάιαην κε εξγαζία. w  Σην ζεκείν D ηζρύεη όηη ν  y  x  πξάγκα πνπ θαίλεηαη από ηελ r θιίζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο θακπύιεο Ιζνπαξαγσγεο ζε ζρέζε κε ηελ θιίζε ηεο θακπύιεο Ίζνπ Κόζηνπο. Άξα καο ζπκθέξεη λα ππνθαηαζηήζνπκε εξγαζία κε θεθάιαην.  Δθεί πνπ κηα θακπύιε Ιζνπαξαγσγεο εθάπηεηαη κε ηε ζπγθεθξηκέλε θακπύιε Ίζνπ Κόζηνπο (ζεκείν Δ) κεγηζηνπνηείηαη ην πξντόλ κε δεδνκέλν θόζηνο. f  x, y  w dy     y  x  x  dx f y  x, y  r 

w δείρλεη ζηνλ παξαγωγό ηνπο r όξνπο κε ηνπο νπνίνπο νη εηζξνέο είλαη δπλαηόλ λα ππνθαηαζηαζνύλ ΢ΣΗΝ ΑΓΟΡΑ, ελώ ν νξηαθόο ιόγνο ηερληθήο ππνθαηάζηαζεο δείρλεη ηνπο όξνπο κε ηνπο νπνίνπο νη εηζξνέο κπνξνύλ λα ππνθαηαζηαζνύλ ΢ΣΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗ. Αλ νη δπν ιόγνη είλαη ίζε, ηόηε ν παξαγωγόο κπνξεί λα πεηύρεη κεγαιύηεξν επίπεδν παξαγωγήο κεηαθηλνύκελνο πξνο ηελ θαηεύζπλζε ηεο ηζόηεηαο ηνπο.

Ο ιόγνο ηωλ αγνξαίωλ ηηκώλ ηωλ εηζξνώλ

10

Ειαρηζηνπνίεζε ηνπ Κόζηνπο κε Δεδνκέλν Επίπεδν Παξαγωγήο. Δδώ έρνπκε έλα πξνθαζνξηζκέλν επίπεδν παξαγσγήο q2 θαη πξνζπαζνύκε λα ειαρηζηνπνηήζνπκε ην θόζηνο.



Έρνπκε ινηπόλ κηα θακπύιε Ιζνπαξαγσγεο q2 θαη δεδνκέλεο ηηκέο ησλ w εηζξνώλ άξα θαη ζπγθεθξηκέλε θιίζε ησλ θακππιώλ Ίζνπ Κόζηνπο. r



Δθεί πνπ εθάπηεηαη ε ρακειόηεξε δπλαηή θακπύιε Ίζνπ Κόζηνπο κε ηελ δεδνκέλε θακπύιε Ιζνπαξαγσγεο, εθεί ειαρηζηνπνηείηαη ην θόζηνο. f  x, y  w dy    y  x  x  dx f y  x, y  r Η ίδηα αλάιπζε ηζρύεη κε ηελ πξνεγνύκελε πεξίπησζε

 

΢πκπέξαζκα: Τν πξόβιεκα ειαρηζηνπνίεζεο ηνπ θόζηνπο γηα δεδνκέλε πνζόηεηα πξντόληνο θαιείηαη Δπαδηθό ηνπ πξνεγνύκελνπ πξνβιήκαηνο κεγηζηνπνίεζεο ηνπ πξντόληνο κε δεδνκέλν θόζηνο δηόηη θαη ηα δπν αλαθέξνληαη ζε έλα θαη ην απηό πξόβιεκα επηινγήο ηνπ παξαγσγνύ ην νπνίν θαη εμεηάδνπλ από ηηο δπν ηνπ όςεηο. Η ιύζε ησλ δπν πξνβιεκάησλ, ν άξηζηνο ζπλδπαζκόο εηζξνώλ (x,y) είλαη ε ίδηα ζε θάζε πεξίπησζε: ε εμίζσζε ηνπ Οξηαθνύ Λόγνπ Τερληθήο Υπνθαηάζηαζεο κε ηνλ Λόγν ησλ Τηκώλ ησλ Δηζξνώλ, πάλσ ζηνλ εθάζηνηε ηζρύνληα πεξηνξηζκό (θόζηνπο ή παξαγσγήο). Σπλερίδνπκε: θαηά αληηζηνηρία κε ηελ ζεσξία ζπκπεξηθνξάο ηνπ θαηαλαισηή (βιέπε ΚΔΚ) ζα εμεηάζνπκε πσο κεηαβάιιεηαη ν άξηζηνο ζπλδπαζκόο εηζξνώλ, θαζώο κεηαβάιιεηαη ην θόζηνο παξαγσγήο (θακπύιε ίζνπ θόζηνπο) ή ε πνζόηεηα ηνπ πξντόληνο πνπ παξάγεηαη (θακπύιε ηζνπαξαγσγεο). Ιζνθιηλήο Κακπύιεο. Ιζνθιηλήο Κακπύιε: είλαη ν γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ ζεκείωλ εθείλωλ ηωλ θακππιώλ ηζνπαξαγωγεο ζηα νπνία νη θακπύιεο απηέο έρνπλ ηελ ίδηα θιίζε, δειαδή ηνλ ίδην νξηαθό ιόγν ηερληθήο ππνθαηάζηαζεο. Οη Δ1, Δ2, Δ3, είλαη νη αληίζηνηρεο εθαπηόκελεο ησλ θακππιώλ ηζνπαξαγσγεο q1, q2, q3, θαη έρνπλ θαηαζθεπαζηεί έηζη ώζηε λα είλαη παξάιιειεο κεηαμύ ηνπο.

11

Σρέζεηο:  Οη γξακκέο νξνζεηήζεσο, νη νπνίεο πεξηθιείνπλ ηελ νηθνλνκηθή πεξηνρή ηεο παξαγσγήο, είλαη ηζνθιηλείο θακπύιεο δεδνκέλνπ όηη θαηά κήθνο ηνπο ν νξηαθόο ιόγνο ππνθαηάζηαζεο είλαη ζηαζεξόο. Μπνξεί ινηπόλ λα είλαη αληίζηνηρα ν νξηαθόο ιόγνο ηερληθήο ππνθαηάζηαζεο ηνπ θεθαιαίνπ κε εξγαζία ίζνο κε κεδέλ ή κε άπεηξν. 

Οη γξακκηθά νκνγελήο ζπλαξηήζεηο παξαγσγήο έρνπλ ηζνθιηλείο θακπύιεο, κε ζηαζεξή θιίζε (γξακκηθή) θαη είλαη αθηίλεο (από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ). Άξα ε αθηίλα αληηπξνζσπεύεη έλα ζηαζεξό ιόγν εηζξνώλ. Τα νξηαθά πξντόληα ησλ γξακκηθά νκνγελώλ ζπλαξηήζεσλ είλαη πάληα ζπλαξηήζεηο κόλν ηνπ ιόγνπ ησλ εηζξνώλ. Σπλεπώο θαη ν νξηαθόο ιόγνο ηερληθήο ππνθαηάζηαζεο είλαη ζπλάξηεζε ηνπ ιόγνπ ησλ εηζξνώλ (ζπκίδνπκε f  x, y  dy ).    y  x  x dx f y  x, y 



Οη γξακκέο νξνζεηήζεσο ησλ γξακκηθά νκνγελώλ ζπλαξηήζεσλ παξαγσγήο είλαη θαη απηέο επζείεο από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ.

Υπνζεκείσζε: Γηα λα απμεζεί ε παξαγσγή θαηά ι θαη λα πάκε από κηα θακπύιε ηζνπαξαγσγεο ζε κηα άιιε πην δεμηά ζα πξέπεη λα απμεζνύλ θαη νη εηζξνέο θαηά ην x x ίδην πνζνζηό ι. Άξα ν ιόγνο ησλ εηζξνώλ παξακέλεη ζηαζεξόο  y y

12

Η Κακπύιε Επεθηάζεωο. Η Κακπύιε Επεθηάζεωο : είλαη ε ζπγθεθξηκέλε Ιζνθιηλήο Κακπύιε θαηά κήθνο ηεο νπνίαο επεθηείλεηαη ε παξαγωγή, όηαλ νη ηηκέο ηωλ εηζξνώλ είλαη ζηαζεξέο. Η θακπύιε απηή δείρλεη ηνπο ελαιιαθηηθνύο ζπλδπαζκνύο ηωλ εηζξνώλ, πνπ ρξεζηκνπνηεί ν παξαγωγόο, θαζώο ην πξνϊόλ θαη ε δαπάλε ηνπ κεηαβάιιεηαη κε ζηαζεξέο ηηο ηηκέο ηωλ εηζξνώλ. Πην απιά:  Αιιάδεη ην Πξντόλ = θακπύιε Ιζνπαξαγσγεο  Αιιάδεη ην Κόζηνο – Γαπάλε = θακπύιε Ίζνπ Κόζηνπο  

w r Κάζε ζεκείν ηελ θακπύιεο επεθηάζεσο είλαη ζεκείν ηζνξξνπίαο θαη ηζρύεη f  x, y  w dy    y  x  x  dx f y  x, y  r

Παξακέλνπλ ζηαζεξέο νη ηηκέο ησλ εηζξνώλ = θιίζε ζηαζεξή

Ειαζηηθόηεηα Δαπάλεο. Γεληθόο Τύπνο Διαζηηθόηεηαο: E  n 

%( ) %( )

Η Διαζηηθόηεηα Γαπάλεο θάζε εηζξνήο αλαθέξεηαη ζε ζπλδπαζκνύο εηζξνώλ πνπ βξίζθνληαη ζηελ θακπύιε επεθηάζεσο ηεο επηρείξεζεο θαη ζηηο κεηαβνιέο ηνπο ιόγσ κεηαβνιώλ ζηε ζπλνιηθή δαπάλε ηνπ παξαγσγνύ. Μεηξάεη δειαδή ηνλ βαζκό αληίδξαζεο (κεηαβνιήο) ηεο ρξεζηκνπνηνύκελεο άξηζηεο πνζόηεηαο ηεο εηζξνήο, όηαλ κεηαβάιιεηαη ε ζπλνιηθή δαπάλε ηνπ παξαγωγνύ.

En

 ί  ή  ά   ό   ή  ί  ή   ή  ά   ύ.

13

dx* * dx* c Διαζηηθόηεηα Γαπάλεο εηζξνήο ρ: nxc  x   dc dc x* c dy * dy * c y*   Διαζηηθόηεηα Γαπάλεο εηζξνήο y: n yc  dc dc y * c Κακπύιε Επεθηάζεωο θαη δηάθξηζε εηζξνώλ ζε θαλνληθέο θαη θαηώηεξεο.

1. Όηαλ ε Κακπύιε Δπεθηάζεσο έρεη ζεηηθή θιίζε ηόηε νη εηζξνέο x,y είλαη θαλνληθέο εηζξνέο. Γειαδή όζν απμάλεηαη ε παξαγσγή θαη ην θόζηνο, ηόζν απμάλεηαη θαη ρξεζηκνπνηνύκελε πνζόηεηα ησλ εηζξνώλ. Δπίζεο nxc  0 θαη n yc  0 .

2. Μεηά ην ζεκείν Δ3 ε θακπύιε επεθηάζεσο απνθηά αξλεηηθή θιίζε θαη όζν απμάλεηαη ε παξαγσγή θαη ην θόζηνο, ηόζν κεηώλεηαη ε πνζόηεηα ηεο εηζξνήο ρ πνπ ρξεζηκνπνηνύκε ζηελ παξαγσγηθή δηαδηθαζία. Άξα ε εηζξνή ρ είλαη θαηώηεξε εηζξνή. Δπίζεο nxc  0 θαη n yc  0

14

3. Μεηά ην ζεκείν Δ3 ε θακπύιε επεθηάζεσο απνθηά αξλεηηθή θιίζε θαη όζν απμάλεηαη ε παξαγσγή θαη ην θόζηνο, ηόζν κεηώλεηαη ε πνζόηεηα ηεο εηζξνήο y πνπ ρξεζηκνπνηνύκε ζηελ παξαγσγηθή δηαδηθαζία. Άξα ε εηζξνή y είλαη θαηώηεξε εηζξνή. Δπίζεο nyc  0 θαη nxc  0

4. Σε κηα Γξακκηθά νκνγελήο ζπλάξηεζε παξαγσγήο ε θακπύιε επεθηάζεσο είλαη επζεία γξακκή από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ (αθηίλα). Απηό αληαλαθιά ην γεγνλόο όηη κε ζηαζεξέο απνδόζεηο θιίκαθαο ηα ζεκεία ηζνξξνπίαο ηνπ παξαγσγνύ θαη νη αλαινγίεο κε ηηο νπνίεο ρξεζηκνπνηνύληαη νη εηζξνέο εμαξηώληαη κόλνλ από ηνλ ιόγν ησλ ηηκώλ ησλ εηζξνώλ θαη είλαη αλεμάξηεηα από ην επίπεδν ηνπ παξαγόκελνπ πξντόληνο.

Σπκπέξαζκα: Μηα εηζξνή νλνκάδεηαη θαλνληθή ή θαηώηεξε αλάινγα κε ην αλ ε ειαζηηθόηεηα δαπάλεο είλαη ζεηηθή ή αξλεηηθή αληίζηνηρα. Έζησ x*,y* είλαη νη πνζόηεηεο ησλ εηζξνώλ θαηά κήθνο ηεο θακπύιεο επεθηάζεσο, θαζώο ε ζπλνιηθή δαπάλε ηνπ παξαγσγνύ απμάλεηαη. Άξα ε δαπάλε ζα δίλεηαη από c  wx*  ry* . Παξαγσγίδνληαο σο πξνο c (δειαδή όζν κεηαβάιιεηαη ην c λα δνύκε ηη ζπκβαίλεη ζηηο άιιεο κεηαβιεηέο) παίξλνπκε:

15

dx* dy* dx* wx* c dy* ry* c dx* c wx* dy* c ry* w r 1   *   * 1      1 dc dc dc c x dc c y dc x* c dc y * c  nxc

wx* ry*  n yc  1  ax nxc  a yc n yc  1 c c

wx* είλαη πνζνζηό ηεο δαπάλεο γηα ηελ x εηζξνή c ry* όπνπ a yc  είλαη πνζνζηό ηεο δαπάλεο γηα ηελ y εηζξνή c

όπνπ ax 

 

Όηαλ nxc=nyc=1 ηόηε ax θαη ay είλαη ζηαζεξά. Όηαλ όκσο εxc>1 ην ax απμάλεη, ελώ όηαλ nyc<1 ην ay κεηνύηαη.

16