´ UNIVERSIDADES PUBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOE) Curso 2009-2010 ´ MATERIA: MATEMATICAS II ´ INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACION El alumno contestar´a a los cuatro ejercicios de una de las dos opciones (A o B) que se le ofrecen. Nunca deber´a contestar a unos ejercicios de una opci´on y a otros ejercicios de la otra opci´on. En cualquier caso, la caliďŹ caci´on se har´a sobre lo respondido a una de las dos opciones. No se permite el uso de calculadoras gr´aďŹ cas. CaliďŹ caci´ on total m´ axima: 10 puntos. Tiempo: Hora y media. ´ A OPCION on m´ axima: 3 puntos. Ejercicio 1 . CaliďŹ caci´ Dada la funci´on: đ?‘“ (đ?‘Ľ) =
đ?‘Ľ2 + 2 đ?‘Ľ2 + 1
se pide: a) (0’75 puntos) Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de đ?‘“ (đ?‘Ľ). b) (0’75 puntos) Hallar los puntos de inexi´on de la gr´aďŹ ca de đ?‘“ (đ?‘Ľ). c) (0’75 puntos) Hallar las as´Ĺntotas y dibujar la gr´aďŹ ca de đ?‘“ (đ?‘Ľ). d) (0,75 puntos) Hallar el ´area del recinto acotado que limitan la gr´aďŹ ca de đ?‘“ (đ?‘Ľ), el eje de abscisas y las rectas đ?‘Ś = đ?‘Ľ + 2, đ?‘Ľ = 1. Ejercicio 2 . CaliďŹ caci´ on m´ axima: 3 puntos. Dadas las rectas: đ?‘&#x;≥
đ?‘Ľ đ?‘Śâˆ’1 đ?‘§+4 = = , 2 3 −1
đ?‘ ≥
� � � = = , 1 1 4
se pide: a) (2 puntos) Determinar la ecuaci´on de la recta perpendicular com´ un a đ?‘&#x; y đ?‘ . b) (1 punto) Calcular la m´Ĺnima distancia entre las rectas đ?‘&#x; y đ?‘ . Ejercicio 3 . CaliďŹ caci´ on m´ axima: 2 puntos. Dado el sistema homog´eneo de ecuaciones: ⎧ ⎨ đ?‘Ľ + 2đ?‘Ľ − ⎊ đ?‘Ľ −
đ?‘˜đ?‘Ś đ?‘Ś 4đ?‘Ś
− + +
đ?‘§ 2đ?‘§ đ?‘˜đ?‘§
= = =
0, 0, 0,
se pide: a) (1 punto) Determinar para qu´e valores del par´ametro đ?‘˜ el sistema tiene soluciones distintas de đ?‘Ľ = đ?‘Ś = đ?‘§ = 0. b) (1 punto) Resolverlo para el caso đ?‘˜ = 3. on m´ axima: 2 puntos. Ejercicio 4 . CaliďŹ caci´ Dadas las matrices:
( đ??´=
1 1
1 −2
)
( ,
đ??ź=
1 0 0 1
) ,
se pide: a) (1 punto) Hallar dos constantes đ?‘Ž, đ?‘?, tales que đ??´2 = đ?‘Žđ??´ + đ?‘?đ??ź. b) (1 punto) Sin calcular expl´Ĺcitamente đ??´3 y đ??´4 , y utilizando s´olo la expresi´on anterior, obtener la matriz đ??´5 .