Junio 2010

´ UNIVERSIDADES PUBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOE) Curso 2009-2010 ´ MATERIA: MATEMATICAS II ´ INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACION El alumno contestar´a a los cuatro ejercicios de una de las dos opciones (A o B) que se le ofrecen. Nunca deber´a contestar a unos ejercicios de una opci´on y a otros ejercicios de la otra opci´on. En cualquier caso, la caliďŹ caci´on se har´a sobre lo respondido a una de las dos opciones. No se permite el uso de calculadoras gr´aďŹ cas.

CaliďŹ caci´ on total m´ axima: 10 puntos.

Tiempo: Hora y media. ´ A OPCION on m´ axima: 3 puntos.

Ejercicio 1 . CaliďŹ caci´ Dada la funci´on: đ?‘“ (đ?‘Ľ) =

đ?‘Ľ2 + 2 đ?‘Ľ2 + 1

se pide: a) (0’75 puntos) Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de đ?‘“ (đ?‘Ľ). b) (0’75 puntos) Hallar los puntos de inexi´on de la gr´aďŹ ca de đ?‘“ (đ?‘Ľ). c) (0’75 puntos) Hallar las as´Ĺntotas y dibujar la gr´aďŹ ca de đ?‘“ (đ?‘Ľ). d) (0,75 puntos) Hallar el ´area del recinto acotado que limitan la gr´aďŹ ca de đ?‘“ (đ?‘Ľ), el eje de abscisas y las rectas đ?‘Ś = đ?‘Ľ + 2, đ?‘Ľ = 1.

Ejercicio 2 . CaliďŹ caci´ on m´ axima: 3 puntos.

Dadas las rectas: đ?‘&#x;≥

đ?‘Ľ đ?‘Śâˆ’1 đ?‘§+4 = = , 2 3 −1

đ?‘ ≥

� � � = = , 1 1 4

se pide: a) (2 puntos) Determinar la ecuaci´on de la recta perpendicular com´ un a đ?‘&#x; y đ?‘ . b) (1 punto) Calcular la m´Ĺnima distancia entre las rectas đ?‘&#x; y đ?‘ .

Ejercicio 3 . CaliďŹ caci´ on m´ axima: 2 puntos.

Dado el sistema homog´eneo de ecuaciones: ⎧ ⎨ đ?‘Ľ + 2đ?‘Ľ − ⎊ đ?‘Ľ −

đ?‘˜đ?‘Ś đ?‘Ś 4đ?‘Ś

− + +

đ?‘§ 2đ?‘§ đ?‘˜đ?‘§

= = =

0, 0, 0,

se pide: a) (1 punto) Determinar para qu´e valores del par´ametro đ?‘˜ el sistema tiene soluciones distintas de đ?‘Ľ = đ?‘Ś = đ?‘§ = 0. b) (1 punto) Resolverlo para el caso đ?‘˜ = 3. on m´ axima: 2 puntos.

Ejercicio 4 . CaliďŹ caci´ Dadas las matrices:

( đ??´=

1 1

1 −2

)

( ,

đ??ź=

1 0 0 1

) ,

se pide: a) (1 punto) Hallar dos constantes đ?‘Ž, đ?‘?, tales que đ??´2 = đ?‘Žđ??´ + đ?‘?đ??ź. b) (1 punto) Sin calcular expl´Ĺcitamente đ??´3 y đ??´4 , y utilizando s´olo la expresi´on anterior, obtener la matriz đ??´5 .

´ B OPCION Ejercicio 1 . CaliďŹ caci´ on m´ axima: 3 puntos.

Dada la funci´on:

⎧√ ⎨ đ?‘Ľ ln đ?‘Ľ , si đ?‘Ľ > 0 , đ?‘“ (đ?‘Ľ) = 2đ?‘Ľ ⎊ đ?‘Ľ + đ?‘˜ , si đ?‘Ľ ≤ 0 ,

donde ln đ?‘Ľ signiďŹ ca logaritmo neperiano de đ?‘Ľ, se pide: a) (1 punto) Determinar el valor de đ?‘˜ para que la funci´on sea continua en â„?. b) (1 punto) Hallar los puntos de corte con los ejes de coordenadas. c) (1 punto) Obtener la ecuaci´on de la recta tangente a la gr´aďŹ ca de la funci´on en el punto de abscisa đ?‘Ľ = 1.

Ejercicio 2 . CaliďŹ caci´ on m´ axima: 3 puntos.

Dado el sistema de ecuaciones: ⎧ ⎨ � �� ⎊ �

+ đ?‘Žđ?‘Ś

− đ?‘§ + 2đ?‘§ + đ?‘§

= đ?‘Ž, = −2 , = −2 ,

se pide: a) (2 puntos) Discutirlo seg´ un los valores del par´ametro �. b) (1 punto) Resolverlo en el caso � = 0.

Ejercicio 3 . CaliďŹ caci´ on m´ axima: 2 puntos.

Dadas las rectas: đ?‘§+1 đ?‘Śâˆ’1 = , đ?‘&#x;≥đ?‘Ľ= 2 −1

{ đ?‘Ľ + đ?‘§ = 3, đ?‘ ≥ 2đ?‘Ľ − đ?‘Ś = 2 ,

se pide: a) (1 punto) Hallar la ecuaci´on del plano đ?œ‹ determinado por đ?‘&#x; y đ?‘ . b) (1 punto) Hallar la distancia desde el punto đ??´(0, 1, −1) a la recta đ?‘ .

Ejercicio 4 . CaliďŹ caci´ on m´ axima: 2 puntos.

Sea đ?œ‹ el plano que contiene a los puntos đ?‘ƒ = (1, 0, 0), đ?‘„ = (0, 2, 0) y đ?‘… = (0, 0, 3). Se pide: a) (1 punto) Hallar el volumen del tetraedro determinado por el origen de coordenadas y los puntos đ?‘ƒ , đ?‘„ y đ?‘…. b) (1 punto) Calcular las coordenadas del punto sim´etrico del origen de coordenadas respecto del plano đ?œ‹.

´ MATEMATICAS II ´ CRITERIOS ESPEC´ IFICOS DE CORRECCION

´ A OPCION

Ejercicio 1. a) Planteamiento, 0,25 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos. b) Planteamiento, 0,25 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos. c) Encontrar la as´Ĺntota horizontal: 0,5 puntos repartidos en: Planteamiento, 0,25 puntos. Resoluci´on, 0,25 puntos. Dibujar la gr´aďŹ ca: 0,25 puntos. d) Planteamiento, 0,25 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos.

Ejercicio 2. a) Planteamiento, 1 punto. Resoluci´on, 1 punto. b) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos.

Ejercicio 3. a) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos. b) Planteamiento, 0,5 puntos; Resoluci´on, 0,5 puntos.

Ejercicio 4. a) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos. b) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos.

´ B OPCION

Ejercicio 1. a) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos. b) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos. c) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos.

Ejercicio 2. a) Por determinar los valores � = 0, � = 2; 0,5 puntos. Discusi´on de cada caso: 0,5 puntos. b) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos.

Ejercicio 3. a) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos. b) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos.

Ejercicio 4. a) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos. b) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos.