Junio 2011

´ UNIVERSIDADES PUBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID Ëœ PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSENANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO Curso 2010-2011 ´ MATERIA: MATEMATICAS II ´ INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACION El alumno contestar´a a los cuatro ejercicios de una de las dos opciones (A o B) que se le ofrecen. Nunca deber´a contestar a unos ejercicios de una opci´on y a otros ejercicios de la otra opci´on. En cualquier caso, la caliďŹ caci´on se har´a sobre lo respondido a una de las dos opciones. No se permite el uso de calculadoras gr´aďŹ cas. Todas las respuestas deber´ an estar debidamente justiďŹ cadas.

CaliďŹ caci´ on total m´ axima: 10 puntos.

Tiempo: Hora y media. ´ A OPCION on m´ axima: 3 puntos.

Ejercicio 1 . CaliďŹ caci´ ⎛ Dada la matriz 2đ?‘Ž đ??´ = âŽ? −1 2

−2 đ?‘Ž 1

⎞ đ?‘Ž2 −1 ⎠, đ?‘Ž

a) (1 punto) Calcular el rango de đ??´ en funci´on de los ⎛ valores ⎞ de ⎛ đ?‘Ž. ⎞ đ?‘Ľ 2 b) (1 punto) En el caso đ?‘Ž = 2, discutir el sistema đ??´ âŽ? đ?‘Ś ⎠= âŽ? 1 ⎠en funci´on de los valores de đ?‘§ đ?‘? ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ đ?‘?, y resolverlo cuando sea posible. đ?‘Ľ −1 c) (1 punto) En el caso đ?‘Ž = 1, resolver el sistema đ??´ âŽ? đ?‘Ś ⎠= âŽ? 2 ⎠. đ?‘§ 2 Ejercicio 2 . CaliďŹ caci´ on m´ axima: 3 puntos. a) (1’5 puntos) Hallar el volumen del tetraedro que tiene un v´ertice en el origen y los otros tres v´ertices en las intersecciones de las rectas { { đ?‘Ś = 0, đ?‘Ľ = 0, đ?‘&#x;1 ≥ đ?‘Ľ = đ?‘Ś = đ?‘§ , đ?‘&#x;2 ≥ đ?‘&#x;3 ≥ đ?‘§ = 0, đ?‘§ = 0, con el plano đ?œ‹ ≥ 2đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś + 7đ?‘§ = 24. b) (1’5 puntos) Hallar la recta đ?‘ que corta perpendicularmente a las rectas đ?‘&#x;4 ≥

đ?‘Ľ+1 đ?‘Śâˆ’5 đ?‘§+1 = = , 1 2 −2

đ?‘&#x;5 ≥

đ?‘Ľ đ?‘Ś+1 đ?‘§âˆ’1 = = .

2 3 −1

Ejercicio 3 . CaliďŹ caci´ on m´ axima: 2 puntos. âˆŤ 3 √ a) (1 punto) Calcular la integral đ?‘Ľ 4 + 5đ?‘Ľ2 đ?‘‘đ?‘Ľ.

1

b) (1 punto) Hallar los valores m´Ĺnimo y m´aximo absolutos de la funci´on � (�) =

√

12 − 3đ?‘Ľ2 .

Ejercicio 4 . CaliďŹ caci´ on m´ axima: 2 puntos. a) (1 punto) Calcular el siguiente l´Ĺmite:

√

đ?‘Ľ √ . đ?‘Ľ+ đ?‘Ľ

l´Ĺm √

đ?‘Ľâ†’+∞

b) (1 punto) Demostrar que la ecuaci´on 4đ?‘Ľ5 + 3đ?‘Ľ + đ?‘š = 0 s´olo tiene una ra´Ĺz real, cualquiera que sea el n´ umero đ?‘š. JustiďŹ car la respuesta indicando qu´e teoremas se usan.

´ B OPCION Ejercicio 1 . CaliďŹ caci´ on m´ axima: 3 puntos.

Dada la funci´on � (�) =

đ?‘Žđ?‘Ľ4 + 1 đ?‘Ľ3

se pide: a) (1 punto) Determinar el valor de � para el que la funci´on posee un m´Ĺnimo relativo en � = 1.

Para ese valor de đ?‘Ž, obtener los otros puntos en que đ?‘“ tiene un extremo relativo. b) (1 punto) Obtener las as´Ĺntotas de la gr´aďŹ ca de đ?‘Ś = đ?‘“ (đ?‘Ľ) para đ?‘Ž = 1. c) (1 punto) Esbozar la gr´aďŹ ca de la funci´on para đ?‘Ž = 1.

Ejercicio 2 . CaliďŹ caci´ on m´ axima: 3 puntos. a) (2 puntos) Discutir el sistema de ecuaciones đ??´đ?‘‹ = đ??ľ, donde ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ đ?‘Ľ 0 1 đ?‘šâˆ’1 ⎠, đ?‘‹ = âŽ? đ?‘Ś ⎠, 0 đ?‘šâˆ’1 1 đ??´=âŽ? đ?‘§ đ?‘šâˆ’2 0 0

⎛

⎞ đ?‘š đ??ľ = âŽ? đ?‘š ⎠, đ?‘š+2

seg´ un los valores de �. b) (1 punto) Resolver el sistema en los casos � = 0 y � = 1.

Ejercicio 3 . CaliďŹ caci´ on m´ axima: 2 puntos.

Dados los planos đ?œ‹1 ≥ 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś − 2đ?‘§ = 1 ,

đ?œ‹2 ≥ đ?‘Ľ − đ?‘Ś + 2đ?‘§ = 1 ,

se pide: a) (0’5 puntos) Estudiar su posici´on relativa. b) (1’5 puntos) En caso de que los planos sean paralelos hallar la distancia entre ellos; en caso de que se corten, hallar un punto y un vector de direcci´on de la recta que determinan. on m´ axima: 2 puntos.

Ejercicio 4 . CaliďŹ caci´ a) (0’75 puntos) Hallar la ecuaci´on del plano đ?œ‹1 que pasa por los puntos đ??´(1, 0, 0), đ??ľ(0, 2, 0) y đ??ś(0, 0, 1). b) (0’75 puntos) Hallar la ecuaci´on del plano đ?œ‹2 que contiene al punto đ?‘ƒ (1, 2, 3) y es perpendicular al vector ⃗đ?‘Ł (−2, 1, 1). c) (0’5 puntos) Hallar el volumen del tetraedro de v´ertices đ??´, đ??ľ, đ??ś y đ?‘ƒ .

´ MATEMATICAS II ´ CRITERIOS ESPEC´ IFICOS DE CORRECCION Todas las respuestas deber´ an estar debidamente justiďŹ cadas.

´ A OPCION

Ejercicio 1. a) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos. b) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos. c) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos..

Ejercicio 2. a) Por la obtenci´on de cada uno de los tres puntos 0,25 puntos. Por el c´alculo del volumen 0,75 puntos repartidos en Planteamiento, 0,25 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos. b) Planteamiento, 0,75 puntos. Resoluci´on, 0,75 puntos.

Ejercicio 3. a) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos. b) Por el planteamiento del problema en [−2, 2], 0’5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos.

Ejercicio 4. a) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,5 puntos. b) Por la utilizaci´on en el argumento de cada teorema, 0,5 puntos.

´ B OPCION

Ejercicio 1. a) Por la determinaci´on del valor de đ?‘Ž, 0,5 puntos repartidos en: Planteamiento, 0,25 puntos. Resoluci´on, 0,25 puntos. Por la obtenci´on del otro extremo relativo, 0,5 puntos repartidos en: Planteamiento, 0,25 puntos. Resoluci´on, 0,25 puntos. b) Por la obtenci´on de cada as´Ĺntota, 0,5 puntos repartidos en: Planteamiento, 0,25 puntos. Resoluci´on, 0,25 puntos. c) Si la gr´aďŹ ca es coherente con lo obtenido en a) y b), 0,5 puntos. Si es totalmente correcta, 1 punto.

Ejercicio 2. a) Por determinar los valores cr´Ĺticos (đ?‘š = 0) y (đ?‘š = 2), 0,5 puntos repartidos en: Planteamiento, 0,25 puntos. Resoluci´on, 0,25 puntos. Por discutir el sistema en cada uno de los casos (đ?‘š = 0), (đ?‘š = 2) y (đ?‘š ∕= 0, đ?‘š ∕= 2), 0,5 puntos por caso, repartidos en: Planteamiento, 0,25 puntos. Resoluci´on, 0,25 puntos b) Por la resoluci´on de cada uno de los dos sistemas, 0,5 puntos repartidos en: Planteamiento, 0,25 puntos. Resoluci´on, 0,25 puntos.

Ejercicio 3. a) Planteamiento, 0,25 puntos. Resoluci´on, 0,25 puntos. b) Planteamiento, 0,75 puntos. Resoluci´on, 0,75 puntos.

Ejercicio 4. a) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,25 puntos. b) Planteamiento, 0,5 puntos. Resoluci´on, 0,25 puntos. c) Planteamiento, 0,25 puntos. Resoluci´on, 0,25 puntos.