´ UNIVERSIDADES PUBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID ˜ PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSENANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO Curso 2012-2013 ´ MATERIA: MATEMATICAS II ´ INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACION El alumno contestar´ a a los cuatro ejercicios de una de las dos opciones (A o B) que se le ofrecen. Nunca deber´a contestar a unos ejercicios de una opci´on y a otros ejercicios de la otra opci´on. En cualquier caso, la calificaci´on se har´a sobre lo respondido a una de las dos opciones. No se permite el uso de calculadoras gr´aficas. Todas las respuestas deber´ an estar debidamente justificadas. Calificaci´ on total m´ axima: 10 puntos. Tiempo: Hora y media. ´ A OPCION Ejercicio 1 . Calificaci´ on m´ axima: 3 puntos. Dados el punto P (−1, 0, 2) y las rectas: { x − z = 1, r≡ y − z = −1 ,
x = 1 + λ , s ≡ y = λ, z = 3,
se pide: a) (1 punto) Determinar la posici´on relativa de r y s. b) (1 punto) Determinar la ecuaci´on de la recta que pasa por P y corta a r y s. c) (1 punto) Determinar la ecuaci´on de la recta perpendicular com´ un a r y s. on m´ axima: 3 puntos. Ejercicio 2 . Calificaci´ Dado el sistema de ecuaciones lineales: ax + 7y + 5z x + ay + z y + z
= 0, = 3, = −2 ,
se pide: a) (2 puntos) Discutirlo seg´ un los valores de a. b) (0,5 puntos) Resolverlo en el caso a = 4. c) (0,5 puntos) Resolverlo en el caso a = 2. Ejercicio 3 . Calificaci´ on m´ axima: 2 puntos. x3 , se pide: (x − 3)2 a) (1 punto) Hallar las as´ıntotas de su gr´afica. b) (1 punto) Hallar la ecuaci´on de la recta tangente a la gr´afica de f (x) en el punto de abscisa x = 2.
Dada la funci´on f (x) =
Ejercicio 4 . Calificaci´ on m´ axima: 2 puntos. Calcular las siguientes integrales: ∫ x−3 dx. a) (1 punto) x2 + 9
∫ b) (1 punto) 1
2
3 − x2 + x4 dx. x3