Trigonometria

TRIGONOMETRĂ?A MEDIDA DE Ă NGULOS Un ĂĄngulo es la regiĂłn del plano comprendida entre dos semirrectas con origen comĂşn. A las semirrectas se las llama lados y al origen comĂşn vĂŠrtice.

El ångulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo en caso contrario Para medir ångulos se utilizan las siguientes unidades: Grado sexagesimal (°) Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ångulo central correspondiente a cada una de sus partes es un ångulo de un grado (1°) sexagesimal.

Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').

RadiĂĄn (rad) Es la medida de un ĂĄngulo cuyo arco mide igual que el radio.

1đ?œ‹đ?œ‹ rad = 180° Paso de grados a radianes 30Âş

rad

180° = đ?œ‹đ?œ‹ rad 30Âş = x rad

1

Paso de radianes a grados đ?œ‹đ?œ‹

đ?œ‹đ?œ‹ rad = 180° đ?œ‹đ?œ‹

3

3

rad

Âş

rad = x Âş

Razones trigonomĂŠtricas Seno Seno del ĂĄngulo B: es la razĂłn entre el cateto opuesto al ĂĄngulo y la hipotenusa.

Se denota por sen B.

Coseno Coseno del ĂĄngulo B: es la razĂłn entre el cateto contiguo al ĂĄngulo y la hipotenusa.

Se denota por cos B.

Tangente Tangente del ĂĄngulo B: es la razĂłn entre el cateto opuesto al ĂĄngulo y el cateto contiguo al ĂĄngulo.

Se denota por tg B.

Cosecante Cosecante del ĂĄngulo B: es la razĂłn inversa del seno de B. Se denota por cosec B.

2

Secante Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B. Se denota por sec B.

Cotangente Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B. Se denota por cotg B.

Razones trigonométricas de cualquier ángulo Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad. En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.

QOP y TOS son triángulos semejantes.

QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.

El seno es la ordenada.

El coseno es la abscisa.

-1 ≤ sen α ≤ 1 -1 ≤ cos α ≤ 1

3

Signo de las razones trigonométricas

Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º Si dibujamos un triángulo equilátero ABC, cada uno de sus tres ángulos mide 60º y, si trazamos una altura del mismo, h, el ángulo del vértice A por el que la hemos trazado queda dividido en dos iguales de 30º cada uno. Recurriendo al Teorema de Pitágoras, tenemos que la altura es:

Seno, coseno y tangente de 45º

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Razones trigonomĂŠtricas de ĂĄngulos notables

Identidades trĂ­gonomĂŠtricas fundamentales

sen² ι + cos² ι = 1

(1)

Si en (1) dividimos todo entre cos² Îą tenemos: đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ? đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ?

+

đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ?

=

đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ?

đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ?

, simplificando

1 + tg² ι =sec² ι

ya que

Si en (1) dividimos todo entre đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ 2 âˆ? đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ? đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”âˆ?

+

đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ?

đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ?

=

đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ?

cosec² ι = 1 + cotg² ι

đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ? đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ?

= đ?’•đ?’•đ?’•đ?’•đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ? y

đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ?

= đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ?

, simplificando ya que

Ejemplos:

đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ?

đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ?

= đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ? y

đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ?

= đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ?

1.- Sabiendo que sen ι = 3/5, y que 90º <ι <180°. Calcular las razones trigonomÊtricas del ångulo ι.

Como sen² ι + cos² ι = 1 despejando cos² ι = 1

Sustituyendo:

Como

đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;?=

- sen² ι

luego đ??&#x153;đ??&#x153;đ??&#x153;đ??&#x153;đ??&#x153;đ??&#x153; đ?&#x203A;&#x201A;đ?&#x203A;&#x201A; = ďż˝đ?&#x;?đ?&#x;?

â&#x2C6;&#x2019;

đ??Źđ??Źđ??Źđ??Źđ??Źđ??ŹÂ˛ đ?&#x203A;&#x201A;đ?&#x203A;&#x201A;

đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;? cos â&#x2C6;?

5

2.- Sabiendo que tg ι = 2, y que 180º < ι <270°. Calcular las restantes razones trigonomÊtricas del ångulo ι.

Como

đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;?=

đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;? cos â&#x2C6;?

entonces đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;?= cos â&#x2C6;? ¡ đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;?

REDUCCIĂ&#x201C;N AL PRIMER CUADRANTE Ă ngulos suplementarios Son aquĂŠllos cuya suma es 180° Ăł đ??&#x2026;đ??&#x2026; radianes.

Ejemplo:

Ă ngulos que se diferencian en 180° Son aquĂŠllos cuya suma es 180° Ăł đ??&#x2026;đ??&#x2026; radianes.

6

Ejemplo:

Ă ngulos opuestos Son aquĂŠllos cuya suma es 360Âş Ăł 2đ??&#x2026;đ??&#x2026; radianes.

Ejemplo:

Ă ngulos complementarios Son aquĂŠllos cuya suma es 90Âş Ăł

đ??&#x2026;đ??&#x2026; đ?&#x;?đ?&#x;?

radianes.

7

Ejemplo:

8