Trigonometria

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TRIGONOMETRĂ?A MEDIDA DE Ă NGULOS Un ĂĄngulo es la regiĂłn del plano comprendida entre dos semirrectas con origen comĂşn. A las semirrectas se las llama lados y al origen comĂşn vĂŠrtice.

El ĂĄngulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo en caso contrario Para medir ĂĄngulos se utilizan las siguientes unidades: Grado sexagesimal (°) Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ĂĄngulo central correspondiente a cada una de sus partes es un ĂĄngulo de un grado (1°) sexagesimal. Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos (''). RadiĂĄn (rad) Es la medida de un ĂĄngulo cuyo arco mide igual que el radio. 1đ?œ‹đ?œ‹ rad = 180° Paso de grados a radianes 30Âş

rad

180° = đ?œ‹đ?œ‹ rad 30Âş = x rad

1

Paso de radianes a grados đ?œ‹đ?œ‹

đ?œ‹đ?œ‹ rad = 180° đ?œ‹đ?œ‹

3

3

rad

Âş

rad = x Âş

Razones trigonomĂŠtricas Seno Seno del ĂĄngulo B: es la razĂłn entre el cateto opuesto al ĂĄngulo y la hipotenusa. Se denota por sen B.

Coseno Coseno del ĂĄngulo B: es la razĂłn entre el cateto contiguo al ĂĄngulo y la hipotenusa. Se denota por cos B.

Tangente Tangente del ĂĄngulo B: es la razĂłn entre el cateto opuesto al ĂĄngulo y el cateto contiguo al ĂĄngulo. Se denota por tg B.

Cosecante Cosecante del ĂĄngulo B: es la razĂłn inversa del seno de B. Se denota por cosec B.

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Secante Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B. Se denota por sec B.

Cotangente Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B. Se denota por cotg B.

Razones trigonométricas de cualquier ángulo Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad. En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj. QOP y TOS son triángulos semejantes. QOP y T'OS′ son triángulos semejantes. El seno es la ordenada. El coseno es la abscisa. -1 ≤ sen α ≤ 1 -1 ≤ cos α ≤ 1

3

Signo de las razones trigonométricas

Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º Si dibujamos un triángulo equilátero ABC, cada uno de sus tres ángulos mide 60º y, si trazamos una altura del mismo, h, el ángulo del vértice A por el que la hemos trazado queda dividido en dos iguales de 30º cada uno. Recurriendo al Teorema de Pitágoras, tenemos que la altura es:

Seno, coseno y tangente de 45º

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Razones trigonomĂŠtricas de ĂĄngulos notables

Identidades trĂ­gonomĂŠtricas fundamentales

sen² ι + cos² ι = 1

(1)

Si en (1) dividimos todo entre cos² Îą tenemos: đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ? đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ?

+

đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ?

=

đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ?

đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ?

, simplificando

1 + tg² ι =sec² ι

ya que

Si en (1) dividimos todo entre đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ 2 âˆ? đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ? đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”âˆ?

+

đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ?

đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ?

=

đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ?

cosec² ι = 1 + cotg² ι

đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ? đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ?

= đ?’•đ?’•đ?’•đ?’•đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ? y

đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ?

= đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ?

, simplificando ya que

Ejemplos:

đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ?

đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ?

= đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ? y

đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?’”đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ?

= đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?’„đ?&#x;?đ?&#x;? âˆ?

1.- Sabiendo que sen ι = 3/5, y que 90º <ι <180°. Calcular las razones trigonomÊtricas del ångulo ι.

Como sen² ι + cos² ι = 1 despejando cos² ι = 1

Sustituyendo:

Como

đ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘”đ?‘” âˆ?=

- sen² ι

luego đ??œđ??œđ??œđ??œđ??œđ??œ đ?›‚đ?›‚ = ďż˝đ?&#x;?đ?&#x;?

−

đ??Źđ??Źđ??Źđ??Źđ??Źđ??ŹÂ˛ đ?›‚đ?›‚

đ?‘ đ?‘ đ?‘’đ?‘’đ?‘›đ?‘› âˆ? cos âˆ?

5

2.- Sabiendo que tg ι = 2, y que 180º < ι <270°. Calcular las restantes razones trigonomÊtricas del ångulo ι.

Como

đ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘”đ?‘” âˆ?=

đ?‘ đ?‘ đ?‘’đ?‘’đ?‘›đ?‘› âˆ? cos âˆ?

entonces đ?‘ đ?‘ đ?‘’đ?‘’đ?‘›đ?‘› âˆ?= cos âˆ? ¡ đ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘”đ?‘” âˆ?

REDUCCIĂ“N AL PRIMER CUADRANTE Ă ngulos suplementarios Son aquĂŠllos cuya suma es 180° Ăł đ??…đ??… radianes.

Ejemplo:

Ă ngulos que se diferencian en 180° Son aquĂŠllos cuya suma es 180° Ăł đ??…đ??… radianes.

6

Ejemplo:

Ă ngulos opuestos Son aquĂŠllos cuya suma es 360Âş Ăł 2đ??…đ??… radianes.

Ejemplo:

Ă ngulos complementarios Son aquĂŠllos cuya suma es 90Âş Ăł

đ??…đ??… đ?&#x;?đ?&#x;?

radianes.

7

Ejemplo:

8

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