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Año Medio

MATEMÁTICA Guía didáctica para el Profesor

Andrés Ortiz Jiménez Profesor de Matemática.

Licenciado en Educación.

Magister en Enseñanza de las Ciencias.

Facultad de Educación, Universidad de Concepción.

Cristián Reyes Reyes Doctor en Matemática.

Centro de Modelamiento Matemático, Universidad de Chile.

Marisol Valenzuela Chandía Profesora de Matemática.

Facultad de Filosofía y Humanidades.

Licenciada en Matemática.

Facultad de Ciencias, Universidad de Chile.

Coordinadora de Ciencias y Matemáticas EDUCAUC.

Eugenio Chandía Muñoz Profesor de Matemática y Computación.

Facultad de Educación, Universidad de Concepción.

Estudios de Magíster en Matemática.

Facultad Ciencias Físicas y Matemáticas, Universidad de Concepción.

Estudios de Magíster en Educación.

Facultad de Educación, Universidad de Concepción.

SANTIAGO • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MADRID MÉXICO • NUEVA YORK • SAN JUAN •SANTAFÉ DE BOGOTÁ • SÂO PAULO AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI SAN FRANCISCO • SIDNEY • SINGAPUR • ST. LOUIS • TORONTO

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Matemática 1˚ Año Medio

Guía didáctica para el Profesor No está permitida la reproducción total o parcial de este libro ni su tratamiento informático ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, tal sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otro método sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

DERECHOS RESERVADOS © 2010.

McGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE CHILE LTDA. Evaristo Lillo 112, piso 7, Las Condes.

Tel: 562- 661 3000 Santiago de Chile.

Autores Andrés Ortiz Jiménez.

Cristián Reyes Reyes.

Marisol Valenzuela Chandía.

Eugenio Chandía Muñoz.

Editora Paola González M. Correción de estilo Patricia Romero M. Coordinadora de arte Pamela Madrid F. Portada Pamela Madrid F. Ilustraciones Cristian “Chamán” González & Carlos “Vieje” Carrasco (Invasor Studio) Archivo gráfico Banco de fotografía McGraw-Hill.

La materialidad y fabricación de este texto está certificada por el IDIEM – Universidad de Chile.

ISBN: 978-956-278-223-4 N˚ de Inscripción: 186.065 Impreso en Chile por: RR Donnelley Chile Se terminó de imprimir esta primera edición de 6.201 ejemplares, en el mes de noviembre de 2010.

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A los maestros El texto del estudiante que hemos preparado, tiene como meta desarrollar habilidades que permitan estructurar el pensamiento, promover el uso de esquemas, de representaciones y modelos y potenciar la formulación de problemas, e interpretarlos. Desarrollar un sistema de acciones que permita afrontarlos, conjeturar, contrastar ideas, métodos y soluciones.

Por algunas razones históricas y de gustos personales, se asocian las demostraciones con la geometría, siendo que es allí donde es más difícil dar una prueba realmente rigurosa, debido que se basa mucho en el dibujo. En cambio en aritmética y álgebra se pueden hacer varias demostraciones en este nivel, por ejemplo, que la suma de un número con su sucesor es impar.

Es importante notar la increíble rapidez con que cambian las miradas de las cosas, lo que se veía deterministamente, hoy se estudia probabilisticamente o estadísticamente, lo que se creía ordenado, ahora se estudia con modelos caóticos, lo que se estudiaba en forma continua ahora se hace en forma discreta. Lo que era un buen modelo ya no lo es.

El libro tiene una gran cantidad de actividades, de aplicación, de reflexión, de cálculos directos, de razonamiento, de demostraciones sencillas, para que los estudiantes de todos los ritmos de aprendizaje puedan desarrollar las habilidades antes mencionadas. Fue necesario crear una gran cantidad de problemas de contexto real no forzado, de modo que el estudiante no crea que se estudia matemáticas solo para responder la prueba SIMCE o la PSU. La matemática realmente sirve para modelar la realidad y no solo para sacar la cuenta del supermercado, mucho más interesante es crear estrategias que permitan aproximar dicha cuenta haciendo unos cálculos gruesos.

Es por esto que debemos mostrar la matemática en continuo desarrollo, donde todos podemos contribuir, hacer ver que este edificio que se construye desde ladrillos básicos hasta llegar a complejas construcciones se va adaptando a diversos modelos en distintas situaciones.

Necesitamos que nuestros estudiantes tengan las herramientas suficientes para enfrentar situaciones nuevas sin temor, ordenadamente y en forma original.

Creemos que es esta una de las principales tareas de la matemática escolar de hoy: más que dar respuestas, dar herramientas para hacer preguntas interesantes en los distintos frentes a los que estamos expuestos.

Debido a este mundo cambiante y desafiante es muy importante hacer hincapié en el desarrollo de pensamientos propios de la matemática más que en la sola transmisión de contenidos. Lo mas probable es que los estudiantes olviden algunos teoremas si no los ocupan regularmente, pero si las habilidades relativas a conjeturar, buscar y evaluar estrategias, experimentar, incluso equivocarse y descubrir estrategias y métodos para reconocer errores, fueran desarrolladas, habremos hecho nuestra tarea, con gran éxito. Por eso es que el enfrentar al estudiante a problemas abiertos, a preguntas del tipo ¿es cierto que...?, lo obligan de la nada, a encontrar soluciones a problemas nunca vistos, a utilizar las herramientas que crea pertinentes, utilizar el álgebra en un problema geométrico o viceversa, tal vez hacer un experimento real, tal vez hacer un modelo a escala. Todas estas estrategias van creando seguridad en el estudiante y permiten quitar la imagen de rigidez a las matemáticas. Las matemáticas son rigurosas, pero no rígidas.

Hemos resuelto todos los problemas del texto que están en bloques de actividades, salvo los diagnósticos de inicio de cada unidad, que son bastante estándar. Esto lo hicimos para que usted profesor no gaste tiempo desarrollándolos, y ese tiempo lo utilice en responder preguntas a los estudiantes, corrigiendo errores o evaluando el trabajo de ellos.

En esta guía presentamos variadas actividades, con la intención de mostrar diferentes formas de invitar a los estudiantes a enfrentar los problemas. Si no se puede resolver algebraicamente, se pueden hacer tablas, experimentos, que permiten conjeturar un resultado, para luego intentar demostrar, esperando que al conocer el resultado el camino se vea más claro. También mostramos errores frecuentes que se encuentran en nuestra escolaridad, y que se hace menester erradicar de nuestras aulas, libros e incluso universidades.

En definitiva, aunque parezca perogrullada, este es un libro de matemática, es por eso que los datos históricos de él no son solo anécdotas, sino que problemas que han tenido los matemáticos de diferentes épocas y hemos desarrollado actividades referente a ellas. Lo mismo ocurre con los OFT, los hemos relacionado con matemática de este nivel, y también hemos creado actividades desafiantes al respecto.

Esperamos que el libro y esta guía, sean una ayuda real y eficaz en vuestra maravillosa tarea de educar a los niños y jóvenes de Chile.

Los Autores.

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• ESTRUCTURA DEL TEXTO DEL ESTUDIANTE • El texto se divide en siete unidades temáticas, las que a su vez, están estructuradas de la siguiente manera:

Entrada de unidad Unidad

Nombre de la unidad

2

Álgebra

Hi

to

rt p e ex

En el 2005 se celebró el año mundial de la Física. En ese año se cumplieron cien desde que Albert Einstein publicó su Teoría Especial de la Relatividad. Al año 1905 se le denomina Annus Marabilis debido a la gran revolución que se produjo tanto en la física como en la Ciencia en ge-

Al finalizar esta Unidad serás capaz de:

Esquema representativo de la relación entre los contenidos de la unidad y los aprendizajes esperados.

Usar e interpretar convenciones algebraicas.

neral por los descubrimientos de Einstein. La Teoría de la

Temas que estudiaremos en esta Unidad: Términos semejantes.

Relatividad, utiliza resultados anteriores, debido a Lorentz, quien había definido transformaciones que involucran las velocidades relativas de los observadores. La Teoría de

Factorización de polinomios.

la Relatividad (TR) postula que la velocidad de la luz (que es c = 3 ⋅ 108 m / s en el vacío) es la velocidad límite, esto es, nada se mueve más rápido que la luz. Otro de los resultados de la TR es que la energía es proporcional a la masa con constante el cuadrado de c, es decir, E = mc2.

Un resultado sorprendente en la TR es que la masa no es constante en el movimiento, es decir, la masa de un objeto depende de la velocidad con que se mueve, de hecho,

Productos notables.

Modelar situaciones o fenómeno mediante funciones lineales y afines.

si m0 es la masa de un objeto en reposo, y m la masa cuando se mueve con velocidad v, se tiene la siguiente relación:

Función afín y función lineal.

Representar situaciones que involucren cantidades variables.

  v  2 m2  1−    = m02   c  

Resolver ecuaciones de primer grado con coeficientes numéricos y literales.

Ecuaciones de primer grado con coeficientes numéricos y literales.

Conjeturar y demostrar propiedades numéricas.

Lenguaje algrebraico básico.

Lo que dice, por ejemplo, que si una partícula se mueve a una velocidad de 0,9 c la masa aumenta a más del doble que la masa del reposo.

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Número de la Unidad. Ícono Hipertexto Te ofrece la posibilidad de tomar un papel activo en el proceso de aprendizaje, accediendo rápida y fácilmente a la información.

Con él estarás estimulando tu pensamiento crítico.

Texto introductorio a los contenidos de la unidad.

Contenidos

Para recordar Sección que tiene la finalidad de activar conocimientos previos.

Nota Destaca conceptos para una mejor comprensión.

Actividades Para desarrollo de habilidades página a página.

Cuidado Alerta sobre posibles errores o ambivalencias respecto de un concepto.

Recuerda Sección que ayuda a recordar lo visto en años anteriores.

Investiga Te invita a indagar sobre diversos temas.

Importante Enfatiza conceptos importantes tratados en la página.

Información en los medios Extractada de diversos medios de comunicación, para comprender con la ayuda de la matemática.

Un poco de historia Entrega una visión histórica de cómo se ha formado la matemática.

Problemas resueltos Indica la metodología que el alumnado debe seguir para llegar al resultado esperado.

Aplicando lo aprendido Su misión es afianzar los conocimientos adquiridos, conseguir destrezas de algoritmos y atender a los alumnos con necesidades especiales.

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Cierre de unidad Al finalizar la unidad hay tres páginas de ejercicios graduados “actividades finales”, en las que se puede encontrar aplicaciones prácticas y holísticas a los contenidos de la unidad.

Unidad

1

Hi

rt p e ex

[Timss 1999] ¿Cuál de los siguientes números está entre 0,07 y 0,08?

5

a) 0,0075 b) 0,00075 c) 0,075 d) 0,75

2

 0, 00012   0, 4  a) 10

−2

b) −

−2

=

c) 10−6 d) 9 ⋅ 10−10

6

La estación espacial Mir permaneció en órbita durante 15 años y en este tiempo dió aproximadamente 86 500 vueltas alrededor de la Tierra a una altura de 400 km. Si el largo de la órbita de la Mir es de aproximadamente 40 000 km, ¿cuál es aproximadamente la distancia en notación científica recorrida por la Mir mientras estuvo en órbita?

1 ; −2; −2, 2; − 5 100

1 ; −1, 3 ⋅ 10−2 ; −2; − 5; −2, 2 100

c) −

1 ; −1, 3 ⋅ 10−2 ; −2; −2, 2; − 5 100

d) −

1 ; −1, 3 ⋅ 10−2 ; − 5; −2, 2; −2 100

−4

b) 10−5

3

El orden decreciente de 1 − 5; −2; −2, 2; − ; −1, 3 ⋅ 10−2 es: 100 −2 a) −1, 3 ⋅ 10 ; −

 0, 0027  :  900 

1

to

autoevaluación

Autoevaluación Sección de evaluación final de cada unidad.

En agua salada el sonido recorre 14 000 cm/s. Si las ondas sonoras tardan 3,5 s en llegar del submarino al buzo y tarda 5 s en llegar del mismo submarino al barco, ¿cuál es la distancia entre el buzo y el barco? a) 2 100 m b) 4 900 m c) 7 000 m d) 11 900 m

a) 346 ⋅ 107 km b) 3, 46 ⋅ 10−9 km c) 3, 46 ⋅ 109 km d) 0, 346 ⋅ 1010 km

4

7

Tienes una sucesión de triángulos rectángulos, los que en cada paso aumentan su altura y base en una unidad, y se subdividen en triángulos rectángulos pequeños e iguales. ¿En cuántos triángulos pequeños se subdivide la novena figura?

Redondeado a la decena de kilogramo más próxima, el peso de un delfín es 170 kg. ¿Cuál de las opciones siguientes no corresponde al peso del delfín? a) 166 kg b) 169 kg c) 173 kg d) 176 kg

a) 82 b) 80 c) 91 d) 81

MATEMÁTICA 1o Medio

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• INDICE DE CONTENIDOS• Planificación didáctica.............................................

UNIDAD 1 NÚMEROS Información curricular.............................................

Relación contenidos niveles anteriores y siguientes............................................................

Orientaciones didácticas..........................................

Errores frecuentes...................................................

Actividades de refuerzo y ampliación......................

Actividades de cierre de Unidad..............................

Modelos didácticos.................................................

UNIDAD 2 ÁLGEBRA Información curricular.............................................

Relación contenidos niveles anteriores y siguientes............................................................

Orientaciones didácticas.........................................

Errores frecuentes...................................................

Actividades de refuerzo y ampliación......................

Actividades de cierre de Unidad..............................

Modelos didácticos.................................................

8

10 11 12 17 18 21 22

24 25 26 36 39 46 48

UNIDAD 3 GEOMETRÍA Información curricular.............................................

Relación contenidos niveles anteriores y siguientes............................................

Orientaciones didácticas.........................................

Errores frecuentes...................................................

Actividades de refuerzo y ampliación......................

Actividades de cierre de Unidad..............................

Modelos didácticos.................................................

UNIDAD 4 DATOS Y AZAR Información curricular............................................

Relación contenidos niveles anteriores y siguientes............................................

Orientaciones didácticas.........................................

Errores frecuentes...................................................

Actividades de refuerzo y ampliación......................

Actividades de cierre de Unidad..............................

52 53 54 63 65 69 70

74 75 76 87 88 89

Bibliografía.............................................................. 90 Enlaces recomendados.............................................. 93

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• PLANIFICACIÓN DIDÁCTICA •

UNIDAD

Aprendizajes esperados

OFT

• Describen ritmos de crecimiento utilizando las potencias y comparan situaciones descriptibles por adición iterada.

Actividades orientadas al aprendizaje de algoritmos o procedimientos rutinarios, así como la aplicación de leyes y principios.

Números

• Multiplican y dividen potencias de base racional y exponente entero, en contextos numéricos. Relacionan el cambio de signo en el exponente con el valor inverso de una potencia.

• Conjeturan acerca de resultados y procedimientos que dan cuenta de regularidades numéricas presentes en determinados problemas.

• Resuelven problemas que involucran operaciones aritméticas con enteros, decimales y fracciones, describiendo y analizando sus procedimientos de resolución.

• Estiman y analizan resultados en la realización de cálculos y en la resolución de problemas y los ajustan a sus características.

Tiempo estimado 25 a 30 horas

Actividades orientadas a la resolución de problemas y pensamiento lógico.

Desarrollo de actitudes de rigor y perseverancia Las capacidades de recibir y aceptar consejos y críticas.

Interés y capacidad de conocer la realidad.

• Interpretan la información que proporciona la calculadora.

Diferencian entre números enteros, racionales e irracionales; los caracterizan, los expresan en notación decimal y señalan su ubicación relativa en una recta numérica.

• Conocen algunos antecedentes históricos de números irracionales.

• Transforman números racionales en su forma decimal a su forma fraccionaria y viceversa.

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UNIDAD

Aprendizajes esperados

OFT

• Utilizan letras para representar números.

Evalúan expresiones algebraicas.

Desarrollo de la capacidad de generalización a partir de situaciones observadas.

• Representan categorías de números por medio de expresiones algebraicas :múltiplos de ...; factores de ...; mayores que ...; números pares, etc.

• Traducen al lenguaje algebraico relaciones cuantitativas en las que utilizan letras como incógnita. Plantean y resuelven problemas que involucran ecuaciones de primer grado con una incógnita.

• Conjeturan y generalizan acerca de patrones numéricos o geométricos utilizando expresiones literales.

Álgebra

• Generalizan la notación de potencias y utilizan procedimientos convencionales para el cálculo de multiplicación y división de potencias.

• Suman y restan monomios, binomios y polinomios. Reducen términos semejantes y aplican la convención de uso de paréntesis.

• Conjeturan y demuestran propiedades numéricas asociadas a múltiplos, factores y divisibilidad.

Tiempo estimado 50 a 60 horas

Interés y capacidad de conocer la realidad, y utilizar el conocimiento y la información.

Actividades orientadas al aprendizaje de algoritmos o procedimientos rutinarios, así como la aplicación de leyes y principios, por un lado y de generalización a partir de situaciones observadas, por otro Actividades orientadas a utilizar el conocimiento y la información.

Desarrollo de actitudes de rigor y perseverancia

• Resuelven ecuaciones con coeficientes numéricos y literales. Analizan la existencia de sus soluciones.

• Transforman expresiones algebraicas por cálculo de productos, factorizaciones, reducción de términos semejantes y eliminación de paréntesis.

• Calculan productos notables; los factorizan; los interpretan numérica y geométricamente.

• Resuelven problemas que involucren productos y/o factorizaciones.

• Analizan fórmulas e interpretan las variaciones que se producen en perímetros, áreas o volúmenes, por cambio en las medidas lineales de las figuras.

• Conocen algunos antecedentes históricos sobre la evolución del lenguaje algebraico.

• Modelan fenómenos y situaciones usando funciones afines y lineales.

• Analizan gráficamente la variación de parámetros en una función afín.

• Relacionan las funciones lineales con la proporcionalidad directa.

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UNIDAD

Aprendizajes esperados

OFT

• Representan elementos básicos de la geometría euclidiana en un sistema de coordenadas rectangular llamado plano cartesiano.

Desarrollar actitudes de rigor y perseverancia, así como de flexibilidad y originalidad en los procedimientos que utilices y la capacidad de recibir y aceptar consejos y críticas.

• Conocen y utilizan la operatoria básica con vectores en el plano cartesiano (adición, sustracción y ponderación por un escalar), y la relacionan con las transformaciones isométricas.

• Caracterizan la traslación de una figura en el plano cartesiano, utilizando vectores.

Geometría

• Construyen teselaciones en el plano cartesiano, utilizando suma de vectores.

Tiempo estimado 35 a 40 horas

Desarrollar interés y capacidad de conocer la realidad, y utilizar el conocimiento y la información para la toma de decisiones fundamentadas.

• Construyen, en el plano cartesiano, figuras simétricas, trasladadas y rotadas en 90° y 180°.

• Describen patrones que se observan en la aplicación de simetrías, rotaciones y traslaciones en un sistema cartesiano de coordenadas.

• Analizan los datos necesarios y suficientes para construir un triángulo relacionándolos con los criterios de congruencia de triángulo y las transformaciones isométricas.

• Componen y descomponen figuras (puzles geométricos); analizan congruencia entre sus lados y ángulos.

• Resuelven problemas que involucren congruencias de trazos, ángulos y triángulos.

• Conjeturan y demuestran propiedades de triángulos, cuadriláteros y circunferencia por medio de congruencia de triángulos.

• Caracterizan y clasifican triángulos y cuadriláteros, a partir de sus ejes y centros de simetría.

• Conocen algunos antecedentes acerca del aporte de Euclides a la geometría.

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Datos y azar

UNIDAD

Aprendizajes esperados

OFT

• Interpretan y producen información, en contextos diversos, mediante gráficos que provienen de tablas de frecuencias de datos agrupados en intervalos.

Desarrollar el pensamiento, en actividades de investigación a través de actividades que suponen selección de organización y datos.

• Interpretan y producen información, que describa el comportamiento de grupos en relación con una variable determinada a partir del análisis de indicadores de tendencia central (media, mediana, moda) y de posición (percentiles y cuartiles). Determinan diferencias entre grupos.

• Conocen empíricamente la Ley de los Grandes Números y relacionan la frecuencia relativa con la probabilidad de un suceso.

• Relacionan la noción de probabilidad con la información estadística que deriva de la repetición de un fenómeno aleatorio y explican qué diferencia a éstos de los fenómenos determinísticos.

Tiempo estimado 25 a 30 horas

Desarrollar, a través de la resolución de problemas, la capacidad de juicio alumnos y alumnas, y la aplicación de criterios morales a problemas del medio ambiente, económicos y sociales.

Desarrollan interés y capacidad de conocer la realidad, y utilizar el conocimiento y la información para la toma de decisiones fundamentadas.

• Analizan e interpretan los resultados de problemas que involucran cálculo de probabilidades considerando experimentos aleatorios simples; explican los procedimientos utilizados; analizan la independencia de los mismos; reconocen los casos de equiprobabilidad.

• Conocen y utilizan la fórmula de Laplace para el cálculo de probabilidades; comparan probabilidades y analizan su valor máximo y su valor mínimo.

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Unidad

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NÚMEROS

INFORMACIÓN CURRICULAR Esta unidad retoma conceptos acerca de los números enteros, fraccionarios y decimales y plantea fundamentalmente una profundización; se propone un trabajo que tiene como columna vertebral la resolución de problemas. Esta se orienta hacia el conocimiento de características y propiedades de los números racionales e irracionales, de la presencia de regularidades o patrones numéricos en la realidad y la forma en que las potencias facilitan la descripción de situaciones numéricas relativas a crecimientos o decrecimientos.

Objetivos fundamentales verticales

CMO

- Comprender que los números - Caracterización de los números racionales constituyen un con- racionales y de los tipos de problejunto numérico en el que es po- mas que permiten resolver. sible resolver problemas que no tienen solución con los números - Representación de los números naturales y enteros, y caracteri- racionales en la recta numérica y zarlos como aquellos que pue- establecimiento de algunas proden expresarse como un cuo- piedades de los números raciociente de dos números enteros nales y de las operaciones, tales como: entre dos números raciocon divisor distinto de cero. nales siempre existe por lo menos - Representar números racio- un número racional; la suma, la nales en la recta numérica, diferencia, el producto y el cuoaproximar números racionales, ciente de dos números racionales aplicar adiciones, sustracciones, es siempre un número racional. multiplicaciones y divisiones de números racionales en situacio- - Transformación de números decines diversas y reconocer algunas males infinitos periódicos y semiperiódicos a fracción. propiedades

Aprendizajes esperados - Describen ritmos de crecimiento utilizando las potencias .

- Multiplican y dividen potencias de base positiva y exponente entero, en contextos numéricos.

Relacionan el cambio de signo en el exponente con el valor inverso de una potencia.

- Conjeturan acerca de resultados y procedimientos que dan cuenta de regularidades numéricas presentes en determinados problemas

- Resuelven problemas que involucran operaciones aritméticas con enteros, decimales y fracciones, describiendo y - Sistematización de procedimien- analizando sus procedimientos tos de cálculo escrito y con ayuda de resolución. de herramientas tecnológicas de adiciones, sustracciones, multipli- - Estiman y analizan resultados caciones y divisiones con números en la realización de cálculos y en racionales y su aplicación en la re- la resolución de problemas y los solución de problemas. ajustan a sus características.

- Aproximación de racionales a tra- - Diferencian entre números vés del redondeo y truncamiento, enteros, racionales e irracionales; y el reconocimiento de las limi- los caracterizan, los expresan taciones de la calculadora para en notación decimal y señalan aproximar decimales. su ubicación relativa en la recta numérica.

- Interpretación y cálculo de potencias de base racional y exponente - Transforman números racionales entero. Determinación y aplicación en su forma decimal a su forma de propiedades. fraccionaria y viceversa.

- Resolución de problemas en contextos diversos que involucran números racionales o potencias de base racional y exponente entero, enfatizando el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.

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Unidad

Contenidos relacionados con niveles anteriores 6° básico - Cálculo escrito, mental y mediante el uso de herramientas tecnológicas, de multiplicaciones y divisiones de fracciones positivas y de números decimales positivos, y su aplicación en contextos cotidianos.

7º básico - Interpretación de potencias que tienen como base un número natural, una fracción positiva o un número decimal positivo y como exponente un número natural.

Contenidos de la Unidad

1

Contenidos relacionados con niveles y/o unidades siguientes

- Potencias de base racional y 2° Medio exponente entero.

- Caracterización de los números irracionales como aquellos que no pue- Propiedades de las potencias. den ser escritos como el cuociente entre dos números enteros y los nú- Notación decimal. meros reales como la unión de los números racionales e irracionales.

- Notación científica.

4ºMedio - Números racionales versus - Análisis gráfico de la función axn, con números irracionales. a y x reales y exponente entero para el análisis y comparación de tasas de - Aproximaciones. crecimiento aritmético y geométrico y de situaciones que involucran el cál- Regularidades numéricas. culo de interés compuesto.

- Transformación de números 8º Básico - Cálculo de potencias de base en- racionales en su forma decitera y exponente natural, determi- mal a su forma fraccionaria y nación y aplicación de propiedades viceversa. relativas a multiplicación y división de potencias que tienen base entera y exponente natural.

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Unidad

1

NÚMEROS

ORIENTACIONES DIDÁCTICAS El desarrollo de esta unidad, lo mismo que las actividades propuestas, tiene la meta de que el estudiante descubra estrategias, analice y compare resultados propios o entre los de sus compañeros y compañeras, para luego argumentar respecto de la elección de una estrategia o resultado. Es importante destacar las actividades tendientes a mostrar la Matemática como un modelo de la realidad y diferenciarla de ésta.

Muchas actividades son preguntas abiertas, del tipo, ¿es cierto que...?, de modo que necesariamente los estudiantes tendrán que investigar entre los ejemplos que poseen, para hacer una conjetura de la respuesta y luego dar un argumento que permita asegurar que sus afirmaciones son ciertas. Se sugiere en esos casos darles tiempo para reflexionar, y permitir la discusión en la sala de clases. Si después de un tiempo prudente no se vislumbra una respuesta, el profesor debiera darles algunas pistas que encaminen a la respuesta, por ejemplo: piensen en tal o cual caso, o qué pasaría si fuese falso. Es importante estar muy pendiente a los argumentos incorrectos, por ejemplo, conclusiones generales deducidas de casos particulares.

Ejemplos de actividades.

• La Matemática sólo es un modelo de la realidad.

En la actividad de los computadores infectados se propone un modelo exponencial para explicar la propagación de un virus. Una de las preguntas al respecto es: Explica por qué este modelo de propagación es real para valores pequeños de n, pero no se ajusta demasiado a la realidad, para grandes valores de n.

Estas preguntas se refieren a que la propagación exponencial es un buen modelo para tiempos cortos, pero en el largo plazo no puede serlo. Por ejemplo, si tenemos un cultivo bacteriológico que se duplica cada 1 hora, si continúa este crecimiento tarde o temprano llenará todo el planeta y el sistema solar completos; y esto es bastante poco probable. Se sugiere pedir un informe explicando por qué el modelo exponencial no puede modelar el crecimiento de la población enferma debido a una epidemia.

• Conjetura y argumenta.

Existen varios problemas que requieren conjeturar y luego argumentar, por ejemplo: ¿Cuál es la cifra de las unidades de 624?

Muchos estudiantes intentarán calcular esa potencia. Calcularán 62, 63, y así sucesivamente, pero pronto se sentirán frustrados o aburridos sólo de pensar que les tomará demasiado trabajo llegar al resultado. Si esto ocurre, y los estudiantes no notan una generalidad, preguntarles: En las primeras potencias de 6, ¿cuál es la cifra de las unidades?

Si la respuesta es 6 preguntar: ¿será cierto siempre?

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Unidad

1

Un argumento podría ser: si se multiplica 6 por un número cuya cifra de las unidades es 6, el resultado también tendrá en el lugar de las unidades un 6.

Como 6 ⋅ 6 = 36 , y por el argumento anterior, se cumple siempre que, cualquier potencia natural de 6 tiene en el lugar de las unidades al 6.

Si un estudiante utilizó la calculadora y responde que la cifra de las unidades es 6, pues de hecho el número es 4 738 381 338 321 616 896.

123 Pedirle ahora que calcule 6 ; en este caso la calculadora falla, entonces hacer las mismas preguntas que en el caso anterior.

El mismo desarrollo es válido para la pregunta, ¿cuál es la cifra de las unidades de 5100? De hecho, todas las potencias de 5 tienen en el lugar de las unidades a 5.

La pregunta: ¿cuál es la cifra de las unidades de 284? es más interesante que las anteriores, debido a que las potencias de 2, tienen distintas cifras en el lugar de las unidades. De hecho, en el lugar de las unidades, pueden estar 2, 4, 6, y 8. Una forma de conjeturar es la siguiente: Las cifras de las unidades de las potencias de 2 se repiten en ciclos, y el ciclo es 2, 4, 8, 6.

21 = 2 25 = 32

22 = 4 26 = 64

23 = 8 27 = 128

24 = 16 28 = 256

Por lo tanto, si 2 es elevado a una potencia que es múltiplo de 4, el resultado tendrá en el lugar de las unidades el 6. Por lo tanto, 284 = 24⋅21 tiene a 6 en el lugar de las unidades. Luego habría que probar que esta conjetura sea cierta.

Otra estrategia que un estudiante puede utilizar es la siguiente: 284 es multiplicar 2 por sí mismo 84 veces, es decir:   284 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ 2 Pero si juntamos cuatro de esos productos, resulta 24 = 16, por lo tanto:    284 = 16 ⋅ 16 ⋅ 16 ⋅ 16 ⋅ 16 ⋅ 16 ⋅ ... ⋅ 16 Pero como vimos antes, si un número terminado en 6 se multiplica por otro terminado en 6 el re84 sultado también termina en 6. Por lo tanto, la cifra de las unidades de 2 es 6.

En el caso de que aparezca más de una estrategia, compararlas y encontrar ventajas y deficiencias a cada una de ellas. Decidir en cuáles casos una estrategia es más conveniente que otra. Siempre dejando que cada estudiante, personalmente, elija la que más le acomode. Se sugiere que en grupos entreguen una hoja destacando una estrategia sobre las otras y argumentando el por qué de la elección.

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Unidad

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NÚMEROS

• Potencias de 10 y software.

En la página http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/ aparecen fotografías de la Tierra vista a diferentes distancias. Es muy interesante esta página, porque las imágenes son interactivas, es decir, haces clic en un botón y muestra una imagen de un orden de magnitud más lejana o más cercana, dependiendo del botón que se elija. Es importante mostrar estas imágenes para tener una idea real de estas distancias.

Algunas imágenes se presentan abajo. La primera muestra la Tierra vista a una distancia de 1019 m.

El botón “decrease” permite ver imágenes más cercanas de la tierra y el botón “increase” permite ver imágenes más alejadas de la Tierra, siempre y cuando se elija la forma “manual” si no el programa lo hace automáticamente.

Las siguientes imágenes tienen un rótulo que indica la potencia de 10 medido en metros desde donde se ve la Tierra.

Varias actividades se pueden realizar al respecto. Por ejemplo: con una tabla que tenga la medida en metros de diferentes distancias, la distancia de la Tierra a la Luna, la distancia de la Tierra a los otros planetas, la distancia de la Tierra al Sol, la distancia a la galaxia más cercana, la altura a la que vuela un avión comercial, la altura a la que puede volar un helicóptero, etc. La tabla puede estar en diferentes unidades (kilómetros, años luz, etc.). Pedirle al estudiante, cuál de las vistas mostradas corresponde a las distancias de la tabla, así por ejemplo, la imagen que muestra la Tierra desde una distancia de 107 m, ¿corresponde a la imagen tomada desde un avión?, ¿desde un satélite? o ¿es una imagen tomada desde la Luna?

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Unidad

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Una tabla, como la mencionada puede ser la siguiente: Distancia

Medida

De la Tierra a la Luna

384 400 km

De la Tierra al Sol

142 700 000 km

De la Tierra a Plutón

(5 horas y 30 min)

De la Tierra a Alfa Centauro

4,3 años-luz

Altura de vuelo de un avión

1 500 km

• En grupo.

Las actividades en grupo deben ser realizadas de forma tal que las ideas de todos y todas sean escuchadas, que cada cual sienta que su parte del trabajo es esencial para el resultado final. La siguiente actividad, aparece en el libro del estudiante: Júntate con varios compañeros de curso y por separado, midan el largo del patio de tu colegio utilizando una huincha de 3m. Luego comparen todos sus resultados. Discutan cuál sería una buena estrategia para tener una aproximación del largo del patio, con un error menor a un centímetro.

Aparte de recolectar las medidas que cada estudiante hizo, es importante preguntar cuál fue la estrategia utilizada para hacer la medición. Algunas preguntas que pueden servir, para que los estudiantes den información relevante son: ¿cómo hicieron para asegurarse de que el final de la huincha coincidía exactamente con el comienzo de la próxima medición? ¿Cómo hicieron para asegurarse que la huincha a lo largo del patio siguió una línea recta? ¿Cómo puede esto influir en el resultado final? ¿Todos los estudiantes coinciden en considerar el mismo punto de inicio del patio? ¿Todos los estudiantes coinciden en considerar el mismo punto como final del patio?

Si es necesario, permitir que los estudiantes realicen de nuevo sus mediciones, esto es muy importante en las ciencias en general: planificar el experimento.

Si se toma la parte entera de las mediciones, se espera que las mediciones se concentren en la moda. En este caso, una estrategia puede ser considerar la moda de las partes enteras de las mediciones, como una aproximación del largo del patio. Discutir acerca de esta estrategia.

Si hay pocas mediciones cuyas partes enteras están alejadas de la moda, se puede estudiar la posibilidad de descartar estas mediciones del estudio general y preguntar a qué se debe esa dispersión.

Estudiar en este caso cuál estrategia utilizar. Presentar a la discusión, si calcular el promedio de las mediciones, es una buena estimación.

• Investigación y discusión.

En esta unidad aparece un párrafo relativo a cantidades de enfermos de Sida según región del mundo, una de las actividades relativas a ese tema es: Junto a tus compañeros averigua, ¿cuántos enfermos de Sida hay en Chile?

La página www.vihsida.cl les puede servir o también www.minsal.cl.

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Unidad

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NÚMEROS

¿Cuántos de los enfermos de Sida latinoamericanos o caribeños son chilenos? ¿ Y respecto al contexto mundial? Reúnan sus averiguaciones y discútanlas.

Es muy importante que el tema sea abordado con mucha seriedad, considerando la posibilidad de que uno de los estudiantes esté relacionado con esta enfermedad, por alguien de su entorno o personalmente.

Analizar los datos recogidos y evaluar éstos en el caso en que no todos tengan informaciones coincidentes. En este caso proponer estrategias que permitan confiar en algún dato obtenido. El tema puede servir para hacer otro tipo de investigaciones. Por ejemplo: ¿qué parte de las mujeres con Sida tienen hijos con Sida? ¿Cuánto dinero deben gastar mensualmente en medicamentos los enfermos de Sida? Los trabajos deben ser evaluados en originalidad y en corrección de los argumentos.

• ¿Y si no fuera? ¿Es π + 1 irracional?

Hay muchas formas de responder esta pregunta, pero en esta ocasión, proponemos utilizar la negación de tesis, debido a que es muy útil en variados casos. Entonces, ante el caso enunciado, preguntarles, ¿qué pasaría si no fuese irracional? En este caso, ocurriría que π + 1 = r sería racional y por lo tanto π = r − 1 también lo sería, pero esto no es correcto, pues sabemos que π es irracional, por lo tanto si π + 1 fuese racional, llegamos a una contradicción, por lo tanto, π + 1 = r es irracional. En las pruebas estándares es recomendable incluir este tipo de preguntas.

• Una receta Es muy común encontrar en varios textos la receta para transformar números decimales periódicos o semiperiódicos a fracción, sin dar ningún argumento de por qué esto funciona. A saber dice: Escriba el número sin comas reste el anteperiodo y divida por un número formado por tantos nueves como tenga el periodo seguido de tantos ceros como tenga el anteperiodo.

La cual es cierta, pero aparece mágicamente y además basta que se confunda un nombre para que el cálculo sea incorrecto. En el texto preferimos mostrar el algoritmo que permite hacer la transformación, justificando cada paso de tal manera de asegurar que se trata de un cuociente de números enteros. Además se sugiere mostrar más de una forma de transformación, para que se vea cierta flexibilidad en el método. Por ejemplo;al transformar 3,789 a fracción, se sugiere: Paso 1: Multiplicar 3,789 por 103 y por 105 y notar que los resultados tienen la misma parte decimal.

Paso 2: Restar los resultados del paso 1 y verificar que se obtiene un número entero.

Paso 3: Usar la ley distributiva para escribir 3,789 ×105 −3,789 ×103 como 3,789(105 −103).

Paso 4: Concluir que 3,789 se puede escribir como el cuociente entre el número entero que resulta del paso 2 y 105 −103.

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Unidad

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ERRORES FRECUENTES • La suma de dos números irracionales es un número irracional.

Por lo general, los estudiantes creen que la suma de dos números irracionales es un número irracional. La verdad es que esa afirmación no es cierta en general, en algunos casos es cierto y en otros no lo es.

Mostraremos un ejemplo, que evidencia que la afirmación es falsa. Se demostró en el texto del estudiante que 2 es un número irracional. Demostremos que 2 − 2 también es un número irracional.

De hecho, si no lo fuera, sería racional. Supongamos que r = 2 − 2 es racional, entonces: 2− r = 2 Pero como la resta de números racionales es racional, implicaría que contradicción. Por lo tanto, 2 − 2 es irracional.

2 es racional, lo cual es una

Ahora si consideramos los números irracionales: x = 2 e y = 2 − 2 , se tiene que su suma es 2, un número racional. Entonces, es falso que la suma de dos números irracionales es irracional.

• El producto de dos números irracionales es irracional.

Esta afirmación también es falsa, y el error, igual que en el caso anterior, se debe a dos cosas: Primero: en todos los conjuntos numéricos que conocen, si satisfacen estas dos propiedades, es decir, para , ,  y ahora  , se cumple que la suma y el producto de cualquier par de elementos de esos conjuntos pertenece al conjunto. Por lo tanto, creen que todos los conjuntos debieran cumplirla.

Segundo: pertenece a los estudiantes, sólo prueban unos casos particulares, y si la propiedad es cierta en esos casos particulares, infieren que la propiedad es cierta en todos los casos. Por ejemplo: 2 + 3 y 2 ⋅ 3 corresponden a números irracionales, que son la suma y el producto de dos números irracionales.

Por esta razón, es muy importante, que los estudiantes no infieran nada a partir de casos particulares, respecto al caso general. Sin embargo, la estrategia de utilizar casos particulares para conjeturar el caso general es siempre una muy buena idea, pero sin perder de vista que luego se necesita una demostración.

Un ejemplo de que el producto de dos números irracionales puede ser racional es el siguiente: Sea a = 2 y b = 8 , ambos son números irracionales.

Sin embargo, ab = 16 = 4 ∈  Luego, el producto de dos números irracionales puede ser racional.

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Unidad

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• Utilizar la calculadora para decidir si un número es racional o no.

Este error es muy común, de hecho existen libros de matemáticas que lo fomentan. Por ejemplo, si en una calculadora se encuentra el número 0,0057803468208092485549132947976879 no podemos decir si el que la estaba usando, hizo un cálculo que da como resultado un número 1 racional o no; de hecho, este número son los primeros 34 decimales del número racional . Más 173 aún, no es un problema fácil decidir cuán largo es el periodo de ese número.

• La potencia de un número irracional es irracional.

Este es un caso particular del error “el producto de dos números irracionales, es un número irracional”. Un ejemplo de que la afirmación es falsa, es el siguiente: a = 2 ; sin embargo, a2 = 2 ∈ .

ACTIVIDADES DE REFUERZO Y AMPLIACIÓN Si las actividades del texto del estudiante, resultan de fácil acceso a los estudiantes de su curso, invite a dar argumentos de sus conclusiones, pues el texto está diseñado para cubrir diferentes ritmos de aprendizaje del alumnado y existen preguntas profundas, que requieren un pensamiento claro y ordenado, que no todos los estudiantes logran a esta edad.

Si aún así, sus estudiantes sobrepasan en un tiempo corto estos temas, siempre existen actividades que permiten ampliar los conocimientos de esta unidad. A continuación presentamos unos ejemplos: 1. Un tanque contiene una mezcla de alcohol y agua; 90 L son de alcohol y 10 L son de agua. Cada 10 minutos se sacan 10 L de mezcla e inmediatamente se rellena con 10 litros de una mezcla de 50% de agua y 50% de alcohol. ¿Cuánto alcohol tendrá el tanque después de una hora? ¿Cuánto alcohol tendrá el tanque después de 10 n minutos? ¿Qué pasará en el largo plazo?

Este problema generaliza el Problema Resuelto del texto del estudiante, con la diferencia que ahora al tanque entra una cantidad significativa de soluto, en cambio en el caso del texto, no entraba al tanque soluto. La coincidencia de estos problemas está en que el volumen del tanque se mantiene constante. La idea del problema es que el estudiante descubra una generalidad utilizando potencias y así valorar la notación de potencias que le permite resumir grandes multiplicaciones.

Un asunto más interesante, pero más difícil, es crear otro problema similar donde el volumen del tanque no se mantenga constante. Por ejemplo: 2. Un tanque contiene una mezcla de alcohol y agua: 90 L son de alcohol y 10 L de agua. Cada 10 minutos se sacan 10 L de la mezcla e inmediatamente se rellena con 8 litros de una mezcla de 50% de agua y 50% de alcohol. ¿Cuánto alcohol tendrá el tanque después de una hora? ¿Cuánto alcohol tendrá el tanque después de 10 n minutos? ¿Qué pasará en el largo plazo? ¿Qué parte de alcohol tendrá la última muestra de mezcla en el tanque?

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Unidad

3. ¿Es

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3 racional?

La idea de esto es repetir la demostración que se hizo para probar que 2 es irracional. Para ello 2 basta tener en cuenta que si a es múltiplo de 3, entonces a lo es, así la demostración resulta idéntica a la mostrada en el texto del estudiante.

4. Imagina que das un paso de un metro, luego das un paso la mitad del largo del anterior, luego das un paso la mitad del anterior y así sucesivamente, das pasos del largo de la mitad del paso anterior. ¿Es cierto que a lo más recorrerás una distancia de dos metros?

Se espera que un estudiante avanzado, encuentre una regularidad para la suma 1+ el valor de esa suma es 2 −

1 1 1 1 + 2 + 3 + ... + n 2 2 2 2

1

. Si el estudiante no logra responder la pregunta, puede darle el 2n valor de la suma para valores pequeños de n. Si aún así no conjetura la solución pueden invitarlo a investigar en la bibliografía.

En el caso de que el alumno o alumna se sienta demasiado demandado por las actividades del texto del estudiante, se sugiere investigar a qué se debe este abrumamiento. Es posible que el estudiante no se sienta cómodo con los conocimientos previos a la unidad; en ese caso se sugiere hacer actividades de cálculo numérico relativos a operaciones con números racionales y propiedades de las potencias. Si es difícil seguir algunas actividades del texto, a continuación mostramos unos ejemplos que permiten acercarse a esas actividades.

1. Si los problemas relativos a procesos iterados, como el de la amigdalitis de Antonia resulta agobiante para algunos estudiantes, se sugiere introducir el siguiente problema a modo de acercamiento: Tu papá se sirve un café en la mañana, que tiene una cucharada de café en polvo. Se toma la mitad y se va corriendo al trabajo. A tu mamá no le gusta tan cargado como a tu papá, y rellena la taza con agua caliente, y se toma la mitad. ¿Qué parte de la cucharada inicial de café tomó tu mamá?

Motivar al estudiante a preguntarse, ¿qué parte de la cucharada inicial tomó el papá? Luego, si la taza contiene sólo la mitad del café inicial, cuando lo tomó la mamá, y se tomó la mitad de lo que había, ¿qué parte del café inicial tomó la mamá? Luego invitar al estudiante a resolver el problema de Antonia. Si la incursión da resultados negativos, seguir intentando con el problema del café, agregando personas a la historia. Por ejemplo, “después vino tu hermano y rellenó la taza con agua y se tomó la mitad”, ¿qué parte del café inicial se tomó tu hermano? y repetir el proceso.

Puede intentarse también, cambiando las fracciones de pérdida de mezcla; puede suponer que el papá se tomó 2/3 de la taza, y luego la mamá tomó 2/3 de lo que quedaba y así sucesivamente, hasta obtener, que el estudiante logre descubrir la recurrencia en potencias.

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NÚMEROS

2. Si el estudiante puede generalizar regularidades dadas en formato geométrico, pero no es capaz de resolver los problemas puramente aritméticos, se sugiere invitarlo a hacer un modelo geométrico del problema. Por ejemplo, en el texto se demostró que: 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + n =

n(n + 1) 2

y se pide en una actividad calcular la suma de los primeros 100 números pares.

Para ello, se puede sugerir mostrar los números pares como parejas de baldosas, como muestra la figura:

Pedir al estudiante que argumente que la suma de todas esas baldosas es el doble de las primeras filas, es decir, el doble de 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n . Esto es, la suma de los primeros n números pares n(n + 1) es: 2 ⋅ = n(n + 1). Por lo tanto la suma de los primeros 100 números pares es: 2 100 · 101 = 10 100.

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ACTIVIDADES DE CIERRE DE UNIDAD Las actividades del texto del estudiante están diseñadas para que el alumno(a) modele, resuelva problemas, calcule y aplique los conceptos e ideas descubiertos en esta Unidad.

Las preguntas que presentamos a continuación, pretenden reconocer si se logró un conocimiento profundo de los tópicos estudiados en esta unidad.

1.

¿Es cierto que todo número natural es un múltiplo de 3, o el sucesor de un múltiplo de 3 o el antecesor de un múltiplo de 3?

2.

Demuestra que: si a2 es un múltiplo de 3, entonces a lo es.

3.

Si r es racional y s es irracional con r < s. El promedio de esos números, ¿es racional o irracional?

4.

¿Es cierto que 1 + 1 = 1 ? a b a+b

5.

  ¿Es cierto que  4   2

6.

¿Es cierto que la mitad de un número irracional es un número irracional?

7.

¿Es cierto que el inverso aditivo de un número irracional es un número irracional?

8.

Si r es racional, s es irracional y r ⋅ s es racional, ¿es cierto que r = 0 ?

9.

Si a un número irracional se le suma un número entero, ¿es cierto que el número que resulta tiene los mismos decimales que el número irracional?

−n

= 1n ?

2

10. Un profesor califica las pruebas con notas de hasta dos decimales, luego promedia las notas y el resultado lo aproxima redondeando al primer decimal. Obtén el mismo resultado que redondeando cada nota, calculando el promedio y luego redondeando el promedio también.

27 11. Si se dice que un planeta tiene una masa del orden de 10 kg, entonces, ¿es cierto que la masa de ese planeta está entre 109 toneladas y 9, 9 ⋅ 109 toneladas?

12. Si en una calculadora ves el número 3,1415926535897932384626433832795, ¿puedes decidir si es la aproximación de un número racional o de uno irracional?

13. Una secuencia de números tiene como primeros términos a 1, 2, 3, 4, ¿puedes decir cuál es el quinto elemento?

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Unidad

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NÚMEROS

MODELOS DIDÁCTICOS A continuación se darán ejemplos concretos y actividades que ayudarán a que los alumnos y alumnas logren los aprendizajes esperados en esta primera unidad.

• Describen ritmos de crecimiento utilizando las potencias y comparan con situaciones descriptibles por adición iterada.

El siguiente problema propuesto en las actividades para aplicar, en el tópico de potencias dice: El padre de Yael, le presenta dos alternativas para juntarle su dinero quincenal: la primera consiste en abonarle $1 000 cada día. La segunda en que el primer día le abona un peso, el segundo día dos pesos, el tercer día el doble del anterior, y así sucesivamente, cada día duplica la cantidad del día anterior. ¿Cuál propuesta le conviene más a Yael?

Para calcular la cantidad de dinero, utilizando la primera propuesta, es necesario resolver una adición iterada, de hecho quince veces mil; en cambio; si utilizamos la segunda propuesta el ritmo de crecimiento es muy rápido y lo describe la potencia 2k. En este problema los alumnos, al principio, creerán que la primera propuesta es más conveniente por la cantidad de dinero con la que se inicia, que es bastante superior que en la segunda propuesta, pero después van a comparar las cantidades y verán que la primera propuesta el crecimiento es constante día a día, en cambio, en la segunda propuesta, el crecimiento se va duplicando.

• Estiman y analizan resultados en la realización de cálculos y en la resolución de problemas y los ajustan a sus características.

El siguiente problema corresponde al tema de aproximaciones tratado en la unidad.

Supón que Ramón midió mal. La cancha mide realmente 25,1 m de ancho y 59,9 m de largo, ¿el área real es distinta o igual que si la hubiésemos calculado con los datos de Ramón? ¿Cuán diferentes? ¿Nos hubiésemos pasado o quedado cortos?

Según Ramón las medidas iniciales eran de 25 m y 60 m. Notar que en una medida se equivocó por exceso y en otra por defecto, lo cual puede llevar a pensar a los estudiantes, que el área se mantiene igual. Por lo tanto, es importante invitar a los estudiantes a hacer los cálculos y comprobar sus conjeturas.

• Conjeturan acerca de resultados y procedimientos que dan cuenta de regularidades numéricas presentes en determinados problemas.

El siguiente problema se encuentra en las actividades tratadas en el tema de regularidades numéricas de la unidad: 1+ 2 = 22 − 1, 1+ 2 + 22 = 23 − 1, 1+ 2 + 22 + 23 = 24 − 1, 1+ 2 + 22 + 23 + 24 = 25 − 1 Conjetura cuál es el valor de 1+ 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 . ¿Cómo crees que será el caso general?

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Es importante que se explicite que una conjetura es muy distinta a una demostración. Que sólo con conjeturar y comprobar que una generalidad se satisface en algunos casos particulares no es posible decir que nuestra conjetura es cierta.

• Diferencian entre números enteros, racionales e irracionales; los caracterizan, los expresan en notación decimal y señalan su ubicación en la recta numérica.

1. Considera los números racionales

1 3

y

1 · 4

a) Ubica los números en la recta numérica. b) Encuentra el punto medio M entre esos números. ¿Es un número racional?

1 c) Encuentra el punto medio entre 1 y M y el punto medio entre M y . ¿Son esos puntos 4 3 números racionales?

En este problema se pide que encuentre números racionales cumpliendo cierto orden y discrimine si estos números son o no racionales. Además, la actividad apunta a descubrir la propiedad que entre dos números racionales, existen infinitos números racionales.

2. ¿Es 2 + 2 racional? ¿Es

2 ⋅ 2 racional?

En este problema se desea analizar y generalizar, si producto de dos irracionales es irracional, y si la suma de un número racional con un irracional resulta irracional.

1 3. Ordena los siguientes números de menor a mayor: 1, 2, 0, 2, 3, . Ordenar números 2 reales puede ser una tarea difícil para el estudiante, por ello se sugiere apoyar esta actividad muy fuertemente y sobretodo evaluar y corregir los argumentos.

• Interpretan la información que proporciona la calculadora.

Después de que Juan realizó una serie de cálculos, le apareció el siguiente resultado en la calculadora: 0,063583815028901734104046242774566. ¿Qué dirías tú acerca de este número? ¿Es racional o irracional? En ese momento se acerca el hermano de Juan y le pregunta en qué ocupa ese número irracional que aparece en la calculadora, 11 pero Juan le comenta que es el racional con sólo 33 decimales. Con esto el hermano de Juan 173 se percató que utilizando la calculadora es imposible verificar si un número es irracional o no, ya que el periodo de un número, en caso de que lo tenga, puede aparecer muy tarde y la calculadora no lo mostrará. Así ambos se preguntaron, ¿después de cuántos decimales aparece el periodo de 11 ? ¿Podrías ayudarlos a resolver su problema?

173 El objetivo de esta actividad es que el estudiante se convenza de que con la calculadora no puede decidir si un número es irracional o no, de hecho la calculadora solo trabaja con aproximaciones racionales. La actividad considera un número racional de un periodo bastante largo, para que no crea que se trata solo de lo acotado del número de decimales de nuestra calculadora en particular.

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Unidad

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ÁLGEBRA

INFORMACIÓN CURRICULAR Esta unidad se centra en el desarrollo de la capacidad de generalización de situaciones que derivan del trabajo con los números o con las formas geométricas, apoyada en la potencialidad del lenguaje algebraico para describir esas generalizaciones. También en la solución de ecuaciones de primer grado con coeficientes literales, como una generalización de las ecuaciones de primer grado con coeficientes numéricos. También focaliza la atención en el cálculo de factores y productos, se orienta al desarrollo de la capacidad de generalización apoyada en una sistematización del lenguaje algebraico.

Se propone la enseñanza del cálculo de productos notables considerando como conocimientos previos la operatoria aritmética y el cálculo de áreas de rectángulos. En esta perspectiva se hace hincapié en el carácter generalizador aportado por el álgebra.

Es importante dentro de esta unidad, el significado que proporciona la aritmética y la geometría en los procedimientos para calcular productos y realizar factorizaciones.

Las funciones son sino el que más, uno de los temas principales dentro de toda la matemática, y se ha hecho un esfuerzo para estudiarlas como objetos, usando metáforas de máquinas y de otro tipo.

Sin duda que las aplicaciones y utilización como modelos están presentes en el texto y con la debida importancia.

Objetivos fundamentales verticales

CMO

- Usar e interpretar conven- - Establecimiento de relaciones entre expresiones ciones algebraicas básicas que algebraicas no fracciopermiten generalizar concepnarias mediante la elitos, relaciones u operaciones minación de paréntesis, así como también representar reducción de términos situaciones que involucran semejantes, productos, cantidades variables. productos notables y factorización.

- Modelar situaciones o fenómenos mediante funciones - Resolución de ecuaciolineales y afines. nes de primer grado con una incógnita y - Aplicar modelos lineales que coeficientes literales y representan la relación entre su aplicación en la intervariables, diferenciar entre vepretación y transformarificación y demostración de ción de fórmulas. propiedades, analizar estrategias de resolución de problemas de acuerdo con criterios - Análisis de las distintas representaciones de la definidos. función lineal, su aplicación en la resolución de diversas situaciones problema y su relación con la proporcionalidad directa.

Aprendizajes esperados - Utilizan letras para representar números. Evalúan expresiones algebraicas.

- Representan categorías de números por medio de expresiones algebraicas: múltiplos de ... ; factores de ... ; mayores que ... ; números pares, etc.

- Traducen al lenguaje algebraico relaciones cuantitativas en las que utilizan letras como incógnita.

Plantean y resuelven problemas que involucran ecuaciones de primer grado con una incógnita.

- Conjeturan y generalizan acerca de patrones numéricos o geométricos utilizando expresiones literales.

- Suman y restan monomios, binomios y polinomios. Reducen términos semejantes y aplican la convención de uso de paréntesis.

- Conjeturan propiedades numéricas asociadas a múltiplos y las demuestran.

- Resuelven ecuaciones con coeficientes numéricos y literales. Analizan la existencia de sus soluciones.

- Interpretación de la función afín, análisis de las - Modelan situaciones o fenómenos mediante situaciones que modela funciones lineales y afines. y estudio de las variaciones gráficas que se - Relacionan la intersección de rectas con la soluproducen por la modición de ecuaciones. ficaciones de sus parámetros.

- Grafican funciones afines y lineales, interpretando los cambios en los parámetros.

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Unidad

Contenidos relacionados con niveles anteriores

Contenidos de la Unidad

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Contenidos relacionados con niveles y/o unidades siguientes

6º Básico

- Establecimiento de relaciones 2º Medio entre expresiones algebraicas no fraccionarias mediante la - Resolución de problemas mediante - Empleo de propiedades de las eliminación de paréntesis, operaciones de los números nasistemas de ecuaciones lineales con reducción de términos semedos incógnitas, en contextos variaturales para resolver ecuaciones jantes, productos, productos dos. Discusión de pertinencia y exisde primer grado. notables y factorización. tencia de soluciones.

- Validación de la solución obtenida en la resolución de una ecua- - Resolución de ecuaciones de - Simplificación de fracciones algebraiprimer grado con una incógción de primer grado con una incas simples, con binomios tanto en nita y coeficientes literales y cógnita, mediante la sustitución el numerador como en el denominasu aplicación en la interprede la incógnita. dor. tación y transformación de fórmulas.

3º Medio 7° Básico - Reducción de expresiones alge- - Análisis de las distintas repre- - Representación y análisis gráfico de sentaciones de la función lila función cuadrática, para distintos braicas por medio de la aplicaneal, su aplicación en la resovalores de los parámetros. Discusión ción de propiedades de las opelución de diversas situaciones de las condiciones que debe cumplir raciones, adición y sustracción de problema y su relación con la la función cuadrática para que la grátérminos semejantes y eliminaproporcionalidad directa. ción de paréntesis. fica intersecte el eje X. - Traducción de expresiones del len- - Interpretación de la función afín, análisis de las situacioguaje natural a lenguaje simbólines que modela y estudio de co y viceversa. las variaciones gráficas que se producen por la modifica- Resolución de problemas meciones de sus parámetros. diante el planteamiento de una ecuación de primer grado con una incógnita, interpretación de la solución en términos del contexto del problema.

8° Básico - Resolución de problemas en diversos contextos que implican el uso de la relación de proporcionalidad como modelo matemático y su aplicación al cálculo de porcentajes.

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Unidad

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ÁLGEBRA

ORIENTACIONES DIDÁCTICAS Esta Unidad y en particular sus actividades pretenden desarrollar en el estudiante habilidades que les permitan generalizar regularidades utilizando el lenguaje algebraico.

También utiliza el lenguaje algebraico para interpretar y evaluar expresiones utilizadas en las ciencias. Es importante que el estudiante reconozca las ventajas de tener un lenguaje que le permite resumir información científica. El estudiante reconoce en el álgebra una herramienta muy útil para demostrar resultados generales. Las fórmulas en ciencias debieran ser un tema de exploración referente al comportamiento de unas variables respecto de otras.

De nuevo, hay muchas actividades que son preguntas abiertas, del tipo: “¿Es cierto que...?” En estos casos es muy importante no darles las soluciones de inmediato.

Insistimos en dar sólo algunas pistas que encaminen a la respuesta.

Los trabajos en grupos y las discusiones de temas sociales, políticos o morales deben ser dirigidos hacia la tolerancia y respeto. Muy importante es valorar la diversidad de estrategias que surgen para resolver problemas o para modelarlos. En esta unidad se trata el tema de la “Obesidad”; será muy prudente hacer una introducción al tema para evitar las burlas a los estudiantes con sobrepeso. También será prudente tratar el tema de las enfermedades producidas por la desnutrición, como la bulimia y la anorexia.

A continuación veremos algunas actividades referidas a las habilidades antes comentadas.

Ejemplos de actividades • Reconocen y relacionan variables.

En varias situaciones de la vida real y de las ciencias los estudiantes reconocen variables y las relacionan. En el problema de la cuenta de electricidad se lee: "Para calcular el valor mensual de la cuenta de electricidad, se miden los Kilowatts/hora consumidos en el mes. El valor de un KWH es de $68; además se cobra un cargo fijo de $509, independiente del consumo. Supongamos que en una casa se consumieron 181 KWH en el mes de enero".

Es importante preguntar a los estudiantes, ¿cuáles son los valores que varían mes a mes? Los estudiantes debieran notar que ni el cargo fijo ni el valor del KWH varían en un periodo prolongado.

De modo que mes a mes sólo varían el consumo y el valor de la cuenta.

Preguntar a los estudiantes, ¿cuál es la relación entre esas variables?, es decir, si conocemos el consumo de un mes, ¿cuál será el valor de la cuenta?

Completar la tabla de la actividad es relevante para notar la dependencia entre las variables. Si un estudiante propone una relación errada invitarlo a evaluarla para que se convenza de que efectivamente está equivocado. Es muy importante que el estudiante conozca, cree y desarrolle todos los medios de comprobación. Por lo que debe pedir a los estudiantes que sucintamente entreguen los argumentos que aseguren sus conclusiones.

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• Interpretar fórmulas.

Las fórmulas, aparte de evaluarlas numéricamente, pueden ser estudiadas de manera cualitativa, sin necesidad de conocer los valores que éstas toman. En esta unidad aparecen varias actividades 4, 9x 2 2 relativas a ello. Por ejemplo, la relación h = vmx − (m + 1) , representa la altura de un prov2 yectil lanzado con velocidad v, donde m es un número que depende de la inclinación del disparo y x es la distancia recorrida en la dirección horizontal. ¿Qué significa que para algún valor x0 la altura del proyectil sea cero?

Una primera intención del estudiante es tratar de encontrar esos puntos, pues siempre intentan resolver ecuaciones. Sin embargo, con esta pregunta se trata de interpretar la fórmula, y sólo pretende que el estudiante, analice cualitativamente, sin conocer los valores que toma. Cuando el estudiante se dé cuenta, de qué significa que el proyectil esté en el suelo, pida que respondan: ¿les parece claro que cuando x = 0, h también valga cero? Pida que evalúen. Luego puede pedir que hagan un bosquejo de cómo creen que es la trayectoria y que marquen x o en el dibujo. Para finalizar hacer la siguiente pregunta de la actividad: ¿qué pasa en la mitad de x o? Según el dibujo y la simetría del lanzamiento, se espera que contesten que se alcanza la altura máxima. Puede entregar tablas y evaluaciones de las relaciones, para mostrar el trabajo realizado.

• Crean fórmulas en planillas de cálculo.

Las planillas de cálculo constituyen un gran apoyo para demostrar los conocimientos en álgebra, en un ambiente más atractivo para los estudiantes.

Las planillas de cálculo tienen varias funciones incorporadas, como sumar, encontrar máximos, mínimos, calcular promedios, etc. En esta unidad aparece una actividad para calcular el promedio de tres notas, con diferentes ponderaciones.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

A Asignatura Artes Biología Ed. Tecnológica Ed. Física Ed. Musical Filosofía Física Historia Inglés Lenguaje Matemática Química

B Nota 1 5,7 4,4 5,1 7,0 6,0 5,0 4,4 3,3 7,0 7,0 7,0 4,5

C Nota 2 6,4 5,3 6,3 7,0 6,5 4,3 5,6 4,1 6,4 5,5 6,8 5,2

D Nota 3 7,0 4,2 7,0 5,5 5,4 4,5 6,6 2,8 4,4 4,3 5,5 6,3

E Promedio

Se pide calcular la nota final si la tercera fuese coeficiente 2. Al comienzo invitar al estudiante, si no se siente seguro de su resultado, a realizar el cálculo con papel y lápiz. Lo más natural es que escriba la fórmula = (B2 + C2 + 2 * D2) / 4 , sin embargo, es muy común el error = (B2 + C2 + 2 * D2) / 3 , en este caso convencer al estudiante que esto es un error, preguntándole, por ejemplo, ¿cuál sería la nota

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final de un estudiante, que tuviera en todas las pruebas nota 7? Es importante recolectar todas las estrategias. Si solo aparece una, sugerir alguna otra, por ejemplo: copiar la columna D en la columna E y luego ocupar directamente la función “promedio”, es decir, = PROMEDIO(B2 : E2) .

Pedir a los estudiantes que expliquen por qué ambas fórmulas producen el mismo resultado. Luego hacer la siguiente pregunta de la actividad. ¿Cuál sería la fórmula si la primera nota vale la mitad de cada una de las otras? Recolectar las estrategias que surjan de la reflexión de los estudiantes. En el caso en que sólo aparezca una solución del problema, proponer otros caminos alternativos, por ejemplo: 1. Dividir la unidad en tres partes, dos de ellas son iguales, y una es la mitad de las otras. De esto resulta que la parte pequeña es 1/5 y las otras dos son 2/5 del total, entonces la fórmula de la nota final sería: (1 / 5) * B2 + (2 / 5) * C2 + (2 / 5) * D2.

2. Otra forma sería considerar que las últimas pruebas fuesen coeficiente dos, entonces consideramos 5 notas. En este caso la fórmula sería (B2 + 2,*C2 + 2 * C3) / 5.

3. Otra forma sería pensar en términos de porcentajes: la primera nota equivale al 20% de la nota final, en cambio las otras el 40%; en este caso la fórmula sería: 0, 2 * B2 + 0, 4 * C2 + 0, 4 * D2.

4. La otra puede ser preguntada a los estudiantes: ¿cómo se haría utilizando la función “Promedio”?

Si se tiene acceso a computadores para los estudiantes, pedir copiar a cada uno, una planilla de cálculo con datos, para que ellos encuentren la fórmula que Ud. pida. Puede solicitar que le envíen las soluciones vía correo electrónico.

• Analizar cambios lineales en fórmulas geométricas.

Es un recurso muy didáctico utilizar las representaciones geométricas, así como también las fórmulas de áreas y volúmenes para analizar fórmulas, que para los estudiantes son más cercanas que las de otras ciencias. En esta unidad aparecen varias actividades relacionadas con este tema, por ejemplo: El volumen de un cilindro de radio r y altura h es π r2h . ¿Cuántas veces más pequeño es el volumen de un cilindro que tiene la misma altura que otro pero la mitad del radio?

Un error común es pensar que el cilindro pequeño tiene la mitad de volumen. El error se comete, porque la única relación que han estudiado es la proporcional y creen que es la única. Sin embargo, en este caso particular el volumen del cilindro pequeño es 1/4 del cilindro mayor. Sería interesante preguntar por la generalidad, es decir, si en ambos cilindros la altura es la misma, pero el radio del cilindro menor es la tercera parte del mayor, es la cuarta parte del mayor, es la n-ésima parte del mayor, ¿qué ocurre con el volumen? Si la respuesta no surge, preguntar el volumen del más grande ¿es n veces más grande que el volumen del pequeño? Invitar a los estudiantes a hacer tablas, para conjeturar una regularidad. Pedirles que argumenten, para convencer a sus compañeros de sus descubrimientos.

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• Resuelven ecuaciones y despejan variables.

Despejar variables constituye una habilidad muy necesaria para el estudio de las ciencias en general. Es importante notar que resolver ecuaciones de primer grado constituye un caso particular de despejar variables. En esta unidad se desarrollan varias de estas actividades, por ejemplo en la 2L relación T 2 = 4π se despeja L, aplicando inversos aditivos e inversos multiplicativos. Es muy g importante que esto se destaque, para que no se crea que la resolución de ecuaciones es un proceso mágico, sin sentido. En el texto se propone la siguiente actividad: El volumen de un cilindro es V = π r 2h . Escribe la altura en términos de las otras variables y determina la altura del cilindro que tiene un volumen de 300 m3 y radio basal r = 4 m.

Preguntar a los estudiantes: ¿por qué valor debemos multiplicar la igualdad para despejar h?

Puede preguntar por el inverso multiplicativo de π y de r 2 , si los estudiantes no participaron de la primera pregunta. Una vez despejada la variable h responder la segunda pregunta de la actividad.

Preguntar si se pueden invertir los pasos dados, es decir, ¿podemos evaluar primero y luego resolver la ecuación? Acordar que ambos procesos conducen al mismo resultado y cada cual utilizará el que prefiera, dependiendo de la situación.

• Conjeturan regularidades.

En esta unidad y en la anterior aparecen varias actividades referidas a conjeturar regularidades. A continuación revisamos una actividad de la Prueba PISA 2000: x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x= Pino o= manzano

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

Con la ayuda de un compañero realiza la siguiente actividad: a)

Completen la siguiente tabla, tú escribiendo el número de manzanos y tu compañero el número de pinos.

n

Número de manzanos

Número de pinos

1

1

8

2

4

3 4 5

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b) Conjeturen y describan, cada uno, una fórmula para calcular el número de manzanos y otra para el número de pinos para n filas de manzanos.

La actividad pretende que los estudiantes se complementen y que cada cual confíe en el trabajo del otro. Como la fila de manzanos es la variable que estamos estudiando y en cada caso si hay n filas de manzanos, también hay n columnas de manzanos, entonces los manzanos son n2 . Los pinos forman el perímetro de un cuadrado de lado 2n + 1, luego el perímetro del cuadrado es 4(2n + 1) = 8n + 4 , pero como los pinos que están en los vértices del cuadrado, han sido contados dos veces es necesario restarlos de la cuenta, es decir la cantidad de pinos para cuando hay n filas de manzanos es 8n. Un error muy común es, pensar que una fórmula es cierta porque se comprueba en unos pocos casos. Por ejemplo, para todos los valores de n, que se muestran en la tabla, se tiene que la cantidad de pinos es mayor que la de manzanos, pero eso ocurre sólo hasta n = 8 y luego el orden se invierte. Es por esto que es tan importante realizar las preguntas que siguen en la actividad: ¿existe un valor de n para el cual el número de manzanos coincide con el de pinos?

A medida que el agricultor vaya haciendo mayor el tamaño del huerto: ¿qué aumentará más rápido: el número de manzanos o el de pinos? Se sugiere que los estudiantes entreguen un informe de la actividad en parejas, donde expongan sus conclusiones y, muy importante, argumenten la elección de estrategias y den razones para justificar sus resultados.

• Modelan diversas situaciones utilizando productos algebraicos.

La modelación es una habilidad muy importante de desarrollar en nuestros estudiantes, sin embargo, suele ser muy difícil para ellos lograr expresar lo que piensan utilizando expresiones algebraicas. Es por esto que la guía del docente es fundamental, para lograr un conocimiento significativo y no provocar frustración entre los estudiantes. Además la modelación involucra una gran cantidad de habilidades: reconocer variables, simulaciones, reconocer en el modelo los valores realmente significativos, resolución de problemas, análisis de información, etc. A continuación presentamos un ejemplo: En un criadero de salmones, tienen 400 salmones de 2 kg cada uno, que los liberaran para que naden río arriba, para desovar. Los salmones aumentan en masa, 400 gr por cada kilómetro que nadan, pero mueren 4 salmones cada kilómetro. ¿Cuál es el valor de la masa M de la comunidad de salmones que quedan vivos después de x km de nado?

Has una tabla de x versus M. Estima el valor de x que permite el máximo de masa de la comunidad de salmones.

Se sugiere invitar a los estudiantes a responder dos preguntas: 1. ¿Cuál es la masa de un salmón después de x kilómetros?

2. ¿Cuántos salmones quedan vivos después de x kilómetros?

Para la primera pregunta, invitar a responder “¿cuánto aumentó la masa de un salmón después de x kilómetros?” Como aumenta 400 g por kilómetro, después de x kilómetros, su masa aumentará 400x. Como al inicio, cada salmón pesaba 2 000 g, después de x km el salmón pesará 2 000 + 400x g.

Para la segunda pregunta: como mueren 4 salmones por km, se tiene que después de x km, se han muerto 4x salmones. Recordar que al comienzo se tenían 400 salmones, por lo tanto después de x km, se tendrán 400 − 4x salmones.

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Preguntar a los estudiantes: “¿cómo conocer la masa de la comunidad? Si conocemos la cantidad de salmones y la masa de cada uno de ellos” La respuesta debiera ser que el producto entre la masa de un salmón y la cantidad de salmones es la masa total de la comunidad. Es decir: M = (400 − 4x)(2 000 + 400x) = 1 600(100 − x)(5 + x) La tabla de x versus M debiera ser del estilo: x (km)

10

20

30

40

50

60

70

80

90

M (kg) 2 160 3 200 3 920 4 320 4 400 4 160 3 600 2 720 1 520 Al respecto se puede invitar a los estudiantes a responder las siguientes preguntas: 1. ¿Era de esperar que cuando se ha transcurrido una larga distancia, la cantidad de masa total sea pequeña?

2. ¿Cómo explicarías que la cantidad de masa aumente y luego disminuya?

3. ¿Qué pasará cuando hayan transcurrido 100 km?

Para tratar de encontrar el valor de x que produce la máxima cantidad de masa total, se sugiere hacer una tabla más fina entre los valores de x de la tabla anterior, donde se sospecha la existencia del máximo. Como, según nuestros datos, M crece hasta x = 40 y decrece desde x = 50 en adelante, la conjetura es que el máximo está entre x = 40 y x = 50.

A

B

C

D

E

42,0

44,0

46,0

F

G

H

I

J

K

L

54,0

56,0

58,0

60,0

1 Variables 2 x (km) 3 M (kg)

40

4320 4362,0 4390,0 4406,0

48,0

50,0

4409,6 4400,0

52,0

4377,6 4342,0 4294,0 4234,0 4160,0

4 5 6 Variables 7 x (km) 8 M (kg)

46

46,3

4406 4408,0

46,6

46,9

4409,0 4409,0

47,2

47,5

4409,9 4410,0

47,8

48,1

48,4

48,8

49,1

4409,9 4409,0 4409,0 4407,0 4406,0

Para hacer la tabla más fina se sugiere utilizar alguna planilla de cálculo, para no agobiar a los estudiantes con demasiados cálculos. A continuación presentamos dos tablas realizadas en Excel, la primera con datos de x = 40 a x = 50, y la segunda de x = 46 hasta x = 49,1, que es donde después de un análisis de crecimiento conjeturamos, podría estar el máximo.

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Invitar a los estudiantes a analizar las tres tablas, para que hagan un informe en el cual, basados en ellas, respondan las siguientes preguntas: 1. ¿Crees tú que M crece a medida que x crece? Explica.

2. ¿Crees tú que M decrece a medida que x crece? Explica.

3. ¿Crees tú que hay periodos en que M crece y luego M decrece? Explica.

4. ¿Cuál crees tú, aproximadamente, que es el valor de x que permite alcanzar un valor máximo de la masa? Explica.

5. ¿Cuál es el valor máximo de la masa? Explica.

6. ¿Cuántos peces había en ese momento? Explica.

7. ¿Cuánto pesaba cada pez en ese momento? Explica.

Es muy importante que las respuestas tengan un sentido real en el problema, por ejemplo no tendría sentido decir, “en el instante de máxima masa, había 211,5 peces vivos”. En ese caso comentar en el informe del estudiante lo irreal de su respuesta e invitarlo a darle un sentido dentro del problema inicial.

También es importante hacer notar, que por muy fina que sea la partición de la tabla, no es posible afirmar con certeza que nuestras conclusiones son las correctas, debido que a priori, no sabemos cuál será el comportamiento de la relación M(x), es por esto que las preguntas de la actividad se hacen en términos de conjeturas. Un análisis algebraico permite dar una respuesta precisa. Un estudiante avanzado estaría en condiciones de realizarlo con guía del maestro. Presentamos en la sección de actividades para ampliar el análisis algebraico de este modelo.

• Generalizan resultados numéricos utilizando productos de expresiones algebraicas.

En el texto existen variadas actividades referidas a esta habilidad, de diferentes grados de complejidad. A continuación mostramos dos, de niveles distintos: Un trío de números enteros positivos a, b y c, que satisfacen a2 + b2 = c2 se llama trío pitagórico, por ejemplo, 5, 12,13 es un trío pitagórico.

1. Muestra que si a, b y c, es un trío pitagórico, también lo es ka, kb y kc, donde k es un número entero positivo.

2. Si a, b y c, es un trío pitagórico, y dos de ellos son pares, entonces muestra que el tercero también es par.

3. Si a, b y c, es un trío pitagórico, entonces muestra que no pueden ser todos impares.

La dificultad de esta actividad es creciente, se sugiere seguir el orden establecido en el enunciado.

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Para la primera pregunta, es importante invitar a los estudiantes a reconocer que es lo se sabe, lo que se asume cierto y que es lo que se quiere probar.

Así tenemos que lo que se sabes es a2 + b2 = c2 y lo que queremos probar es que (ka)2 + (kb)2 = (kc)2.

Así, desarrollamos la expresión (ka)2 + (kb)2 y analizamos lo que resulta: (ka)2 + (kb)2 = k2a2 + k2b2 = k2(a2 + b2) pero como sabemos que a2 + b2 = c2 se tiene que: (ka)2 + (kb)2 = k2(a2 + b2) = k2c2 = (kc)2 Invitar al estudiante a reconocer en esta última igualdad la meta de la actividad.

La segunda pregunta, requiere un poco de análisis, que tiene que ver con la paridad de los números enteros. Los estudiantes, como primera aproximación al problema, probarán casos particulares, por ejemplo a = 6, b = 8 y c = 10. Sin embargo, es necesario estar atentos para que el estudiante no crea que ese método es una demostración. Invitar al estudiante a analizar el caso más general, en este punto es importante reconocer la necesidad del álgebra, y el gran aporte de ésta en la generalización de resultados.

Notar también que es necesario estudiar tres casos, a saber, a y b pares, a y c pares y por último b y c pares. Analizaremos el tercer caso en esta guía: Sabemos que: a2 + b2 = c2

(1)

por ser trío pitagórico, y también asumimos que a y c son pares, por lo tanto a = 2n y c = 2m, para ciertos números enteros n y m. Reemplazando en (1) se tiene 4n2 + b2 = 4m2 b2 = 4m2 − 4n2 = 2(2m2 − 2n2) Lo que implica que b2 es par y por lo tanto b es par, que es lo que queríamos probar. Invitar a los estudiantes a justificar todos los pasos, de la cadena de argumentos.

La tercera pregunta, requiere un análisis similar al anterior. De nuevo invitar a los estudiantes, quizás solo a los avanzados, a reconocer que es lo sabido y que es lo que se quiere probar. En nuestro caso sabemos que a2 + b2 = c2 y queremos probar que no pueden ser los tres impares, entonces preguntar, “¿qué pasaría si los tres fuesen impares?”. Si esto ocurriese se tendría lo siguiente: a = 2n + 1, b = 2m + 1 y c = 2k + 1, para cierto números enteros n, m y k. Reemplazando en la igualdad pitagórica resulta: (2n +1 )2 + (2m + 1)2 = (2k + 1)2 4n2 + 4n + 1 + 4m2 + 4m + 1 = 4k2 + 4k + 1 4n2 + 4n + 4m2 + 4m + 2 = 4(k2 + k) + 1

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Invitar a los estudiantes a responder las preguntas “El término de la izquierda del signo igual, ¿es par o impar? y el de la derecha, ¿es par o impar?”.

Guiar a los estudiantes a concluir que la última igualdad es imposible, por lo tanto es imposible que el trío pitagórico esté compuesto por solo números impares. Invitar a los estudiantes a justificar todos los pasos de la cadena de argumentos.

• Utilizan los productos notables para facilitar cálculos numéricos.

La actividad del terreno rectangular de Amanda se refiere a esta habilidad.

Se sugiere utilizar números grandes, para desmotivar el cálculo directo de la operación. Por ejemplo, si se pide calcular 42 − 32 los estudiantes calcularán 16 − 9 = 7 y no se reconocerá la suma por su diferencia. La siguiente actividad aparece en el texto: ¿Cuál es el valor de 1 5012 − 1 5022: a) 1 b) −1 c) 3 003 d) −3003 e) 3 0032 El estudiante reconocerá la suma por su diferencia y escribirá (1 501−1 502)(1 501 + 1 502) = (−1)(3 003) = −3 003.

Sin embargo, la alternativa a) es un distractor muy potente, debido que muchos estudiantes comenten el siguiente error: 1 5012 − 1 5022 = (1 501 − 1 502)2 = (−1)2 = 1 A esos estudiantes reforzar con cálculos del tipo del anterior.

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• Generalizan resultados referentes a funciones.

En el texto aparece la siguiente actividad: 1. La siguiente máquina transforma a cada número que entra por la derecha en otro número que sale por la izquierda.

a

b

Supón además que tiene la siguiente propiedad: [C] Si la máquina transforma a en b y transforma x en y, entonces a a + x lo transforma b + y. a) Muestra que la máquina del ítem anterior no cumple [C]. b) Muestra que la máquina que transforma cada número en su doble, sí cumple [C]. c) Muestra que la máquina que transforma t en 180 − 11 t no cumple [C].

2 d) Muestra que la máquina que transforma t en 6t sí cumple [C]. e) Muestra que la máquina que transforma t en 1 t sí cumple [C].

2 f) Muestra que si una máquina cumple con [C], entonces al cero no le hace nada, es decir, transforma el cero en el cero.

Notar que la propiedad [C] dice que la función f satisface la condición f (a + b) = f(a) + f(b) para cualesquiera valores de a y de b. En las letras a), b), c), d) y e) solo se trata de verificar si ciertas funciones satisfacen o no la condición [C] de separar la suma. En cambio el ítem f) se trata de encontrar una relación general que cumplen las funciones que cumplen con [C].

Una invitación que puede ayudar a los estudiantes es: Dale un valor a f(0).

Entonces invitar a los estudiantes a suponer que f(0) = a, y evaluar f(0 + 0).

Por una parte f(0 + 0) = f(0) = a y por otra es f(0) + f(0) = a + a = 2a, por lo tanto a = 2a restando a a ambos lados de la igualdad, resulta: a=0

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ERRORES FRECUENTES • -x es un número negativo.

Este es un error muy común que es menester erradicarlo de nuestras aulas. No es cierto que −x sea un número negativo, sólo denota el inverso aditivo de x, que a veces es negativo y a veces es positivo, depende de x. Por ejemplo, si x es un número negativo, entonces −x es un número positivo. Este error es el culpable de que mucha gente piense que − x = x , lo cual es falso, en general. Del mismo modo si x < 0 , entonces x 2 = − x , lo cual es cierto, pero hay muchas personas que encuentran esta última igualdad una aberración, pero se trata solamente de que creen que -x denota un número negativo. Para derribar ese mito, realice varios ejercicios numéricos que sirvan de contraejemplo para esa suposición.

• Confunden “implica” con “equivalente”.

Muchos estudiantes confunden estas palabras, lo cual lleva a grandes errores.

Por ejemplo, cuando se dice: “Todo número que es múltiplo de 4 es par”, creen que el recíproco también lo es, es decir: “Todo número par es divisible por 4”. Otro ejemplo es: “Si a es divisible por 6 también lo es ab” lo cual es cierto, pero muchas personas creen que su recíproco también es cierto, es decir, “Si ab es divisible por 6 también lo es a” lo cual es falso. Es muy importante estar atentos y revisar con mucho cuidado los argumentos dados por los estudiantes.

• Casos particulares permiten demostrar.

Es muy común que los estudiantes den por cierta una afirmación, sólo porque la verificaron en unos pocos casos. Por ejemplo: si se les pide probar que la suma de un impar con un número par es un número impar, ellos suelen decir, “obvio, por ejemplo 2 + 3 = 5 es impar”.

Es importante hacerles notar, que ese método no permite conocer todos los casos posibles, que los pares son infinitos, lo mismo que los impares y no podremos verificarlos todos, uno a uno, de modo que hay que encontrar una forma general de probar el resultado. Por ejemplo: 2n + 2m + 1 = 2(n + m) + 1.

• Los primeros términos de una secuencia, determinan la secuencia.

Este error es muy difundido en todo el mundo, en varias prestigiosas pruebas nacionales e internacionales se replica esta mala práctica. La pregunta: “considere la secuencia 1, 2, 3, 4, 5, ... ¿cuál número viene después?”. No tiene sentido en matemáticas, porque, de hecho existen infinitas sucesiones que tienen a estos números como sus primeros términos. Por ejemplo, an = n + (n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4)(n − 5) es una de ellas; sin embargo, el sexto término no es 6. Por lo tanto, preguntar por el siguiente término de una secuencia finita es un error matemático.

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Hacer este tipo de preguntas es equivalente a afirmar “Si f (0) = 0, f (1) = 1, f (5) = 5, entonces la función f es f (x) = x“. Es cierto que la función identidad, satisface las condiciones dadas, pero no es la única.

Las sucesiones son un tipo particular de funciones, de modo que lo que es inadmisible para funciones es también “ilegal” para las sucesiones.

• El cuadrado de la suma es la suma de los cuadrados.

Este error se repite hasta los primeros años de universidad, es muy común ver que (a + b)2= a2 + b2 y su variante (a − b)2 = a2 − b2. En el texto del estudiante se plantea una actividad que está dirigida a remediar esta incorrección, y es la siguiente: Dibuja un cuadrado de lado a + b, en él pinta los cuadrados de lados a y lado b. Muestra que si a > 0 y b > 0, jamás podrá pasar que (a + b)2 sea igual a a2 + b2. ¿Podrá ocurrir la igualdad, para valores negativos de a o de b? a

b

a

b

Invitar al estudiante a responder “¿Puede tener el rectángulo verde área cero?”

• Los datos de una tabla determinan la función.

Es muy común ver en muchos textos que las funciones se pueden representar en tablas, lo cual es falso. Sin duda que dada una función real podemos tabular algunos valores de la función, pero dada una tabla no podemos decir de cual función se trata. Por ejemplo, consideremos una función f real y la tabla de valores de dicha función:

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X 0 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4

f(x) 0 1 4 9 16 1 4 9 16

2

2

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ÁLGEBRA

Un estudiante despistado podría decir que se trata de la función que a cada número real le asocia su cuadrado. Es decir, si x ∈ , entonces f(x) = x2.

Sin embargo, existen infinitas funciones que tienen esta imágenes para x ∈ A = {0, 1, 2, 3, 4, −1, −2, −3, −4,

2}

distintas a la función cuadrática. Por ejemplo, g(x) = x2 + x(x2 − 1)(x2 − 4)(x2 − 9)(x2 − 16)(x2 − 2).

De hecho, se puede completar como se quiera la forma de evaluar los valores de x ∉ A y obtener una función. Por lo tanto, problemas del tipo: Considere la siguiente tabla de la función f: x

f(x)

0

0

1

1

2

2

3

3

4

4

Diga cuál función es.

No tienen ningún sentido matemático.

• La concatenación de funciones es conmutativa.

Es muy común creer que todas las operaciones en matemáticas son conmutativas. Un ejemplo natural para mostrar que esto es falso es preguntarles a los estudiantes: Supón que en un juego te dan 100 puntos si te comes una ficha roja y te duplican tu puntaje si te comes una ficha negra. Si tú tienes 300 puntos que te conviene hacer: a) Comer la ficha roja y luego la negra. b) Comer la ficha negra y luego la roja. c) Da lo mismo cual comer primero, se obtiene el mismo resultado.

Nuestra experiencia es que los estudiantes rápidamente escogen la alternativa correcta, que en este caso es primero sumar 100 y luego duplicar. Es muy importante relacionar esto con funciones. Por ejemplo, una forma sería: Si se tiene un puntaje basal x, entonces comerse la ficha roja corresponde a la función f(x) = x + 100, en cambio si se tiene un puntaje basal x, entonces comerse una ficha negra corresponde a la función g(x) = 2x. Por lo tanto, concatenar en un sentido las máquinas resulta: g(f(x)) = g(x + 100) = 2(x + 100) = 2x + 200 En cambio en el otro sentido resulta: f(g(x)) = f(2x) = 2x + 100 Lo que muestra que se obtienen funciones distintas por ejemplo evaluando cada concatenación en 300.

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Unidad

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ACTIVIDADES DE REFUERZO Y AMPLIACIÓN Si las actividades del texto, resultan de fácil acceso a los estudiantes de su curso, invítelos a dar argumentos de sus conclusiones, pues el texto está diseñado para cubrir diferentes ritmos de aprendizaje del alumnado y existen preguntas profundas, que requieren un pensamiento claro y ordenado, que no todos logran a esta edad.

Si aún así sus estudiantes sobrepasan el ritmo del texto, puede ampliar las actividades a tópicos más profundos. Por ejemplo, mostramos algunas actividades de ampliación.

• Utilizando planillas de cálculo.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

A Asignatura Artes Biología Ed. Tecnológica Ed. Física Ed. Musical Filosofía Física Historia Inglés Lenguaje Matemática Química

B Nota 1 5,7 4,4 5,1 7,0 6,0 5,0 4,4 3,3 7,0 7,0 7,0 4,5

C Nota 2 6,4 5,3 6,3 7,0 6,5 4,3 5,6 4,1 6,4 5,5 6,8 5,2

D Nota 3 7,0 4,2 7,0 5,5 5,4 4,5 6,6 2,8 4,4 4,3 5,5 6,3

E Promedio

Utilizando la misma planilla de cálculo de la página 27 de esta Guía, proponer la siguiente actividad: La ponderación de las notas será la siguiente: la peor en cada ramo corresponderá a los 2/10 de la nota final, la nota del medio corresponderá a 3/10 y la mejor nota corresponderá a 1/2 de la nota final.

Describe una estrategia para hacer estos cálculos.

• Análisis de fórmulas.

La fórmula de inicio de la Unidad,    2 m2  1−  v   = m02   c  relaciona la masa en movimiento m con la masa en reposo m0 . La variable v denota la velocidad del objeto y c la velocidad de la luz en el vacío, que es constante.

Realizar las siguientes preguntas para los estudiantes adelantados: 1. ¿Puede un objeto de masa no nula moverse con velocidad v = c? Justifique su respuesta.

2. ¿La luz puede tener corpúsculos de masa no nula?

3. Si v es muy cercano a c, pero menor que c, ¿qué pasa con m?

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Unidad

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ÁLGEBRA

• Regularidades numéricas.

Preguntar al estudiante avanzado si n2 + n + 41 es siempre un número primo, para cualquier valor de n. Puede ocurrir que intente investigar caso a caso, es decir, evaluando algunos valores. Por ejemplo, para n = 1 resulta 43 que es primo. Para n = 2 resulta 47, que también es primo. Para n = 3 resulta 53 que también es primo. Un estudiante avanzado, debiera pensar que este método no lo llevará a ninguna parte. Sin embargo un estudiante observador notará que, para n = 41 se obtiene un número no primo.

Para aquellos estudiantes que el nivel del texto es avanzado se sugiere hacer varias actividades relativas al cálculo numérico directo, evaluación de expresiones algebraicas, conjeturas de patrones geométricos, antes de empezar con los problemas más analíticos y demostraciones más generales.

También con la intención de encontrar deficiencias en el cálculo directo, que puede ser la causa de la inseguridad del estudiante.

• Análisis de un producto de expresiones algebraicas En el problema de la masa de la comunidad de salmones, habíamos obtenido que la relación entre los kilómetros recorridos (x) y la masa, en kilogramos, de una comunidad de salmones M, resultó ser: M(x) = 1,6(100 − x)(5 + x) = 1,6(500 + 95x − x2) M(x) = −1,6(x2 − 2 · 47,5x − 500) Ahora bien, recordar al estudiante que x2 − 2ax + a2 = (x − a)2, es decir a la expresión x2 − 2ax le falta a2 para ser un cuadrado de binomio. Invitar al estudiante a reconocer esta expresión en x2 − 2 · 47,5x. Preguntar al estudiante avanzado: “¿Qué le falta a x2 − 2 · 47,5x para ser un cuadrado de binomio?” Como falta el cuadrado de 47,5, agregarlo en la expresión de arriba y quitarlo para mantener la igualdad: M(x) = −1,6(x2 − 2 · 47,5x + (47,5)2 − (47,5)2 − 500) M(x) = −1,6((x − 47,5)2 − 2 756,25)) M(x) = 4 410 − 1,6(x − 47,5)2 Ahora invitar al estudiante a responder: “¿Es cierto que 1,6(x − 47,5)2 es siempre un número positivo o cero?” Guiar al estudiante hacia el argumento que el cuadrado de un número real no es negativo. Luego guiar al estudiante a argumentar que 4 410 − 1,6(x − 47,5)2 alcanza su máximo valor cuando (x − 47,5)2 = 0, es decir, para x = 47,5.

Es decir, la máxima masa de la comunidad de salmones se alcanza cuando se han recorrido 47 kilómetros y medio.

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Unidad

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• Generalizan resultados aritméticos.

En el texto existen varias actividades referidas a esta habilidad, algunas representan un desafío para el estudiante medio. Presentamos algunos ejemplos del texto: Muestra que si un número entero se escribe en la forma 4n + 3, entonces ese número no puede ser la suma de dos cuadrados no nulos.

Primero, invitar al estudiante avanzado, a decidir si 4n + 3 es par o impar. Una vez que está decidida la imparidad de 4n + 3, decidir que si es la suma de dos enteros, esos números tiene distinta paridad. Por lo tanto si 4n + 3 es la suma de dos cuadrados, es decir 4n + 3 = a2 + b2, entonces uno de ellos es par y el otro impar, digamos a par y b impar.

Entonces, tenemos que a = 2k y b = 2t + 1, donde k y t son números enteros, reemplazando en 4n + 3 = a2 + b2 resulta: 4n + 3 = 4k2 + 4t2 + 4t +1 /−1 4n + 2 = 4k2 + 4t2 + 4t / · 1 2 2n + 1 = 2k2 + 2t2 + 2t Ahora preguntar al estudiante avanzado: “¿El número de la izquierda es impar o par? y el de la derecha, ¿es par o impar?” Una vez que se concluya que la anterior es una igualdad imposible, pues dice que un número par es igual a otro número que es impar. Guiar al estudiante a concluir que es imposible que 4n + 3, sea la suma de dos cuadrados. Pedirle al estudiante que entregue un informe, explicando la veracidad de cada uno de los pasos en la cadena de argumentos.

Para aquellos estudiantes que el nivel del texto es avanzado. Se sugiere hacer varias actividades relativas al cálculo numérico directo, evaluación de expresiones algebraicas, conjeturas de patrones geométricos, antes de empezar con los problemas más analíticos y demostraciones más generales.

También con la intención de encontrar deficiencias en el cálculo directo, que puede ser la causa de la inseguridad del estudiante.

• Polinomios de grado 1.

Para los estudiantes que el texto los sobrepasa, se sugiere realizar varias actividades que involucran sólo dos variables y relacionadas por un polinomio de grado 1. Es decir, relaciones del tipo y = ax + b donde a y b son constantes numéricas. Una actividad típica es la de la cuenta de la luz.

Se sugiere diseñar actividades copiadas de ésa utilizando la cuenta del agua potable, del gas, del teléfono. También es posible utilizar cambios de unidades, de metros a kilómetros, de kilogramos a toneladas. La relación entre grados Celsius y grado Fahrenheit. Es conveniente utilizar todos los recursos necesarios, como tablas y material concreto.

Si esto aún es muy complicado, comenzar con problemas de mayor acceso, como la relación entre la cantidad de unidades de un producto y el valor a pagar. Por ejemplo:

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Construye la tabla que relaciona la cantidad de huevos comprados y el valor a pagar por ellos, considerando que cada huevo vale $ 80.

• Utilizando un software.

En la página web www.automind.cl en su parte de educación, existe el juego interactivo “Máquinas Mágicas”, donde en forma lúdica se pueden construir y evaluar relaciones algebraicas.

Existen varias funciones: sumar, restar, multiplicar, máximo, mínimo, etc. Los estudiantes son expertos en descubrir los atributos de software.

Por ejemplo, a continuación mostramos una máquina: x (x+2)

2

Esta máquina, por ejemplo, la construimos con el “embudo” que recibe los valores de la variable, la “constante” 2 y la “suma”. La pantalla sólo muestra el resultado. Respecto a esta máquina se pueden hacer varias preguntas; por ejemplo: a)

¿Cuál es el resultado si a la máquina entra 4?

b)

Si sale 0, ¿cuál número entró?

c)

Si entra un número par, ¿sale un número par?

d)

Si entra un número entero, ¿sale un número entero?

x

y

(1/3)

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Unidad

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De a poco se puede ir avanzando en la complejidad de las máquinas por ejemplo: agregar más variables. La máquina de arriba recibe las variables y y x, y entrega 1 x 2y . Varias preguntas se 3 pueden hacer al respecto. Por ejemplo: 1.

Si entra x = 3 y y = 1, ¿cuál número resulta?

2.

Si entra x = 1 y y = 3, ¿cuál número resulta?

3.

Si entran números enteros, ¿el resultado es entero?

4.

Si entra un valor de x y un valor de y, y entrega un resultado R. Si luego entra el mismo valor de y, pero entra la mitad de x, y entrega el valor R’, ¿cuál es la relación entre R y R’?

La siguiente máquina recibe x e y, y entrega x 2 − y 2. Ud. puede preguntar, por ejemplo:

0

0

1.

Si entra x = 1 e y = 2, ¿cuál número resulta?

2.

Si resulta cero, ¿es cierto que los números que entraron son iguales?

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Unidad

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ÁLGEBRA

• Utilizan representaciones geométricas para visualizar productos algebraicos.

Es muy útil hacer representaciones geométricas para todos los estudiantes, en particular a aquellos que la abstracción les demanda demasiado esfuerzo. En Internet existen varias páginas interactivas que permiten que el o la estudiante compruebe relaciones algebraicas. Por ejemplo, el cuadrado de binomio en forma didáctica. En la dirección http://illuminations.nctm.org/, se puede encontrar un applet, que permite mover los rectángulos de lados a y b los cuadrados de lados a y b de manera de formar un cuadrado de lado a + b . Las figuras muestran el juego antes de empezar y luego se muestra la figura, una vez que el estudiante completó el cuadrado.

A A

B A B A A A B

B

B

A

B

B B A

• Calculan productos utilizando representaciones geométricas.

A los estudiantes con dificultad para desarrollar productos de binomios es necesario motivarlos a utilizar representaciones geométricas. Una actividad que ayuda es la siguiente: Mostrar al estudiante el producto ( a + b)(c + d) como el área de un rectángulo de lados a + b y c + d como se muestra abajo: c a

Rojo

b Amarillo

d Azul

Verde

Preguntar al estudiante por el área de los rectángulos pequeños, por ejemplo: “¿Cuál es el área del rectángulo rojo?” Guiado por el profesor el estudiante logra reconocer la igualdad: ( a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd

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Unidad

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Luego avanzar a productos más complejos, por ejemplo, (2x + 3y )( 4 x + 5z) , pero siempre invitar al estudiante a construir el rectángulo de lados (2x + 3y ) y ( 4 x + 5y ) , es muy útil presentar la actividad del siguiente modo: 1.

Ubica los sumandos de un monomio, en las divisiones de un lado del rectángulo y los sumandos del otro binomio, como las divisiones del otro lado (el estudiante debiera ver el producto y el rectángulo divido, pero sin marcas. El estudiante debiera hacer lo que se muestra en la figura de abajo).

Rosado

Verde

Amarillo

Rojo

(2x + 3y )( 4 x + 5z)

2.

Calcula el área de cada rectángulo de color por separado.

3.

Escribe el área del rectángulo grande, como (2x + 3y )( 4 x + 5z) y también como la suma de los pequeños rectángulos.

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Unidad

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ÁLGEBRA

ACTIVIDADES DE CIERRE DE UNIDAD Las actividades del texto del estudiante están diseñadas para que el alumno o alumna modele, resuelva problemas, calcule y aplique los conceptos e ideas descubiertos en esta unidad. Las preguntas que presentamos a continuación pretenden reconocer si se logró un conocimiento profundo de los tópicos estudiados en esta unidad.

1. ¿Es cierto que a(b + c ) = ab + c?

2. ¿Es cierto que a + b = ab?

3. ¿Cuáles son todos los números reales x, tales que 2( x + 2) = 2x − 1?

4. ¿Cuáles son todos los números reales x, tales que 2( x + 3) + x = 3( x − 1) + 9?

5. La fórmula T = 4 − n , produce los primeros términos de T, para los primeros 4 valores naturales de n: 3, 2, 1, 0. ¿Es esta la única fórmula que produce esos cuatro primeros términos?

6. ¿Cuál es la suma de los primeros 100 múltiplos de 3?

7. Si las medidas de un cono (radio y altura), disminuyen a la mitad, ¿el volumen disminuye a la mitad? ¿El volumen disminuye a la cuarta parte? ¿El volumen disminuye a la octava parte? an

n

 a 8. En la unidad se demostró que n =   cuando a y b son positivos y n ∈ . Demuestra que  b b la igualdad es válida para n ∈ .

9. Si se conoce el perímetro de un cuadrado, ¿se puede conocer la medida del lado del cuadrado?

10. Si se conoce el volumen de un cilindro, ¿se pueden conocer las medidas del cilindro?

11. ¿Es cierto que si ab = ac implica que b = c?

12. ¿Es cierto que si x2 = y2, entonces x = y?

13. ¿Si un número es divisible por 6, entonces es divisible por 3 y por 2?

14. ¿En cuáles casos ( a + b)2 = a2 + b2 ?

15. ¿En cuáles casos ( a − b)2 = a2 − b2 ?

16. Sin calcular, explica por qué es lo mismo ( a − b)2 que (b − a)2 .

2 2 17. Explica por qué 4 x + 12xy + 9y no es un número negativo para cualquier valor de x y de y.

2 2 18. Explica por qué x + y = 0 tiene como solución a x = y = 0 solamente.

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2 19. Explica por qué A = 81− ( x − 3) es siempre menor o igual a 81. Muestra que el mayor valor de A, es decir 81, se alcanza cuando x = 3 .

20. Explica por qué la resta de los cuadrados de dos números impares es un número par.

21. ¿Es cierto que la suma de los cuadrados de dos números impares es par, pero no es un múltiplo de 4?

22. Muestra que la suma del cuadrado de un par con el cuadrado de un impar es el sucesor de un múltiplo de 4.

23. Construye un cuadrado de cartulina. Al lado del cuadrado llámalo a, marca un borde a un lado del cuadrado y luego otro del mismo ancho b, pero en forma perpendicular al anterior. Muestra que el cuadrado amarillo tiene área ( a − b)2 , el cuadrado azul tiene área b2 y los rectángulos verdes tienen área b(b − a) . Muestra que el área del cuadrado original 2 es a y por otro lado la suma de los rectángulos de colores. Explica por qué esta figura representa: ( a − b)2 = a2 − 2ab + b2. b

a

b

24. Si f y g son funciones afines. ¿Si se concatenan estas funciones se obtiene una función afín? ¿Si se concatenan en ambos sentidos se obtiene la misma función?

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Unidad

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ÁLGEBRA

MODELOS DIDÁCTICOS A continuación se darán ejemplos concretos y actividades que ayudarán a que los alumnos logren los aprendizajes esperados en esta segunda unidad.

• Utilizan letras para representar números. Evalúan expresiones algebraicas.

La presión normal P sobre un cuerpo se define a través de la siguiente fórmula: P = F , en donde F es la fuerza que se ejerce por unidad de superficie A. Entonces: A a)

¿Cuál es la presión que ejerce un elefante si su peso ejerce una fuerza de 40 000 N y se mantiene una pata sobre la superficie de una mesa de área 0,02 m2?

b)

¿Qué presión ejerce una mujer de 500 N de peso sobre un zapato de tacón de aguja de 0,0041m2 de área?

En esta actividad los alumnos deben evaluar expresiones algebraicas en el ámbito de la física. Esto provoca un mayor acercamiento ya que al contextualizar, el lenguaje algebraico se vuelve para el alumno necesario y útil de aprender. Además, las letras no representan sólo números en abstracto, si no variables reales como presión, fuerza y superficie.

• Conjeturan y demuestran propiedades numéricas asociada a múltiplos, factores y divisibilidad.

En las actividades del tema relativo a generalidades numéricas aparecen actividades como: 1. ¿Qué resulta de multiplicar un par por cualquier número entero?

2. Muestra que la suma de un número y su sucesor es impar.

3. Escribe la suma de 4 enteros consecutivos donde n es el segundo. ¿Es esa suma par?

4. ¿Es cierto que todo múltiplo de 6 es un múltiplo de 3?

Todas estas actividades están orientadas para que el alumno en principio analice algunos casos particulares de estas propiedades numéricas, para que posteriormente infieran ciertos resultados y luego los demuestren utilizando fuertemente el lenguaje algebraico.

• Traducen al lenguaje algebraico relaciones cuantitativas en las que utilizan letras como incógnita. Plantean y resuelven problemas que involucren ecuaciones de primer grado con una incógnita.

“De un estanque lleno de bencina, un automóvil consumió una cantidad igual a 7 de su capa8 cidad. Reponiendo 38 litros, la cantidad de bencina llega a las 3 partes del estanque. ¿Cuál es la 5 capacidad del estanque?”. Este problema invita al alumno a que traduzca a lenguaje algebraico identificando con precisión la incógnita (capacidad del estanque) y luego resuelva la ecuación de primer grado para encontrar dicha incógnita, y de esta forma llegar a la solución del problema, interpretando el valor numérico de la solución.

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Unidad

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• Conjeturan y generalizan acerca de patrones numéricos y geométricos utilizando expresiones literales.

La figura siguiente muestra triángulos equiláteros formados por pequeños círculos, partiendo con uno de lado 2 círculos, el siguiente de lado 3 círculos y así continúan los triángulos aumentando, consecutivamente, la medida de su lado en un círculo.

a)

Realiza una tabla relacionando el lado del triángulo (medido en círculos) y cantidad de círculos que lo conforman. Hazlo hasta la figura 10.

b)

Con la ayuda de la tabla anterior, conjetura la cantidad de círculos para la figura 16.

c)

Expresa la fórmula que establece la cantidad de círculos para la n-ésima figura.

En este problema se les muestra a los alumnos un patrón geométrico, en el que de manera guiada se les pide que construyan una tabla en la que relacionen la cantidad de círculos versus el lado del triángulo, para ciertos casos particulares.

Por medio de estos casos particulares pequeños, posteriormente conjeturar para un caso mayor y luego utilizando expresiones literales generalizar para el caso n.

• Generalizan la notación de potencias y utilizan procedimientos convencionales para el cálculo de multiplicación y división de potencias. n

1.

¿Es cierto que  a  ⋅ ( ab)m = an + mbm − n ?  b

2.

n ¿Es cierto que a−n = ( ab)n ? b

En estas actividades se les hacen preguntas a los alumnos y alumnas, de manera de orientarlos a demostrar estas igualdades, basados en la generalización de las propiedades de la multiplicación y división de potencias.

Un problema dentro de un contexto geométrico, en el que es de utilidad que los alumnos apliquen las propiedades antes mencionadas, para observar los cambios de las variables no lineales cuando varían las lineales, es: El volumen de un cubo es a3, donde a denota lo que mide su arista. ¿Cuántas veces más grande es el volumen de un cubo de arista 2a que el volumen de uno de arista a?

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Unidad

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ÁLGEBRA

• Calculan factorizaciones, las interpretan numérica y geométricamente.

3 2 1. Dibuja dos rectángulos, uno de área 2x y y otro de área 3x 2yz , de tal forma que tengan un lado de la misma medida. Factoriza 2x3 y 2 + 3x 2yz .

2. Para calcular (10,1)2, sin tener calculadora a mano, se puede recurrir a que el cuadrado de 10 es fácil de calcular, de hecho es 100, del mismo modo que el cuadrado de 0,1 es 0,01, por lo tanto el cuadrado de 10,1 es 100 + 2 + 0, 01 = 102, 01. Explica el razonamiento.

En estas actividades se plantea el cálculo de factorizaciones de dos maneras: la primera orientada a que el alumno o alumna realice un trabajo geométrico al pedirle la construcción de rectángulos de cierta medida, para que luego interprete y factorice.

La segunda actividad se orienta a que el estudiante identifique el cálculo (10,1)2 como el cuadrado de (10 + 0,1), utilizando la expresión del cuadrado de binomio. De esta manera se dará cuenta que una buena descomposición facilita ciertos cálculos numéricos.

• Analizan las fórmulas e interpretan las variaciones que se producen en perímetros, áreas o volúmenes, por cambios en las medidas lineales de las figuras.

1.

El volumen de una caja de aristas x cm, y cm y z cm es xyz cm3. ¿En cuánto aumenta el volumen de una caja si la medida de la arista z aumenta en un centímetro? ¿El aumento es el mismo si en vez de z el aumento lo experimenta x o y?

En el primer problema se les pide a los alumnos que realicen cambios en las medidas de las aristas de la caja, para analizar las posibles variaciones que sufra el volumen de la caja. Es bueno someter a los alumnos a la reflexión de que si la arista de la caja aumenta el doble el volumen no crece lo mismo. Para ampliar la reflexión a la actividad, se le puede agregar también la pregunta: ¿es cierto que si las aristas de la caja aumentan en cierta cantidad, el área de dicha caja aumenta la misma cantidad?

Es importante que los alumnos y alumnas concluyan, que al realizar cambios en las medidas lineales, las medidas que no son lineales, como área y volumen, no sufren la misma variación. Es conveniente generalizar algunos casos como el de un cuadrado de lado a, si su lado se duplica en cuánto aumenta su área, y también realizar la misma generalización con el área y volumen de un cubo si su arista se duplica o aumenta n veces.

• Calculan productos notables, los interpretan numérica y geométricamente.

1.

2.

Demuestra que el cuadrado de un número impar es también un número impar.

Muestra que la diferencia del cuadrado de un número entero, con el cuadrado de su antecesor es un número impar, (haz esto de dos formas distintas).

En estas actividades vemos una aplicación de los productos notables: cuadrado del binomio en la primera, y suma por su diferencia en la segunda, para realizar demostraciones de regularidades numéricas, relativas a las cifras pares e impares.

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Unidad

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Construye un cubo de lado a + b, con madera (o greda, o plasticina, o yeso, o cartulina, etc.) y realiza los cortes como muestra la figura de la página 101 del Texto del Estudiante. Nota que resultan 8 prismas, dos cubos y seis prismas rectos de base cuadrada. Estos últimos se pueden juntar en dos grupos de tres, cada uno de los grupos tiene cuerpos idénticos.

3 3 2 2 3 Muestra que ( a + b) = a + 3a b + 3ab + b .

Esta actividad tiene como objetivo que el alumno llegue a una expresión algebraica de lo que es el cubo de un binomio, a través de una interpretación geométrica haciendo la correspondiente equivalencia con el volumen de un cubo de arista (a + b). Como el dibujo es en tres dimensiones, se requiere de mayor experticia dibujarlo en un papel. Por esta razón y pensando en propiciar aprendizajes significativos utilizando el material concreto, que a los alumnos se les pide la construcción en otro material.

• Resuelven problemas que involucren productos.

Considera un rectángulo de lados de medidas a y b, con 2b > a . Haz tres copias idénticas de él y superponlos como en la figura de la página 94 del Texto del Estudiante: a) ¿Cuál es el área de la figura de la derecha? b) ¿Cuál es el área del rectángulo rojo? c) ¿Cuál es el área del rectángulo amarillo? d) ¿Qué clase de rectángulo es? e) ¿Cuál es el área del rectángulo verde?

rojo

amarillo verde

amarillo

rojo

Esta actividad está orientada a que el alumno calcule productos, pero utilizando una herramienta geométrica como lo es el cálculo del área de un rectángulo. Es importante que las preguntas sean guiadas, de tal manera, que el alumno paso a paso logre la resolución del problema. Notar que en el cálculo del área total de la figura de la derecha, parece inmediato y el alumno tiende a sumar áreas, repetidas veces, pero al analizar con mayor detención y observar que las figuras están superpuestas, cambia la percepción del alumno referente al cálculo rápido.

• Conocen algunos antecedentes históricos sobre la evolución del lenguaje algebraico.

2 2 Considera la ecuación diofántica x − 4 xy + 4 y = −2 . Muestra que no tiene soluciones (enteras).

Muestra que no tiene soluciones de ningún tipo.

En el texto se trata, como antecedente histórico la evolución del lenguaje algebraico: las ecuaciones diofánticas, en honor al matemático de Alejandría llamado Diofanto. En el texto se hace una referencia al trabajo de este matemático con las ecuaciones polinomicas de la for2 3 ma a + bx + cx + dx = 0 y su búsqueda de soluciones sólo enteras. La actividad planteada es una ecuación Diofántica, que para mostrar que no tiene soluciones enteras, la expresión x 2 − 4 xy + 4 y 2 = −2 se puede factorizar como ( x − 2y )2 y así ayudar a razonar a los alumnos si es posible que ( x − 2y )2 tome valores negativos, en particular −2 .

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Unidad

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GEOMETRÍA

INFORMACIÓN CURRICULAR Esta unidad en una primera parte retoma el estudio de formas y figuras geométricas ya conocidas en los niveles anteriores, pero con un grado mayor de profundización al incorporar al plano cartesiano como referente de representación. En una segunda parte, se incorpora la congruencia de figuras planas centrando la atención en la relación de ellas con las transformaciones isométricas; para así entregar a los alumnos y alumnas las herramientas necesarias que le permitan deducir y demostrar algunas propiedades de los polígonos.

Objetivos fundamentales verticales

CMO

Aprendizajes esperados

- Caracterizan la estructura y uso de un sistema de coordena- Identificar regularidades - Identificación del plano das rectangular y lo denominan Plano Cartesiano. en la realización de trans- cartesiano y su uso para formaciones isométricas representar puntos y - Representan puntos, trazos, triángulos y cuadriláteros en un en el plano cartesiano. figuras geométricas manualmente y haciendo plano cartesiano en forma manual o mediante el uso de un procesador geométrico. uso de un procesador geométrico.

- Resuelven problemas geométricos de áreas y perímetros de figuras representadas en un plano cartesiano.

- Notación y representación gráfica de vectores en plano cartesiano y su - Construyen traslaciones en el plano cartesiano utilizando vectores e identifican las regularidades presentes en este aplicación para describir tipo de transformación isométricas. traslaciones de figuras geométricas en el plano - Construyen composiciones de traslaciones utilizando la cartesiano. adición de vectores en un plano cartesiano.

- Aplicación de la suma de - Construyen, en el plano cartesiano, traslaciones, reflexiones vectores para descriy rotaciones en forma manual o utilizando un procesador bir composiciones de geométrico y construyen composición de reflexiones. traslaciones en el plano cartesiano.

- Reconocen reflexiones, traslaciones y/o rotaciones en pares de figuras dadas en el plano cartesiano y son capaces de - Construcción de traslaciofundamentar su razonamiento como también de reconocernes, reflexiones y rotaciolas en teselaciones. nes de figuras geométricas en el plano cartesiano, empleando instrumentos, - Caracterizan los aspectos invariantes que se observan en la aplicación de reflexiones, rotaciones y traslaciones en un un procesador geométrisistema cartesiano de coordenadas. co u otras herramientas tecnológicas.

- Conocer y utilizar con- - Relación del concepto de ceptos y propiedades congruencia con las transasociados al estudio de formaciones isométricas, la congruencia de figu- identificación y utilización ras planas, para resolver de los criterios de conproblemas y demostrar gruencia de triángulos y propiedades. su aplicación para realizar construcciones geométricas, resolver problemas y demostrar propiedades en polígonos.

- Analizan los datos necesarios y suficientes para construir un triángulo, y relacionan dichos datos con los criterios de congruencia de triángulo y las transformaciones isométricas.

- Componen y descomponen figuras analizando la congruencia entre sus lados y ángulos.

- Resuelven problemas que involucran congruencias de trazos, ángulos y triángulos.

- Conjeturan y demuestran propiedades de polígonos utilizando la congruencia de triángulos.

- Conocen algunos antecedentes acerca del aporte de Euclides a la geometría.

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Unidad

Contenidos relacionados con niveles anteriores

Contenidos de la Unidad

8º básico - Plano Cartesiano y pares - Realización de traslaciones, reordenados. flexiones y rotaciones de figuras geométricas planas a través de - Traslación de una figura en el plano cartesiano y construcciones con regla y compás y empleando un procesador composición de traslaciogeométrico, determinación de nes utilizando vectores. las invariantes que se generan al realizar estas transformaciones. - Transformaciones isométricas en el plano cartesia- Aplicación de transformaciones no: traslación, simetría y isométricas en la identificación rotación. Composición de y construcción de teselaciones reflexiones. Teselaciones. regulares y semiregulares.

- Congruencia de figuras planas: trazos, ángulos y 7° básico triángulos.

- Verificación del teorema de Pitágoras a través de la exploración de las relaciones de medidas de los lados de un triángulo rectángulo y su aplicación en el cálculo de perímetros en diversos contextos.

- Construcción de ángulos, rectas perpendiculares, paralelas, triángulos y cuadriláteros, mediante regla y compás o un procesador geométrico. Análisis de las condiciones necesarias para construir un triángulo a partir de las medidas de sus lados.

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Contenidos relacionados con niveles y/o unidades siguientes 3° medio - Determinación de la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano y su aplicación con el cálculo de magnitudes lineales en figuras planas.

2° medio - El concepto de semejanza y su relación con formas semejantes presentes en el entorno.

- Identificación y utilización de criterios de semejanza de triángulos para el análisis de la semejanza en diferentes figuras planas.

- Aplicación del Teorema de Thales sobre trazos proporcionales.

- Demostración del Teorema de Euclides relativo a proporcionalidad de trazos en el triángulo rectángulo.

- Deducción del teorema que relaciona la medida del ángulo inscrito con el respectivo ángulo del centro.

- Aplicación de la noción de semejanza a la demostración de relaciones entre segmentos en cuerdas y secantes en una circunferencia y a la homotecia de figuras planas.

- Descripción de la homotecia de figuras planas mediante el producto de un vector y un escalar.

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Unidad

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GEOMETRÍA

ORIENTACIONES DIDÁCTICAS Las habilidades que pretende desarrollar esta unidad, y en particular sus actividades están relacionadas con analizar propiedades de figuras planas que permitan embaldosar el plano, identificar isometrías y composiciones de ellas, construir la imagen de figuras vía una transformación isométrica, demostrar propiedades de la isometría y de sus composiciones, describir regularidades geométricas. En esta unidad también, hay muchas actividades con preguntas abiertas, del tipo ¿Es cierto que...? En estos casos es preciso dar tiempo para que los estudiantes analicen las posibilidades y en el caso en que no se llegue a resultados satisfactorios, entregar pistas que ayuden a resolver los problemas.

Las respuestas honestas del estudiante, deben ser valoradas y encauzadas a reflexiones más profundas para fomentar la confianza personal. Los trabajos de investigación deben ser rigurosos en la selección y organización de la información y los argumentos deben condecirse con el pensamiento lógico.

Esta unidad utiliza muchos conocimientos adquiridos por el estudiante, en su vida diaria, por la intuición o por sus cursos anteriores. Es muy importante recoger este conocimiento y encausarlo a los nuevos.

A continuación veremos algunas actividades referidas a las habilidades antes comentadas.

• Determinan figuras geométricas en el plano cartesiano.

En esta unidad los estudiantes comienzan estudiando las características del sistema de referencia de coordenadas rectangulares “plano cartesiano”, ubican puntos y trazan figuras una vez ubicados sus vértices, calculan el área y el perímetro de dichas figuras. También determinan una figura o lugar geométrico dados algunos de sus puntos o una relación entre la abscisa y ordenada, por ejemplo: Determinar el lugar geométrico de todos los puntos del plano cartesiano tal que la ordenada más 3 es igual a la abscisa menos 1.

Esta actividad está después de varias actividades en que los estudiantes han determinado puntos, figuras y lugares geométricos en el plano cartesiano, además en unidades anteriores han estudiado la función lineal y afín, así que se espera que cuenten con herramientas para desarrollar este problema. Si observa que los estudiantes tienen dificultades para abordar esta situación, en el plano cartesiano vaya ubicando puntos, en conjunto con los estudiantes, que cumplan con las condiciones dadas, de manera que intuitivamente determinen cuál es el lugar geométrico que cumple con las condiciones dadas.

Una vez que ellos han sido capaces de determinar dos o tres puntos que cumplen con esta condición, preguntar ¿cómo podemos expresar algebraicamente la condición dada?, se espera que los estudiantes sean capaces de determinar que si representamos la abscisa por x y la ordenada por y, esta condición queda determinada por la expresión y + 3 = x – 1. Pregunte a sus estudiantes, ¿Cómo quedan determinados los puntos que pertenecen a este lugar geométrico?, ¿Qué ocurre si despejamos y en función de x?

Después de este trabajo de discusión, se espera que sean los propios estudiantes quienes determinen que esta ecuación es la ecuación de una recta y sean capaces de dibujarla en el plano cartesiano.

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• Reconocen propiedades de transformaciones isométricas.

Varias actividades están diseñadas para estudiar propiedades de Isometrías. Por ejemplo: ¿Qué ocurre si aplicamos la traslación T ( a,b ) al plano y luego la traslación T ( −a,b ) ?

Esta actividad está después de varias actividades numéricas, de modo que se espera que el caso numérico ya esté dominado. Si aún no es así, insistir con los casos numéricos, para luego pasar al caso general.

Si los estudiantes, pese al esfuerzo, no logran dar una respuesta, se sugiere estudiar casos menos generales, por ejemplo, considerar primero a = 0 . Preguntar, ¿qué le hace la traslación T(0,b) a un punto cualquiera? ¿Lo mueve horizontalmente o sólo en dirección vertical? ¿En cuáles casos lo mueve hacia arriba y en cuáles hacia abajo? Luego que estas preguntas encontraron respuestas, preguntar las siguientes: Si T(0,b) mueve a un punto b puestos hacia arriba, ¿qué hace T(0,-b) a un punto cualquiera? Recíprocamente, si T(0,b) mueve a un punto b puestos hacia abajo, ¿qué hace T(0,-b) a un punto cualquiera? Invitar a los estudiantes a concluir que la acción de T(0,b) seguida de T(0,-b) deja a los puntos en su posición inicial.

Hacer un estudio similar para el caso b = 0 , para concluir que T(a,0) seguida de T(-a,0), deja a todos los puntos en su posición inicial.

Después de esta introducción invitar a los estudiantes a resolver el problema general. Se espera que luego de este entrenamiento previo, los estudiantes puedan concluir qué ocurre en general.

Se sugiere que los estudiantes entreguen un informe para medir la calidad de sus argumentos y la certeza de sus conclusiones.

• Demuestran propiedades de las transformaciones isométricas.

A lo largo de la unidad, existen varias actividades para demostrar propiedades de las transformaciones isométricas, por ejemplo, la siguiente: ¿Qué le pasa a los puntos de la recta L cuando se le aplica la reflexión respecto a L? Si el estudiante ha hecho varios ejemplos numéricos, la respuesta de esta pregunta debiera surgir rápidamente. Si no es así, hacer ejemplos prácticos, y hacer las siguientes preguntas: Si das vuelta una transparencia respecto a uno de sus bordes, ¿qué le pasa a los puntos del borde? En un espejo hecho de un vidrio muy delgado, si haces una pinta con lápiz en el vidrio, ¿cuál será la imagen reflejada de la marca? Luego que conjeturan la respuesta correcta, recordar la forma de encontrar el reflejado de un punto. Como la distancia de un punto de la recta L a la recta a L es cero, su reflejado también estará a distancia cero de la recta L, que es equivalente a decir que el reflejado está en la recta también. Como la recta perpendicular a L, intersecta a L en un solo punto, concluimos que la imagen de un punto del eje de simetría de una reflexión es el mismo punto. Es importante motivar a dar argumentos lógicos, utilizando el castellano, sin “marearse” demasiado con fórmulas matemáticas. Recolectar los argumentos y corregir los errados. Se sugiere dar otra actividad para demostrar y verificar que no se cometen los mismos errores que antes.

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Unidad

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GEOMETRÍA

• Encuentran la imagen de un punto vía una isometría.

Es muy importante que estos cálculos numéricos se hagan con abundancia, para luego generalizar y descubrir resultados generales. En esta unidad hay varios de estos problemas. Por ejemplo: Ubica el punto H(3,5) en el plano cartesiano. Rota el plano en torno al origen de coordenadas en 90o. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen H’?

El estudiante puede hacer esto utilizando compás y transportador, pero no puede asegurar cuál es exactamente la posición de la imagen H. Se debe invitar al estudiante a justificar su respuesta, preguntar por ejemplo, ¿por qué estás seguro de que las coordenadas de la imagen es ( −5, 3)? ¿Por qué no son ( −4, 999; 3, 00001) ?

5

P

H

O

3

Q

P’

Luego de eso motivar al estudiante a dar una demostración que asegure la certeza de la respuesta. Se espera una respuesta como la siguiente: Como la rotación, preserva ángulo y distancia, la imagen de P es P'. El trazo PH mide lo mismo que el trazo P ' Q, y el ángulo OP'H mide lo mismo que el ángulo OPQ, entonces OP' mide 5 y del mismo modo P ' Q mide 3. Por lo tanto, las coordenadas de Q son ( −5, 3) y Q es la imagen de H vía la rotación. Luego Q = H′.

Revisar los razonamientos en los cuadernos de los estudiantes y escribir en ellos los comentarios respecto de sus argumentos.

• Analizan datos necesarios y suficientes para construir figuras.

Para producir un cuadrilátero idéntico a otro, ¿basta conocer la medida de sus lados?

Es importante que el estudiante, experimente con material concreto y compare sus construcciones. Un tipo de actividad puede ser grupal pidiéndole a cada uno que construya con cartulina un cuadrilátero, con medidas predefinidas por el docente dando la siguiente instrucción “Construye un cuadrilátero de lados 10 cm, 8 cm, 12 cm y 6 cm”. Luego en grupos de 4 estudiantes comparan sus construcciones, verifican que todos cumplieron las indicaciones. Probablemente todos los estudiantes construyan cuadriláteros diferentes, para comprobar que efectivamente dichas construcciones presentan diferencias, puede pedir a los estudiantes que vayan superponiendo los cuadriláteros que dibujaron.

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Unidad

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Para generar una discusión en torno a la información necesaria para construir un cuadrilátero, plantee preguntas referidas a los cuadriláteros construidos por el grupo: 1. ¿Qué otra información sería necesario conocer para que todos construyan el mismo cuadrilátero?

2. ¿Todos los cuadriláteros construidos tienen los mismos ángulos?, 3. ¿Todos los cuadriláteros construidos tienen diagonales que miden lo mismo?

4. Si solo consideramos tres medidas y construimos un triángulo, ¿obtendrán todos el mismo triángulo?

Pedir a los estudiantes realizar un informe respecto a sus conclusiones.

Una vez que los alumnos y alumnas hayan reflexionado sobre las preguntas anteriores es importante destacar cuál es la información mínima y suficiente para producir un único cuadrilátero, probablemente los estudiantes señalarán que es necesario tener la medida de todos los lados, ángulos y diagonales, sin embargo es necesario llevarlos a reflexionar cuál es la información mínima: la medida de los lados y una diagonal, la medida de los lados y un ángulo, entre otras.

Destaque además, que es necesario conocer el orden en que van dispuestos los lados para producir el cuadrilátero, cuáles son los vértices que une la diagonal dada o entre qué lados está comprendido el ángulo.

Otra alternativa es que cada estudiante recorte en cartulina franjas cuya longitud sea igual a los lados del cuadrilátero dado por el profesor o profesora. Luego, que unan estas franjas por las esquinas, con tachuelas o alfileres, formando un cuadrilátero. Así podrán determinar de manera tangible que existen infinitos cuadriláteros que tienen lados de la misma medida.

Esta actividad está diseñada para introducir a los estudiantes en el estudio de congruencia de triángulos, por tanto en su gestión no se puede utilizar los criterios de congruencia. Sin embargo, es importante que el profesor tenga claro este aspecto, para que sin señalarlo directamente, vaya relacionando la información mínima que se necesita para construir un único cuadrilátero con la congruencia de triángulos, por ejemplo, trazando una diagonal del cuadrilátero.

• Caracterizan y clasifican triángulos y cuadriláteros a partir de sus ejes y centros de simetría.

Las actividades relacionadas con esta habilidad, deben ser desarrolladas de tal manera que el estudiante descubra estas caracterizaciones, de otra forma, sólo sería una repetición del enunciado de un teorema.

Una actividad tendiente a esta habilidad es la siguiente: “Demuestra que el triángulo escaleno no tiene ejes de simetría”.

Primero, debe pedirles que supongan que un triángulo escaleno tiene un eje de simetría.

Luego, que construyan varias líneas rectas que atraviesen al triángulo escaleno, y que argumenten que si tuviese un eje de simetría, necesariamente éste pasa por un vértice. Un argumento

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Unidad

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GEOMETRÍA

puede ser, que si no es así resultaría que un triángulo es isométrico con un cuadrilátero, lo cual es imposible.

Una vez argumentado que el eje de simetría necesariamente pasa por un vértice, como el hecho de que las reflexiones preservan ángulos y distancias, implica varias cosas. Invitar a los estudiantes a descubrir esas implicancias. Por ejemplo, se tiene que:

C

1. AD es bisectriz de ∠BAC,

D

2. BD mide lo mismo que DC, B

3. ABmide lo mismo que AC , 4. El ∠DBA mide lo mismo que ∠DCA .

A

Uno de esos resultados (el último), por ejemplo, contradice el hecho de que el triángulo es escaleno. Invitar a los estudiantes a encontrar otras implicancias que contradicen el hecho que el triángulo es escaleno.

• Descubren las condiciones para que una figura tesele el plano.

En la unidad se hace mención a la Teselación de El Cairo.

E

β

D

Al respecto se propone la siguiente actividad:

δ C

En la baldosa básica de la teselación de El Cairo, los lados AB , BC , CD y CE miden lo mismo.

Demuestra que β = 90o y que 2α + δ = 360°.

α

α A

β B

Invitar a los estudiantes a copiar la baldosa en una hoja, tres veces, y luego hacer que coincidan esas tres baldosas, de forma de construir una parte de la teselación de El Cairo. A continuación mostramos cómo se vería. Creemos importante que el estudiante mueva físicamente las cartulinas, para lograr una comprensión más concreta y a la vez profunda.

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Unidad

δ

B

β

β

β

E

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α

δ

α

α

α

α

α β δ

B

β

β

A

D

C

De este modo, se observa de inmediato que en uno de los vértices, encerrado en línea punteada, aparecen dos ángulos que miden lo mismo β y que suman un ángulo extendido, por lo tanto β es un ángulo recto. Invitar a los estudiantes a observar la convergencia de ángulos, encerrados en línea segmentada, para deducir, casi de forma inmediata que 2α + δ = 360o . Aunque los argumentos son bastante evidentes, preocuparse mucho de que sean presentados en forma clara y precisa.

La actividad continúa: Utiliza esta teselación para hacer otra formada por hexágonos no regulares.

En la teselación de El Cairo invitar a los estudiantes a reconocer un hexágono (no necesariamente regular), si no lo ven destacarlo, como se muestra abajo.

Invitar a los estudiantes a construir una baldosa de El Cairo para un valor dado de α por ejemplo 110°, para alguna medida fija, escogida por el alumno, para el lado AB. Luego al unir estas baldosas como muestra la figura de arriba, formar la teselación requerida. Es muy importante destacar que la medida de AE estará determinada por α , sin embargo, no es fácil de determinar, aunque es posible de construir con regla y compás. Evaluar la construcción es esencial, aparte de lo correcto de los argumentos expuestos.

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Unidad

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GEOMETRÍA

Antes de la demostración de que las únicas teselaciones regulares, son las que se consiguen con triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares, es muy importante que intenten varios casos en forma práctica, antes de llegar al teorema. Es muy probable que los estudiantes tengan argumentos muy buenos, para asegurar que no hay más casos que los que dice el teorema. Con total seguridad tendrán argumentos para descartar algunos casos particulares, como que el pentágono regular no tesela el plano. Se sugiere invitar a los estudiantes a argumentar por qué, por ejemplo el polígono regular de 7 lados no tesela el plano.

• Conjeturan y demuestran propiedades en triángulos, cuadriláteros y circunferencia por medio de congruencia de triángulos.

Clásicamente se relaciona la geometría con las demostraciones, aunque en realidad se pueden hacer demostraciones de este nivel, en otros temas, como aritmética, álgebra, etc. Como se ha hecho a lo largo de esta guía y también en el Texto del Estudiante.

Mostramos actividades referentes a esta habilidad, con diferentes grados de complejidad.

Muestra que las diagonales de un cuadrado, dividen a éste en cuatro triángulos rectángulos congruentes.

Invitar a los estudiantes a dibujar el cuadrado y sus diagonales. Recortar los triángulos, que abajo pintamos de colores distintos:

Verde

Amarillo

Naranja

Rojo

Una vez recortados los triángulos, invitar a los estudiantes a poner uno encima de otro, y darse cuenta que coinciden perfectamente. Sin embargo, es importante recalcar que esto no constituye una demostración, pues nuestro cuadrado es uno particular, y el ojo es un instrumento no muy preciso que no puede distinguir, diferencias pequeñas, de modo que hasta el momento sólo conjeturamos que los triángulos son congruentes. Además, no hemos dicho si son rectángulos o no.

Para hacer la demostración, invitar a los estudiantes que analicen el ∆ADC ; les ayudará que les pregunte: “¿Qué clase de triángulo es?” “¿Es equilátero, isósceles o escaleno?” “¿Es rectángulo?” Una vez que se haya argumentado que es isósceles y rectángulo, concluir que el ∠CAD mide lo mismo que ∠ACD y esa medida es 45°. Del mismo modo, analizando el ∆DAB , se obtiene que el ∠ADB también mide 45°. Por lo tanto, el ∆APD es isósceles y el ∠APDes recto.

Invitar a los estudiantes a argumentar que todos los triángulos recortados, satisfacen la misma condición que ∆APD.

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Unidad

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Como AP ≅ PD y como PD ≅ PC se tiene que, por el criterio LAL los ∆APD y ∆DPC son congruentes. Invite a los estudiantes a argumentar acerca de la congruencia de los otros triángulos.

Es muy importante motivar a los estudiantes que una vez resuelto un problema, aún se puede seguir aprendiendo del mismo problema. Invitar a los estudiantes a responder otras preguntas, relacionadas con el mismo problema: 1.

¿Es cierto el resultado anterior en un rectángulo?

2.

¿Es cierto el resultado anterior en un rombo?

3.

¿Es cierto que las diagonales de un cuadrado se dimidian?

4.

¿Es cierto que las diagonales de un cuadrado son perpendiculares?

• Componen y descomponen figuras; analizan congruencia entre sus lados y ángulos.

Una actividad referida a esta habilidad es la siguiente: Tomando la figura ABCEFGD, solicite al estudiante que haga un corte en ED , luego un corte perpendicular al anterior, pasando por D. Llame H el punto del corte en AB. Para finalizar haga un corte perpendicular al anterior, pasando por H. Cuando tiene todas las piezas desordenadas, pídale que arme un cuadrado con todas esas piezas. Pregunte, ¿puedes hacerlo?

F

F

E

E

L G

D

D

C

A

A

B

C

H

B

Una forma de realizar la tarea es: E

F

D

L C K

G

I

J A

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H

B

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Unidad

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GEOMETRÍA

Para ello es necesario argumentar que, efectivamente, DHIE es un cuadrado, que ∆JKI ≅ ∆LFE, que ∆DGL ≅ ∆HBJ y que ∆ADH ≅ ∆KEI.

• Resuelven problemas que involucren congruencias de trazos, ángulos y triángulos.

A continuación presentamos un ejemplo de una actividad, que involucra esta habilidad.

P α

W

Q α

1,6 m Roja

Blanca

B

20 cm

80 cm

R

2,2 m Invitar al estudiante: Supón que tienes que golpear la bola roja con la bola blanca, pero la bola verde te impide hacerlo directamente. Por lo tanto tienes que lanzar la bola a una banda para que luego golpee a la roja. ¿En qué punto de la banda debes golpear la bola blanca para que en el rebote golpee a la roja?

Denotemos por B el punto sobre la mesa, donde está la bola blanca y por R el punto donde está la bola roja. Tracemos la perpendicular a BRque pasa por B, y también la perpendicular a BR que pasa por R. Denotemos por P y Q la intersección de estas perpendiculares con una de las bandas y por W el punto de la banda donde debe pegar la bola roja.

Como los ∠BWP y ∠RWQ miden lo mismo, se tiene que los ∆BPW y ∆RQW son rectángulos, cuyos ángulos tienen iguales medidas.

Además como BP mide lo mismo que RQ , se tiene que los ∆BPWy ∆RQW son congruentes. Por lo tanto, W es el punto medio de PQ .

Los estudiantes debieran hacer un informe, mostrando los argumentos necesarios para obtener cada conclusión de la demostración.

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Unidad

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ERRORES FRECUENTES • Si una recta divide una figura en dos partes iguales es un eje de simetría.

Muchos estudiantes confunden ejes de simetría de una figura, con cualquier recta que divida por la mitad a la figura, lo cual es un error muy común. En estos casos se sugiere, con material concreto, hacer físicamente la reflexión para que reconozcan que la candidata a eje de simetría no lo es.

Por ejemplo, la diagonal del rectángulo no cuadrado, no es un eje de simetría, pese a que divide al rectángulo en dos triángulos congruentes.

Si se hace la reflexión respecto a la diagonal se obtiene un rectángulo que no coincide con el original. Varios de estos ejemplos aparecen en las actividades.

• Las transformaciones isométricas conmutan.

Este error es muy común entre los estudiantes, debido a que hasta ahora todas las operaciones que conocen son conmutativas. En el texto del estudiante existen varios ejemplos donde se demuestra que la composición no es siempre conmutativa. Un ejemplo de esos fue considerar la rotación R = R( O,900 ) y la traslación T = T(11 Es importante mostrar varios ejemplos donde se ve la , ). no conmutatividad. Es necesario evaluar continuamente si un par de isometrías conmutan o no.

Utilizar las metáforas de las máquinas es una buena herramienta, para asimilar esta idea.

• Falso criterio de congruencia.

Aparte del falso criterio: “Dos triángulos son congruentes si tienen los mismos ángulos”, existen otros más sutiles, por ejemplo, el siguiente, el cual es muy común entre los estudiantes: Si dos triángulos tienen dos pares de lados congruentes y un ángulo de igual medida, entonces los triángulos son congruentes.

Invite a los estudiantes, a mostrar que esta proposición es falsa. Por ejemplo, invite a construir un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4, por lo tanto la hipotenusa mide 5. Luego, con un compás hacer la circunferencia, con centro en el vértice del ángulo recto y de radio 4. Entonces un vértice O será el centro de la circunferencia, otro vértice Q estará en la circunferencia, y otro vértice P estará al interior de la circunferencia.

Luego trazar la perpendicular que pasa por P. Uno de los puntos de intersección de ésta recta con la circunferencia, denotarlo por R.

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Unidad

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GEOMETRÍA

R

P 3 4 Q

O

4

Ahora, mostrar que el triángulo ∆OPR tiene un lado que mide 3, otro que mide 4 y además un ángulo recto, pero no es congruente a ∆OPQ. Invitar al estudiante a argumentar por qué los triángulos antes mencionados no son congruentes.

• Demostraciones incompletas.

En geometría es muy común dar demostraciones incompletas, debido a que se piensa en un caso que se cree paradigmático, pero siempre existen casos “límites” o “degenerados” que no se aprecian a primera vista. En el Texto del Estudiante se da una demostración incompleta del resultado: Si dos rectas, L y L’ se intersectan en un único punto O, entonces la reflexión con eje de simetría L, compuesta con la reflexión con eje de simetría L’ produce una rotación de centro O y ángulo 2α , que corresponde al ángulo entre L y L’.

L

L’

L

L’ O

O

P’’

α P

β β γ

γ

P’’

P

P’

P’

En la demostración se escogió un P genérico, pero no se consideró el caso P ∈L . Por ejemplo: es muy importante, como se hace en el texto, reconocer que faltan estos casos y tratarlos en las actividades, como aparece en la unidad. También se puede considerar el caso P ∈L como un caso límite del caso demostrado, tomando β = 0. En el caso que el estudiante entregue demostraciones incompletas, invitarlo a reconocer los casos que faltan.

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Unidad

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ACTIVIDADES DE REFUERZO Y AMPLIACIÓN Para reforzar.

• Uso de programa computacional.

Si los estudiantes se sienten agobiados por algunas actividades del texto, insistir con las actividades más simples. También se sugiere trabajar mucho con material concreto o con algún software geométrico. Uno muy conocido es CABRI, también, existen otros similares a aquél, y que son gratuitos en la red. Uno de ellos es GeoGebra, que se encuentra en forma gratuita en www.geogebra.at. Aquí pueden graficar funciones, hacer trazos, dibujar polígonos, trasladar, reflejar, rotar, etc. Se invita a visitar esta página y utilizar el programa. En un botón hay opciones para todos los movimientos rígidos.

La figura de arriba muestra una reflexión de una imagen, según una recta dada, utilizando este programa. La imagen tiene la gracia de tener un sentido muy distinto al ser reflejada.

El programa tiene la opción de mostrar ejes coordenados y también cuadrículas, lo que permite realizar actividades utilizando coordenadas. Por ejemplo, la imagen de abajo, muestra la rotación del trazo AB, con centro en el origen y ángulo -90°. Se puede preguntar, por ejemplo, por las coordenadas de B’.

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Unidad

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GEOMETRÍA

Este programa, a diferencia de CABRI, no tiene la opción de construir polígonos regulares directamente. Pero una actividad interesante para el estudiante es pedirle que construya un triángulo equilátero, utilizando el programa. Una estrategia que el estudiante puede utilizar, o que el profesor puede guiar es: 1.

2.

3.

Crear un trazo cualquiera AB. Rotar en torno a A el trazo AB, en un ángulo de 60°.

Unir los puntos B y B’.

Es importante que el estudiante justifique por qué lo que resulta es un triángulo equilátero.

• Utilizan material concreto para visualizar criterios de congruencia.

Aquellos estudiantes que en primera instancia no pueden seguir las demostraciones, es bueno introducirlos, con material concreto, a las construcciones, de tal manera que descubran los teoremas en forma empírica. Por ejemplo, unir dos palitos de maqueta, de tamaños distintos, con una tachuela, de forma que parezca un brazo articulado.

Pedirles a estos estudiantes que formen un ángulo recto, luego pedirles que cierren el triángulo con otro palito de maqueta. Preguntarles luego: “¿Existe un único triángulo tal que dos de sus lados midan lo que los palitos de maqueta y el ángulo ente ellos es recto?” Luego repetir la actividad con otros ángulos. Pedirles que enuncien el criterio LAL, y que describan su razonamiento, que permite asegurar la veracidad del criterio. Estos argumentos no serán una demostración formal, pero esconderán en lo profundo la idea fundamental y es que dado dos lados de un triángulo y el ángulo entre ellos existe una única medida para el lado opuesto al ángulo.

• Demostraciones acerca de isometrías.

Como la definición de congruencia está basada en las isometrías, es importante conocer resultados respecto de ellas. Uno muy importante es el siguiente: Si una isometría M deja fijos tres puntos no colineales, entonces es la identidad.

Mostraremos una forma geométrica, de la demostración de este resultado. Consideremos tres puntos O, A y B no colineales. Consideremos P un punto distinto de los anteriores y denotemos por P' su imagen vía M. Si demostramos que P = P ', habremos probado el resultado.

Notemos que OP mide lo mismo que OP', pues M preserva distancias. Por lo tanto, P' está en la circunferencia de centro O que pasa por P.

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Unidad

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Del mismo modo el trazo BP mide igual que BP', por lo tanto P' está en la circunferencia de centro B, que pasa por P. Luego los únicos candidatos a P', son P y Q. Pero también sabemos que AP mide lo mismo que AP', pero la distancia de A a Q no es la misma que la de A a P. Luego la única posibilidad para P'es P. Entonces M fija a todos los puntos del plano. Luego M es la identidad.

Otro resultado importante en el conjunto de teoremas de isometrías es el siguiente: Si una isometría fija dos puntos, entonces es una reflexión o la identidad.

Esto quedó probado en la demostración anterior, pero es importante dejarlo establecido. Supongamos que M no es la identidad, por el teorema anterior, M no puede fijar ningún otro punto no colineal a los ya fijos por M. Respondamos primero la pregunta: “¿Qué le hace M a los puntos de la recta OA ?”

Sea O' un punto en la recta OA , entonces la imagen de O' vía M, está en la circunferencia de centro O que pasa por O' y también en la circunferencia de centro A que pasa por O' , pero O' es el único punto que satisface esa condición. Entonces la isometría M fija todos los puntos de la recta OA .

Ahora analicemos el caso general: sean O y A los puntos fijos por la isometría M, y sea P cualquier punto del plano, distinto a los anteriores. Denotemos por P’ la imagen de P vía M. Como M preserva distancias, se tiene que los trazos OP y OP'miden lo mismo. Del mismo modo los trazos AP y AP' son congruentes. Por lo tanto el único punto candidato a ser P’, es la intersección de las dos circunferencias, el cual no es P.

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Unidad

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GEOMETRÍA

Por lo tanto, el triángulo PP ' A es isósceles, y además O' es punto medio de PP', por el caso particular que vimos antes. De aquí se deduce que O’A es transversal de gravedad, por tanto altura.

Luego OA y PP' son perpendiculares, de lo que se deduce que P'es la imagen de P vía la reflexión respecto a la recta OA. Luego M es una reflexión.

POSIBLES AMPLIACIONES CONDUCENTES A TÓPICOS DE CURSOS SUPERIORES

Transformaciones isométricas

Se puede ampliar a

Homotesias

Congruencia

Se puede ampliar a

Semejanzas

Crieterios de semejanzas

Teorema de Tales Criterios de congruencia

Se puede aplicar a Ángulo inscrito y del centro de una circunsferencia

Teorema de Euclides

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Unidad

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ACTIVIDADES DE CIERRE DE UNIDAD Las actividades del texto del estudiante están diseñadas para que el estudiante modele, resuelva problemas, calcule y aplique los conceptos e ideas descubiertos en esta unidad. Las preguntas que presentamos a continuación pretenden reconocer si se logró un conocimiento profundo de los tópicos estudiados en esta unidad.

1.

Identifique los aspectos invariantes que resultan de efectuar una traslación y una reflexión.

2.

Si un programa computacional permite reflejar respecto a cualquier recta y dibujar trazos, describa una estrategia que permite construir un triángulo isósceles.

3.

Si se componen dos reflexiones con ejes de simetrías paralelos, ¿qué se obtiene? ¿Es una reflexión? ¿Conmutan esas transformaciones?

4.

Una rotación deja al centro de rotación fijo, esto es, si R es la rotación y O es el centro se tiene que R(O) = O. a) Si compones dos traslaciones, la transformación que resulta, ¿tiene puntos fijos? b) ¿Cuántos puntos fijos tiene una reflexión? ¿Cuáles son? c) Una rotación ¿tiene más puntos fijos, aparte del centro? d) ¿Una isometría puede tener exactamente dos puntos fijos?

5.

Describe una estrategia que te permita construir un triángulo congruente a uno dado, de tal suerte que ninguno de los lados del triángulo original sea paralelo al triángulo imagen.

6.

Si una isometría deja fijos los vértices de un triángulo, ¿qué puedes decir de la isometría? ¿Es la identidad?

7.

Si una isometría deja fijo un único punto: a) ¿Es una traslación? b) ¿Es una reflexión? c) ¿Es una rotación?

8.

Si dos triángulos ABC y A’B’C’, son tales que AB ≅ A’B’, BC ≅ B’C’, y los ángulos BCA y B’C’A’ miden lo mismo. ¿Es cierto que los triángulos son congruentes?

B´

B C A

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C´

A´

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Unidad

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GEOMETRÍA

MODELOS DIDÁCTICOS A continuación se darán ejemplos concretos y actividades que ayudarán a que los alumnos logren los aprendizajes esperados en esta tercera unidad.

• Caracterizan la traslación, la simetría y la rotación de figuras en un plano.

1.

¿Qué le pasa a los puntos de la recta L cuando se les aplica la reflexión respecto a L?

2.

Si a un punto P se le aplica una reflexión, resulta P’, ¿qué le pasa a P’ si se le aplica la misma reflexión?

3.

Si rotamos todos los puntos del plano en torno a O, con ángulo α, ¿qué le pasa a O?

En estas actividades los alumnos descubren las características y propiedades de las isometrías para obtener resultados generales.

• Construyen, utilizando escuadra y compás, figuras simétricas, trasladadas y rotadas.

Dado el cuadrado de la figura:

A

0

C

B

D

1.

Dibuja la imagen que se obtiene al aplicar al cuadrado ABCD la traslación T(0,3) . Nombra los vértices de esta imagen con las letras A 'B ' C 'D '.

2.

Al cuadrado A 'B ' C 'D 'aplícale la traslación T(0,3) .

3.

Usa regla y compás para reflejar la siguiente figura con respecto a la recta L. L

• Analizan los datos necesarios y suficientes para construir un triángulo o cuadriláteros.

En un colegio están renovando las pizarras con las que se ocupaba tiza para escribir, por las pizarras para plumones. El maestro Luis fue el que tomo las medidas y su memoria no es de lo mejor, recordando solo la superficie aproximada de las pizarras que debía ser 3 m2

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Unidad

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a)

Construye una pizarra de superficie 3 m2, utilizando la escala 10 : 1 para las dimensiones de tu pizarra.

b)

La pizarra que construiste, ¿es la única con esa superficie? ¿Podrías construir otras?

c)

¿Qué otro dato sería necesario para tener con precisión la pizarra encargada para colocar en las salas de clases?

Este problema esta orientado a que el alumno(a) se de cuenta que puede construir muchas pizarras de superficie 3 m2, luego necesita más información para construir exactamente la que el colegio necesita. Cuando llega a esa primera conclusión es importante el análisis guiado por el profesor, de cuáles son los posibles datos necesarios y suficientes para obtener la pizarra deseada.

Recordar que las pizarras son rectangulares, así que ya contamos con que sus ángulos son rectos, esto nos lleva a buscar el dato que nos falta y es, por ejemplo, la medida de sus lados.

La pregunta importante que deben responderse los alumnos es: sabiendo la superficie del rectángulo, ¿necesito las dimensiones de los dos lados o solo me basta con una dimensión?

Esta actividad, se podría trabajar dando solo la diagonal del rectángulo o el perímetro del rectángulo, o también un lado de éste, y que los alumnos analicen las condiciones para construirlo.

• Resuelven problemas que involucran congruencia de trazos, ángulos y triángulos.

1. Júntate con cinco compañeros más y observen el ∆ABCde la siguiente figura.

5 4

C

3 2 1

B

A 1

2

3

4

5

a)

Determinen de manera individual las coordenadas de un punto D tal que ∆ABC ≅ ∆ABD

b)

Comparen sus respuestas. ¿Coincidieron o hay alguna respuesta distinta? Si todos coinciden en la respuesta encuentren otro punto E tal que ∆ABC ≅ ∆ABE. ¿Existirán más puntos que cumplan con estas características?

c)

Verifiquen que con todos los puntos encontrados se cumpla la congruencia con el triángulo ABC.

Esta actividad colaborativa es importante para que cada alumno obtenga un vértice y compare sus resultados con los de los otros estudiantes. Si todos tienen el mismo resultado en la actividad, insista en encontrar más soluciones y que los alumnos comprendan que dado un triángulo y fijando una base, es posible encontrar para el tercer vértice, tres distintas coordenadas a la inicial, de tal manera que los tres triángulos obtenidos sean congruentes entre sí y con el primero.

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Unidad

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GEOMETRÍA

En este problema se trabaja directamente con la definición de congruencia, sin utilizar los criterios de congruencia para triángulos, con el fin de que los alumnos reafirmen y utilicen los conceptos de transformaciones isométricas y determinen las correspondientes para encontrar triángulos congruentes.

• Conjeturan y demuestran propiedades en polígonos por medio de congruencia de triángulos.

El pentágono ABCDE es regular. Prueba que las diagonales AC y AD son congruentes.

B A

C

E

D

En este problema el objetivo es bien concreto, demostrar la propiedad de congruencia para las diagonales del pentágono. Si el alumno construye este pentágono y traza las diagonales AC y AD, observará que el polígono queda dividido en tres triángulos. Deber trabajar la congruencia de dichos triángulos, utilizando alguno de los criterios de congruencia para los triángulos y por supuesto considerar todos los datos que proporciona la regularidad del pentágono, para de esta manera demostrar la congruencia entre las diagonales mencionadas.

• Componen y descomponen figuras (puzles geométricos); analizan congruencia entre sus lados y ángulos.

1. Martina tiene las piezas negras y cree que las puede disponer de forma de llenar completamente el cuadrado amarillo, sin que las piezas se traslapen. ¿Puedes comprobar la creencia de Martina? Si el cuadrado negro rotulado con A tiene área 4 cm2 ¿Cuál es el área del cuadrado amarillo?

A B

¿Cuántas veces más grande es el área del cuadrado A que el área del cuadrado B?

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Unidad

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¿Cuántas veces mayor es el área del cuadrado amarillo que el área del cuadrado B? En esta actividad sería de gran ayuda que los alumnos recortaran las figuras en un papel, para que de esta manera visualicen qué figuras tienen lados congruentes para juntarlas y así armar el puzle.

Es importante también analizar y comparar la medida de las áreas entre las figuras y si alguna coincide en esta medida verificar si son congruentes, además de la relación entre las áreas de cada pieza con respecto al área del cuadrado mayor.

NOTAS

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Unidad

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DATOS Y AZAR

INFORMACIÓN CURRICULAR Esta unidad en una primera parte retoma las formas de representación y obtención de información que se venían estudiando en cursos anteriores, pero esta vez usando histogramas, polígonos de frecuencia y de frecuencia acumulada. En esta parte se profundiza en la construcción de tablas de distribución con datos agrupados en intervalos de clases, considerando las frecuencias absolutas, relativas y acumuladas, y con ello dar paso a la estructuración y elaboración de ellas. En una segunda parte incorpora la determinación de medidas de tendencia central y posicional de un grupo de datos agrupados y no agrupados.

Se ahonda en la representación de las medidas de tendencia central para un grupo de datos. En una tercera etapa se trabaja el tema de la representatividad de las muestras tomadas de poblaciones para la elaboración de estudios concluyentes, focalizándose en los tipos de muestreo deteniéndonos brevemente en los errores muestrales que se pueden cometer, considerando la validez y confiablidad de los datos extraídos de la población. Por último se trabaja en ley de los grandes de números de manera exploratoria, indicando sitios Web con simuladores de experimentos.

Objetivos fundamentales verticales

CMO

Aprendizajes esperados

- Interpretan información de contextos diversos presentadas en gráficos cuyos datos están agrupados en intervalos.

- Utilizan información presente en histogramas y polígonos de frecuencia para producir información en diversos contextos.

- Grafican histogramas y polígonos de frecuencias a partir de información con datos agrupados en intervalos.

- Usan un programa computacional para análisis estadístico y graficar información.

- Conocen las medidas de tendencia central y de posición, y las interpretan obteniendo información pertinente respecto al conjunto de datos de donde fueron obtenidas.

- Caracterización de un conjunto de datos Aplican las medidas de tendencia central y de posiagrupados en intervalos, mediante el cálculo ción para caracterizar conjunto de datos proveniende medidas de tendencia central y medites de diversos contextos. das de posición, en diversos contextos y Conocen distintos tipos de muestra aleatoria y el situaciones. concepto de error muestral.

- Justificación de la representatividad de una - Reconocen el tipo de sesgo en la representación muestra a partir de la población estudiada gráfica de una muestra. Reconocen la dispersión y la manera en que dicha muestra ha sido de una muestra. escogida.

- Miden la variabilidad de una muestra a través del rango.

- Caracterización de un conjunto de datos de - Representan gráficamente la variabilidad de una una muestra, mediante el análisis gráfico de muestra a través de un Gráfico de Caja. la dispersión de ella.

- Conocen empíricamente la Ley de los Grandes Números y relacionan la frecuencia relativa con la - Exploración de la ley de los grandes númeprobabilidad de un suceso. ros, a partir de la repetición de experimenRelacionan la noción de probabilidad con la infortos aleatorios, con apoyo de herramientas mación estadística que deriva de la repetición de tecnológicas y su aplicación a la asignación un fenómeno aleatorio y explican qué diferencia a de probabilidades. éstos de los fenómenos determinísticos.

Utilizan la fórmula de Laplace para resolver proble- Resolución de problemas en contextos de mas en contextos de incerteza. incerteza, aplicando el cálculo de probabi- Utilizan probabilidad del complemento y árbol de lidades mediante el modelo de Laplace, probabilidades para resolver problemas en contexprobabilidad complementaria, árbol de tos de incerteza. probabilidades.

- Obtención de información, a partir de datos - Interpretar y producir presentados en histogramas, polígonos de información, en contextos diversos, mediante gráficos frecuencia y frecuencia acumulada. que se obtienen desde tablas de frecuencia, cuyos - Organización y representación de datos, extraídos desde diversas fuentes, usando datos están agrupados en histogramas, polígonos de frecuencia y de intervalos. frecuencias acumuladas, construidas manualmente y con herramientas tecnológicas.

- Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante el uso - Obtención de información por medio de la lectura de medidas de tendencia central de medidas de tendencia y posición a partir de conjuntos de datos central, aplicando criterios obtenidos desde diversas fuentes. referidos al tipo de datos

que se están utilizando.

- Comprender el concepto de muestra representativa en diferentes situaciones, argumentar acerca de su importancia en las conclusiones de encuestas y estudios estadísticos.

- Seleccionar la forma de obtener la probabilidad de un evento, ya sea teórica o experimentalmente, dependiendo de las características del experimento aleatorio.

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Unidad

Contenidos relacionados con niveles anteriores

Contenidos de la Unidad

7o Básico

- Obtención de información, a partir de datos presentados - Análisis de ejemplos de uso de diferentes tipos de tablas y gráficos, destacando en en histogramas, polígonos cada caso sus ventajas y desventajas en de frecuencia y frecuencia relación con las variables representadas, la acumulada. dependencia de una respecto a la otra, la - Organización y representainformación a comunicar, el tipo de datos ción de datos, extraídos desinvolucrado y los objetivos propuestos. de diversas fuentes, usando histogramas, polígonos de - Establecimiento y aplicación de criterios frecuencia y de frecuencias de selección del tipo de tablas o gráficos a emplear para organizar y comunicar acumuladas, construidas información obtenida, desde diversas manualmente y con herrafuentes, y construcción de dichas represenmientas tecnológicas. taciones mediante el uso de herramientas - Justificación de la representatecnológicas. tividad de una muestra a par- Determinación de la frecuencia relativa tir de la población estudiada con que se da un determinado evento en y la manera en que dicha un experimento aleatorio, como la razón muestra a sido escogida. entre el número de veces en que se obtuvo - Obtención de información dicho evento y el número de veces que se por medio de la lectura de realizó el experimento. medidas de tendencia central - Uso de la frecuencia relativa, en su formato y posición a partir de conjundecimal, como fracción y porcentaje, para tos de datos obtenidos desde estimar la probabilidad de ocurrencia de diversas fuentes. un evento.

- Caracterización de un conjunto de datos agrupados en o 8 Básico intervalos, mediante el cálculo - Lectura e interpretación de información a de medidas de tendencia cenpartir de tablas de frecuencia con datos tral y medidas de posición, en agrupados en intervalos, tomados de diversos contextos y situaciodiversas fuentes o recolectadas mediante nes. experimentos o encuestas.

- Uso de herramientas tecnológicas para la - Caracterización de un conjunto de datos de una construcción de tablas de frecuencia con muestra, mediante el análisis datos agrupados en intervalos, a partir gráfico de la dispersión de de diversos contextos y determinación ella. de la media aritmética y moda en estos casos.

- Exploración de la ley de los grandes números, a partir de - Identificación y justificación de muestras la repetición de experimenposibles, a partir de la descripción de tos aleatorio, con apoyo de poblaciones en distintos contextos. herramientas tecnológicas y - Análisis de ejemplos en diversos situaciones su aplicación a la asignación donde los resultados son equiprobables, de probabilidades. a partir de la simulación de experimentos - Resolución de problemas aleatorios. en contextos de incerte- Asignación en forma teórica de la probaza, aplicando el cálculo de bilidad de ocurrencia de un evento en un probabilidades mediante el experimento aleatorio, con un número finito modelo de Laplace, probabide resultados posibles y equiprobables, lidad complementaria, árbol usando el modelo de Laplace. de probabilidades.

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Contenidos relacionados con niveles y/o unidades siguientes 2o Medio - Determinación del rango, varianza y desviación estándar, aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando, en forma manual y mediante el uso de herramientas tecnológicas.

- Comparación de las características de dos o más conjuntos de datos haciendo uso de indicadores de tendencia central, posición y dispersión.

- Empleo de elementos básicos del muestreo aleatorio simple, en diversos experimentos, para inferir características de una población finita a partir de muestras extraídas.

- Uso de técnicas combinatorias para obtener el numero de elementos de un espacio muestral en casos finitos.

- Resolución de problemas de cálculo de probabilidades aplicando técnicas del cálculo combinatorio, diagramas de árbol y propiedades de la suma y el producto de probabilidades.

3o Medio - Hacer uso de simulaciones digitales para verificar la convergencia entre la distribución teórica de una variable aleatoria y las correspondientes gráficas de frecuencias en experimentos aleatorios discretos.

- Aplicación del concepto de esperanza de una variable aleatoria en diversas situaciones, interpretación gráfica y conexión natural con la media aritmética anteriormente estudiada.

- Uso del modelo binomial para describir situaciones o experimentos, cuyos resultados pueden ser categorizados usando el lenguaje de “éxito” y “fracaso”.

- Realización de estimaciones de la media de una población, a partir de la obtención de las medidas de distintas muestras extraídas de dicha población. Mejoramiento de la estimación a medida que aumenta el tamaño de la muestra.

- Resolución de problemas que impliquen el cálculo de probabilidades condicionales y sus propiedades, en diversos contextos.

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Unidad

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DATOS Y AZAR

ORIENTACIONES DIDÁCTICAS Las habilidades que se pretende desarrollar en los estudiantes, a partir de las actividades presentes en la unidad, son la determinación y análisis de información que contienen los gráficos presentes en una gran cantidad de recursos informativos, como los diarios, centros de información nacional, y de instituciones, como por ejemplo, Banco Central, Ministerio de Salud, SERNAGEOMIN, INE (Instituto Nacional de Estadística) y otros centros de recursos estadísticos, de los cuales es posibles extraer información a través de sus informes y de sus representaciones gráficas tales como polígonos de frecuencia, histogramas, etc. Por lo anterior, esta Unidad se focaliza tanto en la construcción de histogramas y polígonos de frecuencia para la representación de datos agrupados como también en la interpretación y producción de información a partir de la representación gráfica. Además, la unidad pretende que los alumnos construyan un pensamiento crítico de lo que se expresa en las encuestas y/o informes que entregan los medios de información, a través del cuestionamiento del cumplimiento de las conclusiones que se expresan, tomando para ello las medidas de tendencia central y posición, como también la representatividad de la muestra con la cual se concluyen dichas afirmaciones expuestas en público a través de dichos medios. Por último, esta unidad pretende que los estudiantes identifiquen y determinen, cuando están frente a una situación de incerteza, la probabilidad de tales hechos a través de la probabilidad empírica o teórica, según las condiciones del problema.

En esta unidad también, hay muchas actividades con preguntas abiertas, del tipo ¿Es cierto que...? En estos casos es preciso dar tiempo para que los estudiantes analicen las posibilidades y en el caso en que no se llegue a resultados satisfactorios, entregar pistas que ayuden a resolver los problemas. Las respuestas honestas del estudiante, deben ser valoradas y encauzadas a reflexiones más profundas para fomentar la confianza personal.

Los trabajos de investigación deben ser rigurosos en la selección y organización de la información y los argumentos deben condecirse con el pensamiento lógico.

Para fomentar la discusión en el grupo curso y desarrollar un pensamiento crítico en los estudiantes, es importante que al revisar las diferentes actividades propuestas para los alumnos(as), haya una confrontación de los procedimientos usados por ellos en relación a su eficacia y pertinencia. En el caso que los estudiantes cometan errores al desarrollar una actividad, es importante hacer preguntas que permitan al propio estudiante reflexionar sobre su error y modificarlo, el error es parte importante del aprendizaje.

Esta unidad utiliza muchos conocimientos adquiridos por el estudiante, en su vida diaria, por la intuición o por sus cursos anteriores. Es muy importante recoger este conocimiento y encausarlo a los nuevos. A continuación veremos algunas actividades referidas a las habilidades antes comentadas.

• Obtención de Información: ¿Qué dice...?

La unidad comienza refiriéndose a un hecho histórico reciente para los chilenos, como lo es la erupción del Volcán Chaitén y sus implicancias tanto para la localidad como para sus habitantes. Esta actividad inicial, permite encausar la discusión sobre la obtención de información, y por ende los medios por los cuales se obtiene. Así se deja claro que el tener y saber que información es relevante de un hecho y/o situación permite tomar decisiones importantes.

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Unidad

Una de las actividades de esta unidad busca presentar a los alumnos y alumnas información a través de histogramas de frecuencia con datos agrupados en intervalos de clase, como por ejemplo, la frecuencia de sismos del Volcán Chaitén en dos diferentes días de julio, los cuales están agrupados en clases de intervalos de igual magnitud. Esta actividad pretende iniciar el estudio de los elementos relevantes a destacar en un gráfico. Por ello es importante preguntar a los alumnos sobre la frecuencia, cantidad de sismos, etc.

Luego de que los alumnos hayan determinado los elementos que integran a un histograma, se les presenta el nombre del gráfico que han estado observando. Es importante revelar las características del histograma, como por ejemplo, las clases, las frecuencias de los datos, la amplitud de cada clase, para que al definir y luego construir un histograma sean los estudiantes quienes digan que elementos se necesitan para poder crearlo.

Luego de conversar sobre los histogramas se les presenta una serie de informaciones de periódicos, los cuales tienen una característica común, todos tienen líneas poligonales para representar información, con esto se da paso al desarrollo de contenidos referidos al polígono de frecuencia.

• Acumulando.

Para enseñar la frecuencia acumulada, se presenta el ingreso bruto de las familias de los alumnos que rinden la PSU. En esta parte se realizan preguntas del tipo: ¿cuál es el tramo donde se encuentran la mitad de los alumnos con puntajes mayores a 700 puntos? Dejando la necesidad a los alumnos de contar las frecuencias de los demás tramos y además dando la entrada para la determinación de la mediana. En este tipo de actividades es muy importante dejar un tiempo para que los alumnos discutan sobre: ¿Cómo llegar a la respuesta? Y se aventuren a dar sus respuestas tentativas a las preguntas.

Fr. Absoluta 263 635 617 450 421 388 453 575 170 158 196 2 271

Fr. Acumulada 263 898 1 515 1 965 2 386 2 774 3 227 3 802 3 972 4 130 4 326 6 597

7 000 6 000 Frecuencia de alumnos

Tramo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Fr. Absoluta Fr. Acumulada

5 000 4 000 3 000 2 000 1 000 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Tramo

La unidad continúa mostrando gráficos de las frecuencias absolutas y acumuladas. Para luego dar paso al polígono de frecuencia, el cual necesita de la marca de clase de cada intervalo mostrado en la descripción de cada tramo.

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ERRORES FRECUENTES

Unidad

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DATOS Y AZAR

• Construcción de gráficos.

Para entrar en la construcción de gráficos se hace necesario que los estudiantes manejen bien las características de los histogramas, polígonos de frecuencia y frecuencia acumulada. Con esto claro, comienza la estructuración de la tabla de distribución de frecuencia. La tabla de distribución de frecuencia, contempla la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa, ambas trabajadas en años anteriores y como contenido nuevo trabaja la frecuencia acumulada.

Primero se da a conocer los datos que se agruparán en intervalos de clases. Es importante hacer notar que los intervalos de clases, deben ser, para mayor claridad de la presentación de la información tanto en la tabla de distribución como para el histograma, de igual amplitud y excluyentes dos a dos.

Para distribuir los datos existen muchas formas. Para comenzar, la determinación de la amplitud del intervalo de clase, tiene muchas acepciones, pero en la unidad se presenta primero la cantidad de clases con las cuales se debería particionar el grupo de datos, siendo la raíz cuadrada de la cantidad de los datos un buen numero entero y si no la aproximación a un numero entero cercano, la cantidad de clases que se observarán en la tabla de distribución. Luego de la determinación de las clases, se determina la amplitud de cada una, para ello es necesario conocer el recorrido de los datos, el cual se determina restando los datos extremos. Luego el recorrido se divide por la cantidad de clases que se pretende tener, para obtener la amplitud de cada intervalo de clase. Luego se determinan los extremos de cada intervalos de clase y posteriormente la frecuencia absoluta y relativa.

En esta primera parte sólo se construye con la frecuencia acumulada, característica expuesta anteriormente y necesariamente destacada por los alumnos.

Clase

Frecuencia

Fr. acumuladas

12 a 22

8

8

23 a 33

14

22

34 a 44

8

30

45 a 55

6

36

56 a 66

3

39

67 a 77

1

40

La tabla permite la construcción inmediata del histograma. Hay que recordar que los alumnos ya trabajaron graficando ecuaciones afines y lineales y ya han construido gráficos de frecuencia con datos no agrupados, por lo cual la construcción del histograma debiera apoyarse en todos los conocimientos anteriores de los alumnos, obteniendo de esta manera los siguientes histogramas.

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45 40

18 14 12

35

Horas de estudio

10 8 6 4

30 12 a 22 23 a 33 34 a 44 45 a 55 56 a 66 67 a 77

25 20 15

12 a 22 23 a 33 34 a 44 45 a 55 56 a 66 67 a 77

10

2

5

0

0

Los gráficos que se muestran están hechos en Excel, por lo cual tienen la descripción de cada clase a un lado del gráfico y esta indexado por medio de los colores. Como se observa los rectángulos están juntos pero son disjuntos por construcción. Es importante destacarles a los alumnos que la descripción de las clases puede expresarse en los ejes horizontales de cada gráfico.

El siguiente paso a dar con los alumnos es determinar la marca de clase de cada intervalo de clase, en la tabla no se muestra, pero es posible realizarlo tanto en el cuaderno como en la pizarra, así se podrá elaborar el polígono de frecuencia absoluta y acumulada.

Cabe destacar que los vértices de los polígonos de frecuencia se encuentran en el punto determinado por la frecuencia absoluta y la marca de cada clase.

Una de las grandes dificultades que se presenta al construir una tabla de distribución es la determinación de los intervalos, es importante aclarar a los alumnos la importancia del como se declaran los intervalos de cada clase, así por ejemplo cuando declaramos que los intervalos de clase en un histograma no deben intersectarse, es necesario recordarles el hecho de tener intervalos con extremos cerrados, (ambos valores extremos entran en el conteo para la frecuencia), intervalos semi-abiertos (uno de los extremos de los intervalos es cerrado y el otro no), uno de los extremos de los intervalos se cuenta en la frecuencia, pero el otro no, solamente actúa como límite.

La estructuración con herramientas tecnológicas, se reducen al uso del Excel y sus herramientas para el análisis de datos y elaboración de gráficos. Se utilizó Office 2003 para la elaboración del pequeño manual, aunque la estructuración de las tablas de distribución se mostró manualmente, pese a que se puede determinar usando Excel.

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DATOS Y AZAR

En el análisis de datos de Excel de Office 2003, existe la posibilidad de determinar un histograma ingresando los datos y entregando los límites superiores de cada intervalo de clase. También es posible hacer que Excel determine en cuantas clases se distribuirán los datos, dejando en blanco la parte donde dice rango de clases.

El proceso que se mostró para la estructuración de la tabla de distribución es manual, es decir los alumnos realizan el mismo procedimiento para construir la tabla de distribución.

Para elaboración de los gráficos, es necesario destacar el hecho que se necesita un asisten para gráficos, el cual muestra una gran variedad de tipos de gráficos, de los cuales sólo usamos dos.

Los cuadros de diálogo piden todo lo necesario para poder elaborar el gráfico, como por ejemplo los títulos de los ejes, los nombres de las series, etc.

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En uno de los problemas se pretende que los alumnos obtengan toda la información de la tabla de distribución que dio origen al histograma, así la tabla de tasa de discapacidad que se muestra en las actividades de aplicación de lo aprendido presenta la distribución de las personas con discapacidad por rangos etáreos. Como el total de discapacitados es proporcional, los alumnos deben realizar esta transformación y obtener cada dato de la tabla.

60 51,0

50 40

35,1

30 20 8,3

10 0

1,1 0 a 5 años

4,6 6 a 14 años 15 a 29 años 30 a 64 años 65 años y más

Este histograma se encuentra en un informe del INE sobre la discapacidad, es importante hacer notar la suma de los porcentajes, ya que a veces no dan el 100%, como en este caso, lo cual dificulta la obtención de las frecuencias reales, arrojando un error al elaborar la frecuencia acumulada.

Otro de los temas a destacar es el siguiente histograma, ya que muestra la relación que hay entre el consumo de drogas y el rendimiento escolar, ya que se observa una disminución de casi 3 veces en el rendimiento de alumnos que consumen marihuana con respecto a los rendimientos de los alumnos entre 6,0 y 7,0.

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30 25

24

20

17

15 10

9

6 3

5

1

0 4,9 o menos

Entre 5,0 y 5,9 Marihuana

Entre 6,0 y 7,0

Cocaína

• Las medidas de tendencia central La actividad que se les presenta a los alumnos esta ligada a la representatividad de los datos, es por ello que a los alumnos se les pregunta si la media es buen valor que represente el conjunto de calificaciones, o la moda o mejor aún, la mediana.

Es necesario que los alumnos discutan sobre si realmente la medida de tendencia central usada es representativa de las calificaciones, y aun mejor sería si se les deja realizar el ejercicio con sus propias calificaciones.

Cuando se muestran las calificaciones de Lautaro y se destaca el hecho que éste se esfuerza con mayor ahínco en la ultima prueba para elevar su calificación, se esta tratando de insertar el hecho que la media se ve afectada por los valores extremos de los datos, es por ello que el profesor de Lautaro para no afectar la calificación final toma la calificación que se encuentra en la mitad de las calificaciones ordenadas de menor a mayor, hecho necesario para determinar la mediana de los datos.

3

3

4

4

7

Se debe caracterizar el hecho que los datos deben ordenarse para poder determinar la mediana.

La actividad propuesta para destacar este hecho se encuentra en las actividades de Aplicando lo Aprendido.

Si se conoce que el salario medio mensual de 5 hermanos, es de $120 000, y la mediana es de $100 000.

Se les pregunta por la cantidad de dinero que los 5 hermanos llevan a la casa. Esta pregunta esta relacionada con la forma para determinar el promedio. x 2 + ... x5

= 120 5 Luego tenemos que la suma total de los dineros que los hermanos llevan a la casa es: x1 + ... + x5 = 5 i 120 Se debe dejar claro que el promedio se obtiene sumando todos los datos y luego se divide por la cantidad de datos.

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En la segunda parte se informa que al hermano que recibe más dinero se le aumento el sueldo en $10 000, esto se debe hacer notar a los alumnos, es decir, el hecho que cambio el valor extremo mayor de los datos, lo cual deja invariante a la media de los datos, ya que esta no ve afectada por tal hecho.

• ¿Se cumple para toda la población?

En esta parte de la unidad se estudia la representatividad de las muestras. La representatividad se presenta criticando las conclusiones que muchos estudios han realizado, por ejemplo el hecho de que por cada 10 personas una es zurda, lo cual al experimentar el curso no se cumple. Es necesario que los alumnos realicen este proceso para que vean que la conclusión del estudio no es 100% acertado. También se trabaja con el hecho de los equipos de fútbol y su adhesión como fanático, hay que recalcar el hecho que siempre se escucha que “Colo Colo es Chile”, refiriéndose al hecho que todos los chilenos son fanáticos de ese equipo. Una pequeña contra-respuesta a esta afirmación sería preguntarle al curso sobre la adhesión a determinados equipos de fútbol, lo cual dejara claro que no es posible y que los resultados de tales estudios están sesgados por que no se les preguntó a toda la población.

Existen siempre estudios relacionados con la adhesión y aprobación de los chilenos a las tareas realizadas por el gobierno de turno, los cuales también pueden mostrar afirmaciones sesgadas.

Además, se puede incluir el hecho de que los políticos no le creen a las encuestas y preguntar el porqué.

Luego de discutir sobre la representatividad de las afirmaciones y conclusiones de los estudios, sería interesante que les planteara a los alumnos cómo se debería realizar un estudio para que las afirmaciones representen a la población. Destacando las dificultades que a veces representa el realizar un estudio a toda la población, tanto por hechos de recursos, como geográficos. Hay que destacar la ventaja que nos da la conectividad entre las personas y los medios que los ofrecen, como por ejemplo la Internet, teléfono, etc. Con lo anterior se podría destacar los elementos que se necesitan para que un estudio sea representativo de toda la población, surgiendo la necesidad de realizar muestreos, determinar errores y determinar el tamaño de la muestra.

El primero de los hechos marcados se plantea en la unidad, es decir las diferentes formas de realizar un muestreo, destacando a los tipos de muestreo pertenecientes al grupo de los aleatorios.

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Es importante realizar ejemplos por cada uno de los tipos de muestreo que se muestran, aparte de los que se muestran en la unidad. Además se debe rescatar el hecho que ellos mismos son parte de una muestra de estudiantes de un liceo o colegio.

Uno de los temas a destacar es la determinación de las proporciones de la población y la mantención de esta proporción en la muestra, como por ejemplo si el 60% de los alumnos del colegio son hombres, entonces la muestra debiera tener el 60% de alumnos que los compone de hombres.

Este se pregunta en la autoevaluación.

Con lo anterior, se plantean actividades donde se les presenta qué se quiere estudiar y ellos deben determinar el tipo de muestreo que debieran realizar. Como por ejemplo el problema 6 de las actividades finales.

6. Se desea estudiar la composición del agua de un lago para lo cual se divide en dos zonas: costa y centro del lago. El lago se cuadricula en 2 800 cuadrículas de igual tamaño de las cuales se escogen aleatoriamente 80 en la zona Costa y 60 en zona Centro. En cada una de las cuadrículas escogidas se mide el contenido de cierta sustancia tóxica (en ppm), el contenido de oxígeno (en mL/100mL) y el número de larvas de peces. Además se anota el color y calidad de transparencia del agua en la cuadrícula. a) Indique cuál es la población en estudio y cuáles y cuántos son los elementos de esta población. b) ¿Qué tipo de muestreo se usó?

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Aquí se puede observar la característica del estudio y las medidas que se tomaron para tomar la muestra, por lo cual los alumnos deben determinar a que tipo de muestra representa. Es importante hacer notar que no necesariamente debe pertenecer a un solo tipo de muestreo, pueden coexistir dos tipos de muestreo o hasta tres, lo cual sucede en el problema.

La determinación del error y el tamaño de la muestra es un hecho que en este año no se puede estudiar en profundidad, porque se necesita de la desviación estándar y de la variación de los datos, elementos pertenecientes a segundo año medio. Sin embargo, el error muestral se muestra realizando una analogía entre el lanzamiento de un dardo y la confiabilidad y validez de la dispersión de los aciertos en la tabla de blanco.

Caso A

Caso B

Caso C

Caso D

Menor

Mayor

Mayor

Confiabilidad

Validez Menor

Podemos apreciar que en el caso A los impactos están dispersos (baja confiabilidad) y alejados de la diana (baja validez). En el caso B los impactos siguen dispersos (baja confiabilidad) pero ahora circundan la diana (alta validez).

En el caso C los impactos están concentrados (alta confiabilidad) pero alejados de la diana (baja validez). Y finalmente en el caso D los impactos se presentan concentrados en torno a la diana (alta confiabilidad y alta validez).

Con esto se debe dejar claro que una buena muestra y con menor grado de error, es decir variación entre el estadístico que se obtiene de la muestra y el parámetro (estadístico de la población), es cuando se produce menor variación, es decir los datos están menos dispersos dentro de la muestra, lo cual al observar la imagen se puede clarificar. Es necesario realizar las preguntas adecuadas a los alumnos sobre la validez y confiabilidad de los datos y por ello es tan necesario el trabajo con la analogía.

El tamaño de la muestra se encuentra sujeto a muchas condiciones, como por ejemplo económicas y geográficas, por decir algunas. Sin embargo, los contenidos de la unidad no permiten ahondar más en ello.

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• ¿Cuál es la probabilidad de la frecuencia?

En parte de la unidad se trabaja con un simulador que tiene un sitio Web: http://www.xtec.cat/~jlagares/matematiques/probabilitat/daus/DausCastellano.html El cual muestra el siguiente cuadro de diálogo:

Este simulador muestra la cantidad de veces que se lanzará el dado, muestra una tabla de distribución de los datos obtenidos al realizar el experimento, además tiene un histograma y un polígono de frecuencia que muestra a donde tiende la frecuencia relativa del suceso de salir cuatro, lo cual da paso para mencionar la ley de los grandes números. Hay que destacar el hecho que si lanzáramos infinitivas veces la frecuencia relativa se acerca a la probabilidad de que el suceso ocurra. El simulador tiene una frecuencia de lanzamiento de hasta 600 000 tiradas de dado. Hay que destacar que la tabla de distribución permite observar la frecuencia relativa porcentual, donde se puede observar que todos tienen el mismo porcentaje y por ende, la misma probabilidad de salir.

La probabilidad empírica y la probabilidad teórica o clásica se deben diferenciar muy bien, es por ello que la principal característica que se les debe hacer notar a los alumnos es que la probabilidad empírica viene de la frecuencia de un suceso, por ejemplo el problema.

En Antofagasta, antes de las elecciones municipales, se aplicó una encuesta a 5 000 personas y se obtuvo que 1 150 piensan votar en blanco. Si votan 28 589 electores, ¿cuántos votos en blanco se podrían esperar en esa elección?

Se puede clarificar que la frecuencia relativa de las personas que piensan votar en blanco es de 1 150/5 000, es decir, el 23% de los encuestados votaría en blanco. Lo anterior permite determinar cuantas personas de las 28 589 electores votaran en blanco, ya que debiera mantenerse la misma frecuencia relativa, lo cual se debe gracias a la ley de los grandes números.

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ERRORES FRECUENTES • Contar la frecuencia de los extremos de los intervalos semi-cerrados.

Los alumnos al determinar los extremos de los intervalos de clase, muchas veces trabajan con intervalos semi-cerrados, es decir con un extremo abierto sin notar que al estar abierto un extremo del intervalo, este actúa como límite pero no se cuenta al tomar las frecuencias de los datos, es por ello que a veces los alumnos pueden contar dos veces el mismo dato y colocarlos en diferentes intervalos como por ejemplo: Clase

Intervalo de clase

Frecuencia

Frec. Acum.

1

[0,25-1,65]

17

17

2

]1,65-3,05]

11

28

3

]3,05-4,45]

7

35

4

]4,45-5,85]

7

42

5

]5,85-7,25]

4

46

6

]7,25-8,65]

2

48

7

]8,65-10,05]

2

50

Donde se puede observar que los intervalos de clases son abiertos a la izquierda a excepción del primero, ya que tiene el valor mínimo. Por ello en el segundo intervalo no se toma en cuenta el extremo izquierdo al contar la frecuencia de los datos que tengan el valor 1,65, ya que éste está contemplado en el primer intervalo. Nótese que la amplitud de todos los intervalos en la misma.

• Determinar la media de dos medias.

Los alumnos al presentarles el siguiente problema: La edad media de los 175 alumnos de una escuela es de 8 años, y la de los 12 adultos (profesores y personal) es de 40 años. ¿Cuál es la edad media de todas las personas de esa escuela?

Tienden a determinar la media entre las dos medias es decir 8 + 40 = 24 2 Lo cual es un error gravísimo, la media entre ambos se determina tomando el total de las personas, es decir tenemos que el promedio de las edades de los 175 alumnos es de 8 años, es decir, x1 + ... + x175 175

=8

Luego el promedio de las edades de los adultos es

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y1 + ... + y12

= 40 12 Luego para determinar el promedio se debe despejar la suma de los datos, así tenemos x1 + ... + x175 = 175 i 8 y y1 + ... + y12 = 12 i 40 Luego sumando y dividiendo por el total de los datos tenemos: x1 + ... + x175 + y1 + ... + y12 187

= 175 i 8 + 12 i 40 = 10, 05 187

De donde obtenemos que la media total sea 10,05 años.

ACTIVIDADES DE REFUERZO Y AMPLIACIÓN 1. Una municipalidad está autorizada para diseñar patentes usando las letras A, B, y C y los dígitos con excepción del 0. Si las patentes tienen dos letras y dos números y no se puede repetir la letra o el número, ¿cuántas patentes distintas se pueden diseñar?, ¿cuál es la probabilidad de tener una patente con las letras A, C? 2. Lanzar una moneda y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener “sello” o “cuatro”?

3. Al lanzar simultáneamente dos monedas, ¿cuál es la probabilidad de obtener cara en por lo menos una de ellas?

4. Se organiza un sorteo en el que participan los número del 1 al 40. Gana quien tenga un número múltiplo de 4 o un múltiplo de 6, ¿cuál es la probabilidad de ganar?

5. Al lanzar una moneda y un dado, ¿Cuál es la probabilidad de obtener sello y 3?

6. Según la información disponible, un cierto tipo de enfermo sometido a un trasplante tiene un 2% de probabilidad de sufrir una grave complicación por la anestesia; la probabilidad de que se produzcan complicaciones durante la operación es de un 9%; después de la operación, la probabilidad de complicación es de un 15%.

Determina la probabilidad que un paciente sometido a trasplante, de acuerdo a esta información, no tenga ninguna complicación.

7. En una clínica médica se ha organizado un archivo de los pacientes por sexo y por tipo de hepatitis. Son 45 varones de los cuales 25 tienen hepatitis tipo A y 20, tipo B. Son 35 mujeres con hepatitis tipo A y 20 con hepatitis B. Si se selecciona una de las fichas del archivo al azar, determinar la probabilidad se sacar: a) Una correspondiente al sexo femenino. b) Una correspondiente a un caso de hepatitis tipo B. c) Una correspondiente al sexo masculino y con hepatitis tipo A. Fuente: http://www.sectormatematica.cl/

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ACTIVIDADES DE CIERRE DE UNIDAD Las actividades del texto del estudiante están diseñadas para que el estudiante modele, resuelva problemas, calcule y aplique los conceptos e ideas descubiertos en esta unidad. Las preguntas que presentamos a continuación pretenden reconocer si se logró un conocimiento profundo de los tópicos estudiados en esta unidad.

• Las siguientes medidas corresponden a las alturas de 50 niños y niñas.

1,56

1,59

1,63

1,62

1,65

1,61

1,59

1,51

1,62

1,62

1,53

1,49

1,57

1,54

1,53

1,59

1,58

1,57

1,47

1,64

1,55

1,59

1,53

1,56

1,53

1,47

1,57

1,60

1,54

1,56

1,50

1,62

1,59

1,62

1,54

1,68

1,52

1,62

1,59

1,49

1,65

1,53

1,59

1,56

1,54

1,58

1,52

1,63

1,56

1,62

a)

Construir una distribución de frecuencias absolutas y relativas.

b)

Obtener las correspondientes distribuciones de frecuencias acumuladas.

c)

Representar las distribuciones anteriores mediante histogramas.

d)

Dibujar los correspondientes polígonos de frecuencias.

e)

Hallar, a partir del polígono de frecuencias acumuladas, la proporción de observaciones entre 1,58 y 1,66 ambas inclusive.

f)

¿Qué conclusiones puedes obtener de lo anterior?

- En una ciudad existen 3 grandes plantas de fabricación de automóviles que llamaremos A, B y C. La primera emplea a 542 personas y su salario medio es de 1 500 euros. En la segunda trabajan 843 empleados y su ingreso medio es de 1 200 euros. Finalmente, la paga media de los 1 538 trabajadores de C es de 1 000 euros. ¿Cuál es el salario medio de los empleados en la industria del automóvil de dicha ciudad? ¿A cuánto equivale en pesos chilenos?

- Abel y Rosa juegan tirando un dado. Si sale un 5 gana Abel y si sale menos de 3 gana Rosa. ¿Cuántas veces habrá ganado cada uno, aproximadamente, después de tirar el dado 60 veces?

- Se toma un número comprendido entre 0 y 999 a) ¿Cuál es la probabilidad de que el número sea múltiplo de 5? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la cifra central sea mayor que las otras dos?

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• BIBLIOGRAFÍA • Bibliografía General Libros 1. Araya S., Roberto. Inteligencia Matemática. Editorial Universitaria. Santiago de Chile. 2000.

(En este libro se pueden encontrar una gran cantidad de ideas maravillosas, para entender como aprende el niño y cuáles metáforas son mejores para ciertos tópicos).

2. Coxeter, H.S.M. Fundamentos de Geometría. Editorial Limusa. México. 1971.

(Cuenta con un estudio completo y sistemático de geometrías en general).

3. De Guzmán, Miguel. Tendencias Innovadoras en Educación Matemática. Edipubli. Buenos Aires. 1992. (En este libro se muestran algunas tendencias generales actuales, cambios en los principios metodológicos, y particularmente trata de lo serio que es enseñar matemáticas).

4. Lages Lima, Elon. Meu Professor de Matemática e outras historias. IMPA. Río de Janeiro.

Brasil. 1991. (Pese a que está escrito en portugués por el destacado matemático, se entiende bastante bien. En este libro hay una muy buena presentación de la fórmula de Euler y del Teorema de Pitágoras).

5. Ministerio de Educación, República de Chile. Matemática Programa de Estudios, Primer año Medio. Santiago de Chile. 1998.

6. Newman, James R. SIGMA. El Mundo de las Matemáticas. Editorial Grijalbo. España. 1968.

7. Reyes R., Cristián, Valenzuela Ch., Marisol. Matemática. Guía Didáctica Para el Profesor. Editorial McGraw-Hill. 2006. Edición especial para el MINEDUC. 8. Steward, Ian. De Aquí al infinito. Crítica. Barcelona. 1998. (Este libro hace entendibles y apasionantes las matemáticas avanzadas).

9. Unidad de Curriculum y Evaluación. Ministerio de Educación. Chile y el Aprendizaje de las matemáticas y ciencias según TIMSS. Santiago de Chile. 2004. (En este libro, aparte de encontrar problemas típicos de TIMSS, aparecen resultados acerca de lo que aprenden nuestros estudiantes, y de las prácticas docentes).

Internet 10. www.fmat.cl 11. www. mineduc.cl (Importante es destacar los estudios acerca de las pruebas internacionales que hay en esta página, en particular TIMSS y PISA.) 12. www.comenius.usach.cl 13. www.nctm.org

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14. www.oei.org.co/oeivirt/edumat.htm (En esta dirección existe un estudio serio y muy iluminador del prestigioso Profesor español Miguel de Guzmán).

15. www.automind.cl/educacion (Gran material de artículos, juegos didácticos, investigación, etc. toda relacionada con el destacado investigador Roberto Araya S.) 16. www.educarchile.cl Bibliografía Unidad 1 1. Reyes R., Cristián, Valenzuela Ch., Marisol. Matemática. Guía Didáctica Para el Profesor.

Unidad 1, Págs.10 - 22. Editorial McGraw-Hill. 2006. Edición especial para el MINEDUC. 2. Rolando Chuaqui. ¿Qué son los números? El método Axiomático. Consejo de Rectores de las Universidades Chilenas. Fascículos para la comprensión de la Ciencias, las Humanidades y la Tecnología. Editorial Universitaria. Santiago de Chile. 1980.

3. Enzo Gentile. Escuela de Talentos - 4. Aritmética Elemental. Universidad de Chile. Facultad de Ciencias.1990.

Bibliografía Unidad 2 1. Reyes R., Cristián, Valenzuela Ch., Marisol. Matemática. Guía Didáctica Para el Profesor. Unidades 2, 4 y 6. Págs. 24-36, 50-62 y 76-88. Editorial McGraw-Hill. 2006. Edición especial para el MINEDUC. 2. I. N. Herstein. Álgebra Abstracta. Grupo Editorial Iberoamérica. México. 1988.

3. Sociedad de Matemática de Chile. Revista del Profesor de Matemáticas. SOMACHIA. Año 1, N° 2.

4. Sociedad de Matemática de Chile. Revista del Profesor de Matemáticas. SOMACHIA. Año 2, N° 2.

5. Sociedad de Matemática de Chile. Revista del Profesor de Matemáticas. SOMACHIA. Año 3, N° 1.

Bibliografía Unidad 3 1. Reyes R., Cristián, Valenzuela Ch., Marisol. Matemática. Guía Didáctica Para el Profesor.

Unidades 3 y 7. Págs. 38 - 48 y 90 - 102. EditorialMcGraw-Hill. 2006. Edición especial para el MINEDUC. 2. H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer. Retorno a la Geometría. La Totuga de Aquiles, Nº1. DLS-EULER Editores. España. 1993.

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3. Riera, Gonzalo. Escuela de Talentos-2. Geometría. Universidad de Chile. Facultad de Ciencias.

1990.

4. S.R. Clemens, P.G O’Daffer, T. J. Cooney. Geometría. Pearson Educación. México. 1998.

5. M.C. Escher. Estampas y Dibujos. Taschen. Alemania. 2002.

Bibliografía Unidad 4 1. J. R. Vizmano, M. Anzola. Matemáticas. Algoritmo 1. Ediciones SM. España. 2002.

2. J. R. Vizmano, M. Anzola. Matemáticas. Algoritmo 2. Ediciones SM. España. 2003.

3. J. Soto-Andrade. Paseos al azar: Entre la geometría y el análisis. Fundación Olimpiada Matemática Argentina. Paraná. Entre Ríos. Argentina. 1998.

4. J. Soto-Andrade. Al azar del cara y sello: Introducción al cálculo de probabilidades. Módulo para la formación continua de profesores. MINEDUC.

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• LINKS RECOMENDADOS • http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm Sitio Web, que cuenta con variada información matemática y abarca los tópicos matemáticos más trabajados en clases: Número Enteros, Número Fraccionarios, Las Fracciones en Lenguaje Algebraico, Función parte entera y función valor absoluto, Sistemas de Ecuaciones Lineales, Potencias, Raíces: Propiedades, Ecuaciones Irracionales, Función cuadrática (Parábola), Ecuación de segundo grado, Sistemas de ecuaciones de segundo grado, Desigualdades, Inecuaciones lineales, Sistemas de inecuaciones lineales, Trigonometría, Combinatoria, Probabilidades, Estadística, Funciones exponencial y logarítmica, Profundización del Lenguaje Algebraico, Funciones Polinomiales.

http://www.sectormatematica.cl/ppt.htm Página Web que recopila gran cantidad de presentaciones matemáticas (o relacionadas con ella) existentes elaboradas en formato PowerPoint. Estas pueden ser utilizadas como materiales de reforzamiento o como apoyo en el aula.

http://www.cientec.or.cr/matematica.html CIENTEC es una organización sin fines de lucro, ONG, creada en Costa Rica en 1989. Este sitio está diseñado para facilitar el acceso a información relevante, y el aprendizaje de la matemática, las ciencias y la tecnología, con una perspectiva de equidad de género.

http://www.matematicas.net/ Portal Web destinado a quienes estén interesados en aumentar sus conocimientos en el ámbito matemático. Dispone de: programoteca, área de descargas, área on-line, área enlaces, área recursos, y entrega la opción de enlazarse y unirse al sitio.

http://www.redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/mate.htm Red Escolar es una comunidad conformada por alumnos, profesores, cuerpos directivos y técnicopedagógicos y padres de familia, que se comunican a través de una red de cómputo enlazada a Internet. El sitio Matemáticas sin números, cuenta con diversa información que permite trabajar las matemáticas de manera lúdica y divertida. Ordena la información separándola por los cursos y niveles educativos de México.

http://www.rmm.cl/recursos.php?seccion=Recursos&id_portal=720 Red Maestros de Maestros, sitio Web con más de 700 sitios conectados a un Portal, donde se publican noticias e informaciones de interés para los integrantes de la Red y usuarios externos en busca de documentos de educación e información del programa Red Maestros de Maestros. Herramientas: Agenda, Noticias e información en niveles, Contador de visitas, Sala de Debates, Biblioteca de Recursos, Correo masivo, Módulo de encuestas, Diseños y estilos.

http://www.recursosmatematicos.com/ Sitio Web que cuenta con variada información, ordenada en secciones donde destacan: novedades, Información, Preguntas frecuentes, matemático del día, área de descarga (apuntes, exámenes, trabajos en formato ZIP), Recursos clasificados por nivel educativo: infantil, primaria, secundaria, bachillerato, universidad y sin clasificar. Recursos clasificados por área de la Matemática: álgebra, análisis, aritmética, estadística, geometría, matemática general, probabilidad y sin clasificar. Además incluye una sección denominada legislación educativa incluyendo proyectos curriculares de matemáticas. Un Área de Servicios que cuenta con un buscador de apuntes, un multibuscador genérico, una agenda, una eurocalculadora y un traductor de páginas.

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http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/verContenido.aspx?ID=116662&PT=1 Es un portal autónomo, pluralista y de servicio público que cuenta con la colaboración de los sectores público, privado y filantrópico. Educarchile está dirigido a todos los miembros de la comunidad educativa nacional: a las escuelas, sus docentes, alumnos y directivos; a las familias chilenas y los organismos de padres y apoderados; a los sostenedores municipales y privados; a los investigadores y especialistas de la educación; a las facultades de pedagogía y a los organismos de la cultura.

Este sitio Web apoya el trabajo de los docentes en la sala de clases, es un lugar de encuentro y participación que ofrece información, recursos, servicios y experiencias educativas que responden a las necesidades e intereses de docentes, estudiantes, familias y especialistas.

http://201.238.235.28/ingreso.asp Un Programa de Aprendizaje on-line. Patrocinado por el Ministerio de Educación, con la metodología comprobada de EPGY-Stanford. Basado en la resolución de problemas de la vida cotidiana, con 2 000 ejercicios y 200 juegos para aprender y ejercitar. Con una metodología interactiva, registro de resultados y avance automático según logros. Cuenta con Demos para ver el programa en uso.

http://www.batiburrillo.net/matematicas/matemat.php Sitio Web en el que se entregan una gran variedad de actividades lúdicas matemáticas. El sitio tiene banner publicitarios, por lo que se sugiere orientar a los alumnos en la exploración de ella.

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