2Medio_2011_Profesor

PORT matem II GUIDEN

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FLORENCIA

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MARIO ZANARTU NAVARRO DARRIGRANDI NAVARRO • MAURICIO RAMOS RIVERA

PAG 1-2_Guía matemática 4 05-07-10 12:38 Página 1

AUTORES TEXTO

PARA EL

ESTUDIANTE

Y

GUÍA DIDÁCTICA

PARA EL

PROFESOR

MARIO ZAÑARTU NAVARRO LICENCIADO EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE. MAGÍSTER EN HISTORIA DE LA CIENCIA: CIENCIA, HISTORIA Y SOCIEDAD, UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BARCELONA.

FLORENCIA DARRIGRANDI NAVARRO LICENCIADA

MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN ESTADÍSTICA, MAGÍSTER EN ESTADÍSTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE. EN

MAURICIO RAMOS RIVERA LICENCIADO EN CIENCIAS CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA LICENCIADO EN CIENCIAS CON MENCIÓN EN FÍSICA UNIVERSIDAD DE CHILE

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El material didáctico Guía Didáctica para el Profesor, correspondiente al Texto Matemática 2º, para Segundo Año de Educación Media, es una obra colectiva, creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección de: MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA COORDINACIÓN DEL PROYECTO: EUGENIA ÁGUILA GARAY COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA: VIVIANA LÓPEZ FUSTER EDICIÓN: JAVIERA SETZ MENA AYUDANTE DE EDICIÓN: ALDO PEREIRA SOLIS AUTORES TEXTO PARA EL ESTUDIANTE Y AUTORES GUÍA DIDÁCTICA PARA EL PROFESOR: MARIO ZAÑARTU NAVARRO FLORENCIA DARRIGRANDI NAVARRO MAURICIO RAMOS RIVERA CORRECCIÓN DE ESTILO: ISABEL SPOERER VARELA ASTRID FERNÁNDEZ BRAVO DOCUMENTACIÓN: PAULINA NOVOA VENTURINO MARÍA PAZ CONTRERAS FUENTES La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de: VERÓNICA ROJAS LUNA COORDINACIÓN GRÁFICA: CARLOTA GODOY BUSTOS COORDINACIÓN LICITACIÓN: XENIA VENEGAS ZEVALLOS DISEÑO Y DIAGRAMACIÓN: XIMENA MONCADA LOMEÑA MARIELA PINEDA GÁLVEZ FOTOGRAFÍAS: ARCHIVO SANTILLANA CUBIERTA: XENIA VENEGAS ZEVALLOS PRODUCCIÓN: GERMÁN URRUTIA GARÍN

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

© 2009, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile) PRINTED IN CHILE Impreso en Chile por Quebecor World Chile S.A. ISBN: 9 - 7895 - 15 - 1567 - 3 Inscripción N° 186.187 www.santillana.cl

La materialidad y fabricación de este texto está certificada por el IDIEM – Universidad de Chile.

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Índice

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FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA

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Introducción

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Escenario educacional

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Concepción del subsector de aprendizaje

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Fundamentos del proyecto

18

Habilidades del pensamiento

20

Evaluación en Matemática

21

Instrumentos de evaluación

26

Razonamiento matemático y resolución de problemas

30

Relación entre los CMO de Educación Media

ORGANIZACIÓN INTERNA DEL TEXTO

34

Estructura del Texto

34

Organización del Texto

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ORGANIZACIÓN DE LA GUÍA DIDÁCTICA

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Unidad 1: Números y raíces 38

Propósito de la unidad

38

Esquema de la unidad Números y raíces

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Propuesta de planificación de la unidad

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Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio del Texto para el Estudiante

43

Indicaciones y orientaciones para las páginas de desarrollo del Texto para el Estudiante

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Indicaciones y orientaciones para las páginas de cierre del Texto para el Estudiante

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Bibliografía

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Evaluación final. Material fotocopiable

Índice

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Unidad 2: Expresiones algebraicas fraccionarias 68

Propósito de la unidad

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Esquema de la unidad

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Propuesta de planificación de la unidad

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Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio del Texto para el Estudiante

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Indicaciones y orientaciones para las páginas de desarrollo del Texto para el Estudiante

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Indicaciones y orientaciones para las páginas de cierre del Texto para el Estudiante

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Bibliografía

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Evaluación final. Material fotocopiable

Unidad 3: Sistemas de ecuaciones lineales 92

Propósito de la unidad

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Esquema de la unidad

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Propuesta de planificación de la unidad

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Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio del Texto para el Estudiante

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Indicaciones y orientaciones para las páginas de desarrollo del Texto para el Estudiante

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Indicaciones y orientaciones para las páginas de cierre del Texto para el Estudiante

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Bibliografía

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Evaluación final. Material fotocopiable

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Taller de evaluación 1. Material fotocopiable.

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Unidad 4: Semejanza 118

Propósito de la unidad

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Esquema de la unidad

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Propuesta de planificación de la unidad

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Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio del Texto para el Estudiante

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Indicaciones y orientaciones para las páginas de desarrollo del Texto para el Estudiante Índice | 4

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Indicaciones y orientaciones para las páginas de cierre del Texto para el Estudiante

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Bibliografía

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Evaluación final. Material fotocopiable

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Índice 144

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Unidad 5: Circunferencia 144

Propósito de la unidad

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Esquema de la unidad

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Propuesta de planificación de la unidad

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Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio del Texto para el Estudiante

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Indicaciones y orientaciones para las páginas de desarrollo del Texto para el Estudiante

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Indicaciones y orientaciones para las páginas de cierre del Texto para el Estudiante

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Bibliografía

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Evaluación final. Material fotocopiable

Unidad 6: Datos y azar 168

Propósito de la unidad

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Esquema de la unidad

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Propuesta de planificación de la unidad

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Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio del Texto para el Estudiante

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Indicaciones y orientaciones para las páginas de desarrollo del Texto para el Estudiante

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Indicaciones y orientaciones para las páginas de cierre del Texto para el Estudiante

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Bibliografía

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Evaluación final. Material fotocopiable

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Taller de evaluación 2. Material fotocopiable.

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Solucionario Evaluaciones finales y Talleres de evaluación.

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Fundamentación teórica INTRODUCCIÓN La siguiente propuesta aborda el conjunto de Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios para 2º Medio del sector Matemática, establecidos en el Ajuste Curricular, e integra y articula los Objetivos Fundamentales Transversales con los contenidos y actividades centrales presentados.

La propuesta Matemática 2º Medio consiste en el Texto para el Estudiante, la Guía Didáctica para el Profesor y el Hipertexto.

El Texto para el Estudiante se basa en la concepción de aprendizaje constructivista, de este modo, presenta a los alumnos y las alumnas los distintos contenidos correspondientes a su nivel, a partir de situaciones contextualizadas, en las que mediante el razonamiento espontáneo los y las estudiantes activen sus conocimientos previos. Luego, se desarrolla cada contenido mediante actividades y ejemplos resueltos. La evaluación se considera en todas las etapas del proceso de aprendizaje, de manera transversal.

La Guía Didáctica para el Profesor es una herramienta que permite articular y llevar a cabo cada contenido tratado en el Texto explicando claramente aquellos conceptos claves para la comprensión del contenido, las relaciones principales que se puedan establecer y sus referencias teóricas, con el objeto de sustentar y ampliar los conocimientos del docente. Se incluyen orientaciones para desarrollar las distintas actividades presentadas en el Texto para el Estudiante.

El Hipertexto consiste en un material educativo multimedial diseñado para ampliar las instancias de aprendizaje de los jóvenes, que complemente las actividades del Texto y aproveche los recursos tecnológicos disponibles, y que el y la estudiante pueda resolver de manera autónoma. Contiene actividades de motivación, ejercitación y profundización y evaluaciones diagnósticas y sumativas, de modo que el o la estudiante pueda autoevaluarse independiente de sus actividades en clases.

ESCENARIO

EDUCACIONAL

A diez años de iniciada la Reforma Curricular de la Educación Básica y Media, el Ministerio de Educación ha desarrollado un proceso de revisión del currículum, para responder a diversos requerimientos sociales y para mantener su vigencia y relevancia.

Esta revisión es parte de una política de desarrollo curricular que busca mejorar cíclicamente el currículum a la luz de su implementación y de los cambios que se van experimentando en la sociedad. Lo anterior se relaciona directamente con las características de la sociedad actual: el currículum debe ser capaz de responder oportunamente a la rápida generación de cambios en el conocimiento, a las transformaciones constantes del mundo productivo y a las nuevas demandas formativas que van surgiendo. Así, el ministerio ha estado elaborando una propuesta de ajuste curricular que tiene como propósito mejorar la definición curricular nacional.

Si bien este proceso de ajuste es de mayor envergadura que las modificaciones

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Introducción

realizadas hasta la fecha, no se trata de una nueva Reforma Curricular, puesto que se mantiene el enfoque de la Reforma, es decir, el currículum sigue estando orientado hacia el desarrollo de conocimientos, habilidades y actitudes que son relevantes para el desenvolvimiento personal, social y laboral de los sujetos de la sociedad actual.

La propuesta de ajuste curricular tiene entre otros, los siguientes objetivos.

Con respecto a los sectores de aprendizaje: • Mejorar la redacción de los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios, para precisar su extensión y mejorar su claridad.

• Mejorar la secuencia curricular y la articulación entre ciclos.

• Visibilizar la presencia de las habilidades en Contenidos Mínimos Obligatorios.

• Reducir la extensión del currículum (especialmente en ciencias sociales y naturales).

• Fortalecer la presencia transversal de Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC), en la Educación Básica y Media.

Con respecto a temas de organización del currículo: • Homologar la nomenclatura de las asignaturas en Educación Básica y Media.

• Homologar los Objetivos Fundamentales Transversales en Educación Básica y Media.

• Mejorar la presencia de Ciencias Naturales y Ciencias Sociales en primer ciclo.

• Definir objetivos y contenidos específicos de Inglés.

• Revisar la definición de niveles en primer ciclo básico, único que tiene definidos OF/CMO para dos años escolares.

• Revisar la formulación diferenciada humanístico-científica.

En el sector Matemática, se reordenó el sector con una nueva organización de cuatro ejes curriculares: Números, en el que se introducen los distintos sistemas numéricos, con énfasis en las operaciones y situaciones que cada sistema permite y resuelve; Álgebra, el cual introduce al estudiante en el uso de símbolos para representar y operar con cantidades y en la noción de función y el estudio de algunas de ellas en particular; Geometría en el que se da diferentes enfoques para el tratamiento de problemas en los que interviene la forma, el tamaño y la posición; y Datos y Azar, que introduce el tratamiento de datos y modelos para el razonamiento en situaciones de incerteza y propone desarrollar conceptos y técnicas propias de la estadística y la teoría de probabilidades.

Además, contempla un eje trasversal de razonamiento matemático, de modo que se explicite en cada eje la resolución de problemas, la exploración de caminos alternativos y el modelamiento de situaciones o fenómenos, así como el desarrollo del pensamiento creativo, analógico y crítico para la formulación de conjeturas, la búsqueda de regularidades y patrones y la discusión de la validez de las conclusiones.

Esta reorganización tiene el propósito de acercar el currículum del sector a la exigencia internacional y a pruebas internacionales en las que participa nuestro país, ya que el análisis mostró que muchos contenidos eran tratados tardíamente en nuestro currículum, o bien, de manera muy acotada.

Fundamentación teórica

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Como parte complementaria del ajuste curricular, se han elaborado los Mapas de Progreso del Aprendizaje, que describen la secuencia típica que sigue el aprendizaje, en las áreas o dominios que se consideran fundamentales en la formación de los estudiantes, en los distintos sectores curriculares. Estos establecen una relación entre currículum y evaluación, orientando lo que es importante evaluar y entregando criterios comunes para observar y describir cualitativamente el aprendizaje logrado. Los aprendizajes en Matemática se organizan en cuatro Mapas de Progreso correspondientes a los ejes curriculares anteriormente mencionados en que se organiza el sector.

CONCEPCIÓN

DEL SUBSECTOR DE APRENDIZAJE

La propuesta Matemática 2º Medio responde a una concepción de la Matemática reflejada en los Ajustes Curriculares y en los Requerimientos para la Elaboración de Textos Escolares. Desde esta perspectiva, el sector Matemática tiene como propósito formativo enriquecer la comprensión de la realidad, facilitar la selección de estrategias para resolver problemas y contribuir al desarrollo del pensamiento crítico y autónomo en todos los estudiantes.

De acuerdo a lo anterior, el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática cumple los siguientes grandes objetivos: • Proporcionar herramientas conceptuales para analizar la información cuantitativa presente en las noticias, opiniones, publicidad y diversos textos, aportando al desarrollo de las capacidades de comunicación, razonamiento y abstracción e impulsando el desarrollo del pensamiento intuitivo y la reflexión sistemática.

• Contribuir a que los y las estudiantes valoren su capacidad para analizar, confrontar y construir estrategias personales para la resolución de problemas y el análisis de situaciones concretas, incorporando formas habituales de la actividad matemática, tales como la exploración sistemática de alternativas, la aplicación y el ajuste a modelos, la flexibilidad para modificar puntos de vista ante evidencias, la precisión en el lenguaje y la perseverancia en la búsqueda de caminos para hallar soluciones.

Los cuatro ejes en los que se organizan los aprendizajes y el conocimiento matemático que conforman los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios articulan la experiencia formativa de los alumnos y alumnas a lo largo de los años escolares. Estos ejes articulan la propuesta Matemática 2º Medio.

• Números: este eje constituye el centro del currículo matemático. Incluye los aprendizajes referidos a la cantidad y el número, las operaciones aritméticas, los diferentes sistemas numéricos, sus propiedades y los problemas provenientes de la vida cotidiana, de otras disciplinas y de la matemática misma. Se organiza en torno a diferentes ámbitos y sistemas numéricos, de modo que cada uno de estos permita resolver problemas que los precedentes dejaron sin resolver.

Avanza en completitud, abstracción y complejidad desde los números naturales hasta los números complejos, pasando por enteros, racionales y reales.

Simultáneamente, el desarrollo de los números acompaña, y encuentra sus motivaciones, en el desarrollo de las operaciones y el de los otros ejes.

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Introducción

• Álgebra: este eje introduce al estudiante en el uso de símbolos para representar y operar con cantidades. El álgebra provee de un lenguaje a la Matemática, por ende, contribuye y se nutre del desarrollo de los ejes de números, geometría y datos y azar. Este eje introduce, también, la noción de función y el estudio de algunas de ellas en particular.

• Geometría: este eje se orienta, inicialmente, al desarrollo de la imaginación espacial, al conocimiento de objetos geométricos clásicos y algunas de sus propiedades. En particular, propone relacionar formas geométricas de dos y tres dimensiones, la construcción de figuras y de transformaciones de figuras. Además, se introduce la noción de medición de figuras planas. Progresivamente se introduce el concepto de demostración y se amplía la base epistemológica de la geometría, mediante las transformaciones rígidas en el plano, los vectores y la geometría cartesiana. De este modo, se da diferentes enfoques para el tratamiento de problemas en los que interviene la forma, el tamaño y la posición.

• Datos y Azar: este eje introduce el tratamiento de los datos y modelos para el razonamiento en situaciones de incerteza. Incluye los conocimientos y las capacidades para recolectar, organizar, representar y analizar datos. Provee de modelos para realizar inferencias a partir de información muestral en variados contextos, además del estudio e interpretación de situaciones en las que interviene el azar. Son también temas de estudio conceptos básicos que permiten analizar y describir procesos aleatorios, así como cuantificar la probabilidad de ocurrencia de eventos equiprobables y distinguir entre los fenómenos aleatorios y los deterministas.

El razonamiento matemático, abordado transversalmente en los ejes anteriores, busca lograr aprendizajes referidos a la resolución de problemas, formulación de conjeturas y verificación de la validez de los procedimientos y relaciones. De este modo, la formación matemática y, por tanto, la propuesta Matemática 2º Medio debe apelar a las bases del razonamiento matemático, incluyendo el desarrollo de sus habilidades centrales, como la estimación y aproximación, el cálculo mental, la comunicación, el uso de herramientas matemáticas, la manipulación aritmética y algebraica, el manejo de información, clasificación, comparación, secuenciación, análisis de las partes y el todo, identificación de patrones y relaciones, inducción, deducción, visualización espacial y relaciones lógicas entre afirmaciones.

En cuanto a la resolución de problemas específicamente, se debe promover el desarrollo de habilidades referidas a la comprensión del problema, búsqueda, comparación y puesta en práctica de caminos de solución, el análisis de los datos y de las soluciones, la interpretación de los resultados en función del contexto, entre otras. La resolución de problemas se debe trabajar en forma transversal a los contenidos, considerando sus cinco componentes de forma interconectada: • Conceptos: se refiere al conocimiento matemático básico, necesario para resolver problemas matemáticos. En particular: conceptos numéricos, geométricos, algebraicos y estadísticos.

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• Habilidades: se refiere a las habilidades que se espera que los estudiantes sean capaces de desarrollar en cada contenido: estimación y aproximación, cálculo mental, comunicación, uso de herramientas matemáticas, manipulación de tipo aritmética y algebraica y manejo de información.

• Procesos: se refiere al razonamiento y la heurística involucrados en la resolución de problemas matemáticos: – Habilidades de razonamiento: clasificar, comparar, secuenciar, análisis de las partes y el todo, identificación de patrones relaciones, inducción, deducción, visualización espacial y relaciones lógicas entre afirmaciones.

– Heurística para resolver problemas: simulación, uso de diagramas o modelos, listado sistemático, búsqueda de patrones, razonamiento en reversa, usar el concepto de antes y después, ensayo y error, hacer suposiciones, reformular el problema, simplificar el problema y resolver parte del problema.

• Actitudes: se refiere a los aspectos afectivos del aprendizaje de la Matemática: placer de hacer Matemática, aprecio por la belleza y poder de la Matemática, confianza en el uso de la Matemática y perseverancia en la resolución de un problema.

• Metacognición: se refiere a la habilidad de monitorear el proceso de pensamiento propio durante la resolución de problemas. Se promueven instancias que permitan al estudiante: monitoreo constante y consciente de las estrategias y procesos mentales usados al realizar una labor, búsqueda de maneras alternativas de realizar una labor y chequear cuán razonable y apropiada es una respuesta.

Considerando que el conocimiento matemático forma parte del acervo cultural de la sociedad y es una disciplina cuya construcción empírica e inductiva surge de la necesidad y el deseo de responder y resolver situaciones provenientes de los más variados ámbitos; el aprendizaje de la Matemática debe buscar consolidar, sistematizar y ampliar las nociones y prácticas matemáticas que los alumnos y alumnas poseen, como resultado de su interacción con el medio y lo realizado en los niveles que lo precedan.

En este sentido, el desarrollo de los contenidos debe promover la conexión de los contenidos previos con los nuevos contenidos, integrando el conocimiento. Para ello, es necesario que el proceso de aprendizaje tenga una base en contextos significativos para los alumnos y alumnas, que permitan favorecer la comprensión por sobre la mecanización de los procedimientos y el aprendizaje de reglas. Estas situaciones deben ser motivadoras y desafiantes para los y las estudiantes, pero su característica fundamental es que el contenido a estudiar sea necesario para enfrentar dichas situaciones. Luego de esta contextualización, es importante realizar el proceso inverso de descontextualización, de modo de sistematizar y ubicar los conceptos emergentes en el plano puramente matemático.

En relación con lo anterior, las actividades de aprendizaje que se desarrollan en esta propuesta están orientadas a facilitar, potenciar y reforzar la comprensión y aplicación de los contenidos, de manera que los y las estudiantes vayan profundizando en sus conocimientos. Estas actividades dan cuenta de distintos propósitos:

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Introducción

• Ejercitar los conceptos centrales, procedimientos y habilidades, permitiendo una real apropiación de los nuevos contenidos.

• Abstraer los contenidos, es decir, ubicar las ideas matemáticas surgidas en contextos de diario vivir o en la experimentación, en el contexto matemático pertinente.

• Generalizar los aprendizajes, aplicando los conceptos construidos a situaciones nuevas, reconociendo el valor de la Matemática.

• Sistematizar los contenidos estudiados.

Así mismo, las actividades propiamente colaborativas cobran especial relevancia, dando espacios para la exploración, experimentación y la investigación, junto con la comunicación, confrontación de ideas y fundamentación de opiniones e ideas.

El sector Matemática también es concebido como una oportunidad para el desarrollo personal. En este sentido, es importante favorecer la confianza de los y las estudiantes en sus propios procedimientos y conclusiones, una actitud positiva hacia la Matemática y la autonomía del pensamiento.

Del mismo modo, la enseñanza de la Matemática promueve, además, el desarrollo de los Objetivos Fundamentales Transversales de forma integrada con los contenidos centrales, entre los cuales encontramos: • Aceptación y valoración de la diversidad etaria, cultural, socioeconómica, de género, de condición física, opinión u otras.

• Respeto de la vida, conciencia de la dignidad humana y de los derechos y deberes de todas las personas.

• Preservación de la naturaleza y cuidado del medioambiente.

• Desarrollo de las habilidades del pensamiento.

La evaluación en el sector Matemática considera tanto los procesos como los resultados de estos, siendo parte inherente del proceso de aprendizaje, de modo que las actividades de aprendizaje contemplan preguntas que promueven la evaluación. Esta recoge los aprendizajes centrales y a su vez es desafiante para los alumnos y alumnas, midiendo destrezas, habilidades y conocimientos de diversas formas. Además, considera diferentes propósitos, que se materializan en evaluaciones diagnósticas, formativas y sumativas, junto con promover instancias de reflexión sobre los propios procesos y sus resultados.

Finalmente, los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios del sector Matemática incluyen el uso de tecnologías digitales, de Internet y softwares especializados. Estas tecnologías, además de contribuir a presentar la Matemática en una mayor diversidad de medios y modos, de apelar a los intereses de los jóvenes y de facilitar la exploración y el estudio de procesos que requieren operaciones repetidas, permiten tratar la Matemática desde una perspectiva más amplia y realista.

De esta manera, las herramientas tecnológicas, sitios web y softwares complementan el desarrollo, la comprensión y la aplicación de los contenidos del sector.

Fundamentación teórica

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FUNDAMENTOS

DEL PROYECTO

La metodología utilizada en la propuesta Matemática 2º Medio tiene como punto de partida los fundamentos pedagógicos derivados de la Reforma Educacional Chilena y responde a las orientaciones generales planteadas en el Ajuste Curricular y a los requerimientos generales para la elaboración de Textos escolares de Segundo Año Medio, presentados por el Ministerio de Educación.

Los objetivos generales de nuestra propuesta son: • Consolidar, sistematizar y ampliar las nociones y prácticas matemáticas que los alumnos y alumnas poseen como resultado de su interacción con el medio y lo realizado en cursos anteriores.

• Enriquecer la comprensión de la realidad de los y las estudiantes, a través del aprendizaje de conceptos y procedimientos matemáticos, que les permitan intervenir activamente en ella.

• Desarrollar en los y las estudiantes habilidades propias del razonamiento matemático y de la resolución de problemas, a través de situaciones, problemas y desafíos que favorezcan la integración de diferentes dimensiones de la Matemática.

• Promover en los y las estudiantes una actitud positiva frente a la Matemática, desarrollando el placer de hacer matemática, el aprecio por la belleza y poder de la Matemática, la confianza en el uso de la Matemática y la perseverancia en la resolución de problemas.

Los ejes metodológicos en los que se sustenta nuestra propuesta son: • Desarrollar los contenidos de manera articulada, secuenciada y progresiva, en un nivel de complejidad creciente, según las exigencias del subsector y nivel señaladas en los Ajustes Curriculares y en los Mapas de Progreso del Aprendizaje.

• Presentar los contenidos en contextos significativos, que den cuenta de la necesidad de utilizar el nuevo contenido.

• Tratar los contenidos activando las experiencias y conocimientos previos de los y las estudiantes, promoviendo el razonamiento espontáneo respecto del nuevo contenido. Conectar el contenido nuevo de manera explícita con contenidos previos, profundizando e integrando el conocimiento.

• Promover en los y las estudiantes la observación y comprensión de los procesos involucrados, mediante la ejemplificación y análisis de los mismos. Incluir justificaciones simples de los conceptos y procedimientos cuando sea pertinente.

• Formalizar claramente los conceptos y procedimientos centrales de cada contenido, a través de un discurso formal pero en un lenguaje adecuado al nivel de los y las estudiantes.

• Proponer actividades variadas de ejercitación de los contenidos, que permitan naturalizar los conceptos y procedimientos estudiados y que puedan convertirse en instancias de evaluación permanente.

• Proponer actividades de generalización de los aprendizajes, que promuevan la aplicación de los conceptos y procedimientos construidos en situaciones nuevas.

• Orientar el desarrollo de las habilidades propias del razonamiento matemático y de la resolución de problemas, como son la selección de los datos, la búsqueda y puesta en práctica de estrategias de resolución y la interpretación de resultados en función del contexto, de forma integrada con las actividades de aprendizaje.

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Fundamentos del proyecto

• Presentar actividades específicas de resolución de problemas que desarrollen la heurística de la resolución de problemas.

• Incluir actividades de síntesis, donde los y las estudiantes puedan organizar los contenidos y procedimientos centrales estudiados.

• Promover habilidades de metacognición, incluyendo instancias que permitan tomar conciencia de los cognitivos y sus resultados y monitorear el proceso de pensamiento propio durante la resolución de problemas.

• Promover el desarrollo de los Objetivos Fundamentales Transversales de forma integrada con el tratamiento de los contenidos.

• Promover el desarrollo de actitudes positivas frente a la Matemática de forma integrada con el tratamiento de los contenidos.

• Incluir instancias evaluativas diagnósticas, formativas y sumativas en las cuales se evalúen contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales. Orientar estas evaluaciones hacia la medición de destrezas, habilidades y conocimientos a través de actividades diversas y desafiantes.

• Incorporar de forma permanente instancias de autoevaluación y reflexión sobre los propios procesos y sus resultados, con el propósito de promover el desarrollo de la autonomía y habilidades de metacognición.

En la metodología de nuestra propuesta, se consideran, además, aspectos curriculares referidos a los ejes en que se organiza el currículo en el sector, el Mapa de Progreso del Aprendizaje del eje Números y operaciones y el Mapa de Progreso de las TIC. Para este último, junto al texto escolar, los estudiantes tendrán a su disposición el apoyo de un Hipertexto, que es el conjunto de recursos multimedia que tienen una secuencia de lectura dinámica, combinando imágenes fijas y en movimiento, animaciones y sonidos.

Nuestra propuesta didáctica de Hipertexto se organiza en función de los momentos pedagógicos expuestos en la estructura didáctica de cada unidad del texto impreso: inicio, desarrollo y cierre. A partir de estos momentos, se presentan diversos recursos que incluyen, entre otros: animaciones, diccionarios y enciclopedias electrónicas, actividades y mapas conceptuales interactivos, vinculados al tratamiento de los contenidos abordados en el Texto. Entre las funciones pedagógicas de estos recursos destacan: motivar y consolidar el aprendizaje, evaluar conductas de entrada, enriquecer el Texto, ejercitar y/o profundizar los contenidos y aplicarlos en contextos distintos, evaluar sumativamente y sintetizar.

Respecto de los Mapas de Progreso del Aprendizaje, estos complementan las actuales herramientas curriculares, estableciendo una relación entre currículo y evaluación, orientando lo que es importante evaluar y entregando criterios comunes para observar y describir cualitativamente el aprendizaje logrado. De esta forma, no constituyen un nuevo currículo, ya que no promueven otros aprendizajes; por el contrario, pretenden profundizar la implementación del currículo, promoviendo la observación de las competencias claves que se deben formar. Es por esto que en nuestra propuesta, el Mapa de Progreso de Números (único MPA publicado hasta el momento por el Ministerio de Educación para el sector) es considerado de forma integrada en el tratamiento de los contenidos, orientando la progresión de los contenidos en el nivel y los aprendizajes centrales que es importante evaluar.

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Los aprendizajes descritos en este mapa progresan considerando tres dimensiones que se desarrollan de manera interrelacionada: • Comprensión y uso de los números: se refiere a la comprensión del significado de los números, la forma de expresarlos y los contextos numéricos a los que pertenecen, así como las aplicaciones y los problemas que los originaron y/o permiten resolver.

• Comprensión y uso de las operaciones: se refiere a la comprensión del significado de las operaciones, los contextos numéricos en los que se realizan, las relaciones entre ellas, así como sus propiedades y usos para obtener nueva información a partir de información dada.

• Razonamiento matemático: involucra habilidades relacionadas con la selección, aplicación y evaluación de estrategias para la resolución de problemas y la argumentación y la comunicación de estrategias y resultados.

El Mapa de Números describe el aprendizaje en 7 niveles, que abarcan desde Primer Año Básico hasta Cuarto Año Medio. En estos 7 niveles, se describe una secuencia que los alumnos y alumnas recorren a diferentes ritmos. A continuación, se presenta cada uno de estos niveles.

MAPA DE PROGRESO DE NÚMEROS

NIVEL

NIVEL 7 Sobresaliente

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DESCRIPCIÓN Comprende los diferentes conjuntos numéricos, las relaciones entre ellos y los problemas que les dieron origen. Comprende que en cada conjunto numérico se puede operar sobre la base de reglas o propiedades que pueden ser usadas para justificar o demostrar relaciones. Muestra autonomía y flexibilidad para resolver un amplio repertorio de problemas, tanto rutinarios como no rutinarios, utilizando diversas estrategias, y para formular conjeturas acerca de objetos matemáticos. Utiliza lenguaje matemático para presentar argumentos en la demostración de situaciones matemáticas.

NIVEL 6

Utiliza potencias de base real y exponente racional para resolver problemas. Reconoce a los números complejos como una extensión del campo numérico y los utiliza para resolver problemas que no admiten solución en los reales. Usa las cuatro operaciones con números complejos. Resuelve problemas, utilizando un amplio repertorio de estrategias, combinando o modificando estrategias ya utilizadas. Realiza conjeturas que suponen generalizaciones o predicciones y argumenta la validez de los procedimientos o conjeturas.

NIVEL 5

Reconoce a los números irracionales como números decimales no periódicos que no pueden ser escritos como fracción entre dos números enteros y a los números reales, como la unión de los números racionales e irracionales. Realiza las cuatro operaciones con números reales en forma algebraica, utilizando propiedades, e identifica el conjunto numérico al que pertenecen los resultados.

Utiliza las potencias de base racional y exponente racional y sus propiedades, para simplificar cálculos, y establece la relación entre potencias y raíces. Resuelve problemas utilizando estrategias que implican descomponer un problema o situaciones propuestas en partes o subproblemas. Argumenta sus estrategias o procedimientos y utiliza ejemplos y contraejemplos para verificar la validez o falsedad de conjeturas.

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Mapas de Progreso del Aprendizaje

NIVEL

DESCRIPCIÓN

NIVEL 4

Comprende que todo número racional es un cuociente entre dos números enteros y los utiliza al estimar, establecer razones, proporciones y calcular porcentajes. Comprende la conexión entre las cuatro operaciones en los números racionales positivos y negativos. Utiliza la notación científica y las potencias de base racional y exponente entero y sus propiedades, para simplificar cálculos. Resuelve problemas no rutinarios y/o formula conjeturas en diversos contextos en los que se deben establecer relaciones entre conceptos. Justifica la estrategia utilizada, las conjeturas formuladas y los resultados obtenidos, utilizando conceptos, procedimientos y relaciones matemáticas.

NIVEL 3

Reconoce que los números naturales se pueden expresar como producto de factores y los expresa en forma de potencias. Utiliza números decimales positivos y fracciones positivas para ordenar, comparar, estimar, medir y calcular. Utiliza números enteros para cuantificar magnitudes, ordenar y comparar.

Comprende el significado de porcentaje y establece equivalencias entre estos y fracciones o números decimales para calcular porcentajes simples. Comprende y realiza las cuatro operaciones con números decimales y con fracciones. Resuelve problemas no rutinarios y/o formula conjeturas en diversos contextos que requieren reorganizar la información disponible. Argumenta sobre la validez de un procedimiento, estrategia o conjetura planteada.

NIVEL 2

Utiliza los números naturales hasta 1 000 000 para contar, ordenar, comparar, medir, estimar y calcular.

Comprende que las fracciones simples y los números decimales permiten cuantificar las partes de un objeto, una colección de objetos o una unidad de medida y realiza comparaciones entre números decimales o entre fracciones. Multiplica y divide (por un solo dígito) con números naturales, comprendiendo el significado de estas operaciones y la relación entre ellas. Realiza estimaciones y cálculos mentales de multiplicaciones y divisiones exactas que requieren de estrategias simples.

Resuelve problemas rutinarios y/o formula conjeturas en contextos familiares en que los datos no están necesariamente explícitos y requieren reorganizar la información del enunciado. Justifica la estrategia utilizada, explicando su razonamiento o verificando conjeturas a través de ejemplos.

NIVEL 1

Utiliza los números naturales hasta 1 000 para contar, ordenar, comparar, medir, estimar y calcular cantidades de objetos y magnitudes. Comprende que, en estos números, la posición de cada dígito determina su valor. Realiza adiciones y sustracciones comprendiendo el significado de estas operaciones y la relación entre ellas. Reconoce que los números naturales se pueden expresar como adiciones o sustracciones de dos números naturales y descomponer en centenas, decenas y unidades.

Realiza estimaciones y cálculos mentales de adiciones y sustracciones que requieren de estrategias simples, con números menores que 100. Resuelve problemas rutinarios en contextos familiares, en que los datos están explícitos y cuya estrategia de solución está claramente sugerida en el enunciado. Describe y explica la estrategia utilizada.

Extraído de: • Mapas de progreso del aprendizaje.

Ministerio de Educación. 20 de enero 2008. www.mineduc.cl/biblio.

Otro aspecto considerado en nuestra propuesta se refiere a las TIC. En relación a ellas, el ajuste curricular postula el fortalecer su presencia a través de la incorporación de las habilidades de uso de estas tecnologías como un quinto eje transversal. En ese sentido, el Mapa de Progreso de las TIC es considerado al momento de formular las actividades ya que, por un lado, nos muestra lo que los alumnos y alumnas debieran ser capaces de hacer utilizando estos medios y, por otro lado, lo que se espera que logren desarrollar en un nivel determinado.

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El Mapa de Progreso de las TIC se organiza en cuatro dimensiones: • Tecnología. Utilización de aplicaciones y generación de productos que resuelvan las necesidades de información y comunicación dentro del entorno social real/ inmediato/ próximo (no virtual).

• Información. Búsqueda y acceso a información de diversas fuentes virtuales y evalúa su pertinencia y calidad.

• Comunicación. Interacción en redes virtuales de comunicación, con aportes creativos propios.

• Ética. Uso responsable de la información y comunicación.

Cada una de las dimensiones anteriores presenta distintos niveles y para cada uno de ellos se describen variables e indicadores que señalan lo que los alumnos y alumnas serán capaces de realizar al finalizar ese nivel. Algunos de estos niveles, por dimensión, son:

Dimensión Tecnología NIVELES

VARIABLES

INDICADORES

Nivel 6 15–17 años 3º y 4º medio

Utiliza y combina distintos programas como procesador de texto, planillas de cálculo, plantillas de presentación y dispositivos periféricos para desarrollar productos multimediales simples (glosario).

• Transporta información con dispositivos auxiliares y trabaja archivos en distintos programas.

• Utiliza programas como el MindManager para organizar información.

• Utiliza herramientas de productividad sin importar el tipo de programas.

Nivel 5 13–14 años 1º y 2º medio

Utiliza y combina distintos programas como procesador de texto, planillas de cálculo, plantillas de presentación y dispositivos periféricos para desarrollar productos multimediales simples (glosario).

• Produce hipertextos.

• Traspasa/ incorpora video o sonido a presentaciones Powerpoint.

• Incorpora movimiento en sus presentaciones.

• Graba y edita videos.

Nivel 4 11–12 años 7º y 8º básico

Utiliza diversos programas como procesador de texto, planillas de cálculo y plantillas de presentación, para escribir, editar y ordenar información, exportando información de un programa a otro y de algunos dispositivos periféricos.

• Exporta gráficos a formato de procesador de texto.

• Utiliza cámara digital.

• Crea presentaciones con incorporación de movimiento en plantillas de Powerpoint.

• Vincula información en las presentaciones.

• Mezcla música con imágenes estáticas y en movimiento en sus presentaciones.

• Utiliza el corrector ortográfico.

Dimensión Comunicación NIVELES

VARIABLES

INDICADORES

Nivel 6 15–17 años 3º y 4º medio

Participa en comunidades virtuales desarrollando intereses particulares.

• Participa activamente en redes de interés, conoce diariamente lo que sucede en ella.

Nivel 5 13–14 años 1º y 2º medio

Publica información propia en plataformas virtuales, como blogs, y retroalimenta a otros.

• Mantiene actualizado su sitio (blog, fotolog o página web).

• Inicia debates virtuales.

Nivel 4 11–12 años 7º y 8º básico

Participa en espacios interactivos de sitios web, de debate e intercambio de información y produce documentos en forma colectiva.

• Utiliza el control de cambios.

• Participa en foros de curso.

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Mapas de Progreso del Aprendizaje

Dimensión Información NIVELES

VARIABLES

INDICADORES

Nivel 6 15–17 años 3º y 4º medio

Utiliza bases de datos para requerimientos específicos de información en buscadores especializados.

• Localiza y recupera información de fuentes mundiales como UN u otro organismo transnacional.

• Busca datos directamente en fuentes primarias de información.

Nivel 5 13–14 años 1º y 2º medio

Recupera información de Internet en forma autónoma utilizando buscadores especializados y metabuscadores. Evalúa la información utilizando los criterios específicos de la calidad de la información electrónica.

• Utiliza operadores boleanos para buscar información.

• Evalúa con diversos criterios la calidad de una página web.

• Sabe utilizar un tesauro.

• Realiza búsquedas en metabuscadores.

Nivel 4 11–12 años 7º y 8º básico

Recupera, guarda y organiza información en distintos formatos, extraída de sitios web recomendados por el profesor, y navega libremente en Internet. Identifica y utiliza los criterios básicos de evaluación de la información: la actualidad, autoría y pertenencia.

• • • • • • • •

Utiliza diversos buscadores electrónicos.

Guarda URL que le interesan.

Busca música y videos en sitios especializados.

Busca elementos que le permiten analizar la validez de la información (autor, fecha y fuente).

Busca fuentes de información en catálogos de autor, materia o título.

Identifica en los datos de la URL la relevancia e interés del sitio (extensiones).

Identifica fuentes primarias y secundarias.

Diferencia hechos de opiniones.

Dimensión Ética NIVELES

VARIABLES

INDICADORES

Nivel 6 15–17 años 3º y 4º medio

Respeta las nomas éticas en su participación • Guarda adecuadamente información confidencial. en espacios virtuales. Reconoce y valora la • Comparte información con su entorno. transparencia y democratización de la • Participa en actividades de difusión de las información de la red y hace extensivos los oportunidades de la red en su comunidad. accesos a su comunidad.

Nivel 5 13–14 años 1º y 2º medio

Conoce la regulación legal de utilización del • Conoce las consecuencias legales de interferir espacio virtual y las normas de seguridad de en la comunicación on-line. la red (claves, pirateo y hackeo) y aplica • Identifica en el contenido de las páginas mensajes criterios de buenas prácticas. discriminatorios o ilegales.

• Emplea buenas maneras al usar correo electrónico (Netiquette).

Nivel 4 11–12 años 7º y 8º medio

Cita las fuentes desde donde ha extraído • No abre correos desconocidos. información y utiliza convenciones bibliotec- • Borra los spam. nológicas básicas para registrarlas (bibliografía • Cita correctamente las fuentes virtuales de o linkografía). Discrimina y se protege de la información (implica conocer nociones de información y ofertas de servicios que propiedad intelectual, derechos de autor y plagio). pueden ser perjudiciales para él/ella.

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HABILIDADES

DEL PENSAMIENTO

El trabajo en el aula de matemática orientado al desarrollo de habilidades es de gran importancia en el proceso de enseñanza y aprendizaje, y se basa en la necesidad de formar personas capaces de resolver problemas de la vida cotidiana y del ámbito matemático de forma autónoma y eficaz. De esta manera, las actividades a desarrollar por los alumnos y alumnas de Tercer Año Medio, propuestas en el Texto para el Estudiante y en la Guía Didáctica para el profesor, buscan promover el desarrollo de estas habilidades mediante estrategias metodológicas que propician su adquisición.

Para ello, tanto en las actividades como en los ítems de evaluación diseñados han jugado un papel central las destrezas y habilidades utilizadas en el “Estudio internacional de Tendencias en Matemática y Ciencia 2003” (TIMSS), proyecto de la Asociación Internacional para la Evaluación del Rendimiento Educativo (IEA). Así, las habilidades incluidas en este Texto son las que se espera deberían manifestar los alumnos y alumnas de este curso, aunque el grado de sofisticación de esta manifestación varíe en relación con los cursos superiores o inferiores.

A continuación, se presenta la descripción de las habilidades consideradas en esta propuesta. En general, la complejidad cognitiva aumenta desde las primeras habilidades hasta las finales del listado, permitiendo una progresión desde el conocimiento de un hecho, procedimiento o concepto hasta el uso de este conocimiento en la resolución de problemas. No obstante, esta complejidad no debe confundirse con la complejidad de la actividad o del ítem de evaluación, pues esta también depende de la interacción entre el contenido y la habilidad.

Recordar Reconocer/ Identificar

Recordar definiciones, vocabulario, unidades, hechos numéricos, propiedades de los números, propiedades de las figuras planas y convenciones matemáticas.

Reconocer o identificar entidades matemáticas que sean equivalentes, es decir, áreas de partes de figuras para representar fracciones, fracciones conocidas, decimales y porcentajes equivalentes; expresiones algebraicas simplificadas y figuras geométricas simples orientadas de modo diferente.

Calcular

Conocer procedimientos algorítmicos para +, –, •, : o una combinación de estas operaciones; conocer procedimientos para aproximar números, estimar medidas, resolver ecuaciones, evaluar expresiones y fórmulas, dividir una cantidad en una razón dada, aumentar o disminuir una cantidad en un porcentaje dado. Simplificar, descomponer en factores, expandir expresiones algebraicas y numéricas y reunir términos semejantes.

Usar herramientas

Usar las matemáticas y los instrumentos de medición, leer escalas y dibujar líneas, ángulos o figuras según unas especificaciones dadas. Dadas las medidas necesarias, usar regla y compás para construir la mediatriz de una línea, la bisectriz de un ángulo, triángulos y cuadriláteros.

Clasificar

Clasificar o agrupar objetos, figuras, números, expresiones e ideas según propiedades comunes; tomar decisiones correctas con relación a la pertenencia a una clase y ordenar números y objetos según sus atributos.

Representar

Representar números mediante modelos; representar información matemática de datos en diagramas, tablas, cuadros y gráficos, y generar representaciones equivalentes de una entidad o relación matemática dada.

Formular

Formular problemas o soluciones que puedan ser representados por ecuaciones o expresiones dadas.

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Habilidades del pensamiento

Distinguir

Distinguir preguntas que se pueden plantear con información dada –por ejemplo un conjunto de datos– de aquellas que no se pueden plantear así.

Seleccionar

Seleccionar o usar un método o estrategia eficiente para resolver problemas en los que haya un algoritmo o método de solución conocido, es decir, un algoritmo o método que cabría esperar que resultase conocido para los y las estudiantes. Seleccionar algoritmos, fórmulas o unidades apropiadas.

Representar

Generar una representación apropiada, por ejemplo, una ecuación o un diagrama, para resolver un problema común.

Interpretar

Interpretar representaciones matemáticas dadas (ecuaciones, diagramas, etc.); seguir y ejecutar un conjunto de instrucciones matemáticas.

Aplicar

Aplicar conocimientos de hechos, procedimientos y conceptos para resolver problemas matemáticos habituales (incluidos problemas de la vida real), es decir, problemas similares a los que probablemente hayan visto los y las estudiantes en clase.

Verificar o comprobar

Verificar o comprobar la corrección de la solución a un problema; evaluar lo razonable que es la solución de un problema.

Formular hipótesis, conjeturar o predecir

Hacer conjeturas adecuadas al investigar patrones, discutir ideas, proponer modelos, examinar conjuntos de conjeturar o predecir datos; especificar un resultado (número, patrón, cantidad, transformación, etc.) que resultará de una operación o experimento antes de que se lleve a cabo.

Analizar

Determinar y describir o usar relaciones entre variables u objetos en situaciones matemáticas, analizar datos estadísticos univariantes, descomponer figuras geométricas para simplificar la resolución de un problema, dibujar la red de un sólido dado poco conocido y hacer inferencias válidas a partir de información dada.

Evaluar

Discutir y evaluar críticamente una idea matemática, conjetura, estrategia de resolución de problemas, método, demostración, etc.

Generalizar

Extender el dominio al que son aplicables el resultado del pensamiento matemático y la resolución de problemas mediante la reexposición de resultados en términos más generales y más aplicables.

Conectar

Conectar conocimientos nuevos con conocimientos existentes, hacer conexiones entre diferentes elementos de conocimiento y representaciones relacionadas y vincular ideas u objetos matemáticos relacionados.

Sintetizar o integrar

Combinar procedimientos matemáticos (dispares) para establecer resultados y combinar resultados para llegar a un resultado ulterior.

Resolver problemas

Resolver problemas enmarcados en contextos matemáticos o de la vida real de los que es muy poco probable que los estudiantes hayan encontrado ítems similares; aplicar procedimientos matemáticos en contextos poco conocidos.

Justificar

Proporcionar pruebas de la validez de una acción o de la verdad de un enunciado mediante referencia a propiedades o resultados matemáticos y desarrollar argumentos matemáticos para demostrar la verdad o falsedad de enunciados, dada la información relevante.

Fuente: Ina V.S. Mullis, y otros. Marcos teóricos y especificaciones de evaluación de TIMSS 2003. Ministerio de Educación, Cultura y Deporte.

Secretaría General de Educación y Formación Profesional. Instituto Nacional de Calidad y Evaluación (INCE), Madrid, 2002.

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EVALUACIÓN

EN

MATEMÁTICA

La evaluación es una parte central del proceso curricular, el cual se entiende como un proceso continuo de observación, monitoreo y el establecimiento de juicios profesionales sobre el estado de aprendizaje de los alumnos y alumnas a partir de lo observado.

En el proceso de evaluación están involucradas tres acciones: medición, evaluación y calificación.

Medir se puede realizar de muchos modos y con diferentes niveles de estructuración. Puede ser un proceso de clasificación o de generación de categorías a partir de la observación o la comparación de comportamientos observables con categorías o escalas conocidas.

Evaluar supone la existencia de estándares o criterios para la población a la que pertenecen los y las estudiantes, con respecto a los cuales comparar los resultados de la medición y emitir un juicio acerca de la relación entre lo demostrado por el o la estudiante y el estándar o criterio seleccionado.

Calificar es expresar mediante un código (generalmente un número que indica una posición en una escala dada) el resultado de ese juicio.

El proceso de evaluación es parte constitutiva del proceso de enseñanza y aprendizaje, ya que es un proceso continuo que consiste en recoger información acerca de cómo se está produciendo el aprendizaje. Debe entregar al educador y al educando antecedentes objetivos acerca de cómo se produce dicho aprendizaje y qué aspectos de este no domina integralmente, y así regular y mejorar los aprendizajes de los y las estudiantes. Con los resultados obtenidos en las evaluaciones, la o el docente crea un plan de acción que permita mejorar los resultados obtenidos, a través de actividades remediales o de reforzamiento de los contenidos.

Con el fin de monitorear el proceso en su totalidad, se proponen en esta Guía la aplicación de tres instancias de evaluación: diagnóstica, formativa y sumativa.

• Evaluación diagnóstica. Se integran al inicio de cada unidad, para identificar los conocimientos previos con los cuales el y la estudiante se enfrentará a los nuevos aprendizajes y para detectar falencias que pudieran entorpecer el logro de aprendizajes más complejos, y poder entonces aplicar refuerzos o remediales.

• Evaluación formativa. Se desarrolla durante la unidad y dado su carácter procesual, permitirá al y la estudiante retroalimentar su desempeño, y al o la docente realizar a tiempo las modificaciones necesarias para mejorar el logro de los aprendizajes.

La evaluación formativa también es considerada dentro de cada unidad en la sección MI PROGRESO. Con estas instancias, se busca monitorear el proceso de aprendizaje de los contenidos que han sido trabajados.

• Evaluación sumativa. Se presenta al cierre de la unidad y entrega información acerca del nivel de logro alcanzado respecto de los aprendizajes esperados, dando la posibilidad de reforzar los aprendizajes identificados como más débiles.

Además, al finalizar cada unidad de esta Guía, se presenta una evaluación sumativa en la sección EVALUACIÓN FINAL (Material fotocopiable), que evalúa los contenidos trabajados a lo largo de toda la unidad.

Es importante considerar que el proceso de evaluación de los aprendizajes busca determinar el potencial de aprendizaje de los y las estudiantes, la capacidad para resolver problemas, la capacidad para comunicar lo aprendido, conocer el tipo de razonamiento

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Evaluación en Matemática

empleado, identificar los conceptos que maneja, los procedimientos que aplica y la actitud presentada frente al problema a resolver, además, permite conocer el estado del pensamiento matemático de los y las estudiantes. Para establecer desde dónde y cómo se ve el conocimiento matemático escolar, se parte desde una concepción en la cual se reconocen dos aspectos, el conceptual y el procedimental.

El conocimiento conceptual se refiere a una serie de informaciones conectadas entre sí mediante múltiples relaciones, que constituyen lo que se denomina estructura conceptual, donde los conceptos se unen o se relacionan, constituyendo conceptos de orden superior.

El conocimiento procedimental se refiere a la forma de actuación o de ejecución de tareas matemáticas que van más allá de la ejecución mecánica de algoritmos. En él se distinguen tres niveles: • Destrezas: en el campo de la matemática escolar se distinguen entre destrezas aritméticas, geométricas, métricas, gráficas y de representación.

• Razonamiento en matemática: conjunto de enunciaciones y procesos asociados que se llevan a cabo para fundamentar una idea en función de unos datos o premisas y unas reglas de inferencia.

• Estrategias: formas de responder a una determinada situación dentro de una estructura conceptual, implica tener una gran dosis de creatividad e imaginación.

INSTRUMENTOS

DE EVALUACIÓN

En el proceso de evaluación es importante considerar distintos instrumentos que permitan evaluar los aprendizajes de sus alumnos y alumnas. A continuación, se presentan algunos instrumentos que puede utilizar con sus alumnos y alumnas.

Evaluación de mapas conceptuales Los mapas conceptuales son un medio para visualizar conceptos y relaciones jerárquicas entre conceptos. Tienen por objeto "representar relaciones significativas entre conceptos en forma de proposiciones", es decir, dos o más términos conceptuales (conceptos) unidos por palabras y que en conjunto forman una unidad con un significado.

Para evaluar y, eventualmente, calificar el trabajo de los y las estudiantes con los mapas conceptuales, Bartels propone tres categorías y para cada una establece cuatro criterios de desempeño a los cuales le asigna un puntaje que se muestra a continuación:

Conceptos y terminología 3 puntos.

Muestra un entendimiento del concepto o principio matemático y una notación y una terminología adecuada.

2 puntos.

Comete algunos errores en la terminología empleada y muestra algunos vacíos en el entendimiento del concepto o principio.

1 punto.

Comete muchos errores en la terminología y muestra vacíos conceptuales profundos.

0 punto.

No muestra ningún conocimiento en torno al concepto tratado.

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Conocimiento de las relaciones entre conceptos

3 puntos.

Construye un mapa conceptual apropiado y completo, incluyendo ejemplos, colocando los conceptos en jerarquías y conexiones adecuadas y colocando relaciones en todas las conexiones, dando como resultado final un mapa que es fácil de interpretar.

2 puntos.

Coloca la mayoría de los conceptos en una jerarquía adecuada estableciendo relaciones apropiadas la mayoría de las veces, dando como resultado un mapa fácil de interpretar.

1 punto.

Coloca solo unos pocos conceptos en una jerarquía apropiada y usa solo unas pocas relaciones entre los conceptos, dando como resultado un mapa difícil de interpretar.

0 punto.

Produce un resultado final que no es un mapa conceptual.

Habilidad para comunicar conceptos a través del mapa conceptual 3 puntos.

Identifica todos los conceptos importantes y demuestra un conocimiento de las relaciones entre estos.

2 puntos.

Identifica importantes conceptos pero realiza algunas conexiones erradas.

1 punto.

Realiza muchas conexiones erradas.

0 puntos.

Falla al establecer cualquier concepto o conexión apropiada.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/evaluacion.htm

Evaluación de proyectos realizados por estudiantes Considerar como punto de partida los intereses o motivaciones personales al momento de plantear estrategias que permitan alcanzar logros en el aprendizaje, permite plantear el conocimiento como un desafío más atractivo y eficaz para los y las estudiantes.

La realización de proyectos estimula a los y las estudiantes a plantearse un desafío, ya que surge a partir de sus propios intereses o necesidades, por lo cual el aprendizaje del tema investigado se hace más significativo.

La pauta siguiente establece tres áreas de observación respecto del trabajo de los y las estudiantes, en donde es importante observar y orientar su desempeño, a saber: la formulación del proyecto, el desarrollo del proceso de investigación y, por último, la presentación de los resultados.

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Evaluación en Matemática

PROYECTO: INTEGRANTES:

FORMULACIÓN

BIEN

MAL

NECESITA MEJORAR

Usa ideas propias o reformula en forma original las ideas de otros para orientar su investigación.

Plantea en forma clara el problema a investigar.

Formula una secuencia de pasos a seguir para orientar su investigación (plan de trabajo).

Se plantea metas parciales a lograr en el tiempo.

DESARROLLO Utiliza distintas fuentes de información y de consulta (incluido el profesor).

Discute con otros compañeros acerca de los avances de su investigación.

Presenta avances parciales de su trabajo.

PRESENTACIÓN DE RESULTADOS Realiza voluntariamente una exposición oral al resto de la clase para presentar los resultados de su investigación.

Presenta un informe escrito de acuerdo con los términos de referencia del proyecto.

Usa un lenguaje claro y adecuado para presentar los resultados de su trabajo.

Usa figuras, tablas y diagramas que ayudan a la claridad de la información presentada.

Establece conclusiones apropiadas válidas, acordes con el problema investigado y con los objetivos planteados.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/evaluacion.htm

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Evaluación de la comunicación de procedimientos En el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática, es indispensable la comunicación de los procedimientos realizados por los y las estudiantes en la resolución de problemas.

La comunicación en Matemática es fundamental, ya que obliga a detenerse sobre el propio pensamiento para precisarlo, justificarlo y clarificarlo. Informar sobre lo realizado implica la reconstrucción de la acción realizada.

Para potenciar este proceso metacognitivo, en el cual sus alumnos y alumnas deben explicitar el razonamiento aplicado, se sugiere aplicar una pauta como la que se presenta a continuación, la cual permite evaluar la exposición oral de los resultados obtenidos en la resolución de un problema matemático.

PROBLEMA: INTEGRANTES: LOGRADO

MEDIANAMENTE LOGRADO

Explica el problema.

Identifica y explica la pregunta del problema.

Explica claramente los procedimientos realizados en la resolución.

Presenta más de una solución (en caso que sea posible).

Pregunta por otras soluciones a la clase.

Extiende el problema mediante la presentación a la clase de un problema nuevo derivado del presentado.

Realiza buenas preguntas a la clase, tales como: ¿será esta la única manera de hacerlo?, ¿es esta la única respuesta posible?, ¿qué pasa si...?

Responde las preguntas realizadas por la clase.

Se expresa en forma audible y clara.

Escucha las ideas de otras personas.

Fuente: adaptación de documento extraído de www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/evaluacion.htm

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POR LOGRAR

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Evaluación en Matemática

Técnicas de observación Consisten en evaluar aspectos que difícilmente se evaluarían con otras técnicas o instrumentos, como, por ejemplo, los aspectos afectivo y psicomotor. Los instrumentos utilizados para estos casos son: • Lista de control: este tipo de instrumento requiere de la delimitación de las categorías de la conducta a observar.

• Participación: se utiliza la lista de participación para registrar la frecuencia con que los alumnos y alumnas aportan verbalmente ideas relacionadas con el tema de la clase.

• Escala de evaluación: consiste en una serie de frases precedidas por una gradación donde el profesor o profesora indica, según su apreciación, el nivel en que se encuentran sus estudiantes en relación al estado ideal de una característica específica. Las escalas de evaluación pueden ser: escalas numéricas, escalas gráficas o escalas comparativas.

Para evaluar a sus alumnos y alumnas a través de la observación, usted puede elaborar una escala gráfica como la que se presenta a continuación.

CONOCIMIENTO Y HABILIDADES, PROCESO DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, DESTREZAS Y ACTITUDES.

SÍ

NO

Intenta comprender de qué trata un problema.

Relaciona los datos en la solución de un problema.

Utiliza más de una estrategia en la solución de problemas.

Verifica la solución.

Maneja la calculadora.

Maneja instrumentos de medición.

Se observa motivado frente a la resolución de problemas.

Trabaja en colaboración con otros.

Es perseverante.

Fuentes consultadas: • Evaluación del aprendizaje matemático. Alternativas para innovar. En: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/alternativas.htm • Barrón Rodríguez, H. La evaluación de las matemáticas en el aula, México. material de apoyo, Dirección General de Educación Secundaria Técnica, SEP, 2003 • Oteíza, F.; Montero, P.; Rencoret, M. La matemática en el aula: contexto y evaluación. Santiago, Chile. Ministerio de Educación, Programa MECE media, 1997.

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RAZONAMIENTO

MATEMÁTICO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

En la interacción con el entorno y con los otros, diariamente las personas nos enfrentamos a situaciones problemáticas necesarias de ser resueltas de la manera más óptima. En la búsqueda de estas soluciones interactúan la experiencia, la creatividad y, por supuesto, las capacidades de cada individuo. Al resolver un problema determinado se aprende también cómo actuar frente a nuevas situaciones que impliquen un desafío.

Consideraremos la resolución de problemas como una modalidad didáctica en la que el y la docente genera situaciones para que los alumnos y alumnas puedan explorar conceptos, aprender acerca de procedimientos, argumentar, analizar y/o generar aplicaciones, investigar y, en general, construir conceptos, aprender procedimientos algoritmos u otros tópicos matemáticos.

Esto se traduce en diferentes situaciones didácticas en las que el y la estudiante, interactuando con desafíos especialmente diseñados en un ambiente cooperativo y estimulante, busca soluciones, explicaciones o distinciones. Algunas de estas situaciones pueden ser: • Explorar una situación problema con el objeto de acercarse a un concepto o generar procedimientos para buscar y reconocer una solución.

• Analizar una situación problema insuficientemente definida con el objeto de aprender acerca del enunciado de un problema y/o con el objeto que formule.

• Investigar una situación con el objeto de reunir y sistematizar información que involucre el uso de modelos matemáticos.

En nuestra propuesta, el trabajo de razonamiento matemático y resolución de problemas es transversal al desarrollo de todos los contenidos y considera cinco componentes interconectados: conceptos, habilidades, procesos, actitudes y metacognición.

• Conceptos: se refiere al conocimiento matemático básico, necesario para resolver problemas matemáticos.

• Habilidades: se refiere a las aptitudes que se espera que los y las estudiantes sean capaces de desarrollar en cada contenido.

• Procesos: se refiere al razonamiento y la heurística involucrados en la resolución de problemas matemáticos.

• Actitudes: se refiere a los aspectos afectivos del aprendizaje de la Matemática.

• Metacognición: se refiere a la habilidad de monitorear el proceso de pensamiento propio durante la resolución de problemas.

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Razonamiento matemático

Polya propone un modelo para resolver situaciones problema en un plan que consiste en cuatro pasos: 1. Comprender un problema: identifica, analiza e interpreta los datos disponibles dentro del contexto del problema. ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?, ¿cuál es la pregunta del problema?, ¿qué datos te entrega el problema?, ¿sabes a qué quieres llegar?, ¿son suficientes los datos que te entregan para resolver el problema?, ¿hay datos que no son necesarios para resolver el problema?

2. Crear un plan: encuentra las conexiones entre los datos y la incógnita o lo desconocido. ¿Qué puedes hacer con los datos que tienes para responder correctamente la pregunta?

3. Poner en práctica un plan: ejecuta lo planificado.

Implementa la o las estrategias escogidas hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción sugiera tomar un nuevo curso.

Al desarrollar tu plan, verifica cada uno de los pasos. ¿Puedes estar seguro que cada uno está correcto?, ¿puedes demostrar (o argumentar) que está correcto?

4. Examinar lo hecho: examina la solución obtenida. ¿Puedes comprobar la respuesta?, ¿puedes comprobar los argumentos?, ¿puedes obtener el resultado por un camino diferente?, ¿puedes "ver" la respuesta de una sola mirada?, ¿puedes usar el resultado o el procedimiento para resolver otro problema?

Considerando las etapas de la propuesta de Polya, se han diseñado actividades a través de las cuales los y las estudiantes pueden identificar cada uno de los pasos descritos. En la sección CÓMO RESOLVERLO (del Texto para el Estudiante), se plantean problemas en diversos contextos, con el objetivo que sean recepcionados por los alumnos y alumnas como un desafío y los estimule a utilizar todos los recursos de los cuales disponga. Además, se determina una estructura clara de los pasos a seguir para resolverlos.

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Para evaluar la resolución de problemas, se propone la siguiente tabla que especifica los indicadores de logro de acuerdo a cada etapa de la resolución de problemas.

NO COMPRENDE

COMPRENSIÓN DEL PROBLEMA O DE LA SITUACIÓN

COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS

MEDICIÓN (LONGITUD, MASA Y CAPACIDAD)

VERIFICACIÓN DE RESULTADOS Y/O PROGRESOS

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EN PROCESO, LOGRO PARCIAL

LOGRO, APLICACIÓN

• No intenta entender el problema.

• Entiende mal el problema.

• Como rutina pide explicaciones.

• Copia el problema.

• Identifica palabras clave.

• Puede que mal interprete parte del problema.

• Puede que tenga alguna idea acerca del problema.

• Puede expresar en sus propias palabras o interpretar coherentemente el problema.

• Comprende las condiciones principales.

• Elimina la información innecesaria.

• Tiene una idea acerca de la respuesta.

• No modela los conceptos rutinarios correctamente.

• No puede explicar el concepto.

• No intenta resolver el problema.

• No hace conexiones.

• Demuestra un entendimiento parcial o satisfactorio.

• Puede encontrar y explicar usando una variedad de modos.

• Está listo para hacer conexiones acerca de cómo y por qué.

• Relaciona el concepto con conocimientos y experiencias anteriores.

• Puede crear problemas relacionados.

• Realiza las tareas cada vez con menos errores.

• Aplica correctamente reglas o algoritmos cuando usa símbolos.

• Conecta cómo y por qué.

• Aplica el concepto a problemas o situaciones nuevas.

• Hace y explica conexiones.

• Realiza lo pedido y va más allá.

• Hace comparaciones directas entre objetos.

• No puede ordenar objetos de acuerdo a su medida.

• No distingue diferencias entre distintas unidades de medida.

• Puede ordenar y comparar usando unidades no estándares.

• Puede estimar y medir usando unidades no estándares.

• Puede resolver algunos problemas relacionados con medida.

• Puede estimar y medir usando unidades estándares.

• Puede utilizar incrementos fraccionarios para medir.

• Puede resolver problemas relacionados.

• Hace conjeturas poco realistas.

• No usa estrategias para refinar la estimación.

• No puede modelar o explicar la estrategia especificada.

• No puede aplicar estrategias unidas a explicaciones.

• Refina conjeturas o estimaciones mediante particiones/comparaciones.

• Demuestra poseer estrategias, otras le faltan.

• No puede modelar o explicar la estrategia cuando le preguntan.

• Refina conjeturas o estimaciones mediante particiones y comparaciones.

• Puede modelar, explicar y aplicar una estrategia cuando le preguntan.

• Demuestra poseer estrategias.

• Usa estimación cuando es apropiado.

• No revisa cálculos ni procedimientos.

• No reconoce si su respuesta es o no razonable.

• Revisa cálculos y procedimientos.

• Puede investigar razones si existen dudas.

• Chequea racionalidad de los resultados.

• Reconoce sin razones.

| Guía Didáctica Matemática 2o Medio

continúa en la sgte. pág.

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Resolución de problemas

EN PROCESO, LOGRO PARCIAL

NO COMPRENDE

LOGRO, APLICACIÓN

• No hace planteamientos.

• No puede proceder sin instrucciones ni asistencia.

• Comete graves errores al recolectar o mostrar datos.

• Puede recolectar y desplegar datos, dada una forma de registrarlos.

• Tiene errores menores al recolectar y desplegar datos.

• Puede corregir errores en momentos críticos.

• Puede recolectar y desplegar en forma organizada.

• Clasifica en forma exacta y apropiada.

INTERPRETACIÓN Y SÍNTESIS DE RESULTADOS

• No hace planteamientos para resumir y describir datos.

• Puede responder preguntas simples relacionadas con los datos, si es requerido.

• No puede comunicar resultados en forma rudimentaria.

• Resume y describe datos apropiadamente.

• Puede generar una respuesta a una pregunta relacionada con los datos.

• Puede comunicar resultados en forma rudimentaria.

• Expresa conclusiones e interpretaciones válidas.

• Hace generalizaciones.

• Comunica resultados en forma clara y lógica.

APLICACIÓN DE CONCEPTOS, PROCEDIMIENTOS Y ESTRATEGIAS

• No intenta.

• Se apoya en otros para seleccionar y aplicar estrategias.

• Su trabajo no es comprensible.

• No puede explicar su trabajo o estrategia adecuadamente.

• Selecciona estrategias inadecuadas.

• Su implementación no es lógica ni ordenada.

• Usa estrategia si se lo piden.

• Reconoce estrategias.

• Puede explicar estrategias.

• Usa un limitado número de estrategias.

• Puede seleccionar una estrategia, pero puede necesitar ayuda en su implementación.

• Puede presentar su trabajo en una forma aceptable.

• Genera nuevos procedimientos.

• Extiende o modifica la estrategia.

• Conoce o usa diversas estrategias.

• Usa estrategias en forma flexible.

• Reconoce cuando una estrategia es aplicable.

• Presenta su trabajo en forma lógica y coherente.

DISPOSICIÓN (VALORES Y ACTITUDES)

• Demuestra ansiedad o disgusto.

• Se retira o es pasivo durante la clase.

• Cede fácilmente y se frustra en la clase.

• Necesita un apoyo frecuente, atención y retroalimentación.

• Se aplica a la tarea.

• Participa activamente en las actividades de aprendizaje.

• Esta dispuesto a intentar nuevos métodos.

• Responde si le preguntan, pero puede que no tome la iniciativa.

• Demuestra confianza en su trabajo.

• Es persistente cuando intenta varios enfoques.

• No se da por vencido.

• Es curioso, muestra flexibilidad.

• Hace muchas preguntas.

• No intenta hacer conexiones.

• No puede extender ideas en nuevas aplicaciones.

• Hace el mínimo esperado.

• Puede reconocer problemas o aplicaciones similares.

• Hace conexiones.

• Propone y explora conexiones.

• Puede crear problemas paralelos variando las condiciones del problema original.

• Puede aplicar ideas en nuevas aplicaciones.

RECOLECCIÓN Y ORGANIZACIÓN DE DATOS

GENERALIZACIÓN Y CONEXIONES

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm Fuentes consultadas: • Chamorro, C. El aprendizaje significativo en el área de matemáticas.

Alambra Longmam. Madrid. 1991.

• Stemberg, R.; Spears-Swerling, L. “La comprensión de los principios básicos y de las dificultades de enseñar a pensar”. En: Teaching for thinking, trad. De R. Llavori. Enseñar a pensar, Santillana, Madrid, 1996.

• www.educarchile.cl/planificaccion/1610/propertyvalue-42121.html Fundamentación teórica

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MEDIO

| Guía Didáctica Matemática 2o Medio Interpretación y cálculo de la raíz enésima de un número real, establecimiento de sus propiedades y su relación con las potencias de exponente racional.

Interpretación y cálculo de logaritmos, establecimiento de sus propiedades y su relación con las potencias y raíces.

NÚMEROS,

Interpretación y cálculo de potencias de base racional y exponente entero.

Determinación y aplicación de propiedades.

EJE

Transformación de números decimales infinitos periódicos y semiperiódicos a fracción.

Aproximación del valor de un número irracional por defecto, por exceso y por redondeo.

EDUCACIÓN MEDIA,

Aproximación de racionales a través de redondeo y truncamiento y reconocimiento de las limitaciones de la calculadora para aproximar decimales.

DE

Extensión de las nociones de adición, sustracción, multiplicación, división, potencia a los números complejos y establecimiento de procedimientos de cálculo de estas operaciones.

CMO

Formulación de conjeturas y demostración de propiedades relativas a los números complejos en situaciones simples tales como: el producto de un número complejo con su conjugado es un número real; la adición, sustracción, multiplicación, división y elevación a potencia de números complejos es un número complejo.

Identificación de la unidad imaginaria como solución de la ecuación x2 + 1 = 0 y su utilización para expresar raíces de índice par de números reales negativos.

ENTRE LOS

Resolución de problemas en contextos diversos que involucran números racionales o potencias de base racional y exponente entero, enfatizando el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.

Ubicación de algunas raíces en la recta numérica, exploración de situaciones geométricas en que ellas están presentes y análisis de la demostración de la irracionalidad de algunas raíces cuadradas.

MEDIO

Caracterización de los números complejos y de los tipos de problemas que permiten resolver.

3º

RELACIÓN

16:44

Sistematización de procedimientos de cálculo escrito y con ayuda de herramientas tecnológicas de adiciones, sustracciones, multiplicación y divisiones con números racionales y su aplicación en la resolución de problemas.

MEDIO

Caracterización de los números irracionales y números reales, reconocimiento de propiedades de los números y de las operaciones y su uso para resolver diversos problemas.

2º

18/11/09

Representación de números racionales en la recta numérica y establecimiento de algunas propiedades de estos números y de las operaciones tales como: entre dos números racionales siempre existe por lo menos otro número racional; la suma, la diferencia, el producto y el cuociente de dos números racionales es siempre un número racional.

Caracterización de los números racionales y de los tipos de problemas que permiten resolver.

1º

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SEGÚN AJUSTE CURRICULAR

MEDIO

Resolución de problemas asociados a sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas en contextos variados. Discusión de la existencia y la pertinencia de las soluciones.

EJE

ÁLGEBRA,

Resolución de problemas asociados a ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Análisis de la existencia y pertinencia de las soluciones de acuerdo con el contexto en que se plantea el problema.

EDUCACIÓN MEDIA,

Modelamiento de situaciones o fenómenos asociados a funciones cuadráticas.

DE

Uso de un software gráfico en la interpretación de la función afín, análisis de las situaciones que modela y estudio de las variaciones gráficas que se producen por la modificación de sus parámetros.

CMO

Representación y análisis gráfico de la función f(x) = ax 2 + bx + c, para distintos valores de a, b y c. Discusión de las condiciones que debe cumplir la función cuadrática para que la curva interseque el eje x (ceros de la función). Uso de software para el análisis de las variaciones de la gráfica de la función cuadrática a partir de la modificación de sus parámetros.

ENTRE LOS

Deducción de la fórmula de la ecuación general de segundo grado y discusión de sus raíces y su relación con la función cuadrática.

RELACIÓN

Planteo y resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, y representación y análisis de las soluciones en el plano cartesiano usando un software gráfico.

MEDIO

Resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita por completación de cuadrados, por factorización o por inspección, con raíces reales o complejas. Interpretación de las soluciones y determinación de su pertenencia al conjunto de los números reales o complejos.

3º

16:44

Análisis de las distintas representaciones de la función lineal, su aplicación en la resolución de diversas situaciones problema y su relación con la proporcionalidad directa.

MEDIO

Resolución de situaciones en las que sea necesario simplificar, sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas simples, con binomios tanto en el numerador como en el denominador.

2º

18/11/09

Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita y coeficientes literales y su aplicación en la interpretación y transformación de fórmulas.

Establecimiento de relaciones entre expresiones algebraicas no fraccionarias mediante eliminación de paréntesis, reducción de términos semejantes, productos, productos notables y factorización.

1º

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Relación entre los CMO de Educación Media

SEGÚN AJUSTE CURRICULAR

Fundamentación teórica

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MEDIO

| Guía Didáctica Matemática 2o Medio

Aplicación de la suma de vectores para describir composiciones de traslaciones en el plano cartesiano.

Descripción de la homotecia de figuras planas mediante el producto de un vector y un escalar.

Uso de un procesador geométrico para visualizar en forma dinámica las relaciones que se producen al desplazar figuras homotéticas en el plano.

GEOMETRÍA,

Notación y representación gráfica de vectores en plano cartesiano y su aplicación para describir traslaciones de figuras geométricas en el plano cartesiano.

EJE

Identificación de ángulos del centro y ángulos inscritos en una circunferencia, formulación y verificación de conjeturas que relacionan la medida del ángulo del centro con la del correspondiente ángulo inscrito.

EDUCACIÓN MEDIA,

Aplicación de la noción de semejanza a la demostración de relaciones entre segmentos en cuerdas y secantes en una circunferencia.

DE

Análisis de las soluciones de sistemas de dos ecuaciones con dos variables y su interpretación a partir de las posiciones relativas de rectas en el plano: condiciones analíticas del paralelismo, coincidencia y de la intersección entre rectas.

CMO

Aplicación del teorema de Tales sobre trazos proporcionales. División interior de un trazo en una razón dada y uso de un procesar geométrico para verificar relaciones.

Interpretación y determinación de la pendiente y del intercepto de una recta con el eje de las ordenadas y la relación de estos valores con las distintas formas de la ecuación de la recta.

Determinación de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

ENTRE LOS

Identificación y utilización de criterios de semejanza de triángulos para el análisis de la semejanza en diferentes figuras planas y la deducción de los teoremas de Euclides relativos a la proporcionalidad de trazos en el triángulo rectángulo.

MEDIO

Determinación de la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano y su aplicación al cálculo de magnitudes lineales en figuras planas.

3º

RELACIÓN

16:44

Relación del concepto de congruencia con las transformaciones isométricas y utilización de los criterios de congruencia de triángulos para realizar construcciones geométricas, resolver problemas y demostrar propiedades en polígonos.

MEDIO

Caracterización del concepto de semejanza de figuras y su reconocimiento de formas semejantes presentes en el entorno.

2º

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Construcción de figuras geométricas en el plano cartesiano por traslación, reflexión y rotación en ángulos de 90º y 180º.

Identificación del plano cartesiano y su uso para representar puntos y figuras geométricas.

1º

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SEGÚN AJUSTE CURRICULAR

MEDIO

Resolución de problemas en contextos de incerteza, aplicando el cálculo de probabilidades mediante el modelo de Laplace o las frecuencias relativas, dependiendo de las condiciones del problema.

Resolución de problemas de cálculo de probabilidades aplicando las técnicas del cálculo combinatorio, diagramas de árbol y propiedades de la suma y producto de probabilidades.

Uso de técnicas combinatorias para obtener el número de elementos de un espacio muestral en casos finitos.

Resolución de problemas que impliquen el cálculo de probabilidades condicionales y sus propiedades en diversos contextos.

DATOS

Exploración de la Ley de los Grandes Números a partir de la repetición de experimentos aleatorios, con apoyo de herramientas tecnológicas y su aplicación a la asignación de probabilidades.

EJE

Realización de estimaciones de la media de una población a partir de la obtención de las medias de distintas muestras extraídas (de igual tamaño) de dicha población. Mejoramiento de la estimación a medida que aumenta el tamaño de las muestras.

EDUCACIÓN MEDIA,

Empleo de elementos básicos del muestreo aleatorio simple, en diversos experimentos, para inferir características de una población finita a partir de muestras extraídas.

DE

Justificación de la representatividad de una muestra a partir de la población estudiada y la manera en que dicha muestra ha sido escogida.

CMO

Uso del modelo binomial para describir situaciones o experimentos, cuyos resultados pueden ser categorizados usando el lenguaje de “éxito” y “fracaso”.

ENTRE LOS

Caracterización de un conjunto de datos agrupados en intervalos, mediante el cálculo de medidas de tendencia central (media, moda y mediana) y medidas de posición (percentiles y cuartiles), en diversos contextos y situaciones.

Aplicación del concepto de esperanza de una variable aleatoria en diversas situaciones, interpretación gráfica y conexión natural con la media aritmética anteriormente estudiada.

RELACIÓN

Comparación de las características de dos o más conjuntos de datos haciendo uso de indicadores de tendencia central, posición y dispersión.

MEDIO

Hacer uso de simulaciones digitales para verificar la convergencia entre la distribución teórica de una variable aleatoria y la correspondiente gráfica de frecuencias en experimentos aleatorios discretos.

3º

16:44

Obtención de información por medio de la lectura de medidas de tendencia central y posición a partir de conjuntos de datos obtenidos desde diversas fuentes.

MEDIO

Determinación del rango, varianza y desviación estándar, aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando, en forma manual y mediante el uso de herramientas tecnológicas.

2º

18/11/09

Organización y representación de datos, extraídos de diversas fuentes, usando histogramas, polígonos de frecuencia y de frecuencias acumuladas, construidos manualmente y con de herramientas tecnológicas.

Obtención de información a partir de datos presentados en histogramas, polígonos de frecuencia y de frecuencias acumuladas.

1º

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Relación entre los CMO de Educación Media

Y AZAR, SEGÚN AJUSTE CURRICULAR

Fundamentación teórica

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Organización interna del Texto ESTRUCTURA

DEL

TEXTO

El Texto Matemática 2º Medio se organiza en 6 Unidades, con los siguientes títulos: Texto Matemática 2º Medio Unidad Unidad Unidad Unidad Unidad Unidad

1: 2: 3: 4: 5: 6:

Números y raíces Expresiones algebraicas fraccionarias Sistemas de ecuaciones lineales Semejanza Circunferencia Datos y azar

ORGANIZACIÓN

DEL

TEXTO

Cada Unidad tiene tres momentos pedagógicos: Inicio, Desarrollo y Cierre En el Inicio se considera: • Entrada de Unidad: en estas páginas se explicitan los aprendizajes que se espera que logren los y las estudiantes con el desarrollo de la unidad y se presentan actividades de motivación y activación de experiencias y conocimientos previos.

• ¿Cuánto sabes?: actividades de evaluación diagnóstica que permitirá evaluar los contenidos que son prerrequisitos de la Unidad.

• ¿Qué debes recordar? Resumen de los principales conceptos que servirán de base para el aprendizaje que se espera lograr en la Unidad.

En el Desarrollo se considera: • Páginas de Contenidos: incluyen variadas actividades de exploración, activación del razonamiento espontáneo de los estudiantes, construcción y aplicación de los contenidos, mediante ejercicios resueltos, procedimientos, demostraciones, etc. Incluye una sección que define, describe o formaliza los conceptos tratados.

En estas páginas, la información se complementa con las siguientes secciones: – Herramientas tecnológicas: sección con actividades para trabajar con calculadora, planillas de cálculo, software o programas ocupacionales.

– Mi progreso: consiste en un listado de actividades que permitirán al alumno evaluar su progreso en el logro de los aprendizajes.

– ¿Cómo voy?: tabla que contiene los indicadores de logro y las actividades relacionadas con cada uno, de modo que el alumno y alumna pueda autoevaluarse.

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Organización del Texto

Además, el tratamiento del contenido incluye la siguiente información secundaria: – Recuerda que...: permite recordar contenidos o procedimientos aprendidos en años anteriores que sean necesarios para desarrollar las actividades a resolver.

– No olvides que...: permite enfatizar la revisión continua de sus procedimientos, análisis de la pertinencia y consistencia de las soluciones encontradas respecto del contexto, etc.

– Glosario: permite incorporar vocabulario matemático.

Para la consolidación del aprendizaje, se presentan las siguientes secciones: • Cómo resolverlo: sección orientada a presentar problemas resueltos, de manera que el y la estudiante aprenda distintas estrategias de resolución. En cada página, se plantea un problema resuelto paso a paso (comprender, relacionar, calcular, comprobar) y se presentan problemas en los que pueda aplicar lo aprendido.

• En terreno: sección orientada a aplicar lo aprendido en la unidad en un contexto de índole laboral, con variada información, de modo que parte de la dificultad para el alumno y alumna sea discernir qué información le es útil para responder las preguntas.

– Investiguemos…: contiene las indicaciones para realizar un trabajo colaborativo, basado en la temática de la sección anterior, pero solicitando investigación adicional de parte de los alumnos.

– Evaluemos nuestro trabajo: consiste en preguntas para realizar la autoevaluación y la coevaluación respecto del trabajo colaborativo realizado.

En el Cierre se considera: • Síntesis de la Unidad: síntesis de los contenidos tratados en la unidad a través de mapas conceptuales; incluye un listado de preguntas de verdadero o falso, enfocadas a contenidos conceptuales y problemas de desarrollo o aplicaciones de los contenidos tratados.

• Evaluación de la Unidad: sección de evaluación sumativa. Consiste en un listado de preguntas de selección múltiple.

Organización interna del Texto

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Organización de la Guía Didáctica La Guía para el Profesor está organizada a partir de las siguientes secciones: • Propósito de la unidad: en esta se entrega una orientación sobre el trabajo que se debe realizar con sus alumnos y alumnas a lo largo de la unidad.

• Propuesta de planificación de la unidad: en una tabla se organizan los contenidos mínimos obligatorios, los contenidos de la unidad, aprendizajes esperados, recursos didácticos, tipos de evaluación y el tiempo estimado para el desarrollo de la unidad.

• Esquema de la unidad: en un organizador gráfico se presentan los contenidos trabajados en la unidad.

• Bibliografía: se presentan distintos recursos bibliográficos que pueden apoyarlo con el trabajo de los contenidos de la unidad.

Además, de acuerdo con los momentos didácticos considerados en cada unidad, se distinguen:

Páginas de INICIO • Información complementaria para docentes: se dan indicaciones que permiten orientar la activación de conocimientos previos de los y las estudiantes con respecto a los contenidos de la unidad.

• Actividades complementarias: se presentan actividades que complementan las del Texto para reforzar, ampliar o profundizar el aprendizaje.

• Evaluación diagnóstica: esta sección tiene como objetivo orientar la evaluación de las actividades propuestas en la sección ¿CUÁNTO SABES? del Texto para el Estudiante, a través de una rúbrica que permitirá medir el nivel de logro que presentan sus alumnos y alumnas respecto de los aprendizajes adquiridos en años anteriores. Además, se presentan los criterios de evaluación por cada ítem y se incluye un cuadro en el que se detallan las habilidades que se evalúan en cada actividad.

• Posibles dificultades en la evaluación y remediales: se indican las posibles dificultades que pueden tener sus estudiantes en la evaluación diagnóstica presentada en la unidad y las sugerencias para poder subsanarlos o evitarlos.

Páginas de DESARROLLO • Habilidades que se desarrollan en las actividades del Texto: se especifican las habilidades que se trabajan en cada actividad.

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| Guía Didáctica Matemática 2o Medio

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Organización de la Guía Didáctica

• Información para el docente: se dan sugerencias metodológicas e indicaciones con respecto a los procedimientos a desarrollar en las distintas actividades, uso de recursos, etc., para potenciar de mejor manera el desarrollo de las habilidades en los y las estudiantes. Además, se plantean sugerencias o aclaraciones específicas del contenido que se trabaja, tales como definiciones, propiedades, formalizaciones, etc.

• Variantes metodológicas: para los temas más complejos se presentan sugerencias y estrategias distintas a las presentadas en el Texto para el Estudiante, de manera de asegurar el logro de aprendizajes de estudiantes con distintos ritmos y formas de aprendizaje.

• Actividades complementarias: se plantean actividades que permitan reforzar y/o ampliar el contenido y las habilidades que se están trabajando.

• Errores frecuentes: se indican las posibles dificultades que pueden tener sus estudiantes en la unidad y las sugerencias para poder subsanarlos o evitarlos.

• Mi progreso: esta sección tiene como objetivo orientar la evaluación de las actividades propuestas en la sección MI PROGRESO del Texto para el Estudiante, a través de una rúbrica que permitirá medir el nivel de logro que presentan los y las estudiantes de los aprendizajes adquiridos hasta ese momento. Además, se presentan los criterios de evaluación por cada ítem y se incluye un cuadro en el que se detallan las habilidades que se evalúan en cada actividad.

• Posibles dificultades en la evaluación y remediales: se indican las posibles dificultades que pueden tener sus estudiantes en la unidad y las sugerencias para poder subsanarlos o evitarlos.

• En terreno: se plantean orientaciones para el desarrollo de las actividades de esta sección y actividades complementarias que potencian el establecimiento de vínculos entre los contenidos matemáticos trabajados y la realidad.

Páginas de CIERRE • Síntesis: en esta sección, se entregan sugerencias para organizar y sintetizar lo aprendido y se proponen preguntas que permitirán detectar y clarificar las dudas que aún presenten sus estudiantes.

• Evaluación: se orienta la evaluación de las actividades presentadas en la sección EVALUACIÓN DE LA UNIDAD, permitiendo evaluar los logros alcanzados por sus alumnos y alumnas en la unidad.

• Posibles dificultades en la evaluación y remediales: se indican las posibles dificultades que pueden tener sus estudiantes en la evaluación presentada en el Texto para el Estudiante y las sugerencias para poder subsanarlos o evitarlos.

• Ejercicios resueltos: en esta sección, se plantean orientaciones para trabajar la resolución de problemas.

• Evaluación fotocopiable: esta sección tiene como objetivo orientar la aplicación de un instrumento de evaluación sumativa que puede fotocopiar y aplicar a sus estudiantes al finalizar la unidad. Además, se incluye una pauta que incorpora las habilidades que evalúa cada ítem y los puntajes otorgados.

Organización de la Guía Didáctica|

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Números y raíces

Unidad

PROPÓSITO

DE LA UNIDAD

En esta unidad, se profundizan y amplían los conocimientos adquiridos en años anteriores por los alumnos y alumnas en relación al estudio de los conjuntos numéricos. Los números irracionales se introducen a través del concepto de números decimales infinitos no periódicos ni semiperiódicos. De aquí se deduce que no es posible escribir un número irracional como un cuociente entre dos racionales.

Como parte de los números irracionales, son estudiadas las raíces enésimas y sus propiedades, para la resolución de operatoria con raíces y su relación con potencias de exponente fraccionario. Los y las estudiantes aprenderán a estimar raíces cuadradas no exactas. Además, utilizando las propiedades de las raíces, podrán calcular algunas cuando estas resulten ser números enteros. Por otro lado, los alumnos y alumnas trabajarán en esta unidad con las ecuaciones que contienen raíces, aprenderán a resolverlas e interpretar sus soluciones. También se estudiará el concepto de logaritmo, sus propiedades y su relación con las potencias además de la resolución de ecuaciones logarítmicas y algunas de sus aplicaciones en la ciencia como son, por ejemplo, la medición del pH de una sustancia, la energía liberada durante un sismo o el cálculo del nivel de intensidad sonora.

A lo largo de la unidad, se presentan diversos problemas de aplicación con el propósito de que los y las estudiantes puedan observar la presencia de los contenidos enseñados en diferentes contextos matemáticos y cotidianos.

A continuación, se presenta esquema que relaciona los principales conceptos de la unidad.

ESQUEMA

DE LA UNIDAD

Aplicaciones

Números y raíces Números irracionales

Raíces

Logaritmos

Ubicación en la recta numérica Orden

Concepto Ecuaciones con radicales

Operaciones Propiedades

Aproximación Propiedades

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| Unidad 1

Guía Didáctica Matemática 2o Medio

Potencias

Ecuaciones logarítmicas

• Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar los números racionales a los números reales, reconocimiento de algunas de las propiedades de los números y de las operaciones y su uso para resolver diversos problemas.

• Aproximación del valor de un número irracional por defecto, por exceso y por redondeo.

• Ubicación de algunas raíces en la recta numérica, exploración de situaciones geométricas en que ellas están presentes y análisis de la demostración de la irracionalidad de algunas raíces cuadradas.

• Análisis de la existencia de la raíz enésima en el conjunto de los números reales, su relación con las potencias de exponente racional y demostración de algunas de sus propiedades.

• Interpretación de logaritmos, su relación con potencias y raíces, deducción de sus propiedades y aplicaciones del cálculo de logaritmos a la resolución de problemas en diversas áreas del conocimiento.

• Uso de un software gráfico en la interpretación de funciones exponenciales, logarítmicas y raíz cuadrada, análisis de las situaciones que modela y estudio de las variaciones que se producen por la modificación de sus parámetros.

CMO DE LA UNIDAD

• Números racionales en la recta numérica.

• Números irracionales.

• Números reales.

• Aproximación de un número irracional.

• Raíces cuadradas y raíces cúbicas.

• Ubicación de raíces en la recta numérica.

• Irracionalidad de algunas raíces cuadradas.

• Cálculo de raíces enésimas y sus propiedades.

• Relación entre raíces enésimas y potencias de exponente racional.

• Situaciones que involucran raíces.

CONTENIDOS ESPERADOS

• Caracterizar los números irracionales como aquellos que no pueden ser escritos como un cuociente entre dos números enteros.

• Caracterizar los números reales como aquellos que corresponden a la unión de los números racionales e irracionales.

• Utilizar los números reales en la resolución de problemas, reconocer sus propiedades y realizar aproximaciones por defecto, por exceso y por redondeo.

• Ubicar algunas raíces en la recta numérica y explorar algunas situaciones geométricas en que ellas están presentes.

• Analizar la demostración de la irracionalidad de algunas raíces cuadradas.

• Interpretar y calcular la raíz enésima de un número real y reconocer algunas propiedades.

• Relacionar las raíces enésimas con las potencias de exponente racional.

APRENDIZAJES

RECURSOS DIDÁCTICOS

• Regla • Identifican números • Calculadora irracionales.

• Ubican raíces no científica • Compás exactas en la recta numérica.

• Analizan la demostración de la irracionalidad de algunas raíces cuadradas.

• Ordenan y comparan números reales.

• Aproximan números irracionales por defecto, por exceso y por redondeo.

• Comprenden el concepto de raíz cuadrada y cúbica.

• Interpretan y calculan raíces no exactas.

• Establecen propiedades de las raíces enésimas.

• Interpretan y calculan la raíz enésima de un número real.

• Relacionan las raíces enésimas con las potencias de exponente racional.

INDICADORES

DE EVALUACIÓN

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• Sumativa: páginas 66 y 67 del Texto para el Estudiante y 66 y 67 de la Guía Didáctica para el Profesor.

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• Formativa: página 24, 41 y 59 del Texto para el Estudiante.

• Diagnóstica: páginas 14 y 15 del Texto para el Estudiante.

TIPOS

Tiempo estimado: 15 a 20 horas

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Números y raíces

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PÁGINAS 12 - 13

Páginas de entrada En la imagen se muestra la presencia de la famosa sucesión de Fibonacci en la naturaleza, y con esto puede comenzar a conversar sobre los números irracionales, su importancia y su presencia en diferentes ámbitos, como, por ejemplo, en el arte, en la geometría y en la economía, entre otras.

Revise el hipertexto, para que conozca los recursos disponibles: ejercitación adicional, elementos de profundización de contenidos, links y evaluaciones.

El número irracional e, también está presente en diversos ámbitos; por ejemplo, en Economía, se utiliza para explicar modelos económicos predictivos; en Biología, para explicar el crecimiento de las poblaciones; en Salud, para estudiar enfermedades de carácter epidémico, etc.

También podría conversar sobre otro número irracional muy interesante y atractivo, el número de oro φ. Este número también está relacionado con la sucesión de Fibonacci. Por ejemplo, si dividimos dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci (el mayor dividido por el menor), el resultado de aproximará cada vez más al número de oro a medida que utilizamos números más grandes de la sucesión.

Este número es también encontrado en diversas manifestaciones de la naturaleza y de las proporciones humanas, además ha sido utilizado en muchas obras de arte, como, por ejemplo, en las de Da Vinci y Dalí.

En el libro El Código Da Vinci, de Dan Brown, se dedican varias páginas a las maravillas del número φ. Sería interesante que leyera o invitara a leer a sus estudiantes algunas páginas de este libro. Las páginas que hacen referencia al número de oro son: 117 - 126.

También, en el magnífico libro de H.S.M. Coxeter, Fundamentos de geometría, Editorial Limusa. México. 1971. El capítulo 11 del libro está totalmente dedicado al tema. Puede encontrar allí breves discusiones históricas y aplicaciones a la morfología de las plantas, además de problemas relacionados y algunas de sus soluciones.

Más información sobre el número φ puede encontrar en los siguientes sitios. http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo http://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htm http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/concurso2002/ alumnado/index.html Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

PÁGINAS 14 - 15 ¿Cuánto sabes? Ítem 1, 2 y 3

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Habilidades que se evalúan Calcular.

4

Aplicar y calcular.

5

Conectar y calcular.

Evaluación diagnóstica En estas páginas, se presenta una evaluación diagnóstica que permitirá medir el nivel de conocimiento que tienen los y las estudiantes acerca de los contenidos de esta unidad.

Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta una evaluación diagnóstica con el título ¿Cuánto sabes?, que incluye los siguientes criterios: Ítem Ítem Ítem Ítem Ítem

1: 2: 3: 4: 5:

descomponer números como producto de factores primos. determinar si las igualdades dadas son verdaderas. calcular expresiones aplicando propiedades de las potencias. resolver problemas aplicando potencias. calcular expresiones aplicando propiedades de las raíces.

| Unidad 1 Guía Didáctica Matemática 2o Medio

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Orientaciones didácticas Unidad 1 Ítem

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5

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

• Descompone correctamente todos lo números dados como producto de factores primos.

• Los números utilizados en cada descomposición son factores de los números correspondientes.

• Todos los factores utilizados en cada descomposición son números primos.

• Descompone correctamente más de tres números dados como producto de factores primos.

• Las descomposiciones incorrectas se pueden deber a: - Descomponer los números dados, pero todos o algunos de los factores son números compuestos.

- Los números utilizados no son factores de un número dado.

- No descompone los números en factores.

• Descompone correctamente tres números como producto de factores primos.

• Las descomposiciones incorrectas se pueden deber a: - Descomponer los números dados, pero todos o algunos de los factores son números compuestos.

- Los números utilizados no son factores de un número dado.

- No descompone los números en factores.

• Descompone correctamente menos de tres números como producto de factores primos.

• Las descomposiciones incorrectas se pueden deber a: - Descomponer los números dados, pero todos o algunos de los factores son números compuestos.

- Los números utilizados no son factores de un número dado.

- No descompone los números en factores.

• Determina correctamente si todas las igualdades dadas son verdaderas.

• Resuelve correctamente todas las operaciones dadas.

• Aplica correctamente las propiedades de las potencias en todos los casos.

• Determina correctamente si más de tres de las igualdades dadas son verdaderas.

• Resuelve correctamente la mayoría de las operaciones dadas.

• Aplica correctamente las propiedades de las potencias en la mayoría de los casos.

• Determina correctamente si tres de las igualdades dadas son verdaderas.

• Resuelve correctamente la mitad de las operaciones dadas.

• Aplica correctamente las propiedades de las potencias en la mitad de los casos.

• Determina correctamente si menos de tres de las igualdades dadas son verdaderas.

• Resuelve correctamente menos de la mitad de las operaciones dadas.

• Aplica incorrectamente las propiedades de las potencias en la mayoría de los casos.

• Aplica correctamente las propiedades de las potencias en todos los casos.

• Calcula correctamente todas las expresiones dadas.

• Aplica correctamente las propiedades de las potencias en la mayoría de los casos.

• Calcula correctamente más de seis expresiones.

• Aplica correctamente las propiedades de las potencias en la mitad de los casos.

• Calcula correctamente seis expresiones.

Aplica incorrectamente las propiedades de las potencias en la mayoría de los casos.

Calcula correctamente menos de seis expresiones.

• Comprende el enunciado de cada problema.

• Traduce correctamente a lenguaje algebraico el enunciado de cada problema.

• Resuelve correctamente los dos problemas.

• Da respuesta a los dos problemas.

• Comprende el enunciado de cada problema.

• Traduce correctamente a lenguaje algebraico el enunciado de los dos problemas.

• Resuelve correctamente un problema y el otro está incompleto o medianamente correcto.

• Da respuesta a un problema.

• Comprende el enunciado de un problema.

• Traduce correctamente a lenguaje algebraico el enunciado de un problema.

• Resuelve correctamente un problema.

• Da respuesta a un problema.

• No comprende el enunciado del problema.

• No traduce correctamente a lenguaje algebraico el enunciado de cada problema.

• Resuelve incorrectamente los dos problemas.

• No da respuesta a los problemas.

• Aplica correctamente las propiedades de las raíces en todos los casos.

• Calcula correctamente todas las expresiones dadas.

• Aplica correctamente las propiedades de las raíces en la mayoría de los casos.

• Calcula correctamente más de cuatro expresiones.

• Aplica correctamente las propiedades de las raíces en la mitad de los casos.

• Calcula correctamente cuatro expresiones.

• Aplica incorrectamente las propiedades de las raíces en la mayoría de los casos.

• Calcula correctamente menos de cuatro expresiones.

Números y raíces

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Posibles dificultades en la evaluación y remediales En el ítem 1, es posible que los y las estudiantes no recuerden el concepto de número primo, lo cual dificulta la realización del ítem. Para remediar esta situación, podría recordarles cuáles son los números primos y darles algunos ejemplos.

Además, muestre a sus estudiantes cómo descomponer un número como producto de factores primos. Un buen ejercicio sería mostrar varias descomposiciones y pedir a los estudiantes que las analicen y determinen si estas son descomposiciones primas de ciertos números.

En los ítems 2, 3 y 5 podría ocurrir que los alumnos y alumnas no recuerden las prioridades de las operaciones ni las propiedades de las potencias y de las raíces, lo cual complicaría el desarrollo correcto de los ejercicios presentados. Para ayudarlos, recuérdeles cuáles son las prioridades de las operaciones y muéstreles su aplicación en diversos ejercicios de distinta dificultad, para que puedan distinguir las prioridades adecuadas. Sería conveniente que presentara a sus estudiantes ejercicios resueltos que contengan algún tipo de error en el procedimiento para que ellos puedan detectarlo, y de esta forma se familiarizarán con las prioridades y podrán aplicarlas de forma correcta en el futuro. Del mismo modo, recuerde a sus alumnos y alumnas las propiedades de las potencias y de las raíces, muestre su utilidad e ilustre diversos ejemplos, para que las recuerden. Es importante hacer notar que un mismo ejercicio se puede resolver aplicando distintas propiedades.

Evaluación de conocimientos previos.

Indicador: localiza y recupera información.

Sugerencias metodológicas: utilizar antes de comenzar la unidad, a modo de introducción.

42

En el ítem 4, es posible que los y las estudiantes no recuerden cómo calcular el área y perímetro de un cuadrado y el volumen de un cubo, lo que impediría la correcta resolución de los problemas. Para remediar esta situación, podría recordar cómo realizar estos cálculos, entregándoles las fórmulas correspondientes, acompañadas de algunos ejemplos cotidianos.

En el ítem 5, podría ocurrir que los y las estudiantes no recuerden propiedades básicas de las raíces cuadradas. Si lo considera necesario, lleve a cabo un ejemplo donde descomponga la cantidad en dos factores y luego en dos raíces (el problema inverso al pedido).

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Orientaciones didácticas Unidad 1 PÁGINAS 16 - 17

Números racionales en la recta numérica

Indicaciones para el docente

En tu cuaderno

Una afirmación simple de recordar es que dados dos números racionales cualesquiera siempre existe otro número racional entre ambos. En términos de orden, corresponde a afirmar que dados dos números racionales distintos existe otro mayor que el menor y menor que el mayor. Para probar lo anterior, puede indicar que para encontrar un número racional que esté entre otros dos, basta con sumar los dos números y tomar la mitad. Si los números originales eran a y b, la semisuma a+b será y ese número se representa como el punto medio del segmento ab.

2 a+b Es simple demostrar que el número está entre a y b. En efecto, si a < b, 2 se suma a ambos lados a y se obtiene 2a < a + b, por lo que dividiendo por 2 a+b la desigualdad, se obtiene a < . También, a partir de a < b, se suma b 2 a ambos lados de la desigualdad y se obtiene que a + b < 2b, de donde se a+b concluye que < b. Observe que esto es válido para dos números reales 2 cualesquiera (propiedad de densidad).

PÁGINAS 18 - 19

Actividad

Habilidades que se desarrollan

1

Representar y verificar.

2

Clasificar.

Números irracionales

Indicaciones para el docente

En tu cuaderno

Los alumnos y alumnas ya han trabajado con números irracionales, su operatoria y propiedades, el objetivo de estas páginas es abordarlos desde su perspectiva histórica, aprovechando, además, el teorema de Pitágoras para representarlos geométricamente.

Actividad 1

Habilidades que se desarrollan Clasificar.

Actividades complementarias

2y3

Calcular y clasificar.

1. ¿Cuál es la expresión correcta?

4

Calcular y ordenar.

a2 + b > a +

b 2a

o

a2 + b < a +

b 2a

2. Verifica, sin usar calculadora, la notable aproximación encontrada por Herón, célebre ingeniero alejandrino del año 100 d. C., para el número irracional π.

35 312 32 647 π < < 67 441 62 351 6 No se conocen los detalles de cómo obtuvo este sabio esta prodigiosa desigualdad.

3. ¿Existirán números positivos a y b tal que

a + b sea un número natural?

4. El número 3 – 2 2 · 3 + 2 2 , ¿es irracional?

Ampliación de conceptos numéricos y de operatoria.

Indicador: localiza y recupera información.

Sugerencias metodológicas: utilizar como complemento a la introducción de los números irracionales.

Números y raíces

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Comentarios • El aporte de la Historia de la Matemática en la entrega de los contenidos es muy valioso y sin duda enriquece el proceso de enseñanza-aprendizaje. Situar a los y las estudiantes en el contexto histórico, presentarles, por ejemplo, las distintas formas en que el ser humano ha aproximado números irracionales son elementos que tienden a crear un ambiente favorable al aprendizaje.

5. Sea AB = a el trazo que está dividido por el punto P en dos segmentos de los cuales PA > PB. Para que P divida al trazo AB en sección áurea, debe cumplirse que: PA : AB = PB : PA. x A

Por lo tanto:

En tu cuaderno Actividad

Habilidades que se desarrollan

1y2

Reconocer/identificar y calcular.

3

Ordenar.

4

Evaluar.

PÁGINAS 22 - 23 En tu cuaderno Actividad

44

Habilidades que se desarrollan

1

Calcular.

2

Calcular.

3

Reconocer/identificar y calcular.

P

B

x a–x = a x

a. Resuelve y comprueba que: PA =

a( a 5 – 1) y PB = (3 – 2 2

b. Calcula

PÁGINAS 20 - 21

a–x

5)

PA . ¿A qué conjunto numérico pertenece el número obtenido?

PB

Números reales Indicaciones para el docente Es importante considerar a los números reales como los números formados por los racionales y los irracionales y abordar diversos tipos de problemas que involucran números reales y que requieren la aplicación de los procedimientos y propiedades de las operaciones.

También, se sugiere mencionar que los números reales seguirán apareciendo de aquí en adelante permanentemente y que son fundamentales en la construcción de conceptos como el de función y en la generalización de algunos resultados.

Aproximación de un número irracional Indicaciones para el docente Sería interesante mencionar como motivación que, en cálculos concretos motivados por aplicaciones, es común usar aproximaciones que representen a los números decimales infinitos involucrados. Un computador, por ejemplo, si no está llevando a cabo una operación simbólica, debe representar un número irracional por una secuencia finita de números enteros (de otro modo requeriría una ¡memoria infinita!). Es decir, debe hacer una aproximación. La precisión adecuada para tal objeto dependerá del contexto de la aplicación. Desde el punto de vista práctico, los métodos para aproximar son de gran importancia. Los párrafos introductorios de la unidad darán a los alumnos y alumnas una buena idea de la importancia de hacer una aproximación adecuada. En este contexto, puede plantear como tarea el problema 1 de las actividades complementarias.

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Orientaciones didácticas Unidad 1 Actividades complementarias 1. Se desea pintar un estanque de agua cilíndrico de 100 m de diámetro. ¿Cómo afectaría la aproximación usada para π al cálculo de la cantidad de pintura necesaria para el proyecto? Usa las aproximaciones usadas por Tatiana en la página 22 del Texto. ¿Es posible que quede “demasiada” superficie sin pintar si la aproximación usada es “gruesa”?

2. ¿Hasta qué cifra decimal es exacta la aproximación hecha por los hindúes (300 a.C.) en la expresión

4 2+ 2 ≈ ? π 3

3. Usando la aproximación: a2 + b ≈ a +

PÁGINA 24

b , calcula 2a

45 y 5 .

Mi progreso

En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos y alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizar como una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan en el cuadro Mi progreso e incluye los siguientes criterios: Ítem 1: clasificar los números dados en racionales e irracionales. Ítem 2: determinar entre qué números enteros se ubican los números irracionales del ítem anterior. Ítem 3: ordenar de mayor a menor los grupos de números dados. Ítem 4: ordenar de menor a mayor los números dados. Ítem 5: aproximar por exceso y por defecto los números dados.

Mi progreso Ítem

Habilidades que se evalúan

1y2

Calcular y clasificar.

3, 4 y 5

Clasificar.

Para los ítems 1, 2, 3, 4 y 5 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar el nivel de conocimiento alcanzado por los alumnos y alumnas.

Ítem

1

2

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

• Calcula correctamente el valor de todas las expresiones dadas.

• Clasifica correctamente todos los números dados en racionales e irracionales.

• Calcula correctamente el valor de más de tres expresiones dadas.

• Clasifica correctamente más de tres de los números dados en racionales e irracionales.

• Calcula correctamente el valor de tres expresiones dadas.

• Clasifica correctamente tres de los números dados en racionales e irracionales.

• Calcula correctamente el valor de menos de tres expresiones dadas.

• Clasifica correctamente menos de tres de los números dados en racionales e irracionales.

• Determina entre qué números enteros se ubican todos los números irracionales del ítem anterior.

• Determina entre qué números enteros se ubican más de tres de los números irracionales del ítem anterior.

• Determina entre qué números enteros se ubican tres de los números irracionales del ítem anterior.

• Determina entre qué números enteros se ubican menos de tres de los números irracionales del ítem anterior.

Números y raíces

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3

4

5

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• Calcula correctamente el valor de todas las expresiones dadas.

• Ordena correctamente de mayor a menor todos los grupos de números dados.

• Calcula correctamente el valor de todas las expresiones dadas.

• Ordena correctamente de mayor a menor más de dos grupos de números dados.

• Calcula correctamente el valor de la mayoría de las expresiones dadas.

• Ordena correctamente de mayor a menos dos grupos de números dados.

• Calcula correctamente el valor de la mitad o menos de las expresiones dadas.

• Ordena correctamente de mayor a menor menos de dos grupos de números dados.

• Calcula correctamente el valor de todas las expresiones dadas.

• Ordena correctamente de menor a mayor todos los números obtenidos.

• Calcula correctamente el valor de las expresiones dadas cometiendo un error.

• Ordena correctamente de menor a mayor los números, cometiendo un error.

• Calcula correctamente el valor de las expresiones dadas cometiendo dos o tres errores.

• Ordena correctamente de menor a mayor los números, cometiendo dos o tres errores.

• Calcula correctamente el valor de las expresiones dadas cometiendo más de tres errores.

• Ordena correctamente de menor a mayor los números, cometiendo más de tres errores.

• Aproxima correctamente por exceso y por defecto los resultados obtenidos.

• Aproxima correctamente por exceso y por defecto más de tres de los resultados obtenidos.

• Aproxima correctamente por exceso y por defecto tres de los resultados obtenidos.

• Aproxima correctamente por exceso y por defecto menos tres de los resultados obtenidos.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales En los ítems 1 y 2, es importante enfatizar en las prioridades de las operaciones y la eliminación de paréntesis para reducir las expresiones dadas, y con ello obtener conclusiones acertadas sobre el tipo de número que es: racional o irracional. Estos simples puntos permitirán que sus estudiantes puedan simplificar procedimientos, ya que en muchos casos se eliminarán expresiones más complejas.

En los ítems 3 y 4, sus estudiantes podrían tener inconvenientes para dividir números decimales y, por ello, obtener resultados incorrectos, lo cual provocaría errores al ordenar los números dados. Para evitar esto, es conveniente recordar y practicar constantemente diversos procedimientos para dividir números decimales, para que cada estudiante pueda optar por el método que le resulte más adecuado.

En el ítem 5, se sugiere que muestre a sus estudiantes cómo utilizar la calculadora con números irracionales, sobre todo para que noten la diferencia al trabajar con calculadoras no científicas y científicas, pues esta última respeta las prioridades de las operaciones y la primera no, situación que produce resultados erróneos al seguir una secuencia de izquierda a derecha.

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Orientaciones didácticas Unidad 1 PÁGINAS 25 - 26

Raíces cuadradas y raíces cúbicas

Indicaciones para el docente

En tu cuaderno

En estas páginas se presenta la definición de la raíz cuadrada de un número a, representada por a . Recuerde que este tema lo trabajaron en cursos anteriores.

El trabajo algebraico con raíces cuadradas se realiza a través de situaciones que involucran no solo la resolución algebraica, sino también el análisis de sus soluciones.

Es conveniente hacer énfasis en que, al contrario de lo que sucede con las raíces cuadradas, todo número real a posee una raíz cúbica.

Actividad

Habilidades que se desarrollan

1

Representar y aplicar.

2

Evaluar y justificar.

3

Representar, evaluar y aplicar.

Recuerde a sus estudiantes que las raíces cuadradas pueden ser construidas con regla y compás, sobre una recta numérica. Sin embargo, las raíces cúbicas no pueden ser construidas con regla y compás, al igual que el famoso problema de la trisección de un ángulo, que no puede ser resuelto utilizando estos implementos.

2

Es conveniente precisar que para b ≥ 0 las soluciones de la ecuación x = b son los números reales

b y – b ; y que no hay solución real para valores negativos de b.

• Verifique mediante ejemplos numéricos que la relación a + b = a + b no se cumple.

Actividades complementarias 1. Encuentra el radio de una esfera cuyo volumen es 64π.

2. Encuentra la arista de un cubo el cual tiene el mismo volumen que el cilindro, de radio igual al radio de la esfera anterior (ejercicio 1) y de altura igual a la mitad del radio.

3. Investiga sobre la siguiente pregunta. ¿Es verdad que la suma de las raíces cúbicas de dos números es otra raíz cúbica? Fundamenta tu respuesta.

PÁGINAS 27 - 28

Ubicación de raíces en la recta numérica

Indicaciones para el docente A partir de las actividades propuestas, guíe a sus estudiantes a reconocer las diferencias entre un número racional y un irracional. Además, sería interesante hacer nuevas reflexiones sobre el tema de las aproximaciones decimales.

Actividades complementarias

En tu cuaderno Actividad

Habilidades que se desarrollan

1

Representar.

2

Representar y justificar.

Puede proponer que, con el apoyo de una calculadora, encuentren entre qué números se ubican las raíces cuadradas de 0,4; 0,04; 0,9 y 2,5, entre otras.

Números y raíces

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PÁGINAS 29 - 30 En tu cuaderno Actividad 1

Habilidades que se desarrollan Analizar y aplicar.

Irracionalidad de algunas raíces cuadradas Indicaciones para el docente En esta sección se presenta una antigua demostración que se remonta a Euclides (en el año 300 a.C): la irracionalidad de 2 . La demostración puede resultar difícil de entender a sus alumnas y alumnos. Para guiarlos a través de ella, será necesario primero lograr una buena compresión del método de demostración (ver Glosario, página 29) acentuando que, si se ha pensado correctamente, las contradicciones son imposibles (la Lógica nos dice que las proposiciones o son verdaderas o son falsas, pero no ambas). Si se ha llegado a una contradicción es por una equivocación: justamente suponer que la hipótesis era falsa.

Actividades complementarias 1. Probar que si a y b son números racionales, entonces a + b 2 es un número irracional. ¿Puede el producto de dos de tales números ser racional?, ¿y su suma?

2. Probar que 3 2 es un número irracional. x

3. Probar que no existe un número racional tal que 2 = 3.

PÁGINAS 31 - 32 En tu cuaderno Actividad 1

Habilidades que se desarrollan Evaluar y justificar.

Raíces enésimas Indicaciones para el docente Aquí se introduce el concepto de raíz enésima de un número real, para posteriormente establecer sus propiedades y su relación con potencias de exponente racional. Además, se proponen actividades para que los y las estudiantes calculen la raíz enésima de casos particulares.

Actividades complementarias 1. Determine si existen las siguientes raíces o sumas de raíces.

Aprender a diferenciar expresiones racionales de las irracionales.

Indicador: localiza y recupera información.

Sugerencias metodológicas: utilizar al finalizar el análisis de irracionales y propiedades de las potencias.

a.

6

4096

c.

b.

6

–1+ 2 1

d. 2 + 11 2048

5

–293

e.

3

–1331+ 5 16807

f.

6

–4096

2. Verifique o muestre en cada caso que la igualdad es cierta. a.

10 2

2 5 = 10 1024

b. 4 81 = 9

c.

4

108 = 10 4 1 2 = 2 2

d.

3. Verifique mediante algunos ejemplos que a.

48

n

a+b ≠ n a + n b

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b.

n

a–b ≠na – nb

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Orientaciones didácticas Unidad 1 PÁGINAS 33 - 34

Cálculo de raíces enésimas y sus propiedades

Indicaciones para el docente

En tu cuaderno

Enfatice las siguientes propiedades: • La raíz enésima de un producto es igual a las raíces enésimas de cada uno de los factores y recíprocamente.

• La raíz enésima de un cociente es igual al cuociente entre la raíz enésima del dividendo y la raíz enésima del divisor, y recíprocamente.

• Una raíz cuyo índice está dado por el producto de dos factores puede expresarse como una raíz doble que tiene como índice cada uno de los factores y recíprocamente.

• Si en una raíz enésima se multiplica o se divide el índice y exponente por el mismo número, el valor de la raíz no varía.

PÁGINAS 35 - 36

Actividad 1, 2, 3 y 4

Habilidades que se desarrollan Calcular.

Conocer y memorizar las propiedades de las potencias.

Indicador: localiza y recupera información.

Sugerencias metodológicas: utilizar al repasar las propiedades de potencias, como aprendizaje de fórmulas

Relación entre raíces enésimas y potencias de exponente racional

Indicaciones para el docente

En tu cuaderno

Un error frecuente es no hacer la transferencia de la representación de raíces a las potencias, o sea, no escribir las raíces como una expresión con exponente racional. Que los alumnos y alumnas manejen estas notaciones les facilitará deducir propiedades de las raíces tales como n m a = n·m a y determinar la falsedad de n m a = n+m a .

Actividades complementarias 1. ¿Qué condiciones deben satisfacer m y n para que

n·m

a=

n+m

para todo a ≥ 0 ?

a

Actividad

Habilidades que se desarrollan

1y3

Reconocer/identificar.

2y4

Reconocer/identificar y calcular.

5

Calcular.

6

Aplicar.

7

Interpretar y calcular.

8

Aplicar.

2. Escribe las siguientes expresiones como una sola potencia. a.

3 2

a

b.

4 5 2 −1

c.

a b

n

m

n

a

n+m

3. Si se sabe que si m y n son enteros a · a = a que

m n m +n

, ¿se cumple

a m a = n+m a ? En caso contrario, ¿a qué es igual n a m a ?

Relacionar raíces y potencias de exponente racional.

Indicador: localiza y recupera información.

Sugerencias metodológicas: utilizar luego de haber explicado las propiedades de las raíces y potencias.

Números y raíces

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PÁGINAS 37 - 40 En tu cuaderno Habilidades que se desarrollan

Actividad

Situaciones que involucran raíces Indicaciones para el docente Es probable que las ecuaciones con radicales resulten difíciles de manejar a sus estudiantes. Ellos deben entender que pueden existir problemas que no tengan

1

Calcular y verificar.

2, 3, 4 y 5

Evaluar y analizar.

de x, se obtiene que ¡1 = –1!, por lo que no existe un número real x que cumpla

6

Calcular.

la ecuación planteada. La ecuación es en sí contradictoria. Otra forma en que

7

Aplicar.

solución. Por ejemplo 3 1+ x = 3 x – 1 , al elevar al cubo y cancelar las raíces

puede reconocerse una ecuación sin solución se da en los ejemplos 2 y 3 del Texto. Se sugiere enfatizar estos ejemplos.

2

Errores frecuentes

Se ha dicho que la ecuación x = a posee dos soluciones, una de ellas positiva a

• Es usual que erróneamente se

la que hemos llamado raíz cuadrada de a,

escriba 25 ≈ ± 5 , sabiendo que 25 = 5 y, por lo tanto, – 25 = –5.

a . La otra solución es – a .

Matemáticamente hablando, no es mejor una solución que la otra. Cuando una ecuación cuadrática aparece en el contexto de las aplicaciones, a menudo ha de seleccionarse la solución pertinente al problema. Por ejemplo, si se considera el movimiento bidimensional de un proyectil, una expresión válida para la coordenada y del proyectil es y = y – 0

1 2 gt (escogemos el origen del tiempo cuando el 2

proyectil pasa a una altura y ). Si se quiere determinar en qué momento el proyectil 0

se encuentra en el suelo (y = 0), se debe resolver (y ) · 0

2 2 = t y ambas soluciones g

son admisibles; corresponden a los momentos de salida y llegada del proyectil al suelo. Si nos piden encontrar el momento en que el proyectil se encontraba a una y altura 0 , luego de haber alcanzado su altura máxima (y ), la ecuación a resolver

2

0

冢 冣 y

2 2 es 0 · = t , pero en este caso la solución pertinente es la positiva. g 2 Actividades complementarias 1. El área de un cuadrado es x. Si esta es aumentada en dos unidades cuadradas, el lado del nuevo cuadrado es igual al lado del cuadrado original más 1.

Finalmente, ¿cuál es el área del cuadrado?

2 2. Sea s la distancia recorrida por un cuerpo en caída libre, dada por s = 1 g · t ,

donde g es la aceleración de gravedad y t es el tiempo transcurrido.

2

a. ¿Qué distancia recorre un cuerpo en caída libre en el primer segundo? b. ¿Qué distancia recorre un cuerpo en caída libre en el tercer segundo?, ¿y en el décimo segundo?

c. Si un cuerpo se dejara caer desde 2 000 m de altura, ¿qué distancia recorrería en el último segundo?

50

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Orientaciones didácticas Unidad 1 PÁGINA 41

Mi progreso

En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos y alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizar como una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan en el cuadro Mi progreso e incluye los siguientes criterios: Ítem Ítem Ítem Ítem Ítem

1: 2: 3: 4: 5:

resolver operaciones con raíces cuadradas y cúbicas. resolver operaciones con raíces enésimas. relacionar raíces enésimas y potencias de exponente racional. resolver ecuaciones con radicales. aproximar raíces cuadradas.

Mi progreso Habilidades que se evalúan

Ítem 1, 2, 3, 4 y 5

Calcular.

Para los ejercicios 1, 2, 3 y 4 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar el nivel de desempeño alcanzado por los alumnos y alumnas.

Ítem

1

2

3

4

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

• Realiza correctamente todas las operaciones con raíces.

• Determina correctamente si todas las igualdades presentadas son verdaderas o falsas.

• Realiza correctamente tres operaciones con raíces.

• Determina correctamente si dos de las igualdades presentadas son verdaderas o falsas.

• Realiza correctamente dos operaciones con raíces.

• Determina correctamente si una de las igualdades presentadas son verdaderas o falsas.

• Realiza correctamente menos de dos operaciones con raíces.

• No determina correctamente si las igualdades presentadas son verdaderas o falsas.

• Resuelve correctamente todas las operaciones con raíces.

• Reduce los resultados obtenidos cuando es posible.

• Resuelve correctamente más de tres operaciones con raíces.

• Reduce los resultados obtenidos cuando es posible.

• Resuelve correctamente tres operaciones con raíces.

• No reduce los resultados obtenidos.

• Resuelve correctamente menos de tres operaciones con raíces.

• No reduce los resultados obtenidos.

• Resuelve correctamente todas las operaciones con potencias y raíces.

• Aplica correctamente las propiedades de las potencias y raíces.

• Expresa el resultado final como una sola raíz.

• Resuelve correctamente más de tres operaciones con potencias y raíces.

• Aplica correctamente las propiedades de las potencias y raíces.

• Expresa el resultado final como una sola raíz.

• Resuelve correctamente tres operaciones con potencias y raíces.

• Aplica correctamente algunas de las propiedades de las potencias y raíces.

• Solo en algunos casos expresa el resultado final como una sola raíz.

• Resuelve correctamente menos de tres operaciones con potencias y raíces.

• No aplica correctamente las propiedades de las potencias y raíces.

• No expresa el resultado final como una sola raíz.

• Resuelve correctamente todas las ecuaciones con radicales.

• Las soluciones encontradas son pertinentes a las ecuaciones originales.

• Resuelve correctamente tres ecuaciones con radicales.

• Las mayoría de las soluciones encontradas son pertinentes a las ecuaciones originales.

• Resuelve correctamente dos ecuaciones con radicales.

• Dos de las soluciones encontradas son pertinentes a las ecuaciones originales.

• Resuelve correctamente menos de dos ecuaciones con radicales.

• Algunas soluciones encontradas no son pertinentes a las ecuaciones originales.

Números y raíces

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Posibles dificultades en la evaluación y remediales En los ítems 1 y 2, es posible que los estudiantes tengan problemas para operar con raíces debido a que no están familiarizados con las propiedades de las raíces y su utilidad para reducir expresiones, y que las apliquen de manera incorrecta.

Es importante que los alumnos y alumnas conozcan y manejen perfectamente cada una de las propiedades de las raíces y de las potencias, para ello es importante que las recuerde a través de variados ejemplos. Enfatice en la inexistencia de propiedades para las operaciones de adición y sustracción cuando trabajamos con raíces.

En el ítem 3, podría ocurrir que los y las estudiantes al operar con potencias no simplifiquen los resultados obtenidos y con ello las raíces obtenidas sean más complicadas. Para evitar esto, recuerde la importancia y utilidad de simplificar cuando sea necesario, pues de este modo se obtienen expresiones más simples.

Por otro lado, es importante que mencione la utilidad que tiene amplificar fracciones para obtener fracciones con igual denominador y con esto poder reducir expresiones a una sola raíz.

En el ítem 4, al resolver ecuaciones con radicales puede ocurrir que los y las estudiantes no apliquen adecuadamente las prioridades de las igualdades o no presten atención a si las soluciones encontradas son correctas respecto de las ecuaciones planteadas. Es fundamental que comprendan cómo resolver este tipo de ecuaciones de manera correcta y verifiquen las soluciones encontradas. Para ello, ejercite con los y las estudiantes diversas ecuaciones con radicales, que presenten distintos niveles de dificultad y, además, verifique las soluciones que se obtienen.

PÁGINAS 42 - 45 En tu cuaderno Actividad 1y2

Habilidades que se desarrollan Calcular.

Logaritmos Indicaciones para el docente Para abordar el tema de los logaritmos, se propone a los y las estudiantes calcular algunas multiplicaciones sin la ayuda de una calculadora. Insista en que deben resolverlas con lápiz y papel, se pretende que con algunos ejercicios aprecien lo difícil y engorroso que podía volverse calcular una simple multiplicación antes de la invención de las calculadoras. Después, se sugiere que resuelvan estas multiplicaciones observando las tablas de potencias presentadas, como un acercamiento a lo que fueron las tablas de logaritmos.

Es importante que enfatice a sus alumnos y alumnas que los logaritmos están definidos únicamente para valores positivos tanto del argumento como de la base del logaritmo. Insista en la relación entre los logaritmos y las potencias, ya que escribiendo la ecuación exponencial correspondiente pueden comprender qué se les está pidiendo y calcular el logaritmo.

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Orientaciones didácticas Unidad 1 Actividades complementarias 1. Calcula el valor de los siguientes logaritmos. a. log2 64

d. log13 2197

b. log325 325

e. log19 361

c. log2 256

f. log0,4 0,064

2. Halla el argumento de los siguientes logaritmos. a. log6 x = 1

d. log0,05 x = 3

b. log2 x = 5

e. log0,25 x = –2

c. log10 x = –4

f. log3 x = 60

3. Calcula el valor de las siguientes expresiones. a. log2 512 + log3 243 – log8 64 b. –5 log8 64 + 7 log7 49 – 3 log10 100 c. 6 log9 81 – 3 log10 10 000 + 4 log0,2 0,04

PÁGINAS 46 - 47

Propiedades de los logaritmos

Indicaciones para el docente

En tu cuaderno

En estas páginas, se muestra que tal como se relacionan los valores de una potencia con los de su correspondiente raíz enésima, estos valores también pueden representarse utilizando logaritmos. Una forma que tienen sus estudiantes de verificar que esto se cumple es leer cada expresión según su definición:

Actividad 1, 2 y 3

Habilidades que se desarrollan Calcular.

• loga b = c, dice que “c es el exponente de la potencia de base a para obtener b”. c

• a = b, dice que “b es el valor de la potencia de base a y exponente c”.

• a = c b , dice que “a es la base de la potencia que, con exponente c, tiene valor b”.

Las propiedades de los logaritmos se abordan a partir de la definición de logaritmo y las propiedades de las potencias. Enfatíceles que siempre el valor de a, la base, debe ser positivo y distinto de 1.

Actividades complementarias 1. Utiliza la fórmula de cambio de base para simplificar cada logaritmo con respecto a la base indicada y calcula su valor.

a. log32 8; a base 2.

c. log361296; a base 6.

b. log9 27; a base 3.

d. log9 6561; a base 3.

Números y raíces

|

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2. Aplicando la propiedad de cambio de base, calcula los siguientes logaritmos sin usar calculadora.

PÁGINAS 48 - 49 En tu cuaderno Habilidades que se desarrollan

a. log49 343

c. log169 2197

b. log225 15

d. log27 81

Propiedades de las operaciones de los logaritmos Actividad inicial

1

Desarrollar.

2

Reducir.

En estas páginas se muestra que, a partir de las propiedades para las operaciones con potencias, se pueden establecer propiedades para las operaciones con logaritmos.

Enfatice a sus estudiantes que al aplicar logaritmos, el producto se relaciona con la suma y el cociente con la resta, para que no cometan los errores que se mencionan en la sección No olvides que...

3

Calcular y evaluar.

Actividades complementarias

Actividad

1. Calcula el valor de los siguientes logaritmos. a. log2 (8 · 32)

c. log3

冢 81 冣

b. log5 (25 · 125)

d. log 1

冢

7

27

343 · 49 7

冣

2. Escribe cada una de las siguientes expresiones como suma y diferencia de logaritmos. x a. loga yz

b. logb

xy z 2

c. loga (x – 6x + 9)

⎛ 3⎞ ⎜ 5⎟ d. logb ⎜ a ⎟ ⎝ c4 ⎠ 3

3

e. logb (x – y ) f. logm

b a c3

3. Expresa como un solo logaritmo. a. 4 loga x – 3 loga y + 1 2

b. loga (x – 81) – loga (x – 9)

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3

3

c. logm (a + b ) – 2 logm (a + b) 3

7

4

d. 3 (logm a – logm d ) – 4 logm b

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Orientaciones didácticas Unidad 1 4. Sabiendo del log 2 = 0,30, log 3 = 0,47 y log 5 = 0,69, calcula los siguientes logaritmos sin usar calculadora.

a. log 6 b. log

d. log 0,024

5 3

e. log

c. log 0,125

f. log

PÁGINAS 50 - 52

4

27

5

36

4

27

Ecuaciones logarítmicas

Indicaciones para el docente

En tu cuaderno

La resolución de ecuaciones logarítmicas se basa en los mismos procedimientos utilizados para resolver ecuaciones habituales. Aunque no existen métodos fijos, es recomendable convertirla en otra equivalente en la cual no aparezcan logaritmos, para esto, se ha de intentar llegar a una situación semejante a la siguiente: logb f(x) = logb g(x). Entonces empleamos antilogaritmos (pues la función logaritmo es uno a uno) para simplificar la ecuación obteniendo f(x) = g(x), que se resuelve con los métodos habituales. También se puede aplicar propiedades de los logaritmos en la ecuación logarítmica para obtener m una ecuación equivalente del tipo: logb f(x) = m, de donde se obtiene que f(x) = b , para luego resolver en forma habitual.

Actividad 1y2

Habilidades que se desarrollan Calcular.

Actividades complementarias 1. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. Comprueba, en cada caso, si los valores obtenidos satisfacen la ecuación.

a. log (x + 4) + log (x – 6) = 2 log (x – 2) b. log (6x + 5) + log (x + 7) = log (3x + 4) + log (2x + 5) 2

c. log (x + 8) + log (x + 4) = log (x + 8x + 24) 2

3

d. 3 log x + log x + log x – 4 log x = 2 2. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas con dos incógnitas.

Comprueba, en cada caso, si los valores obtenidos satisfacen el sistema.

a.

log2 x + log2 y = 5 3

4

log2 x – log2 y = 8

b. 21 log2 x + 35 log3 y = 112 –20 log2 x – 35 log3 y = –110

5

3

4

2

c. log3 x + log3 y = 13 log3 x – log3 y = 6

d. 5 log2 x + 3 log3 y = 8 4 log2 x – 7 log3 y = –3

Números y raíces

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PÁGINAS 53 - 54 En tu cuaderno Actividad 1, 2 y 3

Habilidades que se desarrollan Calcular.

4

Calcular e investigar.

5

Calcular, analizar y demostrar.

Aplicaciones de las ecuaciones logarítmicas Indicaciones para el docente Las unidades utilizadas comúnmente para medir los niveles de intensidad de sonido, llamadas belio y decibeles, son en realidad relativas y de naturaleza logarítmica. Así un decibel se define en acústica como la décima parte del logaritmo decimal (base 10) del cociente entre la intensidad de un sonido y una intensidad umbral tomada como referencia.

La escala de medida Richter, para la intensidad de un sismo, utiliza una escala logarítmica de base 10, con lo que cada aumento de grado en esta escala no corresponde con un aumento lineal de la magnitud de un sismo, sino exponencial, es decir, un terremoto de grado seis es diez veces menos intenso que un terremoto de grado siete y cien veces menor que uno de grado ocho.

Posibles dificultades en las actividades Al resolver los problemas, los alumnos y alumnas necesitarán utilizar una calculadora científica para poder determinar algunos valores. Es conveniente que solicite la calculadora como material indispensable para dicha clase, o bien que escriba en la pizarra los valores asociados a los problemas, para que los y las estudiantes trabajen correctamente.

Actividades complementarias 1. Encuentra 冤H +冥 aproximada, en cada caso, dados sus valores de pH. a. b. c. d.

Plátanos, pH = 5 Amoníaco doméstico, pH = 11,9 Huevos, pH = 8 Levadura, pH = 8,4

2. El terremoto ocurrido el 21 de abril de 2007, en el fiordo de Aisén, fue de 6,3 grados Richter. ¿Cuánta energía se liberó por este sismo?

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Orientaciones didácticas Unidad 1 PÁGINAS 55 - 58

Herramientas tecnológicas

Para facilitar el uso de las herramientas tecnológicas computacionales propuestas, presentamos un tutorial para instalar y utilizar el programa GeoGebra.

En tu cuaderno Habilidades que se desarrollan

Tutorial de instalación del programa

Usar herramientas, interpretar, analizar y aplicar.

GeoGebra es el software que se utilizará en esta Unidad. El programa es de libre disposición en Internet y se puede encontrar en la página www.geogebra.org Antes de comenzar su clase, es recomendable que previamente instale el programa en cada uno de los computadores que se van a utilizar, para prevenir dificultades en el proceso de instalación. Por ejemplo, es posible que los computadores tengan autorización solo del administrador para instalar programas; esto evita que los y las estudiantes bajen programas para fines no académicos en los computadores. En este caso, solicite al administrador de los computadores su autorización para instalar el programa.

Luego, debe verificar si cada computador cuenta con conexión a Internet. Si es así, ingrese a la página www.geogebra.org y siga los pasos que se señalan en la página 55 del Texto del Estudiante.

En caso contrario, puede descargar el programa de algún computador que sí tenga conexión y después copiarlo en los demás. Para esto verifique si el computador tiene puerto USB o lector de CD. En cada caso necesitará grabar el programa en un pendrive o en un CD, respectivamente.

Para descargar el programa al CD o pendrive se debe: Ingresar a la página www.geogebra.org, y luego hacer clic en el botón Download, tal como el de la imagen.

Después, se abrirá una página donde se muestran varias opciones de descarga, según el sistema operativo de cada computador. Si los computadores que va a utilizar usan Windows, haga un clic sobre la opción y luego elija guardar. Se recomienda traspasar el archivo al escritorio del computador, para después copiarlo a un CD o pendrive. El archivo tiene un tamaño de 14,9 MB, por lo que la descarga demorará entre 10 y 30 minutos, dependiendo de la rapidez de la conexión a Internet que disponga.

Posteriormente, abra el archivo en cada uno de los computadores que necesita, haciendo doble clic sobre el ícono, y siguiendo los pasos de instalación que aparecen en pantalla.

Números y raíces

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a)

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Tutorial de uso del programa a) Todas las funciones, una vez que son graficadas aparecen en la ventana de vista algebraica y en la de vista gráfica. En la ventana de vista algebraica, se puede desactivar la gráfica alguna de las funciones, presionando el botón verde que aparece junto a la función y dejándolo en blanco.

Si al escribir la función, no se ve su gráfica, entonces se necesita realizar un acercamiento o zoom, de la siguiente manera:

b)

b) En la barra de herramientas, que aparece en la parte superior de la ventana, se encuentra el botón Desplazar Vista Gráfica.

Esta herramienta permite desplazar todo el plano cartesiano, así como también permite alejarse

o acercarse

para

observar los puntos o las gráficas de las funciones.

c)

c) Si desea cambiar la graduación de los ejes, debe ingresar en barra de menú a Opciones y luego Vista Gráfica. d) Luego, se desplegará una ventana donde puede realizar las variaciones que considere pertinentes en los ejes X e Y. Seleccione el eje que va a modificar.

Si selecciona 1, entonces aparecen los valores 1, 2, 3, 4, 5, etc., en eje seleccionado. Si selecciona 5, entonces aparecen los valores 5, 10, 15, 20, etc., en ese eje.

Razón entre los ejes X e Y. Si se escribe 1 : 2, entonces en el plano cartesiano la distancia correspondiente a 1, en el eje X, corresponde a 2 en el eje Y.

d)

Permite especificar el intervalo de valores que aparecen en la vista gráfica de cada eje.

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Orientaciones didácticas Unidad 1 PÁGINA 59

Mi progreso

En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos y alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizar como una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan en el cuadro Mi progreso e incluye los siguientes criterios: Ítem 1: Calcular logaritmos utilizando tablas de potencias. Ítem 2: Calcular logaritmos. Ítems 3 y 4: Aplicar propiedades de los logaritmos. Ítem 5: Resolver ecuaciones logarítmicas. Ítem 6: Resolver problemas asociados a ecuaciones logarítmicas. Ítem 7: Reconocer propiedades de los logaritmos.

Mi progreso Ítem

Habilidades que se evalúan

1

Aplicar.

2

Calcular.

3y4

Representar.

5

Interpretar, calcular y verificar o comprobar.

Posibles dificultades en la evaluación

6

Aplicar.

En el ítem 1, es posible que sus estudiantes no relacionen correctamente los valores indicados con las filas y columnas en las que deben buscar los valores correspondientes.

Recuérdeles que cada columna corresponde a todas las potencias que tienen la misma base. Luego, la base del logaritmo les indica en qué columna pueden buscar el valor del argumento para calcular correctamente el logaritmo.

En el ítem 2, recuerde a los alumnos y alumnas cómo se relacionan los logaritmos y las potencias, de modo que verbalicen los logaritmos como ecuaciones exponenciales, por ejemplo, log6 216 se puede leer: ¿Cuál es el exponente de la potencia de base seis, tal que el valor de la potencia es 216?

En el ítem 3, un error frecuente es que los y las estudiantes apliquen algunas propiedades, pero no desarrollen exhaustivamente la expresión. Enfatíceles que deben transformar todas las raíces, potencias, productos y cocientes que tenga el argumento del logaritmo.

En el ítem 4, es posible que los alumnos y alumnas cometan errores respecto de la prioridad de las operaciones. Recuérdeles que si no hay paréntesis, se resuelven primero los productos y cocientes y después las sumas y restas, siempre de izquierda a derecha.

En el ítem 5, enfatice a sus estudiantes que siempre deben verificar la solución algebraica en la ecuación original y constatar que los todos logaritmos que tenga la ecuación estén bien definidos, esto es, su argumento sea positivo. En caso contrario, esta solución no satisface la ecuación.

En el ítem 6, los alumnos y alumnas necesitarán de una calculadora científica para calcular el valor correspondiente a la solución; en caso de no tener acceso a dichos dispositivos, se sugiere que ellos y ellas escriban la expresión que les permitiría obtener el resultado, lo más simple posible.

En el ítem 7, enfatice que para justificar que una afirmación es falsa, basta mostrar un contraejemplo. En cambio, para justificar que es verdadera, se debe argumentar matemáticamente, es decir, con una demostración.

7

Analizar y justificar.

Números y raíces

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A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar el desempeño de sus estudiantes en la evaluación formativa. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

1

• Calcula correctamente todos los logaritmos, utilizando la tabla vista en la Unidad.

• Calcula correctamente todos los logaritmos, por inspección.

• Calcula correctamente uno o dos logaritmos.

• No comprende cómo utilizar la tabla de potencias para calcular los logaritmos.

2

• Calcula correctamente • Calcula correctamente todos los logaritmos, todos los logaritmos, por mediante la ecuación inspección. exponencial correspondiente.

• Calcula correctamente algunos logaritmos, porque comete errores numéricos.

• No relaciona los logaritmos con las potencias correspondientes.

3

• Desarrolla correctamente • Desarrolla ambas ambas expresiones, expresiones, pero comete aplicando las propiedades. errores al aplicar las propiedades.

• Desarrolla una o ambas • Desarrolla una o ambas expresiones, pero comete expresiones, pero errores numéricos o de signos comete errores al al aplicar las propiedades. aplicar las propiedades.

4

• Reduce correctamente ambas expresiones, aplicando las propiedades.

• Reduce correctamente al • Reduce correctamente al menos dos expresiones, menos dos expresiones, pero comete errores al pero comete errores aplicar las propiedades. numéricos o de signos.

• Reduce una o ambas expresiones, pero comete errores al aplicar las propiedades.

5

• Resuelve correctamente todas las ecuaciones logarítmicas.

• Resuelve correctamente • Resuelve correctamente todas las ecuaciones a lo menos dos de logarítmicas, pero no las cuatro ecuaciones comprueba sus soluciones. logarítmicas.

• Resuelve correctamente una o ninguna de las ecuaciones logarítmicas.

6

7

• Responde correctamente • Plantea y resuelve • Plantea correctamente el problema, planteando la correctamente todas las la ecuación, pero ecuación y resolviéndola ecuaciones que le permiten comete errores al correctamente. dar respuesta a cada una de despejar la incógnita, las preguntas, pero necesita obteniendo un valor orientación para incorrecto. Aun así, formula comprender el problema y una respuesta para elaborar la respuesta. responder la pregunta.

• Comete errores en el planteamiento de la ecuación que resuelve el problema.

• Marca la alternativa en • Marca la alternativa en forma correcta justificando forma correcta, pero no su decisión. justifica su decisión.

• Marca una alternativa incorrecta o la omite.

PÁGINAS 60 - 61 En tu cuaderno Actividad

Habilidades que se desarrollan

1 (Pág. 44)

Interpretar, seleccionar y aplicar.

1 (Pág. 45)

Interpretar, seleccionar y aplicar.

60

• Puede decidir si algunas de las afirmaciones es verdadera, pero no logra determinar la respuesta correcta.

Cómo resolverlo La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la unidad; sin embargo, en estas páginas se presentan estrategias de resolución específicas para que los y las estudiantes la aprendan y la apliquen en futuros problemas. Además, esta resolución se presenta detallada, justificando las diferentes acciones, lo que permite aclarar posibles dudas que sus estudiantes pueden mantener. Se recomienda que enfatice los pasos que deben seguir en la resolución de problemas: comprender, planificar, resolver y revisar.

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Orientaciones didácticas Unidad 1 INDICADORES DE LOGRO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS A continuación, se presentan diferentes indicadores de logro que puede utilizar para evaluar la resolución de problemas planteados.

Logro, aplicación

En proceso, logro parcial

No comprende

• Copia el problema.

• Identifica palabras clave.

• Puede que mal interprete parte del problema.

• Puede que tenga alguna idea acerca de la respuesta.

• No entiende el problema.

• Entiende mal el problema.

• Como rutina pide explicaciones.

Comprensión de • Aplica correctamente reglas conceptos o algoritmos cuando usa símbolos.

• Conecta cómo y por qué.

• Aplica el concepto a problemas o a situaciones nuevas.

• Hace y explica conexiones.

• Realiza lo pedido y va más allá.

• Demuestra un entendimiento parcial o satisfactorio.

• Puede demostrar y explicar usando una variedad de modos.

• Está listo para hacer conexiones acerca de cómo y por qué.

• Relaciona el concepto con conocimiento y experiencias anteriores.

• Realiza las tareas cada vez con menos errores.

• No modela los conceptos rutinarios correctamente.

• No puede explicar el concepto.

• No intenta resolver el problema.

• No hace conexiones.

Verificación de resultados y/o progreso

• Revisa cálculos y procedimientos.

• Puede investigar razones si existen dudas.

• No revisa cálculos ni procedimientos.

• No reconoce si su respuesta es o no razonable.

Comprensión del problema o situación

• Puede expresar en sus propias palabras e interpretar coherentemente el problema.

• Identifica la información necesaria.

• Tiene una idea acerca de la respuesta.

• Chequea racionalidad de los resultados.

• Reconoce sin razones.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm

Actividades complementarias 1. El número de días de un año no bisiesto, 365, es un número muy especial. Es el único que corresponde a la suma de tres cuadrados de números consecutivos y también es la suma de los siguientes dos cuadrados. ¿Cuáles son estos números?

2. Da valores a las siguientes letras para que se verifique cada igualdad.

2

a. (AA) = ALA

b.

PAPI = SI

3. Los siguientes números irracionales se inventaron siguiendo una regla.

Descúbrela, escríbela y aplícala para encontrar las cinco cifras decimales que siguen en cada caso.

a. 0,102103210…

c. 5,1525354…

b. 10,212031304140…

d. 1,1010010001…

Números y raíces

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PÁGINAS 62 - 63 En tu cuaderno Actividad

Habilidades que se desarrollan

1y2

Aplicar.

3y4

Analizar, aplicar y conectar.

Investiguemos...

Actividad

Habilidades que se desarrollan

1

Evaluar.

2

Analizar.

3

Conectar y seleccionar.

4

Analizar, aplicar y representar.

PÁGINAS 64 - 65 Síntesis de la Unidad Actividad

Habilidades que se desarrollan

Mapa conceptual

Recordar, conectar y representar.

1

Evaluar y justificar.

2

Aplicar.

En terreno Esta sección del Texto tiene como objetivo relacionar algunos de los contenidos de la unidad con alguna aplicación o trabajo práctico. La unidad plantea construir en forma geométrica una aproximación del numero π.

Podría sugerir a sus estudiantes, además, encontrar un valor aproximado para π, usando un papel cuadriculado o un programa para graficar (Graphmatica es una buena opción). Recuerde a sus alumnos y alumnas que un círculo de radio 1 unidad tiene un área de π unidades2. Pídales que piensen en qué factor determinará que la aproximación encontrada por este método sea buena. Pueden usar una calculadora y/o computador para verificar.

Para complementar esta actividad, podría pedirles que investiguen acerca de métodos no geométricos de aproximar π. Una expresión para tener en mente es la serie: π 1 1 1 = 1– + – + ...

4 3 5 7 Pídales que exploren qué tan buenas aproximaciones de π se logran a medida que se toman cada vez más términos de la serie. Para comparar, pueden usar valores calculados con un computador (la mayoría de los sistemas operativos poseen una calculadora científica como accesorio).

Haga notar las aproximaciones en términos de números racionales dadas en la introducción a la sección. Realmente, en la construcción de los números reales está involucrada la idea de aproximar mediante números racionales. Recuerde que los números enteros fueron construidos a partir de los naturales y los racionales a partir de estos últimos. Los números irracionales también pueden ser construidos a partir de los racionales como una especie de límite de una secuencia de números racionales. La construcción usada es menos elemental que las ya conocidas. Una referencia al respecto se encuentra el libro de M. Spivak, Cálculo infinitesimal, segunda edición, Editorial Reverté, 1992, Capítulo 28.

Síntesis de la Unidad Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos y alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados en toda la unidad. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los alumnos y alumnas consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. Además, permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus estudiantes.

En esta sección, los y las estudiantes resumen y organizan a través de un mapa conceptual los conceptos fundamentales trabajados en la unidad.

Como actividades de consolidación, se presentan afirmaciones de carácter conceptual y algunos problemas de aplicación, que involucran los contenidos trabajados en la unidad.

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Orientaciones didácticas Unidad 1 Actividades complementarias Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la unidad, realice preguntas como las siguientes: • ¿Es posible ubicar números irracionales en la recta numérica? ¿Cómo lo harías?

Da un ejemplo.

• ¿Puedo expresar un número irracional como fracción?, ¿por qué?

• ¿Qué tipo de número decimal es un número irracional?

• ¿Qué números irracionales conoces? Da algunos ejemplos.

• ¿Todas las raíces son números irracionales? Explica.

• ¿Es posible calcular la raíz cuadrada de un número negativo? Explica.

• ¿Siempre se puede calcular la raíz cúbica de un número negativo? Explica y da algunos ejemplos para justificar tus respuestas.

• ¿Qué relación existe entre las potencias y las raíces?

• ¿Qué propiedades de las raíces conoces?

• ¿Qué es racionalizar una expresión?

• ¿Para qué sirve la racionalización?

• ¿Cómo definirías las ecuaciones con radicales?

• ¿Cómo se resuelven este tipo de ecuaciones? Explica y da un ejemplo.

PÁGINAS 66 - 67

Repasar conceptos y definiciones claves de la Unidad.

Indicador: localiza y recupera información.

Sugerencias metodológicas: utilizar como síntesis para integrar conceptos y definiciones de la unidad.

Evaluación de la Unidad

Los ejercicios y problemas presentados en esta sección permiten evaluar los aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la unidad. Considere lo siguiente: Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.

Logrado, si contesta correctamente más de 13 preguntas.

Medianamente logrado, si contesta correctamente 13 preguntas.

No logrado, si contesta correctamente menos de 13 preguntas.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En los ítems 16, 17 y 18, se podría presentar una dificultad relacionada con los conceptos de diagonal, perímetro y área de un cuadrado. Para ello, se recomienda hacer un breve repaso de estos contenidos geométricos.

• En el ítem 8, podría ocurrir que los alumnos y alumnas no recuerden que cualquier número elevado a 0 es 1. Para evitar esto, se recomienda repasar esta propiedad antes de la evaluación.

• En los ítems 1, 3, 4 y 6 puede que tengan dificultades para resolver la expresión presentada, para ello recuérdeles las propiedades de las raíces. Es importante que los alumnos y alumnas conozcan muy bien cada una de las propiedades, pues de esta forma podrán trabajar de manera óptima con las raíces.

• En el ítem 5, puede ocurrir que sus estudiantes quieran resolver el ejercicio desarrollando el cuadrado de binomio asociado. Otra opción de resolución es expresar todos los términos en función de una misma raíz, luego reducir términos semejantes y finalmente elevar al cuadrado. Para esto es importante que puedan descomponer raíces para expresarlas en función de otras. Muéstreles ambas formas de resolución para que puedan notar que un método puede ser más conveniente que el otro.

Evaluación Habilidades que se evalúan

Ítem 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15 y 19 9, 16, 17 y 18

Calcular.

Aplicar y calcular.

Como complemento a esta evaluación, el hipertexto cuenta con una evaluación interactiva y, además, una autoevaluación imprimible para que sus estudiantes evalúen su desempeño.

Números y raíces

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• En los ítems 7 y 12, puede que los y las estudiantes tengan dificultad para encontrar el valor aproximado de la raíz dada, para ello es importante que aprendan cómo encontrar el valor de raíces no exactas con algún método conveniente, si es que no usan calculadora.

• En el ítem 9, el inconveniente estaría en que los alumnos y alumnas no recuerden el concepto de superficie total y también cómo calcularla en un cubo. Se recomienda explicar el concepto a través de la red de un cubo, mostrando que está compuesto por 6 cuadrados. Por lo tanto, el área total del cubo sería 6 veces el área de cada cuadrado.

• En el ítem 10, los alumnos y alumnas se podrían complicar al tratar de resolver la potencia del trinomio presentado. Muestre que la mejor opción en ejercicios de este tipo es expresar todos los términos en función de una misma raíz, luego reducir términos semejantes y finalmente elevar a la sexta.

Para esto, es importante que puedan descomponer raíces para expresarlas en función de otras, por ello es fundamental que practiquen estos contenidos con diversos niveles de dificultad.

• En el ítem 11, puede suceder que no recuerden cómo simplificar este tipo de expresiones. Para ello, puede explicar el proceso de racionalización de raíces, cuya finalidad es eliminar las raíces en el denominador, o bien, pídales que trabajen con potencias, transformando la raíz en potencia, y luego aplicar la propiedad de división de potencias de igual base.

• En el ítem 13, podría provocar complicación en los y las estudiantes resolver una composición de raíces. Recuérdeles que es conveniente dejar expresado todo en una sola raíz. Para ello, deben comenzar introduciendo términos de adentro hacia afuera, considerando los índices de las raíces involucradas y aplicando las propiedades de las raíces. También pueden trabajar expresando todo como potencias y aplicando sus propiedades.

• En el ítem 14, puede suceder que los alumnos y alumnas se confundan al operar con raíces y elevar al cuadrado. Recuérdeles que al elevar a dos se elimina una raíz cuadrada, quedando la cantidad subradical. Nuevamente es importante que tengan presente las propiedades de las raíces y las potencias para operar con mayor facilidad.

• En el ítem 15, se podría presentar la dificultad relacionada con aplicar correctamente las propiedades de las igualdades para resolver la ecuación con radicales. También puede ocurrir que no verifiquen los valores de x encontrados en la ecuación original en algunos casos que el valor encontrado no satisface la ecuación con radicales presentada. Para evitarlo, exija a sus alumnos y alumnas verificar esto cada vez que resuelvan una ecuación de este tipo.

• En el ítem 19, se podría presentar dificultades relacionadas con las operatorias con raíces y potencias. Se recomienda enfatizar en su utilidad y mostrar lo fácil que resulta la resolución del ejercicio al aplicar los conocimientos y propiedades sobre potencias y raíces.

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Orientaciones didácticas Unidad 1 Evaluación final En las páginas siguientes, se presenta una evaluación que puede fotocopiar y que le permitirá evaluar los aprendizajes de sus alumnos y alumnas en la unidad. Con los resultados de esta evaluación, se puede tomar la decisión de reforzar algunos temas que no hayan sido aún comprendidos a cabalidad por sus estudiantes.

El tiempo estimado para la realización de la prueba es 60 minutos. Este tiempo puede ser modificado según las características de sus estudiantes.

Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes, se sugiere utilizar la siguiente pauta: Ítem

Habilidades que se evalúan

Puntaje

1

Calcular.

2 puntos

2 puntos

2

Analizar.

2 puntos

2 puntos

3y4

Calcular.

2 puntos cada una

4 puntos

5y6

Analizar.

2 puntos cada una

4 puntos

7, 8, 9, 10 y 11

Calcular.

2 puntos cada una

10 puntos

12

Aplicar y calcular.

2 puntos

2 puntos

13 y 14

Calcular.

2 puntos cada una

4 puntos

Puntaje total

Total

28 puntos

BIBLIOGRAFÍA • Brown, Dan. El Código Da Vinci, Traducción Ediciones Urano, S.A. Barcelona, España, 2003.

• Smullyan Raymond, Satan. Cantor y el infinito. Editorial Gedisa, España, 1995.

• Stewart, Ian. De aquí al infinito. Drakontos. España, 1998.

• De la Peña, José Antonio. Álgebra en todas partes. Ciencia para todos. Fondo de Cultura Económica. México, 1999.

• Guillen, Michael. Cinco ecuaciones que cambiaron el mundo. Temas de debate. España, 1995.

• Paulos, John Allen. Érase una vez un número. Libros para pensar la ciencia. España, 1999.

• Paulos, John Allen. El hombre anumérico. Libros para pensar la ciencia. España, 1997.

• Paulos, John Allen. Más allá de los números. Libros para pensar la ciencia. España, 1998.

Sitios web • El portal de la educación: www.educarchile.cl • El paraíso de las matemáticas: www.matematicas.net Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

Números y raíces

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Evaluación final Material fotocopiable Nombre:

Curso:

Fecha:

Marca o encierra la alternativa correcta de cada pregunta.

1. El valor de

81 es: 121

5. ¿En cuál de los siguientes casos irracional?

x es siempre

A. 0,11 B.

I. x es par.

II. x es impar.

III. x es primo.

9 11

C. 0,9

A. B. C. D. E.

D. 0,99 E.

11 9

Solo I Solo III Solo I y III Solo II y III I, II y III

2. ¿Cuál de las alternativas es falsa?

A.

2 es irracional.

B. π es irracional.

C.

2 + 3 es real.

D.

324 es irracional.

6. Si x representa el área de un cuadrado, entonces, ¿cuál expresión representa el perímetro del cuadrado?

A.

E. Toda fracción es un número real.

x

B. 2 x C. 4 x D. 4x

3. El resultado de 3 2 + 32 – 50 es: A.

E. x 8

B. 3 2 C. 12 2 D. −2 2 E. 2 3

7.

(

A. 7 B. 24 5 C. 0 D. –25 5 E. 47

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| Unidad 1 Guía Didáctica Matemática 2o Medio

)

+

8

4 A. 7 6 + 3

B. 4. (5 2 – 3 )(5 2 + 3 ) =

7

8

10

C. 4 D.

7+ 3

E. 10

( ( 3) ) = 2

2

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Evaluación final Material fotocopiable 8. La expresión

A.

3

4

B.

3

2

C.

6

8

6

2

3

8

D. E.

2 3

es equivalente a:

11. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

2

A. B. C. D. E.

(

3 – 2)( 3 + 2) es: 6

A.

1 100

B.

2 10

C.

2 100

A. 6 1 6

C. −

los los los los los

números números números números números

naturales son racionales. racionales son naturales. naturales son reales. enteros son racionales. irracionales son reales.

12. La hipotenusa del triángulo rectángulo isósceles –2 cuyos catetos miden 10 es:

9. El valor de

B.

Todos Todos Todos Todos Todos

1 6

D. 10 2

2 6 E. Ninguna de las anteriores.

C.

E. 100 2

13. Encuentra el valor de x en la ecuación log2 x + log2 x = 2.

10. Para ubicar geométricamente el número 5 en una recta numérica, se puede construir un triángulo rectángulo de catetos: A. 1 y

A. x = 0 B. x = 1 C. x = 2

2

D. x = 2,5

B. –1 y

3

C. –1 y

5

D. 1 y 2 E. –1 y – 3

E. x = 3 1 14. Si logb 3 = – , entonces el valor de b es: 3 A. 3 B.

–1

1 27

C. 9 D. 12 E. 2 Números y raíces

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2 Unidad

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Expresiones algebraicas fraccionarias PROPÓSITO

DE LA UNIDAD

En esta unidad, se profundizan y amplían los conocimientos adquiridos en años anteriores por los alumnos y alumnas en relación al estudio de las expresiones algebraicas. Ellos ya han aprendido a representar relaciones entre valores conocidos y desconocidos mediante expresiones algebraicas, a desarrollar productos notables y a factorizar. También, han aprendido a resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita. En este curso utilizarán esos conocimientos para escribir, evaluar y operar con fracciones algebraicas. Primero, analizarán las fracciones para determinar en qué valores se anulan o se indeterminan. Luego, aprenderán a simplificar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas, basados en la factorización y en los productos notables, y a sumar y restar fracciones algebraicas, calculando el mínimo común múltiplo correspondiente. Además, los alumnos y alumnas trabajarán con las ecuaciones que involucran fracciones algebraicas, aprenderán a resolverlas e interpretar sus soluciones.

A lo largo de la unidad, se presentan diversos problemas de aplicación con el propósito de que los y las estudiantes puedan observar la presencia de los contenidos enseñados en diferentes contextos matemáticos y cotidianos.

A continuación, se presenta un esquema que relaciona los principales conceptos de la unidad.

ESQUEMA

DE LA UNIDAD

Planteamiento de problemas

Lenguaje algebraico Expresiones algebraicas

Ecuaciones Expresiones algebraicas fraccionarias

Restricciones

Orden

Simplicación

Operaciones

Denominador distinto de 0 Multiplicación

Adición

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Guía Didáctica Matemática 2o Medio

División

Sustracción

• Establecimiento de estrategias para simplificar, sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas simples, con binomios tanto en el numerador como en el denominador y determinación de aquellos valores que indefinen una expresión algebraica fraccionaria.

CMO DE LA UNIDAD

• Fracciones algebraicas.

• Comparación de fracciones algebraicas.

• Análisis de fracciones algebraicas.

• Restricciones en fracciones algebraicas.

• Simplificación de fracciones algebraicas.

• Multiplicación de fracciones algebraicas.

• División de fracciones algebraicas.

• Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas.

• Adición de fracciones algebraicas.

• Sustracción de fracciones algebraicas.

• Ecuaciones que involucran fracciones algebraicas.

• Situaciones que involucran fracciones algebraicas.

CONTENIDOS ESPERADOS

• Identificar las fracciones algebraicas.

• Establecer relaciones de orden entre fracciones algebraicas.

• Simplificar fracciones algebraicas utilizando factorización y productos notables.

• Resolver ejercicios de adición, sustracción, multiplicación y división de fracciones algebraicas.

• Explicar y expresar algebraicamente relaciones cuantitativas incluidas en diversos problemas. Resolver esos problemas y analizar las soluciones.

APRENDIZAJES

• Identifican las fracciones algebraicas.

• Ordenan y simplifican fracciones algebraicas.

• Calculan sumas, restas, productos y cuocientes de fracciones algebraicas.

• Interpretan fracciones algebraicas.

• Explican y expresan algebraicamente relaciones cuantitativas incluidas en diversos problemas.

• Traducen problemas a ecuaciones que involucran fracciones algebraicas.

• Resuelven ecuaciones que involucran fracciones algebraicas, analizan las condiciones de existencia de sus soluciones.

INDICADORES DIDÁCTICOS

• Computador con planilla de cálculo.

• Calculadora científica.

RECURSOS

DE EVALUACIÓN

16:48

• Sumativa: páginas 104 y 105 del Texto para el Estudiante y 90 y 91 de la Guía Didáctica para el Profesor.

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• Formativa: páginas 86 y 97 del Texto para el Estudiante.

• Diagnóstica: páginas 70 y 71 del Texto para el Estudiante.

TIPOS

Tiempo estimado: 5 a 6 semanas

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Expresiones algebraicas fraccionarias

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PÁGINAS 68 - 69

Páginas de entrada La imagen presentada al comienzo de la unidad tiene como propósito introducir y motivar a los alumnos y alumnas en el estudio y aprendizaje de las expresiones algebraicas fraccionarias y otros contenidos relacionados.

Revise el hipertexto, para que conozca los recursos disponibles: ejercitación adicional, elementos de profundización de contenidos, links y evaluaciones.

PÁGINAS 70 - 71 ¿Cuánto sabes? Ítem

Ítem

Habilidades que se evalúan

1

Calcular.

2

Evaluar y justificar.

3

Calcular.

Completamente logrado

En la imagen se muestra la presencia de la proporción áurea en las construcciones griegas y con esto puede comenzar a conversar sobre las expresiones algebraicas fraccionarias, su importancia y su presencia en diferentes ámbitos, como, por ejemplo, en las ciencias, en la ingeniería y en la economía, entre otras. La solución de esta ecuación corresponde al número de oro φ, ya comentado en la Unidad 1.

Evaluación diagnóstica Para identificar los conocimientos previos que poseen los alumnos y alumnas, se presenta una evaluación diagnóstica, titulada ¿Cuánto sabes? En ella se evalúan las habilidades que a continuación se describen e incluye los siguientes criterios: Ítem 1: Resolver operatoria combinada de números racionales (con y sin paréntesis). Simplificar según pertinencia. Ítem 2: Determinar la validez de propiedades de los números racionales. Justificar. Ítem 3: Resolver operatoria algebraica, reconociendo además términos semejantes.

Logrado

Medianamente logrado

• Resuelve correctamente todas las operaciones combinadas.

• Resuelve correctamente más de tres operaciones combinadas.

2

• Determina validez de todas las expresiones. Es capaz de justificar.

• Determina validez de más • Determina validez de tres de tres expresiones. Es expresiones. Es capaz de capaz de justificar al menos justificar el 50%. el 50%.

• Determina validez de menos de tres expresiones.

Es capaz de justificar menos del 50%.

3

• Resuelve correctamente todas las operatorias algebraicas.

• Resuelve correctamente más de cinco operatorias algebraicas.

• Resuelve correctamente menos de cinco operatorias algebraicas.

1

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• Resuelve correctamente tres operaciones combinadas.

Por lograr

• Resuelve correctamente cinco operatorias algebraicas.

• Resuelve correctamente menos de tres operaciones combinadas.

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Orientaciones didácticas Unidad 2 Posibles dificultades en la evaluación y remediales En el ítem 1, los errores frecuentes en operatoria combinada son no respetar el orden de las operaciones, a lo que se agrega lo siguiente: - En la adición de racionales, sumar directamente, por ejemplo:

2 3 5 + = .

3 2 5

- Confundir la multiplicación con la división de números racionales.

- No respetar el orden de los paréntesis.

- En ejercicios como e y f, suelen no respetar ley de los signos cuando un signo negativo antecede a un paréntesis.

En el ítem 2, en las aseveraciones b y e, no interpreta correctamente el cuociente, cuando uno de los elementos es cero. Aclarar este concepto basándose en que: a Si = c ⇔ bc = a . b En el ítem 2, en la aseveración c, la principal dificultad es simplificar de la forma: a+b a+b a b b = b , pero se debe recordar que : = + = 1+ ≠ b a a a a a En el ítem 3, se sugiere repasar la reducción de términos semejantes, ya que los y las estudiantes tienden a confundir la adición con la multiplicación de expresiones algebraicas, luego calcularán, por ejemplo, de la siguiente forma: 6

6

3

4

12

• 2x + 5x = 7x

12

• 3x – 5x = 15x

Es importante realizar una revisión de la evaluación diagnóstica de manera individual, para así conocer las realidades de cada estudiante. También sería interesante realizar una revisión general en el pizarrón, lo que les permitiría reconocer sus errores, corregirlos y aclarar dudas evitando posteriores errores conceptuales.

Actividades complementarias 1. Factoriza las siguientes expresiones: 2

a. 16 – (x – y) = 4

b. x – 289 = 3

c. 1 000a – 27 =

2

2

2

d. 1 – a + 3b – 3ab = 6

6

9

9

e. x – y = f. p – q =

2. ¿A qué hora, después del mediodía, los punteros del reloj coinciden? (Si es necesario, indique a los y las estudiantes que después del mediodía los punteros se juntan entre la 1 y las 2).

Deben plantear la ecuación:

1 x = 12 x + 60

Aprendizaje de conceptos claves a tratar en la unidad.

Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información. Localiza y recupera información.

Sugerencias metodológicas: utilizar luego de haber avanzado en los conceptos claves de la unidad, como ejercitación.

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PÁGINAS 72 - 73 En tu cuaderno Actividad

Habilidades que se desarrollan

1

Analizar y aplicar.

2

Calcular.

3

Interpretar y reconocer/identificar.

Fracciones algebraicas Indicaciones para el docente Un buen método para ayudar a sus estudiantes a trabajar con fracciones algebraicas, es verlas y tratarlas como una extensión de las fracciones numéricas. Por lo tanto, se sugiere recordar la operatoria y propiedades de fracciones antes de comenzar.

Se sugiere que recuerde el orden de fracciones, porque podría asumir el alumno o alumna que la mayor expresión de velocidad es a , solo porque t + 5 es mayor. t+5

Actividades complementarias Errores frecuentes • El alumno o alumna cree que la mayor rapidez en el problema inicial es t + 5, esto es porque confunde los conceptos tiempo y rapidez.

En la sección En tu cuaderno, un error común es pensar que 1 minuto y diez segundos es lo mismo que 1,10 minutos.

Para motivar a los estudiantes en el estudio de las fracciones o expresiones racionales, se les puede pedir su IMC (índice de masa corporal), el cual relaciona la masa M (kg) y la altura de una persona h (m). Se define mediante la expresión racional: M IMC = 2 h Se sabe que lo ideal es registrar un IMC = 30, así por ejemplo, una mujer de 1,63 m de alto y de 90 kg o un hombre de 94,5 kg y 1,70 m de altura, tienen más posibilidades de enfermar que una persona con un IMC ideal.

Actividades sugeridas 1. Calcula con los datos anteriores, el IMC de un grupo de compañeros y compañeras.

2. Valora con x = 3, a = 2 y b = 1 las siguientes expresiones: Aprendizaje de la nomenclatura de términos de un polinomio.

Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información.

Sugerencias metodológicas: utilizar previo al análisis aritmético de las expresiones algebraicas fraccionarias.

a.

2 1− a 1⎛ 1 1 ⎞ = + ⎜ + (1 − ax ) − (a + x ) 2 ⎝ 1 − x 1 + x ⎟⎠

a+b a−b + 3 3 ab − a b b. a − b a + b ⋅ a − b a + b a2 + b2 + a+b a−b Si primero se simplifica, el cálculo se hace más fácil.

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Orientaciones didácticas Unidad 2 PÁGINAS 74 - 75

Comparación de fracciones algebraicas

Indicaciones para el docente

En tu cuaderno

Para los ejemplos dados, asegúrese que los alumnos y alumnas comprendan por qué una expresión es mayor que otra. En el caso del ejemplo 1, mencione que en la expresión de la izquierda se tiene un número positivo más 1, que es un número positivo siempre, dividido por otro número positivo, resulta un número positivo; en cambio, en la de la derecha, si 0 < n <1 el numerador de la fracción resulta un número negativo, con lo que la expresión es negativa. Pueden verificarlo también asignando valores numéricos para n.

Actividad 1y2

Habilidades que se desarrollan Calcular y clasificar.

Actividades complementarias Se recomienda, como actividad de investigación, trabajar con la propiedad de tricotomía que indirectamente es utilizada para crear la desigualdad: a a+1 < . Luego, esta actividad puede estar orientada a investigar tanto el b+1 b concepto de tricotomía como en qué propiedades se ha utilizado para realizar una demostración. También, se pueden sugerir actividades en que se utilice directamente este concepto.

PÁGINAS 76 - 77

Análisis de fracciones algebraicas

Indicaciones para el docente

En tu cuaderno

Estas páginas tienen como objetivo la reflexión y análisis de expresiones algebraicas especiales, como son aquellas con denominador igual a uno, cero, etc. Además, se motiva a los y las estudiantes para analizar qué sucede con una determinada expresión si sus valores aumentan o disminuyen.

1 Como por ejemplo, la expresión . x+2

Actividades complementarias 1. Determina el valor de la expresión en cada caso. a.

x+2 con x muy grande. x–3

b.

2a + 5 con a muy grande.

3a + 1

Actividad

Habilidades que se desarrollan

1y3

Analizar.

2

Verificar.

Errores frecuentes • Confunden valores de expresiones que involucran unos o ceros, por 1 ejemplo: cuando n = 0; se n suelen confundir con el valor cero para la expresión. Para evitar estos errores, es necesario explicar a los y las estudiantes que, en algunas expresiones, ciertos valores de las variables pueden no estar definidas.

Expresiones algebraicas fraccionarias

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PÁGINAS 78 - 79 Herramientas tecnológicas Habilidades que se desarrollan Usar herramientas e interpretar.

Errores frecuentes • Generalmente, se cree que para que una fracción esté determinada, el denominador debe ser mayor que 0 y sus elementos al menos distintos de cero, por esto, se sugiere enfatizar que no es siempre así.

Restricciones en fracciones algebraicas Indicaciones para el docente El estudio de restricciones algebraicas fraccionarias constituye un tema importante, por lo cual, se debe motivar a los y las estudiantes a buscar valores para los cuales una cierta expresión algebraica está indeterminada.

Es importante que los alumnos y alumnas logren comprender que para el análisis de expresiones algebraicas se deben dar variados valores numéricos y así revisar el comportamiento de cada una de ellas.

Interesa que los y las estudiantes analicen las condiciones de existencia del valor numérico que puede tener una expresión racional.

1 2x + 3 Por ejemplo, no está definida para x = , esto significa que dicha expresión 5 5x – 1 toma valores muy grandes, no expresables numéricamente. ¿Qué sucede si x se hace muy grande?

En este caso, se puede usar la equivalencia: 3 2+ 3 1 2x + 3 x = , en la cual y , se reducen a cero cuando x se hace 1 x x 5x – 1 5− x 2x + 3 muy grande. Tenemos que el valor de la fracción algebraica , 5x – 1 2 cuando x es grande, es .

5 2 x –1 Distinto es el caso de expresiones como , que se pueden simplificar siempre x–1 y cuando x ≠ 1.

2

Así tenemos:

x –1 (x – 1)(x + 1) = = x + 1. x–1 x–1 2

Para x = 1 el valor de

x –1 está indefinido. x–1

Actividades complementarias Pida a sus estudiantes que determinen entre qué valores se encuentra una expresión 4 algebraica. Por ejemplo, ¿cuál es el mínimo valor que puede tomar la expresión x ?

Analizar expresiones algebraicas tales como, 2n o 2n + 1, de manera de descubrir que representan números pares e impares, respectivamente, para lo cual se propone asignar diferentes valores numéricos a n.

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Orientaciones didácticas Unidad 2 1. Verifica si el valor de la variable es una restricción para la fracción en cada caso.

2

a.

25m – 81 –9 con m = 5m + 9 5 2

2x + 5x + 3 b. con x = –1 x+1

PÁGINAS 80 - 81

Simplificación de fracciones algebraicas

Indicaciones para el docente

En tu cuaderno

El objetivo de estas páginas es relacionar las propiedades y procedimientos de fracciones numéricas con propiedades y procedimientos de expresiones algebraicas fraccionarias. Interesa que los alumnos y alumnas relacionen los ejercicios de tipo aritméticos con aquellos algebraicos, constatando que los resultados obtenidos en estos son generalizaciones obtenidas del caso algebraico.

1 1 1 Por ejemplo: analizar el valor numérico de ; ; , etc., y luego comparar con el 2 3 4 1 análisis de la expresión . x

Es posible que algunos estudiantes presenten problemas para aplicar propiedades aritméticas a problemas algebraicos. Para ello, pida que en forma paralela efectúen operaciones con fracciones y la correspondiente operación de expresiones fraccionarias que las representen, para luego comparar los resultados.

Puede pedir que completen un cuadro como el siguiente: 1 1 a

1 1 2

3 7 4 49

1

Calcular.

2

Interpretar y calcular.

Errores frecuentes

• Los y las estudiantes pueden caer en el error de factorizar la 2 2 expresión 12x – 12 como 12(x ).

Variante metodológica

3 4 ⋅ 16 9

Habilidades que se desarrollan

Actividad

a b

2

⋅

• En el caso de la expresión 2

12 x − 12 , el alumno o 16( x + 3)( x + 1) alumna tiende a simplificar solo 12 , ignorando que el numerador 16 está compuesto por un binomio.

b a

2

a b : (a + b ) (a + b )2

Aprendizaje del procedimiento para simplificar expresiones algebraicas complejas.

Indicador: localiza y recupera información.

Sugerencias metodológicas: utilizar como ejercitación de repaso de fracciones algebraicas.

Expresiones algebraicas fraccionarias

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Importa que los alumnos y alumnas visualicen la relación entre ambos tipos de ejercicios: el aritmético y el algebraico; que puedan proponer otros ejemplos a partir de la forma general y constaten que los resultados que se obtienen son particularizaciones del caso general dado por el álgebra.

Posibles dificultades Comúnmente, los y las estudiantes confunden el modelo aditivo con el multiplicativo, y por tanto, el significado del producto ab con la suma a + b. Para remediar esta dificultad, se propone la comparación de productos y adiciones de la manera aritmética; por ejemplo: calcular 124 + 21 y 124 · 21 y, luego, comparar los resultados.

PÁGINAS 82 - 83 En tu cuaderno Actividad 1

Habilidades que se desarrollan Calcular.

Multiplicación de fracciones algebraicas Indicaciones para el docente El problema propuesto en el Texto permite que usted muestre a sus estudiantes la relación entre las operaciones con fracciones numéricas, que ellos realizan habitualmente, con las mismas operaciones, pero con fracciones algebraicas.

Si ellos no comprendieran el desarrollo propuesto, asigne valores adecuados a las variables, por ejemplo, a = 12, b = 6, c = 36, P = 144, Q = 540 y R = 72, y resuelva el problema, paso a paso, tal como está descrito en el Texto. Luego, revise el procedimiento para las fracciones algebraicas. Insista en que la forma de operar es la misma, solo que ahora se opera con términos algebraicos en lugar de números.

Es importante que sus estudiantes factoricen correctamente las expresiones algebraicas, porque, en muchos casos, factorizar las expresiones contenidas en el numerador y denominador facilita la simplificación en el caso de la multiplicación y división de fracciones algebraicas, así como el cálculo del mcm, es fundamental para resolver la adición y sustracción de fracciones algebraicas.

Aprendizaje del procedimiento para simplificar expresiones algebraicas progresivas.

Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información.

Sugerencias metodológicas: utilizar como autoevaluación en la simplificación de fracciones algebraicas.

76

Actividades complementarias 1. Resuelve las siguientes multiplicaciones factorizando previamente e indicando las restricciones.

a.

2a − 4b 2

⋅

a 2

2

6a + 3ab a − 4b 3

b.

3

3a − 15a 2

a + 12a + 35

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⋅

c.

2

2

a + 14a + 49 4

a − 25a

2

2

6a + 4b 9a − 9b ⋅ 3a − 3b 36a2 + 48ab + 16b2

d. 4x − 2y ⋅ 6x − 6y ⋅ 2

x −y

2

y

2

2

x 18x − 9y

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Orientaciones didácticas Unidad 2 PÁGINAS 84 - 85

División de fracciones algebraicas

Frecuentemente, la división de fracciones algebraicas se muestra como un procedimiento que se resuelve mecánicamente, ya que pocas veces los y las estudiantes le encuentran sentido o no ven para qué puede utilizarse. El problema propuesto en el Texto es un buen ejemplo de cómo se aplica la división de fracciones algebraicas, especialmente cuando no se conocen las medidas específicas, pero sí las relaciones entre ellas, como en este caso.

En tu cuaderno Actividad 1

Habilidades que se desarrollan Calcular.

Supervise si sus estudiantes utilizan correctamente los productos notables para simplificar algunas fracciones antes o después de la división. Si no es así, es recomendable que realice un repaso, en particular sobre cómo factorizar un trinomio con un término común, que es el caso más general y, eventualmente, incluye el cuadrado de binomio y la suma por diferencia.

Enfatice a sus alumnos y alumnas que, pese a que una fracción algebraica sin simplificar puede ser igualmente correcta, es mejor que acostumbren a presentarla simplificada o bien factorizada, sobre todo si este resultado se va a utilizar en nuevos cálculos o para estimar algunos valores numéricos. Puede mostrar en el pizarrón un desarrollo en paralelo, con y sin simplificación, para que ellos noten cómo, a medida que se resuelve cada nueva operación, sus cálculos se pueden volver muy engorrosos.

Actividades complementarias 1. Resuelve las siguientes divisiones factorizando previamente e indicando las restricciones.

2 a. x − ax : a ⋅ (x − a) 2

x +a

2

x

2

2

bx − ab x − 2ax + a : b.

2 2 a b 2

c.

d.

4m + 12mn + 9n 3

m +m 5p + 10q 2

2

2

2

:

:

2

6m + 9n 2

m −1

p − 4q

2

Aprendizaje del procedimiento para el cálculo de operaciones con fracciones algebraicas.

Indicador: localiza y recupera información.

Sugerencias metodológicas: utilizar para ejercitar la simplificación de fracciones algebraicas en más de una variable.

2

p + p − 20 p − p − 12

Expresiones algebraicas fraccionarias

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PÁGINA 86 Mi progreso Ítem 1

Habilidades que se evalúan

Mi progreso En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos y alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizar como una evaluación formativa que considera la habilidad que se detalla en el cuadro Mi progreso e incluye los siguientes criterios:

Ordenar.

2y3

Evaluar.

4y5

Aplicar.

Ítem 1: ordenar fracciones algebraicas. Ítem 2: determinar para qué valores se anula y se indefine una fracción algebraica. Ítem 3: determinar para qué valores una fracción algebraica es positiva. Ítem 4: resolver multiplicaciones de fracciones algebraicas. Ítem 5: resolver divisiones de fracciones algebraicas.

Para los ejercicios 1, 2, 3, 4 y 5 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar el nivel de conocimiento alcanzado por los alumnos y alumnas.

Ítem

1

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

• Ordena correctamente • Ordena correctamente • Ordena correctamente • No ordena correctamente las fracciones algebraicas en las fracciones algebraicas en las fracciones algebraicas en las fracciones algebraicas de todos los grupos dados. dos de los grupos dados. un grupo dado. ningún grupo dado.

• Determina correctamente • Determina correctamente • Determina correctamente • Determina correctamente los valores de x en todas los valores de x en tres de los valores de x en dos de los valores de x en menos 2 y 3 las fracciones algebraicas. las fracciones algebraicas. las fracciones algebraicas. de dos fracciones algebraicas.

• Resuelve correctamente todas las operaciones con 4 y 5 fracciones algebraicas.

• Resuelve correctamente • Resuelve correctamente dos de las operaciones con una operación con fracfracciones algebraicas. ciones algebraicas.

• No resuelve correctamente ninguna operación con fracciones algebraicas.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales En el ítem 1, podría ocurrir que sus estudiantes olviden aplicar los valores considerados de las variables para ordenar las expresiones dadas y, por lo tanto, podrían obtener conclusiones erradas sobre el orden correcto de las fracciones. Para evitar esto, recuerde a sus estudiantes la importancia de los valores de las variables para determinar el orden correcto en que deben estar las expresiones En el ítem 2, los y las estudiantes podrían tener inconvenientes para decidir si se buscan valores de x para los cuales las fracciones se anulan o quedan indefinidas. Para evitar esto, previo a la actividad recuerde a sus estudiantes las condiciones de una fracción se anula cuando su numerador se hace cero y su denominador es distinto de cero y que una fracción queda indefinida cuando su denominador se hace cero.

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Orientaciones didácticas Unidad 2 En el ítem 3, podría ocurrir que sus estudiantes solo observen los signos de los números que tiene la fracción para decidir si es positiva o no. Recuérdeles que esto depende del signo del numerador y del denominador, si son iguales, la fracción es positiva.

En el ítem 4, los alumnos y alumnas suelen multiplicar directamente, y después simplificar el resultado, lo cual no siempre es fácil de realizar por la eventual complejidad de las expresiones resultantes. Para evitar esto, recuerde a los y las estudiantes que, de ser posible, simplifiquen las expresiones antes de realizar la multiplicación.

Por otro lado, en el ítem 5, al tratarse de divisiones, los y las estudiantes suelen pensar que deben multiplicar directamente, lo cual no lleva al resultado correcto.

Para evitar esto, recuerde a sus estudiantes que para dividir fracciones algebraicas, se debe transformar en una multiplicación por el inverso multiplicativo del divisor.

PÁGINAS 87 - 88

Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas

Indicaciones para el docente

En tu cuaderno

Estas páginas tienen como objetivo generalizar el cálculo de mcm mediante la descomposición prima, de manera de facilitar cálculos del tipo algebraico y las operatorias básicas (adición, sustracción, multiplicación y división).

Se recomienda comenzar calculando el mcm entre factores numéricos y, paso a paso, ir generalizando hasta llegar a determinar el mcm entre expresiones algebraicas.

Variantes metodológicas Para evitar problemas con la factorización para calcular el mcm entre expresiones algebraicas, se recomienda el siguiente tipo de actividad: Completa la siguiente tabla y, luego, saca tus conclusiones.

Expresiones 1 1 1 , , 2 4 6

Mínimo común múltiplo

Actividad

Habilidades que se desarrollan

1y2

Reconocer, interpretar y calcular.

Errores frecuentes • Los y las estudiantes pueden considerar solo triángulos rectángulos para la imagen del problema inicial, donde los catetos corresponden a las medidas a y b, pero no considera otro tipos de triángulos, o simplemente cometen el error de medir como a uno de los lados de un triángulo y como b otro de los lados del mismo, sin considerar que este último no corresponde a la altura.

1 1 1 , , n n2 n 4 2 13 15 , , a 4a a2 2 13 15 , , 5 20 25

Expresiones algebraicas fraccionarias

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Actividades complementarias Reconocimiento de una expresión algebraica factorizable de una que no lo es.

Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información.

Sugerencias metodológicas: utilizar al terminar de explicar los métodos de factorización.

Pedir a los y las estudiantes que obtengan el mínimo común múltiplo de algunas expresiones algebraicas que involucren la aplicación de productos notables, por ejemplo: El mcm entre los denominadores de: 1 2

n −b

Actividad 1y2 3

Habilidades que se desarrollan Calcular.

Representar y calcular.

a + 2ab + b

2

;

b es (a + b )

El mcm entre los denominadores de: 2n

En tu cuaderno

2

(a + b )

2

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a

;

2

b n + b es ; n+b n−b

;

Adición de fracciones algebraicas Indicaciones para el docente Estas páginas tienen como objetivo la aplicación de los contenidos de simplificación, factorización y el cálculo del mcm, por lo cual, se propone un repaso antes de desarrollar las páginas.

Por ejemplo, encontrar el mcm entre 20, 400 y 160 000, o bien, encontrar el mcm 2

4

entre x, x , x .

Actividades complementarias Errores frecuentes • Una dificultad puede estar dada por errores en la factorización y en la aplicación de productos notables. Por ejemplo, confundir suma por su diferencia con cuadrado de binomio. Para remediar esto, muestre representaciones geométricas de los productos notables comúnmente usados.

Puede entregar a los y las estudiantes procedimientos de adición y sustracción de expresiones algebraicas, y pedir que encuentren errores en dichos procedimientos.

Pida que inventen un ejercicio para resolver y que sea revisado por un compañero o compañera.

Una actividad posible es trabajar con fracciones de distinto denominador (sin a c ad + bc . igualar los denominadores) con el siguiente procedimiento: + = b d bd Con esto se obtiene el mismo resultado pero, en ocasiones, es necesario simplificar la expresión resultante.

1. Resuelve las siguientes adiciones factorizando previamente cuando sea necesario. a.

b.

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x 2

x −4

+

2 5 + x −2 x +2

5 2

a − 5a − 6

+

4 2

a −4

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c.

d.

12 2

a − 4a − 5 3x + 2 2

x + 5x + 6

+

+

2 3 + a +1 a − 5

2 − 4x 2

x + x −2

+

3x − 7 2

x + 2x − 3

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Orientaciones didácticas Unidad 2 PÁGINAS 91 - 92

Sustracción de fracciones algebraicas

Indicaciones para el docente

En tu cuaderno

Tanto en la adición como en la sustracción de fracciones algebraicas, los y las estudiantes pueden demorarse mucho en resolver cada ejercicio, ya sea porque se demoren en reconocer los factores de cada expresión algebraica o también porque se confundan fácilmente con el procedimiento, si lo intentan aplicar mecánicamente. Asegúrese de que sus estudiantes dispongan de tiempo suficiente para terminar los ejercicios y, luego, comparar sus respuestas con las de sus compañeros y compañeras.

Actividad 1y2

Habilidades que se desarrollan Calcular.

Insista en comparar cómo se resuelve la adición y sustracción de fracciones numéricas con la adición y sustracción de fracciones algebraicas. Esto les permitirá comprender mejor el procedimiento. Si observa que la dificultad radica en que no han aprendido correctamente las operaciones con fracciones numéricas, es indispensable realizar un repaso completo de estas operaciones.

Actividades complementarias 1. Resuelve las siguientes sustracciones factorizando previamente cuando sea necesario.

a.

b.

c.

d.

x −3 2

x + 7x + 6

−

2x − 1 2

x + 5x − 6

p+q p −q 4pq − − p − q p + q p2 − q2 u+3 2

u + 6u + 8

−

m−7 2

m − 2m − 15

u−3 2

u + 8u + 16 −

m+5 2

m + 7m + 12

Expresiones algebraicas fraccionarias

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PÁGINAS 93 - 94 En tu cuaderno Actividad 1y2 3

Habilidades que se desarrollan Analizar y aplicar.

Calcular.

Ecuaciones que involucran fracciones algebraicas Indicaciones para el docente Es posible que la lectura de los enunciados de los problemas correspondientes a las ecuaciones resulte tediosa para los alumnos y alumnas; en este caso, se sugiere realizar juegos de rapidez para motivar la lectura e incentivar la invención de problemas, poniendo a prueba su creatividad. De la geometría se pueden extraer muchos y variados ejemplos; se pueden plantear ejercicios interesantes usando semejanza de triángulos.

Es importante mencionar a los y las estudiantes la utilidad de aplicar la factorización y simplificación de expresiones algebraicas para resolver una ecuación que involucra fracciones algebraicas, ya que esto evita hacer cálculos innecesarios.

Errores frecuentes • Los y las estudiantes suelen confundirse al plantear algebraicamente un problema, elementos tales como ocho veces con la octava parte.

Se sugiere recordar al alumno y alumna, para evitar complicaciones en la resolución de ecuaciones (que es el objetivo de la unidad), realizar en el pizarrón una tabla de codificaciones algebraicas claves, tales como: el doble de un número, el sucesor de un número, el inverso de un número y el opuesto de un número, entre otros.

Actividades complementarias 1. A la base de un rectángulo se le añaden 5 cm. ¿Cuánto debe añadirse a la altura para que el área del rectángulo resultante sea el doble de la del primero?

Resolución de ecuaciones algebraicas fraccionarias.

Indicador: localiza y recupera información.

Sugerencias metodológicas: utilizar al explicar la metodología de resolución de ecuaciones fraccionarias.

x a 5

b

2. Averigua en qué consiste el teorema de la bisectriz y luego utilízalo para resolver el siguiente problema.

La bisectriz del ángulo en C divide al tercer lado en dos segmentos cuya diferencia es 12 cm. Calcula la medida de dicho lado.

C 36

20 A

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x

x + 12

B

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Orientaciones didácticas Unidad 2 PÁGINAS 95 - 96

Situaciones que involucran fracciones algebraicas

Indicaciones para el docente

En tu cuaderno

El objetivo de estas páginas es que el alumno y alumna traduzca situaciones al lenguaje algebraico y las resuelva utilizando ecuaciones, para esto es necesario que logre comprender que fórmulas matemáticas y expresiones algebraicas tienen un nivel de independencia en contextos numéricos.

Como por ejemplo, escribir en lenguaje algebraico:

Actividad

Habilidades que se desarrollan

1

Representar y analizar.

2

Formular, representar y aplicar.

a. El doble de un número aumentado en 15 unidades. b. La edad de dos personas suman 57 años. c. La edad que tenían hace cinco años, etc.

Recuerde a los y las estudiantes los pasos a seguir para la resolución de un problema: • • • • • •

Leer el problema.

Analizar el procedimiento a seguir.

Plantear la situación problemática.

Resolver.

Redactar la respuesta.

Evaluar la pertinencia de la solución obtenida.

Como el enunciado del problema dice que una llave se demora la mitad de la otra, se prestará a confusión que para el desarrollo del problema se escribió 2x y no x , que es la codificación adecuada. Se propone explicar a los y las estudiantes 2 por qué se realiza esta codificación y que, dependiendo la forma de plantear la situación, es igual de adecuado cualquiera de las dos expresiones algebraicas.

Actividades complementarias

Errores frecuentes • Una dificultad a la cual se enfrentan los y las estudiantes, es el traducir una situación dada verbalmente a un lenguaje escrito.

Para esto, se recomienda practicar con casos simples.

• El hecho que una llave trabaje la mitad que otra puede confundir a los y las estudiantes, ya que estos asumirán que ambas trabajan 1,5 horas, por lo tanto responderán (incorrectamente) diciendo que como 1,5 · 2 = 3, entonces bastarán dos períodos de tiempo.

• Si 1 corresponde a una de las

1. Resuelve los siguientes problemas. a. El triple de un número más 90 unidades es igual a su doble aumentado en tres. b. La edad de dos hermanos están en la razón de m es a n; si uno de ellos tiene 3b + 12 años, expresa la edad del otro hermano en función de b.

c. Un curso de 24 estudiantes contrata un bus para un paseo escolar; el día

a llaves, el alumno o alumna tenderá a suponer, que si la otra llave tarda una hora más, esto se podrá escribir 1 como la expresión + 1. a

de la salida 4 de los jóvenes se enferman y no asisten, por lo que la cuota a pagar por cada uno sube a $ 2 000. ¿Cuánto cobró el bus?

d. Un automovilista demora 8 horas en recorrer la distancia que separa dos ciudades; su hermano demora 2 horas menos empleando una rapidez superior en 20 km/h. ¿Cuál es la distancia que separa a las ciudades?

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PÁGINA 97 Mi progreso Ítem 1, 2, 3 y 4

Habilidades que se evalúan Calcular.

Mi progreso En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos y alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizar como una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan en el cuadro Mi progreso e incluye los siguientes criterios: Ítem 1: hallar mcm de expresiones algebraicas. Ítem 2: resolver adiciones y sustracciones de fracciones algebraicas. Ítem 3: resolver ecuaciones con fracciones algebraicas. Ítem 4: resolver problemas que involucran fracciones algebraicas.

Para los ejercicios 1, 2, 3 y 4 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar el nivel de conocimiento alcanzado por los alumnos y alumnas.

Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado • Encuentra en dos de los grupos el mcm que corresponde.

Por lograr

1

• Encuentra en todos los grupos el mcm que corresponde.

• Encuentra en tres de los grupos el mcm que corresponde.

• Encuentra en menos de dos grupos el mcm que corresponde.

2

• Resuelve correctamente todas las operaciones de adición y sustracción.

• Resuelve correctamente • Resuelve correctamente • Resuelve correctamente más de tres operaciones de tres operaciones de adición menos de tres operaciones adición y sustracción. y sustracción. de adición y sustracción.

3

• Resuelve completamente • Resuelve completamente • Resuelve completamente • No logra resolver ninguna y correctamente todas las dos ecuaciones. una ecuación. ecuación completamente. ecuaciones.

4

• Resuelve completamente • Resuelve el problema con • Resuelve correctamente y correctamente el proble- errores, pero escribe el problema, por tanteo. ma. correctamente la ecuación.

• No logra resolver el problema.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales En el ítem 1, podría ocurrir que sus alumnos y alumnas no visualicen con facilidad cómo aplicar el procedimiento para encontrar el mcm de las expresiones correspondientes. Para ayudarlos, recuérdeles que deben factorizar las expresiones de cada grupo, a fin de encontrar el mcm requerido con mayor facilidad.

En el ítem 2, podría ocurrir que los y las estudiantes al operar las adiciones y sustracciones no recuerden el procedimiento y simplemente sumen y resten numeradores y denominadores por separado y, con ello, los resultados obtenidos sean incorrectos. Para evitarlo, previo a la actividad recuerde el procedimiento de adición y sustracción de fracciones numéricas, y que esto se extiende a las fracciones algebraicas.

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Orientaciones didácticas Unidad 2 En el ítem 3, podría ocurrir que los y las estudiantes al operar las ecuaciones no a c recuerden la propiedad = ⇔ ad = bc o no la apliquen correctamente y los b d resultados obtenidos sean incorrectos. Para evitarlo, previo a la actividad recuerde esta propiedad de las fracciones para resolver el ejercicio correctamente.

En el ítem 4, podría ocurrir que los y las estudiantes no traduzcan adecuadamente al lenguaje algebraico, y con ello los resultados obtenidos sean incorrectos. Para evitar esto, previo a la actividad recuerde el procedimiento de traducir del lenguaje usual al lenguaje algebraico, y notar este hecho para resolver adecuadamente el problema.

PÁGINAS 98 - 99

Cómo resolverlo

La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la unidad; sin embargo, en estas páginas se presentan estrategias de resolución específicas para que los y las estudiantes la aprendan y la apliquen en futuros problemas. Además, esta resolución se presenta detallada, justificando las diferentes acciones, lo que permite aclarar posibles dudas que sus estudiantes puedan mantener.

Se recomienda que enfatice los pasos que deben seguir en la resolución de problemas:

En tu cuaderno Actividad 1y2 (Pág. 86) 1, 2 y 3 (Pág. 87)

Habilidades que se desarrollan Aplicar, calcular y verificar.

Aplicar, calcular y verificar.

Comprender: Los y las estudiantes deben leer atentamente las instrucciones del problema. Y realizar un análisis de la resolución propuesta.

En caso de que se presenten alumnos o alumnas con dificultad para entender los problemas, se sugiere que:

a. Repase de la fórmula de área de un rectángulo. b. Repase el concepto de codificación algebraica. c. Repase ecuaciones literales de primer grado.

AC 2 cm , utilizando los conceptos de despejar una mq incógnita en una ecuación literal de primer grado, además de la sustitución de incógnitas. e. Realice diagramas que le permitan a los alumnos y alumnas situar correctamente ancho y largo de cada rectángulo.

d. Explique, por qué x =

Planificar: El alumno y alumna debe planificar una estrategia similar para resolver a las preguntas siguientes que no se encuentran resueltas, considerando, además, conceptos como proporciones, evaluación de expresiones algebraicas y conceptos físicos como velocidad.

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Resolver: Los y las estudiantes deberán manejar la operatoria algebraica, cálculo de áreas y generalización de estas a través de conceptos algebraicos.

Revisar: Enfatice en lo importante que es revisar cada resultado, su pertinencia según el contexto del problema y la comprobación de los métodos utilizados.

INDICADORES DE LOGRO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS A continuación, se presentan diferentes indicadores de logro que puede utilizar para evaluar la resolución de problemas planteados.

Logro, aplicación Comprensión del problema o situación

• Puede expresar en sus propias palabras e interpretar coherentemente el problema.

• Identifica la información necesaria.

• Tiene una idea acerca de la respuesta.

En proceso, logro parcial • Copia el problema.

• Identifica palabras clave.

• Puede que mal interprete parte del problema.

• Puede que tenga alguna idea acerca de la respuesta.

• Demuestra un entendimiento Comprensión de • Aplica correctamente reglas parcial o satisfactorio. o algoritmos cuando usa conceptos • Puede demostrar y explicar símbolos. usando una variedad de • Conecta cómo y por qué. modos.

• Aplica el concepto a proble• Está listo para hacer mas o a situaciones nuevas. conexiones acerca de cómo • Hace y explica conexiones. y por qué.

• Realiza lo pedido y va más allá.

• Relaciona el concepto con conocimientos y experiencias anteriores.

• Realiza las tareas cada vez con menos errores.

Verificación de resultados y/o progreso

• Chequea racionalidad de los resultados.

• Reconoce sin razones.

• Revisa cálculos y procedimientos.

• Puede investigar razones si existen dudas.

No comprende • No entiende el problema.

• Entiende mal el problema.

• Como rutina pide explicaciones.

• No modela los conceptos rutinarios correctamente.

• No puede explicar el concepto.

• No intenta resolver el problema.

• No hace conexiones.

• No revisa cálculos ni procedimientos.

• No reconoce si su respuesta es o no razonable.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm

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Orientaciones didácticas Unidad 2 PÁGINAS 100 - 101

En terreno

Esta sección del Texto tiene como objetivo relacionar los contenidos aprendidos en la unidad con su aplicación real. Para ello se presenta una actividad relacionada con la ley de enfriamiento de Newton.

Se recomienda que esta actividad sea realizada de forma individual y al término de esta formar grupos de 3 personas para comentar y comparar las soluciones obtenidas.

También puede trabajar con una planilla de cálculo y obtener una tabla relacionando la estimación de la hora de muerte con la temperatura del cadáver, considerando una misma temperatura ambiental. Esto permitirá que visualicen de mejor forma el comportamiento de la temperatura del cadáver a medida que pasa el tiempo y cómo esto permite determinar la hora de muerte de las personas.

Para complementar esta actividad, podría pedir a sus alumnos y alumnas que investiguen sobre otros contextos en los cuales este modelo resulte útil para determinar la temperatura de ciertos objetos.

PÁGINAS 102 - 103

En tu cuaderno Actividad

Habilidades que se desarrollan

1y2

Usar herramientas y calcular.

3, 4 y 5

Analizar y aplicar.

Investiguemos...

Actividad 1y2

Habilidades que se desarrollan Evaluar.

3

Analizar y aplicar.

4

Aplicar y representar.

Síntesis de la Unidad

Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos y alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los alumnos y alumnas consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. Además, permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus estudiantes.

En esta sección se resumen y organizan a través de un mapa conceptual los conceptos fundamentales trabajados en la unidad.

Síntesis de la Unidad Actividad

Habilidades que se desarrollan

Mapa conceptual

Recordar, conectar y representar.

1

Evaluar y justificar.

2

Aplicar.

Como actividades de consolidación, se presentan afirmaciones de carácter conceptual y algunos problemas de aplicación, que involucran los contenidos trabajados en la unidad.

Actividades complementarias Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la unidad, realice preguntas como las siguientes: • ¿Qué debe analizarse en una fracción algebraica?, ¿cómo lo harías? Da un ejemplo.

• ¿Se puede expresar una fracción algebraica como fracción?, ¿en qué casos?

• ¿Cómo se resuelven las ecuaciones con fracciones algebraicas? Explica y da un ejemplo.

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PÁGINAS 104 - 105 Evaluación Ítem 1, 2 y 3

Habilidades que se evalúan Analizar y clasificar.

4

Analizar.

5

Conjeturar y analizar.

6, 7 y 8 9

Calcular.

Reconocer/Identificar.

10, 11 y 12

Calcular.

13 y 14

Aplicar.

Como complemento a esta evaluación, el hipertexto cuenta con una evaluación interactiva y, además, una autoevaluación imprimible para que sus estudiantes evalúen su desempeño.

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Evaluación de la Unidad Los ejercicios y problemas presentados en esta sección permiten evaluar los aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la unidad. Considere lo siguiente: Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.

Logrado, si contesta correctamente más de 10 preguntas.

Medianamente logrado, si contesta correctamente entre ocho y diez preguntas.

No logrado, si contesta correctamente menos de ocho preguntas.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales: • En los ítems 1, 2 y 3, se podría presentar una dificultad relacionada con el concepto de orden en fracciones algebraicas. Para ello, se recomienda mostrar algunos ejemplos de cómo valorizar para determinar el orden correcto.

• En el ítem 4, podría ocurrir que los alumnos y alumnas no recuerden a qué se refiere una restricción en una fracción algebraica. Para evitar esto, se recomienda recordarles que se relaciona con los valores en que la fracción se indefine.

• En los ítems 6, 7 y 8, podría pasar que los y las estudiantes no recuerden los productos notables y su correspondiente desarrollo, o bien, que confundan división y multiplicación de fracciones algebraicas. Se sugiere que antes realice un breve repaso de los principales productos notables.

• En los ítems 10 y 12, se podría presentar una dificultad relacionada con el concepto de mínimo común múltiplo, aplicado a fracciones algebraicas. O bien, que sumen horizontalmente, error heredado de las fracciones algebraicas. Para evitar esto, se recomienda recordarles el proceso de adición y sustracción de fracciones y compararlo con el procedimiento para sumar y restar fracciones algebraicas, y cómo obtener el mcm en el caso de las expresiones algebraicas.

• Como todos los ítems son de selección múltiple, la información que entrega la alternativa seleccionada por los y las estudiantes es limitada, es difícil saber cuáles son los errores que cometen, que puede ser por falta de conocimiento o equivocación al marcar la alternativa, entre otras. Para evitar este inconveniente, se sugiere que en estos ejercicios pida que realicen algún tipo de desarrollo en cada pregunta, para poder detectar en qué se están equivocando y ayudarlos a alcanzar los niveles de logro que se espera para los contenidos de esta unidad.

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Orientaciones didácticas Unidad 2 Evaluación final En las páginas siguientes, se presenta una evaluación que puede fotocopiar y que le permitirá evaluar los aprendizajes de sus alumnos y alumnas en la unidad. Con los resultados de esta evaluación, se puede tomar la decisión de reforzar algunos temas que no hayan sido aún comprendidos a cabalidad por sus estudiantes.

El tiempo estimado para la realización de la prueba es 60 minutos. Este tiempo puede ser modificado según las características de sus estudiantes.

Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes, se sugiere utilizar la siguiente pauta: Ítem

Habilidades que se evalúan

Puntaje

Total

1, 2 y 3

Reconocer/Identificar.

2 puntos cada una

6 puntos

4

Calcular.

2 puntos

2 puntos

5

Reconocer/Identificar.

2 puntos

2 puntos

6

Analizar.

2 puntos

2 puntos

7y8

Calcular.

2 puntos cada una

4 puntos

9

Aplicar.

2 puntos

2 puntos

10 y 11

Calcular.

2 puntos cada una

4 puntos

Puntaje total

22 puntos

BIBLIOGRAFÍA • Brown, Dan. El Código Da Vinci, Traducción Ediciones Urano, S.A. Barcelona, España, 2003.

• Smullyan Raymond, Satan. Cantor y el infinito. Editorial Gedisa, España, 1995.

• Stewart, Ian. De aquí al infinito. Drakontos. España, 1998.

• De la Peña, José Antonio. Álgebra en todas partes. Ciencia para todos. Fondo de Cultura Económica. México, 1999.

• Guillen, Michael. Cinco ecuaciones que cambiaron el mundo. Temas de debate. España, 1995.

• Paulos, John Allen. Érase una vez un número. Libros para pensar la ciencia. España, 1999.

• Paulos, John Allen. El hombre anumérico. Libros para pensar la ciencia. España, 1997.

• Paulos, John Allen. Más allá de los números. Libros para pensar la ciencia. España, 1998.

Sitios web • El portal de la educación: www.educarchile.cl • El paraíso de las matemáticas: www.matematicas.net Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

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Evaluación final Material fotocopiable Nombre:

Curso:

Fecha:

Marca o encierra la alternativa correcta de cada pregunta.

2 4

1. Simplifica

6a x

y expresa usando solo 3 3 2a x exponentes positivos.

A. 3ax

D.

3 ax

A. 0,89 B. 0,9

3 E. x

5 7

B. 3a x

C. 8,9 D. 89

3x C. a

E. Ninguno de los valores anteriores.

2 3

2. Al simplificar

(–2a b)

se obtiene: 2 2 (–4ab )

3

4

a A. – 2b

D. a b

A. 1

C.

a

E.

x +y xy

2

x+y xy

3

2b

2

9x

7

y

2

x

7

9y

se obtiene:

6

D.

9x y

A. duplicar.

B. mantener igual.

7

E.

1 1 1 = + , P Q R si P y R se reducen a la mitad, entonces, para que se mantenga la igualdad, el valor de Q se debe:

6. (Ensayo PSU, 2004) En la igualdad

−2

⎛ 2 ⎞ ⎛ −2 ⎞ x ⎟ 3x ⎟ ⋅ ⎜ 3. Al simplificar ⎜⎜ ⎜ −2 ⎟ −3 ⎟ ⎝y ⎠ ⎝ y ⎠

9y

2

x

2

x C. 9y

90

2x + 2y xy

ab E. 2

−1

B.

D.

2

5

A.

5. (Ensayo PSU, 2004) Si x e y son números enteros x y distintos de 0, entonces + es igual a: y x

B. 2

4

a B. – 2b

C.

4. (Ensayo PSU, 2004) Si t = 0,9 y r = 0,01; t–r entonces es igual a: r

| Unidad 2 Guía Didáctica Matemática 2o Medio

C. reducir a la mitad.

D. cuadruplicar.

E. reducir a la cuarta parte.

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Evaluación final Material fotocopiable ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ b ⎟ ⎜ b ⎟ : a+ 10. El resultado de ⎜a + es: ⎝ a +b⎠ ⎝ a −b⎠

7. (Educarchile, PSU, 2004) Si a ≠ b, entonces

1 1 − es: a b b−a

3

A.

A. ab B.

B.

1 ab

1 C. − ab

C.

D. 0

D.

E.

1 a−b

E.

8. (Educarchile, PSU, 2004) Resuelve:

A.

y +1 x

B.

1 x +1

C.

y +1 2x

D.

E.

1 1 1 : + x y x

x x+y y x+y

A.

3

3

3

3

a +b a −b

3

(a + b ) 3

3

3

3

a −b a +b a−b a+b a−b

3

3

a +b

11. El resultado de ⎛ x y ⎞ ⎛a b ⎞ ⎛ x y ⎞ ⎛a b ⎞ ⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟ − ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ es: ⎝ y x ⎠ ⎝b a⎠ ⎝ y x ⎠ ⎝b a ⎠ A.

ab xy + xy ab

⎛ ab xy ⎞ B. 2 ⎜ + ⎟ ⎝ xy ab ⎠ C.

9. Una llave puede llenar una tina en 5 minutos y otra lo hace en 6 minutos. Si se abren ambas llaves al mismo tiempo, ¿cuánto tardan en llenar la tina las dos juntas?

(a − b )

1 ⎛ ax by ⎞ ⎜ + ⎟ 2 ⎝ by ax ⎠

⎛ ay xb ⎞ D. 2 ⎜ + ⎟ ⎝ xb ay ⎠

E.

ax by − by ax

11 minutos.

30

B. 11 minutos.

C. 30 minutos.

D.

30 minutos.

11

E.

11 minutos.

2 Expresiones algebraicas fraccionarias

|

91

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3 Unidad

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Sistemas de ecuaciones lineales PROPÓSITO

DE LA UNIDAD

Los sistemas de ecuaciones lineales son un tema central dentro de los contenidos trabajados en la Educación Media, debido a su gran aplicabilidad en variados contextos matemáticos y del mundo real.

Por ello, la enseñanza de este tema se realiza a través de la resolución de problemas provenientes de diferentes contextos cotidianos, dando, de esta forma, sentido a las ecuaciones y variables utilizadas.

La intencionalidad de esta unidad no es solo que los alumnos y alumnas se centren en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, sino también que sean capaces de modelar distintas situaciones problemáticas con estos sistemas y además puedan interpretar los resultados obtenidos, de acuerdo al contexto del problema planteado. Por ello, los sistemas de ecuaciones lineales deben ser concebidos como una herramienta para la resolución de problemas, y no solo como un contenido matemático alejado de la realidad. Sin embargo, es importante la ejercitación de diversos sistemas de ecuaciones, para que puedan analizar los distintos casos según el número de soluciones que tenga el sistema de ecuaciones, a través de diferentes métodos de resolución, incluida su interpretación gráfica con la ecuación de la recta.

A continuación, se presenta un esquema que relaciona los principales conceptos de la unidad.

ESQUEMA

DE LA UNIDAD

Análisis de las soluciones

Pertinencia de las soluciones

Resolución de problemas Aplicación Ecuaciones lineales con dos incógnitas

Sistemas de ecuaciones lineales

Incógnitas auxiliares Métodos de resolución

Tipos de soluciones

92

| Unidad 3

Método gráfico

Métodos algebraicos

Solución única

Rectas secantes

Igualación

Infinitas soluciones

Rectas coincidentes

Sustitución

No tiene solución

Rectas paralelas

Reducción

Guía Didáctica Matemática 2o Medio

• Reconocimiento de sistemas de ecuaciones lineales como modelos que surgen de diversas situaciones o fenómenos.

• Resolución de problemas asociados a sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas en contextos variados, representación en el plano cartesiano usando un software gráfico y discusión de la existencia y pertinencia de las soluciones.

CMO DE LA UNIDAD

• Ecuaciones lineales con dos incógnitas.

• Planteo de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

• Método gráfico.

• Análisis de las soluciones en el plano cartesiano.

• Método de igualación.

• Método de sustitución.

• Método de reducción.

• Análisis algebraico sobre la existencia de soluciones.

• Estudio de las soluciones.

• Otros sistemas asociados a sistemas de ecuaciones lineales.

CONTENIDOS ESPERADOS

• Plantear y resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

• Conocer y utilizar diversos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones.

• Representar sistemas de ecuaciones lineales en el plano cartesiano utilizando un software gráfico.

• Analizar las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales representados en el plano cartesiano.

• Discutir la existencia y pertinencia de las soluciones de problemas asociados a sistemas de ecuaciones lineales.

• Resolver problemas que involucren sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

APRENDIZAJES

• Plantean y resuelven sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

• Conocen y utilizan diversos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones.

• Representan sistemas de ecuaciones lineales en el plano cartesiano utilizando un software gráfico.

• Analizan las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales representados en el plano cartesiano.

• Discuten la existencia y pertinencia de las soluciones de problemas asociados a sistemas de ecuaciones lineales.

• Resuelven problemas que involucren sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

INDICADORES DIDÁCTICOS

• Regla • Computador

RECURSOS

DE EVALUACIÓN

16:49

• Sumativa: páginas 140 y 141 del Texto para el Estudiante y 114 y 115 de la Guía Didáctica para el Profesor.

18/11/09

• Formativa: página 102 y 133 del Texto para el Estudiante.

• Diagnóstica: páginas 108 y 109 del Texto para el Estudiante.

TIPOS

Tiempo estimado: 15 a 20 horas

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Sistemas de ecuaciones lineales

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PÁGINAS 106 - 107

Revise el hipertexto, para que conozca los recursos disponibles: ejercitación adicional, elementos de profundización de contenidos, links y evaluaciones.

Páginas de entrada La imagen presentada al comienzo de la unidad del Texto para el Estudiante tiene como propósito introducir y motivar a los alumnos en el estudio y aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, sus métodos de resolución y el análisis de sus soluciones. La intencionalidad de la introducción presentada también es mostrar a los alumnos y las alumnas que este contenido matemático es posible encontrarlo en variados temas del mundo real, como la aleación de metales como el oro.

Chile es un país de grandes reservas minerales, por eso la extracción de minerales metálicos y no metálicos ha sido un factor de gran importancia para la economía de nuestro país, ya que ha permitido el crecimiento de la economía chilena. La extracción de cobre, es nuestra principal fuente de recursos, ya que somos el principal exportador de cobre en el mundo.

Más información sobre la minería en Chile, puede encontrar en el sitio web del Ministerio de Minería de Chile: www.minmineria.cl.

Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

PÁGINAS 108 - 109 ¿Cuánto sabes? Ítem

Ítem

1

94

Habilidades que se evalúan

1

Recordar.

2

Calcular.

3

Calcular y analizar.

4

Usar herramientas.

5

Calcular.

6

Analizar.

7

Representar y calcular.

Completamente logrado

Evaluación diagnóstica En estas páginas, se presenta una evaluación diagnóstica que permitirá medir el nivel de desempeño que tienen los y las estudiantes acerca de los contenidos de esta unidad.

Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta una evaluación diagnóstica con el título ¿Cuánto sabes?, que incluye los siguientes criterios: Ítem 1: responde las preguntas planteadas. Ítem 2: resuelve ecuaciones de primer grado con una incógnita. Ítem 3: determina si los pares de ecuaciones dadas son equivalentes, justificando su respuesta. Ítem 4: grafica funciones lineales y afines en el plano cartesiano. Ítem 5: evalúa expresiones algebraicas. Ítem 6: determina si las proposiciones dadas son verdaderas, justificando sus respuestas. Ítem 7: determina las variables involucradas en cada problema, plantea la ecuación correspondiente, la resuelve y verifica la pertinencia de la solución encontrada.

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

• Responde correctamente • Responde correctamente • Responde correctamente • Responde correctamente todas las preguntas más de tres de las pregun- tres de las preguntas menos de tres de las preplanteadas. tas planteadas. planteadas. guntas planteadas.

• Las explicaciones y • La mayoría de las • La mitad de las explica• Las explicaciones y respuestas entregadas son explicaciones y respuestas ciones y respuestas entre- respuestas entregadas son claras y completas. entregadas son claras y gadas son claras y compoco claras e incompletas. completas. pletas.

| Unidad 3 Guía Didáctica Matemática 2o Medio

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Orientaciones didácticas Unidad 3 Ítem

2

3

4

5

6

7

Completamente logrado • Resuelve correctamente todas las ecuaciones planteadas.

• Aplica correctamente las propiedades de las igualdades para resolver las ecuaciones.

Logrado • Resuelve correctamente más de tres de las ecuaciones planteadas.

• Aplica correctamente las propiedades de las igualdades para resolver las ecuaciones.

Medianamente logrado • Resuelve correctamente tres de las ecuaciones planteadas.

• Aplica correctamente en la mitad de los casos las propiedades de las igualdades para resolver las ecuaciones.

Por lograr • Resuelve correctamente menos de tres de las ecuaciones planteadas.

• Aplica incorrectamente las propiedades de las igualdades en la mayoría de los casos para resolver las ecuaciones.

• Determina correctamente • Determina correctamente • Determina correctamente • Determina correctamente en todos los casos si los en la mayoría de los en dos casos si los pares en menos de dos casos si pares de ecuaciones precasos si los pares de de ecuaciones presentadas los pares de ecuaciones sentadas son equivalentes. ecuaciones presentadas son equivalentes. presentadas son equiva• Aplica correctamente son equivalentes.

• Aplica correctamente en lentes. las propiedades de las • Aplica correctamente las la mitad de los casos las • Aplica incorrectamente igualdades para determinar propiedades de las igualpropiedades de las iguallas propiedades de las las equivalencias. dades para determinar las dades para determinar las igualdades en la mayoría equivalencias. equivalencias. de los casos para determinar las equivalencias.

• Dibuja correctamente un • Dibuja correctamente un • Dibuja correctamente un • Dibuja de forma incorrecta plano cartesiano. plano cartesiano. plano cartesiano. un plano cartesiano.

• Grafica correctamente • Grafica correctamente • Grafica correctamente • Grafica correctamente todas las funciones dadas. más de tres de las funtres de las funciones menos de tres de las funciones dadas. dadas. ciones dadas.

• Determina correctamente • Determina correctamente • Determina correctamente • Determina correctamente el valor de todas las el valor de más de cuatro el valor de cuatro de las el valor de menos de expresiones presentadas de las expresiones preexpresiones presentadas cuatro de las expresiones considerando los valores sentadas considerando los considerando los valores presentadas considerando dados. valores dados. dados. los valores dados.

• Aplica correctamente las • Aplica correctamente las • Aplica correctamente • Aplica incorrectamente propiedades de las propiedades de las opera- las propiedades de las las propiedades de las operaciones. ciones. operaciones en cuatro de operaciones la mayoría los casos presentados. de los casos.

• Determina correctamente • Determina correctamente • Determina correctamente • Determina correctamente si todas las proposiciones si más de tres de las si tres de las proposiciones menos de tres de las dadas son correctas. proposiciones dadas son dadas son correctas. proposiciones dadas son • Justifica adecuadamente correctas.

• Justifica adecuadamente correctas. cada una de las proposi- • Justifica adecuadamente tres de las proposiciones • Justifica adecuadamente ciones dadas. más de tres de las dadas. menos de tres de las proposiciones dadas. proposiciones dadas.

• Para todos los enunciados • Para más de dos de los planteados, define las enunciados planteados, variables, plantea una define las variables, ecuación, resuelve la plantea una ecuación, ecuación y verifica la perresuelve la ecuación y tinencia de la solución verifica la pertinencia de encontrada. la solución encontrada.

• Para dos de los enuncia- • Para menos de dos de los dos planteados, define las enunciados planteados, variables, plantea una define las variables, ecuación, resuelve la plantea una ecuación, ecuación y verifica la perresuelve la ecuación y tinencia de la solución verifica la pertinencia de encontrada. la solución encontrada.

Sistemas de ecuaciones lineales

|

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En el ítem 1, los alumnos y alumnas podrían tener complicaciones para responder las preguntas relacionadas con funciones y sus parámetros. En caso de advertir un conocimiento insuficiente, puede repasar los conceptos básicos, tales como: ecuación, incógnita, solución, gráfica de una función afín y recta, ya que esto será de utilidad para el estudio de esta unidad.

En el ítem 2, podría ocurrir que los y las estudiantes resuelvan de manera incorrecta las ecuaciones, ya que aplican de forma errónea las propiedades de las igualdades. Evite esto explicando y repasando cada una de estas propiedades.

Además, mencione la importancia de verificar la solución encontrada en la ecuación correspondiente remplazando la incógnita por el valor obtenido.

En el ítem 3, podría ocurrir que los y las estudiantes determinen incorrectamente si cada par de ecuaciones presentadas son equivalentes, ya que aplican de forma errónea las propiedades de las igualdades. Evite esto explicando y repasando cada una de estas propiedades.

En el ítem 4, podrían suceder que los alumnos y alumnas no recuerden cómo graficar funciones afines. Para solucionar este inconveniente, recuerde a sus estudiantes cómo graficar utilizando tabla de valores o a través de la pendiente (m) y la intersección con el eje y (n), en una función de la forma f(x) = mx + n.

En el ítem 5, es posible que los alumnos y alumnas hayan olvidado de la prioridad de las operaciones aritméticas y cometan errores en tal sentido. Otro error común es que eliminen mal los paréntesis de una expresión, no considerando, por ejemplo, un signo negativo delante de un paréntesis. Es fundamental repasar esto, ya que evaluar una expresión algebraica es el método de comprobar una solución, procedimiento que se utilizará constantemente en esta unidad.

Aprendizaje de conceptos claves a tratar en la unidad.

Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información.

Sugerencias metodológicas: utilizar luego de introducir los conceptos claves de la unidad, como ejercitación.

En el ítem 6, podría presentar problemas la justificación de las proposiciones, ya que puede que no recuerden estos contenidos. Sería conveniente que recordara los principales conceptos con este contenido, ya que están estrechamente relacionados con la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

En el ítem 7, el principal problema podría estar en que los alumnos y alumnas pueden tener dificultades para definir variables y expresar problemas como ecuaciones. En particular, pueden tener dificultades para expresar en términos matemáticos, expresiones tales como “el triple de un número”, “la mitad de un número”, “un número dobla al otro” o expresar como una ecuación 2 x “dos números están en proporción de 2 : 7” o sea = , etc. Puede 7 y remediar esto haciendo una lista de tales expresiones en el pizarrón y sus equivalentes en términos de operaciones o ecuaciones. Es importante que sus estudiantes acostumbren resolver problemas y que vean las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones como una herramienta para la resolución de problemas y no como un contenido aislado de su aplicación real.

冢

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Orientaciones didácticas Unidad 3 PÁGINAS 110 - 111

Ecuaciones lineales con dos incógnitas

Indicaciones para el docente

En tu cuaderno

Se busca introducir el tema de estudio de la unidad discutiendo primero el concepto de ecuación lineal en dos incógnitas.

El estudiante debe comprender que una ecuación lineal con dos incógnitas puede manipularse tal como las ecuaciones con una incógnita. Es decir, mediante algunas operaciones (similares a las utilizadas para resolver una ecuación), se obtienen ecuaciones equivalentes.

En general, una ecuación lineal con dos incógnitas podrá tener soluciones finitas si se restringe el conjunto en el cual se buscan las soluciones. Por ejemplo, en el problema planteado al inicio, puesto que x e y representan una cantidad de discos, deben ser números enteros y además cumplir tanto 0 < – x< – 55 como < 0< y 55, de modo que la ecuación tiene como solución a todos los pares de – – números enteros que cumplen lo anterior.

Cuando no se plantea tal restricción, se asume que el conjunto donde se busca la solución corresponde a los números reales, tanto para x como para y. Por lo tanto, las soluciones son infinitas. Puede plantear algunos problemas para clarificar este punto, las actividades complementarias 1 y 2, son pertinentes.

Actividades complementarias 1. Considera la ecuación x + y = 10, ¿cuántas soluciones hay si solo se admite como solución pares de números naturales? Escríbelas. ¿Y si se admite pares de números enteros?, ¿y si se busca la solución entre pares de reales?

2. La velocidad de un móvil con aceleración constante una dimensión y el tiempo 2

se relacionan mediante la ecuación v = (10 m/s – 5 m/s · t). Responde:

a. ¿En qué momento del tiempo el móvil está en reposo? b. ¿El móvil está acelerando o desacelerando? c. ¿Cuánto tiempo ha de pasar para que el móvil lleve una velocidad de –100 m/s?

d. ¿Qué velocidad llevaba el móvil cuando el reloj estaba en 0?

3. Si x > 0, encuentra algunas soluciones a la ecuación x = y – x.

Actividad 1y3

Habilidades que se desarrollan Calcular.

2

Interpretar, representar y calcular.

4

Interpretar y representar.

Errores frecuentes • Un error común al resolver ecuaciones es trasladar una cantidad de un lado a otro de la igualdad sin el correspondiente cambio de signo, ya que el alumno o la alumna podría no entender en realidad el procedimiento. Se sugiere dar un ejemplo, mostrando que de esta forma no se obtiene una ecuación equivalente o mostrando que para eliminar una cantidad de un lado de la ecuación ha de sumarse la misma cantidad, pero con signo contrario, a ambos lados de la ecuación. Visualmente, el resultado de esta operación (que entrega una ecuación equivalente) es que dicha cantidad “pasa al otro lado” de la ecuación con signo contrario. Lo mismo puede hacerse en el caso de la multiplicación.

4. Si tengo 3 masas de 1 kg, una ubicada en el origen (0), otra ubicada a una distancia x del origen y una tercera ubicada a una distancia y del origen. La ley de gravitación de Newton dice que la fuerza que sentirá la masa central será 1 1 F=– 2 + (un signo negativo significa que la fuerza tira la masa 2 x (y – x) hacia la izquierda, en este caso el primer término es la contribución de la masa en el origen. Un signo positivo indica una fuerza hacia la derecha, en este caso el segundo término corresponde a la fuerza ejercida sobre la segunda masa por la tercera). Determina algunas posiciones de las masas 2 y 3 de modo que la fuerza sobre la masa central sea cero (esté en equilibrio).

a. Si y = 20 m, encuentre la posición de equilibrio de la masa central.

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PÁGINAS 112 - 113 En tu cuaderno Actividad

Habilidades que se desarrollan Representar y analizar.

1y2 3

Verificar.

Aplicación de un sistema de ecuaciones a la resolución de un problema.

Indicador: localiza y recupera información.

Sugerencias metodológicas: utilizar como un introducción a la aplicación de los sistemas de ecuaciones.

PÁGINAS 114 - 117 Herramientas tecnológicas Actividad 1

Representar y calcular.

2

Representar y analizar.

3y4

98

Habilidades que se desarrollan

Analizar.

Planteo de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas Indicaciones para el docente En esta sección se introduce el concepto central de la unidad. En Internet puede encontrar variados ejemplos de aplicaciones de tales ecuaciones a la economía, ciencias, ingeniería, matemática aplicada, etc., de modo que puede dedicar unos minutos de su clase para motivar a sus alumnos y alumnas hablándoles al respecto.

Tal vez encuentre en alguna biblioteca el libro Fundamentos de Álgebra, de C. Allendoerfer y C. Oakley, McGraw-Hill, 1967. En este libro, además de encontrar excelente material sobre casi todos los contenidos de la matemática secundaria, encontrará particularmente bien explicadas aplicaciones referentes a oferta y demanda y optimización (programación lineal) y también muchos problemas resueltos o con sus respuestas.

Un punto a destacar es que la solución de un sistema es siempre un par de números. Decir que una solución es, por ejemplo, x = 6, no tiene sentido.

Método gráfico Indicaciones para el docente En esta sección se establece finalmente la conexión entre función afín y ecuación lineal con dos incógnitas. De este modo, los y las estudiantes pueden representar una ecuación lineal en dos incógnitas como una recta.

No obstante, si se presentase un sistema de la forma 3x + y = 18, x = 45, no podríamos usar las gráficas de la funciones afines para interpretar la segunda ecuación como una recta. No toda recta corresponde a la gráfica de una función 2 afín, en particular la recta L = 冦(x, y) ∈ ⺢ : x = 3冧, corresponde a la ecuación en dos variables x = 3 y no es la gráfica de una función afín ni de ninguna clase.

Sistemas tales como 3x + y = 18, x = 45, tienen sentido, y para efectos de representación en el plano son dos rectas. El alumno o alumna debe entender la ecuación x = 3, no como un punto en la recta real, sino como la recta vertical correspondiente. Es posible que también causen dificultad ecuaciones tales como y = –17, que corresponde a una recta horizontal. Claro está que sería una pérdida de tiempo resolver uno de tales sistemas mediante el método gráfico, pues, por su forma, su solución está casi explícita.

Cuando se intenta resolver un sistema gráficamente, puede resultar difícil determinar con precisión, a partir del dibujo, cuál es efectivamente la solución.

Es muy importante entonces que los alumnos y alumnas comprueben siempre las soluciones obtenidas.

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Orientaciones didácticas Unidad 3 Actividades complementarias Puede aprovechar Graphmatica para resolver el siguiente problema:

1. Dos automóviles emprenden un viaje desde Santiago a Puerto Montt. El segundo automóvil retrasa su partida en 30 minutos. Si el primer automóvil mantiene una velocidad constante de 80 km/h y el segundo mantiene 120 km/h, ¿alcanzará el segundo automóvil al primero antes de llegar a Puerto Montt?, ¿y si la velocidad del primer automóvil fuera 119 km/h?

(Use que la posición de un cuerpo que se mueve con velocidad constante está dada por s(t) = s0 + vt, donde s0 es la posición del cuerpo en t = 0 y t el tiempo).

Extracción de información de la forma gráfica de un sistema de ecuaciones.

Indicador: localiza y recupera información.

Sugerencias metodológicas: utilizar una vez enseñada la relación entre la posición de las rectas en el plano cartesiano y los sistemas de ecuaciones lineales.

Note que la pregunta ¿alcanzará el segundo automóvil…? puede decidirse gráficamente sin necesidad de resolver sistema alguno, graficando la ecuación correspondiente a cada auto y fijándose si el punto que representa la solución tiene coordenada s menor que la distancia a Puerto Montt.

Problemas de cinemática en una dimensión pueden servir como motivación al estudio gráfico de ecuaciones.

PÁGINAS 118 - 119

Análisis de las soluciones en el plano cartesiano

Indicaciones para el docente

En tu cuaderno

El método gráfico ayuda a decidir el problema de la existencia y unicidad de las soluciones para algunos sistemas. En todos los ejemplos planteados en el Texto, ocurre que uno puede observar cuándo dos rectas coinciden, son paralelas o son secantes. Es importante que los alumnos y alumnas entiendan que esto puede hacerse en casos especiales.

También es difícil, en general, encontrar la solución exacta, salvo en algunos casos.

De todas maneras, usando programas graficadores, que tengan funciones que permiten cambiar la escala o ampliar una determinada zona del plano, se puede estimar una solución con tantos decimales como se quiera.

Para ilustrar lo anterior, puede utilizar Graphmatica para llevar a cabo la siguiente actividad demostrativa.

El que dos rectas parezcan paralelas cerca del origen no quiere decir que en efecto lo sean. Por ejemplo, consideremos el sistema: y = 2,00x + 1 y = 2,01x + 2 Grafique el sistema y pregunte ¿se puede afirmar que las rectas son paralelas?

Aunque con la escala predeterminada, parece que lo son, realmente no es así.

Vaya al menú View resalte la opción Scrollbars. Aparecerán barras de deslizamiento horizontal y vertical. Utilícelas para moverse al punto de intersección de las dos rectas. Utilice el botón Zoom In y estime la solución del sistema.

Actividad

Habilidades que se desarrollan

1

Representar y analizar.

2

Representar y calcular.

3

Conjeturar y evaluar.

Reconocimiento en el plano cartesiano de rectas secantes, paralelas y coincidentes y su relación con sistemas de ecuaciones lineales compatibles e incompatibles.

Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información.

Sugerencias metodológicas: utilizar como ejercitación para aplicar los conceptos a casos concretos.

Sistemas de ecuaciones lineales

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Actividades complementarias 1. Pídales a sus alumnos y alumnas que inventen un sistema, de modo las ecuaciones parezcan paralelas cerca del origen, pero las rectas que representan se intersectan en realidad muy lejos del origen. Como indicación puede decirles que se fijen en las ecuaciones de la actividad anterior ¿En qué son distintas?, ¿en qué son casi iguales? Deben usar Graphmatica.

2. Estimar con 8 decimales (ver unidad Números y raíces) la solución del sistema.

− 2 x + 5 5y = −1 5x − 7 2 y = 1 Para ello, pueden usar la función Zoom In y acotar cada una de las componentes de la solución, tal como se explica en la unidad Números y raíces.

PÁGINA 120

Mi progreso

Mi progreso Ítem

Habilidades que se evalúan

1

Interpretar y verificar.

2

Analizar.

3

Calcular y analizar.

En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos y alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizar como una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan en el cuadro Mi progreso e incluye los siguientes criterios: Ítem 1: resolver gráficamente los sistemas de ecuaciones dados. Ítem 2: determinar si las afirmaciones dadas son verdaderas. Ítem 3: decidir si los sistemas dados tienen solución sin resolverlos.

Para los ejercicios 1, 2 y 3 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar el nivel de desempeño alcanzado por los alumnos y alumnas.

Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

1

• Reconoce correctamente todos los planos cartesianos.

• Encuentra las soluciones a todos los sistemas de ecuaciones.

• Verifica cada una de las soluciones encontradas.

• Reconoce correctamente dos planos cartesianos.

• Encuentra las soluciones a dos de los sistemas de ecuaciones.

• Verifica cada una de las soluciones encontradas.

• Reconoce correctamente un plano cartesiano.

• Encuentra las soluciones a menos de dos de los sistemas de ecuaciones.

• Verifica algunas de las soluciones encontradas.

• No reconoce correctamente los planos cartesianos.

• No encuentra las soluciones de los sistemas de ecuaciones.

• Verifica cada una de las soluciones encontradas.

2

• Determina correctamente si todas las afirmaciones dadas son verdaderas o falsas.

• Justifica de forma clara y completa todas sus respuestas.

• Determina correctamente si tres de las afirmaciones dadas son verdaderas o falsas.

• Justifica de forma clara y completa tres de sus respuestas.

• Determina correctamente si dos de las afirmaciones dadas son verdaderas o falsas.

• Justifica de forma clara y completa dos de sus respuestas.

• Determina correctamente si menos de dos de las afirmaciones dadas son verdaderas o falsas.

• Justifica de forma poco clara e incompleta sus respuestas.

100

| Unidad 3 Guía Didáctica Matemática 2o Medio

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Orientaciones didácticas Unidad 3 Ítem

3

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

• Determina correctamente en todos los casos si los sistemas planteados tienen o no solución.

• Argumenta de forma clara y completa su decisión.

• Determina correctamente en dos de los casos si los sistemas planteados tienen o no solución.

• Argumenta de forma clara y completa su decisión.

• Determina correctamente en uno de los casos si los sistemas planteados tienen o no solución.

• Argumenta de forma poco clara e incompleta su decisión.

• Determina incorrectamente en todos los casos si los sistemas planteados tienen o no solución.

• Argumenta de forma poco clara e incompleta su decisión o no argumenta sus decisiones.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales En el ítem 1, podría suceder que los alumnos y alumnas presenten dificultades para reconocer la representación gráfica de cada sistema de ecuaciones, y por esto sus soluciones encontradas sean incorrectas. Para solucionar esto, refuerce las condiciones que permiten reconocer la gráfica de las ecuaciones a través sus parámetros, es decir, la pendiente y la intersección con el eje Y En el ítem 2, podría ocurrir que los alumnos y alumnas justifiquen de manera incorrecta las afirmaciones planteadas, debido básicamente a que no comprendan bien la relación entre los tipos de rectas y los tipos de soluciones en un sistema de ecuaciones lineales. Para corregir esto, es importante que aclare esto a sus estudiantes explicando cada uno de estos conceptos, para que en el futuro no tengan problemas como estos.

En el ítem 3, es posible que los alumnos y alumnas tengan dificultades para determinar si los sistemas de ecuaciones dados tienen solución, debido a que no están familiarizados ni acostumbrados a aplicar propiedades de las igualdades, tales como amplificar o simplificar ecuaciones. Para evitar problemas como estos, muestre constantemente a sus estudiantes cómo obtener ecuaciones equivalentes y más sencillas que se pueden obtener al aplicar estas propiedades, de tal modo que ellos en otras ocasiones puedan visualizar equivalencias en diversas ecuaciones.

PÁGINAS 121 - 122

Método de igualación

Indicaciones para el docente

En tu cuaderno

El método de igualación es el más simple de los métodos presentados en esta unidad. El problema se reduce finalmente a resolver dos ecuaciones lineales con una incógnita. Se sugiere hacer hincapié en que cuando se ha encontrado una solución para, por ejemplo la incógnita x, puede remplazarse este valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales, puesto que, por definición, una solución del sistema es un par de números que satisface ambas ecuaciones.

Actividad 1 2y3

Habilidades que se desarrollan Calcular y clasificar.

Aplicar y calcular.

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PÁGINAS 123 - 124 En tu cuaderno Actividad 1

Habilidades que se desarrollan Calcular y clasificar.

2, 3, 4 y 5

Aplicar y calcular.

PÁGINAS 125 - 126 En tu cuaderno Actividad

Habilidades que se desarrollan

1

Calcular y clasificar.

2

Verificar o comprobar.

Método de sustitución Indicaciones para el docente En esta sección se le exige al alumno un correcto manejo de expresiones algebraicas. Debe insistirles en eliminar paréntesis y simplificar cuando sea posible.

En particular, al operar fracciones con expresiones algebraicas en su denominadores.

Se sugiere recalcar que cuando se ha encontrado una solución para una incógnita, puede remplazarse este valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales.

Método de reducción Indicaciones para el docente El método presentado en esta sección es, en esencia, el método que consiste en buscar una solución transformando el sistema en uno equivalente cuya solución sea inmediata. En la literatura matemática, los métodos conocidos como eliminación gaussiana o reducción mediante operaciones elementales son básicamente esto.

Estos métodos son más generales y permiten manejar sistemas de cualquier número de ecuaciones, además de ser particularmente apropiados para programarse en una computadora. Puede motivar a sus estudiantes averiguando sobre aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales a la economía, ingeniería, programas de videojuegos y ciencias en general.

Si le parece, puede mostrar que convenientemente aplicado este método permite en realidad resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, o cuatro o cinco, etc. He aquí un ejemplo de cómo hacerlo con un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas: 3x + 2y – z = 8 x – y + 2z = –3 x+y+z=2 La estrategia es obtener un sistema equivalente que contenga una ecuación donde solo aparece z, otra donde solo aparece z e y, por último una donde aparecen x, z e y. Conservemos las dos primeras ecuaciones y la última la cambiamos por la resta de la segunda con la tercera: x − y + 2z = −3 → −2y + z = −5 x+y+z =2 O sea eliminamos x de la tercera ecuación. Obtenemos el sistema equivalente: 3x + 2y – z = 8 x – y + 2z = – 3 –2y + z = – 5

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Orientaciones didácticas Unidad 3 Ahora eliminemos x de la segunda ecuación. Para hacer esto, podemos cambiar la segunda ecuación por la primera menos 3 veces la segunda: ⎪⎧ 3x + 2y − z = 8 ⎪⎫ −⎨ ⎬ → 5y − 7z = 17 ⎪⎩3 · ( x − y + 2z = −3)⎪⎭ Llegamos al sistema equivalente: 3x + 2y – z = 8 5y – 7z = 17 –2y + z = – 5 Ahora solo resta eliminar y de la tercera ecuación. Podemos cambiar la tercera ecuación por 2 veces la segunda ecuación más 5 veces la tercera: . ⎪⎧2 ( 5y − 7z = 17) ⎪⎫ +⎨ ⎬ → −9z = 9 ⎪⎩ 5 (−2y + z = −5)⎪⎭ Obtenemos, finalmente, el sistema equivalente: 3x + 2y – z = 8 5y – 7z = 17 –9z = 9 Ahora es sencillo resolver el sistema. La tercera ecuación dice que z = –1.

Remplazando este en la segunda, se obtiene 5y + 7 = 17, es decir y = 2.

Finalmente, se remplaza z = –1 e y = 2 en la primera ecuación que queda 3x + 4 + 1 = 8 y, por lo tanto, x = 1.

El trío de números x = 1, y = 2 y z = –1 es una solución del sistema.

Otra aplicación de tales ideas es la siguiente: Consideremos un sistema general. ax + by = e cx + dy = f Puede mostrar cómo se resuelve este en general: se multiplica la primera ecuación por c y se le restamos la segunda multiplicada por a: ⎧⎪c ⎡⎣ax + by = e ⎤⎦ ⎫⎪ −⎨ ⎬ → bcy − ady = ce − af ⎩⎪a ⎡⎣cx + dy = f ⎤⎦⎪⎭ Factorizando por y la ecuación anterior queda: y(bc – ad) = ce – af. La solución es: y=

af – ce ad – bc

Todo esto funciona si ad – bc ≠ 0. Si se resuelve de manera similar para x, se obtiene: de – bf x= ad – bc

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Conocimiento de los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones.

Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información.

Sugerencias metodológicas: utilizar al concluir los tres métodos algebraicos, como ejercitación.

Es decir se pueden obtener expresiones algebraicas para obtener las soluciones, siempre que el sistema cumpla que ad – bc ≠ 0. Estas no son más que las expresiones obtenidas mediante el método de Cramer. Este último método podría ser interesante de plantear una vez que el o la docente sienta que sus estudiantes manejan los métodos de resolución. Puede servir incluso como una forma de comprobar la validez de las soluciones obtenidas mediante los métodos anteriores. Sin duda, jamás se aprenderá matemáticas mediante la memorización de fórmulas, no obstante esto, tampoco se debe despreciar la confortable rutina de su uso.

Debe insistirse en la correcta manipulación de expresiones algebraicas en dos variables, con ejemplos tales como: (5x + 8y) – 2(17x –

9 y) = (5 – 2 · 17)x + (8 + 9)y = –29x + 17y 2

Los errores de signo son también comunes a todo nivel. Una forma de evitarlos es aconsejar orden al momento de escribir el desarrollo de una solución. Si el alumno o la alumna no está seguro de una manipulación se le puede decir que la lleve a cabo en tantos pasos como le parezca pertinente a fin de evitar este tipo de errores. Por supuesto que la mejor forma de detectar un error es comprobar siempre la solución.

Actividades complementarias 1. Explica cómo podrías resolver un sistema de cuatro ecuaciones lineales con cuatro incógnitas.

2. Observa que al resolver el sistema general (con letras como coeficientes) hemos encontrado una fórmula para las soluciones de cualquier sistema de ecuaciones que cumpla que ad – bc ≠ 0. Con esto en mente escribe de inmediato, sin usar ninguno de los métodos aprendidos, la solución de los sistemas:

a. −x + y = 2

b. 2x + 3y = 7

−2x + y = 0

x + 6y = −1

c. 2x + 5 5 y = −21 5 x + 2 2y = 21

3. De acuerdo con las fórmulas planteadas, si un sistema tiene coeficientes racionales, ¿puede tener una solución (x, y) donde ya sea x o y sean irracionales? Recuerda que suma, resta, multiplicación y división (excepto el 0) de números racionales siempre es un número racional.

PÁGINAS 127 - 128 En tu cuaderno Actividad

Habilidades que se desarrollan

1

Reconocer/identificar.

2

Verificar o comprobar.

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Análisis algebraico de las soluciones Indicaciones para el docente Tal como se comentó en la sección anterior, aparece aquí el método de encontrar sistemas equivalentes para resolver un sistema, ahora en el contexto de analizar existencia y unicidad de soluciones.

Puede considerarse también, como se sugiere en el ejemplo método de igualación en el Texto, que, al aplicar el método de reducción para resolver un sistema que no tiene solución, se obtiene una contradicción. Puede considerar nuevamente el ejemplo del Texto. Para eliminar cualquiera de las incógnitas, se debe restar, lo que

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Orientaciones didácticas Unidad 3 lleva a que 0 = –2, lo que es contradictorio. Luego, el sistema no tiene solución.

De igual modo, si el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones), con cualquier método se obtiene la igualdad 0 = 0 (esto es por que la única forma en que un sistema puede tener infinitas soluciones es que una de las ecuaciones sea múltiplo de la otra).

En general, el concepto de sistemas equivalentes se aplica a todo tipo de sistemas lineales y sirve tanto para resolver como para analizar las soluciones de sistemas.

Actividades complementarias 1. Considera los siguientes sistemas de ecuaciones: a. 3x – 6y + 12z = 8 –x + 2y – 4z = – 1 x+y+ z = 2

b. 2x – 4y + z = 0

c. x + y + z = 3

x+y+z = 5 2x + 2y + 2z = 1

x−y+z = 2 3x + y − z = 3

Analiza la existencia y unicidad de soluciones usando el concepto de ecuaciones equivalentes. Si el sistema tiene una única solución, calcúlala.

2. ¿Como podrías resolver el sistema x + 2y − z = −3 ?

2x − y + z = 5

PÁGINAS 129 - 130

Pertinencia de las soluciones

Indicaciones para el docente

En tu cuaderno

En esta sección se le presentan al alumno o la alumna varios problemas que pueden ser resueltos con la utilización de un sistema de ecuaciones. De este modo, se ejemplifica en términos concretos el uso de sistemas de ecuaciones.

Puede motivar a los alumnos y alumnas interesados en ciencias o en economía averiguando en Internet sobre posibles aplicaciones. Aunque debe advertirse que el tratamiento de tales problemas requiere a menudo conocimientos específicos de los campos de aplicación particulares.

Debe quedar claro que el método sugerido en la sección no es una receta universal y siempre válida, sino más bien una lista de procedimientos a considerar a la hora de plantear un problema en términos de ecuaciones.

También debe insistir en que una manera de advertir un error es fijarse en que las soluciones sean adecuadas al problema planteado.

Actividad 1

Habilidades que se desarrollan Aplicar y calcular.

Actividades complementarias En los problemas 1 al 7, se le pide al alumno o alumna plantear el problema en términos de sistemas de ecuaciones. En los últimos dos problemas se le entrega una ecuación que modela una situación y se le pide resolver un problema que eventualmente deberá plantear usando la ecuación dada.

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1. Magdalena y Diego trabajan como obreros en una fábrica de muebles.

Magdalena fabrica 2 sillas más al día que Diego. Si trabajan juntos, fabrican 10 sillas al día, que es 2 menos de las que fabrican cuando trabajan separados. ¿Cuántas sillas fabrican cada uno cuando trabajan separados?

2. Dos números están en razón 1 : 4. Si el menor más 12 está en razón 2 : 3 con el mayor menos 12 ¿Cuáles son los números?

3. Considera la ecuación ax + by + 20 = 0, los pares (1, 3) y (–1, 2) son soluciones de ella. Determina el valor de a y b.

4. Un rectángulo es tal que su perímetro es 42 y el cuociente entre el lado mayor y el menor es 2. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

5. Los costos totales de operar una máquina anualmente están dados por la función C(h) = F + hH. En esta función, F representa los costos fijos (mantención anual, seguros, etc.) y H representa el costo de mantener la máquina operando una hora (sueldo del operario, electricidad, etc.). Hace dos años, los costos de operación fueron $ 2 500 000 y la máquina operó 300 h. El año pasado, los costos fijos se duplicaron, se operó la máquina 400 h y los costos de operación aumentaron en $ 1 500 000 en relación al año anterior. ¿Cuáles fueron los costos fijos y de operación por hora de la máquina el año pasado?

6. La ecuación del gas ideal es PV = kT, donde P, V y T representan la presión, volumen y temperatura de un gas, respectivamente, y k es una constante. Supón que un gas encerrado en un recipiente rígido de volumen 1 000 obedece la ecuación del gas ideal, con k = 1 (sin considerar las unidades). Se han averiado los medidores de presión y temperatura de modo que solo se pueden medir diferencias de ellas. Si al elevar la temperatura del gas en 2, su presión aumenta en 3. ¿Cómo podemos determinar la presión y temperatura originales?

PÁGINAS 131 - 132 En tu cuaderno Actividad

Habilidades que se desarrollan

1

Calcular.

2

Aplicar y calcular.

Otros sistemas asociados a sistemas de ecuaciones lineales Actividades complementarias Es posible que, para ciertos sistemas que pueden ser resueltos mediante incógnitas auxiliares, no exista una solución única al problema. Por ejemplo: 2

2

–x + y = –9 2

2

4x – 5y = 20 2

2

Si se usa como incógnitas auxiliares u = x y v = y , se obtiene u = 25 y v = 16, de 2 2 donde se tiene que x = 25 e y = 16. Las ecuaciones anteriores tienen soluciones x = 5, x = –5 e y = 4, y = –4, respectivamente. Por lo tanto, las soluciones son (5, 4), (5, –4), (–5, 4) y (–5, –4). Así que aunque se usen métodos ideados para sistemas lineales, las soluciones no tienen que ser necesariamente una o infinitas.

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Orientaciones didácticas Unidad 3 Puede suceder que un sistema se pueda resolver para las incógnitas auxiliares, pero no tenga solución. Considere por ejemplo el sistema:

–1 1 + = 28 x y 1 1 + = 22 x y Con incógnitas auxiliares u =

1 1 y u= se obtiene un sistema lineal con y x

soluciones u = 25 y v = –3, lo que implicaría que la raíz de y es negativa. Luego, el sistema no tiene solución.

PÁGINA 133

Resolución de sistemas en más de dos variables o fraccionarios.

Indicador: localiza y recupera información.

Sugerencias metodológicas: utilizar como ejercicios de profundización de la resolución de sistemas de ecuaciones.

Mi progreso

En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos y alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizar como una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan en el cuadro Mi Progreso e incluye los siguientes criterios: Ítem 1: determinar si los pares de sistemas de ecuaciones planteados son equivalentes. Ítem 2: resolver el sistema de ecuaciones usando el método de igualación. Ítem 3: resolver el sistema de ecuaciones usando el método de sustitución. Ítem 4: resolver el sistema de ecuaciones usando el método de reducción. Ítem 5: plantear sistema de ecuaciones con dos incógnitas y resolver.

Mi progreso Ítem

Habilidades que se evalúan

1

Reconocer/identificar.

2, 3 y 4 5

Calcular.

Aplicar y calcular.

Para los ejercicios 1, 2, 3, 4 y 5 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar el nivel de conocimiento alcanzado por los alumnos y alumnas.

Ítem

1

2

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

• Determina correctamente si todos los pares de sistemas de ecuaciones dados son equivalentes.

• Aplica las propiedades de las igualdades para obtener ecuaciones equivalentes.

• Determina correctamente si todos los pares de sistemas de ecuaciones dados son equivalentes, pero no aplica las propiedades de las igualdades para obtener ecuaciones equivalentes.

• Determina correctamente si uno de los pares de sistemas de ecuaciones dados son equivalentes.

• Aplica en algunos casos las propiedades de las igualdades para obtener ecuaciones equivalentes.

• No determina correctamente si los pares de sistemas de ecuaciones dados son equivalentes.

• Aplica incorrectamente las propiedades de las igualdades o no las aplica para obtener ecuaciones equivalentes.

• Resuelve correctamente los sistemas de ecuaciones presentados mediante igualación.

• Resuelve correctamente dos de los sistemas de ecuaciones presentados mediante igualación.

• Resuelve correctamente uno de los sistemas de ecuaciones presentados mediante igualación.

• No resuelve correctamente los sistemas de ecuaciones presentados mediante igualación.

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Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

• Resuelve correctamente los sistemas de ecuaciones presentados mediante sustitución.

• Resuelve correctamente dos de los sistemas de ecuaciones presentados mediante sustitución.

• Resuelve correctamente uno de los sistemas de ecuaciones presentados mediante sustitución.

• No resuelve correctamente los sistemas de ecuaciones presentados mediante sustitución.

• Resuelve correctamente los sistemas de ecuaciones presentados mediante reducción.

• Resuelve correctamente dos de los sistemas de ecuaciones presentados mediante reducción.

• Resuelve correctamente uno de los sistemas de ecuaciones presentados mediante reducción.

• No resuelve correctamente los sistemas de ecuaciones presentados mediante reducción.

• Define las variables, plantea las ecuaciones, resuelve el sistema y verifica la pertinencia de la solución encontrada.

• Justifica correctamente si la solución es correcta.

• Define las variables, plantea las ecuaciones, resuelve el sistema, pero no verifica la pertinencia de la solución encontrada.

• Justifica correctamente si la solución es correcta.

• Define las variables, plantea las ecuaciones, pero no resuelve el sistema.

• Justifica parcialmente si la solución es correcta.

• Define las variables o plantea las ecuaciones, de forma incorrecta.

Justifica parcialmente o no justifica si la solución es correcta.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 1, es posible que los alumnos y alumnas tengan dificultades para determinar si los sistemas de ecuaciones dados son equivalentes, debido a que no están acostumbrados a aplicar propiedades de las igualdades. Para evitar problemas como estos, muestre constantemente a sus estudiantes cómo obtener ecuaciones equivalentes y más sencillas al aplicar estas propiedades, de modo que en otras ocasiones ellos puedan visualizar con mayor facilidad las equivalencias entre diversas ecuaciones.

• En los ítems 2, 3 y 4, podrían causar dificultades recordar los procesos que se deben realizar en cada caso para encontrar la solución a los sistemas de ecuaciones, según el método que se utilice. Para evitar esto, es fundamental que sus estudiantes practiquen insistentemente cada uno de estos métodos.

Cuando ellos dominen cada uno de estos métodos, serán capaces de decidir cuál es el más conveniente para un sistema de ecuaciones determinado, ya que frecuentemente ocurre que para resolver un mismo sistema un método resulta más complicado y con otro se puede obtener la solución fácilmente.

• En el ítem 5, el principal problema radica en que los alumnos y alumnas tengan dificultades para definir las variables y expresar el enunciado del problema como un sistema de ecuaciones. Para evitar esto, es importante que los y las estudiantes estén habituados al proceso de resolución de problemas, y que consideren las ecuaciones y también los sistemas de ecuaciones como una herramienta para la resolución de problemas y no como un contenido aislado de su aplicación real. También es importante que tengan presente el contexto del problema y se acostumbren a verificar la pertinencia de la solución de acuerdo al problema, como en este caso, que el número de respuestas correctas e incorrectas debe ser un número entero positivo o cero.

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Orientaciones didácticas Unidad 3 PÁGINAS 134 - 135

Cómo resolverlo

La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la unidad; sin embargo, en estas páginas se presentan estrategias de resolución específicas para que los y las estudiantes la aprendan y la apliquen en futuros problemas. Además, esta resolución se presenta detallada, justificando las diferentes acciones, lo que permite aclarar posibles dudas que sus estudiantes pueden mantener. Se recomienda que enfatice los pasos que deben seguir en la resolución de problemas: comprender, planificar, resolver y revisar.

En tu cuaderno Actividad 1y2

Habilidades que se desarrollan Aplicar, calcular y verificar.

INDICADORES DE LOGRO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS A continuación, se presentan diferentes indicadores de logro que puede utilizar para evaluar la resolución de problemas planteados.

Logro, aplicación Comprensión del problema o situación

• Puede expresar en sus propias palabras e interpretar coherentemente el problema.

• Identifica la información necesaria.

• Tiene una idea acerca de la respuesta.

En proceso, logro parcial • Copia el problema.

• Identifica palabras clave.

• Puede que mal interprete parte del problema.

• Puede que tenga alguna idea acerca de la respuesta.

• Demuestra un entendimiento Comprensión de • Aplica correctamente reglas parcial o satisfactorio. o algoritmos cuando usa conceptos • Puede demostrar y explicar símbolos. usando una variedad de • Conecta cómo y por qué. modos.

• Aplica el concepto a proble• Está listo para hacer mas o a situaciones nuevas. conexiones acerca de cómo • Hace y explica conexiones. y por qué.

• Realiza lo pedido y va más allá.

• Relaciona el concepto con conocimientos y experiencias anteriores.

• Realiza las tareas cada vez con menos errores.

Verificación de resultados y/o progreso

• Chequea racionalidad de los resultados.

• Reconoce sin razones.

• Revisa cálculos y procedimientos.

• Puede investigar razones si existen dudas.

No comprende • No entiende el problema.

• Entiende mal el problema.

• Como rutina pide explicaciones.

• No modela los conceptos rutinarios correctamente.

• No puede explicar el concepto.

• No intenta resolver el problema.

• No hace conexiones.

• No revisa cálculos ni procedimientos.

• No reconoce si su respuesta es o no razonable.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm

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Actividades complementarias 1. Una bolsa de azúcar tiene 60 gramos más que una bolsa de sal. Si la suma de ambas bolsas es igual a 540 gramos, ¿cuánto pesa cada bolsa?

2. En una tienda de videos se ofrecen 2 formas de arriendo mensual. En la primera, se cobra $ 2 400 de cargo fijo, más $ 1 500 por video; en la segunda, se cobra $ 1 200 por cargo fijo más $ 2 000 por video. a. Plantea el sistema de ecuaciones correspondiente. b. Resuelve el sistema planteado y luego indica cuál es la oferta más conveniente.

3. Se necesita hacer un pedido de 656 litros de una solución de ácido al 23%. En el laboratorio hay soluciones al 20% y 30%. ¿Cuántos litros de cada solución se necesitan para responder al pedido?

4. Un químico farmacéutico desea fortificar una sustancia sintética que contiene 20% de agua del tipo A agregándole un químico con 60% de agua del tipo B. La sustancia obtenida debe concentrar un 48% de ambas, debiendo llenarse 2 200 botellas de 1 litro. ¿Cuántos litros de agua del tipo A y del tipo B se deben usar?

5. Un aeroplano recorre 90 millas en 3 horas con ayuda del viento a su favor.

En 3 horas y 36 minutos, realiza el viaje de regreso con el viento en contra.

A partir de estos datos, calcula: a. La velocidad del viento. b. La velocidad del avión sin considerar el viento.

PÁGINAS 136 - 137 En tu cuaderno Actividad 1

Habilidades que se desarrollan Usar herramientas.

2, 3 y 4

Aplicar.

5

Justificar.

Investiguemos...

Actividad 1y2 3

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Habilidades que se desarrollan Evaluar.

Aplicar, usar herramientas y evaluar.

En terreno • Esta sección del Texto para el Estudiante tiene como objetivo relacionar los contenidos aprendidos en la unidad con su aplicación real. Para ello, se presenta una actividad sobre economía, relacionada con la oferta y demanda de productos, específicamente la producción de madera en nuestro país, para que los alumnos y alumnas puedan visualizar la presencia real de los sistemas de ecuaciones lineales en temas como la economía.

• Las actividades que se presentan permitirán que los alumnos y alumnas se interioricen en estos temas y además puedan aplicar todos los contenidos aprendidos, como métodos de resolución (gráficos y algebraicos), interpretación y pertinencia de resultados según el contexto.

• Para complementar la actividad del Texto para el Estudiante, sería interesante que pudiera modelar con sus alumnos y alumnas las diversas situaciones presentadas con algún software computacional, como Graphmatica, utilizado en la sección Herramientas Tecnológicas del Texto para el Estudiante.

• Interesante información sobre economía y otros temas relacionados, que puede ser de gran utilidad para trabajar con sus alumnos y alumnas, puede encontrar en los siguientes sitios en Internet.

- Ministerio de Economía de Chile www.economia.cl - Ministerio de Hacienda de Chile www.hacienda.gov.cl - Banco Central de Chile www.bcentral.cl - Instituto Nacional de Estadísticas (INE) www.ine.cl

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Orientaciones didácticas Unidad 3 PÁGINAS 138 - 139

Síntesis de la Unidad

Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos y alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los y las estudiantes consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. Además, permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus estudiantes en esta parte de la unidad.

En esta sección se sugiere a los y las estudiantes qué conceptos debiera incluir el mapa conceptual de toda la unidad, para que ellos lo construyan en sus cuadernos, resumiendo y organizando así los contenidos trabajados en toda la unidad.

Síntesis de la Unidad Actividad

Habilidades que se desarrollan

Mapa conceptual

Recordar, conectar y representar.

1

Evaluar y justificar.

2

Aplicar.

Actividades complementarias Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la unidad, realice preguntas como las siguientes: • ¿Cuántas soluciones tiene una ecuación de primer grado con dos incógnitas?

• ¿Ocurre lo mismo con una situación que se modela con una ecuación de primer grado con dos incógnitas? Justifica.

• ¿Siempre es conveniente utilizar el método gráfico para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas?, ¿por qué?, ¿en qué casos es útil?

• ¿Qué métodos conoces para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas?, ¿en qué consiste cada uno de ellos?

• ¿En qué hay que fijarse cuando se enfrenta a un problema que se puede resolver con sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas?, ¿qué pasos se deben seguir para dar solución al problema?

Repaso de conceptos y definiciones claves de la Unidad.

Indicador: localiza y recupera información.

Sugerencias metodológicas: utilizar como síntesis para integrar conceptos y definiciones de la unidad.

Para aplicar los contenidos aprendidos en la unidad, puede presentar problemas como los siguientes: • Un grupo de amigos almuerza en un restaurante. A la hora de pagar, observan que, si cada uno coloca $ 3 000, faltan $ 2 000 para cancelar el total, mientras que si cada uno coloca $ 3 500, sobran $ 4 000. ¿Cuántos amigos fueron a almorzar?, ¿cuánto deben cancelar en total?

• Una fábrica produjo hoy 1 500 unidades más que ayer, y lo que produjo entre ayer y hoy es 3 000 unidades más que el tercio de lo que produjo ayer. ¿Cuánto produjo hoy y cuánto ayer?

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PÁGINAS 140 - 141

Evaluación de la Unidad

1, 2, 3, 5, 9 y 12

Calcular.

Los ejercicios y problemas presentados en esta sección permiten evaluar los aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la unidad. Considere lo siguiente: Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.

Logrado, si contesta correctamente más de diez preguntas.

Medianamente logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas.

No logrado, si contesta correctamente menos de seis preguntas.

10, 11 y 13

Analizar.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales

4, 6, 7 y 8

Analizar y calcular.

• En los ítems 1, 2, 3, 4, 5, 8 y 9, podrían causar dificultades recordar los procesos que se deben realizar para resolver los sistemas de ecuaciones, según el método que se utilice. Para evitar esto, es fundamental que sus estudiantes practiquen insistentemente cada uno de estos métodos. Ellos serán capaces de decidir cuál es el más conveniente para un sistema de ecuaciones determinado, ya que frecuentemente ocurre que para resolver un mismo sistema, un método resulta más complicado y con otro se puede obtener la solución fácilmente.

• En el ítem 10, se podrían presentar inconvenientes relacionados con la obtención de sistemas equivalentes, esto debido a las operatorias que se hacen en las ecuaciones del sistema. Para solucionar esto, es importante que sus estudiantes se manejen en las propiedades de las igualdades para poder operar correctamente en las ecuaciones y así poder obtener sistemas de ecuaciones equivalentes a los dados.

• En el ítem 11, puede suceder que los alumnos y alumnas se compliquen para realizar cambio de variables y obtener sistemas de ecuaciones equivalentes pero más sencillos que el original. Para remediar situaciones como esta, es importante mostrar diversos sistemas de ecuaciones donde sea conveniente utilizar incógnitas auxiliares, de esta forma ellos podrán enfrentar de mejor manera futuros sistemas de ecuaciones que requieran incógnitas auxiliares.

• En el ítem 12, puede ocurrir que los alumnos no comprendan cómo determinar qué opciones no son solución a la ecuación de primer grado con dos incógnitas presentada, sobre todo aquellas que están representadas en función de las variables de la ecuación. Para remediar esto, es importante mencionar a los alumnos y alumnas que una forma efectiva de hacerlo es remplazar los valores dados en la ecuación presentada y, si se cumple la igualdad, entonces estos valores son solución de la ecuación; también reescribir la ecuación original como las opciones algebraicas que se entregan, si es posible hacerlo, significa que también es solución de la ecuación.

• En el ítem 6, 7 y 13, podría ocurrir que sus estudiantes no relacionen bien el tipo de representación de las rectas en el plano cartesiano con el tipo de soluciones en el sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Para evitar este tipo de inconvenientes, es fundamental que sus estudiantes dominen muy bien estos conceptos para poder enfrentar de buena forma futuros problemas y preguntas de este tipo.

Evaluación Ítem

Habilidades que se evalúan

Como complemento a esta evaluación, el hipertexto cuenta con una evaluación interactiva y, además, una autoevaluación imprimible para que sus estudiantes evalúen su desempeño.

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| Unidad 3 Guía Didáctica Matemática 2o Medio

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Orientaciones didácticas Unidad 3 Evaluación final En las páginas siguientes, se presenta una evaluación que puede fotocopiar y que le permitirá evaluar los aprendizajes de sus alumnos y alumnas en la unidad. Con los resultados de esta evaluación, se puede tomar la decisión de reforzar algunos temas que no hayan sido aún comprendidos a cabalidad por sus estudiantes.

El tiempo estimado para la realización de la prueba es 60 minutos. Este tiempo puede ser modificado según las características de sus estudiantes.

Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes, se sugiere utilizar la siguiente pauta: Ítem

Habilidades que se evalúan

Puntaje

Total

1, 2, 7, 10, 12 y 14

Calcular.

2 puntos cada una

12 puntos

3, 4, 6, 8 y 11

Aplicar y calcular.

2 puntos cada una

10 puntos

5, 9 y 13

Calcular y clasificar.

2 puntos cada una

6 puntos

Puntaje total

28 puntos

BIBLIOGRAFÍA • • • • • • • • • • •

Cord. Matemáticas aplicadas, Santiago de Chile, 1997.

Morris, Kline. Matemáticas para los estudiantes de humanidades, Fondo de Cultura Económica, México, 1992.

Magnus, Hans. El diablo de los números, Editorial Siruela, Madrid, 1998.

Gardner, Martín. Carnaval Matemático, Alianza Editorial, España, 1985.

Guzmán, Miguel de. Tendencias innovadoras en Educación Matemática, Red Olímpica, Buenos Aires, 1992.

Sociedad de Matemáticas de Chile. Matemáticas y Olimpíadas, Santiago de Chile, 1994.

Paulos, John Allen. El hombre anumérico. Libros para pensar la ciencia. España, 1997.

Perero, Mariano. Historia e historias de matemáticas, Grupo Editorial Iberoamericana, México, 1994.

Stewart, Ian. De aquí al infinito. Las matemáticas de hoy, Crítica, Barcelona, 1998.

Tahan, Malba. El hombre que calculaba, Editorial Limusa, México, 1998.

Paulos, John Allen. Más allá de los números. Libros para pensar la ciencia. España, 1998.

Sitios web • Descartes. Matemáticas interactivas: http://descartes.cnice.mec.es/ • El portal de la educación: www.educarchile.cl • El paraíso de las matemáticas: www.matematicas.net Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

Sistemas de ecuaciones lineales

|

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Evaluación final Material fotocopiable Nombre:

Curso:

Fecha:

Marca o encierra la alternativa correcta de cada pregunta.

1. ¿Cuál es la solución del siguiente sistema?

8x + 4y = −12 −12x + 5y = −15 A. B. C. D. E.

(0, –2) (0, –3) (–3, 0) (0, 3) Ninguna de las anteriores

2. ¿De qué sistema es solución x = 1 e y = –1?

A. 2x − 3y = 5 x+y=0

D. 2x − 3y = 5 x+y=2

B. 3x − 3y = 5 x+y=0

E. 2x − 3y = 5 −x + y = 2

C. 3x − 2y = 5 x−y=0

4. Las edades de dos personas están en la razón 7 : 4, y una de ellas tiene 6 años más que la otra, ¿cuál es la edad de la persona mayor?

A. B. C. D. E.

6 8 12 14 No se puede determinar.

5. Al resolver el sistema, se puede afirmar que: 4x − 6y = −8 −12x + 18y = 5 A. B. C. D. E.

No tiene solución.

Tiene solo una solución.

Tiene infinitas soluciones.

Tiene dos posibles soluciones.

Ninguna de las anteriores.

6. La suma de dos números es 3 y su diferencia es 4. ¿Cuáles son los números?

3. La medida de los ángulos BAC y BCA son, respectivamente: A

x+y 3x + 2y + 25 2x B

A. B. C. D. E.

114

C

25º y 65º 30º y 60º 40º y 50º 400 y 130º Falta información.

| Unidad 3 Guía Didáctica Matemática 2o Medio

A. B. C. D. E.

x x x x x

= = = = =

3,5; y = –0,5 –3,5; y = –0,5 3,5; y = 0,5 4,5; y = –1,5 –4,5; y = –0,5

7. ¿Cuál es el valor de xy si 5x − y = −12 ? x − y = −4 A. B. C. D. E.

–8 –4 2 4 8

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Evaluación final Material fotocopiable 8. Una llave tarda cuatro veces más tiempo que otra en llenar un recipiente. ¿Cuánto tardará cada una por separado en llenar el recipiente, sabiendo que cuando se abren las dos a la vez tardan 8 horas en llenar el mismo recipiente?

Llave 1 Llave 2 16 h 4h 8h 2h 12 h 3h 10 h 40 h 2,5 h 10 h

A. B. C. D. E.

9. La representación gráfica de las ecuaciones del sistema

A. B. C. D. E.

2x − 3y = 4 corresponde a: −12x + 18y = 0

Dos rectas paralelas.

Dos rectas concurrentes.

Dos rectas coincidentes.

Dos rectas perpendiculares.

No corresponde a rectas.

12. En el sistema: 4x − m y = 9 , ¿qué valores nx + 7y = −11 deben tener m y n, respectivamente, para que la solución sea el par (2, 1)?

A. B. C. D. E.

1y9 –1 y –9 –5 y –4 5y4 Ninguna de las anteriores.

13. Sobre las soluciones del siguiente sistema x + 2y = 5 es posible afirmar que: −2x − 4y + 10 = 0 A. B. C. D. E.

Tiene una solución.

Tiene dos soluciones.

Tiene infinitas soluciones.

No tiene solución.

No se puede determinar.

14. Considera el siguiente sistema de ecuaciones 10. Si 6x − 20y = 80 , entonces x – y: 8x + 6y = 18 A. B. C. D. E.

14 7 –7 3,5 6

ay = kx − 4 donde a y k son constantes 8y = 3x − 12 positivas. El valor que debe tomar a y k para que el sistema tenga infinitas soluciones es: A. a = 3 y k = 3 B. a = 8 y k = 3 C. a = 8 y k = 1

11. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en un corral si entre todos juntan 44 cabezas y 148 patas?

A. B. C. D. E.

30 20 14 12 29

gallinas gallinas gallinas gallinas gallinas

y y y y y

14 24 30 32 15

D. a = 8 y k = 1 3

E. a = 1 y k = 3

conejos conejos conejos conejos conejos

Sistemas de ecuaciones lineales

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Taller de evaluación 1 Material fotocopiable Nombre:

Curso:

Fecha:

Marca o encierra la alternativa correcta de cada pregunta.

1.

0

x + 2 = 3, entonces x: A. –1

D. 7

B. 1

E. 9

2

3

A.

a

D.

3

3b

C. 5

B. a 2. Si a es un número impar positivo, ¿cuál de los siguientes números es siempre un número irracional?

I.

11a

II.

11

2

3

a B. 3

1–a

6. Simplifica:

–2

1+a

Solo Solo Solo Solo Solo

I II III I y II II y III

a b

E. 1

III. a A. B. C. D. E.

0 –2

5. El valor de (2ab – 2) : (3 a b) es:

A.

B.

–1

a +1 a a

D.

a a −1

E.

a −1 a

2

2

a −1 2

2

3.

2

–

7 –1

7 +1

2 3 1 B. 3 1 C. 6 A.

C.

a

=

D. 0 E.

3 2

3

7. (Ensayo PSU, 2004) ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) expresión(es), al ser simplificada(s), resulta(n) 1?

I.

2a + 3 3 + 2a 2

2

a –b II. (a – b)

4. Si el área de un triángulo equilátero es 2 25 3 m , entonces el lado mide: A. 5 3 m

D. 20 3 m

B. 10 m

E. 50 3 m

C. 100 cm

116

a −1

| Guía Didáctica Matemática 2o Medio

III.

(b – a) 2

2

2

a + b – 2ab A. B. C. D. E.

Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III

Taller 1

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Taller de evaluación 1 Material fotocopiable 8. (Educarchile, PSU, 2004) Resuelve y simplifica: 2

2

(3 x y )

2 2

(6 xy ) A.

x

2

4y B.

2

x 2y

2

x C. 4y D.

2

x E. 2y

2x y

9. Un obrero puede arar un pedazo de tierra en 1 2 días y un aprendiz, en 3 días. ¿Cuánto 2 demoran si trabajan juntos, cada uno en la misma razón?

A. 5

1 días.

2

D. 1

3 días.

11

B. 1

1 días.

2

E. 1 día.

C. 4 días.

10. En una granja con vacas y gansos, se cuentan 130 cabezas y 380 patas. ¿Cuántas vacas y gansos hay en la granja?

A. B. C. D. E.

60 vacas y 70 gansos 100 vacas y 30 gansos 70 vacas y 60 gansos 80 vacas y 50 gansos No se puede determinar

11. La representación gráfica de las ecuaciones del 6x + 2y = 10 sistema corresponde a: 12x + 4y = 10 A. B. C. D. E.

12. Consuelo es 12 años mayor que Antonia. Se sabe que en 5 años más, la edad de Antonia será un tercio de la edad de Consuelo. Si se desea saber sus edades, es posible afirmar que: I. Si definimos como x la edad actual de Consuelo e y la edad actual de Antonia, el siguiente sistema permite determinar las edades actuales de ambas. x y+5= 3 x − y = 12 II. Consuelo tiene 13 años y Antonia 1.

III. Con la información entregada no es posible encontrar las edades pedidas.

A. Solo I

D. I y III

B. Solo II

E. I, II y III

C. I y II

13. (Ensayo PSU, 2004, DEMRE) En el sistema: 3x − my = 9 nx + 4y = −11 ¿qué valores deben tener m y n para que la solución del sistema sea el par (1, –3)? m

n

A.

–2

1

B.

–2

–1

C.

2

1

D.

4

–23

E. Ninguna de las anteriores

dos rectas paralelas dos rectas concurrentes dos rectas coincidentes dos rectas perpendiculares No corresponde a rectas

Taller de Evaluación 1

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Semejanza

Unidad

PROPÓSITO

DE LA UNIDAD

La semejanza de figuras planas es un contenido matemático que es trabajado en los distintos niveles de la Educación Media, debido a su importancia desde el punto de vista matemático y también por su relevancia en contextos reales.

Durante esta unidad, queremos que los y las estudiantes sean capaces de identificar figuras semejantes, más allá de la simple visualización. Para ello, son enseñados tres importantes criterios de semejanza y el teorema de Thales, con el objeto de que puedan reconocer matemáticamente si diferentes figuras presentadas son semejantes, como por ejemplo al analizar la igualdad de ángulos y la proporcionalidad de los lados correspondientes. Toda esta amplitud y profundización de contenidos tiene como finalidad aplicar los nuevos conocimientos adquiridos en situaciones del contexto real.

Por este motivo, a lo largo de la unidad, se presentan diversos problemas de aplicación con el propósito de que los y las estudiantes puedan observar la presencia de los contenidos enseñados en diferentes contextos matemáticos y cotidianos.

A continuación, se presenta un esquema que relaciona los principales conceptos de la unidad.

ESQUEMA

DE LA UNIDAD

Positivo General de Thales Thales

Centro

Negativo

Factor k

Euclides Homotecia Semejanza

Teoremas

Figuras planas

Triángulos Criterios de semejanza

Criterio AA

118

| Unidad 4

Guía Didáctica Matemática 2o Medio

Criterio LLL

Aplicaciones

División de un trazo en una razón dada

Criterio LAL

Mapas y planos a escala

CONTENIDOS DE LA UNIDAD

• Semejanza de figuras.

• Semejanza de triángulos: criterio AA. • Semejanza de triángulos: criterio LLL. • Semejanza de triángulos: criterio LAL. • Análisis de semejanza en figuras planas.

• Aplicación de la semejanza en modelos a escala.

• Teorema de Thales.

• Teorema general de Thales.

• División de un trazo en una razón dada.

• Teorema de Euclides.

• Aplicaciones del teorema de Euclides.

• Homotecia.

CMO

• Exploración de diversas situaciones que involucran el concepto de semejanza y su relación con formas presentes en el entorno.

• Identificación y utilización de criterios de semejanza de triángulos para el análisis de la semejanza en diferentes figuras planas.

• Aplicación del teorema de Thales sobre trazos proporcionales. División interior de un trazo en una razón dada y uso de un procesador geométrico para verificar relaciones, en casos particulares.

• Demostración de los teoremas de Euclides relativos a la proporcionalidad de trazos en el triángulo rectángulo, demostración del teorema de Pitágoras y del teorema recíproco de Pitágoras.

• Aplicación de la noción de semejanza a la demostración de relaciones entre segmentos en cuerdas y secantes en una circunferencia y a la homotecia de figuras planas.

ESPERADOS

• Comprender el concepto de semejanza y su relación con formas semejantes presentes en el entorno.

• Demostrar proposiciones simples utilizando conceptos y propiedades relacionadas con la semejanza de figuras planas.

• Identificar y utilizar criterios de semejanza de triángulos para el análisis de la semejanza en diferentes figuras planas.

• Aplicar criterios de semejanza en modelos a escala.

• Aplicar el teorema de Thales sobre trazos proporcionales.

• Dividir interiormente un trazo en una razón dada y usar un procesador geométrico para verificar relaciones.

• Demostrar los teoremas de Euclides relativos a la proporcionalidad de trazos en el triángulo rectángulo.

• Describir la homotecia de figuras planas mediante el producto de un vector y un escalar.

• Usar un procesador geométrico para visualizar las relaciones que se producen al desplazar figuras homotéticas en el plano.

APRENDIZAJES

• Comprenden el concepto de semejanza y su relación con formas semejantes presentes en el entorno.

• Demuestran proposiciones simples utilizando conceptos y propiedades relacionadas con la semejanza de figuras planas.

• Identifican y utilizan criterios de semejanza de triángulos para el análisis de la semejanza en diferentes figuras planas.

• Aplican criterios de semejanza en modelos a escala.

• Aplican el teorema de Thales sobre trazos proporcionales.

• Dividen interiormente un trazo en una razón dada y usan un procesador geométrico para verificar relaciones.

• Demuestran los teoremas de Euclides relativos a la proporcionalidad de trazos en el triángulo rectángulo.

• Describen la homotecia de figuras planas mediante el producto de un vector y un escalar.

• Usan un procesador geométrico para visualizar las relaciones que se producen al desplazar figuras homotéticas en el plano.

INDICADORES

• • • • • • •

TIPOS

DE EVALUACIÓN

18/11/09 16:51

• Sumativa: páginas 182 y 183 del Texto para el Estudiante y 142 y 143 de la Guía Didáctica para el Profesor.

Escuadra • Diagnóstica: páginas Regla 142 y 143 del Calculadora Texto para el Computador Estudiante.

Internet Cinta adhesiva • Formativa: páginas Papel 158 y 175 del mantequilla Texto para el Estudiante.

RECURSOS DIDÁCTICOS

Tiempo estimado: 15 a 20 horas

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Semejanza

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PÁGINAS 142 - 143

Revise el hipertexto, para que conozca los recursos disponibles: ejercitación adicional, elementos de profundización de contenidos, links y evaluaciones.

Páginas de entrada La imagen presentada al comienzo de la unidad del Texto para el Estudiante tiene como propósito introducir y motivar a los alumnos en el estudio y aprendizaje del concepto de semejanza y otros contenidos relacionados. La intencionalidad de la introducción presentada también es mostrar a los y las alumnas que un concepto matemático tan importante como la semejanza de figuras es posible encontrarlo en variados aspectos cotidianos, como por ejemplo en mapas de diversas localidades (continentes, países, ciudades, comunas, etc.), planos de diferentes construcciones (casas, puentes, estadios, carreteras, etc.), entre otros.

La imagen presentada en el Texto para el Estudiante corresponde a una vista aérea de la ciudad de Linares, con el propósito de ilustrar a los alumnos y alumnas que a través de distintos tamaños fotográficos hay aspectos que se mantienen constantes, como las formas de los sitios, los ángulos de diversas intersecciones y las proporciones entre diferentes longitudes, y otros varían como los tamaños de los distintos lugares, todo ello dependiendo de la altura en que son mirados.

Con esta ilustración introductoria, sus estudiantes podrán apreciar que a través de la tecnología es posible observar distintas imágenes, que permitirán obtener resultados semejantes.

Un ejemplo de ello es Mapcity, un sitio en Internet creado en el año 2000, cuyo propósito es la localización y búsqueda de direcciones, que recibe mensualmente más de un millón y medio de consultas. Mapcity también ofrece servicios a empresas en el ámbito del marketing, gestión de ventas y logística. Hoy, Mapcity entrega sus servicios en las principales ciudades de Latinoamérica.

Más información en www.mapcity.com Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

PÁGINAS 144 - 145 ¿Cuánto sabes? Ítem

Habilidades que se evalúan

1, 2 y 4

Calcular.

3

Analizar.

Evaluación diagnóstica En estas páginas se presenta una evaluación diagnóstica que permitirá medir el nivel de conocimiento que tienen los y las estudiantes acerca de los contenidos de esta unidad.

Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta una evaluación diagnóstica con el título ¿Cuánto sabes?, que incluye los siguientes criterios: Ítem Ítem Ítem Ítem

120

1: 2: 3: 4:

calcular en qué razón están las medidas de los segmentos dados. determinar el valor de la incógnita en las proporciones dadas. determinar si los pares de triángulos dados son congruentes. determinar la medida de los ángulos entre paralelas.

| Unidad 4 Guía Didáctica Matemática 2o Medio

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Orientaciones didácticas Unidad 4 Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

1

• Determina correctamente en todos los casos en qué razón están las medidas de los segmentos dados.

• Determina correctamente en tres casos en qué razón están las medidas de los segmentos dados.

• Determina correctamente en dos casos en qué razón están las medidas de los segmentos dados.

• Determina correctamente en uno o en ningún caso en qué razón están las medidas de los segmentos dados.

• Aplica correctamente en todos los casos la propiedad fundamental de las proporciones.

• Resuelve correctamente todas las ecuaciones formadas.

• Encuentra el valor correcto de la incógnita en todas las proporciones dadas.

• Aplica correctamente en todos los casos la propiedad fundamental de las proporciones.

• Resuelve correctamente tres de las ecuaciones formadas.

• Encuentra el valor correcto de la incógnita en tres de las proporciones dadas.

• Aplica correctamente en dos casos la propiedad fundamental de las proporciones.

• Resuelve correctamente dos de las ecuaciones formadas.

• Encuentra el valor correcto de la incógnita en dos de las proporciones dadas.

• Aplica correctamente en menos de dos casos la propiedad fundamental de las proporciones.

• Resuelve correctamente menos de dos de las ecuaciones formadas.

• Encuentra el valor correcto de la incógnita en menos de dos de las proporciones dadas.

• Determina correctamente si todos los pares de figuras dadas son congruentes.

• Justifica correctamente todas sus respuestas.

• Determina correctamente si tres de los pares de figuras dadas son congruentes.

• Justifica correctamente tres de sus respuestas.

• Determina correctamente si dos de los pares de figuras dadas son congruentes.

• Justifica correctamente dos de sus respuestas.

• Determina correctamente si menos de dos de los pares de figuras dadas son congruentes.

• Justifica correctamente menos de dos de sus respuestas.

• Determina correctamente la medida de todos los ángulos dados.

• Aplica correctamente en todos los casos las propiedades de los ángulos entre paralelas.

• Determina correctamente la medida de todos los ángulos dados.

• Aplica correctamente en todos los casos las propiedades de los ángulos entre paralelas.

• Determina correctamente la medida de uno de los ángulos dados.

• Aplica correctamente en un caso las propiedades de los ángulos entre paralelas.

• Determina incorrectamente la medida de todos los ángulos dados.

• Aplica incorrectamente en todos los casos las propiedades de los ángulos entre paralelas.

2

3

4

Posibles dificultades en la evaluación y remediales

• En el ítem 1, es posible que los y las estudiantes no recuerden el concepto de razón, que es la base de esta unidad. Para remediar esta situación, podría recordarles este concepto a través de una definición y de ejemplos claros que permitan ayudar y no confundir. Por otra parte, muestre a sus estudiantes que para determinar la medida del segmento AD, por ejemplo, se debe sumar las medidas de los segmentos AB, BC y CD.

• En el ítem 2, podría suceder que sus estudiantes no recuerden cómo encontrar el valor incógnito en una proporción. Para ello, es conveniente recordarles la propiedad fundamental de las proporciones (a : b = c : d, si y solo si ad = bc), y luego que apliquen las propiedades de las igualdades como en cualquier ecuación.

Semejanza

|

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• En el ítem 3, recuerde a sus alumnos y alumnas la noción de congruencia.

Ampliación de conceptos geométricos.

Indicador: localiza y recupera información.

Sugerencias metodológicas: utilizar antes de comenzar la unidad, a modo de introducción.

PÁGINAS 146 - 147 En tu cuaderno Actividad

Habilidades que se desarrollan

1

Reconocer/Identificar.

2

Usar herramientas, interpretar y verificar.

3

Justificar.

4y5

Usar herramientas y justificar.

6

Evaluar y justificar.

Los dibujos mostrados sugieren que se utilice algún criterio para determinar congruencia, esto le permitirá evaluar cuánto recuerdan sus alumnos y/o alumnas acerca de criterios de congruencia.

• En el ítem 4, es posible que los alumnos y alumnas no recuerden cómo relacionar las medidas de los ángulos señalados. Para corregir esto, es importante que revise las distintas igualdades entre ángulos que se forman cuando una recta corta a dos paralelas. Dibujar ejemplos en el pizarron es útil para aclarar este punto.

Semejanza de figuras Información para el docente En esta unidad se introduce en concepto de semejanza. Intuitivamente, las figuras semejantes están relacionadas por una transformación, ya sea de dilatación o contracción de sus longitudes, de modo que las razones entre las medidas de las distintas rectas que componen la figura original y la dilatada es la misma, así como los ángulos correspondientes. La razón entre sus longitudes es una medida de la magnificación de la transformación. Un caso especial de esto es la congruencia, donde la magnificación es igual a 1.

Dos figuras que cumplan lo anterior, pero que estén rotadas una con respecto a otra, pueden causar cierta dificultad. Para ello, debe hacerse hincapié en la definición.

Por ejemplo, dos figuras pueden ser semejantes pero no estar “semejantemente ubicadas”, tal como se muestra en la figura de la cámara oscura.

Actividades complementarias 1. Supón que dos triángulos cumplen que la razón entre sus correspondientes lados es constante, ¿se puede decir que los triángulos son semejantes?, ¿es necesario verificar también que los ángulos correspondiente son iguales, tal como se enuncia en la definición del Texto?

2. Discute con tus compañeros y compañeras acerca de cómo se podría definir semejanza, en general, para figuras que no están formadas por segmentos de rectas. ¿Qué puedes decir de las figuras mostradas en la siguiente figura?

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Orientaciones didácticas Unidad 4 3. ¿Son semejantes las siguientes figuras?, ¿por qué?

a. En este caso, ¿se mantiene la razón entre los lados correspondientes de las distintas partes que la componen?, ¿cuál es esta razón?

Aprendizaje de conceptos clave a tratar en la unidad.

Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información.

Sugerencias metodológicas: utilizar luego de introducir los conceptos clave de la unidad, como ejercitación.

b. ¿Por qué no se puede concluir que las figuras son semejantes? Justifica.

PÁGINAS 148 - 149

Semejanza de triángulos: criterio AA

Información para el docente

En tu cuaderno

En esta sección, se introduce uno de los tres criterios de semejanza que se presentarán en la unidad, el criterio AA (ángulo-ángulo).

Es posible que los alumnos o las alumnas hayan olvidado que la suma de las medidas de los tres ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º. La siguiente figura puede servir para mostrar esto:

β

α

γ

β

α

Usando las relaciones entre ángulos internos entre paralelas es sencillo concluir que los las medidas de los ángulos α, β y γ suman 180º.

Actividad 1

Habilidades que se desarrollan Clasificar.

Errores frecuentes • Los y las estudiantes pueden confundir o ignorar que el orden en que se escriben los vértices de un triángulo o un polígono es fundamental para establecer la semejanza.

• Enfatice que, por ejemplo, si los triángulos ABC y DEF son semejantes, entonces los vértices que se corresponden son: el vértice A con el vértice D, el B con el E y el C con el F. Así, el lado BC se corresponde con el lado EF, y ⱔBCA se corresponde con ⱔEFD.

Semejanza

|

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Actividades complementarias 1. Muestra que los ángulos basales de un triángulo isósceles son iguales.

2. Identifica todos los posibles triángulos en la figura (las líneas que parecen ser paralelas, son paralelas). Determina si hay triángulos semejantes. ¿Son semejantes de a tres o más? Justifica.

A

B

C

E

D

F

G I

H

J K

3. Si ⌬ABC es semejante a ⌬DEF, ¿se puede decir que el ⌬DEF es semejante al ⌬ABC? Explica. Si ⌬DEF es semejante a ⌬GHI ¿Puede concluirse que ⌬ABC es semejante a ⌬GHI? Justifica.

PÁGINAS 150 - 151 En tu cuaderno Actividad

Habilidades que se desarrollan

1y2

Clasificar.

3, 4 y 5

Calcular.

6

Justificar.

7

Calcular.

Semejanza de triángulos: criterio LLL Información para el docente En esta sección se establece el criterio LLL. Como su nombre lo indica, es adecuado para establecer semejanza cuando se conoce las medidas de los tres lados de cada uno de los triángulos a comparar. Los alumnos y las alumnas deben entender que el criterio de semejanza que puedan utilizar depende de los datos de que dispongan para un problema en particular.

Actividades complementarias 1. Considera un paralelogramo. Si tomamos una diagonal cualquiera, ¿resultarán dos triángulos semejantes? ¿congruentes?

2. ¿Es la congruencia un caso especial de semejanza?, ¿por qué?

3. Una vez que se ha establecido semejanza entre triángulos, mediante cualquier criterio, se puede decir ciertamente que los lados correspondientes de los triángulos son proporcionales. Considera, por ejemplo, el caso del par de triángulos rectángulos mostrados en la figura: C

P

A

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α O

B

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Orientaciones didácticas Unidad 4 AP OP Los triángulos AOP y ABC son semejantes. De modo que = .

AC CB CB OP Pero esta proporción es equivalente a = . Observa que esto dice AC AP que la razón entre el cateto opuesto a un angulo α y su hipotenusa es independiente del tamaño del triángulo rectángulo, y solo depende del ángulo α. ¿Qué otras razones como esta puedes descubrir?

PÁGINAS 152 - 153

Semejanza de triángulos: criterio LAL

Actividades complementarias

En tu cuaderno Habilidades que se desarrollan

Un resultado interesante que se puede mostrar en clases, usando los criterios hasta aquí establecidos es que si ∆ABC es semejante a ∆A’B’C’, entonces la razón entre sus áreas es el cuadrado de la razón entre sus lados. Es decir, si se tiene un triángulo de área 1, por ejemplo, y otro semejante, con razón 1 : 5, entonces sus áreas estarán en relación 1 : 25. Esta relación se demuestra más adelante en el Texto.

Actividad

3

Reconocer/ Identificar.

Esta propiedad se puede usar para demostrar geométricamente el teorema de Pitágoras. Considera el ∆ABC, rectángulo en C. Traza la perpendicular desde el vértice C al lado opuesto y marca el punto de intersección con el lado AB como el punto O. A

4

Resolver problemas.

O

B

C

1y2

Justificar.

Errores frecuentes • En caso del criterio LAL, se debe enfatizar que no bastan dos lados proporcionales y un ángulo congruente, sino que dicho ángulo debe ser el que está formado por los lados proporcionales, o no se puede aplicar este criterio.

Los triángulos ABC, ACO y CBO son semejantes.

Si se denotan sus áreas por ABC, ACO y CBO respectivamente, por el resultado ABC ACO CBO anterior, se tiene: 2 = 2 = AB AC CB 2 Además, observando la figura, es claro que: ABC = ACO + CBO De la primera ecuación, considerando la segunda proporción, se obtiene: CB 2 CBO AC 2 = ACO Luego, componiendo proporciones: CB 2 + AC 2 CBO + ACO = ACO AC 2 Remplazando la segunda de las ecuaciones (suma de áreas) en la ecuación anterior, se obtiene que: AC 2 · ABC (CB2 + AC2) = ACO Semejanza

|

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Finalmente, utilizando la primera proporción de la primera ecuación, es claro que ABC AB 2 = .

ACO AC 2 Remplazando en la ecuación anterior, se obtiene: CB 2 + AC 2 = AB 2 O

1. En la figura, L // L’, CO = 3, BC = 5

L

y EF = 8. ¿Cuánto mide OD + DE?

L’ B

C

D

E

A

F

2. ∆ABC es semejante a ∆DEF. El ∆ABC tiene área 16 u2 y base 2 u. Si la razón entre los lados de ∆ABC y ∆DEF es 1 : 4. ¿Se puede determinar la altura del ∆DEF? Explica.

3. Considera dos triángulos isósceles semejantes. La razón entre sus lados es 3 : 4. ¿Se puede determinar la razón entre los volúmenes de los conos obtenidos rotando estos triángulos alrededor de su eje de simetría? Justifica.

PÁGINAS 154 - 155 En tu cuaderno Actividad 1

2y3

4

Habilidades que se desarrollan Usar herramientas.

Análisis de semejanza en figuras planas Información para el docente Comente con sus estudiantes que no basta que, al triangular dos figuras, los triángulos que las forman sean semejantes, también deben estar similarmente ubicados, esto es, sus posiciones deben ser correspondientes dentro de las figuras consideradas.

Interpretar, representar y calcular.

A menudo ocurre que no existe una única forma de triangular una figura.

Puede plantear problemas al respecto.

Interpretar y calcular.

Actividades complementarias 1. En las figuras se muestran dos hexágonos regulares. Con la definición dada de semejanza para figuras planas y esta triangulación, ¿se puede mostrar que los hexágonos son semejantes? ¿Qué otra triangulación sería más adecuada? ¿Qué criterio(s) sería(n) adecuado(s) para una triangulación de 6 triángulos semejantes con vértice en el centro del hexágono?

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Orientaciones didácticas Unidad 4 2. ¿De cuántas formas se puede triangular un octágono?

3. ¿Son todos los n-ágonos regulares semejantes, para cada valor de n?, ¿qué triangulación y criterios de semejanza serían adecuados para establecer esto?

4. ¿Son todos los rombos semejantes? Explica.

5. Determina si son semejantes un rectángulo de lados 4u y 2u con uno de lados u y 0,5 u.

6. Un rectángulo tiene lados x e y. ¿Es semejante a un rectángulo de lados 1 ?, ¿por qué? y

1 y x

7. ¿Como podrías definir semejanza de círculos si sabes que todos los n-ágonos son semejantes? Comenta con tus compañeros y compañeras.

8. Usando una triangulación adecuada, enuncia y demuestra un criterio para semejanza de rectángulos.

9. Si un rectángulo tiene lados de 2u y 16u de largo y es semejante a uno cuyo lado menor mide 3u, encuentra la longitud del lado mayor del segundo rectángulo.

PÁGINAS 156 - 157

Reconocimiento de los criterios de semejanza en triángulos.

Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información.

Sugerencias metodológicas: utilizar al concluir los tres criterios de semejanza, como ejercitación conceptual.

Aplicación de la semejanza en modelos a escala

Información para el docente El concepto de escala suele ser un concepto difícil de entender. Intentar dibujar diversos objetos a escala puede resultar un ejercicio aclarador para sus estudiantes.

Puede pedirles a sus alumnos y alumnas que realicen dibujos a escalas pequeñas, por ejemplo, de 1 : 2, 1 : 3, etc., de modo que una comparación visual entre el objeto y su representación sea inmediata.

Actividades complementarias

En tu cuaderno Actividad

1

2, 3, 4, 5 y 6

Habilidades que se desarrollan Usar herramientas, representar y calcular.

Interpretar, representar y calcular.

1. ¿Cómo se relaciona el área de un cuadrado de 3 km de lado y el área de un cuadrado que lo representa en un plano dibujado a escala de 1 : 10 000?

7

2. Si se considera la superficie de la comuna de Ñuñoa hecha por cuadrados

Usar herramientas, representar y calcular.

pequeños (en relación a las dimensiones de la superficie). ¿Cómo se relacionaría el área de la comuna con el área de un plano que la representa y cuya escala es 1 : 10 000?

3. Supón que se ha dibujado usando una escala 1 : 100 un rectángulo de lados 10 m y 5 m. Calcula las dimensiones del rectángulo que lo representa en el plano. Verfifica que las diagonales de sus cuadrados se encuentran en razón 1 : 100.

Semejanza

|

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PÁGINA 158 Mi progreso Ítem

Habilidades que se evalúan

1y2

Analizar.

3y4

Calcular.

Calcular y analizar.

5 6y7

Calcular.

Mi progreso En estas páginas, se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos y alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizar como una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan en el cuadro Mi progreso e incluye los siguientes criterios: Ítem 1: determinar cuál afirmación caracteriza a las figuras semejantes. Ítem 2: determinar cuál afirmación es correcta acerca de dos cuadriláteros de condiciones específicas. Ítem 3: determinar la medida de los lados de un triángulo dado, utilizando contenidos de semejanza. Ítem 4: determinar la medida de los lados indicados de un triángulo dado, utilizando contenidos de semejanza. Ítem 5: determinar si dos triángulos pueden ser semejantes según las condiciones dadas. Ítem 6: determinar la escala del problema planteado. Ítem 7: determinar la distancia real considerando las medidas de un mapa a escala.

Los ejercicios 1 y 2 son ítems de selección múltiple.

Para los ejercicios 3, 4, 5, 6 y 7 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar el nivel de conocimiento alcanzado por los alumnos y alumnas.

Ítem

3

4

128

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

• Establece correctamente las tres proporciones necesarias.

• Determina correctamente la medida de los tres lados del triángulo.

• Establece correctamente dos proporciones.

• Determina correctamente la medida de dos lados del triángulo.

• Establece correctamente una proporción.

• Determina correctamente la medida de un lado del triángulo.

• Establece incorrectamente todas las proporciones o no las forma.

• Determina incorrectamente todas las medidas de los lados del triángulo o no logra determinarlas.

• Aplica correctamente el criterio de semejanza.

Establece correctamente las dos proporciones necesarias.

• Determina correctamente la medida de los dos lados indicados.

• Justifica la elección del criterio utilizado y los resultados obtenidos.

• Aplica correctamente el criterio de semejanza.

• Establece correctamente las dos proporciones necesarias.

• Determina correctamente la medida de uno de los lados indicados.

• Aplica correctamente el criterio de semejanza.

• Establece correctamente una proporción.

• Determina correctamente la medida de uno de los lados indicados.

• Aplica incorrectamente el criterio de semejanza o no lo aplica.

• Establece incorrectamente las dos proporciones necesarias o no las forma.

• Determina incorrectamente la medida de los dos lados indicados o no logra determinarlas.

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Orientaciones didácticas Unidad 4 Ítem

5

6

7

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

• Determina correctamente el criterio de semejanza a utilizar.

• Aplica correctamente el criterio de semejanza elegido.

• Determina si los triángulos dados son semejantes.

• Explica de forma argumentada, completa y clara la respuesta dada.

• Determina correctamente el criterio de semejanza a utilizar.

• Aplica correctamente el criterio de semejanza elegido.

• Determina si los triángulos dados son semejantes.

• Explica vagamente sus argumentos, explicándolos de forma incompleta y poco clara.

• Determina correctamente el criterio de semejanza a utilizar.

• Aplica correctamente el criterio de semejanza elegido.

• Determina si los triángulos dados son semejantes.

• No explica los procedimientos utilizados ni los razonamientos realizados para llegar a la respuesta dada.

• No determina el criterio de semejanza a utilizar.

• No logra determinar si los triángulos dados son semejantes.

• No explica los procedimientos utilizados ni los razonamientos realizados.

• Realiza correctamente la conversión de unidades entre m y cm.

• Forma correctamente la proporción necesaria.

Determina correctamente a qué escala se encuentra construido el plano.

• Realiza correctamente la conversión de unidades entre m y cm.

• Forma correctamente la proporción necesaria.

• Determina incorrectamente a qué escala se encuentra construido el plano.

• Realiza incorrectamente la conversión de unidades entre m y cm.

• Forma correctamente la proporción necesaria.

• Determina incorrectamente a qué escala se encuentra construido el plano.

• Realiza incorrectamente la conversión de unidades entre m y cm.

• Forma incorrectamente la proporción necesaria o no logra formarla.

• Determina incorrectamente a qué escala se encuentra construido el plano o no logra determinar la escala.

• Forma correctamente la proporción necesaria.

• Determina correctamente cuál es la distancia real entre las dos ciudades.

• Realiza la conversión de unidades necesaria, por ejemplo, expresar el resultado en km.

• Forma correctamente la proporción necesaria.

• Determina correctamente cuál es la distancia real entre las dos ciudades.

• No realiza la conversión de unidades necesaria, por ejemplo, expresar el resultado en km o la conversión es incorrecta.

• Forma correctamente la proporción necesaria.

• Determina incorrectamente cuál es la distancia real entre las dos ciudades.

• No realiza la conversión de unidades necesaria, por ejemplo, expresar el resultado en km o la conversión es incorrecta.

• Forma incorrectamente la proporción necesaria.

• Determina incorrectamente cuál es la distancia real entre las dos ciudades.

• No realiza la conversión de unidades necesaria, por ejemplo, expresar el resultado en km o la conversión es incorrecta.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales

• En los ítems 1 y 2, es importante enfatizar en las características que presentan las figuras semejantes, relacionadas con las medidas de los ángulos y de los lados correspondientes. Para evitar inconvenientes, sería apropiado que muestre a sus estudiantes diversas figuras semejantes y no semejantes, en donde ellos tengan que analizar si cumplen las condiciones de semejanza utilizando los diversos criterios enseñados. Además, es importante recalcar la diferencia entre figuras congruentes, para ello sería conveniente mostrar ejemplos de congruencia y repasar los criterios involucrados.

Semejanza

|

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• En el ítem 3, podría suceder que los alumnos y alumnas tengan dificultades para encontrar las medidas del triángulo DEF, debido a que no comprenden el significado de una razón 2 : 3 y además presentan problemas para formar las proporciones correspondientes. Para superar este inconveniente sería apropiado explicar el concepto de razón de semejanza y repasar la formación de proporciones.

• En los ítems 4 y 5, puede que los alumnos y alumnas tengan dificultades para encontrar las medidas de los lados pedidos, ya que no manejan bien los criterios de semejanza. Para solucionarlo, es importante enfatizar en estos criterios, ya que permiten comprobar la condición de semejanza con un mínimo de datos. Importante también es recalcar el orden en que son nombrados los ángulos, pues de esto depende la razón de semejanza y, por ende, los resultados obtenidos.

• En el ítem 6, podrían ocurrir inconvenientes porque los y las estudiantes no realizan la conversión de unidades adecuada entre cm y m, y con esto la proporción y los resultados obtenidos serían incorrectos. Para solucionarlo, mencione la importancia de trabajar con las mismas unidades, por ejemplo, expresar todo en cm. También recuerde a sus estudiantes simplificar los resultados obtenidos para expresar de manera más simple la razón de semejanza.

• En el ítem 7, podría ocurrir que los alumnos y alumnas asocien erróneamente la medida de longitud dada con la razón planteada. Para evitar esto, recuerde a sus estudiantes que la menor cifra de una razón corresponde a la distancia representada en un plano o mapa, y la mayor cifra corresponde a la distancia real.

PÁGINAS 159 - 161 En tu cuaderno Actividad

1, 3 y 4

2y5

130

Habilidades que se desarrollan Interpretar, representar y calcular.

Interpretar, representar, calcular y justificar.

Teorema de Thales Información para el docente En esta sección, se demuestra el teorema de Thales y su recíproco. Debe quedar claro que el recíproco establece condiciones para que dos rectas que cortan a dos secantes sean paralelas. De este modo, se pueden plantear condiciones sobre los segmentos proporcionales (según el teorema), aun cuando sus medidas son desconocidas. Por ejemplo, un tipo de problema muy común es que al alumno o alumna se le pregunta “¿qué valor debe tener x (algún segmento a determinar en el problema) para que las rectas sean paralelas?”

Un problema interesante es solicitar a los y las estudiantes que, a partir del teorema de Thales planteado en la unidad, determinen si es válido lo que se plantea al inicio de la unidad 4. Deberían intuir que rotando uno de los triángulos que componen la figura obtenemos el caso ya planteado y, por lo tanto, las proporciones del teorema de Thales son también válidas en este caso.

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Orientaciones didácticas Unidad 4 Actividades complementarias 1. Determina el valor de x en la siguiente figura, de manera que DE sea paralela a AB, si AD = 10, DC = 2 y AB = 15.

Demostración geométrica en el teorema de Thales.

Indicador: localiza y recupera información.

Sugerencias metodológicas: utilizar como profundización.

C

E

D x

A

B

2. Determina el perímetro de los triángulos DEC y ABC en la figura anterior.

PÁGINAS 162 - 164 En tu cuaderno Actividad

Habilidades que se desarrollan

1, 2 y 3

Interpretar, representar y calcular.

4

Interpretar, representar y justificar.

Aplicación el teorema general de Thales.

Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información.

Sugerencias metodológicas: utilizar al explicar el teorema general de Thales.

Teorema general de Thales Información para el docente Antes de comenzar con el tema planteado en esta sección, sus estudiantes deberían poder reconocer todas las proporciones involucradas en la figura del problema 3, de la sección teorema de Thales. Se recomienda mostrar todas estas proporciones en la pizarra.

Llevar a cabo la actividad sugerida mediante el software Regla y compás ayudará a verificar experimentalmente el teorema general de Thales. Se recomienda, además, llevar a cabo uno de los problemas enunciados en las actividades complementarias. Como actividad optativa y/o tarea, puede pedir la demostración de alguno de estos problemas.

Para determinar si dos rectas son paralelas, debe verificarse que todas las proporciones que se puedan establecer utilizando el teorema general de Thales se cumplen al remplazar los valores correspondientes. Basta que alguna no se cumpla para que las rectas no sean paralelas.

Semejanza

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Errores frecuentes • A veces los y las estudiantes solo observan el dibujo e inmediatamente calculan lo que les parece apropiado, sin leer el enunciado de la pregunta.

En este caso, si ven todos los segmentos con valores, puede que no sepan qué hacer.

Actividades complementarias 1. En la figura, ¿es posible determinar x, y y z si L // L’ // L’’?

2. Verifique usando el software Regla y compás que las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente.

3. Verifique usando el software Regla y compás que el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio es también paralelo a los lados paralelos de este y que su largo es igual a la semisuma de las medidas de los lados paralelos.

8

x L’’

y

3 L’

5

z L

PÁGINAS 165 - 166 En tu cuaderno Actividad

Habilidades que se desarrollan

1

Usar herramientas.

2

Interpretar, representar y resolver problemas.

División de un trazo en una razón dada Información para el docente Cuando lleve a cabo la demostración de la proposición sobre las bisectrices, haga ver a sus alumnos y alumnas, que, no obstante parecer un truco, la construcción usada es correcta y fue introducida justamente para poder usar el teorema de Thales. Al momento de llevar a cabo una demostración, es válido utilizar cualquier resultado pertinente que ya esté demostrado. Puede plantear también el resultado en forma de contrarrecíproca, es decir, si no se cumple la condición planteada (de la bisectriz), entonces no se cumple la proporción.

Puesto que el resultado planteado no es nada de evidente, puede “explorarlo” gráficamente usando el software Regla y compás.

Actividades complementarias Conocimiento y significado matemático de la razón áurea y sus características.

Indicador: comparte información con su entorno.

Sugerencias metodológicas: utilizar como profundización.

132

1. Considera un segmento AB. a. Supón que el punto O divide al segmento en sección áurea, es decir AB : AO = AO : BO. Calcula la proporción AO : AB. ¿Qué número se obtiene? Construye el número tal como fue explicado en la Unidad 1. b. Verifica con Regla y compás la validez de la proposición demostrada en el Texto. ¿Qué sucede si el segmento DC no es bisectriz?

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Orientaciones didácticas Unidad 4 PÁGINAS 167 - 168

Teorema de Euclides

Actividades complementarias

En tu cuaderno Habilidades que se desarrollan

1. La altura de la hipotenusa en un triángulo rectángulo divide a la hipotenusa en

Actividad

dos segmentos cuyas longitudes estan en razón de 1 : 3. Encuentra la razón entre los otros dos lados del triángulo.

1

Verificar.

2

Representar y calcular.

3

Justificar.

2. En un triángulo rectángulo, si h = 20, y p = 4 ¿Cuanto valen a, b y c?

b a

h Resolución de problemas aplicando el teorema de Euclides.

Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información.

Sugerencias metodológicas: utilizar como ejercitación numérica del teorema de Euclides.

q

p c

PÁGINAS 169 - 170 En tu cuaderno Actividad

Habilidades que se desarrollan

1, 8 y 9

Interpretar, representar y calcular.

2, 4, y 7

Usar herramientas, interpretar y calcular.

5

Justificar.

3y6

Aplicar.

Aplicar el teorema de Euclides al cálculo de trazos en un triángulo.

Indicador: localiza y recupera información.

Sugerencias metodológicas: utilizar como ejercitación al teorema de Euclides.

Aplicaciones del teorema de Euclides Información para el docente Es posible que los alumnos y alumnas apliquen mal las relaciones enunciadas en el teorema de Euclides, debe insistirse en su correcta memorización. Igualmente, debe quedar claro que cuando se habla de la distancia desde un punto a una recta, siempre se refiere a la distancia medida desde el punto, sobre una recta perpendicular a la anterior y que pase por el punto, a la recta. Si se ubica este conjunto de puntos en un triángulo, es intuitivamente claro que esta distancia corresponde a la altura de un triángulo rectángulo y, por lo tanto, es posible aplicar el teorema de Euclides para calcularla.

C

B

A La distancia desde el punto C al segmento AB corresponde a la medida de la altura hc .

Semejanza

|

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PÁGINAS 171 - 174 En tu cuaderno Actividad

1y2

3y4

Habilidades que se desarrollan Interpretar, representar y calcular.

Justificar.

Homotecia Información para el docente El concepto de homotecia de razón negativa puede ser difícil de visualizar y entender para sus estudiantes. Para aclararles esto, puede dibujar en el pizarrón algunos ejemplos, poniendo énfasis en cómo se invierte la orientación de los distintos segmentos que componen una figura.

También puede ser difícil visualizar una homotecia cuando el centro de la homotecia está dentro de la figura dada, tal como se plantea el problema 2.

Puede aclarar este punto haciendo notar que el concepto de homotecia como una transformación de la figura no guarda relación con que el centro de la homotecia se encuentre en algún lugar particular del plano, ya que la forma de construir la imagen de una figura bajo una homotecia es siempre la misma.

La actividad complementaria 6 puede servir como una tarea o actividad sugerida al estudiante interesado. Finalmente, el principio de funcionamineto del aparato es una simple semejanza de triángulos, de modo que ilustra con una aplicación los conceptos de homotecia y semejanza presentados en la unidad. Tales principios podrían tener aplicación, por ejemplo, en máquinas que fabrican piezas mecánicas de cierto tamaño a partir de un molde más grande, tal como las que se usan en la fabricación de monedas, etc.

Actividades complementarias 1. ¿Cómo se relacionan el área de un cuadrado y el área de su imagen bajo una homotecia de razon

1 2

2 ?, ¿y si la homotecia es de razón – ?

2. ¿Qué ocurre a una figura si es transformada bajo una homotecia de razón 1?

3. ¿Una homotecia de razon negativa contrae la figura original?, ¿por qué?

4. ¿Una homotecia de razón positiva siempre dilata las longitudes? Explica.

5. Si dos figuras planas, con lados hechos de segmentos de recta, están relacionadas por una homotecia de razón k, ¿cómo se relacionan sus perimetros?, ¿qué pasa si el valor de k es negativo?

6. Averigua en Internet acerca del Pantógrafo de Scheiner (puede ver un esquema en Coxeter HSM, Introduction to Geometry, página 69). Este es un instrumento que permite realizar una copia homotética de una figura. ¿Cómo funciona?, ¿se puede usar para construir una copia homotética de razón negativa?, ¿por qué?

134

| Unidad 4 Guía Didáctica Matemática 2o Medio

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Orientaciones didácticas Unidad 4 PÁGINA 175

Mi progreso

En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos y alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizar como una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan en el cuadro Mi Progreso e incluye los siguientes criterios:

Mi progreso Ítem

Ítem 1: calcular las medidas de los segmentos dados. Ítem 2: dibujar un segmento e identificar la ubicación de los puntos según la división realizada. Ítem 3: determinar la medida de un segmento. Ítem 4: construir homotecias a partir de la figura y datos proporcionados.

Habilidades que se evalúan

1

Calcular.

2

Calcular y analizar.

3

Calcular y recordar.

4

Usar herramientas.

Para los ejercicios 1, 2, 3 y 4 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar el nivel de conocimiento alcanzado por los alumnos y alumnas.

Ítem

1

2

3

4

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

• Forma correctamente todas las proporciones necesarias.

• Opera correctamente con todas las proporciones formadas.

• Encuentra las medidas de los seis segmentos pedidos.

• Forma correctamente más de tres proporciones.

• Opera correctamente con más de tres de las proporciones formadas.

• Encuentra las medidas de más de tres segmentos pedidos.

• Forma correctamente tres proporciones.

• Opera correctamente con tres de las proporciones formadas.

• Encuentra las medidas de los tres segmentos pedidos.

• Forma correctamente menos de tres proporciones.

• Opera correctamente con menos de tres de las proporciones formadas.

• Encuentra las medidas de menos de tres segmentos pedidos.

• Dibuja un segmento AB cualquiera.

• Divide correctamente el segmento AB en las razones pedidas.

• Identifica correctamente los puntos Q y R. Identifica correctamente de qué punto está más cerca Q y R.

• Dibuja un segmento AB cualquiera.

• Divide correctamente el segmento AB en las razones pedidas.

• Identifica correctamente los puntos Q y R. • Identifica incorrectamente de qué punto está más cerca Q ó R.

• Dibuja un segmento AB cualquiera.

• Divide correctamente el segmento AB en las razones pedidas.

• Identifica incorrectamente los puntos Q y R. • Identifica incorrectamente de qué punto está más cerca Q y R.

• Dibuja un segmento AB cualquiera.

• Divide incorrectamente el segmento AB en las razones pedidas.

• Identifica incorrectamente los puntos Q y R. • Identifica incorrectamente de qué punto está más cerca Q y R.

• Conoce la razón áurea.

• Divide el segmento AB en la razón aurea.

Encuentra la medida de AP.

• Conoce la razón áurea.

• Divide el segmento AB en la razón aurea.

• No encuentra la medida de AP o el resultado obtenido es incorrecto.

• Conoce la razón áurea.

• No divide el segmento AB en la razón aurea.

• No encuentra la medida de AP o el resultado obtenido es incorrecto.

• No conoce la razón áurea.

• No divide el segmento AB en la razón aurea.

• No encuentra la medida de AP o el resultado obtenido es incorrecto.

• Copia la figura original.

• Construye correctamente las ocho homotecias pedidas.

• Copia la figura original.

• Construye correctamente más de cuatro de las homotecias pedidas.

• Copia la figura original.

• Construye correctamente cuatro de las homotecias pedidas.

• Copia la figura original.

• Construye correctamente menos de cuatro de las homotecias pedidas.

Semejanza

|

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Posibles dificultades en la evaluación y remediales

• En el ítem 1, es posible que los estudiantes tengan problemas para construir las proporciones necesarias para encontrar las medidas requeridas.

Para evitarlo, es fundamental que los alumnos y alumnas conozcan y entiendan el teorema general de Thales. También es importante hacer notar a los alumnos y alumnas que, al establecer diferentes proporciones, es posible llegar al resultado correcto.

• En el ítem 2, podría provocar confusión en los estudiantes el tener que hacer varias divisiones en un mismo segmento. Si considera necesario, podría permitirles que dibujen un segmento para cada razón dada. También señale la opción de dibujar segmentos con medidas convenientes según la razón, 1 así por ejemplo, si dividimos AB en la razón , podrían dibujar un segmento 5 de 6 cm, ya que 1 + 5 = 6.

• En el ítem 3, podría causar inconvenientes el que los estudiantes no conozcan cuál es la razón áurea. Podría entregárselas si considera necesario o también podría plantearles un trabajo de investigación sobre esta razón y su presencia en distintos ámbitos del mundo real, y de esta forma los alumnos y alumnas no olvidarán con facilidad cuál es la razón áurea.

• En el ítem 4, es posible que los alumnos presenten problemas para realizar las homotecias pedidas, debido a que les provoca confusión la razón k, ya sea cuando es una fracción o cuando es un número negativo. Para evitar este tipo de inconvenientes, es fundamental que sus estudiantes practiquen con los distintos valores que puede tomar k (números enteros positivos, enteros negativos, fracciones positivas y fracciones negativas).

PÁGINAS 176 - 177 En tu cuaderno Actividad

Habilidades que se desarrollan

1 (pág. 168)

Aplicar y calcular.

1, 2 y 3 (pág. 169)

Aplicar y calcular.

Cómo resolverlo La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la unidad; sin embargo, en estas páginas se presentan estrategias de resolución específicas para que los y las estudiantes la aprendan y la apliquen en futuros problemas.

Además, esta resolución se presenta detallada, justificando las diferentes acciones, lo que permite aclarar posibles dudas que sus estudiantes pueden mantener. Se recomienda que enfatice los pasos que deben seguir en la resolución de problemas: comprender, planificar, resolver y revisar.

INDICADORES DE LOGRO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS A continuación, se presentan diferentes indicadores de logro que puede utilizar para evaluar la resolución de problemas planteados.

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Orientaciones didácticas Unidad 4 Logro, aplicación

En proceso, logro parcial

• Puede expresar en sus propias palabras e interpretar coherentemente el problema.

• Identifica la información necesaria.

• Tiene una idea acerca de la respuesta.

• Copia el problema.

• Identifica palabras clave.

• Puede que mal interprete parte del problema.

• Puede que tenga alguna idea acerca de la respuesta.

• No entiende el problema.

• Entiende mal el problema.

• Como rutina pide explicaciones.

Comprensión de • Aplica correctamente reglas conceptos o algoritmos cuando usa símbolos.

• Conecta cómo y por qué.

• Aplica el concepto a problemas o a situaciones nuevas.

• Hace y explica conexiones.

• Realiza lo pedido y va más allá.

• Demuestra un entendimiento parcial o satisfactorio.

• Puede demostrar y explicar usando una variedad de modos.

• Está listo para hacer conexiones acerca de cómo y por qué.

• Relaciona el concepto con conocimientos y experiencias anteriores.

• Realiza las tareas cada vez con menos errores.

• No modela los conceptos rutinarios correctamente.

• No puede explicar el concepto.

• No intenta resolver el problema.

• No hace conexiones.

Verificación de resultados y/o progreso

• Revisa cálculos y procedimientos.

• Puede investigar razones si existen dudas.

• No revisa cálculos ni procedimientos.

• No reconoce si su respuesta es o no razonable.

Comprensión del problema o situación

• Chequea racionalidad de los resultados.

• Reconoce sin razones.

No comprende

www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm

Actividades complementarias

• Rodrigo estaba encumbrando un volantín, pero al hacer una mala maniobra, se le quedó atrapado en el techo de su casa. Para calcular a qué altura se encontraba su volantín, estiró el hilo y apoyó el extremo que tenía en su mano en el suelo, como lo muestra la figura.

Además, pidió a su hermano menor (de 80 cm de altura) que se parara bajo el hilo que él sujetaba.

Luego, calculó que su hermano se encontraba a 3 metros del extremo del hilo. Además, sabía que el punto más alto de la casa se encontraba justo en el medio del ancho de la puerta, por lo que pudo medir fácilmente esa distancia. ¿A qué altura se encuentra el volantín de Martín?

• Se pretende dibujar un mapa, que representa las ciudades desde Arica a Santiago, en una hoja de 30 cm de largo. Averigua las distancias entre dichas ciudades y determina una escala adecuada para dicho mapa.

• El cuadrilátero ABCD es un cuadrado, los puntos que forman el cuadrilátero

A

D

B

C

interior dividen a cada lado en la razón 5 : 12 y esto se repite indefinidamente.

a. Demuestra que todos los cuadriláteros de la serie son cuadrados. b. Encuentra la razón entre los lados de los cuadrados consecutivos. c. Si el área del cuadrado rojo es 1156 cm2, calcula el área del cuadrado ABCD y del cuadrado azul.

Semejanza

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PÁGINAS 178 - 179 En tu cuaderno Habilidades que se desarrollan

Actividad

Usar herramientas y calcular.

1y3 2, 4 y 5

Analizar.

Investiguemos...

Actividad

Habilidades que se desarrollan

1

Verificar.

2y3

Justificar.

Usar herramientas e interpretar.

4

PÁGINAS 180 - 181 Síntesis de la unidad Actividad

Habilidades que se desarrollan

Mapa conceptual

Recordar, conectar y representar.

1

Evaluar y justificar.

2

Aplicar y calcular.

En terreno Esta sección del Texto para el Estudiante tiene como objetivo relacionar los contenidos aprendidos en la unidad con su aplicación real. Para ello se presenta una actividad sobre planos a escala, en donde se vinculan los conceptos de semejanza para una aplicación tan común como la construcción e interpretación de planos a escala.

Esta actividad permitirá que sus alumnos y alumnas visualicen la aplicabilidad cotidiana que tienen los contenidos aprendidos en la unidad en la construcción e interpretación de planos a escala.

Hoy existen diferentes herramientas tecnológicas, como softwares computacionales y GPS, que permiten generar mapas y planos a escala de una construcción o de una localidad específica, con las características y precisiones que deseemos.

Se recomienda que la primera parte de esta actividad sea realizada de forma individual y la segunda parte sea realizada en grupos de 2 personas.

Para complementar la actividad del Texto, sería interesante que investigara junto a sus alumnos y alumnas los distintos recursos tecnológicos que están disponibles en Internet para obtener este tipo de gráficas y, de ser posible, tratar de practicar y crear algún tipo de plano a escala.

Síntesis de la Unidad Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permite a los alumnos y alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados.

Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los alumnos y alumnas consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. Además, permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus estudiantes en esta parte de la unidad.

En esta parte se resume y organiza a través de un mapa conceptual los contenidos trabajados en toda la unidad.

Actividades complementarias Repaso de conceptos y definiciones clave de la Unidad.

Indicador: localiza y recupera información.

Sugerencias metodológicas: utilizar como síntesis para integrar conceptos y definiciones de la unidad.

138

Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la unidad, realice preguntas como las siguientes: • ¿Cómo definirías figuras semejantes?

• ¿En qué situaciones se puede aplicar el teorema de Thales?

• ¿Qué relaciones se cumplen en un triángulo rectángulo según el teorema de Euclides?

• ¿Qué es una homotecia?

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Orientaciones didácticas Unidad 4 • Si tengo el dibujo de una estrella y lo quiero copiar más pequeño y en sentido contrario a la figura original, ¿qué condiciones debería tener el factor k?

• Realiza una homotecia de la siguiente figura considerando el centro O y 2 k= .

5 • ¿A qué se refiere razón de semejanza? Da un ejemplo donde se aplique.

• ¿Qué es el factor k de conversión de una homotecia? Da un ejemplo.

• Usa el método de la semejanza para dividir un trazo de 20 cm en la razón 3 : 4 : 5. ¿Cuáles son las medidas de cada una de las partes?

PÁGINAS 182 - 183

Evaluación de la Unidad

Los ejercicios y problemas presentados en esta sección permiten evaluar los aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la unidad. Considere lo siguiente: Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.

Logrado, si contesta correctamente más de 8 preguntas.

Medianamente logrado, si contesta correctamente más de 5 preguntas.

No logrado, si contesta correctamente menos de 5 preguntas.

Evaluación Ítem

Habilidades que se evalúan

1, 4, 5, 6, 7, 9, 10 y 12

Calcular.

2, 8 y 11

Analizar.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales 3

Analizar y calcular.

• En los ítems 1 y 2, podría ocurrir que sus estudiantes apliquen de forma incorrecta el teorema de Thales, y por ello las proporciones que forman son incorrectas y producen resultados incorrectos. Para evitar este tipo de inconvenientes, es fundamental que los alumnos dominen muy bien el razonamiento de este teorema y no la simple mecanización de procedimientos.

Para lograr esto, es bueno ejercitar distintas figuras donde se pueda aplicar este teorema y que las figuras sean presentadas en diferentes posiciones para lograr una generalidad.

• En el ítem 3, podría suceder que los alumnos y alumnas tengan inconvenientes para encontrar las relaciones que se dan en la figura. Esto se puede deber a que no manejan las propiedades que se cumplen gracias al teorema de Thales.

Para evitarlo, es importante que trabaje con sus alumnos este teorema de modo que lo entiendan. También recuérdeles el teorema de Pitágoras, que se aplica en este ejercicio.

Como complemento a esta evaluación, el hipertexto cuenta con una evaluación interactiva y, además, una autoevaluación imprimible para que sus estudiantes evalúen su desempeño.

• En el ítem 4, los y las estudiantes podrían tener complicaciones para encontrar la medida de x, debido a que no distinguen los triángulos semejantes y las relaciones que se pueden hacer con el teorema de Thales. Para evitar esto, es fundamental que los alumnos y alumnas logren reconocer en figuras de este tipo los triángulos semejantes y sus diversas relaciones, por ello es importante que practique con ellos diferentes ejercicios similares.

• En el ítem 5, los alumnos y alumnas podrían tener problemas para encontrar la medida de a, ya que no pueden reconocer los segmentos que son proporcionales. Es importante la comprensión y aplicación correcta del teorema de Thales, para ello, practique diversas situaciones donde sea necesaria su aplicación.

Semejanza

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• En el ítem 6, podría suceder que sus estudiantes planteen la escala como 8 : 200 sin considerar que son distintas unidades de longitud (cm y m), provocando esto resultados incorrectos. Para evitarlo, es importante recalcar que siempre deben trabajar con unidades de un misma magnitud. Por lo tanto, para este problema, deben expresar todas las medidas en cm o bien en m.

• En el ítem 7, podría ocurrir que los y las estudiantes utilicen de forma 3 , asignando mayor 2 medida a AP que a PB. Para evitar esto, recuerde a sus estudiantes que se debe respetar el orden de las letras dadas así como también las razones involucradas, pues en caso contrario se obtienen resultados erróneos. incorrecta la razón dada, es decir, que la utilicen como

• En el ítem 8, es posible que sus estudiantes tengan dificultades para determinar cuáles de las afirmaciones dadas son correctas, ya que no establecen correctamente las relaciones presentes en la figura. Esto se puede deber a que no manejan bien el teorema de Thales, por ello, es importante trabajar con él continuamente en diferentes tipos de ejercicios para que comprendan bien las relaciones que se pueden establecer.

• En el ítem 9, podrían tener dificultades para interpretar el parámetro k y su relación con el perímetro del triángulo transformado. Para evitar inconvenientes en la resolución de este tipo de problemas, es importante clarificar a sus estudiantes estos conceptos y practicar ejercicios de este tipo, para que puedan encontrar las medidas de la figura original.

• En el ítem 10, podrían presentar complicaciones para encontrar la medida pedida, ya que no pueden establecer las relaciones necesarias entre los segmentos presentes en la figura, debido a que no manejan bien los criterios para determinar la semejanza de triángulos. Para solucionar esto, es importante que los alumnos y alumnas se acostumbren a analizar figuras e identificar características relevantes en ellas. Todo esto se logra con la ejercitación constante pero con sentido de aprendizaje y no simple mecanización, pues cuando esto ocurre los alumnos se enfrentan a problemas diferentes y no saben cómo abordarlos.

• En el ítem 11, los y las estudiantes podrían tener complicaciones para determinar cuáles de las afirmaciones son falsas, debido a que no relacionan estas afirmaciones con el teorema de Thales. Para solucionar esto, recuérdeles la propiedad fundamental de las proporciones.

• En el ítem 12, podría ocurrir que los alumnos y alumnas presenten problemas para encontrar la medida del segmento pedido, ya que no dominan bien las relaciones que se cumplen en figuras semejantes y también porque no manejan el teorema de Thales. Para evitarlo, sus estudiantes deben conocer y aplicar los criterios de semejanza y el teorema de Thales, a través de problemas y ejercitación de distinta dificultad.

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Orientaciones didácticas Unidad 4 Evaluación final En las páginas siguientes se presenta una evaluación fotocopiable que le permitirá evaluar los aprendizajes que han logrado los alumnos y alumnas con los contenidos trabajados en la unidad. Con los resultados de esta evaluación, se puede tomar la decisión de reforzar algunos temas que no hayan sido aún comprendidos a cabalidad por sus estudiantes.

El tiempo estimado para la realización de la prueba es 60 minutos. Este tiempo puede ser modificado según las características de sus estudiantes.

Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes, se sugiere utilizar la siguiente pauta: Ítem

Habilidades que se evalúan

Puntaje

Total

1, 2, 3, 4 y 5

Calcular.

2 puntos cada una

10 puntos

6

Aplicar y calcular.

2 puntos

2 puntos

7

Analizar

2 puntos

2 puntos

8

Calcular.

2 puntos

2 puntos

9

Analizar.

2 puntos

2 puntos

10, 11, 12 y 13

Calcular.

2 puntos cada una

8 puntos

Puntaje total

26 puntos

BIBLIOGRAFÍA • • • • • • •

Alsina, Claudi. Viaje al país de los rectángulos, Editorial Olimpíadas Matemáticas, Argentina, Buenos Aires. 1995.

Coxeter, H. S. M; Greitzer, S. L. Retorno a la Geometría, Colección La Tortuga de Aquiles, DLS- Euler Editores, Madrid. 1994.

Santaló, Luis. La Geometría en la formación de profesores, Red Olímpica, Buenos Aires. 1993.

Cord. Matemáticas aplicadas, Santiago de Chile. 1997.

Guzmán, Miguel de. Tendencias innovadoras en Educación Matemática, Red Olímpica, Buenos Aires. 1992.

Matemáticas y Olimpíadas. Sociedad de Matemáticas de Chile, Santiago de Chile. 1994.

Paulos, John Allen. Más allá de los números. Libros para pensar la ciencia. España. 1998.

Sitios web Descartes. Matemáticas interactivas. http://descartes.cnice.mec.es/ El portal de la educación. www.educarchile.cl El paraíso de las matemáticas. www.matematicas.net Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

Semejanza

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Evaluación final Material fotocopiable

Nombre:

Curso:

Fecha:

Marca o encierra la alternativa correcta de cada pregunta.

1. En la siguiente figura, m // n // r. Calcula la medida del segmento x.

A. B. C. D. E.

3,75 5,25 4,70 2,50 3,25

A

cm cm cm cm cm

m n

F 5 cm

r

2. Si AC = 18 cm, determina el valor de x e y, donde m // n // r.

A x

B C

A. B. C. D. E.

x x x x x

= = = = =

y

D

m

6 E

n

3 F

r

12 cm; y = 6 cm 2 cm; y = 16 cm 4 cm; y = 14 cm 10 cm; y = 8 cm 8 cm; y = 10 cm

142

AP AP AP AP AP

= = = = =

AE AE AE AE AE

= 4,2 cm = 4,8 cm = 8,4 cm = 6,3 cm = 8,2 cm

E b

A

B

a

6. En los triángulos ABC y DEF de la figura, se sabe que AC // DF, CB // EF. AD = EB = 4 cm, GE = GD = 8 cm y FG = 6 cm, entonces el área del triángulo ABC es: A. B C. D. E.

2

54 cm 72 cm2 108 cm2 120 cm2 180 cm2

L1

L3

3 cm y PB = 6 cm 9 cm y PB = 18 cm 6 cm y PB = 3 cm 18 cm y PB = 9 cm 9 cm y PB = 27 cm

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F

A D

G

E

B

7. En la siguiente figura AB = 4 cm, BC = (x2 – 1) cm, DE = 7 cm, EF = (x + 1) cm, CF = 2 cm, BE = y cm. En relación a la información entregada, ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) afirmación(es) es(son) correcta(s)?

L2

3 cm 4 cm 6 cm 8 cm 10 cm

4. Un segmento AB de 27 cm está dividido interiormente por un punto P en la razón 6 : 3.

Calcula las longitudes de los segmentos AP y PB. A. B. C. D. E.

A. B. C. D. E.

C

3. Un punto P que se encuentra entre A y B, donde AB = 12 cm. Determina la medida de AP si AP : PB = 1 : 3.

A. B. C. D. E.

C

D

D

x B 3 cm E C 4 cm

5. En el rectángulo de la figura, a : b = 4 : 3 y la diagonal BD = 10 cm. ¿Cuánto mide AE?

A

D

B C

E F

I. Para que L1 // L2 // L3, se debe cumplir que 11 x sea igual a cm.

7 98 II. Si L1 // L2 // L3, el valor de y es cm.

67 III. Aunque se conozca el valor de x e y, no es posible determinar la medida de AD. A. B. C. D. E.

Solo I Solo II I y II I y III I, II y III

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Evaluación final Material fotocopiable

8. En un mapa, la distancia entre dos ciudades es 20 cm. Se sabe que la distancia real entre ellas es de 2 000 km. ¿Cuál es la escala del plano? ¿Cuál será la distancia entre otras dos ciudades que se encuentran a 13 cm en el plano, respectivamente?

11. El triángulo ABC es rectángulo en C y CD es altura. Si ⱔCAD mide 20º, ¿cuál(es) de las siguientes parejas de triángulos son semejantes?

C

20°

A

A. B. C. D. E.

1 : 1 000 y 13 000 km.

1 : 100 y 130 km.

1 : 2 y 260 km.

1 : 100 y 1 300 km.

Ninguna de las alternativas es correcta.

D

9. En relación a los conceptos de semejanza y congruencia, podemos afirmar que:

A. B. C. D. E.

I. Dos figuras son semejantes si las medidas de sus segmentos homólogos son iguales.

II. Dos triángulos son congruentes cuando la medida de sus ángulos es la misma.

III. Si se tienen dos figuras congruentes, inmediatamente se sabe que también son semejantes.

A. B. C. D. E.

B

I. ⌬ADC y ⌬CDB II. ⌬ADC y ⌬ACB III. ⌬CDB y ⌬ABC Solo II Solo III Solo I y II Solo II y III I, II y III

2

12. En la figura, el área del triángulo ABC es 90 cm y AB // DE, ¿cuál es el área del trapecio ADEB? B

A. B. C. D. E.

Solo I Solo II Solo III I y III I, II y III

10. En la siguiente figura m // n // p. El valor de x es:

36 40 60 54 50

2

cm cm2 cm2 2 cm cm2

D A

10 cm

E B

15 cm

AB 2 = y BC 3 EF = DE + 3, ¿cuánto mide EF?

13. En la figura, AD // BE // CF,

m 1 cm

x n

(x – 3)

A. B. C. D. E.

7 cm 0 cm 7 cm ó 4 cm 1 cm Ninguna de las anteriores.

28 cm p

A. B. C. D. E.

2 3 4 6 9

A B C

D E F

Semejanza

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Circunferencia

Unidad

PROPÓSITO

DE LA UNIDAD

La circunferencia es una figura conocida por los y las estudiantes y ha significado desde siempre un aporte al desarrollo de distintos ámbitos, como científicos en la invención y construcción de objetos de forma circular, y artísticos con su presencia en importantes obras de arte.

En esta unidad, los alumnos y alumnas conocerán los elementos presentes en una circunferencia, aprenderán algunas de sus propiedades y su aplicación. Como, por ejemplo, la relación existente entre un ángulo del centro y los ángulos inscritos en la circunferencia que subtienden el mismo arco, así como también lo correspondiente a ángulos semi-inscritos, interiores y exteriores. También en esta unidad, se aplicarán los conocimientos de semejanza aprendidos anteriormente para ver las propiedades de las cuerdas, secantes y tangentes en una circunferencia.

El propósito de esta unidad es que los alumnos aprendan a observar y analizar los ángulos presentes en una circunferencia y puedan establecer relaciones entre ellos.

A continuación, se presenta un esquema que relaciona los principales conceptos de la unidad.

ESQUEMA

DE LA UNIDAD

Circunferencia

Medida de ángulos en la circunferencia

Ángulos del centro

Cuerdas

Ángulos inscritos

Secantes

Ángulos semi-inscritos

Secantes y tangentes

Ángulos interiores Ángulos exteriores

144

| Unidad 5

Proporcionalidad de segmentos de la circunferencia

Guía Didáctica Matemática 2o Medio

• Identificación de ángulos del centro y ángulos inscritos en una circunferencia, demostración del teorema que relaciona la medida del ángulo del centro con la del correspondiente ángulo inscrito.

• Aplicación de la noción de semejanza a la demostración de relaciones entre segmentos en cuerdas y secantes en una circunferencia y a la homotecia de figuras planas.

CMO DE LA UNIDAD

• Medición de arcos.

• Ángulos del centro y ángulos inscritos.

• Ángulos semi-inscritos.

• Ángulos interiores y ángulos exteriores a una circunferencia.

• Proporcionalidad entre las cuerdas de una circunferencia.

• Proporcionalidad entre las secantes de una circunferencia.

• Proporcionalidad entre las secantes y tangentes de una circunferencia.

CONTENIDOS ESPERADOS

• Identificar ángulos del centro y ángulos inscritos en una circunferencia.

• Relacionar la medida del ángulo del centro con la del correspondiente ángulo inscrito.

• Aplicar la noción de semejanza en la demostración de relaciones entre segmentos de cuerdas, secantes y tangentes en una circunferencia.

APRENDIZAJES

• Identifican ángulos del centro y ángulos inscritos en una circunferencia.

• Relacionan la medida del ángulo del centro con la del correspondiente ángulo inscrito.

• Aplican la noción de semejanza en la demostración de relaciones entre segmentos de cuerdas, secantes y tangentes en una circunferencia.

INDICADORES DIDÁCTICOS

• Compás • Regla • Computador • Internet

RECURSOS

DE EVALUACIÓN

16:52

• Sumativa: páginas 212 y 213 del Texto para el Estudiante y 166 y 167 de la Guía Didáctica para el Profesor.

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• Formativa: páginas 196 y 205 del Texto para el Estudiante.

• Diagnóstica: páginas 186 y 187 del Texto para el Estudiante.

TIPOS

Tiempo estimado: 15 a 20 horas

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Circunferencia

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PÁGINAS 184 - 185

Páginas de entrada

Revise el hipertexto, para que conozca los recursos disponibles: ejercitación adicional, elementos de profundización de contenidos, links y evaluaciones.

La imagen presentada es una fotografía de larga exposición apuntando hacia la Estrella Polar. Como está situada muy cerca del Polo Norte celeste, se pueden ver las trayectorias circulares aparentes de las estrellas.

Una actividad introductoria podría ser estudiar un procedimiento clásico para orientarse en altamar utilizando como referencia a la Estrella Polar. Como su altitud (el ángulo con que aparece en el horizonte) disminuye conforme se avanza hacia el Sur, entonces esta puede considerarse igual a la latitud (el arco medido en grados, desde el ecuador al punto donde se encuentra el observador). Al navegar en dirección Este u Oeste podía mantenerse también un curso recto y corregir errores de brújula manteniendo la latitud polar constante.

Actividades complementarias Perpendicular a la elíptica

1. ¿Qué recta representa la línea del ecuador en el diagrama?, ¿qué recta

23,5º

representa la línea del horizonte para el observador?

2. El ángulo entre la línea horizontal y la dirección en la que vemos la estrella se llama altitud de la estrella. ¿Con qué letra se señala la altitud de la Estrella Polar para el observador situado en O? 3. ¿Con qué letra se señala la latitud del observador?

4. ¿Cuál es la relación entre la latitud del observador y la altitud de la Estrella Polar?

Plano de la elíptica

Eje de rotación

Estrella Polar

P D

O

Polo Norte

E

A Líne a de l Ec uad or

C

Las respuestas a estas preguntas son, respectivamente: 1. El segmento AB indica el diámetro de la Tierra cuya circunferencia representa la línea del ecuador. Además la recta DE representa la línea del horizonte del observador O. 2. Como la altitud es el ángulo con que aparece una estrella en el horizonte, la altitud de la Estrella Polar aparece indicada con la letra griega α.

3. Como la latitud es el arco medido en grados, desde la línea del Ecuador al punto donde se encuentra el observador, es decir, el arco OB, la latitud del observador O está indicada con la letra griega β.

4. Observa que la Estrella Polar está muy lejos de la Tierra. Si el dibujo mantuviera las proporciones de las distancias reales y la Tierra se representara por un círculo de 2 cm de radio, entonces la Estrella Polar estaría a unos 1 283 396 499 470 cm, es decir: 12 833 965 km. En tal caso, la recta que determina C con el Polo Norte y OP serían prácticamente paralelas. Si las consideramos paralelas, según el dibujo siguiente Estrella Polar se puede concluir que α = β.

P Los y las estudiantes deben argumentar por qué α = β.

B

D

O

E Polo Norte

α A

α

β C B

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| Unidad 5 Guía Didáctica Matemática 2o Medio

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Orientaciones didáticas Unidad 5 PÁGINAS 186 - 187

Evaluación diagnóstica

En estas páginas se presenta una evaluación diagnóstica que permitirá medir el nivel de desempeño que tienen los y las estudiantes acerca de los contenidos de esta unidad.

Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta una evaluación diagnóstica con el título ¿Cuánto sabes?, que incluye los siguientes criterios: Ítem 1: indicar en la circunferencia los elementos dados. Ítem 2: determinar las diferencias entre un círculo y una circunferencia. Ítem 3: calcular la medida de los ángulos pedidos. Ítem 4: reconocer triángulos semejantes.

Ítem

1

2

3

4

Completamente logrado

Logrado

¿Cuánto sabes? Ítem

Habilidades que se evalúan

1

Identificar.

2

Analizar.

3y4

Calcular.

Medianamente logrado

Por lograr

• Identifica correctamente en la circunferencia todos los elementos pedidos.

• Identifica correctamente • Identifica correctamente en la circunferencia más de en la circunferencia tres de tres de los elementos los elementos pedidos. pedidos.

• Identifica incorrectamente todos los elementos dados.

• Logra distinguir la diferencia entre un círculo y una circunferencia.

• Su argumentación es clara y completa.

• Logra distinguir la diferencia entre un círculo y una circunferencia.

• Su argumentación es clara, pero incompleta.

• No logra distinguir la diferencia entre un círculo y una circunferencia o su argumentación es incorrecta.

• Calcula correctamente las medidas de todos ángulos.

• Aplica correctamente las propiedades de los ángulos presentes en triángulos.

• Calcula correctamente la medida de dos ángulos, uno de ellos el pedido.

• Aplica correctamente las propiedades de los ángulos presentes en triángulos.

• Logra distinguir la diferencia entre un círculo y una circunferencia.

• Su argumentación es poco clara y muy básica.

• Calcula correctamente la medida de un ángulo pedido.

• Aplica incorrectamente las propiedades de los ángulos presentes en triángulos.

• Reconoce correctamente • Reconoce correctamente • Reconoce correctamente todas las parejas de dos de las parejas de menos de dos de las triángulos semejantes. triángulos semejantes. parejas de triángulos • Fundamenta cada caso • Fundamenta cada caso semejantes. con el criterio de semejanza con el criterio de semejanza • No identifica el criterio de correcto. correcto. semejanza utilizado.

• Calcula incorrectamente la medida de los ángulos pedidos.

• Aplica incorrectamente las propiedades de los ángulos presentes en triángulos.

• No reconoce correctamente las parejas de triángulos semejantes.

• No identifica el criterio de semejanza utilizado.

Circunferencia

|

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Posibles dificultades en la evaluación y remediales.

En el ítem 1, los alumnos y alumnas podrían tener complicaciones para identificar correctamente los nombres de los elementos de la circunferencia presentados, debido básicamente a que no recuerdan sus nombres ni sus características. Para evitar problemas como estos, es conveniente que realice un repaso de todos los elementos presentes en una circunferencia y sus características. Más interesante y motivador sería si pudiera hacerlo a través de algún software computacional, que permita mostrar las posiciones y variaciones de estos elementos, como, por ejemplo, cuando se mueve una cuerda y pasa por el centro, esta pasa a ser un diámetro de la circunferencia.

En el ítem 2, podría ocurrir que sus estudiantes no logren diferenciar entre círculo y circunferencia, debido a que no comprenden estos conceptos o porque muchos piensan que son términos equivalentes. Además, es posible que los alumnos y alumnas no puedan expresar claramente estas diferencias. Para solucionar estos inconvenientes, es importante que vuelva a explicar las diferencias entre estos conceptos y pídales que ellos los expliquen con sus palabras, pues de esta forma podrán enfrentar de mejor modo futuras situaciones en que deban explicar y argumentar sobre alguna situación o contenido matemático.

Ampliación de conceptos geométricos.

Indicador: localiza y recupera información.

Sugerencias metodológicas: utilizar antes de comenzar la unidad, a modo de introducción.

PÁGINAS 188 - 189 En tu cuaderno Actividad 1

148

Habilidades que se desarrollan Representar y calcular.

En el ítem 3, es posible que los alumnos y alumnas calculen de manera incorrecta o simplemente no calculen las medidas de los ángulos pedidos presentes en un triángulo, debido a que no recuerdan las propiedades fundamentales involucradas para la resolución de este tipo de problemas. Para remediar esto, es importante hacer un resumen con las principales características y propiedades de los ángulos en triángulos y cuadriláteros, ya que serán de mucha utilidad para el estudio de esta unidad.

En el ítem 4, indique a sus estudiantes que pueden aplicar sus conocimientos sobre ángulos en un triángulo, y también medir los lados de los triángulos para fundamentar correctamente la semejanza, en cada caso.

Medición de arcos Indicaciones al docente Para las mediciones de arcos o ángulos del centro, una actividad muy instructiva es el cálculo de ángulos formados por el horario y el minutero de un reloj.

En un comienzo, los alumnos y alumnas pueden creer que el ángulo que se forma cuando el reloj indica las 3:00 es el mismo ángulo que cuando indica las 3:30.

Un análisis sobre el funcionamiento del reloj muestra que tal suposición es equivocada.

Esta actividad puede desarrollarse hasta un grado de precisión de segundos. Lo cual requiere una gran habilidad de cálculos.

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Orientaciones didáticas Unidad 5 Actividades complementarias 1. Determina el ángulo menor que forma el horario con el minutero cuando el reloj marca:

a. 7:00 h b. 9:00 h c. 11:00 h 2.

3.

4.

5.

6.

¿Cuánto mide el arco que recorre el horario cuando transcurre 1 hora? ¿Qué ángulo recorre el horario en 24 horas? ¿Qué ángulo recorre el minutero en 24 horas? ¿Cuánto mide el arco que recorre el minutero cuando transcurre 1 minuto?

Determina el ángulo menor que forma el horario con el minutero cuando el reloj marca: a. 2:20 h b. 3:40 h c. 5:35 h d. 7:05 h 7. Determina el ángulo menor que forma el horario con el minutero cuando son las: a. 10:20 h, con 30 segundos b. 4:50 h, con 15 segundos c. 7:50 h, con 10 segundos 8. El horario y el minutero están en la misma posición cuando el reloj marca las 12:00 h en punto. ¿A qué hora vuelven a encontrarse el horario y el minutero?

9. ¿A qué hora entre las 2:00 h y las 3:00 h el horario y el minutero forman un ángulo extendido?

PÁGINAS 190 - 193

Ángulos del centro y ángulos inscritos

Esta es una buena oportunidad para repasar conceptos elementales de geometría como la suma de los ángulos de un triángulo y para demostrar que la suma de dos ángulos interiores es igual al ángulo exterior del tercer ángulo.

También podría considerar el estudio de la suma de los ángulos exteriores del triángulo y, en general, de la suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono.

Un caso que involucra el análisis de ángulos del centro con ángulos inscritos es el estudio de los ángulos de un polígono regular.

Cada polígono regular se puede inscribir en una circunferencia, por ejemplo: Pentágono regular

Hexágono regular

En tu cuaderno Actividad

1y2

Habilidades que se desarrollan Interpretar, representar y calcular.

3

Interpretar, calcular y recordar.

4

Recordar y analizar.

Heptágono regular

Circunferencia

|

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Actividades complementarias 1. Calcula la medida del ángulo (o los ángulos) pedido(s) en cada uno de los siguientes casos.

a.

d.

α

α

O

x x

O

56º

x x

x

C

b.

e.

24º

O α

x

O

β 2x

2x

A

C α

2x

c.

f.

B

β

γ

D

26º

O O

α 7x 2x

A x C

Reconocimiento de los ángulos del centro e inscritos.

Indicador: genera debate.

Sugerencias metodológicas: utilizar como refuerzo teórico.

150

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α

B

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Orientaciones didáticas Unidad 5 PÁGINAS 194 - 195

Ángulos semi-inscritos

Indicaciones para el docente

En tu cuaderno

Es muy importante que antes de explicar el concepto de ángulo semi-inscrito los alumnos y las alumnas comprendan bien el concepto de recta tangente.

La tangente es una recta que toca en un punto a una curva sin atravesarla.

Puede demostrar con sus alumnos y alumnas el siguiente teorema respecto a la tangente a una circunferencia: “Dado un punto P sobre una circunferencia con centro en O entonces existe una única recta tangente a la circunferencia que pasa por P. Además, la tangente es perpendicular a OP.”

Actividades complementarias

1. Calcula la medida del ángulo (o los ángulos) pedido(s) en cada uno de los siguientes casos.

a.

Actividad

Habilidades que se desarrollan

1

Interpretar, representar y calcular.

Errores frecuentes • Los alumnos y alumnas pueden pensar que las tangentes pueden tocar a la curva solo en un punto.

Sin embargo, la figura nos muestra una tangente a la curva en el punto P, que corta a la curva en otro punto Q.

c. α

96º

O

α

O

β

γ

100º

b. AB 艑 AC

d. α = 3x – 12

104º

Reconocimiento de las relaciones angulares clásicas de la circunferencia.

Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información.

Sugerencias metodológicas: utilizar luego de ver ángulos del centro, inscritos y semi-inscritos, como ejercitación.

β =x+7 C γ

β

64º

O

α

O α A

β B

γ

Circunferencia

|

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PÁGINA 196

Mi progreso

1

Clasificar.

2

Calcular.

Antes de desarrollar las actividades evaluativas presentadas en la sección Mi progreso se sugiere que les pida sus alumnos y alumnas que construyan un mapa conceptual con el propósito de que puedan organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados. Este recurso puede ser utilizado como parte del estudio, ya que permite consolidar, organizar y clarificar sus aprendizajes, y además conocer el nivel de aprendizaje alcanzado por sus estudiantes en esta parte de la unidad.

3

Justificar.

Actividades complementarias

Mi progreso Ítem

Habilidades que se evalúan

Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la unidad realice preguntas como las siguientes: • Define ángulo del centro, ángulo inscrito, ángulo semi-inscrito.

• ¿Es posible tener dos ángulos del centro de distinta medida si ambos están subtendidos por el mismo arco? ¿Ocurre lo mismo con los otros tipos de ángulos?, ¿por qué ocurre esto?

• ¿Qué tipo de triángulo es aquel inscrito en una semicircunferencia?, ¿a qué se debe esto?, ¿podrías explicarlo?

• Si un ángulo del centro mide 68º, ¿cuánto mide el ángulo inscrito subtendido por el mismo arco?

• Si un ángulo inscrito mide 130º, ¿cuánto mide el ángulo del centro subtendido por el mismo arco?

• Si un ángulo inscrito mide 94º, ¿cuánto mide el ángulo semi-inscrito subtendido por el mismo arco?

• Si un ángulo semi-inscrito mide 51º, ¿cuánto mide el ángulo inscrito subtendido por el mismo arco?

• Si un ángulo del centro mide 40º, ¿cuánto mide el ángulo semi-inscrito subtendido por el mismo arco?

• Si un ángulo semi-inscrito mide 36º, ¿cuánto mide el ángulo del centro subtendido por el mismo arco?

En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos y alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizar como una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan en el cuadro Mi progreso e incluye los siguientes criterios: Ítem 1: clasificar los ángulos dados en inscritos, semi-inscritos y del centro. Ítem 2: determinar las medidas de los ángulos dados. Ítem 3: justificar el procedimiento para determinar las tangentes de una circunferencia que pasa por un punto fuera de ella.

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Orientaciones didáticas Unidad 5 Para los ejercicios 1, 2 y 3 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar el nivel de conocimiento alcanzado por los alumnos y alumnas. Ítem

1

2

3

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

• Identifica correctamente los tres ángulos dados.

• Identifica correctamente dos de los tres ángulos dados.

• Identifica correctamente uno de los tres ángulos dados.

• Identifica incorrectamente tres ángulos dados.

• Determina correctamente en los tres casos las medidas de los ángulos pedidos.

• Determina correctamente en dos de los casos las medidas de los ángulos pedidos.

• Determina correctamente en un caso las medidas de los ángulos pedidos.

• No determina correctamente las medidas de los ángulos pedidos.

• Justifica correctamente el procedimiento.

Las explicaciones son claras y completas.

• Justifica correctamente el procedimiento.

Las explicaciones son claras, pero incompletas.

• Justifica correctamente el procedimiento.

Las explicaciones son poco claras e incompletas.

• Justifica incorrectamente el procedimiento, o lo justifica correctamente, pero sus explicaciones son incorrectas.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales En el ítem 1, podría suceder que los alumnos y alumnas presenten dificultades para identificar correctamente los ángulos presentados debido a que no manejan las características de cada uno de ellos. Para solucionar esto, es importante clarificar cada uno de estos conceptos y presentar estos tipos de ángulos en diferentes posiciones para que los y las estudiantes se acostumbren a ellos y puedan identificarlos con mayor facilidad.

En el ítem 2, es posible que los alumnos y alumnas tengan dificultades para encontrar las medidas de los ángulos, debido a que no manejan muy bien las propiedades asociadas a ellos. Para evitar problemas como estos, muestre constantemente a sus estudiantes cómo obtener ecuaciones equivalentes y más sencillas, aplicando estas propiedades, de tal modo que en otras ocasiones puedan visualizar equivalencias en diversas ecuaciones.

En el ítem 3, la principal dificultad estaría en poder justificar adecuadamente los procedimientos dados, debido a que no están acostumbrados a expresar ni explicar sus ideas matemáticas de forma clara y consistente. Para prevenir situaciones como estas, es fundamental que continuamente los alumnos y alumnas tengan que expresar sus ideas y percepciones matemáticas sobre diversos contenidos, para acostumbrarlos a trabajar de manera analítica y justificada.

Circunferencia

|

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PÁGINAS 197 - 198 En tu cuaderno Actividad

1

Habilidades que se desarrollan Interpretar, representar y calcular.

Reconocimiento de ángulos exteriores e interiores a la circunferencia.

Indicador: genera debate.

Sugerencias metodológicas: utilizar al estudiar ángulos exteriores e interiores a la circunferencia.

Ángulos interiores y ángulos exteriores a una circunferencia Indicaciones para el docente En esta sección es importante resaltar las características de los ángulos que se relacionan con la circunferencia. Ángulo del centro: vértice en el centro de la circunferencia. Ángulo inscrito: formado por dos cuerdas y con el vértice en la circunferencia. Ángulo semi-inscrito: formado por una cuerda y una tangente y con el vértice en la circunferencia. Ángulo interior: vértice en el interior de la circunferencia (por tanto, el ángulo del centro es un caso particular de este). Ángulo exterior: vértice en el exterior.

Destacar que los teoremas del ángulo interior y del ángulo exterior resultan de que la suma de dos ángulos interiores de un triángulo es igual al ángulo exterior del tercer ángulo.

Actividades complementarias 1. Verifica que el ángulo del centro es un caso particular del ángulo interior, es decir, demuestra que el ángulo del centro es la semisuma de los arcos que subtiende.

2. Calcula la medida de los ángulos y arcos pedida en cada caso. a.

26º

β

b.

114º

O α

83º

O

β 40º α

c.

β 2x

α

3x x O

2x

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Orientaciones didáticas Unidad 5 d.

α

O

β

28º

103º

e.

β

46º

α

O 79º

PÁGINAS 199 - 200

Proporcionalidad entre las cuerdas de una circunferencia

Indicaciones para el docente Las tres secciones siguientes son expresiones de un mismo concepto: la potencia de un punto respecto de una circunferencia.

Sean una circunferencia C y un punto P, y sea una recta r que pasa por P y corta a C en dos puntos A y A’. Llamaremos potencia de P respecto de la circunferencia C a:

En tu cuaderno Actividad

1, 2 y 3

Habilidades que se desarrollan Interpretar, representar y calcular.

• PA · PA’ , si P es exterior a C. • –PA · PA’, si P es interior a C. • 0, si P pertenece a C. La definición responde a la consideración de segmentos orientados. El producto de distancias será positivo si P no separa los puntos A y A’ y negativo cuando sí los separa.

Teorema A Si desde un punto del plano interior a una circunferencia se trazan dos cuerdas, el producto de las distancias de dicho punto a los puntos de intersección (de cada cuerda con la circunferencia) es una constante.

Demostración Si el punto no pertenece a la circunferencia: Los triángulos PAB’ y PBA’ son semejantes por tener los ángulos iguales, por tanto:

Aprendizaje de las relaciones métricas de cuerdas y secantes en la circunferencia.

Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias.

Sugerencias metodológicas: utilizar al estudiar las relaciones métricas de cuerdas y secantes, para aprender correctamente las fórmulas.

PA PB’ = ⇒ PA · PA’ = PB · PB’ PB PA’ Si el punto pertenece a la circunferencia: PA · PA’ = 0 = PB · PB’ Circunferencia

|

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Actividades complementarias 1. Calcula el valor del trazo pedido en cada uno de los siguientes casos. a.

b.

9

4

x

3 O x

PÁGINAS 201 - 202 En tu cuaderno Actividad

1, 2 y 3

Habilidades que se desarrollan Interpretar, representar y calcular.

x

O

9

16

Proporcionalidad entre las secantes de una circunferencia Indicaciones para el docente Teorema B Si desde un punto del plano de una circunferencia se trazan secantes a la misma, el producto de las distancias de dicho punto a los puntos de intersección de cada secante es una constante.

Desde el punto de vista del concepto de potencia, los teoremas A y B son el mismo.

El siguiente teorema es un aporte del concepto de potencia de un punto.

Aprendizaje de las relaciones métricas de secantes en la circunferencia.

Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias.

Sugerencias metodológicas: utilizar al estudiar las relaciones métricas de secantes y tangentes, para aprender correctamente las fórmulas.

Teorema Dos pares de puntos AA’ y BB’ situados en dos rectas secantes en P verifican la igualdad PA · PA’ = PB · PB’, sí y solo sí los cuatro puntos son concíclicos, es decir, pertenecen a una misma circunferencia.

Actividades complementarias 1. Calcula el valor del trazo pedido en cada uno de los siguientes casos. a.

10

8

9 O x

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Orientaciones didáticas Unidad 5 b.

A 24

16

O B x C

PÁGINAS 203 - 204

Proporcionalidad entre las secantes y tangentes de una circunferencia

Indicaciones para el docente

En tu cuaderno

Teorema Si P es un punto exterior a una circunferencia, la potencia es también el cuadrado del segmento PT, donde T es el punto de contacto de una tangente a la circunferencia trazada desde P. Demostración: PA PT Los triángulos PTA y PA’T son semejantes, luego = entonces: PT PA’ 2 PA · PA’ = PT

Actividad

1, 2 y 3

4

Habilidades que se desarrollan Interpretar, representar y calcular.

Interpretar, recordar y justificar.

Teorema La potencia de un punto respecto de una circunferencia es igual al cuadrado de la distancia del punto al centro de la circunferencia menos el cuadrado del radio.

Demostración: P exterior

PA · PA’ = (d – r )(d + r ) = d – r

P interior

–PA · PA’ = –(r – d )(r + d ) = d – r

2

2

2 2

Actividades complementarias 1. Calcula el valor del trazo pedido en cada uno de los siguientes casos. a.

T x P

4

A

5

O

B

Circunferencia

|

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2. En la figura, PB = 9 cm y AB = 7 cm. Calcula la longitud de la tangente PT y el radio OT. T

P

O

A B

3. En la figura, PT es tangente, QA = 6 cm, OC = 7 cm, QT = 14 cm y PD = 8 cm. ¿Cuánto mide PT?

A

C

Q D

P

PÁGINA 205 Mi progreso Ítem

1y2

Habilidades que se evalúan Interpretar, representar y calcular.

T

Mi progreso Antes de desarrollar las actividades evaluativas presentadas en la sección Mi progreso se sugiere que les pida sus alumnos y alumnas que construyan un mapa conceptual con el propósito de que puedan organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados.

Actividades complementarias Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la unidad realice preguntas como las siguientes: • • • • • • •

158

O

¿Qué es una recta tangente a una circunferencia? ¿Qué es una recta secante a una circunferencia?

Define: ángulo interior, ángulo exterior.

Dibuja una recta secante a una circunferencia.

Dibuja una recta tangente a una circunferencia. ¿Cuál es la diferencia entre una recta secante y una cuerda?

Si AB y CD son dos rectas secantes a una circunferencia que se cortan en el punto E, ¿cuál es la proporcionalidad que se forma?

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Orientaciones didáticas Unidad 5 En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos y alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizar como una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan en el cuadro Mi Progreso e incluye los siguientes criterios: Ítem 1: calcular el valor de x en los distintos casos dados. Ítem 2: determinar el valor de los ángulos dados en cada caso.

Para los ejercicios 1 y 2 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar el nivel de conocimiento alcanzado por los alumnos y alumnas.

Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

1

• Determina correctamente el valor de x en los tres casos dados.

• Aplica correctamente las propiedades en todos los casos.

• Determina correctamente el valor de x en dos de los tres casos dados.

• Aplica correctamente las propiedades en la mayoría de los casos.

• Determina correctamente el valor de x en uno de los tres casos dados.

• Aplica correctamente las propiedades solo en un caso.

• Determina incorrectamente el valor de x en los tres casos dados.

• Aplica incorrectamente las propiedades en todos los casos.

2

• Determina correctamente la medida de los ángulos pedidos en los cuatro casos dados.

• Aplica correctamente las propiedades en todos los casos.

• Determina correctamente la medida de los ángulos pedidos en tres de los cuatro casos dados.

• Aplica correctamente las propiedades en tres casos.

• Determina correctamente la medida de los ángulos pedidos en dos de los cuatro casos dados.

• Aplica correctamente las propiedades solo en dos casos.

• Determina correctamente la medida de los ángulos pedidos en menos de dos de los cuatro casos dados.

• Aplica incorrectamente las propiedades en la mayoría de los casos.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales En el ítem 1, es posible que los alumnos y alumnas tengan dificultades para determinar las medidas de x en los distintos casos, debido a que no manejan bien las relaciones de proporcionalidad que se forman en la circunferencia. Para evitarlo, muestre nuevamente a sus estudiantes estas propiedades y permítales establecer nuevas relaciones, de modo que a futuro puedan enfrentar de buena forma problemas como estos.

En el ítem 2, los y las estudiantes podrían presentar problemas para determinar las medidas de los ángulos pedidos, debido a que no están familiarizados con la relación entre las medidas de los ángulos interiores y exteriores a la circunferencia.

Para evitar esto, es fundamental que los alumnos y alumnas conozcan muy bien estas propiedades y las practiquen. Sería conveniente volver a repasarlas y clarificar sus dudas con variados ejemplos.

Circunferencia

|

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PÁGINAS 206 - 207 En tu cuaderno Habilidades que se desarrollan

Actividad 1y2 (pág. 200)

Aplicar, calcular y verificar.

1y2 (pág. 201)

Verificar o comprobar.

Cómo resolverlo La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la unidad; sin embargo, en estas páginas se presentan estrategias de resolución específicas para que los y las estudiantes la aprendan y la apliquen en futuros problemas.

Además, esta resolución se presenta detallada, justificando las diferentes acciones, lo que permite aclarar posibles dudas que sus estudiantes pueden mantener.

Se recomienda que enfatice los pasos que deben seguir en la resolución de problemas: comprender, planificar, resolver y revisar.

INDICADORES DE LOGRO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS A continuación, se presentan diferentes indicadores de logro que puede utilizar para evaluar la resolución de problemas planteados.

Logro, aplicación Comprensión del problema o situación

• Puede expresar en sus propias palabras e interpretar coherentemente el problema.

• Identifica la información necesaria.

• Tiene una idea acerca de la respuesta.

En proceso, logro parcial • Copia el problema.

• Identifica palabras clave.

• Puede que mal interprete parte del problema.

• Puede que tenga alguna idea acerca de la respuesta.

• Demuestra un entendimiento Comprensión de • Aplica correctamente reglas parcial o satisfactorio. o algoritmos cuando usa conceptos • Puede demostrar y explicar símbolos. usando una variedad de • Conecta cómo y por qué. modos.

• Aplica el concepto a proble• Está listo para hacer mas o a situaciones nuevas. conexiones acerca de cómo • Hace y explica conexiones. y por qué.

• Realiza lo pedido y va más allá.

• Relaciona el concepto con conocimiento y experiencias anteriores.

• Realiza las tareas cada vez con menos errores.

Verificación de resultados y/o progreso

• Chequea la racionalidad de los resultados.

• Reconoce sin razones.

• Revisa cálculos y procedimientos.

• Puede investigar razones si existen dudas.

No comprende • No entiende el problema.

• Entiende mal el problema.

• Como rutina pide explicaciones.

• No modela los conceptos rutinarios correctamente.

• No puede explicar el concepto.

• No intenta resolver el problema.

• No hace conexiones.

• No revisa cálculos ni procedimientos.

• No reconoce si su respuesta es o no razonable.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm

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Orientaciones didáticas Unidad 5 Actividades complementarias • Demuestra que todo trapecio inscrito en una circunferencia es isósceles.

• En la figura PB ≅ PD, verifica que AB ≅ CD. D C A O

B

• En la figura ABCD es un cuadrado y AP y BP son tangentes. Comprueba que el triángulo APB es un triángulo rectángulo.

D

C

A

B

P

• En la figura AD ≅ DC, ¿cómo puedes probar que BD es bisectriz?

B A P

O D C

Circunferencia

|

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PÁGINAS 208 - 209 En tu cuaderno Actividad

Habilidades que se desarrollan

1

Calcular.

2

Justificar.

3y4

Calcular

Investiguemos...

Actividad

Habilidades que se desarrollan

1

Calcular.

2

Usar herramientas, interpretar y analizar.

3

Analizar.

4y5

Calcular.

En terreno • Esta sección del Texto para el Estudiante, tiene como objetivo relacionar los contenidos aprendidos en la unidad con su aplicación real. Para ello, se presenta una actividad sobre astronomía, relacionada con la Tierra y la Luna, para que los alumnos y alumnas puedan visualizar la presencia real de los contenidos aprendidos en esta unidad.

• La Tierra es un planeta espectacular que cuenta con condiciones atmosféricas, de agua y de temperatura que permiten la existencia de vida. La Luna es un astro que puede recorrer el firmamento terrestre y es el primer satélite donde el hombre ha podido estar. Gracias a la tecnología, cada día podemos obtener imágenes impresionantes de ambos elementos astronómicos.

• Las actividades que se presentan en esta sección permitirán que los alumnos y alumnas se interioricen en estos temas y además puedan aplicar todos los contenidos aprendidos en esta unidad y en unidades anteriores.

• Interesante información sobre astronomía y temas relacionados con la Tierra y la Luna, además de sorprendentes imágenes de ellas, que pueden ser de gran utilidad para trabajar con sus alumnos y alumnas, puede encontrar en http://www.astromia.com.

PÁGINAS 210 - 211 Síntesis de la Unidad Actividad

Habilidades que se desarrollan

Mapa conceptual

Recordar, conectar y representar.

1

Evaluar y justificar.

2

Aplicar.

Síntesis de la Unidad Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos y alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los alumnos y alumnas consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. Además, permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus estudiantes en esta etapa de la unidad.

En esta parte, se resumen y organizan a través de un mapa conceptual los contenidos trabajados en toda la unidad.

Actividades complementarias Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la unidad, realice preguntas como las siguientes: Repaso de relaciones angulares en la circunferencia.

Indicador: genera debate.

Sugerencias metodológicas: utilizar para aplicar y repasar las relaciones angulares.

162

• • • • • •

¿Qué elementos geométricos están presentes en una circunferencia? ¿Qué características tienen cada uno de ellos? ¿Qué tipos de ángulos están relacionados con la circunferencia? ¿Qué propiedades tiene cada uno de estos ángulos? ¿Cómo se relacionan estos ángulos entre sí? Da dos ejemplos para cada caso. ¿Qué diferencia existe entre una recta tangente y una recta secante a una circunferencia?

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Orientaciones didáticas Unidad 5 • ¿Qué propiedades conoces sobre una recta tangente a una circunferencia?

• ¿Qué propiedades conoces sobre una recta secante a una circunferencia?

• ¿Qué razones de proporcionalidad se cumplen al tener dos cuerdas secantes en una circunferencia? Da un ejemplo.

• ¿Por qué todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es un triángulo rectángulo? Explica.

PÁGINAS 212 - 213

Evaluación de la Unidad

Los ejercicios y problemas presentados en esta sección permiten evaluar los aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la unidad. Considere lo siguiente: Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.

Logrado, si contesta correctamente más de nueve preguntas.

Medianamente logrado, si contesta correctamente más de cinco preguntas.

No logrado, si contesta correctamente menos de cinco preguntas.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 1, los alumnos y alumnas podrían contestar de forma errónea, debido a que no conocen las características de los elementos principales en una circunferencia. Para evitar este tipo de inconvenientes, es importante que repase con ellos cada uno de estos elementos, para que logren identificarlos y distinguirlos apropiadamente.

• En el ítem 2, puede suceder que los alumnos y alumnas relacionen de forma incorrecta los ángulos inscritos y del centro presentes en la figura mostrada.

Esto se puede deber a que los y las estudiantes no conocen las relaciones existentes entre estos tipos de ángulos. Para remediar situaciones como esta, es importante clarificar las propiedades presentes en este tipo de ángulos así como la relación entre ellos, y de esta forma evitar futuras confusiones y conclusiones erróneas.

• En el ítem 3, puede ocurrir que los alumnos y alumnas respondan de forma incorrecta la medida del arco pedido, debido a que no reconocen que si se dibujara el triángulo AOB, correspondería a un triángulo equilátero. Para remediar esto, es importante recordar estas propiedades, de modo que se familiaricen con ellas y no cometan los mismos errores en el futuro por falta de conocimiento o práctica.

• En el ítem 4, puede suceder que los alumnos y alumnas establezcan relaciones incorrectas sobre el ángulo exterior presente en la figura mostrada, o bien, que no apliquen la propiedad de los ángulos interiores de un triángulo. Para remediar situaciones como esta, es importante clarificar a los alumnos estas propiedades, y de esta forma evitar futuras confusiones y conclusiones erróneas.

• En el ítem 5, puede suceder que los y las estudiantes relacionen de forma incorrecta los ángulos inscritos y semi-inscritos en una circunferencia, o bien, que no apliquen la propiedad de los ángulos interiores de un triángulo. Para remediar situaciones como esta, es importante clarificar a los alumnos y las alumnas las propiedades presentes en este tipo de ángulos así como la relación entre ellos, y de esta forma aclarar dudas y lograr futuras conclusiones y respuestas correctas.

Evaluación Habilidades que se evalúan

Ítem 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12

Calcular.

1, 2, 6 y 7

Analizar.

Como complemento a esta evaluación, el hipertexto cuenta con una evaluación interactiva y, además, una autoevaluación imprimible para que sus estudiantes evalúen su desempeño.

Circunferencia

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• En el ítem 6, podría ocurrir que los alumnos y alumnas relacionen de forma incorrecta los ángulos del centro, inscritos y semi-inscritos en una circunferencia, debido a que no están familiarizados con las relaciones existentes entre estos tipos de ángulos. Para solucionar situaciones como esta, es importante clarificar las propiedades presentes en este tipo de ángulos así como la relación entre ellos, y de esta forma aclarar dudas y permitir conclusiones y respuestas correctas.

• En el ítem 7, puede ocurrir que los alumnos y alumnas respondan de forma incorrecta, debido a que no recuerdan que todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es rectángulo y además las propiedades del ángulo inscrito en una circunferencia. Para remediar esto, es importante recordar estas propiedades y practicarlas continuamente, de modo que no cometan los mismos errores en el futuro por falta de conocimiento o práctica.

• En el ítem 8, los alumnos y alumnas podrían tener complicaciones para responder correctamente debido a que no recuerdan las propiedades de las cuerdas en una circunferencia. Para solucionar esto, es importante recordar estas propiedades nuevamente, de modo que en el futuro puedan aplicarlas correctamente.

• En los ítems 9 y 12, los y las estudiantes podrían equivocarse al responder, debido a que no aplican correctamente las propiedades relacionadas con ángulos inscritos en una circunferencia. Para evitar estos inconvenientes, es importante repasar estos contenidos y practicarlos en diversos tipos de problemas, de modo que los alumnos y alumnas se familiaricen con ellos, y en posteriores ejercicios puedan resolverlos de manera correcta.

• En el ítem 10, podría suceder que los y las estudiantes presenten complicaciones al encontrar el valor de un segmento formado por dos cuerdas secantes en una circunferencia que se cortan en un punto, debido a que no manejan bien las relaciones proporcionales que se establecen en ellas.

Para evitar este tipo de inconvenientes, se recomienda que repase estas propiedades y presente variados ejemplos donde puedan aplicarlas, de modo que en el futuro puedan enfrentar correctamente ejercicios similares.

• En el ítem 11, los y las estudiantes podrían equivocarse al responder, debido a que no aplican correctamente las propiedades relacionadas con ángulos inscritos y semi-inscritos en una circunferencia. Para evitar estos inconvenientes, es importante repasar estos contenidos y practicarlos en diversos tipos de problemas, para que los alumnos y alumnas se familiaricen con ellos y, luego, resuelvan correctamente futuros ejercicios de este tipo o similares.

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| Unidad 5 Guía Didáctica Matemática 2o Medio

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Orientaciones didáticas Unidad 5 Evaluación final En las páginas siguientes, se presenta una evaluación fotocopiable que le permitirá evaluar los aprendizajes que han logrado los alumnos y alumnas con los contenidos trabajados en la unidad. Con los resultados de esta evaluación, se puede tomar la decisión de reforzar algunos temas que no hayan sido aún comprendidos a cabalidad por sus estudiantes.

El tiempo estimado para la realización de la prueba es 60 minutos. Este tiempo puede ser modificado según las características de sus estudiantes.

Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes, se sugiere utilizar la siguiente pauta: Ítem

Habilidades que se evalúan

Puntaje

Total

1

Analizar.

2 puntos

2 puntos

2y3

Calcular.

2 puntos cada una

4 puntos

4

Analizar y recordar.

2 puntos

2 puntos

5

Calcular.

2 puntos

2 puntos

6y7

Verificar o comprobar.

2 puntos cada una

4 puntos

8, 9 y 10

Calcular.

2 puntos cada una

6 puntos

11

Analizar.

2 puntos

2 puntos

12

Calcular.

2 puntos

2 puntos

Puntaje total

24 puntos

BIBLIOGRAFÍA • • • • • • • • •

Coxeter, H. S. M; Greitzer, S. L. Retorno a la Geometría, Colección La Tortuga de Aquiles, DLS- Euler Editores, Madrid, 1994.

Santaló, Luis. La Geometría en la formación de profesores, Red Olímpica, Buenos Aires, 1993.

Cord. Matemáticas aplicadas, Santiago de Chile, 1997.

Morris, Kline. Matemáticas para los estudiantes de humanidades, Fondo de Cultura Económica, México, 1992.

Gardner, Martín. Carnaval Matemático, Alianza Editorial, España, 1985.

Guzmán, Miguel de. Tendencias innovadoras en Educación Matemática, Red Olímpica, Buenos Aires, 1992.

Matemáticas y Olimpíadas. Sociedad de Matemáticas de Chile, Santiago de Chile, 1994.

Perero, Mariano. Historia e historias de matemáticas, Grupo Editorial Iberoamericana, México, 1994.

Stewart, Ian. De aquí al infinito. Las matemáticas de hoy, Crítica, Barcelona, 1998.

Sitios web • Descartes. Matemáticas interactivas: http://descartes.cnice.mec.es/ • El portal de la educación: www.educarchile.cl • El paraíso de las matemáticas: www.matematicas.net Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

Circunferencia

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Evaluación final Material fotocopiable Nombre:

Curso:

Fecha:

Marca o encierra la alternativa correcta de cada pregunta.

1. En la circunferencia se traza una tangente y una secante como lo muestra la figura. De las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s): I. ⌬QRT ∼ ⌬QTS II. ⱔRST ≅ ⱔRTQ III. RQ ≅ TQ

4. Se han dibujado tres circunferencias congruentes de radio r y centro O. ¿En cuál o cuáles de los siguientes dibujos el triángulo es rectángulo?

I.

S

O

r

R

II.

45º

Q

T

A. Solo I B. Solo II C. Solo III

r O

D. I y II E. II y III

2. En la circunferencia de centro O de la figura, el ⱔBOC mide 100º. ¿Cuánto mide el ⱔAED en el triángulo isósceles AED?

III. r

B

A. B. C. D. E.

C

A

20º 40º 50º 70º Ninguna de las anteriores.

D

O

166

31,5º 63º 90º 126º Otro valor.

α

A. Solo II B. I y II C. I y III

D. II y III E. I, II y III

5. En la figura, ⱔCAO = 25º, ⱔCBO = 60º, entonces el ⱔAOB mide:

3. El arco α de la figura mide:

A. B. C. D. E.

E punto de tangencia

O

E

O

63º

| Unidad 5 Guía Didáctica Matemática 2o Medio

A. B. C. D. E.

170º 110º 100º 65º 60º

C

O A

B

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Evaluación final Material fotocopiable 10. En la figura, PA es tangente a la circunferencia y PF es bisectriz del ⱔAPB.

Si FB = 63º, AF = 78º y ⱔAPD = 26º, el valor

de CA es: F

6. Con respecto a la figura es verdadero que: 115º

I. α > β II. α + β = 115º III. α – β = 23º A. B. C. D. E.

O

Solo I I y II I y III II y III I, II y III

A. B. C. D. E.

α 23º

β

89º 37º 52º 115º 57,5º

O B

A

D

C

7. De acuerdo a la figura, es verdadero que: I. ⱔDBC = 30º II. ⱔACB = ⱔABD III. ⱔADB = 60º A. B. C. D. E.

C B

D

P

11. En la circunferencia, CD y CB son tangentes y ⱔBOD = 90º. Entonces es verdad que:

Solo I Solo II I y II I y III II y III

O 30º

I. OBCD es cuadrado.

II. ⱔBAD =

A

ⱔDCB 2

III. ⱔABO + ⱔADO = ⱔBAD 8. El radio del circulo de la figura es 18 cm y ⱔACB = 15º, el arco AB mide:

D C

C

A. B. C. D. E.

3π cm 3,6π cm 6π cm 36π cm Otro valor.

A. B. C. D. E.

O

Solo I Solo II Solo III I y III I, II y III

O A

B

B A

12. En la figura, PM es tangente y mide 28 cm, PA = 14 cm. ¿Cuánto mide el radio?

9. En la figura, PQ y PT son tangentes y ⱔQPT = 68º. El valor de ⱔQAT es: A. B. C. D. E.

112º 248º 56º 68º 136º

M

P

T A O

P

A. B. C. D. E.

14 cm 42 cm 21 cm 56 cm 7 cm

A

O B

Q Circunferencia

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Datos y Azar

Unidad

PROPÓSITO

DE LA UNIDAD

El año anterior se estudiaron las medidas de tendencia central y posición. Este año estos tópicos se complementan con las medidas de dispersión. Con ellas, y lo aprendido anteriormente, los alumnos y las alumnas tienen las herramientas para comparar dos o más conjuntos de datos. En este mismo contexto, se introducen los conceptos de homogeneidad y heterogeneidad.

También se aborda de manera conceptual el muestreo aleatorio simple, con el fin de que los alumnos y las alumnas se vayan familiarizando con este concepto.

Se retoma la regla de Laplace para el cálculo de probabilidades, pero en esta oportunidad se le entrega herramientas de conteo con el fin de que los alumnos y alumnas puedan resolver ejercicios de mayor complejidad.

Por último, se ven dos propiedades importantes de las probabilidades: la regla de la suma y la regla del producto.

A continuación, se presenta un esquema que relaciona los principales conceptos de la unidad.

ESQUEMA

DE LA UNIDAD

Datos y Azar

Muestreo aleatorio simple

Medidas de dispersión

Rango

Varianza

Desviación estándar

Comparación de dos o más conjuntos

Probabilidades

Probabilidad de la unión

Probabilidad de la intersección

Eventos excluyentes

Eventos independientes Regla de la suma Regla del producto

Homogeneidad

Heterogeneidad

Permutación Combinación

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| Unidad 6

Guía Didáctica Matemática 2o Medio

Regla de Laplace

Técnicas de conteo

CONTENIDOS DE LA UNIDAD

• Medidas de dispersión.

• Medidas de dispersión para datos agrupados.

• Comparación de dos o más conjuntos de datos.

• Homogeneidad y heterogeneidad.

• Muestreo aleatorio simple.

• Uso de Excel para calcular medidas de dispersión.

• Conjuntos.

• Técnicas de conteo.

• Regla de Laplace.

• Probabilidad de la unión.

• Probabilidad de la intersección.

CMO

• Determinación del rango, varianza y desviación estándar, aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando, en forma manual y mediante el uso de herramientas tecnológicas.

• Análisis de las características de dos o más muestras de datos, haciendo uso de indicadores de tendencia central, posición y dispersión.

• Empleo de elementos básicos del muestreo aleatorio simple, en diversos experimentos, para inferir sobre la media de una población finita a partir de muestras extraídas.

• Aplicación del concepto de variable aleatoria en diferentes situaciones que involucran azar e identificación de esta como una función.

• Exploración de la Ley de los Grandes Números, a partir de la repetición de experimentos aleatorios, con apoyo de herramientas tecnológicas y su aplicación a la asignación de probabilidades.

• Resolución de problemas de cálculo de probabilidades aplicando las técnicas del cálculo combinatorio, diagramas de árbol, lenguaje conjuntista, operatoria básica con conjuntos, propiedades de la suma y producto de probabilidades.

ESPERADOS

• Calcular e interpretar correctamente las distintas medidas de dispersión tanto para datos disgregados como para datos agrupados.

• Comparar dos o más conjuntos de datos utilizando mediadas de tendencia central, posición y dispersión.

• Identificar cuándo un grupo de datos es homogéneo o heterogéneo utilizando medidas de dispersión.

• Entender los conceptos de muestreo aleatorio simple.

• Utilizar Excel para calcular medidas de dispersión.

• Manejar conceptos básicos de conjuntos y su operatoria.

• Utilizar técnicas de conteo para determinar el tamaño muestral y/o el número de elementos favorables a un evento.

• Calcular probabilidades utilizando la regla de Laplace.

• Utilizar las propiedades de la probabilidad de la unión para resolver diversos problemas.

Identificar eventos excluyentes.

• Utilizar las propiedades de la probabilidad de la intersección para resolver diversos problemas.

• Identificar eventos independientes.

APRENDIZAJES

RECURSOS DIDÁCTICOS

• Calcula e interpreta • Fichas, cartas. correctamente las distintas • Calculadora medidas de dispersión tanto simple. para datos disgregados como • Computador para datos agrupados. con acceso a • Compara dos o más Internet y conjuntos de datos utilizando planilla de medidas de tendencia central, cálculo. posición y dispersión.

• Identifica cuándo un grupo de datos es homogéneo o heterogéneo utilizando medidas de dispersión.

• Entiende los conceptos de muestreo aleatorio simple, es capaz de reconocer la población de la cual se extrajo la muestra y cuál es la metodología que se utiliza para su extracción.

• Utiliza Excel para calcular medidas de dispersión.

• Maneja conceptos básicos de conjuntos y su operatoria. Puede resolver distintos problemas de unión e intersección de conjuntos.

• Utiliza técnicas de conteo para determinar el tamaño muestral y/o el número de elementos favorables a un evento.

• Calcula probabilidades utilizando la regla de Laplace correctamente.

• Utiliza las propiedades de la probabilidad de la unión para resolver diversos problemas.

• Utiliza las propiedades de la probabilidad de la intersección para resolver diversos problemas.

INDICADORES

DE EVALUACIÓN

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• Sumativa: páginas 254 y 255 del Texto para el Estudiante y 186 y 187 de la Guia Didáctica para el Profesor.

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• Formativa: páginas 232 y 247 del Texto para el Estudiante.

• Diagnóstica: páginas 216 y 217 del Texto para el Estudiante.

TIPOS

Tiempo estimado: 20 a 25 horas

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Datos y Azar

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PÁGINAS 214 - 215

Páginas de entrada La imagen presentada al comienzo de la unidad tiene como propósito introducir y motivar a los alumnos y las alumnas en el estudio y aprendizaje de las medidas de dispersión.

Revise el hipertexto, para que conozca los recursos disponibles: ejercitación adicional, elementos de profundización de contenidos, links y evaluaciones.

En la imagen se muestra una bióloga pesando una rana y con esto se puede empezar a discutir el tema de la dispersión. La bióloga quiere desarrollar un estudio acerca de todas las ranas que habitan el lago. ¿Qué pasa si pesa una sola rana?, ¿y si pesa dos o más?, ¿todas las ranas pesarán lo mismo? ¿Cómo se puede resumir la información obtenida?

La imagen sirve también para introducir el concepto de muestreo, ¿por qué no se pueden pesar todas las ranas del lago?

PÁGINAS 216 - 217 ¿Cuánto sabes? Ítem 1y2

Habilidades que se evalúan Aplicar y calcular.

Recordar y representar.

3 4y5

Aplicar.

6y7

Calcular.

Ítem

1

170

Completamente logrado • Calcula correctamente la media, mediana y cuartiles.

• Redacta una respuesta concreta utilizando las unidades de medición correspondiente.

Evaluación diagnóstica En estas páginas se presenta una evaluación diagnóstica que permitirá medir el nivel de desempeño que tienen los y las estudiantes acerca de los contenidos de esta unidad.

Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y las alumnas se presenta una evaluación diagnóstica con el título ¿Cuánto sabes?, que incluye los siguientes criterios: Ítem 1: calcular la media, mediana y cuartiles para datos no agrupados. Ítem 2: calcular la frecuencia acumulada de un conjunto de datos. Calcular la media, mediana y cuartiles para datos agrupados. Ítem 3: describir en forma extensa el espacio muestral y eventos asociados a un experimento. Ítem 4: redondear números a la décima y explicar el procedimiento. Ítem 5: redondear números a la centésima y explicar el procedimiento. Ítem 6: resolver ejercicios con números decimales. Ítem 7: resolver ejercicios con fracciones.

Logrado • Calcula correctamente la media, mediana y cuartiles.

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Medianamente logrado • Calcula correctamente una o dos de las medidas de resumen solicitadas.

Por lograr • No calcula correctamente ninguna de las medidas de resumen solicitadas.

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Orientaciones didácticas Unidad 6 Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

2

• Calcula correctamente, la frecuencia acumulada, la media, mediana y los percentiles. Redacta una respuesta concreta utilizando las unidades de medición correspondiente.

• Calcula correctamente, la frecuencia acumulada, y al menos tres de las medidas de resumen solicitadas.

• Calcula correctamente, la frecuencia acumulada y una o dos de las medidas de resumen solicitadas.

• No calcula correctamente ninguna de las medias de resumen solicitadas ni la frecuencia acumulada.

• Describe correctamente el espacio muestral y los eventos asociados.

• Describe correctamente el espacio muestral y uno o dos de los eventos asociados.

• Describe correctamente el espacio muestral.

• No describe correctamente el espacio muestral ni ninguno de los eventos asociados.

3

• Redondea correctamente • Redondea correctamente • Redondea correctamente • Redondea correctamente 5 ó 4 de los números 3 ó 2 de los números al menos uno de los 4 y 5 todos los números decimales. decimales. decimales. números decimales.

• Resuelve correctamente 6 y 7 todos los ejercicios.

• Resuelve correctamente 5 ó 4 ejercicios.

• Resuelve correctamente 3 ó 2 ejercicios.

• Resuelve correctamente al menos 1 de los ejercicios.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales

• En los ítems 1 y 2, los alumnos y las alumnas suelen olvidar escribir las respuestas completas con la unidad de medición asociada. Se sugiere insistir en este punto antes que los alumnos y las alumnas inicien el trabajo.

• En el ítem 3, en general los alumnos y alumnas tienen dificultades para identificar los elementos asociados a un evento. Por ello, es importante remarcar la importancia del uso de diagramas o esquemas de apoyo.

• En los ítems 4 y 5, los alumnos y las alumnas pueden no recordar lo que es la décima o la centésima, para ello se puede realizar un pequeño resumen del tópico antes que los alumnos y las alumnas inicien el trabajo.

Aprendizaje de conceptos claves a tratar en la unidad.

Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información.

Sugerencias metodológicas: utilizar luego de introducir los conceptos claves de la unidad, como ejercitación.

• En los ítems 6 y 7, tal como se ha mencionado anteriormente, los errores más comunes consisten en no respetar el orden de las operaciones. Refuerce este tema con variados ejemplos que presenten distintos grados de complejidad.

Datos y Azar

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PÁGINAS 218 - 221 En tu cuaderno Actividad 1 2, 3 y 4 5

Habilidades que se desarrollan Analizar.

Analizar y aplicar.

Calcular y justificar.

Errores frecuentes • Los alumnos y las alumnas suelen enredarse con el cálculo de la varianza debido a la extensión de la fórmula, por ello en las páginas 214 y 215 se muestra cómo realizar este cálculo de una manera esquematizada y sistematizada.

• Otra dificultad a la que se enfrentan los alumnos y las alumnas es con las unidades de medición, pues suelen confundirse cuando se trabaja con valores al cuadrado y finalmente la omiten.

Medidas de dispersión Información para el docente A pesar de que constantemente presenciamos situaciones sujetas a variabilidad, por ejemplo: el clima, el precio del pan, el tiempo que demoramos de ir un punto a otro, etc., en general la varianza no es un concepto que se maneje cotidianamente. Es recomendable introducir este concepto con ejemplos simples que ayuden a sus estudiantes a entender la importancia de considerar la variabilidad de un evento o situación. Analicen qué consecuencias pueden haber si no se toma en cuenta en un contexto de toma de decisiones.

Si bien la medida de dispersión más utilizada es la desviación estándar (y en su defecto la varianza), siempre se presenta primero el rango, pues es una medida fácil de calcular y que grafica claramente lo que es la variabilidad de un conjunto de datos.

Actividades complementarias Para introducir el concepto de rango, realice ejemplos simples donde la media sea la misma pero el rango vaya variando de caso en caso. Apóyese con el uso de gráficos y/o diagramas. Esto le ayudará a los alumnos y las alumnas a entender con mayor facilidad los conceptos de dispersión.

Discuta con los alumnos y las alumnas qué puede ocurrir si se supone que la locomoción colectiva en que llegan al colegio pasará siempre a la misma hora por determinado punto. ¿De qué manera se puede usar la variabilidad de una situación para tomar una mejor decisión?

1. Cuando Pablo estaba en segundo medio, debió hacer una encuesta acerca de la cantidad de hijos por familia que había en su curso, él obtuvo las siguientes respuestas: 5–2–3–5–4–2–7–4–2–3–6–4–2–5–8–1–3–4–6–4– 3 – 5 – 3 – 5 – 3 – 4 – 4 – 2 – 4 – 3 – 3 – 3 – 2 – 1 – 4 – 2 – 4 – 3 – 4 – 3.

a. Calcula la media y la moda. b. Calcula el rango y la desviación estándar.

Memorización de conceptos y fórmulas de las medidas de dispersión.

Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información.

Sugerencias metodológicas: utilizar luego de presentar las fórmulas para análisis de datos.

2. Sebastián, el hijo de Pablo, cursa actualmente segundo medio y debe hacer el mismo trabajo. Sus respuestas fueron: 2–2–1–2–3–3–3–5–3–3–3–2–5–2–4–2–4–1–1–3– 4 – 2 – 1 – 2 – 3 – 2 – 2 – 3 – 1 – 3 – 3 – 1 – 2 – 1 – 1 – 3 – 5 – 3 – 1 – 3.

a. Calcula la media y la moda. b. Calcula el rango y la desviación estándar.

• ¿Qué se puede decir al comparar la época de Sebastián con la de su padre?

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Orientaciones didácticas Unidad 6 PÁGINAS 222 - 223

Medidas de dispersión para datos agrupados

Información para el docente

En tu cuaderno

Usualmente nos podemos encontrar ante situaciones donde no se tienen los datos puros de un determinado experimento, sino que solo se dispone de una tabla resumen, y he ahí la importancia de conocer los métodos de cálculo para datos agrupados.

Actividades complementarias Los datos no tabulados del ejercicio 1 de la página 223 son los siguientes:

22

25

25

28

43

32

40

34

26

29

35

40

34

39

34

30

31

39

31

30

34

36

27

38

40

26

39

25

23

32

35

31

39

39

34

35

30

34

30

28

Actividad 1

Habilidades que se desarrollan Calcular y analizar.

Errores frecuentes • Los errores que suelen cometer los alumnos y las alumnas en la sección anterior se repiten en esta sección. Además, en este caso los cálculos pueden parecer más engorrosos, por eso es importante el uso de tablas para sistematizar los cálculos. También pueden tener problemas para identificar la marca de clase, situación que se puede abordar realizando distintos ejercicios.

Calcule en conjunto con los alumnos y las alumnas el rango, la varianza y la desviación estándar. Comparen lo obtenido con lo calculado en el ejercicio anterior. Discuta, ¿qué observan?, ¿estos valores son iguales a los calculados anteriormente o existen diferencias?, ¿por qué? ¿Qué ganancia y/o pérdida hay al calcular de uno u otra manera las distintas medidas de dispersión?

PÁGINAS 224 - 225

Comparación de dos o más conjuntos de datos

Información para el docente Esta sección es una aplicación de lo visto en las anteriores. Calcular medidas de tendencia central, posición y dispersión es útil para entender el comportamiento de un conjunto de datos. Estas medidas adquieren mayor relevancia cuando queremos ver las similitudes o diferencias de dos o más conjuntos de datos.

En tu cuaderno Actividad 1

Habilidades que se desarrollan Aplicar, calcular y analizar.

Datos y Azar

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Errores frecuentes • Es muy común que los alumnos y las alumnas cometan errores conceptuales al interpretar y comparar las medidas de tendencia central y dispersión, lo que impedirá que concluyan de manera correcta.

Actividades complementarias Dos marcas competidoras de calzado para corredores se sometieron a una prueba para comprobar el desgaste del calzado. Cada una de ellas indicó el siguiente número de horas de uso necesarias para que se detecte un desgaste significativo:

Marca A

Marca B

97

78

83

56

75

87

82

54

98

89

65

65

75

70

a. ¿Qué calzado parece presentar menor desgaste? b. ¿Qué calzado parece tener el programa de control de calidad que produce un desgaste más uniforme?

PÁGINAS 226 - 227 En tu cuaderno Actividad

Habilidades que se desarrollan

1y3

Aplicar, calcular, analizar y justificar.

2y5

Analizar y justificar.

4

Interpretar, analizar y representar.

Errores frecuentes • Es común que los alumnos y las alumnas tiendan a pensar que la homogeneidad es mejor que la heterogeneidad o viceversa.

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Homogeneidad y Heterogeneidad Información para el docente Esta sección es una aplicación, al igual que la anterior, de lo visto en las anteriores.

Al concepto de dispersión le son intrínsecos los conceptos de homogeneidad y heterogeneidad y a la vez estos están muy relacionados con la comparación de dos o más conjuntos de datos, por ello se decidió incluirlo en este Texto.

Actividades complementarias Discuta con los alumnos y las alumnas distintas situaciones cotidianas donde se observe variabilidad. Determinen en conjunto si estas tienden a ser más homogéneas que heterogéneas y qué es lo deseable para cada una de las situaciones.

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Orientaciones didácticas Unidad 6 1. A continuación, se presentan los resultados de dos cursos en una prueba.

2º A 3,2 3,5 4,9 5,0 3,1 4,1 2,9 2,8 3,8 4,5 4,3 5,8 3,9 3,6 4,2 4,6 1,9 2,8 2,9 3,3 3,9 4,2 4,6 4,4 3,8 3,6 4,5 4,1 4,1 4,3.

2º B 3,5 2,9 1,3 1,7 3,6 5,6 2,8 5,2 5,3 4,1 4,1 5,1 4,3 5,3 3,2 2,8 2,6 5,5 5,4 4,8 4,9 3,9 5,4 4,2 4,4 4,3 1,6 2,9.

a. ¿Qué curso tuvo mejor rendimiento en esta prueba? b. ¿Qué curso tuvo un rendimiento más homogéneo en esta prueba?

PÁGINAS 228 - 231

Muestreo aleatorio simple

Información para el docente El objetivo de esta sección es introducir al alumno en los conceptos de muestreo.

Es por ello, que más que en fórmulas, se profundiza en temas conceptuales de por qué se realiza el muestreo y la importancia de que la muestra seleccionada sea representativa de la población.

Discuta con los alumnos acerca del tema de representatividad. Puede introducir el tema con un ejemplo simple, por ejemplo, sobre gustos musicales. Vaya eligiendo 1, 2, 3 estudiantes y así sucesivamente. A partir de las respuestas obtenidas, por ejemplo, si encuestó a un solo estudiante que prefiere el reggaetón, afirme: A todo el curso le gusta el reggaetón e inicie la conversación con los alumnos y las alumnas.

Actividades complementarias Solicite a los alumnos que durante un período de tiempo (1 ó 2 semanas) revisen distintos medios de comunicación en busca de noticias y/o reportajes donde se haga referencia a poblaciones y muestras. Solicite que en ellas identifiquen la población, si se hace referencia o no al tamaño de muestra y que intenten determinar el objetivo del estudio y la necesidad de seleccionar una muestra, en cada caso. Una actividad para desarrollar en clases es que se compartan algunas noticias seleccionadas, lo que pueda propiciar una discusión interesante con respecto al tema.

1. Señala en qué caso es más conveniente estudiar la población o una muestra.

En tu cuaderno Actividad 1, 3 y 4 2

Habilidades que se desarrollan Analizar.

Aplicar, calcular y analizar.

Errores frecuentes • Usualmente los alumnos y las alumnas tienen problemas para entender los conceptos de población y muestra y la diferencia entre ambos. En general, por un tema semántico, los alumnos y las alumnas relacionan el concepto de población a conjuntos de personas. Se sugiere presentar distintos ejemplos donde la población no necesariamente sean personas, por ejemplo, cultivos, industrias, hogares, etc.

a. La longitud de los tornillos que fabrica una máquina de manera ininterrumpida.

b. La estatura de todos los visitantes extranjeros en un año en Chile. c. La masa de un grupo de cinco amigos. d. Los efectos de un nuevo medicamento en el ser humano.

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2. Se desea saber si los dueños de automóviles catalíticos están dispuestos a pagar la conversión de sus motores a gas natural. Para ello, se decide realizar una encuesta.

Ampliación del vocabulario estadístico.

Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información.

Sugerencias metodológicas: utilizar luego de haber presentado los conceptos estadísticos propios de la unidad.

a. Determina cuál de las siguientes es la mejor muestra: i. Escoger al azar a adultos que caminan por el centro de las principales ciudades del país. ii. Escoger al azar a conductores de automóviles en las intersecciones más concurridas. iii. Escoger al azar del registro de vehículos motorizados a dueños de automóviles catalíticos y enviarles un encuestador.

b. Explica la razón de tu elección, señala las ventajas y desventajas de cada alternativa.

Herramientas tecnológicas Habilidades que se desarrollan Usar herramientas y analizar.

Esta actividad tiene por objetivo enseñar a los alumnos y las alumnas a utilizar una planilla de cálculo como Excel para calcular medidas de dispersión. Además, se recuerda (o se enseña a los alumnas y las alumnas en caso de que no lo hayan visto con anterioridad) el cálculo de la media, mediana y percentiles.

La actividad está compuesta por dos partes: la inicial, que se recomienda que se realice en conjunto con los y las estudiantes, con el fin de explicar detalladamente cada uno de los pasos. Luego, se plantea un ejercicio para que los alumnos y las alumnas desarrollen individualmente o en parejas. Se recomienda que se les solicite que hagan un reporte con los resultados obtenidos y preparen una presentación que pueda ser exhibida ante sus compañeros y compañeras para discutir en conjunto los resultados. Esta es una excelente actividad para repasar los conceptos aprendidos.

PÁGINA 232 Mi progreso Ítem 1y2 3

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Habilidades que se evalúan Calcular, analizar y justificar.

Analizar.

Mi progreso En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos y alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizar como una evaluación formativa que considera habilidades que se detallan en el cuadro Mi progreso e incluye los siguientes criterios: Ítem 1: calcular media, mediana, varianza, desviación estándar y rango. A partir de estos resultados concluir acerca de la calidad de los neumáticos. Ítem 2: calcular media, mediana, varianza, desviación estándar, rango y cuartiles. A partir de estos resultados, concluir acerca del cambio en las emisiones de hidrocarburos. Ítem 3: identificar la población a la cual se hace referencia.

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Orientaciones didácticas Unidad 6 PÁGINAS 233 - 234

Conjuntos

Información para el docente

En tu cuaderno

Si bien el tópico de conjuntos no es exigido por el Ministerio de Educación, se decidió incluir en esta parte del Texto, pues es una herramienta que facilitará mucho la comprensión de las secciones de probabilidad.

Actividades complementarias

Actividad

Habilidades que se desarrollan

1

Reconocer/identificar.

2

Calcular.

3

Verificar y justificar.

1. ¿Cuál es el conjunto formado por la intersección de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}?

Errores frecuentes

2. Representa la unión de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o} 3. ¿Cuál es la intersección de los siguientes conjuntos: A = {l, u, n, a} y B = {t, r, i, u, n, f, o}?

4. Encuestadas 150 personas, se obtuvo que 81 de ellas lee el diario El Sur, que 62 leen un diario de Santiago y que 39 leen de los 2 tipos.

a. b. c. d.

¿Cuántas personas no leen ningún diario? ¿Cuántos leen solo el diario El Sur? ¿Cuántos solo leen un diario de Santiago?

Representa lo anterior en un diagrama de Venn.

5. Una encuesta de 100 estudiantes sobre idiomas extranjeros arrojó el siguiente resultado: 52 saben leer inglés, 40 saben leer francés, 24 saben leer alemán, 19 saben leer inglés y francés, 12 saben leer francés y alemán y 6 saben leer los 3 idiomas.

a. ¿Cuántos saben leer solamente inglés? b. ¿Cuántos no saben leer ninguno de los 3 idiomas? c. ¿Cuántos saben leer solo un idioma? (Como en el ejercicio anterior,

• Los alumnos y las alumnas suelen tener problemas en realizar operaciones de conjuntos.

Por ello, es muy importante insistir en el uso de diagramas de Venn como herramienta de apoyo.

Representación de operaciones de conjuntos mediante diagramas de Venn.

Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información.

Sugerencias metodológicas: utilizar como refuerzo conceptual previo al estudio de probabilidades.

resolver representando los conjuntos en un diagrama de Venn).

PÁGINAS 235 - 238

Técnicas de conteo

Información para el docente El objetivo de esta sección es entregar técnicas de conteo a los alumnos y las alumnas, con el fin de que más adelante, mediante la regla de Laplace, puedan calcular probabilidades de espacios muestrales más complejos a los vistos en años anteriores. En algunas situaciones, se verán enfrentados a casos donde no es posible determinar el tamaño del espacio muestral o el número de casos favorables a un evento listando los elementos de este; es en esos casos donde se vuelve relevante el uso de las técnicas de conteo.

En tu cuaderno Actividad 1, 2, 3, 4, 5y6 7

Habilidades que se desarrollan Aplicar y calcular.

Analizar.

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Errores frecuentes • Las alumnas y los alumnos con frecuencia tienen dificultad en distinguir si dos eventos son eventos secuenciales o eventos excluyentes, en otras palabras, tienen problemas en discernir si lo adecuado es utilizar la regla del producto o la regla de la suma.

Para explicar las técnicas de conteo, se recomienda el uso de distintos tipos de diagramas: de árbol, casilleros, etc.

Actividades complementarias Dado que una de las principales dificultades de esta sección es distinguir una permutación de una combinación, se sugiere realizar actividades donde los y las estudiantes puedan tangibilizar las diferencias. Realice actividades con cartas, dados o fichas de colores. Plantee situaciones donde sí importe el orden y donde no importe, solicite que en cada uno de los casos cuenten la cantidad de posibilidades y lleven un registro en su cuaderno. También se pueden plantear situaciones donde ellos mismos sean los involucrados.

1. En un restaurante se sirve un menú que consta de una entrada, un plato de Aprendizaje del principio aditivo y multiplicativo.

Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información.

Sugerencias metodológicas: utilizar como refuerzo conceptual del principio aditivo y multiplicativo.

fondo y un postre. Las posibles entradas: lechuga con palta, tomate con cebolla, tomate relleno con choclo, pescado y huevo duro y porotos verdes. Los posibles platos de fondo son porotos con longaniza y zapallo, cazuela de vacuno, charquicán, tallarines con salsa de tomate y pescado al jugo con puré.

Los postres son plátano con leche condensada, manzana asada, torta, pie de limón, gelatina con crema y flan de leche con sabor. Calcula el número total de todos los posibles almuerzos que una persona pueda escoger de este menú. Usa un diagrama de árbol cuando sea necesario.

2. La directiva de un curso tiene 4 cargos, presidente, vicepresidente, tesorero y secretario. Los candidatos son:

Reconocimiento del nombre de las técnicas de conteo.

Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información.

Sugerencias metodológicas: utilizar al iniciar las técnicas de conteo.

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Presidente: Gonzalo, Macarena y Andrea Vicepresidente: Juan, Pedro, Ana y Camila Tesorero: Isidora y Cristóbal Secretario: Daniela, Javier y Alberto Calcula el número total de todas las posibles directivas que se pueden formar.

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Orientaciones didácticas Unidad 6 PÁGINAS 239 - 240

Regla de Laplace

Información para el docente Si bien la regla de Laplace se introdujo en primero medio, el objetivo de retomarla en Segundo Año Medio es que, luego del capítulo de técnicas de conteo, los alumnos y las alumnas tienen más herramientas para calcular, mediante esta regla, probabilidades de experimentos más complejos y de espacios muestrales de mayor cardinalidad.

Aquí nuevamente los alumnos y las alumnas se enfrentarán a la dificultad de distinguir un caso de permutación de un caso de combinación o si utilizar la regla del producto o la suma.

Actividades complementarias 1. Si cada artículo codificado en un catálogo empieza con 3 letras distintas seguidas por 4 dígitos distintos de cero, encuentre la probabilidad de seleccionar aleatoriamente uno de estos artículos codificados que tengan como primera letra una vocal y el último dígito sea par.

2. Se sacan dos cartas sucesivamente de una baraja sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean mayores que 2 y menores que 8?

En tu cuaderno Actividad 1, 2, 3, 4, 5y6

Habilidades que se desarrollan Identificar, aplicar y calcular.

Errores frecuentes • El error más común en este caso es utilizar la regla de Laplace para calcular probabilidades en casos que el espacio muestral no es equiprobable.

• Los y las estudiantes con frecuencia tienen dificultad en distinguir una permutación de una combinación. Esta dificultad está dada básicamente porque no saben distinguir si el orden importa o no, en cada caso.

3. En una urna, hay 7 fichas rojas, 4 amarillas, 5 verdes, 2 azules y 2 negras.

Si se extrae una de ellas al azar, calcula la probabilidad de que:

a. Sea roja. b. Sea amarilla. c. Sea azul d. Sea negra. e. Sea verde. f. No sea roja. g. No sea verde. h. No sea amarilla. i. No sea azul. j. Sea verde o roja. k. Sea negra o roja. l. Sea amarilla o verde. m. Sea amarilla, azul o negra. n. No sea roja ni azul. ñ. No sea verde ni negra. o. No sea amarilla ni verde.

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PÁGINAS 241 - 242 En tu cuaderno Actividad 1, 2 y 3

Habilidades que se desarrollan Aplicar y calcular.

Errores frecuentes • Es común que se asuma que la P(A U B) = P(A) + P(B).

Para mostrar que esto es cierto solo si A 艚 B = ø son útiles los diagramas de Venn. También es recomendable utilizar ejemplos donde ocurra que P(A) + P(B) > 1, lo cual es un error, ya que, como se vio en años anteriores, por definición la probabilidad de un evento está entre 0 y 1.

Probabilidad de la unión Información para el docente Para introducir el concepto de la probabilidad de la unión, la sección se desarrolla utilizado un ejemplo donde es fácil reconocer los distintos eventos y la unión de ellos. La idea es ir construyendo, en conjunto con los alumnos y las alumnas y utilizando la regla de Laplace, la formula para la probabilidad de la unión.

En esta sección, se ve también el caso de la probabilidad del complemento.

Se sugiere destacar su importancia utilizando ejemplos (a continuación, se sugieren dos) donde sea más fácil calcular la probabilidad del complemento que la probabilidad del evento en sí.

Actividades complementarias 1. Tres personas viajan en un auto. Si se supone que la probabilidad de nacer cualquier día del año es la misma y sabemos que ninguno ha nacido en un año bisiesto.

a. Calcular la probabilidad de que solamente una de ellas celebre su cumpleaños ese día.

b. Calcular la probabilidad de que al menos dos cumplan años ese día.

2. Si las probabilidades de que un individuo que compra un automóvil nuevo elija color verde, blanco, rojo o azul son, respectivamente, 0,09, 0,15, 0,21 y 0,23, ¿cuál es la probabilidad de que un comprador adquiera un automóvil nuevo que no tenga uno de esos colores?

Comprensión del significado de la probabilidad de unión de sucesos.

Indicador: comparte información con su entorno.

Sugerencias metodológicas: utilizar como refuerzo y profundización del tema en cuestión.

3. Se carga un dado de forma que sea dos veces más probable que salga un número par que uno impar. Si E es el evento de que ocurra un número menor que 4 en un solo lanzamiento, calcule la probabilidad que E ocurra.

4. Un juego consiste en lanzar dos veces un dado. El jugador gana si obtiene dos números que sean primos entre sí.

a. ¿Cuál es la probabilidad de ganar? b. Si el juego se realiza con un dado de 8 caras numeradas del 1 al 8. ¿Cómo varía la probabilidad de ganar?

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Orientaciones didácticas Unidad 6 PÁGINAS 243 - 246

Probabilidad de la intersección

Información para el docente Por la estructura de la malla curricular, la probabilidad de la intersección se desarrolla sin mencionar explícitamente el tema de las probabilidades condicionales.

En consecuencia, pasa a ser primordial el uso de diagramas de árbol para el cálculo de la probabilidad de la intersección. Las tablas de frecuencia también son útiles, según sea el caso, para el cálculo de la probabilidad de la intersección, pues en ellas se identifica fácilmente la intersección de eventos.

Actividades complementarias 1. Se lanza un dado tres veces sucesivas. Calcula la probabilidad de que: a. b. c. d. e. f.

Salgan los números 1, 2 y 3, respectivamente.

En los tres dados salgan números impares.

En todos los dados salga el número 5.

Ninguno de los números sea impar.

Todos los números sean mayores que 4.

En las tres tiradas salga el mismo número.

2. Suponga que tenemos una caja de fusibles que contiene 20 unidades, de las cuales 5 están defectuosas. Se seleccionan 2 fusibles al azar y se retiran de la caja uno después del otro, sin reemplazar el primero, ¿cuál es la probabilidad de que ambos fusibles estén defectuosos?

3. Considere tres urnas A, B y C de modo que la urna A contiene 4 fichas blancas y 6 negras, la urna B contiene 6 fichas blancas y 4 negras y la urna C contiene 5 fichas blancas y 5 negras. El experimento consiste en seleccionar una de las tres urnas y extraer dos fichas, sin reposición. El mecanismo de selección consiste 2 en lanzar una moneda no equilibrada (con probabilidad de cara igual a ) 3 y seleccionar la urna A si sale cara; de salir sello se elige B o C con igual probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una ficha blanca, otra negra y de seleccionar la urna C?

En tu cuaderno Actividad 1, 2, 3, 4 y 5

Habilidades que se desarrollan Identificar, aplicar y calcular.

Errores frecuentes • Es común que se asuma que la P(A 艚 B) = P(A) · P(B).

Para visualizar esto, se recomienda hacer un ejercicio donde el espacio muestral sea finito y se pueda detallar. Defina eventos A y B tales que P(A) · P(B) ⬆ P(A 艚 B)

Comprensión del significado de la probabilidad de intersección de sucesos.

Indicador: comparte información con su entorno.

Sugerencias metodológicas: utilizar como refuerzo y profundización del tema en cuestión.

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PÁGINA 247 Mi progreso Habilidades que se evalúan

Ítem 1, 4 y 5 2, 3, 6 y 7

Analizar, aplicar y calcular.

Analizar, reconocer, aplicar y calcular.

Mi progreso En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos y alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizar como una evaluación formativa que considera habilidades que se detallan en el cuadro Mi progreso e incluye los siguientes criterios: Item 1:

determinar la cantidad de formas en que se pueden comprar las partes de un computador utilizando la regla del producto.

Item 2: calcular el número de selecciones posibles utilizando la fórmula de permutación.

Item 3: calcular el número de equipos distintos utilizando la fórmula de combinación.

Item 4 y 5: calcular probabilidades utilizando la regla de Laplace y el uso de técnicas de conteo para el cálculo del número de casos totales y favorables.

Item 6: calcular la probabilidad de la intersección.

Item 7: calcular la probabilidad de la intersección y de la suma de eventos.

PÁGINAS 248 - 249 En tu cuaderno Actividad

Habilidades que se desarrollan

1 (pág. 244)

Aplicar y calcular.

1 (pág. 245)

Aplicar y calcular.

Cómo resolverlo La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la unidad; sin embargo, en estas páginas se presentan estrategias de resolución específicas de problemas con contenidos de la unidad para que los y las estudiantes la aprendan y la apliquen en futuros problemas. Además, esta resolución se presenta detallada, justificando las diferentes acciones, lo que permite aclarar posibles dudas que sus estudiantes pueden mantener.

INDICADORES DE LOGRO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS A continuación, se presentan diferentes indicadores de logro que puede utilizar para evaluar la resolución de problemas planteados.

Logro, aplicación Comprensión del problema o situación

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• Puede expresar en sus propias palabras e interpretar coherentemente el problema.

• Identifica la información necesaria.

• Tiene una idea acerca de la respuesta.

En proceso, logro parcial • Copia el problema.

• Identifica palabras clave.

• Puede que mal interprete parte del problema.

• Puede que tenga alguna idea acerca de la respuesta.

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No comprende • No entiende el problema.

• Entiende mal el problema.

• Como rutina pide explicaciones.

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Orientaciones didácticas Unidad 6 Logro, aplicación

En proceso, logro parcial

No comprende

Comprensión de • Aplica correctamente reglas • Demuestra un entendimiento conceptos o algoritmos cuando usa parcial o satisfactorio. símbolos.

• Puede demostrar y explicar • Conecta cómo y por qué. usando una variedad de • Aplica el concepto a problemas modos. o a situaciones nuevas.

• Está listo para hacer • Hace y explica conexiones. conexiones acerca de cómo • Realiza lo pedido y va más allá. y por qué.

• Relaciona el concepto con conocimiento y experiencias anteriores.

• Realiza las tareas cada vez con menos errores.

• No modela los conceptos rutinarios correctamente.

• No puede explicar el concepto.

• No intenta resolver el problema.

• No hace conexiones.

Verificación de resultados y/o progreso

• No revisa cálculos ni procedimientos.

• No reconoce si su respuesta es o no razonable.

• Chequea racionalidad de los resultados.

• Reconoce sin razones.

• Revisa cálculos y procedimientos.

• Puede investigar razones si existen dudas.

www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm

PÁGINAS 250 - 251

En terreno

Esta sección del Texto tiene como objetivo relacionar los contenidos aprendidos en la unidad con una aplicación real. Para ello, se presenta una actividad relacionada con el IPC. Se busca que los alumnos y las alumnas conozcan una situación concreta donde se observa variabilidad debido a diversos factores.

El propósito de esta actividad es familiarizar a los alumnos y las alumnas con el concepto del IPC. Además a través de esta actividad los estudiantes podrán conocer la página web del INE, fuente importante de información estadística nacional.

Para que esta actividad cumpla su objetivo, es importante motivar a los alumnos y las alumnas a buscar información que explique las variaciones del IPC. Por ejemplo, con noticias que contengan información acerca de los cambios en el precio de los bienes que componen la canasta considerada en el IPC.

En tu cuaderno Habilidades que se desarrollan

Actividad 1y2 3

Analizar.

Formular hipótesis, conjeturar o predecir.

Investiguemos...

Actividad 1y2

Habilidades que se desarrollan Seleccionar.

3

Calcular, analizar, justificar y conjeturar.

4

Calcular y analizar.

5

Formular hipótesis, conjeturar o predecir.

6

Sintetizar o integrar.

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PÁGINAS 252 - 253 Síntesis de la unidad Actividad

Habilidades que se desarrollan

Mapa conceptual

Recordar, conectar y representar.

1

Evaluar y justificar.

2

Aplicar y calcular.

Repaso de conceptos y definiciones claves de la Unidad.

Indicador: localiza y recupera información.

Sugerencias metodológicas: utilizar como síntesis para integrar conceptos y definiciones de la unidad.

Síntesis de la Unidad Los mapas conceptuales, como herramienta visual permiten a los alumnos y las alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados.

Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los alumnos y las alumnas consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. Además, permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus estudiantes.

En esta sección se resume y organizan a través de un mapa conceptual los conceptos fundamentales trabajados en la unidad.

Como actividades de consolidación, se presentan informaciones de carácter conceptual y algunos problemas de aplicación, que involucran los contenidos trabajados en la unidad.

Actividades complementarias Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la unidad, realice preguntas como las siguientes:

• • • • • • • • • •

PÁGINAS 254 - 255

Habilidades que se evalúan

1, 2, 3, 4, 5, 6, Aplicar y calcular.

8, 11, 12 y 13 7, 9 y 10

Evaluación de la Unidad Los ejercicios y problemas presentados en esta sección permiten evaluar los aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la unidad. Considere lo siguiente:

Evaluación Ítem

¿Cuál es la unidad de medición de la varianza? ¿Qué es la desviación estándar? ¿Cómo se calcula? ¿Qué se puede decir de dos conjuntos de datos que tienen la misma media?

En relación a su varianza, ¿qué se puede decir de un grupo que es homogéneo?, ¿y de uno que es heterogéneo? ¿Qué representa el rango? ¿Qué es una combinación? ¿Qué es una permutación? ¿Qué significa que dos eventos sean excluyentes? ¿Qué significa que dos eventos sean independientes?

En relación a las técnicas de conteo, ¿qué dice la regla de la suma?, ¿y la del producto?

Analizar.

Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.

Logrado, si contesta correctamente más de 9 preguntas.

Medianamente logrado, si contesta correctamente más de 6 preguntas.

No logrado, si contesta correctamente menos de 6 preguntas.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales

• Los ítems 3 y 4 son ejercicios de aplicación de la técnicas de conteo.

Como se mencionó con anterioridad, los alumnos y las alumnas tienen dificultad en distinguir casos de permutación de casos de combinación o cuando deben usar la regla de la suma o la regla del producto.

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Orientaciones didácticas Unidad 6 • En los ítems 5, 8 y 11, los alumnos y las alumnas podrían tener dificultad en visualizar que se trata de eventos independientes.

• En el ítem 6, al igual que en los ítems 3 y 4, los alumnos y las alumnas deben manejar las distintas técnicas de conteo y además la regla de Laplace.

• En el ítem 10 los alumnos y las alumnas pueden no identificar correctamente •

la población debido a que, como se mencionó con anterioridad, este concepto solo lo relacionan a un conjunto de individuos.

En el ítem 12 los alumnos y las alumnas pueden tener dificultad en reconocer que deben aplicar la propiedad aditiva de las probabilidades. Además, este es un caso donde es más conveniente calcular la probabilidad solicitada mediante el cálculo de la probabilidad del complemento. Muestre a sus alumnos la importancia de esta propiedad.

Como complemento a esta evaluación, el hipertexto cuenta con una evaluación interactiva y, además, una autoevaluación imprimible para que sus estudiantes evalúen su desempeño.

Evaluación final En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiar y que le permitirá evaluar los aprendizajes de sus alumnos y alumnas en la unidad.

Con los resultados de esta evaluación, puede tomar la decisión de reforzar algunos temas que no hayan sido aún comprendidos a cabalidad por sus estudiantes. El tiempo estimado para la realización es 60 minutos. Este tiempo puede ser modificado según las características de sus estudiantes.

Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes, se sugiere utilizar la siguiente pauta: Ítem

Habilidades que se evalúan

Puntaje

Total

1, 2, 12 y 13

Aplicar y calcular.

2 puntos cada una

8 puntos

3 y 11

Analizar.

2 puntos cada una

4 puntos

4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10

Calcular.

2 puntos cada una

14 puntos

Puntaje total

26 puntos

BIBLIOGRAFÍA • • • •

Iglesias, P.; E. Saavedra, eds. Probabilidad y Estadística Elementales. Santiago de Chile, Facultad de Matemáticas, Pontificia Universidad Católica de Chile. 1997.

Webster, A, eds. Estadística aplicada a la Empresa y a la Economía. 2 ed. Madrid, Irwin. 1996.

Jonson. R. A, eds. Probabilidad y Estadística para Ingenieros de Miller y Freund. 5 ed. Ciudad de México, Prentice Hall Hispanoamericana. 1997.

Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Keying, Y, eds. Probabilidad & Estadística para Ingeniería y Ciencia. 8 ed. Ciudad de México, Pearson Educación. 2007.

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Evaluación final Material fotocopiable

Nombre:

Curso:

Fecha:

Marca o encierra la alternativa correcta de cada pregunta.

1. Si la varianza de un conjunto de datos es 16 m2, entonces su desviación estándar es: A. B. C. D. E.

256 m 16 m2 4m 2 4m 2m

4

A. B. C. D. E.

2. Considere el siguiente conjunto de datos: 24 42

42 46

38 32

27 40

28 46

38

La varianza y la desviación estándar son, respectivamente: A. B. C. D. E.

50,23 48,19 54,23 54,23 15,67

y y y y y

8,56 10,15 12,76 7,36 7,36

3. Dos entrenadores tienen un grupo de 10 corredores cada uno. Para la Maratón de Santiago, el tiempo promedio que demoraron estos grupos fue el mismo, sin embargo, el primer grupo tuvo una desviación estándar menor que el segundo. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?

I. En promedio, al primer grupo le fue mejor que al segundo.

II. El desempeño del primer grupo fue más homogéneo que el del segundo grupo.

III. En el segundo grupo, hay corredores más lentos y/o más rápidos que en el primero.

A. B. C. D. E.

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Solo Solo Solo Solo Solo

4. ¿De cuántas maneras se pueden formar 6 personas para subir a la micro?

I II III I y II II y III

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120 1 720 6 12

5. Si una prueba de opción múltiple consiste en 5 preguntas, cada una con 4 respuestas posibles de las cuales solo 1 es correcta, entonces el número de formas diferentes que un estudiante puede elegir una respuesta a cada pregunta es: A. B. C. D. E.

1 024 5 25 20 4

6. ¿De cuántas maneras se pueden sentar 4 niños y 5 niñas en una fila, si los niños y las niñas se deben alternar?

A. B. C. D. E.

362 880 20 2 880 9 2

7. Para formar un equipo de baby fútbol se necesitan 4 jugadores y un arquero, que se deben elegir de entre un grupo de 10 jugadores y 3 arqueros. ¿Cuántos equipos distintos se pueden formar?

A. B. C. D. E.

630 213 21 772 800 3 628 806 30

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Evaluación final Material fotocopiable

8. En una urna hay 5 fichas rojas y 4 negras.

Se extraen dos fichas, ¿cuál es la probabilidad de extraer una ficha negra y otra roja?

5 9 1 B. 2 1 C. 4 2 D. 9 A.

11. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

C

I. P(A) = 1 – P(A ) II. Siempre se cumple que P(A 艚 B) = P(A) · P(B) III. P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A 艚 B) A. B. C. D. E.

E. 5 18 9. Un naipe de 52 cartas es barajado y cada uno de cuatro jugadores A, B, C y D extrae 13 cartas.

La probabilidad de que el jugador A obtenga todos los corazones, B todos los diamantes, C todos los tréboles y D todas las espadas es: 1 4 4 B. 13 3 C. 52 A.

12. Se ha realizado una encuesta entre los estudiantes de una universidad para conocer las actividades que realizan en su tiempo libre. El 80% de los entrevistados ve televisión o lee, el 35% realiza ambas cosas y el 60% no lee. Si un estudiante es elegido al azar, ¿cuál es la probabilidad de que vea televisión y no lea?

A. B. C. D. E.

(13!)4 52!

1 E. 52!

Solo I Solo II Solo III I y II I y III

0,4 0,05 0,45 0,2 0

D.

10. La probabilidad de Daniela de resolver un 1 problema es de un y la de Rodrigo es de un 4 2 . ¿Cuál es la probabilidad de que el problema 3 sea resuelto al menos por uno de ellos?

1 12 1 B. 4 1 C. 3 A.

3 4 11 E. 12 D.

13. Suponga que las especificaciones del fabricante para la longitud de un cable de computador son 2 000 ± 10 milímetros. En esta industria, se sabe que la probabilidad de que se produzca un cable con una longitud mayor que 2 010 milímetros es igual a la probabilidad de producirlo con una longitud menor que 1 990 milímetros. Se sabe que la probabilidad de que el procedimiento de producción cumpla con las especificaciones es de 0,99. ¿Cuál es la probabilidad de que un cable sea muy largo?

A. B. C. D. E.

0,005 0,01 0 0,99 0,8 Datos y Azar

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Taller 188-192

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16:55

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Taller de evaluación 2 Material fotocopiable Nombre:

Curso:

Fecha:

Marca o encierra la alternativa correcta de cada pregunta.

1. El plano de la casa de Humberto está elaborado a escala 1 : 50. Con respecto a él se afirma: I. Una puerta de 1,6 cm en el plano mide 80 cm en la realidad.

II. El living en el plano es rectangular de largo 2 10 cm y ancho 6 cm; su área real es 30 m .

III. Un closet de 1,8 m reales se ve de 36 mm en el plano.

4. El único triángulo que no es semejante a los demás es: A.

D. 50º

80º 5 cm

50º

B.

E.

De las afirmaciones son verdaderas.

A. Solo I B. Solo II C. Solo III

5 cm

50º

50º

10 cm

D. I y II E. I y III

10 cm

80º

C. 2. En la figura p : q = 3 : 4, l // m // n, x + y = 49 cm. El valor de y es:

80º 6 cm

50º

l p

x

m q

5. En el triángulo ABC, rectángulo en C, el valor de 2 2 p + q + 2pq es:

y

C

n

A. 21 cm B. 49 cm C. 28 cm

D. 65,3 cm E. Otro valor.

A. B. C. D. E.

3. En la figura el valor de x + y es: y

4 cm

6. El valor de la incógnita x es:

10 cm

C

A

E

6

100 196 q A 100 + 2pq 196 + 2pq Ninguna de las anteriores.

G 2x + 4

B

D 6 cm

A. 6 cm B. 15 cm C. 9 cm

188

9 cm

F x

82º

H

D. 24 cm E. Otro valor.

| Guía Didáctica Matemática 2o Medio

A. B. C. D. E.

31,6º 38º 40,4º 190º 34º

O

3x + 2

8

h p

B

Taller 188-192

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Taller de evaluación 2 Material fotocopiable 7. En la siguiente figura, calcula la medida del ángulo α.

48º

α

A. B. C. D. E.

132º 129,5º 34º 103º 146º

O 53º

8. En la siguiente figura, calcula la medida del ángulo α.

108º

10. ¿De cuántas maneras se pueden combinar 2 pares de zapatos, 4 de pantalones y 5 camisas?

A. B. C. D. E.

8 11 20 40 Ninguna de las anteriores.

11. Se desea crear un comité de 3 hombres y 6 mujeres. Si se dispone de 5 hombres y 9 mujeres aspirantes, los comités distintos que se pueden formar son: A. 420 B. 810 C. 840

D. 1 680 E. 2 100

3x x

α

O

A. 18º B. 72º C. 36º

D. 54º E. 108º

9. Calcula el valor del trazo AB en la siguiente figura: D 4 x+

x–

1

21 15 14 7 16

2 5

D.

8 25

B.

3 5

E. Ninguna de las anteriores.

C.

4 5

13. Un examen tiene 10 preguntas que deben responderse con verdadero o falso. Si Felipe responde todas las preguntas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que responda todas correctamente?

1

12 C

A. B. C. D. E.

A.

B

O A

12. Un curso está formado por 10 hombres y 15 mujeres. La mitad de los hombres y un tercio de las mujeres eligieron la asignatura optativa de música. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea hombre o esté en el curso optativo de música?

A. B. C. D. E.

0,1 0,5 0,0019531 0,05 0,0009765

Taller de Evaluación 2

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189

Taller 188-192_UNIDAD 1 07-07-10 13:16 Página 190

Solucionario Evaluación final Unidad 1, páginas 66 y 67 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

B D A E B C E

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

B C D B C C B

Evaluación final Unidad 2, páginas 90 y 91 1.

2.

3.

4.

5.

6.

C B B D E C

7.

8.

9.

10.

11.

B A D C D

Evaluación final Unidad 3, páginas 114 y 115 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

B A C D A A B

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

D A B C B C D

Taller de evaluación 1, páginas 116 y 117 1.

2.

3.

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5.

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7.

D B A B D E C

190

8.

9.

10.

11.

12.

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A D A A B C

| Guía Didáctica Matemática 2o Medio

Evaluación final Unidad 4, páginas 142 y 143 1.

2.

3.

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5.

6.

7.

A A A D B C D

8.

9.

10.

11.

12.

13.

E C A C E E

Evaluación final Unidad 5, páginas 166 y 167 1.

2.

3.

4.

5.

6.

D B D E A E

7.

8.

9.

10.

11.

12.

C A C B E C

Evaluación final Unidad 6, páginas 186 y 187 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

C D E C A C A

8.

9.

10.

11.

12.

13.

E D E E A A

Taller de evaluación 2, páginas 188 y 189 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

E C E E A B D

8.

9.

10.

11.

12.

13.

A C D C B E

Taller 188-192_UNIDAD 1 13-07-10 12:25 Pรกgina 191

Taller 188-192_UNIDAD 1 13-07-10 12:25 Pรกgina 192

PORT matem II GUIDEN

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10:52

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EDICIÓN ESPECIAL PARA EL MINISTERIO DE EDUCACIÓN PROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN

AÑO 2011