3Medio_2011_Profesor by juan albornoz

Guía Didáctica del Docente

Matemática3° Incluye Texto del Estudiante

Educación Media

SERGIO MUÑOZ VENEGAS MAURICIO RAMOS RIVERA

Año 2011 Edición Especial para el Ministerio de Educación Prohibida su comercialización

INICIALES GUIA 3º(1–31)_Maquetación 1 08-11-10 10:03 Página 1

GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE INCLUYE TEXTO DEL ESTUDIANTE

Matemática

3º

Educación Media

SERGIO MUÑOZ VENEGAS LICENCIADO EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA, DOCTOR EN CIENCIAS EXACTAS, MENCIÓN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE. MAURICIO RAMOS RIVERA LICENCIADO EN CIENCIAS CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA, LICENCIADO EN CIENCIAS CON MENCIÓN EN FÍSICA, UNIVERSIDAD DE CHILE.

INICIALES GUIA 3º(1–31)_Maquetación 1 23-11-10 16:53 Página 2

La Guía del Docente Matemática 3, para Tercer Año de Educación Media, es una obra colectiva, creada y diseñada por el departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección general de: MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA COORDINACIÓN DE PROYECTO: Eugenia Águila Garay COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA: Viviana López Fuster EDICIÓN: Isabel Montes Alcalde AUTORES: Sergio Muñoz Venegas Mauricio Ramos Rivera CORRECCIÓN DE ESTILO: Isabel Spoerer Varela DOCUMENTACIÓN: Paulina Novoa Venturino La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de: VERÓNICA ROJAS LUNA COORDINACIÓN GRÁFICA: Carlota Godoy Bustos COORDINACIÓN GRÁFICA LICITACIÓN: Xenia Venegas Zevallos JEFA DE DISEÑO ÁREA MATEMÁTICA: Mariela Pineda Gálvez DIAGRAMACIÓN: Mariela Pineda Gálvez ILUSTRACIONES: Antonio Ahumada Mora FOTOGRAFÍAS: Archivo Santillana CUBIERTA: La Práctica S.P.A. PRODUCCIÓN: Germán Urrutia Garín

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

© 2010, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile) PRINTED IN CHILE Impreso en Chile por WorldColor Chile S.A. ISBN: 978-956-15-1759-2 Inscripción N°: 198.044 Se terminó de imprimir esta 1a edición de 4.101 ejemplares, en el mes de diciembre del año 2010. www.santillana.cl

Referencias de la Guía Didáctica Matemática 2, Educación Media, Mineduc, de los autores: Mario Zañartu Navarro, Florencia Darrigrandi Navarro, Mauricio Ramos Rivera. Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Santiago, Chile, 2010.

INICIALES GUIA 3º(1–31)_Maquetación 1 08-11-10 10:03 Página 3

Índice

Fundamentación teórica

Introducción

Fundamentación del proyecto

Organización de la guía didáctica

Modelo pedagógico del Texto

Mapas de Progreso del Aprendizaje (MPA)

Integración de las TIC

Habilidades del pensamiento

Evaluación en Matemática

Razonamiento matemático y Resolución de problemas

Raíces

Propósito de la Unidad

Indicaciones y orientaciones para las páginas

Esquema de la Unidad

de inicio del Texto del Estudiante

Relación entre los CMO de la Unidad

Indicaciones y orientaciones para las páginas

y los de otros años

de desarrollo del Texto del Estudiante

Propuesta de planificación de la Unidad

Indicaciones y orientaciones para las páginas

Referencias teóricas

de cierre del Texto del Estudiante

Evaluación final

Índice

INICIALES GUIA 3º(1–31)_Maquetación 1 08-11-10 10:03 Página 4

Función cuadrática y función raíz cuadrada Propósito de la Unidad

Indicaciones y orientaciones para las páginas

Esquema de la Unidad

de inicio del Texto del Estudiante

Relación entre los CMO de la Unidad y los de otros años

de desarrollo del Texto del Estudiante

Propuesta de planificación de la Unidad

Indicaciones y orientaciones para las páginas

Referencias teóricas

de cierre del Texto del Estudiante

El triángulo rectángulo y la trigonometría Propósito de la Unidad

106

Indicaciones y orientaciones para las páginas

Esquema de la Unidad

106

de inicio del Texto del Estudiante

Relación entre los CMO de la Unidad

Indicaciones y orientaciones para las páginas

Evaluación final

80 99 104

106

112

Indicaciones y orientaciones para las páginas

y los de otros años

107

de desarrollo del Texto del Estudiante

Propuesta de planificación de la Unidad

108

Indicaciones y orientaciones para las páginas

Referencias teóricas

111

de cierre del Texto del Estudiante

140

Evaluación final

144

Inecuaciones lineales

114

146

Propósito de la Unidad

146

Indicaciones y orientaciones para las páginas

Esquema de la Unidad

146

de inicio del Texto del Estudiante

Relación entre los CMO de la Unidad

152

Indicaciones y orientaciones para las páginas

y los de otros años

147

de desarrollo del Texto del Estudiante

Propuesta de planificación de la Unidad

148

Indicaciones y orientaciones para las páginas

Referencias teóricas

150

de cierre del Texto del Estudiante

169

Evaluación final

174

4 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

155

INICIALES GUIA 3º(1–31)_Maquetación 1 08-11-10 10:03 Página 5

Probabilidades

176

Propósito de la Unidad

176

Indicaciones y orientaciones para las páginas

Esquema de la Unidad

176

de inicio del Texto del Estudiante

Relación entre los CMO de la Unidad

182

Indicaciones y orientaciones para las páginas

y los de otros años

177

de desarrollo del Texto del Estudiante

Propuesta de planificación de la Unidad

178

Indicaciones y orientaciones para las páginas

Referencias teóricas

180

de cierre del Texto del Estudiante

210

Evaluación final

214

Taller de evaluación

Glosario

Bibliografía

184

216

218

221

Índice

INICIALES GUIA 3º(1–31)_Maquetación 1 12-11-10 11:06 Página 6

Introducción La siguiente propuesta aborda el conjunto de Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios para 3º Medio del sector Matemática, establecidos en marco curricular nacional (Decreto Nº 220) e integra y articula los Objetivos Fundamentales Transversales con los contenidos y actividades centrales presentados. La propuesta Matemática 3º Medio consiste en el Texto del Estudiante y la Guía Didáctica del Docente. El Texto del Estudiante se basa en la concepción de aprendizaje constructivista, presenta a los alumnos y las alumnas los distintos contenidos a partir de situaciones contextualizadas, en las que mediante el razonamiento espontáneo los y las estudiantes activen sus conocimientos previos. Luego, se desarrolla cada contenido mediante actividades y ejemplos resueltos. La evaluación se considera en todas las etapas del proceso de aprendizaje, de manera transversal. La Guía Didáctica del Docente permite articular cada contenido tratado en el Texto, explicando claramente aquellos conceptos claves para su comprensión, las relaciones principales que se puedan establecer y sus referencias teóricas, con el objeto de sustentar y ampliar los conocimientos del docente. Se incluyen orientaciones para desarrollar las distintas actividades presentadas en el Texto para el Estudiante. El Texto Matemática 3º Medio pretende contribuir a desarrollar y consolidar: el pensamiento lógico y abstracto, el manejo del lenguaje matemático, la capacidad de formular hipótesis y construir modelos para explicar el entorno; el aprendizaje de los diversos mecanismos de cálculo aproximado y la adquisición de hábitos en orden y método, así como el rigor en el desarrollo de los problemas y análisis crítico de las posibles soluciones. En esta línea, y como punto de partida, se han fijado dos principios básicos: • Adecuación al nivel de desarrollo de los alumnos y alumnas. • Adecuación de los contenidos y métodos a lo que la sociedad demanda.

Fundamentación del proyecto La metodología utilizada en la propuesta Matemática 3º Medio tiene como punto de partida los fundamentos pedagógicos derivados de la Reforma Educacional Chilena y responde a las orientaciones generales planteadas en el Marco Curricular y a los requerimientos generales para la elaboración de textos escolares de Tercer Año Medio, presentada por el Ministerio de Educación. Los objetivos generales de nuestra propuesta son: • Consolidar, sistematizar y ampliar las nociones y prácticas matemáticas que los alumnos y alumnas poseen, como resultado de su interacción con el medio. • Desarrollar en los y las estudiantes habilidades propias del razonamiento matemático y de la resolución de problemas, a través de situaciones y problemas que favorezcan la integración de diferentes dimensiones de la Matemática. • Enriquecer la comprensión de la realidad de los y las estudiantes, a través del aprendizaje de conceptos y procedimientos matemáticos, que les permitan intervenir activamente en ella.

6 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

INICIALES GUIA 3º(1–31)_Maquetación 1 12-11-10 11:07 Página 7

Introducción

• Promover en los y las estudiantes una actitud positiva frente a la Matemática, desarrollando el placer de hacer matemática, el aprecio por la belleza y poder de la Matemática, la confianza en el uso de la Matemática y la perseverancia en la resolución de problemas. Los ejes metodológicos en los que se sustenta nuestra propuesta son: • Desarrollar los contenidos de manera articulada, secuenciada y progresiva, en un nivel de complejidad creciente, según las exigencias del subsector y nivel señaladas en el Marco Curricular y en los Mapas de Progreso de Aprendizaje. • Tratar los contenidos activando las experiencias y conocimientos previos de los y las estudiantes, promoviendo, además, el razonamiento espontáneo respecto del nuevo contenido. • Promover en los y las estudiantes la observación y comprensión de los procesos involucrados, mediante su ejemplificación y análisis. Esto incluye justificaciones simples de los conceptos y procedimientos, cuando es pertinente. • Formalizar claramente los conceptos y procedimientos centrales de cada contenido, a través de un discurso formal, pero en un lenguaje adecuado al nivel de los estudiantes. • Proponer actividades variadas de ejercitación de los contenidos, así como actividades de generalización de los aprendizajes, que promuevan la aplicación de los conceptos y procedimientos construidos en situaciones nuevas. • Orientar el desarrollo de las habilidades propias del razonamiento matemático y de la resolución de problemas: selección de datos, búsqueda y puesta en práctica de estrategias de resolución e interpretación de resultados en función del contexto. • Presentar actividades específicas de resolución de problemas que desarrollen la heurística de la resolución de problemas. • Incluir actividades de síntesis, donde los y las estudiantes puedan organizar los contenidos y procedimientos centrales estudiados. • Incluir instancias evaluativas diagnósticas, procesuales y sumativas, en las cuales se evalúen contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales. Orientar estas evaluaciones hacia la medición de destrezas, habilidades y conocimientos. • Incorporar de forma permanente instancias de autoevaluación y reflexión sobre los propios procesos y sus resultados, con el propósito de promover el desarrollo de la autonomía y habilidades de metacognición en los y las estudiantes. Por otra parte, tomando en cuenta el desarrollo de nuestro país en los últimos años y el auge del ámbito tecnológico a través de las TIC (Tecnologías de la Información y Comunicación), esta nueva propuesta pedagógica recoge estos avances y los utiliza como nuevas instancias de aprendizaje.

Fundamentación teórica

INICIALES GUIA 3º(1–31)_Maquetación 1 08-11-10 10:03 Página 8

Organización de la Guía Didáctica La Guía del Docente está organizada a partir de las siguientes secciones: • Propósito de la Unidad: en esta sección se entrega una orientación sobre el trabajo que se debe realizar con sus alumnos y alumnas a lo largo de la Unidad. • Propuesta de planificación de la Unidad: en una tabla se organizan los contenidos mínimos obligatorios, los contenidos de la Unidad, tiempos estimados para su desarrollo, aprendizajes esperados, actividades asociadas, recursos didácticos e indicadores de evaluación. • Relación de los aprendizajes de la unidad y los de otros años: en un organizador gráfico se articula la secuencia de aprendizajes desde Primer Año Medio hasta Cuarto Año Medio, que tienen relación con los de la Unidad. • Esquema de la Unidad: en un organizador gráfico se presentan los contenidos trabajados en la Unidad. • Referencias teóricas: en esta sección se presentan los conceptos matemáticos fundamentales relacionados con los contenidos tratados en la Unidad, en términos de definiciones, propiedades y teoremas que sustentan lo presentado en el Texto del Estudiante. • Bibliografía: se presentan distintos recursos bibliográficos que pueden apoyarlo con el trabajo de los contenidos de la Unidad. Además, de acuerdo con los momentos didácticos considerados en cada Unidad, se distinguen:

Páginas de inicio • Información complementaria para docentes: se dan indicaciones que permiten orientar la activación de conocimientos previos de los y las estudiantes con respecto a los contenidos de la Unidad. • Actividades complementarias: se presentan actividades que complementan las del Texto para reforzar, ampliar o profundizar el aprendizaje. • Evaluación diagnóstica: esta sección tiene como objetivo orientar la evaluación de las actividades propuestas en la sección ¿CUÁNTO SABES? del Texto del Estudiante, a través de una rúbrica que permitirá medir el nivel de logro que presentan sus alumnos y alumnas respecto de los aprendizajes adquiridos en años anteriores. Además, se presentan los criterios de evaluación por cada ítem y se incluye un cuadro en el que se detallan las habilidades que se evalúan en cada actividad. • Posibles dificultades en la evaluación y remediales: se indican las posibles dificultades que pueden tener sus estudiantes en la evaluación diagnóstica presentada en la unidad y las sugerencias para poder subsanarlas o evitarlas.

Páginas de desarrollo • Habilidades que se desarrollan en las actividades del Texto: se especifican las habilidades que se trabajan en cada actividad. • Información para el docente: se dan sugerencias metodológicas e indicaciones con respecto a los procedimientos a desarrollar en las distintas actividades, uso

8 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

INICIALES GUIA 3º(1–31)_Maquetación 1 08-11-10 10:03 Página 9

Organización de la Guía Didáctica

•

• • •

•

• •

de recursos, y otros, para potenciar de mejor manera el desarrollo de las habilidades en los y las estudiantes. Además, se plantean sugerencias o aclaraciones específicas del contenido que se trabaja, tales como definiciones, propiedades, formalizaciones, entre otros. Variantes metodológicas: para los temas más complejos se presentan sugerencias y estrategias distintas a las presentadas en el Texto del Estudiante, de manera de asegurar el logro de aprendizajes de estudiantes con distintos ritmos y formas de aprendizaje. Actividades complementarias: se plantean actividades que permitan reforzar y/o ampliar el contenido y las habilidades que se están trabajando. Errores frecuentes: se indican las posibles dificultades que pueden tener sus estudiantes en la Unidad y las sugerencias para poder subsanarlos o evitarlos. Mi progreso: esta sección tiene como objetivo orientar la evaluación de las actividades propuestas en la sección MI PROGRESO del Texto del Estudiante, a través de una rúbrica que permitirá medir el nivel de logro que presentan los y las estudiantes de los aprendizajes adquiridos hasta ese momento. Además, se presentan los criterios de evaluación por cada ítem y se incluye un cuadro en el que se detallan las habilidades que se evalúan en cada actividad. Posibles dificultades en la evaluación y remediales: se indican las posibles dificultades que pueden tener sus estudiantes en la Unidad y las sugerencias para poder subsanarlas o evitarlas. Cómo resolverlo: se entregan actividades complementarias que permitan desarrollar el razonamiento matemático y la resolución de problemas. En terreno: se plantean orientaciones para el desarrollo de las actividades de esta sección y actividades complementarias que potencian el establecimiento de vínculos entre los contenidos matemáticos trabajados y la realidad.

Páginas de cierre • Síntesis de la Unidad: en esta sección se entregan sugerencias para organizar y sintetizar lo aprendido y se proponen preguntas que permitirán detectar y clarificar las dudas que aún presenten sus estudiantes. • Evaluación: se orienta la evaluación de las actividades presentadas en la sección EVALUACIÓN, permitiendo evaluar los logros alcanzados por sus alumnos y alumnas en la Unidad. • Posibles dificultades en la evaluación y remediales: se indican las posibles dificultades que pueden tener sus estudiantes en la evaluación presentada en el Texto del Estudiante y las sugerencias para poder subsanarlos o evitarlos. • Evaluación fotocopiable: esta sección tiene como objetivo orientar la aplicación de un instrumento de evaluación sumativa que puede fotocopiar y aplicar a sus estudiantes al finalizar la Unidad. Además, se incluye una pauta que incorpora las habilidades que evalúa cada ítem y los puntajes otorgados.

Fundamentación teórica

INICIALES GUIA 3º(1–31)_Maquetación 1 08-11-10 10:03 Página 10

Modelo pedagógico del Texto Cada Unidad tiene tres momentos pedagógicos: Inicio, Desarrollo y Cierre. El Inicio considera: • Entrada de Unidad: en estas páginas se explicitan los contenidos de la Unidad y los aprendizajes que se espera que logren los y las estudiantes con su desarrollo. Se presentan también actividades de motivación y activación de experiencias y conocimientos previos. • ¿Cuánto sabes?: actividades de evaluación diagnóstica que permitirán evaluar los contenidos que son prerrequisitos de la Unidad. • ¿Qué debes recordar?: resumen de los principales conceptos que servirán de base para el aprendizaje que se espera lograr en la Unidad. El Desarrollo considera: • Páginas de Contenidos: incluyen variadas actividades de exploración, activación del razonamiento espontáneo de los alumnos y alumnas, así como construcción y aplicación de los contenidos, mediante ejercicios resueltos, procedimientos, demostraciones, etcétera. Incluye una sección que define, describe o formaliza los conceptos tratados. En estas páginas la información se complementa con las siguientes secciones: • Herramientas tecnológicas: sección con actividades para trabajar con calculadora, planillas de cálculo, graficadores o programas computacionales. • Organizando lo aprendido: considera un mapa conceptual que relaciona los contenidos tratados y un listado de preguntas conceptuales. • Mi progreso: consiste en un listado de actividades que permitirán al estudiante evaluar su progreso en el logro de los aprendizajes. • ¿Cómo voy?: tabla que contiene los indicadores de logro y las actividades relacionadas con cada uno, de modo que el y la estudiante pueda autoevaluarse y corregir sus errores. Además, el tratamiento del contenido incluye la siguiente información secundaria: • Recuerda que…: permite al y a la estudiante recordar contenidos o procedimientos aprendidos en años anteriores, que sean necesarios para desarrollar las actividades a resolver. • Pon atención: permite enfatizar al alumno y a la alumna que sea riguroso, revise continuamente sus procedimientos, analice la pertinencia y consistencia de las soluciones encontradas respecto de la pregunta, etcétera. • Glosario: permite incorporar vocabulario matemático.

10 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

INICIALES GUIA 3º(1–31)_Maquetación 1 08-11-10 10:03 Página 11

Modelo pedagógico del Texto

Para la consolidación del aprendizaje se presentan las siguientes secciones: • Cómo resolverlo: sección orientada a presentar problemas resueltos, de manera que el alumno aprenda distintas estrategias de resolución. Se plantea un problema, luego se resuelve paso a paso y se presentan problemas propuestos en los que pueda aplicar la estrategia aprendida. • En terreno: sección orientada a aplicar lo aprendido en la Unidad en un contexto relacionado con situaciones tecnológicas, científicas o profesionales. • Investiguemos…: contiene las indicaciones para realizar un trabajo colaborativo, basado en la temática de la sección anterior, pero solicitando investigación adicional de parte de los y las estudiantes. • Evaluemos nuestro trabajo: sección orientada a realizar la autoevaluación y la coevaluación respecto del trabajo colaborativo realizado. En el Cierre se considera: • Página de Síntesis de la Unidad: permite construir un mapa conceptual abarcando los contenidos tratados en la Unidad. Incluye un listado de preguntas de Verdadero o Falso, enfocadas a contenidos conceptuales. • Páginas de Evaluación: sección de evaluación sumativa. Consiste en un listado de actividades que permitirán al y a la estudiante evaluar su progreso en el logro de los aprendizajes, diferenciadas en dos clases: problemas de desarrollo o aplicaciones de los contenidos tratados y un listado de preguntas de selección múltiple.

Fundamentación teórica

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Mapas de Progreso del Aprendizaje (MPA) A partir del año 2007, el Ministerio de Educación ha puesto gradualmente a disposición del sistema escolar los Mapas de Progreso del Aprendizaje, que son un instrumento de apoyo al y la docente para monitorear el progreso en el aprendizaje de sus alumnos y alumnas, identificando distintos niveles de logro. Los niveles de logro son descripciones de los aprendizajes que demuestran los alumnos y alumnas, y le ayudarán a saber cuántos de sus estudiantes han alcanzado aprendizajes que les permitirán abordar bien los aprendizajes del nivel siguiente, cuántos se encuentran progresando hacia esos aprendizajes y cuántos están recién iniciando ese proceso. Ya sabemos que todos somos distintos y por lo mismo no todos aprendemos de la misma manera o al mismo ritmo, por esto, el conocer el nivel en el que se encuentra cada uno de sus alumnos y alumnas le servirá para atender la diversidad de estudiantes que se presenta en su aula, sus distintas maneras de aprender y orientarlos a avanzar. De acuerdo a lo anterior, en la elaboración y organización de nuestra propuesta fueron considerados los Mapas de Progreso del Aprendizaje, a partir de los cuales se diseñan actividades que promuevan el logro de los aprendizajes en forma gradual, y se proponen evaluaciones en las distintas etapas del proceso de aprendizaje, para conocer los avances de los y las estudiantes respecto de los contenidos y habilidades esperados en el nivel. A continuación, se presentan los niveles 5, 6 y 7 (correspondientes a los niveles de 1º y 2º Medio, 3º y 4º Medio, y Sobresaliente, respectivamente) de los Mapas de Progreso del Aprendizaje publicados por la Unidad de Currículum y Evaluación del Ministerio de Educación, de los ejes: Números y Operaciones, Álgebra, Datos y Azar y Geometría.

Mapa de Progreso de Números y Operaciones Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Números y Operaciones, progresan considerando tres dimensiones que se desarrollan de manera interrelacionada: comprensión y uso de los números, comprensión y uso de las operaciones, razonamiento matemático.

Nivel

Descripción

Nivel 7 Sobresaliente

Comprende los diferentes conjuntos numéricos, las relaciones entre ellos y los problemas que les dieron origen. Comprende que en cada conjunto numérico se puede operar sobre la base de reglas o propiedades que pueden ser usadas para justificar o demostrar relaciones. Muestra autonomía y flexibilidad para resolver un amplio repertorio de problemas, tanto rutinarios como no rutinarios, utilizando diversas estrategias y para formular conjeturas acerca de objetos matemáticos. Utiliza lenguaje matemático para presentar argumentos en la demostración de situaciones matemáticas.

Nivel 6

Reconoce a los números complejos como una extensión del campo numérico y los utiliza para resolver problemas que no admiten solución en los números reales. Usa las cuatro operaciones con números complejos. Resuelve problemas utilizando un amplio repertorio de estrategias, combinando o modificando estrategias ya utilizadas, formula conjeturas que suponen generalizaciones o predicciones y argumenta la validez de los procedimientos o conjeturas.

12 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

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Mapas de Progreso del Aprendizaje

Nivel

Descripción

Nivel 5

Reconoce a los números racionales como un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no admiten solución en los enteros, a los irracionales como un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no admiten solución en los racionales, y a los reales como la unión entre racionales e irracionales. Interpreta potencias de base racional y exponente racional, raíces enésimas y logaritmos, establece relaciones entre ellos y los utiliza para resolver diversos problemas. Realiza operatoria con números reales, calcula potencias, raíces y logaritmos y los aplica en diversos contextos. Resuelve problemas utilizando estrategias que implican descomponer un problema o situaciones propuestas en partes o sub-problemas. Argumenta sus estrategias o procedimientos y utiliza ejemplos y contraejemplos para verificar la validez o falsedad de conjeturas.

Mapa de Progreso de Álgebra Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Álgebra progresan considerando tres dimensiones que se desarrollan de manera interrelacionada: comprensión y uso del lenguaje algebraico, comprensión y uso de relaciones algebraicas, razonamiento matemático.

Nivel

Descripción

Nivel 7 Sobresaliente

Interpreta y usa convenciones del álgebra para representar generalizaciones y relaciones entre números, variables, funciones u otros objetos matemáticos estableciendo nuevas representaciones algebraicas de un nivel de abstracción mayor. Muestra autonomía y flexibilidad en la transformación de expresiones simbólicas escribiendo, reconociendo y eligiendo formas equivalentes de distintas representaciones algebraicas. Modela situaciones o fenómenos provenientes de diversos contextos y utiliza argumentos y propiedades matemáticas para demostrar proposiciones.

Nivel 6

Reconoce el tipo de situaciones que modelan las funciones cuadrática y potencia, las caracteriza y representa a través de tablas, gráficos y algebraicamente. Distingue funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Representa e interpreta de diversas formas las soluciones de inecuaciones y sistemas de inecuaciones. Resuelve ecuaciones de segundo grado e inecuaciones de primer grado identificando el conjunto al cual pertenecen sus soluciones. Resuelve problemas que pueden ser modelados por medio de las funciones potencia y cuadrática. Elabora estrategias de resolución, las desarrolla y justifica usando lenguaje algebraico.

Nivel 5

Reconoce el tipo de situaciones que modelan las funciones lineal, afín, exponencial, logarítmica y raíz cuadrada, y las representa a través de tablas, gráficos y algebraicamente. Transforma expresiones algebraicas de forma entera y fraccionaria haciendo uso de convenciones del álgebra. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales en forma algebraica y gráfica. Resuelve problemas que involucran composición de funciones, modelos lineales y afines o sistemas de ecuaciones lineales. Justifica la pertinencia del modelo aplicado y de las soluciones obtenidas.

Fundamentación teórica

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INICIALES GUIA 3º(1–31)_Maquetación 1 12-11-10 11:13 Página 14

Mapa de Progreso de Geometría Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Geometría se desarrollan considerando cuatro dimensiones que se interrelacionan: comprensión de la forma, medición, descripción de posición y movimiento, razonamiento matemático.

Nivel

Descripción

Nivel 7 Sobresaliente

Resuelve problemas geométricos estableciendo relaciones entre conceptos, técnicas y procedimientos de distintas áreas de la matemática. Selecciona entre varios procedimientos para resolver problemas en diferentes contextos geométricos, acorde a las características del problema. Conjetura sobre la base de exploraciones realizadas con herramientas tecnológicas y verifica proposiciones geométricas mediante axiomas y demostraciones directas e indirectas.

Nivel 6

Relaciona la representación gráfica de rectas en el plano cartesiano y los sistemas de ecuaciones a que dan origen. Caracteriza puntos, rectas y planos en el espacio, describe cuerpos generados por traslaciones y rotaciones de figuras planas. Determina el módulo de un vector en dos o tres dimensiones y el área y volumen de cuerpos generados por traslaciones y rotaciones. Describe la homotecia de figuras planas mediante el producto de un vector y un escalar. Formula conjeturas en relación a la forma de los cuerpos generados a partir de rotaciones y traslaciones de figuras planas en el espacio. Resuelve problemas que implican el uso de sistemas de ecuaciones lineales, utilizando métodos analíticos y gráficos.

Nivel 5

Caracteriza ángulos entre elementos lineales asociados a la circunferencia, comprende los conceptos de congruencia y semejanza, conoce los teoremas respectivos y los aplica como criterios para determinar congruencia y semejanza de figuras planas. Calcula la medida de ángulos en la circunferencia y de segmentos de figuras planas. Comprende el concepto de transformación en el plano cartesiano, y utiliza la representación vectorial para describir traslaciones y homotecias de figuras geométricas en el plano. Formula y verifica conjeturas en relación a los efectos de la aplicación de una transformación a una figura en el plano cartesiano. Demuestra teoremas relativos a relaciones entre trazos en triángulos y en la circunferencia y a trazos y ángulos en ella, y los aplica en la resolución de problemas.

14 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

INICIALES GUIA 3º(1–31)_Maquetación 1 12-11-10 13:10 Página 15

Mapa de Progreso de Datos y Azar Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Datos y Azar se desarrollan considerando cuatro dimensiones que se interrelacionan: procesamiento de datos, interpretación de información, comprensión del azar, razonamiento matemático.

Nivel

Descripción

Nivel 7 Sobresaliente

Usa modelos probabilísticos para resolver problemas en contextos de incerteza, relacionando con profundidad y autonomía elementos de estadística y probabilidad. Utiliza con propiedad recursos digitales para realizar análisis de datos, graficar, obtener descriptores de las muestras y hacer inferencias. Evalúa información estadística haciendo uso de criterios aplicados a los procedimientos utilizados y la representatividad de la muestra. Realiza inferencias sobre los parámetros de una población en estudio, a partir del análisis de los estadísticos de una muestra tomada. Comprende las propiedades de probabilidad y las aplica en la resolución de problemas en una amplia gama de situaciones.

Nivel 6

Produce información aplicando la distribución normal y la binomial. Analiza críticamente información estadística, argumentando acerca de la representatividad de las muestras, su tamaño y los niveles de confianza reportados. Estima parámetros poblacionales, utilizando intervalos de confianza. Comprende que al seleccionar muestras de una población la distribución de sus valores medios es aproximadamente normal, con una media igual a la media poblacional, y que esa aproximación mejora a medida que aumenta el tamaño de las muestras. Verifica, haciendo uso de recursos digitales, la proximidad entre la distribución teórica de una variable aleatoria y la correspondiente gráfica de frecuencias en experimentos aleatorios discretos. Realiza inferencias a partir de una muestra aleatoria, considerando el error asociado al tamaño de ella. Resuelve problemas aplicando el cálculo de probabilidad condicional.

Nivel 5

Organiza información a través de histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de frecuencia acumulada. Extrae e interpreta información haciendo uso de medidas de dispersión y de posición. Compara dos o más conjuntos de datos usando medidas de dispersión y posición. Comprende que al tomar mayor cantidad de muestras de igual tamaño, desde una población finita, el promedio de las medias aritméticas muestrales se aproxima a la media de la población. Asigna probabilidades mediante el modelo de Laplace o bien las frecuencias relativas, dependiendo de las condiciones del experimento. Resuelve problemas acerca del cálculo de probabilidades, usando diagramas de árbol, técnicas combinatorias y aplicando propiedades de la suma y producto de las probabilidades.

Extraído de: Mapas de progreso del aprendizaje. Ministerio de Educación. Marzo de 2009. www.mineduc.cl/biblio.

Para tener mayor información y ejemplos de tareas por nivel le sugerimos que ingrese a www.curriculum-mineduc.cl/curriculum/mapas-de-progreso/matematica/

Fundamentación teórica

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INICIALES GUIA 3º(1–31)_Maquetación 1 08-11-10 10:03 Página 16

Integración de las TIC Otro aspecto considerado en nuestra propuesta se refiere a las Tecnologías de Información y Comunicación (TIC). Con relación a ellas, el ajuste curricular postula fortalecer su presencia a través de la incorporación de las habilidades de uso de estas tecnologías como un quinto eje transversal. En ese sentido, el documento Aprendizajes K-12, funciona como un Mapa de Progreso de las TIC y es considerado al momento de formular las actividades, ya que, por un lado, nos muestra lo que los alumnos y alumnas debieran ser capaces de hacer utilizando estos medios y, por otro lado, lo que se espera que logren desarrollar en un nivel determinado. Considerando los avances tecnológicos, el fácil acceso a Internet y los diferentes grados de confiabilidad que presentan los distintos sitios, es necesario guiar a nuestros estudiantes en el uso de estas tecnologías. A continuación, se presentan algunos criterios que le permitirán evaluar sitios web. Información sobre el sitio web: Para evaluar si la información que se localiza en Internet es confiable, se pueden plantear tres preguntas cuando se lee una dirección web (URL): • ¿Reconoce el Nombre de Dominio?, ¿cuál es su extensión? Por ejemplo: .edu : hace referencia a instituciones educativas .gov : corresponde a sitios Web de instituciones gubernamentales • ¿La página localizada es personal? Si presentan caracteres como ~, % indican que la información corresponde a la opinión personal del autor. Información sobre el contenido de la página: Es pertinente hacerse preguntas como las siguientes para evaluar una página web: • ¿Es útil la información para el tema sobre el que me estoy informando o que estoy investigando? • ¿En qué fecha se publicaron los contenidos? ¿son actuales, están vigentes? • Si la información publicada en la página web proviene de otras fuentes, ¿se citan estas correctamente? Información sobre los autores y editores: Para evaluar la validez de la autoría de una página, se pueden utilizar las siguientes preguntas: • ¿En la página aparece el nombre del autor o autores? • ¿Qué información se encuentra en la Web sobre el autor? Adaptado de: Artículo elaborado por Eduteka con información proveniente del libro “Web Literacy for Educators” escrito por el Dr. Alan November.

Para saber más sobre este tema puede visitar http://www.eduteka.org/CompetenciaWeb.php El Mapa de Progreso de las TIC se organiza en cuatro dimensiones: • Tecnológica. Utilización de aplicaciones y generación de productos que resuelvan las necesidades de información y comunicación dentro del entorno social real/ inmediato/ próximo (no virtual).

16 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

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• Información. Búsqueda y acceso a información de diversas fuentes virtuales y evalúa su pertinencia y calidad. • Comunicación. Interacción en redes virtuales de comunicación, con aportes creativos propios. • Ética. Uso responsable de la información y comunicación. Cada una de las dimensiones anteriores presenta distintos niveles, y para cada uno de ellos se describen variables e indicadores que señalan lo que los alumnos y alumnas serán capaces de realizar al finalizar ese nivel. Estos niveles, por dimensión, son:

Dimensión Tecnológica Niveles

Nivel 7

Nivel 6 15 – 17 años 3º y 4º medio

Nivel 5 13 – 14 años 1º y 2º medio

Variables

Indicadores

Dominio avanzado de las capacidades del PC, desarrollo de tareas de programación y conexión de redes.

• Utiliza programas open source. • Diseña páginas web. • Utiliza el computador sin importar la plataforma que tenga.

Utiliza y combina distintos programas como procesador de texto, planillas de cálculo, plantillas de presentación, y dispositivos periféricos, para desarrollar productos multimediales simples.

• Transporta información con dispositivos auxiliares y trabaja archivos en distintos programas. • Utiliza programas como el Mind Manager para organizar información. • Utiliza herramientas de productividad sin importar el tipo de programas.

Utiliza y combina distintos programas como procesador de texto, planillas de cálculo, plantillas de presentación, y dispositivos periféricos, para desarrollar productos multimediales simples.

• Produce hipertextos. • Traspasa/ incorpora video o sonido a presentaciones Powerpoint. • Incorpora movimiento en sus presentaciones. • Graba y edita videos.

Dimensión Información Niveles

Variables

Indicadores

Nivel 7

Administra aplicaciones para recuperar información en forma automática como el netvives.

• Organiza sus fuentes de información en alimentadores automáticos (bloglines, netvives). • Revisa periódicamente sus alimentadores.

Utiliza bases de datos para requerimientos específicos de información en buscadores especializados.

• Localiza y recupera información de fuentes mundiales como UN u otro organismo transnacional. • Busca datos directamente en fuentes primarias de información.

Recupera, guarda y organiza información en distintos formatos, obtenida de Internet en forma autónoma utilizando buscadores, metabuscadores y búsqueda avanzada.

• Utiliza operadores booleanos para buscar información. • Evalúa con diversos criterios la calidad de una página web. • Sabe utilizar un tesauro. • Realiza búsquedas en metabuscadores.

Nivel 6 15 – 17 años 3º y 4º medio

Nivel 5 13 – 14 años 1º y 2º medio

Fundamentación teórica

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Dimensión Comunicación Niveles

Variables

Indicadores

Organiza y anima comunidades virtuales.

• Genera debate a partir de temas contingentes de interés público. • Cuestiona la información oficial dando información alternativa.

Nivel 6 15 – 17 años 3º y 4º medio

Participa en comunidades virtuales, desarrollando intereses particulares.

• Participa activamente en redes de interés, conoce diariamente lo que sucede en ella.

Nivel 5 13 – 14 años 1º y 2º medio

Publica información propia en plataformas virtuales, como blogs, y retroalimenta a otros.

• Mantiene actualizado su sitio (blog, fotolog o página web). • Inicia debates virtuales.

Nivel 7

Dimensión Ética Niveles

Variables

Indicadores

Nivel 7

Esta comprometido con difundir el uso responsable de las TIC. Expande su participación ciudadana y la de otros a través de la red.

• Modela buenas prácticas en su entorno • Convoca a conocer las ventajas y oportunidades de la red en su comunidad.

Nivel 6 15 – 17 años 3º y 4º medio

Respeta las normas éticas en su participación en espacios virtuales. Reconoce y valora la transparencia y democratización de la información de la red y hace extensivos los accesos a su comunidad.

• Guarda adecuadamente información confidencial. • Comparte información con su entorno. • Participa en actividades de difusión de las oportunidades de la red en su comunidad.

Conoce la regulación legal de utilización del espacio virtual y las normas de seguridad de la red. (Claves, pirateo, hackeo) y aplica criterios de buenas prácticas.

• Conoce las consecuencias legales de interferir en la comunicación on-line. • Identifica, en el contenido de las páginas, mensajes discriminatorios o ilegales. • Emplea buenas maneras al usar correo electrónico (Netiquette).

Nivel 5 13 – 14 años 1º y 2º medio

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Habilidades del pensamiento El trabajo, en el aula de matemática, orientado al desarrollo de habilidades es de gran importancia en el proceso de enseñanza y aprendizaje, y se basa en la necesidad de formar personas capaces de resolver problemas de la vida cotidiana y del ámbito matemático, de forma autónoma y eficaz. De esta forma, las actividades a desarrollar por los alumnos y alumnas de Tercer Año Medio, propuestas en el Texto del Estudiante y en la Guía Didáctica del Docente, buscan promover el desarrollo de estas habilidades, mediante estrategias metodológicas que propician su adquisición. Para ello, tanto en las actividades como en los ítems de evaluación diseñados, han jugado un papel central las destrezas y habilidades utilizadas en el “Estudio internacional de Tendencias en Matemática y Ciencia 2003” (TIMSS), proyecto de la Asociación Internacional para la Evaluación del Rendimiento Educativo (IEA). Así, las habilidades incluidas en este Texto son las que se espera deberían manifestar los alumnos y alumnas de este curso, aunque el grado de sofisticación de esta manifestación varíe en relación con los cursos superiores o inferiores. A continuación, se presenta la descripción de las habilidades consideradas en esta propuesta, agrupadas en cuatro dominios cognitivos: Conocimiento de hechos y procedimientos, Utilización de conceptos, Resolución de problemas habituales, Razonamiento; los cuales están formados por las descripciones de las destrezas y habilidades. En general, la complejidad cognitiva aumenta desde las primeras habilidades hasta las finales del listado, permitiendo una progresión desde el conocimiento de un hecho, procedimiento o concepto hasta el uso de este conocimiento en la resolución de problemas. No obstante, esta complejidad no debe confundirse con la complejidad de la actividad o del ítem de evaluación, pues esta también depende de la interacción entre el contenido y la habilidad.

Conocimiento de hechos y procedimientos Recordar

Recordar definiciones, vocabulario, unidades, hechos numéricos, propiedades de los números, propiedades de las figuras planas, convenciones matemáticas.

Reconocer/ Identificar

Reconocer o identificar entidades matemáticas que sean equivalentes, es decir, áreas de partes de figuras para representar fracciones, fracciones conocidas, decimales y porcentajes equivalentes; expresiones algebraicas simplificadas; figuras geométricas simples orientadas de modo diferente.

Calcular

Conocer procedimientos algorítmicos para sumar, restar, multiplicar, dividir o una combinación de estas operaciones; conocer procedimientos para aproximar números, estimar medidas, resolver ecuaciones, evaluar expresiones y fórmulas, dividir una cantidad en una razón dada, aumentar o disminuir una cantidad en un porcentaje dado. Simplificar, descomponer en factores, expandir expresiones algebraicas y numéricas; reunir términos semejantes.

Usar herramientas

Usar las matemáticas y los instrumentos de medición; leer escalas: dibujar líneas, ángulos o figuras según unas especificaciones dadas. Dadas las medidas necesarias, usar regla y compás para construir la mediatriz de una línea, la bisectriz de un ángulo, triángulos y cuadriláteros.

Fundamentación teórica

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Utilización de conceptos

Saber

Saber que la longitud, el área y el volumen se conservan en determinadas condiciones; tener una apreciación de conceptos tales como inclusión y exclusión, generalidad, igualdad de probabilidades, representación, prueba, cardinalidad y ordinalidad, relaciones matemáticas, valor posicional de las cifras.

Clasificar

Clasificar o agrupar objetos, figuras, números, expresiones e ideas según propiedades comunes; tomar decisiones correctas con relación a la pertenencia a una clase; ordenar números y objetos según sus atributos.

Representar

Representar números mediante modelos; representar información matemática de datos en diagramas, tablas, cuadros, gráficos; generar representaciones equivalentes de una entidad o relación matemática dada.

Formular

Formular problemas o soluciones que puedan ser representados por ecuaciones o expresiones dadas.

Distinguir

Distinguir preguntas que se pueden plantear con información dada, por ejemplo un conjunto de datos, de aquellas que no se pueden plantear así.

Resolución de problemas habituales

Seleccionar

Seleccionar o usar un método o estrategia eficiente para resolver problemas en los que haya un algoritmo o método de solución conocido, es decir, un algoritmo o método que cabría esperar que resultase conocido para los y las estudiantes. Seleccionar algoritmos, fórmulas o unidades apropiadas.

Representar

Generar una representación apropiada, por ejemplo una ecuación o un diagrama, para resolver un problema común.

Interpretar

Interpretar representaciones matemáticas dadas (ecuaciones, diagramas, etc.); seguir y ejecutar un conjunto de instrucciones matemáticas.

Aplicar

Aplicar conocimientos de hechos, procedimientos y conceptos para resolver problemas matemáticos habituales (incluidos problemas de la vida real), es decir, problemas similares a los que probablemente hayan visto los y las estudiantes en clase.

Verificar o comprobar

Verificar o comprobar la corrección de la solución a un problema; evaluar lo razonable que es la solución de un problema.

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Habilidades del pensamiento

Razonamiento Formular hipótesis, conjeturar o predecir

Hacer conjeturas adecuadas al investigar patrones, discutir ideas, proponer modelos, examinar conjuntos de conjeturas o predecir datos; especificar un resultado (número, patrón, cantidad, transformación, etcétera) que resultará de una operación o experimento antes de que se lleve a cabo.

Analizar

Determinar y describir o usar relaciones entre variables u objetos en situaciones matemáticas; analizar datos estadísticos univariantes; descomponer figuras geométricas para simplificar la resolución de un problema; dibujar la red de un sólido dado poco conocido; hacer inferencias válidas a partir de información dada.

Evaluar

Discutir y evaluar críticamente una idea matemática, conjetura, estrategia de resolución de problemas, método, demostración, etcétera.

Generalizar

Extender el dominio al que son aplicables el resultado del pensamiento matemático y la resolución de problemas mediante la reexposición de resultados en términos más generales y más aplicables.

Conectar

Conectar conocimientos nuevos con conocimientos existentes; hacer conexiones entre diferentes elementos de conocimiento y representaciones relacionadas; vincular ideas u objetos matemáticos relacionados.

Sintetizar o integrar

Combinar procedimientos matemáticos (dispares) para establecer resultados; combinar resultados para llegar a un resultado ulterior.

Resolver problemas

Resolver problemas enmarcados en contextos matemáticos o de la vida real de los que es muy poco probable que los estudiantes hayan encontrado ítems similares; aplicar procedimientos matemáticos en contextos poco conocidos.

Justificar

Proporcionar pruebas de la validez de una acción o de la verdad de un enunciado mediante referencia a propiedades o resultados matemáticos; desarrollar argumentos matemáticos para demostrar la verdad o falsedad de enunciados, dada la información relevante.

Fuente: Ina V.S. Mullis, y otros. Marcos teóricos y especificaciones de evaluación de TIMSS 2003. Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Secretaría General de Educación y Formación Profesional. Instituto Nacional de Calidad y Evaluación (INCE), Madrid. 2002.

Fundamentación teórica

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Evaluación en Matemática La evaluación es una parte central del proceso curricular, el cual se entiende como un proceso continuo de observación, monitoreo y el establecimiento de juicios profesionales sobre el estado de aprendizaje de los alumnos y alumnas a partir de lo observado. En el proceso de evaluación están involucradas tres acciones: medición, evaluación y calificación. Medir se puede realizar de muchos modos y con diferentes niveles de estructuración. Puede ser un proceso de clasificación, o de generación de categorías a partir de la observación o la comparación de comportamientos observables con categorías o escalas conocidas. Evaluar supone la existencia de estándares o criterios para la población a la que pertenecen los y las estudiantes, con respecto a los cuales comparar los resultados de la medición y emitir un juicio acerca de la relación entre lo demostrado por el o la estudiante y el estándar o criterio seleccionado. Calificar es expresar mediante un código (generalmente un número que indica una posición en una escala dada) el resultado de ese juicio. El proceso de evaluación es parte constitutiva del proceso de enseñanza y aprendizaje, ya que es un proceso continuo que consiste en recoger información acerca de cómo se está produciendo el aprendizaje. Debe entregar al educador y al educando antecedentes objetivos acerca de cómo se produce dicho aprendizaje y qué aspectos de este no domina integralmente, y así regular y mejorar los aprendizajes de los y las estudiantes. Con los resultados obtenidos en las evaluaciones, la o el docente crea un plan de acción que permita mejorar estos resultados, a través de actividades remediales o de reforzamiento de los contenidos. Con el fin de monitorear el proceso en su totalidad, se proponen en esta Guía la aplicación de tres instancias de evaluación: diagnóstica, formativa y sumativa. • Evaluación diagnóstica. Se integran al inicio de cada Unidad, para identificar los conocimientos previos con los cuales el o la estudiante se enfrentará a los nuevos aprendizajes, y para detectar falencias que pudieran entorpecer el logro de aprendizajes más complejos, y poder entonces aplicar refuerzos o remediales. En esta Guía podemos encontrar esta instancia de evaluación al comienzo de cada Unidad en la sección ¿CUÁNTO SABES? • Evaluación formativa. Se desarrolla durante la Unidad y dado su carácter procesual, permitirá al o a la estudiante retroalimentar su desempeño, y al o a la docente realizar a tiempo las modificaciones necesarias para mejorar el logro de los aprendizajes. La evaluación formativa también es considerada dentro de cada Unidad en la sección MI PROGRESO. Con estas instancias se busca monitorear el proceso de aprendizaje de los contenidos que han sido trabajados. • Evaluación sumativa. Se presenta al cierre de la Unidad y entrega información acerca del nivel de logro alcanzado respecto de los aprendizajes esperados, dando la posibilidad de reforzar los aprendizajes identificados como más débiles. Además, al finalizar cada Unidad de esta Guía se presenta una EVALUACIÓN FINAL, con actividades que incluyen los contenidos trabajados a lo largo de toda la Unidad y que permiten conocer el desempeño de sus estudiantes.

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Evaluación en Matemática

Es importante considerar que el proceso de evaluación de los aprendizajes busca determinar el potencial de aprendizaje de los y las estudiantes, la capacidad para resolver problemas, la capacidad para comunicar lo aprendido, conocer el tipo de razonamiento empleado, identificar los conceptos que maneja, los procedimientos que aplica y la actitud presentada frente al problema a resolver, además, permite conocer el estado del pensamiento matemático de los y las estudiantes. Para establecer desde dónde y cómo se ve el conocimiento matemático escolar, se parte desde una concepción en la cual se reconocen dos aspectos, el conceptual y el procedimental. El conocimiento conceptual se refiere a una serie de informaciones conectadas entre sí mediante múltiples relaciones, que constituyen lo que se denomina estructura conceptual, donde los conceptos se unen o se relacionan, constituyendo conceptos de orden superior. El conocimiento procedimental se refiere a la forma de actuación o de ejecución de tareas matemáticas que van más allá de la ejecución mecánica de algoritmos. En él se distinguen tres niveles: • Destrezas: en el campo de la matemática escolar se distinguen entre destrezas aritméticas, geométricas, métricas, gráficas y de representación. • Razonamiento matemático: conjunto de enunciaciones y procesos asociados que se llevan a cabo para fundamentar una idea en función de unos datos o premisas y unas reglas de inferencia. • Estrategias: formas de responder a una determinada situación dentro de una estructura conceptual, implica tener una gran dosis de creatividad e imaginación.

Instrumentos de evaluación En el proceso de evaluación es importante considerar distintos instrumentos que permitan evaluar los aprendizajes de sus alumnos y alumnas. A continuación, se presentan algunos instrumentos que puede utilizar para la evaluación del aprendizaje matemático.

Procedimientos evaluativos El procedimiento de evaluación más utilizado son las pruebas, sin embargo no es el único existente, a continuación le presentamos otros procedimientos evaluativos complementarios a las pruebas y su posible uso. Procedimientos evaluativos

Propósitos

Ensayo

Para comprobar la calidad de la expresión escrita, uso de referencias, la habilidad para desarrollar un argumento coherente, la comprensión y transferencia del conocimiento y la evaluación crítica de ideas.

Observación espontánea o estructurada

Para recabar información sobre el ámbito afectivo-valórico, para juzgar desempeños tales como expresión oral, creación plástica, manipulación en laboratorio, y en general, para evaluar la forma en que el alumno actúa mientras desarrolla su aprendizaje. Fundamentación teórica

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Procedimientos evaluativos

Propósitos

Entrevista espontánea o estructurada

Para examinar con el alumno el trabajo realizado, para aclarar asuntos que surgen de documentos o revisar la profundidad y amplitud del aprendizaje, para evaluar la aplicación de estrategias a una tarea de aprendizaje.

Desempeño

Para evaluar aplicaciones de la teoría en un contexto estructurado (puede ser en un ambiente simulado, en el taller, el laboratorio). Para verificar capacidades o habilidades (ej. de resolución de problemas), aplicación de conocimientos y habilidades.

Presentación

Para verificar la capacidad de presentar información atendiendo a la audiencia y al tema. Para comprobar comprensión del tema.

Informes, críticas, artículos

Para juzgar nivel de conocimientos y para evaluar habilidades de análisis y de expresión escrita sobre asuntos varios, p. ej. de actualidad.

Trabajo realizado o proyecto de trabajo

Para comprobar la calidad del trabajo, su relevancia en función del propósito, la originalidad de la producción. (A menudo se combina con la entrevista o con la prueba oral).

Carpeta

Para validar el aprendizaje del alumno a través de un conjunto de materiales que reflejen sus progresos. Incluye su trabajo, sus reflexiones sobre su propia práctica y evidencias de otras personas calificadas para hacer comentarios. Extraído de: La evaluación en el nuevo currículo: equívocos y equilibrios. Documento de Trabajo: Unidad de Currículum y Evaluación. Ministerio de Educación. Agosto, 2002. www.rmm.cl/biblio/doc/200403101109420.uce.doc

Es importante mencionar que todo procedimiento o instrumento de evaluación será valido si es coherente con los tipos de aprendizajes que busca evaluar, los conocimientos y habilidades que involucran los OF/CMO y los aprendizajes esperados que el o la docente haya seleccionado. En el proceso de evaluación es importante considerar instrumentos que permitan evaluar el desempeño de los alumnos y alumnas, y que a la vez no solo se enfoquen en que el resultado sea el correcto, sino también en el proceso que se utiliza. Una rúbrica facilita la calificación del desempeño del o la estudiante en las materias que son complejas, imprecisas y subjetivas. La rúbrica corresponde a un listado de criterios específicos, graduados en diferentes niveles de calidad, que permiten valorar el aprendizaje, los conocimientos y/o las competencias, logrados por el o la estudiante en un trabajo o materia particular.

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Evaluación en Matemática Si partimos de la premisa de que la evaluación tiene como propósito fundamental proporcionar información sobre los distintos momentos del aprendizaje del o la estudiante, esta herramienta ofrece ventajas claras: • Promueve expectativas sanas de aprendizaje, pues clarifica cuáles son los objetivos del docente y de qué manera pueden alcanzarlos los alumnos y las alumnas. • Permite al y a la docente describir cualitativamente los distintos niveles de logro que los y las estudiantes deben alcanzar. • Provee al y a la docente información de retorno sobre la efectividad del proceso de enseñanza que está utilizando. • Reduce la subjetividad en la evaluación. • Ayuda a mantener el o los logros del objetivo de aprendizaje centrado en los estándares de desempeño establecidos y en el trabajo del o la estudiante. • Proporciona criterios específicos para medir y documentar el progreso del o la estudiante. • Es fácil de utilizar y de explicar. A continuación, se presentan algunas rúbricas con criterios específicos y fundamentales que permiten averiguar cómo está aprendiendo el o la estudiante.

Rúbricas para mapas conceptuales Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Muestra un entendimiento del concepto o principio matemático y una notación y una terminología adecuada.

Comete algunos errores en la terminología empleada y muestra algunos vacíos en el entendimiento del concepto o principio.

Comete muchos errores en la terminología y muestra vacíos conceptuales profundos.

No muestra ningún conocimiento en torno al concepto tratado.

Coloca la mayoría de los conceptos en una jerarquía adecuada estableciendo relaciones apropiadas la mayoría de las veces, dando como resultado un mapa fácil de interpretar.

Coloca solo unos pocos conceptos en una jerarquía apropiada y usa solo unas pocas relaciones entre los conceptos, dando como resultado un mapa difícil de interpretar.

Produce un resultado final que no es un mapa conceptual.

Conocimiento de las relaciones entre conceptos

Construye un mapa conceptual apropiado y completo, incluyendo ejemplos, colocando los conceptos en jerarquías y conexiones adecuadas y colocando relaciones en todas las conexiones, dando como resultado final un mapa que es fácil de interpretar.

Habilidad para comunicar conceptos a través del mapa conceptual

Identifica todos los conceptos importantes y demuestra un conocimiento de las relaciones entre estos.

Identifica importantes conceptos pero realiza algunas conexiones erradas.

Realiza muchas conexiones erradas.

Falla al establecer cualquier concepto o conexión apropiada.

Conceptos y terminología

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Rúbricas para trabajos escritos Logrado

Ideas y contenido

Organización

Voz

Elección de palabras

Fluidez en las oraciones

Medianamente logrado

Por lograr

El escrito es claro, enfocado e interesante. Mantiene la atención del lector. El tema o historia central se enriquece con anécdotas y detalles relevantes.

El escrito es claro y enfocado; sin embargo, el resultado general puede no captar la atención. Hay un intento por sustentarlo, pero puede ser limitado, irreal, muy general o poco equilibrado.

El escrito carece de una idea o propósito central. El lector se ve forzado a hacer inferencias basándose en detalles muy incompletos.

La organización resalta y focaliza la idea o tema central. El orden, la estructura o la presentación compromete y mueve al lector a lo largo del texto.

El lector puede inferir lo que va a suceder en la historia, pero en general, la organización puede ser en algunos casos inefectiva o muy obvia.

La organización es casual y desarticulada. La escritura carece de dirección, con ideas, detalles o eventos que se encadenan unos con otros atropelladamente.

El escritor habla directamente al lector en forma directa, expresiva y que lo compromete con el relato. El escritor se involucra abiertamente con el texto y lo escribe para ser leído.

El escritor parece sincero, pero no está completamente involucrado en el tema. El resultado es ameno, aceptable y a veces directo, pero no compromete.

El escritor parece completamente indiferente, no involucrado o desapasionado. Como resultado, la escritura es plana, sin vida, rígida o mecánica. Y dependiendo del tema, resulta abiertamente técnica o incoherente.

Las palabras transmiten el mensaje propuesto en forma interesante, natural y precisa. La escritura es completa y rica, pero concisa.

El lenguaje es totalmente corriente, pero transmite el mensaje. Es funcional, aunque carece de efectividad. Frecuentemente, el escritor decide por comodidad o facilidad de manejo, producir una especie de “documento genérico”, colmado de frases y palabras familiares.

El escritor hace esfuerzos con un vocabulario limitado, buscando a ciegas las palabras que transmitan el significado. Frecuentemente, el lenguaje es tan vago y abstracto o tan redundante y carente de detalles, que solamente el mensaje más amplio y general llega a la audiencia.

La escritura fluye fácilmente y tiene buen ritmo cuando se lee en voz alta. Las oraciones están bien construidas, son muy coherentes y la estructura variada hace que al leerlas sean expresivas y agradables.

Las oraciones tienden a ser más mecánicas que fluidas. El texto se desliza eficientemente durante la mayor parte del escrito, aunque puede carecer de ritmo o gracia, tendiendo a ser más ameno que musical. Ocasionalmente las construcciones inadecuadas hacen lenta la lectura.

El escrito es difícil de seguir o de leer en voz alta. Las oraciones tienden a estar cortadas, incompletas, inconexas, irregulares o muy toscas.

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Evaluación en Matemática

Logrado

Convenciones

El escritor demuestra una buena comprensión de los estándares y convenciones de la escritura (gramática, puntuación, utilización adecuada del lenguaje, ortografía) y los usa efectivamente para mejorar la facilidad de lectura. Los errores tienden a ser muy pocos y de menor importancia.

Medianamente logrado Hay errores en las convenciones para escribir que, si bien no son demasiados, perjudican la facilidad de lectura. Aun cuando los errores no bloquean el significado, tienden a distraer.

Por lograr Hay numerosos y repetidos errores en la utilización adecuada del lenguaje, en la estructura de las oraciones, en la ortografía o la puntuación que distraen al lector y hacen el texto difícil de leer. De hecho, la gravedad y frecuencia de los errores tiende a ser tan notoria que el lector encontrará mucha dificultad para concentrarse en el mensaje y debe releerlo para entender.

Rúbricas para presentaciones orales Logrado

Medianamente logrado

Preparación

Buen proceso de preparación, muestra profundidad en el desarrollo del tema.

Cumplido en la presentación de los resúmenes aprovecha el tiempo para aclaraciones.

Presenta el resumen y la actividad planeada sucintamente.

Sustentación teórica

Domina el tema propuesto, logra conectarlo y explicarlo en sus diferentes aspectos. La evaluación logra analizar el tema.

Logra explicar el tema relacionando los diferentes aspectos de éste. La evaluación tiene en cuenta los diversos aspectos presentados.

Conoce el tema superficialmente, logra explicar los puntos planteados. La actividad de evaluación es poco adecuada.

Bien liderada, suscita controversia y participación.

Es organizada, puede contestar los diferentes interrogantes.

La dirige, no resalta los puntos más importantes no llega a conclusiones.

Pertinente. Activa, es fundamental para el buen desarrollo de cada uno de los temas.

Oportuna, aporta buenos elementos, presta atención a las distintas participaciones.

Está presente. Presta poca atención a las distintas participaciones.

Manejo de la discusión

Participación

Por lograr

Fundamentación teórica

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Razonamiento matemático y Resolución de problemas En la interacción con el entorno y con los otros, las personas nos enfrentamos diariamente a situaciones problemáticas necesarias de ser resueltas de manera óptima. En la búsqueda de estas soluciones, interactúan la experiencia, la creatividad y, por supuesto, las capacidades de cada individuo. Al resolver un problema determinado, se aprende también a cómo actuar frente a nuevas situaciones o que impliquen un desafío. Consideraremos la resolución de problemas como una modalidad didáctica en la que el y la docente genera situaciones para que los alumnos y alumnas puedan explorar conceptos, aprender acerca de procedimientos, argumentar, analizar y/o generar aplicaciones, investigar y, en general, construir conceptos, aprender procedimientos algoritmos u otros tópicos matemáticos. Esto se traduce en diferentes situaciones didácticas en las que el y la estudiante, interactuando con desafíos especialmente diseñados, en un ambiente cooperativo y estimulante, busca soluciones, explicaciones o distinciones. Algunas de estas situaciones pueden ser: • Explorar una situación problema con el objeto de acercarse a un concepto o generar procedimientos para buscar y reconocer una solución. • Analizar una situación problema insuficientemente definida con el objeto de aprender acerca del enunciado de un problema y/o con el objeto que formule. • Investigar una situación con el objeto de reunir y sistematizar información que involucre el uso de modelos matemáticos. En nuestra propuesta, el trabajo de Razonamiento matemático y resolución de problemas es transversal al desarrollo de todos los contenidos y considera cinco componentes interconectados: conceptos, habilidades, procesos, actitudes y metacognición. • Conceptos: se refiere al conocimiento matemático básico, necesario para resolver problemas matemáticos. • Habilidades: se refiere a las aptitudes que se espera que los y las estudiantes sean capaces de desarrollar en cada contenido. • Procesos: se refiere al razonamiento y la heurística involucrados en la resolución de problemas matemáticos. • Actitudes: se refiere a los aspectos afectivos del aprendizaje de la Matemática. • Metacognición: se refiere a la habilidad de monitorear el proceso de pensamiento propio durante la resolución de problemas. Polya propone un modelo para resolver situaciones problema, en un plan que consiste en cuatro pasos: 1. Comprender un problema: identifica, analiza e interpreta los datos disponibles dentro del contexto del problema. ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?, ¿cuál es la pregunta del problema?, ¿qué datos te entrega el problema?, ¿sabes a qué quieres llegar?, ¿son suficientes los datos que te entregan para resolver el problema?, ¿hay datos que no son necesarios para resolver el problema?

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Razonamiento Matemático y Resolución de Problemas

2. Crear un plan: encuentra las conexiones entre los datos y la incógnita o lo desconocido. ¿Qué puedo hacer con los datos que tengo para responder correctamente la pregunta? 3. Poner en práctica un plan: ejecuta lo planificado. Implementar la o las estrategias escogidas hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción sugiera tomar un nuevo curso. Al desarrollar tu plan verifica cada uno de los pasos. ¿Puede estar seguro que cada uno está correcto?, ¿puedes demostrar (o argumentar) que está correcto? 4. Examinar lo hecho: examina la solución obtenida. ¿Puedes comprobar la respuesta?, ¿puedes comprobar los argumentos?, ¿puedes obtener el resultado por un camino diferente?, ¿puedes “ver” la respuesta de una sola mirada?, ¿puedes usar el resultado o el procedimiento para resolver otro problema? Considerando las etapas de la propuesta de Polya, se han diseñado actividades a través de las cuales los y las estudiantes pueden identificar cada uno de los pasos descritos. Para evaluar la resolución de problemas se propone la siguiente tabla que especifica los indicadores de logro de acuerdo a cada etapa de la resolución de problemas. No comprende

Comprensión del problema o de la situación

Comprensión de conceptos

En proceso, logro parcial

Logro, aplicación

No intenta entender el problema. Entiende mal el problema. Como rutina pide explicaciones.

Copia el problema. Identifica palabras clave. Puede que mal interprete parte del problema. Puede que tenga alguna idea acerca del problema.

Puede expresar en sus propias palabras o interpretar coherentemente el problema. Comprende las condiciones principales. Elimina la información innecesaria. Tiene una idea acerca de la respuesta.

No modela los conceptos rutinarios correctamente. No puede explicar el concepto. No intenta resolver el problema. No hace conexiones.

Demuestra un entendimiento parcial o satisfactorio. Puede encontrar y explicar usando una variedad de modos. Está listo para hacer conexiones acerca de cómo y por qué. Relaciona el concepto con conocimiento y experiencias anteriores. Puede crear problemas relacionados. Realiza las tareas cada vez con menos errores.

Aplica correctamente reglas o algoritmos cuando usa símbolos. Conecta cómo y por qué. Aplica el concepto a problemas o situaciones nuevas. Hace y explica conexiones. Realiza lo pedido y va más allá.

Fundamentación teórica

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No comprende

Medición (longitud, masa, capacidad)

Verificación de resultados y/o progresos

Recolección y organización de datos

Interpretación y síntesis de resultados

En proceso, logro parcial

Logro, aplicación

Hace comparaciones directas entre objetos. No puede ordenar objetos de acuerdo a su medida. No distingue diferencias entre distintas unidades de medida.

Copia el problema. Identifica palabras clave. Puede que mal interprete parte del problema. Puede que tenga alguna idea acerca del problema.

Puede expresar en sus propias palabras o interpretar coherentemente el problema. Comprende las condiciones principales. Elimina la información innecesaria. Tiene una idea acerca de la respuesta.

Hace conjeturas poco realistas. No usa estrategias para refinar la estimación. No puede modelar o explicar la estrategia especificada. No puede aplicar estrategias unidas a explicaciones.

Refina conjeturas o estimaciones mediante particiones o comparaciones. Demuestra poseer estrategias, otras le faltan. No puede modelar o explicar la estrategia cuando le preguntan.

Refina conjeturas o estimaciones mediante particiones y comparaciones. Puede modelar, explicar y aplicar una estrategia cuando le preguntan. Demuestra poseer estrategias. Usa estimación cuando es apropiado.

No revisa cálculos ni procedimientos. No reconoce si su respuesta es o no razonable.

Revisa cálculos y procedimientos. Puede investigar razones si existen dudas.

Chequea racionalidad de los resultados. Reconoce sin razones.

No hace planteamientos. No puede proceder sin instrucciones ni asistencia. Comete graves errores al recolectar o mostrar datos.

Puede recolectar y desplegar datos, dada una forma de registrarlos. Tiene errores menores al recolectar y desplegar datos. Puede corregir errores en momentos críticos.

Puede recolectar y desplegar datos en forma organizada. Clasifica en forma exacta y apropiada.

No hace planteamientos para resumir y describir datos. Puede responder preguntas simples relacionadas con los datos, si es requerido. No puede comunicar resultados en forma rudimentaria.

Resume y describe datos apropiadamente. Puede generar una respuesta a una pregunta relacionada con los datos. Puede comunicar resultados en forma rudimentaria.

Expresa conclusiones e interpretaciones válidas. Hace generalizaciones. Comunica resultados en forma clara y lógica.

30 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

INICIALES GUIA 3º(1–31)_Maquetación 1 08-11-10 10:04 Página 31

Razonamiento Matemático y Resolución de Problemas

Aplicación de conceptos, procedimientos y estrategias

Disposición (valores, actitudes)

Generalización y conexiones

No comprende

En proceso, logro parcial

Logro, aplicación

No intenta. Se apoya en otros para seleccionar y aplicar estrategias. Su trabajo no es comprensible. No puede explicar su trabajo o estrategia adecuadamente. Selecciona estrategias inadecuadas. Su implementación no es lógica ni ordenada.

Usa estrategia si se lo piden. Reconoce estrategias. Puede explicar estrategias. Usa un limitado número de estrategias. Puede seleccionar una estrategia, pero puede necesitar ayuda en su implementación. Puede presentar su trabajo en una forma aceptable.

Genera nuevos procedimientos. Extiende o modifica la estrategia. Conoce o usa diversas estrategias. Usa estrategias en forma flexible. Reconoce cuando una estrategia es aplicable. Presenta su trabajo en forma lógica y coherente.

Demuestra ansiedad o disgusto. Se retira o es pasivo durante la clase. Cede fácilmente y se frustra en la clase. Necesita un apoyo frecuente, atención y retroalimentación.

Se aplica a la tarea. Participa activamente en las actividades de aprendizaje. Está dispuesto a intentar nuevos métodos. Responde si le preguntan, pero puede que no tome la iniciativa.

Demuestra confianza en su trabajo. Es persistente cuando intenta varios enfoques. No se da por vencido. Es curioso, muestra flexibilidad. Hace muchas preguntas.

No intenta hacer conexiones. No puede extender ideas en nuevas aplicaciones. Hace el mínimo esperado.

Puede reconocer problemas o aplicaciones similares. Hace conexiones.

Propone y explora conexiones. Puede crear problemas paralelos variando las condiciones del problema original. Puede aplicar ideas en nuevas aplicaciones.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm Fuentes consultadas: • Chamorro, C. El aprendizaje significativo en el área de matemáticas. Alambra Longmam, Madrid, 1991. • Stemberg, R.; Spears-Swerling, L. “La comprensión de los principios básicos y de las dificultades de enseñar a pensar”, en: Teaching for thinking, trad. De R. Llavori. Enseñar a pensar, Santillana, Madrid. 1996. • www.educarchile.cl/planificaccion/1610/propertyvalue-42121.html

Fundamentación teórica

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U1-3º (PAG 32-67)_Maquetación 1 08-11-10 10:20 Página 32

Raíces

Propósito de la Unidad Esta Unidad está orientada al cálculo y trabajo con raíces, a través de situaciones que involucran no solo la resolución algebraica, sino también el análisis del procedimiento y de las soluciones. Se pretende que los alumnos y alumnas utilicen todos sus conocimientos sobre números y operaciones aprendidos en años anteriores, en particular de potencias, para utilizarlos en los nuevos aprendizajes sobre raíces, orientados a la resolución de problemas provenientes de distintos contextos. El objetivo de esta Unidad es que los y las estudiantes utilicen procedimientos y propiedades para calcular raíces, compararlas, aproximar sus valores, racionalizar, simplificar, y resolver ecuaciones que las involucran, considerando las restricciones de signo asociadas, y que puedan formular y verificar conjeturas aplicando habilidades propias del proceso de resolución de problemas, y argumentar sobre la validez de los procedimientos utilizados.

Esquema de la Unidad Raíces

Raíces cuadradas

Raíces enésimas

Raíces cúbicas

Definición

Propiedades

Cálculo numérico

Cálculo algebraico Racionalización Resolución de problemas

Aplicaciones

Teorema de Pitágoras

Áreas

Ecuaciones con radicales

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Aplicaciones

Volúmenes

Ecuación de primer grado. Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Planteo y resolución de problemas que involucren ecuaciones de primer grado con una incógnita. Análisis de los datos, las soluciones y su pertinencia.

Demostración de propiedades asociadas a los conceptos de múltiplos, factores y divisibilidad. Interpretación geométrica de los productos notables.

Generalización de la operatoria aritmética a través del uso de símbolos. Convención de uso de los paréntesis.

Potencias de base positiva y exponente entero. Multiplicación de potencias.

Análisis de la significación de las cifras en la resolución de problemas. Conocimiento sobre las limitaciones de las calculadoras en relación con truncar y aproximar decimales.

Uso de algún programa computacional de manipulación algebraica […]

[…] Interpretación del valor absoluto como expresión de distancia en la recta real.

Representación, análisis y resolución de problemas contextualizados en situaciones como la asignación de precios por tramos de consumo, por ejemplo, de agua, luz, gas, etc. Variables dependientes e independientes. […]

Potencias con exponente entero. Multiplicación y división de potencias. Uso de paréntesis.

Resolución de desafíos y problemas no rutinarios que involucren sustitución de variables por dígitos y/o números.

Relación entre la operatoria con fracciones y la operatoria con expresiones fraccionarias.

Raíces cuadradas y cúbicas. Raíz de un producto y de un cuociente. Estimación y comparación de fracciones que tengan raíces en el denominador.

Expresiones algebraicas fraccionarias simples, (con binomios o productos notables en el numerador y en el denominador). Simplificación, multiplicación y adición de expresiones fraccionarias simples.

Distinción entre números racionales e irracionales. Aproximación y estimación de números irracionales. Estimaciones de cálculos, redondeos. Construcción de decimales no periódicos. Distinción entre una aproximación y un número exacto.

Uso de algún programa computacional de manipulación algebraica […]

2 Identificación de x = | x |. Comentario histórico sobre los números irracionales.

3º Medio

2º Medio

1º Medio 4º Medio

Uso de algún programa computacional de manipulación algebraica gráfica […]

Análisis y comparación de tasas de crecimiento. Crecimiento aritmético y geométrico. Plantear y resolver problemas sencillos que involucren el cálculo de interés compuesto.

Relación entre los CMO de la Unidad y los de otros años

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Unidad 1

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Contenidos de la Unidad

34 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio Indicadores de evaluación

Formativa: páginas 29, y 45 del Texto del Estudiante.

Diagnóstica: páginas 14 y 15 del Texto del Estudiante.

Tipos de evaluación

• Calculan productos y cocientes de raíces cuadradas y cúbicas.

• Calcular productos y cocientes de raíces cuadradas y cúbicas.

• Producto y cociente de raíces.

• Calculan raíces cúbicas. • Aplican y relacionan el cálculo de raíces cúbicas a la resolución de problemas que involucren volumen. • Aproximan raíces cuadradas con una o más cifras decimales.

De profundización: páginas 41, 42, 43, 44, 45, 46, 63 y 64.

Computador con acceso a Internet.

Calculadora científica.

Recursos didácticos

Tiempo estimado: 6 a 7 semanas

• Evalúan la pertenencia de raíces Sumativa: páginas 51, 52 y 53 del Texto del cuadradas al conjunto de los Estudiante, y 66 y 67 números reales. En la Guía Didáctica: de la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 41, del Docente. 42, 43, 44, 45, 46, 63 • Sitúan una raíz cuadrada y 64. irracional en la recta numérica.

De consolidación: páginas 28 y 50.

• Calculan raíces cuadradas En el Texto: y cúbicas. De exploración: páginas 16, 18, 20, 22, 24 y 26. • Aplican y relacionan el cálculo de raíces cuadradas y cúbicas a la resolución de problemas que De construcción de involucren área y volumen. conceptos: páginas 17, 19, 21, 23, 25 y 27.

Actividades asociadas

• Aproximar el valor de raíces inexactas. • Comparar expresiones con raíces.

• Conocer y utilizar procedimientos de cálculo algebraico con expresiones en las que intervienen raíces.

Aprendizajes esperados

• Estimación y comparación de raíces.

• Raíces cúbicas.

• Ubicación de raíces cuadradas en la recta numérica.

• Irracionalidad de algunas raíces cuadradas.

Raíces cuadradas y cúbicas. • Raíces cuadradas. Raíz de un producto y de un cociente. Estimación y comparación de fracciones que tengan raíces en el denominador.

CMO

Propuesta de planificación de la Unidad

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CMO • Conocer y utilizar procedimientos de cálculo algebraico con expresiones en las que intervienen raíces, aplicando correctamente sus propiedades.

• Ampliando el concepto de raíz.

• Ecuaciones con radicales. • Resolver problemas y ecuaciones que involucran raíces.

• Relación entre raíces y potencias.

• Expresiones con raíces en el denominador.

• Cálculo y propiedades de raíces enésimas.

Aprendizajes esperados

Contenidos de la Unidad

• Racionalizan fracciones con una raíz en el denominador. • Racionalizan fracciones con suma o resta de raíces de igual índice en el denominador.

• Calcular productos y cocientes de raíces enésimas.

• Calculan raíces enésimas.

Indicadores de evaluación

De profundización: páginas 51, 52, 53, 54, 55, 56, 63 y 64. • Resuelven ecuaciones que involucran raíces cuya incógnita es parte de la cantidad subradical.

En la Guía Didáctica: De refuerzo: páginas 50 51, 52, 53, 54, 55, 56, • Escriben raíces con notación de potencias. 63 y 64.

De consolidación: páginas 44 y 50.

De construcción de conceptos: páginas 31, 34, 35, 37, 41 y 43.

En el Texto: De exploración: páginas 30, 32, 36, 38, 40 y 42.

Actividades asociadas

Tipos de evaluación

Unidad 1

Recursos didácticos

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Unidad 1

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Referencias teóricas Raíces Sea a un número real y n un número entero positivo, entonces: n a = b ⇔ bn = a . La expresión n a se lee “raíz enésima de a”. Es decir, que la raíz enésima de a es un número b tal, que elevado a n es igual a a. Al número n se le llama índice, y al número a se le llama cantidad subradical. Cálculo de raíces Para calcular el valor numérico de una raíz, se debe tener en cuenta el valor del índice y el signo de la cantidad subradical. Si consideramos la n a , se tiene que:

n es par

n es impar

• Si a > 0, el valor de la raíz es único. • El valor de la raíz es único, sin • Si a = 0, entonces el valor de la raíz importar el signo de la cantidad subradical.

es cero.

• Si a < 0, no existe ningún número real que cumpla la condición b n = a, por lo que la raíz no tiene ningún valor real. Adición y sustracción de raíces Para que dos o más raíces se puedan sumar o restar, es necesario que estén definidas en los números reales y que sean semejantes; es decir, deben tener el mismo índice y la misma cantidad subradical. Multiplicación de raíces de igual índice El producto de dos o más raíces, definidas en los números reales, con igual índice, es otra raíz que tiene el mismo índice y cuya cantidad subradical es el producto de las cantidades subradicales de los factores. n

a⋅

a ⋅ b , con n ⫽ 0

División de raíces de igual índice El cociente de dos o más raíces, definidas en los números reales, con igual índice, es otra raíz que tiene el mismo índice y cuya cantidad subradical es el cociente de las cantidades subradicales del divisor y el dividendo. n

a: b =

a :b o

a b

a , con n ⫽ 0 y b ⫽ 0 b

Raíz de una raíz La raíz de una raíz es igual a otra raíz que tiene como índice el producto de los índices de las raíces y cuya cantidad subradical es la misma. nm

a =

n ⋅m

a , con n ⫽ 0 y m ⫽ 0

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Unidad 1

Relación entre potencia y raíz Toda potencia de exponente fraccionario puede expresarse como una raíz. 1

Si se tiene una potencia de exponente racional de la forma a n , con n IN, se escribe

1 n a

En general, si se tiene una potencia de exponente racional de la forma n IN y m ⺪, se escribe: m an

am = ( a ) , con n

n m

m an,

con

IR .

Cambio de índice de una raíz Como toda raíz es una potencia de exponente fraccionario, para cambiar el índice de una raíz se puede amplificar o simplificar dicho exponente por un número entero distinto de cero. n

1 an

Es decir: a = =a con n ⫽ 0 y m ⫽ 0.

1⋅ m n ⋅m

= a n⋅m =

n⋅m

a . Por lo tanto:

n ⋅m

am ,

Racionalización Racionalizar una expresión fraccionaria con raíces inexactas en el denominador (números irracionales) consiste en obtener otra expresión equivalente, pero sin que aparezcan raíces en el denominador. Para racionalizar, se debe amplificar por algún factor que permita expresar el denominador sin raíces. Ecuaciones con radicales Una ecuación en la que intervienen raíces cuya incógnita forma parte de una o más cantidades subradicales, se pueden seguir los siguientes pasos: 1º Aislar en uno de los miembros el término que tiene raíz. De tener dos cantidades subradicales con una incógnita, ubicar cada una a diferentes lados de la igualdad. 2º Elevar al cuadrado (o a alguna potencia que resulte conveniente según el índice radical) ambos miembros, para eliminar la raíz. 3º Ordenar la expresión para obtener una ecuación “más sencilla”. 4º Resolver la ecuación obtenida. 5º Finalmente, las soluciones encontradas de la forma algebraica deben ser comprobadas, de modo que la ecuación original esté definida para valores reales.

Unidad 1

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Páginas 12 y 13

Páginas de entrada

Conversemos de... Actividades 1y2

Habilidades que desarrollan

Al inicio de esta Unidad se presenta a las alumnas y alumnos el período de un péndulo como ejemplo de una situación modelada, utilizando una raíz cuadrada. En este caso en particular, se asocia a un columpio, ya que el movimiento de este es similar al de un péndulo.

Recordar y conectar. Para poder crear una discusión sobre la base de las preguntas propuestas a los alumnos y alumnas, se sugiere recordar que el péndulo es un sistema formado por un objeto que oscila, suspendido de un punto fijo mediante un hilo inextensible. La amplitud de la oscilación de un péndulo es el ángulo máximo que forma la recta que une la masa suspendida con el soporte y la vertical. El período de un péndulo es constante si la amplitud de oscilación es pequeña. En caso contrario, el período depende del valor de la amplitud de oscilación; si la amplitud de oscilación es mayor, el período crece. Si pensamos en un columpio, mientras más alto queremos llegar, mayor será el tiempo que demoraremos en completar una ida y vuelta. Luego, para una oscilación pequeña, el período del péndulo (T) es proporcional a la raíz cuadrada del radio de giro del péndulo (L). T = 2π

L g

Es importante que los alumnos y alumnas noten que, en este caso, el período solo dependerá de L, ya que tanto π como g son constantes. En condiciones ideales (sin considerar la fricción en el punto de suspensión ni la resistencia del aire), el columpio se comportará como un péndulo. Si se alargan las cuerdas o cadenas del columpio, el período será mayor. Lo que se puede apreciar en la ecuación, ya que a pesar de no saber aún calcular raíces se puede observar que el período queda determinado por el producto de una constante y la raíz de L, una variable que solo depende de L, por lo que, mientras mayor sea esta variable, mayor será el período. Por otra parte, el período del columpio es independiente de la masa de la persona que se columpia; en la ecuación se puede ver claramente que el período solo queda determinado por el largo de la cuerda.

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Páginas 14 y 15

Evaluación diagnóstica

En estas páginas, se presenta una evaluación diagnóstica que permitirá medir el nivel de conocimiento que tienen los y las estudiantes acerca de los contenidos que son prerrequisitos para comprender los contenidos de esta Unidad. Esta evaluación, con el título ¿Cuánto sabes?, incluye los siguientes criterios. Ítem 1: Descomponer números como un producto de factores primos. Ítem 2: Verificar si se cumplen igualdades que involucran potencias, sus propiedades y operaciones. Ítem 3: Calcular operaciones con potencias. Ítem 4: Resolver problemas que pueden expresarse mediante una ecuación. Ítems 5 y 6: Representar una expresión matemática como otra expresión equivalente, aplicando factorización y los productos notables.

Ítem

Completamente logrado

Unidad 1

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Logrado

¿Cuánto sabes? Ítems

Habilidades que evalúan

1y3

Aplicar y calcular.

Reconocer y aplicar.

Aplicar y representar.

Reconocer, seleccionar y calcular.

Reconocer, recordar y aplicar.

Medianamente logrado

Por lograr

Descompone correctamen- Descompone correctamente todos los números en te todos los números en sus sus factores primos, apli- factores primos. cando un procedimiento adecuado.

Descompone correctamente más de la mitad de los números en sus factores primos, cometiendo errores de cálculo, pero no conceptuales.

Descompone la mitad o menos de los números en sus factores primos, mostrando errores de cálculo.

Determina correctamente el valor de verdad de todas las expresiones dadas y lo justifica.

Determina correctamente el valor de verdad de todas las expresiones dadas, pero sin justificarlas.

Determina correctamente el valor de verdad de más de la mitad de las expresiones dadas, cometiendo errores al aplicar las propiedades de una potencia.

Determina correctamente el valor de verdad de la mitad o menos de las expresiones dadas, cometiendo errores conceptuales en el cálculo y/o aplicación de las propiedades de una potencia.

Resuelve correctamente todos los ejercicios propuestos, aplicando las propiedades correspondientes.

Resuelve correctamente la Resuelve correctamente la mayoría de los ejercicios mitad de los ejercicios propuestos. propuestos, cometiendo principalmente errores de cálculo.

Resuelve correctamente menos de la mitad de los ejercicios propuestos, cometiendo errores aritméticos y en las propiedades de potencia.

Representa y resuelve ambos problemas correctamente y muestra un procedimiento adecuado, paso a paso.

Representa y resuelve ambos problemas correctamente, pero en uno o en ambos el procedimiento no está completo.

No resuelve los problemas correctamente, cometiendo errores conceptuales y de operatoria, o no comprende ni representa el problema en forma correcta.

Resuelve a lo más uno de los problemas correctamente, comete algunos errores de cálculo y muestra un procedimiento incompleto.

Unidad 1

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Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Desarrolla correctamente todas las expresiones, seleccionando un procedimiento simple y adecuado.

Desarrolla correctamente todas las expresiones, pero no muestra el procedimiento utilizado.

Desarrolla correctamente dos o más de las expresiones, seleccionando un procedimiento adecuado.

Desarrolla correctamente una o ninguna de las expresiones, cometiendo errores al seleccionar un procedimiento incorrecto.

Factoriza correctamente todas las expresiones propuestas, recordando y aplicando el procedimiento más simple y adecuado.

Factoriza correctamente las expresiones propuestas, pero no muestra el procedimiento utilizado.

Factoriza correctamente dos o más de las expresiones propuestas, aplicando un procedimiento adecuado.

Factoriza correctamente una o ninguna de las expresiones en forma correcta, pero no aplica un procedimiento en forma correcta.

Por lograr

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 1, es posible que no recuerden cuáles son los números primos o puede ser que utilicen un desarrollo demasiado extenso. Mencione a sus estudiantes que los números primos son aquellos números mayores a 1 que tienen exactamente dos divisores: el 1 y sí mismo. • En los ítems 2 y 3, puede que no recuerden o confundan las propiedades de las potencias. Recuerde a sus alumnos y alumnas estas propiedades, ya que es fundamental para poder lograr los aprendizajes esperados de la Unidad. • En el ítem 3, una vez recordadas las propiedades de las potencias, explique a sus estudiantes que deben resolver los ejercicios, indicando su procedimiento, paso a paso. De este modo, tendrán menos errores de cálculo, y, en el caso de tenerlos, podrán identificarlos de manera más fácil. • En el ítem 4, explique a sus estudiantes que para comparar el área de ambos cuadrados, en el primer ejercicio, o el volumen de dos cubos, en el segundo ejercicio, pueden realizarlo por medio de una razón o también utilizando porcentajes. Se recomienda que antes de que sus estudiantes resuelvan los problemas, plantee uno similar y lo resuelva por ambos procedimientos en conjunto con ellos. • En los ítems 5 y 6, pueden haber olvidado los productos notables y, por ejemplo, llegar al desarrollo pedido, pero por un camino mucho más largo. Guíelos para que recuerden los productos notables y factorizaciones.

40 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Páginas 16 y 17

Unidad 1

U1-3º (PAG 32-67)_Maquetación 1 08-11-10 10:20 Página 41

Raíces cuadradas

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• En estas páginas se presenta la definición del operador raíz cuadrada de un número a, representada por a . El trabajo algebraico con raíces cuadradas se realiza a través de situaciones que involucran, no solo la resolución algebraica, sino también el análisis de sus soluciones. • Es importante vincular el área de un rectángulo con la operación producto, el área de un cuadrado con elevar al cuadrado, y asociar la raíz cuadrada con la medida del lado de un cuadrado de área dada. • Las alumnas y alumnos deben comprender que el resultado de una raíz cuadrada es siempre un número positivo o cero y que existen raíces cuadradas de números reales positivos y no solo para enteros positivos. Ello puede 1 aclararse considerando la raíz cuadrada de . 4

Habilidades que desarrollan Recordar, representar, analizar, seleccionar, resolver problemas y calcular.

Actividades

Actividades complementarias Ítems De refuerzo 1. Sea s la distancia recorrida por un cuerpo en caída libre, dada por 1 s = · g · t 2, donde g es la aceleración de gravedad y t es el tiempo 2 transcurrido. a. ¿Qué distancia recorre un cuerpo en caída libre en el primer segundo? b. ¿Qué distancia recorre un cuerpo en caída libre en el tercer segundo?, ¿y en el décimo? c. Si un cuerpo se dejara caer desde 2000 m de altura, ¿qué distancia recorrería en el último segundo? Explica cómo lo calculaste.

Habilidades que desarrollan

Recordar, representar, seleccionar, resolver problemas y calcular.

Reconocer, conectar, aplicar y calcular.

3y4

Conectar, verificar y justificar.

2. Verifica mediante ejemplos numéricos que la relación a + b = a + b no se cumple. (Habilidades que desarrollan: aplicar, calcular y ejemplificar). De profundización 1. Piensa, comenta y responde, justificando tus respuestas. a. ¿Se cumple que (a − b )2 = (a − b ) , para todo a, b IR? b. Si

a = a , con a IR, ¿qué valores puede tomar a?

(Habilidades que desarrollan: aplicar, generalizar, formular hipótesis).

Errores frecuentes Es usual que erróneamente se escriba 25 = (± 5)2.

25 = ± 5 , al considerar que

Unidad 1

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U1-3º (PAG 32-67)_Maquetación 1 08-11-10 10:20 Página 42

Páginas 18 y 19

Irracionalidad de algunas raíces cuadradas

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• En estas páginas se presenta y justifica la irracionalidad de algunas raíces cuadradas, indicando el origen histórico de este hecho y mencionando otros números irracionales habituales en Matemática y sus aplicaciones. • Se debe reforzar la explicación del Texto, insistiendo a las alumnas y los alumnos sobre la falsa apariencia de racionalidad que la cantidad finita de decimales mostrados por las calculadoras podría dar para raíces cuadradas irracionales. • Antes de comenzar las actividades, se recomienda mostrar a los alumnos y las alumnas algunos ejemplos de raíces cuadradas que sean números irracionales. En el Texto del Estudiante solo aparece 2 como ejemplo y la demostración de que este número es irracional.

Recordar, representar, analizar, seleccionar, resolver problemas, calcular y justificar.

Actividades Ítem

Habilidades que desarrollan

Aplicar y justificar.

Clasificar, distinguir y aplicar.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales. a. 3 + 5 2 b.

100

c. (1 –

2 ) (1 +

(Habilidades que desarrollan: aplicar, calcular y clasificar). De profundización 1. ¿Existirán números positivos a y b, tal que a + b sea un número natural? Justifica. 2. Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Explica, en cada caso, tu decisión. a. La suma de dos raíces irracionales es siempre un número irracional. b. El producto de dos números irracionales es siempre un número irracional. c. Si n es un número irracional, entonces n es un número primo. (Habilidades que desarrollan: conectar, aplicar, justificar).

Errores frecuentes Es posible que sus estudiantes consideren como irracionales todas las raíces cuadradas de números, o toda expresión que contenga una raíz cuadrada, lo que no siempre es así. Es importante que los alumnos y las alumnas noten que primero se debe simplificar y calcular la expresión correspondiente y, luego, clasificarla. Por ejemplo, en el tercer ejercicio de refuerzo la expresión es, aparentemente, un número irracional, pero luego de desarrollar el producto nos damos cuenta de que el resultado es un número racional.

42 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Páginas 20 y 21

Unidad 1

U1-3º (PAG 32-67)_Maquetación 1 08-11-10 10:20 Página 43

Ubicación de raíces cuadradas en la recta numérica

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• En estas páginas se presenta un método geométrico para ubicar en la recta numérica raíces cuadradas de números enteros positivos que no sean exactas, dando una justificación a la propiedad de orden de las raíces cuadradas. • Es importante que los alumnos y alumnas comprendan que una aproximación con unos cuantos decimales correctos para una raíz cuadrada inexacta es suficiente para dar una ubicación aproximada de esta en la recta numérica; sin embargo, el método geométrico dado en el Texto permite determinar en forma exacta su ubicación.

Habilidades que desarrollan Distinguir, analizar y conjeturar.

Actividades Ítem

Habilidades que desarrollan

Actividades complementarias

Aplicar y representar.

De refuerzo

Reconocer y aplicar.

2 , a partir de la construcción dada de

3 – 1, a partir de la construcción dada de

1. Ubica 3 + 2. Ubica

(Habilidades que desarrollan: representar y aplicar). De profundización 1. Considerando la construcción dada para

2 , determina la medidas del

triángulo necesario para obtener la construcción de

0, 5 .

(Habilidades que desarrollan: conectar y aplicar).

Errores frecuentes Es posible que sus estudiantes hayan olvidado o apliquen mal el teorema de Pitágoras; es importante que lo recuerde para que los alumnos y alumnas lo sepan y lo usen en forma correcta.

Páginas 22 y 23

Raíces cúbicas

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• Es importante asociar la raíz cúbica con la medida de la arista de un cubo de un volumen dado y también a problemas relacionados con el volumen de otros cuerpos geométricos, ya que de esta forma sus estudiantes podrán comprender más fácilmente su significado. • Recuerde a sus estudiantes que las raíces cuadradas pueden ser construidas con regla y compás, sobre una recta numérica; sin embargo, las raíces cúbicas no. • Las alumnas y alumnos deben comprender que a todo número real se le puede calcular su raíz cúbica, a diferencia de las raíces cuadradas, que existen solo para valores mayores o iguales a cero. Deben comprender también que el resultado de la raíz cúbica de un número mantiene el signo de este.

Habilidades que desarrollan Recordar, representar, analizar, calcular y justificar.

Unidad 1

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Actividades complementarias

Actividades Ítem

De refuerzo

Habilidades que desarrollan

Analizar, aplicar y calcular.

Representar, aplicar y calcular.

Resolver problemas y aplicar.

Reconocer, calcular, verificar y justificar.

1. Encuentra el radio de una esfera cuyo volumen es: a. 64 π cm3

b. 125 π mm3

c. 0,001 π m3

(Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular). De profundización 1. Encuentra la arista de un cubo, el cual tiene un volumen igual al de un cilindro de radio igual al de una esfera cuyo volumen es 64π cm3 y cuya altura es igual a la mitad del radio. 2. Investiga sobre la siguiente pregunta: ¿es verdad que la suma de las raíces cúbicas de dos números es otra raíz cúbica? Fundamenta tu respuesta. (Habilidades que desarrollan: conectar, resolver problemas y justificar).

Páginas 24 y 25

Estimación y comparación de raíces

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• En estas páginas se muestra un método para aproximar raíces con tantos decimales como sea necesario, mediante operaciones aritméticas básicas y la propiedad de preservación del orden entre las raíces de dos números reales no negativos, en el caso de las raíces cuadradas, y todos los números reales, en el caso de las raíces cúbicas. • Este método permite encontrar un valor aproximado de una raíz y también comparar raíces cuadradas, cúbicas y expresiones que las contengan.

Recordar, conjeturar y verificar.

Actividades Ítem

Habilidades que desarrollan

Reconocer, interpretar, aplicar y calcular.

Aplicar y calcular.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Aproxima con una cifra decimal el valor de 20, 5 . Explica el procedimiento utilizado. 2. Aproxima con dos cifras decimales el valor de 190 . Explica el procedimiento utilizado. 3. Aproxima con dos cifras decimales el valor de 3 200 . Explica el procedimiento utilizado. (Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular). De profundización 1. Si el área de un cuadrado varía entre 20 y 40 cm2, ¿entre qué valores varía la medida de su lado? 2. Se quiere cercar un patio cuadrado de 250 m2, pero solo se tienen 50 m de reja; ¿cuánto más es necesario, aproximadamente, para cercar el patio completo? (Habilidades que desarrollan: conectar, resolver problemas y calcular).

44 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Páginas 26 y 27

Unidad 1

U1-3º (PAG 32-67)_Maquetación 1 08-11-10 10:20 Página 45

Producto y cociente de raíces

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• En estas páginas se presenta el procedimiento y las propiedades para el cálculo de producto y cociente de la raíces cuadradas y cúbicas. Es importante que los alumnos y las alumnas tengan claras las propiedades de las potencias, que permiten comprender las propiedades presentadas sobre producto y cociente de raíces cuadradas y cúbicas. • Es también importante insistir en que, para separar una raíz cuadrada en un producto de raíces, se requiere primero comprobar que las raíces de los factores existan. Por ejemplo, 9 = ( −3) ⋅ ( −3) ≠ ( −3) ⋅ ( −3) , ya que la

Habilidades que desarrollan Evaluar, recordar, conectar y reconocer.

Actividades Ítem

expresión ( −3) no es un número real.

Habilidades que desarrollan

• Es muy importante que los alumnos y las alumnas identifiquen que x 2 = x ; explíqueles que es por esto que en las actividades de los ítems 1 y 3 del Texto aparece en forma explícita que las variables en las expresiones que deben simplificar son números positivos. Sin saber esto sería incorrecto afirmar que,

Aplicar, seleccionar y calcular.

Aplicar y calcular.

por ejemplo, x 2 = x , ya que x puede ser un número negativo, por lo tanto, la respuesta sería incorrecta.

Aplicar, seleccionar, calcular y justificar.

Analizar y justificar.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Calcula el valor de las siguientes expresiones. a. ( 3 2 + 3 5 ) ( 3 4 + 3 10 + 3 25 )

3 8 + 3 32 3 125

2⋅ 3 1 − 12 2

(Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular). De profundización 3 ( a5 ) 1. Simplifica , asumiendo a positivo.

a3 2. Piensa, comenta y responde, justificando tu respuesta. ¿Se cumple que

a2 − 2ab + b2 = (a − b )2 = a − b , para todo a, b IR? (Habilidades que desarrollan: conectar, verificar, generalizar y justificar).

Unidad 1

| 45

U1-3º (PAG 32-67)_Maquetación 1 08-11-10 10:21 Página 46

Página 28

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

Actividades Mapa conceptual

Organizando lo aprendido

Recordar y conectar.

Recordar, evaluar y conectar.

Recordar y analizar.

3, 4, 5, 6, 7, 8

Recordar, analizar, evaluar y justificar.

9, 10, 11

Analizar, recordar y conectar.

Analizar y evaluar.

• Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos y alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los alumnos y alumnas consolidan, organizan y clarifican lo aprendido. Además, permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus estudiantes en la Unidad.

Actividades complementarias De refuerzo 1. ¿Para qué conjunto de números es posible determinar la raíz cuadrada de estos? 2. ¿Para qué conjunto de números es posible determinar la raíz cúbica de estos? (Habilidades que desarrollan: recordar, analizar y generalizar). De profundización 1. Inventa un problema de manera que para resolverlo sea necesario realizar el cálculo de una raíz cuadrada. Luego, resuélvelo y explica, paso a paso, el procedimiento utilizado. 2. Repite el ejercicio anterior, pero utilizando una raíz cúbica. (Habilidades que desarrollan: recordar, analizar, calcular y formular).

Página 29

Mi progreso Ítem

Habilidades que evalúan

Reconocer, analizar, aplicar y justificar.

Aplicar, recordar y calcular.

Aplicar y calcular.

Conectar, aplicar y calcular.

Mi progreso En esta página se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos y alumnas aplicar lo aprendido hasta ahora en la Unidad. Esta instancia la puede utilizar como una evaluación formativa, que considera las habilidades que se detallan en el cuadro Mi progreso, e incluye los siguientes criterios. Ítem 1: Determinar si las desigualdades dadas son verdaderas. Ítem 2: Simplificar expresiones aplicando propiedades de las raíces. Ítem 3: Calcular el valor de la expresión dada, utilizando propiedades de las raíces. Ítem 4: Resolver problemas que involucran el cálculo de raíces. Ítem 5: Calcular el área de figuras geométricas.

46 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Ítem

Completamente logrado

Medianamente logrado

Logrado

Por lograr

Determina correctamente las desigualdades verdaderas y las falsas, utilizando un procedimiento adecuado.

Determina correctamente, en la mayoría de los casos, cuáles desigualdades son verdaderas y cuáles falsas.

Determina en forma correcta si son verdaderas o falsas solo la mitad de las desigualdades, cometiendo errores de cálculo.

Determina si es verdadera o falsa solo una o ninguna de las desigualdades en forma correcta, sin utilizar un procedimiento adecuado y cometiendo errores de cálculo.

Simplifica en forma correcta cada expresión, utilizando un procedimiento adecuado.

Simplifica en forma correcta cada expresión, aunque alguna de las expresiones obtenidas puede simplificarse aún más.

Simplifica en forma correcta la mitad o más de las expresiones, cometiendo errores de cálculo.

Simplifica correctamente dos o menos de las expresiones, cometiendo errores en las propiedades de raíces y/o en seguir una estrategia adecuada.

Resuelve correctamente los problemas, estableciendo una representación y siguiendo una estrategia de resolución adecuada.

Resuelve correctamente los problemas, pero no muestra completamente el procedimiento utilizado.

Resuelve correctamente uno de los problemas, fallando en el otro en modelar el problema y/o en propiedades de las raíces.

No resuelve ninguno de los problemas, aunque logra establecer una representación adecuada para alguno de ellos.

Calcula correctamente el área de cada figura, utilizando un procedimiento adecuado.

Calcula correctamente el Calcula correctamente el Calcula correctamente el área de cada figura. área de dos o tres de las área de una o ninguna figuras. de las figuras.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En los ítems 1 y 2, podría ocurrir que sus alumnos y alumnas aplicaran de forma incorrecta las propiedades de las raíces. Para evitar esto, sería conveniente que, previo a la actividad, realice un repaso de estas propiedades y, además, enfatice que no hay propiedades para las operaciones de adición y sustracción cuando trabajamos con raíces. • En el ítem 5, puede que los alumnos y las alumnas presenten dificultades para encontrar el área pintada de cada figura, ya que estas no son un cuadrado. Se recomienda que les explique que para encontrar el área pedida, deben determinar primero el lado de cada uno de los cuadrados no pintados, y así determinar el lado del cuadrado mayor. Teniendo esta medida pueden calcular el área del cuadrado mayor y restarle el área de los cuadrados no pintados, obteniendo, de esta forma, el resultado buscado. A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzar o profundizar los contenidos trabajados hasta este momento en la Unidad. Usted podrá plantearles las actividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtengan en la evaluación formativa y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.

Unidad 1

| 47

Unidad 1

U1-3º (PAG 32-67)_Maquetación 1 08-11-10 10:21 Página 47

U1-3º (PAG 32-67)_Maquetación 1 08-11-10 10:21 Página 48

Actividades complementarias 5. La suma 40 – 2 5 es igual a:

Ejercicios de refuerzo

A. 30

1. Calcular el valor de las siguientes raíces. a.

d. 3 −1000

13 ⋅ 13

c. 3 64

16 ⋅ 25

B. 3 10 C. 10 D. − 10 E. − 30

2. Compara las siguientes expresiones y escribe el signo =, > o <, según corresponda. a. 2 3 y 3 2

b. 2 9 y 3 2

128 y 2 16 12 ⋅

75 y 25

3 2 ⋅ ⋅ 3 2

(

27 8

0, 5 ?, ¿cómo lo

3. Determina el volumen de un cubo si la longitud de una de sus aristas es igual a la mitad que la de un cubo de volumen 64 cm3.

53 15 33

36 ⋅32 e. 3 3 4⋅ 9

3 ⋅ 5) 9 ⋅ 25

0, 5 o

1. ¿Qué expresión es mayor: supiste?

2. Encuentra una aproximación para 14 con 4 decimales correctos.

3. Simplifica las siguientes expresiones. 5⋅ 3 15

Ejercicios de profundización

a3b5 ⋅ a5b7

4. Simplifica las siguientes expresiones.

12x 3 y12 27 xy 2

32a9b5

162a17

a2b 4 b. 3 16 x 2 y ⋅ 3 4 xy 2

4. Sin utilizar calculadora, obtén el valor, o una aproximación de este, de las siguientes raíces: a.

169

f. 3 −512

144 4

125 g. 3 − 216

c. 3 343

288

64 d. 3 27

3 4

216 e. 3 125

j. 3 50

48 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

10 xz10 ⋅ 30 x17 z 250 xy 7 z 4 18 x17 y 2

3 −16 x 3 y 4 3 128 y10 3

( −32 )3 ⋅ 3 x18 3

x5 ⋅ x 9 3 5

x ⋅ x9

5. Determina el valor de x en cada uno de los siguientes triángulos.

4 3

g. –

b. 6

6 5

h. 16,97

c. 7

f. –8

4. a. 13

5 6

Unidad 1

U1-3º (PAG 32-67)_Maquetación 1 08-11-10 10:21 Página 49

j. 3,68

i. 0,87

5. C 5 b.

Ejercicios de profundización 3

0, 5 <

0, 5

2. 3,7417

3. 8 cm3

c. 6

2 4. a. xy 5 3

9a f. −

b. 4xy

x 2y

9 5

c. 10 x z

b 4

g. –9x 6

d. 2 2

5y z

5y 8

x x

5. a. x = 5 2

b. x = 3 2

Solucionario

c. x = 3 3

Ejercicios de refuerzo d. x = 2 5 1. a. 6 b. 9

c. 4 d. –10

2. a. 2 3 < 3 2 3

b. 2 9 > 3 2

128 = 2 16 12 ⋅

75 > 25

3. a. 1 b.

e. 13 f. 20

d. 5 5

9 4

e. 15

1 3

f. a3b4

Unidad 1

| 49

U1-3º (PAG 32-67)_Maquetación 1 08-11-10 10:21 Página 50

Páginas 30 y 31

Ampliando el concepto de raíz

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• En estas páginas se presenta la raíz enésima de un número real a, representada

Conjeturar, analizar, evaluar e interpretar.

Actividades Ítem

Habilidades que desarrollan

Aplicar, calcular y reconocer.

Analizar, seleccionar y justificar.

Aplicar y calcular.

por

a , como el número real, si existe, que resuelve la ecuación xn = a,

donde n es cualquier entero mayor que 1. • Para introducir el concepto de la raíz enésima se utiliza la definición de la media geométrica. Debe explicar a los y las estudiantes que la media geométrica de n términos es la raíz enésima del producto de los n términos; si la denotamos por G, tendremos que G = n x1 · x 2 ·…· xn . • Se sugiere mencionar a los alumnos y las alumnas que aunque la media geométrica entre dos números se vincula con área y raíz cuadrada, y entre tres números se vincula con volumen y raíz cúbica, para raíces de índice mayor la vinculación con la raíz correspondiente persiste, pero no así la intuición geométrica. • Es importante que los y las estudiantes entiendan que la raíz enésima de un número real negativo solo existe en el conjunto de los números reales si el índice de la raíz es un número par.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Calcula el valor de las siguientes expresiones: a. 4 16

c. 6 729

b. 5 32

3 −27

e. 7 −128

g. 5 3125

f. 111

h. 8 512

2. Determina si las siguiente raíces pertenecen al conjunto de los números reales: 3 0, 01

a. 5 −300

b. 6 −6

d. 7 0

e. 4 −16 f. 6 −3 + 6

(Habilidades que desarrollan: analizar y calcular). De profundización 1. ¿Qué condiciones deben satisfacer m y n para que se cumpla n⋅m

a =

n+m

a para todo a ⱖ 0?, ¿por qué?

2. ¿Qué ocurre en el ejercicio anterior si a = 0?, ¿y si a = 1? (Habilidades que desarrollan: conectar, analizar y generalizar).

50 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Páginas 32 a 35

Unidad 1

U1-3º (PAG 32-67)_Maquetación 1 08-11-10 10:21 Página 51

Cálculo y propiedades de raices enésimas

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• Es importante que los alumnos y las alumnas tengan claras las propiedades de las potencias que permiten comprender las propiedades presentadas sobre producto y cociente de raíces enésimas.

Habilidades que desarrollan Verificar, analizar, justificar, generalizar y evaluar.

Actividades complementarias De refuerzo

Actividades

1. Determina si la siguiente igualdad es verdadera o falsa. Justifica tu decisión. 34

Ítems

1 a. Calcula el valor de

Habilidades que desarrollan Aplicar y calcular.

10000 .

b. Calcula el valor de 4 16 · 81 .

2, 3 y 4

Seleccionar, aplicar y calcular.

Reconocer, aplicar, calcular y predecir.

Reconocer, aplicar, calcular, analizar y justificar.

(Habilidades que desarrollan: analizar, verificar y calcular). De profundización 4x + 2 − 4x 1. Si x > 0, encuentra el valor de x . 15 (Habilidades que desarrollan: seleccionar, analizar y calcular).

Páginas 36 y 37

Relación entre raíces y potencias

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• En estas páginas se presenta la expresión de raíces como potencias de exponente fraccionario, y las propiedades de las raíces a partir de su relación con las potencias. • Los y las estudiantes deben comprender que para que una expresión con exponente fraccionario exista en el conjunto de los números reales, si el denominador del exponente es un número par, la base de la potencia debe ser un número positivo. De lo contrario, la expresión pertenecerá al conjunto de los números complejos. • También se muestra en estas páginas, cómo expresar un producto de raíces con diferentes índices como una sola raíz, utilizando la relación entre raíces y potencias. En el Texto aparece un ejemplo resuelto; no obstante, se recomienda que muestre a sus estudiantes otro ejemplo o los que sean necesarios para que comprendan el procedimiento utilizado y puedan así realizar las actividades de este.

Habilidades que desarrollan Analizar, conjeturar, evaluar y justificar.

Unidad 1

| 51

U1-3º (PAG 32-67)_Maquetación 1 08-11-10 10:21 Página 52

Actividades complementarias

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

De refuerzo 1. Simplifica las siguientes expresiones y explica, paso a paso, cómo lo hiciste.

1y2 3

Aplicar y calcular.

6 3 4 · 45 a.

Aplicar, analizar y calcular. Reconocer, seleccionar, aplicar, analizar, calcular y resolver problemas. Reconocer, seleccionar, aplicar, analizar, conectar y calcular.

47 b. 3 7 2

2. Determina si las siguientes expresiones son equivalentes: (–2) 3 y –2 3 . Explica tu decisión. (Habilidades que desarrollan: analizar, calcular y verificar). De profundización 1. Escribe la siguiente expresión como una potencia

m n m+n

(Habilidades que desarrollan: conectar y representar).

Errores frecuentes Un error frecuente en los y las estudiantes es no hacer la transferencia de la representación de raíces a las potencias con exponente fraccionario. Deben manejar esta relación, que les permitirá resolver expresiones en forma más n·m sencilla y deducir propiedades de las raíces como n m a = a.

Páginas 38 a 41

Expresiones con raíces en el denominador

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• En estas páginas se presenta el procedimiento que permite racionalizar una expresión que contenga raíces en el denominador, es decir, encontrar una expresión equivalente a esta, pero que no posea raíces en el denominador. • Los alumnos y las alumnas deben ser capaces de aplicar el procedimiento adecuado, dependiendo de la expresión que se tenga en el denominador. • En el Texto se presenta el procedimiento para racionalizar expresiones que contienen un monomio y binomio con raíces cuadradas en el denominador. Una vez aprendido este procedimiento por los y las estudiantes, se puede mostrar cómo utilizarlo para racionalizar expresiones que contienen un trinomio en el denominador, para lo cual puede mostrar como se racionaliza la expresión 1 , con el siguiente desarrollo: 2+ 3+ 5

Analizar, reconocer, aplicar, calcular y evaluar.

52 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Para resolverlo, utilizaremos un procedimiento basado en el usado para racionalizar expresiones que contienen un binomio con raíces cuadradas en el denominador; solo que, en este caso, será necesario aplicar dos veces el procedimiento. Podemos asociar los términos de manera que podamos formar un binomio. Luego, amplificamos formando una suma por diferencia en el denominador. 1

(

2 + 3) + 5

(

2 + 3) + 5

⋅

( (

Actividades Ítem

Habilidades que desarrollan

Reconocer, seleccionar, aplicar y calcular.

Reconocer, seleccionar, aplicar, calcular y verificar.

Representar, seleccionar, aplicar, calcular y resolver problemas.

2 + 3) − 5 2 + 3) − 5

( 2 + 3) − 5 ⎡⎣( 2 + 3 ) + 5 ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣( 2 + 3 ) − 5 ⎤⎦ ( 2 + 3) − 5 ( 2 + 3 )2 − 52 ( 2 + 3 ) − 5 desarrollamos el cuadrado de binomio ( 2 + 2 2 ⋅ 3 + 3) − 5 2+ 3− 5 2 6

reducimos términos semejantes

Como aún tenemos una raíz en el denominador, amplificamos nuevamente para eliminarla. Debe aclarar a sus estudiantes que, en este caso, la expresión obtenida es un monomio; en otros casos puede ser un binomio, por lo que, para racionalizar, tendríamos que formar nuevamente una suma por diferencia. 2+ 3− 5 6 6 ( 2 + 3 − 5) ⋅ = 2⋅6 2 6 6 =

6 ( 2 + 3 − 5) 12

Actividades complementarias De refuerzo 1. Racionaliza las siguientes expresiones.

a 3 ab

3a 2a − b

7 2

1 e. 3 5 −32

7 3 2−2 3

32 − 36 f. 3 2 + 36

a b

(Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular).

Unidad 1

| 53

Unidad 1

U1-3º (PAG 32-67)_Maquetación 1 08-11-10 10:21 Página 53

U1-3º (PAG 32-67)_Maquetación 1 12-11-10 11:17 Página 54

De profundización 1. Racionaliza las siguientes expresiones. Muestra, paso a paso, el procedimiento utilizado. a.

8 2 6− 2−2

4 3+3 5 − 15 + 6

2. Racionaliza la expresión

(

)

4 7 −1

, utilizando el siguiente producto notable:

(a 4 − b4 ) = (a − b )(a3 + a2b + ab2 + b3 ) . (Habilidades que desarrollan: analizar, conectar y calcular).

Errores frecuentes Es importante recalcar que la racionalización de una expresión fraccionaria con denominador radical significa encontrar una fracción equivalente sin raíces en el denominador. Para poder resolver este tipo de problemas, es fundamental que los alumnos y las alumnas tengan conocimiento de las propiedades y de la factorización por diferencia de cuadrados, suma de cubos y diferencia de cubos.

Páginas 42 y 43

Ecuaciones con radicales

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• Es importante enfatizar en que siempre se debe remplazar el valor de las soluciones encontradas en la ecuación original para verificar que sea solución de dicha ecuación. Encontrar las restricciones de los valores que puede tomar la incógnita puede facilitar la resolución de ciertos ejercicios; sin embargo, siempre es necesario comprobar las soluciones. • En el procedimiento para resolver ecuaciones con sumas o restas de raíces cuadradas, se debe mencionar a los alumnos y las alumnas que antes de elevar al cuadrado se debe evitar dejar dos raíces al mismo lado de la igualdad, ya que el cuadrado de binomio producirá un término con el producto de ambas raíces, lo que complicará innecesariamente el trabajo. • Explique a sus estudiantes que hay ecuaciones con radicales, como las que se han estudiando en estas páginas, que no tienen solución. Para esto se sugiere mostrar un ejemplo como el que sigue.

Representar, analizar, identificar, aplicar y calcular.

Actividades Ítem

Habilidades que desarrollan

Reconocer, seleccionar, aplicar y calcular.

Evaluar, conjeturar y justificar.

Evaluar, reconocer, aplicar, verificar y justificar.

x + 6 + 10 = 4

/ – 10

x + 6 = 4 − 10 x + 6 = −6

/( )2

x + 6 = 36

/–6

x = 30

54 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Unidad 1

U1-3º (PAG 32-67)_Maquetación 1 08-11-10 10:21 Página 55

Por lo tanto, x = 30 podría ser una solución de la ecuación. Luego, remplazamos el resultado obtenido en la ecuación original. 30 + 6 + 10 = 4 36 + 10 = 4 6 + 10 = 4 16 = 4 Sin embargo, 16 ≠ 4; en consecuencia, x = 30 no es solución de la ecuación. • Muestre a sus estudiantes que si se tiene una ecuación como x + 6 = –6 , no es necesario resolverla para saber que esta no tiene solución. Esto, pues sabemos que la raíz cuadrada de un número es siempre positiva, por lo tanto esta no puede ser igual a –6.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Resuelve la siguientes ecuaciones con radicales. a. x + 1 = x 2 + 7 b.

x + 8)3 = 3

x + 10 − x − 10 = 2

x 2 + x 2 + 4x + 4 = 0

(Habilidades que desarrollan: aplicar, evaluar y verificar). De profundización 1. Analiza y luego explica por qué la ecuación solución.

1+ x = 3 x − 1 no tiene

2. Plantea la ecuación; luego, resuelve los siguientes problemas. Explica, paso a paso, el procedimiento utilizado. a. El área de un triángulo equilátero mide 9 3 m2. Determina el perímetro y la medida de su altura. b. El volumen de un cubo mide 1728 m3. Calcula la medida de la diagonal de una de sus caras. (Habilidades que desarrollan: aplicar, analizar y resolver problemas).

Errores frecuentes • Un error frecuente en los y las estudiantes es no remplazar la solución o las soluciones encontradas en la ecuación original; se debe insistir en que siempre hay que comprobar estas.

Unidad 1

| 55

U1-3º (PAG 32-67)_Maquetación 1 08-11-10 10:21 Página 56

Página 44

Habilidades que desarrollan

Actividades Mapa conceptual

Organizando lo aprendido

Recordar y conectar.

1a6

Recordar, evaluar y conectar.

Recordar, analizar y justificar.

Analizar y evaluar.

Las alumnas y los alumnos deben contar con el tiempo necesario para revisar el mapa conceptual y comentar respecto de las relaciones que se presentan entre los conceptos. Es importante que revisen si faltó algún concepto importante y que lo agreguen en el mapa conceptual; esto le permitirá consolidar sus conocimientos y tener una visión global de lo visto hasta este momento en la Unidad.

Actividades complementarias De refuerzo 1. ¿Qué función cumplen los productos notables al racionalizar una expresión?, ¿en que casos se utilizan? 2. ¿Qué relación hay entre la raíz cuadrada de un número y su valor absoluto?, ¿se mantiene esa relación con la raíz cúbica? (Habilidades que desarrollan: recordar, conectar y analizar). De profundización 1. Haz un listado de las propiedades de las raíces respecto de producto, división, suma y resta y, luego, compáralas con la de las potencias. ¿Qué similitudes y diferencias hay? 2. Luego de racionalizar se obtiene una expresión equivalente a la original, ¿por qué ocurre esto?; ¿de qué modo podrías verificarlo? (Habilidades que desarrollan: recordar, conectar, analizar y justificar).

Página 45

Mi progreso Ítems

Habilidades que evalúan

Reconocer, analizar, aplicar y calcular.

2y3

Seleccionar, aplicar y calcular.

Seleccionar, aplicar, calcular y verificar.

Aplicar y calcular.

Mi progreso En esta página se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los y las estudiantes aplicar lo aprendido en esta Unidad. Esta instancia la puede utilizar como una evaluación formativa, que considera las habilidades que se detallan en el cuadro Mi progreso, e incluye los siguientes criterios: Ítem 1: Determinar si las desigualdades dadas son verdaderas. Ítem 2: Racionalizar expresiones con raíces en el denominador. Ítem 3: Calcular el valor de las expresiones dadas, utilizando las propiedades de las raíces. Ítem 4: Resolver ecuaciones con radicales. Ítem 5: Calcular el valor de la expresión dada.

56 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Establece y justifica correctamente la verdad o falsedad de todas las igualdades.

Establece correctamente la verdad o falsedad de la mayoría de la igualdades dadas.

Establece correctamente la verdad o falsedad de algunas igualdades, errando en las demás por cálculos y no por errores en propiedades de raíces.

Establece correctamente la verdad o falsedad de una o ninguna de las igualdades por error de propiedades de raíces y/o de cálculo.

Racionaliza y simplifica correctamente todas las expresiones.

Racionaliza correctamente todas las expresiones.

Racionaliza correctamente muchas de las expresiones, fallando en las demás en cálculos y no en propiedades de raíces o elección de estrategia de racionalización.

Equivoca la mayoría de las racionalizaciones por errores de cálculo y/o de propiedades de raíces y/o de elección de estrategia de racionalización acorde al caso.

Por lograr

Calcula correctamente Calcula correctamente Calcula correctamente la y simplifica al máximo cada expresión. mitad o más de las exprecada expresión. siones, simplificando solo algunas.

Calcula correctamente dos o menos de las expresiones, simplificando pocas de ellas.

Resuelve correctamen- Resuelve correctamente cada ecuación, justi- te cada ecuación. ficando sus etapas y comprobando cada solución.

Resuelve correctamente una o ninguna de las ecuaciones. Comprueba pocas o ninguna de sus soluciones.

Resuelve correctamente dos o tres de las ecuaciones, comprobando solo algunas soluciones.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 2, puede que los alumnos y las alumnas no noten que para simplificar algunas de las expresiones es necesario racionalizar la expresión. Otra posible dificultad es que los y las estudiantes suelen amplificar expresiones, tales como los ejercicios c y d, por el mismo binomio que aparece en el denominador, sin cambiar el signo, lo cual no permite eliminar las raíces del denominador. Para evitar esto, recuerde a sus estudiantes que deben colocar el signo opuesto al binomio que presenta el denominador de la expresión a racionalizar. Por otro lado, en los ejercicios b, g y h, los y las estudiantes suelen pensar que deben amplificar por la misma raíz, lo cual no elimina la raíz en el denominador. Para evitarlo, recuérdeles cómo se debe racionalizar una expresión con una raíz enésima en el denominador, aclarando por qué al multiplicar por la misma raíz el denominador de esta no se elimina. • En el ítem 4, puede que los alumnos y alumnas olviden remplazar las soluciones encontradas en la ecuación original; para evitarlo, explique por qué al resolver la ecuación hay casos en que se obtienen soluciones que, al remplazar en la ecuación original, resultan no serlo. A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzar o profundizar los contenidos trabajados hasta este momento en la Unidad. Usted podrá plantearles las actividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtengan en la evaluación formativa y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes. Unidad 1

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Unidad 1

U1-3º (PAG 32-67)_Maquetación 1 08-11-10 10:21 Página 57

U1-3º (PAG 32-67)_Maquetación 1 08-11-10 10:21 Página 58

Actividades complementarias Ejercicios de refuerzo 1. Expresa como una sola raíz las siguientes expresiones. 32

a. b.

abc

2b ⋅

e. 2 · 8

es 3 4 a cm2.

1 2

a b

3. Calcula la medida del lado de un cuadrado cuya área

44⋅ 33 1 2

f. 32 : 32

c b

2. Expresa las siguientes expresiones de la forma más simple posible. a.

16m n

3 2

a b ⋅ a 4b 2

5 15 ⋅ 8 3 15 4 152

Solucionario Ejercicios de refuerzo 1. a.

x ⋅ x3 3

32b7

b. a ab2

x 8 z9 c.

26 3

155

e. 4 f. d.

4. a.x = 61

1 2

− 3a

b. x =

4. Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales. Luego, comprueba la solución. a.

x +3 = 8

b. 3 x + 3 − 1 = 7

( x + 3) ( x − 5) − 5 = x

1. Expresa las siguientes expresiones como una sola raíz. 1

3 3 3 3

x x

c. c a : b 2a a

30 a

p 7 mnp3 xz xz 2

2 +1

d. x b ⋅ y d

58 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

37 9

4 + 23 a + a2 8−a

c. No tiene solución d. x = 9

Ejercicios de profundización 1. a.

d. 3 3 x − 5 = 4

Ejercicios de profundización

a −c

b. 25 16

2 −1

4 5

3. a. 2 3

e. x 3 x

3. Racionaliza las siguientes expresiones: 6

12 5184

4m 4 n 2. a. 2

mnp10

b. abc d

2. Explica por qué la ecuación 2x + 8 + 5 = 3 no tiene solución en el conjunto de los números reales.

16 15

12 10

81a

c. d.

2 2a c b bd

x ad ⋅ y bc

Páginas 46 y 47

Unidad 1

U1-3º (PAG 32-67)_Maquetación 1 08-11-10 10:21 Página 59

Cómo resolverlo

Indicaciones respecto del contenido • La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la Unidad; sin embargo, en estas páginas se presentan estrategias de resolución específicas de problemas con contenidos de la Unidad para que los y las estudiantes las aprendan y las apliquen a futuros problemas. • Esta resolución se presenta detallada, justificando las diferentes acciones, lo que permite aclarar posibles dudas que sus estudiantes puedan mantener. • Se recomienda que enfatice los pasos que deben seguir en la resolución de problemas: comprender, planificar, resolver y revisar. • Es importante fomentar una discusión respecto del procedimiento utilizado en el Texto para resolver el problema mostrado y los distintos procedimientos propuestos por sus estudiantes, que permita comprender las razones por las cuales se resuelve de cada forma, teniendo en cuenta los elementos que se deben reconocer para que puedan ellos seleccionar un procedimiento adecuado.

Actividades Ítem

Habilidades que desarrollan

Aplicar, calcular, evaluar y resolver problemas.

Conjeturar, analizar, evaluar, resolver problemas y justificar.

Seleccionar, aplicar, calcular, evaluar, resolver problemas y generalizar.

A continuación, se presentan diferentes indicadores de logro que puede utilizar para evaluar la resolución de los problemas planteados. Logro, aplicación

Comprensión del problema o situación

Comprensión de conceptos

Verificación de resultados y/o progreso

En proceso, logro parcial

No comprende

• Puede expresar en sus propias palabras e interpretar coherentemente el problema. • Identifica la información necesaria. • Tiene una idea acerca de la respuesta.

• Copia el problema. • No entiende el problema. • Identifica palabras clave. • Entiende mal el problema. • Puede que mal interprete • Como rutina pide parte del problema. explicaciones. • Puede que tenga alguna idea acerca de la respuesta.

• Aplica correctamente reglas o algoritmos cuando usa símbolos. • Conecta cómo y por qué. • Aplica el concepto a problemas o a situaciones nuevas. • Hace y explica conexiones. • Realiza lo pedido y va más allá.

• Demuestra un entendimiento parcial o satisfactorio. • Puede demostrar y explicar usando una variedad de modos. • Está listo para hacer conexiones acerca de cómo y por qué. • Relaciona el concepto con conocimiento y experiencias anteriores. • Realiza las tareas cada vez con menos errores.

• Chequea racionalidad de los • Revisa cálculos y resultados. procedimientos. • Reconoce sin razones. • Puede investigar razones si existen dudas.

• No modela los conceptos rutinarios correctamente. • No puede explicar el concepto. • No intenta resolver el problema. • No hace conexiones.

• No revisa cálculos ni procedimientos. • No reconoce si su respuesta es o no razonable.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm Unidad 1

| 59

U1-3º (PAG 32-67)_Maquetación 1 08-11-10 10:21 Página 60

Páginas 48 y 49

En terreno

Indicaciones respecto del contenido

Actividades

1, 2 y 3

• Esta sección tiene como objetivo que los alumnos y alumnas apliquen los contenidos aprendidos en la Unidad con una situación real. Para ello, se presenta una aplicación relacionada con el período de un péndulo. • Para el desarrollo de la actividad, se plantean varias actividades que utilizan un péndulo simple que los alumnos y alumnas pueden construir en la sala. • Para potenciar la actividad, se recomienda que esta sea realizada en grupos, y que posteriormente, se seleccione uno o más, según el tiempo que se disponga para la actividad, para que presenten ante el resto de los compañeros y compañeras los resultados obtenidos.

Habilidades que desarrollan

Ítems

Analizar, aplicar y calcular.

Investiguemos… • Los ítems 1 y 2 se refieren a las actividades previas. La discusión planteada permite evaluar los aprendizajes adquiridos en la Unidad, y la propuesta para que sus estudiantes comparen los resultados entre ellos permitirá corregir y reforzar los contenidos. • Para desarrollar el ítem 3, se requiere la construcción de un péndulo sencillo. Es importante que las oscilaciones del péndulo sean pequeñas, de no más de 15º de amplitud, ya que la fórmula dada es una aproximación usada solo para ángulos de oscilación pequeños.

Página 50

Actividades Mapa conceptual

Síntesis de la Unidad

Habilidades que desarrollan Recordar y conectar.

1, 2, 4, 6, 7, Recordar, conectar 8, 9 y 10. y evaluar. 3y5

Recordar, conectar y justificar.

Analizar y evaluar.

Indicaciones respecto del contenido • En esta sección, se presentan algunos conceptos tratados en la Unidad para que las alumnas y los alumnos completen con ellos un mapa conceptual. Aclare a sus estudiantes que deben completar el mapa conceptual, ya que no están todos los conceptos trabajados en la Unidad. Es importante recordar que al construir el mapa conceptual, este debe tener las palabras de enlace entre los conceptos, que indiquen la relación entre ellos y no solo una línea que los una. • Las preguntas propuestas a continuación permitirán evaluar los aprendizajes alcanzados por los alumnos y las alumnas en la Unidad, y repasar aquellos no completamente logrados.

Actividades Complementarias Una vez que sus estudiantes han realizado cada uno su mapa conceptual, pídales que se los intercambien entre ellos y ellas, de modo que cada uno evalúe el de su compañero o compañera. Recuérdeles que en un mapa conceptual cada concepto se debe escribir de manera independiente y que son las palabras de enlace las que indican las relaciones que hay entre los conceptos.

60 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Páginas 51 a 53

Unidad 1

U1-3º (PAG 32-67)_Maquetación 1 08-11-10 10:21 Página 61

Evaluación sumativa

En estas páginas, se propone una evaluación que integra todos los contenidos vistos en la Unidad. Esta instancia puede ser utilizada como una evaluación sumativa que considera las habilidades del cuadro. Ítem

Habilidades que desarrollan

1a6

Reconocer, conjeturar, comprobar, analizar y justificar.

Reconocer, seleccionar, aplicar y calcular.

2y3

Representar, aplicar y calcular.

4y5

Recordar, conjeturar y justificar.

2, 3, 4, 7, 10, 12, 13 y 14

Reconocer, seleccionar, aplicar y calcular.

1, 5, 6, 8, 9 y 11

Representar, aplicar y calcular.

III

Ítem

Completamente logrado

Logrado

Determina correctamente Determina correctamente el valor de verdad de el valor de verdad de todas las expresiones y todas las expresiones. justifica todas sus decisiones.

Responde correctamente todos los ejercicios, utiliII zando un procedimiento 1, 2 y 3 adecuado.

Medianamente logrado Determina correctamente el valor de verdad de la mayoría de las expresiones, justificando solo algunas.

Por lograr Determina correctamente el valor de verdad de pocas de las expresiones, no justificando estas o justificando pocas de ellas.

Responde correctamente Responde correctamente Responde correctamente todos los ejercicios. la mitad o más de los menos de la mitad de los ejercicios. ejercicios, mostrando errores conceptuales en los procedimientos utilizados.

Unidad 1

| 61

U1-3º (PAG 32-67)_Maquetación 1 08-11-10 10:21 Página 62

Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Resuelve correctamente ambos problemas, utilizando y mostrando un procedimiento adecuado.

Resuelve correctamente ambos problemas.

Resuelve correctamente uno de los problemas, comete errores en el planteamiento de este, y/o en las propiedades de las raíces.

No resuelve correctamente ninguno de los problemas.

Resuelve correctamente todas las ecuaciones, remplazando las soluciones cuando corresponde.

Resuelve correctamente todas las ecuaciones.

Resuelve correctamente dos o más de las ecuaciones.

Resuelve correctamente una o ninguna de las ecuaciones.

III Contesta correctamente 1 al 14 todas las preguntas.

Contesta correctamente 10 preguntas o más.

Contesta correctamente entre 7 y 9 preguntas.

Contesta correctamente 6 preguntas o menos.

II 4

II 5

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • Los ejercicios del ítem I requieren que los alumnos y alumnas tengan claridad conceptual, de modo de reconocer si cada afirmación es verdadera o no, y que puedan justificar mediante contraejemplos o con algún argumento válido. Para ayudar a sus estudiantes a responder los ejercicios propuestos, pídales intercambiar respuestas con sus pares para, luego, comentarlas con el curso. • En el ítem II, en el ejercicio 5, un error frecuente es que los estudiantes olvidan comprobar las soluciones llegando a respuestas que, en algunos casos, no son soluciones de la ecuación. Recuérdeles que cuando la incógnita es parte de la cantidad subradical, siempre deben comprobar estas en la ecuación original, descartando la o las soluciones que no cumplan con esta. • Los ítems II y III pueden presentar errores de cálculo. Se recomienda que luego de terminar la evaluación, revise en conjunto con sus estudiantes estos ejercicios, explicando el desarrollo, paso a paso, y mostrando si existe más de un procedimiento correcto para el desarrollo de la actividad. A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzar o profundizar los contenidos trabajados en la Unidad. Usted podrá plantearles las actividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtengan en la evaluación sumativa, y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.

62 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

U1-3º (PAG 32-67)_Maquetación 1 08-11-10 10:21 Página 63

Ejercicios de refuerzo

4. La expresión

20 ⋅ 3 x

1. Calcula los siguientes productos. a.

3 0, 25 ⋅ 3 0, 5

53⋅ 54

⋅ 57

2+ 2 ⋅ 2− 2

es igual a:

E. Ninguna de las anteriores.

C. 0

c. 2 2 ⋅ 3 8 d.

Unidad 1

Actividades complementarias

2 5. La expresión 3 3 192 es equivalente a:

e. 2 5 ( 5 − 3 ) f. 2a a

1− m

⋅ 3b a

,a>0

4 1 ⋅ 3 2

A. 3 5 192

D. 3 6 139 968

B. 6 6 3

E. 6 36 864

C. 3 6 192

2. Simplifica las siguientes expresiones. a.

12x ⋅ 3x 3

Ejercicios de profundización

x 2y

1. Calcula las siguientes raíces sin utilizar calculadora.

36 ( x + y )

2 ( x + y )2

5 −0, 00032

3−

0, 000027 0, 000125

x3 6 8

(

g. 3 81 x 2 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3

)

2. Racionaliza las siguientes expresiones.

x+y+ y x+y− y

1 5+ 3− 2

12 2

x3 3. Racionaliza las siguientes expresiones, considerando a, b y c números positivos. a.

a −5 a 5

a b −b a ab

a b a− b

2+ 3 3− 2

73 10

6+ 3+ 2 6+ 3− 2

x +2 x + 2 + x − 2 − 2x

2 6− 3+ 5

3. Dada la siguiente figura:

23 7 1+ 3 ac 3 ac

1 2+ 35

a2 + b2 3 2

calcula el área del círculo si el lado del cuadrado mide 8 cm.

a + b2 Unidad 1

| 63

U1-3º (PAG 32-67)_Maquetación 1 08-11-10 10:21 Página 64

4. Al racionalizar la expresión

1 n n –1 n –2 a b

, (a ≠ 0, b ≠ 0),

obtenemos: A.

a n

ab2

Ejercicios de profundización 1.

D. n

a. –0,2 b. –0,6

ab2 ab 2. ab2

(

ab2

a2b c. −

Solucionario

d. −

ab2 b. −

x+y+ y

1 24

(

)(

5 + 3 + 2 6 − 2 15

)

2 ( 6 – 5 – 3 ) (2 + 3 2 ) 28 1 23

(

6+ 3+ 2

)2 ⋅ (7 − 6 2 )

Ejercicios de refuerzo 1. a. 0,5 b.

5 84

c. 24

e. 10 – 2 15

f. 6ab a g.

3. 32π cm2

2 3

4. D

2. a. 6x 2

e. x y

f. 3 2 ( x + y )

g. 3 3 ( x + y )

5 ( a − 5) 5a

a− b

d. 1

3. a.

3 490

2 3 2 2

a b ( a − b) a−b

d. 5 + 2 6

x −2

a c + ac ac

4 − 23 5 + 13

3 25

h. a 3 a − a2b2 + b 3 b

4. E 5. C

64 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

(

x + 2 + x − 2 + 2x 2 ( x − 2)

)

Unidad 1

U1-3º (PAG 32-67)_Maquetación 1 08-11-10 10:21 Página 65

Evaluación final En las páginas siguientes se presenta una evaluación fotocopiable que le permitirá evaluar los aprendizajes que han logrado los alumnos y las alumnas con los contenidos trabajados en la Unidad. Con los resultados de esta evaluación se puede tomar la decisión de reforzar algunos temas que no hayan sido aún comprendidos a cabalidad por sus estudiantes. El tiempo estimado para la realización de la prueba es de 60 minutos. Este tiempo puede ser modificado según las características de sus estudiantes. Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes, se sugiere utilizar la siguiente pauta: Ítems

Puntaje

Total

Calcular.

2 puntos cada una.

2 puntos.

2y3

Aplicar y calcular.

2 puntos cada una.

4 puntos.

4y5

Calcular.

2 puntos cada una.

4 puntos.

6y7

Aplicar y calcular.

2 puntos cada una.

4 puntos.

8y9

Calcular.

2 puntos cada una.

4 puntos.

Habilidades que evalúan

10, 11, 12, Aplicar y calcular. 13 y 14

2 puntos cada una. 10 puntos. Puntaje total:

28 puntos.

Considere: Completamente logrado: si contesta correctamente todas las preguntas (14 preguntas). Logrado: si contesta correctamente 10 preguntas o más. Medianamente logrado: si contesta correctamente entre 7 y 9 preguntas. Por lograr: si contesta correctamente 6 preguntas o menos.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 5, recuerde que para que dos o más raíces se puedan sumar o restar, es necesario que sean semejantes, es decir, deben tener el mismo índice y la misma cantidad subradical. Por lo tanto, para resolver la resta dada, deben descomponer las raíces de manera que sean semejantes. • En el ítem 6 es posible que los y las estudiantes olviden remplazar la solución o las soluciones encontradas en la ecuación original; recuerde que siempre se deben verificar las soluciones. • En los ítems 7, 12, 13 y 14, puede que los alumnos y las alumnas confundan o no recuerden cómo racionalizar las expresiones dadas. Es importante recordar cómo racionalizar una expresión con raíces en el denominador, dependiendo de qué tipo de expresión contenga este.

Unidad 1

| 65

U1-3º (PAG 32-67)_Maquetación 1 08-11-10 10:21 Página 66

Evaluación final Nombre:

Curso:

Fecha:

Marca o encierra la alternativa correcta de cada pregunta. 1. El valor de 2560,5 · 2560,25 corresponde a: A. B. C. D. E.

A. 6 5

64 256 16 4 32

B. −6 5 C. 14 5 D. −14 5

a b 2. El producto a a ⋅ b b es:

( ) ( )

A. ab ab B. (ab)

A. B. C. D. E.

E. (ab ) ab 8

3. La expresión

x 5 y2

es igual a:

a a

(x4y)

1 7. La racionalización de 3 es: a

3 2

B. 8 x 6 y 3

–3 ; –2 3;2 –3 ; 2 3 ; –2 Ninguna de las anteriores.

A. 3 a

A. x 2 8 y

x en la ecuación

x + x − 2 = 4 es:

D. (ab)a + b −

E. −10 10 6. El o los valores de

C. ab

5. La solución de 80 − 500 es:

3 2

D. a

1 8

a a

x 4y2 8. La expresión 4 16 − 6 64 equivale a:

4. El valor de A. B. C. D. E.

0 , 25 es:

0,25 0,5 0,05 0,005 0,0005

66 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

A. B. C. D. E.

4 0 –4 2 –2

−

⎛ 121 ⎞ 2 9. La expresión ⎜ equivale a: ⎝ 100 ⎟⎠

12. La expresión

10 11

11 10

B. 3 2 C. 5 2

1331 C. 1000

5 2 2

5 2 3

1000 1331

E. –

10 11

13. La fracción 10. El producto de A.

C. 3

8 es igual a: 2

−

3 2 2

Unidad 1

U1-3º (PAG 32-67)_Maquetación 1 08-11-10 10:21 Página 67

3a ⋅

27a ⋅

16 4

es:

1+ 3 1− 3

es igual a:

A. 2 + 3

9a3

B. − ( 2 + 3 )

81a8

C. 4 + 2 3

12 3

D. − ( 4 + 2 3 )

D. 3a 4 a

E. −2 + 3

E. 3a a3

3 11. La expresión A. B. C.

2 ⋅ 2−1 es igual a:

5 −2

B. 3 273

5 2

5 4

3 3

es igual a:

1 3

20 6

D. 1 E.

5 −2

14. La expresión

273 9 4 273 D. 3 C.

273 27

Unidad 1

| 67

U2-3º (PAG 68-105)_Maquetación 1 08-11-10 10:23 Página 68

Función cuadrática y función raíz cuadrada Propósito de la Unidad Para modelar problemas y situaciones en que las funciones lineales estudiadas en Segundo Año Medio son insuficientes, se estudian las funciones cuadráticas y función raíz cuadrada, considerando su representación gráfica, la relación entre estas representaciones y los parámetros en su expresión algebraica, el tipo de crecimiento que modela y las soluciones de la ecuación que se le pueden asociar. Es importante considerar que la función cuadrática se relaciona con todo el estudio sobre la función lineal, afín, valor absoluto, parte entera, realizado en los años anteriores. En esta Unidad se estudia la función raíz cuadrada, la función cuadrática y sus representaciones gráficas. Interesa fundamentalmente que los alumnos y alumnas visualicen y comparen el tipo de crecimiento que modela estas funciones y que entiendan el rol que juega cada uno de los parámetros involucrados. Ello simplificará la graficación de la función y permitirá la comprensión del fenómeno que se está estudiando. Asimismo, los y las estudiantes podrán establecer con claridad las relaciones entre las expresiones algebraicas y gráficas de las funciones.

Esquema de la Unidad Función cuadrática

Aplicaciones Máximos y mínimos

Parábola

Vértice

Función raíz cuadrada Intersección con los ejes

Ramas Ecuación de segundo grado

68 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Demostración de propiedades asociadas a los conceptos de múltiplos, factores y divisibilidad. Interpretación geométrica de los productos notables.

Generalización de la operatoria aritmética, a través del uso de símbolos. Convención de uso de los paréntesis.

Análisis de fórmulas de perímetros, áreas y volúmenes en relación con la incidencia de la variación de los elementos lineales, y viceversa.

Unidad 2

Uso de algún programa computacional de manipulación algebraica y gráfica.

Función valor absoluto; gráfico de esta función. Interpretación del valor absoluto como expresión de distancia en la recta real.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Gráfico de las rectas. Planteo y resolución de problemas y desafíos que involucren sistemas de ecuaciones. Análisis y pertinencia de las soluciones. Relación entre las expresiones gráficas y algebraicas de los sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones.

Ecuación de la recta. Interpretación de la pendiente y del intercepto con el eje de las ordenadas. Condición de paralelismo y de perpendicularidad.

Evolución del pensamiento geométrico durante los siglos XVI y XVII; aporte de René Descartes al desarrollo de la relación entre álgebra y geometría.

2º Medio

1º Medio

Uso de algún programa computacional de manipulación algebraica.

Función raíz cuadrada. Gráfico de: y = x , enfatizando que los valores de x, deben ser siempre mayores o iguales a cero. [...]

Discusión de los casos de intersección de la parábola con el eje X. Resolución de ecuaciones de segundo grado por completación de cuadrados y su aplicación en la resolución de problemas.

Función cuadrática. Gráfico de las siguientes funciones: y = x 2, y = x 2 ⫾ a, a > 0, y = (x ⫾ a)2, a > 0, y = ax 2 + bx + c.

3º Medio

4º Medio

Uso de programas computacionales de manipulación algebraica y gráfica.

Análisis y comparación de tasas de crecimiento. Crecimiento aritmético, y geométrico. Plantear y resolver problemas sencillos que involucren el cálculo de interés compuesto.

Funciones logarítmica y exponencial, y sus gráficos correspondientes. Modelación de fenómenos naturales y/o sociales a través de esas funciones. Análisis de las expresiones algebraicas y gráficas de las funciones logarítmica y exponencial. […]

Función potencia: y = axn, a > 0, para n = 2, 3, y 4, y su gráfico correspondiente. Análisis del gráfico de la función potencia y su comportamiento para distintos valores de a.

Relación entre los CMO de la Unidad y los de otros años

U2-3º (PAG 68-105)_Maquetación 1 08-11-10 10:23 Página 69

| 69

Función cuadrática. Gráfico de las siguientes funciones: y = x 2, y = x 2 ± a, a > 0, y = (x ± a)2, a > 0, y = ax 2 + bx + c . Discusión de los casos de intersección de la parábola con el eje X. Resolución de ecuaciones de segundo grado por completación de cuadrados y su aplicación en la resolución de problemas.

CMO

70 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

• La parábola como lugar geométrico.

• Simetría y vértice de la parábola.

• Desplazamientos de la parábola.

• Dilatación y contracción de la parábola.

• Forma canónica de funciones cuadráticas.

• Características de la gráfica de f ( x ) = x 2.

• Función cuadrática.

Contenidos de la Unidad Indicadores de evaluación

En la Guía Didáctica: De refuerzo: páginas 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 89 y 102.

De consolidación: 74 y 102.

• Reconocen la parábola como un lugar geométrico, identificando sus elementos.

• Comparan crecimientos modelaEn el Texto: dos por funciones cuadráticas. De exploración: páginas 58, 60, 62, 64, 66, 67 • Analizan y comparan la gráfica de una función cuadrática al y 70. variar el valor de alguno de los parámetros. De construcción de conceptos: páginas 59, 61, 63, 65, 69, 71 y 73.

Actividades asociadas

• Conocer la parábola De profundización: como un lugar páginas 80, 81, 82, 83, geométrico, reconocen 84, 85, 86, 89 y 102. su gráfica e identifican aquellas que corresponden a una función cuadrática; identifican algunas de sus propiedades y aplicaciones en diversos ámbitos de la tecnología.

• Analizar la función cuadrática en el marco de la modelación de algunos fenómenos sencillos, con las correspondientes restricciones en los valores de la variable; reconocen limitaciones de estos modelos y su capacidad de predicción.

Aprendizajes esperados

Propuesta de planificación de la Unidad

Sumativa: páginas 103, 104 y 105 del Texto del Estudiante, y 104 y 105 de la Guía Didáctica del Docente.

Formativa: páginas 75 y 97 del Texto del Estudiante.

Diagnóstica: páginas 56 y 57 del Texto del Estudiante.

Tipos de evaluación

Computador con acceso a internet.

Recursos didácticos

Tiempo estimado: 7 a 8 semanas

U2-3º (PAG 68-105)_Maquetación 1 08-11-10 10:23 Página 70

Aprendizajes esperados

• Herramientas tecnológicas.

• Máximos y mínimos.

• Análisis general de una función cuadrática.

• Analizar la función raíz cuadrada, con las correspondientes restricciones en los valores de la variable, comparando su estrecha relación con la función cuadrática.

• Graficar funciones cuadráticas mediante un software de graficación.

• Reconocer el potencial de las funciones estudiadas para reflejar distintos tipos de crecimiento y modelar diversos fenómenos.

• Plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones de segundo • Análisis de las raíces de grado, explicitando sus la ecuación de segundo procedimientos de solugrado. ción y analizando la existencia y pertinencia de • Ecuaciones reductibles a las soluciones obtenidas. ecuaciones de segundo grado.

• Ecuación de segundo grado.

Contenidos de la Unidad

Función raíz cuadrada. • Función raíz cuadrada. Gráfico de: y = x , enfatizando que los valores de x, deben ser siempre mayores o iguales a cero. […]

Uso de algún programa computacional de manipulación algebraica y gráfica.

CMO • Resuelven problemas que involucran la resolución de ecuaciones de segundo grado.

Indicadores de evaluación

De profundización: páginas 90, 91, 92, 93, 94, 95, 97 y 102.

• Grafican la función raíz f (x ) = x • Determinan Dominio y Recorrido de la función raíz f ( x ) = x .

• Grafican funciones cuadráticas mediante un software de graficación.

• Resuelven problemas de máximos y mínimos modelados por medio de una función cuadrática.

En la Guía Didáctica: • Realizan un completo análisis De refuerzo: páginas 90, de la función cuadrática, reco91, 92, 93, 94, 95, 97 nociendo y encontrando todos y 102. sus elementos.

De consolidación: páginas 96 y 102.

De construcción de conceptos: páginas 79, 81, 83, 87, 89, 93 y 95.

En el Texto: De exploración: páginas 76, 77, 80, 82, 84, 88 y 90, 91 y 92.

Actividades asociadas Tipos de evaluación

Unidad 2

Recursos didácticos

U2-3º (PAG 68-105)_Maquetación 1 08-11-10 10:23 Página 71

Unidad 2

| 71

U2-3º (PAG 68-105)_Maquetación 1 08-11-10 10:23 Página 72

Referencias teóricas Para facilitar el uso de las herramientas tecnológicas computacionales propuestas, presentamos un tutorial para instalar y utilizar el programa GeoGebra.

Tutorial de instalación del programa GeoGebra es el software que se utilizará en esta Unidad. El programa es de libre disposición en Internet y se puede encontrar en la página www.geogebra.org Antes de comenzar su clase, es recomendable que previamente instale el programa en cada uno de los computadores que se van a utilizar, para prevenir dificultades o demoras en el proceso de instalación. Por ejemplo, es posible que los computadores tengan autorización solo del administrador para instalar programas; esto evita que los y las estudiantes bajen programas para fines no académicos en los computadores. En este caso, solicite al administrador de los computadores su autorización para instalar el programa. Luego, debe verificar si cada computador cuenta con conexión a Internet. Si es así, ingrese a la página www.geogebra.org y siga los pasos que se señalan en la página 94 del Texto del Estudiante. En caso contrario, puede descargar el programa de algún computador que sí tenga conexión y después copiarlo en los demás. Para esto verifique si el computador tiene puerto USB o lector de CD. En cada caso necesitará grabar el programa en un pendrive o en un CD, respectivamente. Para descargar el programa al CD o pendrive se debe: Ingresar a la página www.geogebra.org, y luego hacer clic en el botón Download, tal como el de la imagen.

Después, se abrirá una página donde se muestran varias opciones de descarga, según el sistema operativo del computador donde se desea instalar el programa. Si los computadores que va a utilizar usan Windows, haga un clic sobre la opción y luego elija guardar. Se recomienda traspasar el archivo al escritorio del computador, para después copiarlo a su CD o pendrive. El archivo tiene un tamaño de 14,9 MB, por lo que la descarga demorará entre 10 y 30 minutos, dependiendo de la rapidez de la conexión a Internet que disponga. Posteriormente, abra el archivo en cada uno de los computadores que necesita, haciendo doble clic sobre el ícono, y siguiendo los pasos de instalación que aparecen en pantalla.

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Unidad 2

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Tutorial de uso del programa Barra de menú: Barra de entrada: La barra de entrada está ubicada en la parte inferior de la ventana del programa, donde se deben escribir las funciones a graficar. En caso de que no aparezca, actívela en el menú vista/barra de entrada, tal como se muestra en la figura (estará visible si tiene el ticket al lado izquierdo).

Para graficar las funciones cuadráticas debe tener presente que estas funciones se escriben de manera similar a las calculadores, la función raíz cuadrada en cambio se escribe de forma diferente. Por ejemplo la función f ( x ) = x se escribe f ( x ) = sqrt( x ) en la barra de entrada. Si la función tiene coeficientes decimales deben ir con punto en lugar de coma. Todas las funciones, una vez que son graficadas aparecen en la ventana de vista algebraica y en la de vista gráfica. En la ventana de vista algebraica, se puede desactivar la gráfica alguna de las funciones, presionando el botón verde que aparece junto a la función y dejándolo en blanco. Observación: Si al escribir la función, no se ve su gráfica, entonces, se necesita realizar un acercamiento o zoom, de la siguiente manera:

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En la barra de herramientas, que aparece en la parte superior de la ventana, se encuentra el botón Desplazar Vista Gráfica. Esta herramienta permite desplazar todo el plano cartesiano, así como también permite alejarse o acercarse para observar los puntos o las gráficas de las funciones. Si desea cambiar la graduación de los ejes, debe ingresar en barra de menú a Opciones y luego Vista Gráfica.

Luego, se desplegará una ventana donde puede realizar las variaciones que considere pertinentes en los ejes X e Y. Seleccione el eje que va a modificar

Si selecciona 1, entonces aparecen los valores 1, 2, 3, 4, 5, etc., en eje seleccionado. Si selecciona 5, entonces aparecen los valores 5, 10, 15, 20, etc., en ese eje.

Razón entre los ejes X e Y. Si se escribe 1 : 2, entonces en el plano cartesiano la distancia correspondiente a 1, en el eje X, corresponde a 2 en el eje Y. Permite especificar el intervalo de valores que aparecen en la vista gráfica de cada eje.

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Puntos pertenecientes a las funciones Sobre el botón , llamado nuevo punto, haga clic y sitúe el puntero sobre el plano cartesiano. Junto al puntero aparecen las coordenadas del punto correspondiente a su ubicación; si ubica el puntero sobre la función, entonces, dichos valores corresponden a un punto de la función. Cuando esto sucede, la gráfica de la función se oscurece o resalta. Cada vez que se haga clic con esta herramienta, el programa señala un punto en el gráfico y sus coordenadas en la parte algebraica. Ejemplo:

En la barra de herramientas, se encuentra el botón llamado Elige y mueve. Esta herramienta permite seleccionar la gráfica de una función, tanto en la vista gráfica como en la algebraica, y trasladarlas en el plano cartesiano situando el puntero sobre la función en la vista gráfica y manteniendo presionado el botón del mouse, o bien, con las fechas de dirección del teclado, desplazando la función donde se desee. Observe que al realizar esta acción cambia la función en la vista algebraica también.

Si grafica la función f ( x ) = x , la selecciona en la vista gráfica y la desplaza hacia arriba con el mouse, o bien, con las flechas del teclado; la función en la vista algebraica será, por ejemplo, f ( x ) = x + 5 si la función fue desplazada cinco unidades hacia arriba.

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Páginas 54 y 55

Páginas de entrada

Conversemos de... Actividades

Habilidades que desarrollan

1a4

Recordar y conectar.

El salto de la gacela, como el de un lanzamiento de proyectil en general, se modela mediante una función cuadrática. Por este motivo, la imagen inicial es un buen recurso visual para motivar a sus alumnos y alumnas, y, además, para activar sus conocimientos y experiencias previas.

Aprendizajes esperados de la Unidad En el esquema inicial se explicitan los principales contenidos y su relación con los aprendizajes que se espera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad. Se sugiere que los comente con sus estudiantes y, luego, puede preguntarles qué saben sobre la ecuación de segundo grado, función cuadrática y función raíz cuadrada. Con las ideas que le vayan diciendo sus alumnos y alumnas puede hacer un esquema o mapa semántico en la pizarra, esto le permitirá obtener información acerca de las conductas de entrada de sus estudiantes y a la vez ellos podrán recordar conceptos trabajados en años anteriores que les servirán para lograr los aprendizajes de la Unidad.

Actividad inicial Al inicio de esta Unidad, se les presenta a los y las estudiantes el salto de la gacela como ejemplo de una situación modelada mediante una función cuadrática. En el ejemplo propuesto en el Texto, se muestra la función que modela el salto de las gacelas, para esto se utiliza la misma fórmula que modela el lanzamiento de un proyectil y que involucra potencias de segundo grado. La fórmula que describe la trayectoria del salto es:

s = v0tk –

1 2 gt , 2

donde g representa la aceleración de gravedad, t el tiempo transcurrido, v0 la velocidad inicial y k una constante que está relacionada con el ángulo del salto.

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Páginas 56 y 57

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Evaluación diagnóstica

En estas páginas se presenta una evaluación diagnóstica que permitirá medir el nivel de conocimiento que tienen los y las estudiantes acerca de los contenidos que son prerrequisitos para comprender los contenidos de esta Unidad. Esta evaluación con el título ¿Cuánto sabes?, incluye los siguientes criterios. Ítem 1: Factorizar expresiones algebraicas. Ítem 2: Calcular expresiones que involucran raíces, utilizando valores aproximados para las raíces. Ítem 3: Resolver ecuaciones que involucran potencias y raíces. Ítem 4: Reconocer la gráfica de una función. Ítem 5: Determinar si pares ordenados pertenecen o no a la gráfica de una función. Ítem 6: Determinar si las expresiones algebraicas que involucran el cuadrado de una variable conservan el signo de la variable.

¿Cuánto sabes? Ítems 1y3

Habilidades que evalúan Reconocer y aplicar.

Aplicar y calcular.

Reconocer y clasificar.

5y6

Analizar y verificar.

A continuación, le presentamos la rúbrica que podrá utilizar para evaluar el desempeño de sus estudiantes en la evaluación diagnóstica. Ítem

Completamente logrado

Factoriza completamente las expresiones, utilizando una forma rápida basada en propiedades algebraicas básicas y productos notables.

Factoriza completamente las expresiones, utilizando propiedades algebraicas básicas y productos notables.

Factoriza completamente cuatro o más expresiones, utilizando propiedades algebraicas básicas y productos notables, aunque olvida algunos de ellos.

Factoriza tres o menos expresiones, porque no reconoce productos notables.

Calcula correctamente las expresiones, reescribiendo correctamente las raíces involucradas para calcularlas, utilizando las aproximaciones dadas.

Calcula correctamente las expresiones pedidas, con algún error de operatoria con decimales, o las expresa como cálculo aritmético entre números con decimales, remplazando las raíces por las aproximaciones dadas.

Calcula correctamente la mayoría de las expresiones pedidas, fallando en las otras por errores aritméticos; o bien, logra expresar la mayoría de las raíces involucradas como combinaciones aritméticas de las raíces indicadas.

Calcula correctamente, a lo más, dos de las expresiones, porque comete errores aritméticos, de propiedades de raíces, o muestra carecer de una estrategia para utilizar las aproximaciones dadas.

Resuelve correctamente todas las ecuaciones, usando métodos directos para cada caso.

Resuelve correctamente todas las ecuaciones.

Resuelve correctamente, al menos, tres ecuaciones, ya sea por un error en raíces o por la longitud de la expresión.

Resuelve, a lo más, dos de las ecuaciones, fallando en manejo de raíces y potencias, o mostrando olvido de los métodos asociados a cada tipo de ecuación.

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

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Ítem

Completamente logrado

Logrado

Determina correctamente cuáles curvas son gráficas de funciones y cuáles no, mediante la definición de función y/o mediante el criterio de la recta vertical.

Determina correctamente cuál no es función e identifica al menos dos de las curvas correspondientes a funciones, la curva restante no la clasifica.

Identifica como función la del ítem d y como no función a la del ítem a, dejando las otras sin clasificar o mal clasificadas.

No comprende la pregunta y/o solo identifica como función la del ítem en d, y/o identifica como función a las que no lo son, sin un criterio claro.

Identifica correctamente los puntos que pertenecen a la gráfica de la función y también los que no pertenecen a ella.

Identifica correctamente tres de los casos; comete algún error de operatoria, no conceptual.

Identifica correctamente dos casos; comete algún error de operatoria, no conceptual en los casos errados.

No asocia correctamente las coordenadas del punto con los valores de la ecuación, y/o comete errores de operatoria en todos ellos.

Identifica correctamente todos los casos, salvo el ítem c que se identifica como positivo para todo valor de x.

Identifica todo caso cuadrático como positivo para todo x, y/o identifica el ítem a como positivo para todo x.

Identifica correctamente Identifica correctamente todos los casos que son todos los casos, pero no positivos para todo valor siempre lo justifica. de x, mostrando un contraejemplo en los que no cumplen, y en el que cumple, indicando que cuando a un no negativo se le suma un positivo, resulta positivo.

Medianamente logrado

Por lograr

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 1 es posible que los y las estudiantes no recuerden los productos notables involucrados, en particular (x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab. El ítem a puede representar un mayor desafío, dado que se requiere factorizar los primeros dos términos por x 2 antes de poder factorizar la expresión completa. Se recomienda mostrar algunos ejemplos de factorizaciones similares, enfatizando en cómo se reconoce el producto notable asociado a una expresión algebraica. Las alumnas y los alumnos deben recordar la factorización de suma o resta por un término común en primer lugar. • En el ítem 2, la dificultad principal está en descomponer las raíces presentes en cada caso de modo de utilizar las aproximaciones dadas, lo que involucra factorizaciones y racionalizaciones con y sin raíces. Se recomienda realizar algunos ejemplos que involucren la reescritura de raíces, por factorización en producto o por racionalización. Además, al no utilizar una calculadora los cálculos aritméticos pueden ser laboriosos, por lo que se sugiere que les indique que primero escriban las raíces presentes en cada caso como productos o cocientes

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•

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de las raíces dadas y expresen el resultado como una operatoria aritmética entre los correspondientes números decimales. No permita que sus alumnos y alumnas utilicen una calculadora para calcular las raíces directamente, ya que es contrario a lo que se quiere evaluar. En el ítem 3 es posible que las principales dificultades estén asociadas a determinar la estrategia adecuada de resolución para cada caso. Se recomienda resolver algunas ecuaciones con radicales y al menos una ecuación lineal con una incógnita. No se recomienda resolver ecuaciones del mismo tipo, ya que se pretende evaluar la capacidad de la alumna o el alumno, de elaborar una estrategia de resolución o de reconocer un tipo de ecuación vista con anterioridad y aplicar el método respectivo. En el ítem 4, la principal dificultad consiste en que la alumna o el alumno tenga claridad conceptual sobre qué es una función y cómo reconocerla en una gráfica, superando la tendencia a considerar como funciones solo las ya estudiadas, como las funciones lineales, afines y valor absoluto. También pueden tener dificultades en clasificar correctamente el ítem b en que la curva no es suave, lo que difiere de las gráficas de las funciones ya estudiadas. En el ítem a, clasificarla como función denota una confusión conceptual fuerte, o bien un desconocimiento de la caracterización gráfica de una función. Para remediar esto, se recomienda que entregue a sus alumnas y alumnos un repaso de las funciones estudiadas y en particular del criterio de la recta vertical como una caracterización gráfica del concepto de función, pero evitando usar ejemplos semejantes a los planteados en la evaluación. En el ítem 5, la dificultad principal radica en asociar un par ordenado con las variables presentes en la ecuación asociada a una función, lo que puede estar o no acompañado de errores aritméticos que pudieran ocultar la buena comprensión conceptual de la alumna o el alumno. En el ítem 6, la dificultad radica en que los y las estudiantes deben analizar los signos de expresiones aritméticas y comprender la cuantificación “todos”, tanto en su sentido positivo (verdadero) como en su sentido negativo (falso, cuando alguno no cumple). Para ello, es recomendable que las alumnas y los alumnos determinen los signos de expresiones en las que su forma permita decidirlo fácilmente, aunque calcular todas sus operaciones sea arduo, a la vez que puedan decidir sobre la validez de expresiones cuantificadas. Se sugiere incluir ejemplos cotidianos, como “todos los profesores tienen barba”, utilizando afirmaciones que sean fáciles de decidir, según su entorno y que no sean discriminatorias.

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Páginas 58 y 59

Función cuadrática

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• Las funciones nos sirven para modelar y comprender de manera clara y precisa algunos hechos y fenómenos de nuestro entorno. En estas páginas se presentan las funciones cuadráticas y su gráfica llamada parábola. Motive a sus alumnos, preguntándoles en qué otras situaciones han observado la forma de una parábola. • Las alumnas y los alumnos deben lograr identificar una función cuadrática f ( x ) = ax 2 + bx +c, e identificar la forma de su gráfica, la parábola. Además, deben aprender a reconocer la forma algebraica de una función cuadrática. • Es recomendable que antes de que los alumnos y las alumnas realicen las actividades, muestre ejemplos de escribir como función la relación que existe entre dos cantidades, como por ejemplo el lado de x de un cuadrado y su perímetro P. Explique la función será P (x) = 4x, y que esta solo puede tomar valores positivos, ya que la x representa la medida del lado de un cuadrado, por lo tanto, no puede ser negativo, es decir, x > 0.

Interpretar, conjeturar y justificar.

Actividades Ítem

Habilidades que desarrollan

Calcular.

Representar.

Representar y analizar.

Analizar y justificar.

Actividades complementarias 5

Analizar y justificar.

De refuerzo 1. Sea f (x + 1) = x 2 + 2x – 1, calcula los siguientes valores de la función: a. f (3) b. f (–4) c. f ( a ) (Habilidades que desarrollan: recordar y calcular). De profundización 1. Dada la expresión a(r) = πr 2, que representa el área de una circunferencia en función de su radio, responde las siguientes preguntas y justifica tus respuestas. a. ¿Qué tipo de función es?, ¿por qué? b. Si el radio de la circunferencia varía entre 2 y 5 cm, ¿entre qué valores varía su área? Utiliza π = 3. c. ¿Puede r tomar valores negativos en este caso? (Habilidades que desarrollan: aplicar, analizar y justificar).

Errores frecuentes • En el ítem 1 de las actividades de refuerzo que se presentan en la Guía Didáctica, es posible que los alumnos y las alumnas remplacen directamente el valor de x en la función. Por ejemplo, en el primer ejercicio deben calcular f (3), explíqueles que este caso la función es f (x + 1), por lo tanto, si se desea calcular f (3) no pueden remplazar la x directamente por 3, ya que estaría calculando f (3 + 1) = f (4).

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Páginas 60 y 61

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Características de la gráfica de f (x) = x 2

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• En estas páginas se presentan los elementos y características básicas de la parábola, es decir, de la gráfica de la función cuadrática básica f ( x ) = x 2, comparándola con la gráfica de la función lineal y afín estudiadas en años anteriores. • Es importante que las alumnas y los alumnos comparen la parábola con la gráfica de una recta, estudiada en años anteriores, y el tipo de crecimiento que estas modelan. • Es importante que las alumnas y alumnos comprendan que teniendo solo dos puntos, es posible graficar la única recta que pasa por estos, en cambio, en la parábola es necesario conocer más elementos de ella para construir el gráfico, ya que por dos puntos pasan infinitas parábolas. Explique a sus estudiantes que los elementos de la parábola y el análisis de su función cuadrática correspondiente se estudiarán a lo largo de la Unidad.

Habilidades que desarrollan Recordar, analizar y justificar.

Actividades Ítem

Habilidades que desarrollan

Representar, analizar y conjeturar.

Analizar y justificar.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Escribe las cinco diferencias que encuentres entre la función cuadrática y la función lineal, respecto a la forma de la función algebraicamente, su gráfica y el tipo de crecimiento que modelan. Compártelas con tus compañeros y compañeras. (Habilidades que desarrollan: recordar, analizar y sintetizar). De profundización 1. Haz una tabla de valores para f ( x ) = –x 2 con x entre –5 y 5 y compárala con f ( x ) = –x. ¿Qué cambios ocurren? a. Traza, mediante los puntos de tu tabla, una gráfica de esta función. b. ¿Qué diferencia puedes observar en la gráfica de f ( x ) = –x 2, en comparación a f ( x ) = x 2? (Habilidades que desarrollan: analizar y justificar).

Errores frecuentes • Puede que los alumnos y las alumnas no recuerden bien la función lineal y afín, sus diferencias y gráficas respectivas; deben ser capaces de distinguir entre las funciones lineales, afines y las funciones cuadráticas. Recuerde a sus estudiantes la función lineal y afín realizando un breve resumen, indicando sus principales características.

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U2-3º (PAG 68-105)_Maquetación 1 08-11-10 10:23 Página 82

Páginas 62 y 63

Forma canónica de funciones cuadráticas

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• En estas páginas se presenta el método de completación de cuadrados para obtener la forma canónica de una función cuadrática, la cual permitirá una mejor comprensión del comportamiento gráfico de la función cuadrática. • Para facilitar el aprendizaje de este procedimiento se recomienda reforzar los productos notables, en particular el cuadrado de binomio. • Aparentemente, puede ser útil que las alumnas y los alumnos utilicen las fórmulas que resultan al obtener la forma canónica, pero en general son muy complejas de memorizar y no es ese el objetivo; más bien, completar cuadrados y reorganizar algebraicamente funciones cuadráticas concretas aporta el desarrollo de habilidades operatorias y de aplicación de estrategias. • Antes de comenzar las actividades, es importante que los alumnos y las alumnas tengan claro que una función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, puede estar escrita en su forma canónica, sin embargo, puede ser la misma función. Para determinar si corresponden a la misma función cuadrática se deben escribir ambas en su forma general o ambas en su forma canónica.

Reconocer, analizar y justificar.

Actividades Ítem

Habilidades que desarrollan

Analizar, aplicar y justificar.

Aplicar.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Escribe las siguientes funciones de la forma y = ax 2 + bx + c y determina si son funciones cuadráticas o no. Explica tu decisión. a. c. b. d.

f ( x ) = 3(x – 2) + 4 f ( x ) = (x – 3)(x – 2) + 4 f ( x ) = 4(x + 1)2 – 7 f ( x ) = 4(x – 2)2 + 4(3 – x 2)

(Habilidades que desarrollan: recordar, analizar y justificar). De profundización 1. Escribe las siguientes expresiones cuadráticas de la forma f ( x ) = a(x – h)2 + k, indicando en cada caso el valor de a, h y k. a. f ( x ) =

1 2 3 x + x+1 2 4

b. f ( x ) = x 2 + 0,84x – 1,2 (Habilidades que desarrollan: analizar y aplicar).

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Páginas 64 y 65

Unidad 2

U2-3º (PAG 68-105)_Maquetación 1 08-11-10 10:23 Página 83

Dilatación y contracción de la parábola

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• En estas páginas se presentan las gráficas de funciones cuadráticas de la forma f ( x ) = ax 2 para a ⫽ 0, mostrando las dilataciones o contracciones de la parábola y el sentido de esta, es decir, si se abre hacia arriba o abajo. • Se debe enfatizar en que al variar el valor de | a |, la parábola será más abierta o cerrada, lo que producirá un crecimiento más rápido o lento según corresponda de los valores de la función en comparación a f ( x ) = x2. • Es importante que explique a los alumnos y alumnas que, a pesar de que en estas páginas se trabaja solo con funciones cuadráticas de la forma f (x) = ax2, el coeficiente a en una ecuación cuadrática de la forma f(x) = ax2 + bx + c cumple la misma función. En el Texto solo se mencionan las funciones cuadráticas de la forma f (x) = ax 2 para facilitar la comprensión del análisis del coeficiente.

Habilidades que desarrollan Analizar y justificar.

Actividades Ítems 1

Habilidades que desarrollan Aplicar, representar y clasificar.

Interpretar, representar y aplicar.

2 a, b

Interpretar y justificar.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Construye un gráfico aproximado para las siguientes funciones cuadráticas, indicando si hay dilatación o contracción con respecto a f ( x ) = x2. a. c. b. d.

f ( x ) = –3x 2 f ( x ) = 5x 2 f ( x ) = 3x 2 f ( x ) = – 5x 2

(Habilidades que desarrollan: analizar y aplicar). De profundización 1. Haz una tabla de valores para la función f ( x ) = x 2 + 2, con x entre –10 y 10, y compárala con f ( x ) = x 2. ¿Qué cambios ocurren? Traza, mediante los puntos de tu tabla, una gráfica de esta función. (Habilidades que desarrollan: analizar y predecir).

Errores frecuentes Dado que para comprender la dilatación y contracción de una parábola se requiere el concepto de valor absoluto de un número, algunos estudiantes pueden presentar dificultades por no tener claro sus características. Se sugiere recordarles brevemente este concepto.

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Páginas 66 a 69

Desplazamientos de la parábola

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• En estas páginas se presentan las gráficas de funciones de la forma f ( x ) = x 2 + c y f ( x ) = (x – h)2 como desplazamientos verticales y horizontales de la gráfica de f ( x ) = x 2, respectivamente. • Es importante que los alumnos y las alumnas comprendan la diferencia entre el desplazamiento vertical y el horizontal. • Uno de los objetivos de esta página, es que los y las estudiantes logren realizar un bosquejo de la gráfica de una función cuadrática, sin necesidad de construir una tabla de valores, sino por medio de las regularidades de la gráfica y la comparación con el desplazamiento de otras funciones.

Interpretar, analizar, calcular y justificar.

Actividades Ítem

Habilidades que desarrollan

Aplicar.

Analizar y aplicar.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Graficar las siguientes funciones cuadráticas: a. f ( x ) = (x – 3)2 + 4 b. f ( x ) = 4 – (x – 3)2 c. f ( x ) = (3 – x)2 – 4 (Habilidades que desarrollan: aplicar y representar). De profundización 1. Luego de desplazar en cinco unidades a la derecha y tres hacia abajo la gráfica de una función cuadrática se obtuvo la función f ( x ) = x 2 + 3x – 2, ¿cuál era la función original, es decir, antes de desplazarla? Indica, paso a paso, el procedimiento utilizado. (Habilidades que desarrollan: recordar, conectar y analizar).

Páginas 70 y 71

Simetría y vértice de la parábola

Analicemos... Habilidades que desarrollan Interpretar, conjeturar y justificar.

Indicaciones respecto del contenido • En estas páginas se presentan las características y relación entre el vértice y el eje de simetría de la parábola, y sus relaciones con los coeficientes de la función cuadrática asociada. • Los alumnos y las alumnas deben lograr identificar gráficamente el eje de simetría y vértice, además de comprender que el vértice es el punto de intersección de la parábola con su eje de simetría. • Es importante que muestre a los alumnos y alumnas que para determinar el vértice de la función cuadrática, también pueden hacerlo determinando solo la abscisa de esta utilizando la fórmula que aparece en el Texto, y, luego, encontrar la ordenada del vértice remplazando la abscisa en la función cuadrática original.

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Actividades complementarias De refuerzo

Ítems

1. Determina el vértice y eje de simetría de las siguientes funciones cuadráticas. Indica, paso a paso, el procedimiento utilizado. a. b. c. d.

Actividades

f (x) = x 2 + 4 f ( x ) = 3x 2 – 2 f ( x ) = (x – 3)2 + 4 f ( x ) = 5 – 2(x + 1)2

Habilidades que desarrollan

Aplicar y analizar.

Conectar y aplicar.

3y4

Analizar y justificar.

(Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular). De profundización 1. Sea f ( x ) = kx 2 + x – 1, encuentra el valor de k, de manera que la parábola tenga como eje de simetría la recta x = 2. (Habilidades que desarrollan: aplicar y analizar).

Páginas 72 y 73

La parábola como lugar geométrico

Indicaciones respecto del contenido • En estas páginas se presenta la parábola como lugar geométrico. Para comprender la construcción de la parábola se utiliza como herramienta el programa computacional “Regla y compás”. • Se hace referencia, también, a la importancia de la parábola en la tecnología, puede utilizar este hecho para preguntar a sus alumnos y alumnas si conocen algunas y así motivar el interés de sus estudiantes. • La descripción de una parábola como lugar geométrico puede resultar extraña a los alumnos y alumnas, para lo cual se sugiere recordar la descripción como lugar geométrico de la simetral de un trazo o de la circunferencia de centro y radio dado, y cómo ello origina ecuaciones que representan estos casos. • Explique a los alumnos y alumnas cómo encontrar el vértice, foco y la ecuación de la directriz en una parábola de la forma f(x) = ax2 + bx + c. Para esto puede utilizar el siguiente ejemplo: Encuentra el vértice, foco y la ecuación de la directriz de la parábola asociada a la función cuadrática f(x) = x2 – 6x – 7.

Actividades Ítems 1a7

Habilidades que desarrollan Usar herramientas.

Para encontrar el foco y la directriz debemos escribir la función cuadrática de la forma (x – h)2 = 4p(y – k), donde el vértice será el punto V(h, k), el foco el punto F(h, k + p) y la directriz será la recta y = k – p. Observa.

y = x2 – 6x – 7 y = (x – 3)2 – 9 – 7 y = (x – 3)2 – 16

Unidad 2

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Unidad 2

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Luego, (x – 3)2 = y + 16 1 (x – 3)2 = 4 · 冢y + 16冣 4 Por lo tanto, el vértice de la parábola será el punto V(3, –16), la directriz será –65 –63 la recta y = y el foco el punto F 3, . 4 4

冢

Página 74

Actividades Mapa conceptual

冣

Organizando lo aprendido

Habilidades que desarrollan Recordar y conectar.

1, 2, 3 y 4

Recordar, analizar, conectar, evaluar y justificar.

Analizar y evaluar.

Indicaciones respecto del contenido • Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos y alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los alumnos y alumnas consolidan, organizan y clarifican lo aprendido. Además, permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus estudiantes en la Unidad. • Las alumnas y los alumnos deben relacionar las características y elementos de la parábola con los coeficientes de la función cuadrática asociada.

Actividades complementarias De refuerzo 1. ¿Qué coeficiente en f ( x ) = ax 2 + bx + c permite decidir si el vértice es el punto más alto o más bajo de la gráfica? Explica. 2. ¿Qué coeficiente en f ( x ) = ax 2 + bx + c permite decidir el punto de intersección de la parábola con el eje Y? Explica. (Habilidades que desarrollan: aplicar y analizar). De profundización 1. ¿Puede haber más de una parábola que tenga un punto (h, k) como vértice y que se abra hacia abajo? Justifica tu respuesta. 2. ¿Por qué las gráficas de funciones cuadráticas tienen un máximo o un mínimo y se abren en la otra dirección sin acabar? (Habilidades que desarrollan: aplicar, analizar, conjeturar y justificar).

Errores frecuentes • Dado el volumen de información, muchos alumnos y alumnas cometerán el error de tratar de memorizar fórmulas y métodos más que tratar de comprender los contenidos presentados en la Unidad. Es conveniente hacer un repaso del contenido de los cuadros “En Resumen” de las páginas anteriores.

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Página 75

Unidad 2

U2-3º (PAG 68-105)_Maquetación 1 08-11-10 10:23 Página 87

Mi progreso

En esta página se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos y alumnas aplicar lo aprendido hasta ahora en la Unidad. Esta instancia la puede utilizar como una evaluación formativa, que considera las habilidades que se detallan en el cuadro Mi progreso, e incluye los siguientes criterios. Ítem 1: Indicar si hay dilatación o contracción respecto a f ( x ) = x 2 y reconocer desplazamientos de la parábola a partir de la construcción del gráfico correspondiente. Ítem 2: Determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones dadas. Ítem 3: Determinar el vértice y eje de simetría de las funciones cuadráticas dadas. Ítem 4: Graficar funciones cuadráticas. Ítem 5: Reconocer la función asociada a una representación gráfica.

Mi progreso Ítems 1

Habilidades que evalúan Analizar y aplicar.

2y3

Analizar.

Aplicar.

Analizar y clasificar.

Ítem

Completamente logrado

Indica en forma correcta si hay dilatación o contracción con respecto a f ( x ) = x 2, justificando su decisión; construye el gráfico correspondiente a cada función, reconociendo los desplazamientos de la parábola.

Indica en forma correcta si hay dilatación o contracción con respecto a f ( x ) = x 2, construyendo el gráfico y reconociendo los desplazamientos correspondientes.

Indica en forma correcta en la mitad de los casos si hay dilatación o contracción con respecto a f ( x ) = x 2. Realiza correctamente la mayoría de las gráficas indicando los desplazamientos.

Responde correctamente en dos o menos de los casos, cometiendo errores al interpretar según su expresión las características de la parábola respectiva.

Determina correctamente los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones dadas, mostrando un procedimiento adecuado.

Determina correctamente los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones dadas.

Determina correctamente los intervalos de crecimiento y decrecimiento de más de la mitad de las funciones dadas.

Determina correctamente los intervalos de crecimiento y decrecimiento de dos o menos de las funciones dadas.

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Unidad 2

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U2-3º (PAG 68-105)_Maquetación 1 08-11-10 10:23 Página 88

Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

En cada caso determina correctamente el vértice y el eje de simetría, mostrando un procedimiento adecuado.

En cada caso determina correctamente el vértice y el eje de simetría.

En más de la mitad de los casos determina correctamente el vértice y el eje de simetría.

En dos o menos de los casos identifica vértice y eje de simetría, cometiendo errores al determinar el vértice y no relacionar este con el eje de simetría.

Grafica correctamente todas las funciones cuadráticas, indicando las características de cada gráfica.

Grafica correctamente todas las funciones cuadráticas.

Grafica correctamente más de la mitad de las funciones cuadráticas.

Grafica correctamente dos o menos de las funciones cuadráticas dadas.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 1, puede que sus estudiantes no comprendan que para ver si hay dilatación o contracción con respecto a f(x) = x2, solo deben analizar el coeficiente de cada una de las funciones cuadráticas, ya que en el Texto solo se estudió la comparación entre f(x) = x2 y una función de la forma f(x) = ax2. Explíqueles esto antes de desarrollar las actividades. • En el ítem 5, puede que los alumnos y alumnas no sepan identificar cuál es la función cuadrática asociada a la parábola del gráfico. Explíqueles que para identificar la función deben determinar, a partir del gráfico, el vértice de la parábola y el coeficiente a de la función cuadrática asociada a esta. A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzar o profundizar los contenidos trabajados hasta este momento en la Unidad. Usted podrá plantearles las actividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtengan en la evaluación formativa y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.

88 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Unidad 2

U2-3º (PAG 68-105)_Maquetación 1 08-11-10 10:23 Página 89

Actividades complementarias Ejercicios de refuerzo 1. Determina el vértice de las siguientes funciones cuadráticas. a. b. c. d. e.

2. a. Vértice: (2, 1) creciente en ]–⬁, 2[ y decreciente en ]2, ⬁[ eje de simetría la recta x = 2.

f ( x ) = 3x 2 + 3 f (x) = x2 + 5 f ( x ) = 2(x + 3)2 f ( x ) = 4 – 2x 2 f ( x ) = 2x 2 + 4x – 2

2. Grafica en tu cuaderno las funciones siguientes, indicando para cada una el vértice, intervalos de crecimiento y decrecimiento y el eje de simetría. b. Vértice: (0, –5) creciente en ]0, ⬁[; y decreciente en: ]–⬁, 0[ eje de simetría: la recta x = 0.

a. f ( x ) = 4x – x 2 – 3 b. f ( x ) = x 2 – 5 c. f ( x ) = 3 – 0,8x 2

Ejercicios de profundización 1. Determina el vértice de la función f (x ) = 3(x – 1)(x – 3) – 4. 2. Determina el desplazamiento horizontal y vertical que desplazan el vértice de la función f (x ) = 2x 2 – 3 al punto (4, 1), escribe la función cuadrática resultante. 3. Determina la función cuadrática cuya gráfica está desplazada horizontalmente en dos unidades a la izquierda respecto de la gráfica de f (x ) = 4 – (x – 5)2 4. Determina una función cuadrática cuya gráfica tenga vértice en el punto (1, 1) y que contenga al punto (0, 4).

c. Vértice: (0, 3) creciente en ]–⬁, 0[ y decreciente en: ]0, ⬁[ eje de simetría: la recta x = 0.

Solucionario Ejercicios de refuerzo 1. a. b. c. d. e.

Vértice: (0, 3) Vértice: (0, 5) Vértice: (–3, 0) Vértice: (0, 4) Vértice: (–1, –4)

Ejercicios de profundización 1. 2. 3. 4.

Vértice: (2, –7) f (x) = 2x 2 – 16x + 33 f (x) = 4 – (x – 3)2 f (x) = 3x 2 – 6x + 4

Unidad 2

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U2-3º (PAG 68-105)_Maquetación 1 08-11-10 10:23 Página 90

Páginas 76 a 79

Ecuación de segundo grado

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• En estas páginas se presenta la ecuación cuadrática o de segundo grado, junto a la determinación de la naturaleza de sus soluciones mediante el discriminante de esta. • Es importante mencionar que una herramienta matemática para encontrar las soluciones de una ecuación de segundo grado es la factorización de expresiones algebraicas, pero deben notar que esas herramientas no son aptas para resolver todas las ecuaciones de segundo grado, por lo que la fórmula obtenida en estas páginas para la ecuación de segundo grado, debe ser aprendida y reforzada. • Al resolver una ecuación de segundo grado en un contexto dado, las alumnas y los alumnos deben lograr discriminar entre soluciones pertinentes y no pertinentes.

Representar, interpretar, analizar y justificar.

Actividades Ítems 1

Habilidades que desarrollan

Actividades complementarias

Aplicar y calcular.

2, 3, 6, Interpretar, representar 7, 8, 10, y resolver problemas. 11, 12 4, 5, 9

Analizar y aplicar.

De refuerzo 1. Supón que se lanza un objeto verticalmente hacia arriba; este llega a una determinada altura e inicia su descenso. La altura está dada por h ( t ) = 8t – 5t 2. Determina el momento en que el objeto llega al suelo, donde: h ( t ): altura en función del tiempo, en metros. t: tiempo, en segundos. (Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular). De profundización

1. En el segmento AB, determina la ubicación del punto C, tal que x = (a – x) .

x A

(Habilidades que desarrollan: analizar, aplicar y conectar).

Páginas 80 y 81

Análisis de las raíces de una ecuación cuadrática

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• En estas páginas se presenta la relación entre las soluciones de una ecuación cuadrática y los coeficientes de la expresión cuadrática de la ecuación. • Debe explicar a sus estudiantes que esta relación existe a pesar de que la ecuación cuadrática no tenga soluciones reales, podemos determinar siempre la suma y el producto de sus raíces, y que este resultado sí será siempre un número real. • Es importante que las alumnas y los alumnos comprendan que dados dos números reales, existen infinitas ecuaciones cuadráticas con los números dados como soluciones.

Conjeturar, analizar, justificar.

90 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Actividades complementarias

Actividades

De refuerzo

Ítems

Habilidades que desarrollan

1. Calcula la suma y el producto de las raíces de las siguientes ecuaciones. 1y6

a. x 2 + 2x – 7 = 0 b. 3x 2 – 5x + 1 = 0 c. –7x 2 + 2x – 8 = 0

Aplicar y calcular.

2, 3, 4, 5 Aplicar y analizar.

(Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular). De profundización 1. Dada la ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c = 0, encuentre sus

soluciones y luego demuestre que x1 + x2 = – a y x1 · x2 = a . (Habilidades que desarrollan: aplicar y generalizar).

Páginas 82 y 83

Ecuaciones reductibles a ecuaciones de segundo grado

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• En estas páginas se presentan varias metodologías para resolver ecuaciones que no son cuadráticas, pero que se pueden reescribir como tales por medio de una variable auxiliar y, por lo tanto, pueden ser resueltas mediante los métodos vistos en la Unidad para resolver ecuaciones cuadráticas. • Es importante comentar a los alumnos y alumnas que, al resolver situaciones que involucren ecuaciones bicuadráticas, y en general ecuaciones reductibles a ecuaciones de segundo grado, se debe estar atento, pues no siempre todas las soluciones responden a la situación original, o bien, no se relacionan con el contexto. • Las ecuaciones reductibles a ecuaciones de segundo grado que involucran raíces, pueden presentar mayor dificultad, sobre todo para determinar qué variable auxiliar se debe utilizar. Para evitar este problema se recomienda ejemplificar algunas de estas ecuaciones, mostrando claramente el procedimiento para su resolución.

Habilidades que desarrollan Conjeturar, conectar y evaluar.

Actividades Ítems 1y2

Habilidades que desarrollan Aplicar y calcular. Analizar, conjeturar, aplicar y resolver problemas.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadráticas. a. x 4 – 4x 2 + 4 = 0 b. –2x 4 – 3x 2 + 1 = 0 (Habilidades que desarrollan: aplicar y seleccionar).

Unidad 2

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Unidad 2

U2-3º (PAG 68-105)_Maquetación 1 08-11-10 10:23 Página 91

U2-3º (PAG 68-105)_Maquetación 1 08-11-10 10:23 Página 92

De profundización 1. Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando variables auxiliares. 3

a. 2x 2 – 10x 4 + 8 = 0 5

b. x 2 – 10x 4 + 8 = 0 (Habilidades que desarrollan: aplicar y seleccionar).

Errores frecuentes Los alumnos y alumnas concluyen, en determinados problemas de resolución, que las soluciones obtenidas al resolver la ecuación bicuadrática son las pedidas, sin embargo, aún no se ha realizado el cambio de variables correspondiente. Se recomienda pedir a los y las estudiantes que luego de resolver, relean el problema, asegurándose de que las respuestas correspondan a la situación original.

Páginas 84 a 87

Análisis general de una función cuadrática

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• En estas páginas se presenta el análisis de las soluciones de ecuaciones de segundo grado, como los puntos de intersección de la gráfica con el eje de abscisas, junto al análisis de los valores para los que la función cuadrática es positiva, cero o negativa. • Es de gran importancia recordar cómo en una determinada función se encuentran los puntos de intersección con los ejes coordenados y, a partir de esto, concluir que la intersección de una función cuadrática de la forma f ( x ) = ax 2 + bx + c será siempre en y = c, y luego, para determinar la o las intersecciones con el eje X, si es que las hay debemos resolver la ecuación de segundo grado asociada a la función cuadrática dada. • Se debe explicar a las alumnas y los alumnos que, conociendo las intersecciones de una parábola con el eje X, si existen, el vértice, su orientación, y su intersección con el eje Y, es posible determinar completamente las características y gráfica de la parábola dada. • Es importante mostrar a los y las estudiantes que las coordenadas del vértice de la parábola pueden encontrarse mediante las raíces de la ecuación de segundo grado asociada a la función que en este caso están dadas por

Interpretar, analizar, conjeturar y justificar.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

1, 5, 7

Aplicar y interpretar.

Aplicar y analizar.

Analizar, representar y conjeturar.

Analizar y justificar.

Analizar, conjeturar y justificar.

Analizar y clasificar.

⎛ x1 + x2 ⎛ x1 + x2 ⎞ ⎞ ,f⎜ . ⎜⎝ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎟⎠ 2

92 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Unidad 2

U2-3º (PAG 68-105)_Maquetación 1 08-11-10 10:23 Página 93

Actividades complementarias De refuerzo 1. Determina el valor de k de manera que la función f ( x ) = 2x 2 + kx – 3 corte al eje de las abscisas en: a. dos puntos, b. un solo punto, c. no lo corte. (Habilidades que desarrollan: analizar aplicar y calcular). De profundización 1. ¿Cuál debe ser el valor de k para que la abscisa del vértice de la parábola de función f ( x ) = –3x 2 + kx – 10 sea 13? 2. Si la suma de las raíces de una ecuación de segundo grado es 8, determina la abscisa del vértice de la parábola asociada a dicha ecuación. (Habilidades que desarrollan: aplicar y analizar).

Páginas 88 y 89

Máximos y mínimos

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• En estas páginas se presenta el procedimiento para encontrar el máximo o mínimo de una función cuadrática mediante la determinación del vértice de esta. • Es importante aclarar a los alumnos que toda función cuadrática tiene un punto máximo o mínimo. Si la parábola se abre hacia abajo esta tendrá un máximo, en cambio, si esta se abre hacia arriba la función tendrá un mínimo. Por lo tanto, basta con conocer el signo de a en f ( x ) = ax 2 + bx + c para determinar si la función correspondiente posee un máximo o mínimo.

Habilidades que desarrollan

Actividades complementarias

Interpretar, analizar, justificar.

Actividades Ítems 1

De refuerzo 1. Determina el máximo o mínimo de las siguientes funciones. a. f ( x ) = x 2 + 6x + 9 b. f ( x ) = x 2 + 3 c. f ( x ) = 5x 2 – 2x (Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular).

Habilidades que desarrollan Aplicar, calcular y representar.

2y3

Analizar y conectar.

4y5

Representar, analizar y resolver problemas.

Analizar, aplicar y resolver problemas.

Unidad 2

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U2-3º (PAG 68-105)_Maquetación 1 08-11-10 10:23 Página 94

De profundización 1. El perímetro de un rectángulo es de 50 cm. ¿Cuáles son las posibles medidas para sus lados? ¿Cuáles de esos rectángulos, si existen, tienen mayor área? 2. Con un listón que mide 1,20 m, se quiere construir un marco rectangular que rodee el área máxima. a. b. c. d.

¿Cuál es esta área máxima? ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? ¿Cuáles son las medidas si el listón mide a metros? ¿Cuáles son las medidas del rectángulo de mayor área? ¿Es posible encontrar un rectángulo de área mínima?

(Habilidades que desarrollan: conectar y aplicar).

Páginas 90 a 93

Función raíz cuadrada

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• En estas páginas se introduce la función raíz cuadrada, mostrando la gráfica correspondiente a esta. • Se compara la función raíz con la gráfica de la función cuadrática f ( x ) = x 2 con las restricciones correspondientes para los valores de la variable, ya que para la función raíz cuadrada se tiene que x ≥ 0, y se analiza la gráfica de la función raíz a partir de la gráfica de f ( x ) = x 2 para x ≥ 0.

Aplicar, analizar, conjeturar, interpretar y justificar.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Recordar, conectar y calcular.

Interpretar, conjeturar y resolver problemas.

3 4y5

Actividades complementarias De refuerzo l , en que l es la longitud de un péndulo, t es g el período y g la fuerza de gravedad, a partir de la interpretación de su gráfico.

1. Analiza la relación t = 2π

(Habilidades que desarrollan: aplicar y analizar).

Interpretar y resolver problemas.

De profundización

Aplicar y justificar.

1. A partir de la gráfica de la función y = x grafica la función y = 1− x e indica su dominio y recorrido. (Habilidades que desarrollan: analizar y conectar).

Errores frecuentes Un error frecuente es olvidar las restricciones del dominio de la función raíz cuadrada, se debe explicar e insistir a los alumnos en que la expresión dentro de la raíz debe tomar solo valores positivos o cero.

94 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Páginas 94 y 95

Herramientas tecnológicas

• Para facilitar el aprendizaje de los contenidos de esta Unidad se propone el uso del computador, utilizando el programa Geogebra, de libre disposición para descargarlo desde Internet. • En el ítem 3 de las actividades, en el Texto del Estudiante, se pide calcular la inversa de las funciones dadas. Recuerde a sus estudiantes cómo encontrar la inversa de una función y la relación que tiene una con la otra.

Página 96

Unidad 2

U2-3º (PAG 68-105)_Maquetación 1 08-11-10 10:23 Página 95

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

1y2

Interpretar, representar y analizar.

Interpretar, conectar, representar y analizar.

Organizando lo aprendido

Indicaciones respecto del contenido • Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos y alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los alumnos y alumnas consolidan, organizan y clarifican lo aprendido. Además, permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus estudiantes en la Unidad. • Los alumnos y las alumnas deben establecer y comprender la relación entre los coeficientes de la expresión que representa una función cuadrática y su gráfica correspondiente, es decir, la parábola.

Actividades

Habilidades que desarrollan

Mapa conceptual

Recordar y conectar.

1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7

Recordar, analizar, recordar y conectar.

Analizar y evaluar.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Responde las siguientes preguntas, justificando en cada caso tu respuesta. a. ¿Qué condiciones deben cumplir los coeficientes a, b y c en la función cuadrática f ( x ) = ax2 + bx + c, a ⫽ 0, para que la función cuadrática no tenga raíces reales? b. Una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, ¿puede tener más de dos soluciones? c. ¿Qué relación existe entre la gráfica de la función raíz cuadrada y de la función cuadrática? (Habilidades que desarrollan: analizar y aplicar). De profundización 1. Responde las siguientes preguntas, justificando en cada caso tu respuesta. a. ¿Todas las parábolas de la forma f ( x ) = ax2 + bx + c intersecan al eje Y en solo un punto? b. Si en la función f ( x ) = ax2 + bx + c, se tiene que a = 0, entonces, ¿su gráfico correspondiente será una recta? c. Si en la parábola correspondiente a la función f ( x ) = ax2 + bx + c, se tiene que a > 0 y b < 0, entonces, ¿corresponde esta a una parábola desplazada hacia la izquierda del eje Y? (Habilidades que desarrollan: analizar y conectar). Unidad 2

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U2-3º (PAG 68-105)_Maquetación 1 08-11-10 10:23 Página 96

Página 97

Mi progreso

Mi progreso Ítems 1y2

Habilidades que evalúan Aplicar.

Analizar y representar.

Aplicar y justificar.

Ítem

Completamente logrado

En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos y las alumnas aplicar lo aprendido hasta ahora en la Unidad. Esta instancia la puede utilizar como evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan en el cuadro Mi progreso, e incluye los siguientes criterios: Ítem 1: Determinar la cantidad de soluciones de las ecuaciones de segundo grado dadas mediante el análisis del discriminante. Ítem 2: Resolver ecuaciones de segundo grado. Ítem 3: Determinar las funciones de segundo grado, según los datos dados. Ítem 4: Resolver ecuaciones bicuadráticas.

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Determina la cantidad de Determina la cantidad de soluciones de todas las soluciones de todas las ecuaciones mediante el ecuaciones. análisis del discriminante.

Determina la cantidad de soluciones de la mayoría de las ecuaciones mediante el discriminante, cometiendo errores de cálculo.

Determina la cantidad de soluciones de pocas o ninguna de las ecuaciones, cometiendo errores en el análisis mediante el discriminante u otro procedimiento.

Resuelve correctamente Resuelve correctamente todas las ecuaciones de todas las ecuaciones de segundo grado utilizando segundo grado. un procedimiento adecuado.

Resuelve correctamente la mayoría de las ecuaciones de segundo grado, cometiendo errores de cálculo.

Resuelve correctamente pocas o ninguna de las ecuaciones de segundo grado, cometiendo errores en el procedimiento utilizado.

Determina todas las Determina todas las funciones cuadráticas, funciones cuadráticas. mostrando paso a paso el procedimiento utilizado.

Determina correctamente la mayoría las funciones cuadráticas, cometiendo errores de cálculo, o en la relación entre los datos dados y los coeficientes de la función cuadrática.

Determina pocas o ninguna de las funciones cuadráticas pedidas, cometiendo errores por ignorar la relación entre los datos dados y los coeficientes de la función cuadrática.

Resuelve correctamente todas las ecuaciones bicuadráticas, utilizando un procedimiento adecuado.

Resuelve correctamente la mayoría de las ecuaciones bicuadráticas, cometiendo errores de cálculo o al utilizar una variable auxiliar y no encontrar las soluciones de la ecuación original.

Resuelve correctamente pocas o ninguna de las ecuaciones bicuadráticas, cometiendo errores al seleccionar en forma incorrecta la variable auxiliar o no determinar las soluciones de la ecuación original.

Resuelve correctamente todas las ecuaciones bicuadráticas.

96 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

U2-3º (PAG 68-105)_Maquetación 1 08-11-10 10:23 Página 97

Ejercicios de refuerzo

Solucionario

1. Resuelve las siguientes ecuaciones.

Ejercicios de refuerzo

a. 3x 2 + 6x + 12 = 0 b. 5x 2 – 30x – 35 = 0 c. x 4 – 13x 2 + 36 = 0 2. Indica para cada una las siguientes funciones cuadráticas las intersecciones con los ejes y su máximo o mínimo según corresponda. a. f ( x ) = 4x – x 2 – 3 b. f ( x ) = x 2 + 5 3. Determina el dominio y recorrido de las siguientes funciones. a. f ( x ) = 5 + b. f ( x ) =

Unidad 2

Actividades complementarias

1. a. x1 = –2 y x 2 = –2 b x1 = –1 y x 2 = 7 c. x1 = –3, x 2 = 3, x 3 = –2 y x 4 = 2 2. a. Intersección eje Y: (0, –3) Intersección eje X: (1, 0) y (3, 0) Máximo de la función (2, 1) b. Intersección eje Y: (0, 5) No interseca al eje X. Mínimo de la función (0, 5) 3. a. Dominio: [0, +⬁[ Recorrido: [5 +⬁[ b. Dominio: [6, +⬁[ Recorrido: [0, +⬁[

x −6 Ejercicios de profundización

Ejercicios de Profundización

1. Ganancia máxima: $ 46 000 000 precio: $ 54 000

1. La ganancia, en millones de pesos, en función del precio

p al que una empresa vende sus productos está dada por p2 4 g( p ) = − + p + 10 . Determina el máximo de 81 3 ganancias y el precio al que se obtiene esta. 2. Determine los valores de a y b para que los puntos (a, –3) y (b, 1) pertenezcan a la parábola, cuya función es f ( x) = x 2 – 4x + 1.

2. a = 2 b=0ob=4 3. k = 3 4. k = 5

3. Determina el o los valores de k, de manera que la ecuación 3x 2 – (k + 3)x + k = 0 tenga soluciones reales e iguales. 4. Determina el valor de k, de manera que en la ecuación 2x 2 – (k – 5)x – 1 = 0, una solución sea el opuesto de la otra.

Unidad 2

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U2-3º (PAG 68-105)_Maquetación 1 08-11-10 10:23 Página 98

Páginas 98 y 99

Cómo resolverlo

Indicaciones respecto del contenido

Actividades Habilidades que desarrollan

Ítems 1y3 2

Aplicar, analizar y justificar. Analizar y evaluar.

• La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la Unidad; sin embargo, en estas páginas se presentan estrategias de resolución específicas de problemas con contenidos de la Unidad para que los y las estudiantes las aprendan y las apliquen en futuros problemas. • Se recomienda que enfatice los pasos que deben seguir en la resolución de problemas: comprender, planificar, resolver y revisar. • Es importante fomentar una discusión respecto al procedimiento utilizado en el Texto para resolver el problema mostrado, y los distintos procedimientos propuestos por sus estudiantes en el ítem 2 de las actividades, que permita comprender las razones por las cuales se resuelve de cada forma, teniendo en cuenta los elementos que se deben reconocer para que puedan ellos seleccionar un procedimiento adecuado. A continuación, se presentan diferentes indicadores de logro que puede utilizar para evaluar la resolución de los problemas planteados.

Logro, aplicación

Comprensión del problema o situación

Comprensión de conceptos

Verificación de resultados y/o progreso

En proceso, logro parcial

No comprende

• Puede expresar en sus propias palabras e interpretar coherentemente el problema. • Identifica la información necesaria. • Tiene una idea acerca de la respuesta.

• Chequea racionalidad de los • Revisa cálculos y resultados. procedimientos. • Reconoce sin razones. • Puede investigar razones si existen dudas.

• No modela los conceptos rutinarios correctamente. • No puede explicar el concepto. • No intenta resolver el problema. • No hace conexiones.

• No revisa cálculos ni procedimientos. • No reconoce si su respuesta es o no razonable.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.html

98 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Páginas 100 y 101

Unidad 2

U2-3º (PAG 68-105)_Maquetación 1 08-11-10 10:23 Página 99

En terreno

Indicaciones respecto del contenido • En estas páginas se presenta la aplicación de la función cuadrática al movimiento de un objeto, en este caso un chorro de agua lanzado hacia arriba pero no totalmente vertical. • Se indica a los alumnos y las alumnas cómo este fenómeno puede ser modelado por medio de una función cuadrática.

Actividades Habilidades que desarrollan

Ítems 1

Aplicar.

2y3

Analizar y evaluar.

Investiguemos… • Los problemas 1 al 3 introducen a las alumnas y los alumnos al experimento. • Los problemas 5 y 6 requieren analizar los datos a fin de responder las preguntas planteadas, ya que no se pide encontrar la función cuadrática que modela la situación. • La pregunta 7 requiere inferir qué valores de la fórmula general dada para y ( t ) debieran reflejar el cambio de inclinación. Aunque no es fácil, las alumnas y los alumnos deben tratar de llegar a la respuesta correcta, considerando que si dispusieran de la función cuadrática correspondiente, podrían relacionar la altura máxima con los coeficientes de la función.

Página 102

Síntesis de la Unidad

Indicaciones respecto del contenido • En esta sección se presentan algunos conceptos tratados en la Unidad para que las alumnas y los alumnos completen con ellos un mapa conceptual. Debe aclarar a sus estudiantes que deben completarlo, ya que no están todos los conceptos expuestos en la Unidad. • Luego, se presentan una serie de preguntas que permitirán evaluar los aprendizajes alcanzados por los alumnos y las alumnas en la Unidad y repasar aquellos no completamente logrados. • Es de gran importancia, también, explicar que al construir el mapa conceptual, este debe tener las palabras de enlace entre los conceptos, que indiquen la relación entre ellos, no sólo una línea que los una.

Actividades complementarias

Actividades Mapa conceptual

Habilidades que desarrollan Recordar y conectar

1, 7 y 8

Recordar, conectar y evaluar.

2, 4, 5 y 6

Recordar y analizar.

Seleccionar y justificar.

Analizar y evaluar.

Una vez que sus estudiantes han realizado cada uno su mapa conceptual, pídales que se los intercambien entre ellos y ellas, de modo que cada uno evalúe el de su compañero o compañera. Recuérdeles que en un mapa conceptual cada concepto se debe escribir de manera independiente y que son las palabras de enlace las que indican las relaciones que hay entre los conceptos.

Unidad 2

| 99

U2-3º (PAG 68-105)_Maquetación 1 08-11-10 10:23 Página 100

Páginas 103 a 105

Evaluación sumativa En estas páginas se propone una evaluación que abarca todos los contenidos vistos en la Unidad. Esta instancia puede ser utilizada como una evaluación sumativa que considera las habilidades del cuadro. Ítem I

Habilidad que evalúa 1a8

Analizar y justificar.

Analizar y aplicar.

Aplicar.

Aplicar y justificar.

Aplicar y calcular.

1y2

Aplicar y calcular.

3y4

Analizar y aplicar.

Conectar y aplicar.

Aplicar y calcular.

7y8

Analizar y aplicar.

9, 10 y 11

Aplicar y calcular.

Representar y calcular.

Aplicar, calcular y verificar.

III

Ítem

II 1

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Determina correctamente el valor de verdad de todas las expresiones y justifica todas sus decisiones.

Determina correctamente el valor de verdad de todas las expresiones.

Determina correctamente el valor de verdad de cinco o más de las expresiones, justificando solo algunas.

Determina correctamente el valor de verdad de tres o menos de las expresiones, no justificando estas o justificando pocas de ellas.

Grafica todas las parábolas correspondientes a las funciones cuadráticas dadas en forma correcta, indicando todos los elementos de esta.

Grafica todas las parábolas correspondientes a las funciones cuadráticas dadas en forma correcta.

Grafica siete o más de las parábolas correspondientes a las funciones cuadráticas dadas en forma correcta.

Grafica tres o menos de las parábolas correspondientes a las funciones cuadráticas dadas en forma correcta.

100 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Ítem

II 2

II 3

II 4

Completamente logrado Determina la función cuadrática pedida en forma correcta, mostrando un procedimiento adecuado.

Medianamente logrado

Logrado

Determina la función cuadrática pedida, pero mostrando errores en el procedimiento utilizado.

No determina la función cuadrática en forma correcta, cometiendo errores en el procedimiento utilizado, o no selecciona un procedimiento adecuado.

Determina en cada caso Determina en cada caso el valor de k que cumple el valor de k que cumple la condición dada, la condición dada. mostrando paso a paso su razonamiento.

Determina en más de la mitad de los casos el valor de k que cumple la condición dada, cometiendo errores de cálculo.

Determina en dos o menos de los casos el valor de k que cumple la condición dada, cometiendo errores por no utilizar un procedimiento adecuado.

Resuelve el problema dado en forma correcta, contestando ambas preguntas. Muestra paso a paso el procedimiento utilizado.

Resuelve el problema dado en forma correcta, contestando ambas preguntas.

Resuelve en forma correcta solo una de las preguntas del problema dado, cometiendo errores de cálculo.

No resuelve en forma correcta ninguna de las preguntas del problema dado, cometiendo errores por no utilizar un procedimiento adecuado.

Contesta correctamente 10 preguntas o más.

Contesta correctamente entre 6 y 9 preguntas.

Contesta correctamente 5 preguntas o menos.

III Contesta correctamente 1 al 13 todas las preguntas.

Determina la función cuadrática pedida en forma correcta.

Por lograr

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem II.1, puede que sus estudiantes no recuerden cómo determinar todos los elementos de una parábola para luego construir el gráfico de esta. Recuérdeles que para construir el gráfico de una parábola deben determinar: el vértice, la intersección con el eje Y, las intersecciones con el eje X (si las hay), y la concavidad de la parábola. De esta forma es posible construir un gráfico aproximado para la parábola correspondiente a cada función cuadrática. • En el ítem II.4, puede que los alumnos y las alumnas no relacionen la altura máxima a la que llega el proyectil con el punto máximo de la parábola. Recuérdeles que como la altura a la que llega el proyectil en función del tiempo esta dada por una función cuadrática, la altura máxima a la que llega este corresponderá a la ordenada del vértice de la parábola asociada a la función cuadrática. Si es necesario, puede hacer un gráfico para representar y explicar esta situación. A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzar o profundizar los contenidos trabajados hasta este momento en la Unidad. Usted podrá plantearles las actividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtengan en la evaluación formativa y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.

Unidad 2

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Unidad 2

U2-3º (PAG 68-105)_Maquetación 1 08-11-10 10:23 Página 101

U2-3º (PAG 68-105)_Maquetación 1 08-11-10 10:23 Página 102

Actividades complementarias Ejercicios de refuerzo 1. Dada la función f ( x ) = 2x2 + 3x – 6 calcula: a. b. c. d.

f (0) f (1) f (–2) f (0,5)

2. Lee los problemas, plantea la ecuación y resuelve. a. La diferencia entre los volúmenes de los cubos es 117 cm3, pues sus aristas tienen 3 cm de diferencia entre sí. ¿Cuál es la medida de la arista de cada cubo? b. El lado mayor de un rectángulo excede en 10 cm al lado menor y la diagonal mide 50 cm. ¿Cuál es la medida del perímetro del rectángulo?

2. Sea g ( x ) = (x + 2)2. Indica si los siguientes puntos del plano cartesiano pertenecen a la gráfica de la función.

Solucionario Ejercicios de refuerzo

a. b. c. d.

(0, 2) (2, 0) (–1, 1) (–5, –9)

3. Expresa las siguientes ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0 y resuelve. a. 4x(x – 7) = –48 b. (4 – x)(4 + x) – x = 2(4x + 3) c. (x + 2)2 – (x – 6)2 = (x – 7)2

Ejercicios de Profundización 1. Encuentra en cada caso el valor de x para que los rectángulos tengan el área que se indica. a.

1. a. b. c. d.

f (0) = – 6 f (1) = –1 f (–2) = –4 f (0,5) = –4

2. a. b. c. d.

No No Sí No

3. a. 4x 2 – 28x + 48 = 0, x1 = 4 y x1 = 3 b. x 2 + 9x – 10 = 0, x1 = –10 y x1 = 1 c. x 2 – 30x + 81 = 0, x1 = 3 y x1 = 27 Ejercicios de profundización 1. a. 7 cm b. 5 cm

x–6

2. a. 5 cm y 2 cm, respectivamente. b. 140 cm

Área = 14 cm2

x+5

b. 0,5x

Área = 25 cm2

102 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Unidad 2

U2-3º (PAG 68-105)_Maquetación 1 08-11-10 10:23 Página 103

Evaluación final En las páginas siguientes se presenta una evaluación fotocopiable que le permitirá evaluar los aprendizajes que han logrado los alumnos y las alumnas con los contenidos trabajados en la Unidad. Con los resultados de esta evaluación, se puede tomar la decisión de reforzar algunos temas que no hayan sido aún comprendidos a cabalidad por sus estudiantes. El tiempo estimado para la realización de la prueba es de 60 minutos. Este tiempo puede ser modificado según las características de sus estudiantes. Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes, se sugiere utilizar la siguiente pauta: Ítems

Habilidades que evalúan

Puntaje

Total

Verificar y calcular.

2 puntos cada una.

2 puntos.

2, 3, 4 y5

Aplicar y calcular.

2 puntos cada una.

8 puntos.

Analizar y aplicar.

2 puntos cada una.

2 puntos.

7, 8, 9, 10 y 11

Aplicar y calcular.

2 puntos cada una. 10 puntos.

12 y 13

Analizar y aplicar.

2 puntos cada una.

4 puntos.

Aplicar y calcular.

2 puntos cada una.

2 puntos.

Puntaje total:

28 puntos.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 3 es importante que les recuerde a sus estudiantes que existen infinitas ecuaciones con las soluciones dadas, sin embargo, en este caso solo una de las ecuaciones de las alternativas posee los valores dados como soluciones. • En el ítem 6, recuerde a sus estudiantes que la variable auxiliar y = g ( x ), que permita resolver la ecuación dada, debe ser elegida de modo que la ecuación que resulta en la nueva variable sea cuadrática. Luego, al encontrar las soluciones en la variable auxiliar, se debe resolver la ecuación y = g ( x ) para encontrar los valores de x que resuelven la ecuación original.

Unidad 2

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U2-3º (PAG 68-105)_Maquetación 1 08-11-10 10:23 Página 104

Evaluación final Nombre:

Curso:

Fecha:

Marca o encierra la alternativa correcta de cada pregunta. 1. ¿Cuál de los siguientes valores satisface la ecuación 2x 2 + 3 = 7x? A. 1 3 B. –3 C. –2 D. 3

4. ¿Cuál es el perímetro de un triángulo rectángulo de hipotenusa igual a 10 cm, si uno de sus catetos es 2 unidades menor que el otro? A. B. C. D. E.

24 cm 28 cm 48 cm –28 cm Ninguna de las anteriores.

E. 3 2

2. Una de las soluciones de la ecuación 1⎞ ⎛2 ⎜⎝ 5 x + 7 ⎟⎠ ( x − 2) = 0 es:

5. Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación 5x 2 – 7x + 12 = 0, entonces el producto de (x1 + x2) · (x1 · x2) es: A.

A. –

19 35

7 5

19 35

12 5

–2

D. – 12 5

D. –

15 14

84 25

E. Ninguna de las anteriores. 1 3. La ecuación cuyas raíces son y –3 es: 4 2 A. 4x + 11x + 3 = 0 B. 4x 2 + 11x – 3 = 0 C. x 2 – 11x – 3 = 0 D. x 2 + 11x – 3 = 0 E. x 2 – 11x + 3 = 0

6. Una variable auxiliar para resolver la ecuación 3 x – 5 + 2x = 0 es: A. u2 = B. r =

x x

C. t = x 2 D. p =

E. Ninguna.

104 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

7. En la ecuación x 4 – 13x 2 + 36 = 0 los posibles valores de x son: I. 3 y –3 II. 2 y –2 III. 9 y –9 IV. 4 y –4 A. B. C. D. E.

I y II I y III II y IV III y IV I, II y III

8. El eje de simetría de la parábola f (x) = x 2 – 2 es: A. B. C. D. E.

x=2 x=0 x = –2 x= 2 x=1

9. El vértice de la parábola f (x) = x 2 – 4 es: A. B. C. D. E.

(4, 0) (–4, 0) (0, –4) (0, 4) (4, –4)

10. La parábola f (x) = –x 2 – 2x + 3 interseca al eje X en los puntos. A. B. C. D. E.

(0, –1) y (0, 3) (–1, 0) y (3, 0) (–1, 3) y (3, –1) No interseca al eje X. Ninguna de las anteriores.

Unidad 2

U2-3º (PAG 68-105)_Maquetación 1 08-11-10 10:23 Página 105

11. El valor máximo de la función f (x) = –x 2 + 2x + 3 es: A. B. C. D. E.

1 –1 4 –4 2

12. La parábola de la función f (x) = 6x 2 + x – 12 interseca al eje X en: A. B. C. D. E.

un punto. dos puntos. no lo interseca. no se puede determinar. no es una parábola.

13. Con respecto a la gráfica de la función f (x) = –x 2 + 5x – 6, es o son verdaderas: I. es cóncava hacia abajo. II. tiene un valor mínimo. III. interseca al eje Y en (0, 6). A. B. C. D. E.

Solo I Solo II Solo III I y II I, II y III

14. La función que tiene como vértice el par ⎛ 1 9⎞ ordenado ⎜ , − ⎟ es: ⎝ 2 4⎠ A. B. C. D. E.

f ( x ) = x2 + x – 2 f ( x ) = x2 – x + 2 f ( x ) = x2 – x – 2 f ( x ) = x2 + x + 2 Ninguna de las anteriores.

Unidad 2

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U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 106

El triángulo rectángulo y la trigonometría Propósito de la Unidad En esta Unidad se trabajan dos grandes temas. El primero, referido a los teoremas de Euclides y de Pitágoras, donde se abordan tanto las demostraciones de ambos como las propiedades, generalizando estas para todo triángulo rectángulo. El segundo, relativo a las razones y funciones trigonométricas, con sus respectivas propiedades y aplicaciones en la resolución de problemas. Uno de los objetivos de la Unidad es que los y las estudiantes resuelvan problemas concretos que involucren relaciones de semejanza entre triángulos rectángulos, y reconozcan la necesidad de la demostración en Matemática, presentando para ello múltiples problemas, donde se les pide esbozar una demostración para el teorema de Pitágoras, o argumentar sobre la validez de los distintos procedimientos. Interesa que los estudiantes tengan una primera aproximación a la trigonometría por medio de las razones trigonométricas, una extensión a las funciones seno y coseno en el círculo unitario, su uso en la resolución de problemas y la demostración de algunas propiedades básicas. Se espera, además, que los y las estudiantes puedan aplicar distintos resultados de la trigonometría (teoremas del seno y coseno, ecuaciones trigonométricas, etc.) a la resolución de problemas, ya sea con la ayuda de una calculadora o de un software adecuado.

Esquema de la Unidad Triángulos rectángulos Semejanza de triángulos rectángulos

Teorema de Pitágoras

Razones trigonométricas

Propiedades

Identidades trigonométricas

Funciones trigonométricas Ecuaciones trigonométricas

106|Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Teorema de Euclides

Demostración de propiedades de triángulos, cuadriláteros y circunferencia, relacionadas con congruencia. Aporte de Euclides al desarrollo de la Geometría.

Resolución de problemas relativos a congruencia de trazos, ángulos y triángulos. […]

Congruencia de figuras planas. Criterios de congruencia de triángulos.

Uso de algún programa computacional geométrico que permita medir ángulos, y ampliar y reducir figuras.

Ángulos del centro y ángulos inscritos en una circunferencia. Teorema que relaciona la medida del ángulo del centro con la del correspondiente ángulo inscrito. Distinción entre hipótesis y tesis. Organización lógica de los argumentos.

Teoremas relativos a proporcionalidad de trazos, en triángulos, cuadriláteros y circunferencia, como aplicación del Teorema de Thales. Relación entre paralelismo, semejanza y la proporcionalidad entre trazos. […]

Semejanza de figuras planas. Criterios de semejanza. Dibujo a escala en diversos contextos.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Gráfico de las rectas. […]

Ecuación de la recta. Interpretación de la pendiente y del intercepto con el eje de las ordenadas. Condición de paralelismo y de perpendicularidad.

Generalización de la operatoria aritmética a través del uso de símbolos. Convención de uso de los paréntesis.

2º Medio

1º Medio

Uso de algún programa computacional de manipulación algebraica y gráfica.

Resolución de problemas relativos a cálculos de alturas o distancias inaccesibles que pueden involucrar proporcionalidad en triángulos rectángulos. Análisis y pertinencia de las soluciones. Uso de calculadora científica para apoyar la resolución de problemas.

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.

Uso de algún programa computacional de manipulación algebraica y gráfica.

Resolución de problemas sencillos sobre áreas y volúmenes de cuerpos generados por rotación o traslación de figuras planas. Resolución de problemas que plantean diversas relaciones entre cuerpos geométricos; por ejemplo, uno inscrito en otro.

Demostración de los teoremas de Euclides relativos a la proporcionalidad en el triángulo rectángulo. […] tríos pitagóricos; comentario sobre el teorema de Fermat.

4º Medio

3º Medio

Relación entre los CMO de la Unidad y los de otros años

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 107

Unidad 3

| 107

Contenidos de la Unidad

108 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

[…] Tríos pitagóricos; comentario sobre el teorema de Fermat.

• Tríos pitagóricos.

• Situaciones que involucran triángulos rectángulos.

• Demostraciones del teorema de Pitágoras.

Demostración de los teore- • Teorema de Euclides. mas de Euclides relativos a la proporcionalidad en el triángulo rectángulo.

CMO

En la Guía Didáctica: De refuerzo: páginas 114, 116, 117, 118, 119, 122 y 142.

De consolidación: páginas 124 y 160.

De construcción de conceptos: páginas 111, 120 y 122.

En el Texto: De exploración: páginas 110, 114, 115, 118 y 121.

Actividades asociadas

• Aplican las propiedades de los triángulos rectángulos a la resolución de problemas, analizando la pertinencia de las soluciones halladas.

• Conjeturan sobre propiedades de triángulos rectángulos y completan demostraciones alternativas del teorema de Pitágoras.

• Aplican el teorema de Pitágoras y Euclides a la resolución de problemas que involucran triángulos rectángulos.

Indicadores de evaluación

De profundización: páginas 115, 116, 117, 118, 119, 122 y • Reconocer el sentido y la 142. • Reconocen y calculan tríos necesidad de la demostrapitagóricos. ción en matemática y, en • Relacionan los tríos particular, conocer la pitagóricos con el inverso historia del teorema de del teorema de Pitágoras. Fermat-Wiles y los tríos pitagóricos.

• Conjeturar sobre propiedades geométricas en triángulos rectángulos semejantes. Demostrar estas utilizando diversos recursos argumentativos.

Aprendizajes esperados

Propuesta de planificación de la Unidad

Sumativa: páginas 161, 162 y 163 del Texto del Estudiante, y 144 y 145 de la Guía Didáctica del Docente.

Formativa: páginas 125 y 155 del Texto del Estudiante.

Diagnóstica: páginas 108 y 109 del Texto del Estudiante.

Tipos de evaluación

Calculadora científica. Computador con acceso a internet.

Recursos didácticos

Tiempo estimado: 10 a 11 semanas

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 108

• Uso de algún programa computacional de manipulación algebraica y gráfica.

• Resolución de problemas relativos a cálculos de alturas o distancias inaccesibles que pueden involucrar proporcionalidad en triángulos rectángulos. Análisis y pertinencia de las soluciones. Uso de calculadora científica para apoyar la resolución de problemas.

• Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.

CMO Aprendizajes esperados

• Teorema del seno y del coseno.

• Propiedades de las razones trigonométricas.

• Aplicaciones de la trigonometría.

• Razones trigonométricas • Reconocer que las razones en el triángulo rectángulo. trigonométricas son cocientes invariantes entre las medidas de los lados, en familias de triángulos rectángulos semejantes. • Resolver problemas que involucran propiedades de los triángulos rectángulos; analizar las soluciones que se obtienen y su pertinencia. • Resolver ecuaciones que • Razones trigonométricas involucran razones trigode ángulos especiales. nométricas.

Contenidos de la Unidad

Indicadores de evaluación

De profundización: páginas 125, 126, 127, 128, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 138 y 142.

En la Guía Didáctica: De refuerzo: páginas 124, 125, 126, 127, 128, 129, 131, 132, 133, 134 ,135, 138 y 142.

De consolidación: páginas 154 y 160.

• Aplican los teoremas del seno y coseno en la resolución de problemas que involucran triángulos.

• Reconocen y utilizan las propiedades de las razones trigonométricas para el cálculo de estas.

• Aplican las razones trigonométricas en la resolución de problemas para determinar longitudes y ángulos en figuras formadas por triángulos rectángulos.

• Calculan las razones trigonométricas para los ángulos de 45º, 30º y 60º.

• Reconocen que las razones En el Texto: trigonométricas son cocienDe exploración: tes invariantes entre las páginas 126, 127, medidas de los lados, en 130, 132, 134, 136, familias de triángulos 138, 139, 142, 144, rectángulos semejantes. 145, 148, 150 y 152. • Reconocen y calculan las razones trigonométricas en De construcción de diversos triángulos rectánconceptos: páginas gulos, utilizando una 128, 131, 132, 135, calculadora científica para 137, 141, 143, 146, aproximar los resultados. 149, 151 y 153.

Actividades asociadas

Tipos de evaluación

Unidad 3

Recursos didácticos

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 109

Unidad 3

| 109

CMO

• Expresan y convierten ángulos en los distintos sistema de unidades. • Extienden las razones trigonométricas a las funciones trigonométricas, utilizando la circunferencia unitaria. • Conocen la gráfica de las funciones trigonométricas, utilizando un programa computacional. • Calculan el valor de una función trigonométrica para diferentes ángulos a partir de las funciones trigonométricas de ángulos en el primer cuadrante. • Conocen las funciones trigonométricas inversas, utilizando estas para determinar el o los ángulos correspondientes a diferentes valores. • Resuelven ecuaciones trigonométricas simples.

• Funciones trigonométricas.

• Reducción al primer cuadrante.

• Funciones trigonométricas inversas.

• Ecuaciones trigonométricas.

Indicadores de evaluación

• Sistema de medición de ángulos.

Actividades asociadas • Calculan expresiones que involucran razones trigonométricas utilizando identidades trigonométricas.

Aprendizajes esperados

• Identidades trigonométricas.

Contenidos de la Unidad

Tipos de evaluación

Recursos didácticos

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 110

110 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Unidad 3

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 111

Referencias teóricas Semejanza de triángulos Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes y la razón entre las longitudes de los pares de lados homólogos es constante. En la figura, A y A’, B y B’, C y C’ son vértices homólogos. a y a’, b y b’, c y c’ son lados homólogos. ⱔABC y ⱔA’B’C’, ⱔBCA y ⱔB’C’A’, ⱔCAB y ⱔC’A’B’ son ángulos homólogos.

C γ α

C’ γ’

a’

b’

a c b = = , α = α’, β = β’, γ = γ ’. a’ b’ c’

Entonces,

α’

β’

A’

c’

B’

Para denotar que dos triángulos son semejantes, se escriben los vértices correspondientes en el mismo orden, y se utiliza el símbolo ~, en el caso anterior: ΔABC ~ ΔA’B’C’. Teorema de Euclides Sea ABC un triángulo rectángulo en C, con CD AB; CD = h; donde p y q corresponden a las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa, entonces se verifican los siguientes teoremas: ⳕ

C a

• Teorema de la altura h2 = p · q

• Teorema del cateto a2 = p · c b2 = q · c

q D

p c

sen(α) =

tan(α) =

cateto opuesto a α hipotenusa cateto opuesto a α cateto adyacente a α

cateto adyacente a α cos(α) = hipotenusa

cosec(α) =

sec(α) =

hipotenusa cateto opuesto a α

hipotenusa cateto adyacente a α

Cateto opuesto a α

Razones trigonométricas

Hip ote nus a

cateto adyacente a α cotan(α) = cateto opuesto a α

Cateto adyacente a α

Teorema del seno En todo triángulo, la medida de sus lados es directamente proporcional a los valores del seno de sus ángulos opuestos. Es decir, dado un triángulo ABC se tiene que:

a sen(α)

b sen(β)

C γ

c sen(γ)

α A

Teorema del coseno En todo triángulo ABC se tiene que: a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos(α) ; b 2 = a 2 + c 2 – 2ac cos(β) ; c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos(γ) Identidades trigonométricas cos2(α) + sen2(α) = 1 ; 1 + tan2(α) = sec2(α) ; 1 + cotan2(α) = cosec2(α)

Unidad 3

| 111

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 112

Páginas 106 y 107

Conversemos de... Ítems 1a3

Habilidades que desarrollan Analizar.

Páginas de entrada Los alumnos y las alumnas se encuentran familiarizados con los problemas sobre calcular alturas o distancias inaccesibles, que resuelven utilizando semejanza de triángulos. Al inicio de la Unidad se presenta a los alumnos y alumnas un antiguo instrumento de medición de ángulos: el sextante. Tal instrumento permite medir el ángulo entre dos objetos, o el ángulo de elevación a un astro. Para ubicarse en el mar, se mide el ángulo de elevación a un astro (llamado altura) en una latitud conocida y luego se compara con la altura de ese mismo astro cuando estamos en el mar, esta diferencia permite determinar latitud en ese nuevo punto. Pida a sus estudiantes investigar sobre el uso de esta herramienta para generar una discusión sobre el tema y motivar el estudio de la Trigonometría. El Sextante es básicamente un transportador de ángulos (se llama sextante porque son 60º, un sexto de la circunferencia completa) al que se le han aplicado dos espejos para poder situar en la misma línea visual el horizonte y algún objeto que sea visible. Este instrumento prácticamente ha gobernado el mar hasta hoy en día. Rara es la embarcación de grandes dimensiones que no cuenta con uno, a pesar de haber sido sustituido hace relativamente poco por la triangulación por satélites, los GPS, ya que estos pueden quedarse sin baterías. Este antiquísimo instrumento ha sido uno de los hallazgos más importantes e inteligentes de toda la humanidad.

112 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Páginas 108 y 109

Unidad 3

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 10-12-10 7:52 Página 113

Evaluación diagnóstica

En estas páginas se presenta una evaluación diagnóstica que permitirá medir los conocimientos de los y las estudiantes acerca de los contenidos que son prerrequisitos para lograr los aprendizajes de la Unidad.

Ítems

La evaluación diagnóstica, con el título ¿Cuánto sabes?, incluye los siguientes criterios:

Analizar y aplicar.

2y3

Aplicar y calcular.

4y5

Relacionar, aplicar y calcular.

Observar y aplicar.

Ítem 1: Determinar si las igualdades presentadas son correctas, aplicando el teorema de Pitágoras. Ítems 2 y 3: Aplicar el teorema de Pitágoras para calcular las medidas de algunos segmentos. Ítems 4 y 5: Aplicar la semejanza de triángulos en la resolución de problemas. Ítem 6: Encontrar pares de triángulos semejantes, aplicando los criterios correspondientes.

¿Cuánto sabes? Habilidades que evalúan

Ítems

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Determina correctamente si las relaciones son verdaderas o falsas y las justifica adecuadamente.

Determina correctamente si las relaciones son verdaderas o falsas, pero no justifica.

Determina correctamente si algunas de las relaciones son verdaderas o falsas.

2y3

Resuelve correctamente todos los problemas planteados, aplicando el teorema de Pitágoras y justificando sus cálculos.

Resuelve correctamente Resuelve correctamente todos los problemas plan- la mayoría de los teados, sin justificarlos. problemas, sin justificar los cálculos.

Resuelve tres o menos de los problemas planteados, cometiendo errores de cálculo.

Resuelve correctamente cada uno de los problemas planteados, y justifica cada paso.

Resuelve todos los problemas planteados, sin justificar sus procedimientos.

Resuelve uno o ninguno de los problemas planteados. No logra plantear el problema en forma correcta y comete errores de cálculo.

Encuentra las parejas de triángulos que son semejantes, fundamentando su decisión con los criterios de semejanza.

Encuentra las parejas de Encuentra algunas de Encuentra pocas o triángulos que son selas parejas de triángulos ninguna de las parejas mejantes. que son semejantes. de triángulos que son semejantes.

4y5

Resuelve la mayoría de los problemas planteados, sin justificar el procedimiento.

Por lograr Determina si una o ninguna de las relaciones presentadas son verdaderas o falsas.

Unidad 3

| 113

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 114

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 1, los alumnos y las alumnas deben plantear el teorema de Pitágoras y, a partir de este, concluir posibles relaciones entre la medida de los lados a, b y c. Es posible que no logren darse cuenta de que las relaciones que no son inferidas a partir del teorema de Pitágoras no pueden ser ciertas. Explique a sus estudiantes que solo son verdaderas las relaciones que se deduzcan del teorema de Pitágoras. • En el ítem 4, los alumnos y las alumnas pueden tener problemas para plantear correctamente el problema. Sugiérales que representen la situación planteada por medio de una figura, lo que facilitará la comprensión y resolución de este. Luego, recuerde a sus estudiantes que los triángulos rectángulos que se originan en la figura geométrica que representa la sombra producida por diferentes objetos, de distinta longitud, corresponden a triángulos semejantes.

Páginas 110 a 113

Teorema de Euclides

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• En esta sección se presenta una demostración del teorema de Euclides basada en la semejanza de triángulos rectángulos. Es importante comentar a los alumnos y las alumnas que este resultado es válido solo para triángulos rectángulos.

Recordar, representar y analizar.

Actividades Ítems 1

Habilidades que desarrollan Calcular y aplicar.

2a5

Representar, aplicar y calcular.

6a9

Representar, reconocer, aplicar y calcular.

Actividades complementarias De refuerzo 1. La figura ACDE es un rectángulo. Determina la longitud de cada uno de los lados de los triángulos AOE, ABO, ACD, EOD y ABE. E 60 cm

80 cm O B

Analizar y calcular.

2. En el triángulo ADF, encuentra al área de los triángulos FBE y BED, en términos de p = AB y q = BD. F E

(Habilidades que desarrollan: analizar, aplicar y calcular).

114 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Unidad 3

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 115

De profundización 1. Sea la recta ax + by + c = 0 (a ⫽ 0) en el plano cartesiano y sea (u, v) un punto cualquiera que no pertenece a la recta, demuestra que la distancia (mínima) desde el punto a la recta es

au + bv + c

. a2 + b2 Usa este resultado para calcular la distancia entre la recta y = x + 1 y el punto (4, 4). Haz un dibujo donde se muestre la recta y el punto, y traza un segmento que represente la distancia entre el punto y la recta. a. ¿Es posible encontrar las coordenadas del punto en la recta que está a menor distancia del punto (4, 4)? Justifica utilizando un gráfico para ayudarte. b. ¿Cómo se podría definir y calcular la distancia entre dos rectas paralelas? (Habilidades que desarrollan: representar, analizar, aplicar y calcular).

Errores frecuentes • A menudo, los y las estudiantes aplican en forma incorrecta expresiones como la del teorema de Euclides, pues tienden a memorizarlas, a veces sin entender el significado de cada una de las cantidades involucradas. Esto dificulta la aplicación en un contexto diferente, por ejemplo, cuando deben representar el problema mediante un dibujo o gráfico y las cantidades involucradas no se relacionan en forma evidente. Para tratar de remediar esto, se sugiere enfatizar expresiones tales como “el cateto al cuadrado es igual a la proyección sobre la hipotenusa por la hipotenusa”, explicando adecuadamente cuál es la proyección de un cateto sobre la hipotenusa.

Páginas 114 a 117

Demostraciones del teorema de Pitágoras

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• El objetivo de estas páginas es lograr que los y las estudiantes se familiaricen con las distintas formas de demostrar el teorema de Pitágoras. Demostraciones algebraicas, de mayor formalidad, y demostraciones más intuitivas, a base de puzzles geométricos, son el eje central de los contenidos tratados. Se dan tres demostraciones del teorema de Pitágoras. En la primera, se utiliza el teorema de Euclides para demostrarlo; en las otras dos, se utiliza un razonamiento geométrico. • Posiblemente sea uno de los contenidos más complejos tratados en la Unidad, ya que los y las estudiantes están poco habituados a las demostraciones en matemáticas. Se sugiere reforzar algunas ideas básicas de una demostración. • Se debe insistir en la generalidad de las demostraciones: una vez que se ha considerado un triángulo rectángulo de catetos a, b e hipotenusa h, y se ha demostrado que a 2 + b 2 = c 2, entonces el resultado es cierto para todo triángulo rectángulo.

Habilidades que desarrollan Observar y analizar.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Conectar, analizar y calcular.

Representar y verificar.

3a5

Conectar y analizar.

Unidad 3

| 115

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 116

Actividades complementarias De refuerzo 1. Leonardo da Vinci dio una demostración del teorema de Pitágoras que es considerada una de las más elegantes. La figura está constituida por cuatro cuadriláteros idénticos. ¿Qué obtienes? Gira BA en sentido horario transformado el cuadrilátero BAED en el cuadrilátero BGFC. D

C E B

G F (Habilidades que desarrollan: conectar y analizar). De profundización 1. ¿Es posible que en un triángulo rectángulo, la hipotenusa mida 3 cm y la longitud de sus catetos sean números enteros? ¿Qué pasa si la hipotenusa mide 5 cm? 2. Las medidas de los lados de un triángulo rectángulo son a, b y c, donde c corresponde a la hipotenusa de este. Un triángulo cuyos lados miden 2a, 2b y 2c, ¿es también un triángulo rectángulo? (Habilidades que desarrollan: analizar, conectar y calcular).

Páginas 118 a 120

Tríos pitagóricos

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• En esta sección se presenta un tema afín al teorema de Pitágoras: los tríos pitagóricos. Por el teorema de Pitágoras y su inverso, cada trío pitagórico corresponde a las medidas de los lados de un triángulo rectángulo y, en forma inversa, las medidas de los lados de un triángulo rectángulo forman un trío pitagórico. • Es importante que aclare a sus estudiantes que si a 2 + b2 ⫽ c2, entonces a, b y c no pueden ser las medidas de los lados de un triángulo rectángulo.

Relacionar y aplicar.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

1y2

Aplicar y calcular.

3y4

Representar y justificar.

116 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Unidad 3

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 117

Actividades complementarias De refuerzo 1. Verifica si las siguientes medidas corresponden a los lados de un triángulo rectángulo. a. b. c. d.

13 cm; 5 cm; 12 cm 7 cm; 25 cm; 24 cm 9 cm; 12 cm; 31 cm 9 cm; 41 cm; 40 cm

(Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular). De profundización 1. Si a y b son números enteros positivos, determina si las siguientes ternas de números corresponden a un trío pitagórico. a. a; b; a + c b. a = u2 – v2; b = 2uv; c = u2 + v2 2. Encuentra valores para los catetos de dos triángulos rectángulos diferentes, cuyas hipotenusas midan, en ambos triángulos, 15 cm. (Habilidades que desarrollan: analizar, aplicar y calcular).

Páginas 121 a 123

Situaciones que involucran triángulos rectángulos

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• Calcular la altura de una montaña o el ancho de un río son problemas que motivan y justifican el gran potencial de la geometría en el cálculo de distancias inaccesibles para el ser humano. Al utilizar la semejanza de triángulos rectángulos, podemos abordar fácilmente este tipo de problemas, los cuales, además, serán el primer paso en el estudio de la trigonometría. • En la mayoría de los problemas se requiere esquematizar la situación planteada mediante un dibujo. Esta representación es fundamental para poder encontrar las relaciones entre cantidades conocidas y desconocidas. Debe insistirse siempre en la necesidad de representar, por medio de un dibujo, la situación que se quiere resolver cada vez que sea posible.

Habilidades que desarrollan Observar, relacionar y aplicar.

Actividades Ítems 1a6

Habilidades que desarrollan Aplicar y calcular.

Unidad 3

| 117

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 10-12-10 8:41 Página 118

Actividades complementarias De refuerzo 1. Dos triángulos rectángulos semejantes son tales que, para el primero, la medida del cateto mayor es 28 cm y su área es de 294 cm2; para el segundo, la medida del cateto menor es 12 cm y su área es de 96 cm2. Determina la razón de semejanza. 2. Determina las medidas de los lados de un triángulo ABC rectángulo en C, en que uno de sus catetos tiene una longitud de 2 cm y es semejante a un triángulo rectángulo de medidas 5, 7 y 8 cm, siendo el lado de medida igual a 2 cm, correspondiente al lado de 5 cm del otro triángulo. 3. Calcula el área del triángulo ABC, que se muestra a continuación: C

21 m

(Habilidades que desarrollan: representar, aplicar y calcular). De profundización ⳕ

1. En la siguiente figura, O es el centro de la circunferencia, AD BC, DB = 2 cm y DC = 8 cm. Calcula la longitud del segmento AB. A

(Habilidades que desarrollan: conectar, aplicar y calcular).

118 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Página 124

Organizando lo aprendido

Indicaciones respecto del contenido • Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos y alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los alumnos y las alumnas consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. Además, permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus estudiantes en la Unidad. • Las alumnas y los alumnos deben contar con el tiempo necesario para revisar el mapa conceptual y comentar respecto de las relaciones que se presentan entre los conceptos. Es importante que revisen si faltó algún concepto importante y que lo agreguen en el mapa; esto le permitirá consolidar sus conocimientos y tener una visión global de lo visto hasta este momento en la Unidad.

Actividades

Habilidades que desarrollan

Mapa conceptual

Recordar y conectar.

1, 2, 3, 4, 8 Recordar. y9 5y7

Analizar y aplicar.

Analizar.

Analizar y evaluar.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Si tenemos dos triángulos rectángulos semejantes, donde h y h’ son las hipotenusas y p, q, p’ y q’ las proyecciones de los catetos sobre las hipotenusas, respectivamente, ¿es cierto que sus respectivas proyecciones y alturas son también proporcionales, es decir,

p q h = = ? p’ q’ h’

2. ¿Puede existir un triángulo rectángulo cuyas medidas de los lados no formen un trío pitagórico?, ¿por qué? (Habilidades que desarrollan: formular y analizar). De profundización 1. Considera un triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c, donde p y q son las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. Utilizando el teorema de Euclides, encuentra una expresión para la hipotenusa de un triángulo rectángulo h, en función de p y q. 2. Considera un triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c, donde p y q son las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa, ¿cuál es la cantidad mínima de valores necesarios para con estos poder determinar el resto de ellos? (Habilidades que desarrollan: aplicar y analizar).

Unidad 3

| 119

Unidad 3

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 119

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 120

Página 125

Mi progreso

Mi progreso Ítem

Habilidades que evalúan

Aplicar y calcular.

Aplicar, calcular y justificar.

Aplicar y calcular.

Representar, reconocer, aplicar y calcular.

Ítem

Completamente logrado

En esta página se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos y alumnas aplicar lo aprendido hasta ahora en la Unidad. Esta instancia la puede utilizar como una evaluación formativa, que considera las habilidades que se detallan en el cuadro Mi progreso, e incluye los siguientes criterios: Ítem 1: Determinar la medida de catetos de triángulos rectángulos, utilizando el teorema de Euclides. Ítem 2: Determinar si las expresiones planteadas son verdaderas o falsas, aplicando el teorema de Euclides. Ítem 3: Aplicar el teorema de Pitágoras y su recíproco. Ítem 4: Resolver problemas, utilizando semejanza de triángulos rectángulos.

Medianamente logrado

Por lograr

Determina correctamente la medida de los catetos para cada uno de los triángulos rectángulos, utilizando el teorema de Euclides.

Determina correctamente la medida de los catetos de cada triángulo rectángulo.

Determina correctamente la mayoría de las medidas de los catetos en los triángulos rectángulos, cometiendo errores de cálculo.

Determina una o ninguna de las medidas de los catetos en los triángulos rectángulos. No aplica en forma correcta el teorema de Euclides.

Determina correctamente Determina correctamente si las relaciones son si las relaciones son verdaderas o falsas, verdaderas o falsas. justificando en forma adecuada.

Determina correctamente si la mayoría de las relaciones son verdaderas o falsas.

Determina correctamente si una o ninguna de las relaciones son verdaderas o falsas.

Resuelve ambos problemas Resuelve correctamente pero no justifica en forma solo uno de los problemas. adecuada el procedimiento utilizado.

No resuelve en forma correcta ninguno de los problemas, cometiendo errores en el procedimiento utilizado.

Resuelve ambos problemas correctamente mediante un procedimiento adecuado.

Logrado

120 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Unidad 3

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 121

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 1, puede que sus estudiantes no recuerden cuáles son las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa o que no recuerden el teorema de Euclides. Recuérdeles esto si es necesario, para lo cual puede utilizar la siguiente representación: ⳕ

Sea ABC un triángulo rectángulo en C, con CD AB; CD = h; donde p y q corresponden a las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa, entonces, se verifican los siguientes teoremas: C

Teorema de la altura h2 = p · q b

Teorema del cateto a2 = p · c b2 = q · c

a h

A q D

• En el ítem 3, los alumnos y alumnas deben marcar la alternativa correcta. Esto dificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es recomendable pedirles que realicen el desarrollo correspondiente al lado de la pregunta, lo que facilitará detectar si hay o no errores en las estrategias empleadas. Los alumnos y las alumnas pueden tener dificultad para decidir la alternativa correcta. • En el ítem 4, debe insistir en la necesidad de representar el problema a través de un dibujo, si es que los alumnos y alumnas presentan dificultades para plantear el problema. A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzar o profundizar los contenidos trabajados hasta este momento en la Unidad. Usted podrá plantearles las actividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtengan en la evaluación formativa y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.

Unidad 3

| 121

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 122

Actividades complementarias Ejercicios de refuerzo 1. Determina la medida de los lados señalados en cada uno de los siguientes triángulos. y

9 cm

5 cm

3. Supón que el cubo mostrado en la siguiente figura tiene una arista de 1 cm: a. ¿Cuál es la medida de la diagonal HB? b. ¿Cuánto mide el área del triángulo HBF? c. Si llamamos X al punto donde se intersecan las diagonales HB y DF del cubo, determina la distancia desde X al vértice F del cubo. H

4 cm

12 cm

7 cm

y 3 cm

c. y

3 cm

Solucionario

4 cm

Ejercicios de refuerzo 2. Verifica si los siguientes tríos de números pueden ser las medidas de los lados de un triángulo rectángulo. a. b. c. d.

31; 481; 480 1; 2; 3 22; 32; 52 40; 58, 42

e. 6 ; 8 ; 10 f. 297; 303; 425 g. 20; 30; 50 h. 120; 241; 209

1. a. x = 5; y = 4 2 ; z = 5 2 b. x = 9,6; y = 4; z = 4,2 c. x = 2 7 ; y = 21 ; z = 2 3 2. a. b. c. d.

Sí. No. No. Sí.

Ejercicios de profundización 1. Supón que tienes 625 cuadrados de 1 cm de lado, ¿es posible ordenarlos de modo que se obtengan dos cuadrados y no sobre ninguno de ellos?

Ejercicios de profundización

2. En el ΔABC rectángulo en C, p mide 7 cm más que q. Determina la medida de q si hc = 12 cm.

2. q = 9 cm

1. Sí.

3. a.

3 2 b. 2

A q p

c. C

122 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

3 2

e. f. g. h.

No. No. No. Sí.

Páginas 126 a 129

Unidad 3

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 123

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• En estas páginas se definen las razones trigonométricas. El concepto clave en tal definición es la semejanza de triángulos rectángulos. Los alumnos y las alumnas deben comprender, basados en este concepto, que las razones trigonométricas solo dependen del ángulo, y no de las medidas de los lados del triángulo rectángulo que se utilice. • Mencione a sus estudiantes que las razones trigonométricas básicas son el seno y coseno de un ángulo. La tangente, cotangente, secante y cosecante pueden definirse a partir de estas, tal como aparece en el texto. Conocer estas relaciones entre las razones trigonométricas puede simplificar la resolución de muchos problemas que involucran el cálculo de estas. • Se sugiere que, antes de que sus estudiantes realicen las actividades de estas páginas, resuelva el siguiente ejemplo con ellos:

Habilidades que desarrollan

Encuentra el valor de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente del ángulo α en el siguiente triángulo rectángulo:

Observar y aplicar.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

1y2

Aplicar y calcular.

Usar herramientas y calcular.

Aplicar y calcular.

C 12 cm

5 cm

α 13 cm

sen(α) =

cateto opuesto a α 5 = hipotenusa 13

cos(α) =

cateto adyacente a α 12 = hipotenusa 13

tan(α) =

cateto opuesto a α 5 = cateto adyacente a α 12

cosec(α) = sec(α) =

hipotenusa 13 = cateto opuesto a α 5

hipotenusa 13 = cateto adyacente a α 12

cotan(α) =

cateto adyacente a α 12 = cateto opuesto a α 5

• Es importante que los alumnos y las alumnas aprendan a utilizar la calculadora para encontrar el valor de la razón trigonométrica de un ángulo dado, o una aproximación para esta. Con este fin se ha incluido en estas páginas una sección de herramientas tecnológicas, donde se enseña cómo hacer esto. Se recomienda que, antes de realizar las actividades, realice los siguientes ejemplos con sus estudiantes, para que, de esta forma, se familiaricen y sean capaces de calcular razones trigonométricas, utilizando una calculadora.

Unidad 3

| 123

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 124

Ejemplo 1 Calcula la longitud de la hipotenusa del triángulo ABC. C En ΔABC: cos(30º) =

BC =

30º

20 20 = 23,1 cos(30º) 0,866

Ejemplo 2 Determina el ángulo α en el siguiente triángulo. C 4

En ΔABC: tan(α) = Luego, α 36,87

3 = 0,75 4

Actividades complementarias De refuerzo 1. Utiliza una calculadora para encontrar el valor de las siguientes expresiones: a. tan(62º) b. sen(8º) + cos(10º) c. 100 · cos(31º) 1 2. En el triángulo rectángulo ABC de la figura, si tan(α) = , calcula el resto 3 de las razones trigonométricas para α. B

α A

3 3. En el triángulo rectángulo ABC de la figura, si cos(α ) = , calcula el resto 7 de las razones trigonométricas para α. C

α B

124 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Unidad 3

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 125

4. A partir del triángulo de la figura, completa la siguiente tabla. α

seno coseno 10 5

tangente secante cosecante

cotangente 10

(Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular). De profundización 1. Sean α y β ángulos mayores que 0º y menores que 90º, con α > β. Completa la siguiente tabla con los signos >, < o = , según corresponda. sen(β)

cos(β)

tan(β)

sec(β)

cosec(β)

costan(β)

sen(α) cos(α) tan(α) sec(α) cosec(α) cotan(α) (Habilidades que desarrollan: analizar, aplicar y conjeturar).

Páginas 130 y 131

Razones trigonométricas de ángulos especiales

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• En estas páginas se muestra cómo calcular las razones de 45º, 30º y 60º, usando algunos triángulos especiales. Para los ángulos de 30º y 60º, se utiliza un triángulo equilátero y para un ángulo de 45º, un triángulo isósceles rectángulo.

Habilidades que desarrollan Analizar y aplicar.

Actividades Ítems 1 2y3

Habilidades que desarrollan Calcular. Aplicar y calcular.

Unidad 3

| 125

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 126

Actividades complementarias De refuerzo 1. Sin utilizar calculadora, encuentra el valor de las siguientes expresiones: a. sec(45º)

cotan(60º) tan(30º)

b cosec2(30º) + sec2(30º)

cotan(30º) tan(60º)

(Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular). De profundización 1. Una persona sube un rampa con 30º de elevación y de dos metros de longitud. ¿A qué altura se ubica esta persona respecto del plano horizontal? 2. La longitud del hilo que sujeta un volantín es de 15 m y el ángulo que forma este con el plano horizontal es de 60º. ¿A qué altura está el volantín? (Habilidades que desarrollan: conectar, aplicar y calcular).

Páginas 132 y 133

Aplicaciones de la trigonometría

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• El objetivo de estas páginas es aplicar los contenidos estudiados relacionados con las razones trigonométricas, de manera que los alumnos y alumnas aprecien el gran potencial de la trigonometría en la resolución de problemas que involucran cálculos de distancias inaccesibles para el ser humano. • Debe enfatizarse, tal como en la mayoría de los problemas de la Unidad, la necesidad de representar el problema mediante un dibujo, lo cual facilita a los alumnos reconocer claramente la o las razones trigonométricas involucradas en el problema.

Analizar y aplicar.

Actividades Ítems 1y2 5

3, 4 y 6

Habilidades que desarrollan Aplicar y calcular.

Actividades complementarias

Analizar, aplicar y calcular.

De refuerzo

Representar, relacionar, aplicar y calcular.

1. Una persona observa la cima de una colina con un ángulo de 20º. Si la distancia desde el observador a la cima de la colina es de 400 m, ¿cuál es la altura de la colina? 2. ¿Cuál es la altura de un puente que cruza un río de 35 m de ancho, si desde uno de los extremos del puente se ve la base del mismo, pero del lado opuesto, con un ángulo de depresión de 15º?

126 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Unidad 3

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 127

3. Un volantín se encuentra atado a un hilo de 50 m de longitud y el ángulo de elevación de este es de 55º. ¿A qué altura se encuentra el volantín? (Habilidades que desarrollan: resolver problemas, aplicar y calcular). De profundización 1. Dos postes de longitud a y b metros, con b > a, están separados por c metros. El ángulo de elevación con que se observa la cúspide del poste mayor desde la correspondiente del poste menor es α. Encuentra una expresión para tan(α) en función de a, b y c. 2. En un pentágono regular de 10 cm de lado, ¿cuál es la distancia desde cualquiera de los vértices del pentágono al centro de este? 3. Considera el triángulo ABC, rectángulo en A. Encuentra una expresión para determinar x, en función de a, b, c, α y β. C

a x α c

(Habilidades que desarrollan: conectar y resolver problemas).

Páginas 134 y 135

Propiedades de las razones trigonométricas

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• En estas páginas se presenta la relación entre las razones trigonométricas seno y coseno de un ángulo dado y las de su complemento. Es importante que los alumnos y las alumnas comprendan estas propiedades a partir del cálculo de las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo, relacionando los ángulos complementarios del triángulo con la medida de los lados involucradas en el cálculo de las razones trigonométricas. Por ejemplo, el cateto opuesto a un ángulo coincide con el cateto adyacente al ángulo complementario en el triángulo rectángulo.

Habilidades que desarrollan

Actividades complementarias De refuerzo

Analizar y aplicar.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Analizar y aplicar.

Aplicar.

3a5

Aplicar y calcular.

1. Encuentra, sin usar calculadora, los valores de las siguientes expresiones. a.

cos(80º) sen(75º) + sen(10º) cos(15º)

b. sen(45º) + cos(80º) – sen(20º) + 1

(Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular).

Unidad 3

| 127

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 128

De profundización 1. Sea α un ángulo agudo tal que sen(α) = a y cos(α) = b. Determina el valor de las siguientes expresiones en función de a y b. a.

sen(α) · cos(90º – α) cos(α) · sen(90º – α)

sen2(α) – cos2(α) cos(90º – α) + sen(90º – α)

(Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular).

Páginas 136 y 137

Identidades trigonométricas

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• En estas páginas se presentan algunas identidades trigonométricas. En particular, las identidades trigonométricas pitagóricas, que reciben este nombre por ser inferidas a partir del teorema de Pitágoras. • Aclare a sus estudiantes que estas no son las únicas identidades trigonométricas; toda igualdad que sea verdadera e involucre razones trigonométricas es una identidad trigonométrica. • Es importante reconocer estas identidades si se encuentran escritas en formas diferentes, pero equivalentes. Por ejemplo, la identidad trigonométrica sen2(α) + cos2(α) = 1 aparece con frecuencia de la forma sen2(α) = 1 – cos2(α). Aclare a sus alumnos que esta es la identidad más importante, ya que las otras dos se pueden inferir a partir de esta, tal como se muestra en el Texto del Estudiante.

Analizar y calcular

Actividades Ítem 1

Habilidades que desarrollan Aplicar y calcular.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Simplifica las siguientes expresiones, utilizando las identidades trigonométricas más adecuadas. a.

1 2 = cos( x ) – tan2( x ) · cos( x ) b. 1 + cos( x ) tan( x ) + cotan( x )

(Habilidades que desarrollan: analizar y aplicar). De profundización 1. Demuestra las siguientes identidades trigonométricas. a. (cos( α) + sen( α))2 = 1 + 2cos( α) · sen( α) b. cos2( α) – sen2( α) = 2cos2( α) – 1 c.

1 1 + = 2sec2( α) 1 – sen( α) 1 + sen( α)

⎛ 1 – tan(α ) ⎞ 1 + tan2( α) = ⎜ ⎟ 1 + cotan2( α) ⎝ 1 + cotan(α ) ⎠

(Habilidades que desarrollan: aplicar y analizar).

128 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Unidad 3

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 129

Posibles dificultades y remediales • Un error frecuente es la tendencia a generalizar la relación pitagórica sen2(α) + cos2(β) = 1, sin tomar en cuenta que ambas razones trigonométricas deben actuar sobre un mismo ángulo. Para corregir este error, se les puede pedir a los alumnos que calculen el valor de las siguientes expresiones utilizando una calculadora. a. sen2(30º) + cos2(50º) b. sen2(85º) + cos2(13º) • En el ítem 1 de las actividades de profundización, es posible que, para demostrar una identidad trigonométrica, los alumnos y las alumnas desarrollen ambos lados de la igualdad. Explíqueles que para demostrar una identidad deben simplificar un lado de la igualdad utilizando las identidades trigonométricas y llegar así a la misma expresión que se encuentra al otro lado de esta. Recomiende a sus estudiantes que si un lado de la igualdad parece más complejo que el otro, intente simplificar el lado más complejo y transformarlo, paso a paso, hasta obtener la expresión buscada.

Páginas 138 a 141

Teorema del seno y coseno

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• En estas páginas se presentan dos importantes resultados que permiten extender el procedimiento para determinar la medida de ángulos y lados a todo triángulo, es decir, no solo en triángulos rectángulos. Estos corresponden al teorema del seno y teorema del coseno. • En el teorema del coseno: a2 = b2 + c 2 –2bc cos(α). Muestre a los alumnos y alumnas que, si α = 90º, y recordando que cos(90º) = 0, se tendrá que: a2 = b2 + c 2, es decir, el teorema de Pitágoras.

Habilidades que desarrollan Analizar y aplicar.

Actividades Ítems

Actividades complementarias

Aplicar y calcular.

Representar, aplicar y calcular.

De refuerzo 1. Considerando el triángulo de la figura, determina la medida de los lados y ángulos faltantes si: C a. b. c. d. e.

α = 80º, b = 30 cm y a = 5 cm, a = 2 cm, b = 4 cm, y γ = 75º, α = 65º, a = 2,5 cm y b = 3 cm, a = 15 cm, c = 30 cm y β = 75º, a = 15 cm, b = 15 cm, β = 54º.

Habilidades que desarrollan

3y4

Analizar y aplicar.

γ a

b α A

β c

(Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular).

Unidad 3

| 129

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 130

De profundización 1. En la figura se observa un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de radio r.

c α

a γ

C Demuestra que el radio r de la circunferencia cumple que 2r =

a b c = = . sen( α) sen( β) sen( γ)

(Habilidades que desarrollan: conectar, formular, verificar y analizar).

Páginas 142 a 143

Sistemas de medición de ángulos

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• Hasta el momento, los alumnos y las alumnas solo habían usado el sistema sexagesimal para medir ángulos, cuya unidad de medida es el grado. En estas páginas se presenta el radián como otra unidad de medición de ángulos. • Se sugiere que antes de realizar las actividades resuelva, en conjunto con sus estudiantes el siguiente ejemplo:

Analizar y calcular.

Actividades Ítems 1y2

Habilidades que desarrollan Aplicar y calcular.

Expresa en grados

2π rad. 5

Formamos la proporción: xº 180º = 2π π 5

x = 180º ·

2π 1 · = 72º. 5 π

Observa que, en este caso, es posible hacer el proceso de conversión más rápido, remplazando directamente el valor de π por 180º; es decir, 2π 2 · 180º 2π = = 72º, luego radianes equivalen a 72º. 5 5 5

130 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Unidad 3

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 131

Actividades complementarias De refuerzo 1. Expresa los siguientes ángulos en radianes. a. 15º b. 21,5º c. 28º

d. 210º e. 300º f. 315º

2. Expresa los siguientes ángulos en grados sexagesimales. a.

π rad 8

3π rad 5

π rad 10

2π rad 3

(Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular). De profundización 1. En una circunferencia cuyo radio mide 10 cm, calcula la longitud del arco correspondiente a un ángulo del centro de medida 1,6 rad. 2. Un ángulo del centro de una circunferencia de radio 2 m, describe un arco de 20 cm de longitud. ¿Cuál es la medida del ángulo en radianes? (Habilidades que desarrollan: resolver problemas, aplicar y conectar).

Páginas 144 a 147

Funciones trigonométricas

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• El objetivo de estas páginas es extender las razones trigonométricas, no solo para ángulos agudos, como se ha calculado hasta ahora, sino para cualquier α IR. Para esto utilizamos la circunferencia unitaria, la que nos permite definir las funciones seno y coseno. • Al realizar el gráfico de la función f ( x ) = tan( x ) en las herramientas tecnosen( x ) lógicas, explique a sus estudiantes que como f ( x ) = tan( x ) = , la cos( x ) función no está definida para los valores de x tales que cos( x ) = 0, es decir, π para x = + kπ , con k ⺪. 2

Habilidades que desarrollan

• Recuerde a sus estudiantes que como f ( x ) = sen( x ), g ( x )= cos( x ) y h( x ) = tan( x ) son funciones, para cada ángulo x hay un único valor de esta.

Analizar y calcular.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Verificar, analizar y generalizar.

2y3

Analizar y aplicar.

Aplicar y calcular.

Unidad 3

| 131

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 132

Actividades complementarias De refuerzo 1. Determina el valor de las funciones trigonométricas usando una calculadora. 3π a. sen ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 5⎠

3π b. cos ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 8⎠

π c. sec ⎛⎜ – ⎞⎟ ⎝ 3⎠

π d. cos ⎛⎜ – ⎞⎟ ⎝ 4⎠

(Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular). De profundización 1. Utiliza el círculo unitario para demostrar. a. cos(–x) = cos( x )

b. sen(–x) = –sen( x )

(Habilidades que desarrollan: verificar y analizar).

Posibles dificultades y remediales • Al realizar las actividades de las herramientas tecnológicas, puede que sus alumnos y alumnas piensen que el gráfico obtenido no es correcto, ya que en el Texto solo aparece el de las funciones seno y coseno. Explique a sus estudiantes que hay diferencias entre la gráfica de las distintas funciones trigonométricas.

Páginas 148 y 149

Reducción al primer cuadrante

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• En estas páginas se explica la relación entre los valores de las funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera en la circunferencia unitaria y los valores de las funciones trigonométricas para ángulos, comprendidos entre π 0y . 2 • Es importante que los alumnos y las alumnas comprendan que es suficiente conocer las razones trigonométricas de los ángulos del primer cuadrante para determinar las del resto de los ángulos utilizando las igualdades estudiadas en esta Unidad. • La relación explicada está dada por un grupo de identidades generales, explicadas por medio de la circunferencia unitaria. Explique a sus estudiantes que, en general, el procedimiento utilizado no es el de aplicar de memoria π las identidades presentadas, sino identificar un ángulo entre 0 y en el 2 cuadrante apropiado que permita encontrar los valores de las funciones trigonométricas. Por lo tanto, es de gran importancia comprender el procedimiento utilizado para llegar a estas identidades.

Representar y analizar.

Actividades Ítem

Habilidades que desarrollan

Aplicar y justificar.

Aplicar y calcular.

132 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Unidad 3

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 12-11-10 11:18 Página 133

Actividades complementarias De refuerzo 1. Calcula, reduciendo al primer cuadrante, el valor exacto de las razones trigonométricas, seno, coseno y tangente de los siguientes ángulos. 13 a. ⎛⎜ π ⎞⎟ ⎝ 4 ⎠

7π c. ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 3⎠

19 e. ⎛⎜ π ⎞⎟ ⎝ 6 ⎠

15 b. ⎛⎜ π ⎞⎟ ⎝ 4 ⎠

11 d. ⎛⎜ π ⎞⎟ ⎝3 ⎠

⎛ 23 ⎞ ⎜⎝ π ⎟⎠ 6

(Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular). De profundización 1. Encuentra el valor de sen( x ) y cos( x ), sabiendo que tan( x ) = 1,5 y x es un ángulo del tercer cuadrante. 2. Encuentra el valor de cos( x ) y tan( x ), sabiendo que sen( x ) = –0,3 y x es un ángulo del cuarto cuadrante. (Habilidades que desarrollan: aplicar, analizar y conectar)

Páginas 150 y 151

Funciones trigonométricas inversas

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• En esta sección se presentan las funciones trigonométricas inversas a las funciones, que son las siguientes:

Habilidades que desarrollan Analizar y justificar.

• arcoseno: arcsec( x ) = α ↔ sen(α) = x • arcocoseno: arccos( x ) = α ↔ cos(α) = x • arcotangente: arctan( x ) = α ↔ tan(α) = x

Actividades

• Es importante notar que como las funciones seno y coseno no son biyectivas, no tienen inversa; es necesario restringir el dominio de estas para poder definir sus funciones inversas. π • Explique a sus estudiantes que, por ejemplo, sabemos que tan ⎛⎜ ⎞⎟ = 1 y ⎝ 4⎠ 13 también tan ⎛⎜ π ⎞⎟ = 1; sin embargo, si utilizamos una calculadora y calcu⎝ 4 ⎠ π lamos arctan(1), tendremos que arctan(1) = ⎛⎜ ⎞⎟ . Esto se debe a que para ⎝ 4⎠ definir la función inversa de f ( x ) = tan( x ), restringimos el dominio de esta del tal modo que f

Ítem

Habilidades que desarrollan

Aplicar y calcular.

Justificar y aplicar.

Usar herramientas y calcular.

–1

( x ) = arctan( x ) exista.

– La función trigonométrica inversa de f ( x ) = cos( x ) es f Su dominio es [–1, 1] y su recorrido [0, π].

–1

( x ) = arccos( x ).

Unidad 3

| 133

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 134

– La función trigonométrica inversa de g ( x ) = sen( x ) es g–1( x ) = arcsen( x ). ⎤ π π⎡ Su dominio es [–1, 1] y su recorrido ⎥ – , ⎢ . ⎦ 2 2⎣ – La función trigonométrica inversa de h( x ) = tan( x ) es h–1( x ) = arctan( x ). ⎤ π π⎡ Su dominio es el conjunto de los números reales y su recorrido ⎥ – , ⎢ . ⎦ 2 2⎣ • Se recomienda que, antes de realizar las actividades presentadas en el Texto del Estudiante, resuelva junto con sus estudiantes el siguiente ejemplo: 1⎞ ⎛ π⎞ ⎛ Demuestra la igualdad sen ⎜ arcsen ⎟ = sen ⎜ ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ 6⎠ 2

1 ⎛ 1⎞ Se tiene que arcsen sen ⎜ ⎟ = x ⇔ sen( x ) = . ⎝ 2⎠ 2 1 π , entonces, x = . 2 6 1⎞ π ⎛ π⎞ ⎛ ⎛ 1⎞ Luego, arcsen ⎜ ⎟ = y, por lo tanto, sen ⎜ arcsen ⎟ = sen ⎜ ⎟ . ⎝ ⎝ 6⎠ ⎝ 2⎠ 2⎠ 6 Además, sabemos que si sen( x ) =

Actividades complementarias De refuerzo 1. Determina el valor de y en cada caso. Expresa los resultados en radianes y en grados. a. y = arccos(0) b. y = arcsen(–1)

c. y = arctan(0) d. y = arcsen(0)

⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ π 2. Demuestra la igualdad arcsen ⎜ ⎟ + arcsen ⎜⎝ 2 ⎟⎠ = 2 2 ⎝ ⎠ (Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular). De profundización 1. Prueba que si α es un ángulo tal que α [0, π], entonces: sen(α) = 1 – cos2 (α ) . Usa esto para mostrar que si x [–1,1], por lo tanto, sen(arcos( x )) =

1 – x2 .

(Habilidades que desarrollan: verificar, aplicar y analizar)

134 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Páginas 152 y 153

Unidad 3

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 135

Ecuaciones trigonométricas

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• En estas páginas se presentan las ecuaciones trigonométricas, las cuales son relaciones de igualdad entre expresiones trigonométricas que se verifican para algunos valores angulares. Resolver una ecuación trigonométrica consiste en encontrar los valores para los que se verifica la igualdad. • Es importante que sus estudiantes comprendan que toda ecuación trigonométrica se puede reducir, mediante identidades trigonométricas, a los siguientes casos:

Habilidades que desarrollan

• sen( x ) = a: en este caso, la solución está dada por los valores de la forma: x = kπ + (–1)karcsen(a). • cos( x ) = a: en este caso, la solución está dada por los valores de la forma x = 2kπ ⫾ arccos(a), para k ⺪. • tan( x ) = a: en este caso, la solución está dada por los valores de la forma x = kπ + arctan(a), para k ⺪.

Representar y analizar.

Actividades Ítems 1y2

Habilidades que desarrollan Aplicar y calcular.

• Debe explicar a los alumnos y alumnas las soluciones de las distintas ecuaciones. Para esto, se recomienda realizar un ejercicio de cada uno de los tres casos mostrados, y analizar las soluciones en la circunferencia unitaria, para que puedan comprender la forma general de las soluciones de cada ecuación.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Encuentra las soluciones, expresadas en radianes, de las siguientes ecuaciones trigonométricas. a. 2 sen(x ) = 1 b. cos2(x ) – sen(x ) – 1 = 1

c. cos(x )(cos(x ) + 5) = 2 + sen2(x ) d. sen(x ) – cos(x ) = 0

(Habilidades que desarrollan: aplicar, analizar y calcular). De profundización 1. Encuentra las soluciones, expresadas en radianes, de la siguiente ecuación: sen(x ) · cos(x ) = 0,5. (Habilidades que desarrollan: aplicar, analizar y calcular).

Posibles dificultades y remediales • Es posible que los y las estudiantes no sepan bien cómo simplificar las ecuaciones trigonométricas para transformarlas a una expresión simple. Recuérdeles que deben utilizar las identidades trigonométricas para esto. Si es necesario, repase estas antes de realizar las actividades.

Unidad 3

| 135

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 136

Página 154

Organizando lo aprendido

Actividades

Habilidades que desarrollan

Mapa conceptual

Recordar y conectar.

• Las alumnas y los alumnos deben contar con el tiempo necesario para revisar el mapa conceptual y comentar respecto de las relaciones que se presentan entre los conceptos. Es importante que revisen si faltó alguno importante y que lo agreguen en el mapa conceptual; esto les permitirá consolidar sus conocimientos y tener una visión global de lo visto en la Unidad.

1a9

Recordar, conectar y analizar.

Actividades complementarias

Analizar y evaluar.

De refuerzo 1. ¿Por qué el valor de una razón trigonométrica no depende de la medida de los lados del triángulo rectángulo usado para calcularla? 2. ¿Qué diferencia hay entre una identidad trigonométrica y una ecuación trigonométrica? 3. ¿Qué entiendes por circunferencia unitaria? (Habilidades que desarrollan: analizar y recordar). De profundización 1. El sistema centesimal es un sistema de medición de ángulos muy poco usado. En este sistema, el círculo se divide en 400 grados centesimales (GRAD en la calculadora). ¿Cómo se relacionan los grados sexagesimales con los centesimales y los radianes? 2. ¿Para qué valores de x, la función f ( x ) = sec( x ) no está definida? (Habilidades que se desarrollan: recordar, representar, analizar y calcular)

Página 155

Mi progreso Ítems

Habilidades que evalúan

1y3

Calcular y aplicar.

Recordar y evaluar.

Justificar y calcular.

Mi progreso En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los y las estudiantes aplicar lo aprendido en esta Unidad. Esta instancia la puede utilizar como una evaluación formativa, que considera las habilidades que se detallan en el cuadro Mi progreso, e incluye los siguientes criterios: Ítem 1: Determinar el valor de expresiones que involucran razones trigonométricas. Ítem 2: Determinar si las relaciones propuestas son verdaderas o falsas. Ítem 3: Calcular las soluciones de una ecuación trigonométrica. Ítem 4: Resolver un problema que involucra el cálculo de razones trigonométricas.

136 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Ítem

Completamente logrado

Medianamente logrado

Logrado

Por lograr

Determina correctamente Determina correctamente Determina correctamente Determina correctamente el valor de todas las el valor de todas las razo- el valor de la mayoría de el valor de pocas o ninexpresiones. nes trigonométricas, pero las expresiones. guna de las expresiones. comete errores de cálculo en el resultado final.

Determina correctamente Determina correctamente si todas las relaciones si todas las relaciones son verdaderas o falsas, son verdaderas o falsas. justificando en cada caso su decisión.

Determina correctamente si la mayoría de las relaciones son verdaderas o falsas, justificando solo algunas.

Determina correctamente si pocas o ninguna de las relaciones son verdaderas o falsas. No justifica sus decisiones.

Calcula correctamente Calcula correctamente todas razones trigonomé- todas razones tricas, explicando, paso a trigonométricas. paso, el desarrollo.

Calcula correctamente dos de las razones trigonométricas del problema. Comete errores en el procedimiento.

Calcula correctamente una o ninguna de las razones trigonométricas del problema. No explica el procedimiento en forma correcta.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 2, los alumnos y las alumnas pueden tener problemas para determinar si las relaciones son verdaderas o falsas, por no recordar las identidades trigonométricas aprendidas en la Unidad. Recuérdeselas a sus estudiantes antes de comenzar la actividad. • En el ítem 4, si es que los alumnos y alumnas presentan dificultades para plantear el problema, debe insistir en la necesidad de representar el problema a través de un dibujo. Explíqueles que realizar una representación de la situación les permitirá resolver el problema de manera más fácil y no cometer errores. A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzar o profundizar los contenidos trabajados en la Unidad. Usted podrá plantearles a sus estudiantes las actividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtengan en la evaluación formativa y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.

Unidad 3

| 137

Unidad 3

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 137

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 138

Actividades complementarias Ejercicios de refuerzo

Solucionario

1. Las medidas de los catetos de un triángulo ABC rectángulo en C son a = 9 cm y b = 12 cm. Calcula las medidas de p y q, siendo estas las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

Ejercicios de refuerzo

2. Dos árboles de 5 m y 3 m tienen una distancia de 8 m entre sus copas. En un mismo instante, salen dos pájaros desde las copas, ambos con la misma velocidad, a beber agua de una fuente situada entre los árboles. Sabiendo que llegan al mismo tiempo a la fuente, calcula la distancia de los árboles a la fuente. 3. Utiliza las siguientes proposiciones y encuentra el valor de las razones trigonométricas restantes, suponiendo el ángulo es agudo. 2 7 b. tan(β) = 1 3

1. p = 9,6 cm y q = 5,4 cm 2.

11 19 15 m y 15 m 15 15

3. a. cos(α) =

3 5 7 ; cotan(α) = 2 2

cosec(α) = b. sen(β) = sec(β) =

c. sen(θ) = 5 2

4. Se desea construir un triángulo en que uno de sus lados mida 15 cm y otro 9 cm, de tal forma que el ángulo comprendido entre ellos mida 120°. a. Determina la medida del tercer lado. b. Determina la medida de los ángulos restantes.

sec(θ) =

b. tan( x ) = 1 x [0, π] 2. Indica a qué cuadrantes pertenecen los ángulos que cumplen las siguientes condiciones: a. b. c. d.

La tangente y el coseno tienen signos opuestos. El seno y la secante son negativos. La cotangente y la secante tienen igual signo. El seno y la tangente son negativas.

138 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

2 29 5 29 2 ; cos(θ) = ; tan(θ) = ; 5 29 29

29 ; cosec(θ) = 5

Ejercicios de profundización 1. a. x = 1

Ejercicios de profundización

a. 3 4 x = 1

29 . 2

4. a. 21 cm b. 38,2º y 21,8º, aproximadamente.

b. x = 1. Hallar el valor de x si:

10 3 10 ; cos(β) = ; cotan(β) = 3; 10 10

10 ; cosec(β) = 3

a. sen(α) =

c. cotan(θ) =

3 5 2 5 7 5 ; tan(α) = ; sec(α) = ; 7 15 15

2. a. b. c. d.

π 4

III y IV cuadrante. III cuadrante. I y II cuadrante. IV cuadrante.

Páginas 156 y 157

Unidad 3

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 139

Cómo resolverlo

Indicaciones respecto del contenido • La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la Unidad; sin embargo, en estas páginas se muestran estrategias de resolución específicas de problemas con contenidos de la Unidad, para que los y las estudiantes las aprendan y apliquen en futuros problemas. • Esta resolución se presenta detallada, justificando las diferentes acciones, lo que permite aclarar posibles dudas que sus estudiantes puedan tener. • Se recomienda que enfatice los pasos que deben seguir en la resolución de problemas: comprender, planificar, resolver y revisar. • Es importante fomentar una discusión respecto del procedimiento utilizado en el Texto para resolver los problemas mostrados y los distintos procedimientos propuestos por sus estudiantes, que permita comprender las razones por las cuales se resuelve de cada forma, teniendo en cuenta los elementos que se deben reconocer para que ellos puedan seleccionar un procedimiento adecuado.

Actividades Ítem

Habilidades que desarrollan

Aplicar, calcular, evaluar y resolver problemas.

Conjeturar, analizar, evaluar, resolver problemas y justificar.

Seleccionar, aplicar, calcular, evaluar y resolver problemas.

Para evaluar la resolución de se los problemas planteados, revise los indicadores de logro de la página 59.

Páginas 158 y 159

En terreno

Indicaciones sobre el contenido • El objetivo de esta sección es que los alumnos y alumnas apliquen y vinculen los contenidos aprendidos en la Unidad en una situación real. Para ello, se presenta una aplicación relacionada con la construcción de un astrolabio. • Para el desarrollo de la actividad se plantean varias actividades que utilizan un astrolabio que los alumnos y alumnas pueden construir en la sala. • Para potenciar la actividad se recomienda que esta sea realizada en grupos y que, posteriormente, se seleccione uno o más grupos según el tiempo que se disponga para la actividad, para que presenten ante el resto de los compañeros y compañeras los resultados obtenidos.

Actividades Ítems 1, 2 y 3

Habilidades que desarrollan Representar, aplicar y calcular.

Investiguemos • El ítem 1 se refiere a las actividades previas. La discusión planteada permite evaluar los aprendizajes adquiridos en la Unidad; la comparación de resultados les permitirá corregir y reforzar los contenidos. • En los ítems 2, 3 y 4 requiere la construcción de un instrumento sencillo para medir ángulos. Debe guiar a los alumnos en la construcción del astrolabio.

Unidad 3

| 139

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 140

Página 160

Actividades Mapa conceptual 1, 2, 3, 4, 5y7

Síntesis de la Unidad

Habilidades que desarrollan

Indicaciones sobre el contenido

Recordar y conectar. Recordar, conectar y analizar.

Recordar y justificar.

Recordar y analizar.

Analizar y evaluar.

• En esta sección se presentan algunos conceptos tratados en la Unidad para que las alumnas y alumnos completen con ellos un mapa conceptual. Debe aclararles que no aparecen todos los conceptos trabajados en la Unidad y que deben completarlo también con las palabras de enlace que indiquen la relación entre los conceptos. • Las preguntas propuestas permitirán evaluar los aprendizajes alcanzados por los alumnos y las alumnas en la Unidad, y repasar aquellos no completamente logrados.

Actividades complementarias Una vez que los alumnos hayan realizado sus mapas, pídales que los intercambien, de modo que cada uno evalúe el de su compañero o compañera. Recuérdeles que en un mapa conceptual cada concepto se debe escribir de manera independiente, y que son las palabras de enlace las que indican las relaciones entre los conceptos.

Páginas 161 a 163

Evaluación sumativa En estas páginas se propone una evaluación que integra los contenidos de la Unidad. Esta instancia puede ser utilizada como una evaluación sumativa que considera las habilidades del cuadro. Habilidades que evalúan

Ítems 1a3

Recordar y justificar.

4y5

Analizar, conjeturar y justificar.

Recordar y calcular.

Representar, aplicar y calcular.

Aplicar y calcular.

1, 2, 10 y 11 3y5

Recordar, analizar y evaluar. Representar y evaluar.

III 4, 7, 9 6, 8 y 12

140 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Calcular. Representar, aplicar y calcular.

Ítem

Completamente logrado

Medianamente logrado

Logrado

Por lograr

Determina correctamente Determina correctamente el valor de verdad de el valor de verdad de todas las expresiones, todas las expresiones. justificando su decisión.

Determina correctamente Determina correctamente el valor de verdad de la el valor de pocas o ninmayoría de las expresiones, guna de las expresiones. justificando solo algunas.

Calcula correctamente lo Calcula correctamente pedido, justificando el las soluciones de todos procedimiento y reprelos problemas. sentando con un dibujo cuando es pertinente.

Calcula correctamente las soluciones de la mayoría de los problemas.

Responde pocos o ninguno de los problemas planteados.

Para el ítem III, considere: Completamente logrado: contesta correctamente todas las preguntas. (12 preguntas) Logrado: contesta correctamente 9 preguntas o más. Medianamente logrado: contesta correctamente entre 6 y 8 preguntas. Por lograr: contesta correctamente 5 preguntas o menos.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • Los ejercicios de ítem I requieren que los alumnos y las alumnas tengan claridad conceptual, de modo de reconocer si cada afirmación es verdadera o no, y que además puedan justificar mediante contraejemplos o con algún argumento válido. Para ayudar a sus estudiantes a responder los ejercicios propuestos, se recomienda que sus alumnos y alumnas intercambien respuestas con sus pares y, luego, las comenten con el curso. • Los ítems II y III pueden presentar errores de cálculo. Se recomienda que, luego de terminar la evaluación, revise en conjunto con sus estudiantes estos ejercicios, explicando el desarrollo, paso a paso, y mostrando cuando existe más de un procedimiento correcto para el desarrollo de la actividad. A continuación, se presentan algunas actividades complementarias que permitirán reforzar o profundizar los procedimientos trabajados en la Unidad. Plantee las actividades que considere pertinentes de acuerdo con los resultados de la evaluación sumativa, y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus alumnos y alumnas.

Unidad 3

| 141

Unidad 3

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:24 Página 141

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:25 Página 142

Actividades complementarias Ejercicios de refuerzo 1. En un triángulo ABC rectángulo en C, la proyección del cateto b sobre la hipotenusa mide 2 cm más que él 25 mismo. Si la hipotenusa mide cm, calcula la medida 3 del cateto b. 2. En un triángulo ABC, un cateto mide 8 cm. Calcula el perímetro del triángulo si los otros dos lados son números impares consecutivos. 3. ¿Cuál debe ser el ángulo de inclinación de un avión próximo a aterrizar, si acaba de sobrevolar a una altura de 450 km un galpón que se encuentra a 35 km del aeropuerto?

⎛ 11π ⎞ e. sen ⎜ – ⎝ 6 ⎟⎠ ⎛ 2π ⎞ f. sen ⎜ – ⎟ ⎝ 3⎠

Solucionario Ejercicios de refuerzo 1. b = 10 cm 2. 40 cm 3. 85,5º 2 3 +1 4 3 b. 2

4. a.

450 km

Ejercicios de profundización 35 km

4. Calcula el valor de las siguientes expresiones, utilizando una circunferencia unitaria. ⎛ 2π ⎞ ⎛ 4π ⎞ a. sen ⎜ ⎟ + cos2 ⎜ ⎟ . ⎝ 3⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎛ 3π ⎞ ⎛ 5π ⎞ ⎛ 11π ⎞ b. sen2 ⎜ ⎟ + cos2 ⎜ ⎟ – sen ⎜ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 6 ⎟⎠

Ejercicios de profundización 1. Determina el signo de: a. sen(118º) ⎛ 11π ⎞ b. cos ⎜ ⎝ 6 ⎟⎠ c. sen(190º) d. sen(725º)

142 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

1. a. b. c. d. e. f.

Positivo. Positivo. Negativo. Positivo. Positivo. Negativo.

Unidad 3

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:25 Página 143

Evaluación final En las páginas siguientes se presenta una evaluación fotocopiable que le permitirá evaluar los aprendizajes que han logrado los alumnos y las alumnas con los contenidos trabajados en la Unidad. A partir de los resultados de esta evaluación se puede tomar la decisión de reforzar algunos temas que no hayan sido aún comprendidos a cabalidad por sus estudiantes. El tiempo estimado para la realización de la prueba es de 60 minutos. Este tiempo puede ser modiﬁcado según las características de sus estudiantes. Para que la evaluación le permita caliﬁcar a sus estudiantes, se sugiere utilizar la siguiente pauta: Ítems

Habilidades que evalúan

Puntaje

Total

Veriﬁcar y calcular.

2 puntos cada una.

2 puntos.

Analizar y verificar.

2 puntos cada una.

2 puntos.

Aplicar y calcular.

2 puntos cada una.

2 puntos.

4y5

Aplicar analizar.

2 puntos cada una.

4 puntos.

6y7

Aplicar y calcular.

2 puntos cada una.

4 puntos.

2 puntos cada una.

6 puntos.

Aplicar y calcular.

2 puntos cada una.

2 puntos.

Analizar y verificar.

2 puntos cada una.

4 puntos.

Aplicar y calcular.

2 puntos cada una.

2 puntos.

8, 9 y 10 Representar y calcular. 11 12 y 13 14

Puntaje total:

28 puntos.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 8, debe insistir en la necesidad de representar el problema a través de un dibujo, si es que los alumnos y alumnas presentan dificultades para plantear el problema. Explíqueles que realizar una representación de la situación les permitirá resolver el problema de manera más fácil y no cometer errores. • En el ítem 10 y 11, puede que los alumnos y las alumnas tengan dificultades en las unidades de medición de ángulos. Recuérdeles que en estas actividades los ángulos están en radianes y cómo transformar ángulos medidos en grados a radianes y de radianes a grados.

Unidad 3

| 143

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 10-12-10 9:17 Página 144

Evaluación final Nombre:

Curso:

Fecha:

Marca o encierra la alternativa correcta de cada pregunta. 1. ¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo si uno de sus catetos mide 24 cm y su área es 216 cm2? A. 18 cm B. 30 cm C. 9 cm 3 D. cm 5 E. Aproximadamente 25,6 cm. 2. Si a, b y c es un trío pitagórico, entonces: I. 2a, 2b y 2c es un trío pitagórico. II. 3a, 4a y 5a, es un trío pitagórico. III. a2, b2 y c 2 es un trío pitagórico. Es o son verdadera(s): A. B. C. D. E.

Solo I Solo II Solo III I y II I, II y III

3. Si sen(α) =

I. x = 45º II. x = 135º III. x = 225º A. B. C. D. E.

Solo I Solo II Solo III I y II I y III

5. La función tangente tiene un valor positivo solo para ángulos en: I. el primer cuadrante. II. el primer y segundo cuadrante. III. el tercer cuadrante. IV. el segundo y cuarto cuadrante. A. B. C. D. E.

Solo I Solo III I y III I y IV Ninguna de las anteriores.

6. El valor de 4 sen(45º) + 2 cos(45º) es:

5 3

3 4

3 2 2

D. –

3 , entonces cos(α) es: 5

4. Si sen(x) = cos(x), entonces, ¿cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es o son verdaderas?

A. 3 2 B.

4 5

5 34 E. – 34

144 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

3 2 2

C. 6 D. 6 sen(45º) cos(45º) E.

2 3 2

7. sen(90º) + cos(270º) – 3 cos(180º) es igual a: A. B. C. D. E.

0 –2 4 –4 3

3 m

3 m 2

Es o son verdadera(s): A. B. C. D. E.

8. ¿Cuál es la altura de un edificio, si en determinado momento del día proyecta una sombra de 10 m con un ángulo de elevación de 60º?

C. 5 3 m

Unidad 3

U3-3º (PAG 106-145)_Maquetación 1 08-11-10 10:25 Página 145

Solo I Solo II Solo III I y II II y III

11. El valor de sen(π – x) – sen(π + x) es: A. B. C. D. E.

sen(–2x) 2 sen(x) 0 –2 –2x

12. Observa el triángulo y marca la afirmación falsa. B

D. 2 3 m

E. 10 3 m 9. Los vientos laterales de una carpa forman ángulos de 40º y 50º con el suelo. Si entre ellos hay 4 m de distancia, ¿qué altura tiene la carpa?

A. tan(α) = 4 7 B. C. D. E.

70 AB 80,62 α = 29º 44’ 41” β = 60º 15’ Ninguna de las anteriores.

13. Si sen(α) > 1, entonces:

A. B. C. D. E.

40º

2,57 m 3,06 m 1,97 m 2,34 m Falta información.

50º

10. Si tan(α) = 1 para α entre 0 y 2π entonces el ángulo α puede ser: I. π II. π 4 III. 5π 4

A. B. C. D. E.

α es obtusángulo. α es recto. 270º < α < 360º. sen(α) nunca es mayor que 1. Ninguna de las anteriores.

14. ¿Cuánto mide la proyección del cateto de 24 cm sobre la hipotenusa en un triángulo rectángulo cuya medida es de 30 cm? A. B. C. D. E.

0,64 cm 0,8 cm 1,25 cm 2,25 cm 19,2 cm

Unidad 3

| 145

U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 08-11-10 10:25 Página 146

Inecuaciones lineales Propósito de la Unidad En esta Unidad, se introducen algunas propiedades relativas al orden en los números reales (desigualdades) que son necesarias para tratar el tema de las inecuaciones lineales. A través de ejemplos cotidianos, los alumnos y las alumnas podrán explorar conceptos tales como: propiedades de las desigualdades, demostración de estas, intervalos, inecuaciones, sistemas de inecuaciones e inecuaciones que involucran valor absoluto. La resolución de inecuaciones está estrechamente ligada a la resolución de ecuaciones, ya estudiada en años anteriores. Es importante apoyar a los y las estudiantes para que establezcan la relación entre ambos tipos de problemas, visualizando las similitudes y diferencias en los procesos. Muy particularmente, interesa que perciban la diferencia entre la variedad de soluciones que es posible obtener en cada caso.

Esquema de la Unidad Desigualdades

Conjeturas y demostraciones

Inecuaciones lineales con una incógnita

Inecuaciones lineales con dos incógnitas

Propiedades de las desigualdades Sistemas de inecuaciones

146|Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Inecuaciones que involucran valor absoluto

Generalización de la operatoria aritmética a través del uso de símbolos. Convención de uso de los paréntesis.

Función valor absoluto; gráfico de esta función. Interpretación del valor absoluto como expresión de distancia en la recta real.

Ecuación de la recta. Interpretación de la pendiente y del intercepto con el eje de las ordenadas. Condición de paralelismo y de perpendicularidad.

Resolución de desafíos y problemas no rutinarios que involucren sustitución de variables por dígitos y/o números.

2º Medio

1º Medio

Función potencia: y = ax n, a > 0, para n = 2, 3 y 4, y su gráfico correspondiente. Análisis del gráfico de la función potencia y su comportamiento para distintos valores de a.

Sistemas de inecuaciones lineales sencillas con una incógnita. Intervalos en los números reales. Planteo y resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita. Análisis de la existencia y pertinencia de las soluciones. Relación entre las ecuaciones y las inecuaciones.

Funciones logarítmica y exponencial, sus gráficos correspondientes. Modelación de fenómenos naturales y/o sociales a través de esas funciones. […]

4º Medio

3º Medio

Relación entre los CMO de la Unidad y los de otros años

U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 08-11-10 10:25 Página 147

Unidad 4

| 147

Contenidos de la Unidad

148 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

• Conjeturas y demostraciones.

Sistemas de inecuaciones • Desigualdades. lineales sencillas con una incógnita. Intervalos en los números reales. Planteo y resolución de • Intervalos de números sistemas de inecuaciones reales. con una incógnita. Análisis de la existencia y pertinencia de las soluciones. • Propiedades de las Relación entre las ecuadesigualdades. ciones y las inecuaciones lineales.

CMO

• Conocer y aplicar las propiedades de las desigualdades.

• Representar conjuntos de números reales por medio de intervalos.

• Representar diversas situaciones a través de desigualdades.

Aprendizajes esperados

Propuesta de planificación de la Unidad

• Demuestran desigualdades y realizan conjeturas, utilizando propiedades de estas.

En la Guía Didáctica: De refuerzo: páginas 155, 156, 157, 158, 160 y 172. De profundización: páginas 155, 156, 157, 158, 160 y 172.

• Conocen y utilizan las propiedades de las desigualdades.

• Conocen y utilizan la notación de intervalos, asociándola correctamente con las desigualdades.

• Traducen enunciados sencillos a expresiones con desigualdades

Indicadores de evaluación

De consolidación: páginas 178 y 196.

De construcción de conceptos: páginas 169, 172, 173, 175 y 177.

En el Texto: De exploración: páginas 168, 170, 171, 174 y 176.

Actividades asociadas

Sumativa: páginas 197 a 199 del Texto del Estudiante, y 174 y 175 de la Guía Didáctica del Docente.

Formativa: páginas 179 y 191 del Texto del Estudiante.

Diagnóstica: páginas 166 y 167 del Texto del Estudiante.

Tipos de evaluación

Computador con acceso a Internet.

Regla.

Recursos didácticos

Tiempo estimado: 5 a 6 semanas

U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 08-11-10 10:25 Página 148

CMO • Conocer y aplicar procedimientos para resolver inecuaciones lineales o sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita. • Analizar la existencia y pertinencia de las soluciones y utilizar la notación apropiada.

Aprendizajes esperados

De consolidación: páginas 190 y 196.

De construcción de conceptos: páginas 181, 183, 187 y 189.

En el Texto: De exploración: páginas 180, 182,184, 185 y 188.

Actividades asociadas • Resuelven inecuaciones con una incógnita. • Resuelven problemas que involucran la resolución de inecuaciones.

Indicadores de evaluación

• Inecuaciones que involucran valor absoluto.

• Resuelven inecuaciones que involucran valor absoluto.

• Sistemas de inecuaciones • Resolver inecuaciones que En la Guía Didáctica: • Resuelven sistemas de con una incógnita. involucran valor absoluto. De refuerzo: páginas inecuaciones con 161, 162, 163, 164, una incógnita. • Inecuaciones lineales 165, 167 y 172. • Resuelven inecuaciones con con dos incógnitas. dos incógnitas y sistemas De profundización: de inecuaciones con páginas 162, 163, dos incógnitas. 164, 165, 167 y 172. • Analizan la existencia y pertinencia de las soluciones.

• Inecuaciones con una incógnita.

Contenidos de la Unidad

Tipos de evaluación

Unidad 4

Recursos didácticos

U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 08-11-10 10:25 Página 149

Unidad 4

| 149

U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 08-11-10 10:25 Página 150

Referencias teóricas Relación de orden en los números reales Dados dos conjuntos reales a y b, se dice que a b si a – b es un número real positivo o es cero. Es decir, a b ⇔ a – b 0. Intervalos de números reales Dados dos números a y b, con a < b, se llama intervalo de números reales a los siguientes conjuntos de IR.

Conjunto

Notación

{x ∈IR / a x b}

[a, b]

{x ∈IR / a < x < b}

]a, b[

{x ∈IR / a x < b}

[a, b[

Representación gráfica

Tipo de intervalo

Intervalo cerrado

Intervalo abierto

Intervalo semiabierto {x ∈IR / a < x b}

]a, b]

{x ∈IR / x a}

[a, +∞[

{x ∈IR / x > a}

]a, +∞[

a Intervalos no acotados o infinitos

{x ∈IR / x b}

]–∞, b]

{x ∈IR / x < b}

]–∞, b[

150 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Unidad 4

U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 08-11-10 10:25 Página 151

Desigualdades Se denomina desigualdad a toda relación que se establece entre números reales mediante la comparación “menor que” (<), “menor o igual que” ( ), “mayor que” (>), o “mayor o igual que” ( ). Una desigualdad se cumple si la relación establecida en ella es verdadera. Propiedades de las desigualdades • Transitividad. Sean a, b y c tres números reales. Si a b y b c, entonces, a c. • Propiedad aditiva. Si a ambos lados de una desigualdad se suma un mismo número, entonces, la desigualdad se mantiene. Es decir: a b ⇒ a + c b + c. • Propiedad multiplicativa. Si a ambos lados de una desigualdad se multiplica por un mismo número positivo, la desigualdad se mantiene. Es decir: a b ⇒ a · c b · c, con c ∈ IR+. Si a ambos lados de una desigualdad se multiplica por un mismo número negativo, la desigualdad se invierte. Es decir: a b ⇒ a · c b · c ∈ IR–. Inecuaciones de primer grado con una incógnita Es una desigualdad formada por números reales y una incógnita. Resolver una inecuación es determinar el conjunto solución de números reales que hacen que la desigualdad se cumpla. Para esto se pueden utilizar las propiedades de las desigualdades. Inecuaciones con valor absoluto • Inecuaciones de la forma |ax + b| c. Para resolver este tipo de inecuaciones, se puede proceder de la siguiente manera: Si |ax + b| c, entonces, se debe cumplir que –c ax + b c. Luego, se plantean las inecuaciones ax + b c y ax + b > –c. Al resolver estas inecuaciones se obtiene un conjunto de soluciones para cada una: S1 y S2. El conjunto solución de la inecuación |ax + b| c está dado por la intersección de S1 y S2; es decir, S = S1 ∩ S2. • Inecuaciones de la forma |ax + b| > c. Para resolver este tipo de inecuaciones, se puede proceder de la siguiente manera: Si |ax + b| > c, entonces, se debe cumplir que ax + b c, o bien ax + b –c. Al resolver estas inecuaciones se obtiene un conjunto de soluciones para cada una: S1 y S2. El conjunto solución de la inecuación |ax + b| c está dado por la unión de S1 y S2; es decir, S = S1∪ S2. Inecuaciones con dos incógnitas Una inecuación de primer grado con dos incógnitas, x e y, se puede escribir de la forma ax + by c, donde a, b y c son números reales (el signo puede ser remplazado por , < o >). Toda inecuación de primer grado con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. La solución de una inecuación lineal con dos incógnitas corresponde a una región del plano limitada por la recta ax + by = c. Cada punto de la región es una solución de esta.

Unidad 4

| 151

U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 08-11-10 10:25 Página 152

Páginas 164 y 165

Conversemos de... Ítems

Habilidades que desarrollan

1y2

Recordar y conectar.

Páginas de entrada En estas páginas se presenta una situación que involucra el uso de desigualdades para representar un rango de valores correspondientes al índice de radiación ultravioleta. Para esto, se muestra una tabla que contiene los valores del índice UV-B en Santiago durante diez días del mes de diciembre de 2009. Antes de comenzar, explíqueles a sus estudiantes qué son los rayos UV, y el daño que causan al ser humano. Los rayos UV son producidos por el Sol y se difunden en bandas de diferente amplitud de onda, según lo cual tenemos: Rayos UV-A: son la continuación de la radiación visible y los responsables del bronceado de la piel. Actúan, incluso, cuando hay nubes. Rayos UV-B: llegan a la Tierra muy atenuados por la capa de ozono. Son muy peligrosos para la vida en general y, en particular, para la salud humana, en caso de exposiciones prolongadas de la piel y los ojos (cáncer de piel, melanoma, catarata, debilitamiento del sistema inmunológico, entre otros). Su acción se limita a la epidermis, capa superficial de la piel. Rayos UV-C: son los más peligrosos para el ser humano, sin embargo, no alcanzan la superficie de la Tierra ya que son absorbidos por la atmósfera. Para prevenir los efectos de la radiación UV, muéstreles la siguiente tabla, donde se indica la protección necesaria según el índice UV. Índice UV 1 2

Tipo de protección Sin riesgo.

3 4 5 6

Usar: camisa, crema con protección solar, lentes con filtro UV-B y UV-A y sombrero.

7 8 9 10

Evitar salir durante las horas centrales del día. Usar: camisa, crema con protección solar, lentes con filtro UV-B y UV-A y sombrero.

11 Luego, utilizando el gráfico que aparece en el Texto del Estudiante, puede generar una discusión relacionando el tema con las desigualdades.

152 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Páginas 166 y 167

Evaluación diagnóstica

¿Cuánto sabes? Ítems

La evaluación diagnóstica con el título ¿Cuánto sabes?, incluye los siguientes ítems: Ítem 1: Expresar en términos de desigualdades frases expresadas en lenguaje natural. Ítem 2: Determinar y representar en la recta numérica el conjunto de números que cumple con una condición dada. Ítem 3: Describir las características de distintos conjuntos numéricos. Ítem 4: Reconocer el conjunto al que pertenecen diferentes números. Ítem 5: Identificar, de un grupo de ecuaciones, las que representan una línea recta. Ítem 6: Resolver ecuaciones con una incógnita. Ítem 7: Resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.

Ítem

Completamente logrado

Logrado

Habilidades que evalúan

Representar.

Representar e identificar.

Identificar y representar.

Recordar e identificar.

Reconocer y clasificar.

6y7

Medianamente logrado

Recordar y aplicar.

Por lograr

Expresa correctamente todos los enunciados como desigualdades.

Expresa correctamente dos o tres de los enunciados, cometiendo errores en el sentido de la desigualdad.

Expresa correctamente uno o ninguno de los enunciados, no es capaz de representar los restantes por medio de una desigualdad.

No expresa correctamente ninguno de los enunciados, no es capaz de representar los restantes por medio de una desigualdad o comete errores en el sentido de esta.

Determina y representa correctamente en la recta numérica todos los conjuntos de números que cumplen con una condición dada.

Determina en forma correcta todos los conjuntos de números que cumplen con una condición dada.

Determina en forma correcta dos o tres de los números que cumplen con una condición dada, comete errores al determinar los elementos de estos, o no los representa en forma correcta en la recta numérica.

Determina en forma correcta uno o ninguno de los números que cumplen con una condición dada, comete errores al determinar los elementos de estos, o no los representa en la recta numérica.

Describe en forma correcta todos los conjuntos señalados.

Describe en forma Describe en forma Describe en forma correccorrecta la mayoría de correcta dos o tres de ta uno o ninguno de los los conjuntos, cometien- los conjuntos numéricos. conjuntos numéricos. do errores al explicar el tipo de número que pertenece a uno de los conjuntos numéricos.

Unidad 4

U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 08-11-10 10:25 Página 153

Unidad 4

| 153

U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 08-11-10 10:25 Página 154

Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Determina en forma correcta la pertenencia de todos los números a cada uno de los conjuntos numéricos de la tabla.

Determina en forma correcta la pertenencia de los números a los conjuntos numéricos, pero en uno o dos casos no marca todos los conjuntos a los que pertenece el número.

Determina en forma correcta la pertenencia de dos o tres de los números a los diferentes conjuntos numéricos.

Determina en forma correcta la pertenencia de uno o ninguno de los números a los diferentes conjuntos numéricos.

Determina en forma correcta cuáles de las expresiones corresponden a una recta, justificando su decisión y graficando cada una de estas.

Determina en forma correcta cuáles de las expresiones corresponden a una recta, graficando cada una de estas.

Determina en forma correcta si tres o cuatro de las expresiones corresponden a una línea recta, y comete errores al hacer el gráfico correspondiente a cada una.

Determina en forma correcta si dos o menos de las expresiones corresponden a una línea recta, y no grafica estas en forma correcta.

Resuelve correctamente una o dos de las ecuaciones.

No resuelve correctamente ninguna de las ecuaciones. Comete errores en el procedimiento utilizado.

Resuelve correctamente Resuelve correctamente Resuelve correctamente cada uno de los cada uno de los uno o dos de los sistemas de ecuaciones, sistemas de ecuaciones. sistemas de ecuaciones. indicando el procedimiento utilizado.

No resuelve correctamente ninguno de los sistemas de ecuaciones. Comete errores en el procedimiento utilizado.

Resuelve correctamente Resuelve correctamente cada una de las cada una de las ecuaciones, indicando el ecuaciones. procedimiento utilizado.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En los ítems 1 y 2, puede resultarles difícil a los alumnos y las alumnas, traducir un enunciado con frases como “no supera”, “al menos”, y otras, en símbolos matemáticos. Se sugiere discutir previamente con ellos y ellas algunas frases similares para facilitar la realización de estas actividades. • En el ítem 3 y 4, recuerde que un número puede pertenecer a varios conjuntos numéricos. Es recomendable que antes de realizar las actividades construya con sus estudiantes un esquema que represente los distintos conjuntos numéricos y los elementos que pertenecen a cada uno.

154 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Páginas 168 y 169

Unidad 4

U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 08-11-10 10:25 Página 155

Desigualdades

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• En estás páginas se discute la utilización de desigualdades para representar una situación que involucra un rango de valores. En las páginas 166 y 167 del Texto, se proponen actividades que permiten repasar conceptos importantes para una mejor comprensión de los contenidos de esta Unidad. • En estas páginas se plantean actividades orientadas al uso de las relaciones >, <, y , cuando se traduce una frase en símbolos matemáticos. Los alumnos deben ser capaces de relacionar expresiones de nuestro lenguaje como “a lo más”, “al menos”, “no menor”, “ no mayor”, “no inferior o igual a“, “varía entre”, “como máximo”, entre otras, con alguno de los símbolos que representan relaciones de orden.

Habilidades que desarrollan Representar, analizar y justificar.

Actividades Ítems 1 2y3

Habilidades que desarrollan Evaluar. Aplicar y representar.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Escribe el signo < o >, según corresponda. a. 1

(0,1)2

b. 532

364

c. –2

–22

d. –0,5

(–0,1)2

2. Indica si las siguientes desigualdades son verdaderas o falsas. a. (3 – 5)2 32 – 52 b. a2 + b2 0, si a y b ∈ IR (Habilidades que desarrollan: aplicar, calcular y verificar). De profundización 1. Encuentra un par de valores de a y b que cumplan la desigualdad a2 – b2 > a + b. 2. ¿Existen valores para a y b de modo que la desigualdad a2 – 2ab b2 no sea cierta? Justifica. (Habilidades que desarrollan: aplicar y conjeturar).

Unidad 4

| 155

U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 08-11-10 10:25 Página 156

Páginas 170 a 173

Intervalos de números reales

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• Para el estudio de inecuaciones, es imprescindible manejar ciertas nociones de teoría de conjuntos, como la pertenencia de un elemento a cierto conjunto, unión e intersección de estos, conjunto vacío. En este contexto se introduce, en estas páginas, la definición de intervalos de números reales y las operaciones entre estos, mostrando a los alumnos y alumnas cómo se utilizan las desigualdades para representar ciertos conjuntos de números. • Es importante aclarar a sus estudiantes el significado de los círculos pintados o en blanco, para indicar si se consideran o no los extremos del intervalo.

Representar, analizar y justificar.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Justificar.

Representar.

3y4

Aplicar y representar.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Una mañana, Sara escucha por radio que en ese momento, la temperatura era de 4 ºC y que durante el día no variaría más de 5 ºC. Expresa, a través de un intervalo, el conjunto de valores que podría tomar la temperatura durante ese día, en caso de que el pronóstico se cumpla. (Habilidades que desarrollan: analizar y representar). De profundización 1. Encuentra ejemplos de parejas de intervalos de números reales I1 e I2, tales que: a. I1 I2 = I2

c. I1 I2 = IR

b. I1 I2 = I1

d. I1 I2 = ∅

(Habilidades que desarrollan: analizar y aplicar).

Páginas 174 y 175

Propiedades de las desigualdades

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• En estas páginas se presentan algunas propiedades de las desigualdades que son necesarias para resolver problemas que las involucren, y también, para poder resolver inecuaciones.

Analizar, conjeturar y justificar.

Actividades Ítems 1y2

Habilidades que desarrollan Calcular, clasificar y conjeturar.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Si y = –2x + 15, utiliza las propiedades de las desigualdades para encontrar la variación de y cuando x varía entre –2 y 10.

156 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Unidad 4

U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 08-11-10 10:25 Página 157

2. El ancho de cierto rectángulo es igual a las tres cuartas partes del largo, menos 2 cm. a. Si se representa por x la medida del largo del rectángulo, encuentra una expresión para el perímetro del mismo en términos de x. b. Si el perímetro del rectángulo varía entre 30 cm y 50 cm, ¿entre qué valores varía la medida del largo? (Habilidades que desarrollan: aplicar y resolver problemas). De profundización 1. Considera las afirmaciones: • Si a b, entonces, a2 b2. • Si a2 b2, entonces, a b. ¿Qué condición deben cumplir a y b para que ambas afirmaciones sean verdaderas? (Habilidades que desarrollan: analizar y conjeturar).

Errores frecuentes • Uno de los errores que se presenta con mayor frecuencia es la incorrecta aplicación de la propiedad de las desigualdades, al multiplicar o dividir esta por un número negativo. Se debe insistir en el cambio de sentido que experimenta la desigualdad cuando se multiplica o divide por un número negativo, dando múltiples ejemplos y pidiendo a sus estudiantes que busquen otros.

Páginas 176 y 177

Conjeturas y demostraciones

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• Es importante que los alumnos y las alumnas comprueben la validez de las expresiones que se quieren demostrar, asignando, a estas, diferentes valores numéricos; como se muestra en la página 176, donde hay una tabla de valores 1 para los términos de la desigualdad + a > 2.

Habilidades que desarrollan

a • Muéstreles a sus estudiantes la interpretación geométrica que se puede dar a la propiedad demostrada: Si suponemos que tienes un rectángulo cuya área es igual a 1, y tal que, la 1 medida de uno de sus lados es a, entonces, la medida del otro lado sería .

a En este caso, los números de la tercera columna de la tabla de la situación inicial en la página 176 del Texto, corresponden a distintos valores del semiperímetro del rectángulo.

冢 1a + a冣

Perímetro: 2

Analizar, conjeturar y justificar.

Actividades Ítems 1 2y3 4, 5 y 6 7

Habilidades que desarrollan Analizar. Conjeturar y aplicar. Aplicar. Analizar y aplicar.

a a

Unidad 4

| 157

U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 08-11-10 10:25 Página 158

Actividades complementarias De refuerzo 1. Demuestra que

15 x +

2. Demuestra que si a > 0 y b > 0, entonces,

1 . a+b

(Habilidades que desarrollan: analizar, verificar y reconocer). De profundización 1. Si se sabe que u + 1 < v < 0, ordena de menor a mayor los números u+2 v+1 y . v–1 u (Habilidades que desarrollan: seleccionar, aplicar y analizar).

Página 178

Actividades 1

Organizando lo aprendido

Habilidades que desarrollan Recordar.

2a5

Recordar y justificar.

6a9

Analizar y aplicar.

Analizar.

Actividades complementarias De refuerzo 1. ¿Qué representa el intervalo ]–∞, +∞[? 2. Si a > 1 y b < 0, ¿es cierto que b < a?, ¿por qué? (Habilidades que desarrollan: analizar, aplicar y formular hipótesis). De profundización 1. Si a, b y c ∈IR+ y ab > bc, entonces, ¿es cierto que

? Justifica.

2. Si p, q y r ∈IR, tal que p > r – 1 y q r – 1, ¿es cierto que p + q > 2(r – 1)?, ¿por qué? (Habilidades que desarrollan: analizar, aplicar y formular hipótesis).

158 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Página 179

Mi progreso

En esta página se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos y alumnas aplicar lo aprendido hasta ahora en la Unidad. Esta instancia la puede utilizar como una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan en el cuadro Mi progreso, e incluye los siguientes criterios: Ítem 1: Determinar si las desigualdades son verdaderas o falsas. Ítem 2: Determinar la unión o intersección de intervalos. Ítem 3: Justificar desigualdades, utilizando las propiedades de estas. Ítem 4: Determinar para qué conjunto de números se cumple una desigualdad.

Ítem

Unidad 4

U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 08-11-10 10:25 Página 159

Completamente logrado

Logrado

Mi progreso Ítems

Habilidades que evalúan

Calcular.

Aplicar y calcular.

3y4

Aplicar y justificar.

Medianamente logrado

Por lograr

Determina correctamente Determina correctamente Determina correctamente si todas las desigualdades si todas las desigualdades si más de la mitad de son verdaderas o falsas. son verdaderas o falsas. las desigualdades son Justifica cada una de las verdaderas o falsas. respuestas.

Determina correctamente si la mitad o menos de las desigualdades son verdaderas o falsas. No justifica las respuestas.

Determina en forma correcta todas las uniones e intersecciones de los intervalos dados, mostrando un procedimiento adecuado.

Determina en forma correcta la mitad o menos de las uniones e intersecciones de los intervalos dados. No utiliza un procedimiento adecuado.

Determina en forma correcta todas las uniones e intersecciones de los intervalos dados.

Justifica en forma Justifica en forma correcta todas las correcta todas las desigualdades, utilizando desigualdades. las propiedades de estas.

Determina en forma correcta más de la mitad de las uniones e intersecciones de los intervalos dados.

Justifica en forma Justifica en forma correcta tres o cuatro de correcta dos o menos las desigualdades. de las desigualdades. Comete errores en la aplicación de las propiedades de estas.

Posibles dificultades y remediales • En el ítem 1, explíqueles a sus estudiantes que basta con calcular las expresiones a cada lado de las desigualdades para determinar si estas son verdaderas o falsas. • En el ítem 2, la dificultad podría estar en la adecuada comprensión de los conceptos de unión e intersección de conjuntos. Sugiérales a sus alumnos y alumnas representar las uniones e intersecciones de intervalos en la recta numérica. • En el ítem 3, los alumnos podrían tener problemas al no recordar las propiedades de las desigualdades. Se sugiere repasar estas antes de desarrollar la actividad.

Unidad 4

| 159

U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 08-11-10 10:25 Página 160

Actividades complementarias Ejercicios de refuerzo

Solucionario

1. Determina si las siguientes desigualdades son verdaderas o falsas.

Ejercicios de refuerzo 1. a. b. c. d.

a. 108 · 544 < 32 · 51 · 36 b.

1 1 1 + 5 6 5+6

c. (100 + 23) · (100 – 23) 2 · 1002 + 4600

Falso. Falso. Verdadero. Verdadero.

q3 q

3 2 q–7 q–1

1 1 –q> q 2q

0,5

Sí

0,5

2 2 –1

Sí

–11

Sí

2 2 –1

3 2

d. t + 12 0, con t = –1 6

2. Determina si los valores de q dados, son soluciones de las siguientes inecuaciones.

q3 q

3 2 q–7 q–1

–q>

1 2q

–11 3 2 3. Determina las siguientes uniones e intersecciones de los siguientes intervalos. a. ]–1, 0] [–1, 0[ b. (]0, 9[ ]5, 11[) [0, 9] c. ]–∞, 4] ]4, +∞] d. (]–∞, 6] [6, +∞]) ([4, 6] [4, +∞[)

Ejercicios de profundización 1. Si x – 2, 2x y x + 6 son tres números positivos distintos, y x + 6 es el mayor de ellos, determina cuál es el menor. 2. Marcela, Francisco y Felipe son hermanos. Marcela tiene 15 años y Francisco tiene tres más que Felipe. La suma de los años de Francisco y Felipe no alcanza a igualar la edad de Marcela. ¿Cuántos años tiene Felipe, si su edad es un número impar?

160 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

3. a. b. c. d.

]–1, 0[ [0, 9] Ø [4, 6]

Ejercicios de profundización 1. x – 2 2. Puede tener 1, 3 ó 5 años.

Páginas 180 y 181

Unidad 4

U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 08-11-10 10:25 Página 161

Inecuaciones con una incógnita

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• Las propiedades de las desigualdades en los números reales permiten resolver inecuaciones lineales con una incógnita, como las presentadas en estas páginas. Por lo tanto, es de gran importancia que los alumnos y las alumnas dominen en forma correcta estas propiedades. Se sugiere repasarlas antes de comenzar a trabajar con inecuaciones. En particular, haga énfasis en que al multiplicar por un número negativo una desigualdad, cambia el sentido de esta. • Explíqueles a sus estudiantes que la solución en inecuaciones, no es solo un valor como en el caso de las ecuaciones lineales, sino que es un intervalo de números reales, si se está trabajando en este conjunto. Por otro lado, la resolución de estas es similar; muéstreles a sus estudiantes las similitudes en el procedimiento de resolución. • En los problemas de aplicación de inecuaciones, es importante instar a los y las estudiantes a definir previamente las incógnitas, plantear la inecuación que modela la situación, resolverla y luego analizar la pertinencia de la solución, para finalmente responder la pregunta. Para aclarar esto, se sugiere que les muestre a los estudiantes el siguiente ejemplo:

Habilidades que desarrollan Analizar, aplicar y justificar.

Actividades Ítems 1y2

Habilidades que desarrollan Calcular.

¿Cuántos números naturales cumplen con la condición de que el número más 8, sea mayor o igual que su quíntuplo?

x + 8 5x / · 3 3x + 24 15x 24 12x 2 x Muéstreles a sus estudiantes que en este caso la solución no será un intervalo, ya que no se está trabajando en el conjunto de los números reales. La solución de la inecuación corresponde a los números naturales menores o iguales a 2, por lo tanto, S = {1, 2}.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Resuelve las siguientes inecuaciones lineales. 1

a. 2x > 4x + 14

d. –

b. 4 – 2x < 15

e. 4x – 3 < 4x + 1

c. –2x + 4 5

f. 5x + 8 2x – 1

+8>6

(Habilidades que desarrollan: calcular y aplicar).

Unidad 4

| 161

U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 08-11-10 10:25 Página 162

De profundización 1. Un alumno obtuvo un 4,0 y un 5,0 en las dos primeras pruebas parciales de una asignatura. Si quiere tener un promedio no inferior a 5,5, y solo le falta rendir la prueba coeficiente dos, ¿cuál debe ser la nota mínima en dicha prueba? 2. Determina todos los conjuntos posibles de 5 enteros consecutivos pares, cuya suma esté entre 220 y 250. 3. Un carpintero fabrica un cierto número de mesas. Vende 70 de ellas y le quedan por vender mas de la mitad. Posteriormente, hace 6 mesas más y vende 36, quedándole menos de 42 mesas por vender. ¿Cuántas mesas fabricó? (Habilidades que desarrollan: aplicar, analizar y resolver problemas).

Errores frecuentes • El olvidar la propiedad que nos indica el cambio de sentido que experimenta la inecuación cuando se multiplica o divide por un número negativo, sigue siendo un error frecuente. Por tanto, es importante insistir en las propiedades estudiadas en las páginas 174 y 175 del Texto del Estudiante.

Páginas 182 y 183

Sistemas de inecuaciones con una incógnita

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• En estas páginas se presentan sistemas de inecuaciones con una incógnita, en los cuales se resuelve cada una de las inecuaciones en forma independiente. La solución del sistema, corresponderá a la intersección de las soluciones de las inecuaciones que lo conforman. • Explíqueles a sus estudiantes que se debe realizar una representación gráfica de las soluciones de las inecuaciones sistema, ya que esta permite visualizar de manera más fácil la solución. • Recuérdeles también que la solución del sistema de inecuaciones puede ser vacía en caso de que no se intersequen las soluciones de las inecuaciones que conforman el sistema.

Representar, analizar y justificar.

Actividades Ítems 1 2y3

Habilidades que desarrollan Calcular. Aplicar y calcular.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones. a. –2x – 6 10

b. x + 1 10

x 5< +1 2

x–1<8

2. Josefina quiere hacer una llamada de larga distancia a España y su plan telefónico indica que los tres primeros minutos cuestan $ 450, y $ 80 por cada minuto adicional. ¿Durante cuántos minutos podrá hablar Josefina si puede gastar entre $ 1500 y $ 2000, aproximadamente? (Habilidades que desarrollan: aplicar, calcular y resolver problemas).

162 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Unidad 4

U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 08-11-10 10:26 Página 163

De profundización 1. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones. a. 0 < x + 1 10 4 x–1<8

b. 8x < 6 – 10x x>6 x–3 5

(Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular).

Páginas 184 a 187

Inecuaciones lineales con dos incógnitas

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• En estas páginas se estudia la resolución de inecuaciones lineales con dos incógnitas, las soluciones de estas corresponderán a una región del plano, donde cada punto perteneciente a esta región, es solución de la inecuación. • Es importante que los alumnos y las alumnas recuerden algunos conceptos como la ecuación de la recta y su gráfico respectivo. Se recomienda repasar estos conceptos antes de comenzar a estudiar los contenidos de estas páginas. Paralelo a esto, se les puede pedir que verifiquen algebraica y gráficamente, si ciertos puntos dados pertenecen o no a las rectas dadas. También se les puede proponer ejercicios en donde ellos encuentren la ecuación de la recta que satisfaga ciertas condiciones dadas.

Habilidades que desarrollan

Actividades complementarias De refuerzo 1. Resuelve los sistemas de inecuaciones. a. x + y 0 y–x 0

d. 4x – 8 – 2y < 0 2x – 4 > y

b. –2x – y –2

e. x – 1 – x < 0

y – x+1 2 c. 2x + y – 2 > 0

x – y – 1 < 10

Representar, analizar y justificar.

Actividades Ítem

Habilidades que desarrollan

Calcular y representar.

Calcular, representar y justificar.

Identificar y aplicar.

Aplicar y representar.

y–x>0

4 x + 3y > 4 3 4 x–y>4 5

(Habilidades que desarrollan: aplicar y representar). De profundización 1. En una fábrica se tienen dos máquinas que permiten fabricar cierto producto. La máquina A fabrica 10 unidades del producto por hora y tiene un costo de operación de $ 1000 por hora, mientras que la máquina B puede fabricar 12 productos por hora, pero tiene un costo de operación de $ 3000 por hora. Para que el proceso de fabricación sea rentable, deben fabricarse

Unidad 4

| 163

U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 08-11-10 10:26 Página 164

al menos 700 unidades, y se dispone de a lo más $ 100 000 para cubrir el costo de operación de las máquinas. Mediante un sistema de inecuaciones, determine gráficamente las cantidades de horas de operación de las máquinas A y B. 2. Sean P(1, 1) y Q(3, –2) dos puntos en el plano cartesiano. Considera las rectas paralelas al eje X, L1 y L2 que pasan por P y Q, respectivamente. Encuentra un sistema de inecuaciones cuyo conjunto solución sea la región comprendida entre L1, L2, la recta que pasa por los puntos P y Q y el eje Y. (Habilidades que desarrollan: aplicar, seleccionar y resolver problemas).

Páginas 188 y 189

Inecuaciones que involucran valor absoluto

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• Es importante que los alumnos y las alumnas relacionen el valor absoluto con el cálculo de distancias, como se presenta en la situación inicial de la página 188 del Texto del Estudiante. • Acláreles a sus estudiantes que para determinar la solución de una inecuación que involucra valor absoluto, debe separar esta en dos inecuaciones, según la definición de valor absoluto. Recuérdeles que la solución de una inecuación que involucra valor absoluto, no siempre corresponde a la intersección de las soluciones estas inecuaciones, como se puede ver en el cuadro En Resumen de la página 189 del Texto del Estudiante. • Explique a sus estudiantes que antes de resolver una inecuación que involucra valor absoluto, debe verificar que sea pertinente resolverla. Por ejemplo, la inecuación |x – 4| > –2 no tiene sentido resolverla, ya que como el valor absoluto de un número es siempre positivo o cero, tendremos que |x – 4| será siempre mayor que –2; por lo tanto, la solución será IR. En cambio, la inecuación |x – 4| < –2 no tendrá solución (∅), ya que el valor absoluto de un número nunca será inferior a un número negativo.

Representar y analizar.

Actividades Ítem

Habilidades que desarrollan

Analizar y justificar.

Representar y aplicar

Actividades complementarias De refuerzo 1. Resuelve las siguientes inecuaciones, expresa el conjunto solución en forma de intervalo y gráfica. a. 2|3x – 4| < 16

d. –|3x + 1| < –8

b. |2x + 1| + 2 2

x–5 0 10

c. |7x| > 7

x–2 >4 3

(Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular).

164 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Unidad 4

U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 08-11-10 10:26 Página 165

De profundización 1. La temperatura en un día soleado de verano satisface la desigualad |t – 78| < 8, donde t es la temperatura en grados Fahrenheit. ¿Entre qué valores varió la temperatura? 2. Un reproductor de discos compactos de un computador tiene una temperatura de trabajo |t – 5| < 30, siendo t su temperatura en grados Celsius. ¿Cuál sería la temperatura mínima y cuál la máxima que podría resistir para funcionar correctamente? Expresa la solución en forma de intervalo y gráficamente. 3. El abastecimiento diario de agua calculada para cierta ciudad está dada por |c – 450 000 000| < 5 · 108, donde c es el número de galones de agua utilizados por día. Calcula el mayor y el menor número de galones necesarios para satisfacer el requerimiento diario. (Habilidades que desarrollan: aplicar, conectar y resolver problemas).

Página 190

Organizando lo aprendido

Indicaciones respecto del contenido • La alumnas y los alumnos deben contar con el tiempo necesario para revisar el mapa conceptual y comentar respecto de las relaciones que se presentan entre los conceptos. Es importante que revisen si faltó algún concepto importante y que lo agreguen en el mapa conceptual; esto les permitirá consolidar sus conocimientos y tener una visión global de lo visto hasta este momento en la Unidad.

Actividades complementarias

Actividades

Habilidades que desarrollan

Mapa Recordar y conectar. conceptual 1a7

Recordar, aplicar y conectar. Analizar y evaluar.

De refuerzo 1. ¿Cómo se relaciona una ecuación con una inecuación? Explica. 2. ¿Qué es una desigualdad? 3. ¿Cuáles son las principales propiedades de las desigualdades? (Habilidades que desarrollan: recordar y analizar). De profundización 1. ¿En qué se parecen las gráficas de los sistemas de ecuaciones lineales y los sistemas de inecuaciones lineales?, ¿en qué se diferencian? 2. Considera la siguiente inecuación: |x – a| < c, ¿para qué valores de c no tiene solución?, ¿puede tener infinitas soluciones? Explica. (Habilidades que desarrollan: recordar, conectar y analizar).

Unidad 4

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U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 08-11-10 10:26 Página 166

Página 191

Mi progreso

Mi progreso Ítems 1y2 3 4y5

Ítem

Habilidades que evalúan Aplicar, analizar y calcular. Representar y analizar. Aplicar y calcular.

Completamente logrado

En esta página se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los y las estudiantes aplicar lo aprendido en esta Unidad. Esta instancia la puede utilizar como una evaluación formativa, que considera las habilidades que se detallan en el cuadro Mi progreso, e incluye los siguientes criterios: Ítem 1: Resolver inecuaciones con una incógnita. Ítem 2: Resolver sistemas de inecuaciones con una incógnita. Ítem 3: Graficar el conjunto solución de inecuaciones con dos incógnitas y sistemas de estas. Ítem 4: Resolver ecuaciones e inecuaciones que involucran valor absoluto. Ítem 5: Verificar si ciertos números son o no solución de una inecuación dada.

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Resuelve correctamente Resuelve correctamente todas las inecuaciones, in- todas las inecuaciones. dicando el procedimiento utilizado.

Resuelve correctamente cuatro o más de las inecuaciones. Comete errores en el procedimiento utilizado.

Resuelve correctamente todos los sistemas de inecuaciones, indicando el procedimiento utilizado.

Resuelve correctamente todos los sistemas de inecuaciones.

Resuelve correctamente Resuelve correctamente tres o más de los sistemas uno o ninguno de los de inecuaciones. Comete sistemas de inecuaciones. errores en el procedimiento utilizado.

Resuelve correctamente la inecuación lineal con dos incógnitas y el sistema de estas, graficando la solución en cada caso.

Resuelve correctamente solo la inecuación lineal con dos incógnitas.

No resuelve correctamente ninguno de los ejercicios.

Resuelve correctamente la inecuación lineal con dos incógnitas y el sistema de estas, graficando la solución en cada caso, e indicando el procedimiento utilizado. Resuelve correctamente todas las inecuaciones con valor absoluto, indicando el procedimiento utilizado.

Resuelve correctamente todas las inecuaciones con valor absoluto.

Resuelve correctamente tres o más de las inecuaciones con valor absoluto. Comete errores en el procedimiento utilizado.

Resuelve correctamente una o ninguna de las inecuaciones con valor absoluto.

166 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Resuelve correctamente tres o menos de las inecuaciones.

Unidad 4

U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 08-11-10 10:26 Página 167

Actividades complementarias “Infocentro vecinal”.

Ejercicios de refuerzo 1. Determina si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. 1 1 a. Si 0 < a b, entonces, .

b. Si 0 < a b, entonces, a2 b2. c. Si a < b y a, b ∈⺡, entonces, a <

a+b 2

1 ⋅ 0,56 ⋅ n + 4 IE2 = 4 3,125 Si n es el número de familias, determina el proyecto ganador para los distintos valores posibles de n.

Solucionario Ejercicios de refuerzo

2. Resuelve las siguientes inecuaciones o sistemas de estas. a. 4x – 2(x – 3) 0 b.

x–3 2x + 6 x 3x – 6 + – 5 2 4 2

2. a. [–3, +∞[

c. |x + 7| – 2 < 5 d.

1. a. Falso. b. Verdadero. c. Verdadero.

12 b. ⎡⎢ , +∞ ⎡⎢ ⎣ 49 ⎣

x+2 1 –5

c. ]–14, 0[

e. 2x + 2 5 –x + 6 –4

d. ]–∞, –7] ∪ [3, +∞[

f. 2x + 3 < 5x + 6 – x – 2 > 3x – 4

f. ]–1, 0,5[

e. ]–∞, 1,5]

Ejercicios de profundización

Ejercicios de profundización 1. Determina los valores de m que hacen verdadera la desigualdad a(m – 1) > m – 7 para: a. a < 1

b. a = 1

c. a > 1

2. Dos juntas vecinales han presentado proyectos al concurso por el Fondo de Ayuda Municipal. Obtendrá los fondos aquel con mayor “Indicador de elegibilidad” (IE). Este indicador es el cociente entre el número de familias beneficiadas por el proyecto y la millonésima parte del costo. Los proyectos son:

1. a. m <

7+ a 1–a

b. m ∈ IR c. m >

7+ a 1–a

2. Para todos los valores de n, gana el Cibercafé comunitario.

“Cibercafé comunitario”. 1 ⋅ 0, 42 ⋅ n + 6 IE1 = 3 3

Unidad 4

| 167

U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 08-11-10 10:26 Página 168

Páginas 192 y 193

Indicaciones respecto del contenido

Actividades Habilidades que desarrollan

Ítem

Cómo resolverlo

Aplicar, calcular y resolver problemas.

Analizar y justificar.

Seleccionar, aplicar, analizar, calcular y justificar.

• La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la Unidad; sin embargo, en estas páginas se presentan estrategias de resolución específicas de problemas con contenidos de la Unidad, para que los y las estudiantes las aprendan y las apliquen a futuros problemas. • Esta resolución se presenta detalladamente, justificando las diferentes acciones, lo que permite aclarar posibles dudas que sus estudiantes puedan mantener. • Se recomienda que enfatice los pasos que deben seguir en la resolución de problemas: comprender, planificar, resolver y revisar. • Es importante fomentar una discusión respecto del procedimiento utilizado en el Texto para resolver el problema mostrado y los distintos procedimientos propuestos por sus estudiantes, que les permitan comprender las razones por las cuales se resuelve de cada forma, teniendo en cuenta los elementos que se deben reconocer para que puedan seleccionar un procedimiento adecuado. A continuación, se presentan diferentes indicadores de logro que puede utilizar para evaluar la resolución de los problemas planteados.

Logro, aplicación

Comprensión del problema o situación

Comprensión de conceptos

Verificación de resultados y/o progreso

En proceso, logro parcial

No comprende

• Puede expresar en sus propias palabras e interpretar coherentemente el problema. • Identifica la información necesaria. • Tiene una idea acerca de la respuesta.

• Chequea racionalidad de los • Revisa cálculos y resultados. procedimientos. • Reconoce sin razones. • Puede investigar razones si existen dudas.

• No modela los conceptos rutinarios correctamente. • No puede explicar el concepto. • No intenta resolver el problema. • No hace conexiones.

• No revisa cálculos ni procedimientos. • No reconoce si su respuesta es o no razonable.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm

168 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Páginas 194 y 195

Unidad 4

U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 08-11-10 10:26 Página 169

En terreno

Indicaciones sobre el contenido • El objetivo de esta sección es que los alumnos y las alumnas apliquen parte de los contenidos aprendidos en la Unidad a una situación real. La actividad consiste en determinar sistemas de inecuaciones que describan ciertas regiones de una pantalla de computador, en la cual se asume un sistema de coordenadas. • Para potenciar la actividad, se recomienda que esta sea realizada en grupos, y que posteriormente, se seleccione uno o más según el tiempo que se disponga, para que presenten ante el resto de los compañeros y compañeras los resultados obtenidos.

Actividades Habilidades que desarrollan

Ítems 1y2

Aplicar y calcular.

Investiguemos • En los ítems 1 al 4, se pide determinar el sistema de inecuaciones que corresponde a cada región de la pantalla. Para esto, el alumno debe usar lo que ha calculado en las actividades 1 y 2, en las que se le pide determinar las ecuaciones de las rectas que determinan las regiones consideradas.

Página 196

Síntesis de la Unidad

Indicaciones sobre el contenido • En esta sección se presentan algunos conceptos tratados en la Unidad para que las alumnas y alumnos completen con ellos un mapa conceptual. Acláreles a sus estudiantes que deben completar el mapa conceptual, ya que no están todos los conceptos trabajados en la Unidad. Es importante recordar que al construir el mapa conceptual, este debe tener palabras de enlace entre los conceptos, que indiquen la relación entre ellos y no solo una línea que los una. • Las preguntas propuestas a continuación del mapa conceptual permitirán evaluar los aprendizajes alcanzados por los alumnos y las alumnas en la Unidad, y repasar aquellos no completamente logrados.

Actividades 1, 2 y 8

Habilidades que desarrollan Recordar y analizar.

3, 4, 5, 6 y 7 Recordar y justificar.

Actividades complementarias • Una vez que sus estudiantes hayan realizado el mapa conceptual, pídales que se lo intercambien, de modo que cada uno evalúe el de su compañera o compañero. Recuérdeles que en un mapa conceptual cada concepto se debe escribir de manera independiente y que son las palabras de enlace las que indican las relaciones que hay entre los conceptos.

Unidad 4

| 169

U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 08-11-10 10:26 Página 170

Páginas 197 a 199

Evaluación sumativa En estás páginas se propone una evaluación que integra los contenidos de la Unidad. Esta puede servir como una evaluación sumativa que considera las habilidades mostradas en el siguiente cuadro. Ítem I

Habilidades que evalúan 1a4 1

2y4 3

Reconocer, analizar justificar. Recordar, aplicar y representar. Aplicar y calcular. Representar.

1a5

Recordar, analizar y aplicar.

6 a 11

Recordar, seleccionar y calcular.

III

Ítem

II. 1

II. 2

II. 3

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr Determina correctamente si la mitad o menos de las desigualdades son verdaderas o falsas. No justifica las respuestas.

Expresa correctamente Expresa correctamente todos los conjuntos todos los conjuntos como intervalos. Justifica como intervalos. el procedimiento utilizado.

Expresa correctamente Expresa correctamente tres o más de los conjun- dos o menos de los contos como intervalos. juntos como intervalos. Comete errores al indicar si los extremos están incluidos en él.

Resuelve correctamente todas las inecuaciones, indicando el procedimiento utilizado.

Resuelve correctamente todas las inecuaciones.

Resuelve correctamente Resuelve correctamente seis o más de las inecua- dos o menos de las ciones. Comete errores inecuaciones. en el procedimiento utilizado.

Resuelve correctamente todas las inecuaciones o sistemas de estas, indicando el procedimiento utilizado.

Resuelve correctamente todas las inecuaciones o sistemas de estas.

Resuelve correctamente seis o más de las inecuaciones o sistemas de estas. Comete errores en el procedimiento utilizado.

170 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Resuelve correctamente dos o menos de las inecuaciones o sistemas de estas.

Ítem

II. 4

III. 1 al 14

Completamente logrado

Medianamente logrado

Logrado

Por lograr

Resuelve correctamente Resuelve correctamente todas las inecuaciones todas las inecuaciones con valor absoluto, con valor absoluto. indicando el procedimiento utilizado.

Resuelve correctamente seis o más de las inecuaciones con valor absoluto. Comete errores en el procedimiento utilizado.

Resuelve correctamente dos o menos de las inecuaciones con valor absoluto.

Contesta correctamente todas las preguntas.

Contesta correctamente entre 7 y 9 preguntas.

Contesta correctamente 6 preguntas o menos.

Contesta correctamente 10 preguntas o más.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem I los alumnos y las alumnas podrían presentar dificultades al momento de evaluar y justificar cuando una afirmación es verdadera o falsa. Se recomienda llevar a cabo la activadas en grupos de modo que puedan discutir las afirmaciones. • En el ejercicio 2 del ítem II, los alumnos y alumnas pueden presentar dificultades para resolver las inecuaciones de las actividades e, f y h, ya que estas son inecuaciones no lineales, por lo que el procedimiento para resolverlas es de mayor complejidad que el de las inecuaciones lineales. Las ecuaciones no lineales se estudiaron el la sección ¿Cómo resolverlo? del Texto. Si es necesario, repase estas con sus estudiantes, haciendo énfasis en los diferentes procedimientos de resolución. • En el ejercicio 4 del ítem II, en las actividades e y f puede que sus estudiantes no recuerden que antes de resolver una inecuación que involucra valor absoluto, debe verificar que sea pertinente resolverla. Recuérdeles que la solución de una inecuación de la forma |x| > 0, es el conjunto de los números reales (siempre y cuando se esté trabajando en este), ya que el valor absoluto de un número es siempre positivo; en cambio, la solución de una inecuación de la forma |x| < 0 es Ø, ya que el valor absoluto de un número nunca es negativo. A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzar o profundizar los contenidos trabajados hasta este momento en la Unidad. Usted podrá plantearles las actividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtengan en la evaluación formativa, y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.

Unidad 4

| 171

Unidad 4

U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 08-11-10 10:26 Página 171

U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 08-11-10 10:26 Página 172

Actividades complementarias Ejercicios de refuerzo

3. ¿Cuáles son los números naturales impares tales que su triple disminuido en 5 unidades es menor que 46?

1. Dados los conjuntos: A = {x ∈⺪ / –2 < x 3} B = {x ∈⺪ / –6 < x –1} C = {x ∈⺪ / 0 < x < 6}

Ejercicios de profundización

Determina: a. b. c. d.

A∪B A∪C A∩B (A ∪ B) ∩ C

2. Encuentra un sistema de inecuaciones lineales que describa la región mostrada en cada una de las siguientes figuras: a.

3 1. Para resolver la inecuación < 4, un estudiante realiza x los siguientes pasos: 3

3 < 4x, multiplica por x 3 < x, divide por 4 4 ¿Es correcto lo que hizo? Si no es correcto, ¿dónde está el error?

Solucionario Ejercicios de refuerzo 1. a. b. c. d.

]–6, 3] ]–2, 6[ ]–2, –1] ]0, 3]

2. a. 0 x 1 2y 6 – 3x b. 4y 12 – 3x 4y 3x 3. Los números impares menores que 17. b.

Ejercicios de profundización 1. Es incorrecto. El error está al multiplicar la inecuación por x.

172 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Unidad 4

U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 08-11-10 10:26 Página 173

Puntaje

Total

Analizar y verificar.

2 puntos cada una.

2 puntos.

Aplicar y calcular.

2 puntos cada una.

4 puntos.

Analizar y verificar.

2 puntos cada una.

2 puntos.

5y6

Aplicar y calcular.

2 puntos cada una.

4 puntos.

Aplicar y analizar.

2 puntos cada una.

2 puntos.

8, 9 y 10 Aplicar y calcular.

2 puntos cada una.

6 puntos.

11 y 12 Aplicar y analizar.

2 puntos cada una.

4 puntos.

1 2y3 4

Habilidades que evalúan

Puntaje total:

24 puntos.

Considere: Completamente logrado: si contesta correctamente todos las preguntas (12 preguntas). Logrado: si contesta correctamente 9 preguntas o más. Medianamente logrado: si contesta correctamente entre 6 y 8 preguntas. Por lograr: si contesta correctamente 5 preguntas o menos.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 4, recuérdeles a sus estudiantes que no basta con remplazar las desigualdades por algunos valores, sino que deben demostrarlas para poder determinar si estas son siempre verdaderas. • En el ítem 6, explíqueles a los alumnos y a las alumnas que, aparentemente, la inecuación que deben resolver es una inecuación no lineal; sin embargo, deben desarrollar los términos y sumar los que son semejantes antes de resolverla, de este modo, se transformará en una inecuación lineal con una incógnita.

Unidad 4

| 173

U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 12-11-10 11:20 Página 174

Evaluación final Nombre:

Curso:

Fecha:

Marca o encierra la alternativa correcta de cada pregunta. 1. Son soluciones de la inecuación 5x – 1 ⱕ 6 los siguientes números: I. 2 II. 0 III. –10 A. B. C. D. E.

Solo I Solo II Solo III II y III I, II y III

2. La solución de la inecuación 2 – x ⱖ 3 es: A. B. C. D. E.

]–∞, –1[ ]–∞, –1] ]–∞, 1] ]–1, +∞[ [–1, +∞[

6x – 2 3. El intervalo solución de la inecuación > 3 es: –3 ⎤ 1 ⎡ A. ⎥ − 3 , +∞ ⎢ ⎦ ⎣ ⎡1 ⎡ B. ⎢ ,+∞ ⎢ ⎣3 ⎣ 1⎤ ⎤ C. ⎥ −∞, ⎥ 3⎦ ⎦ –7 ⎡ ⎤ D. ⎥ −∞, ⎢ 6 ⎣ ⎦ ⎤1 ⎡ E. ⎥ ,+∞ ⎢ 3 ⎦ ⎣

4. De las desigualdades siguientes son siempre verdaderas: I. x 2 + y 2 ⱖ 2xy II. x +

1 ⱖ1 x

III. x 2 + 9 ⱖ 9x A. B. C. D. E.

Solo I Solo II Solo III I y II I, II y III

5. Al resolver la inecuación de x es: A. x ⱖ

2 3

B. x <

2 3

C. x ⱕ

2 3

D. x >

2 3

E. Ninguna de las anteriores. 6. La solución de la inecuación (x + 2)(x – 5) < (x + 1)2 es: A. x >

11 5

D. x >

B. x <

11 5

E. x > –

C. x < –

174 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

2 – 4x 1 – 3x < , el valor 2 3

11 5

5 11 11 5

7. La proposición “la cuarta parte de la diferencia entre un número y 5 es menor que el doble de él”, se escribe algebraicamente como: x–5 < 2x 4 x–5 B. > 2x 4 x C. – 5 < 2x 4 x D. –5<x 4 A.

Unidad 4

U4-3º (PAG 146-175)_Maquetación 1 08-11-10 10:26 Página 175

10. La solución de |2 – 5x| 3 es: A. ⎡ − 1 ,1⎤ ⎢⎣ 5 ⎥⎦

C. ⎤ − 1 ,1⎡ ⎥ 3 ⎢ ⎦ ⎣

B. ⎤ 1 ,1⎡ ⎥5 ⎢ ⎦ ⎣

D. ⎤ −1, − 1 ⎡ ⎥ 5 ⎢⎣ ⎦

E. ⎡ −1, 1 ⎤ ⎢⎣ 5 ⎥⎦

11. La solución del siguiente gráfico corresponde a:

E. Ninguna de las anteriores. 8. La solución del sistema de inecuaciones es: x – 1 2x + 2 2x + 1 5x – 3

A. ]1, 3[

D. ]–1, 3]

4⎤ ⎡ B. ⎢ −3, ⎥ 3⎦ ⎣

E. [1, 3]

C. ∅ 9. La solución de |5x + 1| 2 es: ⎤ 3 1⎡ A. ⎥ − , ⎢ ⎦ 5 5⎣

A. B. C. D. E.

2 x 6y1 y 5 1 x 6y2 y 5 2 x 5y1 y 6 1 x 6ó2 y 5 2 x 5ó1 y 6

12. La inecuación correspondiente a la gráfica es:

3⎤ ⎡1 ⎤ ⎡ B. ⎥ −∞, − ⎥ ∪ ⎢ , +∞ ⎢ 5 ⎦ ⎣5 ⎦ ⎣ ⎡ 3 1⎤ C. ⎢ − , ⎥ ⎣ 5 5⎦ 3⎡ ⎤1 ⎤ ⎡ D. ⎥ −∞, − ⎢ ∪ ⎥ , +∞ ⎢ 5 ⎣ ⎦5 ⎦ ⎣ E. Ninguna de las anteriores.

A. y < –4x + 4 B. y > 4x + 4 C. y 4x + 4

D. y –4x + 4 E. y 4x + 4

Unidad 4

| 175

U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:26 Página 176

Probabilidades Propósito de la Unidad El objetivo de esta Unidad es reforzar y ampliar los conceptos aprendidos en años anteriores sobre probabilidades. Se introducen las nociones de probabilidad de la unión e intersección y, en consecuencia, la definición de eventos independientes. Se estudia la definición de probabilidad condicional, mostrando así, que tener información adicional acerca de un suceso altera el valor de la probabilidad de este. Se establece la relación entre la probabilidad de un suceso y la frecuencia relativa. Por último, se introduce el concepto de variable aleatoria, tanto continua como discreta, pero haciendo énfasis en el caso discreto debido a la complejidad de los cálculos en el caso continuo.

Esquema de la Unidad Experimento aleatorio

Espacio muestral

Frecuencia relativa

Sucesos o eventos

Variable aleatoria

Ley de los grandes números

Probabilidad

Valor esperado de una variable aleatoria

Probabilidad de unión o intersección de sucesos

Probabilidad condicional

176|Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Generalización de la operatoria aritmética a través del uso de símbolos. Convención de uso de los paréntesis.

Potencias con exponente entero. Multiplicación y división de potencias. Uso de paréntesis.

Iteración de experimentos sencillos, por ejemplo, lanzamiento de una moneda; relación con el triángulo de Pascal. Interpretaciones combinatorias.

Resolución de problemas sencillos que involucren suma o producto de probabilidades. Probabilidad condicionada.

Relación entre la probabilidad y la frecuencia relativa. Ley de los grandes números. Uso de programas computacionales para la simulación de experimentos aleatorios.

Variable aleatoria: estudio y experimentación en casos concretos. Gráfico de frecuencia de una variable aleatoria a partir de un experimento estadístico.

Juegos de azar sencillos; representación y análisis de los resultados; uso de tablas y gráficos. Comentarios históricos acerca de los inicios del estudio de la probabilidad.

Sentido, notación y uso de las letras en el lenguaje algebraico. Expresiones algebraicas no fraccionarias y su operatoria. Múltiplos, factores, divisibilidad. Transformación de expresiones algebraicas por eliminación de paréntesis, por reducción de términos semejantes y por factorización. Cálculo de productos, factorizaciones y productos notables. La probabilidad como proporción entre el número de resultados favorables y el número total de resultados posibles, en el caso de experimentos con resultados equiprobables. Sistematización de recuentos por medio de diagramas de árbol.

3º Medio

2º Medio

1º Medio

4º Medio

Muestra al azar, considerando situaciones de la vida cotidiana; por ejemplo, ecología, salud pública, control de calidad, juegos de azar, etc. Inferencias a partir de distintos tipos de muestra.

Uso de planilla de cálculo para análisis estadístico y para construcción de tablas y gráficos.

Selección de diversas formas de organizar, presentar y sintetizar un conjunto de datos. Ventajas y desventajas. Comentario histórico sobre los orígenes de la estadística.

Graficación e interpretación de datos estadísticos provenientes de diversos contextos. Crítica del uso de ciertos descriptores utilizados en distintas informaciones.

Relación entre los CMO de la Unidad y los de otros años

U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:26 Página 177

Unidad 5

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Resolución de problemas sencillos que involucren suma o producto de probabilidades. Probabilidad condicionada.

Relación entre la probabilidad y la frecuencia relativa. Ley de los grandes números. Uso de programas computacionales para la simulación de experimentos aleatorios.

CMO • Determinar el espacio muestral de experimentos aleatorios y sucesos definidos a partir de estos Sucesos o eventos. experimentos. Principio multiplicativo. • Calcular el tamaño muestral de un experimento utilizando técnicas Permutaciones. de conteo. Combinaciones.

• Espacio y tamaño muestral.

178 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

• Frecuencia relativa o • Conocer empíricamente la probabilidad empírica. Ley de los Grandes Números y relacionar la • Ley de los grandes frecuencia relativa con la números. probabilidad de un suceso.

•

Aprendizajes esperados

Actividades asociadas

Indicadores de evaluación

• Relacionan la frecuencia relativa con la probabilidad empírica de un sucesos. • Calculan probabilidades de sucesos a partir de la frecuencia relativa de estos.

• Describen el espacio En el Texto: muestral de experimentos De exploración: páginas aleatorios. 204, 206, 207, 210, 212 y • Determinan el tamaño mues214. tral de experimentos aleatoDe construcción de rios sencillos. conceptos: páginas 205, • Determinan el tamaño mues209, 211, 213 y 214. tral de experimentos aleatoDe consolidación: páginas rios utilizando 216 y 244. técnicas de conteo. En la Guía Didáctica: • Describen sucesos definidos De refuerzo: páginas 184, a partir de un experimento 185, 186,187, 188, 189, aleatorio y determinan 192 y 212. la cantidad de elementos De profundización: de estos. páginas 185, 186, 187, 188, 189, 192 y 212. • Calculan probabilidades • Resolver problemas que in- En el Texto: Cálculo de de sucesos y resuelven provolucran el cálculo de probabilidades. De exploración: páginas probabilidades. blemas que involucren 218, 220, 222, 224, 226, el cálculo de esta. 228, 230, 232, 234 y 235. De construcción de Sucesos equiprobables. • Distinguir entre sucesos • Distinguen entre sucesos conceptos: páginas equiprobables y no equiprobables y no 219,221, 223, 225, 227, equiprobables. equiprobables. 229, 231, 233 y 237. Probabilidad del • Calcular probabilidades que • Calculan la probabilidad de De consolidación: páginas suceso A∪B. involucren unión de sucesos. eventos que corresponden a 238 y 244. la unión de dos sucesos.

Contenidos de la Unidad

Propuesta de planificación de la Unidad Recursos didácticos

Sumativa: Páginas 245, 246 y 247 del Texto del Estudiante, y 214 y 215 de la Guía Didáctica del Docente.

Diagnóstica: páginas 202 Calculadora científica. y 203 del Texto del Estudiante. Computador con Formativa: páginas 217 planilla de cálculo y 239 del Texto del y acceso a Internet. Estudiante.

Tipos de evaluación

Tiempo estimado: 7 a 8 semanas

U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:26 Página 178

Tipos de CMO evaluación Actividades asociadas

Indicadores de evaluación

• Distinguir entre sucesos dependientes e independientes.

• Reconocer variables aleatorias e interpretar estas de acuerdo a los contextos en que se presentan.

• Variable aleatoria.

• Reconocen y plantean variables aleatorias a partir de un experimento. • Calculan probabilidades para los diversos valores de una variable aleatoria. • Conocen y utilizan las propiedades de una variable aleatoria para el cálculo de probabilidades de estas.

• Distinguen entre sucesos independientes y dependientes. • Calculan problemas que involucran el cálculo de probabilidades de sucesos independientes.

En la Guía Didáctica: • Conocen la ley de los grandes números. De refuerzo: páginas 194, 195, 197, 198, 199, 201, • Infieren resultados de experimentos utilizando la 202, 204, 205, 206, 208 y Ley de los Grandes números. 212. De profundización: • Resuelven problemas que in• Resolver problemas que inpáginas 194, 195, 196, volucran el cálculo de probavolucran el cálculo de 197, 198, 199, 200, 201, bilidad condicional. probabilidad condicionada 203, 204, 205, 206, 208 y en situaciones sencillas. 212. • Calcular probabilidades • Calculan la probabilidad de que involucren eventos que corresponden a intersección de sucesos. la unión de dos sucesos.

Aprendizajes esperados

• Sucesos independientes.

• Probabilidad del suceso A∩B.

• Probabilidad condicional.

Recursos Contenidos didácticos de la Unidad Tipos de evaluación

Unidad 5

Recursos didácticos

U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:26 Página 179

Unidad 5

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U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:26 Página 180

Referencias teóricas Experimentos determinísticos En este tipo de experimentos, se conoce de antemano el resultado. Experimentos aleatorios Este tipo de experimentos, repetidos una cierta cantidad de veces, en condiciones similares, pueden presentar resultados diferentes. En los experimentos aleatorios no se conocen los resultados de antemano. Espacio muestral y tamaño muestral El espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, y se denota por Ω. La cantidad de elementos que este tiene es el tamaño muestral. (#Ω). Sucesos y eventos Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral. Regla de Laplace Si en un experimento aleatorio los sucesos son equiprobables, entonces, la probabilidad de que el evento A ocurra está dada por la expresión:

P(A) =

número de casos favorables . número de casos posibles

Intersección de sucesos La intersección de dos sucesos A y B, corresponde al suceso formado por los elementos comunes de A y B, es decir, el resultado del experimento es a la vez un elemento de A y un elemento de B, simultáneamente, y se denota A∩B. Además, si dos o más sucesos no pueden ocurrir simultáneamente, diremos que son sucesos mutuamente excluyentes. Unión de sucesos La unión de dos eventos A y B incluye todos los resultados posibles de A y de B, es decir, el resultado del experimento es un elemento de A, un elemento de B o de ambos a la vez. Probabilidad de la unión de sucesos La probabilidad de que ocurra la unión de dos sucesos está dada por la expresión:

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B). Si los sucesos A y B son mutuamente excluyentes, entonces, la probabilidad de la unión está dada por: P(A∪B) = P(A) + P(B).

180 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:26 Página 181

Unidad 5

Probabilidad condicional La probabilidad condicional permite calcular la probabilidad de un evento restringido por la ocurrencia de otro evento, se escribe P(B/A) y se lee “probabilidad de que ocurra B dado que ocurrió A”. La probabilidad de que ocurra un evento B, dado que ocurrió el evento A, está dada por la expresión: P(A∩B) P(B/A) = , con P(A) ≠ 0. P(A) Eventos independientes y dependientes Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no afecta de ninguna manera la probabilidad de ocurrencia del otro. De lo contrario, son eventos dependientes. Si los eventos A y B son independientes, entonces:

P(B/A) = P(B). Probabilidad de la intersección de sucesos La probabilidad de que ocurra la intersección de dos sucesos independientes entre sí, está dada por la expresión: P(A∩B) = P(A) · P(B). Variable aleatoria Se llama variable aleatoria (X) al resultado numérico de un experimento aleatorio. Si una variable aleatoria puede tomar n valores llamados x1, x2, x3, …, xn, se tiene que:

P(X = x1) + P(X = x2) + P(X = x3) +… + P(X = xn) = 1. Existen dos tipos de variables aleatorias: discretas y continuas. Variable aleatoria discreta Este tipo de variables puede tomar solo un número limitado de valores. Variable aleatoria continua Este tipo de variables puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo de valores dados. Valor esperado de una variable aleatoria discreta El valor esperado o esperanza matemática E(X) corresponde a la suma de las probabilidades de cada suceso (pi ) multiplicadas por su valor (xi ). Es decir: E(X) = p1x1 + p2x2 + … + pnxn. La esperanza de una variable aleatoria discreta se puede interpretar como el valor al que tiende el promedio de los valores de X, a medida que aumenta el número de repeticiones del experimento. Si todos los sucesos son de igual probabilidad, la esperanza coincide con la media aritmética de los resultados de un experimento.

Unidad 5

| 181

U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 10-12-10 8:42 Página 182

Páginas 200 y 201

Páginas de entrada Al inicio de esta Unidad, se presenta el fenómeno del desierto florido como un ejemplo de una situación aleatoria que puede servir para iniciar la discusión sobre los temas tratados en la Unidad. Explique a sus estudiantes que hay una probabilidad asociada a este fenómeno, ya que la ocurrencia de este depende de si las precipitaciones son mayores a las habituales. Al empezar a introducir a los alumnos y alumnas en esta Unidad, es importante sensibilizarlos con que el factor azar está presente en nuestra vida diaria más de los que creemos. Por eso, además de comentar el Texto de estas páginas, es interesante que se discutan situaciones cotidianas en las que está presente el azar y por qué, por ejemplo, el hecho de que un alumno o alumna asista a clases ese día. También es importante mencionar y destacar las diferencias con experimentos deterministas, lo cual los prepara para las actividades de las páginas 202 y 203. Para ello, se puede hacer énfasis en que para el caso determinista se sabe de antemano cuál será el resultado del experimento, mientras que en los aleatorios se puede intuir el resultado, pero no se sabe exactamente cuál será. Además, de manera intuitiva y con ejemplos sencillos se les puede introducir en el concepto de probabilidad condicional haciéndolos ver cómo la información adicional afecta la probabilidad de un evento. Por ejemplo, cuál es la probabilidad de que Fernando González gane un partido en tres sets, al inicio del partido y habiendo jugado un set siendo este ganado por Fernando.

Páginas 202 y 203

Evaluación diagnóstica

¿Cuánto sabes? Ítems 1

Habilidades que evalúan Identificar, clasificar y justificar.

Representar y calcular.

Identificar y calcular.

4a7

Identificar, aplicar calcular y justificar.

Aplicar y calcular.

En estas páginas se presenta una evaluación diagnóstica que permitirá medir el nivel de conocimiento que tienen los y las estudiantes acerca de los contenidos que son prerrequisitos para comprender los contenidos de esta Unidad. Esta evaluación, con el título ¿Cuánto sabes?, incluye los siguientes criterios: Ítem 1: Clasificar experimentos en deterministas o aleatorios. Ítem 2: Determinar todos los posibles resultados de un experimento utilizando un diagrama de árbol. Ítem 3: Determinar la cantidad de elementos de conjuntos que cumplen con una condición dada. Ítem 4 a 7: Realizar cálculos sencillos de probabilidades. Ítem 8: Completar una tabla de frecuencias para los datos obtenidos de una encuesta.

182 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Medianamente logrado

Por lograr

Clasifica correctamente los Clasifica correctamente experimentos en determi- las experimentos en denistas o aleatorios, justifi- terministas o aleatorios. cando sus respuestas.

Clasifica correctamente menos de la mitad de los experimentos en aleatorios o deterministas.

Clasifica correctamente uno o ninguno de los experimentos en aleatorios o deterministas.

Determina todos los posibles resultados del experimento utilizando un diagrama de árbol.

Determina correctamente No determina resultados menos de la mitad de del experimento. los resultados del experimento.

Determina correctamente Determina correctamente Determina correctamente la cantidad de elementos la cantidad de elementos menos de la mitad de los de los conjuntos dados. de los conjuntos dados. elementos de los conjuntos dados.

Determina correctamente Determina correctamente Determina correctamente No determina correctaambos problemas indiambos problemas. solo uno de los problemas. mente ninguno de los cando el procedimiento problemas. utilizado.

Calcula correctamente la Calcula correctamente la probabilidad de todos los probabilidad todos los sucesos dados, indicando sucesos dados. el procedimiento utilizado.

Responde correctamente Responde correctamente Responde la pregunta, la pregunta, justificando la pregunta. pero justifica en forma su respuesta. errónea.

No responde correctamente la pregunta.

Calcula correctamente la Calcula correctamente la probabilidad de todos los probabilidad todos los sucesos dados, indicando sucesos dados. el procedimiento utilizado.

Calcula correctamente la probabilidad de menos de la mitad de los sucesos dados.

Calcula correctamente una o ninguna de las probabilidades de los sucesos dados.

Completa la tabla, pero comete errores en dos o más frecuencias absolutas y relativas.

No completa la tabla de frecuencias.

Completa correctamente Completa la tabla de la tabla de frecuencias. frecuencias, pero comete errores de cálculo al determinar la frecuencia relativa.

Ítem

Completamente logrado

Logrado

Determina todos los posibles resultados del experimento.

Calcula correctamente la probabilidad de menos de la mitad de los sucesos dados.

No determina correctamente la cantidad de elementos de ninguno conjuntos dados.

Calcula correctamente una o ninguna de las probabilidades de los sucesos dados.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 2 recuerde a sus estudiantes que la construcción de un diagrama de árbol facilita el procedimiento para obtener todos los posibles resultados y no cometer errores. • En el ítem 8 puede que sus alumnos presenten dificultades debido a que no recuerden los conceptos de frecuencia absoluta y relativa. Se sugiere que antes de realizar las actividades recuerde qué significan y cómo se calculan. Unidad 5

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Unidad 5

U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:26 Página 183

U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:26 Página 184

Páginas 204 y 205

Espacio y tamaño muestral

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidad que desarrollan

• Es importante que los alumnos y las alumnas tengan claro que para un mismo experimento se pueden definir distintos espacios muestrales, ya que este depende de lo que se quiera observar en el experimento. Para aclarar esto se sugiere mostrar el siguiente ejemplo:

Analizar.

Actividades Ítem

Habilidades que desarrollan

Analizar, clasificar y calcular.

Representar y calcular.

Analizar y aplicar.

Determina el espacio muestral de los siguientes experimentos: – Lanzar un dado dos veces y sumar los puntos obtenidos. – Lanzar un dado dos veces y observar si la suma de los puntos obtenidos es par o impar. El espacio muestral correspondiente a cada experimento será: Ω1 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Ω2 = {par, impar} Con este ejemplo muestre a sus estudiantes que a pesar de que el experimento es el mismo en ambos casos, el espacio muestral es absolutamente diferente.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Una caja contiene 10 bolas negras, 15 azules y 5 rojas y 9 bolas verdes. Describe el espacio muestral y tamaño muestral de cada uno de los siguientes experimentos: a. Extraer una bolita al azar. b. Extraer tres bolitas simultáneamente. 2. Describe el espacio muestral y determina el tamaño muestral para cada uno de los experimentos siguientes: a. Lanzar un dado de color azul y uno de color rojo simultáneamente. b. Lanzar los dados anteriores y considerar la suma de sus caras. c. Lanzar los dados anteriores y considerar los casos en que la suma de sus caras es menor o igual a 9. 3. Se desea determinar el rendimiento de una unidad de almacenamiento de datos para computadores. Esta unidad fallará en forma aleatoria cierta cantidad de veces si trabaja en forma continua. a. Si se quiere estudiar el número de veces que falla durante un día. Describe el espacio muestral del experimento, ¿cuál es el tamaño muestral? b. Si se quiere estudiar cuánto tiempo demorará en fallar el dispositivo, ¿cual es el espacio muestral que se deberá considerar? (Habilidades que desarrollan: aplicar, analizar y calcular).

184 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Unidad 5

U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:26 Página 185

De profundización 1. Se dispone de una baraja inglesa. Esta consiste de cuatro pintas: picas (♠), corazones (♥), diamantes (♦) y tréboles (♣). Cada pinta está formada por trece cartas (A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ,10, J, Q y K), las cartas de ♠ y ♣ son de color negro y las de ♥ y ♦ rojo. Indica cuáles de los siguientes conjuntos corresponden a espacios muestrales del experimento: extraer una carta al azar de la baraja. Justifica tus respuestas. a. b. c. d. e. f.

{rojo ,negro} {A, 2, 3, 4, 5, 6} {rojo, negro, ♠} {rojo, negro, ♠, ♥, ♣, ♦} {A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K} {♠, ♥, ♣, ♦}

(Habilidades que desarrollan: aplicar y justificar).

Páginas 206 a 209

Sucesos o eventos

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• En estas páginas se presenta el concepto de suceso o evento de un experimento aleatorio determinado y las relaciones entre ocurrencias de diferentes sucesos. Los alumnos y alumnas han adquirido en cursos anteriores conocimientos sobre probabilidades; sin embargo, como estos son la base para poder profundizar en el cálculo de estas, es necesario recordar a los y las estudiantes estos conocimientos. • Es importante que les muestre a sus estudiantes que para visualizar los conjuntos correspondientes a los sucesos de un experimento aleatorio son muy útiles los diagramas de Venn, tales como los presentados en el texto. Se les puede proponer a los alumnos y alumnas actividades donde se requiera determinar uniones, intersecciones y complementos de ciertos conjuntos. • Recuerde a los alumnos que dos sucesos A y B mutuamente excluyentes no tienen posibilidad de ocurrir simultáneamente, por lo tanto el conjunto A∩B corresponde al conjunto vacío ∅ que por definición corresponde a un conjunto sin elementos (un suceso sin posibilidades de ocurrir).

Habilidades que desarrollan Analizar, calcular y justificar.

Actividades Ítems 1, 2 y 3

Habilidades que desarrollan Representar e interpretar.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Considere el experimento consistente en lanzar una moneda de $ 10, una moneda de $ 50 y una de $ 100. Determine: a. El espacio muestral. b. Describe los sucesos: A: sale por lo menos una cara en la moneda de $ 50 B: salen al menos dos caras c. Describe los sucesos A∩B y A∪B.

Unidad 5

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U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:26 Página 186

2. Considera el experimento que consiste en lazar tres monedas simultáneamente. a. Describe el espacio muestral del experimento. b. ¿Puedes encontrar dos sucesos mutuamente excluyentes? c. Describe un suceso seguro y uno imposible. (Habilidades que desarrollan: aplicar, analizar y justificar). De profundización 1. Una empresa realiza despachos de sus productos a domicilio. Una vez que la orden de compra ha sido aprobada el tiempo máximo de entrega es 72 horas, dependiendo de la disponibilidad de los transportes y el número de despachos programados día a día. Si la entrega se demora mas 60 horas, la empresa no realiza la recarga por el despacho a domicilio. a. ¿Qué espacio muestral determina el experimento “tiempo de espera para recibir un despacho luego de la aprobación”? b. Describe el evento “el tiempo de espera es a lo más 48 horas”. c. Describe el evento “el tiempo de espera es a lo menos 24 horas”. d. Describe el evento “el costo del despacho gratis”. 2. En una biblioteca hay 24 libros de Matemática, clasificados por tema. Considera los siguientes sucesos: A: el libro es de álgebra, B: el libro es de cálculo, y C: el libro es de geometría. Los datos a continuación representan la cantidad de libros que contienen material relativo a tales temas: #A = 8, #A∩B = 5, #B = 13, #A∩C = 3, #A∩B∩C = 2, #C = 13, #B∩C = 6. a. ¿Cuántos de los libros que tienen son de álgebra? b. ¿Cuántos libros son de cálculo y geometría? (Habilidades que desarrollan: aplicar, conectar y calcular).

Páginas 210 y 211

Principio multiplicativo

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• En estas páginas se presenta el principio multiplicativo, con el objetivo de discutir algunas técnicas básicas de conteo. Explique a sus estudiantes que cuando el espacio muestral de cierto experimento es demasiado grande, describir todos los elementos del espacio muestral es una tarea demasiado larga e innecesaria. Por ejemplo, el experimento “elegir al azar nueve letras del alfabeto, considerando el orden” tiene un espacio muestral con 362 880 elementos, si le pide a sus estudiantes que determinen cada uno de los elementos del espacio muestral con la intención de determinar su tamaño, notarán que este procedimiento no es el más adecuado. • Se recomienda ilustrar el principio multiplicativo a través de la construcción de diagramas de árbol, como la situación que se muestra en el Texto del Estudiante, de modo de facilitar la comprensión de este y agilizar el proceso de contar las diferentes posibilidades.

Representar, analizar y calcular.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

1y2

Representar, analizar, calcular y justificar.

Aplicar y representar.

186 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Unidad 5

U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:26 Página 187

• En realidad, los principios fundamentales de conteo son dos: principio aditivo y principio multiplicativo. El principio aditivo se omitió en el Texto, pero la mayoría de las personas lo aplica de manera absolutamente natural. • Principio aditivo: Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, donde A puede ocurrir de m maneras distintas, y B puede ocurrir de n maneras distintas, entonces, existen m + n maneras de que ocurra el evento A∪B.

Actividades complementarias De refuerzo 1. ¿Cuántos números pares de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7? 2. ¿Cuántos números pares de tres cifras existen? 3. Se tienen 2 banderas café, 2 verdes y 2 celestes. Calcula cuántas combinaciones de colores pueden formarse con 2 de estas banderas. (Habilidades que se desarrollan: representar, analizar y calcular). De profundización 1. Si las placas patente de los vehículos en Chile están formadas por 4 letras, excluyendo las vocales, y dos números (del 0 al 9). Determina: a. ¿Cuántas patentes diferentes se pueden formar? b. ¿Cuántas patentes terminadas en 7 se pueden formar? c. ¿Cuántas patentes se pueden formar en que tanto las letras como los números sean diferentes entre sí? (Habilidades que desarrollan: calcular y aplicar).

Páginas 212 y 213

Permutaciones

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• Permita que los alumnos y alumnas experimenten un rato con estaciones muestrales grandes. Para ello déles unos 5 o 10 minutos, de modo que intenten listar las posibles formas en que se pueden ordenar los cuatro libros de la situación inicial del Texto del Estudiante. Después de este tiempo, concluya conjuntamente con ellos lo difícil que es en algunos casos describir el espacio muestral asociado a un experimento, en consecuencia tampoco es trivial determinar su tamaño y que, por ello, es necesario contar con otras herramientas. • Es importante que los alumnos y alumnas comprendan que en una permutación, interesa el orden de los objetos que se desea ordenar

Habilidades que desarrollan Analizar, calcular y justificar.

Actividades Ítems 1a5

Habilidades que desarrollan Representar, analizar, calcular y justificar.

Unidad 5

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U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:26 Página 188

Actividades complementarias De refuerzo 1. Si existen 20 empresas que tienen servicios de buses directos de entre Santiago y Puerto Montt, ¿de cuántas maneras se puede ir y volver desde Santiago a Puerto Montt en forma directa?, ¿y si los buses para la ida y la vuelta deben ser de diferentes empresas? 2. Cuatro parejas compraron 8 entradas para una obra de teatro. Indica de cuántas formas diferentes pueden sentarse, si: a. deben sentarse por parejas y siempre una mujer a la izquierda de su novio, b. todas la mujeres se sientan juntas a la derecha de todos los hombres. 3. ¿Cuántas permutaciones se pueden realizar con las letras a, b, c, d y e si: a. b. c. d.

la letra c está en la segunda posición? la letra a está en la primer a posición y la e en la quinta? la letra a o la letra e están en la quinta posición? la letra a no está en la primera posición y la e no está en la quinta?

4. Ocho personas esperan su turno para comprar en una farmacia. ¿De cuántas formas distintas se podría formar una fila con esas personas? (Habilidades que se desarrollan: aplicar y calcular). De profundización 1. Demuestra que: a. nPk = n · (n – 1)Pk. b. nP4 – nP3 = (n – 4) · nP3. 2. La fórmula

n! permite calcular las permutaciones de n n1! · n2! · n3! · ... · n!

elementos dados, entre los cuales hay n1 elementos iguales entre sí, n2 elementos iguales entre sí, así sucesivamente, hasta nn elementos iguales entre sí. Verifica que la fórmula permite calcular las permutaciones distintas de la palabra AMA. 3. Calcula todas las permutaciones de las letras de cada una de las siguientes palabras: a. b. c. d.

ALFALFA CATARATA DADO PARALELEPÍPEDO

(Habilidades que se desarrollan: aplicar, analizar y conectar).

188 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Páginas 214 y 215

Unidad 5

U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:26 Página 189

Combinaciones

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• Es importante aclarar a los y las estudiantes que en combinaciones, a diferencia de las permutaciones, no se considera el orden en que se seleccionan los objetos. Es decir, seleccionar el objeto A y B, es el mismo resultado que seleccionar el objeto B, y luego el A.

Habilidad que desarrollan

Actividades complementarias De refuerzo 1. ¿De cuántas maneras diferentes puedes elegir 5 objetos de un total de 8 objetos distintos? 2. Un pintor posee tarros de pintura de 12 colores distintos, ¿cuántos colores pueden obtenerse si para esto se combinan 3 colores? 3. ¿De cuántas maneras pueden escogerse 53 personas de 100?¿De cuántas maneras pueden escogerse 47 de entre 100? Compara los resultados obtenidos.

Analizar.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Analizar, aplicar y calcular.

Representar y calcular.

3y4

Analizar y aplicar.

Aplicar y conectar.

Aplicar y calcular.

4. Una empresa necesita 3 empleados para llenar las vacantes. Si hay 12 postulantes, ¿cuántos grupos diferentes de personas se pueden seleccionar? 5. Un entrenador de fútbol dispone de 20 jugadores. ¿Cuántos equipos diferentes de 11 jugadores puede formar? 6. En un centro hospitalario se deben determinar tres turnos de médicos. Si hay siete médicos disponibles, ¿cuántos turnos es posible establecer? (Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular). De profundización 1. Demuestre que nCr = nC (n – r). 2. Si tienes una moneda de $500, una de $100, una de $50 y una de $10, ¿cuántas cantidades diferentes de dinero puedes formar si escoges 2 ó 3 de las monedas? (Habilidades que desarrollan: evaluar, justificar y analizar).

Errores frecuentes • Los y las estudiantes presentan dificultad al considerar si en determinado problema importa o no el orden de los elementos. Para evitarlo propóngales ejercicios donde se comparen ambas situaciones.

Unidad 5

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U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:27 Página 190

Página 216

Actividades 1, 2, 3, 4y6 5y7 8

Organizando lo aprendido

Habilidades que desarrollan

Indicaciones respecto del contenido

Recordar. Recordar y justificar. Analizar y evaluar.

• Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos y alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los alumnos y alumnas consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. Además, permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus estudiantes en la Unidad.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Explica de qué manera un mismo experimento puede estar asociado a distintos espacios muestrales. Da un ejemplo de esta situación. 2. Explica con tus palabras, ¿qué significa que dos eventos sean tales que A∩B = ∅? (Habilidades que desarrollan: analizar y aplicar). De profundización 1. Si k y n son Números enteros donde 0 ≤ k ≤ n. ¿Es cierto que

(n k ) ( nk ) (k n ) +1

–1?

(Habilidades que desarrollan: conectar y aplicar).

Página 217

Mi progreso

Mi progreso Ítems

Habilidades que evalúan

Identificar, analizar y clasificar.

Recordar y representar.

3y4

Recordar y calcular.

Analizar y calcular.

En esta página se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos y alumnas aplicar lo aprendido hasta ahora en la Unidad. Esta instancia la puede utilizar como una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan en el cuadro Mi progreso, e incluye los siguientes criterios: Ítem 1: Describir el espacio y tamaño muestral de ciertos experimentos. Ítem 2: Describir distintos sucesos de un espacio muestral. Ítem 3: Determinar sucesos correspondientes a intersecciones, uniones y complementos de sucesos. Ítem 4: Determinar cuántos números se pueden formar con diferentes características. Ítem 5: Determina el tamaño del espacio muestral de un experimento.

190 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Ítem

Completamente logrado

Medianamente logrado

Logrado

Por lograr

Describe correctamente el espacio muestral de todos los experimentos. Determina el tamaño, cuando es posible.

Describe correctamente el Describe correctamente espacio muestral de todos el espacio muestral de los experimentos. la mayoría de los experimentos.

Describe correctamente uno o ninguno de los espacios muestrales de la mayoría de los experimentos.

Describe ejemplos pertinentes de los todos sucesos pedidos.

Describe ejemplos para la No pude ejemplificar mayoría de los sucesos. ni establecer los sucesos pedidos.

Describe ejemplos pertinentes de los todos sucesos pedidos, justificando correctamente a través de una representación del espacio muestral.

Determina correctamente los conjuntos pedidos.

Determina la mayoría de Determina pocos o los sucesos pedidos. ninguno de los sucesos.

Determina correctamente los conjuntos pedidos, indicando el procedimiento utilizado.

Determina correctamente la cantidad de números que se pueden formar con cada una de las condiciones dadas, indicando el procedimiento utilizado.

Determina correctamente la cantidad de números que se pueden formar con cada una de las condiciones dadas.

Determina correctamente en dos o más de los casos la cantidad de números que se pueden formar con las condiciones dadas.

Determina correctamente, en uno o ninguno de los casos, la cantidad de números que se pueden formar con las condiciones dadas.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 1, puede que sus estudiantes no recuerden que hay espacios muestrales finitos e infinitos, como es el caso de el ítem c. Explíqueles que en estos casos no es posible determinar el tamaño del espacio muestral. • En el ítem 2, puede que sus alumnos no recuerden las definiciones de los diferentes tipos de sucesos. Recuérdeles estas, y, si es necesario dé ejemplos para cada uno de los casos de modo que ellos puedan, luego, realizar la actividad.

Unidad 5

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Unidad 5

U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:27 Página 191

U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:27 Página 192

Actividades complementarias Ejercicios de refuerzo 1. Para hacer una torta, una pastelería ofrece las siguientes opciones: 2 bases: bizcochuelo o mil hojas; 3 rellenos: manjar, mazapán o mermelada; y 3 tipos de cubierta: crema pastelera, crema chantillí o chocolate. a. Describe el espacio muestral de las posibles tortas que se pueden formar. b. Describe el evento: “la torta es de mil hojas y manjar”. c. Describe el evento: “la torta no tiene manjar pero sí tiene chocolate”. 2. ¿Cuántos caminos diferentes hay en este plano desde la entrada hasta la salida, sin pasar dos veces por el mismo sitio? Represente los posibles caminos utilizando un diagrama de árbol. Entrada

A D

B E

9. Andrea desea invitar a su casa de veraneo a sus 9 amigos, pero solo puede invitar a 6. ¿Cuántos grupos distintos de amigos puede invitar? 10. Calcula cuántos números impares de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0, 3, 4, 6 y 7. 11. Un árbol tiene 30 ramas. Si de cada una de ellas salen 12 brotes y de cada brote crecen 5 hojas, ¿cuál es el número total de hojas del árbol? 12. ¿Cuantos números binarios (formados por 0 y 1) de 8 cifras es posible formar? 13. Para formar un equipo de baby fútbol se necesitan 4 jugadores y un arquero, que se deben elegir de entre un grupo de 10 jugadores y 3 arqueros. ¿Cuántos equipos distintos se pueden formar?

C F

Salida

3. Disponemos de 8 colores para pintar un mural dividido en 3 columnas, cada una de ellas se ha de pintar de un color distinto. a. ¿Cuántos murales se pueden confeccionar incluyendo el color verde siempre? b. ¿Cuántos murales se pueden confeccionar si quisiéramos que apareciera el azul, pero no el negro? 4. ¿Cuántos números pares de 3 cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7? 5. ¿Cuántos números pares de 3 cifras existen? 6. En una convención internacional, se encuentran personas de distintas nacionalidades. Asistieron 2 brasileros, 4 canadienses, 4 suizos y 3 chilenos. ¿De cuántas maneras pueden sentarse en una fila, de modo que las personas de la misma nacionalidad queden juntas? 7. ¿Cuántos pares de vocales distintas existen? 8. Si se tienen 2 bandejas café, 2 verdes y 2 celestes. Calcula cuántas combinaciones de colores pueden formarse con dos de estas bandejas.

192 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

A. 630 B. 213 C. 21 772 800 D. 3 628 806 E. 30 14. ¿De cuántas maneras 4 hombres y 4 mujeres pueden sentarse alrededor de una mesa si se alternan sexos? A. 40 320 B. 70 C. 144 D. 8 E. 16

Ejercicios de profundización 1. ¿En cuántas permutaciones de la palabra Collipulli aparecen las cuatro l juntas? 2. Se tienen n carpetas que pueden distribuirse en una repisa con capacidad para g carpetas como máximo. (n < g), ¿de cuántas maneras pueden distribuirse las carpetas en la repisa?

Solucionario

4. 224

Ejercicios de refuerzo

5. 450

1. a.

crema pastelera manjar

mazapán

crema chantillí chocolate crema pastelera

mermelada

crema chantillí chocolate

crema chantillí chocolate crema pastelera

mazapán

7. 20 8. 6 9. 84 10. 40

crema pastelera manjar

mil hojas

6. 165 888

crema chantillí chocolate crema pastelera

bizcochuelo

Unidad 5

U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:27 Página 193

11. 1800 12. 28

crema chantillí chocolate crema pastelera

mermelada

crema chantillí

13. A 14. C

chocolate

Ejercicios de profundización b. {(mil hojas, manjar, crema pastelera); (mil hojas, manjar, crema chantillí); {(mil hojas, manjar, chocolate)} c. {(mil hojas, mazapán, chocolate); (mil hojas, mermelada, chocolate); {(bizcochuelo, mazapán, chocolate); {(bizcochuelo, mermelada, chocolate)} 2.

10! 6! – = 75 240 4! · 2! 2!

2. gCn

B A F D

E B

3. a. 42 b. 30

Unidad 5

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U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:27 Página 194

Páginas 218 y 219

Probabilidades

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• En estás páginas se retoma y refuerza el concepto de probabilidad y las principales propiedades para el cálculo de estas. Se recuerda la regla de Laplace, vista en cursos anteriores, sin embargo, se utiliza ahora para realizar cálculos de probabilidades de problemas de mayor complejidad. • Aclare a sus estudiantes que la probabilidad de un evento imposible es 0 y la de un evento seguro es 1. Para esto se recomienda que les muestre el siguiente ejemplo:

Analizar y calcular.

Actividades Ítem

Habilidades que desarrollan

Aplicar y calcular.

Aplicar y analizar.

Analizar, aplicar y calcular.

Si consideramos el experimento de sacar un bolita de una urna en la cual hay 7 bolitas enumeradas del 1 al 7 y observar el número que se obtiene, podemos definir los siguientes sucesos:

A: el número obtenido es menor que 10. B: el número obtenido es múltiplo de 10. En este caso B corresponde a un suceso imposible; es decir, no hay resultados posibles para este en el experimento; en cambio, A corresponde a suceso seguro, ya que este es igual al espacio muestral del experimento, es decir Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Por lo tanto, utilizando la regla de Laplace, las probabilidades asociadas a cada suceso serán:

P(A) =

7 =1 7

P(B) =

0 =0 7

Actividades complementarias De refuerzo 1. ¿En cuál de los siguientes juegos de azar es más probable obtener el primer premio? Justifica. a. Lo obtiene quien predice correctamente 7 números que serán escogidos al azar de un grupo de 30 números. b. Lo obtiene quien predice correctamente 6 números que serán escogidos al azar de un grupo de 36 números. c. Lo obtiene quien predice correctamente 15 números que serán escogidos al azar de un total de 25 números. 2. Supón que un bolsillo tienes 3 monedas de $10 y 6 de $100. Determina la probabilidad de sacar 3 monedas de $100 y 1 moneda de $10 si sacas al azar cuatro monedas de tu bolsillo. (Habilidades que desarrollan: analizar, seleccionar y calcular). De profundización 1. Supón que tienes una urna con 3 fichas rojas y 2 verdes. a. Determina la probabilidad de cada uno de los eventos del espacio muestral. b. ¿Cuánto es el mínimo de fichas rojas y verdes que se debe agregar a la 2 urna para que la probabilidad de extraer una ficha roja sea igual a ? 3 (Habilidades que se desarrollan: aplicar y calcular).

194 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Unidad 5

U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:27 Página 195

Errores frecuentes • Conteos equivocados de los casos totales o favorables. Estas dificultades se superan en la medida en que se otorguen suficientes herramientas de conteo y se revise su uso correcto.

Páginas 220 y 221

Sucesos equiprobables

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• Es importante que los alumnos y las alumnas comprendan bien el concepto de equiprobabilidad. Por ejemplo, si consideramos el experimento de lanzar dos dados, el espacio muestral de este va a depender de qué interese observar. Si interesa observar la pareja de números que se obtiene en el primer y segundo dado, el espacio muestral del experimento será equiprobable. En cambio, si interesa la suma de los valores obtenidos, el espacio muestral no será equiprobable. Para aclarar esto, pídales a sus estudiantes que calculen las probabilidades de cada suceso del espacio muestral correspondiente en cada caso.

Habilidades que desarrollan

Actividades complementarias

Analizar y calcular.

Actividades Ítems 1a4

Habilidades que desarrollan Analizar e identificar.

De refuerzo 1. Para el lanzamiento de una moneda, considera los siguientes sucesos y espacios muestrales respectivos.

A: Interesa observar la sucesión de sellos y caras. Ω = {CC, CS, SC, SS} B: Interesa el número de sellos que aparecen. Ω = {0, 1, 2} ¿Son ambos espacios muestrales equiprobables? Justifica. 2. Para el experimento de lanzar dos dados y anotar la suma de los números obtenidos: a. describe el espacio muestral. b. ¿es el espacio muestral descrito en a, equiprobable? Explica. 3. A un grupo de 10 personas se le asignan al azar 10 sillas en una mesa redonda. Entre estas personas hay 2 amigos ¿Cuál es la probabilidad de que los 2 amigos se sienten juntos? (Habilidades que desarrollan: representar y calcular). De profundización 1. En un lote de 150 llantas, hay 40 que está defectuosas. Si se seleccionan al azar 4 llantas para poner en un automóvil. ¿Cuál es la probabilidad de que estén todas buenas?

Unidad 5

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U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:27 Página 196

2. Si en un colegio hay 37 estudiantes en el 3º Medio A y 42 en el 3º Medio B. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar al azar 4 estudiantes uno sea del 3º Medio A y los 3 restantes del 3º Medio B? 3. Si se tienen N objetos divididos en dos tipos de modo que hay n y m de cada tipo respectivamente (n + m = N). Si se eligen r de estos N objetos al azar: a. Determina el tamaño del espacio muestral del experimento. b. Encuentra una expresión para la probabilidad de que en los objetos escogidos k sean del tipo n y, por lo tanto, (r – k) sean de tipo m. (Habilidades que desarrollan: aplicar, conectar y calcular).

Páginas 222 y 223

Probabilidad del suceso A∪B

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• Sobre la base de un ejemplo como el que se presenta en la situación inicial del Texto del Estudiante (determinar la probabilidad de obtener una carta de trébol o una figura, al extraer una carta de un baraja inglesa), explique a sus estudiantes que para resolverlo se puede completar un diagrama como el siguiente:

Analizar y justificar y calcular.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Analizar y calcular.

2, 3 y 4

Aplicar y calcular.

Ω Y a partir de él se puede obtener la expresión: #A∪B = #A + #B – #A∩B. Esto significa que el número de elementos de un suceso A∪B (en este ejemplo, “sale trébol” o “sale figura”), es igual a la suma de los elementos del suceso A (“sale trébol”) más el suceso B (“sale figura”), menos los elementos del suceso A∩B (“sale una figura de trébol). Si dividimos la ecuación anterior por #Ω, es decir, por la cardinalidad del espacio muestral, obtenemos el resultado: #A∪B #A #B #A∩B = + – . #Ω #Ω #Ω #Ω Y, aplicando a esta relación la definición de Laplace, obtenemos el resultado:

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B). • En algunos textos se enseña que P(A∪B) = P(A) + P(B), sin discutir mayormente las condiciones de validez de tal expresión. Insista en que esto se cumple solo cuando A y B son sucesos mutuamente excluyentes, ya que en tal caso se tiene que A∩B = ∅.

196 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Unidad 5

U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:27 Página 197

Actividades complementarias De refuerzo 1. En una población de 1250 habitantes el 12% de ellos prefiere una marca A de leche y el 90% una marca B. a. b. c. d.

¿Cuántas personas prefieren la marca A y B? ¿Cuántas personas prefieren la marca A o la marca B? ¿Cuántas personas prefieren la marca A o B, pero no ambas? ¿Cómo expresaría las respuestas anteriores en términos de probabilidades?

2. Un juego consiste en tomar bolas de una bolsa. Hay bolas pintadas con color rojo, azul, y rojo con azul. Si el 70% de las bolas está pintada de azul y el 50 % de rojo. Si se extrae al azar una bola de la bolsa. a. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola pintada de rojo y azul? b. ¿Cuál el la probabilidad de obtener una bola pintada solo de rojo? c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola coloreada solo de azul? 3. La siguiente tabla resume algunas de las características de los pacientes de cierto hospital. Género

UCI

Cirugía

Femenino

Masculino

Al elegir aleatoriamente a uno de los pacientes: a. ¿Son mutuamente excluyentes los sucesos “estar en la UCI” y “estar en cirugía”? b. ¿Son mutuamente excluyentes los eventos “estar en la UCI” y “ser mujer”? c. Encuentra la probabilidad de estar en la UCI o ser mujer. (Habilidades que desarrollan: aplicar, analizar y calcular). De profundización 1. Si para cierto experimento se tiene que #Ω = p. Luego, se definen en este los sucesos A y B, donde, #A = n, #B = m y #A∩B = p. Determina P(A∪B)C. (Habilidades que desarrollan: conectar y aplicar).

Errores frecuentes • La dificultades que pueden experimentar los y las estudiantes para calcular la probabilidad de un suceso A∪B, estarán presentes fundamentalmente en los ítems 1 y 2 de las actividades complementarias de refuerzo que se sugieren en esta página. Por ejemplo, en el ítem 1 se dice que un 12% de los habitantes prefieren la marca A, y el 90% la marca B. Luego, puede que los y las estudiantes piensen en forma errónea que entonces un (90 – 12)% prefieren ambas marcas. Sugiérales que representen la situación en un diagrama como se indica en las sugerencias respecto del contenido. Unidad 5

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U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:27 Página 198

Páginas 224 y 225

Frecuencia relativa o probabilidad empírica

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• En estas páginas se explica el concepto de frecuencia relativa y su uso para establecer en forma empírica la probabilidad de ocurrencia de un suceso. • Algunas de las actividades que se presentan en estas páginas se prestan muy bien para trabajar en equipo, por ejemplo, cundo se requiere experimentar con ciertos objetos (ítem 3 del Texto del Estudiante), se puede trabajar en parejas, o bien desarrollar la actividad en la casa y trabajar en clases con los resultados obtenidos. Puede pedir a sus estudiantes que busquen información sobre algún tema de interés y que pueden, luego, presentar al curso y hacer cálculo de probabilidades a partir de ella.

Analizar y justificar y calcular.

Actividades Ítems 1 2y3 4

Habilidades que desarrollan Aplicar. Aplicar y calcular.

Actividades complementarias

Analizar y conjeturar.

De refuerzo 1. En el cumpleaños de Sofía, los invitados (niños y niñas) eligieron tomar helado de piña o naranja, según muestra la tabla. Piña

Naranja

Niño

Niña

Si se elige a un invitado al azar, calcular la probabilidad de que: a. b. c. d.

pidiera helado de piña. sea niño. sea niña y haya pedido helado de piña. sea niño y haya pedido helado de naranja.

(Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular). De profundización 1. La Encuesta Nacional de Salud es un examen de salud voluntario que se hace a una muestra representativa de toda la población adulta de Chile (mayor de 17 años). La Encuesta Nacional de Salud 2003 reveló, entre otras cosas, que el 89% de la población adulta es sedentaria, distribuidos del modo siguiente en porcentajes: 17-24 años

25-44 años

45-65 años

65 y + años

Total

Hombres

77,0

90,3

89,1

97,1

87,9

Mujeres

88,0

89,2

93,4

94,8

90,8

Total

82,2

89,2

91,3

95,7

89,4

Fuente: Ministerio de Salud, Chile: www.minsal.cl

198 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Unidad 5

U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:27 Página 199

a. Explica el significado de la oración: “una muestra representativa de toda la población adulta de Chile”. b. Observa una columna de la tabla, ¿por qué el porcentaje que aparece en “total” no es la suma de los porcentajes que están arriba? c. Escribe el porcentaje total de mujeres sedentarias en forma de razón. Simplifica dicha razón al máximo. d. Según este estudio, entre las personas que tienen educación universitaria el sedentarismo se da en 17 de cada 20 casos, mientras que, para los que tienen educación básica, 38 de cada 40 personas son sedentarias. ¿En cuál de los dos sectores mencionados es mayor el sedentarismo? Entrega la misma información pero en forma porcentual. e. Completa la frase: “En el rango de 17-24 años, el sedentarismo se da en de cada 25 mujeres”. (Habilidades que desarrollan: aplicar y resolver problemas).

Páginas 226 y 227

Ley de los grandes números

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• En estas páginas se presenta un resultado conocido como la Ley de los grandes números. Este relaciona las frecuencias relativas para un resultado posible de un experimento aleatorio y la probabilidad de ocurrencia de este. • En la situación inicial del Texto del Estudiante se afirma que la frecuencia relativa tiende a estabilizarse en torno a cierto valor. Explique a sus estudiantes que esto hace referencia a que, a medida que es mayor el número de repeticiones del experimento, la frecuencia relativa es más cercana a la probabilidad de ocurrencia del suceso.

Habilidades que desarrollan Analizar y calcular.

Actividades Ítem

Actividades complementarias De refuerzo

Habilidades que desarrollan Analizar, justificar y predecir.

1. Extrae una carta al azar de una baraja inglesa, registra su pinta y luego devuélvela a la baraja. Repite 20 veces este experimento, y luego 50 veces. a. Compara los resultados obtenidos. ¿Son estos similares?, ¿por qué? b. ¿Cuál es la probabilidad de que la pinta de esta sea corazón?, ¿son similares las frecuencias relativas a esta probabilidad?, ¿por qué? (Habilidades que desarrollan: aplicar y justificar). De profundización 1. ¿Cómo se puede determinar si un dado está trucado? Es decir, que no todas las caras tienen la misma posibilidad de aparecer en el lanzamiento de este.

Unidad 5

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U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:27 Página 200

2. En el lanzamiento de una moneda, determina cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas al aumentar el número de lanzamientos de esta. a. b. c. d. e.

La mitad de los lanzamientos va a ser cara. Después de un número de lanzamientos salen más caras que sellos. La frecuencia con que sale sello se va aproximando a 0,5. La frecuencia relativa con que sale cara se va aproximando a 0,5. La frecuencia relativa con que sale cara se mantiene constante

(Habilidades que desarrollan: seleccionar y justificar).

Páginas 228 y 229

Probabilidad condicional

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• La idea central de la probabilidad condicional es que el conocimiento de información adicional sobre el experimento influyen el cálculo de probabilidades al producir una reducción del espacio muestral. • Para visualizar mejor el problema planteado en la situación inicial del Texto del Estudiante puede explicar este a los alumnos y las alumnas través de un diagrama de Venn:

Analizar y justificar y calcular.

Actividades Ítems 1y2

Habilidades que desarrollan

Aplicar y calcular.

4 1 5

2 3

• Con la información que se tiene del experimento, muestre a sus estudiantes que el espacio muestral para el evento A, una vez que ha ocurrido B, es B; es decir, se ha reducido el espacio muestral sobre el cual se trabaja. • Es recomendable que refuerce a los alumnos y las alumnas el concepto anterior, mediante otro ejemplo que represente una situación en que deban escoger objetos de un conjunto sin reposición. • Se sugiere comentarles que para resolver un problema, es importante comprender cuál es el espacio reducido para el suceso de interés. Esto permite resolver los problemas propuestos sin la aplicación explícita de una fórmula. Muéstreles un ejemplo y resuelva este utilizando los dos procedimientos, es decir, calculando la probabilidad una vez conocido el espacio muestral reducido, y luego, aplicando la fórmula de la probabilidad condicional.

200 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Unidad 5

U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:27 Página 201

Actividades complementarias De refuerzo 1. Una caja contiene 20 botones. 2 son amarillos y brillantes, 4 son amarillos y opacos, 6 son rojos brillantes, 8 son rojos opacos. Si se elige un botón al azar: a. ¿cuál es la probabilidad de que sea brillante sabiendo que es rojo?, b. ¿cuál es la probabilidad de que sea opaco, dado que es amarillo? 2. Se extrae una carta de una baraja inglesa que resulta ser un rey de trébol y sin devolver esta al mazo, se extrae otra carta. Calcula la probabilidad de que la segunda carta sea un 5. Explica, paso a paso, cómo lo hiciste. (Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular). De profundización 1. Según el censo realizado en Chile en 2002, la población de la Región de Antofagasta se distribuye así:

Hombres Mujeres Total

Urbana 248 015 234 531 482 546

Rural 8150 3288 11 438

Total 256 165 237 819 493 984

Fuente: Instituto Nacional de Estadística www.ine.cl

Si ese año se escoge al azar una persona de la Región de Antofagasta, encuentra las siguientes probabilidades: a. P(es de área rural) b. P(es mujer/es de área rural) c. P(es de área urbana/hombre) 2. La siguiente tabla muestra los resultados de un estudio de mercado sobre las preferencias de un grupo de personas por un producto de dos marcas diferentes: A y B. De acuerdo a esta información, si se escoge una persona al azar: Hombre Mujer Preferencias A 100 600 700 B 200 100 300 Total 300 700 1000 a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona escogida al azar prefiera el producto A? b. Si la persona escogida es mujer, ¿cuál es la probabilidad de que prefiera la marca A?, ¿cómo lo calculaste? c. Calcula la misma probabilidad del ejercicio anterior, pero utilizando un procedimiento diferente. d. Si la persona elegida prefiere la marca B, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea mujer? 3. En tu vida diaria, cuando estás frente a una situación en la cual tienes que tomar una decisión, ¿cómo afecta si tienes información adicional? (Habilidades que desarrollan: analizar y calcular). Unidad 5

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Páginas 230 y 231

Probabilidad del suceso A∩B

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• Para el cálculo de la probabilidad condicional se obtuvo la relación,

Aplicar y calcular.

Actividades

P(A/B) =

#A∩B . #B

Sea Ω el espacio muestral al que están asociados los sucesos A y B. Si dividimos por #Ω los términos del cociente anterior, nos queda,

Analizar, calcular y justificar.

#A∩B #Ω P(A/B) = . #B #Ω

2y3

Analizar y calcular.

Aplicando ahora la definición de Laplace, obtenemos el resultado,

Ítems

Habilidades que desarrollan

P(A/B) =

P(A∩B) ., P(B)

donde P(B) ≠ 0. No olvidar que las probabilidades están calculadas con respecto al espacio muestral original, aquí ya no se trabaja con el espacio muestral reducido. Despejando P(A∩B) de la fórmula anterior llegamos al resultado que se presenta en el texto, esto es: P(A∩B) = P(B) · P(A/B). Esta es la fórmula que nos permite calcular la probabilidad del suceso A y B. • Es importante destacar que, en el problema planteado en la situación inicial del Texto del Estudiante, se ha considerado el caso en que ambos estudiantes sorteados son hombres y el caso en que solo el segundo sorteado es hombre. Ambas son las maneras en que puede ocurrir que el segundo sorteado sea hombre. Por lo tanto, debe ponerse especial atención en el conteo de modo de incluir todas las posibilidades en que puede ocurrir cierto suceso.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Para obtener su licencia de conducir, una persona debe aprobar tres exámenes: médico, teórico y práctico. Si reprueba alguno, no pasa al siguiente. Si un 2% de las personas no aprueba el examen médico, de los que pasan, un 91% aprueba el examen teórico y 3 personas de cada 20 reprueban el examen práctico, ¿cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta a rendir los exámenes obtenga su licencia?, ¿cómo lo calculaste? 2. Si se escogen al azar 2 personas de un grupo de 40 hombres y 60 mujeres: a. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean hombres? b. Si se selecciona primero una persona y luego la otra, ¿cuál es la probabilidad de que la primera persona elegida sea un hombre y la segunda una mujer?, ¿es igual la probabilidad de que la primera persona elegida sea una mujer y la segunda un hombre?, ¿cuál es la probabilidad de que la primera persona elegida sea mujer? (Habilidades que desarrollan: resolver problemas, aplicar y calcular).

202 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Unidad 5

U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:27 Página 203

De profundización 1. Un juego consiste en adivinar el orden de cuatro fichas numeradas del 1 al 4. En un principio las fichas se ponen hacia abajo ocultando su número, se desordenan y luego se pone en una fila. Si se sabe que la ficha con el número 1 está en uno de los extremos. ¿Cuál es la probabilidad de que la ficha 2 esté junto a ella? 2. Considera n objetos de color rojo y m de color azul. Si escogemos k objetos y resultan ser todos del mismo color, ¿cuál es la probabilidad de que sean de color azul? 3. Basándote en los siguientes datos, responde lo pedido a continuación. III° Medio

IV° Medio

Total

Lenguaje

140

Matemática

100

190

Física

170

Total

265

235

500

L: Estudiantes de Lenguaje. M: Estudiantes de Matemática. F: Estudiantes de Física. III: Estudiantes de III Medio. IV: Estudiantes de IV Medio. a. Determina P(M/III). b. Determina P(F/III). c. ¿Qué es más probable P(L/III) o P(M/IV)? (Habilidades que desarrollan: aplicar, analizar y calcular).

Errores frecuentes • En experimentos con ensayos sucesivos, donde se pregunta por la probabilidad de un suceso que no requiere cierto orden, es frecuente olvidar uno de los casos. Por ejemplo, de una urna con 4 bolitas blancas, 3 azules y 2 rojas, se extraen dos bolitas sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita blanca y una roja? Para responder esta pregunta debe considerarse el caso de extraer primero una bolita azul y luego la roja, así como el caso inverso, es decir, primero la roja y luego la azul. Un diagrama de árbol es muy aclarador en esta situación.

Unidad 5

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U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:27 Página 204

Páginas 232 y 233

Sucesos independientes

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• Intuitivamente dos sucesos A y B son independientes si la probabilidad de ocurrencia de uno no influye en la probabilidad de ocurrencia del otro. En la situación inicial de estas páginas en el Texto del Estudiante se ha mostrado que P(B/A) = P(B), lo que equivale a decir que los sucesos A y B son independientes. • Es necesario que los alumnos y las alumnas resuelvan situaciones donde la independencia o dependencia deben ser demostradas, ya que, a pesar de que muchas veces podemos determinar en forma intuitiva si estos son independientes o dependientes, hay situaciones en que no es tan claro que se dé o no la independencia.

Aplicar y calcular.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Clasificar y justificar.

Analizar y justificar.

3, 4, 5 y 6 Aplicar y calcular.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Si eliges dos personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que estén de cumpleaños el mismo mes? 2. Si tienes dos bolsas, la primera con 4 bolas rojas y 5 blancas y la segunda con 3 rojas y 8 blancas, ¿cuál es la probabilidad de obtener dos bolas rojas al sacar una bola de cada bolsa? 3. Considera un circuito eléctrico de dos ampolletas: A1 y A2, conectadas en serie (una tras otra). Si la probabilidad de que A1 falle es 0,6 y la probabilidad de que A2 funciones es 0,9. a. ¿Cuál es la probabilidad de que falle solo una ampolleta? b. ¿Cuál es la probabilidad de que fluya corriente a través del circuito? (Si una ampolleta falla corta el circuito) (Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular). De profundización 1. Supón que la probabilidad de que una persona en invierno contraiga el virus de la influenza tipo X es p y el virus de una influenza tipo Y es q. Asumiendo que solamente puede adquirirse uno de estos virus, y que el contagio de un tipo es independiente del contagio del otro, responde los siguiente: a. ¿Cuál es la probabilidad de contagiarse con influenza? b. ¿Cuál es la probabilidad de no contagiarse con ambos tipos de influenza? c. ¿Cuál es la probabilidad de que, alguien contagiado, solo tenga un tipo de influenza? (Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular).

204 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Páginas 234 a 237

Unidad 5

U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:27 Página 205

Variable aleatoria

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• Al definir la notación P(X = x), es bueno también introducir la idea de que a veces es posible que nos preguntemos por la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores menores o mayores que cierto valor concreto o valores dentro de cierto rango. Para ello utilizamos notaciones bastante fáciles de interpretar como: P(X < x), P(X x), P(x1 < X < x2), que se encontrarán presentes en algunos ejercicios del Texto del Estudiante. • Además de trabajar las nociones de P(X < x) entre otras, es importante que los y las estudiantes sepan que P(X xn) se puede descomponer en: P(X = x1) + P(X = x2) + …. + P(X = xn). Lo mismo ocurre con P(X x) y P(x1 < X < x2). En muchos casos, recordar esto les facilitará el cálculo de probabilidades.

Habilidades que desarrollan

Actividades complementarias

Aplicar y calcular.

Actividades Ítem

Habilidades que desarrollan

Analizar y aplicar.

Analizar, aplicar y calcular.

Aplicar y calcular.

De refuerzo 1. Sea la variable aleatoria Y la cantidad de caras obtenidas en el lanzamiento de tres monedas. a. Indica los posibles valores de Y. b. Calcula P(Y = y) para todos los posibles valores de y. c. Calcula P(Y = 0), P(Y 2) y P(Y > 3). (Habilidades que desarrollan: aplicar, representar y calcular). De profundización 1. Define un experimento aleatorio y, a partir de él, una variable aleatoria. Determina: a. Los posibles valores de la variable aleatoria, Z. b. La P(Z = z) para todos los valores de Z. c. Grafica, en papel milimetrado, los posibles valores de Z y su probabilidad. 2. Dada una variable aleatoria discreta que toma los valores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. Si P(X = i) = ik, determina: a. El valor de k. b. P(X 5). c. P(2 < X 5). 3. Se tienen 3 bolsas, llamadas B1, B2 y B3. Cada una contiene n bolas numeradas por 1, 2, 3, …, n. Se extrae al azar una bola de cada bolsa; sean x, y, z los números de las bolas extraídas de B1, B2 y B3, respectivamente. Calcula la probabilidad de que x + y = z.

Unidad 5

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4. El problema de la aguja de Buffon. El siguiente experimento aleatorio relaciona la probabilidad con cierto número famoso que tú conoces. Sigue los pasos que se indican. a. Dibuja en una hoja rectas paralelas igualmente espaciadas. b. Toma un palito de fósforo u otro objeto similar, cuya longitud sea igual a la distancia entre las paralelas y arrójalo sobre la hoja, de la forma más aleatoria posible. c. Repite el procedimiento indicado un número grande de veces. Cuenta el número de lanzamientos y el número de veces que el palillo cortó alguna de las líneas. d. Calcula el valor de la siguiente expresión. 2 · número de lanzamientos número de veces que corta una línea ¿A qué famoso número se aproxima el resultado? Georges Louis Leclerc (1707-1788), Conde de Buffon, demostró que si se arroja, al azar, una aguja de longitud L sobre una superficie que tiene dibujadas líneas paralelas separadas por una distancia D, la probabilidad de que 2L la aguja corte a una línea es: (donde L D). πD (Habilidades que desarrollan: representar, aplicar y calcular).

Página 238

Actividades

Organizando lo aprendido

Habilidades que desarrollan

Mapa Recordar y conectar. conceptual 2 1 a 10

Relacionar y calcular. Recordar, evaluar y conectar.

Indicaciones respecto del contenido • La alumnas y los alumnos deben contar con el tiempo necesario para revisar el mapa conceptual y comentar respecto de las repeticiones de las relaciones que se presentan entre los conceptos. Es importante que revisen si faltó algún concepto importante y que lo agreguen en el mapa conceptual, esto le permitirá consolidar sus conocimientos y tener una visión global de lo visto hasta este momento en la Unidad.

Actividades complementarias De refuerzo 1. ¿Cómo se interpreta P(A/B)? 2. ¿Cuándo una variable aleatoria es continua?, ¿y discreta? (Habilidades que desarrollan: analizar y justificar). De profundización 1. Si P(A) = p P(B) = q, ¿cuál es el valor de P(AC ), P(BC ), P(A∪B), suponiendo que A y B son sucesos mutuamente excluyentes? 2. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, ¿son también sucesos independientes? (Habilidades que desarrollan: analizar y justificar).

206 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Página 239

Unidad 5

U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:27 Página 207

Mi progreso

En esta página se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos y alumnas aplicar lo aprendido hasta ahora en la Unidad. Esta instancia la puede utilizar como una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan en el cuadro Mi progreso, e incluye los siguientes criterios: Ítem 1: Comprender y utilizar la ley de los grandes números. Ítem 2: Calcular probabilidades de sucesos relacionando la frecuencia relativa con la probabilidad de ocurrencia de estos. Ítem 3: Calcular probabilidades de distintos sucesos. Ítem 4: Calcular probabilidades y valor esperado de una variable aleatoria.

Mi progreso Ítems

Habilidades que evalúan

Relacionar y aplicar.

Relacionar y calcular.

3y4

Medianamente logrado

Calcular.

Ítem

Completamente logrado

Determina correctamente las probabilidades y relaciona estas con la frecuencia relativa de cada suceso,utilizando un procedimiento adecuado.

Calcula correctamente las Calcula correctamente las Calcula correctamente la probabilidades de los probabilidades de los probabilidad más de la sucesos dados. sucesos dados. mitad de los sucesos dados.

Calcula correctamente la probabilidad de uno o ninguno de los sucesos dados.

Resuelve correctamente los ejercicios que involucran cálculo y demostraciones de variables aleatorias. Justifica su procedimiento.

Resuelve uno o ninguno de los ejercicios que involucran cálculo y demostraciones de variables aleatorias.

Logrado

Determina correctamente Determina correctamente las probabilidades, dos de las probabilidades relacionando estas con pedidas. la frecuencia relativa de cada suceso.

Resuelve correctamente los ejercicios que involucran cálculo y demostraciones de variables aleatorias.

Resuelve correctamente dos de los ejercicios que involucran cálculo y demostraciones de variables aleatorias.

Por lograr Determina correctamente una o ninguna de las probabilidades pedidas.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 2, los alumnos y las alumnas pueden experimentar dificultades debido a que no recuerden la relación entre la frecuencia relativa y la probabilidad de ocurrencia de un suceso, recuérdeles esta antes de comenzar las actividades. A continuación se presentan actividades complementarias que permitirán reforzar o profundizar los contenidos trabajado hasta este momento en la Unidad. Usted podrá plantearles las actividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtengan en la evaluación formativa y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.

Unidad 5

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U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:27 Página 208

Actividades complementarias e. Si el experimento se repite n veces, ¿cual es la probabilidad de obtener k < n resultados favorables para el evento A?

Ejercicios de refuerzo 1. Considera el espacio muestral = {a, b, c, d} para cierto 1 3 2 experimento. Si P(a) = , P(b) = , P(c) = y 5 10 5 1 P(d) = . Dados los eventos A = {a, b} y B = {b, c, d}, 10 calcula: a. b. c. d. e.

P(A) P(B) P(AC ) P(A∪B) P(A∩B)

2. Una persona lanza dos dados hacia su espalda (no los mira). ¿Cuál es la probabilidad de obtener en ambos dados el mismo número?, ¿y si alguien te informa que la suma de ambas caras no es mayor que 5? 3. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. P(A) = 1 – P(AC ) II. Siempre se cumple que P(A∩B) = P(A) · P(B) III. P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. I y II E. I y III

2. La probabilidad de que un doctor diagnostique de manera correcta una enfermedad particular es 0,7. Dado que el doctor hace un diagnóstico incorrecto la probabilidad de que el paciente presente una demanda es 0,9. ¿Cuál es la probabilidad de que el doctor haga un diagnóstico incorrecto y el paciente lo demande? A. 0,27 B. 0,63 C. 0 D. 0,21 E. 0,5

Solucionario Ejercicios de refuerzo 1. a.

1 2

d. 1

4 5

1 2

1 1 y 6 5

3. E

Ejercicios de profundización 1. Supongamos que un experimento tiene dos resultados posibles A y B (como el caso del lanzamiento de una moneda). Si un resultado tiene probabilidad p y el otro probabilidad q: a. ¿Cómo se relacionan las probabilidades de los sucesos? b. Supón que los sucesos son independientes. ¿Cuál es la probabilidad de obtener primero A y luego B?, ¿y en ambas ocasiones A? c. Si el experimento se repite tres veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener dos veces el resultado A? d. Si repetimos el experimento de la pregunta anterior, pero ahora asumiendo que se repite cuatro veces.

208 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Ejercicios de profundización 1. a. p = 1 – q b. pq y pp c. 3C2 · p2q d. 4C2 · p2q2 e. nCk · pkqn–k 2. A

3 10

Páginas 240 y 241

Unidad 5

U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:27 Página 209

Cómo resolverlo

Indicaciones respecto del contenido • La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la Unidad; sin embargo, en estas páginas se presentan estrategias de resolución específicas de problemas con contenidos de la Unidad para que los y las estudiantes las aprendan y las apliquen en futuros problemas. • Esta resolución se presenta detallada, justificando las diferentes acciones, lo que permite aclarar posibles dudas que sus estudiantes puedan mantener. • Se recomienda que enfatice los pasos que deben seguir en la resolución de problemas: comprender, planificar, resolver y revisar. • Es importante fomentar una discusión respecto al procedimiento utilizado en el Texto del Estudiante para resolver el problema mostrado y los distintos procedimientos propuestos por sus estudiantes, que les permita comprender las razones por las cuales se resuelve de cada forma, teniendo en cuenta los elementos que se deben reconocer para que puedan ellos seleccionar un procedimiento adecuado.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Analizar, aplicar, calcular e interpretar.

Analizar y justificar.

Analizar, calcular y justificar.

En la página 59 de la Guía, se presentan diferentes indicadores de logro que pueden utilizarse para evaluar la resolución de problema planteados.

Páginas 242 y 243

En terreno

Indicaciones sobre el contenido • El objetivo de esta sección es que los alumnos y alumnas apliquen parte de los contenidos aprendidos en la Unidad con una situación real. Para ello se presenta una aplicación relacionada con variables aleatorias que aparecen en la vida diaria e interesantes de analizar, como es, en este caso, los siniestros de tránsito. • Para potenciar la actividad se recomienda que esta sea realizada en grupos y que, posteriormente, se seleccione uno o más grupos, según el tiempo que se disponga para la actividad, para que presenten ante el resto de los compañeros y compañeras los resultados obtenidos.

Actividades Ítems 1y2

Habilidades que desarrollan Aplicar y calcular.

Investiguemos • En el ítem 1 se hace referencia a las actividades previas. La discusión planteada permite evaluar los aprendizajes adquiridos en la Unidad y la propuesta para que sus estudiantes comparen los resultados entre ellos, permitirá corregir y reforzar sus conocimientos. • En los ítems 2 y 3 se propone llevar acabo una actividad similar a la realizada, pero se les pide a ellos buscar la información requerida.

Unidad 5

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U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:27 Página 210

Página 244

Actividades

Síntesis de la Unidad

Indicaciones sobre el contenido

Habilidades que desarrollan

1, 2, 3 y 8

Recordar, analizar y justificar.

4, 5, 6 y 9

Recordar y justificar.

Recordar y analizar.

• En esta sección se presentan algunos conceptos tratados en la Unidad para que las alumnas y los alumnos completen con ellos una mapa conceptual. Debe aclarar a sus estudiantes que deben completar el mapa, ya que no aparecen en él todos los conceptos trabajados en la Unidad. Es importante recordar que al construir el mapa conceptual, este debe tener palabras de enlace entre los conceptos, que indiquen la relación entre ellos y no solo una línea que los una. • Las preguntas propuestas permitirán evaluar los aprendizajes alcanzados por los alumnos y las alumnas en la Unidad, y repasar aquellos no completamente logrados.

Actividades complementarias • Una vez que los alumnos han realizado cada uno su mapa conceptual, pídales que se lo intercambien entre ellos y ellas, de modo que cada uno evalúe el de su compañera o compañero. Recuérdeles que en un mapa conceptual cada concepto se debe escribir de manera independiente y que son las palabras de enlace las que indican las relaciones que hay entre los conceptos.

Páginas 245 a 247

Evaluación sumativa En estás páginas, se propone una evaluación que integra los contenidos en la Unidad. Esta instancia puede ser utilizada como una evaluación sumativa que considera las habilidades del cuadro. Ítems I

III

Habilidades que evalúan 1a5

Analizar, reconocer, comprobar y justificar.

1y2

Aplicar, analizar y calcular.

Representar, aplicar y calcular.

Aplicar y calcular.

1, 3, 11 y 12

Aplicar y calcular.

2, 4, 6, 8 y 10

Analizar, aplicar y calcular.

5, 7 y 9

210 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Analizar, seleccionar y aplicar.

Ítem

Completamente logrado

Medianamente logrado

Logrado

Determina el valor de Determina el valor de verdad de todas las verdad de todas las expresiones, justificando expresiones. correctamente la decisión.

Determina el valor de verdad de tres o más de las expresiones.

Por lograr Determina el valor de verdad de dos o menos de las expresiones.

II. 1

Responde correctamente Responde correctamente Responde correctamente No responde correctatodas las preguntas, in- todas las preguntas. solo una pregunta. mente ninguna de las dicando, paso a paso, el preguntas. procedimiento utilizado.

II. 2

Responde correctamente Responde correctamente Responde correctamente Responde correctamente todas las preguntas, in- todas las preguntas. dos o más preguntas. una o ninguna de las dicando, paso a paso, el preguntas. procedimiento utilizado.

II. 3

Determina correctaDetermina correctamente todas las activimente todas las dades, indicando, paso actividades. a paso, el procedimiento utilizado.

Determina correctamente dos de las actividades.

Determina correctamente una o ninguna de las actividades.

Resuelve correctamente todos los problemas, calculando las probabilidades para todos los posibles valores de cada variable aleatoria.

Resuelve correctamente dos de los problemas, calculando las probabilidades para todos los posibles valores de cada variable aleatoria.

Resuelve correctamente uno o ninguno de los problemas.

II 4

Resuelve correctamente todos los problemas, calculando las probabilidades para todos los posibles valores de cada variable aleatoria. Indica, paso a paso, el procedimiento utilizado.

III 1 al 12

Contesta correctamente todas las preguntas.

Contesta correctamente 8 preguntas o más.

Contesta correctamente entre 5 y 7 preguntas.

Contesta correctamente 4 preguntas o menos.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem I, los alumnos y las alumnas pueden presentar dificultades para evaluar y justificar cuando una afirmación es verdadera o falsa. Se recomienda realizar la actividad en grupos pequeños de modo que puedan discutir las estrategias necesarias para la resolución de los problemas planteados. • Se recomienda revisar con los alumnos al final de la actividad los problemas de cálculo, explicando paso a paso el desarrollo y mostrando cuándo existe más de un procedimiento correcto. A continuación, se presentan algunas actividades complementarias que permitirán reforzar o profundizar los contenidos trabajados en la Unidad. Usted podrá plantearles las actividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtengan en la evaluación sumativa y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.

Unidad 5

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Unidad 5

U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:27 Página 211

U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:27 Página 212

Actividades complementarias Ejercicios de refuerzo 1. Una moneda cargada ha sido lanzado 4000 veces y se han obtenido 1500 caras. ¿Cuántas veces se espera obtener sello en 6000 lanzamientos de esta moneda? A. 3750 B. 3000 C. 2500 D. 2250 E. Ninguna de las anteriores 2. Cristóbal participa en un juego en el que gana $ 200 si al lanzar un dado sale un 5 o un 6, y pierde $ 150 si sale cualquier otro número. Sea Z la variable aleatoria que cuenta la utilidad que obtiene Cristóbal en cada lanzamiento (es decir, los valores posibles de Z son –150 y 200), ¿cuál es el valor de E(Z)? – A. 166,6 – B. 83,3 C. –50 – D. –33,3 E. Ninguna de las anteriores. 3. Sea X la variable aleatoria que cuenta la suma de los puntos en el lanzamiento de dos dados. Es falso que: A. P(X 8) =

15 36

B. P(X = 7) =

6 36

6 C. P(2 X 4) = 36 D. P(X = 12) = P(X = 2) E. P(X 5) =

10 36

5. Se colocan en un sombrero de mago 4 papelitos con los números 1, 3, 5, 7. Se pide a una persona sacar 2 papelitos al azar y sumar los números. ¿Cuántos resultados distintos se pueden dar? A. 5 B. 6 C. 10 D. 12 E. 16 6. Con respecto al experimento aleatorio descrito en el ejercicio anterior, ¿cuál de los siguientes resultados es más probable? A. Obtener un número primo. B. Obtener un número mayor que 10. C. Obtener un cuadrado perfecto. D. Obtener 6. E. Obtener 8.

Ejercicios de profundización 1. Determina el valor de x en cada caso: a. xC2 = 10 b. xC2 – xC3 = 0 c. 7Px = 840 2. Un dado está cargado, de modo que al lanzarlo, la probabilidad de obtener un número es proporcional a dicho número. a. ¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar el dado, se obtenga un número par? b. ¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar el dado, se obtenga un múltiplo de 3? c. ¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar el dado, se obtenga un número primo?

Solucionario 4. Se lanzan 4 monedas de $100 al aire. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente dos caras? A. 0,1875 B. 0,375 C. 0,5 D. 0,75 E. 1,25

212 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Ejercicios de refuerzo 1. A

2. D

3. E

4. B

5. A

6. E

Ejercicios de profundización 1. a. x = 5

b. x = 5

c. x = 4

Unidad 5

U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:27 Página 213

Habilidades que evalúan

Puntaje

Total

Aplicar y calcular.

2 puntos cada una.

2 puntos.

2y3

Analizar y aplicar.

2 puntos cada una.

4 puntos.

4, 5 y 6

Aplicar y calcular.

2 puntos cada una.

6 puntos.

Analizar y aplicar.

2 puntos cada una.

2 puntos.

8y9

Aplicar y calcular.

2 puntos cada una.

4 puntos.

Analizar y aplicar.

2 puntos cada una.

2 puntos.

11, 12 y 13 Aplicar y calcular.

2 puntos cada una.

6 puntos.

Analizar y aplicar.

2 puntos cada una.

2 puntos.

Aplicar y calcular.

2 puntos cada una.

2 puntos.

Puntaje total:

30 puntos.

Considere: Completamente logrado: si contesta correctamente todos las preguntas (15 preguntas). Logrado: si contesta correctamente 12 preguntas o más. Medianamente logrado: si contesta correctamente entre 8 y 11 preguntas. Por lograr: si contesta correctamente 7 preguntas o menos.

Unidad 5

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U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:27 Página 214

Evaluación final Nombre:

Curso:

Fecha:

Marca o encierra la alternativa correcta de cada pregunta. 1. Se debe escoger, al azar, 2 estudiantes del 3ºA y 2 estudiantes del 3º B para formar una comisión. ¿Cuántos resultados posibles tiene este experimento, si hay 25 estudiantes en el 3º A y 30 en el 3º B? A. 55 B. 735 C. 750 D. 130 500 E. 341 055 2. Se lanza una moneda 3 veces y se observa la sucesión de caras y sellos que aparecen. Para este experimento aleatorio se define el suceso A: ”salen más caras que sellos”. El complemento del suceso A es: A. B. C. D. E.

{ CCS, CSC, SCC } { SSC, SCS, CSS } { CCC, CCS, CSC, SCC } { SSC, SCS, CSS, SSS } { CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS }

3. Ricardo tiene una colección de 50 miniaturas de autos famosos, pero en su repisa solo caben 20 de estos autos puestos en fila. ¿De cuántas maneras puede seleccionar 20 autos y ordenarlos en su repisa? A. 50! B. 20! C. 50! · 20!

D. 50C20 E. 50P20

4. De un grupo de 6 personas se escogerá, al azar, un conjunto de 3 personas para formar una comisión. ¿Cuántos resultados posibles hay? A. 120 B. 20 C. 6 D. 3 E. Ninguno de los anteriores.

214 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

5. Con respecto al ejercicio anterior, si las edades de las personas son 30, 30, 34, 37, 40 y 41 años, ¿en cuántas de las posibles comisiones la mayor de las personas sería la que tiene 37 años? A. 1 B. 2 C. 3

D. 4 E. 6

6. Se lanza una moneda, a continuación se lanza un dado y luego se extrae una carta de una baraja inglesa, ¿cuál es la probabilidad de obtener cara, número par y trébol, respectivamente? A.

1 16

3 264

1 8

1 624

5 4

7. Cuando se lanzan tres monedas, la probabilidad de obtener al menos dos sellos es: I. menor que la probabilidad de obtener exactamente un sello. II. mayor que la probabilidad de obtener al menos una cara. III. igual a la probabilidad de obtener, a lo más, una cara. A. B. C. D. E.

Solo II Solo III I y II II y III I, II y III

8. El 30% de los estudiante de un 3º Medio tiene promedio sobre 6,0 en Matemática, el 25% tiene promedio sobre 6,0 en Historia y el 15% supera esa nota en ambas asignaturas. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un estudiante de ese curso al azar, tenga promedio sobre 6,0 en alguna de las dos asignaturas? A.

3 20

11 20

5 20

12 20

8 20

9. En una urna hay 3 bolitas blancas y 4 azules. Se hacen dos extracciones con reposición. ¿Cuál es la probabilidad de sacar bolitas de diferente color? A.

5 7

1 2

12 49

1 7

2 7

10. Para el experimento aleatorio de extraer una carta de una baraja inglesa se definen los sucesos A: “extraer un 10” y B: “extraer una carta negra”. A y B son sucesos: A. B. C. D. E.

mutuamente excluyentes. independientes. dependientes. complementarios. equiprobables.

11. Si A y B son dos sucesos independientes, P(A∪B) = 0,88 y P(A) = 0,60, ¿cuál es el valor de P(B)? A. 0,28 B. 0,42 C. 0,68

D. 0,70 E. Los datos son insuficientes.

12. Considerando los datos que se presentan en la tabla siguiente, si se escoge un estudiante de 3º al azar y resulta ser hombre, ¿cuál es la probabilidad de que sea del 3º A? 3° A

3° B

Total

Mujeres

Hombres

Total

13 34

13 66

31 34

31 66

34 66

13. Samuel tiene una chance de 0,7 de ganar los 100 metros planos y un 60% de ganar los 110 metros valla. ¿Cuál es la probabilidad de que gane solo una de las carreras? A. 0,28 B. 0,42 C. 0,48

D. 0,51 E. Ninguna de las anteriores.

14. Sea X la variable aleatoria que corresponde al número de sellos que se pueden obtener al lanzar tres monedas. De las siguientes afirmaciones: I. X es variable aleatoria continua. II. P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1 III. P(X 0) =

7 8

Es o son verdaderas: A. Solo II D. II y III B. Solo III E. I, II y III C. I y III 15. En el lanzamiento de dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que los números sean iguales, sabiendo que la suma de ellos es mayor que 7? A.

1 7

2 5

1 5

1 6

1 2

Unidad 5

| 215

Unidad 5

U5-3º (PAG 176-215)_Maquetación 1 08-11-10 10:27 Página 215

TALLER EVAL_Maquetación 1 08-11-10 10:27 Página 216

Taller de evaluación En estás páginas se propone una evaluación que incluye todos los contenidos del año escolar, separados por Unidad. Esta evaluación puede realizarla al final de cada Unidad, al terminar un semestre, o bien, como evaluación final del año. Las actividades propuestas le permitirá evaluar los aprendizajes que han logrado sus alumnos y las alumnas en cada Unidad. Con los resultados de esta evaluación puede reforzar los temas en que aún puedan quedar dudas. A continuación se presentan las habilidades que se trabajan en cada Unidad y los niveles de logro según los ítems contestados correctamente.

Unidad 1 Ítems

Habilidades que evalúan

1y2

Aplicar y calcular.

Aplicar y analizar.

Representar, aplicar y calcular.

5, 6 y 7

Aplicar y calcular.

Aplicar, calcular y verificar.

Aplicar y calcular.

Aplicar y analizar.

Considere: Completamente logrado: si contesta correctamente todos las preguntas (10 preguntas). Logrado: si contesta correctamente 8 preguntas o más. Medianamente logrado: si contesta correctamente entre 6 y 7 preguntas. Por lograr: si contesta correctamente 5 preguntas o menos.

Unidad 2 Ítems

Habilidades que evalúan

1y2

Aplicar y calcular.

Analizar y calcular.

Aplicar y analizar.

Aplicar y calcular.

Aplicar y analizar.

Conectar y aplicar.

Representar, aplicar y calcular.

Analizar y conjeturar.

Aplicar y calcular.

216 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

TALLER EVAL_Maquetación 1 08-11-10 10:27 Página 217

Unidad 3 Ítems 1y2

Habilidades que evalúan Analizar, aplicar y calcular.

Aplicar y calcular.

Analizar.

Analizar y verificar.

6y7 8 9 y 10

Representar, aplicar y calcular. Analizar y calcular. Representar, aplicar y calcular.

Unidad 4 Ítems

Habilidades que evalúan

Analizar y aplicar.

Analizar y conjeturar.

3y4

Analizar y verificar.

5y6

Aplicar y calcular.

Analizar y aplicar.

8y9

Aplicar y calcular.

Aplicar y analizar.

Unidad 5 Ítems

Habilidades que evalúan

Aplicar y analizar.

2, 3, 4, 5 y 6

Aplicar y calcular.

Aplicar, analizar.

Analizar, aplicar y calcular.

9 y 10 11

Aplicar y calcular. Analizar, aplicar y calcular.

Considere: Completamente logrado: si contesta correctamente todos las preguntas (11 preguntas). Logrado: si contesta correctamente 9 preguntas o más. Medianamente logrado: si contesta correctamente entre 6 y 8 preguntas. Por lograr: si contesta correctamente 5 preguntas o menos.

Taller de evaluación

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GLOSARIO (PAG 218-222)_Maquetación 1 08-11-10 10:28 Página 218

Glosario A Álgebra: rama de la matemática en la cual las operaciones aritméticas se generalizan empleando números, letras y signos. Cada letra o signo representa simbólicamente un número u otra entidad matemática. Altura de un triángulo: segmento que une un vértice del triángulo con el lado opuesto (o una prolongación de este) formando un ángulo recto. Ángulo del centro: ángulo formado por dos radios y que tiene su vértice en el centro de la circunferencia. Área: medida asociada a una superficie.

B Binomio: expresión algebraica compuesta por dos términos.

por b2 – 4ac. Nos permite saber, antes de conocer sus raíces, cuántas soluciones reales tendrá una ecuación de segundo grado. Dominio de una función: conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente.

E Ecuación: igualdad en la que hay una o más variables desconocidas llamadas incógnitas. Ecuación de segundo grado: es una ecuación del tipo ax2 + bx + c = 0, con a = 0 y a, b, c pertenecen a IR. Ecuaciones con radicales: igualdad en la que intervienen raíces cuyas incógnitas forman parte de una o más cantidades subradicales. Espacio muestral: conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Combinación: selección de cierta cantidad de elementos u objetos de un total.

Espacio muestral equiprobable: todos los sucesos pertenecientes al espacio muestral, tienen igual probabilidad.

Congruencia: propiedad de dos figuras de tener la misma forma y tamaño; cuando al poner una figura sobre la otra, ambas coinciden.

Esperanza matemática: valor promedio o esperado al que tienden los valores de la variable aleatoria, a medida que aumenta el número de repeticiones de un experimento.

Conjetura: proposición cuya falsedad o veracidad no ha sido demostrada.

Experimento aleatorio: son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de estos va a ser observado en la realización del experimento.

Conjunto vacío: conjunto que no posee elementos. Coseno de un ángulo: razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa del triángulo rectángulo, al cual pertenece.

D Demostración: conjunto ordenado de argumentos que permiten obtener una verdad como consecuencia lógica de otra. Desigualdad: expresión matemática que sirve para representar que cierta cantidad es menor o mayor que otra. Diámetro: segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. Dilatación y contracción de una parábola: se refiere a la abertura de la gráfica de la parábola, la cual depende del valor del coeficiente numérico de x2. Discriminante de la ecuación cuadrática: dada una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, su discriminante está dado

218 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

F Factor de un número: es el divisor de un número. Factorial de un número n: producto de los n primeros números naturales. Factorizar: expresar un número o una expresión algebraica como producto de dos o más números o expresiones algebraicas, llamados factores. Fracción irreductible: es aquella cuyo numerador y denominador no poseen divisores comunes distintos de 1. Frecuencia absoluta: número de veces que se repite un cierto valor en una variable. Frecuencia absoluta acumulada: es la suma de las frecuencias absolutas hasta un determinado valor.

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Función: relación matemática entre dos variables x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Si el valor de y depende del valor de x se anota y = f (x), donde y es función de x. Función cuadrática: función de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a = 0 y a, b, c pertenecen a IR. Función inversa: corresponde a la expresión en la cual la variable independiente está en función de la variable dependiente. Función periódica: es aquella cuyos valores se repiten cada cierto intervalo. Función raíz cuadrada: se representa por la función f (x) = x , y corresponde a la raíz positiva de un número real mayor o igual a cero.

M Múltiplos de un número: números que se obtienen al multiplicar el número dado por otro.

N Número irracional: número que no se puede obtener como cociente de dos enteros. Número primo: número cuyos divisores son el 1 y él mismo. Número racional: se puede expresar como cociente de dos enteros.

P Parábola como lugar geométrico: gráfica de todos los puntos que están a igual distancia de un punto fijo (foco) y de una recta (directriz). Paralelas, rectas: rectas que no se intersecan.

Grado de un término: corresponde a la suma de los exponentes de su factor literal.

Pendiente de una recta: tangente del ángulo de inclinación de la recta.

Grado de una ecuación: está determinado por el mayor grado del exponente de la incógnita.

Permutación: ordenación de diferentes objetos o elementos.

Grado de una expresión algebraica: mayor de los grados entre sus términos. Por ejemplo: 2x2y – x2y3 tiene grado 5.

Perpendiculares, rectas: rectas que se intersecan en un punto formando un ángulo de 90º. Polígono: figura geométrica plana, cerrada y cuyos lados son rectas.

Incógnita: cantidad desconocida que se quiere determinar en una ecuación.

Polígono regular: todos los lados y ángulos interiores del polígono son iguales.

Inecuaciones: desigualdad en la que aparecen una o más incógnitas, puede ser lineal (el mayor exponente de la incógnita es uno) o no lineal (el mayor exponente de la incógnita es mayor o igual a dos).

Porcentaje: fracción con denominador 100, y se lee como tanto por ciento.

L Laplace, regla de: la probabilidad de un suceso se calcula como el cociente entre los casos favorables y los casos posibles. Lenguaje algebraico: permite expresar la información mediante operaciones con números y letras. Ley de los grandes números: en un número grande de ensayos de cierto experimento, la frecuencia relativa de un suceso se aproxima a la probabilidad de dicho suceso.

Probabilidad: posibilidad de que un suceso ocurra o no. Se asigna un valor entre 0 y 1. Probabilidad condicional: en un espacio muestral equiprobable, se refiere a la probabilidad de que ocurra un cierto suceso, dado que ha ocurrido otro. Productos notables: multiplicaciones entre polinomios cuyos resultados pueden generalizarse para hallar la respuesta sin efectuar todas las operaciones.

R Racionalizar: consiste en el procedimiento de expresar una fracción que posee raíces en el denominador en otra equivalente sin raíces en él, por medio de la amplificación.

Glosario

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GLOSARIO (PAG 218-222)_Maquetación 1 08-11-10 10:28 Página 220

Glosario Radianes: medida de un ángulo con vértice en el centro de un círculo de radio r, cuyos lados se determinan sobre la circunferencia y un arco de longitud igual al radio. Radio: segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. Raíces de la función cuadrática: corresponden a las soluciones de una ecuación cuadrática. Raíz enésima de un número: expresión que se puede representar por n a , cuya enésima potencia es igual al número a.

Sucesos independientes: dos sucesos son independientes, si la ocurrencia de uno de ellos no afecta de ninguna manera la ocurrencia del otro suceso.

T Tangente de un ángulo: razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente al ángulo, correspondientes al triángulo rectángulo al cual pertenece. Teorema: afirmación que puede ser demostrada.

Razón: comparación entre dos cantidades por medio de un cociente.

Término: uno o más símbolos agrupados solo por la multiplicación y división. Cada uno de los sumandos que aparecen en una expresión algebraica.

Razón de semejanza entre dos figuras (k): es el cociente de las medidas de segmentos homólogos o correspondientes.

Términos de una raíz: dada la expresión n a , n es el índice de la raíz y a es la cantidad subradical.

Recorrido de una función: conjunto de todos los valores que puede tomar la variable dependiente.

Términos semejantes: dos o más términos son semejantes si sus respectivos factores literales son exactamente iguales.

S Secantes, rectas: rectas que se intersecan en un punto. Semejanza: dos figuras son semejantes cuando la razón entre las medidas de sus segmentos homólogos (o correspondientes) es constante, o sea, son proporcionales. Seno de un ángulo: razón entre cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa del triángulo rectángulo, al cual pertenece. Sistema de coordenadas: está formado por dos rectas perpendiculares llamadas ejes. El eje horizontal X se conoce como abscisa y el eje vertical Y como ordenada. Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas: corresponde a resolver simultáneamente dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Sistema de inecuaciones lineales: conjunto de dos o más inecuaciones de una o más incógnitas, cuyas soluciones satisfacen el sistema. Solución: valores de las incógnitas de una ecuación que la satisfacen. Sucesos o eventos: elemento de un espacio muestral de un experimento aleatorio. Sucesos combinados: dos sucesos pueden ocurrir al mismo tiempo (A∩B), puede ocurrir al menos uno de ellos (A∪B), o bien, pueden ser excluyentes (no existe la probabilidad de que ocurran ambos sucesos).

220 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

Trinomio: expresión algebraica compuesta por tres términos. Tríos pitagóricos: terna de números a, b, c que satisfacen la igualdad a2 + b2 = c2. Truncamiento: aproximación de un número decimal. Para truncar un número en cierta cifra decimal se eliminan las cifras decimales que le siguen.

V Valor de la potencia: número que se obtiene al multiplicar por sí mismo varias veces un determinado número. Variable: cantidad que puede tomar distintos valores. Variable aleatoria: obtenemos una variable aleatoria, cuando a cada suceso elemental de un experimento aleatorio le asociamos un único valor numérico. Variable cualitativa: variable relacionada con características no numéricas de un individuo. Variable cuantitativa: variable que se puede medir y expresar mediante números.

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Bibliografía Documentos oficiales • Mineduc. Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios de la Educación Media. Ministerio de Educación de Chile, 2001. • Ministerio de Educación. Matemática. Programa de Estudio. Tercer Año Medio. Formación General Educación Media. Ministerio de Educación de Chile, Unidad de Currículum y Evaluación.

Libros • Arenas, F., y otros. Geometría elemental. Ediciones Universidad Católica de Chile, Santiago, 1993. • Artigue, M. “Una introducción a la didáctica de la matemática”, en Enseñanza de la Matemática. Selección bibliográfica, traducción para el PTFD, MCyE, 1994. • Artigue, M., y otros. Ingeniería didáctica en educación matemática. Grupo Editorial Iberoamericana, México, 1ª edición, 1995. • Arenas Fernando y equipo. Geometría Elemental. Ediciones Universidad Católica de Chile, Santiago,1993. • Bermeosolo, J. Metacognición y estrategias de aprendizaje e instrucción. Documentos de apoyo a la docencia, proyecto FONDECYT 1940767, Santiago, 1994. • Centeno, Julia. Números decimales. Síntesis, Madrid,1995. • Corbalán, Fernando. La matemática aplicada a la vida cotidiana. Graó, Barcelona, 1995. • Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. Geometry Revisited. The Mathematical Association of America, EE.UU., 1967. • Chevallard Y. La transposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado. Aique, Buenos Aires, 1991. • Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. Horsori, Barcelona, 1997. • Díaz Godino, J. y otros. Azar y probabilidad. Editorial Síntesis, España, 1996. • Dickson, L. Brown, M. y Gibson, O. El aprendizaje de las Matemáticas. Ed. Labor, Barcelona, 1991. • Enzensberger, Hans Magnus. El diablo de los números. Ediciones Siruela, España, 1998. • E.T. Bell. Los grandes matemáticos. Editorial Losada S.A., Buenos Aires, 1948. • Ernst, Bruno. El espejo mágico de M.C.Escher. Taschen, 1994. • Freund, G. y Simón, G. Estadística elemental. Prentice Hall Hispanoamericana, México, 1997.

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Bibliografía

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GLOSARIO (PAG 218-222)_Maquetación 1 08-11-10 10:28 Página 222

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Recursos tecnológicos • Software geométrico GeoGebra. http://www.geogebra.org

Páginas webs sugeridas • Ministerio de Educación de Chile. http://www.mineduc.cl • Centro Comenius. Patrocinado por la USACH. http://www.comenius.usach.cl • Recursos matemáticos Redemat. http://www.recursosmatematicos.com/redemat.html • Currículum Nacional del Ministerio de Educación de Chile. http://www.curriculum-mineduc.cl/ • Red Maestros de Maestros. http://www.rmm.cl • Centro de perfeccionamiento, experimentación e investigaciones pedagógicas (CPEIP). http://www.cpeip.cl • Sociedad de Matemática de Chile. http://www.sochiem.cl • Servicio Europeo de información Matemática (EMIS). http://www.emis.de • Instituto Nacional de Estadísticas. http://www.ine.cl • Ministerio de salud. http://www.redsalud.gov.cl

222 | Guía Didáctica del Docente Matemática 3º Medio

• Consejo Nacional para el Control de Estupefacientes (Conace). http://www.conacedrogas.cl • Dirección Metereorológica de Chile. http://www.meteochile.cl • El paraíso de las Matemáticas http://www.matematicas.net • Sector Matemática http://www.sectormatematica.cl • Demostraciones del teorema de Pitágoras (en inglés): http://www.ies.co.jp/math/java/geo/pythagoras.html

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