4Medio_2011_Profesor by juan albornoz

Guía Didáctica del Docente

Matemática4° Incluye Texto del Estudiante

Educación Media

EDUARDO BÓRQUEZ AVENDAÑO JAVIERA SETZ MENA

Año 2011 Edición Especial para el Ministerio de Educación Prohibida su comercialización

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GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE INCLUYE TEXTO DEL ESTUDIANTE

Matemática

4º

Educación Media

EDUARDO BÓRQUEZ AVENDAÑO LICENCIADO EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE. JAVIERA SETZ MENA LICENCIADA EN MATEMÁTICA, LICENCIADA EN EDUCACIÓN, PROFESORA DE MATEMÁTICA, EDUCACIÓN MEDIA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

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La Guía del Docente Matemática 4, para Cuarto Año de Educación Media, es una obra colectiva, creada y diseñada por el departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección general de: MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA COORDINACIÓN DE PROYECTO: Eugenia Águila Garay COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA: Viviana López Fuster EDICIÓN: Javiera Setz Mena AUTORES: Eduardo Bórquez Avendaño Javiera Setz Mena CORRECCIÓN DE ESTILO: Isabel Spoerer Varela Gabriela Precht Rojas

DOCUMENTACIÓN: Paulina Novoa Venturino La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de: VERÓNICA ROJAS LUNA COORDINACIÓN GRÁFICA: Carlota Godoy Bustos COORDINACIÓN GRÁFICA LICITACIÓN: Xenia Venegas Zevallos

JEFA DE DISEÑO ÁREA MATEMÁTICA: Mariela Pineda Gálvez DIAGRAMACIÓN: Mariela Pineda Gálvez ILUSTRACIONES: Antonio Ahumada Mora FOTOGRAFÍAS: Archivo Santillana CUBIERTA: La Práctica S.P.A. PRODUCCIÓN: Germán Urrutia Garín

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

© 2010, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile) PRINTED IN CHILE Impreso en Chile por WorldColor Chile S.A. ISBN: 978-956-15-1761-5 Inscripción N°: 197.994 Se terminó de imprimir esta 1a edición de 4.101 ejemplares, en el mes de diciembre del año 2010. www.santillana.cl Referencias de la Guía Didáctica Matemática 4, Educación Media, Mineduc, de los autores: Ángela Baeza Peña, Marcia Villena Ramírez. Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Santiago, Chile, 2010.

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Índice

Fundamentación teórica

Introducción

Fundamentación del proyecto

Organización de la Guía Didáctica

Modelo pedagógico del Texto

Mapas de Progreso del Aprendizaje (MPA)

Integración de las TIC

Habilidades del pensamiento

Evaluación en Matemática

Razonamiento Matemático y Resolución de Problemas

Función potencia y logarítmica

Propósito de la Unidad

Indicaciones y orientaciones para las páginas

Esquema de la Unidad

de desarrollo del Texto del Estudiante

Relación entre los CMO de la Unidad

Indicaciones y orientaciones para las páginas

y los de años anteriores

de cierre del Texto del Estudiante

Propuesta de planificación de la Unidad

Evaluación final

Referencias teóricas

Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio del Texto del Estudiante

Índice

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Función exponencial

Propósito de la Unidad

Indicaciones y orientaciones para las páginas

Esquema de la Unidad

de desarrollo del Texto del Estudiante

Relación entre los CMO de la Unidad

Indicaciones y orientaciones para las páginas

y los de años anteriores

de cierre del Texto del Estudiante

Propuesta de planificación de la Unidad

Evaluación final

Referencias teóricas

Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio del Texto del Estudiante

Vectores

100

Propósito de la Unidad

100

Indicaciones y orientaciones para las páginas

Esquema de la Unidad

100

de desarrollo del Texto del Estudiante

Relación entre los CMO de la Unidad

107

Indicaciones y orientaciones para las páginas

y los de años anteriores

101

de cierre del Texto del Estudiante

128

Propuesta de planificación de la Unidad

102

Evaluación final

134

Referencias teóricas

103

Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio del Texto del Estudiante

104

Áreas y volúmenes

136

Propósito de la Unidad

136

Indicaciones y orientaciones para las páginas

Esquema de la Unidad

136

de desarrollo del Texto del Estudiante

Relación entre los CMO de la Unidad

142

Indicaciones y orientaciones para las páginas

y los de años anteriores

137

de cierre del Texto del Estudiante

157

Propuesta de planificación de la Unidad

138

Evaluación final

162

Referencias teóricas

139

Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio del Texto del Estudiante

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Estadística I

164

Propósito de la Unidad

164

Indicaciones y orientaciones para las páginas

Esquema de la Unidad

164

de desarrollo del Texto del Estudiante

Relación entre los CMO de la Unidad

172

Indicaciones y orientaciones para las páginas

y los de años anteriores

165

de cierre del Texto del Estudiante

178

Propuesta de planificación de la Unidad

166

Evaluación final

184

Referencias teóricas

167

Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio del Texto del Estudiante

169

Estadística II

186

Propósito de la Unidad

186

Indicaciones y orientaciones para las páginas

Esquema de la Unidad

186

de desarrollo del Texto del Estudiante

Relación entre los CMO de la Unidad

194

Indicaciones y orientaciones para las páginas

y los de años anteriores

187

de cierre del Texto del Estudiante

207

Propuesta de planificación de la Unidad

188

Evaluación final

212

Referencias teóricas

189

Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio del Texto del Estudiante

191

Solucionario de la Guía Didáctica

214

Bibliografía

222

Índice

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Introducción La siguiente propuesta aborda el conjunto de Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios para 4º Medio del sector Matemática, establecidos en el marco curricular nacional (Decreto Nº 220) e integra y articula los Objetivos Fundamentales Transversales con los contenidos y actividades centrales presentados. La propuesta Matemática 4º Medio consiste en el Texto del Estudiante y la Guía Didáctica del Docente. El Texto del Estudiante se basa en la concepción de aprendizaje constructivista, presenta a los alumnos y las alumnas los distintos contenidos a partir de situaciones contextualizadas, en las que mediante el razonamiento espontáneo los y las estudiantes activen sus conocimientos previos. Luego, se desarrolla cada contenido mediante actividades y ejemplos resueltos. La evaluación se considera en todas las etapas del proceso de aprendizaje, de manera transversal. La Guía Didáctica del Docente permite articular cada contenido tratado en el Texto, explicando claramente aquellos conceptos claves para su comprensión, las relaciones principales que se puedan establecer y sus referencias teóricas, con el objeto de sustentar y ampliar los conocimientos del docente. Se incluyen orientaciones para desarrollar las distintas actividades presentadas en el Texto del Estudiante. El Texto Matemática 4º Medio pretende contribuir a desarrollar y consolidar: el pensamiento lógico y abstracto, el manejo del lenguaje matemático, la capacidad para formular hipótesis y construir modelos para explicar el entorno; el aprendizaje de los diversos mecanismos de cálculo aproximado y la adquisición de hábitos en orden y método, así como el rigor en el desarrollo de los problemas y análisis crítico de las posibles soluciones. En esta línea, y como punto de partida, se han fijado dos principios básicos: • Adecuación al nivel de desarrollo de los alumnos y alumnas. • Adecuación de los contenidos y métodos a lo que la sociedad demanda.

Fundamentación del proyecto La metodología utilizada en la propuesta Matemática 4º Medio tiene como punto de partida los fundamentos pedagógicos derivados de la Reforma Educacional Chilena y responde a las orientaciones generales planteadas en el Marco Curricular y a los requerimientos generales para la elaboración de textos escolares de Cuarto Año Medio, presentada por el Ministerio de Educación. Los objetivos generales de nuestra propuesta son: • Consolidar, sistematizar y ampliar las nociones y prácticas matemáticas que los alumnos y alumnas poseen, como resultado de su interacción con el medio. • Desarrollar en los y las estudiantes habilidades propias del razonamiento matemático y de la resolución de problemas, a través de situaciones y problemas que favorezcan la integración de diferentes dimensiones de la Matemática.

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Introducción

• Enriquecer la comprensión de la realidad de los y las estudiantes, a través del aprendizaje de conceptos y procedimientos matemáticos, que les permitan intervenir activamente en ella. • Promover en los y las estudiantes una actitud positiva frente a la Matemática, desarrollando el placer de hacer Matemática, el aprecio por su belleza y poder, la confianza en su uso y la perseverancia en la resolución de problemas. Los ejes metodológicos en los que se sustenta nuestra propuesta son: • Desarrollar los contenidos de manera articulada, secuenciada y progresiva, en un nivel de complejidad creciente, según las exigencias del subsector y nivel señaladas en el Marco Curricular y en los Mapas de Progreso de Aprendizaje. • Tratar los contenidos activando las experiencias y conocimientos previos de los y las estudiantes, promoviendo además el razonamiento espontáneo respecto del nuevo contenido. • Promover en los y las estudiantes la observación y comprensión de los procesos involucrados, mediante su ejemplificación y análisis. Esto incluye justificaciones simples de los conceptos y procedimientos, cuando es pertinente. • Formalizar claramente los conceptos y procedimientos centrales de cada contenido, a través de un discurso formal pero en un lenguaje adecuado al nivel de los estudiantes. • Proponer actividades variadas de ejercitación de los contenidos, así como actividades de generalización de los aprendizajes, que promuevan la aplicación de los conceptos y procedimientos construidos en situaciones nuevas. • Orientar el desarrollo de las habilidades propias del razonamiento matemático y de la resolución de problemas: selección de datos, búsqueda y puesta en práctica de estrategias de resolución e interpretación de resultados en función del contexto. • Presentar actividades específicas de resolución de problemas que desarrollen la heurística de la resolución de problemas. • Incluir actividades de síntesis, donde los y las estudiantes puedan organizar los contenidos y procedimientos centrales estudiados. • Incluir instancias evaluativas diagnósticas, procesuales y sumativas en las cuales se evalúen contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales. Orientar estas evaluaciones hacia la medición de destrezas, habilidades y conocimientos. • Incorporar de forma permanente instancias de autoevaluación y reflexión sobre los propios procesos y sus resultados, con el propósito de promover el desarrollo de la autonomía y habilidades de metacognición en los y las estudiantes. Por otra parte, tomando en cuenta el desarrollo de nuestro país en los últimos años y el auge del ámbito tecnológico a través de las TIC (Tecnologías de la Información y Comunicación), esta nueva propuesta pedagógica recoge estos avances y los utiliza como nuevas instancias de aprendizaje.

Fundamentación teórica

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Organización de la Guía Didáctica La Guía del Docente está organizada a partir de las siguientes secciones: • Propósito de la Unidad: en esta sección se entrega una orientación sobre el trabajo que se debe realizar con sus alumnos y alumnas a lo largo de la Unidad. • Propuesta de planificación de la Unidad: en una tabla se organizan los contenidos mínimos obligatorios, los contenidos de la Unidad, tiempos estimados para su desarrollo, aprendizajes esperados, actividades asociadas, recursos didácticos e indicadores de evaluación. • Relación de los aprendizajes de la Unidad y los de otros años: en un organizador gráfico se articulan la secuencia de aprendizajes desde Primer Año Medio hasta Cuarto Año Medio, que tienen relación con los de la Unidad. • Esquema de la Unidad: en un organizador gráfico se presentan los contenidos trabajados en la Unidad. • Referencias teóricas: en esta sección se presentan los conceptos matemáticos fundamentales relacionados con los contenidos tratados en la Unidad, en términos de definiciones, propiedades y teoremas que sustentan lo presentado en el Texto del Estudiante. • Bibliografía: se presentan distintos recursos bibliográficos que pueden apoyarlo con el trabajo de los contenidos de la Unidad. Además, de acuerdo con los momentos didácticos considerados en cada Unidad, se distinguen:

Páginas de inicio • Información complementaria para docentes: se dan indicaciones que permiten orientar la activación de conocimientos previos de los y las estudiantes con respecto a los contenidos de la Unidad. • Actividades complementarias: se presentan actividades que complementan las del Texto para reforzar, ampliar o profundizar el aprendizaje. • Evaluación diagnóstica: esta sección tiene como objetivo orientar la evaluación de las actividades propuestas en la sección ¿CUÁNTO SABES? del Texto del Estudiante, a través de una rúbrica que permitirá medir el nivel de logro que presentan sus alumnos y alumnas respecto de los aprendizajes adquiridos en años anteriores. Además, se presentan los criterios de evaluación por cada ítem y se incluye un cuadro en el que se detallan las habilidades que se evalúan en cada actividad. • Posibles dificultades en la evaluación y remediales: se indican las posibles dificultades que pueden tener sus estudiantes en la evaluación diagnóstica presentada en la Unidad y las sugerencias para poder subsanarlos o evitarlos.

Páginas de desarrollo • Habilidades que se desarrollan en las actividades del Texto: se especifican las habilidades que se trabajan en cada actividad. • Información para el docente: se dan sugerencias metodológicas e indicaciones con respecto a los procedimientos a desarrollar en las distintas actividades, uso

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Organización de la Guía Didáctica

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• • •

•

• •

de recursos, y otros, para potenciar de mejor manera el desarrollo de las habilidades en los y las estudiantes. Además, se plantean sugerencias o aclaraciones específicas del contenido que se trabaja, tales como definiciones, propiedades, formalizaciones, entre otros. Variantes metodológicas: para los temas más complejos se presentan sugerencias y estrategias distintas a las presentadas en el Texto del Estudiante, de manera de asegurar el logro de aprendizajes de estudiantes con distintos ritmos y formas de aprendizaje. Actividades complementarias: se plantean actividades que permitan reforzar y/o ampliar el contenido y las habilidades que se están trabajando. Errores frecuentes: se indican las posibles dificultades que pueden tener sus estudiantes en la Unidad y las sugerencias para poder subsanarlos o evitarlos. Mi progreso: esta sección tiene como objetivo orientar la evaluación de las actividades propuestas en la sección MI PROGRESO del Texto del Estudiante, a través de una rúbrica que permitirá medir el nivel de logro que presentan los y las estudiantes de los aprendizajes adquiridos hasta ese momento. Además, se presentan los criterios de evaluación por cada ítem y se incluye un cuadro en el que se detallan las habilidades que se evalúan en cada actividad. Posibles dificultades en la evaluación y remediales: se indican las posibles dificultades que pueden tener sus estudiantes en la Unidad y las sugerencias para poder subsanarlos o evitarlos. Cómo resolverlo: se entregan actividades complementarias que permitan desarrollar el razonamiento matemático y la resolución de problemas. En terreno: se plantean orientaciones para el desarrollo de las actividades de esta sección y actividades complementarias que potencian el establecimiento de vínculos entre los contenidos matemáticos trabajados y la realidad.

Páginas de cierre • Síntesis de la Unidad: en esta sección se entregan sugerencias para organizar y sintetizar lo aprendido y se proponen preguntas que permitirán detectar y clarificar las dudas que aún presenten sus estudiantes. • Evaluación: se orienta la evaluación de las actividades presentadas en la sección EVALUACIÓN, permitiendo evaluar los logros alcanzados por sus alumnos y alumnas en la Unidad. • Posibles dificultades en la evaluación y remediales: se indican las posibles dificultades que pueden tener sus estudiantes en la evaluación presentada en el Texto del Estudiante y las sugerencias para poder subsanarlos o evitarlos. • Evaluación fotocopiable: esta sección tiene como objetivo orientar la aplicación de un instrumento de evaluación sumativa que puede fotocopiar y aplicar a sus estudiantes al finalizar la Unidad. Además, se incluye una pauta que incorpora las habilidades que evalúa cada ítem y los puntajes otorgados.

Fundamentación teórica

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Modelo pedagógico del Texto Cada Unidad tiene tres momentos pedagógicos: Inicio, Desarrollo y Cierre. El Inicio considera: • Entrada de Unidad: en estas páginas se explicitan los contenidos de la Unidad y los aprendizajes que se espera que logren los y las estudiantes con su desarrollo. Se presentan también actividades de motivación y activación de experiencias y conocimientos previos. • ¿Cuánto sabes?: actividades de evaluación diagnóstica que permitirán evaluar los contenidos que son prerrequisitos de la Unidad. • ¿Qué debes recordar?: resumen de los principales conceptos que servirán de base para el aprendizaje que se espera lograr en la Unidad. El Desarrollo considera: • Páginas de Contenidos: incluyen variadas actividades de exploración, activación del razonamiento espontáneo de los alumnos y alumnas, así como construcción y aplicación de los contenidos, mediante ejercicios resueltos, procedimientos, demostraciones, etcétera. Incluye una sección que define, describe o formaliza los conceptos tratados. En estas páginas la información se complementa con las siguientes secciones: • Herramientas tecnológicas: sección con actividades para trabajar con calculadora, planillas de cálculo, graficadores o programas computacionales. • Organizando lo aprendido: considera un mapa conceptual que relaciona los contenidos tratados y un listado de preguntas conceptuales. • Mi progreso: consiste en un listado de actividades que permitirán al estudiante evaluar su progreso en el logro de los aprendizajes. • ¿Cómo voy?: tabla que contiene los indicadores de logro y las actividades relacionadas con cada uno, de modo que el y la estudiante pueda autoevaluarse y corregir sus errores.

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Modelo pedagógico del Texto

Además, el tratamiento del contenido incluye la siguiente información secundaria: • Recuerda que…: permite al y a la estudiante recordar contenidos o procedimientos aprendidos en años anteriores, que sean necesarios para desarrollar las actividades por resolver. • Pon atención: permite enfatizar al alumno y la alumna que sea riguroso, revise continuamente sus procedimientos, analice la pertinencia y consistencia de las soluciones encontradas respecto de la pregunta, etcétera. • Glosario: permite incorporar vocabulario matemático. Para la consolidación del aprendizaje se presentan las siguientes secciones: • Cómo resolverlo: sección orientada a presentar problemas resueltos, de manera que el alumno aprenda distintas estrategias de resolución. Se plantea un problema, luego se resuelve paso a paso y se presentan problemas propuestos en los que pueda aplicar la estrategia aprendida. • En terreno: sección orientada a aplicar lo aprendido en la Unidad en un contexto relacionado con situaciones tecnológicas, científicas o profesionales. • Investiguemos…: contiene las indicaciones para realizar un trabajo colaborativo, basado en la temática de la sección anterior, pero solicitando investigación adicional de parte de los y las estudiantes. • Evaluemos nuestro trabajo: sección orientada a realizar la autoevaluación y la coevaluación respecto del trabajo colaborativo realizado. En el Cierre se considera: • Página de Síntesis de la Unidad: permite construir un mapa conceptual abarcando los contenidos tratados en la Unidad. Incluye un listado de preguntas de Verdadero o Falso, enfocadas a contenidos conceptuales. • Páginas de Evaluación: sección de evaluación sumativa. Consiste en un listado de actividades que permitirán al y a la estudiante evaluar su progreso en el logro de los aprendizajes, diferenciados en dos clases, problemas de desarrollo o aplicaciones de los contenidos tratados y un listado de preguntas de selección múltiple.

Fundamentación teórica

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Mapas de Progreso del Aprendizaje (MPA) A partir del año 2007, el Ministerio de Educación ha puesto gradualmente a disposición del sistema escolar los Mapas de Progreso del Aprendizaje, que son un instrumento de apoyo al y la docente para monitorear el progreso en el aprendizaje de sus alumnos y alumnas, identificando distintos niveles de logro. Los niveles de logro son descripciones de los aprendizajes que demuestran los alumnos y alumnas, y le ayudarán a saber cuántos de sus estudiantes han alcanzado aprendizajes que les permitirán abordar bien los contenidos del nivel siguiente, cuántos se encuentran progresando hacia esos aprendizajes y cuántos están recién iniciando ese proceso. Ya sabemos que todos somos distintos y por lo mismo no todos aprendemos de la misma manera o al mismo ritmo, por esto, el conocer el nivel en el que se encuentra cada uno de sus alumnos y alumnas le servirá para atender la diversidad de estudiantes que se presenta en su aula, sus distintas maneras de aprender y orientarlos a avanzar. De acuerdo a lo anterior, en la elaboración y organización de nuestra propuesta fueron considerados los Mapas de Progreso del Aprendizaje, a partir de los cuales se diseñan actividades que promuevan el logro de los aprendizajes en forma gradual, y se proponen evaluaciones en las distintas etapas del proceso de aprendizaje, para conocer los avances de los y las estudiantes respecto de los contenidos y habilidades esperados en el nivel. A continuación, se presentan los niveles 5, 6 y 7 (correspondientes a los niveles de 1º y 2º Medio, 3º y 4º Medio, y Sobresaliente, respectivamente) de los Mapas de Progreso del Aprendizaje publicados por la Unidad de Currículum y Evaluación del Ministerio de Educación, de los ejes: Números y Operaciones, Álgebra, Datos y Azar y Geometría.

Mapa de Progreso de Números y Operaciones Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Números y Operaciones, progresan considerando tres dimensiones que se desarrollan de manera interrelacionada: comprensión y uso de los números, comprensión y uso de las operaciones, razonamiento matemático.

Nivel

Descripción

Nivel 7 Sobresaliente

Comprende los diferentes conjuntos numéricos, las relaciones entre ellos y los problemas que les dieron origen. Comprende que en cada conjunto numérico se puede operar sobre la base de reglas o propiedades que pueden ser usadas para justificar o demostrar relaciones. Muestra autonomía y flexibilidad para resolver un amplio repertorio de problemas, tanto rutinarios como no rutinarios, utilizando diversas estrategias y para formular conjeturas acerca de objetos matemáticos. Utiliza lenguaje matemático para presentar argumentos en la demostración de situaciones matemáticas.

Nivel 6

Reconoce a los números complejos como una extensión del campo numérico y los utiliza para resolver problemas que no admiten solución en los números reales. Usa las cuatro operaciones con números complejos. Resuelve problemas utilizando un amplio repertorio de estrategias, combinando o modificando estrategias ya utilizadas, formula conjeturas que suponen generalizaciones o predicciones y argumenta la validez de los procedimientos o conjeturas.

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Mapas de Progreso del Aprendizaje

Nivel

Descripción

Nivel 5

Reconoce a los números racionales como un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no admiten solución en los enteros, a los irracionales como un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no admiten solución en los racionales, y a los reales como la unión entre racionales e irracionales. Interpreta potencias de base racional y exponente racional, raíces enésimas y logaritmos, establece relaciones entre ellos y los utiliza para resolver diversos problemas. Realiza operatoria con números reales, calcula potencias, raíces y logaritmos y los aplica en diversos contextos. Resuelve problemas utilizando estrategias que implican descomponer un problema o situaciones propuestas en partes o sub-problemas. Argumenta sus estrategias o procedimientos y utiliza ejemplos y contraejemplos para verificar la validez o falsedad de conjeturas.

Mapa de Progreso de Álgebra Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Álgebra progresan considerando tres dimensiones que se desarrollan de manera interrelacionada: comprensión y uso del lenguaje algebraico, comprensión y uso de relaciones algebraicas, razonamiento matemático.

Nivel

Descripción

Nivel 7 Sobresaliente

Interpreta y usa convenciones del álgebra para representar generalizaciones y relaciones entre números, variables, funciones u otros objetos matemáticos estableciendo nuevas representaciones algebraicas de un nivel de abstracción mayor. Muestra autonomía y flexibilidad en la transformación de expresiones simbólicas escribiendo, reconociendo y eligiendo formas equivalentes de distintas representaciones algebraicas. Modela situaciones o fenómenos provenientes de diversos contextos y utiliza argumentos y propiedades matemáticas para demostrar proposiciones.

Nivel 6

Reconoce el tipo de situaciones que modelan las funciones cuadrática y potencia, las caracteriza y representa a través de tablas, gráficos y algebraicamente. Distingue funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Representa e interpreta de diversas formas las soluciones de inecuaciones y sistemas de inecuaciones. Resuelve ecuaciones de segundo grado e inecuaciones de primer grado identificando el conjunto al cual pertenecen sus soluciones. Resuelve problemas que pueden ser modelados por medio de las funciones potencia y cuadrática. Elabora estrategias de resolución, las desarrolla y justifica usando lenguaje algebraico.

Nivel 5

Reconoce el tipo de situaciones que modelan las funciones lineal, afín, exponencial, logarítmica y raíz cuadrada, y las representa a través de tablas, gráficos y algebraicamente. Transforma expresiones algebraicas de forma entera y fraccionaria haciendo uso de convenciones del álgebra. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales en forma algebraica y gráfica. Resuelve problemas que involucran composición de funciones, modelos lineales y afines o sistemas de ecuaciones lineales. Justifica la pertinencia del modelo aplicado y de las soluciones obtenidas.

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Mapa de Progreso de Geometría Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Geometría se desarrollan considerando cuatro dimensiones que se interrelacionan: comprensión de la forma, medición, descripción de posición y movimiento, razonamiento matemático.

Nivel

Descripción

Nivel 7 Sobresaliente

Resuelve problemas geométricos estableciendo relaciones entre conceptos, técnicas y procedimientos de distintas áreas de la matemática. Selecciona entre varios procedimientos para resolver problemas en diferentes contextos geométricos, acorde a las características del problema. Conjetura sobre la base de exploraciones realizadas con herramientas tecnológicas y verifica proposiciones geométricas mediante axiomas y demostraciones directas e indirectas.

Nivel 6

Relaciona la representación gráfica de rectas en el plano cartesiano y los sistemas de ecuaciones a que dan origen. Caracteriza puntos, rectas y planos en el espacio, describe cuerpos generados por traslaciones y rotaciones de figuras planas. Determina el módulo de un vector en dos o tres dimensiones y el área y volumen de cuerpos generados por traslaciones y rotaciones. Describe la homotecia de figuras planas mediante el producto de un vector y un escalar. Formula conjeturas en relación a la forma de los cuerpos generados a partir de rotaciones y traslaciones de figuras planas en el espacio. Resuelve problemas que implican el uso de sistemas de ecuaciones lineales, utilizando métodos analíticos y gráficos.

Nivel 5

Caracteriza ángulos entre elementos lineales asociados a la circunferencia, comprende los conceptos de congruencia y semejanza, conoce los teoremas respectivos y los aplica como criterios para determinar congruencia y semejanza de figuras planas. Calcula la medida de ángulos en la circunferencia y de segmentos de figuras planas. Comprende el concepto de transformación en el plano cartesiano, y utiliza la representación vectorial para describir traslaciones y homotecias de figuras geométricas en el plano. Formula y verifica conjeturas en relación a los efectos de la aplicación de una transformación a una figura en el plano cartesiano. Demuestra teoremas relativos a relaciones entre trazos en triángulos y en la circunferencia y a trazos y ángulos en ella, y los aplica en la resolución de problemas.

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Mapa de Progreso de Datos y Azar Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Datos y Azar se desarrollan considerando cuatro dimensiones que se interrelacionan: procesamiento de datos, interpretación de información, comprensión del azar, razonamiento matemático.

Nivel

Descripción

Nivel 7 Sobresaliente

Usa modelos probabilísticos para resolver problemas en contextos de incerteza, relacionando con profundidad y autonomía elementos de estadística y probabilidad. Utiliza con propiedad recursos digitales para realizar análisis de datos, graficar, obtener descriptores de las muestras y hacer inferencias. Evalúa información estadística haciendo uso de criterios aplicados a los procedimientos utilizados y la representatividad de la muestra. Realiza inferencias sobre los parámetros de una población en estudio, a partir del análisis de los estadísticos de una muestra tomada. Comprende las propiedades de probabilidad y las aplica en la resolución de problemas en una amplia gama de situaciones.

Nivel 6

Produce información aplicando la distribución normal y la binomial. Analiza críticamente información estadística, argumentando acerca de la representatividad de las muestras, su tamaño y los niveles de confianza reportados. Estima parámetros poblacionales, utilizando intervalos de confianza. Comprende que al seleccionar muestras de una población la distribución de sus valores medios es aproximadamente normal, con una media igual a la media poblacional, y que esa aproximación mejora a medida que aumenta el tamaño de las muestras. Verifica, haciendo uso de recursos digitales, la proximidad entre la distribución teórica de una variable aleatoria y la correspondiente gráfica de frecuencias en experimentos aleatorios discretos. Realiza inferencias a partir de una muestra aleatoria, considerando el error asociado al tamaño de ella. Resuelve problemas aplicando el cálculo de probabilidad condicional.

Nivel 5

Organiza información a través de histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de frecuencia acumulada. Extrae e interpreta información haciendo uso de medidas de dispersión y de posición. Compara dos o más conjuntos de datos usando medidas de dispersión y posición. Comprende que al tomar mayor cantidad de muestras de igual tamaño, desde una población finita, el promedio de las medias aritméticas muestrales se aproxima a la media de la población. Asigna probabilidades mediante el modelo de Laplace o bien las frecuencias relativas, dependiendo de las condiciones del experimento. Resuelve problemas acerca del cálculo de probabilidades, usando diagramas de árbol, técnicas combinatorias y aplicando propiedades de la suma y producto de las probabilidades.

Extraído de: Mapas de Progreso del Aprendizaje. Ministerio de Educación. Marzo de 2009. www.mineduc.cl/biblio.

Para tener mayor información y ejemplos de tareas por nivel le sugerimos que ingrese a www.curriculum-mineduc.cl/curriculum/mapas-de-progreso/matematica/

Fundamentación teórica

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Integración de las TIC Otro aspecto considerado en nuestra propuesta se refiere a las Tecnologías de Información y Comunicación (TIC). Respecto de ellas, el ajuste curricular postula fortalecer su presencia a través de la incorporación de las habilidades de uso de estas tecnologías como un quinto eje transversal. En ese sentido, el documento Aprendizajes K-12, funciona como un Mapa de Progreso de las TIC y es considerado al momento de formular las actividades, ya que, por un lado, nos muestra lo que los alumnos y alumnas debieran ser capaces de hacer utilizando estos medios y, por otro lado, lo que se espera que logren desarrollar en un nivel determinado. Considerando los avances tecnológicos, el fácil acceso a Internet y los diferentes grados de confiabilidad que presentan los distintos sitios, es necesario guiar a nuestros estudiantes en el uso de estas tecnologías. A continuación, se presentan algunos criterios que le permitirán evaluar sitios web. Información sobre el sitio web: para evaluar si la información que se localiza en Internet es confiable, se pueden plantear tres preguntas cuando se lee una dirección web (URL): • ¿reconoce el Nombre de Dominio?, ¿cuál es su extensión? Por ejemplo: .edu : hace referencia a instituciones educativas .gov : corresponde a sitios web de instituciones gubernamentales • ¿La página localizada es personal? Si presentan caracteres como ~, % indican que la información corresponde a la opinión personal del autor. Información sobre el contenido de la página: es pertinente hacerse preguntas como las siguientes para evaluar una página web: • ¿es útil la información para el tema sobre el que me estoy informando o que estoy investigando? • ¿En qué fecha se publicaron los contenidos?, ¿son actuales, están vigentes? • ¿Si la información publicada en la página web proviene de otras fuentes, se citan estas correctamente? Información sobre los autores y editores: para evaluar la validez de la autoría de una página, se pueden utilizar las siguientes preguntas: • ¿en la página aparece el nombre del autor o autores? • ¿Qué información se encuentra en la Web sobre el autor? Adaptado de: artículo elaborado por Eduteka con información proveniente del libro Web Literacy for Educators escrito por el Dr. Alan November.

Para saber más sobre este tema puede visitar http://www.eduteka.org/CompetenciaWeb.php El Mapa de Progreso de las TIC se organiza en cuatro dimensiones: • Tecnológica. Utilización de aplicaciones y generación de productos que resuelvan las necesidades de información y comunicación dentro del entorno social real/ inmediato/ próximo (no virtual).

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• Información. Búsqueda y acceso a información de diversas fuentes virtuales y evalúa su pertinencia y calidad. • Comunicación. Interacción en redes virtuales de comunicación, con aportes creativos propios. • Ética. Uso responsable de la información y comunicación. Cada una de las dimensiones anteriores, presenta distintos niveles y para cada uno de ellos se describen variables e indicadores que señalan lo que los alumnos y alumnas serán capaces de realizar al finalizar ese nivel. Estos niveles, por dimensión, son:

Dimensión Tecnológica Niveles

Nivel 7

Nivel 6 15 – 17 años 3º y 4º Medio

Nivel 5 13 – 14 años 1º y 2º Medio

Variables

Indicadores

Dominio avanzado de las capacidades del PC, desarrollo de tareas de programación y conexión de redes.

• Utiliza programas open source. • Diseña páginas web. • Utiliza el computador sin importar la plataforma que tenga.

Utiliza y combina distintos programas como procesador de texto, planillas de cálculo, plantillas de presentación, y dispositivos periféricos, para desarrollar productos multimediales simples.

• Transporta información con dispositivos auxiliares y trabaja archivos en distintos programas. • Utiliza programas como el Mind manager para organizar información. • Utiliza herramientas de productividad sin importar el tipo de programas.

Utiliza y combina distintos programas como procesador de texto, planillas de cálculo, plantillas de presentación, y dispositivos periféricos, para desarrollar productos multimediales simples.

• Produce hipertextos. • Traspasa/ incorpora video o sonido a presentaciones PowerPoint. • Incorpora movimiento en sus presentaciones. • Graba y edita videos.

Dimensión Información Niveles Nivel 7

Nivel 6 15 – 17 años 3º y 4º Medio

Nivel 5 13 – 14 años 1º y 2º Medio

Variables

Indicadores

Administra aplicaciones para recuperar información en forma automática como el netvives.

• Organiza sus fuentes de información en alimentadores automáticos (bloglines, netvives). • Revisa periódicamente sus alimentadores.

Utiliza bases de datos para requerimientos específicos de información en buscadores especializados.

• Localiza y recupera información de fuentes mundiales como UN u otro organismo transnacional. • Busca datos directamente en fuentes primarias de información.

Recupera, guarda y organiza información en distintos formatos, obtenida de Internet en forma autónoma utilizando buscadores, metabuscadores y búsqueda avanzada.

• Utiliza operadores booleanos para buscar información. • Evalúa con diversos criterios la calidad de una página web. • Sabe utilizar un tesauro. • Realiza búsquedas en metabuscadores.

Fundamentación teórica

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Dimensión Comunicación Niveles

Variables

Indicadores

Organiza y anima comunidades virtuales.

• Genera debate a partir de temas contingentes de interés público. • Cuestiona la información oficial dando información alternativa.

Participa en comunidades virtuales desarrollando intereses particulares.

• Participa activamente en redes de interés, conoce diariamente lo que sucede en ella.

Nivel 7

Nivel 6 15 – 17 años 3º y 4º Medio Nivel 5 13 – 14 años 1º y 2º Medio

Publica información propia en plataformas virtuales, como blogs y retroalimenta a otros.

• Mantiene actualizado su sitio (blog, fotolog o página web). • Inicia debates virtuales.

Dimensión Ética Niveles

Variables

Indicadores

Nivel 7

Esta comprometido con difundir el uso responsable de las TIC. Expande su participación ciudadana y la de otros a través de la red.

• Modela buenas prácticas en su entorno. • Convoca a conocer las ventajas y oportunidades de la red en su comunidad.

Nivel 6 15 – 17 años 3º y 4º Medio

Respeta las normas éticas en su participación en espacios virtuales. Reconoce y valora la transparencia y democratización de la información de la red y hace extensivos los accesos a su comunidad.

• Guarda adecuadamente información confidencial. • Comparte información con su entorno. • Participa en actividades de difusión de las oportunidades de la red en su comunidad.

Conoce la regulación legal de utilización del espacio virtual y las normas de seguridad de la red, (claves, pirateo, hackeo) y aplica criterios de buenas prácticas.

• Conoce las consecuencias legales de interferir en la comunicación on-line. • Identifica en el contenido de las páginas mensajes discriminatorios o ilegales. • Emplea buenas maneras al usar correo electrónico (Netiquette).

Nivel 5 13 – 14 años 1º y 2º Medio

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Habilidades del pensamiento El trabajo en el aula de matemática orientado al desarrollo de habilidades es de gran importancia en el proceso de enseñanza y aprendizaje, y se basa en la necesidad de formar personas capaces de resolver problemas de la vida cotidiana y del ámbito matemático, de forma autónoma y eficaz. De esta forma, las actividades a desarrollar por los alumnos y alumnas de cuarto año medio, propuestas en el Texto del Estudiante y en la Guía Didáctica del Docente, buscan promover el desarrollo de estas habilidades, mediante estrategias metodológicas que propician su adquisición. Para ello, tanto en las actividades como en los ítems de evaluación diseñados han jugado un papel central las destrezas y habilidades utilizadas en el “Estudio internacional de Tendencias en Matemática y Ciencia 2003” (TIMSS), proyecto de la Asociación Internacional para la Evaluación del Rendimiento Educativo (IEA). Así, las habilidades incluidas en este Texto son las que se espera deberían manifestar los alumnos y alumnas de este curso, aunque el grado de sofisticación de esta manifestación varíe en relación con los cursos superiores o inferiores. A continuación, se presenta la descripción de las habilidades consideradas en esta propuesta, agrupadas en cuatro dominios cognitivos: Conocimiento de hechos y procedimientos, Utilización de conceptos, Resolución de problemas habituales, Razonamiento, los cuales están formados por las descripciones de las destrezas y habilidades. En general, la complejidad cognitiva aumenta desde las primeras habilidades hasta las finales del listado, permitiendo una progresión desde el conocimiento de un hecho, procedimiento o concepto hasta el uso de este conocimiento en la resolución de problemas. No obstante, esta complejidad no debe confundirse con la complejidad de la actividad o del ítem de evaluación, pues esta también depende de la interacción entre el contenido y la habilidad.

Conocimiento de hechos y procedimientos Recordar

Recordar definiciones; vocabulario; unidades; hechos numéricos; propiedades de los números; propiedades de las figuras planas; convenciones matemáticas.

Reconocer/ Identificar

Reconocer o identificar entidades matemáticas que sean equivalentes, es decir, áreas de partes de figuras para representar fracciones, fracciones conocidas, decimales y porcentajes equivalentes; expresiones algebraicas simplificadas; figuras geométricas simples orientadas de modo diferente.

Calcular

Conocer procedimientos algorítmicos para sumar, restar, multiplicar, dividir o una combinación de estas operaciones; conocer procedimientos para aproximar números, estimar medidas, resolver ecuaciones, evaluar expresiones y fórmulas, dividir una cantidad en una razón dada, aumentar o disminuir una cantidad en un porcentaje dado. Simplificar, descomponer en factores, expandir expresiones algebraicas y numéricas; reunir términos semejantes.

Usar herramientas

Usar las matemáticas y los instrumentos de medición; leer escalas: dibujar líneas, ángulos o figuras según unas especificaciones dadas. Dadas las medidas necesarias, usar regla y compás para construir la mediatriz de una línea, la bisectriz de un ángulo, triángulos y cuadriláteros.

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Utilización de conceptos

Saber

Saber que la longitud, el área y el volumen se conservan en determinadas condiciones; tener una apreciación de conceptos tales como inclusión y exclusión, generalidad, igualdad de probabilidades, representación, prueba, cardinalidad y ordinalidad, relaciones matemáticas, valor posicional de las cifras.

Clasificar

Clasificar o agrupar objetos, figuras, números, expresiones e ideas según propiedades comunes; tomar decisiones correctas con relación a la pertenencia a una clase; ordenar números y objetos según sus atributos.

Representar

Representar números mediante modelos; representar información matemática de datos en diagramas, tablas, cuadros, gráficos; generar representaciones equivalentes de una entidad o relación matemática dada.

Formular

Formular problemas o soluciones que puedan ser representados por ecuaciones o expresiones dadas.

Distinguir

Distinguir preguntas que se pueden plantear con información dada, por ejemplo un conjunto de datos, de aquellas que no se pueden plantear así.

Resolución de problemas habituales

Seleccionar

Seleccionar o usar un método o estrategia eficiente para resolver problemas en los que haya un algoritmo o método de solución conocido, es decir, un algoritmo o método que cabría esperar que resultase conocido para los y las estudiantes. Seleccionar algoritmos, fórmulas o unidades apropiadas.

Representar

Generar una representación apropiada, por ejemplo una ecuación o un diagrama, para resolver un problema común.

Interpretar

Interpretar representaciones matemáticas dadas (ecuaciones, diagramas, etc.); seguir y ejecutar un conjunto de instrucciones matemáticas.

Aplicar

Aplicar conocimientos de hechos, procedimientos y conceptos para resolver problemas matemáticos habituales (incluidos problemas de la vida real), es decir, problemas similares a los que probablemente hayan visto los y las estudiantes en clase.

Verificar o comprobar

Verificar o comprobar la corrección de la solución a un problema; evaluar lo razonable que es la solución de un problema.

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Habilidades del pensamiento

Razonamiento Formular hipótesis, conjeturar o predecir

Hacer conjeturas adecuadas al investigar patrones, discutir ideas, proponer modelos, examinar conjuntos de conjeturas o predecir datos; especificar un resultado (número, patrón, cantidad, transformación, etcétera) que resultará de una operación o experimento antes de que se lleve a cabo.

Analizar

Determinar y describir o usar relaciones entre variables u objetos en situaciones matemáticas; analizar datos estadísticos univariantes; descomponer figuras geométricas para simplificar la resolución de un problema; dibujar la red de un sólido dado poco conocido; hacer inferencias válidas a partir de información dada.

Evaluar

Discutir y evaluar críticamente una idea matemática, conjetura, estrategia de resolución de problemas, método, demostración, etcétera.

Generalizar

Extender el dominio al que son aplicables el resultado del pensamiento matemático y la resolución de problemas mediante la reexposición de resultados en términos más generales y más aplicables.

Conectar

Conectar conocimientos nuevos con conocimientos existentes; hacer conexiones entre diferentes elementos de conocimiento y representaciones relacionadas; vincular ideas u objetos matemáticos relacionados.

Sintetizar o integrar

Combinar procedimientos matemáticos (dispares) para establecer resultados; combinar resultados para llegar a un resultado ulterior.

Resolver problemas

Resolver problemas enmarcados en contextos matemáticos o de la vida real de los que es muy poco probable que los estudiantes hayan encontrado ítems similares; aplicar procedimientos matemáticos en contextos poco conocidos.

Justificar

Proporcionar pruebas de la validez de una acción o de la verdad de un enunciado mediante referencia a propiedades o resultados matemáticos; desarrollar argumentos matemáticos para demostrar la verdad o falsedad de enunciados, dada la información relevante.

Fuente: Ina V.S. Mullis, y otros. Marcos teóricos y especificaciones de evaluación de TIMSS 2003. Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Secretaría General de Educación y Formación Profesional. Instituto Nacional de Calidad y Evaluación (INCE), Madrid, 2002.

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Evaluación en Matemática La evaluación es una parte central del proceso curricular, el cual se entiende como un proceso continuo de observación, monitoreo y el establecimiento de juicios profesionales sobre el estado de aprendizaje de los alumnos y alumnas a partir de lo observado. En el proceso de evaluación están involucradas tres acciones: medición, evaluación y calificación. Medir se puede realizar de muchos modos y con diferentes niveles de estructuración. Puede ser un proceso de clasificación, o de generación de categorías a partir de la observación o la comparación de comportamientos observables con categorías o escalas conocidas. Evaluar supone la existencia de estándares o criterios para la población a la que pertenecen los y las estudiantes, respecto de los cuales comparar los resultados de la medición y emitir un juicio acerca de la relación entre lo demostrado por el o la estudiante y el estándar o criterio seleccionado. Calificar es expresar mediante un código (generalmente un número que indica una posición en una escala dada) el resultado de ese juicio. El proceso de evaluación es parte constitutiva del proceso de enseñanza y aprendizaje, ya que es un proceso continuo que consiste en recoger información acerca de cómo se está produciendo el aprendizaje. Debe entregar al educador y al educando antecedentes objetivos acerca de cómo se produce dicho aprendizaje y qué aspectos de este no domina integralmente, y así regular y mejorar los aprendizajes de los y las estudiantes. Con los resultados obtenidos en las evaluaciones, la o el docente crea un plan de acción que permita mejorar estos resultados, a través de actividades remediales o de reforzamiento de los contenidos. Con el fin de monitorear el proceso en su totalidad, se proponen en esta Guía la aplicación de tres instancias de evaluación: diagnóstica, formativa y sumativa. • Evaluación diagnóstica. Se integra al inicio de cada Unidad, para identificar los conocimientos previos con los cuales el o la estudiante se enfrentará a los nuevos aprendizajes, y para detectar falencias que pudieran entorpecer el logro de aprendizajes más complejos, y poder entonces aplicar refuerzos o remediales. En esta Guía podemos encontrar esta instancia de evaluación al comienzo de cada Unidad en la sección ¿CUÁNTO SABES? • Evaluación formativa. Se desarrolla durante la Unidad y dado su carácter procesal, permitirá al o la estudiante retroalimentar su desempeño, y al o la docente realizar a tiempo las modificaciones necesarias para mejorar el logro de los aprendizajes. La evaluación formativa también es considerada dentro de cada Unidad en la sección MI PROGRESO. Con estas instancias se busca monitorear el proceso de aprendizaje de los contenidos que han sido trabajados. • Evaluación sumativa. Se presenta al cierre de la Unidad y entrega información acerca del nivel de logro alcanzado respecto de los aprendizajes esperados, dando la posibilidad de reforzar los aprendizajes identificados como más débiles. Además, al finalizar cada Unidad de esta Guía se presenta una EVALUACIÓN FINAL, que propone actividades que incluyen los contenidos trabajados a lo largo de toda la Unidad y permite conocer el desempeño de sus estudiantes.

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Evaluación en Matemática

Es importante considerar que el proceso de evaluación de los aprendizajes busca determinar el potencial de aprendizaje de los y las estudiantes, la capacidad para resolver problemas, la capacidad para comunicar lo aprendido, conocer el tipo de razonamiento empleado, identificar los conceptos que maneja, los procedimientos que aplica y la actitud presentada frente al problema por resolver, además, permite conocer el estado del pensamiento matemático de los y las estudiantes. Para establecer desde dónde y cómo se ve el conocimiento matemático escolar, se parte desde una concepción en la cual se reconocen dos aspectos, el conceptual y el procedimental. El conocimiento conceptual se refiere a una serie de informaciones conectadas entre sí mediante múltiples relaciones, que constituyen lo que se denomina estructura conceptual, donde los conceptos se unen o se relacionan, constituyendo conceptos de orden superior. El conocimiento procedimental se refiere a la forma de actuación o de ejecución de tareas matemáticas que van más allá de la ejecución mecánica de algoritmos. En él se distinguen tres niveles: • Destrezas: en el campo de la matemática escolar se distinguen entre destrezas aritméticas, geométricas, métricas, gráficas y de representación. • Razonamiento matemático: conjunto de enunciaciones y procesos asociados que se llevan a cabo para fundamentar una idea en función de unos datos o premisas y unas reglas de inferencia. • Estrategias: formas de responder a una determinada situación dentro de una estructura conceptual, implica tener una gran dosis de creatividad e imaginación.

Instrumentos de evaluación En el proceso de evaluación es importante considerar distintos instrumentos que permitan evaluar los aprendizajes de sus alumnos y alumnas. A continuación, se presentan algunos instrumentos que puede utilizar para la evaluación del aprendizaje matemático.

Procedimientos evaluativos El procedimiento de evaluación más utilizado son las pruebas, sin embargo no es el único existente, a continuación le presentamos otros procedimientos evaluativos complementarios a las pruebas y su posible uso. Procedimientos evaluativos

Propósitos

Ensayo

Para comprobar la calidad de la expresión escrita, uso de referencias, la habilidad para desarrollar un argumento coherente, la comprensión y transferencia del conocimiento y la evaluación crítica de ideas.

Observación espontánea o estructurada

Para recabar información sobre el ámbito afectivo-valórico, para juzgar desempeños tales como expresión oral, creación plástica, manipulación en laboratorio y, en general, para evaluar la forma en que el alumno actúa mientras desarrolla su aprendizaje. Fundamentación teórica

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Procedimientos evaluativos

Propósitos

Entrevista espontánea o estructurada

Para examinar con el alumno el trabajo realizado, para aclarar asuntos que surgen de documentos o revisar la profundidad y amplitud del aprendizaje, para evaluar la aplicación de estrategias a una tarea de aprendizaje.

Desempeño

Para evaluar aplicaciones de la teoría en un contexto estructurado (puede ser en un ambiente simulado, en el taller, el laboratorio). Para verificar capacidades o habilidades (ej. de resolución de problemas), aplicación de conocimientos y habilidades.

Presentación

Para verificar la capacidad de presentar información atendiendo a la audiencia y al tema. Para comprobar comprensión del tema.

Informes, críticas, artículos

Para juzgar nivel de conocimientos y para evaluar habilidades de análisis y de expresión escrita sobre asuntos varios, por ejemplo de actualidad.

Trabajo realizado o proyecto de trabajo

Para comprobar la calidad del trabajo, su relevancia en función del propósito, la originalidad de la producción. (A menudo se combina con la entrevista o con la prueba oral).

Carpeta

Para validar el aprendizaje del alumno a través de un conjunto de materiales que reflejen sus progresos. Incluye su trabajo, sus reflexiones sobre su propia práctica y evidencias de otras personas calificadas para hacer comentarios. Extraído de: La evaluación en el nuevo currículo: equívocos y equilibrios. Documento de Trabajo: Unidad de Currículum y Evaluación. Ministerio de Educación. Agosto, 2002. www.rmm.cl/biblio/doc/200403101109420.uce.doc

Es importante mencionar que todo procedimiento o instrumento de evaluación será valido si es coherente con los tipos de aprendizajes que busca evaluar, los conocimientos y habilidades que involucran los OF/CMO y los aprendizajes esperados que el o la docente haya seleccionado. En el proceso de evaluación es importante considerar instrumentos que permitan evaluar el desempeño de los alumnos y alumnas, y que a la vez no solo se enfoquen en que el resultado sea el correcto, sino también en el proceso que se utiliza. Una rúbrica facilita la calificación del desempeño del o la estudiante en las materias que son complejas, imprecisas y subjetivas. La rúbrica corresponde a un listado de criterios específicos, graduados en diferentes niveles de calidad, que permiten valorar el aprendizaje, los conocimientos y/o las competencias, logrados por el o la estudiante en un trabajo o materia particular.

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Evaluación en Matemática Si partimos de la premisa de que la evaluación tiene como propósito fundamental proporcionar información sobre los distintos momentos del aprendizaje del o la estudiante, esta herramienta ofrece ventajas claras como: • Promueve expectativas sanas de aprendizaje pues clarifica cuáles son los objetivos del docente y de qué manera pueden alcanzarlos los alumnos y las alumnas. • Permite al y la docente describir cualitativamente los distintos niveles de logro que los y las estudiantes deben alcanzar. • Provee al y la docente información de retorno sobre la efectividad del proceso de enseñanza que está utilizando. • Reduce la subjetividad en la evaluación. • Ayuda a mantener el o los logros del objetivo de aprendizaje centrado en los estándares de desempeño establecidos y en el trabajo del o la estudiante. • Proporciona criterios específicos para medir y documentar el progreso del o la estudiante. • Es fácil de utilizar y de explicar. A continuación, se presentan algunas rúbricas con criterios específicos y fundamentales que permiten averiguar cómo está aprendiendo el o la estudiante.

Rúbricas para mapas conceptuales Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Conceptos y terminología

Muestra un entendimiento del concepto o principio matemático y una notación y una terminología adecuada.

Comete algunos errores en la terminología empleada y muestra algunos vacíos en el entendimiento del concepto o principio.

Comete muchos errores en la terminología y muestra vacíos conceptuales profundos.

No muestra ningún conocimiento en torno al concepto tratado.

Coloca la mayoría de los conceptos en una jerarquía adecuada estableciendo relaciones apropiadas la mayoría de las veces, dando como resultado un mapa fácil de interpretar.

Coloca solo unos pocos conceptos en una jerarquía apropiada y usa solo unas pocas relaciones entre los conceptos, dando como resultado un mapa difícil de interpretar.

Produce un resultado final que no es un mapa conceptual.

Conocimiento de las relaciones entre conceptos

Construye un mapa conceptual apropiado y completo, incluyendo ejemplos, colocando los conceptos en jerarquías y conexiones adecuadas y colocando relaciones en todas las conexiones, dando como resultado final un mapa que es fácil de interpretar.

Habilidad para comunicar conceptos a través del mapa conceptual

Identifica todos los conceptos importantes y demuestra un conocimiento de las relaciones entre estos.

Identifica importantes conceptos pero realiza algunas conexiones erradas.

Realiza muchas conexiones erradas.

Falla al establecer cualquier concepto o conexión apropiada.

Por lograr

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Rúbricas para trabajos escritos Logrado

Medianamente logrado

Ideas y contenido

El escrito es claro, enfocado e interesante. Mantiene la atención del lector. El tema o historia central se enriquece con anécdotas y detalles relevantes.

El escrito es claro y enfocado; sin embargo, el resultado general puede no captar la atención. Hay un intento por sustentarlo, pero puede ser limitado, irreal, muy general o poco equilibrado.

El escrito carece de una idea o propósito central. El lector se ve forzado a hacer inferencias basándose en detalles muy incompletos.

Organización

La organización resalta y focaliza la idea o tema central. El orden, la estructura o la presentación compromete y mueve al lector a lo largo del texto.

El lector puede inferir lo que va a suceder en la historia, pero en general, la organización puede ser en algunos casos inefectiva o muy obvia.

La organización es casual y desarticulada. La escritura carece de dirección, con ideas, detalles o eventos que se encadenan unos con otros atropelladamente.

El escritor habla directamente al lector en forma directa, expresiva y que lo compromete con el relato. El escritor se involucra abiertamente con el texto y lo escribe para ser leído.

El escritor parece sincero, pero no está completamente involucrado en el tema. El resultado es ameno, aceptable y a veces directo, pero no se compromete.

El escritor parece completamente indiferente, no involucrado o desapasionado. Como resultado, la escritura es plana, sin vida, rígida o mecánica. Y dependiendo del tema, resulta abiertamente técnica o incoherente.

Las palabras transmiten el mensaje propuesto en forma interesante, natural y precisa. La escritura es completa y rica, pero concisa.

El lenguaje es totalmente corriente, pero transmite el mensaje. Es funcional, aunque carece de efectividad. Frecuentemente, el escritor decide por comodidad o facilidad de manejo, producir una especie de “documento genérico”, colmado de frases y palabras familiares.

El escritor hace esfuerzos con un vocabulario limitado, buscando a ciegas las palabras que transmitan el significado. Frecuentemente, el lenguaje es tan vago y abstracto o tan redundante y carente de detalles, que solamente el mensaje más amplio y general llega a la audiencia.

La escritura fluye fácilmente y tiene buen ritmo cuando se lee en voz alta. Las oraciones están bien construidas, son muy coherentes y la estructura variada hace que al leerlas sean expresivas y agradables.

Las oraciones tienden a ser más mecánicas que fluidas. El texto se desliza eficientemente durante la mayor parte del escrito, aunque puede carecer de ritmo o gracia, tendiendo a ser más ameno que musical. Ocasionalmente las construcciones inadecuadas hacen lenta la lectura.

El escrito es difícil de seguir o de leer en voz alta. Las oraciones tienden a estar cortadas, incompletas, inconexas, irregulares o muy toscas.

Voz

Elección de palabras

Fluidez en las oraciones

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Por lograr

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Evaluación en Matemática

Logrado

Convenciones

El escritor demuestra una buena comprensión de los estándares y convenciones de la escritura (gramática, puntuación, utilización adecuada del lenguaje, ortografía) y los usa efectivamente para mejorar la facilidad de lectura. Los errores tienden a ser muy pocos y de menor importancia.

Medianamente logrado Hay errores en las convenciones para escribir que si bien no son demasiados, perjudican la facilidad de lectura. Aun cuando los errores no bloquean el significado, tienden a distraer.

Por lograr Hay numerosos y repetidos errores en la utilización adecuada del lenguaje, en la estructura de las oraciones, en la ortografía o la puntuación que distraen al lector y hacen el texto difícil de leer. De hecho, la gravedad y frecuencia de los errores tiende a ser tan notoria que el lector encontrará mucha dificultad para concentrarse en el mensaje y debe releerlo para entender.

Rúbricas para presentaciones orales Logrado

Preparación

Sustentación teórica

Manejo de la discusión

Participación

Medianamente logrado

Por lograr

Buen proceso de preparación, muestra profundidad en el desarrollo del tema.

Cumplida en la presentación de los resúmenes aprovecha el tiempo para aclaraciones.

Presenta el resumen y la actividad planeada sucintamente.

Domina el tema propuesto, logra conectarlo y explicarlo en sus diferentes aspectos. La evaluación logra analizar el tema.

Logra explicar el tema relacionando los diferentes aspectos de éste. La evaluación tiene en cuenta los diversos aspectos presentados.

Conoce el tema superficialmente, logra explicar los puntos planteados. La actividad de evaluación es poco adecuada.

Bien liderada, suscita controversia y participación.

Es organizada, puede contestar los diferentes interrogantes.

La dirige, no resalta los puntos más importantes no llega a conclusiones.

Pertinente. Activa, es fundamental para el buen desarrollo de cada uno de los temas.

Oportuna, aporta buenos elementos, presta atención a las distintas participaciones.

Está presente. Presta poca atención a las distintas participaciones.

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Razonamiento Matemático y Resolución de Problemas En la interacción con el entorno y con los otros, diariamente las personas nos enfrentamos a situaciones problemáticas necesarias de ser resueltas de manera óptima. En la búsqueda de estas soluciones interactúan la experiencia, la creatividad y, por supuesto, las capacidades de cada individuo. Al resolver un problema determinado se aprende también cómo actuar frente a nuevas situaciones o que impliquen un desafío. Consideraremos la resolución de problemas como una modalidad didáctica en la que el y la docente genera situaciones para que los alumnos y alumnas puedan explorar conceptos, aprender acerca de procedimientos, argumentar, analizar y/o generar aplicaciones, investigar y, en general, construir conceptos, aprender procedimientos algoritmos u otros tópicos matemáticos. Esto se traduce en diferentes situaciones didácticas en las que el y la estudiante, interactuando con desafíos especialmente diseñados, en un ambiente cooperativo y estimulante, busca soluciones, explicaciones o distinciones. Algunas de estas situaciones pueden ser: • Explorar una situación problema con el objeto de acercarse a un concepto o generar procedimientos para buscar y reconocer una solución. • Analizar una situación problema insuficientemente definida con el objeto de aprender acerca del enunciado de un problema y/o con el objeto que formule. • Investigar una situación con el objeto de reunir y sistematizar información que involucre el uso de modelos matemáticos. En nuestra propuesta, el trabajo de Razonamiento Matemático y Resolución de Problemas es transversal al desarrollo de todos los contenidos y considera cinco componentes interconectados: conceptos, habilidades, procesos, actitudes y metacognición. • Conceptos: se refiere al conocimiento matemático básico, necesario para resolver problemas matemáticos. • Habilidades: se refiere a las aptitudes que se espera que los y las estudiantes sean capaces de desarrollar en cada contenido. • Procesos: se refiere al razonamiento y la heurística involucrados en la resolución de problemas matemáticos. • Actitudes: se refiere a los aspectos afectivos del aprendizaje de la Matemática. • Metacognición: se refiere a la habilidad de monitorear el proceso de pensamiento propio durante la resolución de problemas. Polya propone un modelo para resolver situaciones problema, en un plan que consiste en cuatro pasos: 1. Comprender un problema: identifica, analiza e interpreta los datos disponibles dentro del contexto del problema. ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?, ¿cuál es la pregunta del problema?, ¿qué datos te entrega el problema?, ¿sabes a qué quieres llegar?, ¿son suficientes los datos que te entregan para resolver el problema?, ¿hay datos que no son necesarios para resolver el problema?

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Razonamiento Matemático y Resolución de Problemas

2. Crear un plan: encuentra las conexiones entre los datos y la incógnita o lo desconocido. ¿Qué puedo hacer con los datos que tengo para responder correctamente la pregunta? 3. Poner en práctica un plan: ejecuta lo planificado. Implementar la o las estrategias escogidas hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción sugiera tomar un nuevo curso. Al desarrollar tu plan verifica cada uno de los pasos. ¿Puedes estar seguro que cada uno está correcto?, ¿puedes demostrar (o argumentar) que está correcto? 4. Examinar lo hecho: examina la solución obtenida. ¿Puedes comprobar la respuesta?, ¿puedes comprobar los argumentos?, ¿puedes obtener el resultado por un camino diferente?, ¿puedes “ver” la respuesta de una sola mirada?, ¿puedes usar el resultado o el procedimiento para resolver otro problema? Considerando las etapas de la propuesta de Polya, se han diseñado actividades a través de las cuales los y las estudiantes pueden identificar cada uno de los pasos descritos. Para evaluar la resolución de problemas se propone la siguiente tabla que especifica los indicadores de logro de acuerdo a cada etapa de la resolución de problemas. No comprende

Comprensión del problema o de la situación

Comprensión de conceptos

En proceso, logro parcial

Logro, aplicación

• No intenta entender el problema. • Entiende mal el problema. • Como rutina pide explicaciones.

• Copia el problema. • Identifica palabras clave. • Puede que mal interprete parte del problema. • Puede que tenga alguna idea acerca del problema.

• Puede expresar en sus propias palabras o interpretar coherentemente el problema. • Comprende las condiciones principales. • Elimina la información innecesaria. • Tiene una idea acerca de la respuesta.

• No modela los conceptos rutinarios correctamente. • No puede explicar el concepto. • No intenta resolver el problema. • No hace conexiones.

• Demuestra un entendimiento parcial o satisfactorio. • Puede encontrar y explicar usando una variedad de modos. • Está listo para hacer conexiones acerca de cómo y por qué. • Relaciona el concepto con conocimiento y experiencias anteriores. • Puede crear problemas relacionados. • Realiza las tareas cada vez con menos errores.

• Aplica correctamente reglas o algoritmos cuando usa símbolos. • Conecta cómo y por qué. • Aplica el concepto a problemas o situaciones nuevas. • Hace y explica conexiones. • Realiza lo pedido y va más allá.

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No comprende • Hace comparaciones directas entre objetos. • No puede ordenar objetos de acuerdo a su medida. • No distingue diferencias entre distintas unidades de medida.

Medición (longitud, masa, capacidad)

Verificación de resultados y/o progresos

Recolección y organización de datos

Interpretación y síntesis de resultados

En proceso, logro parcial • Copia el problema. • Identifica palabras clave. • Puede que mal interprete parte del problema. • Puede que tenga alguna idea acerca del problema.

Logro, aplicación • Puede expresar en sus propias palabras o interpretar coherentemente el problema. • Comprende las condiciones principales. • Elimina la información innecesaria. • Tiene una idea acerca de la respuesta.

• Hace conjeturas • Refina conjeturas o • Refina conjeturas o poco realistas. estimaciones mediante parestimaciones mediante par• No usa estrategias para ticiones, comparaciones. ticiones, comparaciones. refinar la estimación. • Demuestra poseer • Puede modelar, explicar y • No puede modelar o explicar estrategias, otras le faltan. aplicar una estrategia la estrategia especificada. • No puede modelar o explicar cuando le preguntan. • No puede aplicar estratela estrategia cuando • Demuestra poseer gias unidas a explicaciones. le preguntan. estrategias. • Usa estimación cuando es apropiado. • No revisa cálculos • Revisa cálculos ni procedimientos. y procedimientos. • No reconoce si su respuesta • Puede investigar razones es o no razonable. si existen dudas. • No hace planteamientos. • No puede proceder sin instrucciones ni asistencia. • Comete graves errores al recolectar o mostrar datos.

• Chequea racionalidad de los resultados. • Reconoce sin razones.

• Puede recolectar y desple- • Puede recolectar y desplegar datos, dada una forma gar en forma organizada. de registrarlos. • Clasifica en forma exacta • Tiene errores menores al rey apropiada. colectar y desplegar datos. • Puede corregir errores en momentos críticos.

• No hace planteamientos • Resume y describe datos • Expresa conclusiones e para resumir y apropiadamente. interpretaciones válidas. describir datos. • Puede generar una respuesta • Hace generalizaciones. • Puede responder preguntas a una pregunta relacionada • Comunica resultados en con los datos. simples relacionadas con forma clara y lógica. • Puede comunicar resultalos datos, si es requerido. dos en forma rudimentaria. • No puede comunicar resultados en forma rudimentaria.

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Razonamiento Matemático y Resolución de Problemas No comprende

En proceso, logro parcial

Logro, aplicación

Aplicación de conceptos, procedimientos y estrategias

• No lo intenta. • Se apoya en otros para seleccionar y aplicar estrategias. • Su trabajo no es comprensible. • No puede explicar su trabajo o estrategia adecuadamente. • Selecciona estrategias inadecuadas. • Su implementación no es lógica ni ordenada.

• Usa estrategia si se lo piden. • Reconoce estrategias. • Puede explicar estrategias. • Usa un limitado número de estrategias. • Puede seleccionar una estrategia, pero puede necesitar ayuda en su implementación. • Puede presentar su trabajo en una forma aceptable.

• Genera nuevos procedimientos. • Extiende o modifica la estrategia. • Conoce o usa diversas estrategias. • Usa estrategias en forma flexible. • Reconoce cuando una estrategia es aplicable. • Presenta su trabajo en forma lógica y coherente.

Disposición (valores, actitudes)

• Demuestra ansiedad o disgusto. • Se retira o es pasivo durante la clase. • Cede fácilmente y se frustra en la clase. • Necesita un apoyo frecuente, atención y retroalimentación.

• Se aplica a la tarea. • Participa activamente en las actividades de aprendizaje. • Está dispuesto a intentar nuevos métodos. • Responde si le preguntan, pero puede que no tome la iniciativa.

• Demuestra confianza en su trabajo. • Es persistente cuando intenta varios enfoques. • No se da por vencido. • Es curioso, muestra flexibilidad. • Hace muchas preguntas.

• No intenta hacer conexiones. • No puede extender ideas en nuevas aplicaciones. • Hace el mínimo esperado.

• Puede reconocer problemas o aplicaciones similares. • Hace conexiones.

• Propone y explora conexiones. • Puede crear problemas paralelos variando las condiciones del problema original. • Puede aplicar ideas en nuevas aplicaciones.

Generalización y conexiones

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm Fuentes consultadas: • Chamorro, C. El aprendizaje significativo en el área de matemáticas. Alambra Longmam. Madrid, 1991. • Stemberg, R.; Spears-Swerling, L. “La comprensión de los principios básicos y de las dificultades de enseñar a pensar”, en: Teaching for thinking, trad. De R. Llavori. Enseñar a pensar, Santillana, Madrid. 1996. • www.educarchile.cl/planificaccion/1610/propertyvalue-42121.html

Fundamentación teórica

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UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

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Función potencia y logarítmica Propósito de la Unidad La Unidad 1 nos permitirá revisar y utilizar el concepto de función trabajado en niveles anteriores y, por otro lado, entender que este concepto es clave para el estudio actual de la Matemática. En esta Unidad se formalizarán dos tipos de funciones: la función potencia y función logarítmica. Cada una de ellas será estudiada con su respectivo proceso de construcción, por medio de su representación gráfica, el tipo de crecimiento que modelan y el análisis de sus parámetros en los casos pertinentes. Ambas funciones representan modelos matemáticos particulares que dan respuesta a situaciones del mundo real. Una de las ideas fundamentales en esta Unidad es favorecer la modelación de situaciones cercanas y/o conocidas por los alumnos y alumnas, tales como el cálculo de la concentración de pH en alguna sustancia, la escala de intensidad del sonido y la escala de Richter de la magnitud de un sismo, entre otras.

Esquema de la Unidad Función potencia y logarítmica

Funciones

Función potencia

Función logarítmica

Logaritmos Concepto

Función inversa Ecuaciones logarítmicas

Propiedades Base

Aplicaciones Concepto

Análisis

Gráficos Traslaciones

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Logaritmo natural

Ecuación de primer grado. Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Planteo y resolución de problemas que involucren ecuaciones de primer grado con una incógnita. Análisis de los datos, las soluciones y su pertinencia.

Uso de algún programa computacional de manipulación algebraica y gráfica.

Función valor absoluto; gráfico de esta función. Interpretación del valor absoluto como expresión de distancia en la recta real.

Ecuación de la recta. Interpretación de la pendiente y del intercepto con el eje de las ordenadas. Condición de paralelismo y de perpendicularidad.

Uso de algún programa computacional de manipulación algebraica y gráfica.

Función cuadrática. Gráfico de las siguientes funciones: y = x2 y = x 2 ± a, a > 0 y = (x ± a)2, a > 0 y = ax 2 + bx + c Discusión de los casos de intersección de la parábola con el eje X. Resolución de ecuaciones de segundo grado por completación de cuadrados y su aplicación en la resolución de problemas.

Sistemas de inecuaciones lineales sencillas con una incógnita. Intervalos en los números reales. Planteo y resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita. Análisis de la existencia y pertinencia de las soluciones. Relación entre las ecuaciones y las inecuaciones lineales.

Raíces cuadradas y cúbicas. Raíz de un producto y de un cuociente. Estimación y comparación de fracciones que tengan raíces en el denominador.

3º Medio

Uso de algún programa computacional de manipulación algebraica y gráfica.

Funciones logarítmica y exponencial, sus gráficos correspondientes. Modelación de fenómenos naturales y/o sociales a través de esas funciones. Análisis de las expresiones algebraicas y gráficas de las funciones logarítmica y exponencial. Historia de los logaritmos; de las tablas a las calculadoras.

Función potencia: y = a x n, a > 0, para n = 2, 3 y 4, y su gráfico correspondiente. Análisis del gráfico de la función potencia y su comportamiento para distintos valores de a.

4º Medio

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Representación, análisis y resolución de problemas contextualizados en situaciones como la asignación de precios por tramos de consumo, por ejemplo, de agua, luz, gas, etc. Variables dependientes e independientes. Función parte entera. Gráfico de la función.

Potencias con exponente entero. Multiplicación y división de potencias. Uso de paréntesis.

2º Medio

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Generalización de la operatoria aritmética a través del uso de símbolos. Convención de uso de los paréntesis.

Sentido, notación y uso de las letras en el lenguaje algebraico. Expresiones algebraicas no fraccionarias y su operatoria. Múltiplos, factores, divisibilidad. Transformación de expresiones algebraicas por eliminación de paréntesis, por reducción de términos semejantes y por factorización. Cálculo de productos, factorizaciones y productos notables.

1º Medio

Relación entre los CMO de la Unidad y los de años anteriores

UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1 Página 33

Unidad 1

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34 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

•

• Conocer y utilizar procediLogaritmos. mientos de cálculo de logaritmos. Propiedades de los • Caracterizar las funciones logaritmos. logarítmicas: dominio, recorrido, crecimiento Propiedades de las operay decrecimiento. ciones de los logaritmos. • Analizar el comportamiento gráfico y analítico Demostraciones de la función logarítmica. aplicando logaritmos. • Analizar las gráficas de la función logarítmica según Función logarítmica. las variaciones de sus coeficientes. Ecuaciones logarítmicas. • Utilizar la función logarítmica para modelar Aplicaciones. situaciones o fenómenos naturales o sociales y resolver problemas.

• Caracterizar las funciones: dominio, recorrido, crecimiento y decrecimiento. • Obtener la función inversa de una función dada. • Analizar el comportamiento gráfico y analítico de la función potencia. • Analizar las gráficas de la función potencia según las variaciones de sus coeficientes.

Aprendizajes esperados

En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 47, 48, 49, 50, 53, 60 y 65. De profundización: páginas 47, 48, 49, 50, 53, 60 y 65.

En el Texto De exploración: 28, 32, 34, 36, 40, 46 y 50. De construcción de conceptos: 31, 33, 35, 37, 43, 48, 49, 50 y 51. De consolidación: 38 y 39, 52 y 53.

En el Texto De exploración: 16, 18, 20 y 24 De construcción de conceptos: 17, 19, 22 y 25 De consolidación: 26 y 27 En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 40, 41, 42, 43, 46 y 65. De profundización: páginas 40, 41, 42, 43, 46 y 65.

Actividades asociadas Tipos de evaluación

• Conocen y utilizan procedimientos de cálculo de logaritmos. • Determinan el dominio y recorrido de una función logarítmica. • Determinan los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función logarítmica. • Analizan el comportamiento gráfico y analítico de la función logarítmica. • Analizan las gráficas de la función logarítmica según las variaciones de sus coeficientes.

Sumativa: Páginas 59, 60 y 61 del Texto del Estudiante. Páginas 68 y 69 de la Guía Didáctica del Docente.

Formativa: Páginas 27, 39 y 53 del Texto del Estudiante.

• Determinan el dominio y recorrido de una función. • Determinan los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. • Obtienen la función inversa de una función dada. • Analizan el comportamiento gráfico y analítico de la función potencia. • Analizan las gráficas de la función potencia según Diagnóstica: las variaciones de Páginas 14 y 15 del Texto sus coeficientes. del Estudiante.

Indicadores de evaluación

Calculadora científica. Computador con programa para graficar funciones.

Recursos didácticos

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• Traslaciones verticales y horizontales.

• Función potencia.

• Función inversa.

• Funciones.

Contenidos de la Unidad

Tiempo estimado: 6 a 7 semanas

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Función potencia: y = axn, a > 0, para n = 2, 3 y 4, y su gráfico correspondiente. Análisis del gráfico de la función potencia y su comportamiento para distintos valores de a.

CMO

Propuesta de planificación de la Unidad

UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1 Página 34

• Función logarítmica.

• Utilizan herramientas tecnológicas para graficar funciones logarítmicas. • Identifican características de las funciones logarítmicas obtenidas en los programas computacionales.

En el Texto De construcción de conceptos: 23, 44 y 45. En la Guía Didáctica De profundización: página 46.

• Analizan el crecimiento y decrecimiento de funciones logarítmicas. • Analizan el comportamiento gráfico y analítico de la función logarítmica.

Indicadores de evaluación • Utilizan la función logarítmica para modelar situaciones o fenómenos naturales o sociales. • Utilizan la función logarítmica para resolver problemas. • Resuelven ecuaciones logarítmicas.

Actividades asociadas

• Resuelven ecuaciones logarítmicas.

Aprendizajes esperados

Tipos de evaluación

Unidad 1

Recursos didácticos

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• Función potencia.

Contenidos de la Unidad

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Uso de programas computacionales de manipulación algebraica y gráfica.

CMO

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Unidad 1

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Referencias teóricas Concepto de función Una función ( f ) es una relación entre dos cantidades variables, que asocia a cada elemento de un conjunto A un único elemento de un conjunto B. Si x es un elemento de A relacionado con un elemento y de B bajo la función f, se escribe y = f ( x ). Como en la expresión y = f ( x ), el valor de y depende del valor de x, se dice que y está “en función de x”, y se denomina a la variable x, variable independiente, y a la variable y, variable dependiente. Gráfica de una función Si a cada pareja de valores x e y relacionados bajo una función f se le asocia el par ordenado (x, y) del plano cartesiano, obtenemos la gráfica de la función f. En el eje de las abscisas (horizontal) se representan los valores de x, y en el eje de las ordenadas (vertical), los valores de y. Dominio de una función Se llama dominio de una función (dom f), al conjunto de todos los elementos para los cuales la función está definida, es decir, valores que la variable independiente ( x ) puede tomar. Recorrido de una función Se llama recorrido de una función (o rango de una función), y se escribe rec f, al conjunto de valores que toma la variable dependiente ( y ), es decir, todos los valores que son imagen de algún valor de la variable independiente. Una forma de obtener el recorrido es despejar, en la expresión algebraica de la función, la variable independiente ( x ) “en función” de la variable dependiente ( y ). Y luego, evaluar para qué valores reales está definida esta expresión. Función inversa La función inversa de f ( x ) se simboliza por f –1( x ). f –1( x ) corresponde a la función inversa de f ( x ) si se cumple que f ( a ) = b ⇔ f –1(b) = a, para cualquier valor a de A, y cualquier valor b de B. En toda función inversa se cumple que: dom f = rec f –1 y rec f = dom f –1. Cálculo de la función inversa Una de las formas de obtener la función inversa de f ( x ) es despejar la variable x de la expresión y = f ( x ). Luego, intercambiar las variables x e y. No siempre la inversa de una función es función. Función potencia Se llama función potencia a aquella función que se representa de la forma f ( x ) = axn, con a un número real y n un número natural mayor o igual que 2. Función logarítmica Se llama función logarítmica a la relación que asocia a cada número real positivo x con su logaritmo en una base dada (b). Esta función se representa por: f ( x ) = logb x, donde b pertenece a IR+ – {1}. El dominio de la función logarítmica está dado por todos los números reales positivos, y su recorrido corresponde a todos los números reales.

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Páginas 12 y 13

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Unidad 1

UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

Páginas de entrada

El estruendo de la tronadura de grandes dimensiones, como las que se utilizan durante el proceso de extracción del cobre, es uno de los sonidos más fuertes (si se consideran solo los sonidos bajo el umbral del dolor). Por este motivo, la imagen inicial es un excelente recurso visual para motivar a sus alumnos y alumnas, y además para activar sus conocimientos y experiencias previas.

Conversemos de... Ítems

Habilidades que desarrollan

1a5

Recordar y conectar.

Aprendizajes esperados de la Unidad En el esquema inicial se explicitan los principales contenidos y su relación con los aprendizajes que se espera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad. Se sugiere que los comente con sus estudiantes y, luego, puede preguntarles qué saben sobre funciones, función potencia y logaritmos. Con las ideas que les vayan diciendo sus estudiantes puede hacer un esquema o mapa semántico en la pizarra, esto le permitirá obtener información acerca de sus conductas de entrada y, a la vez, ellos podrán recordar conceptos trabajados en años anteriores que les servirán para lograr los aprendizajes de la Unidad.

Actividad inicial Se sugiere que comente con los y las estudiantes la imagen presentada en el Texto. Puede guiar la conversación a partir de las preguntas que se muestran en el Texto y complementarla con preguntas como las siguientes: • Si el nivel de intensidad del estruendo de la explosión es de 130 dB, ¿cuál creen que es el nivel de intensidad del sonido de, por ejemplo, un avión, un tren o una sirena de bomberos? • ¿Conocen la expresión log?, ¿qué significa? La ecuación que se asocia al problema no tiene por finalidad que los alumnos y las alumnas la sepan utilizar en esta instancia, ni mucho menos modelar, sino que se pretende que ellos y ellas al final de la Unidad puedan interpretarla y aplicarla. Guíe la conversación para comentar con sus estudiantes sobre los peligros para la salud que genera la exposición constante a altos niveles de ruido, como molestias, dolores de cabeza, irritabilidad, pérdida parcial de la audición, etcétera. En particular, puede hablarles sobre lo dañino que puede ser escuchar música con el volumen con que están habituados, ya sea en conciertos, fiestas o equipos de música portátiles.

Unidad 1

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Páginas 14 y 15

1 2, 3 y 5 4

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Evaluación diagnóstica

¿Cuánto sabes? Ítem

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Habilidades que evalúan Representar. Interpretar y calcular. Interpretar, representar y calcular.

Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta una evaluación diagnóstica con el título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios: Ítem 1: graficar funciones. Ítem 2: determinar los valores que no pertenecen al dominio de la función. Ítem 3: determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de funciones. Ítem 4: resolver un problema relacionado con la función cuadrática. Ítem 5: determinar los intervalos en que las funciones son positivas, cero o negativas.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 1, es posible que los alumnos y alumnas no elijan en forma adecuada los valores para poder graficar las funciones; recuérdeles el uso de una tabla de valores, sugiriendo la utilización de números tanto positivos como negativos y el cero. Además, explíqueles que pueden esbozar las gráficas, basándose en las gráficas de funciones conocidas. Es importante que la intersección de la gráfica con cada eje de coordenadas esté correcta, así como que se aprecie si el dominio o el recorrido es distinto de todo el conjunto de números reales. • Para trabajar el ítem 2, relacionado con el dominio de funciones, recuerde a los alumnos y alumnas aquellos casos particulares en los cuales hay que tener especial cuidado, por ejemplo: • funciones que tienen raíces cuadradas, x + 2 . La cantidad subradical, en este caso la expresión x + 2, no puede ser negativa, pues de ser así el recorrido de la función sería el conjunto de los números complejos, que aún no conocen. Por lo tanto, el dominio de esta función son todos los valores de x, que cumplan la condición x ⱖ –2 (dom f (x ): IR – {x < –2}). • funciones racionales, g ( x ) =

x . En este caso lo relevante es que el x–5

denominador no sea cero, para este efecto el dominio de esta función son todos los números reales excepto el número 5 (dom g ( x ): IR – {5}). • En los ejercicios de los ítems 3 y 5, es posible que los y las estudiantes no recuerden cómo obtener los intervalos solicitados; de ser así, puede recordarles la definición de intervalo, y función creciente, decreciente, positiva y negativa, pero no el procedimiento para su obtención, ya que es esto lo que se quiere evaluar. • En el ítem 4, relacionado con la aplicación de una función cuadrática, la dificultad se podría presentar en la interpretación del enunciado y su correcta representación algebraica, o bien, que desconozcan el procedimiento para determinar los valores pedidos. Puede indicarles que el ingreso corresponde al producto del precio de ventas y la cantidad de unidades vendidas, y relacionar la pregunta “¿Cuándo las ventas comienzan a decaer?” con el intervalo de decrecimiento de la función.

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Ítems

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Completamente logrado

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Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Representa correctamente la gráfica de las funciones, independientemente del método que ha utilizado.

Realiza un gráfico aproximado de las gráficas, pero comete errores en las intersecciones con los ejes, aun cuando el comportamiento que describe sea correcto.

Utilizando una tabla de valores une los puntos encontrados, esbozando correctamente parte de la gráfica, pero no la prolonga al resto del plano cartesiano.

No logra gráficas correctas, ya sea porque solo une puntos con segmentos rectos o porque no comprende lo que se le está pidiendo.

Determina los valores que no pertenecen al dominio de la función en todos los casos.

Determina los valores que no pertenecen al dominio de la función, pero no explicita o se confunde si el dominio es IR.

Determina los valores correctos solo en casos sin restricciones o que incluyen fracciones algebraicas.

No logra determinar los valores, o bien no comprende lo que se le está pidiendo.

Determina correctamente los intervalos pedidos, mediante métodos algebraicos.

Determina correctamente los intervalos pedidos, esbozando la gráfica en cada caso.

Determina algunos de los intervalos pedidos, ya sea algebraica o gráficamente.

No logra determinar los intervalos, o bien no comprende lo que se le está pidiendo.

Resuelve el problema y contesta correctamente todas las preguntas.

Resuelve algebraicamente el problema, pero no interpreta correctamente sus resultados.

Representa correctamente la función pedida, pero no sabe determinar su valor máximo.

No logra representar la función pedida, o bien no comprende lo que se le está pidiendo.

Determina correctamente los intervalos pedidos, mediante métodos algebraicos.

Determina correctamente los intervalos pedidos, esbozando la gráfica en cada caso.

Determina algunos de los intervalos pedidos, ya sea algebraica o gráficamente.

No logra determinar los intervalos, o bien no comprende lo que se le está pidiendo.

Unidad 1

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Unidad 1

UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

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Páginas 16 y 17

09:34

Página 40

Funciones

Analicemos...

Actividad inicial

Habilidades que desarrollan

La actividad inicial propuesta en el Texto del Estudiante tiene por objetivo recordar a los alumnos y alumnas el concepto de función, con una función que permite calcular a cuántos grados Fahrenheit corresponde la temperatura en grados Celsius.

Recordar, calcular, conectar y analizar.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Interpretar y recordar.

Interpretar y calcular.

Interpretar, calcular y representar.

Es importante que sus estudiantes recuerden en esta instancia la definición del dominio y el recorrido de una función y el procedimiento para obtenerlos, aunque en este caso particular corresponda a todo IR.

Indicaciones respecto del contenido Es necesario recordar los siguientes conceptos: Función: correspondencia entre dos variables, donde a cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente. Dominio: conjunto de valores posibles para la variable independiente. Recorrido: conjunto de valores resultantes o imágenes de la función.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Determinar el dominio de las siguientes funciones: 4x x a. f ( x ) = d. f ( x ) = 2 x+4 x +8

b. f ( x ) =

c. f ( x ) =

x −6

3x 2

e. f ( x ) =

(x – 2)2 (x – 2)4

f. f ( x ) =

x −3

x −9 (Habilidades que desarrolla: interpretar, calcular y analizar). De profundización 1. Obtener la función que modela las diagonales de un polígono. a. Indicar cuál es la variable independiente y dependiente. b. Calcular cuántas diagonales tiene un polígono de cinco lados. c. Calcular cuántos lados tiene un polígono que tiene doce diagonales. (Habilidades que desarrolla: analizar, representar y calcular).

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Páginas 18 y 19

09:34

Página 41

Unidad 1

UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

Función inversa

Actividad inicial

Analicemos...

La función inversa se presenta como la función que les permite recorrer el camino inverso de una función dada, en este caso, la función que permite calcular a cuántos grados Celsius corresponde la temperatura en grados Fahrenheit. Muestre a sus estudiantes el procedimiento para obtener algebraicamente la función inversa, pero enfatíceles que también se debe cumplir la condición sobre el dominio y recorrido de las correspondientes funciones, o bien es necesario restringir el dominio para la función inversa. Un buen ejemplo de esto es el caso de la función cuadrática y la función raíz cuadrada.

Habilidades que desarrollan Recordar, conectar y analizar.

Actividades Ítems 1

2y3

Habilidades que desarrollan Interpretar y recordar. Interpretar, calcular y representar.

Cuando se representan en un mismo eje de coordenadas, la gráfica de la función y su correspondiente función inversa son simétricas en torno a la recta y = x. Esto lo puede explicar a sus estudiantes de la siguiente manera: sea un punto de coordenadas (a, b), el punto simétrico respecto de la recta y = x tiene coordenadas (b, a) (muéstrelo con un ejemplo en la pizarra). Pero si (a, b) pertenece a una función, por definición (b, a) pertenece a su función inversa; luego las gráficas de la función y su función inversa se reflejan en relación con la recta y = x tal como si fuera un espejo, por lo que se dice que ambas son simétricas respecto de la recta y = x.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Determinar cuál de las siguientes funciones tiene inversa. Para aquellas funciones que la tengan, indicar su dominio y recorrido. En caso contrario, justificar por qué no tienen inversa. a. f ( x ) = 5x – 12

d. m ( x ) = x 3 – 1

b. g ( x ) = –x 2 + 4

e. f ( x ) = 4 −

c. h (x ) =

x–2 , con x ⫽ –7 x +7

x −7

f. g ( x ) = | x | – 8

(Habilidades que desarrolla: interpretar, analizar y calcular). De profundización 1. Determinar cuál de las siguientes funciones tiene inversa. Para aquellas funciones que la tengan, indicar su dominio y recorrido. En caso contrario, justificar por qué no tienen inversa. a. f ( x ) = 4 – x 2

b. g ( x ) = 9 +

x − 25

(Habilidades que desarrolla: interpretar, analizar y calcular). Unidad 1

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UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

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Páginas 20 a 23

09:34

Página 42

Función potencia

Analicemos...

Actividad inicial

Habilidades que desarrollan

En estas páginas, a través de la representación gráfica, se observa el comportamiento de la función potencia, realizando un análisis comparativo de sus gráficas, por una parte, para los casos en que el exponente de la potencia es par o impar y por otra, para los casos en que el coeficiente a es positivo o negativo.

Recordar, interpretar, conectar y analizar.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

1y2

Representar y analizar.

Indicaciones respecto del contenido Es importante que sus estudiantes relacionen la forma general de la gráfica solo a partir de el signo de a y de si n es par o impar. También es recomendable que observen que a medida que el grado de la función potencia es mayor, también aumenta el crecimiento o decrecimiento de la función, lo que se aprecia en la curvatura de la gráfica en cada caso. Las actividades introducen la siguiente sección ”Traslaciones verticales y horizontales”, procure que sus estudiantes sean rigurosos al trazar las gráficas, para que puedan apreciar efectivamente las dilataciones y traslaciones que se observan en las gráficas de las funciones, en cada caso.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Dibuja en un mismo gráfico las funciones f ( x ) = x 4 y g ( x ) = x 4 – 3. Luego, responde: a. ¿Qué semejanzas hay entre las gráficas de f ( x ) y g ( x ), ¿cuáles son sus diferencias? b. A partir de lo anterior, ¿cómo estimas que es la gráfica de k ( x ) = x 4 + 2? Explica. (Habilidades que desarrolla: representar y analizar). De profundización 1. Dibuja en un mismo gráfico las funciones f ( x ) = x 3 y g ( x ) = (x – 2)3. Luego, responde: a. ¿Qué semejanzas hay entre las gráficas de f ( x ) y g ( x ), ¿cuáles son sus diferencias? b. A partir de lo anterior, ¿cómo estimas que es la gráfica de k ( x ) = (x + 1)3? (Habilidades que desarrolla: representar y analizar).

42 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

5/11/10

Páginas 24 y 25

09:34

Página 43

Unidad 1

UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

Traslaciones verticales y horizontales

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• El objetivo de esta página es que los alumnos y alumnas logren expresar la relación entre los desplazamientos de una gráfica y el parámetro de la función. • Si el exponente de una función potencia es par, entonces la función y = x n + b con b ⫽ 0, tiene su recorrido en el intervalo [b, + ⬁[.

Habilidades que desarrollan

Actividades complementarias

Recordar, interpretar y analizar.

Actividades

De refuerzo 1. Grafica las siguientes funciones. Indica su dominio y recorrido.

Ítems

Habilidades que desarrollan

a. f ( x ) = (x – 4)2 + 2 b. g ( x ) = (x + 1)3 – 3 c. h ( x ) = (x + 2)4 + 5

Representar.

Representar y analizar.

(Habilidades que desarrolla: representar, interpretar y calcular).

Recordar, interpretar y analizar.

Interpretar, representar y verificar o comprobar.

De profundización 1. Grafica las siguientes funciones. Indica su dominio y recorrido. a. f ( x ) = 2x 3 + x +1 b. g ( x ) = x 5 + x 2 + 3 c. h ( x ) = 5x 3 + 2x 2 + 2x + 10 (Habilidades que desarrolla: representar, interpretar y calcular).

Página 26

Organizando lo aprendido

En esta sección del Texto se presenta un mapa conceptual que vincula los contenidos trabajados hasta esta parte de la Unidad, con el propósito de que los y las estudiantes puedan organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados. Este recurso puede ser utilizado como parte del estudio, ya que permite consolidar, organizar y clarificar sus aprendizajes y, además, conocer el nivel de aprendizaje alcanzado.

Actividad

Habilidades que desarrolla

Mapa conceptual

Recordar y conectar.

Actividades complementarias Para clarificar dudas y consolidar los contenidos trabajados hasta este momento en la Unidad realice preguntas como las siguientes: 1. ¿Cuál es la diferencia entre el dominio y el recorrido de una función? 2. Solo observando la gráfica de una función potencia, ¿es posible decidir si su exponente es par o impar?, ¿por qué?, y ¿si el signo de a correspondiente es positivo o negativo? Explica. 3. ¿En qué casos una función potencia es siempre creciente? Justifica. 4. ¿De qué depende que la gráfica de una función corresponda a la traslación horizontal o vertical respecto de la gráfica de una función potencia? Explica.

Unidad 1

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UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

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Página 27

09:34

Página 44

Mi progreso

Calcular y representar.

Interpretar y calcular.

Analizar y justificar.

En esta página se propone una serie de ejercicios que les servirán a los y las estudiantes para autoevaluar lo que han aprendido hasta esta instancia; es decir, pueden ser utilizados como una evaluación formativa. Al final de la página se presenta una tabla con los criterios de evaluación correspondientes y las páginas a las que puede recurrir para corregir sus errores. Recuerde a sus estudiantes que el último ítem corresponde a una pregunta de selección múltiple, se distingue porque las alternativas están señaladas con letras mayúsculas.

Clasificar y representar.

Los ítems asociados a esta actividad incluyen los siguientes criterios:

Mi progreso Ítems

Habilidades que evalúan

Ítem 1: determinar dominio y recorrido de funciones. Ítem 2: calcular la función inversa de una función dada. Ítem 3: determinar el valor de verdad de proposiciones dadas. Ítem 4: relacionar la gráfica de una función polinomial con la gráfica de una función potencia.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 1, es posible que los alumnos y alumnas no recuerden los conceptos de dominio y recorrido de una función. Recuérdeles que se relaciona con los valores para los cuales se puede aplicar la regla de correspondencia que indica la función, en el caso del dominio, y los todos los valores posibles que son resultado de la función, en el caso del recorrido. Evite indicarles cómo determinarlos, ya que se perdería la objetividad del ítem. • En el ítem 2, recuerde a sus alumnos y alumnas que pueden remplazar f ( x ) por y, y luego despejar la variable x de la expresión resultante. Observe si relacionan esta expresión con la correspondiente función inversa. • En el ítem 3, es posible que sus estudiantes pasen por alto algunas restricciones que se deben considerar al decidir si las afirmaciones son verdaderas o falsas, como el signo de a o si el número n es par o impar. Recuérdeles que basta un contraejemplo para justificar que la afirmación sea falsa, y que en caso contrario deben argumentar correctamente su decisión. • En el ítem 4, algunos de sus estudiantes pueden relacionar correctamente la dirección en que se traslada la gráfica, pero no su sentido. Por ejemplo, confundir si la traslación es hacia arriba o hacia abajo. Enfatíceles que en el caso de f ( x ) = ax n + c, sigue al signo de c, es decir, se desplaza hacia arriba si c tiene signo positivo; en cambio en el caso de f ( x ) = a(x + c)n, no lo hace, es decir, se desplaza a la izquierda si c tiene signo positivo.

44 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

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09:34

Página 45

Unidad 1

UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar el desempeño de sus estudiantes en la evaluación formativa.

Ítems

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Calcula correctamente el dominio y recorrido, conociendo los conceptos que se solicitan, pero tiene dificultades en la representación.

Calcula y representa correctamente solo uno de los elementos solicitados, debido a que desconoce dicho concepto.

Desconoce los conceptos que se le solicitan.

Calcula y representa correctamente dominio y recorrido, independiente del método utilizado.

Calcula correctamente las funciones inversas, independiente del método utilizado.

Calcula correctamente solo dos de las funciones inversas, debido a que desconoce el procedimiento si la variable está en el subradical.

Calcula correctamente solo una de las funciones inversas, debido a que desconoce el procedimiento si la variable está en el de nominador.

No logra calcular correctamente la inversa de una función, debido a que desconoce los conceptos o el procedimiento.

Determina correctamente el valor de verdad de todas las afirmaciones, justificando todos los casos.

Determina correctamente el valor de verdad de todas las afirmaciones, pero justifica solo las falsas.

Determina correctamente el valor de verdad de al menos dos de las afirmaciones.

Determina correctamente el valor de verdad de una o ninguna de las afirmaciones.

Marca la alternativa en forma correcta justificando su decisión.

Marca la alternativa en forma correcta, pero no justifica su decisión.

Marca una alternativa incorrecta, pero intenta explicar su decisión.

Omite la respuesta, debido a que desconoce los conceptos o el procedimiento.

A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzar o profundizar los contenidos trabajados hasta este momento en la Unidad. Usted podrá plantearles las actividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtengan en la evaluación formativa y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.

Unidad 1

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UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

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Página 46

Actividades complementarias Ejercicios de refuerzo

Ejercicios de profundización

1. Determina el dominio y recorrido de las siguientes funciones. Si existe, calcula su función inversa, en cada caso.

1. (Séptimo torneo de Computación y Matemática, 2004).

1 a. f ( x ) = x+3 b. f ( x ) =

x+3 2x – 1

c. f ( x ) =

1 x –4

d. f ( x ) =

e. f ( x ) =

x −5 1 3− x

2. A partir de la gráfica de la función f ( x ) = x 4, dibuja la gráfica de las siguientes funciones. a. b. c. d.

Dados cuatro números enteros a, b, c, d y cuatro números enteros no negativos i, j, k, l se define p( x ) = a · xi + b · x j + c · x k + d · x l. Por ejemplo, si a = 2, b = –3, c = 10, d = 7, i = 4, j = 0, k = 2, y l = 6, entonces p (8) = 2 · 84 + (–3) · 80 + 10 · 82 + 7 · 86 = 1 843 837. Encuentra una posible elección de los valores a, b, c, d, i, j, k, l sabiendo que p (1) = 16, p (2) = 240, p (5) = 81 540, p(6) = 286 896. Nota: el 0 es un entero no negativo, y x 0 siempre vale 1, sin importar el valor de x.

k (x) = 2 · f (x) + 7 l ( x ) = –f ( x + 3) m(x) = f (x) – 6 n ( x ) = f (x – 1) + 4

3. Determina si es verdadera o falsa cada una de las siguientes afirmaciones. Justifica todas tus respuestas. a. En las funciones del tipo f ( x ) = ax 2 (con a 僆 IR – {0}), la imagen de dos números que son inversos aditivos es siempre la misma. b. En las funciones del tipo g ( x ) = ax 3 (con a 僆 IR – {0}), el vértice es siempre el punto (1, 0). c. Los gráficos de las funciones f ( x ) = x 4 y g ( x ) = –x 4 son simétricas respecto del eje de las abscisas. d. Si la función f ( x ) = ax 2 + c y a < 0, la gráfica de dicha función se abre hacia arriba. e. La gráfica de la función g ( x ) = ax 6 + c está desplazada hacia arriba, si c es un número positivo. f. La gráfica de la función f ( x ) = a(x + h)2 se obtiene a partir de la gráfica de la función g ( x ) = ax 2, trasladando h unidades hacia la izquierda. g. La gráfica de la función f ( x ) = ax 3 con a > 0, se obtiene a partir de la gráfica de la función g ( x ) = x 3, siendo la función “más angosta” cuando a > 1 o siendo “más ancha” cuando a < 1.

46 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

2. En cada caso, remplaza el valor de k con los valores –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, y un valor fijo a la constante a, con a 僆 IN – {1}, grafica cada función en Graphmatica y, luego, responde las preguntas. a. Para la función de la forma f ( x ) = k + x a: i. ¿Qué sucede cuando la constante k adopta valores mayores que cero? ii. ¿Y cuándo adopta valores menores que cero? b. Para la función de la forma g ( x ) = k · x a: i. ¿Qué sucede cuando la constante k adopta valores mayores que cero? ii. ¿Y cuándo adopta valores menores que cero? c. Para la función de la forma h ( x ) = (x + k)a: i. ¿Qué sucede cuando la constante k adopta valores mayores que cero? ii. ¿Y cuándo adopta valores menores que cero?

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Páginas 28 a 31

09:35

Página 47

Unidad 1

UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

Logaritmos

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

Para abordar el tema de los logaritmos, se propone a los y las estudiantes calcular algunas multiplicaciones sin la ayuda de una calculadora. Insista en que deben resolverlas con lápiz y papel, se pretende que con algunos ejercicios aprecien lo difícil y engorroso que podía volverse calcular una simple multiplicación antes de la invención de las calculadoras. Después, se sugiere que resuelvan estas multiplicaciones observando las tablas de potencias presentadas, como un acercamiento a lo que fueron las tablas de logaritmos.

Habilidades que desarrollan

Es importante que enfatice a sus alumnos y alumnas que los logaritmos están definidos únicamente para valores positivos tanto del argumento como de la base del logaritmo. Insista en la relación entre los logaritmos y las potencias, ya que escribiendo la ecuación exponencial correspondiente pueden comprender qué se les está pidiendo y calcular el logaritmo.

Calcular, interpretar y analizar.

Actividades Ítems 1y2

Habilidades que desarrollan Aplicar y calcular.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Calcula el valor de los siguientes logaritmos. a. log2 64 b. log325 325 c. log2 256

d. log13 2197 e. log19 361 f. log0,4 0,064

2. Halla el argumento de los siguientes logaritmos. a. log6 x = 1 b. log2 x = 5 c. log10 x = –4

d. log0,05 x = 3 e. log0,25 x = –2 f. log3 x = 60

(Habilidades que desarrollan: interpretar y calcular). De profundización 1. Calcula el valor de las siguientes expresiones. a. log2 512 + log3 243 – log8 64 b. –5 log8 64 + 7 log7 49 – 3 log10 100 c. 6 log9 81 – 3 log10 10 000 + 4 log0,2 0,04 (Habilidad que desarrolla: calcular).

Unidad 1

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UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

5/11/10

Páginas 32 y 33

09:35

Página 48

Propiedades de los logaritmos

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

En estas páginas, se muestra que tal como se relacionan los valores de una potencia con los de su correspondiente raíz enésima, estos valores también pueden representarse utilizando logaritmos. Una forma que tienen sus estudiantes de verificar que esto se cumple es leer cada expresión según su definición:

Verificar, interpretar y analizar.

Actividades Ítems 1, 2 y 3

Habilidades que desarrollan Aplicar y calcular.

• logb a = c, dice que “c es el exponente de la potencia de base b para obtener a”. • bc = a, dice que “a es el valor de la potencia de base b y exponente c”. c

• b = a , dice que “b es la base de la potencia que, con exponente c, tiene valor a”. Las propiedades de los logaritmos se abordan a partir de la definición de logaritmo y las propiedades de las potencias. Enfatíceles que siempre el valor de b, la base, debe ser distinto de 1.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Utiliza la fórmula de cambio de base para simplificar cada logaritmo respecto de la base indicada y calcula su valor. a. b. c. d.

log32 8; a base 2. log9 27; a base 3. log21636; a base 6. log9 6561; a base 3.

(Habilidades que desarrolla: aplicar y calcular). De profundización 1. Aplicando la propiedad de cambio de base, calcula los siguientes logaritmos sin usar calculadora. a. log49 343 b. log225 15 c. log169 2197 d. log27 81 (Habilidades que desarrolla: aplicar y calcular).

48 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

5/11/10

Páginas 34 y 35

09:35

Página 49

Unidad 1

UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

Propiedades de las operaciones de los logaritmos

Actividad inicial

Analicemos...

En estas páginas se muestra que, a partir de las propiedades para las operaciones con potencias, se pueden establecer propiedades para las operaciones con logaritmos.

Habilidades que desarrollan

Enfatice a sus estudiantes que al aplicar logaritmos, el producto se relaciona con la suma y el cociente con la resta, para que no cometan los errores que se mencionan en la sección Pon atención.

Actividades complementarias

Verificar, interpretar y analizar.

Actividades Ítems

De refuerzo

1, 2 y 3

Habilidades que desarrollan Calcular y representar.

1. Calcula el valor de los siguientes logaritmos. a. log2 (8 · 32)

⎛ 27 ⎞ c. log3 ⎜ ⎟ ⎝ 81⎠

b. log5 (25 · 125)

⎛ 343 · 49 ⎞ d. log 1 ⎜ ⎟⎠ 7 7 ⎝

2. Escribe cada una de las siguientes expresiones como suma y diferencia de logaritmos.

x a. loga yz xy z

b. logb

c. loga (x 2 – 6x +9)

⎛ 3 ⎜ a5 d. logb ⎜ ⎝ c4

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

e. logb (x 3 – y 3) f. logm

b a c

3. Expresa como un solo logaritmo. a. 4 loga x – 3 loga y + 1 b. loga (x 2 – 81) – loga (x – 9)

c. logm (a 3 + b 3) – 2 logm (a + b) d. 3 (logm a 3 – logm d 7) – 4 logm b 4

(Habilidades que desarrollan: calcular y representar). De profundización 1. Sabiendo que log 2 艐 0,30, log 3 艐 0,47 y log 5 艐 0,69, calcula los siguientes logaritmos sin usar calculadora. a. log 6 b. log

5 3

d. log 0,024 e. log

4 5

c. log 0,125

f. log

27 36 27

(Habilidades que desarrolla: representar y calcular).

Unidad 1

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UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

5/11/10

Páginas 36 y 37

09:35

Página 50

Demostraciones aplicando logaritmos

Analicemos...

Actividad inicial

Habilidades que desarrollan

En Matemática, así como en otras disciplinas en las que se aplica, es posible observar que dado que se cumple alguna relación entre varias variables, es necesario expresar esta relación de forma concisa, o bien, utilizando otras operaciones. Cuando esta expresión contiene potencias, puede ser útil aplicar logaritmos.

Verificar, interpretar y analizar.

Actividades complementarias

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

1y3

Analizar y justificar.

Evaluar y justificar.

De refuerzo 1. Determina si las siguientes relaciones son verdaderas o falsas. a. loga pq = (loga p)(loga q)

b. loga u n = n loga u

(Habilidades que desarrolla: evaluar y justificar). De profundización 1. Demuestra las siguientes propiedades de los logaritmos. a. logb a n = n logb a b. logb

c. logb a =

m logb a n

logc a logc b

(Habilidades que desarrolla: analizar y justificar).

Página 38

Organizando lo aprendido

Actividad

Habilidades que desarrollan

Mapa conceptual

Recordar y conectar.

Actividades complementarias Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la Unidad realice preguntas como las siguientes: 1. ¿Se puede afirmar que el logaritmo de un producto corresponde al producto de los logaritmos?, ¿por qué? 2. ¿En qué consiste el cambio de base?, ¿cuándo se recomienda realizarlo? 3. ¿Con qué operación se puede verificar que el cálculo de un logaritmo está correcto? Explica. 4. ¿En qué casos el resultado de un logaritmo es 1?, ¿por qué?, ¿en qué casos es 0? Justifica.

50 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

Página 39

5/11/10

09:35

Página 51

Unidad 1

UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

Mi progreso

En esta página se propone un listado de ejercicios que les servirá a sus estudiantes para autoevaluar lo que han aprendido hasta esta instancia; es decir, puede ser utilizado como una evaluación formativa. Al final de la página se presenta una tabla con los criterios de evaluación correspondientes y las páginas a las que puede recurrir para corregir sus errores. Recuerde a sus estudiantes que el último ítem corresponde a una pregunta de selección múltiple, se distingue porque las alternativas están señaladas con letras mayúsculas. Los ítems asociados a esta actividad incluyen los siguientes criterios: Ítem 1: calcular logaritmos utilizando tablas de potencias. Ítem 2: calcular logaritmos. Ítems 3 y 4: aplicar propiedades de los logaritmos. Ítem 5: demostrar aplicando logaritmos. Ítem 6: reconocer propiedades de los logaritmos.

Mi progreso Ítems

Habilidades que evalúan

Aplicar.

Calcular.

3y4

Representar.

Evaluar y justificar.

Analizar y justificar.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 1, es posible que sus estudiantes no relacionen correctamente los valores indicados con las filas y columnas en las que deben buscar los valores correspondientes. Recuérdeles que cada columna corresponde a todas las potencias que tienen la misma base. Luego, la base del logaritmo les indica en qué columna pueden buscar el valor del argumento para calcular correctamente el logaritmo. • En el ítem 2, recuerde a los alumnos y alumnas cómo se relacionan los logaritmos y las potencias, de modo que verbalicen los logaritmos como ecuaciones exponenciales, por ejemplo, log6 216 se puede leer: ¿Cuál es el exponente de la potencia de base seis, tal que el valor de la potencia es 216? • En el ítem 3, un error frecuente es que los y las estudiantes apliquen algunas propiedades, pero no desarrollen exhaustivamente la expresión. Enfatíceles que deben transformar todas las raíces, potencias, productos y cocientes que tenga el argumento del logaritmo. • En el ítem 4, es posible que los alumnos y alumnas cometan errores respecto de la prioridad de las operaciones. Recuérdeles que si no hay paréntesis, se resuelven primero los productos y cocientes y después las sumas y restas, siempre de izquierda a derecha. • En los ítems 5 y 6, enfatice que para justificar que una afirmación es falsa, basta mostrar un contraejemplo. En cambio, para justificar que es verdadera, se debe argumentar matemáticamente, es decir, con una demostración.

Unidad 1

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UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

5/11/10

09:35

Página 52

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar el desempeño de sus estudiantes en la evaluación formativa.

Ítems

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Calcula correctamente todos los logaritmos, utilizando la tabla vista en la Unidad.

Calcula correctamente todos los logaritmos, por inspección.

Calcula correctamente uno o dos logaritmos.

No comprende cómo utilizar la tabla de potencias para calcular los logaritmos.

Calcula correctamente todos los logaritmos, mediante la ecuación exponencial correspondiente.

Calcula correctamente todos los logaritmos, por inspección.

Calcula correctamente algunos logaritmos, pero comete errores numéricos.

No relaciona los logaritmos con las potencias correspondientes.

Desarrolla correctamente Desarrolla ambas ambas expresiones, apli- expresiones, pero comete cando las propiedades. errores al aplicar las propiedades.

Desarrolla una o ambas expresiones, pero comete errores numéricos o de signos al aplicar las propiedades.

Desarrolla una o ambas expresiones, pero comete errores al aplicar las propiedades.

Reduce correctamente ambas expresiones, aplicando las propiedades.

Reduce correctamente al menos dos expresiones, pero comete errores al aplicar las propiedades.

Reduce correctamente al menos dos expresiones, pero comete errores numéricos o de signos.

Reduce una o ambas expresiones, pero comete errores al aplicar las propiedades.

Decide en forma correcta si la afirmación es verdadera o falsa, justificando su decisión.

Decide en forma correcta si la afirmación es verdadera o falsa, justificando solo si es falsa.

Decide en forma correcta Omite la respuesta, o la si la afirmación es verda- responde mal. dera o falsa, pero no lo justifica.

Marca la alternativa en forma correcta, justificando su decisión.

Marca la alternativa en forma correcta, pero no justifica su decisión.

Puede decidir si algunas Marca una alternativa de las afirmaciones es incorrecta o la omite. verdadera, pero no logra determinar la respuesta correcta.

52 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

5/11/10

09:35

Página 53

Ejercicios de refuerzo

Ejercicios de profundización

1. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

1. Resuelve y explica, paso a paso, cómo lo hiciste.

2 3 a. 3 27 log 5 1 + log 1 32 + 3 log 3 5 4 1 1 4 b. log log 7 + 3 log 1 625 − 7 5 10 5 c. log

( ) 16 ⋅ 4

2. Analiza la validez de las siguientes proposiciones. Justifica tu respuesta. a. b. c. d.

Los logaritmos son siempre positivos. No existen logaritmos de números negativos. Los logaritmos están definidos para bases positivas. Las potencias de un número positivo son todas positivas.

3. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades. Justifica tu decisión. a. b. c. d. e. f.

x = y , calcula log x 2 en función de y.

a. Si log

b. Si log a = b , calcula log a 3 en función de b. c. Si log x 2 = a y log u 3 = v, calcula log de a y v.

xu en función

⎛ 3 a⎞ d. log ⎜ a ⋅ a⎝ 7⎟ a ⎠ e. log 2

Unidad 1

Actividades complementarias

log 3 + log 4 = log 7 log 2 + log 5 = log 10 log 53 = 3 log 5 log 12 – log 4 = log 8 log 12 – log 4 = log 3 log 72 = (log 7)2

3 2

d. Si log a = b , calcula log a en función de b.

e. Si log e = m , calcula log e2 en función de m. f. Si log a

−

1 2

7 2

= p , calcula log a en función de p.

2. (XI Olimpiada Matemática del Cono Sur, 2000). Se dice que un número es descendente si cada uno de sus dígitos es menor o igual que el dígito anterior, de izquierda a derecha. Por ejemplo, 4221 y 751 son descendentes, mientras que 476 y 455 no son descendentes. Determina si existen enteros positivos n para los cuales 16 n es descendente. 3. (38 Olimpiada Internacional de Matemática). Determinar todas las parejas (a, b) de números enteros, con a ⱖ 1, b ⱖ 1 que satisfacen la ecuación: 2

ab = ba. 4. (Séptimo torneo de Computación y Matemática, 2004).

4. Aplicando la propiedad del cambio de base, calcula los siguientes logaritmos sin usar calculadora. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j.

log49 343 log27 81 log32 16 log225 15 log15 625 125 log169 2197 log3375 225 log81 27 log343 49 log125 625

Un primo es siamés si y solo si el número que se obtiene al dar vuelta sus cifras también es primo. Por ejemplo al dar vuelta las cifras de 87 132 se obtiene 23 178, que no son primos. Pero por ejemplo 13 es un primo siamés, de dos cifras. ¿Cuántos primos siameses de 5 cifras hay?

Unidad 1

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UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

5/11/10

Páginas 40 a 43

09:35

Página 54

Función logarítmica

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

El dominio de f ( x ) = logb x son todos los números reales positivos, además:

Verificar, interpretar y analizar.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Aplicar y calcular.

Reconocer y aplicar.

Representar y analizar.

si b > 1, la función y = logb x es continua, creciente y corta al eje X en el punto (1, 0). Si la función se encuentra en el intervalo [0, 1], entonces su gráfica está por debajo del eje X, de lo contrario se ubica por encima del mismo eje. Si 0 < b < 1, la función y = logb x es continua, decreciente y corta al eje X en el punto (1, 0). Si la función se encuentra en el intervalo [0, 1], entonces su gráfica está por encima del eje X, de lo contrario se ubica por debajo del mismo eje.

Errores frecuentes • Es común que al graficar una función logarítmica, especialmente en un software computacional, los alumnos y alumnas crean que la gráfica interseca al eje Y. Para evitar esta confusión se propone pedir a los y las estudiantes que con la ayuda de una calculadora científica constaten los valores de la función log x para x cercano a cero. • Es común que los y las estudiantes asuman que la base de un logaritmo puede ser cualquier valor real positivo, sin excluir el caso en que la base es igual a 1. Para superar este error pida a sus estudiantes que encuentren la función inversa de f ( x ) = 1x, determinando las restricciones de la función encontrada. Además, se puede fundamentar que un logaritmo con base 1 no permite realizar un cambio de base. Se propone el siguiente análisis: Supongamos que log1 x está definido, entonces, realizando un cambio de base tenemos: log1 x =

log x , expresión que no está definida pues log 1 = 0. log 1

Actividades complementarias De refuerzo 1. Respecto de las siguientes funciones, indica el tipo de traslación que presentan sus gráficas en relación con la función f ( x ) = log x. a. g ( x ) = log x – 6 b. h ( x ) = log (x + 3) c. k ( x ) = –log (x – 4) + 2 (Habilidades que desarrolla: reconocer y aplicar). De profundización 1. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica tu decisión. a. La función logarítmica es siempre creciente. b. El dominio de la función logarítmica f ( x ) = log x – 4 es IR+. c. La gráfica de una función logarítmica interseca al eje X en el punto (1, 0). (Habilidades que desarrolla: analizar y justificar).

54 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

5/11/10

Páginas 44 y 45

09:35

Página 55

Herramientas tecnológicas

Para facilitar el aprendizaje de los contenidos de esta Unidad se propone el uso del computador, utilizando el programa Graphmatica, de libre disposición para descargarlo desde internet.

Páginas 46 a 49

Unidad 1

UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

1, 2 y 5

Representar y analizar.

3y4

Interpretar, representar y analizar.

Ecuaciones logarítmicas

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

La resolución de ecuaciones logarítmicas se basa en los mismos procedimientos utilizados para resolver ecuaciones habituales. Aunque no existen métodos fijos, es recomendable convertirla en otra equivalente en la cual no aparezcan logaritmos, para esto, se ha de intentar llegar a una situación semejante a la siguiente: logb f ( x ) = logb g ( x ). Entonces empleamos antilogaritmos (pues la función logaritmo es uno a uno) para simplificar la ecuación obteniendo f ( x ) = g ( x ), que se resuelve con los métodos habituales. También puede operarse en la ecuación logarítmica para obtener una ecuación equivalente del tipo: logb f ( x ) = m, de donde se obtiene que f ( x ) = b m, para luego resolver en forma habitual.

Habilidades que desarrollan

Actividades complementarias De refuerzo

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Interpretar y aplicar.

Interpretar, aplicar y justificar.

3y4

1. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. Comprueba, en cada caso, si los valores obtenidos satisfacen la ecuación. a. b. c. d.

Verificar, interpretar y analizar.

Interpretar, aplicar y verificar o comprobar.

log (x + 4) + log (x – 6) = 2 log (x – 2) log (6x + 5) + log (x + 7) = log (3x + 4) + log (2x + 5) log (x + 8) + log (x + 4) = log (x 2 + 8x + 24) 3 log x + log x 2 + log x 3 – 4 log x = 2

(Habilidades que desarrolla: interpretar, aplicar y verificar o comprobar). De profundización 1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas con dos incógnitas. Comprueba, en cada caso, si los valores obtenidos satisfacen el sistema. a. log2 x + log2 y = 5 log2 x3 – log2 y4 = 8

c. log3 x5 + log3 y3 = 13 log3 x4 – log3 y2 = 6

b. 21 log2 x + 35 log3 y = 112 –20 log2 x – 35 log3 y = –110

d. 5 log2 x + 3 log3 y = 8 4 log2 x – 7 log3 y = –3

(Habilidades que desarrolla: interpretar, conectar, aplicar y verificar o comprobar). Unidad 1

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UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

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Aplicaciones

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• Las unidades utilizadas comúnmente para medir los niveles de intensidad de sonido, llamadas belio y decibeles, son en realidad relativas y de naturaleza logarítmica. Así un decibel se define en acústica como la décima parte del logaritmo decimal (base 10) del cociente entre la intensidad de un sonido y una intensidad umbral tomada como referencia. • La escala de medida Richter, para la intensidad de un sismo, utiliza una escala logarítmica de base 10, con lo que cada aumento de grado en esta escala no corresponde con un aumento lineal de la magnitud de un sismo, sino exponencial, es decir, un terremoto de grado 6 es diez veces menos intenso que un terremoto de grado 7 y cien veces menor que uno de grado 8.

Verificar, interpretar y analizar.

Actividades Ítems 1

Habilidades que desarrollan Aplicar.

2y3

Interpretar y aplicar.

4y5

Resolver problemas.

Aplicar.

Posibles dificultades en las actividades Al resolver los problemas, los alumnos y alumnas necesitarán utilizar una calculadora científica para poder determinar algunos valores. Es conveniente que solicite la calculadora como material indispensable para dicha clase, o bien que escriba en la pizarra los valores asociados a los problemas, para que los y las estudiantes trabajen correctamente.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Encuentra [H+] aproximada, en cada caso, dados sus valores de pH. a. b. c. d.

Plátanos, pH = 5 Amoníaco doméstico, pH = 11,9 Huevos, pH = 8 Levadura, pH = 8,4

2. El terremoto ocurrido el 21 de abril de 2007, en el fiordo de Aysén, fue de 6,3 grados Richter. ¿Cuánta energía se liberó por este sismo? (Habilidad que desarrollan: aplicar).

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Organizando lo aprendido

Actividad

Habilidades que desarrolla

Mapa conceptual

Recordar y conectar.

Actividades complementarias Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la Unidad realice preguntas como las siguientes: 1. ¿Por qué es necesario verificar siempre las soluciones obtenidas al resolver una ecuación logarítmica? 2. ¿Es posible que una ecuación logarítmica no tenga solución?, ¿por qué? 3. ¿La gráfica de f ( x ) = log x interseca al eje Y?, ¿por qué? 4. ¿En qué punto la gráfica de f ( x ) = a · log x, con a ⫽ 0, interseca al eje X? Explica. 5. ¿Por qué la escala logarítmica es más apropiada que una escala lineal para asignar valores al nivel de intensidad del sonido?

Unidad 1

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Unidad 1

UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

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Página 58

Mi progreso

Mi progreso Ítems

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Habilidades que evalúan

Interpretar y reconocer/identificar.

Interpretar, calcular y verificar o comprobar.

Aplicar.

Evaluar y justificar.

En esta página se propone un listado de ejercicios que les servirá a sus estudiantes para autoevaluar lo que han aprendido hasta esta instancia; es decir, puede ser utilizado como una evaluación formativa. Al final de esta página se presenta una tabla con los criterios de evaluación correspondientes y las páginas a las que puede recurrir para corregir sus errores. Recuerde a sus estudiantes que el último ítem corresponde a una pregunta de selección múltiple, se distingue porque las alternativas están señaladas con letras mayúsculas. Los ítems asociados a esta actividad incluyen los siguientes criterios: Ítem 1: relacionar gráficas de funciones logarítmicas. Ítem 2: resolver ecuaciones logarítmicas. Ítem 3: resolver problemas asociados a ecuaciones logarítmicas. Ítem 4: reconocer propiedades de las funciones logarítmicas.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 1, los y las estudiantes podrían confundir la dirección en que se desplaza la gráfica, ya que en el eje Y parece obedecer al signo que acompaña al parámetro c, en cambio, cuando la traslación corresponde al eje X, esto no ocurre. Indíqueles que si tienen dudas al respecto, pueden remplazar algún valor de x en ambas funciones y observar la dirección de su traslación. • En el ítem 2, enfatice a sus alumnos y alumnas que siempre deben verificar la solución algebraica en la ecuación original y constatar que todos los logaritmos que tenga la ecuación estén bien definidos, esto es, su argumento sea positivo. En caso contrario, esta solución no satisface la ecuación. • En el ítem 3, los alumnos y alumnas necesitarán de una calculadora científica para calcular el valor correspondiente a la solución; en caso de no tener acceso a dichos dispositivos, se sugiere que ellos y ellas escriban la expresión que les permitiría obtener el resultado, lo más simple posible. • En el ítem 4, insista a sus estudiantes en que para justificar que una afirmación es falsa, basta mostrar un contraejemplo. En cambio, para justificar que es verdadera, se debe argumentar matemáticamente, es decir, con una demostración. A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar a sus estudiantes.

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Ítems

Completamente logrado

Logrado

Relaciona correctamente las operaciones en la función respecto de las traslaciones correspondientes, en todos los casos.

Relaciona las operaciones en la función respecto de las traslaciones correspondientes, pero comete errores numéricos o de signos.

Resuelve correctamente todas las ecuaciones logarítmicas.

Resuelve correctamente Resuelve correctamente a Resuelve correctamente todas las ecuaciones lo menos dos de las cuatro una o ninguna de las logarítmicas, pero no ecuaciones logarítmicas. ecuaciones logarítmicas. comprueba sus soluciones.

Responde correctamente el problema, planteando la ecuación y resolviéndola correctamente.

Plantea y resuelve correctamente todas las ecuaciones que le permiten dar respuesta a cada una de las preguntas, pero necesita orientación para comprender el problema y elaborar la respuesta.

Plantea correctamente la Comete errores en el planecuación, pero comete teamiento de la ecuación errores al despejar la que resuelve el problema. incógnita, obteniendo un valor incorrecto. Aun así, formula una respuesta para responder la pregunta.

Marca la alternativa en forma correcta justificando su decisión.

Marca la alternativa en forma correcta, pero no justifica su decisión.

Puede decidir si algunas Marca una alternativa de las afirmaciones es incorrecta o la omite. verdadera, pero no logra determinar la respuesta correcta.

Medianamente logrado Relaciona las operaciones en la función respecto de las traslaciones, solo después de realizar las gráficas.

Por lograr Esboza las gráficas, pero no logra interpretarlas como una traslación de la gráfica de f ( x ).

Unidad 1

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Unidad 1

UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

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Actividades complementarias Ejercicios de refuerzo 1. La función inversa de f ( x ) = log x es:

E. log b

log a

–1

A. f ( x ) = 1000 B. f –1 ( x ) = 10 · 103x C. f –1 ( x ) = 1003x D. f –1 ( x ) = 300x E. Ninguna de las anteriores. x

2. Si 5 =

13 , entonces la relación verdadera es:

log 13 log 5 B. x = log 13 + log 5 A. x =

C. x = log25 13 log 13 D. x = log 15 E. Ninguna de las anteriores. 3. La solución de la ecuación 33 – x = 52 es: A. x =

D. logb a

2 log 5 –3 log 3

B. x = 3 log 3 – 2 log 5 C. x = 3 –

2 log 5 log 3

D. x = 3 log 3 –

log 5

–2 log 5 E. x = log 3 4. (PSU, Educarchile, 2005). log2 (24 + 24) = A. 5 B. 6 C. 8 D. 16 E. 32 5. (PSU, Educarchile, 2005). Si a y b son números reales positivos, entonces log (ab2) – log (a2b) = A. log a + log b B. log a – log b C. log b – log a

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6. (PSU, Educarchile, 2005). ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es o son verdaderas? I. log (0,05) < 0 II. log (0,3) – log (0,1) > 0 III. log (0,4) · log (0,3) > 0 A. Solo I B. Solo II C. I y II D. II y III E. I, II y III 7. (PSU, Educarchile, 2005). Si a es un número real positivo tal que log a = 9, entonces log a A. 3 B. 4,5 C. 6 D. 18 E. 81 8. (PSU, Educarchile, 2005). Si log (3x – 2) – log (2x) = 0, entonces x es igual a: A. –1 B. 0 C. 1 D. 2 E. 3 9. (Documento Oficial, Proceso de Admisión, Demre, 2005). 1 log2 8 − log3 ⎛ ⎞ ⎝ 9⎠ El valor de la expresión es: log4 16 5 A. 2 1 B. 2 C. 3 D.

5 4

7 4

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Páginas 54 y 55

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Unidad 1

UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

Cómo resolverlo

La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la Unidad; sin embargo, en estas páginas se presentan estrategias de resolución específicas para que los y las estudiantes las aprendan y las apliquen en futuros problemas. Además, esta resolución se presenta detallada, justificando las diferentes acciones, lo que permite aclarar posibles dudas que sus estudiantes pueden mantener. Se recomienda que enfatice los pasos que deben seguir en la resolución de problemas: comprender, planificar, resolver y revisar.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Resolver problemas.

2y3

Resolver problemas, indagar y comparar.

Actividades Ítem 1: aplicar la expresión que relaciona intensidad del sonido y su distancia a la fuente del sonido para resolver problemas de intensidad del sonido. Ítem 2: proponer procedimientos alternativos para resolver este tipo de problemas. Ítem 3: comparar procedimientos de resolución e identificar cuál resulta óptimo.

Comprensión del problema o situación

Comprensión de conceptos

Verificación de resultados y/o progreso

Logro, aplicación

En proceso, logro parcial

• Puede expresar en sus propias palabras e interpretar coherentemente el problema. • Identifica la información necesaria. • Tiene una idea acerca de la respuesta.

• Copia el problema. • Identifica palabras clave. • Puede que mal interprete parte del problema. • Puede que tenga alguna idea acerca de la respuesta.

• No entiende el problema. • Entiende mal el problema. • Como rutina pide explicaciones.

• Aplica correctamente reglas o algoritmos cuando usa símbolos. • Conecta cómo y por qué. • Aplica el concepto a problemas o a situaciones nuevas. • Hace y explica conexiones. • Realiza lo pedido y va más allá.

• Demuestra un entendimiento parcial o satisfactorio. • Puede demostrar y explicar usando una variedad de modos. • Está listo para hacer conexiones acerca de cómo y por qué. • Relaciona el concepto con conocimiento y experiencias anteriores. • Realiza las tareas cada vez con menos errores.

• No modela los conceptos rutinarios correctamente. • No puede explicar el concepto. • No intenta resolver el problema. • No hace conexiones.

• Chequea racionalidad de los • Revisa cálculos y resultados. procedimientos. • Reconoce sin razones. • Puede investigar razones si existen dudas.

No comprende

• No revisa cálculos ni procedimientos. • No reconoce si su respuesta es o no razonable.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm

Unidad 1

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UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

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Páginas 56 y 57

Indicaciones sobre el contenido En las actividades de estas páginas, los y las estudiantes reflexionarán sobre las escalas utilizadas para cuantificar los temblores y terremotos: la escala de Richter y la escala de Mercalli. En un país sísmico como Chile, donde se observa un terremoto de 8 o más grados de magnitud, en promedio, cada diez años, es bueno que los alumnos y alumnas comprendan la diferencia entre estas escalas y sepan interpretar correctamente la información que se entrega en la prensa sobre la magnitud y las intensidades de un sismo.

Habilidades que desarrollan

Interpretar y calcular.

Calcular y analizar.

Formular hipótesis, conjeturar o predecir.

Esta es una buena instancia para enfatizar a sus estudiantes las medidas de seguridad a seguir en caso de que ocurra un sismo en la escuela o en sus casas. Los sismos son fenómenos naturales de permanente ocurrencia en Chile. No existe aún en el mundo tecnología capaz de predecir el lugar, el momento y severidad de un sismo. Comente qué acciones se recomienda realizar en caso de un sismo, identifiquen cuáles son los lugares más seguros, tanto en la escuela y en espacios públicos, como en sus propias casas. Enfatíceles que luego de un sismo no se deben prender fósforos ni velas, ante eventuales fugas de gas, y que lo más importante es conservar la calma. Chile es un país sísmico, por lo que siempre debemos estar preparados.

Investiguemos... Ítems 1y2 3, 4 y 5 6y7

Habilidades que desarrollan Conectar. Analizar y conectar. Analizar.

Página 58

Página 62

En terreno

Actividades Ítems

09:35

Síntesis de la Unidad

Actividad

Habilidades que desarrolla

Mapa conceptual

Recordar y conectar.

Los mapas conceptuales, como herramientas visuales, permiten a los alumnos y alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados en toda la Unidad. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los alumnos y alumnas consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. Además, permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus estudiantes. En esta sección los y las estudiantes resumen y organizan a través de un mapa conceptual los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad. Como actividades de consolidación se presentan preguntas de carácter conceptual que involucran los contenidos trabajados en la Unidad.

Actividades complementarias Una vez que sus estudiantes han realizado cada uno su mapa conceptual, pídales que se los intercambien, de modo que cada uno lo revise y compare con el mapa conceptual de su compañero o compañera. Recuérdeles que en un mapa conceptual cada concepto se deben escribir de manera independiente y que son las palabras enlace las que indican las relaciones que hay entre los conceptos.

62 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

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Páginas 59 a 61

09:35

Página 63

Unidad 1

UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

Evaluación sumativa

En estas páginas se propone una evaluación que integra todos los contenidos vistos en la Unidad. Esta instancia puede ser utilizada como una evaluación sumativa que considera las habilidades del cuadro. Ítems I

III

Habilidades que evalúan 1 a 11

Analizar y verificar o comprobar.

Representar.

Analizar y calcular.

3y4

Interpretar, analizar y calcular.

1 y 14

Interpretar y representar.

2, 3, 6, 7, 8, 9, 10

Interpretar y calcular.

5 y 11

Reconocer/Identificar.

4, 12 y 13

Interpretar, representar y calcular.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem I, enfatice a sus estudiantes que para justificar que una afirmación es falsa, basta mostrar un contraejemplo. En cambio, para justificar que es verdadera, se debe argumentar matemáticamente, es decir, con una demostración. • En el ítem II, 4, insista a sus alumnos y alumnas en que siempre deben verificar la solución algebraica en la ecuación original y constatar que todos los logaritmos que tenga la ecuación estén bien definidos, esto es, su argumento sea positivo. En caso contrario, esta solución no satisface la ecuación. A continuación, se presenta una rúbrica referida a los ítems I y II que puede utilizar para evaluar a sus estudiantes. Ítems

Completamente logrado

Logrado

Determina correctamente el valor de verdad de todas las afirmaciones, justificando todos los casos. Reduce correctamente todas expresiones, aplicando las propiedades.

II, 1

Medianamente logrado

Por lograr

Determina correctamente el valor de verdad de todas las afirmaciones, pero justifica solo las falsas.

Determina correctamente el valor de verdad de al menos seis de las afirmaciones.

Determina correctamente el valor de verdad de cinco afirmaciones o menos.

Reduce correctamente al menos cuatro expresiones, pero comete errores al aplicar las propiedades.

Reduce correctamente al menos tres expresiones, pero comete errores numéricos o de signos.

Reduce una o dos expresiones, pero comete errores al aplicar las propiedades.

Unidad 1

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UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

Ítems

II 2

II 3y4

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Completamente logrado

09:35

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Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Calcula correctamente el Calcula correctamente dominio de todas las el dominio de todas las funciones, mediante la funciones, por inspección. ecuación correspondiente.

Calcula correctamente el No relaciona el dominio dominio de algunas de la función con la funciones, porque ecuación correspondiente. comete errores numéricos.

Calcula correctamente el valor pedido, resolviendo la ecuación correctamente.

Resuelve correctamente Comete errores al aplicar la ecuación, pero comete las propiedades errores numéricos al de logaritmos. despejar la incógnita, obteniendo un valor incorrecto.

Aplica correctamente las propiedades de logaritmos, pero necesita orientación para comprender lo solicitado y elaborar la respuesta.

Para el ítem III, considere: Completamente logrado: si contesta correctamente todas las preguntas (14 preguntas). Logrado: si contesta correctamente 10 preguntas o más. Medianamente logrado: si contesta correctamente entre 7 y 9 preguntas. Por lograr: si contesta correctamente 6 preguntas o menos.

A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzar o profundizar los contenidos trabajados en la Unidad. Usted podrá plantearles las actividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtengan en la evaluación sumativa y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.

64 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

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Ejercicios de refuerzo

Ejercicios de profundización

1. El nivel de decibeles (D) de un sonido se calcula utilizando la fórmula: D = 10 (log I + 12), donde I corresponde a la intensidad que emite el sonido, medida en watts por metro cuadrado (W/m2).

1. (VIII Certamen el Número de Oro, 2000).

a. Calcula los decibeles de un susurro que tiene una intensidad de 132 · 10–12 W/m2. b. Calcula los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 3,5 · 10–5 W/m2. c. Calcula los decibeles de un concierto de rock que tiene una intensidad de 9,1 · 10–1 W/m2. d. Calcula la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles. 2. Un parlante tiene un nivel de 95 dB (decibeles), a medida que uno se aleja de este, el nivel disminuye según ⎛ 3, 2 · 109 ⎞ la fórmula: D = log ⎜ ⎟ , donde r es la distancia ⎜⎝ ⎟⎠ r2 (en pies) respecto del parlante. a. Calcula el nivel de decibeles si una persona se encuentra a 15 pies del parlante. b. Calcula el nivel de decibeles si una persona se encuentra a 80 pies del parlante. c. Determina la distancia a la que se debe estar del parlante, para que el nivel de decibeles sea, aproximadamente 8 dB. 3. La intensidad de un sismo en la escala de Richter está 2 dada por la expresión: D = (log E – 4,4), donde E 3 corresponde a la energía liberada por el sismo (medida en joules). a. Calcula la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Valdivia ocurrido en 1960, sabiendo que liberó una energía de 1,122 · 1018 j. b. Calcula la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillán, ocurrido en 1939, sabiendo que liberó una energía de 7,079 · 1016 j. c. Determina la energía liberada por un sismo de 4,3 grados en la escala de Richter. d. Determina la energía liberada por un terremoto de 7,4 grados en la escala de Richter.

Unidad 1

Actividades complementarias

Si a es un número real positivo (a ⫽ 1). ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación loga x = x? 2. Resuelve los sistemas de ecuaciones logarítmicas: a. log x + log (y + 3) = log 6 log (x + 7) – log (y + 2) = 1 b. log x + log y = 3 log x – log y = 1 c. log (x – y) + log (x + y) = log 27 x 2 – y 2 = 25 d. 2x 2 + y = 75 2 log x – log y = 2 log 2 + log 3 e. 6 log7 x – 7 log7 y = –8 log7 x – 4 log7 y = –7 f. log3 x 4 + log3 y 5 = 19 log3 x 3 – log3 y 3 = –6 g. 5 log2 x – log2 y 4 = –11 log2 x 7 – log2 y 3 = –5 h. log2 x 4 – log10 y 3 = 3 log2 x 5 + log10 y = 37 i. log5 x 3 – log2 y 2 = 4 log5 x 4 + log2 y 3 = 11 3. El terremoto de San Francisco del año 1906 tuvo una magnitud de 8,2 en la escala de Richter, y el terremoto del año 1989, una magnitud de 6,9 en dicha escala. ¿Cuántas veces fue más potente el terremoto de 1906 que el de 1989?

Unidad 1

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UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

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Página 66

Evaluación final En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiar y que le permitirá medir los aprendizajes de sus alumnos y alumnas en la Unidad. Con los resultados de esta evaluación se puede tomar la decisión de reforzar algunos temas que no hayan sido aún comprendidos a cabalidad por sus estudiantes. El tiempo estimado para la realización de la prueba es de 60 minutos. Este tiempo puede ser modificado según las características de sus estudiantes. Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes, se sugiere utilizar la siguiente pauta: Ítems 1, 6, 10 y 12

Habilidades que evalúan

Total

2 puntos cada una

8 puntos

2, 3, 11, Interpretar y reconocer/ 13 y 14 identificar.

2 puntos cada una

10 puntos

4, 5 y 7

Aplicar.

2 puntos cada una

6 puntos

Interpretar y calcular.

2 puntos cada una

4 puntos

Recordar y analizar.

2 puntos cada una

6 puntos

8y9 11, 12 y 14

Interpretar y analizar.

Puntaje

Puntaje total: 34 puntos Considere: Completamente logrado: si contesta correctamente todas las preguntas (14 preguntas). Logrado: si contesta correctamente 10 preguntas o más. Medianamente logrado: si contesta correctamente entre 7 y 9 preguntas. Por lograr: si contesta correctamente 6 preguntas o menos.

66 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

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Página 67

Unidad 1

UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 1, es posible que los alumnos y alumnas aún confundan dominio y recorrido, o bien que supongan que siempre el dominio debe tener alguna restricción, cosa que no ocurre en este caso. Enfatíceles que cuando no existen restricciones, se dice que el dominio (o el recorrido) son todos los números reales y se anota dom f ( x ) = IR. • En los ítems 2, 13 y 14, los errores al identificar la función se producen al confundir la relación entre las traslaciones verticales y horizontales de la gráfica de una función y cómo se refleja en su correspondiente representación algebraica. Otro error frecuente, en el ítem 2, se refiere a decidir en qué dirección se desplaza la parábola según los signos que tengan los valores asociados en la función. Se recomienda que ilustre con un ejemplo en la pizarra qué sucede con la parábola en cada caso, enfatizando la diferencia entre las traslaciones verticales y horizontales. • En el ítem 3, si el o la estudiante descartara la opción C, es posible que confunda la condición de que el argumento de un logaritmo debe ser positivo, con su resultado, que de hecho, no tiene restricciones. Si considerara falsa la opción A, puede que los puntos se remplacen en la ecuación como 1 = ln 0, lo que sí es falso, pero demuestra que el alumno o la alumna no relaciona correctamente el par ordenado con las variables de la función. • En el ítem 4, es posible que los y las estudiantes intenten aplicar alguna propiedad relacionada con el producto, lo que en este caso no es pertinente. Puede sugerirles que ya que las bases de los logaritmos son distintas, puede realizarse un cambio de base para calcular el valor de la expresión. • En los ítems 5, 6, 7, 8 y 12, es posible que los alumnos y alumnas tengan dificultades con las propiedades de los logaritmos. Si sus estudiantes utilizan bien las propiedades de las potencias, enfatice en la relación entre potencias, raíces y logaritmos, de modo que inicialmente puedan determinar los valores de los logaritmos desde sus conocimientos sobre potencias y raíces. • En el ítem 9, enfatice a sus estudiantes que las ecuaciones logarítmicas se pueden relacionar con la ecuación que relaciona sus argumentos solo cuando están escritos como un solo logaritmo a cada lado de la igualdad. También recuérdeles que deben verificar que siempre el argumento del logaritmo es un número positivo.

Unidad 1

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UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

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Evaluación final Nombre:

Curso:

Fecha:

Marca o encierra la alternativa correcta de cada pregunta. 1. De las siguientes funciones: 4 I. y = x–1 II. y = x 2 – 1 III. y = | x – 1 |

4. (log2 5) · (log5 8) es igual a: A. B. C. D. E.

log 40 log2 40 log 4 3 log 8

indica aquellas que tienen el mismo dominio. A. B. C. D. E.

I y II I y III II y III I, II y III Ninguna de las anteriores.

2. La gráfica siguiente corresponde a: (–4, 7)

5. log 5 A.

6 es igual a:

1 log 5 5 6 5

B. 5 log 5 5 6 C. 5 log5 6 D.

1 log 6 5 5

E. Ninguna de las anteriores.

6. De las siguientes afirmaciones, son verdaderas:

A. B. C. D. E.

y = –(x + 4)4 y = –x 4 – 3 y = –(x – 4)4 – 7 y = –(x + 4)4 + 7 y = –(x + 11)4

I. log2 8 = 3 II. log 105 = 5 III. La función logaritmo es creciente. A. B. C. D. E.

I y II I y III II y III Todas. Ninguna de las anteriores.

3. Señala qué afirmación o igualdad es falsa. A. Toda función logarítmica y = ln x pasa por el punto (1, 0). B. log 93 = 3 log 9 C. El logaritmo de un número es siempre mayor o igual que cero. D. log5 7 =

log 7 log 5

E. Todas las anteriores.

68 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

7. El valor de x en la ecuación logx A. B. C. D. E.

16 8 4 2 Falta información.

1 = –6 es: 64

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8. Si log15 5 = a, entonces log15 81 en términos de a se escribe como: A. B. C. D. E.

4a 4(1 – a) 1–a 2a a+5

log2 1999

12. Si N = 10 A. B. C. D. E.

Unidad 1

UNIDAD 1 (32-69)n:Maquetación 1

entonces:

N es mayor que 1012. N está entre 1010 y 1011. N es mayor que 22000. Ninguna de las anteriores. No se puede estimar.

13. Dadas las gráficas, indica la alternativa correcta. 9. La o las soluciones de la ecuación log(1 – 3x) – log(x + 2) = 2 log 3 son: A. x = –

17 2

f (x)

12 17 17 C. x = – 12 B. x = –

g (x)

D. x > 0 E. No tiene solución. 10. Si f (x) = log x, entonces ¿cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es siempre correcta? I. f (abc) = f (a) + f (b) + f (c) ⎛ a⎞ II. f ⎜ ⎟ = f (a) – f (b) ⎝ b⎠ III. f (an) = f (a)n A. B. C. D. E.

Solo I Solo II Solo III I y II II y III

11. log (x + y) es igual a: A. –log (–x – y) B. log (x) + log (y)

A. g (x) es log (x – 1) y f (x) es log (–x). B. g (x) es log x y f (x) es log x –2. C. g (x) es log x y f (x) es –log x. 1 D. g (x) es log y f (x) es log x. 17 E. Ninguna de las anteriores.

14. ¿Cuál o cuáles de las funciones que se presentan tienen su gráfica en el segundo y cuarto cuadrante? I. – x 5 II. –5x 3 III. 2x 6 A. B. C. D. E.

Solo I Solo II Solo III I y II II y III

C. log (x) + y ⎛ 1 ⎞ D. –log ⎜ ⎝ x + y ⎟⎠ 1 E. 2 log 2 (x + y) Unidad 1

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UNIDAD 2 (70-103)n:Maquetación 1

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Función exponencial Propósito de la Unidad En esta Unidad se busca profundizar en el estudio de las funciones exponenciales. Es importante iniciar el tema recordando algunas funciones estudiadas en años anteriores; por ejemplo, función lineal, función valor absoluto, función cuadrática, función raíz cuadrada, así como la función potencia y logarítmica, tratadas anteriormente. Esta asociación permitirá a sus estudiantes dar una continuidad a los contenidos ya adquiridos. En el trabajo con la función exponencial, se analizan sus características, su comportamiento gráfico y, lo más importante, algunas de las situaciones que se pueden modelar, permitiendo caracterizar fenómenos conocidos por los y las estudiantes, como el crecimiento poblacional, la escala de Richter y el interés compuesto. Además, se analiza su relación con la función logarítmica, enfatizando que una se entiende como inversa de la otra. A partir de la función relacionada con el interés compuesto, se muestra uno de los métodos de aproximación del número irracional e. Finalmente, se estudian las ecuaciones exponenciales, centrando su aplicación en la solución de problemas de la vida cotidiana.

Esquema de la Unidad Función exponencial

Definición

Representación gráfica

Función inversa

Función logaritmo

Función creciente

Número e

Función exponencial natural

Aproximación número e

70 |Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

Métodos de resolución

Crecimiento y decrecimiento exponencial

Igualación de bases

Función logaritmo natural

Función decreciente

Ecuaciones exponenciales

Aplicación de logaritmos

Aplicaciones

Unidad 2

Uso de algún programa computacional de manipulación algebraica y gráfica.

Función valor absoluto; gráfico de esta función. Interpretación del valor absoluto como expresión de distancia en la recta real.

Ecuación de la recta. Interpretación de la pendiente y del intercepto con el eje de las ordenadas. Condición de paralelismo y de perpendicularidad.

Uso de algún programa computacional de manipulación algebraica y gráfica.

Función cuadrática. Gráfico de las siguientes funciones: y = x2 y = x 2 ± a, a > 0 y = (x ± a)2, a > 0 y = ax 2 + bx + c Discusión de los casos de intersección de la parábola con el eje x. Resolución de ecuaciones de segundo grado por completación de cuadrados y su aplicación en la resolución de problemas.

3º Medio

Uso de algún programa computacional de manipulación algebraica y gráfica.

Análisis y comparación de tasas de crecimiento. Crecimiento aritmético y geométrico. Plantear y resolver problemas sencillos que involucren el cálculo de interés compuesto.

4º Medio

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Potencias con exponente entero. Multiplicación y división de potencias. Uso de paréntesis.

Resolución de desafíos y problemas no rutinarios que involucren sustitución de variables por dígitos y/o números.

Expresiones algebraicas fraccionarias simples, (con binomios o productos notables en el numerador y en el denominador). Simplificación, multiplicación y adición de expresiones fraccionarias simples.

2º Medio

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Generalización de la operatoria aritmética a través del uso de símbolos. Convención de uso de los paréntesis.

Sentido, notación y uso de las letras en el lenguaje algebraico. Expresiones algebraicas no fraccionarias y su operatoria. Múltiplos,factores, divisibilidad. Transformación de expresiones algebraicas por eliminación de paréntesis, por reducción de términos semejantes y por factorización. Cálculo de productos, factorizaciones y productos notables.

1º Medio

Relación entre los CMO de la Unidad y los de años anteriores

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Aprendizajes esperados

Actividades asociadas • Identifican dominios y recorridos de la función exponencial y logarítmica. • Analizan el comportamiento de la función exponencial, clasificándola en creciente o decreciente. • Asocian por medio de procedimientos algebraicos y análisis gráfico la función exponencial y logarítmica como una inversa de la otra. • Calculan la función inversa de una función exponencial.

Indicadores de evaluación

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Uso de programas computacionales de manipulación algebraica y gráfica. Decrecimiento exponencial.

Crecimiento exponencial.

Función exponencial y función logarítmica.

• Analizar el crecimiento y decrecimiento de funciones exponenciales. • Analizar el comportamiento gráfico de la función exponencial.

En el Texto De construcción de conceptos: páginas 70 y 71. De consolidación: página 92.

• Utilizan herramientas tecnológicas para graficar funciones exponenciales. • Identifican características de las funciones exponenciales obtenidas en los programas computacionales.

Sumativa: Páginas 95, 96 y 97 del Texto del Estudiante. Páginas 99 y 100 de la Guía Didáctica del Docente.

Computador con programa para graficar funciones.

Calculadora científica.

Recursos didácticos

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Formativa: Páginas 77 y 89 del Texto del Estudiante. Páginas 81 y 91 de la Guía Didáctica del Docente.

Diagnóstica: Páginas 63 y 65 del Texto del Estudiante.

Tipos de evaluación

Tiempo estimado: 6 a 7 semanas

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Función exponencial

En el Texto De exploración: páginas 66, 72, 74, 78, 80, 82, 84 y 86. De construcción de conceptos: páginas 68, 69, 73, 75, 79, 81, 83, 85, 87 y 91. De consolidación: páginas 76, 77, 88, 89, 92, 93 y 94. En la Guía Didáctica Aplicaciones de la ecuación • Utilizar las funciones • Comprenden por medio de la exponencial. logarítmica y exponencial De refuerzo: páginas 80, expresión algebraica de una Análisis y comparación para modelar situaciones 81, 82, 86, 87, 88, 89, función exponencial fenómenos de tasas de crecimiento. o fenómenos naturales 92 y 97. naturales y sociales. De profundización: Crecimiento aritmético o sociales y resolver • Resuelven problemas de páginas 81, 83, 86, y geométrico. Plantear y problemas. aplicaciones naturales y 92 y 97. resolver problemas sencillos sociales mediante ecuaciones que involucren el cálculo exponenciales. de interés compuesto. • Modelan situaciones de la vida cotidiana utilizando la función exponencial.

Función exponencial.

Contenidos de la Unidad

• Analizar el crecimiento y decrecimiento de Función exponencial y Función logarítmica y funciones exponenciales. función logarítmica. exponencial, sus gráficos • Analizar el comportacorrespondientes. miento gráfico y analítico Aproximación al número e. Modelación de fenómenos de la función exponencial. Función exponencial naturales y/o sociales a • Reconocer las funciones través de esas funciones. natural. exponencial y logarítmica Análisis de las expresiones Ecuaciones exponenciales. una como inversa de algebraicas y gráficas de la otra. Crecimiento exponencial. la función logarítmica y exponencial […]. Decrecimiento exponencial.

CMO

Propuesta de planificación de la Unidad

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Unidad 2

UNIDAD 2 (70-103)n:Maquetación 1

Referencias teóricas Para facilitar el uso de las herramientas tecnológicas computacionales propuestas, presentamos un tutorial para instalar y utilizar el programa GeoGebra.

Tutorial de instalación del programa GeoGebra es el software que se utilizará en esta Unidad. El programa es de libre disposición en Internet y se puede encontrar en la página www.geogebra.org Antes de comenzar su clase, es recomendable que previamente instale el programa en cada uno de los computadores que se van a utilizar, para prevenir dificultades o demoras en el proceso de instalación. Por ejemplo, es posible que los computadores tengan autorización solo del administrador para instalar programas; esto evita que los y las estudiantes bajen programas para fines no académicos en los computadores. En este caso, solicite al administrador de los computadores su autorización para instalar el programa. Luego, debe verificar si cada computador cuenta con conexión a Internet. Si es así, ingrese a la página www.geogebra.org y siga los pasos que se señalan en la página 70 del Texto del Estudiante. En caso contrario, puede descargar el programa de algún computador que sí tenga conexión y después copiarlo en los demás. Para esto verifique si el computador tiene puerto USB o lector de CD. En cada caso necesitará grabar el programa en un pendrive o en un CD, respectivamente. Para descargar el programa al CD o pendrive se debe: Ingresar a la página www.geogebra.org, y luego hacer clic en el botón Download, tal como el de la imagen.

Después, se abrirá una página donde se muestran varias opciones de descarga, según el sistema operativo del computador donde se desea instalar el programa. Si los computadores que va a utilizar usan Windows, haga un clic sobre la opción y luego elija guardar. Se recomienda traspasar el archivo al escritorio del computador, para después copiarlo a su CD o pendrive. El archivo tiene un tamaño de 14,9 MB, por lo que la descarga demorará entre 10 y 30 minutos, dependiendo de la rapidez de la conexión a Internet que disponga. Posteriormente, abra el archivo en cada uno de los computadores que necesita, haciendo doble clic sobre el ícono, y siguiendo los pasos de instalación que aparecen en pantalla.

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Tutorial de uso del programa Barra de menú: Barra de entrada: La barra de entrada está ubicada en la parte inferior de la ventana del programa, donde se deben escribir las funciones a graficar. En caso de que no aparezca, entonces actívela en el menú vista/barra de entrada, tal como aparece en la figura (estará visible si tiene el ticket al lado izquierdo).

Para graficar las funciones exponenciales, debe tener presente que estas funciones se escriben de manera similar a como se hace en las calculadoras. Por ejemplo, la x 1 se escribe f ( x ) = (1/2)^x en la barra de entrada. Si tiene valores función f ( x ) = 2 decimales deben ir con punto en lugar

()

de coma. Todas las funciones, una vez que son graficadas, aparecen en la ventana de vista algebraica y en la de vista gráfica. En la ventana de vista algebraica, se puede desactivar la gráfica de alguna de las funciones, presionando el botón verde que aparece junto a la función y dejándolo en blanco. Observación: Si al escribir la función, no se ve su gráfica, entonces se necesita realizar un acercamiento o zoom, de la siguiente manera:

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Unidad 2

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En la barra de herramientas, que aparece en la parte superior de la ventana, se encuentra el botón Desplazar Vista Gráfica. Esta herramienta permite desplazar todo el plano cartesiano, así como también permite alejarse o acercarse para observar los puntos o las gráficas de las funciones. Si desea cambiar la graduación de los ejes, debe ingresar en la barra de menú a Opciones y luego a Vista Gráfica.

Luego, se desplegará una ventana donde podrá realizar las variaciones que considere pertinentes en los ejes X e Y.

Seleccione el eje que va a modificar

Si selecciona 1, entonces aparecen los valores 1, 2, 3, 4, 5, etc., en el eje seleccionado. Si selecciona 5, entonces aparecen los valores 5, 10, 15, 20, etc., en ese eje.

Razón entre los ejes X e Y. Si se escribe 1 : 2, entonces en el plano cartesiano la distancia correspondiente a 1, en el eje X, corresponde a 2 en el eje Y. Permite especificar el intervalo de valores que aparecen en la vista gráfica de cada eje.

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Puntos pertenecientes a las funciones Sobre el botón llamado nuevo punto, haga clic y sitúe el puntero sobre el plano cartesiano. Junto al puntero aparecen las coordenadas del punto correspondiente a su ubicación; si ubica el puntero sobre la función, entonces dichos valores corresponden a un punto de la función. Cuando esto sucede, la gráfica de la función se oscurece o resalta. Cada vez que se haga clic con esta herramienta, el programa señala un punto en el gráfico y sus coordenadas en la parte algebraica. Ejemplo:

En la barra de herramientas, se encuentra el botón llamado Elige y mueve. Esta herramienta permite seleccionar la gráfica de una función, tanto en la vista gráfica como en la algebraica, y trasladarlas en el plano cartesiano situando el puntero sobre la función en la vista gráfica y manteniendo presionado el botón del mouse, o bien con las fechas de dirección del teclado, desplazando la función donde se desee. Observe que al realizar esta acción cambia la función en la vista algebraica también.

Si grafica la función f ( x ) = 2x, la selecciona en la vista gráfica y la desplaza hacia arriba con el mouse, o bien con las flechas del teclado, la función en la vista algebraica será, por ejemplo, f ( x ) = 2x + 5.

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Páginas de entrada

La tortuga verde de mar (Chelonia mydas) es una especie en peligro de extinción. El primer tiempo de vida es, indudablemente, el tiempo más peligroso en la vida de las tortugas. En cambio, una tortuga adulta casi no tiene depredadores. Esto se puede modelar mediante una función exponencial. Por este motivo, la imagen inicial es un excelente recurso visual para motivar a sus alumnos y alumnas, y además para activar sus conocimientos y experiencias previas.

Conversemos de... Actividad 1a4

Habilidades que desarrollan Recordar y conectar.

Actividad inicial Para motivar el aprendizaje de esta Unidad se muestra el problema del crecimiento poblacional. La finalidad de la información es que los y las estudiantes comprendan que el estudio de la función exponencial les entregará una herramienta poderosa para entender diferentes fenómenos naturales y sociales. Al explicar lo que representan las constantes P0, K y r, es importante recordar que se les llama constantes en el sentido de que adoptan un valor fijo para cada especie que se esté estudiando y para enfatizar la diferencia respecto de las variables t y P ( t ). Esta es una buena oportunidad para comentar con mayor profundidad en la clase el tema de los animales extintos y en peligro de extinción, ya que uno de los objetivos transversales dentro del ámbito de crecimiento y autoafirmación personal se refiere al interés y capacidad de conocer la realidad y utilizar el conocimiento y la información. En este caso, se sugiere coordinar acciones con el o la docente de Biología para abordar este tema. Algunos animales en peligro de extinción son: Nacional: pudú, cóndor. Internacional: panda, ballenas. Algunos animales que cumplen con las distintas estrategias descritas: numerosos descendientes (conejos, peces, ranas, etc.). Pocos descendientes (elefantes, pingüinos, etc.). Estrategia intermedia (monos, leones, etc.).

Aprendizajes esperados de la Unidad En el esquema inicial se explicitan los principales contenidos y su relación con los aprendizajes que se espera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad. Se sugiere que los comente con sus estudiantes y, luego, puede preguntarles qué saben sobre el número e, función exponencial y logarítmica, crecimiento y decrecimiento exponencial. Con las ideas que les vayan diciendo sus estudiantes puede hacer un esquema o mapa semántico en la pizarra, esto le permitirá obtener información acerca de las conductas de entrada de sus alumnos y alumnas y, a la vez, ellos podrán recordar conceptos trabajados en años anteriores que les servirán para lograr los aprendizajes de la Unidad.

Unidad 2

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Páginas 64 y 65

Página 78

Evaluación diagnóstica

¿Cuánto sabes? Ítems

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Habilidades que evalúan

Calcular y representar.

Asociar y representar.

Representar.

Aplicar y calcular.

En estas páginas se presenta una evaluación diagnóstica que permitirá medir el nivel de conocimiento que tienen los y las estudiantes acerca de los contenidos que son necesarios para comprender esta Unidad. La evaluación diagnóstica se presenta con el título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios: Ítem 1: determinar el dominio y recorrido de funciones. Ítem 2: asociar los gráficos con la representación algebraica de funciones y determinar su dominio y recorrido. Ítem 3: graficar funciones. Ítem 4: resolver ecuaciones exponenciales.

Posibles dificultades en la evaluación diagnóstica • En los ejercicios de los ítems 1 y 2 es posible que los y las estudiantes no recuerden los conceptos de dominio y recorrido de funciones; de ser así, es conveniente recordarles la definición de cada concepto, pero no el procedimiento para su obtención, ya que es esto lo que se quiere evaluar. • En el ítem 1 es probable que los alumnos y alumnas no sepan qué método utilizar para obtener el dominio y recorrido de las funciones. En este caso, recuérdeles a sus estudiantes que pueden obtener las respuestas a través de un procedimiento algebraico, gráfico o intuitivo, y que para escribir la respuesta se puede utilizar una representación de intervalo, por ejemplo, x 僆 [1,+∞[. • En el ítem 2, recuerde a sus estudiantes que el eje de las abscisas corresponde a la variable independiente (x) y el eje de las ordenadas al de la variable dependiente (y), y en caso de que el alumno o la alumna utilice una tabla de valores para determinar la gráfica de las funciones, proponga una adecuada selección de valores, con números positivos, negativos y cercanos a cero. Si el o la estudiante solo clasifica las funciones según sus gráficas, recuérdeles que el ítem se revisará como correcto solo si están también sus representaciones algebraicas. • En el ítem 3 es posible que los alumnos y alumnas no elijan en forma adecuada los valores para poder graficar las funciones; recuérdeles el uso de una tabla de valores, sugiriendo la utilización de números positivos y negativos y no muy lejanos al cero. Además, explíqueles que deben esbozar las gráficas y no realizarlas en forma exacta. Es importante eso sí que la intersección con cada eje esté correcta, así como también la curva que describe. También es adecuado realizarlo a partir de la intuición, basándose en la clasificación de las funciones. • En el ítem 4, recuerde a sus estudiantes que antes de igualar los exponentes, deben verificar que efectivamente las potencias tengan la misma base y que estén escritas como una sola potencia a cada lado de la igualdad.

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UNIDAD 2 (70-103)n:Maquetación 1

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Página 79

Ítems

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Unidad 2

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar a sus estudiantes.

Por lograr

Calcula y representa correctamente el dominio y recorrido, independiente del método utilizado.

Calcula correctamente el dominio y recorrido, identificando los conceptos solicitados, pero tiene dificultades en la representación.

Calcula y representa solo el dominio o solo el recorrido de funciones, pero identifica bien el concepto calculado.

No logra calcular ni representar el dominio y recorrido de las funciones, debido a que desconoce el o los conceptos solicitados.

Identifica correctamente las cuatro funciones y sus respectivos dominios y recorridos.

Identifica correctamente las funciones, pero solo logra determinar correctamente el dominio o el recorrido.

No identifica correctaNo logra identificar mente las funciones, funciones ni determinar pero determina correcta- el dominio y recorrido. mente el dominio y recorrido.

Representa correctamente la gráfica de las funciones, independiente del método que ha utilizado.

Realiza un gráfico aproximado de las tres gráficas, pero comete errores en las intersecciones con los ejes, aun cuando el comportamiento que describe sea correcto.

Utilizando una tabla de valores une los puntos encontrados, esbozando correctamente parte de la gráfica, pero no la prolonga al resto del plano cartesiano.

No logra gráficas correctas, ya sea porque solo une puntos con segmentos rectos o porque desconoce lo que se le está pidiendo.

Plantea y resuelve correctamente todos los ejercicios aplicando la propiedad de igualación de bases y exponentes.

Plantea correctamente todas las ecuaciones aplicando las propiedades de potencia para igualar las bases, pero comete errores en las ecuaciones que se generan luego de aplicada la propiedad ax = ay x = y.

Resuelve correctamente los ejercicios con números enteros, pero comete errores en el cambio de base de la potencia de los ejercicios que involucran números racionales (o fracciones).

No logra calcular ni escribir la ecuación asociada, debido a que desconoce el algoritmo solicitado.

Unidad 2

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UNIDAD 2 (70-103)n:Maquetación 1

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Páginas 66 a 69

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Página 80

Función exponencial

Analicemos...

Actividad inicial

Habilidades que desarrollan

La actividad inicial propuesta en el Texto del Estudiante tiene por objetivo que los alumnos y alumnas analicen algunas de las características de la función exponencial a partir de su representación gráfica, que analicen su comportamiento, la relacionen con la tabla de valores correspondiente y determinen, después, su representación algebraica.

Recordar, calcular, conectar y analizar.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Analizar y reconocer.

Calcular y representar.

Calcular y verificar.

3, 5 y 7

Evaluar, representar y aplicar.

Evaluar, representar y analizar.

Indicaciones respecto del contenido Es recomendable aclararles a los y las estudiantes que, para el análisis a partir de la representación gráfica, cuando se hace mención a que x aumenta, se refiere a que los valores que se asignan a la variable independiente x son cada vez mayores y eso se traduce, en el gráfico, en un desplazamiento en el eje de las abscisas hacia la derecha. De manera similar, cuando se habla que x disminuye, se observa un desplazamiento hacia la izquierda. En relación con el comportamiento de las funciones, esto se refiere a cómo se describe la gráfica de la función para diferentes valores de x. Así, nos encontraremos con funciones que crecen a medida que x aumenta, y con otras que decrecen a medida que x aumenta. Estos conceptos de crecimiento y decrecimiento acompañarán a sus estudiantes a lo largo de toda la Unidad, por lo cual es conveniente que grafique en la pizarra otras funciones y analice su comportamiento, enfatizando que una función puede crecer y luego decrecer, o viceversa; en casos como este, se analiza su crecimiento por intervalos, como, por ejemplo, en la función cuadrática. Recuérdeles a sus estudiantes que una función se indefine cuando: 4 • Es una fracción y su denominador se hace cero. Por ejemplo, no está 0 0 definida. En cambio, si su numerador es cero, por ejemplo , el valor de la 7 fracción es cero. • Corresponde a una raíz de índice par y su cantidad subradical es negativa. Por ejemplo,

−32 (tiene índice 6 y cantidad subradical –32), o bien

−81 ; en este último caso recuerde a sus estudiantes que el índice es 2 y no se anota, ya que se encuentra implícito.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Grafica las siguientes funciones. Luego, determina su dominio, recorrido, si es creciente o decreciente y su punto de intersección con el eje Y. a. b. c. d.

f ( x ) = 4x g ( x ) = 0,2x h ( x ) = 0,7x k ( x ) = 8x

80 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

UNIDAD 2 (70-103)n:Maquetación 1

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Página 81

a. (5, 100 000) b. (7, 2187)

Unidad 2

2. Determina, en cada caso, la función exponencial f ( x ) = ax que pasa por los siguientes puntos. c. (0,2, 0,008) d. (–3, 0,125)

(Habilidades que desarrollan: calcular, evaluar, representar y aplicar). De profundización 1. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica tu decisión. a. El dominio de una función exponencial son los números reales positivos. b. El punto (1, 0) pertenece a la gráfica de una función exponencial f ( x ) = ax, con a ⫽ 1. c. Si a < 1, la función exponencial f ( x ) = ax, es decreciente. (Habilidades que desarrolla: analizar y justificar).

Páginas 70 y 71

Herramientas tecnológicas

Para facilitar el aprendizaje de esta Unidad se implementa el uso de una herramienta tecnológica. El programa GeoGebra es gratuito y de libre disposición para descargarlo desde Internet.

Ítems 1y3

Usar herramientas.

En las actividades propuestas se espera que sus alumnos y alumnas puedan graficar funciones utilizando el programa GeoGebra y analizar características de las funciones observando las gráficas generadas por el programa.

2y4

Interpretar, analizar y aplicar.

Páginas 72 y 73

Habilidades que desarrollan

Función exponencial y función logarítmica

Actividad inicial

Analicemos...

La actividad inicial propuesta en el Texto del Estudiante tiene por objetivo que los y las estudiantes relacionen la función exponencial con la función logarítmica y las interpreten una como inversa de la otra. Para esto, primero se analizan sus gráficas y, luego, se propone que analicen su comportamiento y verifiquen algebraicamente que se trata de funciones inversas.

Habilidades que desarrollan Recordar, conectar y analizar.

Actividades

Indicaciones respecto del contenido Recuerde que f –1( x) corresponde a la función inversa de f ( x ) si se cumple que toda vez que f (a) = b, se tiene que f –1( b ) = a, para cualquier valor a de dom f ( x ) y su valor b de rec f ( x) correspondiente. En toda función inversa se cumple que dom f = rec f –1 y rec f = dom f –1. Pero no siempre la inversa de una función es función; por ejemplo, la función cuadrática debe redefinirse solo para los números positivos para que su inversa, la función raíz cuadrada, sea función.

Ítems

Habilidades que desarrollan

Calcular.

Calcular y representar.

Representar y analizar.

Unidad 2

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UNIDAD 2 (70-103)n:Maquetación 1

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Página 82

Respecto del concepto de simetría en torno a la recta y = x, para una mayor comprensión de sus estudiantes, lo podría explicar de la siguiente manera: Si las coordenadas de un punto son (x, y), el punto simétrico respecto de la recta y = x tiene coordenadas (y, x). Pero si (x, y) pertenece a una función, por definición (y, x) pertenece a la función inversa; luego, las gráficas de la función y su función inversa se reflejan en relación con la recta y = x tal como si fuera un espejo, por lo que se dice que ambas son simétricas respecto de la recta y = x.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Dadas las siguientes funciones exponenciales y logarítmicas, represéntalas en un mismo sistema de coordenadas. Luego, determina en cada caso su dominio, recorrido, intersección con los ejes de coordenadas, y si son crecientes o decrecientes. ¿Qué se observa en sus gráficas? x

a. f ( x ) = 5x y g ( x ) = log5 x

⎛ 1⎞ b. f ( x ) = ⎜ ⎟ y g ( x ) = log 1 x ⎝ 4⎠ 4

(Habilidades que desarrolla: representar y analizar).

Páginas 74 y 75

Aproximándonos al número e

Analicemos...

Actividad inicial

Habilidades que desarrollan

En estas páginas se muestra una aproximación al número e a partir del análisis del interés compuesto. Puede ser conveniente descomponer los cálculos por períodos y, luego, realizar la factorización asociada para obtener las expresiones que se utilizan en el Texto.

Aplicar, calcular y analizar.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Interpretar y analizar.

Justificar.

Representar e identificar.

Ejemplo: Para obtener la expresión que se presenta en el Texto se factoriza la expresión correspondiente a: Capital + Interés pagado sobre Capital + Interés pagado sobre lo acumulado En este caso, el interés es de 50% y se representa como número decimal: 1 000 000 + 1 000 000 · 0,5 + (1 000 000 + 1 000 000 · 0,5) · 0,5 = 1 000 000 + 1 000 000 · 0,5 + 1 000 000 · 0,5 + 1 000 000 · 0,5 · 0,5 = 1 000 000 + 2 · 1 000 000 · 0,5 + 1 000 000 · 0,5 · 0,5 = 1 000 000 · (1 + 2 · 0,5 + 0,5 · 0,5) = 1 1⎞ ⎛ 1 000 000 · ⎜ 1 + 2 · + ⎟ ⎝ 2 4⎠ Si bien esto se puede calcular y obtener un número, resulta mejor factorizarlo 1 como un cuadrado de binomio con términos 1 y : 2 2 1⎞ ⎛ 1 000 000 · ⎜ 1 + ⎟ ⎝ 2⎠ De la misma manera, aplicando una factorización similar a las expresiones que corresponden a los diferentes períodos en que se paga el interés, se pueden obtener las expresiones presentadas en el Texto.

82 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

UNIDAD 2 (70-103)n:Maquetación 1

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17:30

Página 83

Unidad 2

1⎞ ⎛ El número e surge de la expresión ⎜ 1 + ⎟ cuando a x se le asignan valores ⎝ x⎠ muy grandes, es decir, a medida que se remplazan valores mayores en x, se puede obtener una aproximación más precisa del número e. En términos matemáticos, e es el límite que alcanza dicha expresión cuando x x 1⎞ ⎛ tiende al infinito y su notación es: lim ⎜ 1 + ⎟ = e. ⎝ x⎠ x ⬁ Para determinar los puntos de intersección y realizar los gráficos, es posible que sus estudiantes necesiten de calculadora para encontrar los valores de algunas expresiones, en caso de que no dispongan de calculadoras en la clase, entonces proponga el valor aproximado de e 艐 2,71 para que realicen sus cálculos.

Actividades complementarias De profundización 1. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica tu decisión. a. El recorrido de una función exponencial son los números reales. b. El punto (0, 1) pertenece a la gráfica de la función exponencial f ( x ) = e x. c. La función exponencial f ( x ) = e x, es creciente. (Habilidades que desarrolla: analizar y justificar).

Página 76

Organizando lo aprendido

Los mapas conceptuales, como herramientas visuales, permiten a los y las estudiantes organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los alumnos y las alumnas consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. Además, permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus estudiantes en la Unidad.

Actividad Mapa conceptual

Habilidades que desarrolla Recordar y conectar.

Actividades complementarias Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la Unidad realice preguntas como las siguientes: 1. ¿Cuál es la representación algebraica de una función exponencial?, ¿cuáles son sus características? 2. ¿Una función logarítmica es creciente o decreciente?, ¿por qué? 3. ¿Por qué la función exponencial natural no interseca al eje X? Justifica. 4. ¿Qué características de la función f ( x ) = a x cambian según el valor de a? Explica.

Unidad 2

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UNIDAD 2 (70-103)n:Maquetación 1

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Página 77

09:36

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Mi progreso

Calcular y representar.

Calcular.

En esta página se propone una serie de ejercicios que les servirán a sus estudiantes para autoevaluar lo que han aprendido hasta esta instancia; es decir, pueden ser utilizados como una evaluación formativa. Se adjunta una tabla con los criterios de evaluación correspondientes y las páginas a las que puede recurrir para corregir sus errores. Recuerde a sus estudiantes que el último ítem corresponde a una pregunta de selección múltiple, se distingue porque las alternativas están señaladas con letras mayúsculas.

Formular y representar.

Los ítems asociados a esta actividad incluyen los siguientes criterios:

Clasificar y representar.

Verificar.

Ítem 1: determinar dominio, recorrido y punto de intersección con los ejes de funciones. Ítem 2: calcular la función inversa de una función dada. Ítem 3: determinar la función exponencial f ( x ) = a x correspondiente a partir de un punto de su gráfica. Ítem 4: clasificar funciones, según si son crecientes o decrecientes; y determinar su dominio y recorrido. Ítem 5: analizar una función a partir de su expresión algebraica.

Mi progreso Ítems

Habilidades que evalúan

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 1, es posible que los alumnos y alumnas no comprendan completamente los conceptos que se solicitan, y que presenten dificultades; recuérdeles que el dominio y el recorrido lo deben representar como un conjunto numérico o subconjunto, como por ejemplo IR o IR+, o bien como un intervalo de la forma [2, +⬁[ y que el punto de intersección con cada eje se representa como un par ordenado (x, y), no como solo uno de estos valores. • En el ítem 2, es posible que los y las estudiantes no recuerden qué significa ln, indíqueles que corresponde al logaritmo natural, es decir, al logaritmo con base e. Por otra parte, si no recuerdan cómo calcular la función inversa, coménteles que la idea es escribir la variable independiente en términos de la variable dependiente para determinar la representación algebraica de la función inversa. • En el ítem 3, enfatice a sus alumnos y alumnas que la función que pasa por los puntos indicados es exponencial, de la forma f ( x ) = a x. Es decir, deben determinar el valor de a en cada caso. • En el ítem 4, recuerde a sus estudiantes que las características de la función exponencial depende del valor de la base a. Luego, pueden decidir si la función es creciente o decreciente sin graficarla. • En el ítem 5, enfatice a los alumnos y alumnas que para justificar que una afirmación es falsa, basta mostrar un contraejemplo. En cambio, para justificar que es verdadera, se debe argumentar matemáticamente, es decir, con una demostración. A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar a sus estudiantes.

84 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

Ítems

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Completamente logrado

09:36

Página 85

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Calcula y representa correctamente dominio, recorrido y punto de intersección en los ejes, independiente del método utilizado.

Calcula correctamente el dominio, recorrido y el punto de intersección en los ejes, conoce los conceptos que se solicitan, pero tiene dificultades en la representación.

Calcula y representa correctamente solo dos de los tres elementos solicitados, debido a que desconoce dicho concepto.

Calcula y representa correctamente uno o ninguno de los tres elementos solicitados, debido a que desconoce los conceptos.

Calcula correctamente las funciones inversas, independiente del método utilizado.

Calcula correctamente todas las funciones inversas, pero no muestra un método que le permita responder correctamente.

Calcula correctamente a lo menos la inversa de una función exponencial y de una función logarítmica.

Logra calcular correctamente la inversa de no más que una función exponencial o logarítmica, debido a que desconoce los conceptos o el procedimiento.

Formula y grafica correctamente las funciones.

Formula correctamente todas las funciones, aunque algunos de los gráficos presenten errores en la intersección con los ejes. Describe correctamente si las funciones son crecientes o decrecientes.

Formula y grafica correctamente a lo menos una de las funciones, debido a que desconoce lo que representa el número e o se confunde por los signos que aparecen en los puntos.

No logra formular ni graficar correctamente las funciones, o bien las que ha graficado corresponden a funciones formuladas incorrectamente.

Clasifica las funciones y representa el dominio y recorrido correctamente, identificando los parámetros de a en la función de la forma f ( x ) = a x.

Clasifica las funciones y representa el dominio y recorrido correctamente, sin importar el método que utilice.

Clasifica correctamente todas las funciones, pero comete errores en el cálculo del dominio y/o recorrido.

Comete errores en la clasificación de las funciones aun cuando determine el dominio y recorrido.

Identifica correctamente la alternativa, utilizando algún método matemático adecuado.

Identifica correctamente la alternativa, pero no explicita el método que utilizó.

No identifica la alternativa correcta.

Identifica la alternativa correcta, asociando la expresión a la función de la forma f ( x ) = a x y utiliza las definiciones para funciones de esta forma.

Unidad 2

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Unidad 2

UNIDAD 2 (70-103)n:Maquetación 1

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Página 86

Actividades complementarias Ejercicios de refuerzo

Ejercicios de profundización

1. Completa los siguientes ítems utilizando las funciones

1. Las siguientes proposiciones son falsas. Modifícalas para que sean verdaderas.

⎛ 1⎞ f (x) = 3 x + 1 y g (x) = ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠

a. Calcula f ( 3); f ( 0); f ( –1); f ( –2); g ( –1); g ( 0) y g ( –2). b. Utilizando los valores encontrados en el ítem anterior, grafica ambas funciones en un plano cartesiano. c. ¿Cuál es el dominio y recorrido de f ( x ) y g ( x )? d. Determina si las funciones son crecientes o decrecientes.

2. Determina la función inversa de las siguientes funciones. a. f ( x ) = 2 x b. g ( x ) = 10x c. h ( x ) = e x + 2 d. f ( x ) = e 2x – 3 e. g ( x ) = 4 – 5x ⎛ 1⎞ f. h ( x ) = ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

–x

g. f ( x ) = 10x + 2 h. g ( x ) = e x – 3 ⎛ 1⎞ i. h ( x ) = ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠

–3 x

3. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas falsas. a. El dominio de la función y = 2x – 1 es el conjunto de los números reales. b. Una función exponencial es siempre creciente. c. Las gráficas de todas las funciones exponenciales pasan por el punto (1, 0). d. El punto (0, 0) pertenece a todas las funciones exponenciales. e. El gráfico de una función exponencial es simétrico respecto del eje Y.

86 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

a. La función exponencial es una función de la forma y = x a. b. La función f ( x ) = a2x – 3 no es una función exponencial. c. La función inversa de la función exponencial es la función lineal. d. La función y = 2x no es creciente. e. La función a–x es creciente para todo valor de a. f. El dominio de la función exponencial está formado por los reales positivos. g. La función f ( x ) = ax se sitúa por debajo del eje X.

2. Utilizando el programa GeoGebra, en cada caso, remplaza el valor de k con los valores –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, y un valor fijo a la constante a, distinto de 1, y grafica cada función. Luego, responde las preguntas. a. Para la función de la forma f ( x ) = k + ax. i. ¿Qué sucede cuando la constante k adopta valores mayores que cero?, ¿por qué crees que ocurre esto? ii. ¿Qué pasa cuando la constante adopta valores menores que cero? b. Para la función de la forma f ( x ) = a x + k. i. ¿Qué sucede cuando la constante k adopta valores mayores que cero?, ¿por qué crees que ocurre esto? ii. ¿Qué pasa cuando la constante adopta valores menores que cero? c. Para la función de la forma f ( x ) = a k · x. i. ¿Qué sucede cuando la constante k adopta valores mayores que cero?, ¿por qué crees que ocurre esto? ii. ¿Qué pasa cuando la función adopta valores menores que cero?

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Páginas 78 y 79

09:36

Página 87

Unidad 2

UNIDAD 2 (70-103)n:Maquetación 1

Ecuaciones exponenciales

Actividad inicial

Analicemos...

La actividad propuesta en el Texto tiene por objetivo introducir a los alumnos y alumnas en las ecuaciones exponenciales que no pueden resolverse mediante la igualación de las bases de las potencias correspondientes, contenido que han visto en años anteriores.

Habilidades que desarrollan

Enfatice a sus estudiantes que sean rigurosos al aplicar logaritmos. Antes deben verificar que todas las expresiones a las cuales les aplican logaritmos deben ser positivas, por definición y, después de resolver la ecuación, verificar las soluciones obtenidas.

Actividades complementarias

Conjeturar o predecir, calcular y analizar.

Actividades Ítems 1y2

Habilidad que desarrollan Aplicar.

De refuerzo 1. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. a. b. c.

2x + 2 + 2x + 3 = 36 3x + 2 – 3x – 1 = 156 2x · 42x – 1 = 84 – 2x

d. 25x = 0,25 2 e. 5x : 52x= 125

(Habilidad que desarrolla: aplicar).

Páginas 80 y 81

Ecuaciones exponenciales con base e

Actividad inicial

Analicemos...

En el Texto, para ilustrar este tipo de ecuaciones se describe la ley de enfriamiento de Newton, que relaciona el tiempo transcurrido y el cambio de temperatura que se produce en un objeto según la temperatura del medio que lo rodea. A continuación, se explicita la solución de la ecuación. Observe que:

Habilidades que desarrollan Conjeturar o predecir, calcular y analizar.

⎛ 2⎞ ln ⎜ ⎟ = ln (e–1,5k) ⎝ 3⎠ –0,405465 = –1,5k

k = –0,405465 = 0,27031 –1,5

Indicaciones respecto del contenido En el primer ejemplo se presenta la aplicación del cambio de variable, que consiste en asignar una nueva incógnita a la ecuación, en este caso, para obtener una ecuación cuadrática. Luego, se deben resolver las ecuaciones correspondientes con la incógnita original. Enfatice a sus estudiantes que siempre deben remplazar las soluciones en la ecuación exponencial, para descartar soluciones extrañas.

Unidad 2

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UNIDAD 2 (70-103)n:Maquetación 1

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Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Aplicar.

Aplicar y calcular.

Páginas 82 y 83

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Página 88

Otro ejemplo para ilustrar el cambio de variables es:

( )

e 3x 2

e 6x – 2e 3x = –1 – 2(e 3x) + 1 = 0 u2 – 2u + 1 = 0 (u – 1)2 = 0 u=1 e 3x = 1 3x = 0 x=0

se define u = e 3x

se remplaza u = e 3x se aplica ln

Crecimiento exponencial

Analicemos...

Actividad inicial

Habilidades que desarrollan

El objetivo de estas páginas es introducir a los y las estudiantes en algunas de las aplicaciones de la función exponencial, como por ejemplo, el modelamiento del crecimiento poblacional.

Conjeturar o predecir, calcular y analizar.

Indicaciones sobre el contenido Actividades Ítems 1, 2 y 3

Habilidades que desarrollan Aplicar, calcular y analizar.

Al intentar resolver los problemas, los alumnos y las alumnas necesitarán utilizar una calculadora científica para poder determinar algunos valores. Es conveniente que el o la docente solicite previamente la calculadora como material necesario para dicha clase, o bien que publique en la pizarra los valores asociados a los problemas.

Actividades complementarias De refuerzo 1. La población de un país, en millones de personas, está dada por la función: t

⎛ 5⎞ 4 P ( t ) = 8 · ⎜ ⎟ , donde t se mide en años. ¿Cuánto tiempo transcurrirá ⎝ 4⎠ para que la población de este país se triplique? (Habilidad que desarrolla: aplicar).

Páginas 84 y 85

Analicemos... Habilidades que desarrollan Calcular, analizar y representar.

Decrecimiento exponencial Al intentar resolver los problemas, los alumnos y las alumnas necesitarán utilizar una calculadora científica para poder determinar algunos valores. Es conveniente que les solicite previamente la calculadora como material necesario para dicha clase, o bien publique en la pizarra los valores asociados a los problemas.

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Página 89

Actividades complementarias De refuerzo

Actividades Ítems

1. Si la cantidad inicial del isótopo del polonio es de 100 mg. La cantidad restante a los t días es A(t) = 100 · e–0,00495t. ¿Cuántos días transcurrieron si la cantidad del isótopo del polonio es de 67,3 mg?

1, 2 y 3

Habilidades que desarrollan Aplicar, calcular y representar.

(Habilidad que desarrolla: aplicar).

Páginas 86 y 87

Aplicaciones de las ecuaciones exponenciales

Actividad inicial

Analicemos...

Para comprender el problema de aplicación planteado, recuérdeles a sus estudiantes que se entiende por interés compuesto la ganancia que se obtiene de un cierto capital inicial de dinero luego de transcurrido un período, y luego de dicho período la ganancia se añade al capital inicial, es decir, no se retira.

Habilidades que desarrollan

En esta actividad se aplican los diversos métodos de resolución de ecuaciones exponenciales para resolver problemas de crecimiento y decrecimiento exponencial.

Conjeturar o predecir, analizar y evaluar.

Actividades Ítems

Actividades complementarias De refuerzo 1. Una persona invierte $ 2 500 000, a una tasa de interés compuesto del 7% anual.

Habilidades que desarrollan

1, 2, 3 y4

Recordar, aplicar y calcular.

5, 6 y 7

Aplicar y resolver.

a. ¿Cuál es el monto final del capital después de 5 años? b. ¿Después de cuánto tiempo duplicará su capital? (Habilidad que desarrolla: aplicar).

Página 88

Organizando lo aprendido

Actividad Mapa conceptual

Habilidades que desarrolla Recordar y conectar.

Unidad 2

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Unidad 2

UNIDAD 2 (70-103)n:Maquetación 1

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Página 90

Actividades complementarias Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la Unidad realice preguntas como las siguientes: 1. Sin graficar, ¿cómo se reconoce si una función exponencial representa una situación de crecimiento o de decrecimiento exponencial? 2. En general, ¿cómo se resuelve un problema cuya situación está modelada por una función exponencial?, ¿en qué casos no tendría solución?, ¿por qué?

Página 89

Mi progreso Ítems 1 2, 3 y 4

Habilidades que evalúan Calcular. Aplicar y calcular.

Mi progreso En esta página se propone un listado de ejercicios que les servirán a sus estudiantes para autoevaluar lo que han aprendido hasta esta instancia; es decir, puede ser utilizado como una evaluación formativa. Se adjunta una tabla con los criterios de evaluación correspondientes y las páginas a las que puede recurrir para corregir sus errores. Recuerde a sus estudiantes que el último ítem corresponde a una pregunta de selección múltiple, se distingue porque las alternativas están señaladas con letras mayúsculas. Los ítems asociados a esta actividad incluyen los siguientes criterios: Ítem 1: resolver ecuaciones exponenciales. Ítems 2, 3 y 4: resolver problemas de planteamiento que involucren ecuaciones exponenciales.

Posibles dificultades en la evaluación Es posible que sus alumnos y alumnas no comprendan los problemas de los ítems 2, 3 y 4; se sugiere que lea a lo menos uno de los problemas con sus estudiantes, recordándoles los problemas vistos en las páginas anteriores. Para resolver la mayoría de los problemas, los alumnos y alumnas necesitarán de una calculadora científica que les permita llegar a los valores aproximados de las soluciones; en caso de no tener acceso a ellos, se sugiere que escriban la expresión que les permite obtener el resultado lo más simplificada posible, y eso se considerará como correcto.

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Página 91

Unidad 2

UNIDAD 2 (70-103)n:Maquetación 1

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar a sus estudiantes.

Ítems

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Resuelve correctamente todas las ecuaciones exponenciales, utilizando los métodos vistos en la Unidad.

Resuelve correctamente Resuelve correctamente a Resuelve correctamente todas las ecuaciones lo menos tres de las ecua- dos o menos de las ecuaexponenciales, pero ciones exponenciales. ciones exponenciales. entrega la solución como una expresión con logaritmos y no los calcula o reduce lo más posible, aplicando propiedades.

2y3

Responde correctamente todas las preguntas que se formulan en cada problema, planteando las ecuaciones y resolviéndolas correctamente.

Plantea y resuelve correctamente todas las ecuaciones que le permiten dar respuesta a cada una de las preguntas, pero necesita orientación para comprender el problema y elaborar las respuestas.

Plantea correctamente todas las ecuaciones que resuelven los problemas, pero comete errores al menos en una de ellas al despejar la incógnita, obteniendo un valor incorrecto. Aun así, formula una respuesta para responder a las preguntas.

Marca la alternativa en forma correcta explicitando el método utilizado.

Marca la alternativa en forma correcta, pero no explicita el método utilizado.

Omite la pregunta pero Marca una alternativa plantea y resuelve una incorrecta o la omite. ecuación que le permitiría resolver el problema llegando a una respuesta equivalente a la correcta, pero no logra asociarla con la respuesta correcta.

Comete errores en el planteamiento en al menos una de las ecuaciones que resuelve el problema.

Unidad 2

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UNIDAD 2 (70-103)n:Maquetación 1

5/11/10

09:36

Página 92

Actividades complementarias Ejercicios de refuerzo 1. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales igualando las bases de las expresiones que aparecen a cada lado de la igualdad.

c. Si en otra región con similares características la tasa es de 1,7, y trascurridos seis años la población asciende a cuatro millones de individuos, ¿cuál es la población inicial en este caso utilizando el mismo modelo de crecimiento?

a. 625x + 3 = 1253 – x ⎛ 1⎞ b. 52x – 1 = ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠

⎛ 1⎞ c. 32x + 3 = ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

Ejercicios de profundización

d. 0,0001 = 10x + 3 ⎛ 4⎞ e. ⎜ ⎟ ⎝ 9⎠

⎛ 81⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 16 ⎠

2 – x

2. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales aplicando logaritmos. a. b. c. d. e.

2 = 52 – x 3x + 1 = 6 12 = 2x + 2 5 = 10x 2 = e 2x + 3

3. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: a. b. c. d. e.

e 2x – 5e x + 6 = 0 e 2x – 10e x + 16 = 0 e 10x = 6e 5x +16 32x + 6 · 3x = 27 52x + 1 + 52x + 2 + 30 = 0

Uso de la calculadora Una función exponencial especialmente importante es y = e x, donde la base es el número e 艐 2,71828182… Debido a su importancia, muchas calculadoras científicas tienen la tecla e x, que nos permite calcular el valor directamente (en lugar de utilizar la tecla yx) para cualquier número real x. En algunas calculadoras e x se calcula utilizando las teclas INV y ln. Esto se debe a que ln es la función inversa de e x. Y en otras calculadoras se debe presionar primero la tecla SHIFT y luego e x. Ejemplo: Calculemos e3. 1º Presiona la tecla SHIFT. 2º Presiona la tecla e x. 3º Escribe el número que indica el exponente (3). 4º Presiona la tecla =. (Nota: en algunas calculadoras primero se realiza el paso 3, y luego el 1 y 2). Respuesta: el resultado aproximado de e 3 es 20,0855… Comentario

4. La siguiente expresión P ( t ) = P0 · e rt modela el crecimiento de una población determinada especie de animales, donde P0 es la población inicial, r la tasa de crecimiento y t el tiempo en años.

El uso de la calculadora puede ser de gran ayuda para respaldar los valores aproximados que entrega la gráfica de la función.

a. Si la población inicial de la especie es de 300 individuos, y después de tres años esta se cuadruplica, determina la tasa de crecimiento. b. Si la tasa de crecimiento es de 1,9, determina cuántos individuos de dicha especie habrá luego de siete años.

1. Grafica la función f ( x ) = e 4x. Luego calcula f ( 1), f ( 3) y f ( –2). 2 2. Grafica la función f ( x ) = e x . Luego calcula f ( 0), f ( –1) y f ( 1).

92 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

Ejemplos:

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Páginas 90 y 91

09:36

Página 93

Unidad 2

UNIDAD 2 (70-103)n:Maquetación 1

Cómo resolverlo

El ejercicio que se propone es un problema asociado con la ley de enfriamiento de Newton, expresada por T (t ) = T0 + Δ ⋅ e

−kt

, donde T0 es la temperatura

del ambiente, Δ es la diferencia entre el estado inicial y la del ambiente T0, k una constante mayor que cero y t el tiempo transcurrido. La resolución del problema corresponde a una ecuación exponencial. Su solución está descrita paso a paso, se explica la sustitución de las constantes T0, Δ y las variables t y T ( t ), y se enfatiza que para encontrar el valor de la incógnita k se aplica logaritmo natural.

Actividades Ítems 1 2y3

Habilidades que desarrollan Resolver problemas. Resolver problemas, conjeturar y comparar.

Para evaluar el desempeño de sus estudiantes en la resolución de problemas, puede utilizar la rúbrica presentada en la página 61 de esta Guía.

Páginas 92 y 93

En terreno

El objetivo de esta página se relaciona con uno de los objetivos transversales del ámbito de crecimiento y autoafirmación personal, referido al interés y capacidad de conocer la realidad y utilizar el conocimiento y la información. Los y las estudiantes reflexionarán sobre el medioambiente y las consecuencias que han tenido los avances tecnológicos con el aumento de la contaminación. Para esto se sugiere coordinar acciones con el profesor o la profesora de Biología para abordar este tema. Además, resultaría importante que los alumnos y las alumnas expusieran los resultados obtenidos de esta investigación dentro de su establecimiento, para promover la conciencia medioambiental en su comunidad escolar.

Investiguemos…

Actividades Ítems 1y2

Habilidades que desarrollan Representar y asociar.

Aplicar.

Analizar.

Investiguemos...

En este trabajo deben organizarse en grupos de tres a cuatro personas y realizar un informe que contenga todas las conclusiones y respuestas a cada una de las preguntas originadas en dicha actividad. El trabajo debe ser expuesto e incluir una propuesta de cómo disminuir la basura electrónica.

Ítems

En las actividades propuestas los y las estudiantes deberán comparar estimaciones realizadas y sacar conclusiones, comparar proyecciones de crecimiento de población con cantidad de celulares, recopilar información por medio de una encuesta escolar, inferir la cantidad de basura que se genera dentro de su entorno, con la información recopilada y analizar situaciones a partir de su experiencia.

Habilidades que desarrollan

Comparar y concluir.

Conectar.

Seleccionar.

Interpretar.

5y6

Analizar y evaluar.

Unidad 2

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UNIDAD 2 (70-103)n:Maquetación 1

5/11/10

Página 94

Actividad Mapa conceptual

Página 94

Síntesis de la Unidad

Actividades complementarias

Habilidad que desarrolla Recordar y conectar.

Páginas 95 a 97

09:36

Una vez que sus estudiantes han realizado cada uno su mapa conceptual, pídales que se los intercambien, de modo que cada uno revise y compare con el mapa conceptual de su compañero o compañera. Recuérdeles que en un mapa conceptual cada concepto se debe escribir de manera independiente y que son las palabras enlace las que indican las relaciones que hay entre los conceptos.

Evaluación sumativa En estas páginas se propone una evaluación que integra todos los contenidos vistos en la Unidad. Esta instancia puede ser utilizada como una evaluación sumativa que considera las habilidades del cuadro. Ítems

Habilidades que evalúan 1, 4 y 5

Analizar.

2, 3, 6 y 7

Verificar.

1, 2, 3 y 4

Aplicar y calcular.

1, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14

Calcular.

4, 5, 15

Aplicar y calcular y analizar.

6 y 11

Analizar.

I II

III

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • Recuerde a sus estudiantes que deben analizar las afirmaciones del ítem I a partir de las definiciones y no necesariamente deben realizar los gráficos para fundamentar sus respuestas. • En el ítem II, es posible que los y las estudiantes tengan dificultades para comprender los enunciados y extraer los datos necesarios para resolver el problema. Sugiérales que subrayen la información más relevante de cada problema. • Para resolver la mayoría de los ejercicios del ítem II, se recomienda que los alumnos y alumnas utilicen calculadoras científicas; en caso de no disponer de ellas, explíqueles que deben escribir la expresión correspondiente a la solución lo más reducida posible, aplicando las propiedades de logaritmo y potencia que conocen.

94 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

UNIDAD 2 (70-103)n:Maquetación 1

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09:36

Página 95

Ítems

Completamente logrado

Logrado

Determina correctamente el valor de verdad de todas las afirmaciones, justificando todos los casos. Responde correctamente todas las preguntas que se formulan en cada problema, planteando las ecuaciones y resolviéndolas correctamente.

Unidad 2

A continuación, se presenta una rúbrica referida a los ítems I y II que puede utilizar para evaluar el desempeño de sus estudiantes en la evaluación sumativa. Medianamente logrado

Por lograr

Determina correctamente el valor de verdad de todas las afirmaciones, pero justifica solo las falsas.

Determina correctamente el valor de verdad de al menos seis de las afirmaciones.

Determina correctamente el valor de verdad de cinco afirmaciones o menos.

Plantea y resuelve correctamente todas las ecuaciones que le permiten dar respuesta a cada una de las preguntas, pero necesita orientación para comprender el problema y elaborar las respuestas.

Comete errores en el planteamiento en a lo menos una de las ecuaciones que resuelve el problema.

Para el ítem III, considere: Completamente logrado: si contesta correctamente todas las preguntas (15 preguntas). Logrado: si contesta correctamente 11 preguntas o más. Medianamente logrado: si contesta correctamente entre 7 y 10 preguntas. Por lograr: si contesta correctamente 6 preguntas o menos. A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzar o profundizar los contenidos trabajados en la Unidad. Usted podrá plantearles las actividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtengan en la evaluación sumativa y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.

Unidad 2

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UNIDAD 2 (70-103)n:Maquetación 1

5/11/10

09:36

Página 96

Actividades complementarias Ejercicios de profundización 1. Un científico dispone de un cultivo de 1000 gusanos que se dividen en dos cada 20 minutos. ¿En cuánto tiempo tendrá 150 000 gusanos? A.

20 log 150 minutos log 2

log 150 minutos 20 log 2

log 2 minutos log 150

20 log 2 log 150

minutos

log 2 minutos 20 log 150

2. Un cultivo de “bacterias asesinas” se inicia con 105 unidades, duplicándose cada 50 minutos. ¿Cuál es la fórmula del crecimiento en un tiempo t? A. N ( t ) = 105 · 20,02t B. N ( t ) = 105 · 2–0,02t C. N ( t ) = 10–5 · 20,02t D. N ( t ) = 10–5 · 2–0,02t E. Ninguna de las anteriores.

3. Ciertas bacterias triplican su población por hora durante el día y se reducen a la mitad en cada hora de la noche. Si a las 19 horas había 64 bacterias en un frasco y se oscureció a las 21 horas, ¿cuántas bacterias había a la 1 a.m. del día siguiente? A. 72 B. 36 C. 18 D. 9 E. Entre 4 y 5.

96 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

4. Una población de mosquitos del Amazonas crece según 600 000 la función f ( t) = donde t es el 1 + 599 · e–0,022t número de días. ¿Cuántos mosquitos hay al inicio y cuántos después de un tiempo muy prolongado? A. 600 000 e infinitos, respectivamente. B. 1000 y 600 000, respectivamente. C. 600 y 600 000, respectivamente. D. 1000 e indeterminado, respectivamente. E. 600 y 1000, respectivamente.

5. ¿Cuándo alcanzará cierto país una población de 20 millones de personas si en 1990 se propuso el modelo N (t) = 5,1 e0,02t? (Donde N( t ) representa los millones de habitantes luego de t años). A. En el año 2058. B. En 58 años a partir de 1990. C. En el año 2050. D. En el año 2018. E. No se puede determinar.

6. Una sustancia radiactiva se desintegra en un tiempo t medido en horas, de acuerdo con la función f ( t ) = A · 10–0,024t. 1 Si f ( t ) = A, entonces t es: 2 A. 2,5 h B. 12,5 h C. 35,7 h D. 132,5 h E. 9,8 h

7. Una persona deposita en una institución financiera $ 250 000 al 12% anual de interés. ¿En qué tiempo su capital ascenderá a $ 300 000? A. Luego de 12 meses. B. Luego de 19 meses. C. Luego de 24 meses. D. Luego de 36 meses.

5/11/10

09:36

Página 97

Unidad 2

UNIDAD 2 (70-103)n:Maquetación 1

Evaluación final En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiar y que le permitirá medir los aprendizajes de sus alumnos y alumnas en la Unidad. Con los resultados de esta evaluación se puede tomar la decisión de reforzar algunos temas que no hayan sido aún comprendidos a cabalidad por sus estudiantes. El tiempo estimado para la realización de la prueba es de 60 minutos. Este tiempo puede ser modificado según las características de sus estudiantes. Indique a sus alumnos que no es necesario el uso de calculadora, debido a que las soluciones de los ejercicios relacionados con cálculo de logaritmos y potencias están representadas como expresiones equivalentes al resultado y no como valores numéricos. Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes, se sugiere utilizar la siguiente pauta: Ítems 1, 2, 4 y7

Habilidades que evalúan Identificar, reconocer y analizar.

3, 5, 6, 8, Calcular. 9, 10 y 11 12 y 13

Aplicar, calcular y analizar.

Puntaje

Total

2 puntos cada una

8 puntos

2 puntos cada una

14 puntos

2 puntos cada una

4 puntos

Puntaje total:

26 puntos

Considere: Completamente logrado: si contesta correctamente todas las preguntas (13 preguntas). Logrado: si contesta correctamente 9 preguntas o más. Medianamente logrado: si contesta correctamente entre 6 y 7 preguntas. Por lograr: Si contesta correctamente 5 preguntas o menos.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En las preguntas 1, 2, 3 y 6 es importante que recuerde a sus alumnos y alumnas que deben utilizar y analizar la definición de las funciones exponenciales de la forma f ( x ) = ax para responderlas, y no necesariamente graficarlas; si bien sería un procedimiento correcto, es mucho mas largo, lo que les podría hacer perder tiempo. • En las preguntas 7, 9 y 11 es posible que sus alumnos y alumnas obtengan un resultado equivalente al de la alternativa correcta y no logren marcarlas, porque no aplican las propiedades de potencia y logaritmo; sugiérales que las apliquen para hallar la respuesta correcta.

Unidad 2

| 97

UNIDAD 2 (70-103)n:Maquetación 1

5/11/10

09:36

Página 98

Evaluación final Nombre:

Curso:

1. La siguiente gráfica corresponde a la función:

Fecha:

4. ¿Cuál de las siguientes funciones es siempre creciente? ⎛ 2⎞ I. f ( x ) = ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

⎛ 2⎞ II. f ( x ) = ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

–x

III. f ( x ) = 4x + 1 1 ⎞ ⎛ IV. f ( x ) = ⎜ 1 + ⎝ 100 ⎟⎠ A. f ( x ) = 4 · 3x 1 B. f ( x ) = · 3x 2 C. f ( x ) = 3 · 4x D. f ( x ) = 2 · 4x E. Ninguna de las anteriores. 2. ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es falsa en relación con la función f (x) = loga x? I. Si a es mayor que uno, entonces la función es creciente. II. La función es siempre decreciente para todo valor de a. III. f (1) = 0 A. B. C. D. E.

Solo I Solo II Solo III I y III II y III

A. B. C. D. E.

1 log log log log

2 2+1 0,2 2–1

98 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

Solo III Solo IV I, II y III III y IV II, III y IV

5. ¿Cuál de las siguientes funciones modela de mejor manera los valores de la tabla? x y

0,5

0,25

0,12

0,06

A. f ( x ) = x + 1 x B. f ( x ) = 1 – 2 C. f ( x ) = 2x D. f ( x ) = 2–x –x ⎛ 1⎞ E. f ( x ) = ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ 6. La función B ( t ) = 1000 · e 0,5 · t modela el número de bacterias en un cultivo, donde t se mide en horas. ¿Cuál es el valor de y en la siguiente tabla de valores?

3. El valor de x en la siguiente ecuación exponencial 2 = 10 x +1 es: A. B. C. D. E.

t B (t)

A. B. C. D. E.

0 1000

y = 0,2718… y = 2,7182… y = 27,182… y = 271,82… y = 2718,2…

1 1648,7...

5/11/10

09:36

Página 99

Unidad 2

UNIDAD 2 (70-103)n:Maquetación 1

7. Para la función exponencial de la forma f (x ) = t + ax. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? I. Si a = 3, t = 5, entonces f (0) = 6 II. Si 0 < a < 1 y t > 1, entonces la función es creciente. III. Si a = 2 y t = 3, entonces f (k) = 4 si k = 0 A. B. C. D. E.

Solo I Solo II I y II II y III I y III

8. La solución de la ecuación 4x – 2x + 1 = –1 es: A.

1 2

B. –

1 2

C. –1 D. 1 E. 0

9. La solución de la ecuación exponencial 3x + 1 = 2 es: A.

log 3 log 2 – log 3

log 3 – log 2 log 3

log 2 + log 3 log 3

log 2 – log 3 log 3

10. La función exponencial y = f ( x ) = b x, con b 僆 IR+ y b ⫽ 1, satisface la ecuación f (2) = 64. En tal caso, el valor de b es: A. B. C. D. E.

–8 –6 2 6 8

11. Si f ( x ) = log2 x, entonces f (16) – f (8) = A. B. C. D. E.

7 log2 24 1 log2 8 Ninguna de las anteriores.

12. Juan deposita 50 000 pesos en su cuenta de ahorro. El banco le ofrece 0,3% de interés mensual en caso de que no retire el dinero por seis meses. ¿Cuánto es el monto final que obtiene Juan? A. B. C. D. E.

50 000 + (1+ 0,3)6 50 000 + (1,03)6 50 000 + (1,003)6 50 000 · 1,036 50 000 · 1,0036

13. Una población de bacterias se duplica cada media hora. Si al mediodía la población era de 64 millones, ¿cuál es la expresión que permite calcular cuántas bacterias habrá a las cinco de la tarde? A. B. C. D. E.

P (5) = 645 P (10) = 6410 P (5) = 64 · 25 P (10) = 64 · 210 P (10) = 64 · 10

E. log 2

Unidad 2

| 99

UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1

5/11/10

09:40

Página 100

Vectores Propósito de la Unidad Esta Unidad tiene por objetivo enriquecer el contexto geométrico que los alumnos y alumnas manejan hasta este nivel, incorporando conceptos y herramientas que representan el plano y el espacio a través del modelo vectorial, que sustenta notables avances en la Física y la Matemática. Uno de los fines de la Unidad es que los y las jóvenes desarrollen la capacidad de representar vectores en el plano y en el espacio, y de manejar su operatoria básica, para, luego, representar rectas en el plano y en el espacio, así como planos contenidos en el espacio. También, se enfatiza en las relaciones entre las ecuaciones cartesianas y vectoriales de rectas y planos. Por otra parte, las ecuaciones vectoriales de rectas y planos permiten representar claramente conceptos como traslación y homotecia de figuras planas.

Esquema de la Unidad Vectores

Rectas en el espacio

Ecuaciones cartesianas

Ecuación vectorial

Planos en el espacio

Intersección

Coordenadas cartesianas

Transformaciones geométricas

Sistemas de ecuaciones

Módulo

Operatoria

Regla del paralelogramo

Producto

Posiciones relativas Traslación Gráfico de rectas y de planos

100|Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

Homotecia

Composición

Por un escalar

Cruz

Punto

Uso de regla y compás; de escuadra y transportador; manejo de un programa computacional que permita dibujar y transformar figuras geométricas.

Clasificación de triángulos y cuadriláteros considerando sus ejes y centros de simetría.

Análisis de la posibilidad de embaldosar el plano con algunos polígonos. Aplicaciones de las transformaciones geométricas en las artes, por ejemplo, M.C. Escher. Uso de algún programa computacional geométrico que permita medir ángulos, y ampliar y reducir figuras.

Ángulos del centro y ángulos inscritos en una circunferencia. Teorema que relaciona la medida del ángulo del centro con la del correspondiente ángulo inscrito. Distinción entre hipótesis y tesis. Organización lógica de los argumentos.

09:40

Traslaciones, simetrías y rotaciones de figuras planas. Construcción de figuras por traslación, por simetría y por rotación en 60, 90, 120 y 180 grados. Traslación y simetrías de figuras en sistemas de coordenadas.

Teoremas relativos a proporcionalidad de trazos, en triángulos, cuadriláteros y circunferencia, como aplicación del Teorema de Thales. Relación entre paralelismo, semejanza y la proporcionalidad entre trazos. Presencia de la geometría en expresiones artísticas; por ejemplo, la razón áurea.

Resolución de problemas relativos a cálculos de alturas o distancias inaccesibles que pueden involucrar proporcionalidad en triángulos rectángulos. Análisis y pertinencia de las soluciones. Uso de calculadora científica para apoyar la resolución de problemas.

Rectas en el espacio, oblicuas y coplanares. Planos en el espacio, determinación por tres puntos no colineales. Planos paralelos, intersección de dos planos. Angulos diedros, planos perpendiculares, intersección de tres o más planos. Coordenadas cartesianas en el espacio.

Resolución de problemas sencillos sobre áreas y volúmenes de cuerpos generados por rotación o traslación de figuras planas. Resolución de problemas que plantean diversas relaciones entre cuerpos geométricos; por ejemplo, uno inscrito en otro.

Demostración de los Teoremas de Euclides relativos a la proporcionalidad en el triángulo rectángulo. Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.

4º Medio

3º Medio

5/11/10

Demostración de propiedades de triángulos, cuadriláteros y circunferencia, relacionadas con congruencia. Aporte de Euclides al desarrollo de la Geometría.

Teorema de Thales sobre trazos proporcionales. División interior de un trazo en una razón dada. Planteo y resolución de problemas relativos a trazos proporcionales. Análisis de los datos y de la factibilidad de las soluciones.

Semejanza de figuras planas. Criterios de semejanza. Dibujo a escala en diversos contextos.

Congruencia de dos figuras planas. Criterios de congruencia de triángulos.

Resolución de problemas relativos a congruencia de trazos, ángulos y triángulos. Resolución de problemas relativos a polígonos, descomposición en figuras elementales congruentes o puzzles con figuras geométricas.

2º Medio

1º Medio

Relación entre los CMO de la Unidad y los de años anteriores

UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1 Página 101

Unidad 3

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Rectas en el espacio, oblicuas y coplanares. Planos en el espacio, determinación por tres puntos no colineales. Planos paralelos, intersección de dos planos. Ángulos diedros, planos perpendiculares, intersección de tres o más planos. Coordenadas cartesianas en el espacio.

CMO • Vectores. • Operatoria con vectores. • Vectores en el plano cartesiano. • Traslación de figuras planas. • Producto por un escalar. • Homotecia. • Producto punto. • Ecuación vectorial de la recta en el plano. • Ecuación vectorial de una recta y su ecuación cartesiana. • Producto cruz y vectores en el espacio. • Ecuación vectorial de la recta en el espacio. • Rectas y planos. • Ecuación vectorial y ecuación cartesiana de un plano en el espacio. • Posición relativa entre planos. • Intersección de una recta y un plano, y entre dos planos.

Contenidos de la Unidad • Conocen y utilizan la operatoria básica con vectores en el plano y en el espacio (adición, sustracción y ponderación por un escalar). • Realizan traslaciones y homotecias de figuras planas. • Identifican y describen puntos, rectas y planos en el espacio. • Conocen y valoran la capacidad del modelo vectorial para representar fenómenos físicos como desplazamientos y fuerzas.

Aprendizajes esperados

Propuesta de planificación de la Unidad

En el Texto De exploración: páginas 102, 104, 106, 108, 110, 112, 118, 120, 123, 126 132, 134, 136, 140 y 142. De construcción de conceptos: páginas 103, 105, 107, 109, 111, 114, 119, 122, 125, 129, 133, 135, 139 y 141. De consolidación: páginas 116, 117, 130, 131, 146 y 147. En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 107, 108, 109, 110, 111, 114, 115, 116, 117, 120, 121, 122, 123, 127 y 131. De profundización: páginas 108, 109, 110, 111, 115, 117, 120, 121, 123, 124, 127 y 131.

Actividades asociadas • Operan con vectores representados tanto gráfica como analíticamente. • Aplican traslaciones y homotecias a figuras planas. • Calculan y aplican el producto punto de dos vectores. • Calculan y aplican el producto cruz de dos vectores. • Determinan la ecuación vectorial de una recta en el plano. • Determinan si tres puntos son colineales y escriben la ecuación vectorial de la recta que pasa por ellos. • Grafican planos dadas sus ecuaciones. • Determinan la posición relativa y la intersección entre dos planos.

Indicadores de evaluación

Computador con programa para graficar vectores.

Recursos didácticos

5/11/10

Sumativa: Páginas 153, 154 y 155 del Texto del Estudiante. Páginas 142 y 143 de la Guía Didáctica del Docente.

Formativa: Páginas 117, 131 y 147 del Texto del Estudiante.

Diagnóstica: Páginas 100 y 101 del Texto del Estudiante.

Tipos de evaluación

Tiempo estimado: 8 a 9 semanas

UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1 09:40 Página 102

102 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

5/11/10

09:40

Página 103

Unidad 3

UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1

Referencias teóricas • Dos puntos cualesquiera A y B determinan un vector fijo en el plano o en el es→ pacio que se representa como AB , en el que A es el origen y B es el extremo. La distancia entre A y B (que es la longitud del segmento AB) se llama módulo o magnitud del vector y la dirección de la recta que pasa por A y B es la direc→ ción del vector, mientras que el sentido de AB es el que va del origen al ex→ tremo del vector. Así, el vector BA , tiene el mismo módulo y dirección que AB, pero sentido contrario. → • Para obtener los componentes de AB , dados dos puntos A(a1, a2) y B(b1, b2), → se puede calcular AB = 具 b1 – a1, b2 – a2典. • Para cada valor del parámetro λ, se obtiene un punto P (x, y) de la recta L en el plano. Y cualquier punto de la recta se puede escribir como P(x0 + λv1, y0 + λv2). • Para saber si un punto cualquiera pertenece a una recta, basta con remplazar sus coordenadas en la ecuación vectorial y comprobar si la verifica, esto es, determinar si existe un mismo valor de λ de modo que se cumpla la igualdad, en todas las coordenadas. • Dos figuras son homotéticas si al unir mediante rectas sus puntos o vértices correspondientes, estas rectas concurren en un único punto, que corresponde al centro de homotecia. • La representación gráfica de la solución de un sistema de tres incógnitas corresponde a la intersección, si existe, de los correspondientes tres planos en el espacio. • Sistema compatible: los tres planos se intersecan en un punto. El sistema tiene solución única.

• Sistema compatible indeterminado: los tres planos se intersecan en una recta. El sistema tiene infinitas soluciones. (Al igual que en el caso de tres planos coincidentes).

• Sistema incompatible: los tres planos se intersecan de a dos, por lo que no existen puntos comunes a los tres planos. El sistema no tiene solución.

Unidad 3

| 103

UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1

5/11/10

Páginas 98 y 99

Conversemos de... Actividad 1a5

Habilidades que desarrollan Recordar y conectar.

09:40

Página 104

Páginas de entrada La fuerza y el desplazamiento, por su característica vectorial, permiten comprender de mejor manera el concepto de vector, su diferencia con magnitudes escalares y, en particular, su operatoria. De esta manera, se puede ilustrar claramente el comportamiento de los vectores al sumarlos, restarlos, y ponderarlos por un escalar.

Aprendizajes esperados de la Unidad En el esquema inicial se explicitan los principales contenidos y su relación con los aprendizajes que se espera que sus estudiantes logren en esta Unidad. Se sugiere que los comente con ellos y, luego, puede preguntarles qué saben sobre vectores. Con sus respuestas, puede hacer un esquema o mapa semántico en la pizarra; esto le permitirá obtener información acerca de las conductas de entrada de sus alumnos y alumnas, y a la vez ellos podrán recordar conceptos trabajados en años anteriores que les servirán para lograr los aprendizajes de la Unidad.

Actividad inicial Se sugiere que comente con los y las estudiantes la imagen presentada en el Texto. Puede guiar la conversación a partir de las preguntas que se muestran en el Texto y complementarla con preguntas como las siguientes: • ¿La fuerza que actúa sobre el martillo corresponde a una magnitud vectorial?, ¿por qué? • ¿Cuándo una magnitud es vectorial?, ¿cuándo no? Explica. • ¿Cómo se pueden sumar dos o más fuerzas que se aplican sobre un mismo cuerpo, como el martillo, en este caso? • ¿El resultado de la suma de dos fuerzas no nulas puede ser cero?, ¿por qué?

104 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

5/11/10

Páginas 100 y 101

09:40

Página 105

Unidad 3

UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1

Evaluación diagnóstica

Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta una evaluación diagnóstica con el título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios: Ítem 1: recordar definiciones. Ítem 2: verificar si los puntos son vértices de un paralelogramo. Ítem 3: determinar un cuadrado cuyos vértices estén todos en distintos cuadrantes. Ítem 4: graficar ecuaciones de la recta. Ítem 5: justificar la falsedad de las proposiciones. Ítem 6: resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 1, es posible que los alumnos y alumnas confundan los cuadrantes; recuérdeles que se numeran a partir del eje X, y en orden contrario a las manecillas del reloj. • Para trabajar el ítem 2, relacionado con rectas paralelas, recuerde a los alumnos y alumnas que la figura es solo de referencia, ellos deben justificar que ABCD es un paralelogramo mostrando analíticamente que los lados correspondientes son paralelos, esto es, calculando su pendiente en cada caso para, luego, mostrar cuáles son iguales. • En el ítem 3, es posible que los y las estudiantes no consideren la condición de que cada vértice esté en un cuadrante distinto; de ser así, puede recordarles la definición de cuadrante, pero no un ejemplo de lo pedido, ya que es esto lo que se quiere evaluar. • En el ítem 4, relacionado con la gráfica de ecuaciones lineales, la dificultad se podría presentar en que desconozcan el procedimiento para determinar dos puntos que pertenezcan a una recta, dada su ecuación. Puede indicarles que se puede remplazar valores en x y, luego, calcular los correspondientes valores para y. Luego, si tienen dos puntos de una recta, se puede trazar la línea que la representa. • En el ítem 5, enfatice que un contraejemplo es un ejemplo que satisface las condiciones requeridas, pero no cumple con la conclusión contenida en la proposición. Por lo tanto, no todo ejemplo sirve como contraejemplo, ya que puede ocurrir que en algunos casos sí se cumpla la proposición. Lo que interesa es buscar cuándo no se cumple, para mostrar que dicha proposición es falsa. • En el ítem 6, sus estudiantes podrían tener dificultades tanto para resolver los sistemas de ecuaciones, como para analizar sus soluciones. En el primer caso, recuérdeles alguno de los métodos de resolución, pero con un sistema distinto, de modo que ellos lo repliquen en las actividades sugeridas. En el caso que no comprendan la instrucción, enfatice que un sistema de ecuaciones puede tener ninguna, infinitas o una única solución, y esto es lo que deben analizar.

¿Cuánto sabes? Ítems

Habilidades que evalúan

Recordar.

Interpretar, recordar y calcular.

Interpretar y representar.

Interpretar, representar y calcular.

Justificar.

Interpretar, calcular y conectar.

Unidad 3

| 105

UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1

5/11/10

09:40

Página 106

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar a sus estudiantes.

Ítems

Completamente logrado

Logrado

Por lograr

Ubica correctamente el punto indicado, pero confunde o no sabe los cuadrantes pedidos.

No responde o lo hace de manera incorrecta o no comprende lo que se le está pidiendo.

Determina los valores de las pendiente en todos los casos y justifica analíticamente que los lados son paralelos.

Determina los valores de Decide si son las pendiente en todos paralelos o no, sin justilos casos, pero no justi- ficarlo analíticamente. fica analíticamente si los lados son paralelos.

No logra determinar los valores, o bien no comprende lo que se le está pidiendo.

Determina correctamente los vértices pedidos, explicando cómo los escogió.

Determina correctamente los vértices pedidos, pero no explica cómo los escogió.

Comete algún error, de modo que dos o más vértices se encuentran en un mismo cuadrante.

No logra determinar los vértices, o bien no comprende lo que se le está pidiendo.

Representa correctamente la gráfica de las ecuaciones, independiente del método que ha utilizado.

Realiza una representación aproximada de las gráficas, pero comete errores en las intersecciones con los ejes, aun cuando el comportamiento que describe sea correcto.

Utilizando una tabla de valores une los puntos encontrados, esbozando correctamente parte de la gráfica, pero no la prolonga al resto del plano cartesiano.

No logra gráficas correctas, ya sea porque solo une puntos con segmentos rectos o porque no comprende lo que se le está pidiendo.

Completa correctamente Completa las tres oralas tres oraciones. ciones con a lo más un error.

Medianamente logrado

Determina correctamente Determina correctamente Determina algunos todos los contraejemplos. dos de los contraejemplos ejemplos, en lugar de pedidos. utilizar contraejemplos para justificar las proposiciones.

No determina ejemplos ni contraejemplos, o bien no comprende lo que se le está pidiendo.

Resuelve correctamente los sistemas de ecuaciones presentados y analiza correctamente sus soluciones.

No resuelve los sistemas de ecuaciones presentados, o bien no comprende lo que se le está pidiendo.

Resuelve correctamente los sistemas de ecuaciones presentados, pero no analiza sus soluciones.

106 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

Resuelve correctamente uno o dos de los sistemas de ecuaciones presentados.

5/11/10

Páginas 102 y 103

09:40

Página 107

Unidad 3

UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1

Vectores

Actividad inicial

Analicemos...

La actividad inicial propuesta en el Texto tiene por objetivo ilustrar a los alumnos y alumnas las características de los vectores, su representación gráfica y su aplicación a conceptos físicos como la fuerza, en este caso.

Habilidades que desarrollan Recordar, conectar y analizar.

Es importante que recuerde a sus estudiantes que la fuerza se define como una magnitud que tiene módulo, dirección y sentido, y que estas características permiten representarlas gráficamente mediante vectores.

Actividades Habilidades que desarrollan

Ítems

Indicaciones respecto del contenido Existen magnitudes en las que, además de su valor y la unidad de medida correspondiente, es necesario saber también su dirección y sentido: son las magnitudes vectoriales. Dos buenos ejemplos de magnitudes vectoriales son la fuerza y la velocidad. El efecto de una fuerza depende necesariamente de la dirección en que la se aplique. Por otra parte, si cambia la dirección, cambia también la velocidad, aunque su rapidez se mantenga constante.

1, 2 y 3

Reconocer/Identificar.

Actividades complementarias De refuerzo

1. Dado el hexágono regular de la figura, señala todos los vectores con igual dirección, sentido y módulo que el vector: →

a. EO

→

b. AD

→

c. DC

d. EF

→

e. ED

→

Páginas 104 y 105

C O

f. AC

(Habilidad que desarrolla: reconocer).

Operatoria con vectores

Actividad inicial

Analicemos...

La suma de vectores se presenta asociada a la suma de los desplazamientos realizados por Pablo y Andrea en la actividad propuesta. Utilizando el mapa, muestre a sus alumnos y alumnas el procedimiento para obtener gráficamente la suma de vectores y compare este resultado con el desplazamiento total correspondiente, tanto para Pablo, como para Andrea.

Habilidades que desarrollan Interpretar, recordar, conectar y analizar.

Actividades Plaza Perú ns iggi O´H olo lo-c Co nto l Pi íba An

l ape Tuc

Plaza de la Independencia

Ítems 1

Habilidades que desarrollan Resolver problemas.

Unidad 3

| 107

UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1

5/11/10

09:40

Página 108

Indicaciones respecto del contenido Recalque a sus estudiantes la diferencia entre el desplazamiento, que compara la posición final de un cuerpo con su posición inicial, y la trayectoria, que se refiere al camino recorrido, es decir, se indica solo la distancia. Luego, el desplazamiento es una magnitud vectorial, y la trayectoria corresponde a una magnitud escalar.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Obtén gráficamente los vectores pedidos. → →

a. a + b → → → b. a + b + c → → → c. b + c + d → → d. a – b

→

(Habilidades que desarrolla: interpretar, calcular y representar). De profundización → →

→

1. Dibuja tres vectores diferentes a , b y c en tu cuaderno y, luego, muestra que se cumplen las propiedades para la suma de vectores que se encuentran en la página 105 del Texto. (Habilidades que desarrolla: interpretar, justificar y analizar).

Páginas 106 y 107

Vectores en el plano cartesiano

Analicemos...

Actividad inicial

Habilidades que desarrollan

En estas páginas, a través de la representación gráfica de puntos en el plano cartesiano, se muestra la representación de vectores, utilizando sus coordenadas cartesianas. Enfatice que, aunque un vector se puede calcular conociendo las coordenadas de su origen y su extremo, un vector es independiente de la posición que tenga en el plano, lo importante es su magnitud, dirección y sentido.

Recordar, interpretar, conectar y representar.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Representar.

Representar, aplicar y calcular.

3y4

Interpretar y calcular.

Indicaciones respecto del contenido • Es importante enfatizar a los alumnos y las alumnas que, en este Texto, la notación de un vector es diferente a la de un punto en el plano. → Vector: a = 具 a1, a2典; Punto: A(a1, a2). →

• El vector OP une el origen de coordenadas O con el punto P(x, y), es lla→ mado vector posición y se representa por p = 具 x, y典.

108 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

5/11/10

09:40

Página 109

Unidad 3

UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1

Actividades complementarias De refuerzo 1. Determina las coordenadas de: →

a. AB si A(3, 5) y B(1, –2).

→

b. A si AB = 具 6, –7典 y B(0, 4).

(Habilidades que desarrolla: interpretar y calcular). De profundización 1. Determina los valores x e y para que se verifiquen las siguientes igualdades: a. 3具 x, 1典 – 具 2, 5典 = 具 7, y典 b. 6具 2, x典 + 具 3y, 6典 = 具 5, 18典

c. 具 3, –2典 + 具 y, 5典 = 具 7, 3x典 – 具 2, x典 d. 2具 x, –2典 – 4具 5, – y典 = 具 3x, 0典

(Habilidades que desarrolla: interpretar y calcular).

Páginas 108 y 109

Traslación de figuras planas

Actividad inicial Una de las aplicaciones que tienen los vectores en la geometría, es que permiten representar numéricamente una transformación isométrica: la traslación de figuras planas. Muestre a sus estudiantes que las características que cumplen los trazos AA’, BB’, CC’ y DD’ corresponden exactamente a la definición de vector.

Indicaciones respecto del contenido La composición de traslaciones corresponde a aplicar una traslación a la imagen de una traslación ya aplicada. Se puede calcular cuál sería la traslación final, luego de aplicar dos o más traslaciones, calculando la suma de los vectores de traslación correspondientes.

Actividades complementarias

Analicemos... Habilidades que desarrollan Recordar, interpretar y analizar.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Interpretar y aplicar.

Interpretar y calcular.

Interpretar y analizar.

De refuerzo 1. Un triángulo tiene por vértices los puntos A(–1, 5), B(3, 2) y C(2, 4). Encuentra la imagen de ABC mediante: →

a. T1 具 1, 2典

→

b. T1 具 3, 2典

(Habilidades que desarrolla: aplicar, interpretar y calcular). De profundización →

1. Considera el punto P(0, 5). Si se realiza una traslación T1 具 3, 4典 y a conti→ nuación otra T2 具 2, 1典: a. ¿cuál es la imagen de P luego de aplicar ambas traslaciones? b. Si después de realizar las dos traslaciones se obtiene el punto Q(2, –2), ¿cuál es el punto original? (Habilidades que se desarrolla: aplicar, interpretar y calcular). Unidad 3

| 109

UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1

5/11/10

Páginas 110 y 111

09:40

Página 110

Producto por un escalar

Analicemos...

Actividad inicial

Habilidades que desarrollan

Al comparar los vectores dados, sus estudiantes podrían deducir algunas de las características del producto o la ponderación por un escalar. Enfatice el hecho que la dirección es la que se mantiene constante, mientras que tanto la magnitud como el sentido (si este escalar es un número negativo) pueden cambiar.

Interpretar, representar y analizar.

Actividades Ítems

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

Mencione a sus estudiantes la diferencia entre el producto por un escalar, que se explica en estas páginas y el producto escalar, que pueden encontrar en otros textos sobre vectores, que corresponde en este Texto al producto punto. De igual manera, podrían encontrar el producto vectorial, que corresponde en este Texto al producto cruz.

Interpretar, calcular y representar.

1 2y3

Aplicar. Formular hipótesis, conjeturar o predecir, justificar y representar.

Actividades complementarias De refuerzo →

→

1. Dado el vector u y el escalar λ, en cada caso, determinar λ u . →

a. u = 具 1, 5典 y λ = 2. → b. u = 具 2, 3典 y λ = 5.

→

c. u = 具 –3, 5典 y λ = 13. → d. u = 具 0, –3典 y λ = –1.

(Habilidades que se desarrolla: aplicar). →

b →

De profundización → →

1. Dados los vectores a y b , aplicando la regla del paralelogramo representar →→ → → → → → → → gráficamente los vectores c , d , y e , de modo que c = 3a + 2b , d = –2a + b , → → → e = –4a – 1,5b . (Habilidades que se desarrolla: interpretar, calcular y representar).

Páginas 112 a 114

Homotecia

Analicemos...

Actividad inicial

Habilidades que desarrollan

Guíe la conversación con sus estudiantes de modo que determinen las características de la homotecia: está determinada por un punto, el centro de la homotecia, y por un número, la razón de la homotecia. Enfatice el hecho de que una figura y su imagen bajo una homotecia siempre serán figuras semejantes, aunque cambie su orientación.

Recordar, interpretar y analizar.

110 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

5/11/10

09:40

Página 111

Indicaciones respecto del contenido • El concepto de homotecia de razón negativa puede ser difícil de visualizar y entender para algunos de sus estudiantes. Para aclararles esto, puede dibujar en el pizarrón algunos ejemplos, poniendo énfasis en cómo se invierte la orientación de los distintos segmentos que componen una figura. • También puede ser difícil visualizar una homotecia cuando el centro de la homotecia está dentro de la figura. Puede aclarar este punto haciendo notar que el concepto de homotecia como una transformación de la figura no depende de que el centro de la homotecia se encuentre en algún lugar particular del plano, ya que la forma de construir la imagen de una figura bajo una homotecia es siempre la misma. • En el ejemplo acerca de la composición de homotecias, muestre a sus es→ → tudiantes que se cumple que OA’’ = λ · OA, ya que 具3, 6典 = λ · 具1, 2典, cuando λ = 3, que corresponde al producto de las razones de las homotecias que se aplicaron.

Actividades Habilidades que desarrollan

Ítems 1

Aplicar y representar.

Interpretar, aplicar y representar.

Justificar.

Actividades complementarias De refuerzo 1. ¿Qué ocurre a una figura si es transformada bajo una homotecia de razón 1? 2. ¿Una homotecia de razón negativa contrae la figura original?, ¿por qué? 3. ¿Una homotecia de razón positiva siempre dilata las longitudes? Explica. (Habilidades que se desarrollan: analizar y justificar). C

De profundización 1. En el triángulo equilátero de la figura se han trazado sucesivamente las respectivas medianas. Indica el centro y la razón de la homotecia que transforma: a. DE en LJ.

b. HI en KM.

c. ABC en GHI.

Página 115

G L A

E N

d. KNM en FED.

(Habilidades que se desarrolla: interpretar y calcular).

K H J F

Herramientas tecnológicas

Para facilitar la comprensión del concepto de Homotecia, se puede implementar el uso del computador, utilizando el programa Regla y Compás, que es gratuito y de libre disposición para descargarlo desde Internet.

Ítems 1y2

Habilidades que desarrollan Usar herramientas y analizar.

Unidad 3

| 111

Unidad 3

UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1

5/11/10

Página 116

Actividad Mapa conceptual

09:40

Página 112

Organizando lo aprendido

Habilidades que desarrolla Recordar y conectar.

Actividades complementarias Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la Unidad realice preguntas como las siguientes: 1. ¿Cuál es la representación algebraica de un vector? 2. ¿En qué se diferencia la dirección y el sentido de un vector? 3. ¿De qué depende que al aplicar una homotecia la figura resultante sea más grande o pequeña que la figura original? Explica. 4. ¿En qué casos una composición de traslaciones corresponde a una traslación?, ¿por qué?

Página 117

Mi progreso

Mi progreso Ítems

Habilidades que evalúan

Calcular y representar.

Interpretar y calcular.

Los ítems asociados a esta actividad incluyen los siguientes criterios:

Interpretar y aplicar.

Interpretar, calcular y justificar.

Ítem 1: calcular operaciones con vectores representados gráficamente. Ítem 2: calcular operaciones con vectores representados analíticamente. Ítem 3: aplicar traslaciones y homotecias a una figura. Ítem 4: calcular operaciones con vectores representados gráficamente.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 1, es posible que los alumnos y alumnas no interpreten correctamente la suma de vectores, cuando en el hexágono no se trate de segmentos contiguos. Recuérdeles que un vector puede representarse en variadas posiciones, siempre que conserve su magnitud, dirección y sentido. → → Por ejemplo, AB y FO son dos representaciones del mismo vector. Evite indicarles cómo determinar el vector suma en cada caso, ya que se perdería la objetividad del ítem. • En el ítem 2, recuerde a sus estudiantes que para calcular el módulo o magnitud de un vector suma, primero deben resolver dicha suma. Es decir, en → → → → general, no se cumple que || a + b || = || a || + || b ||. Solo se cumple cuando → → los vectores a y b tienen la misma dirección y sentido.

112 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

5/11/10

09:40

Página 113

Unidad 3

UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1

• En el ítem 3, es posible que sus estudiantes confundan la forma de expresar una traslación o una homotecia. Recuérdeles que en el caso de la traslación, se representa mediante un vector, que indica en qué magnitud, dirección y sentido se trasladan los puntos. En cambio, para representar una homotecia, se representa indicando cuál es el centro de la homotecia, y cuál es su factor de conversión k. • En el ítem 4, sus alumnos y alumnas deben determinar y justificar cuál de las alternativas no es correcta. Enfatíceles que no basta con escoger una de las alternativas, si no se ha justificado apropiadamente tanto las alternativas correctas como la incorrecta. A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar a sus estudiantes.

Ítems

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Calcula y representa correctamente el vector solución, en todo los casos.

Calcula correctamente el vector solución, pero tiene dificultades en su representación.

Calcula correctamente las operaciones de vectores, independiente del método utilizado.

Calcula correctamente Calcula correctamente solo tres de las operacio- dos de las operaciones nes de vectores, en parti- de vectores. cular porque desconoce cómo calcular el módulo de un vector.

Por lograr

Calcula y representa Desconoce los conceptos correctamente solo los que se le solicitan. vectores que están contiguos en el hexágono de la figura, debido a que desconoce cómo calcularlo en otros casos. No logra calcular correctamente las operaciones de vectores, debido a que desconoce los conceptos o el procedimiento.

Aplica correctamente las Aplica correctamente las transformaciones, en transformaciones, indeforma analítica. pendiente del método utilizado.

Aplica las transformaciones, pero comete errores, o bien, confunde traslación y homotecia.

No logra aplicar correctamente las transformaciones, debido a que desconoce los conceptos o el procedimiento.

Marca la alternativa en forma correcta, justificando su decisión.

Marca una alternativa incorrecta.

Omite la respuesta, debido a que desconoce los conceptos o el procedimiento.

Marca la alternativa en forma correcta, pero no justifica su decisión.

Unidad 3

| 113

UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1

5/11/10

09:40

Página 114

Actividades complementarias Ejercicios de refuerzo 1. Observa la figura y dibuja en tu cuaderno los vectores correspondientes a: a. b. c. d.

→

BC + CD → → BO + OC → → 2BO + DA → → CA – CD

6. A partir del rombo y los vectores de la figura, dibuja las correspondientes imágenes, de acuerdo a los siguientes pasos:

→

d 2. Considerando los siguientes vectores, realiza las operaciones dadas a continuación. →

→

a. a + b → → b. a + c → → c. a + d → → d. c + d → → → e. a + b – c → → → f. (a + b + c )

→

3. Resolver. a. Determina el módulo del vector cuyo origen se ubica en el punto O(20, –5) y su extremo en el punto P(–4, 3). → b. El módulo de a = 具 a1, a2典 es igual a 5 unidades. Si a1 = a2, determina el valor de cada componente. 4. Se ha trasladado el triángulo de vértices A(1, 3), B(3, 4) y C(2, 2) y la imagen del vértice C es el punto C ’(1, –1). a. ¿Cuáles son las coordenadas del vector que define la traslación? b. Determina las coordenadas de los vértices A’ y B’. 5. Un pentágono tiene como vértices los puntos A(3, 0), B(2, 5), C(–3, 2), D(–1, –4) y E(2, –3). Indica las coordenadas de las imágenes correspondientes, bajo la → traslación T 具 2, 4典.

a. b. c. d. e. f.

7. El punto A de coordenadas (–3, 5) se ha trasladado uti→ lizando la secuencia: de A a B con T1具 2, 5典; de B a C con → → T2 具 –1, –2典; de C a D con T3具 6, –5典. a. Dibuja su trayectoria. ¿Cuáles son las coordenadas del punto de llegada? b. Si en cambio se comienza con el punto P (3, –5), utilizando los mismos vectores de traslación, ¿en qué punto se termina? 8. Dado un segmento AB de vértices A(–6, 1) y B(–2, 5), encuentra su homotético por la aplicación, en cada caso, de: a. H(O, 3)

d. H(O, –1)

⎛ 3⎞ b. H ⎜ O, ⎟ ⎝ 2⎠

e. H(O, –2)

⎛ 2⎞ c. H ⎜ O, ⎟ ⎝ 3⎠

3⎞ ⎛ f. H ⎜ O, – ⎟ ⎝ 4⎠

9. Respecto de dos o más figuras homotéticas, ¿cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son siempre verdaderas? a. b. c. d.

114 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

→ →

Primero, aplica la traslación a + b . → → Luego, aplica la traslación c – d . → → Después, aplica la traslación 2a + b . → → A continuación, aplica la traslación b – 2a . → → Finalmente, aplica la traslación 2a – d . ¿Cuántos rombos quedan dibujados?, ¿por qué?

Tienen igual forma. Tienen sus lados respectivamente proporcionales. Tienen sus ángulos iguales. Son congruentes.

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Páginas 118 y 119

09:40

Página 115

Unidad 3

UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1

Producto punto

Actividad inicial

Analicemos...

Para abordar el tema del producto punto (conocido también como producto escalar), se propone a los y las estudiantes analizar qué sucede con el trabajo mecánico. Insista en que deben considerar cuál sería el resultado si cambia el ángulo entre la horizontal y la cuerda con la que se tira la caja. Se pretende que observen que aunque se aplicara la misma fuerza, el trabajo realizado en cada caso, depende del ángulo formado entre los vectores correspondientes. Y que el trabajo mecánico no es una magnitud vectorial.

Habilidades que desarrollan Calcular, interpretar y analizar.

Actividades Habilidades que desarrollan

Ítems

Indicaciones respecto del contenido

Aplicar y calcular.

Enfatice a sus estudiantes que el resultado del producto punto de dos vectores es un número escalar, no un vector, y que existen dos formas de calcularlo, según su representación. Si se conocen sus coordenadas, se multiplican componente a componente y luego se suma. Si se conocen sus módulos y el ángulo que se forma entre ellos, se utiliza la expresión || u || · || v || · cos(α).

Evaluar y conjeturar.

Formular hipótesis, conjeturar o predecir.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Calcula el producto punto de los siguientes vectores. →

→

a. w = 具 3, 2典 y z = 具 5, 1典

→

b. a = 具 4, 7典 y b = 具 3, –1典

2. Calcula el producto punto de los vectores considerando los datos dados. a.

→

|| u || = 5; || v || = 7; α = 30º

→

|| u || = 7; || v || = 7; α = 90º

(Habilidad que desarrollan: aplicar). De profundización →

→

1. Utilizando las propiedades del producto punto y siendo u = 具2, –1典; v = 具3, 2典 → y w = 具 1, –1典 determina el resultado de las siguientes operaciones. → → →

a. u · (v + w )

→ →

→

b. (u − v ) · w

→ → → →

c. u · v − v · w

→ →

→

d. (u + v ) · (v − w )

(Habilidades que desarrolla: aplicar y calcular).

Páginas 120 a 122

Ecuación vectorial de la recta en el plano

Actividad inicial

Analicemos...

El objetivo de la actividad inicial es que los y las estudiantes observen porqué la ecuación vectorial de la recta se describe en términos de un vector director y, en algunos casos, de un vector posición, así como cuando se dice que un punto pertenece a una recta. Insista en que dibujen todos los vectores en su cuaderno, en un mismo plano cartesiano, para que visualicen mejor qué es lo que ocurre.

Habilidades que desarrollan Representar, verificar y analizar.

Unidad 3

| 115

UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1

5/11/10

Página 116

Indicaciones respecto del contenido

Actividades Ítems

09:40

Habilidades que desarrollan

Aplicar y representar.

Analizar y representar.

Aplicar.

Aplicar y representar.

Analizar y justificar.

Aplicar y representar.

• El vector posición indica justamente la posición de un punto de la recta o del plano en el espacio, por lo que cualquier punto de dicha recta o dicho plano puede utilizarse como vector posición al escribir su ecuación vectorial. • De manera similar, el vector director, que se utiliza para representar una recta, no es único, en el sentido que todo vector ponderado de él también → puede utilizarse como vector director. Por ejemplo, si el vector d = 具2, –1典 es el vector dirección de la recta L, también lo son 具4, –2典, 具–2, 1典, 具–4, 2典. • Enfatice a sus estudiantes estas características de la ecuación vectorial de la recta y del plano para evitar confusiones respecto de cuál sería una respuesta correcta o no.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Escribe la ecuación vectorial de las siguientes rectas en el plano. a. b. c. d.

Que pasa por los puntos A(1, 1) y B(–1, –1). Que en forma cartesiana se expresa como x – 2y = 0. Que es paralela al eje Y, y pasa por el punto (4, 1). Que pasa por el punto (5, 1) y es perpendicular a x – 2y + 5 = 0.

(Habilidades que desarrolla: aplicar, interpretar y representar).

Páginas 123 a 125

Ecuación vectorial de una recta y su ecuación cartesiana

Analicemos...

Actividad inicial

Habilidades que desarrollan

Los y las estudiantes conocen la ecuación cartesiana de una recta en el plano. El objetivo de esta sección es comprender cómo se relaciona dicha ecuación con la ecuación vectorial de la misma recta.

Interpretar, analizar y representar.

Actividades Ítems 1, 2 y 3

Habilidades que desarrollan Aplicar y representar.

Verificar.

Aplicar.

Interpretar y analizar.

7y8

Indicaciones respecto del contenido Enfatice a sus estudiantes que la representación cartesiana y la representación vectorial de una recta se corresponden de la siguiente manera: el vector posición se corresponde con un punto que pertenezca a la recta y el vector director se corresponde con la pendiente de la recta. Luego, a partir de la ecuación vectorial, puede utilizar la expresión de la ecuación de la recta conocida su pendiente y un punto de ella para escribir la ecuación cartesiana.

Interpretar, calcular y representar.

116 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

5/11/10

09:40

Página 117

Unidad 3

UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1

Actividades complementarias De refuerzo 1. Determina la correspondiente ecuación vectorial, en cada caso. a. x – 4y + 8 = 0 b. 3x + 2y – 5 = 0

c. y – 6 = 0 d. x + y – 4 = 0

(Habilidades que desarrolla: interpretar, calcular y representar). De profundización 1. Determina la correspondiente ecuación cartesiana, en cada caso. a. 具 x, y典 = 具 1, 3典 + λ具 –3, 1典 b. 具 x, y典 = 具 0, 7典 + λ具 1, 2典

c. 具 x, y典 = 具 5, 2典 + λ具 –4, 0典 d. 具 x, y典 = 具 4, 0典 + λ具 –2, –7典

(Habilidades que desarrolla: interpretar, calcular y representar).

Páginas 126 a 129

Producto cruz y vectores en el espacio

Actividad inicial

Analicemos...

El producto cruz entre dos vectores es sumamente conceptual, pero puede abordarse desde algunas de sus aplicaciones, como el torque, por ejemplo. Los alumnos y las alumnas conocen este concepto, aprendido en Segundo Año Medio, de modo que ahora se integra la representación vectorial de las fuerzas en cuestión y cómo se calcula su producto cruz.

Habilidades que desarrollan Interpretar y analizar.

Actividades

Indicaciones respecto del contenido La expresión que se muestra en la página 128 para obtener el producto cruz de dos vectores no es más que el desarrollo del determinante que tradicionalmente se utiliza para calcular este producto, que se muestra así porque los y las estudiantes no saben determinantes a este nivel.

i j 具 a, b, c典 × 具 u, v, w典 = a b u v

k b c =i· v w

Ítems

Habilidades que desarrollan

1y2

Interpretar y representar.

3y4

Interpretar y aplicar.

Justificar.

c a c a b –j· +k· w u w u v

Actividades complementarias De refuerzo 1. Calcula los siguientes productos. a. 具 3, 2, 5典 × 具 2, 1, 0典 b. 具 4, 3, 7典 × 具 3, –5, 8典

c. 具 0, 1, 5典 × 具 2, 6, –1典 d. 具 2, 2, 1典 × 具 –2, 8, 3典

(Habilidad que desarrolla: aplicar).

Unidad 3

| 117

UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1

5/11/10

Página 130

Actividad Mapa conceptual

09:40

Página 118

Organizando lo aprendido

Habilidades que desarrolla Recordar y conectar.

Actividades complementarias Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la Unidad, realice preguntas como las siguientes: 1. ¿En qué casos el producto punto de dos vectores es cero?, ¿por qué? 2. ¿Se puede representar una recta en el plano sin utilizar un vector posición? Justifica. 3. Si dos vectores son paralelos, ¿qué característica tiene su producto cruz? Explica. 4. Si dos vectores son perpendiculares, ¿qué característica tiene su producto punto?, ¿y su producto cruz? Explica.

Página 131

Mi progreso Ítems

Habilidades que evalúan

Mi progreso En esta página se ofrece una serie de ejercicios que permitirán a los y las estudiantes autoevaluar su aprendizaje hasta esta instancia; es decir, pueden ser utilizados como una evaluación formativa. Se adjunta una tabla con los criterios de evaluación correspondientes y las páginas a las que puede recurrir para corregir sus errores.

Aplicar.

Interpretar y calcular.

Los ítems asociados a esta actividad incluyen los siguientes criterios:

Interpretar, aplicar y representar.

Ítem 1 y 2: calcular y aplicar el producto punto de dos vectores. Ítems 3 y 4: determinar la ecuación vectorial de la recta. Ítem 5: calcular el producto cruz de dos vectores.

3y4 5

Interpretar y aplicar.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 1, los alumnos y alumnas podrían olvidar sumar los productos obtenidos, o bien, expresarlos como un vector. Recuérdeles que el producto punto es un escalar, a diferencia del producto cruz, en el que el resultado es un vector. • En el ítem 2, es posible que sus estudiantes no relacionen la condición de que dos vectores son paralelos cuando uno es el vector ponderado del otro, y/o de que dos vectores son perpendiculares cuando el resultado de su producto punto es cero. Puede recordarles estas condiciones conceptualmente, para que las apliquen al ejercicio.

118 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

5/11/10

09:40

Página 119

Unidad 3

UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1

• En el ítem 3, dados estos valores, es sencillo determinar la ecuación vectorial de la recta; basta que utilicen el punto que pertenece a la recta como vector posición. Si tienen dificultades para determinar otros puntos de la recta, recuérdeles que deben remplazar el parámetro λ con valores y calcular los puntos correspondientes. • En el ítem 4, muestre a sus estudiantes que si escriben la ecuación cartesiana en la forma punto-pendiente, obtienen los datos necesarios para escribir la ecuación vectorial: el punto (x0, y0) se corresponde con el vector posición y

d2 . d1 • En el ítem 5, los y las estudiantes necesitan recordar dos reglas, la que relaciona el módulo del producto cruz con los módulos y el ángulo que for→ → → man los vectores, esto es, || p || = || a || · || b || · sen (α) y, además, la regla de la mano derecha, para determinar el sentido del producto cruz. la pendiente m con el vector director 具 d1, d2典, de modo que m =

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar a sus estudiantes.

Ítems

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Calcula correctamente todos los productos punto.

Calcula correctamente uno o dos productos punto.

Calcula correctamente el valor de x, mediante ecuaciones, en ambos casos.

Calcula correctamente Calcula correctamente el valor de x, por inspec- solo uno de los valores ción, en ambos casos. de x.

No logra resolver lo pedido, o bien no comprende lo que se le está pidiendo.

Determina correctamente la ecuación vectorial y los puntos pedidos, en todos los casos.

Determina correctamente la ecuación vectorial en todos los casos, pero comete errores respecto de los puntos pedidos.

Determina correctamente algunas de las ecuaciones vectoriales, o bien, no sabe obtener los puntos a partir de la ecuación, o no sabe obtener los vectores a partir de la ecuación cartesiana.

No logra resolver lo pedido, porque confunde el punto y el vector dirección, o bien no comprende lo que se le está pidiendo.

Marca la alternativa en forma correcta, justificando su decisión.

Marca la alternativa en forma correcta, pero no justifica su decisión.

Confunde el sentido del vector pedido, por lo que no obtiene la respuesta correcta.

Marca una alternativa incorrecta o la omite.

3y4

Realiza cálculos, pero comete errores en los productos punto.

Por lograr No comprende cómo calcular el producto punto.

Unidad 3

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UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1

11/11/10

17:32

Página 120

Actividades complementarias Ejercicios de refuerzo

Ejercicios de profundización

1. Benjamín sigue la siguiente trayectoria para llegar a su colegio. En la figura, parte del punto M y sigue en las direcciones que indican los vectores. Responde:

1. Demuestra que los puntos P (3, –1, 1), Q(4, 1, 4) y R(6, 0, 4) son vértices de un triángulo rectángulo. 2. Determina todos los números reales x tales que 具2, –1, 3典 y 具 x, –2, 1典 son perpendiculares.

M O P

3. Demuestra que la recta que pasa por P (2, 1, 3) y Q(3, 1, 4) es perpendicular a la recta que pasa por R(0, 5, 3) y S(1, –1, 2).

Q a. ¿Cuál es el vector desplazamiento para la trayectoria completa? b. ¿En qué partes siguió la misma dirección? → →

4. Demuestra que el triángulo de vértices P(4, –7, 9), Q(6, 4, 4) y R(7, 10, –6) no es un triángulo rectángulo. 5. Dada la ecuación vectorial de la recta 具 x, y典 = 具 5, 1典 + λ具 –2, 7典, determina su ecuación cartesiana.

2. Calcula a · b , donde: a. b. c. d.

→

a = 具 2, –1, 3典 y b = 具 –1, 1, 1典 → → a = 具 6, –7, –5典 y b = 具 3, –1, 5典 → → a = 具 –6, 4, –1典 y b = 具 3, –2, 1典 → → a = 具 –1, 3, –3典 y b = 具 5, 0, 2典 →

→

3. Calcula a × b , donde: a. b. c. d.

→

a = 具 3, –2, 1典 y b = 具 –2, 1, 0典 → → a = 具 4, –3, –1典 y b = 具 3, –1, 6典 → → a = 具 –2, 0, 2典 y b = 具 1, –4, 3典 → → a = 具 –4, 4, –1典 y b = 具 2, –2, 1典

4. Determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A y B, donde: a. b. c. d.

A(–3, 7) y B (5, –2) A(4, 3) y B (2, –1) A(–2, 0) y B (3, –4) A(0, 4) y B (1, 1)

5. ¿Se puede calcular la siguiente expresión: → → → (a · b ) × c ? Justifica. 6. ¿Se puede calcular la siguiente expresión: → → → (a × b ) · c ? Justifica.

120 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

6. ¿Cuál o cuáles de las siguientes expresiones no tienen sentido? Justifica. a. b. c. d. e. f.

→ → →

u · (v · w ) → → → (u · v ) + w → → → u · (v + w ) → → → 兩兩 u 兩兩 · (v + w ) → → → u + (v × w ) → → → (u × v ) × w →

→

7. Demuestra que los vectores a = 具 1, 1, 1典, b = 具 1, –1, 0典 → y c = 具 –1, –1, 2典 son mutuamente perpendiculares, es decir, cada pareja de vectores es perpendicular. 8. Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta. →

→

a. Los vectores a = 具 2, –3典 y b = 具 6, 4典 son perpendiculares. → → → → → → b. Si u · v = 0 y u × v = 0, entonces u = 0 o v = 0. c. El producto punto para vectores satisface la propiedad asociativa. → → d. Si u es un vector ponderado de v , entonces → → u × v = 0. e. Dos vectores son paralelos si y solo si su producto cruz es 0. f. El producto cruz es anticonmutativo, es decir, → → → → u × v = – (v × u ).

5/11/10

Páginas 132 y 133

09:40

Página 121

Unidad 3

UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1

Ecuación vectorial de la recta en el espacio

Actividad inicial

Analicemos...

El objetivo de la actividad inicial es replicar la forma de obtener la ecuación vectorial de una recta en el espacio, pero ahora con puntos en el espacio, lo que agrega una coordenada a los vectores correspondientes, pero no cambia la estructura de la ecuación.

Habilidades que desarrollan

Indicaciones respecto del contenido Enfatice a sus estudiantes que la ecuación de la recta en el plano y en el espacio son similares en su estructura, solo difieren en el espacio los puntos que tienen una coordenada más, es decir, la ecuación de una recta en el plano se representa como 具 x, y典 = 具 x0, y0典 + λ具 d1, d2典, en cambio, la ecuación de una recta en el espacio se representa como 具 x, y, z典 = 具 x0, y0, z0典 + λ 具 d1, d2, d3典.

Interpretar, analizar, justificar y representar.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Interpretar y aplicar.

Verificar, aplicar y representar.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos dados. a. P (1, 1, 1) y Q (1, 2, 3)

b. P (3, 1, –2) y Q (1, 2, –2)

(Habilidades que desarrolla: interpretar y aplicar). De profundización 1. Determina la ecuación vectorial de la recta que es paralela a 具2, –1, 0典 y pasa por (1, –1, 3). 2. Determina la ecuación vectorial de la recta 4x + 3y – 5 = 0. (Habilidades que desarrollan: interpretar, analizar y aplicar).

Páginas 134 y 135

Rectas y planos

Actividad inicial

Analicemos...

Discuta con sus estudiantes cuántos elementos se necesitan para definir un plano. Puede comenzar recordándoles que por dos puntos distintos pasa una única recta, para luego preguntarles cuántos puntos distintos se requieren para que pase un único plano por ellos. Una vez que sus alumnos y alumnas comprendan que bastan tres puntos, puede continuar con una recta y un punto fuera de ella, y, luego, con rectas perpendiculares y rectas paralelas y distintas, relacionando así cada caso con el caso anterior.

Habilidades que desarrollan Verificar, interpretar, analizar y justificar.

Unidad 3

| 121

UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1

5/11/10

Página 122

Indicaciones respecto del contenido

Actividades

Para ilustrar cuándo dos rectas en el espacio son alabeadas, dibuje en la pizarra un cubo como el de la figura, y muestre que dos de sus aristas están contenidas en dos rectas alabeadas L1 y L2, respectivamente, ya que se encuentran en distintos planos y no es posible encontrar ningún plano que contenga a ambas. Además, L2 // L3 y L1 es secante a L3.

Habilidades que desarrollan

Ítems

09:40

Reconocer.

Interpretar, aplicar y justificar.

Verificar o comprobar.

Actividades complementarias De refuerzo 1. De acuerdo con la figura, ABCDEF es un octaedro, en el cual los puntos A, B, C y D son coplanarios, indica en cada caso si la afirmación es verdadera o falsa, según corresponda. Justifica tu decisión.

L1 L3

L2 E

a. b. c. d. e. f.

Los puntos C, A y G son colineales. Los puntos A, B, E y F son coplanarios. El segmento AB se interseca con CD. El segmento BD se interseca con AC. Los puntos C, D y E son coplanarios. Los puntos A, C, F y E son coplanarios.

(Habilidades que desarrolla: interpretar, aplicar y justificar). D A G

Páginas 136 a 139

Ecuación vectorial y ecuación cartesiana de un plano en el espacio

Analicemos...

Actividad inicial

Habilidades que desarrollan

Antes de mostrar la ecuación vectorial del plano a sus estudiantes, resuelva junto a ellos las preguntas planteadas y responda sus inquietudes. En este caso, claramente, A, B y C no son colineales, pero sí coplanarios, ya que necesariamente tres puntos determinan un único plano.

Verificar, interpretar, analizar y representar.

→

Ya que los vectores son AB = 具 –3, 1, –2典 y AC = 具 2, 3, 4典, el punto D se puede representar a partir de esos vectores, ya que → d = 具 –5, 10, 2典 = 具 –3, 1, –2典 + 具 2, 3, 4典 y precisamente como esto se puede realizar, el punto D sí pertenece al plano que contiene a A, B y C. La ecuación vectorial de este plano es 具x, y, z典 = 具 1, 3, 6典 + λ具 –3, 1, –2典 + μ具 2, 3, 4典.

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Indicaciones respecto del contenido En una ecuación del plano, cuando falta una de las tres variables el plano que representa es paralelo al eje de la variable ausente. Por ejemplo, el plano 2x + 3z = 2, es paralelo al eje Y, esto es, es un plano vertical.

Actividades complementarias De refuerzo

Actividades Ítems 1 2, 4 y 7 3

Habilidades que desarrollan Aplicar. Interpretar y analizar. Interpretar, analizar y representar.

1. Determina la ecuación del plano que contiene los puntos: a. A(1, 2, 3), B (2, 5, 1) y C (3, 0, 4). b. A(4, 2, 2), B (1, 3, 4) y C (1, 0, –2).

5y6

Aplicar y representar.

(Habilidades que desarrolla: interpretar y aplicar). De profundización 1. Determina la ecuación del plano que contiene a las rectas: a. 具x, y, z典 = 具1, –1, 2典 + λ具1, 1, 1典 y 具x, y, z典 = 具0, 0, 2典 + λ具1, –1, 0典. b. 具x, y, z典 = 具3, 1, 0典 + λ具1, –1, 3典 y 具x, y, z典 = 具0, –2, 5典 + λ具2, 1, –1典. (Habilidades que desarrolla: interpretar y analizar).

Páginas 140 y 141

Posición relativa entre planos

Actividad inicial

Analicemos...

El objetivo de la actividad inicial es que los y las estudiantes analicen cuáles son todas las posibles posiciones relativas entre dos o más planos. Enfatice que dos planos pueden ser paralelos, independiente de si están en posición horizontal (como se ve en la imagen de la página 140), así como que dos planos son secantes en múltiples formas, no solo de modo que su intersección sea una recta vertical.

Habilidades que desarrollan

Indicaciones respecto del contenido Muestre a sus alumnos y alumnas por qué para medir el ángulo diedro entre dos planos se exige la condición de que las rectas utilizadas para formar el ángulo POQ (vea la figura de la página 141 del Texto) sean perpendiculares a la recta de intersección entre los planos, ya que si no lo son, el ángulo medido de todas formas es mayor que el ángulo diedro correspondiente.

Verificar, interpretar y analizar.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Interpretar y representar.

Interpretar y analizar.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Considera los seis planos que forman las caras de un cubo. Describe las posiciones relativas que existen entre estos planos. (Habilidades que desarrolla: analizar y aplicar).

Unidad 3

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Unidad 3

UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1

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Páginas 142 a 145

17:34

Página 124

Intersección de una recta y un plano, y entre dos planos

Analicemos...

Actividad inicial

Habilidades que desarrollan

El objetivo de la actividad inicial es que los y las estudiantes analicen las intersecciones posibles entre una recta y un plano, cuando existen. Enfatice que una recta y un plano pueden ser paralelos, independiente de si su posición: horizontal, vertical u otra, así como que la intersección entre dos planos es una recta en cualquier dirección, no necesariamente horizontal o vertical.

Verificar y analizar.

Indicaciones respecto del contenido Para resolver algebraicamente la intersección entre dos planos, o entre una recta y el plano, es indispensable utilizar sistemas de ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas, por lo que, si lo estima necesario, revise con sus estudiantes los distintos métodos de resolución para los sistemas de ecuaciones, antes de analizar cómo se relacionan las ecuaciones en este caso para determinar su solución.

Actividades complementarias De profundización 1. ¿Es posible que la dirección de una recta sea paralela a la intersección de dos planos, y que la recta tenga puntos en común con alguno de los planos? Justifica. (Habilidades que desarrolla: analizar y justificar).

Página 146

Actividad Mapa conceptual

Organizando lo aprendido

Habilidades que desarrolla Recordar y conectar.

Actividades complementarias Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la Unidad realice preguntas como las siguientes: 1. ¿Cuándo se dice que un vector es ponderado de otro? Explica. 2. ¿Por qué la ecuación vectorial de una recta puede tener distintas representaciones, es decir, distintos vectores posición o distintos vectores director, si la recta es la misma? 3. Si una recta y un plano tienen el mismo vector director, ¿cuál es su posición relativa? Justifica. 4. Si dos planos distintos comparten un vector director, ¿son secantes?, ¿por qué?

124 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

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Página 125

Unidad 3

UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1

Mi progreso

En esta página se ofrece una serie de ejercicios que permitirán a los y las estudiantes autoevaluar su aprendizaje hasta esta instancia; es decir, pueden ser utilizados como una evaluación formativa. Se adjunta una tabla con los criterios de evaluación correspondientes y las páginas a las que puede recurrir para corregir sus errores. Los ítems asociados a esta actividad incluyen los siguientes criterios: Ítem 1: determinar si tres puntos son colineales y escribir la ecuación vectorial de la recta que pasa por ellos. Ítem 2: graficar planos dadas sus ecuaciones. Ítem 3: determinar la ecuación cartesiana del plano que pasa por un punto y es paralelo a dos vectores dados. Ítem 4: determinar la posición relativa y la intersección entre dos planos. Ítem 5: determinar la ecuación vectorial de la intersección entre dos planos dados.

Mi progreso Ítems 1

Habilidades que evalúan Aplicar.

2y3

Interpretar y calcular.

3y4

Interpretar, aplicar y representar.

Interpretar y aplicar.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 1, recuerde a sus estudiantes que tres o más puntos se dicen colineales cuando pertenecen a la misma recta. Esto se puede justificar de dos maneras: determinar la ecuación vectorial de la recta que pasa por dos puntos y revisar que el tercer punto pertenezca a ella, o bien, calcular los vectores que unen los puntos, de dos en dos, y, luego, verificar que estos vectores son vectores ponderados. Como los vectores tienen la misma dirección y un punto en común, pertenecen a la misma recta. • En el ítem 2, sugiera a sus alumnos y alumnas primero ubicar los puntos de intersección del plano con los ejes coordenados, para después trazar el gráfico del plano. Y recuérdeles que si el plano no se interseca con una recta cualquiera, entonces el plano y la recta son paralelos. En particular, si no interseca a alguno de los ejes, es paralelo a él. • En el ítem 3, indique a sus estudiantes que un plano es paralelo a uno o más vectores, entonces estos vectores pueden utilizarse como vectores directores del plano, ya que tienen su misma dirección. • En los ítemes 4 y 5, procure que sus alumnos y alumnas realicen primero el gráfico correspondiente de los planos para visualizar sus puntos de intersección, ya que escribir directamente un sistema de ecuaciones con las ecuaciones del plano, para intentar reducirlas a una ecuación con dos variables, no les va a permitir obtener la recta correspondiente a la intersección de los planos. La estrategia es: ubicar dos puntos de intersección entre los planos, si existen, y luego, escribir la ecuación de la recta que los contiene.

Unidad 3

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UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1

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Página 126

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar a sus estudiantes.

Ítems

Completamente logrado Determina correctamente si los puntos son colineales, analíticamente. Determina las ecuaciones de la recta, sin errores.

Logrado Determina correctamente si los puntos son colineales, analíticamente. Determina las ecuaciones de la recta, con algunos errores.

Medianamente logrado Determina correctamente si los puntos son colineales, por inspección. No determina las ecuaciones de la recta.

Por lograr No logra resolver lo pedido, o bien no comprende lo que se le está pidiendo.

Grafica el plano y Grafica correctamente el Determina algunos responde a la plano. No responde a puntos que pertenecen pregunta correctamente. la pregunta. al plano, pero comete errores al graficar.

No logra graficar el plano pedido, o bien no comprende lo que se le está pidiendo.

Determina correctamente Determina correctamente Escribe correctamente la ecuación cartesiana. la ecuación cartesiana, una ecuación cartesiana, con algunas dificultades. pero confunde los datos entregados.

No logra resolver lo pedido, porque confunde el punto y los vectores director, o bien no comprende lo que se le está pidiendo.

Determina correctamente todas las posiciones relativas entre planos y todas las ecuaciones vectoriales correspondientes.

Determina correctamente todas las posiciones relativas entre planos, escribe correctamente una de las ecuaciones vectoriales.

Determina correctamente algunas de las posiciones relativas entre planos, escribe correctamente una de las ecuaciones vectoriales, o bien, no sabe obtener los vectores a partir de la ecuación cartesiana.

No logra resolver lo pedido, porque remplaza valores arbitrariamente, o bien no comprende lo que se le está pidiendo.

Marca la alternativa en forma correcta, justificando su decisión.

Marca la alternativa en forma correcta, pero no justifica su decisión.

Confunde los vectores posición y director, por lo que no obtiene la respuesta correcta.

Marca una alternativa incorrecta o la omite.

126 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

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Actividades complementarias Ejercicios de refuerzo

Ejercicios de profundización

1. En cada caso, determina la ecuación vectorial de la recta:

1. Construye un contraejemplo para cada una de las siguientes proposiciones.

a. que pasa por los puntos A(2, 1, 3) y B (3, –1, 5). b. que pasa por los puntos C (3, –1, 1) y D (4, 1, 0). c. intersección de los planos 2x – 3y + 2z = 5 y x + 2y – z = 4. d. intersección de los planos 3x + y – 2z = 1 y x + y + z = 5.

2. En cada caso, determina la ecuación vectorial del plano: a. que pasa por los puntos A(1, –1, 6), B(0, 0, 1) y C(4, 7, –11). b. que pasa por P (2, 5, 1) y es paralelo al plano de ecuación x – y + 2z = 4. c. que pasa por P (2, –3, 5) y es paralelo al plano de ecuación 3x – 2y – z = 0. d. que contiene a P (2, 1, 0) y a la recta 具x, y, z典 = 具3, –1, 2典 + λ具1, 0, –1典. e. que contiene a las rectas 具x, y, z典 = 具3, 1, 0典 + λ具1, –1, 3典 y 具x, y, z典 = 具0, –2, 5典 + λ具2, 1, –1典.

3. En cada caso, determina todos los puntos de intersección del plano dado y la recta 具x, y, z典 = 具1, –2, 3典 + λ具2, 5, –1典. a. b. c. d.

Π1: x – 3y + 2z = 4 Π2: 2x – y – z = 5 Π3: 3x – y + z = 8 Π4: –x + 4y + 3z = 6

4. Determina la ecuación vectorial de la recta intersección de los siguientes planos. a. Π1: 2x – 3y + 2z = 5 y Π2: x + 2y – z = 4. b. Π3: 3x + y – 2z = 1 y Π4: x + y + z = 5.

a. Si un plano es paralelo a una recta L, toda recta contenida en el plano también es paralela a la recta L. b. Dados cuatro puntos no colineales, siempre existe un plano que los contiene.

2. Determina el punto de intersección entre la recta que pasa por (1, 2, –1) y (2, 1, 0) y el plano que pasa por (1, 1, 1), (2, 1, –1) y (3, 2, 3).

3. Determina el punto de intersección de los tres planos x – y + z = 1, 2x + 3z = –2, x + y + z = 4.

4. Considera los siete planos que forman las caras de un prisma de base un pentágono regular. Describe los ángulos diedros que existen entre todos estos planos.

5. Responde las siguientes preguntas, justificando tus respuestas. a. ¿A qué eje es paralelo el plano Π: 2y + 3z = 6? b. ¿Cuántos planos pasan por una recta dada? c. Si tres planos se intersecan en un punto, ¿cuántos semiplanos distintos se forman?

6. Determina los puntos en que interseca a los ejes coordenados el plano Π: 5x – 2y + z = 2.

7. Si la ecuación vectorial de un plano es 具x, y, z典 = P + λQP + μRP, con λ 僆 IR, μ 僆 IR, ¿bajo qué condiciones de los vectores QP y RP, se tiene que: a. el plano es paralelo al plano XY? b. el plano es paralelo al plano YZ? c. el plano es paralelo al plano XZ?

Unidad 3

| 127

Unidad 3

UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1

Páginas 148 y 149

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09:40

Página 128

Cómo resolverlo

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Resolver problemas.

2y3

Resolver problemas, indagar y comparar.

Ítem 1: aplicar procedimientos para determinar puntos y justificar relaciones geométricas entre los puntos. Ítem 2: proponer procedimientos alternativos para resolver este tipo de problemas. Ítem 3: comparar procedimientos de resolución e identificar cuál resulta óptimo. Para evaluar el desempeño de sus estudiantes en la resolución de problemas, puede utilizar la rúbrica presentada en la página 61 de esta Guía.

Páginas 150 y 151

En terreno

El objetivo de esta página se relaciona con uno de los objetivos transversales del ámbito de crecimiento y autoafirmación personal, referido al interés y capacidad de conocer la realidad y utilizar el conocimiento y la información. A partir del uso actual del Sistema de Posicionamiento Global (GPS, por su sigla en inglés), y de los valores que puede entregar un receptor de GPS, se motiva a los y las estudiantes para que relacionen las coordenadas geográficas con las coordenadas esféricas, que constituyen otro modelo de representación de la posición de un punto en el espacio. Puede guiar la conversación hacia en qué situaciones sería muy beneficioso contar con un receptor de GPS y qué otros peligros, además del robo de bus mencionado en el Texto, se podrían evitar si se contara permanentemente con un receptor de GPS.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Saber.

Formular hipótesis, conjeturar o predecir.

Conectar.

Saber y formular hipótesis, conjeturar o predecir.

Investiguemos... Ítems

128 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

Habilidades que desarrollan

1y2

Saber.

3y4

Conectar, generalizar y analizar.

Saber y sintetizar o integrar.

Usar herramientas y resolver problemas.

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Página 152

09:40

Página 129

Síntesis de la Unidad

Los mapas conceptuales, como herramientas visuales, permiten a los alumnos y alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados en toda la Unidad. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues así ellos consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. Además, permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado. En esta sección, sus estudiantes resumen y organizan a través de un mapa conceptual los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad.

Actividad Mapa conceptual

Habilidad que desarrolla Recordar y conectar.

Como actividades de consolidación se presentan afirmaciones de carácter conceptual que involucran los contenidos trabajados en la Unidad.

Páginas 153 a 155

Evaluación sumativa

En estas páginas se propone una evaluación que abarca todos los contenidos vistos en la Unidad. Esta instancia puede ser utilizada como una evaluación sumativa que considera las habilidades del cuadro. Ítems I

Habilidades que evalúan 1a8

Analizar y verificar o comprobar.

Interpretar, aplicar y conectar.

2y3

Interpretar, aplicar y representar.

Interpretar y aplicar.

Aplicar y conectar.

1, 3, 7 y 8

Interpretar, calcular y verificar o comprobar.

2, 4, 5 y 6

Interpretar y calcular.

9, 11 y 12

Aplicar y conectar.

Conectar y verificar o comprobar.

Saber.

III

Unidad 3

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Unidad 3

UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1

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09:40

Página 130

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem II 1, insista en que sus alumnos y alumnas realicen primero el gráfico correspondiente de los planos para visualizar sus puntos de intersección, ya que escribir directamente un sistema de ecuaciones con las ecuaciones del plano, para intentar reducirlas a una ecuación con dos variables, no les va a permitir obtener la recta correspondiente a la intersección de los planos. La estrategia es: ubicar los puntos de intersección entre los planos, si existen, y luego, identificar la recta que los contiene. • En el ítem II 2, es posible que sus estudiantes cometan errores por no considerar correctamente cuál es el centro de la homotecia, en cada caso, o porque les provoca confusión la razón k, cuando es un número negativo. O bien, puede ocurrir que apliquen una de las homotecias, pero no calculen su composición. Enfatíceles que parte de la dificultad en todo ejercicio de Matemática es interpretar correctamente el enunciado de la pregunta. • En el ítem II 3, enfatice a sus alumnos y alumnas dónde se ubican los puntos en el plano cartesiano, según el signo de sus coordenadas. Es posible que confundan la posición del punto (a, –b) con la del punto (–b, a), por ejemplo. Insista en que la primera coordenada se asocia con el eje X y la segunda, con el eje Y. • En el ítem II 4, recuerde a sus estudiantes que existen dos formas de calcular el producto cruz, según los datos de los que se dispone: se conocen las coordenadas de los vectores, o bien, se conocen sus módulos y el ángulo formado por los dos vectores. De todas formas, el resultado es siempre un vector. • En el ítem II 5, es posible que sus estudiantes no relacionen la condición de que dos vectores son perpendiculares cuando el resultado de su producto punto es cero. Puede recordarles esta condición conceptualmente, para que las apliquen al ejercicio. A continuación, se presenta una rúbrica referida a los ítems I y II que puede utilizar para evaluar a sus estudiantes.

130 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

Ítems

II, 1

II, 2

II, 3

II, 4

II, 5

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Completamente logrado

09:40

Página 131

Medianamente logrado

Por lograr

Determina correctamente Determina correctamente si los planos son secantes, si los planos son secantes. e identifica además la recta correspondiente a su intersección.

No logra determinar si los planos son secantes, porque no conoce el procedimiento.

No logra determinar si los planos son secantes, porque no comprende lo que se le está pidiendo.

Dibuja la imagen del cuadrado bajo la homotecia correctamente, calculando algebraicamente la composición, en cada caso.

Dibuja la imagen del cuadrado bajo una de las homotecias correctamente, y luego aplica la otra, en cada caso.

Dibuja la imagen del cuadrado bajo las homotecias correctamente, pero no considera la composición, o bien, confunde el centro de la homotecia.

No dibuja la imagen del cuadrado bajo las homotecias pedidas, porque no comprende lo que se le está pidiendo.

Ubica los puntos en el plano cartesiano, calcula → el vector AB y su módulo correctamente, en todos los casos.

Ubica los puntos en el plano cartesiano, calcula → el vector AB y su módulo, en todos los casos, con algunos errores numéricos.

No ubica los puntos en el plano cartesiano, no → calcula el vector AB , o bien, no calcula su módulo, porque no conoce el procedimiento.

No calcula el vector AB , o bien, no calcula su módulo, porque no comprende lo que se le está pidiendo.

Determina la dirección y sentido del producto cruz y calcula su módulo y el área del paralelogramo que se forma correctamente.

Determina correctamente la dirección y sentido del producto cruz y calcula su módulo y el área del paralelogramo que se forma, pero con errores numéricos.

No determina el producto cruz, o bien, no calcula su módulo y el área del paralelogramo que se forma, porque no conoce el procedimiento.

No determina el producto cruz, ni calcula su módulo ni el área del paralelogramo que se forma, porque no comprende lo que se le está pidiendo.

Calcula correctamente el valor de x, mediante ecuaciones, en todos los casos.

Calcula correctamente el Calcula correctamente valor de x, por inspección, solo uno de los valores en todos los casos. de x.

Logrado

→

No logra resolver lo pedido, o bien no comprende lo que se le está pidiendo.

Para el ítem III, considere la siguiente rúbrica: Completamente logrado: si contesta correctamente todas las preguntas (13 preguntas). Logrado: si contesta correctamente 10 preguntas o más. Medianamente logrado: si contesta correctamente entre 6 y 9 preguntas. Por lograr: si contesta correctamente 5 preguntas o menos. A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzar o profundizar los contenidos trabajados hasta este momento en la Unidad. Usted podrá plantearles las actividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtengan en la evaluación formativa y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.

Unidad 3

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Unidad 3

UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1

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09:40

Página 132

Actividades complementarias Ejercicios de refuerzo 1. Dados los siguientes vectores, determina: C(4, 3) B(2, 3)

E →

→

CD = (4, –4)

→

F (10, –1)

→

G (–3, 1) →

→

IJ = (3, 0) I

J(–3, –1)

a. b. c. d. e. f.

2x – 5y + 10 = 0 x + 3y – 6 = 0 3y – 5 = 0 4x + y – 8 = 0

4. Determina la correspondiente ecuación cartesiana, en cada caso. a. b. c. d.

H(–9, 3)

KM = (–1, –2)

a. b. c. d.

EF = (4, 3)

A(0, –1)

K(–9, 1)

3. Determina la correspondiente ecuación vectorial, en cada caso.

La forma analítica del vector AB. Las coordenadas del punto D. Las coordenadas del punto E. La forma analítica del vector GH. Las coordenadas del punto I. Las coordenadas del punto M.

2. Dado un triángulo de vértices A(–1, 4), B(3, –2) y C(0, 6), con O(0, 0), determina su homotético por la aplicación, en cada caso, de: a. H(O, 2) ⎛ 2⎞ b. H ⎜ O, ⎟ ⎝ 5⎠ ⎛ 7⎞ c. H ⎜ O, ⎟ ⎝ 4⎠ d. H(O, –1) e. H(O, –3) 1⎞ ⎛ f. H ⎜ O, – ⎟ ⎝ 4⎠

132 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

具x, y典 = 具1, 2典 + λ具–4, 5典具x, y典 = 具0, 3典 + λ具3, 2典具x, y典 = 具2, 2典 + λ具4, 1典具x, y典 = 具5, 0典 + λ具–3, –8典

5. Calcula los siguientes productos. a. b. c. d.

具3, 2, 5典 × 具2, 1, 0典具4, 3, 7典 × 具3, –5, 8典具0, 1, 5典 × 具2, 6, –1典具2, 2, 1典 × 具–2, 8, 3典

6. Determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos dados. a. b. c. d.

P(1, 0, 4) y Q(0, 2, 5) P(3, –2, 6) y Q(1, 3, –1) P(2, 0, 4) y Q(3, 0, 0) P(4, –5, 2) y Q(1, 2, 0)

7. Determina la ecuación vectorial de la recta: a. b. c. d.

2x + 3y – z – 6 = 0 3x + y + 2z – 8 = 0 x + 5y – 3z – 10 = 0 4x – 7y – 3z – 3 = 0

8. Determina la ecuación vectorial del plano que contiene los puntos: a. b. c. d.

A(0, 2, 5), B(1, 5, 7) y C(3, 0, 1) A(1, –4, 2), B(7, 3, –3) y C(6, 2, 2) A(5, 0, –3), B(6, 1, 1) y C(8, 2, –2) A(4, –4, 3), B(–6, 3, 0) y C(–2, 0, 7)

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Página 133

Unidad 3

UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1

Habilidades que evalúan

Puntaje

Total

Interpretar, analizar y calcular.

2 puntos cada una

8 puntos

3, 4, 5, 6 Interpretar y aplicar. y 13

2 puntos cada una

10 puntos

2 puntos cada una

2 puntos

2 puntos cada una

6 puntos

Interpretar y reconocer/ identificar.

2, 7 y 11 Analizar y justificar.

Puntaje total:

26 puntos

Considere: Completamente logrado: si contesta correctamente todas las preguntas (13 preguntas). Logrado: si contesta correctamente 9 preguntas o más. Medianamente logrado: si contesta correctamente entre 6 y 8 preguntas. Por lograr: si contesta correctamente 5 preguntas o menos.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En los ítems 2, 7 y 11, es posible que sus estudiantes confundan si se les solicita responder si la afirmación es falsa o verdadera, o bien, considerar la primera respuesta correcta, sin leer todas las alternativas. Insista en que lean con atención el enunciado y que antes de responder lean todas las alternativas. • En los ítems 4, 5, 6, 9, 12 y 13, enfatice a sus estudiantes que realicen sus cálculos con cuidado y pongan atención a los signos, ya que en una prueba de selección múltiple, usualmente las respuestas con errores de este tipo también están entre las alternativas posibles, de modo que el resultado de la prueba podría no reflejar sus conocimientos.

Unidad 3

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UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1

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17:35

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Evaluación final Nombre: 1. Para que los tres puntos (6, 10), (26, 5) y (m, 18) sean colineales, m debe ser igual a: A. –26 1 B. – 26 1 C. – 4 D. 4

Curso:

2→ 3→ → → 4. Dados u = 具–2, 1典 y v = 具3, 5典 al calcular u – v 5 2 se obtiene: 1 A. 具0, 1典 2 B. C.

E. 38

2. En las siguientes afirmaciones, la única falsa es: A. en el espacio puede haber tres planos que se intersecan en un punto. B. dos rectas paralelas generan un plano. C. una recta que es perpendicular a un plano, es paralela a alguna recta de ese plano. D. si una recta corta a un plano, corta a todos los planos paralelos a él. E. con tres puntos que no pertenezcan a una misma recta se genera un plano.

3. Un cuadrilátero ABCD de vértices A(4, 0), B(0, 6), C(–3, 0) y D(0, –2) por aplicación de homotecia ⎛ 1⎞ H ⎜ O, ⎟ se transforma en: ⎝ 2⎠ A. B. C. D. E.

un cuadrilátero mayor, al centro. un cuadrilátero menor, al centro. un cuadrilátero mayor, a la izquierda. un cuadrilátero menor, a la izquierda. un cuadrilátero mayor, a la derecha.

21 7 , 5 2 1 10

具–53, –71典

21 1 , 5 2

1 1 , 5 2

→

5. De los siguientes vectores: a = 具1, –3典, b = 具5, 6典, → → c = 具11, 2典, d = 具–9, 4典, el que tiene menor módulo es: A. B. C. D. E.

→

a → b → c → d Ninguna de las anteriores.

6. ¿Cuál es el vector director de la recta y = – A. 具1, 5典 B. 具–5, 3典 C. 具–3, 1典 D.

3 – ,1 5

E. 具5, 3典

134 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

Fecha:

3 x + 1? 5

5/11/10

09:40

Página 135

7. Respecto a los puntos D(–3, 4), E (2, 6) y F(12, 10) se puede afirmar lo siguiente: A. B. C. D. E.

los puntos no pertenecen a una misma recta. los puntos pertenecen a una parábola. los puntos pertenecen a distintos planos. los puntos pertenecen a una misma recta. Ninguna de las anteriores.

→

8. Dados u = 具–2, p典 y v = 具q, p + 1典, los valores de p → → y q para que u + v = 具–3, 7典 son, respectivamente: A. B. C. D. E.

p = 4; q = –5 p = 1; q = –3 p = 4; q = 1 p = 3; q = –1 p = 3; q = 1

9. Para que el punto A(1, –5) se traslade a las coordenadas A’(–1, 5), ¿qué vector de traslación habría que aplicar? A. B. C. D. E.

具2, 10典具–10, –2典具–2, 10典具2, –10典具–2, –10典

10. Si al aplicar una homotecia a una figura ubicada en el primer cuadrante del plano cartesiano, se obtiene otra figura semejante y de menor tamaño, ubicada entre el centro de homotecia y la figura original, entonces el valor de λ es: A. B. C. D. E.

–λ < –1 –1 < λ < 0 λ>0 0<λ<1 λ>1

11. En relación con dos rectas oblicuas en el espacio, no coplanarias, ¿cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Existe al menos un plano que contiene a una de las rectas y que interseca la otra recta en un punto. II. Es posible que exista un plano que contenga a una de las rectas y sea perpendicular a la otra recta. III. Existe solamente un par de planos paralelos a los que pertenecen respectivamente las dos rectas. A. B. C. D. E.

Solo I Solo III I y II I y III Todas. →

→

12. Sean T 1具–4, 9典 y T 2具3, –5典 dos traslaciones, entonces al trasladar el triángulo de vértices → → P(2, 1), Q(4, 5) y R(3, 9) respecto a T 1 y luego T 2, el triángulo trasladado es: A. B. C. D. E.

P’(–2, 10), Q’(0, 14) y R’(–1, 18) P’(5, –4), Q’(7, 0) y R’(6, 4) P’(1, 5), Q’(3, 9) y R’(2, 13) P’(–10, –44), Q’(–8, –40) y R’(–9, –36) Ninguna de las anteriores.

13. La ecuación vectorial de la recta que pasa por → A(1, –2) y tiene por vector director d = 具3, –1典 es: A. B. C. D. E.

具x, y典 = 具1, –2典 + λ具–1, 3典具x, y典 = 具–2, 1典 + λ具3, –1典具x, y典 = 具5, –3典 + λ具0, –1典具x, y典 = 具1, –2典 + λ具3, –1典 Ninguna de las anteriores.

Unidad 3

| 135

Unidad 3

UNIDAD 3 (100-139)n:Maquetación 1

UNIDAD 4 (136-163)n :Maquetación 1

5/11/10

09:53

Página 136

Áreas y volúmenes Propósito de la Unidad Esta Unidad tiene por objetivo entregar a los alumnos y las alumnas las herramientas necesarias para representar redes tridimensionales de cuerpos geométricos, así como para calcular el área y volumen de prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas e identificar las proyecciones de estos en el plano. Por otro lado, se analizará cuáles de estos cuerpos geométricos pueden ser generados por la rotación o la traslación de una figura.

Esquema de la Unidad

Áreas y volúmenes

Área

Volumen

Proyecciones en el plano

Cuerpos geométricos Planta Prismas

Cilindro

Pirámides

Cuerpos generados por traslación

136|Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

Cono

Esfera

Cuerpos generados por rotación

Perfil

Alzado

Uso de calculadora científica para apoyar la resolución de problemas.

Uso de algún programa computacional geométrico que permita medir ángulos, y ampliar y reducir figuras.

4º Medio

09:54

Demostración de los Teoremas de Euclides relativos a la proporcionalidad en el triángulo rectángulo.

3º Medio

Resolución de desafíos y problemas no rutinarios que involucren sustitución de variables por dígitos y/o números.

2º Medio

5/11/10

Demostración de propiedades de triángulos, cuadriláteros y circunferencia, relacionadas con congruencia. Aporte de Euclides al desarrollo de la Geometría.

Análisis de la significación de las cifras en la resolución de problemas. Conocimiento sobre las limitaciones de las calculadoras en relación con truncar y aproximar decimales.

1º Medio

Relación entre los CMO de la Unidad y los de años anteriores

UNIDAD 4 (136-163)n :Maquetación 1 Página 137

Unidad 4

| 137

• Resolución de problemas sencillos sobre áreas y volúmenes de cuerpos generados por rotación o traslación de figuras planas. • Resolución de problemas que plantean diversas relaciones entre cuerpos geométricos; por ejemplo, uno inscrito en otro.

CMO

Aprendizajes esperados

• Área y volumen. • Resuelven problemas • Proyecciones en el plano. relativos al cálculo de • Área de prismas áreas y volúmenes de y pirámides. cuerpos generados por • Cuerpos generados rotación o traslación por traslación. de figuras planas. • Principio de Cavalieri. • Volumen de un prisma. • Volumen de pirámides. • Cuerpos generados por rotación. • Área de cilindros y conos. • Volumen de cilindros. • Volumen de conos. • Volumen y área de la esfera.

Contenidos de la Unidad

Propuesta de planificación de la Unidad

En el Texto De exploración: páginas 160, 162, 164, 166, 167, 168, 170, 174, 176, 178 180 y 182. De construcción de conceptos: páginas 161, 163, 165, 166, 169, 171, 175, 177, 178, 179, 181 y 183. De consolidación: páginas 172 y 184. En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 142, 143, 144, 145, 146, 147, 150, 151, 152, 153, 154, 156 y 160. De profundización: páginas 142, 143, 144, 146, 147, 151, 156 y 160.

Actividades asociadas • Describen cuerpos geométricos generados por traslación o rotación de figuras planas. • Formulan y verifican conjeturas referidos a cuerpos generados por traslación o rotación. • Calculan áreas y volúmenes de cuerpos geométricos generados por traslación o rotación. • Resuelven problemas referidos a cuerpos generados por traslación o rotación.

Indicadores de evaluación

Sumativa: Páginas 191, 192 y 193 del Texto del Estudiante. Páginas 142 y 143 de la Guía Didáctica del Docente.

Formativa: Páginas 173 y 185 del Texto del Estudiante.

Diagnóstica: Páginas 158 y 159 del Texto del Estudiante.

Tipos de evaluación

Computador con acceso a internet.

Recursos didácticos

Tiempo estimado: 5 a 6 semanas

UNIDAD 4 (136-163)n :Maquetación 1 5/11/10 09:54 Página 138

138 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

5/11/10

09:54

Página 139

Unidad 4

UNIDAD 4 (136-163)n :Maquetación 1

Referencias teóricas • Si se quiere conocer el área de un triángulo a partir de las medidas de sus lados

a, b y c, se puede utilizar la fórmula de Herón: A =

s (s – a )(s – b )(s – c ) ,

donde s es la medida de su semiperímetro, es decir: s =

a+b+c . 2

• El prisma es un poliedro limitado por dos figuras planas paralelas, llamados bases, y tres o más paralelogramos, correspondientes a sus caras laterales. El prisma se dice recto si las aristas de sus caras laterales son perpendiculares a las bases, y oblicuo en caso contrario. • La pirámide es un poliedro limitado por una figura plana, llamada base, y tres o más triángulos, correspondientes a sus caras laterales. La pirámide se dice recta si las todas sus caras laterales son triángulos isósceles o rectángulos, y oblicua en caso contrario. • Para calcular el área de un polígono regular de manera sencilla, se puede utiperímetro · apotema , donde el apotema corresponde lizar la expresión: A = 2 a la distancia entre el centro del polígono regular y el lado. • Se denomina cuerpo de revolución a todo cuerpo geométrico que se forma al hacer girar una línea o una superficie móvil alrededor de una recta fija, llamada eje. Conos, cilindros y, en sentido amplio, esferas son cuerpos generados por la rotación de figuras geométricas en torno a un eje fijo. • Un cilindro es un cuerpo geométrico generado por un rectángulo, al girar en torno a uno de sus lados. • Un cono se genera al girar una recta en torno a otra recta fija que se interseca con ella, delimitado por un plano que forma la base del cono. La recta fija se conoce como eje y la recta móvil se conoce como generatriz. Ambas rectas se cortan en un punto llamado vértice. • Un tronco de cono es la parte de un cono comprendida entre la base y un plano paralelo a esta, trazado por debajo del vértice. • Una esfera se genera por la rotación de una semicircunferencia alrededor del diámetro. La esfera resultante se puede definir como el lugar geométrico de todos los puntos en el espacio que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia del centro a cualquier punto de la esfera es su radio.

Unidad 4

| 139

UNIDAD 4 (136-163)n :Maquetación 1

5/11/10

Páginas 156 y 157

Conversemos de... Actividad 1a4

Habilidades que desarrollan Recordar y conectar.

09:54

Página 140

Páginas de entrada La idea de que un cuerpo se genere por la rotación o la traslación de una figura plana no siempre es fácil de visualizar. Por este motivo, la imagen inicial es un excelente recurso visual para ilustrar las características de los cuerpos generados por rotación y anticipa la discusión acerca de la dificultad de calcular el área y el volumen de este tipo de cuerpos.

Aprendizajes esperados de la Unidad En el esquema inicial se explicitan los principales contenidos y su relación con los aprendizajes que se espera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad. Se sugiere que los comente con sus estudiantes y, luego, puede preguntarles qué saben sobre el área y el volumen de diversos cuerpos geométricos, así como sobre qué son los cuerpos generados por traslación o por rotación. Con las ideas que les vayan diciendo, puede hacer un esquema en la pizarra; esto le permitirá obtener información acerca de las conductas de entrada de sus estudiantes y a la vez ellos podrán recordar conceptos trabajados en años anteriores que les servirán para lograr los aprendizajes de la Unidad.

Actividad inicial Se sugiere que comente con los y las estudiantes la imagen presentada en el Texto. Puede guiar la conversación a partir de las preguntas que se muestran en el Texto y complementarla con otras como las siguientes: • ¿Cómo funciona un torno? • ¿Cuál es la característica en común que tienen las piezas de cerámica que son creadas con la ayuda de un torno? • ¿De qué depende la cantidad de arcilla que se pone en el torno?, ¿por qué? • Si se quisiera fabricar un vaso de 500 cm3 de capacidad, ¿qué dimensiones podría tener?

Páginas 158 y 159

¿Cuánto sabes? Ítems

Habilidades que evalúan

1y2

Recordar y calcular.

3, 4 y 5

Interpretar, recordar y calcular.

6 7, 8 y 9

Interpretar y representar.

Evaluación diagnóstica Para medir los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta una evaluación diagnóstica con el título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios: Ítem 1: recordar equivalencias de las unidades de medida. Ítem 2: calcular área y perímetro de polígonos regulares. Ítems 3, 4 y 5: calcular el área de las figuras dadas. Ítem 6: representar una longitud en función de otra. Ítems 7 y 8: calcular el área de figuras a partir de otras figuras. Ítem 9: calcular la razón entre las áreas de las figuras dadas.

Interpretar, recordar y calcular.

140 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

5/11/10

09:54

Página 141

Unidad 4

UNIDAD 4 (136-163)n :Maquetación 1

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 1, es posible que los alumnos y alumnas confundan las equivalencias entre las distintas unidades de medida; pueden ver las equivalencias necesarias en la página siguiente. • Para responder al ítem 2, recuerde a los y las estudiantes que el apotema es la distancia entre el centro del polígono regular y uno de sus lados, y que el número de lados del polígono está indicado por el prefijo de la palabra. Por ejemplo, dodecágono es un polígono de 12 lados. • En el ítem 3, enfatice a los y las jóvenes que deben responder las actividades en la unidad de medida solicitada. • En el ítem 4, si sus estudiantes no recuerdan la expresión que relaciona la diagonal de un cuadrado con la medida de su lado, sugiérales que apliquen el teorema de Pitágoras para obtenerla. • En los ítems 5, 6, 7, 8 y 9, es posible que los y las estudiantes no recuerden cuando una figura está inscrita en otra. Utilice la figura del ítem 9 para diferenciar un polígono inscrito (todos sus vértices son puntos de la circunferencia y sus lados están incluidos dentro del círculo) y un polígono circunscrito (todos sus vértices están en el exterior de la circunferencia, y sus lados son tangentes a ella). • En el ítem 8, sugiera a sus estudiantes que lean el enunciado con atención. Pueden cometer errores al interpretar la figura como que se debe calcular el área del triángulo inscrito en la circunferencia, que no es lo pedido. • En el ítem 9, enfatice que se pide la razón entre las áreas indicadas, no su valor. A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar a sus estudiantes. Ítems

Completamente logrado

3y4

5, 6, 7, 8y9

Medianamente logrado

Por lograr

Escribe correctamente todas las equivalencias.

Escribe correctamente las Escribe solo algunas equivalencias, con uno o equivalencias, ya que dos errores numéricos. confunde las equivalencias de longitud, área y volumen.

No escribe las equivalencias pedidas, porque no comprende lo que se le está pidiendo.

Calcula correctamente el área y perímetro de todos los polígonos.

Calcula correctamente el área y perímetro, pero confunde uno de los polígonos.

No logra determinar los valores, o bien no comprende lo que se le está pidiendo.

Logrado

Calcula solo algunos valores de área y perímetro, o bien, confunde los polígonos.

Calcula correctamente el Calcula correctamente el Calcula solo algunos área de todas las figuras. área, pero confunde las valores de área, porque unidades de medida. no realiza todas las operaciones necesarias.

No logra determinar los valores, o bien no comprende lo que se le está pidiendo.

Calcula correctamente Calcula lo pedido sin todos los valores pedidos. errores, pero no siempre responde la pregunta correctamente.

No logra determinar los valores, o bien no comprende lo que se le está pidiendo.

Calcula solo algunos valores pedidos, porque confunde cuándo una figura está inscrita o circunscrita en otra.

Unidad 4

| 141

UNIDAD 4 (136-163)n :Maquetación 1

5/11/10

Páginas 160 y 161

09:54

Página 142

Área y volumen

Analicemos...

Actividad inicial

Habilidades que desarrollan

La actividad inicial propuesta en el Texto tiene por objetivo ilustrar a los alumnos y alumnas la necesidad de expresar el área y volumen de diversos cuerpos, sin recurrir necesariamente a la descripción de su forma. Así como la necesidad de expresarlos con la unidad de medida más apropiada.

Recordar, conectar y analizar.

Actividades Ítems

1y2

Habilidades que desarrollan Formular hipótesis, conjeturar o predecir, evaluar y justificar.

Justificar.

Interpretar, calcular y representar.

Indicaciones respecto del contenido • Mencione a sus estudiantes que, a diferencia de las medidas de longitud, el área y el volumen no pueden ser calculados directamente con un instrumento (como una regla o una huincha de medir), por lo tanto es necesario utilizar fórmulas para calcular el área y volumen de un cuerpo. • Recuérdeles que, una vez resuelto un ejercicio de área o de volumen, siempre deben revisar su unidad de medida, pues para el área se utilizan unidades como cm2 y m2, por ejemplo, mientras que para volumen se utilizan unidades como cm3 y m3, por ejemplo. • Suele ocurrir que los y las estudiantes no diferencian entre área y superficie; la superficie se refiere a la forma de una figura o cuerpo geométrico, mientras que el área se refiere a la medida de dicha superficie.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Escribe en tu cuaderno una lista de envases de uso cotidiano que tengan un litro de capacidad. Luego, estima cuál de estos envases tiene mayor área y cuál tiene menor área. Explica. (Habilidades que desarrolla: formular hipótesis, conjeturar o predecir). De profundización 1. Considera una pirámide de base cuadrada. ¿Qué pirámide tiene mayor volumen: una que tenga el doble de altura o una que tenga el doble de área basal que la original? Justifica. (Habilidades que desarrolla: analizar y justificar).

142 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

Páginas 162 y 163

5/11/10

09:54

Página 143

Unidad 4

UNIDAD 4 (136-163)n :Maquetación 1

Proyecciones en el plano

Actividad inicial

Analicemos...

Como motivación, comente a los alumnos y las alumnas que, a pesar de que vivimos en un mundo en tres dimensiones, la mayoría de las representaciones que hacemos de él tienen solo dos. Además, mencióneles que la mayoría de los objetos se ven de manera distinta, según desde el punto en que se miren (lo que explica la existencia del alzado, planta y perfil), e incluso es posible que se requieran más de tres vistas para describirlo correctamente.

Habilidades que desarrollan

Actividades complementarias De refuerzo

Recordar, conectar y representar.

Actividades Ítems 1y2

1. Dibuja la planta, alzado y perfil de los siguientes cuerpos. a.

Habilidades que desarrollan Interpretar y representar.

2. Dibuja el cuerpo correspondiente a cada una de las siguientes proyecciones. a.

(Habilidades que desarrollan: analizar y representar). De profundización 1. ¿En qué casos la planta, el alzado y el perfil de un cuerpo son la misma figura? Explica. 2. ¿Es posible que para representar un cuerpo sea necesario otra proyección, además de la planta, el alzado y el perfil? Justifica. (Habilidades que desarrollan: interpretar, analizar y justificar).

Unidad 4

| 143

UNIDAD 4 (136-163)n :Maquetación 1

5/11/10

Páginas 164 y 165

09:54

Página 144

Área de prismas y pirámides

Analicemos...

Actividad inicial

Habilidades que desarrollan

Para que los alumnos y alumnas comprendan y utilicen correctamente las expresiones que permiten calcular el área de prismas y pirámides, se recomienda enfatizarles que el área se deduce de la red del prisma o pirámide correspondiente, ya que depende tanto del número de caras laterales y de la forma de las bases, como de las medidas de sus aristas y de su altura.

Recordar, interpretar, conectar evaluar y seleccionar.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Indicaciones respecto del contenido

1, 2 y 8

Aplicar y calcular.

3, 4 y 5

Interpretar, aplicar y calcular.

Por lo general, la mayor dificultad para el cálculo del área de un prisma o una pirámide es calcular el área de la base del prisma (sobre todo si no es un cuadrado o rectángulo), por eso se recomienda repasar el cálculo de área en triángulos y en polígonos regulares, indicando que siempre pueden ser descompuestos en triángulos isósceles para facilitar cálculos.

Interpretar y calcular.

Actividades previas

7y9

Conectar, interpretar y calcular.

Para repasar el cálculo de área de triángulos, se proponen los siguientes ejercicios. 1. Un rombo está formado por la unión de dos triángulos equiláteros de lado 5 cm. Determina la longitud de sus diagonales y su área. 2. Calcula la altura y el área de un triángulo equilátero de perímetro 36 cm. 3. Un trapecio isósceles está formado por un cuadrado de lado 10 cm y dos triángulos rectángulos isósceles unidos a dos lados opuestos del cuadrado. ¿Cuál es el perímetro del trapecio?, ¿cuál es su área?

Actividades complementarias De refuerzo 1. Determina el área total de un prisma recto cuya base es un triángulo equilátero, si el lado de la base mide 5 cm y la arista lateral 9 cm. 2. Las bases de un prisma tienen forma de trapecio. Las longitudes de las aristas paralelas de la base miden 4 y 9 cm, las longitudes de las aristas no paralelas miden 5 y 6 cm y la altura mide 12 cm. Determina el área lateral del prisma. (Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular). De profundización 1. Determina el área de una pirámide de base hexagonal, si el lado de la base mide 8 cm y su altura es cinco veces la longitud del apotema de la base de la pirámide. (Habilidades que desarrolla: aplicar y calcular).

144 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

Página 166

5/11/10

09:54

Página 145

Unidad 4

UNIDAD 4 (136-163)n :Maquetación 1

Cuerpos generados por traslación

Actividad inicial

Analicemos...

Al referirse a los cuerpos generados por traslación, se recomienda explicitar que al hablar de una traslación se habla en términos matemáticos, es decir, la que se representa con un vector de traslación, con magnitud, dirección y sentido, para que sus estudiantes visualicen los cuerpos correctos y no piensen en escalones, arcos o escaleras de caracol, por ejemplo.

Habilidades que desarrollan Recordar, interpretar y analizar.

Actividades

Actividades complementarias Ítem De refuerzo 1. ¿Se podrían generar dos cuerpos distintos si se utiliza la misma figura como generatriz? Explica.

Habilidades que desarrollan Interpretar, analizar y calcular.

2. ¿Por qué no se considera un cono como un cuerpo generado por traslación? (Habilidades que desarrollan: formular hipótesis, conjeturar o predecir y justificar).

Página 167

Principio de Cavalieri

Actividad inicial

Analicemos...

La imagen de la berenjena cortada en rodajas nos permite introducir el tema, pero no ilustra correctamente el principio de Cavalieri. Enfatice a sus estudiantes que lo fundamental del principio de Cavalieri es que todas y cada una de las secciones planas que se comparen (de los dos cuerpos) deben ser correspondientemente de igual área, aunque no tengan la misma forma entre sí ni sean iguales a la base, según el caso.

Habilidades que desarrollan

El principio de Cavalieri es muy útil para comprender la relación existente entre el área de un cilindro y un prisma, o bien entre un cono y una pirámide, por eso es fundamental que los alumnos y las alumnas lo comprendan y sepan aplicarlo.

Interpretar, representar y analizar. misma área

misma área misma área

Actividades complementarias De refuerzo 1. Si el volumen de un prisma es 40 cm3, ¿cuál es el volumen de otro prisma de la misma base y que tiene por altura el doble de la altura del primer prisma? Resuelve utilizando el principio de Cavalieri. (Habilidad que desarrolla: aplicar).

Unidad 4

| 145

UNIDAD 4 (136-163)n :Maquetación 1

5/11/10

Páginas 168 y 169

09:54

Página 146

Volumen de un prisma

Analicemos...

Actividad inicial

Habilidades que desarrollan

Ya que los y las estudiantes están familiarizados con el cálculo del volumen de un paralelepípedo, se compara el volumen de un prisma con el de un paralelepípedo aplicando el principio de Cavalieri. De modo que, si se conoce el área de la base y la altura se puede calcular el volumen del prisma.

Recordar, evaluar y analizar.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

1y2

Aplicar y calcular.

3, 4 y 7

Interpretar, aplicar y calcular.

5y6

Interpretar y calcular.

8 y 10

Formular hipótesis, conjeturar o predecir.

Interpretar, conectar y calcular.

Indicaciones respecto del contenido Una posibilidad es hacer notar a los alumnos y las alumnas que un prisma es generado por la traslación de un polígono en el espacio; esto puede ayudar a comprender y recordar la expresión que permite calcular el volumen del prisma. Pero advierta a sus estudiantes que este volumen depende siempre de la altura del cuerpo, no de la longitud del vector de traslación que lo genera, para que no cometan este error.

Actividades complementarias De refuerzo 1. En una bodega de 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de altura, se quieren guardar cajas de 0,5 m de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de altura. a. ¿Cuántas cajas caben como máximo? b. ¿Cómo están colocadas? (Habilidades que desarrolla: conectar y aplicar). De profundización 1. El estacionamiento de un supermercado tiene forma de rectángulo de 300 m y 400 m, respectivamente, en el que existen desagües para recoger la lluvia en un estanque de base cuadrada de 20 m de lado y 10 m de profundidad. Si un día caen 30 litros por metro cuadrado, ¿alcanzará toda el agua en el estanque si está vacío? ¿Y si ya había una profundidad de un metro de agua? (Habilidades que desarrolla: interpretar, conectar y aplicar).

146 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

Páginas 170 y 171

5/11/10

09:54

Página 147

Unidad 4

UNIDAD 4 (136-163)n :Maquetación 1

Volumen de pirámides

Actividad inicial

Analicemos...

Para demostrar que el volumen de una pirámide es un tercio del volumen de un prisma (de igual base e igual altura), la estrategia consiste en demostrar que el prisma puede dividirse en tres pirámides de igual volumen. Enfatice a sus estudiantes que estas pirámides tienen igual volumen, lo que se demuestra mediante el principio de Cavalieri, pero no son necesariamente iguales en su forma. Procure que sus alumnos y alumnas sigan y comprendan la demostración, dibujando en sus cuadernos las correspondientes pirámides –si es necesario– para visualizar por qué se establece que tienen igual volumen, en cada caso.

Habilidades que desarrollan

Actividades complementarias

Recordar, representar, interpretar, analizar y justificar.

Actividades Ítems 1y2

Habilidades que desarrollan Aplicar.

De refuerzo 1. Calcula el volumen de una pirámide hexagonal sabiendo que la arista de la base mide 10 cm y que la altura mide 20 cm. 2. En una pirámide de base cuadrada, la arista de la base mide 11 cm y la altura 16 cm. ¿Cuál es el área lateral y el área total de la pirámide? (Habilidades que desarrollan: aplicar). De profundización 1. Se tienen dos pirámides cuyas bases tienen la misma área y sus volúmenes suman 960 cm3. Calcula las áreas y la medida de sus alturas si estas últimas suman 24 cm y están en la razón 5 : 7. (Habilidades que desarrolla: interpretar, conectar y calcular).

Página 172

Organizando lo aprendido

Actividad Mapa conceptual

Habilidades que desarrolla Recordar y conectar.

Actividades complementarias Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la Unidad, realice preguntas como las siguientes: 1. ¿Cuál es la diferencia entre el perfil y el alzado de un cuerpo? 2. ¿En qué se diferencian las proyecciones en el plano y la red de un poliedro? 3. ¿Cómo le explicarían a otra persona el principio de Cavalieri?, ¿este principio se aplica para relacionar el volumen de un cono y el de un cilindro?, ¿por qué?

Unidad 4

| 147

UNIDAD 4 (136-163)n :Maquetación 1

5/11/10

Página 173

Página 148

Mi progreso

Mi progreso Ítems

09:54

Habilidades que evalúan

Calcular y representar.

Interpretar y calcular.

Los ítems asociados a esta actividad incluyen los siguientes criterios:

Interpretar y aplicar.

Interpretar, calcular y justificar.

Ítem 1: calcular el volumen y el área de una pirámide. Ítem 2: calcular el volumen de una pirámide. Ítem 3: calcular la altura de una pirámide, dado su volumen. Ítem 4: determinar las proyecciones de un cuerpo geométrico. Ítem 5: calcular el área total de un prisma.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En los ítems 1, 2 y 3, es posible que sus estudiantes confundan los datos que se entregan, por ejemplo, cuando se menciona la altura de la pirámide y la altura de la cara de la pirámide, o bien, que al calcular el área o el volumen no consideren la forma de la base de la pirámide. Indíqueles que una forma de no confundir los datos es escribirlos en su cuaderno a medida que se va leyendo el ejercicio, así como cuál es la medida que se pide, de modo de tener todos los datos a la vista para determinar cuál es la expresión que los relaciona y resolver correctamente el ejercicio. • En el ítem 4, enfatice a sus alumnos y alumnas que las proyecciones en el plano son vistas sin perspectiva ni tridimensionalidad alguna. Así, por ejemplo, en el alzado de la figura b se debe dibujar un rectángulo, sin sombras ni curvas que indiquen su forma redonda, ya que esto se aprecia en la planta de la figura, en este caso. Por otra parte, para el alzado y el perfil se debe privilegiar la vista que tenga más detalles. En ocasiones, es necesario dibujar tanto el perfil izquierdo como el perfil derecho. • En el ítem 5, insista en cómo extraer la información del enunciado. En este caso, como la base del prisma es un hexágono regular, su apotema corresponde a la altura de un triángulo equilátero y se puede calcular su lado, que es el lado del hexágono también.

148 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

5/11/10

09:54

Página 149

Unidad 4

UNIDAD 4 (136-163)n :Maquetación 1

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar a sus estudiantes.

Ítems

1y2

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Calcula correctamente las dimensiones pedidas, y las entrega con su unidad de medida correspondiente.

Calcula correctamente las dimensiones pedidas, pero entrega su respuesta de manera incompleta.

Calcula correctamente solo uno de las dimensiones solicitadas, debido a que confunde algunos de los datos entregados.

No logra calcular correctamente las dimensiones pedidas, o bien, desconoce los conceptos que se le solicitan.

Calcula correctamente la altura pedida, y la entrega con su unidad de medida correspondiente.

Calcula correctamente la altura pedida, pero entrega su respuesta de manera incompleta.

No logra calcular la altura pedida, debido a que no comprende cómo obtener algunos de los datos que requiere.

No logra calcular la altura pedida, o bien, desconoce los conceptos que se le solicitan.

Representa correctamente Representa las tres prolas tres proyecciones en yecciones en el plano, el plano, en ambos casos. con uno o dos errores.

Representa las proyecciones en el plano, con errores en una o dos de ellas, en ambas figuras.

No representa las proyecciones, debido a que desconoce los conceptos o el procedimiento.

Marca la alternativa en forma correcta justificando su decisión.

Marca una alternativa incorrecta.

Omite la respuesta, debido a que desconoce los conceptos o el procedimiento.

Marca la alternativa en forma correcta, pero no justifica su decisión.

Unidad 4

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UNIDAD 4 (136-163)n :Maquetación 1

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09:54

Página 150

Actividades complementarias Ejercicios de refuerzo 1. Dibuja el cuerpo correspondiente a cada una de las siguientes proyecciones. a.

3. Calcula el área lateral de un prisma recto de base pentagonal regular, cuya arista basal mide 3 cm y la arista lateral, 5 cm. 4. Calcula el área total de un prisma recto cuya base es un triángulo equilátero, si su arista basal mide 8 cm y su arista lateral mide 14 cm. 5. La altura de una pirámide regular de base hexagonal es 7 m y su arista basal mide 8 m. Calcula su área total. 6. El volumen de un prisma rectangular recto es 1000 cm3. Calcula su área total si se sabe que las medidas de las tres aristas que concurren en un mismo vértice están en la razón 1 : 2 : 4.

7. Javiera está preparando una caja de arena para su gato Teo. Si la caja mide 80 cm de largo y 60 cm de ancho, y ella estima que la arena tiene que alcanzar una altura de 12 cm, ¿cuánta arena debe conseguir Javiera? 8. Claudio está diseñando un nuevo envase para vender bombones. Tiene forma de prisma de base triangular, y ahora está decidiendo qué tamaño es mejor. Uno tiene 425 cm2 de área basal y 0,25 cm de altura. El otro tiene como base un triángulo isósceles rectángulo cuyos catetos miden 12 cm, y altura 18,5 mm. ¿Cuál de los dos tiene mayor volumen?

2. Dibuja las vistas de alzado, perfil y planta de cada cuerpo.

150 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

9. La pirámide de Keops, la mayor pirámide construida en Egipto, tiene base cuadrada cuyos lados miden 230,36 m, su altura es de 146,59 m y la apotema lateral mide 186,43 m. ¿Cuál es su volumen?

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Páginas 174 y 175

09:54

Página 151

Unidad 4

UNIDAD 4 (136-163)n :Maquetación 1

Cuerpos generados por rotación

Actividad inicial

Analicemos...

De manera similar a los cuerpos generados por traslación, también es posible identificar cuerpos generados por rotación, como los que se ven en estas páginas. Así, la condición en este caso, es que el eje respecto del cual se realiza la rotación es un eje fijo, generalmente vertical, aunque también podría ser horizontal u oblicuo.

Habilidades que desarrollan Recordar, analizar y conjeturar.

Actividades

Actividades complementarias

Ítems

De refuerzo 1. Dibuja el cuerpo de revolución que se obtiene al girar las siguientes figuras alrededor del eje indicado. a.

1y2

Habilidades que desarrollan Interpretar y representar. Recordar y formular hipótesis, conjeturar o predecir.

(Habilidades que desarrolla: interpretar, aplicar y representar). De profundización 1. Dibuja el cuerpo de revolución engendrado por la siguiente figura al girar alrededor del eje. Calcula su área y volumen. 1 cm

2 cm

2 cm 3 cm

3 cm

(Habilidades que desarrolla: interpretar, conectar, aplicar y calcular).

Páginas 176 a 177

Área de cilindros y conos

Actividad inicial

Analicemos...

Para mostrar a los y las estudiantes la razón de las expresiones usadas en el cálculo del área de un cilindro y, en particular, de un cono, analice con ellos la red de cada cuerpo, de modo que puedan reconstruirla si olvidan la expresión correspondiente. Puede cortar una circunferencia de cartulina, cortarla por uno de sus radios y, luego, doblarla para formar conos de distintos tamaños. Muestre así que utilizando la misma generatriz, el área depende también del radio del círculo de la base.

Habilidades que desarrollan Representar, verificar y analizar.

Unidad 4

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UNIDAD 4 (136-163)n :Maquetación 1

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Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Aplicar y calcular.

Analizar.

Analizar y calcular.

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Página 152

Actividades complementarias De refuerzo 1. Un tarro tiene un diámetro de 10 cm y altura 30 cm. Calcula la cantidad de aluminio necesario para fabricarlo. 2. Calcula la generatriz de un cilindro cuya área total es 408,2 cm2 si el radio de la base mide 5 cm. (Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular).

Página 178

Volumen de cilindros

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

El volumen de un cilindro también se puede deducir por comparación con el volumen de un prisma de igual área basal, aplicando el principio de Cavalieri. De esta manera, para determinar el volumen de un cilindro, basta con conocer el radio de su base y su altura.

Aplicar, justificar y analizar.

Actividades Ítems 1

Habilidades que desarrollan Interpretar y calcular.

2y3

Interpretar, calcular y conjeturar.

En particular, en el caso de un cilindro oblicuo, la inclinación que tenga el cilindro en ningún caso afecta a su volumen. Esto lo puede justificar armando un cilindro con un grupo de monedas iguales, si luego se acomodan las monedas para que formen un cilindro oblicuo, se conserva la altura del cilindro y también su volumen, porque no fue necesario sacar ni colocar una moneda para completar el cilindro.

Actividades complementarias De profundización 1. ¿Cuál es el volumen de un cilindro cuya área total es 471 m2 y cuya altura mide el doble que su radio? (Habilidades que desarrolla: interpretar y calcular).

Página 179

Ítems 1y2

Habilidades que desarrollan Usar herramientas observar y analizar.

Herramientas tecnológicas Para visualizar de mejor manera los cuerpos que pueden generarse por rotación, se puede recurrir al applet que se indica en el Texto, que muestra superficies de revolución, es gratuito y de libre disposición para descargarlo desde Internet. Se recomienda que, en la pestaña Torno, los y las estudiantes dibujen un polígono cerrado y, luego, modifiquen su posición respecto del eje de rotación. Entonces, pregúnteles: ¿cómo se modifica el área del cuerpo?, ¿y su volumen?, ¿por qué?

152 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

Páginas 180 y 181

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Página 153

Unidad 4

UNIDAD 4 (136-163)n :Maquetación 1

Volumen de conos

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• Para demostrar empíricamente que el volumen de un cono corresponde a un tercio del volumen de un cilindro, se propone la siguiente actividad:

Habilidades que desarrollan

1. Construye con cartulina un cilindro abierto en una de sus bases y un cono también abierto, cuya base es igual a las bases del cilindro y cuya altura mida lo mismo que la altura del cilindro. 2. Llena completamente de arena el cono y luego vierte el contenido dentro del cilindro. 3. Repite el paso anterior dos veces más. ¿Qué puedes observar? • La actividad anterior también se puede utilizar para demostrar la relación entre los volúmenes de un prisma y una pirámide de igual base y altura.

Verificar, interpretar y analizar.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Aplicar y calcular.

2y3

Interpretar, aplicar y calcular.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Calcula la altura de un embudo en forma de cono con 18 cm de diámetro y 15 cm de generatriz. Luego, calcula su volumen. (Habilidad que desarrolla: aplicar).

Páginas 182 y 183

Volumen y área de la esfera

Indicaciones respecto del contenido

Analicemos...

• En estas páginas se muestran los procedimientos necesarios para deducir la fórmula de área y volumen de una esfera, a través de elementos presentes en otros cuerpos geométricos. • Para el desarrollo de la página 182 se requiere la aplicación del teorema de Pitágoras, por lo que se recomienda recordar el teorema a sus estudiantes.

Habilidades que desarrollan

Actividades complementarias De refuerzo 1. Calcula el área y volumen de una esfera: a. de radio 2,3 cm. b. de diámetro 10 cm. c. de radio 6 cm.

Verificar, interpretar y analizar.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Aplicar.

Evaluar y justificar.

Interpretar, aplicar y calcular.

2. Si el radio de una esfera aumenta un 10%, ¿en qué porcentaje aumenta la medida de su volumen? (Habilidades que desarrollan: aplicar y analizar).

Unidad 4

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UNIDAD 4 (136-163)n :Maquetación 1

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Página 184

Actividad Mapa conceptual

09:54

Página 154

Organizando lo aprendido

Habilidades que desarrolla Recordar y conectar.

Actividades complementarias Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la Unidad, realice preguntas como las siguientes: 1. Explica el principio de Cavalieri. ¿Por qué permite justificar la relación entre el volumen de una pirámide y el volumen de un cono? 2. ¿Existen cuerpos redondos que no sean generados por la rotación de una superficie generatriz? Justifica. 3. ¿En qué casos se puede calcular el área de un cuerpo redondo mediante el análisis de su red?, ¿en qué casos no? Explica. 4. Si se comparan dos conos, de igual base y uno con el doble de la altura del otro, ¿cómo se relacionan sus áreas?, ¿y sus volúmenes? 5. ¿Qué características tienen los cuerpos de revolución?, ¿cómo se reconoce si un cuerpo geométrico cualquiera corresponde a un cuerpo de revolución? Explica.

Página 185

Mi progreso

Mi progreso Ítems

Habilidades que evalúan

Interpretar y representar.

2, 3 y 6

Aplicar y analizar.

Analizar y calcular.

Aplicar.

En esta página se propone un listado de ejercicios que les servirá a sus estudiantes para autoevaluar lo que han aprendido hasta esta instancia; es decir, puede ser utilizado como una evaluación formativa. Se adjunta una tabla con los criterios de evaluación correspondientes y las páginas a las que puede recurrir para corregir sus errores. Los ítems asociados a esta actividad incluyen los siguientes criterios: Ítem 1: determinar cuerpos generados por rotación a partir de su generatriz. Ítems 2 y 4: determinar el área y volumen de un cilindro. Ítems 4 y 5: determinar el área y volumen de un cono. Ítems 3 y 6: determinar el volumen de una esfera.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 1, indique a sus alumnos y alumnas que los cuerpos de revolución se deben dibujar con sombras o curvas que indiquen su forma redonda, para apreciarlo correctamente.

154 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

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Página 155

Unidad 4

UNIDAD 4 (136-163)n :Maquetación 1

• En los ítems 2, 3 y 5, es posible que sus estudiantes confundan los datos que se entregan, por ejemplo, cuando se menciona la altura del cono y la generatriz del cono, o bien, que al calcular el área total o el volumen no consideren la base del cilindro o cono. Enfatíceles que una forma de no confundir los datos es escribirlos en su cuaderno a medida que se va leyendo el ejercicio, así como cuál es la medida que se pide, de modo de tener todos los datos a la vista para determinar cuál es la expresión que los relaciona y resolver correctamente el ejercicio. • En el ítem 4, puede indicar a sus estudiantes que calculen primero el área lateral, el área total y el volumen del cilindro en cada caso y luego la del cono, de modo de puedan establecer la ecuación correspondiente para determinar el valor de la generatriz pedida. • En el ítem 6, insista en que manejen los valores del área y volumen expresándolos como un valor multiplicado por π, y que eviten remplazarlo por 3 ó 3,14, ya que todas las alternativas están expresadas en términos de π.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar a sus estudiantes.

Ítems

Completamente logrado

Logrado

Representa correctamente Representa ambos cuerlos cuerpos de revolución, pos de revolución, con en ambos casos. algún error de dibujo.

Medianamente logrado

Por lograr

Representa los cuerpos de revolución, con errores conceptuales o de interpretación de la superficie generatriz.

No representa los cuerpos de revolución, debido a que desconoce los conceptos o el procedimiento.

Calcula correctamente las dimensiones pedidas, 2, 3 y 5 y las entrega con su unidad de medida correspondiente.

Calcula correctamente las dimensiones pedidas, pero entrega su respuesta de manera incompleta.

Calcula correctamente solo uno de las dimensiones solicitadas, debido a que confunde algunos de los datos entregados.

No logra calcular correctamente las dimensiones pedidas, o bien, desconoce los conceptos que se le solicitan.

Calcula correctamente la generatriz pedida, en todos los casos y la entrega con su unidad de medida correspondiente.

Calcula correctamente la generatriz pedida, pero entrega su respuesta de manera incompleta.

No logra calcular la generatriz pedida, debido a que no comprende cómo establecer la ecuación que requiere.

No logra calcular la generatriz pedida, o bien, desconoce los conceptos que se le indican.

Marca la alternativa en forma correcta, justificando su decisión.

Marca la alternativa en forma correcta, pero no justifica adecuadamente su decisión.

Marca una alternativa incorrecta.

Omite la respuesta, debido a que desconoce los conceptos o el procedimiento.

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UNIDAD 4 (136-163)n :Maquetación 1

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Actividades complementarias Ejercicios de refuerzo

Ejercicios de profundización

1. Calcula el volumen de material que se necesita para construir una torre cilíndrica de 15 m de altura, si el muro debe tener un grosor de 50 cm y el radio basal del cilindro exterior debe medir 3 m.

1. El área total de un cilindro es 75,36 cm2 y su generatriz es el doble que el radio de la base. Halla la medida del radio y la generatriz.

2. Determina la altura de un tronco de cono cuyo volumen es 351π cm3, si el radio de su base menor es 3 cm y el de su base mayor es 9 cm. 3. La altura de un cilindro mide el doble que su radio basal. Calcula su volumen si su área total es 96π cm2. 4. Calcula el área lateral de un cono si su área basal es 64π cm2 y su altura es de 15 cm. 5. Determina la capacidad de un depósito de acero como el que se muestra en la figura, sabiendo que el radio de la entrada circular superior mide 3 m, la altura del depósito completo mide 15 m, y la razón entre la altura de la sección cilíndrica superior y la de la sección cónica inferior es de 2 : 1.

2. Un cilindro tiene una altura de 2a y radio b. Un segundo cilindro tiene una altura a y radio 2b. ¿Cuál es la razón entre sus áreas laterales? 3. En la calle, para advertir de una pista que se va a cerrar, se pusieron 12 conos plásticos, de 36 cm de diámetro y 60 cm de altura cada uno. a. Calcula el área total de cada cono. b. Calcula el volumen del total de conos. 4. Para que el volumen de una esfera de radio R sea igual al volumen de un cono cuyo radio de la base es R, ¿cuál deberá ser la medida de la altura del cono? 5. Se decide pintar una pelota de colores azul, rojo y amarillo a razón de 3 : 4 : 5, respectivamente. Si el radio de la pelota mide 15 cm, ¿cuál será el área pintada de cada color? 6. Una esfera y un cono tienen el mismo volumen. Si el radio de la esfera mide la mitad que el del cono, encontrar una expresión que permita calcular la altura del cono en función del radio de la esfera.

6. Calcula el volumen de los cuerpos generados al rotar cada figura en torno al eje indicado. 10 dm

8. Si en un cilindro se duplican simultáneamente su radio basal y su altura, ¿en qué porcentaje aumenta su área?, ¿y su volumen?

4 dm

4 dm 6 cm 2 cm 3 cm 3 cm

7. Determinar la razón entre el área lateral y el área basal de un cono generado al rotar un triángulo equilátero en torno a uno de sus ejes de simetría.

3 cm

156 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

Páginas 186 y 187

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Página 157

Unidad 4

UNIDAD 4 (136-163)n :Maquetación 1

Cómo resolverlo

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Resolver problemas.

2y3

Resolver problemas, indagar y comparar.

Ítem 1: calcular el volumen del espacio comprendido entre dos cuerpos. Ítem 2: proponer procedimientos alternativos para resolver este tipo de problemas. Ítem 3: comparar procedimientos de resolución e identificar cuál resulta óptimo. Para evaluar el desempeño de sus estudiantes en la resolución de problemas, puede utilizar la rúbrica presentada en la página 61 de esta Guía.

Páginas 188 y 189

En terreno

El objetivo de esta página se relaciona con uno de los objetivos transversales del ámbito de crecimiento y autoafirmación personal, referido al interés y capacidad de conocer la realidad y utilizar el conocimiento y la información. En este caso, se presenta a los y las estudiantes la dificultad de diseñar envases de cartón adecuados para presentar y proteger envases de vidrio, como las botellas de aceite que se muestran en la imagen de la página 188 del Texto. Comente con sus alumnos y alumnas las condiciones que usualmente restringen el diseño de estos envases: que proteja adecuadamente el envase de vidrio, y, según qué contiene el envase de vidrio, en cada caso, decidir el grosor y el tipo de cartón a utilizar y proponer un envase de cartón atractivo para los potenciales clientes. Por ejemplo, una caja que contenga una alcuza tiene distinta presentación en términos de formas y colores que una caja que contiene un perfume.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Resolver problemas, conectar y analizar.

Evaluar.

Conectar y formular hipótesis, conjeturar o predecir.

Investiguemos... Ítems

Habilidades que desarrollan

Analizar y evaluar.

Usar herramientas y representar.

Seleccionar y representar.

Interpretar datos.

Unidad 4

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UNIDAD 4 (136-163)n :Maquetación 1

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Actividad Mapa conceptual

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Síntesis de la Unidad

Habilidad que desarrolla Recordar y conectar.

Los mapas conceptuales, como herramientas visuales, permiten a los alumnos y alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados en toda la Unidad. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los alumnos y alumnas consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. Además, permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus estudiantes. En esta sección los y las estudiantes resumen y organizan a través de un mapa conceptual los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad. Como actividades de consolidación se presentan afirmaciones de carácter conceptual que involucran los contenidos trabajados en la Unidad.

Páginas 191 a 193

Evaluación sumativa En estas páginas se propone una evaluación que abarca todos los contenidos vistos en la Unidad. Esta instancia puede ser utilizada como una evaluación sumativa que considera las habilidades del cuadro. Ítems I

Habilidades que evalúan 1a6

Analizar y verificar o comprobar.

Representar, aplicar, calcular y evaluar.

2y3

Aplicar y calcular.

Interpretar, analizar y evaluar.

1, 2, 4, 10 y 13

Analizar y calcular.

Interpretar y representar.

5, 7, 8 y 12

Interpretar y calcular.

3, 9 y 11

Aplicar y calcular.

III

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Unidad 4

UNIDAD 4 (136-163)n :Maquetación 1

A continuación, se presenta una rúbrica referida a los ítems I y II que puede utilizar para evaluar a sus estudiantes.

Ítems

Completamente logrado

Logrado

Determina correctamente el valor de verdad de todas las afirmaciones, justificando todos los casos.

Determina correctamente el valor de verdad de todas las afirmaciones, pero justifica solo las falsas.

Determina correctamente Determina correctamente el valor de verdad de el valor de verdad de tres al menos cuatro de afirmaciones o menos. las afirmaciones.

Representa el cuerpo de revolución, calcula los volúmenes pedidos y establece correctamente las condiciones requeridas.

Representa el cuerpo de revolución, calcula correctamente los volúmenes pedidos, pero no establece las condiciones requeridas.

No representa el cuerpo de revolución, o bien, no calcula el volumen del sólido, porque confunde algunos de los datos entregados.

No representa los cuerpos de revolución, ni calcula los volúmenes pedidos, debido a que desconoce los conceptos o el procedimiento.

Calcula correctamente las dimensiones pedidas, y las entrega con su unidad de medida correspondiente.

Calcula correctamente las dimensiones pedidas, pero entrega su respuesta de manera incompleta.

Calcula correctamente solo uno de las dimensiones solicitadas, debido a que confunde algunos de los datos entregados.

No logra calcular correctamente las dimensiones pedidas, o bien, desconoce los conceptos que se le solicitan.

Calcula correctamente los valores pedidos y la relación entre ellos.

Calcula correctamente Calcula correctamente los valores pedidos, pero solo algunos de los no determina la relación valores pedidos. entre ellos.

II, 1

II, 2

II, 3, 4y5

Medianamente logrado

Por lograr

No calcula correctamente los valores pedidos, ni la relación entre ellos.

Para el ítem III, considere la siguiente rúbrica: Completamente logrado: si contesta correctamente todas las preguntas (13 preguntas). Logrado: si contesta correctamente 9 preguntas o más. Medianamente logrado: si contesta correctamente entre 6 y 8 preguntas. Por lograr: si contesta correctamente 5 preguntas o menos. A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzar o profundizar los contenidos trabajados hasta este momento en la Unidad. Usted podrá plantearles las actividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtengan en la evaluación formativa y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.

Unidad 4

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UNIDAD 4 (136-163)n :Maquetación 1

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Actividades complementarias Ejercicios de profundización 1. Las bases de un prisma son regiones trapezoidales. Las longitudes de las aristas paralelas de la base miden 4 y 9 cm, las longitudes de las aristas no paralelas miden 5 y 6 cm y la altura mide 12 cm. Determina el área lateral del prisma.

7. Un invernadero tiene la forma y medidas que se indican en la figura. El techo corresponde a medio cilindro y un paralelepípedo recto rectangular.

2,5 cm 8 cm

2. El rectángulo formado por las caras laterales de un prisma de base pentagonal tiene una diagonal que mide 26 cm. Si la altura mide 24 cm y el apotema de la base 1,2 cm; calcula el área y volumen total del prisma. 3. Dada una pirámide de base cuadrada de 8 cm de lado y 12 cm de altura, calcula la medida de: a. b. c. d. e.

el apotema de la base. la arista lateral. el apotema de la pirámide. el área lateral y el área total. el volumen de la pirámide.

4. La longitud de la arista de la base de una pirámide cuadrangular regular es 3 cm. a. Determina el área total si la altura mide el doble de la arista de la base. b. Si la altura es el cuádruple de la arista de la base, ¿crees que el área total será el doble del área obtenida en la pregunta a? c. Comprueba tu hipótesis calculando el área cuando la altura es el cuádruple de la arista. d. Calcula el volumen de la pirámide original. 5. ¿Cuánto mide el área lateral y total de un cono, si el radio de su base mide 5 cm y su generatriz es el cuádruple del radio? ¿cuánto mide su volumen? 6. Dibuja el sólido que se forma al rotar la figura alrededor de los ejes indicados.

160 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

6 cm

a. ¿Cuánto es el volumen de la construcción? b. ¿Cuánto es el área total de la construcción? 8. Las galletas que fabrica una empresa tienen un diámetro de 6 cm y un grosor de 5 mm. a. ¿Cuánto volumen ocupa cada una de ellas? b. Las galletas se envasan en paquetes de 40, envueltas en celofán. ¿Qué cantidad de celofán se necesita como mínimo para cada paquete? 9. Las galletas anteriores se venden en cajas con forma de cubo que contienen cuatro paquetes de 40 galletas cada uno. a. ¿Cuáles son las dimensiones aproximadas de las cajas de galletas? ¿Cuánto es el área del cartón necesario para fabricar una caja? b. ¿Cuánto es el volumen de la caja? c. Cada caja está a su vez recubierta por celofán. ¿Qué cantidad de celofán se gasta en total en cada caja?

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Unidad 4

UNIDAD 4 (136-163)n :Maquetación 1

Habilidades que evalúan

1, 4, 5, 7, Interpretar, analizar 8, 10 y 14 y calcular. 11

13 y 15

Total

2 puntos cada una

14 puntos

2 puntos cada una

2 puntos

2 puntos cada una

6 puntos

Interpretar y analizar.

2 puntos cada una

2 puntos

Analizar y justificar.

2 puntos cada una

4 puntos

Interpretar y representar.

2, 6 y 12 Aplicar y calcular. 9

Puntaje

Puntaje total:

28 puntos

Considere: Completamente logrado: si contesta correctamente todas las preguntas (15 preguntas). Logrado: si contesta correctamente 10 preguntas o más. Medianamente logrado: si contesta correctamente entre 7 y 9 preguntas. Por lograr: si contesta correctamente 6 preguntas o menos.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En los ítems 1, 4, 5, 7, 8 y 14, recuerde a sus estudiantes que cuando los datos que necesitan no están explícitos en el enunciado, deben obtenerlos de los demás datos presentados, y en estos casos, para evitar cometer errores, insista que planteen la ecuación correspondiente. Luego, si es necesario, calcular lo que se pide en la pregunta. • En el ítem 15, enfatice cuál es el formato de esta pregunta, los alumnos y las alumnas no deben calcular o determinar lo que se les pide, si no que deben decidir si la información es suficiente para responder la pregunta, ya sea una de ellas, cualquiera de ellas o ambas juntas. Si no, la alternativa correcta sería “se requiere información adicional”.

Unidad 4

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UNIDAD 4 (136-163)n :Maquetación 1

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Evaluación final Nombre: 1. El volumen de un hexaedro regular es 216 cm3. Es correcto afirmar que: I. la suma de las medidas de todas sus aristas es 72 cm. II. el área de una cara es numéricamente igual al perímetro de ella. III. su diagonal mide 6 3 cm. A. B. C. D. E.

Solo I I y II I y III II y III I, II y III

2. Las aristas que concurren a un vértice de un paralelepípedo recto de base rectangular miden 3 cm, 4 cm y 12 cm. Entonces, la diagonal de este cuerpo mide: A. 5 cm B. 119 cm C. 13 cm D. 19 cm E. 19 cm 3. Los cubos de 25 cm de arista que caben en un cubo de 1 metro de arista son: A. B. C. D. E.

22 23 24 25 26

4. Un cuerpo cilíndrico tiene un volumen de 1500 cm3 y una altura de 10 cm, entonces el diámetro de la base mide aproximadamente: A. B. C. D. E.

6,9 cm 13,8 cm 150 cm 138 cm Ninguna de las anteriores.

162 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

Curso:

Fecha:

5. La altura de un cono mide 5 cm. Para que su volumen sea 50π cm3, su radio basal debe medir aproximadamente: A. B. C. D. E.

2 cm 4,52 cm 5,48 cm 6,23 cm Otro valor.

6. El radio basal y la altura de un cono recto miden, respectivamente, 5 cm y 12 cm. Entonces, la superficie del manto de este cono mide: A. B. C. D. E.

65π cm2 90π cm2 180π cm2 200π cm2 Otro valor.

7. Los radios basales de un tronco de cono recto miden 12 cm y 4 cm respectivamente. Si su generatriz mide 10 cm, entonces, su altura mide: A. B. C. D. E.

6 cm 3 cm 9 cm 12 cm Otro valor.

8. El área de una esfera es 144π cm2. Entonces su volumen mide: A. 72π cm3 B. 144π cm3 C. 288π cm3 D. 28 872π cm3 E. Otro valor.

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9. El volumen de un cilindro está dado por la expresión V = πr 2h. Si se duplica el diámetro basal y la altura disminuye al 50%, entonces el volumen: A. B. C. D. E.

no varía. disminuye 50%. aumenta 100%. aumenta 200%. Otra variación.

10. Un rectángulo cuyas medidas de los lados son 4 cm y 6 cm respectivamente, gira en torno a su lado menor. ¿Cuál es el volumen del cuerpo generado? A. B. C. D. E.

4π cm3 12π cm3 36π cm3 144π cm3 Otro valor.

11. ¿Qué cuerpo se genera al trasladar un círculo de manera ortogonal? A. B. C. D. E.

Un prisma. Un cono. Un cilindro. Un poliedro regular. Otro cuerpo.

12. Las palomitas de maíz tienen el mismo precio aunque se entreguen en un envase cónico, cúbico o en uno rectangular. El cono tiene un radio de 6 cm y una altura de 15 cm, el cúbico 7 cm de arista, y las medidas del envase rectangular son 8 cm de ancho, 6 de alto y 9 de largo. ¿Cuál de los envases trae menos palomitas? A. B. C. D. E.

El cónico. El rectangular. El cúbico. Todos tienen igual capacidad. Faltan datos.

Unidad 4

UNIDAD 4 (136-163)n :Maquetación 1

13. De las siguientes proposiciones es o son verdaderas: I. un cono se genera por la rotación de un triángulo rectángulo en torno a uno de sus catetos. II. un tronco de cono se genera por la traslación ortogonal de un trapecio rectángulo. III. un prisma se genera mediante la traslación ortogonal de un polígono. A. B. C. D. E.

Solo I Solo II Solo III I y III I, II y III

14. (Facsímil PSU, Demre, 2003). ¿A qué altura debe ubicarse un foco cónico que tiene un ángulo de 120º, para iluminar una superficie circular de 27π m2? A. 3 3 metros B. 6 3 metros C.

3 metros

D. 9 metros E. 3 metros 15. (Facsímil PSU, Demre, 2003). Pedro e Iván estaban jugando con sus escuadras haciéndolas girar sobre sus catetos. Se puede determinar la relación que hay entre los volúmenes de los conos que se generan si se sabe que: (1) uno de los catetos de la escuadra de Iván, mide lo mismo que un cateto de la de Pedro. (2) el otro cateto de la escuadra de Iván, mide el doble de lo que mide el otro cateto de la de Pedro. A. B. C. D. E.

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional. Unidad 4

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Estadística I Propósito de la Unidad En esta Unidad, se invita a los alumnos y las alumnas a mirar la información estadística presente en los medios de comunicación, con la que a diario conviven. Se analizarán las ventajas y desventajas de las distintas formas de organizar e interpretar información, utilizando herramientas como las tablas y otras representaciones gráficas, con el objetivo de promover en los y las estudiantes el análisis crítico y fundamentado de dicha información. Además, se promueve el uso de planillas de cálculo para facilitar el manejo, la representación gráfica, el análisis e interpretación de la información.

Esquema de la Unidad Historia

Estadística I Datos

Población

Frecuencia

Variables

Muestra Cualitativas

Absoluta

Cuantitativas

Discretas

Continuas

Relativa

Tablas

Gráficos

Dispersión

Pictograma

164|Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

Histograma

Circular

Barras

Porcentaje. Lectura e interpretación de información científica y publicitaria que involucre porcentaje. Análisis de indicadores económicos y sociales. Planteo y resolución de problemas que perfilen el aspecto multiplicativo del porcentaje. Análisis de la pertinencia de las soluciones. Relación entre porcentaje, números decimales y fracciones.

Muestra al azar, considerando situaciones de la vida cotidiana; por ejemplo, ecología, salud pública, control de calidad, juegos de azar, etc. Inferencias a partir de distintos tipos de muestra.

Juegos de azar sencillos; representación y análisis de los resultados; uso de tablas y gráficos. Comentarios históricos acerca de los inicios del estudio de la probabilidad.

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Noción de variable. Análisis y descripción de fenómenos y situaciones que ilustren la idea de variabilidad. Tablas y gráficos.

Selección de diversas formas de organizar, presentar y sintetizar un conjunto de datos. Ventajas y desventajas. Comentario histórico sobre los orígenes de la estadística.

Graficación e interpretación de datos estadísticos provenientes de diversos contextos. Crítica del uso de ciertos descriptores utilizados en distintas informaciones.

Uso de planilla de cálculo para análisis estadístico y para construcción de tablas y gráficos.

Variable aleatoria: estudio y experimentación en casos concretos. Gráfico de frecuencia de una variable aleatoria a partir de un experimento estadístico.

4º Medio

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Distinción entre números racionales e irracionales. Aproximación y estimación de números irracionales. Estimaciones de cálculos, redondeos. Construcción de decimales no periódicos. Distinción entre una aproximación y un número exacto.

3º Medio

:Maquetación 1

Análisis de la significación de las cifras en la resolución de problemas. Conocimiento sobre las limitaciones de las calculadoras en relación con truncar y aproximar decimales.

2º Medio

1º Medio

Relación entre los CMO de la Unidad y los de años anteriores

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Unidad 5

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• Uso de planilla de cálculo para análisis estadístico y para construcción de tablas y gráficos. • Graficación e interpretación de datos estadísticos provenientes de diversos contextos. Crítica del uso de ciertos descriptores utilizados en distintas informaciones. • Selección de diversas formas de organizar, presentar y sintetizar un conjunto de datos. Ventajas y desventajas. Comentario histórico sobre los orígenes de la estadística. • Muestra al azar, considerando situaciones de la vida cotidiana; por ejemplo, ecología, salud pública, control de calidad, juegos de azar, etc. Inferencias a partir de distintos tipos de muestra.

CMO

• Orígenes de la Estadística. • Población y muestra. • Ordenando la información. • Análisis de gráficos. • Medidas de tendencia central.

Contenidos de la Unidad • Conocen distintas maneras de organizar y presentar información, incluyendo el cálculo de algunos indicadores estadísticos, la elaboración de tablas y gráficos utilizando planilla de cálculo o calculadora. • Reconocen la importancia de una muestra aleatoria simple para hacer inferencias sobre la población. • Conocen antecedentes históricos sobre la Estadística y su relación con las probabilidades. • Comprenden y aprecian el papel de la Estadística en la sociedad, conociendo algunos campos de aplicación.

Aprendizajes esperados

Propuesta de planificación de la Unidad Indicadores de evaluación

En el Texto • Compara dos o más conjuntos De exploración: de datos utilizando medidas páginas 198, 200, de tendencia central. 202, 204 y 208. • Entiende los conceptos de De construcción de muestreo aleatorio simple, es conceptos: capaz de reconocer la población páginas 199, 201, 203, de la cual se extrajo la muestra 206, 207, 210 y 211. y cuál es la metodología que se De consolidación: utiliza para su extracción. • Utiliza Excel para calcular páginas 214 y 220. medidas de tendencia central. En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 172, 173, 174, 177 y 181. De profundización: página 172.

Actividades asociadas

Computador con planilla de cálculo.

Recursos didácticos

:Maquetación 1

Sumativa: Páginas 221, 222 y 223 del Texto del Estudiante. Páginas 142 y 143 de la Guía Didáctica del Docente.

Formativa: Página 215 del Texto del Estudiante.

Diagnóstica: Páginas 196 y 197 del Texto del Estudiante.

Tipos de evaluación

Tiempo estimado: 3 a 4 semanas

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Referencias teóricas • La Estadística consiste en un conjunto de técnicas y procedimientos que permiten recoger datos, presentarlos, ordenarlos y analizarlos, de manera que a partir de ellos se puedan inferir conclusiones. • La población es un conjunto de objetos o de individuos que se desea estudiar y que, a su vez, presentan una característica que interesa medir. Generalmente, el tamaño de la población se denota con la letra N. • Se llama muestra a un subconjunto representativo de la población que se desea estudiar. Generalmente, el tamaño de la muestra se denota con la letra n. • Una variable estadística corresponde a la o las características que se miden en la muestra. Las variables pueden ser cuantitativas, si se pueden medir numéricamente, o cualitativas, si no, es decir, si sus valores son etiquetas que representan categorías o cualidades. • Una variable cuantitativa puede ser discreta, cuando los posibles valores surgen frecuentemente de un conteo, o continua, cuando los posibles valores surgen frecuentemente de una medición, luego, puede tomar tantos valores como sea posible. • Para realizar un estudio estadístico, generalmente se siguen los siguientes pasos: 1º Recolección, orden y recuento de datos. 2º Cálculo de las medidas de tendencia central, de dispersión y localización. 3º Representación gráfica de los resultados. 4º Planteamiento de las conclusiones. • Para la construcción de gráficos se debe considerar el tipo de variable que se quiere representar, por ejemplo, el histograma se utiliza para representar distribuciones de variables cuantitativas continuas. El diagrama de barras, para representar variables cualitativas o cuantitativas discretas; estas pueden corresponder a las frecuencias absolutas, relativas o absolutas acumuladas. Mientras que el gráfico circular se utiliza para representar diferentes tipos de variables y se recomienda para representar porcentajes. • Al ordenar los datos correspondientes a un cierto estudio, es usual agruparlos en clases o categorías, para lo cual, generalmente, se utilizan tablas de frecuencia. • La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece o se repite un cierto valor en la variable de medición. • La frecuencia absoluta acumulada representa el número de datos cuyo valor es menor o igual al valor considerado. Se obtiene sumando sucesivamente las frecuencias absolutas. • La frecuencia relativa representa la razón de ocurrencia respecto del total. Se calcula como el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño total de la muestra. La suma de todas las frecuencias relativas da como resultado 1. Cuando esta razón se expresa como porcentaje, se le llama frecuencia relativa porcentual.

Unidad 5

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• Si el conjunto de datos que se recolecta es muy numeroso, o bien, si el rango (diferencia entre el mayor y el menor valor de una variable) es muy amplio, es usual presentarlos agrupados y ordenarlos en intervalos (rango de valores). • La marca de clase es un valor representativo de cada intervalo. Este valor corresponde al punto medio del intervalo. Se calcula como la suma del límite inferior (menor valor) y el límite superior (mayor valor) del intervalo, dividido en dos. • Las medidas de tendencia central son parámetros estadísticos que indican valores cuyo objetivo es resumir la información para un conjunto de datos. Las medidas de tendencia central más conocidas son: la media aritmética, la mediana y la moda. • La media aritmética es el valor numérico que corresponde al cociente de la suma de todos los datos y el número total de observaciones. Se denota como x. • La mediana se define como el valor central de un conjunto de datos ordenados de manera creciente o decreciente. En el caso de que el número de datos sea par, la mediana corresponde a la media aritmética de los valores centrales. Se denota como Me. • La moda de un conjunto de observaciones corresponde a aquel dato que tiene la mayor frecuencia. Se denota como Mo. Puede ocurrir que un conjunto de datos tenga más de una moda.

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Páginas 194 y 195

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Unidad 5

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Páginas de entrada

La imagen inicial ilustra el amplio uso actual de las tablas y los gráficos en general. En particular, en el Texto se refiere a los estudios de mercado que las empresas realizan antes de lanzar un nuevo producto al mercado. Los datos recogidos a través de encuestas de opinión y los datos referentes a las ventas de productos similares en años anteriores, por ejemplo, pueden representarse por medio de gráficos para permitir a analistas y directores tomar mejores decisiones respecto de los nuevos productos que se ofrezcan, anticipando sus resultados en las ventas.

Conversemos de... Actividad 1a4

Habilidades que desarrollan Recordar y conectar.

Aprendizajes esperados de la Unidad En el esquema inicial se explicitan los principales contenidos y su relación con los aprendizajes que se espera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad. Se sugiere que los comente con sus estudiantes y, luego, puede preguntarles qué saben sobre la Estadística y conceptos como dato, población, muestra, gráficos y medidas de tendencia central. Con las ideas que les vayan diciendo sus alumnos, puede hacer un esquema o mapa semántico en la pizarra; esto le permitirá obtener información acerca de las conductas de entrada de sus estudiantes y a la vez ellos podrán recordar conceptos trabajados en años anteriores que les servirán para lograr los aprendizajes de la Unidad.

Actividad inicial Se sugiere que comente con los y las estudiantes la imagen presentada en el Texto. Puede guiar la conversación a partir de las preguntas que se muestran en el Texto y complementarla con otras como las siguientes: • ¿En qué situaciones cotidianas se utilizan gráficos para representar la información? Explica. • ¿Qué información debe contener un gráfico para interpretarse correctamente? • ¿En qué casos un gráfico puede malinterpretarse, es decir, que al verlo, las conclusiones que se puedan extraer de él sean erróneas? Justifica. • ¿Qué actividades humanas no podrían desarrollarse sin el apoyo de la Estadística? Explica. Guíe la conversación para comentar con sus estudiantes sobre las ventajas de representar los datos en gráficos y también qué sucede cuando son utilizados de mala manera, ya sea para exagerar la diferencia entre la frecuencia de las variables, o porque la muestra escogida no es representativa de la población.

Unidad 5

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UNIDAD 5 (164-185)n

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Páginas 196 y 197

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Habilidades que evalúan

Recordar y calcular.

Interpretar, recordar y calcular.

3y4

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Evaluación diagnóstica

¿Cuánto sabes? Ítems

09:47

Recordar y seleccionar.

Interpretar, recordar y calcular.

Recordar y representar.

Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta una evaluación diagnóstica con el título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios: Ítem 1: calcular la razón entre números dados en una tabla. Ítem 2: representar razones como fracción, porcentaje o número decimal. Ítem 3: determinar números enteros que pertenezcan a un intervalo dado. Ítem 4: determinar intervalos que cumplan condiciones dadas. Ítem 5: calcular la frecuencia acumulada de un conjunto de datos. Ítem 6: redondear números decimales a la décima.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 1, es posible que los alumnos y alumnas confundan el orden en que deben situar los correspondientes números en una razón, o bien, que olviden simplificar estos números para escribirla de forma más simple. • En el ítem 2, los y las estudiantes deben recordar las equivalencias entre porcentaje, fracción y número decimal. Enfatice que una fracción irreductible es una fracción en la que numerador y denominador son primos relativos. • En el ítem 3, es posible que los y las jóvenes cometan errores por confundir cuándo un intervalo es abierto o cerrado y, por ello, incluir números enteros que no pertenecen al intervalo. Recuérdeles que si los corchetes están hacia fuera corresponde a menor (o mayor), en cambio, si están hacia adentro, corresponde a menor o igual (o mayor o igual). • En el ítem 4, existen varias respuestas correctas posibles, dadas las características de lo pedido. Puede pedir a sus estudiantes que digan sus respuestas en voz alta, de modo que ellos mismos decidan si están correctas y cuál sería el mayor intervalo que cumpla con lo pedido, en cada caso. • En el ítem 5, si sus estudiantes no recuerdan qué es la frecuencia acumulada, puede decirles que como el número de habitantes indicado en la tabla corresponde a la frecuencia de personas por cada grupo de edad, la frecuencia acumulada es la que corresponde a considerar todas las personas del mismo grupo o menores, en cada caso. • En el ítem 6, recuerde a sus estudiantes que al redondear a la décima se escribe el mismo número truncado a la décima cuando el valor de la centésima es menor que 5, y se suma una décima en caso contrario.

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Unidad 5

UNIDAD 5 (164-185)n

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar a sus estudiantes.

Ítems

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Calcula y representa Calcula correctamente correctamente las razones las razones solicitadas, solicitadas, independiente pero no las simplifica. del método utilizado.

Calcula y correctamente Desconoce el concepto solo algunas de las razo- que se le solicita. nes solicitadas, debido a que confunde los valores.

Determina los valores indicados en todos los casos.

Determina algunos de los valores, porque no conoce el procedimiento para obtener los demás valores.

No logra determinar los valores, o bien no comprende lo que se le está pidiendo.

Determina algunos de los números pedidos, por inspección, o bien, incluye números que no son enteros.

No logra determinar los números, o bien no comprende lo que se le está pidiendo.

Determina los valores indicados, con pocos errores.

Determina correctamente Determina los números los números pedidos. pedidos, pero confunde la notación, ya que incluye algunos números que explícitamente no están en el intervalo.

Determina correctamente Determina correctamente Determina correctamente los intervalos pedidos. los intervalos pedidos, solo algunos de los pero confunde la nota- intervalos pedidos. ción, ya que escribe solo intervalos cerrados.

No logra determinar los intervalos, o bien no comprende lo que se le está pidiendo.

Determina correctamente Determina los valores los valores indicados en indicados, con algunos todos los casos. errores de cálculo.

Determina algunos de los valores, o bien, confunde lo que se le está pidiendo.

Desconoce el concepto que se le solicita.

Determina correctamente Determina los números los números pedidos. pedidos, con pocos errores.

Determina algunos números, truncando a la décima, o bien, redondeando a la centésima o milésima.

No logra determinar los números, o bien no comprende lo que se le está pidiendo.

Unidad 5

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UNIDAD 5 (164-185)n

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Páginas 198 y 199

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Página 172

Orígenes de la Estadística

Analicemos...

Actividad inicial

Habilidades que desarrollan

La actividad propuesta en el Texto tiene por objetivo mostrar a los y las estudiantes lo que se considera el primer estudio estadístico de población, realizado por John Graunt en 1662. Analice con ellos qué información se puede rescatar de esta tabla y qué conclusiones se podrían obtener. Luego, se revisan diversas formas de recopilación de datos que se han observado a lo largo de la Historia. Puede comentar cuál era el objetivo en cada caso y recoger sus impresiones respecto de estos antecedentes.

Conectar y analizar.

Actividades Ítems 1y2

Habilidades que desarrollan Conectar.

Clasificar y analizar.

Formular hipótesis, conjeturar o predecir.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Averigua acerca de la historia de los censos en nuestro país y determina las limitaciones actuales que este método presenta. (Habilidad que desarrolla: conectar). De profundización 1. Junto con un compañero o compañera, realiza una investigación, en la cual recojan antecedentes acerca de la labor que desempeñan personas que trabajan en el área de la investigación estadística. Pueden realizar encuestas para recopilar esta información. (Habilidades que desarrolla: conectar).

Páginas 200 y 201

Población y muestra

Analicemos...

Actividad inicial

Habilidades que desarrollan

La actividad inicial presenta un conflicto habitual en la mayoría de los estudios estadísticos: se quisiera estudiar a toda la población, pero esto no siempre es posible, ya sea porque sería una tarea muy larga, o por falta de recursos. Luego, la complejidad radica en cómo tomar una muestra que sea representativa de la correspondiente población, para efectos de lo que se quiere estudiar.

Analizar, calcular y evaluar.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Clasificar.

Aplicar.

Indicaciones respecto del contenido Es conveniente presentar a sus estudiantes variados ejemplos en donde puedan identificar la población y la muestra en cada caso, a fin de aclarar su significado. Conforme explique la clasificación de variables estadísticas, puede citar algunos ejemplos en cada caso para garantizar la comprensión de sus estudiantes.

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Unidad 5

UNIDAD 5 (164-185)n

Actividades complementarias De refuerzo 1. Define las poblaciones correspondientes a las siguientes muestras: a. Se llama por teléfono a personas de 200 casas en la comuna de Antofagasta y se les pide nombrar al candidato a alcalde por el que votarían en la próxima elección municipal. b. Se lanzó 100 veces una moneda y se obtuvo sello en 34 lanzamientos. (Habilidades que desarrolla: analizar y aplicar).

Páginas 202 y 203

Ordenando la información

Actividad inicial

Analicemos...

El objetivo es que los y las estudiantes sean capaces de diferenciar las variables cualitativas de las cuantitativas, y además, reconocer que estos datos pueden ordenarse en una tabla de frecuencias absolutas y relativas. Enfatice que la suma de las frecuencias absolutas da como resultado el total de los datos estudiados (muestra). También, que la suma de las frecuencias relativas es igual a uno, mientras que la suma de las frecuencias relativas porcentuales corresponde al 100%.

Habilidades que desarrollan

Indicaciones respecto del contenido En las tablas de frecuencias se sintetiza la información, presentando en una columna los distintos valores de una variable, y en otra columna su frecuencia. Si el número de datos es grande, es recomendable agrupar los valores en intervalos y establecer la marca de clase (punto medio del intervalo) y luego hacer un recuento de cada uno.

Clasificar y representar.

Actividades Ítems 1y2

Habilidades que desarrollan Aplicar, calcular y representar.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Los siguientes datos corresponden a los lugares favoritos de vacaciones de los y las docentes de un colegio. Mar-Montaña-Campo-Mar-Mar-Montaña-Campo-Mar-Mar-MontañaCampo-Mar-Campo-Campo-Mar-Montaña-Mar-Montaña-Montaña-MarMar-Montaña-Campo-Mar-Campo. Construye una tabla indicando la frecuencia absoluta y relativa, en cada caso y luego obtén al menos dos conclusiones. (Habilidades que desarrolla: aplicar y analizar).

Unidad 5

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UNIDAD 5 (164-185)n

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Páginas 204 a 207

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Página 174

Análisis de gráficos

Analicemos...

Actividad inicial

Habilidades que desarrollan

En esta actividad se presentan un gráfico circular y un histograma representando la misma información. El objetivo es que los y las estudiantes evalúen las ventajas y desventajas de cada gráfico, según las características de la información entregada y el énfasis que se quiera presentar en cada caso.

Recordar, interpretar, analizar y evaluar.

Indicaciones respecto del contenido

Actividades Ítems 1, 2, 3 y4

Es posible que sus estudiantes consideren que el gráfico de barras y el histograma son lo mismo. Enfatice sus diferencias gráficas y conceptuales: en el gráfico de barras las barras se dibujan siempre separadas y cada barra se asocia a un valor de la variable, en cambio, en el histograma las barras se dibujan siempre juntas y cada barra se asocia a un intervalo de valores de la variable.

Habilidades que desarrollan Interpretar, aplicar y analizar.

Páginas 208 a 211

Medidas de tendencia central

Analicemos...

Actividad inicial

Habilidades que desarrollan

Para revisar las medidas de tendencia central, se analiza un conjunto de datos, calculando su moda, mediana y media aritmética, de modo de ilustrar sus cálculos y las conclusiones que se pueden extraer de ellas.

Interpretar y analizar.

Actividades complementarias Actividades Habilidades que desarrollan

De refuerzo

Analizar y calcular.

1. Las calificaciones obtenidas en Inglés por 8 estudiantes han sido: 6,4; 5,1; 4,0; 3,7; 5,0; 7,0; 2,3; 1,8. ¿Es representativa la media aritmética?, ¿y la mediana? Explica.

Evaluar.

2. La masa en kilogramos de 8 estudiantes es: 53, 48, 47, 43, 52, 58, 62, 49.

Aplicar y calcular.

Calcular, analizar y clasificar.

Interpretar y calcular.

Interpretar, calcular, analizar y representar.

Ítems

a. ¿Cuál es la mediana de las masas de los 8 compañeros? b. ¿Cuál es la mediana de las masas, si incluimos al profesor que pesa 73 kg? (Habilidad que desarrollan: aplicar).

174 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

:Maquetación 1

Páginas 212 y 213

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Página 175

Herramientas tecnológicas

Para facilitar el aprendizaje de esta Unidad, se recomienda el uso de las planillas de cálculo, que son de libre disposición para descargarlas desde Internet. Ingresando los datos en la planilla, los y las estudiantes pueden calcular las medidas de tendencia central y construir gráficos, entre otras cosas. Enfatice a sus alumnos y alumnas que la planilla permite ahorrar tiempo en los cálculos, pero finalmente la interpretación correcta de sus resultados sigue siendo su responsabilidad.

Página 214

Ítems

1, 2 y 3

Habilidades que desarrollan Usar herramientas, representar, aplicar y analizar.

Organizando lo aprendido

Actividad Mapa conceptual

Habilidades que desarrolla Recordar y conectar.

Actividades complementarias Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la Unidad, realice preguntas como las siguientes: 1. ¿Cuándo una variable es cualitativa? Explica. 2. ¿Qué características deben tener los datos para poder representarlos en un histograma? Explica. 3. ¿Cuál es la diferencia entre la media aritmética y la mediana? Justifica. 4. ¿En qué se diferencian la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa? 5. ¿Cómo le explicarían a otra persona un gráfico de dispersión?, ¿este gráfico se aplica para comparar datos de dos o más conjuntos?, ¿por qué?

Página 215

Mi progreso

En esta página se propone una serie de ejercicios que les servirán a los y las estudiantes para autoevaluar lo que han aprendido hasta esta instancia; es decir, pueden ser utilizados como una evaluación formativa. Se adjunta una tabla con los criterios de evaluación correspondientes y las páginas a las que puede recurrir para corregir sus errores. Recuerde a sus estudiantes que el último ítem corresponde a una pregunta de selección múltiple; se distingue porque las alternativas están señaladas con letras mayúsculas. Los ítems asociados a esta actividad incluyen los siguientes criterios:

Mi progreso Ítems

Habilidades que evalúan

Evaluar.

Representar y calcular.

Interpretar y calcular.

Ítem 1: determinar si corresponde estudiar la población o una muestra. Ítem 2: ordenar y organizar la información, y calcular las medidas de tendencia central de un conjunto de datos. Ítem 3: analizar gráficos. Unidad 5

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Unidad 5

UNIDAD 5 (164-185)n

:Maquetación 1

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Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 1, recuerde a sus estudiantes las ventajas y desventajas de estudiar una muestra o toda la población, en términos de las características y el objetivo del estudio estadístico y de la disponibilidad de recursos humanos, tiempo y dinero, en cada caso. • En el ítem 2, recuerde a sus alumnos y alumnas que para organizar los datos en una tabla, pueden anotar la frecuencia de cada uno de los valores que tome la variable, o bien, agruparlos en intervalos, si el conjunto de valores que se recolecta es muy numeroso o el rango de valores es muy amplio. Recomiéndeles que consideren al menos cinco intervalos, para que se pueda observar la variabilidad de los datos. • En el ítem 3, es posible que sus estudiantes no consideren el dato del total de los alumnos y alumnas encuestados y den como respuesta el valor correspondiente al porcentaje. Recuérdeles que un gráfico circular representa los datos en términos de frecuencia relativa porcentual, no usando los valores de los datos en sí.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar a sus estudiantes.

Ítems

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Decide correctamente si estudiar una población o una muestra, justificando su decisión.

Decide correctamente si estudiar una población o una muestra, pero no justifica su decisión.

Confunde los conceptos No responde la pregunta, de población y muestra, porque desconoce o bien, no reconoce en los conceptos. qué situaciones aplicarlos.

Construye correctamente las tablas y calcula la media, mediana y moda sin errores.

Construye las tablas y calcula la media, mediana y moda con algunos errores numéricos.

Construye solo una de las tablas correctamente y calcula la media, la mediana o la moda con errores, o bien confunde estas medidas.

No construye las tablas, o bien, no calcula los valores porque desconoce los conceptos o el procedimiento.

Marca la alternativa en forma correcta, justificando su decisión.

Marca la alternativa en forma correcta, pero no justifica su decisión.

Marca una alternativa incorrecta.

Omite la respuesta, debido a que desconoce los conceptos o el procedimiento.

Por lograr

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:Maquetación 1

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Actividades complementarias Ejercicios de refuerzo 1. Clasifica cada una de las siguientes variables, según sea cuantitativa (discreta o continua) o cualitativa. a. Distancia recorrida por un automóvil desde Calama hasta Valdivia. b. Tiempo que se requiere para responder una encuesta. c. Cantidad de llamados que llegan a una central telefónica. d. Periódicos vendidos en un quiosco. e. Color de pelo de los integrantes de una familia. f. Número de acciones transadas en la bolsa en un día determinado. 2. Se realizó una encuesta para conocer la preferencia del jefe o jefa de hogar de una cierta comuna, por algún tipo de supermercado. Entre los 100 jefes y jefas de hogar entrevistados, 30 prefirieron el supermercado “Conveniente”. a. b. c. d. e.

4. De un grupo de 40 estudiantes, se ha confeccionado una tabla incompleta con sus edades, frecuencias absolutas, relativas y relativas porcentuales.

Edad

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa porcentual

16 17

35 0,15

18 a. Completa cada recuadro de la tabla. 5. De 6550 alumnos y alumnas que respondieron a una prueba de 12 preguntas, el 10% respondió correctamente a 3, el 50% a 7, el 30% a 10 y el resto al total de la prueba. Calcula la media, mediana y moda.

¿Cuál es la muestra de esta encuesta? ¿Cuál es el tamaño de la muestra? ¿Cuál es la población? ¿Cuál es la variable de estudio? ¿Cuál es la proporción dentro de la muestra, de jefes y jefas de hogar que prefirieron el supermercado “Conveniente”? f. ¿Cuántos jefes y jefas de hogar prefirieron otro supermercado?

6. Andrés se entrena para participar en una carrera de 100 metros planos obteniendo los siguientes tiempos medidos en segundos: 12,9; 13,1; 12,4; 13,2 y un quinto tiempo que no recuerda. Si el promedio de los tiempos fue 12,88 segundos, calcular el tiempo que no recuerda.

3. En 15 días de trabajo se contabilizó el tiempo de espera (en minutos) de locomoción colectiva para desplazarse desde el hogar al trabajo. Los tiempos registrados son los siguientes:

8. La media de las masas de cinco deportistas es de 76 kg. Las masas de cuatro de ellos son 72 kg, 74 kg, 75 kg y 81 kg. ¿Cuál es la masa del quinto deportista?

7. Encontrar la media de 25 números sabiendo que la media de 7 de ellos es 3,6 y la media de los otros 18 números, es 5,1.

a. Determina la media aritmética, la mediana y la moda de los tiempos. b. ¿Cuál de las medidas de tendencia central anteriores es más apropiada para representar el tiempo de espera? Justifica.

Unidad 5

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Unidad 5

UNIDAD 5 (164-185)n

:Maquetación 1

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Páginas 216 y 217

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Resolver problemas.

2y3

Resolver problemas, indagar y comparar.

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Página 178

Cómo resolverlo La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la Unidad; sin embargo, en estas páginas se presentan estrategias de resolución específicas para que los y las estudiantes las aprendan y las apliquen en futuros problemas. Además, esta resolución se presenta detallada, justificando las diferentes acciones, lo que permite aclarar posibles dudas que sus estudiantes pueden mantener. Se recomienda que enfatice los pasos que deben seguir en la resolución de problemas: comprender, planificar, resolver y revisar. Ítem 1: construir un gráfico circular a partir de los datos representados en un gráfico de barras. Ítem 2: proponer procedimientos alternativos para resolver este tipo de problemas. Ítem 3: comparar procedimientos de resolución e identificar cuál resulta óptimo. Para evaluar el desempeño de sus estudiantes en la resolución de problemas, puede utilizar la rúbrica presentada en la página 61 de esta Guía.

Páginas 218 y 219

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Clasificar.

Formular hipótesis, conjeturar o predecir.

3y4 5

Seleccionar. Aplicar.

En terreno El objetivo de esta página se relaciona con uno de los objetivos transversales del ámbito de crecimiento y autoafirmación personal, referido al interés y capacidad de conocer la realidad y utilizar el conocimiento y la información. El propósito de esta actividad es familiarizar a los alumnos y las alumnas con el concepto del IPC. Además, a través de esta actividad los estudiantes podrán conocer la página web del INE, fuente importante de información estadística nacional. Para que esta actividad cumpla su objetivo, es importante motivar a los alumnos y las alumnas a buscar información que explique las variaciones del IPC. Por ejemplo, con noticias que contengan información acerca de los cambios en el precio de los bienes que componen la canasta considerada en el IPC.

Investiguemos... Ítems

Habilidades que desarrollan

Analizar y evaluar.

Conectar y analizar.

Seleccionar.

4y5

Formular hipótesis, conjeturar o predecir.

178 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

:Maquetación 1

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Síntesis de la Unidad

Actividad Mapa conceptual

Habilidad que desarrolla Recordar y conectar.

En esta sección los y las estudiantes resumen y organizan a través de un mapa conceptual los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad. Como actividades de consolidación se presentan afirmaciones de carácter conceptual que involucran los contenidos trabajados en la Unidad.

Unidad 5

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Unidad 5

UNIDAD 5 (164-185)n

:Maquetación 1

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Habilidades que evalúan

1a7

Analizar y verificar o comprobar.

Interpretar, analizar y aplicar.

1, 2, 7, 9

Recordar.

3 y 10

Clasificar.

Seleccionar.

5, 6, 8

Interpretar y verificar o comprobar.

Interpretar y calcular.

III

A continuación, se presenta una rúbrica referida a los ítems I y II, que puede utilizar para evaluar a sus estudiantes.

Ítems

Completamente logrado

Logrado

Determina correctamente el valor de verdad de todas las afirmaciones, justificando todos los casos.

Determina correctamente el valor de verdad de todas las afirmaciones, pero justifica solo las falsas.

Determina correctamente Determina correctamente el valor de verdad de al el valor de verdad de tres menos cuatro de afirmaciones o menos. las afirmaciones.

Interpreta correctamente el gráfico, dando respuesta a cada una de las preguntas.

Comete errores al interpretar el gráfico, da respuesta solo a algunas preguntas.

II, 1

180 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

Medianamente logrado

Por lograr

No comprende cómo interpretar el gráfico, o bien, repite mecánicamente los datos presentados.

:Maquetación 1

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Unidad 5

UNIDAD 5 (164-185)n

Para el ítem III, considere la siguiente rúbrica: Completamente logrado: si contesta correctamente todas las preguntas (11 preguntas). Logrado: si contesta correctamente 8 preguntas o más. Medianamente logrado: si contesta correctamente entre 5 y 7 preguntas. Por lograr: si contesta correctamente 4 preguntas o menos.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En los ítems 1, 2, 7 y 9, es posible que los alumnos y alumnas no recuerden o confundan los conceptos incluidos en estos ítems. Enfatice la importancia de reconocerlos y distinguirlos, ya que el conocimiento conceptual es tan importante como que sepan calcular correctamente los valores asociados a un conjunto de datos. • En el ítem 3, es posible que sus estudiantes respondan solo una de las tres opciones, sin considerar que una variable cuantitativa se puede clasificar a su vez es discreta o continua, o porque piensen que si se dice que es discreta, ya se asume que la variable es cuantitativa. Recuérdeles que parte de la dificultad de este tipo de ítems es evaluar si cada una de las opciones que se presentan es correcta o no. • En el ítem 2, indique a sus estudiantes que deben escoger la mejor muestra, en el sentido de que sea representativa para el objetivo de la encuesta. • En el ítem 5, enfatice a sus alumnos y alumnas que en una tabla con datos agrupados, los valores se indican con intervalos semiabiertos, de modo que el valor correspondiente al límite de alguno de los intervalos pertenece a uno de ellos, no a ambos. • En los ítems 6, 9 y 10, recuerde a sus estudiantes que fi corresponde a la frecuencia absoluta, y que pueden obtener el total de observaciones sumando todos los valores de fi, en cada caso. A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzar o profundizar los contenidos trabajados hasta este momento en la Unidad. Usted podrá plantearles las actividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtengan en la evaluación formativa y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.

Unidad 5

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UNIDAD 5 (164-185)n

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Actividades complementarias Ejercicios de refuerzo 1. Sebastián debió hacer una encuesta acerca de la cantidad de hijos por familia que había en su curso, él obtuvo las siguientes respuestas: 2, 2, 1, 2, 3, 5, 3, 3, 2, 5, 2, 4, 2, 1, 1, 3, 4, 1, 3, 2, 3, 1, 3, 3, 1, 2, 1, 3, 1, 3. Su padre, Pablo, también realizó una encuesta similar cuando estaba en el colegio. En esa ocasión, obtuvo las siguientes respuestas: 2, 3, 5, 4, 2, 7, 4, 3, 6, 4, 2, 5, 8, 1, 4, 6, 3, 5, 3, 5, 4, 4, 2, 3, 2, 1, 4, 2, 4, 3. a. Calcula la media, la mediana y la moda, en cada caso. b. Calcula el rango y la desviación estándar, en cada caso. c. ¿Qué se puede decir al comparar la época de Sebastián con la de su padre?

2. Un empresario que arrienda cabañas puede alojar a 53 personas. Además, sus contactos le permiten conseguir otros 12 alojamientos cuando está copado. Los números que aparecen a continuación corresponden a la cantidad de alojados diarios que tuvo durante una temporada. 12, 15, 18, 36, 32, 34, 16, 24, 30, 41, 53, 60, 60, 44, 46, 50, 53, 53, 53, 49, 49, 50, 46, 62, 60, 60, 60, 53, 53, 50, 46, 64, 53, 53, 40, 51, 47, 47, 47, 50, 62, 53, 52, 50, 49, 49, 48, 65, 60, 46, 46, 48, 54, 54, 32, 24. a. Calcula la media, la mediana y la moda. b. Para financiar su actividad, el empresario necesita un promedio de 28 alojados diarios. La ganancia diaria por persona sobre ese promedio es de $ 15 000. ¿Cuánto dinero ganó durante la temporada? c. El empresario calcula que sus ganancias aumentarían en $ 2000 diarios por persona, si pudiera disponer de otras 2 cabañas (12 alojamientos), y manteniendo el promedio mínimo de alojados diarios. Si el costo de una cabaña es de $ 5 500 000. ¿En cuántos años recuperaría la inversión?

182 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

3. Se desea saber si los dueños de automóviles catalíticos están dispuestos a pagar la conversión de sus motores a gas natural. Para ello, se decide realizar una encuesta. Determina cuál de las siguientes es la mejor muestra. I. Escoger al azar a adultos que caminan por el centro de las principales ciudades del país. II. Escoger al azar a conductores de automóviles en las intersecciones más concurridas. III.Escoger al azar del registro de vehículos motorizados a dueños de automóviles catalíticos y enviarles un encuestador. a. Explica la razón de tu elección, señala las ventajas y desventajas de cada alternativa. b. ¿Cuáles son las variables utilizadas en la encuesta?, ¿a qué tipo de variables corresponden?, ¿por qué?

4. La siguiente tabla muestra la estatura de 25 alumnos (en centímetros), agrupados en cinco equipos de básquetbol. E1

165

172

151

162

175

174

170

168

169

180

165

160

168

156

168

169

172

164

159

162

170

150

162

158

a. Calcular el rango de las estaturas para cada equipo. b. Calcular la media aritmética de las estaturas de cada equipo. c. ¿Cómo es la media aritmética de las estaturas de cada equipo, respecto de la media aritmética del total de jugadores? ¿Cómo se puede interpretar este resultado?

:Maquetación 1

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Unidad 5

UNIDAD 5 (164-185)n

Habilidades que evalúan

Puntaje

Total

Recordar.

2 puntos cada una

2 puntos

2y4

Analizar

2 puntos cada una

2 puntos

3y8

Interpretar y representar.

2 puntos cada una

4 puntos

6y9

Calcular.

2 puntos cada una

4 puntos

5, 7 y 10 Interpretar y calcular.

2 puntos cada una

4 puntos

2 puntos cada una

2 puntos

Recordar y analizar.

Puntaje total:

18 puntos

Considere: Completamente logrado: si contesta correctamente todas las preguntas (10 preguntas). Logrado: si contesta correctamente 8 preguntas o más. Medianamente logrado: si contesta correctamente entre 5 y 7 preguntas. Por lograr: si contesta correctamente 4 preguntas o menos.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 4, indique a sus estudiantes que más de una situación que tenga correlación negativa, tal como se sugiere en las alternativas, en este caso. • En los ítems 6 y 9, recuerde a sus alumnos y alumnas que lean con atención el enunciado, para que determinen correctamente cuáles son los datos que les están presentando y cuáles son los que les solicitan, de modo que utilicen la expresión que sí los relaciona, y luego planteen una ecuación, si es necesario. • En los ítems 7, 8 y 10, insista a sus estudiantes en que para utilizar la tabla de la página 242 del Texto, primero se debe normalizar la distribución, esto es, realizar el cambio de variable correspondiente para que la distribución sea N(0, 1).

Unidad 5

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UNIDAD 5 (164-185)n

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Evaluación final Nombre: 1. La variable color del automóvil es: A. B. C. D. E.

discreta. cualitativa. continua. cuantitativa. representativa.

2. Para saber el grado de aceptación de un nuevo tipo de yogur, se realiza una encuesta. ¿Cuál de las siguientes propuestas es la mejor muestra? A. Se invita al azar a mujeres que pasan por el centro de las principales ciudades a probar el producto. B. Se da de probar el producto al público en los grandes supermercados de las principales ciudades y se les hace una encuesta. C. Se seleccionan 200 personas y se les invita a comer a un restaurante gratis. D. Se selecciona al azar 20 familias de cada región del país para probar el producto. E. Se invita a la familia de los trabajadores a probar el producto y se les pide que den su opinión.

Curso:

4. Un profesor de inglés realizó una prueba a un curso de 25 estudiantes obteniendo 10 de ellos calificación deficiente. Con respecto a la situación, se puede afirmar que: I. el 40% de los estudiantes reprobó el curso. II. el 40% de los estudiantes no sabe nada de inglés. III. 10 de cada 25 estudiantes son incapaces de aprender inglés. A. B. C. D. E.

184 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

Solo I Solo II I y II II y III I, II y III

5. Se mide la masa de 100 alumnos y alumnas de Cuarto Año Medio de un colegio, obteniendo la siguiente tabla:

3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? A. La media se puede calcular de una tabla multiplicando las frecuencias relativas por la marca de clase y sumando esos resultados. B. La mediana se puede estimar de una tabla con una fórmula lógica. C. Un conjunto de datos puede tener muchas modas. D. Un conjunto de datos puede no tener moda. E. De un gráfico siempre se puede calcular con exactitud la media.

Fecha:

Masa (kg)

Número de estudiantes

[45, 50[

[50, 55[

[55, 60[

[60, 65[

[65, 70[

[70, 75[

[75, 80[

¿Qué porcentaje representa a los jóvenes con más de 60 kilogramos y cuál a los con menos de 70 kilogramos? A. B. C. D. E.

55% y 93% 45% y 55% 50% y 55% 55% y 95% 65% y 35%

:Maquetación 1

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Unidad 5

UNIDAD 5 (164-185)n

6. Con respecto a la información dada en la tabla, es verdadero que:

A. B. C. D. E.

Color de Auto

Rojo

Verde

Azul

Blanco

A. Las casas de una cierta localidad. B. Las oficinas del centro. C. Todos los posibles tiempos que demora esta abogada desde su casa hasta la oficina. D. Las veces que la abogada va de su casa a la oficina. E. Los minutos.

Frecuencia

8. (Facsímil PSU, Demre, 2005). El gráfico de la figura, muestra las calificaciones obtenidas por los y las estudiantes de un curso en una prueba. Según esta información, ¿cuántos jóvenes rindieron esta prueba? 12 10 8 6 4 2 0 1

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

I. el promedio del curso es 5,4. II. la moda es 5,0. III. la mediana es un 5,0.

el 25% de los autos son verdes. hay veinticinco autos blancos. los autos rojos son la mayoría. un tercio de los autos son rojos. Todas las anteriores.

7 12 25 35 36

Nota

Con respecto a la tabla, es verdadero que:

7. La población asociada a la siguiente situación “En cinco ocasiones distintas, una abogada demoró 21, 26, 24, 22 y 21 minutos desde su casa hasta su oficina en el centro de la ciudad” es:

A. B. C. D. E.

9. La siguiente tabla muestra las notas de la interrogación de Lenguaje de un cuarto medio.

A. B. C. D. E.

Solo I Solo II Solo III I y II I y III

10. La tabla muestra la cantidad de veces que ha ido al practicar deporte un grupo de jóvenes durante una semana. Cantidad de veces que ha practicado deporte

Con respecto a la información de la tabla, es falso que: A. tres de esos jóvenes no practicaron deporte esa semana. B. 16 de ellos practicaron deporte al menos cuatro veces esa semana. C. siete de ellos practicaron deporte menos de dos veces esa semana. D. dos de ellos practicaron deporte exactamente seis veces esa semana. E. Ninguna de las anteriores.

7 Notas obtenidas Unidad 5

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UNIDAD 6 (186-213)

:Maquetación 1

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Estadística II Propósito de la Unidad Esta Unidad, al igual que la anterior, también pretende ser una instancia para mirar la información estadística presente en los medios de comunicación –que los estudiantes observan a diario (Internet, diarios, televisión, y otros)–, con una visión crítica, con fundamento y con el propósito de enriquecer el análisis e interpretación de datos. Para el análisis, los alumnos y alumnas manejarán algunos indicadores estadísticos, para que así la interpretación tenga un sustento basado en observaciones representativas de los datos estudiados. En este mismo aspecto, es importante que los y las estudiantes comprendan que una forma de realizar inferencias sobre una población es reconocer la representatividad de una muestra simple. Es decir, durante toda la Unidad se invita a esclarecer dos ideas fundamentales: la representatividad muestral (si la muestra ha sido elegida con las precauciones necesarias y adecuadas, la muestra tendría características similares a las de la población) y la variabilidad muestral (no todas las muestras son iguales entre sí), y que ambas ideas son complementarias.

Esquema de la Unidad Estadística II

Medidas de dispersión

Medidas de posición

Rango

Percentiles

Desviación media

Cuartiles

Muestra representativa

Distribución normal

Intervalo de confianza

Campana de Gauss

Quintiles Desviación estándar Diagrama de tallo y hojas

Nivel de confianza

Deciles Diagrama de cajas

Representaciones gráficas Aplicaciones de la Estadística

186|Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

Correlación

Muestra al azar, considerando situaciones de la vida cotidiana; por ejemplo, ecología, salud pública, control de calidad, juegos de azar, etc. Inferencias a partir de distintos tipos de muestra.

Juegos de azar sencillos; representación y análisis de los resultados; uso de tablas y gráficos. Comentarios históricos acerca de los inicios del estudio de la probabilidad.

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Noción de variable. Análisis y descripción de fenómenos y situaciones que ilustren la idea de variabilidad. Tablas y gráficos.

Selección de diversas formas de organizar, presentar y sintetizar un conjunto de datos. Ventajas y desventajas. Comentario histórico sobre los orígenes de la estadística.

Graficación e interpretación de datos estadísticos provenientes de diversos contextos. Crítica del uso de ciertos descriptores utilizados en distintas informaciones.

Uso de planilla de cálculo para análisis estadístico y para construcción de tablas y gráficos.

Variable aleatoria: estudio y experimentación en casos concretos. Gráfico de frecuencia de una variable aleatoria a partir de un experimento estadístico.

4º Medio

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3º Medio

:Maquetación 1

Análisis de la significación de las cifras en la resolución de problemas. Conocimiento sobre las limitaciones de las calculadoras en relación con truncar y aproximar decimales.

2º Medio

1º Medio

Relación entre los CMO de la Unidad y los de años anteriores

UNIDAD 6 (186-213) Página 187

Unidad 6

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CMO

• • • • • • •

Aprendizajes esperados

Medidas de dispersión. • Conocen distintas Correlación. maneras de organizar Diagrama de tallo y hoja. y presentar información Muestras al azar. incluyendo el cálculo de Distribución normal. algunos indicadores Medidas de posición. estadísticos, la elaboración Aplicaciones de de tablas y gráficos la Estadística. utilizando planilla de cálculo o calculadora. • Reconocen la importancia de una muestra aleatoria simple para hacer inferencias sobre la oblación. • Conocen antecedentes históricos sobre la estadística y su relación con las probabilidades. • Comprenden y aprecian el papel de la Estadística en la sociedad, conociendo algunos campos de aplicación.

Contenidos de la Unidad

Propuesta de planificación de la Unidad

En el Texto De exploración: páginas 228, 232, 234, 236, 240, 246 y 251. De construcción de conceptos: páginas 231, 233, 235, 238, 239, 243, 248, 249, 252 y 253. De consolidación: páginas 244, 245, 254 y 255. páginas 214 y 220. En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 195, 196, 197, 198, 202, 206 y 210. De profundización: páginas 194, 201 y 203.

Actividades asociadas • Calcula e interpreta correctamente las distintas medidas de dispersión tanto para datos disgregados como para datos agrupados. • Compara dos o más conjuntos de datos utilizando medidas de posición y dispersión. • Entiende los conceptos de muestreo aleatorio simple, es capaz de reconocer la población de la cual se extrajo la muestra y cuál es la metodología que se utiliza para su extracción. • Utiliza Excel para calcular medidas de dispersión.

Indicadores de evaluación

Computador con planilla de cálculo.

Recursos didácticos

:Maquetación 1

Sumativa: Páginas 261, 262 y 263 del Texto del Estudiante. Páginas 228 y 229 de la Guía Didáctica del Docente.

Formativa: Páginas 245 y 255 del Texto del Estudiante.

Diagnóstica: Páginas 226 y 227 del Texto del Estudiante.

Tipos de evaluación

Tiempo estimado: 5 a 6 semanas

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188 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

:Maquetación 1

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Unidad 6

UNIDAD 6 (186-213)

Referencias teóricas • Las medidas de dispersión son parámetros estadísticos que indican cuánto se alejan los datos respecto de la media aritmética. Es decir, indican la variabilidad de los datos. Las medidas de dispersión más utilizadas son el rango, la desviación media y la desviación estándar o típica. • El rango indica la dispersión entre los valores extremos de una variable. Se calcula como la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable. Se denota como R. • La desviación media de una observación x (d) respecto de la media (x) se define como la diferencia entre ellas. Es decir d = x – x. • La desviación media de un conjunto de datos (DM) es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones de cada dato respecto de la media. • La desviación estándar mide el grado de dispersión de los datos respecto de la media aritmética. Se denota como s para la población, o bien s para una muestra. Está dada por la expresión: • s=

( x1 − x )2 + ( x 2 − x )2 + ( x 3 − x )2 + ... + ( xn − x )2 n

, para datos

no agrupados. f1· ( x1 − x ) + f2· ( x 2 − x ) + f3· ( x 3 − x ) + ... + fn · ( xn − x ) 2

• s=

para datos agrupados. • El análisis de la correlación es apropiado cuando se necesita conocer el grado de asociación entre dos variables. La correlación se mide utilizando el coeficiente de correlación lineal de Pearson, que se denota como r y su valor fluctúa en el intervalo [–1, 1]. x1 ⋅ y1 + x 2 ⋅ y2 + ... + xn ⋅ yn − x⋅y n Se calcula mediante la expresión: r = donde sx ⋅ sy , sx = desviación estándar de la variable x. sy = desviación estándar de la variable y. • Según sea el valor del coeficiente de correlación r se tiene que: • si r es positivo, la relación lineal entre las variables es directa. Se dice que la correlación es positiva. • Si r es negativo, la relación lineal entre las variables es inversa. Se dice que la correlación es negativa. • Si r = 0, no existe relación lineal entre las variables. Se dice que la correlación es nula. • Si r = 1, existe una relación de dependencia total directa entre las variables. • Si r = –1, existe una relación de dependencia total inversa entre las variables.

Unidad 6

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UNIDAD 6 (186-213)

:Maquetación 1

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• El diagrama de tallo y hojas tiene por objetivo resumir u ordenar un conjunto de datos, de modo de conocer intuitivamente la forma de su distribución. También permite comparar la distribución de dos o más grupos diferentes. Este diagrama se construye separando los valores de cada observación en dos partes, la primera corresponde al tallo y se ubica a la izquierda en una línea vertical. La segunda (hojas) se ubica a la derecha. Si se tienen muchas hojas en cada tallo, es posible separarlas en dos tallos. • Una medida de posición nos indica el lugar donde se ubica un valor de la variable dentro de un conjunto ordenado de valores. Las medidas de posición más utilizadas son los cuartiles, deciles y percentiles. • Los cuartiles son tres valores que dividen al conjunto de observaciones ordenadas en cuatro partes iguales. Por lo tanto, el primer cuartil (Q1) es el valor por debajo del cual, o en el cual, se ubica el 25% de todos los valores, el segundo cuartil (Q2) es el valor por debajo del cual, o en el cual, se ubica el 50% de todos los valores; y el tercer cuartil (Q3) es el valor por debajo del cual, o en el cual, se ubica el 75% de todos los valores. • De manera similar, los deciles corresponden a nueve valores que dividen al conjunto de observaciones ordenadas en diez partes iguales. • Y los percentiles corresponden a 99 valores que dividen al conjunto de observaciones, ordenadas en cien partes iguales. • La distribución normal es una de las distribuciones de probabilidad de variable continua, cuyos parámetros son μ, la media aritmética, y σ, la desviación estándar. Se le llama normal porque es la que con más frecuencia aparece en fenómenos reales. • Es posible expresar cualquier distribución normal como una de la forma N(0, 1), la cual se denomina distribución normal tipificada. Para esto se utiliza la siguiente expresión Z = X – μ . Una de las ventajas de tipificar una distribución σ es que se puede medir la desviación de los datos respecto de la media, lo cual permite comparar la posición relativa de los datos. Además, existen valores tabulados para una variable Z, de modo que se facilitan los cálculos, especialmente aquellos relacionados con el tamaño de una muestra, dada ciertas características de ella. • El tamaño de una muestra es el número de elementos que la componen. A su vez, está relacionado con el error y el nivel de confianza: • cuando el nivel de confianza se mantiene y aumentamos el tamaño de la muestra, disminuye el error; • cuando el nivel de confianza se mantiene y disminuye el tamaño de la muestra, aumenta el error.

190 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

:Maquetación 1

Páginas 224 y 225

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Unidad 6

UNIDAD 6 (186-213)

Páginas de entrada

Las medidas de tendencia central son las más utilizadas en una primera aproximación a uno o más conjuntos de datos. Pero a veces no son representativas, cuando estos datos están muy dispersos o el rango es muy amplio. Por esto, además se pueden considerar las medidas de dispersión y de posición, para analizar mejor los datos disponibles, especialmente en términos de su variabilidad. La imagen que se presenta en el Texto muestra un grupo de jóvenes de diversas estaturas y permite introducir ideas relacionadas con las medidas de posición.

Conversemos de... Actividad 1a3

Habilidades que desarrollan Recordar y conectar.

Aprendizajes esperados de la Unidad En el esquema inicial se explicitan los principales contenidos y su relación con los aprendizajes que se espera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad. Se sugiere que comente con sus estudiantes y, luego, puede preguntarles qué saben sobre percentiles o quintiles. Con las ideas que le vayan diciendo sus alumnos puede hacer un esquema o mapa semántico en la pizarra, esto le permitirá obtener información acerca de las conductas de entrada de sus estudiantes y a la vez ellos podrán recordar conceptos trabajados en años anteriores que les servirán para lograr los aprendizajes de la Unidad.

Actividad inicial Se sugiere que comente con los y las estudiantes la imagen presentada en el Texto. Puede guiar la conversación a partir de las preguntas que se muestran en él y complementarla con otras como las siguientes: • Si se ordenaran todos los alumnos y alumnas de este curso, ¿quiénes estarían en el grupo de los más altos?, ¿quiénes en el grupo de los más bajos?, ¿quién estaría justo al medio? • Sin cambiar este orden, del más bajo al más alto, si se separaran en cinco grupos con el mismo número de personas, ¿en qué grupo estaría cada uno?, ¿en qué grupo estaría el o la docente?, ¿cuáles son las estaturas que marcan los límites entre un grupo y otro? Guíe la conversación para comentar con sus estudiantes sobre la ventaja que significa conocer otros valores que caractericen un conjunto de datos, además de las medidas de tendencia central. También, puede hablar con sus alumnos y alumnas sobre otros ámbitos en los que se utilicen las medidas de posición como los percentiles, quintiles o cuartiles.

Unidad 6

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UNIDAD 6 (186-213)

:Maquetación 1

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Páginas 226 y 227

¿Cuánto sabes? Ítems

Habilidades que evalúan

1y2

Recordar y calcular.

Resolver problemas y aplicar.

Aplicar.

Interpretar, recordar, calcular y verificar o comprobar.

09:48

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Evaluación diagnóstica Para medir los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta una evaluación diagnóstica con el título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios: Ítem 1: calcular porcentajes de un valor dado. Ítem 2: calcular a qué porcentaje corresponde un valor dado de otro. Ítem 3: calcular porcentajes aplicado a los descuentos legales correspondientes a los sueldos de las personas. Ítem 4: calcular la media aritmética y la mediana de un conjunto de datos. Ítem 5: determinar si las proposiciones referidas a las medidas de tendencia central de un conjunto de datos son verdaderas o falsas.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En los ítems 1 y 3, es posible que los alumnos y alumnas confundan el valor del porcentaje con el número decimal correspondiente, que se puede utilizar para calcular porcentajes, o que tengan errores al ubicar la coma decimal. Recuérdeles que para calcular el a% de un valor dado, pueden multiplicar este valor por

. En particular, en el ítem 3, explique la diferencia entre 100 sueldo imponible y sueldo líquido, ya que es posible que no sepan a qué se le llama sueldo líquido. • Para responder al ítem 2, los y las estudiantes tienen que comparar ambos valores y decidir a qué porcentaje corresponde uno del otro. Sugiérales escribir la proporción correspondiente, para calcular el porcentaje pedido. • En el ítem 4, si sus estudiantes confunden la media aritmética, la mediana y la moda, sugiérales que relaciones la media aritmética con el promedio, la mediana con el punto medio y la moda con lo que más se repite. • En el ítem 5, es posible que los y las estudiantes no consideren que los valores están agrupados en una tabla al momento de calcular las medidas de tendencia central. Si no recuerdan cómo calcularlas a partir de los valores de la tabla, puede sugerirles que copien cada valor tantas veces como indica la tabla y las calculen a partir del conjunto de datos.

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UNIDAD 6 (186-213)

:Maquetación 1

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Ítems

Completamente logrado

Calcula correcta y rápidamente todos los valores correspondientes a cada porcentaje.

Calcula correctamente todos los valores, independiente del método que haya utilizado.

Calcula correctamente solo algunos valores.

Calcula correcta y rápidamente todos los porcentajes.

Calcula correctamente todos los porcentajes, pero no los valores del sueldo líquido.

Calcula correctamente No calcula los porcentajes, solo algunos porcentajes. porque no comprende lo que se le está pidiendo.

Calcula correcta y rápidamente todos los valores correspondientes a cada porcentaje y los valores del sueldo líquido.

Calcula correctamente todos los valores, excepto los del sueldo líquido.

Calcula correctamente solo algunos valores.

Calcula correcta y rápidamente ambos valores.

Calcula correctamente Calcula correctamente No calcula los valores, ambos valores, indepen- solo la media aritmética, porque no comprende lo diente del método que o bien, solo la mediana. que se le está pidiendo. haya utilizado.

Determina correctamente el valor de verdad en cada caso, y lo justifica adecuadamente.

Determina correctamente Determina correctamente el valor de verdad en el valor de verdad en cada caso, pero no algunos casos. lo justifica.

Logrado

Medianamente logrado

Unidad 6

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar a sus estudiantes.

Por lograr No calcula los valores, porque no comprende lo que se le está pidiendo.

No calcula los valores, porque no comprende lo que se le está pidiendo.

No determina los valores de verdad, porque no sabe calcular los valores, o bien, no comprende lo que se le está pidiendo.

Unidad 6

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UNIDAD 6 (186-213)

:Maquetación 1

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Páginas 228 a 231

Analicemos... Habilidades que desarrollan Recordar, analizar y evaluar.

Actividades Ítems 1y2

Habilidades que desarrollan Calcular, evaluar y justificar.

09:48

Página 194

Medidas de dispersión A pesar de que constantemente presenciamos situaciones sujetas a variabilidad, como el clima, el precio del pan o el tiempo que demoramos de ir un punto a otro, en general la desviación estándar no se maneja cotidianamente. Es recomendable introducir este concepto con ejemplos que ayuden a sus estudiantes a comprender la importancia de considerar la variabilidad de un evento o situación. Por ejemplo, pueden analizar qué consecuencias acarrearía no tomar en cuenta la variabilidad en un contexto de toma de decisiones. Si bien la medida de dispersión más utilizada es la desviación estándar, siempre se presenta primero el rango, pues es una medida fácil de calcular y que grafica claramente lo que es la variabilidad de un conjunto de datos.

Actividad inicial La actividad inicial propuesta en el Texto del Estudiante tiene por objetivo ilustrar a los alumnos y alumnas la necesidad de tomar decisiones a partir de dos o más conjuntos de datos, en este caso, los tiempos obtenidos en la prueba de 400 metros planos, en particular cuando tienen la misma media aritmética. Pida a sus estudiantes que propongan qué datos se debieran considerar para tomar una decisión, y guíe la discusión hacia la noción de rango y de desviación respecto de la media aritmética.

Indicaciones respecto del contenido Para profundizar el concepto de rango, realice ejemplos simples donde la media sea la misma pero el rango vaya variando de caso en caso. Apóyese con el uso de gráficos y/o diagramas. Esto le ayudará a los alumnos y las alumnas a entender con mayor facilidad los conceptos de dispersión.

Actividades complementarias De profundización 1. Dos empresas muestran los siguientes índices de rentabilidad (en porcentajes). Rentabilidad empresa A

Rentabilidad empresa B

21,4

19,4

16,5

22,9

18,6

7,5

15,6

35,5

22,5

17,5

a. Calcular el rango de rentabilidad para cada empresa. b. Calcular la desviación estándar de la rentabilidad para cada empresa. c. Construir un diagrama de caja para representar la rentabilidad de cada empresa. d. A partir de la información anterior, ¿en cuál de las dos empresas conviene invertir? Justificar. (Habilidades que desarrollan: aplicar, representar, analizar, y resolver problemas).

194 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

:Maquetación 1

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Páginas 232 y 233

09:48

Página 195

Unidad 6

UNIDAD 6 (186-213)

Correlación

Actividad inicial

Analicemos...

Los tres gráficos presentados en el Texto dan una idea de la noción de correlación. En el primer y segundo gráfico los puntos se encuentran próximos, la nube de puntos se observa estrecha y alargada; mientras que en el tercero, los puntos están más dispersos y la nube se ve ancha. La relación que existe entre las dos variables de una distribución bidimensional es una relación estadística y el grado de dependencia que existe entre ellas lo mide la correlación. Así, la correlación expresa la relación de dependencia entre las dos variables de una distribución bidimensional.

Habilidades que desarrollan Recordar, interpretar y conectar.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Indicaciones respecto del contenido

Conectar y aplicar.

• Correlación directa (o positiva): es cuando aumenta el valor de una variable y también aumenta el valor de la otra. • Correlación inversa (o negativa): es cuando disminuye el valor de una variable y aumenta el valor de la otra. • Correlación nula: es cuando no existe ningún grado de dependencia entre las dos variables.

Analizar.

Conectar y analizar.

Actividades complementarias De refuerzo 1. De un muelle cuelgan pesas, obteniéndose los siguientes alargamientos: Masa de la pesa (g) Alargamiento producido (cm)

10 0,5

120 6,5

a. Calcula e interpreta el coeficiente de correlación entre estas dos variables. b. Representa gráficamente la correlación entre ambas variables. (Habilidades que desarrollan: aplicar, analizar y representar).

Unidad 6

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UNIDAD 6 (186-213)

:Maquetación 1

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Páginas 234 y 235

09:48

Página 196

Diagrama de tallo y hojas

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• La comprensión del diagrama de tallo y hoja suele presentar complicaciones, para simplificar su elaboración se sugiere pedir a los alumnos que definan claramente qué representa cada parte de este diagrama (el tallo y las hojas), además es recomendable pedir que realicen diagramas en los cuales el tallo represente diferentes tipos de valores, por ejemplo, valores enteros o bien decenas o centenas, entre otros. • Existen dos formas de construir este diagrama, una es poniendo de menor a mayor los valores de las hojas y otra, que no da importancia al orden. Se sugiere ponerlo ordenado, pues así queda más claro, por ejemplo en este caso, que el menor valor es el 115 y el mayor el 167. • En el caso de comparaciones entre diferentes distribuciones de datos, se recomienda la utilización de un diagrama de tallo y hojas, que nos permite visualizar sus diferencias y la dispersión de cada una de ellas.

Recordar, conectar y analizar.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Representar, aplicar, calcular y analizar.

2y3

Representar, aplicar y analizar.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Las siguientes edades corresponden a una muestra representativa de los habitantes de una comuna. Hombres Mujeres

6-17-40-43-48-23-21-29-28-30-30-9-85-74-77 1-19-25-26-40-42-65-67-74-74-80-22-20-16-10

Uno de los candidatos a concejal por la comuna quiere hacer su campaña basándose en alguna de las medidas de tendencia central, para enfocar su accionar hacia una cierta edad. a. ¿Qué le recomendarías tú? ¿Qué crees que hizo finalmente el candidato? b. Construye un diagrama de tallo y hoja, y luego realiza dos comparaciones entre los grupos. (Habilidades que desarrollan: representar y analizar).

Páginas 236 a 239

Muestras al azar

Analicemos...

Actividad inicial

Habilidades que desarrollan

El objetivo de esta sección es introducir a los y las estudiantes en los conceptos de muestreo. Es por ello, que más que en fórmulas, se profundiza en temas conceptuales y la importancia de que la muestra seleccionada sea representativa de la población.

Conectar y analizar.

Discuta con los y las estudiantes acerca del tema de la representatividad. Puede introducir el tema con un ejemplo sobre gustos musicales. Elija uno, dos, tres estudiantes, y así sucesivamente. A partir de sus respuestas, por ejemplo, si un solo estudiante le dijo que prefiere el reggaetón, afirme: “A todo el curso le gusta el reggaetón” e inicie la conversación con sus estudiantes.

196 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

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Página 197

Indicaciones respecto del contenido Usualmente los alumnos y las alumnas tienen problemas para entender los conceptos de población y muestra y la diferencia entre ambos. En general, por un tema semántico, los y las estudiantes relacionan el concepto de población a conjuntos de personas. Se sugiere presentar distintos ejemplos donde la población no necesariamente sean personas, como cultivos, industrias, hogares, y otros.

Actividades Ítems 1, 2 y 4 3

Habilidades que desarrollan Aplicar. Aplicar y analizar.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Señala en qué caso es más conveniente estudiar la población o una muestra. a. La longitud de los tornillos que fabrica una máquina de manera ininterrumpida. b. La estatura de todos los visitantes extranjeros en un año en Chile. c. La masa de un grupo de cinco amigos. d. Los efectos de un nuevo medicamento en el ser humano. (Habilidades que desarrollan: conectar y aplicar).

Páginas 240 a 243

Distribución normal

Actividad inicial

Analicemos...

Para explicar la distribución normal y la campana de Gauss, en la actividad inicial se muestra un ejemplo de la distribución que se obtiene al sumar los puntos de tres dados, lanzados sucesivamente 220 veces. Aunque la probabilidad de que en un dado salga uno o cinco es la misma, al sumar los puntos de tres dados claramente los puntajes “centrales” como sumar 9 ó 10 se observan más veces que los puntajes menores como 4 ó 5, o los mayores, como 16 ó 17 puntos. Esta es una de las características de la distribución normal, la mayoría de los datos se concentran alrededor de la media aritmética, mientras que en los valores extremos, se observan menos datos.

Habilidades que desarrollan

Indicaciones respecto del contenido Es importante aclarar a los alumnos y las alumnas que la campana de Gauss tiene una forma característica, pero que puede ser más estrecha o más baja, según la distribución de los datos, esto es, según sus valores de la media aritmética y la desviación estándar.

Formular hipótesis, conjeturar o predecir y analizar.

Actividades Ítems 1 2, 3 y 4

Habilidades que desarrollan Conectar y aplicar. Aplicar.

Unidad 6

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Unidad 6

UNIDAD 6 (186-213)

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09:48

Página 198

Actividades complementarias De refuerzo 1. Felipe llega todos los días al paradero a las 7:25 y ahí espera el bus que lo lleva a su trabajo, donde debe presentarse antes de las 8:00. El tiempo de espera y traslado del bus, en minutos, distribuye N(40, 7). a. Calcula la probabilidad de que Felipe llegue atrasado. b. Si el año laboral tiene 235 días, ¿cuántos días al año llega tarde? c. ¿Cuántos días al año llega a su trabajo con menos de media hora de adelanto? d. ¿Cuál es la probabilidad de que Felipe llegue entre las 7:45 y las 8:00? (Habilidades que desarrollan: interpretar y aplicar).

Página 244

Actividad Mapa conceptual

Organizando lo aprendido

Habilidades que desarrolla Recordar y conectar.

Actividades complementarias Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la Unidad, realice preguntas como las siguientes: 1. ¿Cómo se utiliza el diagrama de tallo y hojas para comparar dos conjuntos de datos? Explica. 2. ¿De qué manera se puede asegurar que una muestra represente a la población con un nivel de confianza dado? Justifica. 3. ¿Cómo se interpreta la relación entre dos variables si su coeficiente de correlación es cercano a cero? 4. ¿Cuál es la ventaja de conocer la distribución de una variable?, ¿cómo se puede ajustar esta distribución a una distribución normal? Explica.

198 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

:Maquetación 1

Página 245

5/11/10

09:48

Página 199

Unidad 6

UNIDAD 6 (186-213)

Mi progreso

En esta página se propone una serie de ejercicios que les servirán a los y las estudiantes para autoevaluar lo que han aprendido hasta esta instancia; es decir, pueden ser utilizados como una evaluación formativa. Se adjunta una tabla con los criterios de evaluación correspondientes y las páginas a las que puede recurrir para corregir sus errores. Recuerde a sus estudiantes que el último ítem corresponde a una pregunta de selección múltiple, se distingue porque las alternativas están señaladas con letras mayúsculas.

Mi progreso Ítems

Habilidades que evalúan

1y2

Aplicar, representar y analizar.

3y4

Aplicar y calcular.

Los ítems asociados a esta actividad incluyen los siguientes criterios: Ítem 1: calcular la media aritmética y la desviación estándar de un conjunto de datos. Además, construir el diagrama de tallo y hojas correspondiente. Ítem 2: determinar gráficamente si un conjunto de datos tiene correlación positiva o negativa y calcular el coeficiente de correlación. Ítem 3: determinar la probabilidad de un evento que ocurre con distribución normal. Ítem 4: determinar el nivel de error con un nivel de confianza dado.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 1, recuerde a sus alumnos y alumnas que al calcular los valores de la media aritmética y la desviación estándar deben preocuparse de considerar todos los datos involucrados, y luego dividir por el número de datos correspondientes. Enfatice que aunque algunos valores sean cero, como en este caso, igual se contabilizan como un dato. • En el ítem 2, es posible que sus estudiantes decidan si la correlación es positiva o negativa a partir de los valores de la tabla, sin realizar el gráfico ni calcular el coeficiente de correlación. Adviértales que esto no siempre es evidente, por lo que es mejor desarrollar al menos uno de los dos, el gráfico o el coeficiente de correlación, antes de concluir si hay correlación o no. • En el ítem 3, indique a sus alumnos y alumnas que para calcular la probabilidad pedida, en este caso, no basta con calcular P(x < 20), porque se solicita la probabilidad que tiene una persona de esperar entre 10 y 20 minutos en la fila, que es menor que la de P(x < 20). Enfatice a sus estudiantes que para utilizar la tabla de la página 242 del Texto, primero se debe realizar un cambio de variable para que la distribución sea N(0, 1). • En el ítem 4, recuerde a sus estudiantes que una forma de no confundir los valores de los datos entregados en un enunciado es escribirlos en su cuaderno a medida que se va leyendo el ejercicio, así como cuál es el valor que se pide, de modo de tener todos estos datos a la vista, para luego determinar cuál es la expresión que los relaciona y resolver correctamente el ejercicio.

Unidad 6

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UNIDAD 6 (186-213)

:Maquetación 1

5/11/10

09:48

Página 200

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar a sus estudiantes.

Ítems

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Calcula la media y la desviación estándar sin errores, construye el diagrama de tallo y hojas, e interpreta correctamente los resultados.

Calcula la media y la desviación estándar y construye el diagrama de tallo y hojas, con algunos errores, o bien, comete errores en la interpretación de los datos.

Calcula la media y la desviación estándar con errores, o confunde estas medidas, o bien, no construye el diagrama de tallo y hojas.

No construye el diagrama de tallo y hojas, o bien, no calcula los valores porque desconoce los conceptos o el procedimiento.

Calcula el coeficiente de correlación sin errores, construye el gráfico, e interpreta correctamente los resultados.

Calcula el coeficiente de correlación con algún error numérico y construye el gráfico, pero comete errores en la interpretación de los datos.

Calcula el coeficiente de correlación con errores, o bien, no construye el gráfico, ni decide si la correlación es positiva o negativa.

No construye el gráfico, o bien, no calcula el coeficiente de correlación porque desconoce el concepto o el procedimiento.

Determina correctamente la probabilidad pedida.

Determina las probabilidades necesarias para obtener la pedida, pero no calcula su diferencia.

No logra determinar la probabilidad pedidas, ya que no la relaciona con los datos presentados.

No logra determinar la probabilidad pedida, o bien, desconoce los conceptos que se le solicitan.

Marca la alternativa en forma correcta justificando su decisión.

Marca la alternativa en forma correcta, pero no justifica su decisión.

Marca una alternativa incorrecta.

Omite la respuesta, debido a que desconoce los conceptos o el procedimiento.

200 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

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09:48

Página 201

Actividades complementarias Ejercicios de profundización 1. Se quiere conocer lo que piensan los y las docentes de Educación Básica, Media y Universitaria respecto al consumo de drogas en el alumnado. La muestra fue tomada según indica la siguiente tabla. Educación Básica

Educación Media

Educación Universitaria

Población

8500

6300

1200

Muestra

1020

756

144

a. ¿Es una muestra representativa? b. ¿Cómo te asegurarías de tomar una muestra aleatoria? c. ¿Las muestras han sido tomadas de manera proporcional? d. Si se toman 640 personas de cada nivel, ¿la muestra es representativa? 2. Un empresario compra un terreno con una laguna en la que pretende criar peces. Él necesita saber la población total de las distintas especies que viven ahí, para lo cual toma muestras con una red en distintas partes y marca los ejemplares. Al final del día se han marcado 47 truchas, 86 salmones, 53 pejerreyes y 27 peces de otro tipo. Al día siguiente se repite el proceso, pero en esta ocasión, no se marca, sino que se cuentan los peces marcados, obteniéndose: • • • •

19 truchas marcadas de un total de 52. 16 salmones marcados de un total de 74. 13 pejerreyes marcados de un total de 68. 10 peces de otro tipo marcados de un total de 45.

3. La Prueba de Selección Universitaria (PSU) está diseñada de tal manera que tiene una distribución N(500, 100). Según esta distribución, si en el año 2009 rindieron la prueba 277 420 personas, calcula cuántas personas obtuvieron: a. b. c. d.

500 o más puntos. entre 400 y 600 puntos. entre 700 y 800 puntos. más de 800 puntos.

4. La tabla corresponde a una encuesta hecha en una comuna donde se preguntó a los menores de 25 años: ¿Cuántos primos hermanos tienes? Número de primos

Marca de clase

Frecuencia relativa

0a4

[0, 5[

0,11

5a9

[5, 10[

0,17

10 a 14

[10, 15[

0,19

15 a 19

[15, 20[

0,26

20 a 24

[20, 25[

0,18

25 a 29

[25, 30]

0,09

a. Calcula la media aritmética y la desviación estándar. b. ¿Qué parte de los encuestados tiene menos de 20 primos hermanos?

a. Calcula la cantidad aproximada de peces de la laguna y la cantidad de cada especie. b. Analiza los siguientes factores y explica cómo pueden inducir a error. • • • • •

Peces que viven en la profundidad. Aprendizaje de los peces a no ser capturados. Muertes de los peces al ser marcados. Permanencia de la marca. Tamaño de la red en relación al tamaño de los peces.

Unidad 6

| 201

Unidad 6

UNIDAD 6 (186-213)

:Maquetación 1

5/11/10

Páginas 246 a 249

09:48

Página 202

Medidas de posición

Analicemos...

Indicaciones respecto del contenido

Habilidades que desarrollan

• Las medidas de posición se utilizan para caracterizar un conjunto numeroso de datos y/o cuyo rango sea amplio, de modo que al clasificarlos en cien grupos diferentes se pueda apreciar las diferencias entre ellos. Si el conjunto no es numeroso, puede ocurrir que, por ejemplo, coincidan los valores de Q3 con P80; explique a sus estudiantes que esto puede suceder en algunos casos. • Comente a sus alumnos y alumnas que, tal como la media aritmética, los valores correspondientes a los percentiles dependen del conjunto de datos que se está estudiando, ya que lo que indica el k-ésimo percentil es en qué valor se encuentra al menos el k % de los datos observados y de modo que el 100 – k % se encuentran en o sobre ese valor. • Enfatice que los deciles, quintiles y cuartiles pueden asociarse a los correspondientes percentiles. Así, D4 corresponde al P40 y Q3 al P75, por ejemplo. Esta relación es útil cuando los datos están agrupados en una tabla, pueden calcular cualquiera de las medidas de posición a partir de la expresión que permite calcular percentiles para datos agrupados.

Recordar, analizar y conjeturar.

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Aplicar y calcular.

Interpretar, aplicar y analizar.

Interpretar, aplicar y calcular.

Actividades complementarias De refuerzo 1. Dada la siguiente tabla de distribución de frecuencias, que muestra los puntajes obtenidos por 50 alumnos en un test (se consideran valores enteros), calcula:

a. b. c. d. e.

Intervalo

Frecuencia absoluta

Frecuencia acumulada

[60, 64]

[65, 69]

[70, 74]

[75, 79]

[80, 84]

[85, 89]

P3 P90 Q1 Q3 Interpreta los resultados obtenidos.

(Habilidades que desarrollan: interpretar, aplicar y analizar).

202 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

:Maquetación 1

11/11/10

17:37

Página 203

Unidad 6

UNIDAD 6 (186-213)

De profundización 1. Analiza el siguiente tabla que muestra la evolución de la distribución del ingreso autónomo per cápita del hogar 1994-2006, según quintiles (divide la muestra en cinco partes iguales). Quintil/ Años

1994

1996

1998

2000

2003

2006

4,1

3,9

3,7

4,0

3,9

4,1

8,0

8,1

8,3

8,8

III

12,0

11,6

11,7

11,9

12,0

12,6

18,7

19,3

19,2

18,3

18,9

19,8

57,2

57,4

57,7

56,9

54,7

Fuente: Mideplan, basado en Encuesta Casen, años respectivos.

a. Investiga sobre el monto de ingresos per cápita en los años que indica el cuadro y establece los valores por año y quintil. b. Establece el significado de los quintiles y su aporte como complemento a la media aritmética, que es el ingreso per cápita. (Habilidades que desarrollan: conectar, interpretar y analizar).

Página 250

Herramientas tecnológicas

Para facilitar el aprendizaje de esta Unidad se presenta el uso de una herramienta tecnológica. Las planillas de cálculo como Excel permiten realizar rápidamente cálculos relacionados con medidas de posición.

Páginas 251 a 253

Ítems

Habilidades que desarrollan

1y2

Usar herramientas y aplicar.

Conectar y aplicar.

Aplicaciones de la Estadística

Actividad inicial

Analicemos...

En la actividad inicial se muestra un gráfico elaborado con datos del Ministerio de Salud, respecto de el estado nutricional del adulto mayor en distintos servicios de salud de la Región Metropolitana. Observando el gráfico, sus estudiantes podrían extraer información y concluir algunos de los aspectos a los que se refiere la sección ANALICEMOS…

Habilidades que desarrollan Interpretar y analizar.

Unidad 6

| 203

UNIDAD 6 (186-213)

:Maquetación 1

5/11/10

1y2

Habilidades que desarrollan Interpretar y analizar. Interpretar, representar y analizar.

Página 254

Actividad Mapa conceptual

Página 204

Indicaciones respecto del contenido

Actividades Ítems

09:48

Dado el amplio uso que se da de los gráficos en los medios de información en general, es importante enfatizar en las cosas que deben observarse al leer un gráfico. Por ejemplo, en los gráficos de barras, a veces la graduación de los valores en el eje vertical no es uniforme, o bien, se realiza solo a partir de cierto valor. Si esto no está explícito en el gráfico, puede inducir a errores de interpretación o a que se sobredimensionen las diferencias entre las variables.

Organizando lo aprendido

Habilidades que desarrolla Recordar y conectar.

En esta sección del Texto se presenta un mapa conceptual que vincula los contenidos trabajados hasta esta parte de la unidad, con el propósito de que los y las estudiantes puedan organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados. Este recurso puede ser utilizado como parte del estudio, ya que permite consolidar, organizar y clarificar sus aprendizajes y, además, conocer el nivel de aprendizaje alcanzado.

Actividades complementarias Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la Unidad realice preguntas como las siguientes: 1. ¿Cuál es la diferencia entre los percentiles y los deciles? Justifica. 2. ¿Cuáles son las características de un diagrama de cajas? Explica. 3. ¿Se pueden utilizar diagramas de cajas para comparar dos conjuntos de datos?, ¿por qué? 4. ¿En qué contextos has escuchado hablar de percentiles, quintiles, cuartiles o deciles? Comenta con tus compañeros y compañeras.

Página 255

Mi progreso

Aplicar.

Representar y analizar.

Aplicar e interpretar.

Los ítems asociados a esta actividad incluyen los siguientes criterios:

Mi progreso Ítems

Habilidades que evalúan

Ítem 1: determinar la mediana y los cuartiles de un conjunto de datos. Ítem 2: construir y analizar diagramas de cajas. Ítem 3: interpretar un diagrama de cajas.

204 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

:Maquetación 1

5/11/10

09:48

Página 205

Unidad 6

UNIDAD 6 (186-213)

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 1, recuerde a sus alumnos y alumnas que para determinar los valores de la mediana y los cuartiles deben preocuparse de ordenar todos los datos involucrados, de menor a mayor. Enfatice que si la cantidad de datos es un número par, la mediana corresponde a la semisuma de los dos datos centrales. • En los ítems 2 y 3, comente con sus estudiantes cuáles son todas las medidas que deben observarse en todo diagrama de cajas, y que deben calcular antes de comenzar a dibujar el gráfico: valor mínimo y máximo, rango, la media aritmética, la mediana y el primer y tercer cuartil. A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar a sus estudiantes.

Ítems

Completamente logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Determina correctamente Determina los cuartiles todos los cuartiles pedidos. pedidos, pero en el caso de la mediana, no considera que estos datos son una cantidad par.

No logra determinar los cuartiles pedidos, ya que no ordena previamente los datos presentados.

No logra determinar los cuartiles pedidos, o bien, desconoce los conceptos que se le solicitan.

Construye correctamente los diagramas de cajas, calcula la media, mediana y moda sin errores, e interpreta correctamente los resultados.

Construye los diagramas de cajas, y calcula la media, mediana y moda con algunos errores, o bien, comete errores en la interpretación de los datos.

Construye solo uno de los diagramas de cajas, y calcula la media, la mediana o la moda con errores, o bien confunde estas medidas.

No construye los diagramas de cajas, o bien, no calcula los valores porque desconoce los conceptos o el procedimiento.

Marca la alternativa en forma correcta justificando su decisión.

Marca la alternativa en forma correcta, pero no justifica su decisión.

Marca una alternativa incorrecta.

Omite la respuesta, debido a que desconoce los conceptos o el procedimiento.

Logrado

Unidad 6

| 205

UNIDAD 6 (186-213)

:Maquetación 1

5/11/10

09:48

Página 206

Actividades complementarias Ejercicios de refuerzo

2. Observa la información que aparece en el gráfico y responde.

1. La siguiente tabla corresponde a la distribución de los puntajes promedios de la prueba de selección universitaria en el proceso de admisión 2010.

10,0

Frecuencia 127

200 – 249,5

2902

250 – 299,5

5590

300 – 349,5

13 929

350 – 399,5

22 013

400 – 449,5

33 790

450 – 499,5

24 550

500 – 549,5

23 372

550 – 599,5

42 884

600 – 649,5

36 602

650 – 699,5

23 433

700 – 749,5

12 757

750 – 799,5

6552

800 – 850,0

458

Fuente: “Distribución de puntajes según pruebas obligatorias y electivas”. Departamento de evaluación, medición y registro educacional (DEMRE). www.demre.cl/estadisticas.htm, consultado en marzo de 2010. a. ¿Cuántos alumnos rindieron la prueba? b. ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo puntajes menores que 500 puntos? c. ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo puntajes iguales o superiores a 700 puntos? d. ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo más de 800 puntos? e. Calcula la media aritmética de esta distribución de puntajes. f. Calcula los percentiles 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 y 90. g. Calcula Q1, Q2 y Q3. h. ¿A qué percentil corresponde, aproximadamente, el puntaje 461?

206 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 Di cEn Feb eM Fe ar bM Abr ar -M Ab ay rJ M un ay Ju Jul nAg Ju o lS Ag ep oO Se ct pNo Oc v tNo Dic vEn e

Menos de 200

Miles de personas

Puntaje

Evolución de los desocupados según período 12,0

Trimestres

2003 2004 2005

Fuente: “Tasas de desocupación”. Instituto Nacional de Estadísticas, www.ine.cl, consultado en marzo de 2010.

a. ¿Cuál es el trimestre con mayor cesantía en el país? b. ¿Bajó efectivamente el desempleo en este período? c. Indica elementos que expliquen el alza o la disminución del desempleo. 3. El diagrama de tallo y hojas muestra el rendimiento de dos cursos de Cuarto Año Medio en una prueba de Química. 2 3 4 5 6

4º A 8 2 0268 011123578 12567

4º B 2 3 4 7899 5 455678899 6 3567788

De acuerdo al diagrama, es falso que: A. en el 4º A, la calificación con mayor frecuencia fue 5,1. B. la peor nota de los dos Cuartos fue un 2,8. C. en ningún curso se obtuvo la nota máxima. D. el 4º B tuvo mejor rendimiento que el 4º A. E. en el 4º A hubo más estudiantes que rindieron la prueba.

:Maquetación 1

Páginas 256 y 257

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Página 207

Unidad 6

UNIDAD 6 (186-213)

Cómo resolverlo

Actividades Ítems

Habilidades que desarrollan

Resolver problemas.

2y3

Resolver problemas, indagar y comparar.

Ítem 1: calcular la mediana y el primer cuartil de un conjunto de datos agrupados. Ítem 2: proponer procedimientos alternativos para resolver problemas. Ítem 3: comparar procedimientos de resolución e identificar cuál es el más adecuado. Para evaluar el desempeño de sus estudiantes en la resolución de problemas, puede utilizar la rúbrica presentada en la página 61 de esta Guía.

Páginas 258 y 259

En terreno

El objetivo de esta página se relaciona con uno de los objetivos transversales del ámbito de crecimiento y autoafirmación personal, referido al interés y capacidad de conocer la realidad y utilizar el conocimiento y la información. Los y las estudiantes reflexionarán sobre la necesidad de realizar un estudio de mercado, para determinar si la necesidad que se ha detectado podría redundar en ganancias para la empresa, antes de realizar la inversión inicial. En este caso, el estudio de mercado es acerca de sacos de dormir para personas excepcionalmente altas. Antes de empezar la actividad, puede sugerir a sus estudiantes que analicen cómo se sentirían ellos durante un campamento si el saco de dormir les quedara corto.

Actividades Ítems 1 2y3

Habilidades que desarrollan Resolver problemas, conectar y analizar. Seleccionar.

Investiguemos... Ítems

Habilidades que desarrollan

Resolver problemas, conectar, analizar y evaluar.

Sintetizar o integrar.

Unidad 6

| 207

UNIDAD 6 (186-213)

:Maquetación 1

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Página 260

Actividad Mapa conceptual

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Página 208

Síntesis de la Unidad

Habilidad que desarrolla Recordar y conectar.

Los mapas conceptuales, como herramientas visuales, permiten a los alumnos y alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados en toda la Unidad. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los alumnos y alumnas consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. Además, permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus estudiantes. En esta sección los y las estudiantes resumen y organizan a través de un mapa conceptual los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad. Como actividades de consolidación se presentan afirmaciones de carácter conceptual que involucran los contenidos trabajados en la Unidad.

Páginas 261 a 263

Habilidades que evalúan 1a5

Analizar y verificar o comprobar.

Aplicar y calcular.

Aplicar y analizar.

1y2

Aplicar y verificar o comprobar.

3, 6, 7, 9 y 11

Aplicar.

4, 8 y 10

Analizar.

5 y 12

Recordar.

III

208 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

:Maquetación 1

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Página 209

Unidad 6

UNIDAD 6 (186-213)

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ítem 1, enfatice a sus estudiantes que cuando los datos están agrupados en una tabla, primero deben determinar en qué clase se encuentra un determinado percentil, para luego aplicar la expresión correspondiente, y que incluso dos percentiles distintos pueden estar asociados a la misma clase, sin que ello implique que tengan el mismo valor. • En el ítem 2, comente a sus alumnos y alumnas que lean el enunciado con atención, ya que aunque se indica un valor promedio, lo que ellos deben realizar es compararlo con el verdadero valor promedio, que pueden calcular a partir de los demás datos entregados. A continuación, se presenta una rúbrica referida a los ítems I y II que puede utilizar para evaluar a sus estudiantes.

Ítems

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Determina correctamente el valor de verdad de todas las afirmaciones, justificando todos los casos.

Determina correctamente el valor de verdad de todas las afirmaciones, pero justifica solo las falsas.

Determina correctamente Determina correctamente el valor de verdad de el valor de verdad de tres al menos cuatro de afirmaciones o menos. las afirmaciones.

II, 1

Calcula correctamente todos los percentiles pedidos.

Calcula correctamente los percentiles pedidos, con algún error de cálculo.

No logra calcular los percentiles pedidos, ya que no comprende cómo obtener algunos de los datos que requiere.

No logra calcular los percentiles pedidos, o bien, desconoce los conceptos que se le solicitan.

II, 2

Calcula correctamente los intervalos pedidos, y los interpreta correctamente.

Calcula correctamente los intervalos pedidos, pero su interpretación es incompleta, o bien, no la realiza.

No logra calcular los intervalos pedidos, debido a que no comprende cómo obtener algunos de los datos que requiere.

No logra calcular los intervalos pedidos, o bien, desconoce los conceptos que se le solicitan.

Por lograr

Para el ítem III, considere la siguiente rúbrica: Completamente logrado: si contesta correctamente todas las preguntas (12 preguntas). Logrado: si contesta correctamente 9 preguntas o más. Medianamente logrado: si contesta correctamente entre 6 y 8 preguntas. Por lograr: si contesta correctamente 5 preguntas o menos.

Unidad 6

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UNIDAD 6 (186-213)

:Maquetación 1

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Actividades complementarias Ejercicios de refuerzo 1. Se realiza un estudio acerca de la masa de niños varones entre 10 y 12 años, para lo cual se toma una muestra de 104 niños, encontrándose un promedio de masa de 38 kilogramos, con una desviación estándar de 8,5 kilogramos. a. Construir un intervalo de confianza para esta estimación al 95%. b. Si se quiere reducir a la mitad el margen de error, ¿qué tamaño muestral sería necesario? c. Realiza el mismo análisis anterior, suponiendo que la muestra original era de 27 niños. 2. Una muestra aleatoria de 93 refrigeradores reportó que el intervalo de confianza para el tiempo promedio de representación de fallas técnicas (en años) fue de (3,877, 4,162). Considerando que la desviación estándar es de 0,7 años, ¿cuál es el nivel de confianza? 3. En la siguiente tabla se muestran los años de servicio de una muestra de 100 empleados de un banco. Años

Número de empleados

0–2

3–5

6–8

9 – 11

12 – 14

a. Calcular la marca de clase para cada intervalo. b. Graficar, utilizando Excel, la curva de distribución acumulada correspondiente. c. Graficar un diagrama de caja. d. ¿Cómo es la dispersión de los años? e. Calcular la media aritmética y la desviación estándar. f. Respecto a la media aritmética, ¿se puede decir que es representativa de estos valores?

210 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

4. La siguiente tabla de distribución agrupa las marcas, expresadas en metros, obtenidas por un grupo de estudiantes en el lanzamiento del disco. Intervalo (m)

Frecuencia

[34, 35[

[35, 36[

[36, 37[

[37, 38[

[38, 39[

[39, 40[

[40, 41[

[41, 42[

[42, 43[

a. ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvo marcas en el intervalo [39, 40[? b. ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo una marca igual o superior a los 40 metros? c. ¿Cuál es la media aritmética de las marcas obtenidas por los estudiantes? d. Calcula el percentil 10 y 80. e. Calcula el segundo decil. f. Calcula el tercer cuartil. 5. Con la finalidad de conocer el gasto estimado en útiles escolares durante un año académico, se seleccionó una muestra aleatoria simple de 59 escolares. En promedio, los y las 59 estudiantes gastaron $ 81 960 y la desviación estándar fue de $ 28 320. a. ¿Cuál es el intervalo de confianza al 95% para el gasto promedio en útiles escolares durante un año académico? b. ¿Qué amplitud tiene el intervalo?

:Maquetación 1

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Unidad 6

UNIDAD 6 (186-213)

Habilidades que evalúan

Puntaje

Total

3, 5 y 6

Aplicar.

2 puntos cada una

6 puntos

1, 4 y 9

Analizar.

2 puntos cada una

6 puntos

Interpretar.

2 puntos cada una

2 puntos

2 puntos cada una

6 puntos

7, 8 y 10 Interpretar y aplicar.

Puntaje total:

20 puntos

Considere: Completamente logrado: si contesta correctamente todas las preguntas (10 preguntas). Logrado: si contesta correctamente 7 preguntas o más. Medianamente logrado: si contesta correctamente entre 5 y 6 preguntas. Po lograr: Si contesta correctamente 4 preguntas o menos.

Unidad 6

| 211

UNIDAD 6 (186-213)

:Maquetación 1

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Página 212

Evaluación final Nombre:

Curso:

1. Eduardo entrena dos grupos de diez corredores cada uno. Para la Maratón de Santiago, el tiempo promedio que demoraron estos grupos fue el mismo; sin embargo, el grupo A tuvo una desviación estándar menor que el grupo B. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? I. En promedio, al grupo A le fue mejor que al grupo B. II. El desempeño del grupo A fue más homogéneo que el del grupo B. III. En el grupo B, hay corredores más lentos y/o más rápidos que en el grupo A. A. B. C. D. E.

Solo I Solo II Solo III Solo I y II Solo II y III

3. Un ciclista recorre una pista de 400 metros obteniendo los siguientes tiempos (en segundos): 34-35-32-33-32-33-31-35-32-34 La desviación estándar correspondiente es: A. B. C. D. E.

33,1 1,69 1,3 1,1 Otro valor.

4. De las siguientes situaciones, ¿cuál o cuáles de ellas tienen correlación negativa? I. El lugar en la tabla de posiciones de un equipo en un campeonato de fútbol y el número de derrotas. II. La estatura de una persona y su edad. III. La cantidad de obreros que hacen un trabajo y el tiempo que requieren para realizarlo.

2. El siguiente diagrama de caja representa la masa de un grupo de adolescentes. 86,3 80 73,9

62,5 47,1 Masa (kg)

Entonces, se observa que: A. B. C. D. E.

Fecha:

Q1 = 86,3; Q2 = 80; Q3 = 73,9 Q1 = 47,1; Q2 = 62,5; Q3 = 73,9 Q1 = 62,5; Q2 = 73,9; Q3 = 80 Q1 = 80; Q2 = 73,9; Q3 = 62,5 Ninguna de las anteriores.

212 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

A. B. C. D. E.

Solo I I y II I y III II y III I, II y III

5. Un grupo de científicos que trabaja en la selva necesita estimar la cantidad de una especie de monos que vive en un sector delimitado. Para ello le disparan dardos de pintura azul, dando en el blanco a 10 de ellos. Al día siguiente, logran ver a 25 monos, de los cuales 5 están pintados. El total de monos del sector es: A. B. C. D. E.

25 40 50 13 Otra cantidad.

:Maquetación 1

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Página 213

6. Para determinar la cantidad de crías que tiene un conejo por temporada, se hace una investigación. ¿De qué tamaño debe ser la muestra, si se sabe que la desviación estándar de la población es de seis crías, se quiere un nivel de confianza del 99% y un margen de error máximo de una cría? A. B. C. D. E.

15 16 236 240 Otro valor.

7. En una industria se observa que la masa de ciertos clavos tiene una distribución N(25,1) en gramos. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un clavo cuya masa sea menor que 24,5 gramos? A. B. C. D. E.

0,5 0,29 0,31 0,69 0,71

8. El tiempo que un estudiante de Cuarto Año Medio dedica al estudio –en su casa– cada día hábil tiene una distribución N(141, 41). Respecto de esta situación, es verdadero que: I. El 68,3% de los días estudia entre 100 y 182 minutos. II. Alrededor del 16% de los días estudia menos de 100 minutos. III. Aproximadamente 3 días hábiles al mes estudia más de 182 minutos. A. B. C. D. E.

9. Juan Pablo hizo un análisis acerca de la cantidad de encuestas que realizaba en promedio al día; obtuvo un promedio de 5 encuestas y una desviación estándar de 1,8 encuestas. Si el intervalo de confianza al 95% que Juan Pablo obtuvo fue (4,334, 5,666), es verdadero que: I. El tamaño de la muestra fue de 28 días. II. El margen de error es 1,333. III. Si Juan Pablo hubiese realizado un intervalo de confianza al 90% de confianza el margen de error sería la mitad. A. B. C. D. E.

Solo I Solo II I y III I y II Ninguna es verdadera.

10. El tiempo en que los y las estudiantes contestan una prueba de Lenguaje tiene una distribución normal, en minutos, de N(55, 10); con relación a esta situación es verdadero que: I. El 68,3% de los jóvenes demora entre 45 y 65 minutos. II. El 4,5% de los jóvenes demora menos de 35 minutos. III. En un curso de 40 estudiantes quedan aproximadamente seis de ellos después de 65 minutos de haber comenzado. A. B. C. D. E.

Solo I I y II II y III I y III I, II y III

Solo I I y II II y III I, II y III Ninguna es verdadera.

Unidad 6

| 213

Unidad 6

UNIDAD 6 (186-213)

SOLUCIONARIO-4º M (214-224):Maquetación 1

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Página 214

Solucionario de la Guía Didáctica 1 Función potencia y logarítmica

d. – 7 2

Página 46

2. a. b. c. d.

De refuerzo 1. a. Dom ( f ) = IR – {–3}, Rec ( f ) = IR – {0}, 1 – 3x f –1 (x) =

b. Dom ( f ) = IR –

f –1 (x) =

{ 12 }, Rec ( f ) = IR – { 12 },

x+3 2x – 1

]

c. Dom ( f ) = IR – {–2, 2}, Rec ( f ) = IR – –

]

1 ,0 4

f –1 (x) no tiene. d. Dom ( f ) = [5, ⬁[ Rec ( f ) = [0, ⬁[, f –1 (x) no tiene. e. Dom ( f ) = ]–⬁, 3[ Rec ( f ) = ]0, ⬁[, f –1 (x) no tiene. 3. a. b. c. d. e. f. g.

e. 1 16

c. 11

V F, no tiene vértice. V F, la gráfica se abre hacia abajo. V V V

F, el argumento del logaritmo es siempre positivo. V V V

3. a. F b. V

c. V d. F

e. V f. F

4. a. 3 2

e. 1 2

i. 2 3

3 2

j. 4 3

b. 4 3

c. 4 5

g. 2 3

1 2

h. 3 4

De profundización d. 3 b 2

1. a. 4y b. 10 b 3

e. 4m

c. 1 a + 1 v 4 6

f. – 4 p 7

De profundización 2. Sí, por ejemplo, n = 2, 4, 5, 6, 20, 25, 27… 2. a. i. La gráfica se desplaza hacia arriba. ii. La gráfica se desplaza hacia abajo. b. i. La gráfica se dilata o se contrae, según si el valor de k es menor o mayor que 1. ii. La gráfica se dilata o se contrae, según si el valor de k es menor o mayor que 1, y además se refleja respecto del eje X. c. i. La gráfica se desplaza hacia la izquierda. ii. La gráfica se desplaza hacia la derecha. Página 53 De refuerzo 1. a. 2 b. 0

214 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

3. Por ejemplo, (1, 1). 4. Por ejemplo, 30 031 y 13 003 son primos siameses. Página 60 De refuerzo 1. E 2. C 3. C

4. A 5. C 6. E

7. B 8. D 9. A

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Página 65

d. La función f es creciente, la función g es decreciente.

De refuerzo 1. a. 21,21 dB b. 75,44 dB 2. a. 7,15 dB

c. 119,6 dB d. 1,58 · 10–5 W/m2 c. 5,7 dB

3. a. 9,1 grados Richter. b. 8,3 grados Richter.

e. 5,7 pies.

c. 7,07 · 1010 j d. 3,16 · 1015 j

De profundización

2. a. f –1( x ) = log2 ( x )

f. h–1( x ) = log2 ( x )

b. g–1( x ) = log ( x )

g. f –1( x ) = log ( x ) – 2

c. h–1( x ) = ln ( x ) –2

h. g–1( x ) = 3 + ln ( x ) log5 ( x ) i. h–1( x ) = 3

d. f –1( x ) =

ln ( x ) + 3 2

e. g–1( x ) = log5 (4 – x) 3. a. V ⎛ 1⎞ b. F, y = ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

1. Ninguna. 2. a. b. c. d. e.

Página 215

x = 3, y = –1 x = 100, y = 10 No tiene solución. x = 6, y = 3 x = 7, y = 49

f. g. h. i.

x = 3, y = 27 x = 2, y = 16 x = 64, y = 107 x = 25, y = 2

es decreciente.

c. F, f ( x ) = 3x no pasa por el punto (1,0). d. F, y = 2x no contiene en su gráfica al punto (0, 0). e. F, en y = 2x, (1, 2) está en la gráfica, pero (–1, 2) no.

3. Fue 89,13 veces más potente.

De profundización

Páginas 68 y 69

1. a. La función exponencial es una función de la forma y = ax. b. La función y = a2x – 3 es una función exponencial. c. La función inversa de la función exponencial es la función logarítmica. d. La función y = 2x es creciente. e. La función a–x es decreciente para todo valor de a. f. El dominio de la función exponencial está formado por todos los números reales. g. La función f ( x ) = ax se sitúa por sobre el eje X.

Evaluación final 1. 2. 3. 4. 5.

C D C D D

6. 7. 8. 9. 10.

D D B C D

11. 12. 13. 14.

D B C D

2 Función exponencial Página 86 De refuerzo 1. a. f (3) = 81, f (0) = 3, f (–1) = 1, f (–2) = 1 , 3 g (–1) = 25, g (0) = 1, g (–2) = 625 c. Dom ( f ) = IR, Rec ( f ) = IR+, Dom ( g ) = IR, Rec ( g ) = IR+

2. a. i. Para k > 0 la gráfica se mueve hacia arriba respecto del eje X, porque el valor de k se agrega al resultado de la función, que corresponde a la segunda coordenada de los puntos de la gráfica. ii. Para k < 0 la gráfica se mueve hacia abajo e interseca con el eje X en un punto, y a un lado de ese punto la gráfica está sobre el eje X y al otro lado está bajo el eje X.

Solucionario de la Guía Didáctica

| 215

Solucionario

SOLUCIONARIO-4º M (214-224):Maquetación 1

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b. i. Para k > 0 la gráfica se mueve hacia la izquierda, porque el valor de k se agrega antes de aplicar la función, por lo que lo que ocurre con la función ocurre k unidades más a la izquierda. ii. Para k < 0 la gráfica se mueve hacia la derecha. c. i. Para k > 0 la gráfica se estira o se contrae respecto del eje Y, porque se producen múltiplos de los valores antes de aplicar la función. ii. Para k < 0, la gráfica, además de estirarse o contraerse, se refleja en el eje Y, porque cambia el signo de los valores que se entregan a la función.

Página 216

Páginas 98 y 99 1. 2. 3. 4. 5.

A B E E D

6. 7. 8. 9. 10.

E E E D E

11. C 12. E 13. D

3 Vectores Página 114 De refuerzo 1. a.

2. a.

Página 92 1. a. x = –

3 7

d. x = –7

b. x = –

1 2

e. x = – 4

c. x = –

15 8

2. a. x = 2 – log5 2

d. x = log 5

b. x = log3 6 – 1

e. x =

ln 2 – 3 2

c. x = log2 12 – 2 3. a. x1 = ln 2, x 2 = ln 3 b. x1 = ln 2, x 2 = ln 8 ln 8 c. x = 5

d. x = 1 e. No tiene solución.

3. a. 8 10 b. ±

4. a. r = 0,46 b. P(7) = 179 158 684 individuos. c. P0 = 149 individuos.

5 2 2

4. a. 具–1, –3典 b. A’ = (0, 0), B’ = (2, 1)

Página 96

5. a. A’ = (5, 4), B’ = (4, 9) C ’ = (–1, 6), D’ = (1, 0) E’ = (4, 1)

De profundización

7. a. D = (4, 3)

1. A 2. A 3. B

4. B 5. A 6. B

7. B

216 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

b. D = (10, –7)

8. a. A’ = (–18, 3), B’ = (–6, 15) 3⎞ 15 ⎞ ⎛ ⎛ b. A’ = ⎜ –9, ⎟ , B’ = ⎜ –3, ⎟ ⎝ ⎝ 2⎠ 2⎠

2⎞ ⎛ c. A’ = ⎜ – 4, ⎟ , B’ = ⎝ 3⎠

5/11/10

09:49

Página 217

⎛ 4 10 ⎞ ⎜⎝ – 3 , 3 ⎟⎠

d. A’ = (6, –1), B’ = (2, –5) e. A’ = (12, –2), B’ = (4, –10) ⎛ 9 3⎞ ⎛ 3 15 ⎞ f. A’ = ⎜ , – ⎟ , B’ = ⎜ , – ⎟ ⎝ 2 4⎠ ⎝2 4⎠ 9. a. V b. V

c. V d. F

Página 120 De refuerzo 1. a. b. En ninguna. 2. a. 0 b. 0

c. –27 d. –11

3. a. 具–1, –2, –1典 b. 具–19, –27, 5典

c. 具8, 8, 8典 d. 具2, 2, 0典

4. a. b. c. d.

具x, y典 = 具–3, 7典 + λ具8, –9典具x, y典 = 具4, 3典 + λ具–2, –4典具x, y典 = 具–2, 0典 + λ具5, –4典具x, y典 = 具0, 4典 + λ具1, –3典

5. No, porque el resultado del producto punto es un escalar y no puede calcularse el producto cruz entre en escalar y un vector. 6. Sí, porque el resultado del producto cruz es un vector y luego se puede calcular el producto punto entre dos vectores. De profundización → →

1. Se demuestra porque PQ · QR = 0. 5 2. x = – 2 →

→

3. Se demuestra porque PQ · QR = 0. → → 4. Se demuestra comprobando que PQ · QR ⫽ 0, → → → → PQ · PR ⫽ 0 y PR · QR ⫽ 0. 5. 7x + 2y – 37 = 0

6. Las expresiones de a, b y d no tienen sentido. En caso de la a, porque no se puede aplicar producto punto a un vector y un escalar y en los otros casos, porque no se puede calcular la suma entre un escalar y un vector. → → → → → → 7. Se demuestra porque a · b = 0, b · c = 0 y a · c = 0. → →

8. a. V, porque a · b = 0. b. V, porque el coseno y el seno del ángulo entre ellos no pueden ser cero a la vez, entonces algún módulo debe ser cero. c. F, el resultado de producto punto es un escalar, no un vector, así que no tiene sentido la asociatividad. → → → → → → d. V, si u = kv , entonces u ⫻ v = k(v ⫻ v ) = 0. e. V, ya que su producto cruz es cero si alguno es cero, lo que da paralelismo, o bien, el seno del ángulo entre ellos es cero, lo que corresponde a un ángulo de 0º o 180º, es decir, son vectores paralelos. f. V Página 127 De refuerzo 1. a. 具x, y, z典 = 具2, 1, 3典 + λ具1, –2, 2典 b. 具x, y, z典 = 具3, –1, 1典 + λ具1, 2, –1典 c. 具x, y, z典 = 具3, 1, 1典 + λ具–1, 4, 7典

具

d. 具x, y, z典 = 0, 2. a. b. c. d. e.

典

11 4 , + λ具3, –5, 2典 3 3

具x, y, z典 = 具1, –1, 6典 + λ具–1, 1, –5典 + μ具3, 8, –17典具x, y, z典 = 具2, 5, 1典 + λ具1, 1, 0典 + μ具–1, 1, 1典具x, y, z典 = 具2, –3, 5典 + λ具1, 1, 1典 + μ具0, –1, 2典具x, y, z典 = 具3, –1, 2典 + λ具1, 0, –1典 + μ具–1, 2, –2典具x, y, z典 = 具3, 1, 0典 + λ具1, –1, 3典 + μ具2, 1, –1典

⎛ 11 12 ⎞ 3. a. ⎜ , 1, ⎟ ⎝5 5⎠ b. No existe el punto de intersección. c. La misma recta, 具x, y, z典 = 具1, –2, 3典 + λ具2, 5, –1典 13 ⎞ ⎛9 d. ⎜ , 0, ⎟ ⎝5 5⎠

Solucionario de la Guía Didáctica

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Solucionario

SOLUCIONARIO-4º M (214-224):Maquetación 1

4. a. 具x, y, z典 =

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具 227 , 37 , 0典 + λ具–1, 4, 7典

b. 具x, y, z典 = 具–2, 7, 0典 + λ具3, –5, 2典 De profundización 1. a. Basta considerar el plano z = 0 (plano XY), paralelo a la recta z = 0, y = 0 (eje X), pero la recta x = 0, z = 0 (eje Y) está contenida en el plano y no es paralela a la recta inicial. b. Basta considerar los puntos (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1), los primeros dos están contenidos en el plano z = 0 (plano XY) y el punto (0, 0, 1) no pertenece a dicho plano.

⎛ 2 8⎞ b. A’ = ⎜ – , ⎟ , B’ = ⎝ 5 5⎠ ⎛ 7 ⎞ c. A’ = ⎜ – , 7⎟ , B’ = ⎝ 4 ⎠

⎛ 12 ⎞ ⎛ 6 4⎞ ⎜⎝ 5 , – 5 ⎟⎠ , C’ = ⎜⎝ 0, 5 ⎟⎠ ⎛ 21⎞ ⎛ 21 7 ⎞ ⎜⎝ 4 , – 2 ⎟⎠ , C ’ = ⎜⎝ 0, 2 ⎟⎠

d. A’ = (1, –4), B’ = (–3, 2), C ’ = (0, –6) e. A’ = (3, –12), B’ = (–9, 6), C ’ = (0, –18) ⎞ ⎛1 f. A’ = ⎜ , –1⎟ , B’ = ⎠ ⎝4

⎛ 3 1⎞ ⎜⎝ – 4 , 2 ⎟⎠ , C ’ =

3⎞ ⎛ ⎜⎝ 0, – 2 ⎟⎠

3. a. 具x, y典 = 具0, 2典 + λ具5, 2典 b. 具x, y典 = 具6, 0典 + λ具3, –1典

具 53 典 + λ具1, 0典

d. 具x, y典 = 具2, 0典 + λ具–1, 4典

⎞ ⎛ 19 3 3. El punto ⎜ , , –7⎟ . ⎠ ⎝ 2 2 4. Los ángulos diedros que forman una cara basal con una cara lateral son todos de 90º, los que forman dos caras laterales entre sí miden 72º. 5. a. Al eje X, ya que al eje Y lo corta en (0, 3, 0) y al eje Z lo corta en (0, 0, 2) b. Infinitos, ya que la recta sería la intersección de todos los planos que tienen al vector director de la recta junto a cualquier otro no paralelo a él como vectores directores, además de contener a la recta. c. 8 semiplanos. ⎞ ⎛2 6. Al eje X en ⎜ , 0, 0⎟ , al eje Y en (0, –1, 0), ⎠ ⎝5 al eje Z en (0, 0, 2). 7. a. Ambos vectores perpendiculares al eje Z. b. Ambos vectores perpendiculares al eje X. c. Ambos vectores perpendiculares al eje Y. Página 132 Ejercicios de refuerzo →

2. a. A’ = (–2, 8), B’ = (6, –4), C’ = (0, 12)

c. 具x, y典 = 0,

⎛ 17 10 1⎞ 2. El punto ⎜ , ,– ⎟. ⎝ 9 9 9⎠

1. a. AB = 具2, 4典 b. D = (8, –1) c. E = (14, 2)

Página 218

→

d. GH = 具–6, 2典 e. I = (–6, –1) f. M = (–10, –1)

218 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

4. a. 5x + 4y – 13 = 0 b. 2x – 3y + 9 = 0

c. x – 4y + 6 = 0 d. 8x – 3y – 40 = 0

5. a. 具–5, 10, –1典 b. 具59, –11, –29典

c. 具–31, 10, –2典 d. 具–2, –8, 20典

6. a. b. c. d.

具x, y, z典 = 具0, 2, 5典 + λ具1, –2, –1典具x, y, z典 = 具1, 3, –1典 + λ具2, –5, 7典具x, y, z典 = 具3, 0, 0典 + λ具–1, 0, 4典具x, y, z典 = 具1, 2, 0典 + λ具3, –7, 2典

7. a. b. c. d.

具x, y, z典 = 具3, 0, 0典 + λ具1, 0, 2典 + μ具0, 1, 3典具x, y, z典 = 具2, 0, 1典 + λ具1, –3, 0典 + μ具0, 2, –1典具x, y, z典 = 具0, 2, 0典 + λ具3, 0, 1典 + μ具5, –1, 0典具x, y, z典 = 具0, 0, –1典 + λ具1, 1, –1典 + μ具3, 0, 4典

8. a. b. c. d.

具x, y, z典 = 具0, 2, 5典 + λ具1, 3, 2典 + μ具3, –2, –4典具x, y, z典 = 具1, –4, 2典 + λ具6, 7, –5典 + μ具5, 6, 0典具x, y, z典 = 具5, 0, –3典 + λ具1, 1, 4典 + μ具3, 2, 1典具x, y, z典 = 具4, –4, 3典 + λ具–10, 7, –3典 + μ具–6, 4, 4典

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Página 219

Páginas 134 y 135

Página 156

Evaluación final

De refuerzo

1. 2. 3. 4. 5.

A C B C A

6. 7. 8. 9. 10.

B D D C D

11. D 12. C 13. D

Solucionario

SOLUCIONARIO-4º M (214-224):Maquetación 1

1. 129,59 m3 2. 9 cm 3. 128π cm3 4. 136 cm2 5. 105π m3

4 Áreas y volúmenes

6. a.

608π dm3 3

b. 186π cm3

De profundización

Página 150

1. r = 2 cm, g = 4 cm De refuerzo 1. a.

2. Son iguales. 3. a. 4560 cm2

b. 244 290 cm3

4. La altura del cono debe ser cuatro veces el radio de la base. 5. 707 cm2 de azul, 942 cm2 de rojo y 1178 cm2 de amarillo. 2.

6. La altura del cono es igual al radio de la esfera. 7. 2 : 1 8. El área aumenta en un 300%. El volumen aumenta en un 700%. Página 160 De profundización 1. 288 cm2

3. 75 cm2

2. Área total 252 cm2, volumen 144 cm2

4. 32 3 + 336 cm2

3. a. 4 cm b. 4 11 cm

5. 24 97 + 96 3 cm2 6. 700 cm2 7. 57 600 cm3, o bien, 57,6 litros. 8. El de base triangular. 9. 2 592 968,434 m3

c. 4 10 cm d. Área lateral 64 10 cm2, área total 64 (1+ 10 ) cm2. e. Volumen 256 cm3.

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b. c. d. e. f.

4. a. Área total 9 (1 + 17 ) cm2. b. No. c. El área total sería 9 (1 + 65 ) cm2, que no es el doble de la anterior. d. 18 cm3 5. Área lateral 100π cm2, área total 125π cm2, 125π 15 volumen cm3. 3 6.

2. a. b. c. d. e. f.

Cuantitativa continua. Cuantitativa discreta. Cuantitativa discreta. Cualitativa. Cuantitativa discreta. Jefes de hogar entrevistados. 100 Jefes de hogar de cierta comuna. Preferencia de supermercados. 0,3 70

3. a. Media aritmética: 8; mediana: 9; moda: 10. b. La media aritmética. 4. Edad

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa porcentual

7. a. 120 + 36π cm3

b. 118 + 33π cm2

0,3

8. a. 4,5π cm3

b. 138π cm2

0,35

0,15

0,2

9. a. Caja cúbica de 20 cm de lado. 2400 cm2 de cartón. b. 8000 cm3 c. 2400 cm2 de celofán. Páginas 162 y 163

5. Media: 8 Moda: 7 Mediana: 7

Evaluación final

6. 12,8 segundos.

1. 2. 3. 4. 5.

C C E B C

6. 7. 8. 9. 10.

A A C C D

11. 12. 13. 14. 15.

C C D E C

7. 4,68 8. 78 kg Página 182 De refuerzo

5 Estadística I Página 177 De refuerzo 1. a. Cuantitativa continua.

220 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

1. a. Sebastián: media aritmética: 2,4, mediana: 2, moda: 3. Pablo: media aritmética: 3,7, mediana: 4, moda: 4. b. Sebastián: rango: 4, desviación estándar: 1,14. Pablo: rango: 7, desviación estándar: 1,66.

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d. 0,2% e. 527,5 puntos. f. P10 = 355,3, P20 = 407,7, P30 = 444,6, P40 = 493,2, P50 = 546,2, P60 = 576,9, P70 = 607,0, P80 = 641,0, P90 = 689,1. g. Q1 = 426,2, Q2 = 546,2, Q3 = 624,0. h. Al percentil 34.

2. a. Media aritmética: 46,6, mediana: 49,5, moda: 53. b. $ 270 000 c. 22 años. 4. a. E1 = 18 cm, E2 = 9 cm, E3 = 22 cm, E4 = 6 cm, E5 = 13 cm. b. E1 = 170 cm, E2 = 170 cm, E3 = 160,6, E4 = 164,8, E5 = 160,8. c. E1: mayor, E2: mayor, E3: menor, E4: menor, E5: menor. Páginas 184 y 185 Evaluación final 1. 2. 3. 4.

B D E A

5. 6. 7. 8.

A E C D

9. E 10. E

De profundización

3. a. b. c. d. 4. a. b.

2. a. Mayo-julio. b. El desempleo bajó en el período 2003-2005, excepto en los trimestres diciembre-febrero y enero-marzo. 3. E

Página 201

1. a. c. d. 2. a.

Solucionario

SOLUCIONARIO-4º M (214-224):Maquetación 1

Sí Sí No truchas = 129, salmones = 398, pejerreyes = 278, otros = 122. 138 710 personas. 189 367 personas. 6021 personas. 361 personas. media: 15, desviación estándar: 7,33 el 73%

6 Estadística II

Página 210 De refuerzo 1. a. [36,366, 39,634] b. n = 416 niños. c. n = 108 niños. 2. 95% de confianza. 3. a. 1, 4, 7, 10 y 13, respectivamente. e. Media aritmética: 4,45 años, desviación estándar: 3,58 años. 4. a. b. c. d. e. f.

13,3% aproximadamente. 18% 38,03 m P10 = 35,2 m, P80 = 39,85 m D2 = 36,2 m Q3 = 39,475 m

5. a. [74 733, 89 186] b. El intervalo tiene amplitud 14 453. Páginas 212 y 213 Evaluación final

Página 206 De refuerzo 1. a. 248 959 estudiantes. b. 41,3% c. 7,9%

1. 2. 3. 4.

E C C C

5. 6. 7. 8.

C D C D

9. A 10. D

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222 | Guía Didáctica del Docente Matemática 4º Medio

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