6to_2010_Profesor by juan albornoz

Guía Didáctica del Docente

Autora: Celeste Carrasco Fuentes Profesora de Educación General Básica (UMCE)

Matemática 6º Básico Guía Didáctica del Docente Autora Celeste Carrasco Fuentes

La presentación y disposición de la obra, son propiedad del editor. Reservados todos los derechos para todos los países. Ninguna parte de esta publicación puede ser reproducida, almacenada o transmitida de ninguna forma, ni por ningún medio, sea este electrónico, fotocopia o cualquier otro, sin la previa autorización escrita por parte de los titulares de los derechos.

Es una marca registrada de MN Editorial Ltda. © MN Editorial Ltda. Avda. Eliodoro Yáñez 2416, Providencia, Santiago, Chile Teléfono: 233 5101 Fax: 234 4869 E-mail: promocion@mneditorial.cl www.mneditorial.cl Dirección editorial: Gloria Páez Herrera Edición: Daniel Catalán Navarrete Asistencia editorial: Deysma Coll Herrera Diseño: Equipo editorial Diagramación: Marcela Ojeda Ampuero, Williams Gálvez Baettig y Francisca Urzúa Provoste Ilustración: Margarita Valdés Ruiz Corrección de estilo: Norma Guerra González Archivos gráficos: MN Editorial Ltda. Nº de registro: 198.289 ISBN: 978-956-294-290-4 Impreso en Chile por Worldcolor Chile Se terminó de imprimir esta 1ª Edición de 10.880 ejemplares en el mes de diciembre de 2010.

Matemática 6º Básico

Índice de la Guía Didáctica del Docente Estructura de la Guía Didáctica del Docente.................................................. 4 Texto del Estudiante Portada................................................................................................................. 6 Bienvenida............................................................................................................ 7 Estructura didáctica.............................................................................................. 8 Índice de contenidos.......................................................................................... 10 Unidad 1: Números decimales Planificación Unidad 1........................................................................................ 12 Páginas del Texto del Estudiante....................................................................... 14 Unidad 2: Números fraccionarios, razones y porcentajes Planificación Unidad 2........................................................................................ 40 Páginas del Texto del Estudiante....................................................................... 42 Unidad 3: Potencias Planificación Unidad 3........................................................................................ 70 Páginas del Texto del Estudiante....................................................................... 72 Unidad 4: Ecuaciones de primer grado Planificación Unidad 4...................................................................................... 102 Páginas del Texto del Estudiante..................................................................... 104 Unidad 5: Ángulos Planificación Unidad 5...................................................................................... 128 Páginas del Texto del Estudiante..................................................................... 130 Unidad 6: Información y azar Planificación Unidad 6...................................................................................... 156 Páginas del Texto del Estudiante..................................................................... 158 Solucionario..................................................................................................... 186 Índice temático................................................................................................. 190 Bibliografía y páginas web................................................................................191 Evaluación modelo........................................................................................... 192 Otros recursos didácticos Materiales complementarios............................................................................ 193 Evaluaciones.................................................................................................... 202 Pautas de evaluación....................................................................................... 222 Orientaciones bibliográficas............................................................................. 228 Orientaciones para el uso del Hipertexto......................................................... 230

Índice de la Guía Didáctica del Docente

Estructura de la Guía Didáctica del Docente La Guía Didáctica del Docente de 6° Básico ha sido elaborada con la finalidad de servir de apoyo para profesores y profesoras en el uso eficiente del Texto del Estudiante de 6° Básico de Matemática. En ella se incorpora íntegro el Texto del Estudiante miniaturizado, de manera de facilitar la aplicación de cada uno de sus recursos e instrumentos pedagógicos en el lugar y en el momento pertinentes. En las actividades del texto y de la guía se señalan las habilidades que pretenden desarrollar en los estudiantes. Previo al inicio de cada unidad temática, se presenta un proyecto de planificación para organizar el trabajo del docente. Esta propuesta considera una ruta de aprendizajes esperados, los contenidos conceptuales que involucra, los recursos didácticos ofrecidos, el tiempo estimado para su desarrollo y los instrumentos de evaluación sugeridos. La estructura general de la guía es la siguiente:

Páginas de inicio de unidad Orientaciones metodológicas

Presentación de la unidad

Listado de sugerencias para tratar las páginas iniciales de una manera que resulte interesante para los estudiantes, introduciéndolos en el OFT de la unidad.

Texto introductorio en el que se describen los temas que serán abordados en la unidad y la utilidad de los aprendizajes que los estudiantes adquirirán durante su desarrollo.

Actividad complementaria

Red conceptual Esquema que resume la unidad en la forma de una red de conceptos interconectados.

Primera actividad de aplicación de contenidos dirigida a los estudiantes.

Orientaciones metodológicas

Páginas de contenido

Listado de sugerencias para que el docente haga uso eficiente de los recursos disponibles en el texto y en la guía. Están orientadas al trabajo en aula. Actividad complementaria Propuesta con variadas actividades que complementan las actividades del texto.

Estructura de la Guía Didáctica del Docente

Secciones variables Considera la presencia variable de siete secciones: Materiales, Aclaración de conceptos, Diversidad, Errores frecuentes, Reflexión, Otros recursos e Historia y números. Evaluación Actividad que permite al docente monitorear en forma permanente el proceso de aprendizaje de los estudiantes.

Matemática 6º Básico

Las secciones variables presentes en esta guía se detallan a continuación:

Materiales

Reflexión

Enumeración y explicación de materiales y herramientas educativas adicionales, requeridas para la realización de las diversas actividades complementarias que ofrece esta guía.

Aclaración de conceptos

Propuestas diversas para desarrollar discusiones al interior del curso relacionadas con los temas matemáticos estudiados y con los OFT, con las que se espera despertar el interés de los estudiantes por los contenidos de las páginas del texto.

Otros recursos

Profundización de los contenidos tratados en el Texto del Estudiante mediante información adicional y sugerencias prácticas para el tratamiento de los temas matemáticos.

Diversidad

Sugerencias para trabajar los contenidos del Texto del Estudiante utilizando herramientas adicionales –principalmente páginas web–, para ampliar el ámbito de aplicación de los conocimientos adquiridos.

Historia y números

Actividades y sugerencias metodológicas para trabajar con los estudiantes que presentan mayores dificultades con los temas del texto; y con los estudiantes más avanzados del curso.

Conexiones entre los contenidos tratados y la historia de sus precursores, para conocer y comprender el desarrollo del conocimiento matemático a lo largo de la historia de la humanidad.

Errores frecuentes Descripción de los errores típicos en que incurren los estudiantes dada las características particulares de cada tema estudiado; y métodos para detectarlos y remediarlos oportunamente. La Guía Didáctica del Docente presenta como Otros recursos didácticos, las siguientes secciones: Materiales complementarios: consta de materiales para apoyar la labor del docente en el aula. Entre ellos, puede encontrar juegos didácticos, hoja de respuestas para las actividades con alternativas, recortables para ocupar en el estudio de la geometría y muchos otros recursos de apoyo. Evaluaciones: consiste en páginas reproducibles para entregar a los estudiantes que le permitirán evaluar sus aprendizajes. Se presenta una evaluación por cada unidad temática, una evaluación semestral y una evaluación final que considera la totalidad de los contenidos del Texto del Estudiante. Además, se incorporan las respuestas a todas estas actividades en un solucionario. Pautas de evaluación: incluye diversas tablas que permiten al docente evaluar los aprendizajes que van adquiriendo los estudiantes y su desempeño en las actividades realizadas en clase. Se presentan pautas modelo como ejemplos para que el docente confeccione las propias en función de sus requerimientos, y otras específicas para evaluar las actividades sugeridas en el texto y en la guía. Orientaciones bibliográficas: consiste en la presentación de la literatura y los sitios web ocupados para la elaboración de la guía, y en recomendaciones para el uso óptimo de la bibliografía y páginas web utilizadas en la elaboración del texto. Orientaciones para el uso del Hipertexto: incluye una descripción del recurso multimedia que acompaña y complementa al Texto del Estudiante.

Estructura de la Guía Didáctica del Docente

TEXTO DEL ESTUDIANTE

Natacha Astromujoff Eleamar Barrios Marcelo Casis Paula Olivares

EDICIÓN ESPECIAL PARA EL MINISTERIO DE EDUCACIÓN 130)*#*%" 46 $0.&3$*"-*;"$*»/ t "º0

Texto del Estudiante - Portada

Matemática 6º Básico

Orientaciones metodológicas 1. Presente a sus alumnos y

alumnas el Texto del Estudiante y comente con ellos que es el material que los acompañará en el proceso de aprendizaje durante todo el año escolar. 2. Invítelos a tomar el texto, examinarlo, mirar sus ilustraciones y luego a compartir sus opiniones con el resto de sus compañeros y compañeras. 3. Invite a un estudiante a leer en voz alta la Bienvenida que aparece en la página 3 del texto y asegúrese que la lectura sea clara y comprensible, respetando los signos de puntuación y con la entonación adecuada. 4. Invite a sus estudiantes a hojear el libro, aprovechando la instancia para que identifiquen las partes del libro, portada, contraportada, lomo, páginas, etc. 5. Analice con sus alumnos y alumnas la estructura didáctica del Texto del Estudiante para que los niños y niñas comprendan cómo van a ser desarrollados los contenidos. 6. Invite al curso a leer el índice y converse con ellos sobre los contenidos que verán en cada una de las unidades, explicando en forma sucinta la utilidad práctica de cada uno de ellos.

Presentación El Texto del Estudiante entrega prácticas y nociones matemáticas que se articulan con los conocimientos aprendidos el año anterior. A su vez, incorpora nuevos conocimientos que permitirán continuar con el desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes y que podrán utilizar para interiorizar, comprender y resolver situaciones problemáticas cercanas y contextualizadas a su mundo, brindando de esta manera la posibilidad de acrecentar el conocimiento que tienen del entorno. El texto intenta que cada alumno y alumna aprenda matemáticas en forma progresiva para que logre tomar conciencia de sus capacidades, afianzando así la confianza y seguridad en sí mismo. Los temas de cada unidad han sido seleccionados teniendo presente siempre la visión que tienen los estudiantes de Sexto Básico del mundo que les rodea, sus inquietudes, motivaciones y deseos. En consecuencia, pueden convertirse en tópicos generativos de discusiones que permitan desarrollar los OFT en cada una de las clases.

Texto del Estudiante - Bienvenida

Texto del Estudiante - Estructura didรกctica

Matemรกtica 6ยบ Bรกsico

Texto del Estudiante - Estructura didรกctica

10 Texto del Estudiante - Ă?ndice de contenidos

Matemรกtica 6ยบ Bรกsico

Texto del Estudiante - ร ndice de contenidos 11

1 Unidad

Planificación Unidad 1

Números decimales

Objetivos Fundamentales Verticales yyConvertir números decimales finitos y no finitos a fracciones. yyMultiplicar y dividir números decimales. yyUtilizar los números decimales para expresar unidades de longitud y masa.

Sección

Clase

Horas

Entrada de unidad Actividad inicial

yyComparan números decimales. yyInterpretan información ordenada en tablas y expresada en números decimales.

Expresión fraccionaria de un número decimal finito Expresión fraccionaria de números decimales periódicos y semiperiódicos

yyConvierten decimales finitos a fracciones. yyConvierten decimales periódicos y semiperiódicos a fracciones. yyTransforman fracciones en números decimales.

Multiplicación de números decimales

yyMultiplican números decimales. yyAplican dos metodologías de cálculo para multiplicar números decimales.

División de números decimales

yyDividen números decimales. yyAplican metodología de cálculo para dividir números decimales.

Análisis de factores y productos

yyDeterminan, estableciendo regularidades, cómo condicionan a los productos la naturaleza de los factores.

Números decimales: unidades de longitud

yyInterpretan la conversión de unidades de longitud tanto gráfica como aritméticamente. yyAnalizan unidades de longitud: múltiplos y submúltiplos.

Números decimales: unidades de masa

yyInterpretan la conversión de unidades de masa tanto gráfica como aritméticamente. yyAnalizan unidades de masa: múltiplos y submúltiplos.

Resolución de problemas

yyAplican los procedimientos aprendidos en la resolución de problemas.

Tecnología activa

yyUtilizan herramientas tecnológicas para convertir unidades de medida.

Síntesis de la unidad Evaluación

yySintetizan temas estudiados en la unidad. yyAplican conocimientos adquiridos para resolver actividades de evaluación.

12 Planificación - Unidad 1

Ruta de aprendizajes esperados

Unidad 1

Objetivos Fundamentales Transversales yyValoración de una alimentación adecuada como una forma de llevar una vida sana. yyComprender el deporte como una práctica para mejorar la salud. yyCompartir e intercambiar para aprender de las ideas de los compañeros y compañeras. Materiales Contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales

Evaluación

Páginas Texto 8 – 11

Páginas Guía 14 – 17

yyConversión de números decimales a fracciones y viceversa. yyDefinición de números decimales finitos y no finitos periódicos y semiperiódicos.

12 – 15

18 – 21

Actividad de evaluación formativa: autoevaluación y lista de cotejo

yyEstablecimiento de metodologías para multiplicar números decimales.

16 – 17

22 – 23

Actividad de evaluación formativa

yyEstablecimiento de metodología para dividir números decimales. yyValoración de la importancia para el organismo del consumo de determinados volúmenes de agua potable.

18 – 19

24 – 25

Actividad de evaluación formativa: autoevaluación

yyAnálisis de los productos de factores determinados para establecer regularidades.

20 – 21

26 – 27

Actividad de evaluación formativa

yyEstablecimiento de metodologías gráficas y aritméticas de conversión de unidades de longitud.

22 – 23

28 – 29

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo y autoevaluación

yyEstablecimiento de metodologías gráficas y aritméticas de conversión de unidades de masa.

24 – 25

30 – 31

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyPlanteamiento y resolución de problemas contextualizados.

26 – 27

32 – 33

Actividad de evaluación formativa: autoevaluación

yyImplementación de metodología para realizar conversión de unidades utilizando herramientas tecnológicas.

28 – 29

34 – 35

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyValoración y utilización de los conocimientos adquiridos durante la unidad para aplicarlos a problemas y situaciones reales.

30 – 33

36 – 39

Actividad de evaluación sumativa: prueba escrita

yyInterpretación de información expresada con números decimales. yyValoración de una dieta sana y conocimiento de los grupos de alimentos que conforman la pirámide nutricional.

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

Números decimales 13

Orientaciones metodológicas 1. Para comenzar el trabajo de

estas páginas puede mostrar a sus estudiantes algunas etiquetas de frascos de vitaminas y minerales de consumo humano o algún envase de alimentos que posea información nutricional, pues esta información generalmente se expresa mediante números decimales. Una vez mostrada la etiqueta a niños y niñas, puede preguntarles qué tipo de números aparecen allí. De esta manera los estudiantes no solo identificarán los números decimales, que ya conocen de cursos anteriores, sino que lo harán dentro de un contexto real y permitirá además introducir la lectura ¿Qué debemos comer para alimentarnos sanamente? 2. En la sección En esta unidad aprenderás a: se resumen los temas que se tratarán en la unidad. Puede pedir a los estudiantes que lo lean y a continuación muy someramente usted puede ir enumerando algunas aplicaciones prácticas de cada uno de los contenidos, de esta forma los niños y niñas atribuirán a cada uno de los aprendizajes alguna utilidad. 3. Invite a sus estudiantes a intentar resolver el problema que se plantea al final de la página 9 del texto, pero antes explique que si no lo logran resolver ahora lo podrán hacer al finalizar el estudio de la unidad.

Actividad complementaria

Manipular aritméticamente

1. Resuelve los siguientes ejercicios: 2,45 + 8,34 9,81 – 7,82 0,35 + 0,0273 5,73 + 6,37 10,31 + 25,79 1,456 – 0,00918 7,05 – 0,24 9,671 – 6,593 2,1453 – 3,8796 2. Escribe los números que se solicitan a continuación: Tres números mayores que 0 y menores que 1. Tres números menores que un décimo y mayores que un centésimo. Tres números entre 10 y 10,1. Tres números entre 8 y 8,01. Tres números entre 6 y 6,001.

14 Texto del Estudiante - Unidad 1

Unidad 1

Presentación de la unidad En cursos anteriores los alumnos y alumnas ya iniciaron el estudio de los números decimales, por lo que comenzarán esta unidad reforzando contenidos previos como la trasformación de números decimales en fracciones, para, posteriormente, desarrollar métodos que permitan resolver operaciones de multiplicación y división. De igual manera, en esta unidad se profundiza en el trabajo con las unidades de medida, principalmente para que alumnos y alumnas logren dar sentido a expresiones decimales que surgen al momento de realizar mediciones, aplicados a contextos de unidades de longitud y masa. Estos temas, en la mayoría de los casos, están relacionados con el tema transversal que articula la unidad y que destaca la importancia de mantener una vida sana.

 Red conceptual desarrollo de

Multiplicación hacen posible

desarrollo de

División

Convertir unidades

Números decimales

Longitud Masa permiten

Decimal finito clasificar en

expresado como

Comprender información numérica

Fracción

Decimal no finito

Números decimales 15

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Resuelven adiciones y

sustracciones de números decimales. Leen y escriben números decimales. Conocen relaciones de orden de números decimales.

2. Proponga que cuatro estudian-

tes dramaticen la historieta de la página 10 y luego realice al colectivo preguntas como: ¿qué tipo de números se emplean en la historieta?, ¿qué es un número decimal?, ¿en qué situaciones han empleado números decimales?, ¿en qué contextos han encontrado información expresada mediante números decimales? 3. Pida a niños y niñas que respondan las preguntas formuladas en el texto acerca de la historieta. Luego, revise las respuestas en conjunto invitando a algunos estudiantes a pasar a la pizarra y explicar detalladamente cada una de ellas. Usted puede pedir a niños y niñas que señalen, en cada uno de los números que aparecen en la historieta, la parte entera y la parte decimal. 4. Para la comparación de números decimales puede sugerir a sus estudiantes que coloquen los números en una tabla: 



De esta manera será más sencillo comparar la parte entera, es decir, el número que aparece a la izquierda de la coma y luego la parte decimal, que aparece a la derecha de la coma.

Actividad complementaria

Medir y calcular

1. Utilizando una huincha, mide a los integrantes de tu familia incluyéndote a ti mismo. Expresa las estaturas en metros y realiza las siguientes actividades: Ordena los datos de mayor a menor en una tabla. Señala en cada caso la parte entera y la parte decimal. Construye una recta numérica y ubica en ella los datos. Construye un gráfico de barras con todos los datos. Calcula la diferencia de estatura entre cada uno de los integrantes de la familia. Ordena las diferencias de estatura de mayor a menor y escribe entre qué integrantes de la familia se verifica cada diferencia.

16 Texto del Estudiante - Unidad 1

Unidad 1

Diversidad En el curso anterior los estudiantes trabajaron con los números decimales y para enfrentarse a los nuevos contenidos es importante que tengan claro sus conocimientos previos. Con los alumnos y alumnas que no recuerden el trabajo con los decimales le recomendamos que realice algunas actividades sencillas como pedirles que identifiquen los números decimales presentes en una lista de números y que luego expliquen cómo los identificaron.

Errores frecuentes

Ordenar números

El correcto ordenamiento creciente o decreciente de los números decimales es uno de los problemas más frecuentes en los alumnos y alumnas, sobre todo cuando en la lista a ordenar hay un número natural. Explique que cuando en una lista de números decimales encontramos un número natural asumimos, para facilitar nuestro trabajo, que el valor de los decimales es 0, por ejemplo: 2 = 2,0 = 2,00 y lo ocupamos de uno u otro modo según nuestra conveniencia, como por ejemplo: 6,000 > 5,463

Evaluación La Actividad complementaria puede aplicarla a modo de evaluación diagnóstica con la finalidad de detectar los problemas que pueden tener algunos estudiantes en cuanto a los conocimientos previos necesarios para enfrentarse a esta unidad. Para esta evaluación, puede utilizar una lista de cotejo como la siguiente: Aspectos a evaluar

Ordena números decimales Identifica la parte entera y la parte decimal Ubica números decimales en la recta numérica Domina la adición y sustracción de números decimales

L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Números decimales 17

Orientaciones metodológicas 1. Antes de comenzar la clase, constate que los estudiantes:

Conocen los números decimales.

Obtienen números deci-

males como resultado de divisiones inexactas. Manejan la clasificación de los números decimales en finitos y no finitos. Conocen y han trabajado con fracciones.

2. Para tratar el tema de estas

páginas puede, a modo de introducción, desarrollar la Reflexión que se propone en la página 19 de esta guía. Esta le servirá no solo para introducir la clase sino para que sus estudiantes recuerden los conocimientos previos acerca de las fracciones y comprendan la utilidad de convertir decimales a fracciones. Para esta actividad se puede apoyar en el Archívalo, en el cual se detalla la clasificación de las fracciones en propias e impropias. De igual manera, puede recordar a alumnos y alumnas la clasificación de los decimales en finitos y no finitos. 3. Explique en detalle el procedimiento de conversión de decimal finito a fracción que se describe en el texto e indique a los estudiantes que escriban con sus palabras tal procedimiento en sus cuadernos.

Actividad complementaria 1. Convierte en fracciones los siguientes números decimales: 2,5 0,1 2,55 0,01 2,555 0,001 35,0 0,35 35,05 0,355 35,055 0,3555

Manipular aritméticamente

18 Texto del Estudiante - Unidad 1

100,1 10,1 1,1 1000,01 100,01 10,001

Aplicar procedimiento

Unidad 1

Reflexión

Manipular aritméticamente

Los estudiantes conocen de cursos anteriores las fracciones. En estas páginas se relacionan las fracciones con los decimales finitos, por lo que puede recordar con alumnos y alumnas las fracciones y su aplicación en la vida cotidiana. Para esto puede hacer preguntas como: ¿qué son las fracciones?, ¿qué representan las fracciones?, ¿en qué situaciones has tenido la necesidad de expresar una información utilizando fracciones? A través de estas preguntas los estudiantes comprenderán la importancia de la conversión de un número decimal a una fracción, y viceversa. Explique que hay determinado tipo de información que es más conveniente expresarla con fracciones lo mismo que otras con decimales; por ejemplo, es más común y más comprensible decir que Julio se comió 1/2 de la torta a decir que Julio se comió 0,5 tortas aunque matemáticamente signifique lo mismo.

Evaluación Presente a sus estudiantes una tabla como la que se muestra a continuación con la finalidad de que autoevalúen su desempeño durante el desarrollo de las actividades de estas páginas: Aspectos a evaluar

Sí

A veces

Comprendo qué son las fracciones Comprendo qué son los decimales Identifico los decimales finitos Convierto correctamente los decimales finitos a fracciones Realizo las actividades en el tiempo que indica el docente Trabajo en forma limpia y ordenada

Números decimales 19

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Conocen los números decimales.

Manejan la clasificación de los números decimales en finitos y no finitos y a su vez la clasificación de los no finitos en infinitos periódicos, semiperiódicos y no periódicos. Conocen y han trabajado con fracciones.

2. Le sugerimos que para comen-

zar el estudio de estas páginas realice a los estudiantes preguntas como: ¿cómo se clasifican los decimales?, ¿cómo diferencias un decimal finito de un decimal no finito? 3. En la página 14 se mencionan varios ejemplos de fracciones de las que se obtienen decimales no finitos, a partir de esto, puede pedir a sus estudiantes que den ejemplos en los que hayan utilizado este tipo de fracciones y mencionen si alguna vez han intentado transformarlas a decimales. 4. Explique detalladamente las metodologías de transformación que se describen en la página 15, para que no quede duda a sus estudiantes sobre ellas y sean capaces de desarrollar los ejercicios que se proponen sin dificultad. 5. Invite a alumnos y alumnas a resolver los Ejercicios individuales de la página 15 y solicite que dejen por escrito la operatoria con el máximo nivel de detalle, de modo que la actividad le pueda servir de guía en caso de olvidar el procedimiento.

Actividad complementaria

Establecer equivalencias

1. Convierte en fracciones los siguientes decimales: 56,3 56,35 34,9837 56,35 56,356 716,901 56,3563 56,3561 8,90123 56,356 5,6354 0,025 5,6001 0,56 2,00140 2. Busca en revistas, diarios o internet fracciones cuyo valor sea un número decimal no finito. Pega en tu cuaderno las informaciones en que aparecen estos números fraccionarios y explica por qué no se ha expresado de otra manera.

Manipular aritméticamente

20 Texto del Estudiante - Unidad 1

Unidad 1

Diversidad

Aplicar procedimiento

Para trabajar con la expresión fraccionaria de un número decimal no finito es importante que los estudiantes tengan claro el concepto de decimal no finito y sean capaces de identificar no solo un decimal finito de uno no finito, sino de comprender las clasificaciones de los decimales no finitos. Estos son conceptos que los alumnos y alumnas estudiaron en cursos anteriores, pero es posible que algunos no los recuerden. Para reforzar estos conocimientos puede, luego de trabajar el cuadro de contenido de la página 14 del texto, proponer a sus estudiantes que clasifiquen un grupo de números decimales que usted proponga.

Errores frecuentes Suele suceder que los estudiantes identifican como decimales no periódicos a decimales periódicos con un periodo de varios dígitos como por ejemplo el 2,34523452… o semiperiódicos en los que el semiperiodo tiene varias cifras. Recalque a los alumnos y alumnas que deben analizar detenidamente el tipo de regularidad que existe en la cifra decimal para luego poder clasificar el número.

Evaluación Pida a sus estudiantes que entreguen las actividades propuestas como Actividad complementaria en un informe escrito, el cual puede evaluar a través de la siguiente pauta: Aspectos a evaluar

Convierte decimales periódicos en fracciones Convierte decimales semiperiódicos en fracciones Encuentra la información solicitada Trabaja de forma ordenada Entrega su trabajo en el tiempo estipulado L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Números decimales 21

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Conocen los números decimales.

Manejan la clasificación de los números decimales en finitos y no finitos y a su vez la clasificación de los no finitos en infinitos periódicos, semiperiódicos y no periódicos. Manejan la adición y sustracción de números decimales.

2. Para trabajar el problema re-

suelto y desarrollar las metodologías que se proponen para la multiplicación de números decimales, le sugerimos que a modo de introducción converse con sus estudiantes sobre los seguros de salud y sobre la variación de la UF. 3. Usted podrá, a través del sitio web que se describe en Otros recursos, acceder a suficiente información expresada en números decimales que le servirá para entregar a sus estudiantes datos reales para la práctica de la multiplicación de decimales. 4. En la página 16 del texto se describen dos métodos para realizar la multiplicación de números decimales. Una vez terminada la explicación del método 1, sugerimos que proponga a alumnos y alumnas dos o tres multiplicaciones de decimales, para que pasen a analizar el segundo método sin dudas respecto al primero. 5. Luego de terminada la explicación del segundo método, proponga a sus estudiantes que realicen de forma independiente los ejercicios que se proponen en la página 17 y luego entregue nuevos ejercicios inventados por usted.

Actividad complementaria

Resolver problemas

1. Alejandra fue al supermercado y compró 3 bolsas de 0,5 kg de pan; 2 bolsas de 3,1 kg de leche y 5 paquetes de chocolate de 0,01 kg. ¿Qué carga transportó en su bolsa? 2. El valor del arriendo de un departamento es de 6,7 UF. Si el valor de la UF es de $ 19 652,75; ¿cuánto tendrá que pagar el arrendatario este mes? 3. El abuelo de Luis consume un suplemento vitamínico que tiene los siguientes componentes por cada mililitro: Vitamina C: 0,25 g Vitamina B6: 0,1 g Vitamina B1: 0,003 g Vitamina B12: 0,001 g Vitamina B2: 0,012 g Vitamina A: 0,0013g ¿Qué cantidad de cada una de las vitaminas ingiere en 5,5 ml de suplemento?

22 Texto del Estudiante - Unidad 1

Unidad 1

Reflexión

Manipular aritméticamente

Reflexione con sus estudiantes sobre las operaciones básicas, es decir, adición, sustracción, multiplicación y división; y cómo desde los primeros años de estudios están realizando estas operaciones, al inicio solamente con números naturales, pero en estos últimos años han saltado esta barrera para enfrentarse a los números decimales y a las fracciones. Para recordar conocimientos previos realice preguntas como: ¿cómo se llaman los términos que intervienen en la adición y en la sustracción?, ¿cómo se llaman los términos que intervienen en la multiplicación y en la división?, ¿conocen alguna metodología para sumar y restar números decimales? Puede escribir ejemplos de adiciones reiteradas de decimales para que los estudiantes las resuelvan en sus cuadernos, por ejemplo: 2,5 + 2,5 + 2,5.

Otros recursos En la página web http://www. sii.cl/pagina/valores/uf/uf2011. htm encontrará los valores de UF correspondientes a cada mes del año 2011 y podrá acceder a los valores de años anteriores.

Evaluación Proponga a sus estudiantes los siguientes ejercicios para que los resuelvan utilizando los dos métodos aprendidos. Esta actividad la puede evaluar cuantitativamente utilizando una pauta similar a alguna de las que se muestran en las Pautas de evaluación de esta guía: 2,7 · 3,14 73,2 · 4,74 25, 61 · 3,1 37,01 · 0,1 512,812 · 9,85 7,561 · 0,03 7,39 · 90,1 8,908 · 5,01 0,001 · 2,1 342,01 · 52,3 7,063 · 0,2 0,750 · 8,51 35,2503 · 8,01 35,35 · 20,02 Números decimales 23

Orientaciones metodológicas 1. Antes de comenzar la clase, constate que los estudiantes: Conocen los números decimales. Manejan dos métodos para multiplicar números decimales. Entienden la división como operación inversa de la multiplicación.

2. Antes de comenzar el traba-

jo con el problema resuelto puede pedir a sus estudiantes que lean el recuadro Pista y dar un breve bosquejo sobre la operación de división, en el cual puede enfatizar en la relación inversa que existe entre la división y la multiplicación, relación similar a la que existe entre la adición y la sustracción. Puede también escribir en la pizarra divisiones de números naturales para que los estudiantes las resuelvan y luego pedirles que comprueben los resultados mediante la operación inversa. 3. Explique detalladamente el método de división de números decimales y destaque lo que ocurre cuando uno de los términos de la división es un entero. Plantee una división como la siguiente: 5,21 : 2. 4. Sugiera a los estudiantes que mientras adquieren el entrenamiento necesario para realizar este tipo de divisiones pueden, antes de comenzar los procedimientos, colocar una coma al entero y detrás de esta tantos ceros como cifras decimales tenga el otro término. En el ejemplo queda: 5,21 : 2,00; entonces, según el método descrito, la división quedaría como 521 : 200.

Actividad complementaria 1. María fue a la feria y realizó las siguientes compras: Si cada uno de los artículos que compró los tuviera que dividir equitativamente entre su casa y la casa de su abuela, ¿qué cantidades le corresponderían a cada una? Si tuviera que repartir equitativamente las compras entre su casa, la de su abuela y la de su hermana, ¿qué cantidad de cada producto le correspondería a cada una?

24 Texto del Estudiante - Unidad 1

Resolver problemas

Producto

Cantidad (kg)

Papas

15,2

Tomates

6,3

Manzanas

4,5

Plátanos

3,8

Frutillas

2,6

Uvas

2,4

Unidad 1

Reflexión

Aplicar procedimiento

Evaluación Con el fin de que los estudiantes evalúen su desempeño, puede entregarles una tabla como la siguiente: Aspectos a evaluar Apliqué el método de división de números decimales Comprobé mis resultados realizando la operación inversa Realicé todos los ejercicios correctamente Terminé las actividades en el tiempo otorgado por el docente Trabajé en forma limpia y ordenada Llegué a la solución correcta en todos los ejercicios

Sí

A veces

Los números decimales son muy utilizados en la vida cotidiana, los encontramos expresando cualquier tipo de información, desde los datos económicos más complejos hasta los precios o descuentos en las compras que hacemos en el supermercado. Pregunte a sus estudiantes para qué creen que les pueda servir saber multiplicar y dividir decimales, a partir de esta pregunta puede incentivar no solo una reflexión sino que a través de ella los alumnos y alumnas pueden inventar situaciones que impliquen estas operaciones. Anotaciones: Números decimales 25

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Realizan adiciones y sus-

tracciones con números decimales. Realizan multiplicaciones y divisiones con números decimales. 2. Converse con sus estudiantes sobre la alimentación y cómo muchos de los nutrientes imprescindibles para el organismo se obtienen únicamente de fuentes externas como los alimentos. Señale que por esta razón debemos tener una alimentación sana y que nos provea de todos estos compuestos que el organismo necesita. 3. Pida a sus alumnos y alumnas que lean la actividad de la página 20 del texto. Analice con ellos la tabla, condúzcalos a apreciar las regularidades que en ella se evidencian y estimúlelos para que lleguen a las conclusiones adecuadas a partir del intercambio, la observación y el análisis. 4. Lea en voz alta el cuadro de contenido mientras un estudiante inventa en la pizarra una multiplicación con la característica que usted explica, para demostrar así la veracidad de su aseveración. 5. Como Actividad complementaria se recomienda un juego a través del cual los estudiantes podrán, en forma lúdica, afianzar la recepción del contenido de estas páginas. 6. Finalmente pida a sus alumnos y alumnas que resuelvan los ejercicios y problemas que se proponen en la página 21 del texto. 7. Revise a través de una puesta en común.

Actividad complementaria

Calcular mentalmente

1. Para complementar y reforzar el contenido de estas páginas, trabajando paralelamente la agilidad mental, proponemos que realice con sus estudiantes el siguiente juego: Pida a cada uno de sus estudiantes que confeccione tres tarjetas como las que se muestran a continuación:

26 Texto del Estudiante - Unidad 1

El producto es mayor que los factores

El producto tiene un valor intermedio entre ambos factores

El producto es menor que los factores

Unidad 1

Otros recursos

Aplicar propiedades

La especialidad médica que trata los desequilibrios en la ingesta de alimentos y su derivación a problemas de salud, corresponde a la nutrición. Estos especialistas en nutrición, poseen en su formación profesional ramos similares a la medicina, los que combinan con otros de naturaleza matemática, para la elaboración de las dietas adecuadas para cada persona. El cálculo no es simple y viene unido a restricciones de componentes esenciales que no pueden dejar de ser ingeridos, junto al metabolismo propio de cada persona. Actualmente existen programas para estos profesionales, uno de ellos es el que dispone ALCE (http://www. alceingenieria.net/nutricion.htm), que con una gran base de datos sirve de apoyo a estos profesionales.

Fotocopie las tarjetas que se encuentran en las páginas 193, 194 y 195 de esta guía, en las que aparecen multiplicaciones de números decimales con sus respectivos resultados. Cada tarjeta será del color que coincida con el resultado de la tarjeta de los estudiantes a fin de hacer el juego más sencillo para usted y dinámico para los niños y niñas. Las tarjetas grises que aparecen en la página 195 contienen multiplicaciones con tres factores para ocuparlas en el momento que considere adecuado aumentar la complejidad de la actividad. Luego de contar con el material necesario divida al curso en equipos de igual número de estudiantes y explique que el juego consiste en que usted dirá en voz alta una multiplicación de decimales y ellos deberán analizar mentalmente qué tipo de producto se obtendrá. Cada estudiante deberá levantar la tarjeta correspondiente al tipo de producto y el equipo que más aciertos tenga ganará un punto, no sin antes enviar a un integrante a la pizarra a demostrar el resultado mediante el cálculo escrito.

Números decimales 27

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Conocen los números decimales.

Realizan operaciones de

adición, sustracción, multiplicación y división con números decimales. Conocen y han trabajado con diferentes unidades de longitud.

2. Con el estudio de estas páginas

los educandos visualizarán de manera gráfica el significado de longitudes expresadas en números decimales, por lo que para comenzar el trabajo con las unidades de longitud puede elegir a algunos estudiantes al azar y medirlos con una huincha, para luego expresar los datos en centímetros en la pizarra. Esto le proporcionará información real con la que podrá enriquecer el desarrollo de las actividades. 3. Luego de explicar el ejemplo que aparece en la página 22 del texto, puede invitar a alumnos y alumnas a convertir en metros las estaturas que usted escribió en la pizarra. 4. Explique a sus estudiantes la tabla de unidades de longitud y sus equivalencias que están en la página 22 del texto, para que la puedan utilizar en caso que la necesiten.

Actividad complementaria

Resolver problemas

1. Alicia compró 2,5 m de cinta verde y 3,8 m de cinta roja. ¿Cuántos centímetros compró de cada cinta? 2. Luis hace deporte habitualmente: los lunes, miércoles y viernes corre 3,5 km; los martes y los jueves 1,6 km y los sábados y los domingos los toma de descanso. ¿Cuántos metros corre Luis cada semana? 3. Completa convirtiendo a la unidad que se pide: Establecer 5 m son km 8,1 m son mm equivalencias 28,3 cm son km 3,01 dm son m 5,4 km son cm 5,19 m son km

28 Texto del Estudiante - Unidad 1

Unidad 1

Historia y números

Transformar unidades

Resolver problemas

Casi tan antigua como el hombre ha sido la necesidad de establecer una unidad conveniente para medir las distancias de un lugar a otro o las dimensiones de algún objeto específico. El cuerpo humano fue en los inicios la unidad de medida más utilizada, pues los primeros pueblos usaron la longitud de un paso, la anchura de un dedo o de una mano, la longitud del antebrazo, la distancia recorrida en un día de viaje, la distancia a la cual caía una flecha luego de ser disparada, entre otros métodos. El nacimiento de la ciencia moderna y su gran desarrollo evidenció la falta de un sistema de medición unificado. Hacia finales del siglo XIX se aprobó el denominado sistema métrico, que es un conjunto de unidades cuya unidad fundamental de longitud es el metro, y que es empleado actualmente en casi todos los países.

Otros recursos La página web http://es.metricconversions.org/conversion-deunidades-de-longitud.htm es un sitio donde puede encontrar información acerca de la conversión de longitudes expresadas en muchas unidades de medida.

Evaluación Para evaluar el desempeño de sus estudiantes durante el desarrollo de las actividades utilice una lista de cotejo como la que se propone a continuación: Aspectos a evaluar

Trabaja adecuadamente las operaciones básicas con decimales Justifica la aplicación de los números decimales al trabajo con unidades de longitud Convierte unidades de longitud utilizando los dos métodos estudiados Cumple con los tiempos asignados para el desarrollo de las actividades L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Números decimales 29

Orientaciones metodológicas 1. Antes de comenzar la clase, constate que los estudiantes:

Trabajan operaciones bá-

sicas en el ámbito de los números decimales. Interpretan longitudes expresadas con números decimales. Conocen unidades de masa.

2. Para comenzar la clase puede

escribir en la pizarra una lista de frutas, vegetales u otros alimentos con los precios para 1 kg, 0,5 kg y 0,25 kg y preguntar a sus estudiantes si el kilogramo es una unidad de masa o de peso. Puede ser que algunos estudiantes hablen de peso y para corregir su error puede comentar la Reflexión que se sugiere en la página 31 de esta guía, pues es importante que los alumnos y alumnas tengan claro la diferencia entre masa y peso. De igual manera explique que se debe hablar de kilogramo y no de kilo, aunque cuando encuentren kilo deben saber que se están refiriendo a kilogramo. Kilo, cuyo símbolo es k, es un prefijo del Sistema Internacional de Unidades que indica un factor de 103 (1 000). 3. Abordar la forma gráfica y aritmética en relación a las unidades de masa puede resultar sencilla para los estudiantes dada su similitud con las unidades de longitud ya trabajadas.

Establecer equivalencias

Actividad complementaria

Resolver problemas

1. Coloca en una tabla la masa corporal de cada uno de los estudiantes de la clase y conviértela a las unidades de masa que se muestran: Estudiante

Masa (kg)

Masa (g)

Masa (dg)

Masa (mg)

¿Cuál es la masa total de los estudiantes de tu clase? Exprésala en cada una de las unidades que se muestran en la tabla y luego en la unidad, de las que aparecen en el texto, que consideres más conveniente. Divide tu curso en dos grupos, de manera que si colocaras cada uno de los grupos en una balanza esta quede equilibrada. ¿Qué masa quedaría en cada uno de los platos de la balanza?

30 Texto del Estudiante - Unidad 1

Unidad 1

Reflexión

Transformar unidades

En el Archívalo de la página 24 del texto se define la diferencia entre peso y masa, sobre este tema usted puede establecer con los estudiantes una reflexión a partir de preguntas como: ¿cuál es tu masa?, ¿sería tu masa la misma si estás al nivel del mar, si estás a 20 000 m de altura o si estás en la luna?, ¿por qué?, ¿cómo sería tu peso en estas misma posiciones?, ¿por qué? Explique a sus estudiantes que el peso en la Tierra es la medida de la atracción que ejerce la Tierra sobre la masa de un cuerpo (fuerza de gravedad) y se expresa en una unidad de medida llamada Newton (N), en honor al famoso físico inglés Isaac Newton. El peso se mide con un dinamómetro y se calcula multiplicando la masa (m) por el valor aproximado de la fuerza de gravedad (g) que varía de unos lugares a otros del planeta.

Aclaración de conceptos Prefijo

Evaluación

Factor

Prefijo

Factor

Tera

1012

Deci

10-1

Giga

109

Centi

10-2

Mega

106

Mili

10-3

Kilo

103

Micro

10-6

Hecto

102

Nano

10-9

Deca

101

Pico

10-12

Evalúe a sus estudiantes pidiéndoles que completen la tabla con las conversiones que se solicitan: mg

Persona 10 000 000 000

Elefante

10 000

Mesa

60 000

Pirámide Mosquito

10 100

Números decimales 31

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Transforman decimales finitos y no finitos periódicos y semiperiódicos en fracciones. Manejan la adición, sustracción, multiplicación y división de números decimales. Interpretan unidades de masa expresadas con números decimales.

2. La resolución de problemas

permite que los estudiantes relacionen los contenidos aprendidos a lo largo de la unidad con sucesos a los que se enfrentan de manera cotidiana. En el Texto del Estudiante se sugiere una metodología de resolución que puede resultar muy útil para que los alumnos y alumnas organicen el proceso de resolver estas actividades. Es por esto que antes de adentrarse en la Resolución de problemas le sugerimos que explique a los estudiantes la finalidad de cada uno de los pasos que se proponen. 3. Pida a un estudiante que lea en voz alta el Problema modelo para posteriormente, en conjunto con el curso, detallar y explicar el objetivo de cada uno de los puntos de la metodología. Explique, para facilitar la comprensión del problema, que US$ significa "dólares estadounidenses". 4. Oriente la resolución de los problemas propuestos en la página 27 y recuerde a sus estudiantes que para facilitar la división de un número decimal por un número entero pueden colocar al entero una coma con tantos ceros como cifras decimales tenga el número decimal.

Actividad complementaria

Manipular aritméticamente

1. Resuelve los siguientes ejercicios: � 1,35 · 3,91 � 15,5 · 7,4 � 0,1 · 0,01 � 7,5 · 9,01 � 100,01 · 25,01 � 0,01 · 0,001 � 21 : 8,4 � 568,531 : 9,01 � 50,512 : 6,314 � 10,825 : 3,33 � 89,662 : 2,54 � 182,652 : 91,326 2. Convierte las siguientes unidades de manera que las puedas expresar mediante números naturales: Transformar unidades � 3,5 km � 1,5 hm � 25,5 kg � 1,3 dag � 8,3 m � 3,5 m � 2,3 hg � 8,7 dam � 45,5 cm � 10,3 dg � 56,90 g � 35,02 cg

32 Texto del Estudiante - Unidad 1

Unidad 1 Resolver problemas

Diversidad Para que los estudiantes se enfrenten a la Resolución de problemas deben manejar adecuadamente todos los temas tratados a lo largo de la unidad, pues mediante los problemas se vinculan todos estos contenidos. Puede que en algunos estudiantes aún persistan dudas acerca de la multiplicación y división de decimales o en la interpretación de unidades expresadas mediante números decimales. Por ello le recomendamos que antes de iniciar la actividad, proponga a sus alumnos y alumnas la resolución de ejercicios sencillos que aborden los temas tratados, de forma similar a la Actividad complementaria.

3. En un taller se necesitan 400 hg de materias primas. Si estos serán transportados en depósitos de 8,75 dg, ¿cuántos depósitos de 8,75 dg serán necesarios para transportar los 400 hg de materias primas? Aproxima al entero más cercano. 4. Un edificio de 6 pisos tiene una altura de 28,32 m. Calcula la altura individual de los 2 últimos pisos si cada uno de los 4 primeros pisos mide 3,76 m. 5. Una persona recorre 1,25 km cada 3 días. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido en 23 días? ¿Y en 100 días? 6. Resuelve las siguientes adiciones y expresa el resultado en centímetros: 2 dam + 3,5 d 0,8 km + 2,3 hm + 7 m

Anotaciones: Números decimales 33

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Manejan la adición, sus-

tracción, multiplicación y división de números decimales. Interpretan unidades de masa expresadas con números decimales. Interpretan unidades de longitud expresadas con números decimales.

2. Para desarrollar la actividad de

la Tecnología activa, es importante que antes de iniciarla recuerde a los estudiantes la actitud que se debe mantener en la sala de computación y los cuidados que deben tener al momento de trabajar en un computador. 3. En el curso anterior, de manera muy somera, a los estudiantes les fue presentado el programa Excel. Para reactivar estos conocimientos, puede recordarles que Excel es una aplicación para manejar hojas de cálculo y que a través de él se pueden realizar diversas operaciones, desde cálculos matemáticos complejos y procesamientos estadísticos hasta la construcción de gráficos de diversos tipos. 4. Luego que alumnos y alumnas desarrollen la actividad propuesta, puede orientarles a modo de evaluación la Actividad complementaria, o sencillamente utilizarla como una aplicación de la actividad realizada.

Actividad complementaria

Transformar unidades

1. Utilizando la tabla que construiste en Excel completa las siguientes equivalencias de unidades: 3,8 kg = g= mg = dg 3 456,5 ml = L= hl = dl 45 mg = kg = g= hg 432,08 m = dm = km = cm Establecer 763 dm = km = cm = mm equivalencias 8 km = cm = dm = m 0,876 kg = g= mg = dg 0,3425 km = m= dm = cm 0,198 L = ml = cl = dl

34 Texto del Estudiante - Unidad 1

Unidad 1 Ocupar herramienta tecnológica

Reflexión Converse con sus estudiantes sobre la gran utilidad que tienen en nuestra cotidianeidad los computadores, incentive una reflexión formulando a alumnos y alumnas preguntas como: ¿qué te gusta hacer en el computador?, ¿por qué crees que es útil?, ¿en qué lugares has visto computadores y para qué crees que se utilizan? A través de estas preguntas puede mostrar que los computadores no solo se utilizan para jugar, sino que existen muchas profesiones que desde hace años prácticamente no se conciben sin la presencia de un computador. Por ejemplo, hace décadas en los bancos, multitiendas, etc., no existían computadores; sin embargo, actualmente no nos imaginamos entrar a alguno de estos lugares sin toparnos con uno de estos equipos.

Evaluación La Actividad complementaria puede orientarla para que sus estudiantes la realicen individualmente y luego desarrollar una evaluación utilizando la siguiente pauta: Indicadores

Maneja el programa Excel Sigue las instrucciones del texto Obtiene los resultados esperados Cumple con los tiempos estipulados

L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Trabaja ordenadamente

Números decimales 35

Sintetizar información

Orientaciones metodológicas 1. Antes de comenzar la clase, constate que los estudiantes:

Manejan la adición, sus-

tracción, multiplicación y división de números decimales. Interpretan unidades de masa expresadas con números decimales. Interpretan unidades de longitud expresadas con números decimales.

2. La Síntesis de la unidad se

propone como una serie de fichas donde se resumen los contenidos más importantes de la unidad. Puede pedir a los alumnos y alumnas que realicen una especie de paseo por las páginas de la unidad, determinando qué contenido consideran que debe estar y no está en la síntesis. También les puede pedir que, siguiendo el mismo formato de la síntesis, resuman los contenidos que consideran que necesitan reforzar. 3. Las actividades que se proponen en estas páginas las puede desarrollar a modo de prueba escrita, para ello entregue a sus estudiantes hojas en blanco en las que deben plasmar sus respuesta y luego entregarlas a usted para que las evalúe cuantitativamente usando la pauta de evaluación que usted estime o alguna de las que se proponen en las páginas finales de esta guía. 4. Explique a sus estudiantes que este proceso evaluativo les servirá para tener una idea de su comprensión de los temas estudiados en la unidad y con ello sabrán los contenido que necesitan reforzar.

Calcular mentalmente

Estimar

Actividad complementaria 1. Completen en parejas el siguiente crucigrama (no escriban las comas decimales):

A A B C D E F G H

36 Texto del Estudiante - Unidad 1

Unidad 1

Otros recursos Manipular aritméticamente

Usar herramienta matemática

En el sitio web http://www. mamutmatematicas.com/ejercicios/decimales.php encontrará un generador de ejercicios con números decimales que le servirá para complementar las actividades de estas páginas y en http://www. aplicaciones.info/decimales/sistema. htm podrá disponer de explicaciones y ejercicios interactivos relacionados con el sistema métrico decimal. Anotaciones:

Horizontales: A] 6,4 : 2 ⁄⁄ 3,014 · 2,65 aproximado a la centésima. B] Número menor entre 1,211 y 1,205 ⁄⁄ Siete décimas. C] 5 : 2,5 ⁄⁄ Las décimas en 2,52 ⁄⁄ Noventa y cinco centésimas. D] 0,64 : 0,08 ⁄⁄ 1,82 + 0,94 ⁄⁄ Dígito de las diezmilésimas de 0,23424. E] 0,254 – 0,188 truncado a la centésima ⁄⁄ 0,254 – 0,188 aproximado a la centésima. F] Dígito de las décimas de 3,652 ⁄⁄ Parte decimal de 0,248 · 0,66. G] Dígito de las milésimas de 2,0076 : 0,15 ⁄⁄ Ocho centésimas ⁄⁄ Parte entera de 3,4 · 5,8. H] El mayor entre 1,55 y 1,49 ⁄⁄ 15 : 2,5 ⁄⁄ 21,5 · 2.

Verticales: A] Horas que equivalen a 187,2 minutos ⁄⁄ La mitad de 12,82. B] Dos decenas más dos unidades ⁄⁄ 168 : 2,1 ⁄⁄ Dígito de las unidades en 5,5445. C] 2,705 : 5,41 ⁄⁄ Ciento cinco milésimas. D] La tercera parte de 22,5 ⁄⁄ La quinta parte de 13 300. E] Nueve unidades ⁄⁄ Siete décimas ⁄⁄ Tres enteros y 86 centésimas. F] 0,9 corresponde a décimas ⁄⁄ 12,8607 – 3,2547. G] La mitad de la mitad de 2 ⁄⁄ 0,81364 aproximado a la milésima. H] 27,45 – 20,45 ⁄⁄ 12,554 – 9,854 ⁄⁄ 9,765 : 1,05.

Números decimales 37

Orientaciones metodológicas

Manipular aritméticamente

1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Realizan operaciones

de adición, sustracción, multiplicación y división de números decimales. Interpretan diferentes unidades de medida y sus equivalencias.

2. En la página anterior se co-

menzó el proceso evaluativo. Para garantizar la comprensión de las actividades, lea en voz alta todos los enunciados o pida a algún estudiante que lo haga. Recalque que la lectura debe ser clara, respetando siempre los signos de puntuación para que sus compañeros y compañeras puedan comprenderla. 3. En esta página de la guía se propone una autoevaluación que podrá aplicar a sus estudiantes luego de concluidos los ejercicios. A través del análisis de esta evaluación usted podrá determinar en qué temas existe mayor dificultad en sentido general. 4. Plantee a los estudiantes los ejercicios que aparecen como Actividad complementaria que le servirán de refuerzo antes de dar por concluido el trabajo con la unidad.

Actividad complementaria 1. Resuelve las siguientes operaciones con decimales: 4,547 + 1, 231 0,56 – 0,00021 214,71 · 0,5 0,002 · 0,1 902, 001 – 2, 01 9,23 · 1, 75 0,5 · 0,75 2,1 : 1,2 2. Transforma en fracciones los siguientes números decimales: 3,243 4, 231 0, 1 0,234 8,5 90,123 0,05 4,74

38 Texto del Estudiante - Unidad 1

Manipular aritméticamente

8:3 8,52 : 2 90,21 : 3,214 (4,5 · 2,4) : 1,5 5,132 5,132 1,0002 11,2

Unidad 1

Diversidad Es posible que aún persistan dudas sobre el contenido en algunos de sus estudiantes, para eliminar estas dudas le sugerimos entregue a alumnos y alumnas un compendio de ejercicios sobre decimales, en los que estén representados cada uno de los temas tratados, para lo cual se puede apoyar en los sitios web que recomendamos en la sección Otros recursos de la página 37 de esta guía.

Reflexión La teoría de los números naturales y por su intermedio la de los números decimales, indica que los números pueden ser infinitos. Este concepto tiene mayor utilidad en la física y por lo tanto en la vida moderna; por ejemplo, existe una controversia por la cantidad de radios que ocupan el dial en las grandes ciudades y que revelan que no hay mas “espacio” para que otras radioemisoras transmitan; sin embargo, esto se contradice con las reales capacidades, pues sí se pueden colocar infinitas señales en el dial; sólo depende de la agudeza de los instrumentos para poder detectarlos.

Evaluación Pida a sus estudiantes que completen la siguiente autoevaluación en la que reflejarán el nivel de comprensión que han tenido de cada uno de los conocimientos esperados que se detallaron al inicio de la unidad: Indicadores Multiplicar y dividir números decimales Convertir números decimales finitos y no finitos en fracciones Interpretar y expresar información con números decimales Resolver problemas cotidianos en los que aparecen números decimales

Números decimales 39

Unidad Números fraccionarios, razones y porcentajes

Sección

Planificación Unidad 2 Objetivos Fundamentales Verticales yyMultiplicar y dividir fracciones. yyInterpretar situaciones para establecer razones y proporciones. yyAplicar propiedad fundamental de las proporciones a problemas numéricos. yyCalcular porcentajes. yyInterpretar información expresada mediante porcentajes.

Clase

Horas

Entrada de unidad Actividad inicial

yyInterpretan información y la expresan mediante fracciones. yyEstablecen equivalencias entre fracciones.

Multiplicación de fracciones

yyMultiplican fracciones. yyMultiplican una fracción por un número natural.

División de fracciones

yyDividen fracciones. yyAplican metodología de cálculo para dividir fracciones y resolver problemas cotidianos.

Razones y equivalencias Las proporciones y su propiedad fundamental

yyDefinen el concepto de razón como una nueva forma de comparar cantidades. yyDeterminan el valor de una razón y establecen equivalencias. yyDefinen el concepto de proporción como la igualdad entre dos razones. yyDefinen la propiedad fundamental de las proporciones.

Porcentajes Formas de expresar un porcentaje

yyDefinen porcentaje a partir de representaciones gráficas. yyExpresan un porcentaje gráficamente, como fracción y como razón.

Operaciones con porcentajes Interpretación de información porcentual

yyCalculan porcentajes. yyResuelven problemas contextualizados que implican el cálculo de porcentajes. yyInterpretan información porcentual.

Resolución de problemas

yyAplican los procedimientos aprendidos en la resolución de problemas.

Tecnología activa

yyUtilizan herramientas tecnológicas para calcular porcentajes.

Síntesis de la unidad Evaluación

yySintetizan temas estudiados en la unidad. yyAplican conocimientos adquiridos para resolver actividades de evaluación.

40 Planificación - Unidad 2

Ruta de aprendizajes esperados

Unidad 2

Objetivos Fundamentales Transversales yyPermitir la mejor comprensión de algunos términos económicos y realizar cálculos relacionados con ellos. yyValorar los beneficios de conocer mejor la realidad y de utilizar este conocimiento. yyValorar el trabajo como fuente de suministro individual y colectivo. yyComprender y valorar la perseverancia, el rigor y el cumplimiento, la flexibilidad y la originalidad.

Materiales Contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales

Evaluación

Páginas Texto

Páginas Guía

yyInterpretación de información. yyComprensión de términos económicos.

34 – 37

42 – 45

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyEstablecimiento de metodología para multiplicar fracciones y para multiplicar una fracción y un número natural.

38 – 39

46 – 47

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyEstablecimiento de metodología para dividir fracciones. yyAplicación de metodología para dividir fracciones a la resolución de problemas contextualizados.

40 – 41

48 – 49

Actividad de evaluación formativa

yyComparación de cantidades a partir del establecimiento de razones. yyIdentificación del antecedente y el consecuente dentro de una razón. yyDefinición de proporción y aplicación de la propiedad fundamental de las proporciones.

42 – 45

50 – 53

Actividad de evaluación formativa: autoevaluación y lista de cotejo

yyDefinición de porcentaje. yyEstudio del porcentaje como fracción, como razón y a través de su representación gráfica.

46 – 49

54 – 57

Actividad de evaluación formativa: coevaluación

yyAplicación de la propiedad fundamental de las proporciones para calcular porcentajes. yyDeterminación de porcentajes en situaciones cotidianas. yyInterpretación de información porcentual.

50 – 53

58 – 61

Actividad de evaluación formativa

yyPlanteamiento y resolución de problemas contextualizados. yySeguimiento de metodología para resolver problemas.

54 – 55

62 – 63

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyImplementación de metodología para calcular porcentajes utilizando herramientas tecnológicas.

56 – 57

64 – 65

Actividad de evaluación formativa: autoevaluación

yyValoración y utilización de los conocimientos adquiridos durante la unidad para aplicarlos a problemas y situaciones reales.

58 – 61

66 – 69

Actividad de evaluación sumativa: prueba escrita

Números fraccionarios, razones y porcentajes 41

Orientaciones metodológicas 1. Puede comenzar el trabajo de

estas páginas mostrando a sus estudiantes algunos recortes de diarios y revistas donde se muestre el valor del IPC, con esto los estudiantes se familiarizarán visualmente con el símbolo del porcentaje. 2. Invite a alumnos y alumnas a leer en la página 35 del texto ¿Qué es el IPC? Reflexione con ellos sobre este tema respondiendo las preguntas que aparecen en la misma página. 3. Muestre a sus estudiantes la sección ¿Puedes resolver?, pídales que intenten resolver la actividad que se plantea y que en caso de no poder hacerlo la retomen al terminar el estudio de la unidad. Esta sección está destinada a que los alumnos y alumnas se formen con antelación una idea del tipo de habilidades que desarrollarán con el estudio de los contenidos que se abordarán en la unidad. 4. Puede leer en voz alta y luego explicar a grandes rasgos a los estudiantes, cada uno de los temas que aparecen en la sección En esta unidad aprenderás a: ejemplificando en cada uno de los casos.

Actividad complementaria

Interpretar datos

1. Pida a sus estudiantes que busquen recetas de cocina en revistas o libros, escojan tres y las anoten en sus cuadernos. Luego en la clase y agrupados en parejas, invítelos a escribir las recetas para el doble de las personas para las que están descritas y luego para la mitad de las personas. Pida que coloquen las operaciones que realicen en una tabla como la que se muestra a continuación. Finalmente, haga una puesta en común con los resultados de cada pareja. Es posible que surja alguna duda respecto a algún número que aparezca y que los alumnos y alumnas no sepan trabajar con él, en ese caso explique la situación si lo considera prudente: Ingredientes

42 Texto del Estudiante - Unidad 2

Operatoria para el doble de las Operatoria para la mitad de las personas personas

Unidad 2

Presentación de la unidad Las actividades de esta unidad están encaminadas a que alumnos y alumnas aborden nuevamente el trabajo con los números fraccionarios y a través de ellos se introduzcan en las razones como una nueva forma de comparar cantidades mediante la cual se adentrarán en temas hasta ahora considerados por ellos del mundo adulto, como es el caso de los porcentajes. Aprenderán las diferentes formas en que se pueden expresar los porcentajes y a interpretar información porcentual, conocimientos que les servirán para comprender toda la información que, en los medios de difusión, se ofrecen en estos términos. También aprenderán a calcular porcentajes en contextos cotidianos aplicando la propiedad fundamental de las proporciones que en cursos posteriores se definirá como la regla de tres simple. A lo largo de la unidad los educandos trabajarán los contenidos vinculados directamente a temas principalmente económicos, muchos de los cuales hasta el momento, habían resultado incomprensibles.

 Red conceptual

desarrollo de

Multiplicaciones Divisiones permiten

Fracciones interpretadas como

Razones

para establecer

Proporciones

para

Calcular porcentajes

Comprender información numérica

Números fraccionarios, razones y porcentajes 43

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Conocen y han trabajado

los números fraccionarios. Establecen relaciones de orden entre fracciones. Manejan la adición y sustracción de fracciones. Manejan las unidades de tiempo. 2. Para trabajar estas páginas puede organizar una dramatización de la historieta y durante la realización de las actividades pedir que cada uno de los personajes indique cuántas galletas hizo y qué tiempo se demoró. 3. Recuerde a sus estudiantes la metodología utilizada en la unidad anterior para determinar las equivalencias entre unidades de medida, y explique que el tiempo expresado mediante fracciones se refiere a equivalencias como las siguientes: 1/3 de hora = 1/3 · 60 minutos = 60 min/3 = 20 min; por lo tanto, 1/3 de hora representa 20 minutos. En el caso de 1 3/4 de hora: 60 min + 3/4 · 60 min = 60 min + 180/4 = 60 min + 45 min = 105 min.

Actividad complementaria 1. En cada uno de los casos que se muestran identifica la fracción que se representa:

44 Texto del Estudiante - Unidad 2

Representar gráficamente

Unidad 2

Aplicar procedimiento

Diversidad En estas páginas se abordan temas que los estudiantes conocen de cursos anteriores, pero es posible que alguno de ellos no los recuerde. Es por esto que le recomendamos que presente a modo de recordatorio el ejercicio que se propone como Actividad complementaria que le servirá para que los estudiantes recuerden cómo se representa una fracción. A partir de este ejercicio usted puede también pedir que ordenen las fracciones y que encuentren para cada una de ellas, tres fracciones que les sean equivalentes.

Aclaración de conceptos Dos fracciones son equivalentes cuando tienen el mismo valor decimal. Las fracciones equivalentes representan las mismas partes de un entero, por ejemplo:

3 1 2 32 12 2 42121 43 141 23⋅ 42 =2 ⋅42 = 4 4 3 4 3 32 33 28 63 38 62 3 62 6 1 60 min 1 601min 32180 · 12 3 180 4 3 33 343 ·42 4= 64 Representar gráficamente

Evaluación

Identifica y representa gráficamente, utilizando relojes similares a los del texto, los minutos correspondientes a las siguientes fracciones de hora: 3 4 3 1 2 de hora � 1 1 de hora de hora de hora � de hora 4 2 3 3 4 Evalúe la actividad anterior utilizando la siguiente tabla: Aspectos a evaluar

Aplica adecuadamente los conocimientos sobre fracciones a las medidas de tiempo Realiza la representación correctamente Identifica las fracciones de hora solicitadas L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Números fraccionarios, razones y porcentajes 45

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Conocen las fracciones propias, impropias y los números mixtos. Dominan la adición y sustracción de fracciones.

2. La metodología utilizada para la

multiplicación de fracciones es muy sencilla de trabajar aritméticamente, pues consiste solo en multiplicar los numeradores y los denominadores de las fracciones implicadas, ya sean dos o más fracciones. La complejidad radica en interpretar problemas que impliquen multiplicación de fracciones. Antes de adentrarse en el tema de la multiplicación de fracciones le recomendamos que realice a sus estudiantes preguntas como: ¿cuánto es un medio de 4 enteros?, ¿cuánto es un tercio de 9 enteros?, pida que representen estas situaciones en la pizarra y explique que en ambos casos se realiza una multiplicación de fracciones: 1 4 4 2 ⋅ = = =2 2 1 2 1 1 9 9 3 ⋅ = = =3 3 1 3 1 3. Una vez que sus estudiantes Manipular hayan comprendido no solo la aritméticamente metodología de la multiplicación sino cómo interpretarla, Actividad complementaria analice con ellos el problema 1. Desarrolla las siguientes multiplicaciones: de la página 38. Durante esta 2 1 ⋅ 3 30 ⋅ 3 5 30 3 3⋅ 72 41 ⋅⋅ 93 25 30 53 25 31 2171 4 3 93025⋅ 53 5 5 23 1⋅ 71 4 ⋅ 9 25 5 5 actividad puede sugerir a sus 30 3 � � 5⋅ 30 ⋅ ⋅ ⋅ � · 7 alumnos y alumnas el método 4 3 2 8 7 10 7 4 4 93 52 38 67 10 10 57 10 4 3292 5 8 3 7 6 10107 54 10 92 5 3 6 10 que se describe en3 la2 sección 3 30 ⋅ 3 5 30 3 3 72 41 93 25 30 5⋅ 53 2530 31 3⋅172 41 ⋅⋅ 93 25 30 53 25 31 ⋅17 4 ⋅ 9 25 5 5 2 1 1 30 de1 ⋅esta � ⋅ ⋅⋅ � 5⋅ � · 5 Errores frecuentes 4 3 2 8 7 10 7 4 4 9 3 5 2 3 8 6 7 10 10 5 7 10 4 4 2 9 3 5 2 3 8 6 7 10 10 5 7 10 4 2 9 5 3 6 10 5 10 2 guía pues, considerando que 2. Pida a sus estudiantes que resuelvan el siguiente problema y que luego se agrupen en parejas ya han estudiado el lenguaje e inventen un problema similar, es decir, que involucre multiplicaciones de fracciones: algebraico, esta puede ser una metodología útil para identificar La mamá de Elena compró 5 5/10 paquetes de hojas, de las cuales destinó 2/5 para Elena, la operación a realizar para 1/10 para el hermano pequeño de Elena y 1/2 para ella misma. Si cada paquete cuenta con obtener el resultado correcto 100 hojas, ¿cuántas hojas le corresponden a cada uno? del problema.

46 Texto del Estudiante - Unidad 2

2 1 1 5 10 2

Unidad 2

Errores frecuentes

Manipular aritméticamente

Muchas veces los problemas contextualizados que implican multiplicación de fracciones tienden a confundir a los estudiantes, pues lo interpretan como una sustracción de fracciones. Para remediar esto, utilizando directamente el problema planteado en la página 38 del texto, pida a los alumnos y alumnas que sustituyan la cantidad semanal de azúcar por una letra y, a partir de esto, que realicen el análisis. Por ejemplo: 3 2 1 3 30 ⋅ 3 5 3 ⋅ Decimos que 30 = x ⋅ 4 3 2 8 7 10 7 4

y si se ocupan en la confección de 3 ⋅ 7 4 ⋅ 9 25 5 30 3 2 de1 esta ⋅ 3 30 ⋅ 3 5entonces tortas cantidad, 4 3 2 8 7 10 7 4 39 305 33 65 3 30de3 2 de1 x⋅ que ⋅ estaríamos hablando 4 3 2 8 7 10 7 4 3 2 1 ⋅3 32 30130⋅ 33 30 25 13 33753043 es lo mismo30que 30 ·x= · . ⋅ ⋅⋅ 4 3 2 4 83 72 810 4 377 2410897754

Evaluación Para evaluar las actividades propuestas le entregamos diversos criterios para que los estudiantes se evalúen los unos a los otros: Aspectos a evaluar

Cumple con las tareas asignadas por el grupo Cumple con los tiempos asignados Aporta ideas al trabajo en grupo Respeta las ideas de sus compañeros y compañeras Mantiene una actitud positiva durante el trabajo en grupo

S: siempre CS: casi siempre AV: a veces CN: casi nunca N: nunca

Números fraccionarios, razones y porcentajes 47

Orientaciones metodológicas 1. Antes de comenzar la clase, constate que los estudiantes:

Conocen y han trabajado los números fraccionarios. Representan fracciones gráficamente. Conocen las fracciones propias, impropias y los números mixtos. Dominan la adición y sustracción de fracciones. Manejan la multiplicación de fracciones.

2. La división de fracciones a

pesar de ser aritméticamente sencilla luego de conocer los métodos, puede resultar para los estudiantes algo abstracta, por lo que le recomendamos que realice una representación gráfica de una división de fracciones, por ejemplo: ¿Cómo repartir 3/4 kg en recipientes de 1/4 kg?

3. En la Aclaración de conceptos

se describen dos métodos para resolver divisiones de fracciones, puede explicarlos a los estudiantes y acotar que independientemente de la que elijan llega el momento en que los procedimientos se igualan y cada uno puede elegir el método que le resulte más sencillo de desarrollar. 4. Analice en conjunto con el curso el problema resuelto de la página 40 del texto. Para ello le recomendamos representarlo gráficamente para facilitar de esta forma la comprensión de los estudiantes.

Actividad complementaria 1. Fernando necesita dividir 1/2 litro de jugo en vasos de 1/8 de litro. ¿Cuántos vasos de bebida puede servir con esa cantidad? 2. Don Luis compró para su pequeña dulcería 10 3/4 kg de harina y está analizando varias posibilidades de envasarla en paquetes más pequeños para facilitar la manipulación. Completa la tabla para saber las posibles cantidades de envases que puede usar don Luis: Envases de 1/2 kg 1/5 kg 1/8 kg

48 Texto del Estudiante - Unidad 2

Operación

Cantidad de paquetes

Unidad 2

Aclaración de conceptos Existen varias metodologías para realizar la división de fracciones: Multiplicación cruzada: consiste en multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda: a c a⋅d a c a d a⋅d 1 : = ⋅ = : = b d b⋅c b d b c b⋅c 2 Multiplicacióna por el recíproco: este b método de división de fracciones c consiste en multiplicar la primera fracción pord el recíproco de la

segunda: Aplicar procedimiento

Resolver problemas

a c a⋅d a c a d a⋅d 1 1 5 3 : = : = ⋅ = 10 b d b⋅c b d b c b⋅c 2 8 2 4 a b c Anotaciones: d

3. Desarrolla las siguientes divisiones: 5 1812 1 3 7 1 33 14 53 18 14 3 7 1227 :36 :85 532 : 714 110 2 : 5 12 : 6 8 5 : 4 1 7 : 92 :95: 3122 :36 :85 52 :74 :1107 :1292 ::79510 5 718:129: :179910 3 27: 43: 10 1: 5332: 714 : 10 3 : 7 :7: 47 910 : 3 : 3 : 10 : : 6 7: 4: 10 : : : 7 :7 9: 6 : 4 � � � 9 73 514 55 2 88 6 84 210 7 5 55 2 8 3 4 5 9 2 8 33 54 5 5 93 9 2 38 1433 54 58 5 943 29 2738 5143 55 2 8 5 6 843 210 3 3 41 35 18 41 37 1 3 4 3 2 : 5 12 : 6 8 5 : 4 1 7 : 29 : 95 :12 92 :9:75:10 5 718 12 3372: 4:310 1: 532: 174: :531018 36 7:74 :110 3 2: 36 8: 552: 47 1: 107 :12 312 273::610 : 58235 7:14::110 : 9: :17910 9:� : 712:71:479:10 : : : 7 7: :96 : 4 : :7 7 4 : � � 3 4 5 9 2 8 3 54 5 5 93 9 2 38 14 33 5 4 585 349 92 273 814 5 3 55 28 56 843 210 9 773 5 1455 2 88 6 8 4 102 77 5 5 28 6 8 10 7 5 1 7 :29: 59 :123 2: 63 8: 55 2: 471: 10 7 : 12 92 :9:57: 10 12 7 3 5 2 3 7 1 1 10 5 7 18 12 9 9 1 3 7 3 1 3 2 3 7 1 4 10 5 3 18 12 1 4 3 7 7 1 3 3 1 4 5 3 18 1 4 3 7 1 3 4 3 4 7 3 2 : 6::10 85 : 4 : : : : 7 10 :93 2 : :410 : 5 : : : 7: 7: 7 910 : 6: 4: 10 : : : 7 :7 9: 6 : 4 : :7 7 :6 2 8 33 45 5 5 9� 3 92 83 14 33 54 5 85 934 922 3� 78 14 53 5 28 5 6 438 2910737 514 5� 5 2 88 6 84 210 7 5 55 2 8 6 8 10 7 5 8 1107 12 2 9 9 5 12 7 3 5 3 2 1 7 1 5 10 7 18 12 9 1 9 3 7 3 1 3 2 3 7 1 4 10 3 5 18 12 1 4 3 7 7 1 3 1 4 5 3 18 1 4 3 7 1 3 4 3 4 7 : ::7 10 : 3 2: :610 :85 : 4 :: : : : 79:10 3 2: 4: 10 : 5 : :: � : 7 7: : 7 910 : 6 : 4: 10 : : : 7 :7 9: 6 : 4 : : 7 7 : 6 238 143 54 58 5 � 943 29 2738 5143 55 2 85 6 834 10 92 73 514 5 288 6 84 210 77 5 � 55 2 8 6 8 10 7 5 8 7: 14: :1105718 12 318: 712: 71: 47910 1 : 35 : 18 : 9:: 71910 9: 3372: 4:3101: 5 32:174: :5 10 :36 :774 :1103 3: 4� 7 7: 41 :9637 : 4 1 3 : 4 3 : 7 7 4 : 6 7 92 237 814 5 3 55 28 5� 6 483 210 9 773 5 14 5 5 2 88 6 8 4 10 2 77 5 5 28 6 8 10 7 � 5 8 Manipular aritméticamente Números fraccionarios, razones y porcentajes 49

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Utilizan las fracciones para

representar las partes de un todo. Manejan la multiplicación y división de fracciones. Conocen el concepto de fracción equivalente.

2. Los alumnos y alumnas cono-

cen de cursos anteriores las fracciones y saben obtener fracciones equivalentes, pero en estas páginas es la primera vez que verán las razones. Por lo tanto, le sugerimos que demuestre en la pizarra a través de esquemas cada una de las comparaciones que se pueden realizar en la situación que se presenta en la página 42 del texto. 3. Explique a sus estudiantes el concepto de razón y coménteles que las razones son muy utilizadas en la vida cotidiana, por ejemplo: "tiene que tomar el remedio a razón de 2 tabletas cada 6 horas" o "añade 2 cucharadas de sal por cada litro de agua que utilices". 4. Recalque a sus alumnos y alumnas que cuando nos encontramos en presencia de una razón a/b esta se lee "a es a b"y no "a sobre b", aunque la razón esté representada por una fracción. 5. Dé un tiempo a sus estudiantes para que resuelvan los ejercicios de la página 43 del texto, luego de transcurrido este, pida que enuncien en voz alta sus respuestas, discútalas con el curso y recalque que todas las respuestas no tienen por qué ser iguales, pues en el caso del primer ejercicio cada cual representará la misma razón con una situación diferente o viceversa.

Actividad complementaria

Establecer equivalencias

1. Escribe la razón señalada en cada una de las siguientes situaciones: El auto de Andrés recorre 35 km con 6 L de bencina. (Razón entre distancia recorrida y cantidad de bencina). La velocidad de la luz en el vacío es aproximadamente de 300 000 km/s. (Razón entre la distancia y el tiempo). Elisa para la receta del postre utiliza 1 taza de azúcar por cada 3 tazas de agua. (Razón entre las cantidades de agua y azúcar). Para que una película se vea en el cine tienen que pasar 24 fotogramas cada segundo y en la televisión son aproximadamente 30 fotogramas por segundo. (Razón entre fotogramas necesarias para el cine y para la televisión).

50 Texto del Estudiante - Unidad 2

Unidad 2

Aclaración de conceptos Razón es la comparación entre dos cantidades a y b, y puede ser de dos tipos: Razón interna: es cuando se comparan dos cantidades con la misma unidad de medida. Por ejemplo: "2 huevos rotos de cada 12 que compró". Razón externa: es cuando se comparan dos cantidades con diferente unidad de medida. Por ejemplo: "recorre 2 km cada 30 minutos".

Leer números

Evaluación La actividad que se propone como Actividad complementaria la puede plantear a sus estudiantes como una prueba escrita, que podrá evaluar a través de las siguiente tabla: Indicadores

Comprende el concepto de razón Encuentra en cada caso la razón correspondiente Formula la razón adecuadamente Realiza la actividad en el tiempo estipulado Trabaja organizadamente L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Anotaciones:

Números fraccionarios, razones y porcentajes 51

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Manejan la multiplicación y división de fracciones.

Conocen el concepto de razón.

Encuentran la razón en-

tre dos magnitudes en situaciones contextualizadas. Conocen la equivalencia entre razones.

2. En estas páginas se aborda un

tema completamente nuevo para los estudiantes, es por ello que le sugerimos que les explique que muchas de las interrogantes que nos hacemos de manera cotidiana involucran proporciones y se resuelven aplicando la propiedad fundamental de las proporciones. Por ejemplo, si 1/4 kg de jamón cuesta $ 490, ¿cuánto tengo que pagar por 1 3/4 kg? 3. Para explicar las proporciones puede utilizar material concreto como papeles de colores, con lo cual puede establecer proporciones como: por cada 2 cuadrados azules hay 6 rojos.

Luego puede solicitar que determinen la razón 2/6 = 1/3, para finalmente pedir que encuentren cuántos cuadrados rojos habrían si hay 4 azules:

4/12 = 1/3 De esta manera comprobarán visualmente que una proporción se establece entre dos razones equivalentes.

Actividad complementaria 1. Resuelve el siguiente problema: El charquicán es una comida típica chilena que se prepara utilizando los ingredientes que se muestran al costado. Las cantidades de cada ingrediente corresponden a la receta para 4 personas. Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones calcula la cantidad necesaria de cada ingrediente para preparar charquicán para 2, 3, 6 y 8 personas.

52 Texto del Estudiante - Unidad 2

Resolver problemas

Charquicán 1/2 kg de asiento de picana 1 cebolla grande 4 papas grandes 1/4 kg de zapallo 2 dientes de ajo 1/2 taza de aceite 2 cucharaditas de aji de color 2 cucharaditas de pimienta 1 cucharadita de orégano 1 cucharadita de sal

Unidad 2

Diversidad

Aplicar propiedades

Es importante para el trabajo de estas páginas que los estudiantes tengan claro el concepto de razón, razón equivalente y valor de una razón, y puede que algunos alumnos y alumnas aún conserven dudas al respecto. Para remediar esto puede sugerirles razones como 1/2, 2/3, 3/5, etc. y pedirles que encuentren dos razones equivalentes a cada una de ellas y que luego calculen su valor. A través de esto no solo practicarán la obtención de razones equivalentes sino que comprobarán que las razones equivalentes tiene el mismo valor y, por lo tanto, representan la misma cantidad.

Materiales Papel lustre. Tijeras. Goma de pegar.

Evaluación Evalúe sumativamente a sus estudiantes pidiendo que establezcan la proporción existente en las siguientes situaciones y calculen en cada caso la magnitud que falta aplicando la propiedad fundamental de las proporciones: El auto de Alicia consume 3 L de bencina en 30 km. ¿Cuánta bencina consumirá tras recorrer 83 km? Un equipo produce 250 piezas en 4 horas. ¿Cuántas produce en 10 horas? Claudio y Camilo fueron al mismo negocio. Claudio pagó $ 200 por 12 caramelos. ¿Cuántos caramelos compró Camilo si pagó $ 250? Con 3 L de pintura Gonzalo pinta una superficie de 5 m2. ¿Cuántos litros necesitará si quiere pintar 23 m2?

Números fraccionarios, razones y porcentajes 53

Orientaciones metodológicas 1. Antes de comenzar la clase, constate que los estudiantes:

Manejan el trabajo con fracciones.

Conocen el concepto de razón.

Calculan el valor de una

razón e identifican equivalencias entre razones. Calculan una magnitud desconocida que forma parte de una proporción aplicando la propiedad fundamental.

2. Para el trabajo de las activi-

dades de estas páginas es recomendable que realice demostraciones gráficas utilizando variados colores para demostrar visualmente el concepto de porcentaje. 3. Es importante que alumnos y alumnas comprendan que al expresar un porcentaje estamos expresando una razón donde el consecuente siempre es 100. Para demostrarlo puede poner un ejemplo como: De 25 huevos 3 estaban rotos: en este caso la razón es 3 : 25. Si amplificamos la razón por 4, entonces quedaría: 3 · 4 : 25 · 4 = 12 : 100, es decir, obtenemos una razón equivalente a la primera cuyo consecuente es 100 y, por lo tanto, corresponde a un porcentaje del 12%. 4. Explique a los estudiantes que de la misma manera que se habla del porcentaje como una razón cuyo consecuente es siempre 100, existen otras razones similares cuyo consecuente es 1 000 o 1 000 000. En el primer caso se habla de “por mil” y se representa como 0/00, y en el segundo caso se habla de "partes por millón" y se representa como ppm.

Actividad complementaria

Manipular aritméticamente

1. Representa gráficamente los siguientes porcentajes: � 10% � 6% � 57% � 5% � 9% � 99% � 37% � 84% � 12,5% 2. Escribe el porcentaje que representa cada una de las siguientes situaciones: 40 de cada 100 hojas estaban rotas. En el bosque al que fue Claudia, 5 de cada 100 árboles eran araucarias. 20 de cada 100 personas que fueron al cine, eran niños. 12 de cada 20 estudiantes eran niñas. 6 de cada 8 mascotas eran perros.

54 Texto del Estudiante - Unidad 2

Unidad 2

Reflexión

Representar gráficamente

Establecer equivalencias

Evaluación Entregue a sus estudiantes la siguiente autoevaluación a partir de la cual deben pintar en el gráfico el porcentaje de logro de cada objetivo: A

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

¿En qué situaciones han escuchado hablar de porcentajes o han visto el símbolo %?, ¿qué creen que signifique? Con estas preguntas puede suscitar una reflexión con sus estudiantes sobre el término porcentaje, donde analice lo usual que es expresar información en términos porcentuales. Como una forma de vincular el tema de estas páginas con el objetivo transversal de la unidad, puede recordarles que al inicio de la unidad se habló del IPC, y realizar preguntas como: ¿qué es el IPC?, ¿qué representa?, ¿cómo se expresa? Anotaciones: A: Comprendí el concepto de porcentaje. B: Reconocí los porcentajes que representaban las afirmaciones. C: Reconocí los porcentajes a partir de una representación gráfica. D: Realicé todas las actividades correctamente.

Números fraccionarios, razones y porcentajes 55

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Conocen y han trabajado con fracciones.

Conocen el concepto de razón.

Calculan el valor de una

razón e identifican equivalencias entre razones. Conocen el concepto de proporción. Calculan una magnitud desconocida que forma parte de una proporción aplicando la propiedad fundamental. Conocen el concepto de porcentaje. Identifican porcentajes a partir de sus representaciones gráficas.

2. Existen diferentes formas

de expresar los porcentajes y puede explicar a los estudiantes que estas formas dependerán de la persona que lo exprese o de la situación a partir de la cual se origina la información. La representación gráfica resulta una modalidad didáctica factible para que alumnos y alumnas manejen de manera visual el concepto de porcentaje. Indique que muchas veces encontramos información porcentual expresada en gráficos circulares, como por ejemplo: 10%

20%

40% 30%

Actividad complementaria

Establecer equivalencias

1. Dadas las siguientes situaciones, expresa el porcentaje de las formas estudiadas: De los 78 estudiantes que se presentaron al examen, el 49% recibió calificación sobresaliente. Luis compró un paquete de 30 lápices, de los cuales el 10% eran azules. El libro tiene 300 páginas y ya Francisco ha leído el 83%. Tenía 16 días de vacaciones y pasé de viaje el 50% del tiempo. Carla fue de compras y volvió con 5 kg de frutas, de ellos el 10% eran de frutillas. En la tienda hay un 35% de descuento. Daniel compró un pantalón en $ 4 000 y 2 poleras en $ 2 990 cada una.

56 Texto del Estudiante - Unidad 2

Unidad 2

Errores frecuentes Es muy usual que los estudiantes se equivoquen en la expresión decimal de los porcentajes del 1% al 9%. Por ejemplo, tienden erróneamente a decir que el 1% es 0,1; el 2% es 0,2; etc. Para evitar este tipo de situaciones explique y demuestre en la pizarra que la expresión decimal de un porcentaje no es más que el valor de la fracción decimal que lo representa y esto no es más que una división, por ejemplo: 1% = 1/100 = 1 : 100 = 0,01 Establecer equivalencias

Otros recursos Para demostrar de forma práctica y a la vez tratar el tema transversal de la unidad, sugerimos que presente a sus estudiantes diarios y revista, principalmente sobre temas económicos, para que analicen las situaciones en que aparece información porcentual y resuman en una tabla el tipo de información y la forma en que se expresa el porcentaje.

Representar equivalencias

Evaluación La Actividad complementaria la puede presentar a sus estudiantes a modo de prueba escrita que puede evaluar a través de la siguiente tabla: Aspectos a evaluar

Expresa gráficamente los porcentajes Expresa adecuadamente los porcentajes como fracción y como decimal Comprende la expresión de los porcentajes como razón Realiza las actividades correctamente L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Números fraccionarios, razones y porcentajes 57

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Manejan las operaciones de multiplicación y división con fracciones. Conocen el concepto de razón. Calculan el valor de una razón e identifican equivalencias entre razones. Conocen el concepto de proporción. Calculan una magnitud desconocida que forma parte de una proporción aplicando la propiedad fundamental. Conocen el concepto de porcentaje.

2. Para trabajar con sus estu-

diantes el contenido de estas páginas puede ser útil que cuente con información porcentual que le permita generar situaciones donde se necesite realizar cálculos de porcentajes. Por ejemplo, revistas con promociones de descuentos como se sugiere en la sección Materiales. A partir de esta información puede usted inventar problemas o pedir a sus estudiantes que en grupos de 2, 3 ó 4 estudiantes los inventen y luego intercambien los problemas de manera que un grupo resuelva los problemas ideados por otro grupo.

Actividad complementaria

Calcular mentalmente

1. Completa la siguiente tabla en la que se muestra una lista de precios, con los porcentajes de descuento para cada uno. Hazlo mentalmente: Producto

58 Texto del Estudiante - Unidad 2

Precio

Descuento [%]

Arroz

$ 1 000 el kg

Porotos

$ 1 500 el kg

Atún

$ 800 el tarro

Tomate

$ 600 el kg

Pollo

$ 3 000 el kg

Descuento [$]

Precio final

Unidad 2

Diversidad

Manipular aritméticamente

Otra forma en que puede trabajar las páginas es haciendo en la clase una especie de vitrina con productos ficticios, precios y porcentajes de descuento o aumento y estimular a los estudiantes para que estimen el precio luego de aplicado el descuento o el aumento. Pida luego que calculen el precio exacto y lo comparen con el que estimaron. Para esto puede enseñarles estrategias de cálculo mental de porcentajes como la representación de algunos porcentajes notables (25%, 50%, 75%).

Materiales Revistas y diarios con promociones de descuentos.

Resolver problemas

Manipular aritméticamente

Evaluación

A modo de evaluación pida a los estudiantes que calculen los porcentajes que se piden a continuación: 30% de 20 1,5% de 72 14% de 25 6,2% de 63 10% de 150 7,01% de 180 000 15% de 12 000 56,8% 380 99% de 80 000 99, 67% de 9 0,1% de 62 0,8% de 80 045 0,001% de 901 0,35% de 723 562

Anotaciones:

Números fraccionarios, razones y porcentajes 59

Orientaciones metodológicas 1. Antes de comenzar la clase, constate que los estudiantes:

Calculan el valor de una

razón e identifican equivalencias entre razones. Conocen los conceptos de proporción y de porcentaje. Calculan una magnitud desconocida que forma parte de una proporción aplicando la propiedad fundamental.

2. Es importante que los estu-

diantes no solo sepan calcular porcentajes a partir de una situación dada, sino que también sepan interpretar adecuadamente información expresada en porcentajes. Es por esto que le recomendamos que independientemente de trabajar las actividades que se sugieren en estas páginas, pida a los estudiantes información porcentual extraída de medios de comunicación y que reporten datos interesantes de ella. 3. Con unos días de antelación usted puede hacer un estudio de su clase a fin de preparar una gráfica similar a la que se ocupa en la Actividad complementaria y en ella expresar en términos de porcentajes algunas características de sus estudiantes, como por ejemplo el color de ojos o del pelo o el mes de nacimiento, luego realice a los estudiantes preguntas al respecto. 4. Puede pedir a sus estudiantes que se agrupen en parejas y hagan lo mismo con otro tipo de información elegida por ellos, y luego la intercambien con otras duplas para que cada una desarrolle las actividades diseñadas por el otro grupo.

Interpretar información

Actividad complementaria 1. Presente a sus estudiantes el siguiente esquema: A B C D E

60 Texto del Estudiante - Unidad 2

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Unidad 2

Reflexión

Manipular aritméticamente

Si sabes que el esquema representa la composición del cuerpo humano donde A, B, C, D y E se especifican en la tabla. Responde: A: agua 61,6 % ¿Qué elemento compone la mayor parte de nuestro cuerpo? B: proteínas 17 % ¿Variará esta composición de una persona con una masa de C: grasas 13,8 % 60 kg a una persona con una masa de 70 kg? ¿Por qué? Si analizáramos esta composición para dos personas juntas, D: minerales 6,1 % ¿qué pasaría con los porcentajes?, ¿por qué? E: carbohidratos 1,5 %

Se puede reportar numerosa información respecto al cuerpo humano expresada en porcentajes, por ejemplo, se dice que los músculos representan el 40% de la masa del hombre, el 20% de la masa de la mujer y que el 90% de la sangre de un adulto es agua. A partir de esta información puede suscitar en los estudiantes una reflexión, apoyándose en preguntas como: ¿qué información sobre el cuerpo humano creen que podría ser expresada en porcentajes?, ¿sobre qué temas les gustaría recibir información general que consideren puedan comprender y que esté expresada en porcentajes?, ¿han encontrado en algún sitio información porcentual que no sepan interpretar? Anotaciones:

Números fraccionarios, razones y porcentajes 61

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Calculan el valor de una

razón y reconocen equivalencias entre razones. Conocen el concepto de proporción. Calculan una magnitud desconocida que forma parte de una proporción aplicando la propiedad fundamental. Conocen el concepto de porcentaje. Calculan porcentajes aplicando la propiedad fundamental de las proporciones. Interpretan información porcentual.

2. La Resolución de problemas

es una actividad que está encaminada a ofrecer a los estudiantes la posibilidad de vincular los contenidos estudiados a la vida cotidiana y comprender cada tema matemático como una herramienta aplicable a determinadas situaciones reales. En las actividades de estas páginas, se entrega una metodología sencilla para resolver los problemas, que permite a los alumnos y alumnas desarrollarlos de manera organizada y comprensible, tanto para ellos como para usted. Es por esto que le sugerimos explique detalladamente la utilidad y función de cada uno de estos pasos y exhorte a sus estudiantes a seguirlos. 3. Desarrolle junto con los alumnos y alumnas el problema resuelto de la página 54 y oriente la realización de los problemas que se proponen en la página 55.

Actividad complementaria

Manipular aritméticamente

1. Marta y María se fueron de compras y en una tienda encontraron diferentes descuentos. Completa la siguiente tabla con las compras de cada una: Artículo María

Precio ($)

% de descuento

Cantidad

Polera

6 990

Falda

7 000

10 590

6 500

4 000

5 000

Pantalón Polera Marta

Falda Pantalón

62 Texto del Estudiante - Unidad 2

4 480 10

Total a pagar ($)

Unidad 2

Resolver problemas

Reflexión Como parte del proceso de aprendizaje, los estudiantes se enfrentan de manera constante a la resolución de problemas, pues es la mejor forma de acercar las matemáticas a su mundo cotidiano y particularmente a cada uno de los temas de la unidad tratados de manera independiente. También ofrece la posibilidad de relacionar los contenidos y que los alumnos y alumnas comprendan la propuesta de cada unidad, donde cada aprendizaje no es un tema solo en sí mismo sino que tienen una estrecha interrelación y en muchos casos un importante nivel de dependencia unos de los otros.

Diversidad Para los estudiantes que les haya costado más comprender el trabajo con porcentajes le recomendamos que diseñe una lista de actividades para que ejerciten. También puede trabajar con material concreto como plasticina o papel lustre y demostrar cómo en la división de un total radica la esencia de los porcentajes.

Evaluación Evalúe el desempeño de sus estudiantes a través de la siguiente tabla: Aspectos a evaluar

Sigue la metodología aprendida para resolver los problemas Interpreta adecuadamente el enunciado de los problemas Deja plasmado en su cuaderno todos los cálculos que realiza Encuentra estrategias factibles para comprobar sus resultados Trabaja ordenadamente

L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Números fraccionarios, razones y porcentajes 63

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Calculan una magnitud

desconocida que forma parte de una proporción aplicando la propiedad fundamental. Conocen el concepto de porcentaje. Calculan porcentajes aplicando la propiedad fundamental de las proporciones. Interpretan información porcentual. Han trabajado con el programa Excel.

2. En el curso anterior se introdu-

jo a los estudiantes en el uso de Excel y hasta el momento conocen algunas utilidades de Excel relacionadas con los temas que han estudiado. Le recomendamos que comience la clase conversando con sus alumnos y alumnas sobre esta aplicación informática y lo útil que resulta para trabajar el tema de esta unidad. 3. Recuerde a sus estudiantes las partes que componen Excel y qué pueden encontrar en cada una de ellas. Si cuenta con tiempo suficiente, puede permitir a los alumnos y alumnas que exploren dentro de la aplicación computacional para que se familiaricen con el entorno. 4. Explique la presencia de la ayuda y que pueden utilizarla de dos maneras, para aclarar dudas puntuales, para lo cual existe la posibilidad de realizar búsquedas de temas a partir de palabras claves o accediendo a ella a modo de curso, donde van explicando al usuario cómo trabajar el programa en sentido general, desde lo más simple hasta lo más complejo.

Actividad complementaria

Manipular aritméticamente

1. En una farmacia se hace un descuento del 15% a algunos productos de belleza. En la siguiente tabla se muestran algunos de los productos y su precio previo al descuento. Calcula el precio de cada producto después del descuento:

64 Texto del Estudiante - Unidad 2

Producto

Precio antes del descuento

Jabón A

$ 1 500

Jabón B

$ 2 010

Acondicionador A

$ 1 350

Acondicionador B

$ 990

Precio después del descuento

Unidad 2

Ocupar herramienta tecnológica

Errores frecuentes Muchas veces los estudiantes, al distribuir los porcentajes de un todo, no comprueban los resultados obtenidos. Explique a sus alumnos y alumnas que al repartir un todo en porcentajes deben comprobar que la suma de ellos debe dar 100. Si cuando sumen los porcentajes obtienen un número diferente de 100, entonces deben revisar todos los datos y cálculos porque en alguno de los pasos se cometió un error.

Evaluación Entregue a sus estudiantes la siguiente autoevaluación a partir de la cual deben pintar en el gráfico el porcentaje de logro de cada objetivo: A

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Anotaciones: A: Seguí los pasos indicados en el texto. B: Obtuve los resultados correctos. C: Cumplí con los tiempos determinados por el docente. D: Ayudé a los compañeros y compañeras que lo necesitaron.

Números fraccionarios, razones y porcentajes 65

Sintetizar información

Orientaciones metodológicas 1. Antes de comenzar la clase, constate que los estudiantes:

Calculan el valor de una

razón y conocen equivalencias entre razones. Calculan una magnitud desconocida que forma parte de una proporción aplicando la propiedad fundamental. Conocen el concepto de porcentaje. Calculan porcentajes aplicando la propiedad fundamental de las proporciones. Interpretan información porcentual.

2. Para trabajar la síntesis puede

pedir a sus estudiantes que cada uno realice su propia síntesis de la unidad, no a partir de la que aparece en la página 58 sino a través de un recorrido por las páginas de cada tema; y luego realizar una puesta en común donde se comparen las síntesis de cada uno con la que aparece en el texto a fin de realizar una entre todos para exponerla en algún sitio de la sala al que todos tengan acceso. 3. Las actividades que se proponen en estas páginas pueden ser manejadas a consideración del docente, ya sea como una prueba escrita o como una forma de realizar un recorrido a lo largo de la unidad, viendo los temas de manera independiente o relacionándolos unos con otros. 4. En la Actividad complementaria se sugiere un ejercicio que puede servirle como actividad evaluativa, en el cual se ha intentado relacionar algunos de los contenidos de la unidad de manera explícita.

Actividad complementaria

Representar gráficamente

1. Analiza el siguiente gráfico y responde las preguntas que aparecen a continuación:

66 Texto del Estudiante - Unidad 2

20% 50%

25%

Unidad 2

Otros recursos E l s i t i o h t t p : // w w w . m a m u t m a t e m a t i c a s .c o m / ej e r c i c i o s /p o r ce n t aj e. p h p será un interesante recurso para trabajar con sus estudiantes, pues cuenta con un generador de hojas de ejercicios de porcentajes que usted podrá configurar según sus necesidades.

Manipular aritméticamente

Aclaración de conceptos La evaluación es un proceso que le permite al docente constatar el nivel de compresión que han alcanzado los alumnos y alumnas del contenido estudiado y a partir de él diseñar una estrategia para resolver los problemas diagnosticados. También permite que los estudiantes tomen conciencia de sus dificultades y sepan los temas que necesitan reforzar. Esta información debe ofrecerla a sus estudiantes para que comprendan la importancia de cada proceso evaluativo.

¿Consideras que la distribución de los porcentajes en el gráfico es correcta?, ¿por qué? Si el gráfico representa la distribución étnica de una población de 1 millón de habitantes, donde cada color representa el porcentaje de la población que pertenece a cada etnia, ¿qué cantidad de habitantes pertenece a cada una de ellas? Usando la información anterior expresa las siguientes razones entre las etnias 1, 2, 3 y 4: 1 : 2

4 : 1

3 : 2 3 : 1 Idea una situación ficticia que responda a la distribución de porcentajes del gráfico.

Números fraccionarios, razones y porcentajes 67

Orientaciones metodológicas

Manipular aritméticamente

1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Calculan el valor de una

razón y establecen equivalencias entre razones. Calculan porcentajes. Conocen la propiedad fundamental de las proporciones y la utilizan en el cálculo de porcentajes. Interpretan información porcentual. Resuelven problemas contextualizados que implican el trabajo con fracciones, razones y porcentajes.

2. Las actividades que se propo-

nen en estas páginas pueden ser manejadas a consideración del docente, ya sea como una prueba escrita o como una forma de realizar un recorrido a lo largo de la unidad, viendo los temas de manera independiente o relacionándolos unos con otros. 3. Independientemente de cómo usted determine más factible trabajar estas páginas, recomendamos que las trabaje de modo que sea posible monitorear el trabajo de los estudiantes con el fin de detectar errores, dudas o temas problemáticos y poder reforzarlos posteriormente. 4. Para las preguntas con alternativas puede entregar la hoja de respuestas que se ofrece en la página 196 de esta guía para que los niños y niñas trabajen en ellas. 5. Plantee a los estudiantes los ejercicios que aparecen como Actividad complementaria que les servirán de refuerzo antes de dar por concluido el trabajo con la unidad.

Actividad complementaria

Manipular aritméticamente

1. Resuelve las siguientes operaciones con fracciones: 3 2 7 2 + · 5 7 3 6 9 1 8 2 – · 10 5 3 6

9 1 : 12 3 8 12 : 7 21

2. Calcula los siguientes porcentajes: 3% de 230 80% de 25 10% de 15 25% de 80

78,5% de 30 99,9% de 10

68 Texto del Estudiante - Unidad 2

Unidad 2

Reflexión Comente a sus alumnos y alumnas que cada vez que se pagan servicios públicos (agua, luz, etc.), la empresa para poder cobrar realiza una proporción, pues ellos poseen un costo fijo asociado a una cierta cantidad de gasto, el cual permite establecer lo que realmente gastó cada familia. Para complementar el intercambio con sus estudiantes puede mostrar alguna boleta de consumo y señalar en ella el costo fijo a partir del cual se establece la proporción, por ejemplo, en el caso de la electricidad, el precio del kilowatt; en el caso del agua, el valor del metro cúbico; etc.

Evaluación Le sugerimos la siguiente tabla de evaluación: Aspectos a evaluar

Puntaje ideal

Multiplicación y división de fracciones

Razones

Aplicación de la propiedad fundamental de las proporciones

Formas de expresar un porcentaje

Operaciones con porcentajes

Interpretación de información porcentual

Total

100

Puntaje de logro

Anotaciones: E: excelente B: bien S: suficiente I: insuficiente

Números fraccionarios, razones y porcentajes 69

3 Unidad

Planificación Unidad 3

Potencias

Objetivos Fundamentales Verticales yyDefinir el concepto de potencia. yyDescomponer números en potencias de 10 para mostrar la esencia del sistema de numeración decimal. yyRealizar operaciones de multiplicación y división de potencias de 10. yyRealizar operaciones de multiplicación y división de números naturales y decimales con potencias de 10.

Sección

Clase

Horas

Ruta de aprendizajes esperados

Entrada de unidad Actividad inicial

yyInterpretan información que puede representarse mediante la multiplicación reiterada de un número. yyAnalizan diagrama de árbol. yyAnalizan el crecimiento exponencial.

Definición de potencia Potencias de 10

yyDefinen el concepto de potencia e identifican las partes de una potencia. yyExpresan una potencia como la multiplicación de la base tantas veces como indica el exponente. yyRelacionan las potencias de 10 con las unidades de longitud.

Multiplicación de potencias de 10

yyMultiplican potencias de 10. yyEstablecen diferentes metodologías para multiplicar potencias de 10.

Multiplicación de un número natural por una potencia de 10 Multiplicación de un número decimal por una potencia de 10

yyMultiplican números naturales y decimales por potencias de 10. yyEstablecen regularidades en la multiplicación de números naturales y decimales por potencias de 10.

Descomposición canónica de un número natural

yyDescomponen canónicamente un número natural utilizando potencias de 10.

División de potencias de 10

yyDividen potencias de 10. yyAplican las divisiones con potencias de 10 para resolver problemas.

División de un número natural por una potencia de 10 División de un número decimal por una potencia de 10

yyDividen números naturales y decimales por potencias de 10. yyResuelven problemas contextualizados que implican la división de números naturales y decimales por potencias de 10.

Resolución de problemas

yyAplican los procedimientos aprendidos en la resolución de problemas.

Tecnología activa

yyUtilizan herramienta tecnológica para calcular potencias.

Síntesis de la unidad Evaluación

yySintetizan temas estudiados en la unidad. yyAplican conocimientos adquiridos para resolver actividades de evaluación.

70 Planificación - Unidad 3

Unidad 3

Objetivos Fundamentales Transversales yyComprender la aplicación de las potencias en la vida cotidiana. yyFomentar el intercambio entre las personas a partir del fenómeno de la globalización. yyValorar los beneficios de conocer mejor la realidad y de utilizar este conocimiento.

Materiales Contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales

Evaluación

Páginas Texto 62 – 65

Páginas Guía 72 – 75

yyComprensión de las potencias y su notación. yy Establecimiento de regularidades entre el valor de diferentes potencias de 10. yyRelación entre las potencias de 10 y los prefijos de las diferentes unidades de medida.

66 – 69

76 – 79

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyEstablecimiento de metodologías para multiplicar potencias de 10.

70 – 71

80 – 81

Actividad de evaluación formativa

yyEstablecimiento de regularidades en la multiplicación de números naturales y decimales por potencias de 10. yyResolución de ejercicios de multiplicación de números naturales y decimales por potencias de 10.

72 – 75

82 – 85

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo y autoevaluación

yyEstablecimiento de metodología para descomponer canónicamente un número natural utilizando potencias de 10.

76 – 77

86 – 87

Actividad de evaluación formativa: autoevaluación

yyEstablecimiento de metodología para dividir potencias de 10 como introducción a la división de potencias.

78 – 79

88 – 89

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyDivisión de números naturales y decimales por potencias de 10. yyEstablecimiento de regularidades en la división de números naturales y decimales por potencias de 10.

80 – 83

90 – 93

Actividad de evaluación formativa: coevaluación

yyPlanteamiento y resolución de problemas contextualizados. yySeguimiento de metodología para resolver problemas.

84 – 85

94 – 95

Actividad de evaluación formativa: autoevaluación

yyImplementación de metodología para calcular potencias utilizando herramienta tecnológica.

86 – 87

96 – 97

Actividad de evaluación formativa: coevaluación

yyValoración y utilización de los conocimientos adquiridos durante la unidad para aplicarlos a problemas y situaciones reales.

88 – 91

98 – 101

Actividad de evaluación sumativa: prueba escrita

yyInterpretación de información. yyIntroducción al trabajo con potencias. yyComprensión de internet como un potente medio de comunicación.

Actividad de evaluación formativa: autoevaluación

Potencias 71

Orientaciones metodológicas 1. En la presente unidad se de-

sarrollarán contenidos completamente novedosos para los estudiantes, pues hasta el momento desconocen las potencias. Alumnos y alumnas conocen la multiplicación como la adición reiterada de un número y le sugerimos que para introducir el tema de esta unidad escriba en la pizarra adiciones como: 2 + 2 + 2 = 2 · 3, donde 2 es el número que se repite y 3 es la cantidad de veces que se repite. 2. Luego, presente multiplicaciones reiteradas como: 2 · 2 · 2 = 23, donde 2 es el número que se repite y 3 es la cantidad de veces que se repite. Recalque la diferencia explicando que en el primer caso se suma y en el segundo se multiplica, por lo que ambos resultados son diferentes, en el primer caso es 6 y en el segundo es 9. 3. Una vez establecida la diferencia y conociendo los estudiantes que la multiplicación reiterada se expresa en forma de potencia, puede indicarles que lean la sección En esta unidad aprenderás a: donde se desglosan los contenidos que aprenderán acerca de las potencias.

Actividad complementaria

Representar gráficamente

1. Invite a sus estudiantes a que, utilizando pequeñas pelotas de plumavit y mondadientes para unirlas, ejemplifiquen sumas reiteradas y multiplicaciones reiteradas de modo que visualmente logren captar la diferencia entre ellas:

2 + 2 + 2

2·2·2

2 · 3 = 6

2·2=4

4·2=8

72 Texto del Estudiante - Unidad 3

Unidad 3

Presentación de la unidad Con los contenidos que se desarrollan en la presente unidad se pretende que los estudiantes conozcan las potencias, su definición, sus partes y algunas de sus utilidades prácticas a través del trabajo con las potencias de base 10. A partir del manejo de las potencias de 10 los alumnos y alumnas podrán intuir regularidades en la multiplicación y la división que les servirán de introducción para facilitar el trabajo con las propiedades de las potencias que verán en cursos posteriores. Todo el trabajo de esta unidad estará vinculado transversalmente a temas relacionados con la globalización y su creciente influencia sobre la dinámica de las costumbres de la sociedad actual.

 Red conceptual

Potencias

a través de

Potencias de 10 definen y aplican

Descomposición canónica

desarrollan

Multiplicación y división con números naturales Multiplicación y división con números decimales

permiten

Resolver problemas numéricos

Potencias 73

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Conocen la multiplicación

como la adición reiterada de un número. Conocen la diferencia entre la adición reiterada y la multiplicación reiterada de un número.

2. En la entrada de unidad los

estudiantes comprendieron la diferencia entre la adición reiterada de un número asociada a la multiplicación y la multiplicación reiterada de un número asociada a la potenciación. Para trabajar la Actividad inicial le sugerimos que utilice material concreto, mediante el cual los alumnos y alumnas puedan graficar la situación que se plantea en la historieta, posibilitando así que la resolución de las actividades la puedan realizar también a partir de la observación. 3. Puede explicar a los estudiantes que la representación también puede ser realizada en los cuadernos a través de un diagrama de árbol. Para ello utilice un ejemplo diferente al que aparece en el texto que puede ser uno de los que se enuncian en la Actividad complementaria y explique la forma de construir un diagrama de árbol y su utilidad. 4. La actividad 2.c) es posible que pueda generar dudas. Le sugerimos que recuerde a sus estudiantes que esta situación es una forma de generalización donde x puede ser un número cualquiera de personas.

Actividad complementaria

Representar gráficamente

1. Construye con las pelotas de plumavit y los mondadientes que utilizaste en la clase anterior, un diagrama de árbol que ejemplifique la situación de la historieta de la página 64. 2. Realiza un diagrama de árbol para dar solución a las siguientes situaciones: El abuelo de Jaime tiene 5 hijos, cada uno de los cuales tuvo 5 hijos. ¿Cuantos nietos tiene el abuelo de Jaime?, ¿cuántos bisnietos tendría si cada nieto tiene 5 hijos? Luisa envió un correo electrónico a 4 de sus mejores amigas, estas a su vez lo mandaron a 4 de sus amigas que realizaron la misma operación. ¿Cuántas personas recibieron el correo en esta última oportunidad?

74 Texto del Estudiante - Unidad 3

Unidad 3

Reflexión ¿Qué es internet?, ¿consideras que es útil internet? Con estas preguntas puede iniciar una reflexión con sus estudiantes alrededor de este tema tan apasionante para muchos. Puede explicarles que internet no es un concepto tan reciente como muchos piensan, pues en 1961 ya se hablaba de la posibilidad y en 1969 se lograron conectar los computadores de tres universidades estadounidenses. Lejos de lo que muchas personas piensan, internet no es sinónimo de www ( world wide web) sino que www utiliza internet como medio de transmisión. Según el diccionario de la Real Academia Española, internet es la red informática mundial, descentralizada, formada por la conexión directa entre computadoras u ordenadores mediante un protocolo especial de comunicación.

Identificar regularidades

Materiales Pelotas de plumavit. Mondadientes.

Evaluación Pida a sus estudiantes que a partir de la siguiente tabla autoevalúen su desempeño durante el desarrollo de las actividades: Indicadores Comprendí lo que debía hacer en cada una de las actividades Resolví las actividades correctamente Participé en el trabajo en equipo Respeté las ideas de mis compañeros y compañeras Ayudé a los compañeros y compañeras que lo necesitaron

Potencias 75

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Conocen las operaciones

básicas y manejan estrategias para trabajarlas. Manejan el cálculo mental de multiplicaciones básicas. Tienen nociones de potencia aplicadas a la geometría a través del cálculo de área. Conocen el cm2, m2, etc.

2. Para comenzar el desarrollo de

la actividad que se describe en la página 66, usted puede graficar el problema resuelto, es decir, dibujar en la pizarra los 4 barcos, con los 4 contenedores por barco y las 4 toneladas de algas por contenedor, para lograr que los estudiantes vean el planteamiento del concepto de potencia. Esta actividad también la puede realizar solicitando previamente a los alumnos y alumnas que traigan a la clase plumavit o cartulina y con ellas, cortadas en cubitos o cuadrados, que representen, agrupados en parejas, el enunciado del problema. A partir de esta modelación los estudiantes podrán relacionar los elementos de su representación con los términos que componen una potencia y luego comparar los resultados que se obtienen al resolver numéricamente la potencia y al contar los elementos de su composición. 3. En el cuadro de contenido de la página 67 se explica el concepto de potencia. Invite a sus estudiantes a que lo analicen, tomen notas de él en sus cuadernos y que intenten explicarlo utilizando la representación que utilizaron para resolver el problema.

Actividad complementaria

Resolver problemas

1. Pida a sus estudiantes que resuelvan las siguientes situaciones y comprueben sus resultados a través de una representación gráfica: El condominio donde vive Carlos está formado por 6 edificios. Cada edificio tiene 6 pisos y cada piso 6 departamentos. ¿Cuántos departamentos hay en el condominio donde vive Carlos? Alicia toma dos veces al día dos cucharadas de un remedio que por cada cucharada contiene 2 mg de una sustancia A. Luego de 2 días tomando el remedio, ¿cuántos miligramos de A ha ingerido Alicia? Luis se ha puesto de acuerdo con tres amigos para chatear, estos a su vez contactaron a tres amigos cada uno y estos últimos a tres amigos más cada uno. ¿Cuántas personas conversan al mismo tiempo en el chat?

76 Texto del Estudiante - Unidad 3

Unidad 3

Diversidad Al ser el tema de las potencias completamente nuevo le recomendamos que modele los problemas de la Actividad complementaria con material concreto, ya sea el material utilizado en la clase pasada para representar un diagrama de árbol o los materiales solicitados para esta clase.

Errores frecuentes

Aplicar procedimiento

Muchas veces los estudiantes al definir las potencias como la multiplicación reiterada de un número, tienden a cometer el error de no contar la base, por ejemplo, si tienen que escribir como potencia 3 · 3 · 3 · 3 · 3 lo escriben como 34 porque asumen el primer 3 de la reiteración como la base y cuentan la cantidad restante para colocarla como exponente. Para remediar esto, recalque que la base es el número que se debe repetir, en este caso el 3 y el exponente es la cantidad de veces que aparece en la reiteración.

Materiales Plancha de plumavit o pliego de cartulina.

Evaluación Para evaluar el contenido de estas páginas puede entregar a los estudiantes una tabla como la que se propone a continuación con la finalidad de que autoevalúen su nivel de comprensión de este tema: Indicadores Comprendí el concepto de potencia Representé adecuadamente el problema con los materiales propuestos Diferencié la base del exponente Respondí las actividades propuestas correctamente Trabajé en el tiempo indicado por el docente

Potencias 77

Orientaciones metodológicas 1. Antes de comenzar la clase, constate que los estudiantes:

Conocen las potencias

como la forma de representar la multiplicación reiterada de un número. Distinguen la base del exponente, en una potencia. Encuentran la potencia implícita en un problema contextualizado.

2. Converse con sus estudiantes

sobre los sistemas de numeración y ejemplifique en la pizarra algunos de ellos, incluyendo el sistema decimal, para que alumnos y alumnas puedan notar la diferencia. 3. Trabaje con sus estudiantes el cuadro de contenido de la página 68 y analice las primeras diez potencias de 10 que ahí aparecen. Explíqueles que en el sistema métrico decimal se adoptaron prefijos basados en potencias de 10, por ejemplo, el prefijo kilo corresponde a 103, por lo que kilogramo representa 103 g, kilómetro representa 103 m, etc. 4. Invite a sus estudiantes a realizar las actividades sugeridas en la página 69. 5. Para la segunda actividad grupal, puede invitar a los estudiantes a visitar el sitio que se sugiere en Otros recursos, en el cual encontrará un interesante viaje al macrocosmos apoyado en la utilización de las potencias de 10.

Establecer equivalencias

Actividad complementaria

1. Enlaza el número de la columna A con la potencia de 10 correspondiente en la columna B:

78 Texto del Estudiante - Unidad 3

A 10 1 000 000 1 000 1 000 000 000 100 100 000 000 000

B 109 102 1011 103 101 106

Unidad 3

Historia y números

Manipular aritméticamente

Los números se pueden representar a partir de diferentes sistemas de numeración, el sexagesimal con base 60, el vigesimal con base 20, el octal con base 8, el binario con base 2 (sistema numérico utilizado por las calculadoras y computadores), el sistema decimal con base 10, etc. El sistema decimal, que es el que ha prevalecido hasta nuestros días, tiene su origen en los diez dedos de las manos, los cuales han servido desde siempre para contar.

Reflexión Establecer equivalencias

¿Qué creen que es una potencia de 10?, ¿por qué se dice que el 100, el 1 000, el 10 000, etc., son potencias de 10? Con estas preguntas puede iniciar una reflexión con sus estudiantes para que de manera autónoma deduzcan la conclusión de que cuando se habla de una potencia de 10 se habla de una potencia cuya base es 10 independientemente de cuál sea su exponente. Puede, además, durante esta reflexión introducir el término potenciación.

Otros recursos

Evaluación Para la evaluación de las actividades de estas páginas le recomendamos una lista de cotejo como la que se presenta a continuación: Aspectos a evaluar

En el siguiente sitio http://www. slideshare.net/guervos/potenciasde-10-un-viaje-del-macrocosmosal-microcosmos/ se muestra una didáctica animación de un viaje del microcosmos al macrocosmos y viceversa, utilizando distancias que son potencias de 10.

Comprende las potencias Convierte un número en potencia de 10 y una potencia de 10 en un número Identifica base y exponente de una potencia Realiza las actividades correctamente Realiza las actividades en el tiempo estipulado L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Potencias 79

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Conocen el concepto de potencia.

Distinguen la base del

exponente, en una potencia. Trabajan con potencias de 10.

2. En la página 70 se explican dos

formas diferentes de desarrollar el producto de potencias de 10. Una vez que los estudiantes comprendan ambos métodos, puede sugerirles que cuando se enfrenten a una multiplicación de números compuestos por un 1 y muchos ceros, lo mejor es trabajar estos números como potencias con base 10 para así realizar procedimientos mucho más sencillos. 3. Incentive a sus estudiantes a encontrar una regularidad a partir de la multiplicación de potencias de 10, y que la expresen en lenguaje algebraico, por ejemplo: 10a · 10b = 10a + b. 4. Invite a alumnos y alumnas a realizar las actividades que se proponen en la página 71 y a que revisen las respuestas colectivamente pasando a la pizarra.

Actividad complementaria

Establecer equivalencias

1. Completa la siguiente tabla. En la primera columna aparecen valores de monedas y billetes del Sistema Monetario Nacional, en la segunda columna la cantidad de monedas o billetes con que se cuenta, en la tercera columna debes expresar numéricamente las cantidades totales de dinero que se representan y en la última columna debes expresar esas cantidades como potencias: Billete o moneda [$]

Cantidad de billetes o monedas

1 000

100

10 000

1 000

10 000

1 000

80 Texto del Estudiante - Unidad 3

Cantidad de dinero [$]

Como potencia [$]

Unidad 3

Reflexión ¿Qué utilidad consideras que tiene aprender a multiplicar potencias de 10?, ¿crees que puedes aplicar la metodología aprendida a otras potencias? A partir de estas preguntas puede iniciar con sus estudiantes una reflexión que debe estar encaminada a que alumnos y alumnas comprendan que, independientemente que a muchos los contenidos les resulten sencillos de comprender, estos no son más que una introducción a otros tipos de actividades más complejas y que les serán de gran utilidad, no solo para el desarrollo de temas posteriores, sino también para comprender informaciones importantes que son expresadas como potencias, tales como datos que implican números extremadamente grandes, como por ejemplo, las distancias entre los planetas.

Resolver problemas

Aclaración de conceptos Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1, es decir: a0 = 1 para todo a ≠ 0 00 no está definido, porque: 00 = 0-1 · 01 = 0/0 Calcular mentalmente

Evaluación

Invite a sus estudiantes a resolver las siguientes multiplicaciones y a confeccionar un informe escrito de respuestas que usted podrá evaluar a través de algunas de las pautas de evaluación que se proponen en las páginas 224 a 227: 102 · 104

102 · 1018

1010 · 103 · 109

107 · 109 · 103 · 1010 · 102

100 · 105

1020 · 104

105 · 108 · 103

1010 · 104 · 1015 · 107 · 102

1010 · 103

105 · 104

100 · 1010 · 101

1010 · 1010 · 1010 · 1011 · 103

1015 · 109

102 · 104 · 100

101 · 104 · 105 · 102 · 103

101 · 102 · 103 · 104 · 105

101 · 100

106 · 104 · 107

100 · 105 · 109 · 103 · 1010

109 · 105 · 101 · 1021 · 105

Potencias 81

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Definen potencia como la

forma de representar la multiplicación reiterada de un número. Distinguen la base del exponente en una potencia. Conocen unidades de medida de longitud y de masa.

2. El trabajo con las multiplica-

ciones de un número natural por una potencia de 10 no solo sirve de introducción a temas posteriores sino que refuerza conocimientos sobre las unidades de medida del Sistema Métrico Decimal y las conversiones de unidades. 3. Los estudiantes en este nivel ya realizan multiplicaciones y divisiones entre números de más de 6 cifras, por lo tanto, para el desarrollo del problema resuelto le sugerimos que les proponga efectuar las siguientes multiplicaciones: 6 400 · 1 6 400 · 10 6 400 · 100 6 400 · 1 000 6 400 · 10 000 6 400 · 100 000 4. Dibuje en la pizarra una tabla de dos columnas, donde coloque en la primera columna las multiplicaciones; y en la segunda, los productos. Haciendo esto, puede ayudar a los alumnos y alumnas a que encuentren la regularidad en este tipo de multiplicaciones. Una vez encontrada la regularidad, puede pedir a un estudiante que convierta los factores en potencias de 10 y que nuevamente encuentren la regularidad.

Actividad complementaria

Transformar unidades

1. Pida a sus estudiantes que completen la siguiente tabla con la conversión solicitada y describiendo a continuación una situación donde se pueda aplicar tal conversión: Cantidad 40 km

Unidad a la que se convierte mm

900 m

5 000 km

3 kg

300 kg

70 000 km

82 Texto del Estudiante - Unidad 3

Potencia

Resultado

Ejemplo

Unidad 3

Diversidad

Manipular aritméticamente

Resolver problemas

Puede que algunos de sus estudiantes no recuerden algunas conversiones de unidades, para remediar esto puede hacer un cuadro similar al de la página 69 del texto donde se encuentren los prefijos del Sistema Internacional de Unidades, lo cual les ayudará no solo a recordar las unidades y las conversiones que ya conocen sino también a deducir y asociar otras, aplicándolas también a otros campos como la computación (prefijos mega, giga y tera).

Aclaración de conceptos Mencione a sus estudiantes que cuando se habla de kilogramos o toneladas se hace referencia a la masa de un cuerpo, y no a su peso. Advierta que en mucha literatura se señala el peso de un cuerpo utilizando estas unidades, pero que este uso es indebido, ya que el peso describe una fuerza que está relacionada con la atracción gravitatoria que ejerce un planeta sobre los objetos que están en sus inmediaciones.

Evaluación Pida a sus estudiantes que resuelvan los siguientes problemas: A Victoria el médico le recetó un remedio del cual tiene que tomar 0,1 mg por cada gramo de masa corporal. Si la masa corporal de Victoria es de 75 kg, ¿cuánto medicamento debe tomar? Luis fue con su mamá a la feria. Si una de las bolsas transportaba 5 kg y la otra 7 kg, ¿cuántos gramos transportaban las dos bolsas? ¿Cuántos miligramos transportaba cada bolsa? Evalúe la resolución de los problemas anteriores a través de la siguiente lista de cotejo: Indicadores

Interpreta adecuadamente los problemas Implementa una metodología para resolver los problemas Utiliza potencias de 10 en la resolución de los problemas

Potencias 83

Orientaciones metodológicas 1. Antes de comenzar la clase, constate que los estudiantes:

Trabajan con decimales

las operaciones de multiplicación y división. Conocen el concepto de potencia. Multiplican potencias de 10 por números naturales.

2. De unidades anteriores, los es-

tudiantes manejan la multiplicación y división de números decimales, por lo que sugerimos que comience la clase con una breve ejercitación que implique la multiplicación de un número decimal por uno entero. 3. Explique a sus estudiantes que el método que se entrega en la página 74 no es más que un procedimiento para simplificar la operatoria y que surge de la regularidad en la multiplicación de este tipo de números. Usted puede fundamentar esto a partir de ejemplos, mediante los cuales los estudiantes puedan comprobar la regularidad que existe en este tipo de ejercicios y luego aplicar el método de correr la coma hacia la derecha, tantos lugares como ceros tenga la potencia de 10. 4. Invite a sus estudiantes a realizar las actividades que se proponen en la página 75 y sugiérales que realicen la comprobación mediante el método que conocían con anterioridad. Puede ser importante que acote que el procedimiento aprendido solo se cumple cuando es una potencia de 10 y no con cualquier número que sea múltiplo de una potencia de 10, por ejemplo, esto no se cumple para operaciones como 5,5 · 2 000.

Actividad complementaria

Manipular aritméticamente

1. Completa la siguiente tabla con el producto de cada multiplicación: · 102 6,53649 835,481005

84 Texto del Estudiante - Unidad 3

0,0016273 9,126481 5,16253098 3 0,000061242

· 105

· 1010

· 1012

Unidad 3

Errores frecuentes

Aplicar procedimiento

Calcular mentalmente

Evaluación A través de la siguiente tabla sus alumnos y alumnas podrán evaluar el nivel de comprensión que han conseguido del tema trabajado: Indicador Comprendí la regularidad al multiplicar números decimales por potencias de 10 Resolví los ejercicios correctamente Contribuí en la correcta realización de la actividad grupal Trabajé en forma ordenada Cumplí con los tiempos dados por el docente

Sí

A veces

Una vez que los estudiantes conocen la metodología para multiplicar un número decimal por una potencia, el procedimiento lo aplican en forma mecánica y muchas veces desde el principio intentan correr la coma de forma mental, lo que conlleva a errores, ya sea colocando la coma una cifra antes o una cifra después del lugar donde debe estar. Explique a sus estudiantes que una coma colocada incorrectamente significa un resultado incorrecto, pues, por ejemplo: 3,456 · 1 000 = 3 456. Si cometieran un error podrían obtener 345,6 que no es el producto de la multiplicación anterior sino de 3,456 · 100.

Anotaciones: Potencias 85

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Conocen el valor posicio-

nal en los números naturales y en los números decimales. Conocen el concepto de potencia. Multiplican potencias de 10. Multiplican potencias de 10 por números naturales.

2. Escriba en la pizarra algunos

números naturales y pida a sus estudiantes que indiquen el valor posicional de cada uno de los dígitos. 3. Analice con los alumnos y alumnas la página 76 del texto. Explique que una vez realizada la descomposición canónica, para comprobar si se realizó correctamente, solo hay que efectuar las multiplicaciones que aparecen y luego sumar los productos; si el resultado obtenido coincide con el número que intentamos descomponer la descomposición canónica es correcta. 4. Invite a sus estudiantes a realizar las actividades propuestas en la página 77. Acote que deben tener en cuenta que la multiplicación de cualquier número por 0 es 0, por lo tanto, el lugar que ocupa un dígito 0 dentro del número no se pone, sin embargo, hay que tener en cuenta que el número siguiente mantiene su posición, por ejemplo: 20 081 = 2 · 104 + 8 · 101 + 1 · 100. El lugar que corresponde a 0 · 103 + 0 · 102 no se escribe porque ambas multiplicaciones dan 0 como resultado.

Actividad complementaria

Aplicar procedimiento

1. Efectúa la descomposición canónica de los siguientes números: 263 75 862 87 455 620 7 462 85 635 84 653 5 462 729 412 738 5 057 110 90 174 5 143 825 346 44 833 9 087 102 517 483 900 20 007 162 3 001 200 73 416 200 6 341 947 5 372 894 42 630 174

86 Texto del Estudiante - Unidad 3

Unidad 3

Errores frecuentes

Establecer equivalencias

El valor posicional en los números naturales es un tema que los estudiantes ya conocen, pero es posible que alguno no lo recuerde y lo confunda con la relación de orden. Recuerde la diferencia entre ambos conceptos y recalque en lo concerniente al valor posicional entregando una serie de números para que los estudiantes identifiquen el valor de posición de cada uno de sus dígitos.

Aclaración de conceptos Realice con sus estudiantes la siguiente deducción que los ayudará a no olvidarse de la potencia que corresponde a cada valor de posición: U

·1

· 100

· 10

· 101

· 100

· 102

· 1 000

· 103

· 10 000

· 104

· 100 000

· 105

Umi · 1 000 000

· 106

Dmi · 10 000 000

· 107

Cmi

· 108

· 100 000 000

Evaluación Entregue a sus estudiantes la siguiente autoevaluación en la que deben pintar en el gráfico el porcentaje de logro de cada objetivo: A

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

A: Comprendí la relación entre la descomposición canónica y el valor posicional. B: Realicé la descomposición canónica. C: Tuve en cuenta la posición del 0 al momento de descomponer canónicamente. D: Comprobé los resultados realizando las operaciones señaladas.

Potencias 87

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Conocen las potencias como la forma de representar la multiplicación reiterada de un número. Distinguen la base del exponente en una potencia. Multiplican potencias de 10.

2. Invite a sus estudiantes a leer

el problema resuelto de la página 78 y analice con ellos las dos formas que se describen para resolver el ejercicio. 3. Puede que a ellos les resulte más sencillo trabajar la forma de eliminar los ceros en la fracción, pero puede explicarles que este es un método adecuado para potencias de 10 pequeñas, pues cuando la potencia de 10 posee muchos ceros es mucho mejor aplicar el segundo método. 4. Invite a sus estudiantes a realizar las actividades que se proponen en la página 79 y luego haga una puesta en común con los resultados. Mediante ella podrá averiguar el nivel de comprensión que han adquirido los estudiantes del contenido tratado.

Actividad complementaria 1. Completa la siguiente tabla: División

División como potencia

Cociente

1 000 / 10 000 108 / 105 106 10 000 000 / 100 1010 1024 / 107 100

88 Texto del Estudiante - Unidad 3

Manipular aritméticamente

Unidad 3

Diversidad

Calcular mentalmente

Aplicar procedimiento

Los estudiantes aprendieron que las fracciones donde el numerador es menor que el denominador se llaman propias y que de ellas se obtienen como cocientes números entre 0 y 1. Puede que algunos alumnos y alumnas le pregunten qué sucede cuando, trabajando con las potencias de 10, el dividendo es menor que el divisor. Explique que con este tipo de división sucede lo mismo, se obtiene un cociente entre 0 y 1. Demuestre esto en la pizarra. También puede explicar que cuando nos enfrentamos a una fracción de potencias de 10 y el numerador tiene un exponente menor que el denominador, el cociente será una fracción cuyo numerador es 1 y cuyo denominador es una potencia con base 10, siendo el exponente la diferencia de los exponentes de las potencias de la fracción inicial, por ejemplo: 105 / 107 = 1 / 107 – 5 = 1 / 102 Entonces, generalizando: 10a / 10b = 1 / 10b – a para a < b.

Errores frecuentes

Evaluación Evalúe los contenidos tratados en estas páginas a través de la aplicación de la Actividad complementaria. Luego puede completar la siguiente tabla: Aspectos a evaluar

Comprende las potencias

Muchos estudiantes al enfrentarse a ejercicios como 105/100 o 100/100, tienden a decir que no tienen solución porque la división por 0 está indeterminada. Es importante que recuerde a los estudiantes que una potencia con exponente 0 es igual a 1 y no a 0, por lo que este tipo de división sí es posible de realizar.

Divide potencias de 10 aplicando los dos métodos aprendidos en clase Comprende la aplicación del contenido Realiza las actividades correctamente Realiza las actividades en el tiempo estipulado L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Potencias 89

Orientaciones metodológicas 1. Antes de comenzar la clase, constate que los estudiantes:

Conocen el concepto de potencia.

Multiplican potencias de 10.

Multiplican números na-

turales y decimales por potencias de 10. Dividen potencias de 10. Conocen la descomposición canónica de un número natural usando potencias de 10.

2. Invite a sus estudiantes a anali-

zar el problema resuelto que se explica en la página 80 del Texto del Estudiante y pregúnteles que teniendo en cuenta que la división es la operación inversa de la multiplicación, ¿qué tipo de conversión de unidades consideran que implica la división de un número natural por una potencia de 10? 3. A partir del análisis del problema de la página 80 los estudiantes arribarán a la conclusión de que si al multiplicar estamos convirtiendo de una unidad mayor a una menor, entonces al dividir iremos de una unidad menor a una mayor, pero es importante que no aprendan esto de forma mecánica sino a través de la demostración, que puede realizar de la siguiente manera: Sabiendo que 1 km = 1 000 m entonces, 360 000 m · 1 km/1 000 m = 360 000 / 1 000 = 360 km. También lo puede analizar planteando una proporción que puedan resolver aplicando la propiedad fundamental de las proporciones.

Actividad complementaria

Aplicar procedimiento

1. Completa la siguiente tabla efectuando las divisiones que se solicitan: : 102 653 649 000 000 835 481 005 162 730 000 000 912 648 184 093 000 516 253 098 000 000 3 000 000 000 000 000 000 8 475 629 103 764 625 343

90 Texto del Estudiante - Unidad 3

: 105

: 1010

: 1012

Unidad 3

Reflexión

Manipular aritméticamente

Resolver problemas

Evaluación Pida a sus estudiantes que completen la siguiente tabla con la conversión solicitada y describiendo a continuación una situación donde se pueda aplicar: Convierte 40 kg 900 000 m

Unidad a la que se convierte t km

5 000 kg

3 030,5 mg

70 000 m

Potencia

Resultado

Ejemplo

La conversión de unidades es una aplicación importante de la división de números naturales por una potencia de 10, aunque no es la única. Una correcta asimilación de la metodología en el cálculo de este tipo de división permite que los educandos optimicen el cálculo mental y puedan aplicarlo a su vida cotidiana. Para reforzar esto puede plantearles oralmente preguntas en las que ellos tengan que convertir unidades que impliquen división, como por ejemplo: ¿cuántos kilogramos son 5 000 g?, ¿cuántos kilogramos son 5 000 000 mg?

Anotaciones: Potencias 91

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Conocen el concepto de potencia.

Manejan la multiplicación de potencias de 10.

Dividen números naturales por potencias de 10.

2. Lea en voz alta el enunciado

del problema resuelto de la página 82 y explique el procedimiento detalladamente. Pida a sus alumnos y alumnas que comparen el dividendo y el cociente, ¿qué ocurre? 3. Escriba en la pizarra ejemplos de divisiones de decimales por potencias de 10 donde el dividendo se mantenga y solo cambie la potencia de 10 y pida a sus estudiantes que las resuelvan usando sus calculadoras, por ejemplo: 334 536 : 101 = 33 453,6 334 536 : 102 = 3 345,36 334 536 : 103 = 334,536 334 536 : 104 = 33,4536

Pida que observen los cocientes y lleguen a conclusiones a partir del análisis de la regularidad. 4. Una vez analizada la regularidad realice un ejercicio similar al anterior pero donde puedan comparar la multiplicación y la división, por ejemplo: 334 : 101 = 33,4 y 334 · 101 = 3 340 334 : 102 = 3,34 y 334 · 102 = 33 400 334 : 103 = 0,334 y 334 · 103 = 334 000 Invite a sus estudiantes a comparar los productos y los cocientes y luego resumir las diferencias a partir del análisis de la regularidad observada.

Actividad complementaria

Manipular aritméticamente

1. Resuelve las siguientes divisiones: 678,99 : 1 000 2,666 : 1 000 100,6 : 105 6,424857 : 100 6 566,3 : 104 4,24 : 104 2. Determina la potencia de 10 que debe aparecer como divisor en las siguientes divisiones: 2,05 : = 0,000205 47,339 : = 0,0000000047339 405,653 : = 4,05653 0,005 : = 0,000005 0,0298 : = 0,00000298 2,05 : = 0,000205 3. Determina el dividendo de las siguientes divisiones: : 105 = 0,00000886 : 103 = 0,0000000766 4 : 10 = 6,041 : 108 = 0,3886459 : 103 = 0,072 : 1012 = 0,04473

92 Texto del Estudiante - Unidad 3

Unidad 3

Historia y números

Manipular aritméticamente

El hecho de que el mundo occidental haya adoptado el sistema decimal no es algo tan trivial. Mayas y Aztecas utilizaban un sistema no basado en el número diez sino en el 20; mientras que griegos y romanos tenían sistemas de numeración muy engorrosos que no contemplaban el cero. Gracias al aporte de los árabes y de los indios principalmente, tenemos un sistema basado en el 10, que según los antropólogos, está basado en el número de dedos que poseemos en manos y pies.

Aclaración de conceptos Recuerde a sus estudiantes algunas unidades de área, a propósito del problema propuesto en la página 83 del texto. En particular, mencione que un metro cuadrado corresponde al área que posee una superficie cuadrada cuyos lados miden 1 m de longitud. Dibuje en la pizarra una superficie de estas características para que los estudiantes tengan una noción real de lo que esta unidad de medida representa.

Evaluación A través de la siguiente tabla los estudiantes podrán evaluarse los unos a los otros en relación al trabajo grupal: Indicador

Sí

A veces

Obtuvo los resultados correctos en los Ejercicios individuales Aplicó una estrategia adecuada para comprobar los resultados de los ejercicios Analizó correctamente las regularidades Contribuyó al trabajo en equipo aportando ideas Trabajó ordenadamente

Potencias 93

Orientaciones metodológicas 1. Antes de comenzar la clase, constate que los estudiantes:

Definen una potencia

como la multiplicación reiterada de un mismo número. Conocen las potencias de 10 y realizan con ellas operaciones de multiplicación y división. Realizan operaciones de multiplicación y división de números naturales y decimales por potencias de 10. Descomponen canónicamente números naturales utilizando potencias de 10.

2. La Resolución de problemas

servirá a los estudiantes para practicar y aplicar la mayoría de los contenidos tratados en la unidad. El Problema modelo, además de servir de ejemplo, entrega una metodología de resolución aplicada a la situación enunciada. Explique a sus estudiantes que la metodología sugerida no es necesariamente la única que permite llegar a la solución correcta, sino que lo fundamental es que ellos comprendan que para poder llegar al resultado correcto de una actividad deben desarrollar un algoritmo similar que favorezca la organización y rigurosidad del trabajo. 3. Luego de analizar el Problema modelo usted puede orientar la resolución de los problemas propuestos en forma individual o grupal y luego hacer una puesta en común con los resultados obtenidos por cada estudiante o grupo de estudiantes.

Actividad complementaria

Establecer equivalencias

1. Agrupados en parejas inventen problemas similares a los que se plantean en el texto y para cuya resolución tengan que ocupar potencias de 10. 2. En grupos realicen una investigación sobre nuestra galaxia y encuentren datos numéricos concretos (y que no hayan sido utilizados en la unidad). Coloquen la información en una tabla y destinen una columna para expresar los números encontrados como el producto de un número natural por una potencia de 10. 3. Realicen un trabajo similar al anterior pero con las eras geológicas. Investiguen la duración de las eras geológicas de la Tierra y exprésenlas usando números naturales y potencias de 10. Así, además de ejercitar las potencias de 10, comprenderán diversos aspectos relacionados con la formación de nuestro planeta.

94 Texto del Estudiante - Unidad 3

Unidad 3 Resolver problemas

Reflexión ¿Qué tipo de problemas podemos resolver aplicando las potencias de 10? Con esta pregunta puede iniciar una reflexión asociada a las aplicaciones de las potencias en la vida cotidiana y en el quehacer científico. Encamine la reflexión a la resolución de problemas y al hecho de que los problemas que se plantean en la clase no son más que una manera de plantear una situación que podría ser real.

Aclaración de conceptos Señale a sus estudiantes, a propósito del primer problema propuesto en la página 85 del texto, que el Sistema Solar consta solo de 8 planetas, ya que Plutón dejó oficialmente de pertenecer a esta categoría de cuerpo celeste el 24 de agosto de 2006, debido a su reducido tamaño y a las importantes diferencias que presenta su órbita en torno al Sol, respecto a las órbitas de los 8 planetas: Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno.

Evaluación Entregue a sus estudiantes el siguiente esquema a través del cual podrán autoevaluar su desempeño durante el desarrollo de las actividades: A

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

A: Comprendí la explicación del problema modelo. B: Apliqué la metodología sugerida para resolver los problemas propuestos. C: Trabajé ordenadamente y en el tiempo establecido. D: Comprobé los resultados.

Potencias 95

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Conocen el concepto de potencia.

Conocen y han trabajado con Excel.

2. La Tecnología activa es una

sección destinada a que los estudiantes apliquen lo aprendido en la unidad utilizando para ello herramientas tecnológicas como la calculadora o como un programa de computación. 3. Explique a los estudiantes algunas características del programa Excel y comente la posibilidad de utilizarlo en otros ramos y en otros ámbitos para, apoyándose en su menú de ayuda, encontrar más bondades de esta aplicación informática. 4. Para trabajar la actividad propuesta en el texto, pida a sus estudiantes que se agrupen en parejas y que recuerden las medidas que hay que tomar para trabajar en la sala de computación. 5. Invite a un estudiante a leer el enunciado de la actividad y luego exhorte a los niños y niñas a seguir los pasos que se describen. 6. Sugiera a sus alumnos y alumnas que a medida que completen cada paso lo vayan marcando en el texto pues de esta forma se aseguran de no saltarse ninguno. 7. Revise los gráficos resultantes obtenidos por cada pareja de trabajo. 8. Oriente la realización del resto de las actividades y si le queda tiempo puede proponer las que aparecen como Actividad complementaria.

Ocupar herramienta tecnológica

Actividad complementaria

1. Pida a sus estudiantes que completen las tablas que se muestran a continuación y que luego grafiquen sus datos ocupando Excel: Exponente

Exponente

Valor de 7 x Exponente Valor de 9 x

96 Texto del Estudiante - Unidad 3

Valor de 5x

Unidad 3

Ocupar herramienta tecnológica

Errores frecuentes Uno de los errores recurrentes de los estudiantes al momento de trabajar con tablas y gráficos en Excel es que al intentar construir el gráfico a partir de la tabla, la escala que se presenta en forma automática no es la más conveniente a nuestros intereses. Para remediar esto explique a sus alumnos y alumnas que tienen la alternativa de una vez construido el gráfico dar doble clic sobre el eje donde se encuentra la escala no deseada, abriéndose un menú que contiene la opción “Escala”, en la cual pueden hacer los ajustes necesarios.

Evaluación Entregue a sus estudiantes la siguiente tabla a través de la cual podrán evaluar unos a otros su desempeño en el desarrollo de la actividad: Indicadores Maneja el programa Excel Resuelve adecuadamente las actividades Consulta sus dudas Comparte los resultados Respeta ideas diferentes a la suya Valora otras alternativas

Sí

A veces

Anotaciones: Potencias 97

Sintetizar información

Orientaciones metodológicas 1. Antes de comenzar la clase, constate que los estudiantes:

Definen una potencia

como la multiplicación reiterada de un mismo número. Conocen las potencias de 10 y realizan con ellas operaciones de multiplicación y división. Multiplican y dividen números naturales y decimales por potencias de 10.

2. En la página 88 del texto se

resumen a modo de síntesis los temas más importantes trabajados en la unidad. Puede orientar una actividad preguntando a los estudiantes por los contenidos de la unidad que consideran más importantes y escribiendo cada uno de los aportes en la pizarra. 3. Luego pida a los alumnos y alumnas que abran sus textos y comparen cada unas de las fichas de la síntesis con los contenidos que se encuentran en la pizarra. Si encuentra un tema mencionado por los estudiantes que no se encuentra explicitado en las fichas, confeccione en conjunto con el curso una nueva ficha y si hay algún tema descrito en las fichas y que los estudiantes no mencionaran vuelva a la página del texto donde se detalla y recuérdeles en qué consiste. 4. En la página 89 se inicia el proceso evaluativo a partir de una serie de actividades representativas de cada uno de los contenidos trabajados. 5. Explique al curso que el principal objetivo de la evaluación consiste en que los estudiantes tomen conciencia de sus fortalezas y debilidades en cada tema.

Calcular mentalmente

Actividad complementaria

Establecer equivalencias

1. Expresa como la multiplicación de un número natural y una potencia de 10 los siguientes números: 2 720 000 000 000 434 360 000 000 240 000 000 000 000 748 000 000 9 000 000 000 000 000 300 000 000 000 000 25 000 000 120 400 2. Expresa como potencias las siguientes multiplicaciones: 4 · 4· 4 · 4 · 4 10 · 10 · 10 · 10 · 10 5·5·5·5 x·x·x·x 7·7 m·m·m 2·2·2·2·2·2·2·2·2 a·a·a·b·b

98 Texto del Estudiante - Unidad 3

Unidad 3

Aplicar procedimiento

3. Resuelve las siguientes operaciones con potencias de 10: 102 · 105 · 100 320 000 : 1010 1 9 2 10 · 10 · 10 2,3544 · 105 10 4 000 : 10 234,43 · 106 10 · 10 · 100 · 10 · 1 000 37 · 103 4. Descompón canónicamente los siguientes números utilizando potencias de 10: 4 563 524 700 000 000 734 410 988 978 588 476 9 340 012 100 000 900 60 505 2 476 005 024

Aclaración de conceptos La potenciación es la operación matemática que se denota como an y cuyo significado varía en dependencia de la naturaleza del exponente. Cuando n es un número natural (o entero positivo) an = a · a · a ·… · a 1442443 n veces Si el exponente es un número entero negativo -n entonces a-n = 1/an.

Anotaciones: Potencias 99

Manipular aritméticamente

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Definen una potencia

2. La unidad que termina ha ser-

vido para introducir a los estudiantes en el trabajo con las potencias, es por ello que le sugerimos que trabaje estas páginas de evaluación con el fin de diagnosticar problemas que pueden persistir en los estudiantes. Es importante que alumnos y alumnas culminen esta unidad con el mínimo de inquietudes, pues esta es la base para todo el trabajo con potencias que verán a lo largo de su vida escolar. 3. Invite a sus estudiantes a que resuelvan las actividades que se proponen para luego hacer una puesta en común con los resultados. Puede también pedir que alumnos y alumnas marquen las preguntas que le han generado dudas de modo que luego usted pueda esclarecerlas.

Actividad complementaria 1. Invite a sus alumnos y alumnas a marcar la alternativa correcta en cada caso: El número 22 000 000 000 000 corresponde a: b) 220 · 1010 c) 220 · 1013 d) 22 · 1010 a) 2,2 · 1013 Un tren tiene 10 vagones, en cada vagón hay 10 contenedores, en cada contenedor 10 cajas y en cada caja 10 paquetes con 10 kg de papel cada uno. ¿Cuántos kilogramos de papel van en el tren? b) 105 c) 1 · 106 d) 5 · 101 a) 104 En una fábrica se envasa leche en polvo en paquetes de 100 kg. Si un lote corresponde a 9 000 kg, ¿cuántos paquetes se completarán? a) 9 b) 90 c) 900 d) 9 · 102

100 Texto del Estudiante - Unidad 3

Unidad 3

Aclaración de conceptos La notación científica utiliza las potencias de 10 para expresar números muy grandes o números muy pequeños. Se utiliza en áreas científicas tales como la astronomía o la cartografía. Consiste en expresar un número mediante una expresión del tipo A · 10B; en donde A es un número mayor o igual que 1 y menor que 10; y B es un número entero. En este nivel, B debe definirse como un número natural. Ejemplos de notación científica son: 2 · 106 = 2 000 000 5,14 · 108 = 514 000 000

Evaluación Es importante que usted esté al tanto del nivel de comprensión que alcanzaron los estudiantes de cada uno de los contenidos, es por esto que le sugerimos entregue a cada alumno y alumna la siguiente tabla donde se detallan los contenidos más importantes y donde ellos deben escribir el porcentaje de comprensión que tienen de cada tema:

Contenidos

Porcentaje

Multiplicación de potencias de 10 Multiplicación de un número natural por una potencia de 10 Multiplicación de un número decimal por una potencia de 10 Descomposición canónica de un número natural usando potencias de 10 División de potencias de 10 División de números naturales y decimales por potencias de 10

Potencias 101

4 Unidad

Ecuaciones de primer grado

Sección

Planificación Unidad 4 Objetivos Fundamentales Verticales yyReducir términos semejantes para obtener expresiones algebraicas simplificadas. yyExpresar situaciones cotidianas mediante expresiones algebraicas. yyPlantear ecuaciones de primer grado para resolver problemas contextualizados. yyResolver ecuaciones de primer grado y validar la solución.

Clase

Horas

Entrada de unidad Actividad inicial

yyInterpretan información y la expresan mediante lenguaje algebraico. yyAnalizan situaciones que pueden ser descritas mediante sencillas ecuaciones de primer grado.

Términos semejantes Reducción de términos semejantes

yyDefinen términos semejantes en una expresión algebraica. yyReducen términos semejantes a través de las operaciones de adición y sustracción.

Definición de ecuación de primer grado

yyDefinen ecuación de primer grado. yyPlantean sencillas ecuaciones de primer grado a partir de situaciones reales.

Resolución de ecuaciones de primer grado

yyResuelven ecuaciones de primer grado. yyResuelven problemas contextualizados.

Aplicaciones de las ecuaciones de primer grado Validación de la solución de una ecuación de primer grado

yyInterpretan situaciones y las expresan en lenguaje algebraico para luego describirlas y explicarlas planteando y resolviendo ecuaciones de primer grado. yyManejan estrategias para comprobar los resultados obtenidos al resolver una ecuación de primer grado.

Resolución de problemas

yyAplican los procedimientos aprendidos en la resolución de problemas.

Tecnología activa

yyUtilizan herramientas tecnológicas para obtener el valor de una expresión algebraica.

Síntesis de la unidad Evaluación

yySintetizan temas estudiados en la unidad. yyAplican conocimientos adquiridos para resolver actividades de evaluación.

102 Planificación - Unidad 4

Ruta de aprendizajes esperados

Unidad 4

Objetivos Fundamentales Transversales yyValorar, respetar y cuidar el medioambiente. yyCompartir e intercambiar experiencias sobre las medidas para cuidar el mundo en que vivimos. yyResolver problemas contextualizados en situaciones medioambientales a través de ecuaciones de primer grado.

Materiales Contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales

Evaluación

Páginas Texto 92 – 95

Páginas Guía 104 – 107

96 – 99

108 – 111

Actividad de evaluación formativa: autoevaluación y lista de cotejo

yyDefinición del concepto de ecuación de primer grado. yyEstablecimiento de la relación entre una balanza y una ecuación de primer grado. yyPlanteamiento de ecuaciones de primer grado sencillas.

100 – 101

112 – 113

Actividad de evaluación formativa

yyResolución de ecuaciones de primer grado aplicando convenientemente las propiedades de la adición y de la multiplicación y sus operaciones inversas. yyOperación en ambos miembros de la ecuación como la forma correcta de llegar a la solución.

102 – 103

114 – 115

Actividad de evaluación formativa: autoevaluación

yyPlanteamiento y resolución de ecuaciones para encontrar la solución a una situación real. yyEstablecimiento de una metodología adecuada para validar la solución de una ecuación de primer grado.

104 – 107

116 – 119

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyPlanteamiento y resolución de problemas contextualizados. yySeguimiento de metodología para resolver problemas.

108 – 109

120 – 121

Actividad de evaluación formativa: autoevaluación

yyImplementación de metodología para determinar el valor de una expresión algebraica utilizando herramientas tecnológicas.

110 – 111

122 – 123

Actividad de evaluación formativa: coevaluación

yyValoración y utilización de los conocimientos adquiridos durante la unidad para aplicarlos a problemas y situaciones reales.

112 – 115

124 – 127

Actividad de evaluación sumativa: prueba escrita

yyInterpretación de información. yyIntroducción al trabajo con ecuaciones de primer grado. yyValoración del cuidado del medioambiente a través del reciclaje. yyDeterminación de los términos semejantes en una expresión algebraica. yyReducción de términos semejantes.

Actividad de evaluación formativa: coevaluación

Ecuaciones de primer grado 103

Orientaciones metodológicas 1. En el curso anterior los alum-

nos y alumnas iniciaron el estudio del lenguaje algebraico como el lenguaje de los símbolos aplicado a las matemáticas. En la unidad que se inicia conocerán un nuevo concepto: las ecuaciones de primer grado. Para trabajar estas páginas introductorias puede comenzar haciendo un recuento de los conocimientos previos que tienen sus estudiantes sobre el tema y puede añadir que las ecuaciones de primer grado son igualdades compuestas por expresiones algebraicas y que se cumplen para un solo valor de la incógnita. Con esta breve introducción los estudiantes estarán preparados para comprender el recuadro En esta unidad aprenderás a:. 2. Puede iniciar una reflexión con alumnos y alumnas a partir del texto ¿Cuidas las playas? que aparece en la página 93, en el cual se trata un tema asociado al objetivo transversal de la unidad y que puede vincular al contenido a través del problema que se plantea en la sección ¿Puedes resolver? 3. Invite a sus estudiantes a intentar resolver este problema, aclarando que la finalidad de esta sección es que ellos comprendan la aplicación de las ecuaciones de primer grado a problemas de su entorno cercano.

Actividad complementaria

Verificar propiedades

1. Invite a sus estudiantes a determinar en cada caso si lo que se plantea es verdadero (V) o falso (F): a·b=b·a a + b + c = a · (b + c) El doble de un número es x/2. Luis tiene el triple de la edad de Alejandro. Esto se representa como a = 3b, donde a es la edad de Luis y b la de Alejandro. Sofía compró la mitad de kilogramos de manzanas que de peras. Esto se expresa como a = b/2, donde a es la cantidad de manzanas y b la de peras. a · (b · c) = b · (a · c)

104 Texto del Estudiante - Unidad 4

Unidad 4

Presentación de la unidad A través del desarrollo de los contenidos de la presente unidad, los alumnos y alumnas profundizarán en el estudio del lenguaje algebraico a través de la reducción de términos semejantes, que permitirá comenzar el trabajo con ecuaciones de primer grado que podrán resolver aplicando las propiedades asociativa y conmutativa o las operaciones inversas, es decir, adición-sustracción, multiplicación-división. En sentido general, los estudiantes podrán comprender la aplicación de las ecuaciones a partir del análisis de problemas contextualizados, que en su mayoría estarán relacionadas con el tema trasversal que articula la unidad: el medioambiente. A través de ellos los educandos recibirán información matemática que formularán mediante ecuaciones de primer grado con una incógnita y a su vez comprenderán la importancia del cuidado y conservación del mundo que nos rodea.

 Red conceptual

Aplicación de operaciones inversas a través

Ecuaciones de a través de primer grado

Igualdad de expresiones algebraicas

permiten determinar

Valor de la incógnita mediante

Reducción de términos semejantes

a través de

Propiedad asociativa Propiedad conmutativa

Comprender y generalizar permiten propiedades y relaciones numéricas

Ecuaciones de primer grado 105

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Conocen el lenguaje algebraico.

Escriben expresiones algebraicas a partir de una situación dada. Comprenden que en las expresiones algebraicas las incógnitas pueden asumir cualquier valor numérico.

2. Para introducir la Actividad

inicial puede conversar con sus estudiantes sobre el reciclaje y los beneficios de reciclar. Realice preguntas como: ¿qué significa reciclar?, ¿qué materiales se pueden reciclar? 3. Invite a sus alumnos y alumnas a elegir algunos de sus compañeros y compañeras para que dramaticen la historieta de la página 94. 4. Respondan en conjunto las preguntas que se formulan en relación a la historieta para que los estudiantes a través de ellas recuerden conocimientos previos. 5. Preste especial atención a las dudas que puedan surgir durante el desarrollo de la actividad 3, pues los niños y niñas pueden realizar una mala interpretación del ejercicio, es por ello que le recomendamos que haga previamente una lectura aclaratoria del mismo. 6. Oriente el resto de las actividades para que las realicen en parejas o tríos, luego realice una puesta en común con todas las respuestas. Analice las respuestas correctas y corrija las incorrectas.

Actividad complementaria

Resolver problemas

1. En una empresa, cada cierto tiempo se recoge papel para ser reciclado. En el mes de junio se recogió papel de tres tipos: papel blanco, corrugado y mixto. ¿Cómo representarías algebraicamente la cantidad de papel que se recicló? Si la masa de papel corrugado era el doble de la de papel blanco y esta, a su vez, era la tercera parte de la masa de papel mixto, ¿cómo representarías la nueva condición? Si consideramos que la masa de papel blanco fue de 50 kg, ¿qué cantidad de los otros dos tipos de papel se recogió? Ocupa las relaciones de la pregunta anterior.

106 Texto del Estudiante - Unidad 4

Unidad 4

Reflexión ¿Qué es el lenguaje algebraico? ¿Para qué nos resulta útil el lenguaje algebraico? Con estas preguntas puede iniciar con sus estudiantes una reflexión que no solo le servirá para introducir esta actividad sino que hará a los estudiantes recordar contenidos estudiados en el curso anterior. Durante este intercambio puede inducir a sus estudiantes a realizar una especie de paseo por los contenido estudiados, como la utilización del lenguaje algebraico para expresar propiedades matemáticas, respecto a esto puede explicarles que en libros avanzados de matemática se utiliza muy a menudo el lenguaje algebraico para representar teoremas y definiciones y a través de él se construyen frases completas y si dominamos la simbología seremos capaces de comprenderlos.

Evaluación Para evaluar la Actividad inicial, puede entregar a los alumnos y alumnas la siguiente tabla a través de la cual podrán evaluarse unos a otros en cuanto al desempeño en el trabajo grupal: Indicadores Participa en el trabajo grupal Aporta sus ideas para la realización de la actividad Respeta las ideas de los demás compañeros y compañeras Ayuda al compañero o compañera que lo requiera Comparte sus resultados

Sí

A veces

Anotaciones:

Ecuaciones de primer grado 107

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Conocen el lenguaje algebraico.

Trabajan con expresiones algebraicas.

Sustituyen variables en expresiones algebraicas.

2. Para trabajar estas páginas

le sugerimos la utilización de material concreto, que pueden ser frascos de bebidas, libros, pelotas de diferentes colores, etc. La idea es que muestre a través de este material, ejemplos de términos semejantes. 3. Si trabaja con pelotas de colores (por ejemplo 5 pelotas azules y 5 rojas), puede tomar bolsas transparentes y dentro de cada una de ellas poner pelotas de la siguiente manera: Bolsa

Pelotas

1 azul y 1 roja

2 rojas

2 azules y 2 rojas

1 roja

1 azul

2 azules

4. Una vez preparadas las bolsas

pregunte a los estudiantes ¿qué bolsas consideran que son semejantes? y a partir de esta pregunta puede deducir junto a ellos el concepto de término semejante. Explique que en este caso la semejanza está dada por el color de las pelotas y no por la cantidad, pues lo que se compara es el color o la combinación de colores, es decir, una bolsa que contiene 2 pelotas rojas y otra que contiene 1 pelota roja son semejantes.

Actividad complementaria 1. Pida a sus estudiantes que señalen con colores diferentes los términos semejantes: 2x + 3y – 5x + 10 – 6y + x x + y + z – xyz + 3x + 5y + 2z + 6xyz 7c + 2a + 7x – x – c + 10a 4ab + 3bc + 15d – 2ab – bc + 5d 4 – 3x + 2x + 5y – 2 3 a + 2ab + 6ab – 7b x + 6x + 2ab – b + ab – 3x + b/2 3x – 2x – 1 + x + 3 a – b + c – 2d + 2a + 5b + c + 4d 7 ab + 2 a – 4 – ab + 5a + 7 m + 25mn + n + 2m + 8n – 10 mn 4 + x – y + 5 + 3x – 1 + 3y – 4 + y

108 Texto del Estudiante - Unidad 4

Unidad 4

Reflexión Realice con sus estudiantes una reflexión que puede partir de la pregunta: ¿qué entiendes por semejante? Según el diccionario de la Real Academia Española, semejante es que semeja o se parece a algo o a alguien, pero, decir que dos cosas son semejantes no significa que sean idénticas, por ejemplo, dos personas son semejantes porque tienen la misma forma, tal vez el cabello es parecido, las facciones del rostro también pueden ser similares, pero no idénticas y no por eso dejan de ser semejantes.

Errores frecuentes Es usual que al momento de agrupar términos semejantes en expresiones como 2x + xy + 5 – x, los alumnos y alumnas consideren 2x, x y xy como términos semejantes bajo el argumento que el término xy contiene la x. Aclare que esto es un error porque los términos son semejantes cuando sus partes literales son idénticas y en un caso la parte literal es x y en el otro es xy.

Establecer equivalencias

Aclaración de conceptos

Evaluación Entregue a sus estudiantes la siguiente tabla con la finalidad de que evalúen el nivel de comprensión que han conseguido de los contenidos tratados hasta el momento:

Los términos de una expresión algebraica son la combinación de números y letras o números solos, relacionados por operaciones; es decir, en la expresión 2x + x – 5 los términos son: 2x, x y 5.

Indicadores Comprendí el concepto de expresión algebraica Identifiqué términos semejantes en una expresión Realicé las actividades correctamente Cumplí con los tiempos asignados para la realización de las actividades Trabajé en forma limpia y ordenada

Ecuaciones de primer grado 109

Orientaciones metodológicas 1. Antes de dar inicio a las activi-

dades de la clase, compruebe que sus estudiantes:

Manejan expresiones

algebraicas y sustituyen variables en expresiones algebraicas. Comprenden el concepto de término semejante.

2. Luego de estudiar los térmi-

nos semejantes los alumnos y alumnas se encontrarán listos para operar con ellos. Para esto, puede sugerir que trabajen de manera similar a cómo se describe en el ejercicio resuelto de la página 98, pero en caso que lo considere necesario pueden retomar la metodología del problema de la página 96, es decir, utilizando colores diferentes para los térmimos o de lo contrario haciendo diferentes marcas, pues de esta manera, cuando las expresiones a reducir contienen muchos términos se evita operar con un término más de una vez. 3. Puede, utilizando el material con que trabajó en la clase pasada, demostrar a los estudiantes cómo los términos semejantes pueden sumarse o restarse y los no semejantes no; para ello, puede tomar tres pelotas rojas y preguntar si es posible restarles una pelota azul. Esto evidentemente no es posible, porque no se puede restar algo que no existe. Lo mismo ocurre en las expresiones algebraicas. 4. Invite a sus estudiantes a realizar las actividades que se proponen en la página 99 y sugiérales que primero agrupen los términos semejantes y luego operen con ellos.

Actividad complementaria

Establecer equivalencias

1. Enlaza cada expresión algebraica de la izquierda con la expresión reducida de la derecha que le corresponde: 2x + 3x + 5 + 10 + 32x + 5y – x – y 2xy + 3x + 5yx + 10y + 2x – 5xy – 3x + 5y 8xy + 3x – yx + 7x – 3y 5xyz + xy + zx + 5yx + 7xz 5x + 3y + 5zx + 8 + y – 2x + x + 2z 9xy + y + x – 5 + 3yx

110 Texto del Estudiante - Unidad 4

7xy + 10x – 3y 5zxy + 6yx + 8zx 36x + 15 + 4y y + x – 5 + 12 yx 4x + 4y + 5xz + 2z + 8 2xy + 2x + 15y

Unidad 4

Diversidad Para enfrentarse a la reducción de términos semejantes no basta con tener claro el concepto, sino además, es necesario saber reconocer, sin lugar a dudas, los términos semejantes dentro de una expresión algebraica. Es óptimo que, en caso de considerarlo necesario, previamente al trabajo de estas páginas, retome el tema anterior y a partir de algunas expresiones vuelva a trabajar la identificación de términos semejantes, sobre todo en los casos más dudosos como son los casos donde se mezclan variables. Por ejemplo: 2xy + y – yx + 2y donde y y 2y son semejantes y 2xy y yx son semejantes. Tenga en cuenta que este último caso puede prestarse a confusión, por lo tanto, explique la propiedad conmutativa de la multiplicación: xy = yx.

Aplicar procedimiento

Evaluación Para evaluar el trabajo de este contenido puede utilizar una lista de cotejo como la que se sugiere, la cual usted puede ajustar en dependencia de las necesidades del curso: Indicadores

Comprende el concepto de término semejante Identifica términos semejantes Agrupa términos semejantes Reduce términos semejantes

L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Realiza adecuadamente las actividades propuestas en la clase

Ecuaciones de primer grado 111

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Manejan expresiones

algebraicas y sustituyen variables en expresiones algebraicas. Identifican términos semejantes y operan con ellos.

2. En la página 100 se propo-

ne un problema resuelto a partir del cual se deduce una ecuación de primer grado. Le recomendamos que desglose las expresiones del problema para que vaya construyendo la ecuación en la pizarra con la ayuda de los estudiantes. 3. Converse con sus estudiantes sobre las balanzas de platillos, en las que para saber la masa de un objeto, este se coloca en uno de los platos, colocando en el plato contrario pequeñas pesas previamente taradas, hasta que logramos estabilizar dichos platillos, entonces sabemos que en ambos lados de la balanza tenemos la misma masa. Esta explicación la puede ir ilustrando en la pizarra y luego establecer la similitud entre la balanza y la ecuación, de modo que los alumnos y las alumnas puedan comprender el concepto de ecuación de primer grado. 4. Indique al curso que para resolver ecuaciones, pueden dibujar balanzas y así constatar que el procedimiento realizado es correcto. 5. Pida a los alumnos y alumnas que resuelvan las actividades propuestas en la página 101. Luego, invite a algunos a que pasen a la pizarra y expliquen la estrategia que utilizaron.

Definir concepto

Actividad complementaria

Resolver problemas

1. Da solución a los siguientes problemas mediante el planteamiento de ecuaciones lineales: Alejandro compró chocolates en el negocio que está cerca de su casa. Pagó con $ 1 000 y le devolvieron $ 500. ¿Cuánto le costaron los chocolates que compró? Entre la casa de Luis y la de Andrea hay 3 km de distancia. Si Luis ya recorrió 2,5 km, ¿qué distancia debe recorrer aún para llegar a la casa de Andrea? El toner de la impresora alcanza para imprimir 10 000 hojas. Si sabes que ha impreso 8 000, ¿cuántas más podrá imprimir? Francisca compró 2 gatos angora. Si cada gato le costó $ 40 000 y le devolvieron $ 3 750, ¿con cuánto dinero pagó su compra?

112 Texto del Estudiante - Unidad 4

Unidad 4

Aclaración de conceptos

Aplicar propiedades

Calcular mentalmente

Evaluación

Evalúe a sus alumnos y alumnas pidiendo que resuelvan las siguientes ecuaciones mentalmente: x+1=4 7x = 42 3x = 9 9–x=2 x + 5 = 15 17 + x = 34 x–2=8 10x = 700 5x – 5 = 0 2x = 150 2x = 50 33 – x = 11 x – 25 = 100 9x = 81 16 – x = 8 5x + 1 = 26 25 + x = 30 2x+ 5 + 3x + x – 5 = 18

Existen diferentes tipos de ecuaciones: las ecuaciones polinómicas enteras, las polinómicas racionales, las polinómicas irracionales y las no polinómicas. Las ecuaciones polinómicas enteras son de la forma P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio y entre este tipo de ecuaciones se encuentran las ecuaciones lineales o de primer grado que son del tipo ax + b = 0, con a ≠ 0; o cualquier otra ecuación que al operar, trasponer términos y simplificar, adoptan esa expresión. El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.

Anotaciones: Ecuaciones de primer grado 113

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Resuelven ecuaciones

sencillas basados principalmente en la intuición. Aplican la propiedad conmutativa y la asociativa para reducir términos semejantes. Aplican relaciones inversas entre operaciones a la resolución de ecuaciones.

2. La resolución de ecuaciones es

uno de los temas más importantes dentro del álgebra, y las ecuaciones lineales el primer paso en este conocimiento, lo cual le otorga una relevancia especial. Para trabajar estas páginas le sugerimos que se enfoque principalmente en la deducción, por parte de los estudiantes, de una metodología que les resulte útil para resolver las ecuaciones. Esta metodología debe hacer especial énfasis en el orden en que se debe operar, por ejemplo: 10x + 5 – 4x = 10 + x Agrupar y reducir términos semejantes en cada uno de los lados de la ecuación: 10x – 4x + 5 = 10 + x 6x + 5 = 10 + x Agrupar las incógnitas en un lado de la ecuación y los números en el otro, y volver a reducir términos semejantes: 6x + 5 = 10 + x / – x 6x – x + 5 = 10 5x + 5 = 10 /–5 5x = 5 Despejar la incógnita: 5x = 5 /:5 x=1 3. Solicite la realización de las actividades de la página 103, a través de la cual, los niños y niñas podrán ejercitarse en la resolución de ecuaciones de primer grado.

Actividad complementaria

Resolver problemas

1. Se planea construir un edificio en un terreno de forma rectangular. Durante el estudio del terreno se calculó un perímetro de 300 m, con el fin de cercarlo para evitar accidentes cuando se iniciara la construcción. ¿Cuánto mide cada lado del terreno si los lados mayores son el doble de los menores? 2. En la casa de Camila por concepto de electricidad se pagó en el mes de febrero el doble de lo pagado en enero. En el mes de marzo se pagaron $ 5 000 menos que la mitad del mes de febrero. Si entre los tres meses el gasto fue de $ 65 000, ¿cuánto gastaron cada mes del primer trimestre del año?

114 Texto del Estudiante - Unidad 4

Unidad 4

Errores frecuentes Las ecuaciones donde la incógnita está presente a ambos lados de la ecuación tienden a confundir a los estudiantes en el proceso de resolución. Para evitar esta confusión puede explicarles que la incógnita es un número cualquiera. Esto puede ejemplificarlo de la siguiente manera: 2x + 6 = x + 8 2x = x + 2 2x – x = x – x + 2 x=2

Aplicar procedimiento

Evaluación Entregue a sus estudiantes la siguiente tabla con la finalidad de que autoevalúen su desempeño durante el desarrollo de las actividades: Indicadores Ideé los problemas a partir de las ecuaciones entregadas Resolví correctamente las ecuaciones Para resolver las ecuaciones apliqué el método de las operaciones inversas Trabajé en el tiempo indicado por el docente Trabajé en forma limpia y ordenada

/–6 /–x

Anotaciones:

Ecuaciones de primer grado 115

Orientaciones metodológicas 1. Antes de dar inicio a las activi-

dades de la clase, compruebe que sus estudiantes:

Reconocen términos semejantes y simplifican expresiones algebraicas. Resuelven ecuaciones de primer grado con una incógnita. Comprueban la resolución a través de la sustitución del valor obtenido en la ecuación.

2. Estas páginas están destinadas

a que los alumnos y alumnas trabajen las ecuaciones de primer grado encaminadas fundamentalmente a resolver situaciones de índole cotidiano. Es por ello que la mayoría de las actividades se basan en la resolución de sencillos problemas de aplicación. 3. Pida a un estudiante que lea el enunciado y luego el problema resuelto de la página 104. Resuélvalo en la pizarra manteniendo un orden estricto de los pasos y las deducciones que realiza, para que los alumnos y alumnas no piérdan el hilo del desarrollo. 4. Recuérdeles que de considerarlo necesario pueden hacer dibujos representativos para ayudarse en la deducción y el análisis. 5. Estimule a los estudiantes para que resuelvan el Desafío al ingenio de la página 105. Indique que existen problemas más complicados que otros, y esto radica en el nivel de dificultad del enunciado para ser interpretado y convertido en una ecuación. Dé un tiempo para ver cuántos estudiantes logran resolver el problema y si considera prudente ayúdelos en la interpretación.

Actividad complementaria

Resolver problemas

1. Una lámina de acero de forma rectangular posee un lado que es el doble del otro. Si los lados suman en total 120 metros, ¿cuánto mide cada lado? 2. En un cuaderno rectangular uno de los lados es mayor que el otro en 12 cm. Si el cuaderno posee un perímetro de 80 cm, ¿cuánto vale el lado mayor? 3. Tres números impares consecutivos suman 1 509. ¿Cuáles son los números? 4. Una viga de metal se cortará en tres trozos. El primer trozo tendrá una longitud igual al doble de una longitud estándar. El segundo trozo medirá 9 cm más que el doble del primer trozo, mientras el tercero medirá el doble de la longitud estándar más 18 cm. Si la longitud total de la viga es de 2 127 cm, ¿cuál será la longitud de cada uno de los trozos?

116 Texto del Estudiante - Unidad 4

Unidad 4

Diversidad

Aplicar propiedades

Para los estudiantes que muestren más interés, puede mencionarles que existen muchos problemas que solicitan encontrar un número a partir de datos sobre sus cifras, por ejemplo: Las dos cifras de un número suman 7 y si se invierte su orden se obtiene un número 9 unidades mayor que el original. Para este tipo de problemas deben tener en cuenta el valor posicional de las cifras. Resolvámoslo: El número tiene 2 cifras: x e y. Sus cifras suman 7: x + y = 7 El número en base a su descomposición factorial es: 10x + y e invirtiendo el orden: 10y + x Como al invertir el orden de las cifras se obtiene un número 9 unidades mayor, queda: 9 + 10x + y = 10y + x Sustituyendo y: 9 + 10x + 7 – x = 10 · (7 – x) + x 16 + 9x = 70 – 10x + x 9x + 10x – x = 70 – 16 18x = 54 x=3 Entonces x + y = 7 para x = 3 e y = 4. El número buscado es el 34.

Evaluación Evalúe el desempeño de sus estudiantes a través de la siguiente pauta: Indicadores

Deduce la ecuación de primer grado a partir del enunciado Aplica las propiedades de la multiplicación y la adición para resolver ecuaciones Aplica las operaciones inversas Plantea una respuesta literal al problema una vez obtenido el resultado de la ecuación Trabaja ordenadamente L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Ecuaciones de primer grado 117

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Aplican la propiedad conmutativa y asociativa para reducir términos semejantes en la resolución de ecuaciones de primer grado. Aplican las relaciones inversas adición-sustracción y multiplicacióndivisión, a la resolución de ecuaciones. Resuelven ecuaciones de primer grado.

2. Para introducir el tema de estas

páginas le recomendamos que converse con sus estudiantes sobre qué es validar. Puede explicar que validar un resultado es comprobar que este es correcto. Existen muchas formas de validar un resultado y estas dependen de la naturaleza de este resultado. 3. En el caso de las ecuaciones se valida sustituyendo el valor obtenido para la incógnita en la ecuación inicial y demostrando que se verifica la igualdad. 4. Recalque que siempre la validación se debe realizar en la ecuación inicial. 5. Es importante que los estudiantes vean la validación como parte de la metodología de resolución de una ecuación. Para esto le recomendamos indicar que siempre debe quedar por escrito la comprobación, pues un resultado no validado no es un resultado confiable. 6. Invite a sus estudiantes a realizar las actividades que se proponen en la página 107 y recuérdeles comprobar los resultados y dejar escrito el desarrollo en sus cuadernos, por muy sencilla que consideren la operatoria.

Actividad complementaria

Resolver problemas

1. Resuelve los siguiente problemas y valida tu respuesta a cada uno de ellos: La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. Hallar los números. Luisa es la mayor de una familia de tres hermanos. Si Luisa tiene cuatro años más que el hermano que le sigue, este tres más que el menor y entre los tres tienen la edad del padre que es 40 años, ¿qué edad tiene cada hermano o hermana? La suma de las edades de una familia de tres personas es 85 años. Si la madre tiene el triple que el hijo y el padre 10 más que la madre, ¿qué edad tiene cada uno?

118 Texto del Estudiante - Unidad 4

Unidad 4

Errores frecuentes Cuando llega el momento de validar la solución de una ecuación, muchas veces los estudiantes tienden a utilizar algunas de las ecuaciones intermedias para hacerlo. Debe señalar que esto es un error, ya que si en algún paso tras el cual se obtuvo esa ecuación se cometió algún error, no tendrán manera de corroborarlo. Es por ello que siempre se debe comprobar el resultado a través de la sustitución de la incógnita en la ecuación inicial. En caso que cuando se proceda a la sustitución en la ecuación inicial, no se cumpla la igualdad, entonces debemos revisar cada uno de los pasos que realizamos con el fin de encontrar el error.

Aplicar procedimiento

2. Enlaza cada enunciado de la columna derecha con la respuesta que le corresponde en la columna izquierda: Si al doble de la edad de Francisca le sumamos 10 años obtenemos 50 años, ¿qué edad tiene Francisca?

La edad de Aleida es el quíntuplo de la edad de María y las dos edades suman 30 años. ¿Cuál es la edad de Aleida?

100 000

José fue a una librería y gastó $ 35 000 en tres libros, el segundo libro que eligió le costó el doble del primero y el tercero el doble del segundo. ¿Qué precio tenía el libro más caro?

Entre el lunes y el martes, Eva extrae de su cuenta corriente $ 150 000. Si sabes que el segundo día extrajo el doble del primer día, ¿cuánto dinero sacó el segundo día?

20 000

Anotaciones:

Ecuaciones de primer grado 119

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Aplican la propiedad

conmutativa y asociativa para reducir términos semejantes. Aplican las relaciones inversas adición-sustracción y multiplicacióndivisión, a la resolución de ecuaciones. Resuelven ecuaciones de primer grado que implican las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división y validan los resultados.

2. Ya los estudiantes en unidades

anteriores se han enfrentado a las páginas de Resolución de problemas, es por ello que puede pedirles sus opiniones acerca de la metodología que se propone y pedirles que intenten idear otra metodología que sea factible, práctica y explícita para este tipo de actividad. 3. La formulación de las ecuaciones a partir de un contexto sigue siendo en muchos de los casos el paso más complejo en la resolución de un problema, por lo que consideramos importante que sugiera a sus estudiantes desglosar las situaciones del problema que contenga datos relevantes y que las traduzcan al lenguaje algebraico como aprendieron con las expresiones algebraicas. Esto les ayudará a la formulación de la ecuación. 4. El último paso de la metodología de resolución se refiere a la comprobación de los resultados, la cual como ya explicamos, siempre debe realizarse comprobando que se cumple la igualdad cuando sustituimos el resultado en la ecuación inicial.

Actividad complementaria

Resolver problemas

1. Don Remigio tiene una hermosa parcela en las afueras de la ciudad. Cuida sus árboles frutales y sus viñedos con mucho esmero, para al final de cada temporada obtener gran cantidad de frutos, todos de excelente calidad. En la segunda semana recogió el doble de la primera y en la tercera semana, si hubiera recogido 10 kg más habría alcanzado el triple de lo que recogió la primera semana. Si en las primeras 3 semanas Don Remigio recogió 590 kg de frutas, ¿cuántos kilogramos recogió cada semana? 2. Luis compra unos calcetines con la tercera parte de su dinero y un juguete con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Si al salir de la tienda tenía $ 5 000, ¿cuánto dinero tenía al entrar?

120 Texto del Estudiante - Unidad 4

Unidad 4

Resolver problemas

Reflexión La importancia de estas páginas radica fundamentalmente en la posibilidad de mostrar a los estudiantes aplicaciones reales de la resolución de ecuaciones. Muchas situaciones a las que nos enfrentamos de manera cotidiana pueden ser resueltas a través de ecuaciones y presentadas a los estudiantes a través de problemas. Puede iniciar con los alumnos y alumnas una reflexión sobre este tema realizando preguntas como: ¿qué se conoce en matemáticas como problema?, ¿para qué consideras que te puede ser útil resolver un problema en matemáticas?, ¿crees que es útil implementar una metodología para resolver un problema?

Errores frecuentes

3. Un estudiante en un laboratorio de física construyó un circuito eléctrico colocando varios dispositivos electrónicos, de forma tal que quedara dividido en tres tramos. El valor total de la intensidad de la corriente en el circuito fue de 105 mA. Luego de esta lectura, el estudiante decide medir el amperaje en los distintos tramos que conforman el circuito completo y tabuló los resultados de la siguiente manera: Tramos

(mA)

Una de las dificultades más recurrentes de los estudiantes en relación a las ecuaciones, ocurre al momento de expresar el enunciado de un problema en lenguaje algebraico a través de una ecuación de primer grado. Para facilitar la labor le sugerimos proponga a los estudiantes que separen el problema en fragmentos significativos, los conviertan al lenguaje algebraico y luego los relacionen mediante una ecuación. Por ejemplo para el Problema 2 sería: Un taxista recorrió el martes 3 km más que el lunes: x + 3. El miércoles 2 km más que el lunes: x + 2 El jueves el doble de lo que recorrió el martes: 2 (x + 3) Distancia recorrida en los 4 días: 136 km Ecuación: x + (x + 3) + (x + 2) + 2(x+3) = 136

¿Cuál fue el amperaje en cada tramo del circuito si sabes que la suma del amperaje de los tres tramos es igual a la intensidad de la corriente total? Ecuaciones de primer grado 121

Orientaciones metodológicas 1. Antes de dar inicio a las activi-

dades de la clase, compruebe que sus estudiantes:

Conocen y han trabajado con la herramienta Excel.

Resuelven problemas contextualizados planteando y resolviendo ecuaciones de primer grado.

2. Para trabajar estas páginas

le sugerimos que lea con sus estudiantes el enunciado del problema y que, antes de abrir el programa Excel, analicen qué es lo que se debe hacer y de qué forma consideran que podrían encontrar la solución en caso de tener que resolver la actividad sin la ayuda del computador. 3. Recuérdeles que aunque los pasos a seguir están explicitados en el texto, no deben realizar la actividad de manera mecánica, sino que deben analizar cada uno de los pasos y saber por qué se hace de una u otra forma, pues de esta manera no solo lograrán llegar a la solución correcta del problema, sino que serán capaces de adaptar la metodología a otro problemas similares. 4. En la Actividad complementaria se enuncia un problema similar al del texto. Usted puede orientarlo a modo de estudio individual o como un complemento de la clase. 5. Recuerde siempre a los estudiantes la disciplina que deben mantener durante el trabajo con el computador. 6. Si tiene por cada computador más de un estudiante, debe procurar que todos los integrantes manipulen el computador para evitar que algunos practiquen y otros no.

Actividad complementaria

Ocupar herramienta tecnológica

Pida a sus estudiantes que realicen la siguiente actividad utilizando la misma hoja de cálculo en la que trabajaron durante la clase. 1. Si el precio de 1 kW es x y está condicionado por los factores D, E y F y determinado por la expresión: x = 3D + E – F + 54. Calcula el precio del kW consumido durante los meses siguientes:

122 Texto del Estudiante - Unidad 4

Factor

Enero

Marzo

Mayo

Julio

110

140

190

100

150

200

Unidad 4

Ocupar herramienta tecnológica

Diversidad Excel es una aplicación informática cuyo manejo puede aún resultar un tanto complicado para algunos estudiantes. Es por esto que le recomendamos explique a sus alumnos y alumnas que Excel cuenta con una ayuda, a la cual pueden acceder pinchando con el mouse en el signo de interrogación (?) que aparece en el menú y en el que encontrará un ayudante que se abrirá sobre su documento. En él podrán escribir preguntas sobre los temas que no comprendan o sobre los que tengan dudas. El dominio del uso de esta opción, es una variante que permitirá a los estudiantes profundizar de manera autodidacta en las bondades de esta hoja de cálculo.

Evaluación Para evaluar el desarrollo de la actividad le sugerimos la siguiente tabla: Indicadores Aplica conocimientos previos de Excel Comprende la actividad a desarrollar Obtiene las respuestas correctas Encuentra alternativas para resolver problemas que surgen Ayuda a sus compañeros y compañeras

Sí

A veces

Anotaciones: Ecuaciones de primer grado 123

Sintetizar información

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Identifican expresiones algebraicas.

Reconocen términos semejantes y simplifican expresiones algebraicas. Resuelven ecuaciones de primer grado con una incógnita.

2. En la página 112 del texto se

encuentra la Síntesis de la unidad que está destinada a que los estudiantes obtengan un resumen lo más completo posible de los contenidos tratados en la unidad y en la cual se pueden apoyar para trabajar en forma independiente. Analice en conjunto cada una de las fichas propuestas. 3. R e a l i c e c o n l o s n i ñ o s y niñas la Reflexión que se propone en la página 125 de esta guía, la cual puede complementar escribiendo en la pizarra un problema, como el siguiente, extraído de www. sectormatematica.cl: Separa el número 180 en dos partes tales que dividiendo la primera por 11 y la segunda por 27, la suma de los cocientes sea 12. 4. Divida al curso en dos grupos e indique a un grupo resolverlo utilizando leguaje algebraico y al otro grupo que lo resuelva sin aplicar el lenguaje algebraico. Revise en colectivo los resultados. 5. En la página 113 se inicia el proceso de evaluación de la unidad y para comenzar le sugerimos que lea cada uno de los ejercicios en voz alta para que sus alumnos y alumnas comprendan cada enunciado.

Actividad complementaria 1. Completa la siguiente tabla con el valor de las expresiones algebraicas para los valores de x e y que se señalan:

124 Texto del Estudiante - Unidad 4

Expresiones 2xy + 25 2x + 3y x · (y + 2) x + y/x

x = 2; y = 4

x = 1; y = 3

x = 3; y = 1

Unidad 4

Otros recursos Recomendamos visitar el sitio web www.sectormatematica.cl donde encontrará innumerables herramientas que le ayudarán no solo a preparar su clase de una forma más amena y entretenida, sino que además podrá contar con una amplia colección de ejercicios que le servirán para trabajar en la sala de clases y ejercitar a los estudiantes con mayores dificultades en la asignatura. Específicamente en http://www. sectormatematica.cl/media/NM1/ NM1_verbales_ec_primer_grado. doc podrá descargar un documento Word que contiene 40 problemas y su respectivo solucionario, algunos de los cuales puede proponer a sus estudiantes como trabajo independiente.

Reflexión

Resolver problemas

Casi llegando al final de la unidad puede realizar con sus estudiantes una reflexión sobre la importancia de los contenidos trabajados. Para esto puede pedirles ejemplos de situaciones que no hubieran podido resolver de no tener conocimiento sobre el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado.

2. A partir de las fichas de la Síntesis de la unidad completa la siguiente red conceptual:

Ecuaciones de primer como grado

trabajadas mediante

para

Propiedades

Ecuaciones de primer grado 125

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Aplican la propiedad conmutativa y asociativa a la reducción de términos semejantes en la resolución de ecuaciones de primer grado. Aplican las relaciones inversas adición-sustracción y multiplicacióndivisión, a la resolución de ecuaciones. Resuelven ecuaciones de primer grado que implican las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división. Resuelven problemas contextualizados que impliquen la formulación y resolución de ecuaciones de primer grado.

2. Presente la actividad como una

evaluación formal que los estudiantes deberán desarrollar en forma individual. Asigne un tiempo para su realización. 3. Entregue hojas de respuesta para que alumnos y alumnas marquen en ellas las respuestas correctas. 4. Tras cumplirse el tiempo estipulado, retire las hojas a los estudiantes y revise en la pizarra cada uno de los ejercicios para que ellos corrijan en sus cuadernos las respuestas erróneas.

Resolver problemas

Actividad complementaria 1. La figura que se muestra es el plano de un local. Calcula cada una de sus dimensiones si sabes que su perímetro es de 41 m: 3x

5x 2

2x x

2x x x

126 Texto del Estudiante - Unidad 4

x 3x

Unidad 4

Diversidad Al ser el tema de las ecuaciones de primer grado un contenido que los estudiantes trabajan por primera vez, es posible que en algunos de ellos persistan dudas al respecto. Proponga a los estudiantes con dificultades en el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado que acudan, en caso de dudas, a la realización de esquemas o dibujos representativos de la situación que se les plantea y que se apoyen en ellos para desarrollar el proceso de resolución.

Evaluación Para evaluar estas páginas puede utilizar la siguiente lista de evaluación del desarrollo de habilidades o en su defecto la que aparece en la página 224 de esta guía: Aspectos a evaluar

Puntaje ideal

Determina el valor de una expresión algebraica

Formula ecuaciones mediante la adecuada interpretación de un enunciado

Reduce términos semejantes

Resuelve ecuaciones de primer grado

Valida la solución de ecuaciones de primer grado

Total

100

Puntaje de logro

E: excelente 100%, B: bueno 75%, S: suficiente 50%, I: insuficiente 25%

Ecuaciones de primer grado 127

5 Unidad

Planificación Unidad 5

Ángulos

Objetivos Fundamentales Verticales yyIdentificar ángulos en el entorno. yyClasificar ángulos según su medida. yyMedir ángulos. yyEstablecer relaciones entre los ángulos que se forman cuando dos rectas paralelas son cortadas por una recta transversal. yyConocer la relación entre los ángulos interiores de un polígono y entre sus ángulos exteriores.

Sección

Clase

Horas

Entrada de unidad Actividad inicial

yyReconocen los tipos de rectas que se definen en un plano. yyIdentifican rectas paralelas y perpendiculares. yyEncuentran ángulos en rectas que se cortan.

Ángulos

yyNombran ángulos ocupando la nomenclatura adecuada. yyIdentifican ángulos en el entorno y en figuras geométricas.

Medición de ángulos

yyDefinen el grado sexagesimal como la unidad de medida de los ángulos. yyUtilizan el transportador para medir diversos ángulos.

Clasificación de ángulos

yyClasifican ángulos según su medida. yyDeterminan relaciones entre ángulos de acuerdo a la suma de sus medidas. yyComparan ángulos a partir de sus medidas.

Ángulos opuestos por el vértice

yyIdentifican los ángulos opuestos por el vértice en dos rectas que se intersecan. yyDeducen la igualdad en las medidas de los ángulos opuestos por el vértice.

Ángulos entre paralelas

yyIdentifican los ángulos que se forman cuando dos paralelas son cortadas por una recta transversal y establecen relaciones entre ellos.

Ángulos en un triángulo

yyVerifican la relación entre la medida de los ángulos interiores de un triángulo y entre los ángulos exteriores.

Ángulos en un cuadrilátero

yyDeterminan la relación entre los ángulos interiores y entre los ángulos exteriores de un cuadrilátero.

Resolución de problemas

yyUtilizan los conceptos y procedimientos de cálculo aprendidos a lo largo de la unidad para resolver problemas contextualizados.

Tecnología activa

yySe familiarizan con el programa Cabri II para el trabajo con ángulos y figuras planas.

Síntesis de la unidad Evaluación

yyRealizan un repaso de los temas tratados en la unidad mediante una síntesis de ella. yyAplican lo aprendido en la unidad para resolver variados ejercicios.

128 Planificación - Unidad 5

Ruta de aprendizajes esperados

Unidad 5

Objetivos Fundamentales Transversales yyRelacionar la geometría con el entorno y resolver situaciones reales aplicando propiedades y relaciones geométricas. yyRespetar y aceptar la opinión de otros cuando participa en trabajos grupales. yyValorar la aplicación de metodologías para resolver problemas. yyComprender y valorar la perseverancia, el rigor y el cumplimiento, la flexibilidad y la originalidad.

Materiales Contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales

Evaluación

Páginas Texto 116 – 119

Páginas Guía 130 – 133

yyDefinición de ángulos y descripción de las diferentes formas de nombrarlos. yyReconocimiento de ángulos en el entorno cercano.

120 – 121

134 – 135

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyDefinición de la unidad que permite expresar la medida de un ángulo: grado sexagesimal. yyUtilización del transportador como herramienta para medir ángulos y dibujar ángulos de medidas específicas.

122 – 123

136 – 137

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyClasificación de ángulos según su medida. yyEstablecimiento de relaciones entre ángulos.

124 – 125

138 – 139

Actividad de evaluación formativa

yyDeducción, en dos rectas que se intersecan, de la igualdad entre las medidas de los ángulos opuestos por el vértice basados en el conocimientos de que las medidas de los ángulos adyacentes suman 180º.

126 – 127

140 – 141

Actividad de evaluación formativa

yyIdentificación de los ocho ángulos que se forman cuando dos rectas paralelas son cortadas por una recta transversal y establecimiento de relaciones entre ellos. yyAplicación de los conocimientos adquiridos para determinar las medidas de ángulos desconocidos en una situación contextualizada.

128 – 129

142 – 143

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyDemostración de la proposición respecto a la suma de los ángulos interiores de un triángulo y a la suma de sus ángulos exteriores.

130 – 131

144 – 145

Actividad de evaluación formativa: prueba escrita

yyDemostración de la proposición respecto a la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero a partir de su posible descomposición en dos triángulos.

132 – 133

146 – 147

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyAplicación de los aprendizajes adquiridos durante el desarrollo de la unidad para resolver problemas contextualizados.

134 – 135

148 – 149

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyReconocimiento del Cabri II como una herramienta útil para el trabajo con diferentes elementos de geometría.

136 – 137

150 – 151

Actividad de evaluación formativa: informe escrito

yyUtilización de los conocimientos adquiridos para la realización de actividades que relacionan los temas abordados en la unidad.

138 – 141

152 – 155

Actividad de evaluación sumativa: prueba escrita

yyUtilización de elementos geométricos para la comunicación de algún hecho. yyAnálisis de las posibles disposiciones que pueden adquirir las rectas en un plano.

Actividad de evaluación formativa: coevaluación

Ángulos 129

Orientaciones metodológicas 1. Pregunte a sus estudiantes qué

entienden por geometría y si a través del título de la unidad son capaces de intuir de qué tratará la misma. 2. Converse con sus estudiantes sobre los lugares donde vemos ángulos, hable de la disposición de las calles, la ubicación de los edificios y casas de la ciudad. Muéstreles un mapa de la ciudad para que ellos puedan observar cómo el urbanismo tiende a formar figuras geométricas. 3. Pida a un niño o niña que lea en voz alta el texto introductorio de la página 117 e invítelo a responder las preguntas que aparecen. 4. Solicite además, que lean el recuadro ¿Puedes resolver? y respondan las preguntas que les sea posible, aplicando los conocimientos previos. Explique que las preguntas que no sean capaces de responder ahora podrán responderlas al finalizar la unidad. 5. Lea en voz alta el recuadro En esta unidad aprenderás a: y explique a los estudiantes para qué les servirán, en la práctica, los conocimientos que adquirirán durante el desarrollo de esta unidad.

Reconocer propiedades

Actividad complementaria 1. Encuentra las rectas paralelas y perpendiculares que existen en la siguiente figura: E

D C B A

130 Texto del Estudiante - Unidad 5

Unidad 5

Presentación de la unidad A través de la presente unidad los alumnos y alumnas profundizarán en el estudio de los ángulos, cuya definición podrán construir apoyados en conceptos básicos de geometría como punto, recta, segmento, rayo y plano. Utilizando instrumentos que tienen a su alcance, desarrollarán habilidades que les permitirán medir los ángulos para posteriormente realizar su clasificación. Aprenderán que los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una recta transversal presentan relaciones especiales entre ellos y el manejo de estas les permitirán resolver diferentes situaciones. El estudio de los ángulos interiores y exteriores de los polígonos en general y de los triángulos y cuadriláteros en particular, llevará a los alumnos y alumnas a deducir generalidades que les permitirán la comprensión de teoremas que facilitarán la resolución de problemas contextualizados. La unidad estará transversalmente vinculada a las señales de tránsito y la educación vial.

 Red conceptual

Ángulos

relacionando

deduciendo

Ángulos entre paralelas Suma de ángulos internos

Polígonos

Suma de ángulos externos clasificándolos según

Medida en grados sexagesimales

a través de

permiten

Comprender y deducir relaciones geométricas en el plano

Utilización del transportador

Ángulos 131

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Identifican rectas paralelas y perpendiculares.

Poseen nociones del con-

cepto de ángulo y punto de intersección.

2. Lea en voz alta la introducción

de la Actividad inicial y pida a sus estudiantes que, de forma oral, respondan la pregunta que se plantea y dibujen en la pizarra las señales que ellos encuentran. 3. Pida a un alumno y a una alumna que lean en voz alta los diálogos de la historieta, encarnando a cada uno de los personajes. 4. Invite a sus estudiantes a formar grupos y a responder las preguntas. Dé un tiempo prudente para que las realicen. 5. Revise en la pizarra las actividades, para ello dibuje el mapa y pida a sus estudiantes que vayan respondiendo en voz alta las preguntas mientras usted escribe las respuestas correctas y corrige los errores que hayan podido tener. 6. Converse con sus estudiantes abordando el tema sugerido en la Reflexión, con el objetivo que ellos vean la importancia de los contenidos que se tratan en estas páginas. Puede, además, conversar sobre la estabilidad que aportan a las construcciones la utilización de rectas paralelas y perpendiculares, de ahí su gran aplicación en la arquitectura. 7. Invite a niños y niñas a realizar la Actividad complementaria que se sugiere en esta guía, pídales que trabajen con instrumentos, y si lo desean, con medidas más o menos proporcionales a las reales.

Visualizar espacialmente

Actividad complementaria 1. Dibuja un pequeño mapa del colegio, donde tengas en cuenta la ubicación de cada una de las salas de clases. Utiliza en ello los instrumentos necesarios. Una vez concluido tu trabajo realiza las siguientes actividades: Identifica con letras cada una de las rectas que conforman tu mapa. Señala las rectas paralelas y las perpendiculares. Dibuja de un color diferente los puntos de intersección. Piensa en un punto dentro del colegio y describe con palabras un recorrido para que uno de tus compañeros o compañeras intente seguirlo dibujando sobre tu mapa, de manera tal que consiga llegar al lugar que tú pensaste.

132 Texto del Estudiante - Unidad 5

Unidad 5

Reflexión Converse con alumnos y alumnas sobre la utilidad de identificar cuándo dos rectas son perpendiculares o paralelas. Explique que no solo son importantes para la geometría y las matemáticas, sino también para poder orientarse en la ciudad o dar instrucciones a otra persona para llegar a algún sitio. Comente que tal vez en alguna ocasión han tenido que hacer un pequeño mapa a algún amigo o amiga para que pueda visitarlos, y para esto, seguramente, han aplicado no solo estos conceptos sino que han tenido que saber dibujar estas rectas.

Errores frecuentes

Identificar y clasificar relaciones

Muchas veces los estudiantes, gracias a sus conocimientos previos, pueden identificar dos rectas paralelas o perpendiculares, pero en el instante en que mezclamos varias de estas rectas para formar una composición, se equivocan. Puede recomendarles a niños y niñas que cuando se enfrenten a una composición de rectas, para evitar confusión, pueden nombrarlas utilizando letras, de esta manera las podrán comparar unas con otras sin repetir la operación innecesariamente.

Evaluación Entregue a alumnos y alumnas los siguientes indicadores para que se evalúen unos a otros en el desarrollo de las actividades de estas páginas: Indicadores

Sí

A veces

Identifica rectas paralelas y perpendiculares Encuentra puntos de intersección Realiza las actividades correctamente Utiliza adecuadamente los instrumentos Trabaja limpia y ordenadamente Mantiene una actitud positiva a la hora de confeccionar el trabajo grupal

Ángulos 133

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Conocen las rectas paralelas y perpendiculares.

Poseen nociones del concepto de ángulo.

Identifican los ángulos rectos como parte de un cuadrilátero.

2. Pida a un estudiante que lea

en voz alta el Enlace con… y coménteles la importancia de respetar la señales del tránsito, pues respetándolas, no solo cuidamos al resto de las personas sino que nos cuidamos a nosotros mismos. 3. Lea en voz alta el enunciado del problema resuelto de la página 120, analícelo en conjunto con sus estudiantes y pregúnteles si se les ocurre alguna otra forma de describir la situación de Catalina. 4. Invite a un estudiante a que lea en voz alta el cuadro de contenido y pida al resto del curso que lo escriba en sus cuadernos, no textualmente sino usando sus propias palabras. 5. Invite a alumnos y alumnas a realizar los Ejercicios individuales, dé un tiempo suficiente para esto, y luego, revise cada uno de ellos en la pizarra para detectar errores.

Visualizar espacialmente

Actividad complementaria 1. Nombra cuatro ángulos que encuentres en cada una de las siguientes figuras:

C B

C B D

F E A

134 Texto del Estudiante - Unidad 5

Unidad 5

Diversidad Puede que algunos estudiantes no recuerden qué son los ángulos. Para esto le recomendamos que antes de comenzar la clase muestre a sus alumnos y alumnas algunas figuras geométricas y pida que señalen sus partes hasta llegar a los ángulos. Puede mostrar a niños y niñas un compás y demostrar, abriendo y cerrando el mismo, como varía el ángulo, de manera que ellos logren asociar el ángulo con su medida o amplitud.

Errores frecuentes

Visualizar espacialmente

Muchas veces los estudiantes a la hora de señalar un ángulo, cometen el error de marcar solo los rayos que lo componen, pues conciben el ángulo como dos rectas que se intersecan y no como la abertura entre ellas. Para corregir este error, puede dibujar figuras en la pizarra y hacer énfasis en la forma de señalar los ángulos mediante una línea curva que va de un rayo a otro, coloreando la zona que corresponde a la abertura incluyendo los rayos que la delimitan.

Identificar regularidades

Evaluación Se sugiere la siguiente lista de cotejo a través de la cual usted puede evaluar el desempeño de sus estudiantes durante la realización de las actividades: Aspectos a evaluar

Comprende la importancia de nombrar correctamente los ángulos Nombra los ángulos de las tres formas enseñadas Identifica ángulos Trabaja en forma ordenada Cumple con los tiempos asignados para realizar el trabajo L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Ángulos 135

Orientaciones metodológicas 1. Antes de dar inicio a las activi-

dades de la clase, compruebe que sus estudiantes:

Manejan el concepto de ángulo.

Nombran ángulos de tres formas diferentes.

Identifican rectas perpendiculares y paralelas.

Conocen los ángulos rectos.

2. Como introducción a la clase

aborde con sus estudiantes el tema que se sugiere en la Reflexión, preguntando si se les ocurren otras razones por las que puede ser importante saber medir ángulos. 3. Dibuje en la pizarra un ángulo y pida que sus estudiantes lo dibujen en sus cuadernos siguiendo los pasos descritos en el texto. 4. Lea el cuadro de contenido y explique a niños y niñas, qué es el sistema sexagesimal. Para esto se puede auxiliar de la Aclaración de conceptos que se presenta en la página 137 de la guía. 5. Para que niños y niñas puedan comprender mejor el sistema sexagesimal puede basar su explicación en la medición del tiempo, comparándolo con el sistema decimal en la medición de distancia, donde en el primero, 60 unidades de un orden equivalen a 1 unidad del orden inmediatamente superior (60 s = 1 min y 60 min = 1 h). En el caso de la segunda, la base es 10 por lo que para pasar a un orden superior habría que establecer la relación con algunas de las potencias de 10 (10 mm = 1 cm, 10 cm = 1 dm, 10 dm = 1 m).

Actividad complementaria

Usar herramienta matemática

1. Utilizando el transportador mide los ángulos que se muestran a continuación:

2. Dibuja ángulos de las siguientes medidas: 20° 35° 100° 3. Pida a sus estudiantes que midan los ángulos sombreados que aparecen en la página 197 de esta guía y luego determinen la medida de los ángulos determinados por el horario y el minutero en cada uno de los relojes de la página 198 de esta guía.

136 Texto del Estudiante - Unidad 5

Unidad 5

Reflexión Explique a sus estudiantes la importancia de la medición de ángulos. Un ángulo mal calculado puede ocasionar una catástrofe. En Italia existe un campanario conocido como la Torre inclinada de Pisa, que debe su fama justamente a la variación, a lo largo de los años, del ángulo que forma la torre con la superficie de la Tierra. Comenzó a inclinarse tan pronto como se inició su construcción en agosto de 1173. La altura de la torre es de 55,7 a 55,8 metros desde la base, su masa se estima en 14 700 toneladas y su inclinación actual es de 5,5° extendiéndose 4,5 m de la vertical.

Usar herramienta matemática

Aclaración de conceptos Medir

El sistema sexagesimal es un sistema de numeración que emplea la base sesenta. Tuvo su origen en la antigua Babilonia y fue empleado, en una forma más moderna, por los árabes. El sistema sexagesimal se usa para medir tiempos (horas, minutos y segundos) y ángulos (grados, minutos y segundos). En dicho sistema, 60 unidades de un orden forman una unidad del orden superior.

Evaluación Evalúe el desempeño de los estudiantes a través de la siguiente lista de cotejo: Aspectos a evaluar

Identifica ángulos en un plano Identifica el grado sexagesimal como unidad de medida de ángulos Mide ángulos ocupando el transportador Construye ángulos ocupando regla y transportador Realiza correctamente las actividades propuestas L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Ángulos 137

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Conocen el concepto de ángulo.

Conocen los ángulos rectos.

Saben medir ángulos utilizando un transportador.

2. Lea en voz alta el problema resuelto que se propone en el texto y analice con sus estudiantes el cuadro de contenido que aparece a continuación. 3. Los estudiantes ya conocen las amplitudes de los ángulos, por lo tanto, recalque el rango de medidas a que corresponde cada clasificación, para que niños y niñas comiencen a incorporar estos términos a su vocabulario. 4. Pida a niños y niñas que lean los recuadros Pista. Explíqueles los términos cóncavo (superficie que asemeja el interior de una circunferencia o esfera) y convexo (superficie que asemeja el exterior de una circunferencia o esfera) y aplique ambas definiciones a los ángulos apoyándose en dibujos en la pizarra. 5. Lea a sus estudiantes el cuadro de contenido de la página 125 y compleméntelo auxiliándose de la Aclaración de conceptos expuesta en la página 139 de esta guía. Tenga en cuenta que para niños y niñas pueden parecer muy similares los conceptos de ángulos complementarios y ángulos adyacentes, por lo cual es importante esclarecer las diferencias para que los estudiantes los puedan identificar sin lugar a dudas.

Calcular mentalmente

Aplicar propiedades

Actividad complementaria 1. Completa la siguiente tabla con los ángulos complementarios y suplementarios: Ángulos

Ángulo complementario

Ángulo suplementario

70° 35° 10° 110° 5,3°



138 Texto del Estudiante - Unidad 5

Unidad 5

Diversidad

Clasificar

Ejercite el contenido de la medición de ángulos con los estudiantes que menos interés demuestren por la asignatura. Pídales que midan ángulos agudos, rectos, obtusos, extendidos y completos, y luego los comparen entre sí. Explíqueles que con la práctica conseguirán clasificar un ángulo y estimar su medida sin necesidad de medirlo directamente.

Aclaración de conceptos Ángulos adyacentes: son aquellos ángulos que son consecutivos y cuyos lados no comunes pertenecen a la misma recta. Ángulos suplementarios: la suma de sus valores es un ángulo de 180°. Si conocemos la medida de un ángulo a podemos calcular la medida del ángulo que será su suplementario b, mediante: b = 180 – a.

Aplicar propiedades

 Dibuja en tu cuaderno cada uno de los ángulos que se encuentran en la tabla. Dibuja sus ángulos complementarios y suplementarios. Clasifica cada uno de los ángulos. Nombra cada uno de los ángulos de cada una de las tres formas que conoces. Señala cuáles ángulos son cóncavos y cuáles son convexos. 2. Indica si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F): El complemento del complemento de a es a. El complemento de a es 180 – a. El suplemento del complemento de a es 90 + a. El suplemento de a es 180 – a.

Anotaciones: Ángulos 139

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Manejan la clasificación

de ángulos, según su medida en el sistema sexagesimal. Manejan los conceptos de paralelismo y perpendicularidad. Conocen conceptos como ángulo adyacente, complementario y suplementario.

2. Lea en conjunto con el curso la

explicación que aparece en la página 126 del texto y a medida que progresa en la explicación realice los dibujos en la pizarra para facilitar la comprensión de los estudiantes. 3. Es importante recalcar que cuando dos o más rectas se cortan en un punto, los ángulos que se forman suman 360º. 4. Refiriéndose a esto dibuje una circunferencia en la pizarra y sobre ella dibuje dos rectas que se cruzan en el centro, de este modo los estudiantes verán que la suma equivale a 360º. 5. Del mismo modo puede ir añadiendo rectas, lo que devendrá en que mientras más rectas se intersequen en el mismo punto la medida de cada ángulo formado será menor pero invariablemente la suma de sus medidas será igual a 360º. 6. Pida a un estudiante que lea el cuadro de contenido de la página 126 del texto y luego invite a algunos estudiantes a señalar en el dibujo de la pizarra los ángulos opuestos por el vértice mientras explican cómo los identificaron. 7. Solicite la resolución de las actividades de la página 127 para luego revisarlas en conjunto.

Actividad complementaria 1. Proponga a sus estudiantes las siguientes afirmaciones para que determinen si son verdaderas (V) o falsas (F), justificando en el caso de las falsas: Dos ángulos opuestos por el vértice pueden medir cada uno 90°. Dos ángulos opuestos por el vértice deben medir siempre lo mismo, independiente del ángulo adyacente que tenga cada uno. Dos ángulos opuestos por el vértice y sus respectivos ángulos adyacentes no formarán nunca un ángulo de 360°, en total. Si tres rectas se cruzan y forman 3 pares de ángulos opuestos por el vértice, entonces ninguno de ellos puede ser mayor que 60°.

140 Texto del Estudiante - Unidad 5

Unidad 5

Aclaración de conceptos Si dos rectas se cortan entre sí, los ángulos opuestos por el vértice que se forman son iguales. Demostración: puesto que AEB es una recta, los ángulos AEC y CEB suman dos ángulos rectos. Lo mismo puede decirse de CEB y BED. Ahora bien, como todos los ángulos rectos son iguales, nos da que AEC + CEB = CEB + BED. Entonces, restando el ángulo CEB de ambos miembros se concluye que los ángulos opuestos por el vértice AEC y BED son iguales, como se había afirmado:

Usar herramienta matemática

A E

Reconocer propiedades

Evaluación Para evaluar el contenido trabajado en estas páginas, muestre a sus estudiante la figura que se encuentra al costado para que, a partir de ella, determinen si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F): <1 = <5 = <8 = <4 1 2 <2 = <7 3 4 <2 + <3 + <4 = <6 + <7 + <8 <8 + <7 + <6 + <5 = <8 + <1 + <2 + <3 <2 + <3 = 90º 5 6 7 8

Anotaciones: Ángulos 141

Orientaciones metodológicas 1. Antes de iniciar la clase, compruebe que sus estudiantes:

Conocen el concepto de ángulo.

Conocen el concepto de

rectas paralelas y perpendiculares. Clasifican los ángulos según su medida. Miden ángulos.

2. Pida a un alumno o alumna

que lea en voz alta el problema resuelto de la página 128. 3. Dibuje en la pizarra un esquema similar al del texto, dos rectas paralelas cortadas por una transversal. 4. Analice el dibujo de la pizarra a partir del cuadro de contenido. Trate los pares de ángulos congruentes de manera independiente, pues cuando tenga todos colocados en el mismo esquema los estudiantes pueden confundirse. 5. Pida a los estudiantes que realicen el esquema en sus cuadernos y cada vez que concluyan que dos ángulos son congruentes, lo comprueben con el transportador. 6. Pida a sus estudiantes realizar de forma independiente el ejercicio de la página 129 e invítelos a, una vez determinada la medida de los ángulos señalados, encontrar la medida de algunos de los otros ángulos existentes, siempre que sea posible, recordando la existencia de los ángulos adyacentes. 7. Converse con sus alumnos y alumnas que el problema sugerido en la página 129 es un ejemplo de la aplicación en la vida cotidiana, de conocer la relación que existe en los ángulos que se encuentran entre líneas paralelas cortadas por una transversal.

Aplicar propiedades

Actividad complementaria 1. Determina la medida de los ángulos señalados si sabes que L1 // L2 y L3 // L4:

142 Texto del Estudiante - Unidad 5

30° ?

70° ? 45° L3

Unidad 5

Otros recursos En el sitio web http://www. matematicas.net encontrará una interesante página sobre el universo de las matemáticas, de la cual podrá extraer información útil e interesante para estimular a alumnas y alumnos en el desarrollo de los diferentes temas de la unidad. Aplicar propiedades

Errores frecuentes Los estudiantes suelen confundirse con la medida de los ángulos y no pueden percibir que la suma de todos los ángulos que se forman de la intersección de dos o varias rectas suman 360°. Para reforzar esto, puede explicar los siguientes ejemplos en cada uno de los cuales los ángulos suman 360°: α a = 360° a d

χ α + β + χ + δ = 360° a b e d χ α + β + χ + δ + ε + φ = 360° φ

Evaluación Para conocer los aprendizajes que adquirieron sus estudiantes durante el desarrollo de estas páginas puede utilizar el ejercicio que se propone como Actividad complementaria y analizar el desempeño de cada niño y niña mediante una lista de cotejo similar a la que se propone a continuación: Aspectos a evaluar

Identifica rectas paralelas y perpendiculares Identifica recta transversal Establece correctamente la relación entre los ángulos Resuelve correctamente la actividad

L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Cumple con el tiempo asignado para realizar el trabajo

Ángulos 143

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Identifican los ángulos

interiores y exteriores de triángulos y cuadriláteros. Miden ángulos con el transportador y los clasifican según esta medida.

2. Converse con sus estudiantes

el tema tratado en el Enlace con…, ello le servirá para introducir el tema del problema resuelto de la página 130. 3. Lea en voz alta el problema resuelto y dibuje en la pizarra el triángulo que aparece. 4. Los estudiantes conocen, de cursos anteriores, figuras geométricas planas, por lo tanto, puede invitar a algunos niños y niñas a la pizarra a señalar los lados, vértices y ángulos del triángulo. 5. Explique a alumnos y alumnas que los triángulos tienen ángulos interiores (seguramente los que ellos señalaron) y ángulos exteriores. 6. Muestre a sus estudiantes cómo delimitar los ángulos exteriores de un triángulo y continúe la lectura del problema. 7. Es importante que los estudiantes entiendan la demostración que se explica en estas páginas, para que comprendan por qué se afirma que los ángulos interiores de un triángulo suman 180º y por qué los exteriores suman 360º. Para esto le sugerimos que, pese a que la explicación se encuentra descrita en el texto, analice los pasos seguidos y realice la demostración de manera detallada en la pizarra.

Aplicar propiedades

Actividad complementaria 1. Dados los siguiente pares de ángulos interiores de un triángulo, calcula cuánto debe medir el tercero para que sea posible construir un triángulo con ellos: 30° y 45° y 170° y 90° y 10° y 78° y 90 y 270° y 2. Calcula la medida de los ángulos que faltan:

90° 30° 90° x y

144 Texto del Estudiante - Unidad 5

60° 65°

Unidad 5

Otros recursos En la página web http://www. luventicus.org/articulos/03N014/ index.html encontrará la demostración del enunciado geométrico que expresa que en todo triángulo, cada ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes, a partir de lo cual se puede demostrar que los ángulos interiores de un triángulo suman 180°.

Diversidad

Aplicar propiedades

Puede que algunos estudiantes no asimilen correctamente la relación entre los ángulos interiores y entre los ángulos exteriores de un triángulo. Para reforzar estos conocimientos imprescindibles para el trabajo de estas páginas, puede apoyarse en el sitio web que se recomienda en Otros recursos. En este sitio no solo encontrará la demostración, sino que los estudiantes pueden, utilizando el ratón del computador, cambiar la medida de uno de los ángulos y observar cómo varía la medida de los restantes.

Evaluación A modo de prueba escrita pida a sus estudiantes que realicen las siguientes actividades: La siguiente figura está formada por dos cuadrados. Calcula la Calcula la medida de los ángulos x e y. medida de los ángulos de los triángulos rojos. y 15° 25° x

Ángulos 145

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Identifican cuadriláteros. Reconocen ángulos inte-

riores y exteriores de un triángulo. Identifican lados, ángulos y vértices en triángulos y cuadriláteros.

2. Invite a un alumno o alumna

a leer en voz alta el enunciado que se propone en la página 132 y el cuadro de contenido. 3. Pida a sus estudiantes que digan lo que entienden por cuadrilátero y que lo escriban en sus cuadernos. Aclare que la idea no es que copien el concepto textualmente, sino que una vez que lo lean y lo comprendan, sean capaces de definirlo con sus palabras. 4. Lea en voz alta la clasificación de los cuadriláteros y ponga un ejemplo de cada uno en la pizarra, luego pida a sus estudiantes que dibujen otros cuadriláteros diferentes a los que usted dibujó y que correspondan a cada una de las clasificaciones anteriores. 5. Analice las demostraciones que aparecen descritas en el texto y explique paso a paso cada una de ellas. Recalque que en estas demostraciones se evidencia la importancia de conocer la relación de medida que existe entre los ángulos que se forman cuando una transversal corta dos rectas paralelas.

Actividad complementaria 1. Dibuja un cuadrilátero cualquiera en tu cuaderno y realiza las siguientes actividades: Señala los lados y nombra los vértices del cuadrilátero. Señala los ángulos interiores y exteriores del cuadrilátero con diferentes colores. Completa la siguiente tabla nombrando los ángulos interiores y exteriores del cuadrilátero según tu elección, escribiendo la medida de cada uno de ellos y su suma: Ángulo interior

146 Texto del Estudiante - Unidad 5

Medida

Suma

Ángulo exterior

Medida

Suma

Unidad 5

Diversidad Identificar los ángulos interiores de una figura plana puede ser una actividad sencilla, pero es posible que algunos estudiantes aún presenten dificultades en la identificación de los ángulos exteriores. Para reforzar este tema le sugerimos que pida a niños y niñas que utilizando tres lápices formen un triángulo, uniendo los lápices entre sí con elásticos. Una vez terminado, quedarán perfectamente delimitados los ángulos exteriores y de esta manera esos ángulos dejarán de ser solo unas líneas en el papel para convertirse en algo que ellos puedan tocar.

Aplicar propiedades

Evaluación Puede evaluar la comprensión de estas páginas a través de una prueba escrita, para lo cual le sugerimos la siguiente escala de calificación: Aspectos a evaluar

Puntaje ideal

Menciona los principales elementos de un cuadrilátero

Identifica los ángulos exteriores e interiores en figuras planas

Mide correctamente la amplitud de los ángulos

Conoce la relación entre los ángulos de un cuadrilátero y a partir de ella es capaz de calcular la medida de un ángulo

Total

Puntaje de logro

100 E: excelente 100%, B: bueno 75%, S: suficiente 50%, I: insuficiente 25%

Anotaciones: Ángulos 147

Orientaciones metodológicas 1. Antes de iniciar la clase, compruebe que sus estudiantes:

Clasifican ángulos según su medida en el sistema sexagesimal. Manejan algunos conceptos como paralelismo y perpendicularidad. Conocen conceptos como ángulo adyacente, ángulo complementario y ángulo suplementario. Conocen los ángulos opuestos por el vértice.

2. Reflexione con sus estudiantes

sobre lo que se sugiere en la página 149 de esta guía, para que tengan en cuenta las razones por las cuales es importante plantearse una metodología para resolver problemas de cualquier tipo. 3. Lea en voz alta el enunciado del Problema modelo y resuélvalo en la pizarra siguiendo los pasos y explicando cada uno de ellos. 4. Señale a los niños y niñas que se fijen cómo en la parte c) se desarrolla todo el análisis de resolución a partir del cual se llega a las respuestas a las interrogantes que plantea el problema, y cómo en la parte d) se redacta una respuesta literal a cada pregunta. 5. Invite a los estudiantes a resolver los problemas que se proponen en la página 135 del texto, cuya resolución puede ser enfocada como preparación para una prueba formal. 6. Una vez concluida la actividad seleccione a diferentes estudiantes para que pasen a la pizarra y desarrollen cada uno de los pasos. Es importante que cada estudiante sea capaz de explicar la etapa que le tocó realizar.

Actividad complementaria

Usar herramienta matemática

1. Utilizando un compás dibuja dos circunferencias que se corten en dos puntos y dibuja un triángulo uniendo los dos puntos de intersección y el centro de alguna de las circunferencias. ¿Qué tipo de triángulo has dibujado? ¿Qué garantiza el hecho de que el triángulo haya sido construido a partir de las circunferencias? 2. Identifica en el siguiente dibujo los elementos que se indican: A Un par de ángulos opuestos por el vértice. B C Un par de ángulos correspondientes entre paralelas. L1 Un par de ángulos alternos internos entre paralelas. L2 D E Un par de ángulos alternos externos entre paralelas. Un ángulo agudo. L1 // L2

148 Texto del Estudiante - Unidad 5

Unidad 5

Resolver problemas

Reflexión Converse con sus estudiantes sobre la Resolución de problemas. Explique que los problemas son una demostración de las aplicaciones prácticas de los contenidos trabajados en la unidad y que, a través de ellos, pueden ejercitar la manera de resolver situaciones cotidianas que les puedan surgir. En la resolución de los problemas es importante seguir una secuencia lógica en el análisis, por lo que es imprescindible diseñar un algoritmo coherente para resolverlo. En estas páginas se entrega una metodología para que la actividad se realice en forma ordenada, de modo que en caso de cometer un error, sea más sencillo y rápido determinar en qué momento lo cometieron.

Evaluación Para evaluar el desempeño de sus estudiantes durante el desarrollo de la resolución de los problemas, le sugerimos la siguiente lista de cotejo: Indicadores

Identifica las rectas paralelas Identifica las rectas perpendiculares Nombra los polígonos Calcula la medida de los ángulos

L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Clasifica los ángulos

Ángulos 149

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Identifican ángulos y los clasifican.

Conocen las caracterís-

ticas de los ángulos interiores y extreriores en polígonos en general y en triángulos y cuadriláteros en particular. Han trabajado con el programa Cabri II.

2. Ya en el curso anterior los

estudiantes incursionaron en el manejo del Cabri II asociado a los temas geométricos estudiados. Podría ser útil, para rescatar conocimientos previos, que realice preguntas que permitan que los propios estudiantes con sus respuestas realicen una introducción a la clase, por ejemplo: ¿qué es el Cabri II?, ¿para qué lo han utilizado?, ¿lo han explorado más allá de lo indicado en clases?, ¿qué otra utilidades han descubierto? 3. Oriente la realización de la actividad que se detalla paso a paso en la página 136 del texto. 4. Revise los resultados obtenidos por los estudiantes y corrija los errores o imprecisiones. 5. Pida al curso que realice las actividades que se proponen al final de la página 137 y luego las que aparecen como Actividad complementaria.

Actividad complementaria

Ocupar herramienta tecnológica

Para profundizar en el trabajo con el Cabri II le sugerimos que proponga a los estudiantes que realicen las siguientes actividades. 1. Dibuja en el Cabri II un rectángulo y un cuadrado y con ellos realiza lo siguiente: Determina la medida de los ángulos interiores. Determina las medidas de los ángulos exteriores. Corrobora realizando el cálculo manual que la suma de los ángulos interiores y la suma de los ángulos exteriores son, en cada caso, las que corresponden. 2. Dibuja en el Cabri II un hexágono y un heptágono y con ellos realiza lo siguiente: Extiende los lados de ambas figuras. Determina la medida de los ángulos interiores. Determina las medidas de los ángulos exteriores.

150 Texto del Estudiante - Unidad 5

Unidad 5

Ocupar herramienta tecnológica

Otros recursos Cabri II plus es una aplicación informática diseñada para trabajar geometría a todos los niveles educacionales, pues se puede adaptar a cualquier nivel. Con ella se puede trabajar desde la geometría más elemental y sencilla hasta la más compleja. En el sitio http://www. cabri.com/es/descargar-cabri-2-plus. html se puede descargar una versión de prueba, válida por 30 días y que le servirá para trabajar con sus alumnos y alumnas estos contenidos. También puede orientar actividades para que los estudiantes las realicen en Cabri II, pues ya en el curso anterior realizaron actividades introductorias utilizando esta aplicación.

3. Utilizando las herramientas necesarias dibuja un decágono según las instrucciones, luego intenta encontrar la manera de hacerlo a través de Cabri II, recuerda que puedes auxiliarte de la ayuda del Cabri II: Traza un segmento AB. Traza una recta perpendicular a AB y que pase por B. Con centro B y amplitud AB traza un arco que corte la perpendicular. Llama a la intersección N. Traza una recta perpendicular a AB y que pase por su punto medio M. Prolonga el segmento AB por su extremo derecho. Con centro M y amplitud MN marca un punto P en la prolongación del segmento AB. Con centro A y amplitud AP marca un punto O en la recta que trazaste en el cuarto punto. Con centro O y amplitud OA traza la circunferencia en la que estará inscrito el polígono. Marca utilizando el compás con amplitud AB alrededor de toda la circunferencia. Luego une los puntos obtenidos y tendrás el decágono regular. Ángulos 151

Sintetizar información

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Identifican ángulos y los clasifican.

Reconocen las congruencias que existen entre los diferentes ángulos que se forman en rectas paralelas cortadas por una transversal. Conocen las características de los ángulos interiores y exteriores en polígonos en general y en triángulos y cuadriláteros en particular.

2. El trabajo de estas páginas

se inicia con la Síntesis de la unidad en la cual, mediante fichas, se encuentran resumidos los aspectos más importantes estudiados en la unidad. Pida a sus estudiantes que analicen cada una de las fichas y anoten con lápiz en cada una de ellas los elementos que, según su consideración, quedaron sin mencionar. Recalque que esta síntesis les facilitará el estudio individual. 3. Luego de terminado el trabajo con la síntesis explique al curso que en la página 139 del texto se inicia el proceso evaluativo, en el cual, mediante la resolución de ejercicios que abarcan todo el contenido de la unidad, podrán tener noción de las debilidades y fortalezas de cada uno y que, posteriormente, podrán utilizarlos como un modelo para ejercitar los temas estudiados.

Usar herramienta matemática

Actividad complementaria Pida a sus estudiantes que realicen las siguientes actividades: 1. En la siguiente figura nombra cada uno de los ángulos que se forman, clasifícalos según su amplitud y detalla C las relaciones que existen entre ellos sabiendo que L1 // L2: A 2. Utilizando los instrumentos necesarios dibuja lo siguiente: Un par de rectas perpendiculares. Un par de rectas paralelas. Un ángulo de 65º, uno de 190º y otro de 31º.

152 Texto del Estudiante - Unidad 5

H G F

E D B

L1 L2

Unidad 5

Diversidad

Usar herramienta matemática

Para los estudiantes que tengan dificultad en esta unidad le recomendamos que oriente actividades adicionales que cubran el contenido estudiado para que trabajen en forma individual y, de esta manera, puedan ejercitar. Para ello puede utilizar los ejercicios que le sugerimos en la Actividad complementaria y adicionar algunos de su propia creación.

3. Determina los ángulos desconocidos: 48°

y 60° x= y=

y 130° x

70° 60°

70° x= y=

40°

x= y=

Anotaciones: Ángulos 153

Orientaciones metodológicas 1. Antes de iniciar la clase, compruebe que sus estudiantes:

Identifican ángulos y los clasifican.

Reconocen las congruen-

cias que existen entre los diferentes ángulos que se forman en rectas paralelas cortadas por una transversal. Conocen las características de los ángulos interiores y exteriores en polígonos en general y en triángulos y cuadriláteros en particular.

Usar herramienta matemática

2. Explique a sus estudiantes que

en estas páginas se presentan ejercicios asociados a todos los contenidos vistos a lo largo de la unidad. 3. Estas páginas las puede presentar como una evaluación individual. Para esto, asigne un tiempo que usted considere adecuado y entregue hojas de respuestas para los Ejercicios con alternativas. 4. Luego de cumplido el tiempo retire las hojas de respuestas y revise colectivamente. Deténgase a aclarar las preguntas en las que haya detectado mayor dificultad.

Aplicar propiedades

Actividad complementaria 1. Invite a sus estudiantes a encontrar en la sopa de letras las figuras y elementos geométricos que se describen: Figura plana, cerrada, formada por segmentos rectos consecutivos no alineados. Polígono de 6 lados. Polígono de 3 lados. Segmento de recta que une vértices no consecutivos de un polígono. Triángulo de lados iguales. Triángulo con un ángulo recto.

154 Texto del Estudiante - Unidad 5

G R G A B P V Q Z R

D Q J W Z O M G E E

G C D R B L Ñ L R C

U B K G K I I U V T

B Y L N J G Y F K A

H E X A G O N O D N

Y O G K J N I J Ñ G

L D I A G O N A L U

T R I A N G U L O L

E Q U I L A T E R O

Unidad 5

Reflexión Converse con sus estudiantes acerca de la actividad que van a realizar, la cual está encaminada a que alumnos y alumnas trabajen los contenido geométricos estudiados y comprueben el nivel de comprensión de los temas estudiados a lo largo de la unidad. Anotaciones:

Evaluación Para evaluar estas páginas puede utilizar la siguiente lista de evaluación del desarrollo de habilidades: Aspectos a evaluar Identifica los elementos geométricos

Puntaje ideal

Puntaje de logro

Clasifica los ángulos según su medida

Identifica los ángulos que se forman cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal

Maneja la relación entre los ángulos interiores de los polígonos

Maneja la relación entre los ángulos exteriores de los polígonos

Total

100

E: excelente 100% B: bueno 75% S: suficiente 50% I: insuficiente 25%

Ángulos 155

6 Unidad

Planificación Unidad 6

Información y azar

Objetivos Fundamentales Verticales yyIdentificar datos relevantes dentro de un conjunto de datos reales. yyDeterminar medidas de tendencia central de una colección de datos. yyConstruir e interpretar gráficos circulares. yyDescribir diversos experimentos aleatorios y analizar sus resultados. yyDeterminar la probabilidad de ocurrencia de un suceso.

Sección

Clase

Horas

Entrada de unidad Actividad inicial

yyOrganizan e interpretan datos. yyInterpretan información expresada en gráficos circulares.

Media aritmética Mediana Moda

yyDeterminan medidas de tendencia central de un conjunto de datos. yyAnalizan información a partir de las medidas de tendencia central de colecciones de datos extraídos de situaciones reales.

Lectura de gráficos circulares Construcción de gráficos circulares

yyInterpretan información expresada en gráficos circulares. yyConstruyen gráficos circulares. yyRepresentan información porcentual en gráficos circulares.

Experimentos aleatorios

yyIdentifican experimentos aleatorios. yyDeterminan los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Resultados de un experimento aleatorio

yyRealizan experimentos aleatorios. yyDeterminan el espacio muestral de un experimento aleatorio. yyDefinen sucesos o eventos de un experimento aleatorio.

Estimación de la probabilidad de un suceso

yyDeterminan la probabilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio. yyEstablecen relación entre el cálculo de probabilidades y los conocimientos previos relacionados con las fracciones y las razones.

Resolución de problemas

yyAplican los procedimientos aprendidos en la resolución de problemas.

Tecnología activa

yyUtilizan herramientas tecnológicas para determinar medidas de tendencia central y para construir gráficos de barras.

Síntesis de la unidad Evaluación

yySintetizan temas estudiados en la unidad. yyAplican conocimientos adquiridos para resolver actividades de evaluación.

156 Planificación - Unidad 6

Ruta de aprendizajes esperados

Unidad 6

Objetivos Fundamentales Transversales yyValorar los métodos estadísticos como una herramienta para el análisis y comprensión de diversos fenómenos. yyValorar el estudio de las probabilidades como una herramienta predictiva. yyCompartir e intercambiar para aprender de las ideas de nuestros compañeros y compañeras. yyValorar los beneficios de conocer mejor la realidad y de utilizar este conocimiento. yyConocer los derechos de los niños y las niñas. Materiales Contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales

Evaluación

Páginas Texto 142 – 145

Páginas Guía 158 – 161

yyCálculo de la media aritmética a un conjunto de datos y aplicación del procedimiento a situaciones escolares que los involucran. yyDeterminación de la moda y de la mediana de un conjunto de datos.

146 – 151

162 – 167

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyAplicación de conocimientos geométricos en el trabajo estadístico. yyComparación de información mediante la interpretación de gráficos circulares. yyConstrucción de gráficos circulares utilizando las herramientas necesarias.

152 – 155

168 – 171

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyDefinición de experimento aleatorio. yyAnálisis de experimentos aleatorios sencillos para determinar los eventos posibles.

156 – 157

172 – 173

Actividad de evaluación formativa: coevaluación

yyDefinición de espacio muestral. yyDeterminación del número de elementos que componen el espacio muestral de un experimento aleatorio. yyRealización de experimentos aleatorios y determinación de la razón entre el número de veces que se obtiene un resultado y el número de veces que se realizó el experimento.

158 – 159

174 – 175

Actividad de evaluación formativa: autoevaluación y coevaluación

yyDeterminación de la probabilidad de un suceso. yyConstatación del cálculo probabilístico a través de la realización reiterada del experimento en cuestión.

160 – 161

176 – 177

Actividad de evaluación formativa: coevaluación

yyPlanteamiento y resolución de problemas contextualizados.

162 – 163

178 – 179

Actividad de evaluación formativa

yyImplementación de metodología para realizar cálculos estadísticos y para construir gráficos circulares usando Excel.

164 – 165

180 – 181

Actividad de evaluación formativa: informe escrito

yyValoración y utilización de los conocimientos adquiridos durante la unidad para aplicarlos a problemas y situaciones reales.

166 – 169

182 – 185

Actividad de evaluación sumativa: prueba escrita

yyInterpretación de información real y recolección de datos. yyComparación de información representada en gráficos circulares.

Actividad de evaluación formativa: informe escrito

Información y azar 157

Orientaciones metodológicas 1. Explique a sus estudiantes que

el tema transversal de la unidad consiste en los derechos de los niños y las niñas. 2. Puede iniciar una reflexión con los alumnos y alumnas, y partiendo de la búsqueda de una definición de "derecho", puede iniciar la lectura ¿Cómo surgieron los derechos de los niños y niñas? 3. Para trabajar la actividad ¿Puedes resolver? pida que un estudiante lea en voz alta el enunciado y luego analice en conjunto con el curso cuáles de las preguntas que se formulan pueden ser respondidas por ellos en este momento. 4. Del curso anterior los estudiantes saben construir tablas de frecuencias, pero aún no dominan una metodología para la construcción de gráficos circulares. Puede explicarles que esta actividad la podrán completar luego de finalizar el estudio de la unidad, sin embargo, puede pedir a alumnos y alumnas que organicen los datos del grupo en una tabla de frecuencias para, a través de ella, ejercitar conocimientos previos que servirán de introducción para los contenidos que se verán posteriormente. 5. Como Actividad complementaria se propone un ejercicio que los estudiantes deberán realizar con sus compañeros y compañeras, la cual le sugerimos la oriente para ser realizada en equipos de 4 ó 5 estudiantes, monitoreando sobre todo los aspecto relacionados con el gráfico, para poder corregir errores oportunamente.

Actividad complementaria

Recopilar y hacer uso de información

1. Invite a sus estudiantes a que realicen un estudio al interior del curso atendiendo a los aspectos que están más abajo, para luego organizar los resultados en tablas de entrada de datos y de frecuencias y graficar los datos obtenidos: Estatura. Promedio de las notas en Matemática. Número de hermanos. Número de habitantes en el hogar.

158 Texto del Estudiante - Unidad 6

Unidad 6

Presentación de la unidad El desarrollo de los contenidos de la unidad que comienza permitirá que los niños y niñas profundicen en temas relacionados con la estadística y las probabilidades, ramas de las matemáticas en las que incursionaron el curso anterior y que les servirán de base para el estudio de algunos contenidos de cursos posteriores. La recolección y el análisis de la información será abordado a partir de la posibilidad de seleccionar los datos relevantes, los cuales podrán analizar a partir del cálculo de medidas de tendencia central como la media aritmética, mediana y moda; para luego representarlos mediante la construcción de gráficos circulares. En el caso de las probabilidades los alumnos y alumnas tendrán la posibilidad de probar la realización de experimentos aleatorios para corroborar sus resultados a partir de la estimación de su probabilidad de ocurrencia. Estos temas serán abordados mediante la resolución de problemas contextualizados en el tema transversal de la unidad, los derechos de los niños y niñas.

 Red conceptual Información

a partir de

Media Datos Recolección y organización determinando relevantes de información construyendo

analizando

Experimentos aleatorios

Mediana Moda

Gráficos circulares

Azar

analizados mediante

permiten

para estimar

Analizar e interpretar información numérica

Probabilidad de ocurrencia de un suceso

Información y azar 159

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Conocen los porcentajes. Interpretan información porcentual.

Interpretan información

entregada en gráficos de barras y de líneas. Construyen gráficos de barras y de líneas.

2. Para comenzar el trabajo con

estas páginas puede recordar a sus estudiantes el trabajo con los porcentajes y las maneras en que se expresa. 3. Invite a sus estudiantes a leer la historieta. Luego lea las preguntas de la página 145 del texto en voz alta mientras recuerda conceptos como intervalo y tendencia central, que se explican en la Aclaración de conceptos. 4. Para el desarrollo de la actividad 2 de la página 145 del texto oriente a sus estudiantes en la comparación y recuérdeles que deben ser consecuentes en los aspectos a comparar, en este caso los niveles. 5. Recuerde a alumnos y alumnas que el promedio no es más que la adición de todas sus notas y luego la división de este resultado por la cantidad de notas que se sumaron.

Interpretar información

Actividad complementaria 1. En el siguiente gráfico se representa la distribución de la población chilena dividida en cinco zonas: Norte (I, II y III), Centro (IV, V y VI), Sur (VII, VIII y IX), Extremo sur (X, XI y XII) y Metropolitana (RM):

Norte Centro Sur Extremo sur Metropolitana

160 Texto del Estudiante - Unidad 6

Unidad 6

Reflexión

Interpretar información

En el curso anterior los estudiantes aprendieron a organizar datos en tablas de frecuencias y a representar la información contenida en estas tablas a través de gráficos de barras y gráficos de líneas. Realice a sus alumnos y alumnas preguntas como: ¿qué son los gráficos?, ¿qué gráficos conocen?, ¿qué tipo de información se expresa con cada uno de los gráficos con los que han trabajado? A través de estas preguntas puede realizar con sus estudiantes una reflexión acerca de la importancia de organizar información y expresarla a través de gráficos. Puede explicarles y demostrar, utilizando recortes de revista y diarios, que en muchas publicaciones se expresa información mediante gráficos, pues a través de ellos es mucho más sencillo establecer y evaluar las relaciones que guardan los datos entre ellos.

Aclaración de conceptos

¿Qué zona tiene mayor población? ¿Qué zona tiene menor población? Si tuvieras que estimar el porcentaje que representa la población de cada zona respecto de la población total del país, ¿cómo lo harías? Investiga cuál es la distribución actual de la población de Chile por región y por zona. Calcula el porcentaje que actualmente representa la población de cada región y de cada zona respecto de la población total del país. ¿Podrías representar esta información en un gráfico? ¿Qué tipo de gráfico? ¿Por qué?

Cuando se desea describir las características de un grupo utilizando para ello un solo número, nunca elegimos ni el más alto ni el más bajo, pues esto solo describiría los extremos, más bien se tiende a tomar un valor central. Las medidas que describen el valor típico son las medidas de tendencia central: Media aritmética. Moda. Mediana.

Información y azar 161

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Interpretan información contenida en tablas.

Realizan operaciones

de adición, sustracción, multiplicación y división de números decimales. Clasifican los datos relevantes en cuantitativos y cualitativos.

2. Analice con sus estudiantes el

problema resuelto de la página 146 del texto y el cuadro de contenido en el que se explica el concepto de media aritmética. 3. Converse con sus estudiantes la aplicación de la media aritmética y el gran valor que tiene para calcular sus notas, pues como se hace referencia en la Pista, este es el método que los profesores y profesoras ocupan para obtener la nota final en cada ramo. 4. Oriente la realización de los ejercicios de la página 147. 5. Luego que todos los estudiantes realicen los ejercicios, escriba en la pizarra datos numéricos con su respectiva media aritmética, como se muestra en el ejemplo: Datos

Media

0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7

Una vez tabulados todos los datos, ayude al curso a encontrar la regularidad en la relación entre cada conjunto de datos y su media aritmética.

Actividad complementaria

Recopilar y hacer uso de información

1. En un colegio se realizó un examen diagnóstico de Matemática a los niveles de 5º a 8º básico. El objetivo del examen era que los profesores tuvieran una idea del nivel de cada curso. Los exámenes tenían 5 preguntas, cada una de las cuales estaba valorada en 20 puntos y la nota máxima era de 100 puntos. En la tabla que está en la siguiente página se muestra el promedio por curso. Al respecto responde: ¿Qué curso por nivel contaba con estudiantes mejor preparados? Calcula el promedio de los promedios de cada nivel. Calcula el promedio de los promedios del colegio. Construye un gráfico de barras con los promedios por nivel.

162 Texto del Estudiante - Unidad 6

Unidad 6

Diversidad

Aplicar fórmula

Es posible que algunos de sus estudiantes no recuerden o tengan dudas sobre la adición de números decimales. Recuerde junto a sus alumnos y alumnas que para sumar números decimales, estos se deben colocar uno debajo del otro, alineados utilizando como referencia la coma decimal, de manera que se adicionen las partes enteras con las partes enteras y las partes decimales con las partes decimales.

Historia y números El origen de la estadística se remonta al antiguo Egipto, cuyos faraones, alrededor del año 3050 a. de C. lograron recopilar importantes datos relativos a la población y las riquezas del país. Según referencias, estos cálculos se hicieron con el objetivo de preparar la construcción de las pirámides.

Quinto Curso Promedio A 85,9 B 93,7 C 96,0 D 89,1 E 90,5

Sexto Curso Promedio A 91,2 B 94,9 C 95,0 D 93,2

Séptimo Curso Promedio A 93,2 B 95,4 C 82,8 D 88,1

Octavo Curso Promedio A 95,7 B 90,3 C 89,4 D 91,2 E 93,8

Anotaciones: Información y azar 163

Orientaciones metodológicas 1. Antes de dar inicio a las activi-

dades de la clase, compruebe que sus estudiantes:

Interpretan información contenida en tablas.

Organizan información en tablas.

Ordenan y comparan datos.

Calculan la media aritmética de un grupo de datos.

2. Invite a sus estudiantes a leer

el enunciado del problema resuelto de la página 148. 3. Oriente a alumnos y alumnas para que analicen la resolución del problema, comprendan cómo se obtiene la mediana y asimilen la lógica de la metodología, para luego poder aplicarla. 4. En la Pista se explica por qué la mediana puede conducir a errores al tratar de usarla para representar una secuencia de datos, es importante que explique esto a los estudiantes apoyándose en actividades sencillas como por ejemplo: Determina la media aritmética y la mediana del siguiente conjunto de números: 1, 1, 1, 8, 9. x=4 Me = 1 ¿Qué relación observas entre la media, la mediana y el conjunto de datos? 5. Puede entregar a los estudiantes un número determinado de datos y, a partir de ellos, demostrar la diferencia entre la mediana y la media aritmética, donde la segunda, a diferencia de la primera, sí está influenciada por los valores extremos de la secuencia que se estudia.

Actividad complementaria

Recopilar y hacer uso de información

1. Completa con los datos de los estudiantes del curso una tabla como la siguiente y responde las preguntas que se proponen a continuación: Estudiante

Edad de la madre

Edad del padre

¿Cuál es el promedio de edad de las madres de los estudiantes del curso? ¿Cuál es el promedio de edad de los padres de los estudiantes del curso? Obtén la mediana de las edades de las madres y de las edades de los padres.

164 Texto del Estudiante - Unidad 6

Unidad 6

Reflexión

Aplicar fórmula

Ana tiene tres hijas de 10, 12 y 15 años, si tuvieran que ordenarlas por edades dirían que la de 15 años es la mayor y la de 10 años es la menor, pero, ¿como llamarían a la de 12 años? A partir de esta sencilla situación los estudiantes podrán llegar a elaborar preconceptos de mediana que les ayudarán a comprender mejor el contenido. Reflexione sobre los usos de la mediana y en qué situaciones cotidianas se hace referencia a ella o se utiliza de manera implícita o explícita. Explique, además, que la mediana es un parámetro muy utilizado en el procesamiento estadístico de los resultados arrojados por experimentos biológicos.

Aclaración de conceptos La mediana que trabajamos en estas páginas es la mediana estadística, pues existe la mediana geométrica que es el segmento que une los puntos medios de dos lados consecutivos de un triángulo.

2. Un biólogo desea probar el efecto de determinado compuesto sobre el crecimiento de plantas de tomate. Para esto siembra determinado número de semillas y las deja germinar dos días, luego toma algunas plantas con las mismas dimensiones y les aplica el compuesto. Transcurridos dos días más, procede a medir las plantas y obtiene los siguientes datos: Planta

Medida (mm)

21,2

35,4

43,8

37,8

90,1

87,3

89,5

91,4

¿Cuál es la mediana de los datos anteriores? ¿Cuál es el promedio de crecimiento de las plantas?

Información y azar 165

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Ordenan y comparan información.

Identifican datos relevantes.

Clasifican los datos re-

levantes en cualitativos y cuantitativos. Calculan media aritmética. Calculan mediana.

2. A modo de introducción realice

con sus alumnos y alumnas la Reflexión que se sugiere en la página 167 de esta guía. A través de ella los estudiantes pueden elaborar preconceptos y entre todos llegar a un concepto cumún de moda. 3. Para estimular la reflexión, pida a los estudiantes que traigan revistas de modas de una temporada específica. A través de ellas, puede analizar la moda teniendo en cuenta el estilo que se repite en cada prenda. También lo puede hacer a partir de folletos de promoción de diferentes multitiendas, a través de ellos puede determinar la moda en cuanto al tipo de artículo más promocionado. 4. Analice el cuadro de contenido donde se explica el concepto de moda. Le sugerimos que refuerce los conceptos de unimodal, bimodal, trimodal y multimodal a través del material utilizado anteriormente, revistas o propagandas. 5. Para la actividad grupal le recomendamos que trabaje junto a sus estudiantes, escribiendo en la pizarra una tabla con los datos que se solicitan para que luego los alumnos y alumnas realicen el resto de la actividad.

Analizar datos

Actividad complementaria 1. El dueño de una librería realizó un análisis de los libros vendidos en el último mes y los organizó por género en una tabla como la siguiente: Géneros

Ciencia ficción

Infantil

Poesía

Biografía

Teatro

Ensayo

Cuento

Novela

Cantidad

110

¿Qué tipo de tabla construyó el dueño? ¿Cuántos libros se vendieron ese mes? ¿Cuál es la moda? ¿Por qué a partir de la tabla anterior lograste determinar la moda? Si el dueño añadiera la venta de 10 libros de género infantil, ¿la moda seguría siendo la misma?, ¿por qué?

166 Texto del Estudiante - Unidad 6

Unidad 6

Reflexión

Recopilar y hacer uso de información

¿Qué es la moda?, ¿qué significa estar a la moda?, ¿qué pueden encontrar en una revista de modas? A través de estas preguntas puede iniciar una reflexión con sus estudiantes, donde ellos van a plantear sus opiniones acerca de este término tan utilizado. Explique que según el diccionario de la Real Academia Española moda es el uso, modo o costumbre que está en boga durante algún tiempo, o en determinado país, con especialidad en los trajes, telas y adornos, principalmente los recién introducidos. Partiendo por los comentarios de los estudiantes, apoyado en la definición de la RAE y utilizando como ejemplo un conjunto de números, pida a los estudiantes que determinen intuitivamente la moda en el conjunto de datos y para ello realice preguntas como: Si asumimos que el color rojo es la moda, ¿cómo sería la presencia del rojo en comparación con el resto de los colores? Si tenemos un conjunto de números: 1, 1, 1, 1, 5; ¿cuál sería la moda?, ¿por qué?

Evaluación Para evaluar las actividades de estas páginas puede utilizar una tabla como la que se propone a continuación: Indicadores

Calcula correctamente la media aritmética Calcula correctamente la mediana Calcula correctamente la moda Resuelve correctamente las actividades propuestas Trabaja en el tiempo estipulado por el docente

L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Trabaja en forma limpia y ordenada

Información y azar 167

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Interpretan información porcentual.

Organizan información en tablas.

Representan información a través de gráficos de barras y de líneas.

2. Explique a sus estudiantes que

los gráficos circulares, al igual que los de barras y líneas, se utilizan para representar información. Sin embargo, no todos los gráficos se ocupan para el mismo tipo de información, siendo necesario seleccionar el más conveniente. Es por ello que conocer sus características nos servirá para poder elegir el tipo de gráfico más adecuado a los datos con los que contamos y al objetivo de nuestro trabajo. 3. Analice con alumnos y alumnas el problema resuelto de la página 152 y el cuadro de contenido donde se explica el concepto de gráfico circular. 4. Usted puede mostrar a sus estudiantes un gráfico similar al del texto pero sin la información porcentual, y luego realizar preguntas como: ¿qué parte es la mayor y qué parte es la menor? De esta manera los estudiantes comprobarán que, a partir de un gráfico, es posible sacar conclusiones, aún sin saber la información numérica que representa.

Representar gráficamente

Actividad complementaria 1. Enlaza la situación descrita con el tipo gráfico de la columna de la derecha que consideres más adecuado para representarla: Se estudia el porcentaje de incidencia de determinada enfermedad en la población de un país. Se comparan las diferencias entre los promedios de precipitaciones de las regiones de Chile. Se analiza el comportamiento de la temperatura media en las últimas 10 horas. Se analiza en porcentaje de cada componente en un medicamento.

168 Texto del Estudiante - Unidad 6

Gráfico de barras Gráfico circular Gráfico de líneas

Unidad 6

Diversidad

Interpretar información

Para el trabajo con estas páginas es importante que alumnos y alumnas recuerden los porcentajes y las proporciones, pues a través de los gráficos circulares se manifiestan ambos conceptos. Recuerde a los estudiantes la comparación entre los porcentajes y lo que representa un porcentaje; puede para esto trabajar con porcentajes notables, 25%, 50%, 75% y 100%. Anotaciones:

2. El siguiente gráfico circular representa el porcentaje de las edades de niños y niñas que asisten a determinado museo: ¿De qué rango de edad son los niños y niñas que más asisten al museo? ¿De qué rango de edad son los niños y niñas que menos asisten al museo? Entre los asistentes, ¿hay más niños y niñas de 5 o menos años o de más de 5 años?

años años años años

Información y azar 169

Orientaciones metodológicas 1. Antes de dar inicio a las activi-

dades de la clase, compruebe que sus estudiantes:

Manejan el cálculo de porcentajes.

Organizan información en tablas.

Interpretan información

representada a través de gráficos circulares. Miden ángulos utilizando el transportador.

2. Para comenzar el trabajo de la

construcción de gráficos circulares puede recordar a sus estudiantes cómo se miden los ángulos y cómo se utiliza el transportador, pues ambas habilidades son imprescindibles para este contenido. 3. Analice con alumnos y alumnas la metodología que se explica en el texto para construir los gráficos. En el paso 1º recuerde que 10% = 10/100, pero al simplificar queda 1/10. Algo similar se realizó con el resto de los porcentajes. 4. En el paso 2º se explica que debemos dividir la circunferencia en 10 partes iguales, lo que significa que cada parte tendrá una medida de 36°. Sugiera a sus estudiantes trabajar con cuidado para que estas partes tengan la medida exacta. 5. En la Aclaración de conceptos se describe una alternativa para realizar gráficos que involucran números tan pequeños que puedan introducir error en la lectura. Explique a sus estudiantes este método para que lo puedan aplicar.

Actividad complementaria

Representar gráficamente

1. Luego de concluida la etapa de exámenes finales, la directiva de un colegio realizó el siguiente estudio según la puntuación de sus estudiantes: Calificación

Excelente

Bueno

Suficiente

Insuficiente

Porcentaje de estudiantes por calificación

38%

40%

20%

Dibuja un gráfico circular que represente el porcentaje de estudiantes con cada calificación. ¿Qué porcentaje de los estudiantes aprobó los exámenes? Represéntalo mediante un gráfico.

170 Texto del Estudiante - Unidad 6

Unidad 6

Aclaración de conceptos Muchas veces representamos la distribución de determinados porcentajes a través de un gráfico circular y ocurre que algunas veces varios de estos porcentajes son muy pequeños y se hace muy complicado visualizarlos, por ejemplo:

Representar gráficamente

Ante una situación como esta podemos confeccionar un gráfico anexo que represente estas pequeñas porciones para que sea comprensible, como se muestra en la página 199 de esta guía.

Evaluación Puede plantear a sus alumnos y alumnas la Actividad complementaria como una prueba escrita, la cual puede evaluar a partir de la siguiente tabla: Indicadores

Comprendió la actividad Convirtió correctamente los porcentajes en fracciones decimales Dividió correctamente la circunferencia Distribuyó adecuadamente los porcentajes en el gráfico

L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Dibujó la leyenda del gráfico

Información y azar 171

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Manejan el concepto de suceso o evento.

Identifican sucesos se-

guros, posibles e imposibles. Identifican cuándo un suceso es probable o improbable.

2. El contenido que trata es posi-

ble abordarlo utilizando material didáctico. En la página 156 del texto se describen dos experimentos con monedas, para explicarlo, además de analizar la forma en que se aborda en el texto, puede demostrarlo utilizando monedas de 100 pesos e ir anotando los resultados en la pizarra. 3. Puede hacer con los alumnos y alumnas un experimento similar al del texto pero utilizando dados e ir anotando los resultados, recordando que estos experimentos son aleatorios porque se conocen los posibles resultados. Para demostrarlo, antes de comenzar los experimentos, escriba en la pizarra todos los posibles resultados y a su lado puede ir anotando cada vez que se obtiene cada uno. 4. En la Aclaración de concepto de esta guía se amplía el Archívalo de la página 156 del texto y se explica otra posible clasificación para un experimento, experimento casual. Dé ejemplos de experimento casual: es casual que salga a la ciudad y me encuentre con alguien conocido o no. Eso es imposible de predecir.

Clasificar

Actividad complementaria 1. Clasifica los siguientes experimentos en deterministas (D) o aleatorios (A): Lanzar una piedra y observar si cae o se eleva. Escoger de un mazo de 52 cartas con los ojos cerrados una carta y ver su color. Arrojar un fósforo prendido sobre gasolina y comprobar si esta arde. Lanzar un dardo sobre un blanco desde 10 m y observar dónde quedó clavado. Poner un trozo de hielo en agua hirviendo y observar si se derrite.

172 Texto del Estudiante - Unidad 6

Unidad 6

Aclaración de conceptos Según el conocimiento que se tenga del posible resultado de un experimento este puede ser determinista, aleatorio o casual. El resultado de un experimento casual no está regido por ninguna regla; el determinista, tiene un resultado conocido; y en el experimento aleatorio se conocen todos los posibles resultados. El conjunto de todos los resultados posibles en un experimento aleatorio es a lo que se denomina espacio muestral y cualquier subconjunto del espacio muestral recibe el nombre de suceso.

Experimentar y analizar resultados

Otros recursos En el sitio web http://www. matemath.com/azar/p02.html encontrará dos juegos a través de los cuales podrá ejemplificar a sus estudiantes experimentos deterministas y experimentos aleatorios.

Evaluación Entregue a sus estudiantes la siguiente tabla a partir de la cual podrán evaluarse unos a otros respecto al desempeño de cada uno durante el desarrollo de la actividad grupal: Indicadores

Sí

A veces

Cumple con las tareas asignadas por sus compañeros y compañeras de grupo Cumple con los tiempo asignados para el trabajo Acepta ideas diferentes a la suya Mantiene una actitud positiva al momento de confeccionar el trabajo grupal Aporta ideas para el buen desarrollo del trabajo

Información y azar 173

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Manejan el concepto de suceso o evento.

Identifican experimentos aleatorios y deterministas.

2. Puede desarrollar las activi-

dades de la clase procurando mostrar cada afirmación existente en el texto, utilizando para ello los materiales que se requieran. También puede utilizar el juego que se encuentra en las páginas 200 y 201 y que forma parte de los materiales complementarios de esta guía. 3. El concepto de espacio muestral puede resultar un poco abstracto, para aclararlo le recomendamos que realice una analogía entre el concepto y la libertad de movimiento que puede tener una persona dentro de un recinto cerrado. En este caso el espacio muestral va a ser el espacio de que dispone la persona para moverse, pues es imposible que el espacio muestral sea otro porque las paredes de la habitación son el límite. 4. También puede mostrar un juego de laberinto donde es necesario mover una pequeña pelota por entre los resquicios para llegar a la meta. En este caso el espacio muestral es toda el área de que dispone la pelotita para moverse y que está limitada por el envase plástico y sellado dentro del que se encuentran el laberinto y la pelotita.

Actividad complementaria

Experimentar y analizar resultados

Invite a sus estudiantes a realizar los siguientes juegos que constituyen experimentos aleatorios: 1. Júntate con un compañero o compañera y jueguen al cachipún. Antes de comenzar el juego escriban en sus cuadernos los posibles resultados y determinen el espacio muestral. Hagan 10 repeticiones del juego y anoten los resultados en una tabla. 2. Júntate con dos o tres compañeros y compañeras y lancen por turnos 5 dados, sumen los números que salgan y el que obtenga mayor puntaje gana, luego de varios turnos. Anoten los resultados en una tabla y determinen el espacio muestral de este experimento aleatorio.

174 Texto del Estudiante - Unidad 6

Unidad 6

Diversidad

Analizar

Evaluación Entregue a sus estudiantes una tabla como la siguiente, a través de la cual podrán autoevaluar su desempeño durante el desarrollo de la clase: Indicadores Comprendí qué es un experimento aleatorio Comprendí qué es el espacio muestral en un experimento aleatorio Determiné el espacio muestral de diversos experimentos Determiné el número de elementos que conforman cada espacio muestral

Sí

A veces

Para trabajar con los estudiantes más débiles en este contenido puede realizar los experimentos con monedas y dados y pedir que ellos mismos se encarguen de anotar los resultados. También puede realizar una especie de juego donde los estudiantes intenten predecir los resultados y declarar ganador al que más aciertos tenga. Tratar los contenidos de manera lúdica ayuda a que los alumnos y las alumnas relacionen el contenido con algunos de sus juegos habituales. Puede explicarles además que la mayoría de los juegos que se desarrollan en los casinos son aleatorios, donde muchas veces la destreza del jugador radica en determinar las jugadas que les brinden mayores probabilidades de ganar. Anotaciones: Información y azar 175

Orientaciones metodológicas 1. Antes de dar inicio a las activi-

dades de la clase, compruebe que sus estudiantes:

Ordenan datos dentro de una tabla de datos.

Construyen e interpretan tablas de frecuencias.

Definen el concepto de

probabilidad como la posibilidad de ocurrencia de un suceso.

2. Introduzca el tema de la clase, realizando con sus estudiantes un ejercicio en el que usted dictará una oración que contenga la palabra "probable" y los estudiantes redactarán una que diga lo mismo pero sin usar la palabra. Por ejemplo: Docente: "Es probable que María vaya al cine". Estudiante: "Puede ser que María vaya al cine". Escriba en la pizarra cada oración dictada por usted y cada una de las creadas por sus estudiantes. Luego de terminada la actividad con diferentes oraciones, pida que redacten entre todos el concepto de probabilidad. 3. Trabaje con el curso el ejercicio resuelto de la página 160 y llame la atención de sus estudiantes acerca de la definición de razón y el modo de calcular las probabilidades de un evento. 4. Pida que resuelvan el ejercicio individual de la página 161 y dé un tiempo para que lo realicen, luego revise en la pizarra pidiendo a algunos estudiantes que pasen a la pizarra y expliquen el trabajo que realizaron. 5. Pida a sus estudiantes que se reúnan en grupos de 4 ó 5 personas para realizar los Ejercicios grupales.

Aplicar procedimiento

Actividad complementaria 1. Considera los números naturales desde el 1 hasta el 20 para calcular las siguientes probabilidades: A: elegir un número al azar y que este sea el 8. P(A) = B: elegir un número al azar y que este sea un múltiplo de 6. P(B) = C: elegir un número al azar y que este sea un número primo. P(C) = D: elegir un número al azar y que este sea un número mayor que 12 y menor que 17. P(D) =

176 Texto del Estudiante - Unidad 6

Unidad 6

Reflexión

Experimentar y analizar resultados

La teoría de probabilidades tuvo su aliciente al encontrar una forma matemática de resolver los problemas de los juegos de azar, en otras palabras, buscar la forma de dar más oportunidades de ganar a los jugadores de casino. De acuerdo a la teoría de juegos para un solo dado la probabilidad de acertar al número es de 1/6. Si juega 6 veces el mismo número, ¿en teoría debería ganar?, ¿es esto real o no? Converse con sus estudiantes sobre este particular y si lo considera, puede enriquecer la reflexión haciendo un experimento de tiros de dados para obtener un número.

Otros recursos En el sitio web http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm usted podrá encontrar una colección de ejercicios de probabilidades que podrá utilizar para proponer a sus estudiantes. Debe tener en cuenta que algunos de estos ejercicios pueden tener un nivel de complejidad demasiado elevado por lo que deberá adaptarlos o tomarlos como idea inicial para crear nuevos ejercicios.

Evaluación A través de la siguiente tabla los estudiantes tendrán la oportunidad de evaluarse unos a otros en cuanto al desempeño de cada uno durante la realización del trabajo grupal: Indicadores

Sí

A veces

Contribuyó a la disciplina durante la realización de la actividad Realizó los cálculos correctamente Aportó ideas que ayudaron a la adecuada realización del trabajo Ayudó a los compañeros y compañeras que lo necesitaron

Información y azar 177

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Ordenan datos dentro de una tabla de datos.

Construyen e interpretan tablas de frecuencias.

Calculan la media arit-

mética de un conjunto de datos. Determinan la mediana y la moda de un conjunto de datos. Definen el concepto de probabilidad como la posibilidad de ocurrencia de un suceso.

2. Trabaje con sus estudiantes el

problema resuelto de la página 162. 3. Aunque en todas las unidades los estudiantes se han enfrentado a la misma metodología de trabajo para resolver problemas, al ser esta la última unidad del curso, es importante que recalque especialmente este asunto. Recuerde la función de la metodología planteada, en sentido general y de cada uno de los pasos que la componen. 4. Explique a sus alumnos y alumnas qué significa algoritmo. Para ello puede pedir a algunos estudiantes que describan determinadas situaciones paso a paso, como por ejemplo, el recorrido de la casa al colegio o lo que hacen desde que salen del colegio hasta que se acuestan, de ser posible detallando los horarios de cada actividad. 5. Solicite la realización de los problemas de la página 163. Lea los enunciados y pida a sus estudiantes que planteen las dudas que tengan al respecto. Una vez aclaradas, dé un tiempo para que los resuelvan individualmente.

Actividad complementaria 1. La familia de Mauricio hace las compras en el supermercado 2 veces por mes. En los últimos 6 meses los gastos fueron los que se muestran en la tabla: Productos

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

$ 20 000

$ 25 000

$ 18 000

$ 30 000

$ 23 000

$ 21 000

Legumbres

$ 5 000

$ 4 000

$ 5 500

$ 7 450

$ 6 000

$ 5 000

Pastas

$ 6 000

$ 3 000

$ 6 500

$ 5 500

$ 6 000

$ 7 000

Bebidas

$ 18 000

$ 20 000

$ 19 000

$ 20 000

$ 15 000

$ 12 000

Carnes

Postres

$ 12 000

$ 15 000

$ 14 500

$ 16 000

$10 000

$ 9 750

Otros

$ 25 000

$ 30 000

$ 18 000

$ 25 000

$ 19 000

$ 18 500

178 Texto del Estudiante - Unidad 6

Unidad 6

Resolver problemas

Reflexión A través de la Resolución de problemas los estudiantes aplicarán los contenidos estudiados a lo largo de la unidad a contextos reales, mediante los que podrán darse cuenta de la utilidad de los temas analizados. Para mostrar la utilidad de los contenidos, puede conversar con alumnos y alumnas sobre algunas de las aplicaciones de las probabilidades, como por ejemplo, en el campo de la meteorología, en la cual a partir de sucesos atmosféricos, los meteorólogos pueden predecir el comportamiento del clima para las próximas horas y hasta para las próximas semanas.

Historia y números

Calcula el promedio de gastos en cada tipo de producto en el semestre. Calcula el promedio de gastos de cada mes. Calcula la mediana de los gastos por mes. Calcula la mediana de los gastos por producto durante el semestre. Analizando los promedios de gastos por productos durante el semestre, calcula el porcentaje que representa cada uno. Representa los porcentajes calculados anteriormente utilizando un gráfico circular.

La estadística es una ciencia tan antigua como la aparición de los primeros estados. Los egipcios llevaban cuenta de los movimientos de la población y para ello realizaban censos poblacionales. Hay documentación que indica que estas prácticas ya se realizaban en 3050 a. de C. Los pueblos de Mesopotamia, tampoco se quedaban atrás, el rey Sargon II de Asiria fundó una biblioteca donde existían miles de tablillas escritas en cuneiforme con datos estadísticos sobre la producción agrícola de la nación. Los israelíes mencionan los censos en la Biblia y más específicamente en el Pentateuco, donde a dos años de la salida de Egipto ya se censaban las tribus de Israel.

Información y azar 179

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Conocen y han trabajando con Excel.

Interpretan y construyen gráficos circulares.

Determinan media aritmética, moda y mediana de un conjunto de datos.

2. Para comenzar el trabajo en la

sala de computación recuerde a sus estudiantes que deben mantener un comportamiento adecuado para lograr no solo la comprensión del contenido, sino que también que la actividad se realice de manera fluida y permita obtener los resultados correctos. 3. Explique a sus alumnos y alumnas que dentro de la actividad que realizarán en la Tecnología activa se encuentra la confección de un gráfico circular. Recuerde a los alumnos y alumnas que la ayuda de Excel les puede servir para aclarar cualquier duda durante la realización de alguna de las actividades. 4. Como Actividad complementaria se sugiere un ejercicio en algunos aspectos similar al del texto, pero en él deberán además realizar la incursión en otros tipos de gráficos, los gráficos de líneas o los gráficos de puntos. Oriente a sus estudiantes para facilitar la búsqueda del gráfico adecuado para representar la información.

Actividad complementaria

Ocupar herramienta tecnológica

Proponga a sus alumnos y alumnas las siguientes actividades para que las resuelvan usando Excel. 1. En una tienda se pretende realizar un estudio de ventas. Hasta el momento el área de economía ha logrado tabular los siguientes datos: Productos

180 Texto del Estudiante - Unidad 6

Cantidad de unidades vendidas Agosto

Septiembre

Octubre

300

350

200

320

1 000

700

560

499

Unidad 6

Ocupar herramienta tecnológica

Determina el promedio de ventas totales para cada uno de los meses considerados. Determina el promedio de ventas mensuales de cada producto. Construye en tu cuaderno un gráfico con los porcentajes de ventas de cada producto. Construye en tu cuaderno un gráfico circular con los porcentajes de ventas totales para cada mes. Construye un gráfico utilizando Excel con los porcentajes de ventas mensuales de cada producto. Construye un gráfico utilizando Excel con los porcentajes de ventas totales para cada mes.

Reflexión Cuando se realizan experimentos de cualquier tipo a partir de los cuales se obtiene un grupo de datos, los resultados obtenidos se procesan estadísticamente. Esto consiste en que los datos que se obtienen se analizan y de ellos se obtienen determinados parámetros estadísticos entre los que se encuentran la media aritmética, la mediana y la moda. Una de las aplicaciones más utilizadas para este fin es Excel, pues es una completa hoja de cálculo que además se adecúa a las necesidades del usuario. Por esta razón, resulta muy importante que los alumnos y alumnas adquieran destreza en el manejo de este programa, pues este le será de mucha utilidad para el futuro.

Anotaciones: Información y azar 181

Sintetizar información

Orientaciones metodológicas 1. Antes de dar inicio a las activi-

dades de la clase, compruebe que sus estudiantes:

Ordenan datos dentro de una tabla de datos.

Construyen e interpretan tablas de frecuencias.

Calculan la media aritmética de un conjunto de datos.

Determinan la mediana y la moda de un conjunto de datos. Definen el concepto de probabilidad como la posibilidad de ocurrencia de un suceso. Estiman la probabilidad de un suceso.

2. Invite a sus estudiantes a que

lean el título de la página 166 y explique que la síntesis está destinada a ofrecerles en forma resumida los temas más importantes trabajados en la unidad. 3. Analice con el curso las fichas recordando cada tema a través de ejemplos concretos que los estudiantes puedan resolver mentalmente o a través de un cálculo rápido en sus cuadernos. 4. Comente a sus estudiantes que pueden enriquecer cada ficha con un pequeño ejemplo y si consideran que para la síntesis no se tuvieron en cuenta algunos contenidos importantes, pueden crear todas las nuevas fichas que consideren necesarias. 5. En la página 167 comienza la Evaluación, a través de la cual los estudiantes demostrarán el nivel de comprensión que han tenido de los contenidos trabajados a lo largo de la unidad. Es por ello que recomendamos que el proceso sea realizado en forma individual para ser calificado sumativamente.

Representar gráficamente

Actividad complementaria 1. Realice con sus alumnos y alumnas un papelógrafo con una red conceptual a partir de los temas trabajados en la unidad. Pida a los estudiantes que se reúnan en grupos de cinco integrantes y realicen un resumen de los conceptos más importantes. Pida que entre todos compongan la red en una cartulina. Induzca al curso a tener en cuenta que esta unidad tiene la peculiaridad de trabajar dos ramas diferentes, la estadística y las probabilidades, por lo tanto, las redes podrían quedar separadas inicialmente y unirse solo al final.

182 Texto del Estudiante - Unidad 6

Unidad 6

Historia y números Es a partir del siglo XVII, con los aportes de Vito Seckendorff y German Conring, que la estadística surgió en sí, dejando de ser una mera descripción de datos. John Graunt, en Inglaterra, buscó a través de los números determinar los movimientos sociales y políticos, en otras palabras, desarrolló leyes cuantitativas que rigen la sociedad. A partir de Graunt surgieron dos escuelas, la primera: Tendencia Enciclopédico Matemática, que junto a la estadística y las probabilidades ingresaron a todos los campos de la actividad humana. La segunda: Tendencia Demográfica que explica y teoriza los movimientos de la población.

Interpretar información

Materiales Cartulina. Plumones.

2. Pida a sus estudiantes que analicen la siguiente tabla que contiene datos acerca de la cantidad de hectáreas plantadas con algarrobos por región: Región

III

VII

VIII

Hectáreas

300

1 000

1 239

998

564

132

¿Cuál es el promedio de hectáreas de algarrobos sembradas en las regiones, según el registro de la tabla? ¿Cuál es el porcentaje de plantación de algarrobos en cada región respecto al total?

Información y azar 183

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Conocen el concepto de

media aritmética y saben calcularla. Determinan la mediana y moda de un conjunto de datos. Interpretan información representada en un gráfico circular. Describen experimentos aleatorios y analizan sus resultados. Estiman la probabilidad de un evento o suceso.

Representar gráficamente

2. La Evaluación la puede presen-

tar a los estudiantes a modo de actividad individual. 3. Realice con alumnos y alumnas la Reflexión que se sugiere en la página 185 de esta guía. 4. Lea en voz alta cada una de las actividades que se presentan y aclare las dudas que puedan existir acerca del enfoque de algunos contenidos. 5. Otorgue a los alumnos y alumnas un tiempo para la realización de las actividades. Tras cumplirse este tiempo haga una puesta en común con los resultados y luego entregue a cada uno de los estudiantes una tabla como la que se sugiere en la Evaluación, con el fin de que autoevalúen los resultados obtenidos en cada uno de los ejercicios.

Analizar

Interpretar información

Actividad complementaria 1. Una empresa que comercializa estufas eléctricas realizó un análisis de sus ventas del año anterior y los resultados los expresó en el siguiente gráfico: Abril 5% Mayo 10% Junio 15% Julio 35% Agosto Sept 5%

184 Texto del Estudiante - Unidad 6

Octubre 1,5% Nov 1,2% Diciembre 1% Enero 0,25 Feb 0,2% mar 0,85%)

¿Cuál es el porcentaje de ventas correspondiente al mes de agosto? ¿Porqué crees que se realizó un segundo gráfico? ¿Qué meses representa el segundo gráfico? ¿Qué porcentaje corresponde al segundo gráfico?

Unidad 6

Reflexión ¿En que consiste una evaluación? ¿Para qué sirve una evaluación? A través de estas preguntas puede iniciar con sus estudiantes una reflexión acerca del proceso evaluativo y la importancia del mismo. Es primordial que los estudiantes vean la evaluación como la posibilidad de comprobar el nivel de comprensión que han tenido de los contenidos abordados en la unidad y, a partir de esto, saber en qué temas deben profundizar y ejercitar.

Evaluación Aplique la siguiente autoevaluación para conocer cuál es el nivel de adquisición de los contenidos de la unidad en sus estudiantes: Indicadores Calculo e interpreto la media aritmética de un conjunto de datos Calculo e interpreto la moda de un conjunto de datos Calculo e interpreto la mediana de un conjunto de datos Leo y construyo gráficos circulares Defino, describo y realizo experimentos aleatorios Estimo la probabilidad de sucesos para experimentos aleatorios sencillos

Anotaciones: Información y azar 185

186 Texto del Estudiante - Solucionario

Solucionario

Texto del Estudiante - Solucionario 187

188 Texto del Estudiante - Solucionario

Solucionario

Texto del Estudiante - Solucionario 189

190 Texto del Estudiante - ร ndice temรกtico

Bibliografía y páginas web

Texto del Estudiante - Bibliografía y páginas web 191

192 Texto del Estudiante - Evaluaci贸n modelo

Materiales complementarios

Materiales complementarios Tarjetas correspondientes al juego que se propone en las páginas 26 y 27 de la Guía Didáctica del Docente.

0,1 · 0,01 = 0,001

0,99 · 0,1 = 0,099

0,25 · 0,5 = 0,125

25,32 · 0,25 = 6,33

0,345 · 0,04 = 0,0138

0,01 · 154,01 = 1,5401

0,027 · 0,9 = 0,0243

3,0 · 0,3 = 0,9

0,8 · 0,9 = 0,72

33,8 · 0,3 = 10,14 Otros recursos didácticos - Materiales complementarios 193

Tarjetas correspondientes al juego que se propone en las páginas 26 y 27 de la Guía Didáctica del Docente.

25,32 · 0,25 = 6,33

172,5 · 723,1 = 124 734,75

25,32 · 0,25 = 6,33

25,32 · 1,25 = 31,65

90,10 · 0,98 = 88,298

91 · 8 = 728

4,0 · 3,48 = 13,92

100 · 1,01 = 101

8,97 · 5,001 = 44,85897

423,2 · 51,7 = 21 879,44

194 Otros recursos didácticos - Materiales complementarios

Materiales complementarios

Tarjetas correspondientes al juego que se propone en las páginas 26 y 27 de la Guía Didáctica del Docente.

0,32 · 0,2 · 1,5 = 0,096

10 · 0,05 · 0,1 = 0,05

25 · 0,25 · 0,008 = 0,05

2,3 · 4,1 · 7,35 = 70,725

0,10 · 0,9 · 0,1 = 0,009

10,1 · 3,5 · 0,002 = 0,0707

3,4 · 5,2 · 3,1 = 54,808

2,5 · 3,9 · 4,1 = 39,975

0,1 · 0.2 · 5 = 0,1

0,05 · 0,001 · 7 = 0,00035

Otros recursos didácticos - Materiales complementarios 195

Recurso aplicable a la resolución de los Ejercicios con alternativas de las Evaluaciones del Texto del Estudiante.

Hoja de respuestas para ejercicios con alternativas Nombre: Curso:

Fecha:

10.

Buenas

Omitidas

Malas

Nº de buenas Prueba de 8 preguntas Prueba de 10 preguntas

7u8

NIVEL

9 ó 10

NIVEL 1

4a6

5a8

NIVEL 2

Menos de 4

Menos de 5

NIVEL 3

Entre 87,5% y 100% de acierto

Óptimo. Felicitaciones, aplicaste correctamente los aprendizajes de la unidad en la resolución de los ejercicios.

Entre 50% y 87,5% de acierto

Regular… Debes repasar aquellos contenidos que aún no manejas y volver a resolver los ejercicios.

Menos de 50% de acierto

Deficiente… Debes repasar los contenidos de la unidad, ejercitar y volver a resolver los ejercicios.

Unidad:

Color obtenido:

196 Otros recursos didácticos - Materiales complementarios

Materiales complementarios

Ángulos para trabajar la Actividad complementaria de la página 136 de la Guía Didáctica del Docente.

Otros recursos didácticos - Materiales complementarios 197

Relojes para trabajar la Actividad complementaria de la página 136 de la Guía Didáctica del Docente.

3:54

7:00

1:18

6:54

7:12

5:24

198 Otros recursos didácticos - Materiales complementarios

Materiales complementarios

Modelo para la construcción de gráficos circulares para trabajar en las páginas 154 y 155 del Texto del Estudiante y en las páginas 170 y 171 de la Guía Didáctica del Docente.

Circunferencia dividida en 36 partes iguales

Gráfico circular de apoyo a la Aclaración de conceptos de la página 171 de la Guía Didáctica del Docente.

a b c d e f g

Otros recursos didácticos - Materiales complementarios 199

Juego de azar para aplicar durante la revisión de las páginas 156 a 161 del Texto del Estudiante y 172 a 177 de la Guía Didáctica del Docente.

Partida Adición

Multiplicación