8vo_2010_Alumno

Texto del estudiante

Autores: Autores:

Pablo León Velasco Licenciado en Ciencias de la Ingeniería, mención Industrial, Universidad de Chile

Paula Olivares Muñoz Natacha Astromujoff Profesora de Educación General Básica, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación Eleamar Barrios Licenciada en Educación, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación Marcelo Casis Paz Parra Riveros Ivette León Ingeniero Civil Químico, Universidad de Chile Paula Olivares Licenciada en Ciencias de la Ingeniería, mención Química, Universidad de Chile Marta Riveros Magíster en Ciencias de la Ingeniería, mención Química, Universidad de Chile Josrge Soto

Matemática 8º Básico Texto del Estudiante Autores: Pablo León Velasco Paula Olivares Muñoz Paz Parra Riveros

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Dirección editorial: Gloria Páez Herrera Edición: Daniel Catalán Navarrete Asistencia editorial: Deysma Coll Herrera Diseño: Equipo editorial Diagramación: Marcela Ojeda Ampuero Ilustración: Margarita Valdés Ruiz Corrección de estilo: Norma Guerra González Archivos gráficos: MN Editorial Ltda.

Nº de registro: 198.295 ISBN: 978-956-294-289-8 Impreso en Chile por Worldcolor Chile Se terminó de imprimir esta 1ª Edición de 91.000 ejemplares, en el mes de diciembre de 2010.

Bienvenida En este el último curso de la Educación básica profundizarás y completarás el estudio de una serie de temas que cimentarán tus aprendizajes de la Educación media.

El producto de números positivos y negativos y el desarrollo de las potencias con exponente negativo, sumado al uso del concepto de proporcionalidad para describir el comportamiento de variables relacionadas entre sí, te permitirán profundizar y aplicar plenamente muchos temas vistos en cursos anteriores.

La descripción de círculos y circunferencias y de cuerpos redondos ampliará la comprensión del entorno físico en el que te desenvuelves. La inserción en la geometría de las transformaciones isométricas te mostrará el dinamismo del espacio físico y te presentará el mundo material como un universo sometido a permanentes cambios.

El análisis de conjuntos de datos que se hace necesario agrupar y la formalización del concepto de probabilidad, te entregarán nuevas herramientas descriptivas para caracterizar y comprender información real.

Tras la adquisición de los conocimientos que te ofrece este texto cerrarás un ciclo de aprendizaje y comenzarás a prepararte para el que iniciarás el año venidero.

Este es el desafío que te proponemos y para el que, confiamos, estás preparado.

Bienvenida

3

Estructura didáctica El Texto del Estudiante de Matemática de 8° Básico contiene 6 unidades didácticas. El cuerpo de cada unidad está conformado por páginas binarias de contenido que se articulan en torno a un tema que contextualiza los objetivos de aprendizaje de cada una de ellas. Al inicio de cada unidad existen páginas que contienen actividades introductorias y como cierre se plantea el uso de recursos tecnológicos, un resumen de la unidad y una evaluación sumativa final. Además, se incorpora cuando corresponde, el ícono que enlaza los contenidos del texto con las actividades multimediales del Hipertexto. La estructura detallada de cada unidad de este texto es la siguiente: Entrada de unidad Imagen alusiva al tema transversal de la unidad.

Actividad motivadora para iniciar el estudio de la unidad.

Red conceptual con los contenidos de la unidad.

Aprendizajes que se espera adquieras tras la revisión de la unidad.

Actividad inicial Historieta que te propone una situación que debes observar y analizar con detención.

Actividades que podrán ser utilizadas como evaluación diagnóstica de materias vistas en cursos anteriores y que servirán para la revisión de los temas de la unidad.

Páginas de contenido Ejemplo explicativo que contiene una situación problemática, que es resuelta paso a paso a modo de ejemplificación.

Cuadro de definición de los contenidos fundamentales.

4 Estructura didáctica

Ejercicios individuales para que apliques lo que acabas de aprender en forma individual.

Ejercicios grupales de análisis y reflexión o de carácter lúdico para que resuelvas con uno o más compañeros y compañeras.

Problemas que plantean situaciones matemáticas contextualizadas en diferentes temas y que puedes resolver en forma individual o grupal.

Resolución de problemas Problemas propuestos que debes resolver aplicando el método.

Problema modelo que te propone un método de cinco pasos para que lo apliques en la resolución de problemas de diversa índole.

Tecnología activa

Ejemplificación del uso de herramientas tecnológicas para resolver actividades relacionadas con los temas vistos en la unidad.

Actividades propuestas para que apliques la herramienta tecnológica descrita.

Síntesis de la unidad

Evaluación

Cuadros con las definiciones que resumen los contenidos tratados en la unidad.

Tres páginas en las que se evalúan los temas vistos en la unidad. Dos de ellas te proponen ejercicios de desarrollo y una ejercicios con alternativas.

Además, en las páginas del texto se incluyen cuatro tipos de apartados y el ícono de Hipertexto:

Indicación práctica o nota recordatoria para una mejor comprensión del tema tratado.

HIPERTEXTO

Matemática

Archívalo Definiciones y conceptos directamente ligados con los temas de la página.

Enlace con…

Breve vinculación del tema tratado en la página con otras ramas del conocimiento.

Desafío

al ingenio

Actividades lúdicas que requieren del ingenio matemático para su realización.

Ícono que relaciona el Texto del Estudiante con las actividades del Hipertexto.

Estructura didáctica

5

Índice de contenidos Unidad

1

Productos y cocientes

Entrada de unidad............................................ 8 y 9 Actividad inicial.............................................10 y 11 • Multiplicación y división de enteros positivos...12 y 13 • Multiplicación y división de enteros de diferente signo............................................ 14 y 15 • Multiplicación y división de enteros negativos.................................................... 16 y 17 • Propiedades de la multiplicación en ℤ...... 18 y 19 • Operaciones combinadas en ℤ................. 20 y 21 Resolución de problemas........................... 22 y 23 Tecnología activa......................................... 24 y 25 Síntesis de la unidad........................................... 26 Evaluación..................................................... 27 a 29

Unidad

2

Potencias y sus aplicaciones

Entrada de unidad........................................ 30 y 31 Actividad inicial............................................ 32 y 33 • Potencias de base entera y exponente natural........................................................ 34 y 35 • Interpretación de potencias con exponente entero....................................... 36 y 37 • Multiplicación y división de potencias de igual base................................................... 38 y 39 • Crecimiento exponencial. ...........................40 y 41 • Decrecimiento exponencial........................ 42 y 43

6 Índice de contenidos

• Potencias de exponente 2 y raíces cuadradas................................................... 44 y 45 • Teorema de Pitágoras................................ 46 y 47 • Tríos pitagóricos......................................... 48 y 49 Resolución de problemas............................50 y 51 Tecnología activa......................................... 52 y 53 Síntesis de la unidad........................................... 54 Evaluación..................................................... 55 a 57

Unidad

3

Ecuaciones y proporcionalidad

Entrada de unidad........................................ 58 y 59 Actividad inicial............................................ 60 y 61 • Variables dependientes e independientes.. 62 y 63 • Relación directamente proporcional.......... 64 y 65 • Representación de una relación directamente proporcional......................... 66 y 67 • Relación inversamente proporcional. ........ 68 y 69 • Representación de una relación inversamente proporcional..........................70 y 71 • Modelos matemáticos de proporcionalidad directa......................................................... 72 y 73 • Modelos matemáticos de proporcionalidad inversa.........................................................74 y 75 • Funciones. ................................................. 76 y 77 Resolución de problemas........................... 78 y 79 Tecnología activa......................................... 80 y 81 Síntesis de la unidad........................................... 82 Evaluación..................................................... 83 a 85

Unidad

4

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo

Resolución de problemas........................132 y 133 Tecnología activa......................................134 y 135 Síntesis de la unidad......................................... 136 Evaluación..................................................137 a 139

Entrada de unidad........................................ 86 y 87 Actividad inicial............................................ 88 y 89 • Traslación................................................... 90 y 91 • Reflexión.................................................... 92 y 93 • Rotación..................................................... 94 y 95 • Teselaciones.............................................. 96 y 97 • Definición de circunferencia y círculo........ 98 y 99 • Elementos lineales de una circunferencia..........................................100 y 101 • Elementos angulares de circunferencias y círculos..................................................102 y 103 • Perímetro de una circunferencia.............104 y 105 • Área de un círculo...................................106 y 107 Resolución de problemas........................108 y 109 Tecnología activa.......................................110 y 111 Síntesis de la unidad..........................................112 Evaluación.................................................. 113 a 115

Unidad

5

Unidad

6

Datos agrupados y probabilidades

Entrada de unidad..................................... 140 y 141 Actividad inicial.........................................142 y 143 • Datos cuantitativos discretos y . continuos.................................................144 y 145 • Intervalo de clase.................................... 146 y 147 • Marca de clase. ......................................148 y 149 • Media aritmética y moda para datos agrupados...............................................150 y 151 • Construcción de gráficos con datos agrupados...............................................152 y 153 • Métodos de muestreo.............................154 y 155 • Experimentos aleatorios equiprobables. 156 y 157 • Regla de Laplace....................................158 y 159 • Verificación de una probabilidad.............160 y 161 Resolución de problemas........................162 y 163

Cuerpos redondos

Entrada de unidad..................................... 116 y 117 Actividad inicial......................................... 118 y 119 •. Cuerpos redondos...................................120 y 121 •. El cilindro.................................................122 y 123 •. El cono....................................................124 y 125 •. La esfera.................................................126 y 127 •. Área de cuerpos redondos......................128 y 129 •. Volumen de cuerpo redondos.................130 y 131

Tecnología activa......................................164 y 165 Síntesis de la unidad......................................... 166 Evaluación................................................. 167 a 169 Solucionario...............................................170 a 173 Índice temático....................................................174 Bibliografía y páginas web................................ 175 Evaluación modelo............................................. 176

Índice de contenidos

7

Entrada de unidad

1

Unidad

Productos y cocientes

Red conceptual Enteros positivos

Multiplicaciรณn y divisiรณn

Propiedades de la multiplicaciรณn

resoluciรณn de

Operaciones combinadas

Enteros de diferente signo

Enteros negativos

8

aplicaciรณn de

¿Por qué no hay que abusar de la comida chatarra?

El término “comida basura” o “comida chatarra” se usa para referirse a la comida con poco valor nutritivo, no porque no contenga nutrientes sino porque los presenta en forma no equilibrada. Potencialmente todos los alimentos son perjudiciales para la salud si se abusa de su consumo, pero los que se consideran comida basura no requieren ser consumidos en grandes cantidades para producir efectos adversos. Este tipo de comidas contiene generalmente altos niveles de grasas, sal, azúcares y condimentos; y es deficitaria en proteínas, vitaminas, minerales y otros nutrientes esenciales para un organismo en desarrollo. Adicionalmente, el consumo de comida chatarra está frecuentemente relacionado con problemas de salud tales como obesidad, enfermedades al corazón, diabetes y caries. Estudios recientes demuestran que las personas que consumen habitualmente comida chatarra engordan casi 5 kilogramos más que las personas que solo lo hacen esporádicamente y tienen el doble de probabilidades de padecer desórdenes de insulina que pueden llegar a generar diabetes.

Consumes habitualmente comida chatarra? ¿ Estás consciente de que el exceso de comida chatarra puede perjudicar tu salud? ¿

¿Puedes resolver?

Fabiola era asidua consumidora de comida chatarra. Tras aumentar excesivamente de peso y presentar algunos problemas de salud, decidió comenzar a comer sano y cambió sus hábitos alimenticios, abandonando la comida chatarra. Es así como comenzó a disminuir 2 kg por mes y tras 10 meses de dieta, pudo recuperar el peso ideal para su estatura, edad y contextura. ¿Cómo puedes representar la variación de su masa corporal cada uno de los meses que duró la dieta?

Si al comenzar la dieta su masa corporal era de 84 kg, ¿cuánto registró la pesa al pesarse tras los 10 meses de dieta?

rás a: En esta unidad aprende teros positivos.

eros en ultiplicar y dividir núm M signos. os enteros de diferentes er m nú r di vi di y ar lic tip Mul eros enteros negativos. m nú r di vi di y ar lic . tip ul M licación en el conjunto Z tip ul m la de es ad ied op Identificar las pr Z. mbinadas en el conjunto Resolver operaciones co

HIPERTEXTO

Motivación

9

Actividad inicial La necesidad de trabajar con números se puede percibir en muchas situaciones de la vida diaria, como por ejemplo, al hacer las compras, al distribuir el dinero de la mesada entregada por nuestros padres o al intentar interpretar información escrita de diarios y revistas. Dependiendo de cada situación podemos encontrarnos con números positivos, negativos, fraccionarios y decimales.

Formen grupos de tres personas y luego realicen las actividades que se presentan a continuación.

A Lean la historieta y luego contesten las preguntas de la página siguiente:

10 Unidad 1

Unidad a) ¿Cómo pueden representar el descenso de temperatura de 3 ºC? b) ¿Cuál fue la variación de temperatura en la montaña entre las 8 y las 12 de

la noche mencionada por Carlos? c) Si a las 8 de la noche había 4 ºC de temperatura en la montaña, ¿qué temperatura marcó el termómetro a las 12 de la noche?

B En un juego de azar, cada jugador debe sacar 6 bolitas desde una bolsa con bolitas verdes y azules. Una bola verde equivale a 3 puntos y una azul a -5 puntos. a) Si Argelia sacó 6 verdes, ¿qué puntaje obtuvo? b) Si Felipe sacó 3 verdes y 3 azules, ¿qué puntaje obtuvo? c) Si Raquel sacó 6 azules, ¿qué puntaje obtuvo? d) Si el juego lo gana aquel que obtenga el menor puntaje, ¿cuál de los tres participantes ganó esta primera ronda?

C La suerte de don José Miguel, un destacado empresario, fue muy dispar el año pasado. El primer trimestre tuvo pérdidas por 2 000 dólares, el segundo trimestre tuvo pérdidas por una cantidad equivalente a la cuarta parte de las del primer trimestre, el tercer trimestre obtuvo ganancias por 4 000 dólares y el último trimestre obtuvo ganancias por una cantidad equivalente a las tres octavas partes de las del trimestre anterior. a) ¿Cuáles fueron las ganancias o pérdidas trimestrales que tuvo el empresario el año pasado? b) ¿Qué operaciones deben realizar para determinar la ganancia o pérdida de don José Miguel durante el año pasado? ¿Cuál es este valor?

D Producto de las altas temperaturas registradas, el agua de una pequeña laguna se evapora a una tasa de 204 L diarios. a) ¿Cómo pueden representar esta disminución? b) ¿Cuál será la reducción del contenido de agua de la laguna tras 3 días de evaporación? c) ¿En cuánto se reduce el contenido de agua tras 2 semanas de evaporación? d) Si el contenido inicial de la laguna era de 890 000 L, ¿cuál será su contenido tras 6 meses (de 30 días cada uno) de evaporación?

E Observen las siguientes adiciones de números enteros. Escríbanlas como multiplicaciones y luego indiquen el resultado: a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = ___ · ___ = b) -1 + -1 = ___ · ___ = c) -4 + -4 + -4 = ____ · ____ = d) -12 + -12 + -12 + -12 + -12 + -12 = ___ · ___ = HIPERTEXTO

Diagnóstico

Productos y cocientes

11

Multiplicación y división de enteros positivos A la enfermería de un colegio llegaron 32 cajas cada una con 12 vacunas contra la influenza. Estas cajas deben ser distribuidas equitativamente entre 8 cursos.

El desarrollo de la multiplicación de 12 por 32 es: 12 · 32 24 + 36 384

Enlace con…

La Salud

ff¿Cuántas vacunas contra la influenza llegaron al colegio?

La influenza es una enfermedad respiratoria contagiosa causada por un virus. Puede provocar un estado de malestar general, llegando, en los caso más graves y mal cuidados, a provocar la muerte.

Para calcular cuantas vacunas llegaron, es necesario multiplicar el número de cajas existentes por el número de vacunas que vienen en cada una. +12 · +32 = +384 Tanto 12 como 32 son números positivos y su producto también lo es.

Al colegio llegaron 384 vacunas.

Cuando se multiplican dos números enteros positivos, el resultado también es un número entero positivo.

Cuando escribimos un número entero positivo no es necesario escribir el signo +. Sin embargo, en estas páginas se ha escrito para hacer evidente la condición de número positivo.

ff¿Cuántas cajas corresponderán a cada curso?

Para calcular la cantidad de cajas por curso, es necesario dividir el total de cajas por el número de cursos: +32 : +8 = +4 Tanto 32 como 8 son números positivos y su cociente también lo es.

A cada curso le corresponderán 4 cajas.

Cuando se dividen dos números enteros positivos, el resultado es un número positivo.

12 Unidad 1

Unidad

Ejercicios individuales a. Resuelve las siguientes multiplicaciones de números enteros positivos: a) +4 · +39 =

d) +103 · +12 =

b) +35 · +43 =

e) +19 · +133 =

c) +35 · +12 =

f) +203 · +304 =

b. Resuelve las siguientes divisiones de números enteros positivos: a) +45 : +9 =

d) +10 387 : +13 =

b) +329 : +7 =

e) +153 : +3 =

c) +2 032 : +8 =

f) +1 675 : +25 =

Problemas 1. Un hospital tiene 20 piezas individuales, 40 piezas dobles, 40 piezas triples, 20 piezas cuádruples y 30 piezas para ocho personas.

Por cada cama del hospital hay dos juegos de sábanas, dos almohadas, 1 colchón y 3 frazadas. a) ¿Cuántas camas hay en el hospital? b) ¿Cuántos juegos de sábanas hay en total? c) ¿Cuántas frazadas hay en total? d) Supón que se construye un nuevo hospital en la ciudad con el mismo número de camas que el anterior, pero solo con piezas cuádruples. ¿Cuántas piezas debe tener este hospital?

2. Una flota consta de 18 barcos. 10 de ellos transportan cada uno 900 toneladas de carga y los otros 8, más grandes, transportan 1 200 toneladas cada uno. a) ¿Cuántas toneladas de carga transportan los diez barcos pequeños? b) ¿Cuántas toneladas de carga transportan los ocho barcos grandes? c) ¿Cuántas toneladas de carga transporta la flota completa?

Productos y cocientes

13

Multiplicación y división de enteros de diferente signo En la última clase de Educación Física los estudiantes practicaron un juego cuyas reglas son:

Enlace con…

La Historia

El juego del ula-ula es muy antiguo. Se hacen referencias a él en las civilizaciones egipcia, griega y romana.

Los aros se fabricaban con ramas de parra y los niños y niñas los hacían girar en diferentes partes de sus cuerpos. En algunas culturas aborígenes de América también se construyeron aros para ser utilizados en los juegos de los infantes, ocupándose como material de fabricación principalmente la caña de azúcar.

• Se forman equipos de 5 integrantes cada uno.

• Los integrantes de un equipo lanzan un aro del juego del ula-ula hacia un par de estacas clavadas en el piso desde una distancia de unos 5 metros.

• Si un estudiante acierta sobre las dos estacas, su equipo es premiado con +3 puntos.

• Si un estudiante acierta solo a una de las estacas, su equipo es castigado con -1 puntos.

• Si un estudiante no acierta a ninguna estaca, su equipo es castigado con -2 puntos.

ffEn la primera ronda los cinco integrantes de uno de los equipos falló todos sus lanzamientos. ¿Qué puntaje obtuvo este equipo tras esta primera ronda?

Como fallar recibe una puntuación de -2, y cada equipo tiene cinco integrantes, el puntaje del equipo fue: +5 · -2 = -10 Cuando se multiplican dos números enteros de distinto signo, el resultado es un número entero negativo.

14 Unidad 1

Unidad ffSi tras 3 rondas el puntaje de un equipo es de -15 puntos y en cada ronda obtuvo el mismo puntaje, ¿qué puntaje consiguió en cada ronda?

Como son tres rondas y el puntaje acumulado en ellas fue de -15, entonces el puntaje obtenido en cada ronda fue: -15 : +3 = -5 Cuando se dividen dos números enteros de distinto signo, el resultado es un número negativo.

Ejercicios individuales a. Resuelve las siguientes multiplicaciones de números enteros: a) -53 · +32 =

d) -105 · +15 =

b) +7 · -38 =

e) +1 249 · -8 =

c) -18 · +9 =

f) -1 047 · +10 =

b. Resuelve las siguientes divisiones de números enteros: a) +24 : -8 =

d) +84 : +6 =

b) +138 : -3 =

e) -360 : +90 =

c) -35 : +7 =

f) +10 000 : -100 =

Ejercicios grupales a. La fórmula de la Física que relaciona la fuerza que actúa sobre un cuerpo con su masa y con la aceleración que se produce en él es F = m · a.

En grupos de dos integrantes completen los términos que faltan en la siguiente tabla aplicando la fórmula anterior: Masa [kg]

Aceleración [m/s2 ]

5

Fuerza [N] -20

4

-4

7

-10

8

-16

5

-25 -30

-90

Productos y cocientes

15

Multiplicación y división de enteros negativos La ley de Coulomb es una ley fundamental que permite determinar la fuerza F con la que se atraen o repelen dos cargas eléctricas.

La fórmula que representa matemáticamente esta ley para dos cargas inmóviles puede escribirse como:

Enlace con…

La Física

La Ley de Coulomb lleva este nombre en honor al físico e ingeniero francés Charles August de Coulomb quien fue el primero en describir y caracterizar las fuerzas existentes entre dos partículas cargadas eléctricamente. Además, sus estudios sentaron las bases para el desarrollo de una teoría matemática que permitió explicar las fuerzas de origen magnético.

F = A · q1 · q2 F es la fuerza con que se atraen o repelen las cargas. Se mide en Newton (N). q1 y q2 son las dos cargas eléctricas (pueden ser positivas o negativas). Se miden en Coulomb (C).

A es una constante para dos cargas cuya distancia de separación no cambia.

Si F es positiva significa que las dos cargas eléctricas se repelen y si es negativa significa que se atraen.

Supongamos que A = 1, entonces: F = q1 · q2 ff¿Con qué fuerza se atraerán o repelerán una carga de -20 C y otra de -15 C? Si q1 = -20 C y q2 = -15 C, entonces: F = -20 · -15 = 300 La dos cargas se repelen con una fuerza de 300 N. Cuando se multiplican dos números enteros negativos, el resultado es un número entero positivo.

Para que en el ejemplo de esta página A sea igual a 1 en la fórmula de la ley de Coulomb, las dos cargas eléctricas consideradas deben estar a una distancia de casi 95 kilómetros.

ffDos cargas eléctricas se atraen con una fuerza de -24 N. Si una de las cargas vale -6 C, ¿cuál es el valor de la otra carga?

F = q1 · q2

q2 =

F -24 = =4 q1 -6

La carga q2 es positiva y vale 4 C. Cuando se dividen dos números enteros negativos, el resultado es un número positivo.

16 Unidad 1

Unidad

Ejercicios individuales a. Resuelve las siguientes multiplicaciones de números enteros negativos: a) -9 · -3 =

d) -47 · -12 =

b) -81 · -6 =

e) -18 · -21 =

c) -9 · -41 =

f) -24 · -5 =

b. Resuelve las siguientes divisiones de números enteros negativos: a) -12 : -2 =

d) -960 : -4 =

b) -99 : -11 =

e) -1 088 : -16 =

c) -180 : -9 =

f) -189 : -3 =

Ejercicios grupales a. Reúnanse en grupos de tres integrantes y, aplicando la fórmula de la Ley de Coulomb para el caso que se presentó en la página anterior (A = 1), determinen el valor desconocido: F [N]

Q1 [C] -1

-1

-64

1

1

9

Q2 [C]

-3 -8

-2

12

-9

-4

b. Copia el valor de cada una de las fuerzas determinadas en el ejercicio anterior y señala mediante un visto (✓) si se trata de una fuerza atractiva o repulsiva: F [N]

HIPERTEXTO

Desarrollo

Atracción

Repulsión

Productos y cocientes

17

Propiedades de la multiplicación en Z Las propiedades de la multiplicación de números enteros son las mismas que ya se definieron para números naturales, vale decir, clausura, conmutatividad, asociatividad, existencia de elementos neutro y absorbente y distributividad sobre la adición. Repasemos cada una de ellas: 1° Clausura: 3 · -4 = -12 ∈ ℤ

Algunas reglas prácticas para la multiplicación de enteros son: +·+=+ +·–=– –·+=– –·–=+

-5 · -11 = 55 ∈ ℤ

7 · -9 = -63 ∈ ℤ

Cuando se multiplican dos o más números enteros, se dice que existe clausura dentro del conjunto ℤ, ya que el producto también es un número entero: ∀ a, b ∈ ℤ ∧ a · b = c ⇒ c ∈ ℤ

2° Conmutatividad: +2 · -5 = -10 -5 · +2 = -10 La multiplicación en el conjunto ℤ es conmutativa, es decir, se cumple: a · b = b · a; ∀ a, b ∈ ℤ

3° Asociatividad: -3 · (-4 · +2) = -3 · (-8) = +24 (-3 · -4 ) · +2 = (+12) · +2 = +24 Recuerda cómo se leen algunos símbolos matemáticos: ∀: “para todo”. ∃: “existe”. ∃!: “existe un único”. /: “tal que”.

∧: “y”. ⇒: “entonces”.

18 Unidad 1

La multiplicación en el conjunto ℤ es asociativa, es decir, se cumple: a · ( b · c) = (a · b) · c; ∀ a, b, c ∈ ℤ

4° Elementos neutro y absorbente:

-8 · 1 = 1 · -8 = -8

4·0=0·4=0

Para la multiplicación en el conjunto ℤ existe el elemento neutro b = 1, tal que: ∀ a ∈ ℤ, ∃! b / a · b = b · a = a Para la multiplicación en el conjunto ℤ existe el elemento absorbente c = 0, tal que: ∀ a ∈ ℤ, ∃! c / a · c = c · a = c

Unidad 5° Distributividad sobre la adición: -4 · (-3 + 7) = -4 · -3 + -4 · 7 = 12 + -28 = -16 En el conjunto ℤ se verifica la propiedad de distributividad de la multiplicación sobre la adición: a · ( b + c) = a · b + a · c; ∀ a, b, c ∈ ℤ

Ejercicios individuales a. Resuelve las siguientes operaciones, anota el resultado y la propiedad que se evidencia. Guíate por el ejemplo:

Operaciones -7 · 4 = 4 · -7

Resultado

Propiedad

-28

Conmutatividad

1 · -33 = -33 · 1 -12 · 5 + -12 · 7 = -12 · (5 + 7) 15 · (8 + -5) = (8 + -5) · 15 12 · 0 = 0 · 12 1 · (-17 – -9) = (-17 – -9) · 1 (-101 · 4) · -5 = -101 · (4 · -5) -9 · (-6 + 3 + -12) = -9 · -6 + -9 · 3 + -9 · -12

0 · (-17 · 4) = (-17 · 4) · 0

b. Escribe dos ejemplos numéricos que muestren algunas de las propiedades de la multiplicación de números enteros:

Propiedad

Ejemplos

Conmutatividad Asociatividad Existencia de elemento neutro Existencia de elemento absorbente Distributividad sobre la adición

Productos y cocientes

19

Operaciones combinadas en ℤ Recuerda que: • Sumar un número negativo equivale a restar su opuesto aditivo: 6 + -4 = 6 – 4 = 2 • Restar un número negativo equivale a sumar su opuesto aditivo: 9 – -3 = 9 + 3 = 12

Acabas de revisar las reglas que hacen posible la multiplicación y división de números enteros. A continuación desarrollaremos ejercicios que contienen las cuatro operaciones: adición, sustracción, multiplicación y división.

Observa: -12 · (9 – -3) + (8 + -1 – 11) : -4 ff¿Cómo resolvemos este ejercicio?

Cuando en un ejercicio existen muchas operaciones debemos aplicar los pasos siguientes en el orden que se indica: 1° Resolver de izquierda a derecha las operaciones que están dentro de los paréntesis.

Desafío

al ingenio

“Cuando mañana sea ayer estaremos tan cerca del sábado como ahora lo estamos del domingo”. ¿A qué día de la semana se refiere la afirmación anterior?

Archívalo Cuando multiplicamos o dividimos fracciones o números decimales positivos y negativos las reglas para el signo del producto o el cociente son las mismas que se indicaron para los números enteros.

2° Resolver de izquierda a derecha las operaciones de multiplicación y división.

3° Resolver de izquierda a derecha las operaciones de adición y sustracción.

Entonces: 1° -12 · (12) + (-4) : -4

-12 · 12 + -4 : -4

2°

-144 +

3°

-143

1

El resultado es -143. ff¿Cómo resuelves -9 –[4 + -17 · (-6 – -13) + 6 + -18 : (-21 + 12)]?

Aplicando los pasos anteriores la resolución queda como sigue: -9 – [4 + -17 · (7) + 6 + -18 : (-9)] -9 – [4 + -17 · 7 + 6 + -18 : -9 ] -9 – [4 +

+6+

-9 – [

-107

-9 +

107

98 El resultado es 98.

20 Unidad 1

-119

2

] ]

Unidad

Ejercicios individuales a. Resuelve los siguientes ejercicios. No olvides respetar el orden en que se deben realizar las operaciones: a) -4 · 8 + 17 + -3 · -2 =

e) (-8 + -22) · (4 : -3) =

b) -25 : 5 + -25 · 4 =

f) (48 · -2) : (-4 + 17) =

c) -3 + 8 + -9 + -10 – -1 · -13 =

g) -38 + 17 · -2 – 12 : -3 =

d) (-40 : 8) · [(81 · -3) – -9] =

h) (23 + 8) · (24 – -8) + (-4 – 3 – -11) =

b. Observa los siguientes desarrollos, identifica dónde está el error y resuelve correctamente: a) 15 : -3 + 12 – -4 · 2 – 11 – -18

-5

+ 16

-5

+

b) 23 – [8 + 12 · -3 – -8 · (16 : -4 – 4) + 4]

· 2 – 11 + 18 32 +

23 – [8 +

7

34

-36

+ 8 · (16 :

23 – [ -28

+8·(

23 – [ -28

+

23 – [

Resolución correcta:

-16

-40

23 + 40

63

-8 ) + 4] -2

) + 4] + 4] ]

Resolución correcta:

Productos y cocientes

21

Resolución de problemas Problema modelo Un ión de azufre S-2 posee una carga eléctrica de -2. Supón que se dispone de tres disoluciones A, B y C que contienen diferentes cantidades de este ión. a) ¿Cuál es la carga que posee la disolución A si contiene 2 iones de S-2? b) ¿Cuál es la carga que posee la disolución B si contiene 9 iones de S-2? c) ¿Cuál es la carga que posee la disolución C si contiene 15 iones de S-2? a) Entiende: ¿qué sabes del problema?

• La carga de cada disolución está dada por el aporte individual que realizan los iones presentes en ella.

• Cada disolución posee una carga distinta ya que contiene diferentes cantidades del ión S-2. b) Planifica tu estrategia: ¿cómo puedes resolver el problema?

• La carga neta de cada disolución la podemos calcular multiplicando la cantidad de iones presentes en ella por la carga del ión de S-2 (-2). c) Resuelve: desarrolla el problema para llegar a una respuesta

• Disolución A: • Disolución B: • Disolución C:

2 · -2 = -4 9 · -2 = -18 15 · -2 = -30

d) Responde: contesta las preguntas del problema

• La carga de la solución A producto de la presencia de los iones S-2 es -4.

• La carga de la solución B producto de la presencia de los iones S-2 es -18.

• La carga de la solución C producto de la presencia de los iones S-2 es -30. e) Comprueba: aplica otra estrategia para comprobar el resultado

• Para cada disolución podemos realizar la adición de las cargas individuales aportadas por los iones de S-2: Disolución A: -2 + -2 = -4 Disolución B: -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 = -18 Disolución C: -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 = -30 22 Unidad 1

Unidad Problema 1 Una empresa decidió implementar incentivos para fomentar la puntualidad de sus trabajadores. Estos incentivos consisten en beneficiarlos con $ 1 000 por cada día que lleguen a la hora a su trabajo y castigar los atrasos en un monto que dependerá de los minutos de atraso, según el siguiente criterio: $ 500 si el atraso es menor o igual a 15 minutos. $ 1 000 si el atraso es mayor a 15 minutos.

La tabla del costado contiene el detalle de la puntualidad de tres trabajadores durante el mes pasado. a) ¿Cuál es el beneficio o la pérdida del trabajador A? b) ¿Cuál es el beneficio o la pérdida del trabajador B? c) ¿Cuál es el beneficio o la pérdida del trabajador C?

Trabajador

A

B

C

Nº de días que llegó puntual

20

14

6

Nº de días que llegó con un atraso menor o igual a 15 min

0

2

12

Nº de días que llegó con un atraso mayor a 15 min

0

4

2

Problema 2 Un mueblista tiene un inventario de 40 sillas cuyo costo de producción es de $ 20 000 por cada una. De estas sillas, en enero vendió 15 a un precio de $ 25 000 cada una. En febrero vendió el resto de las sillas solo a $ 18 000 cada una, debido a una crisis en el mercado de muebles. a) ¿Cuánto dinero recaudó el mueblista por la venta de las sillas? b) ¿Cuánto dinero ganó o perdió por la fabricación de estas 40 sillas?

Problema 3 El calor específico c de una sustancia es la cantidad de energía transferida para variar en un 1 °C su temperatura (su unidad de medida es [cal/°C]) y se calcula mediante la fórmula que está al costado.

En ella Q es la energía transferida (se mide en calorías [cal]).

Si Q es positivo, la sustancia ha absorbido energía; y si es negativo, la ha liberado. La temperatura inicial es la temperatura que tiene la sustancia antes de absorber o liberar energía y la temperatura final es la temperatura que tiene después. a) Si la temperatura inicial de una sustancia es 20 °C, la final 15 °C y la energía liberada -10 000 cal, ¿cuál es su calor específico? b) El calor específico de una sustancia es 800 cal/°C, la temperatura inicial 3 °C y la final 12 °C. ¿Cuánta energía se transfirió? ¿Fue absorbida o liberada? c) El calor específico de una sustancia es 1 120 cal/°C, la temperatura inicial 22 °C y la final 12 °C. ¿Cuánta energía se transfirió? ¿Fue absorbida o liberada?

HIPERTEXTO

Desarrollo

C=

Q T. final — T. inicial

Productos y cocientes

23

Tecnología activa Multiplicando y dividiendo números positivos y negativos Utilizaremos algunos recursos que ofrece Excel para multiplicar y dividir números enteros, fracciones (positivas y negativas) y números decimales (positivos y negativos).

1. Construcción de la planilla de cálculos. ff Crea un nuevo libro en Excel y llámalo “Productos y cocientes”. ff Pon título a las columnas que ocuparás. En las celdas A1, E1 e I1 escribe “N. enteros”, “N. decimales” y “Fracciones”, respectivamente. En las celdas A2, E2 e I2 escribe “Multiplicación”. En las celdas A4, E4 e I4 escribe “División”. En las celdas C2, G2 y K2 escribe “Resultado”.

Tu planilla debe verse así:

ff En las celdas A3 y B3 escribe los números enteros que serán los factores de la multipliff ff ff ff

ff ff

cación. En la celda C3 escribe “=A3*B3” y aparecerá el producto.

En las celdas A5 y B5 escribe los números enteros que serán el dividendo y el divisor de la división. En la celda C5 escribe “=A5/B5” y aparecerá el cociente.

En las celdas E3 y F3 escribe los números decimales que serán los factores de la multiplicación. En la celda G3 escribe “=E3*F3” y aparecerá el producto.

En las celdas E5 y F5 escribe los números decimales que serán el dividendo y el divisor de la división. En la celda G5 escribe “=E5/F5” y aparecerá el cociente.

Para las fracciones primero debes cambiar el formato de las celdas asociadas a fracciones. Para esto, selecciona las columnas I, J y K. Luego, presiona Formato → Celdas, selecciona Fracciones y, finalmente, Fracciones de más de tres dígitos.

En las celdas I3 y J3 escribe las fracciones que serán los factores de la multiplicación.

En la celda K3 escribe “=I3*J3” y aparecerá el producto.

En las celdas I5 y J5 escribe las fracciones que serán el dividendo y el divisor de la división. En la celda K5 escribe “=I5/J5” y aparecerá el cociente.

24 Unidad 1

Unidad 2 -2 Si quieres calcular 3 · -12; -32 : -4; -3,23 · 2,01; -0,12 : -0,01; · -1 y : -1; tu planilla debe 3 3 verse así:

-3 2 -5 -1 Si quieres calcular 6 · -3; -45 : 20; -0,05 · -1,04; 3,8 : -2,5; · y : ; tu planilla debe 5 7 4 3 verse así:

2. Aplicando lo aprendido.

Usa la planilla que acabas de construir para calcular los siguientes productos y cocientes de números enteros, decimales y fraccionarios: a) 7 · -4 =

i) -18 · 19 =

p) -244 : -45 =

b) -6 · -5 =

j) -23 · -76 =

q) 599 : -377 =

c) 10 · -12 =

k) -64 · 44 =

r) -1 020 : -108 =

-21 10 · = 13 7

l)

-9 -2 · = 2 15

s)

e) -21 ·

-21 = 13 13

m) 12 ·

-1 = 9 3

-81 = t) 18 :

f) 0,34 · -1,67 =

n) -6,87 : -3,54 =

u) -9,35 : -1,2 =

g) -3,27 · 0,5 =

ñ) 0,04 : -0,2 =

v) -6,4 : 6,6 =

h) -8,03 · 4,2 =

o) 9,85 : 4,8 =

w) -9,47 : 8,7 =

d)

-7 6 : = 8 5 5

15

Productos y cocientes

25

Síntesis de la unidad Ficha 1 Cuando se multiplican o dividen dos números enteros del mismo signo, el resultado es un número positivo.

Por ejemplo: 3 · 5 = 15 -4 · -6 = 24 12 : 2 = 6 -24 : -4 = 6

Ficha 2 Cuando se multiplican o dividen dos números enteros de diferente signo, el resultado es un número negativo.

Por ejemplo: 4 · -5 = -20 -6 · 2 = -12 36 : -12 = -3 -9 : 3 = -3

Ficha 3 Algunas propiedades de la multiplicación en el conjunto ℤ; dados a, b y c números enteros, son: - Conmutatividad: a · b = b · a - Asociatividad: (a · b) · c = a · (b · c) - Distributividad con respecto a la suma: a · (b + c) = (a · b) + (a · c) - Neutro multiplicativo: a · 1 = 1 · a = a - Absorbente multiplicativo: a · 0 = 0 · a = 0

Ficha 4 Para realizar operaciones combinadas en ℤ es necesario aplicar las propiedades de las operaciones en los números enteros y respetar los signos y paréntesis.

26 Unidad 1

HIPERTEXTO

Síntesis

Unidad

I

Evaluación

Ejercicios de desarrollo

a. Expresa las siguientes adiciones como una multiplicación y calcula su valor: a) -4 + -4 + -4 + -4 = ____ · ____ = b) -3 + -3 + -3 + -3 + -3 = ____ · ____ = c) -11 + -11 + -11 = ____ · ____ = d) -15 + -15 + -15 + -15 + -15 + -15 + -15 = ____ · ____ = e) -1 + -1 + -1 + -1 + -1 + -1 + -1 + -1 = ____ · ____ =

b. Expresa las siguientes multiplicaciones como la suma de un mismo número y calcula su valor: a) -6 · 7 =________________________ = b) 4 · 9 =_ _______________________ = c) 2 · -18 =_______________________ = d) -21 · 5 =_______________________ = e) 7 · -2 =________________________ =

c. Señala si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) b) c) d)

____ El producto de dos números enteros negativos es siempre un entero positivo. ____ El número -1 es el elemento neutro de la multiplicación en el conjunto ℤ. ____ El absorbente multiplicativo en el conjunto ℤ es el número 1. ____ Si multiplicamos dos enteros, el producto es negativo si uno de los factores es positivo y el otro es negativo. e) ____ Si dividimos dos números enteros negativos el resultado es un número negativo. f) ____ La propiedad distributiva de la multiplicación en el conjunto ℤ nos permite asegurar, por ejemplo, que (-2 + 5) · -2 = -2 · -2 + 5 · -2. g) ____ La división de un número entero negativo por un número entero positivo es un número entero negativo.

d. Resuelve las siguientes multiplicaciones. A partir de los resultados enuncia, en la siguiente página, la regularidad existente en la multiplicación de números negativos según haya una cantidad par o impar de factores: a) -1 · -1 = _ _________ (Dos factores) b) -1 · -1 · -1 = _ _________ (Tres factores) c) -1 · -1 · -1 · -1 = _ _________ (Cuatro factores) d) -1 · -1 · -1 · -1 · -1 = _ _________ (Cinco factores) Productos y cocientes

27

._

Regularidad: _________________________________________________________________

._

_ __________________________________________________________________________

.._

_ __________________________________________________________________________

5. Resuelve las siguientes multiplicaciones de números enteros: a) -7 · -10 =

e) -9 · 18 =

b) 25 · 4 =

f) -320 · -111 =

c) 7 · -10 =

g) -9 · -18 =

d) -3 · -12 =

h) -860 · -112 =

6. Resuelve las siguientes divisiones de números enteros: a) -345 : 9 =

e) 130 : -130 =

b) -15 : -15 =

f) -75 : 15 =

c) -98 : 30 =

g) -35 : 28 =

d) -2 100 : 100 =

h) -95 : 5 =

7. Completa con el número que corresponde: a) -1 · -1 · ____ · -1 = 0

e) 3 · -3 · ____ = -36

b) -2 · -2 · ____ · 2 = 16

f) -4 · -4 · -4 · ____ · -4 = -256

c) -1 · -1 · -1 · ____ · -1 = -1

g) 1 · -2 · 3 · -4 · ____ · -6 = 720

d) -7 · -7 · 7 · -7 = ____

h) -4 · -1 · 1 · 4 · ____ · -5 = 400

8. Resuelve las siguientes multiplicaciones de números enteros: a) (-23 + -5) · -8 =

f) 7 · (5 + -7 + -4) =

b) 8 · 2 + 5 · -3 + 9 · -5 =

g) -16 : 8 + -24 – 12 =

c) (-8 + -6 + 12) : 2 =

h) 3 : (9 + -8) + 5 · -5 =

d) -15 : 3 + -9 : 3 + 6 · 6 =

i) -1 · -2 · -4 + 27 · 2 =

e) (-14 + 25 + 60) · (8 : 2) =

j) 10 · -11 + -5 · -7 =

28 Unidad 1

Unidad II Ejercicios con alternativas

Marca las alternativas correctas en la hoja de respuestas que te dará el docente y completa la tabla que allí aparece.

a. ¿Cuál es el cociente de -120 : 40? a) b) c) d)

6 ¿La adición -7 + -7 + -7 + -7 + -7 se puede representar por la multiplicación: a) -5 · -7 b) 5 · -7 c) -7 · -7 d) 7 · -7

-3 3 -30 30

b. ¿Cuál es resultado de multiplicar -44 por

7. Si multiplicas 23 400 por -12 252, el resultado

3. ¿Cuál de las siguientes frases no tiene

8. ¿Cuál es el resultado de la siguiente ope-

-12? a) 480 b) -480 c) 528 d) -528

sentido físico? a) “Un joven caminó -5 metros”. b) “El furgón descendió hasta el estacionamiento -3”. c) “La temperatura actual es de -8 grados Celsius”. d) “El saldo de la cuenta corriente de Raúl es de -$ 8 000”.

4. ¿Qué propiedad de la multiplicación fue usada para resolver las siguientes operaciones?

a) b) c) d)

-4 · (2 · 3) = -8 · 3 = -24 Conmutatividad.

Asociatividad.

Distributividad.

Existencia de neutro multiplicativo.

5. ¿Cuál es el resultado del siguiente ejercicio combinado?

-2 · (15 : -5) · -7 = ?

. a) b) c) d)

29 42 -42 -21

HIPERTEXTO

Evaluación

es: a) Un número decimal negativo. b) Un número entero negativo. c) Un número entero positivo. d) Un número decimal positivo. ración?

-1 · 1 · 1 · -1 · 1 = ?

. a) b) c) d)

-1 1 3 5

9. Resuelve: .

3 · (18 – -7) : [5 · (-12 + 9)] a) b) c) d)

-5 5 -7 7

. Si en la multiplicación -1 · -1 · -1 · -1 ·…; el factor -1 aparece repetido 87 veces, el producto es: a) 87 b) -87 c) 1 d) -1

Productos y cocientes

29

Entrada de unidad

2

Unidad

Red conceptual

Potencias y sus aplicaciones

Base entera y exponente natural Base entera y exponente entero

Potencias

Caracterización y descripción

Base fraccionaria o decimal y exponente entero Multiplicación y división Aplicaciones

30

realización de su

resolución usando

Propiedades

análisis de

Crecimiento y decrecimiento exponencial

definición de

Raíz cuadrada

¿Por qué debemos reciclar?

Debido a los elevados volúmenes de producción industrial actuales, tanto de productos consumidos directamente por la población como de insumos para la propia industria, la cantidad de desechos generados aumenta permanentemente. Este aumento atenta contra el equilibrio de la naturaleza y contra el bienestar del propio ser humano. Es por esto que el reciclaje ha cobrado cada vez mayor relevancia en las políticas públicas y privadas, y en las conductas individuales de la población.

El reciclaje consiste en devolver al ciclo productivo desechos para que puedan ser reutilizados como materias primas de diversos procesos industriales, disminuyendo así los costos de producción.

Pero la justificación del reciclaje no es solo económica sino también ambiental. Esto debido a que algunos desechos no deben ser acumulados ya que representan un peligro real o potencial para nuestra salud y para la preservación de nuestro entorno natural.

Cuáles son los desechos más comunes que son reciclados? Nombra tres. ¿ De qué forma crees que puedes ayudar en el reciclaje? ¿ ¿Piensas que hay una verdadera conciencia de reciclaje en nuestro país?

¿Puedes resolver?

Los integrantes del 8º B juntaron a lo largo de todo el año latas de bebidas para poder venderlas a una empresa que se dedica a reciclar metales.

Con el dinero pretenden organizar el paseo de fin de año. Las latas aplastadas las disponen en el patio del colegio ordenadas en tres cuadrados. Uno de ellos contiene 81 latas, otro 324 y el tercero 676 latas.

El 8º A no se queda atrás y también reunió latas para su fiesta de fin de año. Sus integrantes ordenaron las latas en 2 cuadrados de 18 y 29 latas por lado. ¿Cuántas latas posee cada uno de los cuadrados formados por el 8º A? ¿Cuántas latas por lado tiene cada uno de los cuadrados formados por el 8º B?

rás a:

En esta unidad aprende

tero. con base y exponente en s cia ten po de entero. r lo va el cias con base y exponente Definir y calcular ten po de ón isi div y n ió ac multiplic mente.

Aplicar propiedades de la ecen lineal o exponencial cr de o en ec cr e er problequ es bl Identificar varia s de números para resolv ico ór tag pi os trí ar us y as tágor Aplicar el teorema de Pi mas geométricos.

HIPERTEXTO

Motivación

31

Actividad inicial La presidenta de curso del 8º C ha decidido comenzar una campaña contra la caza de ballenas en las costas de Sudamérica. Para contactarse con sus compañeros y compañeras de curso y el resto del colegio ha decido escribir un e-mail a cuatro estudiantes del colegio, pidiéndole a cada uno que escriba, al día siguiente, un e-mail similar a cuatro estudiantes más, pidiéndoles que estos le escriban a cuatro estudiantes más al siguiente, y así sucesivamente. ¿Habrá alguna forma sintetizada de saber cuántos integrantes del colegio han recibido el e-mail cada día?

Formen grupos de tres personas y luego realicen las actividades que se presentan a continuación.

A Observen la historieta y luego respondan las preguntas de la página siguiente:

32 Unidad 2

Unidad a) ¿Cómo podemos saber cuántos estudiantes reciben el e-mail de la campaña cada día? b) ¿En qué día se escribirán 64 correos electrónicos? ¿Es posible que se escriban 8 e-mails

en un día? ¿Por qué? c) ¿A cuántas personas debería escribirle cada persona para que en el segundo día se escriban 36 e-mails? d) ¿A cuántas personas debería escribirle cada persona para que en el cuarto día se escriban 625 e-mails? e) Un alumno del colegio opina que es mejor que cada miembro de la directiva (Presidenta, Vicepresidente, Tesorero y Secretaria) envíe 10 e-mails a una persona distinta cada día. ¿Es mejor esta idea para propagar de manera más rápida la noticia si la campaña durará 6 días? f) ¿Cuál es la diferencia entre el número de personas que recibiría el e-mail según el primer método y según el segundo método ideado por el alumno?

B Una organización de protección de animales en peligro de extinción pretende construir nuevos corrales en su reserva ecológica para guardar diversas especies. Estos corrales tendrán forma cuadrada. a) Si uno de los corrales que se construirá medirá 576 m2, ¿cuánto deberán medir los lados de este corral? b) Si otro corral medirá 900 m2, ¿cuánto deberán medir los lados de este corral? c) Indiquen las medidas de los lados (que midan una cantidad entera de metros) y el área de dos corrales cuya área sea mayor que 900 m2.

C Tomen una hoja de cuaderno, hagan un doblez e indiquen cuántos rectángulos quedan determinados. Luego hagan otro doblez e indiquen cuantos rectángulos se forman en total.

Sigan haciendo esto y completen la siguiente tabla: Número de dobleces

Número de rectángulos

0 1 2 3 4 5 6

a) Indiquen cuál es la regularidad que existe entre el número de dobleces y el número de

rectángulos. b) Usando la regularidad identificada calculen cuántos rectángulos quedarían determinados en el doblez 10 y en el doblez 20.

HIPERTEXTO

Diagnóstico

Potencias y sus aplicaciones

33

Potencias de base entera y exponente natural Recuerda que el resultado de la multiplicación de dos números del mismo signo es un número positivo y el de la multiplicación de dos números de diferente signo es un número negativo.

Una potencia es una expresión matemática que representa la multiplicación sucesiva de un mismo factor. Por ejemplo: 2·2·2·2·2·2 El factor de las multiplicaciones es la base de la potencia y el número de veces que se repite este factor es el exponente. Por lo tanto, en el ejemplo anterior, la base es el número 2 y el exponente es el número 6.

Las operaciones anteriores se pueden resumir como la potencia 26, cuya lectura es “dos elevado a seis”. Para hallar el valor de esta potencia muchas veces es útil agrupar los factores: 26 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 123 123 123 4 · 4 · 4 14243 16 · 4 1442443 64

Es muy importante que en una potencia con base negativa, esta aparezca encerrada en un paréntesis para así indicar que el número con su signo debe ser multiplicado: (-3)4 ≠ -34 ya que: (-3)4 = -3 · -3 · -3 · -3 = 81 -34 = -(3 · 3 · 3 · 3) = -81

La base de una potencia también puede ser un número negativo.

Por ejemplo: (-5)3 = -5 · -5 · -5 = -125

(-3)4 = -3 · -3 · -3 · -3 = 81

(-1)5 = -1 · -1 · -1 · -1 · -1= -1

(-2)6 = -2 · -2 · -2 · -2 · -2 · -2 = 64

Puedes notar dos casos: • Si la base es negativa y el exponente es impar el resultado siempre es negativo.

• Si la base es negativa y el exponente es par el resultado siempre es positivo.

Una potencia representa la multiplicación de un número por sí mismo un determinado número de veces. El número que se multiplica por sí mismo es la base y las veces que aparece la base como factor es el exponente.

Exponente b factores

34 Unidad 2

644444474444448

Base

A =A·A·A·…·A b

Unidad

Ejercicios individuales a. Expresa en forma de potencia las siguientes expresiones: a) Tres veces tres por tres. b) 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 c) Menos dos elevado a cinco. d) (-9) · (-9) · (-9) · (-9) e) Once por once por once por once. f) Menos siete al cuadrado. g) Menos tres elevado a la quinta potencia. h) 82 + 42 + 1

Ejercicios grupales a. En grupos de dos personas respondan las siguientes preguntas: a) (-5)2n, donde n es un número natural, ¿es positivo o negativo? b) ¿Cuál es el último número a la derecha de 51 048? c) ¿Cuál es el signo de (-234 647)7 398? d) ¿De cuántas maneras se puede escribir como potencia el número 64? ¿Y -64?

Problemas 1. Javiera y Pedro se entretienen en un juego consistente en tirar dos dados. El puntaje en cada tirada lo calculan como lo obtenido en el lanzamiento menos 7, y luego el resultado de esta sustracción la elevan al cuadrado. Gana la tirada el jugador que obtenga el mayor puntaje. En las dos primeras tiradas el resultado de los lanzamientos fue: Javiera

Pedro

Tirada 1

3

12

Tirada 2

10

5

a) ¿Quién ganó cada tirada? b) Si cambiaran las reglas del juego y en lugar de elevar al cuadrado la sustracción, se elevará al cubo. ¿Quién habría ganado?

HIPERTEXTO

Desarrollo

Potencias y sus aplicaciones

35

Interpretación de potencias con exponente entero Enlace con…

La Música

Las figuras que indican la duración de una nota musical son siete: la redonda, la blanca, la negra, la corchea, la semicorchea, la fusa y la semifusa. La duración de cada una de estas figuras es la mitad de la anterior. Una blanca 1 es igual a redonda. Una 2 1 negra es igual a blanca 2 e igual a 2-2 redondas. Una 1 corchea es igual a negra, 2 2-2 blanca y 2-3 redonda y así sucesivamente.

Observa que si la base es un número negativo y el valor absoluto del exponente es par, el número será positivo. Por ejemplo:

-1 4 1 4 (-5)-4 = a k = a k 5 5 De igual manera puedes deducir que si la base es negativa y el valor absoluto del exponente es impar el número será negativo.

36 Unidad 2

Una encuesta realizada en un colegio de Santiago arrojó como re1 sultado que a de sus estudiantes les gustaría vivir fuera de la ciudad.

5 De estos, a la quinta parte le gustaría hacerlo para mejorar su calidad de vida, y de estos, a 1 de cada 5 le gustaría irse de la capital porque quieren vivir en un lugar donde el aire sea más puro. ff¿A qué parte del total de estudiantes del colegio le gustaría vivir fuera de Santiago porque buscan mejorar su calidad de vida en un lugar donde el aire sea más puro?

Preferencias Estudiantes que quisieran vivir fuera de Santiago

Parte del total 1 5

Estudiantes que quisieran vivir fuera de Santiago para mejorar su calidad de vida

1 1 · 5 5

Estudiantes que quisieran vivir fuera de Santiago buscando un lugar donde el aire sea más puro

1 1 1 · · 5 5 5

1 1 1 · · del total de estudiantes del colegio le gustaría radicarse fuera 5 5 5 de Santiago porque quieren vivir en un lugar donde el aire sea más puro. Estas multiplicaciones las podemos desarrollar de la siguiente manera: 1 1 1 1 13 1 · · = = 3=c m 5 5 5 5·5·5 5 5 13 La fracción c m también la puedes escribir como 5-3, es decir, como 5 el denominador de la fracción elevado al mismo exponente, pero con signo opuesto.

Una potencia con exponente entero se puede escribir como el inverso multiplicativo de su base elevado al mismo exponente, pero con signo opuesto: 1 -x A x = f p ; con A y x ∈ ℤ A

Unidad

Ejercicios individuales a. Escribe el desarrollo de las siguientes potencias y con una calculadora obtén el valor de cada una ellas: a) 7-7

= _______________________________________________________ =

b) 10 -4 = _______________________________________________________ = c) 9 -3

= _______________________________________________________ =

d) 100 -8 = _______________________________________________________ =

b. Expresa como una sola potencia de base y exponente entero las siguientes expresiones: a)

1

83

b) 729 c) La mitad de la mitad de la mitad. d) -216 e) La décima parte de la centésima parte.

-1 7 f) b l 5 g) 0,0625

c. Indica usando potencias a qué parte del total corresponde la parte roja: a)

b)

Potencia:

Potencia:

Ejercicios grupales a. Júntense en grupos de tres estudiantes y discutan si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

1 4 1 a) _____ _ b l >b l 6 6 -5 b) _____ _ (-3) < (-3)-7

c) _____ _ 24 = 42 d) _____ _ Ab = bA Potencias y sus aplicaciones

37

Multiplicación y división de potencias de igual base Las propiedades de la multiplicación y la división de potencias cuya base y exponente son números enteros, son similares a las que ya conoces de cursos anteriores, cuando solo trabajaste con potencias de base y exponente natural.

1° Multiplicación de potencias de igual base: ff¿Cómo calculamos (-5)-3 · (-5)4?

Para resolver esta multiplicación de potencias debemos mantener la base y sumar los exponentes: Cualquier número distinto de cero elevado a cero es igual a 1. Esto se puede concluir fácilmente: ax · a-x = ax + -x = a0 x ax · a-x = a = 1 ax Entonces: ax · a-x = a0 = 1

(-5)-3 · (-5)4 = (-5)-3 + 4 = (-5)1 = -5 Otro ejemplo:

-1 -1 11 ]-1g11 (-2)-4 · (-2)-6 · (-2)-1 = (-2)-4 + -6 + -1 = (-2)-11 = c m = 11 = 2 048 2 ]2g 2° División de potencias de igual base: ff¿Cómo calculamos (-4)-5 : (-4)-2?

Para resolver esta división de potencias debemos mantener la base y restar los exponentes: -1 3 ]-1g3 -1 (-4)-5 : (-4)-2 = (-4)-5 – -2 = (-4)-5 + 2 = (-4)-3 = c m = 3 = 64 4 ]4g Otro ejemplo: -1 1 -1 (-9)-3 · (-9)-2 = (-9)-3 – -2 = (-9)-3 + 2 = (-9)-1 = c m = 9 9 Al multiplicar potencias de igual base, el producto corresponde a una nueva potencia cuya base es la base común de los factores y cuyo exponente es la suma de sus exponentes: ax · ay = ax + y Al dividir potencias de igual base, el cociente corresponde a una nueva potencia cuya base es la base común del dividendo y divisor y cuyo exponente es la diferencia entre el exponente del dividendo y el del divisor: ax = ax – y ay

38 Unidad 2

Unidad

Ejercicios individuales a. Desarrolla las siguientes multiplicaciones de fracciones simplificando el resultado: a) -4 · 25 · 2-5 = b)

f)

52 · 25 = 5

2324 501 = 2324 500

g) (- 0,2) · (-0,2) · (-0,2) · 103 =

c) 53 · 23 · 10 =

h) 900 · 35 · 10 -2 =

d)

]-7g -2 · 3 · 142 = 6·2

i)

72 -2 ·3 = 65

e)

1 1 5 1 5 ·c m ·c m = 3 3 3

j)

3242 = 28

Ejercicios grupales a. Formen grupos de cuatro estudiantes y justifiquen las siguientes afirmaciones: a) Una multiplicación de números enteros elevada a un exponente entero es equivalente a la multiplicación de un factor, elevado a dicho exponente, multiplicado por el otro factor, también elevado a dicho exponente. Por ejemplo: (5 · 3)4 = 54 · 34 (-2 · 5)-2 = (-2)-2 · 5-2 b) Al elevar una potencia a un exponente se conserva la base y se multiplican los exponentes.

Por ejemplo: (32)4 = 32 · 4 = 38 [(-8)5]-3 = (-8)-15

b. Aplicando las propiedades anteriores desarrollen los siguientes ejercicios: a) (3 · (-6)-3 · 24)-1 =

f) (3-3 · 6-3 · 9-3)-2 =

4-1 · 16 -2 n = b) d 2

g) d

c) (11-7 · 133 · 40)0 =

h) (92 · 3-2 · 81)3 =

d) d

i) {[(3)-2]3}-1 =

[

14-3 1024 n = 14-3

]

-2 2 · (-6)2 · d 1 n 5 e) 30

-3

=

26 -12 n = 36

j) [(-2)-4]-4 =

Potencias y sus aplicaciones

39

Crecimiento exponencial La Ciencia

Muchos fenómenos de la naturaleza siguen un crecimiento exponencial como, por ejemplo, el número de células de un feto mientras se desarrolla en el útero materno, los precios en el mercado, el número de bacterias que se reproducen por mitosis, etc.

Al crecimiento exponencial se le llama así debido a que se puede representar por una potencia. Llamando Y a la variable que varía en forma exponencial y X a la variable tiempo, tenemos que: Y = A · Bx Donde A y B son valores conocidos y constantes.

Por ejemplo, asignemos los valores A = 10 y B = 2.

Entonces, una tabla con los valores de X e Y es: X

Y

0

10

1

20

2

40

3

80

Comprueba que Y varía exponencialmente graficando su variación en tu cuaderno.

40 Unidad 2

ff¿Cuánto dinero tendrá el Sr. Buenafortuna si desea retirar sus ahorros en 20 años más? ff¿Cuánto si desea retirar sus ahorros en 40 años más?

Lo primero que haremos es hacer una tabla que muestre cómo evolucionaría el dinero en su banco: Tiempo

0 años

10 años

20 años

30 años

40 años

Dinero QUS$]

2 000

4 000

8 000

16 000

32 000

Si el Sr. Buenafortuna retira su dinero a los 20 años tendrá 8 000 dólares y si los retira en 40 años tendrá 32 000 dólares.

El aumento de la inversión lo podemos ver más claramente en el siguiente gráfico: Dinero del Sr. Buenafortuna 35 000

Dinero [dólares]

Enlace con…

Rolando Buenafortuna invertirá los 2 000 dólares que ganó en un concurso de azar. Su banco le ofrece duplicar el dinero cada 10 años.

Buscando lo más conveniente, Buenaventura decide analizar detalladamente la propuesta de su banco.

30 000 25 000 20 000 15 000 10 000 5 000 0

0

10

20

30

40

Tiempo [años]

Decimos que el dinero del Sr. Buenafortuna crece exponencialmente.

Una variable crece exponencialmente cuando su valor en cada etapa corresponde al de la etapa anterior multiplicada por un número fijo mayor que 1, llamado razón de crecimiento. Su gráfica es una curva ascendente.

Unidad

Ejercicios individuales a. Determina en qué forma evolucionan las siguientes series de números.

Etapa 1

Etapa 2

Etapa 3

Etapa 4

Etapa 5

200

210

220

230

240

Serie 2 →

7 2

72

22

73

23

74

24

75 25

Serie 3 →

300

600

1 200

2 400

4 800

Serie 1 →

b. Observa el siguiente gráfico que muestra la evolución en el tiempo de dos variables A y B: Variación en el tiempo de A y B

Valor de variable

9 000

A

B

8 000 7 000 6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000 0

0

1

2

3

4

Tiempo [años]

Los puntos de color azul corresponden a los valores de una variable que crece exponencialmente (B) y los puntos de color rojo a una variable que crece linealmente (A). a) Une los puntos de cada color para obtener las líneas que grafican el crecimiento de A y B. b) Cuando B vale aproximadamente 1 000, ¿cuál magnitud es más grande, A o B? c) ¿Aproximadamente entre qué valores de tiempo B es mayor que A? d) ¿Aproximadamente entre qué valores de tiempo A es mayor que B? e) ¿Aproximadamente para qué valor de tiempo A y B tienen el mismo valor?

Ejercicios grupales a. Formen grupos de tres integrantes y respondan las siguientes preguntas: a) Consideren un grupo de células que cada 15 minutos se biparticiona, es decir, que cada célula se divide en dos cada 15 minutos. Si inicialmente hay 200 células, ¿cuántas habrá al cabo de 1 hora? Grafica la variación en el tiempo del número de células. b) Hay una antigua leyenda persa sobre un cortesano que ofrendó a su rey un bello tablero de ajedrez y le solicitó a su señor que le diera a cambio un grano de arroz por el primer cuadrado, dos granos por el segundo, cuatro por el tercero, y así sucesivamente. Calcula cuántos granos de arroz debería haberle dado el rey. Recordando que un tablero de ajedrez posee 64 casillas, ¿crees que el rey pudo cumplir con el pedido de su cortesano?

Potencias y sus aplicaciones

41

Decrecimiento exponencial

Enlace con…

Un incendio forestal alcanzó a 80 hectáreas de un bosque. Gracias a la rápida acción de los brigadistas de CONAF el fuego se logró controlar cuando quedaban 5 hectáreas bajo fuego. La siguiente tabla muestra la evolución del incendio desde la llegada de los brigadistas:

El Medio Ambiente

Tiempo [minutos]

La Corporación Nacional Forestal (CONAF) es una entidad que depende del Ministerio de Agricultura, y cuya principal tarea es administrar la política forestal de Chile y fomentar el desarrollo de este sector.

Superficie bajo fuego [hectáreas]

0

80

15

40

30

20

45

10

60

5

75

2,5

ffSegún la tabla, ¿cuánto tiempo necesitaron los brigadistas para controlar el incendio?

Como se ve en la tabla, el fuego se logró controlar a los 60 minutos de iniciado el trabajo de los brigadistas.

Si graficamos la superficie bajo fuego versus el tiempo transcurrido desde la llegada de los brigadistas, comprobamos que esta gráfica tiene la forma de una curva que decae y se acerca al eje del tiempo: Control de incendio forestal

90

Hectáreas bajo fuego

La diferencia matemática entre el crecimiento exponencial y decrecimiento exponencial para la ecuación Y = A · BX radica en el factor que multiplica al valor inicial.

Si B > 1, hablamos de crecimiento exponencial y si 0 < B < 1, hablamos de decrecimiento exponencial. Si B = 1 el valor de la variable es constante.

80 70 60 50 40 30 20 10 0

0

15

30

45

60

75

Tiempo [minutos]

Una variable decrece exponencialmente cuando su valor en cada etapa es el de la etapa anterior multiplicada por un número fijo mayor que 0 pero menor que 1, llamado razón de decrecimiento.

Su gráfica es una curva descendente.

42 Unidad 2

Unidad

Ejercicios individuales a. Señala mediante ✓ cuáles de las siguientes secuencias corresponden a un decrecimiento exponencial. Cuando así sea, indica la razón de decrecimiento:

a)

2

4

8

16

32

b)

25

20

15

10

5

c)

891

297

99

33

11

d)

2

4

16

256

65 536

e)

3 072

384

48

6

0,75

b. Marca con un ✓ los gráficos que representan un decrecimiento exponencial: b)

a)

c)

A

B

Tiempo

C

Tiempo

Tiempo

Ejercicios grupales a. En grupos de 3 personas completen las tablas con los valores de la variable Y según la ecuación Y = A · BX para las condiciones que se indican. Grafiquen sus resultados y observen las curvas obtenidas. a) Y = 10 · 3X X

0

c) Y = 5 · (0,5)X 1

2

3

4

Y

Y

0

1

2

3

4

1

2

3

4

Y

b) Y = 2 · 2X X

X

0

d) Y = 1 · (0,2)X 1

2

3

4

X

0

Y

Potencias y sus aplicaciones

43

Potencias de exponente 2 y raíces cuadradas Enlace con…

El Medio Ambiente

Según la Comisión Nacional del Medio Ambiente (CONAMA), se consideran áreas verdes a los espacios ocupados principalmente por árboles, arbustos o plantas; y esos espacios pueden tener distintos usos, tales como esparcimiento, recreación, ecología, protección, rehabilitación del entorno, paisajismo, etc.

Debido a la escasez de áreas verdes en una ciudad, el alcalde decidió construir un parque en la periferia. Este parque tendrá forma cuadrada y un área de 6 400 m2.

PARQUE

A = 6 400 m2

ff¿Cuánto mide cada lado del parque?

Recuerda que el área de un cuadrado es la medida de su lado elevada al cuadrado. Por lo tanto, tenemos que pensar en un número que multiplicado por sí mismo sea igual a 6 400. Observa: Las partes numéricas de una raíz son dos, el índice y el radicando: Índice → 2 4 → Radicando

80 · 80 = 6 400

-80 · -80 = 6 400

Entonces 80 m y -80 m podrían ser la medida del lado del cuadrado. Como no tiene sentido que un cuadrado tenga lados negativos descartamos -80 como solución. Concluimos que los lados del parque medirán 80 m.

Cuando un número positivo elevado al cuadrado es igual a otro se dice que es su raíz cuadrada. El símbolo de la raíz cuadrada es x a . Matemáticamente se define como:

Debes tener en cuenta que la raíz cuadrada de un número no siempre es un número entero. La raíz cuadrada de 2, por ejemplo, es un número que ni siquiera se puede escribir como fracción: 2 = 1,4142135...

x

a = b ⇔ b2 = a

Entonces: x se a lee “raíz cuadrada de x” y se cumple que x · ax = ax.

A x se le llama radicando de la raíz.

La raíz cuadrada de 64 es 8, la de 4 es 2, la de 100 es 10, etc. Esto se escribe así: 64 = 48 → 100 La raíz cuadrada de 64 es 8, pues 8 · 8 = 64.

64 44 Unidad 2

64

4 =100 2 → La raíz cuadrada de 4 es 2, pues 2 · 2 = 4.

4

100 = 10 → La raíz cuadrada de 100 es 10, pues 10 · 10 =100.

Unidad La raíz cuadrada de un número también puede expresarse como una potencia con exponente fraccionario. Observa: AB

=

B A 52

35

243

Una raíz cuadrada corresponde a una raíz con índice dos, es decir:

Es decir, el exponente de la potencia equivalente a la raíz es una fracción cuyo denominador es el índice de la raíz y cuyo numerador es el exponente del radicando. Por ejemplo: 1

AB

52 5 = 243

9 =

2

9

5

B B 5 5 243 35AA 243= 3535 = 3 2

Ejercicios individuales a. Calcula el valor de las siguientes raíces cuadradas: a) 4 = 144

2 4 ⋅ 78

4 144 = 2 4 ⋅ 78 b) 4 4

144

2 4 ⋅ 78 49 ⋅ 49 4 -2 ⋅ 410

49 ⋅ 49

49 ⋅ 49

4 8 144 c) 2 ⋅ 7 = 49 ⋅ 49

8 2 4 ⋅ 7d) 49 ⋅ 49 = 4 -2 ⋅ 410

-2 10 49 ⋅ 49 e) 4 ⋅ 4 = 27 – 2

4 -2 ⋅ 410f) 27 – 2 = 8 ⋅ 2

4 -2 ⋅ 410

4 -2 ⋅ 410

27 – 2h) 80,01 ⋅ 2 = 100

27 – 2 0,01 8 ⋅ 2 100 j)

8 ⋅ 20,01 100

10.000

66

400

66

400

10-4

400

10-4

10.000

27 – 2 0,01 8i) ⋅ 2 100 = 10.000

27 – 2 0,01 8 ⋅ 2 100

0,01 100

27 – g) 2 8 ⋅ 2 = 0,01 100

4 -2 ⋅ 410

k) 66 = 400 10.000

10.000

10.000

66

66

400

10.000 = 66

6 6l)

10-4

400 = 10-4

m) 10-4 = 400

64 2 ⋅ 32

10-4

6

64 2 ⋅ 32 6

64 2 ⋅ 32 6

64 2 ⋅ 32 6

64 2 ⋅ 32 6

64 2 ⋅ 32 6

64 = 2 ⋅ 32

10-4n)

6

b. Completa la siguiente tabla que contiene la medida del lado de diversos cuadrados y su área: Cuadrados Medida del lado

Área 16 cm2 100 m2

5m 49 mm2 169 m2

c. Expresa como potencia la raíz y viceversa, en los siguientes ejercicios: a) 13 = 113

b) 4

7 2

=

Potencias y sus aplicaciones

45

Teorema de Pitágoras

Enlace con…

La Historia

Pitágoras fue un filósofo y matemático griego que vivió entre los años 582 a. de C. y 507 a. de C. Aunque se le conoce universalmente por el teorema que lleva su nombre, no fue él quien lo demostró sino uno de sus discípulos.

Pitágoras formó una escuela en la que se afirmaba que la estructura del universo era esencialmente matemática, y en ella se hicieron aportes al conocimiento humano en campos tan amplios como la filosofía, la matemática, la música, la ética y la astronomía.

Pedro y Diego son dos amigos a los que les gusta disfrutar de la vida al aire libre. Ellos discuten sobre cuántos kilómetros de camino se ahorrarán en su viaje a un campamento en la precordillera si se van por un atajo que descubrieron. Anteriormente, se iban por un camino recto hacia el sur recorriendo una distancia de 4 km, y luego doblaban en 90º hacia el Oeste, recorriendo otros 3 km. Ahora, por el atajo, se pueden ir directamente en línea recta. Observa: Campamento

3 km Camino antiguo

Atajo

90°

4 km Partida

ff¿Cuál es la distancia que recorren caminado por el atajo? ffSi comparas la distancia que recorrían antes, con la que recorren ahora por el atajo, ¿cuánto más corta es una que la otra?

Como puedes ver los dos caminos forman un triángulo rectángulo.

Para averiguar la distancia que recorrerán Pedro y Diego por el atajo debemos aplicar el teorema de Pitágoras.

Un triángulo rectángulo es aquel que posee un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90º.

El teorema de Pitágoras relaciona las medidas de los lados de un triángulo rectángulo. Indica que la suma de los cuadrados de los lados que forman el ángulo recto –llamados catetos–, debe ser igual al cuadrado del lado opuesto al ángulo recto –llamado hipotenusa–:

46 Unidad 2

a 2 + b2 = c 2

(

2 c = ao + b2 c = a 2 + b 2

)

c

b a

Unidad En el ejercicio de Pedro y Diego, se cumple que: Tres expresiones del teorema de Pitágoras son:

32 + 42 = Hipotenusa2 y

Hipotenusa = 32 + 4 2 =

9 + 16 =

2 b 22 c = aaa22 + + + bb 2 2 2 2 a = ccc 22 + − − bbb 2

25 = 5

22 2 − − aa 2 b = cc + Con a y b longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo; y c, de su hipotenusa.

2

El nuevo camino mide 5 km.

Como antes recorrían 7 km (3 km + 4 km), entonces por el nuevo camino se ahorran 2 km (7 km – 5 km).

2

Ejercicios individuales a. Calcula la longitud del lado que falta en los siguientes triángulos rectángulos: b)

a) x

12 m

x

18 km

10 m

c) x

26 m

30 km

9m

x=

x=

x=

b. Indica la longitud de la altura de cada uno de los siguientes triángulos: b)

a) 15 m

m

20 m

h

9m

27

45 m

48

h

m

16 m 60 m

h=

h=

Ejercicios grupales a. En grupos de dos estudiantes analicen y respondan las siguientes preguntas: a) ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado cuya área es de 2 cm2?

b) Si el área del cuadrado de la parte anterior aumenta al doble, ¿en cuánto aumenta el valor de su diagonal? c) Considera ahora un cuadrado cuyo lado mide de su diagonal?

8 m. ¿Cuál es su área? ¿Cuál es la medida

Potencias y sus aplicaciones

47

Tríos pitagóricos

Un trío pitagórico primitivo es aquel que no se deriva de ningún otro trío pitagórico. Dicho de otra manera, es aquel trío pitagórico en el que el máximo común divisor de sus elementos es igual a 1.

Existen tríos de números naturales que cumplen con el teorema de Pitágoras, por lo que siempre es posible construir triángulos rectángulos usándolos como medidas para sus lados. ffCalcula el lado que falta de los triángulos que se muestran a continuación:

5m

?

?

?

2m

6m 8m

3m

4m

ff¿En cuál de estos triángulos las longitudes de sus tres lados corresponden a números naturales?

Primero calculamos los lados que faltan de cada triángulo: Cateto a

Cateto b

Hipotenusa c

3

4

5

− 42 = = a = 52 −

2

3

13

2 2 c= 2 22 + +3 32 = = 13 13

6

8

10

Operación 9 = 9 =3 3

+ 82 = = 100 = 10 c = 62 +

Los lados del primer triángulo miden 3 m, 4 m y 5 m.

Los lados del segundo triángulo miden 2 m, 3 m y 13 m. Como no hay un número natural que multiplicado por sí mismo dé 13, entonces queda expresado como raíz.

Los lados del tercer triángulo miden 6 m, 8 m y 10 m.

Se conoce con el nombre de trío pitagórico al conjunto de tres números naturales que satisfacen el teorema de Pitágoras.

Por ejemplo, son tríos pitagóricos los conjuntos:

48 Unidad 2

9, 12, y 15 → 92+ 122 = 152

5, 12 y 13 → 52 + 122 = 132

7, 24 y 25 → 72+ 242 = 252

Unidad Si cada número de un trío pitagórico se multiplica por un mismo número natural, se obtiene otro trío pitagórico. Así, por ejemplo, del trío pitagórico 3, 4, 5 se desprenden los conjuntos de tríos pitagóricos 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12, 16, 20; etc.

Estos últimos tríos se dice que son tríos pitagóricos derivados.

Ejercicios individuales a. Escribe tres conjuntos que se deriven de los siguientes tríos pitagóricos: a) {3, 4, 5}

→ {

}

→ {

}

→

{

}

b) {8, 15, 17}

→ {

}

→ {

}

→

{

}

c) {5, 12, 13}

→ {

}

→ {

}

→

{

}

d) {7, 24, 25}

→ {

}

→ {

}

→

{

}

b. Encuentra el trío pitagórico primitivo del que se derivan cada una de las siguientes ternas de números pitagóricos: a) {300, 400, 500}

→ {

}

b) {25, 60, 65}

→ {

}

c) {21, 28, 35}

→ {

}

d) {32, 60, 68}

→ {

}

c. ¿Cuál de estos conjuntos de números es un trío pitagórico primitivo? Dibuja triángulos cuyos

lados tengan como medidas (en centímetros) los números de cada conjunto y comprueba que son triángulos rectángulos. a) {21, 28, 35} c) {10, 24, 26} b) {9, 40, 41}

d) {5, 12, 13}

d. Verifica con una calculadora los siguientes tríos pitagóricos primitivos: a) {1 248, 1 265, 1 777}

1 2482 =

1 2652

c) {183, 244, 305}

1832 =

2442

+ = 1 7772 =

b) {429, 460, 629}

4292 =

4602

+ = 3052 =

d) {616, 663, 905}

6162 =

6632

+

+

= 6292 =

= 9052 =

Potencias y sus aplicaciones

49

Resolución de problemas Problema modelo Una universidad está estudiando en su laboratorio un cultivo de bacterias. El cultivo A tiene inicialmente una concentración de 4 bacterias por milímetro cuadrado. Los científicos saben que la población de bacterias crece exponencialmente en el cultivo y realizan mediciones cada 20 minutos. Después de 40 minutos, comprueban que la concentración del cultivo A es de 36 bacterias por milímetro cuadrado. a) ¿Cuál es la razón de crecimiento del cultivo A cada 20 minutos? b) ¿Cuál será la concentración de A después de dos horas de iniciado el experimento? a) Entiende: ¿qué sabes del problema?

• La concentración inicial del cultivo A es de 4 bacterias/mm2.

• La población de bacterias crece exponencialmente.

• La concentración del cultivo A tras 2 mediciones (40 minutos) es de 36 bacterias/mm2. b) Planifica tu estrategia: ¿cómo puedes resolver el problema?

• Conocemos la concentración inicial y final del cultivo, entonces dejamos la razón de crecimiento como incógnita.

• Calculamos la razón de crecimiento del cultivo.

• Conociendo la razón de crecimiento del cultivo A, calculamos la concentración de bacterias tras dos horas de iniciado el cultivo. c) Resuelve: desarrolla el problema para llegar a una respuesta

• Cultivo A (tras dos mediciones):

4 · R · R = 36 R = 36 : 4 =

9 = 3

Tras dos horas (120 minutos) se habrán realizado406 mediciones, : 5 = 3 8 = 2por lo tanto, la concentración de bacterias en el cultivo A será: CA = 4 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 4 · 36 = 2 916 bacterias/mm2. d) Responde: contesta las preguntas del problema

• La razón de crecimiento del cultivo A es 3. (Las bacterias se triplican cada 20 min).

• Tras 2 horas de iniciado el cultivo, el cultivo A contendrá 2 916 bacterias/mm2. e) Comprueba: aplica otra estrategia para comprobar el resultado

• Puedes comprobar los resultados usando una calculadora.

• Puedes graficar el crecimiento del cultivo de bacterias y usar el gráfico para confirmar los resultados.

50 Unidad 2

Unidad Problema 1 La fórmula para calcular el periodo de oscilación de un péndulo en las proximidades de la Tierra es: L T=2·π· g Donde L es el largo del péndulo (medido en metros), g la aceleración de gravedad (igual a 9,8 m/s2) y π = 3,14. a) Calcula el período de oscilación para un péndulo de 39,2 m de longitud. b) Calcula el período de oscilación para un péndulo de 107,8 metros de longitud.

Problema 2 A partir de la fórmula de conservación de la energía mecánica se puede deducir la siguiente relación para la caída libre de un cuerpo en las proximidades de la Tierra: v2 = 2gh En donde v es la rapidez final del cuerpo al tocar tierra (medida en [m/s]), g la aceleración de gravedad (usa esta vez la aproximación g ≈ 10 m/s) y h la altura desde la que se dejó caer el cuerpo (medida en metros). a) Calcula la rapidez final de una pelota que cae libremente desde una altura de 14,45 m. b) Calcula la rapidez al tocar tierra de una pelota que se dejó caer desde una altura de 26,45 m.

Problema 3 Un estudiantes ha conseguido modelar el número de vueltas que da una bola de acero de 150 g en un gran aro que construyó para un trabajo de la universidad. La fórmula que dedujo se puede expresar por: N= b

1 2 l 3H -1

Donde: N: número de vueltas.

H: altura desde la que cae la bola (medida en centímetros).

Responde: a) ¿Cuántas vueltas da la bola si se deja caer sobre el aro desde una altura de 3 cm? b) ¿Desde qué altura debe ser dejada caer la bola para que dé 6 vueltas?

HIPERTEXTO

Desarrollo

Potencias y sus aplicaciones

51

Tecnología activa Buscando tríos pitagóricos Aprovecharemos la rapidez con que un computador realiza cálculos, para encontrar tríos pitagóricos. El computador verificará uno por uno cada par de catetos posibles que sean menores que 100, para ver cuáles dan origen a un trío pitagórico. Primero el 1 con el 1, después el 1 con el 2, luego el 1 con el 3, etc.; hasta el 1 con el 100. Después el 2 con el 2, el 2 con el 3, etc.; hasta el 2 con el 100, y así sucesivamente. Lo primero que hará el computador será calcular la hipotenusa correspondiente a cada par de catetos. Luego, si la hipotenusa es un número entero, nos dirá que es un trío pitagórico. Por último, comprobará si el par de catetos y la hipotenusa forman un trío pitagórico primitivo, calculando el máximo común divisor de estos tres números. Si el máximo común divisor es igual a 1 entonces el computador nos dirá que es un trío pitagórico primitivo.

1. Construcción de planilla de cálculos. ff Crea un Libro nuevo. Llámalo “Tríos pitagóricos”. ff Escribe en cada celda lo que se indica: A1 → Cateto 1 B1 → Cateto 2 C1 → Hipotenusa D1 → Parte entera E1 → ¿Es trío P? F1 → MCD G1 → ¿Es Trío PP? Estas celdas contienen el nombre de cada columna.

A2 → 1 B2 → 1 Estas celdas contienen el primer par de catetos.

A3 → =SI(B2=100;A2+1;A2) B3 → =SI(B2=100;A2+1;B2+1) Estas celdas generan catetos de valores menores o iguales a 100.

Arrastra el contenido de estas celdas hasta la fila 5 051.

C2 → =RAIZ(A2^2 + B2^2) Esta celda contiene el valor de la hipotenusa correspondiente a cada par de catetos, aplicando el teorema de Pitágoras.

Arrastra el contenido de esta celda hasta la fila 5 051.

D2 → =ENTERO(C2) En esta celda se indica la parte entera de la hipotenusa.

Arrastra el contenido de esta celda hasta la fila 5 051.

E2 → =SI(C2=D2;"SÍ";"") 52 Unidad 2

Unidad En esta celda se compara la hipotenusa con su parte entera. Si son iguales significa que es un trío pitagórico y despliega el mensaje “SÍ”.

Arrastra el contenido de esta celda hasta la fila 5 051.

F3 → =SI(C2=D2;M.C.D(A2;B2;C2);"") En esta celda se calcula el máximo común divisor entre los dos catetos y la hipotenusa que forman tríos pitagóricos (si la función M.C.D no está instalada en tu Excel, debes buscarla en la Ayuda del programa e instalarla).

Arrastra el contenido de esta celda hasta la fila 5 051.

G3 → =SI(F2=1;"SÍ","") En esta celda, si el máximo común divisor es igual a 1, despliega el mensaje “SÍ”.

Arrastra el contenido de esta celda hasta la fila 5 051. ff La primera página de tu planilla debe verse así:

Cateto 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Cateto 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Hipotenusa 1,4142 2,2361 3,1623 4,1231 5,0990 6,0828 7,0711 8,0623 9,0554 10,0499 11,0454 12,0416

Parte entera ¿Es trío P? MCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

ff En la fila 202 encontrarás el primer trío pitagórico, que además es un trío pitagórico

primitivo (3, 4 y 5):

2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

94 95 96 97 98 99 100 3 4 5 6

94,0213 95,0211 96,0208 97,0206 98,0204 99,0202 100,0200 4,2426 5,0000 5,8310 6,7082

94 95 96 97 98 99 100 4 5 Sí 1 5 6

Sí

2. Aplicando lo aprendido. a) Copia en tu cuaderno los tríos pitagóricos identificados en esta actividad. b) Copia en tu cuaderno los tríos pitagóricos primitivos identificados. c) Crea una planilla semejante a la anterior pero ampliando el rango de medidas de los catetos a valores menores o iguales que 200. Identifica mediante ella tríos pitagóricos primitivos y no primitivos.

Potencias y sus aplicaciones

53

Síntesis de la unidad Ficha 1 Una potencia corresponde a una expresión que representa la multiplicación de un número por sí mismo, un determinado número de veces. Se expresa como Ab, donde A es el número que se multiplica por sí mismo –llamado base–, y b las veces que aparece como factor –llamado exponente–.

Ficha 2 Ficha 3

Una potencia con exponente entero equivale al inverso multiplicativo de su base, elevada al opuesto aditivo del exponente.

Cuando se multiplican potencias de igual base se conserva la base y se suman los exponentes.

Cuando se dividen potencias de igual base se conserva la base y el exponente es igual a la diferencia entre el exponente del numerador y del denominador.

Ficha 4 Una variable crece linealmente cuando su valor en cada etapa es igual al de la etapa anterior más un número fijo positivo. Su gráfica es una línea recta.

Una variable crece exponencialmente cuando su valor en cada etapa es el de la etapa anterior multiplicado por un número fijo mayor que 1.

Ficha 5 Una variable decrece linealmente cuando su valor en cada etapa es el de la etapa anterior menos un número fijo positivo.

Una variable decrece exponencialmente cuando su valor en cada etapa es el de la etapa anterior multiplicada por un número fijo mayor que 0 y menor que 1.

Ficha 6 La raíz cuadrada de un número a es aquel número positivo b que elevado al cuadrado es igual a a, es decir: a = b ⇔ b2 = a 3

54 Unidad 2

a HIPERTEXTO

Síntesis

Unidad

Evaluación I

Ejercicios de desarrollo

a. Escribe el número entero o fraccionario que es equivalente a cada una de las siguientes potencias: 1 -2 a) b l = 2

e) (-7)3 = f) (3)-7 =

b) 108 =

-3 5 g) b l = 2 2 -4 h) b l = 5

c) 62 = 9 -1 d) b l = 4

b. ¿Qué valor debe tener X para que se cumplan las siguientes igualdades? a) 4X= 16

X=

d) 3 · X3 = 81

b) 32x = 27

X=

e) X · X · X =

1 X c) b l = 4 2

X=

2x f) b l= 1 8

X= 27 8

X= X=

c. Escribe como una sola potencia las siguientes multiplicaciones y divisiones de potencias: 1 2 d) b l · 73 = 7

a) 22 · 2-7 = b)

-52 · 5-5 = 53 · 5

e) 15-4 · 3-3 · 5-3 = f) b

4 -3 c) 4 · 2 = -5 4

63 003 · 63 000 l= 6

d. Escribe los números que faltan en las siguientes series que crecen exponencialmente. Usa una calculadora cuando sea necesario: a)

1

2

b)

2

8

c)

3

d) e)

8

64

128 75

10 6

4

2 048

375 10 000

100 000

9

Potencias y sus aplicaciones

55

e. Escribe los números que faltan en las siguientes series que decrecen exponencialmente. Usa una calculadora cuando sea necesario: a)

180

b)

100 000

c)

90

11,25 12 500

6 250

60

7,5

3,75

d)

6

e)

400

100

4

50

f. Calcula el área de los siguientes polígonos. Expresa tus resultados como una potencia y calcula su valor: a)

c)

2-10 cm

34 m

36 m 2-11 cm A=

=

b)

A=

d)

=

10 -1 cm

10 -1 cm 4-1 m 36 m 2-1 m A=

=

A=

81 81 169 g. Calcula el valor de las siguientes raíces cuadradas: 81 169 324 169 324 a) 81 = 576 = d) 324 81 576 169 1.089 576 81 b) 169 = e) 1.089 = 324 2.601 1.089 169 324 2.601 576 = c) 324 f) 2.601 = 576 1.089 576 1.089 2.601 1.089 2 56 Unidad2.601 2.601

=

Unidad II Ejercicios con alternativas

Marca las alternativas correctas en la hoja de respuestas que te dará el docente y completa la tabla que allí aparece.

5. El sueldo de Jorge es de 81 dólares. Si el

1. La expresión 16 · (-4) · 16 es igual a: 162

a) b) -44 c) (-4)4 d) 4-4

3

21.952 21.952 16

5

50

2

81 8

8% de él lo dona a la sociedad protectora de animales, ¿a cuánto corresponde este monto?

81 a) dólares 8 b) 6 · 32 · 5-2 dólares c) 2 · 34 · 5-2 dólares d) 2 · 34 · 52 dólares

2. ¿Cuál de los siguientes números representa 6. Cada año se quintuplica el número de socios un número negativo? a) b) c) d)

suscritos a un club deportivo. ¿A qué forma de crecimiento corresponde el número de socios del club? a) Crecimiento lineal. b) Crecimiento exponencial. c) Crecimiento poligonal. d) Crecimiento hiperbólico.

(-2)-2 (-3)100 (-2)-7 (3)-8

3. ¿Cuál es el área del rectángulo de la figura?

24 cm2

a) b) 82 cm2 2 cm c) 23 cm2 d) Ninguna de las anteriores.

16 3

22 cm

7. El número 64 escrito como potencia puede ser: a) 26 b) 43 c) 82 d) Todas las anteriores.

21.952

4. ¿Cúal 16 16 es la medida del lado de un cuadrado 8. El número de habitantes de una pequeña-

de21.952 área igual a 50 m2?

3 16 21.952 21.952 a) 162 5 m 50 2 3 21.952 21.952 b) 12,5 m 8121.952 21.952 c) 16 8516 505· 250 m 2 16 d) 5 50 m 2 81 81 8 8 81 8 3

HIPERTEXTO

Evaluación

ciudad es de 214 personas. Si en promedio una familia de esta ciudad está constituida por 4 personas, ¿cuántas familias hay en la ciudad? a) 216 b) 214 c) 212 d) Ninguna de las anteriores.

Potencias y sus aplicaciones

57

Entrada de unidad

3 Unidad

Ecuaciones y proporcionalidad

Red conceptual Variables

pueden ser

Dependientes Independientes

Ecuaciones y proporcionalidad

Proporcionalidad directa determinaci贸n de

Proporcionalidad inversa Funciones

identificaci贸n de

Modelos matem谩ticos

Dominio Recorrido

58

¿Cuáles son los beneficios del comercio electrónico?

El e-business o comercio electrónico es cualquier actividad empresarial que se efectúa a través de internet, no solo de compra y venta de productos, sino también de servicio al cliente y colaboración de las empresas con sus socios comerciales.

El comercio electrónico beneficia tanto a las empresas como a los consumidores. Hace más eficientes las actividades de las empresas, ya que reduce las barreras de acceso a los mercados, en especial para pequeñas empresas, y abre oportunidades de explotar nuevos mercados. En cuanto a los consumidores, el comercio electrónico amplía la capacidad de los consumidores de acceder a los distintos productos y les permite comparar ofertas y provee de información sobre la calidad del producto que consumen. Hoy en día son cada vez más las personas que realizan sus compras a través de internet, sobre todo en países desarrollados, donde ya se ha vencido el miedo que existía inicialmente con respecto a la transparencia de las transacciones. Con el comercio electrónico, las operaciones comerciales son mucho menos burocráticas ya que se pueden realizar desde cualquier computador personal y en cualquier momento del día. ¿Has comprado algún producto por internet? ¿Cuál? ¿Crees que en el futuro ya no será necesario ir a una tienda o almacén para comprar un producto?

¿Puedes resolver?

Una empresa ha decidido sacar un nuevo producto al mercado, el cual podrá ser adquirido a través de su página web. Las ventas de dicho producto en los primeros cuatro meses fueron las siguientes: Mes

Julio

Agosto

Septiembre

Octubre

Unidades vendidas

2 000

3 000

4 500

6 750

Confecciona un gráfico que muestre la cantidad de unidades vendidas cada mes.

Si se mantiene la tendencia, ¿cuántas unidades del producto se venderán en noviembre?

rás a:

En esta unidad aprende

. ndientes e independientes rsaIdentificar variables depe s en forma directa o inve da na io lac re tán es es bl ria Reconocer cuándo dos va les. mente proporcional. inversamente proporciona e cta re di s ne io lac re de s .

Construir tablas y gráfico iones no proporcionales lac re de les na cio or op pr rsa.

Distinguir relaciones cionalidad directa e inve or op pr de s co áti m ate m Reconocer modelos e son funciones.

Identificar relaciones qu

HIPERTEXTO

Motivación

59

Actividad inicial Cotidianamente nos vemos en la necesidad, muchas veces sin darnos cuenta, de dar solución a situaciones que relacionan variables que se condicionan una a la otra bajo determinadas pautas matemáticas. Amplificar la cantidad de ingredientes en una receta de cocina, calcular la cantidad de provisiones necesarias para una semana, conociendo la requerida para un día, o determinar el costo de una visita al cine si un grupo de amigos aparece a última hora, son situaciones que la mayoría de las veces resolvemos por métodos meramente intuitivos. Pero, ¿existe un procedimiento matemático formal para resolverlas?

Formen grupos de tres personas y luego realicen las actividades que se presentan a continuación.

A Lean la historieta y luego contesten las preguntas de la página siguiente:

60 Unidad 3

Unidad Los niños, además de muchos huevos, disponen de: • 625 g de harina.

• 312,5 g de azúcar.

• 250 g de margarina.

• 250 g de chocolate. a) Escriban la razón entre la cantidad de cada uno de los ingredientes de la re-

ceta y las correspondientes cantidades de ingredientes que tienen los niños. ¿Qué características observan en estas razones? b) ¿Cuántas galletas pueden hacer los niños con los ingredientes que tienen? c) Si los niños quisieran preparar 75 galletas, ¿qué cantidad de cada ingrediente necesitarían? d) Completen la siguiente tabla con la cantidad que se necesita de cada ingrediente, según la cantidad de galletas que se desea preparar: Cantidad de galletas

Harina (g)

Azúcar (g)

Chocolate en polvo (g)

Margarina (g)

500 g

250 g

200 g

200 g

10 20 40 80

e) Luego de analizar la tabla an-

1000 900 800

Harina (gramos)

terior, y teniendo en cuenta la cantidad de galletas a preparar y la masa de harina necesaria para cada cantidad, señalen los pares de valores en el gráfico como muestra el ejemplo y luego unan los puntos. ¿Qué obtienen?

700 600 500 400

B Supongamos que las galletas que 300 harán los alumnos y alumnas se 200 repartirán entre ellos en partes 100 iguales. Respondan las siguientes 0 preguntas: 0 10 20 30 40 50 60 a) Si hay 40 galletas de chocolate y Galletas 20 estudiantes, ¿cuántas galletas comerá cada uno? b) Si hay 40 galletas de chocolate y 40 estudiantes, ¿cuántas galletas comerá cada uno? c) Si hay 40 galletas de chocolate y 80 estudiantes, ¿cuántas galletas comerá cada uno?

HIPERTEXTO

Diagnóstico

70

80

Ecuaciones y proporcionalidad

61

Variables dependientes e independientes Los valores de una variable dependiente se ubican en el eje horizontal (abscisas), mientras que los valores de una variable independiente se ubican en el eje vertical (ordenadas).

La junta de vecinos de una población está reuniendo fondos para refaccionar su centro social. Los fondos se obtendrán de dos fuentes: una donación de $ 400 000 que realizará una empresa del sector y una rifa organizada por la comunidad. Cada número de la rifa tendrá un valor de $ 500. ff¿De qué depende el monto de los fondos que reunirá la junta de vecinos? ff¿Qué ecuación expresa los fondos que obtendrá la junta de vecinos? ffSi se venden 400 números para la rifa, ¿cuál será el monto que reunirá?

Desafío

al ingenio

Marcela es amante de los animales y en su casa tiene varias mascotas. De estas, todas son perros menos dos, todas son gatos menos dos y todas son loros menos dos. ¿Cuántos animales tiene Marcela en su casa?

El monto de los fondos que la junta de vecinos reúna en la rifa depende de cuántos números se vendan.

Si llamamos y a los fondos que reunirá la junta de vecinos y x a la cantidad de números de la rifa que se vendan entonces: y = 500x + 400 000 donde x e y pueden tomar distintos valores.

Se llama variable independiente a aquella variable cuyo valor solo depende de sí misma.

Se llama variable dependiente a aquella cuyo valor depende del valor de otra variable.

En este caso los fondos que reunirá la junta de vecinos (y) dependen de la cantidad de números de rifa que se vendan (x). Por lo tanto, x es la variable independiente e y la variable dependiente.

Si se venden 400 números de la rifa, el dinero que reunirá la junta de vecinos será: y = 500 · 400 + 400 000 y = 600 000 Si se venden 400 números de la rifa, la junta de vecinos reunirá $ 600 000.

62 Unidad 3

Unidad

Ejercicios individuales a. Calcula el valor de la variable dependiente cuando el valor de la variable independiente es igual a 5: a) y = 2x – 5

_

y=

c) n = 10 – 2m _

b) w = 5z + 8 _

w=

e) y = 5 · (x – 10)

n=

_

d) c = 5a – 20 _

y= f) -2x + 6 = y

c=

_

y=

b. Señala en cada caso cuál es la variable dependiente (D) y cual la variable independiente (I): a) La cantidad de personas que asiste a un partido de fútbol.

La recaudación del partido de fútbol. b) El número de años cursados por un estudiante universitario.

Los años que le restan por cursar. c) El perímetro de un cuadrado.

La medida de los lados del cuadrado. d) El precio del producto terminado.

El precio de los materiales necesarios para fabricar el producto. e) El volumen de un cuerpo al irlo calentando.

El tiempo durante el que va aplicándose calor.

Problemas 1. Don Pedro vende helados a $ 200. a) ¿De qué depende la cantidad de dinero que recauda por las ventas? b) ¿Qué ecuación expresa la cantidad de dinero que don Pedro recaudará en la semana? c) Si don Pedro vende 420 helados en una semana, ¿cuánto dinero recaudará?

2. Fernando es 28 años más joven que su padre. a) ¿Qué edad tendrá Fernando cuando su padre tenga 56, 67 y 81 años? b) Señala la variable dependiente y la independiente y explica cómo las identificaste.

Ecuaciones y proporcionalidad

63

Relación directamente proporcional

Una cantidad y el porcentaje que representa de una cantidad fija, corresponden a variables directamente proporcionales. Por ejemplo: Cantidad

%

48

100

36

75

24

50

12

25

6

12,5

Los estudiantes del 8° C han decidido pintar la pared de la sala donde está ubicado el diario mural, cuya área es de 16 m2. Según lo que averiguaron con sus compañeros del 8º B, estiman que con 1 tarro de pintura pueden pintar 4 m2 de pared. ff¿Cuántos tarros de pintura se necesitan para pintar la pared? ffEscribe la ecuación que relaciona el número de tarros de pintura y la superficie que puede ser pintada. ff¿Qué superficie se podrá pintar con 9 tarros de pintura?

La siguiente tabla relaciona el área de pared que se puede pintar con un número determinado de tarros de pintura: Tarros

1

2

3

4

Área [m2]

4

8

12

16

De la tabla se lee que con 4 tarros de pintura pueden pintarse los 16 m2 de la pared.

Recuerda que cuando entre dos variables existe una relación directamente proporcional, puedes ocupar la regla de tres directa para calcular algún valor desconocido.

Si A y B son directamente proporcionales y A

B

a1

b1

a2

X

Entonces: X=

a2 · b1 a1

El área de la pared y el número de tarros de pintura necesarios para pintarla, son dos variables que establecen una relación directamente proporcional.

Existe una relación directamente proporcional entre dos variables cuando ambas varían en la misma razón, es decir, el cociente entre ellas es siempre el mismo. A este cociente se le llama razón o constante de proporcionalidad directa.

Metros pared y 4 8 12 16 =4 = = = = = 4 Tarros pintura x 1 2 3 La razón de proporcionalidad es 4. y Como = 4, podemos despejar y obtener la ecuación que relaciona x la cantidad de metros cuadrados de pared y el número de tarros de pintura, que se necesitan para pintarla. y=4·x Si tenemos 9 tarros de pintura, x = 9. Por lo tanto: y = 4 · 9 = 36 Con 9 tarros de pintura se pueden pintar 36 m2.

64 Unidad 3

Unidad

Ejercicios individuales a. Calcula la constante de proporcionalidad en las siguientes situaciones: a) Un joven recorre 2 cuadras en 10 minutos y 5 cuadras en 25 minutos. b) Clara hizo 20 galletas con 200 g de harina, María 30 galletas con 300 g de harina y Antonia 60 galletas con 600 g de harina. c) Un bus recorre 225 km en 2,5 horas y 378 km en 4,2 horas.

b. Resuelve las siguientes situaciones planteando la ecuación correspondiente: a) Marcelo utiliza cada día una mina para su porta-mina. ¿Cuántas minas utilizará en una semana? b) Una máquina puede fabricar 5 000 ladrillos en 4 horas. ¿Cuántas podrá fabricar en 6 horas? c) Un taxista cobra $ 280 por cada 300 m recorridos. ¿Cuánto debería cobrar por un recorrido de 3 800 m si aplicara una tarifa proporcional? d) Un taxista cobra $ 270 por cada 3 minutos de recorrido. ¿Cuánto debería cobrar por un recorrido de media hora si aplicara una tarifa proporcional? e) Miguel se demoró 10 días en leer 1 libro. ¿Cuántos días se demoraría en leer 4 libros similares?

Problemas 1. Un artesano necesita 8 días para construir un barco de madera. a) Si un coleccionista le ha encargado 5 barcos, ¿en cuántos días podrá terminarlos? b) ¿Cuántos barcos podrá construir en 24 días? Calcula la razón de proporcionalidad. c) Escribe la ecuación de proporcionalidad que relaciona el número de barcos hechos y el número de días que necesita el artesano para hacerlos.

2. Un perro consume 3 raciones de alimento al día. a) ¿Cuántas raciones de alimento consume el perro a la semana? b) ¿Cuántas raciones de alimento consumirá el perro en 12 días? c) Escribe la ecuación de proporcionalidad que relaciona el número de meses transcurridos y el número de raciones que el perro consume en esos meses. Considera meses de 30 días.

Ecuaciones y proporcionalidad

65

Representación de una relación directamente proporcional Enlace con…

La Literatura

Noche de Reyes o la Duodécima noche es una comedia teatral escrita por el poeta y dramaturgo inglés William Shakespeare (1564 - 1616) alrededor del 1600. Es una de las comedias más populares de este autor y ha sido llevada al cine y a la televisión en innumerables oportunidades.

Los alumnos y alumnas de octavo básico han organizado una obra de teatro para representar Noche de Reyes de W. Shakespeare en el gimnasio del colegio, cuya capacidad es de 700 personas. Tras analizar la relación costo-beneficio, decidieron cobrar $ 3 000 la entrada por persona. ff¿Qué relación existe entre las entradas que se vendan y el dinero que genera su venta? ff¿Cuánto dinero esperan reunir los estudiantes?

Entre el dinero generado y el número de entradas vendidas existe una relación directamente proporcional. Los estudiantes pueden construir una tabla con el número de entradas que vendan y el ingreso respectivo: Número de entradas

Ingreso

Número de entradas

Ingreso

0

400

$ 1 200 000

100

$ 300 000

500

$ 1 500 000

200

$ 600 000

600

$ 1 800 000

300

$ 900 000

700

$ 2 100 000

0

$

Otra herramienta útil es un gráfico con los datos de la tabla: Gráfico de proporcionalidad directa

2 000 000 1 500 000 1 000 000 5000 000 2 500 000

Ingresos [$]

La gráfica de una relación directamente proporcional es una línea recta que debe, necesariamente, pasar por el origen.

0 0

100

200

300

400

500

600

700

Entradas

La tabla de una relación directamente proporcional contiene los valores de las variables relacionadas. El gráfico de una relación directamente proporcional es el que representa los datos de esta tabla y corresponde a una línea recta.

66 Unidad 3

Unidad

Ejercicios individuales a. Completa las tablas de relaciones directamente proporcionales entregadas en las siguientes

situaciones. Calcula la constante de proporcionalidad y grafica: a) Un carpintero construye una puerta de madera en 1 día. Dos carpinteros construyen 2 puertas en 2 días.

Puertas por día

1

1

2 3 4

6 Puertas por día

Número de carpinteros

5 4 3 2 1 0

5 6

0

1

2 3 4 5 Número de carpinteros

6

b) Un ciclista viaja con rapidez constante.

Tiempo [h]

6

1

12 3 4 5

42 36 Distancia [km]

Distancia [km]

36

30 24 18 12 6 0 0

1

2

3 4 Tiempo [h]

7

2. Los ingredientes necesarios para preparar un

b) Construye la tabla y el gráfico de proporcionalidad directa para todos los ingredientes del pastel de choclo considerando 1, 2, 4, 10 y 20 personas.

6

7

N° de choclos vs N° de personas 14 12 Choclos

pastel de choclo para cuatro personas son: 6 choclos, 4 presas de pollo, 0,25 kg de posta picada, 2 cebollas, 1 taza de leche, 2 dientes de ajo, 8 aceitunas, pasas, sal, comino y pimienta. a) En la figura adjunta se muestra el gráfico de proporcionalidad directa para los choclos.

Construye la tabla de proporcionalidad directa a partir del gráfico.

5

10 8 6 4 2 0 0

1

2

3 4 5 Personas

6

7

Ecuaciones y proporcionalidad

8

67

Relación inversamente proporcional Recuerda que cuando entre dos variables existe una relación inversamente proporcional, puedes ocupar la regla de tres inversa para calcular algún valor desconocido.

Si A y B son inversamente proporcionales y A

B

a1

b1

a2

Y

Entonces: Y=

a1 · b1 a2

Los alumnos y alumnas de un curso quieren ir de paseo por un fin de semana a un camping. El dueño del camping cobrará al grupo $ 50 000 por el fin de semana. El curso tiene 30 estudiantes y cada uno de ellos no puede pagar más de $ 5 000 para ir al camping. ffSi van todos los estudiantes del curso, ¿cuánto debe pagar cada uno? ffSi va solo la mitad, ¿cuánto deberá pagar cada estudiante? ff¿Cuántos estudiantes deben ir como mínimo para que cada uno gaste $ 5 000 o menos?

Podemos observar que mientras más estudiantes vayan al campamento menos dinero tendrá que pagar cada uno, pero que siempre el producto del número de alumnos y alumnas que vayan y el dinero que tienen que pagar individualmente, debe ser 50 000. Esto quiere decir que existe una relación inversamente proporcional entre el costo a cancelar por cada uno y la cantidad de estudiantes que asistan al campamento.

Existe una relación inversamente proporcional entre dos variables cuando al aumentar una, la otra disminuye en la misma razón. Es decir, cuando el producto de las dos variables es el mismo. A este producto constante se le llama factor o constante de proporcionalidad inversa.

La constante o factor de proporcionalidad inversa se obtiene calculando el producto de las dos variables involucradas.

Si van todos los estudiantes tenemos que dividir 50 000 : 30 ≈ 1 667, entonces, podemos decir que cada uno tendrá que pagar $ 1 667.

Si va la mitad tenemos que dividir 50 000 : 15 = 3 333, es decir, cada uno tendrá que pagar $ 3 333.

Por último, tenemos que dividir 50 000 por 5 000 para averiguar cuántos estudiantes deben asistir para que cada uno pague $ 5 000 o menos. Es decir, deberán asistir al menos 50 000 : 5 000 = 10 estudiantes para que el precio a pagar sea inferior que $ 5 000.

Si multiplicamos el número de estudiantes que asistirá al paseo por lo que debe pagar cada uno, siempre obtendremos 50 000. Podemos deducir entonces que la ecuación que relaciona el número de estudiantes que asiste al campamento y lo que tendrán que pagar cada uno es: y · x = 50 000 y: cantidad de estudiantes que asistirán al campamento. x: dinero que deberá cancelar cada estudiante.

68 Unidad 3

Unidad

Ejercicios individuales a. Calcula la constante de proporcionalidad inversa de las variables relacionadas en los siguientes enunciados: a) Dos cargadores demoran 5 horas en cargar un camión con escombros. Cuatro cargadores demoran 2,5 horas en realizar el mismo trabajo.

b) Si tengo un gato, el alimento me alcanza para un mes; si tengo dos gatos, el alimento alcanza para medio mes; si tengo tres gatos, el alimento alcanza para un tercio de mes.

b. Las siguientes expresiones relacionan las variables a y b. Señala con un ✓ los casos en que las variables se relacionan en forma inversamente proporcional: a 1 a) c) = 2 · b = 3 b a b) a · b = 10

d) 5a · 5b = 5

e) a =

1

b

f) b = 10a

Problemas 1. Veinte obreros demoran 3 meses en construir el piso de un edificio. a) Trabajando a igual ritmo, ¿cuánto se demorarían 15 obreros en construir el mismo piso? b) ¿Cuántos obreros se necesitan para que tarden dos meses en construir el piso del edificio? c) Escribe la ecuación que relaciona el número de obreros con el tiempo que tardan en construir el piso del edificio. d) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad inversa entre el número de obreros y el tiempo que tardan en construir el piso del edificio?

2. Manuel tiene un hámster en su casa y una bolsa de alimento le alcanza para un mes. ¿Para cuánto tiempo le alcanzaría la bolsa si tuviera 3 hámsteres?

3. Tres andinistas perdidos en la montaña tienen alimento suficiente para que una persona sobreviva 9 días. ¿Cuánto tiempo podrán sobrevivir los tres con este alimento?

4. Un grupo de 7 estudiantes realiza un trabajo de investigación y demoran 4 horas en escribir el informe. ¿Cuánto se demorarían 10 estudiantes en escribir el mismo informe?

5. Un grupo de 10 personas ha contratado un microbús de turismo por $ 30 000 para recorrer el sur de Chile. Si deciden repartirse el gasto en partes iguales, ¿cuánto pagará cada persona?, ¿cuánto deberían pagar si fueran 8 personas?

Ecuaciones y proporcionalidad

69

Representación de una relación inversamente proporcional Archívalo Una hipérbola es una curva que resulta de la intersección de un plano con dos secciones de cono circular recto.

Los estudiantes de octavo básico de un colegio organizarán un campeonato de futbolito con los octavos de otros colegios de su ciudad. Para esto arrendarán un gimnasio que tiene capacidad para 5 000 personas a un costo de $ 5 000 000. La idea del Centro de estudiantes es costear el arriendo del gimnasio y generar una utilidad de $ 10 000 000 con la venta de entradas. ff¿Cómo puedes visualizar la relación existente entre la cantidad de asistentes y el precio de las entradas? ff¿Cuál será el costo de cada entrada si el gimnasio se llena? ¿Y si asisten 3 000 personas?

Entre el precio de la entrada y el número de asistentes al evento existe una relación inversamente proporcional.

Una herramienta útil para visualizar esta relación es una tabla como la siguiente:

Desafío

al ingenio

Precio

Personas

Precio

100

$ 150 000

2 000

$ 7 500

500

$ 30 000

3 000

$ 5 000

1 000

$ 15 000

4 000

$ 3 750

También es de gran utilidad graficar los datos de la tabla: Gráfico de proporcionalidad inversa

Precio [$]

Las variables A y B son inversamente proporcionales, tal que A · B = K. Las variables A y C también son inversamente proporcionales, verificando A · C = L. ¿Qué relación existe entre las variables B y C? Si esta relación es de proporcionalidad, ¿cuál es la constante?

Personas

60 000 40 000 20 000

160 000 140 000 120 000 100 000 80 000

0 0

1 000

2 000

3 000

Personas

70 Unidad 3

4 000

5 000

Unidad

La tabla de una relación inversamente proporcional contiene los valores de las variables relacionadas. El gráfico de una relación inversamente proporcional es el que representa los datos de esta tabla y corresponde a una curva llamada hipérbola.

Si el gimnasio se llenara, la entrada costaría $ 3 000; y si asisten 3 000 personas, costaría $ 5 000.

Ejercicios individuales a. Completa las tablas de relaciones inversamente proporcionales entregadas en los siguientes problemas. Calcula la constante de proporcionalidad inversa y grafica. a) 1 persona demora 24 horas en pintar una casa. 2 personas demoran 12 horas en pintarla.

1

30

Tiempo [h] 24

2 8

Tiempo [h]

Número de personas

25 20 15 10 5

4

0

5

0

1

4

2 3 4 Número de personas

5

6

b) 1 manguera demora 6 días en llenar una piscina. 2 mangueras demoran 3 días en llenarla.

Tiempo [días]

1

6

2 2 4

6 Tiempo [días]

Número de mangueras

5 4 3 2 1 0

5 1

0

1

2 3 4 5 Número de mangueras

6

2. Luis celebrará su cumpleaños con sus amigos. Para agasajarlos compró una torta. a) ¿Qué fracción de la torta comerá cada invitado si asisten 3 amigos de Luis? b) ¿Qué fracción de la torta comerá cada invitado si asisten 5 amigos de Luis? c) Confecciona una tabla en la que se indique la fracción de torta que come cada participante considerando que no hay invitados, que acude 1 invitado, que acuden 2, etc. d) Construye un gráfico de líneas con los datos de la tabla anterior.

Ecuaciones y proporcionalidad

71

Enlace con…

La Ciencia

La aceleración de gravedad varía de planeta en planeta. Su valor depende de la masa del planeta y de su tamaño.

Se calcula por la fórmula: G·M g= R2 Donde: G= 6,67 · 10-11 (constante).

M: masa del planeta (kg).

R: radio del planeta (m).

Los valores de la aceleración de gravedad (medida en [m/s2]) en la superficie de los planetas del Sistema Solar son: Mercurio: 4,0 Venus: 8,2 Tierra: 9,8 Marte: 3,9 Júpiter: 26,0 Saturno: 11,2 Urano: 10,3 Neptuno: 13,9

Modelos matemáticos de proporcionalidad directa En la naturaleza existen muchas magnitudes que están relacionadas en forma directamente proporcional. Dos magnitudes que guardan tal relación son la masa y el peso.

La masa m es una medida de la cantidad de materia que contiene un cuerpo, mientras que el peso p es una medida de la fuerza con que la Tierra atrae a este cuerpo. A mayor masa del cuerpo, mayor también es la fuerza con que el cuerpo es atraído por la Tierra.

La relación entre masa y peso queda definida por la fórmula: p = mg Evidentemente la constante de proporcionalidad directa es g, que como sabemos, es prácticamente constante en las cercanías de la superficie de nuestro planeta y supondremos que vale 10 m/s2: p =g m ff¿Cuál es el peso de un gato cuya masa es de 4 kg?

Sustituyendo el valor de la masa queda: p = 4 · 10 = 40 N El peso del gato es de 40 N. De esta manera, la tabla de la relación entre masa y peso es:

al ingenio

Tras una serie de mediciones de dos variables relacionadas A y B, se elaboró la siguiente tabla de datos: A

B

-2

1,2

-1

0,6

0

0

1

0,6

2

1,2

¿Cómo puedes modelar esta relación?

72 Unidad 3

Masa [kg]

1

2

3

4

5

6

Peso [N]

10

20

30

40

50

60

Y el gráfico es: Gráfico Masa vs Peso

Peso [N]

Desafío

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

1

2

3

4

5

Masa [kg]

6

7

8

9

10

Unidad

En la naturaleza existen muchas magnitudes que están ligadas por una relación directamente proporcional, cuya expresión matemática es del tipo: y = Kx Con x e y las variables relacionadas y K la constante de proporcionalidad directa.

Archívalo La letra N representa la unidad de fuerza Newton.

Ejercicios individuales a. Modela mediante la expresión matemática correspondiente las relaciones y completa las tablas que están más abajo. Considera g = 10 m/s2:

a) Para un cuerpo cuya masa (m) permanece constante, la fuerza que se le aplica (F) y la aceleración que adquiere debido a ella (a) son magnitudes directamente proporcionales entre sí.

Considera que dispones de un bloque de 12 kg.

Variable dependiente: F [N] a

Variable independiente: 96

[m/s2]

126

8

Constante: 220,8

14,2

288 22

Fórmula: F=m·a

b) La energía potencial gravitatoria es aquella magnitud que posee un cuerpo debido a su posición respecto a la Tierra. Para un cuerpo cuyo peso (mg) permanece constante, la energía potencial gravitatoria (U) y la altura respecto a la superficie del planeta (h) son magnitudes directamente proporcionales entre sí. Considera que dispones de un bloque de 26 kg.

Variable dependiente:

Variable independiente:

U [J]

1 040

h [m]

1

Constante: 3 380

7

8 580 25

Fórmula: U = mgh

c) Las equivalencias entre unidades monetarias corresponden a relaciones directamente proporcionales. Considera un día en que el valor del euro (€) es de 750 pesos chilenos ($).

Variable dependiente: €

Variable independiente: 1

$

Constante:

4,5

12

1 875

5 400

11 625

Fórmula: $ = k€

b. Unos investigadores realizaron dos experimentos, obteniendo los resultados que están en las tablas. Modélalos y determina si corresponden a relaciones directamente proporcionales: a) A B

12 4,8

18 7,2

21,4 8,56

38 15,2

b)

C

175

231,25

D

14

18,5

Fórmula matemática:

Fórmula matemática:

Constante:

Constante:

300 24

393,75 31,5

Ecuaciones y proporcionalidad

73

Modelos matemáticos de proporcionalidad inversa Enlace con…

La Ciencia

El químico británico Robert Boyle (1627 - 1691) fue uno de los primeros científicos que describió en forma exhaustiva sus procedimientos, técnicas y observaciones, marcando una diferencia con los químicos anteriores a su época que realizaban sus experiencias en condiciones secretas y poco claras. Se dice que “aplicó el método científico a la alquimia”, y que esto sentó las bases para el enorme desarrollo de la química de los siglos XVIII y XIX.

La disposición de las hipérbolas en el plano depende del valor del factor de proporcionalidad K. Observa:

Cuando presionamos un cuerpo con la suficiente intensidad, este tiende a disminuir su tamaño o bien a deformarse. Por ejemplo, si presionas un globo verás que puedes disminuir su volumen hasta cierto límite y si continúas apretándolo, estallará. Estas son experiencias cotidianas que fueron modeladas matemáticamente para sustancias gaseosas hace algunos siglos por el científico inglés Robert Boyle.

La “Ley de Boyle” dice que para una cantidad de masa gaseosa fija, la presión ejercida sobre él (P) y el volumen que ocupa (V) son magnitudes inversamente proporcionales entre sí.

Matemáticamente esta relación la escribimos así: PV = K ff¿Cuál es el volumen de un gas (K = 30) si lo sometemos a una presión de 1,5 atm?

Sustituyendo el valor de la presión queda: 1,5 · V = 30 30 V= = 20 L 1,5 El volumen del gas es de 20 L. De esta manera, la tabla de la relación entre presión y volumen es: Presión [atm] Volumen [L]

H1 H2 H3

0,5 60

1

1,5

30

2

20

2,5

15

3

12

10

Y el gráfico es: Gráfico Volumen vs Presión

70

0

x

K1 X K2 H2 : Y = X K3 H3: Y = Y En este caso K3 > K2 > K1.

H1: Y =

74 Unidad 3

Volumen [L]

60 50 40 30 20 10 0 0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

Presión [atm]

4

4,5

5

Unidad

En la naturaleza existen muchas magnitudes que están ligadas por una relación inversamente proporcional, cuya expresión matemática es del tipo: xy = K Con x e y las variables relacionadas y K la constante de proporcionalidad inversa.

Ejercicios individuales a. Indica con un ✓ cuál o cuáles de las siguientes situaciones que involucran dos magnitudes pueden ser modeladas mediante una fórmula de proporcionalidad inversa: a) ______ La rapidez de un bus (v) y el tiempo (t) que demora en recorrer una distancia fija.

b) ______ El número de vigas (n) distribuidas uniformemente que mantienen una construcción y el peso que soporta cada una (p). c) _ _____ La cantidad de habitantes de una ciudad (N) y la cantidad de atenciones de urgencia (M) que hay en el único centro hospitalario de ella. d) ______ El peso de un automóvil (p) y la rapidez con que se desplaza por la carretera (v). e) _ _____ La cantidad de camiones de una flota de transportes (N) y el tiempo (t) que demoran en transportar una carga fija.

Ejercicios grupales a. En grupos de dos estudiantes determinen los valores que debe adquirir la variable B dados los

valores de A, de manera que las variables A y B estén ligadas por una relación inversamente proporcional a través de la constante que se indica en cada caso: a) K = 0,5

b) K = 3

A

B

A

c) K = 120 B

A

1

0,5

12

2

1

24

3

1,5

48

4

2

96

5

2,5

B

192

b. Expresen la fórmula matemática que relaciona las variables E y F a partir de las tablas de datos que están a continuación: a)

b) E

F

c) E

F

E

F

4

3

1,8

2,5

0,2

24

8

1,5

3

1,5

0,25

30

12

1

4

1,125

0,3

36

16

0,75

20

0,225

0,35

42

Ecuaciones y proporcionalidad

75

Funciones Archívalo Las condiciones formales que debe cumplir una función de un conjunto A en un conjunto B son: Existencia: todos los elementos de A están relacionados con elementos de B. Unicidad: cada elemento de A está relacionado solo con un elemento de B.

Las funciones pueden ser representadas en un gráfico. Por ejemplo la función f de X en Y:

ƒ

X

Y

0

1

1

3

2

5

3

7

A un arquitecto se le ha encargado construir una casa en un balneario. El tiempo que demore en construir la casa dependerá del número de obreros que contrate. La cantidad de obreros y el tiempo que se demorarán en construir la casa están ligados por una relación inversamente proporcional. Según las estimaciones del arquitecto, si contrata 6 obreros demorarán 10 días en terminar la casa. Por razones de presupuesto, el arquitecto no puede contratar más de 6 obreros y por razones de tiempo, no puede emplear menos de 2 obreros. ffEscribe la ecuación que relaciona el número de obreros y el tiempo que demorarán en construir la casa. ffEscribe algunos valores de la relación y dibuja un diagrama con ellos.

La ecuación que relaciona el número de obreros (N) y el tiempo que demorarán en construir la casa (T) es: N · T = 60 Número de obreros N

Tiempo [días] T

2

30

3

20

4

15

5

12

6

10

El conjunto de los valores que puede tomar N es {2, 3, 4, 5, 6} y el conjunto de valores que puede tomar T es {10, 12, 15, 20, 30}.

La gráfica es: y

Observa el siguiente diagrama:

8 7

N

6 5

ƒ

T

2

30

3

3

20

2

4

15

1

5

12

6

10

4

0 0

1

2

3

4

5

x

Si te fijas, cada elemento del conjunto N está relacionado con uno y solo uno de los elementos del conjunto T. 76 Unidad 3

Unidad

Dados dos conjuntos A y B, una función ƒ es una relación entre estos dos conjuntos tal que cada elemento del conjunto A está relacionado con un único elemento del conjunto B.

El dominio de una función coincide con el conjunto desde el que parte la función (en el ejemplo, el conjunto N), pero el recorrido no siempre coincide con el conjunto al que llega la función (en el ejemplo, el conjunto T).

En el problema estudiado sí coinciden, pero esto no es una generalidad.

Diremos que la relación inversamente proporcional existente entre la cantidad de obreros y el tiempo que demoran en construir la casa, corresponde a una función f del conjunto N en el conjunto T. El dominio (Dom) de una función son todos los valores desde los que sale una flecha y su recorrido (Rec) son todos los valores a los que llega una flecha. En el caso del ejemplo tenemos: Dom ƒ = {2, 3, 4, 5, 6}

Rec ƒ = {10, 12, 15, 20, 30}

Ejercicios individuales a. Determina el dominio y el recorrido de cada función. ƒ a) b)

g

a

1

1

4

b

2

2

8

c

3

3

12

d

4

4

16

e

5

5

20 24

Dom ƒ = { Rec ƒ = {

} }

Dom g = { Rec g = {

} }

b. Determina el dominio y el recorrido de las funciones que se describen. Dibuja un diagrama que represente cada función. a) Un artículo vale $ 10. En el almacén sólo quedan 6 artículos.

Artículos

ƒ

1

Dom ƒ = { Rec ƒ = { HIPERTEXTO

Desarrollo

$

x

10

8

b) y = 3x + 1. x sólo puede adquirir valores enteros mayores que 7 y menores que 14.

} }

g

y

25

Dom g = { Rec g = {

} }

Ecuaciones y proporcionalidad

77

Resolución de problemas Temperatura [K]

Volumen [ml]

293,80

452

323,70

498

365,95

563

416,65

641

458,25

705

Problema modelo Un alumno está estudiando la relación que existe entre el volumen y la temperatura en un gas cuando la presión de este se mantiene constante. Para esto, llenó un globo con el gas y fue variando la temperatura, registrando los datos que están en la tabla. a) Grafica los datos de la tabla. ¿Qué tipo de relación hay entre el volumen y la temperatura? b) Plantea y resuelve la ecuación que permite predecir la temperatura cuando el volumen es de 800 ml.

a) Entiende: ¿qué sabes del problema?

• Las variables volumen y temperatura están relacionadas y esta relación se expresa en la tabla. b) Planifica tu estrategia: ¿cómo puedes resolver el problema?

• Graficamos las variables volumen y temperatura. Si obtenemos una recta, la relación es directamente proporcional y si obtenemos una hipérbola, la relación es inversamente proporcional.

• Calculamos la constante de proporcionalidad y planteamos la ecuación correspondiente.

• Para calcular la temperatura desconocida reemplazamos V = 800 ml y despejamos T. c) Resuelve: desarrolla el problema para llegar a una respuesta

Gráfico Volumen vs Temperatura Volumen QmlU

800 700 600 500

k=

293,8 = 0,65 452

T = 0,65 V

400 300 200 100 0 0

100

200

300

400

500

T = 0,65.

Si V = 800 ml, entonces 800 Por lo tanto: T = 800 · 0,65 = 520 K

Temperatura QKU

d) Responde: contesta las preguntas del problema

• Entre el volumen y la temperatura de un gas existe una relación directamente proporcional.

• La temperatura para un volumen de 800 ml es de 520 K. e) Comprueba: aplica otra estrategia para comprobar el resultado

• Podemos verificar que para todos los datos de la tabla, el cociente

78 Unidad 3

T es igual a 0,65.

V

Unidad Problema 1 La siguiente tabla muestra distintos valores de presión y temperatura para un gas cuando su volumen se mantiene constante.

Temperatura [K]

a) Grafica los datos de la tabla. ¿Qué tipo de relación hay entre la temperatura y la presión? b) Calcula la constante de proporcionalidad según corresponda. c) Plantea y resuelve la ecuación que permite predecir la presión cuando la temperatura es de 380 K. Precio por estudiante

10

$ 3 000

15

$ 2 000

20

$ 1 500

25

$ 1 200

30

$ 1 000

295,00

103,25

323,70

113,295

365,95

128,0825

416,65

145,8275

Problema 2 El director de un colegio contrató a un actor profesional para hacer clases de teatro a los estudiantes. El actor aceptará un mínimo de 10 alumnos y alumnas y un máximo de 30. La tabla muestra cuánto debería pagar cada estudiante según la cantidad de inscritos en la clase de teatro. a) Grafica los datos de la tabla y descubre qué tipo de relación hay entre las dos variables. b) Calcula la constante de proporcionalidad. c) Si se permitiera que 40 estudiantes tomaran el curso de teatro, ¿cuánto debería pagar cada uno?

Problema 3 El gráfico muestra la relación existente entre la cantidad de harina necesaria para preparar un pastel y la cantidad de personas que podrían comerlo. a) ¿Qué tipo de relación hay entre las dos variables que se muestran en el gráfico? b) A partir del gráfico construye una tabla y luego calcula la constante de proporcionalidad. c) ¿Qué cantidad de harina se necesitaría para que 25 personas comieran del pastel?

Pastel 10 8

Personas

Número de estudiantes

Presión [Pa]

6 4 2 0 0

100

200

300

400

500

Harina [g]

Problema 4 En el acelerador de partículas europeo CERN un joven físico experimenta con una nueva partícula –que ha llamado partícula qoppa–. Sus estudios le han permitido deducir que el número de partículas qoppa que aparecen por centímetro cuadrado y por segundo, es directamente proporcional a la rapidez con que se mueve la partícula de alta energía a partir de la que se generan. Para una rapidez de 0,75c, se generan 18 partículas qoppa. a) Calcula la constante de proporcionalidad. b) Si la partícula de alta energía se mueve a 0,875c, ¿aproximadamente, cuántas partículas qoppa se generarán por segundo y por centímetro cuadrado? c) Si se generan 16 partículas por segundo y por centímetro cuadrado, ¿con qué rapidez se mueve la partícula de alta energía?

Ecuaciones y proporcionalidad

79

Tecnología activa Representación gráfica de relaciones proporcionales El comportamiento de los gases ideales fue ampliamente estudiado por científicos de los siglos XVII y XVIII. Las relaciones que se descubrieron empíricamente fueron modeladas usando relaciones directa e inversamente proporcionales. Las magnitudes que determinan el estado de un gas son la presión (P), el volumen (V) y la temperatura (T). A continuación graficaremos en Excel la relación existente entre dos de ellas manteniendo constante la tercera.

1. Construcción de planilla de cálculo para P y V. Manteniendo constante la temperatura, el modelo matemático que describe el comportamiento de la presión y el volumen de un gas ideal es: PV = K (Ley de Boyle) Por lo tanto, la presión y el volumen son magnitudes que presentan un comportamiento inversamente proporcional, al aumentar uno, el otro disminuye en la misma razón, y viceversa.

Consideremos los datos de un gas obtenidos en un experimento a temperatura constante: P [atm]

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

V [L]

12

8

6

4,8

4

3,43

3

2,67

2,4

❯ Crea un archivo, llámalo “Leyes de los gases”. ❯ Ingresa los datos de la tabla como se indica en la imagen. ❯ Haz clic en el ícono

, selecciona el gráfico tipo Líneas y

haz clic en Serie. Si hay una o más series ya definidas quítalas y presiona Agregar. ❯ En Nombre anota “Gráfico P versus V”; en Valores haz clic en , selecciona los valores numéricos de la columna V y haz clic en

; y en Rótulo eje de categorías (X) haz clic en

,

Volumen [L]

selecciona los datos numéricos de la columna P y nuevamente haz clic en .

Gráfico P versus V ❯ En la siguiente ventana selecciona 14 Títulos y pon a los ejes los nombres 12 10 que corresponde, Presión [atm] para 8 el eje horizontal y Volumen [L] para 6 4 el vertical.

2 ❯ Finaliza tu trabajo. El gráfico debe 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 verse como indica la figura.

Presión [atm]

80 Unidad 3

4

4,5

5

5,5

Unidad 2. Construcción de planilla de cálculo para P y T. Manteniendo constante el volumen de una gas ideal y midiendo los cambios en su temperatura (expresada en kelvin) producto de variaciones de presión, podemos establecer que el modelo matemático que representa estos cambios es: P = KT (Ley de Gay-Lussac) Por lo tanto, la presión y la temperatura son magnitudes que presentan un comportamiento directamente proporcional, vale decir, al aumentar uno, el otro aumenta en la misma razón, y viceversa.

Para graficar esta relación trabajaremos con datos de presión de 0; 0,4; 0,8; 1,2; 1,6; 2; 2,4; 2,8 y 3,2. Los valores de temperatura los calcularemos considerando una constante de proporcionalidad K = 0,01. ❯ Haz clic en Hoja 2 de tu archivo. ❯ Ingresa los datos de presión en la columna A. ❯ En la celda B2 anota “=A2/0,01” y arrastra esta fórmula hasta la celda B10. Tu planilla debe verse como la figura del costado. , selecciona el gráfico tipo Líneas y haz clic en Serie. Si hay una o más series ya definidas quítalas y presiona Agregar. ❯ En Nombre anota “Gráfico P versus T”; en Valores, selecciona los valores numéricos de la columna Gráfico P versus T T; y en Rótulo eje de categorías 350 (X) selecciona los datos numéricos 300 de la columna P. 250 ❯ En la siguiente ventana selec200 ciona Títulos y pon a los ejes 150 los nombres que corresponde, 100 Presión [atm] para el eje hori50 zontal y Temperatura [K] para 0 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 el vertical.

Presión [atm] ❯ Finaliza tu trabajo. El gráfico debe verse como indica la figura.

Temperatura [K]

❯ Haz clic en el ícono

3. Aplicando lo aprendido. a) Grafica la relación P versus V para los datos medidos de volumen 2, 4, 6, 8, 10, 12 y 14 litros y una constante K = 4. ¿Qué forma tiene la gráfica obtenida?

2,8

3,2

b) Grafica la relación P versus T para

los datos de temperatura de 100, 110, 120, 130, 140, 150 y 160 kelvin y una constante K = 0,2. ¿Qué forma tiene la gráfica obtenida?

Ecuaciones y proporcionalidad

81

Síntesis de la unidad Ficha1 Una variable independiente es aquella cuyo valor solo depende de sí misma. Una variable dependiente es aquella cuyo valor depende del valor de otra variable.

Ficha 3

Ficha 2 Entre dos variables existe una relación directamente proporcional cuando ambas varían en la misma razón y el cociente entre ellas es siempre un mismo número, llamado constante o razón de proporcionalidad directa.

Ficha 4

La tabla de una relación directamente proporcional es una tabla que contiene las variables relacionadas en forma directamente proporcional. El gráfico de una relación directamente proporcional es el que representa los datos de esta tabla y corresponde a una línea recta que pasa por el origen.

Entre dos variables existe una relación inversamente proporcional cuando al aumentar una la otra disminuye en la misma razón. El producto de las dos variables relacionadas es siempre un mismo número, llamado constante o factor de proporcionalidad inversa.

Ficha 5 La tabla de una relación inversamente proporcional es una tabla que contiene las variables que están relacionadas en forma inversamente proporcional. El gráfico de una relación inversamente proporcional es el que representa los datos de esta tabla y corresponde a una línea curva llamada hipérbola.

Ficha 6 Un modelo matemático de proporcionalidad directa es una ecuación matemática que relaciona las variables involucradas.

La ecuación que generaliza una relación directamente proporcional es y = K · x.

Ficha 8

Ficha 7 Un modelo matemático de proporcionalidad inversa es una ecuación matemática que relaciona las variables involucradas. La ecuación que generaliza una relación inversamente proporcional es y · x = K.

Dados dos conjuntos A y B, una función ƒ entre ambos es una relación que relaciona cada elemento del conjunto A con un único elemento del conjunto B.

82 Unidad 3

HIPERTEXTO

Síntesis

Unidad

I

Evaluación

Ejercicios de desarrollo

a. En las siguientes ecuaciones encuentra el valor de la variable desconocida: a) x + 2y = 12 Si x = 6, entonces y =

d) 2x + 6z – 20 = 0 Si x = 1, entonces z =

.

b) w – 2z = 3 , entonces z = 1.

Si w =

e) 5x = 3y Si x =

c) 3x + 2y = 1 Si x = 1, entonces y =

f) 2x + 2y + 30 = 14 Si x = -5, entonces y =

.

.

, entonces y =10. .

2. Determina si las siguientes variables se relacionan en forma directamente proporcional (PD),

inversamente proporcional (PI) o no hay proporcionalidad entre ellas (NP). Grafica en Excel y calcula la constante de proporcionalidad si corresponde. a)

b)

c)

x

y

1

3

3

9

6

18

9

27

12

36

x

y

4

28

8

10

10

70

12

60

15

30

x

y

4

35

5

28

7

20

10

14

14

10

PD

PI

Constante:

NP

Modelo matemático:

PD

PI

Constante:

NP

Modelo matemático:

PD

PI

Constante:

NP

Modelo matemático:

Ecuaciones y proporcionalidad

83

3. Dados los siguientes gráficos identifica cuál representa proporcionalidad directa y cuál proporcionalidad inversa. Determina en cada caso la constante de proporcionalidad correspondiente e incorpora a las tablas los datos destacados en rojo:

a)

b) B

D

80

100

70

90 80

60

70

50

60

40

50

30

40 30

20

20

10 0

10 0

1

2

3

4

5

6

7

8

0

A

0

1

2

3

4

5

6

7

Tipo de proporcionalidad:

Tipo de proporcionalidad:

Constante de proporcionalidad:

Constante de proporcionalidad:

Modelo matemático:

Modelo matemático:

A

B

C

8

9

10

D

4. Marca con un ✓ las relaciones que son funciones: a)

b)

ƒ

c)

g

h

0

0

2

A

1

1

1

1

4

B

2

3

2

2

6

C

3

5

3

3

8

D

4

7

4

4

E

5

9

F

6

11

84 Unidad 3

C

Unidad II Ejercicios con alternativas

Marca las alternativas correctas en la hoja de respuestas que te dará el docente y completa la tabla que allí aparece.

a La suma de las edades de Carolina (x) y

5 3 pintores demoran 21 días en pintar un edi-

2 Hay ocho personas invitadas a tomar té en la

f Según los datos de la tabla, ¿para cuántos

Andrea (y) es 40. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones expresa esta información? a) x + y = 40 b) x – y = 40 c) x · y = 40 d) x + y + 40 = 0

casa de Victoria. Ella encuentra una receta de un pastel para 20 personas que sugiere utilizar 800 gramos de harina ¿Cuánta harina debe utilizar para 8 personas? a) 400 g b) 750 g c) 320 g d) 300 g

ficio. ¿Cuántos días demorarán 7 pintores? a) 12 días b) 20 días c) 9 días d) 18 días

niños alcanzarán 25 bebidas?

a) b) c) d)

Bebidas

1

5

10

15

Niños

6

30

60

90

120 niños 150 niños 200 niños 240 niños

c ¿Cuál es la ecuación que representa la

g Los alumnos y alumnas de un curso rea-

4 Observa la tabla. ¿Qué tipo de relación hay

8 ¿Cuál es la constante de proporcionalidad

relación inversamente proporcional entre dos variables X e Y, si la constante de proporcionalidad inversa es 33?

33 a) Y = X b) Y = 33X 1 c) X = Y d) X = Y

entre las variables A y B?

lizarán una choripanada. El kilogramo de longanizas cuesta $ 3 300. ¿Cuánto cuestan 2,5 kilogramos de longanizas? a) $ 8 250 b) $ 3 500 c) $ 8 200 d) $ 8 500

inversa para las variables X e Y?

A

3

4

5

6

7

X

1

B

15

20

25

30

35

Y

15

a) b) c) d)

Relación inversamente proporcional.

No hay relación entre las variables.

Relación directamente proporcional.

Ninguna de las anteriores.

HIPERTEXTO

Evaluación

a) b) c) d)

2

3

4

7,5

5

3,75

0,06 0,26 15 17

Ecuaciones y proporcionalidad

85

Entrada de unidad

4 Unidad

Transformaciones

isométricas, circunferencia y círculo

Red conceptual

Traslación Transformaciones isométricas

pueden ser

Reflexión Rotación

Geometría

Circunferencia

Círculo

86

descripción de

Elementos

cálculo de

Perímetro

descripción de

Elementos

cálculo de

Área

¿Cuál es la utilidad de los satélites de telecomunicaciones?

El drástico cambio que han experimentado las comunicaciones en los últimos cincuenta años no habrían sido posibles sin la existencia de los satélite de telecomunicaciones.

Un satélite de telecomunicaciones es una estructura que orbita alrededor de nuestro planeta y que permite conectar puntos distantes entre sí a través de transmisores y receptores de radiofrecuencia. Son fabricados con materiales ultra resistentes y su envío al espacio exterior lo realiza un vehículo de lanzamiento, que los deja orbitando alrededor de la Tierra a una altura previamente determinada.

Entre los satélites de telecomunicaciones existen los pasivos, que solo reflejan la señal enviada desde la Tierra; y los activos que reciben la señal, la procesan y la reenvían a otro punto.

Los satélites de telecomunicaciones hacen posible, entre otras cosas, la televisión de alta definición, la internet inalámbrica, la telefonía celular y las transmisiones de programas televisados en vivo y en directo para todo el mundo.

Haz una lista de las actividades que realizas diariamente y que serían imposibles sin la existencia de los satélites de telecomunicaciones.

Piensa en aplicaciones que se le podrían dar en el futuro a los satélites de telecomunicaciones.

¿Puedes resolver?

Un satélite geoestacionario tiene una órbita circular alrededor de la Tierra de manera tal que lo que demora en dar una vuelta en torno a ella es lo mismo que tarda la Tierra en dar una vuelta en torno a su eje. Esto los hace muy apropiados para su uso en telecomunicaciones, ya que es siempre posible localizarlos en el mismo lugar del cielo desde la Tierra.

Dibuja un esquema en el que aparezca el planeta Tierra y, junto a ella, la trayectoria de un satélite geoestacionario. ¿A qué figura geométrica se asemeja esta trayectoria?

Respecto a la trayectoria del satélite, ¿qué nombre recibe el segmento que une el satélite y el centro de la Tierra?

rás a:

En esta unidad aprende

planas. s de figuras geométricas ne io tac ro y es on xi fle re Realizar traslaciones, elaciones.

Identificar y construir tes cia y el círculo.

Reconocer la circunferen círculo. de la circunferencia y el s to en m ele s lo r ca lo. ifi nt de I encia y el área de un círcu er nf cu cir a un de o etr Calcular el perím

HIPERTEXTO

Motivación

87

Actividad inicial La práctica de deportes hace bien a nuestra salud física y mental. Entre sus múltiples beneficios están que mejora el funcionamiento de nuestro cuerpo, ayuda al crecimiento de los niños, niñas y jóvenes, disminuye el riesgo de contraer enfermedades y aumenta el rendimiento físico en general. Además, la práctica de deportes nos permite compartir y divertirnos sanamente, acrecentando nuestro espíritu de superación.

Formen grupos de tres personas y luego realicen las actividades que se presentan a continuación.

A Lean la historieta y luego contesten las preguntas de la página siguiente:

88 Unidad 4

Unidad a) De los personajes presentes en el dibujo, ¿cuál se encuentra a la misma dis-

tancia de todos los demás? b) ¿Quiénes están sobre la circunferencia formada y quiénes dentro del círculo? c) Midan en la ilustración la máxima distancia existente entre dos estudiantes y dibujen un segmento de esta medida. ¿Saben qué nombre recibe este segmento? d) Midan la distancia que separa al profesor de alguno de los estudiantes. ¿Cambia esta distancia si eligen a otro de los estudiantes? Dibujen un segmento de esta medida. ¿Saben qué nombre recibe este segmento?

2 El segmento AB divide al círculo en dos partes iguales. De acuerdo a esto, respondan las siguientes preguntas:

A

B

a) A medida que aumenta la longitud del segmento AB, ¿qué pasa con el perí-

metro de la circunferencia y el área encerrada por ella? b) ¿Creen que exista una relación directamente proporcional entre la longitud del segmento AB y el perímetro de la circunferencia? ¿Por qué? c) ¿Creen que exista una relación directamente proporcional entre la longitud del segmento AB y el área del círculo? ¿Por qué?

3 Observen las imágenes y señalen qué característica geométrica particular representa cada una de ellas: Imagen 1

Imagen 2

Imagen 3

a) Imagen 1:____________________________________________________ b) Imagen 2:____________________________________________________ c) Imagen 3:____________________________________________________ HIPERTEXTO

Diagnóstico

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo

89

Traslación Como ya sabes, la Tierra se traslada alrededor del Sol y este, a su vez, lo hace junto a la galaxia, como consecuencia de la expansión del Universo.

Desafío

al ingenio

María visita todos los domingos a sus padres, que viven en distintos lugares del país. Para visitar a su padre, debe tomar el tren en dirección norte, y para visitar a su madre debe tomar el tren en dirección sur. Ambos trenes pasan cada 10 minutos, y como María quiere a ambos por igual, no se fija si un tren va al norte o al sur, y se toma el primero que pase. Sin embargo, por algún motivo María termina visitando a su madre 9 de 10 veces, y a su padre solo 1 de 10.

Busca una explicación para esto.

En un ámbito más cotidiano estamos rodeados de elementos que se trasladan constantemente: los microbuses, el metro, los autos, etc.

Nosotros mismos utilizamos nuestras piernas para trasladarnos de un lugar a otro en nuestro diario quehacer.

Todos los objetos mencionados anteriormente son tridimensionales, por lo que surgen algunas preguntas. ff¿Pueden las figuras planas –bidimensionales– trasladarse?

La traslación de una figura plana está determinada por una dirección y sentido y por una magnitud o distancia. El movimiento se representa mediante un segmento de recta con una punta de flecha. Este segmento se denomina vector.

Realicemos la traslación del cuadrilátero ABCD horizontalmente " hacia la derecha ocupando el vector V . La metodología a seguir es: "

Cuadrilátero ABCD " y vector V .

V

" Ubicamos el vector V con su origen en cada vértice del cuadrilátero ABCD. La punta del vector nos señala los puntos de la figura trasladada A'B'C'D'. Esta nueva figura tiene la misma forma y el mismo tamaño que el cuadrilátero ABCD. En geometría, una traslación es una isometría caracterizada por " un vector V, tal que, a cada punto P de un objeto o figura, le hace corresponder otro punto P'. Las traslaciones pueden entenderse como movimientos directos sin cambios de orientación que mantienen la forma y el tamaño de las figuras u objetos trasladados.

90 Unidad 4

Unidad

Ejercicios individuales a. Señala en cada uno de los casos si solo existe traslación o si, además, se realiza alguna otra transformación: a)

c)

b)

d)

" b. Realiza la traslación de las siguientes figuras geométricas según el vector V indicado en cada caso: a)

c)

b)

d)

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo

91

Reflexión En muchos elementos de la naturaleza podemos apreciar cierta simetría. Por ejemplo, cada cristal de nieve es único en su forma, sin embargo, todos ellos son aproximadamente simétricos. ff¿Qué clase de simetría poseen los cristales de nieve?

En cada cristal, es posible definir líneas –llamadas ejes de simetría– tal que a cada lado de ellas encontramos la misma estructura, conservándose las mismas formas y tamaños. A este tipo de simetría se le llama simetría axial.

Dada una recta e, una simetría axial en torno a ella es el movimiento que transforma un punto P en un punto P' (llamado su imagen o reflejo), verificando: • El segmento que une P y P' es perpendicular a la recta e.

• Los puntos P y P' están a la misma distancia de la recta e.

Se dice entonces que la recta e es el eje de simetría de la transformación.

e

A

Enlace con…

La Naturaleza

La mayoría de los organismos animales presenta simetría axial. Excepciones son algunos tipos de erizo y de estrella de mar. La simetría axial –conocida también como bilateral– permite la definición de un eje corporal en la dirección del movimiento, lo que favorece la formación de un sistema nervioso centralizado y la cefalización.

A'

B C C' B' Una figura geométrica es simétrica axialmente cuando es posible definir en ella una recta o eje de simetría que la divide en dos partes idénticas entre sí. Una figura simétrica puede tener 1 o más ejes de simetría. e Por ejemplo:

Observa el siguiente triángulo escaleno ABC: C B' A B

A'

O C'

92 Unidad 4

Unidad ff¿Qué clase de simetría se ha realizado sobre el triángulo?

Esta transformación corresponde a una simetría diferente a la anteriormente vista. En este caso podemos determinar, no un eje, sino un punto o centro de simetría, en torno al cual ocurre la transformación.

Diremos entonces, que la figura plana ha sufrido una transformación isométrica que denominaremos simetría central.

Algunas letras del alfabeto que presentan simetría central son la N, la S y la Z.

Dado un punto O, una simetría central en torno a él es el movimiento que transforma un punto P en un punto P' (llamado su homólogo), verificando: • Los punto P y P' están a la misma distancia del punto O. • Los puntos P, P' y O están alineados.

Se dice entonces que el punto O es el centro de simetría de la transformación.

Para obtener el triángulo A'B'C' a partir del triángulo ABC debes: 1° Trazar una recta que pase por A y por el punto de simetría O, y sobre esta recta determinar A' tal que AO = OA'.

2° Repetir el procedimiento para los pares de puntos B – B' y C – C'.

3° Finalmente, uniendo los puntos A', B' y C' obtendrás el triángulo A'B'C' simétrico u homólogo al triángulo ABC.

Ejercicios individuales a. Señala la cantidad de ejes de simetría que poseen las siguientes figuras planas: a)

b)

Nº de ejes:______

c)

Nº de ejes:______

Nº de ejes:______

b. Calca en tu cuaderno las siguientes figuras planas y obtén la imagen de cada una, realizando una simetría central respecto al punto O señalado: a) b) C B A

O

D E

C

F

B

O

A

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo

93

Rotación

Enlace con…

La Geografía

El glaciar San Rafael es uno de los mayores glaciares de los Campos de Hielo Norte, en la Patagonia chilena. Alimenta a la laguna San Rafael y, a través de esta, desagua en el Canal Moraleda. Es el cuerpo de agua glaciar más cercano al ecuador terrestre.

Claudio se fue de excursión a la laguna San Rafael y sacó algunas fotos con su cámara digital para mostrarlas a sus amigos. Al regresar a su casa, comenzó a descargar el contenido de su cámara al computador y se percató de que una de sus mejores fotos estaba como se muestra en la figura del costado. ff¿Qué transformación puede aplicar Claudio a su fotografía para que quede en la posición correcta?

Si observas detenidamente, te darás cuenta que si Claudio rota 90º la figura hacia la derecha obtendrá la fotografía en la posición correcta: O: centro de rotación a: ángulo de rotación

Se considera un ángulo de rotación positivo cuando la rotación se realiza en sentido contrario a las manecillas del reloj: Negativo

a O

La rotación es una transformación isométrica en la cual una figura gira sin deformación en torno a un punto determinado dentro de la figura o fuera de ella, llamado centro de rotación. La magnitud de la rotación se puede medir a través del ángulo de rotación.

Positivo

Rotemos el triángulo ABC en torno a un punto O en un ángulo de -90º: C'

Una rotación de centro O y ángulo de rotación de 180º, equivale a una simetría central con centro de simetría O.

A' B B'

A O

94 Unidad 4

]AOA' = 90° ]BOB' = 90° ]COC' = 90°

C

Unidad

Ejercicios individuales a. Completa las siguientes secuencias según la rotación que corresponda para cada fila:

b. Rota las siguientes figuras según el ángulo de rotación a que se indica. En cada caso el punto A es el centro de rotación: a) a = 180°

D E

C

A

b) a = -30° T

S

B R U

Q P

A

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo

95

Teselaciones Observa con atención la siguiente imagen:

La siguiente teselación está formada por pentágonos y rombos:

ff¿Cuál es el patrón que se repite en la imagen? ff¿Qué transformaciones isométricas reconoces en la imagen?

La siguiente teselación está formada por octógonos y cuadrados:

En la imagen se ocupan dos pentágonos, y las transformaciones isométricas de estos pentágonos llenan todo el plano. A este proceso de recubrimiento se le llama teselación.

Una teselación es la cobertura de una superficie plana por un patrón de figuras y sus transformaciones isométricas, de manera que no quede espacio entre ellas y no se superpongan.

ff¿Es posible teselar un plano con un triángulo equilátero, un cuadrado o un hexágono regular?

Teselaciones regulares El triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular pueden cubrir completamente una superficie plana y, de hecho, son los únicos polígonos regulares que pueden hacerlo. A estas teselaciones se les llama regulares. También es posible teselar un plano con más de un polígono regular o con polígonos regulares e irregulares. A estas teselaciones se les llama semirregulares e irregulares, respectivamente.

96 Unidad 4

Unidad

Ejercicios individuales a. Dibuja junto a cada imagen el patrón de figuras que se utiliza para teselar el plano. Nombra las transformaciones isométricas que puedes identificar en cada teselación: a)

Patrón de las figuras:

Las transformaciones realizadas fueron:

b)

Patrón de las figuras:

Las transformaciones realizadas fueron:

c)

Patrón de las figuras:

Las transformaciones realizadas fueron:

d)

Patrón de las figuras:

Las transformaciones realizadas fueron:

HIPERTEXTO

Desarrollo

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo

97

Definición de circunferencia y círculo Enlace con…

El Deporte

Los Juegos Olímpicos modernos se inspiraron en los eventos deportivos organizados por los antiguos griegos en la ciudad de Olimpia entre los años 776 a. de C. y 393 d. de C. Estos juegos eran fiestas religiosas, culturales y deportivas que se celebraban en honor a los dioses.

El centro de una circunferencia no pertenece a esta, pero sí al círculo encerrado por ella.

Los Juegos Olímpicos modernos se vienen realizando cada cuatro años desde el año 1896. Solo se suspendieron los años 1916, 1940 y 1944, debido a las guerras mundiales. El símbolo de las olimpiadas son cinco anillos de colores entrelazados que representan a los cinco continentes.

ffEn los anillos olímpicos, ¿puedes distinguir qué puntos forman una circunferencia y qué región forma un círculo?

Cada uno de los anillos olímpicos es una curva llamada circunferencia.

Una circunferencia está formada por todos los puntos cuya distancia a un punto llamado centro es la misma. El segmento que va desde cualquier punto de una circunferencia a su centro, es el radio de la circunferencia.

En los anillos olímpicos, la región blanca encerrada por cada uno de ellos corresponde a un círculo.

Tanto el radio como el diámetro de una circunferencia reciben el mismo nombre si nos referimos al círculo. Por ejemplo, podemos decir, “el radio de la circunferencia es…” o “el radio del círculo es…”

La superficie encerrada por una circunferencia se llama círculo.

D = 2r r

r D

o

Circunferencia 98 Unidad 4

D = 2r

D

o

Círculo

Unidad

Ejercicios individuales a. Indica con un ✓ en cuál de las siguientes figuras los puntos de color rojo forman un círculo y en cuál una circunferencia: a)

b)

Circunferencia

Circunferencia

Círculo

Círculo

b. Mide con una regla el radio y el diámetro de las siguientes circunferencias: c)

a)

e)

x

r=

x

D=

b)

r=

x

D=

d)

D=

r=

D=

f) x

x

r=

r=

x

D=

r=

D=

Ejercicios grupales a. Formen grupos de dos integrantes y discutan si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F): a) ______ Circunferencia y círculo son términos sinónimos.

b) ______ El segmento que va desde cualquier punto de una circunferencia a su centro se llama radio. c) _ _____ La distancia entre dos puntos de una circunferencia es siempre la misma. d) ______ La distancia de un punto de una circunferencia a su centro es siempre la misma. e) _ _____ La distancia de cualquier punto de un círculo al centro del círculo es siempre la misma.

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo

99

Elementos lineales de una circunferencia Observa: Radio Recuerda que: • Una recta es una línea que une dos puntos y se extiende en ambos sentidos indefinidamente.

• Un segmento es la línea comprendida entre dos puntos y su longitud equivale a la distancia más corta entre ellos.

Desafío

al ingenio

Considera dos tangentes a una circunferencia paralelas entre sí (no coincidentes). ¿Qué elemento obtienes al unir ambos puntos de tangencia?

Cuerda

Tangente

Diámetro

o

Secante

En la figura anterior se detallan distintas líneas que pasan por una circunferencia. Estas líneas se denominan elementos lineales de una circunferencia.

Los elementos lineales de una circunferencia son: radio, cuerda, diámetro, secante y tangente.

Un radio es un segmento que une el centro de una circunferencia con cualquier punto perteneciente a ella. Su longitud equivale a la mitad de la longitud del diámetro.

Una cuerda es un segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia. Su longitud es siempre menor o igual a la del diámetro.

Un diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Su longitud equivale al doble de la del radio.

Una secante es una recta que corta a una circunferencia en dos puntos.

Una tangente es la recta que interseca a la circunferencia en un único punto (llamado punto de tangencia). Es perpendicular al radio y al diámetro en el punto de tangencia.

Para la tangente: o r Punto de tangencia

100 Unidad 4

Tangente

Unidad

Ejercicios individuales a. En las siguientes figuras identifica los elementos lineales dibujados: a)

c)

e) o

o

o

Elemento: ________________

Elementos: _______________

Elementos: _______________

b)

d)

f) o

o

o

Elemento: ________________

Elementos: _______________

Elementos: _______________

Ejercicios grupales a. En grupos de dos integrantes justifiquen la afirmación: “la longitud de una cuerda siempre es menor o igual a la del diámetro”.

b. Analicen el siguiente diálogo: . Eduardo: el profesor dijo que una tangente es siempre perpendicular al radio y al diámetro en el punto de tangencia, pero no sé cómo comprobar esta afirmación.

.

Alejandra: mira, así puedes verlo más claramente:

¿Qué transformación isométrica aplicó Alejandra en la figura, para poder visualizar con mayor claridad la afirmación que hizo el profesor en clases?

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo

101

Elementos angulares de circunferencias y círculos Acabas de estudiar los elementos lineales de una circunferencia. A partir de ellos es posible definir algunos elementos angulares.

Arco

Archívalo El diámetro divide a la circunferencia en dos arcos iguales, llamados semicircunferencias. También divide al círculo respectivo en dos sectores circulares iguales, llamados semicírculos.

Sector circular

Ángulo del centro Un ángulo del centro mide el doble que un ángulo inscrito que subtienda el mismo arco.

Ángulo semi-inscrito

Ángulo inscrito

a 2a a

Algunos elementos angulares de una circunferencia y su correspondiente círculo son: arco, sector circular, y ángulos del centro, inscrito y semi-inscrito.

Un arco es una porción de la curva de la circunferencia que se extiende entre dos puntos de ella.

Un sector circular es una parte de un círculo limitada por dos radios y el arco que determinan.

Un ángulo del centro es un ángulo formado por dos radios de una circunferencia.

Un ángulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son dos cuerdas.

Un ángulo semi-inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia, uno de sus lados es tangente a la circunferencia y el otro es una cuerda.

102 Unidad 4

Unidad

Ejercicios individuales a. Utilizando una regla, un compás y un transportador dibuja lo que se señala: a) Una circunferencia con un ángulo del centro que mida 30°.

c) Un círculo con un sector circular cuya área sea igual a la cuarta parte del área del círculo.

b) Una circunferencia cuyo diámetro sea igual a 3 cm, con un ángulo semi-inscrito formado por una cuerda que mida 3 cm.

d) Una circunferencia con un ángulo inscrito que mida 30° y con sus dos lados de igual longitud.

Ejercicios grupales a. Formen grupos de tres compañeros y compañeras e indiquen si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F): a) _____ El vértice de un ángulo del centro está ubicado en el centro de la circunferencia. b) _____ Los lados de un ángulo inscrito en una circunferencia siempre son iguales. c) _ ____ La medida máxima de un ángulo inscrito es de 90°. d) _____ El diámetro de una circunferencia equivale a los lados de un ángulo del centro que mide 180°. e) _ ____ Antonia caminó desde el punto A hasta el punto B por una circunferencia. El camino recorrido por Antonia es un arco de la circunferencia.

A

HIPERTEXTO

Desarrollo

B Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo

103

Perímetro de una circunferencia

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El Deporte

La marcha atlética es una modalidad del atletismo que consiste en recorrer una determinada distancia caminando, de manera que el atleta nunca pierda contacto con el suelo. Es un deporte olímpico en la categoría masculina desde el año 1908, y en la femenina desde 1992.

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La Historia

En el siglo III a. de C. el matemático griego Eratóstenes de Cirene (284 a. de C. - 194 a. de C.) realizó uno de los experimentos más ingeniosos de todos los tiempos al medir el perímetro de la circunferencia de la Tierra utilizando las rudimentarias técnicas de la época y los conocimientos de matemática que había aprendido de los egipcios. El error en el cálculo realizado fue del 1% o del 17% (hay historiadores que defienden una u otra cifra) respecto al valor aceptado en la actualidad de 40 008 km.

104 Unidad 4

La plaza de una ciudad tiene forma circular y su radio mide 50 m.

Con motivo del aniversario de la ciudad se organizó una prueba de marcha atlética. Ganará el primero que dé una vuelta completa a la plaza de la ciudad: 50 m

ff¿Cómo podemos calcular el perímetro de una circunferencia si conocemos la medida de su radio? ff¿Qué distancia recorrerán los atletas?

Si calculas el cociente entre el perímetro y el diámetro de cualquier circunferencia encontrarás valores cercanos a 3,14: Perímetro = π ≈ 3,14 Diámetro El valor exacto de estos cocientes es un número decimal fijo que se anota π y cuya parte decimal es infinita y aperiódica. El número π redondeado a su cuarto dígito decimal es 3,1416.

Entonces, si queremos averiguar el perímetro de una circunferencia conociendo la longitud de su diámetro debemos despejar el perímetro de la ecuación señalada: Perímetro = π · Diámetro Y como la longitud del diámetro es igual a dos veces la del radio, podemos concluir que: Perímetro = π · (2 · Radio) La fórmula que nos permite calcular el perímetro p de una circunferencia es: p=2·π·r Donde r es el radio de la circunferencia y π ≈ 3,14.

El radio de la plaza de la ciudad mide 50 m, por lo tanto: Perímetro ≈ 2 · 3,14 · 50 m ≈ 314 m Como los atletas deben dar una vuelta completa a la plaza, concluimos que deberán recorrer aproximadamente 314 m.

Unidad

Ejercicios individuales a. Completa la siguiente tabla de acuerdo a las medidas correspondientes de cada circunferencia.

Utiliza la aproximación π ≈ 3,14: Diámetro

Radio

Perímetro (aprox.)

20 km 5 cm 6π m 10 km 2,5 cm 9m

b. Con ayuda de una regla completa con la información que se pide sobre cada circunferencia: a)

b)

X

Diámetro: _ ___________ Radio: _______________ Perímetro: ____________

c)

X

X

Diámetro: _ ___________ Radio: _______________ Perímetro: ____________

Diámetro: _ ___________ Radio: _______________ Perímetro: ____________

Problemas 1. Un deportista quiere atravesar a nado una laguna circular por su diámetro. Para calcular la longitud del diámetro dio una vuelta completa a la laguna por su perímetro y verificó que era igual a 6 km. ¿Cuál es el diámetro de la laguna, aproximadamente?

(Usa π ≈ 3,14).

2. Don Eduardo construyó una piscina circular de 3,28 m de radio.

Para evitar accidentes –sus hijos son muy pequeños y tiene dos perros poodle toy– mandó a construir una reja por todo el borde de la piscina. ¿Qué longitud abarcará esta reja? (Usa π ≈ 3,14).

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo

105

Área de un círculo Archívalo El apotema es el segmento que va desde el centro de un polígono regular hasta el punto medio de uno de sus lados.

Alberto necesita calcular el área de la superficie de su mesa para comprar un mantel a la medida. El diámetro de la mesa de Alberto mide 110 cm. ff¿Cuál es el área de la superficie de la mesa de Alberto?

110 cm

Enlace con…

La Historia

En su libro De la Medida del Círculo, el matemático griego Arquímedes de Siracusa indicó que el área de una circunferencia es al área del cuadrado circunscrito a ella como 11 es 14.

El área de un polígono regular se calcula como: p·a A= 2 Donde p es el perímetro y a es la apotema del polígono.

Por ejemplo, para el área de un cuadrado de lado b, sabemos que la apotema a es la mitad de la longitud de uno de sus lados b ; 2 y el perímetro p, 4 veces la longitud de sus lados 4b, entonces: b 4b · 2 A= 2 2 A = 2b 2

= b2

Esta fórmula ya la conocíamos.

106 Unidad 4

Podemos encontrar una forma para calcular el área de un círculo aplicando algunas relaciones y propiedades de los polígonos regulares.

Si dentro de una circunferencia comenzamos a trazar polígonos regulares inscritos, aumentando progresivamente el número de sus lados, podemos constatar que a medida que aumenta el número de lados la apotema (a) se aproximará al radio de la circunferencia (r).

a y

a

a

Considerando la circunferencia como un polígono regular de infinitos lados, podemos decir que la apotema (a) coincide con el radio (r) de la circunferencia y que el perímetro del polígono coincide con el perímetro de la circunferencia. Entonces, llamando p a este perímetro tenemos: p · a 2πr · r 2π · r 2 A= = π · r2 = = 2 2 2

La fórmula que nos permite calcular el área de un círculo es: A = π · r2 Donde r es el radio del círculo.

Para calcular el área de la mesa de Alberto debemos considerar que D = 110 cm y que, por lo tanto, r = 55 cm. Entonces: A = π · r2 ≈ 3,14 · (55 cm)2 ≈ 3,14 · 3 025 cm2 = 9 498,5 cm2 El área de la superficie de la mesa de Alberto es de aproximadamente 9 498,5 cm2.

Unidad

Ejercicios individuales a. Mide el radio de los siguientes círculos y calcula sus áreas: a)

b)

Área: _____________

Área: _____________

b. Deduce la fórmula que relaciona el área de un círculo con su diámetro a partir de la fórmula que ya conoces (A = π · r2) y la relación D = 2r.

c. Calcula el valor que debe tener el radio de un círculo para que su área sea igual a 530,66 cm2.

Considera π ≈ 3,14.

d. Calcula el área sombreada en las siguientes figuras según los datos que se indican: a) Circunferencia inscrita en un cuadrado de 5 cm de lado:

b) Circunferencia mayor de 20 cm de diámetro y circunferencias menores de 1 cm de radio:

Área:

Área:

Problemas 1. Una pista de baile circular tiene un área de 50,24 m2. ¿Qué distancia tendría que recorrer una persona que cruza la pista desde un extremo a otro pasando por el centro de ella?

Considera π ≈ 3,14.

2. Elena diseña un papelógrafo con imágenes y dibujos. El contorno de la cartulina lo adornará con círculos rojos. Si el papelógrafo tiene forma rectangular con un ancho de 50 cm y un largo de 100 cm, ¿qué área de papel rojo necesitará para colocar a todo lo ancho 5 círculos y a lo largo 10 círculos iguales?

HIPERTEXTO

Desarrollo

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo

107

Resolución de problemas Problema modelo Para conmemorar el centenario de una ciudad, su alcalde ha decidido construir una rotonda cubierta por completo de pasto. La longitud del diámetro de la rotonda será de 12 m. a) ¿Cuál será el radio y el perímetro de la rotonda? b) ¿Cuántos metros cuadrados de pasto se necesitarán?

En ambos cálculos considera π ≈ 3,14. a) Entiende: ¿qué sabes del problema?

• La longitud del diámetro de la rotonda es de 12 m.

• El perímetro de la rotonda lo calculamos ocupando la fórmula correspondiente.

• Los metros cuadrados de pasto los obtendremos calculando el área del círculo que da forma a la rotonda. Para ello ocuparemos la fórmula correspondiente. b) Planifica tu estrategia: ¿cómo puedes resolver el problema?

• Calculamos la longitud del radio de la circunferencia dividendo la del diámetro por 2, ya que D = 2r.

• Conocido el valor del radio de la rotonda, calculamos su perímetro mediante p = 2 · π · r y el área de su superficie mediante A = π · r 2. c) Resuelve: desarrolla el problema para llegar a una respuesta

D 12 m = =6m 2 2 p = 2 · 3,14 · 6 m p = 37,68 m A = 3,14 · (6 m)2 A = 113,04 m2

• Diámetro: D = 12 m • Perímetro: p = 2 · π · r • Área: A = π · r2

Radio: r =

d) Responde: contesta las preguntas del problema

• La longitud del radio de la rotonda circular será de 6 m.

• El perímetro de la rotonda medirá 37,68 m.

• Se necesitarán 113,04 m2 de pasto para cubrir la superficie de la rotonda. e) Comprueba: aplica otra estrategia para comprobar el resultado

• Puedes calcular el perímetro y el área de la rotonda usando las fórmulas que relacionan el perímetro de una circunferencia y el área de un círculo, con su diámetro.

• Puedes expresar la longitud del diámetro de la rotonda en centímetros y obtener el radio también en centímetros. Luego, calcular el perímetro y el área de la rotonda y, finalmente expresar los valores nuevamente en metros y comparar.

108 Unidad 4

Unidad Problema 1 Cada una de las aspas de la hélice de una turbina de un avión de pasajeros mide 120 cm. Responde usando calculadora: a) ¿Qué distancia recorre el extremo del aspa más alejado de la turbina al dar una vuelta completa? b) ¿Qué distancia recorre un punto marcado a la mitad de la longitud de un aspa al dar esta una vuelta completa? c) Calcula el área del círculo que describe la hélice al ponerse en marcha el motor.

12 0c m

Problema 2 Todos los sábados Gonzalo trota, dando 7 vueltas alrededor de un parque que tiene forma circular. La distancia más larga de un extremo a otro del parque es igual a 120 m. a) ¿Cuál es el radio del parque? b) ¿Qué distancia trota Gonzalo cada sábado?

Problema 3 Un payaso realiza una prueba de equilibrismo en un listón de madera apoyado sobre una rueda de bicicleta. El diámetro de la rueda mide 55 cm. a) ¿Cuál es el perímetro de la rueda? b) ¿Cuál es el área determinada por la rueda? c) ¿Qué transformación isométrica experimenta la rueda del esquema? d) ¿A qué elemento lineal de una circunferencia corresponde el listón sobre el que está apoyado el payaso sobre la rueda?

Problema 4 La Tierra gira alrededor del Sol describiendo una órbita curva. Supón que esta órbita corresponde a una circunferencia (así se creía antiguamente) y considera que la distancia media entre el Sol y la Tierra es de aproximadamente 150 000 000 de kilómetros. a) ¿Cuál es el perímetro de la órbita de la Tierra alrededor del Sol descrita en el enunciado? b) Averigua el valor aceptado como exacto para este perímetro y calcula el porcentaje de error de tu cálculo. ¿Es significativo? c) ¿Cuál es el área de la órbita de la Tierra alrededor del Sol descrita en el enunciado?

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo

109

Tecnología activa Dibujando elementos lineales y angulares de circunferencias y círculos El Cabri II es un programa de computación que permite construir figuras geométricas y manipular dichas construcciones. Con él es posible medir diversas partes de las figuras, comprobar sus propiedades geométricas y realizar cálculos relacionados con ellas.

1. Dibujo de una circunferencia y determinación de su perímetro y de su área. ff Crea un archivo nuevo en Cabri II. ff Pincha en la barra de herramientas en el ícono y selecciona Circunferencia.

Ubica el mouse en el área de trabajo y presiona su botón derecho. A medida que muevas el mouse, irá apareciendo una circunferencia que irá creciendo hasta que presiones nuevamente el mouse, momento en que adquirirá su tamaño definitivo.

Este punto

ff Para dibujar el radio de la circunferencia pincha en el ícono de Líneas

. Selecciona Segmento. Luego pincha en el centro de la circunferencia y después en cualquier punto de ella.

Para medir el radio de la circunferencia pincha en la barra de herramientas el ícono de . Selecciona Distancia o longitud. Luego pincha en algún punto del radio y Medida aparecerá su longitud. ff Para determinar el perímetro de la circun-

10,51 cm 8,79 cm2 1,67 cm

110 Unidad 4

ferencia, pincha en la barra de herramientas nuevamente el ícono de Medida y selecciona Distancia o longitud. Luego, pincha en algún punto de la circunferencia y aparecerá el valor de su perímetro. ff Para determinar el área de la circunferencia, pincha en la barra de herramientas una vez más el ícono de Medida y selecciona ahora Área.

Luego, pincha en algún punto de la circunferencia y aparecerá el valor de su área.

Unidad 2. Dibujo de una circunferencia y de algunos de sus elementos lineales y angulares. ff Crea un nuevo archivo y luego dibuja una circunferencia. ff Dibuja un arco de la circunferencia. Para ello, pincha en el ícono y selecciona Arco.

Luego pincha en tres puntos distintos de la circunferencia. ff Para dibujar un ángulo del centro dibuja dos radios. ff Para dibujar un ángulo semi-inscrito primero dibuja una nueva circunferencia con su radio. Luego dibuja una perpendicular a este. Para esto, pincha en la barra de herramientas en el icono , selecciona Recta perpendicular y pincha dos veces el punto en que se intersecan el radio y la circunferencia. La recta que se dibujará es tangente a la circunferencia ya que es perpendicular al radio. Luego traza un segmento desde el punto en que la recta es tangente a la circunferencia hasta cualquier punto de la circunferencia. ff Para medir el ángulo semi-inscrito,

pincha en la barra de herramientas en el ícono de Medida y selecciona Medida de ángulo. Luego pincha en uno de los lados del ángulo semiinscrito, luego en el vértice y por último en el otro lado.

41,7°

3. Aplicando lo aprendido.

Dibuja dos ángulos inscritos y un ángulo del centro que sostengan el mismo arco. Mide la amplitud de estos tres ángulos y responde las siguientes preguntas: a) ¿Qué relación tienen entre sí los dos ángulos inscritos? b) ¿Qué relación existe entre la medida del ángulo del centro y el de cada uno de los án-

gulos inscritos? c) Dibuja nuevas circunferencias, selecciona nuevos ángulos y muestra que las relaciones anteriores también se verifican.

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo

111

Síntesis de la unidad Ficha 2

Ficha1 Las transformaciones isométricas consisten en movimientos o transformaciones que no afectan ni la forma ni el tamaño de la figura a la que se aplican. Tres isometrías importantes son: traslación, reflexión (simetrías) y rotación.

Ficha 3 Una teselación es la cobertura de una superficie plana por un patrón de figuras y sus transformaciones isométricas, de manera que no quede espacio entre ellas y no se superpongan.

Ficha 4 Una circunferencia está formada por todos los puntos cuya distancia a otro punto, llamado centro, es siempre la misma. La superficie encerrada por una circunferencia se llama círculo.

Una traslación es una transformación que consiste en el movimiento o cambio de posición de una figura. Se define mediante un vector de " traslación V .

Una reflexión puede realizarse en torno a una recta o eje de simetría, en cuyo caso se habla de simetría axial; o en torno a un punto o centro de simetría, en cuyo caso se habla de simetría central.

Simetría axial Simetría central Centro de simetría Eje de simetría

Una rotación es una transformación que consiste en el giro de una figura en torno a un punto o centro de rotación. El giro se define según un ángulo de rotación.

Ficha 5 El cociente entre la medida del perímetro de una circunferencia y la medida de su diámetro es un número conocido como π. π es un número decimal infinito aperiódico cuyo valor es aproximadamente igual a 3,14.

Ficha 6 Los elementos lineales de una circunferencia son: radio, cuerda, diámetro, secante y tangente.

Ficha 8

Algunos elementos angulares de una circunferencia y círculo son: arco, sector circular, y ángulos del centro, inscrito y semi-inscrito.

Ficha 9

La fórmula que nos permite calcular el perímetro p de una circunferencia es: p=2·π·r Donde r es el radio de la circunferencia.

112 Unidad 4

Ficha 7

La fórmula que nos permite calcular el área A de un círculo es: A = π · r2 Donde r es el radio del círculo.

HIPERTEXTO

Síntesis

Unidad

I

Evaluación

Ejercicios de desarrollo

a. Determina a qué transformaciones isométricas corresponden cada uno de los movimientos del gato: a)

b)

c)

b. Dibuja en cada una de las siguientes circunferencias los elementos que se indican: a)

c)

X

o

o

o

Dos radios y un diámetro

X

Una secante

d)

X

X

Dos cuerdas

b)

e)

o

Tres tangentes

f)

X

o

Una cuerda y un diámetro

X

o

Un radio y una tangente

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo

113

c. Determina a qué elemento angular corresponde cada uno de los ángulos de la figura:

α

g

b α: _____________________

β: _____________________

γ: _____________________

d. Con una regla mide el diámetro de la siguiente circunferencia y calcula su perímetro y su área:

D= p= A=

e. El siguiente plano muestra las calles más transitadas de una ciudad. La circunvalación Cristóbal Colón tiene la forma de una circunferencia. Indica con qué elemento lineal de una circunferencia y círculo se relacionan cada una de las restantes calles: Circunvalación Cristobal Colón s

roe Hé

os .L a d Av Avda. Las Rosas

da Av

ad ert b i .L

Carretera Internacional

._

Avda. Los Héroes: _ ____________________

Avda. Las Rosas: ______________________

._

Carretera Internacional: _________________

Avda. Libertad: ________________________

114 Unidad 4

Unidad II Ejercicios con alternativas

Marca las alternativas correctas en la hoja de respuestas que te dará el docente y completa la tabla que allí aparece.

a La parte señalada de la circunferencia corresponde a: a) b) c) d)

Un arco.

Un sector circular.

Una semi-circunferencia.

Un semi-círculo.

o

b De acuerdo a la figura, α es un elemento angular llamado: a) Ángulo inscrito. b) Ángulo semi-inscrito. c) Ángulo del centro. d) Sector circular.

o a

5 Las transformaciones isométricas presentes en la siguiente teselación son: a) Simetría, rotación y traslación. b) Rotación y traslación. c) Simetría y traslación. d) Simetría y rotación.

6 En la figura, el segmento AB es el diámetro

de la circunferencia y mide 12 cm. Entonces, podemos afirmar, respecto a la longitud de AC, que:

a) AC > 12 cm b) AC = 12 cm c) AC < 12 cm

C A

o

B

d) AC = 24 cm

c El perímetro de una circunferencia cuyo radio

7 Si el perímetro de una circunferencia es

d Las transformaciones isométricas presentes

8 El área de un círculo cuyo diámetro es igual

mide 3 m es aproximadamente igual a: a) 9,42 m b) 18,84 m c) 12 m d) 9 m

en el movimiento de un boomerang lanzado al aire son: a) Solamente rotación. b) Traslación y rotación. c) Solamente simetría. d) Simetría y rotación.

HIPERTEXTO

Evaluación

de 25,12 cm (para π ≈ 3,14), su radio debe medir: a) 5 cm b) 2 cm c) 8 cm d) 4 cm

a 10 cm (para π ≈ 3,14) es aproximadamente igual a: a) 15,7 cm2 b) 314 cm2 c) 31,4 cm2 d) 78,5 cm2

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo

115

Entrada de unidad

5 Unidad

Cuerpos redondos

Red conceptual Cilindro

Cuerpos redondos

Cono

Esfera

116

descripción de

Elementos

construcción usando

Redes

cálculo de

Áreas y volúmenes

¿Cuáles son las principales expresiones artística de nuestro país?

El continente americano ha cobijado a lo largo de su historia gran cantidad de agrupaciones humanas con diversos niveles de desarrollo que florecieron, decayeron y, muchos de ellos, desaparecieron como conjunto étnico. Sin embargo, estas civilizaciones extintas y otras que han conseguido sobrevivir al fragor del tiempo, nos presentan obras artísticas de inapreciable valor cultural. Es así como en nuestro país, obras de alfarería diaguita, atacameña y molle forman parte de nuestro patrimonio cultural.

La cultura diaguita floreció entre los años 900 d. de C. y 1500 d. de C. en el Norte Chico de Chile, entre los ríos Copiapó por el norte y Choapa por el sur.

Los diaguitas se destacaron por su elaborada cerámica en la que privilegiaron los diseños geométricos a dos colores en sus vasijas de diferentes formas: ollas (cilíndricas), urnas (esféricas y cilíndricas), jarros-pato (esféricos y cilíndricos), cuencos (cilíndricos) y escudillas (cilíndricas).

Recuerdas qué es un cilindro? ¿Y una esfera? ¿ Qué tienen en común los cilindros, conos y esferas? ¿ ¿Qué otras culturas chilenas conoces que se destacaron por su alfarería? ❷ ❶

¿Puedes resolver?

Fernando y Amalia acudieron a una muestra de artesanía de diversas regiones del mundo. Allí adquirieron objetos de alfarería y artículos elaborados en madera. Parte de ellos se pueden observar en la foto. ¿Qué formas geométricas puedes identificar en la foto? ¿Cuáles de ellas tienen solo caras planas? ¿Qué nombre reciben estos cuerpos? ¿Cuáles de ellas tienen al menos una cara curva? ¿Qué nombre reciben estos cuerpos?

❸

❹

rás a: e d n e r p a d a id En esta un redondos.

rpos aracterizar cue c y r a c fi ti n e ndos. d I s. e cuerpos redo d s e d re r a in conos y esfera s, ro Determ d in ersas situacio‑ il c iv e d d a n s e o d m n lu o o d v re y erpos Calcular área volumen de cu y a re á e d s la Aplicar fórmu cas. nes problemáti

HIPERTEXTO

Motivación

117

Actividad inicial A lo largo de la historia de nuestro continente diversas culturas prehispánicas desarrollaron manifestaciones artísticas y culturales, donde la presencia de figuras y cuerpos geométricos ha sido un elemento importante para la trascendencia de dichas manifestaciones. Tanto en la arquitectura como en la artesanía desarrolladas en Chile y en el resto de América se aprecian cilindros, conos, esferas, pirámides y prismas, entre otros cuerpos.

Reúnanse en grupos de tres personas y realicen las actividades que están a continuación.

A Lean la historieta y luego contesten las preguntas de la página siguiente:

118 Unidad 5

Unidad a) ¿A qué cuerpos geométricos se asemejan los artículos que admiran los jóvenes

en el cuarto recuadro de la historieta? b) ¿Qué elementos de los cuerpos geométricos pueden reconocer en una pirámide como la que aparece en el segundo recuadro de la historieta? c) A lo largo de la historia han existido diferentes manifestaciones artísticas en donde se puede reconocer con facilidad la presencia de los cuerpo geométri‑ cos. Por ejemplo, la torre de Pisa o las pirámides de Egipto. Mencionen tres ejemplos diferentes a los anteriores, en donde se aprecien cuerpos geométricos e intenten clasificarlos. d) Investiguen qué cuerpos geométricos se pueden encontrar en las manifesta‑ ciones de la cultura Mapuche.

B Observen los siguientes cuerpos geométricos: A

C

E

G

B

D

F

H

a) Si tuvieran que formar dos familias de cuerpos, la I y la II, ¿qué cuerpos

estarían en cada una de ellas?

Familia I:

Familia II:

b) ¿Qué características comunes tuvieron en cuenta para formar las familias? c) Elijan un cuerpo de cada familia y señalen los elementos que lo caracterizan. d) Escriban, para cada cuerpo, el nombre de un objeto del entorno que se le

asemeje.

HIPERTEXTO

Diagnóstico

Cuerpos redondos

119

Cuerpos redondos A Antonio le han asignado la tarea de realizar una escultura con elementos reciclados. Para ello lleva los siguiente materiales: Archívalo La filosofía del reciclaje conlleva un control en el consumo (reducción) y una tendencia hacia la utilización de productos que ofrezcan los mínimos problemas de contaminación y la mayor facilidad para su recuperación y reutilización.

ff¿A que cuerpos geométricos se asemejan los objetos que lleva An‑ tonio a clases?

Estos objetos se asemejan a cuerpos redondos.

Enlace con…

La Ciencia

Pese a los avances tecnológicos y técnicos, el ser humano no ha podido construir una esfera perfecta. La más cercana a este ideal difiere de la perfección en una distancia equivalente a la de 20 átomos alineados.

120 Unidad 5

Los cuerpos redondos son todos aquellos cuerpos o sólidos geométricos formados por regiones curvas o regiones planas y curvas.

Los principales cuerpos redondos son:

El cilindro:

El cono:

La esfera:

Unidad

Ejercicios individuales a. Completa la tabla con objetos de la vida cotidiana que se asemejen a los cuerpos redondos que se mencionan a continuación: Cilindro

Cono

Esfera

b. Indica un objeto cotidiano que se pueda obtener mediante cada una de las siguientes combinaciones:

Combinación

Objeto

Cilindro – Cono Cilindro – Esfera Cono – Esfera

Ejercicios grupales a. Reúnanse en grupos de tres compañeros o compañeras y observen las imágenes que a continuación aparecen. Luego realicen las actividades que se indican.

a) Describan cada una de las imágenes y respondan: ¿Qué representan cada una de ellas en nuestra sociedad? ¿Qué imagen o imágenes son parte de culturas distintas a la nuestra? b) Clasifiquen cada una de las imágenes anteriores según el cuerpo geométrico al que se asemejan. c) Investiguen algunas edificaciones de distintas culturas y civilizaciones donde puedan identificar la utilización de cuerpos redondos. Expongan su trabajo al resto de los integrantes del curso.

Cuerpos redondos

121

El cilindro Las formas cilíndricas han sido utilizadas en diferentes manifestaciones artísticas de los pueblos originarios de nuestro continente, las cuales han trascendido en el tiempo para ayudarnos a comprender su cultura.

Las caras de un cilindro deben cumplir dos condiciones: • Los círculos basales deben ser congruentes entre sí, es decir, iguales.

• La medida de uno de los lados del rectángulo lateral debe ser igual al perímetro del círculo.

Observa el jarro grabado pertene‑ ciente a la cultura La Aguada que se desarrolló en la provincia argentina de Catamarca. ff¿A qué cuerpo geométrico se asemeja su forma?

La forma del jarro corresponde a la de un cilindro. ff¿Qué figuras geométricas limitan a un cilindro?

Un cilindro está formado por tres figuras geométricas: 2 círculos basales –uno superior y otro inferior– y un rectángulo curvado que los conecta y que corresponde a la cara lateral.

El cilindro es un cuerpo redondo que consta de tres caras: dos caras basales circulares planas y una cara lateral rectangular curva.

En él se pueden distinguir dos elementos: su base y su altura.

Recuerda que el perímetro de un círculo se calcula mediante la fórmula: p = 2πr Y que el área se calcula con la fórmula: A = πr2 Donde r es el radio del círculo.

Altura

Base

Caras de un cilindro:

Base r

Base r

Cara lateral a b

La condición básica para construir un cilindro es que uno de los lados del rectángulo coincida con el perímetro de las caras basales, es decir:

a = 2πr o b = 2πr 122 Unidad 5

Unidad

Ejercicios individuales a. Indica en cada caso si con las dimensiones de las figuras que se presentan es posible formar un cilindro (considera π ≈ 3,14). En caso de ser posible, señala la altura del cilindro formado y el perímetro y el área de su base: Bases

¿Se puede formar un cilindro?

Lado lateral

6 cm

Altura del cilindro (H)

Área basal del cilindro (A)

9 cm

18,84 cm

3,2 m

15 m

20,096 m

8m

20 m

50,35 m

19,1 m

45 m

119,948 m

b. Completa las siguientes frases indicando las dimensiones que faltan. Cuando debas aproximar, redondea a la centésima el número decimal. Utiliza una calculadora cuando sea necesario. a) El diámetro de la cara basal de un cilindro mide 16 cm, por lo tanto, su cara lateral puede ser un rectángulo de 12 cm de ancho y _ _________ cm de largo.

b) La cara lateral de un cilindro es un rectángulo de 62 cm de largo y 53 cm de ancho, por lo tanto, el radio de los círculos que le sirven de base debe medir__________ cm (considera el cilindro de menor altura que se puede formar). c) El radio de los círculos basales de un cilindro mide 14 cm, por lo tanto, su cara lateral puede ser un cuadrado de __________ cm de lado, aproximadamente.

Cuerpos redondos

123

El cono Muchas de las viviendas que utilizaron los pueblos originarios de América constituían llamativas formas geométricas.

Enlace con…

La Historia

El tipi fue una vivienda utilizada principalmente por la tribu siux que habitó gran parte de las llanuras de los Estados Unidos. Eran una tribu nómada que se trasladaba siguiendo los movimientos de las manadas de búfalos, que eran su sustento de vida.

Observa la tienda del costado, hecha de pieles de animales, creación típica de algunos pueblos indígenas de Norteamérica. ff¿A qué cuerpo geométrico se asemeja su forma?

La forma de la tienda corresponde a la de un cono.

El cono es un cuerpo redondo que consta de dos caras –una basal plana y una lateral curva o manto– y una cúspide. En él se pueden reconocer los siguientes elementos: base, generatriz (g) y altura (H).

Cúspide g

H

Cara lateral curva r

La fórmula para determinar el ángulo del manto del cono α, se puede deducir a partir de la proporción entre la razón del perímetro del sector circular determinado por α y el perímetro total, y la razón entre el ángulo del sector circular α y el ángulo completo 360º, es decir: 2πr α = 2πg 360

Caras de un cono:

Base

Base

r

Cara lateral g

α

Para construir un cono es necesario conocer: • La longitud del radio de su cara basal (r).

• La longitud de la generatriz (g).

El ángulo del sector circular que servirá de cara lateral del cono se calcula utilizando la siguiente fórmula: r · 360° α= g

124 Unidad 5

Unidad Imagina que debes construir un cono cuya base sea un círculo de 4 cm de radio (r). Además, supón que dispones de otro círculo de 9 cm de radio que debes recortar para construir la cara lateral. ff¿Cómo puedes hacerlo?

La generatriz del cono corresponde al radio del círculo que usaremos para obtener la cara lateral o manto. El ángulo que debemos recortar de este círculo lo calculamos mediante la fórmula: α = r · 360° = 4 · 360° = 160° g 9

Archívalo Una generatriz se define como el punto, curva o superficie que al girar alrededor de un eje da lugar a una curva, una superficie o un cuerpo sólido, respectivamente. En el caso del cono, la generatriz es el segmento que, al girar alrededor de un eje, lo genera.

Ejercicios individuales a. ¿Cuánto debe medir el radio de la cara basal de un cono si su generatriz mide 30 cm y el ángulo de su manto 180°?

b. Calcula la generatriz de un cono, cuyo radio basal mide 72 cm y cuyo ángulo de manto mide 72°.

Ejercicios grupales a. En grupos de dos personas discutan la siguiente situación: sobre una mesa hay tres conos con la misma cara basal pero que difieren en sus alturas. Entonces, ¿cuál cono tiene el ángulo de su manto más pequeño?

b. La longitud de la generatriz de un cono A es el doble de la de un cono B. El radio de las caras basales de ambos conos es el mismo. Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles falsas: a)______ El ángulo de los mantos de ambos conos es el mismo. b)______ El ángulo del manto del cono B es el doble que el del cono A. c)______ La medida de la generatriz no influye en el cálculo del ángulo del manto.

Problemas 1. Isaac necesita construir un gorro de cumpleaños cónico para ponérselo a la mascota de su tía Marcela. El diámetro de la cabeza del perro es 14 cm y la generatriz apropiada es de 28 cm. a) ¿Qué ángulo deberá tener la cartulina que cortará? b) ¿Cuál es el ángulo, si la generatriz aumenta en 2 cm?

Cuerpos redondos

125

La esfera Enlace con…

La Ciencia

En agosto de 2006 la Unión Astronómica Mundial redefinió la categoría de planeta y excluyó de tal condición a Plutón. Por lo tanto, a partir de esa fecha el Sistema Solar contiene 8 planetas: Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno; y 3 planetas enanos: Ceres (ex asteroide), Plutón (ex planeta) y Eris (cuerpo ubicado más allá de Plutón).

La mayor parte de los cuerpos masivos que erran por el Universo tienen forma aproximadamente esférica. Entre ellos, las estrellas, los planetas, los planetas enanos, los grandes asteroides y muchos saté‑ lites naturales. En particular, la Tierra tiene forma casi esférica (está levemente achatada en los polos), es por eso que también la llamamos la esfera terrestre.

A continuación, se muestran las fotos del planeta Venus y de Io, uno de los innumerables satélites naturales de Júpiter.

ff¿Por qué la mayoría de los cuerpos celestes tienen forma esférica?

Archívalo Cuando una esfera se corta en dos secciones idénticas se obtienen dos hemisferios.

Casquete esférico es la sección de la esfera que queda determinada cuando se la corta por un plano que no pasa por su centro.

Una zona esférica se obtiene al cortar una esfera mediante dos planos paralelos.

La respuesta la encontramos en la Física. Todos aquellos cuerpos que poseen la suficiente masa para generar un campo gravitatorio importan‑ te a su alrededor, distribuyen su masa en forma equidistante al punto central de su interior. Esto ocurre debido a que la fuerza de gravedad atrae su masa con la misma intensidad en todas las direcciones.

La esfera es un cuerpo redondo limitado por una superficie curva, cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro de la esfera. Los principales elementos de una esfera son su centro y su radio.

C

126 Unidad 5

r

Unidad

Ejercicios individuales a. Indica qué nombre recibe la sección coloreada de cada esfera: a)

b)

C

c)

C

C

b. Indica 8 objetos cotidianos cuya forma sea aproximadamente la de una esfera. Estima el radio de cada uno de ellos: Objeto 1:

Objeto 5:

Radio =

Radio =

Objeto 2:

Objeto 6:

Radio =

Radio =

Objeto 3:

Objeto 7:

Radio =

Radio =

Objeto 4:

Objeto 8:

Radio =

Radio =

Ejercicios grupales a. En grupos de dos personas discutan las siguientes aseveraciones e indiquen si son verdaderas (V) o falsas (F): a)_____ La superficie de una esfera es una figura geométrica ilimitada aunque finita. b)_____ La esfera es el cuerpo que menor resistencia presenta al movimiento. c)_____ La esfera en el espacio, es el equivalente a un círculo en el plano. d)_____ Todos los puntos de la superficie de una esfera equidistan de un eje que pasa por su centro.

HIPERTEXTO

Desarrollo

Cuerpos redondos

127

Área de cuerpos redondos Saber calcular el área de diferentes cuerpos geométricos es muy importante, ya que a través de este cálculo podemos obtener informa‑ ción útil para, por ejemplo, pintar o recubrir con papel las caras que determinan estos cuerpos.

El área del manto de un cono (x), se puede calcular mediante una simple regla de tres: α

g

Como α =

Fabiola desea envolver un conjunto de calcetines que compró para su padre. El envase que contiene al conjunto tiene la forma de un ci‑ lindro, cuyo radio basal mide 15 cm y cuya altura mide 20 cm.

2 πr

ff¿Cómo puede calcular la cantidad de papel de regalo que necesita?

r · 360 , g

La cantidad de papel requerido corresponde al área del cilindro que contiene los calcetines.

entonces: r · 360°

g

x πg2

360°

x=

El área o superficie de un cuerpo geométrico corresponde a la suma de las áreas de todas las caras que lo componen.

r · 360° · π · g2 g

El área de un cilindro de radio basal r y altura H, corresponde a la suma del área de las bases y el área de la cara lateral: Área cilindro = Área basal + Área lateral = 2 · πr2 + 2πrH Área cilindro = 2πr · (r + H)

Aplicando la fórmula al problema de Fabiola, tenemos:

360°

A = 2πr · (r + H) = 2π · 15 · (15 + 20) = 1 050π ≈ 3 298,7 cm2

x = πrg

Por lo tanto, la cantidad de papel requerido es de 3 298,7 cm 2, aproximadamente.

El padre de Fabiola trabaja en la municipalidad y se le encargó pintar la punta cónica de una torre centenaria del Correo Central. El radio del cono mide 3 m y la generatriz mide 6 m. ff¿Cuál es el área que debe pintar?

El área a pintar equivale al área del manto del cono que sirve de punta para la torre.

El área de un cono de radio basal r y generatriz g, corresponde a la suma del área de la base y el área de la cara lateral: Área cono = Área basal + Área lateral = πr2 + πrg Área cono = πr · (r + g)

128 Unidad 5

Unidad Aplicando la fórmula para el cono completo: A = πr · (r + g) = 3π · (3 + 6) = 27π ≈ 84,8 m2 A este número debemos restarle el área de la base, es decir, 2 πr = 9π. Esto porque, en este caso, la base del cono no será pintada. Área a pintar = 27π – 9π = 18π ≈ 56,5 m2.

En el patio de su casa, Fabiola encontró una pelota de plástico de 12 cm de radio. La desarmó y midió el área del plástico. ff¿Qué valor halló para esta área?

Para responder, debemos calcular el área de una esfera.

El área de una esfera corresponde al área de la única cara que la constituye. Área esfera = 4πr2

Archívalo Los cuerpos redondos pueden obtenerse a partir de la rotación en torno a un eje de figuras geométricas.

Por ejemplo, la rotación de un rectángulo en torno a uno de sus lados genera un cilindro, la rotación de un triángulo rectángulo en torno a uno de sus catetos genera un cono, y la rotación de una semicircunferencia en torno a su diámetro genera una esfera. A los cuerpos así obtenidos se les llama sólidos de revolución.

Aplicando la fórmula: A = 4πr 2 = 4π · 122 = 576π ≈ 1 809,6 cm2 El área de la pelota de plástico es de 1 809,6 cm2.

Ejercicios individuales a. Usando calculadora determina el área total de los siguientes cuerpos redondos: Cuerpo geométrico

Cálculo

Área total

Cilindro: Altura = 17 mm Radio basal = 8 mm Cilindro: Altura = 122,45 cm Radio basal = 32,56 cm Cono: Radio basal = 13 m Generatriz = 24 m Cono: Radio basal = 89,78 cm Generatriz = 167,67 cm Esfera: Radio = 902 cm Esfera: Radio = 122,4 m

Cuerpos redondos

129

Volumen de cuerpos redondos Las múltiples representaciones artísticas de los pueblos originarios de nuestra América utilizaron los tres tipos de cuerpos redondos estu‑ diados. Observa los siguientes instrumentos musicales:

Todos estos cuerpos redondos están limitados por una o más super‑ ficies curvas y encierran en su interior un volumen.

El volumen es una magnitud que expresa la extensión de un cuerpo en las tres dimensiones y representa el espacio que ocupa. La unidad de medida para expresar un volumen corresponde a una unidad de longitud multiplicada por sí misma tres veces, es decir, elevada a un exponente 3. Por ejemplo: mm3, cm3 y m3.

Desafío

al ingenio

Un matemático dice a otro: “tengo una pelota mágica, ya que su área y su volumen son el mismo número”. ¿Es posible esto? ¿Cuántos metros mediría el diámetro de esta pelota?

ff¿Cómo calculamos el volumen de un cilindro, de un cono y de una esfera?

Ocupando los elementos de los cuerpos redondos, es posible definir fórmulas que permiten determinar sus volúmenes. ff¿Cuál es el volumen de un cilindro cuyo radio basal mide 9 cm y cuya altura mide 14 cm? ff¿Cuál es el volumen de un cono cuyo radio basal mide 11 cm y cuya altura mide 21 cm? ff¿Cuál es el volumen de una esfera cuyo radio mide 3 m?

Las fórmulas para calcular el volumen de los cuerpos redondos son las siguientes: Cilindro: V = Área basal · Altura = πr2 · H Cono: Esfera:

130 Unidad 5

V= V=

Área basal · Altura 3 4πr3 3

=

π r2 · H 3

Unidad Aplicando las fórmulas: Cilindro: V = πr 2 · H = π · 92 · 14 = 1 134π ≈ 3 562,6 cm3 Cono: Esfera:

πr2 · H π · 112 · 21 = = 847π ≈ 2 660,9 cm3 3 3 4πr3 4π · 33 = = 36π ≈ 113,1 cm3 V= 3 3 V=

Ejercicios individuales a. Usando calculadora determina el volumen de los siguientes cuerpos geométricos, aplicando las fórmulas que correspondan: a) Un cilindro cuyo diámetro basal mide 15 cm y cuya altura mide 40 cm.

V=

b) Un cilindro cuyo radio basal mide 7 m y cuya altura mide el doble que el radio basal.

V=

c) Un cono cuya generatriz mide 5 cm y cuya base es un círculo de 3 cm de radio.

V=

d) Un cono de 4,2 m de altura y cuyo radio basal mide 2 m.

V=

e) Una esfera cuyo diámetro mide 8 cm.

V=

f) Una esfera cuyo radio mide 3,5 m.

V=

Problemas 1. El diámetro basal de un tarro de pintura mide 16 cm y su altura 21 cm. a) ¿Cuánto mide el radio de la cara basal? b) ¿Cuál es el área basal del cilindro? c) ¿Cuál es el volumen del tarro de pintura?

2. El diámetro de la Tierra es de aproximadamente 12 740 km. a) Aproximadamente, ¿cuánto mide el radio de la Tierra? b) Aproximadamente, ¿cuál es el volumen de la Tierra?

HIPERTEXTO

Desarrollo

Cuerpos redondos

131

Resolución de problemas Problema modelo Laura quiere comprar papas fritas. Las papitas se venden en tres envases de la misma altura, pero de diferente forma. El primer envase tiene la forma de un cono de 15 cm altura, cuyo diámetro basal mide 9 cm; el segundo tiene la forma de un cilindro de 15 cm de altura, cuyo diámetro basal mide 9 cm; y el tercero, tiene la forma de un prisma de 15 cm de altura, cuya base es un cuadrado de 9 cm de lado. a) ¿Cuál es el volumen de cada uno de los envases? b) ¿Cuál de los tres envases puede contener más papas fritas? a) Entiende: ¿qué sabes del problema?

• La forma de los envases corresponde cilindro y prisma.

• Las dimensiones de los envases son: Cono: H = 15 cm Cilindro: H = 15 cm Prisma: H = 15 cm

a la de tres cuerpos geométricos conocidos: cono,

D basal = 9 cm D basal = 9 cm Lado de la base cuadrada = 9 cm

b) Planifica tu estrategia: ¿cómo puedes resolver el problema?

πr 2 · H 3 • El volumen del envase cilíndrico es: V = πr 2 · H • El volumen del envase prismático es: V = a2 · H • Sustituimos por los datos conocidos y calculamos el valor de los volúmenes.

• El volumen del envase cónico es: V =

c) Resuelve: desarrolla el problema para llegar a una respuesta

• Cono: • Cilindro: • Prisma:

π · 4,52 · 15 = 101,25π ≈ 318,1 cm3 3 V = π · 4,52 · 15 = 303,75π ≈ 954,3 cm3 V = 92 · 15 = 1 215 cm3 V=

d) Responde: contesta las preguntas del problema

• El volumen de los envases es: 318,1 cm3 (cónico), 954,3 cm3 (cilíndrico) y 1 215 cm3 (prismático).

• El envase que puede contener más papas fritas es el prismático. e) Comprueba: aplica otra estrategia para comprobar el resultado

• Para comprobar que tus resultados son los correctos debes revisar tus cálculos, principal‑ mente las aproximaciones realizadas cuando aparece el número π.

132 Unidad 5

Unidad Problema 1 Un artesano construye gorros chinos de paja. Para evitar que se deterioren, cubre con un plástico su superficie externa. Los sombreros miden 20 cm de alto y el diámetro de su base mide 38 cm. a) ¿Cuántos metros cuadrados de plástico debe ocupar para cubrir un sombrero? b) ¿Cuántos metros cuadrados de plástico debe ocupar para cubrir 30 sombreros?

Problema 2 Una industria de metales recibe una orden de compra por un estanque cilíndrico cuyo radio basal mida 1,4 m y cuya altura mida 2,8 m. El material que debe ser utilizado es acero inoxidable. a) ¿Cuántos metros cuadrados de acero inoxidable se ocuparán en la construcción del estanque? b) Una vez terminado, ¿cuál será su capacidad máxima?

Problema 3 Marcelo necesita comprar pelotas de tenis. En una tienda de deportes encuentra que las venden en un tarro cilíndrico que contiene tres pelotas. El tarro tiene una altura de 21,5 cm y su diámetro mide 7,5 cm. El radio de cada pelota mide 6,8 cm. a) ¿Cuál es la capacidad del tarro? b) ¿Cuál es el área de la etiqueta que cubre toda su cara curva? c) ¿Cuánto espacio libre queda en el tarro cuando contiene dos pelotas en su interior?

Problema 4 Un cilindro metálico de 12 m de altura y cuyo diámetro basal mide 2,5 m está lleno de un reactivo líquido hasta las 2 de su capacidad. Dentro 5 del reactivo se contabilizaron 180 200 burbujas de aire cuyos diámetros miden 2,8 cm. a) ¿Cuál es el volumen ocupado por las burbujas? b) ¿Cuál es el porcentaje que ocupan las burbujas respecto al contenido del cilindro? c) ¿Cuál es el porcentaje que ocupan las burbujas respecto a la capacidad total del cilindro?

Cuerpos redondos

133

Tecnología activa Construcciones en el Cabri 3D El Cabri 3D es una herramienta informática que permite construir y manipular cuerpos geométricos, así como determinar sus dimensiones y elementos.

1. Obteniendo un sólido de revolución. ff Abre el Cabri 3D, crea un nuevo documento y llámalo “Sólido de revolución”. ff Selecciona el icono

y elige Circunferencia. Pincha con el mouse en el plano (para determinar que la circunferencia estará sobre él), luego pincha en el punto de origen de coordenadas para determinar que ese será su centro y, por último, moviendo el mouse, elige el diámetro que tendrá. Pincha nuevamente y tu circunferencia quedará fija. ff Selecciona

y elige Perpendicular.

Pincha con el mouse en el plano para determinar que la recta será perpendi­‑ cular a él y luego pincha en el origen de coordenadas.

ff Selecciona

y esta vez elige Segmento.

Pincha con el mouse en un punto de la recta y luego en un punto de la circun‑ ferencia. Vuelve a pinchar en el punto que elegiste sobre la circunferencia y, finalmente, pincha en el origen de co‑ ordenadas para que obtengas un triángulo rectángulo como el que se muestra.

ff Para finalizar elige

y selecciona Trayectoria. Pincha con el mouse sobre el segmento que representa la hipotenusa del triángulo.

Luego, busca en el menú Ventana, elige Animación y se abrirá una ventana de animación. Selecciona y pincha sobre el punto en que intersecan la hipotenusa del triángulo con la circunferencia. Una vez hecho esto, se activará la ventana de animación. Selecciona una rapidez de unos 0,50 cm/s y da inicio a la ani‑ mación.

134 Unidad 5

Unidad 2. Construyendo un cilindro y determinando su área y su volumen. ff Abre el Cabri 3D, crea un nuevo documento y llámalo “Cilindro”. ff Selecciona

y elige Perpendicu‑ lar. Pincha con el mouse en el plano para determinar que la recta será perpendicular a él y luego pincha en el sitio donde quieras ubicar el eje de tu cilindro. ff Selecciona y elige Segmento. Traza un segmento desde el punto en que la recta se interseca con el plano a otro punto sobre la recta, de la longitud que quieras que tenga la altura de tu cilindro. ff Elige

y selecciona Cilindro. Pin‑ cha sobre el segmento que trazaste para definir que ese será el eje del cilindro, luego, moviendo el mouse, determina el diámetro de la base y vuelve a pinchar para fijarlo. ff Teniendo ya tu cilindro, determinare‑ mos su área y su volumen. Selecciona , elige Área, pincha con el mouse sobre el cilindro y conocerás su área.

Para determinar el volumen, selec‑ ciona nuevamente , y esta vez elige Volumen. Vuelve a pinchar sobre el cilindro y conocerás su volumen.

76,1 cm2

77,5 cm3

3. Aplicando lo aprendido. a) Construye en Cabri 3D un cilindro mediante la revolución de un rectángulo en torno al eje perpendicular al plano en el origen. A continuación, calcula su área y su volumen. b) Construye en Cabri 3D un cilindro mediante la revolución de un rectángulo en torno a un eje sobre el plano. A continuación, calcula su área y su volumen. c) Construye en Cabri 3D un cono mediante la revolución de un triángulo rectángulo en torno a un eje perpendicular al plano en el origen. A continuación, calcula su área y su volumen. d) Construye en Cabri 3D una esfera mediante la revolución de un semicírculo en torno a un eje perpendicular al plano en el origen. A continuación, calcula su área y su volumen.

Cuerpos redondos

135

Síntesis de la unidad Ficha 1 Los cuerpos redondos son todos aquellos cuerpos o sólidos geométricos formados por regiones curvas o regiones planas y curvas.

Ficha 3 La red de un cuerpo geométrico es una representación en el plano de sus caras que unidas y dispuestas convenientemente permiten construir el cuerpo.

La red de un cilindro corresponde a dos círculos congruentes y un rectángulo.

La red de un cono corresponde a un círculo y un sector circular.

La red de una esfera corresponde a una figura curvada infinitamente.

Ficha 2 El cilindro es un cuerpo redondo que consta de tres caras: dos caras basales circulares y una cara curva rectangular.

Sus elementos característicos son su base y su altura.

El cono es un cuerpo redondo que consta de dos caras –una basal circular y una lateral– y una cúspide. Sus elementos característicos son su base, su generatriz y su altura.

El esfera es un cuerpo redondo que posee una cara. Los elementos característicos de una esfera son su centro y su radio.

Ficha 4 El área de los cuerpos redondos corresponde a la suma de las áreas de sus caras: (r: radio basal; H: altura) Área cilindro = 2πr · (r + H) (r: radio basal; g: generatriz) Área cono = πr · (r + g) 2 (r: radio) Área esfera = 4πr

Ficha 5 El volumen de los cuerpos redondos indica el espacio que ocupa, es decir, es una medida de su extensión tridimensional: Volumen cilindro = πr2 · H (r: radio basal; H: altura) πr2 · H Volumen cono = (r: radio basal; H: altura) 3 4πr3

(r: radio) Volumen esfera = 3

136 Unidad 5

HIPERTEXTO

Síntesis

Unidad

I

Evaluación

Ejercicios de desarrollo

a. Calcula el área y el volumen de los siguientes cuerpos redondos: a)

d)

1,2 cm

7,5 mm

4 cm

A=

V=

e)

V=

8,3 m

m

b)

A=

20

3,4 m

12 m

A=

c)

V=

V=

f)

12 cm 5c

A=

m

4 cm

5 cm 12 cm

5

4 cm

A=

V=

cm

A=

V=

2. Señala si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F): a) _____ El área de una esfera de radio r es mayor que el área de un cilindro de radio basal r y altura r. b) _____ El volumen de una esfera de radio r es menor que el volumen de un cilindro de radio basal r y altura r. c) _____ Si se duplica la altura de un cono, se cuadruplica su volumen. d) _____ E l volumen de un cilindro de radio basal r y altura H equivale al triple del volumen de un cono con iguales radio basal y altura. e) _____ En un cono, la fórmula que relaciona el radio basal r, la altura H y la generatriz es r 2 + H2 = g 2. f) _____ La figura plana que al rotarla sobre su diámetro genera una esfera, es un semicírculo.

Cuerpos redondos

137

3. Enlaza cada situación que se describe en la columna izquierda con la que le corresponde en la columna derecha:

Una de las piezas de un monumento tiene forma cónica, su altura es de 9 cm y el área de su base es de 10 cm2.

Su volumen es...

523,6 cm3

Una torre con forma cilíndrica tiene una altura de 35 m y un diámetro de 15 m. Su área, aproximadamente es...

30 cm3

El depósito de una pistola para pintar es una esfera de 10 cm de diámetro. Su volumen, aproximadamente es...

2 002,8 m2

4. Un restaurador debe pintar la fachada de un techo de forma cónica. Él demora 15 minutos en pintar 1 m2. El techo tiene un diámetro basal de 16 m y su altura es de 6 m. a) ¿Cuál es el área que debe pintar?

A=

b) ¿Cuánto tiempo demorará en pintar el techo?

t=

5. Un jugador de bolos transporta su bola en una caja cúbica de 22 cm de arista. a) ¿Cuál es el volumen de la bola más grande que puede contener?

V=

b) ¿Cuánto espacio libre queda en la caja cuando la bola más grande que puede

contener está dentro de ella?

E. L. =

6. Dadas las siguiente figuras planas, determina en cada uno de los casos el sólido de revolución que se forma según el eje que se señala y escribe sus dimensiones: a)

c)

Eje

3 cm

3 cm

5 cm Eje

3 cm

b)

d)

Eje

3 cm

138 Unidad 5

Eje

5 cm 3 cm

3 cm

Unidad II Ejercicios con alternativas

Marca las alternativas correctas en la hoja de respuestas que te dará el docente y completa la tabla que allí aparece.

a La forma de una olla de cocina la podemos

6 Si se duplica el radio de una esfera, entonces

2 Si el diámetro basal de un cono mide 8 cm

7 El diámetro de la base circular de un es-

asociar a un: a) Poliedro regular. b) Poliedro irregular. c) Cuerpo redondo: el cono. d) Cuerpo redondo: el cilindro.

y su generatriz 7 cm, ¿cuál es el ángulo del sector circular que sirve de cara lateral? a) α ≈ 205,7° b) α ≈ 207,5° c) α ≈ 210,4° d) α ≈ 360°

su área: a) Permanece igual. b) Se duplica. c) Se triplica. d) Se cuadruplica.

tanque cilíndrico mide 6 m y su altura mide 5 m. ¿Cuál es la capacidad del estanque? a) 141,4 m3 b) 143,3 m3 c) 145,9 m3 d) 147,2 m3

3 Juan Pablo debe crear una etiqueta que

8 Se desea pintar el manto de dos conos de

4 Al hacer girar un rectángulo sobre uno de

9 Si el diámetro de una pelota de ping pong

5 Un volcán tiene forma aproximadamente

j Para generar un cono por revolución, la figura

cubra la cara lateral de una lata de frutillas en conserva, cuyo diámetro basal mide 8 cm y su altura mide 15 cm. Aproximadamente, ¿cuál será el área de la etiqueta? a) 60 cm2 b) 120 cm2 c) 377 cm2 d) 450,4 cm2 sus lados, el sólido de revolución que se genera es: a) Un cilindro. b) Una esfera. c) Un cono. d) Una semicircunferencia.

cónica. Si su altura es 1 234 m y el radio de su base mide 399 m, ¿cuál es el volumen que ocupa aproximadamente? a) 189 432 162,6 m3 b) 199 700 005,1 m3 c) 203 540 432,7 m3 d) 205 726 183,3 m3

HIPERTEXTO

Evaluación

tránsito iguales. Sus radios basales miden 12 cm y sus generatrices miden 45 cm. ¿Cuál es la superficie total aproximada que se desea pintar? a) 1 696,5 cm2 b) 904,8 cm2 c) 3 392,9 cm2 d) 4 297,7 cm2 es de 4,1 cm, ¿cuál es su volumen? a) 31,4 cm3 b) 36,1 cm3 c) 38,3 cm3 d) 40,5 cm3

que debe rotarse es: a) Un rectángulo sobre uno de sus lados. b) Un triángulo rectángulo sobre su hipotenusa. c) Un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos. d) Un triángulo isósceles sobre su base.

Datos agrupados Cuerpos y probabilidades redondos

139

Entrada de unidad

6 Unidad

Datos agrupados y probabilidades

Red conceptual Datos agrupados

Datos y probabilidades

Probabilidades

140 Unidad 6

definición de

Intervalo de clase

definición de

Marca de clase

construcción de

Tablas y gráficos

determinación de

Medidas de tendencia central

uso de

Regla de Laplace

verificación mediante

Reiteración de experimento equiprobable

¿Qué son los indicadores económicos?

La economía de un país y la del mundo dependen de muchas variables que están sujetas a cambios difíciles de predecir. Sin embargo, mediante herramientas de la Estadística, es posible “medir” de alguna forma la situación económica nacional e internacional. Estas herramientas son los indicadores económicos.

Los indicadores económicos son números que nos permiten analizar el estado de la situación económica actual y adelantarnos a eventos futuros.

Algunos ejemplos de indicadores económicos nacionales son el Índice de Precios al Consumidor (IPC) que mide mensualmente la variación de la inflación y el Índice General de Precios de Acciones (IGPA) que mide las variaciones de precio del mercado accionario en un contexto de largo plazo.

Menciona otros dos indicadores económicos.

Señala qué mide cada uno de ellos.

¿Puedes resolver?

La siguiente tabla muestra el valor de la unidad de fomento (UF), en los diez primeros días de enero del 2009:

¿Cuáles fueron los valores máximos y mínimos de la UF en estos 10 días?

Calcula el valor promedio de la UF en estos 10 días. ¿Qué promedio fue mayor, el de los días del 1 al 5 o el de los días del 6 al 10?

Día

Valor UF ($)

1

21 451,88

2

21 451,19

3

21 450,50

4

21 449,80

5

21 449,11

6

21 448,42

7

21 447,73

8

21 447,03

9

21 446,34

10

21 437,99

derás a: n e r p a d a id n En esta u ontinuos.

c clase. s cuantitativos lar marcas de u lc Identificar dato a c y se la c rvalos de rupados.

Construir inte da de datos ag o pados. m la y ia d e con datos agru s co fi rá g Calcular la m y s la b s. r y construir ta s equiprobable Leer, interpreta to n e m ri e p x e r erifica probabilidades. r la u lc a Identificar y v c ra a p de Laplace Aplicar la regla

HIPERTEXTO

Motivación

141

Actividad inicial Cuando disponemos de muchos datos respecto a algún tema es conveniente ordenarlos y sintetizarlos de manera de facilitar su lectura y análisis para llegar a conclusiones y así tomar las mejores decisiones. Particularmente para las empresas que están constantemente recibiendo y generando datos, es muy importante organizar la información con la que cuentan de manera que la directiva pueda tomar las mejores decisiones.

Júntense en grupos de tres estudiantes y realicen las actividades que se presentan a continuación.

1. Lean la historieta y respondan las preguntas que están en la página siguiente:

142 Unidad 6

Unidad La siguiente tabla contiene los ingresos mensuales de la empresa del señor Fernández: Mes

E

F

M

A

M

J

J

A

S

O

N

D

Ingresos (millones de pesos)

117

170

210

215

505

450

837

698

802

307

333

420

En su informe Rodríguez clasificó los ingresos mensuales en cuatro categorías: - Ingresos entre $ 117 000 000 y $ 297 000 000.

- Ingresos entre $ 297 000 0010 y $ 477 000 000.

- Ingresos entre $ 477 000 00 y $ 657 000 000.

- Ingresos entre $ 657 000 000 y $ 837 000 000. a) Completen la siguiente tabla que contiene las cuatro categorías creadas por Rodríguez y el número de meses que pertenecen a cada una de ellas: Ingresos (millones de pesos)

117 a 297

297 a 477

477 a 657

657 a 837

Cantidad de meses

b) Elaboren un gráfico que represente la información de la tabla anterior. c) ¿Cuál fue el promedio de los ingresos de la empresa del señor Fernández el año

anterior?

2. En una comuna se realizó una encuesta sobre los gustos musicales de los jóvenes.

En el siguiente cuadro se muestran las edades de las personas encuestadas: 23

29

28

29

23

28

27

22

22

18

22

23

26

23

30

25

19

20

28

25

24

30

29

25

26

25

24

24

23

25

18

18

21

24

27

23

27

22

19

21

a) Calculen el promedio y la moda de las personas encuestadas. b) Calculen las frecuencias absoluta y relativa de las personas de 26 años o

más.

3. Un juego de azar consiste en 8 bolitas colocadas en una caja: 3 de color azul, 2 de color verde, 2 amarillas y 1 blanca. Los jugadores apuestan a uno de los colores de las bolitas. Después de revolver las bolitas se procede a sacar una de las bolitas. Los jugadores que hayan acertado al color recibirán $ 5 000. ¿A qué color apostarían? ¿Por qué?

HIPERTEXTO

Diagnóstico

Datos agrupados y probabilidades

143

Datos cuantitativos discretos y continuos En una industria de producción de tuercas y tornillos, los técnicos realizan un exhaustivo control de calidad para así mantener la supremacía de sus productos en el mercado. Cada día, tras elegir aleatoriamente un grupo de tuercas, los encargados del control de calidad deben llenar una planilla como la siguiente:

En las especificaciones técnicas de las tuercas del ejercicio de esta página, se llaman “radio interno” y “radio externo” a las longitudes señaladas, ya que hacen referencia a los radios de las circunferencias circunscritas al hexágono interior y al hexágono exterior determinadas por el cuerpo de la tuerca.

Rexterno

Rinterno

Código

Día

Nº artículos

Rinterno [mm]

Rexterno [mm]

AQ187

L

24

12,4

21,2

En ella se indica el código de identificación del producto, el día de la semana en que se realiza el control, la cantidad de unidades revisadas y los valores promedio de los radios interno y externo de la tuerca. ff¿Qué clase de datos son los que aparecen en la planilla?

El Código del producto y el Día de la semana en que se realizó la prueba son datos cualitativos.

Los otros tres datos son cuantitativos, pero de distinta naturaleza. El Nº artículos es un dato del tipo cuantitativo discreto, ya que debemos contar la cantidad de tuercas de la muestra; mientras que los radios Rinterno y Rexterno son datos del tipo continuo, ya que deben medirse con un instrumento adecuado.

Información cuantitativa discreta es aquella que se expresa a través de datos numéricos que pueden contarse, por ejemplo, la cantidad de personas que viajan en un bus o la cantidad de atletas que compiten en una maratón. Estos datos pueden adquirir una cantidad finita de valores.

Información cuantitativa cuantitativa continua que se se expresa mediante Información continuaesesaquella aquella que expresa mediante datos numéricos que deben medirse,lapor ejemplo, la aldatos numéricos que deben medirse, por ejemplo, altura de un árbol o la tura de un árbol o la temperatura de una habitación.

Estos datos temperatura de una habitación. Estos datos pueden adquirir una cantidad pueden adquirir una cantidad infinita de valores.

infinita de valores.

Al medir el radio interno de dos tuercas podemos obtener los valores 12,5 mm y 12,6 mm, pero, si tuviéramos un instrumento de mayor precisión, podríamos percatarnos de que existen infinitos valores entre estos dos. Por ejemplo, puede haber tuercas de 12,51 mm; de 12, 52 mm; etc. E incluso de 12, 511 mm; de 12,512; etc.

144 Unidad 6

Unidad

Ejercicios individuales a. Lee detenidamente la lista de datos y clasifícalos en datos cuantitativos continuos (C) o discretos (D): a) ______ _ Distancia diaria recorrida por cada estudiante para ir de su casa a la universidad. b) ______ _ Tiempo que requiere un estudiante para responder a un examen. c) ______ _ Número de llamadas que llegan a una central telefónica en un día. d) ______ _ Rapidez de un auto en la carretera. e) ______ _ Cantidad de estudiantes en una sala de clases. f) ______ _ Número de acciones vendidas en un día en la bolsa de valores. g) ______ _ Número de visitas anuales de una persona al médico. h) _______ Cantidad de células en un organismo. i) ______ _ Masa de un saco de harina. j) _______ Temperatura en la superficie de un cometa.

Ejercicios grupales a. En grupos de dos estudiantes consideren a Axeros SA, una industria centenaria que elabora

diversos productos metálicos. La producción de tornillos especiales para maquinaria pesada durante 20 días fue la siguiente: 124

126

119

122

114

99

121

106

122

88

111

128

113

96

94

103

127

109

129

105

a) Considerando que ningún dato se repite, ¿es práctico confeccionar una tabla de frecuencias como las que ya conocen para organizar los datos? ¿Por qué? b) Completen la siguiente tabla que propone intervalos para organizar los datos anteriores: Intervalo

80-89

90-99

100-109

110-119

120-129

Frecuencia

c) ¿Cuántos días la producción de tornillos especiales estuvo comprendida entre las 90 y 99 unidades? d) ¿Cuál de los intervalos posee más datos?

b. Las temperaturas mínimas registradas durante dos semanas en una ciudad fueron las siguientes: 3,54

2,22

1,09

3,97

2,56

1,90

0,55

4,01

3,67

3,11

4,23

4,50

4,32

3,65

a) ¿Qué clase de tabla permitiría organizar estos datos continuos? b) Completen la siguiente tabla: Intervalo [ºC]

0-1

1-2

2-3

3-4

4-5

Frecuencia Datos agrupados y probabilidades

145

Intervalo de clase Enlace con…

La Economía

El Producto Interno Bruto (PIB) es el indicador de la actividad económica de un país, y mide el valor del conjunto de todos los bienes y servicios producidos en él durante un año. El PIB per cápita es el PIB de un país dividido por el número de sus habitantes.

El uso de llaves abiertas o cerradas se rige por las siguientes convenciones: • Llaves cerradas por ambos lados: [a-b]: el intervalo incluye ambos límites, a y b.

• Llaves semiabiertas por la izquierda: ]a-b]: el intervalo incluye el límite superior b y excluye el límite inferior a.

• Llaves semiabiertas por la derecha: [a-b[: el intervalo incluye el límite inferior a y excluye el límite superior b.

• Llaves abiertas por ambos lados: ]a-b[: el intervalo excluye ambos límites, a y b.

La siguiente tabla es parte del Informe de Desarrollo Humano de las Naciones Unidas del año 2003. En ella se muestran los ingresos per capita de los países latinoamericanos en ese año: País

PIB per cápita (millones de dólares)

PIB per cápita (millones de dólares)

País

Jamaica

3,0

Panamá

3,4

Trinidad y T.

8,8

Venezuela

5,0

Uruguay

5,5

Guatemala

1,8

Argentina

7,2

Chile

4,3

Ecuador

1,5

El Salvador

2,3

Costa Rica

4,0

Bolivia

0,9

Perú

2,0

Brasil

2,9

México

6,1

Paraguay

1,3

En la siguiente tabla se organiza la información en cinco intervalos y se señala la frecuencia de cada uno de ellos: PIB per capita (millones de dólares)

Nº de países

[0,9-2,5[

6

[2,5-4,1[

4

[4,1-5,7[

3

[5,7-7,3[

1

[7,3-8,9]

2

Un intervalo de clase consiste en dos números, llamados límite inferior y límite superior del intervalo, y todos los valores intermedios. Permite agrupar valores numéricos cuando existe gran cantidad de datos. La longitud de un intervalo de clase corresponde a la diferencia entre el límite superior y el límite inferior del intervalo.

ff¿Cómo se determinó la tabla de frecuencias anterior para datos agrupados?

Para averiguar cómo se elaboró la tabla de frecuencias anterior, debemos aplicar el procedimiento que se describe, paso a paso, en la página siguiente.

146 Unidad 6

Unidad 1º Determinar el rango R de los datos disponibles como la diferencia existente entre el dato mayor y el dato menor de la colección: R = 8,8 – 0,9 = 7,9 2º Seleccionar la cantidad de intervalos N que se definirán. La cantidad adecuada de intervalos para 16 datos es de entre 5 y 7. Definamos, en este caso, N = 5.

3º Determinar la longitud de cada intervalo como el cociente entre el rango R y la cantidad de intervalos N: R A= N 7,9 A= = 1,58 ≈ 1,6 5 4º Partiendo del dato menor ir sumando A y generar así los cinco intervalos: Primer intervalo : 0,9 y 0,9 + 1,6 → [0,9-2,5[ Segundo intervalo : 2,5 y 2,5 + 1,6 → [2,5-4,1[ Tercer intervalo : 4,1 y 4,1 + 1,6 → [4,1-5,7[ Cuarto intervalo : 5,7 y 5,7 + 1,6 → [5,7-7,3[ Quinto intervalo : 7,3 y 7,3 + 1,6 → [7,3-8,9]

Archívalo El número de intervalos de clase depende del criterio que se aplique, considerando principalmente el número de datos. El criterio más utilizado es el siguiente: Número de datos

N° de intervalos

Menos de 50

5a7

50 a 99

6 a 10

100 a 250

7 a 12

Más de 250

10 a 20

5º Finalmente, anotar la frecuencia de cada intervalo.

Ejercicios individuales a. La cantidad de libros que leyó durante un año cada uno de los estudiantes de Literatura de una universidad fue:

8

3

4

14

5

7

12

10

11

9

5

3

6

8

2

7

a) Agrupa los datos en 5 intervalos de clase y confecciona la tabla de frecuencias para datos agrupados correspondiente. b) Agrupa los datos en 6 intervalos de clase y confecciona la tabla de frecuencias para datos agrupados correspondiente.

b. La cantidad de minutos extras que realizó el último mes del año pasado cada uno de los 24 operarios de la empresa de bebidas FRUTAR SA fue:

360

845

743

226

435

777

553

982

377

1 020

399

217

201

198

332

450

82

209

234

607

597

532

439

222

a) Agrupa los datos en 6 intervalos de clase y confecciona la tabla de frecuencias para datos agrupados correspondiente. b) Agrupa los datos en 7 intervalos de clase y confecciona la tabla de frecuencias para datos agrupados correspondiente.

Datos agrupados y probabilidades

147

Marca de clase

Enlace con…

La Economía

La capacitación es un proceso educativo a corto plazo que utiliza un procedimiento planeado, sistemático y organizado, mediante el cual, una persona adquiere los conocimientos y habilidades técnicas necesarias para acrecentar la eficiencia en su labor.

La capacitación es una pieza clave en el desarrollo económico de un país, ya que permite que los productos y servicios entregados sean de mejor calidad.

La siguiente tabla contiene los resultados obtenidos por un grupo de obreros en el test final de la capacitación organizada por la gerencia para mejorar la productividad de una industria de lácteos. El test consistió en 25 preguntas: Intervalo de preguntas correctas

Nº de obreros

Evaluación

[0-5[

2

Deficitaria

[5-10[

3

Insuficiente

[10-15[

9

Suficiente

[15-20[

17

Buena

[20-25]

4

Excelente

ff¿Qué valor podemos asignar como representativo de cada intervalo de clase?

Lo natural es calcular la media aritmética de los límites superior e inferior de cada intervalo.

Se llama marca de clase al valor más representativo de un intervalo de clase y corresponde a su punto medio. Se calcula como la suma del límite inferior y el límite superior de un intervalo de clase, dividido por 2.

Marca de clase =

Límite inferior + Límite superior 2

Las marcas de clase de los intervalos definidos en la tabla se calculan aplicando la fórmula anterior, y son: 0+5 5 = = 2,5 M1 = 2 2

148 Unidad 6

M2 =

5 + 10 15 = = 7,5 2 2

M3 =

10 + 15 25 = = 12,5 2 2

M4 =

15 + 20 35 = = 17,5 2 2

M5 =

20 + 25 45 = = 22,5 2 2

Unidad

Ejercicios individuales a. Se midió el contenido real de una muestra de 20 bebidas gaseosas. Los resultados obtenidos, expresados en litros, se indican a continuación:

2,02

2,01

1,98

1,95

1,99

2,01

2,02

2,04

1,96

2,00

2,02

2,01

1,99

1,98

1,97

1,92

1,95

1,96

a) Define 5 intervalos de clase. b) Completa la siguiente tabla de frecuencias que incluye la marca de clase de cada intervalo de clase definido: Intervalo

Marca

Frecuencia

b. Calcula las marcas de clase de los intervalos que están en la tabla. Registra el cálculo que realizaste en cada caso:

Intervalo de número de habitantes

Operación

Marca de clase

[0-500 000[ [500 000-1 000 000[ [1 000 000-1 500 000[ [1 500 000-2 000 000[ [2 000 000-2 500 000[ [2 500 000-3 000 000[ [3 000 000-3 500 000[ [3 500 000-4 000 000]

Datos agrupados y probabilidades

149

Media aritmética y moda de datos agrupados Un centro de estudios estadísticos realizó una encuesta sobre los sueldos de personas mayores de 18 años en un pequeño pueblo. El primer día, los resultados fueron los siguientes:

Recuerda que para datos no agrupados, la media aritmética se calcula como el cociente entre la suma de los datos y el número de datos; mientras que la moda, corresponde a aquel dato que más se repite dentro de la colección estudiada.

Archívalo La mediana de un conjunto de datos agrupados puede calcularse mediante la fórmula: Me = LC + A ·

n 2

– f (ac.) fC

Donde: LC: límite inferior del intervalo de clase mediana (aquella que está al centro de los intervalos de clase).

A: amplitud de intervalos. n: número total de datos. f(ac.): frecuencia acumulada hasta antes del intervalo de clase mediana. fC: frecuencia absoluta del intervalo de clase mediana.

150 Unidad 6

Intervalo de sueldos ($)

Marca ($)

Frecuencia

[0-100 000[

50 000

9

[100 000-200 000[

150 000

8

[200 000-300 000[

250 000

17

[300 000-400 000[

350 000

6

[400 000-500 000]

450 000

3

ff¿Cómo podemos calcular la media aritmética de los sueldos de las personas encuestadas a partir de los datos de la tabla?

El método para calcular este indicador es similar al que ya conocemos para datos no agrupados.

Cuando tenemos datos agrupados en clases, la media aritmética se calcula como la suma del producto entre las marcas de clase y la frecuencia respectiva, dividido por el número total de datos: M1 · f1 + M2 · f2 + ... + Mi · f i + ... + Mn · fn n Mi = marca de la clase i. f i = frecuencia de la clase i. n = cantidad total de datos.

Media = x =

En el ejemplo, la media aritmética la podemos calcular como: 9 · 50 000 + 8 · 150 000 + 17 · 250 000 + 6 · 350 000 + 3 · 450 000 x= 9 + 8 + 17 + 6 + 3 9 350 000 = 217 441,8605 43 Por lo tanto, el sueldo promedio de los jóvenes encuestados es de, aproximadamente, $ 217 442. ff¿Cómo calculamos la moda de los sueldos de la tabla?

x=

Lo primero que debemos hacer es determinar el intervalo modal por simple inspección de la tabla de frecuencias y, a partir de él, calcular la moda de los datos agrupados.

Unidad

El intervalo modal de un conjunto de datos agrupados es aquel intervalo que posee la mayor frecuencia.

La moda de un conjunto de datos agrupados se puede calcular a partir de la fórmula:

Para datos no agrupados, los valores que se obtienen de las medidas de tendencia central son exactas, por el contrario, para datos agrupados las fórmulas recién estudiadas son solo una aproximación, ya que al agrupar datos se pierde parcialmente la exactitud de la información.

A · (f M – f1) Mo = Liminf + 2fM – f1 – f2 Donde: Liminf: límite inferior del intervalo modal.

A: amplitud de los intervalos.

fM: frecuencia del intervalo modal. f1: frecuencia del intervalo contiguo al modal con valores inferiores a él. f2: frecuencia del intervalo contiguo al modal con valores superiores a él.

Observando la tabla de la página anterior identificamos al intervalo [200 000-300 000[ como el modal, ya que posee la mayor frecuencia, 17. Aplicando la fórmula a este intervalo tenemos: 100 000 · (17 – 8) Mo = 200 000 + 2 · 18 – 8 – 6 Mo = 200 000 + 40 909,09 = 240 909,09 La moda de los sueldos de los jóvenes es, aproximadamente, $ 240 909.

Ejercicios individuales a. La siguiente tabla se elaboró a partir de la longitud de los diámetros de una muestra de uvas de exportación a las que se les está haciendo el control de calidad: Intervalo de diámetros (cm)

Marca (cm)

Frecuencia

[0,0-0,4[

0,2

3

[0,4-0,8[

0,6

7

[0,8-1,2[

1,0

12

[1,2-1,6[

1,4

21

[1,6-2,0]

1,8

16

a) Calcula la media aritmética a partir de los datos de la tabla. b) ¿Cuál es el intervalo modal? c) Calcula la moda a partir de los datos de la tabla.

HIPERTEXTO

Desarrollo

x=

Intervalo modal = Mo = Datos agrupados y probabilidades

151

Construcción de gráficos con datos agrupados Para construir el gráfico de barras, primero buscamos la frecuencia más alta, en el caso del ejemplo, esta frecuencia es 24. Luego, asignamos una medida a la altura de la barra que represente esta frecuencia. Supongamos que le asignamos una altura de12 cm. Entonces, la longitud del resto de las barras las podemos calcular estableciendo una proporción, por ejemplo, para la barra que represente a la frecuencia del intervalo [23-29[ y cuya frecuencia es 15 establecemos la proporción: 24 15 = = 7,5 12 x Por lo tanto, la barra correspondiente al intervalo [23-29] tendrá 7,5 cm de longitud.

Una productora de cine está interesada en averiguar algunas características del público que está viendo su última película. Para esto se consultó a la salida de las proyecciones de la película algunos datos personales a los asistentes, entre ellos la edad. En una de las salas consultadas, las edades de los asistentes se clasificó en la siguiente tabla de datos agrupados: Edad [años]

Frecuencia

[11-17[

24

[17-23[

20

[23-29[

15

[29-35[

3

[35-41[

3

[41-47[

2

[47-53]

1

ff¿Cómo definirías al público que mayoritariamente ha asistido a ver la película?

Para que nos sea más fácil responder a esta pregunta podemos construir un gráfico de barras. En el eje vertical representaremos las frecuencias y en el eje horizontal los intervalos de clase. La altura de cada barra será proporcional a la frecuencia de los intervalos de clase. fƒ

25 20 15 10 5 0

11-17

17-23

23-29

29-35

35-41

41-47 47-53 Edades [años] Edades (años)

A partir de este gráfico, fácilmente podemos concluir que el público que asistió a ver la película es mayoritariamente joven, estando sus edades comprendidas entre los 11 y los 29 años.

152 Unidad 6

Unidad

Mediante un gráfico de barras podemos visualizar rápidamente la información de frecuencias entregada en una tabla con datos agrupados.

Ejercicios individuales a. La siguiente tabla agrupa los puntos de rating obtenidos por el nuevo matinal de un canal de

televisión, cada día del primer mes de transmisión. Construye un gráfico de barras que represente estos datos: Puntos de rating

Frecuencia [días]

[5,1-5,7[

1

[5,7-6,3[

2

[6,3-6,9[

1

[6,9-7,5[

8

[7,5-8,1[

3

[8,1-8,7[

2

[8,7-9,3[

3

Ejercicios grupales a. En grupos de dos o tres estudiantes analicen el gráfico de barras que muestra los resultados

obtenidos en el examen de aprobación de un curso universitario. En el eje horizontal, se representan las notas obtenidas por los estudiantes; y en el eje vertical, el número de estudiantes que obtuvo estas notas. a) ¿Cuántos alumnos y alumnas rindieron el examen?

b) Un estudiante aprueba el curso si en el examen obtiene una nota mayor o igual a 4. ¿El porcentaje de estudiantes aprobados es mayor o menor al 50%? ƒf 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1,0-2,0 2,0-3,0 3,0-4,0 4,0-5,0 5,0-6,0 6,0-7,0 Notas Notas

Datos agrupados y probabilidades

153

Métodos de muestreo

Archívalo El método de muestreo no probabilístico llamado bola de nieve consiste en localizar a algunos individuos, los que conducen a otros, y estos a otros, y así sucesivamente, hasta conseguir un tamaño de muestra suficiente. Este método se ocupa para poblaciones marginales, como delincuentes, miembros de sectas, etc.

En una pequeña comunidad de 2 500 habitantes se ha construido una pequeña sala de proyecciones y la administración se dispone a comprar la película que inaugurará la instalación. Antes de comprarla, planean hacer una encuesta en la comunidad para elegir el género de la película. ff¿Será imprescindible encuestar a la totalidad de la población si no se cuenta con los recursos necesarios para ello?

Como no se cuenta con suficientes recursos, para realizar la elección de la película habrá que aplicar la encuesta a una muestra representativa de la población.

Una muestra es un subconjunto de individuos de una población que contiene datos representativos de ella. Las muestras se utilizan para realizar inferencia estadística, que no es más que utilizar las características de la muestra para establecer características generales de la población que representan.

ff¿Cómo seleccionamos a las personas que serán encuestadas?

Existen dos técnicas de muestreo, el muestreo probabilístico o aleatorio y el no probabilístico.

Muestreo probabilístico o aleatorio: es aquel en el que la muestra analizada es elegida al azar y, por lo tanto, permite esperar un alto grado de representatividad de la población que se estudia.

Muestreo intencional u opinático: es aquel en el que el encuestador intenta dar representatividad a la muestra seleccionándola a partir de su propia opinión subjetiva.

La técnica de muestreo probabilístico es más aconsejable si se desea dar representatividad a la muestra y obtener resultados más confiables.

En el problema planteado, es aconsejable seleccionar al azar a un grupo de habitantes de la comunidad en cuestión y consultar por el tipo de película que desearían ver en el estreno de la sala de proyecciones.

Existen varias técnicas de muestreo probabilístico, algunas de ellas son las que están en el cuadro de la página siguiente.

154 Unidad 6

Unidad

El muestreo aleatorio simple es aquel donde cada individuo tiene la misma probabilidad de ser seleccionado como parte de la muestra. Es el tipo de muestreo que se realiza para poblaciones homogéneas y relativamente pequeñas.

El muestreo aleatorio estratificado es aquel que se realiza cuando es necesario estudiar estratos (subpoblaciones) de una población, garantizando que en la muestra exista una representación de cada uno de los estratos. Se realiza dividiendo la población en estratos y extrayendo representaciones de cada uno de ellos.

El muestreo aleatorio sistemático es un método de muestreo que se realiza a poblaciones homogéneas y la selección se realiza siguiendo un patrón de intervalos uniformes, que puede ser el tiempo, el espacio, etc.

El muestreo por conglomerados es el método de muestreo que se utiliza cuando la población en estudio se encuentra dividida de forma natural y se supone que cada conglomerado posee características representativas de la población.

Archívalo Se llama inferencia estadística al conjunto de procedimientos estadísticos en los que se aplican diversos modelos probabilísticos, que permiten realizar afirmaciones y sacar conclusiones acerca de las características de una población determinada.

Siempre es preferible realizar muestreos de tipo probabilístico, ya que generan resultados más confiables que los no probabilísticos. Sin embargo, en muchas ocasiones, y por razones económicas, deben implementarse muestreos no probabilísticos para averiguar información a partir de una población.

Ejercicios grupales a. Realicen en grupos de tres estudiantes una investigación sobre los muestreos no probabilísticos,

resumiendo las principales características de cada uno de ellos y especificando en qué situaciones podrían ser utilizados.

b. Profundicen en el estudio de los tipos de muestreos probabilísticos o aleatorios estudiados y creen diferentes situaciones en las que sea factible aplicar cada uno de ellos. Luego, discutan sobre las ventajas de usar un método probabilístico en lugar de uno no probabilístico.

c. Estimen el promedio de notas en la próxima prueba de Matemática de dos maneras:

- Seleccionando al azar a 10 estudiantes previamente y calculando el promedio de sus notas en la prueba en cuestión.

- Seleccionando a los 5 estudiantes que llevan las mejores notas en Matemática hasta el momento y los 5 que llevan las peores notas, y calcular el promedio de las notas que obtengan en la prueba en cuestión.

Respondan: a) ¿Qué técnica de muestreo representa cada una de las técnicas descritas? b) ¿Cuál de las dos técnicas creen qué es más confiable? c) Una vez realizada la prueba, comparen los promedios obtenidos mediante las dos técnicas y el promedio real obtenido por el curso. ¿Cuál de los dos métodos resultó más certero? ¿Era el esperado? Nombren los sesgos que pueden haber influido en el experimento.

Datos agrupados y probabilidades

155

Experimentos aleatorios equiprobables

Archívalo A los fenómenos o procesos aleatorios también se les llama estocásticos.

Un proceso estocástico corresponde al desarrollo y evolución en el tiempo de un fenómeno aleatorio.

Cuando no se puede predecir con certeza el resultado de un experimento, se dice que es un experimento aleatorio. Dado un experimento aleatorio, se define su espacio muestral y los sucesos que lo conforman.

Se llama espacio muestral de un experimento aleatorio, al conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento. Se designa con la letra E. Se llama evento o suceso a cada subconjunto del espacio muestral. Se designa con una letra mayúscula.

ff¿Cuál es el espacio muestral del experimento “lanzar un dado”?

El espacio muestral del experimento que consiste en “lanzar un dado” es: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ff¿Cómo expresamos el suceso “salir un número par”?

El evento “salir un número par” se escribe como: La suma de las probabilidades de todos los resultados posibles de un experimento equiprobable es siempre igual a 1.

S = {2, 4, 6} Como puedes ver, se cumple que S es un subconjunto de E, es decir, este evento es subconjunto del espacio muestral.

Un experimento aleatorio equiprobable es aquél en que la probabilidad de cada uno de los resultados unitarios posibles del experimento es la misma. Es decir, si realizamos el experimento muchas veces, las frecuencias de los resultados unitarios posibles serán similares.

ff¿El experimento “lanzar un dado” es un experimento equiprobable?

Sí es equiprobable, ya que la probabilidad de cada suceso unitario es la misma y vale 1 .

6 Llamando P(A) a la probabilidad de que ocurra el suceso A, constatamos que: P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) 156 Unidad 6

Unidad

Ejercicios individuales a. Expresa como conjuntos los espacios muestrales de los siguientes experimentos: a) Lanzar una moneda y observar la marca que indica. b) Lanzar dos monedas y observar las marcas que indican. c) Lanzar dos dados y observar sus caras superiores. d) Lanzar una tómbola con 4 colores (azul, amarillo, verde, rojo) y observar el color obtenido. e) Jugar dos personas al “cachipún” y observar el resultado. f) Lanzar dos dados de 4 caras, cada una de ellas marcadas con las letras A, B, C, D; y observar las marcas de sus caras superiores.

b. Demuestra que al jugar al “cachipún” con un amigo o amiga los eventos ganar, perder o empatar son equiprobables, independiente de si elijes tijera, papel o piedra. Para ello, escribe los elementos de cada evento.

Ejercicios grupales a. Reunidos en grupos de dos estudiantes supongan que en una urna hay 10 bolitas de igual tamaño y peso. Las 10 bolitas están numeradas del 1 al 10. Hay 2 bolitas amarillas, 3 rojas, 1 blanca y 4 azules. El espacio muestral del experimento “sacar una bolita de la urna” se ha definido de las dos siguientes maneras:

E1 = {Amarillo, Rojo, Blanco, Azul}

E2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} a) ¿Cuál de los dos espacios muestrales definen al experimento “sacar una bolita de la urna” como equiprobable? b) ¿En qué se diferencian los dos espacios muestrales?

1

10

8 6

3

5

7 2 9 4

b. Los hermanos Antonia y Claudio decidieron que lavará los platos aquel que pierda al lanzar una moneda. Ninguno de los dos tiene una moneda pero Antonia recordó que tenía un dado. ¿De qué forma podrían transformar el experimento “lanzar un dado” en el experimento “lanzar una moneda”?

c. Indiquen cuál o cuáles de los siguientes experimentos aleatorios son equiprobables (E) y cuál o cuáles no (N): a)______ Extraer una bolita desde una urna que contiene 8 bolitas, 2 azules, 5 rojas y 1 verde; y observar su color.

b)______ Extraer una bolita desde una urna con 5 bolitas, 1 roja, 1 verde, 1 azul, 1 amarilla y 1 blanca; y observar su color. c)______ Lanzar un dado de 5 caras marcadas con los números 1, 2, 3, 4 y 5; y observar el número de su cara superior. d)______ Lanzar un dado de 6 caras, cuatro de ellas marcadas con el número 1, y las otras dos con los números 2 y 3, respectivamente; y observar el número de su cara superior.

Datos agrupados y probabilidades

157

Regla de Laplace 1

2

3 4

8 7

6

5

Observa la ruleta, en la que todos sus sectores circulares son iguales. ff¿Es equiprobable el experimento de lanzar la ruleta y ver el número que indica?

El experimento aleatorio “lanzar la ruleta” es equiprobable si la ruleta no está sesgada, es decir, si la flecha indica con iguales posibilidades una posición del disco o cualquier otra. En el ejemplo, es igual de posible obtener cada uno de los ocho números, por lo tanto: P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = P(7) = P(8)

Enlace con…

La Historia

Pierre Simon de Laplace (1749 - 1827) fue un matemático, astrónomo y físico francés. Durante la Revolución Francesa fue nombrado miembro de la Comisión de Pesos y Medidas que estableció el sistema métrico decimal.

En su obra Mecánica Celeste, realizó un acabado análisis matemático de la teoría de gravitación desarrollada por Isaac Newton.

En su Teoría analítica de las probabilidades, realizó una introducción a los métodos de análisis matemático aplicados a los fenómenos aleatorios.

La probabilidad de ocurrencia de cualquier suceso es siempre un número entre 0 y 1. Para expresar esta probabilidad como un porcentaje, este número se debe multiplicar por 100.

158 Unidad 6

ff¿En qué caso el lanzamiento de la ruleta no es aleatorio equiprobable?

Si la ruleta está sesgada, es decir, si indica algunos sectores más frecuentemente que otros (ya sea por su propia naturaleza o por ciertas imperfecciones), entonces estamos frente a un experimento aleatorio no equiprobable. Por ejemplo, si el sector que contiene al número 1 es irregular y dificulta que la flecha se detenga en él, entonces el experimento de “lanzar la ruleta” no será equiprobable, ya que la probabilidad de que salga 1 será diferente a la probabilidad de que salgan los otros números.

La regla de Laplace se aplica a los experimentos del primer tipo, es decir, a los equiprobables, que serán con los que trabajaremos a continuación. ff¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar la ruleta salga 3?

La regla de Laplace indica que la probabilidad de un suceso S en un experimento aleatorio equiprobable es: Número de resultados favorables al suceso S P(S) = Número de resultados posibles del experimento

Los resultados posibles de este experimento son todos los que pertenecen al espacio muestral, por lo tanto, el número de resultados posibles es 8, mientras que el número de casos favorables de que ocurra el suceso “obtener el número 3” es 1, entonces: 1 P(3) = = 0,125 8 De la misma forma, para los demás números se tiene: 1 P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = P(7) = P(8) = = 0,125 8

Unidad

Ejercicios individuales a. Calcula la probabilidad del suceso que se indica en cada experimento equiprobable. Exprésala como fracción, como número decimal y como porcentaje. a) Experimento: lanzamiento de una moneda.

c) Experimento: lanzamiento de un dado.

Suceso: obtener cara.

_

Suceso: obtener un número menor que 2.

_

Número de casos totales =

_

Número de casos totales =

_

Número de casos favorables =

_

Número de casos favorables =

_

Probabilidad =

_

Probabilidad =

_

Probabilidad como porcentaje =

_

Probabilidad como porcentaje =

=

b) Experimento: lanzamiento de un dado.

=

d) Experimento: lanzar un dado de 12 caras.

_

Suceso: obtener un número impar.

_

Suceso: obtener un número mayor que 8.

_

Número de casos totales =

_

Número de casos totales =

_

Número de casos favorables =

_

Número de casos favorables =

_

Probabilidad =

_

Probabilidad =

_

Probabilidad como porcentaje =

_

Probabilidad como porcentaje =

=

=

Ejercicios grupales a. En grupos de tres estudiantes analicen la tómbola de la figura, donde la parte del perímetro del

círculo que corresponde al sector circular amarillo mide 20 cm, la que corresponde al sector circular de color verde mide 14 cm, la que corresponde al sector circular de color azul mide 10 cm y la que corresponde al sector circular de color rojo mide 24 cm. a) ¿Cuál es la probabilidad de que al hacerla girar, la tómbola indique el color rojo?

P (Rojo)

=

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la tómbola indique el color verde?

P (Verde) =

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la tómbola indique el color amarillo?

P (Amarillo) =

d) ¿Cuál es la probabilidad de que la tómbola indique el color azul?

P (Azul)

=

Datos agrupados y probabilidades

159

Verificación de una probabilidad Marta, interesada en el estudio de las probabilidades, decidió comprobar que la regla de Laplace se cumple en la realidad. Para esto, estudió lo que pasa al tirar un dado. Primero tiró el dado 60 veces, luego 120 y por último 600 veces, anotando sus resultados en tablas.

60

Tiradas

Desafío

al ingenio

¿Qué es más probable, obtener al menos una cara al lanzar dos monedas u obtener al menos dos caras al lanzar cuatro monedas?

120

Tiradas

600

Tiradas

Archívalo A la frecuencia relativa también se le llama probabilidad empírica o a posteriori, ya que se obtiene después de realizar un experimento.

A la probabilidad obtenida por la regla de Laplace se le llama probabilidad teórica o a priori, ya que se deduce antes de realizar el experimento.

Número

f

fR

Regla de Laplace

1

11

0,183

0,167

2

12

0,200

0,167

3

10

0,167

0,167

4

11

0,183

0,167

5

12

0,200

0,167

6

4

0,067

0,167

Número

f

fR

Regla de Laplace

1

17

0,142

0,167

2

18

0,150

0,167

3

21

0,175

0,167

4

24

0,200

0,167

5

22

0,183

0,167

6

18

0,150

0,167

Número

f

fR

Regla de Laplace

1

94

0,157

0,167

2

95

0,158

0,167

3

106

0,177

0,167

4

99

0,165

0,167

5

114

0,190

0,167

6

92

0,153

0,167

ff¿Qué pasa con la frecuencia relativa de los números del dado a medida que aumenta el número de tiradas?

A medida que aumenta el número de veces que realizamos el experimento, el valor de las frecuencias relativas de cada resultado se acercan más a las probabilidades que se deducen de la regla de Laplace.

Al realizar un experimento equiprobable muchas veces, comprobaremos que se verifica la regla de Laplace.

160 Unidad 6

Unidad

Ejercicios individuales a. Supón que lanzarás 100 veces una moneda al aire para verificar que se cumple la regla de Laplace. Señala y argumenta cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) y cuál o cuáles son falsas (F): a) ______ _ Es imposible que las 100 veces salga cara. b) ______ _ Saldrán 50 caras y 50 sellos. c) ______ En cada lanzamiento hay un 50% de probabilidades de que salga cara y un 50% de probabilidades de que salga sello. d) ______ Si después de lanzar 99 veces la moneda al aire han salido 60 caras y 39 sellos, entonces lo más probable es que en la tirada número 100 salga cara. e) ______ Si después de lanzar 99 veces la moneda al aire han salido 60 caras y 39 sellos entonces lo más probable es que en la tirada número 100 salga sello.

Ejercicios grupales a. Formen grupos de cuatro compañeros y compañeras y realicen el experimento de lanzar una

moneda al aire 4, 20, 52 y 100 veces. Completen las tablas con los datos y verifiquen si la regla de Laplace se puede validar medianta este experimento. Para realizar el experimento de forma más rápida, pueden repartir los lanzamientos entre los miembros del grupo y luego juntar la información que registraron.

4 lanzamientos Lado

Frecuencia

Frecuencia relativa

Probabilidad (Regla de Laplace)

Cara Sello 20 lanzamientos Lado

Frecuencia

Frecuencia relativa

Probabilidad (Regla de Laplace)

Cara Sello 52 lanzamientos Lado

Frecuencia

Frecuencia relativa

Probabilidad (Regla de Laplace)

Cara Sello 100 lanzamientos Lado

Frecuencia

Frecuencia relativa

Probabilidad (Regla de Laplace)

Cara Sello HIPERTEXTO

Desarrollo

Datos agrupados y probabilidades

161

Resolución de problemas Problema modelo En una urna hay un total de 16 bolitas de igual tamaño y peso.

De estas bolitas, una es blanca, dos son rojas, tres son azules, cuatro son verdes y seis son amarillas. Calcula la probabilidad de que al sacar una bolita de la urna, esta sea de cada uno de los colores mencionados. a) Entiende: ¿qué sabes del problema?

• Hay 16 bolitas iguales de distintos colores: una es blanca, dos son rojas, tres son azules, cuatro son verdes y seis son amarillas.

• El experimento consiste en sacar una bolita y consta de 16 resultados posibles. b) Planifica tu estrategia: ¿cómo puedes resolver el problema?

• Como todas las bolitas son iguales, la probabilidad de sacar cada una de las bolitas es la misma. Se trata de un experimento equiprobable.

• Podemos aplicar la regla de Laplace para calcular las probabilidades. c) Resuelve: desarrolla el problema para llegar a una respuesta

• Probabilidad de que la bolita sea blanca: Número de casos favorables = 1 1 P(Blanca) = = 0,0625 16 • Probabilidad de que la bolita sea azul: Número de casos favorables = 3 3 P(Azul) = = 0,1875 16

• Probabilidad de que la bolita sea roja: Número de casos favorables = 2 2 P(Roja) = = 0,125 16 • Probabilidad de que la bolita sea verde: Número de casos favorables = 4 4 P(Verde) = = 0,25 16

• Probabilidad de que la bolita sea amarilla: Número de casos favorables = 6 6 P(Amarilla) = = 0,375 16 d) Responde: contesta las preguntas del problema

• P (Blanca) = 0,0625 • P (Azul) = 0,1875 • P (Amarilla) = 0,375

• P (Roja) = 0,125 • P (Verde) = 0,25

e) Comprueba: aplica otra estrategia para comprobar el resultado

• Suma las probabilidades de todos los eventos y comprueba que el resultado es 1.

162 Unidad 6

Unidad Problema 1 José, Francisco y Jorge decidirán quién lavará los platos jugando al popular juego “Al cargar la mata”. El juego consiste en poner la palma de la mano hacia arriba o hacia abajo en un momento determinado. Perderá el que esté en minoría respecto de los demás.

Si hay empate, los tres lavarán los platos. Si José pondrá la palma hacia arriba, entonces: a) ¿Cuál es la probabilidad de que José lave los platos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que José no lave los platos?

21

19

18

12

15

1

20

12

11

10

10

7

11

10

17

3

9

10

3

9

2

9

9

10

8

4

10

8

6

7

5

7

8

5

4

Problema 2 La cantidad de horas que los estudiantes de un curso dedican a estudiar durante la semana son las siguientes: a) Agrupa los datos en 5 intervalos de clase. b) Construye una tabla de frecuencias. c) ¿Cuál es la media aritmética de los datos? ¿Y la moda?

Problema 3 Los sueldos de los empleados de una empresa se han organizado en la tabla de frecuencias que está al costado: Calcula la media y la moda de los sueldo de los empleados de la empresa. a) ¿Cuál es la marca de clase de cada intervalo? b) ¿Cuál es la media aritmética de los sueldos? c) ¿Cuál es la moda de los sueldos?

Sueldos ($)

f

[150 000-155000[

23

[155 000-160 000[

27

[160 000-165 000[

5

[165 000-170 000[

7

[170 000-175 000[

30

[175 000-180 000[

9

[180 000-185 000[

12

[185 000-190 000]

32

Problema 4 Macarena lanza dos dados de seis caras. Antes de observar los números que salieron, decide calcular mediante la regla de Laplace la probabilidad de obtener algunos sucesos posibles. Ayúdala. Los eventos que le interesan son: a) S1: obtener doble 1. b) S2: la suma de los números obtenidos es 8. c) S3: el producto de los números obtenidos es 6.

Datos agrupados y probabilidades

163

Tecnología activa Simulando experimentos aleatorios

En un computador es posible replicar diversas situaciones de la realidad. Esto permite analizar problemas complejos, anticiparse a eventos futuros y simular situaciones con las que no se puede experimentar en la práctica. Las simulaciones por computadora permiten, por ejemplo, estudiar el comportamiento de las colas de los bancos o la expansión de un gas en una botella. Particularmente son una herramienta muy útil en ciencias como la física, la química, la biología, las ciencias sociales y la economía. Con el programa Excel podemos además simular muchos de los experimentos equiprobables que has estudiado en este libro.

1. Simulación 1: Lanzar un dado. ff Crea un libro en Excel y llámalo “Simulación 1”. Escribe en la celda A1 “Lanzar dado” y en la A2 “= aleatorio. entre(1;6)”. ff La función aleatorio.entre (a;b) nos entrega un número al azar entre los números a y b que se especifiquen. Por ejemplo, al escribir “=aleatorio.entre(1;6)” aparecerá un número al azar mayor o igual a 1 y menor o igual a 6. ff Coloca el mouse en la celda A2 y arrastra su fórmula hasta la celda A11. Aparecerán números entre 1 y 6, lo que simula lanzar un dado 10 veces. ff Para simular la tirada de dos o más dados simultáneamente simplemente tienes que copiar el contenido de la columna A en la columna B, en la C, etc.

2. Simulación 2: Lanzar una moneda. ff Crea un libro en Excel y llámalo “Simulación 2”. Escribe en la celda B1 “Lanzar moneda”, en la A2 “= aleatorio.entre(0;1)” y en la celda B2 “SI(A2=0;"Cara";"Sello")”.

Si el número aleatorio que genera el computador en A2 es igual a 0, entonces en la celda B2 aparecerá “Cara” y si es igual a 1, aparecerá “Sello”. ff Coloca el mouse en la celda A2 y arrastra su fórmula hasta la celda A11. Luego, coloca el mouse en la celda B2 y arrastra su fórmula hasta la celda B11.

164 Unidad 6

Unidad 3. Simulación 3: Tómbola equiprobable con cuatro colores.

En esta simulación cada número generado por el computador corresponderá a un color: amarillo si es 1, azul si es 2, verde si es 3 y rojo si es 4. ff Crea un libro en Excel y llámalo “Simulación 3”. Escribe en la celda A1 “Tómbola”, en celda B1 “Amarillo”, en la C1 “Azul”, en la D1 “Verde” y en la E1 “Rojo”. En la celda A2 escribe “aleatorio.entre (1;4)” para que se generen número al azar comprendidos entre 1 y 4. ff Coloca el mouse en la celda A2 y arrastra su fórmula hasta la celda A11. ff Una vez generados los números aleatorios, damos la instrucción para que aparezca una X en la columna con el color que ha sido seleccionado. En la celda B2 escribe “= si(A2=1;"X";"")”, luego pincha con el mouse la celda B2 y arrastra su fórmula hasta la celda B11. En la celda C2 escribe “= si(A2=2;"X";"")”, pincha con el Mouse la celda C2 y arrastra su fórmula hasta la celda C11. En la celda D2 escribe “= si(A2=3;"X";"")”, pincha nuevamente y arrastra su fórmula hasta la celda D11. Finalmente, en la celda E2 escribe “= si(A2=4;"X";"")” y arrastra esta fórmula hasta la celda E11.

4. Aplicando lo aprendido. a) Completa la siguiente tabla de acuerdo a los datos que obtuviste en la simulación del experimento “Lanzar un dado”, generando tantas tiradas como se pide en cada columna de la tabla: Número

Frecuencia para 10 tiradas

Frecuencia para 20 tiradas

Frecuencia para 50 tiradas

Frecuencia para 100 tiradas

1 2 3 4 5 6

b) Calcula la frecuencia relativa de cada resultado posible para el lanzamiento del dado: FRelativa

1

2

3

4

5

6

10 tiradas 20 tiradas 50 tiradas 100 tiradas Datos agrupados y probabilidades

165

Síntesis de la unidad Ficha 1 Los datos cuantitativos se dividen en: Datos cuantitativos discretos, cuyos valores solo pueden ser iguales a ciertos números particulares.

Datos cuantitativos continuos, que pueden tomar cualquier valor en un intervalo de números.

Ficha 2 Los intervalos de clase permiten presentar la información de manera más resumida y comprensible. Agrupando los datos de esta forma podemos construir tablas de frecuencia y gráficos de barra que facilitan la interpretación de la información y las conclusiones que se puedan sacar a partir de ella. También, mediante fórmulas, podemos calcular la media y la moda y otros indicadores estadísticos. Los intervalos de clase están formados por un límite inferior y un límite superior.

Ficha 3 Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se le llama espacio muestral. Un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Ficha 4 Un experimento aleatorio equiprobable es aquel en que la probabilidad de cada uno de los resultados posibles del experimento es la misma.

Ficha 5 Dado un experimento aleatorio equiprobable es posible calcular la probabilidad de un suceso S mediante la Regla de Laplace: Número de resultados favorables al suceso S P(S) = Número de resultados posibles del experimento

Ficha 6 Mientras más veces se realiza un experimento equiprobable, se verifica que el valor de las frecuencias relativas de los resultados posibles tienden a asemejarse al valor de las probabilidades que se deducen a partir de la regla de Laplace.

166 Unidad 6

HIPERTEXTO

Síntesis

Unidad

I

Evaluación

Ejercicios de desarrollo

a. Clasifica los datos presentes en el siguiente comprobante de pago de vehículo como cualitativos, cuantitativos continuos y cuantitativos discretos:

NOMBRE DE SU EMPRESA COMPROBANTE DE PAGO DE VEHÍCULO Fecha:

25 de abril de 2010

Nº

1

El señor Andrés Manuel González Martínez , denominado en el contrato Norberto Alejandro Torres Briones como VENDEDOR, ha recibido del señor denominado en el contrato original como COMPRADOR, la suma de Un millón quinientos mil pesos ( $ 1.500.000 ) en efectivo 3 correspondiente a la cuota número del pago del vehículo Nero verde ZB-90-78 50.000 km color Fidelio modelo con placa kilometraje

Cualitativos

50.000 km

Cuantitativos discretos

Cuantitativos continuos

2. El jefe del departamento de recursos humanos de una empresa preguntó a los funcionarios por el tiempo que demoran en llegar desde su casa al trabajo. Después de recopilar esta información, agrupó los datos en los intervalos de clase indicados en la tabla:

_

_

Tiempo [minutos] [5-11[ [11-17[

a) ¿Cuántos intervalos hay?_ ________________________________

[17-23[

b) ¿Cuál es la longitud de los intervalos?_______________________

[23-29[

c) ¿Cuál es la marca de clase del intervalo [5-11[?

[29-35[

d) ¿Cuál es la marca de clase del intervalo [59-65[?______________

[35-41[

e) ¿Cuál es la marca de clase del intervalo [29-35[?_______________ f) ¿Cuál es el límite inferior del intervalo [23-29[?_________________

[41-47[ [47-53[ [53-59[

g) ¿Cuál el límite superior del intervalo [11-17[?_ _________________

[59-65[

h) ¿Cuál es el limite inferior del intervalo [35-41[?_________________

[65-71]

Datos agrupados y probabilidades

167

3. La siguiente tabla de datos agrupados corresponde a un control de la velocidad de vehículos en la carretera realizado durante una hora: Velocidad (km/h)

Marca de clase

Frecuencia (vehículos)

[60-75[

67,5

5

[75-90[

82,5

6

[90-105[

97,5

34

[105-120[

112,5

25

[120-135]

127,5

2

a) ¿En qué intervalo de velocidades fue más frecuente encontrar a los vehículos controlados? b) Calcula la media aritmética de las velocidades de los vehículos controlados. c) Calcula la moda de las velocidades de los vehículos controlados.

4. La siguiente tabla agrupa los intervalos de datos de la cantidad de lluvia caída durante los últimos 30 años en un país:

a) b) c) d)

Lluvia caída (mm)

[40-53[

[53-66[

[66-79[

[79-92[

[92-105[

[105-118]

Frecuencia (años)

1

2

9

8

7

3

¿En cuántos años la cantidad de agua caída fue mayor o igual a 66 mm y menor a 79 mm? ¿En cuántos años la cantidad de agua caída fue menor a 79 mm? ¿Cuál es la media aritmética de los datos de agua caída en el país? ¿Cuál es la moda de los datos de agua caída en el país?

5. La información sobre los minutos que dedican al día a hacer ejercicio los socios de un club deportivo, se presenta en la siguiente tabla: Minutos

[0-20[

[20-40[

[40-60[

[60-80[

[80-100[

[100-120]

Frecuencia

3

7

10

15

22

20

a) Construye un gráfico de barras que represente la información entregada por esta tabla.

25

f 20 15 10 5 0

[0-20[

[20-40[ [40-60[ [60-80[ [80-100[ [100-120]

Tiempo [Min]

b) Calcula la media aritmética y la moda de los datos agrupados.

168 Unidad 6