8vo_2010_Profesor by juan albornoz

Guía Didáctica del Docente

Autores Pablo León Velasco Licenciado en Ciencias de la Ingeniería, mención Industrial, Universidad de Chile Paula Olivares Muñoz Profesora de Educación General Básica, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación Licenciada en Educación, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación Paz Parra Riveros Ingeniero Civil Químico, Universidad de Chile Licenciada en Ciencias de la Ingeniería, mención Química, Universidad de Chile Magíster en Ciencias de la Ingeniería, mención Química, Universidad de Chile

Matemática 8º Básico Guía Didáctica del Docente Autores Pablo León Velasco Paula Olivares Muñoz Paz Parra Riveros

La presentación y disposición de la obra, son propiedad del editor. Reservados todos los derechos para todos los países. Ninguna parte de esta publicación puede ser reproducida, almacenada o transmitida de ninguna forma, ni por ningún medio, sea este electrónico, fotocopia o cualquier otro, sin la previa autorización escrita por parte de los titulares de los derechos.

Es una marca registrada de MN Editorial Ltda. © MN Editorial Ltda. Avda. Eliodoro Yáñez 2416, Providencia, Santiago, Chile Teléfono: 233 5101 Fax: 234 4869 E-mail: promocion@mneditorial.cl www.mneditorial.cl Dirección editorial: Gloria Páez Herrera Edición: Daniel Catalán Navarrete Asistencia editorial: Deysma Coll Herrera Diseño: Equipo editorial Diagramación: Marcela Ojeda Ampuero, Álvaro Rodríguez Quinteros y Williams Gálvez Baettig Ilustración: Margarita Valdés Ruiz Corrección de estilo: Norma Guerra González Archivos gráficos: MN Editorial Ltda. Nº de registro: 198.296 ISBN: 978-956-294-288-1 Impreso en Chile por Worldcolor Chile Se terminó de imprimir esta 1ª Edición de 2.900 ejemplares en el mes de diciembre de 2010.

Matemática 8º Básico

Índice de la Guía Didáctica del Docente Estructura de la Guía Didáctica del Docente.................................................. 4 Texto del Estudiante Portada................................................................................................................. 6 Bienvenida............................................................................................................ 7 Estructura didáctica.............................................................................................. 8 Índice de contenidos.......................................................................................... 10 Planificación Unidad 1........................................................................................ 12 Unidad 1: Productos y cocientes.................................................................... 14 Planificación Unidad 2 . ..................................................................................... 36 Unidad 2: Potencias y sus aplicaciones......................................................... 38 Planificación Unidad 3........................................................................................ 66 Unidad 3: Ecuaciones y proporcionalidad .................................................... 68 Planificación Unidad 4........................................................................................ 96 Unidad 4: Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo............ 98 Planificación Unidad 5 . ................................................................................... 128 Unidad 5: Cuerpos redondos ....................................................................... 130 Planificación Unidad 6...................................................................................... 154 Unidad 6: Datos agrupados y probabilidades.............................................. 156 Solucionario..................................................................................................... 186 Índice temático................................................................................................. 190 Bibliografía y páginas web................................................................................191 Evaluación modelo........................................................................................... 192 Otros recursos didácticos Materiales complementarios............................................................................ 193 Evaluaciones.................................................................................................... 202 Pautas de evaluación....................................................................................... 222 Orientaciones bibliográficas............................................................................. 228 Orientaciones para el uso del Hipertexto......................................................... 230

Índice de la Guía Didáctica del Docente

Estructura de la Guía Didáctica del Docente La Guía Didáctica del Docente de 8° Básico ha sido elaborada con la finalidad de servir de apoyo para profesores y profesoras en el uso eficiente del Texto del Estudiante de Matemática de 8° Básico. En ella se incorpora íntegro el Texto del Estudiante miniaturizado, de manera de facilitar la aplicación de cada uno de sus recursos e instrumentos pedagógicos en el lugar y en el momento pertinentes. En las actividades del texto y de la guía se señalan las habilidades que pretenden desarrollar en los estudiantes. Previo al inicio de cada unidad temática, se presenta un proyecto de planificación para organizar el trabajo del docente. Esta propuesta considera una ruta de aprendizajes esperados, los contenidos conceptuales que involucra, los recursos didácticos ofrecidos, el tiempo estimado para su desarrollo y los instrumentos de evaluación sugeridos. La estructura general de la guía es la siguiente:

Páginas de inicio de unidad Orientaciones metodológicas

Presentación de la unidad

Listado de sugerencias para tratar las páginas iniciales de una manera que resulte interesante para los estudiantes, introduciéndolos en el OFT de la unidad.

Texto introductorio en el que se describen los temas que serán abordados en la unidad y la utilidad de los aprendizajes que los estudiantes adquirirán durante su desarrollo.

Actividad complementaria

Red conceptual Esquema que resume la unidad en la forma de una red de conceptos interconectados.

Primera actividad de aplicación de contenidos dirigida a los estudiantes.

Orientaciones metodológicas

Páginas de contenido

Listado de sugerencias para que el docente haga uso eficiente de los recursos disponibles en el texto y en la guía. Están orientadas al trabajo en aula. Actividad complementaria Propuesta con variadas actividades que complementan las actividades del texto.

Estructura de la Guía Didáctica del Docente

Secciones variables Considera la presencia variable de siete secciones: Materiales, Aclaración de conceptos, Diversidad, Errores frecuentes, Reflexión, Otros recursos e Historia y números. Evaluación Actividad que permite al docente monitorear en forma permanente el proceso de aprendizaje de los estudiantes.

Matemática 8º Básico

Las secciones variables presentes en esta guía se detallan a continuación:

Materiales

Reflexión

Enumeración y explicación de materiales y herramientas educativas adicionales, requeridas para la realización de las diversas actividades complementarias que ofrece esta guía.

Aclaración de conceptos

Propuestas diversas para desarrollar discusiones al interior del curso relacionadas con los temas matemáticos estudiados y con los OFT, con las que se espera despertar el interés de los estudiantes por los contenidos de las páginas del texto.

Otros recursos

Profundización de los contenidos tratados en el Texto del Estudiante mediante información adicional y sugerencias prácticas para el tratamiento de los temas matemáticos.

Diversidad

Sugerencias para trabajar los contenidos del Texto del Estudiante utilizando herramientas adicionales –principalmente páginas web–, para ampliar el ámbito de aplicación de los conocimientos adquiridos.

Historia y números

Actividades y sugerencias metodológicas para trabajar con los estudiantes que presentan mayores dificultades con los temas del texto; y con los estudiantes más avanzados del curso.

Conexiones entre los contenidos tratados y la historia de sus precursores, para conocer y comprender el desarrollo del conocimiento matemático a lo largo de la historia de la humanidad.

Errores frecuentes Descripción de los errores típicos en que incurren los estudiantes dada las características particulares de cada tema estudiado; y métodos para detectarlos y remediarlos oportunamente. La Guía Didáctica del Docente presenta como Otros recursos didácticos, las siguientes secciones: Materiales complementarios: consta de materiales para apoyar la labor del docente en el aula. Entre ellos, puede encontrar juegos didácticos, hoja de respuestas para las actividades con alternativas, recortables para ocupar en el estudio de la geometría y muchos otros recursos de apoyo. Evaluaciones: consiste en páginas reproducibles para entregar a los estudiantes que le permitirán evaluar sus aprendizajes. Se presenta una evaluación por cada unidad temática, una evaluación semestral y una evaluación final que considera la totalidad de los contenidos del Texto del Estudiante. Además, se incorporan las respuestas a todas estas actividades en un solucionario. Pautas de evaluación: incluye diversas tablas que permiten al docente evaluar los aprendizajes que van adquiriendo los estudiantes y su desempeño en las actividades realizadas en clase. Se presentan pautas modelo como ejemplos para que el docente confeccione las propias en función de sus requerimientos, y otras específicas para evaluar las actividades sugeridas en la guía. Orientaciones bibliográficas: consiste en la presentación de la literatura y los sitios web ocupados para la elaboración de la guía, y en recomendaciones para el uso óptimo de parte de la bibliografía y páginas web utilizadas en la elaboración del texto. Orientaciones para el uso del Hipertexto: incluye una descripción del recurso multimedia que acompaña y complementa al Texto del Estudiante.

Estructura de la Guía Didáctica del Docente

2011

Matemática

8º Básico

TEXTO DEL ESTUDIANTE

Pablo León Velasco Paula Olivares Muñoz Paz Parra Riveros

EDICIÓN ESPECIAL PARA EL MINISTERIO DE EDUCACIÓN 130)*#*%" 46 $0.&3$*"-*;"$*»/ t "º0

Texto del Estudiante - Portada

Matemática 8º Básico

Orientaciones metodológicas 1. Presente a sus alumnos y

alumnas el Texto del Estudiante y comente con ellos que es el material que los acompañará en el proceso de aprendizaje durante todo el año escolar. 2. Invítelos a tomar el texto, examinarlo, mirar sus ilustraciones y luego comentar su opinión con el resto de sus compañeros y compañeras. 3. Invite a un estudiante a leer en voz alta la Bienvenida que aparece en la página 3 del texto y asegúrese que la lectura sea clara y comprensible, respetando los signos de puntuación y con la entonación adecuada. 4. Invite a sus estudiantes a hojear el libro, aprovechando la instancia para que identifiquen las partes del libro, portada, contraportada, lomo, páginas, etc. 5. Analice con sus alumnos y alumnas la estructura didáctica del Texto del Estudiante para que comprendan cómo van a ser desarrollados los contenidos. 6. Invite al curso a leer el índice y converse con ellos sobre los contenidos que verán en cada una de las unidades, explicando en forma sucinta la utilidad práctica de cada uno de ellos.

Presentación El Texto del Estudiante entrega prácticas y nociones matemáticas que se articulan con los conocimientos aprendidos el año anterior. A su vez, incorpora nuevos conocimientos que permitirán continuar con el desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes y que podrán utilizar para interiorizar, comprender y resolver situaciones problemáticas cercanas y contextualizadas a su mundo, brindando de esta manera la posibilidad de acrecentar el conocimiento que tienen del entorno. El texto intenta que cada alumno y alumna aprenda matemáticas en forma progresiva para que logre tomar conciencia de sus capacidades, afianzando así la confianza y seguridad en sí mismo. Los temas de cada unidad han sido seleccionados teniendo presente siempre la visión que tienen los estudiantes de Octavo Básico del mundo que les rodea, sus inquietudes, motivaciones y deseos. En consecuencia, pueden convertirse en tópicos generativos de discusiones que permitan desarrollar los OFT en cada una de las clases.

Texto del Estudiante - Bienvenida

Texto del Estudiante - Estructura didรกctica

Matemรกtica 8ยบ Bรกsico

Texto del Estudiante - Estructura didรกctica

10 Texto del Estudiante - Ă?ndice de contenidos

Matemรกtica 8ยบ Bรกsico

Texto del Estudiante - ร ndice de contenidos 11

1 Unidad

Planificación Unidad 1

Productos y cocientes

Objetivos Fundamentales Verticales yyMultiplicar y dividir números enteros de igual signo y de diferente signo. yyDescribir y aplicar las propiedades de la multiplicación en ℤ. yyResolver operaciones combinadas de adición, sustracción, multiplicación y división de números enteros.

Sección

Clase

Horas

Ruta de aprendizajes esperados

Entrada de unidad Actividad inicial

yyRepresentan diversas situaciones mediante números enteros. yyRepasan conocimientos previos del conjunto de los números enteros. yyUtilizan la multiplicación de números naturales para realizar un primer acercamiento a la multiplicación de números enteros.

Multiplicación y división de enteros positivos

yyConstatan que la multiplicación de números enteros positivos equivale a la multiplicación de números naturales. yyRealizan multiplicaciones de enteros positivos. yyRealizan divisiones de enteros positivos.

Multiplicación y división de enteros de diferente signo

yyAplican regla para definir el signo del producto y del cociente de números enteros de diferente signo. yyMultiplican y dividen números enteros de diferente signo. yyResuelven problemas y ejercicios que implican la multiplicación y división de números enteros.

Multiplicación y división de enteros negativos

yyAplican regla para definir el signo del producto y del cociente de dos enteros negativos. yyMultiplican y dividen números enteros negativos. yyResuelven problemas y ejercicios que implican la multiplicación y división de números enteros.

Propiedades de la multiplicación en ℤ

yyHacen analogía entre las propiedades de la multiplicación en ℕ y en ℤ. yyAplican las propiedades de la multiplicación en el conjunto de los números enteros en la resolución de ejercicios.

Operaciones combinadas en ℤ

yyComprenden la importancia de conocer la prioridad de las operaciones y de los símbolos de agrupamiento en la resolución de ejercicios de operaciones combinadas. yyDesarrollan operaciones combinadas de números enteros. yyAplican propiedades de la multiplicación en ℤ en las operaciones combinadas.

Resolución de problemas

yyAplican los procedimientos aprendidos para la multiplicación y la división de números enteros a la resolución de problemas.

Tecnología activa

yyUtilizan la herramienta tecnológica Excel para realizar multiplicaciones y divisiones de números positivos y negativos.

Síntesis de la unidad Evaluación

yySintetizan temas estudiados en la unidad. yyAplican los conocimientos adquiridos durante el desarrollo de la unidad para resolver actividades de evaluación.

12 Planificación - Unidad 1

Unidad 1

Objetivos Fundamentales Transversales yyComprender que una alimentación sana y saludable permite mejorar la calidad de vida y tener buena salud. yy•Apreciar el deporte como una práctica recomendable para mejorar la salud y el bienestar personal y colectivo. yyCompartir e intercambiar información para aprender de las ideas y conductas de los compañeros y las compañeras. Materiales Contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales

Evaluación

Páginas Texto 8 – 11

Páginas Guía 14 – 17

yyResolución de ejercicios de multiplicación y división de enteros positivos. yyVisualización de los números naturales como parte de ℤ.

12 – 13

18 – 19

Actividad de evaluación formativa

yyIdentificación de regularidades en la multiplicación y división de enteros de diferente signo para establecer una metodología de trabajo. yyResolución de ejercicios de multiplicación de números enteros de diferente signo.

14 – 15

20 – 21

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyDeterminación del signo que posee el producto de dos números enteros negativos. yyMultiplicación de números enteros de signo negativo.

16 – 17

22 – 23

Actividad de evaluación formativa: autoevaluación

yyPropiedades de la multiplicación en ℤ. yyResolución de ejercicios aplicando las propiedades de la multiplicación en ℤ.

18 – 19

24 – 25

Actividad de evaluación formativa

yyEstablecimiento de las prioridades en el desarrollo de las operaciones y de los signos de agrupación en las operaciones combinadas. yyResolución de ejercicios combinados de números enteros. yyAnálisis de ejercicios en los que aparecen errores. Identificación y corrección de tales errores.

20 – 21

26 – 27

Actividad de evaluación formativa

yyPlanteamiento y resolución de problemas contextualizados que involucran la multiplicación y división de números enteros. yyComprensión y aplicación de metodología para resolver problemas.

22 – 23

28 – 29

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyConfección de planilla de cálculo en Excel que permita realizar operaciones de multiplicación y división de números positivos y negativos.

24 – 25

30 – 31

Actividad de evaluación formativa: autoevaluación

yyValoración y utilización de los conocimientos adquiridos durante la unidad para resolver las actividades de evaluación.

26 – 29

32 – 35

Actividad de evaluación sumativa: evaluación final

yyInterpretación de información y toma de conciencia de las ventajas y virtudes de llevar una dieta saludable. yyAnálisis de situaciones que pueden ser representadas y descritas mediante números enteros. yyUso de la adición de números enteros para originar multiplicaciones de números enteros.

Actividad de evaluación formativa: coevaluación

Productos y cocientes 13

Orientaciones metodológicas 1. Para iniciar la clase pregunte

a sus estudiantes qué son los productos y los cocientes y qué operaciones creen que se van a trabajar en esta unidad. Recuerde con el curso los elementos que componen una multiplicación y una división y escríbalos en la pizarra usando diferentes colores. También puede conversar con sus alumnos y alumnas sobre la división como operación inversa de la multiplicación. 2. Luego de recordar los aspectos relacionados con las operaciones de multiplicación y división invite a un estudiante a leer la sección En esta unidad aprenderás a, en la cual se desglosan los contenidos que se trabajarán a lo largo de la unidad. 3. Pida a los estudiantes que lean ¿Por qué no hay que abusar de la comida chatarra?, y luego que respondan en sus cuadernos las preguntas que se realizan. 4. Pida a algunos estudiantes que lean al curso sus respuestas y analícelas en conjunto. 5. Oriente la realización de la actividad que se propone en ¿Puedes resolver?, y dé un tiempo para ello, luego revise a través de una puesta en común.

Reconocer propiedades

Actividad complementaria

Manipular aritméticamente

1. Desarrolla las siguientes adiciones y sustracciones de números enteros: 2 + -3 -120 + 230 – 138 -7 + -9 +11 -23 – (12 – 14) -5 + -5 – -5 + 5 -37 + (-21 – 17 + 9) -102 + -99 + 67 -(9 – -6 + -11) – (-5 + -3 + 8 – 12) 2. Señala la propiedad de la multiplicación que se evidencia en cada caso: 2 · (5 + 7) = 2 · 5 + 2 · 7 Propiedad:__________________________ 4 · 3 = 3 · 4 Propiedad:__________________________ 120 · 1 = 1 · 120 = 120 Propiedad:__________________________ 64 · 0 = 0 · 64 = 0 Propiedad_ _________________________

14 Texto del Estudiante - Unidad 1

Unidad 1

Presentación de la unidad En el curso anterior los alumnos y alumnas comenzaron el estudio del conjunto de los números enteros, revisando las operaciones de adición y sustracción. En esta unidad los estudiantes retomarán el trabajo con el conjunto ℤ, desarrollando las operaciones de multiplicación y división y llegando a conclusiones a partir del análisis de la generalidad observada en cada una de las posibles combinaciones de signos. También de cursos anteriores los alumnos y alumnos estudiaron las propiedades de la multiplicación en el conjunto de los números naturales. En esta unidad serán nuevamente analizadas estas propiedades pero aplicadas al conjunto de los números enteros. Todos los contenidos serán trabajados a través de ejercicios y problemas contextualizados en temas relacionados con la salud y la alimentación lo que permitirá a los estudiantes relacionar el tema matemático en estudio con situaciones cotidianas que lo involucran directamente y que contribuirán al desarrollo de una labor educativa integral.

 Red conceptual Multiplicaciones Productos y cocientes

Números positivos y negativos

obtenidos a partir de

mediante

Divisiones

Regla de signos

permiten

Resolver problemas que involucran números enteros

Números positivos y negativos

Productos y cocientes 15

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Conocen el conjunto de los números enteros.

Manejan las operaciones de adición y sustracción en ℤ. Conocen la relación de orden en ℤ.

2. Invite a sus estudiantes a leer

la introducción de la página 10 del texto. Luego pídales que formen grupos de tres estudiantes y lean la historieta. 3. Oriente a los grupos la realización colectiva de las actividades de la página 11 del texto. Comente que las actividades están destinadas a rescatar contenidos previos como son el trabajo con números enteros. En este trabajo los estudiantes deberán desarrollar operaciones de adición y sustracción y ocupar números positivos y negativos para describir diversas situaciones. 4. En la actividad 3 recuérdeles que las ganancias se representan como números positivos y las pérdidas como números negativos. Aclare que cuando se dice que si en una cuenta hubo una pérdida de 20 000 pesos, deben representar esta pérdida por -$ 20 000. 5. Revise colectivamente las soluciones de las actividades y aclare las dudas que hayan podido surgir. 6. La Actividad complementaria la puede orientar como estudio individual, pero si prefiere realizarla dentro de la clase le sugerimos que condicione las ciudades que se piden en la actividad de manera que se garantice el trabajo con números enteros.

Actividad complementaria 1. Investiga el promedio de temperaturas por meses (del año anterior) de algunas ciudades de Chile o de algunas estaciones meteorológicas. Regístralas en una tabla y desarrolla las siguientes actividades: ¿Qué ciudad o estación tiene el promedio mensual más alto? ¿Qué ciudad o estación tiene el promedio mensual más bajo? ¿Cuál es la diferencia entre estas dos temperaturas? Calcula el promedio anual de temperaturas de cada una de las ciudades o estaciones y compáralos. Calcula el promedio mensual de temperatura de todas las ciudades.

16 Texto del Estudiante - Unidad 1

Unidad 1

Diversidad Para comenzar el estudio de esta unidad es necesario que los alumnos y alumnas puedan realizar adiciones y sustracciones de números enteros. Puede que algunos de sus estudiantes no tengan claro aún este contenido, por lo que puede recordar que cuando se adicionan dos números enteros del mismo signo se suman los valores absolutos y se mantiene el signo; y si sus signos son diferentes, se restan los valores absolutos y prevalece el signo del número con mayor valor absoluto. Puede ilustrar el planteamiento anterior con ejercicios sencillos como: +2 + 3 = 5 -2 + -3 = -5 +2 + -3 = -1 -2 + 3 = 1

Otros recursos Si considera pertinente realizar la

Actividad complementaria pro-

Identificar regularidades

puesta en la página 16 de esta guía, se propone un listado de estaciones metereológicas con sus registros de temperaturas máxima y mínima de diversas ciudades de Chile. Este listado lo podrá hallar en el sitio web http://www.atmosfera.cl/HTML/ datos/datos_chilesur.html.

Evaluación Para evaluar las actividades propuestas en clases, puede orientar la realización de una coevaluación como la que está a continuación: Aspectos a evaluar

Sí

A veces

Utiliza números enteros para describir las situaciones planteadas Realiza operaciones de adición y sustracción de números enteros Participa activamente en el trabajo grupal Realiza aportes al trabajo grupal Respeta opiniones ajenas a la suya

Productos y cocientes 17

Orientaciones metodológicas 1. Antes de iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Manejan las operaciones

de adición, sustracción, multiplicación y división de números naturales. Conocen las relaciones de orden en números enteros. Realizan operaciones de adición y sustracción de números enteros.

2. Para comenzar el trabajo con

estas páginas le sugerimos que dibuje en la pizarra una recta numérica en la cual represente los números naturales partiendo de 0 y pregunte a sus estudiantes qué números han sido representados. A continuación, pida que los alumnos y las alumnas ubiquen los números enteros negativos. Finalmente, explique que los números naturales pueden ser descritos como números enteros positivos:

-2 -1 0 1 2 3. Una vez que los estudiantes

vean los números naturales como parte del conjunto ℤ, puede explicar que las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división de números enteros positivos corresponden sencillamente al trabajo con números naturales que ya conocen de cursos anteriores. Tras esto, invítelos a analizar el problema resuelto que se presenta en la página 12 del texto. 4. Pida a sus estudiantes que realicen las actividades que se proponen en la página 13 del texto y recuérdeles comprobar sus resultados mediante la operación inversa.

Manipular aritméticamente

Actividad complementaria 1. Resuelve los siguientes ejercicios: 24 · 12 64 · 2 810 · 8 24 · (24 : 2) (78 · 4) · 5 17 · (60 : 4)

18 Texto del Estudiante - Unidad 1

55 : 11 99 : 3 30 : 4 (36 : 12) · 6 (35 : 7) · (21 : 7) 9 · (230 : 5)

Unidad 1

Manipular aritméticamente

Aclaración de conceptos El conjunto ℤ contiene a los números naturales, incluyendo, además, a los números negativos. El siguiente esquema muestra los principales conjuntos numéricos y sus relaciones: Complejos

2. Resuelve los siguientes problemas: Un comerciante compra 840 pastillas de jabón. El fabricante le regala una pastilla más por cada docena que compra. ¿Cuántas pastillas ha recibido en total? Tengo 12 pares de calcetines colocados en dos cajones. ¿Cuántos calcetines hay en cada cajón si en uno hay 4 más que en otro? Cada surtidor de una fuente arroja dos litros por segundo, ¿cuánto arrojará en 25 segundos? ¿Y los cuatro surtidores juntos en 25 segundos? Luis como regalo de navidad decidió dividir $ 348 000 entre los 6 integrantes de la familia. ¿Qué cantidad de dinero le tocó a cada integrante? En la librería compré una colección de libros de 12 volúmenes y cada volumen tiene 237 páginas. Para leer la colección completa, ¿cuántas páginas tendría que leer?

Imaginarios

Reales

Racionales

Irracionales

Enteros

Fraccionarios

Naturales

Enteros negativos

Anotaciones: Productos y cocientes 19

Orientaciones metodológicas 1. Antes de iniciar la clase, constate que los estudiantes:

Manejan operaciones

de adición, sustracción, multiplicación y división de números naturales. Conocen el conjunto de los números enteros. Realizan operaciones de adición y sustracción de números enteros. Multiplican enteros positivos.

2. Es importante que repase

adiciones y sustracciones de números enteros de diferentes signos, de manera de refrescar los conocimientos previos de los estudiantes. 3. Es recomendable que los estudiantes deduzcan por sí mismos el signo del producto de dos números enteros de signos diferentes. Esto puede hacerse considerando la multiplicación como una adición reiterada, por ejemplo: -5 · 3 = -5 + -5 + -5 = -15 Como es una adición de números con igual signo, se suman los valores absolutos y se conserva el signo. Repita el procedimiento con otras multiplicaciones de modo que los estudiantes lleguen a la conclusión de que cuando se multiplican enteros de diferentes signos, se multiplican los valores absolutos y el producto es negativo. 4. La división la puede trabajar como una sustracción reiterada o sencillamente como la operación inversa en las mismas multiplicaciones que realizó en la pizarra y, a través de ellas, los alumnos y alumnas concluirán que la regla de los signos se comporta de manera similar en ambas operaciones.

Interpretar información

Actividad complementaria 1. En un periódico matutino apareció la siguiente noticia: “Ayer, en la Base O´Higgins, en la Antártica chilena, se registró la temperatura mínima en lo que va corrido el año; esta fue tres veces más baja que la temperatura que se registró en Punta Arenas, donde hubo una mínima de -6 ºC".

¿Cuál fue la temperatura mínima en la Base O´Higgins? Si la temperatura mínima en Puerto Williams ese mismo día, fue dos veces más baja que la temperatura mínima en Punta Arenas, ¿cuál fue esta temperatura? 2. En la cuenta bancaria de don Roberto aparece un saldo de -$ 150 000, porque se ha sobregirado. Al llamar a su ejecutiva de cuenta ella le indicó que su línea de crédito le puede prestar 4 veces el monto que adeuda. ¿Cuál es el monto máximo que puede prestarle el banco a don Roberto?

20 Texto del Estudiante - Unidad 1

Unidad 1

Reflexión

Manipular aritméticamente

Converse con sus estudiantes acerca de los números enteros y reflexione con ellos acerca de las situaciones en que resulta necesario utilizarlos. Pida a sus alumnos y alumnas que escriban en sus cuadernos situaciones inventadas por ellos que se asemejen a la realidad, en las que sea necesario utilizar números enteros de diferentes signos. Comente estas situaciones con el resto del curso.

Aclaración de conceptos En la multiplicación y la división de números enteros se cumple: Sean a, b ∈ ℤ / a > 0 y b > 0 ⇒ a · b > 0 y a : b > 0. Sean a, b ∈ ℤ / a < 0 y b < 0 ⇒ a · b > 0 y a : b > 0. Sean a, b ∈ ℤ / a < 0 y b > 0 ⇒ a · b < 0 y a : b < 0. Sean a, b ∈ ℤ / a > 0 y b < 0 ⇒ a · b < 0 y a : b < 0.

Evaluación Para evaluar el desempeño de sus estudiantes durante la realización de las actividades que se proponen en estas páginas, le sugerimos la siguiente lista de cotejo: Aspectos a evaluar

SÍ

A veces

Comprende las reglas del juego planteado Multiplica correctamente números enteros de diferente signo Divide correctamente números enteros de diferente signo Realiza todas las actividades Realiza los ejercicios en el tiempo estipulado por el docente Trabaja en forma limpia y ordenada

Productos y cocientes 21

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que sus estudiantes:

Conocen el conjunto ℤ. Multiplican y dividen enteros positivos.

Multiplican y dividen enteros de diferentes signos.

2. Para ilustrar la multiplicación

de enteros negativos puede trabajar con fichas coloreadas que en una cara tendrán un signo negativo; y en la otra, un signo positivo y un color diferente. Cuando un grupo es negativo indica que las fichas que lo componen deben ser volteadas y tomarán el signo contrario, por ejemplo:

+ + + = – – – + + +

- - -

3. De manera similar, puede traba-

jar la multiplicación y la división de enteros negativos. En el caso de la multiplicación: -3 · -2 = 6 (3 grupos negativos de dos fichas negativas cada uno) –

El signo negativo indica voltear

Manipular aritméticamente

las fichas de cada grupo:

+ +

4. Para desarrollar la división

-6 : -3 = 2, puede indicar que 6 fichas negativas se dividen en 3 grupos negativos y utilizando un esquema similar al recién visto constatará que quedan 2 fichas positivas. 5. En la página 193 de esta guía hallará fichas coloreadas para desarrollar las actividades.

Actividad complementaria 1. Determina si las siguientes igualdades son verdaderas (V) o falsas (F): � -2 · -9 = 3 · 6 � -41 · -3 = 246 : - 2 � -3 · -16 = 2 · -24 � -84 : -21 = -16 : -4 � -6 = -2 · -3 � -65 : -13 = 170 : 34 2. Resuelve: � -81 · 35 � -53 · 36 � 34 · -51 � -723 · -18 � -76 · -28 � -912 · -23

22 Texto del Estudiante - Unidad 1

Unidad 1

Diversidad

Muchos de sus estudiantes seguramente pudieron deducir la multiplicación de enteros de diferentes signos a partir de la adición reiterada, pero a algunos les puede haber costado comprender la división. Se sugiere dar la siguiente explicación: Sea la multiplicación: -5 · 3 = -15 Aplicando la operación inversa queda: -15 : 3 = -5 Por lo tanto, se evidencia que en la división también se cumple que si dividendo y divisor tienen signos diferentes se dividen sus valores absolutos y el cociente queda con signo negativo. Si aplicamos la operación inversa de la forma: -15 : -5 = 3 tenemos que cuando el dividendo y el divisor tienen el mismo signo se dividen los valores absolutos y el cociente es positivo.

Manipular aritméticamente

Evaluación Para evaluar la comprensión de estas páginas puede entregar a sus alumnos y alumnas una tabla como la que se sugiere a continuación: Aspectos a evaluar Entendí la explicación que se hizo de la multiplicación de enteros negativos Aprendí a multiplicar enteros negativos Aprendí a dividir enteros negativos Comprendí la regla de los signos Realicé todas las actividades correctamente

Sí

A veces

Anotaciones: Productos y cocientes 23

Orientaciones metodológicas 1. Antes de iniciar la clase , debe constatar que los estudiantes:

Realizan operaciones de multiplicación y división con números enteros. Conocen las propiedades de la adición y la multiplicación en el conjunto de los números naturales. Conocen las propiedades de la adición en el conjunto de los números enteros.

2. En estas páginas se trabaja

un tema que sus estudiantes conocen: las propiedades de la multiplicación en el conjunto de los números enteros. 3. Para trabajar este contenido le recomendamos que, a modo de introducción, revise con alumnos y alumnas las propiedades de la multiplicación en los números naturales, recordándoles que los números naturales corresponden a los números enteros positivos. A través de este análisis, los estudiantes podrán intuir cómo se manifiestan las propiedades de la multiplicación en ℤ. 4. Para el análisis de la distributividad de la multiplicación, explique a sus estudiantes que esta es una propiedad de la multiplicación respecto de la adición en el conjunto de los números naturales, y que, como en el conjunto de los números enteros la sustracción equivale a la adición de un número negativo, entonces también se puede aplicar. Por ejemplo: 2 · (5 – 3) = 2 · (5 + -3) = 2 · 5 + 2 · -3 = 10 + -6 = 4

Manipular aritméticamente

Actividad complementaria 1. Verifica que se cumple la propiedad conmutativa en las siguientes multiplicaciones: � -5 · 12 � -15 · -21 � -65 · 22 � -3 · -71 � -1 · 11 � 9 · 111 � -36 · 0 � -56 · 47 � 54 · 16 2. Verifica que se cumple la propiedad asociativa en las siguientes multiplicaciones: � 13 · -8 · -10 � -1 · -1 · 1 � -6 · 1 · 2 � -1 · -13 · -4 � 5 · 0 · 1 � -89 · 11 · 2 �-12 · -2 · -5 � -5 · -5 · -25 � -22 · -12 · -22

24 Texto del Estudiante - Unidad 1

Unidad 1

Diversidad

Reconocer propiedades

Es importante que los alumnos y las alumnas tengan en cuenta que cuando aplican las propiedades de la multiplicación a los números enteros, estos números incluyen sus signos, por lo que al cambiarlos de posición deben hacerlo junto con ellos. Para enfatizar en este aspecto, puede trabajar con las propiedades de la multiplicación en ℤ al inicio de la clase, encerrando entre paréntesis cada número con su signo y así evitar confusiones. Sugerir este procedimiento hasta que los estudiantes se sientan más seguros en el manejo de los números enteros.

Aclaración de conceptos En el conjunto de los números enteros, además de las propiedades descritas en el texto, se cumple que para cualquier a que pertenece al conjunto ℤ y es diferente de 0, existe un número que se denota como 1/a que al multiplicarlo por a da 1 como resultado. Se dice, entonces, que a y 1/a son opuestos multiplicativos.

3. Verifica que se cumple la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición en las siguientes operaciones. Haz las modificaciones necesarias cuando aparezcan sustracciones: � 2 · (-3 + 4) � -1 · (4 + -6) � (5 + 7) · 11 � -9 · (-7 + 6) � (18 + -23) · -9 � 10 · -2 + 10 · 5 � 9 · (12 – 8) � -4 · 18 + -7 · 18 � -22 · (33 – 11) 4. Resuelve los problemas que se plantean: Un arquero juega un cuadrangular, jugando un total de 3 partidos. Si en cada uno de ellos recibió 3 goles, ¿cuál fue la diferencia de goles de su equipo si anotaron solo 2 goles durante todo el campeonato? Una empresa tuvo pérdidas de $ 2 421 000 en el primer trimestre del año. Si el monto de la pérdida trimestral se mantiene en el tiempo, ¿cuál será la pérdida total de la empresa en 2 años? Productos y cocientes 25

Orientaciones metodológicas 1. Antes de comenzar la clase,

constate que los estudiantes: Adicionan, sustraen, multiplican y dividen números enteros. Conocen las propiedades de la adición y la multiplicación en ℤ. 2. Para comenzar el trabajo con las operaciones combinadas de números enteros, le sugerimos que recuerde con sus estudiantes las operaciones combinadas de adición y sustracción con enteros, en las que estudiaron que cuando un signo de agrupación (paréntesis) se encuentra precedido de un signo negativo, deben cambiar todos los símbolos de operación dentro del paréntesis por sus opuestos; y en el caso de que sea positivo, deben mantenerlos inalterados. Es importante que los alumnos y las alumnas comprendan que este no es un procedimiento arbitrario que tienen que memorizar, pues a través del análisis detallado lo pueden deducir. Puede presentar un ejemplo como el siguiente: -(-3 + 5) = -1 · (-3 + 5) Aplicando la propiedad distributiva: -1 · (-3 + 5) = (-1 · -3) + (-1 · 5) = 3 + -5 3. Es importante que recuerde a los alumnos y las alumnas que durante la realización de las operaciones combinadas, la aplicación de las propiedades de la multiplicación en ℤ le serán de mucha utilidad. 4. Mencione a sus estudiantes la prioridad de las operaciones dentro de los signos de agrupación en las operaciones combinadas. Para esto puede auxiliarse de la Aclaración de conceptos que está en la siguiente página.

Manipular aritméticamente

Actividad complementaria 1. Determina si las siguientes igualdades son verdaderas (V) o falsas (F) � -5 + 3 – [-1 – (-8 – 3 + 1) – 7] = -4 � [(3 – 8) · (5 – 2)] : [8 – (10 + 3)] = 3 � (4 + 8) – (3 – 5) + 5 · (8 – 3) = 39 2. Resuelve las siguientes operaciones: � 4 · (3 – 11) – [2 · (-9 – 7 + 13)] � [(12 – -3) · -4 + 33 : (-17 + 6)] · -1 � 100 : (100 : -10) + 10 · (-100 : 100)

26 Texto del Estudiante - Unidad 1

� [-7 · (3 – 5)] : {-7 – [-3 + 1 · (1 – 3)]} = 7 � 9 – 3 · (8 + 5) · -1 · [3 + 4 · (2 – 5)] = -270 � [8 + 4 – 5 · (2 + 7)] · [4 · (8 – 13)]= -660 � 14 : (2 – 3) + 14 · (2 – 3) � 24 + 20 · -12 – (25 – 13 – -10) · -8 � 9 · (3 · -5 + 18) – [9 + -2 · (-3 – 9)]

Unidad 1

Aclaración de conceptos

Manipular aritméticamente

Cuando tenemos relacionadas en un ejercicio más de una operación, decimos que son operaciones combinadas. En este tipo de ejercicios, hay que tener en cuenta dos jerarquías, las de las operaciones que intervienen y las de los signos de agrupación presentes (paréntesis). En el caso de las operaciones, el orden de prioridad es: multiplicación y división, primero y luego, adición y sustracción. En los ejercicios donde existen signos de agrupación (paréntesis ( ), corchetes [ ], etc.), estos deben ser eliminados desde adentro hacia fuera aplicando las propiedades que correspondan.

Historia y números Verificar validez de procedimiento

Evaluación Aplique la siguiente tabla para autoevaluar el desempeño de los estudiantes en las actividades desarrolladas en clase y los aprendizajes adquiridos a través de ellas: Aspectos a evaluar

Sí

A veces

Los primeros trabajos en que se describen detalladamente y utilizan números negativos los hallamos en oriente, particularmente en las culturas india y china; y se remontan a los siglos IV y V de nuestra era. En estos trabajos, se presentan diversos procedimientos para trabajar números positivos y negativos en ábacos con bolitas o tablillas de diferentes colores. Fue el matemático indio Brahmagupta (598 - 665 d. de C.) el pionero en el desarrollo de soluciones negativas para ecuaciones literales. En Europa, solo a partir del siglo XVIII se aceptó la existencia “real” de los números negativos.

Comprendí la importancia de priorizar operaciones Comprendí la importancia de priorizar signos de agrupación Resolví correctamente los ejercicios del texto Descubrí el error en las actividades del texto y las corregí correctamente Participé en el desarrollo de las actividades colectivas realizadas en clase

Productos y cocientes 27

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, compruebe que los estudiantes:

Realizan operaciones

de adición, sustracción, multiplicación y división de números enteros. Aplican las propiedades de la multiplicación en ℤ a la resolución de problemas y ejercicios que involucran números enteros. Resuelven operaciones combinadas con números enteros.

2. En estas páginas de Resolu-

ción de problemas los alumnos y alumnas se enfrentan a una serie de problemas que incluyen los principales contenidos vistos en la unidad para que consoliden sus conocimientos y los apliquen a situaciones prácticas. 3. En el Problema modelo se propone una metodología de resolución cuya lógica le sugerimos que explique a los estudiantes. La metodología intenta entregar un algoritmo de resolución que permita que los alumnos y las alumnas lleguen de forma organizada al resultado, sin pasar por alto algún detalle que pueda interferir en la obtención del resultado correcto. 4. En el Problema 2, es importante que recuerde al curso que las ganancias se denotan como positivas y las pérdidas como negativas. 5. El Problema 3 puede resultar tal vez más complicado, es por ello que le recomendamos que explique detalladamente el enunciado y escriba en la pizarra la fórmula del calor específico.

Establecer equivalencias

Actividad complementaria 1. Observa la siguiente tabla: Tiempo [min] Temperatura [ºF]

15 45

30 32

45 25

60 22

75 20

90 8

105 -4

120 -22

Convierte cada una de las temperaturas anteriores en grados Celsius. Recuerda que la ecuación que permite tal conversión es: F = (C · 9/5) + 32. 2. A partir de fórmula, obtén los valores de A o B, según corresponda: -5A = 4B A -4 4 -2 12 B -8 0 -15 20

28 Texto del Estudiante - Unidad 1

Unidad 1

Resolver problemas

Aclaración de conceptos Caloría: es la unidad de medida que expresa la cantidad de energía necesaria para aumentar la temperatura de 1 g de agua en 1 ºC (de 14,5 ºC a 15,5 ºC). En el Sistema Internacional equivale aproximadamente a 4,18 J.

Errores frecuentes Los problemas en los que se debe trabajar con números enteros suelen conllevar a errores de interpretación por parte de los estudiantes, sobre todo cuando deben realizarse las operaciones de multiplicación y división. Como método alternativo al propuesto en el texto, sugiera a los alumnos y alumnas, que en el primer paso de la resolución realicen un desglose muy detallado de la información contenida en el enunciado del problema y, si lo consideran necesario, que lo esquematicen, colocando en él los datos numéricos que se ofrecen.

Diversidad

Evaluación Para evaluar el desempeño de los estudiantes en el desarrollo de cada uno de los pasos de la metodología para resolver los problemas, le sugerimos que utilice la siguiente tabla, cuyos indicadores de logro son: Pasos de la metodología de resolución

Entiende: ¿qué sabes del problema? Planifica tu estrategia: ¿cómo puedes resolver el problema? Resuelve: desarrolla el problema para llegar a una respuesta Responde: contesta las preguntas del problema Comprueba: aplica otra estrategia para comprobar el resultado L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

A partir de esta unidad, los estudiantes trabajarán regularmente con los números enteros, por lo tanto, los contenidos de esta unidad deben ser correctamente asimilados y no deben quedar dudas en ellos. Explique que ahora que ya conocen las operaciones básicas con enteros, es necesario que comprendan que un ejercicio tan sencillo con números naturales como 2 · 2 debe ser visto como una multiplicación entre dos enteros positivos, es decir: +2 · +2 = +4 Puede ser aconsejable escribir la regla de los signos en una cartulina y colocarla en una esquina de la sala de clases, al menos por un tiempo, para que los estudiantes que tengan dudas puedan consultarla. Productos y cocientes 29

Orientaciones metodológicas 1. Antes de dar inicio a la clase constate que los estudiantes:

Realizan operaciones

de adición, sustracción, multiplicación y división de números enteros. Realizan operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división de fracciones y números decimales. Saben ocupar los principales comandos y aplicaciones de Excel.

2. Para comenzar la clase recuerde

a sus estudiantes los cuidados que deben tener al trabajar con el computador. 3. Explique a los alumnos y alumnas que la planilla que construirán en el Excel les permitirá realizar operaciones de multiplicación y división de números positivos y negativos (enteros, decimales y fracciones). 4. Lea el enunciado de la página 24 del texto e invite a sus estudiantes a seguir los pasos sugeridos para construir la planilla de cálculo. 5. Es importante que recalque a sus estudiantes que deben fijarse bien en la sintaxis de las fórmulas que deben escribir y transcribirlas de la misma forma en que aparecen en el texto. Lea al curso los Errores frecuentes en la siguiente página de esta guía. 6. Luego de concluida la actividad pida a sus alumnos y alumnas que resuelvan los ejercicios que se propone en la página 25 y, posteriormente, los que se proponen en la Actividad complementaria.

Actividad complementaria

Ocupar herramienta tecnológica

1. Entregue a sus estudiantes los siguientes ejercicios para que los resuelvan con la planilla que acaban de construir en clase: � 534 · -13 � 2,3 · -5,4 � -3/4 · 5/6 � -10 · -54 � -24,1 · -21,5 � 8/9 · 3/2 � -24 · 52 � 90 · -4,5 � -7/5 · -1/5 � -63 : -563 � -84,4 : 2,2 � 4/5 : -6/9 � 87 : 23 � 90,2 : -5,5 � -2/9 : 5/7 � 87 : -9 � 76,1 : -43,01 � -10/13 : -1/2

30 Texto del Estudiante - Unidad 1

Unidad 1

Errores frecuentes En este tipo de actividad con planillas de cálculo, el error más frecuente que cometen los estudiantes ocurre al escribir las fórmulas matemáticas. Explique que Excel es un programa computacional y, por lo tanto, tiene una sintaxis definida y precisa que debe ser respetada pues, de no hacerlo aparecerá un cartel de error o sencillamente no obtendrán el resultado correcto. También puede suceder que en una celda donde hayan escrito un número les aparezca ######. Esto significa que el número no cabe en la celda, y para resolverlo deberán aumentar su ancho. También es importante que aclare al curso que cuando tienen varias celdas que forman parte de una fórmula, estas no deben ser borradas, pues en ese caso aparecerá #¡REF! como notificación del error que podrán resolver simplemente reingresando el dato borrado.

Ocupar herramienta tecnológica

Aclaración de conceptos

Evaluación Permita, a través de la siguiente pauta, que los estudiantes evalúen su desempeño durante el trabajo realizado en clase: Indicadores Trabajé correctamente con los comandos de Excel

SÍ

A veces

En esta actividad, no solo se ha trabajado con números enteros positivos y negativos, sino que se ha aplicado la ley de los signos desarrollada en la unidad a fracciones y números decimales, cuyas operaciones aritméticas ya son conocidas por los estudiantes. En la actividad propuesta solo ha sido necesario que apliquen lo que aprendieron trabajando con números enteros a esta clase de números.

Realicé correctamente las actividades propuestas Ayudé a los compañeros y compañeras que lo requirieron Trabajé en el tiempo estipulado por el docente Trabajé limpia y ordenadamente

Productos y cocientes 31

Sintetizar información

Orientaciones metodológicas 1. Antes de iniciar la clase, verifique que lo estudiantes:

Realizan operaciones

de adición, sustracción, multiplicación y división de números enteros. Aplican las propiedades de la multiplicación en ℤ.

2. Converse con sus estudiantes

sobre el contenido de estas páginas. Centre la atención en la Síntesis de la unidad y explique su estructura. Puede señalar que la síntesis contiene resumidos los contenidos más importantes trabajados en la unidad en forma de fichas y que ella le servirá como un resumen para su estudio independiente. 3. Puede ejemplificar en la pizarra las fichas 1 y 2 de la página 26 del texto, escribiendo:

+ + -

· · · ·

+ +

= = = =

+ + -

: : : :

+ +

= = = =

+ + -

4. Realice con sus estudiantes

la Reflexión que se propone en la siguiente página de esta guía y prepare al curso para la evaluación final de la unidad. 5. Antes de comenzar con la Evaluación, realice preguntas a los estudiantes, como por ejemplo: ¿cuál es el elemento neutro de la multiplicación en ℤ?, ¿cuál es el elemento absorbente?, etc. 6. Como Actividad complementaria se proponen una serie de ejercicios que están estructurados para trabajar con la síntesis. 7. Lea al curso el enunciado de cada una de las preguntas de la Evaluación para que pregunten las dudas de interpretación que puedan tener.

Actividad complementaria

Manipular aritméticamente

1. A continuación te proponemos algunos ejercicios que estarán directamente vinculados con los temas desglosados en la Síntesis de la unidad:

32 Texto del Estudiante - Unidad 1

Ficha 1 � 23 · 45 � -43 · -5

Resuelve:

Ficha 2 � 23 · -45 � -43 · -5

Resuelve:

150 : 50 -230 : -5

+40 : +6 -35 : -7

-150 : 50 -230 : -5

� +96 · +32 +13 · -21

Unidad 1

Reflexión

Manipular aritméticamente

Interpretar información

Ficha 3 Comprueba: � -9 · 8 = 8 · -9 � -3 · (5 · -1) = (-3 · 5) · -1 � -1 · (5 – 9) = (-1 · 5) + (-1 · -9)

-5 · 1 = 5 5·1=5 -10 · 0 = 0

Ficha 4 Resuelve: � -2 · 5 + 12 : (-6) � -3 · 4 – 24 : (-12 + 6) � 12 · (9 – 4 – -7) · -2

15 : -5 · -3 (8 · -4) : (-3 · 5 – 1) 30 + -2 · (-9 + 7 – -8)

Manipular aritméticamente

El proceso evaluativo es inherente al de enseñanza-aprendizaje y se debe ir realizando de manera sostenida a lo largo de todo el curso. En él, los estudiantes deberán poner de manifiesto los conocimientos adquiridos durante el trabajo de cada contenido y, además, deberán ir demostrando la progresión en el desarrollo de su pensamiento lógico, su creatividad y su capacidad de interpretación y asociación, vinculando los contenidos matemáticos a situaciones que viven de manera cotidiana. Converse con sus estudiantes sobre la evaluación y explique que aunque estas páginas en particular se llaman Evaluación, no significa que contengan la única evaluación que se realiza durante la unidad, sino que este es un proceso que se ha ido realizando clase a clase. Anotaciones: Productos y cocientes 33

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, com-

Identificar regularidades

pruebe que los estudiantes:

Realizan operaciones

Manipular aritméticamente

2. Las actividades de la sección

Evaluación que comienzan en la página 27 del texto y que continúan en las páginas 28 y 29, recomendamos trabajarlas como una prueba escrita que los estudiantes deberán resolver en forma individual en el tiempo estipulado por el docente y luego entregar por escrito en una hoja. 3. Lea cada uno de los enunciados y cerciórese que no quedan dudas en cuanto a la interpretación de su enunciado. 4. Entregue fotocopiada la página 194 de esta guía a cada estudiante para que responda los Ejercicios con alternativas y para que evalúe su desempeño.

Actividad complementaria 1. Responde las siguientes preguntas, encerrando en cada caso la alternativa correcta: El resultado de dividir 40 por -8 es: El resultado de la multiplicación 2,34 · -23,25 es: A. Un número decimal negativo. A. Un número decimal negativo. B. Un número entero positivo. B. Un número entero positivo. C. Un número decimal positivo. C. Un número decimal positivo. D. Un número entero negativo. D. Un número entero negativo. En la igualdad -3 · ( -8 + 5) = (-3 – 8) + (-3 + 5), la propiedad que se pone de manifiesto es: A. Asociativa. C. Conmutativa. B. Distributiva. D. Existencia de elemento absorbente.

34 Texto del Estudiante - Unidad 1

El resultado de 5 · (-8 : 4) · -9 es: A. 90 C. 18 B. -90 D. -18.

Unidad 1

Historia y números

Manipular aritméticamente

En el libro los “Nueve Capítulos”, texto fundamental de la antigua matemática china, se trabaja con números positivos, negativos y con el cero. Al utilizarlos en la resolución de ecuaciones, pudieron resolver sistemas que solo muchos siglos más tarde resolvieron los matemáticos occidentales, ocupando métodos matriciales como el método de Gauss.

Otros recursos Visite el sitio web http://www. isf tic.educacion.es/w3/eos/ MaterialesEducativos/primaria/ matematicas/conmates/unid-3/ numeros-enteros1.htm. En él encontrará contenidos, actividades y un glosario que le permitirán desarrollar y ejercitar temas relacionados con los números enteros.

Evaluación Proponga a sus estudiantes una autovaluación a través de la cual podrán determinar el nivel de comprensión que han tenido de los objetivo trabajados en la unidad. Los indicadores de logro son: Objetivos de la unidad

Multiplicar y dividir números enteros positivos Multiplicar y dividir números enteros de diferentes signos Multiplicar y dividir números enteros negativos Identificar propiedades de la multiplicación en el conjunto ℤ Resolver operaciones combinadas en el conjunto ℤ L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Anotaciones: Productos y cocientes 35

2 Unidad

Potencias y sus aplicaciones

Sección

Planificación Unidad 2 Objetivos Fundamentales Verticales yyDefinir y calcular el valor de potencias con base entera y exponente entero. yyAplicar las propiedades de las potencias con base y exponente enteros para resolver problemas. yyMultiplicar y dividir potencias con base y exponente entero. yyIdentificar variables que crecen o decrecen, lineal o exponencialmente. yyDefinir una raíz cuadrada a partir de las potencias de exponente 2. yyAplicar el teorema de Pitágoras usando los nuevos conocimientos.

Clase

Horas

Entada de unidad Actividad inicial

yyIdentifican situaciones que pueden ser analizadas aplicando las potencias y las raíces cuadradas. yyResuelven situaciones que requieren el uso de potencias y raíces cuadradas.

Potencias de base entera y exponente natural

yyIdentifican una potencia como la multiplicación reiterada de un mismo número. yyIdentifican en una potencia la base y el exponente.

Interpretación de potencias con exponente entero

yyDefinen qué representa una potencia cuando su exponente es un número entero negativo. yyExpresan situaciones numéricas en forma de potencias de exponente entero.

Multiplicación y división de potencias de igual base

yyMultiplican y dividen potencias con base y exponente enteros. yyResuelven ejercicios de multiplicación y división de potencias aplicando las propiedades de las potencias.

Crecimiento exponencial

yyIdentifican relación de dependencia entre variables. yyIdentifican cuando una variable crece exponencialmente. yyDiferencian un crecimiento lineal de uno exponencial.

Decrecimiento exponencial

yyIdentifican cuando una variable crece o decrece exponencialmente. yyAplican fórmula para modelar un decrecimiento exponencial.

Potencias de exponente 2 y raíces cuadradas

yyDefinen raíz cuadrada. yyCalculan el valor de raíces cuadradas. yyAplican la definición de raíz cuadrada para resolver problemas geométricos.

Teorema de Pitágoras

yyDefinen el teorema de Pitágoras ocupando potencias y raíces. yyAplican el teorema de Pitágoras para resolver problemas geométricos.

Tríos pitagóricos

yyDefinen trío pitagórico. yyIdentifican tríos pitagóricos.

Resolución de problemas

yyAplican los procedimientos aprendidos para resolver problemas que abarcan los contenidos de la unidad.

Tecnología activaw

yyUtilizan planilla de cálculos de Excel para encontrar tríos pitagóricos.

Síntesis de la unidad

yySintetizan temas estudiados en la unidad. yyAplican conocimientos adquiridos para resolver actividades de evaluación final.

Evaluación

36 Planificación - Unidad 2

Ruta de aprendizajes esperados

Unidad 2

Objetivos Fundamentales Transversales yyValorar el reciclaje como alternativa para el cuidado del medioambiente. yyValorar la protección de la vida animal y vegetal. yyCompartir e intercambiar para aprender de las ideas de nuestros compañeros y compañeras.

Materiales Contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales

Páginas Texto

Páginas Guía

Evaluación

yyPotencias de base y exponente natural. yyValoración del reciclaje como alternativa para proteger el medioambiente.

30 – 33

38 – 41

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyDefinición de potencia como la multiplicación reiterada de un número. yyCálculo de potencias con base entera y exponente natural.

34 – 35

42 – 43

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyIdentificación de una potencia con exponente entero como el inverso multiplicativo de su base elevada al mismo exponente pero con signo contrario. yyCálculo de potencias con base y exponente entero.

36 – 37

44 – 45

Actividad de evaluación formativa: autoevaluación

yyManejo de las propiedades de las potencias. yyAplicación de las propiedades de las potencias para resolver multiplicaciones y divisiones de potencias.

38 – 39

46 – 47

Actividad de evaluación formativa

yyDefinición de crecimiento exponencial. yyComparación entre el crecimiento lineal y exponencial.

40 – 41

48 – 49

Actividad de evaluación formativa

yyDefinición de decrecimiento exponencial. yyComparación entre el decrecimiento lineal y exponencial. yyModelación matemática del crecimiento y del decrecimiento exponencial.

42 – 43

50 – 51

Actividad de evaluación formativa

yyIdentificación de la raíz cuadrada como la operación inversa de la potenciación con exponente 2. yyCálculo de raíces cuadradas.

44 – 45

52 – 53

Actividad de evaluación formativa

yyTeorema de Pitágoras. yyResolución de ejercicios aplicando el teorema de Pitágoras.

46 – 47

54 – 55

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyDefinición del concepto de trío pitagórico. yyIdentificación de tríos pitagóricos.

48 – 49

56 – 57

Actividad de evaluación formativa

yyPlanteamiento y resolución de problemas contextualizados. yySeguimiento de metodología para resolver problemas.

50 – 51

58 – 59

Actividad de evaluación formativa: autoevaluación

yyUso de herramientas tecnológicas. yyConfección de planilla de cálculo en Excel que permita la obtención de tríos pitagóricos.

52 – 53

60 – 61

Actividad de evaluación formativa: autoevaluación

yySíntesis de la unidad. yyValoración y utilización de los conocimientos adquiridos durante la unidad para resolver las actividades de evaluación.

54 – 57

62 – 65

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo Actividad de evolución sumativa: evaluación final

Potencias y sus aplicaciones 37

Orientaciones metodológicas 1. Lea en voz alta el título de la

unidad y pida a sus estudiantes que den sus opiniones respecto a él. La mayoría de los estudiantes recococerán al instante el tema que tratará la unidad, pues ya conocen las potencias de cursos anteriores. 2. Pida a los estudiantes que lean En esta unidad aprenderás a: y converse sobre cada uno de los puntos que ahí aparecen y que constituyen un desglose de los conocimientos esperados. 3. Invite a un alumno o alumna a leer el texto ¿Por qué debemos reciclar? Luego realice en voz alta las preguntas que ahí se formulan, y estimule al diálogo sobre la necesidad de reciclar, su importancia y sus beneficios. 4. Oriente a los estudiantes para que realicen la actividad ¿Puedes resolver? que se encuentra en la página 31 del texto. Explique que las actividades de esta sección están destinadas a recuperar contenidos previos y mostrar a los estudiantes el tipo de actividades que podrán resolver al terminar el estudio de la unidad. Lea el ejercicio en voz alta y pregunte a los estudiantes si con los conocimientos que poseen pueden resolverlo.

Actividad complementaria

Interpretar datos

1. Pida a sus alumnos y alumnas que realicen, en equipos de cuatro o cinco estudiantes, una investigación sobre el reciclaje en Chile. Indique que se pueden apoyar en la página web http://www.yoreciclo.cl, en la cual encontrarán información actualizada sobre este tema. Explique que el informe debe tener introducción, desarrollo y conclusiones. Además, deben detallar al final del trabajo las referencias que utilizaron. Luego de concluido el informe, pídales que agreguen una página, en la cual deberán incorporar tantos problemas como integrantes tenga el equipo. Estos problemas deberán elaborarse considerando el tema del reciclaje y deberán ser resueltos mediante potencias o raíces.

38 Texto del Estudiante - Unidad 2

Unidad 2

Presentación de la unidad Los alumnos y alumnas comenzarán el estudio de esta unidad recuperando contenidos trabajados en cursos anteriores que irán profundizando y perfeccionando. Retomarán el trabajo con las potencias relacionándolo con nuevos conjuntos numéricos como el conjunto de los números enteros, pero además con los números decimales y las fracciones tanto positivos como negativos. Abordarán las propiedades de las potencias y, a través de ellas, podrán realizar diferentes cálculos. Directamente vinculado a las potencias, se definirá la raíz, como la operación inversa de la potenciación. Específicamente se estudiará la raíz cuadrada, resolviendo algunas operaciones aritméticas y geométricas que la involucran. La profundización en el teorema de Pitágoras permitirá a los estudiantes realizar cálculos geométricos relacionados directamente a temas cotidianos, permitiendo establecer un nexo entre las raíces, las potencias y el mundo que nos rodea.

 Red conceptual

con

Potencias

Base entera o fraccionaria

permiten desarrollar

Multiplicaciones y divisiones

Exponente entero

con

Exponente 2

permiten definir

permiten

Raíz cuadrada

aplicada a

Resolver problemas que involucran potencias y raíces cuadradas

Teorema de Pitágoras

Potencias y sus aplicaciones 39

Orientaciones metodológicas 1. Antes de iniciar la clase, constate que sus estudiantes:

Conocen el conjunto de los números enteros.

Realizan operaciones básicas en ℤ.

Conocen la definición de potencia y realizan operaciones con potencias.

2. Para tratar el tema de estas

páginas puede comenzar revisando con los estudiantes las propiedades de los números enteros, así como las operaciones matemáticas con este tipo de números. Puede recordarles los casos de la vida cotidiana en los que las operaciones con números enteros brindan la solución deseada. 3. Invite a sus estudiantes a analizar la historieta que existe en la página 32 del texto. Para esto, puede auxiliarse de un esquema donde se muestre la conexión entre los estudiantes que envían y los que reciben los e-mails. 4. Invite a los estudiantes a resolver las actividades que se plantean en la página 33 del texto y oriéntelos cuando lo requieran.

Actividad complementaria

Identificar regularidades

1. Dos panaderías A y B compiten por producir más panes. La panadería A realiza su producción en 2 días. El primer día la masa total de pan se divide en 8 partes. El segundo día, cada parte obtenida el día anterior se divide en 8 partes más, cada una de las cuales corresponde a un pan. Por otro lado, la panadería B realiza su producción en 3 días. El primer día la masa total se divide en 4 partes. El segundo día, cada parte obtenida el día anterior se divide en 4 partes más. Finalmente, el tercer día, las partes obtenidas el día anterior se dividen en 4 partes más, cada una de las cuales corresponde a un pan. ¿Cuál panadería produce más panes?

40 Texto del Estudiante - Unidad 2

Unidad 2

Diversidad

Identificar información

Para comenzar el estudio de esta unidad es necesario que los alumnos y alumnas conozcan bien las operaciones con números enteros, en especial la multiplicación y división. Se hace necesario que los estudiantes practiquen estos conocimientos previos a través de ejercicios que ilustren las propiedades de las operaciones ya estudiadas previamente y la regla de los signos. Además, es necesario que los estudiantes recuerden cómo las operaciones con números enteros los ayudan a resolver problemas de la vida diaria.

Identificar regularidades

Identificar información

Evaluación Plantee la siguiente actividad y evalúela mediante la pauta que está a continuación de ella: El primer día que Pedro llegó a Santiago, conoció a 3 amigos. El segundo día, cada uno de estos le presentó 3 amigos más. El tercer día, cada amigo conocido hasta el momento le presentó 3 amigos más. El cuarto día, cada amigo conocido hasta el tercer día le presentó 3 amigos más. yy ¿Cuántos amigos conoció Pedro en los cuatro días? yy ¿Podrías deducir cuántos amigos conocerá Pedro el quinto día, si continúa la regularidad? Aspectos a evaluar

Aplican las definición de potencia para describir las situaciones planteadas Identifican la base y el exponente de las potencias definidas Obtienen el valor de las potencias L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Anotaciones:

Potencias y sus aplicaciones 41

Orientaciones metodológicas 1. Previo al inicio de la clase, constate que los estudiantes:

Conocen el conjunto de los números enteros.

Realizan operaciones básicas en ℤ.

Conocen la definición de potencia y realizan operaciones con potencias.

2. Para introducir el tema de po-

tencias debe hacer notar a los alumnos y alumnas que una multiplicación sucesiva de un mismo factor puede definirse de una manera más simple. 3. Defina a sus estudiantes qué es una potencia, así como las partes de una potencia (base y exponente). 4. Indique a los estudiantes cómo se lee una potencia. Practique con varios ejemplos. Considere ejemplos donde la base de la potencia es un número entero negativo. Aclare a los estudiantes que los exponentes 2 y 3 también se pueden leer como "cuadrado" y "cubo", respectivamente. 5. Invite a los estudiantes a resolver los problemas planteados en la página 35 del texto. Enfatice en la forma de leer las potencias para que se familiaricen con este nuevo conocimiento.

Actividad complementaria

Manipular aritméticamente

1. Resuelve los siguientes ejercicios: � 83 � (-8)3

� 214 – 21 · 21 · 21 · 21 � (-3) 8

� 38 � 511

2. Predice la naturaleza del resultado de cada una de las siguientes potencias, marcando con una cruz si crees que el resultado será positivo o negativo y, finalmente, calcula el valor de la potencia: Potencia -32 325 -47

42 Texto del Estudiante - Unidad 2

Positivo

Negativo

Valor de la potencia

Unidad 2

Aclaración de conceptos Se dice que: La potencia n-ésima de un número N, es el resultado de multiplicar n veces N y se escribe Nn . Por ejemplo: 52 = 5 · 5 = 25; 84 = 8 · 8 · 8 · 8 = 4 096. Todo número N se puede escribir como N1. Toda potencia de base 1, para cualquier exponente n, es igual a 1. La potenciación no está definida para el par base - exponente (0,0). Todo número diferente de 0 elevado al exponente 0 es igual a 1. Por ejemplo: 20 = 1 1 9990 = 1 (-3)0 = 1

Aplicar propiedades

Analizar datos

Diversidad Seguramente algunos alumnos y alumnas no lograron resolver la suma de potencias planteada en el último ejercicio de los Ejercicios individuales del texto. Vuelva a explicar a sus estudiantes el orden de jerarquías para estas operaciones: primero la potenciación, luego la multiplicación y división y, finalmente, la adición y sustracción.

Evaluación La edad de Juan es dos elevado a tres, más cuatro elevado al cuadrado. La edad de Rodrigo es menos dos elevado a tres, más dos veces la edad de Juan. ¿Quién es mayor? Pida a sus estudiantes que resuelvan en forma individual el problema anterior y evalúe el trabajo a través de la siguiente lista de cotejo: Aspectos a evaluar Plantea adecuadamente las potencias que se mencionan en el problema Plantea las operaciones que se deben realizar Llega al resultado correcto

NR L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Potencias y sus aplicaciones 43

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, confirme que sus estudiantes:

Realizan las operaciones básicas en ℤ.

Conocen las potencias de base entera y exponente natural. Conocen las fracciones y sus propiedades.

2. Para trabajar el tema de poten-

cias de base entera y exponente entero, es importante que los alumnos y alumnas hayan comprendido el significado de potencia. Para apoyar esto puede escribir en la pizarra algunos ejemplos de potencias a modo de ejercitación de los conocimientos previos. 3. Invite a sus estudiantes a leer el problema que se presenta en la página 36 del texto y represéntelo en la pizarra como una multiplicación sucesiva de una misma fracción. 4. Proponga a los estudiantes que deduzcan una manera más sencilla de representar esta multiplicación. 5. Defina a los estudiantes qué es una potencia con exponente negativo. Practique con ellos cómo nombrar estas potencias. 6. Proponga a los estudiantes que resuelvan los Ejercicios individuales de la página 37 del texto. Revise que en todos los casos los estudiantes hayan sido capaces de representar cada número como la potencia más simple posible.

Representar números

Actividad complementaria 1. Un campesino quiso dividir su fortuna entre sus tres hijos. Al primero le dio dos elevado a cuatro, más tres elevado al cubo, más uno elevado a seis monedas. Al segundo hijo le dio la cantidad de monedas que le había dado al hijo anterior multiplicado por dos elevado a menos dos y a esto le sumó cuatro elevado al cuadrado monedas. Al tercer hijo le dio la cantidad que le había dado al segundo hijo por tres elevado a menos tres y a esto le sumó cinco al cuadrado monedas. Representa como una suma de potencias cuántas monedas recibió cada hijo. ¿Cuántas monedas recibió cada hijo? Si el segundo hijo hace una compra donde utiliza dos al cubo monedas de lo que le dio su padre, ¿cuántas monedas le quedaron?

44 Texto del Estudiante - Unidad 2

Unidad 2

Reflexión Converse con sus estudiantes sobre los números enteros. Recuérdeles que los números enteros incluyen a los números naturales y a los enteros negativos. Verifique que sus estudiantes recuerdan las propiedades de las fracciones y los números decimales. Oriente para que sus estudiantes sean capaces de deducir que multiplicaciones sucesivas de una misma fracción pueden expresarse como una potencia. Muestre a sus estudiantes qué utilidad puede tener esta definición en la vida cotidiana.

Aplicar propiedades

Aclaración de conceptos Aplicar procedimiento

En el cuadro de contenido de la pagina 36 del texto, se explica a qué equivale una potencia con base entera y exponente entero. Vale la pena complementar esta información con ejemplos como los siguientes: A-x = (1/A)x = (1x/Ax) = 1/Ax 7-2 = (1/7)2 = (12/72) = 1/72 = 1/49

Ordenar números

Evaluación Proponga a sus estudiantes que autoevalúen su desempeño durante el desarrollo de la clase a través de la siguiente tabla: Aspectos a evaluar

Sí

A veces

Comprendí el desarrollo aplicado para resolver las potencias con base entera y exponente entero Realicé correctamente las actividades propuestas Trabajé adecuadamente durante la actividad grupal Ayudé a los compañeros y compañeras que lo necesitaron Realicé las actividades en el tiempo estipulado por el docente

Potencias y sus aplicaciones 45

Orientaciones metodológicas 1. Verifique que los estudiantes: Realizan las operaciones básicas en ℤ.

Multiplican y dividen po-

tencias con base natural y exponente natural. Conocen las potencias de base entera y exponente entero. Conocen las fracciones y sus propiedades.

2. Para trabajar la multiplicación

y división de potencias de base entera y exponente entero es importante que los alumnos y alumnas sean capaces de convertir una multiplicación sucesiva de un mismo número en una potencia. Puede escribir en la pizarra una expresión como la siguiente: (3 · 3 · 3 · 5 · 3 · 3) / (3 · 7 · 3 · 3), y luego pedir que ellos la escriban de manera más simple mediante el uso de potencias. Además, pídales que simplifiquen los términos del numerador con los del denominador y que de esa manera deduzcan la analogía entre simplificar términos y restar los exponentes de una potencia. 3. Invite a sus estudiantes a leer el problema de la página 38 del texto y analice con el curso las reglas de la multiplicación y división de potencias. 4. Proponga a los estudiantes que resuelvan los problemas planteados en la página 39 del texto y ponga énfasis en las afirmaciones que aparecen planteadas en el ejercicio grupal. 5. Revise el trabajo de sus estudiantes a través de una puesta en común. Aclare las dudas que hayan podido tener y corrija los errores ejemplificando y ofreciendo alternativas viables para resolver los ejercicios que les resultaron más complicados.

Actividad complementaria 1. Expresa las siguientes adiciones de la forma más simple posible: � 23 · 25 + 2 � 24 · 42 + 2-4 · 162 � 34 · 9 – 33 · 53 � 35 · 3-2 / 33 + 23 2. Una población fue abastecida por un tanque que contenía inicialmente 50 000 L de agua en su interior. El primer mes, fueron consumidos tres quintos de la cantidad inicial, por lo que la empresa de aguas incrementó el agua al doble de lo que quedaba. A partir de ese momento se observó que en cada mes se consumían tres quintos de lo que quedaba en el tanque. A su vez, el tanque siempre incrementaba al doble de lo que quedaba. ¿Cuántos litros de agua contenía el tanque al tercer mes después de que fue llenado al doble? Representa el proceso descrito hasta el tercer mes con una multiplicación de potencias.

46 Texto del Estudiante - Unidad 2

Unidad 2

Aclaración de conceptos Para toda potencia Nn donde N es un número real y n un número entero positivo mayor que 1, se cumple: Nn = N · Nn – 1 En las potencias, también se cumple la propiedad distributiva de la multiplicación y se expresa como: (N · P)n = Nn · Pn (N/P)n = Nn/Pn Esta propiedad distributiva se cumple para la multiplicación y la división, pero no para la suma o la resta: (N + P)n ≠ Nn + Pn (N – P)n ≠ Nn – Pn La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación: NA ≠ AN La propiedad asociativa no se cumple para la potenciación: B (NA)B ≠ NA

Aplicar propiedades

Manipular aritméticamente

Evaluación

Invite a sus estudiantes a resolver las siguientes multiplicaciones y divisiones de potencias, luego evalúe sumativamente: 25 · 27 · 211 52 : 5-3 (-2) -2 · (-2)3 · (-2)4 (-27) · (-3) · (-3)2 · (-3) 0 [(-3) 6 : (-3)3]3 · (-3) 0 · (-3) -4 (25 · 20 · 2-3 · 2-2) : (2-5 · 2 · (25) -2 · 23) [(2/3) -2 · (2/3)3] : [(3/2) -5 · (3/2) -2] [(53)4 ]2 · [(55)1 ]2 · [(52)2 ]3

Anotaciones:

Potencias y sus aplicaciones 47

Orientaciones metodológicas 1. Previo al inicio de la unidad compruebe que los estudiantes:

Realizan operaciones básicas en ℤ.

Conocen las potencias de base entera y exponente entero.

2. Invite a sus estudiantes a leer

el problema resuelto que aparece en la página 40 del texto. Aunque el gráfico que ejemplifica el enunciado aparece en el texto, le recomendamos que construya en la pizarra un nuevo gráfico con los mismos datos, de manera que los estudiantes puedan apreciar el algoritmo para la construcción del mismo y no lo consideren como una curva construida arbitrariamente. 3. Comente a sus estudiantes las ventajas de la representación en un gráfico, defina los componentes de este gráfico, y explique por qué la dependencia representada es creciente. 4. Como Actividad complementaria se proponen dos problemas que sus estudiantes pueden realizar individual o grupalmente. En el caso de la actividad 1 cerciórese de la correcta construcción de ambos gráficos y deténgase a realizar una comparación entre ellos a partir de la diferencia de las curvas que forman. En el caso de la actividad 2, proponga a sus alumnos y alumnas, para evitar confusión, confeccionar una tabla con los datos que se ofrecen, por ejemplo: Fin de Claudia Gonzalo semana 1

$ 4 000

$ 1 000

Representar gráficamente

Actividad complementaria

1. Los siguientes números corresponden al crecimiento porcentual del valor de unas acciones cada 1 hora durante 12 horas. El que anotó estos valores olvidó precisar entre qué horas hizo el análisis. Se sabe que estas acciones crecen linealmente antes de las 8:00 pm y exponencialmente después de esta hora. ¿A qué hora se comenzaron a analizar estos valores? 0,1

0,4

0,7

1,0

1,3

1,7

2,3

3,1

4,1

5,5

7,3

Construye un gráfico para cada crecimiento manifestado por el conjunto de datos.

48 Texto del Estudiante - Unidad 2

9,7

Unidad 2

Diversidad

Identificar regularidades

Representar gráficamente

Claudia y Gonzalo decidieron salir juntos el fin de semana en que ambos tuvieran la misma cantidad de dinero. El primer fin de semana Claudia tenía $ 4 000. El siguiente fin de semana, Claudia añadió $ 10 000 más para salir con Gonzalo, y siguió añadiendo $ 10 000 pesos más cada fin de semana. En cambio, Gonzalo tenía $ 1 000 el primer fin de semana. El fin de semana siguiente añadió el doble de lo que tenía el fin de semana anterior para salir con Claudia. En las siguientes semanas, Gonzalo siguió añadiendo siempre el doble de lo que tenía el fin de semana anterior. ¿En qué fin de semana podrán salir juntos Claudia y Gonzalo?

Muchos estudiantes quizás comprendieron que en el crecimiento lineal y exponencial, a una variable x corresponde otra variable y que es función de la primera. Explique a los estudiantes que en los casos de interés en este tópico, esta relación va a ser creciente puesto que la variable y va a aumentar en la medida que aumenta la variable x. Explique a los estudiantes las ventajas de graficar este tipo de relaciones. Puede hacer una analogía con el hecho de ir subiendo un cerro en un auto. La variable x sería en este caso la distancia recorrida y la variable y sería la altura alcanzada en el cerro, la cual sería cada vez mayor. Con este ejemplo se puede ilustrar fácilmente un crecimiento de la variable y con respecto al crecimiento de la variable x. Anotaciones:

Potencias y sus aplicaciones 49

Orientaciones metodológicas 1. Antes de comenzar la clase, constate que los estudiantes:

Realizan operaciones básicas en ℤ.

Conocen las potencias de base entera y exponente entero.

2. Para enseñar a sus alumnos

y alumnas qué es un decrecimiento exponencial puede dibujar un gráfico y vs x, donde se aprecie un crecimiento lineal y otro exponencial que ellos ya conocen. Entonces, les puede preguntar qué pasaría si la variable y disminuyera con el aumento de la variable x. Muchos estudiantes serán capaces de deducir la forma del nuevo gráfico. 3. Invite a sus estudiantes a leer el problema resuelto de la página 42 del texto. Analícelo en conjunto con el curso y pida a sus estudiantes definir, a partir de él, el decrecimiento exponencial. 4. Solicite a los estudiantes que resuelvan las actividades que se proponen en la página 43 del texto y luego revise colectivamente.

Actividad complementaria

Representar gráficamente

1. Un supermercado está liquidando un producto A, debido a un reglamento judicial que prohibió su venta en la ciudad. Según los registros, cada semana se vende la mitad del producto A que existe en el supermercado y debido a que no se continuará vendiendo este producto no se reponen nuevas unidades. En un local de la competencia, se encuentran en la misma condición, pero cada semana se venden 30 unidades del producto A y tampoco se reponen estos productos. Realiza una tabla para representar la cantidad de unidades del producto A que quedan en cada uno de los locales cada semana. Supón un número determinado de productos al inicio de las ventas y, en función de este, confecciona la tabla para cada caso. Realiza un gráfico que muestre el descenso de la cantidad de producto A en cada local. Analiza el comportamiento del descenso de la cantidad de unidades del producto A. Identifica los dos tipos de decrecimientos.

50 Texto del Estudiante - Unidad 2

Unidad 2

Aclaración de conceptos Es importante que los estudiantes sepan, teniendo un conjunto de datos, cuándo representan un crecimiento o decrecimiento exponencial. En la Pista de la página 42 se plantea la ecuación a partir de la cual se determina en crecimiento o decrecimiento exponencial. Explique que la ecuación se aplica para un par de puntos donde, por ejemplo, según los datos de la tabla de la página 42, podemos decir que en la ecuación: Y = 40 (variable dependiente del par analizado). X = 15 (variable independiente del par analizado). A = 80 (variable dependiente del par anterior). 40 = 80 · B15 B15 = 0,5 B ≈ 0,9548 Como B < 1, se trata de un decrecimiento exponencial.

Identificar regularidades

Representar gráficamente

Diversidad

2. Se define la vida media o período de semi-desintegración de un isótopo radiactivo, al tiempo necesario para que la actividad de una sustancia radiactiva decaiga a la mitad de la cantidad inicial. El estroncio-90 (90Sr) tiene una vida media de 28 años y es muy peligroso porque tiene las mismas propiedades químicas que el calcio y se acumula en los huesos, lo cual puede producir cáncer. ¿Cuántos períodos de vida media (cada uno equivalente a 28 años) deben pasar para que la radiactividad de 100 gramos de estroncio-90 producidos por un proceso nuclear decaiga a menos de la que tendría 1 gramo (menos del 1% del valor original)? Represente la caída de la radiactividad del estroncio-90 en un gráfico. Si cada período de vida media transcurrido equivale a 28 años, ¿cuántos años demora en inactivarse la muestra de estroncio-90?

Verifique que sus estudiantes comprendieron la dependencia entre las variables x e y en los crecimientos lineales y exponenciales. Coménteles un caso en que y disminuya cuando crece x. Puede hacer una analogía con el hecho de ir bajando un cerro en un auto. La variable x sería en este caso la distancia recorrida y la variable y sería la altura del cerro, la cual sería cada vez menor. Con este ejemplo se puede ilustrar fácilmente un decrecimiento de la variable y con respecto al crecimiento de la variable x. Puede ilustrar este ejemplo con un gráfico en la pizarra para que todos sus alumnos y alumnas comprendan este tema fácilmente.

Potencias y sus aplicaciones 51

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Realizan operaciones básicas en ℤ.

Conocen las potencias de base entera y exponente entero. Conocen las fracciones y sus propiedades.

2. Invite a sus estudiantes a anali-

zar el problema planteado en la página 44 del texto. En principio, pídales que resuelvan este problema intuitivamente. Si algún estudiante lograra brindar una solución pídale que intente plantear el problema usando una potencia conocida. 3. Defina el concepto de raíz cuadrada y familiarícelos con la simbología de la operación. Hágales notar que la raíz es la operación inversa de la potencia y, por lo tanto, la raíz cuadrada lo es de la potencia cuadrada. Enfatice que, por ejemplo, la raíz cuadrada de 9 es el valor positivo 3. 4. Muestre a los estudiantes cuáles números tienen raíces cuadradas enteras. Para esto, escriba en la pizarra el resultado de elevar al cuadrado los números del 1 al 20, y coloque al lado la operación inversa.

Aplicar fórmula

Actividad complementaria 1. Existen varios métodos para determinar la raíz cuadrada de un número. Uno de ellos es denominado la aproximación de Bakhshali y aparece descrito en un manuscrito antiguo llamado manuscrito de Bakhshali, que fue encontrado hace aproximadamente 100 años y que data de los primeros años de nuestra era. Mediante este método es posible hallar una aproximación muy cercana a la raíz cuadrada de cualquier número a través de la siguiente fórmula: x≈ =

n 4 + 6n 2 x + x 2 4n 3 + 4nx

Donde n2 es el cuadrado más cercano a x.

Resuelva en la pizarra los ejemplos que se muestran a continuación y luego escriba dos raíces cuadradas para que las resuelvan individualmente. Pida que luego comprueben los resultados con la calculadora: 15 ≈

42 + 6 ⋅ 42 ⋅ 15 + 152 1 921 = = 3,87298 496 4 ⋅ 43 + 4 ⋅ 4 ⋅ 15

52 Texto del Estudiante - Unidad 2

9,5 ≈

32 + 6 ⋅ 32 ⋅ 9,5 + 9,52 684,25 = = 3,08 222 4 ⋅ 33 + 4 ⋅ 3 ⋅ 9,5

Unidad 2

Otros recursos

Manipular aritméticamente

En el sitio web http://www. educarchile.cl/Portal.Base/Web/ VerContenido.aspx?GUID=123.456.7 89.000&ID=133242 podrá encontrar una ficha que le proporcionará información necesaria para el trabajo con raíces cuadradas y que le será de mucha utilidad para el manejo de estas páginas.

Aclaración de conceptos En las raíces se cumple: n

a⋅b = n a ⋅ n b n

n⋅m

a = b

am = n a

Anotaciones: Aplicar propiedades 2. Resuelve los siguientes ejercicios: 2 8 – 21.225 – 4 2 45+12136 +64204 + +4 49 -9 ++ 509 81 + 121 25 ⋅ 7 – 3 + 5 ⋅ 54 1 –289100.000 / 8 –+14 49 52 + 25 83 ⋅ 29 – 121 64 / 23 – 1 2554⋅ ⋅ 549 2 3 ⋅ 49 – 4 1.225 36 + 204 4 2 +/ 8 –41 -949++ 9 4981++50 121 25 ⋅ 7 – 35 9 – 4 2 52 + 25 83 ⋅ 29 – 121 64 / 225 – 1 5 ⋅ 58 + 52289 ⋅ 54–14– 45+ 100.000 121 + 64 2 4 2 45+ 121 36 + 64 204/ 8+–412 +49Manipular 4 -949 + +950 81 + 121 25 83 ⋅ 29 – 121 64 / 23 – 125 ⋅54 49 ⋅ 58–+ 1.225 52 ⋅ 54 1289 – –100.000 + 25 ⋅ 7 – 35 9 – 4 aritméticamente 2 4 2 45+ 121 36 +64 204 – 121 64 / 23 – 125 ⋅54 ⋅4958–+ 51.225 ⋅ 54 1289 – –100.000 / 8+–412 +49 +4 -949+ +950 81 + 121 25 ⋅ 7 – 35 9 – 4 2 289 – 4 2 121 45+ 6436/+ + 4+2 + 494 + -950+ 9 81 + 121 25 ⋅ 7 – 35 9 – 4 2 1 54 25 ⋅ 58⋅ +4952 –⋅ 5 41.225 1 – 100.000 8 –204 1 49 2558 ⋅ + 49 45+ 6436/ + + 4+2 +494+-950+ 9 81 + 121 25 ⋅ 7 – 35 9 – 4 2 289 12 ––4 2 121 52 –⋅ 54 1.225 1 – 100.000 8 –204 1 49 2 2 2 4 – 4 45+ 4 ++ 49 4 -9 25 ⋅ 7 – 35 9 – 4 36 51.225 1 – 289 100.000 121 64 +/ 8204 – 1+49 ++ 50 9 81 + 121 – 4 2 45+ 4 2 ++ 49 4 -9 9 – 4 2 000 121 36 64 +/ 8204 – 1 + 49 ++ 50 9 81 + 121 25 ⋅ 7 – 35 Potencias y sus aplicaciones 53

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Realizan operaciones básicas en ℤ.

Conocen las potencias de

base entera y exponente entero. Conocen las fracciones y sus propiedades. Saben calcular raíces cuadradas.

2. Invite a sus estudiantes a ana-

lizar el problema resuelto de la página 46 del texto. Detalle en la pizarra cada uno de los pasos planteados. Para esto, puede auxiliarse de un dibujo que represente los diferentes caminos. Haga notar a sus alumnos y alumnas que la figura realizada es un triángulo. Señale el ángulo recto y destaque las particularidades que brinda al triángulo la existencia de este ángulo. 3. Defina el teorema de Pitágoras y, auxiliándose de la figura del texto, explique detalladamente los significados de cateto e hipotenusa. 4. Proponga a los estudiantes que resuelvan los ejercicios planteados en la página 47 del texto. Pida que identifiquen los catetos y la hipotenusa en cada triángulo representado. 5. Pida a sus estudiantes que realicen la siguiente demostración: para triángulos rectángulos cuyos catetos tienen el mismo tamaño (triángulos rectángulos isósceles) se cumple: 2 · cateto2 = hipotenusa2 6. Proponga al curso que demuestren que no puede existir un triángulo rectángulo con todos los lados iguales (triángulo rectángulo equilátero).

Actividad complementaria 1. Un comerciante quiere arrendar un almacén de forma rectangular pero tiene dudas de sus dimensiones. El comerciante quiere que la diagonal del local mida 15 m. Encontró que el primer lado midió 11,18 m. ¿Cuánto tendría que medir el otro lado, para que el almacén cumpla con las condiciones que desea el comerciante? 2. Completa la siguiente tabla para formar triángulos rectángulos:

54 Texto del Estudiante - Unidad 2

Cateto 1

Cateto 2

2,10

3,63

1,20

6,29

Hipotenusa

6,55

9,59

6,00

6,32

Unidad 2

Aclaración de conceptos Se define un triángulo como un polígono de tres lados determinado por tres segmentos de tres rectas que se cortan en tres puntos no alineados, que se llaman vértices. La suma de las longitudes de dos de los lados de un triángulo siempre es mayor que la longitud del tercer lado. Los triángulos se clasifican según el tamaño de sus lados en equilátero, si sus lados son iguales; isósceles, si dos de sus lados son iguales; y escaleno, si todos sus lados son diferentes. Si uno de los ángulos internos de un triángulo isósceles o escaleno mide 90º, este se llama triángulo rectángulo. Un triángulo equilátero nunca es rectángulo, ya que todos sus ángulos miden 60º.

Aplicar propiedades

Evaluación Evalúe el trabajo de sus estudiantes durante el desarrollo de las actividades a través de la siguiente lista de cotejo: Aspectos a evaluar

Conoce el teorema de Pitágoras A partir del teorema de Pitágoras calcula la longitud del elemento desconocido en un triángulo rectángulo Resuelve correctamente los ejercicios propuestos en el texto Cumple con el tiempo estipulado por el docente L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Anotaciones:

Potencias y sus aplicaciones 55

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Realizan operaciones básicas en ℤ.

Conocen las potencias de

base entera y exponente entero. Conocen las fracciones y sus propiedades. Saben calcular raíces cuadradas. Conocen el teorema de Pitágoras.

2. Plantee a sus estudiantes

el ejercicio propuesto en la página 48 del texto y defina el concepto de trío pitagórico. 3. Dibuje la siguiente tabla en la pizarra: 3

Mencione que cada fila re-

presenta un trío pitagórico. Pregunte a sus estudiantes si encuentran alguna característica que relacione estos tríos pitagóricos. Muestre que los tríos de las filas inferiores se derivan del trío de la primera fila. Defina lo que es un trío pitagórico primitivo. 4. Proponga a sus estudiantes la Actividad complementaria de esta guía. El último ítem de esta actividad deberá ser complementado con el texto de Historia y números. De esta manera, los estudiantes podrán usar ecuaciones para generar tríos pitagóricos primitivos. 5. Proponga a los estudiantes que resuelvan los ejercicios planteados en la página 49 del texto.

Aplicar propiedades

Actividad complementaria 1. Selecciona de los siguientes tríos de números aquellos que constituyen tríos pitagóricos: � {12, 35, 37} � {9, 40, 41} � {15, 112, 113} � {7, 8, 19} � {19, 180, 181} � {11, 60, 61} � {20, 99, 101} � {16, 63, 65} � {14, 15, 22} � {12, 13, 21} � {12, 19, 20} � {8, 15, 17} Identifica cuáles de los tríos pitagóricos encontrados son primitivos. Intenta separar los tríos pitagóricos encontrados en dos grupos, según alguna característica que sea particularmente notable.

56 Texto del Estudiante - Unidad 2

Unidad 2

Historia y números

Aplicar propiedades

Ocupar herramienta tecnológica

Evaluación Para evaluar la comprensión que han tenido los estudiantes del contenido de estas páginas, proponga que resuelvan en forma individual la siguiente actividad y posteriormente revise a través de una pauta de evaluación que usted considere adecuada: Demuestra que los siguientes tríos pitagóricos no son primitivos: yy {24, 45, 51} yy {33, 44, 55} yy {18, 80, 82}

yy {35, 84, 91} yy {21, 72, 75} yy {12, 16, 20}

Pitágoras y sus discípulos consideraban a los números enteros pilares del conocimiento. Los discípulos de Pitágoras fueron los primeros en proporcionar un método para determinar infinidades de tríos pitagóricos: Un trío x, y, z que cumpla la condición: x=n y = (n2 – 1)/2 z = (n2 + 1)/2 siempre será pitagórico si n es un número impar mayor que 1. Posteriormente, Platón (430 349 a. de C.) creó un método para determinar otros tríos pitagóricos por las fórmulas: x = 4n y = 4n2 – 1 z = 4n2 + 1 Anotaciones:

Potencias y sus aplicaciones 57

Orientaciones metodológicas 1. Antes de iniciar la clase, confirme que los estudiantes:

Realizan operaciones básicas en ℤ.

Conocen las potencias de

base entera y exponente entero. Conocen las fracciones y sus propiedades. Identifican crecimientos lineal y exponencial. Saben calcular raíces cuadradas. Conocen el teorema de Pitágoras.

2. En estas páginas de Resolu-

ción de problemas se propone a los alumnos y alumnas varios problemas que pueden resolverse aplicando las metodologías de cálculo y los conceptos abordados en la unidad. En el Problema modelo se plantea una metodología de resolución cuya lógica le sugerimos que explique a los estudiantes detalladamente. Esta metodología tiene la intención de entregar a los estudiantes un algoritmo de resolución que les permita llegar de forma organizada al resultado sin pasar por alto algún detalle que pueda interferir en el resultado final. 3. Analice con sus alumnos y alumnas el problema modelo siguiendo los pasos recomendados. Coloque cada uno de los pasos en la pizarra de modo que los estudiantes puedan comprender la lógica planteada de mejor manera. 4. Invite a sus estudiantes a resolver los problemas propuestos en la página 51 del texto.

Actividad complementaria

Aplicar propiedades

1. Indica si las afirmaciones siguientes son verdaderas (V) o falsas (F): La raíz cuadrada de un número no está definida para números negativos. El área de un cuadrado es 23 cm2 si uno de sus lados mide 2 cm. Una variable decrece exponencialmente cuando su valor en cada etapa es la etapa anterior menos un número fijo. El trío {9, 12, 15} es un trío pitagórico primitivo. Cuando se multiplican potencias de igual base se conserva la base y se suman los exponentes. El teorema de Pitágoras dice que, para un triángulo rectángulo, la suma de los lados que forman el ángulo recto debe ser igual al lado opuesto.

58 Texto del Estudiante - Unidad 2

Unidad 2

Resolver problemas

Diversidad Para resolver los problemas que se proponen en la página 51 del texto, los estudiantes deben tener claras las metodologías de cálculo y los conceptos abordados durante la unidad. Es posible que algunos alumnos y alumnas no recuerden muy bien los métodos de resolución de ecuaciones, por lo que se recomienda que revise algunas ecuaciones sencillas, tales como: x + 8 = 12 2x – 4 = -14 -4x + 17 = 3x – 5 Etcétera.

Aplicar procedimiento

Evaluación Pida a sus estudiantes que autoevalúen su desempeño en cada uno de los pasos de la resolución de los problemas: Pasos

Entiende: ¿Qué sabes del problema? Planifica tu estrategia: ¿Cómo puedes resolver el problema? Resuelve: Desarrolla el problema para llegar a una respuesta Responde: Contesta las preguntas del problema Comprueba: Aplica otra estrategia para comprobar el resultado L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Anotaciones:

Potencias y sus aplicaciones 59

Orientaciones metodológicas 1. Antes de comenzar la clase, verifique que los estudiantes:

Conocen las potencias de

base entera y exponente entero. Saben calcular raíces cuadradas. Conocen el teorema de Pitágoras. Conocen Excel y lo utilizan para realizar algunas actividades de aplicación.

2. Proponga a los estudiantes la

Tecnología activa que aparece en las páginas 52 y 53 del texto. Explíqueles cada uno de los pasos que realizará el computador para identificar tríos pitagóricos. 3. Pida a los estudiantes que trabajen de manera independiente con el computador. Observe el desempeño que tienen y esté alerta ante posibles dudas que presenten. 4. Pregunte a los estudiantes qué pueden concluir acerca de la actividad desarrollada. Como Actividad complementaria se propone a los estudiantes que realicen una investigación sobre el teorema de Fermat. Oriéntelos respecto a la confección del informe y converse con ellos acerca de este teorema y su enigmática trascendencia para que se sientan estimulados en su investigación. Explique por pasos y en forma general cada una de las partes con que contará el informe a modo de guía, de modo que los estudiantes no las olviden.

Analizar

Actividad complementaria 1. Realiza las siguientes actividades: Elije uno de los tríos pitagóricos obtenidos por el programa de computación y plantea la ecuación mediante la cual fue detectado. Si el profesor o profesora te pidiera que aumentaras el rango de búsqueda de tríos pitagóricos, ¿qué cambios tendrías que hacer en la planilla que confeccionaste? Utilizando una planilla similar a la que elaboraste en clase, determina los tríos pitagóricos entre 200 y 300. Júntate con dos o tres compañeros y compañeras y realicen una investigación sobre el teorema de Fermat relacionado con tríos pitagóricos. Realicen un informe escrito sobre el resultado de su investigación.

60 Texto del Estudiante - Unidad 2

Unidad 2

Ocupar herramienta tecnológica

Reflexión Los estudiantes conocen algunas ecuaciones matemáticas que permiten determinar algunos tríos pitagóricos primitivos. Además de estos que ya conoce, se han propuesto muchos otros métodos a lo largo de la historia de las matemáticas. La búsqueda que se va a realizar en esta actividad con el computador se denomina búsqueda exhaustiva y se caracteriza por explorar todas las posibilidades. En este caso, se evaluarán todos los tríos posibles formados por números entre 1 y 100 sin usar ninguna ecuación que simplifique el problema. Una búsqueda exhaustiva es tediosa si no usamos un computador. De hecho, se usa en computación para problemas sencillos. Si aumentáramos el rango de números a explorar, el cálculo demoraría mucho más.

Evaluación Invite a sus estudiantes a evaluar el desempeño que han tenido en la realización de la Tecnología activa a través de la siguiente pauta, en la que además podrán escribir sus comentarios al respecto, por ejemplo en qué se equivocaron o por qué: Aspectos a evaluar

Sí

A veces

Comentarios

Trabajé correctamente con Excel Realicé la actividad propuesta Llegué a los resultados correctos Ayudé a los compañeros y compañeras que lo necesitaron Trabajé en forma ordenada

Potencias y sus aplicaciones 61

Sintetizar información

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase constate que los estudiantes:

Conocen las potencias de

base entera y exponente entero y efectúan operaciones de multiplicación y división de potencias. Identifican crecimientos lineal y exponencial. Calculan raíces cuadradas. Conocen y aplican el teorema de Pitágoras.

2. Analice junto a sus estudiantes

cada una de las fichas de la Síntesis de la unidad. 3. Realice preguntas respecto a cada ficha y en caso de apreciar dificultad en alguna de ellas en particular, remita a los estudiantes a las páginas donde fueron trabajados estos temas. 4. Oriente estas actividades como una evaluación formal que los estudiantes deberán desarrollar individualmente. 5. Informe al curso el tiempo con que disponen para realizar todas las actividades y sugiera que dejen en cada ejercicio constancia de cada uno de los cálculos intermedios que realicen, de modo que ellos mismos puedan revisarlos y saber dónde se equivocaron en caso de haber cometido algún error.

Definir concepto

Actividad complementaria 1. Explica brevemente cada uno de los siguientes conceptos: � Potencia � Raíz cuadrada � Teorema de Pitágoras � Crecimiento exponencial � Decrecimiento exponencial � Trío pitagórico 2. Pinta el cuadro que contiene la alternativa correcta: De los siguientes tríos, el pitagórico es: 2, 12, 20

8, 15, 17

6, 12, 13

6, 15, 19

¿Cuál es la medida de los lados de un cuadrado cuya área es igual a 121 m2? 112 m

62 Texto del Estudiante - Unidad 2

81 11 m 3

27 60,5 9 m72

11 m

Unidad 2

Diversidad

Manipular aritméticamente

Al analizar la Síntesis de la unidad es importante que todos los estudiantes sean capaces de recordar los temas desarrollados como una unidad íntegra. Es recomendable recordar cada tema con preguntas dirigidas a los estudiantes, en particular frente a todo el grupo. Además, sería importante que estas preguntas evidenciaran la relación que existente entre los temas trabajados.

Identificar regularidades

Evaluación Evalúe el desempeño de sus estudiantes en las actividades realizadas a través de la siguiente lista de cotejo: Aspectos a evaluar Lee cada ficha de la síntesis Plantea dudas acerca de algunas de las definiciones que aparecen en las fichas de la síntesis Revisa aquellos temas que aún no domina por completo Muestra interés en realizar los ejercicios de la Evaluación Anota todos los cálculos que realiza al resolver los ejercicios de la Evaluación Muestra confianza en sus conocimientos al resolver la Evaluación

Sí

A veces

Anotaciones:

Potencias y sus aplicaciones 63

Orientaciones metodológicas

Identificar regularidades

1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Conocen las potencias de base entera y exponente entero y efectúan operaciones de multiplicación y división de potencias. Identifican crecimientos lineal y exponencial. Calculan raíces cuadradas. Conocen y aplican el teorema de Pitágoras.

2. Lea los enunciados de los ejer-

cicios para que cada estudiante comprenda qué debe hacer en cada uno de ellos. Llame la atención de los alumnos y alumnas sobre la estructura de la evaluación. Explique a los estudiantes que la Evaluación cuenta de tres páginas, las dos primeras contienen Ejercicios de desarrollo que pueden ser ejercicios de operatoria pura, donde ellos demostrarán la compresión de las metodologías aprendidas o problemas donde aplicarán a un contexto real los contenidos estudiados en la unidad. La tercera página de la Evaluación está dedicada a los Ejercicios con alternativas, en los cuales, luego de un análisis de la situación y su consecuente operatoria, ellos deberán elegir la respuesta correcta. 3. Puede evaluar el desempeño de los estudiantes mediante una evaluación sumativa, para la cual usted otorgará a cada pregunta un puntaje máximo y a partir de ahí realizará la calificación de cada una. También puede evaluarla mediante la pauta que se propone en la siguiente página de esta guía, donde se tendrán en cuenta los aprendizajes esperados por parte de los estudiantes.

Aplicar propiedades

Actividad complementaria

Definir concepto

1. Ejemplifica con números cada uno de los siguientes conceptos. Trabaja en tu cuaderno y compara con tus compañeros y compañeras: � Potencia � Cuadrado perfecto � Cubo perfecto � Crecimiento exponencial � Crecimiento lineal

64 Texto del Estudiante - Unidad 2

� Decrecimiento lineal � Raíz cuadrada � Decrecimiento exponencial � Teorema de Pitágoras � Trío pitagórico

Unidad 2

Reflexión

Interpretar información

La evaluación de los estudiantes debe estar en consonancia con la forma en que recibieron los conocimientos. En el proceso de enseñanzaaprendizaje es necesario propiciar la reflexión y el razonamiento. De esta manera es coherente evaluar la situación de cada estudiante respecto a esas capacidades, ya que se favoreció su desarrollo durante el avance de la unidad. Si el proceso de enseñanza-aprendizaje tuvo las características antes planteadas, no debe plantearse una evaluación basada en la memorización mecánica de los distintos contenidos.

Manipular aritméticamente

Evaluación Evalúe al curso a través de la siguiente pauta: Aprendizajes esperados

Definir y calcular el valor de potencias con base y exponente entero Aplicar propiedades de la multiplicación y división de potencias con base y exponente entero Identificar variables que crecen o decrecen lineal o exponencialmente Aplicar el teorema de Pitágoras y usar tríos pitagóricos de números para resolver problemas geométricos L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Anotaciones: Potencias y sus aplicaciones 65

3 Unidad

Planificación Unidad 3

Ecuaciones y proporcionalidad

Sección

Objetivos Fundamentales Verticales yyAnalizar ecuaciones que relacionan dos variables. yyIdentificar relaciones directa e inversamente proporcionales entre variables. yyConstruir tablas y gráficos de relaciones directa e inversamente proporcionales. yyModelar matemáticamente relaciones directa e inversamente proporcionales. yyDefinir e identificar una función.

Clase

Horas

Entrada de unidad Actividad inicial

yyDeterminan la razón entre dos cantidades. yyIdentifican situaciones a ser resueltas aplicando la propiedad fundamental de las proporciones.

Variables dependientes e independientes

yyIdentifican la variable dependiente y la independiente dentro de una ecuación con dos variables.

Relación directamente proporcional

yyIdentifican variables que están relacionadas en forma directamente proporcional. yyTabulan variables que están relacionadas en forma directamente proporcional.

Representación de una relación directamente proporcional

yyRepresentan gráficamente el comportamiento de dos variables en relación directamente proporcional. yyIdentifican recta que representa una relación directamente proporcional.

Relación inversamente proporcional

yyIdentifican variables que están relacionadas en forma inversamente proporcional. yyTabulan variables que están relacionadas en forma inversamente proporcional.

Representación de una relación inversamente proporcional

yyRepresentan gráficamente el comportamiento de dos variables en relación inversamente proporcional. yyIdentifican hipérbola que representa una relación inversamente proporcional.

Modelo matemático de proporcionalidad directa

yyModelan mediante el establecimiento de una fórmula matemática comportamientos directamente proporcionales.

Modelo matemático de proporcionalidad inversa

yyModelan mediante el establecimiento de una fórmula matemática comportamientos inversamente proporcionales.

Funciones

yyIdentifican relaciones que son funciones. yyResuelven problemas contextualizados y reconocen funciones entre conjuntos numéricos. yyDeterminan el dominio y el recorrido de una función.

Resolución de problemas

yyAplican los procedimientos aprendidos en la unidad para resolver problemas contextualizados.

Tecnología activa

yyUtilizan el programa Excel para graficar leyes físicas que involucran relaciones directa e inversamente proporcionales entre variables.

Síntesis de la unidad

yySintetizan los temas estudiados en la unidad. yyAplican conocimientos adquiridos para resolver actividades de evaluación.

Evaluación

66 Planificación - Unidad 3

Ruta de aprendizajes esperados

Unidad 3

Objetivos Fundamentales Transversales yyValorar el espíritu emprendedor como cualidad para el crecimiento individual y colectivo. yyCompartir e intercambiar con los compañeros y compañeras para aprender de sus experiencias. yyValorar los beneficicios de conocer mejor la realidad y de utilizar este conocimiento. yyUtilizar la abstracción para modelar fenómenos naturales mediante ecuaciones matemáticas.

Materiales Contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales

Páginas Texto

Páginas Guía

Evaluación

yyAplicación de conocimientos previos de proporcionalidad a la resolución de situaciones cotidianas. yyInterpretación de situaciones donde se manifiesta el espíritu emprendedor de las personas.

58 – 61

68 – 71

Actividad de evaluación formativa: autoevaluación

yyEcuaciones con dos variables. yyIdentificación de variables dependiente e independiente en ecuaciones con dos variables.

62 – 63

72 – 73

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyVariables relacionadas en forma directamente proporcional. yyDeterminación de la constante de proporcionalidad en una relación directamente proporcional. yyResolución de actividades que involucran variables relacionadas en forma directamente proporcional.

64 – 65

74 – 75

Actividad de evaluación formativa

yyRepresentación gráfica de dos variables relacionadas en forma directamente proporcional.

66 – 67

76 – 77

Actividad de evaluación formativa

yyVariables relacionadas en forma inversamente proporcional. yyDeterminación de la constante de proporcionalidad en una relación inversamente proporcional. yyResolución de actividades que involucran variables relacionadas en forma inversamente proporcional.

68 – 69

78 – 79

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyRepresentación gráfica de dos variables relacionadas en forma inversamente proporcional.

70 – 71

80 – 81

Actividad de evaluación formativa

yyModelación matemática de la proporcionalidad directa.

72 – 73

82 – 83

Actividad de evaluación formativa

yyModelación matemática de la proporcionalidad inversa.

74 – 75

84 – 85

Actividad de evaluación formativa: autoevaluación

yyIdentificación de relaciones que son funciones. yyIdentificación del dominio y del recorrido de funciones.

76 – 77

86 – 87

Actividad de evaluación formativa: autoevaluación

yyAplicación de procedimiento para resolver problemas contextualizados.

78 – 79

88 – 89

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyConfección de planilla de cálculo en Excel para graficar relaciones directa e inversamente proporcionales.

80 – 81

90 –91

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyValoración y utilización de los conocimientos adquiridos durante la unidad para resolver las actividades de evaluación.

82 – 85

92 – 95

Actividad de evaluación formativa: autoevaluación Actividad de evaluación sumativa: evaluación final

Ecuaciones y proporcionalidad 67

Orientaciones metodológicas 1. Para comenzar el estudio de

esta unidad sugerimos que recuerde a sus estudiantes la forma de resolver ecuaciones lineales de primer grado trabajadas en cursos anteriores y también que repase los temas relacionados con razones y proporciones. 2. Invite a alumnos y alumnas a leer el recuadro En esta unidad aprenderás a:, donde se desglosan los contenidos que se trabajarán a lo largo de la unidad. 3. El tema transversal que se trabajará es el espíritu emprendedor, sobre esto puede realizar una reflexión con alumnos y alumnas que le servirá de introducción al texto que se propone en la página 59 del texto. 4. Invite a sus alumnos y alumnas a intentar resolver el problema propuesto en ¿Puedes resolver?, el cual les servirá para tener una idea del tipo de situaciones a las que podrán enfrentarse luego del estudio de los contenidos que se tratarán. 5. Pida a sus estudiantes que resuelvan los ejercicios que se proponen en la Actividad complementaria y que le servirán para ejercitar conocimientos previos necesarios para los temas que se estudiarán posteriormente. Invítelos a resolverlos en forma individual y dé un tiempo para ello. 6. Luego que los alumnos y alumnas concluyan la actividad, revise colectivamente y dedique un tiempo a corregir los errores y a aclarar las dudas, de modo que los estudiantes comiencen el estudio de la unidad sobre una base sólida.

Actividad complementaria

Manipular aritméticamente

1. Un bus recorre 300 km en 5 horas. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 10 horas? ¿En cuántas horas recorrerá 1 000 km? 2. En una tienda se anuncia un 30% de descuento en las poleras. Completa la siguiente tabla con las compras que realizaron dos amigas:

68 Texto del Estudiante - Unidad 3

Amigas 1 2

Precio sin descuento [$]

Precio con descuento [$])

5 000 5 000 7 000 7 000

Unidad 3

Presentación de la unidad A través del estudio de la presente unidad los estudiantes tendrán la posibilidad de relacionar las expresiones algebraicas y los conocimientos que poseen de razones y proporciones. Aprenderán la diferencia entre incógnita y variable, lo que les permitirá comprender las relaciones entre variables dentro de una ecuación. Graficar las relaciones directa e inversamente proporcionales entre dos variables les servirán para comprender visualmente este tipo de comportamientos y asociarlos a situaciones cotidianas. Conocerán e interpretarán el modelo matemático de estas relaciones y podrán formular modelos matemáticos específicos para situaciones concretas. Todos los contenidos los verán relacionados a partir de situaciones contextualizadas en el tema transversal que es el emprendimiento y que articula la unidad a través de datos reales.

 Red conceptual Tablas y gráficos

Directamente proporcionales

representadas en

Ecuaciones y proporcionalidad

a partir de

Ecuaciones con permiten dos variables determinar

Relaciones de proporcionalidad descritas mediante

Modelamiento matemático

que pueden ser

Inversamente proporcionales

Describir e permiten interpretar fenómenos matemáticos

Ecuaciones y proporcionalidad 69

Orientaciones metodológicas 1. Antes de iniciar la clase, constate que los estudiantes:

Conocen el concepto de proporcionalidad.

Resuelven problemas aplicando la propiedad fundamental de las proporciones. Resuelven ecuaciones de primer grado con coeficientes enteros, fraccionarios y decimales.

2. De cursos anteriores los es-

tudiantes conocen tanto las razones y las proporciones como las ecuaciones de primer grado. También saben resolver proporciones con un término desconocido a partir de su propiedad fundamental. Es importante que recuerde a sus estudiantes estos contenidos como se sugiere en Diversidad, pues esto va a contribuir en la comprensión de las actividades que se sugieren en estas páginas. 3. Invite a alumnos y alumnas a leer la historieta y a responder las actividades sugeridas. 4. Los alumnos y alumnas deben trabajar el tema de razones y proporciones a partir de una receta de cocina, realizando el escalado para más comensales y también calculando la cantidad de ingredientes necesarios para menos comensales. Escriba en la pizarra una receta sencilla especificando para cuántas personas está especificada y realice, en conjunto con el curso, el cálculo de los ingredientes para el doble de las personas y para la mitad. 5. Haga una puesta en común con las respuestas de sus estudiantes y aclare las dudas que puedan surgir.

Actividad complementaria

Interpretar información

1. Un hombre cargó un canasto con pan para vender. El primer cliente le compró la mitad de todos los panes más medio pan. El segundo cliente le compró la mitad de lo que quedaba, más medio pan, el tercer cliente le compró un pan que era todo lo que quedaba en el canasto. ¿Cuántos panes tenía inicialmente en su canasto el hombre? ¿Cuántos panes compraron el primer y el segundo cliente? 2. Júntate con uno o dos compañeros y compañeras e inventen una o dos situaciones similares a la anterior. Intercambien luego los problemas con otros grupos para que ellos los intenten resolver.

70 Texto del Estudiante - Unidad 3

Unidad 3

Reflexión ¿Cuándo dices que una cantidad es proporcional a otra? Con esta pregunta puede iniciar una reflexión con los alumnos y alumnas, a través de la cual puede no solo recordar este concepto, sino que puede trabajar con su aplicación. Converse con sus estudiantes sobre situaciones cotidianas que pueden ser resueltas mediante la aplicación de la propiedad fundamental de las proporciones o regla de tres.

Interpretar información

Diversidad

Evaluación Entregue a sus estudiantes la siguiente tabla, mediante la cual podrán autoevaluar su desempeño durante el desarrollo de la Actividad inicial: Aspectos a evaluar Calculé las razones correctamente Determiné la cantidad de ingredientes necesarios Apliqué la propiedad fundamental de las proporciones Ayudé a los compañeros y compañeras que lo necesitaron Respeté las ideas de mis compañeros y compañeras

Sí

A veces

Los temas referentes a las razones y las proporciones componen contenidos que los estudiantes trabajaron en cursos anteriores, pero es posible que algunos no los recuerden. Para remediar esto, puede plantear razones sencillas como 3 : 9 y 1 : 3, y luego combinarlas para formar una proporción. También puede recordar las proporciones a partir del trabajo con porcentajes sencillos como: ¿cuál es el 50% de 10? Plantee la proporción 50/100 = x/10. A partir de esta propuesta no solo puede recordar a alumnos y alumnas la propiedad fundamental de las proporciones, sino que también llamar su atención respecto a que esta proporción está planteada en forma de ecuación, pues: 50/100 = x/10 es lo mismo que decir: x/10 = 0,5. Trabaje la proporción anterior como un porcentaje y resuélvala aplicando ambas alternativas, usando la propiedad fundamental de las proporciones y usando una ecuación de primer grado, de modo que los estudiantes puedan recordar que no solo el resultado será el mismo sino que el procedimiento también lo es.

Ecuaciones y proporcionalidad 71

Orientaciones metodológicas 1. Antes de iniciar la clase, constate que los estudiantes:

Resuelven ecuaciones de

primer grado con coeficientes enteros, fraccionarios y decimales. Interpretan problemas cuya resolución implica el planteamiento de una ecuación de primer grado.

2. Estas páginas están destinadas

a introducir a los estudiantes en el tema de la unidad mediante actividades a través de las cuales los alumnos y alumnas lograrán diferenciar las variables dependientes e independientes en ecuaciones con dos variables. 3. Trabaje en conjunto con el curso, el problema resuelto de la página 62, y mediante el análisis y resolución de las preguntas que se proponen, induzca a los estudiantes a definir los conceptos de variable dependiente e independiente. 4. Anote en la pizarra los preconceptos de sus estudiantes y arme con ellos una definición lo más cercana posible a la que se enuncia en el cuadro de contenido de la página 62 del texto. 5. Oriente la resolución de los Ejercicios individuales y Problemas de la página 63 del texto. 6. Recuerde a sus estudiantes que, independientemente que se suela utilizar las letras x e y para el planteamiento de ecuaciones, ellos tienen la libertad de ocupar las letras que estimen convenientes. Destaque que lo importante es que deben ser consecuentes a lo largo del procedimiento con ellas.

Actividad complementaria

Identificar información

1. Un grupo de universitarios realiza un experimento de laboratorio. Durante el análisis han logrado determinar que el modelo matemático del fenómeno en estudio queda definido por la siguiente ecuación: a = 3b + 10 Identifica la variable dependiente y la independiente, a partir de la presentación de la ecuación, y justifica tu respuesta. Los estudiantes obtuvieron en el experimento un conjunto de valores para la variable independiente. Completa la siguiente tabla con los valores de la variable dependiente:

72 Texto del Estudiante - Unidad 3

Variable independiente Variable dependiente

75,2

83,5

91,25 100,03

170

199

Unidad 3

Reflexión

Manipular aritméticamente

Comente con sus estudiantes cómo el planteamiento de ecuaciones de primer grado, luego de la práctica, se convierte en un método intuitivo para resolver problemas tan cotidianos como saber cuánto pagamos por algún producto conociendo los datos suficientes para ello, o calcular el precio de un producto luego de aplicado un porcentaje de descuento o de aumento. Identificar información

Diversidad Para los estudiantes que no logren comprender bien la identificación de las variables (dependiente e independiente) relacionadas mediante una ecuación, plantéeles una ecuación sencilla como y = 2x y confeccione una tabla, a través de la cual, los alumnos y alumnas puedan apreciar cómo la variable y (dependiente) varía en función de los valores adoptados por la variable x (independiente). Por ejemplo: x

Realice la lectura de la tabla de la siguiente forma: Cuando x = 2, entonces y = 4, porque y = 2x; y = 2 · 2 = 4.

Evaluación A través de la tabla que se entrega a continuación, puede evaluar el desempeño de sus estudiantes en la resolución de las actividades que se proponen en estas páginas: Aspectos a evaluar

Plantea correctamente las ecuaciones según la situación que se enuncia Diferencia la variable dependiente de la variable independiente Llega al resultado correcto Comprueba sus resultados

L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Trabaja en el tiempo estipulado

Ecuaciones y proporcionalidad 73

Orientaciones metodológicas 1. Antes de iniciar la clase, constate que los estudiantes:

Conocen y han trabajado con razones.

Conocen y han trabajado con proporciones.

Resuelven proporciones aplicando la propiedad fundamental de las proporciones.

2. Le recomendamos que para comenzar el tema de estas páginas muestre a sus estudiantes una tabla en la que resuman una serie de datos, por ejemplo, cantidad de botellas que construye una máquina por horas:

Horas

Botellas

100 200 300

3. Si graficamos la información

Botellas

de la tabla mediante un gráfico de puntos, podemos ver cómo la distancia entre los valores es constante y cómo a medida que aumenta la cantidad de horas, aumenta la cantidad de botellas en la misma proporción:

350 300 250 200 150 100 50

Actividad complementaria 0

Horas

Identificar y clasificar relaciones

1. A una oficina llegó una nueva impresora que es capaz de imprimir por una o por las dos caras. Los trabajadores curiosos quisieron probar la velocidad a la que imprimía y realizaron las siguientes pruebas: Cantidad de hojas que imprime (por una sola cara)

300

500

2 500

6 000

Cantidad de hojas que imprime (por las dos caras)

200

333,33

1 666,667

4 000

Tiempo (minutos)

¿Qué tipo de relación existe entre los datos? ¿Cuántas hojas se podrán imprimir por una sola cara en una hora y media?, ¿y en 10 min?, ¿y en 35 min?

74 Texto del Estudiante - Unidad 3

Unidad 3

Aclaración de conceptos Decimos que entre dos variables existe proporcionalidad directa cuando al aumentar (disminuir) una, aumenta (disminuye) la otra, en la misma razón. Entre dos variables directamente proporcionales existe una razón constante, que es la característica más importante de una relación directamente proporcional y es conocida como constante de proporcionalidad directa (K). Siendo X e Y dos variables, se dice que están en proporción directa si se cumple la siguiente relación: Y=K·X donde K es una constante.

Identificar información

Errores frecuentes

Identificar y clasificar relaciones

Es usual que los estudiantes identifiquen erróneamente una relación directamente proporcional entre dos variable que crecen o decrecen simultáneamente. Para evitar esta confusión, muestre a los alumnos y alumnas el modelo matemático de una proporcionalidad directa y explíqueles detalladamente cómo aplicarlo a un conjunto de datos, y cómo cerciorarse de que la razón entre las variables es constante para cada par de valores, requisito indispensable para definir una relación directamente proporcional.

Evaluación

Pida a sus estudiantes que resuelvan individualmente la siguiente actividad que usted podrá evaluar a través de las pautas de evaluación que estime adecuadas: Dados los siguientes datos: X

132

12,5

18,75

56,25

87,5

123,75

165

yy ¿Qué tipo de relación existe entre las dos variables? yy ¿Cómo descubriste la relación? yy Encuentra los valores de y, cuando x = 30, x = 150 y x = 1.

Ecuaciones y proporcionalidad 75

Orientaciones metodológicas 1. Previo al inicio de la clase, constate que los estudiantes:

Han trabajado con razones y proporciones.

Aplican la propiedad fun-

damental para encontrar el valor de una incógnita en una proporción. Resuelven problemas que implican proporcionalidad directa. Representan e interpretan información en gráficos de líneas.

2. Explique a los estudiantes

el concepto de variable y su diferencia respecto al concepto de incógnita. Los estudiantes han trabajado las incógnitas en las ecuaciones lineales y es posible que las confundan con el concepto de variable. Para corregir esto, plantee el siguiente ejemplo: La relación entre la cantidad de botellas que fabrica una determinada máquina y el tiempo que emplea para ello (variables), está dada por la expresión y = 100x, donde x es la cantidad de horas e y la cantidad de botellas que fabrica la máquina en ese tiempo. Plantee a sus estudiante una tabla como la siguiente e invítelos a completarla: x

Puede explicar a los alumnos y las alumnas que x e y son variables, siendo y la variable dependiente; y x, la independiente. Si alguno de los valores de estas variables se desconoce, entonces se habla de incógnita, cuyo valor puede determinarse resolviendo una ecuación.

Actividad complementaria

Representar gráficamente

1. En una empresa importadora de frutas tropicales se reciben 120 toneladas mensuales de productos. Los técnicos de la empresa han diseñado la siguiente tabla con los envíos: Cantidad de meses

Toneladas de productos

Completa la tabla. Determina la constante de proporcionalidad directa a partir de los datos de la tabla. Construye un gráfico que represente las importaciones de la empresa. ¿Qué forma tiene la gráfica?

76 Texto del Estudiante - Unidad 3

Unidad 3

Diversidad

Representar gráficamente

2. Observa y analiza el gráfico: ¿Qué forma tiene la gráfica? ¿Qué tipo de relación existe entre las variables x e y? Tabula los datos entregados por el gráfico. Determina la constante de proporcionalidad. Identificar y clasificar relaciones

y 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Si algunos estudiantes no han comprendido el concepto de constante de proporcionalidad, puede explicarles que la relación directa entre variables está dada por la ecuación que vieron en la clase anterior: y=K·x Para encontrar el valor de la constante K, solo tenemos que despejarla de la ecuación de la siguiente manera (para x ≠ 0): y = K · x /: x y:x=K Es decir, K no es más que el cociente de y/x. Esto significa que un conjunto de pares de valores se encuentran en proporcionalidad directa siempre que el cociente y/x sea el mismo para cada uno de ellos. También lo sería en el caso que x/y sea constante, pues x/y = 1/K. Anotaciones:

Ecuaciones y proporcionalidad 77

Orientaciones metodológicas 1. Previo al inicio de la clase, constate que los estudiantes:

Reconocen cuando una relación es inversamente proporcional. Resuelven problemas sencillos que implican proporcionalidad inversa.

2. Los estudiantes pueden intuir

que si la proporcionalidad directa está representada por una ecuación que generaliza el concepto, con la proporcionalidad inversa sucede lo mismo. Le recomendamos que realice con sus estudiantes una actividad sencilla y que, a partir de ella deduzcan en conjunto, la ecuación de la proporcionalidad inversa y cómo se calcula en este caso la constante de proporcionalidad inversa K: Tres obreros descargan un camión con bolsas de pan en 50 minutos. Trabajando al mismo ritmo, ¿qué tiempo demora un solo obrero, dos obreros y cuatro obreros? Ubiquemos estos datos en una tabla: Obreros

Tiempo (min)

150

3. A través de la tabla, los es-

tudiantes observarán que a medida que aumenta el número de obreros disminuye el tiempo requerido para la descarga, e intuirán la existencia de una proporcionalidad inversa. Luego, mediante un análisis de la relación entre los números concluirán que el producto de ambas variables siempre es el mismo.

Actividad complementaria

Resolver problemas

1. Para llenar una tina con 3 llaves iguales demoró 24 minutos. Si la llenara con una sola, ¿cuántos minutos demoraría? 2. 12 personas limpian un colegio en 2 horas. Por reducción de personal ahora solo hay 8 personas. ¿Cuánto tiempo emplean si trabajan todas al mismo ritmo? 3. Un curso planifica un viaje a la playa por un fin de semana largo. Si arriendan minibuses de 12 asientos, sin contar el del chofer, se requieren 3 minibuses en los cuales cabe todo el curso sin que falte ni sobre ningún asiento. Lamentablemente, consiguieron solo minibuses de 8 asientos. ¿Cuántos tuvieron que arrendar? 4. Para trasladar un material de desecho con camiones de 8 toneladas de capacidad, se emplean 8 horas. ¿Cuántas horas de transporte se requieren si se usan camiones de 4 toneladas de capacidad?

78 Texto del Estudiante - Unidad 3

Unidad 3

Aclaración de conceptos

Identificar y clasificar relaciones

Resolver problemas

La proporcionalidad inversa se establece entre una variable independiente X y una variable dependiente Y, de forma que el producto de ambas es siempre igual a una constante K. Es decir: X·Y=K A partir de esta ecuación, podemos deducir que la proporcionalidad inversa entre dos variables también puede representarse por la ecuación Y = K/X.

Errores frecuentes Los estudiantes suelen presentar dificultades al momento de descubrir dentro de una ecuación si las variables están en relación directa o inversamente proporcional. Para aclarar este particular, sugiérales realizar una operación muy sencilla que consiste en reunir las variables en uno de los lados de la ecuación y los número en la otra y comprobar la modelación matemática con la que coinciden, por ejemplo: X = 8/Y XY = 8

Evaluación Evalúe el desempeño de sus alumnos y alumnas durante el desarrollo de las actividades en clase, a través de la siguiente lista de cotejo: Aspectos a evaluar

Reconoce variables inversamente proporcionales Resuelve los problemas siguiendo una metodología adecuada Obtiene los resultados correctos Trabaja en el tiempo que se le indica Ayuda a los compañeros y compañeras que lo requieren L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Anotaciones:

Ecuaciones y proporcionalidad 79

Orientaciones metodológicas 1. Previo al inicio de la clase, constate que los estudiantes:

Resuelven problemas

que implican proporcionalidad inversa. Representan información mediante gráficos de líneas. Interpretan información representada en gráficos.

2. Para el trabajo con este contenido le recomendamos que antes de analizar el problema resuelto de la página 70, proponga a sus alumnos y alumnas una tabla con datos que se encuentren en proporcionalidad inversa y que conste de números más sencillos de manejar como por ejemplo:

3,3

2,5

A partir de este ejemplo invite

a los estudiantes a graficar los datos contenidos en la tabla. Recuérdeles que para ello deben hacer coincidir los valores correspondientes a ambos ejes, quedando de la siguiente forma:

y 12 10 8

Actividad complementaria

6 4 2 0

3. Una vez que haya trabajado con sus estudiantes el ejemplo anterior analice en conjunto con ellos el problema resuelto que se desarrolla en el texto. 4. Explique a los estudiantes qué es una hipérbola y asóciela al gráfico de la proporcionalidad inversa.

Interpretar información

1. En un terreno del sur de Chile se arrienda un sitio para veraneo. 8 familias del vecindario se asocian para pagar $ 60 000 cada una. A última hora 2 familias desisten. ¿Cuánto tendrá que pagar cada una de las familias? Si en lugar de desistir dos familias, se hubiesen agregado 4 familias, ¿cuánto habría pagado cada familia? Tabula la cantidad de dinero que debe pagar cada familia si fueran 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 familias. ¿Qué relación existe entre la cantidad de familias que asiste al sitio de veraneo y la cantidad de dinero que debe pagar cada una? Grafica los datos.

80 Texto del Estudiante - Unidad 3

Unidad 3

Diversidad Debido a que el gráfico de la proporcionalidad directa corresponde a una recta, es posible que los alumnos y alumnas, al momento de representar la proporcionalidad inversa, lo hagan también por una recta. Es necesario, a los estudiantes que presenten este error, recordarles que el gráfico que representa la proporcionalidad inversa está dado por una hipérbola y que para no errar, es necesario que a la hora de graficar un conjunto de datos relacionados en forma inversamente proporcional, primero marquen en el gráfico los puntos correspondientes y luego los unan. De esta forma, si la proporcionalidad inversa está correctamente planteada no incurrirán en errores al graficarla.

Representar gráficamente

Aclaración de conceptos Una hipérbola es una curva abierta de dos ramas, producida por la intersección de un cono circular recto y un plano que corta las dos secciones del cono.

2. Completa la siguiente tabla que relaciona la cantidad de trabajadores con el número de días que requieren para terminar una obra, si sabes que 8 personas concluyen el trabajo en 3 días: Trabajadores Tiempo

3 12

8 4

24 2

Construye el gráfico correspondiente a la tabla anterior. ¿En qué se distingue este tipo de gráfico de un gráfico de proporcionalidad directa? ¿Qué ocurre con el producto entre los valores de cada columna? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en este problema? Representar ¿Qué nombre recibe la curva que graficaste?

gráficamente

Ecuaciones y proporcionalidad 81

Orientaciones metodológicas 1. Previo al inicio de la clase, constate que los estudiantes:

Resuelven problemas

que implican proporcionalidad directa. Representan e interpretan información en gráficos. Trabajan proporcionalidad directa a través de tablas y gráficos.

2. Para trabajar con los estudian-

tes los modelos matemáticos de la proporcionalidad directa, es importante antes que nada que conozcan el concepto de modelo matemático, para lo cual se puede auxiliar de la Aclaración de conceptos. 3. Para que el concepto de modelo matemático sea más comprensible, puede explicar a los alumnos y alumnas que la proporcionalidad directa es una relación que se establece entre dos conjuntos de datos, y el modelo matemático es el que generaliza esta relación: Y = KX donde K es la constante de proporcionalidad directa. 4. En la página 83 de esta guía se sugiere una actividad para trabajar la proporcionalidad directa, donde los datos son: Horas

Botellas

Representar gráficamente

Actividad complementaria

100 200 300

A partir de estos datos, indique que al calcular la constante de proporcionalidad pueden construir un modelo matemático que satisfaga específicamente esta situación y a partir del cual podrán obtener una cantidad indefinida datos. El modelo en este caso es Y = 100X, y a través de él, podemos calcular, por ejemplo, que la máquina colocará al cabo de 100 horas 10 000 tapas.

1. Dos personas partieron, al mismo tiempo, desde Chillán hacia Concepción. Uno partió caminando y el otro a caballo. La tabla contiene la distancia recorrida por cada uno en la carretera y el tiempo invertido en ello: Personas

5 min

10 min

15 min

20 min

25 min

30 min

300 m

600 m

900 m

1 200 m

1 500 m

1 800 m

1 200 m

2 400 m

3 600 m

4 800 m

6 000 m

7 200 m

Confecciona un gráfico que represente el movimiento de cada una de las personas. ¿Qué forma tiene la gráfica que representa el movimiento de la persona 1? ¿Y de la 2? Calcula las constantes de proporcionalidad de ambos modelos.

82 Texto del Estudiante - Unidad 3

Unidad 3

Aclaración de conceptos Un modelo matemático es la representación mediante ecuaciones de la dinámica de un sistema. Los modelos matemáticos son los modelos más importantes para la ciencia y la tecnología. Los modelos matemáticos se clasifican según su origen en: Teóricos o fenomenológicos: son los que se obtienen a partir de leyes o hipótesis teóricas. Son difíciles de obtener. Empíricos: son relativamente fáciles de obtener y, muchas veces, carecen de generalidad. Se obtienen a partir de datos experimentales. Mixtos: su estructura se obtiene de forma teórica y algunos de sus parámetros se obtienen de forma experimental.

Interpretar información

Reflexión Converse con sus estudiantes sobre la importancia de la generación de modelos matemáticos en diferentes ramas de la ciencia. Explique que las ecuaciones matemáticas que se ocupan para determinar algunas magnitudes no son más que la modelación matemática de los fenómenos que las relacionan.

2. En una fábrica de bebidas se ha comprado una nueva máquina. Esta máquina se encargará, tras el llenado de las botellas, de colocarles la tapa. En la etapa de prueba, un operario se encargó de controlar directamente el proceso, tabulando la cantidad de tapas que colocaba la máquina en determinado tiempo. La tabla confeccionada es la siguiente: Tiempo (horas)

Nº de botellas

100

200

300

400

500

600

Identifica y clasifica las variables. ¿Qué tipo de relación existe entre las variables Tiempo y Nº de botellas? Si quisieras determinar la cantidad de tapas que podría poner la máquina luego de 9 horas de trabajo continuo, ¿cómo lo harías? Identificar y clasificar relaciones

Ecuaciones y proporcionalidad 83

Orientaciones metodológicas 1. Antes de comenzar la clase, compruebe que los estudiantes:

Resuelven problemas

que implican proporcionalidad inversa. Representan e interpretan información en gráficos de líneas. Trabajan proporcionalidad inversa a través de tablas y gráficos. Determinan la constante de proporcionalidad inversa a partir de tablas de datos de variables relacionadas en forma inversamente proporcional.

2. Lea en voz alta el problema re-

suelto que aparece en la página 74 del texto. Es importante que durante esta lectura esclarezca las dudas que puedan surgir sobre la Ley de Boyle y, si es posible, ejemplifique con un globo. 3. Revise y explique en la pizarra cada uno de los pasos descritos en el texto para el ejemplo explicativo. Extienda, luego, la situación a otros valores de presión y pida a algunos estudiantes que pasen a la pizarra a calcular el volumen correspondiente. Representar gráficamente

Actividad complementaria

1. En la siguiente tabla se muestra la relación entre el número de llaves necesarias para llenar una piscina y el tiempo, en horas, requerido para hacer este trabajo: Llaves

Tiempo (h)

9 4

36 1

Grafica los datos de la tabla. ¿Qué clase de curva obtienes? Encuentra un modelo matemático específico que describa la relación entre las dos variables tabuladas. Calcula, a partir del modelo que encontraste, el número de llaves que se requieren para llenar la piscina en 360 minutos, en 4,5 horas, y determina cuánto tiempo se necesita para llenar la piscina con 10 llaves.

84 Texto del Estudiante - Unidad 3

Unidad 3

Otros recursos

Analizar

Aplicar fórmula

Evaluación Presente a sus estudiantes la siguiente tabla, mediante la cual podrán autoevaluar el nivel de comprensión que han conseguido del contenido tratado: Aspectos a evaluar Comprendí qué es un modelo matemático Comprendí el modelo matemático de proporcionalidad inversa Apliqué el modelo aprendido a la resolución de los problemas propuestos Obtuve los resultados correctos Trabajé en el tiempo establecido por el docente

Sí

A veces

En el sitio web http://www. juntadeandalucia.es/averroes/ recursos_informaticos/andared02/ leyes_gases/ley_boyle.html podrá encontrar una didáctica ejemplificación de la Ley de Boyle. Anotaciones:

Ecuaciones y proporcionalidad 85

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, compruebe que los estudiantes:

Determinan la relación que existe entre dos variables. Trabajan la proporcionalidad directa e inversa a través de tablas y gráficos.

2. Pida a un estudiante que lea en

Actividad complementaria

Identificar y clasificar relaciones

1. Un hombre participa en una carrera. Observa el gráfico que aparece a continuación en el que se muestra la posición del hombre en el tiempo: Modela matemáticamente el movi30 miento del hombre. 25 Clasifica las variables involucradas. 20 Determina la relación de dependencia 15 entre las variables. 10 Escribe los valores de esta relación y 5 dibuja un diagrama con ellos. Determina el dominio y el recorrido 0 1 2 3 4 5 Tiempo (h) de la función.

86 Texto del Estudiante - Unidad 3

Distancia (km)

voz alta el problema de la página 76 del texto. A medida que el estudiantes lea el enunciado usted puede ir esquematizando la información en la pizarra. 3. Analice con el curso la modelación matemática del problema y la tabla que generó. Pida a los estudiantes que identifiquen la variable independiente y la variable dependiente. 4. Genere nuevos valores de la variable dependiente mediante el modelo matemático, a partir de valores de la variable independiente determinados por usted. 5. Lea el cuadro de contenido y retome el problema inicial para analizar colectivamente la relación y la aplicación de la definición. 6. Converse con sus estudiantes sobre las diferentes funciones y sus aplicaciones en sentido general. Es importante que los alumnos y alumnas sepan que las funciones, a pesar de ser un concepto matemático, se aplican en una gran variedad de ramas de la ciencia. 7. Lea con el curso la Pista que se ofrece en la página 77, y luego analice el dominio y el recorrido en el ejemplo planteado al inicio de la clase. 8. Oriente la realización de los Ejercicios individuales y luego revise en conjunto con el curso los resultados.

Unidad 3

Diversidad

Seleccionar información

Es importante que los estudiantes comprendan y se apropien del concepto de función, pues es un tema que aparecerá de manera recurrente en cursos posteriores, y que será la base de numerosos contenidos. Verifique que todos los estudiantes comprenden el concepto de función. Deténgase en la explicación el tiempo que considere necesario y utilice material concreto para ejemplificar el problema explicativo del texto. La demostración la puede realizar con porotos, fichas de cartulina, etc., y un tablero tipo calendario.

Aclaración de conceptos Una función es la relación entre dos magnitudes, tal que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda. Las funciones son aplicables a numerosas situaciones y cubren en su amplitud las relaciones de dependencia que existen, tanto en la matemática como en las demás ciencias.

Evaluación Invite a sus estudiantes a autoevaluar el trabajo realizado en clase completando la siguiente tabla: Aspectos a evaluar Comprendí la explicación del docente Trabajé con esquemas las diferentes funciones que se plantearon Determiné el dominio de las funciones Determiné el recorrido de las funciones Ayudé a los compañeros y compañeras que lo solicitaron Trabajé en forma limpia y ordenada

Sí

A veces

Anotaciones:

Ecuaciones y proporcionalidad 87

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, compruebe que los estudiantes:

Plantean ecuaciones de

primer grado a partir de situaciones contextualizadas. Identifican relaciones directa e inversamente proporcionales entre variables. Tabulan y grafican conjuntos de números relacionados en forma directa o inversamente proporcional. Conocen los modelos matemáticos de proporcionalidad inversa y directa.

2. Analice con sus estudiantes el

Problema modelo de la página 78 del texto, que se resuelve siguiendo una metodología coherente que ayudará a los alumnos y alumnas a realizar un trabajo ordenado. 3. Comente que, en caso que lo consideren, pueden adecuar esta metodología a sus necesidades o implementar otra que les facilite aun más el trabajo, teniendo en cuenta siempre que es necesario que todos los cálculos que realicen permanezcan en sus cuadernos, no solo para que el docente al momento de revisar constate el desarrollo que realizó cada uno, sino también para que los propios estudiantes, si desean ocupar un problema determinado como modelo, puedan deducir el origen de cada número y la secuencia de pasos que siguieron para calcularlo. 4. Invite a los estudiantes a resolver los problemas propuestos en la página 79 del texto.

Identificar y clasificar relaciones

Actividad complementaria

1. En una mina de carbón, cada 1 000 kg de material extraído, solamente se obtienen 600 kg de carbón. ¿Cuántos kilogramos de carbón se obtienen un día en que se extrajeron 20 000 kg de material? 2. Indica cuál o cuáles de las siguientes tablas contienen variables relacionadas en forma proporcional. En aquellas que las contienen determina el valor de la constante de proporcionalidad.

88 Texto del Estudiante - Unidad 3

40,5

100

10 000

5 000

2 500

Unidad 3

Resolver problemas

Aclaración de conceptos Basándose en las fórmulas de los modelos matemáticos de las proporcionalidades inversa y directa de diversas ramas de la ciencia, se puede determinar entre qué variables existe cada tipo de proporcionalidad, por ejemplo: F = ma En ella m es la masa de un cuerpo, F es la fuerza que se ejerce sobre él y a la aceleración que adquiere. A través de esta fórmula podemos decir que la masa y la fuerza son directamente proporcionales para una aceleración constante. Esto se traduce en que mientras mayor sea la masa del cuerpo, mayor es la fuerza que hay que ejercer sobre él para mantener la aceleración constante. También podemos decir que la masa y la aceleración son inversamente proporcionales, pues mientras mayor es la masa del cuerpo menor es la aceleración que adquiere para una fuerza constante.

Diversidad

Evaluación Proponga a sus estudiantes que a modo evaluación resuelvan el siguiente problema: Para fabricar 30 kg de chocolate se necesitan 10 kg de cacao. ¿Cuántos kilogramos de chocolate se pueden fabricar con 64 kg de cacao? ¿Qué tipo de relación existe entre las variables? Para calificar puede utilizar una pauta como la que se propone a continuación: Indicadores

Muchos estudiantes, al estudiar la modelación matemática de las relaciones directa o inversamente proporcionales entre dos variables intentan memorizar el modelo y, también, la forma de calcular la constante de proporcionalidad K. Vuelva a explicar que el valor de la constante K se obtiene del despeje de K dentro del modelo matemático. Por ejemplo: y = K · x /: x K = y/x

Identifica las variables involucradas Identifica la relación entre las variables Aplica el modelo matemático correcto

L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Ecuaciones y proporcionalidad 89

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, compruebe que los estudiantes:

Tabulan y grafican con-

juntos de números relacionados en forma directa o inversamente proporcional. Conocen los modelos matemáticos de proporcionalidad inversa y directa. Conocen y han trabajado con Excel.

2. En la actividad de Tecnología

activa se analizará el comportamiento de fenómenos físicos utilizando la Ley de Boyle y la Ley de Gay-Lussac. Puede explicar a sus estudiantes que la Ley de Boyle establece que la presión de un gas en un recipiente cerrado es inversamente proporcional al volumen del recipiente, cuando la temperatura es constante; y la ley de Gay-Lussac enuncia la relación directamente proporcional existente entre la temperatura y la presión de un gas, cuando el volumen es constante. Es importante que los estudiantes tengan claro que las relaciones entre los datos con los que van a trabajar no son arbitrarias, sino que se rigen por leyes físicas experimentales. 3. Solicite a sus estudiantes que realicen las actividades del texto. Explique que los pasos no deben ser seguidos mecánicamente, sino que deben analizar cada una de las operaciones que van realizando, de modo que sean capaces de aplicarlas para resolver otras situaciones.

Identificar y clasificar relaciones

Actividad complementaria

Ocupar herramienta tecnológica

1. A partir de las siguientes tablas de datos, construye los gráficos correspondientes utilizando para ello la herramienta Excel. Tras esto, identifica el tipo de proporcionalidad que se manifiesta en cada caso: x 10 20 30 y

100

200

300

Proporcionalidad: ______________________________

1 500

1 125

900

7,5

12,5

Proporcionalidad: ______________________________

90 Texto del Estudiante - Unidad 3

Unidad 3

Ocupar herramienta tecnológica

Aclaración de conceptos Atmósfera (atm) corresponde a una unidad de presión que equivale a la presión media que ejerce la atmósfera terrestre a nivel del mar. La presión atmosférica es producida por la fuerza de atracción entre la masa gaseosa que rodea nuestro planeta y el centro de la Tierra. La unidad del Sistema Internacional para medir la presión es el Pascal (Pa). La equivalencia entre estas unidades es: 1 atm = 101 000 Pa

Historia y números La ley de Gay-Lussac debe su nombre al químico y físico francés Joseph Louis Gay-Lussac (1778-1850). Fue catedrático en la Universidad de Sorbona y en el Instituto Politécnico de París. La ley que estableció indica que, a volumen constante, la presión de una masa fija de un gas ideal es directamente proporcional a su temperatura expresada en kelvin. Gracias a sus mediciones químicas de precisión y a sus procedimientos exactos de trabajo, logró obtener varios elementos químicos y establecer las bases del análisis volumétrico, convirtiéndolo en una disciplina independiente. Trabajó en la preparación del potasio e investigó las propiedades del cloro.

Evaluación Evalúe el trabajo de sus estudiantes a partir de la siguiente tabla: Indicadores

Mostró manejo del programa Excel Siguió las indicaciones del texto Realizó las actividades correctamente Trabajó en el tiempo estipulado por el docente

L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Mantuvo una buena actitud durante el trabajo

Ecuaciones y proporcionalidad 91

Orientaciones metodológicas

Sintetizar información

1. Antes de iniciar la clase, constate que los estudiantes:

Plantean ecuaciones de

primer grado a partir de situaciones contextualizadas. Identifican relaciones directa e inversamente proporcionales entre variables. Tabulan y grafican conjuntos de números relacionados en forma directa o inversamente proporcional. Analizan y aplican los modelos matemáticos de proporcionalidad inversa y directa. Definen el concepto de función.

2. En la página 82 del texto los

estudiantes encontrarán la Síntesis de la unidad, en la cual se resumen en fichas los contenidos más importantes estudiados en la unidad. 3. Seleccione a algunos estudiantes para que lean cada una de las fichas en voz alta y, a medida que vayan leyendo, analícela, escriba un ejemplo en la pizarra que describa el concepto señalado y, si lo considera necesario, repase las páginas del texto en donde aparece su contenido. 4. Realice preguntas a estudiantes al azar que estén relacionadas con las fichas del texto para detectar vacíos conceptuales. 5. Tras terminar el análisis de cada ficha, pida a los estudiantes que retrocedan al inicio de la unidad para hojear las páginas binarias y comparar cada contenido con los presentados en la síntesis.

Actividad complementaria

Identificar y clasificar relaciones

1. En la siguiente tabla aparecen las dimensiones posibles de algunos rectángulos que tienen un área de 24 cm2: Largo (cm)

Ancho (cm)

1,2

2,4

¿Qué relación matemática existe entre el largo y el ancho de los rectángulos? ¿Qué fórmula modela matemáticamente esta relación? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad inversa de esta relación? Construye la gráfica que representa los datos de la tabla. ¿Qué forma tiene la curva representada?

92 Texto del Estudiante - Unidad 3

Unidad 3

Diversidad Para los estudiantes que han tenido mayor dificultad con los temas estudiados, pídales que realicen un resumen de los contenidos más complejos para ellos y que lo escriban en sus cuadernos. Tras esto, pida que escriban al lado de cada tema un ejercicio como ejemplo. Estos ejercicios puede pedir que los estudiantes los inventen o puede ofrecerlos usted y resolverlos en conjunto con ellos, dando las explicaciones necesarias. De esta forma garantiza que los ejemplos estén bien resueltos en sus cuadernos y no se guíen por actividades erradas.

Analizar datos

Identificar y clasificar relaciones

Evaluación Proponga a sus estudiantes la siguiente autoevaluación: Aspectos a evaluar Identifico las variables dependiente e independiente Identifico una relación directamente proporcional entres dos variables Identifico una relación inversamente proporcional entres dos variables Manejo el modelo matemático de la proporcionalidad directa Manejo el modelo matemático de la proporcionalidad inversa Reconozco las funciones

Sí

A veces

Anotaciones:

Ecuaciones y proporcionalidad 93

Orientaciones metodológicas

Interpretar información

1. Antes de iniciar la clase, constate que los estudiantes:

Plantean ecuaciones de

primer grado a partir de situaciones contextualizadas. Identifican relaciones directa e inversamente proporcionales entre variables. Tabulan y grafican conjuntos de números relacionados en forma directa o inversamente proporcional. Analizan y aplican los modelos matemáticos de proporcionalidad inversa y directa. Definen el concepto de función. Identificar y clasificar relaciones

2. Lea en voz alta los enunciados

de los ejercicios e invite a sus estudiantes a señalar aquellos donde tengan problemas. Aclare los enunciados para evitar la incorrecta realización de las actividades. 3. Entregue hojas en blanco a sus alumnos y alumnas para que plasmen en ellas los resultados de cada una de las actividades de la Evaluación. 4. Dé un tiempo para la realización de la actividad. Luego de transcurrido este, retire las hojas y realice una puesta en común con los resultados. Deténgase en las actividades en las que algún alumno o alumna manifieste alguna dificultad, para que pueda aclarar sus dudas al respecto.

Actividad complementaria

Identificar y clasificar relaciones

1. Se está organizando un viaje a las Torres del Paine para 20 personas. Si se sabe que el mismo viaje para 6 personas y con $ 100 000 alcanza para 4 días, ¿cuánto dinero se necesita para que las 20 personas permanezcan 12 días? Observa la tabla: Personas que viajan

Días de viaje

Dinero necesario para la alimentación

100 000

¿Qué relaciones identificas en la tabla? ¿Cómo podrías modelar las relaciones entre las variables estudiadas?

94 Texto del Estudiante - Unidad 3

Unidad 3

Aclaración de conceptos

Interpretar información

Es importante que, antes de terminar el estudio de la unidad, explique a los alumnos y las alumnas que se usaron tres formas para representar la relación entre dos variables: a través de un gráfico, de una ecuación y de una tabla. Si bien la tres permiten definir una relación, la ecuación algebraica la generaliza, ya que, tanto el gráfico como la tabla muestran una cantidad limitada de datos. La función expresada como ecuación en cambio, permite por simple reemplazo, determinar el valor de una de las variables si se conoce el de la otra.

Identificar y clasificar relaciones

Evaluación Proponga a sus estudiantes la siguiente autoevaluación: Aspectos a evaluar

Identifico variables dependientes e independientes Reconozco cuando dos variables están relacionadas en forma directamente proporcional Reconozco cuando dos variables están relacionadas en forma inversamente proporcional Construyo tablas y gráficos de relaciones directa e inversamente proporcionales Distingo relaciones proporcionales de relaciones no proporcionales entre variables Reconozco modelos matemáticos de proporcionalidad directa e inversa Identifico relaciones que son funciones L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Ecuaciones y proporcionalidad 95

Unidad Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo

Sección

Planificación Unidad 4 Objetivos Fundamentales Verticales

yyRealizar traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas. yyIdentificar y construir teselaciones. yyDiferenciar la circunferencia del círculo. yyIdentificar elementos de la circunferencia y del círculo. yyCalcular el perímetro de una circunferencia. yyCalcular el área de un círculo.

Clase

Horas

Entrada de unidad Actividad inicial

yyIdentifican la circunferencia. yyEstablecen relación entre la variación del diámetro y del perímetro de la circunferencia.

Traslación Reflexión

yyIdentifican las traslaciones y reflexiones como transformaciones isométricas. yyRealizan traslaciones de figuras planas. yyDistinguen la simetría axial de la simetría central. yyRealizan reflexiones de figuras planas.

Rotación Teselaciones

yyIdentifican la rotación como transformación isométrica. yyRealizan rotaciones de figuras planas. yyIdentifica la teselación como una aplicación de las trasformaciones isométricas.

Definición de circunferencia y círculo

yyDiferencian circunferencia de círculo. yyReconocen el diámetro y el radio como elementos de una circunferencia.

Elementos lineales de una circunferencia Elementos angulares de circunferencias y círculos

yyReconocen los elementos lineales de una circunferencia. yyReconocen los elementos angulares de círculos y circunferencias y los elementos lineales que los determinan.

Perímetro de una circunferencia

yyEstablecen ecuación para determinar el perímetro de una circunferencia.

Área de un círculo

yyResuelven situaciones cotidianas que implican la determinación del área de un círculo.

Resolución de problemas

yyAplican los procedimientos aprendidos en la unidad para resolver problemas contextualizados.

Tecnología activa

yyUtilizan herramienta tecnológica para trabajar los contenidos geométricos.

Síntesis de la unidad Evaluación

yySintetizan temas estudiados en la unidad. yyAplican conocimientos adquiridos para resolver actividades de evaluación.

96 Planificación - Unidad 4

Ruta de aprendizajes esperados

Unidad 4

Objetivos Fundamentales Transversales yyValorar los beneficios de la globalización como una forma de intercambio social y cultural. yyCompartir e intercambiar con nuestros compañeros y compañeras para aprender de sus experiencias. yyRespetar las opiniones e ideas diferentes a las propias. yyValorar los beneficicios de conocer mejor la realidad y de utilizar este conocimiento.

Materiales Contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales

Evaluación

Páginas Texto 86 – 89

Páginas Guía 98 – 101

yyTraslación. yyEje de simetría. yyClasificación de una reflexión en simetría axial o simetría central. yyRealización de actividades en las que es necesario aplicar una traslación o una reflexión a figuras planas.

90 – 93

102 – 105

Actividad de evaluación formativa: autoevaluación

yyConsideración del ángulo de rotación y del centro de rotación como elementos necesarios para realizar la rotación de una figura plana. yyTeselaciones. yyIdentificación de que las teselaciones están conformadas por una o más transformaciones isométricas.

94 – 97

106 – 109

Actividad de evaluación formativa: coevaluación

yyReconocimiento del círculo como la superficie delimitada por una circunferencia. yyReconocimiento del radio y del perímetro de una circunferencia y de la relación entre ellos.

98 – 99

110 – 111

Actividad de evaluación formativa: autoevaluación

yyIdentificación de los elementos lineales de una circunferencia. yyIdentificación de los elementos angulares de circunferencias y círculos y reconocimiento de los elementos lineales que los determinan.

100 – 103

112 – 115

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyReconocimiento del valor de π como la relación entre el diámetro y el perímetro de una circunferencia. yyDeterminación del perímetro de una circunferencia.

104 – 105

116 – 117

Actividad de evaluación formativa

yyDeducción de la ecuación para determinar el área de un círculo a partir del análisis de polígonos regulares inscritos en una circunferencia.

106 – 107

118 – 119

Actividad de evaluación formativa

yyPlanteamiento y resolución de problemas contextualizados. yySeguimiento de una metodología para resolver problemas.

108 – 109

120 – 121

Actividad de evaluación formativa

yyUtilización del programa Cabri para aplicar los conocimientos geométricos adquiridos en la unidad.

110 – 111

122 – 123

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyValoración y utilización de los conocimientos adquiridos durante la unidad para resolver las actividades de evaluación.

112 – 115

124 – 127

Actividad de evaluación sumativa: evaluación final

yyAplicación de conocimientos previos a la resolución de situaciones cotidianas. yyIdentificación de algunas características de las circunferencias a partir del análisis de una situación cotidiana.

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo 97

Orientaciones metodológicas 1. Pida a un estudiante que lea el

título de la unidad y pregunte al curso qué creen que son las transformaciones isométricas. 2. Escriba en la pizarra sus preconceptos y luego explique qué son las transformaciones isométricas, de modo que al leer En esta unidad aprenderás a: los estudiantes puedan hacerse una idea de algunos de los contenidos que se estudiarán en la unidad. 3. Converse con los alumnos y alumnas sobre el círculo y la circunferencia y pregunte qué diferencias creen que existen entre ambos. 4. Oriente la lectura ¿Cuál es la utilidad de los satélites de telecomunicaciones? Luego, pida a los estudiantes que respondan las preguntas que ahí se plantean y, posteriormente, haga una puesta en común con las respuestas. 5. Pida a los estudiantes que realicen la actividad ¿Puedes resolver?

Evaluación Evalúe los contenidos previos de los estudiantes mediante la siguiente lista de cotejo: Indicadores

Sabe qué son las figuras geométricas planas Conoce el concepto de transformación Construye un preconcepto adecuado de isometría Diferencia el círculo de la circunferencia Identifica algunos elementos de círculos y circunferencias Reconoce círculos y circunferencias en su entorno L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

98 Texto del Estudiante - Unidad 4

Unidad 4

Presentación de la unidad La presente unidad comenzará con el estudio de las transformaciones isométricas, realizando traslaciones de diferentes figuras y aprendiendo de manera colateral, el concepto de vector aplicado a ellas. Aprenderán los dos tipos de simetrías y las relacionarán con algunos elementos de la naturaleza, para luego revisar la rotación, transformación que conocen aplicada a uno de los movimientos de nuestro planeta y que en esta oportunidad, aplicarán a otros cuerpos y figuras geométricas.

Como segunda parte de la unidad, los alumnos y alumnas estudiarán el círculo y la circunferencia, logrando identificarlos y diferenciarlos. También lograrán reconocer los elementos lineales de la circunferencia y los elementos angulares de círculos y circunferencias. Finalmente podrán realizar cálculos de área y perímetro a través de fórmulas que lograrán deducir en el trabajo en clases. Todos los contenidos de la unidad serán trabajados resaltando las aplicaciones prácticas de ellos, mediante la resolución de actividades contextualizadas.

 Red conceptual

Traslación

Transformaciones clasificadas en isométricas

Reflexión

como

Simetría axial

para

Simetría central

Rotación definiendo

Elementos angulares Elementos lineales

Círculo y circunferencia

Resolver situaciones geométricas para

Área determinando

Perímetro Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo 99

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Conocen algunas figu-

ras geométricas como triángulos, cuadrados y rectángulos. Conocen el círculo y la circunferencia. Conocen algunos elementos geométricos como segmento, recta, plano, rayo, etc.

2. Lea en voz alta la introducción

de la página 88 del texto. Luego, invite a un grupo de estudiantes a ponerse de pie y dramatizar la historieta. 3. Indague en los conocimientos previos de sus alumnos y alumnas realizando preguntas como: ¿qué es una circunferencia?, ¿qué es un círculo? 4. Pida a un estudiante que dibuje en la pizarra una circunferencia y pinte el círculo que ella encierra, para luego señalar el diámetro y el radio. 5. Forme grupos de dos o tres estudiantes y oriente la realización de las actividades que se proponen en la página 89 del texto.

Actividad complementaria 1. Dado un terreno circular: Si quisieras pasar de un extremo a otro recorriendo la menor distancia, ¿qué harías, rodearías el terreno o cruzarías por el terreno mismo hasta llegar al otro lado? En caso de haber atravesado el terreno, ¿puedes decir con certeza que pasaste por el centro del terreno y, por lo tanto, lo que hiciste fue seguir el camino del diámetro del terreno circular? Si este terreno tuviera un diámetro de 20 km de longitud y estuviese dentro de otro terreno circular que tuviera un diámetro de 25 km de longitud, así como muestra la figura, ¿cuál de los dos tendría mayor perímetro? Justifica tu respuesta.

100 Texto del Estudiante - Unidad 4

Unidad 4

Historia y números

Identificar y clasificar relaciones

Los egipcios se enfocaron en el cálculo de áreas y volúmenes, encontrando, por ejemplo, en el sistema empleado para el cálculo del área del círculo, un valor de π igual a 3,1605. También se interesaron en la trigonometría aunque no la desarrollaron demasiado. Otra civilización que desarrolló la geometría en sus orígenes fue la mesopotámica, dejando evidencias de conocer el teorema de Pitágoras. También tenían otras nociones geométricas como el cálculo del área del cuadrado y del círculo, el cálculo del volumen de determinados cuerpos y la semejanza de figuras.

Materiales Compás. Lápiz. Papel.

Evaluación Evalúe el trabajo de sus estudiantes mediante la siguiente pauta: Aspectos a evaluar

Sí

¿Realizó las actividades correctamente? ¿Siguió cada uno de los pasos descritos en el texto? ¿Comprobó los resultados? ¿Trabajó ordenadamente? ¿Pidió ayuda a sus compañeros, compañeras o al profesor en la resolución de las actividades? ¿Buscó estrategias alternativas para realizar las actividades?

A veces

Anotaciones:

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo 101

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Conocen algunas figuras geométricas planas como cuadriláteros, triángulos y otros polígonos. Conocen el nombre de algunas de las transformaciones isométricas básicas.

2. De todas las transformaciones

isométricas, es la traslación la más simple de comprender por los alumnos y alumnas. Casi todos los cuerpos en movimiento sufren una traslación. Puede comenzar las actividades de esta clase ejemplificando una traslación. Para ello, utilice alguna figura geométrica sencilla como un cuadrilátero de cartulina y, simplemente, trasládelo sobre una mesa para indicar cómo la figura cambia de posición, sin cambiar de forma ni de tamaño. 3. Pida a un estudiante que lea la introducción de la página 90 del texto y pregunte al curso qué significa que una figura sea bidimensional. 4. Explique y ejemplifique en la pizarra qué es un vector y cómo se representa. 5. Dibuje en la pizarra un cuadrilátero similar al del texto y un vector adecuado. Realice la traslación en función del vector dibujado y vaya explicando al curso cada uno de los pasos que realiza.

Actividad complementaria 1. En un mapa, los puntos cardinales se suelen asociar a lugares específicos del plano, de modo que el norte está ubicado en la parte superior, el sur en la parte inferior, el este al lado derecho y el oeste al lado izquierdo. De esta manera, si uno señala "que va caminando hacia el norte", indica que se está desplazando hacia arriba en el plano. Después de esta reseña, realiza en la pizarra de tu sala de clases las siguientes traslaciones con el material que se indica y dibuja en ella la dirección y el sentido del movimiento. Una moneda se traslada al norte. Un lápiz se traslada al oeste. Una goma de borrar se traslada al sur. Una hoja de papel se traslada al este. Un celular se traslada en dirección sureste. Una tuerca se traslada en dirección noreste.

102 Texto del Estudiante - Unidad 4

Unidad 4

Errores frecuentes

Analizar

Uno de los errores en los que más frecuentemente incurren los alumnos y alumnas es, basado en lo que conocen como movimiento de traslación de la Tierra, asumir que en las traslaciones, los cuerpos siempre siguen una trayectoria elíptica alrededor de otro cuerpo. Además, puede ocurrir que al asociar los movimientos de rotación y traslación de la Tierra, consideren que ambas transformaciones van invariablemente juntas. Aclare estos particulares ejemplificando con la traslación de una persona de un lugar a otro en línea recta. Experimente con un estudiante que se traslada de un extremo a otro de la sala de clases.

Aclaración de conceptos Vector: segmento con longitud, dirección y sentido definidos. Aplicar procedimiento

2. Realiza la traslación de las siguientes figuras:

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo 103

Orientaciones metodológicas 1. Antes de iniciar la clase, compruebe que sus estudiantes:

Conocen y manejan el movimiento de traslación asociado a figuras geométricas. Conocen algunos términos geométricos como ejes, secciones, etc.

2. Comience la clase explicando

a los estudiantes que, como todas las transformaciones isométricas, la reflexión es una transformación en el plano que se realiza sin variar las dimensiones ni la forma de las figuras, logrando que la figura inicial y la final sean congruentes. A diferencia de la traslación, la reflexión tiene un nivel de dificultad mayor, ya que implica reproducir íntegramente la imagen a partir de un eje o de un centro de simetría. 3. Para el caso de la simetría central, puede ser conveniente el uso de una hoja cuadriculada, esto permitirá que el estudiante pueda asociar con mayor facilidad los requisitos necesarios para que una figura se refleje en torno a un centro de simetría. 4. Le sugerimos además, que proponga a sus estudiantes nombrar los puntos de la figura que van a trabajar y que a medida que obtienen el punto imagen, coloquen la respectiva identificación. Copie en la pizarra las reflexiones que aparecen en la página 92 del texto y muestre cómo realizar ambos tipos de reflexiones. 5. A medida que realice las reflexiones en la pizarra, complemente la explicación con los cuadros de contenido de las páginas 92 y 93 del texto.

Actividad complementaria

Aplicar procedimiento

1. Dibuja los ejes de simetría que puedes encontrar en las siguientes figuras:

2. Obtén la imagen de cada una de las siguientes figuras mediante una simetría central respecto al punto O: • A B B C O

104 Texto del Estudiante - Unidad 4

D A

• O

F G

E D

Unidad 4

Errores frecuentes Muchas veces los alumnos y alumnas suelen confundir el significado de eje de simetría, asociándolo a la parte media de cualquier figura, cuando en realidad, indica que a partir de él tenemos dos mitades de una figura, completamente idénticas. Para los estudiantes que deseen practicar reflexiones fotocopie y reparta la actividad de la página 195 de esta guía.

Otros recursos

Aplicar procedimiento

Evaluación Pida a sus estudiantes que autoevalúen el trabajo realizado en clases a partir de la siguiente pauta: Criterios de logros

Sí

Identifico la reflexión dentro de las transformaciones estudiadas hasta el momento Diferencio la simetría central de la simetría axial Realizo correctamente la simetría axial Realizo correctamente la simetría central Señalo correctamente los ejes de simetría de una figura

A veces

Un interesante apunte sobre las transformaciones isométricas es el que se encuentra en el sitio http://www.slideshare.net/jaguayo/ transformaciones-isomtricas-14812, donde se pueden ver las definiciones de cada una de las transformaciones isométricas que vamos a estudiar durante esta unidad. Anotaciones:

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo 105

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Conocen algunas trans-

formaciones isométricas como la reflexión y la traslación. Clasifican ángulos de acuerdo a su medida. Miden ángulos utilizando un transportador.

2. La rotación es otra transfor-

mación isométrica que puede ser fácilmente observada. Consiste en el movimiento de una figura plana en torno a un punto. Puede comenzar la enseñanza de la materia con figuras aún más simples, como por ejemplo, una recta. 3. Indique a sus estudiantes que dibujen una recta. Pida que marquen un punto que esté a 1 cm de la recta. Luego, pida que midan un ángulo de 30° con un transportador y que giren la recta respecto al punto seleccionado en el ángulo dado. Invítelos a dibujar cómo quedará la recta luego del proceso. 4. Lea en voz alta el problema resuelto de la página 94 del texto y establezca una analogía entre la rotación que se hizo de la recta y la que se hace de la fotografía del texto. 5. Analice con el curso el cuadro de contenido de la página 94 del texto y reproduzca en la pizarra, paso a paso, la rotación del triángulo que aparece a continuación.

Analizar

Actividad complementaria 1. Observa los siguientes fenómenos e indica si existe o no en ellos rotación: La puerta, cuando gira por medio de las bisagras que están atornilladas al marco de madera. Una tómbola que gira con los nombres de los premios que un esperanzado concursante desea ganar. El movimiento de barquitos de papel que son alcanzados por un remolino de agua, en su viaje por el río. El movimiento de una balsa navegando río abajo. El movimiento de un satélite artificial alrededor de la Tierra.

106 Texto del Estudiante - Unidad 4

Unidad 4

Materiales Compás. Transportador. Marcador. Remolino.

Diversidad Para apoyar el trabajo de estas páginas le recomendamos la utilización de material concreto, como por ejemplo, un remolino. Teniendo un remolino, puede indicar a sus alumnos y alumnas que dibujen en cada una de sus puntas una figura. Una vez completados los dibujos demuestre que cada vez que gira el remolino, las figuras rotan, cambiando de posición en torno a un punto o centro de rotación. También puede utilizar cualquier programa de computación en el que se trabaje con imágenes, incluso en la barra de dibujo de Word, ya que en ella aparece una herramienta que permite rotar una figura. Aplicar procedimiento

2. Realiza la rotación de las siguientes figuras en un ángulo de 45° y en uno de 180°, tomando el punto E como centro: C B D C D E B A

E F

G A

Aplicar procedimiento

Anotaciones:

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo 107

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Conocen y son capaces

de realizar diferentes transformaciones isométricas. Conocen polígonos comunes como cuadrados, triángulos, pentágonos, etc.

2. Pida a sus estudiantes que

analicen la actividad de la página 96 del texto y luego el cuadro de contenido donde se explica qué son las teselaciones. 3. Analizar una teselación implica distinguir las figuras geométricas que configuran otras formas. Comience utilizando teselaciones compuestas por no más de tres o cuatro figuras, para que los estudiantes observen un caso sencillo y, luego de esto, trabaje con figuras más complejas. 4. Converse con los alumnos y alumnas sobre los tipos de teselaciones y sus características, ejemplificando con láminas ilustrativas. 5. Puede además, realizar con sus estudiantes una actividad en la que construyan una teselación, ya sea regular, no regular o semi-regular, y luego la expongan para el resto de sus compañeros y compañeras. 6. Oriente la realización de los Ejercicios individuales y pida a sus estudiantes que se fijen con detenimiento en las teselaciones que se muestran, para que puedan encontrar el patrón de cada una de ellas. 7. Para finalizar la clase, entregue a cada estudiante una copia del recurso que se encuentra en la página 196 de esta guía.

Analizar

Actividad complementaria 1. Analiza si los siguientes enunciados son verdaderos (V) o falsos (F): Los panales de abeja son un ejemplo claro de lo que son las teselaciones. En ellos, las abejas obreras construyen los materiales que formarán el panal. Cada uno de los bloques son de forma rectangular. Uno de los materiales mas usados para la construcción de casas es el ladrillo. Este permite crear muros y, por lo tanto, casas que mantienen una forma rectangular. Por eso las casas de ladrillo pueden considerarse teselaciones regulares. Una pared del baño de cualquier casa posee azulejos. Estas paredes son un ejemplo de teselación. Un mosaico siempre será una teselación regular.

108 Texto del Estudiante - Unidad 4

Unidad 4 Visualizar espacialmente

Historia y números Martin Cornelis Escher fue un artista holandés, cuyo principal motivo era romper las limitaciones que impone el plano, de manera que este último pueda generar ilusiones ópticas que impacten y que sean de una gran profundidad. Su obra en la mezquita de Córdoba, donde hizo aparecer dibujos matemáticos, creó controversia y fue mal interpretado. Por esa razón comprendió que, a pesar de no ser un entendido en matemáticas, sólo recibiría buenas críticas de personas que sí se relacionaban con ella. Fue especialmente con las teselaciones que Escher, obtuvo notoriedad.

Otros recursos Un interesante recurso que enseña a crear teselaciones en papel, es lo que encontrará en el video de la web http://doblandopapeles. org/archivos/2006/06/21/comohacer-la-base-triangular-de-lasteselaciones.

Evaluación Pida a sus estudiantes que, usando la siguiente tabla, se evalúen unos a otros en su desempeño durante el trabajo grupal: Aspectos a evaluar

Sí

A veces

¿Realizó las actividades correctamente? ¿Respetó cada uno de los pasos descritos en el texto? ¿Comprobó los resultados? ¿Trabajó ordenadamente? ¿Ayudó a otros estudiantes que lo necesitaban? ¿Buscó otras alternativas para resolver los ejercicios?

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo 109

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Conocen diversas figuras geométricas.

Definen área y perímetro de figuras planas.

2. Para comenzar la clase, pida

a uno de sus estudiantes que pase a la pizarra y dibuje una circunferencia y un círculo. 3. Revise el trabajo realizado por el estudiante pidiendo la opinión del curso. Una vez garantizada la validez de los dibujos realizados, pida a otro alumno o alumna que marque puntos que pertenezcan a una figura y a otra, alternativamente. 4. Lea en voz alta la introducción de la página 98 del texto y analice con el curso los cuadros de contenido que aparecen. Como complemento de los conceptos que se detallan, puede trabajar la actividad que se sugiere en Diversidad de la página 111 de esta guía para que, de esta forma, los estudiantes puedan comprobar cada una de las definiciones que acaban de revisar. 5. Luego del trabajo con el material concreto, ya sus alumnos y alumnas pueden estar en condiciones de especificar las características de cada una de estas figuras y establecer sus semejazas y diferencias. 6. Dibuje en la pizarra una circunferencia de un radio previamente determinado y aproveche la instancia para explicar a sus estudiantes cómo se utiliza el compás, comentando cada paso a seguir, en la medida que trabaja en la pizarra. Luego, proponga que realicen la Actividad complementaria, la cual consiste justamente en el trazado de circunferencias.

Actividad complementaria 1. Dibuja las siguientes circunferencias, pinta de un color diferente la superficie que constituye al círculo y luego, determina el parámetro desconocido: r = 2 cm r = 0,9 cm r = 1,7 cm D= D= D= r = 1,6 cm r = 2,1 cm r = 3,5 cm D= D= D= D = 5 cm D = 3,2 cm r = 4,4 cm r= D= r= D = 2,6 cm D = 8 cm D = 6,4 cm r= r= r=

110 Texto del Estudiante - Unidad 4

Unidad 4

Materiales Regla. Escuadra. Compás. Alambre. Botella.

Diversidad

Medir

Evaluación Pida a sus estudiantes que evalúen su desempeño personal usando la siguiente tabla: Aspectos a evaluar

Sí

A veces

Puede que algunos estudiantes tengan problemas en establecer la diferencia entre la circunferencia y el círculo, pues para muchos de ellos son dos nombres diferentes para la misma figura. Para acompañar la explicación sobre este particular, trabaje con material concreto que puede confeccionar usted o pedir a cada estudiante que lo construya siguiendo los siguientes pasos: Toma un alambre y enróllalo alrededor de una botella, de modo que el alambre tome la forma de una circunferencia, y anuda los extremos. Toma la circunferencia de alambre, colócala sobre una cartulina y colorea el interior, luego recorta el área coloreada en la cartulina. Una vez que los estudiantes realicen la actividad que se describe, demuestre con la superposición de ambos materiales que el alambre es el equivalente a la circunferencia y la cartulina al círculo. Pida luego, que marquen aproximadamente el centro de la circunferencia e indique que el centro de la circunferencia pertenece al círculo que ella encierra.

Identifico circunferencias y círculos Establezco las diferencias entre circunferencia y círculo Determino el diámetro de una circunferencia a partir del radio y viceversa Utilizo el compás correctamente Trabajo en el tiempo estipulado por el docente

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo 111

Orientaciones metodológicas 1. Antes de iniciar la clase, compruebe que sus estudiantes:

Identifican las diferencias

entre circunferencias y círculos. Dibujan circunferencias y círculos. Identifican el radio y el diámetro de una circunferencia.

2. Pregunte a sus estudiantes

qué entienden por elementos lineales de una circunferencia. Vaya escribiendo en la pizarra sus comentarios y con ellos construya una definición adecuada. 3. Analice con el curso las definiciones que aparecen en el cuadro de contenido y pida a los estudiantes que corroboren el concepto de cada elemento con el dibujo de cada uno. 4. Como método alternativo para ayudar a los estudiantes a recordar los elementos lineales puede hacer un pequeño juego. Primeramente, teniendo en cuenta que los alumnos y alumnas identifican el radio y el diámetro, ordene alfabéticamente los tres elementos restantes que son los que mayor confusión pudieran reportar (cuerda, secante y tangente), entonces, dibuje en la pizarra una circunferencia y dibuje una cuerda y pregunte a sus estudiantes qué elementos se formarían si la cuerda comenzara a moverse de izquierda a derecha, por ejemplo: movimiento Cuerda Secante Tangente

Analizar

Actividad complementaria 1. Pida a sus estudiantes que determinen si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F): Una secante nunca pasará por el centro de la circunferencia. Dos tangentes que tocan puntos distintos de la circunferencia, al intersecarse forman un ángulo de 90°. Una circunferencia tiene un número infinito de radios. Un diámetro cualquiera y una recta tangente, en una misma circunferencia, formarán siempre un ángulo de 90°. Un diámetro es una cuerda. Una secante y una tangente podrían formar un ángulo de 90°. Un radio, un diámetro, una secante y una cuerda nunca coincidirán en una circunferencia.

112 Texto del Estudiante - Unidad 4

Unidad 4

Materiales Reconocer propiedades

Compás. Lápiz. Regla.

Otros recursos En el sitio web http://www. geometriadinamica.es/Geometria/ Elementos-basicos/Circunferenciay-circulo.html encontrará una interesante página en la que se trabaja con algunos elementos lineales de la circunferencia y, además, se muestra, paso a paso, cómo se puede generar una circunferencia o círculo a partir de su radio.

Diversidad Los estudiantes suelen confundir algunos de los elementos lineales de una circunferencia, específicamente la tangente, la cuerda y la secante. Podría resultar de mucha utilidad que tras el estudio de estos conceptos, usted coloque en algún lugar visible de la sala de clase un esquema similar al que aparece en la página 100 del texto y en las próximas clases lo enriquezca colocando, además, los elementos angulares.

Evaluación Evalúe el trabajo de sus estudiantes mediante la siguiente lista de cotejo: Indicadores

Identifica el diámetro y el radio de una circunferencia

NR L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Reconoce el radio como medio diámetro Identifica el diámetro como una cuerda de la circunferencia Dibuja en una circunferencia los elementos lineales y los identifica Maneja adecuadamente las herramientas necesarias para el trabajo en la clase

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo 113

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Identifican las diferencias

entre círculos y circunferencias. Reconocen y trabajan con los elementos lineales de la circunferencia: cuerda, diámetro, radio, secante y tangente. Conocen y usan el transportador. Miden ángulos utilizando el transportador.

2. Lea en voz alta el título de la

clase y pregunte a los estudiantes qué creen que significa elemento angular de una circunferencia o un círculo. 3. Explique cada uno de los elementos angulares y vaya ejemplificando en la pizarra. 4. Trace varias circunferencias de modo que coloque un elemento por circunferencia para así lograr que los estudiantes no se confundan. 5. A medida que explica un elemento angular, vaya estableciendo la relación con los elementos lineales a partir de los que se definen. 6. Lea en voz alta el cuadro de contenido y señale cada elemento en la pizarra. 7. En la clase pasada usted colocó en un lugar visible los elementos lineales de una circunferencia. Añada a este dibujo los elementos angulares con la ayuda de sus estudiantes. 8. Oriente la realización de los Ejercicios individuales y los Ejercicios grupales. Dé un tiempo para que los estudiantes trabajen y luego revise colectivamente pidiendo a los alumnos y alumnas que pasen a la pizarra.

Actividad complementaria

Analizar información

1. Pida a sus estudiantes que determinen si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F): Un semicírculo es un sector circular cuyo ángulo mide 180°. Un ángulo del centro puede medir 360°. La diferencia entre un ángulo inscrito y uno semi-inscrito, es que los lados del primero pertenecen al círculo determinado, mientras que el segundo tiene un lado tangente a la circunferencia. Cuando se corta una pizza en diferentes trozos partiendo desde el centro, se obtienen sectores circulares. Los lados de un ángulo inscrito en una circunferencia siempre son distintos. La medida máxima de un ángulo inscrito es siempre menor que 180°.

114 Texto del Estudiante - Unidad 4

Unidad 4

Materiales Regla. Compás. Transportador. Lápiz. Papel.

Aclaración de conceptos

Utilizar herramienta matemática

Teniendo la medida del ángulo de determinado sector circular, podemos calcular el porcentaje del círculo que representa ese sector dividiendo la medida del ángulo entre 360°, por ejemplo:

a = 90° 90 : 360 = 0,25 El sector circular sombreado representa el 25% del círculo.

2. Dibuja los siguientes sectores circulares en la circunferencia que se muestra a un costado: Un arco determinado por un ángulo central de 25°. Un sector circular con un ángulo de 75°. Un ángulo del centro de 30°. Un ángulo inscrito de 60°. Un ángulo semi-inscrito de 45°. Utilizar herramienta matemática

•O

Anotaciones:

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo 115

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Conocen los elementos lineales de una circunferencia. Conocen los elementos angulares de un círculo y de una circunferencia. Conocen y utilizan diferentes unidades de medida. Conocen el significado de π.

2. Inicie la clase con una actividad

motivadora que puede consistir en pedir a los alumnos y alumnas dibujar una circunferencia de radio conocido y luego determinar su perímetro utilizando un hilo (también puede ocupar las tapas de frascos que se solicitan en Materiales). Pida a los alumnos y alumnas que dejen anotados los resultados obtenidos. 3. Pida a un estudiante que lea el problema resuelto de la página 104 del texto y analice en la pizarra el procedimiento empleado. 4. Lea en voz alta el cuadro de contenido y apóyese en Diversidad de la página 117 de esta guía, para explicar a sus estudiantes la forma de calcular el radio y el diámetro a través de esta ecuación. 5. Pida a sus estudiantes que retomen la actividad de motivación que realizaron al inicio de la clase y cuyos resultados deben haber registrado en sus cuadernos. Invítelos a calcular mediante la ecuación estudiada el perímetro de su circunferencia y compararlo con el valor obtenido ocupando el hilo.

Actividad complementaria

Experimentar y analizar resultados

1. Toma la tapa de uno de los envases solicitados en Materiales. Ubica el centro de la circunferencia que genera la tapa, mide su diámetro y luego calcula su radio. Con los datos obtenidos completa la tabla que aparece a continuación: Tapa

Diámetro

Radio

Perímetro

Mide con un hilo el perímetro de la tapa y compáralo con el valor que calculaste en la tabla. Repite la actividad ocupando otra tapa diferente. Discute tus resultados con otros compañeros y compañeras.

116 Texto del Estudiante - Unidad 4

Unidad 4

Materiales Tapa de tarros de café, leche, etc. Lápiz. Papel. Hilo.

Diversidad Comente a sus estudiantes que a través de la ecuación del perímetro es posible obtener el radio y el diámetro de una circunferencia. De esta manera, si se quiere determinar el valor del radio dado el perímetro, la formula quedará de la siguiente manera: r = p/( 2π)

Utilizar herramienta matemática

Historia y números Muchas obras arquitectónicas se han construido en función de formas circulares. El famoso coliseo romano, con capacidad para aproximadamente 50 mil personas, posee un perímetro de casi un kilómetro.

2. Determina el radio o el perímetro, según sea el caso: Circunferencia 1: p = 4 cm Circunferencia 2: p = 9 cm Circunferencia 3: r = 12 m Circunferencia 4: r = 5 cm Circunferencia 5: r = 8,5 m Circunferencia 6: p = 14π km

Circunferencia 7: r = 8 mm Circunferencia 8: p = 13,3 m Circunferencia 9: r = 4 km Circunferencia 10: r = 0,2 m Circunferencia 11: r = 11 m Circunferencia 12: p = 9,7 cm

Circunferencia 13: p = 1 km Circunferencia 14: r = 11 m Circunferencia 15: p = 1 000 mm Circunferencia 16: r = 75 m Circunferencia 17: p = 5π cm Circunferencia 18: r = 144 m

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo 117

Orientaciones metodológicas 1. Antes de dar inicio a las actividades de la clase, compruebe que sus estudiantes:

Identifican las diferencias

entre círculo y circunferencia. Conocen los elementos lineales de una circunferencia. Conocen los elementos angulares de un círculo y de una circunferencia. Conocen y utilizan diferentes unidades de medida. Conocen el significado de π. Calculan el perímetro de una circunferencia.

2. Comience la clase con una

pequeña introducción en la que explique la definición de apotema, para ello puede apoyarse en la Aclaración de conceptos de la página 119 de esta guía. 3. Analice el problema resuelto de la página 106 del texto y haga, ejemplificando en la pizarra, la deducción de la fórmula para determinar el área de un círculo. Es importante que para ello, se detenga a detallar que mientras más lados tiene el polígono, más se va a aproximar a una circunferencia, y es por ello que la ecuación se basa en considerar a la circunferencia como un polígono de infinitos lados. 4. Trabaje la determinación del área de un círculo ocupando el recurso propuesto en la página 197 de esta guía, donde los estudiantes deberán determinar el área de cada figura geométrica y luego dibujar un círculo con la misma área.

Actividad complementaria

Experimentar y analizar resultados

1. Una manera aproximada de calcular el área de una figura es utilizar una figura patrón de área conocida. Esta figura patrón debe ser insertada en la primera figura y constatar cuántas veces cabe en la figura a la que se desea medir el área. Para utilizar este método dibuja un cuadrado de 6 cm de lado, un círculo de 6 cm de diámetro y estima el área de estas dos figuras ocupando un cuadrado de 1 cm de lado. ¿Qué valores de área obtienes mediante este método? ¿Qué puedes hacer para mejorar el método? Compara los resultados obtenidos con las fórmulas de área del cuadrado y del círculo.

118 Texto del Estudiante - Unidad 4

Unidad 4

Aclaración de conceptos

Manipular aritméticamente

La apotema de un polígono regular es la distancia que existe desde el centro del polígono hasta el punto medio de cualquiera de sus lados. La apotema de un polígono regular de n lados se calcula como: a=

r2 −

⎡l ⎤ ⎢⎣ 2 ⎥⎦

Donde: a: apotema. r: radio de la circunferencia en que está inscrito el polígono y que coincide con la distancia del centro del polígono a uno de sus vértices. l: lado del polígono.

Aplicar procedimiento

Materiales Compás. Lápiz. Transportador.

Diversidad Es importante que explique a los estudiantes que es posible determinar el área de un círculo si tenemos el perímetro de la circunferencia que lo encierra. Si p = 2πr y A = πr 2, entonces, podemos despejar el radio de la ecuación del perímetro que nos queda: r = p/2π. Si sustituimos esta ecuación en la fórmula del área queda: A = πr 2 = π · (p/2π)2 A = π · (p2/22π 2) = p2 / (4π)

4 cm

2. Calcula, en las siguientes figuras, el área y el perímetro de la zona achurada: 8 cm

60°

3 cm 4 cm A= p=

3 cm A= p=

A= p=

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo 119

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Conocen los elementos lineales de una circunferencia. Conocen los elementos angulares de un círculo y de una circunferencia. Calculan el perímetro de una circunferencia. Calculan el área de un círculo. Conocen la metodología para resolver problemas.

2. Es conveniente que antes de

revisar el Problema modelo de la página 108, analice con el curso la estrategia propuesta en el texto. En esta oportunidad, base su análisis en una situación cualquiera, de modo que los alumnos y alumnas puedan comprobar que la metodología sugerida está basada en la secuencia lógica de pensamientos de una persona al enfrentarse a cualquier situación desconocida, por ejemplo: un amigo te invita a almorzar a su casa ¿cómo llegas?, ¿qué llevas? • Primero preguntas la dirección y la anotas (entiende). • Preguntas cómo llegar y si llevas como aporte una bebida o un jugo (planifica tu estrategia). • Llevas a cabo cada una de las estrategias que planificaste (resuelve). • Antes de partir, confirmas que sabes cómo llegar y revisas el jugo en tu bolso (responde). • Por último, puedes comprobar con tu amigo que la forma que elegiste para llegar a su casa fue la correcta y que fue apropiado llevar el jugo (comprueba).

Actividad complementaria 1. Determina el área de las siguientes zonas achuradas:

120 Texto del Estudiante - Unidad 4

1 cm

3 cm 5 cm

1 cm

6 cm 1 cm

1 cm

Aplicar procedimiento

1 cm

4 cm

Unidad 4 Resolver problemas

Otros recursos En el sitio web http://www. rmm.cl/usuarios/mojed/ doc/200501141018100.guia% 20circunferencia.doc usted podrá descargar una interesante y completa colección de ejercicios sobre los temas trabajados en la unidad que puede ocupar para ejercitar con sus estudiantes cada uno de los contenidos.

Reflexión Converse con sus estudiantes sobre la resolución de los problemas, las habilidades que permite desarrollar y de cómo la práctica puede condicionar mejores resultados futuros. Es importante que los estudiantes asimilen estos aspectos, pues generalmente prefieren realizar ejercicios de operatoria, concretos y directos, a tener que realizar un análisis completo de una situación contextualizada.

Evaluación A modo de evaluación, pida a sus estudiantes que, aplicando la metodología del texto, resuelvan el siguiente problema: Una propiedad que tiene forma de circunferencia es atravesada por un animal, que en su recorrido en línea recta pasa por el centro del terreno. Si el animal camina a una velocidad de 5 km/h y demora 30 minutos en hacer el recorrido, responde: ¿Qué distancia recorrió? Si en vez de cruzar todo el terreno, lo hubiera rodeado, ¿qué distancia habría recorrido el animal?

Anotaciones:

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo 121

Ocupar herramienta tecnológica

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

2. Ya los estudiantes en este curso

deben estar familiarizados con el programa Cabri. De cualquier forma, podría ser útil destinar los primeros minutos de la clase a recordar algunos elementos importantes de esta aplicación. 3. Recuerde al curso que las páginas de Tecnología activa describen una serie de pasos que ellos y ellas deberán seguir, pero que esto no deben realizarlo en forma mecánica, sino de manera comprensiva para que, posteriormente, puedan ser capaces de aplicar lo aprendido a otros contextos. 4. Lea la introducción de la página 110 del texto y luego oriente a sus estudiantes, para que en un tiempo estipulado por usted, realicen en forma individual o en parejas las actividades de estas páginas. 5. Es posible que algunos de sus alumnos y alumnas tengan dudas al dibujar una recta con el Cabri y no observar sus extremos. Recuerde al curso que las rectas son infinitas en ambas direcciones.

Actividad complementaria

Aplicar procedimiento

Utilizando el Cabri, realiza las siguientes actividades: 1. Construye cinco circunferencias con diferentes radios y el mismo centro. Determina el área de cada uno de los círculos que ellas delimitan. 2. Dibuja un cuadrado inscrito en una circunferencia y determina el valor del área comprendida entre ambas figuras. 3. Construye una circunferencia de 2 cm de radio y luego calcula su perímetro y el área que encierra. 4. Dibuja una circunferencia. Dibuja el diámetro de la circunferencia y determina su longitud, luego dibuja una recta tangente, una cuerda y una secante. 5. Crea una circunferencia de 5 cm de radio. Selecciona un sector circular y determina su área. Mide el arco que generó este sector.

122 Texto del Estudiante - Unidad 4

Unidad 4

Reflexión Converse con sus alumnos y alumnas sobre el Cabri y la utilidad que tiene para trabajar geometría. Añada, además, que manejar adecuadamente esta aplicación no solo les servirá para trabajar en este curso, sino que también les será de mucha utilidad en cursos posteriores para desarrollar temas más complejos, pues con el Cabri se pueden realizar las más disímiles actividades geométricas desde dibujar familias de curvas y realizar animaciones, hasta construir gráficas de funciones asociadas a problemas geométricos.

Ocupar herramienta tecnológica

Evaluación Puede evaluar el desempeño de sus estudiantes durante el desarrollo de la Tecnología activa mediante la siguiente lista de cotejo: Indicadores

Se desempeña bien en el ambiente de Cabri Dibuja circunferencias y determina su radio y su perímetro Dibuja algunos elementos angulares y lineales de una circunferencia Trabaja ordenadamente Cumple con los tiempos estipulados por el docente Ayuda a los compañeros y compañeras que lo requieren L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Anotaciones:

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo 123

Sintetizar información

Orientaciones metodológicas 1. Antes de dar inicio a las actividades de la clase, compruebe que sus estudiantes:

Conocen las diferentes

transformaciones isométricas y saben identificar cuándo un fenómeno corresponde a una de ellas. Conocen las diferencias entre el círculo y la circunferencia. Conocen los elementos lineales de una circunferencia y los elementos angulares de un círculo y de una circunferencia. Calculan y trabajan con perímetros de circunferencias y áreas de círculos.

2. En la página 112 del texto se

encuentra la Síntesis de la unidad, la cual es presentada mediante fichas que resumen cada uno de los contenidos trabajados a lo largo de la unidad. 3. Seleccione a algunos estudiantes para que lean en voz alta y frente al curso, cada una de las fichas y pida a otro estudiante que pase a la pizarra a ejemplificar el contenido descrito. Por ejemplo, en el caso de la ficha 2 que se refiere a las trasformaciones isométricas, el estudiante que pase a la pizarra deberá dibujar una figura y aplicarle cada una de estas transformaciones. 4. En la página 113 del texto comienza la Evaluación. Converse con sus estudiantes sobre este particular, explicando la forma en que se realizará, el tiempo de que dispondrán para realizar las actividades, los indicadores que se tendrán en cuenta para la calificación y la escala de puntajes que se adoptará.

Actividad complementaria Responde las siguientes preguntas y enriquece tus respuestas con un ejemplo, siempre que sea posible: 1. Indica un ejemplo de teselación. ¿Es la telaraña un ejemplo de teselación? 2. Juan y Andrés discutían sobre las posibilidades de calcular el área y el perímetro determinados por una circunferencia dada. ¿Será posible determinar el perímetro de la figura contando solo con el valor del área del círculo que encierra la circunferencia? 3. ¿A qué transformación isométrica corresponde la imagen que se ve reflejada en el espejo respecto de la imagen original? 4. Si una circunferencia tiene un perímetro de 16π m, ¿cuál es el valor de su área? 5. ¿Es posible que la intersección de tres secantes a una circunferencia genere un triángulo equilátero?

124 Texto del Estudiante - Unidad 4

Unidad 4

Aclaración de conceptos Uno de los ángulos que no se menciona en la unidad es el ángulo ex-inscrito. Este ángulo es una variante del ángulo inscrito, donde un lado es secante y el otro es exterior a la circunferencia, y su medida es igual a la semi-suma de los arcos que tienen su origen en el vértice y sus extremos en uno de los lados y en la prolongación del otro. A B

Utilizar herramienta matemática

Evaluación Indique a sus alumnos y alumnas que, a modo de evaluación, realicen los dibujos que se solicitan a continuación: Una circunferencia que posea un ángulo inscrito y una tangente cuyo punto de tangencia coincida con el origen del ángulo. Una secante y un ángulo inscrito dentro de la misma circunferencia. Un sector circular determinado por un ángulo de 30°. Una circunferencia inscrita en un cuadrado. Un triángulo equilátero sometido a una simetría central respecto a uno de sus vértices. Un pentágono que esté afectado por una traslación y también por una rotación.

C ABC = D + C   ABC = BD + BC 2

Anotaciones:

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo 125

Identificar elementos matemáticos

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Conocen las diferentes

Aplicar procedimiento

2. Las actividades de evaluación

que comienzan en la página 113 y prosiguen en las páginas 114 y 115, pueden ser trabajadas como una prueba escrita que los estudiantes deberán resolver en forma individual, en el tiempo estipulado por el docente y luego entregar por escrito en una hoja. 3. Lea cada uno de los enunciados para garantizar que no haya errores de comprensión. 4. Entregue una hoja en blanco a cada estudiante para que plasme en ella la resolución de las preguntas de los Ejercicios de desarrollo. 5. Luego de transcurrido este tiempo retire las hojas y evalúe sumativamente el desempeño de cada estudiante. 6. Entregue fotocopiada la página 194 de esta guía a cada estudiante para que responda los Ejercicios con alternativas y para que evalúe su desempeño.

Actividad complementaria

Resolver problemas

1. El asa de un tarro de pintura es un alambre que tiene una forma semicircular y que sirve para levantar el tarro. Si la longitud aproximada del asa es de 35 cm, calcula la medida aproximada del diámetro del tarro de pintura. 2. Calcula el perímetro de un semicírculo de 36 cm2 de área. 3. Una piscina de forma circular tiene un radio de 3 m y está rodeada por un borde de cemento de 30 cm de ancho, como muestra la figura. ¿Cuál es el área del borde de la piscina? ¿Cuál es el perímetro de la piscina? 3m

126 Texto del Estudiante - Unidad 4

Unidad 4

Aclaración de conceptos Recuerde a sus estudiantes que es un error decir “el área de la circunferencia” porque el área que se determina es el área del círculo delimitado por una circunferencia.

Evaluación A través de la siguiente pauta, podrá evaluar el nivel de comprensión que han tenido sus estudiantes de los temas trabajados en la unidad: Indicadores

Realiza traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas Identifica y construye teselaciones Reconoce la circunferencia y el círculo Identifica elementos de la circunferencia y del círculo Calcula el perímetro de una circunferencia Calcula el área de un círculo L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Anotaciones:

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo 127

5 Unidad

Planificación Unidad 5

Cuerpos redondos

Sección

Objetivos Fundamentales Verticales yyIdentificar cuerpos redondos. yyReconocer las principales características de los cuerpos redondos. yyCalcular el área de cilindros, conos y esferas. yyCalcular el volumen de cilindros, conos y esferas.

Clase

Horas

Entrada unidad Actividad Inicial

yyIdentifican cuerpos geométricos de figuras planas. yyDiferencian cuerpos poliedros de cuerpos redondos.

Cuerpos redondos

yyClasifican los cuerpos geométricos en poliedros y cuerpos redondos. yyIdentifican cilindros, conos y esferas.

Cilindro Cono Esfera

yyIdentifican visualmente el cilindro, el cono y la esfera. yyIdentifican las figuras planas que componen un cilindro y un cono. yyConocen los principales elementos del cilindro, el cono y la esfera.

Área de cuerpos redondos

yyDeterminan el área de los cuerpos redondos. yyResuelven situaciones geométricas mediante el cálculo del área de cuerpos redondos.

Volumen de cuerpos redondos

yyDeterminan el volumen de los cuerpos redondos. yyResuelven situaciones geométricas mediante el cálculo del volumen de cuerpos redondos.

Resolución de problemas

yyAplican los procedimientos de cálculos aprendidos en la unidad para resolver problemas cotidianos.

Tecnología activa

yyUtilizan herramientas tecnológicas para generar cuerpos redondos.

Síntesis de la unidad Evaluación

yySintetizan los contenidos estudiados en la unidad. yyAplican los conocimientos adquiridos durante el estudio de la unidad para resolver las actividades de evaluación.

128 Planificación - Unidad 5

Ruta de aprendizajes esperados

Unidad 5

Objetivos Fundamentales Transversales yyConocer y apreciar la cultura de los pueblos originarios de nuestro continente. yyRelacionar la geometría con objetos del entorno cercano, tanto naturales como artificiales. yyRespetar las opiniones de los compañeros y compañeras de curso, aunque estas sean diferentes a las propias. yyValorar los beneficicios de conocer mejor la realidad y de utilizar este conocimiento. Materiales Contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales

Evaluación

Páginas Texto 116 – 119

Páginas Guía 130 – 133

yyEstudio de características que permiten diferenciar los cuerpos poliedros de los cuerpos redondos. yyClasificación de los cuerpos redondos en cilindros, conos y esferas.

120 – 121

134 – 135

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo y coevaluación

yyIdentificación de los elementos principales del cilindro, el cono y la esfera. yyEstudio de las principales características del cilindro, el cono y la esfera.

122 – 127

136 – 141

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyFórmulas para calcular el área del cilindro, el cono y la esfera, mediante el análisis de sus redes. yyÁrea de cuerpos redondos.

128 – 129

142 – 143

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyFórmulas para calcular el volumen del cilindro, el cono y la esfera. yyVolumen de cuerpos redondos.

130 – 131

144 – 145

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyPlanteamiento y resolución de problemas contextualizados mediante la metodología sugerida.

132 – 133

146 – 147

Actividad de evaluación formativa: autoevaluación

yyUtilización de herramientas tecnológicas para generar cuerpos redondos.

134 – 135

148 – 149

Actividad de evaluación formativa

yyUtilización de los conocimientos adquiridos durante la unidad para resolver las actividades de evaluación.

136 – 139

150 – 153

Actividad de evaluación sumativa: evaluación final

yyAplicación de los conocimientos previos para interpretar una situación contextualizada. yyValorar el legado de nuestros antepasados y reconocerlos como parte importante de nuestra cultura.

Actividad de evaluación formativa: coevaluación

Cuerpos redondos 129

Orientaciones metodológicas 1. En estas páginas se da comien-

zo al estudio de los cuerpos redondos. Cuando los alumnos y las alumnas estudiaron los poliedros aprendieron que los cuerpos geométricos se clasificaban en cuerpos poliedros y cuerpos redondos, por lo que el título de la unidad no les resultará del todo ajeno. Además, en nuestro entorno, existen infinidad de cuerpos redondos, por lo que, independientemente que los estudiantes no puedan definir textualmente su concepto, si podrán intuirlo e incluso identificar en el entorno los cuerpos redondos. 2. Pida a un estudiante que lea en voz alta cada uno de los aprendizajes esperados que aparecen en la página 117 del texto. Mientras se realiza la lectura, usted puede hacer interrupciones cortas para explicar, a grandes rasgos, qué temas específicos se trabajarán en la unidad. 3. Invite a sus estudiantes a leer el texto que se propone en la página 117 y a realizar la actividad que se propone en la sección ¿Puedes resolver? Clasificar

Actividad complementaria 1. De los siguiente cuerpos geométricos señala cuáles consideras que son cuerpos redondos:

130 Texto del Estudiante - Unidad 5

Unidad 5

Presentación de la unidad En la presente unidad los alumnos y alumnas estudiarán los cuerpos redondos. Aprenderán a identificarlos y reconocerán sus principales características. Aplicarán sus conocimientos sobre redes de poliedros a estos nuevos cuerpos, a partir de lo cual, podrán comprender el cálculo de su área total. Estudiarán las fórmulas para realizar el cálculo de áreas y volúmenes de cuerpos redondos, lo que les permitirá resolver diversas situaciones cotidianas. Uno de los aspectos más importantes de esta unidad, es que la mayoría de los contenidos han sido tratados para que los estudiantes apliquen la deducción matemática y obtengan las fórmulas a través del análisis matemático y la manipulación geométrica. Otro de los contenidos de la unidad consiste en la aplicación de recursos tecnológicos, ofreciéndoles a los estudiantes algunas herramientas para aplicar a la asignatura y para desarrollar en función de su propia curiosidad.

 Red conceptual Cilindro Cuerpos redondos

Cono

cálculo de

Volumen Área

posibilitan

Comprender el entorno físico

Esfera

Cuerpos redondos 131

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Conocen y han trabajado con cuerpos geométricos.

Conocen la diferencia en-

tre cuerpo geométrico y figura plana.

2. Invite a sus estudiantes a leer la

historieta y analizar la naturaleza de los diferentes objetos que se muestran. Puede conversar con los alumnos y alumnas acerca de la utilidad de muchos de estos objetos y, además, sugerir que investiguen sobre qué puede haber motivado a que estos objetos fueran construidos con caras curvas y no planas. 3. Pida a sus estudiantes que realicen las actividades que se proponen en la página 119 del texto y que luego hagan una puesta en común con las soluciones. 4. Puede reforzar las actividades haciendo en la pizarra una tabla del tipo: Cuerpos geométricos Caras planas

Superficies redondas

Pida a los estudiantes que vayan colocando en la tabla los nombres de objetos del hogar que tengan el tipo de caras o superficies señalado. 5. Trabaje con sus estudiantes la Aclaración de conceptos que aparece en la página 133 de esta guía y en la que se menciona que los cuerpos redondos no solo se limitan a la esfera, el cono y el cilindro. Para complementar la información que se proporciona, muestre a sus estudiantes imágenes de otros cuerpos redondos como el hiperboloide, el elipsoide, el paraboloide y el toro o anillo.

Clasificar

Actividad complementaria 1. Observa los siguientes cuerpos geométricos, nómbralos y escribe diferencias y semejanzas entre ellos:

132 Texto del Estudiante - Unidad 5

Unidad 5

Reflexión ¿Qué es un cuerpo geométrico? ¿Son iguales todos los cuerpos geométricos? Con estas preguntas inicie una reflexión que le puede servir no solo para introducir el tema de estas páginas sino, además, como recordatorio de los contenidos previos. Converse con sus estudiantes sobre la presencia de los cuerpos geométricos en el entorno natural. Puede mencionar el fenómeno de la erosión y cómo se manifiesta sobre las rocas, redondeando su forma.

Aclaración de conceptos Desde cursos anteriores los estudiantes conocieron los cuerpos geométricos, estableciendo diferencias entre los cuerpos poliedros y los redondos, profundizando en las características de los primeros. Resulta muy usual que los alumnos y alumnas consideren solo cuerpos redondos al cilindro, al cono y a la esfera, es por ello que le sugerimos que explique que los cuerpos redondos son aquellos que son limitados total o parcialmente por superficies curvas y su ámbito no se reduce solamente a estos tres cuerpos.

Evaluación Entregue a sus estudiantes la siguiente tabla, a través de la cual, podrán evaluarse unos a otros: Aspectos a evaluar

Sí

A veces

Realiza las tareas asignadas Cumple con los tiempos establecidos Escucha y acepta ideas diferentes a la suya Dialoga para resolver problemas que puedan surgir durante el trabajo grupal Mantiene una buena actitud frente al grupo

Cuerpos redondos 133

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, compruebe que sus estudiantes:

Conocen y han trabajado con cuerpos geométricos.

Conocen la diferencia en-

tre cuerpo geométrico y figura plana. Clasifican los cuerpos geométricos en poliedros y cuerpos redondos.

2. Lea en voz alta el enunciado de

la actividad de la página 120 del texto y pida a sus estudiantes que nombren los cuerpos que aparecen en la ilustración. 3. Analice con el curso el cuadro de contenido y los cuerpos que ahí se describen. 4. Oriente a los estudiantes sobre la realización de la Actividad complementaria. Sobre esta actividad puede sugerir a los alumnos y alumnas que trabajen con materiales reciclados para, de esta manera, establecer una relación entre la actividad, el contenido de estas páginas y el tema transversal de la unidad. 5. Vale la pena que aclare a sus estudiantes que no solo pueden limitarse a construir un cuerpo humano, sino que también pueden hacer una pequeña maqueta de la sala de clases, un parque o de su casa. 6. Establezca una zona de la sala de clase que sirva como sitio de exposición para todos los trabajos de sus estudiantes. 7. Invite a sus alumnos y alumnas a realizar los Ejercicios individuales que se proponen en la página 121 del texto. 8. Pida a los estudiantes que comparen los cuerpos geométricos entre sí, con el fin de que nombren las características específicas de cada cuerpo redondo, que es una manera de identificar las diferencias entre ellos.

Actividad complementaria

Experimentar y analizar resultados

1. Reunidos en grupos y utilizando los materiales que deseen (se propone fundamentalmente cartulina o plumavit), construyan cuerpos redondos para luego con ellos hacer una composición que colocarán sobre un pliego de cartulina o una plancha de plumavit. La composición puede consistir en una persona compuesta por una esfera como cabeza, un cono que simule el torso y cilindros para representar brazos y piernas, pero también puede combinar secciones de cuerpos redondos para lograr su fin. Una vez concluida la obra, señalarán con pequeños carteles los nombres de los cuerpos empleados o a qué cuerpo pertenece una sección empleada. Luego colocarán los trabajos en una exposición junto a los del resto de la clase.

134 Texto del Estudiante - Unidad 5

Unidad 5

Reflexión Converse con sus estudiantes sobre la presencia de los cuerpos redondos en el entorno y pida que mencionen algunos que se encuentren dentro de sus hogares. Puede comentar en su intercambio con los alumnos y alumnas, que el estudio de las características y propiedades de los cuerpos geométricos desde la antigüedad ha permitido el desarrollo de numerosas ramas de la ciencia, así como ha posibilitado importantes cálculos, utilizados y aplicados aún en nuestros días.

Identificar regularidades

Materiales Clasificar

Evaluación A través de la siguiente tabla los estudiantes podrán evaluarse unos a otros en cuanto a la actitud mantenida en el trabajo grupal, tanto en el que se propone en la página 121 del texto como en el que se sugiere como Actividad complementaria de la página 134 de esta guía: Indicador Trajo los materiales que se le solicitaron Participó activamente en el trabajo grupal Aportó ideas al trabajo Respetó las ideas dadas por otros compañeros y compañeras Contribuyó a la mantención de la disciplina durante el desarrollo del trabajo

Sí

A veces

Cartulina. Papeles de colores. Plumavit. Goma de pegar. Plumones o témpera. Anotaciones: Cuerpos redondos 135

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Conocen y han trabajado con cuerpos geométricos.

Conocen la diferencia en-

tre cuerpo geométrico y figura plana. Clasifican los cuerpos geométricos en poliedros y cuerpos redondos. Conocen algunas características de los cuerpos redondos. Identifican cilindros.

2. Invite a sus estudiantes a

observar las caras del cilindro que aparecen en la página 122 del texto. Puede complementar esta actividad pidiendo a sus estudiantes que tomen el cilindro de cartón del papel higiénico que se solicita en Materiales y lo corten con unas tijeras. Luego, solicite que lo extiendan sobre su mesa y comprueben que no es más que un rectángulo curvado. 3. En la primera Pista de la página 122 se enuncian las condiciones que deben cumplir las partes de un cilindro para que este pueda ser construido. Puede ejemplificar estos aspectos con un rectángulo de papel, de modo que usted evidencie la importancia de la congruencia entre los círculos que forman sus bases, pues si no son iguales ya no se puede formar un cilindro. 4. Recuerde con sus estudiantes las fórmulas para calcular el área y el perímetro de un círculo, y explique que es importante recordarlas porque las ocuparán en el cálculo del área y del volumen de un cilindro. 5. Fotocopie y reparta la red del cilindro que encontrará en la página 198 de esta guía.

Actividad complementaria

Experimentar y analizar resultados

1. Invite a sus estudiantes a construir un cilindro siguiendo los siguientes pasos: Para construir un cilindro, primero dibuja sobre una superficie de cartón dos circunferencias del mismo diámetro, marcando con un punto el centro de la circunferencia. Luego, recórtalas. Dibuja dentro de cada circunferencia otra, un poco más pequeña, y sobre ella, marca puntos equidistantes.

136 Texto del Estudiante - Unidad 5

Unidad 5

Aclaración de conceptos Los cilindros se clasifican en rectos (cuando el eje del cilindro es perpendicular a las bases), y oblicuos (cuando el eje del cilindro no es perpendicular a las bases).

Cilindro recto Cilindro oblicuo a = 90° a ≠ 90° Aplicar propiedades

Materiales Cartón. Varilla. Hilo. Cilindro de papel higiénico. Tijeras. Compás.

Coloca una varilla resistente y pégala a los centros de las circunferencias. Luego, usando como referencia los puntos que dibujaste en las circunferencias interiores, pasa hilos de manera que sean paralelos entre sí y queden tensos.

Base Hilos Varilla

Luego de obtener el cilindro, señala sus partes y escribe en tu cuaderno sus características. Intenta, utilizando los mismos materiales, construir un cilindro oblicuo. Visualizar espacialmente

Base

Anotaciones: Cuerpos redondos 137

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Conocen y han trabajado con cuerpos geométricos.

Conocen la diferencia en-

tre cuerpo geométrico y figura plana. Clasifican los cuerpos geométricos en poliedros y cuerpos redondos. Conocen los cuerpos redondos. Reconocen cilindros e identifican sus características.

2. Analice con el curso la página

124 del texto haciendo énfasis en el cuadro de contenido, en el cual se detallan los elementos que forman un cono. Ejemplifique con un cono de cartón que usted puede ir desarmando para ir mostrando cada figura plana que lo compone. 3. Como Actividad complementaria, en la página 138 de esta guía, se propone la construcción de un cono utilizando materiales sencillos. Oriente al curso en esta actividad que podría ser realizada en parejas. 4. Una vez que los estudiantes construyan el cono recto, pida que señalen las partes del cono para así explicar el concepto de generatriz descrito en el Archívalo de la página 125 del texto. 5. Explique a alumnos y alumnas, a través de un dibujo en la pizarra similar al que aparece en la Aclaración de conceptos, qué es un cono truncado o un tronco de cono y cómo este cuerpo se encuentra tan regularmente en nuestro entorno, por ejemplo, muchas lámparas tienen esta forma de tronco de cono. 6. Fotocopie y reparta la red que encontrará en la página 199 de esta guía.

Actividad complementaria 1. Invite a sus estudiantes a construir un cono siguiendo los siguientes pasos: Para construir un cono, primero dibuja sobre una superficie de cartón una circunferencia marcando con un punto su centro. Luego, recórtala. Dibuja dentro de la circunferencia otra levemente más pequeña y sobre ella marca puntos equidistantes.

138 Texto del Estudiante - Unidad 5

Experimentar y analizar resultados

Unidad 5

Aclaración de conceptos Los conos pueden ser rectos u oblicuos. En el cono recto, el eje es perpendicular a la base; y en el cono oblicuo, el eje no es perpendicular a la base.

Cono recto a = 90°

Cono oblicuo a ≠ 90°

Al cortar un cono recto con un plano paralelo a la base (es decir, perpendicular al eje), se obtiene un sólido que se denomina cono truncado o tronco de cono:

Materiales Cartón. Varilla. Hilo. Tijeras. Compás.

Coloca una varilla resistente y pégala al centro de la circunferencia. Luego, usando como referencia los puntos que dibujaste en la circunferencia interior, pasa hilos desde la base y anúdalos a la punta de la varilla, de manera que queden tensos. Luego de obtener el cono, señala sus partes y escribe en tu cuaderno sus características. Intenta, utilizando los mismos materiales, construir un cono oblicuo. ¿Cómo harías para construir un tronco de cono o cono truncado? Describe el procedimiento en tu cuaderno y luego constrúyelo con los materiales que quieras.

Nudo

Visualizar espacialmente

Hilos Varilla

Base

Cuerpos redondos 139

Orientaciones metodológicas 1. Antes de iniciar la clase, compruebe que sus estudiantes:

Conocen los cuerpos redondos.

Conocen el cilindro y saben

que está formado por dos círculos como caras basales y un rectángulo curvado como cara lateral. Conocen los conos rectos y oblicuos y saben cómo obtener un cono truncado.

2. La Reflexión que se sugiere

en la página 141 de esta guía le servirá de introducción para el estudio de la esfera, pues podrá enlazar los ejemplos que aporten los estudiantes con el contenido inicial. 3. En estas páginas del texto se explica por qué la mayoría de los cuerpos celestes tienen forma esférica . Puede hacer notar a los estudiantes que las gotas de agua también adquieren forma esférica. Puede que muchos de ellos y ellas le digan que no tienen esa forma sino la forma de una lágrima (más gruesa por un lado), esto es un error, ya que la gota de agua al desprenderse adquiere la forma de una esfera. Todo sistema tiene tendencia a disminuir su energía de forma que, en ausencia de fuerzas exteriores, una masa de líquido adquirirá aquella forma geométrica donde la relación entre la superficie y el volumen sea mínima, es decir, cuya superficie sea lo más pequeña posible para un volumen dado y esta forma es la esférica. 4. Realice con sus alumnos y alumnas la Actividad complementaria que se describe, mediante la cual podrá ejemplificar lo que se enuncia en el Archívalo de la página 126.

Actividad complementaria 1. Lleve a la clase una manzana, un limón o una cebolla y explique a sus estudiantes que la forma de la fruta (o vegetal) que muestra es esferoidal. Realice un corte y explique a alumnos y alumnas que, al hacer un corte a una esfera con un plano, resulta una circunferencia (el plano en el caso de esta demostración sería el cuchillo), el borde que queda marcado por la corteza es la circunferencia y el círculo es la circunferencia junto con la región del plano que encierra, es decir, la parte del interior de la fruta que queda en el corte.

140 Texto del Estudiante - Unidad 5

Visualizar espacialmente

Circunferencia

Círculo

Unidad 5

Reflexión

Identificar elementos matemáticos

Verificar propiedades

Evaluación Evalúe el desempeño de sus estudiantes en el desarrollo de las actividades que se sugieren en estas páginas a través de la siguiente lista de cotejo: Indicadores

Identifica las secciones de una esfera Identifica esferas en los objetos del entorno Trabaja en el tiempo asignado por el docente Trabaja en forma limpia y ordenada Participa activamente en el trabajo grupal Ayuda a los compañeros y compañeras que lo necesitan L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

¿Qué es una esfera? Definir esfera puede ser complicado para los estudiantes, por lo que con esta pregunta, puede iniciar una reflexión, a partir de la cual, puede ir escribiendo en la pizarra sus preconceptos hasta formar la definición adecuada. Puede enriquecer la reflexión pidiendo a los estudiantes que pongan ejemplos de esferas, entre ellos seguramente saldrá a relucir nuestro planeta. Puede explicar a alumnos y alumnas que, como se explica en el texto, nuestro planeta tiene forma esferoidal pero no es una esfera perfecta. Muchas veces en la literatura, encontramos que reportan un solo diámetro para nuestro planeta, en estos casos, generalmente se refieren al diámetro ecuatorial o al diámetro medio, pues los diámetros de la Tierra son, aproximadamente: Diámetro ecuatorial: 12 756 km Diámetro polar: 12 713,50 km Diámetro medio: 12 742 km Anotaciones: Cuerpos redondos 141

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Conocen las figuras pla-

nas y saben calcular su área. Conocen los cuerpos redondos y los construyen a partir de redes. Determinan el área lateral y total de algunos poliedros.

2. Converse con sus estudiantes

sobre la definición de área a través de los cuerpos con los que ya han trabajado, por ejemplo, los poliedros. A partir de este análisis los estudiantes podrán recordar que el área total de un cuerpo se obtiene al sumar las áreas de las figuras que componen sus caras. 3. Para el trabajo con el área de cuerpos redondos, es importante que los alumnos y las alumnas tengan claro las fórmulas que estudiaron para calcular el área del círculo. Es por ello que le sugerimos explorar los conocimientos previos de sus estudiantes solicitándoles que determinen el área de un círculo dibujado por usted en la pizarra. 4. Analice detalladamente con sus estudiantes la página 128 del texto y desglose cada una de las fórmulas propuestas, para que identifiquen en ellas las fórmulas de cada una de las caras de los cuerpos.

Actividad complementaria

Aplicar procedimiento

1. Invite a sus estudiantes a calcular el área de los cuerpos que construyeron en clases anteriores a partir de las redes. Para ayudar en los cálculos puede sugerir que, en caso de ser necesario, desarmen los cuerpos y sobre cada una de sus caras, escriban el área correspondiente para, posteriormente, sumarlas. 2. En una fábrica necesitan construir un reactor metálico para contener determinada materia prima de naturaleza líquida. El reactor debe tener forma cilíndrica y se cuenta con 37,68 m2 de material. Si el diámetro de su base debe medir 2 m, ¿qué altura aproximadamente alcanzará el reactor? Si le añadiéramos una base cónica con igual diámetro y 4 m de generatriz, ¿qué área tendría ahora el reactor completo?

142 Texto del Estudiante - Unidad 5

Unidad 5

Historia y números

Manipular aritméticamente

El cálculo de áreas interesó a los matemáticos desde los tiempos de la Grecia antigua. Se trabajaron dos métodos fundamentales: los métodos heurísticos o atómicos y los métodos de exhausción. Los primeros, se basaban en la teoría atomista de Demócrito, que consideraba que una línea, una superficie o un volumen estaba formado de un gran (aunque finito) número de átomos. Se trataba entonces, de sumar todos sus átomos para calcular su longitud, área o volumen. Con este método, Demócrito calculó por primera vez los volúmenes del cono y la pirámide. Los métodos de exhausción trataban, de forma más rigurosa, el cálculo de áreas y volúmenes, realizando demostraciones exhaustivas de los resultados, pero tenían la desventaja de que requerían conocer el resultado final de un cálculo para poder demostrarlo. Estos métodos fueron típicos de la matemática griega y renacentista.

Diversidad

Evaluación Pida a sus estudiantes que dibujen las siguientes figuras y luego calculen su área: Cilindro: bases de 10 cm de diámetro y altura de 10 cm. Cono: base de 10 cm de diámetro y generatriz de 10 cm. Esfera: 10 cm de diámetro. Evalúe esta actividad a través de una lista de cotejo similar a la que se propone a continuación: Indicadores Dibujó correctamente los cuerpos solicitados teniendo en cuenta las dimensiones que se especifican Calculó correctamente las áreas solicitadas Trabajó en el tiempo estipulado por el docente

Los estudiantes ya conocen la forma de calcular el área de figuras planas. A los alumnos y alumnas que presenten dificultades en deducir el cálculo del área de los cuerpos redondos puede sugerirles que dibujen la red del cuerpo y entonces calculen el área de las figuras planas que lo componen. El área total de un cuerpo resulta de la suma de las áreas de las figuras planas que lo forman.

NR L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Cuerpos redondos 143

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Conocen los cuerpos redondos.

Conocen las figuras

planas y saben calcular áreas. Calculan áreas de cilindros, conos y esferas.

2. Los alumnos y las alumnas

conocen de cursos anteriores el cálculo del volumen de algunos poliedros. Puede apoyarse en estos conocimientos previos para deducir, en conjunto con el curso, la forma de calcular el área de un cilindro a partir de la Aclaración de conceptos. Para hacer más comprensiva esta analogía, es recomendable que se auxilie de dibujos realizados en la pizarra para que los estudiantes puedan establecer la analogía, no solo analíticamente, sino también, visualmente. 3. Analice con alumnos y alumnas la página 130 del texto y los cuadros de contenidos correspondientes, en los cuales se enuncian las fórmulas para el cálculo del volumen de los cuerpos redondos estudiados. 4. Explique a sus estudiantes que estas fórmulas no solo le servirán para calcular el volumen, sino que, aplicando los conocimientos que tienen respecto a la resolución de ecuaciones, pueden mediante el despeje, obtener las dimensiones que necesiten siempre y cuando conozcan el resto de las variables. 5. Proponga a sus estudiantes actividades en las que, por ejemplo, deban obtener el diámetro a partir de la fórmula para calcular el volumen de un cilindro.

Actividad complementaria

Resolver problemas

1. Un reloj de arena está formado por dos conos de vidrio unidos por su cúspide. ¿Cuál será el volumen máximo de arena que podrá contener si la altura del reloj es de 10 cm y el diámetro mide 5 cm? 2. Un globo, al ser inflado, alcanza un diámetro máximo de 40 cm. ¿Qué volumen de aire es necesario para que el globo alcance su tamaño máximo? 3. En la casa de Alejandro hay un hervidor con forma de cilindro y con una capacidad para 2,5 L de agua. Si su diámetro interior es de 14 cm, ¿qué altura alcanzará el agua en el hervidor al añadirle los 2,5 L?

144 Texto del Estudiante - Unidad 5

Unidad 5

Aclaración de conceptos

Manipular aritméticamente

Evaluación Puede presentar a sus estudiantes los problemas que se sugieren en la Actividad complementaria como una prueba individual que podrá evaluar mediante los aspectos que se describen en la siguiente tabla: Indicadores

Calculó correctamente el volumen de conos Calculó correctamente el volumen de esferas Calculó correctamente el volumen de cilindros Aplica los conocimientos sobre ecuaciones de primer grado para determinar parámetros asociados al cálculo de volumen L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

El cálculo del área y el volumen de cuerpos redondos no es tan sencillo como el de los poliedros, cuyas caras son planas, pues las superficies curvas son relativamente más complejas de tratar. Pero, a partir del análisis de los poliedros, podemos obtener la fórmula para calcular el área y el volumen de los cuerpos redondos. Si dibujamos un prisma inscrito en un cilindro y comenzamos progresivamente a duplicar el número de sus caras laterales, cada vez que realicemos la operación, el prisma irá asemejándose más al cilindro que lo contiene, entonces: Aprisma = pbase · h + 2Abase Acilindro = 2πr · h + 2πr 2 Vprisma = ½ · p · Apotema · h Vcilindro = ½ · 2πr · r · h Vcilindro = πr 2 · h Una analogía similar se puede realizar con el cono, a partir de una pirámide; y de la esfera, a partir de un poliedro con un gran número de caras, inscrito en ella. Anotaciones: Cuerpos redondos 145

Orientaciones metodológicas 1. Antes de dar inicio a las actividades de la clase, compruebe que sus estudiantes:

Conocen los cuerpos redondos.

Manejan el cálculo del área de cuerpos redondos.

Manejan el cálculo del

volumen de cuerpos redondos.

2. El objetivo de estas páginas es

que los estudiantes relacionen los temas del cálculo de área y volumen de cuerpos redondos, hasta ahora visto de manera casi puramente matemática, a situaciones reales, a partir de lo cual, alumnos y alumnas verán la aplicación práctica de este tema. 3. Analice con los alumnos y alumnas el Problema modelo de la página 132 del texto y explique que no siempre que se requiere el cálculo de volumen se especifica la palabra volumen. Es importante que los estudiantes sepan que pueden hablarles de capacidad o pueden darles los datos necesarios para que, a través de las fórmulas de área o volumen, calculen alguna de las magnitudes que involucran estas fórmulas. 4. Invite a sus estudiantes a desarrollar los problemas de la página 133 del texto siguiendo la metodología sugerida. 5. Dé un tiempo para la realización de las actividades. Recuerde a los estudiantes que la respuesta debe ser expuesta en oraciones completas y la estrategia para comprobar los resultados nunca debe ser la misma ocupada para llegar a él, pues en caso de haber cometido algún error, corren el riesgo de repetirlo.

Actividad complementaria 1. En el patio de la casa de Antonio van a construir un pozo de agua de forma cilíndrica, con 7,5 m de profundidad y 2,5 m de diámetro. Primero se cavará el pozo para luego cubrir sus paredes y el fondo con un material especial para evitar desprendimientos de tierra. ¿Qué cantidad de material será necesario comprar para cubrir las paredes y el fondo del pozo? Si en la tienda este material cobertor es vendido en planchas de 2 m2 y cada una cuesta $ 2 300, ¿cuántas planchas será necesario comprar y qué cantidad de dinero costarán? ¿Qué cantidad de tierra será removida durante la construcción del pozo?

146 Texto del Estudiante - Unidad 5

Unidad 5 Resolver problemas

Errores frecuentes Los errores más comunes en la resolución de los problemas suelen ser de tres tipos: • De representación de objetos y enunciados matemáticos. • Deductivos. • Axiomáticos o de aplicación de la teoría. Estos tres tipos de errores no son excluyentes entre sí, cada uno por separado puede inducir a los otros dos tipos de errores. Existen algunas otras situaciones que suelen obstruir el correcto resultado de la resolución de problemas y están directamente relacionados con el hecho de que muchos estudiantes no manejan adecuadamente el lenguaje matemático, obstaculizando la adecuada interpretación de algunas situaciones matemáticas. También ocurre que, problemas de los estudiantes en el subsector de Lenguaje y Comunicación suelen extrapolarse a la resolución de problemas y hacen que los alumnos y alumnas no sepan redactar correctamente oraciones completas o sencillamente no tengan noción de lo que significa “oración completa”, planteando respuestas a problemas contextualizados similares a “el resultado es 24”.

Evaluación Entregue a sus estudiantes la siguiente tabla con el fin de que autoevalúen su trabajo en la Resolución de problemas: Aspectos a evaluar Comprendí la metodología para resolver los problemas que implican cálculos de área y volumen Resolví el problema propuesto aplicando la metodología aprendida Dejé por escrito todos los cálculos auxiliares realizados Llegué a los resultados correctos Trabajé en el tiempo estipulado por el docente

Cuerpos redondos 147

Ocupar herramienta tecnológica

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Manejan el cálculo del

área y del volumen de cuerpos redondos. Conocen el concepto de sólido de revolución.

2. El Cabri 3D es una herramienta

que permite un alto grado de manipulación de los cuerpos geométricos. Mediante estas páginas de Tecnología activa los alumnos y alumnas podrán trabajar en el Cabri y utilizar herramientas avanzadas que les permitirán obtener sólidos de revolución. 3. Las actividades que se desarrollan en estas páginas, además de resultar entretenidas por su atractivo visual, tienen gran importancia en el desarrollo del pensamiento abstracto, sobre todo si se complementa con algunas alternativas como las que se describen en Otros recursos. 4. Explique a los estudiantes las actividades que se van a realizar y llame la atención del curso en el cuidado que deben tener al realizar los dibujos, pues una simple variación en la figura plana implicaría la generación de un sólido diferente.

Ocupar herramienta tecnológica

Actividad complementaria 1. Ocupa el Cabri 3D para construir un nuevo sólido de revolución, para ello sigue los siguientes pasos: Abre un nuevo documento y dibuja una circunferencia C1 con centro en el origen de coordenadas y con el diámetro que tú decidas. Dibuja una recta R1 que pase por un punto de la circunferencia y que sea perpendicular al plano en que ella se encuentra. Luego, dibuja una nueva recta R2, que pase por el origen de coordenadas y sea igualmente perpendicular al plano de la circunferencia y, por ende, paralela a R1. Dibuja una circunferencia C2 con centro en R2, que pase por un punto cualquiera que pertenezca a R1 y que sea paralela a C1. R1

148 Texto del Estudiante - Unidad 5

C2 C1 R2

Unidad 5

Otros recursos Para trabajar los sólidos de revolución puede ser entretenido para los estudiantes que intenten, utilizando material concreto, predecir el sólido que se formará de la rotación de determinada figura plana y que luego lo confirmen en el Cabri 3D. Por ejemplo, en la Tecnología activa se obtiene un cono de la rotación de un triángulo y un cilindro de la rotación de un rectángulo. Pida a los estudiantes que experimenten con cartulina el resultado de ambas rotaciones. Antes de proponer la Actividad complementaria, pida a los estudiantes que experimenten la rotación de un segmento y dibujen en sus cuadernos el sólido que se genera.

Aplicar procedimiento

Con la herramienta de manipulación selecciona R1 y en el menú Edición elige ocultar/mostrar y R1 desaparecerá de tu área de trabajo. Dibuja un segmento que vaya desde un punto M que pertenezca a la C2 hasta un punto N que pertenezca a C1, cortando a R2. Con la herramienta trayectoria, selecciona el segmento MN. Luego elije Ventana y en ella Animación. Posteriormente, con la herramienta de manipulación, selecciona el punto N y en la ventana de Animación ajusta la velocidad a 2,50 cm/s. Realiza la misma operación con el punto M y presiona el botón iniciar animación.

Cuerpos redondos 149

Sintetizar información

Orientaciones metodológicas 1. Antes de dar inicio a las actividades de la clase, compruebe que sus estudiantes:

Conocen los cuerpos redondos.

Construyen cuerpos redondos a partir de redes.

Calculan áreas de cilindros, conos y esferas.

Calculan volúmenes de cilindros, conos y esferas.

Calculan el área y el

volumen de cuerpos geométricos formados por cuerpos redondos conocidos.

2. En la página 136 del texto se

encuentra la Síntesis de la unidad, en la cual mediante fichas se resumen los contenidos más importantes de la unidad. Explique a sus estudiantes que esta síntesis será un gran apoyo en el estudio individual y les servirá de guía para organizar su estudio individual. 3. Pida a un estudiante que lea la primera ficha. Luego solicite al resto del curso que abra la página del texto en la que se presenta el contenido descrito en la ficha. Solicite que entre todos generen un ejercicio tipo que usted escribirá y resolverá en la pizarra con la ayuda del curso y que luego los estudiantes escribirán al lado de la ficha. Repita esa misma actividad con el resto de las fichas. 4. En la página 137 del texto comienza la Evaluación. En ella se encuentra una colección de actividades en las que están representados todos los temas trabajados en la unidad.

Actividad complementaria 1. Pida a los estudiantes que, apoyándose en la Síntesis de la unidad, completen la siguiente red sobre los cuerpos redondos que está al principio de esta unidad:

Cuerpos redondos

150 Texto del Estudiante - Unidad 5

cálculo de

Volumen Área

posibilitan

Unidad 5

Diversidad

Manipular aritméticamente

Como método para reforzar a los estudiantes que hayan presentado mayores dificultades en el trabajo con las áreas y volúmenes de cuerpos redondos, sugiérales hacer en sus cuadernos un formulario, en el cual dejen plasmadas todas las fórmulas trabajadas durante la unidad, de modo que puedan acudir a él cuando lo consideren necesario. También exhórtelos a realizar la mayor cantidad posible de ejercicios de aplicación, pues mediante ellos tomarán destreza en el cálculo y se irán apropiando progresivamente de las fórmulas. Anotaciones:

Verificar propiedades

Evaluación Pida a sus estudiantes que autoevalúen el nivel de comprensión que lograron de los contenidos de la unidad mediante la siguiente tabla, para luego escribir los comentarios o dudas que tengan sobre cada tema en particular: Aprendizajes esperados

Comentarios

Identificar y caracterizar cuerpos redondos Determinar redes de cuerpos redondos Calcular área y volumen de un cilindro Calcular área y volumen de un cono Calcular área y volumen de una esfera

Cuerpos redondos 151

Orientaciones metodológicas

Manipular aritméticamente

1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Conocen los cuerpos

redondos y sus características. Construyen las redes de los cuerpos redondos y los cuerpos redondos a partir de sus redes. Conocen los sólidos de revolución. Calculan el área de cilindros, conos y esferas. Calculan el volumen de conos, cilindros y esferas.

2. Estas páginas las puede orientar

Actividad complementaria

10 cm

152 Texto del Estudiante - Unidad 5

13 cm

12 cm

1. Calcula el área total y el volumen de los cuerpos que se muestran. 2. ¿Qué figuras planas al girarlas describirían estos sólidos?

13 cm

a modo de evaluación formal, para lo cual puede explicarle al curso que a través de estas actividades ellos, ellas y usted, podrán saber el nivel de comprensión que cada alumno y alumna tuvo de los contenidos trabajados en la unidad. 3. En la página 194 de esta guía se entrega una hoja de respuestas para los ejercicios con alternativas, la cual puede fotocopiar y entregar a sus estudiantes para que respondan las preguntas de la página 139 del texto. Le sugerimos que diga a sus alumnos y alumnas que deben justificar su elección en cada pregunta, realizar los cálculos auxiliares y plasmar las fórmulas utilizadas en sus cuadernos. 4. Dé un tiempo prudente para que los estudiantes realicen la actividad y luego retire las hojas de respuestas. Finalmente, haga una puesta en común y aclare las dudas que puedan haber tenido los estudiantes.

5,4 cm

Unidad 5

Reflexión Ya nos encontramos en las páginas finales de la unidad de cuerpos redondos y es por ello que le sugerimos iniciar con sus alumnos y alumnas una reflexión que puede partir de las preguntas: ¿qué son los cuerpos redondos? y ¿para qué consideran que les pueden servir los contenidos aprendidos en esta unidad? A las respuestas de sus alumnos y alumnas, puede añadir que el trabajo con los cuerpos redondos es aplicable a una gran cantidad de ramas de la ciencia, pues muchos cálculos matemáticos toman como base conocimientos geométricos ya estudiados por ellos, por lo que lo aprendido les servirá, además, para comprender algunos temas que estudiarán en el futuro.

Evaluación Para evaluar las actividades sugeridas en estas páginas, puede utilizar una tabla como la que se propone a continuación, dando una puntuación a cada uno de los logros: Indicadores

Identifica los cuerpos redondos y los asocia a objetos cotidianos Identifica el sólido de revolución a partir de la figura plana que gira Calcula correctamente el área de cuerpos redondos Calcula correctamente el volumen de cuerpos redondos Calcula el área y el volumen de cuerpos que pueden ser descompuestos en cuerpos redondos más simples L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Anotaciones: Cuerpos redondos 153

6 Unidad

Datos agrupados y probabilidades

Sección

Planificación Unidad 6 Objetivos Fundamentales Verticales yyDistinguir entre los datos cualitativos y cuantitativos e identificar los datos cuantitativos discretos y continuos. yyConstruir intervalos de clase y calcular marcas de clase. yyCalcular la media y la moda de datos agrupados. yyLeer, interpretar y construir tablas y gráficos de datos agrupados. yyIdentificar y verificar experimentos equiprobables. yyAplicar la regla de Laplace a experimentos equiprobables. yyAnalizar probabilidades en diferentes ámbitos.

Clase

Horas

Entrada unidad Actividad inicial

yyInterpretan tablas de datos. yyConstruyen gráficos para representar una información determinada. yyDeterminan algunas medidas de tendencia central.

Datos cuantitativos continuos y discretos

yyIdentifican datos cuantitativos y cualitativos. yyIdentifican datos cuantitativos discretos y continuos.

Intervalo de clase Marca de clase

yyDeterminan los intervalos de clase en que se dividen los valores de un conjunto de datos. yyDeterminan el rango de un conjunto de datos. yyCalculan la marca de clase de un intervalo de clase.

Moda y media para datos agrupados

yyDefinen datos agrupados. yyDeterminan la moda y la media para datos agrupados.

Construcción de gráficos de barras para datos agrupados

yyInterpretan información expresada en tablas de datos agrupados. yyConstruyen tablas de datos agrupados. yyConstruyen e interpretan gráficos de barras que contienen datos agrupados.

Métodos de muestreo

yyDiferencian el muestreo probabilístico o aleatorio del no probabilístico. yyIdentifican diferentes tipos de muestreos aleatorios.

Experimentos aleatorios equiprobables Regla de Laplace para la asignación de probabilidades

yyIdentifican el espacio muestral de un experimento. yyIdentifican un suceso como subconjunto de un espacio muestral. yyDeterminan la probabilidad de un suceso mediante la aplicación de la regla de Laplace.

Verificación de una probabilidad

yyDeterminan la probabilidad de ocurrencia de un experimento y lo verifican mediante la realización del experimento y el posterior análisis de los resultados.

Resolución de problemas

yyAplican los procedimientos aprendidos en la unidad para resolver problemas.

Tecnología activa

yyUtilizan herramienta tecnológica para simular diferentes experimentos aleatorios.

Síntesis de la unidad Evaluación

yySintetizan temas estudiados en la unidad. yyAplican conocimientos adquiridos para resolver actividades de evaluación.

154 Planificación - Unidad 6

Ruta de aprendizajes esperados

Unidad 6

Objetivos Fundamentales Transversales yyInterpretar, valorar y representar información económica hasta el momento desconocida por los estudiantes. yyParticipar de trabajos grupales que implican la realización de experimentos aleatorios y la discusión de sus resultados. yyRespetar y valorar opiniones ajenas a las propias. yyComprender y valorar la perseverancia, el rigor y el cumplimiento, la flexibilidad y la originalidad.

Materiales Contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales

Evaluación

Páginas Texto 140 – 143

Páginas Guía 156 – 159

yyInterpretación de información y extracción de datos cualitativos y cuantitativos diferenciando los datos cuantitativos en discretos y continuos.

144 – 145

160 – 161

Actividad de evaluación formativa: coevaluación

yyInterpretación de datos para determinar los intervalos de clase. yyCálculo de la marca de clase como el valor más representativo de un intervalo de clase.

146 – 149

162 – 165

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo

yyEstablecimiento de metodología para determinar la media y la mediana de un conjunto de datos agrupados.

150 – 151

166 – 167

Actividad de evaluación formativa: autoevaluación

yyInterpretar información económica expresada en tablas de datos agrupados. yyAplicación de conocimientos previos para la construcción de gráficos de barras con datos agrupados.

152 – 153

168 – 169

Actividad de evaluación formativa

yyInterpretación de información contextualizada para clasificar el tipo de muestreo aplicado. yyEstablecimiento de diferencias entre los diferentes tipos de muestreo.

154 – 155

170 – 171

Actividad de evaluación formativa

yyIdentificación y determinación del espacio muestral de un experimento aleatorio. yyAplicación de la regla de la Laplace para asignar probabilidades.

156 – 159

172 – 175

Actividad de evaluación formativa: lista de cotejo y coevaluación

yyDeterminación de la probabilidad de ocurrencia de un suceso o evento. yyVerificación de una probabilidad mediante la experimentación y el análisis de los resultados.

160 – 161

176 – 177

Actividad de evaluación formativa

yyPlanteamiento y resolución de problemas contextualizados. yyAplicación de metodología para resolver problemas de estadística y probabilidades.

162 – 163

178 – 179

Actividad de evaluación formativa: autoevaluación

yyConfección de planilla de cálculo en Excel que permite la simulación de algunos experimentos aleatorios.

164 – 165

180 – 181

Actividad de evaluación formativa: coevaluación

yyValoración y utilización de los conocimientos adquiridos durante la unidad para resolver las actividades de evaluación.

166 – 169

182 – 185

Actividad de evaluación sumativa: evaluación final

yyAplicación de conocimientos previos para resolver situaciones cotidianas. yyInterpretación de indicadores económicos.

Actividad de evaluación formativa: autoevaluación

Datos agrupados y probabilidades 155

Orientaciones metodológicas 1. Desde hace varios cursos los

estudiantes iniciaron el estudio de algunos elementos de la estadística y las probabilidades, es por ello que pudiera resultar un buen ejercicio de recuperación de contenidos previos que usted lea en voz alta el título de la unidad y pregunte a algunos estudiantes al azar de qué creen que tratará. Escriba en la pizarra los comentarios de algunos estudiantes y luego invite al curso a abrir el texto en la página 140 y a analizar la red conceptual que allí aparece. Luego dé lectura a En esta unidad aprenderás a: que está en la página 141. 2. Invite a un estudiante a leer en voz alta ¿Qué son los indicadores económicos? y pida al resto de los alumnos y alumnas que respondan en sus cuadernos las preguntas que aparecen a continuación, dé un tiempo para ello y, finalmente, invite a algunos alumnos y alumnas a leer sus respuestas. 3. Pida al curso que realicen la actividad que se propone en ¿Puedes resolver?

Actividad complementaria 1. Busca en periódicos o en internet, información sobre el desarrollo de la inflación en Chile. Con la información encontrada, confecciona un informe y expón los resultados de tu investigación ocupando los recursos que consideres necesarios para facilitar la comprensión de tus compañeros y compañeras. 2. Cada 10 años, en nuestro país, se realiza un censo de población. Investiga sobre los resultados de estos censos y analiza cómo ha variado la población entre uno y otro censo. 3. Determina el valor promedio y los valores máximo y mínimo de las variables que se enuncian a continuación: Variaciones de la UF durante agosto del 2009. Valores alcanzados por la bencina de 95 y 97 octanos, durante el año 2009. Los indicadores de desempleo año por año desde 2003 a 2009.

156 Texto del Estudiante - Unidad 6

Unidad 6

Presentación de la unidad En esta unidad los estudiantes profundizarán en el estudio de los datos cualitativos y cuantitativos, clasificando los cuantitativos en discretos o continuos. Construirán intervalos de clase y podrán calcular las marcas de clase. Realizarán cálculos de medidas de tendencia central de datos agrupados y aprenderán a interpretar tablas con este tipo de datos, habilidad que les permitirá expresarlos mediante gráficos. El estudio de los métodos de muestreo les permitirá conocer qué es una muestra y qué es la inferencia estadística, diferenciando el muestreo probabilístico o aleatorio del no probabilístico. En esta unidad los estudiantes retomarán el estudio de los experimentos aleatorios, identificando los experimentos equiprobables que les permitirán conocer y aplicar la regla de Laplace para asignar probabilidades. Todos los contenidos de la unidad serán trabajados a través de situaciones contextualizadas que versarán alrededor de temas e indicadores económicos hasta el momento no conocidos por ellos.

 Red conceptual Datos agrupados

Intervalos de clase

organizados en

Marca

Probabilidades

a través de

Media

expresados en

Tablas de datos agrupados

permiten

Gráficos de datos agrupados Describir e interpretar información

Moda

Métodos clasificados en de muestreo

Probabilísticos o aleatorios

aplicando

Regla de Laplace

permiten

No probabilísticos

Datos agrupados y probabilidades 157

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Construyen tablas de datos.

Calculan las medidas de

tendencia central de un conjunto de datos. Determinan la frecuencia de una colección de datos.

2. Converse con sus alumnos y

alumnas sobre la importancia que tiene en nuestra vida diaria la capacidad de resumir y de sintetizar. Explique que las tablas y los gráficos constituyen una herramienta muy útil para ordenar y resumir información. 3. Seleccione a dos estudiantes para que dramaticen la historieta de la página 142 del texto y luego divida al curso en grupos de tres o cuatro estudiantes para que realicen las actividades que se proponen en la página 143. 4. En la actividad 1, ayude a los estudiantes a comprender el término categoría y explique cómo agrupar los datos por categorías. Realice preguntas como: ¿qué tipo de gráfico crees que sería el más adecuado para estos datos?, ¿por qué?, ¿cómo se construye?, ¿qué datos irán en uno y otro eje de coordenadas? 5. Analice con los alumnos y alumnas la actividad 3. Si lo considera pertinente, puede realizar el experimento propuesto utilizando papeles de los colores señalados y realizando la actividad lúdica con el curso. Anote los resultados en la pizarra y analícelos con los estudiantes.

Analizar

Actividad complementaria 1. En la siguiente tabla se muestran las masas corporales (en kilogramos) de un grupo de 30 personas que reflejan la población de un pequeño pueblo del norte de Chile: 45

101

100

Según la tabla, ¿qué masa es la más común? ¿Cuál es la diferencia entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor? Si la información la separamos en grupos de 10 kg (30-39 kg, 40-49 kg, 50-59 kg, y así sucesivamente hasta 100-109 kg), ¿cuál sería el grupo de masas con mayor frecuencia en la tabla?

158 Texto del Estudiante - Unidad 6

Unidad 6

Diversidad

Interpretar información

Para comenzar el estudio de esta unidad es importante, para garantizar la comprensión del contenido por parte de todo el estudiantado, que los alumnos y alumnas tengan claros los contenidos previos relacionados con los principales temas de la unidad. Para reactivar los conocimientos que ayudarán a los estudiantes a comprender los nuevos conceptos y procedimientos, realice con ellos y ellas sencillos ejercicios de clasificación, tabulación y representación gráfica de datos, además de ejercitar el cálculo de algunas de las medidas de tendencia central que estudiaron en cursos anteriores.

Errores frecuentes Muchas veces los estudiantes se suelen confundir cuando se trabaja en millones de pesos y se escribe, por ejemplo, 23 millones de pesos. Explique al curso que esta es una notación muy usual en la terminología económica para evitar el trabajo con números muy grandes, en cuyo caso se suman los números y se mantiene el “millones de pesos”.

Evaluación Pida a sus estudiantes que, a través de la siguiente tabla, autoevalúen el trabajo realizado en la clase: Aspectos a evaluar Hice la tabla correctamente Seleccioné el gráfico adecuado Construí correctamente el gráfico Determiné correctamente la moda y el promedio Calculé correctamente la frecuencia relativa

Datos agrupados y probabilidades 159

Orientaciones metodológicas 1. Antes de iniciar la clase, compruebe que sus estudiantes:

Construyen tablas de frecuencias.

Ordenan datos estadísticos en categorías.

Calculan medidas de

tendencia central de un conjunto de datos.

2. Comienza una etapa de mayor

análisis y uso del criterio por parte de los estudiantes, pues deben reconocer qué datos son importantes o no. Ejemplifique con situaciones sencillas. 3. Identifique, caso por caso, ejemplos que permitan determinar cuándo un dato cuantitativo es discreto o continuo. Muestre ejemplos donde un mismo dato, de acuerdo a la circunstancia, puede clasificarse, en unos casos, como continuo, y en otros, como discreto, pues el establecimiento de esta diferencia es una dificultad recurrente en los estudiantes. 4. Trabaje con los estudiantes la actividad de la página 144 del texto y oriéntelos en la clasificación de los datos. 5. Puede dar a los estudiantes un tiempo para que, en forma individual, escriban en sus cuadernos ejemplos de datos cuantitativos, cuya clasificación pueda ser dudosa para luego discutirlo con el curso. Esto incentivará el debate y les dará a los estudiante un abanico de posibles situaciones con las que podrían enfrentarse. 6. Pida a los estudiantes que realicen los Ejercicios individuales y los Ejercicios grupales siguiendo las instrucciones del texto, luego de un tiempo, realice una revisión conjunta para poder detectar errores y corregirlos.

Actividad complementaria

Analizar información

1. Clasifica como verdaderas (V) o falsas (F) las siguientes afirmaciones: El número de pacientes que atiende un dentista es un dato cuantitativo discreto. El número de goles que convierte un atacante de un equipo de futbol es un dato cuantitativo discreto. Los tiempos que logran los maratonistas en las olimpiadas son datos cuantitativos discretos. El tiempo de rotación de la Tierra, medida en minutos, es un dato cuantitativo continuo. El número de pasajeros que posee un vuelo de una aerolínea es un dato cuantitativo discreto. El número de galaxias que posee el universo es un dato cuantitativo discreto.

160 Texto del Estudiante - Unidad 6

Unidad 6

Errores frecuentes

Clasificar

Interpretar datos

Una de las mayores dificultades que presentan los estudiantes en la clasificación de los datos cuantitativos, es determinar si son discretos o continuos. Explique al curso que, como regla general, los datos cuantitativos discretos son aquellos en que la unidad no se puede dividir en mitades, por ejemplo el número de hermanos o el número de autos en un estacionamiento, pues no es posible que hayan 5,5 autos. Por otra parte, los datos pueden ser o no cuantitativos dependiendo de la unidad de medida; por ejemplo, si yo poseo una balanza que mide con una unidad mínima de 1 gramo; entonces podré medir sólo de gramo en gramo; por lo que medir 22,5 gramos, por ejemplo, sería ilógico y debemos suponer que la medida es discreta; aunque si tuviéramos una balanza que midiera en décimas de gramos, no lo sería. En otras palabras, la clasificación depende del contexto.

Evaluación A modo de evaluación pida a sus estudiantes que analicen el siguiente texto y luego respondan la pregunta: “Juan estaba conversando con Luis sobre diferentes características de sus compañeros y compañeras de trabajo. En un momento de la conversación, Juan le comenta que sus compañeros calzan entre 38 y 44 en el sistema convencional, pero que en el sistema americano estas medidas van de 7 a 9 ½, por lo que este rango de datos es cuantitativo discreto. Luis lo interrumpe diciendo que está equivocado, ya que el rango es cuantitativo continuo”. ¿Quién tiene la razón, Juan o Luis ? Justifica tu respuesta.

Datos agrupados y probabilidades 161

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Reconocen si un dato es cuantitativo o cualitativo. Dentro de los cuantitativos, reconocen si un dato es continuo o discreto.

2. Analice con el curso la actividad

de la página 146 del texto y la información que se muestra ordenada en las tablas. Es importante que durante el análisis, explique a los estudiantes de dónde procede la tercera tabla y vaya, en la medida que analice cada intervalo de clase, haciendo referencia a las tablas anteriores. Por ejemplo, para el intervalo [0,9-2,5[ se dice que la cantidad de países es 6, entonces usted escriba en la pizarra los 6 países que corresponden a ese intervalo y pida a los estudiantes que lo señalen en sus tablas. 3. Puede solicitar también a sus alumnos y alumnas que busquen una noticia en algún periódico, revista o informe financiero, donde se muestren datos ordenados por categorías y los peguen en sus cuadernos. Converse en clase la forma en que se llegó a establecer tal clasificación. 4. Analice detalladamente los cuadros de contenido poniendo ejemplos en cada caso, mientras los estudiantes toman notas en sus cuadernos. 5. Pida al curso que resuelvan los Ejercicios individuales de la página 147 del texto.

Actividad complementaria

Experimentar y analizar resultados

1. Pida a sus estudiantes que formen grupos de 4 integrantes y realicen una encuesta en sus localidades, puede ser a vecinos o familiares según sea su elección. Es importante que cada equipo se reúna, previo a la realización de la actividad, y confeccione el cuestionario. Los datos a obtener son: Edad. Masa corporal. Sexo. Trabaja o no. Una vez que hayan encuestado al menos a 25 personas, deben crear cuatro tablas con intervalos de clase a partir de las edades, cuyos rangos estarán dados de acuerdo a los datos recopilados. Las primeras dos tablas contendrán los datos de masa corporal, la primera para los hombres y la segunda para las mujeres. Las otras dos tablas contendrán los datos de edad de los encuestados, la primera para las personas que trabajan y la segunda para las que no trabajan.

162 Texto del Estudiante - Unidad 6

Unidad 6

Materiales Diarios o revistas. Tijeras. Goma de pegar.

Errores frecuentes Muchas veces los estudiantes, al crear intervalos de clase, los definen casi aleatoriamente; sin importar el valor del rango. Explique a los estudiantes que esta práctica provoca que los resultados que entrega la tabla se distorsionen, por lo que la información inferida de ella no es la correcta. Aplicar procedimiento

Anotaciones:

2. Los siguientes datos corresponden a la cantidad de ramos que han cursado un número definido de estudiantes de una universidad: 3

Agrupa los datos en 6 intervalos de clase y calcula el rango de cada uno de ellos. 3. Para la siguiente tabla, calcula el límite inferior, el límite superior y el rango de cada intervalo: Número de enfermos (en millones)

Límite inferior

Límite superior

Rango

[0,0-0,8[ [0,8-1,6] [1,6-2,4]

Datos agrupados y probabilidades 163

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Generan tablas con inter-

valos de clase para una colección de datos. Identifican intervalos de clase abiertos y cerrados. Identifican cuál es la cantidad de intervalos de clase a utilizar, de acuerdo al número de datos disponibles.

2. Lea en voz alta el enunciado

del problema resuelto de la página 148 del texto y analice, en conjunto con el curso, los datos de la tabla. 3. Pida a un estudiante que lea en voz alta el cuadro de contenido. Luego, realice preguntas al respecto, por ejemplo: ¿qué significa que un valor sea representativo?, ¿qué les recuerda el cálculo realizado para determinar la marca de clase? En Diversidad de la página 165 de esta guía se propone relacionar la determinación de la media aritmética con la determinación de la marca de clase, para así facilitar el proceso de aprendizaje de los estudiantes. 4. Invite a sus estudiantes a realizar los Ejercicios individuales que se proponen en la página 149 del texto. Dé un tiempo para que los alumnos y alumnas hagan los cálculos necesarios para realizar la actividad. Si lo considera necesario, permita la utilización de calculadoras para agilizar el proceso de resolución.

Aplicar procedimiento

Actividad complementaria 1. Completa la siguiente tabla: Intervalo de clase

Operación

Marca de clase

[0-12[

Rango

Límite inferior

[12-24[

[24-36[

[36-48[ [48-60[ [60-72]

164 Texto del Estudiante - Unidad 6

Límite superior

42 (48 + 60)/2 60

Unidad 6

Aclaración de conceptos Marca de clase: corresponde al valor representativo de un intervalo de clase; pero no significa que exista como dato. Por ejemplo, si se trabaja con un intervalo de clase cuyos datos van del 100 al 105, la marca de clase es 102,5; pero puede ser que dentro de los datos no exista ninguno con ese valor.

Diversidad

Interpretar datos

De cursos anteriores los estudiantes aprendieron a determinar la media aritmética de un conjunto de datos. Vincule la determinación de su valor con la marca de clase, llamando la atención de los alumnos y alumnas en que la marca de clase no es más que la media aritmética de los límites superior e inferior de un intervalo de clase.

Evaluación Evalúe el trabajo de los estudiantes a través de la siguiente lista de cotejo: Indicadores

Identifica los intervalos de clase Sabe qué significa marca de clase Calcula correctamente las marcas de clase Trabaja en el tiempo que determina el docente Trabaja ordenadamente Ayuda a los compañeros y compañeras que lo necesitan L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Anotaciones: Datos agrupados y probabilidades 165

Orientaciones metodológicas 1. Antes de iniciar la clase, compruebe que sus estudiantes:

Identifican intervalos de clase abiertos y cerrados.

Identifican cuál es la cantidad de intervalos de clase a utilizar, de acuerdo al número de datos disponibles. Han realizado cálculos de media aritmética y moda de datos no agrupados.

2. Recuerde cómo se determina

la moda, la mediana y la media aritmética de un conjunto de datos no agrupados, que pueden ser las notas de sus estudiantes en un examen cualquiera. 3. Desarrolle el problema resuelto de la página 150 del texto. 4. Explique cómo la marca de clase ayuda a resolver este problema al “transformar” este intervalo en un dato puntual. 5. Enseñe que no siempre los intervalos consideran los datos reales, y por eso se ocupa el concepto de límite inferior y límite superior. 6. Oriente al curso en la realización de los Ejercicios individuales, aclarando las dudas que existan. Pida que se auxilien del ejercicio resuelto al inicio de la clase.

Organizar información

Actividad complementaria

1. La siguiente tabla es el resultado de un estudio sobre los niveles de contaminación atmosférica por cierto elemento nocivo (los datos están expresados en partes por millón): 45,6

76,4

45,3

81,2

9,4

6,3

7,5

8,4

12,2

56,3

76,3

91,9

6,9

7,9

8,6

7,4

9,9

9,0

8,8

7,7

43,1

44,4

78,9

82,1

89,0

45,8

34,4

77,7

12,3

6,7

9,6

21,4

65,6

98,7

99,9

71,7

Teniendo en cuenta los siguientes valores de límites inferior y superior de 5 intervalos, construye una tabla de datos agrupados y determina la media aritmética y la moda: Límite inferior

Límite superior

100

166 Texto del Estudiante - Unidad 6

Unidad 6

Aclaración de conceptos La moda de datos no agrupados corresponde al valor que se repite con mayor frecuencia en una serie de datos. Por otra parte, tanto la media como la moda para datos agrupados pueden tener un valor que no corresponda a ninguno de los datos existentes en la colección.

Interpretar datos

Evaluación Pida a sus estudiantes que autoevalúen el nivel de comprensión que han tenido de los contenidos trabajados en clases: Aspectos a evaluar Calculé correctamente la media aritmética de los datos agrupados Calculé correctamente la moda de los datos agrupados Comprendí el tema de la clase Trabajé en forma limpia y ordenada Terminé las actividades en el tiempo determinado por el docente

Anotaciones:

Datos agrupados y probabilidades 167

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Confeccionan gráficos

de barras para datos no agrupados. Construyen tablas de frecuencias con datos agrupados. Analizan tablas de datos agrupados y extraen conclusiones relevantes.

2. Lea en voz alta el enunciado de

la actividad de la página 152 del texto y copie en la pizarra la tabla de datos agrupados que allí aparece. Explique detalladamente cómo se realiza la construcción del gráfico de barras. Para esto le recomendamos que se apoye en la Pista. Esta es una actividad que los estudiantes manejan de cursos anteriores, por lo que los alumnos y alumnas tienen los conocimientos previos necesarios para enfrentarse a ella sin muchas dificultades. 3. Pida a los alumnos y alumnas que realicen la actividad individual de la página 153. Permita que los estudiantes dispongan de un tiempo para la construcción del gráfico y, finalmente, revise en conjunto. Puede pedir a un estudiante que pase a la pizarra para resolver la actividad, mientras el resto revisa su trabajo. 4. Divida al curso en equipos de 3 ó 4 estudiantes y pídales que realicen el ejercicio grupal.

Representar gráficamente

Actividad complementaria

1. Construye el gráfico de barras correspondiente a cada una de las siguientes tablas: Tabla 1

Tabla 2

Tabla 3

Intervalo

Frecuencia

Intervalo

Frecuencia

Intervalo

Frecuencia

[0-12[

[10-20[

[0-0,5[

[12-24[

[20-30[

[0,5-1,0[

[24-36[

[30-40[

[1,0-1,5[

[36-48[

[40-50[

[1,5-2,0[

[48-60[

[50-60[

[2,0-2,5[

[60-72]

[60-70]

[2,5-3,0]

168 Texto del Estudiante - Unidad 6

Unidad 6

Otros recursos Para realizar gráficos de barras o gráficos circulares se puede utilizar el Excel de Microsoft; pero si se quiere profundizar en otros conceptos, se pueden usar otros programas gratuitos como el programa gratuito Vista en http://www.visualstats.org. Otro programa muy interesante es el Startgraphics, que podrá obtener de http://www.statgraphics.net/ y que es utilizado para hacer cálculos estadísticos.

Representar gráficamente

Anotaciones: 2. Dado el siguiente gráfico:

100

91 76 36 1

¿Cuál es el intervalo modal? Determina la moda. Determina la media aritmética. Construye la tabla que consideres que pudo dar origen al gráfico.

[0-10[ [10-20[ [20-30[ [30-40[ [40-50[ [50-60[ [60-70[ [70-80[ [80-90[ [90-100]

Datos agrupados y probabilidades 169

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Conocen el concepto de encuesta.

Conocen el significado es-

tadístico de los términos población y muestra. Conocen los experimentos aleatorios y definen el término azar.

2. Los métodos de muestreo

son muy necesarios para la realización de encuestas o de algún experimento que implique alguna validación de tipo científica o matemática. 3. Comience entonces por definir algunos de los términos, como población y muestra. Ejemplifique con situaciones simples y fácilmente asimilables por los alumnos y alumnas, como por ejemplo, una muestra extraída de un cajón lleno de canicas de colores. Indique que puede sacar un número de canicas al azar; o puede seleccionar un cierto tipo de canicas de acuerdo a sus atributos: color, material con que se construyó, etc. El hecho de que cada elemento de la muestra tenga o no la misma probabilidad de ser seleccionado, genera la diferencia entre el muestreo aleatorio o no aleatorio. 4. Como Actividad complementaria se proponen dos ejercicios que puede usar como ejercitación para sus estudiantes o como apoyo para fundamentar las explicaciones que realice de cada uno de los conceptos estudiados en la clase.

Actividad complementaria

Identificar y clasificar relaciones

1. Un estudiante tiene 10 000 bolitas de vidrio, de ellas 1 500 son rojas, 2 500 azules, 1 000 blancas, 3 000 amarillas y 2 000 verdes y quiere realizar un experimento, para lo cual realiza diferentes tipos de muestreo: Si toma 500 canicas rojas y 800 canicas blancas, ¿es muestreo estratificado? Si toma 100 bolitas de cada uno de los colores, ¿es un muestreo por conglomerado?, ¿por qué? Si al azar toma 6 000 bolitas con la mano, ¿es un muestreo por conglomerado?, ¿por qué? Si al azar toma 5 000 bolitas y luego va seleccionando de manera de quedarse con 1 000 canicas de cada uno de los colores, ¿a cuál de los muestreos corresponde? ¿Puede ser que corresponda a un muestreo aleatorio sistemático?

170 Texto del Estudiante - Unidad 6

Unidad 6

Aclaración de conceptos Los conceptos de muestra e inferencia estadísticas son conceptos básicos imprescindibles para que los estudiantes puedan entender el resto de los contenidos de la unidad. Es por ello que le sugerimos garantizar la comprensión de ambos por parte del curso, para lo cual puede utilizar ejemplos concretos como: Llego a mi casa y encuentro encima de la mesa un vaso que contiene un líquido transparente e inodoro, saco de él una muestra para probar de qué se trata y resulta ser agua. Esto me permite inferir que el contenido del vaso es agua, y para ello no tuve necesidad de beber el vaso completo. Para complementar la explicación puede pedir a los estudiantes que creen ejemplos similares a este, donde evidencien que comprendieron ambos conceptos.

2. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Justifica cada respuesta: Si dentro de una población tomo una muestra Z, compuesta por muchos elementos con diferentes variables y elijo la muestra de tal manera que al menos haya una característica de cada variable en cada uno de los elementos, entonces puedo considerar que mi muestreo es un muestreo aleatorio estratificado. Bárbara trabaja como dentista en una clínica privada y desea hacer un estudio de la salud bucal de la población de Santiago. Para ello decide utilizar sus pacientes del lunes y del martes hasta llegar a 30 personas. Una vez concluido el muestreo, Bárbara comprueba que de los 30 pacientes, 19 eran hombres y 11 mujeres. El estudio que realizó es un muestro aleatorio simple. Una consultora desea realizar una encuesta sobre las características físicas más comunes en los niños chilenos, fijando Osorno como la ciudad de muestreo. En ella, halló que el 10% de los niños examinados tenían los ojos verdes y con estos resultados afirmó que 90% de los niños de Chile tenían ojos café. El estudio realizado es un muestro aleatorio sistemático.

Datos agrupados y probabilidades 171

Orientaciones metodológicas 1. Antes de dar inicio a las actividades de la clase, compruebe que sus estudiantes:

Conocen los experimen-

tos aleatorios y definen el término azar. Conocen e identifican los diferentes tipos de muestreos aleatorios. Determinan el espacio muestral de un experimento aleatorio.

2. Para comenzar el estudio de

estas páginas, le proponemos que lleve dados a la sala de clases y realice con ellos algunos lanzamientos, registrando en una tabla los resultados. 3. Primero, trabaje el lanzamiento de un dado, luego de dos y, finalmente, de tres dados. Analice con sus estudiantes las posibles combinaciones en cada experimento y, mediante este análisis, deduzca, en conjunto con el curso, los conceptos de espacio muestral, suceso y experimento aleatorio equiprobable. 4. También es posible ocupar los experimentos que se proponen en las páginas 200 y 201 de esta guía y a los que podrá recurrir a lo largo de toda la unidad. 5. Explique en detalle cuál es el espacio muestral, y cuáles los subconjuntos del espacio muestral que se generan en base al experimento que se esté realizando. 6. Explique el concepto de equiprobable y dé algunos casos de otros experimentos que son equiprobables. 7. Oriente la realización de los Ejercicios individuales pidiendo, en el caso de la primera actividad, que realicen los experimentos que se mencionan, para luego determinar sus espacios muestrales.

Actividad complementaria 1. Dos niños juegan a lanzar dos dados de seis caras, ¿cuál es el espacio muestral de esta actividad? 2. ¿Cuál es el espacio muestral de lanzar tres monedas al aire? 3. ¿Cuál es el espacio muestral de jugar al cachipún tres personas? 4. Se realiza un experimento que consiste en determinar las cualidades físicas de las personas. Si uno de los espacios muestrales está definido por el color de los ojos y otro por el color del cabello y se unen ambos, ¿puede asegurarse que los integrantes de los espacios unidos corresponden a la multiplicación de sus elementos? Justifica tu respuesta. 5. ¿Se puede afirmar que el número de elementos de un subconjunto de un espacio muestral aumenta en la medida que aumentan las restricciones del experimento?

172 Texto del Estudiante - Unidad 6

Unidad 6

Otros recursos Para incentivar el estudio de este contenido puede llevar a la sala de clases algunos juegos de azar, y proponer a los estudiantes que jueguen organizados en grupos de tres o cuatro integrantes. Esta actividad la puede realizar de dos formas, si los juegos son de dados, puede hacer algunos cambios a las reglas y pedir que los estudiantes, antes de cada lanzamiento, intenten predecir el resultado. También puede introducir entre los juegos, algunos que no sean de azar, como el ajedrez, y luego pedir al curso que mediante un cuadro resumen establezcan las semejanzas y diferencias entre los juegos que son de azar y los que no.

Materiales Juegos de mesa. Dados de 6, 8 y 12 caras.

Analizar

Evaluación Evalúe el trabajo de sus estudiantes a través de la siguiente lista de cotejo: Indicadores

Determina el espacio muestral de un experimento aleatorio Identifica un suceso o evento Diferencia un experimento aleatorio equiprobable de uno que no lo es Resuelve correctamente las actividades Realiza sus actividades en el tiempo estipulado por el docente L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Anotaciones:

Datos agrupados y probabilidades 173

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Reconocen el significado

de espacio muestral y de evento o suceso. Resuelven ejercicios sencillos de probabilidades. Reconocen los términos experimento aleatorio equiprobable y experimento aleatorio no equiprobable.

2. Dibuje en la pizarra una ruleta

lo más parecida posible a la que se encuentra en la página 158 del texto y explique a los estudiantes por qué depende del espacio muestral que el experimento sea equiprobable o no. Para ello, comience analizando el experimento si el espacio muestral fueran los colores y pregunte: ¿qué color elegirían para ganar en esta ruleta?, ¿por qué? Analice las respuestas de los estudiantes y lleguen en conjunto a una conclusión. 3. Realice el mismo análisis para cuando el espacio muestral está dado por los números que señalan las partes en que está dividida la ruleta. Llegue también a conclusiones con el curso. 4. Lea en voz alta la pagina 158 del texto y represente ambas situaciones en la pizarra. Utilizando la nomenclatura adecuada, obtenga al valor numérico de las probabilidades de ambos experimentos, para finalmente compararlos. 5. Pida a los estudiantes que realicen las actividades de la página 159 del texto. Dé un tiempo para que los alumnos y alumnas trabajen y luego haga una puesta en común con los resultados.

Actividad complementaria 1. Una gran empresa del rubro de los servicios realizó un experimento para analizar las preferencias alimenticias de la población. El experimento se realizó para una muestra de 10 000 personas y arrojó los siguientes resultados: --5 800 preferían la comida chilena. --1 404 preferían la comida rápida. --1 300 preferían la comida japonesa. --1 200 preferían la comida china. --100 personas preferían la comida árabe. El resto prefería comidas de otros sitios del mundo. Con esta información realiza un gráfico circular donde indiques la probabilidad de encontrar a una persona con una preferencia particular de alimentación.

174 Texto del Estudiante - Unidad 6

Unidad 6

Historia y números

Aplicar procedimiento

Los métodos estadístico-matemáticos emergieron desde la teoría de las probabilidades, la cual data desde la correspondencia entre Blaise Pascal y Pierre Fermat en 1654. Christian Huygens, en 1657, da el primer tratamiento científico que se conoce a la materia y Pierre Simon Laplace, en 1774, hace el primer intento de deducir una regla para la combinación de observaciones, desde los principios de la teoría de las probabilidades. Laplace representó la ley de probabilidades de errores mediante una curva y dedujo una fórmula para la media de tres observaciones. También, en 1871, obtiene la fórmula para la ley de facilidad del error (término introducido por Lagrange en 1744), pero con ecuaciones inmanejables.

Materiales Lápices de colores. Regla. Transportador.

Evaluación Pida a sus estudiantes que se evalúen unos a otros a través de la siguiente pauta: Aspectos a evaluar ¿Realizó las actividades correctamente? ¿Siguió cada uno de los pasos descritos en el texto? ¿Comprobó los resultados? ¿Trabajó ordenadamente? ¿Pidió ayuda a sus compañeros y compañeras o al profesor en caso de dudas? ¿Buscó otras alternativas para realizar alguna de las actividades?

Sí

A veces

Anotaciones:

Datos agrupados y probabilidades 175

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Reconocen el significado

de espacio muestral y de evento o suceso. Resuelven ejercicios sencillos de probabilidades. Utilizan la regla de Laplace para la asignación de probabilidades. Utilizan elementos estadísticos como frecuencia y frecuencia relativa.

2. Pregunte a sus estudiantes

qué les sugiere el título de la página y cómo creen que se pueda hacer la verificación de una probabilidad. Escriba en la pizarra la pregunta anterior y luego las respuestas que den los estudiantes, dejando la corrección para más adelante, pues sería conveniente realizar con el curso algunos experimentos aleatorios y comparar los resultados del experimento con las probabilidades de los sucesos, previamente calculadas. 3. Divida al curso en equipos de tres estudiantes y permítales que realicen un juego de dados, lanzándolos ordenadamente y anotando los resultados en una tabla. Puede también, luego de dividir el curso en equipos, señalar algunos equipos para que realicen el lanzamiento de dados y otros equipos para que realicen el lanzamiento de una moneda. 4. Después de terminados todos los experimentos pida a los estudiantes que analicen las frecuencias obtenidas. 5. Oriente la realización de los Ejercicios individuales y de los Ejercicios grupales. Revise los resultados de ambas actividades a través de una puesta en común.

Actividad complementaria

Aplicar procedimiento

1. Para los siguientes enunciados, expresa como fracción la probabilidad para los casos favorables: La probabilidad de obtener al menos 2 caras si se arrojan 3 monedas. La probabilidad de tener 1 cara y 3 sellos, si se arrojan 4 monedas. La probabilidad de que al lanzar 2 dados la suma de los resultados sea menor que 4. La probabilidad de que al lanzar 2 dados la diferencia entre los resultados sea igual a 2. 2. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F): La probabilidad de ganar un juego de azar que dispone de 36 posibilidades y se debe acertar a 6 de ellas es siempre de 1/6. La probabilidad que en dos semáforos esté encendida la luz amarilla es 2/9.

176 Texto del Estudiante - Unidad 6

Unidad 6

Errores frecuentes

Reconocer propiedades

Experimentar y analizar resultados

Uno de los errores que más frecuentemente cometen los estudiantes, es suponer que la probabilidad predecirá exactamente lo que ocurrirá en la vida real. Converse con el curso sobre este particular poniendo ejemplos de experimentos aleatorios sencillos como el lanzamiento de una moneda. También suele suceder que consideren que en un experimento aleatorio, el hecho de que uno de los sucesos ocurra, brinda al resto mayores probabilidades de ocurrir. Explique que en un experimento aleatorio la probabilidad de ocurrencia siempre es la misma. Por ejemplo, el lanzamiento de un dado para ver qué número sale es un experimento aleatorio, donde la probabilidad de que salga un número u otro (del 1 al 6 si el dado es de 6 caras) es siempre la misma. Si en la primera tirada obtenemos un 5 no significa que la probabilidad de que salga un 5 en la próxima tirada disminuya, sino que sigue siendo la misma.

Evaluación Pida a sus estudiantes que respondan las siguientes preguntas justificando su respuesta en cada caso. Para revisar los resultados, puede ocupar algunas de las pautas de evaluación que se encuentran en las páginas 222 a 224 de esta guía: Lanzamos un dado 7 veces y en 6 oportunidades sale el número 5, ¿significa que la probabilidad individual de 1/6 para cada lanzamiento debe recalcularse? Si la probabilidad de que un número salga es 1/3, ¿significa que existen 2 posibilidades en 6 lanzamientos? ¿Por qué? Si un apostador está jugando a los dados y durante 5 lanzamientos seguidos obtuvo un número 6; ¿significa que en el siguiente lanzamiento, la probabilidad de que nuevamente aparezca un 6 en la mesa disminuye 5 veces?

Datos agrupados y probabilidades 177

Orientaciones metodológicas 1. Antes de iniciar la clase, compruebe que sus estudiantes:

Reconocen el significado

de espacio muestral y de evento o suceso. Resuelven ejercicios sencillos de probabilidades. Reconocen los términos experimento aleatorio equiprobable y experimento aleatorio no equiprobable. Utilizan la regla de Laplace para la asignación de probabilidades. Utilizan elementos estadísticos como frecuencia y frecuencia relativa.

2. Estas páginas están dedicadas a la Resolución de problemas, actividad a través de la cual los estudiantes aplicarán lo aprendido a lo largo de la unidad, para resolver situaciones contextualizadas. 3. Analice con el curso el Problema modelo y repase cómo interpretar un ejercicio de probabilidades, definiendo un ejemplo donde estén claramente identificados los casos posibles. 4. Trabaje con sus estudiantes el proceso de resolución que se desarrolla en la página 162 del texto. 5. Ejemplifique la probabilidad gráficamente (a través de un gráfico circular), de esta manera ayudará a los alumnos y alumnas a relacionar contenidos que anteriormente fueron trabajados y que pueden servir como método de enseñanza y visualización. 6. Oriente a sus estudiantes para que resuelvan los problemas de la página 163. Luego, revise colectivamente los resultados obtenidos y cada uno de los pasos desarrollados.

Actividad complementaria 1. Observa los siguientes datos: 14,4

12,8

11,2

11,4

11,8

2,59

6,61

5,76

11,6

11,9

13,5

9,15

11,7

5,54

10,7

9,92

7,83

15,9

8,1

9,83

5,46

14,3

7,95

8,59

12,8

11,2

6,78

10,3

Construye una tabla de frecuencias completa (frecuencias absolutas y relativas) que posea 5 intervalos. Determina la moda de los datos agrupados. Determina la media aritmética de los datos agrupados.

178 Texto del Estudiante - Unidad 6

Unidad 6 Resolver problemas

Diversidad A muchos estudiantes les resulta complicado resolver problemas de probabilidades, independientemente de que manejen la metodología y sean capaces de resolver problemas relacionados con otros contenidos. Preste especial atención a esta situación utilizando varias alternativas para darle solución. Entre las medidas viables para ayudar a los estudiantes con este tipo de dificultad, está la de agrupar al curso en parejas de modo que realicen el análisis en conjunto y puedan ayudarse mutuamente, aportando cada uno su punto de vista, para llegar a un consenso y arribar al resultado correcto. También puede sugerir la confección de esquemas representativos y, en algunos casos, la experimentación como método para corroborar los resultados.

Reflexión Converse con sus estudiantes sobre el contenido de estas páginas. Cree una instancia para que los alumnos y alumnas reflexionen sobre la importancia de la estadística y las probabilidades para resolver situaciones cotidianas, y sobre la aplicación de ambas ramas de las matemáticas en otras ciencias.

Evaluación A continuación se presenta una tabla mediante la cual los estudiantes podrán autoevaluar el trabajo realizado en la Resolución de problemas. Explique que en la tabla se desglosan los pasos de la metodología que han trabajado y ellos y ellas deberán catalogar su desempeño en cada uno, para posteriormente comentar las dificultades que tuvieron: Pasos

Comentarios sobre el desarrollo

Entiende Planifica tu estrategia Resuelve Responde Comprueba

Datos agrupados y probabilidades 179

Ocupar herramienta tecnológica

Orientaciones metodológicas 1. Antes de empezar la clase, constate que los estudiantes:

Reconocen el significado

de espacio muestral y de evento. Resuelven ejercicios sencillos de probabilidades. Reconocen el concepto de experimento aleatorio equiprobable. Utilizan la regla de Laplace. Determinan frecuencias. Conocen y han trabajado con Excel.

2. El uso de la herramienta Excel

es entretenido y posee un gran potencial, no sólo como herramienta ofimática, sino también como excelente instrumento de demostración de los contenidos que se abordan en la enseñanza básica y media. Sin embargo, muchos estudiantes no están familiarizados con este programa, ya sea porque no disponen de computador en sus hogares o porque no tienen facilidad en el uso de herramientas informáticas. Es por esto que se sugiere, independiente de las instrucciones detalladas que se entregan en este libro, generar un documento con los pasos principales para utilizar Excel en forma básica, apoyado en el sitio web que se propone en Otros recursos. 3. Oriente al curso en la realización de las actividades propuestas en estas páginas, recordando respetar la sintaxis de las funciones que se escriben, pues el más leve cambio paralizará el trabajo introduciendo un error en el programa.

Actividad complementaria 1. En unidades anteriores los estudiantes han trabajado con Excel y han incursionado en la construcción de tablas y gráficos de diferentes tipos, es por ello que, como una alternativa para hacer más extensiva a la unidad la utilización de Excel, le proponemos que una vez realizada la actividad 4 de la página 165 del texto, proponga a los estudiantes ocupar este recurso tecnológico para expresar gráficamente los datos. Realice la actividad en forma abierta de modo que los estudiantes dispongan de la libertad necesaria para la selección del gráfico que consideren más adecuado a la información que desean representar.

180 Texto del Estudiante - Unidad 6

Unidad 6

Otros recursos En el sitio web http://www. abcdatos.com/tutoriales/ofimatica/ excel.html encontrará una lista de sitios que constituyen fuentes de información sobre Excel que ayudarán a los alumnos y alumnas a profundizar en el manejo de esta herramienta.

Aplicar procedimiento

Evaluación Pida a sus estudiantes que se evalúen unos a otros ocupando la siguiente tabla: Aspectos a evaluar ¿Realizó las actividades correctamente? ¿Siguió cada uno de los pasos descritos en el texto? ¿Trabajó ordenadamente? ¿Pidió ayuda a sus compañeros y compañeras o al docente en la resolución de las actividades? ¿Buscó otras alternativas para realizar alguna de las actividades?

Sí

A veces

Anotaciones:

Datos agrupados y probabilidades 181

Sintetizar información

Orientaciones metodológicas 1. Previo a iniciar la clase, verifique que los estudiantes:

Reconocen que para la

realización de cualquier experimento necesitan de una muestra adecuada que debe ser representativa de una población. Generan tablas de datos agrupados. Una vez generada la tabla de datos agrupados son capaces de interpretar correctamente la información. Construyen gráficos a partir de tablas de frecuencias. Aplican la regla de Laplace.

2. Para trabajar la Síntesis de

la unidad le sugerimos que repase y encadene cada uno de los tópicos que se estudiaron en clases, siguiendo la secuencia que describen las fichas. Comience repasando qué son los datos cuantitativos y los datos cualitativos. Para este caso indique a los alumnos y alumnas que mencionen algunos ejemplos. 3. Asegúrese de repasar en forma correcta los conceptos de espacio muestral y evento o suceso, ya que a partir de estos conceptos, se encadenan los conceptos de experimento aleatorio y de equiprobabilidad. 4. Proponga a los estudiantes que escriban al lado de cada ficha un ejemplo, como recurso viable para el estudio individual. 5. En la página 167 se inicia la Evaluación. Converse con el curso sobre la importancia que tiene para ellos este proceso evaluativo y explique cómo será llevado a cabo.

Actividad complementaria

Aplicar procedimiento

1. A continuación se presenta una tabla con datos que fueron recolectados en una investigación. Con ellos, construye una tabla de frecuencias donde el número de intervalos y el rango quedan a tu consideración: 12

Agrupa los datos en los intervalos de clases que consideres pertinentes. Construye una tabla con datos agrupados.

182 Texto del Estudiante - Unidad 6

Unidad 6

Diversidad El uso de tablas de frecuencias pude generar dificultades en alumnos y alumnas que tengan problemas de concentración y que confundan los cálculos a realizar. Indique a sus estudiantes que en una primera etapa realicen los cálculos por separado, y luego traspasen los datos a la tabla.

Identificar datos

Calcula las frecuencias. Determina la moda. Determina la media aritmética. 2. Completa: Si una probabilidad tiene un valor 0,8 y el número de resultados posibles del experimento es 32, el número de resultados favorables es . Si un suceso tiene una probabilidad de 0,55; eso significa que si se dibuja en un gráfico circular, la probabilidad de que no ocurra el suceso estará representada por un sector circular determinado por un ángulo de . Si un grupo de datos va de 4 a 36 y se desea generar una tabla que posea 4 intervalos de clase, la longitud de cada intervalo será de .

Anotaciones:

Datos agrupados y probabilidades 183

Orientaciones metodológicas 1. Antes de dar inicio a las actividades de la clase, compruebe que sus estudiantes:

Reconocen que para la

Interpretar información

2. En las actividades de evalua-

ción, los estudiantes podrán encontrar ejercicios representativos de cada uno de los temas trabajados a lo largo de la unidad. 3. Lea en voz alta cada uno de los ejercicios de la Evaluación y pida a los estudiantes que en grupos de a dos los resuelvan. Luego, invite a algunos alumnos y alumnas para que los resuelvan en la pizarra. Aproveche la instancia que le brindará cada ejercicio para reforzar el contenido que recrea. 4. Informe al curso que los Ejercicios con alternativas serán desarrollados en forma individual. Entregue a cada estudiante una copia de la hoja de respuestas que encontrará en la pagina 194 de esta guía y solicite que marquen en ella las alternativas correctas.

Representar gráficamente

Interpretar información

Actividad complementaria

1. Los números que se muestran son las calificaciones obtenidas por los alumnos y alumnas de un curso (las notas van de 1 a 10): 4

Genera una tabla con intervalos (elige 5 intervalos). ¿Qué proporción de alumnos y alumnas obtuvieron más de un cinco en la asignatura? ¿Cuántos alumnos y alumnas obtuvieron un siete o menos? ¿Qué proporción de los estudiantes es la que obtuvo tal logro? Representa gráficamente los datos tras agruparlos.

184 Texto del Estudiante - Unidad 6

Unidad 6

Diversidad Al ser esta la última unidad del texto, sería conveniente que para los estudiantes que hayan presentado problemas durante el curso, sugiera hacer en sus cuadernos un resumen de los temas trabajados a través de las síntesis de cada una de las unidades, colocando ejemplos de cada contenido. Esta actividad la puede orientar como un trabajo individual y que los alumnos y alumnas le entreguen una copia para ser evaluada por usted, de manera que pueda garantizar que el trabajo realizado por cada uno de ellos sea correcto y no estudien a partir de ejemplos no válidos.

Evaluación A través de la siguiente pauta, podrá evaluar el nivel de comprensión que han tenido sus estudiantes de los temas trabajados en la unidad: Indicadores

Identificar datos cuantitativos continuos y discretos Construir intervalos de clase Calcular la media aritmética y la moda de datos agrupados Leer, interpretar y construir tablas y gráficos con datos agrupados Identificar y verificar experimentos equiprobables Aplicar la regla de Laplace a experimentos equiprobables L: logrado ML: medianamente logrado NR: necesita reforzar

Anotaciones:

Datos agrupados y probabilidades 185

186 Texto del Estudiante - Solucionario

Solucionario

Texto del Estudiante - Solucionario 187

188 Texto del Estudiante - Solucionario

Solucionario

Texto del Estudiante - Solucionario 189

190 Texto del Estudiante - ร ndice temรกtico

Bibliografía y páginas web

Texto del Estudiante - Bibliografía y páginas web 191

192 Texto del Estudiante - Evaluaci贸n modelo

Materiales complementarios

Fichas para ser usadas en las prácticas de multiplicación y división de números enteros, en las páginas 22 y 23 de la Guía Didáctica del Docente.

+ + + + + + + + + + – – – – – – – – – –

Otros recursos didácticos - Materiales complementarios 193

Recurso aplicable a la resolución de Ejercicios con alternativas de las Evaluaciones del Texto del Estudiante.

Hoja de respuestas para ejercicios con alternativas Nombre: Curso:

Fecha:

10.

Buenas

Omitidas

Malas

Nº de buenas Prueba de 8 preguntas Prueba de 10 preguntas

NIVEL

7u8

9 ó 10

NIVEL 1

4a6

5a8

NIVEL 2

Menos de 4

Menos de 5

NIVEL 3

Entre 87,5% y 100% de acierto

Óptimo. Felicitaciones, aplicaste correctamente los aprendizajes de la unidad en la resolución de los ejercicios.

Entre 50% y 87,5% de acierto

Regular… Debes repasar aquellos contenidos que aún no manejas y volver a resolver los ejercicios.

Menos de 50% de acierto

Deficiente… Debes repasar los contenidos de la unidad, ejercitar y volver a resolver los ejercicios.

Unidad:

Color obtenido:

194 Otros recursos didácticos - Materiales complementarios

Materiales complementarios

Recurso para ejercitar las isometrías en las páginas 104 y 105 de la Guía Didáctica del Docente. Realiza una simetría axial a la siguiente figura, usando E como eje de simetría:

Otros recursos didácticos - Materiales complementarios 195

Recurso para trabajar las teselaciones en las páginas 108 y 109 de la Guía Didáctica del Docente. Confecciona teselaciones siguiendo las instrucciones de la siguiente actividad: Materiales Muestra de plantilla.

Trozo de cartón de 8 cm de ancho y 25 cm de largo. Papeles de diferentes colores. Cartulina. Instrucciones Sobre el cartón, los estudiantes, organizados en parejas, deberán reproducir las figuras de la muestra por medio del calcado, intentando mantener las medidas originales. Luego, con un corta cartón, deberán perforar cada figura, para obtener una plantilla. Una vez que cada pareja cuente con su plantilla y el resto de los materiales, invítelos a diseñar teselaciones ocupando las figuras de la plantilla. Proponga que primero inventen el diseño sobre una hoja de papel, usando un lápiz mina. Una vez aprobado el diseño, pida que ocupen la plantilla para generar las figuras necesarias sobre los papeles de colores. Finalmente, solicite que construyan las teselaciones sobre la cartulina, pegando las figuras recortadas.

196 Otros recursos didácticos - Materiales complementarios

Materiales complementarios

Recurso para trabajar en las páginas 118 y 119 de la Guía Didáctica del Docente.

Otros recursos didácticos - Materiales complementarios 197

Red de un cilindro para trabajar en las páginas 136 y 137 de la Guía Didáctica del Docente.

198 Otros recursos didácticos - Materiales complementarios

Materiales complementarios

Red de un cono para trabajar en las páginas 138 y 139 de la Guía Didáctica del Docente.

Otros recursos didácticos - Materiales complementarios 199

Experimento mediante un juego de azar que puede ser ocupado durante el estudio de la unidad 6, en el momento en que el docente lo considere oportuno. Materiales Tablero:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Fichas:

Dos dados de 6 caras.

Instrucciones El juego requiere dos jugadores que se colocarán en los lados opuestos del tablero, ubicando sus fichas en las casillas numeradas, cada uno del lado que le corresponde. El primer jugador lanzará los dados y sumará los números obtenidos, para luego pasar al lado contrario del tablero la ficha correspondiente a la casilla numerada con el resultado de la suma. Luego, el segundo jugador repetirá la misma operación y así sucesivamente hasta que alguno de los jugadores pase todas sus fichas al lado contrario. Puede realizar a los estudiantes preguntas que vinculen la actividad que van a realizar con los contenidos de la unidad, por ejemplo: • ¿Podrá algún jugador pasar todas sus fichas al lado contrario? ¿Por qué? • Si te pidieran analizar las posibles combinaciones y seleccionar las tres casillas cuyas fichas creas que serán las primeras en pasar al lado contrario, ¿cuáles elegirías? ¿Por qué? • Si tuvieras la oportunidad de elegir, previo al comienzo del juego, las casillas donde colocar tus fichas, teniendo la oportunidad de colocar varias fichas por casilla, ¿cuál o cuáles elegirías? Finalmente, invite a los alumnos y las alumnas a jugar probando otras alternativas de ubicación de las fichas, tomando nota de los resultados obtenidos.

200 Otros recursos didácticos - Materiales complementarios

Materiales complementarios

Actividad para ser desarrollada durante el estudio de la unidad 6 en el momento en que el docente lo considere oportuno. VARIANTE 1 Materiales Una moneda. Un dado de 6 caras. Descripción del juego Lanza la moneda y anota el resultado. Posteriormente, lanza un dado y anota el resultado. Preguntas 1. ¿Cuál es la probabilidad de que salga 5 en el lanzamiento del dado si al lanzar la moneda el resultado obtenido es cara? 2. ¿Influye el resultado obtenido en el lanzamiento de la moneda en el resultado obtenido al lanzar el dado? VARIANTE 2 Materiales Una moneda. Dos urnas con bolas de colores. Descripción del juego Contamos con dos urnas, en las cuales hay bolas de varios colores, como se indica en la figura. Lanza una moneda, si sale sello, deberás extraer una bola de la urna 1; y si sale cara, deberás extraerla de la urna 2.

Urna 1

Urna 2

Preguntas 1. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea verde, si al lanzar la moneda salió cara? 2. ¿Influye el resultado de la moneda en la probabilidad de sacar de una urna una bola de un color determinado? 3. ¿Existe la misma probabilidad de obtener una bola determinada de una urna que de la otra?

Otros recursos didácticos - Materiales complementarios 201

Evaluaciones Para conocer el desempeño de sus estudiantes en estas Evaluaciones, fotocopie y entregue el instrumento de evaluación que está en las páginas 225, 226 y 227 de esta guía.

Evaluación Unidad 1 I. [60%] Ejercicios de desarrollo 1. [20%] Realiza las siguientes operaciones con números enteros: a) 36 · 25 =

d) -23 · 5 =

g) 96 : 4 =

b) 10 · -71 =

e) -13 · -6 =

h) 111 · -3 =

c) -22 · -6 =

f) -42 : 7 =

i) -91 : -7 =

2. [20%] Determina el resultado de las siguientes operaciones con números enteros: a) 37 · 67 =

f) 491 : (-12 · 4) =

b) -15 · -820 =

g) -29 484 : -3 =

c) -950 · 12 736 =

h) -(-15 · -45) : 23 =

d) 16 820 · 33 =

i) 53 · (960 : -5) =

e) -(48 · -190) =

j) (490 : -38) · (-550 : -26)=

3. [10%] Escribe en cada caso la propiedad de la multiplicación en Z que se cumple: a) 23 · -320 = -320 · 23 ________________________________________________________ b) (56 + -12) · 34 = 56 · 34 + -12 · 34 _ ____________________________________________ c) -9 713 · 1 = -9 713 __________________________________________________________ d) -67 · 28 · 0 = 0 _____________________________________________________________ e) (-27 + 68) · 610 = -27 · 610 + 68 · 610 ___________________________________________ 4. [10%] Calcula: a) -13 · (28 + 56) =

d) 86 · (-23 + 15) =

b) -5 · 320 – (88 · -32) =

e) -19 · 12 : (5 · -3) =

c) (-78 + 23) · 39 =

f) -(-14 · -52) · 851 =

202 Otros recursos didácticos - Evaluaciones

Evaluaciones

II. [40%] Ejercicios con alternativas 1. Un elefante come un promedio de 225 kg de 5. ¿Cuál de las siguientes operaciones tiene por comida por día. Si en su hábitat natural el eleresultado un número negativo? fante puede encontrar 103 725 kg de comida, a) -124 · -124 ¿para cuántos días le alcazará, suponiendo b) 99 · -99 · 99 que la comida sólo la consuma él? c) -13 · -13 · -2 · -2 a) 361 días d) 17 · 17 · 17 b) 461 días c) 411 días d) 511 días 2. Un submarino desciende hasta -900 m. Si la 6. De un charco se evaporan 250 ml cada hora. ¿Cómo puedes representar la variación en la temperatura del agua varía en -0,005 °C por cada metro que desciende, ¿en cuánto varía cantidad de agua del charco, tras 12 horas de evaporación? la temperatura del agua entre la superficie y la profundidad final a la que se encuentra el a) -3 000 ml submarino? b) -2 500 ml a) -45 °C c) 2 500 ml b) 15 °C d) -1 200 ml c) -35 °C d) -4,5 °C

3. Raúl juega a las cartas y su saldo el lunes fue 7. La cantidad de combustible en los tanques de de -$ 18 000. Si cada uno de los restantes días un avión varía en -5,2 litros por cada kilómetro de la semana perdió esta misma cantidad, recorrido. Con este consumo de combustible, ¿cuál es su saldo al finalizar la semana? ¿cuál será la variación en la cantidad de combustible del avión al recorrer 1 405 km? a) -$ 180 000 a) -7 306 L b) -$ 126 000 b) 6 306 L c) -$ 82 000 c) 5 801 L d) -$ 18 000 d) -6 701 L 4. El resultado de -2 · -2 · -2 · -2 es: a) -8 b) -16 c) 8 d) 16

8. Una mina se encuentra a -2 750 m con respecto al nivel de la superficie. Si el ascensor de la mina demora 550 segundos en hacer el recorrido completo, ¿qué distancia recorre el ascensor en un segundo? a) -5 m b) 15 m c) 5 m d) 7,5 m

Otros recursos didácticos - Evaluaciones 203

Evaluación Unidad 2 I. [60%] Ejercicios de desarrollo 1. [20%] Utilizando la calculadora, encuentra el valor de las siguientes potencias: a) 44 =

g) 253 =

b) 106 =

h) 124 =

c) 78 =

i) 1212 =

d) 10-2 =

j) 9-1 =

e) 5-3 =

k) 15-3 =

f) 2-5 =

l) 125-2 =

2. [25%] Utilizando las propiedades de las potencias, simplifica las siguientes expresiones: a) 9-2 · 97 =

e) (6-3 · 3-3) : 9-3 =

b) -43 · 83 =

f) 256 : (10-4 : 2-4) =

c) 154 : -54 =

g) -333 · -337 : 1110 =

d) -1212 : 212 =

h) 10-2 · 1015 : 10-8 =

3. [10%] Determina en cada una de las siguientes series de números si se trata de un crecimiento o decrecimiento lineal o exponencial: a) 2 4 6 8 10 12 14 _ _____________________________ b) 1 3 9 27 81 243 729 _ _____________________________ 1 2 d) 0,1 0,2 e) 14 11

c) 1

1 4 0,3 8

1 8 0,4 5

1 16 0,5 2

1 32 0,6 -1

1 64 0,7 -4

_ _____________________________ _ _____________________________ _ _____________________________

4. [5%] Indica el valor de x para que cada una de las igualdades siguientes sea verdadera: a)

x = 8

4 x = 1 636

169 = x

x + 5 = 1369

x = 529

2 x + 1 = 361

204 Otros recursos didácticos - Evaluaciones

Evaluaciones

II. [40%] Ejercicios con alternativas 1. En una disolución empleada en un experimento 5. En un experimento con un cohete, la altura químico, por cada litro de agua hay disueltos a la que se encuentra es medida cada 1 10-2 gramos de sal común. Esto significa que segundo. En las primeras 5 mediciones, los valores obtenidos fueron 1, 4, 16 y 64 metros en cada litro de agua hay disueltos: de altura. Esos valores siguen: a) 0,2 gramos de sal a) Un crecimiento lineal. b) 0,01 gramos de sal b) Un crecimiento exponencial. c) 0,1 gramos de sal c) Un decrecimiento lineal. d) 0,02 gramos de sal d) Un decrecimiento exponencial. 2. El resultado de 6-2 · 6-5 · 64 es: a) 63 b) 611 c) 6-11 d) 6-3

6. Un terreno en el sur que se dedica al cultivo de uvas tiene una superficie total de 289 km2. Si sabes que el terreno forma un cuadrado, la longitud de cada uno de los lados será entonces de: a) 16 km b) 17 km c) 18 km d) 19 km

3. En un juego tipo ludo al primero que llegue 7. El resultado de 144 · a la meta se le premia con el cuadrado de a) 12-1 los puntos que tenga acumulados. Si Sofía b) 122 tiene al llegar a la meta un acumulado de -15 puntos, será premiada con: c) 123 a) 15 puntos d) 144 b) -225 puntos c) 125 puntos d) 225 puntos

144 es:

4. En un parque hay un terreno de forma trian- 8. En la sucesión 3; 7,5; 18,75…, la razón de gular sembrado de flores. Uno de los ángulos crecimiento es: formados en dicho terreno mide 90°, y los dos a) 1 lados más pequeños miden 33 y 44 metros b) 1,5 de longitud. ¿Cuánto mide el lado más grande c) 2 del terreno? d) 2,5 a) 45 m b) 50 m c) 55 m d) 60 m

Otros recursos didácticos - Evaluaciones 205

Evaluación Unidad 3 I. [60%] Ejercicios de desarrollo 1. [10%] Determina el valor de la variable dependiente a partir del valor de la independiente señalado: a) y = 4 + 3x c) x + 22 = y y = ____ x = -5 y = ____ x = 2-2 -1 d) 4x – 4 = y b) y = -2x – 9 y = ____ x = 32 x = 0 y = ____ 2. [15%] Identifica aquellas ecuaciones que indican una relación directamente proporcional (DP) o inversamente proporcional (IP) entre las variables X e Y: a) X = AY c) 7Y = 7X Relación: _________________________ Relación: _________________________ b) 2Y · 4X = 64 d) 2X = 18/Y Relación: _________________________ Relación: _________________________ 3. [15%] Construye gráficas para cada una de las siguientes tablas de relaciones proporcionales e indica qué clase de curva se obtiene: a)

x y

1 2

2 4

3 6

4 8

5 10

6 12

x y

1 120

2 60

3 40

4 30

5 24

6 20

x y

1 0,3

2 0,6

3 0,9

4 1,2

5 1,5

6 1,8

x y

0,1 1

0,2 0.5

0,3 0,33

0,4 0,25

0,5 0,2

0,6 0,16

4. [20%] Encuentra un modelo matemático que describa cada una de las relaciones de proporcionalidad que se muestran en los siguientes gráficos: 20

35 18

7,5

0 1

12 10

Modelo:

206 Otros recursos didácticos - Evaluaciones

0 10

Modelo:

Evaluaciones

II. [40%] Ejercicios con alternativas 1. La distancia (S) recorrida por un tren desde su 5. En una fábrica se depositan en 3 barriles salida es descrita por una función. Si la primera aceite, vinagre y agua destilada. La cantidad parada del tren fue a los 100 km y después se de aceite en el barril es siempre el doble que movió a una velocidad de 60 km/h, ¿cuál es la cantidad de agua. La cantidad de vinagre la ecuación que permite averiguar la distancia corresponde a la tercera parte de la de agua, total recorrida por el tren, transcurrido un tiempo más 4 L. Son directamente proporcionales (T) después de dicha parada? entre sí las cantidades de: a) S = 60 · T a) Agua y aceite. b) S = 60 · T + 100 b) Agua y vinagre. c) S = T : 60 + 100 c) Aceite y vinagre. d) S = 60 · T – 100 d) Ninguna de las anteriores. 2. Francisco grafica la relación que existe entre 6. X e Y están relacionadas en forma directamente proporcional. La constante de proporcionalidad la velocidad a la que se mueve un auto y el tiempo que tarda en recorrer 1 km de distancia. es 5. ¿Cuáles de los siguientes pares de datos De la gráfica podemos concluir que ese tiempo podrían ser valores para X e Y? es siempre 1/60 de la velocidad del auto, por a) X = 5; Y = 2 lo que la velocidad y el tiempo son: b) X = 30; Y = 6 a) Inversamente proporcionales. c) X = 10; Y = 5 b) Directamente proporcionales. d) X = 6; Y = 5 c) Iguales. d) Ninguna de las anteriores. 3. Un camión de 2 t de masa transporta hasta 7. La velocidad de un auto que se mueve a velocidad constante, puede determinarse mediante 4 t de carga. Otro de 3 t transporta hasta 6 t. Siguiendo esta relación de proporcionalidad, la ecuación v = d/t. En esta ecuación son ¿cuál es la carga que podrá transportar un directamente proporcionales las variables: camión de 11 t? a) v y d a) 8 t b) v y t b) 11 t c) d y t c) 18 t d) Ninguna de ellas. d) 22 t 4. A y B están relacionadas en forma inversa- 8. En una parcela por cada dos manzanas que se cosechan hay tres peras. La cantidad de mente proporcional. Si A = 8, B = 4. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones modela la relación peras y manzanas en la cesta son: entre A y B? a) Inversamente proporcionales. a) A = 12B b) Directamente proporcionales. b) AB = 2 c) Iguales. c) A = 32B d) Ninguna de las anteriores. d) AB = 32

Otros recursos didácticos - Evaluaciones 207

Evaluación Unidad 4 I. [60%] Ejercicios de desarrollo 1. [20%] Realiza en tu cuaderno las transformaciones isométricas que se indican en cada caso: a) Traslación.

c) Simetría central.

B A

" v

b) Simetría axial.

d) Rotación con a = 30°.

C O

G B

A C

2. [20%] Nombra los elementos lineales y angulares que se señalan en las siguientes circunferencias y círculos: a) b) Azul:

Azul: O

Rojo:

Verde:

3. [20%] Determina el área y el perímetro de los siguientes círculos y circunferencias: a) b) 20 cm

O 124, 5m

208 Otros recursos didácticos - Evaluaciones

Evaluaciones

II. [40%] Ejercicios con alternativas 1. Paula tiene un cuadro colgado en la pared. 5. La fuente de la plaza de armas de una ciuEn el cuadro, un payaso se mira al espejo, dad tiene forma de círculo. Su diámetro es de forma que él y su imagen son iguales, de 6,5 m y sus bordes, que describen una pero miran en sentidos opuestos. La imagen circunferencia, están hechos de mármol. El del payaso en el espejo puede ser obtenida perímetro del borde es de, aproximadamente mediante: (π ≈ 3,14): a) Una simetría central. a) 20,41 m b) Una simetría axial. b) 10,21 m c) Una rotación. c) 5,1 m d) Una traslación. d) 15,15 m 2. El diámetro de una pizza redonda de tama- 6. Una píldora tiene forma de círculo y está dividida exactamente a la mitad por un ño familiar mide 40 cm y el perímetro de la segmento que pasa por el centro de dicho pizza es, aproximadamente, de 125,66 cm. círculo. Podemos afirmar que dicho segmento Al cociente entre el perímetro y el diámetro constituye el: de la pizza se le conoce como: a) Radio de la píldora. a) Pi. b) Centro de la píldora. b) Euler. c) Arco de la píldora. c) Gamma. d) Diámetro de la píldora. d) Número áureo. 3. Un cuadro de arte abstracto está compuesto 7. En una pieza de madera hay trazada una de figuras geométricas. Dentro de una circircunferencia. En cada extremo de un diácunferencia del cuadro hay dibujados dos metro hay una varilla. Si atamos un cordel a cada varilla y los unimos en un punto sobre ángulos inscritos que determinan el mismo la circunferencia, el ángulo entre ellos será arco. El primer ángulo tiene su vértice en el centro de la circunferencia, y mide 60°. Si de: el segundo ángulo tiene su vértice sobre la a) 60° circunferencia, su valor es: b) 45° a) 60° c) 180° b) 30° d) 90° c) 45° d) 90° 4. Para armar la carpa de un circo, varios tra- 8. Diana necesita un cristal que cubra exactamente la parte superior de una mesa redonda bajadores quitan el pasto de un terreno de de madera. La mesa tiene un diámetro de forma circular. Si el terreno despejado tiene 1,2 m. ¿Cuál es el área aproximada del cristal un área de 1 962,25 m2, el diámetro de esa superficie es de, aproximadamente (usa que Diana necesita para cubrir la mesa de madera? (π ≈ 3,14). calculadora y la aproximación π ≈ 3,14): a) b) c) d)

25 m 50 m 100 m 12,5 m

a) b) c) d)

1,88 m2 4,52 m2 3,14 m2 1,13 m2

Otros recursos didácticos - Evaluaciones 209

Evaluaciรณn Unidad 5 I. [60%] Ejercicios de desarrollo 1. [10%] Identifica cada uno de los siguientes cuerpos redondos: a) b)

2. [25%] Calcula el รกrea total y el volumen de los siguientes cuerpos redondos: b)

35 42 mm

5,63 m

28 mm

18,3 mm

42 cm

3,4 mm

2,2 m

3. [25%] Determina el รกrea total y el volumen de las siguientes figuras: b) 5c m

4 cm

20 c

4 cm

12 cm 3 cm

210 Otros recursos didรกcticos - Evaluaciones

Evaluaciones

II. [40%] Ejercicios con alternativas 1. En una exposición hay una pirámide de cristal. 5. Las columnas de un templo griego están La base de la pirámide es un cuadrado de constituidas por cilindros de granito de 30 m 40 metros de lado, y cada uno de los lados de altura. Las bases del cilindro son círculos de la pirámide es un triángulo isósceles de de 2 m de diámetro. El volumen de cada 30 metros de altura. Este cuerpo es: columna es de, aproximadamente: a) Un cuerpo redondo. a) 94,25 m3 b) 31,41 m3 b) Un poliedro. c) 376,9 m3 c) Un sólido de revolución. d) 188,48 m3 d) Ninguno de los anteriores. 2. Amelia necesita hacer un cuerpo geométrico 6. En un jardín infantil hay varios cuerpos de cartón para su clase de matemáticas. geométricos hechos de madera, que son Para armarlo, dibuja en un cartón la red del usados para jugar. Entre ellos hay prismas, cuerpo, la cual consiste en un rectángulo y pirámides, cubos y conos. De estos, pueden dos círculos, situados en dos de los lados considerarse como sólidos de revolución: opuestos del rectángulo. El cuerpo que ara) Los prismas. mará Amelia es: b) Las pirámides. a) Una esfera. c) Los cubos. b) Un cono. d) Los conos. c) Un prisma. d) Un cilindro. 3. Un helado es servido en un cono recto de 7. Daniela tiene un balón de goma para practicar Pilates. El balón es una esfera cuyo radio 15 cm de altura. El volumen total del cono es de 0,6 metros. ¿Cuál es el área total del es de 423,9 cm3. Teniendo en cuenta estos datos, el diámetro de la base del cono para balón de Daniela? helados es de, aproximadamente: a) 3,14 m2 a) 6 cm b) 4,52 m2 b) 12,24 cm c) 1,5 m2 c) 10,39 cm d) 2,33 m2 d) 6,28 cm 4. Iván infla una pelota de caucho soplando 8. Una botella de vino es envasada en una por una abertura. Cuando queda totalmente caja de cartón de forma cilíndrica. El radio inflada, la pelota tiene la forma de una esfera de las bases de la caja es de 7,5 cm, y la de 0,5 metros de radio. ¿Cuál es el volumen altura de la caja es de 40 cm. ¿Qué cantidad aproximado del aire que contiene la pelota de cartón es necesario para fabricar una de de Iván? estas cajas? 3 a) 0,52 m a) 942,5 cm2 b) 1,04 m3 b) 2 238,4 cm2 c) 1,56 cm3 c) 7 068,6 cm2 d) 1,57 m3 d) 14 137,2 cm2

Otros recursos didácticos - Evaluaciones 211

Evaluación Unidad 6 I. [60%] Ejercicios de desarrollo 1. [5%] Clasifica los datos que se mencionan a continuación como cualitativos o cuantitativos: a) La distancia de la Tierra al Sol. b) La masa de un átomo. c) La calidad de una pieza musical. d) El color de los ojos. e) La altura de un edificio. 2. [20%] Construye una tabla con el siguiente conjunto de datos. Halla 5 intervalos de clase, determina la marca de clase para cada intervalo y calcula la moda y la media aritmética de la colección: 10; 13;

15; 40;

27; 28;

Intervalo

31; 17;

33; 31;

Marca

18; 15;

39; 32.

22;

18;

30;

29;

11;

12;

16;

Frecuencia

x= Mo =

3. [15%] Construye un gráfico de barras para cada una de las siguientes tablas de frecuencias con datos agrupados: a) b) c) Intervalo Intervalo Intervalo [años]

Frecuencia

[kg]

Frecuencia

[km/h]

Frecuencia

[10-20[

[40-45[

[1-4[

[20-30[

[45-50[

[4-7[

[30-40[

[50-55[

[7-10[

[40-50]

[55-60[

[10-13[

[60-65[

[13-16]

[65-70]

4. [20%] Calcula la probabilidad de ocurrencia de los siguientes sucesos: a) Obtener dos números pares al lanzar dos dados. b) Obtener dos 5 al lanzar dos dados.

c) Obtener tres sellos al lanzar tres monedas.

d) Obtener tres caras al lanzar tres monedas.

e) Obtener un múltiplo de 9 al elegir un número entre 1 y 100.

212 Otros recursos didácticos - Evaluaciones

Evaluaciones

II. [40%] Ejercicios con alternativas 1. Un camión tiene una masa de 12 500 kg. 5. En una campaña para recolectar fondos, La altura máxima del camión es de 2,4 m, 2 500 personas realizaron aportes. En total alcanza una velocidad máxima de 150 km/h se contabilizaron 1 670 billetes de papel y y está pintado de azul. De estos datos, no 3 600 monedas, durante las 8 horas que es un dato cuantitativo: duró la campaña. ¿Cuál de estos es un dato cuantitativo continuo? a) La masa del camión. a) La duración de la campaña. b) La altura del camión. b) La cantidad de billetes. c) La velocidad del camión. c) La cantidad de monedas. d) El color del camión. d) La cantidad de donantes. 2. En una encuesta la edad mínima de los en- 6. Los animales de una granja son clasificados cuestados fue de 15 años, y la máxima de 75 según sus masas, las cuales varían entre 80 años. Si se quieren crear 5 intervalos para y 200 kg, encontrándose la mayor cantidad agrupar las edades, ¿cuál será la longitud de animales en el intervalo entre 80 kg y de cada uno? 100 kg. ¿Cuál es la marca de clase de ese intervalo? a) 15 años a) 90 kg b) 45 años b) 20 kg c) 12 años c) 80 kg d) 60 años d) 85 kg 3. Un grupo de matemáticos realiza varios expe- 7. Rodrigo tiene un juego de 52 cartas inglesas, rimentos con un dado. En el primero analizan con las cuales trata de comprobar, mediante la probabilidad de obtener un 6, en otro de experimentos, los cálculos que realizó de obtener un número primo, en el tercero de la probabilidad de ocurrencia de algunos obtener un número mayor o igual a 5, y en el eventos. En uno de esos cálculos obtuvo una cuarto de obtener un número múltiplo de 3. probabilidad de ocurrencia de 0,25. Al escoger Entre estos, el suceso que posee una mayor una carta, ¿cuál de los siguientes eventos tiene esa probabilidad de ocurrencia? probabilidad de ocurrencia es: a) Obtener un 6. a) Obtener un As. b) Obtener un número primo. b) Obtener una carta roja. c) Obtener una carta de figura. c) Obtener un número mayor o igual a 5. d) Obtener una carta de diamantes. d) Obtener un número múltiplo de 3. 4. Al lanzar tres monedas, la probabilidad de 8. Al lanzar dos dados, la probabilidad de obque muestren 3 sellos en la misma tirada es tener dos números iguales es de: de: a) 0,13 a) 1/3 b) 0,6 b) 1/8 c) 0,16 c) 1/6 d) 0,5 d) 1/4

Otros recursos didácticos - Evaluaciones 213

Evaluación Primer Semestre I. [60%] Ejercicios de desarrollo 1. [15%] Calcula las siguientes operaciones con números enteros: a) 48 · -3 =

e) (6 · -9) : -9 =

b) -12 · -9 =

f) -128 : -4 =

c) -512 : (-128 : 8) =

g) -43 · -31 =

d) 6 · (-5 · -5) =

h) 7 · (-7 · 7) =

2. [15%] Calcula las siguientes potencias: a) 123 =

e) 3-3 =

b) 25-2 =

f) -5-2 =

c) -84 =

g) 100-4 =

d) -15-1 =

h) -42 =

3. [15%] Encuentra el valor de la variable x tomando los valores de y que se indican en cada caso: a) y = 3x + 48

para y = 93; x =

b) y = -15x – 12 · (2x + 4)

para y = -165; x =

c) y = 2x + 16

para y = 13; x =

4. [15%] Construye tablas de proporcionalidad para cada uno de los siguientes gráficos. Señala en cada caso si se trata de proporcionalidad directa o inversa y calcula la constante de proporcionalidad K. 40

y 4,5

30 25

3,75

1,5

7,2

5 2

0 1

2,25

K =

214 Otros recursos didácticos - Evaluaciones

0,75

0 0,1

K =

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

Evaluaciones

II. [40%] Ejercicios con alternativas 1. Una empresa tiene pérdidas durante el pri- 5. En una hacienda ganadera existe un terreno dedicado exclusivamente a la cría de ovinos. El mer mes del año y por esto el saldo en una de sus cuentas es de -$ 10 570. Tres meses terreno tiene forma cuadrada y una superficie total de 384 400 m2. Cada uno de los lados más tarde, la empresa continúa registrando pérdidas, y el saldo de dicha cuenta es 7 del terreno mide: veces menor que al terminar el primer mes. a) 620 m ¿Cuál es el nuevo saldo? b) 620 km a) $ 73 990 c) 96 km b) $ -73 990 d) 72 m c) $ 63 420 d) -$ 63 420 2. Las variables X e Y y X y Z están relacionadas 6. La aleta principal de un pez fosilizado tiene forma de triángulo rectángulo. Los lados mepor las ecuaciones XY = K y Z = LX, K y L nores de dicho triángulo miden 28,5 cm y 34 constantes. ¿Qué relación guardan Y y Z? cm. ¿Cuánto mide el lado mayor de la aleta a) Directamente proporcional (constante KL). del fósil, aproximadamente? b) Inversamente proporcional (constante KL). a) 39,5 cm c) Inversamente proporcional (constante b) 42,3 cm K/L). c) 44,3 cm d) Directamente proporcional (constante K/L). d) 62,5 cm 3. Un grupo de químicos analizan la calidad del 7. 1 kg de manzanas cuesta $ 300, 2 kg cuesagua de un embalse. Los resultados arrojan tan $ 500, 3 kg $ 700, y 4 kg cuestan $ 900. que existen como promedio 10-4 partículas Una función que describe la relación entre la tóxicas por cada litro de agua. Esta cantidad cantidad de kilogramos de manzanas (x) y su representa que en un litro hay: precio (y) sería: a) 0,0004 partículas tóxicas a) y = 300x b) 0,0001 partículas tóxicas b) y = 400x – 100 c) 4 partículas tóxicas c) y = 200x + 100 d) 0,014 partículas tóxicas d) y = 200 + 100x 4. ¿Cuál es el valor de a) A b) (A) c) A/2d) d) 2A

A2 ?

8. Una mina se encuentra a -1 200 m de profundidad respecto a la salida y cuenta con 20 niveles con la misma altura. El cuarto nivel partiendo desde la superficie se encuentra, con respecto a la salida a: a) 180 m b) 140 m c) -320 m d) -240 m

Otros recursos didácticos - Evaluaciones 215

Evaluación Segundo Semestre I. [60%] Ejercicios de desarrollo 1. [10%] Realiza a las siguientes figuras planas las transformaciones isométricas que se indican: a) Traslación

b) Simetría axial

" v F

2. [5%] Dibuja los elementos que se solicitan en cada caso: a) b) c) d)

Una cuerda. Un arco. Un ángulo del centro. Un ángulo semi-inscrito.

3. [15%] Calcula el área y volumen de los siguientes cuerpos geométricos: a)

45,2 cm

28,3 cm 6,25 cm

4. [15%] Determina cinco intervalos de clase y las marcas de clase correspondientes para la siguiente colección de datos: 600; 325; 401; 475; 536; 388; 391; 415; 342; 599; 330; 416; 366; 384; 502; 390; 444. 5. [15%] Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Obtener un sello y dos caras al lanzar tres monedas.

b) Obtener un naipe rojo al elegir uno en una baraja inglesa de 52 cartas. P = c) Obtener una suma igual a 10 al lanzar dos dados.

216 Otros recursos didácticos - Evaluaciones

Evaluaciones

II. [40%] Ejercicios con alternativas 1. El ecuador de nuestro planeta forma aproxi- 5. Jorge dibuja una circunferencia empleando madamente una circunferencia de 6 378 km 3 colores, de forma tal que la circunferencia de radio. Si quisiéramos hacer una cuerda que está formada por tres fragmentos de distinto midiera exactamente lo mismo que mide el color. Estos fragmentos corresponden a: ecuador, ¿cuál sería la longitud aproximada a) Sectores circulares. de dicha cuerda? b) Cuerdas. a) 40 074 km c) Tangentes. b) 20 037 km d) Arcos. c) 12 756 km d) 26 716 km 2. En el cumpleaños de Manuel se realiza un 6. La rueda de una bicicleta contiene 60 varillas sorteo y se reparten 100 tarjetas numeradas de acero que van desde el centro de la rueda del 1 al 100, ambos números incluidos. Al hasta sus bordes. Estas varillas son todas seleccionar al azar al número ganador del iguales y miden 54 cm de longitud. ¿Cuál sorteo, ¿cuál es la probabilidad de que dicho es el perímetro aproximado de la rueda? número sea múltiplo de 3? a) 314,15 cm a) 0,33 b) 678,58 cm b) 0,5 c) 169,64 cm c) 0 d) 339,29 cm d) 0,25 3. Un globo de goma está lleno de gas helio, lo 7. En una elección, los participantes se organique le permite elevarse. El globo tiene forma zan en una tabla de datos agrupados según esférica, con un diámetro de 30 cm. ¿Cuál los grupos de edades al que pertenecen. es el volumen aproximado que ocupa el gas Uno de los intervalos de clase comprende helio contenido en el interior del globo? a los votantes entre 25 y 37 años. ¿Cuál es 3 la marca de clase de este intervalo? a) 14 137,17 cm a) 25 años b) 42 411,50 cm3 b) 29 años c) 7 952,15 cm3 c) 31 años d) 942,47 cm3 d) 37 años 4. Un recipiente metálico tiene forma cilíndri- 8. Martín mide 172 cm, su masa es de 60 kg, tiene 28 años de edad, su pelo es castaca. La altura del recipiente es de 2,5 m y el ño y su ojos son verdes. Entre los datos diámetro de sus bases mide 1,6 m. ¿Cuál mencionados anteriormente, no es un dato es el área lateral del recipiente metálico? 2 cuantitativo: a) 14,57 m a) La altura. b) 12,57 m2 b) La masa. c) 16,58 m2 c) La edad. d) 20,6 m2 d) El color de ojos.

Otros recursos didácticos - Evaluaciones 217

Evaluación Anual I. [60%] Ejercicios de desarrollo 1. [12%] Calcula el resultado de las siguientes operaciones: a) 1 093 · -34 =

d) (45 : -9) · -13 =

b) -168 : 21 =

e) (-99 : 3) · (-12 · -2) =

c) -4 · (-13 · 6) =

f) -(-21 · 100) : (7 · -2) =

2. [12%] Aplica el teorema de Pitágoras para hallar el lado que falta en cada uno de los siguientes triángulos. Expresa el resultado como un número aproximado a la centésima: a)

b) 110,5 cm

37 m

22 m

56,4 cm

3. [12%] Construye los gráficos para representar las relaciones de proporcionalidad que se muestran en las siguientes tablas. Elabora un modelo para cada una de ellas: b) a) x x 1 3 5 7 9 11 12 24 36 48 60 72 y

Modelo

4. [12%] Determina, aproximadamente: a) El perímetro de un círculo de 45,2 cm de radio.

b) El área de un círculo de 231 km de diámetro.

c) El diámetro de una circunferencia de 786,2 m de perímetro.

5. [12%] Halla el área total y el volumen de los siguientes cuerpos redondos: b)

4,6 cm

218 Otros recursos didácticos - Evaluaciones

24 cm

48,3 cm

26 c

A= V=

10 cm

2,4

Evaluaciones

II. [40%] Ejercicios con alternativas 1. La montaña más elevada de un país mide 5. Un planeta tiene una órbita con forma de 3 602,5 m de altura. En un país vecino, la circunferencia, la cual mide 380 millones de elevación más alta mide 1,65 veces esa kilómetros de longitud. ¿Cuál es la longitud altura. ¿Cuál es la altura de la segunda aproximada del diámetro de dicha órbita? montaña? a) 120 957 756,8 km a) 5 764 m b) 60 475 000 km b) 5 944,125 m c) 241 900 000 km c) 3 604,15 m d) 90 712 500 km d) 4 744,125 m 2. La superficie de la cancha principal de un 6. Una burbuja de jabón tiene forma de esfera. centro deportivo es de 2 601 m2. Si la cancha El diámetro de la burbuja es de 48 mm. ¿Cuál tiene forma de cuadrado, ¿cuál es la longitud es el volumen aproximado que ocupa el aire de cada uno de los lados de la misma? contenido dentro de la burbuja? a) 650,25 m a) 18 432 mm3 b) 14 476,45 mm3 b) 26,01 m c) 57 905,84 mm3 c) 102 m d) 173 717,5 mm3 d) 51 m 3. Un reloj de sol dibujado en el piso tiene forma 7. Un animal de 10 kg de masa logra una vede círculo. El reloj tiene 12 radios trazados, locidad máxima de 30 km/h. Uno de 20 kg los cuales forman 12 arcos y 12 ángulos logra una velocidad máxima de15 km/h y otro centrales iguales. Si trazamos un ángulo animal de 30 kg logra una velocidad máxima inscrito en uno de los arcos, ¿cuál será la de 10 km/h. Siguiendo esta misma relación medida de ese ángulo? de proporcionalidad, ¿qué velocidad máxima logrará un animal de 50 kg de masa? a) 15° a) 8 km/h b) 30° b) 6 km/h c) 45° c) 7,5 km/h d) 60° d) 5 km/h 4. Luis tiene dos bolsas con bolas. En cada 8. En un torneo de salto de altura un atleta una de ellas tiene 20 bolas, 10 blancas y realiza 4 saltos de entrenamiento. En ellos 10 negras. Si saca una bola de cada bolsa logra saltar 2,12 m; 2,15 m; 2,18 m y 2,21 m, al azar, ¿cuál es la probabilidad de que las respectivamente. Si sigue esta misma prodos escogidas sean negras? gresión, ¿cuál será la altura de su próximo salto? a) 0,2 a) 2,18 m b) 0,5 b) 2,24 m c) 0,75 c) 2,25 m d) 0,25 d) 2,23 m

Otros recursos didácticos - Evaluaciones 219

Solucionario Unidad 1 I. Ejercicios de desarrollo Ejercicios de desarrollo 1. a) 900; b) -710; c) 132; d) -115; e) 78; f) -6; g) 24; h) -333; i) 13. 2. a) 2 479; b) 12 300; c) -12 099 200; d) -555 060; e) 9 120; f) -10,22916; g) 9 828; h) Aprox. -29,34783;

i) -10 176; j) Aprox. -272,77328.

3. a) Conmutatividad; b) Distributividad; c) Existencia de elemento neutro; d) Existencia de elemento absorbente; e) Distributividad. 4. a) -1 092; b) 1 216; c) -2 145; d) -688; e) 15,2; f) -619 528. II. Ejercicios con alternativas 1. b

2. d

3. b

4. d

5. b

6. a

7. a

8. c.

Solucionario Unidad 2 I. Ejercicios de desarrollo 1. a) 256; b) 1 000 000; c) 5 764 801; d) 0,01; e) 0,008; f) 0,03125; g) 15 625; h) 20 736; i) 14 641; j) 0,1;

k) 0,000296; l) 0,000064.

2. a) 95; b) -215; c) -34; d) -612; e) 2-3; f) 516; g) 310; h) 1021. 3. a) Crecimiento lineal; b) Crecimiento exponencial; c) Decrecimiento exponencial; d) Crecimiento lineal;

e) Decrecimiento lineal.

4. a) 64; b) 13; c) 23; d) 11; e) 32; f) 9. II. Ejercicios con alternativas 1. b

2. d

3. d

4. c

5. b

6. b

7. c

8. d.

Solucionario Unidad 3 I. Ejercicios de desarrollo 1. a) -11; b) -9; c) 4,25; d) 35,75. 2. a) Directamente proporcional; b) Inversamente proporcional; c) Directamente proporcional; d) Inversamente proporcional. 3. a) Línea recta; b) Hipérbola ; c) Línea recta. 4. a) Y = 3X; b) XY = 300. II. Ejercicios con alternativas 1. b

2. a

3. d

4. d

5. a

6. b

7. c

8. b.

Solucionario Unidad 4 I. Ejercicios de desarrollo 2. a) Rojo: radio, Verde: cuerda, Azul: diámetro; b) Rojo: ángulo inscrito, Azul: ángulo del centro. 3. a) A ≈ 490,87 cm2, p ≈ 78,54 cm; b) A = 48 695,47 m2, p = 782,26 m. II. Ejercicios con alternativas 1. b

2. a

3. b

4. b

5. a

6. d

7. d

8. d.

Solucionario Unidad 5 I. Ejercicios de desarrollo 1. a) Cono; b) Esfera; c) Cilindro. 2. a) A ≈ 22 167,08 cm2, V ≈ 310 339,09 cm3; b) A ≈ 463,57 mm2, V = 664,60 mm3; c) A ≈ 3 694,51 mm2, V ≈ 12 930,80 mm3; d) A ≈ 46,51 m2, V ≈ 21,40 m3. 3. a) a) A ≈ 150,80 cm2, V ≈ 150,80 cm3; b) A ≈ 3 015,93 cm2; V ≈ 9 650,97 cm3. II. Ejercicios con alternativas 1. b

2. d

3. c

4. a

5. a

6. d

7. b

8. b.

220 Otros recursos didácticos - Evaluaciones

Evaluaciones

Solucionario Unidad 6 I. Ejercicios de desarrollo 1. a) Cuantitativo; b) Cuantitativo; c) Cualitativo; d) Cualitativo; e) Cuantitativo. 2.

Intervalo [10-16[ [16-22[ [22-28[ [28-34[ [34-40]

Marca 13 19 25 31 37

Frecuencia 6 5 2 7 2

x = 23,36 Mo = 31

4. a) 0,25, b) 0,027; c) 0,125; d) 0,125, e) 0,11. II. Ejercicios con alternativas 1. d

2. c

3. b

4. b

5. a

6. a

7. d

8. c.

Solucionario Primer Semestre I. Ejercicios de desarrollo 1. a) -16; b) 108; c) 32; d) 150; e) 6; f) 32; g) 1 333; h) -343. 2. a) 1 728; b) 0,0016; c) -4 096; d) -0,06; e) 0,037; f) -0,04; g) 0,00000001; h) -16. 3. a) 15; b) 3; c) -1,5. 4. a) Relación inversamente proporcional. K = 36; b) Relación directamente proporcional. K = 7,5. II. Ejercicios con alternativas 1. b

2. b

3. b

4. a

5. a

6. c

7. c

8. d.

Solucionario Segundo Semestre I. Ejercicios de desarrollo 3. a) A ≈ 1 356, 77 cm2, V ≈ 3 472,93 cm3; b) A ≈ 19 255,20 cm2, V ≈ 193 407,77 cm3. 4. a)

Intervalo Marca

[325-380[ 352,5

[380-435[ 407,5

[435-490[ 462,5

[490-545[ 517,5

[545-600] 572,5

5. a) 0,375; b) 0,5; c) 0,083. II. Ejercicios con alternativas 1. a

2. a

3. a

4. b

5. d

6. d

7. c

8. d.

Solucionario Evaluación Anual I. Ejercicios de desarrollo 1. a) -37 162; b) -8; c) 312; d) 65; e) -729; f) -150. 2. a) 43,05 m; b) 95,02 cm. 3. a) y = 3x; b) x · y = 144. 4. a) 284 cm; b) 41 909,63 km2; c) 250,26 m. 5. a) A ≈ 1 528,95 cm2, V ≈ 3 210,80 cm3; b) A = 1 130,97 cm2, V = 2 513,27 cm3. II. Ejercicios con alternativas 1. b

2. d

3. a

4. d

5. a

6. c

7. b

8. b.

Otros recursos didácticos - Evaluaciones 221

Pautas de evaluación A. Pautas modelo Lista de cotejo para trabajos prácticos Por medio de una lista de cotejo puede evaluar cualitativa o cuantitativamente, dependiendo del enfoque que se le quiera asignar. O bien, puede evaluar con mayor o menor grado de precisión o de profundidad. También es un instrumento que permite intervenir durante el proceso de enseñanza-aprendizaje, ya que puede graficar estados de avance o tareas pendientes. Por ello, las listas de cotejo poseen un amplio rango de aplicaciones y pueden ser fácilmente adaptadas a la situación requerida. Objetivo de medición Procedimiento Instrumento Escala Nº

: Confeccionar algún producto con materiales o trabajar en sala de informática. : Basado en la observación. : Lista de cotejo. : Logrado (Sí) y No Logrado (No) Aspecto a evaluar

Logrado

Señala la importancia del conocer…(contenido)

Identifica aspectos del contenido tratado

Utiliza todos los recursos disponible para el trabajo

Considera la forma de trabajo sugerida (sigue instrucciones)

Trabaja en forma ordenada

Confecciona el trabajo cumpliendo con los requisitos exigidos

Es capaz de describir las características del trabajo realizado

Presenta el trabajo en forma limpia y ordenada

No Logrado

Escala de apreciación A diferencia de las listas de cotejo, las escalas de apreciación incorporan una gradiente de desempeño, que puede ser expresada en una escala numérica (o conceptual), gráfica o descriptiva. Por lo tanto, las escalas de apreciación tienen la misma estructura que las listas de cotejo, pero incorporan más variables en la observación. Ello permite discriminar con un mayor grado de precisión el comportamiento a observar o el contenido a medir. Objetivo de medición Procedimiento Instrumento Escala S = Siempre Nº

: Desarrollar el respeto y responsabilidad de los estudiantes durante el trabajo en equipo. : Basado en la observación. : Escala de apreciación. : Siempre – Casi Siempre – A veces – Casi nunca – Nunca

C.s. = Casi Siempre

A.V. = A Veces

C.N. = Casi Nunca

Aspecto a evaluar

Cumple con las tareas asignadas por el resto de los integrantes del grupo

Trae los materiales con los que se comprometió

Cumple con los tiempos asignados para terminar el trabajo

Cuida los materiales con los que trabaja

Respeta y acepta ideas diferentes a las suyas al momento de confeccionar el trabajo grupal

Utiliza el diálogo como medio para resolver conflictos

Mantiene una actitud positiva al momento de confeccionar el trabajo grupal

Escucha a sus compañeros y compañeras con atención

222 Otros recursos didácticos - Pautas de evaluación

N = Nunca S

C.S.

A.V.

C.N.

Pautas de evaluación

Escala de calificación En este caso el proceso de calificación es más lento, especialmente porque se evalúan individualmente diferentes habilidades o características. Esta escala permite una permanente retroalimentación tanto para el estudiante como para el maestro. Lo anterior hace posible crear un perfil de las fortalezas y debilidades específicas de cada estudiante con el fin de establecer un curso de acción para reforzar las primeras y superar las últimas. Objetivo de medición : Realizar una exposición oral sobre… Procedimiento : Basado en la observación. Instrumento : Escala de calificación. Escala : Excelente – Bueno – Suficiente – Insuficiente. E: Excelente

B: Bueno

Nº

S: Suficiente

I: Insuficiente Puntaje E Ideal 100%

Aspecto a evaluar

Utiliza material de apoyo en su exposición

Menciona las principales características de…

Utiliza un volumen de voz apropiado

Su vocabulario es el adecuado

Utiliza adecuadamente el espacio físico de la sala

Cumple con los requerimientos pedidos para su exposición

Existe coherencia y relación en la secuencia de la exposición

Realiza preguntas a sus compañeros o compañeras y acepta que se las formulen a él o a ella

Total

100

B 75%

S 50%

I Puntaje 25% Logro

B. Pautas específicas Escala de apreciación Sugerencias de indicadores para una presentación oral Nombres: Tema:

Curso:

Fecha:

E = Excelente B = Bueno R = Regular I = Insuficiente Aspecto a evaluar Habilidad (procedimental)

Usa lenguaje culto y formal en la exposición oral Proyecta la voz de acuerdo a espacio físico disponible Modula correctamente Demuestra seguridad en la exposición Evidencia postura corporal acorde con una exposición formal Maneja y distribuye el tiempo de manera adecuada Usa adecuadamente los medios audiovisuales

Conocimiento

Explica con claridad las ideas y nociones principales de… Construye o da ejemplos vinculados con… Distingue las ideas primarias de las secundarias de… Relaciona los argumentos centrales de… con la vida cotidiana

Actitudinal

Realiza la presentación oral en la fecha indicada Realiza la presentación oral en el tiempo establecido Acepta aportes, correcciones y sugerencias realizadas por el curso Evidencia actitud receptiva y respetuosa a la intervención del curso Total

Otros recursos didácticos - Pautas de evaluación 223

Lista de evaluación del desarrollo de habilidades La siguiente tabla constituye una herramienta que permitirá al docente sintetizar las actividades desarrolladas por los estudiantes en función de las habilidades adquiridas por ellos. Esta evaluación puede trabajarse de modo cuantitativo o cualitativo en dependencia de la elección del docente.

Comunicación escrita

Comunicación oral

Conocimientos de informática

Gestionar información de fuentes diversas

Toma de decisiones

Resolución de problemas

Capacidad de aplicar conocimientos a la práctica

Razonamiento lógico

Capacidad de síntesis

Competencias que permiten entrenar y evaluar Capacidad de análisis

Tipo de actividad

Búsqueda de datos y documentos Análisis de diferentes teorías en relación con el contenido Exposición de informes Simulaciones e investigaciones Elaboración de mapas conceptuales Enunciados con respuesta múltiple, alternativa, de clasificación, de identificación, de selección o de completar Preguntas de desarrollo Trabajo con textos: resúmenes, esquemas, cuadros, gráficas, tablas Elaboración de dictámenes, informes y escritos Debates y grupos de discusión

En la primera columna se listan las actividades de aprendizaje propias del sector y en la fila bajo el encabezado se ubican las competencias. Como se puede observar, el área sombreada muestra la competencia que frecuentemente se desarrolla por cada tipo de actividad. Vuelque en esta tabla sus observaciones del trabajo de aula, marcando su visto bueno en las competencias que el estudiantes demuestra aplicar al realizar las diferentes actividades.

224 Otros recursos didácticos - Pautas de evaluación

Pautas de evaluación

Instrumento de evaluación para las Evaluaciones de la guía En las páginas 202 a 219 de esta guía, los docentes cuentan con evaluaciones reproducibles para cada una de las unidades del texto, además de dos evaluaciones que abarcan los contenidos correspondientes a ambos semestres y una que reunirá los temas más importantes del curso. En cada una de las preguntas de estas evaluaciones aparece el porcentaje de logro ideal correspondiente a cada pregunta. Una vez que los estudiantes completen sus evaluaciones, podrán determinar por sí mismos, si usted lo considera pertinente, su nivel de logro, considerando los resultados resumidos en la siguiente tabla: Porcentaje [%] 90 – 100

Evaluación Excelente

80 – 90

Muy bien

70 – 80

Bien

60 – 70

Regular

0 – 60

Insuficiente

Más adelante se entregan pautas que le facilitará la determinación del nivel de logro de sus estudiantes en cada evaluación. Para completarlas le mostramos un ejemplo: Un estudiante en la evaluación de la Unidad 1 obtiene los siguientes resultados: Pregunta 1 (20%): 3 ítems correctos de 5. Pregunta 3 (10%): 8 ítems correctos de 10. Pregunta 2 (20%): 10 ítems correctos de 10. Pregunta 4 (10%): 5 ítems correctos de 6. Ejercicios con alternativas: 7 ítems correctos de 8. Entonces, la tabla queda como sigue: Pregunta I. Ejercicios de desarrollo

Logro ideal (%)

Respuestas acertadas Nivel de logro real (%) (0,2 · 3/5) · 100

12 20

(0,2 · 10/10) · 100

(0,1 · 8/10) · 100

(0,1 · 5/6) · 100

8,3

II. Ejercicios con alternativas

(0,4 · 7/8) · 100

Total

35 83,3 (Muy bien)

100

A continuación le ofrecemos las pautas para cada evaluación: Evaluación Unidad 1 Pregunta I. Ejercicios de desarrollo

Logro ideal (%)

Respuestas acertadas Nivel de logro real (%)

(0,2 ·

) · 100

(0,2 ·

) · 100

(0,1 ·

) · 100

(0,1 ·

) · 100

II. Ejercicios con alternativas

(0,4 ·

) · 100

Total

100

Otros recursos didácticos - Pautas de evaluación 225

Evaluación Unidad 2 Pregunta I. Ejercicios de desarrollo

Logro ideal (%)

Respuestas acertadas Nivel de logro real (%)

(0,2 ·

) · 100

(0,25 ·

) · 100

(0,1 ·

(0,05 ·

) · 100

II. Ejercicios con alternativas

(0,4 ·

) · 100

Total

) · 100

100

Evaluación Unidad 3 Pregunta I. Ejercicios de desarrollo

Logro ideal (%)

Respuestas acertadas Nivel de logro real (%)

(0,1 ·

) · 100

(0,15 ·

) · 100

(0,15 ·

) · 100

(0,2 ·

) · 100

II. Ejercicios con alternativas

(0,4 ·

) · 100

Total

100

Evaluación Unidad 4 Pregunta I. Ejercicios de desarrollo

Logro ideal (%)

Respuestas acertadas Nivel de logro real (%)

(0,2 ·

) · 100

(0,2 ·

) · 100

(0,2 ·

) · 100

II. Ejercicios con alternativas

(0,4 ·

) · 100

Total

100

Evaluación Unidad 5 Pregunta I. Ejercicios de desarrollo

Respuestas acertadas Nivel de logro real (%)

(0,1 ·

(0,25 ·

) · 100

(0,25 ·

) · 100

(0,4 ·

) · 100

II. Ejercicios con alternativas Total

Logro ideal (%)

100

226 Otros recursos didácticos - Pautas de evaluación

) · 100

Pautas de evaluación

Evaluación Unidad 6 Pregunta I. Ejercicios de desarrollo

Logro ideal (%)

Respuestas acertadas Nivel de logro real (%)

(0,05 ·

) · 100

(0,2 ·

) · 100

(0,15 ·

) · 100

(0,2 ·

) · 100

II. Ejercicios con alternativas

(0,4 ·

) · 100

Total

100

Evaluación Primer semestre Pregunta I. Ejercicios de desarrollo

Logro ideal (%)

Respuestas acertadas Nivel de logro real (%)

(0,15 ·

) · 100

(0,15 ·

) · 100

(0,15 ·

) · 100

(0,15 ·

) · 100

II. Ejercicios con alternativas

(0,4 ·

) · 100

Total

100

Evaluación Segundo semestre Pregunta I. Ejercicios de desarrollo

Logro ideal (%)

Respuestas acertadas Nivel de logro real (%)

(0,1 ·

(0,05 ·

) · 100

(0,15 ·

) · 100

(0,15 ·

) · 100

(0,15 ·

) · 100

II. Ejercicios con alternativas

(0,4 ·

) · 100

Total

) · 100

100

Evaluación Anual Pregunta I. Ejercicios de desarrollo

Logro ideal (%)

Respuestas acertadas Nivel de logro real (%)

(0,12 ·

) · 100

(0,12 ·

) · 100

(0,12 ·

) · 100

(0,12 ·

) · 100

(0,12 ·

) · 100

II. Ejercicios con alternativas

(0,4 ·

) · 100

Total

100

Otros recursos didácticos - Pautas de evaluación 227

Orientaciones bibliográficas I. Bibliografía 1.

Real Academia de Ciencias exactas, físicas y naturales: Diccionario esencial de las ciencias. Madrid: Editorial Espasa Calpe, S.A., 2002. Diccionario que permite dar rigurosidad a los conceptos y definiciones tratados en el Texto del Estudiante y en la Guía Didáctica del Docente.

2. Valiente Barderas, Santiago: Diccionario de Matemáticas. México D.F.: Editorial Alhambra mexicana, S.A., 1988. Diccionario para precisar muchos términos matemáticos utilizados tanto en la elaboración del texto como en la de la guía.

II. Páginas web 1.

http://www.estadisticaparatodos.es En este sitio existen numerosos ejercicios y problemas relacionados con la estadística y las probabilidades que le pueden servir de apoyo no solo al trabajar en la clase, sino también como material adicional para orientar el estudio individual de sus estudiantes.

2. http://www.ine.cl La información estadística de nuestro país que encontrará en este sitio le facilitará el diseño de actividades interesantes y contextualizadas para trabajar con sus alumnos y alumnas en la realización de tablas y gráficos. 3. http://www.educarchile.cl En este sitio puede encontrar orientaciones metodológicas que le brindarán ideas para trabajar algunos contenidos y en las cuales se puede apoyar. También podrá disponer de pautas de evaluación prediseñadas que usted podrá adecuar libremente según los requerimientos de sus estudiantes. Además, en este sitio hallará una amplia colección de fichas y juegos matemáticos, recursos que le ayudarán en el trabajo de algunos contenidos. 4. http://www.eduteka.org Sitio donde es posible encontrar proyectos de clase: herramientas matemáticas, reseñas de sitios web con contenidos matemáticos, investigaciones y fragmentos de libros. 5. http://www.mensa.es/juegosmensa Este sitio cuenta con muchos problemas matemáticos y de ingenio que le pueden ser de mucha utilidad para trabajar con sus estudiantes. Algunos de los problemas que se proponen están diseñados para personas con conocimientos matemáticos más profundos de los que deben tener los estudiantes en este nivel, por lo tanto, le recomendamos ser cuidadoso en su selección.

228 Otros recursos didácticos - Orientaciones bibliográficas

Orientaciones bibliográficas

6. http://sectormatematica.cl Sitio que posee aplicaciones computacionales, acertijos, artículos y problemas matemáticos; además de referencias a otros sitios web con contenidos matemáticos. 7.

http://es.wikipedia.org La Wikipedia es una enciclopedia libre al alcance de todo aquel que le sea posible navegar en internet. En ella, encontrará interesantes artículos y las definiciones de muchos conceptos, pero le recomendamos que la ocupe con cautela, pues al ser una enciclopedia libre y poder ser editada por cualquier persona, puede contener algunas imprecisiones.

8. http://www.rae.es Este es el sitio oficial de la Real Academia Española y en él encontrará un diccionario de la lengua española y un diccionario panhispánico de dudas. 9. http://yperelman.ifrance.com/yperelman/matematicarecreativa/index.html A través de este sitio usted podrá acceder al libro digital “Matemática recreativa” del eminente matemático ruso Yakov Perelman. Como versa en su prólogo: “… es un libro para jugar mientras aprenden a resolver problemas matemáticos o, si lo prefieren, para aprender matemáticas mientras se juega.” 10. http://etpmb.galeon.com/productos1089671.html Esta página electrónica es un medio a su disposición para realizar consultas, obtener información pedagógica o contactarse con algún colega. En ella existen materiales de aplicación en el aula, experiencias educativas en base a contenidos concretos, información de técnicas y métodos para mejorar la práctica docente, entre muchos otros recursos.

Otros recursos didácticos - Orientaciones bibliográficas 229

Orientaciones para el uso del Hipertexto El recurso multimedia o Hipertexto que acompaña y complementa al Texto del Estudiante de Matemática de 8° Básico posee una estructura general similar a la de él, es decir, está dividido en 6 unidades didácticas que se identifican mediante los mismos títulos: Productos y cocientes; Potencias y sus aplicaciones; Ecuaciones y proporcionalidad; Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo; Cuerpos redondos; y Datos agrupados y probabilidades. Las secciones que conforman cada una de las unidades del Hipertexto son: I. Inicio 1.

Motivación. Sección que permite despertar el interés de los estudiantes por los contenidos que se tratarán tanto en la unidad del texto como en su correspondiente unidad digital.

2. Diagnóstico. Actividades interactivas en las que los estudiantes deberán ocupar los conceptos y procedimientos matemáticos aprendidos en años anteriores y que será necesario ocupar en el aprendizaje de los nuevos contenidos que existen en la unidad. II. Desarrollo

Actividades interactivas de profundización de algunos temas tratados en el texto que complementan a los que se desarrollan en las páginas binarias. Al igual que las actividades del texto, se basan en los Contenidos Mínimos Obligatorios definidos por el Ministerio de Educación para el nivel educacional de 8° básico.

III. Cierre 1.

Síntesis. Resumen de la unidad del texto que se presenta como una red conceptual que requiere ser completada por los estudiantes.

2. Evaluación. Actividades interactivas por medio de las cuales los estudiantes se podrán autoevaluar en el manejo de los conceptos y procedimientos aprendidos a lo largo del estudio de la unidad que corresponda. En el Texto del Estudiante se indica por medio de un ícono cuándo se deben aplicar cada una de las actividades del Hipertexto. El ícono que se ocupa es: También en el Hipertexto se explicitan vínculos interactivos y se orienta y dirige al usuario a diversos sitios web y software que permiten ampliar las aplicaciones y usos de los contenidos del Texto del Estudiante y del Hipertexto de Matemática de 8° Básico. Adicionalmente a esta breve reseña, en el propio Hipertexto existe un Tour Virtual que informa acerca de su estructura y orienta sobre cómo navegar dentro de él, por lo que se sugiere consultarlo cada vez que sea necesario.

230 Otros recursos didácticos - Orientaciones para el uso del Hipertexto