8vo_2011_Alumno by juan albornoz

Texto del Estudiante

Matemática

º 8

Educación Básica

EDUARDO BÓRQUEZ AVENDAÑO

LICENCIADO EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

FLORENCIA DARRIGRANDI NAVARRO LICENCIADA EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN ESTADÍSTICA, MAGÍSTER EN ESTADÍSTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

MARIO ZAÑARTU NAVARRO LICENCIADO EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE. MAGÍSTER EN HISTORIA DE LA CIENCIA: CIENCIA, HISTORIA Y SOCIEDAD, UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BARCELONA.

El Texto del Estudiante Matemática 8, para Octavo Año de Educación Básica, es una obra colectiva, creada y diseñada por el departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección general de: MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA COORDINACIÓN DEL PROYECTO: Eugenia Águila Garay COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA: Viviana López Fuster EDICIÓN: Carolina Henríquez Rivas AUTORES: Eduardo Bórquez Avendaño Florencia Darrigrandi Navarro Mario Zañartu Navarro CORRECCIÓN DE ESTILO: Isabel Spoerer Varela Gabriela Precht Rojas DOCUMENTACIÓN: Paulina Novoa Venturino La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de: VERÓNICA ROJAS LUNA COORDINACIÓN GRÁFICA: Carlota Godoy Bustos COORDINACIÓN GRÁFICA LICITACIÓN: Xenia Venegas Zevallos JEFA DE DISEÑO ÁREA MATEMÁTICA: Mariela Pineda Gálvez DIAGRAMACIÓN: María Macarena Cruz Rencoret ILUSTRACIONES: Martín Oyarce Gallardo FOTOGRAFÍAS: Archivo Santillana CUBIERTA: La Práctica S.P.A. PRODUCCIÓN: Germán Urrutia Garín

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

© 2010, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile) PRINTED IN CHILE Impreso en Chile por WorldColor Chile S.A. ISBN: 978-956-15-1762-2 Inscripción N°: 198.045 Se terminó de imprimir esta xx edición de xx ejemplares, en el mes de xx del año xx. www.santillana.cl

Referencias de los Textos Matemática 7 y Matemática 8, Educación Básica, Proyecto punto cl y de los Textos Matemática 7 y Matemática 8, Educación Básica, Mineduc, de los autores: Patricia Urzúa Figueroa, Marjorie Benavides Simon, Alexandra Gederlini Gollerino, María José González Clares, Gladys Sepúlveda Romero, Cristián Vergara Bize, Javiera Setz Mena, Florencia Darrigrandi Navarro. Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Santiago, Chile, 2007 y 2010.

Presentación del Texto Te damos la bienvenida a este nuevo año escolar. El Texto Matemática 8 te invita a comprender que la Matemática es parte del mundo que te rodea. A través de sus páginas te enfrentarás a diversas situaciones en las que podrás desarrollar diversas habilidades para explorar, aprender y construir conceptos matemáticos, a partir de los ejes Números, Álgebra, Geometría y Datos y Azar. En este año, en el eje Números profundizarás tus conocimientos sobre operaciones con números enteros, descubrirás y emplearás estrategias para multiplicar y dividir con números enteros, comprenderás y aplicarás el algoritmo de la división de números enteros, descubrirás y usarás estrategias para calcular potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural y aplicarás sus propiedades. En el eje Álgebra plantearás ecuaciones, analizarás relaciones por medio de tablas y gráficos, reconocerás y representarás diversas funciones e identificarás algunos de sus elementos, diferenciarás entre relaciones proporcionales y no proporcionales. En el eje Geometría realizarás traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas, construirás teselaciones, aprenderás a caracterizar la circunferencia y círculo como lugar geométrico, calcularás la longitud de una circunferencia y estimarás el área de un círculo, comprenderás la relación del número pi con la circunferencia, utilizarás el área de la superficie del cilindro, cono y pirámide y el volumen de cilindros y conos rectos en la resolución de problemas. En el eje Datos y Azar, interpretarás información en diversas tablas con datos agrupados en intervalos, aprenderás a construir dichas tablas y a determinar la media aritmética y moda en esos casos, comprenderás y analizarás muestras aleatorias y determinarás probabilidades de ocurrencia de eventos en experimentos aleatorios y las contrastarás con resultados experimentales. Para resolver problemas, utilizarás diversas estrategias, además, podrás conectar tus conocimientos con temas de actualidad y emplearás herramientas tecnológicas. Todo esto a través de entretenidas actividades en las que podrás razonar, reflexionar, analizar y compartir tus conocimientos con tus compañeros y compañeras.

Presentación

Estructura del Texto El Texto Matemática 8 está organizado en 6 unidades. En cada Unidad encontrarás las siguientes páginas y secciones:

Páginas de inicio

En esta Unidad podrás... En esta sección conocerás los principales objetivos que se espera que logres con el desarrollo de la Unidad.

Conversemos de... Sección que te plantea preguntas relacionadas con la imagen y con los contenidos de la Unidad que te permitirán exponer tus ideas, dar opiniones y argumentar a partir de tus experiencias.

¿Cuánto sabes? Podrás resolver ejercicios y problemas que te ayudarán a recordar conocimientos que serán la base para el desarrollo de la Unidad.

¿Qué debes recordar? Encontrarás el resumen de los principales conceptos trabajados en años anteriores y que te servirán como apoyo para los aprendizajes que se espera que logres en la Unidad.

4 Matemática 8

Páginas de desarrollo No olvides que... Encontrarás explicaciones, descripciones o definiciones que destacan y precisan lo que vas aprendiendo.

Ayuda Te recuerda un contenido o procedimiento.

Actividades Para discutir Por medio de preguntas, explorarás el contenido matemático que aprenderás, pondrás en práctica lo que ya sabes, compartirás tus ideas y extraerás conclusiones.

En equipo Desarrollarás en grupo entretenidas e interesantes actividades que te permitirán progresar en tu aprendizaje

Resolverás variadas actividades para ir descubriendo los conceptos y reforzar así su aprendizaje.

Te invitamos a ingresar al hipertexto donde encontrarás diferentes recursos y actividades interactivas que complementarán tu aprendizaje. Estructura del Texto

Mi progreso

Herramientas tecnológicas

Resolverás actividades que te permitirán evaluar tu progreso en el logro de los aprendizajes.

Aprenderás a ocupar la calculadora para resolver diversos ejercicios y a utilizar planillas de cálculo o programas computacionales.

Estrategia mental Podrás aprender y practicar diversas estrategias de cálculo mental.

Buscando estrategias Observarás un problema resuelto paso a paso a través de una determinada estrategia. Podrás aprender y practicar la estrategia utilizada y buscar otras que te permitan encontrar la solución.

6 Matemática 8

Páginas de cierre Síntesis Podrás organizar y sintetizar lo aprendido utilizando un organizador gráfico. Además, aclararás los conceptos trabajados respondiendo preguntas sobre estos y sus relaciones.

Conexiones A partir de una noticia o tema, desarrollarás en equipo una actividad que te permitirá aplicar lo que aprendiste en la Unidad. Además, te invitamos a evaluar tu actitud y la de cada integrante del grupo para que puedas mejorar tu forma de trabajar.

¿Qué logré?

¿Qué aprendí?

Evaluarás y reflexionarás sobre los aprendizajes que adquiriste en esta Unidad.

En estas dos páginas responderás preguntas de selección múltiple y actividades de desarrollo para evaluar lo que has aprendido en la Unidad.

Estructura del Texto

Índice

Unidad

Números enteros ¿Cuánto sabes? Multiplicación de un número natural por un número entero negativo Multiplicación de números enteros División exacta de números enteros Mi progreso División inexacta de números enteros Operaciones combinadas

Unidad

12 14 16 18 21 22 24

Mi progreso Buscando estrategias Para finalizar ¿Qué aprendí?

Potencias ¿Cuánto sabes? Potencias de base entera y exponente natural Valor de la potencia Multiplicación de potencias de igual base División de potencias de igual base Multiplicación de potencias de igual exponente División de potencias de igual exponente Potencia de una potencia

Unidad

36 38 40 42 44 46 48 50 52

Mi progreso Potencias de base fraccionaria positiva y exponente natural Potencias de base decimal positiva y exponente natural Crecimiento exponencial Decrecimiento exponencial Mi progreso Buscando estrategias Para finalizar ¿Qué aprendí?

Geometría y medición ¿Cuánto sabes? Circunferencia y círculo como lugar geométrico Elementos de la circunferencia Número π y su relación con la circunferencia Longitud de la circunferencia Área del círculo

8 Matemática 8

29 30 32 34

55 56 58 60 62 65 66 68 70

72 74 76 78 80 82 84

Mi progreso Área del cilindro y cono Volumen del cilindro y cono Mi progreso Buscando estrategias Para finalizar ¿Qué aprendí?

87 88 92 95 96 98 100

Unidad

Movimientos en el plano ¿Cuánto sabes? Transformaciones de figuras y objetos Traslaciones de figuras planas Reflexiones de figuras planas Rotaciones de figuras planas Mi progreso Teselaciones

Unidad

104 106 108 110 112 117 118

Teselaciones regulares y semirregulares Mi progreso Buscando estrategias Para finalizar ¿Qué aprendí?

120 123 124 126 128

Datos y azar ¿Cuánto sabes? Interpretación de tablas de frecuencias Construcción de tablas para datos agrupados Media aritmética para datos agrupados Moda para datos agrupados Censo y muestreo Análisis de encuestas

Unidad

102

130 132 134 136 138 140 142 144

Mi progreso Espacio muestral y principio multiplicativo Sucesos equiprobables Regla de Laplace Mi progreso Buscando estrategias Para finalizar ¿Qué aprendí?

149 150 152 154 157 158 160 162

Funciones y relaciones proporcionales ¿Cuánto sabes? Situaciones con dos variables Noción de función Variables dependientes e independientes Dominio y recorrido Mi progreso Variaciones proporcionales y no proporcionales

Solucionario Índice temático Bibliografía

166 168 172 174 178 181

164

Relación de proporcionalidad directa Relación de proporcionalidad inversa Mi progreso Buscando estrategias Para finalizar ¿Qué aprendí?

184 188 193 194 196 198

182

200 220 223 Índice

1 Unidad

10 Unidad 1

NĂşmeros enteros

En esta Unidad podrás... • Emplear procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por un número entero negativo. • Emplear procedimientos de cálculo para multiplicar números enteros. • Emplear procedimientos de cálculo en divisiones exactas de números enteros. • Ampliar el algoritmo de la división de números naturales a la división de números enteros y aplicarlo. • Calcular operaciones combinadas con números enteros. • Resolver problemas en contextos diversos y significativos en los que se utilizan las cuatro operaciones aritméticas con números enteros.

Conversemos de... La atmósfera es una masa gaseosa que envuelve a la Tierra. Sus componentes cumplen un papel muy importante para que en nuestro planeta pueda existir la vida; además, no solo nos protege de la radiación solar, sino que filtra radiaciones nocivas e impide que el calor emitido por el Sol se escape al espacio. Sin la atmósfera, la temperatura de la Tierra se volvería insoportable, aumentaría en 100 ºC por el día y variaría cerca de –150 ºC en la noche. La atmósfera se divide en capas, la primera es la tropósfera, en la cual la temperatura disminuye con la altura. Fuente: Dirección Meteorológica de Chile, www.meteochile.cl/ayudaest.html, septiembre 2009.

La fotografía fue tomada en un avión que volaba en la tropósfera, sobre una zona en que la temperatura de la superficie era de 24 ºC y esta disminuía, según la altura, a razón de 6 ºC por kilómetro. 1. ¿Cuál era la temperatura a 2 km de altura? 2. ¿A qué altura la temperatura fue de 0 ºC? 3. ¿A qué altura volaba el avión, si la temperatura del aire varió a –24 ºC?

Números enteros

¿Cuánto sabes? 1. Completa con los signos <, > o =, según corresponda. a) –7 b) –8

–5 5

c) –10 d) 4

–15

e) –3

–1

f) 8

–8

2. Ordena los siguientes números de menor a mayor. a) 49; –14; –28; 20; 29; –29 b) –4; –5; –1; 1; 3; 5 c) 101; 111; –111; –1; 5; 18

d) –7; –10; –16; –18; 1; 0 e) –14; –19; 22; –23; 10; –5 f) –18; –20; –40; 2; –6; 6

3. Ubica en la recta numérica los números: –6, –4, 7, –5, –1, 3, –2 y sus inversos aditivos. –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

9 10

4. Calcula mentalmente: a) b) c) d)

(–2) + 8 = (–14) + 6 = (–3) + (–8) = –11 – (–4) =

e) f) g) h)

22 – 30 = –(–4 + 2) – (9 – 5) = (5 – 18) – (–8 + 8) = –4 – 7 + (9 – 3) + 10 =

5. Resuelve los siguientes problemas y explica, paso a paso, la estrategia que utilizaste. a) La temperatura de un frigorífico es de –10 ºC. Después de un corte de luz sube 15 ºC, luego, cuando vuelve la energía, baja rápidamente 12 ºC. ¿Cuál es la temperatura del frigorífico después de esta disminución de temperatura? b) Camila le debe $ 12 000 a su madre y $ 5500 a su hermano. Si le paga $ 10 500 a su madre y $ 3800 a su hermano, ¿cuánto debe ahora en total? c) Un buzo que se encuentra a 9 metros bajo el nivel del mar sube hacia la superficie 5 metros, luego, desciende 6 metros. ¿A qué profundidad se encuentra ahora? d) Un pez que está a 5 metros bajo el nivel del mar, primero desciende 3 metros y, luego, sube 6 metros. ¿A qué distancia del nivel del mar se encuentra ahora? Represéntalo en la recta numérica.

12 Unidad 1

Unidad 1

6. Calcula mentalmente: a) b) c) d)

45 : 9 = 50 • 6 = 13 • 4 = 180 : 6 =

e) f) g) h)

2 • 3 • 10 = 540 : 60 = 121 : 11 = 12 • 5 =

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿Qué debes recordar? • El conjunto de los números enteros está compuesto por los números naturales (⺞), el cero y los números negativos. Se simboliza por ⺪. ⺪ = …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,… • La distancia que hay entre un número y el cero la representaremos a través del valor absoluto. El valor absoluto de un número a lo escribiremos a . Por ejemplo: la distancia entre –20 y cero en la recta numérica es 20, entonces –20 = 20. • En la recta numérica, un número, positivo o negativo, es mayor que todos los números que están a la izquierda de él y es menor que cualquier número que esté a la derecha de él. Por ejemplo, –2 > –4, ya que el –2 está a la derecha del –4, como se observa en la siguiente recta numérica: –5

–4

–3

–2

–1

• Para sumar números enteros de igual signo, sumamos los valores absolutos y conservamos el signo. Para sumar dos números enteros de distinto signo restamos sus valores absolutos y, al resultado, le asignamos el signo del número de mayor valor absoluto. Ejemplo: (–3) + (–5) = –8 6 + (–9) = –3 • Para restar dos números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo. Ejemplo: 15 – (–10) = 15 + 10 = 25 –18 – 22 = –18 + (–22) = –40

Números enteros

Multiplicación de un número natural por un número entero negativo Claudia y Juan aprendieron a multiplicar dos números naturales utilizando diferentes procedimientos. Claudia lo hace como adición de sumandos iguales. Juan lo hace descomponiendo el primer factor. Observa.

Para discutir • ¿Cuál de los dos procedimientos utilizas frecuentemente?, ¿qué otro procedimiento conoces? Explícalo. • ¿Se puede escribir como multiplicación una adición de sumandos iguales, si el sumando que se repite es un número entero menor que cero?, ¿cómo?, ¿por qué? • Las expresiones (–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14) y (–14) • 5 ¿son equivalentes?, ¿por qué?, ¿cuál es el resultado en cada caso? • ¿Cuál es el signo del resultado de una multiplicación entre dos números si uno de los factores es un número natural y el otro es un número entero negativo? En la situación anterior, si consideramos el procedimiento de Claudia, el sumando 14 se repite 5 veces, lo que, escrito como multiplicación, es 14 • 5. Luego, para escribir como multiplicación (–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14), el sumando (–14) se repite 5 veces, entonces se escribe (–14) • 5. Podemos calcular (–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14) apoyándonos en la recta numérica:

–80

–70

–56 –42 –60 –50 –40

–28 –14 –30 –20 –10

Obtenemos: (–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14) = –14 – 14 – 14 – 14 – 14 = –70. Como (–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14) = (–14) • 5, tenemos que (–14) • 5 = –70.

14 Unidad 1

Unidad 1

¿Cómo calcular 5 • (–14)?

Ayuda

En el caso que el número negativo sea el segundo factor, como 5 • (–14), se puede escribir como (–14) • 5, por la propiedad conmutativa de la multiplicación.

Propiedad conmutativa de la multiplicación: a • b = b • a, con a y b números enteros.

Por lo tanto, 5 • (–14) = (–14) • 5 = –70

No olvides que... • Para multiplicar un número natural por un número entero negativo, la expresión se puede escribir como una adición iterada de sumandos iguales y, luego, calcular la operación. Ejemplos: (–12) • 3 = (–12) + (–12) + (–12) = –12 – 12 – 12 = –36 2 • (–7) = (–7) • 2 = (–7) + (–7) = –7 – 7 = –14

Actividades 1. Escribe como adición las siguientes multiplicaciones y, luego, resuelve. a) (–3) • 5 = b) 2 • 10 =

c) 4 • (–6) = d) (–10) • 3 =

e) (–1) • 8 = f) 1 • (–8) =

g) 9 • (–4) = h) (–13) • 4 =

2. Expresa como producto de dos factores los siguientes números. a) –1

b) –16

c) 8

d) –10

e) –36

f) –7

3. Escribe como una multiplicación cada adición de sumandos iguales. a) (+14) + (+14) + (+14) + (+14) b) (–1) + (–1) + (–1) + (–1) + (–1) c) (–21) + (–21) + (–21)

d) (–4) + (–4) + (–4) + (–4) e) (–5) + (–5) f) (–6) + (–6) + (–6) + (–6) + (–6) + (–6)

4. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas. a) En una multiplicación, si los factores son dos números naturales, el producto también lo es. b) La multiplicación de un número natural por un número entero negativo resulta un número entero positivo o negativo, según el caso. c) En una multiplicación, donde un factor es un número natural y el otro es un número entero negativo, el producto es siempre menor que cada uno de los factores. d) El doble de un número entero es siempre mayor que ese número.

Números enteros

Multiplicación de números enteros Un grupo de 4 amigos inventaron un juego en el que obtenían puntos al responder ciertas preguntas. Si no respondían correctamente, se anotaban puntos negativos o cero. Aquí está el resumen después de 5 etapas. Etapa 1

Etapa 2

Etapa 3

Etapa 4

Etapa 5

Beatriz

Cristián

–10

Gonzalo

Alejandra

–12

Para discutir • ¿Con cuántos puntos terminó cada jugador? • ¿Quién obtuvo más puntos? • Si Alejandra jugara hasta la tercera etapa, ¿cuántos puntos dejaría de perder con las dos etapas que no jugó?

Ayuda Recuerda que, usualmente, cuando el número es positivo, no se escribe el signo +. Por ejemplo: (+3) se escribe también 3.

Como Beatriz obtuvo 15 puntos en cada etapa, la expresión que permite determinar cuántos puntos obtuvo al final de las 5 etapas es: 15 • 5 = 75, es decir, terminó con 75 puntos. La expresión que permite calcular con cuántos puntos terminó Cristián al final de las 5 etapas, si obtuvo –10 en cada una es: (–10) • 5 = –50, o bien: 5 • (–10) = –50. Por lo tanto, Cristián terminó con –50 puntos al final del juego. Gonzalo hizo 0 puntos en cada etapa. En este caso, la expresión que permite calcular la cantidad de puntos al finalizar el juego es: 0 • 5 = 0, es decir, terminó con 0 puntos. Si Alejandra hizo –12 puntos en cada etapa, la expresión que permite determinar cuántos puntos obtuvo al final de las etapas es: (–12) • 5 = –60. En este caso, Alejandra terminó el juego con –60 puntos. Beatriz fue quien obtuvo más puntos. La expresión que permite determinar cuántos puntos obtuvo Alejandra en las 2 últimas etapas, si en cada una obtuvo (–12) puntos, es: (–12) • 2 = –24 puntos. Entonces, al no jugar las últimas dos etapas dejó de perder 24 puntos. La expresión matemática en este caso, considerando que representaremos con (–2) a las dos etapas que no jugó, es: (–12) • (–2) = 24. Notemos que (–12) • (–2) = 12 • 2 = 24.

16 Unidad 1

Unidad 1

No olvides que... • Para cualquier número entero a, se tiene que a • 0 = 0 • a = 0. • Para multiplicar números enteros, se deben multiplicar sus valores absolutos y al resultado anteponer el signo + si los factores tienen el mismo signo, o el signo – si tienen distinto signo. • La tabla que se muestra a la derecha te permite recordar la regla de los signos. • Al multiplicar dos números que tienen igual signo, el resultado es positivo. Por ejemplo: (+5) • (+7) = +35 (–6 • (–2) = +12

Signo del 1er factor

Signo del 2o factor

Signo del producto

–

• Al multiplicar dos números que tienen diferente signo, el resultado es negativo. Por ejemplo: (+8) • (–9) = –72 (–6) • (+4) = –24

Actividades 1. Calcula el resultado de los siguientes productos. a) 3 • (–5) b) 0 • (–3)

c) (–11) • 3 d) (–5) • (–6)

e) (–4) • (–1) f) 1 • (–7)

g) 7 • (–2) h) (–9) • (–5)

2. Expresa como producto de dos factores los siguientes números. a) –20

b) –16

c) –18

d) +8

3. Completa con el factor que falta. a) b) 5 •

•

(–7) = 21 = –35

c) d) 6 •

•

9 = –72 = 18

e) (–4) • f) (–4) •

=4 = –64

4. En esta pirámide, el número de cada casilla debe ser el producto de los dos números de las casillas sobre las que está apoyada dicha casilla. Complétala. +1080 –12 +6 +3

Números enteros

División exacta de números enteros Carlos y Francisca tienen una libreta donde ingresan sus transacciones de dinero mensual. Estas son las anotaciones del mes de abril: Concepto

Arriendo

Luz

Sueldos

Gas

Supermercado

Movimiento (en pesos)

80 000

9000

415 000

12 000

55 000

Para discutir • ¿Con qué número entero relacionarías cada movimiento de dinero?, ¿por qué? • Si ambos tienen el mismo sueldo, ¿cuánto recibe cada uno? • Si el consumo diario de gas y luz fue aproximadamente el mismo, ¿cuánto gastaron cada día por concepto?, ¿cómo lo calculaste? • ¿Cómo comprobarías que los resultados obtenidos en cada caso son correctos?

Si asociamos las ganancias con el signo +, y los gastos con el signo –, en la situación anterior, el sueldo se escribirá entonces como +415 000 ó 415 000 y los otros movimientos son gastos, por consiguiente se escribirán como –80 000, –9000, –12 000 y –55 000, por concepto de arriendo, luz, gas y supermercado, respectivamente. Para determinar el sueldo que recibieron Carlos y Francisca en abril, si reciben lo mismo, calculamos: 415 000 : 2 = 207 500. Es decir, cada uno recibió un sueldo de $ 207 500 ese mes. Para comprobar que el resultado obtenido es correcto, multiplicamos el divisor por el cociente, que debe ser igual al dividendo, es decir, 415 000 = 2 • 207 500.

Ayuda En una división exacta, el resto es igual a cero. Por ejemplo, en 30 : 5 = 6, significa que 30 = 5 • 6 + 0.

18 Unidad 1

Sabemos que el mes de abril tiene 30 días; para determinar cuánto dinero gastaron diariamente en gas, calculamos: 12 000 : 30 = 400. Luego, gastaron $ 400 por día en gas. Como asociamos a los gastos el signo –, podemos escribir –12 000 : 30 = –400. Al comprobar en este caso, tenemos: –12 000 = 30 • (–400). Para determinar el gasto diario en luz, calculamos: –9000 : 30 = –300. Por lo tanto, gastaron $ 300 en luz diariamente. Luego, para verificar que el cálculo realizado es correcto, tenemos: –9000 = 30 • (–300). Ten presente que en las divisiones realizadas el dividendo es igual al divisor por el cociente, es decir, las divisiones son exactas.

Unidad 1

No olvides que... • Para calcular el cociente de dos números enteros, se deben dividir sus valores absolutos y al resultado se le antepone el signo + si ambos números, dividendo y divisor, son de igual signo, o el signo – si son de signos diferentes. • La tabla que se muestra a la derecha te permite recordar la regla de los signos: • La división es la operación inversa de la multiplicación. Cuando la división de números enteros es exacta, se verifica que el resultado obtenido o cociente es correcto, si el dividendo es igual al divisor por el cociente. Por ejemplo: 14 : 2 = 7 14 = 2 • 7 15 : (–3) = –5 15 = (–3) • (–5)

Signo del dividendo

Signo del divisor

Signo del cociente

–

(–20) : (–4) = 5 (–18) : 9 = –2

(–20) = (–4) • 5 (–18) = 9 • (–2)

Actividades 1. Calcula y verifica que los resultados obtenidos sean correctos. a) 120 : 2 = b) 164 : (–4) = c) (–225) : 5 =

d) 270 : (–27) = e) (–333) : 3 = f) (–456) : (–6) =

g) 120 : (–2) = h) (–108) : (–12) = i) 300 : ((–30) : 6) =

2. Obtén dos números cuyo cociente sea el indicado. a)

= 48

= –54

= –1024

3. Escribe en cada línea el número que falta para que se cumpla la igualdad. a) 180 : (–9) = b) 240 : = –24

c) d)

: (–9) = 7 : 12 = 4

e) : (–14) = –9 f) (–720) : = –6

4. Lee atentamente, comenta y, luego, responde: a) Considera la expresión: x : y = 2. Si x es un número entero negativo mayor que –11, ¿qué valores pueden tomar x e y? b) El cociente de dos números enteros ¿es siempre un número natural? Justifica. Números enteros

5. Remplaza los valores de a y b en cada caso, realiza los cálculos correspondientes y completa la tabla. a

–3

–18

–2

–28

b :a

– (b : a)

b : a

6. A partir de los resultados obtenidos en la tabla de la actividad anterior, responde: a) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular b : a y –(b : a)?, ¿por qué? b) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular b : a y b : a ?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en estos casos?, ¿por qué? c) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular las divisiones b : a y b : a ?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en estos casos?, ¿por qué?, ¿y si fueran multiplicaciones? 7. Un clavadista se lanza de una altura de 12 metros a una piscina. Si la profundidad que logra es un tercio de la altura a la que se lanzó, ¿qué número representa la profundidad que alcanza respecto del nivel del agua?

En equipo En esta actividad deberán utilizar seis tarjetas azules, seis tarjetas rojas y una moneda para calcular mentalmente multiplicaciones y divisiones con números enteros. Formen grupos de cuatro integrantes y sigan las instrucciones. 1. Elaboren seis tarjetas azules con los siguientes números: –150, +200, –250, +300, –350, +400. 2. Elaboren seis tarjetas rojas con los siguientes números: –25, –10, –5, –1, 2, 5. 3. Cada integrante, por turno: 1º 2º 3º

4º

Saca una tarjeta azul al azar. Saca una tarjeta roja al azar. Lanza la moneda, si sale cara se deben multiplicar mentalmente los números obtenidos; de lo contrario (sello), se divide mentalmente el número de la tarjeta azul por el de la tarjeta roja. Si responde correctamente, gana 1 punto; si no, pierde 1 punto.

4. Jueguen hasta que alguno de los integrantes complete 10 puntos.

20 Unidad 1

Unidad 1

Mi progreso Marca la opción correcta en las preguntas 1 y 2. 1. En la expresión (–36) : x = –4, el valor de x es: A. –9

B. 9

C. 6

D. –12

2. Si x es un número entero negativo, ¿cuál de estos números es el más grande? A. 4 + x

B. 4 • x

C. 4 : x

D. 4 – x

3. Remplaza los valores de m y n en cada caso, realiza los cálculos correspondientes y completa la tabla. m

–20

–6

–450

–90

m•m

m:n

m•n

m • m

A partir de los resultados obtenidos en la tabla, responde: a) ¿Qué tienen en común las soluciones obtenidas al calcular m : n y m • n?, ¿por qué? b) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular m • m y m • m ?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en estos casos?, ¿por qué? 4. En un juego, Emilia tiene 60 puntos a favor y Carlos tiene 10 puntos en contra. Si Carlos gana la mitad de puntos que Emilia tiene y, luego, Emilia dobla su puntaje, ¿cuántos puntos tienen ahora Emilia y Carlos? 5. En el interior de una cámara frigorífica puede descender la temperatura 4 ºC cada hora. ¿Cuántas horas tardará en bajar la temperatura 20 ºC?, ¿y en bajar 16 ºC? Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto; completa la siguiente tabla y, luego, responde. Criterio

Ítem

Reconocer el divisor en una expresión asociada a números enteros.

Analizar expresiones algebraicas asociadas a números enteros.

Calcular el producto o cociente de dos números enteros.

Resolver un problema que requiere multiplicación y división de números enteros.

Respuestas correctas

4y5

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera la estrategia utilizada. Números enteros

División inexacta de números enteros Una profesora recuerda a sus alumnas y alumnos el algoritmo de la división de números naturales, cuando el resto o residuo es mayor que cero. Observa: Divisor

Dividendo

17 : 5 = 3 2 Resto

Cociente

Para discutir • La división anterior, ¿es exacta?, ¿por qué? • ¿Se puede comprobar que el resultado es correcto en este caso?, ¿cómo lo harías? • Si el dividendo o divisor fuera negativo, ¿se podrá comprobar que el resultado es correcto de la misma forma anterior?, ¿cómo lo harías? • En la división –17 : 5, ¿qué sucederá con el resto?, ¿será 2?, ¿por qué?

La división que muestra la profesora no es exacta, ya que el residuo o resto es mayor que cero, es 2. Luego, podemos escribir 17 = 5 • 3 + 2. En general, según el algoritmo de la división de números naturales, el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto o residuo. En el caso que el dividendo o divisor sea negativo, debemos considerar algunos aspectos nuevos. En la división: –17 : 5, el dividendo se puede escribir de dos formas. Observa: a) –17 = 5 • (–3) –2

b) –17 = 5 • (–4) + 3

Si queremos escribir el dividendo como la multiplicación entre divisor por el cociente más el resto, ¿cuál de las dos formas es correcta? La respuesta es la letra b, pues según el algoritmo que se extiende a los números enteros, el resto debe ser positivo (y menor que el valor absoluto del divisor), cuando no es cero. Entonces, para: 17 : –5, significa que 17 = (–5) • (–3) + 2, ya que, 0 < 2 < –5 –17 : –5, significa que –17 = (–5) • 4 + 3, ya que, 0 < 3 < –5

22 Unidad 1

Unidad 1

No olvides que... Según el algoritmo de la división: • El dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto o residuo. • Si la división es exacta, el residuo es igual a cero. • Si la división no es exacta, el residuo es mayor que cero y menor que el valor absoluto del divisor.

Actividades 1. Completa la siguiente tabla, guiándote por el ejemplo. Dividendo

Divisor

Cociente

Resto

El dividendo es igual a

–6

–5

30 = (–6) • (–5) + 0

–42

–5

–12

–6

–27

–6

–20

–4

2. Observa los resultados obtenidos en la tabla de la actividad anterior y responde: a) Observa los casos en que el dividendo es igual, ¿por qué el cociente es distinto?, ¿de qué depende? b) ¿Existirá otra forma de escribir el dividendo en cada caso?, ¿por qué? 3. Utilizando lo aprendido hasta ahora, responde: a) Si a es un número entero, ¿cómo justificarías que a : 0 no tiene solución? b) Si a es un número entero, ¿cómo justificarías que 0 : a = 0?

Números enteros

La temperatura máxima en Temuco se registró a las 15 horas.

Operaciones combinadas Un día de invierno, en Temuco, la temperatura mínima registrada a las 7:00 horas fue de –2 ºC, dos horas más tarde subió 5 ºC. A las 12:00 horas, la temperatura fue el doble de la temperatura registrada a las 9:00 horas. La máxima del día se registró tres horas después, y subió 7 ºC.

Para discutir Glosario amplitud térmica: es la diferencia entre la temperatura más alta y la más baja registrada en un lugar, durante un período de tiempo.

• ¿Cuál fue la temperatura registrada a mediodía en Temuco?, ¿y a las 15:00 horas?, ¿cómo lo supiste? • ¿Cuál fue la variación de temperatura (amplitud térmica) en grados ese día? • Averigua la temperatura mínima y máxima para mañana en tu ciudad.

En la situación anterior, una forma de determinar cuál fue la temperatura registrada a las 12:00 horas, es calculando la expresión: (–2 + 5) • 2.

Ayuda Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma: a • (b + c) = a • b + a • c; con a, b y c números enteros. Ejemplo: (–2) • [(–4) – (+6)] = (–2) • (–4) – (–2) • (+6) = (+8) – (–12) = 20

Esta expresión se puede calcular de dos formas: 1º resolver primero las operaciones entre paréntesis y luego multiplicar; 2º aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma. Forma 1: (–2 + 5) • 2 = 3 • 2 =6 Forma 2: (–2 + 5) • 2 = 2 • (–2) + 2 • 5 = –4 + 10 =6 Así, la temperatura a las 12:00 horas fue 6 ºC. Para determinar la temperatura registrada a las 15:00 horas, una forma es resolver la expresión: (–2 + 5) • 2 + 7 Entonces:

(–2 + 5) • 2 + 7 = 3 • 2 + 7 =6+7 = 13

Luego, la temperatura registrada a las 15:00 horas fue 13 ºC. Por lo tanto, la amplitud térmica ese día fue 15 ºC, ya que: 13 – (–2) = 15

24 Unidad 1

Unidad 1

No olvides que... • Si al resolver un problema aparecen operaciones combinadas, debes calcular siguiendo el orden:

1º Se resuelven los paréntesis. 2º Después se realizan las multiplicaciones y divisiones en orden, de izquierda a derecha. 3º Se efectúan, por último, las sumas y las restas en orden, de izquierda a derecha.

Actividades 1. Resuelve. a) (–18 : 6) • –2 b) 36 : (–4 : 1) c) (–9 : 3) • (10 : –5)

d) (–640 : –4) • (12 : 2) e) (30 • 0) : (–2 • 3) f) (10 : –10) • 10

g) (24 : –12) • (7 • 0) h) (8 • –3) : (4 : –2) i) (8 : –8) • (–7 : 7)

2. Calcula aplicando la propiedad distributiva. a) (–5) • (–4 + 8) b) (–10) • (5 + (–3))

c) (7 – 9) • (+5) d) (–9 – 12) • (+2)

e) (20 –30) • (–10) f) (–15) • (–2 + 10)

3. Resuelve las siguientes operaciones combinadas. a) 16 : (–2) – (–4 + 2) + 5 • (–1) b) 25 : 5 – (4 – 9) • 3 – (9 –12) : 3 c) 2 + (8 : 4) – (–2 • 3) + (9 : –3)

d) 4 • (14 : –2) + 9 • (–3) – 2 : –2) e) –7 – (–49 : 7) + 14 • 2 + 7 f) –20 : (16 – 12) • –5 – 14

4. Remplaza los valores de a y b en cada caso, realiza los cálculos correspondientes y completa la tabla. a

–4

–2

–10

–15

(a + b) • a

(a • b) : (a + b)

(a + b) • (a – b)

Números enteros

5. Una familia gasta mensualmente $ 100 000 de arriendo, $ 65 000 en mercadería y $ 50 000 en gas, luz y agua. Si desean comprar un automóvil a crédito que cuesta $ 1 200 000, dando de pie unos ahorros que equivalen $ 150 000 y el resto en 24 cuotas mensuales iguales, calcula: a) ¿Cuál es el valor de cada una de las 24 cuotas del auto? b) Si deciden comprar el auto, ¿cuánto dinero gastarán mensualmente en cuentas? 6. Una familia compra una casa en enero del año 2011 con un crédito en cuotas fijas a 20 años. El valor de la casa es de $ 12 000 000 incluidos los intereses. a) ¿Cuánto pagan anualmente? b) ¿Cuál es el valor de cada cuota mensual? c) ¿Cuánto han pagado después de 5 años? 7. El valor de las acciones de una empresa en la bolsa de comercio disminuye $ 12 cada día. Hoy tienen un valor de $ 690. a) ¿Qué expresión matemática permite calcular cuánto costarán dentro de 8 días? b) ¿Cuánto costarán dentro de 8 días?, ¿y en 15 días? 8. La temperatura en una cámara de refrigeración a las 14:45 horas es de 20 ºC. Se sabe que la temperatura baja 2 ºC cada minuto. a) ¿Qué expresión matemática permite calcular cuál será la temperatura a las 15:03 horas? b) Calcula la temperatura a las 15:03 horas. 9. Remplaza los valores de a, b y c en cada caso, realiza los cálculos correspondientes y completa la tabla. a

–36

–2

–9

–96

–10

–50

–5

–2

(b : c) • a

b : (c • a)

a • (b • c)

(a • b) • c

10. A partir de los resultados obtenidos en la tabla de la actividad anterior, responde: a) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular (b : c) • a y b : (c • a)?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en estos casos?, ¿por qué? b) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular a • (b • c) y (a • b) • c?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en estos casos?, ¿por qué?

26 Unidad 1

Unidad 1

11. Escribe en cada línea el número que falta para que se cumpla la igualdad. a) b) c) d)

6 : –3 • = –8 –3 • ( : –5) = 9 (–20 : ) • (–8 : 2) = –40 45 : : 3 = –3

e) –5 • –7 • 2 : = –7 f) : –9 • 2 = –10 g) 100 : (20 : ) = –50 • –6 : 2 = 9 h)

12. En cada caso, escribe una pregunta para que el problema sea resuelto con las operaciones que se indican. Luego, resuélvelos. a) Operaciones: adición y multiplicación. En una ciudad del país, la temperatura mínima a las 7:00 horas fue de –2 ºC. Cada hora aumentó 3 ºC hasta las 11:00 horas. Pregunta: Respuesta: b) Operaciones: adición y división. Patricio logró ahorrar $ 95 000 en una alcancía desde enero hasta mayo. En junio pudo guardar $ 20 000, en julio ahorró $ 15 000 y en agosto retiró la cuarta parte del total. Pregunta: Respuesta:

Estrategia mental Para saber en forma rápida qué signo corresponde al resultado de una multiplicación o división entre números enteros, cuenta la cantidad de números negativos de la expresión: si es par, el resultado será positivo; de lo contrario (cantidad impar), el resultado es negativo. Observa los ejemplos: 25 • (–4) : 20 • 6 : (–10) = +3

(–20 : 2 • (–5) • (–2) = –100

(2 números negativos)

(3 números negativos)

Calcula mentalmente, aplicando la estrategia aprendida. a) (–2) • 2 • (–2) • 2 • (–2) =

g) 2 • (–5) • (–10) : 4 • (–3) =

b) (–15) : (–3) • (–4) • 2 : (–5) =

h) 300 : 15 • (–3) : 2 • 6 =

c) (–10) • (–100) • (–1000) • (–10 000) =

i) (–1) : 1 • (–1) : 1 • (–1) • (–1) : (–1) =

d) 2500 : (–5) : (–10) =

j) (–24) : (–8) : 3 • (–1) • (–2) =

e) 3 • 3 • (–4) : (–2) : 9 • (–1) =

k) 12 • 10 : (–4) • (–3) : (–9) =

f) 4 • 4 • 4 : (–4) • 1 : (–1) =

l) (–1) • (–1) • (–1) • (–1) • (–1) • (–1) =

Números enteros

Herramientas tecnológicas Usando una planilla de cálculo, resuelve operaciones combinadas con números enteros. Sigue las instrucciones. 1º En A1 escribe “Positivo”, en B1 “Negativo”, en C1 “Operación 1”, en D1 “Operación 2”, en E1 “Operación 3” y en F1 “Operación 4”. 2º En las celdas A2 y B2 anota 600 y –30, respectivamente. 3º En la celda C2 correspondiente a “Operación 1” haz doble clic y anota = A2*B2-B2*A2. Presiona enter. Así aparecerá el resultado de 600 • (–30) – (–30) • 600. 4º En la celda D2 correspondiente a “Operación 2” haz doble clic y anota = A2/B2-B2. Presiona enter. Así aparecerá el resultado de 600 : (–30) – (–30). 5º En la celda E2 correspondiente a “Operación 3” haz doble clic y anota = A2/B2+ABS(B2). Presiona enter. Así aparecerá el resultado de 600 : (–30) + –30 . 6º En la celda F2, inventa una operación combinada usando los números que aparecen en las celdas A2 y B2 (como en los puntos 3, 4 y 5) y los símbolos +, – , * y /. 7º En las celdas de la columna “Positivo” escribe números enteros positivos hasta A10. En las celdas de la columna “Negativo” escribe números enteros negativos que sean divisores del número positivo de su fila correspondiente. 8º Con el mouse, selecciona la celda C2, anda a su vértice inferior derecho, y cuando aparezca una cruz negrita, arrastra hasta la celda C10. Así, deberían aparecer todos los resultados correspondientes. 9º Repite el paso anterior para las celdas D2, E2 y F2. Deberías obtener:

Finalmente, compara los números obtenidos en cada columna y responde: a) ¿Por qué en “Operación 1” los resultados son siempre cero?, ¿ocurrirá siempre lo mismo? Justifica. b) ¿Por qué los resultados de “Operación 2” y “Operación 3” son iguales?, ¿ocurrirá siempre lo mismo? Justifica. c) Si los números de la columna “Negativo” fueran positivos, ¿obtienes como resultado cero en la columna “Operación 1”?, ¿por qué? d) Si los números de la columna “Negativo” fueran positivos, ¿los resultados de “Operación 2” y “Operación 3” serían iguales?, ¿por qué? Verifica en tu planilla de cálculo.

28 Unidad 1

Unidad 1

Mi progreso Marca la opción correcta en las preguntas 1 y 2. 1. Juan trabaja en un supermercado. Durante el primer semestre del año pasado tuvo un sueldo fijo mensual de $ 300 000. En julio recibió un aumento de $ 50 000. ¿Qué expresión permite calcular cuánto ganó Juan el año pasado? A. 300 000 • 6 + 50 000 • 6 B. 300 000 • 12 + 50 000

C. 300 000 • 6 + 350 000 • 6 D. 300 000 • 12 + 350 000

2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? A. B. C. D.

Una división de números enteros es siempre exacta. El resto en una división de números negativos, es negativo. El producto de dos números enteros negativos es un número entero negativo. El dividendo en la división exacta con números enteros es igual al divisor por el cociente.

3. Remplaza los valores de a, b y c y completa la tabla con los resultados que obtengas. Luego, responde. a

–18

–12

–28

–7

–14

a:b•c

a•b:c

c • (a – b) + a

c•a–c•b+a

• ¿Obtienes los mismos resultados en las columnas 4 y 5?, ¿y en las columnas 6 y 7?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en estos casos?, ¿por qué? 4. Un objeto se encuentra a 32 metros bajo el nivel del mar. Si cada 5 minutos desciende 3 metros, ¿qué número representa la profundidad que se encontrará 35 minutos después? Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde. Criterio

Ítem

Representar en lenguaje matemático una situación escrita en lenguaje natural.

Analizar expresiones relacionadas al algoritmo de la división.

Calcular operaciones combinadas con números enteros.

Resolver un problema, que involucra las cuatro operaciones con números enteros.

Respuestas correctas

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera la estrategia utilizada. Números enteros

Buscando estrategias El año 2005, Marcos inició una empresa. Ese año perdió $ 12 000 000, el segundo año perdió el doble que el primero, el tercer año ganó el triple que las pérdidas de los dos anteriores juntos. El cuarto tuvo ingresos de $ 18 000 000, y el quinto año obtuvo ganancias iguales a la mitad de las ganancias del tercer año. ¿Cuál fue el saldo final de la empresa?

Comprender • ¿Qué sabes del problema? Que el primer y segundo año perdió, y los tres años siguientes tuvo ganancias. • ¿Qué debes encontrar? La cantidad de dinero correspondiente al saldo final de la empresa.

Planificar • ¿Cómo resolver el problema? Para facilitar los cálculos, representaremos con signo + los números correspondientes a ganancias, y con signo –, los números que corresponden a pérdidas. Luego, calculamos los valores correspondientes a cada año y, por último, los sumamos para obtener el saldo final.

Resolver • Calculamos los valores correspondientes a cada año: Año 2005: –12 000 000 Año 2006: 2 • –12 000 000 = –24 000 000 Año 2007: 3 • (+12 000 000 + +24 000 000) = 3 • +36 000 000 = +108 000 000 Año 2008: +18 000 000 Año 2009: +108 000 000 : 2 = +54 000 000 Luego, sumamos los valores obtenidos: (–12 000 000) + (–24 000 000) + (+108 000 000) + (+18 000 000) + (+54 000 000) = 144 000 000

Responder • El saldo final de la empresa corresponde a una ganancia de $ 144 000 000.

Revisar • Para comprobar el resultado, puedes asociar la suma de otra manera: (–12 000 000) + (–24 000 000) + (+108 000 000) + (+18 000 000) + (+54 000 000) = (–12 000 000 + –24 000 000) + (+108 000 000 + +18 000 000 + +54 000 000) = (–36 000 000) + (+180 000 000) = –36 000 000 + 180 000 000 = +144 000 000

30 Unidad 1

Unidad 1

1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones. a) Marcelo, el tesorero del Octavo Año Básico de un colegio de Coquimbo, debe rendir cuentas al curso cada término de semestre. Dice lo siguiente: “Por aportes voluntarios en marzo reunimos $ 88 000; en abril, $ 65 000; en mayo, $ 100 000, y en junio, $ 55 000. En la fiesta de curso gastamos $ 140 000; el regalo a la profesora costó $ 35 000, y en la rifa de curso ganamos $ 63 000”. ¿Cuál fue el saldo final del curso? b) Claudio puso un negocio de comida rápida. El primer mes ganó $ 300 000, el segundo mes ganó el doble que en el primero, en el tercero ganó el triple del segundo, el cuarto mes perdió la mitad de las ganancias de los primeros meses juntos, y en el quinto tuvo ingresos de $ 255 000. ¿Cuál fue el saldo final? c) Un día de julio, en Calama, la temperatura mínima que se registró a las 7:30 horas, fue de –3 ºC. Durante las siguientes 8 horas, la temperatura subió 3 ºC por hora y, luego, descendió 2 ºC por hora. ¿Cuál fue la temperatura registrada a las 23:30 horas?, ¿y a las 00:30 horas? 2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución. Explica, paso a paso, y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras. 3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a) Un día de agosto, a las 9:00 horas, un submarino se encuentra a 150 m de profundidad. Si durante una hora baja con rapidez de 12 m cada 10 minutos, y luego sube hacia la superficie durante una hora y media con rapidez de 18 m cada 15 minutos, y durante los siguientes 40 minutos sigue subiendo aumentando la rapidez a 20 m cada 10 minutos, ¿a qué profundidad se encontrará a las 12:10 horas? b) La señora Carmen, dueña de un almacén, calcula mensualmente las ganancias y gastos de su negocio. En el mes de junio, la primera semana vendió $ 210 000, la segunda semana vendió $ 180 000, la tercera gastó $ 140 000 en el arriendo del local y vendió $ 270 000, y la cuarta semana ganó $ 192 000 y pagó $ 25 000 en luz, $ 10 000 en agua y $ 300 000 en mercadería. ¿Cuál fue el saldo final de junio?

Números enteros

Conexiones

Para finalizar NACIONAL

Un cometa visto en el siglo XX El cometa Halley (1P/Halley) es un cometa brillante y grande que orbita alrededor del Sol cada 77 años en promedio. Es uno de lo cometas más conocidos; a partir de él ha sido posible estudiar las características de los demás cometas. Este cometa fue el primero en fotografiarse desde el espacio. La última vez que pasó por las cercanías de la órbita de la Tierra fue en 1986. Si bien existen otros cometas, este se puede observar a simple vista, por lo cual existen referencias de sus apariciones, incluso antes de Cristo. Fuente: Instituto de Astrofísica de Canarias, www.iac.es/gabinete/difus/cometas/halley.htm, septiembre 2009.

Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes. 1. ¿Cuándo se calcula que será la siguiente visita? 2. Desde 1986, ¿cuántas visitas habrá hecho el cometa hasta el año 2217?, ¿en qué años? 3. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser la solución correcta en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos. 4. Averigüen por qué el cometa tiene ese nombre y en qué año fue observado por primera vez. 5. En el año 1472, el cometa fue observado por un astrónomo alemán. Anoten todos los años que el Halley pasó, desde 1472 hasta la fecha. ¿Coincide con el último año que pasó por las cercanías de la órbita de la Tierra?, ¿por qué? 6. Averigüen cuál fue la distancia más cercana del Halley a la Tierra en 1986.

Evaluamos nuestro trabajo 1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según corresponda. Luego, comparen y completen sus respuestas. Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3 Respetó las opiniones de los demás integrantes. Cumplió con las tareas que se comprometió. Hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo. 2. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo?

32 Unidad 1

Unidad 1

Síntesis

A continuación, se presenta un esquema llamado mapa conceptual, que relaciona los principales conceptos estudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace que indican las relaciones que hay entre los conceptos.

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

EXACTA MULTIPLICACIÓN

DIVISIÓN INEXACTA

OPERACIONES COMBINADAS

1. ¿Crees que faltó algún concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Cómo multiplicas un número natural por un número entero negativo? 3. ¿Cómo multiplicas números enteros? 4. ¿Cómo divides números enteros? 5. ¿Cómo resuelves ejercicios con multiplicaciones y divisiones combinadas? 6. ¿Cuál es la prioridad de las operaciones al resolver ejercicios con operatoria combinada? 7. ¿Qué semejanzas observas en la multiplicación y división de números enteros?, ¿y qué diferencias? 8. Si a, b y c son números enteros, ¿podrías afirmar que a • (b + c) = a • b + a • c?, ¿por qué? Da dos ejemplos. 9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela en tu curso e intenten aclararla en conjunto.

Números enteros

¿Qué aprendí? Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. 1. Si n es un número entero positivo, ¿cuál de estos números es menor que cero? A. B. C. D.

5+n 2•n n : (–n) –2 • (–n)

2. Un tiburón gris se encuentra a 250 metros de profundidad. Si desciende un quinto de la profundidad a la que se encuentra, ¿qué número representa la profundidad que está con respecto al nivel del mar? A. B. C. D.

–300 300 –200 200

3. Un día de julio en Santiago, la temperatura a las 7:30 horas fue de –4 ºC, y tres horas más tarde subió 7 ºC. Si la máxima fue el triple de la temperatura registrada a las 10:30 horas, ¿cuál fue la temperatura máxima del día? A. B. C. D.

–9 ºC –8 ºC 9 ºC 6 ºC

4. Si n, m son números enteros, n es el antecesor de m y –8 es el sucesor de m, ¿cuál es el sucesor de (n • m)? A. B. C. D.

91 –90 –89 90

34 Unidad 1

5. ¿Cuál de las siguientes frases es incorrecta? A. Si se multiplican dos números enteros negativos, el resultado es mayor que cero. B. Si se dividen dos números enteros negativos, el resultado es mayor que cero. C. Si se multiplica el valor absoluto de un número entero negativo por un número natural, el resultado es negativo. D. Si se multiplica un número natural por un número entero negativo, el resultado es un número entero negativo. 6. Si a = –5, entonces (a • a) es igual a: A. B. C. D.

a • a a • a a•1 –(a • a)

7. Al calcular –9 + 3 : –2 + (–1 • 1) , resulta: A. B. C. D.

10 –9 –10 –6

8. En la expresión –5 • x : –2 = 10, el valor de x es: A. –4 B. –20 C. 20 D. 4

Unidad 1 9. La temperatura de un meteorito al ingresar a la atmósfera terrestre varía de –150 ºC a 2230 ºC en diez minutos. Si en cada minuto que transcurre, la temperatura aumenta de igual manera, ¿cuánto aumenta por minuto? 10. La estructura de una mina subterránea de carbón está formada por galerías horizontales. La distancia vertical entre cada dos galerías es de 10 m, estando, por ejemplo, la galería 2 situada a 20 m de profundidad. a) Si estamos a 50 m de profundidad, ¿en qué galería nos encontramos? b) Tras subir 30 m, Carlos está en la galería 7. ¿En qué galería estaba antes? c) Antes de subir 20 m, Luis estaba en la galería 6, ¿en qué galería se encuentra ahora?

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿Qué logré? 1. Marca según tu apreciación.

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

Multiplicación de un número natural por un número entero negativo Multiplicación de números enteros División exacta de números enteros División inexacta de números enteros Operaciones combinadas Resolución de problemas

2. Reflexiona y responde. a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste? b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué? c) Vuelve a la página 11 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”, ¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.

Números enteros

2 Unidad

36 Unidad 2

Potencias

En esta Unidad podrás... • Emplear estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural. • Determinar y aplicar propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias de base entera y exponente natural. • Aplicar propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. • Resolver problemas que involucran crecimiento y decrecimiento exponencial. • Resolver problemas en contextos diversos y significativos que involucran potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.

Conversemos de... Las bacterias son microorganismos unicelulares de tamaño muy pequeño y son los organismos más abundantes del planeta. Muchas especies bacterianas son tan parecidas que es imposible diferenciarlas solo con el uso del microscopio; para identificarlas, se estudian sus características “sembrándolas” en medios de cultivo especiales, que es un método para multiplicar los microorganismos. Los cultivos suelen usarse en medicina para identificar y estudiar las enfermedades. Si un cultivo de bacterias se inicia con 10 000 bacterias y su número se duplica cada media hora. 1. ¿Cuántas bacterias hay al cabo de 2 horas?, ¿y al cabo de 4 horas?; ¿cómo lo calculaste? 2. ¿Cuántas bacterias hay después de 9 horas? 3. ¿Después de cuántos minutos habrán 40 960 000 bacterias?

Potencias

¿Cuánto sabes? 1. Escribe como potencia los siguientes enunciados. a) Tres elevado a dos. b) Siete elevado a seis. c) Cuatro décimos elevado a cuatro.

d) Tres cuartos al cuadrado. e) Cinco al cubo. f) Dos tercios elevado a cinco.

2. Escribe el desarrollo de cada potencia. a) 52

b) 4 9

c) 183

e) 28

d) (0,2)5

f) (1,3)2

3. Escribe como multiplicación de factores iguales y calcula su valor. a) 34

d) (0,4)2

b) 153

e) 1 3

c) (0,3)3

f) 64

g) 26

h) 252 i)

2 5

4. Completa el exponente de cada potencia para que la igualdad sea verdadera. a) 2 b) 11

= 32 = 161 051

c) 26

d) 0,1

= 0,0001

f) 3

125 216

= 243

5. Un grupo de 10 amigos organiza una campaña solidaria con el fin de recaudar dinero para un hogar de ancianos. Para ello, cada uno dona $ 500 el primer día y, a su vez, se comprometen a que cada uno pedirá $ 500 a otras 10 amistades diferentes el segundo día, y que cada una de estas personas les pedirán $ 500 a otras 10 personas diferentes el tercer día, y así sucesivamente los siguientes días. a) ¿Cuántas personas participaron en la campaña solidaria al finalizar el quinto día?; ¿cómo lo calculaste? b) ¿Cuánto dinero recaudaron al finalizar el tercer día?, ¿y el séptimo día?; ¿cómo lo calculaste?

38 Unidad 2

Unidad 2

6. Un grupo scout formado por 120 personas, organizó una campaña para plantar árboles en 4 plazas de la ciudad. Si el grupo se dividió en 4 subgrupos y cada subgrupo debe plantar 4 árboles por plaza, ¿cuántos árboles plantarán en total? Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿Qué debes recordar? • Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales. En ella se reconocen la base y el exponente. En general: Exponente n

a ;

Base

a es un número positivo y n un número natural.

Se lee: “a elevado a n”. Ejemplo: 34, se lee “tres elevado a cuatro”. • La base corresponde al factor que se repite; el exponente indica cuántas veces debe repetirse dicho factor. • El valor de la potencia es el producto total que se obtiene al multiplicar la base por sí misma tantas veces como lo indica el exponente, es decir:

an = a • a • a • … • a = b n factores

valor de la potencia

Ejemplo: 4 = 4 • 4 • 4 = 64 (0,5)2 = 0,5 • 0,5 = 0,25 • Si la base de una potencia es 1, el valor de la potencia para cualquier exponente es 1. Si el exponente de una potencia es 1, el valor de la potencia es igual a la base. Si el exponente de una potencia es 0, el valor de la potencia es 1. En general: 1n = 1 a1 = a a0 = 1 con a = 0 • Para calcular el valor de una potencia cuya base es una fracción positiva, se debe calcular el valor de la potencia del numerador y del denominador y, luego, dividirlos. Ejemplo:

a n = an ; a, b y n son números naturales.

b bn

Ejemplo: 2 3

2 •2 •2 8 23 = = 3 • • 3 3 3 27 3 Potencias

Potencias de base entera y exponente natural En un restaurante se ofrece un menú a elección a la hora de almuerzo, que incluye: entrada, plato de fondo, agregado, postre y algo para beber. Las alternativas para la selección del menú se muestran en la carta.

Para discutir • ¿Cuántos menús diferentes se pueden escoger?; ¿cómo lo calculaste? • Para determinar cuántas alternativas de menús hay, se puede calcular el producto de 3 • 3 • 3 • 3 • 3, ¿por qué?, ¿cómo se escribe en forma abreviada?, ¿cuál es la base?, ¿y el exponente? • Si en una multiplicación de factores iguales el factor que se repite es un número negativo, ¿cómo lo escribirías en forma de potencia?, ¿por qué? • ¿Cómo escribirías en forma abreviada (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3)?; ¿cuál es el resultado?, ¿por qué?

En la situación anterior, cada una de las 5 partes que conforman el menú tiene 3 opciones. Una forma de determinar cuántos menús diferentes se pueden escoger es calculando: 3 • 3 • 3 • 3 • 3. Como 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 243, entonces hay 243 opciones para escoger. Verifica con un diagrama de árbol. Observa que la multiplicación anterior tiene 5 factores iguales, lo que se puede escribir en forma abreviada como 35. Luego, 35 = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 243. En una multiplicación de factores iguales, si estos son negativos, como (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3), que tiene 5 factores iguales, al escribir como potencia, queda (–3)5. Al calcular (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3), obtenemos: (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3) = –243. Como (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3) = (–3)5, tenemos que (–3)5 = –243.

No olvides que... • Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales; en ella se reconocen la base y el exponente. Este concepto se puede ampliar para los números enteros negativos, es decir:

an ; con a número entero, distinto de 0, y n un número natural. 40 Unidad 2

Unidad 2

• El valor de la potencia se obtiene de la siguiente manera:

an = a • a • a • … • a = b n factores valor de la potencia Ejemplo: 73 = 7 • 7 • 7 = 343 (–7)3 = (–7) • (–7) • (–7) = –343 La potencia del ejemplo, (–7)3, se lee: “menos siete elevado a tres” o “menos siete al cubo”.

Actividades 1. Escribe como potencia los siguientes enunciados. a) Tres al cuadrado. b) Menos cinco elevado a cuatro. c) Menos seis al cubo.

d) Diez elevado a once. e) Menos quince elevado a ocho. f) Tres elevado a tres.

2. Escribe como multiplicación de factores iguales cada potencia y calcula su valor. a) 54

b) (–6)5

c) (–10)6

d) 73

e) (–14)3

f) (–2)8

3. Completa con el exponente que falta para que la igualdad sea verdadera. a) (–4)

= 256

c) 8

= 512

b) (–1)

= –1

d) (–10)

e) (–2)

= 1 000 000

f) 9

= –32 = 81

4. Remplaza los valores de a y b en cada caso, realiza los cálculos correspondientes y completa la tabla. a

–2

–4

–6

(a + b)2

a2 + b2

(a – b)2

a2 – b2

A partir de los resultados obtenidos en la tabla, responde: a) ¿obtienes los mismos resultados al calcular (a + b)2 y a2 + b2?, ¿por qué? b) ¿obtienes los mismos resultados al calcular (a – b)2 y a2 – b2?, ¿por qué? c) ¿crees que siempre ocurre lo mismo?, ¿existirán casos en que los resultados sean iguales? Explica.

Potencias

Valor de la potencia Observa los cálculos realizados por Felipe para cada potencia: 32 = 3 • 3 = 9

(–3)2 = (–3) • (–3) = 9

33 = 3 • 3 • 3 = 27

(–3)3 = (–3) • (–3) • (–3) = –27

Para discutir • ¿Por qué uno de los resultados obtenidos por Felipe es negativo?, ¿qué relación tiene con la base y el exponente? • Si la base de la potencia es negativa, ¿por qué los resultados pueden ser positivos o negativos?, ¿de qué depende? • Si el exponente de una potencia es impar, ¿el resultado es negativo?, ¿ocurrirá siempre lo mismo?, ¿por qué? • Si la base de la potencia es positiva, ¿el resultado puede ser negativo?, ¿por qué?

En la situación anterior, podemos observar que el resultado puede ser positivo o negativo, dependiendo de la base y exponente de la potencia. Si la base es positiva, el resultado siempre será positivo, pues los factores que se multiplican son positivos (e iguales), como: 32 = 3 • 3 = 9 ó 33 = 3 • 3 • 3 = 27 Si la base es negativa, el resultado puede ser positivo o negativo, dependiendo del exponente: Cuando es par, el resultado será positivo, pues la cantidad de factores es par, como: (–3)2 = (–3) • (–3) = 9 (dos números negativos) Cuando es impar, el resultado será negativo, pues la cantidad de factores es impar, como: (–3)3 = (–3) • (–3) • (–3) = –27 (tres números negativos)

42 Unidad 2

Unidad 2

Actividades 1. Calcula mentalmente el valor de cada potencia y escribe el resultado. a) (–4)2 = b) (–5)3 =

c) 33 = d) 24 =

e) (–10)9 = f) 122 =

g) (–1)15 = h) (–12)2 =

2. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas. a) b) c) d)

Los valores de las potencias de exponente par son siempre positivos. Si el valor de la potencia es un número natural, el exponente de la potencia es siempre impar. Si la base de una potencia es un número negativo, el valor de la potencia también lo es. Los valores de las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

3. Compara los resultados en cada caso y completa con <, > o =, según corresponda. a) 23 b) 54

(–2)2 (–5)4

c) (–1)10 d) (–4)3

70 (–4)2

e) (–1)6 (–2)1 4 f) (–100) 100

No olvides que... • En una potencia que tiene como base un número entero positivo y como exponente un número natural, el resultado es siempre positivo. Ejemplo: 23 = 2 • 2 • 2 = 8. • En una potencia que tiene como base un número entero negativo, el resultado es: – positivo, si el exponente es un número natural par. Ejemplo: (–2)2 = (–2) • (–2) = 4 – negativo, si el exponente es un número natural impar. Ejemplo: (–2)3 = (–2) • (–2) • (–2) = –8

Herramientas tecnológicas En las calculadoras científicas la tecla xy o la tecla ^ , dependiendo de la calculadora, se usan para elevar un número a cualquier exponente. Si la base es un número negativo, utiliza paréntesis

y la tecla (–) . Ejemplo:

(–4)6

(–)

4096

(–4)6

(–)

4096

Utiliza la calculadora para verificar tus respuestas de los ítems 1 y 3.

Potencias

Multiplicación de potencias de igual base Carolina desea calcular el área del rectángulo de la figura. Observa:

8 cm

16 cm

Para discutir • ¿Cómo calcularías el área del rectángulo?, ¿por qué? • Carolina calcula el área de la siguiente manera: 23 • 24 = 27. ¿Consideras correcto el cálculo realizado?, ¿por qué? • ¿Se relacionan los exponentes de los factores y el exponente del resultado?, ¿cuál es la relación? • Si las bases de los factores fueran números negativos, ¿los exponentes se relacionarán de la misma forma anterior?, ¿por qué?

En la situación anterior, para calcular el área del rectángulo se multiplica el largo por el ancho, es decir: 8 • 16 = 128. Entonces, el área del rectángulo es 128 cm2. Como 8 = 23, 16 = 24 y 128 = 27, podemos escribir el cálculo anterior utilizando potencias, es decir: 23 • 24 = (2 • 2 • 2) • (2 • 2 • 2 • 2) = 27 = 128

Ayuda En algunas ocasiones los números negativos aparecen escritos entre paréntesis, sin embargo, también se pueden escribir sin estos. Ejemplo: (–2) • (–2) = –2 • –2 Pero al trabajar con potencias de base negativa, siempre conviene escribir los números negativos entre paréntesis. De este modo podemos distinguir si el signo negativo corresponde a la base o bien, al valor de la potencia.

44 Unidad 2

3 factores

4 factores 7 factores

Al observar lo anterior, podemos notar que al multiplicar potencias de igual base (positiva), se puede conservar la base y sumar los exponentes. ¿Sucederá lo mismo si la base de las potencias es negativa, como (–2)3 • (–2)4? Realizamos la multiplicación de las potencias: (–2)3 • (–2)4 = (–2 • –2 • –2) • (–2 • –2 • –2 • –2) = –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 3 factores

4 factores

7 factores

= (–2) = –128 Luego, al multiplicar potencias de igual base (negativa), se puede conservar la base y sumar los exponentes.

Unidad 2

No olvides que... • Para multiplicar potencias de base entera y exponente natural, si tienen igual base, se puede conservar la base y sumar los exponentes. Ejemplo: (–3)2 • (–3)4 = (–3)2 + 4 = (–3)6 = 729 En general: Si a es un número entero, n y m son números naturales, entonces:

an • am = (a • a • … • a) • (a • a • … • a) = a • a • a • … • a = an + m n factores

m factores

n + m factores

• Esta propiedad también es aplicable al producto de tres o más potencias de igual base. Ejemplo: 22 • 23 • 24 = 22 + 3 + 4 = 29 = 512

Actividades 1. Escribe las siguientes expresiones como una sola potencia y calcula su valor. c) (–5)3 • (–5 2 = d) 2 • 2 • 2 • 22 =

a) 4 • 42 • 43 = b) 103 • 106 =

e) (–1)2 • (–1)3 • (–1)5 = f) (–6)2 • (–6)5 • (–6) =

2. Encuentra el exponente que falta, en cada caso, para que se cumplan las igualdades. a) (–3)

•

(–3)4 = (–3)9

b) (–2 2 • (–2)

•

c) 113 • 11

(–2)5 = (–2)10

d) (–10)

= 1112 •

(–10) • (–10)2 = (–10)4

3. Transforma a potencias de igual base y, luego, expresa el resultado como una sola potencia. Guíate por el siguiente ejemplo: 9 • (–27) = (–3)2 • (–3)3 = (–3)5 a) 25 • (–125) =

b) 8 • 16 • 64 =

c) 64 • (–8) • 16 =

4. Aplica la propiedad de las potencias que corresponde y resuelve. a) 24 • 23 – 5 • 52 =

b) (–3)2 • (–3)3 + 2 • 22 =

c) (–2)3 • (–2)2 + (–1)5 • (–1)4 =

5. Lee y resuelve usando las potencias. a) Una empresa inmobiliaria construirá 4 edificios. Cada edificio tendrá 16 pisos y cada piso tendrá 8 departamentos. ¿Cuántos departamentos habrá en total? b) Las bailarinas de un grupo folclórico deben elegir la tenida para una de sus presentaciones. Las alternativas son: 3 pañuelos, 9 zapatos de distintos colores, 9 faldas y 27 blusas. ¿Cuántas tenidas distintas pueden escoger?

Potencias

División de potencias de igual base 4096 dividido en 128, resulta 32.

Un agricultor desea cultivar lechugas en un terreno rectangular de área 4096 m2 y ancho 128 m. Para organizar el cultivo, necesita saber el largo del terreno.

Para discutir • ¿Es adecuado calcular el largo del terreno de la siguiente manera: 4096 : 128 = 32?, ¿por qué? • Si escribes los números de la división anterior como potencias de bases iguales, ¿cómo se relacionan los exponentes? • Si las bases de las potencias fueran números negativos, ¿cómo se relacionarían los exponentes?

Para saber cuánto mide el largo del terreno, podemos calcular 4096 : 128 = 32. Por lo tanto, el largo mide 32 m. Como 4096 = 212, 128 = 27 y 32 = 25, podemos escribir la división anterior utilizando potencias de igual base, esto es: 12 factores

Ayuda • Las fracciones se pueden representar de diversas formas. Una de ellas es escribir la expresión fraccionaria como una división. 2 Por ejemplo: se puede 3 escribir como 2 : 3. • Simplificar una fracción consiste en dividir el numerador y denominador por un mismo número. Por ejemplo: 12 = 2 • 2 • 3 = 1 36 2 • 2 • 3 • 3 3

212 : 27 =

2 •2 •2 •2 •2 •2 •2 •2 •2 •2 •2 •2 212 = 7 2 •2 •2 •2 •2 •2 •2 2 7 factores

= 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 25 = 32 5 factores

Al observar lo anterior, podemos notar que al dividir potencias de igual base (positiva), se puede conservar la base y restar los exponentes. ¿Sucederá lo mismo en (–2)12 : (–2)7? Al escribir la expresión como fracción, obtenemos: 12 factores

(–2)12 7

(–2)

–2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 7 factores

= –2 • –2 • –2 • –2 • –2 = (–2)5 = –32 5 factores

Luego, al dividir potencias de igual base (negativa), se puede conservar la base y restar los exponentes.

46 Unidad 2

Unidad 2

No olvides que... • Para dividir potencias de base entera y exponente natural, si tienen igual base, se puede conservar la base y restar los exponentes. Ejemplo: (–5)4 : (–5)2 = (–5)4 – 2 = (–5)2 = 25 En general: Si a es un número entero distinto de cero, n y m son números naturales y n > m, se tiene:

m factores n – m factores an : am =

a • a • ... • a • a • ... • a an = = an – m a • a • ... • a am

m factores an an • Si n = m y a es distinto de cero, entonces: an : am = m = n = an – n = a0 = 1 a a 3 3 3 –3 0 Por ejemplo: 2 : 2 = 2

=2 =1

Actividades 1. Resuelve las siguientes divisiones de potencias. Guíate por el ejemplo. (–4)5 : (–4)3 = (–4)2 = 16 a) (–10)8 : (–10)2 = b) (–5)4 : (–5) =

c) 66 : 65 = d) (–12)20 : (–12)18 =

e) (–81)12 : (–81)12 = f) 73 : 7 =

• Calcula cada potencia usando calculadora científica, luego divide y comprueba los resultados obtenidos anteriormente. 2. Completa con el exponente que falta, en cada caso, para que se cumplan las igualdades. a) 7

: 74 = 76

b) 87 : 8

= 82

c) (–2)5 : (–2)

= (–2)2

3. Transforma a potencias de igual base y expresa el resultado como una única potencia. a) (–125) : 25

b) 216 : 36

c) 64 : (–8)

4. Si ambos rectángulos, el amarillo y el azul tienen la misma área, ¿cuánto mide el largo (x) del rectángulo amarillo? 23 cm

22 cm

x cm

24 cm

Potencias

Multiplicación de potencias de igual exponente El paralelepípedo de la figura tiene las siguientes medidas: 8 cm de ancho, 27 cm de largo y 64 cm de alto.

Para discutir • ¿Cómo calcularías el volumen del paralelepípedo? • Si escribes las medidas como potencias, ¿puedes calcular el volumen de otra manera?, ¿cómo lo harías? • Al calcular (2 • 3 • 4)3, ¿obtienes el mismo resultado que calculaste al principio?, ¿por qué? • Si en la multiplicación de potencias una de las bases fuera un número negativo, por ejemplo (–2)3 • 33 • 43, ¿obtienes el mismo resultado que al calcular (–2) • 3 • 4 3?, ¿por qué?

Ayuda Recuerda que un paralelepípedo es un prisma que tiene sus caras basales cuadradas o rectangulares.

Para saber cuál es el volumen del paralelepípedo de la figura, debemos multiplicar el ancho por el largo por el alto, es decir, 8 • 27 • 64 = 13 824. Por lo tanto, el volumen es 13 824 cm3. Como 8 = 23, 27 = 33, 64 = 43 y 13 824 = 243, podemos realizar el cálculo anterior usando potencias, esto es: 3 factores

3 factores

23 • 33 • 43 = (2 • 2 • 2) • (3 • 3 • 3) • (4 • 4 • 4) = (2 • 3 • 4) • (2 • 3 • 4) • (2 • 3 • 4) = (2 • 3 • 4)3 = 243 3 factores

Luego: 23 • 33 • 43 = (2 • 3 • 4)3 = 243 = 13 824. ¿Qué sucederá en la multiplicación de potencias con igual exponente si alguna de las bases es un número negativo? Consideremos el siguiente caso: 3 factores

3 factores

(–2)3 • 33 • 43 = (–2) • (–2) • (–2) • (3 • 3 • 3) • (4 • 4 • 4) = (–2) • 3 • 4 • (–2) • 3 • 4 • (–2) • 3 • 4 = (–2) • 3 • 4 3 = (–24)3 3 factores

Luego: (–2)3 • 33 • 43 = (–2) • 3 • 4 3 = (–24)3 = –13 824. Si observas lo realizado anteriormente, podemos concluir que, al multiplicar potencias con igual exponente, podemos multiplicar las bases y conservar el exponente.

48 Unidad 2

Unidad 2

No olvides que... • Para multiplicar potencias de base entera y exponente natural, si tienen igual exponente, se pueden multiplicar las bases y conservar el exponente. Ejemplo: (–2)2 • 52 = (–2) • 5 2 = (–10)2 = 100 En general: Si a y b son números enteros y n es un número natural, entonces:

an • bn = (a • a • … • a) • (b • b • … • b) = (a • b) • (a • b) • … • (a • b) = (a • b)n n factores

n factores

• Como vimos al inicio, esta propiedad también es aplicable al producto de tres o más potencias de igual exponente. Ejemplo: (–2)3 • (–4)3 • (–5)3 = (–2) • (–4) • (–5) 3 = (–40)3 = –64 000

Actividades 1. Escribe cada expresión como una sola potencia. a) 34 • 44 = b) (–2)8 • (–7)8 =

c) 26 • (–5)6 = d) 43 • 53 • 63 =

e) (–6)7 • 117 = f) (–3)2 • (–4)2 • (–2)2 =

2. Calcula el valor de las siguientes expresiones. Guíate por el ejemplo. (–3)2 • 52 = (–3) • 5 2 = (–15)2 = 225 a) 54 • (–2)4 =

b) (–10)5 • (–2)5 =

c) 22 • 22 • 32 =

d) (–25)3 • 43 =

3. Al calcular: (–5)3 • (–5)3, ¿obtienes los mismos resultados si lo resuelves de la siguiente manera: (–5)3 + 3, o bien: (–5) • (–5) 3?, ¿por qué? 32 cm

4. Completa y resuelve en cada caso. a)

b) 42 cm 43 cm

22 cm

53 cm

Área =

•

cm2

Volumen =

•

cm3

Potencias

División de potencias de igual exponente ¿49 •

= 3136?

Don Luis, un jardinero, desea poner pasto en un parque de forma rectangular, cuyo ancho mide 49 m. Para ello, calculó el área del terreno, obteniendo 3136 m2.

Para discutir • • • •

¿Cuánto mide el largo del parque?, ¿cómo lo calculaste? Si escribes los números como potencias, ¿cómo calcularías? ¿Qué relación tiene (56 : 7)2 con lo del principio? Si en la división de potencias anterior una de las bases fuera un número negativo, por ejemplo (–56)2 : 72, ¿obtienes el mismo 2 resultado que al calcular (–56) : 7 ?, ¿por qué?

En la situación anterior, el área es 3136 m2 y el ancho mide 49 m, entonces para calcular el largo podemos realizar la siguiente división: 3136 : 49 = 64. Por lo tanto, el largo mide 64 m. Al escribir los números como potencias de igual exponente, tenemos: 49 = 72, 3136 = 562 y 64 = 82. Luego, podemos realizar el cálculo anterior de la siguiente manera: 2 factores

562 : 72 =

56 562 56 • 56 = = 7 •7 7 72

567 = 567

2 factores

•

= (56 : 7)2 = 82

2 factores

Luego: 562 : 72 = (56 : 7)2 = 82 = 64. ¿Qué sucederá en la división de potencias de igual exponente si una de las potencias tiene como base un número negativo? Calculemos (–56)2 : 72, utilizando el mismo procedimiento anterior: 2 factores

(–56)2 : 72 =

(–56)2 2

(–56) • (–56) = –56 7• 7 7

•

= (–56 : 7)2 = (–8)2

2 factores

2 factores 2

= –56 –56 7 7

Entonces: (–56) : 7 = (–56 : 7) = (–8)2 = 64. Si observas los cálculos anteriores, podemos concluir que, al dividir potencias con igual exponente, podemos dividir las bases y conservar el exponente.

50 Unidad 2

Unidad 2

No olvides que... • Para dividir potencias de base entera y exponente natural, si tienen igual exponente, se pueden dividir las bases y conservar el exponente. 3

Ejemplo: (–20)3 : (–5)3 = (–20) : (–5) = 43 = 64 En general: Si a y b son números enteros, b es distinto de cero y n es un número natural, entonces:

n factores an : bn =

an a • a • ... • a a a a n a •

• ... •

= = = = (a : b)n

n • • • b b ... b b b b b b n factores

n factores

Actividades 1. Escribe cada expresión como una sola potencia. a) 1004 : (–25)4 = b) (–36)9 : (–4)9 =

c) 816 : 96 = d) (–96)3 : 123 =

e) (–21)11 : 311 = f) 487 : 67 =

2. Calcula el valor de las siguientes expresiones. Guíate por el ejemplo. 3

(–18)3 : 93 = (–18) : 9 = (–2)3 = –8 a) 2252 : (–25)2 = b) (–24)3 : 33 =

c) (–200)5 : (–2)5 = d) 154 : 54 =

3. Calcula aplicando lo aprendido hasta ahora y ten en cuenta la prioridad de las operaciones. a) 162 : (–8)2 + –2)3 =

b) 42 : 42 – 153 : 53 =

c) (–36)2 : 92 + 32 • 42 =

4. En un restaurante se ofrece, a la hora de colación, un menú con plato de fondo y postre. Si hay 4 opciones de postre y en total se pueden escoger 36 menús diferentes, ¿cuántos platos de fondo hay para escoger? Usa potencias para resolver. 5. El equipo de básquetbol de un colegio debe elegir su tenida deportiva para el próximo año. Como propuesta tienen 64 combinaciones, que pueden formar con 16 poleras y una cantidad de pantalones. ¿Cuántos pantalones tienen para escoger? Usa potencias para resolver.

Potencias

Potencia de una potencia Marcela y Patricio quieren calcular el volumen del cubo representado en la imagen, cuya arista mide 25 cm. Observa el procedimiento realizado por cada uno: Marcela

Patricio

25 • 25 • 25 = 52 • 52 • 52 = (5 • 5 • 5)2 = 1252 2 V = 125 cm3

25 • 25 • 25 = 52 • 52 • 52 + + = 52 2 2 = 56 V = 56 cm3

Para discutir • ¿Son correctos ambos procedimientos?, ¿obtienes los mismos resultados en cada caso?, ¿cómo lo supiste? • ¿Podrías utilizar otro procedimiento usando potencias?, ¿cómo lo harías? • Si encontraste otro procedimiento, ¿lo puedes aplicar para potencias de base negativa?, ¿por qué?

Al calcular 1252 = 125 • 125 = 15 625 y 56 = 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 15 625. Por lo tanto, ambos procedimientos son correctos. Consideremos el procedimiento de Marcela, que escribió (5 • 5 • 5)2, 2 lo cual se puede escribir como (53) , ya que hay 3 factores 5 elevados a 2. Entonces, al calcular, tenemos: 2

(53) = (5 • 5 • 5 2 = 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 56 6 factores

3 factores 3 2

Luego, (5 ) = 5 . Esta es otra forma de calcular el volumen. 2

Notemos que la expresión (53) es la potencia de una potencia, ya que su base corresponde a una potencia, en este caso 53. Para calcular el valor de dicha potencia, podemos mantener la base 2 y multiplicar los exponentes, es decir: (53) = 53 • 2 = 56. En el caso de que la base sea negativa, tenemos:

(–5)3 2 = (–5) • (–5) • (–5) 2 3 factores

= (–5) • (–5) • (–5) • (–5) • (–5) • (–5) = (–5)6 3 2

6 factores

Por lo tanto: (–5) = (–5) = 15 625.

52 Unidad 2

Unidad 2

No olvides que... • Para calcular el valor de la potencia de una potencia, basta con mantener la base y multiplicar los exponentes. 3

Ejemplo: (–2)3 = (–2)3 • 3 = (–2)9 = –512 En general: Si a es un número entero, n y m son números naturales, entonces: m

(an ) = (a

•

a • … • a)m = (a • a • … • a) • (a • a • … • a) • … • (a • a • … • a) = an • m (n • m) factores a

n factores a

• Esta propiedad también es aplicable a la potencia de una potencia de una potencia, 2 3

y así sucesivamente. Ejemplo: (22) = 22 • 2 • 3 = 212

Actividades 1. Si la arista de un cubo mide 9 cm, expresa como potencia: a) el área de cada cara del cubo. b) el área total del cubo. c) el volumen del cubo. 2. Calcula el valor de las siguientes expresiones. 4

2 2

c) (–3)2 =

a) (32) = 3

b) (–2)3 =

e) (22) =

d) (–1)3 = 5 2

f) (–5)2 =

3. Completa con los exponentes que faltan para que se cumpla cada igualdad. 3

c) (22)

a) (35) = 3 b) (–7 )

5 = 220 3

= (–7)10

d) (–7)9 = (–7

4. Escribe cada expresión como una sola potencia de base 2 ó (–2), según el caso, aplicando lo aprendido. Guíate por el ejemplo. 3

(82 : 22) = (42) = 46 = (22) = 212 4

a) (163 : 23) =

b) (–12)5 : 65 =

c) (–2)2 • (–2)5 =

d) 46 : 44 = y

5. Si b es un número entero, x e y son números naturales, las expresiones (b x ) y (b y ) , ¿tienen el mismo valor?, ¿por qué? Da dos ejemplos.

Potencias

Estrategia mental Para calcular en forma rápida el valor de una potencia que tiene como base un número cualquiera, que la cifra de las unidades es 5 y el exponente es 2 (comenzando por 152, luego, 252, 352, …), multiplica el número de la base que se forma sin la cifra de la unidad (sin el 5) por su sucesor. El valor de la potencia será el número formado por el resultado de la multiplicación anterior, seguido por 25. Observa los ejemplos: • Para 152, multiplicamos 1 por su sucesor, es decir por 2, esto es 2. Luego el resultado es 225. • Para 1052, multiplicamos 10 por su sucesor, es decir por 11, esto es 110. Luego el resultado es 11 025. • Si la base es negativa, utiliza el mismo procedimiento anterior (como si fuera de base positiva), pues al tener exponente 2, el resultado queda siempre positivo. Calcula mentalmente, aplicando la estrategia aprendida. a) 252 = b) (–65)2 = c) 452 =

d) (–35)2 = e) 952 = f) 9952 =

g) (–85)2 = h) 552 = i) 2052 =

j) (–95)2 = k) 10052 = l) (–125)2 =

En equipo En esta actividad deberán utilizar 64 cubos. Formen grupos de cuatro integrantes y sigan las instrucciones. 1. Armen entre todos, 64 cubos de igual medida. Cada uno de arista 4 cm. 2. Comenzando por un cubo y agregando los que sean necesarios, formen cubos de mayor tamaño. 3. A medida que forman los cubos de mayor tamaño, completen la siguiente tabla: Cantidad de cubos utilizados

Medida de la arista (cm)

Área de una cara expresada como potencia (cm2)

Área total (cm2)

Volumen expresado como potencia (cm3)

4. Según lo obtenido, comenten y respondan: a) ¿Cuál es el valor de las potencias de las columnas 3 y 5? b) Si elevaran a 2 las potencias de la última columna, ¿cómo lo expresarían en forma de una sola potencia?, ¿cómo lo hicieron? c) Escribe como potencia la cantidad de cubos utilizados.

54 Unidad 2

Unidad 2

Mi progreso Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 4. 1. ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? 2

C. (–9)3 • (–93) = (–9)12 D. (–2)2 • 42 = (–8)4

A. (612 : 62) = 620 B. 64 : 34 = 24

2. Para hacer su árbol familiar, Carlos parte por él, luego sus padres, sus abuelos, bisabuelos y tatarabuelos. ¿Qué potencia representa la cantidad de tatarabuelos de Carlos? A. 24

B. 25

C. 44

D. 23

3. ¿Cuál es el área de un rectángulo cuyo largo es 44 cm y su ancho 24 cm? A. 88 cm2

B. 27 cm2

C. 212 cm2

D. 64 cm2

4. ¿En cuál de las siguientes potencias se obtiene el número mayor? A. (–2)3

B. (–3)2

C. (–2)2

D. (–4)3

5. Paula tiene 2 pares de zapatos, 4 pantalones y un número desconocido de poleras. Si puede formar 64 tenidas diferentes combinando su vestuario, ¿cuántas poleras tiene? Usa potencias para resolver. 6. La arista de un cubo mide 16 cm. Si se duplica, ¿cuál es el volumen del nuevo cubo expresado como potencia de base 2? Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde. Criterio

Ítem

Aplicar propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias de base entera y exponente natural.

Analizar una situación asociada a una potencia de base entera y exponente natural.

Aplicar propiedades relativas a la multiplicación de potencias de base entera y exponente natural.

Calcular potencias de base entera y exponente natural.

Resolver un problema que requiere aplicar propiedades de potencias de base entera y exponente natural.

Respuestas correctas

5y6

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera la estrategia utilizada. Potencias

Potencias de base fraccionaria positiva y exponente natural Observa las siguientes expresiones: a)

12 : 12

35 27

â&#x20AC;˘

2 3

Para discutir â&#x20AC;˘ ÂżPodrĂas escribir como una sola potencia cada expresiĂłn?, ÂżcĂłmo lo harĂas? â&#x20AC;˘ ÂżQuĂŠ resultados obtienes al calcular cada expresiĂłn? â&#x20AC;˘ Las propiedades estudiadas en las pĂĄginas anteriores, Âżse pueden aplicar en estos casos?, Âżpor quĂŠ?

En las expresiones anteriores, observamos que la primera (a) es una divisiĂłn de potencias de igual base; la segunda (b) es una multiplicaciĂłn de potencias de igual exponente y, la tercera (c) es la potencia de una potencia. Al calcular la primera expresiĂłn, obtenemos: 5 factores 5

1 2

1 : = 2

12 12 12 12 12 â&#x20AC;˘

â&#x20AC;˘

1 2

â&#x20AC;˘

1 2

â&#x20AC;˘

1 1 = 2 2

1 2

â&#x20AC;˘

3 factores

2 factores 5

1 13 = . Si observamos lo realizado 3 8 2 anteriormente, podemos notar que, en la divisiĂłn de potencias de igual base (en este caso fraccionaria), se conserva la base y se restan los exponentes.

Luego:

12 : 12 = 12

Si calculamos la segunda expresiĂłn, obtenemos: 2

35 27 = 35 â&#x20AC;˘

â&#x20AC;˘

3 5

27 â&#x20AC;˘

â&#x20AC;˘

2 3 = 7 5

2 factores 2 factores

56 Unidad 2

â&#x20AC;˘

2 7

35 â&#x20AC;˘

2 factores

â&#x20AC;˘

2 3 = 7 5

â&#x20AC;˘

2 7

Unidad 2 2

2 Luego: 3 â&#x20AC;˘ 2 = 3 â&#x20AC;˘ 2 = 6 = 6 = 36 . En este caso, 1225 5 7 5 7 35 352 observamos que en la multiplicaciĂłn de potencias de igual exponente se multiplican las bases (en este caso fraccionarias) y se conserva el exponente.

Al calcular la tercera expresiĂłn, obtenemos: 2 3

2 3

2 = 3

â&#x20AC;˘

2 3

= 3

â&#x20AC;˘

2 3

3 â&#x20AC;˘

â&#x20AC;˘

2 3

3 â&#x20AC;˘

â&#x20AC;˘

2 3

= 3

6 factores

2 factores 3

2 2 2 6 26 64 = = 6= . En este caso, podemos notar 729 3 3 3 que, en la potencia de una potencia, se mantiene la base (en este caso fraccionaria) y se multiplican los exponentes.

Por lo tanto:

No olvides que... Por lo realizado y estudiado anteriormente, podemos concluir que las propiedades de las potencias que tienen base entera y exponente natural se pueden aplicar a potencias de base fraccionaria positiva y exponente natural. En general: Si a, b, c, d, n y m son nĂşmeros naturales y n âą&#x2013; m, entonces:

a n a m a n+m â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ = b b b â&#x20AC;˘

a n c n a

b â&#x20AC;˘ d = b

â&#x20AC;˘

c n d

a n a m a nâ&#x20AC;&#x201C;m â&#x20AC;˘ : = b b b â&#x20AC;˘

a n

â&#x20AC;˘

nâ&#x20AC;˘m

b =

a n c n a c n

b : d = b : d

Actividades 1. Escribe en forma de una sola potencia y calcula su valor. 2 3

4 = 9

10 11

10 7 = 11

2 2 b) 2 : 1 = 9 4

â&#x20AC;˘

3 7

3 3

1 4

278 =

47 : 47

â&#x20AC;˘

2. Completa con los exponentes que faltan para que se cumpla cada igualdad. a)

= 12 17 12 17

132

132 = 132

23 = 38

Potencias

Potencias de base decimal positiva y exponente natural Pedro y Macarena quieren escribir como una sola potencia las siguientes expresiones: (0,3)3 • (0,3)3

(1,2)3 3

Para discutir • ¿Cómo escribirías cada expresión como una sola potencia? • Pedro escribió la primera expresión como 0,3 6 y Macarena como 0,09 3, ¿cuál consideras correcta?, ¿por qué? • De lo estudiado hasta ahora, ¿con qué puedes relacionar lo realizado por Pedro y por Macarena? • ¿Las propiedades estudiadas anteriormente se pueden aplicar en potencias de base decimal positiva?

Sabemos que en matemática, muchas veces hay más de un camino para resolver problemas. En este caso, Pedro y Macarena utilizaron dos caminos diferentes para escribir como una sola potencia la primera expresión. Analicemos el procedimiento de cada uno y, luego, calcularemos ambos resultados para ver cuál es el correcto. Pedro observó que las bases eran iguales; entonces, conservó la base y sumó los exponentes, es decir: (0,3)3 • (0,3)3 = (0,3)3 + 3 = (0,3)6. Macarena observó que los exponentes eran iguales; entonces, multiplicó las bases y conservó el exponente, es decir: (0,3)3 • (0,3)3 = (0,3 • 0,3)3 = (0,09)3 Al calcular la potencia obtenida por cada uno, obtenemos: (0,3)6 = 0,000729 y (0,09)3 = 0,000729. Por lo tanto, ambos, Pedro y Macarena, llegaron al mismo resultado empleando caminos diferentes. Calcularemos la segunda expresión:

(1,2)3 3 = 1,2 • 1,2 • 1,2 3 = 1,2 • 1,2 • 1,2 • 1,2 • 1,2 • 1,2 • 1,2 • 1,2 • 1,2 3 factores

9 factores

Luego: (1,2)3 = (1,2)9. Como vimos, en este caso, al ser la potencia de una potencia, se mantiene la base (decimal) y se multiplican los exponentes.

58 Unidad 2

Unidad 2

No olvides que... Por lo realizado y estudiado anteriormente, podemos concluir que las propiedades de las potencias que tienen base entera y exponente natural también se pueden aplicar a potencias de base decimal positiva y exponente natural. Por ejemplo: (1,5)5 : (1,5)3 = (1,5)5 – 3 = (1,5)2 = 1,5 • 1,5 = 2,25

Actividades 1. Completa la siguiente tabla, escribiendo el resultado en cada casillero como una sola potencia. a

0,027

(a : b)4

a:b

a •b

0,3

(2,5)2

0,0625

(0,5)4

0,0001

(0,1)3

• ¿En qué caso puedes utilizar otra propiedad para resolver?, ¿por qué? 2. Escribe cada expresión como una sola potencia y completa con los signos <, > o =, según corresponda. 2

c) (0,1)5 • 65 (0,6)2 d) (5,5)8 : (5,5)6 (11)3 • (0,5)3

a) (0,2)3 : (0,2)3 (0,5)4 : (0,5)3 b) 53 • (0,5)3 (2,5)5 : (2,5)2

3. Completa la siguiente tabla, escribiendo el valor de cada potencia. Nº fila

0,5

1 2

0,25

1 4

a5 : a2

(a2)

a) Los resultados obtenidos en las filas 1 y 2, ¿representan el mismo número?, ¿por qué?, ¿y los de las filas 3 y 4? b) Si escribes un número decimal como fracción o viceversa y elevas ambos al cuadrado, ¿los resultados obtenidos siempre representan el mismo número?, ¿por qué? Potencias

Crecimiento exponencial Un grupo de estudiantes está analizando la descomposición de una hortaliza. Ellos consideran que la infección es extensa, es decir, la hortaliza no puede ser consumida cuando tiene 1024 o más bacterias por milímetro cuadrado (mm2). Además, observaron que las bacterias que producen la descomposición de la hortaliza se duplican cada una hora.

Para discutir • Si en un comienzo hay una bacteria por mm2, ¿en cuántas horas la hortaliza ya no podrá ser consumida?, ¿cómo lo supiste? • Si parten el estudio a las 8:30 h; ¿a qué hora la hortaliza no servirá para el consumo?, ¿y a qué hora habrá 64 bacterias por mm2? • ¿Podrías explicar la reproducción de las bacterias utilizando potencias?, ¿por qué? • ¿Cómo graficarías el comportamiento de las bacterias?

La situación anterior se puede resumir en la siguiente tabla: Tiempo transcurrido

Número de bacterias

Número de bacterias como potencia

1 hora

2 horas

3 horas

4 horas

5 horas

6 horas

7 horas

128

8 horas

256

9 horas

512

10 horas

1024

210

Si observamos la tabla, hay 64 bacterias por mm2 en la hortaliza transcurridas 6 horas, es decir, si comenzaron el estudio a las 8:30 horas, dicha cantidad estará presente a las 14:30 horas. Por otra parte, la hortaliza no podrá ser consumida transcurridas 10 horas, es decir, a las 18:30 horas la infección será considerada extensa por los estudiantes.

60 Unidad 2

Unidad 2

Como las bacterias se duplican cada una hora, cada vez se multiplica por dos. Entonces, si queremos expresar como potencia, la base será 2 y el exponente corresponde a las horas transcurridas. Además, en este caso observamos dos variables, una dependiente de la otra, ya que el número de bacterias depende de las horas transcurridas; dicho de otro modo, a medida que el tiempo transcurre, la cantidad de bacterias aumenta. Para analizar la relación entre las variables, observa el gráfico:

Crecimiento de una población de bacterias o

N de bacterias 90 80 70 60 50 40 30 20 10 1

Tiempo transcurrido (h)

No olvides que... Este tipo de relación entre las variables se llama crecimiento exponencial, o se dice que crecen exponencialmente, porque se usa en ellas una potencia con base mayor que 1. Este tema lo estudiarás con más profundidad en cursos posteriores.

Actividades 1. Luisa llama a cuatro compañeras y les informa sobre una campaña de recolección de alimentos. Cada una de estas amigas llama a otras cuatro amigas para contarles sobre la campaña, y así, una a una, van contando a 4 nuevas amigas. Completa la tabla, el gráfico y responde. No de personas

Nivel de llamados

Personas informadas en el nivel

Potencia relacionada

250 225 200 175

150

125

100 75

a) ¿Cuántas personas son informadas en el nivel 4? b) ¿Cuál es la variable dependiente de la otra?, ¿por qué?

50 25 0

Nivel

Potencias

Decrecimiento exponencial Científicos de diversos países se han reunido con el fin inventar una vacuna para combatir un virus respiratorio. Esperan que, al momento de vacunar a la población, la cantidad de contagiados disminuya a un tercio de la población cada día.

Para discutir • Si se vacunara a la población, ¿en cuánto disminuirían los contagiados luego de 3 días?, ¿y luego de 6 días?, ¿por qué? • ¿Podrías explicar la disminución de los contagiados utilizando potencias?, ¿cómo lo harías? • Si inicialmente hubiera 19 683 contagiados al momento de vacunar a la población, ¿cuál sería el número de contagiados luego de 2 y 5 días?; ¿cuál es el gráfico que representa la cantidad de contagiados por día? • Considerando la información de la pregunta anterior, ¿al cabo de cuántos días se contagiará solo una persona? Suponiendo que se vacunara a la población e inicialmente hubiera 19 683 contagiados, la información se resume en la siguiente tabla: Días transcurridos

Factor de decrecimiento

1 3

3 1

1 3

Cantidad de contagiados

1 3

19 683 •

= 19 683

= 6561

1 2 = 2187 3

19 683 •

= 729

= 243

19 683 •

= 81

1 6 = 27 3

Si observamos la tabla, en tres días los contagiados disminuirían 1 6 1 3 de su población y en 6 días . en 3 3

62 Unidad 2

Unidad 2

Si inicialmente hubiera 19 683 contagiados al momento de vacunar a la población, la cantidad de contagiados del segundo día sería 2187; del quinto día, 81 contagiados y el noveno día se contagiaría solo una persona. En esta situación, observamos la relación entre dos variables y, al igual que en el crecimiento exponencial, una depende de la otra. En este caso, la cantidad de contagiados depende de los días transcurridos, pues, a medida que pasan los días, la cantidad de contagiados disminuye. Para analizar la relación entre las variables, observa el gráfico:

Decrecimiento de una población de contagiados No de contagiados 20 000 18 000 16 000 14 000 12 000 10 000 8000 6000 4000 2000 0

Tiempo transcurrido (días)

No olvides que... Este tipo de relación entre las variables se llama decrecimiento exponencial, o se dice que decrecen exponencialmente, porque se usa en ellas una potencia con base mayor que 0 y menor que 1. Este tema también lo estudiarás con más profundidad en cursos posteriores.

Actividades 1. Una población de aproximadamente 262 144 insectos decrece por acción de un depredador natural a la mitad de su población cada año. Completa la tabla, grafica y responde. Años Factor de transcurridos decrecimiento 0

Tamaño de población

262 144 •

= 262 144

Población en miles de individuos 300 250

200

150

100

50 0

a) ¿En qué año la población es de 32 768? b) ¿Cuántos insectos hay el 4º año? c) Se extinguirá este tipo de insecto, ¿después de cuántos años?

Años transcurridos

Potencias

Herramientas tecnológicas Usando una planilla de cálculo, sigue las instrucciones para construir un gráfico: 1º En la columna A escribe el valor de la potencia de base 3 y exponente, partiendo desde 0 hasta 10, en orden creciente, es decir, en A1 escribe el valor de la potencia 30, en la celda A2 el valor de 31, en A3 el valor de 32, y así sucesivamente. 2º Selecciona los todos los números escritos anteriormente, como se observa a continuación:

3º Selecciona la herramienta “Insertar” y, luego, la opción “Gráfico”, como se observa en la siguiente imagen:

4º En las opciones de gráficos, selecciona “XY Dispersión”. 5º Presiona enter o “Siguiente”, hasta que el gráfico aparezca en la planilla. Además, puedes poner el siguiente título al gráfico: Exponentes de la potencia de base 3 y sus respectivos valores. Finalmente, observa el gráfico y responde: a) b) c) d)

¿A qué gráfico se parece?, ¿por qué? Los valores: 0, 1, 2, 3, … del eje horizontal, ¿qué representan?, ¿y los valores del eje vertical? ¿Por qué este gráfico es con puntos y no con líneas? ¿Cómo será el gráfico si la potencia es de base 4?, ¿qué tiene en común con el gráfico que acabas de hacer? 1 ?, ¿tiene algo en común con el gráfico que e) ¿Cómo será el gráfico si la potencia es de base 4 acabas de hacer?, ¿por qué? f) Sigue los pasos anteriores para graficar la potencia de base 5. Luego, responde las preguntas a y b.

64 Unidad 2

Unidad 2

Mi progreso Marca la opciĂłn correcta en las preguntas 1 a la 3. 1. La expresiĂłn: 0,3 â&#x20AC;˘ 0,09 â&#x20AC;˘ 0,027, escrita como un sola potencia es: A. 36

B. 0,36

C. 0,35

D. 0,095

2. ÂżCuĂĄl de las siguientes afirmaciones es falsa? 4

18 12 = 12

= 56

â&#x20AC;˘

5 6

6 2

49 49 = 16 81

64 : 4 = 4

125 5 5

â&#x20AC;˘

3. Para que la igualdad: 0,2 x : 0,2 2 = 0,2 4, sea verdadera, el valor de x, es: A. 2

B. 4

C. 1

D. 6

4. Las bacterias se reproducen dividiĂŠndose en 2. En un determinado ambiente, la divisiĂłn se produce cada un minuto. a) ÂżQuĂŠ tipo de crecimiento representa la relaciĂłn entre los minutos transcurridos y la cantidad de bacterias?, Âżpor quĂŠ? b) ÂżCuĂĄl es la potencia que representa la cantidad de bacterias al tĂŠrmino de 12 minutos, considerando que el ciclo de reproducciĂłn comienza con una bacteria? 5. Jorge y Mario inventaron un juego en el que cada jugador parte con un punto y, cada vez que gana, su puntaje se duplica, y si pierde, su puntaje serĂĄ la mitad de lo que tenĂa. Jorge ganĂł 6 veces y Mario perdiĂł 5 veces. ÂżCuĂĄntos puntos obtuvo Jorge?, Âży Mario? Expresa cada resultado como una sola potencia. Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde. Criterio Aplicar propiedades de potencias que tienen base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.

Ă?tem

Respuestas correctas

1, 2 y 3

Resolver un problema sobre crecimiento exponencial.

Resolver un problema, aplicando propiedades de potencias de base entera y fraccionaria positiva y exponente natural.

ÂżTuviste algĂşn error?, ÂżcuĂĄl? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compaĂąero o compaĂąera la estrategia utilizada. Potencias

Buscando estrategias Considera la potencia 415, el valor de esta potencia tiene 10 cifras. ¿Cuál es el último dígito de este número?, ¿y de 448?

Comprender • ¿Qué sabes del problema? 415 = 4 • 4 • 4 • … • 4

448 = 4 • 4 • 4 • 4 • … • 4 • 4

15 factores

48 factores

• ¿Qué debes encontrar? El valor del último dígito de las potencias anteriores.

Planificar • ¿Cómo resolver el problema? En el caso de 415 podríamos utilizar la calculadora científica para saber cuál es el último dígito del valor de la potencia, pero en 448 la calculadora no puede dar respuesta, ya que la mayoría no tiene tanta capacidad. Sin embargo, podemos comenzar resolviendo los primeros 8 casos y, luego, observaremos la cifra de las unidades para encontrar alguna regularidad.

Resolver • Calculamos los valores de las potencias de base 4 y exponente desde 1 hasta 8: 41 = 4 42 = 16

43 = 64 44 = 256

45 = 1024 46 = 4096

47 = 16 384 48 = 65 536

Luego, observamos que en las potencias de base 4 y exponente: a) par, la última cifra del resultado es 6. b) impar, la última cifra del resultado es 4.

Responder • Como en 415 el exponente es impar, la cifra de la unidad del valor de la potencia es 4. • Como en 448 el exponente es par, la cifra de la unidad del valor de la potencia es 6.

Revisar • Para comprobar cada resultado, puedes utilizar las propiedades de las potencias, luego, calcular cada expresión (utilizando calculadora si es necesario) y, finalmente, multiplicar las últimas cifras: Utilizando propiedades de potencias, tenemos: 415 = 47 • 48 = 16 384 • 65 536. Entonces, al multiplicar las últimas cifras de los factores, obtenemos: 4 • 6 = 24. Luego, la última cifra es 4. En el segundo caso, tenemos que: 448 = 410 • 410 • 410 • 415 • 43 = 1 048 576 • 1 048 576 • 1 048 576 • 1 073 741 824 • 64. Luego, multiplicamos las últimas cifras de los factores, es decir: 6 • 6 • 6 • 4 • 4 = 3456. Entonces, la última cifra es 6.

66 Unidad 2

Unidad 2

1. Aplica la estrategia aprendida para calcular la cifra de las unidades de los valores de las siguientes potencias. a) 4289 b) 4274 c) 229

d) 286 e) 2104 f) 319

g) 385 h) 352 i) 3222

2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución. Explica, paso a paso, cómo lo resolviste y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras. 3. Calcula la cifra de las unidades de los valores de las siguientes potencias, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a) 547 b) 622

c) 733 d) 840

e) 919 f) 10521

4. Imagina que tienes una hoja de papel rectangular muy grande, y que comienzas a doblarla por la mitad, una y otra vez. Si la abres, observarás que se forman rectángulos iguales. a) ¿Qué relación tiene esta situación con las potencias?, ¿cuál es la base?, ¿qué representa el exponente en este caso? b) Si doblas el papel 3 veces por la mitad, ¿cuántos rectángulos se forman al abrir el papel? Utiliza potencias para responder. c) Y si doblaras 5 veces el papel por la mitad, ¿cuántos rectángulos se formarían? Utiliza potencias para responder. d) Comprueba los resultados obtenidos utilizando una hoja tamaño carta. e) Sin utilizar papel para comprobar, ¿cuál es la cifra de las unidades equivalente a la cantidad de rectángulos que se forman al doblar un papel rectangular 15 veces por la mitad?, ¿cómo lo supiste?

Potencias

Conexiones

Para finalizar NACIONAL

Los efectos del alcohol en el organismo El alcohol es un depresor del sistema nervioso central. Sus efectos en el organismo son inmediatos y a largo plazo. Algunos efectos inmediatos son: afección a la frecuencia cardiaca, al habla, al entendimiento, al juicio y, al llegar a la intoxicación alcohólica, puede provocarse un estado de coma e, incluso, la muerte. Algunos riesgos a largo plazo son: daño al corazón, al hígado y su abuso puede generar trastornos mentales. En Chile, el alcohol es la droga más consumida, de hecho, un 68,5% de los encuestados, en un estudio realizado por el Conace, declaró haber consumido alcohol el año 2008. Su uso genera graves problemas sociales, entre otros, causando accidentes automovilísticos. Fuentes: Ministerio del Interior, www.conacedrogas.cl, septiembre 2009. Octavo Estudio Nacional de Drogas en Población General de Chile, 2008. Informe de principales resultados, Conace, Chile.

Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes. 1. Un profesor universitario encontró una fórmula para calcular el porcentaje de riesgo de tener un accidente si se conduce bajo los efectos del alcohol. La fórmula es igual a: 6 • (1,14)x, donde x es el porcentaje de alcohol en la sangre. • Si una persona tiene un 4% de alcohol en la sangre, ¿cuál es el porcentaje de riesgo de tener accidente?, ¿y si tiene un 20% de alcohol en la sangre? 2. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser la solución correcta, en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos.

68 Unidad 2

Unidad 2

SĂntesis

A continuaciĂłn, se presenta un mapa conceptual que relaciona los principales conceptos estudiados en la Unidad. ComplĂŠtalo con las palabras de enlace que indican las relaciones que hay entre los conceptos.

POTENCIAS DE BASE ENTERA Y EXPONENTE NATURAL

MULTIPLICACIĂ&#x201C;N Y DIVISIĂ&#x201C;N DE

POTENCIAS DE IGUAL BASE

POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE

POTENCIAS DE BASE FRACCIONARIA POSITIVA Y EXPONENTE NATURAL

POTENCIA DE UNA POTENCIA

POTENCIAS DE BASE DECIMAL NATURAL

POSITIVA Y EXPONENTE

Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad y, apoyĂĄndote en el esquema anterior, responde. 1. ÂżCrees quĂŠ faltĂł algĂşn concepto importante en el mapa conceptual?, ÂżcuĂĄl? AgrĂŠgalo. 2. ÂżCĂłmo calculas una potencia de base entera y exponente natural? 3. ÂżQuĂŠ semejanzas observas en la multiplicaciĂłn y divisiĂłn de potencias de igual base?, Âży quĂŠ diferencias? 4. ÂżQuĂŠ semejanzas observas en la multiplicaciĂłn y divisiĂłn de potencias de igual exponente?, Âży quĂŠ diferencias? 5. ÂżCĂłmo calculas la potencia de una potencia de base entera y exponente natural?, Âży de base decimal positiva? Da tres ejemplos. w x z â&#x20AC;˘w x z 6. Si w, x, y, z son nĂşmeros naturales, ÂżpodrĂas afirmar que = ?, Âżpor quĂŠ? y y Da 2 ejemplos.

7. ÂżQuĂŠ caracteriza al crecimiento exponencial?, Âży al decrecimiento exponencial? 8. ÂżTienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ÂżcuĂĄl? CompĂĄrtela en tu curso e intenten aclararla en conjunto.

Potencias

ÂżQuĂŠ aprendĂ? Marca la opciĂłn correcta en las preguntas 1 a la 8. 1. ÂżCuĂĄl de las siguientes igualdades es falsa? A. (â&#x20AC;&#x201C;15)11 :(â&#x20AC;&#x201C;15 8 = â&#x20AC;&#x201C;3375 B.

2 3

1 4

1 4096

C. (0,5)2 â&#x20AC;˘ (0,8)2 = (0,4)4 3

D. (â&#x20AC;&#x201C;2)2 = (â&#x20AC;&#x201C;2)3

2. Una profesora comprĂł lĂĄpices de colores para regalar a sus alumnos y alumnas. Si comprĂł 8 cajas que contienen 16 estuches cada una y cada estuche tiene 4 lĂĄpices, ÂżcuĂĄntos lĂĄpices tiene para regalar? A. B. C. D.

26 29 228 22 â&#x20AC;˘ 7

A. a : a = a c

a b â&#x20AC;˘c a b =

b b a b a c a b +c C. : = b b b D. ab â&#x20AC;˘ cb = (a â&#x20AC;˘ c)2 B.

4. El volumen de un cubo cuya arista mide 216 cm, es: A. B. C. D.

66 cm3 63 cm3 65 cm3 69 cm3

70 Unidad 2

A. B. C. D.

35 cm 39 cm 34 cm 53 cm

6. El valor de (0,5)13 : (0,5)11, escrito como fracciĂłn, es: A.

1 2

1 16

1 4 1 D. 25 C.

3. Si a, b, c son nĂşmeros naturales mayores que 1 y b > c, entonces, es cierto que: a

5. La directiva de un curso quiere hacer un diario mural rectangular para su sala de clases. Si solo saben que el ĂĄrea disponible es de 19 683 cm2 y el ancho mide 81 cm, ÂżcuĂĄnto mide el largo?

7. Un grupo de 78 125 bacterias decrecen exponencialmente a un quinto de su poblaciĂłn cada dĂa. ÂżCuĂĄntas bacterias quedarĂĄn al cabo de 5 dĂas? A. B. C. D.

55 54 52 53

8. Para que la igualdad: (1,3)x â&#x20AC;˘ (0,1)9 = (0,13)9, sea verdadera, el valor de x es: A. B. C. D.

9 1 0 18

Unidad 2

9. Una cuerda tiene 16 384 m de longitud y se corta sucesivamente un cuarto de su longitud. a) ¿Cuánto queda después de 3 cortes?, ¿y después de 6? b) Construye, en tu cuaderno, un gráfico para esta situación. 10. Se sabe que el volumen de un paralelepípedo es 729 cm3. Si su ancho mide 3 cm, su largo 9 cm, ¿cuánto mide el alto? Usa potencias para resolver.

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿Qué logré? 1. Marca según tu apreciación.

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

Concepto de potencia. Potencia de base entera y exponente natural. Multiplicación y división de potencias de igual base. Multiplicación y división de potencias de igual exponente. Potencia de una potencia. Potencias de base fraccionaria positiva y exponente natural. Potencias de base decimal positiva y exponente natural. Crecimiento y decrecimiento exponencial. Resolución de problemas.

2. Reflexiona y responde. a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste? b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué? c) Vuelve a la página 37 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”; ¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.

Potencias

3 Unidad

72 Unidad 3

Geometr铆a y medici贸n

En esta Unidad podrás... • Identificar la circunferencia y círculo como lugar geométrico y representarlos mediante lenguaje conjuntista. • Identificar el arco, cuerda, secante y tangente en una circunferencia. • Relacionar el número π con el diámetro y la longitud de la circunferencia. • Calcular la longitud de una circunferencia. • Estimar el área del círculo mediante el cálculo del área de polígonos regulares inscritos en la circunferencia. • Conjeturar respecto del volumen del cilindro y cono. • Calcular el área del cilindro, cono y pirámide y verificarlas, usando un procesador geométrico.

Conversemos de... Para preservar de mejor forma los alimentos durante un largo período de tiempo, se realiza un proceso de manipulación de estos, llamada conserva alimenticia. El objetivo de la conserva es proteger a los alimentos de microorganismos que podrían modificar sus condiciones sanitarias y su sabor. Las conservas se pueden encontrar en envases de vidrio o de hojalata. El envase de hojalata conserva por más tiempo los alimentos y evita los efectos de la luz, que deteriora su contenido vitamínico. La fotografía muestra distintas conservas en envases de hojalata de una empresa. Si desean modificar las dimensiones de los tarros, responde las siguientes preguntas. 1. ¿Qué variará si desean agrandar los envases sin modificar su altura? 2. ¿Qué sucederá con el volumen del envase si modifican la altura al doble?, ¿cómo lo supiste? 3. ¿Con qué forma geométrica asocias estos tarros de conservas? 4. ¿Haz consumido algún alimento en conserva?, ¿cuál?

Geometría y medición

¿Cuánto sabes? 1. Calcula el perímetro de los siguientes polígonos y explica el procedimiento que utilizaste. a) ABCD cuadrado D

c) LMNO romboide

N 6 cm

5 cm 5 cm

d) ∅IJK equilátero

b) HGFE trapecio isósceles E

8 cm

5 cm

F 4 cm

9 cm

3,5 cm

2. Calcula el área de los siguientes polígonos y explica el procedimiento que utilizaste. c) Δ EFG isósceles de base EF

a) D

2,6 cm 10 cm A 2,6 cm B E

b) H

L 5 cm

12 cm I

17,5 cm

12 cm

4 cm

3. Calcula el área total y volumen de los siguientes cuerpos geométricos. a)

b) 3m

5,5 cm 4 cm 4 cm

4. El perímetro de un triángulo equilátero es 24 cm. Si la medida de uno de sus lados aumenta en 3 cm, ¿cuánto mide ahora el perímetro del triángulo?, ¿sigue siendo equilátero?, ¿por qué?

74 Unidad 3

Unidad 3

5. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 9 cm y 12 cm, ¿cuánto mide su perímetro?; ¿y su área?, ¿y si los catetos se duplican? 6. Si el área de un terreno cuadrado es 100 m2, ¿cuántos metros de alambre se necesitan para cercar el terreno con una vuelta? Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿Qué debes recordar? • Un polígono es una figura geométrica plana, limitada por al menos tres segmentos rectos consecutivos no alineados, llamados lados. Según el número de sus lados, se clasifican en: triángulo (3 lados), cuadrilátero (4 lados), pentágono (5 lados), etc. • Los polígonos que tienen todos sus ángulos de igual medida, al igual que la medida de sus lados, reciben el nombre de polígono regular. • La apotema de un polígono regular es la distancia entre el centro y cualquiera de sus lados; es perpendicular a dicho lado. apotema del pentágono • El perímetro de un polígono es la medida de la longitud de su frontera o contorno, expresada en la misma unidad de longitud. • El área es la medida de la superficie de una figura. • Para calcular el área de un cuadrado de lado a, se puede utilizar la fórmula a2. • Para calcular el área de un rectángulo de lados a y b, se puede utilizar la fórmula a • b. • Para calcular el área de un triángulo de base b y altura h, se puede utilizar la fórmula

b •h

2 • En un triángulo rectángulo, las medidas de los catetos se pueden considerar como su base B y su altura, ya que son perpendiculares entre sí. • En un triángulo ABC rectángulo en C se cumple que: c 2 2 2 a

a +b =c

(Teorema de Pitágoras)

• Un prisma recto es aquel poliedro que tiene dos caras paralelas que son polígonos iguales llamados bases. El resto de las caras son rectángulos perpendiculares a las bases y se llaman caras laterales. • Las pirámides son poliedros cuya base es un polígono y sus caras laterales son triángulos, que concurren en un punto llamado cúspide. Las pirámides rectas son aquellas cuyas caras laterales son triángulos isósceles. De lo contrario, se denominan oblicuas. Las pirámides regulares son aquellas cuya base es un polígono regular. Geometría y medición

Circunferencia y círculo como lugar geométrico Dispositivo Hernán

Carolina

Tomás Gabriel

G F Francisca

O D B

Bernardo

Eduardo Daniela Sara

Límite de la señal

En el patio de una universidad se ha instalado un dispositivo emisor de Internet, para que los y las estudiantes que dispongan de tarjetas receptoras en sus computadores personales puedan acceder a la Web. El dispositivo receptor tiene un alcance hasta los 500 metros a la redonda. Observa la imagen que muestra el punto del patio donde se instaló el dispositivo emisor y a los y las estudiantes que, en ese momento, estaban con sus computadores usando internet.

Para discutir • ¿Cuántos metros hay desde el dispositivo hasta E?, ¿y hasta B y H?, ¿cómo lo supiste? • ¿Qué sucede con los estudiantes que están a menor distancia que 500 m del dispositivo?, ¿y los que están a más de 500 m a la redonda?, ¿cómo lo expresarías geométricamente? • Si los estudiantes que están ubicados a menos de 500 m del dispositivo se ubicaran justo a 500 m de este, ¿dónde se encontrarían geométricamente?, ¿por qué? • ¿Con qué conceptos geométricos puedes relacionar a las personas que están a menor distancia de 500 m a la redonda del dispositivo?, ¿y los que están a 500 m?, ¿por qué?

Glosario conjunto: es toda agrupación de objetos. Los objetos agrupados toman el nombre de elementos del conjunto. pertenece: corresponde a todos los elementos que forman parte de un conjunto dado. Se simboliza 僆. no pertenece: corresponde a todos los elementos que no forman parte de un conjunto dado. Se simboliza 僆.

76 Unidad 3

En la situación anterior, los puntos que se encuentran a 500 metros del dispositivo emisor son H, B y E. Estos puntos y todos aquellos que están a 500 metros del dispositivo emisor O, pertenecen a la circunferencia. El dispositivo corresponde al centro de la circunferencia; la distancia desde el centro O a la circunferencia se denomina radio; en este caso, el radio es de 500 metros. El conjunto de todos los puntos que están en el interior de la circunferencia de centro O, como C, F, G y D, pertenecen al círculo. Luego, la circunferencia es el contorno del círculo. Los puntos S y T se encuentran a más de 500 m del centro O de la circunferencia, por lo tanto, no pertenecen a ella (ni al círculo). Esto quiere decir que Sara y Tomás no pueden acceder a la web.

Unidad 3

No olvides que... • Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. • Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a igual distancia de un punto fijo, llamado centro; dicha distancia se denomina radio. Matemáticamente, el conjunto C de puntos p del plano P, que pertenecen a una circunferencia de centro O y radio r, se puede representar de la siguiente manera:

C = p 僆 P / d ( p, O ) = r • El círculo es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio. Matemáticamente, el conjunto C de puntos p del plano P, que pertenecen a un círculo de centro O y radio r, se puede representar de la siguiente manera:

C = p 僆 P / d ( p, O )ⱕ r La notación d ( p, O ) representa la distancia desde cualquier punto p del plano P al centro O.

Actividades 1. Observa la siguiente circunferencia de centro O y el círculo de centro C, respectivamente y, luego, responde. a) ¿En qué se parecen ambas figuras?, ¿en qué se diferencian? b) ¿Qué aspectos caracterizan a cada figura? c) ¿Cuándo un punto pertenece al círculo?, ¿y a la circunferencia? Da 2 ejemplos para cada caso.

2. Observando la figura, completa cada una de las siguientes expresiones con: • pertenecen • no pertenece a) b) c) d) e) f)

• radio • pertenecen

• no pertenecen • pertenece

El de la circunferencia de centro O mide 1 cm. El punto C al círculo. Los puntos D y E al círculo. Los puntos D y E a la circunferencia. Los puntos B y F a la circunferencia. El punto E al círculo.

D O B

C F

Geometría y medición

Elementos de la circunferencia C

Observa la siguiente circunferencia de centro O y los elementos marcados en ella.

G H

A B

Para discutir • Si mides con una regla OE y OI, ¿qué puedes concluir?, ¿por qué? • ¿Qué diferencias observas entre la parte de la circunferencia comprendida entre los puntos F y G y el trazo FG?, ¿cómo lo supiste? • Si mides con una regla OE y HI, ¿qué puedes concluir?, ¿por qué? ↔ • ¿Qué semejanzas y diferencias observas entre GF y AB ?, ↔ ↔ ¿y entre AB y CD ? • ¿Cuánto miden los ángulos OED y CEO? Usa transportador. • ¿Ocurrirá siempre lo mismo con las medidas de los ángulos formados entre el radio y la recta que interseca a la circunferencia en un solo punto?, ¿cómo lo supiste?

Glosario En Matemática puedes utilizar la siguiente notación: ᎏ Segmento HI: HI ↔ Recta AB: AB ៣ Arco FG: FG

En la circunferencia anterior, tenemos que OE y OI corresponden a segmentos que unen un punto de la circunferencia con su centro O; estos segmentos corresponden al radio de la circunferencia. La parte de la circunferencia comprendida entre los puntos F y G ៣ ), es decir, corresponde a todos los puntos se denomina arco (FG pertenecientes a la circunferencia entre dichos puntos, a diferencia de FG, que contiene solo a dos puntos de la circunferencia. Este segmento se denomina cuerda. Por otra parte, HI mide el doble del radio; este segmento que une dos puntos de la circunferencia y, además, pasa por el centro de ella se llama diámetro.

Ayuda El arco de una circunferencia se lee en sentido inverso al giro de los punteros del reloj.

78 Unidad 3

↔

Al observar AB y CD , podemos notar que la primera recta corta ↔ a la circunferencia en dos puntos, a diferencia de CD , que toca ↔ a la circunferencia en un solo punto (E ). En el caso de AB , la recta ↔ se llama secante a la circunferencia, y en el caso de CD , tangente a la circunferencia. Además, el ángulo formado entre la tangente y el radio, en el punto de intersección (E ) es recto (mide 90º).

Unidad 3

No olvides que... En una circunferencia podemos distinguir los siguientes elementos: • Radio: segmento que une cualquier punto de la circunferencia con el centro. • Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia. • Diámetro: cuerda que une dos puntos de la circunferencia, pasando por el centro. Es la cuerda de mayor longitud en la circunferencia. En toda circunferencia se tiene que la medida del diámetro corresponde al doble de la medida del radio. • Arco: parte de circunferencia comprendida entre dos puntos de ella. • Secante a una circunferencia: recta que interseca a la circunferencia en dos puntos. • Tangente a una circunferencia: recta que interseca en un único punto a la circunferencia.

Actividades 1. Usando regla y compás, dibuja en tu cuaderno una circunferencia de centro O y radio 3 cm. Luego, sigue las instrucciones y responde las preguntas. a) Traza un diámetro: ¿cuánto mide? b) Traza una recta secante y marca con distintos colores los arcos determinados por ella. c) Traza un radio OA y, luego, una tangente a la circunferencia que pase por A. Para esto, utiliza escuadra. d) Traza una cuerda de menor longitud que el diámetro, ¿qué sucede si son de igual longitud? 2. Considera la circunferencia de centro O y completa la siguiente tabla. B

Cuerda(s) Diámetro(s)

Radio(s) Secante(s) Tangente(s) Arco(s)

O C

3. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas. a) b) c) d) e)

Las cuerdas que contienen al centro de la circunferencia se denominan arcos. El diámetro de una circunferencia mide la mitad del radio. Toda recta secante a una circunferencia determina dos arcos. Toda recta tangente a una circunferencia interseca al menos en un punto a la circunferencia. El diámetro de una circunferencia determina dos arcos de igual medida. Geometría y medición

Número π y su relación con la circunferencia En equipo En esta actividad deberán utilizar 1 metro y medio (aprox.) de lana, regla, compás y calculadora para medir la longitud y el diámetro de circunferencias y calcular el cociente entre dichas medidas. Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones. 1. Dibujen en sus cuadernos circunferencias cuyos radios midan 2 cm, 3 cm, 5 cm y 10 cm. 2. Pongan la lana sobre cada circunferencia, cortándola de tal modo que mida exactamente lo mismo que cada una de estas figuras. 3. Después que han cortado los trozos de lana, estírenlos y mídanlos con regla, para calcular la longitud de las circunferencias. 4. Completen la tabla. Circunferencia

Medida del diámetro (cm)

Medida de la longitud (cm)

Valor de la razón entre la longitud y el diámetro

1 2 3 4

Ayuda Recuerda que el valor de la razón es el cociente entre dos cantidades.

Para discutir • ¿Cómo calculaste la medida del diámetro?, ¿y la longitud de cada circunferencia? • Los valores obtenidos en la última columna, ¿tienen algo en común?, ¿por qué? • Si dibujaras otras circunferencias, con distintos radios, ¿qué valores obtendrías al calcular el cociente entre su longitud y el diámetro?, ¿ocurrirá siempre lo mismo?, ¿por qué? • ¿Reconoces los valores obtenidos en la última columna con algún número especial?, ¿cuál?

En la actividad anterior, podemos notar que el cociente obtenido en la última columna de la actividad experimental es aproximadamente 3,14 en todos los casos. Si realizáramos el mismo experimento con circunferencias cuyo radio fuera diferente, observaríamos que dicho valor se mantiene constante. Este valor se representa con la letra griega π, y se pronuncia número pi.

80 Unidad 3

Unidad 3

No olvides que... La razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es un número constante que llamamos número π. Este número es decimal infinito no periódico, que truncado a sus primeras cifras es: π 3,1415926535…

Actividades 1. Usando calculadora, determina cuál de las siguientes expresiones corresponde a una mejor aproximación al número π. a)

22 7

256 81

377 120

355 113

25 8

3927 1250

2. Agustín dice que para calcular la longitud de una circunferencia basta con multiplicar π por el diámetro de esta. ¿Consideras correcto lo que afirma?, ¿por qué? 3. ¿Puedes obtener la longitud de una circunferencia si conoces la medida de su radio?, ¿cómo lo harías? 4. Utilizando calculadora, completa la siguiente tabla. Considera el número π, redondeado a los centésimos (π = 3,14). Circunferencia

Medida del radio (cm)

Medida del diámetro (cm)

Medida de la longitud (cm)

37,68

62,8

31,4

4 5

15 10,5

6 7 8

314 6,5 125,6

Geometría y medición

Longitud de la circunferencia E

La siguiente figura muestra un hexágono regular que está inscrito en una circunferencia. El hexágono regular está dividido en 6 triángulos equiláteros, que tienen un vértice común en el centro de la circunferencia.

Para discutir A

• ¿Con qué elemento de la circunferencia puedes igualar los lados del hexágono?, ¿por qué? • Observa el perímetro del hexágono y la longitud de la circunferencia, ¿cuál es mayor?, ¿cómo lo supiste? • Según lo estudiado hasta ahora, ¿cómo relacionarías la longitud de la circunferencia con el diámetro y el número π?

En la situación anterior, el hexágono regular inscrito en la circunferencia con centro en O se ha dividido en 6 triángulos equiláteros y cada lado de los 6 triángulos coincide con el radio de la circunferencia. Los arcos que se forman con los lados del hexágono tienen medida un poco mayor que dichos lados y, por lo tanto, es un poco mayor que el radio. Luego, si comparamos la longitud de la circunferencia, que es igual a la suma de todos los arcos; con el perímetro del hexágono, que es igual a 6 veces el radio, tenemos que: longitud de la circunferencia > perímetro del hexágono longitud de la circunferencia > 6 veces la medida del radio longitud de la circunferencia > 3 veces la medida del diámetro Por otro lado, estudiamos en la actividad experimental de la página 80 que el número π es igual a la razón entre la longitud de una circunferencia (l ) y su diámetro (d ), es decir, π =

l d l π•d = •d d π=

Por lo tanto, l = π • d

82 Unidad 3

l . Entonces: d

/ multiplicamos por d

Unidad 3

Luego, si consideramos lo anterior y, además, que el diámetro es igual a 2 veces el radio (2 • r ), verificamos que: longitud de la circunferencia > 3 veces la medida del diámetro π•d>3•d π • (2 • r ) > 3 • (2 • r ) Por lo tanto, 2 • π • r > 2 • 3 • r Lo anterior se confirma con que π > 3.

No olvides que... La longitud de una circunferencia (l ) es igual al producto de 2 por π por su radio (r ). Es decir, l=2•π•r

Actividades 1. Calcula la longitud de cada circunferencia, sabiendo la medida del radio (r). Considera π = 3,14. 7 cm 2

a) r = 4 cm

c) r = 4,7 cm

e) r =

b) r = 0,5 m

d) r = 1,7 km

f) r = 9 cm

g) r = 1000 cm h) r = 10 000 cm

2. Calcula el radio de cada circunferencia, sabiendo la medida de la longitud (l ). Considera π = 3,14. a) l = 28,26 cm b) l = 11,304 m

c) l = 1256 km d) l = 6,28 cm

e) l = 3,14 m f) l = 188,4 cm

g) l = 31,4 cm h) l = 50,24 m

3. Calcula la longitud de cada circunferencia. Considera π = 3,14.

5 cm

b) 3c m

Geometría y medición

Área del círculo Observa los siguientes polígonos regulares inscritos en una circunferencia.

Para discutir • ¿Cómo son entre sí el área del círculo y el área de cada polígono regular?, ¿qué sucede con estas áreas a medida que aumenta la cantidad de lados del polígono regular? • ¿Con qué elemento del círculo relacionas la apotema?, ¿qué relación tiene con el número de lados del polígono regular? • ¿Puedes aproximar el área del círculo conociendo la medida de la apotema y de uno de sus lados?, ¿cómo?

Ayuda Recuerda que la fórmula para calcular el área de un polígono regular es: perímetro • apotema 2

Como puedes observar en las figuras de la situación anterior, mientras más lados tenga el polígono regular, su área será una mejor aproximación al área del círculo. Por otra parte, la medida de la apotema del polígono se aproxima cada vez más al radio del círculo. Para aproximar el área del círculo, podemos calcular el área de un polígono regular inscrito en la circunferencia y, mientras más lados tenga el polígono, la aproximación será mejor. Por ejemplo, el polígono regular de la siguiente figura tiene 10 lados, si cada lado mide 2,5 cm y su apotema mide 3,85 cm, entonces: Área polígono regular = (10 • 2,5) • 3,85 = 48,125 cm2 2 Por lo tanto, el área del círculo se aproxima a 48,125 cm2. Luego, como la longitud de la circunferencia es igual a 2 • π • r , y el área del círculo (Á) se aproxima a la de un polígono regular de muchos lados, entonces: (2 • π • r ) • r • Á = perímetro apotema = = π • r2 2

84 Unidad 3

Unidad 3

No olvides que... El área de un círculo (Á) es igual al producto de π por su radio al cuadrado (r 2). Es decir, Á = π • r 2

Actividades 1. Dados los siguientes polígonos regulares inscritos en una circunferencia, usa escuadra para dibujar la apotema, y con una regla mide uno de los lados y la apotema dibujada. Luego, aproxima el área de cada círculo. a)

c) G

¿Cuál de las aproximaciones es más cercana al área del círculo correspondiente? Justifica. 2. Observa los siguientes círculos cuyos radios miden lo mismo y los polígonos inscritos en ellos. Utilizando regla, escuadra y calculadora, completa la tabla. Considera el número π, redondeado a los centésimos (π = 3,14).

Nº lados del polígono 6

Medida de la apotema (cm)

Medida del radio (cm) 1,5

Área polígono (cm2)

Área círculo (cm2) 3,14 • 1,52 = 7,065

3. Utiliza la fórmula: Área = π • r 2, para calcular el área de los círculos de la pregunta 1 y, luego, compara los valores obtenidos con las aproximaciones. Considera π = 3,14. 4. Dado un círculo cuyo radio mide 3 cm, ¿qué sucede con su área su duplicas el radio?, ¿y si lo triplicas? Calcula el área en cada caso.

Geometría y medición

Herramientas tecnológicas Usando Geogebra puedes calcular la longitud de una circunferencia y área de un círculo, entre otras cosas. Para descargar este software ingresa a: www.geogebra.at; en el menú de la izquierda selecciona Webstart-TeleInicio, luego, el botón Webstart y sigue las instrucciones. Longitud de la circunferencia y área del círculo 1º Presiona el botón derecho y selecciona Ejes. 2º En las herramientas del software, selecciona Polígono Regular . Haz dos clic en puntos distintos del plano; luego, indica la cantidad de vértices del polígono (menor que 16) y, finalmente, presiona OK; aparecerá el polígono regular. 3º Selecciona Circunferencia dados Tres de sus Puntos . Haz clic en tres vértices del polígono regular; aparecerá la circunferencia circunscrita en el polígono. 4º Repite los pasos 2º y 3º (en el mismo plano); pero, en este caso, el polígono debe tener 20 lados. 5º Selecciona Distancia o Longitud . Haz clic sobre cada polígono; aparecerá su perímetro. Luego, haz clic sobre cada circunferencia; aparecerá su longitud. 6º Selecciona Área . Haz clic sobre cada polígono; aparecerá su área. Luego, haz clic sobre cada circunferencia; aparecerá el área de cada círculo. Luego de realizar los pasos anteriores, responde. a) ¿En cuál de los casos el perímetro del polígono se aproxima más a la longitud de la circunferencia?, ¿y en el caso del área?, ¿por qué? b) Verifica en una nueva aplicación de Geogebra para otros polígonos. Compara los resultados obtenidos con tus compañeros y compañeras. Corona circular 1º En una nueva aplicación de Geogebra, presiona el botón derecho y selecciona Ejes. 2º En las herramientas del software, selecciona Circunferencia dado su Centro y uno de sus puntos . Haz dos clic en lugares distintos del plano; aparecerá una circunferencia. 3º Usando la misma herramienta anterior, haz un clic sobre el centro de la circunferencia y, luego, un clic que esté contenido en la circunferencia (no debe c pertenecer a ella), como se observa en la figura. La parte de la superficie que hay entre ambos círculos corresponde a la dA C corona circular. B 4º Selecciona Distancia o Longitud. Haz clic sobre cada circunferencia; aparecerá su longitud. 5º Selecciona Área. Haz clic sobre cada circunferencia; aparecerá el área de cada círculo. Luego responde: ¿cuál es el área de la corona circular?, ¿y el perímetro?, ¿cómo lo hiciste?

86 Unidad 3

Unidad 3

Mi progreso Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3. 1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? I. La circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene. II. El número π se define como la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. III. Una recta tangente es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos. A. Solo I

B. Solo II

C. I y II

D. I, II y III

2. ¿Cuál es la diferencia entre las longitudes de dos circunferencias de diámetros 18 cm y 4 cm? (Considera π = 3,14) A. 56,52 cm

B. 43,96 cm

C. 12,56 cm

D. 87,92 cm

3. El área de la corona circular es (considera π = 3,14): A. B. C. D.

28,26 cm2 172,7 cm2 69,08 cm2 229,22 cm2

5 cm

3 cm

4. El área del cuadrado de la figura es 16 cm2, ¿cuál es el área del círculo inscrito? (Considera π = 3,14).

5. Para una presentación de gimnasia de un colegio se necesita elaborar 15 argollas de diámetro 80 cm, ¿cuántos metros de tubo plástico se debe comprar para su elaboración? (Considera π = 3,14). Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde. Criterio

Ítem

Analizar afirmaciones asociadas a la circunferencia, círculo y π.

Calcular la longitud de circunferencias.

Calcular el área de una corona circular.

Resolver problemas que involucran área de círculo y longitud de circunferencia.

Respuestas correctas

4y5

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera la estrategia utilizada. Geometría y medición

Área del cilindro y cono Pedro y Lorena elaboraron las redes que se muestran a continuación, para construir dos cuerpos geométricos diferentes. Observa.

Para discutir • Si armas estas redes, ¿qué cuerpos geométricos obtendrías? • Si armas las redes, ¿qué diferencias y semejanzas observas en cada cuerpo geométrico? • Si rotaras un rectángulo en torno a uno de sus lados, ¿cuál de estos cuerpos geométricos obtienes?, ¿y si rotaras un triángulo rectángulo en torno a uno de sus catetos? • ¿Es necesario conocer algunos elementos para construir cada una de las redes?, ¿cuáles? • ¿Cómo calcularías el área total de cada cuerpo geométrico?, ¿puedes apoyarte en las redes?, ¿cómo lo harías?

Glosario cilindro recto: cuerpo geométrico obtenido al rotar un rectángulo en torno a uno de sus lados. cono recto: cuerpo geométrico obtenido al rotar un triángulo rectángulo en torno a un cateto.

Las redes de la situación anterior se obtienen al desarmar dos cuerpos geométricos. Con la primera red es posible construir un cilindro recto y, con la segunda red, se puede construir un cono recto. Si armamos las redes para construir los cuerpos correspondientes, observamos que el cilindro y cono están compuestos por al menos una cara curva; estos cuerpos se denominan redondos. En cambio, aquellos cuerpos formados solamente por figuras geométricas planas, como la pirámide, se denominan poliedros. Un cilindro se obtiene al rotar un rectángulo de lados r y h alrededor de uno de sus lados. Los lados no paralelos al eje de giro determinan círculos llamados bases.

h r

88 Unidad 3

Unidad Unidad 33

El cono se obtiene al rotar un triángulo rectángulo de catetos r y h alrededor de uno de sus catetos. El otro cateto determina un círculo llamado base. h: altura g: generatriz r : radio

Si quieres dibujar una red para construir un cilindro recto, debes conocer el radio del círculo de la base para dibujar un rectángulo en el que el lado a de este coincide con la longitud de las circunferencias y, luego, dibujas los círculos con el radio conocido. Para calcular el área total del cilindro, sumamos el área del rectángulo y el área de las bases circulares, es decir:

Á = área rectángulo + 2 • área círculo = ( 2 • π • r • h) + (2 • π • r 2) a

r : radio h: altura

cara lateral

g: generatriz h

b: base r

Si quieres dibujar una red para construir un cono recto, debes conocer la longitud del radio r de la base y la longitud de la generatriz g (radio del sector circular) para calcular el ángulo α del sector circular, el que se calcula con la siguiente fórmula: r • 360º α=

Con esta información, construyes una circunferencia de radio g y marcas un ángulo α en el centro, de esta forma obtienes el sector circular; luego, dibuja la circunferencia de radio r, como se observa a continuación en la figura. Para calcular el área del cono, sumamos el área de la base y el área del sector circular. Si r es el radio de la base, su área es: Áb = π • r 2 Si g es la generatriz, el área del sector circular es: Ásc = π • r

•

g Geometría y medición

Luego, el área total del cono es:

Ayuda Recuerda que el área de una pirámide se obtiene al sumar el área de todas sus caras y el área de la base.

Á = área base + área sector circular = (π • r 2 ) + (π • r • g) r: radio g: generatriz

b: base

g h

sector circular α

No olvides que... • Si r es el radio de la base y h la altura, el área total de un cilindro está dada por:

Ácilindro = (2 • π • r • h) + (2 • π • r 2 ) • Si g es la generatriz y r el radio de un cono, el área total del cono está dada por:

Ácono = (π • r 2 ) + (π • r • g)

Actividades 1. Calcula el área total de los siguientes cuerpos geométricos rectos (considera π = 3,14). a)

radio de base = 7 cm generatriz = 20 cm

arista de la base = 10 cm altura = 12 cm b)

radio de la base = 6 cm generatriz = 10 cm

90 Unidad 3

altura = 24 cm generatriz = 26 cm

Unidad 3

2. El ancho del rectángulo que gira mide 30 cm y su largo mide 45 cm, calcula (considera π = 3,14): a) el área de la base del cilindro que se genera. b) el área total del cilindro. h r

3. Calcula el área lateral de un cilindro recto, cuya base es un círculo de 452,16 cm2 de área y cuya altura es igual al diámetro de la base (considera π = 3,14). 4. Calcula el área total de un cono recto donde r = 3 cm y g = 10 cm (considera π = 3,14). 5. Si el radio de la base de un cono recto mide 4 cm y el ángulo del sector circular mide 60º, ¿cuál es el área total del cono? 6. Un recipiente tiene forma de cilindro circular recto. El área de cada base es de 1256 cm2 y la altura del cilindro mide 15 cm (considera π = 3,14). a) ¿Cuánto mide el diámetro de la base? b) ¿Cuál es el área lateral del recipiente? c) ¿Cuánto mide el área total? 7. El área total de un cilindro recto es 565,2 cm2, su radio mide 5 cm y su generatriz mide 13 cm. Si su radio aumentara en 2 cm (considera π = 3,14): a) ¿cuál es el área total del nuevo cilindro? b) ¿en cuántos cm2 aumenta su área? 8. El perímetro de la base de la pirámide recta cuya base es un polígono regular mide 36 cm, la apotema lateral mide 20 cm. Calcula: a) la apotema de la base. b) el área de la base. c) el área total. 9. La longitud de la circunferencia de la base de un cilindro recto mide 62,8 cm y su altura mide 18 cm (considera π = 3,14). a) ¿Cuál es su área lateral?

b) ¿Cuál es el área total del cilindro?

10. El radio de un cono recto mide 5 cm y su altura mide 12 cm, calcula: a) la medida de la generatriz.

b) ¿cuál es su área total?

Geometría y medición

Volumen del cilindro y cono En equipo En esta actividad deberán utilizar cartulina, pegamento, tijeras, regla, transportador y arena para dibujar redes de cilindro y cono y, luego, con los cuerpos geométricos que construyeron y la arena, realizarán una actividad exploratoria. Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones. a) Dibujen sobre la cartulina dos redes, una para armar un cilindro recto y otra para un cono recto. El radio de la base del cilindro mide 6 cm y su altura mide 8 cm. El radio de la base del cono mide 6 cm y su generatriz mide 10 cm; con esta información pueden calcular el ángulo del sector circular. b) Llenen el cono con arena y, luego, vacíenla en el cilindro. Repitan este procedimiento hasta que el cilindro quede completamente lleno.

Para discutir • ¿Podrían establecer una fórmula para calcular el volumen del cilindro?, ¿cuál? • ¿Cuál es el volumen del cilindro construido?, ¿cómo lo calculaste? • ¿Cuánto mide la altura del cono?, ¿cómo la calculaste? • ¿Cuántas veces puedes vaciar la arena que contiene el cono en el cilindro?, ¿por qué? • Usando la información anterior, ¿puedes encontrar una fórmula para calcular el volumen del cono?, ¿cuál?

Ayuda Recuerda que, cuando hablamos de volumen, nos referimos a la medida del espacio que ocupa un cuerpo. Para calcular el volumen de un prisma recto, puedes utilizar la fórmula: Volumen = área base • altura

Después de realizar la actividad anterior, se debe considerar que el área de un círculo se puede aproximar por medio del cálculo del área de polígonos regulares inscritos en una circunferencia y, además, que dicha aproximación será mejor mientras mayor sea el número de lados del polígono inscrito. Entonces, para calcular el volumen del cilindro podemos utilizar la fórmula: área base • altura Luego, el volumen del cilindro construido es (considerando π = 3,14):

V = 3,14 • 62 • 8 = 904,32 cm3 Por otra parte, notemos que la cantidad de arena que puede contener el cilindro es exactamente 3 veces lo que puede contener el cono. Entonces, para calcular el volumen del cono, podemos dividir por 3 el volumen del cilindro calculado anteriormente. Es decir, el volumen del cono es 904,32 : 3 = 301,44 cm3. Notemos que ambos cuerpos redondos tienen la misma altura (8 cm).

92 Unidad 3

Unidad 3

No olvides que... • El volumen de un cilindro es igual al producto del área de la base por la altura. Es decir, en un cilindro de radio r y altura h, el volumen se calcula:

Vcilindro = área base • altura = π • r 2 • h • El volumen del cono es igual a un tercio del producto del área de la base por la altura. Es decir, en un cono de radio r y altura h, el volumen se calcula:

Vcono = 1 • área base • altura = 1 • π • r 2 • h 3

Actividades Considera π = 3,14 en cada caso. 1. El radio de un cilindro mide 3,5 cm y su altura mide 10 cm, calcula su volumen. 2. Considera un cilindro cuya base es un círculo de 4 cm de radio y su altura mide 11 cm. Responde las siguientes preguntas. a) ¿Cuál es su volumen? b) ¿Qué ocurrirá con el volumen si su altura se duplica?, ¿y si se triplica? 3. Considera un cono cuya base tiene 5 cm de radio y su altura mide 12 cm. Responde las siguientes preguntas. a) ¿Cuál es su volumen? b) ¿Qué ocurrirá con el volumen si su radio se duplica?, ¿y si se triplica? 4. Considera un cono cuya altura mide 24 cm y su generatriz mide 26 cm. Responde las siguientes preguntas. a) ¿Cuál es su volumen? b) ¿Qué ocurrirá con el volumen si su altura se reduce a la mitad?, ¿y si se reduce al tercio? 5. El volumen de un cilindro es 240,21 cm3 y el radio de su base mide 3 cm; ¿cuánto mide su altura? Explica, paso a paso, cómo lo calculaste. 6. El volumen de un cono es 1017,36 cm3 y el área de su base es 254,34 cm2; ¿cuánto mide su altura?, ¿y el radio de su base? Explica, paso a paso, cómo lo calculaste. Geometría y medición

7. Calcula el área total y volumen de los siguientes cilindros y conos rectos (considera π = 3,14). a)

f) 2,5 cm

9 cm 15 cm

8,5 cm

7,3 cm

7 cm

15 cm

3,6 cm

h) 15 cm 10 cm

7,6 cm 4 cm

i) 2 cm 11,2 cm 16,3 cm

4,5 cm

j) 15 cm

39 cm

15 cm 7 cm

Herramientas tecnológicas Usando el programa Limix Geometric puedes representar gráficamente distintos cuerpos geométricos y calcular su área y volumen. Para descargar este programa ingresa a: www.limix.net. Luego, descarga Limix Geometric 1.2.16, haciendo clic sobre este link. Sigue los siguientes pasos para verificar con el software que tus resultados obtenidos en el ítem 7 son correctos: a) Después de abrir el programa, selecciona figura 3D ; aparecerá una lista de cuerpos geométricos. Selecciona cilindro y cono, según corresponda. b) Luego, debes ingresar los datos solicitados, como se muestra en el ejemplo . c) Presiona Calcular y obtendrás los resultados respectivos. d) Repite los pasos anteriores en una nueva aplicación cada vez, para verificar tus resultados.

94 Unidad 3

Unidad 3

Mi progreso Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3. Considera π = 3,14 en todos los casos. 1. ¿Cuál es el área lateral del cilindro recto cuya base es un círculo de 3,5 m de radio y su altura mide 12 m? A. 340,69 m2

B. 76,93 m2

C. 461,58 m2

D. 263,76 m2

2. Si en un cono recto la altura mide 4 cm y su generatriz mide 5 cm, ¿cuál es su volumen si su radio se triplica? A. 1017,36 cm3

B. 37,68 cm3

C. 339,12 cm3

D. 942 cm3

3. El volumen de un cono recto es 1004,8 cm3 y su área basal es 200,96 cm2, ¿cuánto mide su altura? A. 15 cm

B. 5 cm

C. 1,7 cm

D. 45 cm

4. La red dibujada es la de un cono recto. Calcula: a) el área total. b) el volumen.

12 cm 20 cm

5. En una empresa de conservas están haciendo una revisión de sus envases para modificar sus dimensiones, si fuese necesario. Los tipos de envases actuales se muestran a continuación:

Tipo B Tipo A 10 cm

8 cm 5 cm

4 cm

a) ¿Cuánto material más necesitan si la altura del envase tipo A aumenta al doble? b) ¿Cuál es la capacidad del envase tipo B, si su radio se modifica a la mitad y su altura se triplica? Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde. Criterio

Ítem

Calcular el área lateral de un cilindro recto.

Calcular el volumen de un cono recto.

Determinar la altura de un cono, dado el volumen y área basal.

Resolver problemas sobre el área y volumen del cilindro y cono.

4y5

Respuestas correctas

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera la estrategia utilizada. Geometría y medición

Buscando estrategias Sobre la base superior de un cilindro recto de 6 cm de radio de la base y 12 cm de altura, se construye un cono circular recto cuya altura es el triple que el cilindro y el radio es el mismo. ¿Cuál es el volumen del cuerpo formado? (Considera π = 3,14). 12 cm

Comprender • ¿Qué sabes del problema?

6 cm

Que el cono se encuentra en la base superior del cilindro. Ambos cuerpos tienen el mismo radio y la altura del cono es el triple que la altura del cilindro.

• ¿Qué debes encontrar? El volumen del cuerpo formado por el cilindro y el cono.

Planificar • ¿Cómo resolver el problema? Podemos calcular el volumen del cilindro y el del cono. Luego, sumamos ambos valores obtenidos para obtener el volumen del cuerpo que se forma.

Resolver • Calculamos los volúmenes de cada cuerpo redondo: El volumen del cilindro es π • 62 • 12 = 3,14 • 36 • 12 = 1356,48 cm3. El volumen del cono es π • 62 • 36 = 3,14 • 36 • 36 = 1356,48 cm3. 3 3 Luego, sumamos los valores obtenidos: 1356,48 + 1356,48 = 2712,96 cm3.

Responder • El volumen del cuerpo formado es 2712,96 cm3.

Revisar • Para comprobar el resultado, puedes realizar la adición algebraicamente y, luego, remplazar los datos correspondientes. El volumen del cuerpo generado, considerando que la altura del cono (hco ) es el triple de la altura del cilindro (hci ), es decir, hco = 3 • hci , entonces: π • r 2 • hci +

π • r 2 • hco 3

3 • π • r 2 • hci + π • r 2 • hco

3 • π • r 2 • hci + π • r 2 • (3 • hci )

= 3

Remplazando, 2 • 3,14 • 36 • 12 = 2712,96 cm

96 Unidad 3

3 3 6 •π •r 3

•

hci

= 2 • π • r 2 • hci

Unidad 3

1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones, donde los radios basales se mantienen en cada caso (considera π = 3,14). a) Sobre cada base de un cilindro recto de 8 cm de radio de la base y 15 cm de altura, se construye un cono recto, uno de altura 20 cm y el otro de altura el doble que el cilindro. ¿Cuál es el volumen del cuerpo formado? b) Sobre la base de un cono recto de 6 cm de radio de la base y 10 cm de generatriz, se construye un cono recto cuya altura es la mitad del otro cono. ¿Cuál es el volumen del cuerpo formado? c) Sobre la base superior de un cilindro recto de 5 cm de radio de la base y 4 cm de altura, se construye un cono recto cuya altura es el triple que el cilindro. ¿Cuál es el área total del cono? d) Dentro de un cubo de arista 6 cm, se construye una pirámide recta de base cuadrada la cual coincide con una de las caras del cubo. ¿Cuál es el área total de la pirámide recta si su altura es 6 cm? 2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución. Explica, paso a paso, y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras. 3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a) ¿Cuál es el volumen del cuerpo redondo que se obtiene al rotar un triángulo rectángulo de catetos 10 cm y 24 cm, alrededor del vértice que se observa en la figura? 24 cm 10 cm

b) Si la arista del cubo mide 14 cm, ¿cuál es el volumen del espacio limitado entre la pirámide recta y el cubo? 14 cm

Geometría y medición

Conexiones

Para finalizar NACIONAL

Una técnica para obtener dibujos Existe una técnica para dibujar objetos de forma sencilla y rápida; esta técnica consiste en “envolver” el objeto con alguna figura o cuerpo geométrico, la cual se denomina encaje. En nuestro alrededor existen muchos objetos que podemos encajar en cubos, cilindros, conos y esferas, o bien, por combinaciones de ellas. En la imagen podemos observar que el árbol de Navidad es, básicamente, la combinación de un cilindro y un cono. Utilizando esta técnica podemos aproximar la medida que ocupa un cuerpo en el espacio, calculando el volumen de el o los cuerpos asociados al objeto. Fuente: www.purpuraplastika.org/libros/10.pdf (consultado en noviembre de 2009, biblioteca on line Púrpura Plástica (PPK), libros para consulta).

Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes. 1. Si el radio del cilindro que envuelve a la base del árbol navideño mide 20 cm y su altura mide 10 cm y, el radio del cono que envuelve al árbol mide 35 cm y su altura mide 1,5 m, ¿cuánto mide aproximadamente el volumen del árbol de Navidad? 2. Escojan un objeto (por persona) de su entorno que se pueda encajar en un cilindro, cono o cubo, o la combinación de estos. Dibújenlo y calculen su volumen aproximado. 3. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser la solución correcta en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos. 4. ¿Cuál o cuáles cuerpos geométricos escogerían para dibujarse?, ¿por qué? Utilicen esta técnica para calcular el volumen de cada uno.

Evaluamos nuestro trabajo 1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según corresponda. Luego, comparen y completen sus respuestas. Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3 Respetó las opiniones de los demás integrantes. Cumplió con las tareas con las que se comprometió. Hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo. 2. Comenten y respondan: para el próximo trabajo en equipo, ¿qué aspectos podrían mejorar?

98 Unidad 3

Unidad 3

Síntesis

MEDICIONES

FIGURAS PLANAS

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

PERÍMETRO

CUERPOS GEOMÉTRICOS

• ARCO • CUERDA • SECANTE • TANGENTE

CILINDRO, CONO Y PIRÁMIDE

ÁREA

VOLUMEN

Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad y, apoyándote en el esquema anterior, responde. 1. ¿Crees que faltó algún concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Qué diferencias existen entre la circunferencia y el círculo?, ¿y qué semejanzas? 3. ¿Cuáles son los elementos de una circunferencia?, ¿qué características tienen? 4. ¿Qué relación tiene el número π con la circunferencia? Da 3 ejemplos. 5. ¿Cómo calculas la longitud de una circunferencia?, ¿qué otra forma conoces? 6. ¿Cómo calculas la el área del círculo?, ¿qué otra forma conoces? 7. Explica cómo calcular el área de un cono y un cilindro. 8. ¿Qué datos necesitas para calcular el volumen de un cono recto?, ¿y de un cilindro recto? 9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela en tu curso e intenten aclararla en conjunto.

Geometría y medición

¿Qué aprendí? Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. Considera π = 3,14, en todos los casos. 1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? I. Toda recta secante a una circunferencia determina una cuerda. II. Toda cuerda determina dos arcos de igual medida. III. En una circunferencia, si el radio mide 6 m, entonces, su diámetro mide 12 m. A. Solo I B. Solo II

A. B. C. D.

A. la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. B. la razón entre la longitud de una circunferencia y su radio. C. la razón entre el diámetro de una circunferencia y su longitud. D. la razón entre el radio de una circunferencia y su diámetro.

8,5 m 26,69 m 6,28 m 17 m

100 Unidad 3

A B

10 cm2 87,92 cm2 75,36 cm2 157 cm2

A. B. C. D.

12,56 m3 47,1 m3 37,68 m3 113,04 m3

R 4m

5m S

8. Si el radio del cilindro recto mide 10 cm y su altura mide 24 cm, ¿cuánto mide el área total del cono recto?

4. Los polígono regulares de la figura están inscritos en la circunferencia de centro O. La mejor aproximación para el área del círculo es: 45,4 cm2 50 cm2 46,8 cm2 52 cm2

153,86 cm2 329,7 cm2 50,24 cm2 379,94 cm2

7. ¿Cuál es el volumen del cono generado al rotar el triángulo rectángulo RST respecto de SR?

3. Si la longitud de una circunferencia es 53,38 m, entonces, su diámetro mide:

A. B. C. D.

6. En el rectángulo ABCD, AD = 5 cm, DC = 2 cm, entonces, el área total del cilindro generado al rotar el rectángulo respecto de AD es:

C. I y III D. I, II y III

2. El número π se define como:

A. B. C. D.

5. Si BC = 7 cm y AC = 11 cm, entonces, el área de la corona circular es:

A. B. C. D. 2,6 cm

4,2 cm 4 cm

O 3,6 cm

1130,4 cm2 2135,2 cm2 816,4 cm2 62,8 cm2

Unidad 3

9. Laura necesita forrar un envase cilíndrico recto cuyo radio mide 6 cm y su altura mide 21 cm. Si solo forrara su cara lateral, ¿cuánto papel necesitará? 10. Tres albañiles pintarán el exterior de un estanque de almacenamiento de agua que tiene forma de cilindro, cuyas medidas son 20 m de diámetro y 15 m de altura. a) ¿Cuál es el área que pintarán? b) Si cobran $ 860 por m2, ¿cuánto cobrarán por el trabajo completo? 11. La base de una pirámide regular es un hexágono cuyo perímetro es 60 cm, la apotema lateral mide 28 cm. Calcula el área de la base y el área total. 12. Si los radios de dos circunferencias están en la razón 1 : 3 y el radio menor mide 4 cm, responde: a) ¿cuál es la longitud de cada circunferencia? b) ¿cuál es el área de cada círculo?, ¿cuál es la razón entre sus áreas? Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿Qué logré? 1. Marca según tu apreciación.

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

Circunferencia y círculo como lugar geométrico. Elementos de la circunferencia. Número π y su relación con la circunferencia. Longitud de la circunferencia. Área del círculo. Área del cilindro y cono. Volumen del cilindro y cono.

2. Reflexiona y responde. a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste? b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué? c) Vuelve a la página 73 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”, ¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.

Geometría y medición

101

4 Unidad

102 Unidad 4

Movimientos en el plano

En esta Unidad podrás...

Symmetry drawing E70, Maurits Cornelis Escher. The M.C. Escher Company.

• Efectuar traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas por medio de construcciones con regla y compás. • Realizar traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas por medio de un procesador geométrico. • Reconocer las invariantes que se generan al realizar transformaciones isométricas. • Construir teselaciones regulares y semirregulares. • Reconocer y argumentar respecto de las transformaciones isométricas utilizadas en teselaciones regulares y semirregulares.

Conversemos de... Maurits Cornelis Escher (1898-1972), artista holandés, es uno de los artistas gráficos más grandes del siglo XX. Sus trabajos han sido del interés de muchos matemáticos, porque utiliza patrones de figuras que cubren una superficie plana sin superponer las figuras ni dejar espacios libres entre ellas. Escher trabaja principalmente con figuras obtenidas a partir de cuadriláteros y triángulos, las que modifica para crear un patrón que, al repetirlo, encaja con los demás, embaldosando una superficie plana. La imagen corresponde a una de las obras de Escher. Observa y responde. 1. ¿Observas alguna regularidad o patrón?, ¿cuál? 2. ¿Qué figuras observas en la imagen?, ¿se repite alguna?, ¿cuál? Comenta con tus compañeros y compañeras de qué manera se va repitiendo la imagen. 3. ¿Te imaginas esta imagen girando alrededor de un punto?, ¿de cuál?

Movimientos en el plano

103

¿Cuánto sabes? 1. Calcula las medidas de los ángulos x e y. En cada caso L1 // L2. a)

140º x

L1 y 72º

L2 L1

2. Completa la siguiente tabla. Utiliza regla y transportador para efectuar las mediciones de lados y ángulos, respectivamente. Figura

Nombre

Medida de ángulos

Medida de lados

R γ β

M J

D Eε F

γ C β

3. Sigue las siguientes instrucciones. Usa regla y compás para realizar las construcciones en tu cuaderno. a) Copia los segmentos y el ángulo que aparecen a continuación para construir un triángulo. b) Construye la circunferencia circunscrita al triángulo. a α

• ¿Cómo lo hiciste?, ¿cuál es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo?

104 Unidad 4

Unidad 4

4. Copia la siguiente recta L en tu cuaderno y construye usando regla y compás: a) una recta paralela a la recta L.

b) una recta perpendicular a la recta L. L

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿Qué debes recordar? • • • •

Dos rectas son paralelas, cuando no se intersecan en ningún punto o son coincidentes. Dos rectas son secantes, cuando se cortan en un único punto. Dos rectas son perpendiculares, cuando al intersecarse forman 4 ángulos rectos. Un ángulo es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas, llamadas lados, que tienen un origen común, llamado vértice. A • Un ángulo como el de la figura se puede nombrar utilizando la O α notación ⱔBOA, siendo O el vértice del ángulo. La medida de este ángulo es α. B • Los ángulos se pueden clasificar según sus medidas en: agudo (mide más de 0º y menos de 90º), recto (mide 90º), obtuso (mide más de 90º y menos de 180º), extendido (mide 180º) y completo (mide 360º). • Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es igual a 90º, y suplementarios si la suma de sus medidas es igual a 180º. • Un polígono es una figura geométrica plana limitada por al menos tres segmentos rectos consecutivos no alineados, llamados lados. D

γ´ γ α´ α

δ β β´

δ´

En el polígono ABCD: ⱔα, ⱔβ,ⱔδ, y ⱔγ son ángulos interiores. ⱔα´, ⱔβ´,ⱔδ´, y ⱔγ´ son ángulos exteriores.

• Los polígonos se pueden clasificar según el número de sus lados en: triángulos (3 lados), cuadriláteros (4 lados), pentágonos (5 lados), hexágonos (6 lados), etc. • Si un polígono tiene todos sus lados de igual medida y todos sus ángulos son congruentes, se llama polígono regular. • Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores son menores que 180º. • La suma de todos los ángulos interiores de un polígono de n lados se puede calcular con la siguiente fórmula: (n – 2) • 180º. • La suma de todos los ángulos exteriores de un polígono convexo es 360º.

Movimientos en el plano

105

Transformaciones de figuras y objetos A partir de la figura 1 y 3 se obtuvieron las figuras 2 y 4, respectivamente. Obsérvalas. Figura 1

Figura 2

Figura 3 Figura 4

Para discutir • ¿Qué cambió en la figura 1 para obtener la figura 2?, ¿cómo lo supiste? • ¿Qué cambió en la figura 3 para obtener la figura 4?, ¿cómo lo supiste? • ¿Podrías decir que los cambios corresponden a transformaciones en cada caso?, ¿por qué?, ¿de qué tipo? • ¿Qué sucede con las medidas de los lados y ángulos en cada caso? Comúnmente utilizamos la palabra transformación para referirnos a algún cambio, ya sea en el tamaño, en la forma o en la posición de un objeto o un cuerpo. En matemática, hablamos de una transformación cuando un conjunto de puntos se ha movido siguiendo una regla o condición dada.

Glosario isometría: La palabra isometría es de origen griego y significa “igual medida” (iso = igual o mismo, metría = medir).

106 Unidad 4

Como puedes observar, para obtener la figura 2 a partir de la figura 1, fue necesario aplicar una transformación. En este caso, cambió su posición, pero no su tamaño ni su forma, pues las medidas de sus lados y ángulos son iguales (congruentes). Esta transformación se denomina reflexión y corresponde a una transformación isométrica porque los puntos de la figura 1 se han movido de manera tal que se conservan todas sus medidas. Observa que también se aplicó una transformación a la figura 3 para obtener la figura 4; sin embargo, no corresponde a una transformación isométrica, porque cambia el tamaño de la figura, aunque no su forma. En este caso, las medidas de los lados de la figura 4 son el doble de los de la figura 3 y las medidas de los ángulos correspondientes son las mismas.

Unidad 4

No olvides que... • Cuando se aplica una transformación a una figura u objeto, modificando su posición, sin alterar su tamaño ni su forma, se habla de que se le ha aplicado una transformación isométrica. • Al aplicar una transformación isométrica a una figura, se obtiene otra figura, que se denomina imagen de la figura inicial. En general, usaremos la misma letra con un apóstrofo para señalar el vértice obtenido luego de una transformación. Por ejemplo: El Δ A´B´C´ es la imagen del Δ ABC

Figura inicial Imagen A

A´ C B

C´ B´

A y A´; B y B´; C y C´ son vértices correspondientes entre sí.

Actividades 1. Observa las imágenes de cada recuadro y, luego, responde.

• ¿Podrías decir que corresponden a transformaciones isométricas?, ¿por qué? 2. En cada caso, determina si las siguientes figuras pueden obtenerse a partir de la aplicación de una transformación isométrica. Justifica. a)

Movimientos en el plano

107

Traslaciones de figuras planas C C´

Observa el cuadrilátero A´ B´C´D´ que se obtuvo al aplicar una transformación isométrica al cuadrilátero ABCD.

D D´

Para discutir

B A

B´ A´

Ayuda Para realizar la construcción geométrica de una recta paralela a una recta L que pasa por un punto D, exterior a L, podemos dibujar una circunferencia con centro en cualquier punto de la recta L que contenga a D. Luego, llamamos F y G a los puntos de intersección entre L y la circunferencia. Con el compás, medimos el trazo FD y, luego, dibujamos un arco con centro en G y radio FD que interseque a la circunferencia, determinando el punto J. Finalmente, se une D con J, obteniendo la recta DJ, paralela a la recta L.

• ¿Cómo describirías la transformación isométrica que se le aplicó?, ¿qué cambió?, ¿y qué se mantuvo? • ¿Cuánto miden los lados y ángulos correspondientes en las figuras?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en estos casos? • Si unes los vértices correspondientes (A con A´, B con B´, etc.) con una línea y, luego, las mides, ¿cómo son entre sí?, ¿qué otra característica observas? • Si tuvieras solo la figura inicial y la flecha que representa el movimiento de A hasta A´, ¿cómo podrías obtener la imagen usando regla y compás?

En la situación presentada, cada uno de los puntos de la figura inicial (ABCD) se desplazó en la misma magnitud, dirección y sentido para obtener su imagen (A´ B´C´D´), además, al medir los lados y ángulos correspondientes de ambas figuras, podrás constatar que dichas medidas se mantienen; esto ocurre cuando la transformación isométrica que se aplica a la figura inicial corresponde a una traslación. Para representar gráficamente el movimiento realizado, podemos utilizar una flecha, que se llama vector de traslación. En las figuras presentadas, al unir sus vértices correspondientes, obtenemos los vectores de traslación que miden lo mismo, tienen el mismo sentido y son paralelos entre sí. Observa ahora cómo podemos realizar, con regla y compás, la → traslación de una figura dada conociendo el vector de traslación (EF ).

Figura 1 C

1º Realizamos la construcción geométrica de rectas paralelas al vector dado que pasen por cada vértice (A, B, C y D). En este caso, tenemos que construir 4 rectas paralelas al vector EF,

D B A

como se observa en la figura 1. E F

108 Unidad 4

Unidad 4

2º Copiamos la medida del vector en cada recta construida,

Figura 2 C

a partir del vértice en el sentido que indica el vector. De este modo, obtenemos los vértices de la imagen, como se observa en la figura 2.

C´ D D´ B A

B´ A´

3º Unimos los vértices de la imagen, determinando el cuadrilátero

Figura 3 C

trasladado, según el vector dado, como se observa en la figura 3.

C´

D D´ B A

B´ A´

No olvides que... Una traslación es una transformación isométrica que desplaza todos los puntos de una figura en una misma magnitud, dirección y sentido.

Actividades 1. Construye un triángulo isósceles en tu cuaderno y dibuja un vector con la magnitud, dirección y sentido que tú quieras. Luego, usando regla y compás, trasládalo según el vector. 2. Usando regla y compás, traslada el Δ ABC según el vector DT y, luego, a la imagen obtenida, trasládala según el vector FK.

C A K B D T

3. ¿Podrías trasladar el Δ ABC del ítem anterior, según un solo vector, obteniendo la segunda imagen?, ¿cuál es el vector?, ¿cómo lo construirías manteniendo la magnitud, dirección y sentido? Construye la traslación en tu cuaderno, usando regla y compás.

Movimientos en el plano

109

Reflexiones de figuras planas Observa la figura inicial y su A imagen obtenida al aplicarle una transformación isométrica.

A´ D´

E´

Para discutir

B´

C´

• ¿Qué ocurriría con las figuras si doblaras la hoja por la recta L? • Si se le aplicó una transformación isométrica a la figura inicial, ¿qué se mantiene?, ¿y qué cambia? • Une con una línea recta los puntos correspondientes (A con A´, B con B´, etc.). ¿Cómo son estas líneas en relación a la recta L? • Mide la distancia entre el punto A y la recta y, luego, la distancia entre el punto A´ y la recta. ¿Cómo son entre sí? • Haz lo mismo con las medidas de los demás puntos. ¿Se cumple siempre?

Ayuda Recuerda que, la simetral o mediatriz de un segmento es una recta perpendicular al segmento que pasa por el punto medio del segmento. Todos los puntos de una simetral están a igual distancia de los extremos del segmento.

En la situación anterior, el pentágono A´B´C´D´ E´ es la imagen del pentágono ABCDE. Si dobláramos la hoja por la recta L, los vértices y lados de la figura inicial coinciden con los de la imagen. Además, al unir cada par de puntos correspondientes, podrás verificar que la recta L es perpendicular a estos trazos (AA´ ⊥ L, BB´ ⊥ L, etc.) y que los vértices correspondientes se ubican a igual distancia de la recta L. Cuando esto ocurre, la transformación isométrica aplicada se llama reflexión. En esta transformación isométrica, todos los puntos se reflejan respecto de una línea recta, llamada eje de simetría, ubicándose a la misma distancia del eje, pero al lado contrario. En el ejemplo anterior, el eje de simetría es la recta L. Observa ahora cómo podemos realizar, con regla y compás la reflexión de una figura dada respecto de un eje de simetría (recta L).

Figura 1

1º Dibujamos un arco con centro en uno de los vértices (D) de la

P E B

110 Unidad 4

D Q

figura inicial que interseque al eje de simetría en dos puntos, que denominaremos P y Q, como se observa en la figura 1.

Unidad 4

2º Con centro en P y el mismo radio anterior dibujamos una circunferencia y con centro en Q dibujamos otra circunferencia con el mismo radio. El vértice D y su imagen D´corresponden a la intersección de las circunferencias con centros P y Q; como se

Figura 2 L

P D

observa en la figura 2.

D´ Q

La recta DD´ corresponde a la simetral del trazo PQ. C

Figura 3

3º Finalmente, realizamos la misma construcción para cada vértice de la figura inicial; de este modo, obtenemos la imagen de cada vértice, los cuales unimos determinando la imagen, como se observa en la figura 3.

No olvides que...

A´

D D´

E´

B´

C´

Una reflexión es una transformación isométrica en la cual a cada punto de una figura se le asocia otro punto, llamado imagen, de modo que: • El punto y su imagen están a igual distancia del eje de simetría. • El segmento que une el punto con su imagen es perpendicular al eje de simetría.

Actividades 1. Construye un cuadrilátero en tu cuaderno y dibuja una recta que no interseque al cuadrilátero. Luego, usando regla y compás, aplícale una reflexión con respecto a la recta. 2. Usando regla y compás, aplica una reflexión al triángulo isósceles MNR (de base MN) respecto de la recta MN.

3. ¿Qué tipo de cuadrilátero se formó al reflejar el Δ MNR del ítem anterior respecto de la recta MN?, ¿por qué?, ¿qué otro triángulo podrías reflejar para obtener el cuadrilátero?

Movimientos en el plano

111

Rotaciones de figuras planas A la siguiente pieza de un rompecabezas, se le aplicó la misma transformación isométrica 2 veces. Observa lo que se obtuvo cada vez.

Para discutir • ¿Cómo describirías cada movimiento de la pieza?, ¿por qué? • Según los movimientos realizados por la figura, ¿cuántas veces debes aplicar la misma transformación isométrica para que quede como la figura del principio?, ¿cómo lo supiste? • ¿Existe algún punto de esta pieza que quede siempre fijo al realizar los movimientos anteriores?, ¿cuál?

Ayuda Si observas los movimientos de la pieza de rompecabezas de la situación anterior, en el siguiente movimiento, la pieza volverá a su posición inicial, siempre y cuando el movimiento realizado sea igual a los anteriores. En esta transformación, todos los puntos de la figura se mueven en torno a un punto fijo, llamado centro de rotación, en un ángulo determinado, que es el ángulo de rotación.

Recuerda que, para copiar un ángulo AOB dado, copiamos el trazo OB sobre una recta L. Con centro en O, dibujar una circunferencia con radio OA. Luego, con centro en B, dibujar una circunferencia con radio AB. La intersección de ambas circunferencias determina el punto A.

Cuando esto ocurre, la transformación isométrica aplicada se llama rotación. El centro de rotación puede estar dentro o fuera de la figura. El ángulo de rotación puede tener sentido positivo (en sentido contrario a los punteros del reloj) o negativo (en el sentido de los punteros del reloj).

Finalmente, unir O con A para obtener el ángulo requerido.

Figura 1 J A

C B

J I

C β

B C´

112 Unidad 4

Observa ahora cómo realizar, con regla y compás, la rotación del Δ ABC respecto del centro O y en un ángulo de rotación β = 75º (en sentido positivo), como se observa en la figura 1

1º Dibujamos una circunferencia con centro O y radio OC

Figura 2 A

En el ejemplo anterior, el centro de rotación está dentro de la figura y el ángulo de rotación es de 90º cada vez que rota (en sentido positivo).

K O

y copiamos el ángulo β (o usamos transportador) en sentido positivo, respecto al radio OC y con vértice O. Marcar la imagen C´ en la circunferencia, como se observa en la figura 2.

Unidad 4

2º Repetimos el mismo procedimiento para los demás vértices y,

Figura 3 J

luego, unimos los puntos, obteniendo la imagen del triángulo, como se observa en la figura 3.

I β

B C’

A’

B’

No olvides que... Una rotación es una transformación isométrica, en la cual todos los puntos se mueven respecto a un punto fijo llamado centro de rotación, en un determinado ángulo, llamado ángulo de rotación.

Actividades 1. Construye un triángulo escaleno en tu cuaderno. Luego, usando regla y compás, rótalo respecto de uno de sus vértices en un ángulo que tú escojas. 2. Usando regla y compás (si es necesario transportador), aplícale una rotación al Δ PQR en torno al punto O en el ángulo α = 70º y, luego, a la imagen obtenida aplícale otra rotación respecto del mismo punto O en el ángulo β = 110º.

P E α

B β

Q R O

3. En el ítem anterior, ¿puedes obtener la imagen final mediante una sola rotación de la figura inicial respecto del punto O?, ¿cómo? Realiza la rotación en tu cuaderno utilizando regla, compás y transportador.

Movimientos en el plano

113

Herramientas tecnológicas Traslaciones, reflexiones y rotaciones usando software geométrico Usando el programa Geogebra puedes construir transformaciones isométricas, siguiendo los pasos que se dan a continuación. Para descargar este programa ingresa a: www.geogebra.at y en el menú de la izquierda, selecciona Webstart-TeleInicio y, luego, el botón Webstart. Traslación de un triángulo 1º Presiona el botón derecho y selecciona Ejes. Presiona nuevamente el botón derecho y selecciona Cuadrícula. 2º En las herramientas del software, selecciona Polígono . Luego, en la cuadrícula dibuja un triángulo haciendo tres clic en distintos puntos; el cuarto clic lo debes hacer sobre el vértice del primer clic del triángulo. 3º Selecciona la herramienta Vector entre Dos Puntos . En la cuadrícula, haz dos clic en distintos puntos para dibujar el vector de traslación, con la magnitud y sentido que quieras. 4º Selecciona la herramienta Traslada objeto por un Vector luego, sobre el vector; aparecerá el triángulo trasladado. 5º Selecciona la herramienta Distancia o Longitud 6º Selecciona la herramienta Área

. Haz clic sobre el triángulo y

. Haz clic sobre cada uno de los triángulos.

Luego de realizar los pasos anteriores, responde: a) ¿Cuánto mide el perímetro y área de la figura inicial y de la imagen?, ¿cómo se relacionan? b) ¿Ocurrirá lo mismo en cualquier traslación de figuras?, ¿cómo lo supiste? c) En una nueva aplicación de Geogebra, dibuja otro polígono (que no sea un triángulo), realiza los mismos pasos anteriores y responde las preguntas a y b. Reflexión de un cuadrilátero 1º Utiliza una hoja nueva, presiona el botón derecho y selecciona Ejes. Presiona nuevamente el botón derecho y selecciona Cuadrícula. 2º En las herramientas del software, selecciona Polígono . Luego, en la cuadrícula dibuja un cuadrilátero haciendo cuatro clic en distintos puntos, el quinto clic lo debes hacer sobre el vértice del primer clic del cuadrilátero. 3º Selecciona la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos . En la cuadrícula, haz dos clic en distintos puntos para dibujar el eje de simetría. 4º Selecciona la herramienta Refleja objeto en recta . Haz clic sobre el cuadrilátero y, luego, sobre la recta, aparecerá la imagen. 5º Selecciona la herramienta Distancia o Longitud . Haz clic sobre cada lado de la figura inicial y, luego, sobre cada lado de la imagen; aparecerán las medidas de todos los lados.

114 Unidad 4

Unidad 4

Luego de realizar los pasos anteriores, responde: a) b) c) d)

¿Cuánto mide cada lado de la figura inicial y de la imagen?, ¿cómo se relacionan? Calcula el perímetro y área de ambas figuras, usando las herramientas del software. ¿Ocurrirá lo mismo en cualquier polígono que apliques una reflexión?, ¿cómo lo supiste? En una nueva aplicación de Geogebra, dibuja otro polígono (que no sea cuadrilátero), realiza los mismos pasos anteriores y responde las preguntas a, b y c.

Rotación de un triángulo 1º Utiliza una hoja nueva, presiona el botón derecho y selecciona Ejes. Presiona nuevamente el botón derecho y seleccionar Cuadrícula. 2º En las herramientas del software, selecciona Polígono . Luego, en la cuadrícula dibuja un triángulo haciendo tres clic en distintos puntos; el cuarto clic lo debes hacer sobre el vértice del primer clic del triángulo. 3º Selecciona la herramienta Nuevo Punto . Haz clic en cualquier parte de la cuadrícula para dibujar el centro de rotación. 4º Selecciona la herramienta Rota Objeto en torno a un Punto, el Ángulo indicado . Haz clic sobre el triángulo y, luego, sobre el centro de rotación. Aparecerá una tabla en la cual debes ingresar el ángulo de rotación, puede ser 70º (o el que tú quieras). Para escribir el símbolo º, selecciónalo en las opciones que aparecen en la tabla que se muestra en la figura. Una vez ingresado el ángulo de rotación, presiona OK; aparecerá la imagen rotada en sentido positivo. 5º Selecciona la herramienta Ángulo . Haz clic sobre cada vértice correspondiente al ángulo interior que deseas medir del triángulo de la figura inicial, en sentido antihorario; aparecerán las medidas de los ángulos interiores del triángulo como se muestra en la figura. Luego, repite el mismo procedimiento para medir los ángulos interiores de la imagen.

B α = 36.51º

a C

γ = 57.95º c b

β = 85.54º A

Luego de realizar los pasos anteriores, responde: a) ¿Cuánto mide cada ángulo interior de la figura inicial y de la imagen?, ¿cómo se relacionan? b) Calcula el perímetro, área y medidas de cada lado de ambas figuras, usando las herramientas del software, ¿qué observas? c) ¿Ocurrirá lo mismo en cualquier transformación isométrica?, ¿por qué?

Movimientos en el plano

115

En equipo En esta actividad deberán usar el software Geogebra. Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones. 1. Presionen el botón derecho y seleccionen Ejes. Presionen nuevamente el botón derecho y seleccionen Cuadrícula. . Dibujen un triángulo escaleno 2. En las herramientas del software, seleccionen Polígono obtusángulo haciendo tres clic en distintos puntos, luego, hagan un clic sobre el vértice del primer clic del triángulo. 3. Seleccionen la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos . En la cuadrícula, hagan dos clic en distintos puntos para dibujar el eje de simetría. 4. Seleccionen la herramienta Refleja Objeto en Recta . Hagan clic sobre el triángulo y, luego, sobre la recta; aparecerá la imagen. . En la cuadrícula, hacer un clic por donde deseen 5. Seleccionen la herramienta Recta Paralela que pase la recta paralela al eje de simetría y, luego, hagan clic sobre dicho eje; aparecerá la recta paralela al eje de simetría. 6. Seleccionen la herramienta Refleja Objeto en Recta y reflejen la imagen obtenida anteriormente según la segunda recta dibujada; aparecerá la imagen de la primera imagen. 7. Luego de realizar los pasos anteriores, comenten y respondan: ¿qué transformación isométrica es equivalente a las dos transformaciones sucesivas aplicadas anteriormente?, ¿por qué? Verifiquen sus respuestas utilizando el software. 8. En una hoja nueva, presionen el botón derecho y seleccionen Ejes. Presionen nuevamente el botón derecho y seleccionen Cuadrícula. . Luego, dibujen el polígono que 9. En las herramientas del software, seleccionen Polígono ustedes quieran. 10. Seleccionen la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos y hagan una recta vertical. 11. Seleccionen la herramienta Refleja Objeto en Recta

y reflejen el polígono respecto de la recta.

12. Seleccionen la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos perpendicular a la otra recta como se observa en la figura 1.

y hagan una recta horizontal,

13. Seleccionen la herramienta Refleja Objeto en Recta y reflejen la imagen obtenida respecto de la recta horizontal. 14. Luego de realizar los pasos anteriores, comenten y respondan: ¿qué transformación isométrica es equivalente a las dos transformaciones sucesivas aplicadas anteriormente?, ¿por qué? Verifiquen sus respuestas utilizando el software. B´ b´

D´

a´

c´

C´ G

d´

A´

A F

b a

c C Figura 1

116 Unidad 4

4 Unidad 5

Mi progreso Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3. 1. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una traslación según un determinado vector? A.

2. ¿En cuál de los siguientes casos se representa mejor una reflexión según la recta dada? A.

3. Al aplicar una rotación a una figura con el centro de rotación en uno de los vértices de ella, siempre se cumple que: A. B. C. D.

un punto de la figura queda fijo. ningún punto de la figura queda fijo. todos los puntos de la figura cambian de posición. los vértices de la figura no cambian de posición.

4. Construye en tu cuaderno un triángulo (Δ MNT ), además, dibuja un vector M → (DE ) y una recta (L), como se observa en la figura. Luego, usando regla y compás, aplica una traslación al triángulo, según el vector. A la imagen N obtenida, aplícale una reflexión según la recta. A esta última imagen, rotar con D centro de rotación en uno de sus vértices y en un ángulo de rotación de 100º.

Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde. Criterio

Ítem

Identificar una traslación según un vector.

Identificar una reflexión según una recta dada.

Analizar expresiones asociadas a la rotación de una figura.

Realizar transformaciones isométricas usando regla y compás.

Respuestas correctas

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera la estrategia utilizada. Movimientos en el plano

117

Teselaciones Observa el siguiente diseño.

Para discutir • ¿Qué características observas en el diseño anterior?, ¿qué tipo de polígono se repite?, ¿es posible realizar un diseño similar con cuadrados?, ¿y con círculos? • ¿Puedes cubrir una superficie plana con otros polígonos?, ¿cuáles?, ¿cómo lo harías?, ¿qué condiciones se deben cumplir? • ¿Es posible que queden espacios al cubrir una superficie plana muy grande con el diseño anterior?, ¿por qué? • ¿Se utilizaron transformaciones isométricas para realizar el diseño anterior?, ¿cuáles? El polígono que se repite en el diseño anterior es un triángulo equilátero, el cual puede cubrir o pavimentar una superficie plana de modo que no queden espacios y no se sobrepongan las figuras.

Glosario mosaico: corresponde a una obra realizada con fracciones diversas empleando materiales como rocas, vidrios o madera. Diversas culturas han decorado paredes o han pavimentado pisos incursionando en este arte.

Esta regularidad de las figuras se llama teselación, técnica utilizada por diversas culturas para pavimentar o formar un mosaico. Las teselaciones se construyen realizando traslaciones, reflexiones o rotaciones sobre una figura inicial. En el diseño anterior, para cubrir la superficie, se pueden aplicar sucesivas traslaciones, según el mismo vector, como se observa a continuación: Figura inicial Luego, a cada triángulo obtenido se puede reflejar con respecto al lado de la base, es decir:

Los triángulos obtenidos se pueden trasladar con vectores de igual magnitud, y sentido contrario. De este modo, la imagen de cada triángulo, será la pintada del mismo color, como se observa:

Aplicando estas transformaciones se obtiene el diseño inicial.

118 Unidad 4

Unidad 4

Así, se deben seguir aplicando transformaciones isométricas para cubrir completamente una superficie plana. Si observas la teselación anterior, los ángulos que concurren a un vértice suman 360º, pues concurren 6 ángulos que miden 60º cada uno.

No olvides que... • Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana y que cumple con dos requisitos: que no queden espacios y que no se sobrepongan o traslapen las figuras. • Las teselaciones se crean usando transformaciones isométricas sobre una o varias figuras iniciales. • Para construir una teselación, se debe considerar que la suma de los ángulos de las figuras que concurren a un vértice es 360º.

Actividades 1. Señala si los siguientes diseños pueden ser parte de una teselación. Explica tu decisión. a)

2. Indica con cuál de las siguientes figuras es posible teselar el plano. Justifica tu respuesta. a)

3. Construye teselaciones en tu cuaderno, a partir de las figuras seleccionadas del ítem anterior. Indica las transformaciones isométricas que utilizaste para teselar.

Movimientos en el plano

119

Teselaciones regulares y semirregulares Observa las siguientes teselaciones.

Para discutir • ¿Qué diferencias observas en cada teselación?, ¿qué semejanzas? • ¿Qué polígonos se utilizaron para construir cada teselación?, ¿son polígonos regulares? • ¿Con qué polígono regular es posible construir teselaciones?, ¿cómo lo supiste? • ¿Es posible construir teselaciones combinando otros polígonos regulares?, ¿cuáles?

Ayuda Recuerda que un polígono regular tiene todos sus lados de igual medida y todos sus ángulos son congruentes. Cada ángulo interior de un polígono regular de n lados está dado por: (n – 2) • 180 n

En las teselaciones anteriores puedes observar que ambas están construidas con polígonos regulares. La primera está construida usando solo un polígono regular (hexágono), por lo que se llama teselación regular. La segunda, en cambio, se construyó usando combinaciones de polígonos regulares (hexágono y triángulo equilátero), por lo que se llama teselación semirregular. En una teselación, la suma de los ángulos que concurren a un vértice es 360º. En las teselaciones anteriores, podemos verificarlo:

120º 120º 120º

120º60º 120º 60º

No olvides que... • Una teselación es regular cuando se construye usando solo un polígono regular. • Una teselación es semirregular cuando se construye usando combinaciones de polígonos regulares. Llamaremos base a la combinación de polígonos que generan dicha teselación.

120 Unidad 4

Unidad 4

Actividades 1. Si las bases en las teselaciones de la página anterior, son las que están pintadas, indica las transformaciones isométricas involucradas en cada una de ellas. a)

2. Usando regla y compás, dibuja en tu cuaderno un cuadrado y, a partir de esta figura, construye una teselación regular. Indica las transformaciones isométricas involucradas. 3. Usando regla y compás, dibuja en tu cuaderno un triángulo equilátero de 3 cm por lado y, a partir de esta figura, construye una teselación regular. Indica las transformaciones isométricas involucradas. 4. Dadas las siguientes figuras, forma la base de una teselación semirregular para cada caso y, luego, usando regla y compás, construye en tu cuaderno una teselación con cada combinación de polígonos regulares. Indica las transformaciones isométricas involucradas. a)

5. Responde las siguientes preguntas. a) ¿Es posible construir teselaciones con pentágonos regulares?, ¿y con heptágonos?, ¿por qué? b) ¿Es posible construir teselaciones semirregulares con pentágonos regulares y triángulos equiláteros?, ¿cómo? c) ¿Es posible construir teselaciones semirregulares con dodecágonos regulares y triángulos equiláteros?, ¿cómo?

Movimientos en el plano

121

En equipo En esta actividad deberán utilizar un trozo de cartón piedra de 40 cm por 30 cm, pegamento, tijeras, papeles de colores, regla y compás. Formen grupos de cuatro integrantes y sigan las instrucciones. 1. Algunas teselaciones se pueden obtener realizando algunas transformaciones sobre una figura. Observa.

cuadrado

triángulo equilátero

rotación de semicircunferencia

rotación de arco

teselación

2. Escojan alguna de las teselaciones anteriores o construyan otra usando la misma técnica (para triángulo equilátero o cuadrado), para teselar sobre el cartón utilizando los papeles de colores. 3. Identifiquen y describan las transformaciones isométricas involucradas en su teselación. 4. Expongan al resto del curso el trabajo realizado y expliquen acerca de las transformaciones isométricas utilizadas.

Herramientas tecnológicas M. C. Escher es un artista clave en el tema de las teselaciones. Legó gran cantidad de obras de arte en las cuales se observa la aplicación de teselaciones. En la página que se sugiere a continuación, podrás observar algunas de las obras de este artista: http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/escher.htm Usando la página web anterior, sigue las instrucciones y responde las preguntas. a) b) c) d) e)

Selecciona una de las teselaciones de Escher, haciendo un clic en el número correspondiente. Mueve el deslizador hacia abajo. ¿A partir de qué polígono se genera la teselación? ¿Qué transformaciones se aplicaron al polígono para obtener la figura de la teselación? ¿Qué transformaciones isométricas se utilizan en la teselación? Selecciona otra teselación, repite los pasos anteriores y responde las preguntas.

122 Unidad 4

Unidad 4

Mi progreso Marca la opción correcta en las preguntas 1 y 2. 1. Se puede teselar el plano combinando: A. B. C. D.

pentágonos regulares y cuadrados. octágonos regulares y cuadrados. hexágonos y pentágonos regulares. Todas las anteriores.

2. ¿Qué polígono no tesela el plano? A. Cuadrado.

B. Rectángulo.

C. Pentágono.

D. Hexágono regular.

3. Identifica con cuál o cuáles transformaciones isométricas se realizaron las siguientes teselaciones. a)

4. Dadas las siguientes figuras, forma la base de una teselación semirregular y, luego, usando regla y compás construye en tu cuaderno una teselación con ella. Indica las transformaciones isométricas involucradas.

Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde. Criterio

Ítem

Reconocer con qué polígonos se pueden construir teselaciones semirregulares y regulares.

1y2

Identificar las transformaciones isométricas en una teselación.

Construir una teselación semirregular y argumentar acerca de las transformaciones isométricas involucradas.

Respuestas correctas

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera la estrategia utilizada. Movimientos en el plano

123

Buscando estrategias Un grupo de amigos y amigas organizó un juego, que consiste en partir desde un lugar y llegar a otro, pasando a buscar agua al río. Gana la persona que escoge el camino de menor longitud. Si llamaron punto A al lugar inicial, punto B al lugar de llegada y recta L al río, ¿qué estrategia permite ganar el juego?, ¿por qué?

C2 L

A B

Comprender • ¿Qué sabes del problema? Que cada jugador estará ubicado en un punto, denominado punto A y debe llegar a otro punto denominado B, pasando a buscar agua a un río, denominado recta L.

• ¿Qué debes encontrar? El camino de menor longitud justificando la estrategia empleada.

Planificar • ¿Cómo resolver el problema? Para resolver el problema aplicaremos una reflexión y, luego, justificaremos la estrategia empleada con la desigualdad triangular.

Resolver • Debemos encontrar un punto C en el río, de manera que la distancia desde A hasta C y, luego, desde C hasta B, sea la mínima. Para ello, reflejamos el punto A en la recta L, determinando A´. Unimos con una recta A´ con B. El trazo A´ B corta a la recta L en C. De este modo, el camino desde A hasta C y, luego, desde C hasta B, es el

A´

A B

más corto.

Para justificar la estrategia empleada, consideremos que el trazo A´ C es el reflejo del trazo AC, entonces dichos trazos (x) tienen igual medida. Consideremos cualquier otro camino que vaya de A a B y que recoja agua en un punto D del río. Por la desigualdad triangular, sabemos que la suma de las longitudes de dos lados de un triángulo es siempre mayor que la longitud del tercer lado, además, A´ B = x + y, y A´ D = AD = d. Por lo tanto: x + y < d + e.

A´ d

C x

Finalmente, podemos concluir que el punto C determina el menor camino.

124 Unidad 4

Unidad 4

Responder • Al aplicar una reflexión al punto A, según la recta L, determinamos el punto A´. Luego, unimos A´ con B, la intersección entre el segmento A´B con la recta L es C, que corresponde al punto del río que determina el menor camino.

Revisar • Para comprobar que el punto C determina el menor camino marcamos distintos puntos en la recta L y, luego, medimos la distancia desde A hasta cada punto y desde el punto (incluido C) hasta B. De este modo verificamos que el punto C determina el menor camino. 1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones. a) Luis, Marcela y Paula están jugando en el gimnasio de su colegio, el cual tiene forma rectangular. El juego consiste en partir desde un E punto del gimnasio, tocar una de sus paredes, llegar a otro punto, F tocar nuevamente la pared y, finalmente, llegar a otro punto del partida gimnasio. Gana quien escoge el camino más corto; para ello, Paula es la que determina quién ganó, midiendo con una huincha el camino de cada competidor. ¿Cuál es la estrategia que permite ganar el juego? Justifica tu respuesta. b) El billar es un juego que se practica en una mesa, generalmente rectangular, rodeada de bandas. El juego se basa en choques de bolas entre sí y con las bandas, impulsadas con un taco. Camilo y Loreto, están jugando billar. Al poco tiempo de jugar, las bolas A y B quedan en la ubicación que se observa en la figura.

G llegada

B A

Si Loreto está planeando golpear la bola A para dar a la bola B después de tocar en dos bandas, ¿qué recorrido tendrá que hacer la bola A? Justifica tu respuesta. 2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución. Explica, paso a paso, y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras. 3. Resuelve el siguiente problema, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es el más simple?, ¿por qué? El Tetris es un video juego inventado en 1984, en el cual se deben aplicar repetidas veces transformaciones isométricas a 4 figuras diferentes para hacerlas encajar. Considerando la jugada que aparece a la derecha, ¿qué transformaciones isométricas debes realizar para hacer encajar correctamente la figura 1 en A?, ¿y para encajar la figura 2 en B? Puedes jugar Tetris online en: www.juegostetris.com/juegos/tetris-ii/

2 1

Movimientos en el plano

125

Conexiones

Para finalizar NACIONAL

Museos de medianoche El viernes 23 de enero de 2009 se realizó la 19ª versión de la iniciativa que reúne a varios museos y centros culturales de la capital, que abrieron de 18:00 a 24:00 horas. Algunos museos y centros culturales que participaron fueron: el Museo de Artes Visuales (MAVI), el Museo Arqueológico de Santiago (MAS), el Museo de Arte Contemporáneo (MAC), el Museo de la Solidaridad Salvador Allende, el Centro de Extensión de la Universidad Católica, el Centro Cultural Palacio de la Museo Nacional de Bellas Artes, Moneda (CCPLM), la sede de la Sociedad Nacional de Bellas Santiago. Artes, que es el palacio La Alhambra, entre otros. El palacio La Alhambra fue encargado en 1860 por Francisco Ignacio Ossa Mercado al arquitecto Manuel Aldunate Avaria, quien viajó a España a tomar apuntes para realizar la obra. En 1940 el palacio fue donado a la Sociedad Nacional de Bellas Artes por Julio Garrido Falcón. Fuentes: www.portaldearte.cl/agenda/actividades/2009/19_version.html www.snba.cl/paginas/palacio.htm, consultado en febrero de 2010.

Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes. 1. Busquen fotografías del palacio La Alhambra de Santiago u otro edificio de arquitectura morisca, como el casino Español de Iquique. 2. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser la solución correcta, en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos. a) ¿Qué caracteriza a estos diseños?, ¿qué tipo de transformaciones isométricas es posible identificar? b) ¿En qué se parecen?, ¿en qué se diferencian? 3. Busquen imágenes de la obra de Matilde Pérez, pintora y escultora chilena. Averigüen y comenten qué relación tiene su obra con la Geometría.

Evaluamos nuestro trabajo 1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según corresponda. Luego, comparen y completen sus respuestas. Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3 Respetó las opiniones de los demás integrantes. Cumplió con las tareas con las que se comprometió. Hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo. 2. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo?

126 Unidad 4

Unidad 4

Síntesis

TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

TRASLACIONES

REFLEXIONES

ROTACIONES

DE FIGURAS PLANAS

TESELACIONES

REGULARES

SEMIRREGULARES

Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad y, apoyándote en el esquema anterior, responde. 1. ¿Crees que faltó algún concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. Cuando se efectúa la transformación isométrica a una figura geométrica plana, ¿qué características observas en su imagen? 3. ¿Cómo trasladas un triángulo con regla y compás?, ¿cómo lo rotas? 4. ¿Qué características tiene la imagen de una figura, luego de aplicar una reflexión?, ¿cómo confirmas que se aplicó dicha transformación? 5. ¿Qué caracteriza a una teselación?, ¿cómo se construye? 6. ¿Qué diferencias observas en las teselaciones regulares y semirregulares?, ¿y qué semejanzas? 7. ¿Con qué polígonos puedes construir una teselación regular?, ¿y una semirregular? 8. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela en tu curso e intenten aclararla en conjunto.

Movimientos en el plano

127

¿Qué aprendí? Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. 1. ¿En cuál de las siguientes opciones las figuras corresponden a una reflexión? A. B. C. D.

RyS SyV SyT RyV

2. En la transformación de la imagen se aplicó una rotación con centro en O y ángulo de rotación de: A. B. C. D.

60º 360º 90º 180º

3. ¿Cuántos ejes de simetría tiene la estrella de David? A. B. C. D.

8 2 4 6

4. ¿Por qué es posible teselar con triángulos equiláteros? A. Porque la suma de los ángulos que concurren a un vértice es 180º. B. Porque la suma de los ángulos que concurren a un vértice es 360º. C. Porque la suma de sus ángulos interiores es 180º. D. Porque la suma de sus ángulos exteriores es 360º. 5. ¿Con cuál de los siguientes polígonos se puede construir una teselación regular? A. Cuadrado. B. Rectángulo.

128 Unidad 4

C. Rombo. D. Romboide.

6. Para trasladar una circunferencia según un vector dado, con regla y compás, basta con trasladar: A. el centro de la circunferencia, según dicho vector. B. dos puntos de la circunferencia, según dicho vector. C. un punto cualquiera de la circunferencia, según dicho vector. D. el centro y un punto cualquiera de la circunferemcia, según dicho vector. 7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? A. No es posible teselar una superficie plana con romboide. B. El eje de simetría es perpendicular a los trazos que unen cada par de puntos correspondientes. C. Al aplicar una rotación, todos los puntos de la figura se mueven en torno a un punto fijo. D. Al aplicar una traslación, todos los puntos de la figura se mueven según una flecha. 8. Al aplicar una transformación isométrica se obtiene una figura: A. que mantiene la posición de la figura original. B. que mantiene la forma, tamaño y posición original. C. que mantiene la forma y tamaño original, solo varía su posición. D. que mantiene el tamaño original y varía su forma y posición.

Unidad 4 9. Usando regla y compás, aplica una reflexión al Δ ABC respecto de la recta L. Luego, a la imagen obtenida, rotar respecto del vértice C´ y ángulo de rotación de 60º (usa transportador).

B L

10. Dadas las siguientes figuras, forma la base de una teselación semirregular y, luego, usando regla y compás, construye en tu cuaderno una teselación con ella. Indica las transformaciones isométricas involucradas.

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿Qué logré? 1. Marca según tu apreciación.

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

Transformaciones de objetos Traslaciones de figuras planas Reflexiones de figuras planas Rotaciones de figuras planas Teselaciones Teselaciones regulares y semirregulares Resolución de problemas

2. Reflexiona y responde. a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste? b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué? c) Vuelve a la página 103 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”, ¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.

Movimientos en el plano

129

5 Unidad

130 Unidad 5

Datos y azar

En esta Unidad podrás... • Interpretar información a partir de tablas de frecuencia, con datos agrupados en intervalos. • Construir tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en forma manual y mediante herramientas tecnológicas, y determinar la media aritmética y moda en estos casos. • Discutir respecto de la importancia de tomar muestras al azar en experimentos aleatorios, y analizar su comportamiento usando medidas de tendencia central. • Analizar situaciones donde los resultados son equiprobables en experimentos aleatorios, mediante el uso de herramientas tecnológicas. • Identificar el espacio muestral en experimentos aleatorios, y usar el principio multiplicativo para obtener su cardinalidad. • Asignar la probabilidad de un evento en un experimento aleatorio, usando el modelo de Laplace.

Conversemos de... En Chile, los censos se realizan cada diez años, aproximadamente. El último se realizó en el año 2002 y el próximo se efectuará en el año 2012. Los siguientes datos corresponden a los resultados del Censo 2002. Observa. Población de cinco años o más por grupos de edad, según región, provincia, sexo, su nivel de instrucción y el último curso aprobado Provincia de Valdivia / ambos sexos Grupos de edad Enseñanza Media común

6 a 14 años

15 a 19 años

20 a 29 años

30 a 49 50 años o años más

1 año

1825

4436

3173

6170

1237

2 años

565

3841

2552

4818

986

3 años

3465

1486

3095

709

4 años

4323

9529

14 536

3183

Fuente: www.ine.cl/cd2002/index.php, consultado en febrero de 2010.

1. En Valdivia, ¿cuántas personas terminaron la Educación Media hasta el año 2002? 2. ¿Cuál es nivel de Educación Media promedio alcanzado por los jóvenes entre 20 y 29 años?, ¿cómo lo supiste? 3. ¿Cuál es la moda en este caso?, ¿cómo la interpretarías?

Datos y azar

131

¿Cuánto sabes? 1. En una ciudad del norte del país, durante el mes de enero, se han registrado las siguientes temperaturas máximas en grados Celsius: 32, 31, 28, 30, 28, 30, 31, 33, 29, 30, 30, 32, 28, 31, 29, 29, 32, 30, 29, 33, 30, 31, 30, 29, 30, 33, 34, 28, 30, 30, 29 a) Completa la tabla de frecuencias. Temperatura (ºC)

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa porcentual

28 29 30 31 32 33 34

b) ¿Cuántos días hubo con temperatura máxima de 29 ºC? c) ¿Qué porcentaje del mes hubo 31 ºC? d) Calcula la media aritmética, la mediana y la moda. ¿Cómo interpretarías los resultados obtenidos en cada caso? 2. El siguiente gráfico circular representa la cantidad de horas semanales que los 40 estudiantes del 8ºA de un colegio de Arica destinan a hacer deportes. a) Completa la tabla de frecuencias.

15%

Nº de Frecuencia Frecuencia Frecuencia relativa horas absoluta relativa porcentual 1

10%

20%

2 3 4 5 6

10% 1 hora 2 horas 3 horas

40% 4 horas 5 horas 6 horas

b) ¿Cuántos alumnos y alumnas dedican 4 horas semanales a hacer deportes?, ¿y una hora semanal? c) ¿Cuántas horas semanales, en promedio, destinan los y las estudiantes a hacer deportes?, ¿cómo lo calculaste? d) Calcula e interpreta la mediana y moda, en cada caso.

132 Unidad 5

Unidad 5

3. Antonia necesita averiguar la cantidad de horas diarias que los alumnos y alumnas de su colegio destinan a ver televisión. Si tuvieras que realizar la misma investigación que Antonia: a) ¿Cuál sería la población?, ¿qué muestra escogerías?, ¿por qué? b) ¿Cuál sería la variable de estudio?, ¿de qué tipo es? Explica tu decisión. 4. Se lanza 50 veces un dado con las caras numeradas del 1 al 6, y se obtiene 10 veces uno, 3 veces dos, 6 el tres, 12 el cuatro, 9 el cinco y 10 el seis. a) b) c) d)

Construye en tu cuaderno una tabla de frecuencias. ¿Cuál es la frecuencia absoluta de que se obtenga 2?, ¿y 4? ¿Cuál es la frecuencia relativa de que se obtenga 3?, ¿y 5? ¿Cuáles son las probabilidades de que salga cada una de las caras?

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿Qué debes recordar? • En una encuesta, el conjunto total de individuos que son objeto de estudio y que poseen al menos una característica en común se denomina población. Una muestra es una parte o subconjunto de la población. • Una variable estadística corresponde a la característica que se observa en cada uno de los elementos de la población, y que se mide en la muestra. Las variables pueden ser cuantitativas (pueden tomar valores numéricos) o cualitativas (clasifica a los individuos en categorías que no se pueden expresar con números). • La frecuencia absoluta es el número de repeticiones de cada dato de una muestra. La razón entre la frecuencia absoluta y el número total de datos de la muestra es la frecuencia relativa. • Las medidas que describen un valor central que representa a un grupo de observaciones se denominan medidas de tendencia central. Estas son: la media aritmética ( x⎯ ), la mediana y la moda (Mo). • Una forma de calcular la media aritmética o promedio es sumar todos los datos y dividir el resultado por el número total de observaciones. • La moda de un conjunto de datos es el dato que más veces se repite, es decir, aquel que tiene mayor frecuencia absoluta. En caso de existir dos valores de la variable que tengan la mayor frecuencia absoluta, habría dos modas. Si no se repite ningún valor, no existe moda. • El número hacia el cual se aproxima la frecuencia relativa de un resultado, a medida que aumenta el número de repeticiones de un mismo experimento aleatorio, se llama probabilidad. La probabilidad se puede expresar como un número entre 0 y 1. Datos y azar

133

Interpretación de tablas de frecuencias Completa la tabla que muestra el número de primos que tienen los y las estudiantes de los 8º Básico de un colegio. Intervalo (i)

Nº de primos

1-4

5-8

9 - 12

13 - 16

17 - 20

21 - 24

25 - 28

29 - 32

Frecuencia absoluta

F. absoluta acumulada

Frecuencia relativa

4 0,06 70

6 0,09 70

F. relativa acumulada

Para discutir • ¿Qué puedes deducir del intervalo 2 (5 - 8)? • ¿Cuántos alumnos o alumnas tienen 12 primos o menos?, ¿por qué? • Si le preguntas a un o una estudiante cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de que tenga entre 25 y 28 primos?, ¿y de que tenga 8 primos, o menos?

En la situación anterior, se puede deducir del intervalo 2, que existen 6 estudiantes que tienen entre 5 y 8 primos. También, es posible observar que si sumamos el número de estudiantes de los intervalos 1, 2 y 3, hay 28 alumnos o alumnas que tienen 12 primos o menos. Este valor corresponde a la frecuencia absoluta acumulada hasta ese intervalo. Por otro lado, si preguntamos a un alumno o alumna cualquiera de ese colegio que cursa 8º Básico, cuál es la probabilidad de que tenga entre 25 y 28 primos, esta se puede obtener calculando la razón entre su frecuencia absoluta por el total de observaciones, es decir: 3 0,04 70 Esta razón es la frecuencia relativa. Otra manera de representar este valor es con porcentajes: si multiplicamos el resultado anterior por 100, se obtiene que la probabilidad de tener entre 25 y 28 primos es igual a un 4%.

134 Unidad 5

Unidad 5

Ahora, la probabilidad de tener 8 primos o menos, es igual a la suma de frecuencias relativas hasta 8, es decir, 0,06 + 0,09 = 0,15. Luego, un 15% de los alumnos y las alumnas tiene 8 primos, o menos. Llamamos a ese valor frecuencia relativa acumulada.

No olvides que... • La frecuencia absoluta acumulada en el intervalo i es la suma de las frecuencias absolutas observadas hasta el intervalo i. Se escribe Fi. • La frecuencia relativa de la categoría i corresponde a la probabilidad de pertenecer a esa categoría. Lo calculamos dividiendo la frecuencia absoluta ( f i ) por el total de datos de la muestra. Denotamos este valor por hi. • La frecuencia relativa acumulada en la categoría i, es la probabilidad de observar un valor menor o igual al mayor valor que toma la variable en estudio en ese intervalo. Lo calculamos dividiendo Fi por el total de datos de la muestra. Denotamos este valor por Hi.

Actividades 1. Responde la siguientes preguntas observando la tabla de la página anterior. a) ¿Cuántos estudiantes tienen a lo más 20 primos?, ¿cómo lo calculaste? b) ¿Cuántos estudiantes tienen 25 primos o más?, ¿por qué? c) Si le preguntas a un o una estudiante cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de que tenga entre 9 y 12 primos?, ¿y 16 primos o menos? 2. Una encuesta referida al día en que 60 personas eligen para ir al cine, dio los siguientes resultados. Completa la tabla. Día

Frecuencia absoluta ( f i )

Lunes

Martes

Miércoles

Frecuencia relativa ( hi )

Frecuencia relativa acumulada ( Hi )

Jueves

Viernes

Sábado

Domingo

Frecuencia absoluta acumulada ( Fi )

Datos y azar

135

Construcción de tablas para datos agrupados Un grupo de 40 pacientes, entre 25 y 50 años, se realizaron un examen para medir su nivel de colesterol (en mg/dl). Los resultados obtenidos fueron los siguientes: 184

115

174

222

156

185

177

228

189

181

194

120

100

258

190

166

207

200

184

198

191

175

214

211

206

199

206

218

296

155

195

Para discutir • ¿Es posible agrupar los datos en intervalos o clases?, ¿cómo? • ¿Cuántos pacientes tienen mediciones menores o iguales que 150 mg/dl? • Si consideramos a las personas que tienen una concentración de colesterol en la sangre de 200 mg/dl o menos, con bajo riesgo cardiovascular y las que tienen colesterol mayor, con riesgo, ¿cuántas personas podrían sufrir un evento cardiovascular?

Glosario rango: diferencia entre el mayor y menor valor de una variable.

En la situación anterior, el conjunto de datos es numeroso y, además, el rango es amplio (296 – 51 = 245). En este caso y en todos aquellos con similares características, es conveniente agruparlos y ordenarlos en intervalos o clases. El tamaño de cada intervalo se puede calcular dividiendo el valor del rango por la cantidad de intervalos que se desean obtener. Si agrupamos los datos en 5 intervalos, resulta: 296 – 51 245 = = 49 5 5 Luego, cada intervalo es de amplitud 49 (tamaño del intervalo). La tabla de frecuencias correspondiente es: Nivel de colesterol

136 Unidad 5

F. absoluta F. absoluta acumulada (f i) ( Fi )

F. relativa ( hi )

51 - 100

9 : 40 = 0,225

101 - 150

2 : 40 = 0,05

151 - 200

19 : 40 = 0,475

201 - 250

8 : 40 = 0,2

251 - 300

2 : 40 = 0,05

Unidad 5

Después de construir la tabla, observamos que 11 pacientes tienen mediciones iguales o menores que 150 mg/dl. En este caso, usamos la frecuencia absoluta acumulada. Por otro lado, 10 personas tienen más de 200 mg/dl, es decir, un 25% de los pacientes examinados tiene riesgo de sufrir un evento cardiovascular. En este caso, usamos la frecuencia relativa.

No olvides que... • Si el conjunto de datos que se recolecta es muy numeroso, o bien, si el rango es muy amplio, es usual presentarlos agrupados y ordenados en intervalos o clases. • La amplitud o tamaño de cada intervalo se puede calcular dividiendo el valor del rango por la cantidad de intervalos que se desean obtener.

Actividades 1. En un centro comercial, se consultó la edad a todas las personas que entraban entre las 12:00 h y 12:30 h. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

4 17 48 25 36 11 4 a) Construye una tabla de frecuencias 54 70 51 3 34 26 10 cuyos datos estén agrupados en ocho intervalos. b) Del total de personas encuestadas, ¿cuántas personas tienen entre 31 y 40 años? c) Del total de personas encuestadas, ¿cuántas personas tienen 60 o menos años? d) ¿Cuál es la probabilidad de, que al elegir al azar a una persona consultada, esta tenga entre 11 y 20 años?

2. Los datos que a continuación se presentan corresponden al número de llamadas telefónicas que un grupo de personas realiza durante el día. 0, 1, 2, 4, 3, 5, 10, 6, 13, 9, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 6, 14, 8, 15, 16, 17, 18, 19, 5, 12, 7, 11, 3, 20 a) b) c) d) e)

Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en cuatro intervalos. ¿Cuál es la amplitud de cada intervalo? ¿Cuántas personas hicieron entre 0 y 5 llamadas? ¿Cuántas personas hicieron 17 llamadas o menos? ¿Cuál es la probabilidad que una persona realice más de 17 llamadas diarias?

Datos y azar

137

Media aritmética para datos agrupados La siguiente tabla de distribución de frecuencias muestra la puntuación obtenida por 1500 estudiantes de 5º a 8º Básico en una encuesta de 65 preguntas acerca de su desempeño durante el año. Categoría Puntaje Frecuencia absoluta

Muy bajo

Bajo

Regular

Bueno

Muy bueno

Sobresaliente

0 - 10

11 - 21

22 - 32

33 - 43

44 - 54

55 - 65

350

400

420

200

Para discutir • ¿Es posible determinar un puntaje “representante” de cada intervalo?, ¿cuál es ese valor? • Utilizando el “representante” de cada intervalo, ¿puedes calcular el promedio de puntaje obtenido en el cuestionario por los y las estudiantes?, ¿cómo lo harías? • ¿En qué categoría se encuentra el promedio obtenido?

Como podemos observar en la situación anterior, los datos están agrupados en intervalos. Para calcular el promedio en estos casos, primero, se busca un representante de cada intervalo o clase. Este representante es el promedio de los extremos del intervalo, y se conoce como marca de clase. Observa y verifica los valores obtenidos: Categoría Puntaje Marca de clase Frecuencia absoluta

Muy bajo

Bajo

Regular

Bueno

Muy bueno

Sobresaliente

0 - 10

11 - 21

22 - 32

33 - 43

44 - 54

55 - 65

350

400

420

200

Luego, el promedio se calcula sumando los productos de cada marca de clase por su frecuencia absoluta respectiva (cantidad de alumnos y alumnas), y dividiendo por el total de estudiantes, es decir: 5 • 350 + 16 • 400 + 27 • 420 + 38 • 200 + 49 • 80 + 60 • 50 34 010 = = 22,67 1500 1500 Entonces, el promedio es 22,67. Esto significa que, en promedio, los alumnos y las alumnas consideran que su nivel de desempeño es “regular”.

138 Unidad 5

Unidad 5

No olvides que... • La marca de clase de una tabla para datos agrupados en intervalos corresponde al promedio de los extremos del intervalo. • Podemos calcular la media aritmética ( x⎯ ) para datos agrupados, sumando todos los productos de marca de clase con la frecuencia absoluta respectiva y su resultado dividirlo por el número total de datos, es decir: suma (marca de clase • frecuencia absoluta) x⎯ = total de datos • Para datos agrupados la media aritmética que se obtiene al calcular corresponde a una estimación de la media aritmética real.

Actividades 1. Los datos que se muestran a continuación corresponden a la cantidad de horas diarias que un grupo de personas utiliza Internet. 4, 2, 5, 7, 6, 6, 4, 3, 5, 10, 7, 8, 8, 4, 2, 4, 12, 13, 3, 11 1, 12, 8, 10, 9, 13, 2, 2, 1, 4, 5, 8, 9, 4, 2, 10, 12, 13, 5, 8 a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en tres intervalos. b) ¿Cuántas personas usan Internet 10 horas diarias, o menos? c) ¿En promedio cuántas horas usan Internet al día? 2. Los alumnos y las alumnas de 8º Básico realizaron una prueba de 24 preguntas. En la siguiente tabla aparece el número de respuestas correctas obtenidas. Nº de respuestas correctas

Marca de clase

(f i)

0-4

5-9

10 - 14

15 - 19

20 - 24

( Fi )

( hi )

( Hi )

Total estudiantes:

a) b) c) d)

Completa la tabla de frecuencias. ¿Cuántos alumnos y alumnas tuvieron 14 o menos respuestas correctas? ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno o alumna tenga 20 o más respuestas correctas? Calcula e interpreta la media aritmética.

Datos y azar

139

Moda para datos agrupados En una empresa, las edades del personal se resumen en la siguiente tabla. Observa y completa. Edades (en años)

Marca de clase

Frecuencia absoluta

20 - 25

26 - 31

32 - 37

38 - 43

44 - 49

50 - 55

Para discutir • ¿Cuál es el intervalo que agrupa la menor cantidad de personal? • ¿En qué intervalo está la mayor frecuencia absoluta? • ¿Podrías estimar la edad que más se repite o representar la moda en esta situación?, ¿cómo lo harías?

En la situación anterior, observamos que la cantidad menor de personas tiene entre 20 a 25 años. Por otra parte, el intervalo que presenta la mayor frecuencia absoluta o intervalo modal, corresponde a 32 - 37. Para obtener la moda para datos agrupados, podemos seguir los siguientes pasos: 1º Identificar el intervalo modal, en este caso es 32 - 37, con una frecuencia de 45 personas. 2º Identificar las frecuencias absolutas del intervalo anterior y posterior al intervalo modal. En este caso, el intervalo anterior corresponde a 26 - 31, con una frecuencia de 30 personas; y el intervalo posterior a 38 - 43, con una frecuencia de 40 personas. 3º Obtener la diferencia de la frecuencia del intervalo modal y la frecuencia del intervalo anterior (d1). Entonces, tenemos que, 45 – 30 = 15. 4º Obtener la diferencia de la frecuencia del intervalo modal y la frecuencia del intervalo posterior (d2). Entonces, tenemos que, 45 – 40 = 5. 5º Obtener el tamaño de los intervalos (t ; debe ser constante). La amplitud de los intervalos es 5.

140 Unidad 5

Unidad 5

6º Obtener el número que representa el extremo inferior del intervalo modal (Li ). En el ejemplo es 32. Luego, el cálculo de la moda (Mo) se puede obtener por medio de la expresión: d1 • t Mo = Li + d1 + d2 En la situación anterior, el valor aproximado de la moda corresponde a 36, ya que: 15 • 5 = 35,75 Mo = 32 + 15 + 5 Esto significa que una estimación de la edad más repetida por el personal de la empresa es de 36 años.

No olvides que... • Para obtener la moda (Mo) para datos agrupados, podemos utilizar la expresión:

Mo = Li +

d1 d1 + d2

•

Li: extremo inferior del intervalo modal. d1: diferencia de las frecuencias del intervalo modal y del intervalo anterior. d2: diferencia de las frecuencias del intervalo modal y del intervalo posterior. t: amplitud de los intervalos. • Para datos agrupados la moda que se obtiene al calcular corresponde a una estimación de la moda real.

Actividades 1. A continuación, se muestra el promedio obtenido en Matemática por los alumnos y las alumnas de un curso: 4,4 5,5 5,0 4,9 5,9 6,0 4,2 6,8 7,0 6,1 7,0 3,7 4,5 4,8 6,3 4,1, 3,4 5,3 5,0 6,0 2,6 3,8 4,0 2,0 5,6 6,7 6,0 4,9 3,3 7,0 6,3 5,0 a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en cinco intervalos. b) Determina la media aritmética y moda. Interpreta los valores obtenidos. 2. Las estaturas de los y las estudiantes de un 8º Básico se resumen en la siguiente tabla. Complétala. • Calcula e interpreta la media aritmética y la moda.

Estatura (m) 1,40 - 1,47 1,48 - 1,55 1,56 - 1,63 1,64 - 1,71 1,72 - 1,79

Frecuencia absoluta 3 12 22 6 2

Marca de clase

Datos y azar

141

Censo y muestreo

El Ministerio de Salud está planificando una campaña de vacunación contra un virus respiratorio. Debe pedir vacunas al laboratorio, pero no sabe cuántas encargar. Se considera que la población de mayor riesgo son los niños entre 0 y 4 años, y los adultos mayores, entre 65 años y más.

Para discutir • ¿Qué información se necesita en este caso? • ¿Existe una forma de obtener la información necesaria?, ¿cuál? • Si se realizara una investigación respecto de los efectos posvacunación, ¿es posible estudiar a toda la población vacunada?, ¿por qué?

En el caso anterior, para pedir las vacunas se necesita saber la cantidad total de población que hay en Chile, entre los 0 y 4 años, y mayor que 65 años. Existe un estudio a través del cual podemos obtener esta información: el Censo. En Estadística, se conoce como Censo al recuento de todos los individuos que conforman una población. Un caso particular es el Censo de población y vivienda, cuyo objetivo es determinar el número de personas que componen un grupo (normalmente todo el país). En él se realiza la enumeración de los habitantes de un país por sexo, edad, distribución geográfica y características socioeconómicas. En Chile, se realiza aproximadamente cada 10 años. A su vez, hay otros tipos de situaciones que necesitan de información que no es entregada por el Censo. En ciertos casos, no es necesario, o bien, no es posible estudiar a toda la población en cuestión, pues sería muy costoso. En estos casos se toma una muestra de la población para llevar a cabo el estudio y, a partir de sus características, se deduce el comportamiento de la población.

142 Unidad 5

Unidad 5

No olvides que... • El Censo es un estudio que permite conocer la cantidad de habitantes que pertenece a una población, y sus características. • Cuando las poblaciones son muy grandes y se quieren estudiar solo algunas de sus características, se selecciona una muestra y, a partir de sus características, se deduce el comportamiento de la población. Dicha muestra debe ser representativa de la población. • La representatividad de una muestra no tiene que ver, necesariamente, con el tamaño de esta, sino con la capacidad de reproducir a pequeña escala las características de la población.

Actividades 1. Pía controla dos máquinas embotelladoras (A y B), en una fábrica de bebidas. Los estándares de calidad establecen que cada botella debe contener 660 cc de bebida, con una desviación de 5 cc. Cada día se envasan 2160 botellas, organizadas en lotes de 40 botellas, cada uno. a) ¿Cómo puede Pía garantizar que se están cumpliendo los estándares de calidad?, ¿es conveniente analizar diariamente las 2160 botellas?, ¿por qué? b) Pía decide que, para validar que se estén cumpliendo los estándares de calidad, seleccionará una muestra de dos botellas de cada lote producido. Observa: Tabla de frecuencias Máquina A cc Frecuencia absoluta

Tabla de frecuencias Máquina B

650

652

658

660

658

659

660

661

• Calcula la media aritmética y moda de las muestras de cada máquina. Interpreta los resultados obtenidos en cada caso. ¿Qué le recomendarías a Pía?

En equipo En esta actividad, deberán utilizar Internet para averiguar información respecto del Censo 2002. Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones. 1. Investiguen acerca de la información que pueden obtener a partir del Censo 2002. Para ello, ingresen a la página web del INE: www.ine.cl y en Microdatos, Censos de Población, Censo 2002, Datos Tabulados, allí pueden acceder a los datos del estudio. Identifiquen tres variables observadas y comenten situaciones donde podría ser de utilidad manejar dicha información. 2. Seleccionen una muestra representativa para calcular e interpretar la media aritmética y la moda, respecto del nivel de instrucción de la población y el último curso aprobado. 3. Propongan un plan para los casos donde la información no se puede obtener del Censo. Datos y azar

143

Análisis de encuestas Los profesores de educación física de un colegio, que tiene un total de 1200 estudiantes, decidieron realizar un sondeo sobre los hábitos deportivos de sus alumnos y alumnas. Elaboraron una pauta para diseñar la encuesta y sacar conclusiones de ella. Se encuestó a 120 alumnos y alumnas escogidos al azar. Observa los resultados que se muestran en las tablas y complétalas. Distribución de los alumnos y alumnas por edad Edad (años) Marca de clase

(f i)

5-8

9 - 12

13 - 16

17 - 20

( Fi )

( hi )

( Hi )

Cantidad de horas semanales que destinan a hacer ejercicios Horas

Marca de clase

(f i)

2-6

7 - 11

12 - 16

17 - 21

( Fi )

( hi )

( Hi )

Actividad deportiva preferida Actividad

(f i)

Andar en bicicleta

Jugar fútbol

Trotar

Nadar

Otro

( Fi )

( hi )

( Hi )

Para discutir • ¿Cómo representarías la información en gráficos? • ¿Cómo interpretarías la información que los gráficos entregan? • ¿Qué pasos crees que debes seguir para realizar una encuesta que te permita obtener conclusiones?

144 Unidad 5

Unidad 5

La información recolectada en las tablas anteriores se puede representar en los siguientes gráficos. Observa: Edad de los y las estudiantes

Tiempo en horas que dedican semanalmente al deporte

Nº de estudiantes

Actividad deportiva preferida 48 21 15

30 20 10

Bicicleta

Otros Nadar Trotar

10 5 - 8 9 - 12 13 - 16 17 - 20

Años

2-6

7 - 11 12 - 16 17 - 21

Horas

Fútbol

De los gráficos anteriores, podemos interpretar que: la mayor parte de los alumnos y alumnas encuestados es mayor de 12 años; la mayoría de los y las estudiantes dedica 11 horas o menos a la actividad deportiva, y solo el 10% realiza por lo menos 17 horas de ejercicios; la actividad preferida por los alumnos y alumnas es andar en bicicleta. Para diseñar una encuesta que te permita recolectar información, interpretarla y sacar conclusiones, en primer lugar, debes establecer los objetivos de estudio y la población a quien está dirigida; luego, seleccionar una muestra representativa de la población. En segundo lugar, plantear un cuestionario que responda a los objetivos de estudio y recolectar la información en tablas. En tercer lugar, representar en gráficos la información obtenida e interpretarlos. Por último, presentar las conclusiones del estudio.

No olvides que... • Las encuestas aplicadas a una muestra son una manera útil de obtener información cuando no podemos acceder a ella desde el total de la población. • Los pasos que se recomiendan para realizar una encuesta son: 1º Establecer objetivos, población y muestra. 2º Plantear un cuestionario que responda a los objetivos de estudio y agrupar los datos en tablas de frecuencias. 3º Representar la información en gráficos e interpretarlos. 4º Presentar las conclusiones. Datos y azar

145

Actividades 1. Los siguientes resultados fueron obtenidos de la Sexta Encuesta Nacional de Juventud, 2009 (Instituto de la Juventud, Gobierno de Chile) y se refieren a la realidad juvenil del país. Observa las tablas y responde las preguntas relacionadas. A. Jóvenes que hoy estudian, según edad y localidad Grupos de edad (años)

% de jóvenes que estudian

Zona

% de jóvenes que estudian

15 – 19

79,9%

Urbano

51,5%

20 – 24

44,5%

Rural

36,4%

25 – 29

19,8%

B. Situación de endeudamiento, según sexo y edad Edad

Sexo Hombre

Mujer

Sí

48,5%

54,2%

48,2%

40,6%

3,3%

5,2%

No responde

15 - 19

20 - 24

25 - 29

Sí

16,7%

50,8%

57,6%

69,9%

45,7%

40,0%

No responde

13,3%

3,5%

2,4%

Fuente: www.fundacionfuturo.cl, consultado en enero de 2010.

a) b) c) d)

¿Qué tramo etario tiene mayor presencia entre los jóvenes que estudian?, ¿por qué? ¿Existe una brecha entre la juventud urbana y rural que estudia?, ¿por qué? ¿Quién tiene mayor nivel de endeudamiento entre los jóvenes? Justifica tu respuesta. ¿Entre qué edades se encuentran los jóvenes con mayor endeudamiento?, ¿por qué crees que puede ocurrir?

En equipo En esta actividad deberán investigar sobre las actividades realizadas durante el tiempo libre y el tiempo dedicado a ello. Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones. 1. Inventen un nombre para su encuesta. Luego, establezcan los objetivos de esta. 2. Determinen a quiénes está dirigido el estudio. Seleccionen la muestra de, al menos 40 personas. Indiquen la fecha en que se realizó la encuesta. 3. Diseñen un cuestionario que responda los objetivos del estudio. Este puede considerar aspectos como: edad, sexo, días que dedica para ocio, etc. Previo a su aplicación, se deben mencionar las posibles respuestas. Indiquen cómo se llevó a cabo: por teléfono, Internet o cara a cara. 4. Recolecten y ordenen la información obtenida en tablas de frecuencias, indicando el nombre de cada una. 5. Representen la información en gráficos, interpretando la información que ellos entregan. 6. Presenten las conclusiones al resto del curso.

146 Unidad 5

Unidad 5

Herramientas tecnológicas En esta actividad deberás usar una planilla de cálculo para construir tablas de frecuencias con datos agrupados en intervalos. Sigue las instrucciones. 1º Escribe en A1 Datos, en B1 Intervalos, en C1 Marca de clase, en D1 Frecuencia Acumulada, en E1 Frecuencia absoluta y en F1 Frecuencia relativa. 2º Ingresa los siguientes datos en la columna Datos, que corresponden al número de pasajeros que en los últimos días tomó un bus de Santiago a Puerto Montt. 68

102

101

3º Selecciona todos los datos desde A2 hasta A43; ordénalos de menor a mayor, haciendo 4º

5º

6º

7º

clic en . Observa que el dato menor es 48, y el mayor es 102. Por lo tanto, el rango es 54. Agrupa los datos en 6 intervalos. Cada intervalo es de amplitud 9. Escribe en la columna Intervalos, las clases correspondientes partiendo por 45 - 54; en la columna Marca de clase, escribe la información correspondiente. Con la ayuda de una función, determinaremos la frecuencia absoluta acumulada de cada intervalo. Para el intervalo 45 - 54, haz un clic en la celda D2 y escribe la función: =CONTAR.SI(A2:A43; “<55”), luego, presiona enter. Para el intervalo 55 - 64, haz clic en la celda D3 y escribe la función: =CONTAR.SI(A2:A43; “<65”), luego, presiona enter. Repite el procedimiento hasta el último intervalo. La frecuencia absoluta de cada clase se puede calcular restando las frecuencias acumuladas consecutivas. Por ejemplo, la frecuencia del intervalo 95 - 104 es igual a la frecuencia acumulada de dicho intervalo, menos la frecuencia acumulada del intervalo anterior; es decir: 42 – 39 = 3. Así, hasta obtener la frecuencia de cada intervalo. Para calcular la frecuencia relativa de cada intervalo, haz clic en F2 y escribe la función: =E2/42, luego, presiona enter. Selecciona la celda F2, anda a su vértice inferior derecho, y cuando aparezca una cruz negrita, arrastra hasta la celda F7. Así, deberían aparecer todos los resultados correspondientes. Deberías obtener: Datos y azar

147

8º Para determinar el promedio, haz clic en una celda que esté en blanco, por ejemplo en G1 y escribe la función: =PROMEDIO(A2:A43). Luego, presiona enter. 9º Para determinar la moda, haz clic en una celda que esté en blanco, por ejemplo en G2 y escribe la función: =MODA(A2:A43). Luego, presiona enter. Luego de realizar los pasos anteriores, haz la siguiente actividad en una nueva planilla de cálculo. 1. Los siguientes datos corresponden a la masa (en kg) de 60 alumnos y alumnas de un colegio de Concepción: 45

2. Escribe en A1 Datos, en B1 Intervalos, en C1 Marca de clase, en D1 Frecuencia Acumulada, en E1 Frecuencia absoluta y en F1 Frecuencia relativa. 3. Ingresa la información en la columna Datos. Luego, selecciónalos desde A2 hasta A61 y 4. 5.

6. 7.

8. 9. 10.

ordénalos de menor a mayor, haciendo clic en . Calcula el rango para agrupar los datos en 7 intervalos. Escribe en la columna Intervalos, las clases correspondientes. En la columna Marca de clase, escribe la información correspondiente. Determina la frecuencia absoluta acumulada de cada intervalo. Por ejemplo, si el primer intervalo es 34 - 41, debes ingresar, en la celda D2, la función: =CONTAR.SI(A2:A43; “<42”) y presionar enter. Repite el procedimiento hasta el último intervalo. Calcula la frecuencia absoluta de cada intervalo, restando las frecuencias acumuladas de cada clase y la anterior, salvo la primera. Calcula la frecuencia relativa de cada intervalo, haciendo clic en F2 y escribiendo la función: =E2/60, luego, presiona enter. Selecciona la celda F2, anda a su vértice inferior derecho y cuando aparezca una cruz negrita, arrastra hasta la celda F7. Así, deberían aparecer las frecuencias relativas correspondientes. Determina el promedio haciendo clic en la celda G1 y escribe la función: =PROMEDIO(A2:A61). Luego, presiona enter. Finalmente, determina la moda haciendo clic en la celda G2 y escribe la función: =MODA(A2:A61). Luego, presiona enter. En tu cuaderno, interpreta los resultados obtenidos en los puntos 8 y 9. Determina e interpreta la frecuencia relativa porcentual de cada intervalo.

148 Unidad 5

Unidad 5

Mi progreso Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3. 1. En una clase de Educación Física, los alumnos y las alumnas del 8ºA, 8ºB y 8ºC realizaron una carrera desde el colegio hasta una plaza cercana, ida y vuelta. Los profesores de la asignatura registraron el tiempo de llegada de cada estudiante, y organizaron la información en la siguiente tabla: • ¿Qué porcentaje de los y las estudiantes tardó 31 minutos o menos en llegar? A. 20% B. 27%

C. 53% D. 73%

Tiempo de llegada (minutos) 10 - 20

Nº alumnos y alumnas 28

21 - 31

32 - 42

2. En la situación anterior, ¿en promedio, cuántos minutos tardaron en llegar a la meta? A. 27 min aprox.

B. 47 min aprox.

C. 25 min aprox.

D. 37 min aprox.

3. En la tabla presentada en el ítem 1, el valor aproximado de la moda corresponde a: A. 28,6 min

B. 25,3 min

C. 26,6 min

D. 26 min

4. En una empresa hay 280 trabajadores. Para realizar un estudio respecto del nivel de satisfacción del personal, se consideró una muestra que es igual al 10% de la población. Los resultados de la encuesta se expresan y se muestran a continuación: 4, 12, 15, 20, 25, 2, 6, 18, 20, 23, 11, 5, 16, 23 2, 9, 13, 19, 25, 24, 15, 3, 6, 6, 10, 20, 21, 30 a) Construye una tabla de frecuencias, agrupando los datos en cuatro intervalos. b) Si las categorías de los intervalos son: “No conforme”, “Medianamente conforme”, “Conforme” y “Muy conforme”, ¿qué porcentaje de trabajadores se encuentra “Muy conforme”? c) Determina e interpreta la media aritmética y la moda. Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde. Criterio

Ítem

Analizar una tabla de frecuencias con datos agrupados.

Determinar la media aritmética de una tabla con datos agrupados.

Determinar la moda de una tabla con datos agrupados.

Construir una tabla con datos agrupados y analizarla.

Respuestas correctas

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera la estrategia utilizada. Datos y azar

149

Espacio muestral y principio multiplicativo Camila se encuentra en una plaza mirando el color de los autos que van pasando. Los colores que observa son: rojo, azul, verde y gris. También mira el número de puertas que cada auto tiene, y nota que pueden ser de 3, 4 ó 5 puertas.

Ayuda

Para discutir

Recuerda que aquellas situaciones en que no se puede predecir con certeza cierto resultado se denominan experimentos aleatorios.

• La situación anterior, ¿es un experimento aleatorio?, ¿por qué? • Si clasificaras los autos por color, ¿cuántas categorías existirán? • Si clasificaras los autos por el número de puertas, ¿cuántas categorías existirán? • Si quisiera clasificar los autos por color y número de puertas, ¿cuántas categorías existirán?

Efectivamente, la situación que observó Camila corresponde a un experimento aleatorio, pues si bien sabe cuál puede ser el color del auto que pasará o su número de puertas, no sabe con exactitud cómo será el auto. Si solo observa el color, el conjunto de posibles resultados o espacio muestral es Ω = rojo, azul, verde, gris . En consecuencia, el tamaño del espacio muestral es 4. Si solo observa el número de puertas, el espacio muestral es Ω = 3, 4, 5 . En consecuencia, el tamaño del espacio muestral es 3. Si observa color y número de puertas, conviene realizar un diagrama de árbol, para determinar el tamaño muestral, como se muestra a continuación: 3 Rojo

4 5

3 Azul

4 5

3 Verde

3 Gris

4 5

Si contamos el total de ramas, vemos que hay 12, es decir, hay 12 maneras de clasificar un auto por color y por número de puertas. Entonces, el tamaño del espacio muestral en ese caso es 12. Observa que 12 es igual a 4 • 3, donde 4 es la cantidad de colores de autos y 3 la cantidad de categorías para el número de puertas.

150 Unidad 5

Unidad 5

El procedimiento realizado se denomina principio multiplicativo, el cual establece que si un evento puede ocurrir de m maneras distintas (en este ejemplo, 4 colores) y es seguido por otro que puede ocurrir de n maneras distintas (en este ejemplo 3, que representa la cantidad de puertas), entonces hay m • n maneras de que puedan ocurrir ambos simultáneamente (en el caso anterior, 12 categorías según color y cantidad de puertas).

No olvides que... • El conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento se llama espacio muestral (Ω). • La cardinalidad del espacio muestral corresponde a la cantidad de elementos contenidos en él. • El principio multiplicativo señala que si un evento puede ocurrir de m maneras distintas y es seguido por otro que puede ocurrir de n maneras distintas, entonces hay m • n maneras de que puedan ocurrir ambos simultáneamente.

Actividades 1. Describe los espacios muestrales de cada uno de estos experimentos e indica su tamaño. a) b) c) d)

Las patentes con letras TBPR, seguidas del dígito 5. Las patentes con letras TBPR, seguidas del dígito 2 ó 3. Lanzar dos dados, uno rojo y uno verde. Lanzar dos dados simultáneamente y sumar sus puntos.

2. Una persona desea construir su casa, para lo cual considera que: puede levantar los cimientos de concreto o block de cemento; las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo; el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada; y por último, los acabados los puede realizar de una sola manera. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?, ¿cómo lo supiste? 3. Tres pueblos, designados como A, B y C, están intercomunicados por un sistema de carreteras de doble sentido. ¿Cuántos trayectos puede hacer Juan del pueblo A al C y de regreso al pueblo A? Explica, paso a paso, cómo lo calculaste. 4. En el casino de una Universidad a la hora de almuerzo se ofrece un menú con plato de fondo, bebida o jugo y postre. Las opciones del plato de fondo son: arroz con carne, puré con pollo o legumbre. De postre puede ser: helado, jalea, flan o fruta. a) ¿Cuántas opciones de menú se pueden escoger? b) ¿Cuáles son todas las posibilidades de menú? Anótalas en tu cuaderno. Datos y azar

151

Sucesos equiprobables Seis amigos y amigas (Camila, Josefa, Andrea, Carlos, Alberto y Rosita) salieron de excursión al campo, para investigar acerca de algunos insectos. Decidieron que uno de ellos escribiría todo lo observado; para escogerlo realizaron un sorteo, que consistía en anotar el nombre de cada uno en un papel y, luego, sacar uno, sin mirar, que indicaría quién escribiría el informe.

Para discutir • El sorteo realizado, ¿corresponde a un experimento aleatorio?, ¿por qué? • ¿Cuál es el espacio muestral en este caso? • ¿Todos tienen la misma probabilidad de ser elegidos?

En este caso, se puede decir que el sorteo realizado es un experimento aleatorio, pues al sacar el papel sin mirar, no sabemos cuál será el resultado. El espacio muestral de este experimento corresponde a: Ω = Camila, Josefa, Andrea, Carlos, Alberto, Rosita , ya que, son todos los posibles resultados que se pueden obtener al realizar el sorteo. Además, en este ejemplo podemos ver que todos tienen la misma probabilidad de salir, por lo que ninguno de ellos se verá favorecido o desfavorecido con el sorteo.

Glosario sucesos elementales: corresponden a cada uno de los resultados de un espacio muestral.

Cuando sucesos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir, los llamaremos sucesos equiprobables.

No olvides que... • Si en un experimento todos los sucesos tienen la misma probabilidad de ocurrir, se dice que los sucesos son equiprobables.

152 Unidad 5

Unidad 5

Actividades

Unidad 3

1. Dados los siguientes experimentos, escribe el espacio muestral de cada uno y, luego, determina si sus resultados son equiprobables. Explica tu decisión. a) Extraer, sin mirar, una bolita de una caja que contiene tres blancas y dos rojas y observar su color. b) Lanzar una moneda. c) Escoger una persona al azar, de un curso de 20 niñas y 15 niños. d) Extraer, sin mirar, una carta de un naipe inglés y observar su pinta. e) Extraer, sin mirar, una bolita de una urna que contiene 3 números pares y 3 impares. 2. Romina dice: si en un experimento los sucesos elementales están en igualdad de condiciones, entonces hablamos de sucesos equiprobables. ¿Es correcto lo que dice?, ¿por qué? 3. Carlos dice: si un experimento no es aleatorio, entonces los sucesos no tienen la misma probabilidad de ocurrir. ¿Es correcto lo que dice?, ¿por qué?

En equipo En esta actividad, deberán utilizar una bolsa, hojas blancas, regla, tijeras y lápices rojo, azul y amarillo. Junto a un compañero o compañera, realicen el siguiente experimento. 1. Recorten 9 rectángulos de papel de 3 cm por 5 cm. 2. Pinten 3 papeles de color rojo, 2 de color azul y 4 de color amarillo. Luego, deposítenlos en la bolsa doblados de igual forma. 3. Extraigan un papelito, sin mirar. Registren en una tabla (en sus cuadernos) el color del papelito que sacaron y obtengan su frecuencia absoluta. Vuelvan a meter el papelito en la bolsa. 4. Realicen la misma extracción 50 veces, registrando los resultados obtenidos en la tabla. 5. Repitan lo mismo para 100 extracciones y, luego, respondan las siguientes preguntas. a) ¿Cuál es el espacio muestral de este experimento? b) ¿Son equiprobables los resultados de este experimento? Expliquen.

Datos y azar

153

Regla de Laplace En un curso se realizará la elección de presidente, entre los siguientes candidatos:

Cada estudiante del curso puede votar por un solo candidato.

Para discutir • ¿Los resultados de la elección corresponden a sucesos equiprobables?, ¿por qué? • ¿Podrías calcular la probabilidad de escoger a Daniela como presidenta?, ¿cómo lo harías? • ¿La probabilidad de que una mujer sea presidenta es de 60%?, ¿o es de 0,6?, ¿cuál es la correcta?, ¿cómo lo supiste? • ¿Cómo obtienes la probabilidad de que ocurra un suceso?, ¿se puede expresar de diversas formas?, ¿cómo?

Ayuda Una fracción se puede representar como número decimal y como porcentaje. Por ejemplo: 1 = 0,25 = 25% 4

Como puedes observar, en la situación anterior, todos los candidatos tienen la misma probabilidad de salir electos, por lo que podemos decir que los resultados corresponden a sucesos equiprobables. Cuando esto sucede, la probabilidad se puede obtener mediante una fracción, donde su numerador representa el número de casos favorables, mientras que el denominador representa a todos los posibles resultados. Por ejemplo: 1 • La probabilidad de escoger a Daniela de presidenta es , pues 5 corresponde a un candidato de un total de 5. • La probabilidad de escoger a una mujer presidenta corresponde 3 a , pues son 3 las mujeres, de un total de 5 candidatos. 5 • También podemos decir que, la probabilidad de que una mujer sea presidenta es 0,6 ó 60%, ya que entregan la misma información, mediante distintas representaciones: fracción, número decimal y porcentaje, respectivamente.

154 Unidad 5

Unidad 5

No olvides que... • La probabilidad de un suceso A, se denota por P (A). • Regla de Laplace: si en un experimento aleatorio los sucesos tienen la misma probabilidad de ocurrir, es decir, son equiprobables, la probabilidad de que un suceso A ocurra se puede calcular utilizando: número de casos favorables al suceso A P (A) = número de casos totales Ejemplo: 1 Al lanzar un dado de seis caras, la probabilidad de que el número sea primo es de 2 ó 0,5 ó 50%, ya que, Suceso A: obtener un número que sea primo Casos favorables: 2, 3, 5 3 casos favorables Casos totales: 1, 2, 3, 4, 5, 6 6 casos totales

P (A) = 3 = 1 ó 0,5 ó 50% 6

Actividades 1. Dado el siguiente experimento: “poner en una caja las letras de la palabra PARALELEPÍPEDO, y sacar una”. Escribe el número de resultados favorables y el de casos totales, en cada caso. Calcula su probabilidad expresándola como fracción, número decimal y porcentaje. a) Obtener una vocal.

b) Obtener una consonante.

c) Obtener una P .

2. Dado el siguiente experimento; “lanzar un dado de seis caras”. Escribe el número de resultados favorables y el de casos totales, en cada situación. Calcula su probabilidad, expresándola como fracción, número decimal y porcentaje. a) Obtener un número impar. b) Obtener un número menor o igual a 5. c) Obtener un número mayor que 5. 3. De una urna donde hay 7 bolitas verdes, 5 bolitas azules y 3 bolitas rojas, extraer, sin mirar, una bolita. Calcula la probabilidad de: a) b) c) d)

extraer una bolita de color verde. extraer una bolita que no sea de color verde. extraer una bolita que no sea de color rojo. extraer una bolita que no sea de color azul.

Datos y azar

155

Herramientas tecnológicas En esta actividad deberán usar una planilla de cálculo para simular el lanzamiento de un dado. Sigue las siguientes instrucciones. 1º Seleccionar la secuencia Herramientas - Complementos Herramientas para análisis; haz clic en Aceptar. 2º Selecciona nuevamente Herramientas y, luego, en la secuencia , Análisis de datos - Generación de números aleatorios, haz clic en Aceptar. Aparecerá una tabla en la que simularemos el lanzamiento de un dado. 3º En Número de variables debes poner 1, al igual que en Cantidad de números aleatorios, pues estamos simulando el lanzamiento de un dado. 4º En Distribución debes seleccionar Uniforme; esto significa que los sucesos son equiprobables. 5º En Parámetros, anota entre 1 y 6, pues son los valores que se pueden obtener al lanzar el dado. 6º En Opciones de salida, selecciona Rango de salida y escribe A1 (como se observa a continuación), que corresponde a la celda de la planilla donde quedará el dato. 7º Finalmente, haz clic en Aceptar. Observa que el número obtenido no es entero, por lo tanto debemos utilizar una función que redondee el número, de tal forma que aparezca 1, 2, 3, 4, 5 ó 6. Escribe la siguiente función en la celda B1: =REDONDEAR(A1;0). A1 corresponde a la celda donde está el número que queremos redondear, y 0 es la cantidad de decimales que consideramos; en nuestro caso, necesitamos solo números enteros. Luego, presiona enter. Aparecerá el número equivalente al lanzamiento de un dado. Por ejemplo:

8º Repite el mismo procedimiento para simular más lanzamientos, pero en Rango de salida escribe A2, A3, …, hasta A20. Además, redondea cada número obtenido, cambiando la celda donde está el número a redondear. Por ejemplo: =REDONDEAR(A2;0), hasta B20. Obtendrás algo similar a la imagen de la derecha. Luego de realizar los pasos anteriores, construye, en tu cuaderno, una tabla de frecuencias para esta situación y responde: a) ¿Cuál es la frecuencia relativa cuando el número del dado es 3?, ¿cuál es la probabilidad de que salga 3?, ¿se relacionan ambos valores? b) ¿Cuál es el espacio muestral del experimento?, ¿los resultados son equiprobables?, ¿por qué? c) En una nueva planilla repite el mismo procedimiento hasta las celdas A50 y B50. ¿Qué sucede con la frecuencia relativa y la probabilidad en cada caso?

156 Unidad 5

Unidad 5

Mi progreso Marca la opción correcta en las preguntas 1 y 2. 1. El espacio muestral del experimento aleatorio: “lanzar una moneda (C : cara, S: sello) y un dado de seis caras”, es: A. B. C. D.

Ω = C 1, S 2, C 3, S4, C 5, S6 Ω = C , S, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Ω = C 1, C 2, C 3, C 4, C 5, C 6, S1, S2, S3, S4, S5, S6 Ω = C 1, C 2, C 3, C 4, C 5, C 6, S1, S2, S3, S4, S5, S6, C , S

2. Considera el experimento: “lanzar un dado dos veces”. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral? A. 4

B. 11

C. 12

D. 36

3. Determina si en cada experimento los sucesos son equiprobables. Explica tu decisión. a) b) c) d)

Lanzar un dado dos veces y sumar los resultados. Lanzar una moneda al aire. Sacar, sin mirar, una bola de una urna que tiene 2 bolas rojas, 2 azules y 2 blancas. Escoger una persona al azar, de un curso con 15 niños y 15 niñas.

4. Eduardo tiene 5 poleras de distintos colores (amarilla, azul, blanca, negra y roja) y tres pantalones: uno negro, uno café y uno gris. El fin de semana asistirá a una fiesta y no sabe qué ropa elegir. a) ¿Cuántas tenidas puede escoger?, ¿cuáles son? b) Si escoge una tenida al azar, ¿cuál es la probabilidad que salga polera blanca y pantalón gris?, ¿cómo lo supiste? Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde. Criterio

Ítem

Identificar el espacio muestral en un experimento aleatorio.

Determinar la cardinalidad de un espacio muestral.

Analizar situaciones donde los resultados pueden o no ser equiprobables.

Identificar el espacio muestral, su cardinalidad y calcular la probabilidad de una situación.

Respuestas correctas

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera la estrategia utilizada.

Datos y azar

157

Buscando estrategias Loreto se está preparando para correr en una competencia anual de su colegio. Para ello, investigó sobre la vida de Felipe, el ganador del último año. La información que obtuvo es la siguiente: Tiempo en minutos que entrena diariamente Tiempo (minutos)

Horas que duerme diariamente

Edad de sus hermanos

57% de los días duerme 8 horas

Edad

150

10 8

100

200

50 Lu ne s M art es M iér co les Ju ev es Vie rn es

Día

Hermanos 7 horas (14% de los días) 10 horas (29% de los días)

¿Cuál o cuáles de estos gráficos le sirven a Loreto para su preparación física?

Comprender • ¿Qué sabes del problema? Los gráficos corresponden a aspectos de la vida de Felipe.

• ¿Qué debes encontrar? Seleccionar aquellos gráficos cuya información le sirva a Loreto.

Planificar • ¿Cómo resolver el problema? Debemos interpretar cada gráfico y sacar conclusiones de ello.

Resolver • Interpretamos cada uno de los gráficos. En el gráfico 1, observamos que cada lunes, Felipe entrena 1 hora 40 minutos. Los martes, 2 horas con 5 minutos; los miércoles 2 horas y media; los jueves 3 horas con 20 minutos, y los viernes, 2 horas y media. El gráfico 2, nos dice que el 57% de los días de una semana, es decir 4 días, Felipe duerme 8 horas; el 29% de los días duerme 10 horas, que equivale a dos días; y un 14% de los días duerme 7 horas, es decir un día de la semana. El gráfico 3, nos dice que Felipe tiene 2 hermanos, uno de 10 y otro de 8 años, y una hermana de 5 años.

Responder • Los gráficos 1 y 2 le sirven a Loreto para imitar a Felipe y comenzar a entrenar. En cambio, la información obtenida del gráfico 3 no es relevante para su preparación.

158 Unidad 5

Unidad 5

Revisar • Para comprobar las interpretaciones de los gráficos 1 y 2, puedes utilizar calculadora cuando sea necesario. 1. Aplica la estrategia aprendida para resolver la siguiente situación. Álvaro necesita información sobre la frecuencia con la que leemos los chilenos. Para obtenerla, recurre a la “Encuesta de Consumo Cultural”, realizada a 600 personas mayores de 18 años por El Mercurio / Opina, en diciembre de 2009. De allí obtuvo la siguiente información: ¿Usted asiste a obras de teatro?

¿Usted lee libros?

6 o más veces

Nº de personas

Todos los días

Nº de personas

500

De 2 a 5 veces

150

Casi todos los días

400

1 vez

120

Una vez por semana

300

No recuerda en los últimos 12 meses

200

Período mayor

No ha asistido en los últimos 12 meses

100

Una vez al mes

Asistencia al teatro

Frecuencia

• ¿Cuál o cuáles gráficos le sirven a Álvaro para conocer cada cuánto leemos los chilenos? 2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución. Explica, paso a paso, y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras. 3. Resuelve el siguiente problema, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es el más simple?, ¿por qué? Ana está realizando un estudio comparativo sobre la deserción escolar en Chile a través de los años. Recurrió al estudio “Estadísticas de Educación, Cultura y Medios de Comunicación”, realizado por el Ministerio de Educación en el año 2008. Allí encontró lo siguiente: Alumnos matriculados en la educación regular (Incluye educación de adultos)

Nº de alumnos

Nº de alumnos 4 550 000 4 500 000 4 450 000 4 400 000 4 350 000 4 300 000 4 250 000 2003

2004

2005

Alumnos matriculados en la educación regular por sexo en el año 2007

2006

2007

Año

1 000 000 900 000 800 000 700 000 600 000 500 000 400 000 300 000 200 000 100 000 0

Región I II III Hombres

V VI VII VIII Mujeres

XII

R.M.

• ¿Cuál gráfico le sirve a Ana para averiguar sobre la deserción escolar?

Datos y azar

159

Conexiones

Para finalizar NACIONAL

Algunas de las principales tendencias de Internet en Chile Internet tiene cada vez más presencia en la vida de todos. Considerando esto, fue que la empresa AyerViernes realizó el estudio “Soy Digital 2010”, sobre el consumo de Internet en el país y cómo este ha cambiado. El reporte concluyó que los usuarios se conectan principalmente por entretención, siendo sus principales actividades revisar correos electrónicos (93%), buscar información (91%) y leer noticias (81%). Otra tendencia, es que el 80,2% de los usuarios ha realizado una compra online, lo que confirma que es un medio válido para adquirir algo, en su mayoría un artículo tecnológico (65,4%). También se destaca que el 41,4% cree que la publicidad es invasiva. Un desafío pendiente para las empresas que prestan servicios online tiene relación con crear espacios donde se pueda escuchar a los clientes para saber qué ofrecer, cómo y cuándo. Fuente: Adaptado de www.emol.com/noticias/tecnologia/detalle/detallenoticias.asp?idnoticia=392589 Publicado el miércoles 6 de enero de 2010.

Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes. 1. Hagan un listado de las 5 actividades que consideran principales a la hora de conectarse a Internet. Luego, realicen una encuesta considerando una muestra de 30 personas, que respondan: ¿cuál de estas 5 actividades son las que más utilizas cuando te conectas a Internet? 2. Organicen los resultados obtenidos en una tabla, construyan un gráfico y confronten sus resultados con los del estudio “Soy Digital 2010”. 3. ¿Piensan que el estudio “Soy Digital 2010” se realizó mediante censo o muestreo? Justifiquen sus respuestas.

Evaluamos nuestro trabajo 1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según corresponda. Luego, comparen y completen sus respuestas. Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3 Respetó las opiniones de los demás integrantes. Cumplió con las tareas con las que se comprometió. Hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo. 2. Comenten y respondan: para el próximo trabajo en equipo, ¿qué aspectos podrían mejorar?

160 Unidad 5

Unidad 5

DATOS

Síntesis

TABLAS DE

ESPACIO

PRINCIPIO

FRECUENCIA

MUESTRAL

MULTIPLICATIVO

DATOS NO

DATOS

AGRUPADOS

PROBABILIDAD

SUCESOS MEDIA ARITMÉTICA

EQUIPROBABLES

Y MODA

REGLA DE LAPLACE

Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad y, apoyándote en el esquema anterior, responde. 1. ¿Crees que faltó algún concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Cómo calculas la media aritmética para datos agrupados en intervalos? Da un ejemplo. 3. ¿Cómo determinas la moda para datos agrupados en intervalos? Da un ejemplo. 4. ¿Qué diferencias observas entre el Censo y el muestreo?, ¿qué utilidad tienen? 5. ¿Qué aspectos debes considerar para el diseño de una encuesta? Realiza una encuesta, en tu cuaderno, sobre el tema que tú quieras. 6. ¿Cuándo los sucesos son equiprobables? Da un ejemplo. 7. ¿Cómo puedes obtener la cantidad de elementos de un espacio muestral? Da un ejemplo. 8. ¿Cómo determinas la probabilidad de ocurrencia del evento?, ¿de qué formas se puede representar? Da un ejemplo. 9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela en tu curso e intenten aclararla en conjunto.

Datos y azar

161

¿Qué aprendí? Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. 1. La cardinalidad del espacio muestral del experimento “lanzar cuatro monedas simultáneamente” es: A. B. C. D.

2 6 8 16

A. B. C. D.

2. En una caja hay 7 bolitas rojas, 10 negras, 9 amarillas y 4 azules. Si se extrae una bolita, sin mirar, la probabilidad de que sea amarilla es: A. B. C. D.

30% 70% 3% 9%

3. Se ha determinado la masa de 100 estudiantes de un colegio, obteniéndose la tabla adjunta. ¿Qué porcentaje de estudiantes tiene una masa menor de 71 kg? A. B. C. D.

7% 20% 70% 93%

4. De la situación anterior, ¿qué porcentaje de estudiantes pesa más de 60 kg?

46 - 50

Nº de estudiantes 4

51 - 55

56 - 60

61 - 65

66 - 70

71 - 75

76 - 80

Masas (kg)

5. De la tabla del ítem 3, la frecuencia absoluta acumulada en el intervalo 56 - 60, corresponde a: A. 45 B. 30 C. 15 D. 19 6. De tabla del ítem 3, ¿qué clase tiene la probabilidad 0,2? A. B. C. D.

51 - 55 66 - 70 71 - 75 76 - 80

7. De la tabla del ítem 3, el valor aproximado de la moda corresponde a: A. B. C. D.

58 kg 59,6 kg 61,6 kg 60,5 kg

8. De la tabla del ítem 3, la media aritmética es: A. B. C. D.

162 Unidad 5

28% 45% 55% 93%

4,11 kg 63 kg 58 kg 61,6 kg

Unidad 5 9. El siguiente gráfico, corresponde a una encuesta realizada por el Consejo Nacional de Televisión, en el año 2009. ¿Con qué frecuencia ve TV abierta chilena? Hombres (2419 en total)

Porcentaje 80,00% 70,00% 60,00% 50,00% 40,00% 30,00% 20,00% 10,00%

Mujeres (2589 en total) Todos los días 5-6 días a la semana 3-4 días a la semana 1-2 días a la semana Menos de 1 vez a la semana Nunca o casi nunca No sabe / no contesta Frecuencia (TV)

• ¿Cuántas personas ven TV abierta 5 días a la semana, o más?, ¿y los que ven todos los días?, ¿qué puedes concluir? Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿Qué logré? 1. Marca según tu apreciación.

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

Construcción e interpretación de tablas de frecuencia para datos agrupados Media aritmética y moda para datos agrupados Censo y muestreo Análisis de encuestas Espacio muestral y principio multiplicativo Sucesos equiprobables y regla de Laplace Resolución de problemas

2. Reflexiona y responde. a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste? b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué? c) Vuelve a la página 131 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”, ¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.

Datos y azar

163

6 Unidad

164 Unidad 6

Funciones y relaciones proporcionales

En esta Unidad podrás... • Plantear ecuaciones que representan situaciones de la vida cotidiana, y analizarlas a través de tablas y gráficos. • Reconocer funciones en diversos contextos, identificar sus elementos y utilizarlos para representar variadas situaciones. • Distinguir entre variables dependientes e independientes en las funciones, e identificar el dominio y recorrido de estas. • Identificar variables relacionadas en forma proporcional y no proporcional. • Reconocer y representar funciones de proporcionalidad directa e inversa. • Analizar y comparar situaciones que representan variaciones proporcionales y no proporcionales; uso de software gráfico en estos casos. • Resolver problemas que impliquen el uso de la relación de proporcionalidad.

Conversemos de... En la actualidad, el sedentarismo afecta a un gran porcentaje de la población, a pesar de que se ha demostrado que hacer deporte regularmente produce numerosos beneficios para la salud, tanto físicos como psicológicos: fortalece los huesos, previene la obesidad y la hipertensión arterial, ayuda a liberar tensiones, entre muchos otros. Incluso, se ha probado que las personas que practican ejercicio físico de forma regular, suelen vivir más que aquellas que no lo realizan. La fotografía muestra a Carlos; él se moviliza en bicicleta diariamente. Considerando que avanza en promedio a 21 km/h, piensa y responde. 1. Después de cinco horas, ¿cuál es la distancia aproximada que puede recorrer Carlos, si no se detiene y mantiene el mismo ritmo? 2. Si el trabajo de Carlos está a 31,5 km de su casa, y va en bicicleta, ¿cuánto demora aproximadamente en llegar al trabajo si no se detiene en ningún momento? 3. El fin de semana visitará a su hermana que vive a 84 km de su casa. Si va en bicicleta, ¿cuántas horas tardaría en llegar si no realiza detenciones?, ¿a qué hora llegaría a destino si comienza el viaje a las seis de la mañana? 4. ¿Existe alguna ecuación que permita representar la distancia que recorre Carlos en un determinado período de tiempo?, ¿cuál?

Funciones y relaciones proporcionales

165

¿Cuánto sabes? 1. Expresa en lenguaje algebraico las siguientes frases. a) b) c) d) e) f) g) h)

El triple de un número. El doble de la suma de 3 y –8 La tercera parte del doble de un número. La suma del cuarto de un número y el triple de otro número. El valor de n paltas a t pesos cada una. El valor de quince latas de bebida a x pesos cada una. El valor de y kg de pan a $ 750 cada uno. El valor de un huevo si la docena cuesta x pesos.

2. Escribe una expresión algebraica que represente el área y perímetro de las siguientes figuras. a)

a+3

x a+3 r

3. Resuelve las siguientes ecuaciones. Explica, paso a paso, cómo lo hiciste. 3 z + 2 = 62 7

a) 4 + 10y – 8 = 2y + 12

b) 3x – 6 = x + 2

e) 1,4 a – 0,72 = 11,28 – 0,6 a

c) 0,8x – 3 = 12 – 2,2x

2 2 –3=5+ x 3 5

4. Plantea una ecuación y encuentra en cada caso, el o los números desconocidos. a) b) c) d)

Si a un número le quito 27 se obtiene 77. La suma de un número y su antecesor es 49. La suma de tres números impares consecutivos es 177. Si al cuádruple de un número le quitamos 3, nos resulta el triple del número aumentado en 12.

5. En un curso de cuarenta estudiantes, el 20% obtuvo nota igual o superior a 6,0 en una prueba; el 30% entre 5,0 y 5,9; el 35% entre 4,0 y 4,9, y el resto del curso obtuvo nota inferior a 4,0. a) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron nota mayor o igual a 6,0? b) ¿Cuántos estudiantes no aprobaron la prueba? c) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron nota entre 4,0 y 5,9?

166 Unidad 6

Unidad 6

6. Resuelve los siguientes problemas. Explica el procedimiento utilizado. a) Un padre tiene veintitrés años menos que su madre, y su hijo tiene 35 años menos que él. Si la suma de las tres edades es 168 años, ¿qué edad tiene cada uno? b) En un negocio, Matías y Josefa ganaron $ 155 000. Como no trabajaron de igual forma, el dinero será repartido en la razón 2 : 3. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno por el trabajo realizado? c) En un supermercado, todos los lunes se efectúa un descuento de 3% sobre la compra total. Si Carmen compró el lunes pasado la mercadería para el mes y pagó $ 44 232, ¿cuánto habría pagado sin el descuento? Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿Qué debes recordar? • Una razón es una comparación entre dos cantidades que se realiza por medio de una división. Ejemplo:

a b

antecedente consecuente

• El valor de la razón es el cociente entre las cantidades. Dos razones son equivalentes si su 4 5 5 4 valor es el mismo. Ejemplo: es equivalente a , ya que = 0,5 y = 0,5. 8 10 10 8 • Una proporción es una igualdad entre dos o más razones. La proporción entre las cantidades

a, b, c y d se puede expresar a : b = c : d, o bien a = c y se lee “a es a b, como c es a d”. b d a = c , si y solo si a • d = b • c. • En toda proporción se cumple que b d • Un porcentaje se escribe, por ejemplo, 15%, y se lee “quince por ciento”. El porcentaje es una razón cuyo consecuente es 100. • Para transformar una razón en porcentaje, basta con multiplicar la razón por 100 y, luego, calcular el cociente. 4 • 400 Ejemplo: 100 = = 80% “4 representa el 80% de 5”. 5 5 • En el lenguaje algebraico se utilizan letras para representar variables. Para variables diferentes se asignan letras distintas. Por ejemplo: “el doble de un número aumentado en el triple de otro número” se puede representar por la expresión algebraica: 2x + 3y. • Una ecuación de primer grado es una igualdad que contiene al menos un valor desconocido llamado incógnita. Resolver una ecuación equivale a encontrar el o los valores desconocidos para los cuales se cumple la igualdad. Funciones y relaciones proporcionales

167

Situaciones con dos variables Tomás compró mandarinas y un pimentón, y gastó $ 4400. El kilogramo de mandarinas costó $ 650 y el pimentón $ 500.

Para discutir • ¿Cuántos kilogramos de mandarinas compró Tomás?, ¿cómo lo calculaste? • ¿Cuál es la ecuación que permite calcular esta situación? • ¿Cuánto costarán 9 kg de mandarinas?, ¿y 13 kg?, ¿por qué? • ¿Podrías representar en una tabla o gráfico la relación entre los kilogramos de mandarinas comprados y su costo?, ¿cómo?

Ayuda • En una ecuación se debe verificar que la solución obtenida sea correcta. Por ejemplo: 5x + 5 = 2x + 20 / – 2x 3x + 5 = 20 /–5 3x = 15 /:3 x=5 Verificamos que la solución x = 5 es correcta remplazando: 5 • 5 + 5 = 2 • 5 + 20 30 = 30 • Si se trata de un problema, además se debe verificar si la solución es pertinente.

168 Unidad 6

En esta situación, si representamos con x cada kilogramo de mandarinas, una ecuación que permitiría determinar la cantidad de kilogramos de mandarinas que Tomás compró es: kilogramo de mandarinas

650x + 500 = 4400

gasto total

pimentón

Luego, resolvemos la ecuación y obtenemos: 650x + 500 = 4400 / – 500 650x = 3900 / : 650 x=6 Por lo tanto, Tomás compró 6 kg de mandarinas. Por otro lado, si queremos saber cuánto costarán 9 kg de mandarinas, podemos multiplicar el valor de cada kilogramo de mandarinas por 9, es decir, 650 • 9 = 5850, lo que significa que 9 kg de mandarinas costarán $ 5850. Para saber el valor de 13 kg de mandarinas calculamos 650 • 13 = 8450, entonces, costarán $ 8450. Otra forma de resolver la situación presentada es registrar los datos en una tabla o representarlos en un gráfico.

Unidad 6

Observa, en cada caso, la relación entre los kilogramos de mandarinas y su precio. Precio ($)

Kilogramos de mandarinas

Precio ($)

650 • 1 = 650

650 • 2 = 1300

650 • 3 = 1950

650 • 4 = 2600

650 • 5 = 3250

650 • 6 = 3900

650 • 7 = 4550

650 • 8 = 5200

5200 4550 3900 3250 2600 1950 1300 650 0 1

Para saber cuánto costarán 7 kg de mandarinas, podemos ver la tabla y conocer de inmediato el valor. En el caso del gráfico, para determinar cuánto costarán 5 kg de mandarinas, debemos ubicar en el eje de las abscisas el número 5, luego, en el punto que tiene en dicho eje observamos qué valor le corresponde en el eje de las ordenadas. En este caso es 3250.

Kilogramos de mandarinas

Glosario eje de las abscisas: corresponde al eje horizontal o eje X. eje de las ordenadas: corresponde al eje vertical o eje Y.

No olvides que... • Una situación que involucra encontrar un valor desconocido o incógnita se puede representar planteando la ecuación que, al resolverla, dará solución al problema en cuestión. • Si la situación relaciona dos variables, podemos analizar su comportamiento por medio de diversos registros, como una tabla o un gráfico.

Actividades 1. Resuelve las siguientes situaciones planteando una ecuación, que en cada caso, permita resolver el problema. Luego, encuentra el valor de la incógnita. a) Manuel tiene x cantidad de dinero en un bolsillo, y el triple en el otro. Si en total tiene $ 6000, ¿cuánto dinero hay en cada bolsillo? b) Marcela compró un ramo de flores por $ 8900 y 4 jarrones. Si el valor total de la compra es $ 14 700, ¿cuánto costó cada jarrón? c) En un rectángulo, el largo mide el doble del ancho. Si el perímetro es 72 cm, ¿cuánto mide cada lado?, ¿cuánto mide su área? Funciones y relaciones proporcionales

169

2. En uno de sus planes, una compañía de teléfonos celulares cobra $ 2,5 por segundo al realizar llamadas a cualquier compañía nacional y en cualquier horario. Camila, que tiene este plan, habló con su amiga Francisca (que tiene un celular de otra compañía) y gastó $ 900 en esa llamada. a) ¿Cuál es la ecuación que permite saber cuántos minutos habló Camila con su amiga? Resuélvela. b) Si una llamada le costó $ 300, ¿cuántos minutos habló? c) Si Camila llama nuevamente a su amiga Francisca, ¿cuánto gastará si habla 3 minutos?, ¿y si habla 5 minutos? d) Completa la tabla que relaciona la cantidad de segundos hablados, y su respectivo costo. Segundos

Precio ($)

2,5

10 60 90 180 300

e) Si a fin de mes habló 65 minutos a compañías nacionales, ¿cuánto pagará en total ese mes? f) Completa el siguiente gráfico, que relaciona los minutos hablados con el valor mensual del plan. Precio ($) 5000 4000 3000 2000 1000 5

Minutos hablados

g) Si Camila hablara 4 minutos y 12 segundos, ¿cuánto dinero gastaría? h) Francisca tiene un plan de otra compañía de teléfonos celulares. Los costos de su plan aparecen en la siguiente tabla: Cargo fijo ($)

Minutos incluidos

Valor del segundo adicional ($)

14 490

100

Si en un mes habla 200 minutos, ¿cuánto debería pagar? i) Si cada mes hablaras 180 minutos por teléfono celular, ¿qué plan sería más conveniente, el de Camila o el de Francisca?, ¿por qué?

170 Unidad 6

Unidad 6

3. Sandra se encarga de los pedidos en una empresa de decoración. En una de las compras gastó $ 27 250, al adquirir un florero a $ 1250 y claveles rojos y blancos. Los primeros tienen un costo de $ 140, los segundos de $ 120. Compró la misma cantidad de claveles de cada color. a) ¿Cuántos claveles compró en total?, ¿cuál es la ecuación que permite encontrar la solución? b) ¿Cuánto gastaría si comprara treinta claveles en total?, ¿y cuarenta? c) ¿Cuánto gastaría, incluyendo el florero, si comprara ochenta y seis claveles en total? d) Completa la siguiente tabla que relaciona la cantidad de claveles y el gasto asociado. Cantidad de claveles

Precio ($)

260

4 12 20 30 50 80 114

e) Observa la tabla: ¿podría Sandra comprar siete claveles en el pedido realizado?, ¿y quince?, ¿cuánto gastaría? f) Completa el siguiente gráfico. Precio ($) 1500 1250 1000 750 500 250 2

Cantidad de claveles

g) ¿Cuánto gastará Sandra en total si compra doce claveles y un florero que cuesta $ 1450 más que el anterior?

Funciones y relaciones proporcionales

171

Noción de función Miguel vende automóviles. Su sueldo fijo mensual es de $ 180 000, y por cada unidad vendida durante el mes, recibe una comisión de $ 35 000. Observa la tabla de valores: Cantidad de automóviles vendidos

Sueldo recibido ($)

180 000 + 35 000 • 1 = 215 000

180 000 + 35 000 • 2 = 250 000

180 000 + 35 000 • 3 = 285 000

180 000 + 35 000 • 4 = 320 000

Para discutir • ¿Cuál será el sueldo de Miguel si vende ocho automóviles durante un mes?, ¿y si vende dieciséis?, ¿por qué? • Si durante un mes vendió x automóviles y recibió un sueldo de y pesos, ¿qué expresión algebraica permitiría calcular su sueldo?, ¿cuántas variables tiene? • ¿Cuántos automóviles vendió en un mes que ganó $ 530 000?, ¿cómo lo supiste?

Ayuda Recuerda que la expresión algebraica 35 000x también puede escribirse como 35 000 • x.

Si analizamos la tabla, podemos observar que para determinar cuál será el sueldo de Miguel si vende ocho automóviles, podemos calcular 180 000 + 35 000 • 8 = 460 000, es decir, este será de $ 460 000 y, si vendiera dieciséis, calculamos 180 000 + 35 000 • 16 = 740 000, entonces, recibiría $ 740 000. Si representamos con una y el sueldo recibido por Miguel al vender x automóviles, la situación anterior se puede modelar por la expresión y = 180 000 + 35 000x. Esta expresión, que relaciona dos variables x e y de manera que a cada valor de x (nº autos vendidos) le corresponde un único valor de y (sueldo), recibe el nombre de función. Luego, para saber cuántos autos vendió en un mes que recibió $ 530 000 de sueldo, podemos resolver la ecuación: 530 000 = 180 000 + 35 000x 350 000 = 35 000 • x 10 = x Por lo tanto, ese mes vendió diez automóviles.

172 Unidad 6

/ – 180 000 / : 35 000

Unidad 6

No olvides que... • Una función es una relación entre dos variables x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. • Una función se puede representar o modelar de diversas formas; por ejemplo, con una ecuación, una tabla de valores o un gráfico.

Actividades 1. Construye, en tu cuaderno, un gráfico que represente la situación descrita en la página anterior. 2. Determina, en cada caso, si la relación entre las variables corresponde o no a una función. Justifica tus respuestas. a) b) c) d)

Un número natural y su opuesto aditivo. Los sabores preferidos de helado por los integrantes de un curso. La longitud del lado de un cuadrado y su área. La cantidad de respuestas correctas en una prueba y la nota final obtenida.

3. Andrea compara los planes que le ofrece una compañía de telefonía celular. Tarifas

Cargo fijo

Minutos incluidos en el plan

Valor minuto adicional

Plan A

9490

220

Plan B

12 990

160

Plan C

14 490

100

120

a) Completa la tabla con los valores que debería pagar en cada caso, según la cantidad de minutos que va a utilizar. Minutos

Costo plan A

9490

Costo plan B Costo plan C

100

120

150

12 990 14 490

b) Si Andrea hablara 80 minutos, ¿qué plan le convendría?, ¿y si hablara 120?, ¿por qué? c) Si x representa la cantidad de minutos no incluidos en el plan, ¿qué función representa el monto y de la cuenta de telefonía celular en cada caso?

Funciones y relaciones proporcionales

173

Variables dependientes e independientes En una amasandería se venden empanadas a $ 850 cada una. Observa y completa la siguiente tabla. Cantidad de empanadas

Precio ($)

850 • 1 = 850

2 3 4 5 6

Para discutir • ¿Cuánto costarán seis empanadas?, ¿y diecinueve?, ¿y treinta y dos?, ¿cómo lo calculaste? • ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿qué representa la variable x y la variable y, en este caso? • ¿Cuál es el gráfico que representa esta situación?, ¿cómo lo hiciste? • ¿De qué depende el precio final a pagar por las empanadas?

Después de completar la tabla de la situación presentada, podemos observar que para seis empanadas se cancelan $ 5100, ya que 850 • 6 = 5100. En este caso, la expresión algebraica que modela esta situación es:

y = 850x, o bien f (x) = 850x donde x representa la cantidad de empanadas por comprar e y representa el valor total a pagar por las empanadas compradas. Luego, para diecinueve empanadas se cancelan $ 16 150, ya que, para x = 19, se tiene que y = 850 • 19 = 16 150, o bien f (19) = 850 • 19 = 16 150. Para treinta y dos empanadas se cancelan $ 27 200, ya que, para x = 32, se tiene que y = 850 • 32 = 27 200, o bien f (32) = 850 • 32 = 27 200.

174 Unidad 6

Unidad 6

Observa el gráfico que relaciona la cantidad de empanadas y su precio. Precio ($) 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 1 2

4 5

6 7

8 9 10 11 12 13

Cantidad de empanadas

En este caso, para distintos valores de x (cantidad de empanadas) se obtendrán distintos valores para y (precio de las empanadas). Además, el valor total de las empanadas compradas depende de la cantidad que se compren, es decir, el valor de la variable y depende del valor de la variable x.

No olvides que... • Una relación entre dos variables x e y se puede representar o modelar por una ecuación tal que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Como el valor de y depende del valor x, se dice que y es la variable dependiente y x la variable independiente. • Para representar una función en un gráfico, los valores de la variable independiente se representan sobre el eje horizontal o de las abscisas, y los valores de la variable dependiente se representan sobre el eje vertical o de las ordenadas. • La variable y puede también escribirse como f (x) donde x es la otra variable, y se lee “f de x”. Por ejemplo, la función y = 150 000 + 25 000 x, también se puede escribir como f x = 150 000 + 25 000x.

Actividades 1. Determina, en cada función, las variables dependiente e independiente. a) El volumen de un cubo y su arista. b) Un número y su sucesor. c) La cantidad de kilogramos de pan y el precio total. Funciones y relaciones proporcionales

175

2. Las entradas para asistir a un concierto de hip hop tienen un valor general de $ 10 500. a) b) c) d)

¿Cuál es el precio de siete entradas?, ¿y de doce? ¿Cuál es la expresión algebraica que modela esta situación? ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la variable independiente? Completa la siguiente tabla según corresponda.

x y

e) Construye en tu cuaderno el gráfico que representa esta situación. 3. Observa los valores de la siguiente tabla y complétala. Lado del cuadrado (cm)

Perímetro del cuadrado (cm)

a) Si el lado del cuadrado mide 9 cm, ¿cuánto mide su perímetro?, ¿y si mide 15 cm? b) ¿Cuál es la función que representa esta situación? c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué? 4. El maestro Camilo pinta todo tipo de muros. Él cobra $ 5000 por metro cuadrado pintado y $ 6800 por la evaluación en terreno del trabajo antes de realizarlo. a) Completa la siguiente tabla que relaciona los metros cuadrados por pintar y el costo completo del trabajo. m2 Total a pagar

b) ¿Cuál es la función que modela esta situación? c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la variable independiente?, ¿por qué? d) Si el maestro Camilo no cobrara por la evaluación y pidiera $ 6000 por metro cuadrado pintado, ¿cuál es la función que representa esta situación? Muéstrala en un gráfico. 5. Observa en el siguiente gráfico, la relación entre la longitud del lado de un triángulo equilátero y su perímetro. a) ¿Cuál es la variable dependiente? ¿y la independiente? b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación? c) Si el perímetro de un triángulo equilátero es 42 cm, ¿cuánto mide cada uno de sus lados?, ¿por qué?

Perímetro (cm) 20 15 10 5 1

176 Unidad 6

Lado triángulo equilátero (cm)

Unidad 6

6. Consuelo hace clases particulares a domicilio. Completa la siguiente tabla con el dinero que Consuelo puede reunir durante un mes. Cantidad de clases

Dinero reunido ($)

4500

a) b) c) d)

16 40 500

54 000

¿Cuánto dinero reúne Consuelo en seis clases?, ¿y en dieciséis? ¿Cuál es la función que modela esta situación? ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué? Construye en tu cuaderno el gráfico correspondiente.

En equipo En esta actividad deberán utilizar palitos de fósforo para formar triángulos. Formen grupos de cuatro integrantes y sigan las instrucciones. 1. Formen un triángulo con tres palitos de fósforo. 2. Luego, con dos palitos más formen dos triángulos, como se observa en la figura. Un triángulo

Dos triángulos

3. Con dos palitos más formen tres triángulos, con dos más cuatro triángulos y así, vayan agregando dos palitos más para formar un triángulo más cada vez. 4. Según lo obtenido, comenten y respondan: a) ¿Qué tipo de triángulos son los que se forman?, ¿por qué? b) En una tabla anoten la cantidad de triángulos que se forman y la cantidad de palitos utilizados en cada caso, ¿qué observan? c) ¿Cuántos palitos son necesarios para formar siete triángulos?, ¿y veinte?, ¿y ciento tres?, ¿por qué? d) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación? e) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?

Funciones y relaciones proporcionales

177

Dominio y recorrido Daniel hizo ciento sesenta alfajores y quiere envasarlos en cajas que contengan la misma cantidad de unidades. Observa la siguiente tabla. Cantidad de cajas

Cantidad de alfajores por caja

13,3

30 5,3

Para discutir • • • •

¿Cuántas cajas necesita para distribuir los alfajores?, ¿por qué? ¿Cuál es la función que modela esta situación? ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué? ¿Qué valores puede tomar en este caso la variable x?, ¿y la variable y?, ¿por qué?

Daniel quiere envasar todos los alfajores y repartirlos equitativamente en las cajas. Por lo tanto, si observamos la tabla anterior, notamos que no podría usar doce cajas, tampoco treinta, ya que tendría que partir los alfajores, o las cajas no tendrían la misma cantidad. 160 Luego, la función que modela esta situación es y = , donde la

variable independiente x es la cantidad de cajas y la variable dependiente y es la cantidad de alfajores por caja. En este caso, los valores de x y los de y deben ser números enteros positivos. Como 160 debe ser divisible por x, los valores que puede tomar la variable x en este caso son: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80, 160. El conjunto de valores mencionados corresponden al dominio de la función y son todos aquellos valores que la variable independiente x puede tomar. En el caso de los valores resultantes, al remplazar los valores del dominio son: 160, 80, 40, 32, 20, 16, 10, 8, 5, 4, 2, 1. Estos valores corresponden al recorrido de la función y son todos aquellos valores que toma la variable dependiente y. Finalmente, los conjuntos dominio y recorrido de la función

f (x) = 160 son: x Dom ( f ) = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80, 160 Rec ( f ) = {160, 80, 40, 32, 20, 16, 10, 8, 5, 4, 2, 1}

178 Unidad 6

Unidad 6

No olvides que... • Se llama dominio de una función, y se expresa por Dom ( f ), al conjunto de valores que la variable independiente x puede tomar en la función f . • Se llama recorrido de una función, y se expresa por Rec ( f ), al conjunto de valores que toma la variable dependiente y, es decir, todos los valores que resultan al remplazar los valores del dominio en la función f .

Actividades 1. Entre dos ciudades hay una distancia de 360 km. Construye una tabla de valores que relacione la rapidez constante y el tiempo que emplearían diversos automóviles en recorrer esta distancia, considerando que la rapidez máxima es de 120 km/h. A partir de la tabla, determina el dominio y el recorrido de la función. 2. El valor general de las entradas para asistir a un teatro es de $ 4500 y su capacidad máxima es para ciento cincuenta personas. a) b) c) d)

¿Cuánto dinero se recauda si asisten ochenta y seis personas?, ¿y si van ciento treinta y tres? ¿Cuál es la función que determina esta situación? ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué? Determina el dominio y recorrido de esta función.

3. Romina tiene trescientos caramelos que reparte entre los niños del barrio, entregándoles la misma cantidad de dulces a cada uno. a) b) c) d)

¿Cuántos caramelos les regala a cada niño si son quince?, ¿y a veinticinco? Determina la expresión algebraica que representa esta situación. Si uno de los niños recibe cinco dulces, ¿a cuántos niños les repartió los caramelos? Determina el dominio y recorrido de esta función.

4. En un triángulo rectángulo la medida de uno de los ángulos agudos se puede representar por la función y = 90 – x. a) b) c) d)

¿Qué representa la variable independiente x en este caso? ¿Qué valores puede tomar la variable x?, ¿y la variable y?, ¿por qué? ¿Qué sucede con el ángulo x si el triángulo es isósceles? Construye en tu cuaderno una tabla que represente esta situación.

Funciones y relaciones proporcionales

179

Herramientas tecnológicas Usando una planilla de cálculo, sigue las instrucciones para graficar funciones, determinar la expresión algebraica asociada y observar su dominio y recorrido. Gráfico de una función en Excel 1º En la columna A escribe el doble de los siete primeros números naturales, en orden creciente, es decir, en la celda A1 escribe el doble de 1, en A2 el doble de 2, en A3 el doble de 3, así sucesivamente, hasta A7. 2º Selecciona todos los números escritos anteriormente, como se observa a continuación:

3º Selecciona la herramienta “Insertar” y, luego, la opción “Gráfico”. 4º En las opciones de gráficos selecciona “XY Dispersión”. 5º Presiona enter o “Siguiente”, hasta que el gráfico aparezca en la planilla, como el que aparece a continuación: 16 14 12 10 8 6 4 2 0

6º Además, puedes poner el siguiente título al gráfico: Relación entre un número natural y su doble. Luego de desarrollar los pasos anteriores, realiza las siguientes actividades. a) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa al gráfico anterior?, ¿cuál es su dominio?, ¿y el recorrido? b) En una nueva planilla de cálculo, escribe el área de seis cuadrados, cada uno tiene como medida de sus lados un número natural (en cm), partiendo desde 1 hasta 6, en orden creciente. Luego, sigue nuevamente los seis pasos y responde las preguntas anteriores. c) En el almacén de don Luis se venden masticables a $ 40 cada uno. • • • • •

¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación? Sigue los seis pasos anteriores para graficar esta función, en una nueva planilla de cálculo. ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué? ¿Cuál es su dominio?, ¿y el recorrido? ¿Cuánto costarán diecisiete masticables?, ¿por qué?

180 Unidad 6

Unidad 6

Mi progreso Marca la opción correcta en las preguntas 1 y 2. 1. En una florería, cada rosa vale $ 1200. Si x representa la cantidad de rosas de un ramo e y su costo, ¿cuál es la función que representa el precio de un ramo de rosas? 1200 A. y = 1200 B. y = 1200 + x C. y = 1200x D. y =

2. ¿Cuál de las siguientes frases es correcta? A. El dominio de una función es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable dependiente. B. Si el dominio de la función y = 3x corresponde al conjunto de los números naturales, el recorrido está compuesto por los divisores de tres. C. El recorrido de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. D. La relación entre un número natural y su doble es una función que algebraicamente se representa como y = 2x. 3. La función y = 130x representa el dinero (y) que se recauda en un día según la cantidad (x) de sopaipillas vendidas en una panadería. a) b) c) d)

Si un día contabilizaron $ 12 610, ¿cuántas sopaipillas se vendieron? ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué? ¿Cuál es el dominio de esta función?, ¿y el recorrido? Explica cómo lo determinaste. Grafica esta función en tu cuaderno.

4. ¿Puedes determinar una expresión algebraica que modela los valores de la siguiente tabla? x

Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde. Criterio

Ítem

Reconocer la función que representa una situación dada.

Analizar la veracidad de afirmaciones asociadas a funciones.

Resolver un problema que requiere analizar una función.

Analizar una función escrita en tabla y escribirla algebraicamente.

Respuestas correctas

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera la estrategia utilizada.

Funciones y relaciones proporcionales

181

Variaciones proporcionales y no proporcionales Marisol amplió unas fotografías de su hija, al verlas se dio cuenta de que una de ellas está “distorsionada”, es decir, la imagen no se ve igual que la fotografía original. Completa la tabla. Fotografía original (1)

Fotografía 2

Fotografía 3

Largo (cm)

Ancho (cm)

Fotografía (1)

Fotografía (2)

Fotografía (3)

Razón entre largo y ancho

Para discutir • ¿Cuál es el valor de la razón en cada caso? • ¿Cuáles de las razones entre las medidas de los lados de las fotografías forman una proporción?, ¿por qué? • ¿Cuál es la fotografía “distorsionada”?, ¿por qué?

Glosario constante: es un valor de tipo permanente, que no se modifica, en una situación dada.

182 Unidad 6

En la situación presentada, al calcular el valor de la razón de la fotografía original, de la fotografía 2 y de la fotografía 3, obtenemos 2, 3 y 2, respectivamente. Notemos que en la fotografía original y en la fotografía 3 el valor de la razón se mantiene constante, por lo tanto, la fotografía 3 está correctamente ampliada; en este caso, diremos que las fotografías 1 y 3 son proporcionales, mientras que las fotografías 1 y 2 no son proporcionales, ya que sus razones no forman una proporción, es decir, la fotografía 2 es la que se ve distorsionada.

Unidad 6

No olvides que... • Si el valor de la razón entre dos variables se mantiene constante (no cambia) estas variables son proporcionales.

Actividades 1. Mide el largo y ancho de las siguientes fotografías y determina si son proporcionales a la fotografía original. a)

Fotografía original

2. Un padre tiene 40 años de edad y su hijo, 20 años. Completa la siguiente tabla y, luego, responde. Tiempo transcurrido en años 1 Padre

Hijo

• ¿La edad del padre y la del hijo son proporcionales a medida que transcurren los años?, ¿por qué? 3. Observa los datos respecto de la temperatura de un paciente en un día cualquiera. Hora (h) Temperatura (ºC)

37,5

38,5

37,5

a) ¿Cuáles son las variables que intervienen? b) Estas variables ¿son proporcionales o no proporcionales?, ¿por qué? c) Construye el gráfico correspondiente.

Funciones y relaciones proporcionales

183

Relación de proporcionalidad directa En una ciudad del país, el valor de un boleto de locomoción pública cuesta $ 430. El gráfico y la tabla que se muestran a continuación representan la relación entre la cantidad de boletos vendidos y el precio. Completa la tabla. Cantidad Total por pagar de boletos ($)

Precio ($) 2000

430 • 1 = 430

1500

430 • 2 = 860

1000

500

5 1

Cantidad de boletos

6 7

Para discutir • ¿Cuánto pagarías por cinco boletos?, ¿y por veinticuatro? • ¿Cuál es la función que modela esta situación? • ¿Cuál es la variable dependiente y la independiente?, ¿cuál es su dominio y recorrido? • ¿Cuál es la razón entre el total a pagar y la cantidad de boletos vendidos?, ¿cuál es el valor de la razón?, ¿es siempre el mismo?

La situación presentada se puede modelar mediante la función f (x) = 430x. En este caso, el precio total (variable y) depende de la cantidad de boletos vendidos (variable x), por lo tanto, el total corresponde a la variable dependiente y la cantidad de boletos a la variable independiente. Además, dado que se trata de cantidad de boletos, podemos notar que los valores que puede tomar la variable x, son el conjunto de los números naturales, es decir, Dom ( f ) = ⺞ y los valores que resultan al remplazar los números naturales en la función son múltiplos de 430, es decir, Rec ( f ) = 430, 860, 1290, 1720, … . Para saber cuánto se cancela por cinco boletos podemos calcular el valor de la función para x = 5, remplazando obtenemos: f (5) = 430 • 5 = 2150, lo que significa que se pagará $ 2150. Si queremos saber cuánto se cancela por veinticuatro boletos calculamos f (24) = 430 • 24 = 10 320, es decir, se pagará $ 10 320.

184 Unidad 6

Unidad 6

En esta situación, el valor de la razón entre el total a pagar y la cantidad de boletos vendidos es constante, ya que, 430 860 1290 = = = 430. 1 2 3 En todos los casos en que las variables x e y se relacionan de esta forma, es decir, si el valor de la razón

y es constante, las variables x

son directamente proporcionales. Además, notemos que, en este ejemplo, mientras más boletos compramos, más dinero debemos pagar. En general, en una relación de proporcionalidad directa si una de las variables aumenta o disminuye, la otra también aumenta o disminuye en la misma razón.

No olvides que... • Dos variables, una independiente x y la otra dependiente y, son directamente proporcionales si el valor de la razón

y es constante, es decir, y = k, donde k es la constante x x

de proporcionalidad. • Esta relación de proporcionalidad directa se puede representar como una función de la forma y = kx. La representación gráfica de esta función son puntos que pertenecen a una misma recta que pasa por el origen en un sistema de coordenadas cartesianas. • En una función de proporcionalidad directa, si una de las variables aumenta, la otra también aumenta en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, la otra también disminuye en un mismo factor.

Actividades 1. Indica si las siguientes variables se relacionan de manera directamente proporcional. Justifica tus respuestas. a) b) c) d) e) f)

El número de hojas de un libro y su peso. La longitud del lado de un cuadrado y su perímetro. Las longitudes de los lados de un triángulo y su área. El precio de las entradas para ir al cine y la cantidad comprada. El número de trabajadores y los días que demoran en terminar su trabajo. La longitud del lado de un triángulo equilátero y su perímetro.

Funciones y relaciones proporcionales

185

2. En los días de calor, el dueño de un kiosco vende muchos helados, por eso diseña una tabla con los posibles pedidos. Complétala. Cantidad de helados

Precio ($)

360

a) ¿Cuál es la razón entre el precio y la cantidad de helados?, ¿cuál es el valor de la razón?, ¿es constante?, ¿por qué? b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominio? c) ¿Cuánto costarán dieciocho helados?, ¿y treinta y cinco?, ¿por qué? d) Completa el gráfico de esta función. Precio ($) 2000 1600 1200 800 400 1

Cantidad de helados

3. Observa el rectángulo. Luego, completa la tabla y el gráfico correspondiente y responde. 3x

x 1 2

Perímetro rectángulo (y)

Perímetro (y) 40 30

5 1

a) ¿Qué sucede con el perímetro a medida que x aumenta?, ¿y si disminuye? b) ¿Cuál es la función que modela esta situación? Explica cómo la encontraste.

186 Unidad 6

Ancho (x)

Unidad 6

4. El siguiente gráfico indica la distancia recorrida por dos autos, uno rojo y uno verde, en un tiempo determinado sin que cambien sus velocidades en el tiempo. Distancia (km)

Trayectoria de 2 autos

120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

a) b) c) d) e) f) g)

Tiempo (h)

Distancia (km)

Tiempo (h)

Distancia (km)

Tiempo (h)

Completa las tablas según el gráfico. ¿Cuál de los dos autos va más rápido?, ¿por qué? ¿En cuánto tiempo el auto verde recorrerá 60 km? ¿Cuál es la razón que se mantiene constante para el auto rojo?, ¿y para el verde? ¿A qué distancia del punto inicial se encontrará el auto verde en 10 horas más? ¿Cuánto tiempo se demorará el auto rojo en recorrer 480 km? ¿Cuál es la función que representa la distancia recorrida por el auto rojo?, ¿y la del auto verde?

En equipo Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones. 1. En esta actividad deberán buscar información en diversas fuentes para completar y responder las siguientes preguntas. a) Los trenes del Metro de Santiago viajan con una rapidez promedio de por hora entre cada estación. b) Si la distancia desde Santiago a Talca es de , ¿cuánto tiempo tardaría el Metro en llegar a esa ciudad si no realizara detenciones? c) Si la distancia desde Valparaíso a Temuco es de , ¿cuánto tiempo tardaría el Metro en llegar a esa ciudad si no realizara detenciones? d) Si el Metro logró llegar a su destino en 2,8 horas, ¿cuántos kilómetros recorrió aproximadamente sin considerar las detenciones?

Funciones y relaciones proporcionales

187

Relación de proporcionalidad inversa Para terminar la construcción de un edificio, el ingeniero a cargo ha calculado que con diez obreros igualmente calificados y trabajando en las mismas condiciones, termina la obra en treinta días.

Nº de días 70 60

El gráfico y la tabla que se muestran a continuación representan la relación entre el número de obreros y los días que tardan en terminar el edificio. Completa la tabla.

50 40 30 20

Número de obreros

10 10

20 30

Nº de obreros

Número de días

10 30

50 6

Para discutir • ¿Qué sucedería si contrataran a 10 obreros más y trabajaran todos al mismo ritmo?, ¿se demorarían más o menos tiempo?, ¿y si contratara a la mitad de obreros considerados inicialmente? • ¿Cuál es el producto entre el número de obreros y los días que tardan en terminar el edificio?, ¿es constante? • ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominio y su recorrido?

En la situación presentada anteriormente, si contrataran a veinte obreros, estos tardarían quince días en realizar la obra, pues al duplicarse el personal y si trabajan al mismo ritmo, tardarían la mitad del tiempo en terminar el trabajo. En cambio, si contrataran a cinco obreros, estos se demorarían sesenta días en realizar el trabajo, ya que como corresponden a la mitad de los considerados inicialmente, tardarían el doble del tiempo en terminar el trabajo. Notemos que la variable independiente x es el número de obreros y la variable dependiente y es el número de días. Observa que, el producto entre el número de obreros y los días que tardan en terminar el edificio es constante, pues 5 • 60 = 10 • 30 = 20 • 15 = 300. En todos los casos en que las variables x e y se relacionan de esta forma, es decir, si su producto x • y es constante, las variables son inversamente proporcionales.

188 Unidad 6

Unidad 6

Por otro lado, notemos que si aumenta la cantidad de obreros, disminuye la cantidad de días que demoran en realizar el trabajo en la misma razón y, si la cantidad de obreros disminuye, aumenta la cantidad de días que tardarán en realizar la obra en la misma razón. 300 Luego, la función que modela esta situación es y = , donde x

corresponde al número de obreros y son números naturales e y corresponde a los días, por lo que son números naturales también. Los valores que puede tomar la variable x son números naturales divisores de 300, es decir, Dom ( f ) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, …, 300 y los valores que resultan al remplazar estos números corresponden al recorrido de la función, es decir, Rec ( f ) = 300, 150, 100, …, 2, 1 .

No olvides que... • Dos variables, una independiente x y la otra dependiente y, están en proporción inversa cuando el producto entre ellas se mantiene constante, es decir, x • y = k, donde k es la constante de proporcionalidad. • Esta relación de proporcionalidad inversa se puede representar como una función de la forma

k y = x . La representación gráfica de esta función son puntos que pertenecen a una curva, llamada hipérbola. • En una función de proporcionalidad inversa, si una de las variables aumenta, la otra disminuye en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, la otra aumenta en un mismo factor.

Actividades 1. Indica si las siguientes variables son inversamente proporcionales. Justifica tus respuestas. a) b) c) d) e) f)

La longitud de los lados de un triángulo equilátero y su perímetro El número de días que tardan en realizar un trabajo un cierto número de secretarias. El número de dulces del mismo tipo que compró y lo que pagó por ellos. La rapidez con la que se recorre un camino y el tiempo en que se recorre. Litros de bencina del estanque de un automóvil y los kilómetros que rinde. El caudal de una llave y el tiempo que se demora en llenar un estanque.

Funciones y relaciones proporcionales

189

2. El 8º A irá a una ciudad del sur de Chile como gira de estudios. Los apoderados quieren que el lugar de destino sea sorpresa y la única información que les dan es que si el bus va a 80 km/h, tardarían 6 horas en llegar al lugar. a) ¿A qué distancia se encuentran de esta ciudad? b) Completa la siguiente tabla que indica la rapidez posible del vehículo y el tiempo que tardarían con cada una de ellas para llegar a la ciudad. Completa el gráfico correspondiente. Rapidez (km/h) 120 Tiempo (h)

100

Rapidez (km/h)

4 6

Tiempo (h)

c) d) e) f)

¿Cuál es la función que relaciona la rapidez y el tiempo, en este caso?, ¿cuál es su dominio? ¿A qué rapidez debe ir el vehículo para tardar 5 horas en llegar? Si el vehículo fuese a una rapidez de 50 km/h, ¿cuánto tiempo tardaría en llegar a destino? Si la rapidez promedio de una persona al caminar es de 5 km/h, ¿cuánto demoraría una persona en realizar el mismo viaje? g) Si unes los puntos del gráfico, ¿qué obtienes? 3. En cada caso, completa la tabla, explica por qué las variables están inversamente relacionadas, determina la función que las modela y construye el gráfico en tu cuaderno. a) El área de un rectángulo es 6 cm2. Área 6 cm2

base (cm)

1,5

altura (cm)

b) Un tren debe recorrer 600 kilómetros. ¿Cuánto tiempo tardará si lleva una rapidez constante? Rapidez constante (km/h)

100

Tiempo (h)

120

c) Un panadero elaboró 144 alfajores y quiere envasarlos en cajas que contengan la misma cantidad de unidades. ¿Cuántas cajas podría armar según la cantidad de alfajores que se indican en la tabla? Cantidad de alfajores por caja Cantidad de cajas

190 Unidad 6

Unidad 6

4. Descubre qué tablas expresan funciones de proporcionalidad inversa y cuáles directa. En cada caso, anota el valor de la constante de proporcionalidad (k) donde corresponde. Luego, escribe la función que modela los datos en cada tabla. x

525

875

350

0,5

1750

0,5

1,5

5. Resuelve en tu cuaderno y, luego, completa la tabla. Problema

Tipo de proporcionalidad

Función que la representa

Respuesta al problema

Quince máquinas iguales hacen su trabajo en cinco días. ¿Cuántas máquinas se necesitan para hacer el trabajo en un día? Una persona acumula en promedio 1 kg de basura diaria. ¿Cuántos kilogramos juntará en diez días? Si van doce niños a un campamento, los alimentos durarán seis días. Si todos comen la misma cantidad, ¿cuántos días durará la comida si van seis niños más? Dos ciclistas demoran cuatro horas en llegar a la playa viajando con una rapidez de 30 km por hora. ¿Con qué rapidez tendrían que viajar para tardar tres horas? La impresora de un colegio reproduce cincuenta y cuatro informes de notas en tres minutos. ¿Cuántos informes imprime en cinco minutos?

Funciones y relaciones proporcionales

191

Herramientas tecnológicas Usando una planilla de cálculo, sigue las instrucciones para graficar funciones de proporcionalidad directa e inversa. Gráfico de funciones proporcionales y no proporcionales 1º Para graficar la función que representa la relación entre un número natural y su triple, en la columna A escribe los primeros seis valores del recorrido de la función, es decir: 3, 6, 9, 12, 15 y 18. 2º Selecciona todos los números escritos anteriormente, como se observa a continuación:

3º Selecciona la herramienta “Insertar” y, luego la opción “Gráfico”. En las opciones de gráficos selecciona “XY Dispersión”. 4º Presiona enter o “Siguiente”, hasta que aparezca en la planilla un gráfico como el siguiente: 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

Luego de realizar los pasos anteriores: a) Grafica la función que representa la relación entre un número natural y su sucesor. b) Grafica la función que representa la relación entre un grupo de amigos que están de vacaciones y la cantidad de días que les alcanzará el alimento, considerando que para tres personas el alimento alcanza cuatro días y todos los días consumen la misma cantidad. c) Escribe función que modela cada situación. d) ¿Cuál es el dominio de cada función anterior?, ¿y su recorrido? e) En las funciones anteriores ¿las variables se relacionan en forma proporcional? Explica. f) ¿Qué semejanzas observas en los gráficos de cada función?, ¿y qué diferencias? g) ¿Alguna de las situaciones anteriores no representa una variación proporcional?, ¿cuál?, ¿por qué?

192 Unidad 6

Unidad 6

Mi progreso Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3. 1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? A. La cantidad de kilogramos de pan y su costo son proporcionales a medida que aumenta la cantidad de pan. B. En una función de proporcionalidad directa, si una de las variables aumenta la otra también aumenta. C. La edad de Juan (12) y su hermano Luis (15) son proporcionales a medida que transcurren los años. D. En una función de proporcionalidad inversa el producto entre las variables es constante. 2. Carlos viajó a la costa la semana pasada. Tardó dos horas en llegar al destino viajando a 100 km/h durante todo el trayecto. ¿Cuánto hubiese demorado si fuera a 80 km/h durante todo el viaje? A. 2 h y 5 m

B. 4 h

C. 2 h y 50 m

D. 2 h y 30 m

3. La función que relaciona el tiempo y la rapidez en la pregunta anterior es: A. y =

200

B. y =

x 200

C. y = 200x

D. y = 2 • 100

4. Laura hará un queque para quince personas, usando una receta que necesita cinco huevos. a) Si usa esta receta, ¿cuántos huevos necesitará para hacer un queque para veintiún personas? b) ¿Qué función representa esta situación?, ¿cuál es su dominio?, ¿y el recorrido? c) Construye el gráfico que representa esta situación. Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde. Criterio

Ítem

Analizar afirmaciones relacionadas con magnitudes proporcionales y no proporcionales.

Analizar una situación de proporcionalidad inversa.

Reconocer una función de proporcionalidad inversa escrita en lenguaje algebraico. Resolver un problema sobre función de proporcionalidad directa.

Respuestas correctas

3 4

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera la estrategia utilizada.

Funciones y relaciones proporcionales

193

Buscando estrategias En una distribuidora de productos al por mayor se venden cajas de galletas según la siguiente regla: la primera caja cuesta $ 5000, la segunda cuesta $ 100 menos, la siguiente cuesta $ 100 menos que la anterior, y así sucesivamente, con un límite de veinticinco cajas. Si Diego compra veinte cajas de galletas, ¿cuánto pagó por la última caja?

Comprender • ¿Qué sabes del problema? Que la primera caja cuesta $ 5000, la segunda $ 100 menos, la tercera $ 100 menos que la anterior, y así sucesivamente.

• ¿Qué debes encontrar? El costo de la vigésima caja, si se sigue la regla.

Planificar • ¿Cómo resolver el problema? Para resolver el problema encontraremos la expresión algebraica que modela esta situación. Es conveniente construir una tabla de valores, a modo de observar el comportamiento de la función, para así encontrar una expresión algebraica que la represente y, finalmente, evaluar la función en el valor pedido (20) para responder a la pregunta.

Resolver • En la siguiente tabla se muestran algunos valores para cada caja de galletas y el monto por pagar: Cajas de galletas Costo de la caja ($)

5000

4900

4800

4700

4600

4500

Luego, podemos escribir la función que representa el costo de una caja, considerando cuántas ya se han comprado:

y = 5000 – 100(x – 1) donde x es la cantidad de cajas de galletas, e y es el costo de la caja. Finalmente, evaluamos la función en x = 20 y obtenemos:

y = 5000 – 100(20 – 1) = 5000 – 100 • 19 = 3100

Responder • El valor de la vigésima caja, si se sigue la regla, es de $ 3100.

Revisar • Para comprobar que la vigésima caja tiene un costo de $ 3100, podemos completar la tabla hasta la caja número 20.

194 Unidad 6

Unidad 6

1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones. a) Claudia solicitó un crédito para comprar una camioneta para su taller. Si el monto total del crédito es de $ 3 600 000, y lo cancelará en 36 cuotas iguales, ¿cuál es el monto por pagar después de pagar la octava cuota?, ¿y la cuota número 25?, ¿cuál es la función que representa esta situación? b) María Elena compró un saco de 20 kg de cebollas en la vega. Si cada día utiliza 400 g en las distintas recetas que prepara, ¿cuánta cebolla le queda después de dos semanas?, ¿cuál es la función que representa esta situación? c) Un veterinario cobra $ 7000 por realizar un aseo completo a un perro. Si se asean más perros, se efectúa el siguiente descuento: el segundo $ 350 menos, el tercero $ 350 menos que el anterior, y así se sigue esta regla sucesivamente hasta el décimo perro. Si Manuel llevó a asear a sus ocho perros: • ¿cuánto pagó por el octavo perro?, ¿y cuánto pagó en total? • ¿cuál es la expresión algebraica que representa esta situación? • ¿cuál es su dominio?, ¿y su recorrido? 2. Ahora, resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución. Explica, paso a paso, y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras. 3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a) Carolina tiene una deuda con su amiga Beatriz. Acordaron que Carolina le pagaría en doce cuotas de la siguiente forma: el primer mes abonaría $ 9000, el segundo $ 700 más, el tercero $ 700 más que el mes anterior, y así sucesivamente hasta saldar la deuda completa. • ¿Cuánto canceló Carolina el séptimo mes?, ¿y el décimo? • ¿Cuánto debe en total Carolina a su amiga? • ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación? b) En una fábrica de empanadas compran 5 kg de aceitunas semanalmente para su elaboración. La semana pasada utilizaron 800 g diarios de aceitunas. ¿Cuántas aceitunas quedaron, si fabrican empanadas de lunes a sábado?

Funciones y relaciones proporcionales

195

NACIONAL

Día Mundial sin Tabaco La adicción al tabaco es una enfermedad crónica, considerada por la Organización Mundial de la Salud (OMS) como la causa principal de enfermedades, invalidez y mortalidad prematura a nivel mundial. Además, no solo afecta a los fumadores, sino que a aquellas personas que están cerca de un fumador y respiran el mismo aire (los fumadores pasivos). En Chile, el 17% de las muertes que cada año ocurren se atribuyen al consumo de tabaco. La OMS ha establecido el 31 de mayo como el Día Mundial sin Tabaco y nuestro país no está ajeno a esta cruzada, en la que se llama a tomar conciencia para frenar su consumo, pues ha alcanzado niveles alarmantes, situándonos como el país con la población más fumadora de la región: en promedio ocho cigarrillos diarios (Estadísticas de consumo de tabaco en Chile).

Gentileza MINSAL.

Conexiones

Para finalizar

Fuentes: Ministerio de Salud, www.redsalud.gov.cl/noticias/noticias.php?id_n=449&show=5-2009 , publicada el 29 de mayo de 2009.

Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes. 1. Consideren la cantidad promedio de cigarrillos que fuma una persona chilena y, luego, respondan. a) ¿Cuántos cigarrillos fumará una persona en un año?, ¿y en ocho años?, ¿cuáles son las consecuencias a corto y largo plazo de fumar? b) ¿Cuál es la función que representa esta situación?, ¿cuál es su dominio y recorrido? 2. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser la solución correcta, en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos. 3. Averigüen qué programas o actividades se han realizado este año en nuestro país para promover la vida sana libre del tabaquismo.

Evaluamos nuestro trabajo 1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla, escribiendo Sí, A veces y No, según corresponda. Luego, comparen y completen sus respuestas. Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3 Respetó las opiniones de los demás integrantes. Cumplió con las tareas comprometidas. Hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo. 2. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo?

196 Unidad 6

Unidad 6

SITUACIONES CON DOS VARIABLES

FUNCIONES

VARIABLES DEPENDIENTES

VARIABLES INDEPENDIENTES

VARIACIONES PROPORCIONALES

VARIACIONES NO PROPORCIONALES

DIRECTA

INVERSA

Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad y, apoyándote en el esquema anterior, responde. 1. ¿Crees que faltó algún concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Cómo reconoces una función?, ¿cuáles son sus características?, ¿cómo se expresa una función en lenguaje algebraico? 3. ¿Qué diferencias hay entre variables dependientes e independientes?, ¿y qué semejanzas? 4. ¿Qué caracteriza al dominio de una función?, ¿y al recorrido? 5. ¿Cuándo las variables se relacionan proporcionalmente?, ¿y cuándo no son proporcionales? 6. ¿Qué caracteriza a una función de proporcionalidad directa? Da un ejemplo. 7. ¿Qué caracteriza a una función de proporcionalidad inversa? Da un ejemplo. 8. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela en tu curso e intenten aclararla en conjunto.

Funciones y relaciones proporcionales

197

Síntesis

A continuación, se presenta un esquema llamado mapa conceptual, que relaciona los principales conceptos estudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace.

¿Qué aprendí? Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. 1. En una librería, el precio de cada cuaderno es de $ 890. La función que relaciona la cantidad de cuadernos y su costo es: A. y = 890 + x B. y = 890

C. y = 890 – x D. y = 890x 2. ¿Cuál de las siguientes situaciones no corresponde a una función? A. Un número natural y su mitad. B. La cantidad de pasajes de metro comprados y su costo. C. Los kilómetros recorridos por un automóvil (va a velocidad constante) y el tiempo que tarda. D. Los deportes que practican los integrantes de un curso. 3. Si cinco pintores logran pintar una casa en cuatro días, ¿cuántos días se demoran diez pintores, trabajando en las mismas condiciones? A. B. C. D.

Dos días. Veinte días. Cuarenta días. Ocho días.

4. En la función: “el doble de un número natural”, ¿cuál es el recorrido? A. B. C. D.

Rec ( f ) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … Rec ( f ) = 1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, … Rec ( f ) = 2, 4, 6, 8 Rec ( f ) = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …

198 Unidad 6

5. ¿Cuál de las siguientes relaciones no es proporcional? A. Distancia recorrida y tiempo utilizado (a velocidad constante). B. El peso de una mochila y la cantidad de cuadernos que lleva dentro. C. El lado de un cuadrado y su área. D. La velocidad de un automóvil y el tiempo utilizado en un recorrido de 40 km. 6. En una chocolatería, el precio de un tipo de bombón es de $ 220 la unidad. ¿Cuál es la variable dependiente? A. B. C. D.

La cantidad de bombones. El precio a pagar por los bombones. El tipo de bombón. La cantidad de bombones y su costo.

7. El sueldo fijo mensual de un vendedor de computadores es $ 150 000 más una comisión de $ 9000 por unidad vendida. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas representa el sueldo del vendedor? A. B. C. D.

y = 150 000x + 9000 y = 159 000 + x y = 9000x + 150 000 y = 159 000x

8. Si 1200 g de mermelada se pueden envasar en seis frascos de 200 g. ¿Cuántos frascos de 150 g se necesitan para envasar 1200 g de mermelada? A. B. C. D.

Ocho frascos. Treinta y tres frascos. Cincuenta frascos. Trece frascos.

Unidad 6

9. Los valores x e y de la tabla representan una función de proporcionalidad directa. Completa con los valores que faltan y construye en tu cuaderno un gráfico. • ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación? 10. El gráfico representa la relación entre la cantidad de secretarias y el tiempo que se demoran en organizar un archivo (días), trabajando todas en igualdad de condiciones y la misma cantidad de tiempo.

320

Tiempo (días) 120 100 80 60 40 20

a) ¿Qué tipo de función representa el gráfico?, ¿por qué? 1 2 3 4 5 6 b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? c) ¿Cuál es la expresión algebraica que modela esta situación?

Cantidad de secretarias

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿Qué logré? 1. Marca según tu apreciación.

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

Análisis de relaciones entre variables. Noción de función. Variables dependientes e independientes. Dominio y recorrido. Variaciones proporcionales y no proporcionales. Relación de proporcionalidad directa. Relación de proporcionalidad inversa. Resolución de problemas.

2. Reflexiona y responde. a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste? b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué? c) Vuelve a la página 165 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”, ¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.

Funciones y relaciones proporcionales

199

Solucionario 2. Puede ser:

Unidad 1 Números enteros

a) 1 • (–1) b) 8 • (–2)

Página 11 1. 12 km

2. 4 km

3. 8 km

Página 12 1. a) b) c)

–7 < –5 –8 > 5 –10 < –15

2. a) b) c) d) e) f)

–29 < –28 < –14 < 20 < 29 < 49 –5 < –4 < –1 < 1 < 3 < 5 –111 < –1 < 5 < 18 < 101 < 111 –18 < –16 < –10 < –7 < 0 < 1 –23 < –19 < –14 < –5 < 10 < 22 –40 < –20 < –18 < –6 < 2 < 6

Número –6 –4 7 –5 –1 3 –2

4. a) 6 b) –8 5. a) b) c) d)

d) e) f)

e) –8 f) –2

1. a) –15 b) 0

3. a) –3 b) –7 4. g) –13 h) 5

c) –33 d) 30

e) 4 f) –7

g) –14 h) 45

c) Puede ser –6 • 3. d) Puede ser 8 • 1.

c) –8 d) 3

e) –1 f) 16

1080 –12 –90 –2 6 –15 –1 +2 3 –5

Página 19 1. a) 60 b) –41 c) –45

c) 52 d) 30

e) 60 f) 9

g) 11 h) 60

c) –24 d) –30

e) –8 f) –8

g) –36 h) –52

Página 15

200 Matemática 8

e) 2 • (–5) f) 6 • (–6)

2. a) Puede ser –4 • 5. b) Puede ser 8 • –2.

Página 13

1. a) –15 b) 20

c) 3 • (–21) d) 4 • (–4)

Página 17

–7 ºC $ 3200 A 10 m bajo el nivel del mar. A 2 m bajo el nivel del mar.

6. a) 5 b) 300

e) 4 • (–9) f) 7 • (–1)

4. a) Verdadero b) Falso, el resultado de la multiplicación de un número natural (positivo) por un número entero negativo siempre es un número negativo, por la regla de los signos. c) Falso, ya que 1 • –1 = –1. d) Falso, porque el número puede ser negativo y si se multiplica por dos el resultado es menor que el factor.

4 > –1 –3 = 3 8 > –8

Inverso Aditivo 6 4 –7 5 1 –3 2 c) –11 d) –7

3. a) 14 • 4 b) 5 • (–1)

c) 2 • 4 d) 2 • (–5)

d) –10 e) –111 f) 76

g) –60 h) 9 i) –60

b) –162 : 3

c) 4096 : (–4)

c) –63 d) 48

e) 126 f) 120

2. Puede ser: a) 96 : 2 3. a) –20 b) –10

4. a)

Página 21

–10 –8 –6 –4 –2

–5 –4 –3 –2 –1

1. B 3. 400 2304 202 500

b) No, por ejemplo en la operación 6 : 5 = 1,2; el número 1,2 no es un número entero sino que un racional.

5. –3 –6 2 7

3 6 2 7

–4 –8 5

–100 400 –288 2304 40 500 202 500

a) Los signos del cociente y producto, respectivamente. b) Sí, pues en ambos casos el resultado es siempre positivo.

Página 20

3 6 –2 –7

2. D

4. Emilia 120 puntos y Carlos 20 puntos.

3 6 2 7

5. 5 horas y 4 horas, respectivamente. Página 23 1.

6. a) No, porque uno es el inverso aditivo del otro. b) No, porque el valor absoluto de un número es siempre positivo. c) Sí, porque ambas expresiones son siempre positivas. Además, b • a = b • a . 7. –4

En equipo Las posibilidades

–25 –10 –5 –1 2 5

150 200 –250 300 –350 400 3750 –5000 6250 –7500 8750 –10 000 1500 –2000 2500 –3000 3500 –4000 750 –1000 1250 –1500 1750 –2000 150 –200 250 –300 350 –400 –300 400 –500 600 –700 800 –750 1000 –1250 1500 –1750 2000

: –25 –10 –5 –1 2 5

150 6 15 30 150 –75 –30

•

200 –8 –20 –40 –200 100 40

–250 10 25 50 250 –125 –50

300 –12 –30 –60 –300 150 60

–350 14 35 70 350 –175 –70

400 –16 –40 –80 –400 200 80

–6 6 5 –5 8 8 –6 –6 6 4 –4

–5 5 8 9 –2 1 –4 5 4 –5 –5

0 0 2 3 4 4 3 3 3 0 0

30 = (–6) • (–5) + 0 30 = 6 • 5 + 0 42 = 5 • 8 +2 –42 = (–5) • 9 + 3 –12 = 8 • (–2) + 4 12 = 8 • 1 + 4 27 = (–6) • (–4) + 3 –27 = (–6) • 5 + 3 27 = 6 • 4 + 3 –20 = 4 • (–5) + 0 20 = (–4) • (–5) + 0

2. a) Del dividendo y divisor. b) En algunos casos, pero según el algoritmo de la división, el cociente y resto son únicos en cada caso. 3. a) Si a : 0 = x, se tendría que a = 0 • x, pero no existe un número entero x que multiplicado por cero resulte a. b) Si 0 : a = 0, se tiene que 0 = a • 0. Luego, todo número entero multiplicado por cero es cero.

Solucionario

201

Estrategia mental

Página 25 1. a) 6 b) –9 c) 6

d) 960 e) 0 f) –10

g) 0 h) 12 i) 1

2. a) –20 b) –20

c) –10 d) –42

e) 100 f) –120

3. a) –11 b) 19

c) 7 d) –54

e) 35 f) 11

4. 96 –2 250

–6 –6 –6

128 –5 –125

Página 26 5. a) $ 43 750

a) –32 b) 8 c) 10 000 000 000 d) 50 e) –2 f) 16 Página 28 Herramientas tecnológicas

9. a) Ocurre siempre lo mismo ya que A2 • B2 = B2 • A2. b) Ocurre lo mismo siempre que B2 sea un número entero negativo. c) Sí d) No Página 29

d) $ 258 750

1. C

6. a) $ 600 000 b) $ 50 000 c) $ 3 000 000

– 108 –56

b) –16 ºC

– –18 4 –48 –100 –128

2. D

7. a) 690 – 12 • 8 b) $ 594 y $ 510, respectivamente. 8. a) 20 – 2 • 18

–2 1 –3 –1 –2

g) –75 h) –180 i) –1 j) 2 k) –10 l) 1

–648 –648 324 324 –3072 –3072 –2500 –2500 –512 –512

3 –14

222 266

¿Obtiene los mismos resultados en las columnas 4 y 5? No, ¿y en las 6 y 7? Sí ¿Ocurrirá siempre los mismo en estos casos? Ocurre siempre lo mismo en las columnas 6 y 7, ya que en la columna 7 se aplica la propiedad distributiva. 4. –53 Página 31 Buscando estrategias

10. a) No, serán iguales solo si a es 1 ó –1. b) Sí, pues se trata de la propiedad asociativa. Página 27 11. a) 4 b) 15

c) –2 d) –5

e) –10 f) 45

g) –10 h) –3

12. a) Pregunta: ¿Cuál fue la temperatura registrada a las 11:00 h? Respuesta: La temperatura a las 11:00 h fue de 10 ºC b) Pregunta: ¿Cuánto dinero retiró en agosto Patricio? Respuesta: Patricio retiró $ 32 500.

202 Matemática 8

1. a) $ 196 000 b) $ 1 605 000 c) 5 ºC y 3 ºC, respectivamente. 3. a) A 34 m bajo el nivel del mar. b) $ 377 000 Página 32 1. 2063 2. 3 y 2063, 2140, 2217 5. No coincide, ya que el cometa tiene como promedio pasar cada 77 años, pero este rango puede variar entre 74 y 79 años.

Página 34 1. C 2. A

Página 41 3. C 4. A

5. C 6. A

7. C 8. D

Página 35 9. Aumenta 238 ºC por minuto. 10. a) Galería 5.

c) Galería 10.

e) Galería 4.

1. a) 32 b) (–5)4

c) (–6)3 d) 1011

e) (–15)8 f) 33

2. a) 625 b) –7776

c) 1 000 000 d) 343

e) –2744 f) 256

3. a) 4 b) Puede ser 3

c) 3 d) 6

e) 5 f) 2

Unidad 2 Potencias

16 1 100 49

Página 37 1. 160 000 bacterias, 2 560 000 bacterias, 10 000 • 2n, donde n es el tiempo transcurrido. 2. 2 621 440 000 bacterias. 3. Después de 6 horas.

b) 76

c) (0,4)4 ó d)

104

e) 53 f)

2. a) 5 • 5 4•4•4•4 b) 9•9•9•9 c) 18 • 18 • 18 d) 0,2 • 0,2 • 0,2 • 0,2 • 0,2 e) 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 f) 1,3 • 1,3 3. a) 81 b) 3375 c) 0,027 4. a) 5 b) 5

d) 0,16

g) 64

e) 1 81 f) 1296

h) 625

c) 0 d) 4

e) 3 f) 5

5. a) 100 000 personas. b) $ 500 000 y $ 5 000 000 000 Página 39 6. 64 árboles.

0 25 4 9

0 –5 –20 –21

a) No b) No, solo cuando a = b. c) Existen casos en que los resultados son iguales. Página 43

Página 38 1. a) 32

8 13 52 29

32 3125

1. a) 16 b) –125 c) 27 d) 16

e) –1 000 000 000 f) 144 g) –1 h) 144

2. a) Verdadero b) Falso

c) Falso d) Verdadero

3. a) 8 > 4 b) 625 = 625 c) 1 = 1

d) –64 < 16 e) 1 > –2 f) 100 000 000 > 100

Página 45 1. a) b) c) d) e) f)

46 = 4096 109 = 1 000 000 000 (–5)5 = –3125 25 = 32 (–1)10 = 1 (–6)8 = 1 679 616

2. a) 5

b) 3

c) 9

d) 1

3. a) (–5)5

b) 213

c) (–2)13

4. a) 3

b) –235

c) –33

5. a) 512 departamentos. b) 6561 tenidas. Solucionario

203

Página 47

En equipo

1. a) 1 000 000 b) –125

c) 6 d) 144

e) 1 f) 49

2. a) 10

b) 5

c) 3

3. a) (–5)1

b) 61

c) (–2)3

4. 25 cm Página 49

384

122

864

123

162

1536

163

4. a)

1. a) 12 b) 148

c) (–10) d) 1203

2. a) 10 000 b) –3 200 000

Columna 3

Columna 5

e) (–66) f) (–24)2

c) 144 d) –1 000 000

3. Sí, porque se pueden aplicar ambas propiedades. 4. a) Área = 8000 cm2 b) Volumen = 576 cm3

512

144

1728

256

4096

b) 46, 86, 126, 166 c) 13, 23, 33, 43

Página 51

Página 55

1. a) (–4)4 b) 99

c) 96 d) (–8)3

2. a) 81 b) –512

e) (–7)11 f) 87

c) 10 000 000 000 d) 81

3. a) –4

b) –26

4. 32 platos de fondo.

c) 160 5. 22 pantalones.

Página 53 1. a) 92 cm2

b) 6 • 92 cm2

c) 93 cm3

2. a) 6561 b) –512

c) 81 d) 1

e) 256 f) 390 625

3. a) 15

b) 5

c) 2

d) 27

4. a) 236

b (–2)15

c) (–2)21

d) 216

5. Sí, porque x • y = y • x.

Estrategia mental

204 Matemática 8

e) 9025 f) 990 025 g) 7225 h) 3025

4. B 5. 8 poleras. 6. Volumen = 215 cm3

Página 57 32 1. a) 243 64 b) 81

1000 8 e) 1331 1728 19 683 d) f) 1 40 352 607

2. a) 3

b) 10

i) 42 025 j) 9025 k) 1 010 025 l) 15 625

c) 9

Página 59 1. 0,33 22 0,54 0,14 2. a) 1 > 0,5 b) (2,5)3 = (2,5)3

Página 54

a) 625 b) 4225 c) 2025 d) 1225

1. D 2. A 3. C

0,34 52 8 0,5 ó 0,254 0,17

0,32 0,82 1 0,11

c) (0,6)5 < (0,6)4 d) (5,5)2 < (5,5)3

0,38 0,88 14 0,14

Página 63 0,25

0,125

0,0625

1 1 1 4 8 16 0,0625 0,015625 0,00390625 1 16

1 64

a) Sí.

1 256

131 072

b) Sí.

65 536

Página 61

32 768

1. 41 42 43 44

16 64 256

16 384

Población en miles de individuos 300 250

No de personas

200

250

150

225

100

200

175

150

Años transcurridos

125

a) En el 3º año. b) 16 384 c) En 19 años.

100 75 50

Página 65

25 0

Nivel

a) 256 personas. b) El número de personas depende del nivel de llamados, porque a medida que aumentan los niveles, aumenta la cantidad de personas informadas.

1. B 2. C 3. D 4. a) El tipo de crecimiento es crecimiento exponencial, ya que a medida que transcurre el tiempo aumenta exponencialmente el número de bacterias. b) 212 5. Jorge: 26 puntos; Mario:

puntos.

Solucionario

205

Página 67

2. Si la altura aumenta al doble, el volumen también aumenta al doble.

Buscando estrategias 1. a) 4 b) 6 c) 2 3. a) 5

d) 4 e) 6 f) 7 b) 6

c) 7

3. Con los cilindros.

g) 3 h) 1 i) 9 d) 6

4. Sí, duraznos en conserva.

e) 9

f) 0

4. a) La base es 2 y el exponente representa la cantidad de veces que se dobla la hoja por la mitad. El valor de la potencia representa la cantidad de rectángulos. b) 23 = 8 rectángulos c) 25 = 32 rectángulos e) 8

Página 74 1. a) 20 cm b) 22 cm

c) 28 cm d) 10,5 cm

2. a) 6,76 cm2 b) 210 cm2 c) 48 cm2

d) 6 cm2

3. a) Área = 120 cm2, volumen = 88 cm3 b) Área = 64 cm2, volumen = 25 cm3

1. El porcentaje de riesgo es de 10,13% y 82,46%, respectivamente.

4. Perímetro = 27 cm. No sigue siendo equilátero, ya que al aumentar uno de sus lados, dos de ellos medirán 8 cm y el otro 11 cm, por lo tanto el triángulo es isósceles.

Página 70

Página 75

Página 68

1. C 2. B

3. B 4. D

5. A 6. C

7. C 8. A

5. Perímetro = 36 cm y su área = 54 cm2. Si sus catetos se duplican, cada uno medirá 18 cm y 24 cm, su perímetro será de 72 cm y su área de 216 cm2.

Página 71 9. a) 256 m y 4 m, respectivamente. b) Longitud de la cuerda

6. 40 m Página 77

20000

1. a) En que ambas tienen el mismo perímetro. Se diferencian en que una tiene área y la otra no. b) Que una considera el interior y la otra solo el contorno. Ambas tienen un centro y radio. c) Cuando el punto se encuentra en contorno del círculo, y cuando el punto se encuentra en el interior de la circunferencia.

18000 16000 14000 12000 10000 8000

2. a) Radio. b) No pertenece. c) Pertenecen.

6000 4000 2000 0

d) No pertenecen. e) Pertenecen. f) Pertenece.

Página 79 1

Cortes de la cuerda 10. 27 cm Unidad 3 Geometría y medición Página 73 1. El radio de los envases.

206 Matemática 8

2. Cuerda(s) Diámetro(s) Radio(s) Secante(s) Tangente(s) Arco(s) 3. a) F

b) F

⎯ ⎯

⎯

FE , CD y AB ⎯ CD ⎯ ⎯ ⎯ OC , OD y OA ↔

Recta E

៣ AC, ៣ CF, ៣ FE, ៣ ED ៣ y DB ៣ BA, c) V

d) F

e) V

Página 81 1. a) b) c) d) e) f)

3,1428 3,14159, es la mejor aproximación al número π. 3,1604 3,125 3,1466 3,1416

2. Sí, ya que el perímetro se puede calcular usando la fórmula 2 • π • r. Luego, 2 • r = d. 3. Sí es posible.

4. Aumenta 4 veces (113,04 cm2). Aumenta 9 veces (254,34 cm2). Página 87 1. C

2. B

4. 12,56 cm2

3. B 5. 3768 cm de plástico.

Página 90 1. a) 360 cm2 b) 301,44 cm2

e) 1186,92 cm2 f) 1130,4 cm2

Página 91

4. 6 10 5 7,5

12 20 10

2. a) 2826 cm2 3. 1808,64 cm2 47,1 65,94

21 100 13 40

50 20

40,82

5. 351,68 cm2

7. a) 879,2 cm2

2. a) 4,5 cm b) 1,8 cm

e) 21,98 cm f) 56,52 cm g) 6280 m h) 62 800 cm

c) 200 cm e) 0,5 cm g) 5 cm d) 1 cm f) 30 cm h) 8 cm

3. a) 18,84 cm

b) 47,1 cm

c) 15,7 cm

Página 85 1. a) Apotema = 1,1 cm. Área = 3,79 cm2. b) Apotema = 0,8 cm. Área = 2,01 cm2. c) Apotema = 0,6 cm. Área = 1,3 cm2.

1,3 1,4 1 1,4

1,5 1,5 1,5

5,8 6,72 4,47 7

8. a) 5,2 cm 9. a) 1130,4 cm2 10. a) 13 cm

b) 1884 cm2

c) 4396 cm2

b) 314 cm2 b) 93,6 cm2

c) 453,6 cm2

b) 1758,4 cm2 b) 282,6 cm2

Página 93 1. 384,65 cm3 2. a) 552,64 cm3 b) El volumen también se duplicaría y si la altura se triplica el volumen también aumenta tres veces. 3. a) 314 cm3 b) Su volumen aumenta 4 veces y si el radio se triplica el volumen aumenta 9 veces.

2. 8 4 10

4. 122,46 cm2

6. a) 40 cm

Página 83 1. a) 25,12 cm b) 3,14 m c) 29,516 cm d) 10,676 km

b) 14 130 cm

7,065 7,065

4. a) 2512 cm3 b) El volumen también disminuye a la mitad y si su altura se reduce a un tercio el volumen disminuye un tercio.

Solucionario

207

Página 94 7. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

2. Mariposas, se repiten en toda la imagen.

Área = 172,7 cm2 y Volumen = 166,81 cm3. Área = 129,67 cm2 y Volumen = 94,95 cm3. Área = 185,5 cm2 y Volumen = 167,47 cm3. Área = 229,85 cm2 y Volumen = 204,73 cm3. Área = 967,12 cm2 y Volumen = 2307,9 cm3. Área = 678,24 cm2 y Volumen = 1017,36 cm3. Área = 1022,32 cm2 y Volumen = 2509,96 cm3. Área = 2128,92 cm2 y Volumen = 5369,4 cm3. Área = 234,14 cm2 y Volumen = 237,38 cm3. Área = 2543,4 cm2 y Volumen = 8478 cm3.

3. La imagen gira alrededor del punto que se encuentra en un ala de la mariposa. Página 104 1. a) x = 72º, y = 108º 2. Triángulo

α = 140º β = 20º γ = 20º

NR = 4,8 cm MN = 2,5 cm RM = 2,6 cm

Rectángulo

α=β=γ=δ = 90º

JL = GH = 4,4 cm IH = JG = 1,5 cm

Hexágono

α = β = γ = δ AB = BC = CD = DE = ε = ω = 120º = EF = FA = 1,1 cm

Página 95 1. D

2. C

4. a) Á = 1205,76 cm2

3. A b) V = 2411,52 cm3

5. a) Necesitaría el doble de material. b) La capacidad del envase es de 376,8 cm3.

b) x = 140º, y = 40º

3. El centro es el centro de las simetrales, es decir, el circuncentro.

Página 97

Página 107

Buscando estrategias 3

1. • Sí, porque cambia la posición de las figuras, no su tamaño ni forma.

1. a) 6363,73 cm b) 452,16 cm3

c) 282,6 cm d) 116,4 cm2

3. a) 5024 cm

2. a) No

b) 1829,3 cm

b) Sí

c) Sí

d) No

Página 109

Página 98

1. Por ejemplo:

1. V = 589 535 cm

Página 100 1. C 2. A

3. D 4. D

5. B 6. B

7. C 8. A

Página 101

C´´

9. 791,28 cm2

10. a) 942 m2

A´´

b) 810 120 A

C´ B´´

11. 259,81 cm2 y 1099,81, respectivamente.

A´

12. a) 25,12 cm y 75,36 cm b) 50,24 cm2 y 452,16 cm2. La razón entre sus áreas es 1 : 9.

B B´ T F

Unidad 4 Movimiento en el plano Página 103 1. Sí, se puede observar un hexágono.

208 Matemática 8

103 3. Si se puede trasladar con un solo vector.

Página 111

3. a) Se puede construir aplicando traslación.

1. Por ejemplo: A

D´

A´

M B

C´

B´

b) Se puede construir aplicando reflexión. R´

3. Un rombo. Un triángulo equilátero. Página 113 1. Por ejemplo:

A´

c) No se puede teselar el plano con esa figura.

d) Se puede construir aplicando simetría y traslación.

O´ B´

P´

R O R´ R´´

Página 121

Q´´

1. a) Traslación.

Q´ P´´

b) Traslación y reflexión.

2. Se puede construir aplicando traslación.

3. Sí, haciendo una rotación en torno al punto O en un ángulo de 180º.

3. Se puede construir aplicando traslación y reflexión.

Página 117 1. A

2. B

T´ M´

3. A L

T´´

M´´

M N´ N

4. a)

M´´´ N´´´

E T´´´

5. a) No

Página 119 1. a) No

b) Sí

c) Sí

d) No

2. a) Si es posible teselar. c) No es posible teselar. b) Sí es posible teselar. d) Sí es posible teselar.

b) No

c) Sí

Página 123 1. B

2. C

3. a) Traslación.

b) Traslación y reflexión.

Solucionario

209

10. Traslación.

4. Se puede construir aplicando traslación y rotación.

Página 125 Buscando estrategias 1. a)

F´

Unidad 5 Datos y azar

E´ P1

Página 131

131

1. 31 571 personas.

2. E años en promedio.

El reflejo de E en una de las paredes (E´) se une con F, obteniendo P1. El reflejo de F en la misma pared (F´) se une con G, obteniendo P2. Entonces, se parte en E, luego ir a P1, luego a F, después a P2 y, finalmente, llega a G.

Página 132 1. a)

A P1

A´

El reflejo de la bola A en uno de los bordes se une con el reflejo de la bola B en la otra pared que es perpendicular a la pared anterior, obteniendo los puntos P1 y P2. Entonces, el recorrido de la bola A será a P1, luego a P2 y, finalmente, golpeará a B. 3. Para encajar la figura 1 en A, se debe realizar traslación y rotación y, para encajar 1 en B, también. Página 128 1. C 2. D

3. D 4. B

Página 129

B B´´

5. A 6. D

A´´

B´

C C´

210 Matemática 8

A´

–

B´

3. Una estimación del nivel de instrucción más repetido es de 4 años (31 571 personas).

7. A 8. C

4 31

13%

6 31

19%

10 31

32%

4 31

13%

3 31

10%

3 31

10%

1 31

b) 6 días. c) 13% d) x = 30,29, mediana: 30, Moda: 30.

2. a)

– 2

2 40

6 40

15%

4 40

10%

8 40

20%

4 40

10%

16 40

40%

5 12 22 25 38 52 60

1. a)

Edad

Página 133 3. a) Población: alumnos y alumnas del colegio. Muestra: pueden ser los compañeros de curso. b) Variable cuantitativa: horas destinadas a ver TV.

Nº de caras 1 2 3 4 5 6

F. relativa F. absoluta F. Relativa Porcentual 10 3 6 12 9 10

0,08 0,2 0,37 0,42 0,64 0,87 1

Página 137

b) 8 alumnos y 2 alumnos, respectivamente. c) 4 h y 21 min. d) Mediana: 4,5; Moda: 6.

4. a)

0,08 0,12 0,17 0,05 0,22 0,23 0,13

0,2 0,06 0,12 0,24 0,18 0,2

b) 3 y 12, respectivamente. 6 9 c) y , respectivamente. 50 50 d) 1 6 Página 135 1. a) 60 b) 5 c) 26% y 69%, respectivamente.

20% 6% 12% 24% 18% 20%

1 - 10 11 - 20 21 - 30 31 - 40 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80

F. F. Absoluta F. F. relativa absoluta acumulada Relativa Porcentual 7 7 0,17 17% 6 13 0,14 14% 8 21 0,19 19% 6 27 0,14 14% 5 32 0,12 12% 4 36 0,1 10% 4 40 0,1 10% 2 42 0,05 5%

b) 6

c) 36

d) 14,28%

2. a)

Llamadas 0- 5 6 - 11 12 - 17 18 - 23

F. F. Absoluta F. F. relativa absoluta acumulada Relativa Porcentual 8 8 0,27 27% 10 18 0,33 33% 9 27 0,3 30% 3 30 0,1 10%

b) 5

c) 8

d) 27

e) 10%

Página 139 1. a) Horas

Marca F. F. Absoluta F. F. relativa de clase absoluta acumulada Relativa Porcentual

1- 5 6 - 10 11 - 15 b) 33

3 8 13

19 14 7

19 33 40

0,475 0,35 0,175

47,5% 35% 17,5%

c) x = 6,5

Solucionario

211

2. a) 2 7 12 17 22

3 11 26 41 45

b) 26

0,07 0,18 0,33 0,33 0,09

c) 9%

7% 18% 33% 33% 9%

d) x = 13

c) Las mujeres jóvenes tienen mayor nivel de endeudamiento. d) Entre 25 a 29 años. Página 149 1. D

2. A

4. a)

Página 141

Categoría

1. a)

No conforme Marca F. F. Absoluta F. F. relativa de clase absoluta acumulada Relativa Porcentual

Notas

2,0 - 3,0 3,1 - 4,1

2,5 3,6

2 6

2 8

0,06 0,19

6% 19%

4,2 - 5,2

4,7

0,28

28%

5,3 - 6,3

5,8

0,31

31%

6,4 - 7,4

6,9

0,16

16%

b) x = 5,0

Marca F. F. Absoluta Clase Absoluta acumulada 0- 7 3,5 8 8

Medianamente 8 - 15 conforme

11,5

Conforme

16 - 23

19,5

Muy conforme 24 - 31

27,5

F. relativa 0,29

Mo = 5,5

x = 1,58

3 12 22 6 2

1,435 1,515 1,595 1,675 1,755

b) 14%

1. a) Seleccionando una muestra. No es conveniente analizar las 2160 botellas, ya que le tomaría demasiado tiempo y es un procedimiento costoso. b) Máquina A Máquina B Media aritmética

652,63

659,81

Moda

652

660

La máquina A está debajo del nivel de calidad, es recomendable revisarla.

25%

0,32

32%

0,14

14%

c) x = 14,07 Mo = 5,5

Página 151 1. a)

Mo = 1,59

Página 143

Ω = TBPR50, TBPR51, TBPR52, TBPR53,

TBPR54, TBPR55, TBPR56, TBPR57, TBPR58, TBPR59 . Tamaño 10. b) Ω = TBPR20, TBPR21, TBPR22, TBPR23, TBPR24, TBPR25, TBPR26, TBPR27, TBPR28, TBPR29, TBPR30, TBPR31, TBPR32, TBPR33, TBPR34, TBPR35, TBPR36, TBPR37, TBPR38, TBPR39 . Tamaño 20. c) Ω = 1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) . Tamaño 36. d) Ω = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 . Tamaño 11.

Página 146

2. 12 maneras.

1. a) 15 a 19 años. b) Sí

4. a) 24 tipos de menú.

212 Matemática 8

F. relativa Porcentual 29%

0,25

2. • 1,40 - 1,47 1,48 - 1,55 1,56 - 1,63 1,64 - 1,71 1,72 - 1,79

3. C

3. De 4 formas distintas.

b) Las opciones de plato de fondo son: arroz con carne (A), puré con pollo (P), legumbre (L). Las opciones para beber son: bebida (B) o jugo (J). Las opciones de postre son: helado (1), jalea (2), flan (3) o fruta (4). Entonces, todas las posibilidades de menú son: AB1, AB2, AB3, AB4, AJ1, AJ2, AJ3, AJ4, PB1, PB2, PB3, PB4, PJ1, PJ2, PJ3, PJ4, LB1, LB2, LB3, LB4, LJ1, LJ2, LJ3, LJ4

Polera Blanca, pantalón Negro. Polera Blanca, pantalón Café. Polera Blanca, pantalón Gris. Polera Negra, pantalón Negro. Polera Negra, pantalón Café. Polera Negra, pantalón Gris. Polera Roja, pantalón Negro. Polera Roja, pantalón Café. Polera Roja, pantalón Gris. b) La probabilidad es 0,07.

Página 153

Ω = Blanca, Roja . No son equiprobables. Ω = Cara, Sello . Sí son equiprobables. Ω = niña, niño . No son equiprobables. Ω = 13 cartas , 13 cartas , 13 cartas , 13 cartas . Sí son equiprobables. e) Ω = par, impar . Sí son equiprobables.

Página 159

2. Es correcto lo que dice Romina, ya que si están en igualdad de condiciones, tienen la misma probabilidad de salir (son equiprobables).

Página 162

1. a) b) c) d)

3. Sí es correcto.

1. a) Ω = {Rojo, azul, amarillo}. b) No son equiprobables. Página 155 b) 1 2

1 ó 0,5 ó 50% 2 5 b) ó 0,83 ó 83% 6

2. a)

3. a) 47%

1. Le sirve el gráfico “¿Usted lee libros?” 3. Ambos gráficos le permiten extraer la información que necesita.

1. D 2. A

3. D 4. C

b) 53%

c) 3 14 c)

1 ó 0,17 ó 17% 6

c) 80%

d) 67%

7. B 8. D

9. • La mayoría de las personas encuestadas (hombres y mujeres) ven TV abierta 5 días a la semana, o más. A pesar que son más mujeres que hombres los que ven TV abierta todos los días, son similares los porcentajes, pues la diferencia es de 3% aproximadamente.

Unidad 6 Funciones y relaciones proporcionales

1. C

c) Sí.

2. 1 h y 30 min

3. Tardaría 4 h y llagaría a las 10 de la mañana.

2. D b) Sí.

165

Página 165 1. 105 km

Página 157

3. a) No.

5. A 6. B

Página 163

En equipo

1. a) 1 2

Buscando estrategias

d) Sí.

4. Sí, y = 21 • x, donde x son horas. Página 166

4. a) 15 tenidas, estas son: Polera Amarilla, pantalón Negro. Polera Amarilla, pantalón Café. Polera Amarilla, pantalón Gris. Polera Azul, pantalón Negro. Polera Azul, pantalón Café. Polera Azul, pantalón Gris.

1. a) 3x b) 2 • (3 + (–8)) 2x c) 3 x d) + 3y 4

e) t • n f) 15 • x g) 750 • y h)

x 12 Solucionario

213

t•r 2 b) P = 4 • a + 12, A = (a + 3)2 c) P = 2x + 2y, A = x • y

g) $ 630 h) $ 26 490 i) El plan de Francisca es más conveniente, porque Camila pagaría $ 27000 y Francisca $ 24 090.

2. a) P = t + r + s, A =

3. a) y = 2 b) x = 4

d) z = 140 e) a = 6 55 f) a = – 3

c) x = 5

Página 171 3. a) 200 claveles. La ecuación es: 1250 + 140x + 120x = 27250 b) $ 3900 y $ 5200 c) $ 12 430 d)

4. a) x – 27 = 77, x = 104 b) x + (x – 1) = 49, x = 25 c) (2x – 1) + (2x + 1) + (2x + 3) = 177, los números son: 57, 59, 61. d) 4x – 3 = 3x + 12, x = 15 5. a) 8

b) 6

260 520 1560 2600 3900 6500 10 400 14 820

c) 26

Página 167 6. a) Padre: 60 años, hijo: 25 años, madre: 83 años. b) Matías: $ 62 000, Josefa: $ 93 000 c) $ 45 600 Página 169 1. a) En un bolsillo hay $ 1500 y en el otro $ 4500. b) $ 1450 cada jarrón. c) 12 cm y 24 cm. Área = 288 cm2

e) No, porque debe comprar la misma cantidad de claveles de cada color. f) Precio

1750

Página 170

1500

2. a) 2,5 • 60 • x = 900 b) 2 min c) $ 450 d)

1250 1000 750 500

2,5 25 150 225 450 750

250 0

2. a) b) c) d)

3000 2000 1000 0

214 Matemática 8

Página 173

4000

g) $ 4260

e) $ 9750 f) Precio ($)

Minutos hablados

Sí es función. No es función. Sí es función. Sí es función.

Cantidad de claveles

a) 36 cm y 60 cm, respectivamente. b) f (x) = 4x c) Variable dependiente: perímetro. Variable independiente: lado del cuadrado.

3. a) 13 890 12 990 14 490

18 290 16 190

14 490

22 690 19 390 16 890

29 290 24 190 20 490

4. a)

b) Para 80 min, el Plan B, y para 120 min, el Plan C. c) Plan A y = 9460 + 220x Plan B y = 12 990 + 160x Plan C y = 14 490 + 120x

11 800 16 800 21 800 26 800 31 800 36 800 b) f (x) = 5000x + 6800 c) Variable dependiente: total a pagar. Variable independiente: m2. d) f (x) = 6000x

Página 175

Total a pagar

1. a) Independiente: arista. Dependiente: volumen. b) Independiente: número. Dependiente: sucesor. c) Independiente: kilogramos de pan. Dependiente: precio total.

40 000 35 000 30 000 25 000 20 000 15 000 10 000 5000

Página 176 2. a) $ 73 500 y $ 126 000, respectivamente. b) y = 10 500x c) Variable dependiente: precio total recaudado. Variable independiente: número de entradas. d) 10 500 31 500 73 500 105 000 126 000 210 000

70 000

5. a) Variable dependiente: perímetro. Variable independiente: lado del triangulo. b) f (x) = 3x c) Cada uno de sus lados mide 14 cm, porque es equilátero.

60 000

50 000

18 000 27 000

40 000 30 000 20 000 10 000 0

Página 177

72 000

a) $ 27 000 y $ 72 000, respectivamente. b) f (x) = 4500x c) Variable dependiente: dinero reunido. Variable independiente: cantidad de clases. d) Dinero reunido ($) 60 000

3. 12

50 000 40 000 30 000 20 000 10 000 0

Cantidad de clases

Solucionario

215

En equipo

x (grados)

y (grados)

89 10 20 35 45 50 89

1 80 70 55 45 40 1

4. a) Triángulos equiláteros, porque como los palitos representan los lados, cada palito mide lo mismo (aproximadamente). b) Numero Triángulos de palitos 1 2 3 4 5

3 5 7 9 11

Página 180 Herramientas tecnológicas

Se observa que cada triángulo nuevo, se suman dos palitos. c) 15 palitos, 41 palitos y 207 palitos, respectivamente. d) f (x) = 2x + 1 e) Variable dependiente: número de palitos. Variable independiente: número de triángulos. Página 179 1. Rapidez constante 30 40 50 (km/h) Tiempo (h) 12

7,2

60 80 6

7,2

100

120

3,6

Dominio: números positivos entre 30 y 120. Recorrido: números positivos entre 3 y 12. 2. a) $ 387 000 y $ 598 500, respectivamente. b) f (x) = 4500x c) Variable dependiente: dinero recaudado. Variable independiente: cantidad de personas. d) Dominio: desde 0 a 150 (personas). Recorrido: 4500 • 1, 4500 • 2, 4500 • 3, …, 4500 • 150

a) y = 2x Dom (f ) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Rec (f ) = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 b) y = x 2 Dom (f ) = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Rec (f ) = 1, 4, 9, 16, 25, 36 c) • y = 40x • Variable dependiente: precio. Variable independiente: número de masticables. • Dom (f ) = ⺞0 Rec (f ) = 40 • n / n ∈ ⺞0 • $ 680 Página 181 1. C

3. a) 97 sopaipillas. b) Dependiente: dinero recaudado en un día. Independiente: cantidad de sopaipillas. c) Dom (f ) = ⺞0 Rec (f ) = 130 • n / n ∈ ⺞0 d) Dinero recaudado ($)

3. a) 20 caramelos y 12 caramelos, respectivamente. 300 b) f (x) =

900

c) A 60 niños. d) Dom (f ) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300 Rec (f ) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300 . En ambos casos, divisores de 300.

600

4. a) La medida de un ángulo agudo. b) 0º < x < 90º y el ángulo y es el complemento de x. c) Mide 45º.

216 Matemática 8

2. D

800 700 500 400 300 200 100 0

7 Cantidad de sopaipillas

4. y = 2x + 3

3 6 9 12 15

Página 183 1. a) No

b) No

c) Sí

2. 45 25

50 30

55 35

8 16 24 32 40

Perímetro (y) 40

• No son proporcionales, ya que la razón entre las edades no se mantiene con el tiempo. 3. a) Las horas y la temperatura. b) No son proporcionales, ya que la razón entre las variables no es constante. c) Temperatura (ºC)

30 20 10 Ancho (x)

0 0

39.5 39 38.5 38 37.5 37

a) Si aumenta x el perímetro aumenta, mientras que si x disminuye el perímetro también disminuye. b) f (x) = 8x 0

Horas

Página 185

Página 187 4. a)

1. a) Sí b) Sí

c) No d) Sí

e) No f) Sí

2 3

Página 186 2. 360

720 1800 2880

4320

6120

a) 360 : 1 El valor de la razón es constante y su valor es 360. b) f (x) = 360x c) $ 6480 y $ 12 600, respectivamente. d) Precio ($)

60 90

120

b) El auto rojo, porque recorre más distancia en menos tiempo. c) En 2 horas. d) 40 : 1 para el auto rojo y 30 : 1 para el auto verde. e) A 300 km. f) 12 horas. g) f (x) = 40x y g (x) = 30x, respectivamente. Página 189

2400

1600

1. a) No b) Sí

1200

Página 190

2000

800

c) No d) Sí

e) No f) Sí

2. a) A 480 km.

400 0 0

Cantidad de helados

Solucionario

217

Rapidez (km/h)

Cantidad de cajas 30 25 20 15 10 5 0

120 100 80

8 48 40

60 40 20 0

c) y = d) e) f) g)

480

Tiempo (h) 10 12 14 16

. El dominio son los números positivos

menores o iguales a 480. Debe ir a 96 km/h. Tardaría 9 h y 36 min en llegar. Demoraría 96 horas. Una hipérbola.

3. a) y =

Página 191 4. a) Proporcionalidad inversa. k = 20. f (x) =

Tipo de proporcionalidad

Función que la representa

y = 75 x y=x

Inversa Directa 3

1,5

Inversa

y = 72 x

Inversa

Altura (cm) 7 6 5 4 3 2 1 0

b) Proporcionalidad directa. k = 3. f (x) = 3x c) Proporcionalidad directa. k = 175. f (x) = 175x 24 d) Proporcionalidad inversa. k = 24. f (x) = 5.

x 4

Cantidad de alfajores 30

120

x y = 18x

Directa

Respuesta al problema 75 máquinas 10 kg 4 días 40 km/h 90 informes

Página 192 0

b) y =

Base (cm)

600

Herramientas tecnológicas c) f (x) = x + 1, g(x) =

d) En la primera función: Dom (f ) = ⺞ y 15

Rec (f ) = 2, 3, 4, 5, … o Rec (f ) = ⺞ – {1} En la segunda función: Dom (f ) = 1, 2, 3, 4, 6, 12 y Rec (f ) = 1, 2, 3, 4, 6, 12 e) En la función f (x) = x + 1 no se relacionan en 12 forma proporcional, mientras que en g(x) = , x sí se relacionan proporcionalmente.

Rapidez (km/h) 140 120 100 80 60 40 20 0

c) y =

144

Tiempo (h) 16

Página 193 1. C

2. D

4. a) 7 huevos. b) f (x) = 3x. Dom (f ) = ⺞0 y

Rec (f ) = 3 • n / n ∈ ⺞0 24

218 Matemática 8

3. A

Página 198 Cantidad de personas

1. D 2. D

25 20 15

3. A 4. D

5. C 6. B

7. C 8. A

Página 199

10 5 0 0

Cantidad de huevos

Página 195

3. a) • $ 13 200 y $ 15 300, respectivamente. • $ 154 200 • f (x) = 9000 + 700(x – 1) b) Quedaron 200 gramos de aceitunas.

64 80

160

• f (x) = 5x

Buscando estrategias 1. a) $ 2 800 000 y $ 1 100 000, respectivamente. La función es f (x) = 3 600 000 – 100 000x b) 14 kg y 400 g. La función es: f (x) = 20 000 – 400x c) • $ 4550 y $ 46 200, respectivamente. • f (x) = 7000 – 350(x – 1) • Dom f (x) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …, 19, 20 y Rec f (x) = 7000, 6650, 6300, 5950,..., 700, 350 .

x y

y 40 35 30 25 20 15 10 5 0

x 0

10. a) De proporcionalidad inversa, ya que el gráfico es una hipérbola. b) k = 120 120 c) f (x) =

Solucionario

219

Índice temático A Adición con números enteros, 13 Algoritmo de la división, 23 Amplitud - de un intervalo, 137 - térmica, 24

Construcción geométrica - copiar un ángulo, 112 - de rectas paralelas, 108 - de simetral de un trazo, 111 Crecimiento exponencial, 60, 61

Apotema de un polígono, 75

Cuerpos geométricos - cilindro recto, 88 - cono recto, 88 - paralelepípedo, 48 - pirámides, 75 - poliedros, 88 - prisma recto, 75 - redondos, 88

Arco de una circunferencia, 78, 79

Cuerda, 78, 79

Análisis de encuestas, 144, 145 Ángulo, 105 - de rotación, 112 - interior de un polígono regular, 120

Área, 75 - del cilindro 88, 89, 90 - del círculo, 84, 85 - del cono 88, 89, 90 - de un cuadrado, 75 - de un polígono regular, 84 - de un rectángulo, 75 - de un triángulo, 75 - de una pirámide, 90

B Base de una potencia, 39

D Datos y azar, 130 Decrecimiento exponencial, 62, 63 Diámetro de una circunferencia, 78, 79 División - de potencias de igual base, 46, 47 - de potencias de igual exponente, 50, 51 - exacta de números enteros, 18, 19 - inexacta de números enteros, 22 Dominio de una función, 178, 179

C Cardinalidad del espacio muestral, 151 Centro - de una circunferencia, 76, 77 - de rotación, 112 Censos, 131, 142, 143 - Censo y muestreo, 142 Circunferencia y círculo como lugar geométrico, 76, 77

Ecuación, 168 - verificación, 168 Eje - de las abscisas, 169 - de las ordenadas, 169 - de simetría, 110 Elementos de una circunferencia, 78, 79 Encaje (técnica), 98 Encuestas, 145

220 Matemática 8

Espacio muestral, 150, 151 Experimentos aleatorios, 150

Exponente de una potencia, 39 Expresión algebraica, 172

F Fracciones (representación), 46, 154 Frecuencia - absoluta, 133, 134, 135 - absoluta acumulada, 135 - relativa, 133, 134, 135 - relativa acumulada, 135 Funciones y relaciones proporcionales, 164 - proporcionalidad directa, 184, 185 - proporcionalidad inversa, 188, 189

Medidas de tendencia central - media aritmética, 133 - media aritmética para datos agrupados, 138, 139 - mediana, 133 - moda, 133 - moda para datos agrupados, 140, 141 Mosaico, 118 Movimientos en el plano, 102 Muestra, 133, 143 Multiplicación - de números enteros, 16, 17 - de potencias de igual base, 44, 45 - de potencias de igual exponente, 48, 49 - de un número natural por un número entero negativo, 14, 15

G Generatriz, 89, 90 Geometría y medición, 72

H Hipérbola, 189

Noción de función, 172, 173 Número(s) - enteros, 10 - y su relación con la circunferencia, 80, 81 - positivo, 16

Operaciones combinadas, 24, 25

Intervalos, 137 Intervalo modal, 140

Isometría, 106

Perímetro de un polígono, 75

L Longitud de una circunferencia, 82, 83 Lugar geométrico, 77

Polígono, 75, 105 - regular, 75, 105 Porcentaje, 167

M Marca de clase, 139

Población, 133

Potencia(s), 36, 39 - de base decimal positiva y exponente natural, 58, 59

Índice temático

221

- de base entera y exponente natural, 40, 42, 43 - de base fraccionaria positiva y exponente natural, 56, 57 - de una potencia, 52, 53

Sucesos - elementales, 152 - equiprobables, 152 Sustracción con números enteros, 13

Principio multiplicativo, 150, 151 Probabilidad, 133 - regla de Laplace, 154, 155 Propiedad - conmutativa de la multiplicación, 15 - distributiva de la multiplicación respecto de la suma, 24 Proporción, 167

Tablas de frecuencia, 134 - construcción para datos agrupados, 136, 137 - interpretación, 134, 135 Teselaciones, 118, 119 - regulares y semirregulares, 120 Tetris (juego), 125 Transformaciones - de figuras y objetos, 106 - isométricas, 106, 107

Radio de una circunferencia, 76, 77, 78, 79

Traslaciones de figuras planas 108, 109

Rango, 136, 137

Triángulo rectángulo, 75

Razón, 167

Recorrido de una función, 178, 179 Recta(s) - numérica, 13 - paralelas, 105 - perpendiculares, 105 - secantes, 105 - secante a una circunferencia, 78, 79 - tangente a una circunferencia, 78, 79 Reflexiones de figuras planas, 110, 111 Regla de los signos, 17, 19

Valor - absoluto, 13 - de la potencia, 39, 41, 54 - de la razón, 80, 167 Variable - dependiente, 174, 175 - independiente, 174, 175 - estadística cuantitativa y cualitativa, 133

Representatividad de una muestra, 143

Variaciones proporcionales y no proporcionales, 182, 183

Resto, 18, 22

Vector de traslación, 108

Rotaciones de figuras planas, 112, 113

Volumen, 92 - del cilindro 92, 93 - del cono, 92, 93

S Simetral de un segmento, 110 Simplificación de fracciones, 46 Situaciones con dos variables, 168, 169

222 Matemática 8

Bibliografía DOCUMENTOS OFICIALES • Mineduc. Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios de la Educación Básica. Ministerio de Educación de Chile, 2001. • Mineduc. Propuesta de Ajuste Curricular. Matemática, junio 2009. Ajuste promulgado por el Decreto N° 256 para la Educación Básica y publicado en el Diario Oficial de la República de Chile el 19 de agosto de 2009. • Ministerio de Educación. Matemática. Programa de Estudio. Octavo Año Básico. Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación. Ministerio de Educación de Chile, Unidad de Currículum y Evaluación, diciembre 2009. MATERIAL CRA

• Rodríguez, José y otros. Razonamiento matemático. International Thompson Editores, México, 1997, 1ª ed. Organizado en cinco capítulos, el texto trata el modelo de Polya y presenta estrategias utilizadas para resolver problemas, conceptos de álgebra relacionados con ecuaciones de primer grado, interpretación gráfica y las matemáticas de finanzas. • Steen, Lynn. La enseñanza agradable de las matemáticas. Editorial Limusa, México, 1998, 1ª ed. Pretende mostrar que es posible desarrollar el pensamiento matemático mediante experiencias informales a muy temprana edad, mucho antes de que los niños lleguen al punto de poder comprender fórmulas algebraicas.

• Cedillo, Tenoch. Calculadoras: Introducción al Álgebra. Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1997.1ª ed. [r. 1996] Las actividades propuestas están orientadas a la enseñanza del código algebraico como herramienta para expresar generalizaciones y resolver problemas, e introducir la noción de función a partir de la construcción e interpretación de gráficas.

• Varios autores. Enseñanza efectiva de las Matemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1995, 1ª ed. Guía básica que sugiere técnicas y habilidades para la enseñanza de las matemáticas; incluye aspectos que abarcan desde la preparación y desarrollo de una clase hasta la elaboración y aplicación de pruebas y exámenes.

• Guzmán, Miguel de. Para pensar mejor. Ediciones Pirámide, España, 1995, 2ª ed. El objetivo de la obra es mostrar cómo la exploración de los propios métodos de pensamiento es una tarea que puede mejorar la calidad del pensar y los aportes de la Matemática en este ámbito.

LIBROS

• Hitt, Fernando. Investigaciones en Matemática Educativa. Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1996, 1ª ed. Reúne un conjunto de artículos sobre diversas investigaciones que tratan la problemática de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas desde el nivel básico hasta el universitario. • Orobio, H. y Ortiz, M. Educación Matemática y desarrollo del sujeto. Magisterio, Colombia, 1997, 1ª ed. El autor propone una estrategia pedagógica que implica la comprensión del desarrollo de los sujetos, el proceso de construcción y estructuración lógica de los conceptos y de los saberes específicos abordados con los alumnos y alumnas.

• Arenas Fernando y equipo. Geometría Elemental. Ediciones Universidad Católica de Chile, Santiago,1993. • Bermeosolo, J. Metacognición y estrategias de aprendizaje e instrucción. Documentos de apoyo a la docencia, proyecto FONDECYT 1940767, Santiago, 1994. • Corbalán, Fernando. La matemática aplicada a la vida cotidiana. Graó, Barcelona, 1995. • Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. Geometry Revisited. The Mathematical Association of America, EE.UU.,1967. • Díaz, J. y otros. Azar y probabilidad. Ed. Síntesis, Madrid, 1987. • Dickson, L. Brown, M. y Gibson, O. El aprendizaje de las Matemáticas. Ed. Labor, Barcelona, 1991. • Enzensberger, Hans Magnus. El diablo de los números. Ediciones Siruela, España, 1998.

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RECURSOS TECNOLÓGICOS • Software geométrico GeoGebra. En este sitio encontrará un programa geométrico libre, para descargar, que le permitirá enseñar y trabajar con sus alumnos y alumnas. http://www.geogebra.org • Software geométrico Limix Geometric. En este sitio encontrará un programa gratuito que podrá descargar, permite obtener el área y volumen de distintos cuerpos geométricos. http://www.limix.net PÁGINAS WEBS • Ministerio de Educación de Chile http://www.mineduc.cl • Centro Comenius. Software educativos, en especial de matemáticas, recursos y muchas cosas más. Patrocinado por la USACH. http://www.comenius.usach.cl • Recursos matemáticos Redemat http://www.recursosmatematicos.com/redemat. html • Base de datos de documentos para Educación. http://www.cide.cl/campos/profes/setreduc.htm • REDUC. Red Latinoamericana de información y documentación en educación. Contiene base de datos sobre investigaciones, textos completos, recortes de prensa. http://www.reduc.cl • Sociedad de Matemática de Chile http://www.sochiem.cl

• Pozo, J. L. Teorías cognitivas del aprendizaje. Morata, Madrid, 1990.

• Recursos matemáticos Redemat http://www.recursosmatematicos.com/redemat. html

• R. David Gustafson. Álgebra Intermedia. International Thomson Editores, México, 1997.

• Instituto Nacional de Estadísticas. http://www.ine.cl

• Rencoret, María del Carmen. Iniciación matemática - Un modelo de jerarquía de enseñanza. Editorial Andrés Bello, Santiago, 2002.

• Ministerio de salud. http://www.redsalud.gov.cl

• Sternberg, R., Apear-Swerling L. Enseñar a pensar. Aula XXI, Santillana, España, 1996.

• Consejo Nacional para el Control de Estupefacientes (Conace). http://www.conacedrogas.cl

• Stewart, Ian. Ingeniosos encuentros entre juegos y matemáticas. Gedisa, Barcelona, 1990.

• Fundación Futuro. http://www.fundacionfuturo.cl/

• Vygotski, L. El desarrollo de los procesos psicológicos superiores. Libergraf, S.A., Barcelona, 1995. • Winston H. Elphick D. y Equipo. 101 Actividades para implementar los Objetivos Fundamentales Transversales. Lom Ediciones, 2001.

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