8vo_2011_Profesor by juan albornoz

GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE INCLUYE TEXTO DEL ESTUDIANTE

Matemática

º 8

Educación Básica

Autores del Texto del Estudiante

EDUARDO BÓRQUEZ AVENDAÑO LICENCIADO EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE. FLORENCIA DARRIGRANDI NAVARRO LICENCIADA EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN ESTADÍSTICA, MAGÍSTER EN ESTADÍSTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE. MARIO ZAÑARTU NAVARRO LICENCIADO EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE. MAGÍSTER EN HISTORIA DE LA CIENCIA: CIENCIA, HISTORIA Y SOCIEDAD, UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BARCELONA.

Autoras de la Guía Didáctica del Docente MARIBEL DONOSO SILVA LICENCIADA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA Y COMPUTACIÓN, PROFESORA DE ESTADO EN MATEMÁTICA Y COMPUTACIÓN, UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE. LORNA JIMÉNEZ MARTÍNEZ LICENCIADA EN EDUCACIÓN, PROFESORA DE MATEMÁTICA, EDUCACIÓN MEDIA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

La Guía del Docente Matemática 8, para Octavo Año de Educación Básica, es una obra colectiva, creada y diseñada por el departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección general de: MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA COORDINACIÓN DEL PROYECTO: COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA: EDICIÓN: AUTORES DEL TEXTO DEL ESTUDIANTE:

AUTORAS DE LA GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE: CORRECCIÓN DE ESTILO: DOCUMENTACIÓN:

EUGENIA ÁGUILA GARAY VIVIANA LÓPEZ FUSTER CAROLINA HENRÍQUEZ RIVAS EDUARDO BÓRQUEZ AVENDAÑO FLORENCIA DARRIGRANDI NAVARRO MARIO ZAÑARTU NAVARRO MARIBEL DONOSO SILVA LORNA JIMÉNEZ MARTÍNEZ ISABEL SPOERER VARELA GABRIELA PRECHT ROJAS PAULINA NOVOA VENTURINO

La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de: VERÓNICA ROJAS LUNA COORDINACIÓN GRÁFICA:

CARLOTA GODOY BUSTOS

COORDINACIÓN GRÁFICA LICITACIÓN:

XENIA VENEGAS ZEVALLOS

JEFA DE DISEÑO ÁREA MÁTEMÁTICA:

MARIELA PINEDA GÁLVEZ

DIAGRAMACIÓN:

XIMENA MONCADA LOMEÑA

ILUSTRACIONES:

MARTÍN OYARCE GALLARDO

FOTOGRAFÍAS: CUBIERTA: PRODUCCIÓN:

ARCHIVO SANTILLANA LA PRÁCTICA S.P.A. GERMÁN URRUTIA GARÍN

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público. © 2010, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones. Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile). PRINTED IN CHILE. Impreso en Chile por WorldColor S.A. ISBN: 978-956-15-1763-9 Inscripción N˚: 198.046 Se terminó de imprimir esta XX edición de XX ejemplares, en el mes de XX del año XX. www.santillana.cl

Referencias de las Guías Didácticas Matemática 7 y Matemática 8, Educación Básica, Proyecto Futuro y de los Textos Matemática 7 y Matemática 8, Educación Básica, Mineduc, de los autores: Rossana Herrera Concha, Francisco Rojas Sateler, Jaime Ávila Hidalgo, Ana Rojas Fernández, Javiera Setz Mena, Lorna Jiménez Martínez, Florencia Darrigrandi Navarro. Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Santiago, Chile, 2003 y 2010.

Índice Introducción

Organización de la Guía Didáctica

Información sobre los Mapas de Progreso del Aprendizaje (MPA)

Hipertexto

Habilidades del pensamiento

Evaluación en Matemática

Instrumentos de evaluación

Razonamiento matemático y Resolución de problemas

Estructura del Texto del Estudiante

Índice del Texto del Estudiante

Números enteros

Unidad

Propósito de la Unidad Esquema de la Unidad Relación entre los CMO tratados en la Unidad y los de otros años Propuesta de planificación de la Unidad Errores frecuentes Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

34 34 35 36 38 39

Bibliografía Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio, desarrollo y cierre (páginas 10 a 35 del Texto del Estudiante) Indicaciones y orientaciones para la Evaluación fotocopiable

41 42 75

Evaluación. Números enteros

Unidad

Potencias Propósito de la Unidad Esquema de la Unidad Relación entre los CMO tratados en la Unidad y los de otros años Propuesta de planificación de la Unidad Errores frecuentes Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos

Unidad

79 80 82

Bibliografía Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio, desarrollo y cierre (páginas 36 a 71 del Texto del Estudiante) Indicaciones y orientaciones para la Evaluación fotocopiable

86 129

Evaluación. Potencias

130

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

132 132 132 133 134 136

Bibliografía Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio, desarrollo y cierre (páginas 72 a 101 del Texto del Estudiante) Indicaciones y orientaciones para la Evaluación fotocopiable

140 177

Evaluación. Geometría y medición

178

139

137

Movimientos en el plano Propósito de la Unidad Esquema de la Unidad Relación entre los CMO tratados en la Unidad y los de otros años Propuesta de planificación de la Unidad Errores frecuentes Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos

78 78

Geometría y medición Propósito de la Unidad Esquema de la Unidad Relación entre los CMO tratados en la Unidad y los de otros años Propuesta de planificación de la Unidad Errores frecuentes Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos

Unidad

180 180 180 181 182 184 185

Bibliografía Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio, desarrollo y cierre (páginas 102 a 129 del Texto del Estudiante) Indicaciones y orientaciones para la Evaluación fotocopiable

187 188 223

Evaluación. Movimientos en el plano

224

Unidad

Datos y azar Propósito de la Unidad Esquema de la Unidad Relación entre los CMO tratados en la Unidad y los de otros años Propuesta de planificación de la Unidad Errores frecuentes Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos

Unidad

226 226 226 227 228 231

Bibliografía Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio, desarrollo y cierre (páginas 130 a 163 del Texto del Estudiante) Indicaciones y orientaciones para la Evaluación fotocopiable

234 275

Evaluación. Datos y azar

276

232

Funciones y relaciones proporcionales Propósito de la Unidad Esquema de la Unidad Relación entre los CMO tratados en la Unidad y los de otros años Propuesta de planificación de la Unidad Errores frecuentes Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos

233

278 278 278 279 280 282

Bibliografía Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio, desarrollo y cierre (páginas 164 a 199 del Texto del Estudiante) Indicaciones y orientaciones para la Evaluación fotocopiable

285 286 329

Evaluación. Funciones y relaciones proporcionales

330

283

Evaluación final

332

Solucionario (páginas 200 a 219 del Texto del Estudiante)

336

Índice temático (páginas 220 a 222 del Texto del Estudiante)

346

Bibliografía (páginas 223 a 224 del Texto del Estudiante)

347

Bibliografía de la Guía Didáctica

349

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Introducción El año 2007, el Ministerio de Educación hizo una revisión del currículum, para responder a diversos requerimientos sociales y poder mantener su vigencia y relevancia. En este contexto, el Ministerio ha elaborado una propuesta de Ajuste Curricular que tiene como propósito mejorar la definición curricular nacional para responder a problemas detectados, así como a diversos requerimientos sociales y a los cambios en el mundo productivo y tecnológico. Aunque es un proceso de ajuste de mayor envergadura que las modificaciones realizadas a la fecha, no se trata de una nueva Reforma Curricular, ya que el currículum sigue manteniendo su enfoque y está orientado hacia el desarrollo de conocimientos, habilidades y actitudes que son relevantes para el desenvolvimiento personal, social y laboral de los sujetos en la sociedad actual. Este Ajuste considera que el aprendizaje de la Matemática requiere consolidar, sistematizar y ampliar las nociones y prácticas matemáticas que los alumnos y alumnas poseen, como resultado de su interacción con el medio y lo realizado en los niveles anteriores. Busca, asimismo, promover el desarrollo de formas de pensamiento y de acción que posibiliten a los y las estudiantes procesar información proveniente de la realidad y así profundizar su comprensión acerca de ella; el desarrollo de su confianza en las propias capacidades para aprender; la generación de actitudes positivas hacia el aprendizaje de la Matemática; apropiarse de formas de razonar matemáticamente; adquirir herramientas que les permitan reconocer, plantear y resolver problemas y desarrollar la confianza y seguridad en sí mismos, al tomar conciencia de sus capacidades, intuiciones y creatividad. La presente propuesta didáctica para Matemática 8 aborda el conjunto de Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios del subsector y nivel establecidos en el Ajuste Curricular aprobado por el Consejo Superior de Educación (CSE) el año 2009, e integra y articula el tratamiento de Objetivos Fundamentales Transversales con los contenidos y actividades centrales, dando énfasis especialmente a los siguientes: aceptación y valoración de la diversidad etaria, cultural, socioeconómica, de género, condición física, opinión u otras; respeto a la vida, conciencia de la dignidad humana y de los derechos y deberes de todas las personas; preservación de la naturaleza y cuidado del medioambiente; desarrollo de habilidades de pensamiento. Tanto el Texto del Estudiante Matemática 8 como la Guía Didáctica del Docente se organizan a partir de los cuatro ejes temáticos considerados para el sector: Números, Álgebra, Geometría y Datos y Azar, considerando como eje transversal el de razonamiento, que incluye tanto la resolución de problemas, exploración de caminos alternativos y modelamiento de situaciones o fenómenos como el desarrollo del pensamiento creativo, analógico y crítico para la formulación de 6

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

conjeturas, búsqueda de regularidades y patrones, y discusión de la validez de las conclusiones. Si desea saber más sobre el Ajuste Curricular, visite: www.curriculum–mineduc.cl/curriculum/marcos–curriculares/educacion–regular/ Desde esta perspectiva, esta Guía Didáctica del Docente es un instrumento complementario al Texto del Estudiante Matemática 8 y ha sido elaborada con el propósito de orientar el trabajo de los contenidos, recursos y actividades presentes a lo largo del Texto, apoyando la activación de experiencias y conocimientos previos; el desarrollo, aprendizaje, consolidación y aplicación de los contenidos; la evaluación diagnóstica, formativa y sumativa, y reforzando y profundizando el aprendizaje. El acercarse al conocimiento matemático implica un proceso de construcción social, en donde los objetos matemáticos no están totalmente acabados, sino en continua construcción, y en el que los y las estudiantes son considerados protagonistas fundamentales, otorgando significado a los conocimientos desde su experiencia. A partir de este fundamento, las actividades que se plantean en el Texto del Estudiante y en esta Guía son significativas y cercanas a la realidad y a las experiencias de los y las estudiantes. Así, al inicio de cada Unidad se presenta una imagen en la cual se pueden observar situaciones y contextos cotidianos o familiares, a través de los que se invita a las alumnas y alumnos a comentar, opinar y participar a través de preguntas orientadoras relacionadas con ella, que permiten activar sus experiencias y conocimientos previos con respecto al contenido que se trabaja. Del mismo modo, durante el desarrollo de cada Unidad se presentan situaciones de la vida cotidiana y actividades relacionadas con la misma, que promueven el razonamiento y la comprensión de los contenidos. Considerando que el razonamiento matemático constituye un eje central de la actividad matemática y, en consecuencia, debe ocupar un lugar importante de esta disciplina desde los niveles más elementales, es que todos los contenidos son trabajados a partir de situaciones que promueven el razonamiento y desarrollan las habilidades relacionadas con la resolución de problemas. Enfatizando lo anterior, cada Unidad del Texto incluye la sección BUSCANDO ESTRATEGIAS, donde se trabajan específicamente las habilidades de resolución de problemas, intencionando los pasos o etapas necesarios para su desarrollo. A partir de las actividades propuestas en el Texto y en esta Guía, se potencia el desarrollo de las habilidades, entendidas como el proceso mental o el conjunto de operaciones mentales por medio de las cuales una persona opera sobre una realidad o sobre un conjunto de conocimientos, de tal modo de integrarlos dándoles un sentido.

Es así como el desarrollo de las habilidades es intencionado en la Guía y en el Texto a través de actividades que desafían a el o la estudiante a poner en interacción sus capacidades con los contenidos a trabajar, de manera de ir potenciando e integrando las distintas habilidades. En general, podemos resumir los objetivos generales de nuestra propuesta en los siguientes: • Consolidar, sistematizar y ampliar las nociones y prácticas matemáticas que los alumnos y alumnas poseen, como resultado de su interacción con el medio y lo realizado en cursos anteriores. • Enriquecer la comprensión de la realidad de los y las estudiantes, a través del aprendizaje de conceptos y procedimientos matemáticos, que les permitan intervenir activamente en ella. • Desarrollar en los y las estudiantes habilidades propias del razonamiento matemático como deducir, argumentar, realizar operaciones concretas, involucrados en diversas situaciones. • Aplicar habilidades propias del proceso de resolución de problemas, a través de diversas situaciones que permitan la integración entre diversos registros de representación semiótica de la matemática (algebraico, lenguaje natural, gráfico, tablas, etc). • Promover en los y las estudiantes una actitud positiva frente a la matemática, desarrollando el placer de hacer matemática, el aprecio por la belleza y poder de la matemática, la confianza en el uso de la matemática y la perseverancia en la resolución de problemas. En cuanto a la metodología de la propuesta, esta se basa en la concepción de aprendizaje constructivista y en el concepto de evaluación para el aprendizaje. En este sentido, los ejes metodológicos en los que se sustenta nuestra propuesta son: • Desarrollar los contenidos de manera articulada, secuenciada y progresiva, en un nivel de complejidad creciente, según las exigencias del subsector y nivel señaladas en los Ajustes Curriculares y en el Mapa de Progreso de Aprendizaje de Números. • Presentar los contenidos en contextos significativos. • Conectar las experiencias y conocimientos previos de los y las estudiantes con los nuevos contenidos, promoviendo, además, operaciones concretas y/o argumentaciones espontáneas respecto del nuevo contenido. • Promover en los y las estudiantes la observación y comprensión de los procesos involucrados, mediante la ejemplificación y análisis de los mismos.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

• Incluir justificaciones simples de los conceptos y procedimientos, cuando sea pertinente. • Formalizar claramente los conceptos y procedimientos centrales de cada contenido, a través de un discurso formal, pero en un lenguaje adecuado al nivel de los estudiantes. • Proponer actividades variadas de ejercitación de los contenidos, que permitan naturalizar los conceptos y procedimientos estudiados y que puedan convertirse en instancias de evaluación permanente. • Proponer actividades de generalización de los aprendizajes, que promuevan la aplicación de los conceptos y procedimientos construidos en situaciones nuevas y diversas. • Orientar el desarrollo de las habilidades propias del razonamiento matemático en la resolución de problemas en particular, como son la selección y análisis de los datos, la búsqueda y puesta en práctica de estrategias de resolución y la interpretación de resultados en función del contexto, de forma integrada con las actividades de aprendizaje. • Presentar actividades específicas de resolución de problemas que desarrollen la heurística de la resolución de problemas. • Incluir actividades de síntesis, donde los y las estudiantes puedan organizar los contenidos y procedimientos centrales estudiados. • Promover habilidades de metacognición, incluyendo instancias que permitan tomar conciencia de los procesos y sus resultados y monitorear el proceso de pensamiento propio durante la resolución de problemas. • Promover el desarrollo de los Objetivos Fundamentales Transversales, de forma integrada con el tratamiento de los contenidos. • Promover el desarrollo de actitudes positivas frente a la matemática, de forma integrada con el tratamiento de los contenidos. • Incluir instancias evaluativas diagnósticas, procesuales y sumativas en las cuales se evalúen contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales. Orientar estas evaluaciones hacia la medición de destrezas, habilidades y conocimientos, a través de actividades diversas y desafiantes. • Incorporar de forma permanente instancias de autoevaluación y reflexión sobre los propios procesos y sus resultados, con el propósito de promover el desarrollo de la autonomía y habilidades de metacognición en los y las estudiantes. • Incluir problemas que permitan al alumno o alumna, en la resolución, integrar más de un registro de representación semiótico (gráfico, algebraico, lenguaje natural, tablas, etc.).

Para organizar con mayor claridad el año escolar, se presenta una propuesta de planificación por Unidad, la cual contempla los Contenidos Mínimos Obligatorios, los Aprendizajes esperados, los recursos didácticos utilizados y las evaluaciones correspondientes en cada una de ellas. Esta propuesta de planificación permite tener una mirada global del trabajo correspondiente al Octavo Año Básico, así como también, permite al profesor o profesora organizar y preparar las actividades sugeridas, contemplando los recursos didácticos especificados en dicha planificación. Finalmente, es importante considerar que el aprendizaje es un proceso dinámico y gradual, que evoluciona desde lo más simple a lo más complejo. Por ello se han tomado como referentes, antes de realizar la planificación y la organización del Texto, los Mapas de Progreso del Aprendizaje (MPA), ya que en estos se definen los distintos niveles del aprendizaje y se explicitan los aprendizajes a lograr en cada uno de ellos. Del mismo modo, la secuencia de las Unidades y de las actividades propuestas en esta Guía tienen un carácter progresivo en cuanto a complejidad de los contenidos y de las mismas actividades. Fuente: Mineduc. Propuesta de Ajuste Curricular. Matemática, junio 2009. Ajuste promulgado por el Decreto N° 256 para la Educación Básica y publicado en el Diario Oficial de la República de Chile el 19 de agosto de 2009.

Organización de la Guía Didáctica La Guía Didáctica del Docente está organizada a partir de las siguientes secciones. • Propósito de la Unidad: en esta se entrega una orientación sobre el trabajo que se debe realizar con sus alumnos y alumnas a lo largo de la Unidad. • Propuesta de planificación: en una tabla se organizan y vinculan los CMO, los contenidos de la Unidad, los aprendizajes esperados, las actividades asociadas (incluidas las de evaluación), los recursos didácticos y los indicadores de evaluación de cada Unidad. Además, se indican los tiempos estimados para su desarrollo. • Relación de los aprendizajes de la Unidad y los de otros años: en un diagrama se relacionan los CMO desde Quinto a Octavo Año Básico, que tienen relación con los de la Unidad y que permiten al docente visualizar qué debieran saber sus estudiantes y en qué utilizarán posteriormente los aprendizajes que se espera que logren en la Unidad.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

• Esquema de la Unidad: en un organizador gráfico se presentan los contenidos trabajados en la Unidad. • Errores frecuentes: se indican las posibles dificultades que pueden tener sus estudiantes en la Unidad y las sugerencias para poder subsanarlas o evitarlas. • Bibliografía: se presentan distintos recursos bibliográficos, que pueden apoyar el trabajo de los contenidos de la Unidad. • Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos: se incluye una presentación teórica de apoyo que le permite actualizar los conocimientos respecto de los contenidos que se trabajan en la Unidad, conocer estrategias para lograr un mejor aprendizaje de los contenidos, aclarar dudas conceptuales, etc. Además, de acuerdo con los momentos didácticos considerados en cada Unidad, se distinguen:

Páginas de inicio • Información complementaria para docentes: se dan indicaciones que permiten orientar la activación de los conocimientos previos de los y las estudiantes con respecto a los contenidos de la Unidad. Esto se complementa con un cuadro en donde se detallan las habilidades que se desarrollan en la actividad inicial, llamada CONVERSEMOS DE… • Actividades complementarias: se presentan actividades que complementan las del Texto para reforzar, ampliar o profundizar el aprendizaje. • Evaluación diagnóstica: tiene como objetivo orientar a el o la docente en la identificación de los aprendizajes previos de los y las estudiantes, a partir de las actividades de la sección ¿CUÁNTO SABES? del Texto del Estudiante. Detalla las habilidades que se evalúan en cada actividad, sugerencias para evaluar las respuestas de los y las estudiantes y las posibles dificultades en la evaluación y remediales.

Páginas de desarrollo • Contenidos Mínimos Obligatorios: se especifican los Contenidos Mínimos Obligatorios que se trabajan en las actividades propuestas, extraídos del Ajuste Curricular. • Actividad inicial: se plantean orientaciones que permitan detectar los conocimientos de entrada de sus alumnos y alumnas, relacionados con los contenidos a trabajar, a partir de la situación de inicio. • Habilidades que se desarrollan en las actividades del Texto: se especifican las habilidades que se trabajan en cada actividad. • Orientaciones para el desarrollo de las actividades: se dan indicaciones con respecto a los procedimientos a desarrollar en las distintas actividades, uso de recursos, estrategias pedagógicas, etc., para potenciar de mejor manera el desarrollo de las habilidades en los y las estudiantes. • Indicaciones respecto del contenido: en esta sección se plantean sugerencias o aclaraciones específicas del contenido que se trabaja, tales como definiciones, propiedades, formalizaciones, etc. • Actividades complementarias: para cada página del Texto se plantean actividades que permiten reforzar y profundizar el contenido y las habilidades que se están trabajando. Además, podrá encontrar dos páginas con actividades de refuerzo y de profundización, después de las orientaciones que se sugieren para cada Evaluación Formativa, que podrá utilizar según los avances de sus estudiantes. • Evaluación formativa: esta sección tiene como objetivo orientar la evaluación del logro de los aprendizajes referidos a los contenidos específicos que se hayan trabajado hasta el momento. Se presenta en la sección MI PROGRESO, del Texto del Estudiante, e incluye un cuadro de las habilidades que se evalúan en ella.

Páginas de cierre • Buscando estrategias: en esta sección se plantean orientaciones para trabajar la resolución de problemas, paso a paso, a partir de las actividades de esta sección del Texto del Estudiante. Además, se especifican las habilidades que se desarrollan y se proponen actividades complementarias que permiten reforzar y/o ampliar el contenido trabajado, cuando es pertinente.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

• Conexiones: se plantean orientaciones para el desarrollo de las actividades de esta sección y actividades complementarias que potencian el establecimiento de vínculos entre los contenidos matemáticos trabajados y la realidad. • Síntesis: en esta sección se entregan sugerencias para organizar y sintetizar lo aprendido, a través de las actividades presentadas en esta sección del Texto del Estudiante. Además, se propone otra técnica de estudio para organizar los contenidos trabajados en la Unidad. • Evaluación sumativa: se orienta la evaluación de las actividades presentadas en la sección ¿QUÉ APRENDÍ?, permitiendo evaluar los logros alcanzados por sus alumnos y alumnas en la Unidad. Se explicitan también posibles dificultades y remediales. • Evaluación fotocopiable: se incluye una evaluación sumativa al final de cada Unidad de la Guía, de forma complementaria a la presentada en el Texto del Estudiante. Además, se sugiere una rúbrica para cada ítem.

Información sobre los Mapas de Progreso del Aprendizaje (MPA) A partir del año 2007, el Ministerio de Educación ha puesto gradualmente a disposición del sistema escolar los Mapas de Progreso del Aprendizaje, que son un instrumento de apoyo al y a la docente para monitorear el progreso en el aprendizaje de sus alumnos y alumnas, identificando distintos niveles de logro. Los niveles de logro son descripciones de los aprendizajes que demuestran los alumnos y alumnas, y le ayudarán a saber cuántos de sus estudiantes han alcanzado aprendizajes que les permitirán abordar bien los del nivel siguiente, cuántos se encuentran progresando hacia esos aprendizajes y cuántos están recién iniciando ese proceso. Ya sabemos que todos somos distintos y, por lo mismo, no todos aprendemos de la misma manera o al mismo ritmo; por esto, el conocer el nivel en el que se encuentra cada uno de sus alumnos y alumnas le servirá para atender la diversidad de estudiantes que se presenta en su aula, sus distintas maneras de aprender y orientarlos a avanzar. De acuerdo a lo anterior, en la elaboración y organización de nuestra propuesta fueron considerados los niveles de logro de los Mapas de Progreso del Aprendizaje, a partir de los cuales se diseñan actividades que promueven el logro de los aprendizajes en forma gradual, proponiéndose, además, evaluaciones en las distintas etapas del proceso de aprendizaje, para conocer los avances de los y las estudiantes respecto de los contenidos y habilidades esperados en el nivel.

• Comprensión y uso de las operaciones: se refiere a la comprensión del significado de las operaciones, los contextos numéricos en los que se realizan, las relaciones entre ellas, así como sus propiedades y usos para obtener nueva información a partir de información dada. • Razonamiento matemático: involucra habilidades relacionadas con la selección, aplicación y evaluación de estrategias para la resolución de problemas; la argumentación y la comunicación de estrategias y resultados. Nivel

Descripción

Nivel 5

Reconoce a los números racionales como un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no admiten solución en los enteros, a los irracionales como un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no admiten solución en los racionales, y a los reales como la unión entre racionales e irracionales. Interpreta potencias de base racional y exponente racional, raíces enésimas y logaritmos, establece relaciones entre ellos y los utiliza para resolver diversos problemas. Realiza operatoria con números reales, calcula potencias, raíces y logaritmos y los aplica en diversos contextos. Resuelve problemas utilizando estrategias que implican descomponer un problema o situaciones propuestas en partes o sub-problemas. Argumenta sus estrategias o procedimientos y utiliza ejemplos y contraejemplos para verificar la validez o falsedad de conjeturas.

A continuación, se presentan los niveles 2, 3, 4 y 5 (correspondientes a los niveles de 3º y 4º Básico, 5º y 6º Básico, 7º y 8º Básico y 1º y 2º Medio, respectivamente) de los Mapas de Progreso del Aprendizaje publicados hasta el momento por la Unidad de Currículum y Evaluación del Ministerio de Educación, de los ejes: Números y Operaciones, Álgebra y Datos y Azar.

Reconoce a los números enteros como un conjunto numérico en donde se pueden resolver problemas que no admiten solución en los números naturales, reconoce sus propiedades y los utiliza para ordenar, comparar y cuantificar magnitudes. Establece proporciones y las usa para resolver diversas situaciones de variación proporcional. Comprende y realiza las cuatro operaciones con números enteros.

Mapa de Progreso de Números y Operaciones Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Números y Operaciones, progresan considerando tres dimensiones que se desarrollan de manera interrelacionada: • Comprensión y uso de los números: se refiere a la comprensión del significado de los números, la forma de expresarlos y los contextos numéricos a los que pertenecen, así como las aplicaciones y los problemas que los originaron y/o permiten resolver. 10

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Nivel 4

Utiliza raíces cuadradas de números enteros positivos y potencias de base fraccionaria positiva, decimal positivo o entero y exponente natural en la solución de diversos desafíos. Resuelve problemas y formula conjeturas en diversos contextos en los que se deben establecer relaciones entre conceptos. Justifica la estrategia utilizada, las conjeturas formuladas y los resultados obtenidos, utilizando conceptos, procedimientos y relaciones matemáticas.

Nivel

Descripción

Nivel 3

Reconoce que los números naturales se pueden expresar como producto de factores. Comprende el significado de potencias de base y exponente natural, y las aplica en situaciones diversas. Utiliza números decimales positivos y fracciones positivas para ordenar, comparar, estimar, medir y calcular. Comprende el significado de porcentaje y establece equivalencias entre estos y fracciones o números decimales, para calcular porcentajes. Comprende y realiza las cuatro operaciones con números positivos escritos tanto en forma decimal como fracción y en forma mental y escrita. Resuelve problemas y formula conjeturas en diversos contextos, que requieren reorganizar la información disponible. Argumenta sobre la validez de un procedimiento, estrategia o conjetura planteada.

Nivel 2

Utiliza los números naturales hasta 1 000 000 para contar, ordenar, comparar, estimar y calcular. Comprende que las fracciones simples y los números decimales permiten cuantificar las partes de un objeto, una colección de objetos o una unidad de medida. Realiza comparaciones entre números decimales o entre fracciones y establece equivalencias entre ambas notaciones. Multiplica y divide (por un solo dígito) con números naturales, comprendiendo el significado de estas operaciones y la relación entre ellas y con la adición y sustracción. Realiza estimaciones y cálculos mentales de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones exactas que requieren de estrategias simples. Resuelve problemas en contextos familiares en que los datos no están necesariamente explícitos o requieren seleccionar información del enunciado. Justifica la estrategia utilizada, explicando su razonamiento. Formula conjeturas y las verifica a través de ejemplos.

ciones, inecuaciones o funciones y a la capacidad para aplicar reglas y procedimientos que permitan transformarlas en expresiones equivalentes. • Razonamiento matemático. Involucra habilidades relacionadas con el reconocimiento y descripción de regularidades, el modelamiento de situaciones o fenómenos y la argumentación matemática. Nivel

Descripción

Nivel 5

Reconoce el tipo de situaciones que modelan las funciones lineal, afín, exponencial, logarítmica y raíz cuadrada, y las representa a través de tablas, gráficos y algebraicamente. Transforma expresiones algebraicas de forma entera y fraccionaria haciendo uso de convenciones del álgebra. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales en forma algebraica y gráfica. Resuelve problemas que involucran composición de funciones, modelos lineales y afines o sistemas de ecuaciones lineales. Justifica la pertinencia del modelo aplicado y de las soluciones obtenidas.

Nivel 4

Traduce expresiones desde el lenguaje natural al lenguaje matemático y viceversa. Reduce expresiones algebraicas por medio de la aplicación de propiedades de las operaciones. Resuelve problemas en diferentes contextos que involucran ecuaciones de primer grado con la incógnita en ambos lados de la igualdad, utilizando propiedades y convenciones del álgebra. Reconoce funciones en contextos cotidianos y sus elementos constituyentes, distinguiendo entre variables independientes y dependientes. Resuelve problemas que involucran aplicar el modelo de variación proporcional, explicando la relación entre las variables. Justifica la pertinencia de los procedimientos aplicados aludiendo a la situación que modela.

Nivel 3

Comprende que en las expresiones algebraicas las letras pueden representar distintos valores de acuerdo al contexto. Reconoce las expresiones algebraicas que representan las propiedades de las operaciones e interpreta expresiones algebraicas que representan la generalización de una operación matemática. Comprende que una misma expresión tiene distintas representaciones algebraicas equivalentes. Resuelve ecuaciones de primer grado donde la incógnita se encuentra a un solo lado de la igualdad, utilizando estrategias informales. Justifica sus soluciones explicitando las estrategias utilizadas.

Mapa de Progreso de Álgebra Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Álgebra progresan considerando tres dimensiones que se desarrollan de manera interrelacionada: • Comprensión y uso del lenguaje algebraico. Se refiere a las habilidades para interpretar el significado y escribir expresiones algebraicas haciendo uso de las convenciones del álgebra, representarlas de diversas maneras y usarlas en la designación de números, variables, constantes u otros objetos matemáticos. • Comprensión y uso de relaciones algebraicas. Se refiere a la habilidad para establecer relaciones entre expresiones simbólicas mediante igualdades, ecua11

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Nivel

Descripción

Nivel 2

Expresa relaciones de orden utilizando la simbología correspondiente. Determina el valor desconocido en situaciones de multiplicación y división. Identifica, describe y continúa patrones numéricos y geométricos con figuras conocidas, mencionando alguna regla que genere la secuencia. Explica las estrategias aplicadas en la determinación de un valor desconocido y justifica la regla elegida para continuar un patrón aludiendo a los términos dados.

Nivel

Descripción

Nivel 5

Organiza información a través de histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de frecuencia acumulada. Extrae e interpreta información haciendo uso de medidas de dispersión y de posición. Compara dos o más conjuntos de datos usando medidas de dispersión y posición. Comprende que al tomar mayor cantidad de muestras de igual tamaño, desde una población finita, el promedio de las medias aritméticas muestrales se aproxima a la media de la población. Asigna probabilidades mediante el modelo de Laplace o bien las frecuencias relativas, dependiendo de las condiciones del experimento. Resuelve problemas acerca del cálculo de probabilidades, usando diagramas de árbol, técnicas combinatorias y aplicando propiedades de la suma y producto de las probabilidades.

Nivel 4

Organiza datos en gráficos y tablas, reconociendo las aplicaciones, ventajas y desventajas de distintos tipos de representación. Extrae e interpreta información desde tablas de frecuencias con datos agrupados en intervalos. Comprende los conceptos de representatividad y aleatoriedad de una muestra y sus efectos en conclusiones e inferencias acerca de una población determinada. Comprende que a través del modelo de Laplace es posible predecir el valor de la probabilidad de ocurrencia de un evento simple, sin realizar el experimento aleatorio. Resuelve problemas simples de probabilidades, conjetura y verifica resultados usando el modelo de Laplace y también las frecuencias relativas.

Nivel 3

Reconoce aquellas variables que aportan información relevante para resolver un problema y organiza datos en gráficos de línea, circulares y barras múltiples. Extrae información respecto de situaciones o fenómenos presentados en los gráficos anteriores y calcula medidas de tendencia central. Comprende los conceptos de población y muestra y la conveniencia de seleccionar muestras al realizar estudios para caracterizar poblaciones. Evalúa la posibilidad de ocurrencia de un evento en contextos cotidianos como posible, imposible, probable o seguro, a partir de su experiencia y la observación de regularidades en experimentos aleatorios simples. Conjetura acerca de las tendencias que se desprenden desde un gráfico, desde la lectura de medidas de tendencia central o de los resultados de un experimento aleatorio simple, justificando en base a la información disponible.

Mapa de Progreso de Datos y Azar Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Datos y Azar se desarrollan considerando cuatro dimensiones que se interrelacionan. • Procesamiento de datos. Se refiere a las habilidades para clasificar, organizar, resumir y representar datos en distintos formatos, tales como tablas y gráficos. • Interpretación de información. Se refiere a las habilidades para analizar críticamente y para obtener información a partir de datos organizados en tablas y gráficos. • Comprensión del azar. Se refiere a la comprensión y uso de un lenguaje de probabilidades, y a la habilidad para determinar la probabilidad de ocurrencia de eventos, en forma experimental y teórica, a partir de fenómenos aleatorios y el análisis de sus resultados. • Razonamiento matemático. Se refiere a la habilidad para resolver problemas, reconocer patrones, formular preguntas pertinentes y hacer conjeturas a partir de datos o situaciones en las que interviene el azar, así como a la capacidad para argumentar acerca de la validez de respuestas a las preguntas formuladas y acerca de las conjeturas propuestas.

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Nivel

Descripción

Nivel 2

Organiza datos simples relativos a situaciones o fenómenos diversos, en gráficos de barras simples. Extrae información respecto de un fenómeno o situación desde tablas y gráficos de barras simples. Saca conclusiones y verifica afirmaciones que requieren integrar los datos disponibles, o bien realiza algunas operaciones simples. Justifica dando cuenta del procedimiento utilizado.

Extraído de: Mapas de Progreso del Aprendizaje. Ministerio de Educación. Julio de 2009. www.curriculum-mineduc.cl

Para tener mayor información y ejemplos de tareas por nivel le sugerimos que ingrese a www.curriculum-mineduc.cl/curriculum/mapas-de-progreso/matematica/ Otro aspecto considerado en nuestra propuesta se refiere a las Tecnologías de Información y Comunicación (TIC). Con relación a ellas, el Ajuste Curricular postula fortalecer su presencia a través de la incorporación de las habilidades de uso de estas tecnologías como un quinto eje transversal. En ese sentido, el documento Aprendizajes K-12 funciona como un Mapa de Progreso del Aprendizaje de las TIC y es considerado al momento de formular las actividades ya que, por un lado, nos muestra lo que los alumnos y alumnas debieran ser capaces de hacer utilizando estos medios y, por otro lado, lo que se espera que logren desarrollar en un nivel determinado.

Dimensión Tecnológica Niveles

Variables

Indicadores

Utiliza y combina distintos programas como procesador Nivel 5 de texto, planillas de cálculo, 13 – 14 años plantillas de presentación, y 1º y 2º medio dispositivos periféricos, para desarrollar productos multimediales simples.

• Produce hipertextos. • Traspasa/incorpora video o sonido a presentaciones PowerPoint. • Incorpora movimiento en sus presentaciones. • Graba y edita videos.

Utiliza diversos programas como procesador de texto, planillas de cálculo y de plantillas de presentación, para escribir, editar y ordenar Nivel 4 información, exportando in11 – 12 años formación de un programa 7º y 8º básico a otro y de algunos dispositivos periféricos.

• Exporta gráficos a formato de procesador de texto. • Utiliza cámara digital. • Crea presentaciones con incorporación de movimiento en plantillas de PP. • Vincula información en las presentaciones. • Mezcla música con imágenes estáticas y en movimiento en sus presentaciones. • Utiliza corrector ortográfico.

El Mapa de Progreso de las TIC se organiza en cuatro dimensiones. • Tecnológica. Utilización de aplicaciones y generación de productos que resuelvan las necesidades de información y comunicación dentro del entorno social real/ inmediato/ próximo (no virtual). • Información. Búsqueda y acceso a información de diversas fuentes virtuales y evaluación de su pertinencia y calidad. • Comunicación. Interacción en redes virtuales de comunicación, con aportes creativos propios. • Ética. Uso responsable de la información y comunicación. Cada una de las dimensiones anteriores presenta distintos niveles, y para cada uno de ellos se describen variables e indicadores que señalan lo que los alumnos y alumnas serán capaces de realizar al finalizar ese nivel. Estos niveles, por dimensión, son:

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Utiliza diversos programas • Crea presentaciones combicomo procesador de texto, nando textos con fotografías planillas de cálculo y de o dibujos en plantillas de PP. plantillas de presentación, • Crea tablas en el procesador Nivel 3 para escribir, editar y orde texto para 9 – 10 años denar información. ordenar información. 5º y 6º básico • Ordena datos en planillas de cálculo. • Utiliza distintos tipos de gráficos (barras, torta, lineales).

Niveles

Nivel 2 7 – 8 años 3º y 4º básico

Variables Utiliza programas en forma elemental, como procesador de texto para escribir ilustrar y editar textos simples y planillas de cálculo para ordenar datos y elaborar gráficos simples.

Indicadores • Crea y guarda archivos. • Utiliza los comandos de cortar, copiar y pegar. • Chatea con sus amigos. • Compone y edita textos simples. • Usa aplicaciones gráficas para ilustrar información. • Utiliza los nombres de los componentes y capacidades del computador (teclado, mouse, funciones como guardar).

Dimensión Información Niveles

Variables

Recupera, guarda y organiza información en disNivel 5 tintos formatos, obtenida 13 – 14 años de Internet en forma 1º y 2º medio autónoma utilizando buscadores, metabuscadores y búsqueda avanzada.

Indicadores • Utiliza operadores booleanos para buscar información. • Evalúa con diversos criterios la calidad de una página web. • Sabe utilizar un tesauro. • Realiza búsquedas en metabuscadores.

Niveles

Variables

Recupera, guarda y organiza información en distintos formatos, extraída de sitios web recomendados por el profesor y navegación libre en Internet. Identifica y utiliza los criterios básicos de evaluación Nivel 4 de la información: la actua11 – 12 años lidad, autoría, pertenencia. 7º y 8º básico

Indicadores • Utiliza diversos buscadores electrónicos. • Guarda URL que le interesan. • Busca música y videos en sitios especializados. • Busca elementos que le permiten analizar la validez de la información (autor, fecha, fuente). • Busca fuentes de información en catálogos por autor, materia o título. • Identifica en los datos de la URL la relevancia e interés del sitio (extensiones). • Identifica fuentes primarias y secundarias. • Diferencia hechos de opiniones.

Recupera, guarda y orga- • Identifica palabras clave para niza información extraída buscar información. Nivel 3 de algunas fuentes off line, • Selecciona textos específicos 9 – 10 años y navegación en Internet para responder a sus preguntas. 5º y 6º básico con criterios de búsqueda definidos previamente. Recupera y guarda infor- • Identifica en forma precisa mación extraída de algula información que necesita nas fuentes off line o sitios a través de una Nivel 2 web seleccionados por pregunta específica. 7 – 8 años el profesor. • Selecciona y guarda la 3º y 4º básico información en carpetas. • Navega por un sitio web acotando las búsquedas.

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Dimensión Comunicación Niveles

Variables

Dimensión Ética Indicadores

Publica información propia • Mantiene actualizado su sitio Nivel 5 en plataformas virtuales, (blog, fotolog o página web). 13 – 14 años como blogs y retroalimenta • Inicia debates virtuales. 1º y 2º medio a otros. Participa en espacios inter- • Utiliza el control de cambios. Nivel 4 activos de sitios web, de • Participa en foros de curso. 11 – 12 años debate e intercambio de in7º y 8º básico formación y produce documentos en forma colectiva. Intercambia información a • Envía mensajes electrónicos través de herramientas de a varios destinatarios. comunicación para la gene- • Reconoce y sabe utilizar ración de documentos simlos archivos adjuntos de un Nivel 3 ples en forma colaborativa mensaje electrónico. 9 – 10 años o colectiva. • Ocupa técnicas simples para 5º y 6º básico aportar en la construcción de documentos (letras de color, subrayados). • Adjunta archivos en correo electrónico. Mantiene conversaciones • Organiza listas de direcciones virtuales en forma autónode correo electrónico. Nivel 2 ma con sus compañeros, • Se conecta a Messenger. 7 – 8 años por ejemplo, a través • Activa y desactiva su 3º y 4º básico del Chat. participación en el Chat. • Activa y desactiva a los integrantes de una sala de Chat.

Niveles

Variables

Indicadores

Conoce la regulación legal • Conoce las consecuencias lede utilización del espacio gales de interferir en la comuvirtual y las normas de senicación on line. Nivel 5 guridad de la red. (Claves, • Identifica en el contenido de 13 – 14 años pirateo, hackeo) y aplica crilas páginas mensajes discrimi1º y 2º medio terios de buenas prácticas. natorios o ilegales. • Emplea buenas maneras al usar correo electrónico (Netiquette). Cita las fuentes desde don- • No abre correos desconocidos. de ha extraído información • Borra los spam. y utiliza convenciones bi- • Cita correctamente las fuentes bliotecológicas básicas pavirtuales de información (imNivel 4 ra registrarlas. (bibliografía plica conocer nociones de pro11 – 12 años o linkografía). Discrimina y piedad intelectual, derechos 7º y 8º básico se protege de la informade autor, plagio). ción y ofertas de servicios que pueden ser perjudiciales para él/ella. Identifica la fuente desde donde es extraída la inNivel 3 formación. Autolimita el 9 – 10 años tiempo dedicado a la 5º y 6º básico navegación e intercambios virtuales.

• Se programa para limitar el tiempo de uso del computador y desarrollar otro tipo de actividades. • Declara la fuente desde donde extrae la información. • Utiliza cremillas para citar.

Identifica y aplica las normas de seguridad básicas para evitar la contamiNivel 2 nación virtual. Identifica y 7 – 8 años aplica las normas de cui3º y 4º básico dado personal y respeto por el otro en la comunicación virtual.

• Actualiza los programas antivirus. • Copias de seguridad. • No descarga software ilegales. • Elimina información innecesaria. • Utiliza la papelera de reciclaje del sistema.

Extraído de: Aprendizajes K-12. Ministerio de Educación. Agosto de 2009. http://portal.enlaces.cl

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Considerando los avances tecnológicos, el fácil acceso a Internet y los diferentes grados de confiabilidad que presentan los distintos sitios, es necesario guiar a nuestros estudiantes en el uso de estas tecnologías. A continuación, se presentan algunos criterios que le permitirán a usted y a sus alumnos y alumnas evaluar fuentes de información provenientes de sitios web.

Información sobre la Web Para evaluar si la información que se localiza en Internet es confiable, se pueden plantear tres preguntas cuando se lee una dirección web (URL): • ¿Reconoce el Nombre de Dominio? • ¿Cuál es la extensión del Nombre de Dominio? Por ejemplo: .edu: hace referencia a instituciones educativas. .gov: corresponde a sitios web de instituciones gubernamentales. • ¿La página localizada es personal? Si presentan caracteres especiales como ~, % indican que a partir de ese carácter la información corresponde a la opinión personal de una persona.

Información sobre el contenido de la página

Hipertexto Junto al Texto escolar, los y las estudiantes tendrán a su disposición el apoyo de un Hipertexto, que es un conjunto de recursos multimedia que se estructuran a partir del Texto del Estudiante y que incorporan elementos que permiten al usuario utilizar el recurso, con una secuencia de lectura dinámica, combinando imágenes fijas y en movimiento, animaciones y sonidos. Nuestra propuesta didáctica de Hipertexto se organiza en función de los momentos pedagógicos expuestos en la estructura didáctica de cada Unidad del Texto impreso: inicio, desarrollo y cierre. A partir de estos momentos se presentan diversos recursos que incluyen, entre otros: animaciones, diccionarios y enciclopedias electrónicas, actividades y mapas conceptuales interactivos, vinculados al tratamiento de los contenidos abordados en el Texto. Entre las funciones pedagógicas de estos recursos destacan: motivar y consolidar el aprendizaje, evaluar conductas de entrada, enriquecer el Texto, ejercitar y/o profundizar los contenidos y aplicarlos en contextos distintos, evaluar sumativamente y sintetizar. La propuesta didáctica que presentamos se muestra en el siguiente cuadro: Momento pedagógico

Recurso

Inicio

– Introducción: animación que motiva el aprendizaje de la Unidad. – Diagnóstico: evaluación interactiva que permite conocer los conocimientos previos de los estudiantes. – Links de apoyo: vínculos a sitios webs que enriquecen la actividad inicial de la unidad y que activan los conocimientos previos de los estudiantes.

Desarrollo

– Recursos digitales vinculados con el contenido de la Unidad y que enriquecen las actividades del Texto. – Recursos digitales que permiten ejercitar y/o profundizar los contenidos tratados en el Texto. – Recursos digitales que permiten consolidar a partir de la aplicación en un contexto distinto, los contenidos tratados en el Texto.

Cierre

– Mapa conceptual: actividad interactiva que permite sintetizar, organizar y jerarquizar los contenidos tratados en el Texto. – Autoevaluación: se presentan dos autoevaluaciones, una interactiva y otra imprimible que permitirá evaluar, en cada Unidad, el nivel de logro de sus estudiantes.

Es pertinente hacerse preguntas como las siguientes para evaluar una página web: • ¿Es útil la información para el tema sobre el que me estoy informando o que estoy investigando? • ¿En qué fecha se publicaron los contenidos?, ¿son actuales, están vigentes? • ¿Si la información publicada en la página web proviene de otras fuentes, se citan estas correctamente?

Información sobre los autores y editores Para evaluar la validez de la autoría de una página, se pueden utilizar las siguientes preguntas: • ¿En la página aparece el nombre del autor o autores? • ¿Qué información se encuentra en la Web sobre el autor? Fuente: Artículo elaborado por Eduteka con información proveniente del libro “Web Literacy for Educators”, escrito por el Dr. Alan November. Para saber más sobre este tema puede visitar www.eduteka.org/CompetenciaWeb.php

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Habilidades del pensamiento El trabajo en el aula de matemática orientado al desarrollo de habilidades es de gran importancia en el proceso de enseñanza y aprendizaje, y se basa en la necesidad de formar personas capaces de resolver problemas de la vida cotidiana y del ámbito matemático, de forma autónoma y eficaz. De esta forma, las actividades a desarrollar por los alumnos y alumnas de Octavo Año Básico, propuestas en el Texto del Estudiante y en la Guía Didáctica del Docente, buscan promover el desarrollo de estas habilidades, mediante estrategias metodológicas que propician su adquisición. Para ello, tanto en las actividades como en los ítems de evaluación diseñados han jugado un papel central las destrezas y habilidades utilizadas en el “Estudio internacional de Tendencias en Matemática y Ciencia 2003” (TIMSS), proyecto de la Asociación Internacional para la Evaluación del Rendimiento Educativo (IEA). Así, las habilidades incluidas en este Texto son las que se espera deberían manifestar los alumnos y alumnas de este curso, aunque el grado de sofisticación de esta manifestación varíe en relación con los cursos superiores o inferiores. A continuación, se presenta la descripción de las habilidades consideradas en esta propuesta, agrupadas en cuatro dominios cognitivos: Conocimiento de hechos y procedimientos, Utilización de conceptos, Resolución de problemas habituales y Razonamiento, los cuales están formados por las descripciones de las destrezas y habilidades. En general, la complejidad cognitiva aumenta desde las primeras habilidades hasta las finales del listado, permitiendo una progresión desde el conocimiento de un hecho, procedimiento o concepto hasta el uso de este conocimiento en la resolución de problemas. No obstante, esta complejidad no debe confundirse con la de la actividad o del ítem de evaluación, pues esta también depende de la interacción entre el contenido y la habilidad.

Calcular

Conocer procedimientos algorítmicos para sumar, restar, multiplicar, dividir o una combinación de estas operaciones; conocer procedimientos para aproximar números, estimar medidas, resolver ecuaciones, evaluar expresiones y fórmulas, dividir una cantidad en una razón dada, aumentar o disminuir una cantidad en un porcentaje dado. Simplificar, descomponer en factores, expandir expresiones algebraicas y numéricas; reunir términos semejantes.

Usar herramientas

Usar las matemáticas y los instrumentos de medición; leer escalas: dibujar líneas, ángulos o figuras según unas especificaciones dadas. Dadas las medidas necesarias, usar regla y compás para construir la mediatriz de una línea, la bisectriz de un ángulo, triángulos y cuadriláteros.

Utilización de conceptos

Saber

Saber que la longitud, el área y el volumen se conservan en determinadas condiciones; tener una apreciación de conceptos tales como inclusión y exclusión, generalidad, igualdad de probabilidades, representación, prueba, cardinalidad y ordinalidad, relaciones matemáticas, valor posicional de las cifras.

Clasificar

Clasificar o agrupar objetos, figuras, números, expresiones e ideas según propiedades comunes; tomar decisiones correctas con relación a la pertenencia a una clase; ordenar números y objetos según sus atributos.

Representar

Recordar

Recordar definiciones; vocabulario; unidades; hechos numéricos; propiedades de los números; propiedades de las figuras planas; convenciones matemáticas.

Representar números mediante modelos; representar información matemática de datos en diagramas, tablas, cuadros, gráficos; generar representaciones equivalentes de una entidad o relación matemática dada.

Formular

Formular problemas o soluciones que puedan ser representados por ecuaciones o expresiones dadas.

Reconocer/ Identificar

Reconocer o identificar entidades matemáticas que sean equivalentes, es decir, áreas de partes de figuras para representar fracciones, fracciones conocidas, decimales y porcentajes equivalentes; expresiones algebraicas simplificadas; figuras geométricas simples orientadas de modo diferente.

Distinguir

Distinguir preguntas que se pueden plantear con información dada, por ejemplo un conjunto de datos, de aquellas que no se pueden plantear así.

Conocimiento de hechos y procedimientos

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Resolución de problemas habituales

Seleccionar

Seleccionar o usar un método o estrategia eficiente para resolver problemas en los que haya un algoritmo o método de solución conocido, es decir, un algoritmo o método que cabría esperar que resultase conocido para los y las estudiantes. Seleccionar algoritmos, fórmulas o unidades apropiadas.

Evaluar

Discutir y evaluar críticamente una idea matemática, conjetura, estrategia de resolución de problemas, método, demostración, etcétera.

Generalizar

Extender el dominio al que son aplicables el resultado del pensamiento matemático y la resolución de problemas mediante la reexposición de resultados en términos más generales y más aplicables.

Representar

Generar una representación apropiada, por ejemplo, una ecuación o un diagrama, para resolver un problema común.

Interpretar

Interpretar representaciones matemáticas dadas (ecuaciones, diagramas, etc.); seguir y ejecutar un conjunto de instrucciones matemáticas.

Conectar

Conectar conocimientos nuevos con conocimientos existentes; hacer conexiones entre diferentes elementos de conocimiento y representaciones relacionadas; vincular ideas u objetos matemáticos relacionados.

Aplicar

Aplicar conocimientos de hechos, procedimientos y conceptos para resolver problemas matemáticos habituales (incluidos problemas de la vida real), es decir, problemas similares a los que probablemente hayan visto los y las estudiantes en clase.

Sintetizar o integrar

Combinar procedimientos matemáticos (dispares) para establecer resultados; combinar resultados para llegar a un resultado ulterior.

Verificar o comprobar

Verificar o comprobar la corrección de la solución a un problema; evaluar lo razonable que es la solución de un problema.

Resolver problemas

Resolver problemas enmarcados en contextos matemáticos o de la vida real de los que es muy poco probable que los estudiantes hayan encontrado ítems similares; aplicar procedimientos matemáticos en contextos poco conocidos.

Justificar

Proporcionar pruebas de la validez de una acción o de la verdad de un enunciado mediante referencia a propiedades o resultados matemáticos; desarrollar argumentos matemáticos para demostrar la verdad o falsedad de enunciados, dada la información relevante.

Razonamiento Formular hipótesis, conjeturar o predecir

Analizar

Hacer conjeturas adecuadas al investigar patrones, discutir ideas, proponer modelos, examinar conjuntos de conjeturas o predecir datos; especificar un resultado (número, patrón, cantidad, transformación, etcétera) que resultará de una operación o experimento antes de que se lleve a cabo. Determinar y describir o usar relaciones entre variables u objetos en situaciones matemáticas; analizar datos estadísticos univariantes; descomponer figuras geométricas para simplificar la resolución de un problema; dibujar la red de un sólido dado poco conocido; hacer inferencias válidas a partir de información dada.

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Fuente: Ina V.S. Mullis, y otros. Marcos teóricos y especificaciones de evaluación de TIMSS 2003. Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Secretaría General de Educación y Formación Profesional. Instituto Nacional de Calidad y Evaluación (INCE), Madrid, 2002.

Evaluación en Matemática La evaluación es una parte central del proceso curricular, el cual se entiende como un proceso continuo de observación, monitoreo y el establecimiento de juicios profesionales sobre el estado de aprendizaje de los alumnos y alumnas a partir de lo observado. En el proceso de evaluación están involucradas tres acciones: medición, evaluación y calificación. Medir se puede realizar de muchos modos y con diferentes niveles de estructuración. Puede ser un proceso de clasificación, o de generación de categorías a partir de la observación o la comparación de comportamientos observables con categorías o escalas conocidas. Evaluar supone la existencia de estándares o criterios para la población a la que pertenecen los y las estudiantes, con respecto a los cuales comparar los resultados de la medición y emitir un juicio acerca de la relación entre lo demostrado por el o la estudiante y el estándar o criterio seleccionado. Calificar es expresar mediante un código (generalmente un número que indica una posición en una escala dada) el resultado de ese juicio. El proceso de evaluación es parte constitutiva del proceso de enseñanza y aprendizaje, ya que es un proceso continuo que consiste en recoger información acerca de cómo se está produciendo el aprendizaje. Debe entregar al educador y al educando antecedentes objetivos acerca de cómo se produce dicho aprendizaje y qué aspectos de este no domina integralmente, y así regular y mejorar los aprendizajes de los y las estudiantes. Con los resultados obtenidos en las evaluaciones, la o el profesor crea un plan de acción que permita mejorar los resultados obtenidos, a través de actividades remediales o de reforzamiento de los contenidos. Con el fin de monitorear el proceso en su totalidad, se proponen en esta Guía la aplicación de tres instancias de evaluación: diagnóstica, formativa y sumativa.

• Evaluación formativa. Se desarrolla durante la Unidad y, dado su carácter procesal, permitirá a cada estudiante retroalimentar su desempeño, y al o la docente realizar a tiempo las modificaciones necesarias para mejorar el logro de los aprendizajes. La evaluación formativa también es considerada dentro de cada Unidad de esta Guía en la sección MI PROGRESO, en la cual se busca monitorear el proceso de aprendizaje de los contenidos que han sido trabajados. • Evaluación sumativa. Entrega información acerca del nivel de logro alcanzado respecto de los aprendizajes esperados al término de la Unidad, dando la posibilidad de reforzar los aprendizajes identificados como más débiles, a través de la aplicación de actividades remediales. Al finalizar cada Unidad de la Guía se presenta una evaluación fotocopiable de carácter sumativo, que evalúa el aprendizaje de los contenidos trabajados a lo largo de toda la Unidad. Es importante considerar que el proceso de evaluación de los aprendizajes busca determinar el potencial de aprendizaje de los y las estudiantes, la capacidad para resolver problemas y comunicar lo aprendido, conocer el tipo de razonamiento empleado, identificar los conceptos que manejan, los procedimientos que aplican y la actitud presentada frente al problema a resolver; además, permite aproximarse al estado del pensamiento matemático de los y las estudiantes. Para establecer desde dónde y cómo se ve el conocimiento matemático escolar, se parte desde una concepción en la cual se reconocen dos aspectos: el conceptual y el procedimental. El conocimiento conceptual se refiere a una serie de informaciones conectadas entre sí mediante múltiples relaciones, que constituyen lo que se denomina estructura conceptual. El conocimiento procedimental se refiere a la forma de actuación o de ejecución de tareas matemáticas que van más allá de la ejecución mecánica de algoritmos. En él se distinguen tres niveles:

• Evaluación diagnóstica. Se integra al inicio de cada Unidad, para identificar los conocimientos previos con los cuales los y las estudiantes se enfrentarán a los nuevos aprendizajes, y para detectar falencias que pudieran entorpecer el logro de aprendizajes más complejos, y poder entonces aplicar refuerzos o remediales. En esta Guía podemos encontrar esta instancia de evaluación al comienzo de cada Unidad en la sección ¿CUÁNTO SABES?

• Destrezas: en el campo de la matemática escolar se distinguen entre destrezas aritméticas, geométricas, métricas, gráficas y de representación. • Razonamiento matemático: conjunto de argumentaciones y procesos asociados que se llevan a cabo para fundamentar una idea en función de unos datos o premisas y reglas de inferencia. • Estrategias: formas de responder a una determinada situación dentro de una estructura conceptual; implica tener una gran creatividad e imaginación.

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Instrumentos de evaluación En el proceso de Evaluación es importante considerar distintos instrumentos que permitan evaluar los aprendizajes de sus alumnos y alumnas. A continuación, se presentan algunos instrumentos que puede utilizar para la evaluación del aprendizaje matemático.

Procedimientos evaluativos

Propósitos

Informes, críticas, artículos

Para juzgar nivel de conocimientos y para evaluar habilidades de análisis y de expresión escrita sobre asuntos varios, p. ej. de actualidad.

Trabajo realizado o proyecto de trabajo

Para comprobar la calidad del trabajo, su relevancia en función del propósito, la originalidad de la producción. (A menudo se combina con la entrevista o con la prueba oral).

Carpeta

Para validar el aprendizaje del alumno a través de un conjunto de materiales que reflejen sus progresos. Incluye su trabajo, sus reflexiones sobre su propia práctica y evidencias de otras personas calificadas para hacer comentarios.

Procedimientos evaluativos El procedimiento de evaluación más utilizado son las pruebas; sin embargo, no es el único existente. A continuación le presentamos otros procedimientos evaluativos complementarios a las pruebas y su posible uso. Procedimientos evaluativos

Propósitos

Ensayo

Para comprobar la calidad de la expresión escrita, uso de referencias, la habilidad para desarrollar un argumento coherente, la comprensión y transferencia del conocimiento y la evaluación crítica de ideas.

Observación espontánea o estructurada

Para recabar información sobre el ámbito afectivo-valórico, para juzgar desempeños tales como expresión oral, creación plástica, manipulación en laboratorio, y en general, para evaluar la forma en que el alumno actúa mientras desarrolla su aprendizaje.

Entrevista espontánea o estructurada

Para examinar con el alumno el trabajo realizado, para aclarar asuntos que surgen de documentos o revisar la profundidad y amplitud del aprendizaje, para evaluar la aplicación de estrategias a una tarea de aprendizaje.

Desempeño

Para evaluar aplicaciones de la teoría en un contexto estructurado (puede ser en un ambiente simulado, en el taller, el laboratorio). Para verificar capacidades o habilidades (ej. de resolución de problemas), aplicación de conocimientos y habilidades.

Presentación

Para verificar la capacidad de presentar información atendiendo a la audiencia y al tema. Para comprobar comprensión del tema.

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Extraído de: La evaluación en el nuevo currículo: equívocos y equilibrios. Documento de Trabajo: Unidad de Currículum y Evaluación. Ministerio de Educación. Santiago, 2002. www.rmm.cl/biblio/doc/200403101109420.uce.doc

Es importante mencionar que todo procedimiento o instrumento de evaluación será valido si es coherente con los tipos de aprendizajes que busca evaluar, los conocimientos y habilidades que involucran los OF/CMO y los aprendizajes esperados que el docente haya seleccionado. En el proceso de evaluación es importante considerar instrumentos que permitan evaluar el desempeño de los alumnos y alumnas, y que a la vez no solo se enfoquen en que el resultado sea el correcto, sino también en el proceso que se utiliza. A continuación, se presentan algunas rúbricas con criterios específicos y fundamentales que permiten averiguar cómo está aprendiendo el o la estudiante.

Rúbricas para mapas conceptuales Indicadores

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Conceptos y terminología

Muestra un entendimiento del concepto o principio matemático y una notación y una terminología adecuada.

Comete algunos errores en la terminología empleada y muestra algunos vacíos en el entendimiento del concepto o principio.

Comete muchos errores en la terminología y muestra vacíos conceptuales profundos.

Conocimiento de las relaciones entre conceptos

Construye un mapa conceptual apropiado y completo, incluyendo ejemplos, colocando los conceptos en jerarquías y conexiones adecuadas y colocando relaciones en todas las conexiones, dando como resultado final un mapa que es fácil de interpretar.

Coloca la mayoría de los conceptos en una jerarquía adecuada, estableciendo relaciones apropiadas la mayoría de las veces, dando como resultado un mapa fácil de interpretar.

Coloca solo unos pocos conceptos en una jerarquía apropiada y usa solo unas pocas relaciones entre los conceptos, dando como resultado un mapa difícil de interpretar.

Habilidad para comunicar conceptos a través del mapa conceptual

Identifica todos los conceptos importantes y demuestra un conocimiento de las relaciones entre estos.

Identifica importantes conceptos, pero realiza algunas conexiones erradas.

Realiza muchas conexiones erradas.

Rúbricas para trabajos escritos Indicadores

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Ideas y contenido

El escrito es claro, enfocado e interesante. Mantiene la atención del lector. El tema o historia central se enriquece con anécdotas y detalles relevantes.

El escrito es claro y enfocado; sin embargo, el resultado general puede no captar la atención. Hay un intento por sustentarlo, pero puede ser limitado, irreal o muy general.

El escrito carece de una idea o propósito central. El lector se ve forzado a hacer inferencias basándose en detalles muy incompletos.

Organización

La organización resalta y focaliza la idea o tema central. El orden, la estructura o la presentación comprometen y mueven al lector a lo largo del texto.

El lector puede inferir lo que va a suceder en la historia, pero, en general, la organización puede ser, en algunos casos, inefectiva o muy obvia.

La organización es casual y desarticulada. La escritura carece de dirección, con ideas, detalles o eventos que se encadenan unos con otros, atropelladamente.

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Voz

Elección de palabras

Fluidez en las oraciones

Convenciones

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

El escritor habla directamente al lector en forma directa, expresiva y que lo compromete con el relato. El escritor se involucra abiertamente con el texto y lo escribe para ser leído.

El escritor parece sincero, pero no está completamente involucrado en el tema. El resultado es ameno, aceptable y a veces directo, pero no compromete.

El escritor parece completamente indiferente, no involucrado o desapasionado. Como resultado, la escritura es plana, sin vida, rígida o mecánica. Y, dependiendo del tema, resulta abiertamente técnica o incoherente.

Las palabras transmiten el mensaje propuesto en forma interesante, natural y precisa. La escritura es completa y rica, pero concisa.

El lenguaje es totalmente corriente, pero transmite el mensaje. Es funcional, aunque carece de efectividad. Frecuentemente, el escritor decide por comodidad o facilidad de manejo, producir una especie de “documento genérico”, colmado de frases y palabras familiares.

El escritor hace esfuerzos con un vocabulario limitado, buscando a ciegas las palabras que transmitan el significado. Frecuentemente, el lenguaje es tan vago y abstracto o tan redundante y carente de detalles que solamente el mensaje más amplio y general llega a la audiencia.

La escritura fluye fácilmente y tiene buen ritmo cuando se lee en voz alta. Las oraciones están bien construidas, son muy coherentes y la estructura variada hace que, al leerlas, sean expresivas y agradables.

Las oraciones tienden a ser más mecánicas que fluidas. El texto se desliza eficientemente durante la mayor parte del escrito, aunque puede carecer de ritmo o gracia, tendiendo a ser más ameno que musical. Ocasionalmente, las construcciones inadecuadas hacen lenta la lectura.

El escrito es difícil de seguir o de leer en voz alta. Las oraciones tienden a estar cortadas, incompletas, inconexas, irregulares o muy toscas.

El escritor demuestra una buena comprensión de los estándares y convenciones de la escritura (gramática, puntuación, utilización adecuada del lenguaje, ortografía) y los usa efectivamente para mejorar la facilidad de lectura. Los errores tienden a ser muy pocos y de menor importancia.

Hay errores en las convenciones para escribir que, si bien no son demasiados, perjudican la facilidad de lectura. Aun cuando los errores no bloquean el significado, tienden a distraer.

Hay numerosos y repetidos errores en la utilización adecuada del lenguaje, en la estructura de las oraciones, en la ortografía o la puntuación que distraen al lector y hacen el texto difícil de leer. De hecho, la gravedad y frecuencia de los errores tiende a ser tan notoria que el lector encontrará mucha dificultad para concentrarse en el mensaje y deberá releerlo para entender.

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Rúbricas para presentaciones orales Logrado

Por lograr

Cumplido en la presentación de los resúmenes aprovecha el tiempo para aclaraciones.

Presenta el resumen y la actividad planeada sucintamente.

Sustentación teórica

Domina el tema propuesto, logra conectarlo y explicarlo en sus diferentes aspectos. La evaluación logra analizar el tema.

Logra explicar el tema, relacionando los diferentes aspectos de éste. La evaluación tiene en cuenta los diversos aspectos presentados.

Conoce el tema superficialmente, logra explicar los puntos planteados. La actividad de evaluación es poco adecuada.

Manejo de la discusión

Bien liderada, suscita controversia y participación.

Es organizada; puede contestar los diferentes interrogantes.

La dirige, no resalta los puntos más importantes, no llega a conclusiones.

Participación

Pertinente. Activa; es fundamental para el buen desarrollo de cada uno de los temas.

Oportuna, aporta buenos elementos, presta atención a las distintas participaciones.

Está presente. Presta poca atención a las distintas participaciones.

Preparación

Buen proceso de preparación, muestra profundidad en el desarrollo del tema.

Medianamente logrado

Extraído de: Matriz de Valoración en www.eduteka.org

Formulación

Pauta de proyectos realizados por estudiantes

Bien

Mal

Necesita mejorar

Usa ideas propias o reformula en forma original las ideas de otros para orientar su investigación. Plantea en forma clara el problema a investigar. Formula una secuencia de pasos a seguir para orientar su investigación (plan de trabajo).

Desarrollo

Utiliza distintas fuentes de información y de consulta (incluido el profesor).

Presentación de resultados

Se plantea metas parciales a lograr en el tiempo.

Realiza voluntariamente una exposición oral al resto de la clase para presentar los resultados de su investigación.

Discute con otros compañeros y compañeras acerca de los avances de su investigación. Presenta avances parciales de su trabajo.

Presenta un informe escrito de acuerdo con los términos de referencia del proyecto. Usa un lenguaje claro y adecuado para presentar los resultados de su trabajo. Usa figuras, tablas y diagramas que ayudan a la claridad de la información presentada. Establece conclusiones apropiadas válidas, acordes con el problema investigado y con los objetivos planteados. Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/evaluacion.htm

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Razonamiento matemático y Resolución de problemas En la interacción con el entorno y con los otros, las personas nos enfrentamos diariamente a situaciones problemáticas necesarias de ser resueltas de la manera más óptima. En la búsqueda de estas soluciones interactúan la experiencia, la creatividad y, por supuesto, las capacidades de cada individuo. Al resolver un problema determinado se aprende también cómo actuar frente a nuevas situaciones o que impliquen un desafío. Consideraremos la resolución de problemas como una modalidad didáctica en la que el o la docente genera situaciones para que los alumnos y alumnas puedan explorar conceptos, aprender acerca de procedimientos, argumentar, analizar y/o generar aplicaciones, investigar y, en general, construir conceptos, aprender procedimientos, algoritmos u otros tópicos matemáticos. Esto se traduce en diferentes situaciones didácticas en las que el y la estudiante, interactuando con desafíos especialmente diseñados, en un ambiente cooperativo y estimulante, busca soluciones, explicaciones o distinciones. Algunas de estas situaciones pueden ser: • Explorar una situación problema con el objeto de acercarse a un concepto o generar procedimientos para buscar y reconocer una solución. • Analizar una situación problema insuficientemente definida con el objeto de aprender acerca del enunciado de un problema y/o con el objeto que formule preguntas. • Investigar una situación con el objeto de reunir y sistematizar información que involucre el uso de modelos matemáticos. En nuestra propuesta, el trabajo de Razonamiento matemático y Resolución de problemas es transversal al desarrollo de todos los contenidos y considera cinco componentes interconectados: conceptos, habilidades, procesos, actitudes y metacognición. • Conceptos: se refiere al conocimiento matemático básico, necesario para resolver problemas matemáticos. • Habilidades: son las aptitudes que se espera que los y las estudiantes sean capaces de desarrollar en cada contenido. • Procesos: apunta al razonamiento y la heurística involucrados en la resolución de problemas matemáticos. • Actitudes: se refiere a los aspectos afectivos del aprendizaje de la Matemática. • Metacognición: consiste en la habilidad de monitorear el proceso de pensamiento propio durante la resolución de problemas. 24

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Polya propone un modelo para resolver situaciones problema, en un plan que consiste en cuatro pasos. 1. Comprender un problema: identifica, analiza e interpreta los datos disponibles dentro del contexto del problema. ¿Puedes replantear el problema con tus propias palabras?, ¿cuál es la pregunta del problema?, ¿qué datos te entrega el problema?, ¿sabes a qué quieres llegar?, ¿son suficientes los datos que te entregan para resolver el problema?, ¿hay datos que no son necesarios para resolver el problema? 2. Crear un plan: encuentra las conexiones entre los datos y la incógnita o lo desconocido. ¿Qué puedo hacer con los datos que tengo para responder correctamente la pregunta? 3. Poner en práctica un plan: ejecuta lo planificado. Implementar la o las estrategias escogidas hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción sugiera tomar un nuevo curso. Al desarrollar tu plan verifica cada uno de los pasos. ¿Puedes estar seguro de que cada uno está correcto?, ¿puedes demostrar (o argumentar) que está correcto? 4. Examinar lo hecho: examina la solución obtenida. ¿Puedes comprobar la respuesta?, ¿puedes comprobar los argumentos?, ¿puedes obtener el resultado por un camino diferente?, ¿puedes “ver” la respuesta de una sola mirada?, ¿puedes usar el resultado o el procedimiento para resolver otro problema? Considerando las etapas de la propuesta de Polya, se han diseñado actividades a través de las cuales los y las estudiantes pueden identificar cada uno de los pasos descritos. En la sección BUSCANDO ESTRATEGIAS (del Texto del Estudiante) se plantean problemas en contextos cercanos y familiares a los alumnos y alumnas, con el objetivo de que sean recepcionados por ellos y ellas como un desafío y los estimule a utilizar todos los recursos de los cuales dispongan. Además, se determina una estructura clara de los pasos a seguir para resolverlos. Para evaluar la resolución de problemas, se propone la siguiente tabla, que especifica los indicadores de logro de acuerdo con cada etapa de la Resolución de problemas.

No comprende

Comprensión del problema o de la situación

Comprensión de conceptos

Medición (longitud, masa, capacidad)

En proceso, logro parcial

Logro, aplicación

• No intenta entender el problema. • Entiende mal el problema. • Como rutina, pide explicaciones.

• Copia el problema. • Identifica palabras clave. • Puede que malinterprete parte del problema. • Puede que tenga alguna idea acerca del problema.

• Puede expresar en sus propias palabras o interpretar coherentemente el problema. • Comprende las condiciones principales. • Elimina la información innecesaria. • Tiene una idea acerca de la respuesta.

• No modela los conceptos rutinarios correctamente. • No puede explicar el concepto. • No intenta resolver el problema. • No hace conexiones.

• Demuestra un entendimiento parcial o satisfactorio. • Puede encontrar y explicar usando una variedad de modos. • Está listo para hacer conexiones acerca de cómo y por qué. • Relaciona el concepto con conocimiento y experiencias anteriores. • Puede crear problemas relacionados. • Realiza las tareas cada vez con menos errores.

• Aplica correctamente reglas o algoritmos cuando usa símbolos. • Conecta cómo y por qué. • Aplica el concepto a problemas o situaciones nuevas. • Hace y explica conexiones. • Realiza lo pedido y va más allá.

• Hace comparaciones directas entre objetos. • No puede ordenar objetos de acuerdo a su medida. • No distingue diferencias entre distintas unidades de medida.

• Puede ordenar y comparar usando

• Puede estimar y medir usando unidades estándares. • Puede utilizar incrementos fraccionarios para medir. • Puede resolver problemas relacionados.

• Hace conjeturas poco realistas. • No usa estrategias para refinar la estimación. • No puede modelar o explicar la estrategia especificada. • No puede aplicar estrategias unidas a explicaciones.

• Refina conjeturas o estimaciones

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unidades no estándares. • Puede estimar y medir usando unidades no estándares. • Puede resolver algunos problemas relacionados con medida.

mediante particiones/comparaciones. • Puede modelar, explicar y aplicar una estrategia cuando le preguntan. • Demuestra poseer estrategias; otras, le faltan. • Usa estimación cuando es apropiado.

• Refina conjeturas o estimaciones mediante particiones, comparaciones. • Puede modelar, explicar y aplicar una estrategia cuando le preguntan. • Demuestra poseer estrategias; otras, le faltan. • Usa estimación cuando es apropiado.

No comprende Verificación de resultados y/o progresos

En proceso, logro parcial

• No revisa cálculos ni procedimientos. • No reconoce si su respuesta es o no razonable.

Logro, aplicación

• Revisa cálculos y procedimientos. • Puede investigar razones si existen dudas.

• Chequea racionalidad de los resultados. • Reconoce sinrazones.

Recolección y organización de datos

• No hace planteamientos. • No puede proceder sin instrucciones ni asistencia. • Comete graves errores al recolectar o mostrar datos.

• Puede recolectar y desplegar datos, dada una forma de registrarlos. • Tiene errores menores al recolectar y desplegar datos. • Puede corregir errores en momentos críticos.

• Puede recolectar y desplegar en forma organizada. • Clasifica en forma exacta y apropiada.

Interpretación y síntesis de resultados

• No hace planteamientos para resumir y describir datos. • Puede responder preguntas simples relacionadas con los datos, si es requerido. • No puede comunicar resultados en forma rudimentaria.

• Resume y describe datos apropiadamente. • Puede generar una respuesta a una pregunta relacionada con los datos. • Puede comunicar resultados en forma rudimentaria.

• Expresa conclusiones e interpretaciones válidas. • Hace generalizaciones. • Comunica resultados en forma clara y lógica.

Aplicación de conceptos, procedimientos y estrategias

• No lo intenta. • Se apoya en otros para seleccionar y aplicar estrategias. • Su trabajo no es comprensible. • No puede explicar su trabajo o estrategia adecuadamente. • Selecciona estrategias inadecuadas. • Su implementación no es lógica ni ordenada.

• • • • •

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Usa estrategias si se lo piden. Reconoce estrategias. Puede explicar estrategias. Usa un limitado número de estrategias. Puede seleccionar una estrategia, pero necesita ayuda en su implementación. • Puede presentar su trabajo en una forma aceptable.

Genera nuevos procedimientos. Extiende o modifica la estrategia. Conoce o usa diversas estrategias. Usa estrategias en forma flexible. Reconoce cuando una estrategia es aplicable. • Presenta su trabajo en forma lógica y coherente.

Disposiciones (valores, actitudes)

Generalización y conexiones

• • • •

No comprende

En proceso, logro parcial

Demuestra ansiedad o disgusto. Se retira o es pasivo durante la clase. Cede fácilmente y se frustra en la clase. Necesita un apoyo frecuente, atención y retroalimentación.

• Se aplica a la tarea. • Participa activamente en las actividades de aprendizaje. • Está dispuesto a intentar nuevos métodos. • Responde si le preguntan, pero puede que no tome la iniciativa.

• Demuestra confianza en su trabajo. • Es persistente cuando intenta varios enfoques. • No se da por vencido. • Es curioso, muestra flexibilidad. • Hace muchas preguntas.

• Puede reconocer problemas o aplicaciones similares. • Hace conexiones.

• Propone y explora conexiones. • Puede crear problemas paralelos variando las condiciones del problema original. • Puede aplicar ideas en nuevas aplicaciones.

• No intenta hacer conexiones. • No hace conexiones. • No puede extender ideas en nuevas aplicaciones. • Hace el mínimo esperado.

Logro, aplicación

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm Fuentes consultadas: • Chamorro, C. (1991). El aprendizaje significativo en el área de matemáticas. Madrid: Alambra Longmam. • Sternberg, R., Spears-Swerling, L. (1996). “La comprensión de los principios básicos y de las dificultades de enseñar a pensar”, en: Teaching for thinking, trad. de R. Llavori. Enseñar a pensar. Madrid: Santillana.

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Estructura del Texto del Estudiante En la estructura del Texto del Estudiante se muestran las diferentes páginas y secciones que componen cada Unidad, con su respectiva descripción, distinguiéndose en su estructura didáctica los tres momentos pedagógicos presentes en ellas (inicio, desarrollo y cierre). • En las páginas de inicio se explicitan los aprendizajes que se espera que logren los y las estudiantes con el desarrollo de la Unidad; además, se presentan actividades de motivación y activación de experiencias y conocimientos previos, junto con una evaluación diagnóstica que le permitirá conocer los conocimientos que tienen sus alumnos y alumnas y que serán el punto de partida para el trabajo de la Unidad.

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• Las páginas de desarrollo incluyen variadas actividades de exploración, construcción y aplicación de los contenidos; algunas para desarrollarlas en forma individual, otras para comentar y discutir, y otras para realizar con metodología de trabajo colaborativo. En estas páginas se destacan las ideas o conceptos fundamentales a través de una formalización.

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Además, las páginas de desarrollo contienen secciones que permitirán que sus estudiantes aprendan estrategias de cálculo mental y otras en que deberán utilizar herramientas tecnológicas como calculadora y computador. También presentan páginas con actividades específicas para la resolución de problemas, que, a pesar de que se trabajen transversalmente, acá se muestran estrategias específicas para que los y las estudiantes las aprendan y apliquen en otras situaciones. Las evaluaciones formativas que aquí se presentan le permitirán obtener información sobre el proceso de aprendizaje de sus estudiantes.

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• En las páginas de cierre se presentan actividades de consolidación a partir de una noticia de actualidad y de síntesis, y finalizan con una evaluación sumativa que integra los contenidos tratados a lo largo de la Unidad e incluye una autoevaluación que permite que los y las estudiantes sean conscientes del logro de sus aprendizajes y que reflexionen sobre cómo aprenden, las dificultades que encontraron y cómo las superaron. Además, encontrarán talleres de evaluación propuestos para el cierre de cada semestre, en los que se plantean actividades que integran contenidos trabajados en las Unidades desarrolladas. Para facilitar el aprendizaje y el trabajo con el Texto, se espera que los alumnos y alumnas logren distinguir con claridad estas páginas y secciones, para lo cual es conveniente que, antes de iniciar el trabajo en las Unidades del Texto, revise con ellos y ellas esta organización, deteniéndose en cada una de las páginas y secciones correspondientes y realizando preguntas que le permitan verificar la comprensión de sus estudiantes respecto del tipo de información que encontrarán en cada tipo de página y sección.

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Índice del Texto del Estudiante El índice del Texto permite distinguir las Unidades en que se encuentra dividido este y los contenidos que se trabajan en cada una de ellas. En cada Unidad es posible observar que hay páginas agrupadas por colores; estas corresponden a las evaluaciones que se presentan en la Unidad.

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Es conveniente revisar este índice con los alumnos y alumnas, de modo que logren visualizar las diferentes Unidades que trabajarán a lo largo del año escolar y cómo estas incorporan diferentes instancias de aprendizaje y evaluación. Para ello, puede pedirles que formulen preguntas que se puedan responder a partir de la información que entrega el índice, y las compartan con sus compañeros y compañeras.

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Números enteros

Unidad

PROPÓSITO DE LA UNIDAD

ESQUEMA DE LA UNIDAD

En esta Unidad se plantean distintas actividades que promueven el logro de estrategias mentales, sistematización de procedimientos, definición y aplicación de algoritmos para multiplicar y dividir números enteros. También se utilizan herramientas tecnológicas que permiten a los y las estudiantes resolver de forma eficaz diferentes tipos de problemas. Durante el desarrollo de la Unidad, se pretende que el alumno o alumna analice y comprenda diversas situaciones que se presentan a su alrededor, reconociendo la utilidad de los números enteros y, con ello, la necesidad de definir y aplicar diversas estrategias para la resolución de problemas, ya sea de la vida cotidiana o del ámbito matemático, en que estén involucradas la adición, sustracción, multiplicación y división de números enteros.

Números enteros

Operatoria

Adición

Sustracción

Multiplicación

aplicaciones en

División

aplicaciones en se debe respetar

Al final de la Unidad, aparece una evaluación en que el alumno o alumna podrá poner a prueba sus conocimientos y así saber cuánto es lo que aprendió, cuáles fueron sus errores y cómo superarlos.

La prioridad de las operaciones en el cálculo que involucra

Operaciones combinadas

Resolución de problemas

Situaciones del mundo real

pueden involucrar

por ejemplo, en

Ganancias y pérdidas de dinero 34

Unidad 1 – Números enteros

Temperaturas (bajo y sobre 0)

Distancias (bajo y sobre el nivel del mar)

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RELACIÓN ENTRE LOS CMO TRATADOS EN LA UNIDAD Y LOS DE OTROS AÑOS 7º básico

8º básico

1º medio

2º medio

Interpretación de las operaciones de adición y sustracción en el ámbito de los números enteros, empleo de procedimientos de cálculo de dichas operaciones, argumentación en torno al uso del neutro e inverso aditivo y su aplicación en la resolución de problemas.

Empleo de procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por un número entero negativo y extensión de dichos procedimientos a la multiplicación de números enteros.

Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar el conjunto de los números enteros al conjunto de los números racionales y caracterización de estos últimos.

Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar los números racionales a los números reales, reconocimiento de algunas de las propiedades de los números y de las operaciones y su uso para resolver diversos problemas.

Extensión del algoritmo de la división de números naturales a la división de números enteros. Discusión y aplicación de dicho algoritmo.

Sistematización de procedimientos de cálculo escrito y con ayuda de herramientas tecnológicas de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con números racionales y su aplicación en la resolución de problemas.

Resolución de problemas en contextos diversos y significativos en los que se utilizan adiciones y sustracciones con números enteros, […], enfatizando en aspectos relativos al análisis de las estrategias de resolución, la evaluación de la validez de dichas estrategias en relación con la pregunta, los datos y el contexto del problema.

Resolución de problemas en contextos diversos y significativos que involucran las 4 operaciones aritméticas con números enteros, […], enfatizando en el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.

Resolución de problemas en contextos diversos que involucran números racionales […], enfatizando el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.

Unidad 1 – Números enteros

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PROPUESTA DE PLANIFICACIÓN DE LA UNIDAD

CMO Empleo de procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por un número entero negativo y extensión de dichos procedimientos a la multiplicación de números enteros.

Contenidos

Aprendizajes esperados

• Determinar y emplear Multiplicación de un procedimientos para número natural por un multiplicar un número número entero negativo. natural por un número entero negativo. Multiplicación de números enteros.

Extensión del División exacta de algoritmo de la división números enteros. de números naturales a la división de números enteros. Discusión y aplicación de dicho algoritmo.

División inexacta de números enteros.

• Ampliar los procedimientos de cálculo para multiplicar números enteros. • Emplear procedimientos de cálculo en divisiones exactas de números enteros. • Analizar la validez de los resultados obtenidos en divisiones exactas de números enteros. • Ampliar el algoritmo de la división de números naturales a la división de números enteros. • Aplicar el algoritmo de la división de números enteros.

Actividades asociadas En el Texto De exploración: páginas 14, 16 y 18. De construcción de conceptos: páginas 15, 17, 19 y 20. De consolidación: página 32. En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 47, 49, 51, 54, 72 y 73. De profundización: páginas 47, 49, 51, 54 y 73.

Indicadores de evaluación • Calculan el producto de números enteros. • Calculan el cociente de dos números enteros.

Tiempo estimado: 5 a 6 semanas Tipos de Recursos evaluación didácticos Diagnóstica: • Lápices de páginas 12 y 13 colores. del Texto del • Tabla de Estudiante. datos.

• Aplican el algoritmo de Formativa: la división de números en- páginas 21 y 29 teros en divisiones exactas. del Texto del Estudiante. • Resuelven problemas que involucran multiplicación Sumativa: y división de páginas 34 y 35 números enteros. del Texto del Estudiante, y 76 y 77 de la Guía Didáctica del Docente.

• Pirámide con números enteros. • 6 tarjetas azules y 6 tarjetas rojas. • Una moneda. • Un plumón. • Computador con planilla de cálculo.

En el Texto De exploración: páginas 22 y 24. De construcción de conceptos: páginas 23, 25, 26 y 27. De consolidación: página 32. En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 57, 61, 64, 72 y 73.

• Aplican el algoritmo de la división de números enteros en divisiones inexactas. • Calculan operaciones combinadas con números enteros. • Resuelven problemas que involucran las 4 operaciones con números enteros.

De profundización: páginas 57, 61, 64, 65 y 73. 36

Unidad 1 – Números enteros

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CMO

Contenidos

Aprendizajes esperados

Operaciones combinadas. • Determinar y aplicar estrategias para Resolución de calcular operaciones problemas en combinadas con contextos diversos y números enteros. significativos que • Resolver problemas involucran las 4 operaque involucran las ciones aritméticas con 4 operaciones números enteros, […], aritméticas con enfatizando en el números enteros. análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos. • Aplicar habilidades Buscando estrategias. básicas del proceso de resolución de problemas en contextos diversos. • Analizar la validez de los procedimientos utilizados y de los resultados obtenidos.

Unidad 1 – Números enteros

Actividades asociadas

En el Texto De exploración: página 30. De construcción de conceptos: página 31. De consolidación: página 32.

Indicadores de evaluación

Tipos de evaluación

Recursos didácticos

• Resuelven problemas que involucran las 4 operaciones con números enteros empleando diversas estrategias.

En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 67, 72 y 73. De profundización: páginas 67 y 73.

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ERRORES FRECUENTES Errores frecuentes En la multiplicación de números enteros se pueden presentar los siguientes inconvenientes: • En la multiplicación de números enteros, el alumno o alumna resuelve la multiplicación sin considerar el signo de los factores, ignorándolo completamente. • En la multiplicación de números enteros negativos, los y las estudiantes resuelven la multiplicación, manteniendo el signo de los factores, confundiéndolo con los procedimientos de la adición. • En la multiplicación de números enteros de distinto signo, los y las estudiantes resuelven la multiplicación, manteniendo el signo del número mayor, confundiéndolo con los procedimientos de la adición.

En la división de números enteros es posible encontrar los siguientes inconvenientes: • En la división de números enteros, los y las estudiantes resuelven la división sin considerar el signo del dividendo y divisor. • En la división de números enteros negativos, los y las estudiantes resuelven la división, manteniendo el signo del dividendo o divisor, confundiéndolo con los procedimientos de la adición. • En la división de números enteros de distinto signo, los y las estudiantes resuelven la división, manteniendo el signo del número mayor, confundiéndolo con los procedimientos de la adición. • En la aplicación del algoritmo de la división de números enteros, los y las estudiantes olvidan que el resto debe ser positivo. En las operaciones combinadas de números enteros, pueden aparecer las siguientes dificultades: • En las operaciones combinadas de números enteros, los y las estudiantes ignoran la prioridad de las operaciones. • En las multipliaciones y divisiones combinadas, los y las estudiantes resuelven primero las multiplicaciones, no considerando el orden en que aparecen dichas operaciones. • En la operatoria combinada de números enteros, en que sí aparece paréntesis, los y las estudiantes olvidan resolver primero el paréntesis.

Unidad 1 – Números enteros

Cómo subsanarlos • A través de la evaluación diagnóstica podrá conocer los conocimientos y experiencias previas de los y las estudiantes. Si los conocimientos no son suficientes, es importante clarificar las dudas y errores conceptuales que presenten, ya que pueden provocar dificultades en el aprendizaje de los contenidos de la Unidad. • Es conveniente recordar la multiplicación de números naturales como adición de sumandos iguales. • Comparar, de forma paralela, los distintos procedimientos de cálculo empleados para resolver adiciones y multiplicaciones de números enteros. • Usar colores para diferenciar adiciones y multiplicaciones. Ejemplo: (–4) + (–7) = –11 (–4) • (–7) = 28 • Plantear actividades en que los alumnos y alumnas tengan que identificar los errores cometidos en ejercicios resueltos y explicar por qué es incorrecto, así como también argumentar cuando crean que están correctos. • Comparar de forma paralela, los distintos procedimientos de cálculo empleados para resolver adiciones y divisiones de números enteros. • Usar colores para diferenciar adiciones y divisiones. Ejemplo: 24 + (–3) = 21 24 : (–3) = –8 • Plantear actividades en que los alumnos y alumnas tengan que identificar los errores cometidos en ejercicios resueltos y explicar por qué es incorrecto, así como también argumentar cuando crea que están correctos. • Es conveniente aplicar el algoritmo de la división de números naturales en divisiones con resto mayor que cero, previo a la extensión del algoritmo para números enteros.

• Enmarcar con colores la prioridad de las operaciones. • Destacar la presencia de un paréntesis. • Desarrollar un cuadro de procedimientos, en el cual se especifique de acuerdo al ejercicio, cuál es el primer paso, después el segundo paso a seguir etc., hasta obtener el resultado final. • Fomentar la utilización de la prioridad de las operaciones, tanto dentro como fuera de un paréntesis. • Plantear actividades en que los y las estudiantes tengan que identificar los errores cometidos en ejercicios resueltos y realizar el correcto desarrollo de ellos, argumentando cada paso. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

En la resolución de problemas, se pueden presentar los siguientes inconvenientes: • • • • •

• Promover la resolución de problemas utilizando los pasos: comprender, planificar, resolver, responder y revisar. De este modo, los y las estudiantes identificarán los Los y las estudiantes tienen dificultades de comprensión lectora, impidiendo una datos disponibles, lo que deben encontrar, la estrategia a utilizar, así como buena interpretación y su posterior resolución. responder y analizar la veracidad de la solución. Entregar solo una respuesta numérica, sin incluir la respuesta al problema planteado. • Plantear actividades en que los y las estudiantes tengan que identificar, en el Utilización incorrecta de los datos entregados en el problema. problema resuelto, cada uno de los pasos de la estrategia propuesta. En problemas que involucran más de una operación, los y las estudiantes confunden las operaciones que permiten resolver el problema. Los y las estudiantes olvidan analizar las soluciones obtenidas en problemas.

REFERENCIAS TEÓRICAS Y CONSIDERACIONES SOBRE ALGUNOS CONTENIDOS La Matemática ofrece una diversidad de procedimientos que permiten el análisis, modelación, cálculo, medición y estimación del mundo natural y social, permitiendo relacionar los más diversos aspectos de la realidad. El aprendizaje de esta ciencia ayuda a enriquecer la comprensión de la realidad, facilita la selección de estrategias para resolver problemas y contribuye al desarrollo del pensamiento crítico y autónomo. Es por ello que los números han sido un tema fundamental. Uno de los conjuntos numéricos que se estudian durante este período corresponden a los números enteros, en particular la multiplicación y división, así como también la resolución de problemas en diversos contextos que involucran las cuatro operaciones aritméticas con dicho conjunto. A continuación se presentan algunas referencias teóricas acerca del conjunto de los números enteros: • El conjunto de los números enteros ( ) está formado por: - Los números enteros positivos ( +): 1, 2, 3, … - El cero: 0. - Los números enteros negativos ( –): –1, –2, –3, … - El conjunto de los números enteros se denota por: = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ....} • El conjunto de los números enteros es un conjunto ordenado, infinito y sin primer elemento. • En el conjunto de los números enteros se pueden definir las mismas relaciones de orden que en los números naturales: menor que, mayor que o igual que. Es

Unidad 1 – Números enteros

así que dado dos números enteros cualesquiera, siempre hay uno menor y otro mayor, salvo que ambos números sean iguales. • Los números enteros se representan de forma ordenada en la recta numérica, como se observa: –4

–3

–2

–1

• La distancia que hay entre un número entero y el cero la representaremos a través del valor absoluto. El valor absoluto de un número a se representa por a . Ejemplo: 3 = 3, pues representa tres unidades de distancia al cero. –3 = 3, pues representa tres unidades de distancia al cero. Algunas propiedades del valor absoluto de dos números enteros a, b, son: - a•b = a

•

- –a = a -

a a = ;b≠0 b b

- a 2 = a2

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

• Propiedades en los números enteros Las propiedades de la adición y la multiplicación sobre son: Operaciones

Adición

Multiplicación

Clausura

Al sumar dos números enteros, su resultado también será un número entero. ∀ a ∈ y ∀ b ∈ , a + b = c, con c ∈ .

Al multiplicar dos números enteros, su producto también será un número entero. ∀ a ∈ y ∀ b ∈ , a • b = c, con c ∈

Conmutatividad

∀ a ∈ y ∀ b ∈ , a+b=b+a

∀ a ∈ y ∀ b ∈ , a•b=b•a

Asociatividad

∀ a ∈ , ∀ b ∈ y c ∈ (a + b) + c = a + (b + c)

∀ a ∈ , ∀ b ∈ y c ∈ (a • b) • c = a • (b • c)

Elemento neutro

∀ a ∈ , ∃ 0 ∈ , tal que a + 0 = 0 + a = a

∀ a ∈ , ∃ 1 ∈ , tal que a • 1 = 1 • a = a

Elemento inverso

∀ a ∈ , ∃ –a ∈ , tal que a + (–a) = (–a) + a = 0

No se cumple.

Distributividad

∀ a ∈ , ∀ b ∈ y c ∈ , a • (b + c) = a • b + a • c

Propiedades

• Para los números enteros, están definidas las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división. • Al resolver ejercicios que presentan varias operaciones, la prioridad para resolverlas es la siguiente: 1º Paréntesis.

• El CMO 2 propuesto en el Ajuste Curricular dice: “Extensión del algoritmo de la división de los números naturales a la división de los números enteros. Discusión y aplicación de dicho algoritmo”. El algoritmo de la división dice lo siguiente: Dado dos enteros a y b, con b ≠ 0, existen únicos enteros q y r, tal que: a=b•q+r

0≤r< b

Observación: el número q es el cociente de a dividido por b y r es el resto o residuo.

2º Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha. 3º Adiciones y sustracciones, de izquierda a derecha.

Unidad 1 – Números enteros

Fuente: Kumanduri, R. (1998). Number theory with computer applications (p. 9). Department of Mathematics, Columbia University: Prentice Hall.

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Al aplicar el algoritmo de la división de números enteros, se tiene que: el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto, teniendo en consideración que el resto es mayor o igual a cero. Este algoritmo fue estudiado en cursos anteriores para números naturales: es frecuente aplicarlo para comprobar si el resultado de una división exacta de números naturales es correcta. Por ejemplo: 10 : 5 = 2; luego, para verificar que el resultado es correcto se tiene que: 10 = 5 • 2 + 0.

Es importante que los y las estudiantes sepan que en cursos posteriores calcularán el cociente (racional) en divisiones inexactas de números enteros. Por otro lado, el hecho de extender el algoritmo de la división a los números enteros permitirá que los y las estudiantes comprendan la relación entre dividendo, divisor y cociente, pues muchas veces la enseñanza de este contenido se remite a la aplicación de la regla de los signos, que, si bien sirve de apoyo, no debería ser el objetivo central.

En los casos en que la división de números naturales no es exacta, como en:

Más información acerca de los números enteros y ejercicios: • Manual esencial. (2008). Números. Aritmética y álgebra, (pp. 48–55). Santiago de Chile: Santillana.

10 : 4 = 2, se aplica el algoritmo de la división: 10 = 4 • 2 + 2 2 En este curso, el algoritmo se extiende a los números enteros, para lo cual se debe tener en consideración que, al igual que la división de números naturales, esta puede o no ser exacta. Si es exacta (el resto es cero), al aplicar el algoritmo, el dividendo es igual al divisor por el cociente (previamente se estudió multiplicación de números enteros). Por ejemplo: –10 : 5 = –2, entonces –10 = 5 • –2 + 0. Si la división no es exacta, al aplicar el algoritmo se debe tener en consideración que el resto es mayor que cero; entonces, el cociente dependerá de los signos del dividendo y divisor. En estos casos, deja de ser intuitivo (como en los números naturales). Por ejemplo: Si el dividendo es 10 y el divisor 4, entonces: 10 = 4 • 2 + 2. Además, 10 : 4 = 2,5.

Bibliografía • Guzmán R., I. (2002). Didáctica de la matemática como disciplina experimental. Valparaíso: Pontificia Universidad Católica de Valparaíso. • Rencoret B., M. (2002). Iniciación matemática-Un modelo de jerarquía de enseñanza. Santiago: Andrés Bello.

Sitios webs • De forma interactiva, todo sobre números enteros. http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/enterosdesp/index.htm • Operatoria con números enteros: multiplicación y división http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/enteros2/ Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

Si el dividendo es –10 y el divisor 4, entonces: –10 = 4 • (–3) + 2. Además, –10 : 4 = –2,5. Si el dividendo es –10 y el divisor –4, entonces: –10 = (–4) • 3 + 2. Además, –10 : –4 = 2,5. Si el dividendo es 10 y el divisor –4, entonces: 10 = (–4) • (–2) + 2. Además, 10 : –4 = –2,5.

Unidad 1 – Números enteros

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TEXTO DEL ESTUDIANTE 10 Y 11

La atmósfera es un concepto conocido para el o la estudiante; han escuchado, visto o leído sobre el tema y la importancia que adquiere debido al tema del agujero en la capa de ozono o el calentamiento global. Con esto, se pretende utilizar el propio entorno como medio de exploración y análisis, para activar sus conocimientos y experiencias previas.

Unidad 1 – Números enteros

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN: Conversemos de... Ítems 1, 2 y 3: analizar, calcular y determinar.

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APRENDIZAJES ESPERADOS DE LA UNIDAD

INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA PARA DOCENTES

En la sección EN ESTA UNIDAD PODRÁS… se explicitan los aprendizajes que se espera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad. Se sugiere que los lea en voz alta y, luego, puede preguntarles qué saben sobre los números enteros, la operatoria con dichos números y la resolución de problemas.

Es conveniente que esté informado o informada sobre los siguientes conceptos para el desarrollo de la actividad exploratoria:

Con las ideas que surjan a partir de los y las estudiantes puede hacer un esquema o mapa semántico en la pizarra; esto le permitirá obtener información respecto de sus conocimientos previos y, a la vez, les permitirá recordar los conceptos trabajados en años anteriores, que les servirán para lograr los aprendizajes esperados de esta Unidad.

• La atmósfera se puede dividir en capas en función al comportamiento de la temperatura con la altura. Estas son: - Tropósfera: desde la superficie terrestre hasta los 18 km de altura en el Ecuador. La temperatura del aire disminuye con la altura. - Estratósfera: hasta una altitud de 50 km, aprox. La temperatura aumenta con la altura. - Mesósfera: hasta una altura de 80 km. La temperatura vuelve a disminuir con la altura. - Termósfera o Ionósfera: hasta los 700 km de altitud, aprox. La temperatura aumenta con la altura. - Exósfera: es la zona de transición entre nuestra atmósfera y el espacio interplanetario.

ACTIVIDAD INICIAL Se recomienda que los alumnos y alumnas comenten la imagen y respondan preguntas como las siguientes: • ¿qué significa que la temperatura disminuye a razón de 6 ºC por kilómetro? • ¿cuál era la temperatura a un kilómetro de altura?, ¿por qué? Es conveniente que tenga más de una estrategia para resolver el problema; una de ellas, con una tabla que muestre la temperatura por kilómetro, o bien, utilizando una recta numérica o utilizando la función: y = 24 – 6 • x, donde x representa los kilómetros e y es la temperatura (las funciones se estudiarán más adelante). Por ejemplo, si utiliza el procedimiento con tabla: Altura (km) Temperatura (°C)

24 – 6 0 = 24

24 – 6 1 = 18

24 – 6 • 2 = 12

•

Para explorar los conocimientos de los y las estudiantes, puede realizar las siguientes preguntas: • ¿Cuál fue la temperatura mínima ayer en tu cuidad?, ¿y la máxima?, ¿cómo lo supiste? • El cerro Tololo se ubica en el Valle del Elqui, a unos 80 km de La Serena, a una altura de 2200 metros sobre el nivel del mar. Un día de verano, la temperatura en el valle del Elqui fue de 33 ºC; ¿crees que la temperatura en la cúspide del cerro Tololo es la misma? • ¿Qué sucederá con la temperatura a mayor altura?, ¿ocurrirá siempre lo mismo? Se pretende que, a través de la imagen, la información entregada al respecto, las preguntas planteadas y su propia experiencia, los alumnos y alumnas reconozcan que, en ciertos casos, la temperatura disminuye con la altura. Además, se espera que los y las estudiantes descubran que en algunas situaciones es necesario emplear procedimientos de multiplicación de números enteros para facilitar los cálculos.

• La atmósfera está constituida por una mezcla de gases, como nitrógeno, oxígeno, vapor de agua, ozono, entre otros.

• Podría reflexionar con sus estudiantes en torno a la destrucción de la capa de ozono y los efectos en seres humanos, animales y plantas. También podría plantear preguntas sobre el cambio climático. Algunas fuentes para obtener información al respecto son: Dirección General de Aeronáutica Civil, Ayuda al estudiante (2009). Agujero de ozono y Cambio climático, [en línea]. Dirección Meteorológica de Chile. Disponible en: www.meteochile.cl/ayudaest.html

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Un avión con pasajeros vuela en la tropósfera, sobre una zona en que la temperatura de la superficie es de 36 ºC. Si la temperatura disminuye a razón de 8 ºC por kilómetro, determina: a) ¿cuál era la temperatura a 10 km? b) ¿a qué altura volaba el avión si la temperatura del aire varió a 4 ºC?, ¿y a –12 ºC? (Habilidades que desarrolla: analizar, calcular y determinar). De profundización 1. Un avión con pasajeros vuela en la tropósfera a una altura de 10 km. Si la temperatura disminuye a razón de 6 ºC por kilómetro, determina: a) si la temperatura a la altura que vuela el avión era de –48 ºC, ¿qué temperatura hay en la superficie? b) si en la superficie hay 24 ºC, ¿a qué altura la temperatura empieza a ser bajo cero? (Habilidades que desarrolla: comprender, analizar y calcular).

Unidad 1 – Números enteros

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 12 Y 13

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA Esta evaluación diagnóstica es una herramienta útil para determinar los conocimientos previos de los alumnos y alumnas; tiene como título ¿CUÁNTO SABES?, e incluye los siguientes criterios: Ítem 1: comparar pares de números enteros, involucrando el valor absoluto y utilizando los signos <, > o =. 44

Unidad 1 – Números enteros

Ítem 2: ordenar de menor a mayor conjuntos con números enteros. Ítem 3: ubicar un conjunto de números enteros con sus respectivos inversos aditivos en la recta numérica. Ítems 4 y 6: calcular mentalmente operaciones con números enteros. Ítem 5: resolver diversos problemas que involucran cálculos de adiciones o sustracciones y explicar la estrategia utilizada. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: ¿Cuánto sabes? Ítems 1 y 2: reconocer, identificar y clasificar. Ítem 3: representar. Ítems 4 y 6: calcular. Ítem 5: analizar, resolver problemas y justificar.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En los ítems 1, 2 y 3, podrían ordenar de forma errónea los números negativos. Es recomendable recordar la relación de orden en . Además, es conveniente que represente los números enteros en una recta numérica. • En el ítem 1, debido a que se involucran valores absolutos de números enteros, es posible que sus estudiantes ignoren dicho concepto. Es recomendable recordar

que el valor absoluto de un número entero a se puede relacionar con la distancia en la recta numérica entre a y el cero. • En los ítems 4 y 6, es posible que calculen incorrectamente. Es conveniente que verifiquen usando calculadora científica. • En el ítem 5, se pide la justificación de la estrategia empleada, lo que podría ser complejo para el alumno o alumna. Para ello, se recomienda que continuamente justifiquen sus respuestas, como una forma de verificar que comprenden lo que están realizando y desarrollar en ellos habilidades comunicativas para argumentar, exponer ideas y opiniones bien fundamentadas. • Se sugiere corregir en conjunto con los alumnos y alumnas la sección ¿CUÁNTO SABES? y analizar los errores cometidos. De este modo, podrá evidenciar los aprendizajes ya adquiridos por los alumnos y alumnas y los que aún no se adquieren.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para diagnosticar a sus estudiantes. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Compara correctamente los pares de números dados, por medio de la relación de orden y considerando que todo valor absoluto de un número es positivo, asignándoles así el símbolo correspondiente. Ordena correctamente, de menor a mayor, los conjuntos de número dados, por medio de la relación de orden de forma eficiente.

Compara correctamente los pares de números dados, teniendo que calcular cada valor absoluto y, luego, comparando, asignándoles así el símbolo correspondiente.

Compara erróneamente algunos de los pares de números dados, confundiendo la relación de orden en los números negativos, asignándoles así el símbolo incorrecto.

Ubica correctamente los números dados, por medio de la relación de orden, y establece de forma eficiente sus inversos aditivos.

Ubica correctamente los números dados, teniendo primero que determinar sus inversos aditivos y, luego, ubicarlos por medio de la relación de orden.

Ubica erróneamente alguno de los números dados, confundiendo la relación de orden en los números negativos, asignándoles así una ubicación invertida.

Ubica erróneamente los números dados, confundiendo la relación de orden en los negativos y los inversos aditivos, ordenándolos de forma invertida.

Calcula correctamente los ejercicios, por medio de una única estrategia mental y respetando la prioridad de las operaciones.

Calcula erróneamente algunos de los ejercicios, por medio de una estrategia mental.

Calcula erróneamente los ejercicios dados, por medio de una estrategia mental; no respeta la prioridad de las operaciones.

Resuelve correctamente cada uno de los problemas dados, indicando de forma detallada cada uno de sus pasos, sin justificarlos.

Resuelve erróneamente alguno de los problemas dados, calculando de forma inadecuada y sin responder todas las preguntas planteadas.

Resuelve erróneamente cada uno de los problemas dados, calculando de forma inadecuada, sin responder todas las preguntas planteadas en cada uno de ellos, y no justifica cada uno de sus pasos.

Calcula correctamente los ejercicios, por medio de diversas estrategias 4y6 mentales y respetando la prioridad de las operaciones.

Resuelve correctamente cada uno de los problemas dados, indicando de forma detallada cada uno de sus pasos y justificando cada uno de ellos.

Unidad 1 – Números enteros

Por lograr

Compara erróneamente los pares de números dados, confundiendo la relación de orden en los negativos y comparando los valores absolutos sin distinguir que son siempre positivos, asignándoles así el símbolo incorrecto. Ordena correctamente, de menor a Ordena erróneamente, de menor a Ordena erróneamente, de menor a mayor, los conjuntos de número dados, mayor, algunos de los conjuntos de mayor, los conjuntos de número dados, por medio de la relación de orden números dados, confundiendo la confundiendo la relación de orden en teniendo que separar por negativos y relación de orden en los negativos, los negativos y los positivos, ordenánpositivos y, luego, ordenarlos. asignándoles así una ubicación invertida. dolos de mayor a menor.

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TEXTO DEL ESTUDIANTE 14 Y 15

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Empleo de procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por un número entero negativo […].

Para discutir

Actividades

Ítem 1: Ítem 2: Ítem 3: Ítem 4:

Unidad 1 – Números enteros

analizar, recordar y justificar. analizar, conectar y justificar. calcular, analizar y justificar. analizar y generalizar.

representar y calcular. conectar, calcular y representar. conectar y representar. analizar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDAD INICIAL

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y están orientadas a introducir la multiplicación de un número natural por un número entero negativo. Esta actividad pretende que el alumno o alumna relacione sus conocimientos previos, relacionados con la multilplicación de números naturales, y los utilice para multiplicar un número natural por un número entero negativo.

De refuerzo 1. Escribe como adición las siguientes multiplicaciones y, luego, calcula usando la recta numérica: a) 2 • 3 = b) (–5) • 2 =

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

c) 3 • (–4) =

• Antes de comenzar el ítem 1, pregunte a los alumnos y alumnas cómo se escribirían en forma de adición algunas multiplicaciones con números naturales y, luego, las resuelvan. Las multiplicaciones podrían ser similares a las propuestas en el Texto del Estudiante (por ejemplo: 3 • 5; 4 • 6 y 9 • 4). Luego, permítales que comparen las respuestas obtenidas. Para apoyar a los o las estudiantes que presentan dificultades en el cálculo de una adición iterada de sumandos iguales, sugiérales utilizar la recta numérica para efectuar dichas operaciones. • En el ítem 2, para comprobar que los factores encontrados por los y las estudiantes son correctos, pídales que escriban las multiplicaciones como adiciones y, luego, calculen. • En el ítem 3, para comprobar que los resultados obtenidos son correctos, pídales a los y las estudiantes que calculen las adiciones con calculadora, así como también las multiplicaciones encontradas y, luego, las comparen. • En el ítem 4, podría proponer a los alumnos y alumnas que den tres ejemplos en cada caso, pues, por medio de esos ejemplos concretos (inicialmente), se facilitaría la abstracción en cada caso.

d) (–1) • 6 = (Habilidades que desarrolla: interpretar, representar y calcular). De profundización 1. En cada uno de los siguientes problemas, representa la multiplicación que se debe utilizar y, luego, resuelve: a) En la Antártica, la temperatura ha disminuido 7 ºC cada hora durante 5 horas. ¿Cuántos grados ha disminuido la temperatura durante las últimas 5 horas? b) En una ciudad ubicada en el norte de América, es común que en período de invierno, desde las 22:00 horas, la temperatura disminuya 3 ºC por hora, aproximadamente. ¿Cuántos grados ha disminuido la temperatura hasta las 4:00 horas del día siguiente? c) Un día de invierno en Santiago la temperatura bajó 2 ºC por hora desde las 00:00 horas. ¿Cuántos grados disminuyó la temperatura hasta las 5:00 horas? (Habilidades que desarrolla: analizar, representar y calcular).

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Podría generalizar la multiplicación de un número natural por un número entero negativo, realizando la siguiente demostración: Por demostrar: (–a) • b = –(a • b); ∀ a, b + Demostración: Como (–a) ∈ –, entonces: a + (–a) = 0 [a + (–a)] • b = 0 • b a • b + (–a) • b = 0 a • b + (–a) • b + –(a • b) = 0 + –(a • b)

/•b / aplicamos la propiedad distibutiva / sumamos el inverso aditivo de (a • b) / reducimos términos semejantes

∴ (–a) • b = –(a • b); ∀ a, b ∈ +

Unidad 1 – Números enteros

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TEXTO DEL ESTUDIANTE 16 Y 17

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Empleo de procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por un número entero negativo y extensión de dichos procedimientos a la multiplicación de números enteros.

Para discutir

Actividades

Ítem 1: interpretar y calcular. Ítem 2: analizar y clasificar. Ítem 3: analizar y calcular.

Ítem 1: calcular. Ítem 2: representar, conectar y calcular. Ítem 3: analizar y calcular. Ítem 4: analizar, aplicar y calcular.

Unidad 1 – Números enteros

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDAD INICIAL

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y están orientadas a ampliar los procedimientos anteriores a la multiplicación de números enteros. Para complementar las preguntas de la sección, se sugiere plantear al curso preguntas como las siguientes: • ¿es posible determinar con cuántos puntos terminó cada jugador usando el procedimiento de la página anterior?, ¿cómo lo harías? • utilizando la recta numérica, ¿es posible calcular la cantidad de puntos obtenidos por Cristián?, ¿cómo lo harías? • ¿por qué Gonzalo obtuvo 0 puntos? Además, sería conveniente destacar que (–12) • 5 = 12 • (–5) = –(12 • 5) = –60.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Previo a la resolución del ítem 1, se recomienda destacar la multiplicación de un número natural por un número entero negativo, estudiada anteriormente. Además, sería pertinente mencionar que la regla de los signos se utiliza para multiplicar (y dividir) números enteros y no en adición y sustracción. Por ejemplo: 3 • (–2) = –6 y 3 – 2 = 1. • En los ítems 2 y 3, pídales a los y las estudiantes que utilicen calculadora para comprobar que los resultados obtenidos son correctos. • En el ítem 4, podría proponer a los alumnos y alumnas elaborar otra pirámide, con valores distintos a los que aparecen en el Texto; por ejemplo, podría decirles el número de la cúspide y uno de la base y, luego, podría preguntarles las estrategias empleadas para que las compartan con el resto del curso.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Podría generalizar la multiplicación de dos número enteros negativos realizando la siguiente demostración: Por demostrar: (–a) • (–b) = a • b; ∀ a, b ∈ + Demostración:

[a + (–a)] • (–b) = 0 • (–b)

1. Resuelve las siguientes multiplicaciones. a) b) c) d)

(–3) • 6 = (–10) • 8 = (–2) • (–9) = 10 • (–8) =

2. Expresa como producto de tres factores los siguientes números. a) –64 b) –36 c) 100 (Habilidades que desarrollan: calcular y representar). De profundización 1. Resuelve las siguientes multiplicaciones. a) (–2) • 5 • (–3) = b) (–4) • (–5) • (–2) = c) (–1) • 7 • 3 = 2. Completa con el resultado correspondiente. a) Al multiplicar el inverso aditivo de (–3) por el sucesor de (–2), resulta: b) Al multiplicar el inverso aditivo de 7 por el antecesor de (–5), resulta: c) Al multiplicar el antecesor de (–11) por el sucesor de 5, resulta: (Habilidades que desarrollan: calcular, conectar y representar).

Como (–a) ∈ – y (–b) ∈ –, entonces: a + (–a) = 0

De refuerzo

/ • (–b) / aplicamos la propiedad distibutiva

a (–b) + (–a) (–b) = 0 •

•

Por otra parte, ya se demostró: a • (–b) = –(a • b), luego: –(a • b) + (–a) • (–b) = 0

/ sumamos el inverso aditivo de –(a • b)

–(a • b) + (–a) • (–b) + (a • b) = 0 + (a • b) / reducimos términos semejantes ∴ (–a) • (–b) = a • b; ∀ a, b ∈ + 49

Unidad 1 – Números enteros

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 18 Y 19

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Extensión del algoritmo de la división de números naturales a la división de números enteros. Discusión y aplicación de dicho algoritmo.

Para discutir

Unidad 1 – Números enteros

Ítem 1: relacionar y justificar. Ítem 2: analizar y calcular. Ítem 3: analizar, calcular y justificar. Ítem 4: comprobar. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Actividades Ítem 1: calcular y verificar. Ítems 2 y 3: analizar, conectar y calcular. Ítem 4: analizar, evaluar, conjeturar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y están orientadas a ampliar el algoritmo de la división (exacta) de números naturales a la división (exacta) de números enteros. Para ello, se presenta una situación relacionada con los ingresos y gastos mensuales de una familia. En esta actividad se pretende que los alumnos y alumnas observen que al dividir dos números enteros (las divisiones son exactas) se puede comprobar que el resultado obtenido es correcto, utilizando el mismo procedimiento que utilizaban en años anteriores para números naturales, es decir, el algoritmo de la división. Al finalizar esta sección, se sugiere relacionar el signo del cociente (al aplicar el algoritmo de la división) con la regla de signos, para facilitar en cálculo mental.

números enteros y en comprobar que el resultado obtenido es correcto, utilizando dicho algoritmo, por ejemplo: (–45) : 9 = (–5), luego (–45) = 9 • (–5). La regla de los signos es solo un mecanismo que facilita el cálculo mental. • Se sugiere tener presente algunas propiedades del valor absoluto y ejemplificar con valores numéricos. Por ejemplo, en la propiedad: a • b = a • b , en este caso puede ejemplificar con: 2 • (–3) = –6 = 6 y 2 • –3 = 2 • 3 = 6. Luego, para a a ejemplificar la propiedad = , con b ≠ 0, puede calcular: (–8) : 2 = –4 = 4 b b y (–8) : 2 = 8 : 2 = 4.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Calcula y verifica que los resultados obtenidos sean correctos. a) (–12) : 3 =

b) (–32) : (–4) =

c) 45 : (–5) =

d) (–24) : (–8) =

2. Expresa como división los siguientes números.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, además de verificar los resultados obtenidos aplicando el algoritmo de la división, por ejemplo 270 : (–27) = –10, luego, 270 = (–27) • (–10), es conveniente que relacione la regla de los signos con el signo del cociente al aplicar el algoritmo de la división. • En los ítems 2 y 3, luego de resolver las actividades, se sugiere comprobar que los números obtenidos son los correctos; de este modo, no solo aplicará el algoritmo de la división, sino que relacionará un procedimiento que aplicaban en años anteriores con este contenido nuevo. • En el ítem 4, puede pedirles a los alumnos y alumnas que expliquen sus estrategias empleadas; de este modo, las pueden compartir, comparar y, además, analizar cuál de ellas les parece más adecuada.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Para comenzar esta sección, se sugiere recordar a los y las estudiantes que en una división exacta de números naturales a : b = c, a es el dividendo, b el divisor y c el cociente. Es pertinente recordar que para comprobar que una solución es correcta, se puede cacular a = b • c. Además, como el resto es cero, a es divisible por b. Por ejemplo: 30 : 6 = 5, luego, al comprobar: 30 = 6 • 5, entonces, 30 es divisible por 6. • Para evitar que el aprendizaje de este contenido se transforme en un procedimiento mecánico, el énfasis debe centrarse en el algoritmo de la división (exacta) de 51

Unidad 1 – Números enteros

a) +4

b) +3

c) –15

d) –12

(Habilidades que desarrollan: calcular y representar). De profundización 1. Calcula y verifica que los resultados obtenidos sean correctos. a) [450 : (–10)] : (–9) =

c) [80 : 4] : (–4) =

b) [(–20) : (–2)] : (–5) =

d) 48 : [16 : (–2)] =

2. Completa con el resultado correspondiente. a) b) c) d)

Al dividir el inverso aditivo de (–40) con el sucesor de (–6), resulta: Al dividir el inverso aditivo de 60 con el sucesor de (–11), resulta: Al dividir el sucesor de (–46) con el antecesor de (–8), resulta: Al dividir el antecesor de 10 con el antecesor de (–2), resulta:

3. Completa con el número correspondiente. a) Si el dividendo es (–10) y el divisor es 2, entonces el cociente es . b) (–8) es divisor de 24, porque 24 = (–8) • . • 7. c) es divisor de (–63), porque (–63) = d) Si el dividendo es (–26) y el divisor es , entonces el cociente es 2. (Habilidades que desarrollan: interpretar, representar, calcular, aplicar y analizar).

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 20 Y 21

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Extensión del algoritmo de la división de números naturales a la división de números enteros. Discusión y aplicación de dicho algoritmo.

Actividades

En equipo

Ítem 5: evaluar, aplicar y calcular. Ítem 6: analizar y conjeturar. Ítem 7: resolver problemas y representar.

Calcular.

Unidad 1 – Números enteros

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN:

• Luego de completar la tabla del ítem 5, los alumnos y alumnas responderán las preguntas del ítem 6 relacionadas con propiedades del valor absoluto, el cual es un conocimiento previo y que puede ser aplicado en la división de números enteros. Se sugiere que promueva la discusión en estos casos, para que sean los y las estudiantes quienes generalicen. Al finalizar esta actividad, podría destacar los resultados obtenidos en la pregunta c del ítem 6 y mencionar que se trata de una propiedad del valor absoluto. Además, puede indicar que en el caso de la multiplicación, es decir, a • b = a • b , también corresponde a una propiedad del valor absoluto; ejemplifique con 3 ó 4 casos numéricos en este caso. • En el ítem 7, mencione a los y las estudiantes que para representar la profundidad (bajo el nivel del mar), en este caso, usaremos números negativos. • En la actividad EN EQUIPO podría proponer a los y las estudiantes, después que realicen la actividad, cambiar los valores de las tarjetas y seguir jugando a partir de las instrucciones; si alguna de las divisiones no es exacta con los valores que escogieron, plantee preguntas como: ¿qué sucederá en estos casos?, ¿cómo lo resolverás? Luego, indique que estos casos se estudiarán en cursos posteriores.

Mi progreso

EVALUACIÓN FORMATIVA Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad, se presenta la evaluación formativa MI PROGRESO.

Ítem 1: analizar, identificar y calcular. Ítem 2: analizar, conjeturar y evaluar. Ítem 3: evaluar, aplicar, calcular y analizar. Ítems 4 y 5: resolver problemas, analizar y calcular.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En los ítems 1 y 2, los alumnos y alumnas deben marcar la alternativa correcta; esto dificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es recomendable pedirles a los y las estudiantes que realicen el desarrollo correspondiente al lado de cada pregunta, lo que facilitará detectar si hay o no errores en las estrategias empleadas. • En el ítem 3, debido a que se involucra valor absoluto, es posible que los alumnos y alumnas ignoren u olviden dicho concepto y no lo apliquen. Para ello, es necesario recordar el valor absoluto con algunos casos particulares. • El los ítems 4 y 5 es posible que los y las estudiantes confundan qué operaciones están asociadas. Para evitarlo, es conveniente que sugiera una estrategia a emplear. En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podrá plantearles a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 3, 4 y 5. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Evalúa, aplica, calcula y completa correctamente la tabla, analizando cada respuesta de forma general.

Evalúa, aplica, calcula y completa correctamente la tabla. Analizando cada respuesta con casos particulares.

Evalúa, aplica, calcula y completa erróneamente partes de la tabla, analiza y responde erróneamente alguna pregunta.

Evalúa, aplica, calcula y completa erróneamente partes de la tabla, confundiendo los signos y sin responder cada pregunta.

Analiza y calcula correctamente el problema, empleando más de una estrategia.

Analiza y calcula correctamente el problema.

Analiza y calcula erróneamente el problema, confundiendo el signo del resultado.

Analiza y calcula erróneamente, el problema, confundiendo el signo del resultado y su valor.

Analiza y calcula correctamente el problema, empleando más de una estrategia.

Analiza y calcula correctamente el problema.

Analiza y calcula erróneamente el problema, confundiendo el signo del resultado.

Analiza y calcula erróneamente, el problema, confundiendo el signo del resultado y su valor.

Unidad 1 – Números enteros

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

4. En un juego inventado por un grupo de 4 amigos (Macarena, Camila, Carlos y Luis), al responder ciertas preguntas se anotaban puntos positivos si respondían correctamente y puntos negativos en caso de error. Si Carlos terminó el juego con 90 puntos y Camila con –20 puntos:

De refuerzo 1. Completa la siguiente tabla. a

–12

–7

–4

–2

–5

–32

–2

–1

–42

–5

–100

a•b

a) ¿Con cuántos puntos terminó Macarena, si obtuvo un tercio de los puntos de Carlos? b) ¿Con cuántos puntos terminó Luis si hasta la mitad del juego tenía la misma cantidad de puntos con que terminó Camila, y en la otra parte del juego ganó la mitad de puntos con que Carlos terminó?

a:b

De profundización 1. Completa la siguiente tabla. a

a:b

–48

–3 1

–3

a) ¿obtienes los mismos signos en los resultados de a b y a : b?, ¿por qué? b) ¿en qué casos a • b = a : b?, ¿por qué? •

2. Una sustancia química que está a 30 ºC bajo cero se calienta en un mechero, aumentando su temperatura a razón de 2 ºC por minuto. a) ¿Qué temperatura alcanza después de 25 minutos?, ¿y después de 1 hora? b) ¿Cuántos minutos deben transcurrir para que alcance una temperatura de –12 ºC?, ¿y 14 ºC? 3. Un submarino se encuentra en la superficie del mar. Si cada una hora desciende 50 metros: a) ¿qué profundidad alcanza después de 3 horas? b) ¿cuánto tiempo ha transcurrido después de haber bajado 350 metros? c) al situarse a 600 metros bajo el nivel del mar, el submarino comienza a subir a razón de 40 metros por hora. ¿Cuánto demora desde esa ubicación en llegar a la superficie?

Unidad 1 – Números enteros

a•b

A partir de los resultados obtenidos en la tabla, responde:

–9

–5 –81

100 –4

20 32 –29

–29

–16

–1

A partir de los resultados obtenidos en la tabla, responde: a) ¿en qué casos el producto es igual al cociente?; ¿ocurrirá siempre lo mismo en esos casos?, ¿por qué? b) ¿en qué casos el cociente es igual a 1 ó –1?; ¿ocurrirá siempre lo mismo en esos casos?, ¿por qué? 2. Si a es un número entero positivo (distinto de 1) y b es su inverso aditivo, ubica en la recta numérica: a, b, 2 • a, 2 • b 0

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SOLUCIONARIO DE LA PÁGINA 54 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

De profundización

De refuerzo

a•b

a:b

–36

–4

–147

–3

–50

–2

–13

–252

–7

–125

–5

–400

–25

a) Sí, ya que la regla de los signos es igual en ambos casos. b) Cuando a = 13, b = –1 y a = 17, b = 1, el producto es igual al cociente. Esto ocurre cuando b = 1 o b = –1.

a•b

a:b

–48

–3

144

–3

–45

–5

–9

–81

–1

100

500

–8

–4

29 –29

–1 1

–29

30 –30 4 –4

1 –1 –4 4

–16

–1

12 –12 12

–4 4 12

a) En las filas 8 y 9. Sí, ocurre si el divisor (segundo factor) es 1 ó –1. b) En las filas 3, 5 y 10. Sí, pues si se divide un número por sí mismo o por su inverso aditivo, el cociente es 1 ó –1, respectivamente.

2. a) 20 ºC, 90 ºC b) 9 min, 22 min 2. 3. a) 150 m b) 7 h c) 15 h

2 •b

2 •a

4. a) 30 puntos. b) 25 puntos.

Unidad 1 – Números enteros

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TEXTO DEL ESTUDIANTE 22 Y 23

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Extensión del algoritmo de la división de los números naturales a la división de números enteros. Discusión y aplicación de dicho algoritmo.

Para discutir

Unidad 1 – Números enteros

Ítem 1: analizar y justificar. Ítem 2: recordar y comprobar. Ítems 3 y 4: analizar, conectar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Actividades Ítem 1: aplicar. Ítem 2: analizar y justificar. Ítem 3: analizar, generalizar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y están orientadas a ampliar el algoritmo de la división de números naturales (cuando el resto es mayor que cero) a la división de números enteros. Para ello, se recuerda, por medio de un ejemplo, el algoritmo de la división de números naturales. En esta actividad se pretende que los alumnos y alumnas analicen qué sucede con el cociente y el resto cuando el dividendo o divisor es un número entero negativo, es decir, que noten que, al ampliar dicho algoritmo, se deben respetar ciertas condiciones que hasta este momento se aplicaban sin ser formalizadas. Al finalizar esta sección, se sugiere indicar a los y las estudiantes que el cociente (racional) de divisiones inexactas con números enteros se estudiará el próximo año, y el cociente estudiado (según el algoritmo) es en el ámbito de los números enteros.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Completa con el número correspondiente en cada caso. a) Si el dividendo es 19 y el divisor es 5, entonces, el cociente es el resto es . b) Si el dividendo es el resto es 1.

y el divisor es 3, entonces, el cociente es (–7) y

c) Si el dividendo es (–33) y el divisor es el resto es 3.

, entonces, el cociente es 9 y

d) Si el dividendo es –90 y el divisor es 3, entonces, el cociente es el resto es . e) Si el dividendo es el resto es 7.

y el divisor es (–8), entonces, el cociente es 6 y

(Habilidades que desarrolla: interpretar, representar, aplicar y calcular).

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

De profundización

• Antes de comenzar el ítem 1, es conveniente que destaque las condiciones del algoritmo de la división cuando esta es inexacta, es decir, que el resto es mayor que cero y menor que el valor absoluto del divisor. • En el ítem 2, guíe a los alumnos y alumnas, para que descubran que el cociente y resto son únicos en cada caso. • En el ítem 3, si los alumnos o alumnas tienen dificultad para justificar utilizando el algoritmo de la división, muestre algunos casos particulares, como 12 : 0 y 0 : 12, y, a partir de estos, guíe a los alumnos y alumnas para que analicen lo que sucede en cada caso.

1. Completa la siguiente tabla.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

Dividendo

Divisor

Cociente

Resto

–20

–20 = (–6) •

–2

–5

37 –28

El dividendo es igual a

2 –28 =

•

(–10) + 2

(Habilidades que desarrolla: analizar, aplicar, calcular y representar).

• Podría explicar por qué 1 : 0 no tiene solución, o bien, no está definido. Aplicando el algoritmo de la división, se tiene: Si x es el cociente, entonces 1 = 0 • x, luego no hay ningún número que al multiplicarse por cero dé como resultado 1. • Podría explicar por qué 0 : 1 = 0. Si aplicamos el algoritmo de la división, tenemos que: 0 = 1 • 0, y se concluye que cualquier número multiplicado por cero da por resultado cero. En ambos casos, observe que no es necesario considerar el resto, ya que debe ser mayor que cero y menor que el valor absoluto del divisor.

Unidad 1 – Números enteros

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 24 Y 25

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Resolución de problemas en contextos diversos y significativos que involucran las 4 operaciones aritméticas con números enteros [...], enfatizando en el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.

Para discutir

Unidad 1 – Números enteros

Ítem 1: analizar, representar y calcular. Ítem 2: analizar y calcular. Ítem 3: conectar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Actividades Ítems 1, 2 y 3: calcular. Ítem 4: evaluar y calcular.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Se sugiere que destaque a los y las estudiantes que en una operación combinada con paréntesis, si dentro del paréntesis hay más de una operación, entonces, se aplica la prioridad de las operaciones en dichas operaciones. Por ejemplo:

ACTIVIDAD INICIAL Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y están orientadas a resolver problemas que involucran las operaciones aritméticas de adición y multiplicación. En esta situación, relacionada con la temperatura de una ciudad, se pretende que los alumnos y alumnas analicen y determinen cuál es la temperatura a cierta hora del día, planteando la expresión que permite resolver cada caso y utilizando diversas estrategias en la resolución. Es conveniente que los y las estudiantes observen que en la actividad inicial se presentan dos estrategias para resolver y, en ambos casos, se obtienen los mismos resultados: la primera, respetando la prioridad de las operaciones y, la segunda, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Antes de comenzar el ítem 1, en conveniente que recuerde a los y las estudiantes la prioridad de las operaciones, ya que en los ítems 1 y 3 aparecen operaciones combinadas. • En el ítem 2, los y las estudiantes aplicarán la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma. Una vez terminada esta actividad, se sugiere que pida a los alumnos y alumnas que resuelvan estas operaciones utilizando otra estrategia (aplicando la prioridad de las operaciones). De este modo, no solo comprobarán que sus soluciones son correctas, sino que evidenciarán que muchas veces en Matemática es posible seguir más de un camino en la resolución de un ejercicio o problema. • En el ítem 4, permítales a los y las estudiantes, si es posible, que resuelvan cada operación mentalmente, utilizando la estrategia que ellos escojan. Por ejemplo, en la tercera columna podrían aplicar la prioridad de las operaciones o la propiedad distributiva.

Unidad 1 – Números enteros

–24 : (–4 + 5 • 2) = –24 : (–4 + 10) = –24 : 6 = –4 • Se sugiere que destaque a los y las estudiantes que en una operación combinada, si hay paréntesis en el interior de otro paréntesis, estos se resuelven de adentro hacia afuera, respetando la prioridad de las operaciones. Por ejemplo: –3 • [–2 + (12 : (–4) • 2) – 1] = –3 • [–2 + (–3 • 2) – 1] = –3 • [–2 + (–6) – 1] = –3 • [–9] = +27

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 26 Y 27

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

Actividades

Unidad 1 – Números enteros

Ítems 5 y 6: analizar, aplicar y calcular. Ítems 7 y 8: representar, aplicar y calcular. Ítem 9: evaluar y calcular. Ítem 10: analizar, generalizar y justificar.

Ítem 11: identificar y calcular. Ítem 12: formular y resolver problemas.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Estrategia mental Aplicar y calcular.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En los ítems 5 y 6 es conveniente que pida a los alumnos y alumnas que escriban la estrategia y las operaciones empleadas. Luego, un o una estudiante explica cómo resolvió la pregunta 5 a otro compañero o compañera, y este último explica cómo resolvió la 6 a su compañero o compañera (que explicó la 5). De este modo, permite que discutan sobre la pertinencia de los resultados obtenidos, así como también sobre los procedimientos empleados. • En los ítems 7 y 8, es conveniente que analice en la pizarra las expresiones matemáticas que permiten resolver cada caso, pues el objetivo de ambos problemas no solo tiene relación con las operaciones combinadas y la prioridad para resolverlas, sino que es una primera aproximación a las funciones, que es un contenido que se tratará más adelante. • Luego de completar la tabla del ítem 9, los alumnos y alumnas reponderán las preguntas del ítem 10 relacionadas con la prioridad de las operaciones. Se sugiere que promueva la discusión en estos casos, para que sean los y las estudiantes quienes generalicen. Al finalizar esta actividad podría destacar que en el caso de la pregunta b, del ítem 10, se trata de la propiedad asociativa de los números enteros. • En el ítem 11, luego que los y las estudiantes escriban el número que falta, podrían comprobar utilizando calculadora científica y verificar que la operación da como resultado, efectivamente, el número que aparece en el Texto. • En el ítem 12, se sugiere que los y las estudiantes expongan las preguntas que escribieron, pues de este modo conocerán y compararán las diversas preguntas que surgieron espontáneamente para una misma situación; además, podrían analizar la pertinencia de estas. • En la sección ESTRATEGIA MENTAL, es conveniente destacar que dicha estrategia se puede emplear no solo en esta Unidad, sino que en las potencias, que se estudiarán en la Unidad siguiente, pues permite saber de forma rápida el signo del resultado.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

2. Resuleve utilizando dos estrategias distintas, en cada caso. a) [(–10 – 4) • 3 – 2] –1 = b) 25 • (5 • –10) • 2 = 3. Calcula mentalmente, indicando la estrategia utilizada en cada caso. a) (–10 • –3) • –6 = b) –30 • (–15 + 10) = c) 4 • (–5 + 3) = (Habilidades que desarrollan: calcular, aplicar y formular). De profundización 1. Determina el o los errores en cada caso y, luego, resuelve correctamente. a) (–18) + 4 • (–2) + 35 : (–7) = –14 • –2 + 5 = –14 • 3 = –42 b) (–4) : (–1) + 20 : (–5) + 13 = –4 + 4 + 13 = 0 + 13 = 13 c) (–4) • [–12 : –3 – 18 : –2] = (–4) • [4 – 18 : –2] = (–4) • [–14 : –2] = (–4) • 7 = –28 2. Un día de julio, en una ciudad del norte del país, la temperatura registrada a las 6:00 horas fue de –5 ºC; tres horas más tarde subió 4 ºC. Dos horas después, subió 6 ºC. A las 12:30 horas, la temperatura fue el doble de la temperatura registrada a las 11:00 horas. La temperatura máxima del día se registró tres horas después y fue el doble de la temperatura registrada a las 12:30 horas.

a) –36 : (–18 : 3) =

a) ¿Qué expresión matemática permite calcular la temperatura registrada a las 12:30 horas?, ¿y a las 15:30 horas? b) ¿Cuál fue la temperatura registrada a las 11:00 horas? c) ¿Cuál fue la máxima temperatura de ese día?

b) 14 – 2 • (–5) + 18 : (–2) =

(Habilidades que desarrollan: analizar, calcular e identificar).

De refuerzo 1. Resuelve las siguientes operaciones combinadas.

c) 28 : [(–12 • 2) : (54 : –9)] = d) 2 • [(11 • 3 – 5) + (16 : –4)] =

Unidad 1 – Números enteros

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 28 Y 29

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN CON:

Herramientas tecnológicas

Unidad 1 – Números enteros

Ítems 1 a 8: usar herramientas. Ítem 9: analizar, generalizar, justificar y usar herramientas.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

EVALUACIÓN FORMATIVA

• Al utilizar la planilla de cálculo, debe tener en consideración que los símbolos empleados: +, –, *, /, corresponden a las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división, respectivamente. • Es conveniente que supervice permanentemente a los alumnos y alumnas en el desarrollo de la actividad, pues podrían aparecer diversas dificultades que requieran de su ayuda y orientación. • Se recomienda que recuerde a sus estudiantes que al ingresar una función se antepone el símbolo =. • Al finalizar la actividad, destaque que en “Operación 1” el resultado siempre es cero, pues A2*B2 = B2*A2, por la propiedad conmutativa.

Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad, se presenta la evaluación formativa MI PROGRESO.

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: Mi progreso Ítem 1: analizar y representar. Ítem 2: analizar y evaluar. Ítem 3: evaluar, aplicar, calcular, analizar y generalizar. Ítem 4: analizar y calcular.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Realiza lo siguiente en una planilla de cálculo. Dividan por dos los números de la columna “Positivo” y, luego, escríbanlos en dicha columna (en remplazo de los que estaban). Luego, vuelvan a repetir los pasos realizados anteriormente y respondan las preguntas del ítem 9. (Habilidades que desarrolla: analizar, generalizar y justificar). De profundización 1. Para cualquier par de números enteros a y b, con b ≠ 0: a) La expresión: a • b – b • a, ¿es siempre igual a cero? Justifica. b) Las expresiones: (a : b – b) y (a : b + |b|), ¿son iguales? Justifica. (Habilidades que desarrolla: analizar, generalizar y justificar).

• En los ítems 1 y 2, los alumnos y alumnas deben marcar la alternativa correcta; esto dificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es recomendable pedirles que realicen el desarrollo correspondiente al lado de cada pregunta, lo que facilitará detectar si hay o no errores en las estrategias empleadas. • En el ítem 2, se debe analizar la pertinencia de afirmaciones; como no se trata de casos concretos, el alumno o alumna podría confundirse en dichos casos. Es conveniente que visualicen casos particulares que se relacionen con cada afirmación, para luego analizar su veracidad a través de estos. • En el ítem 3, es posible que los alumnos y alumnas ignoren la prioridad de las operaciones; es conveniente recordarla. • En el ítem 4, recuerde a los y las estudiantes que para representar una distancia bajo el nivel del mar, se pueden usar los números negativos. Por ejemplo, 32 m bajo el nivel del mar, lo representaremos como –32. En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podrá plantearles a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.

A continuación, se representa una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 3 y 4. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Evalúa, aplica, calcula y completa correctamente la tabla. Responde cada pregunta correctamente.

Evalúa, aplica, calcula y completa correctamente la tabla. Responde cada pregunta.

Evalúa, aplica, calcula y completa correctamente algunas partes de la tabla. Responde algunas de las preguntas.

Evalúa, aplica, calcula y completa erróneamente la tabla. No responde las preguntas.

Analiza y calcula correctamente el problema, empleando más de una estrategia.

Analiza y calcula correctamente el problema.

Analiza y calcula erróneamente el problema, confundiendo el signo del resultado.

Analiza y calcula erróneamente, el problema, confundiendo el signo del resultado y su valor.

Unidad 1 – Números enteros

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

6. Felipe trabaja como vendedor en una casa comercial; su sueldo base es de $ 180 000. Por cada producto vendido que tiene un valor superior o igual a $ 40 000, recibe una comisión de $ 5000. Durante el mes de agosto vendió los productos que se detallan en la siguiente tabla con sus respectivos costos:

De refuerzo Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3. 1. Si el dividendo es (–37) y el divisor es 5, entonces:

Cantidad

Producto

Costo ($)

Plancha

20 000

Celular

40 000

Microondas

75 000

DVD

45 000

Televisor

90 000

A. el cociente es 8 y el resto es 3. B. el cociente es (–8) y el resto es 3. C. el cociente es (–7) y el resto es (–2). D. el cociente es 7 y el resto es 2. 2. Las transacciones de dinero de Carla en el mes de septiembre fueron: $ 45 000 en agua, luz, teléfono y gas, $ 100 000 de dividendo, $ 380 000 de sueldo y en mercadería gasta la mitad de lo que gasta en dividendo. ¿Qué expresión permite calcular cuánto dinero le queda a Carla para otros gastos? A. 380 000 – 45 000 + 100 000 + 100 000 : 2 B. (45 000 + 100 000 + 100 000 : 2) – 380 000 C. 380 000 – 45 000 – 100 000 + 100 000 : 2 D. 380 000 – (45 000 + 100 000 + 100 000 : 2) 3. Un pez que se encuentra a 10 metros bajo el nivel del mar, desciende 2 metros cada 2 minutos, ¿a qué profundidad se encuentra después de 16 minutos? A. 26 metros bajo el nivel del mar. B. 18 metros bajo el nivel del mar.

C. 6 metros bajo el nivel del mar. D. –36 metros bajo el nivel del mar.

4. Completa la siguiente tabla. a

–2

–10

–5

–2

–8

–2

–1

–9

(b + c) : a

c • (b – a)

(a – b) + c

a • (b • c)

5. A partir de los resultados obtenidos en la tabla, responde:

a) ¿Qué expresión matemática permite calcular cuál será el sueldo de Felipe correspondiente al mes de agosto? b) ¿Cuál será su sueldo ese mes? 7. El frigorífico de una empresa de productos congelados se encuentra a 30 ºC bajo cero durante todo el día. Un día la máquina presentó fallas, provocando un aumento de la temperatura a razón de 3 ºC por hora; ¿cuál será la temperatura del frigorífico despues de 6 horas? 8. Un equipo sumergible, provisto de cámaras sensibles a la oscuridad, descubrió restos de un barco a 2000 metros de la superficie. a) Si el equipo sumergible descendió 100 metros cada media hora, ¿cuánto tardó en llegar a los restos del barco, aproximadamente? b) Si enviaron otro equipo sumergible, que tardó 5 horas en llegar a los restos del barco, ¿a cuántos metros por hora descendía, aproximadamente? De profundización Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3. 1. Si a, b y c son números enteros, b ≠ 0 y b es divisor de a, ¿cuál de las siguientes expresiones resulta siempre cero? A. a • c – |a • c|

a) Aplica otra estrategia para resolver en cada caso.

B. (a : b) • c – c • (a : b)

b) Si cambiaras los números de la columna b, ¿con qué número entero es posible obtener resultado cero en (b + c) : a?

C. (a : b) – c

Unidad 1 – Números enteros

D. (a : b) • c + c • (a : b)

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 64 Y 65 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

2. Al resolver 12 – 7 • 3 – 24 : (–6) resulta : A. 29

De refuerzo

B. –13 C. –5

1. B

D. 37

3. En la expresión: (–60) : x = –12, el valor de x es:

2. D

3. A

(b + c) : a

c • (b – a)

(a – b) + c

a • (b • c)

–16

–10

–40

–5

150

A. –5

–24

B. 12

–44

–24

–208

C. 5

–9

D. 1

5. b)

4. Completa la siguiente tabla: a

–2

–9

–5

–22

–2

–1

–8

c • (b – a)

–4

6. a) 180 000 + 5000 • 14 (a – b) + c

a • (b • c)

a:b•c

a) ¿Puedes aplicar alguna propiedad de los números enteros para resolver en cada caso?, ¿cuál? b) Si cambiaras los números de la columna a, ¿con qué número entero es posible obtener resultado cero en c • (b – a)?, ¿y en (a – b) + c? 6. Camilo y Lorena son hermanos. Camilo ahorró en enero $ 12 500 y en febrero $ 18 600. Lorena en enero ahorró el doble que su hermano ese mismo mes y en febrero la tercera parte de lo ahorrado por su hermano en febrero. En marzo, entre los dos, juntaron $ 21 500. a) ¿Qué expresión permite calcular cuánto ahorraron el primer trimestre de ese año?

b) $ 250 000

7. –12 ºC. 8. a) 10 horas.

b) A 400 metros por hora.

De profundización 1. B 4.

5. A partir de los resultados obtenidos en la tabla, responde:

2. C c • (b – a)

3. C

(a – b) + c

a • (b • c)

a:b•c

–72

–8

–60

–17

135

132

–29

–968

–8

–504

–14

–8

5. a) Sí, la propiedad distributiva y propiedad asociativa. En la última columna aplicamos la prioridad de las operaciones. b) Para c • (b – a) = 0, se tiene

–1

Para (a – b) + c = 0, se tiene

b) ¿Cuánto ahorraron el primer trimestre? 6. a) (12 500 + 18 600) + (12 500 • 2 + 18 600 : 3) + 21 500 b) $ 83 800 65

Unidad 1 – Números enteros

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 30 Y 31

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN:

Buscando estrategias

Unidad 1 – Números enteros

Ítem 1: analizar, formular, aplicar y calcular. Ítems 2 y 3: seleccionar, analizar, resolver problemas y evaluar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en la Unidad; sin embargo, en estas páginas se presenta una estrategia específica para que los alumnos y alumnas la aprendan, la apliquen en otros problemas y, luego, busquen otras estrategias de resolución.

INDICACIONES SOBRE EL PROBLEMA RESUELTO Es importante que muestre a sus estudiantes que un mismo problema puede ser resuelto de distintas formas. La estrategia presentada en el Texto del Estudiante es solo una forma de dar solución a las preguntas planteadas. Otra forma de abordar el problema podría ser la siguiente: Plantear la situación como un ejercicio combinado y, luego, aplicar la prioridad de las operaciones, es decir (en miles): –12 000 – (2 • 12 000) + 3 • (12 000 + 2 • 12 000) + 18 000 + [3 • (12 000 + 2 • 12 000)] : 2 = –12 000 – 24 000 + 108 000 + 18 000 + 54 000 = 144 000

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Un grupo de 6 personas (Pablo, Francisca, Pedro, Felipe, Lorena y Cecilia) está reuniendo dinero para realizar un paseo. Han determinado que cada persona necesita $ 9500 para asistir a dicha actividad. Pablo ha juntado $ 3500, Francisca el doble de lo que ha reunido Pablo, Pedro $ 2000 más que lo reunido por Francisca, Felipe la tercera parte de lo reunido por Pedro, y Lorena y Cecilia ya juntaron el dinero necesario. a) ¿Cuánto dinero deben juntar en total? b) Si consideras el dinero reunido por el grupo de amigos, ¿cuánto les falta por reunir? Utiliza la estrategia propuesta en la página 30. (Habilidades que desarrolla: analizar, aplicar y calcular).

INDICADORES DE LOGRO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS A continuación, se presentan diferentes indicadores de logro que puede utilizar para evaluar la resolución de problemas planteados. Logro, aplicación

En proceso, logro parcial

No comprende

Comprensión del problema o situación

• Puede expresar en sus propias palabras e interpretar coherentemente el problema. • Identifica la información necesaria. • Tiene una idea acerca de la respuesta.

• • • •

Comprensión de conceptos

• Aplica correctamente reglas o algoritmos cuando usa símbolos. • Conecta cómo y por qué. • Aplica el concepto a problemas o a situaciones nuevas. • Hace y explica conexiones. • Realiza lo pedido y va más allá.

• Demuestra un entendimiento parcial o satisfactorio. • Puede demostrar y explicar usando una variedad de modos. • Está listo para hacer conexiones acerca de cómo y por qué. • Relaciona el concepto con conocimiento y experiencias anteriores. • Realiza las tareas cada vez con menos errores.

• No modela los conceptos rutinarios correctamente. • No puede explicar el concepto. • No intenta resolver el problema. • No hace conexiones.

• Revisa cálculos y procedimientos. • Puede investigar razones si existen dudas.

• No revisa cálculos ni procedimientos. • No reconoce si su respuesta es o no razonable.

Verificación de resultados • Chequea la racionalidad de los y/o progreso resultados. • Reconoce sin dar argumentos.

Copia el problema. • No entiende el problema. Identifica palabras clave. • Entiende mal el problema. Puede que interprete mal parte del problema. • Como rutina pide explicaciones. Puede que tenga alguna idea acerca de la respuesta.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm

Unidad 1 – Números enteros

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 32 Y 33

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN: Conexiones Ítem 1: analizar y calcular. Ítem 2: calcular. Ítem 3: evaluar. Ítem 4: relacionar. 68

Unidad 1 – Números enteros

Ítem 5: calcular, verificar y justificar. Ítem 6: interpretar.

Síntesis Recordar y conectar. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

La actividad de la sección CONEXIONES tiene como propósito vincular los números enteros con los fenómenos que ocurren en nuestro entorno, en este caso relacionados con la astronomía. Durante esta actividad puede comentar y discutir con sus estudiantes sobre temas relacionados con el cometa Halley, el Sol, los planetas, así como también sobre otros cometas que no podemos ver a simple vista. Más información sobre astronomía puede encontrar en la revista Astronomía Digital: www.astro-digital.com/11/cometas.html

TÉCNICA DE ESTUDIO A continuación, presentamos una técnica de estudio que le puede enseñar a los alumnos y alumnas: el cuestionario. El cuestionario consiste en plantear preguntas sobre un tema, y a través de las respuestas a esas preguntas obtener toda la información necesaria para saber de qué se trata el contenido que estudiamos, destacando las ideas fundamentales. • La creación del cuestionario debe realizarse individualmente y se sugiere que se haga en clases, para que oriente y guíe a los y las estudiantes en su trabajo. • Se deben confeccionar al menos 6 preguntas relacionadas con los temas incluidos en la Unidad, con un ejemplo numérico o un problema de aplicación en cada caso. • Las preguntas deben ser claras. • Puede revisar los cuestionarios en el curso guiando con preguntas como las siguientes: ¿cómo encuentran las preguntas planteadas?, ¿faltó alguna pregunta?, ¿cuál?

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

SUGERENCIAS RESPECTO DE LA SÍNTESIS DE LA UNIDAD Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos y alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados. Esta manera de sintetizar es una técnica de estudio que permite a los y las estudiantes consolidar, organizar y clasificar sus aprendizajes.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Construye un cuadro resumen sobre los principales temas de esta Unidad. 2. ¿Qué estrategias conoces para resolver problemas? Menciona sus pasos. 3. Inventa un ejercicio que involucre las 4 operaciones aritméticas con números enteros; luego, resuélvelo, respetando la prioridad de las operaciones. 4. Menciona y aplica dos estrategias para calcular: [(–2) + 4 – 6] • 3. 5. ¿Cómo jutificarías que (–36) : 9 = (–4)? (Habilidades que desarrollan: recordar, conectar, aplicar y calcular). De profundización 1. Construye un cuadro resumen sobre la multiplicación de números enteros. Da tres ejemplos. 2. Construye un cuadro resumen sobre la división de números enteros, involucrando el algoritmo de la división. Da tres ejemplos. 3. Inventa un problema que involucre las operaciones aritméticas con números enteros. Luego, resuélvelo, indicando la estrategia a utilizar. (Habilidades que desarrollan: recordar, conectar, formular, aplicar y calcular).

De refuerzo 1. En relación al Sol, los cometas y los planetas, responde: a) ¿Sabes a qué distancia está nuestro planeta del Sol?, ¿cómo lo supiste? b) ¿Conoces otros cometas aparte del Halley?, ¿cuáles? c) ¿Haz escuchado hablar de otros planetas?, ¿cuáles? (Habilidades que desarrollan: conectar y justificar).

Unidad 1 – Números enteros

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 34 Y 35

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: ¿Qué aprendí? Ítem 1: analizar, conjeturar y evaluar. Ítems 2 y 3: analizar, interpretar y calcular. Ítem 4: analizar, conjeturar y evaluar. Ítem 5: analizar y evaluar. 70

Unidad 1 – Números enteros

Ítem 6: evaluar y calcular. Ítem 7: calcular. Ítem 8: analizar e identificar. Ítems 9 y 10: analizar, interpretar y calcular.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

EVALUACIÓN SUMATIVA

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES

En estas páginas se presenta una evaluación sumativa bajo el nombre de ¿QUÉ APRENDÍ? Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la Unidad de Números enteros, y con esta información seguir determinadas líneas de acción, por ejemplo, volver a enseñar un contenido o realizar una actividad adicional, para que adquieran todos los aprendizajes que se pretendían con el desarrollo de esta Unidad.

• En los ítems 1 al 8, los alumnos y alumnas deben marcar la alternativa correcta; esto dificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es recomendable pedirles a los y las estudiantes que realicen el desarrollo correspondiente al lado de cada pregunta, lo que facilitará detectar si hay o no errores en las estrategias empleadas. • En los ítems 9 y 10, es conveniente pedirles a los y las estudiantes que una vez comprendido el problema y planificada la estrategia, sean ordenados en el desarrollo de este. De este modo, pueden ayudar a sus compañeros y compañeras que tienen más dificultad, o bien, en caso de cometer errores, facilitará detectarlos y corregirlos.

Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere: Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente seis preguntas. Por lograr, si contesta correctamente menos de seis preguntas.

A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzar o profundizar los contenidos trabajados en la Unidad. Usted podrá plantearles las actividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtengan en la evaluación sumativa, y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.

La siguiente se puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 9 y 10. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Resuelve correctamente cuánto Resuelve correctamente cuánto aumenta por minuto, utilizando diversas aumenta por minuto, utilizando estrategias que permiten realizar un una estrategia. trabajo más eficientemente.

Resuelve erróneamente cuánto aumenta Resuelve erróneamente cuánto por minuto, aplicando la prioridad de las aumenta por minuto, sin respetar la operaciones y confundiendo los signos. prioridad de las operacione ni la regla de los signos.

Resuelve correctamente los valores Resuelve correctamente los valores pedidos, utilizando diversas estrategias pedidos, sin explicar la estrategia usada. que permiten realizar un trabajo más eficientemente.

Resuelve erróneamente alguno de los valores pedidos, por medio de la aplicación inadecuada de la prioridad de las operaciones, respetando los signos.

Unidad 1 – Números enteros

Resuelve erróneamente los valores pedidos, por medio de la aplicación inadecuada de la prioridad de las operaciones, sin respetar los signos.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 6. 1. Al resolver (–12) : 4 • (–5) – 20 : (–2) resulta: A. 25 B. –5 C. –25 D. 5 2. Si el dividendo es –360 y el divisor es 4, entonces el cociente es: A. 90 B. –9 C. –90 D. –1 440

6. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas? I. (–18 : 3 – 4) • 2 = –20 II. (–8) + (–8) + (–8) + (–8) = 8 • 4 III.(10 – 2 • 5) : 2 = 0 A. Solo I B. Solo II C. I y III D. II y III 7. En una ciudad del sur del país se registraron las siguientes temperaturas en las fechas que se indican a continuación. Completa la tabla según la información entregada. Fecha

Temperatura mínima

27 de febrero

8 °C

13 de junio

–8 °C

Temperatura máxima

11 de noviembre

25 °C

3. El resultado de (–4) + (–4) + (–4) + (–4) + (–4) es: A. 20 B. –16 C. –20 D. 16 4. ¿Qué número dividido por –9 resulta 3? A. 3 B. –27 C. –3 D. 27

a) El 27 de febrero la temperatura máxima fue el triple de la mínima. b) El 13 de junio la temperatura máxima fue 14 ºC más que la mínima. c) El 11 de noviembre la temperatura mínima fue la quinta parte de la máxima. 8. Un buzo está a 200 metros bajo el nivel del mar; luego, baja 50 metros más y, finalmente, desciende la mitad de lo que había bajado hasta ese momento. a) ¿Qué expresión matemática permite calcular la profundidad alcanzada por el buzo? b) ¿A cuántos metros de la superficie se encontraba? 9. Martina, Andrea y Guillermo realizaron los siguientes cálculos:

5. Si x es un número entero negativo, entonces el doble de x es: I. mayor que cero. II. menor que cero. III.menor que x. A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. II y III

Unidad 1 – Números enteros

Martina 9 + (–14) • 5 = –5 • 5 = –25

Andrea 16 : [–2 – 6] = –8 – 6 = –14

Guillermo 20 : –5 • 2 = –4 • 2 = –8

• En los tres procedimientos realizados, ¿observas algún error?; ¿cuál? Corrígelo.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

10. Calcula: a) b) c) d)

4. Si a es un número entero positivo, entonces el triple de a es:

(–2 –8) : (1 – 3) = [–4 • (3 – 7) + 1] • (–2) = (–36) : 4 • (–6) : (–3) : 2 • (–4) = (–3) • [–1000 : (–10 – 90) – 50] =

I. mayor que cero. II. menor que cero. III.mayor que a. A. Solo I B. Solo II

11. Completa la siguiente tabla.

C. I y III a

–5

–3

–12

–2

–3

–18

a • (b – c)

a • (b • c)

c:a–c•b

c : b •a

D. II y III 5. Completa la siguiente tabla. Utiliza dos estrategias para resolver en cada caso. a

–5

–30

De profundización

–2

–4

–16

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 4.

–28

1. Al resolver [(–4) • 7 – 45 : (–9) + 5] • (–2), resulta: A. –36 B. 46 C. 56 D. 36

3. Si x y z son números enteros, x es el antecesor de z y –4 es el antecesor de x. ¿Cuál es el sucesor de (x • z)? A. 6 B. –7 C. –5 D. 7

Unidad 1 – Números enteros

a • (b • c)

c:a–c:b

(b • a) – (c + a)

6. Completa las secuencias numéricas. : (–5) a)

2. El resultado de la expresión (–120) : (–5) • 4 es: A. 96 B. –96 C. 6 D. –6

a • (b – c)

•

(–3)

: (–2)

•

–50 : (–7)

(–3)

: (–1)

–9 •

•

: (–2)

•

(–4)

: (–1)

7. Obtén el número –8 utilizando números del conjunto A = {–3, –2, –1, 1, 2, 3} y al menos dos operaciones aritméticas. Escribe dos formas distintas de obtener el número.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 72 Y 73 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

De profundización

De refuerzo

1. D

1. A

2. C

3. C

4. B

5. D

6. B

3. D

a • (b – c)

a • (b • c)

c:a–c:b

(b • a) – (c + a)

–165

450

–24

–128

224

–784

6. : (–5)

Martina 9 + (–14) • 5 = 9 – 70 = –61

10. a) 5

b) –34

Andrea 16 : [–2 – 6] = 16 : –8 = –2 c) 36

250

d) 120

a • (b – c)

a • (b • c)

c:a–c•b

c : b •a

–1 000

–204

–10

–48

144

–30

–108

–45

–12

–84

–4

(–3)

–50

: (–2) 150

:4 12

•

Unidad 1 – Números enteros

•

: (–7)

11.

4. C

7. a) 24 ºC b) 6 ºC c) 5 ºC 8. a) –200 – 50 –250 : 2 b) 375 metros.

2. A

4 –16

–75 •

(–3)

3 : (–2)

•

–450 : (–1)

–9 •

(–4)

9 : (–1)

–32

7. Algunas formas: (–3) • 2 + (–2) ó (–2) • 2 + (–2) • 2.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

EVALUACIÓN FINAL

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES

En las páginas 76 y 77, se presenta una evaluación fotocopiable que usted puede utilizar como evaluación sumativa de la Unidad. Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido los y las estudiantes en la Unidad de Números enteros, y con esta información determinar líneas de acción; por ejemplo, volver a enseñar un contenido o realizar una actividad adicional, para que adquieran todos los aprendizajes que se esperaba lograr en esta Unidad.

Se sugiere pedirles a sus estudiantes que realicen algún tipo de desarrollo en cada pregunta, para detectar en qué se equivocan, y ayudarlos a alcanzar los aprendizajes que se espera que logren, si fuera necesario.

SOLUCIONARIO DE LA EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE DE LAS PÁGINAS 76 Y 77

El tiempo estimado para la realización de la evaluación es 40 minutos. Este tiempo puede ser modificado según las características de sus estudiantes.

1. D

Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes, se sugiere utilizar la siguiente pauta:

9. a) –27

Ítem

Habilidades que se evalúan

Puntaje

Total

Analizar, aplicar y calcular.

2 puntos cada una

16 puntos

Analizar, evaluar, representar, aplicar y calcular.

6 puntos cada una

18 puntos

Puntaje total de la evaluación: 34 puntos Los ejercicios y problemas presentados permiten evaluar los aprendizajes alcanzados en la Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere: Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Logrado, si contesta correctamente 6 ó 7 preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente 4 ó 5 preguntas. Por lograr, si contesta correctamente menos de cuatro preguntas.

10.

2. D

3. A

4. A

5. C

6. A

7. C

8. A

b) –200

a • (b + c)

a • (b • c)

c:a•b

–5

–20

400

–10

–14

–60

–15

–3

–2

–9

–54

–6

–12

–32

–192

–12

–4

–88

–160

–10

11. a) –49

b) 6

c) –6

d) –5 y 2

e) –162

f) –5 y 0

La siguiente rúbrica se puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 9, 10 y 11. Ítem 9

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Calcula correctamente cada expresión, empleando más de una estrategia.

Calcula correctamente cada expresión. Calcula érronemente una de las expresiones, pues confunde los signos del resultado.

Calcula érronemanete cada expresión, sin respetar la prioridad de las operaciones.

Analiza, evalúa, calcula y completa correctamente la tabla, verificando las soluciones con otra estrategia.

Analiza, evalúa, calcula y completa correctamente la tabla.

Analiza, evalúa, calcula y completa erróneamente partes de la tabla.

Analiza, evalúa, calcula y completa erróneamente la tabla.

Calcula erróneamente algunas expresiones, confundiendo el sucesor de o el antecesor de o el inverso aditivo. Aplica el algoritmo de la división, confundiendo sus condiciones.

Calcula erróneamente las expresiones, confundiendo el sucesor de, el antecesor de y el inverso aditivo. Aplica el algoritmo de la división, confundiendo sus condiciones.

Calcula correctamente cada expresión, Calcula correctamente cada expresión y interpretando mentalmente el sucesor aplica el algoritmo de la división. de, el antecesor de y el inverso aditivo. Aplica el algoritmo de la división.

Unidad 1 – Números enteros

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

EVALUACIÓN

4. Si a y b son números enteros, a es el sucesor de b y –7 es el sucesor de a, ¿cuál es el antecesor de (a • b)?

Números enteros Nombre:

Curso: 8º Puntaje:

Fecha: Nota:

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. Realiza el desarrollo al lado de cada pregunta. 1. Si x es un número entero distinto de cero, el resultado de (–6) • x es: I. mayor que cero si x > 0 II. menor que cero si x > 0 III. mayor que cero si x < 0 A. B. C. D.

Solo I Solo II Solo I y II Solo II y III

2. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas? I. (–5) • 4 + 12 = –8 II. 15 : (–3) + 20 : (–5) = –3 III. (–7) • (–4) = –28 A. B. C. D.

Solo I Solo II I y II II y III

3. Un alpinista asciende una montaña 22 metros por hora durante 5 horas. Luego, durante 3 horas, asciende 28 metros por hora. ¿Cuántos metros asciende durante ese período? A. B. C. D. 76

A. B. C. D.

71 72 73 –73

5. ¿Qué número dividido por –4 resulta –20? A. 5 B. –5 C. 80 D. –80 6. Al calcular: –4 – (–25 : 5) + 2 – 15 : 3, resulta: A. –2 B. –12 C. 2 D. –4 7. Don Felipe es dueño de un negocio. El primer trimestre del año pasado obtuvo una ganancia de $ 1 500 000; el segundo trimestre perdió $ 650 000; el tercer trimestre ganó el doble de lo obtenido el primer trimestre y el cuarto trimestre obtuvo ganancias iguales a la mitad de las ganancias del primer periodo. ¿Cuál fue el saldo final del año pasado? A. B. C. D.

$ 6 650 000 $ 5 900 000 $ 4 600 000 $ 5 350 000

194 m 26 m 50 m 400 m

Unidad 1 – Números enteros – Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

8. La temperatura mínima registrada en Santiago un día de invierno a las 7:00 horas fue –5 ºC. Si la temperatura aumentó 4 ºC por hora (aproximadamente), hasta llegar a la máxima del día, que fue 27 ºC, ¿a qué hora se registró la temperatura máxima? A. B. C. D.

A las 15:00 horas. A las 14:00 horas. A las 13:00 horas. A las 16:00 horas.

II. Resuelve los siguientes ejercicios, mostrando su desarrollo. 9. Resuelve las siguientes operaciones combinadas. a) 12 : (–4) – 15 • 2 – 30 : (–5) =

10. Completa la siguiente tabla. a

–5

–20

2 –3

a • (b + c)

–10

–4

c:a•b

–14

–2 4

a • (b • c)

–54 –12

–32

–10

11. Completa con el número correspondiente en cada caso. a) Al multiplicar el sucesor de –8 por el inverso aditivo de (–7), resulta

b) Al dividir el inverso aditivo de 48 con el sucesor de (–9), resulta

c) Al dividir el antecesor de 25 con el inverso aditivo de 4, resulta

d) Si el dividendo es (–23) y el divisor es 5, entonces, el cociente es y el resto es . b) [–6 • (3 – 10) – 2] • (–5) =

e) Al multiplicar el antecesor de 19 por el inverso aditivo de 9, resulta

f) Si el dividendo es (–45) y el divisor es 9, entonces, el cociente es

Unidad 1 – Números enteros

y el resto es

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Potencias

Unidad

PROPÓSITO DE LA UNIDAD En esta Unidad se plantean diversas actividades que promueven el logro de estrategias de cálculo mental, sistematización de procedimientos, determinación y aplicación de propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. También se utilizan herramientas tecnológicas que permiten a los y las estudiantes resolver de forma eficaz diferentes tipos de problemas. Durante el desarrollo de la Unidad, se pretende que el alumno y alumna analice y comprenda diversas situaciones que se presentan a su alrededor, reconociendo la utilidad de las potencias y, con ello, la necesidad de definir y aplicar diversas estrategias para la resolución de problemas, ya sea de la vida cotidiana o del ámbito matemático en que estén involucradas las potencias y la aplicación de sus propiedades. Al final de la Unidad, aparece una evaluación en que el alumno o alumna podrá poner a prueba sus conocimientos y así saber cuánto es lo que aprendió, cuáles fueron sus errores y cómo superarlos.

ESQUEMA DE LA UNIDAD

Potencias de base entera y exponente natural se aplican las propiedades

Multiplicación y división de potencias de igual base

Multiplicación y división de potencias de igual exponente

Potencia de una potencia permiten

Resolver problemas

se extienden a

Potencias de base fraccionaria positiva y exponente natural.

Potencias de base decimal positiva y exponente natural.

asociados a

permiten

Figuras planas

Unidad 2 – Potencias

Cuerpos geométricos

Crecimiento exponencial

Decrecimiento exponencial

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

RELACIÓN ENTRE LOS CMO TRATADOS EN LA UNIDAD Y LOS DE OTROS AÑOS 7º básico

8º básico

1º medio

2º medio

Interpretación de potencias que tienen como base un número natural, una fracción positiva o un número decimal positivo y como exponente un número natural, establecimiento y aplicación en situaciones diversas de procedimientos de cálculo de multiplicación de potencias de igual base o igual exponente, formulación y verificación de conjeturas relativas a propiedades de las potencias utilizando multiplicaciones y divisiones.

Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural, determinación y aplicación de propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base entera y exponente natural, y extensión a potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.

Extensión de las propiedades de potencias al caso de base racional y exponente entero y aplicación de ellas en diferentes contextos.

Análisis de la existencia de la raíz enésima en el conjunto de los números reales, su relación con las potencias de exponente racional y demostración de algunas de sus propiedades.

Elaboración de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias de 10 con exponente entero y su aplicación para representar números decimales finitos como un producto de un número natural por una potencia de 10 de exponente entero.

Resolución de problemas en contextos diversos y significativos que involucran […], potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural, enfatizando en el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.

Resolución de problemas en contextos diversos que involucran […] potencias de base racional y exponente entero, enfatizando el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.

Interpretación de logaritmos y su relación con potencias y raíces, deducción de sus propiedades y aplicaciones del cálculo de logaritmos a la resolución de problemas en diversas áreas del conocimiento.

Resolución de problemas en contextos diversos y significativos en que se utilizan […] potencias […], enfatizando en aspectos relativos al análisis de las estrategias de resolución, la evaluación de la validez de dichas estrategias en relación con la pregunta, los datos y el contexto del problema.

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

PROPUESTA DE PLANIFICACIÓN DE LA UNIDAD

CMO Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural, determinación y aplicación de propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base entera y exponente natural, y extensión a potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.

Contenidos Potencia de base entera y exponente natural. Valor de la potencia.

Multiplicación de potencias de igual base. División de potencias de igual base.

Aprendizajes esperados • Emplear estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural. • Determinar y aplicar propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base entera y exponente natural.

Multiplicación de potencias de igual exponente. División de potencias de igual exponente. Potencia de una potencia. • Aplicar propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base fraccionaria o Potencia de base decimal decimal positiva y positiva y exponente exponente natural. natural. Potencia de base fraccionaria positiva y exponente natural.

Unidad 2 – Potencias

Actividades asociadas

Tiempo estimado: 6 a 7 semanas Tipos de Recursos evaluación didácticos

Indicadores de evaluación

En el Texto De exploración: páginas 40, 42, 44, 46, 48, 50 y 52.

• Calculan potencias de base entera y exponente natural. • Aplican propiedades relativas a la multipliDe construcción de cación y división de conceptos: páginas 41, potencias que tienen 43, 45, 47, 49, 51 y 53. base entera y De consolidación: exponente natural. página 68. • Analizan y resuelven situaciones que En la Guía Didáctica involucran potencias de De refuerzo: páginas 87, base entera y 91, 93, 95, 97, 99, 101, exponente natural. 103, 105, 106, 126 y 127.

Diagnóstica: página 38 del Texto del Estudiante.

• Tabla de datos • Computador. • Calculadora científica. Formativa: • 36 cubos de páginas 55 y 65 cartulina. del Texto del • Tijeras. Estudiante. • Pegamento. • Regla. Sumativa: • Cartulina. páginas 70 y 71 • Hoja del Texto del tamaño Estudiante, y carta. 130 y 131 de la Guía Didáctica del Docente.

De profundización: páginas 87, 91, 93, 95, 97, 99, 101, 103, 105, 106, 107 y 127.

En el Texto De exploración: páginas 56, 58, 60 y 62. De construcción de conceptos: páginas 57, 59, 61 y 63.

• Aplican propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.

• Analizan y resuelven situaciones que involucran potencias de base fraccionaria o En la Guía Didáctica decimal positiva y De refuerzo: páginas exponentenatural. 109, 111, 113, 115, 117, 118, 126 y 127. • Resuelven problemas sobre crecimiento y deDe profundización: crecimiento exponencial. páginas 109, 111, 113, De consolidación: página 68.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

CMO Resolución de problemas en contextos diversos y significativos que involucran […] potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural, enfatizando en el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.

Contenidos

Aprendizajes esperados

Crecimiento exponencial • Aplicar estrategias para resolver problemas que involucran crecimiento Decrecimiento y decrecimiento exponencial exponencial. • Resolver problemas que involucran potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.

Buscando estrategias

• Aplicar habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos diversos. • Analizar la validez de los procedimientos utilizados y de los resultados obtenidos.

Actividades asociadas

Indicadores de evaluación

Tipos de evaluación

Recursos didácticos

115, 117, 118 y 127.

En el Texto De exploración: página 66. De construcción de conceptos: página 67.

• Resuelven problemas que involucran potencias de base entera y exponente natural, empleando diversas estrategias.

De consolidación: página 68. En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 121, 126 y 127. De profundización: páginas 121 y 127.

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ERRORES FRECUENTES Errores frecuentes En el concepto de potencia pueden aparecer los siguientes errores: • En las potencias que la base es un número entero negativo, el alumno o alumna le asigna al valor de la potencia signo negativo, sin considerar si el exponente es par o impar. • En las potencias que la base es una fracción o decimal positiva, el alumno o alumna, al calcular, puede tener dificultades en la multiplicación o división. • En las potencias de base negativa, el o la estudiante podría no diferenciar casos como: –22 y (–2)2.

Cómo subsanarlos • Es conveniente recordar el cálculo de potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. • Comparar y calcular de forma paralela las potencias de base entera negativa y exponente par e impar. Destacar con distinto color, cuando los exponentes pares e impares. Por ejemplo: (–2)2 = (–2) • (–2) = 4 (–2)3 = (–2) • (–2) • (–2) = –8 • Plantear actividades en que los alumnos y alumnas identifiquen errores en ejercicios resueltos, así como también argumentar en el caso de que estén correctos. • Diferenciar y calcular casos como: –22 = – 2 • 2 = –4 (–2)2 = –2 • –2 = 4

En la multiplicación y división de potencias de igual base o igual exponente, pueden aparecer los siguientes errores: • En la aplicación de las propiedades de potencias de multiplicación o división de potencias de igual base o exponente, el alumno o alumna confunde dichas propiedades y aplica ambas a la vez. Por ejemplo: 24 • 34 = 68. • En los casos que se puede aplicar cualquiera de estas dos propiedades, el alumno o alumna aplica ambas, sin notar que puede aplicar cualquiera de las dos. Por ejemplo: 32 • 32 = 94.

• A través de actividades que le permitan al alumno o alumna comparar de forma paralela las distintas aplicaciones de las propiedades que se utilizan para resolver multiplicaciones y divisiones con igual base o exponente. • Plantear actividades en que los alumnos y alumnas identifiquen errores en ejercicios resueltos, así como también argumentar en el caso de que estén correctos. • Resolver ejercicios sin aplicar las propiedades, paso a paso y, luego, aplicar la propiedad correspondiente para comprobar los resultados obtenidos. Por ejemplo: 24 • 34 = 16 • 81 = 1296 Comprobación: 24 • 34 = 64 = 1296. • Resolver ejercicios en los que el alumno o alumna pueda escoger una de las dos propiedades para resolver y, luego, aplicar la otra propiedad para comprobar los resultados obtenidos. Por ejemplo: 32 • 32 = 32 + 2 = 34 = 81. Comprobación: 32 • 32 = (3 • 3)2 = 92 = 81.

En la potencia de una potencia puede aparecer el siguiente error: • El alumno o alumna confunde la propiedad y en vez de multiplicar los exponentes, los suma.

• Se sugiere resolver, paso a paso, por medio de casos particulares, para explicar la propiedad. Por ejemplo: 3

(22) = (2 • 2)3 = (2 • 2) • (2 • 2) • (2 • 2) = 26.

Por ejemplo: (22) = 25.

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

En la resolución de problemas, se pueden presentar los siguientes inconvenientes: • Los y las estudiantes tienen dificultades de comprensión lectora, impidiendo una buena interpretación y su posterior resolución. • Entregar solo una respuesta numérica, sin incluir la respuesta al problema planteado. • Utilización incorrecta de los datos entregados en el problema. • Los y las estudiantes olvidan analizar las soluciones obtenidas en problemas.

• Promover la resolución de problemas utilizando los pasos: comprender, planificar, resolver, responder y revisar. Con estos pasos, los y las estudiantes identificarán los datos disponibles, lo que deben encontrar, la estrategia a utilizar, así como responder y analizar la veracidad de la solución. • Plantear actividades en que los y las estudiantes tengan que identificar, en el problema resuelto, cada uno de los pasos de la estrategia propuesta.

REFERENCIAS TEÓRICAS Y CONSIDERACIONES SOBRE ALGUNOS CONTENIDOS La Matemática ofrece una diversidad de procedimientos que permiten el análisis, modelación, cálculo, medición y estimación del mundo natural y social, permitiendo relacionar los más diversos aspectos de la realidad. El aprendizaje de esta ciencia ayuda a enriquecer la comprensión de la realidad, facilita la selección de estrategias para resolver problemas y contribuye al desarrollo del pensamiento crítico y autónomo. Es por ello que las potencias han sido un tema fundamental. En la Unidad anterior se estudió multiplicación de números enteros, contenido fundamental para estudiar potencias de base entera y exponente natural, estudiado en esta Unidad. Luego, se aplican las propiedades relativas a la multiplicación y división de dichas potencias y se extienden a potencias de base fraccionaria y decimal positiva y exponente natural. Estos aprendizajes son utilizados para resolver problemas en contextos diversos y significativos por medio de diversas estrategias de resolución.

• El concepto de potencia se puede ampliar a potencias de base y exponente entero o potencias de base racional y exponente entero o exponente racional.

En esta Unidad es posible utilizar calculadora científica como una herramienta útil y práctica que permite al alumno o alumna comprobar los resultados obtenidos.

Para extender el concepto de potencia, a continuación profundizaremos en los dos primeros casos.

A continuación, se presentan algunas referencias teóricas acerca de las potencias y sus propiedades.

• El factor repetido (a) se denomina base y el número que indica la cantidad de veces que se multiplica (n) se llama exponente. • La potencia an se lee “a elevado a n”. El producto resultante se denomina valor de la potencia. Exponente

Ejemplo: (–4)3 = (–4) • (–4) • (–4) = –64 Base

Potencia de base y exponente entero Si a y b son números enteros con a ≠ 0, entonces se tiene que: ab = a • a • … • a

• Una potencia es la multiplicación de un factor por sí mismo, tantas veces como indique el exponente. Es decir, an = a • a • … • a n factores

Unidad 2 – Potencias

con a número entero y n número natural

Valor de la potencia

b factores

a–b = (a–1) =

( a1) = 1a = a1 b

Ejemplos: 1. (–3)5 = –3 • –3 • –3 • –3 • –3 = –243

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

2. 8–3 =

3. (–2)–2 =

1 1 = 8 i 8 i 8 512

División de potencias de distinta base e igual exponente El cociente de dos potencias de distinta base e igual exponente equivale a una potencia de igual exponente y de base igual al cociente entre la base del dividendo y la base del divisor. Es decir, am : bm = (a : b)m

1 1 1 = = ( −2)2 −2 i − 2 4

Potencia de base racional y exponente entero Si a y b son números enteros distintos de cero y n un número entero, entonces:

() a b

()

a a a a = i i...i = n b b b b

a b

−n

n factores

Ejemplo:

()

b 1 1 b = = = a n an an a n b b

()

• Al calcular potencias es importante que tenga en cuenta algunas consideraciones:

( 34 ) = ( 43 ) = 169 −2

• El valor de una potencia de exponente cero y base distinta de cero es 1. Es decir, a0 = 1, a ≠ 0 Ejemplos: 20 = 1

Potencia de una potencia La potencia de una potencia equivale a la base elevada al producto de los exponentes. Es decir, m (an) = an • m

( 53 ) = 1 0

PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS Para todo a, b ∈ y n, m ∈ , se cumplen las siguientes propiedades:

– La adición iterada de un mismo número puede escribirse en forma de producto, por ejemplo: 5 + 5 + 5 = 5 • 3 = 15. En cambio, la multiplicación de factores iguales, como: 5 • 5 • 5, puede escribirse como potencia, es decir, 5 • 5 • 5 = 53 = 125. En general: n • a ≠ an – No son distributivas respecto a la adición y sustracción, por ejemplo: (2 + 4)2 = 62 = 36. En cambio: 22 + 42 = 4 + 16 = 20. En general: (a ± b)n ≠ an ± bn – No son conmutativas, excepto cuando la base y el exponente tienen el mismo valor (como 33), por ejemplo: 23 = 8. En cambio 32 = 9. En general: ab ≠ ba – Observe y diferencie los siguientes casos: 3

Multiplicación de potencias de igual base El producto de dos o más potencias de igual base equivale a una potencia con la misma base y exponente igual a la suma de los exponentes de los factores. Es decir, an • am = an + m División de potencias de igual base El cociente de dos potencias de igual base equivale a una potencia con la misma base y exponente igual a la diferencia entre los exponentes del dividendo y del divisor. Es decir, an : am = an – m Multiplicación de potencias de distinta base e igual exponente El producto de dos o más potencias de distinta base e igual exponente equivale a una potencia de igual exponente y base igual al producto de las bases de los factores. Es decir, am • bm = (a • b)m 84

Unidad 2 – Potencias

b) ( 2

)

a) 2 = 2 = 256

= 2 = 64

• Las propiedades de las potencias, estudiadas en este curso, se pueden aplicar en casos en que, para facilitar los cálculos, es conveniente representar números grandes como un producto de un número natural por una potencia de 10 de exponente natural, estudiado en 7º Básico. Por ejemplo:

(

)(

)

9 4000 i 5 000 000 4 i10 i 5 i 10 20 i 10 = = = 7 7 10 000 000 1 i 10 10

20 • 109 – 7 = 20 • 102 = 2 • 101 • 102 = 2 • 103 En estos casos, en que se pueden escribir los números de forma abreviada, utilizando potencias de base 10, se puede usar notación científica.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

• Un número real x escrito en notación científica, es de la forma: x = a • 10n, con 1 ≤ a < 10 y n un número entero Ejemplos:

En los siguientes ejemplos, se muestran dos funciones exponenciales y su representación gráfica. x

f(x) = 2x con x ∈ , es creciente

400 000 000 = 4 • 108

g(x) =

冢冣

1 con x ∈ , es decreciente 3

0,0005 = 5 • 10–4 Más información acerca de las potencias y ejercicios: • Manual esencial. (2008). Números. Aritmética y álgebra (p. 104–117). Santiago: Santillana. En las páginas 60, 61, 62 y 63 del Texto del Estudiante se trabajan los conceptos de crecimiento y decrecimiento exponencial. Cabe destacar que dichos conceptos son tratados de forma simple, pues se estudiarán con profundidad en cursos posteriores. En estas páginas se mencionan algunas funciones exponenciales, como f(x) = 2x x 1 y g(x) = , con dominio en los números naturales más el cero. Además, se men3 cionan algunos conceptos relacionados a las funciones, como variables dependientes e independientes, pero se introducen sin ser definidos formalmente, pues la idea es que el alumno o alumna se familiarice con ellos de forma natural e intuitiva.

冢冣

A continuación, se presentan algunas referencias teóricas sobre función exponencial, crecimiento y decrecimiento exponencial. Función exponencial Una función exponencial es toda función cuya variable se encuentre en el exponente de una potencia. En general, una función exponencial es de la forma f(x) = ax, con a ∈ + – {1} y x ∈ . Esta función posee las siguientes características: • • • •

El dominio de la función son los números reales. El recorrido de la función son los números reales positivos. La curva asociada a la función interseca al eje de las ordenadas en el punto (0, 1). Si a > 1, la función es creciente y si 0 < a < 1, la función es decreciente.

Una función se dice creciente si x1 < x2, entonces f(x1) < f(x2). En cambio, si cuando x1 < x2, se tiene que f(x1) > f(x2), la función se dice que es decreciente.

El caso particular p(x) = 1x, con x ∈ , corresponde a una función constante, por lo que no se habla de función exponencial. Crecimiento exponencial Si el crecimiento de las variables se puede modelar mediante la función f(x) = c • ax, con c > 0, a > 1, se dice que crecen exponencialmente, o bien, que presentan un crecimiento exponencial. Por ejemplo: el número de un tipo de bacterias de un cultivo está dado por la fórmula B(t) = 600 • e0,55 • t, donde t se mide en horas. Decrecimiento exponencial Si el decrecimiento de las variables se puede modelar mediante la función g(x) = c • ar • x, con c > 0, a > 1 y r < 0, se dice que decrecen exponencialmente, o bien, que presentan un decrecimiento exponencial. Por ejemplo: la cantidad de un tipo de sustancia radiactiva en un organismo muerto que queda después de x años está dada por P(t) = 500 • e–0,000115 • x mg.

Bibliografía • Artigue, M. (1995). Ingeniería didáctica en educación matemática. México: Grupo Editorial Iberoamérica. • Duval, R. (2004). Semiosis y Pensamiento Humano. Cali: Universidad del Valle.

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 36 Y 37

Las bacterias son los organismos más abundantes del planeta; crecen en el suelo, en desechos radioactivos, incluso en las profundidades del mar; están presentes en todo hábitat de la Tierra. En la industria, son importantes para producir queso, yogur, mantequilla, entre otros. Algunas de ellas pueden causar graves enfermedades infecciosas; para estudiar las bacterias causantes de enfermedades y los

Unidad 2 – Potencias

antibióticos sensibles a dichas bacterias, se siembran en medios de cultivo especiales. Con esto, se pretende utilizar el propio entorno como medio de exploración y análisis, activar sus conocimientos y experiencias previas.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Estas preguntas se enmarcan en una situación real, que requiere reflexión y asociación con la actividad inicial de la Unidad. Se pretende que, a través de la imagen, la información entregada al respecto, las preguntas planteadas y su propia experiencia, los alumnos y alumnas reconozcan que, en ciertos casos, se pueden usar las potencias para resolver problemas y facilitar los cálculos.

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN: Conversemos de... Ítems 1, 2 y 3: analizar, representar y calcular.

APRENDIZAJES ESPERADOS DE LA UNIDAD En la sección EN ESTA UNIDAD PODRÁS… se explicitan los aprendizajes que se espera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad. Se sugiere que los lea en voz alta y, luego, puede preguntarles qué saben sobre las potencias, el cálculo de estas y la resolución de problemas. Con las ideas que surjan a partir de los y las estudiantes puede hacer un esquema o mapa semántico en la pizarra; esto le permitirá obtener información respecto de sus conocimientos previos y, a la vez, les permitirá recordar los conceptos trabajados en años anteriores, los que les servirán para lograr los aprendizajes esperados de esta Unidad.

ACTIVIDAD INICIAL Se recomienda que los alumnos y alumnas comenten la imagen y respondan preguntas como las siguientes: • ¿Qué significa que el número de bacterias se duplica cada media hora? • ¿Cuál será la cantidad de bacterias al cabo de media hora?, ¿por qué? Es conveniente que tenga más de una estrategia para resolver el problema; una de ellas, con una tabla que muestre la cantidad de bacterias por período de tiempo (30 min), o bien, utilizando la función: y = 10 000 • 2x, donde x representa los períodos de tiempo, que son de media hora e y es la cantidad de bacterias (las funciones se estudiarán más adelante); también podría explicar el crecimiento de la población bacteriana utilizando un gráfico. Por ejemplo, si utiliza el procedimiento con tabla: Período de tiempo (30 min)

INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA PARA DOCENTES Es conveniente que esté informado o informada sobre los siguientes conceptos para el desarrollo de la actividad exploratoria. Las bacterias son los seres vivos más pequeños y más simples desde el punto de vista estructural. A pesar de su simplicidad estructural, las bacterias son seres complejos y diversificados desde un punto de vista bioquímico, lo que ha permitido su adaptación a las más variadas condiciones de vida. Aunque muchas especies tienen formas irregulares, en general, las bacterias presentan algunas formas básicas: las cocáceas o cocos (forma esférica); los bacilos (forma cilíndrica); las espiroquetas (forma de espiral), y los vibriones (forma de coma). Las bacterias se reproducen por simple división. De esta manera, a partir de una bacteria progenitora se generan dos bacterias hijas y, si cada una de estas se duplica, luego existirán cuatro. La cantidad de bacterias presentes en un medio determinado, donde existan condiciones óptimas de nutrientes, temperatura, luminosidad, entre otros factores, puede aumentar en el tiempo en forma exponencial (1, 2, 4, 8, 16, etc.).

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Un cultivo se inicia con 4000 bacterias, las que se duplican cada dos horas. a) ¿Cuántas bacterias hay después de 4 horas? b) ¿Después de cuantas horas hay 128 000 bacterias? (Habilidades que desarrolla: analizar, representar y calcular).

Cantidad de 10 000 • 20 = 10 000 10 000 • 21 = 20 000 10 000 • 22 = 40 000 bacterias

De profundización 1. En un laboratorio de microbiología un cultivo de bacterias comenzó a las 9:30 horas y se inicia con 500 bacterias, las que se duplican cada una hora.

Para explorar los conocimientos de los y las estudiantes, puede realizar las siguientes preguntas:

a) ¿Cuántas bacterias hay a las 12:30 horas del mismo día? b) ¿A qué hora hay 256 000 bacterias?

• ¿Qué enfermedades pueden causar las bacterias? • ¿Existen enfermedades mortales causadas por bacterias?, ¿cuáles? • ¿Para qué se utilizan los antibióticos?

(Habilidades que desarrolla: analizar, representar, conectar y calcular).

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 38 Y 39

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA Esta evaluación diagnóstica es una herramienta útil para determinar los conocimientos previos de los alumnos y alumnas; tiene como título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios: Ítem 1: representar como potencia expresiones en lenguaje natural. Ítem 2: representar como multiplicación una potencia. 88

Unidad 2 – Potencias

Ítem 3: representar como multiplicación una potencia y calcular su valor. Ítem 4: analizar igualdades con potencias e identificar el exponente que falta. Ítem 5: resolver problemas que involucran potencias y justificar la estrategia empleada. Ítem 6: resolver un problema que involucra una potencia de base y exponente natural.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: ¿Cuánto sabes? Ítems 1 y 2: representar. Ítem 3: representar y calcular. Ítem 4: analizar e identificar. Ítem 5: analizar, resolver problemas, calcular y justificar. Ítem 6: analizar y calcular.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En los ítems 1, 2 y 3, pueden confundir la base con el exponente. Es recomendable recordar que el exponente indica la cantidad de veces que se repite el factor. • En el ítem 4, la incógnita está en el exponente. Es conveniente que escriban el valor de la potencia, como potencia, pues de este modo encontrarán el exponente que

falta. Es una aproximación intuitiva a las ecuaciones exponenciales, que se estudiarán en cursos posteriores. • En el ítem 5, se pide la justificación de la estrategia empleada, lo que podría ser complejo para el alumno o la alumna. Para ello, se recomienda que continuamente justifiquen sus respuestas, como una forma de verificar que comprenden lo que están realizando y desarrollar en ellos habilidades comunicativas para argumentar, exponer ideas y opiniones bien fundamentadas. • En el ítem 6, el número de personas podría ser un distractor para los y las estudiantes. Si es necesario, sugiera que empleen diversas estrategias, como dibujos, o bien, un diagrama de árbol. • Se sugiere corregir en conjunto con los y las estudiantes la sección ¿CUÁNTO SABES? y analizar los errores cometidos para corregirlos. De este modo, podrá evidenciar los aprendizajes ya adquiridos por los alumnos y alumnas y los que aún no se adquieren.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para diagnosticar a sus estudiantes. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Escribe correctamente las potencias correspondientes, agregando otros ejemplos pertinentes.

Escribe correctamente las potencias correspondientes, aplicando su definición.

Escribe erróneamente algunas de las potencias, confundiendo la base con el exponente.

Escribe erróneamente todas las potencias, confundiendo la base con el exponente.

Escribe correctamente el desarrollo de las potencias, agregando otros ejemplos pertinentes.

Escribe correctamente el desarrollo de las potencias, aplicando la definición de potencia.

Escribe erróneamente el desarrollo de algunas de las potencias, confundiendo la base con el exponente.

Escribe erróneamente el desarrollo de todas las potencias, confundiendo la base con el exponente.

Escribe como multiplicación de factores iguales y calcula correctamente las potencias, empleando una estrategia mental.

Escribe como multiplicación de factores iguales y calcula correctamente las potencias, aplicando la definición de potencia.

Escribe como multiplicación de factores iguales y calcula erróneamente alguna de las potencias, confundiendo la base con el exponente.

Escribe como multiplicación de factores iguales y calcula erróneamente todas las potencias, confundiendo la base con el exponente.

Identifica correctamente los exponentes, usando una estrategia mental.

Identifica correctamente los exponentes, aplicando la definición de potencia.

Identifica correctamente algunos de Identifica erróneamente todos los los exponentes, aplicando la definición exponentes, aplicando la definición de potencia. de potencia.

Resuelve correctamente los problemas dados, indicando de forma detallada cada uno de sus pasos y justificando la estrategia empleada.

Resuelve correctamente los problemas dados, indicando de forma detallada cada uno de sus pasos sin justificar la estrategia empleada.

Resuelve erróneamente uno de los problemas dados, calculando de forma incorrecta y sin responder todas las preguntas planteadas en cada uno de ellos.

Resuelve correctamente el problema, indicando detalladamente los pasos de resolución.

Resuelve correctamente el problema; Resuelve erróneamente el problema, no indica todos los pasos de resolución. calculando de forma incorrecta la potencia.

Unidad 2 – Potencias

Resuelve erróneamente cada uno de los problemas dados, calculando de forma incorrecta, sin responder todas las preguntas planteadas en cada uno de ellos, y no justifica la estrategia empleada. Resuelve erróneamente el problema, confundiendo la base con el exponente al calcular. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 40 Y 41

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural […].

Para discutir

Unidad 2 – Potencias

Ítem 1: calcular y justificar. Ítem 2: representar y analizar. Ítem 3: analizar, representar y justificar. Ítem 4: representar, calcular y justificar. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

pescado carne pollo

Actividades Ítem 1: representar. Ítem 2: representar y calcular. Ítem 3: analizar e identificar. Ítem 4: evaluar, calcular, analizar y justificar.

crema

pescado carne pollo

consomé Menú

ensalada

pescado carne pollo

ACTIVIDAD INICIAL Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y están orientadas a ampliar el concepto de potencia a los números negativos, es decir, a las potencias de base entera y exponente natural. Esta actividad pretende que el alumno o alumna relacione sus conocimientos previos, asociados a las potencias de base y exponente natural, y los utilice para calcular y escribir potencias de base entera y exponente natural. Además, aplicarán lo aprendido en la Unidad 1 sobre multiplicación de números enteros.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Antes de comenzar el ítem 1, pregunte a los alumnos y alumnas cómo se escribirían en forma de potencia algunas multiplicaciones de factores iguales y, luego, pídales que las resuelvan. Las multiplicaciones podrían ser: 2 • 2 • 2 y 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5. Permítales que comparen las respuestas obtenidas. • En el ítem 2, puede pedir a los y las estudiantes que comparen los valores de las potencias con el resto de sus compañeros y compañeras y, luego, determinar cuál es la solución correcta en cada caso. • En el ítem 3, al no tratarse de un cálculo de potencias propiamente tal, sino que, deben encontrar el exponente, podrían confundirse. Es conveniente que escriban el valor de la potencia, como potencia, para encontrar el exponente que falta. Es una aproximación intuitiva a las ecuaciones exponenciales, que se estudiarán en cursos posteriores. • En el ítem 4, guíe a los alumnos y alumnas para que puedan dar respuesta a las preguntas planteadas mostrando, si es necesario, algunos ejemplos concretos. Luego, comparen las respuestas en conjunto para llegar a una puesta en común.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Recuerde a los y las estudiantes el diagrama de árbol, pues les servirá para resolver la situación inicial propuesta u otras similares; incluso su utilidad va más allá de las potencias; servirá para las probabilidades, más adelante. Podría hacer una parte del diagrama de árbol en la pizarra, para que los alumnos y alumnas lo terminen en sus cuadernos. Por ejemplo:

Unidad 2 – Potencias

• Destaque la diferencia entre casos como: –42 y (–4)2, pues –42 = –16 y (–4)2 = 16. Para generalizar, puede escribir: Si a es un número natural y b es un número natural y par, entonces: –ab ≠ (–a)b

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Completa la siguiente tabla. Se lee

Potencia

Multiplicación de factores iguales

Valor de la potencia

Menos cuatro elevado a tres

–32 (–7) • (–7) • (–7) • (–7) • (–7) 27 (Habilidades que desarrolla: interpretar, representar, aplicar y calcular). De profundización 1. Completa la siguiente tabla. a

–2

–4

–2

–5

–1

(a + b)2

a2 + b2

(a – b)2

a2 – b2

(Habilidades que desarrolla: evaluar y calcular).

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 42 Y 43

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural […].

Para discutir

Unidad 2 – Potencias

Ítems 1 y 2: analizar y justificar. Ítem 3: analizar, generalizar y justificar. Ítem 4: analizar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Actividades

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

Ítem 1: calcular. Ítem 2: analizar y justificar. Ítem 3: calcular y clasificar.

De refuerzo 1. Calcula el valor de cada potencia y, luego, ordena los valores obtenidos en orden creciente.

Herramientas tecnológicas Usar herramientas y verificar.

ACTIVIDAD INICIAL Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y están orientadas a emplear estrategias de cálculo mental y escrito en el uso de potencias de base entera y exponente natural. Esta actividad pretende que el alumno o alumna generalice respecto de la relación del exponente con el signo del valor de la potencia, cuando estas tienen base entera.

a) b) c) d) e) f)

42 = (–1)10 = (–2)7 = (–2)2 = (–11)3 = 1003 =

2. Une cada potencia con el valor correcto.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, si algunos alumnos o alumnas no pueden realizar el cálculo mental, permítales que escriban las potencias como multiplicaciones de factores iguales y, luego, calculen. • En el ítem 2, puede perdirles a los y las estudiantes que expliquen sus estrategias empleadas al resto del curso; cómo determinaron si las expresiones son o no verdaderas, promueva el debate entre los alumnos y alumnas. Si es necesario, sugiera que evalúen casos particulares, por ejemplo, en la primera afirmación, podrían analizar a partir de: 24 = 16 y (–2)4 = 16. • En el ítem 3, pregunte a los alumnos y alumnas si pueden comparar las potencias sin calcular su valor, solo analizando cada una, para favorecer el cálculo mental. Luego, pregunte cómo lo hicieron y, si es necesario, escriba más ejercicios de este tipo en la pizarra.

a) 2 + 2 + 2 + 2 = 2 • 4 = 8

b) 2 • 2 • 2 • 2 = 24 = 16

–8

–27

(–3) 3

(–2)

(Habilidades que desarrollan: calcular, ordenar y relacionar). De profundización 1. Completa la siguiente tabla. Base

Exponente

Potencia

Valor de la potencia

–2

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Recuerde a los alumnos y alumnas la diferencia entre adición de sumandos iguales (estudiada en la Unidad 1) y multiplicación de factores iguales. Puede utilizar los siguientes ejemplos:

(–3)2

64 2

121

–243

–4

256

–5

–125

(Habilidades que desarrolla: analizar, identificar y calcular).

Para gereralizar en estos casos, puede mencionar que, si a es un número entero y b un número natural, entonces: a • b ≠ ab

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 44 Y 45

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural, determinación y aplicación de propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base entera y exponente natural, […].

Para discutir

Unidad 2 – Potencias

Ítem 1: formular y justificar. Ítems 2 y 3: analizar y justificar. Ítem 4: representar, analizar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Actividades Ítem 1: aplicar y calcular. Ítem 2: reconocer. Ítem 3: representar y aplicar. Ítem 4: aplicar y calcular. Ítem 5: analizar, aplicar y calcular.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Escribe cada multiplicación como una sola potencia. a) 3 • 35 • 33 = b) (–10)3 • (–10)5 • (–10)4 = c) (–9)6 • (–9)9 • (–9)5 = d) 114 • 119 = 2. Transforma a potencias de igual base y, luego, expresa el resultado como una sola potencia. a) 64 • (–512) = b) 10 • 100 • 10 000 =

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Antes de comenzar el ítem 1, se sugiere que plantee a los y las estudiantes expresiones con potencias de base y exponente natural, pues, a partir de sus conocimientos previos, podrán integrar el conocimiento nuevo. • En el ítem 2, para comprobar que los resultados obtenidos son correctos, los alumnos y las alumnas pueden utilizar calculadora científica para calcular el valor de cada potencia. • En el ítem 3, recuerde que si el valor de la potencia es positivo, la base puede ser positiva o negativa; si se trata de este último caso, el exponente es par, como en: 25 • (–125) = (–5)2 • (–5)3 = (–5)5. • En el ítem 4, mencione a los alumnos y alumnas que la propiedad de potencias estudiada se aplica en la multiplicación de potencias de igual base, y no en la adición de potencias de igual base. Por ejemplo: 22 + 23 ≠ 22 • 23, pues 22 + 23 = 4 + 8 = 12 y 22 • 23 = 25 = 32. • En el ítem 5, mencione a los alumnos y alumnas que las situaciones se podrían resolver empleando otros procedimientos, como el diagrama de árbol, pero que en casos como estos, es más conveniente usar potencias y sus propiedades para facilitar los cálculos.

c) 64 • (–32) • 16 = d) (–216) • 36 = (Habilidades que desarrollan: representar, aplicar y calcular). De profundización 1. Determina el valor de x para se cumpla cada igualdad. a) 4x • 42 = 4096 b) 5 • 5x • 52 = 3125 c) (–2)3 • (–2)x = –128 d) (–3)x • (–3)3 = 729 e) (–2)4 • (–2)3 • (–2)x = 256 f) (–6)x • (–6) = –216 (Habilidades que desarrolla: aplicar, identificar y calcular).

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Para la comprensión de esta propiedad de las potencias, es conveniente que desarrolle casos particulares en la pizarrra, paso a paso, con potencias de igual base para explicar dicha propiedad. Por ejemplo: 52 • 53 = (5 • 5) • (5 • 5 • 5) = 55 = 52 + 3 (–7)4 • (–7)2 = (–7 • –7 • –7 • –7) • (–7 • –7) = (–7)6 = (–7)4 + 2

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 46 Y 47

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

Para discutir

Unidad 2 – Potencias

Ítem 1: calcular y justificar. Ítem 2: representar y relacionar. Ítem 3: analizar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Actividades

para explicar dicha propiedad. Además, destaque que una división también puede escribirse como fracción. Por ejemplo:

Ítem 1: aplicar, calcular y usar herramientas. Ítem 2: analizar e identificar. Ítem 3: representar y aplicar. Ítem 4: interpretar, aplicar y calcular.

55 : 52 =

5i5 i5 i5 i5 = 53 = 55 – 2 5i5

• Mencione que en este curso aplicarán la propiedad solo cuando el exponente del dividendo es mayor que el exponente del divisor. La ampliación a potencias de base racional y exponente entero la estudiarán en 1º Medio. Por ejemplo: 2

2–4

冢12冣 : 冢12冣 = 冢12冣

–2

冢12冣

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

De refuerzo

• En el ítem 1, los y las estudiantes deben comprobar los resultados obtenidos usando calculadora científica. Para calcular usando dicha herramienta teconológica, deben calcular el valor de cada potencia con la calculadora y, luego, dividir estos valores. • En el ítem 2, los alumnos y alumnas pueden verificar usando calculadora científica; puede enseñarles a ingresar la expresión completa en la calculadora, en vez de calcular el valor de cada potencia una a una. Debe ingresar la expresión de la siguiente forma:

1. Escribe las siguientes expresiones como una sola potencia y calcula su valor.

∧

a) 37 : 33 = b) (–11)7 : (–11)4 = c) 125 : 125 = d) (–8)10 : (–8)8 = 2. Resuelve las siguientes divisiones, usando las potencias y la propiedad aprendida. a) 1000 : 102 = b) 64 : (–32) =

No olvide que si la potencia tiene base negativa, debe usar los paréntesis de la calculadora. • En el ítem 3, es conveniente que recuerde a los y las estudiantes que si el valor de la potencia es positivo, la potencia puede ser de base negativa con exponente par. Por ejemplo: 25 = (–5)2. • En el ítem 4, deben calcular el área de los rectángulos; para ello, recuerde que el área de un rectángulo se calcula multiplicando el largo por el ancho. Además, para calcular el área del rectángulo azul debe aplicar la propiedad estudiada anteriormente, es decir: 24 • 23 = 27

c) 81 : (–9) = d) (–216) : 36 = (Habilidades que desarrollan: aplicar, representar y calcular). De profundización 1. Determina el valor de x, en cada caso, para que se cumplan las igualdades. a) 54 : 5x = 25 b) (–2)8 : (–2)x = –32 c) (–10)x : (–10)4 = 1000 000

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

d) 83 : 8x = 64

• Para la comprensión de esta propiedad de las potencias, es conveniente que desarrolle casos particulares en la pizarrra, paso a paso, con potencias de igual base

e) (–2)x : (–2)5 = –8 f) (–2)x : (–2)5 = 16 (Habilidades que desarrolla: identificar, aplicar y calcular).

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 48 Y 49

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

Para discutir

Unidad 2 – Potencias

Ítem 1: analizar. Ítem 2: representar y conectar. Ítem 3: calcular y conectar. Ítem 4: calcular, reconocer y justificar. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Actividades

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

Ítem 1: aplicar. Ítem 2: aplicar y calcular. Ítem 3: calcular y analizar. Ítem 4: interpretar, aplicar y calcular.

• Para la comprensión de esta propiedad de las potencias, es conveniente que desarrolle casos particulares en la pizarra, paso a paso, con potencias de igual exponente para explicar dicha propiedad. Por ejemplo:

ACTIVIDAD INICIAL Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y están orientadas a determinar y aplicar una propiedad de las potencias; cuando se multiplican potencias de igual exponente. Esta actividad pretende que el alumno o alumna aplique dicha propiedad en potencias cuya base y exponente es natural y, luego, que analice si se puede ampliar a potencias de base entera y exponente natural. Es conveniente que antes de analizar la actividad inicial, recuerde que para calcular el volumen de un paralelepípedo se multiplica el ancho por el largo por el alto. Por otro lado, recuerde que la multiplicación entre dos números enteros es conmutativa, es decir, (2 • 2) • (3 • 3) = (2 • 3) • (2 • 3).

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, para comprobar que los resultados obtenidos son correctos al aplicar la propiedad estudiada, pídales a los y las estudiantes que resuelvan paso a paso cada expresión, sin aplicar la propiedad. Por ejemplo: 34 • 44 = (3 • 3 • 3 • 3) • (4 • 4 • 4 • 4) = (3 • 4) • (3 • 4) • (3 • 4) • (3 • 4) = (3 • 4)4 = 124 • En el ítem 2, sería conveniente que los y las estudiantes verifiquen que los resultados obtenidos son correctos, usando calculadora científica. Para calcular, usando dicha herramienta teconológica, deben calcular el valor de cada potencia con la calculadora y, luego, multiplicar los valores obtenidos. • En el ítem 3, pregunte a los alumnos y alumnas la estrategia empleada para responder; discutan al respecto para hacer una puesta en común. En los casos en que las bases son iguales y los exponentes también lo son, se pueden aplicar ambas propiedades, pues, si a es un número entero y n un número natural, entonces: b

b+b

a) 72 • 52 = (7 • 7) • (5 • 5) = (7 • 5) • (7 • 5) = (7 • 5)2 = 352 b) (–2)3 • (–5)3 = (–2 • –2 • –2) • (–5 • –5 • –5) = (–2 • –5) • (–2 • –5) • (–2 • –5) = (–2 • –5)3 = 103 • Es importante recordar que un prisma es un poliedro que tiene dos caras basales paralelas e iguales y sus caras laterales son paralelógramos. La línea que se forma al intersectarse dos caras es una arista. Los puntos donde concurren tres aristas se llaman vértices. Los prismas rectos son aquellos en que sus caras basales son perpendiculares a sus caras laterales.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Escribe las siguientes expresiones como una sola potencia y calcula su valor. a) 27 • 37 = b) (–11)5 • (–10)5 = c) 125 • 125 = d) (–10)10 • (–1)10 = 2. Resuelve las siguientes multiplicaciones usando las potencias y la propiedad aprendida. a) 1000 • 53 = b) 64 • 36 = c) 92 • 16 = d) (–216) • (–2)3 = (Habilidades que desarrollan: aplicar, representar y calcular).

ab •

a =a

ab •

a = (a • a)b = (a2) = a2b (multiplicación de potencias de igual exponente)

= a (multiplicación de potencias de igual base)

• En el ítem 4, deben calcular el área y volumen del rectángulo y prisma recto, respectivamente; para ello, recuerde que el área de un rectángulo se calcula multiplicando el largo por el ancho y el volumen multiplicando el ancho por el largo por el alto.

De profundización 1. Determina el valor de x en cada caso, para que se cumplan las igualdades. a) 54 • x4 = 10 000 b) (–2)3 • x3 = –216 c) x2 • (–6)2 = 3600 d) 23 • x3 = 64 (Habilidades que desarrolla: identificar, aplicar y calcular).

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 50 Y 51

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

Para discutir

100

Unidad 2 – Potencias

Ítem 1: calcular y justificar. Ítem 2: representar y calcular. Ítem 3: calcular y conectar. Ítem 4: calcular, reconocer y justificar. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Actividades

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

Ítem 1: aplicar. Ítems 2 y 3: aplicar y calcular. Ítems 4 y 5: resolver problemas, analizar, aplicar y calcular.

De refuerzo 1. Escribe las siguientes expresiones como una sola potencia y calcula su valor. a) 126 : 36 =

b) 1105 : (–10)5 = c) 125 : 125 = d) (–10)6 : (–1)6 = 2. Resuelve las siguientes divisiones usando las potencias y la propiedad aprendida. a) 1000 : 53 = b) –216 : 23 =

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, para verificar que la potencia obtenida es correcta al aplicar la propiedad, pida a los alumnos y alumnas que resuelvan paso a paso las expresiones, sin aplicar la propiedad. • En el ítem 2, sería conveniente que los y las estudiantes verifiquen que los resultados obtenidos son correctos usando calculadora científica. Para calcular usando dicha herramienta teconológica, deben determinar el valor de cada potencia con la calculadora y, luego, dividir los valores obtenidos. • En el ítem 3, se sugiere recordar a los y las estudiantes la prioridad de las operaciones, es decir, primero paréntesis, luego, multiplicación y división y, finalmente, adición y sustracción. • En los ítems 4 y 5, una vez resueltos los problemas, pida a los alumnos y alumnas que verifiquen las soluciones obtenidas; para ello deberán aplicar una de las propiedades de potencias estudiada en las páginas anteriores (multiplicación de potencias de igual exponente), o bien, las pueden verificar usando un diagrama de árbol.

c) (–16)2 : 4 = d) (–100 000) : (–2)5 = (Habilidades que desarrollan: aplicar, representar y calcular). De profundización 1. Determina el valor de x en cada caso, para que se cumplan las igualdades. a) 104 : x4 = 625 b) (–12)3 : x3 = –27 c) x6 : 26 = 1 000 000 d) (–20)3 : x3 = –64 (Habilidades que desarrolla: identificar, aplicar y calcular).

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Para la comprensión de esta propiedad de las potencias, es conveniente que desarrolle casos particulares en la pizarra, paso a paso, con potencias de igual exponente para explicar dicha propiedad. Por ejemplo: 2

( )

202 : 52 = 20 = 20 i 20 = 20 i 20 = 20 2 5i5 5 5 5 5

= (20 : 5)2 = 42

( ) =4

3 (–12)3 : (–3)3 = ( −12) = −12 i − 12 i −12 = −12 i −12 i −12 = −12 −3 i −3 i −3 −3 −3 −3 −3 ( −3)3

101

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 52 Y 53

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

Para discutir

102

Unidad 2 – Potencias

Ítem 1: evaluar y comprobar. Ítem 2: analizar y seleccionar. Ítem 3: calcular y conectar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Actividades

• Sobre los prismas rectos es importante tener presente lo siguiente: si la base tiene n lados, entonces el número de caras del prima es n + 2, el de aristas es 3n y el número de vértices es 2n.

Ítem 1: representar y aplicar. Ítem 2: aplicar y calcular. Ítem 3: aplicar e identificar. Ítem 4: aplicar y representar. Ítem 5: analizar, justificar y verificar.

• El volumen de un cuerpo indica la medida que ocupa dicho cuerpo en el espacio.

ACTIVIDAD INICIAL

• El área de cada cara de un cubo cuya arista mide a, es igual a2.

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y están orientadas a determinar y aplicar una propiedad de las potencias; la potencia de una potencia. Esta actividad pretende que el alumno o alumna aplique dicha propiedad en potencias cuya base y exponente es natural y, luego, que analice si se puede ampliar a potencias de base entera y exponente natural.

• El área total de un cubo cuya arista mide a, es igual es 6 • a2.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Antes de comenzar el ítem 1, es conveniente recordar que un cubo es un prisma formado por 6 caras cuadradas e iguales. Dibuje un cubo en la pizarra y pregunte a los y las estudiantes cuántos vértices y aristas tiene e identifíquelos. • En el ítem 2, para comprobar que los resultados obtenidos son correctos, permítales a los alumnos y alumnas utilizar calculadora científica, calculando como 4 multiplicación de factores iguales, por ejemplo, en la expresión (32) , calcular 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3. • En el ítem 3, para verificar que el exponente encontrado es correcto, pídales a los y las estudiantes que resuelvan paso a paso cada expresión y, luego, comparen el valor obtenido al multiplicar los factores iguales con el valor de la potencia usando calculadora científica. • En el ítem 4, para comprobar los resultados obtenidos, es conveniente que los alumnos y alumnas usen calculadora científica. Pueden calcular cada expresión sin aplicar las propiedades de las potencias y, luego, calcular el valor de la potencia obtenida, 3 por ejemplo: (82 : 22) = (64 : 4)3 = 163 = 4096 y 212 = 4096. • En el ítem 5, pida a los y las estudiantes que expliquen al resto del curso la estrategia empleada para responder la pregunta. Escoja a algunos alumnos y alumnas para que escriban sus ejemplos en la pizarra.

• Recuerde que se deben igualar las unidades de medida antes de resolver un ejercicio o problema.

• El volumen de un cubo cuya arista mide a, es igual a3.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Escribe las siguientes expresiones como una sola potencia y calcula su valor. d) 冤(–2)

冥

a) (42) =

= 3

e) 冤冦(–1)6冧

冥

f) 冤冦(–4)2冧

冥

b) [(–3)3] =

c) [(–7)2] =

2. Escribe como potencia de una potencia de base 2, (–2), 3 ó (–3), según corresponda. a) 93 = b) 163 = c) (–8)4 = d) (–27)3 = (Habilidades que desarrollan: aplicar, representar y calcular). De profundización 1. Determina el valor de x en cada caso, para que se cumplan las igualdades. 3

a) (36) = (32)

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Para evitar confusiones en los y las estudiantes, recuerde que un poliedro es un cuerpo geométrico cuyas caras son figuras planas. Un prisma es un poliedro que tiene dos caras basales paralelas e iguales y sus caras laterales son paralelogramos. El cubo es un prima recto.

b) [(–6)x] = (–6)24 x6

c) 冤(42)

冥 = 436 x

d) [(–16)2] = (–16)22 (Habilidades que desarrolla: identificar, aplicar y calcular).

103

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 54 Y 55

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS • Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural, determinación y aplicación de propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base entera y exponente natural, […].

104

Unidad 2 – Potencias

• Resolución de problemas en contextos diversos y significativos que involucran […], potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural, enfatizando en el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

c) ¿Cuál es el volumen del cubo grande? d) Si elevas a 3 el volumen del cubo grande, ¿cómo lo expresarías en forma de una sola potencia de base 2?

Estrategia mental Conectar y calcular.

(Habilidades que desarrolla: analizar, aplicar, representar y calcular).

En equipo Ítems 1 y 2: representar. Ítem 3: integrar, analizar y calcular. Ítem 4: analizar y aplicar.

EVALUACIÓN FORMATIVA Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad, se presenta la evaluación formativa MI PROGRESO.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En la sección ESTRATEGIA MENTAL, guíe a los alumnos y alumnas para que puedan aplicar la estrategia presentada. Mencione que la estrategia es muy útil para determinar con mayor rapidez los valores de las potencias de base entera y exponente 2. • En la sección EN EQUIPO, es conveniente que constate que en los cubos construidos por los y las estudiantes la arista efectivamente mide 4 cm, pues si necesitan medir para completar la tabla, las medidas de los cubos deben ser las indicadas.

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: Mi progreso Ítem 1: aplicar. Ítem 2: analizar y representar. Ítem 3: analizar y aplicar.

Ítem 4: calcular. Ítem 5: analizar, aplicar y calcular. Ítem 6: analizar y aplicar.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Calcula mentalmente aplicando la estrategia aprendida. a) (–10 005)2 =

b) (–195)2 =

c) (–2005)2 =

d) 1152 =

(Habilidades que desarrolla: aplicar y calcular). De profundización 1. Si tienes 64 cubos de arista 8 cm, y con ellos forman un cubo grande, responde: a) ¿Cuál es la medida de la arista del cubo grande? b) ¿Cuál es el área de cada cara del cubo grande?, ¿cuál es su área total?

• En los ítems 1, 2, 3 y 4, los alumnos y alumnas deben marcar la alternativa correcta; esto dificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es recomendable pedirles a los y las estudiantes que realicen el desarrollo correspondiente al lado de cada pregunta, lo que facilitará detectar si hay o no errores en las estrategias empleadas. • En el ítem 5, es posible que los y las estudiantes no distingan qué operaciones deben realizar. Para guiarlos, puede construir un diagrama de árbol en la pizarra, en el cual sea posible deducir el número de poleras para poder formar 64 tenidas. • En el ítem 6, recuerde a los alumnos y alumnas que la arista se duplica y, luego, deben expresar la arista como potencia de base 2, para calcular el volumen. En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podrá plantearles a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 5 y 6. Ítem

Completamente logrado

Analiza y aplica correctamente la propiedad de potencias en el problema, empleando más de una estrategia.

Analiza y aplica correctamente la propiedad de potencias en el problema.

Analiza y calcula correctamente partes del problema, sin usar potencias para resolver.

Analiza y calcula erróneamente el problema, confundiendo las potencias y sus propiedades.

Analiza y aplica correctamente la propiedad de potencias en el problema, empleando más de una estrategia.

Analiza y aplica correctamente la propiedad de potencias en el problema.

Analiza y calcula correctamente partes del problema, sin expresar el resultado como potencia de base 2.

Analiza y calcula erróneamente el problema, sin expresar el resultado como potencia de base 2.

105

Unidad 2 – Potencias

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

5. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

De refuerzo Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3. 1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? I. Al dividir potencias de igual exponente (natural), se conserva la base (entera) y se restan los exponentes. II. Al multiplicar potencias de igual base (entera), se conserva la base y los exponentes (naturales) se suman. III. Al dividir potencias de igual exponente (natural), las bases (enteras) se dividen y se conserva el exponente. A. Solo I B. Solo II C. I y II D. II y III

a) 62 : (–2)2 + (–3)3 =

i) (–3)3 • (–2)3 =

b) 52 : 52 – 113 : 113 =

j) 43 • (–1)3 • 33 =

c) (–30)2 : 32 + 32 • 22 =

k) (–25)3 • (–25)3 =

d) 253 : (–5)3 =

l) 3 • 32 – 4 • 42 =

e) (–14)8 : (–14)5 =

m)(–5)2 • (–1)2 + 4 • 42 =

f) (–100)3 : 253 =

n) 62 : 62 – 112 : 11 =

g) 324 : 84 =

ñ) [(–10)2] – 10052 =

h) 72 • (–3)2 =

o) 冤(22)

冥

2 2

– 冦冤(–2)2冥

冧

6. Resuelve los siguientes problemas, usando potencias para resolver. a) En un edificio de 32 pisos, cada piso tiene 8 departamentos y en cada departamento hay 2 baños. ¿Cuántos baños hay en total? 3

b) En una tienda de ropa hay 25 zapatos de distinto tipo, 125 diseños de blusas y 25 tipos de pantalones. Si se quiere escoger una tenida cualquiera, ¿cuántas opciones hay?

2. Para que la igualdad: [(–2)x] = –512, sea verdadera, el valor de x es: A. 6 B. 9

C. 3 D. 2 6

c) La arista de un cubo mide 27 cm. Si se triplica, ¿cuál es el volumen del nuevo cubo expresado como potencia de base 3?

3. La expresión (–14) : 2 , equivale a:

d) El área de un rectángulo es 216 cm2. Si el ancho mide 8 cm, ¿cuánto mide el largo?

A. (–7)6 B. –76 C. (–7)12 D. 1

e) El volumen de un paralelepípedo es 602 cm3. Si el ancho mide 32 cm, el largo mide 42 cm, ¿cuánto mide el alto?

4. Completa la siguiente tabla, escribiendo cada expresión como una sola potencia. a

a6 : a2

–4

–64

–4

–1000 –100

–10

106

–1

–2

a3 • b3 • c3

(c2)

a4 : b4

De profundización Marca la opción correcta en las preguntas 1 y 2. 1. La expresión (–5)3 • (–5)3 equivale a: A. 256 B. 253 C. (–25)3 D. 259

Unidad 2 – Potencias Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

2. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? 4

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 106 Y 107 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

I. (–12) : (–12) = 1 II. (–6)5 • (–6)5 = 3610 III. 22 • 23 – (–10)2 : 52 = 28

De refuerzo 1. D

A. Solo I B. Solo II C. I y III D. II y III

–8

–4

–27

–3

–2

a8 : a5

a2 • b2 • c2

(c2)

a4 : b4

(–64)3

(–4)6

254

12503

106

274

21873

–64

–4

(–64)4

20483

(–4)6

(–8)4

–1000 –100

–10

(–1000)4

1 000 0003

(–10)6

104

(–1)4

106

(–25)4

–1

–2

5. a) –18 b) 0 c) 136 d) –125

Salsa - chocolate - manjar - frutilla - mora

a3 • b3 • c3

–4

6. a) 512

Sabor de helado - chocolate - coco - frutilla - vainilla - manjar - piña - frambuesa - lúcuma

a6 : a2

c 2

(b2)

4. Una gelatería ofrece una promoción especial en sus copas de helado: un sabor más una salsa por $ 500. ¿Cuántas combinaciones de helado distintas ofrece la gelatería en la promoción, si los sabores de helado y las salsas son las siguientes? Usa potencias para resolver.

3. A

3. Completa la siguiente tabla escribiendo cada expresión como una sola potencia de base 2, (–2), 3 ó (–3), según corresponda. a

2. C

(–1)

504

e) f) g) h)

–2744 –64 256 441

b) 78125

c) 312

(–1)

(–1000)3

i) j) k) l)

216 –1728 244 140 625 –37

d) 27 cm

m) n) ñ) o)

89 –10 98 989 975 0

e) 25 cm

De profundización 1. B 3.

2. C a2 • b2 • c2

a8 : a5

(b2)

–8

–4

(–2)9

212

214

–27

–3

(–3)9

312

(–3)8

–3

312

(–3)14

316

–2

(–2)3

(–2)6

(–2)8

4. 25 opciones.

107

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 56 Y 57

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• […], determinación y aplicación de propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base entera y exponente natural, y extensión a potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.

Para discutir

Actividades

Ítem 1: analizar y conectar. Ítem 2: aplicar y calcular. Ítem 3: conectar y justificar.

Ítem 1: identificar, aplicar y calcular. Ítem 2: aplicar e identificar.

108

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

• Al aplicar la propiedad en la división de potencias de igual exponente, resulta:

ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y están orientadas a extender las propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base entera y exponente natural a potencias de base fraccionaria positiva y exponente natural.

冢23冣 : 冢12冣 = 冢23 : 12冣 = 冢23 21冣 = 冢43冣

•

43 64 = 33 27

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

De refuerzo

• Antes de comenzar el ítem 1, sería conveniente que recuerde en la pizarra las propiedades estudiadas anteriormente de potencias, cuya base es un número entero y el exponente es un número natural, pues es parte de los conocimientos previos necesarios para desarrollar las actividades. Si es necesario, escriba más ejercicios de este tipo en la pizarra. • En el ítem 2, para comprobar que el exponente encontrado es correcto, pida a los y las estudiantes que calculen el valor de la potencia y, luego, que calculen paso a paso las expresiones, sin aplicar propiedades, para que comparen los valores obtenidos.

1. Aplica la propiedad correspondiente de las potencias, escribe en forma de una sola potencia y calcula su valor. a)

2 3

•

• Para aplicar las propiedades que involucran multiplicación o división de potencias de igual exponente, los alumnos y alumnas deben multiplicar o dividir fracciones. Es por ello que sería conveniente que recuerde dichas operaciones con fracciones. • El producto de dos o más fracciones es una fracción cuyo denominador corresponde al producto de los denominadores, y el numerador es el producto de sus 2 3 6 numeradores. Por ejemplo: • = 5 7 35 a c a•c En general: si a, b, c, d son números naturales, entonces: • = b d b•d • Dividir un número natural por una fracción es multiplicar el número natural por 2 5 7 • 5 35 el recíproco de la fracción. Por ejemplo: 7 : = 7 • = = 5 2 2 2 b c a•c En general: si a, b, c son números naturales, entonces: a : =a• = c b b • Dividir una fracción por otra fracción es multiplicar la primera fracción por el recíproco de la segunda. Por ejemplo:

3 2 3 : = 4 5 4

•

5 3 • 5 15 = = 2 4•2 8

a c a d a•d En general: si a, b, c, d son números naturales, entonces: : = • = b d b c b•c

冢27冣 : 冢14冣

冢89冣 : 冢23冣

冤冢冣冥

11 :冢冣冢11 12冣 12

冢13冣冢25冣

冤冢冣冥

1 : 5

1 6

•

9 10

2 3

冢冣冢冣

1 e) 5

冢冣冢冣

3 7

冢冣冢冣

3 b) 7

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

冢冣冢冣 2 3

•

2 3

4 2

(Habilidades que desarrolla: identificar, aplicar y calcular). De profundización 1. Determina el valor de x para que se cumpla cada igualdad. x

冢冣冢冣

冤冢冣冥

冢冣冢冣

2 3

2 7

•

1 2

x 2

4 36

冢冣冢冣

16 2 401

冢25冣 : 冢25冣

冢冣

•

3 5

3 4

27 512

16 625

1 3 25 : = 10 5 900

1 2

x •

3 27 = 5 125

(Habilidades que desarrolla: identificar, aplicar y calcular).

109

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 58 Y 59

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

Para discutir

110

Unidad 2 – Potencias

Ítem 1: analizar y conectar. Ítem 2: analizar, evaluar y justificar. Ítem 3: conectar. Ítem 4: conectar y justificar. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Actividades Ítem 1: aplicar, analizar y justificar. Ítem 2: identificar, aplicar y clasificar. Ítem 3: aplicar, calcular, generalizar y justificar.

• Para dividir dos números decimales o un número decimal por un entero o viceversa, se puede multiplicar el dividendo y divisor por una potencia de base 10 (10, 100, 1000, etc.), de tal forma que los números obtenidos sean enteros. Por ejemplo: 14 : 0,2 = ? / se multiplica por 10, pues 0,2 tiene una cifra decimal 140 : 2 = 70 → 14 : 0,2 = 70

ACTIVIDAD INICIAL Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y están orientadas a extender las propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base entera y exponente natural a potencias de base decimal positiva y exponente natural.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Aplica la propiedad correspondiente de las potencias, escribe en forma de una sola potencia y calcula su valor.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

a) (0,2)3 • (0,2)2 =

f) 1,1 • (1,1)3 =

• Antes de comenzar a desarrollar los ítems, sería conveniente que recuerde en la pizarra las propiedades estudiadas anteriormente de potencias, cuya base es un número entero y el exponente es un número natural. Además, mencione que las propiedades se extienden a las potencias de base fraccionaria positiva y exponente natural y pregunte: ¿ocurrirá lo mismo si la base es decimal positiva? • En los ítems 1 y 2, los alumnos y alumnas deberán reconocer cuál propiedad deben aplicar; es por esto que las propiedades anteriormente estudiadas deben ser parte de sus conocimientos previos. • En el ítem 3, guíe a los alumnos y alumnas para que puedan deducir que los números, a pesar de estar escritos en distintos registros de representación (fracción y número decimal), en algunos casos, representan el mismo valor; por lo tanto, las potencias con dichas bases también representarán el mismo valor. 2 1 Por ejemplo: (0,5)2 = . 2

b) (0,4)2 • (0,3)2 =

g) (2,5)7 : (2,5)4 =

c) (0,3)10 : (0,3)8 =

h) 1002 • 0,62 =

d) 104 : (0,5)4 =

i) (0,2)3 : (0,5)3 =

e) [(0,4)3]2 =

j) (1,2)2 • (0,3)2 =

冢冣

Es conveniente que les recuerde cómo escribir un número decimal (finito) en forma de fracción y viceversa.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Para aplicar las propiedades que involucran multiplicación o división de potencias de igual exponente, los alumnos y alumnas deben multiplicar o dividir números decimales. Es por ello que sería conveniente que les recuerde dichas operaciones con estos números. • Para multiplicar dos números decimales se pueden multiplicar como si fueran números naturales y en el producto escribir la coma según la cantidad de cifras decimales que tengan en total ambos factores. Por ejemplo: 2,24 • 1,3 = 2,912.

111

Unidad 2 – Potencias

(Habilidades que desarrolla: identificar, aplicar y calcular). De profundización 1. Une el valor correspondiente a cada expresión, expresado como fracción. [(0,4)3]

1 8

(2,5)2 : (0,2)2

27 1 000 000

(0,5)2 • 0,5

64 15 625

(0,3)3 • (0,1)3

1 1 000 000

(0,1)8 : (0,1)2

625 4

(Habilidades que desarrolla: identificar, generalizar, aplicar y calcular).

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 60 Y 61

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

Para discutir

112

Unidad 2 – Potencias

Ítem 1: analizar, calcular y justificar. Ítem 2: analizar y calcular. Ítem 3: conectar y justificar. Ítem 4: analizar y representar. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Actividades Ítem 1: analizar, resolver problemas, calcular y representar.

ACTIVIDAD INICIAL Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y están orientadas a resolver un problema que involucra potencias de base entera y exponente natural. Esta situación está relacionada con el crecimiento exponencial, en particular, el crecimiento de una población de bacterias en una hortaliza infectada.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Pedro organiza una campaña solidaria con el fin de recaudar dinero para una protectora de animales; el primer día, le informa a 3 amigos: cada uno dona $ 100 y, a su vez, se comprometen a que cada uno pedirá $ 100 a otras 3 amistades diferentes el segundo día, y que cada una de estas personas les pedirán $ 100 a otras 3 personas diferentes el tercer día, y así, sucesivamente, los siguientes días. Completa la siguiente tabla y responde.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Antes de comenzar el ítem 1, sería conveniente que analicen en conjunto el gráfico del crecimiento de una población de bacterias, propuesto en la página 61 del Texto del Estudiante. De este modo, podrán construir por sí mismos en gráfico de la actividad.

Días transcurridos

Número de personas

Número de personas como potencia

Cantidad de dinero recaudado por día

100 • 30

Destaque que esta actividad se puede representar con diversos registros de representación: con una tabla, con gráfico, con un diagrama de árbol, con funciones. Esta última se estudiará más adelante, por lo que no es necesario que se represente. Pida a sus alumnos y alumnas que construyan el diagrama de árbol que representa la situación. • Para responder la segunda pregunta del ítem 1, el concepto de variable dependiente e independiente aún no se ha formalizado. Los alumnos y alumnas deberán responder de acuerdo a su intuición y experiencia.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Mencione a los y las estudiantes que el crecimiento exponencial es una función en la que se utilizan potencias con base mayor que uno, que estudiarán en cursos posteriores y que es usada para describir el crecimiento de una población de animales o bacterias. Algunos ejemplos de situaciones que pueden representar crecimiento exponencial son: • El aumento de la población del mundo, la cual crece a una determinada tasa. • Un cultivo de bacterias que crece bajo condiciones favorables. • Una población de ranas que crecen en un estanque.

a) ¿Cuánto dinero juntaron el tercer día?, ¿y el sexto? b) ¿Qué variable depende de la otra?, ¿por qué? (Habilidades que desarrolla: analizar, resolver problemas, calcular y representar). De profundización 1. Considerando la situación de la actividad de reforzamiento: a) construye el gráfico que relaciona los días transcurridos con el número de personas. b) construye el diagrama de árbol correspondiente. 2. ¿Cuánto dinero juntaron en total al finalizar el quinto día?, ¿y el sexto?, ¿cómo lo supiste? (Habilidades que desarrollan: conectar, analizar, calcular y representar).

113

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 62 Y 63

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

Para discutir

114

Unidad 2 – Potencias

Ítem 1: analizar, calcular y justificar. Ítem 2: conectar y justificar. Ítem 3: calcular, analizar y representar. Ítem 4: calcular. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Actividades Ítem 1: analizar, resolver problemas, calcular y representar.

ACTIVIDAD INICIAL Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y están orientadas a resolver un problema que involucra potencias de fraccionaria positiva y exponente natural. Esta situación está relacionada con el decrecimiento exponencial, en particular, el decrecimiento de los contagiados por un virus respiratorio al ser vacunada la población.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Una sustancia que tiene una masa de 16 777 216 mg se desintegra a un cuarto de su masa cada un año. Completa la siguiente tabla y responde. Años transcurridos

Factor de decrecimiento

Masa de la sustancia

16 777 216 •

冢冣 1 4

= 16 777 216

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Antes de comenzar el ítem 1, sería conveniente que analicen en conjunto el gráfico del decrecimiento de una población de contagiados, propuesto en la página 63 del Texto del Estudiante. De este modo, podrán construir por sí mismos el gráfico de la actividad. Destaque que esta actividad se puede representar con diversos registros de representación: con una tabla, con gráfico, con funciones. Esta última se estudiará más adelante, por lo que no es necesario que se represente. • Para responder la última pregunta del ítem 1, es necesario que los y las estudiantes sigan calculando el tamaño de la población; para ello, sugiera que extiendan la tabla.

a) ¿Cuánto tardará para que la sustancia se desintegre hasta tener una masa de 65 536 mg? b) Determine la masa que queda después de 7 años.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

(Habilidades que desarrolla: analizar, resolver problemas, calcular y representar).

Mencione a los y las estudiantes que el decrecimiento exponencial es una función que utiliza potencias con base mayor que 0 y menor que 1 y que estudiarán en cursos posteriores. Un ejemplo de ello lo podemos observar en las sustancias radiactivas que se desintegran a medida que pasa el tiempo.

De profundización 1. Considerando la situación de la actividad de reforzamiento: a) construye el gráfico correspondiente. b) ¿después de cuantos años se desintegrará este tipo de sustancia? (Habilidades que desarrolla: conectar, analizar, calcular y representar).

115

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 64 Y 65

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

Herramientas tecnológicas

116

Unidad 2 – Potencias

Usar herramientas, analizar, conectar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

EVALUACIÓN FORMATIVA

• Al utilizar la planilla de cálculo, debe considerar que los valores de las potencias que deben escribir son aquellos cuya base es 3 y el exponente, 0, 1, 2, 3, ..., 10. Los valores se escriben sin puntos ni espacios en la planilla. • Para seleccionar los valores debe partir desde 1, y sin dejar de presionar el botón izquierdo del mouse hasta el útimo valor, es decir, hasta 59 049. • La función graficada es 3x, con x ∈ 0. • Es conveniente que supervice permanentemente a los alumnos y alumnas en el desarrollo de la actividad, pues podrían aparecer diversas dificultades que requieran de su ayuda y orientación. • Se recomienda que, una vez desarrollada la actividad, discutan y compartan las respuestas obtenidas para hacer una puesta en común.

Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad, se presenta la evaluación formativa MI PROGRESO.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Sigue los pasos anteriores para graficar la potencia de base 6 y exponente, partiendo desde 0 hasta 10. Luego, responde las preguntas a y b. (Habilidades que desarrolla: usar herramientas, analizar, conectar y justificar). De profundización 1. Una sustancia que tiene una masa de 16 777 216 mg se desintegra a un cuarto de su masa cada un año. a) En la columna A escribe la masa que queda hasta el 6º año, partiendo por 16 777 216 (considera los valores de la tabla de la página 115). b) Luego, repite los pasos de la página 64 del Texto del Estudiante y responde las preguntas a y b.

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: Mi progreso Ítem 1, 2 y 3: identificar y aplicar. Ítem 4: resolver problemas, analizar, conectar y justificar. Ítem 5: resolver problemas, analizar, aplicar y representar.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En los ítems 1, 2 y 3, los alumnos y alumnas deben marcar la alternativa correcta, esto dificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es recomendable pedirles a los y las estudiantes que realicen el desarrollo correspondiente al lado de cada pregunta, lo que facilitará detectar si hay o no errores en las estrategias empleadas. • En el ítem 4, es posible que los y las estudiantes no relacionen la situación con el crecimiento exponencial, para evitarlo, sugiérales que construyan una tabla para analizar qué sucede con las bacterias, o bien, un diagrama de árbol. • En el ítem 5, es posible que los alumnos y alumnas no puedan determinar el puntaje obtenido por Mario expresándolo como potencia, para ello mencione que 1 dividir por 2, es equivalente a multiplicar por . 2 En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podrá plantearles a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.

(Habilidades que desarrolla: usar herramientas, analizar, conectar y justificar). A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 4 y 5. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Analiza y conecta adecuadamente la Analiza y conecta adecuadamente la situación con el crecimiento exponencial. situación con el crecimiento exponenResponde cada pregunta correctamente. cial. Responde cada pregunta sin justificar la a).

Analiza y conecta adecuadamente la No conecta la situación con el situación con el crecimiento exponencial. crecimiento exponencial. Responde Responde correctamente una de erróneamente las preguntas. las preguntas.

Aplica las propiedades de potencias y responde correctamente el problema, empleando más de una estrategia.

Aplica las propiedades de potencias y No aplica las propiedades de potencias responde el problema expresando y responde el problema erróneamente. erróneamente la potencia de la solución.

117

Unidad 2 – Potencias

Aplica las propiedades de potencias y responde correctamente el problema.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

3. La población en una ciudad el año 1960 era de 100 000 habitantes. Si a partir de esa fecha el ritmo de crecimiento de la población se ha duplicado cada 20 años, determina:

De refuerzo 1. Completa la siguiente tabla, escribiendo el resultado en cada casillero como una sola potencia. a

0,1

0,001

1 2

1 16

4 5

16 25

0,4

0,0256

1,3

1,69

3 5

81 625

b (con base a)

a2 • b

b2 : a2

(con base a)

a) la cantidad de habitantes 40 años después. b) la cantidad de habitantes que se espera hayan en el año 2020. c) ¿qué tipo de crecimiento representa la relación entre los años transcurridos y la cantidad de habitantes? 4. Una población de aproximadamente 9 765 625 peces decrece por la contaminación de las aguas a un quinto de su población anualmente. a) ¿Cuántos peces hay el tercer año? b) ¿Después de cuántos años la población es de 15 625 peces? c) ¿Cómo se relacionan las variables involucradas?, ¿cuál depende de la otra? De profundización 1. Une cada expresión con la potencia correspondiente expresada como fracción o número decimal. 11

冢14冣 : 冢14冣

(1,5)2

冢冣

2. Une cada expresión con el valor de la potencia correspondiente. (0,5)5 • 45 2

1 81

冢47冣冢47冣 •

0,512

21 10

冢34冣 : 冢12冣

(0,7)4 • 34

(0,25)2

冢冣

3 4

2. Responde observando el gráfico de la imagen. 150

冢19冣 : 冢19冣

(0,26)3 : (1,3)3

0,000001

(0,8)14 : (0,8)11

0,008

256 2 401

[(0,1)2]

(0,75)2 • (0,75)3

100

a) ¿Qué tipo de crecimiento observas?, ¿por qué? b) ¿Con qué potencia lo relacionas?, ¿cuál es la base?, ¿y el exponente? c) ¿Cómo se relacionan las variables?, ¿cuál depende de la otra?, ¿por qué? 118

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

SOLUCIONARIO DE LA PÁGINA 118 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

1. (0,75)2 • (0,75)3 =

De refuerzo (con base a)

a2 • b

b2 : a2

(con base a)

(0,1)3

(0,1)5

(0,1)4

(0,1)15

De profundización

冢12冣

冢冣

(0,4)4

(0,4)6

(0,4)20

(1,3)2

(1,3)4

(1,3)2

(1,3)10

4 5

冢冣 3 5

4 5

冢冣 3 5

4 5

冢冣 3 5

冢14冣 : 冢14冣 2

冢冣 3 4

= (0,25)2

冢34冣 : 冢12冣 = (1,5)

(0,7)4 • 34 =

冢冣 21 10

2. a) Crecimiento exponencial, pues a medida que aumenta una variable, la otra aumenta exponencialmente. b) Con la potencia de base 5 y exponente 0. c) El valor de la potencia (eje Y) depende del exponente (eje X) de la potencia cuya base es 5.

2. (0,5)5 • 45 = 32 2

冢冣冢冣 4 7

•

4 7

256 2 401

1 81

冢19冣 : 冢19冣

(0,26)3 : (1,3)3 = 0,008 (0,8)14 : (0,8)11 = 0,512 3

[(0,1)2] = 0,000001 3. a) 400 000 habitantes. b) 800 000 habitantes. c) Crecimiento exponencial. 4. a) 78 125 peces. b) 4 años. c) La cantidad de peces disminuye exponencialmente a medida que pasan los años. La cantidad de peces depende de los años.

119

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 66 Y 67

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Resolución de problemas en contextos diversos y significativos que involucran […] potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural, enfatizando en el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.

Buscando estrategias

120

Unidad 2 – Potencias

Ítem 1: analizar, aplicar y calcular. Ítems 2 y 3: seleccionar, analizar y evaluar. Ítem 4: resolver problemas, analizar, conectar, comprobar y calcular.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

INDICACIONES SOBRE EL PROBLEMA RESUELTO Es importante que muestre a sus estudiantes que un mismo problema puede ser resuelto de distintas formas. La estrategia presentada en el Texto del Estudiante es solo una forma de dar solución a las preguntas planteadas. Otra forma de abordar el problema podría ser la siguiente: Agrupar las potencias (usando una propiedad) de tal forma que permita calcular fácilmente su valor y, finalmente, multiplicar dichos números. Así, encontramos el último dígito, por ejemplo: 415 = 44 • 44 • 44 • 43 = 256 • 256 • 256 • 64 = 1 073 741 824

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Considera las potencias 421 y 456, ¿cuál es el último dígito de la expresión (421 + 456)? 2. Considera las potencias 229 y 478, ¿cuál es el último dígito de la expresión (229 • 478)? Utiliza la estrategia propuesta en la página 66 (del Texto del Estudiante). (Habilidades que desarrollan: analizar, aplicar y calcular). De profundización 1. Crea un problema similar a los vistos en el libro y, luego, utiliza la estrategia que tú quieras, explicando los pasos de ella. No olvides responder a la pregunta del problema. (Habilidades que desarrolla: formular, aplicar y calcular).

Comprensión del problema o situación

Comprensión de conceptos

En proceso, logro parcial

• Puede expresar en sus propias palabras e • Copia el problema. interpretar coherentemente el problema. • Identifica palabras clave. • Identifica la información necesaria. • Puede que interprete mal parte del problema. • Tiene una idea acerca de la respuesta.

• Puede que tenga alguna idea acerca de la respuesta.

• Aplica correctamente reglas o algoritmos cuando usa símbolos.

• Conecta cómo y por qué. • Aplica el concepto a problemas o a situaciones nuevas. • Hace y explica conexiones. • Realiza lo pedido y va más allá.

Verificación de resultados • Chequea la racionalidad de los resultados. • Revisa cálculos y procedimientos. y/o progreso • Reconoce sin dar argumentos. • Puede investigar razones si existen dudas.

No comprende

• No entiende el problema. • Entiende mal el problema. • Como rutina pide explicaciones. • No modela los conceptos rutinarios correctamente. • No puede explicar el concepto. • No intenta resolver el problema. • No hace conexiones.

• No revisa cálculos ni procedimientos. • No reconoce si su respuesta es o no razonable.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm

121

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 68 Y 69

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN: Conexiones

Síntesis Recordar y conectar.

Ítem 1: analizar y calcular. Ítem 2: evaluar, analizar y justificar.

122

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

La actividad de la sección CONEXIONES tiene como propósito vincular las potencias con una situación recurrente en nuestro país: el consumo de alcohol, sus efectos y el riesgo de sufrir accidentes por conducir bajo sus efectos. El alcohol es la droga más consumida en nuestro país, por lo tanto, durante el desarrollo de esta actividad, sería conveniente conversarlo con sus estudiantes respecto de las afecciones producidas por el consumo de alcohol y contrástelo con los beneficios de hacer deporte para nuestro organismo. Más información sobre drogas y prevención en: www.conacedrogas.cl

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. En relación al consumo de alcohol y su prevención: a) ¿Qué puedes hacer para prevenir el consumo de alcohol en la juventud? b) ¿Qué beneficios produce el deporte en nuestro organismo? c) Haz un listado de las afecciones producidas por el consumo de alcohol y otro, con los beneficios del deporte. (Habilidades que desarrolla: conectar y justificar).

• Se sugiere que los y las estudiantes incluyan en cada una de las fichas un título, la descripción del tema, ejemplos numéricos resueltos, un problema relacionado con el tema abordado en la ficha y conclusiones. • Es fundamental que la forma de abordar los contenidos de las fichas sea lo suficientemente claro, de tal modo que pueda ser comprendido por cualquier persona, conocedora o no del tema. Sería interesante complementar el trabajo con las fichas pidiendo la opinión de otros compañeros y compañeras del curso, y de esta forma mejorar el trabajo de cada estudiante con la ayuda de sus pares y, además, fomentar en el curso el trabajo colaborativo.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Construye un cuadro resumen sobre los principales temas de esta Unidad. 2. ¿Qué estrategias conoces para resolver problemas? Menciona sus pasos. 3. Inventa un ejercicio que involucre potencias de igual base y, luego, resuélvelo. 4. Menciona dos estrategias para calcular: (0,3)2 • (0,3)5. 5. ¿Cómo justificarías que (–4)5 : (–4)2 = (–4)3?

6. ¿Cómo justificarías que

3 4

冤冢冣冥 = 冢34冣 3 4

(Habilidades que desarrollan: recordar, conectar, aplicar y calcular).

Esta manera de sintetizar es una técnica de estudio, pues los estudiantes consolidan, organizan y clasifican sus aprendizajes.

TÉCNICAS DE ESTUDIO Sintetizar un tema por medio de un esquema es una forma efectiva de resumir y estudiar sobre los principales tópicos de una Unidad; sin embargo, existen muchas otras. A continuación, presentamos una de ellas: fichas de resumen. Las fichas de resumen consisten en distinguir la información más relevante de cada tema trabajado y escribirlo en fichas o tarjetas. Para confeccionarlas y, posteriormente utilizarlas, se deben considerar los siguientes puntos: • La creación de las fichas debe ser realizada en forma individual y en clases, para que pueda orientar y guiar el trabajo de los y las estudiantes. • Se deben confeccionar fichas para cada uno de los temas incluidos en la Unidad y en cada uno de estos se deben ocupar como máximo dos fichas, procurando que logren determinar los aspectos más importantes de cada tema.

123

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 70 Y 71

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: ¿Qué aprendí? Ítem 1: identificar y aplicar. Ítem 2: analizar y aplicar. Ítem 3: analizar y generalizar. Ítem 4: aplicar. 124

Unidad 2 – Potencias

Ítem 5: analizar y aplicar. Ítem 6: representar, aplicar y calcular. Ítem 7: analizar, calcular y representar. Ítem 8: analizar y aplicar. Ítems 9 y 10: analizar, aplicar, representar y calcular. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

EVALUACIÓN SUMATIVA

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES

En estas páginas se presenta una evaluación sumativa bajo el nombre de ¿Qué aprendí? Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la Unidad de Potencias, y con esta información seguir determinadas líneas de acción, por ejemplo, volver a enseñar un contenido o realizar una actividad adicional, para que adquieran todos los aprendizajes que se pretendían con el desarrollo de esta Unidad.

• En los ítems 1 al 8, los alumnos y alumnas deben marcar la alternativa correcta; esto dificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es recomendable pedirles a los y las estudiantes que realicen el desarrollo correspondiente al lado de cada pregunta, lo que facilitará detectar si hay o no errores en las estrategias empleadas. • En los problemas de los ítems 9 y 10, es conveniente pedirles a los y las estudiantes que una vez comprendido el problema y planificada la estrategia a utilizar, sean ordenados en el desarrollo de este. De este modo, pueden ayudar a sus compañeros y compañeras que tienen más dificultad, o bien, en caso de cometer errores, facilitará su detección y corrección.

La siguiente rúbrica se puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 9 y 10. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Resuelve correctamente cuánto queda Resuelve correctamente cuánto después de los cortes, utilizando diversas queda después de los cortes y representaciones, entre otras, un gráfico, construye adecuadamente el gráfico. que permitan realizar un trabajo más eficientemente.

Resuelve correctamente cuánto queda después de los cortes y confunde el gráfico.

Resuelve erróneamente cuánto queda después de los cortes y confunde el gráfico.

Resuelve correctamente aplicando la Resuelve correctamente, expresando la propiedad adecuada, usando potencias solución como potencia. para resolver y para responder.

Resuelve erróneamente, ya que, confunde la propiedad de potencias utilizada.

Resuelve erróneamente, no usa potencias para resolver.

125

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 6. 1. El resultado de (–6)2 • (–6)5 • –6, es: A. –68

C. (–6)7

B. (–6)8

D. 66 2

2. Para que la igualdad: [(0,2)x ] = 0,0016, sea verdadera, el valor de x es: A. 4 B. 3

C. 1 D. 2

3. ¿Cuál es el valor de y para que se cumpla la igualdad? 7

冢冣冢冣 2 5

2 : 5

8 = 125

A. 3 B. 4

C. 7 D. 10

4. El resultado de

27 A. 512 512 B. 27

2 , es: 3

A. (–10)45 B. 1045 C. (–10)11 D. (–10)18 7. Calcula mentalmente el valor de cada potencia y escribe el resultado. a) (–2)7 =

e) (–45)2 =

b) (–3)4 =

冢59冣 : 冢59冣

g) (–5)3 =

h) 1052 =

a) (–8)

•

53 = –64 000

冢冣 : 冢25冣 2 5

8 125

1 C. 8

D. 1

d) (1,1)2 • (0,2) = 0,0484

g) (–7)2 • (–7) = 2401

冦

e) 冤(–2)2冥

冤冢冣冥 1 3

h) (–5)

•

(–5)4 = –78 125

i) 33 • 0,4 = 1,728

冤冢冣冥 = 1564625 2 5

冧

= 256

k) 冤(0,1)

1 81

l) (–12) : (–12)22 = 144

冥 = 0,000000001

A. Solo I B. Solo II 126

•

8. Completa con el exponente que falta para que la igualdad sea verdadera.

III.

冢冣 1 2

2 4

冤冢冣冥 1 2

d) (0,1)2 • 0,1 =

I. (–4)4 • (–4)4 II.

escrita como una sola potencia es:

b) (0,5)3 • (0,6) = 0,027

5. ¿En cuál o cuáles de las siguientes expresiones el resultado es 1?

(0,2)2 •

}

冢冣冢冣 1 4

{

6. La expresión [(–10)3]

Unidad 2 – Potencias

C. I y III D. II y III Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

9. Remplaza los valores de a y b en cada caso; realiza los cálculos correspondientes y completa la tabla con los valores de las potencias. a

0,9

9 10 1 4 11

1 2 1 5 11

0,7

0,1

–2

–50

a3 •

a2 •

a :b

3. Para que la igualdad: 614 : 6x = 62, sea verdadera, el valor de x es: A. 16 B. 12

C. 2 D. 7

4. ¿Cuál es el valor de z para que se cumpla la igualdad? (–27) • 9 • (–3) • 81 • (–243) = (–3) z A. 13 B. 14

C. 15 D. 16

5. Calcula el valor de las siguientes expresiones, aplicando las propiedades de las potencias. 2

a) 25 : 22 – 72 • 42 =

e) (–100)5 : 105 + [(–10)3] = 8

10. Calcula el área de las siguientes figuras. Usa potencias para resolver. a)

b) 32 cm

52 cm

32 cm

72 cm

c) (0,2)5 : (0,2)2 + 0,12 =

g) (42) + (–3)5 =

3 – 5

1 2

•

2 2

冢冣冢冣冤冢冣冥 1 5

冢27冣 : 冢27冣 + 冢49冣冢94冣

b) [(–3)2] – 203 : 23 =

h) 53 • (0,1)3 – (0,5)3 =

6. Calcula el volumen de los siguientes cubos. Usa potencias para resolver. a)

De profundización Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 4. 1. ¿En cuál o cuáles de las siguientes expresiones el resultado es mayor que 1? I.

(0,1)3 •

[

103 •

] 2

A. Solo I B. Solo II

II.

(–2)4 •

(–2)

冢冣冢冣

1 III. 2

8 : 6

C. I y II D. II y III

2. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? I. (–8)12 : (–8)5 = (–8)7 A. Solo I B. Solo II

127

Unidad 2 – Potencias

II. (0,5)3 : 23 = 23 C. I y III D. II y III

{

7 43

III. [(–5)

]

}

= (–5)14

24 cm

32 cm

7. Una empresa que fabrica cajas de cartón de distintos tamaños, ha sacado al mercado una caja cuyo volumen es 1 728 000 cm3. Si su ancho mide 64 cm, su alto 216 cm, ¿cuánto mide el largo? Usa potencias para resolver. 8. Un grupo de investigadores estudia un tipo de bacteria que produce una enfermedad. Para ello, usaron un cultivo de bacterias que se inició con 3000 microorganismos. Si su número se duplica cada una hora, responde: a) ¿cuántas bacterias hay al cabo de 5 horas?, ¿y al cabo de 7 horas? b) ¿después de cuántas horas hay 3 072 000 bacterias? c) ¿qué tipo de crecimiento observas en este caso?, ¿por qué? Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 126 Y 127 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

1. C

De refuerzo 1. B

2. D

De profundización

3. B

7. a) –128

4. A

5. D

6. A

e) 2025

b) 81

f) 9

1 256

2. A

3. B

4. C 7 144

g) 13

b) –919

e) 900 000

h) 0

c) 0,018

5. a) –776

351 343

g) –125

6. a) 212 cm3

h) 11 025

7. 53 cm

8. a) 3

g) 2

8. a) 96 000 en 5 horas y 384 000 en 7 horas.

b) 3

h) 3

b) 10 horas.

c) 6

i) 3

d) 2

j) 3

c) Crecimiento exponencial, pues, a medida que pasa el tiempo, las bacterias aumentan exponencialmente.

e) 2

k) 3

f) 2

l) 24

d) 0,001

a3 • b3

a2 • 32

a3 : b3

b12 : b10

5,832

7,29

0,091125

729 8000 1 8000 1 771 561

729 100 9 16 1089

729 125 125 64 1

1 4 1 25 121

0,000343

4,41

343

0,01

–21 952

1 764

–343

–125 000 000

22 500

–125

100

10. a) 34 cm2

128

Unidad 2 – Potencias

b) 36 cm3

b) 352 cm2

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

EVALUACIÓN FINAL En las páginas 130 y 131, se presenta una evaluación fotocopiable que usted puede utilizar como evaluación sumativa de la Unidad. Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido los y las estudiantes en la Unidad de Potencias, y con esta información determinar líneas de acción; por ejemplo, volver a enseñar un contenido o realizar una actividad adicional, para que adquieran todos los aprendizajes que se esperaba lograr en esta Unidad.

Puntaje total de la evaluación: 40 puntos. Los ejercicios y problemas presentados permiten evaluar los aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere: Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente seis preguntas.

El tiempo estimado para la realización de la evaluación es 40 minutos. Este tiempo puede ser modificado según las características de sus estudiantes.

Por lograr, si contesta correctamente menos de seis preguntas.

Para que la evaluación le permita calificar a sus alumnos y alumnas, se sugiere utilizar la siguiente pauta:

SOLUCIONARIO DE LA EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE DE LAS PÁGINAS 130 Y 131

Ítem

Habilidades que se evalúan

Puntaje

Total

1. B

2. C

3. A

9. a) 4096 ranas.

Analizar, aplicar, representar y calcular.

2 puntos cada una

16 puntos

Analizar, representar, aplicar y calcular.

6 puntos cada una

24 puntos

4. A

5. C

b) 4 años.

6. D

7. B

8. B

c) A partir del 6° año, aproximadamente.

10. 2 opciones. 11. Volumen = (0,2)6 cm3 12. 33 lápices.

A continuación, se representa una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 9, 10, 11 y 12. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Analiza y calcula correctamente sobre la Analiza y calcula correctamente sobre Analiza y calcula erróneamente alguno cantidad de ranas, utilizando representa- la cantidad de ranas, utilizando de los problemas. ciones que permiten realizar un trabajo una estrategia. más eficientemente.

Analiza y calcula erróneamente los problemas.

Resuelve correctamente aplicando la Resuelve correctamente, expresando propiedad adecuada, usando potencias la solución como potencia. para resolver y para responder.

Resuelve erróneamente, ya que confunde la propiedad de potencias utilizada.

Resuelve erróneamente, no usa potencias para resolver.

Resuelve correctamente aplicando la propiedad adecuada, expresando la respuesta con la base indicada.

Resuelve erróneamente confundiendo la propiedad de potencias utilizada.

Resuelve erróneamente, no considera que la arista se duplica y no usa potencias para resolver.

Resuelve correctamente aplicando la Resuelve correctamente, expresando propiedad adecuada, usando potencias la solución como potencia. para resolver y para responder.

Resuelve erróneamente, ya que confunde la propiedad de potencias utilizada.

Resuelve erróneamente, no usa potencias para resolver.

129

Unidad 2 – Potencias

Resuelve correctamente, expresando la respuesta con base distinta a 0,2.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

EVALUACIÓN

4. El volumen de un paralelepípedo cuyas medidas son: 22 cm de ancho, 24 cm de largo y 26 cm de alto es:

Potencias Nombre:

Curso: 8º

Fecha:

Puntaje:

A. 212 cm3 B. 236 cm3

Nota:

C. 23 cm3 I.

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. Realiza el desarrollo al lado de cada pregunta. 1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? I. Las potencias que tienen exponente par tienen el mismo signo de la base. II. Si la base de la potencia es negativa, el valor de la potencia puede ser positivo. III. Las potencias de exponente impar son siempre negativas. A. B. C. D.

Solo I Solo II I y II II y III

D. 248 cm3

5. Para que la igualdad: (0,5)x : (0,5)9 = 0,25, sea verdadera, el valor de x es: A. 9

B. 7

C. 11

D. 2

6. ¿Cuál es el volumen de un cubo cuya arista mide 0,09 m? A. (0,3)5 m3 B. (0,09)2 m3 C. (0,3)3 m3 D. (0,3)6 m3

2. La expresión: 25 • (–125) • 625 • (–5), escrita como una sola potencia es igual a: 7. El valor de la expresión: (–45)3 : 53, es: A. B. C. D.

5 59 (–5)10 (–5)9

A. 729

B. –729

8. La expresión: 3. ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?

130

冢18冣 • 冢18冣 = 冢641 冣

B. (–60)3 : 123 = –125

D. [(–3)2] = 6561

冢494 冣

冢冣 2 7

D. –1

4 • 8 • 32 , escrita como una sola potencia, es: 49 343 16 807

A. (0,4)2 • 4 = (1,6)2

Unidad 2 – Potencias

C. –9

冢27冣

冢冣

2 7

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

II. Resuelve los siguientes ejercicios mostrando su desarrollo. 9. Una población de aproximadamente 1 048 576 ranas que habitan una laguna decrece por la acción de un depredador a un cuarto de su población semestralmente.

10. En el casino de una empresa se ofrece a la hora de almuerzo un menú con plato de fondo, postre y algo para beber. Si hay 4 opciones de bebidas, 8 platos de fondo distintos y 4 postres, ¿cuántos menús diferentes se pueden escoger? Usa potencias para resolver.

a) ¿Cuántas ranas hay al finalizar el 2º año?

11. La arista de un cubo mide 0,02 m. Si se duplica, ¿cuál es el volumen del nuevo cubo expresado como potencia de base 0,2? b) ¿Después de cuántos años la población es de 16 ranas?

c) ¿Al cabo de cuánto tiempo se extinguirán las ranas de la laguna?

131

Unidad 2 – Potencias

12. El centro de alumnos de un colegio ha decidido regalar a los y las estudiantes lápices de distintos colores. Compraron 3 cajas que contienen 34 estuches cada una y cada estuche tiene una cantidad de lápices. Si en total hay 38 lápices, ¿cuántos lápices vienen en cada estuche? Usa potencias para resolver.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Geometría y medición

Unidad

PROPÓSITO DE LA UNIDAD

ESQUEMA DE LA UNIDAD

Esta Unidad está orientada al estudio de la circunferencia, el círculo y sus elementos, y algunos cuerpos geométricos. Se pretende que los y las estudiantes utilicen sus conocimientos previos y la propia experiencia para calcular la longitud de una circunferencia, el área del círculo, por medio de polígonos regulares inscritos en la circunferencia, y el área total y volumen del cilindro y cono. También se espera que los y las estudiantes sean capaces de resolver problemas en situaciones y contextos significativos que involucren los contenidos mencionados anteriormente. Durante el desarrollo de esta Unidad, se realizarán actividades exploratorias y se utilizará la calculadora. Además, se emplearán dos procesadores geométricos, uno para calcular área y perímetro de figuras planas, y otro para calcular área total y volumen del cilindro y cono.

Geometría y medición estudio de

Arco Cuerda Secante

sus elementos Circunferencia son

cálculo de

Círculo

Cuerpos geométricos

cálculo de

pueden ser

Tangente Longitud

Área

Cuerpos redondos

se relaciona con

por medio de

como

Número π

Polígonos regulares

Radio Diámetro se relaciona con

Cono

Cilindro cálculo de

Área total 132

Unidad 3 – Geometría y medición

Volumen

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

RELACIÓN ENTRE LOS CMO TRATADOS EN LA UNIDAD Y LOS DE OTROS AÑOS 7º básico

8º básico

1º medio

2º medio

Verificación, en casos particulares, en forma manual o mediante el uso de un procesador geométrico del teorema de Pitágoras, del teorema recíproco de Pitágoras y su aplicación en contextos diversos.

Caracterización de la circunferencia y el círculo como lugares geométricos y su representación mediante lenguaje conjuntista e identificación de sus elementos: arco, cuerda, secante y tangente.

Relación del concepto de congruencia de figuras planas con las transformaciones isométricas, formulación y verificación de conjeturas, en casos particulares, acerca de criterios de congruencia en triángulos y utilización de estos criterios en la resolución de problemas y en la demostración de propiedades en polígonos.

Aplicación de la noción de semejanza a la demostración de relaciones entre segmentos en cuerdas y secantes en una circunferencia y a la homotecia de figuras planas.

Establecimiento de estrategias para la obtención del volumen de prismas rectos de base rectangular o triangular y de pirámides, cálculo del volumen en dichos cuerpos expresando el resultado en milímetros, centímetros y metros cúbicos y aplicación a situaciones significativas.

Definición del número pi y su relación con el diámetro y la longitud de una circunferencia. Cálculo de la longitud de una circunferencia y estimación del área del círculo por medio de polígonos regulares inscritos en la circunferencia.

Formulación de conjeturas relativas a los cambios en el perímetro de polígonos y volumen de cuerpos geométricos, al variar la medida de uno o más de sus elementos lineales, y verificación, en casos particulares, mediante el uso de un procesador geométrico.

Formulación de conjeturas relacionadas con el cálculo del volumen del cilindro y cono; cálculo del área de la superficie del cilindro y cono, y verificación, en casos particulares, mediante el uso de un procesador geométrico.

Identificación de ángulos del centro y ángulos inscritos en una circunferencia, demostración del teorema que relaciona la medida del ángulo del centro con la del correspondiente ángulo inscrito.

Resolución de problemas en situaciones significativas que involucran el cálculo de la longitud de la circunferencia, el área del círculo, la superficie del cilindro, cono y pirámide y el volumen del cilindro y cono.

133

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

PROPUESTA DE PLANIFICACIÓN DE LA UNIDAD

CMO Caracterización de la circunferencia y el círculo como lugares geométricos y su representación mediante lenguaje conjuntista e identificación de sus elementos: arco, cuerda, secante y tangente.

Contenidos • Circunferencia y círculo como lugar geométrico. • Elementos de la circunferencia.

Aprendizajes esperados • Identificar la circunferencia y el círculo como lugar geométrico y representarlos con lenguaje conjuntista. • Identificar el arco, cuerda, secante y tangente en una circunferencia.

Actividades asociadas En el Texto De exploración: páginas 76 y 78. De construcción de conceptos: páginas 77 y 79. De consolidación: página 98. En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 141, 145 y 147.

Indicadores de evaluación • Reconocen la circunferencia y el círculo como lugar geométrico. • Representan la circunferencia y el círculo con lenguaje conjuntista. • Identifican el arco, cuerda, secante y tangente en una circunferencia.

De profundización: páginas 141, 145 y 147.

Definición del número • Número π y su relación con la pi y su relación con el circunferencia. diámetro y la longitud de una circunferencia. • Longitud de la circunferencia. Cálculo de la longitud de una circunferencia • Área del círculo. y estimación del área del círculo por medio de polígonos regulares inscritos en la circunferencia.

• Relacionar el número π con el diámetro y la longitud de la circunferencia. • Calcular la longitud de una circunferencia. • Estimar el área del círculo mediante el cálculo del área de polígonos regulares inscritos en la circunferencia.

En el Texto De exploración: páginas 80, 82 y 84. De construcción de conceptos: páginas 81, 83 y 85. De consolidación: página 98. En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 149, 151, 153, 155 y 156.

Tiempo estimado: 6 a 7 semanas Tipos de Recursos evaluación didácticos Diagnóstica: páginas 74 y 75 del Texto del Estudiante.

• • • • •

Formativa: páginas 87 y 95 • del Texto del • Estudiante. • • Sumativa: páginas 100 y • 101 del Texto del Estudiante, y 178 y 179 de la Guía Didáctica del Docente.

Regla. Compás. Transportador. Calculadora. Computador con conexión a Internet. Lana. Tijeras. Cartulina. Pegamento. Arena.

• Relacionan el número π con el diámetro y la longitud de la circunferencia. • Calculan la longitud de una circunferencia. • Estiman el área del círculo mediante el cálculo del área de polígonos regulares inscritos en la circunferencia.

De profundización: páginas 149, 151, 153, 156 y 157.

134

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

CMO Formulación de conjeturas relacionadas con el cálculo del volumen del cilindro y cono; cálculo del área de la superficie del cilindro y cono, y verificación, en casos particulares, mediante el uso de un procesador geométrico.

Contenidos • Área del cilindro y cono. • Volumen del cilindro y cono.

Aprendizajes esperados • Conjeturar respecto del volumen del cilindro y cono. • Calcular el área del cilindro y cono. • Verificar el área total y volumen del cilindro y cono usando un procesador geométrico.

Actividades asociadas En el Texto De exploración: páginas 88 y 92. De construcción de conceptos: páginas 90 y 91, 93 y 94. De consolidación: página 98.

Indicadores de evaluación

Tipos de evaluación

Recursos didácticos

• Calculan el volumen del cilindro y cono. • Calculan el área del cilindro y cono. • Calculan elementos del cilindro y cono, tales como base y altura, a partir de su área total y volumen.

En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 159, 161, 165 y 166. De profundización: páginas 166 y 167.

• Buscando estrategias. Resolución de problemas en situaciones significativas que involucran el cálculo de la longitud de la circunferencia, él área del círculo, la superficie del cilindro, cono y pirámides y el volumen del cilindro y cono.

• Resolver problemas en contextos diversos que involucran el cálculo del área total y volumen del cilindro, cono y pirámide.

En el Texto De exploración: páginas 96. De construcción de conceptos: página 97.

• Resuelven problemas que implican el cálculo del área total y volumen del cilindro, cono y pirámide.

De consolidación: página 98. En la Guía Didáctica De refuerzo: página 169. De profundización: página 169.

135

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ERRORES FRECUENTES Errores frecuentes

Cómo subsanarlos

Si los conocimientos previos sobre elementos básicos de geometría, como puntos, rectas, ángulos y polígonos, son insuficientes, se pueden presentar dificultades en el aprendizaje del círculo, la circunferencia y sus elementos.

• Por medio de la evaluación diagnóstica, podrá conocer los conocimientos y experiencias previas de sus alumnos y alumnas. Si los conocimientos no son suficientes, es importante clarificar las dudas y errores conceptuales que presenten, para prevenir dificultades en el aprendizaje de los contenidos de la Unidad. • Se sugiere que después de la evaluación diagnóstica realice un repaso de los contenidos donde detectó errores o confusiones en sus alumnos y alumnas.

En las actividades que involucran el cálculo del área de diversos polígonos regulares, es posible encontrar los siguientes inconvenientes:

• Para evitar errores y/o confusiones, es conveniente repasar el cálculo de áreas de polígonos regulares, ya que son necesarios para estimar el área de un círculo y el volumen de algunos cuerpos geométricos.

• No recuerdan cómo realizar dichos procedimientos. • Confunden la apotema de un polígono regular con los lados de este, o bien, con el radio de la circunferencia circunscrita al polígono.

Al calcular el área total y volumen del cono, puede ocurrir que los alumnos y alumnas no recuerden cómo aplicar el teorema de Pitágoras.

• Para evitar este inconveniente, es recomendable recordar el teorema de Pitágoras y su recíproco, ya que será utilizado en el estudio del área total y volumen del cono.

Si los conocimientos previos de los y las estudiantes sobre números decimales y su operatoria no son suficientes, o bien, no los recuerdan, es posible que tengan dificultades al realizar diversos cálculos empleando estos números.

• Para evitar estos errores en el desarrollo de la Unidad, es conveniente realizar un repaso de las cuatro operaciones básicas con números decimales.

136

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

REFERENCIAS TEÓRICAS Y CONSIDERACIONES SOBRE ALGUNOS CONTENIDOS

El área de la corona circular de la figura se puede calcular con la expresión:

A continuación, le entregamos información complementaria actualizada para un desarrollo conceptual más profundo o amplio de los temas tratados en la Unidad.

Á = (R2 – r 2) • π

POLÍGONOS INSCRITOS CÍRCULO Y SUS REGIONES

• Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices pertenecen a ella.

• El círculo es la región del plano delimitada por una circunferencia. El área del círculo está dada por la expresión:

F G

Á = π • r 2; donde r es el radio. • El semicírculo corresponde a la parte del círculo delimitado por un diámetro y una de las semicircunferencias definidas por él. Dos semicírculos forman un círculo completo.

E r O

A ρ B

• Si un polígono regular está inscrito en una circunferencia, entonces: – El radio de la circunferencia (r) se llama también radio del polígono regular.

• Un sector circular es la región del círculo delimitada por dos radios y uno de los arcos comprendidos entre ellos. El perímetro del sector circular de la figura se puede calcular con la expresión: r α O

2•r•π•a 360°

P=2•r+

– El segmento trazado desde el centro al punto medio de un lado se llama apotema (ρ) del polígono regular. – El ángulo formado por dos radios consecutivos de un polígono regular se llama ángulo central del polígono. – Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes (de igual medida) y suman 360º. • Un polígono se dice inscriptible si se puede inscribir en una circunferencia. • Un cuadrilátero es inscriptible en una circunferencia si sus ángulos opuestos son suplementarios (suman 180º).

El área del sector circular de la figura se puede calcular con la expresión: r2 •

π a 360° • Una corona circular es la región del plano delimitada por dos círculos concéntricos. Á=

•

• En todo triángulo inscrito, el centro de la circunferencia coincide con el circuncentro (punto de intersección de las simetrales del triángulo).

El perímetro de la corona circular de la figura se puede calcular con la expresión: R

r O

P = 2 • π • (R + r) F

137

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166):Maquetación 1

2/12/10

11:32

Página 138

POLÍGONOS CIRCUNSCRITOS

CUERPOS GEOMÉTRICOS

• Un polígono está circunscrito en una circunferencia si todos sus lados son tangentes a la circunferencia.

• Los cuerpos geométricos están limitados por superficies planas o curvas y, a diferencia de las figuras geométricas, poseen volumen. Ejemplo:

• Un polígono se dice circunscriptible si se puede circunscribir en una circunferencia. E

D Figura plana (dos dimensiones)

Cuerpo geométrico (tres dimensiones) F

• Los cuerpos geométricos pueden clasificarse en: poliedros regulares o no regulares y cuerpos redondos.

• En un cuerpo poliedro se pueden distinguir los siguientes elementos: caras, aristas y vértices.

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS INSCRITOS Usando regla, compás y transportador, es posible inscribir cualquier polígono regular en una circunferencia. A continuación, realizaremos el procedimiento para inscribir un E octágono regular. F

G 45º

45º

• Los poliedros regulares están delimitados por polígonos regulares congruentes entre sí. También son conocidos como sólidos platónicos. Existen cinco poliedros regulares, estos son: Tetraedro

Formado por 4 triángulos equiláteros.

45º

45º 45º

Las caras son figuras planas que delimitan el cuerpo geométrico. Las aristas son segmentos de rectas comunes entre dos caras. Los vértices son puntos en los que se unen tres o más aristas.

45º

Hexaedro

Formado por 6 cuadrados congruentes.

Octaedro

Formado por 8 triángulos equiláteros.

Dodecaedro

Icosaedro

Formado por Formado por 12 pentágonos 20 triángulos regulares. equiláteros.

Para inscribir un octágono regular en una circunferencia, podemos seguir los siguientes pasos: 1. Con el compás, dibujamos una circunferencia de cualquier radio. 2. Para determinar la medida del ángulo central, divide 360º por el número de lados del polígono, es decir, 360º : 8 = 45º. 3. Usando un transportador y con vértice en el centro, dibuja los ocho ángulos del centro, que miden 45º cada uno. 4. Prolonga los lados de los ángulos, de tal forma que intersequen a la circunferencia, determinando los puntos A, B, C, D, E, F, G y H. 5. Finalmente, une los puntos, obteniendo el octágono regular. 138

Unidad 3 – Geometría y medición

• Los prismas son poliedros que tienen dos caras paralelas y congruentes llamadas bases, y sus otras caras son paralelogramos. Para nombrar un prisma se utilizan los polígonos que forman sus bases. Ejemplo: Prisma triangular

Prisma pentagonal

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

En los prismas se pueden distinguir los siguientes elementos: caras laterales, caras basales, aristas basales, aristas laterales y altura (distancia entre los planos que contienen a las bases). Si las aristas laterales son perpendiculares a las caras basales, se dice que el prisma es recto. En caso contrario, es oblicuo. • Las pirámides son poliedros que tienen como base un polígono cualquiera y sus caras laterales son triángulos que concurren en un vértice común, llamado cúspide.

BIBLIOGRAFÍA • Guzmán R., I. (2002). Didáctica de la Matemática como disciplina experimental. Valparaíso: Pontificia Universidad Católica de Valparaíso. • Manual esencial. (2008). Capítulo 2, Geometría Elemental. Geometría y Trigonometría. (pp. 30–158). Santiago: Santillana. • Rencoret M., (2002). Iniciación matemática–Un modelo de jerarquía de enseñanza. Santiago: Andrés Bello.

Ejemplo:

Pirámide triangular

Pirámide hexagonal

En las pirámides se pueden distinguir los siguientes elementos: caras laterales, cara basal, cúspide, aristas basales, aristas laterales y altura (distancia entre la cúspide y el plano que contiene a la base). Si todas las caras laterales de una pirámide son triángulos isósceles o equiláteros, la pirámide es recta. En caso contrario, es oblicua. • Los cuerpos redondos son cuerpos geométricos delimitados por superficies curvas o superficies planas y curvas. Los cuerpos redondos más conocidos son: el cilindro, el cono y la esfera.

139

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 72 Y 73

La imagen inicial presentada en el texto muestra diversos envases de hojalata, los que son familiares para sus estudiantes. Su propósito es motivarlos en el estudio de la Geometría, especialmente activar sus conocimientos sobre el círculo, la circunferencia y sus elementos, conos y cilindros, y algunos cálculos importantes, como longitud, área y volumen, aplicados a la resolución de diversos problemas en contextos variados y significativos. 140

Unidad 3 – Geometría y medición

Con la introducción y actividad inicial podrá activar los conocimientos y experiencias previas de sus estudiantes, ya que algunos de los contenidos fueron trabajados en años anteriores.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA PARA DOCENTES

Conversemos de...

La actividad inicial presentada en el Texto está relacionada con los alimentos y sus formas de conservación. Para evitar la descomposición de ellos, y también para impedir la pérdida de vitaminas, se utilizan los envases de hojalata.

Ítems 1 y 2: analizar y conjeturar. Ítem 3: recordar. Ítem 4: conectar.

APRENDIZAJES ESPERADOS DE LA UNIDAD En la sección EN ESTA UNIDAD PODRÁS… se explicitan los aprendizajes que se espera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad. Se sugiere que los lean en voz alta y, luego, puede preguntarles lo siguiente: • ¿Qué diferencias hay entre círculo y circunferencia?, ¿y qué semejanzas? • ¿Han escuchado hablar de arco, cuerda, secante o tangente?, ¿cómo relacionarías estos conceptos con la circunferencia? • ¿Qué diferencias observan entre el radio y el diámetro de una circunferencia?, ¿cómo se relacionan? • ¿Qué semejanzas hay entre el cono y el cilindro?, ¿y qué diferencias? Con estas preguntas y con las respuestas de sus alumnos y alumnas puede realizar un esquema que vincule los contenidos de la Unidad, y de esta forma podrá obtener información sobre las experiencias y conocimientos previos de sus alumnos y alumnas, y partir de ellos guiar el trabajo de la Unidad.

ACTIVIDAD INICIAL Para motivar el desarrollo de la actividad inicial y la Unidad, podría llevar a la clase latas de conservas de distintas dimensiones, o bien pedir a sus alumnos y alumnas (en la clase anterior) que traigan envases que tengan forma de cono o cilindro. A partir de la observación que hagan de ellas podría plantear a sus estudiantes preguntas como las siguientes: • • • •

En muchos países, debido a diversos factores, por ejemplo climáticos, es común que no sea posible producir algunos alimentos. Por esto la población acostumbra consumir alimentos en envases de hojalata o conservas, traídos de otras cuidades o países del mundo. Podría aprovechar este tema para conversar con sus estudiantes sobre la importancia de tener una alimentación equilibrada y saludable. El INTA (Instituto de Nutrición y Tecnología de los Alimentos) es un centro de investigación que depende de la Universidad de Chile, se encarga de investigar y dar solución a los problemas alimentario-nutricionales del país, desde lo molecular hasta lo poblacional. Interesante información sobre los alimentos y nutrición en general puede encontrar en el sitio web del INTA: www.inta.cl. Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Completa la siguiente tabla. Guíate por el ejemplo Producto u objeto

Cuerpo geométrico asociado

Sus caras son

Cilindro

Planas y curvas

¿Qué formas geométricas observan en cada envase? ¿Cómo son las caras laterales de las conservas o de los envases que trajeron? ¿Con qué figura geométrica relacionas la base del envase? ¿Qué otros cuerpos geométricos conoces?

Estas preguntas y las respuestas que obtenga de sus estudiantes le permitirán motivarlos e introducir el estudio de la Unidad. Además, están relacionadas con la circunferencia, el círculo, el cilindro y el cono. La actividad inicial presentada en el Texto está relacionada con contenidos trabajados en años anteriores, tales como figuras geométricas, cuerpos geométricos y cálculo del volumen. (Habilidades que desarrolla: analizar y reconocer). 141

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 74 Y 75

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta una evaluación diagnóstica con el título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios: Ítem 1: calcular el perímetro de los polígonos dados. Ítem 2: calcular el área de los polígonos dados. 142

Unidad 3 – Geometría y medición

Ítem 3: calcular el área total y volumen de los cuerpos geométricos dados. Ítem 4: calcular el perímetro de un triángulo y determinar si sigue siendo equilátero al variar la medida de uno de los lados del triángulo inicial. Ítem 5: calcular área y perímetro de un triángulo rectángulo. Ítem 6: determinar la cantidad de metros necesarios para cercar un terreno cuadrado, sabiendo su área. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN:

cateto faltante en el triángulo rectángulo. Si ocurre esto, presénteles un ejemplo en donde deban encontrar la medida de algún cateto o de la hipotenusa.

¿Cuánto sabes? Ítems 1 y 2: calcular y justificar. Ítem 3: calcular. Ítem 4: analizar, calcular y justificar. Ítems 5 y 6: analizar, aplicar y calcular.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En el ítem 1, es posible que los y las estudiantes hayan olvidado cómo calcular el perímetro de los polígonos dados. Recuérdeles que el perímetro es la medida de la longitud del contorno de una figura, y se obtiene sumando las medidas de sus lados. • En el ítem 2, si tienen dudas respecto a cómo calcular el área de algunos de los polígonos dados, recuérdeles que el área corresponde a la medida de la superficie de una figura. Por otro lado, podrían tener problemas para determinar la medida del

• En el ítem 3, puede que los alumnos y alumnas presenten dificultad para determinar el área total y el volumen del prisma y de la pirámide, debido a que no recuerdan cómo hacerlo. Para ayudarlos, explique en la pizarra cómo hacer los cálculos en ambos casos. • En el ítem 4, los alumnos y alumnas se podrían confundir al pensar que cada lado del triángulo equilátero se aumenta en 3 cm. En este caso, enfatice a sus estudiantes que solo aumenta en 3 cm un lado. • En el ítem 5, podría ocurrir que sus alumnos se confundan y determinen preliminarmente que el área del triángulo rectángulo se duplica si se duplican las medidas de los catetos. Para corregir este error, pídales que hagan el ejercicio y, luego, concluyan, a partir de los resultados obtenidos, que el área se cuadriplica. • En el ítem 6, podrían dividir el área por 2 en vez de calcular la raíz cuadrada. Para evitarlo recuérdeles el proceso inverso y pregunte ¿qué operación deben hacer para obtener el área de un cuadrado?

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para diagnosticar a sus estudiantes. Ítem

Completamente logrado

Calcula correctamente todos los perímetros y áreas de los polígonos 1y2 pedidos, justificando de forma detallada cada uno de sus pasos.

Logrado Calcula correctamente todos los perímetros y áreas de los polígonos pedidos, sin justificar cada uno de sus pasos.

Medianamente logrado

Por lograr

Calcula erróneamente dos o tres de Calcula erróneamente más de tres de los perímetros o áreas de los polígonos los perímetros o áreas de los polígonos pedidos, sin justificar sus pasos. pedidos, sin justificar sus pasos.

Calcula correctamente todas las áreas y Calcula correctamente todas las áreas y Calcula erróneamente una o dos de las volúmenes de los cuerpos geométricos volúmenes de los cuerpos geométricos áreas o volúmenes de los cuerpos geopedidos, indicando de forma detallada pedidos, sin indicar sus pasos. métricos pedidos, sin indicar sus pasos. sus pasos.

Calcula erróneamente más de dos de las áreas o volúmenes de los cuerpos geométricos pedidos, sin indicar sus pasos.

Calcula correctamente el perímetro del triángulo, justificando por qué no corresponde a un triángulo equilátero.

Calcula correctamente el perímetro del triángulo, indicando que no corresponde a un triángulo equilátero sin justificar por qué.

Calcula erróneamente el perímetro del triángulo, indicando que no corresponde a un triángulo equilátero, sin justificar por qué.

Calcula erróneamente el perímetro del triángulo, indicando que sí corresponde a un triángulo equilátero.

Calcula correctamente el perímetro y área pedidos, aplicando el teorema de Pitágoras, indicando cada uno de sus pasos.

Calcula correctamente el perímetro y área pedidos, aplicando el teorema de Pitágoras, sin indicar cada uno de sus pasos.

Calcula erróneamente el perímetro o área, aplicando el teorema de Pitágoras, sin indicar cada uno de sus pasos.

Calcula erróneamente el perímetro y área, aplicando de forma incorrecta el teorema de Pitágoras, sin indicar cada uno de sus pasos.

Calcula correctamente el perímetro del Calcula correctamente el perímetro del Determina la medida del lado pero cuadrado, indicando detalladamente cuadrado, sin indicar cada uno de calcula erróneamente su perímetro. cada uno de sus pasos. sus pasos.

Calcula erróneamente el perímetro del cuadrado, sin indicar cada uno de sus pasos.

143

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 76 Y 77

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Caracterización de la circunferencia y el círculo como lugares geométricos y su representación mediante lenguaje conjuntista […].

Para discutir

144

Unidad 3 – Geometría y medición

Ítem 1: analizar y justificar. Ítems 2 y 3: analizar, conectar y justificar. Ítem 4: analizar, conectar, reconocer y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Actividades Ítem 1: analizar y reconocer. Ítem 2: analizar e identificar.

ACTIVIDAD INICIAL La situación presentada en el Texto es muy familiar para sus estudiantes, pues está relacionada con conexiones a Internet, tema muy actual. A partir de la contextualización y de las preguntas exploratorias planteadas en la sección PARA DISCUTIR, se pretende que los alumnos y alumnas descubran las características de la circunferencia y del círculo. Para complementar la situación presentada, podría dibujar en la pizarra algo similar al dibujo de la página y sacar a algunos o algunas de sus estudiantes al pizarrón para que realicen la actividad en conjunto. A otros estudiantes podría pedirles que lean las preguntas, procurando la participación del resto de los alumnos y alumnas y, luego, respondan las preguntas entre todos. Para complementar el tema y la información, podría plantear preguntas como las siguientes: • ¿Sabes qué es un círculo?, ¿y qué es una circunferencia? • ¿La circunferencia y el círculo corresponden a la misma figura?, ¿por qué? • ¿Conoces los elementos de una circunferencia?, ¿cuáles son?

La próxima clase (después de la tarea), invítelos a que expongan al resto del curso los resultados obtenidos de la observación y de la exploración en Internet. • Es importante que sus estudiantes noten la diferencia entre círculo y circunferencia, ya que, en muchos casos, suelen pensar que ambos conceptos son equivalentes. Podría aclarar, en términos simples, la diferencia entre cada figura. • Es posible que los alumnos y alumnas no estén muy familiarizados con el tipo de notación matemática en lenguaje conjuntista. Por ello es importante mencionar lo que representa cada símbolo, por ejemplo: <: menor que

>: mayor que

∈: pertenece

≤: menor o igual que

≥: mayor o igual que

∉: no pertenece

De esta forma se familiarizarán con este tipo de lenguaje matemático. La idea es introducirlo de manera progresiva, para que los y las estudiantes noten que es posible usar otra notación sin que se transforme en una dificultad.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Completa la siguiente tabla. Nombre

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, podría pedir a sus alumnos y alumnas que, usando sus cuadernos, escriban las características de un círculo y de una circunferencia, para que respondan con más facilidad las preguntas planteadas. Al finalizar esta actividad, pregunte a los y las estudiantes qué respondieron y si están de acuerdo, para que finalmente, puedan llegar a una puesta en común. • En el ítem 2, para evitar confusiones, puede pedirles que lean cada una de las oraciones dadas y, luego, las opciones. De esta forma podrán completar con menos dificultad las expresiones. Además, si es necesario, permítales que utilicen regla para medir el radio.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Muchos objetos que utilizamos tienen forma circular. Como tarea, podría pedirles a sus estudiantes que observen qué objetos que nos rodean tienen dicha forma. De este modo, podrá conectar un contenido matemático con la realidad. En el arte es posible observar circunferencias y círculos en maravillosas creaciones, como pinturas, esculturas, construcciones, etc. Podría pedir, como tarea, que busquen en Internet obras de arte, esculturas o construcciones con estas formas. 145

Unidad 3 – Geometría y medición

Dibujo

Definición

Circunferencia

Círculo (Habilidades que desarrolla: reconocer y recordar). De profundización 1. Responde verdadero (V) o falso (F), según corresponda. Justifica tus respuestas. a)

Círculo y circunferencia son conceptos equivalentes.

La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que están a igual distancia del centro.

El círculo es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya

distancia al centro es menor que el radio. d)

El radio se puede medir considerando dos puntos de la circunferencia.

(Habilidades que desarrolla: recordar y analizar). Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 78 Y 79

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Caracterización de la circunferencia y el círculo como lugares geométricos […] e identificación de sus elementos: arco, cuerda, secante y tangente.

Para discutir

146

Unidad 3 – Geometría y medición

Ítem 1: usar herramientas y analizar. Ítem 2: analizar y justificar. Ítem 3: usar herramientas, analizar y justificar.

Ítem 4: analizar. Ítem 5: usar herramientas. Ítem 6: analizar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Actividades

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

Ítem 1: usar herramientas y analizar. Ítem 2: reconocer. Ítem 3: analizar y justificar.

De refuerzo 1. Completa la siguiente tabla. Elemento de la circunferencia (rojo)

ACTIVIDAD INICIAL El propósito de esta actividad es mostrar a los y las estudiantes los elementos de la circunferencia y las propiedades de cada uno de ellos. La idea es que midan los segmentos pedidos y respondan las preguntas planteadas y, a partir de esto, puedan deducir las características de cada elemento.

Nombre

Característica

Sería conveniente que analicen las preguntas de la sección PARA DISCUTIR en conjunto y, luego, hagan una puesta en común.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, los alumnos y alumnas deben dibujar los elementos de una circunferencia. Por ello, es recomendable que lean cuidadosamente las instrucciones de lo que deben realizar para evitar confusiones. Además, en la actividad c), deben dibujar una recta tangente; en este caso puede O guiarlos al momento de usar la escuadra. Entonces, pueden hacer algo similar a la imagen del lado derecho. • En el ítem 2, mencione a sus estudiantes que deben colocar las nomenclaturas matemáticas correspondientes de segmentos, rectas y arcos, y con las letras ade . cuadas. Por ejemplo, recta AB: AB ; radio OA: OA; arco CF: CF • En el ítem 3, recuerde a sus estudiantes que deben justificar por escrito aquellas oraciones que consideren falsas. Se sugiere que revisen esta actividad leyendo en voz alta cada expresión y determinando en conjunto si son verdaderas o falsas, incluyendo las justificaciones.

(Habilidades que desarrolla: reconocer y recordar). De profundización 1. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica. a)

El radio y la tangente forman un ángulo de 90º en el punto de tangencia.

El diámetro de una circunferencia siempre pasa por el centro de esta.

Una recta secante corta a la circunferencia en dos puntos.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

Una recta tangente no interseca a la circunferencia.

• Algunos elementos de la circunferencia (radio y diámetro), que ya se han estudiado en cursos anteriores, en este semestre se formalizan. Con respecto a los nuevos elementos (arcos, cuerdas, rectas secantes y rectas tangentes), es importante que queden consolidados, pues en niveles posteriores estudiarán relaciones entre cuerdas y rectas en la circunferencia, entre otras cosas. • Es importante que tenga en consideración la siguiente propiedad: toda recta tangente a una circunferencia es perO pendicular al radio trazado desde el punto de tangencia (T).

El diámetro es la mayor cuerda de una circunferencia.

2. Dibuja, usando regla y escuadra, en la siguiente circunferencia: – el centro (O). – un radio (OA). – una cuerda (AB). – una recta tangente (que pase por B). – una recta secante (BC). – un diámetro (CD). (Habilidades que desarrollan: recordar, analizar, reconocer y usar herramientas).

147

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 80 Y 81

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Definición del número pi y su relación con el diámetro y la longitud de una circunferencia […].

En equipo

Para discutir

Ítems 1, 2 y 3: usar herramientas. Ítem 4: clasificar.

Ítem 1: justificar. Ítems 2 y 3: analizar y justificar. Ítem 4: reconocer.

148

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Actividades Ítem 1: usar herramientas y reconocer. Ítems 2 y 3: analizar y justificar. Ítem 4: calcular y usar herramientas.

ACTIVIDAD INICIAL El propósito de la actividad EN EQUIPO es que los alumnos y alumnas, por medio de la exploración, puedan establecer que el valor de la razón entre la longitud y el diámetro de una circunferencia es aproximadamente 3,14. De este modo, se dará paso a un valor constante, que se denomina número π. Es importante que todos los alumnos y alumnas tengan los materiales necesarios para el desarrollo de la actividad, supervise que en los grupos todos la realicen. Además, procure que trabajen con precisión, pues de esta manera lograrán resultados esperados. Al final de la actividad, podría realizar una revisión general con el curso sobre los resultados obtenidos, para luego hacer una puesta en común.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Usando calculadora, completa la siguiente tabla. Considera π = 3,14. Circunferencia

Radio (m)

Diámetro (m)

Longitud (m)

94,2

157

(Habilidad que desarrolla: calcular y usar herramientas).

De profundización

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, si es necesario, recuerde a sus estudiantes que la mejor aproximación al número π debe ser verificada con las cifras que coinciden en la misma posición, partiendo desde la parte entera hasta las cifras decimales. • En el ítem 2, podría sugerir a sus estudiantes que verifiquen la afirmación de Agustín utilizando los datos de la tabla de la actividad inicial. • En el ítem 3, si es necesario, puede recordarles la relación entre el radio y el diámetro de una circunferencia. De esta forma, será más sencillo analizar la relación entre la longitud de una circunferencia y el radio. Además, sugiera analizar la tabla de la actividad inicial. • En el ítem 4, si lo estima conveniente, realice, a modo de ejemplo, algunos de los ejercicios planteados en el Texto.

1. Usando calculadora, responde las siguientes preguntas. Escribe, paso a paso, cómo llegaste a la solución. Considera π = 3,14. a) ¿Cuál es el diámetro de una circunferencia si su longitud es 314 cm? b) ¿Cuál es el radio de una circunferencia si su longitud es 62,8 m? c) ¿Cuál es la longitud de una circunferencia si su diámetro es 23 mm? d) ¿Cuál es la longitud de una circunferencia si su radio es 17 cm? e) ¿Cuál es el radio de una circunferencia si su diámetro es 19 cm? f) ¿Cuál es el radio de una circunferencia si su longitud es 34,54 cm? g) ¿Cuál es el diámetro de una circunferencia si su longitud es 78,5 cm? (Habilidades que desarrolla: calcular y justificar).

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Es importante que mencione a sus estudiantes que el número π es un número irracional. Es decir, no se puede expresar como fracción y tiene infinitas cifras decimales no periódicas. Sus primeras cifras son: π = 3,14159265358979… • En las calculadoras científicas existe una tecla destinada a entregar una aproximación al número π, sin embargo, en el texto utilizaremos la aproximación 3,14. • Para obtener el valor del número π en una calculadora científica, se deben presionar las teclas: π = Shift 149

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 82 Y 83

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• […]. Cálculo de la longitud de una circunferencia […]

Para discutir Ítems 1 y 2: reconocer y justificar. Ítem 3: analizar.

150

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Actividades la función del software que calcula perímetros, determine los perímetros de las circunferencias y de los polígonos para que observen que, efectivamente, los perímetros se aproximan mientras más lados tiene el polígono regular.

Ítems 1, 2 y 3: calcular.

ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de la actividad inicial propuesta en el Texto es presentar el estudio del cálculo de la longitud de una circunferencia, a partir de un hexágono regular inscrito en ella. La idea es que sus estudiantes relacionen el perímetro de este polígono con la longitud de la circunferencia. De acuerdo con el ejemplo mostrado en la actividad inicial, se concluye que la longitud de la circunferencia es tres veces mayor que la medida del diámetro.

Esta manera de probar lo mencionado anteriormente respecto de los polígonos, es una instancia que puede aprovechar para mostrarles a sus estudiantes cómo funciona GeoGebra, ya que tendrán que trabajar con él en la página 86. • Es conveniente reforzar la multiplicación y división con números decimales antes de comenzar a estudiar la longitud de la circunferencia. Por otro lado, también es importante que permita a sus alumnos y alumnas trabajar con calculadora. Lo importante es no centrarse en una sola forma de resolver, sino que combinar ambas.

Luego de responder las preguntas, podría plantear lo siguiente, para complementarlas: • Si inscribimos en una circunferencia un pentágono regular, ¿qué sucederá con la longitud de la circunferencia y la de este polígono regular?, ¿sus valores serán más similares?, ¿y si inscribimos un octágono regular?

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, pida a sus estudiantes que revisen las respuestas obtenidas, utilizando calculadora. Además, podrían chequearlas en conjunto, para que los alumnos o alumnas que tengan algún error lo corrijan inmediatamente. • En el ítem 2, pídales que planteen la ecuación que permite encontrar el radio; por ejemplo, en la actividad a), sería: 2 • 3,14 • r = 28,26 6,28 • r = 28,26 ∴ r = 4,5

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Determina la longitud de las siguientes circunferencias. Considera π = 3,14. a)

b) 3,5 cm 5 cm

(Habilidades que desarrolla: calcular). / : 6,28

Pregunte si existe otra forma de resolver, para que la compartan y discutan con los demás. • En el ítem 3, propóngales que realicen los cálculos de forma manual, para que practiquen la multiplicación con números decimales y, luego, comprueben con la calculadora.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Es importante destacar que un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices pertenecen a ella. • Es importante mencionar a sus estudiantes que a medida que aumenta el número de lados del polígono regular, el perímetro de este se aproxima a la longitud de la circunferencia circunscrita. Si dispone de un proyector y un procesador geométrico (como GeoGebra), podría dibujar tres circunferencias con radios de igual medida e inscribir un polígono regular en cada una, que sean distintos entre sí. Luego, con

De profundización 1. Determina la longitud de la circunferencia inscrita en el cuadrado, considerando que el perímetro del cuadrado es 60 cm. Considera π = 3,14.

2. El perímetro de la siguiente figura es 41,12 cm. Determina la medida del diámetro EG. Considera π = 3,14.

(Habilidades que desarrollan: analizar y calcular). 151

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 84 Y 85

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• […] estimación del área del círculo por medio de polígonos regulares inscritos en la circunferencia.

Para discutir

152

Unidad 3 – Geometría y medición

Ítems 1 y 2: analizar. Ítem 3: analizar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Actividades Ítem 1: usar herramientas, calcular, analizar y justificar. Ítem 2: usar herramientas y calcular. Ítem 3: calcular. Ítem 4: calcular y analizar.

ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de la actividad inicial es presentar a los y las estudiantes el cálculo del área del círculo, a partir de diversos polígonos regulares inscritos en una circunferencia. La idea es que sus estudiantes relacionen el área de cada polígono regular con el área del círculo, en donde la apotema de cada polígono regular se aproxima al radio de la circunferencia a medida que aumenta el número de lados del polígono. La intención de esta actividad es que descubran que mientras más lados tenga el polígono regular inscrito, su área será una mejor aproximación del área del círculo. Luego de realizar la actividad, podría plantear la siguiente pregunta:

• Para evitar futuras confusiones, es conveniente que al finalizar el estudio de este contenido, mencione que la obtención del área de un círculo estudiada es a través de polígonos regulares inscritos en la circunferencia; por lo tanto, se trata de una estimación del área real. Luego, el área del círculo se calcula con la fórmula πr 2. • Si bien es importante que los alumnos y alumnas trabajen con calculadora, no es conveniente centrarse en una sola forma de resolver; también permítales realizar los cálculos mentalmente.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Utilizando escuadra, dibuja el apotema de cada polígono. Mide los lados y el apotema dibujado. Luego, aproxima el área de cada círculo. Considera π = 3,14. a)

• Si inscribimos un pentágono regular y un octágono regular en una circunferencia, ¿qué sucederá con el área del círculo y la de cada polígono regular?, ¿sus valores serán similares?, ¿cuál de las áreas de los polígonos será una estimación mejor del área del círculo?, ¿por qué?

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En los ítems 1 y 2, es conveniente recordarles a los y las estudiantes que la apotema es perpendicular al lado del polígono en su punto medio. • En los ítems 1, 2 y 3, si considera necesario reforzar la multiplicación con números decimales, pida a sus estudiantes que resuelvan algunos de los ejercicios sin calculadora y que la utilicen para revisar sus resultados. • En el ítem 3, pregúnteles cuáles fueron sus conclusiones. De este modo, podrán llegar a una puesta en común. • En el ítem 4, solicite que realicen los cálculos, en sus cuadernos, cuando el radio se duplica y cuando se triplica, pues, en muchos casos, suelen creer a priori que el área se duplica y triplica también.

(Habilidades que desarrolla: usar herramientas y calcular). De profundización 1. Calcula el área de las siguientes figuras, usando la fórmula área = πr 2. Considera π = 3,14. a)

c) 7 cm 11 cm

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Es importante que recuerde a sus estudiantes que la apotema de un polígono regular es la distancia entre el centro y cualquiera de sus lados; además, es perpendicular a dicho lado.

8,2 cm

6 cm

J apotema del pentágono

153

Unidad 3 – Geometría y medición

(Habilidades que desarrolla: aplicar y calcular). Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 86 Y 87

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Definición del número pi y su relación con el diámetro y la longitud de una circunferencia. Cálculo de la longitud de una circunferencia y estimación del área del círculo por medio de polígonos regulares inscritos en la circunferencia.

Herramientas tecnológicas

154

Unidad 3 – Geometría y medición

Usar herramientas y analizar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

EVALUACIÓN FORMATIVA

• Esta actividad debe ser desarrollada con el software GeoGebra, por lo cual se sugiere que la realice antes de trabajar con sus estudiantes. • Para el correcto desarrollo de la actividad, solicíteles que trabajen de manera individual; solo en caso de que no cuente con la cantidad de computadores necesarios, propóngales trabajar en grupos. • La primera parte de la actividad, sobre longitud de la circunferencia y área del círculo, como se trata de contenidos que fueron trabajados en las páginas anteriores del Texto, es una buena instancia para consolidar los aprendizajes y aclarar posibles dudas. • En la segunda parte se muestra a los alumnos y alumnas cómo construir una corona circular usando GeoGebra y, luego, determinar su área y perímetro. Es conveniente que, en este caso, comenten sus conclusiones y puedan llegar a una puesta en común. Además, sería interesante que les planteara un ejemplo en la pizarra, donde deban determinar dichos cálculos, sin usar el software computacional.

Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad, se presenta la evaluación formativa MI PROGRESO.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Determina el área y perímetro de la siguiente corona circular, AB = 18 cm y DB = 3 cm (considera π = 3,14). Explica cómo lo hiciste.

D B

2. ¿Es posible escribir una fórmula para determinar el área y otra para el perímetro de una corona circular?, ¿cuál? (Habilidades que desarrollan: usar herramientas, calcular y generalizar).

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: Mi progreso Ítem 1: analizar. Ítems 2, 3 y 4: analizar y calcular. Ítem 5: analizar, aplicar y calcular.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En los ítems 1, 2 y 3, deben marcar la alternativa correcta; sin embargo, pídales que realicen el desarrollo correspondiente al lado de cada pregunta, ya que esto le facilitará detectar si hay o no errores en la estrategia empleada. • En el ítem 4, puede que sus estudiantes se confundan y dividan el área del cuadrado en 2, en vez de sacar la raíz cuadrada. Para evitar este inconveniente, recuérdeles que deben aplicar la operación inversa de elevar al cuadrado. • En el ítem 5, puede que tengan problemas para abordar el problema. Si es necesario, oriéntelos diciéndoles que calculen la cantidad de metros de tubo plástico para una argolla y, luego, que calculen el total pedido. • Es posible que no recuerden aspectos específicos de los contenidos aprendidos hasta acá. Para superarlo, podría pedirles que realicen un mapa conceptual o cuadro resumen con los principales contenidos estudiados hasta este momento. También se sugiere una revisión general en la pizarra, para que sus estudiantes conozcan las respuestas correctas y una forma de resolución. En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podrá plantearles a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 4 y 5. Ítem

155

Completamente logrado Calcula correctamente el área pedida, justificando detalladamente cada uno de sus pasos.

Logrado Calcula correctamente el área pedida, pero no justifica de manera adecuada los pasos de resolución.

Calcula correctamente los metros Calcula correctamente los metros de de tubo plástico, justificando tubo plástico, pero no justifica de detalladamente cada uno de sus pasos. manera adecuada los pasos de resolución. Unidad 3 – Geometría y medición

Medianamente logrado

Por lograr

Calcula erróneamente el área pedida, confundiendo el radio como el lado del cuadrado.

Calcula erróneamente el área pedida, confundiendo el radio como el lado del cuadrado y no calcula correctamente la raíz cuadrada de 16.

Calcula erróneamente los metros de tubo plástico, confundiendo el diámetro con el radio.

Calcula erróneamente los metros de tubo plástico, confundiendo el diámetro con el radio, y no considera que son quince argollas. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

2. Determina la longitud de las siguientes circunferencias. Considera π = 3,14.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo

1. En cada línea de la columna “definición” escribe el número correspondiente, según el concepto matemático relacionado. Concepto matemático

1. Circunferencia

C 8 cm 6 cm

Definición

Recta que interseca en un único punto a la circunferencia.

2. Círculo

Segmento que une dos puntos de la circunferencia, pasando por el centro.

17 cm

O 4,8 cm

3. Radio

Razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

4. Cuerda

Parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.

3. Determina el área de los siguientes círculos. Considera π = 3,14. a)

5. Diámetro

Segmento que une cualquier punto de la circunferencia con el centro.

11 cm 12 cm

6. Arco

Lugar geométrico de los puntos del plano que están a igual distancia de un punto fijo llamado centro.

7. Secante

Segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

8. Tangente

Recta que interseca a la circunferencia en dos puntos.

O 6,7 cm

9. Número π

156

Lugar geométrico de los puntos del plano, cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio.

Unidad 3 – Geometría y medición Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

4. Una circunferencia tiene una longitud de 106,76 m. ¿Cuánto mide su radio? Considera π = 3,14. 5. Un círculo tiene un área de 1133,54 m2. ¿Cuánto mide su radio? Considera π = 3,14. De profundización 1. Determina la longitud y el área de las siguientes figuras. Considera π = 3,14. a)

13 cm

3,5 cm

2. Determina el perímetro y el área de la siguiente corona circular, sabiendo que la diferencia entre el radio del círculo mayor y el menor es 1 cm, y el diámetro del círculo menor mide 9 cm. Considera π = 3,14.

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 156 Y 157 DE LA GUÍA DIDÁCTICA De refuerzo 1. Los números (ordenados) son: 8, 5, 9, 6, 3, 1, 4, 7, 2. 2. a) l = 37,68 cm b) l = 30,14 cm c) l = 25,12 cm d) l = 53,38 cm 3. a) Á = 379,94 cm2 b) Á = 140,95 cm2 c) Á = 113,04 cm2 d) Á = 415,27 cm2 4. r = 17 m 5. r = 19 m De profundización 1. a) l = 12,495 cm b) l = 33,41 cm 2. l = 62,8 cm

Á = 9,62 cm2 Á = 66,33 cm2

Á = 31,4 cm2

3. El área sombreada es 42,14 cm2.

3. El radio del círculo de la figura mide 7 cm. Si el círculo está inscrito en el cuadrado, ¿cuál es el área sombreada? Considera π = 3,14.

157

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 88 Y 89

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• […]; cálculo del área de la superficie del cilindro y cono, […].

Para discutir Ítem 1: analizar y justificar. Ítem 2: analizar e identificar. Ítem 3: analizar y conjeturar.

158

Unidad 3 – Geometría y medición

Ítem 4: analizar y reconocer. Ítem 5: analizar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDAD INICIAL

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

El objetivo de la actividad propuesta en la sección PARA DISCUTIR es que los alumnos y alumnas observen y analicen las redes del cilindro y cono, y que sean capaces de deducir qué cuerpos geométricos se forman con las redes. Además, se espera que sean capaces de imaginar qué sucede si se hace rotar un rectángulo y un triángulo rectángulo en torno a uno de sus lados y catetos, respectivamente. Para motivar esta actividad, podría proponer a sus estudiantes que la realicen con rectángulos y triángulos rectángulos de papel o cartulina y, luego, que escriban sus conclusiones en sus cuadernos.

De refuerzo 1. Dados los siguientes polígonos, indica: a) ¿Con qué figuras es posible generar cilindros o conos rectos, si los hicieras rotar en torno a uno de sus lados? b) Alrededor de qué lado rotarías la figura seleccionada. ¿Hay más de una posibilidad para formar con ese polígono un cilindro o un cono?, ¿por qué? c) Esboza, en tu cuaderno, cómo quedaría cada cuerpo geométrico.

A partir de este trabajo inicial se pretende lograr que los alumnos y alumnas descubran cómo calcular el área total de conos y cilindros, utilizando contenidos previamente aprendidos en esta Unidad y en años anteriores.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Puede mostrar a sus estudiantes distintas redes asociadas al cono y al cilindro, para que, por medio de la observación e imaginación, analicen algunas características de estos cuerpos. Además, podrán visualizar la relación entre las fórmulas para calcular las áreas totales de dichos cuerpos y las redes. • Esta forma de iniciar el contenido, permitirá que las alumnas y los alumnos analicen y reflexionen respecto de cómo deducir fórmulas y no simplemente memorizarlas; asimismo, estará facilitando en ellos el razonamiento matemático y el aprendizaje significativo.

(Habilidades que desarrolla: analizar, reconocer y representar). 159

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 90 Y 91

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• […]; cálculo del área de la superficie del cilindro y cono, […].

Actividades Ítems 1 y 2: calcular. Ítem 3: analizar y calcular. Ítem 4: calcular.

160

Unidad 3 – Geometría y medición

Ítem 5: aplicar y calcular. Ítems 6, 7, 8 y 9: analizar y calcular. Ítem 10: aplicar y calcular.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Para que sus estudiantes continúen practicando la operatoria con números decimales, pídales, en algunos ejercicios, que los resuelvan sin calculadora y que utilicen esta herramienta para revisar sus soluciones. • Es importante que los alumnos y alumnas realicen un desarrollo completo y ordenado de los procedimientos que aplican en cada ejercicio. De esta forma comprenderán mejor lo que están realizando y, además, será más sencillo detectar posibles errores. • Es importante que recuerde a sus alumnos y alumnas el teorema de Pitágoras, pues en esta Unidad es fundamental para el cálculo de áreas y volúmenes de los cuerpos geométricos. Si es necesario, podría recordarlo en la pizarra y realizar algunas aplicaciones. Por ejemplo: A

12 cm

122 + 162 = x 2 144 + 256 = x 2 400 = x 2 20 = x

16 cm

/ T. de Pitágoras /

• En los ítems 6 y 9, puede suceder que sus estudiantes no comprendan qué es el área lateral de un cuerpo geométrico. Explique que en este caso no se contemplan las áreas de las bases, es decir, es el área total menos el área de las bases. • En el ítem 7, los alumnos y alumnas se podrían confundir, ya que el ejercicio trata de un cilindro y uno de los datos es la medida de la generatriz. Aclare que en un cilindro recto la generatriz es igual a la altura. • En el ítem 8, si tienen problemas para calcular él área de la base, recuérdeles que, al ser un polígono regular, su área (Á) se calcula multiplicando su perímetro (P) por su apotema (a) y, luego, se divide por dos, es decir: Á=

Pia 2

• En el ítem 10, para facilitarles el cálculo de la generatriz del cono, recuérdeles que un cono se genera el girar un triángulo rectángulo con respecto a uno de sus catetos; por lo tanto, la generatriz es la hipotenusa de este triángulo rectángulo y se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras, donde el radio y la altura son los correspondientes catetos.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

De refuerzo • En el ítem 1, puede que sus alumnos y alumnas no recuerden cómo calcular el área total de una pirámide. Ayúdelos pidiendo que hagan un bosquejo de la red de este cuerpo, así podrán deducir cómo calcular esta área. Señale que la base de dicha pirámide es cuadrada. • En el ítem 2, sus estudiantes deben tener cuidado al asignar los valores de r y h; en este caso r es el ancho y h es su largo. • En el ítem 3, es posible que tengan dificultades para abordar el problema. Oriéntelos diciendo que a partir del área del círculo pueden obtener el radio, luego el diámetro y finalmente la altura (que es igual al diámetro). Situación similar ocurre en el ítem 6, con el área de cada base de un cilindro circular recto. En el ítem 3, si sus alumnos y alumnas tienen dificultad para obtener el radio (r) de la base del cilindro, propóngales que resuelvan la siguiente ecuación: π • r 2 = 452,16. Al resolverla, se obtiene: 3,14 • r 2 = 452,16 / : 3,14 r 2 = 144

• En el ítem 5, al saber la medida del ángulo del sector circular (60º), pueden 4 i 360º obtener la generatriz resolviendo la ecuación: 60º = . g Unidad 3 – Geometría y medición

radio = 15 cm altura = 20 cm

radio = 9 cm altura = 16 cm

radio = 13 cm altura = 22 cm

altura = 36 cm generatriz = 39 cm

r = 12 • En el ítem 4, para evitar errores o confusiones, pídales que realicen los procedimientos, paso a paso, y de manera ordenada.

161

1. Calcula el área total de los siguientes cuerpos geométricos rectos. Considera π = 3,14.

(Habilidades que desarrolla: aplicar y calcular).

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 92 Y 93

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Formulación de conjeturas relacionadas con el cálculo del volumen del cilindro y cono; […] y verificación, en casos particulares, mediante el uso de un procesador geométrico.

Para discutir

162

Unidad 3 – Geometría y medición

Ítem 1: conjeturar. Ítems 2, 3 y 4: calcular y justificar. Ítem 5: conjeturar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Actividades Ítem 1: calcular. Ítems 2, 3 y 4: calcular y predecir. Ítems 5 y 6: analizar, calcular y justificar

ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de la actividad inicial, EN EQUIPO, propuesta en el Texto, es que los alumnos y alumnas observen la relación entre el volumen del cilindro y cono (el volumen de un cono es la tercera parte del volumen de un cilindro, con el radio de la base y altura de igual medida que el cilindro). Adicionalmente, basándose en contenidos aprendidos previamente en la Unidad y en cursos anteriores con respecto al volumen de otros cuerpos geométricos, se pretende que los alumnos y alumnas, por medio de la experimentación y sus conocimientos previos, sean capaces de deducir y entender las fórmulas. Es importante que todos sus estudiantes participen en la actividad, formen grupos de trabajo, para que compartan ideas y experiencias, respeten opiniones, y el trabajo sea colaborativo.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Permítales a sus estudiantes que utilicen calculadora en algunos casos; así podrán ahorrar tiempo e invertirlo en otras actividades o nuevos contenidos. • Es importante que los alumnos y alumnas realicen un desarrollo, paso a paso, y ordenado de los procedimientos en cada ejercicio. De este modo, comprenderán de mejor forma lo que están realizando y será más fácil detectar posibles errores y corregirlos. • En el ítem 1, si sus alumnos y alumnas tienen dificultad para esta actividad, pídales que hagan el dibujo del cilindro, en sus cuadernos, asignándole las medidas indicadas. Para algunos, es más fácil realizar los cálculos correspondientes visualizando la figura. • En los ítems 2, 3 y 4, es posible que sus alumnos y alumnas tengan dificultad para predecir qué sucede con el volumen si alguna de las medidas del cono o cilindro aumenta o disminuye. Si esto ocurre, pídales que calculen dichos volúmenes con los valores numéricos correspondientes y, a partir de los resultados obtenidos, saquen conclusiones. • En el ítem 5, según el volumen del cilindro y del radio de la base deben determinar la medida de su altura. Como es el proceso inverso, deben tener especial cuidado en las operaciones que realizan para obtener la respuesta correcta. Si es necesario, oriéntelos diciendo que pueden plantear una ecuación, como la siguiente: 3,14 • 32 • h = 240,21.

163

Unidad 3 – Geometría y medición

• En el ítem 6, a partir del volumen del cono y del área de la base deben determinar la medida de la altura y del radio de la base. Como es el proceso inverso, deben tener especial cuidado en las operaciones que realizan para obtener la respuesta correcta. En este caso, pueden plantear dos ecuaciones, una para determinar 1 la altura, y la otra para el radio, como las siguientes: i 254, 34 i h = 1017, 36 y 3 3,14 • r 2 = 254,34, respectivamente. Solo si es necesario, muéstreles las ecuaciones anteriores, ya que la idea es que surjan de sus propios estudiantes.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Sabemos que el volumen de un cuerpo es la medida que este ocupa en el espacio. Mostrar a sus estudiantes el volumen de conos y cilindros a través de la cantidad de arena que puede contener cada uno de ellos, clarifica este contenido. La idea de la actividad exploratoria, es que puedan llegar a la conclusión: Volumen cono =

Volumen cilindro 3

y, luego, mediante sus conocimientos previos, puedan llegar a la fórmula: Vcilindro = área base • altura Por lo tanto, si el radio de la base y la altura del cono miden lo mismo que el radio de la base y altura del cilindro: Vcono =

1 3

•

área base • altura

• Podría aprovechar esta instancia para recordar a sus estudiantes que los prismas y las pirámides también se relacionan respecto a su volumen. El volumen de una pirámide es igual a la tercera parte del volumen de un prisma con base y altura de igual medida. Volumen pirámide =

1 3

•

Volumen prisma

Por lo tanto: Vprisma = área base • altura Vpirámide =

1 • área base • altura 3

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 94 Y 95

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Formulación de conjeturas relacionadas con el cálculo del volumen del cilindro y cono; cálculo del área de la superficie del cilindro y cono, y verificación, en casos particulares, mediante el uso de un procesador geométrico.

Actividades Ítem 7: usar herramientas.

Herramientas tecnológicas Usar herramientas y verificar. 164

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

EVALUACIÓN FORMATIVA

• Para realizar la actividad del ítem 7, recuerde que, para obtener el valor del número π en una calculadora científica, se deben presionar las teclas:

Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad, se presenta la evaluación formativa MI PROGRESO.

Shift

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN:

• Es conveniente que sus estudiantes realicen individualmente la sección HERRAMIENTAS TENOLÓGICAS. Si no cuenta con los computadores suficientes, formen grupos de no mas de tres integrantes. Procure la participación de cada uno, para que todos aprendan a utilizar este nuevo software. • Esta actividad computacional permitirá a sus estudiantes verificar las respuestas obtenidas en el ítem 7 del Texto del Estudiante. A futuro podrá trabajar con este programa para calcular áreas y volúmenes de variadas figuras y cuerpos geométricos.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Usando el software Limix Goemetric 1.2.16, calcula el área y el volumen de los siguientes cuerpos, considerando los datos entregados. Completa la tabla con los resultados obtenidos. Cuerpo

Radio

Altura

Cilindro

Cono

5 cm

12 cm

Cilindro

11 m

Cono

9 cm

12 cm

Área

Volumen

(Habilidad que desarrolla: usar herramientas, aplicar y calcular).

Mi progreso Ítems 1 y 2: calcular. Ítems 3 y 4: analizar y calcular. Ítem 5: resolver problemas y calcular.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • Indique que los resultados se deben redondear a los centésimos (dos cifras decimales). • En los ítems 1 al 3, deben seleccionar la alternativa correcta, por lo tanto, pídales que escriban los desarrollos al lado de cada pregunta. • En el ítem 4, sus estudiantes podrían pensar que la medida 20 cm, que aparece en la red, corresponde a la altura. Para evitar este tipo de errores, si es necesario, podría dibujar en la pizarra un cono recto indicando cuál es la altura, la generatriz y el radio. • En el ítem 5, los alumnos y alumnas podrían tener dificultades al calcular el área en el envase A, pues deben calcular solo el área lateral. Mencione, en este caso, que para cubrir un envase de conservas, solo se cubre la parte lateral, y no las bases. Además, destaque que se pide determinar cuánto material más se necesita, es decir, deben calcular la diferencia entre ambas áreas. • Al término de la evaluación formativa es fundamental que realice una revisión individual para que conozca las realidades de cada estudiante y puedan corregirlas. También es aconsejable una revisión general en la pizarra, para que sus estudiantes conozcan las respuestas correctas y una forma de resolución. En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podrá plantearles a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.

A continuación, se presenta una rúbrica para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 4 y 5. Ítem

165

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Calcula correctamente el área y Calcula correctamente el área y Calcula erróneamente en uno de los volumen pedido, indicando volumen pedido, pero no indica de dos casos (área total o volumen), detalladamente cada uno de sus pasos. forma adecuada cada uno de sus pasos. confundiendo los pasos de resolución.

Calcula erróneamente el área y volumen pedido, confundiendo la generatriz con la altura, y los procedimientos para obtener el área y volumen.

Resuelve correctamente ambos problemas, indicando detalladamente cada uno de sus pasos.

Resuelve erróneamente, en ambos casos, confundiendo los pasos de resolución

Unidad 3 – Geometría y medición

Resuelve correctamente ambos problemas, pero no indica de manera adecuada cada uno de sus pasos.

Resuelve correctamente solo uno de los problemas, confundiendo los pasos de resolución.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

De profundización

De refuerzo

Considera π = 3,14 en cada caso, y aproxima tus resultados a los centésimos.

Considera π = 3,14 en cada caso, y aproxima tus resultados a los centésimos. 1. Calcula el área total de los siguientes cilindros rectos, sabiendo que: a) b) c) d)

r = 4 cm y h = 12 cm r = 11 m y h = 8 m d = 10 mm y h = 9,5 mm d = 8 cm y h = 4,6 cm

2. Calcula el área total de los siguientes conos rectos, sabiendo que: a) b) c) d)

r = 8 cm y g = 10 cm r = 30 mm y h = 40 mm r = 5 m y h = 12 m r = 7 cm y h = 9 cm

3. Calcula el volumen de los siguientes cilindros rectos, sabiendo que:

1. Completa la siguiente tabla asociada al cilindro recto. Radio

4 cm 5 mm 8 cm 6 cm 3 mm 10 cm 6,5 cm 2,2 m

r = 4 cm y h = 8 cm r=7myh=9m d = 10 mm y h = 10 mm d = 12 cm y h = 5 cm

4. Calcula el volumen de los siguientes conos rectos, sabiendo que: a) b) c) d)

166

r = 6 cm y h = 7 cm r = 8 mm y h = 9 mm r = 13,6 m y g = 20 m r = 10,5 cm y h = 13 cm

Área lateral

Área total

Volumen

86 cm 7,6 mm

144 cm2 500 cm2 5 mm 26,5 cm 10 cm 13 cm 3,5 m

16 309,16 cm3 3000 cm3 734,76 cm2

2. Completa la siguiente tabla asociada al cono recto. Radio

4 cm a) b) c) d)

Altura

5 cm 7,6 mm

4m 12 cm

Generatriz

Área sector circular

Área total

Volumen

9 mm 5m 753,6 cm3 4,57 mm 31,57 mm2

3 cm 3,8 m 30 cm

301,44 mm3

8 mm 7 cm 12 cm

314 cm3 10 m

40 cm

Unidad 3 – Geometría y medición Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

3. Determina la medida de la altura de un cilindro cuyo radio mide 2 m y el área total es 38 m2.

SOLUCIONARIO DE LA PÁGINA 166 Y 167 DE LA GUÍA DIDÁCTICA De refuerzo

4. Determina la medida de la generatriz de un cono, cuya área del sector circular es 20 cm2 y su radio mide 3 cm. 5. Determina la medida del radio de un cono, cuyo volumen es 700 m3 y su altura mide 7 m.

1. a) 401,92 cm2

b) 1312,52 m2

c) 455,3 mm2

d) 216,03 cm2

2. a) 452,16 cm2

b) 7536 mm2

c) 282,6 m2

d) 404,43 cm2

3. a) 401, 92 cm3

b) 1384,74 m3

c) 785 mm3

d) 565,2 cm3

4. a) 263,76 cm3

b) 602,88 mm3

c) 2838,05 m3

d) 1500,14 cm3

6. Determina la medida de la altura de un cilindro, si su volumen es 300 cm y su radio mide 3 cm. 7. Determina la medida del radio de un cilindro, si su volumen es 120 mm3 y su altura mide 7 mm.

De profundización 1.

Radio

4 cm 5 mm 8 cm 6 cm 3 mm 14 cm 10 cm 6,5 cm 9 cm 2,2 m

8. Determinar la medida de la altura de un cono cuyo volumen es 250 m3, y su radio mide 5 m. 9. El volumen de un cilindro es 452,16 cm3, y el diámetro de la base mide 12 cm. ¿Cuál es su área total? 10. La altura de un cilindro mide 8 m y su radio 6 m. Si se quiere pintar el cilindro completo, ¿cuál es su costo, si el metro cuadrado tiene un valor de $ 1100?

Altura

3,42 cm 7,6 mm 2,87 cm 7,27 cm 5 mm 26,5 cm 9,55 cm 10 cm 13 cm 3,5 m

Área lateral

86 cm 238,64 mm2 144 cm2 273,92 cm2 94,2 mm2 2329,88 cm2 599,74 cm2 408,2 cm2 734,76 cm2 48,36 m2

2. Radio

4 cm 4,82 mm 4m 12 cm 2,2 mm 6 mm 3 cm 5 cm 3,8 m 30 cm 3. h = 1,03 m 4. g = 2,12 cm

167

Unidad 3 – Geometría y medición

Altura

5 cm 7,6 mm 3m 5 cm 4 mm 8 mm 7 cm 12 cm 9,25 m 40 cm

Área total

186,48 cm 171,82 cm3 395,64 mm2 596,6 mm3 2 545,92 cm 576,76 cm3 500 cm2 821,8 cm3 2 150,72 mm 141,3 mm3 3560,76 cm2 16 309,16 cm3 1227,74 cm2 3000 cm3 673,53 cm2 1326,65 cm3 1243,44 cm2 3306,42 cm3 78,75 m2 53,19 m3

Generatriz

Área sector circular

6,4 cm 9 mm 5m 13 cm 4,57 mm 10 mm 7,62 cm 13 cm 10 m 50 cm

80,38 cm2 136,21 mm2 62,8 m2 489,84 cm2 31,57 mm2 188,4 mm2 71,78 cm2 204,1 cm2 119,32 m2 4710 cm2

5. r = 9,77 m 6. h = 10, 62 cm

Volumen 2

Área total

Volumen

130,62 cm2 83,73 cm3 2 209,16 mm 184,86 mm3 113,04 m2 50,24 m3 942 cm2 753,6 cm3 2 46,77 mm 20,26 mm3 301,44 mm2 301,44 mm3 2 100,04 cm 65,94 cm3 282,6 cm2 314 cm3 164,66 m2 139,8 m3 2 7536 cm 37 690 cm3

7. r = 2,34 mm 8. h = 9,55 m

9. Á = 376,8 cm2 10. $ 580 272

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 96 Y 97

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Resolución de problemas en situaciones significativas que involucran el cálculo de la longitud de la circunferencia, él área del círculo, la superficie del cilindro, cono y pirámides y el volumen del cilindro y cono.

Buscando estrategias

168

Unidad 3 – Geometría y medición

Analizar, aplicar y calcular.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Determina el volumen y el área total de la siguiente figura.

INDICACIONES SOBRE EL PROBLEMA RESUELTO

4 cm

El problema presentado en el Texto pretende que sus estudiantes apliquen parte de los contenidos aprendidos en la Unidad y, además, desarrollen habilidades propias de la resolución de problemas. Es importante que muestre a sus estudiantes que un mismo problema puede ser resuelto de distintas maneras. La estrategia presentada en el Texto es solo una forma de dar solución a las preguntas planteadas. Otra forma de abordar el problema podría ser usando el software Limix Goemetric 1.2.16, para calcular el volumen del cilindro y del cono y, luego, sumarlos. Además, podría cambiar las medidas del radio y altura del cilindro (por ende, variarán las del cono) para calcular el volumen de este nuevo cuerpo geométrico. Monitoree constantemente a sus estudiantes para que realicen un trabajo ordenado, escribiendo, paso a paso, los procedimientos. Esto les permitirá detectar y corregir errores, si los tuvieran.

6 cm

4 cm

(Habilidades que desarrolla: analizar, aplicar y calcular). De profundización 1. Inventen un problema que integre uno o más de los contenidos de la Unidad. Intercámbienlo con algún compañero o compañera y resuélvanlo, utilizando las estrategias para la resolución de problemas que conozcan, u otra. Revisen ambos problemas en conjunto y discutan sobre los resultados obtenidos. (Habilidades que desarrolla: formular, seleccionar, aplicar, calcular y verificar).

En proceso, logro parcial

No comprende

Comprensión del problema o situación

• Puede expresar en sus propias palabras e interpretar coherentemente el problema. • Identifica la información necesaria. • Tiene una idea acerca de la respuesta.

• • • •

Comprensión de conceptos

• No modela los conceptos rutinarios correctamente. • No puede explicar el concepto. • No intenta resolver el problema. • No hace conexiones.

• Revisa cálculos y procedimientos. • Puede investigar razones si existen dudas.

• No revisa cálculos ni procedimientos. • No reconoce si su respuesta es o no razonable.

Verificación de resultados • Chequea la racionalidad de los y/o progreso resultados. • Reconoce sin dar argumentos.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm

169

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 98 Y 99

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN: Conexiones

Síntesis Recordar y conectar.

Conectar, analizar y aplicar.

170

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

INFORMACIÓN RESPECTO DEL CONTENIDO

TÉCNICAS DE ESTUDIO

La actividad de la sección CONEXIONES tiene como propósito vincular los cuerpos geométricos estudiados en esta Unidad, y otros ya conocidos, como el cubo, con una técnica que se usa para dibujar objetos, llamada encaje. Además, con esta técnica se puede aproximar la medida que ocupa el objeto en el espacio.

A continuación, proponemos otra forma de estudiar los contenidos trabajados en esta Unidad: el resumen.

La técnica de encaje permite dibujar cualquier objeto, ya sea una figura plana o tridimensional, pues se puede encerrar dentro de una figura o cuerpo geométrico, o bien combinaciones de varias formas. Antes de encajar el objeto, debemos observarlo atentamente para escoger las figuras o cuerpos geométricos adecuados. En el ejemplo, podemos observar que la estructura geométrica de la hoja es análoga a un triángulo.

Para que el resumen de la Unidad esté completo sería apropiado que indique cuáles son los contenidos que deben incluir. Asimismo, podría presentar al curso uno realizado por usted y revisarlo en conjunto con el curso, guiados por preguntas como las siguientes: • • • •

¿Es correcta la definición dada?, ¿está completa? ¿Son correctas las características dadas?, ¿falta alguna? ¿Es adecuado el ejemplo propuesto? ¿Es adecuado el problema de aplicación?

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad, responde las siguientes preguntas:

Más información sobre dibujos, búsquela en el manual Forma, Encaje y Perspectivas, del sitio web sugerido a continuación. Un interesante archivo bibliográfico online, donde se pueden encontrar libros, manuales y talleres (de consulta) centrados en la cultura y el arte, está disponible en el sitio web: www.purpuraplastika.org/eventos/biblioteca.html

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. En relación con la técnica para dibujar llamada encaje, responde las siguientes preguntas: a) ¿Consideras que la técnica aprendida es una forma sencilla de dibujar figuras?, ¿por qué? b) Escoge tres figuras de tu entorno y, luego, utiliza la técnica de encaje para dibujarlas en tu cuaderno. c) Usando una huincha para medir, determina el volumen aproximado de cada una. (Habilidades que desarrolla: reconocer, conectar, usar herramientas y justificar).

SUGERENCIAS RESPECTO DE LA SÍNTESIS DE LA UNIDAD Los mapas conceptuales son un recurso visual muy atractivo y efectivo para los alumnos y alumnas, ya que les permite organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los y las estudiantes consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. 171

Unidad 3 – Geometría y medición

1. ¿En qué objetos de la realidad podemos encontrar círculos, circunferencias, conos y cilindros? 2. Construye en tu cuaderno un cuadro resumen con los principales temas de esta Unidad. 3. Inventa un problema que involucre cálculo de la longitud de la circunferencia y, luego, resuélvelo. 4. Inventa un problema que incluya el área del círculo; luego, resuélvelo. 5. Inventa un problema referido al volumen del cilindro y cono; luego, resuélvelo. 6. ¿Cómo justificarías que la fórmula para calcular el área total de un cilindro es (2 • π • r • h) + (2 • π • r 2)? 7. ¿Cómo calcularías el área total de un cono cuya altura mide 13 cm y el radio de la base mide la mitad? (Habilidades que desarrollan: recordar, conectar, justificar y calcular). De profundización 1. Construye un cuadro resumen sobre: la circunferencia, su longitud y sus elementos; el círculo y la estimación de su área. Da tres ejemplos. 2. Construye un cuadro resumen sobre el cono y cilindro, su área total y volumen. Da tres ejemplos. 3. Inventa un problema que implique calcular el volumen de un cuerpo formado por dos o más cuerpos geométricos; luego, resuélvelo, indicando la estrategia utilizada. (Habilidades que desarrollan: recordar, conectar, formular y calcular).

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 100 Y 101

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: ¿Qué aprendí? Ítems 1 y 2: recordar y analizar. Ítems 3, 4, 5, 6, 7 y 8: analizar y calcular. Ítems 9, 10, 11 y 12: analizar, aplicar y calcular. 172

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

EVALUACIÓN SUMATIVA En estas páginas se presenta una evaluación sumativa bajo el nombre de ¿QUÉ APRENDÍ? Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la Unidad de Geometría y medición, y con esta información seguir determinadas líneas de acción, por ejemplo, volver a enseñar un contenido o realizar una actividad adicional, para que adquieran todos los aprendizajes que se pretendían con el desarrollo de esta Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere: Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente seis preguntas. Por lograr, si contesta correctamente menos de seis preguntas.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En los ítems 1 a 8, la información que entrega la respuesta de los y las alumnas es limitada, ya que sin desarrollo es difícil saber cuáles son los errores que cometen, que pueden ser por falta de conocimiento o equivocación al marcar la alternativa, entre otras. Para evitar este inconveniente, en los ítems de selección múltiple, se

sugiere que realicen algún tipo de desarrollo para cada pregunta, pues de este modo podemos detectar en qué se están equivocando y ayudarlos a alcanzar los aprendizajes que se espera que logren. • En el ítem 9, sus estudiantes podrían confundirse al determinar cuánto papel se necesita, ya que no se pide explícitamente el área o volumen. Con este problema podrá apreciar quiénes comprenden dichos conceptos y sus aplicaciones en situaciones significativas. Si es necesario, muestre con un envase cilíndrico qué deben calcular. • En los ítems 10 y 11, si sus alumnos y alumnas tienen dificultades para responder, es conveniente pedirles que dibujen los cuerpos geométricos en sus cuadernos y, además, que sean ordenados en el desarrollo de su estrategia, pues, si cometen errores, será más fácil corregirlos y detectarlos. • En el ítem 12, podrían tener dificultades para determinar la medida del radio de la circunferencia mayor, considerando la razón entre ellos. Puede guiarlos pidiendo que determinen el término que falta en la proporción 1 : 3 = 4 : x, para determinar el radio desconocido. En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podrá plantearles a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.

La siguiente rúbrica se puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 9, 10, 11 y 12. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Calcula correctamente el área de la Calcula correctamente el área de la cara lateral, indicando adecuadamente cara lateral, pero no indica de manera cada uno de sus pasos. adecuada cada uno de sus pasos.

Calcula solo el área total del cilindro; Calcula erróneamente el área solicitada; además, no indica de manera adecuada además, no indica de manera adecuada cada uno de sus pasos. cada uno de sus pasos.

Calcula correctamente el área y cobro pedido, indicando adecuadamente cada uno de sus pasos.

Calcula correctamente el área y cobro pedido, pero no indica de manera adecuada cada uno de sus pasos.

Calcula correctamente el área a pintar y Calcula erróneamente el área y cobro erróneamente el cobro pedido; además, pedido, confundiendo procedimientos confunde algunos de sus pasos. para obtener el área.

Calcula correctamente las áreas pedidas, indicando adecuadamente cada uno de sus pasos.

Calcula correctamente las áreas pedidas, pero no indica de manera adecuada cada uno de sus pasos.

Calcula erróneamente alguna de las Calcula erróneamente las áreas áreas pedidas, ya sea el área de la base pedidas, confundiendo los o el área total; además, confunde procedimientos para obtener ambas. algunos de sus pasos.

173

Calcula correctamente la longitud, Calcula correctamente la longitud, el área y la razón pedidas, indicando el área y la razón pedidas, pero no adecuadamente cada uno de sus pasos. indica de manera adecuada cada uno de sus pasos. Unidad 3 – Geometría y medición

Calcula erróneamente ya sea la longitud, el área o la razón pedidas; además, confunde algunos de sus pasos.

Calcula erróneamente la longitud, el área y la razón pedidas, confundiendo los procedimientos para obtener los resultados. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

3. Aproxima el área de cada círculo por medio de los polígonos regulares inscritos en la circunferencia.

De refuerzo 1. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas. a)

2 cm

1,54 cm

Una recta tangente interseca en un único punto a la circunferencia.

1,73 cm

El radio es el segmento que une dos puntos de la circunferencia, pasando por el centro.

Una cuerda es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

2,12 cm

d) 1 cm 2 cm

Un arco es la parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.

El área de un círculo es la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

El círculo es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio.

O 1,54 cm

3,08 cm

4. Determina la longitud y el área de las siguientes figuras. Considera π = 3,14. a)

2. Completa la siguiente tabla, redondeando tus resultados a los centésimos. Considera π = 3,14. Radio

Longitud de la circunferencia

14 cm

Área del círculo

9 cm

7 cm 5,4 m 3 mm

4 cm

4,3 cm 3,7 cm

6m C

174

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

5. Calcula el área total y volumen de los siguientes cuerpos geométricos rectos. Considera π = 3,14. a)

3. Determina la longitud de la circunferencia inscrita en el cuadrado, si el perímetro de dicho polígono es 80 cm.

radio = 60 m generatriz = 100 m

radio = 15 cm altura = 18 cm

4. La longitud de una semicircunferencia es 131,88 m. ¿Cuánto mide su radio?

5. La longitud de una circunferencia es 28,26 cm. Determina la medida de su diámetro.

radio = 11 cm altura = 25 cm

altura = 24 mm radio = 10 mm

6. ¿Qué condición debe cumplir el radio y la altura de un cilindro recto para que su área lateral sea equivalente a la suma de las áreas basales? 7. Hallar la altura de un cono recto si el área lateral mide 62,8 cm2 y el radio basal mide 4 cm.

De profundización Resuelve los siguientes problemas considerando π = 3,14. 1. Determina el área y el perímetro de la siguiente corona circular, sabiendo que la circunferencia menor tiene un diámetro que mide 7 cm, y el diámetro de la mayor mide el doble que el diámetro de la menor.

8. Calcula el área total de un cono recto cuya generatriz mide 25 cm y el radio basal mide 15 cm. 9. Para la fiesta de cumpleaños de Luisa, sus padres quieren fabricar gorros de cartulina con forma de cono. Estimaron que el diámetro de estos debe medir 20 cm y la altura 25 cm. Si en total serán 30 personas, ¿cuántos metros cuadrados de cartulina necesitan, aproximadamente? 10. Un comerciante vende helados bañados en chocolate. Si el diámetro de la base del cono mide 5 cm y la altura del cono mide 12 cm, ¿cuál es el volumen del cono de helado?

2. El radio de la circunferencia que se muestra a continuación mide 19 cm. Si está inscrita en el cuadrado, ¿cuál es el valor del área sombreada?

175

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 174 Y 175 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

De profundización

De refuerzo

1. P = 65,94 cm; Á = 115,4 cm2

1. a) Verdadero. b) Falso. c) Verdadero. d) Verdadero. e) Falso. f) Verdadero.

2. Á = 310,46 cm2 3. L = 62,8 cm 4. r = 42 m 5. d = 9 cm

Radio

Longitud de la circunferencia

Área del círculo

6. Deben ser de igual medida.

7 cm

43,96 cm

153,86 cm2

5,4 m

33,91 m

91,56 m2

7. h = 3 cm

3 mm

18,84 mm

28,26 mm2

8. Á = 1884 cm2

4,3 cm

27 cm

58,06 cm2

37,68 m

9. Se necesitan 25 368,06 cm2, aproximadamente.

113,04 m

10. V = 78,5 cm3 2

3. a) Á = 10,38 cm b) Á = 30,8 cm2

c) Á = 14,69 cm2 d) Á = 7,7 cm2 4. a) L = 71,96 cm; Á = 307,72 cm2 b) L = 19,02 cm; Á = 21,49 cm2 c) L = 32,13 cm; Á = 63,59 cm2 d) L = 26,84 cm; Á = 37,68 cm2 5. a) Á = 30 144 m2; V = 301 440 m3 b) Á = 2486,88 cm2; V = 9498,5 cm3 c) Á = 3108,6 cm2; V = 12 717 cm3 d) Á = 1130,4 mm2; V = 2512 mm3

176

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

EVALUACIÓN FINAL En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiar y utilizar como evaluación sumativa de la Unidad. Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la Unidad Geometría y medición. El tiempo estimado para la realización de la prueba es 40 minutos. Este tiempo puede ser modificado según las características de sus estudiantes. Para que la evaluación le permita calificar a sus alumnos y alumnas, se sugiere utilizar la siguiente pauta: Ítem

Habilidades que se evalúan

Puntaje

Total

Identificar, analizar, recordar y calcular.

2 puntos cada una

16 puntos

Resolver problemas, aplicar y calcular.

6 puntos cada una

36 puntos

Puntaje total de la evaluación: 52 puntos. Los ejercicios y problemas presentados permiten evaluar los aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere: Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente seis preguntas. Por lograr, si contesta correctamente menos de seis preguntas.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En los ítems 1 a 8, la información que entrega la respuesta de los y las estudiantes es limitada, ya que sin el desarrollo es difícil saber cuáles son los errores que cometen (pueden ser por falta de conocimiento o equivocación al marcar la alternativa,

entre otras). Para evitar este inconveniente en los ítems de selección múltiple, se sugiere pedirles que realicen algún tipo de desarrollo en cada pregunta, pues de este modo se podrá detectar en qué se están equivocando, y ayudarlos a alcanzar los aprendizajes que se espera que logren. • En los ítems de desarrollo, monitoree constantemente el trabajo de los y las alumnas, con la finalidad de que trabajen según las instrucciones. Pídales a sus estudiantes que lean detalladamente cada problema, para evitar confusiones. Después de que conozca los resultados obtenidos por sus estudiantes en esta evaluación, se recomienda que revise junto con ellos cada una de las preguntas presentadas en esta evaluación, con el fin de detectar los errores que cometieron y aclarar las dudas que tengan. Si considera que sus estudiantes requieren apoyo adicional, vuelva a enseñar aquellos contenidos que no alcanzaron un nivel de logro apropiado.

SOLUCIONARIO DE LA EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE DE LAS PÁGINAS 178 Y 179 I. 1. D

2. B

II. 9. 6437 cm2

3. C

4. C

5. A

10. 56 viajes

6. B

11. 314 m

7. D

8. C

12. 490,625 m2

13. a) 20 cm y 26 cm, respectivamente. b) 816,4 cm2

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en el ítem II. Ítem

177

Completamente logrado Resuelve correctamente ambos problemas, indicando de forma adecuada cada uno de sus pasos.

Unidad 3 – Geometría y medición

Logrado Resuelve correctamente ambos problemas, pero no indica de forma adecuada cada uno de sus pasos.

Medianamente logrado Resuelve correctamente uno de los dos problemas; además, no indica de forma adecuada todos sus pasos.

Por lograr Resuelve erróneamente ambos problemas, y no indica de forma adecuada cada uno de sus pasos.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

EVALUACIÓN

4. Si el radio del cono recto de la figura mide 3 cm y su altura es el triple del radio, ¿cuál es su volumen?

Potencias Nombre:

Curso: 8º

Fecha:

Puntaje:

Nota:

A. B. C. D.

18,84 cm3 28,26 cm3 84,78 cm3 254,34 cm3

Marca la alternativa correcta en las preguntas 1 a la 8. Realiza el desarrollo al lado de cada pregunta. Considera π = 3,14. 1. El lugar geométrico de los puntos del plano que están a igual distancia de un punto fijo, llamado centro, corresponde a: A. B. C. D.

A. B. C. D.

cuerda. círculo. radio. circunferencia.

2. El área sombreada de la figura es: A. B. C. D.

28,26 cm2 19,74 cm2 12,8 cm2 9,42 cm2

6 cm

3 cm

8 cm

3. Si la altura del cilindro recto de la figura mide 15 m y su radio 5 m, ¿cuál es su volumen? A. B. C. D.

178

5. La longitud de una circunferencia cuyo diámetro mide 24 mm es: L = 75,36 mm L = 37,68 mm L = 150,72 mm L = 452,16 mm

6. Si el perímetro del polígono regular verde de la figura es 36 cm y su apotema mide 5,5 cm, y el perímetro del polígono regular naranjo es 36,3 cm y su apotema mide 5,7 cm, entonces la mejor estimación del área del círculo de centro O es: A. B. C. D.

99 cm2 103,46 cm2 198 cm2 206,91 cm2 O

1157 m3 1175 m3 1177,5 m3 177,5 m3

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

7. El área total del cono recto de la figura, de altura 3 cm y radio 4 cm es: A. B. C. D.

62,8 cm2 50,24 cm2 87,92 cm2 113,04 cm2

8. El área total del cilindro recto de la figura, de altura 10 cm y radio 7 cm es: A. B. C. D.

11. Don Luis quiere cercar con alambre un terreno de forma circular, como se observa en la imagen. Si requiere que el alambre dé 4 vueltas y el terreno tiene un diámetro de 25 m, ¿cuántos metros de alambre necesita?

25 m

439,6 cm2 307,72 cm2 747,32 cm2 1067,6 cm2 12. Considerando la pregunta anterior: Si Don Luis quiere sembrar lechugas en el terreno circular, ¿de cuántos metros cuadrados dispone, aproximadamente?

II. Resuelve los siguientes problemas. Considera π = 3,14. 9. ¿Cuál es el área total de un tubo de acero con forma cilíndrica, si su radio basal mide 5 cm y su largo 2 m?

13. El gorro que usó Andrés para su cumpleaños tiene forma de cono recto. Si su altura mide 24 cm y el volumen es 2512 cm3, responde: a) ¿Cuánto mide su diámetro?, ¿y su generatriz? b) ¿Cuál es su área lateral?

10. En una planta de salitre almacenan el mineral formando cerros con forma de cono recto cuyo radio mide 40 m y su altura 10 m. Si el salitre acumulado debe ser transportado en un camión con capacidad de carga de 300 m3, ¿cuántos viajes deberá realizar el camión para transportar el mineral de un cerro?

179

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Movimientos en el plano

Unidad

PROPÓSITO DE LA UNIDAD

ESQUEMA DE LA UNIDAD

Esta Unidad está orientada al estudio de transformaciones isométricas de figuras geométricas planas y a la aplicación de dichas transformaciones en contextos diversos. Se pretende que los y las estudiantes utilicen sus conocimientos previos sobre puntos, rectas, ángulos, polígonos y construcciones para la realización de transformaciones isométricas (traslaciones, rotaciones, y reflexiones) de diferentes polígonos (regulares e irregulares), así como también, que sean capaces de reconocer y discutir respecto de los aspectos que se mantienen y de los que varían luego de la aplicación de una transformación isométrica en el plano.

Transformaciones de polígonos pueden ser

El objetivo de esta Unidad es que los alumnos y alumnas caractericen y efectúen transformaciones isométricas de figuras geométricas planas con regla y compás, empleando un procesador geométrico; además, que construyan algunas teselaciones y argumenten respecto de las transformaciones isométricas involucradas en ellas.

se pueden crear

En la segunda parte de la Unidad son presentadas las teselaciones regulares y semirregulares, como una aplicación concreta de las transformaciones isométricas.

Isométricas

No isométricas

tipos

como

Traslación

Reflexión

según un

respecto de

Vector de traslación

Eje de simetría

Rotación

Ampliación

Reducción

respecto de

Centro de rotación

Ángulo de rotación

Teselaciones pueden ser

Regulares

Semirregulares

contienen un

contienen dos o más

Polígono regular

180

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

RELACIÓN ENTRE LOS CMO TRATADOS EN LA UNIDAD Y LOS DE OTROS AÑOS 7º básico

8º básico

1º medio

2º medio

Transporte de segmentos y ángulos, construcción de ángulos y bisectrices de ángulos, construcción de rectas paralelas y perpendiculares, mediante regla y compás o un procesador geométrico.

Realización de traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas a través de construcciones con regla y compás y empleando un procesador geométrico, discusión acerca de las invariantes que se generan al realizar estas transformaciones.

Identificación del plano cartesiano y su uso para representar puntos y figuras geométricas manualmente y haciendo uso de un procesador geométrico.

Exploración de diversas situaciones que involucran el concepto de semejanza y su relación con formas presentes en el entorno.

Construcción de teselaciones regulares y semirregulares y argumentación acerca de las transformaciones isométricas utilizadas en dichas teselaciones.

Notación y representación gráfica de vectores en el plano cartesiano y aplicación de la suma de vectores para describir traslaciones de figuras geométricas.

Identificación y utilización de criterios de semejanza de triángulos para el análisis de la semejanza en diferentes figuras planas.

Formulación de conjeturas respecto de los efectos de la aplicación de traslaciones, reflexiones y rotaciones sobre figuras geométricas en el plano cartesiano y verificación, en casos particulares, de dichas conjeturas mediante el uso de un procesador geométrico o manualmente.

Aplicación de la noción de semejanza a la demostración de relaciones entre segmentos en cuerdas y secantes en una circunferencia y a la homotecia de figuras planas.

181

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

PROPUESTA DE PLANIFICACIÓN DE LA UNIDAD

CMO

Contenidos

Aprendizajes esperados

Actividades asociadas

• Transformaciones de figuras y objetos. • Traslaciones de figuras planas. • Reflexiones de figuras planas. • Rotaciones de figuras planas.

• Efectuar traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas por medio de construcciones con regla y compás. • Realizar traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas por medio de un procesador geométrico. • Reconocer los aspectos que se mantienen al realizar transformaciones isométricas.

En el Texto De exploración: páginas 106, 108, 110 y 112.

Construcción de teselaciones regulares y semirregulares y argumentación acerca de las transformaciones isométricas utilizadas en dichas teselaciones.

• Teselaciones. • Teselaciones regulares y semirregulares.

• Construir teselaciones regulares y semirregulares. • Reconocer y argumentar respecto de las transformaciones isométricas utilizadas en teselaciones regulares y semirregulares.

En el Texto De exploración: páginas 154 y 156. De construcción de conceptos: páginas 155, 157 y 158.

Tiempo estimado: 5 a 6 semanas Tipos de Recursos evaluación didácticos

Indicadores de evaluación

• Identifican características de figuras que representan una transformación isométrica. • Determinan si ciertas De construcción de figuras se pueden obtener conceptos: páginas 107, aplicando una transfor109, 111, 113, 114, mación isométrica. 115 y 116. • Construyen con regla y De consolidación: compás la imagen de una páginas 126 y 127. figura al aplicar una transformación isométrica. En la Guía Didáctica • Realizan transformaciones De refuerzo: páginas isométricas empleando un 193, 195, 197, 199, 201, procesador geométrico. 204 y 205. • Determinan los elemenDe profundización: tos que no varían, al páginas 193, 195, 197 aplicar una transformay 199. ción isométrica a una figura plana.

De consolidación: páginas 126 y 127.

Diagnóstica: páginas 104 y 105 del Texto del Estudiante.

• • • •

Formativa: • páginas 117 y 123 del Texto del Estudiante. • • Sumativa: páginas 128 y • 129 del Texto del Estudiante, y 224 y 225 de la Guía Didáctica del Docente.

Regla. Compás. Transportador. Computador con software Geogebra. Cartón piedra de 40 cm x 30 cm. Pegamento. Tijeras. Papeles de colores.

• Construyen teselaciones regulares. • Construyen teselaciones semirregulares. • Distinguen las transformaciones isométricas involucradas en una teselación.

En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 207, 209, 211, 212 y 213. De profundización: 207, 209, 212 y 213.

182

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

CMO Realización de traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas a través de construcciones con regla y compás […].

Contenidos • Buscando estrategias.

Aprendizajes esperados • Resolver problemas en contextos diversos que involucran la aplicación de transformaciones isométricas. • Analizar la validez de los procedimientos utilizados y de los resultados obtenidos.

Actividades asociadas En el Texto De exploración: página 124.

Indicadores de evaluación

Tipos de evaluación

Recursos didácticos

• Resuelven problemas que involucran traslaciones, reflexiones o rotaciones.

De construcción de conceptos: página 125. De consolidación: páginas 126 y 127. En la Guía Didáctica De refuerzo: página 215. De profundización: página 215.

183

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ERRORES FRECUENTES Errores frecuentes

Cómo subsanarlos

Si los conocimientos sobre puntos, rectas, ángulos, polígonos y sus características son insuficientes, se pueden producir complicaciones en el aprendizaje de los polígonos y sus transformaciones en el plano.

• Por medio de la evaluación diagnóstica, podrá conocer los conocimientos y experiencias previas de sus alumnos y alumnas. Si los conocimientos no son suficientes, es importante recordar los conceptos necesarios, clarificar las dudas y errores conceptuales que presenten, ya que pueden provocar dificultades en el aprendizaje de los contenidos de la Unidad. • Para evitar estos errores en el desarrollo de la Unidad es conveniente que, después de la evaluación diagnóstica, realice un repaso de los contenidos donde detectó errores o confusiones en sus alumnos y alumnas.

En las construcciones con regla y compás es posible encontrar los siguientes Inconvenientes:

• Para aclarar cómo se transportan segmentos y ángulos, sería conveniente que recuerde en la pizarra cómo se realizan estas construcciones geométricas. • Para que los alumnos y alumnas construyan rectas paralelas al vector de traslación, es aconsejable que recuerde en la pizarra o usando un procesador geométrico esta construcción. De forma similar, recuerde la construcción de rectas perpendiculares en la reflexión. Además, puede pedir a sus estudiantes que describan en sus cuadernos, paso a paso, los procedimientos empleados.

• Realización incorrecta de la copia de trazos y ángulos. • Construcción incorrecta de rectas paralelas y perpendiculares.

En la construcción de teselaciones regulares y semirregulares, se pueden presentar los siguientes inconvenientes: • Dificultades para identificar qué polígonos regulares teselan el plano. • Problemas para argumentar respecto de las transformaciones isométricas utilizadas en algunas teselaciones.

184

Unidad 4 – Movimientos en el plano

• Para ayudar a que los y las estudiantes identifiquen cuándo es posible teselar el plano usando uno o más polígonos regulares, es conveniente recordar que la suma de los ángulos de las figuras que concurren a un vértice es 360º, y constatarlo calculando la suma de dichos ángulos. • Para que los alumnos y alumnas distingan correctamente las transformaciones isométricas empleadas en una teselación, es conveniente que muestre en la pizarra, a partir de la figura inicial, cómo se construye una teselación, identificando con distintos colores las traslaciones, rotaciones y reflexiones presentes en ella.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

REFERENCIAS TEÓRICAS Y CONSIDERACIONES SOBRE ALGUNOS CONTENIDOS

Polígonos regulares e irregulares

A continuación, le entregamos información complementaria actualizada para un desarrollo conceptual más amplio de los temas tratados en la Unidad.

Un polígono regular es aquel que tiene todos sus ángulos y lados de igual medida; de lo contrario, es un polígono irregular. La expresión que permite obtener la medida de un ángulo interior de un polígono regular de n lados está dada por:

POLÍGONOS Y SUS ELEMENTOS BÁSICOS Un polígono es una figura geométrica plana limitada por al menos tres segmentos rectos consecutivos no alineados, llamados lados.

180° i (n < 2) n

α: medida de cada ángulo interior

Los elementos básicos de un polígono son: • Lados: segmentos que delimitan el polígono. Si están trazados uno a continuación del otro son lados consecutivos. • Vértices: puntos de intersección entre dos lados consecutivos de un polígono. • Ángulos: estos pueden ser interiores o exteriores.

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS Previo a la construcción con regla y compás de rectas paralelas y perpendiculares, copiaremos un segmento y un ángulo dados. • Copiar un segmento AB dado

• Diagonales: segmentos que unen cada uno de los vértices no consecutivos. Nº de lados

Nombre

Triángulo

Cuadrilátero Pentágono

Hexágono

Heptágono

Los polígonos se pueden clasificar según el número de sus lados. Por ejemplo: Polígonos cóncavos y convexos Un polígono se denomina cóncavo, si alguno de sus ángulos interiores mide más de 180º; se denomina convexo, si cada uno de sus ángulos interiores mide menos de 180º.

1° Se dibuja una recta L y se elige un punto A sobre ella. 2° Se mide con el compás el segmento y, luego, con centro en A y esta medida, se construye un arco que corte a la recta L. El punto de intersección corresponde al punto B.

• Copiar un ángulo AOB dado 1° Se copia el segmento OB sobre una recta L.

2° Con centro en O, se dibuja un arco con el mismo radio de medida OA. Polígono cóncavo

Polígono convexo

Ángulos interiores y exteriores de un polígono La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono de n lados, está dada por la expresión: 180º • (n – 2)

3° Con centro en B, se dibuja un arco con radio de medida AB.

4° Donde se intersecan ambos arcos estará el punto A. Se une O con A, para obtener el ángulo pedido.

La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono cualquiera es siempre igual a 360º. O

185

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

A continuación, veremos cómo se construyen, paso a paso, rectas paralelas y perpendiculares. • Construir una recta paralela a una recta L dada, que pasa por un punto P que no pertenece a dicha recta.

1° Se dibuja un punto P, que no pertenezca a la recta L. 2° Se dibuja un punto O cualquiera en la recta L. P

3° Con centro en O y radio OP se dibuja una circunferencia. A y B son los puntos de intersección entre la recta L y la circunferencia de centro O. 4° Se mide AP con el compás y, luego, se dibuja un arco con centro en B y radio AP que interseque a la circunferencia de centro O, determinando el punto Q.

5° Se une P con Q, obteniendo la recta PQ paralela a la recta L, como se observa en la imagen.

TESELACIONES A

Una teselación es un patrón de figuras que cubre una superficie sin dejar espacios ni sobreponer figuras. Q

Las teselaciones se obtienen a partir de la aplicación de transformaciones isométricas sucesivas sobre una figura inicial. En una teselación con figuras planas, la suma de todos los ángulos que concurren a un vértice es 360º.

Construir la perpendicular a una recta L dada, desde un punto P que no pertenece a dicha recta. 1° Se dibuja un punto P, que no pertenezca a la recta L.

Teselaciones regulares Las teselaciones regulares son aquellas que cubren una superficie utilizando solo un polígono regular. Los únicos polígonos regulares que cubren completamente una superficie plana son el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono. Por ejemplo:

2° Se dibuja un arco con centro en P que interseque a la recta L en dos puntos, que denominaremos A y B (AP ≅ PB). 3° Con la misma abertura del compás y con centro en A y, luego, en B, se dibujan dos arcos que se intersequen en un punto (distinto de P) que denominaremos C. 4° Se une P con C, obteniendo la recta PC perpendicular a la recta L. 186

Teselación utilizando cuadrados Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Teselaciones semirregulares Una teselación semirregular es aquella que está formada por 2 o más polígonos regulares. Algunas teselaciones semirregulares se pueden realizar utilizando: • Octágonos y cuadrados (como la imagen)

Bibliografía • Artigue, M. (1995). Ingeniería didáctica en educación matemática. México: Grupo Editorial Iberoamérica. • Guzmán R., I. (2002). Didáctica de la Matemática como disciplina experimental. Valparaíso: Pontificia Universidad Católica de Valparaíso.

• Cuadrados y triángulos equiláteros • Hexágonos y triángulos equiláteros

• Manual esencial. (2008). Composición de isometrías. Geometría y Trigonometría. (pp. 130 y 131). Santiago: Santillana.

• Hexágonos, cuadrados y triángulos equiláteros

• Manual esencial. (2008). Composición de isometrías. Geometría y Trigonometría (pp. 30–51). Santiago: Santillana.

Teselación no regular Una teselación no regular es aquella que está formada por polígonos irregulares. Por ejemplo:

• Rencoret, M. (2002). Iniciación matemática–Un modelo de jerarquía de enseñanza. Santiago: Andrés Bello.

Sitios webs • Construcciones de rectas y trazos: www.fisica.usach.cl/~ctoledo/licfismat/guia1geom.doc Teselación usando romboides • Transformaciones Isométricas en la Educación General Básica. XIII Jornadas Nacionales de Educación Matemática, SOCHIEM: www.sochiem.cl/jornadas2006/talleres_nacionales/06.pdf

Construcción de una teselación A partir de cualquier polígono que permita teselar una superficie, se pueden formar plantillas de diseño para realizar distintos modelos. Los pasos para crear una teselación son:

• Teselaciones del artista M. C. Escher (página en inglés). Disponible en: www.mcescher.com/

1° Elegir un polígono

Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

2° Determinar el diseño 3° Determinar las transformaciones isométricas a utilizar.

Rotación de arco

187

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Teselación

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 102 Y 103

La imagen inicial de la Unidad está destinada a motivar a sus estudiantes en el estudio de la Geometría, específicamente en las transformaciones isométricas y teselaciones. Para muchos de sus alumnos y alumnas, puede parecer extraño que la Matemática esté vinculada con el arte; sin embargo, el autor de esta obra es un gran exponente de la relación entre estas dos distintas áreas del saber. Por años, muchos artistas y matemáticos se han inspirado en los maravillosos trabajos de M. C. Escher. 188

Unidad 4 – Movimientos en el plano

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN: Conversemos de... Ítems 1 y 2: reconocer. Ítem 3: analizar e identificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

APRENDIZAJES ESPERADOS DE LA UNIDAD En la sección EN ESTA UNIDAD PODRÁS… se explicitan los aprendizajes que se espera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad. Se sugiere que los lean en voz alta y, luego, puede preguntarles lo siguiente: • ¿Qué es una transformación?, ¿observas ejemplos presentes en la naturaleza? • ¿Han escuchado hablar de traslación, rotación o reflexión? • ¿Qué tipo de embaldosamientos han visto a su alrededor? Con estas preguntas, y las ideas que vayan surgiendo por parte de sus alumnos y alumnas, puede hacer un mapa semántico en la pizarra, que le permitirá obtener información acerca de las experiencias y conocimientos previos de sus alumnos y alumnas; a partir de ellos, podrá guiar de mejor forma el trabajo de la Unidad.

ACTIVIDAD INICIAL

Escher fue un observador del mundo, siendo este su fuente de inspiración. Sus obras tratan sobre figuras imposibles, teselaciones y mundos imaginarios de 2 ó 3 dimensiones. Es por esto que su trabajo ha sido del interés de muchos matemáticos. Actualmente sus trabajos se pueden encontrar en diversos sitios web: • www.mcescher.com/ (página en inglés) • www.uv.es/buso/escher/escher.html

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Observa la siguiente imagen y, luego, responde.

Es recomendable comentar con los y las estudiantes la imagen inicial presentada en el Texto. Puede complementar la conversación con preguntas como las siguientes: • • • • •

¿Hay figuras que no se repiten?, ¿cuáles? ¿Las imágenes repetidas están a igual distancia? ¿Hay espacios sin cubrir en la imagen? ¿Hay algunas figuras superpuestas (una sobre otra)? ¿Tiene algún nombre especial este tipo de imagen?

Estas preguntas están relacionadas con la obra del artista Escher y la geometría. La obra que aparece corresponde a una teselación. Pida a sus estudiantes que copien algunas mariposas y en una hoja blanca las peguen para que descubran cuál es la regularidad de la obra y, además, constaten empíricamente que las figuras no se sobreponen. De esta forma podrán responder por medio de la experiencia las preguntas del primer y segundo punto. La actividad inicial está relacionada con contenidos trabajados en años anteriores, tales como las figuras geométricas y sus características.

a) ¿Observas alguna regularidad? b) ¿Cuál es el movimiento de las figuras? c) ¿A partir de qué figura geométrica crees que se formó la imagen anterior?, ¿por qué? (Habilidades que desarrolla: analizar, reconocer y justificar).

INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA PARA DOCENTES Maurits Cornelis Escher (1898-1972) ha sido uno de los artistas gráficos más relevantes del mundo, y hoy, a casi cuatro décadas de su muerte, continúa maravillando a miles de personas con su arte. Escher no fue un estudiante brillante en la escuela. Posteriormente, al estudiar arte gráfico, motivado por un profesor, explotó todo su potencial, convirtiéndose en un artista reconocido. 189

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 104 Y 105

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA Para identificar los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta una evaluación diagnóstica con el título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios: Ítem 1: calcular medidas de ángulos entre rectas paralelas cortadas por una transversal. Ítem 2: recordar el nombre de figuras geométricas planas, y medir sus ángulos y lados con regla y transportador. 190

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Ítem 3: construir con regla y compás un triángulo, dados dos ángulos, un lado y una circunferencia circunscrita al triángulo. Ítem 4: construir con regla y compás una recta paralela a la recta L dada, y una perpendicular a la recta L.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: ¿Cuánto sabes? Ítem 1: analizar y calcular. Ítem 2: recordar y usar herramientas. Ítems 3 y 4: usar herramientas y representar.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En el ítem 1, es posible que los y las estudiantes no recuerden las igualdades de medidas de los ángulos entre paralelas cortados por una transversal. Para corregir esta posible dificultad, presente un esquema general que ilustre cuáles ángulos tienen igual medida y cuáles son suplementarios. Es recomendable no presentar ejemplos numéricos, pues con esto se perdería la intencionalidad del ítem. • En el ítem 2, es posible que los alumnos y alumnas no recuerden el nombre del polígono de seis lados (hexágono) o el nombre específico del cuadrilátero (rectángulo). En cuanto a los triángulos, puede que los alumnos y alumnas no recuerden

el nombre específico del triángulo, considerando su clasificación según sus lados y sus ángulos. Por ejemplo: triángulo escaleno obtusángulo, triángulo isósceles acutángulo, triángulo isósceles rectángulo. Para ayudar a sus estudiantes, podría presentar una breve clasificación general o mapa conceptual de los polígonos y de los tipos de triángulos y cuadriláteros. Es conveniente que no presente ejemplos numéricos, pues se podría perder la intención del ítem. • En los ítems 3 y 4, puede que los alumnos y alumnas presenten dificultad para construir rectas paralelas, rectas perpendiculares, triángulos y circunferencias circunscritas, utilizando regla y compás, ya que estas construcciones involucran conocimientos previos y práctica. Podría ocurrir que los alumnos y alumnas construyan mecánicamente, sin justificar o entender los procedimientos empleados. Para solucionar este inconveniente, y verificar si los y las estudiantes logran o no construir las figuras solicitadas, se recomienda mostrar en la pizarra un ejemplo para cada tipo de construcción, y una breve argumentación de cada una. Es conveniente que destaque que en las construcciones realizadas son más importantes las propiedades o definiciones puestas en juego que la precisión de la representación.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para diagnosticar a sus estudiantes. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Calcula correctamente los valores de los Calcula correctamente los valores de ángulos incógnitos por medio de las los ángulos incógnitos, utilizando el igualdades de medidas de los suplemento de un ángulo. ángulos entre paralelas cortados por una transversal.

Calcula erróneamente uno de los valores de los ángulos incógnitos, confundiendo la relación entre los ángulos.

Calcula erróneamente todos los valores de los ángulos incógnitos, confundiendo la relación entre los ángulos.

Utiliza correctamente las herramientas geométricas, obteniendo las medidas de los lados y ángulos, así como también recuerda los nombres de las figuras involucradas.

Utiliza correctamente las herramientas geométricas, obteniendo las medidas de los lados y ángulos, pero no recuerda todos los nombres de las figuras involucradas.

Utiliza erróneamente alguna de las herramientas geométricas, obteniendo las medidas incorrectas de uno o dos de los lados o ángulos; no recuerda todos los nombres de las figuras involucradas.

Utiliza erróneamente las herramientas geométricas, obteniendo todas las medidas incorrectas de los lados y ángulos, y no recuerda los nombres de las figuras involucradas.

Utiliza correctamente las herramientas geométricas, copiando el segmento y ángulos para construir el triángulo y, luego, la circunferencia circunscrita al triángulo, justificando cada uno de sus pasos.

Utiliza correctamente las herramientas geométricas, copiando el segmento y ángulos para construir el triángulo y, luego, la circunferencia circunscrita al triángulo, sin justificar sus pasos.

Utiliza erróneamente las herramientas geométricas, copiando de forma incorrecta el trazo, o bien, los ángulos, sin poder construir la circunferencia circunscrita al triángulo.

Utiliza erróneamente las herramientas geométricas, copiando de forma incorrecta el trazo, y también los ángulos, sin poder construir la circunferencia circunscrita al triángulo.

Utiliza correctamente las herramientas geométricas y construye de forma correcta la recta paralela y la recta perpendicular, justificando cada uno de sus pasos.

Utiliza correctamente las herramientas geométricas y construye de forma correcta la recta paralela y la recta perpendicular, sin justificar sus pasos.

Utiliza erróneamente las herramientas geométricas y construye de forma incorrecta la recta paralela, o bien, la recta perpendicular, sin justificar sus pasos.

Utiliza erróneamente las herramientas geométricas y construye de forma incorrecta ambas rectas, sin justificar sus pasos.

191

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 106 Y 107

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• […], discusión acerca de las invariantes que se generan al realizar estas transformaciones.

Para discutir

192

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Ítems 1 y 2: analizar y justificar. Ítem 3: analizar, justificar y reconocer. Ítem 4: analizar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Actividades Ítem 1: reconocer, analizar y justificar. Ítem 2: analizar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL El propósito de las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR es de carácter exploratorio y tiene por objetivo que los alumnos y alumnas analicen figuras y reconozcan cuáles de ellas corresponden a la aplicación de una transformación isométrica. Para motivar a sus estudiantes, sería interesante tener distintas figuras geométricas, semejantes y congruentes, pegarlas en la pizarra y hacer preguntas en relación a ellas. Además, podría anotar las observaciones que van aportando y, luego, discutir respecto de ellas. De esta forma mostraría y analizaría las transformaciones isométricas y no isométricas. Para complementar el tema y la información del Texto, plantee preguntas como las siguientes:

• En el caso de las figuras 3 y 4 de la actividad inicial se trata de una homotecia, concepto que estudiarán en cursos posteriores. Una homotecia es una transformación geométrica que permite obtener un polígono semejante a otro dado. En cambio, una transformación isométrica permite obtener un polígono congruente a otro dado. • Es importante considerar que una transformación geométrica asocia cada punto del plano con otro punto del mismo plano, de modo que una figura, siendo un conjunto de puntos, queda asociada a su figura imagen.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Completa el siguiente cuadro.

Figura original

¿Qué cambió?

¿Qué se mantuvo?

¿Es una transformación isométrica?

• ¿Ampliar o reducir una imagen es una transformación isométrica?, ¿por qué? • ¿Mover un objeto de un lugar a otro, sin que varíen sus medidas, es una transformación isométrica?, ¿por qué?, ¿qué cambió?, ¿qué se mantuvo igual?

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, complemente la pregunta del Texto con otras como las siguientes: ¿cambió la posición?, ¿y el tamaño? Al contestar estas preguntas les podría resultar más fácil identificar si cada fotografía corresponde o no a una transformación isométrica. En el caso de las imágenes de los palafitos y la mariposa, sugiera a sus estudiantes que constaten que se trata de una transformación isométrica, doblando la hoja por un eje imaginario justo en la mitad. • En el ítem 2, es importante recordar a sus estudiantes las características de una transformación isométrica: la imagen mantiene la forma y el tamaño de la figura original. De este modo, los alumnos y alumnas podrán identificar con mayor facilidad cuáles imágenes se obtuvieron a partir de una transformación isométrica. • Permita que los y las estudiantes compartan sus ideas, razonamientos y procedimientos al finalizar la actividad, pues esto les permitirá ampliar sus conocimientos, al conocer otros puntos de vista y métodos de resolución.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Es fundamental que sus estudiantes comprendan la diferencia entre transformaciones isométricas y no isométricas, así como los elementos que se mantienen y los que cambian luego de aplicar cada transformación, ya que estos conocimientos serán la base para los temas que se tratarán en la Unidad.

(Habilidades que desarrolla: analizar y reconocer). De profundización 1. Dibuja un polígono en tu cuaderno usando regla y, luego, una imagen que podrías obtener al aplicar una transformación isométrica a la figura. Explica cómo lo hiciste. (Habilidades que desarrolla: usar herramientas, aplicar y justificar).

193

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 108 Y 109

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Realización de traslaciones […] de figuras geométricas planas a través de construcciones con regla y compás […], discusión acerca de las invariantes que se generan al realizar estas transformaciones.

Para discutir

194

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Ítem 1: analizar. Ítems 2, 3 y 4: usar herramientas y analizar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Actividades

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

Ítems 1 y 2: usar herramientas, aplicar y representar. Ítem 3: analizar, usar herramientas, aplicar, representar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL El propósito de la actividad inicial propuesta en el Texto es mostrar a los y las estudiantes las características que presenta una traslación de figuras planas. Esto se realiza a través de preguntas que permiten explorar y analizar lo que sucede cuando se realizan traslaciones. Para ello, se presenta un cuadrilátero y su imagen, luego de aplicar una traslación. Para reforzar la comprensión del tema por los alumnos y alumnas con más dificultades, podría presentarles una nueva figura (que no sea cuadrilátero) con su correspondiente imagen, y pedirles que identifiquen los elementos que varían y los que no al aplicar una traslación, y también que midan la distancia entre cada vértice y su imagen respectiva. Para analizar las características de la traslación presentada, es de gran ayuda que cada alumno y alumna utilice una regla para realizar las mediciones respectivas.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Antes de comenzar los ítems 1 y 2, es conveniente que recuerde a sus estudiantes la construcción de una recta paralela a una recta L dada, que pasa por un punto P exterior a la recta L que encontrará en la página 186 de esta Guía. Si algún alumno o alumna no recuerda dicha construcción, esto no le permitirá alcanzar completamente los objetivos de la Unidad. • En el ítem 3, es importante que los alumnos y alumnas concluyan que al trasladar una figura según un vector y, luego, la imagen obtenida según otro vector, es posible trasladar la figura inicial y obtener la segunda imagen aplicando una traslación según un solo vector. La dificultad es determinar cuál es ese vector de traslación. A continuación, se muestra una posibilidad (gráfica) para determinar el vector:

• Para una mejor comprensión de la realización de la traslación de una figura con regla y compás es recomendable que cada alumno y alumna copie en su cuaderno un cuadrilátero como el que aparece en el Texto y que los guíe en la realización de cada uno de los pasos que se proponen en él. • Es importante supervisar el trabajo de cada uno de los y las estudiantes para determinar si trasladan y realizan las construcciones geométricas correctamente. Recuerde que los conceptos de transformaciones isométricas y de traslación son importantes para que los alumnos y alumnas los apliquen al momento de realizar las actividades. De no ser así, las construcciones con regla y compás serán solo procedimientos mecánicos. • Es fundamental tener presente que para trasladar una figura, basta con trasladar los vértices de la figura, en la dirección, sentido y magnitud que indica la flecha o vector de traslación y, luego, unir estos vértices. • Para los alumnos y alumnas que tienen dificultad al realizar las traslaciones con regla y compás, sería conveniente que previamente trabajen con cuadrículas para contar cuántos cuadraditos se traslada la figura según un determinado vector. Por ejemplo: traslada el cuadrado una unidad a la derecha y, luego, tres unidades hacia arriba. Dibuja el vector de traslación.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo D

1. Realiza la traslación de la siguiente figura, usando regla y compás, según el vector MN.

1° Se dibujan ambos vectores, de manera que

A B

→

el origen de b coincida con el extremo de →

→

a , obteniendo el vector c . →

→

2° La suma de los vectores a y b será el vector →

N →

→

c , cuyo origen coincide con el origen de a →

y cuyo extremo coincide con el extremo de b .

→

• Es importante que una vez finalizada la actividad, los y las estudiantes comparen los resultados obtenidos, como una forma de corregir y detectar errores.

(Habilidades que desarrolla: usar herramientas, aplicar y representar). De profundización 1. Construye en tu cuaderno un triángulo cuyos lados midan 3 cm, 5 cm y 6 cm y trasládalo usando regla y compás, según un vector que escojas. (Habilidades que desarrolla: usar herramientas, representar y aplicar).

195

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 110 Y 111

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Realización de […] reflexiones […] de figuras geométricas planas a través de construcciones con regla y compás […], discusión acerca de las invariantes que se generan al realizar estas transformaciones.

Para discutir

196

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Ítems 1, 2 y 3: analizar. Ítems 4 y 5: usar herramientas y analizar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Actividades Ítems 1 y 2: usar herramientas, aplicar y representar. Ítem 3: analizar, usar herramientas, aplicar, representar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL La actividad inicial tiene como propósito introducir los conceptos referentes a una transformación isométrica: las reflexiones. En esta actividad se plantean diversas preguntas para que los alumnos y alumnas puedan concluir sobre las características de esta transformación y, además, analizar qué aspectos cambian y cuáles se mantienen en la imagen de la figura inicial. En el Texto del Estudiante se realiza y explica, paso a paso, la reflexión de uno de los vértices de un pentágono, usando regla y compás. Para comenzar el estudio de este contenido, es de gran ayuda que doblen la hoja por la recta o eje de simetría para que verifiquen que en una reflexión las figuras coinciden al realizar este procedimiento y, además, que las medidas de lados y ángulos se mantienen. Por otro lado, es conveniente que copien la figura 1 (ubicada al lado inferior izquierdo de la página) en sus cuadernos y, paso a paso, reflejen el vértice D, como se muestra en el Texto del Estudiante. Luego, cada alumno y alumna podría reflejar los otros vértices siguiendo los mismos pasos anteriores, para que sean ellos quienes apliquen reflexión a la figura usando regla y compás.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Podría mostrar a sus estudiantes que una forma de observar la reflexión es usando un espejo. Para ello pídales que dibujen un polígono en sus cuadernos y, luego, que pongan el espejo como eje de simetría. Además, puede mencionar que para constatar que una figura es el reflejo de la otra, al doblar la hoja por el eje de simetría, estas debiesen coincidir. Eje de simetría

O’ N

N’

P’

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Dada la siguiente figura, dibuja su eje de simetría. Explica cómo lo hiciste. 2,5 cm

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Antes de realizar los ítems 1 y 2, es conveniente que recuerde a sus estudiantes la construcción de una recta perpendicular a una recta dada que pasa por un punto P exterior a la recta L que se muestra en la página 186 de esta Guía. Si algún alumno o alumna no recuerda dicha construcción, esto será un impedimento para alcanzar completamente los objetivos de la Unidad. • En el ítem 2, al reflejar el triángulo respecto de la recta MN, los alumnos y alumnas deberán reflejar solamente el vértice R, obteniendo como imagen el ΔMNR . • En el ítem 3, los alumnos y alumnas deben generalizar respecto del cuadrilátero que se formó en el ítem anterior; este es un rombo, pues el ΔMNR es isósceles de base MN. Sería conveniente que pregunte a sus estudiantes las características de un rombo y que las relacionen con la figura inicial y la imagen obtenida. • Es importante que una vez finalizada la actividad los y las estudiantes comparen los resultados obtenidos, como una forma de corregir y detectar errores.

2,5 cm

2. Realiza la reflexión de la siguiente figura, usando regla y compás, según la recta L.

(Habilidades que desarrollan: reconocer, usar herramientas, aplicar y representar). De profundización 1. Construye en tu cuaderno un triángulo que tenga dos lados de medidas 6 cm y 4 cm y que el ángulo formado por ellos mida 36º. Luego, aplícale una reflexión, usando regla y compás, respecto del lado cuya medida es 6 cm. (Habilidades que desarrolla: usar herramientas, representar y aplicar).

197

Unidad 2 – Potencias – Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 112 Y 113

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Realización de […] rotaciones de figuras geométricas planas a través de construcciones con regla y compás […], discusión acerca de las invariantes que se generan al realizar estas transformaciones.

Para discutir

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Unidad 4 – Movimientos en el plano

Ítems 1 y 2: analizar y justificar. Ítem 3: analizar, identificar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Actividades Ítems 1 y 2: usar herramientas, aplicar y representar. Ítem 3: analizar, usar herramientas, aplicar, representar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de la actividad inicial propuesta en el Texto es introducir el estudio de rotaciones de figuras planas y su realización a través de construcciones con regla y compás. Antes de trabajar en esta actividad, podría motivar a sus alumnos y alumnas mostrando distintas figuras sencillas y su imagen rotada con distintos ángulos de rotación y respecto de centros distintos. Luego, preguntar qué características observan entre la figura inicial y su imagen. De este modo podrá observar si los alumnos y alumnas identifican las características de una rotación y, además, los aspectos que varían y los que se mantienen. Luego de realizar las preguntas de la sección PARA DISCUTIR presentada en el Texto, podría plantear las siguientes preguntas: Al rotar una figura, ¿se mantiene la medida de los ángulos de la figura?, ¿se mantiene la medida de los lados de la figura?, ¿cómo lo supieron? En el Texto del Estudiante se realiza y explica, paso a paso, la rotación de uno de los vértices de un triángulo usando regla y compás. Por lo tanto, es conveniente que copien la figura 1 (ubicada al lado inferior izquierdo de la página) en sus cuadernos y, paso a paso, roten el vértice C, como se muestra en el Texto del Estudiante. Luego, cada alumno y alumna podría rotar los otros vértices siguiendo los mismos pasos anteriores, para que sean ellos quienes apliquen la rotación a la figura usando regla y compás.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Antes de realizar el ítem 1, es conveniente que recuerde a sus estudiantes cómo copiar ángulos, como se muestra en la página 185 de la Guía, pues si algún alumno o alumna no recuerda cómo se realiza, será un impedimento para alcanzar completamente los objetivos de la Unidad. • En el ítem 1, pida a sus estudiantes verificar que la rotación de cada vértice está correctamente realizada, midiendo con un transportador los ángulos formados por cada vértice, el centro de rotación y sus imágenes. Por ejemplo, si rotó un triángulo ABC respecto del vértice B en 120º; pídales que midan los ángulos ABA y CBC y verifiquen que miden 120º. • En el ítem 2, no se especifica que el sentido de la rotación es positivo; por lo tanto, es conveniente que mencione a sus estudiantes que en estos casos debemos asumir que el sentido es positivo (antihorario). • En el ítem 3, sería interesante plantear a los alumnos y alumnas que roten primero con centro en O y ángulo β‚ y, luego, la imagen obtenida rotarla con centro O y ángulo α y preguntar: ¿Se obtiene la misma imagen que en el orden propuesto en el Texto en el ítem 2?, ¿siempre ocurrirá lo mismo?, ¿por qué? 199

Unidad 4 – Movimientos en el plano

• En importante que una vez finalizada esta actividad, los y las estudiantes comparen las respuestas y puedan llegar a concluir que la imagen final se puede obtener mediante una rotación a la figura inicial de centro O y ángulo α + β, que en este caso mide 180º.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Para cualquier transformación, es recomendable asignar letras a los vértices y a su correspondiente imagen (con los apóstrofos) para evitar confusiones. Si una figura no tiene asignada letras, etiquete cada vértice antes de comenzar a aplicar cualquier transformación isométrica. • Es conveniente que monitoree constantemente los procedimientos y resultados obtenidos por sus estudiantes. Si lo considera necesario, podría trabajar con cuadrículas en las primeras rotaciones y con ángulos sencillos como 90º, 180º, 45º, 270º y, posteriormente, utilizando regla y compás, sobre todo, para aquellos estudiantes que tienen mayor dificultad. • Sería conveniente que trabaje con sus alumnos y alumnas algunas rotaciones para que concluyan lo siguiente (como actividad de refuerzo): – Al rotar una figura en 360º en sentido positivo o negativo se obtiene la misma imagen. – Una rotación en 270º en sentido positivo es equivalente a una rotación en 90º en sentido negativo. – Una rotación en 270º en sentido negativo es equivalente a una rotación en 90º en sentido positivo.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

De refuerzo

1. Realiza la rotación de la siguiente figura, usando regla y compás, respecto del centro O en 180º.

B O

2. Rota el cuadrilátero del ítem anterior en 180º pero en sentido negativo (sentido horario). ¿Qué puedes concluir al rotar una figura en 180º en sentido horario y antihorario? (Habilidades que desarrollan: usar herramientas, aplicar, analizar y conjeturar). De profundización 1. Construye en tu cuaderno un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 6 cm y 8 cm. Luego, aplícale una rotación, usando regla y compás, respecto del vértice del ángulo recto. (Habilidades que desarrolla: usar herramientas y representar). Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 114 Y 115

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Realización de traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas […] empleando un procesador geométrico, discusión acerca de las invariantes que se generan al realizar estas transformaciones.

Herramientas tecnológicas

200

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Usar herramientas, analizar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • La actividad propuesta debe desarrollarse usando el software geométrico GeoGebra. Para ello, los computadores deben contar con conexión a Internet. Para descargar el programa, pueden ingresar a www.geogebra.at y en el menú de la izquierda, seleccionar Webstar-TeleInicio y, luego, el botón Webstar. • Si no conoce el programa, es fundamental que practique y realice la actividad previamente, para que al momento de la clase pueda ayudar a sus estudiantes. • Cada vez que utilice el software, es conveniente que seleccione la herramienta , pues permitirá que mueva las figuras o textos de su archivo. • Para que la actividad se realice de manera correcta, se sugiere que sus estudiantes trabajen de manera individual o en parejas si no cuentan con la cantidad suficiente de computadores. Lo importante es que todos los alumnos y alumnas puedan trabajar en la actividad propuesta. • Si considera conveniente, no seleccione la cuadrícula, pues así la pantalla estará en blanco. • La primera parte de la actividad consiste en trasladar un triángulo. Al finalizar esta parte, pida a los alumnos y las alumnas que realicen lo siguiente: – mueve un vértice del triángulo original, ¿qué sucedió con la imagen del triángulo?, ¿qué ocurrió con las áreas y los perímetros de ambos triángulos?, ¿por qué crees que sucede eso? • La segunda parte de la actividad consiste en reflejar un cuadrilátero con respecto a una recta (eje de simetría). Al término de esta parte podría pedir a los alumnos y las alumnas que realicen lo siguiente: – mueve un punto del cuadrilátero original, ¿qué sucedió con la imagen del cuadrilátero?, ¿qué ocurrió con las áreas y los perímetros de ambos cuadriláteros?, ¿por qué crees que sucede eso? – mueve la recta o eje de simetría, ¿qué sucedió con la imagen del cuadrilátero?, ¿por qué crees que sucede eso? • La tercera parte de la actividad consiste en rotar un triángulo con respecto a un punto. Al finalizar esta parte, podría pedir a los alumnos y las alumnas que realicen lo siguiente: – mueve el centro de rotación, ¿qué sucedió con la imagen del triángulo?, ¿el triángulo sigue rotado según el mismo ángulo?, ¿por qué crees que sucede eso?

b) ¿Qué sucede con la imagen, si se mueven uno o más vértices del cuadrado? c) ¿Qué sucede con la imagen si se modifica el vector, ya sea en magnitud o sentido? 2. Dibuja en la cuadrícula un triángulo usando la herramienta Polígono recta usando Recta que pasa por Dos Puntos .

y una

a) Refleja el triángulo con respecto a la recta. b) Si se mueven uno o más vértices del triángulo original, ¿qué sucede con la imagen? c) ¿Qué sucede con la imagen si se mueve la recta? (Habilidades que desarrollan: usar herramientas y analizar). De profundización 1. Dibuja en la cuadrícula un cuadrilátero usando la herramienta Polígono y dos vectores de traslación distintos en cualquier parte de la cuadrícula, usando Vector entre Dos Puntos . a) Traslada el cuadrilátero con respecto a uno de los vectores. b) Traslada la imagen obtenida en a respecto del segundo vector. c) Si quisieras trasladar el cuadrilátero en un solo vector y obtener la misma imagen de b), ¿cuál sería ese vector? Dibújalo en la cuadrícula y comprueba tu respuesta. d) ¿Qué sucede si se invierte el orden de los vectores para trasladar?, ¿se obtiene la misma imagen final? Haz la prueba y explica. 2. Dibuja en la cuadrícula un pentágono usando la herramienta Polígono una recta (eje de simetría) usando Recta que pasa por Dos Puntos

a) Refleja el pentágono con respecto al eje de simetría. b) Modifica la figura inicial moviendo alguno de sus vértices, ¿qué sucedió con la imagen? c) Mueve el eje de simetría, ¿qué sucede con la figura inicial y su imagen? d) ¿Qué ocurre si el eje de simetría coincide con uno de los lados del pentágono? 3. Dibuja en la cuadrícula un cuadrilátero usando la herramienta Polígono punto usando Nuevo Punto .

, y un

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

a) Rota el cuadrilátero en un ángulo de 90º, selecciona la opción Sentido Antihorario.

De refuerzo

b) Rota el cuadrilátero con un ángulo de 270º, selecciona la opción Sentido Horario.

1. Dibuja en la cuadrícula un cuadrado usando la herramienta Polígono Regular y un vector usando Vector entre Dos Puntos .

c) ¿Qué puedes concluir sobre las imágenes obtenidas en a) y b)? (Habilidades que desarrollan: usar herramientas, representar y conjeturar).

a) Traslada el cuadrado en el vector indicado. 201

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 116 Y 117

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Realización de traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas a través de construcciones con regla y compás y empleando un procesador geométrico, discusión acerca de las invariantes que se generan al realizar estas transformaciones.

En equipo

202

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Usar herramientas, analizar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Esta actividad debe ser desarrollada con el software computacional GeoGebra, por lo cual se sugiere que realice la actividad antes de trabajar con sus estudiantes. • Para el correcto desarrollo de la actividad se sugiere que trabajen en grupos de tres integrantes como máximo; solo en caso que no cuente con la cantidad de computadores necesarios, se sugiere que trabajen en grupos de más integrantes o por turnos. En este caso, asegúrese de que todos los alumnos y alumnas tengan la posibilidad de realizar la actividad y que no ocurra que un integrante de cada grupo utiliza el computador y el resto solo mira. • Si algún estudiante aún no comprende alguno de estos temas, es un buen momento para reforzar y así lograr adquirir los aprendizajes esperados. El uso de GeoGebra ayudará bastante, ya que facilita el trabajo en Geometría. También puede apoyarse en la actividad complementaria que se presenta a continuación. • Es importante que una vez finalizada la actividad, los y las estudiantes comparen los resultados obtenidos, como una forma de corregir y detectar errores.

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA De refuerzo 1. Realiza las mismas reflexiones que hiciste con el programa computacional GeoGebra con regla y compás en tu cuaderno. Verifica la respuesta de la pregunta 14, usando regla y compás. (Habilidades que desarrollan: usar herramientas, representar y verificar).

EVALUACIÓN FORMATIVA Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad, se presenta la evaluación formativa MI PROGRESO.

Ítem 2: analizar, conjeturar e identificar. Ítem 3: analizar. Ítem 4: usar herramientas, aplicar y representar.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En los ítems 1, 2 y 3, es posible que sus estudiantes no recuerden, no relacionen o confundan las características de una traslación, reflexión y rotación, respectivamente. Para superarlo, podría pedirles que realicen un mapa conceptual o un cuadro resumen con los principales contenidos estudiados hasta este momento. En estos casos deben marcar la alternativa correcta; sin embargo, pídales que realicen el desarrollo correspondiente al lado de cada pregunta, ya que esto les facilitará detectar si hay o no errores en la estrategia empleada. • En el ítem 4, podría ocurrir que los alumnos y alumnas se confundan al tener que realizar una composición de transformaciones isométricas (es la aplicación sucesiva de transformaciones isométricas sobre una misma figura). Para ayudarlos, sugiérales que lean con detención las instrucciones, fijándose en cada una de las transformaciones que deben realizar. Además, es importante enfatizar en la importancia de poner las letras con los apóstrofos a los vértices de las imágenes obtenidas, para evitar confusiones. • Al término de la evaluación formativa, es fundamental que realice una revisión individual para que conozca las realidades de cada estudiante y puedan corregirlas. También es aconsejable una revisión general en la pizarra, para que sus estudiantes conozcan las respuestas correctas y una forma de resolución. Además, con esta instancia de revisión los alumnos y alumnas pueden realizar aportes significativos al desarrollo de la corrección de la evaluación, y así pueden reforzar y potenciar sus conocimientos. Luego de la revisión, pida que reflexionen acerca de los contenidos que han aprendido, y que realicen un listado con los conceptos que entendieron, que escriban y aclaren las dudas, si aún las tienen.

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podrá plantearles a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.

Mi progreso Ítem 1: analizar e identificar.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en el ítem 4. Ítem

203

Completamente logrado Utiliza la regla y compás, aplicando de forma correcta la traslación, rotación y reflexión a la figura dada, justificando sus pasos de construcción.

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Utiliza la regla y compás, aplicando de Utiliza la regla y compás, aplicando, de Utiliza la regla y compás, aplicando de forma correcta la traslación, rotación y forma incorrecta, ya sea la traslación, forma incorrecta las 3 transformareflexión a la figura dada, pero no justi- rotación o reflexión a la figura dada. ciones isométricas a la figura dada. fica de manera adecuada los pasos de la construcción. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.

3. Usando regla y compás, traslada el cuadrilátero RSTU según el vector AB.

T S

a) Al aplicar una transformación isométrica a una figura, puede cambiar el tamaño de la figura, pero no su forma. b) Para reflejar una figura es necesario conocer el vector que determina la reflexión. c) Para trasladar una figura, es necesario conocer el vector de traslación. d) La distancia desde cualquier punto de una figura al eje de simetría es igual a la distancia desde cualquier punto de su imagen al eje. e) Para rotar un triángulo, solo es necesario conocer el ángulo de rotación. f) Rotar una figura en 180º en sentido positivo es equivalente a rotar la misma figura en 180º en sentido negativo.

B R C

4. Usando regla y compás, aplica una reflexión al triángulo ABC respecto de la recta DE.

A B

2. En cada caso, identifica qué trasformación isométrica se aplicó a las siguientes figuras y, luego, dibuja el vector de traslación o el eje de simetría o el centro y ángulo de rotación, según corresponda. a)

5. Usando regla y compás, aplica una rotación al pentágono ABCDE en torno al punto O en el ángulo α = 115º.

E A

D O

De profundización b)

e) 1. Usando regla y compás, aplica una reflexión al triángulo rectángulo HIJ respecto de la recta HI. H

• ¿Qué tipo de triángulo es el ΔJ JH?, ¿por qué?

204

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

2. Usando regla y compás, aplica una rotación al cuadrilátero ABCD en torno al vértice C en el ángulo β = 90º. W

5. U

E` A` U´ R

115º O

T´

D C

B` S´

R´

3. Usando regla y compás, refleja el ΔTVW respecto de la recta TV. Luego, a la imagen obtenida, traslada según el vector AB y, finalmente, a esta última imagen, rota en torno al vértice T en el ángulo α = 80º.

C` A B B`

D A`

A T

De profundización

1. El ΔJ’JH es isósceles, pues HJ’ ≅ HJ.

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 204 Y 205 DE LA GUÍA DIDÁCTICA De refuerzo 1. a) Falsa. b) Falsa.

2. c) Verdadera.

e) Falsa.

d) Falsa.

f) Verdadera.

2. a) Reflexión, rotación y traslación.

e) Reflexión.

c) Dos reflexiones.

f) Reflexión y rotación en 180°.

W V

D A

d) Traslación.

b) Traslación.

V T

B D W

205

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 118 Y 119

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Construcción de teselaciones regulares y semirregulares y argumentación acerca de las transformaciones isométricas utilizadas en dichas teselaciones.

Para discutir

206

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Ítems 1, 2 y 3: analizar y justificar. Ítem 4: analizar, reconocer y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Actividades Ítems 1 y 2: analizar, identificar y justificar. Ítem 3: usar herramientas, analizar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL

• En el ítem 3, podría pedirle a los y las estudiantes que presenten más dificultades que calquen las figuras de cada ejercicio en papeles de distintos colores, para que tengan, por ejemplo, cuadrados de distintos colores y, luego, realicen las teselaciones pegando las figuras en sus cuadernos, como la que se muestra a continuación:

El objetivo de esta actividad es que los alumnos y alumnas comprendan qué es una teselación, estudien sus características, analicen y argumenten respecto de las transformaciones isométricas que se pueden utilizar en ellas y, además, que descubran con qué polígonos es posible teselar el plano. Es importante que en esta actividad sus estudiantes observen que, a partir de un triángulo equilátero, es posible teselar el plano al aplicar transformaciones isométricas. Sería conveniente que realice en la pizarra, o bien que les pida que dibujen en sus cuadernos las transformaciones isométricas que permiten teselar. Podría preguntarles: • ¿Es posible teselar el plano con triángulos equiláteros, pero aplicando otras transformaciones isométricas?, ¿cómo lo harías? Además, se pretende que analicen y verifiquen que, para construir teselaciones, la suma de los ángulos interiores que concurren en un vértice es 360º. En este caso la suma es: 60º + 60º + 60º + 60º + 60º + 60º, pues se trata de triángulos equiláteros. Luego, podría preguntarles: • ¿Es posible teselar con un hexágono regular?, ¿cómo lo harías?, ¿qué transformaciones isométricas utilizarían? • ¿Cuánto suman los ángulos interiores que concurren en un vértice?, ¿ocurrirá siempre lo mismo?

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Si sus estudiantes cometen algún error al determinar con qué figuras es posible teselar el plano, o si un diseño es o no una teselación, es importante que lo detecten e identifiquen cuál fue el error, de modo que puedan corregirlo. Considérela como una instancia de reflexión y construcción del conocimiento.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. ¿Con cuál de las siguientes figuras se puede teselar el plano? Justifica tus respuestas.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, es importante que los alumnos y alumnas expliquen cada una de sus respuestas, argumentando, por ejemplo, en la primera (letra a), que no se trata de una teselación, ya que quedan espacios con esa figura. Pídales que midan sus lados para que verifiquen que el pentágono utilizado es regular, pues así podrán calcular cuánto mide cada ángulo interior con la fórmula: (5 < 2) i 180° = 108º 5 y, luego, sumar los ángulos interiores que concurren en un vértice, esto es: 108º + 108º + 108º = 324º. Permítales que compartan las respuestas obtenidas y los procedimientos utilizados; de esta forma, podrán ver distintas estrategias de resolución y, además, fomentará el trabajo en equipo. • De manera similar, en el ítem 2, es importante que sus estudiantes justifiquen cada una de sus respuestas. Pídales que calculen la suma de los ángulos interiores que concurren en un vértice para determinar si es posible o no teselar el plano. 207

Unidad 4 – Movimientos en el plano

(Habilidades que desarrolla: analizar, identificar y justificar). De profundización 1. Construye teselaciones a partir de las figuras seleccionadas del ítem anterior y, luego, indica las transformaciones isométricas que usaste. 2. Diseña en tu cuaderno, baldosas cuadradas para algún lugar de su casa, considerando el tamaño de la superficie que quieren embaldosar y el tamaño de cada baldosa. Presenta tu trabajo en clases, elijan los tres mejores, justificando la elección, y expongan en el diario mural de su sala de clases, indicando las teselaciones utilizadas en cada caso. (Habilidades que desarrollan: usar herramientas, reconocer y representar).

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 120 Y 121

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Construcción de teselaciones regulares y semirregulares y argumentación acerca de las transformaciones isométricas utilizadas en dichas teselaciones.

Para discutir

208

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Ítems 1 y 2: analizar e identificar. Ítems 3 y 4: analizar, identificar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Actividades Ítem 1: identificar. Ítems 2, 3 y 4: aplicar, usar herramientas e identificar. Ítem 5: analizar, identificar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL

plano solo con pentágonos regulares, pues los ángulos que concurren en un vértice no suman 360º. • Las teselaciones semirregulares son aquellas que se construyen usando combinaciones de dos o más polígonos regulares. Es importante destacar que existen ocho teselaciones semirregulares. Estas son:

El propósito de esta actividad es que los y las estudiantes sean capaces de: diferenciar entre teselaciones regulares y semirregulares; que puedan construirlas; que descubran con qué tipo de polígonos es posible realizar cada tipo de teselaciones, considerando que la suma de los ángulos que concurren en un vértice sea 360º; y, además, que identifiquen las transformaciones isométricas utilizadas en cada caso. Para guiar el análisis de sus alumnos y alumnas en esta actividad, podría plantear las siguientes preguntas: • ¿Cuántas figuras distintas tiene la primera teselación?, ¿y la segunda? • ¿Cuántos ángulos interiores concurren en un vértice en la primera teselación?, ¿cuánto mide cada uno?, ¿cuánto suman estos los ángulos? • ¿Cuántos ángulos interiores concurren en un vértice en la segunda teselación?, ¿cuánto mide cada uno?, ¿cuánto suman los ángulos?

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, es importante que aclare a sus estudiantes que deben indicar las transformaciones usadas en cada teselación (traslaciones, reflexiones o rotaciones) y no construirlas o indicar aspectos más específicos, como eje de simetría, vector de traslación o ángulo y centro de rotación. • En los ítems 2 y 3, es fundamental que trabajen aplicando lo aprendido en páginas anteriores: uso de regla y compás; realización de construcciones geométricas para trasladar, rotar o reflejar figuras geométricas planas; construir las teselaciones regulares. • En el ítem 4, si es necesario, oriente a sus estudiantes para que puedan formar las bases de las teselaciones. En el caso del ejercicio b), es posible formar dos teselaciones diferentes a partir de los mismos polígonos; guíelos para que surjan ambos casos y los muestren al resto del curso. • En el ítem 5, para orientar a sus alumnos y alumnas, puede recordar que los ángulos interiores que concurren en un vértice deben sumar 360º. Es conveniente que concluya junto con sus estudiantes que es posible construir teselaciones regulares solo con cuadrados, triángulos equiláteros y hexágonos regulares y, en el caso de teselaciones semirregulares, existen solo ocho tipos.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Al estudiar las teselaciones regulares y semirregulares, es conveniente que enfatice que no todos los polígonos teselan el plano. Por ejemplo, no es posible teselar el 209

Unidad 4 – Movimientos en el plano

• Para construir teselaciones regulares y semirregulares, puede realizar una actividad que involucre el uso del software geométrico GeoGebra y sus herramientas para realizar transformaciones isométricas: Refleja Objeto en Recta, Refleja Objeto por Punto (rotación en 180º), Rota Objeto en torno a punto, el Ángulo Indicado y Traslada Objeto por un Vector.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Determina el tipo de teselación en cada caso. Justifica tu respuesta. a)

(Habilidades que desarrolla: analizar, identificar y justificar). De profundización 1. Usando el programa GeoGebra, construye una teselación con hexágonos regulares. Justifica por qué se puede realizar esta teselación. 2. Usando el programa GeoGebra, construye una teselación con dodecágonos regulares y triángulos equiláteros. Justifica por qué se puede realizar esta teselación. (Habilidades que desarrollan: usar herramientas, analizar y justificar). Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 122 Y 123

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Construcción de teselaciones regulares y semirregulares y argumentación acerca de las transformaciones isométricas utilizadas en dichas teselaciones.

En equipo Aplicar, usar herramientas, identificar y justificar.

Herramientas tecnológicas Usar herramientas y analizar. 210

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

EVALUACIÓN FORMATIVA

• La actividad EN EQUIPO propuesta debe desarrollarse usando diversos materiales (cartón, pegamento, tijeras, papeles de colores, regla y compás). Para el correcto desarrollo de la actividad, asegúrese de que sus estudiantes cuentan con los materiales necesarios. Es importante que supervise que todos los integrantes de cada grupo trabajen. Por otro lado, es importante que no todos los grupos trabajen con la misma teselación, pues, en caso contrario, el ítem 4, en el cual deben exponer; solo bastaría con que un grupo muestre el trabajo al resto del curso y, la idea es que compartan sus trabajos. • La actividad HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS debe desarrollarse en computadores que tengan conexión a Internet. Para el correcto desarrollo de la actividad, se sugiere que trabajen individualmente o en parejas. En caso que no cuente con los computadores necesarios, puede realizar el trabajo por turnos. Si es así, asegúrese que todos sus estudiantes tengan la posibilidad de realizar la actividad. Además, es una instancia para que discutan y analicen algunas obras del artista Escher.

Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad, se presenta la evaluación formativa MI PROGRESO.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Utiliza la misma técnica (sacar una parte del polígono, moverla y ponerla en otro lado) de la actividad EN EQUIPO para teselar utilizando un hexágono regular. Puedes guiarte por las teselaciones de Escher vistas en la actividad HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS. Luego, identifiquen y describan las transformaciones isométricas utilizadas en la teselación. (Habilidades que desarrolla: aplicar, usar herramientas e identificar).

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: Mi progreso Ítem 1, 2 y 3: analizar e identificar. Ítem 4: aplicar, usar herramientas e identificar.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En los ítems 1 y 2, es posible que los estudiantes no reconozcan con qué tipo de polígonos regulares se puede teselar el plano. Para ayudarlos, puede sugerirles que hagan un pequeño bosquejo de cada opción. Con ello podrán responder con mayor claridad. • En el ítem 3, es posible que sus estudiantes presenten dificultades para determinar las transformaciones isométricas involucradas en las teselaciones dadas. Para facilitar el trabajo de sus alumnos y alumnas, sugiérales observar aquellas figuras que tienen igual color para encontrar la figura inicial. De esta manera será más fácil ver los movimientos realizados. Por ejemplo, en la pregunta a) la figura inicial puede ser la que se observa al lado derecho, y, a partir de ella, se aplican traslaciones. • En el ítem 4, deben encontrar la figura base para luego teselar con ella. Podría mencionar que es posible formar una combinación de polígonos para teselar con las figuras dadas (en el caso semirregular). Además, es importante que los alumnos y alumnas constaten que no quedan espacios o figuras superpuestas. Para ello supervise que las teselaciones estén bien construidas. En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podrá plantearles a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 3 y 4. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Analiza e identifica correctamente la o Analiza e identifica correctamente las transformaciones isométricas que se la o las transformaciones isométricas utilizaron, justificando su respuesta. que se utilizaron, pero no justifica todas sus respuestas.

Analiza e identifica erróneamente alguna de las transformaciones isométricas que se utilizaron.

Analiza e identifica erróneamente las transformaciones isométricas que se utilizaron.

Utiliza herramientas geométricas e identifica las transformaciones isométricas involucradas en la construcción, justificando su respuesta.

Utiliza herramientas geométricas e identifica de forma incorrecta alguna de las transformaciones isométricas involucradas en la construcción.

Utiliza herramientas geométricas e identifica de forma incorrecta las transformaciones isométricas involucradas en la construcción.

211

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Utiliza herramientas geométricas e identifica las transformaciones isométricas involucradas en la construcción, pero no justifica todas sus respuestas.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

De refuerzo 1. Identifica con cuál de los siguientes polígonos es posible teselar el plano. Justifica tu respuesta. a)

d) De profundización

2. Copia cada figura en tu cuaderno y realiza una teselación con ellas. Explica por qué es posible teselar con cada figura. a)

1. Usando regla y compás, dibuja un hexágono regular de 1,5 cm por lado y, a partir de esta figura, construye una teselación regular. Indica las transformaciones isométricas utilizadas. 2. Dadas las siguientes figuras, forma la base de una teselación semirregular. Luego, usando regla y compás, construye en tu cuaderno una teselación con ella. Explica por qué es posible teselar con estas figuras.

3. Dadas las siguientes figuras, forma la base de una teselación semirregular y, luego, usando regla y compás, construye en tu cuaderno una teselación con ella. Explica por qué es posible teselar con estas figuras.

4. En la casa de Luis, el patio es un terreno de forma rectangular de 10 m de ancho y 12 m de largo. Si quiere cubrir la superficie con baldosas cuadradas de 25 cm por lado, responde: a) ¿en este caso se trata de una teselación?, ¿es regular o semirregular?, ¿por qué? b) ¿cuántas baldosas necesita en total?, ¿por qué? c) ¿y si las baldosas cuadradas miden 20 cm por lado?, ¿cuántas necesitaría? 5. Indica las transformaciones isométricas involucradas en cada teselación. En el caso de que la teselación sea semirregular, identifica su base. a)

3. Usando regla y compás, dibuja un hexágono regular de 2 cm por lado y un triángulo equilátero de 2 cm por lado. Con estas figuras, forma la base de una teselación semirregular y construye en tu cuaderno una teselación con ella. Indica las transformaciones isométricas utilizadas. 4. Usando el programa GeoGebra, construye una teselación con triángulos equiláteros. Justifica por qué se puede realizar esta teselación. 5. Usando el programa GeoGebra, construye una teselación con hexágonos regulares y triángulos equiláteros. Justifica por qué se puede realizar esta teselación. 6. La sala de clases del 8º básico de un colegio de Rancagua es un terreno cuadrado de 10 m por lado. Si se quiere cubrir la superficie con baldosas cuadradas de 20 cm por lado, responde: a) ¿la teselación en este caso es regular o semirregular?, ¿por qué? b) ¿cuántas baldosas se necesitan en total?, ¿por qué? c) si las baldosas fueran rectangulares de 10 cm de ancho y 20 cm de largo, ¿la teselación sería regular o semirregular?, ¿por qué?, ¿cuántas baldosas necesitarían?

212

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

SOLUCIONARIO DE LA PÁGINA 212 DE LA GUÍA DIDÁCTICA De refuerzo 1. a) b) c) d)

Es posible. Es posible. Es posible. No es posible.

De profundización 1. Se puede utilizar: traslación o reflexión. 2. La teselación es:

2. En cada caso es posible teselar, porque los ángulos interiores que concurren en un mismo vértice suman 360º. 3. En este caso, se pueden formar dos teselaciones diferentes a partir de los mismos polígonos regulares; estas son:

En este caso es posible teselar, ya que la suma de los ángulos interiores que concurren en un vértice es 150º + 120º + 90º = 360º. 3. Se puede utilizar traslación. En ambos casos, es posible teselar porque los ángulos interiores que concurren en un mismo vértice suman 360º: en el primer caso 120º + 60º + 120º + 60º y, el segundo caso 60º + 60º + 60º + 60º + 120º. 4. a) Corresponde a una teselación regular, ya que todas las baldosas son cuadradas. b) Se necesitan 1920 baldosas. c) 3000 baldosas. 5. a) b) c) d)

213

Una posibilidad es: traslación y reflexión. Una posibilidad es: traslación. Una posibilidad es: traslación y rotación. Una posibilidad es: traslación y reflexión.

Unidad 4 – Movimientos en el plano

4. Es posible construir una teselación, ya que los ángulos interiores que concurren en un mismo vértice suman 360º (60º + 60º + 60º + 60º + 60º + 60º). 5. Es posible construir una teselación, ya que los ángulos interiores que concurren en un mismo vértice suman 360º (60º + 60º + 60º + 60º + 120º o también, 120º + 60º + 120º + 60º). 6. a) Una teselación regular, ya que todas las baldosas son cuadradas. b) 2500 baldosas. c) Ninguna de las dos, ya que el rectángulo no es un polígono regular. Necesitarían 5000 baldosas.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 124 Y 125

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Realización de traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas a través de construcciones con regla y compás […].

Buscando estrategias

214

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Ítem 1: analizar, usar herramientas, formular, aplicar y verificar. Ítems 2 y 3: analizar, seleccionar, usar herramientas y evaluar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

INDICACIONES SOBRE EL PROBLEMA RESUELTO Es importante que muestre a sus estudiantes que un mismo problema puede ser resuelto de distintas formas. La estrategia presentada en el Texto es solo una forma de dar solución a las preguntas planteadas. Otra forma de abordar el problema podría ser usando el software geométrico GeoGebra para encontrar el punto que determina el camino más corto (C) reflejando el punto A en la recta. Luego, unir A con B y con la herramienta Intersección de Dos Objetos se puede determinar el punto C. Además, podría verificar que el camino es más corto ubicando un punto cualquiera en la recta (D) y usando las herramientas del software para medir trazos cm Distancia o Longitud . Puede pedirle a sus estudiantes que muevan el punto D para que constaten que C determina el camino más corto.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Lorena tiene una hoja blanca con dos puntos, A y B. Ella quiere rotar el punto A en 180º respecto del punto B, pero no cuenta con ningún material para hacerlo. ¿Es posible realizar esa rotación?, ¿cómo lo harías? (Habilidades que desarrolla: seleccionar, analizar y aplicar). De profundización 1. Inventen un problema que involucre uno o más de los contenidos de la Unidad. Intercámbienlo con algún compañero o compañera y resuélvanlo utilizando las estrategias para la resolución de problemas que conozcan, u otra. (Habilidades que desarrolla: formular, seleccionar, aplicar y verificar).

En proceso, logro parcial

No comprende

Comprensión del problema o situación

• Puede expresar en sus propias palabras e interpretar coherentemente el problema. • Identifica la información necesaria. • Tiene una idea acerca de la respuesta.

• • • •

Comprensión de conceptos

• No modela los conceptos rutinarios correctamente. • No puede explicar el concepto. • No intenta resolver el problema. • No hace conexiones.

• Revisa cálculos y procedimientos. • Puede investigar razones si existen dudas.

• No revisa cálculos ni procedimientos. • No reconoce si su respuesta es o no razonable.

Verificación de resultados • Chequea la racionalidad de los resultados. y/o progreso • Reconoce sin dar argumentos.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm

215

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 126 Y 127

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN: Conexiones

Síntesis Recordar y conectar.

Conectar, analizar y aplicar.

216

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES La actividad de la sección CONEXIONES tiene como propósito vincular las transformaciones isométricas y las teselaciones con el arte, en particular con la arquitectura, pintura y escultura de los museos. En nuestro país existen diversos museos. En el Palacio de La Alhambra de Santiago es posible observar algunas teselaciones de distinto tipo, donde nos podemos deleitar con la maravilla que se produce al combinar arte y geometría.

Para que la tabla incluya todos los contenidos necesarios, sería apropiado que les indique cuáles son los contenidos que deben ubicar en la primera columna. A continuación, se presenta un ejemplo para el contenido de traslación trabajado en la Unidad: Contenido

Traslación

La artista Matilde Pérez es una reconocida pintora y escultora chilena. Su trabajo se destaca por sólidas estructuras, rigor de composición y control racional del color y la línea. Interesante información sobre la artista; su vida, trayectoria, entrevistas y obras, disponible en el sitio web: www.portaldearte.cl/autores/perez_matilde.htm.

Definición

Datos

Una traslación es el desplazamiento de todos los puntos de una figura en la misma magnitud, dirección y sentido.

Para realizar una traslación necesitamos la figura que queremos trasladar y el vector de traslación.

Ejemplo

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. En relación a la arquitectura morisca presente en el Palacio de La Alhambra de Santiago, busca imágenes del palacio y, luego, responde las siguientes preguntas: a) ¿te gustó su arquitectura?, ¿por qué? b) ¿qué figuras geométricas observaste en su arquitectura? c) ¿encontraste transformaciones isométricas en la arquitectura?, ¿cuáles? (Habilidades que desarrolla: reconocer, conectar y justificar).

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Piensa y responde. a) ¿En qué situaciones cotidianas podemos encontrar transformaciones isométricas? b) ¿Qué transformaciones aprendiste en esta Unidad? c) ¿Se puede realizar más de una transformación a una figura?

SUGERENCIAS RESPECTO DE LA SÍNTESIS DE LA UNIDAD

d) ¿Qué datos necesitas para trasladar una figura?

Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos y alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los y las estudiantes consolidan, organizan y clasifican sus aprendizajes.

e) ¿Qué datos necesitas para rotar una figura? f) ¿Qué datos necesitas para reflejar una figura? g) ¿Qué es una teselación? h) ¿Qué tipos de teselaciones existen?, ¿cuáles son la características de cada una?

TÉCNICAS DE ESTUDIO La tabla es otra técnica de estudio que le puede enseñar a sus alumnos y alumnas. Consiste en organizar los contenidos que hemos visto en la Unidad de la siguiente forma: • Hacer una tabla con cuatro columnas y el número de filas, según la cantidad de contenidos que quiera ubicar en ella. • Las columnas deben incluir los contenidos, definición, datos y un ejemplo de cada contenido.

217

Unidad 4 – Movimientos en el plano

i) ¿Todos los polígonos regulares se pueden utilizar para realizar una teselación? Justifica y da algunos ejemplos. j) ¿Qué condición deben cumplir los polígonos regulares para que formen una teselación regular? k) ¿Se puede realizar una teselación con más de un polígono regular? Da un ejemplo. (Habilidades que se desarrollan: recordar, conectar y justificar).

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 128 Y 129

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: ¿Qué aprendí? Ítems 1, 2, 3, 5 y 7: analizar. Ítems 4, 6 y 8: recordar. Ítems 9 y 10: aplicar, usar herramientas e identificar. 218

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

EVALUACIÓN SUMATIVA En estas páginas se presenta una evaluación sumativa bajo el nombre de ¿QUÉ APRENDÍ? Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la Unidad de Movimientos en el plano, y, con esta información, seguir determinadas líneas de acción. Por ejemplo, volver a enseñar un contenido o realizar una actividad adicional, con el objetivo de aprender los contenidos de esta Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere: Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente seis preguntas. Por lograr, si contesta correctamente menos de seis preguntas.

sugiere que realicen algún tipo de desarrollo para cada pregunta, así se podrá detectar en qué se están equivocando y ayudarlos a alcanzar los aprendizajes que se espera que logren. • En el ítem 9, sus estudiantes se podrían confundir debido a que no se especifica el sentido de orientación de la rotación. Mencione que siempre que ocurra esto se entiende que es en sentido positivo; es decir, contrario a los punteros del reloj. • En el ítem 10, podría ocurrir que los alumnos y alumnas se equivoquen al realizar la teselación, porque no construyen la base que utilizarán de forma adecuada. Para evitarlo, es recomendable que no la realicen de inmediato; primero pueden hacer el bosquejo de la teselación; y, luego, hacerla en el cuaderno. Además, pídales que cubran toda la plana del cuaderno para que puedan apreciar la teselación. A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzar o profundizar los contenidos trabajados en la Unidad. Usted podrá plantearles las actividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtengan en la evaluación sumativa, y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.

La siguiente rúbrica se puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 9 y 10. Ítem

Completamente logrado

Utiliza las herramientas geométricas, aplicando de forma correcta la rotación y reflexión a la figura dada, justificando sus pasos.

Utiliza las herramientas geométricas, Utiliza las herramientas geométricas, Utiliza las herramientas geométricas, aplicando de forma correcta la rotación aplicando de forma incorrecta, ya sea aplicando de forma incorrecta la y reflexión a la figura dada, sin justificar la rotación o reflexión a la figura dada. rotación y reflexión a la figura dada. todos sus pasos.

Construye correctamente la teselación semirregular, identificando las isometrías involucradas y justificando sus pasos.

Construye correctamente la teselación semirregular, identificando las isometrías involucradas, sin justificar todos sus pasos.

219

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Logrado

Medianamente logrado

Construye de forma incorrecta la teselación semirregular, identificando alguna de las isometrías involucradas.

Por lograr

Construye de forma incorrecta la teselación semirregular, sin identificar las isometrías involucradas. Además, no justifica los pasos.

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ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

6. ¿Cuál de las siguientes teselaciones es semirregular?

De refuerzo

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. 1. Una transformación isométrica se caracteriza por: A. cambiar el tamaño y posición de la figura. B. cambiar el tamaño y forma de la figura. C. conservar el tamaño y forma de la figura. D. conservar el tamaño y cambiar la forma de la figura. 2. La imagen de una circunferencia coincide exactamente con la circunferencia original al aplicar: A. una traslación cuyo vector de traslación tiene la misma magnitud que un radio. B. una reflexión cuyo eje de simetría no pase por el centro de la circunferencia. C. una rotación cuyo centro de rotación coincida con el centro de la circunferencia. D. todas las anteriores. 3. Al aplicar una rotación la imagen puede coincidir exactamente con la figura original si se rota en: A. 180º

B. 90º

C. 270º

7. ¿Cuál de las siguientes opciones no representa una transformación isométrica? A.

D. 360º

4. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa? A. El eje de simetría es perpendicular a los trazos que unen cada punto y su imagen. B. Al aplicar dos rotaciones sucesivas a una figura, siempre se obtiene la figura original. C. Al aplicar una rotación, todos los puntos se mueven en torno a un punto fijo. D. Al aplicar una reflexión a una figura sobre una recta L y, luego, reflejar la imagen sobre una recta paralela a la recta L, equivale a la traslación de la figura geométrica. 5. Es posible teselar un plano usando: A. hexágonos regulares. B. octágonos regulares. C. pentágonos y cuadrados. D. hexágonos y cuadrados.

220

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

8. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una rotación en 180º respecto del vértice B?

De profundización Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 4.

C. C

1. Una teselación es regular cuando:

A. se construye usando solo un tipo de polígono. B. se construye usando combinaciones de polígonos regulares. C. se construye usando uno o dos polígonos regulares. D. se construye usando solo un polígono regular.

A A

2. En una traslación: A B

A B

9. Usando regla y compás, dibuja la base de una teselación semirregular y, luego, construye en tu cuaderno una teselación con ella. Indica las transformaciones isométricas utilizadas y explica por qué es posible realizar la teselación.

A. se desplazan todos los puntos de una figura respecto de un eje de simetría. B. se mueven todos los puntos de una figura en un ángulo determinado. C. se desplazan todos los puntos de una figura según un vector de traslación. D. cambia la posición y forma de la figura inicial. 3. ¿Cuál de las siguientes teselaciones es regular? A.

10. Usando regla y compás, traslada el siguiente cuadrilátero según el vector EF. Luego, rota la imagen obtenida respecto del vértice C en el ángulo α = 125º (utiliza transportador). A B D C

F E

4. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una reflexión respecto de la recta AB?

221

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 220, 221 Y 222 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

C. C

De refuerzo

1. C 2. C 3. D 4. B 5. A 6. C 7. B 8. D 9. Puede ser cualquiera de los ocho tipos de teselaciones semirregulares. 10. A

A B B D

C C

E A B

De profundización

B A

1. 2. 3. 4.

5. Usando regla y compás, refleja el cuadrado ABCD respecto de la recta E.

D C A A

5. D

DD C AE

6. Observa la circunferencia de centro O que se observa a continuación y responde.

222

Unidad 4 – Movimientos en el plano

a) ¿Es posible trasladar una circunferencia?, ¿cómo lo harías? b) ¿Cuántos puntos de la circunferencia debes trasladar para obtener la imagen?, ¿cuáles son? c) Traslada la circunferencia de centro O según el vector TV.

6. a) Sí es posible, se traslada el centro y un punto cualquiera de la circunferencia, según un vector de traslación. b) Dos puntos, el centro y un punto cualquiera de la circunferencia.

O O V

O V

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiar y utilizar como evaluación sumativa de la Unidad. Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la Unidad de Movimientos en el plano. El tiempo estimado para la realización de la prueba es de 40 minutos, que puede ser modificado según las características de sus estudiantes. Para que la evaluación le permita calificar a sus alumnos y alumnas, se sugiere utilizar la siguiente pauta: Ítem

Habilidades que se evalúan

Puntaje

Total

Analizar e identificar.

2 puntos cada una

16 puntos

Usar herramientas, aplicar, analizar y justificar.

6 puntos cada una

18 puntos

múltiple, se sugiere pedirles que realicen algún tipo de desarrollo en cada pregunta, pues de este modo se podrá detectar en qué se están equivocando, y ayudarlos a alcanzar los aprendizajes que se espera que logren. • En los ítems de desarrollo, podría ocurrir que sus estudiantes trabajen sin regla y compás. Para evitarlo, recuérdeles, una clase antes de la evaluación, que traigan dichos materiales. Además, durante el desarrollo de la evaluación monitoree constantemente el trabajo de los y las alumnas, con la finalidad que trabajen según las instrucciones. La importancia de las construcciones geométricas radica en las definiciones y propiedades puestas en juego al efectuarlas. Después de que conozca los resultados obtenidos por sus estudiantes en esta evaluación, se recomienda que revise junto con ellos cada una de las preguntas presentadas en esta evaluación, con el fin de detectar los errores que cometieron y aclarar las dudas que tengan.

Puntaje total de la evaluación: 34 puntos.

Si considera que sus estudiantes requieren apoyo adicional, vuelva a enseñar aquellos contenidos que no alcanzaron un nivel de logro apropiado.

Los ejercicios y problemas presentados permiten evaluar los aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere:

SOLUCIONARIO DE LA EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE DE LAS PÁGINAS 224 Y 225

Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente seis preguntas. Por lograr, si contesta correctamente menos de seis preguntas.

I. 1. B

2. D

3. A

4. B

5. C

6. B

7. D

8. A

II. 9. Las respuestas para a) y b) es que las rotaciones conservan las distancias y las medidas de los ángulos. 10. No se obtiene la misma imagen final en a) y b). 11. La transformaciones isométricas involucradas pueden ser traslaciones.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus alumnos y alumnas en el ítem II. Ítem

III

223

Completamente logrado Utiliza las herramientas geométricas, aplicando de forma correcta las transformaciones isométricas a las figuras dadas, justifica sus pasos y responde correctamente las preguntas.

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Logrado Utiliza las herramientas geométricas, aplicando de forma correcta las transformaciones isométricas a las figuras dadas y, responde correctamente las preguntas.

Medianamente logrado Utiliza las herramientas geométricas, aplicando de forma incorrecta algunas transformaciones isométricas a las figuras dadas, y responde correctamente algunas de las preguntas.

Por lograr Utiliza las herramientas geométricas, aplicando de forma incorrecta las transformaciones isométricas a las figuras dadas, y responde incorrectamente las preguntas.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

EVALUACIÓN

3. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una rotación de la figura en 45º con centro en O?

Movimientos en el plano Nombre:

Curso: 8º

Fecha:

Puntaje:

Nota: O

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. Realiza el desarrollo al lado de cada pregunta.

O’

D. O’

1. ¿Cuáles de estas figuras corresponden a una traslación? O’

O’

F4 4. Dado el eje R y el punto M de la figura, ¿qué transformación isométrica hay que aplicar en la mitad izquierda para obtener la mitad derecha del dibujo?

A. F1 y F2

B. F2 y F4

C. F1 y F3

2. La figura base de la siguiente teselación es:

D. F2 y F3

A. B. C. D.

Una rotación en 90º y centro M. Una reflexión con respecto al eje R. Una rotación en 180º y centro M. Una traslación.

5. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es o son verdaderas?

224

Unidad 4 – Movimientos en el plano

I. Es posible teselar solo con rectángulos. II. Los círculos no permiten construir teselaciones. II. En una teselación con heptágonos regulares los ángulos que concurren en un mismo vértice suman 360º. A. B. C. D.

Solo I Solo II I y II I, II y III

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

6. En la figura, la imagen reflexiva del punto E, con respecto al eje de simetría T, es el punto: A. B. C. D.

C K M I

10. Realiza las siguientes transformaciones isométricas con regla y compás y, luego, responde la pregunta c).

E D

L H

N M

G F

7. Las teselaciones regulares son aquellas que: A. B. C. D.

están compuestas por cualquier polígono regular. son deformaciones del triángulo equilátero. están formadas por hexágonos y cuadrados. están formadas solo por un polígono regular.

H L K

8. El ángulo de rotación usado para pasar de T a T es: A. B. C. D.

270º 180º 45º 90º

a) Refleja el triángulo FHG respecto de la recta R. Luego, traslada la imagen obtenida según el vector LK. b) Repite el proceso anterior pero en forma inversa sobre el triángulo FHG. c) ¿Obtienes la misma imagen final en a) y b)? Justifica tu respuesta.

T’ O T

II. Resuelve los siguientes ejercicios usando regla y compás, en cada caso. 9. Aplica una rotación al cuadrilátero IJKL con centro en O y en un ángulo β = 95º. Luego, responde las preguntas.

a) ¿Qué sucede con las distancias de cada vértice al centro de rotación?, ¿se conservan o varían? b) ¿Qué sucede con los ángulos interiores de las figuras? 225

Unidad 4 – Movimientos en el plano

11. A partir de la técnica presentada, aplicada al cuadrado de la figura (eliminando partes de lados del cuadrado para añadirlas en otro), construye una teselación con ella. Indica las transformaciones isométricas utilizadas.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Datos y azar

Unidad

PROPÓSITO DE LA UNIDAD Esta Unidad está orientada al análisis e interpretación de datos provenientes de diversas fuentes y en contextos diversos; a comprender el concepto de aleatoriedad en el uso de muestras; a determinar teóricamente probabilidades de ocurrencia de eventos, usando el modelo de Laplace.

ESQUEMA DE LA UNIDAD Datos estudio de

Población En el desarrollo de esta Unidad los alumnos y alumnas observarán y analizarán información obtenida del Censo 2002, así como también extraída de otros contextos, como educación, medios de comunicación, cultura, entre otros. El objetivo de esta Unidad es que los y las estudiantes utilicen los conocimientos adquiridos en años anteriores para la comprensión y el aprendizaje de los nuevos contenidos que serán enseñados, por ejemplo tablas de frecuencia, cálculo de medidas de tendencia central y cálculo de probabilidades, conocimientos que son ampliados y profundizados en este nivel. Además, se realizan actividades en las que son utilizadas herramientas tecnológicas.

Azar

estudio de se realiza

Encuesta

Experimentos aleatorios

se selecciona se identifica

Muestra se construyen

Espacio muestral

Frecuencia absoluta

Tablas de frecuencia

Principio multiplicativo

se determina

Frecuencia relativa

para

se usa

Probabilidad en

En esta Unidad los alumnos y alumnas aprenderán, entre otras cosas, a construir e interpretar tablas de frecuencias para datos agrupados en intervalos. Además, aprenderán a calcular medidas de tendencia central, como la moda y la media aritmética, en dichos casos. Por otro lado, determinarán la probabilidad de ocurrencia de eventos en experimentos aleatorios, para resultados finitos y equiprobables, aplicando el modelo de Laplace.

Datos no agrupados

Datos agrupados

Sucesos equiprobables

se determinan

Sucesos no equiprobables

se usa

Medidas de tendencia central

Regla de Laplace

son

Media aritmética

226

Unidad 5 – Datos y azar

Moda

Mediana

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

RELACIÓN ENTRE LOS CMO TRATADOS EN LA UNIDAD Y LOS DE OTROS AÑOS 7º básico

8º básico

1º medio

2º medio

Establecimiento y aplicación de criterios para la selección del tipo de tablas o gráficos a emplear para organizar y comunicar información, obtenida desde diversas fuentes, y construcción de dichas representaciones mediante herramientas tecnológicas.

Resolución de problemas en los cuales es necesario interpretar información a partir de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, tomados de diversas fuentes o recolectados mediante experimentos o encuestas.

Análisis de una muestra de datos agrupados en intervalos, mediante el cálculo de medidas de tendencia central (media, moda y mediana) y medidas de posición (percentiles y cuartiles), en diversos contextos y situaciones.

Determinación del rango, varianza y desviación estándar, aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando, en forma manual y mediante el uso de herramientas tecnológicas.

Caracterización de la representatividad de una muestra, a partir del tamaño y los criterios en que ésta ha sido seleccionada desde una población. Discusión acerca de cómo la forma de escoger una muestra afecta las conclusiones relativas a la población. Discusión acerca de la manera en que la naturaleza de la muestra, el método de selección, y el tamaño de ella, afectan los datos recolectados y las conclusiones relativas a la población. Predicción respecto a la probabilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio simple y contrastación de ella mediante el cálculo de la frecuencia relativa asociada a dicho evento e interpretación de dicha frecuencia a partir de sus formatos decimal, como fracción y porcentual.

Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en forma manual y mediante herramientas tecnológicas, a partir de diversos contextos y determinación de la media aritmética y la moda en estos casos.

Uso de técnicas de combinatorias para resolver diversos problemas que involucren el cálculo de probabilidades.

Discusión respecto de la importancia de tomar muestras al azar en algunos experimentos aleatorios para inferir sobre las características de poblaciones, ejemplificación de casos.

Utilización y establecimiento de estrategias para determinar el número de muestras de un tamaño dado, que se pueden extraer desde una población de tamaño finito, con y sin reemplazo.

Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos contextos, usando medidas de tendencia central y argumentación acerca de la información que ellas entregan. Análisis de ejemplos en diversas situaciones donde los resultados son equiprobables, a partir de la simulación de experimentos aleatorios mediante el uso de herramientas tecnológicas. Identificación del conjunto de los resultados posibles en experimentos aleatorios simples (espacio muestral) y de los eventos o sucesos como subconjuntos de aquél, uso del principio multiplicativo para obtener la cardinalidad del espacio muestral y de los sucesos o eventos.

Formulación y verificación de conjeturas, en casos particulares, acerca de la relación que existe entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño extraídas de dicha población, con y sin remplazo. Resolución de problemas en contextos de incerteza, aplicando el cálculo de probabilidades mediante el modelo de Laplace o frecuencias relativas, dependiendo de las condiciones del problema.

Análisis de las características de dos o más muestras de datos, haciendo uso de indicadores de tendencia central, posición y dispersión. Empleo de elementos básicos del muestreo aleatorio simple, en diversos experimentos, para inferir sobre la media de una población finita a partir de muestras extraídas. Aplicación del concepto de variable aleatoria en diferentes situaciones que involucran azar e identificación de ésta como una función. Exploración de la Ley de los Grandes Números, a partir de la repetición de experimentos aleatorios, con apoyo de herramientas tecnológicas y su aplicación a la asignación de probabilidades. Resolución de problemas de cálculo de probabilidades aplicando las técnicas del cálculo combinatorio, diagramas de árbol, lenguaje conjuntista, operatoria básica con conjuntos, propiedades de la suma y producto de probabilidades.

Asignación en forma teórica de la probabilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio, con un número finito de resultados posibles y equiprobables, usando el modelo de Laplace. 227

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

PROPUESTA DE PLANIFICACIÓN DE LA UNIDAD

CMO

Contenidos

Aprendizajes esperados

Actividades asociadas

Resolución de Interpretación de tablas problemas en los de frecuencia. cuales es necesario interpretar información a partir de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, tomados de diversas fuentes o recolectados mediante experimentos o encuestas.

• Analizar información a partir de tablas de frecuencia, con datos agrupados en intervalos.

En el Texto De exploración: página 134.

Construcción de tablas Construcción de tablas de frecuencia con para datos agrupados. datos agrupados en intervalos, en forma manual y mediante herramientas tecnológicas, a partir de diversos contextos y determinación de la media aritmética y la moda en estos casos.

• Construir tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en forma manual y mediante una planilla de cálculo. • Interpretar la información que entregan las tablas.

En el Texto De exploración: página 136.

Discusión respecto de la Censo y muestreo. importancia de tomar muestras al azar en algunos experimentos aleatorios para inferir sobre las características de poblaciones, ejemplificación de casos.

• Analizar situaciones donde es necesario tomar muestras al azar en experimentos aleatorios. • Determinar el comportamiento de una población, usando medidas de tendencia central.

En el Texto De exploración: página 142.

De construcción de conceptos: página135.

Indicadores de evaluación • Interpretan información a partir de tablas de frecuencia, con datos agrupados en intervalos.

En la Guía Didáctica De refuerzo: página 247.

De consolidación: páginas 160 y 161.

Diagnóstica: páginas 132 y 133 del Texto del Estudiante. Formativa: páginas 149 y 157 del Texto del Estudiante.

De consolidación: páginas 160 y 161.

De construcción de conceptos: página 137.

Tiempo estimado: 6 a 7 semanas Tipos de Recursos evaluación didácticos

• Construyen tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en forma manual y mediante herramientas tecnológicas.

Sumativa: páginas 162 y 163 del Texto del Estudiante, y 284 y 285 de la Guía Didáctica del Docente.

• Calculadora. • Computador con planilla de cálculo y conexión a Internet. • Bolsa • Hojas blancas. • Regla. • Tijeras. • Lápices de colores.

En la Guía Didáctica De refuerzo: página 249. De profundización: página 249.

De construcción de conceptos: página 143. De consolidación: páginas 160 y 161. En la Guía Didáctica De refuerzo: página 255.

• Discuten respecto de la importancia de tomar muestras al azar en experimentos aleatorios. • Analizan el comportamiento de una población, usando medidas de tendencia central.

De profundización: página 255. 228

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

CMO Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en forma manual y mediante herramientas tecnológicas, a partir de diversos contextos y determinación de la media aritmética y la moda en estos casos.

Contenidos Media aritmética para datos agrupados. Moda para datos agrupados.

Aprendizajes esperados • Analizar muestras de datos, determinar la media aritmética y moda en estos casos para estudiar su comportamiento.

Análisis de encuestas.

En el Texto De exploración: páginas 138, 140 y 144. De construcción de conceptos: páginas 139, 141, 145, 146, 147 y 148.

Indicadores de evaluación

Tipos de evaluación

Recursos didácticos

• Analizan muestras de datos en experimentos aleatorios, y estudian su comportamiento, determinando la media aritmética y la moda.

De consolidación: páginas 160 y 161. En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 251, 253, 257, 259 y 261.

Actividades asociadas

De profundización: páginas 253 y 257.

• Analizar situaciones donde los resultados son equiprobables en experimentos aleatorios, en diversas situaciones y mediante el uso de herramientas tecnológicas.

En el Texto De exploración: página 152. De construcción de conceptos: página 153. De consolidación: páginas 160 y 161.

• Analizan situaciones donde los sucesos son equiprobables, en diversas situaciones y mediante el uso de herramientas tecnológicas.

En la Guía Didáctica De refuerzo: página 267. De profundización: página 267.

229

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

CMO

Contenidos

Aprendizajes esperados

Identificación del con- Espacio muestral y junto de los resultados principio multiplicativo. posibles en experimentos aleatorios simples (espacio muestral) y de los eventos o sucesos como subconjuntos de aquél, uso del principio multiplicativo para obtener la cardinalidad del espacio muestral y de los sucesos o eventos.

• Identificar el espacio muestral en experimentos aleatorios, y usar el principio multiplicativo para obtener su cardinalidad.

Asignación en forma Regla de Laplace. teórica de la probabilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio, con un número finito de resultados posibles y equiprobables, usando el modelo de Laplace.

• Asignar la probabilidad de un evento en un experimento aleatorio, usando la Regla de Laplace.

Discusión respecto de Buscando estrategias. la importancia de tomar muestras al azar en algunos experimentos aleatorios para inferir sobre las características de poblaciones, ejemplificación de casos.

• Analizar información proveniente de diversas encuestas, para inferir sobre las características de una población. • Aplicar habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos diversos y significativos.

230

Unidad 5 – Datos y azar

Actividades asociadas En el Texto De exploración: página 150. De construcción de conceptos: página 151. De consolidación: páginas 160 y 161.

Indicadores de evaluación

Tipos de evaluación

Recursos didácticos

• Identifican el espacio muestral en experimentos aleatorios, y usan el principio multiplicativo para obtener su cardinalidad.

En la Guía Didáctica De refuerzo: página 265.

En el Texto De exploración: página 154. De construcción de conceptos: página 155. De consolidación: páginas 160 y 161.

• Asignan la probabilidad teórica de un evento en un experimento aleatorio.

En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 269 y 271. De profundización: página 269. En el Texto De exploración: página 158. De construcción de conceptos: página 159. De consolidación: páginas 160 y 161.

• Resuelven problemas que implican el análisis de datos e interpretación de diversos gráficos estadísticos, provenientes de diversas fuentes.

En la Guía Didáctica De refuerzo: página 275. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ERRORES FRECUENTES Errores frecuentes Es posible que sus estudiantes tengan problemas para: • Expresar números decimales como fracción, porcentaje, y viceversa. • Amplificar o simplificar una fracción. • Calcular porcentajes.

Cómo subsanarlos • Para evitar estos errores en el desarrollo de la Unidad, es conveniente que después de la evaluación diagnóstica, realice un repaso de los temas que provocan confusiones o errores en sus estudiantes.

Puede que sus estudiantes tengan dificultades para realizar el análisis e interpretación de información proveniente de diversos medios y fuentes.

• Para desarrollar estas habilidades, es importante que continuamente los alumnos y alumnas se vean enfrentados a situaciones en donde tengan que analizar, inferir, interpretar y concluir. De este modo, se acostumbrarán a desarrollar estas habilidades y en situaciones futuras, este tipo de trabajo no provocará complicaciones.

Es posible que sus estudiantes tengan problemas para:

• Para evitar estos errores en el desarrollo de la Unidad, es conveniente que mencione este error y destine un tiempo adecuado para enseñar cómo se calcula la media aritmética correctamente en datos agrupados en intervalos. Si lo estima conveniente, puede pedirles que utilicen calculadora, para facilitar los cálculos.

• Determinar la media aritmética en datos que se encuentran agrupados en intervalos, pues piensan que la media se calcula de igual forma que para datos no agrupados, es decir, suman todas las frecuencias absolutas y dividen el resultado por el total de observaciones. Es posible que sus estudiantes tengan problemas para: • Determinar la moda en datos que se encuentran agrupados en intervalos, pues piensan que la moda en estos casos corresponde a la marca de clase de la categoría con mayor frecuencia. Es posible que los alumnos y alumnas tengan problemas para: • Calcular la probabilidad de eventos simples, debido a que determinan de forma incorrecta el espacio muestral y la cantidad de resultados posibles. En la resolución de problemas se pueden presentar los siguientes inconvenientes: • Dificultades en la comprensión lectora, impidiendo una buena interpretación y posterior resolución. • Utilización incorrecta de los datos que entrega un problema. • Entregar solo una respuesta numérica, sin incluir la respuesta asociada. • Aplicación incorrecta de las estrategias utilizadas y soluciones encontradas.

231

Unidad 5 – Datos y azar

• Para evitar estos errores en el desarrollo de la Unidad, es conveniente que mencione este error y destine un tiempo adecuado para enseñar cómo se calcula la moda correctamente en datos agrupados en intervalos.

• Para ayudar a sus estudiantes, permita que organicen la información en tablas, o bien, que usen diagramas de árbol, ya que esta forma visual permite clarificar la situación y les ayuda a obtener las probabilidades correctamente. • Para evitar este tipo de inconvenientes es fundamental que los contenidos de la Unidad estén relacionados con una situación problemática apropiada, para que sus estudiantes se familiaricen con la resolución de problemas. • Incentivar la resolución de problemas utilizando los pasos: comprender, planificar, resolver y revisar. Con esto sus estudiantes identificarán los datos disponibles, lo que deben encontrar, la estrategia a utilizar, ejecutar la estrategia de resolución, dar solución al problema y analizar la solución.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

REFERENCIAS TEÓRICAS Y CONSIDERACIONES SOBRE ALGUNOS CONTENIDOS A continuación, le entregamos información complementaria actualizada para un desarrollo conceptual más profundo o amplio de los temas tratados en la Unidad.

Las variables continuas son aquellas en las cuales los posibles valores surgen frecuentemente de una medición. Estas variables pueden tomar tanto valores reales como sea posible en un intervalo.

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Por ejemplo: la estatura de una persona, la masa de alguien. En resumen:

Conceptos básicos La estadística consiste en un conjunto de técnicas y procedimientos que permiten recoger datos, presentarlos, ordenarlos y analizarlos, de manera que, a partir de ellos, se puedan inferir conclusiones.

Nominal

Cualitativa Ordinal Variable estadística Discreta

Población y muestra La población es un conjunto de objetos o de individuos que se desea estudiar y que, a su vez, presentan una característica que interesa medir. Generalmente, el tamaño de la población se denota con la letra N. Se llama muestra a un subconjunto representativo de la población que se desea estudiar. Generalmente, el tamaño de la muestra se denota con la letra n. Variables estadísticas Una variable estadística corresponde a la o las características que se miden en la muestra. Las variables pueden ser cuantitativas o cualitativas. • Variables cualitativas: son aquellas que no se pueden medir numéricamente, están relacionadas con características. Los valores que toma este tipo de variable son etiquetas que representan una categoría o cualidades. Una variable cualitativa puede ser nominal u ordinal. Las variables nominales corresponden a aquellas en las cuales no existe ninguna ordenación. Por ejemplo: estado civil. Las variables ordinales son aquellas en las cuales existe un orden intuitivo. Por ejemplo: nivel educacional (básico, medio, superior). • Variables cuantitativas son aquellas que se pueden medir numéricamente, es decir, los valores que toma este tipo de variables son números. Una variable cuantitativa puede ser discreta o continua. Las variables discretas son aquellas en las cuales los posibles valores surgen frecuentemente de un conteo. En cada tramo o intervalo la variable solo puede tomar un número determinado de valores (enteros). Por ejemplo: número de hijos, número de páginas de un libro. 232

Unidad 5 – Datos y azar

Cuantitativa Continua

PROBABILIDAD Y AZAR Conceptos básicos • Experimentos determinísticos: en este tipo de experimentos, se conoce de antemano el resultado. • Experimentos aleatorios: este tipo de experimentos, repetidos una cierta cantidad de veces, en condiciones similares, pueden presentar resultados diferentes. En los experimentos aleatorios no se conocen los resultados de antemano. Espacio muestral y eventos • El conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento se llama espacio muestral (Ω) y cada uno de estos resultados es conocido como suceso o evento elemental. • Un evento puede ser: Evento seguro: está formado por todos los resultados posibles del experimento. Coincide con el espacio muestral y siempre ocurre. Evento imposible: nunca ocurre. No se presenta al realizar un experimento aleatorio. Se denota por el símbolo ∅. Eventos mutuamente excluyentes: dos eventos que no pueden suceder simultáneamente. Por ejemplo: si se lanza un dado, se puede obtener cualquier número entero entre 1 y 6. Entonces, el experimento es aleatorio, su espacio muestral es Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y los sucesos elementales son: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Un evento seguro sería obtener un número entre 1 y 6, y un evento imposible, obtener un número mayor que 6. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Probabilidad de un suceso

Bibliografía

Si un experimento se repite n veces bajo las mismas condiciones, la probabilidad de que el evento A ocurra se denota por P(A) y corresponde a un valor comprendido entre 0 y 1.

• Iglesias Z., P., Del Pino M., G., y Aravena C., R. (2003). Análisis estadístico: Interpretando problemas de la vida cotidiana. Santiago: Ministerio de Educación.

Eventos equiprobables

• Guzmán R., I. (2002). Didáctica de la Matemática como disciplina experimental. Valparaíso: Pontificia Universidad Católica de Valparaíso.

Si en un experimento todos los sucesos tienen la misma probabilidad de ocurrir, se dice que los sucesos son equiprobables. Si en un experimento aleatorio los sucesos son equiprobables, entonces, la probabilidad de que el evento A ocurra está dado por la expresión: P(A) =

número de casos favorables al suceso A número de casos posibles

Este modelo es conocido como la Regla de Laplace.

• Rencoret B., M. (2002). Iniciación matemática–Un modelo de jerarquía de enseñanza. Santiago: Editorial Andrés Bello. • Manual esencial. (2008). Capítulo 2: Estadística. Estadística, probabilidad y precálculo. (pp. 34–45). Santiago: Santillana. • Manual esencial. (2008). Capítulo 3: Probabilidad y combinatoria. Estadística, probabilidad y precálculo. (pp. 86–89). Santiago: Santillana. • Morris, K.(1992). Matemáticas para los estudiantes de humanidades. México: Fondo de Cultura Económica.

Ley de los grandes números Se refiere a que a medida que aumenta el número de repeticiones de un experimento aleatorio, la frecuencia relativa de un suceso A se aproxima cada vez más a su probabilidad.

• Gardner, M. (1985). Carnaval Matemático. España: Alianza Editorial. • Guzmán, M. (1992). Tendencias innovadoras en Educación Matemática. Buenos Aires: Red Olímpica. • Matemáticas y Olimpíadas (1994). Santiago: Sociedad de Matemáticas de Chile. • Perero, M. (1994). Historia e historias de matemáticas. México: Grupo Editorial Iberoamérica.

Sitios webs En los siguientes sitios web puede encontrar distintos resultados de estudios públicos que puede utilizar en sus clases: • www.ine.cl • www.cepchile.cl • www.sernam.gov.cl • www.fundacionfuturo.cl Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

233

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 130 Y 131

La imagen inicial presentada en la Unidad está destinada a introducir a sus alumnos y alumnas en un estudio muy común en la sociedad: el Censo. Además, se muestra una tabla que relaciona el nivel de instrucción alcanzado hasta el año 2002 por los habitantes de la Provincia de Valdivia, según su edad.

estado civil, integrantes del grupo familiar, tipo de vivienda, años de escolaridad, etc. Esta actividad introductoria permitirá activar los conocimientos y experiencias previas de sus estudiantes relacionados con este tema, y además podrá aproximarse al estudio de los nuevos contenidos de la Unidad.

El censo es una encuesta nacional que se realiza cada 10 años y su objetivo es obtener información de toda la población en relación con diversas variables, como por ejemplo: edad, 234

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

Índice de Precios al Consumidor (IPC), entre otros.

Conversemos de...

El INE cuenta con más de 600 encuestadores que aumentan a 400 000 para los Censos de Población y Vivienda. Ellos recorren el territorio nacional en busca de datos relevantes, que luego serán procesados, analizados y difundidos para las políticas públicas y los proyectos privados.

Ítems 1 y 2: analizar y calcular. Ítem 3: recordar y conectar.

APRENDIZAJES ESPERADOS DE LA UNIDAD En la sección EN ESTA UNIDAD PODRÁS… se explicitan los aprendizajes que se espera que los alumnos y alumnas logren. Se sugiere que los lean en voz alta y, luego, podría plantear preguntas como las siguientes: • • • • •

¿Qué es una tabla de frecuencias? ¿Qué es la moda?, ¿cómo la determinas? ¿Qué es la media aritmética?, ¿cómo la determinas? ¿Qué es un experimento aleatorio? Cita dos ejemplos. ¿Qué diferencias existen entre población y muestra?

Con estas preguntas, y con las respuestas de sus alumnos y alumnas, puede realizar un esquema que vincule los contenidos de la Unidad, y de esta forma podrá obtener información sobre sus experiencias y conocimientos previos. A partir de ellos, podrá guiar de mejor forma el trabajo que se realizará.

ACTIVIDAD INICIAL Para motivar el desarrollo de la actividad inicial, puede complementar las preguntas del texto con las siguientes: • • • • • •

¿Qué es un censo? ¿Cada cuántos años se realiza en Chile?, ¿por qué no se realiza cada año? ¿Cuál es el objetivo de un censo? ¿Cuántas personas entre 30 y 49 años terminaron la Educación Media? ¿Cuántas personas tienen 2 años de Educación Media? ¿Por qué crees que terminaron la Educación Media más personas entre 20 y 29 años que entre 50 años y más? • La tabla presentada, ¿corresponde a una muestra o a la población de Valdivia?, ¿cómo lo supiste? Estas preguntas y las respuestas que obtenga de sus estudiantes, le permitirán motivarlos e introducirlos en el estudio de la Unidad de manera más profunda.

INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA PARA DOCENTES El Instituto Nacional de Estadísticas (INE) es el organismo encargado de las estadísticas públicas del país en el área económica, social, demográfica, medioambiental y censal. Por ejemplo, el INE se encarga de los Indicadores de Empleo y también del 235

Unidad 5 – Datos y azar

El INE trabaja con las más modernas tecnologías y metodologías disponibles. En el año 2012 tendrá estándares de calidad y transparencia comparables a las mejores prácticas de los países miembros de la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE), tanto en el desarrollo de su capital humano como en la cobertura de sus productos y servicios. Para más información, visita el sitio web del INE en: www.ine.cl.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Según el Censo de 2002, la población con discapacidad por sexo y tipo de discapacidad fue resumida en la siguiente tabla: Tipo de discapacidad

Hombre

Mujer

Ceguera total

20 341

22 590

Sordera total

35 280

31 244

6037

5053

Lisiado / parálisis

73 988

61 041

Deficiencia mental

53 041

45 108

Con más de 1 discapacidad

178 563

155 814

Total

367 250

320 850

Mudez

a) ¿Cuántas personas presentan sordera total? b) ¿Cuántas personas presentan mudez o deficiencia mental? c) ¿Cuántos hombres presentan ceguera o sordera? d) ¿Cuántas mujeres presentan deficiencia mental o ceguera? e) Si se elige una de estas personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea ciega? f) Si se elige una de estas personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga más de una discapacidad? g) Si se elige un hombre al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea mudo? h) ¿Cuál es la moda en este caso?, ¿qué puedes concluir? (Habilidades que desarrolla: analizar, calcular, recordar y conectar). Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 132 Y 133

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA Para medir los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta una evaluación diagnóstica con el título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios: Ítem 1: completar tabla de frecuencias y analizar la información que entrega, determinar las medidas de tendencia central e interpretar los resultados. 236

Unidad 5 – Datos y azar

Ítem 2: analizar la información de un gráfico circular y completar la tabla de frecuencias, determinar e interpretar las medidas de tendencia central. Ítem 3: determinar la población de interés para un estudio y la muestra apropiada para este caso. Determinar variable de estudio y su tipo. Ítem 4: realizar un experimento aleatorio y construir una tabla de frecuencias para los resultados obtenidos. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: ¿Cuánto sabes? Ítems 1 y 2: representar, interpretar, calcular y analizar. Ítem 3: analizar y reconocer. Ítem 4: representar, interpretar y calcular.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En los ítems 1 y 2, es posible que los y las estudiantes no recuerden la frecuencia absoluta, relativa y porcentual, y que por ello no puedan completar la tabla de frecuencias y contestar de manera adecuada las preguntas planteadas en la evaluación. Para evitar este posible inconveniente recuérdeles cada uno de estos conceptos. Podría hacerlo con un ejemplo sencillo, pero no con los ejercicios planteados en la evaluación, porque de esa forma no podría determinar correctamente el nivel de conocimientos previos de los alumnos y alumnas.

• En el ítem 3, es posible que los y las estudiantes no recuerden qué significa población y qué muestra, y la diferencia entre ambas. Para evitar este posible inconveniente recuérdeles que la población se refiere a los objetos en estudio, y la muestra se refiere a tomar una parte de la población para analizarla y extraer conclusiones de toda la población. Si es necesario, muestre algunos ejemplos. • En el ítem 4, los alumnos y alumnas podrían calcular las frecuencias relativas de cada uno de los resultados posibles al lanzar un dado, o bien, la probabilidad teórica de que salga un número al lanzar un dado. Si es necesario, explique la diferencia entre ambos casos. • Es importante que después realice una revisión individual de cada evaluación diagnóstica, para detectar las debilidades y fortalezas de cada estudiante. Del mismo modo, también es conveniente realizar la pauta de la evaluación en la pizarra, para que sus alumnos y alumnas conozcan las respuestas y procedimientos correctos, de modo que puedan detectar y corregir sus errores. Con estas instancias podrá determinar las áreas más débiles de sus estudiantes, y preparar un plan de reforzamiento para corregirlas.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para diagnosticar a sus estudiantes. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Interpreta correctamente los valores de la tabla, los porcentajes y las medidas 1 y 2 de tendencia central, justificando cada uno de sus pasos.

Interpreta correctamente los valores de la tabla, los porcentajes y las medidas de tendencia central, sin justificar todos sus pasos.

Interpreta erróneamente uno o dos valores de la tabla, confundiendo los porcentajes y/o las medidas de tendencia central.

Reconoce correctamente la población, muestra y variable de estudio, justificando cada uno de sus pasos.

Reconoce correctamente la población, muestra y variable de estudio, sin justificar todos sus pasos.

Reconoce erróneamente la población Reconoce erróneamente la población, y muestra, o bien la variable de estudio, la muestra y variable de estudio. sin justificar sus pasos.

Representa correctamente la tabla de frecuencias e interpreta la información que entrega, justificando cada uno de sus pasos.

Representa correctamente la tabla de frecuencias e interpreta la información que entrega, sin justificar todos sus pasos.

Representa erróneamente alguno de los elementos de la tabla de frecuencias, confundiendo la solución en una o dos preguntas.

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Unidad 5 – Datos y azar

Interpreta erróneamente todos los valores de la tabla, confundiendo los porcentajes y las medidas de tendencia central.

Representa erróneamente la tabla de frecuencias, confundiendo la solución en todas las preguntas.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 134 Y 135

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Resolución de problemas en los cuales es necesario interpretar información a partir de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, tomados de diversas fuentes o recolectados mediante experimentos o encuestas.

Para discutir

Actividades

Ítem 1: analizar. Ítems 2, 3 y 4: calcular

Ítem 1: analizar y calcular. Ítem 2: analizar e interpretar.

238

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDAD INICIAL

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

La preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y tienen por objetivo que los alumnos y alumnas analicen la información presentada en la tabla de frecuencias, para luego interpretarla. A partir de esta situación, se inicia el estudio de las tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos.

Las tablas de frecuencias se utilizan para resumir la información de un conjunto de datos. Las frecuencias incluidas en esta tabla son:

Para motivarlos, podría pedirles que realicen una encuesta a sus compañeras y compañeros de curso, sobre el número de hermanos que tienen. A partir de estos datos, mostrarles cómo se construye una tabla de frecuencias, explicando qué significan y cómo se calculan cada una de las frecuencias que ahí se incluyen. Debe notar que sus estudiantes deben tener una tabla con los mismos resultados, ya que todos están trabajando con datos del mismo curso. Es interesante que haga el paralelo con el ejemplo que presenta el texto sobre el número de primos y el uso de intervalos, y explicar por qué en el caso de la cantidad de hermanos no es necesario formar intervalos en la tabla de frecuencia. Para complementar la actividad inicial del Texto podría plantear preguntas como las siguientes: • • • •

¿Qué cantidad de primos es más frecuente?, ¿a qué intervalo corresponde? Al sumar todas las frecuencias absolutas, ¿qué se obtiene?, ¿siempre ocurre lo mismo? Al sumar todas las frecuencias relativas, ¿qué se obtiene?, ¿siempre ocurre lo mismo? ¿Cuál es el valor de la frecuencia absoluta acumulada en la última categoría?, ¿siempre ocurre lo mismo? • ¿Cuál es el valor de la frecuencia relativa acumulada en la última categoría?, ¿siempre ocurre lo mismo?

• La frecuencia absoluta, que corresponde al número de observaciones de una determinada clase. La suma de todas las frecuencias absolutas es igual al tamaño de la muestra. • La frecuencia relativa, que corresponde a la razón entre la frecuencia absoluta de una clase y el tamaño muestral. La suma de todas las frecuencias relativas es igual a 1. • La frecuencia absoluta acumulada, que corresponde al número de datos cuyo valor es menor o igual al valor considerado. Se obtiene sumando sucesivamente las frecuencias absolutas. • La frecuencia relativa acumulada, que corresponde a la razón entre la frecuencia absoluta acumulada y el número total de datos. • En algunas tablas también se incluye la frecuencia relativa porcentual, que corresponde a la frecuencia relativa de un evento, expresada en porcentaje. Se calcula multiplicando la frecuencia relativa por 100. La suma de las frecuencias relativas porcentuales da como resultado 100%. • El hecho de que en cualquier conjunto de datos la suma de las frecuencias relativas es 1 y que la suma de las frecuencias absolutas es igual al tamaño de la muestra, es un indicador para verificar si los cálculos que han realizado son correctos.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, si sus estudiantes tienen dificultad para responder correctamente, recuerde que pueden utilizar la frecuencia absoluta acumulada, en estos casos. Por otro lado, recuerde que pueden simplificar las fracciones obtenidas de las probabilidades solicitadas. Además, mencione que esta probabilidad es empírica, pues corresponde a la frecuencia relativa de la categoría pedida. • En el ítem 2, recuérdeles que para verificar que su tabla está completada correctamente, deben fijarse que la suma de las frecuencias absolutas sea igual al tamaño de la muestra, que la suma de las frecuencias relativas sea igual a 1 y también, que la suma de todas las frecuencias relativas acumuladas hasta la última categoría sean iguales a 1. Si es necesario, pueden comparar las tablas con las de otros compañeros, para detectar errores y corregirlos de inmediato.

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Unidad 5 – Datos y azar

1. Los datos que aparecen a continuación corresponden a las estaturas (en m) de los y las estudiantes de Segundo Medio de un colegio de Santiago. 1,62 1,59 1,70 1,57 1,64 1,50 1,48 1,68 1,62 1,50 1,72 1,83 1,71 1,62 1,79 1,57 1,70 1,65 1,78 1,64 1,67 1,78 1,68 1,76 1,72 1,51 1,73 a) Organiza estos datos en una tabla de distribución de frecuencias. b) ¿Cuántas personas fueron encuestadas? c) ¿En cuál intervalo hay más personas? d) ¿Cuántas personas miden 1,74 cm o menos? (Habilidad que desarrolla: analizar, representar, interpretar y calcular).

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 136 Y 137

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en forma manual […] a partir de diversos contextos […].

Para discutir

Actividades

Ítems 1 y 2: analizar. Ítem 3: analizar y calcular.

Ítems 1 y 2: analizar, representar, interpretar y calcular.

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Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDAD INICIAL

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

El propósito de la actividad inicial propuesta en el Texto es mostrar a los y las estudiantes, que en determinados casos resulta necesario agrupar los datos en intervalos para poder resumirlos y analizarlos de una manera óptima, debido a la cantidad de datos que tiene la muestra, o porque el rango de los datos es muy amplio.

De refuerzo 1. La profesora jefe del 8º Básico de un colegio de Calama hizo un estudio sobre la edad de las mamás de sus alumnos y alumnas, obteniendo los siguientes resultados: 46 30 31 32 47 48

Sería conveniente que junto con sus estudiantes, confeccionen una tabla similar a la presentada en el Texto, definiendo una cantidad de intervalos distinta a la allí propuesta. De esta forma, los alumnos y alumnas observarán que para un mismo caso es posible obtener distintas soluciones.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En los ítems 1 y 2, recuerde a sus estudiantes que deben ser cuidadosos en el conteo de datos correspondientes a cada categoría, pues errores de este tipo provocarán resultados incorrectos en toda la tabla. • En los ítems 1 y 2, podría ocurrir que sus estudiantes formen intervalos de distinta amplitud, indíqueles que la cantidad de intervalos está propuesta en el Texto (8 y 4, respectivamente). Además, es posible que sus alumnos y alumnas incluyan datos en dos categorías, límites de los intervalos. Para evitar este tipo de inconvenientes recuerde a sus estudiantes que los intervalos deben ser de igual magnitud, a excepción de los datos extremos en algunas situaciones especiales. Por otro lado, para evitar confusiones, procure que sus alumnos y alumnas no definan intervalos del tipo a - b, b - c, c - d, por ejemplo.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Para evitar confusiones, es conveniente que considere lo siguiente: • El rango de un conjunto de datos corresponde a la diferencia numérica entre el dato de mayor valor y el de menor valor. • La amplitud de un intervalo se obtiene dividiendo el rango por el número de intervalos que se quieren. • En una tabla de frecuencias, la amplitud de los intervalos debe ser igual. En algunos casos, el primer y último intervalo tienen una amplitud diferente. • De una tabla de frecuencias también se puede obtener otro tipo de información, como las medidas de tendencia central, que se estudiarán en páginas siguientes.

31 45 36 45 49 44

36 46 48 46 47 49

41 29 36 42 45 44

49 36 36 46 45 36

a) Construye una tabla de frecuencia cuyos datos estén agrupados en 5 intervalos, partiendo del intervalo 28 – 32. b) ¿Cuál es la amplitud de cada intervalo?, ¿cómo lo obtuviste? c) ¿Cuántas mamás tienen entre 33 y 37 años? d) ¿Cuántas mamás tienen entre 43 o más años? e) ¿Qué porcentaje de mamás tienen entre 33 y 42 años? f) Si escoges a una mamá al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga 37 años o menos? (Habilidades que desarrolla: analizar, representar, interpretar y calcular). De profundización 1. Los siguientes datos corresponden a un estudio realizado por una compañía de telefonía móvil entre los trabajadores de una empresa, sobre la cantidad de minutos que ocupan mensualmente en sus teléfonos móviles. 107 204 169 100 82 109 108 210

120 115 118 224 325 209 206 310

279 120 135 116 227 308 421 407

125 446 440 401 237 238 431 302

446 347 412 375 386 392 291 178

305 276 235 321 125 170 402 274

256 324 388 105 57 115 260 449

a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en 8 intervalos, partiendo de 50 min. b) ¿Cuál es la amplitud de cada intervalo?, ¿cómo lo supiste? c) ¿Cuántas personas hablaron menos de 300 min mensuales? d) ¿Qué porcentaje de personas habló entre 200 min y 249 min? e) Si escoges una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que hable entre 400 min y 449 min mensuales? (Habilidades que desarrolla: analizar, representar, interpretar y calcular).

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Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 138 Y 139

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en forma manual […] a partir de diversos contextos y determinación de la media aritmética […] en estos casos. • Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos contextos, usando medidas de tendencia central y argumentación acerca de la información que ellas entregan.

Para discutir

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Unidad 5 – Datos y azar

Ítem 1: analizar y calcular. Ítem 2: recordar, analizar y justificar. Ítem 3: analizar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Actividades Ítems 1 y 2: analizar, representar, interpretar y calcular.

ACTIVIDAD INICIAL La actividad inicial presentada en el Texto tiene como propósito introducir a los y las estudiantes en el concepto y cálculo de la media aritmética para datos agrupados en intervalos. El cálculo de la media aritmética es familiar para los estudiantes, pues ya han lo han visto en cursos anteriores, para datos no agrupados, además, continuamente suelen calcular su promedio de notas en las distintas asignaturas. En esta parte de la Unidad ampliarán sus conocimientos previos, aprendiendo a calcular la media aritmética en este tipo de casos. Para iniciar este tema, podría mostrarles un ejemplo simple del cálculo e interpretación de la media aritmética en datos que no estén agrupados en intervalos.

por el total de datos, en donde la marca de clase de un intervalo es el promedio de los extremos del intervalo. • La media aritmética tiene diversos comportamientos, dependiendo de los datos de la muestra o población de estudio. Estas características las pueden visualizar fácil y rápidamente con una planilla de cálculos como Excel, ya que pueden variar algunos datos de un conjunto y verán cómo se altera la media aritmética. • La media aritmética solo puede determinarse en datos cuantitativos, ya que no es posible determinar un valor numérico a categorías o atributos.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. En una librería se hizo un estudio sobre la cantidad de libros de ciencia ficción que se venden durante 25 días.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, recuerde a sus estudiantes que deben ser cuidadosos en el conteo de datos que realizarán para cada categoría, pues errores de este tipo producen resultados incorrectos en el cálculo de la media y en la construcción de la tabla de frecuencias. Además, podrían formar intervalos de diferente amplitud, obteniendo también resultados erróneos. Para evitar este tipo de inconvenientes, recuerde a sus estudiantes que los intervalos deben ser de igual magnitud en los casos planteados, y verifique que cada uno de sus estudiantes haya definido bien cada uno de estos. • En el ítem 2, los alumnos y alumnas se podrían confundir y calcular la media aritmética con la frecuencia absoluta acumulada, en vez de la frecuencia absoluta. Evite este posible inconveniente, recordando que esta medida de tendencia central se obtiene con las frecuencias absolutas. Por otro lado, puede que sus estudiantes se compliquen al momento de analizar el resultado obtenido. Ayúdelos con algunos ejemplos de interpretación relacionados con la situación presentada en la actividad.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Una forma de analizar la información que nos entrega un conjunto de datos es utilizando las medidas de tendencia central. Ellas son media aritmética, moda y mediana. • La media aritmética es el promedio entre todos los valores de la variable y se calcula sumando todos estos y dividiendo por el número total de ellos. • Si los datos están organizados en una tabla de frecuencias, la media aritmética se calcula sumando los productos de la variable por la frecuencia correspondiente, y dividiendo por el tamaño de la muestra. Si además los datos están agrupados en intervalos, el promedio se calcula sumando los resultados de la multiplicación entre cada marca de clase y su correspondiente frecuencia absoluta y dividiendo

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Unidad 5 – Datos y azar

4 23 35 47 51

17 53 45 37 26

12 24 36 8 58

23 56 44 36 24

42 39 48 45 16

a) Completa la tabla de frecuencias. Cantidad de libros

Marca de clase

Frecuencia absoluta

Frecuencia Frecuencia Frecuencia absoluta relativa relativa acumulada acumulada

0-9 10 - 19 20 - 29 30 - 39 40 - 49 50 - 59 b) ¿Qué porcentaje de personas compraron menos de 20 libros? c) Calcula e interpreta la media aritmética. (Habilidades que desarrolla: representar, interpretar, analizar y calcular).

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 140 Y 141

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en forma manual […] a partir de diversos contextos y determinación de la […] moda en estos casos. • Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos contextos, usando medidas de tendencia central y argumentación acerca de la información que ellas entregan.

Para discutir

Actividades

Ítems 1 y 2: analizar. Ítem 3: recordar, interpretar y justificar.

Ítem 1: analizar, representar, interpretar y calcular. Ítem 2: calcular e interpretar.

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Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDAD INICIAL

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

La actividad inicial presentada en el Texto tiene como propósito introducir a los y las estudiantes en el cálculo e interpretación de la moda para datos agrupados en intervalos. El cálculo de la moda es familiar para los estudiantes, ya que en años anteriores han calculado la moda para conjuntos de datos que no están agrupados en intervalos.

De refuerzo

En esta parte de la Unidad ampliarán sus conocimientos previos, aprendiendo a calcular la moda en este tipo de datos. Para introducir a los alumnos y alumnas en este tema, podría mostrarles un ejemplo simple del cálculo de la moda en datos que no estén agrupados en intervalos.

1. La siguiente tabla resume la cantidad de reclamos que recibe una empresa de telefonía fija durante 316 días. a) Completa la tabla de frecuencias. Cantidad de reclamos

Marca de clase

1-5 6 - 10 11 - 15 16 - 20 21 - 25 26 - 30

32 44 51 89 70 30

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En los ítems 1 y 2, podría ocurrir que los alumnos y alumnas calculen la moda de forma incorrecta, porque no comprenden la fórmula de esta. Para evitar este tipo de inconvenientes, antes de la actividad recuérdeles a qué corresponde cada valor de dicha fórmula. Si es preciso, anote la fórmula en la pizarra para que sus estudiantes la visualicen y no se confundan. Además, se podrían confundir con las prioridades de las operaciones. Para evitar esta dificultad, indíqueles cuáles son estas prioridades y, en particular, cuál es el orden de los procedimientos que deben aplicar para calcular la moda. Luego, sería conveniente que ejemplifique con otros datos numéricos cómo obtener la moda, cuál es el orden que deben seguir, y por otro lado, qué procedimientos son incorrectos.

b) c) d) e) f)

Frecuencia absoluta

Frecuencia absoluta acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa acumulada

Calcula e interpreta la moda. Calcula e interpreta la media aritmética. ¿Cuántos días se recibieron 16 o más reclamos? ¿Cuántos días se recibieron menos de 26 reclamos? ¿Qué porcentaje de los días se realizaron entre 21 y 25 reclamos?

(Habilidades que desarrolla: representar, interpretar, calcular y analizar).

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Una forma de analizar la información que nos entrega un conjunto de datos, es utilizando las medidas de tendencia central. Ellas son media aritmética, moda y mediana. • La moda, como medida de tendencia central, corresponde al valor de una variable que se presenta con mayor frecuencia en un conjunto de datos. Cuando se trabaja con datos agrupados en intervalos, la moda que se obtiene es una estimación de la moda real, la cual se consigue directamente del conjunto de datos sin agrupar en intervalos. • Es posible que en datos sin agrupar en intervalos se presenten dos modas (bimodal) o más (multimodal). En el caso de datos agrupados en intervalos, esto no ocurre, ya que solo es una estimación de la moda real. • Para que la media aritmética y la moda sean representativas del conjunto de datos que se está estudiando, es fundamental que estas se obtengan utilizando un buen método de muestreo. Más sobre esto aparece en las próximas páginas.

De profundización 1. Los siguientes datos corresponden a los puntajes obtenidos por 50 personas en un test de habilidades. 102 104 106 108 110

110 112 114 116 118

130 136 106 108 110

140 106 116 118 112

132 144 146 128 120

128 132 150 142 152

126 142 142 144 150

112 132 148 106 108

106 116 118 106 108

144 146 128 114 116

a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en 6 intervalos. b) Calcula e interpreta la media aritmética y la moda. c) ¿Cuántas personas se encuentran en el intervalo con mayor puntaje?, ¿a qué porcentaje corresponde? (Habilidades que desarrolla: representar, interpretar, calcular y analizar).

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Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 142 Y 143

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Discusión respecto de la importancia de tomar muestras al azar en algunos experimentos aleatorios para inferir sobre las características de poblaciones, ejemplificación de casos.

Para discutir

Actividades

Ítems 1 y 2: analizar. Ítem 3: analizar y justificar.

Ítem 1: analizar, calcular e interpretar.

246

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDAD INICIAL

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

El objetivo de la actividad inicial propuesta en el Texto, es introducir a los y las estudiantes en el estudio del censo y muestreo. Para ello se presenta una situación que es común para sus estudiantes, ya que continuamente escuchamos en los medios de comunicación sobre campañas de vacunación para prevenir diversas enfermedades. Por ejemplo, en invierno el Ministerio de Salud realiza campañas de vacunación contra la influenza estacionaria, en donde la población de riesgo, niños y los adultos mayores, es vacunada gratuitamente.

De refuerzo 1. Se quiere determinar el porcentaje de calcio presente en 4 marcas de yogur. Para esto se tomó una muestra de 5 cajas de cada marca. Se supone que el porcentaje promedio de calcio es 31,6%. Los resultados de la muestra son:

Para motivar a sus alumnos y alumnas, converse sobre las características y objetivos de un censo poblacional, cuáles son sus ventajas y desventajas, cómo se realiza el censo, cada cuánto tiempo se realiza, para qué sirve, entre otros.

Puede acceder a más información en: www.ine.cl/cd2002/index.php

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, es posible que sus estudiantes se confundan con la estructura de la tabla de frecuencias, ya que estas aparecían anteriormente por columnas, y en este caso aparecen por fila. Acláreles que se tomó una muestra de 54 botellas de cada máquina. Las frecuencias absolutas presentadas corresponden a la cantidad de botellas que tienen cierta capacidad (en centímetros cúbicos), para cada una de las máquinas. Por otro lado, enfatice en que el cálculo de la media aritmética y la moda se debe realizar a cada máquina por separado, y no a la tabla completa. • En la actividad en equipo, verifique que sus estudiantes accedan a la página web solicitada; es la que aparece más arriba (www.ine.cl/cd2002/index.php). Luego, deben seleccionar: una Región, Provincia, Comuna, Población y, finalmente, hacer clic en “Abrir”.

a) Determina la moda de cada marca. Explica los resultados obtenidos. b) Determina la media aritmética de cada marca. Explica los resultados obtenidos. c) Según los resultados y conclusiones obtenidas, ¿qué marca de yogur comprarías? (Habilidades que desarrolla: interpretar, calcular y analizar). De profundización 1. Utiliza Internet para averiguar información sobre el Censo 2002, ingresando a la página web del Instituto Nacional de Estadísticas (INE): www.ine.cl/cd2002/index.php.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

a) Selecciona información sobre Viviendas, indicando la Región, la Provincia, la Comuna, el tipo de información, para una comuna. b) Indica el tipo de variable que se estudia. c) Realiza un resumen de la información que aparece y coméntala con el resto del curso.

Es importante que tenga presente lo siguiente:

(Habilidades que desarrolla: representar, seleccionar y analizar).

• Una muestra se toma cuando la población es muy grande y no es posible realizar un estudio con todos los integrantes de esta. Es importante que la muestra se escoja correctamente, pues de lo contrario, las conclusiones obtenidas no serán representativas de la población. • Puede comentarles a sus estudiantes los siguientes aspectos históricos relacionados con la Estadística: en el año 2000 a. C., en China ya se realizaban estudios estadísticos relacionados con el censo de la población. Por otro lado, los romanos, cada cinco años, realizaban un recuento de la población, que consideraba cantidad de nacimientos, defunciones, ganado, entre otros datos.

247

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 144 Y 145

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos contextos, usando medidas de tendencia central y argumentación acerca de la información que ella entrega.

Para discutir

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Unidad 5 – Datos y azar

Ítem 1: representar. Ítem 2: interpretar. Ítem 3: analizar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de la actividad inicial propuesta en el Texto es mostrar a los y las estudiantes cómo se analiza una encuesta y la información que podemos extraer de ella. Para ello, se presenta una situación relacionada con los hábitos deportivos de una muestra de 120 estudiantes de un colegio, donde la población es 1200 estudiantes. La información se agrupa en tres tablas de frecuencias: edad de los alumnos y alumnas, horas semanales que destinan a hacer ejercicios y su actividad deportiva favorita. Además, la información recopilada es resumida en dos gráficos de barras y uno circular. Es importante que sus alumnos y alumnas completen las tablas de frecuencias que aparecen en el texto, también que expliquen los diversos gráficos presentados, la información que proporcionan y establezcan en conjunto, las principales conclusiones del estudio estadístico planteado. Para complementar la información que aparece en el Texto, plantee a sus estudiantes lo siguiente: • ¿Qué otros aspectos relacionados con el deporte podrías preguntar en una encuesta?, ¿cómo lo harías? • Construyan, en sus cuadernos, para las dos primeras tablas, gráficos circulares y para la tercera tabla, un gráfico de barras.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Los gráficos nos permiten obtener información de forma ordenada y resumida sobre las variables en estudio. Los gráficos más utilizados son: Gráfico de barras: es un diagrama con barras rectangulares, cuya altura de cada barra indica la frecuencia absoluta de cada valor de la variable. Las barras pueden estar orientadas de forma horizontal o vertical. Estos gráficos se usan para comparar dos o más valores. Este gráfico sirve para representar variables cualitativas y cuantitativas.

• La elección del gráfico más adecuado para representar cierto tipo de variable, dependerá de si esta es cualitativa o cuantitativa. Generalmente: Variable

Gráfico

Cualitativa

Circular

Cuantitativa discreta

Circular

Cuantitativa continua

Histograma

Gráfico de barras Polígono de frecuencias Polígono de frecuencias

• Para analizar e interpretar información debemos tener presente el contexto en el que se desarrolla determinada situación, ya que de ello dependerá si nuestros análisis y conclusiones son acertadas y coherentes. • Es importante obtener información de medios de comunicación confiables, pues ellos permitirán encontrar datos verdaderos en distintos contextos. En Internet podemos encontrar mucha información, pero debemos ser cuidadosos con ella, ya que muchos sitios la entregan en forma imprecisa o errónea.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Realiza una encuesta en tu curso sobre los lugares favoritos para vacacionar (playa, campo, lago, montaña, etc.) y las actividades que realizan durante este período (nadar, andar en bicicleta, visitar lugares turísticos, leer, hacer excursiones, etc.). Luego, sigan las siguientes instrucciones: a) b) c) d)

Diseñen un cuestionario que responda a los objetivos del estudio. Recopilen la información en tablas de frecuencias. Representen la información en gráficos e interprétenlos. Presenten las conclusiones al resto del curso.

(Habilidades que desarrolla: representar, interpretar y analizar). Gráfico circular: es un gráfico formado por un círculo dividido en sectores. Se utiliza para representar cualquier tipo de frecuencia aunque, generalmente, se utiliza para frecuencias relativas porcentuales. Este gráfico sirve para representar variables cualitativas y cuantitativas. Histograma: es un gráfico cuya altura es proporcional a la frecuencia absoluta, frecuencia relativa o frecuencia porcentual, y la base está formada por segmentos cuyos extremos representan los extremos de cada intervalo. Este gráfico sirve para representar variables cuantitativas. Polígono de frecuencias: se obtiene al unir los puntos medios de los intervalos representados por cada barra en un histograma, es decir, al unir la marca de clase de cada intervalo mediante una línea poligonal. 249

Unidad 5 – Datos y azar

De profundización 1. Realiza una encuesta a 50 personas sobre su fruta favorita y la cantidad de estas que consumen al día. Luego, sigue las siguientes instrucciones: a) b) c) d)

Diseña un cuestionario que responda los objetivos del estudio. Recopila la información en tablas de frecuencias. Representa la información en gráficos e interprétalos. Presenta las conclusiones al resto del curso.

(Habilidades que desarrolla: representar, interpretar y analizar).

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 146 Y 147

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos contextos, usando medidas de tendencia central y argumentación acerca de la información que ella entrega. • Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, […] mediante herramientas tecnológicas, a partir de diversos contextos y determinación de la media aritmética y la moda en estos casos.

Actividades

En equipo

Ítem 1: analizar, justificar e interpretar.

Representar, identificar, analizar e interpretar.

250

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, es conveniente que analicen en conjunto las tablas y puedan sacar conclusiones de ellas. Si lo estima conveniente, puede buscar otro tipo de encuestas en la página web: www.fundacionfuturo.cl, en la opción Banco de Encuestas y, luego, en Buscador de Encuestas, seleccione la encuesta que es de su interés para trabajar con sus estudiantes. • En la actividad En equipo, es importante que los y las estudiantes tengan algunos días para realizarla, podría darles como plazo de entrega una semana. Esta actividad podrían desarrollarla en forma de ensayo. Finalmente, pueden presentar las conclusiones al resto del curso. • La actividad Herramientas tecnológicas, es conveniente que la realice antes de la clase que trabajará con sus estudiantes, de este modo, estará más preparado/a para las preguntas que puedan surgir. Recuerde que al digitar cada función, es fundamental que aparezca el signo “=” para que se ejecute; por ejemplo, para determinar el promedio de los datos que se encuentran desde la celda A2 hasta la celda A43 debe digitar:

2. Para calcular la moda, ubicarse en B13 y pulsar sobre el comando Insertar función. Seleccionar la categoría Estadísticas y la función Moda. Luego, pulsar en Aceptar. Seleccionar los datos correspondientes a las celdas B2 a B11 y, luego, Aceptar. En la celda B13 aparecerá la moda de las alturas. 3. Para calcular la mediana, ubicarse en B14 y pulsar sobre el comando Insertar función. Seleccionar la categoría Estadísticas y la función Mediana. Luego, pulsar en Aceptar. Seleccionar los datos correspondientes a las celdas B2 a B11 y, luego, Aceptar. En la celda B14 aparecerá la mediana de las alturas. En la imagen se encuentran los resultados obtenidos para este caso.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Utiliza una planilla de cálculo para la siguiente actividad: Las estaturas (en metros) de los 25 integrantes de un equipo de básquetbol son:

=PROMEDIO(A2,A43) 1,78 1,82 1,79 1,84 1,96

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

1,81 1,91 1,94 1,90 1,88

En Excel se puede calcular el promedio, la moda y la mediana. Para mostrar cómo se aplican estas funciones estadísticas, se utilizarán como ejemplo las estaturas de 10 personas.

1,80 1,87 1,92 1,89 1,89

Antes de comenzar, escriba en B1 “Altura” y, luego, ingrese las siguientes alturas: 1,54; 1,86; 1,74; 1,86; 1,66; 1,70; 1,88; 1,59; 1,63; 1,77.

1. Para calcular el promedio, ubicarse en B12 y pulsar sobre el comando Insertar función. Seleccionar la categoría Estadísticas y la función Promedio. Luego, pulsar en Aceptar. Seleccionar los datos correspondientes a las celdas B2 a B11 y, luego, Aceptar. En la celda B12 aparecerá el promedio de las alturas.

251

Unidad 5 – Datos y azar

1,81 1,92 1,89 1,86 1,91 1,83 1,85 1,88 1,79 1,86 a) Construye una tabla de frecuencias dividiendo la información en 3 intervalos y sigue las instrucciones dadas en las páginas 147 y 148 del Texto. b) Calcula la moda y la media aritmética del conjunto de datos. Luego, interpreta los valores obtenidos. c) ¿Cuál es la estatura mínima?, ¿y cuál es la máxima? (Habilidades que desarrollan: aplicar, usar herramientas, calcular, interpretar y analizar).

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 148 Y 149

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS • Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos contextos, usando medidas de tendencia central y argumentación acerca de la información que ella entrega. • Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, […] mediante

herramientas tecnológicas, a partir de diversos contextos y determinación de la media aritmética y la moda en estos casos.

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN: Herramientas tecnológicas Aplicar, usar herramientas, calcular, interpretar y analizar.

252

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Se sugiere que esta actividad se realice en forma individual, o en parejas, según la disponibilidad de computadores que tenga su colegio. Además, es importante que el primer ejemplo que presenta el Texto se realice en forma simultánea por todo el curso junto con su ayuda, y que el segundo ejercicio sea realizado de manera autónoma, pero permitiendo la realización de preguntas al profesor y el apoyo entre los alumnos y alumnas. • Por otro lado, es importante que los alumnos y alumnas sean cuidadosos y ordenados en el desarrollo de esta actividad, ya que ubicar o seleccionar mal los datos, produce resultados incorrectos. • Permita que sus estudiantes exploren la planilla de cálculo y descubran nuevas funciones que les permiten obtener los mismos resultados, utilizando un método alternativo. Es conveniente que compartan sus procedimientos y respuestas con el curso. Al final de la actividad, es fundamental que realicen una revisión individual y colectiva del trabajo realizado.

b) Calcula la moda y la media aritmética del conjunto de datos. Luego, interpreta los valores obtenidos. c) ¿Qué puedes concluir sobre el IMC de estas bailarinas? (Habilidades que desarrollan: aplicar, usar herramientas, calcular, interpretar y analizar).

EVALUACIÓN FORMATIVA Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad, se presenta la evaluación formativa MI PROGRESO.

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: Mi progreso Ítems 1, 2, 3: analizar y calcular. Ítem 4: aplicar, representar, calcular, interpretar y analizar.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES

De refuerzo

• En los ítems 1, 2 y 3, sus estudiantes deben marcar la alternativa correcta, esto dificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es conveniente que les pida que realicen los pasos al lado de cada pregunta, ya que si hay errores en el desarrollo, será más sencillo detectarlos y corregirlos. • En el ítem 2, para evitar confusiones entre sus estudiantes, recuerde que deben calcular la media aritmética de datos agrupados en intervalos, y no sumar las frecuencias absolutas y dividir por el total. • En el ítem 3, para evitar confusiones entre sus estudiantes, recuerde que deben calcular la moda de datos agrupados en intervalos y no buscar la categoría que tiene mayor frecuencia. • En el ítem 4, es importante que sus estudiantes noten que cada intervalo tiene una categoría asignada dependiendo del puntaje obtenido. Si lo estima conveniente, permítales utilizar calculadora para facilitar los cálculos.

1. Utiliza una planilla de cálculo para realizar la siguiente actividad. En una academia de ballet están preocupados por el Índice de Masa Corporal (IMC) de sus bailarinas. Los rangos normales van desde 18,5 hasta 24,9. Por ello, se calculó el IMC a las 60 bailarinas de la academia. Los resultados son los siguientes: 19,5 18,3 17,7 18,8 18,1 19,5 18,3 17,7 18,8 18,1 19,5 18,3 20,3 19,1 16,9 18,4 17,9 18,4 19,1 16,9 18,4 17,9 20,3 19,1 17,3 17,9 16,7 18,6 18,3 17,3 17,9 16,3 18,1 18,3 17,3 17,9 19,1 18,4 17,3 18,4 17,7 19,1 18,4 17,3 18,4 17,7 18,6 18,4 18,8 19,3 18,6 17,7 18,2 18,8 19,3 18,6 17,7 18,2 18,8 19,3 a) Construye una tabla de frecuencias dividiendo la información en 4 intervalos; luego, sigue las instrucciones dadas en las páginas 147 y 148 del Texto.

En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podrá plantear a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en el ítem 4. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Representa e interpreta correctamente la tabla de frecuencias, y calcula la media aritmética y la moda, justifica cada uno de sus pasos.

Representa e interpreta correctamente la tabla de frecuencias, y calcula la media aritmética y la moda, sin justificar todos sus pasos.

253

Unidad 5 – Datos y azar

Medianamente logrado Representa e interpreta erróneamente alguna de las frecuencias, confundiendo la media aritmética o la moda.

Por lograr Representa e interpreta erróneamente alguna de las frecuencias, confundiendo la media aritmética y también la moda. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

a) ¿Cuál es la mínima edad observada?

De refuerzo

b) ¿Cuál es la máxima edad observada?

1. La siguiente tabla entrega los resultados de una encuesta realizada sobre los usos de Internet a un grupo de personas de entre 15 y 30 años. Usos de Internet

Entretención

Trabajo

Compras

Búsquedas de información

Frecuencia

200

360

300

140

c) Organiza la información en la siguiente tabla de frecuencias. Edad (años)

Marca de clase

Frecuencia absoluta

Frecuencia Frecuencia Frecuencia absoluta relativa relativa acumulada porcentual

28 - 32 33 - 37

Según los datos obtenidos, responde las siguientes preguntas: a) b) c) d)

¿Cuántas personas fueron encuestadas? ¿Cuál es el uso más frecuente de Internet? ¿Cuál es el uso menos frecuente de Internet? Si una de las personas encuestadas se escoge al azar, ¿cuál es la probabilidad de que use Internet para trabajar?

2. Los siguientes datos corresponden a la cantidad de personas que asisten a un banco durante 30 días. 113

108

104

103

110

101

a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en 4 intervalos, partiendo del intervalo 75 - 84. b) Calcula e interpreta la media aritmética y la moda. 3. Una salsoteca está interesada en obtener información de la edad de sus clientes para organizar nuevas actividades y promociones. Para ello encuestaron a 30 personas, obteniendo los siguientes resultados: 44 40 32 33 35 32 254

38 - 42

Unidad 5 – Datos y azar

36 37 39 38 45 29

34 38 33 30 39 39

38 37 39 39 37 38

32 42 30 33 31 36

43 - 47 TOTAL

d) e) f) g)

¿Cuántas personas tienen más de 32 años? ¿Qué porcentaje de personas tienen más de 42 años? Determina e interpreta la moda de este conjunto de datos. Calcula e interpreta la media aritmética del conjunto de datos.

De profundización 1. Una empresa salmonera del sur de Chile está interesada en conocer la masa (en kg) de sus salmones. Para ello tomó una muestra de 50 salmones obteniendo los siguientes resultados: 3,9 2,7 3,3 3,8 2,8 3,8 3,9 3,3 3,6 4,3

3,2 2,8 3,3 2,8 3,1 3,6 3,2 3,4 3,5 3,1

4,5 3,8 3,3 3,2 2,7 3,4 3,2 2,8 3,2 4,1

4,1 3,6 3,7 2,9 3,8 4,0 3,8 3,2 2,8 3,1

4,2 3,5 4,2 3,9 3,6 3,2 4,0 2,8 3,3 4,5

a) ¿Cuál es la mínima masa observada?, ¿y cuál es la máxima?

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

b) Organiza la información en la siguiente tabla de frecuencias. Edad (años)

Marca de clase

Frecuencia absoluta

Frecuencia Frecuencia Frecuencia absoluta relativa relativa acumulada porcentual

2,6 - 3,2

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 254 Y 255 DE LA GUÍA DIDÁCTICA De refuerzo 1. a) 1000 personas. b) Trabajo. 2. a)

3,3 - 3,9

Cantidad de Marca de clase personas

4,0 - 4,6

d) Si escogieras uno de estos salmones al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su masa esté entre 2,6 kg y 3,2 kg? e) Determina e interpreta la media aritmética y la moda de este conjunto de datos.

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa porcentual

75 - 84

79,5

0,17

17%

85 - 94

89,5

0,47

47%

95 - 104

99,5

0,27

27%

105 - 114

109,5

0,1

10%

TOTAL

c) ¿Qué porcentaje de los salmones tiene una masa menor a 4,0 kg?

c) Búsqueda de información. d) 36%

–

b) x = 92,5; Mo = 90,4 3. a) 29 años. c)

b) 45 años.

Edad (años)

Marca de clase

Frecuencia absoluta

28 - 32 33 - 37 38 - 42 43 - 47

30 35 40 45 TOTAL

7 10 11 2

d) 23 personas.

e) 7%

Frecuencia Frecuencia Frecuencia absoluta relativa relativa acumulada porcentual

7 17 28 30

f) Mo = 38,4

0,23 0,33 0,37 0,07

23% 37% 37% 7%

g) x– = 36,33

De profundización 1. a) 2,7 kg y 4,5 kg b)

Marca de clase

Frecuencia absoluta

2,6 - 3,2

2,9

0,38

38%

3,3 - 3,9

3,6

0,44

44%

4,0 - 4,6

4,3

0,18

18%

TOTAL

c) 82% 255

Unidad 5 – Datos y azar

Frecuencia Frecuencia Frecuencia absoluta relativa relativa acumulada porcentual

Edad (años)

d) 38%

–

e) x = 3,476 ; Mo = 3,2

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 150 Y 151

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Identificación del conjunto de los resultados posibles en experimentos aleatorios simples (espacio muestral) y de los eventos o sucesos como subconjuntos de aquél, uso del principio multiplicativo para obtener la cardinalidad del espacio muestral y de los sucesos o eventos.

Para discutir

Actividades

Ítem 1: analizar y justificar. Ítems 2, 3 y 4: calcular.

Ítem 1: reconocer y calcular. Ítems 2, 3 y 4: calcular y justificar.

256

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de la actividad inicial propuesta en el Texto tiene como propósito que los alumnos y alumnas sean capaces de determinar el número de posibilidades en diversos experimentos aleatorios, a través del principio multiplicativo. Para motivar a sus estudiantes en el estudio de esta parte de la Unidad y complementar la actividad propuesta en el Texto, podría utilizar fichas de diversos colores y colocarlas en un recipiente o en una bolsa, por ejemplo: 3 fichas rojas, 2 fichas amarillas y 4 azules, y realizar el experimento aleatorio de extraer una ficha. Luego, lanzar un dado y anotar en una tabla las combinaciones de color de ficha y número de dado que van saliendo. Repita el experimento varias veces y permítales participar a distintos alumnos y alumnas, para que observen que se pueden obtener diversos resultados. A partir de esta experiencia, explíqueles los conceptos de experimento aleatorio, espacio muestral, su cardinalidad y principio multiplicativo.

En este caso, no es necesario usar principio multiplicativo, pues los posibles resultados son: Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} • En el ítem 2, sugiérales a sus estudiantes traducir el enunciado del ejercicio a números, para que no se confundan con toda la información que entrega el problema y apliquen posteriormente, el principio multiplicativo. • En el ítem 3, permítales a sus alumnos y alumnas realizar algún esquema para graficar la situación presentada; esto les ayudará a ver con claridad el problema, para luego aplicar el principio multiplicativo. • En el ítem 4, mencione a sus estudiantes que en el ejercicio a), los alumnos deben determinar la cantidad de resultados posibles y en el ejercicio b), listar todos los resultados posibles. Si es necesario, sugiérales que utilicen diagrama de árbol para visualizar las posibilidades de menú.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, para los ejercicios a) y b), aclare a sus estudiantes que las patentes deben ser aquellas con esas letras y en ese orden. Para aclarar estas actividades, puede dibujar en la pizarra lo siguiente (para ejercicio b): Letra

Letra

Dígito

0 al 9

• Un experimento aleatorio es aquel experimento en cual no se puede predecir el resultado. Los juegos de azar son un tipo de experimento aleatorio. • Una forma de organizar los resultados obtenidos en experimentos aleatorios es a través de un diagrama de árbol. Por ejemplo, el diagrama correspondiente al lanzamiento de dos monedas es: Cara

Posibilidades

Cara Sello Moneda

Usando el principio multiplicativo: 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 10 = 10 (maneras distintas). • En el ítem 1, para los ejercicios c), d) y e) sugiérales a sus estudiantes realizar alguna tabla o diagrama de árbol para determinar los espacios muestrales y los resultados posibles; y a la vez, que utilicen el principio multiplicativo. Ambas formas de trabajo ayudarán a aclarar y a consolidar los conceptos aprendidos en esta parte de la Unidad. Por ejemplo, en la d), para sumar los puntajes obtenidos al lanzar dos dados, pueden completar una tabla como la siguiente: + 1 2 3 4 5 6

1 2

Cara Sello Sello

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Indica el espacio muestral (Ω) y la cardinalidad (#) de los siguientes experimentos. Guíate por el ejemplo. Ejemplo: Lanzar una moneda: Ω = {cara, sello}, # = 2

4 6 8 10 12

a) b) c) d)

Lanzar dos monedas. Lanzar tres monedas. Lanzar un dado y una moneda. Lanzar dos monedas y un dado.

(Habilidades que desarrolla: reconocer y calcular). 257

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 152 Y 153

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Análisis de ejemplos en diversas situaciones donde los resultados son equiprobables, a partir de la simulación de experimentos aleatorios […].

Para discutir

Actividades

Ítem 1: analizar y justificar. Ítem 2: reconocer. Ítem 3: analizar.

Ítem 1: reconocer, analizar y justificar. Ítems 2 y 3: analizar y justificar.

258

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

En equipo

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

Aplicar, usar herramientas, calcular, reconocer, analizar y justificar. De refuerzo

ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de la actividad inicial presentada en el Texto para el Estudiante, es introducir el estudio de los sucesos equiprobables. Para ello, se presenta una situación problemática que ilustra este tipo de eventos. Para motivar a sus estudiantes en el estudio de esta parte de la Unidad y complementar la actividad propuesta en el Texto, podría hacer papelitos con los nombres de sus alumnos y alumnas, echarlos en una bolsa, y preguntarles quién creen que saldrá, quién tiene más posibilidades etc. De esta forma podrá introducirlos en el concepto de sucesos equiprobables, al concluir que todos tienen la misma probabilidad de salir.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, sugiérales a sus estudiantes realizar alguna tabla o esquema en los casos que considere necesario, para determinar los espacios muestrales y sus resultados posibles y, luego, que utilicen el principio multiplicativo. Esta forma de trabajo ayudará a aclarar y consolidar los conceptos aprendidos. • En los ítems 2 y 3, pídales que busquen ejemplos para ilustrar las situaciones planteadas, de este modo podrán obtener sus conclusiones con mayor facilidad. • En la actividad EN EQUIPO, sus estudiantes necesitarán diversos materiales, es por ello que se los debe pedir anticipadamente, para que el día de la actividad todos dispongan de los materiales y puedan realizar la experiencia sin dificultades.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Los experimentos determinísticos son aquellos en que se conoce de antemano el resultado.

1. En los siguientes experimentos, indica el espacio muestral (Ω) y si sus resultados son equiprobables. Explica tu decisión. a) Extraer, sin mirar, una bolita de una urna que contiene 10 fichas blancas, 10 fichas negras y 10 amarillas. b) Extraer, sin mirar, una bolita de una urna que contiene 9 fichas blancas y 10 fichas negras. c) Extraer, sin mirar, una bolita de una urna que contiene 2 fichas blancas, 2 fichas negras, 2 azules y dos amarillas. d) Extraer, sin mirar, una carta de un naipe inglés. e) Lanzar dos monedas. f) Lanzar tres monedas. g) Lanzar un dado y una moneda, simultáneamente. h) Lanzar dos monedas y un dado, simultáneamente. i) Lanzar dos monedas y dos dados simultáneamente. (Habilidades que desarrolla: reconocer, analizar y justificar). De profundización 1. Menciona 3 experimentos en que sus resultados sean equiprobables. Indica el espacio muestral. 2. Menciona 3 experimentos en que sus resultados no sean equiprobables. Justifica en cada caso. (Habilidades que desarrollan: formular, identificar y justificar).

Por ejemplo, en un laboratorio se mezclan en proporciones adecuadas hidrógeno y oxígeno, resultando agua. Se sabe de antemano el resultado, por lo tanto, es un experimento determinístico. • Los experimentos aleatorios son aquellos que, repetidos una cierta cantidad de veces, en condiciones similares, pueden presentar resultados diferentes. En los experimentos aleatorios no se conocen de antemano los resultados. Por ejemplo, si se introducen bolitas en una tómbola y se extrae una, no se sabe de antemano cuál va a salir, por lo tanto, este tipo de experimentos es aleatorio.

259

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 154 Y 155

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Asignación en forma teórica de la probabilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio, con un número finito de resultados posibles y equiprobables, usando el modelo de Laplace.

Para discutir

260

Unidad 5 – Datos y azar

Actividades

Ítem 1: analizar y justificar. Ítems 1 y 2: analizar, calcular y representar. Ítem 2: calcular y justificar. Ítem 3: analizar y calcular. Ítem 3: analizar y justificar. Ítem 4: analizar, calcular, representar y justificar. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de la actividad inicial presentada en el Texto para el Estudiante es introducir a los alumnos y alumnas en el concepto de probabilidad usando el modelo de Laplace. Para ello, se presenta una situación que ilustra cómo obtener probabilidades de eventos equiprobables. Para complementar esta actividad, podría considerar a 2 mujeres del curso y a 2 hombres, anotar sus nombres en una tabla en la pizarra y preguntarles a quién escogerían como presidente, e ir registrando los resultados. Después de que todo el curso haya participado, pregúnteles: • Si se escoge uno de los candidatos del curso al azar, ¿cuál es la probabilidad que sea hombre?

• Una probabilidad se puede expresar como número decimal, fracción o porcentaje; por ejemplo, si la probabilidad de un evento es 0,3, también podemos decir que 3 es ó 30%. 10 • La Regla de Laplace se debe al científico Pierre Simon Marqués de Laplace (1749 - 1827). Su primer trabajo fue sobre la aplicación de las matemáticas en la mecánica celeste. Posteriormente, realizó investigaciones sobre la naturaleza y el universo. En 1812 publicó su famosa obra Teoría analítica de las probabilidades. Laplace fue admirado por sus conocimientos, pero también fue despreciado por su oportunismo político. Laplace dijo: “El azar no se deriva de la realidad sino de la ignorancia acerca de esa realidad y la probabilidad, su extensión matemática”.

Finalmente, haga una confrontación entre la probabilidad empírica obtenida de los resultados experimentales y la probabilidad teórica empleando el modelo de Laplace.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

Por ejemplo:

De refuerzo

Carolina

Jorge

Isabel

Felipe

Este caso, la probabilidad empírica es 40%, mientras que la probabilidad teórica es 25%.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, mencióneles a sus estudiantes que deben considerar todas las letras de la palabra PARALELEPíPEDO, incluyendo las que se repiten. • En el ítem 2, recuérdeles a sus alumnos y alumnas, qué es un número par y dé algunos ejemplos si es necesario, ya que pueden haber olvidado este concepto. • En el ítem 3, recuérdeles a sus estudiantes que deben considerar la cantidad de bolitas de cada color, y con esto determinar la cantidad de casos favorables y totales, ya que pueden confundirse y considerar solamente que son 3 colores, y asignar 1 2 la probabilidad de a que sea de un color determinado y a que no sea de un 3 3 color determinado.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • • • •

La probabilidad de cualquier suceso puede tomar un valor entre 0 y 1. La probabilidad de que ocurra un suceso imposible es 0. La probabilidad de que ocurra un suceso seguro es 1. La probabilidad de que ocurra un suceso incierto es mayor que cero y menor que 1.

1. Una caja contiene 6 botones azules, 5 botones verdes y 4 botones amarillos. Si se extrae un botón al azar, calcula la probabilidad de: a) obtener un botón verde. b) obtener un botón amarillo. c) obtener un botón azul. 2. Una letra de la palabra MATEMATICA es elegida al azar. Determina la probabilidad de seleccionar: a) una A. b) una E. c) una C. (Habilidad que desarrollan: calcular). De profundización 1. Se escriben los números del 1 al 15 en tarjetas. Las 15 tarjetas se mezclan y colocan hacia abajo. Se elige una tarjeta al azar. Determina la probabilidad de que la tarjeta elegida sea: a) b) c) d) e)

par. mayor que 8. menor que 10. divisor de 20. primo.

(Habilidad que desarrolla: calcular). 261

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 156 Y 157

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN CON:

• Análisis de ejemplos en diversas situaciones donde los resultados son equiprobables, a partir de la simulación de experimentos aleatorios mediante el uso de herramientas tecnológicas.

Herramientas tecnológicas

262

Unidad 5 – Datos y azar

Aplicar, usar herramientas, identificar, calcular y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Se sugiere que esta actividad se realice en forma individual o en parejas, según la disponibilidad de computadores que tenga su colegio. Además, es importante que el primer ejemplo que presenta el texto sea realizado en forma simultánea por todo el curso con su ayuda, y que el segundo ejercicio sea realizado de manera más autónoma, pero permitiendo la realización de preguntas al profesor y el apoyo entre los alumnos y alumnas. • Es conveniente que realice esta actividad, a modo de prueba, antes de llevarla a cabo con sus alumnos y alumnas. • Es importante que los alumnos y alumnas comprendan que los números aleatorios cambian cada vez que se abre el archivo; además sus estudiantes obtendrán resultados diferentes, por lo tanto sus frecuencias relativas también serán distintas. • Permita que sus estudiantes exploren la planilla de cálculo y descubran nuevas funciones que les permitan obtener los mismos resultados, utilizando un método alternativo. Además, es bueno que compartan sus descubrimientos con el curso. Al final de la actividad, es fundamental que realicen una revisión individual y colectiva del trabajo realizado.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Utiliza una planilla de cálculo para realizar el lanzamiento de un dado 40 veces. Luego, completa la tabla y responde: Puntuación

Frecuencia absoluta

b) ¿Cuál es la frecuencia relativa cuando el número del dado es par?, ¿cuál es la probabilidad de que salga par?, ¿se relacionan ambos valores? (Habilidad que desarrolla: usar herramientas, calcular e identificar).

EVALUACIÓN FORMATIVA Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad, se presenta la evaluación formativa MI PROGRESO.

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: Mi progreso Ítem 1: reconocer. Ítem 2: calcular.

Ítem 3: analizar, identificar y justificar. Ítem 4: calcular, identificar y justificar.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En el ítem 1 y 2, podría ocurrir que sus estudiantes no distingan todos los elementos del espacio muestral. Para ayudarlos, sugiérales que realicen un esquema o una tabla de doble entrada para representar todos los resultados posibles, o bien, con un diagrama de árbol. De esta forma podrán responder correctamente con mayor facilidad. • En el ítem 3, para evitar confusiones entre sus estudiantes, recuerde qué significa que los sucesos sean equiprobables. • En el ítem 4, recuérdeles a sus estudiantes el principio multiplicativo para determinar todos los casos posibles y con esto puede determinar la probabilidad pedida. Para determinar las posibles tenidas, pueden dibujar un diagrama de árbol en sus cuadernos. Al término de la evaluación formativa es fundamental que realice una revisión individual para que conozca las realidades de cada estudiante, y pueda corregirlas.

Frecuencia relativa

a) ¿Cuál es la frecuencia relativa cuando el número del dado es 6?, ¿cuál es la probabilidad de que salga 6?, ¿se relacionan ambos valores?

En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podrá plantearles a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 3 y 4. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Identifica correctamente los sucesos equiprobables, justificando cada uno de sus pasos.

Identifica correctamente los sucesos equiprobables, sin justificar todos sus pasos.

Identifica y calcula correctamente las tenidas y la probabilidad, justificando cada uno de sus pasos.

Identifica y calcula correctamente las Calcula correctamente el número de tenidas y la probabilidad, sin justificar tenidas, pero confunde la probabilidad. todos sus pasos.

263

Unidad 5 – Datos y azar

Identifica erróneamente uno de los sucesos equiprobables, sin justificar todos sus pasos.

Por lograr Identifica erróneamente dos o más sucesos equiprobables, sin justificar sus pasos. Calcula erróneamente todas las tenidas y confunde la probabilidad.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

5. Se lanzan 3 monedas simultáneamente.

De refuerzo

a) ¿Cuál es el espacio muestral?, ¿cuál es su tamaño?

1. Describe los espacios muestrales en cada caso e indica su tamaño.

b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener solo sellos?

a) Vania quiere ir al cine con un amigo y una amiga. Si tiene 4 amigos (Luis, Pablo, Hernán y José) y 3 amigas (Ana, Pía, Marta), ¿de cuántas formas puede ir acompañada? b) Carolina tiene una fiesta y quiere elegir con qué ropa irá. Si tiene 5 poleras (P1, P2, P3, P4, P5), 3 pantalones (T1, T2, T3) y 2 pares de zapatillas (Z1, Z2), ¿de cuántas maneras diferentes se podría vestir? c) Un equipo de fútbol debe elegir su ropa deportiva para el próximo año. Una empresa ofrece 4 marcas distintas de zapatos de fútbol (Z1, Z2, Z3, Z4), 2 poleras (P1, P2) y 3 pantalones (T1, T2, T3). ¿Cuántas combinaciones de ropa se pueden formar? d) Para mejorar la alimentación de niños y niñas, un jardín infantil ofrece para el almuerzo 2 platos distintos (A1, A2), 2 postres diferentes (P1, P2) y 2 tipos de jugos (J1, J2). ¿De cuántas maneras se puede formar un almuerzo en este jardín infantil? 2. Un dado de seis caras es lanzado. Calcula las siguientes probabilidades:

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara? d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres caras? e) ¿Cuál es la probabilidad de obtener a lo más un sello? f) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos? 6. Alicia tiene una caja con 15 dulces de chocolate, 12 dulces de miel y 18 dulces de anís. Si Alicia elige un dulce al azar, determina la probabilidad de que saque: a) un dulce de anís. b) un dulce de chocolate. c) un dulce de miel. d) un dulce que no sea de chocolate. e) un dulce que no sea de miel. f) un dulce que no sea de anís. g) un dulce que sea de miel o chocolate. h) un dulce que sea de anís o chocolate.

a) obtener un número impar. b) obtener un número mayor que 2.

De profundización

c) obtener un 3 ó 6.

1. Se lanzan 4 monedas simultáneamente. 3. Dos monedas son lanzadas simultáneamente. Lista todos los resultados posibles y determina la probabilidad de obtener:

b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos?

a) dos sellos.

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de una cara?

b) un sello y una cara.

d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro sellos?

c) ningún sello.

e) ¿Cuál es la probabilidad de obtener a lo más tres sellos?

d) al menos un sello.

f) ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres caras?

4. Una letra de la palabra DEMOCRACIA es elegida al azar. Determina la probabilidad de seleccionar: a) una M.

d) una R.

g) una D o E o M.

b) una O.

e) una A.

h) una S.

c) una C.

f) una I.

264

Unidad 5 – Datos y azar

a) ¿Cuál es el espacio muestral?, ¿cuál es su tamaño?

g) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras y dos sellos?

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

2. Se lanzan dos dados simultáneamente, uno rojo y otro verde, y se multiplican sus puntuaciones. a) ¿Cuál es el espacio muestral?, ¿cuál es su tamaño? b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?

d) Ω = {A1 P1 J1, A1 P1 J2, A1 P2 J1, A1 P2 J2, A2 P1 J1, A2 P1 J2, A2 P2 J1, A2 P2 J2}. Tamaño 8. 2. a)

1 2

2 3

d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un múltiplo de 3?

3. Cara: C, Sello: S. a) 0,25 b) 0,5

e) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar?

4. a) 10%

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo?

b) 10%

1 3

Ω = {CS, CC, SC, SS} c) 0,25 d) 0,75

c) 20%

d) 10%

e) 20%

f) 10% g) 30%

h) 0%

f) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 18? g) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número al cuadrado? 3. Se lanza un dado y una moneda. a) ¿Cuál es el espacio muestral?, ¿cuál es su tamaño? b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar en el dado? c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un sello? d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara en la moneda y un número par en el dado? e) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un sello en la moneda y un número mayor que 2 en el dado?

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 264 Y 265 DE LA GUÍA DIDÁCTICA De refuerzo 1. a) Ω = {Luis Ana, Luis Pía, Luis Marta, Pablo Ana, Pablo Pía, Pablo Marta, Hernán Ana, Hernán Pía, Hernán Marta, José Ana, José Pía, José Marta}. Tamaño 12. b) Ω = {P1 T1 Z1, P1 T1 Z2, P1 T2 Z1, P1 T2 Z2, P1 T3 Z1, P1 T3 Z2, P2 T1 Z1, P2 T1 Z2, P2 T2 Z1, P2 T2 Z2, P2 T3 Z1, P2 T3 Z2, P3 T1 Z1, P3 T1 Z2, P3 T2 Z1, P3 T2 Z2, P3 T3 Z1, P3 T3 Z2, P4 T1 Z1, P4 T1 Z2, P4 T2 Z1, P4 T2 Z2, P4 T3 Z1, P4 T3 Z2, P5 T1 Z1, P5 T1 Z2, P5 T2 Z1, P5 T2 Z2, P5 T3 Z1, P5 T3 Z2,}. Tamaño 30.

5. Cara: C, Sello: S. a) Ω = {CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS}. Tamaño 8. 1 7 1 1 3 b) c) d) e) f) 8 8 8 2 8 6. a) 40% b) 33,3% c) 27% d) 67% e) 73,3% f) 60% g) 60% h) 73,3% De profundización 1. Cara: C, Sello: S. a) Ω = {CCCC, CCCS, CCSC, CCSS, CSCC, CSCS, CSSC, CSSS, SCCC, SCCS, SCSC, SCSS, SSCC, SSCS, SSSC, SSSS}. Tamaño 16. b) 0,38

c) 0,69

d) 0,06

e) 0,94

f) 0,25

g) 0,38

2. a) Ω = {1 • 1, 1 • 2, 1 • 3, 1 • 4, 1 • 5, 1 • 6, 2 • 1, 2 • 2, 2 • 3, 2 • 4, 2 • 5, 2 • 6, 3 • 1, 3 • 2, 3 • 3, 3 • 4, 3 • 5, 3 • 6, 4 • 1, 4 • 2, 4 • 3, 4 • 4, 4 • 5, 4 • 6, 5 • 1, 5 • 2, 5 • 3, 5 • 4, 5 • 5, 5 • 6, 6 • 1, 6 • 2, 6 • 3, 6 • 4, 6 • 5, 6 • 6}. Tamaño: 36. b) 75%

c) 17%

d) 56%

e) 25%

f) 22%

g) 22%

3. Cara: C, Sello: S. a) Ω = {C1, C2, C3, C4, C5, C6, S1, S2, S3, S4, S5, S6}. Tamaño 12. 1 1 1 b) c) d) 25% e) 2 2 3

c) Ω = {Z1 P1 T1, Z1 P1 T2, Z1 P1 T3, Z1 P2 T1, Z1 P2 T2, Z1 P2 T3, Z2 P1 T1, Z2 P1 T2, Z2 P1 T3, Z2 P2 T1, Z2 P2 T2, Z2 P2 T3, Z3 P1 T1, Z3 P1 T2, Z3 P1 T3, Z3 P2 T1, Z3 P2 T2, Z3 P2 T3, Z4 P1 T1, Z4 P1 T2, Z4 P1 T3, Z4 P2 T1, Z4 P2 T2, Z4 P2 T3}. Tamaño 24. 265

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 158 Y 159

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN:

• Discusión respecto de la importancia de tomar muestras al azar en algunos experimentos aleatorios para inferir sobre las características de poblaciones, ejemplificación de casos.

Buscando estrategias

266

Unidad 5 – Datos y azar

Ítem 1: analizar, aplicar y seleccionar. Ítems 2 y 3: analizar, aplicar, seleccionar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Es importante que mencione a sus estudiantes que un mismo problema puede ser resuelto de distintas maneras. La estrategia presentada en el Texto es solo una forma de dar solución a las preguntas planteadas. El procedimiento detallado y ordenado es fundamental en la resolución de problemas, ya que permite razonar sobre lo que estamos realizando y además es menos probable cometer errores.

INDICACIONES SOBRE EL PROBLEMA RESUELTO A través del problema presentado en el Texto se pretende que sus estudiantes apliquen parte de los contenidos aprendidos en la Unidad y, además, desarrollen habilidades propias de la resolución de problemas. El problema planteado en el Texto tiene como objetivo que los alumnos y alumnas aprendan a leer e interpretar información proveniente de diversos tipos de gráficos. Para ello, se muestra la información que proporciona cada uno de los gráficos y se determina de cuáles se pueden extraer conclusiones relevantes, según el problema planteado, en este caso, obtener información sobre la vida de Felipe, en cuanto a sus actividades cotidianas, dado que fue el ganador de la última competencia del colegio donde también está Loreto. Con este análisis se puede determinar que son relevantes los gráficos que están relacionados con el tiempo de entrenamiento diario y las horas que duerme diariamente. Sin embargo, el gráfico sobre las edades de los hermanos de Felipe no proporciona información relevante para que Loreto se prepare para correr en la competencia de su colegio.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Los robos en un supermercado del país se han triplicado entre los años 2008 y 2009. ¿Cuál de los siguientes gráficos permite extraer información al respecto? Robos en supermercado entre el 2008 y 2009

Robos en supermercado entre el 2008 y 2009 5000

75% 2008 25%

4000 3000 2000

2009 75%

25%

1000 0

2008

2009

(Habilidades que desarrollan: aplicar, analizar y verificar).

En proceso, logro parcial

Comprensión del problema o situación

• Puede expresar en sus propias palabras e interpretar coherentemente el problema. • Identifica la información necesaria. • Tiene una idea acerca de la respuesta.

• • • •

Comprensión de conceptos

• Demuestra un entendimiento parcial o satisfactorio. • Puede demostrar y explicar usando una variedad de modos. • Está listo para hacer conexiones acerca de cómo y por qué. • Relaciona conceptos con conocimiento y experiencias anteriores. • Realiza las tareas cada vez con menos errores.

• No modela los conceptos rutinarios correctamente. • No puede explicar el concepto. • No intenta resolver el problema. • No hace conexiones.

• Revisa cálculos y procedimientos. • Puede investigar razones si existen dudas.

• No revisa cálculos ni procedimientos. • No reconoce si su respuesta es o no razonable.

Verificación de resultados • Chequea la racionalidad de los y/o progreso resultados. • Reconoce sin dar argumentos.

Copia el problema. Identifica palabras clave. Interpreta mal parte del problema. Tiene alguna idea acerca de la respuesta.

No comprende

• No entiende el problema. • Entiende mal el problema. • Como rutina pide explicaciones.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm

267

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 160 Y 161

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN: Conexiones

Síntesis Recordar y conectar.

Conectar, aplicar y analizar.

268

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

CONEXIONES es una sección del Texto que tiene como objetivo relacionar los contenidos aprendidos en la Unidad con su aplicación real. Para ello se presenta una actividad relacionada con una encuesta que se realizó sobre los principales usos de Internet en Chile.

TÉCNICAS DE ESTUDIO

Internet hoy en día es un medio que tiene innumerables utilidades, que hace unos años atrás eran impensadas. Podemos comprar, informarnos de lo que sucede en todo el mundo, escuchar música, ver videos, comunicarnos con otras personas, etc.

Para verificar que el esquema realizado por sus estudiantes sobre la Unidad está completo, haga usted uno y revísenlo en conjunto. Luego, pídales que analicen las siguientes preguntas:

Sin embargo, en Internet también es posible encontrarse con sitios poco confiables que entregan información errónea, o sitios peligrosos que se encargan de realizar actividades ilícitas y muy reprochables. Esta instancia es una buena oportunidad para conversar con sus estudiantes sobre los usos de Internet y los cuidados que deben tener cuando la utilicen.

• • • • •

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

De refuerzo

1. Con relación a Internet y los usos que le damos:

Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad, responde las siguientes preguntas:

a) b) c) d) e)

¿Cuáles son las actividades que comúnmente haces? ¿Utilizas Internet para tus tareas escolares?, ¿para cuáles? ¿Cuáles son los sitios que sueles visitar frecuentemente para tus tareas? ¿Cómo podrías incentivar el uso seguro de Internet? ¿Realizas actividades de ocio usando Internet?, ¿cuáles?, ¿cuántas horas le dedicas diariamente? f) ¿Cuáles crees que son las ventajas y desventajas de Internet? (Habilidades que desarrolla: reconocer, conectar y justificar).

269

Unidad 5 – Datos y azar

A continuación, proponemos otra forma de sintetizar los conocimientos trabajados en esta Unidad: el esquema.

¿Es correcta la idea principal? ¿Son correctas las ideas secundarias?, ¿falta alguna? ¿Las definiciones son correctas?, ¿están completas?, ¿qué falta? ¿Son correctas las características dadas?, ¿falta alguna? ¿Los ejemplos son adecuados?

1. ¿Para qué sirven los gráficos y las tablas de frecuencias? 2. ¿Qué sucede si la cantidad de datos obtenidos en un estudio son muchos o tienen un rango muy amplio?, ¿qué conviene en esos casos? Da un ejemplo. 3. ¿Cómo puedes registrar la información recopilada de una muestra de datos? 4. ¿Qué frecuencias conoces? Explica cada una de ellas. 5. ¿Cómo se calcula la moda y la media aritmética con datos agrupados en intervalos? Da un ejemplo para cada caso. 6. ¿En qué consiste el principio multiplicativo?, ¿para qué sirve? 7. ¿Qué diferencia existe entre frecuencia relativa y probabilidad? 8. ¿Qué significa que los sucesos sean equiprobables? Da un ejemplo. 9. ¿En qué consiste la regla de Laplace?, ¿para qué sirve? Da un ejemplo. (Habilidades que se desarrollan: recordar, conectar y justificar).

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 162 Y 163

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: ¿Qué aprendí? Ítem 1: calcular. Ítem 2: identificar. Ítem 3: analizar. Ítems 4 y 5: analizar e identificar. 270

Unidad 5 – Datos y azar

Ítem 6: analizar e identificar. Ítems 7 y 8: calcular. Ítem 9: analizar, interpretar y calcular.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

EVALUACIÓN SUMATIVA

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES

En estas páginas se presenta la evaluación sumativa ¿QUÉ APRENDÍ? Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la Unidad de Datos y Azar, y con esta información seguir determinadas líneas de acción; por ejemplo, volver a enseñar un contenido o realizar una actividad adicional, para que adquieran todos los aprendizajes que se pretendían con el desarrollo de esta Unidad.

• En los ítems 1 a 8, la información que entrega la respuesta de los y las alumnas es limitada, ya que sin desarrollo es difícil saber cuáles son los errores que cometen, que pueden ser por falta de conocimiento o equivocación al marcar la alternativa, entre otras. Para evitar este inconveniente en los ítems de selección múltiple, se sugiere que realicen algún tipo de desarrollo para cada pregunta, así se podrá detectar en qué se están equivocando y ayudarlos a alcanzar los aprendizajes que se espera que logren. • En el ítem 9, podría ocurrir que algunos de sus alumnos y alumnas presenten dificultades para interpretar la información que entrega el gráfico. Si es necesario resuelva sus dudas de manera individual, para que puedan responder correctamente las preguntas planteadas. • Una vez terminada la actividad, permítales que revisen sus respuestas con dos o tres compañeros o compañeras y, luego, que lleguen a una puesta en común. Podría preguntarles qué información adicional pueden extraer del gráfico del ítem 9 y que lo discutan en conjunto.

La siguiente rúbrica se puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en el ítem 9. Ítem

Completamente logrado

Interpreta correctamente la información que entrega el gráfico, justificando cada uno de sus pasos.

271

Unidad 5 – Datos y azar

Logrado Interpreta correctamente la información que entrega el gráfico, sin justificar cada uno de sus pasos.

Medianamente logrado Interpreta erróneamente la información que entrega el gráfico en una de las preguntas, sin justificar cada uno de sus pasos.

Por lograr Interpreta erróneamente la información que entrega el gráfico en cada una de las preguntas, sin justificar sus pasos.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

4. Si se lanzan dos dados simultáneamente y se suman sus puntuaciones:

De refuerzo 1. La siguiente tabla entrega los resultados de una encuesta realizada a un grupo de personas de distintos lugares del país sobre los noticieros en la televisión abierta. Las respuestas a la pregunta ¿qué noticiero ve a las 21.00 horas?, son las siguientes: Noticieros

Noticias TV

Informa TV

Al día TV

Hoy TV

Frecuencia

480

600

360

960

a) Organiza la información anterior en la siguiente tabla de frecuencias. Noticiero

Frecuencia absoluta

Frecuencia absoluta acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa acumulada

a) b) c) d) e)

¿cuál el espacio muestral? ¿cuál es la probabilidad de obtener suma impar? ¿cuál es la probabilidad de obtener suma mayor que 10? ¿cuál es la probabilidad de obtener suma menor que 6? ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea un cuadrado perfecto?

5. Una caja contiene 7 tarjetas verdes, 8 tarjetas azules y 9 tarjetas amarillas. Si se extrae una tarjeta al azar, calcula la probabilidad de: a) obtener una tarjeta azul. b) obtener una tarjeta amarilla. c) obtener una tarjeta verde. 6. Los siguientes datos corresponden a la cantidad de amigos que cada integrante de Primero Medio de un colegio declaró tener:

Noticias TV Informa TV

28 16 27 16

Al día TV Hoy TV b) ¿Cuántas personas fueron encuestadas? c) ¿Cuál es el noticiero con mayor audiencia?, ¿cuál es el noticiero menos visto? d) Si una de las personas encuestadas es elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad de que vea Informa TV? e) Si una de las personas encuestadas es elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad de que vea Noticias TV?

12 18 22 17

15 5 28 18

20 6 1 14

12 8 26 13

7 11 2 20

1 13 3 10

3 14 5 9

5 21 4 1

6 15 11 27

a) Organiza los datos en la siguiente tabla de frecuencias. Agrúpalos en 3 intervalos, partiendo de 1 - 10. Número de amigos

Marca de clase

Frecuencia absoluta

Frecuencia Frecuencia Frecuencia absoluta relativa relativa acumulada acumulada

2. Daniela debe elegir bocadillos dulces para ofrecer el día de su matrimonio. Si una empresa de banquetes le ofrece 5 tipos de postres, 6 tipos de torta y 8 tipos de fruta, ¿cuántas opciones tiene de menú dulce? 3. Una letra de la palabra ALEATORIO es elegida al azar. Determina la probabilidad de seleccionar: a) b) c) d)

272

una A. una E. una O. una R.

Unidad 5 – Datos y azar

e) una T. f) una I. g) una L.

b) ¿Cuántas personas tienen menos de 21 amigos? c) ¿Qué porcentaje de personas tiene entre 11 y 20 amigos? d) Calcula e interpreta la media aritmética y la moda.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

De profundización 1. En una fábrica de productos congelados, el tamaño de los camarones se divide en tres categorías: small, medium y large. Se registró el tamaño (en cm) de algunos camarones. Los resultados obtenidos aparecen a continuación. 35 39 37 23 31 40 21 39 44 26 36 40 38 25 33 41 20 30 45 28 37 41 35 27 35 42 22 31 46 29 38 42 32 29 37 43 24 32 47 22 42 30 44 34 47 36 41 28 32 26 45 31 45 32 43 37 42 29 33 24 47 32 46 33 35 31 46 27 34 26

2. Patricia tiene un bautizo y debe elegir con qué ropa irá. Si tiene 4 vestidos, 6 pañuelos, 5 pares de zapatos y 3 carteras, ¿de cuántas maneras diferentes se podría vestir? 3. Los números del 1 al 30 son escritos en tarjetas. Las 30 tarjetas son mezcladas y colocadas hacia abajo. Una tarjeta es elegida al azar. Determina la probabilidad de que la tarjeta elegida sea: a) b) c) d) e) f)

impar. mayor que 22. menor que 14. divisor de 30. primo. cuadrado perfecto.

40 33 47 34 36 38 43 22 35 29 33 47 21 37 42 35 40 24 39 44 34 47 23 38 43 36 41 25 30 45 a) Organiza estos datos en la siguiente tabla de distribución de frecuencias. Categoría

Tamaño (cm)

Small

20 - 29

Medium

30 - 39

Large

40 - 49

Marca de clase

Frecuencia absoluta

Frecuencia Frecuencia Frecuencia absoluta relativa relativa acumulada acumulada

b) ¿Cuántos camarones fueron testeados? c) ¿Cuántos camarones miden más de 29 cm? d) ¿Cuántos camarones miden entre 20 y 39 cm? e) Calcula e interpreta la media aritmética de los datos agrupados. f) Calcula la moda de los datos agrupados. g) Si se elige un camarón al azar, ¿cuál es la probabilidad de que mida entre 30 cm y 39 cm? h) Si se elige un camarón al azar, ¿cuál es la probabilidad de que mida entre 30 cm y 49 cm?

273

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 272 Y 273 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

5. a) 0,33

De refuerzo

6. a)

1. a) Frecuencia absoluta

Frecuencia absoluta acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa acumulada

Noticias TV

480

0,20

Informa TV

600

1080

0,25

0,45

Al día TV

360

1440

0,15

0,60

Hoy TV

960

2400

0,40

Noticiero

b) c) d) e)

2400 personas. Hoy TV y Al día TV, respectivamente. 25% 20%

2. 240 opciones. 3. a) b) c) d)

22,2% 11,1% 22,2% 11,1%

e) 11,1% f) 11,1% g) 11,1%

4. a) Ω = {1 + 1, 1 + 2, 1 + 3, 1 + 4, 1 + 5, 1 + 6, 2 + 1, 2 + 2, 2 + 3, 2 + 4, 2 + 5, 2 + 6, 3 + 1, 3 + 2, 3 + 3, 3 + 4, 3 + 5, 3 + 6, 4 + 1, 4 + 2, 4 + 3, 4 + 4, 4 + 5, 4 + 6, 5 + 1, 5 + 2, 5 + 3, 5 + 4, 5 + 5, 5 + 6, 6 + 1, 6 + 2, 6 + 3, 6 + 4, 6 + 5, 6 + 6} b)

1 2

1 c) 12 d)

5 18

7 36

274

Unidad 5 – Datos y azar

b) 0,38

c) 0,29

Frecuencia Frecuencia Frecuencia absoluta relativa relativa acumulada acumulada 16 0,4 0,4

Número de amigos

Marca de clase

Frecuencia absoluta

1 - 10

5,5

11 - 20

15,5

0,425

0,825

21 - 30

25,5

0,175

b) 33

c) 42,5%

d) x– = 12,75; Mo = 1

De profundización 1. a) Frecuencia Frecuencia Frecuencia absoluta relativa relativa acumulada acumulada

Categoría

Tamaño (cm)

Marca de clase

Frecuencia absoluta

Small

20 - 29

24,5

0,24

Medium

30 - 39

34,5

0,43

0,67

Large

40 - 49

44,5

100

0,33

b) c) d) e) f) g) h)

100 camarones. 76 camarones. 67 camarones. 35,4 cm 35,9 cm 43% 76%

2. 360 maneras. 3. a) 0,5 b) 0,266 c) 0,433

d) 0,27 e) 0,333 f) 0,17

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

EVALUACIÓN FINAL En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiar y utilizar como evaluación sumativa de la Unidad. Su objetivo es determinar cuáles son los conocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la Unidad Datos y azar. El tiempo estimado para la realización de la prueba es de 40 minutos. Usted puede variarlo de acuerdo al ritmo de trabajo de sus estudiantes. Para facilitar la evaluación se sugiere aplicar la siguiente pauta: Ítem

Habilidades que se evalúan

Puntaje

Total

sugiere pedirles que realicen algún tipo de desarrollo en cada pregunta, pues de este modo se podrá detectar en qué se están equivocando, y ayudarlos a alcanzar los aprendizajes que se espera que logren. • En la segunda parte se podrán presentar las siguientes dificultades: Para completar la tabla con las frecuencias relativas y frecuencias relativas acumuladas, permita que sus estudiantes trabajen con números decimales o fracciones, según lo que les resulte más fácil. Aclare a sus estudiantes que deben responder las preguntas planteadas con base en los datos agrupados en intervalos en la tabla de frecuencias. Enfatice esto, especialmente para el cálculo de la moda y la media aritmética.

Analizar, identificar, recordar y calcular.

2 puntos cada una

16 puntos

SOLUCIONARIO DE LA EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE DE LAS PÁGINAS 276 Y 277

Aplicar, interpretar, representar, calcular y analizar.

15 puntos cada una

30 puntos

I. 1. B

Puntaje total de la evaluación: 46 puntos Los ejercicios presentados permiten evaluar los aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere:

II. 9. a)

2. A

4. B

5. A

6. C

7. C

8. D

Horas de estudio

Marca de clase

Frecuencia absoluta

Frecuencia absoluta acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa acumulada

60 - 64 65 - 69 70 - 74 75 - 79 80 - 84 85 - 90

62 67 72 77 82 87

17 15 17 13 20 18

17 32 49 62 82 100

0,17 0,15 0,17 0,13 0,20 0,18

0,17 0,32 0,49 0,62 0,82 1

d) 18%

e) 32%

Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente seis preguntas. No logrado, si contesta correctamente menos de seis preguntas.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En los ítems 1 a 8, la información que entregan las respuestas de los y las estudiantes es limitada, ya que sin el desarrollo es difícil saber cuáles son los errores que cometen (pueden ser por falta de conocimiento o equivocación al marcar la alternativa, entre otras). Para evitar este inconveniente en los ítems de selección múltiple, se

3. D

b) 32

c) 32

f) 74,9 h

g) 83,1 h

10. Actividad exploratoria.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus alumnos y alumnas en el ítem II. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Representa e interpreta correctamente las tablas y las preguntas, justificando cada uno de sus pasos.

Representa e interpreta correctamente las tablas y las preguntas, sin justificar todos sus pasos.

Representa e interpreta erróneamente una de las tablas y responde incorrectamente dos o tres preguntas. Además, no justifica todos sus pasos.

Representa e interpreta erróneamente las dos tablas y responde incorrectamente las preguntas. Además, no justifica sus pasos.

275

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

EVALUACIÓN

5. Se elige al azar una letra de la palabra EXPERIMENTO, ¿cuál es la probabilidad de que sea E?

Datos y azar Nombre:

Curso: 8º

Fecha:

Puntaje:

1 3

1 9

9 11

Nota:

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. Realiza el desarrollo al lado de cada pregunta. 1. Se ha lanzado un dado 120 veces obteniéndose 18 veces 4. ¿Cuál es la frecuencia relativa de las veces que salió 4? A. B. C. D.

3 11

6. La siguiente tabla muestra la cantidad de horas que los estudiantes de 8º Básico de un colegio de Valdivia dedican a estudiar semanalmente. ¿Qué porcentaje de estudiantes estudia menos de 10 horas semanales?

0,17 0,15 0,22 0,03

2. La suma de todas las frecuencias relativas de cualquier conjunto de datos es igual a: A. 1

A. B. C. D.

Horas

Frecuencia absoluta

2-5

6-9

10 - 13

14 - 17

15% 30% 47,5% 85%

B. El número total de observaciones. 7. Según la tabla de la pregunta anterior, ¿cuál es la moda?

1 C. 100 D. 100% 3. La probabilidad de que salga un 6 al lanzar un dado es: A.

5 6

1 36

1 2

1 6

4. Una caja contiene 10 fichas blancas, 20 fichas azules y 30 fichas rojas. Si se saca una ficha al azar de esta caja, ¿cuál es la probabilidad de que no sea azul? A. 17% B. 67% 276

Unidad 5 – Datos y azar

A. B. C. D.

15 h 11,5 h 10,75 h 9,5 h

8. Según la tabla de la pregunta anterior, ¿cuál es la media aritmética? A. B. C. D.

11,5 h 10,75 h 10 h 9,5 h

C. 33,3% D. 50% Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

II. Resuelve los siguientes ejercicios, anotando los pasos de resolución en cada caso. 9. Una universidad está interesada en conocer cuántas horas al mes los alumnos de medicina destinan a estudiar. Para ello tomaron una muestra de 100 estudiantes de la carrera. Las respuestas obtenidas se encuentran en la siguiente tabla. 63 89 78 71 77 68 63 78 70 79

70 84 72 67 62 79 67 61 64 86

65 89 83 64 84 83 82 77 60 67

89 61 88 64 66 86 73 73 60 86

60 73 68 78 84 80 68 70 84 86

81 64 70 68 86 63 78 76 85 72

75 84 86 80 87 67 66 83 61 75

72 71 72 60 85 83 86 72 61 80

60 83 73 82 87 86 83 84 68 79

67 67 70 77 90 89 81 72 69 84

f) Calcula e interpreta la media aritmética de los datos agrupados en intervalos. g) Calcula e interpreta la moda de los datos agrupados en intervalos. 10. Utiliza dos dados para realizar lanzamientos de estos simultáneamente 50 veces y, luego, suma las puntuaciones. Completa la tabla y responde. Resultado de la suma

Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

a) ¿Cuál es la frecuencia relativa cuando los números de ambos dados suman 10? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuaciones sea 10?

a) Completa la siguiente tabla. Horas de estudio

Marca de clase

Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia absoluta relativa absoluta relativa acumulada acumulada

c) ¿Qué relación tiene la frecuencia relativa cuando la suma de las puntuaciones es 6, y la probabilidad de que la suma sea 6?, ¿y qué diferencias?

60 - 64 65 - 69 70 - 74 75 - 79 80 - 84 85 - 90 b) ¿Cuántas personas estudian entre 65 y 74 horas al mes? c) ¿Cuántas personas estudian menos de 70 horas al mes? d) Si una persona es elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad de que estudie entre 85 y 90 horas al mes? e) Si una persona es elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad de que estudie menos de 70 horas al mes? 277

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Funciones y relaciones proporcionales

Unidad

PROPÓSITO DE LA UNIDAD

ESQUEMA DE LA UNIDAD

Esta Unidad está orientada al estudio de las funciones en diversos contextos y al reconocimiento de sus elementos constituyentes. Se pretende que los y las estudiantes utilicen sus conocimientos previos sobre lenguaje algebraico, ecuaciones y su representación en situaciones diversas y significativas, así como también, en actividades que involucran los conceptos de razón y proporción.

Ecuaciones representan

Relaciones entre dos variables

En la segunda parte de la Unidad se estudian situaciones que incluyen magnitudes proporcionales y no proporcionales, y relaciones de proporcionalidad directa e inversa como una función.

pueden ser

Funciones

El objetivo de esta Unidad es que los y las estudiantes planteen y analicen algunas funciones sencillas, comparen variables relacionadas en forma proporcional y no proporcional, y que representen como una función relaciones de proporcionalidad directa e inversa mediante tablas, gráficos, algebraicamente, o bien usando un software gráfico.

se distinguen

Dominio

sus valores son

Variables independientes (x)

Variables dependientes (y)

sus valores son

Recorrido

pueden ser

Variaciones proporcionales

Variaciones no proporcionales

pueden ser

278

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Proporcionalidad directa

Proporcionalidad inversa

se representa

Función y = kx

k Función y = x Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

RELACIÓN ENTRE LOS CMO TRATADOS EN LA UNIDAD Y LOS DE OTROS AÑOS 7º básico

8º básico

1º medio

2º medio

Traducción de expresiones algebraicas en lenguaje natural a lenguaje simbólico y viceversa.

Planteamiento de ecuaciones que representan la relación entre dos variables en situaciones o fenómenos de la vida cotidiana y análisis del comportamiento de dichos fenómenos a través de tablas y gráficos.

Resolución de problemas cuyo modelamiento involucre ecuaciones literales de primer grado.

Reconocimiento de sistemas de ecuaciones lineales como modelos que surgen de diversas situaciones o fenómenos.

Análisis de las distintas representaciones de la función lineal, su aplicación en la resolución de diversas situaciones problema y su relación con la proporcionalidad directa.

Resolución de problemas asociados a sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, en contextos variados, representación en el plano cartesiano usando un software gráfico y discusión de la existencia y pertinencia de las soluciones.

Resolución de problemas que implican el planteamiento de una ecuación de primer grado con una incógnita, interpretación de la ecuación como la representación matemática del problema y de la solución en términos del contexto.

Reconocimiento de funciones en diversos contextos, distinción entre variables dependientes e independientes en ellas e identificación de sus elementos constituyentes: dominio, recorrido, uso e interpretación de la notación de funciones.

Reconocimiento y representación como una función de las relaciones de proporcionalidad directa e inversa entre dos variables, en contextos significativos. Comparación con variables relacionadas en forma no proporcional y argumentación acerca de la diferencia con el caso proporcional.

Estudio de la composición de funciones, análisis de sus propiedades y aplicación a las transformaciones isométricas. Uso de un software gráfico en la interpretación de la función afín; análisis de las situaciones que modela y estudio de las variaciones que se producen por la modificación de sus parámetros.

Uso de software gráfico en la interpretación de funciones exponenciales, logarítmicas y raíz cuadrada, análisis de las situaciones que modela y estudio de las variaciones que se producen por la modificación de sus parámetros.

Análisis de diversas situaciones que representan tanto magnitudes proporcionales como no proporcionales, mediante el uso de software gráfico.

Resolución de problemas en diversos contextos que implican el uso de la relación de proporcionalidad como modelo matemático.

279

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309):Maquetación 1

2/12/10

11:36

Página 280

PROPUESTA DE PLANIFICACIÓN DE LA UNIDAD

CMO

Contenidos

Planteamiento de • Situaciones con ecuaciones que dos variables. representan la relación entre dos variables en situaciones o fenómenos de la vida cotidiana y análisis del comportamiento de dichos fenómenos a través de tablas y gráficos.

Aprendizajes esperados • Plantear ecuaciones que representan la relación entre dos variables en diversos contextos. • Analizar situaciones a través de tablas y gráficos.

Actividades asociadas En el Texto De exploración: página 168. De construcción de conceptos: páginas 169, 170 y 171. De consolidación: páginas 196 y 197. En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 299 y 301.

Indicadores de evaluación • Plantean ecuaciones que representan diversas situaciones o fenómenos de la vida cotidiana. • Resuelven ecuaciones que representan la relación entre dos variables. • Analizan situaciones cotidianas a través de tablas y gráficos.

De profundización: página 301.

• Noción de Función. • Variables dependientes e independientes. • Dominio y recorrido.

Reconocimiento y representación como una función de las relaciones de proporcionalidad directa e inversa entre dos

• Variaciones proporcionales y no proporcionales. • Relación de proporcionalidad directa.

280

• Reconocer y representar funciones en diversos contextos. • Distinguir entre variables dependientes e independientes en una función. • Identificar dominio y recorrido de una función. • Utilizar notación de funciones.

Tiempo estimado: 6 a 7 semanas Tipos de Recursos evaluación didácticos Diagnóstica: páginas 166 y 167 del Texto del Estudiante. Formativa: páginas 181 y 193 del Texto del Estudiante. Sumativa: páginas 198 y 199 del Texto del Estudiante, y 338 y 339 de la Guía Didáctica del Docente.

• Palitos de fósforo. • Computador con acceso a Internet. • Regla. • Computador con programa Excel.

En el Texto De exploración: páginas 172, 174 y 178.

• Reconocen funciones en contextos diversos y significativos. • Distinguen entre De construcción de variables dependientes conceptos: páginas 173, 175, 176, 177, 179 y 180. e independientes en funciones. De consolidación: • Identifican el dominio páginas 196 y 197. y recorrido de una función. En la Guía Didáctica • De refuerzo: páginas 303, Usan e interpretan la notación de funciones. 305, 307 y 309. De profundización: páginas 305, 307 y 309.

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

• Identificar variables relacionadas en forma proporcional y en forma no proporcional. • Reconocer y representar, como una función,

En el Texto De exploración: páginas 182, 184 y 188.

• Diferencian y analizan variables relacionadas en forma proporcional y no proporcional. De construcción de conceptos: páginas 183, • Analizan, usando un software gráfico, 185, 186, 187, 189, 190, Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

CMO

Contenidos

variables, en contextos • Relación de significativos. proporcionalidad inversa. Comparación con variables relacionadas en forma no proporcional y argumentación acerca de la diferencia con el caso proporcional. Análisis de diversas situaciones que representan tanto magnitudes proporcionales como no proporcionales, mediante el uso de software gráfico.

Aprendizajes esperados situaciones que involucran relaciones de proporcionalidad directa e inversa.

Actividades asociadas 191 y 192. De consolidación: páginas 196 y 197.

• Analizar situaciones, sus gráficos o tablas, asociadas a variaciones proporcionales y no proporcionales, utilizando un software gráfico en algunos casos.

En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 315, 317, 319, 321 y 323.

• Resolver problemas que involucran planteamiento y análisis de funciones.

En el Texto De exploración: página 194. De construcción de conceptos: página 195. De consolidación: páginas 196 y 197.

De profundización: páginas 317, 319, 321 y 323.

Indicadores de evaluación

Tipos de evaluación

Recursos didácticos

situaciones que representan magnitudes proporcionales y no proporcionales. • Representan como una función relaciones de proporcionalidad directa e inversa. • Representan, en gráficos y tablas, relaciones de proporcionalidad directa e inversa entre dos variables. • Resuelven problemas que involucran la relación de proporcionalidad directa e inversa.

Resolución de problemas en diversos contextos que implican el uso de la relación de proporcionalidad como modelo matemático. Reconocimiento de funciones en diversos contextos, […].

• Buscando estrategias.

• Resuelven problemas que involucran el planteamiento de funciones y su análisis.

En la Guía Didáctica De refuerzo: página 329. De profundización: página 329.

281

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ERRORES FRECUENTES Errores frecuentes

Cómo subsanarlos

Si los conocimientos sobre lenguaje algebraico, planteamiento y resolución de ecuaciones son insuficientes, pueden producir complicaciones en el aprendizaje de las funciones y relaciones proporcionales.

• Por medio de la evaluación diagnóstica podrá conocer los conocimientos y experiencias previas de sus alumnos y alumnas. Si los conocimientos no son suficientes, es importante clarificar las dudas y errores conceptuales que presenten, ya que pueden provocar dificultades en el aprendizaje de los contenidos de la Unidad. • Para evitar estos errores en el desarrollo de la Unidad es conveniente que, después de la evaluación diagnóstica, realice un repaso de los contenidos donde detectó errores o confusiones en sus alumnos y alumnas.

En la representación algebraica de situaciones de la vida cotidiana y en la resolución de ecuaciones pueden aparecer los siguientes inconvenientes:

• Se sugiere que junto con sus alumnos y alumnas analicen, paso a paso, la situación, realizando una lectura atenta del enunciado, para determinar cuáles son los datos y cuál sería la incógnita o pregunta del problema. • Para que sus estudiantes con más dificultades puedan plantear y resolver ecuaciones, es conveniente que comience con problemas sencillos y, luego, aumente la dificultad gradualmente. • Es aconsejable que recuerde a sus estudiantes lo siguiente: si a ambos lados de una igualdad se suma, resta, multiplica o divide un mismo número, la igualdad se mantiene. Por ejemplo: 2x + 15 = 25 / – 15 2x + 15 – 15 = 25 – 15 2x = 10 /:2 2x = 10 2 2 x=5

• No se identifica la incógnita o término desconocido, planteando de forma incorrecta la ecuación correspondiente. • Suman, restan, multiplican o dividen expresiones solo a un lado de la igualdad, obteniedo un resultado erróneo.

En el reconocimiento de una función y en la distinción de sus variables, es posible que surjan los siguientes errores: • Identificación incorrecta de la función que modela una situción. • Confusión entre las variables; la dependiente, con la independiente y viceversa.

En la identificación del dominio y recorrido es posible que los y las estudiantes confundan el dominio con el recorrido de una función, y viceversa.

282

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

• Es importante explicar el concepto de función, analizar ejemplos y las variables involucradas, comenzando con situaciones sencillas y, luego, con las más complejas. • Se sugiere que para reconocer la variable dependiente e independiente en una función, pídales que anoten los valores en una tabla y, luego, puede hacer preguntas como: ¿qué variables están en juego?, ¿qué datos tengo?, ¿qué valores puede tomar x e y?, ¿qué caracteriza a estos valores?, ¿de qué depende el valor de la variable y? • Para que los alumnos y alumnas identifiquen y diferencien entre el dominio y recorrido de una función, es conveniente analizar junto con sus estudiantes primero la variable independiente y la dependiente de funciones concretas sencillas y, a partir del análisis, determinar el dominio y recorrido en estas funciones.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

En las situaciones que representan tanto magnitudes proporcionales como no proporcionales, es posible que surjan los siguientes errores: • No se relaciona que en las variaciones proporcionales el valor de la razón entre las variables sea un número constante. • En ejemplos relacionados con la visualización, es posible que se guíen por la percepción en vez de analizar matemáticamente las imágenes.

• Es conveniente que guíe a sus estudiantes para que escriban las razones sin cometer errores y, luego, calculen el valor de la razón correspondiente. • Si es necesario, permítales utilizar instrumentos, como la regla, para que midan las figuras en cuestión y, a partir de los resultados obtenidos, analicen si representan magnitudes proporcionales o no.

Ejemplos: Monomios

Binomios

Trinomios

Polinomios

Conceptos algebraicos básicos • Un término algebraico es el producto de un factor numérico por una o más variables literales.

2x + y

2x + y – z

x + y + z + 3p

5a5b2

4a – 2b

9x2 – 12xyz + 4y2

4x7 – xy + y2

rn + 2

4x2 – y2

27a3 + bc + d5

3 2 a3 21x + – s + 2t 7 2

• En cada término algebraico se distinguen el coeficiente numérico (que incluye el signo y constantes matemáticas) y la parte literal (que incorpora variables). • Se define el grado como la suma de los exponentes de cada factor de la parte literal. Ejemplos: Término algebraico

Coeficiente numérico

Parte literal

Grado

a3b2c

3+2+1=6

5 π 7

x2y6

2+6=8

5 5 πr 7 6x2y6

• El grado de una expresión algebraica corresponde al mayor de los grados de los términos que la componen. Ejemplo: el grado del trinomio 3x 4 + 5x 4y 6 – y 9 es 10, ya que los términos tienen grados 4, 10 y 9, respectivamente. Valoración de expresiones algebraicas Valorar una expresión algebraica consiste en asignar un valor numérico a cada variable que aparece en la expresión y resolver las operaciones aritméticas que correspondan para obtener el valor numérico final de la expresión. Ejemplo:

Expresiones algebraicas • Una expresión algebraica es la suma de dos o más términos algebraicos.

Al remplazar x = –2, en 5x 2 + 3x 3 – 4x 4 – x 5, resulta:

• De acuerdo con el número de términos que componen una expresión algebraica, estas se clasifican en: monomios (un término) y multinomios. A los multinomios con dos términos se les llama binomios, y a los de tres términos, trinomios. • Si los exponentes de la parte literal son todos positivos, llamaremos a la expresión algebraica polinomio.

5x 2 + 3x 3 – 4x 4 – x 5 = 5 • (–2)2 + 3 • (–2)3 – 4 • (–2)4 – (–2)5 = 5 • 4 + 3 • (–8) – 4 • 16 – (–32) = 20 – 24 – 64 + 32 = –36 Luego, el valor numérico de 5x 2 + 3x 3 – 4x 4 – x 5 para x = –2 es –36.

283

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Ecuaciones de primer grado • Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la que hay una o más variables desconocidas, llamadas incógnitas. Ejemplos: 2x + 6 = 1 (una incógnita)

x + 2y = –3 (dos incógnitas)

x 1 – =2 3 5 5x – 3 = 30

/+3

5x – 3 + 3 = 30 + 3

• El grado de una ecuación con una incógnita corresponde al mayor exponente de la incógnita. Ejemplos:

/ multiplicar por el m.c.m. (3,5) que es 15

5x = 33

/:5

• Para resolver ecuaciones literales se utilizan los mismos procedimientos de resolución para ecuaciones comunes, pero es fundamental identificar claramente qué variables son las incógnitas de la ecuación.

Ecuación

Incógnita

Grado de una ecuación

3x + 2 = 5x

1er grado

Ejemplo:

y 3 + 2y – 1 = 3y 2

3er grado

Al resolver la ecuación 4x + 2b = 3a, considerando x como la incógnita, se tiene: 4x + 2b = 3a

• Resolver una ecuación es determinar los valores de la incógnita para los cuales se cumple la igualdad. A estos valores se les llama soluciones de la ecuación. Para resolver una ecuación se puede despejar la incógnita utilizando las propiedades de la igualdad. Ejemplo:

/+8

3x – 8 + 8 = 16 + 8 3x = 24 3x 24 3 = 3

/:3

x=8 Para verificar que la solución encontrada es correcta, basta con remplazar x = 8 en la ecuación original. Es decir: 3 • 8 – 8 = 24 – 8 = 16. Como la igualdad se cumple, la solución obtenida es correcta. • Para resolver ecuaciones con coeficientes fraccionarios se puede transformar la ecuación en una con coeficientes enteros, multiplicando cada miembro de ella por el mínimo común múltiplo de los denominadores de las expresiones fraccionarias. Ejemplo: x 1 Al resolver la ecuación – = 2, se tiene: 3 5 284

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

4x + 2b – 2b = 3a – 2b 4x = 3a – 2b

/:4

Funciones • Una función f es una relación que asigna a cada elemento x de un conjunto A un único elemento, llamado f(x), de un conjunto B. • Si x es un elemento de A relacionado con un elemento y de B bajo la función f, se escribe y = f(x).

Resolver la ecuación 3x – 8 = 16. Usando las propiedades de la igualdad, se tiene: 3x – 8 = 16

/ – 2b

Como en la expresión y = f(x) el valor de y depende del valor de x, se dice que y está “en función de x”, y se denomina a la variable x variable independiente, y a la variable y, variable dependiente. Ejemplo: la función real que relaciona cada número con su doble más una unidad se puede representar por: f(x) = 2x + 1. • Evaluar una función y = f(x) es obtener el valor que la función le asocia a un valor determinado de x. Ejemplo: Sea f una función real definida por la expresión f(x) = 6x – 9. Evaluar la función para x = 5 es equivalente a calcular f(5). Es decir: f(5) = 6 • 5 – 9 = 30 – 9 = 21. Por lo tanto, f(5) = 21. • Se llama dominio de una función (Dom (f )) al conjunto de todos los elementos para los que la función está definida, o sea, valores que la variable independiente (x) puede tomar. Ejemplos: 1. Dada la función f(x) = x + 7, su dominio está definido por el conjunto de todos los números reales. Se expresa por: Dom (f ) = . Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

2x , su dominio está dado por todos los números reales x–4 menos el 4, ya que para x = 4, la función se indetermina (4 – 4 = 0). Este se

2. Para la función f(x) =

denota por: Dom (f ) = {x ∈ / x ≠ 4}. • Se llama recorrido de una función (Rec (f )) al conjunto de los valores que toma la variable dependiente (y), es decir, todos los valores que son imagen de algún valor de la variable independiente. Una forma de obtener el recorrido es despejar, en la expresión algebraica de la función, la variable independiente (x) “en función” de la variable independiente (y).

Algunas funciones • Función lineal: su representación gráfica es una recta que pasa por el origen del plano cartesiano, cuya expresión está dada por f(x) = mx, con m un valor real. En una función lineal, f(x) y x son directamente proporcionales, ya que

f(x) =m x

para cualquier valor de x. Ejemplos: 1. f(x) = 2x

2. f(x) =

1 x 5

Y luego evaluar para qué valores reales está definida esta expresión. Ejemplo: El recorrido de f(x) = x – 4 corresponde a todos los reales, ya que al despejar la variable x, en función de y, se obtiene: y = x – 4 ⇒ x = y + 4, y para esta expresión, la variable dependiente está definida para cualquier valor real. Luego, Rec (f ) = . Representación gráfica de una función Si a cada pareja de valores x e y relacionados bajo una función f se le asocia el par ordenado (x,y) del plano cartesiano, obtenemos el gráfico de la función f. En el eje de las abscisas (horizontal) se representan los valores de x, y en el eje de las ordenadas (vertical), los valores de y.

• Función afín: su representación gráfica es una recta que no pasa por el origen, cuya expresión está dada por g(x) = mx + n, con m y n números reales, y n distinto de cero. Ejemplos: 1. f(x) = 3x + 1

2. g(x) = –x – 2

• Función constante: si en una función afín f(x) = mx + n, m = 0 y n ≠ 0, se obtiene f(x) = n, siendo esta la función constante. La gráfica de esta función es una recta paralela al eje X. Ejemplos: 1. g(x) = 6

2. f(x) = –3

Ejemplo: la representación gráfica de la función f(x) = 3x + 1 está en la imagen a continuación.

BIBLIOGRAFÍA • Guzmán R., I. (2002). Didáctica de la Matemática como disciplina experimental. Valparaíso: Pontificia Universidad Católica de Valparaíso. • Manual esencial. (2008). Capítulo 4: Álgebra. Aritmética y Álgebra. (pp. 182–241). Santiago: Santillana. • Manual esencial. (2008). Capítulo 4: Funciones. Aritmética y Álgebra. (pp. 286–372). Santiago: Santillana. • Rencoret B., M. (2002). Iniciación matemática–Un modelo de jerarquía de enseñanza. Santiago: Andrés Bello.

285

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 164 Y 165

La imagen inicial de la Unidad está destinada a motivar a sus alumnos y alumnas en el estudio del Álgebra, específicamente el planteamiento de ecuaciones, análisis de fenómenos que representan la relación entre dos variables y la representación algebraica de una función. Actualmente, un número importante de la población es sedentaria. En el caso de la gente que trabaja, muchos de ellos permanecen gran parte del día sentados, ya sea en oficinas o bien en automóviles. La población joven no es la excepción, pues muchos privilegian la televisión o el computador en desmedro de la actividad física. 286

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN: Conversemos de... Ítems 1, 2 y 3: analizar y calcular. Ítem 4: analizar y representar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

APRENDIZAJES ESPERADOS DE LA UNIDAD En la sección EN ESTA UNIDAD PODRÁS… se explicitan los aprendizajes que se espera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad. Se sugiere que los lean en voz alta y, luego, puede preguntarles lo siguiente: • ¿Qué estrategia usaron para determinar la distancia que puede recorrer Carlos? • ¿Qué estrategia consideran más adecuada para definir el tiempo que tardará en llegar a un lugar cualquiera? • Comparen la ecuación que permite representar la distancia que Carlos recorre en un determinado período con la ecuación que permite definir el tiempo que se demora en recorrer cierta distancia: ¿son iguales?, ¿tienen algo en común?, ¿representan lo mismo?, ¿por qué? Con estas preguntas, y las ideas que vayan surgiendo por parte de sus alumnos y alumnas, puede hacer un mapa semántico en la pizarra, que le permitirá obtener información acerca de las experiencias y conocimientos previos de sus alumnos y alumnas; a partir de ellos, podrá guiar de mejor forma el trabajo de la Unidad.

ACTIVIDAD INICIAL Es recomendable comentar con los y las estudiantes la imagen inicial presentada en el Texto. Puede complementar la conversación con preguntas como las siguientes: • Después de dos horas, ¿cuál es la distancia aproximada que puede recorrer Carlos si no se detiene y mantiene el mismo ritmo? • Si la casa de sus padres está a 52,5 km, y va en bicicleta, ¿cuánto demora aproximadamente en llegar a la casa de sus padres si no se detiene en ningún momento? En el caso de la primera pregunta, puede guiar a sus estudiantes para que reconozcan las variables en juego. Luego, si es necesario, puede mostrarles y analizar que la ecuación (función) que permite saber la distancia recorrida (y) cada cierto tiempo (x) es: y = 21 • x. Es decir, después de dos horas, la distancia recorrida se puede calcular: y = 21 • 2 = 42. Entonces, recorrerá 42 km/h en dos horas. En el segundo caso, puede resolver 52,5 = 21 • x, esto es, x = 52,5 : 21 = 2,5. O sea, tardará dos horas y media en recorrer 52,5 km/h. La actividad inicial está relacionada con contenidos trabajados en años anteriores, tales como planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Además, antes de comenzar con esta actividad, podría preguntarles lo siguiente: • ¿Eres una persona sedentaria?, ¿por qué? • ¿Realizas alguna actividad deportiva?, ¿cuál? • Organiza un horario semanal que te permita incluir una o más actividades relacionadas con el deporte de al menos 30 minutos, tres veces a la semana. Puedes agregar caminatas.

Estas preguntas están orientadas a trabajar con la propia experiencia y conocimientos previos de sus estudiantes para motivarlos y discutir sobre la salud, los beneficios del deporte y de tener una vida sana.

INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA PARA DOCENTES El sedentarismo, según la Real Academia Española, se define como un modo de vida con poca agitación o movimiento. Según la Organización Mundial de la Salud (OMS), algunos de los factores que influyen en la propagación de estilos de vida sedentarios son: • Dedicar demasiado tiempo a mirar la televisión, jugar con juegos informáticos y utilizar computadores. • No practicar regularmente actividad física, debido a la falta de tiempo y de motivación, a los sentimientos de vergüenza o incompetencia, a la falta de instalaciones y locales seguros para la actividad física y a la ignorancia de las ventajas que proporciona. Es muy importante promover la actividad física en los niños y en los jóvenes, pues tiene muchos beneficios, tales como: • Beneficiar la salud física y mental y la integración social de los jóvenes. La práctica regular de actividad física ayuda a los niños y a los jóvenes a desarrollar y a mantener en buena salud los huesos, los músculos y las articulaciones, a controlar el peso corporal, a reducir las grasas y al buen funcionamiento del corazón y de los pulmones. Contribuye, asimismo, al desarrollo del movimiento y de la coordinación, y ayuda a prevenir y a controlar los sentimientos de ansiedad y la depresión. • La participación en actividades físicas y la práctica de deportes ayudan a no consumir tabaco, alcohol, drogas y los comportamientos violentos. Puede propiciar además una dieta sana, un descanso adecuado y estilos de vida más seguros. Para una mayor información sobre el sedentarismo y sus consecuencias en nuestra salud, puede visitar los siguientes sitios web: • Organización Mundial de la Salud: www.who.int/topics/physical_activity/es/ • Estrategia Global contra la Obesidad EGO-Chile: www.ego-chile.cl/index.html

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Fernando recorre en su vehículo un tramo de 360 km en una carretera de norte a sur a una velocidad promedio de 90 km/h. a) ¿Cuánto demora aproximadamente en recorrer dicha distancia si no se detiene en ningún momento? b) Después de tres horas ¿qué distancia recorre aproximadamente si no se detiene y mantiene el ritmo? (Habilidades que desarrolla: analizar y calcular).

287

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 166 Y 167

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA Esta evaluación diagnóstica es una herramienta útil para determinar los conocimientos previos de los alumnos y alumnas; tiene como título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios: Ítem 1: representar en lenguaje algebraico diferentes expresiones en lenguaje natural. Ítem 2: representar en lenguaje algebraico el área y el perímetro de figuras geométricas. 288

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Ítem 3: calcular el valor de la incógnita en diversas ecuaciones de primer grado con una incógnita, explicando los procedimientos utilizados. Ítem 4: formular y calcular ecuaciones de primer grado con una incógnita. Ítem 5: analizar una situación que involucra el cálculo de porcentajes. Ítem 6: resolver problemas enmarcados en contextos de la vida cotidiana. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: ¿Cuánto sabes? Ítems 1 y 2: representar. Ítem 3: calcular y justificar. Ítem 4: formular y calcular. Ítem 5: analizar y calcular. Ítem 6: resolver problemas, formular y calcular.

•

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En el ítem 1, es posible que confudan las expresiones en lenguaje natural y su representación en lenguaje algebraico. Es recomendable dar ejemplos sencillos antes de efectuar esta actividad, como “la mitad de un número”, “el doble de un número”, etcétera. • En el ítem 2, sus alumnas y alumnos pueden olvidar los procedimientos para determinar el área y el perímetro de las figuras dadas; si es necesario, recuerde cómo hacerlo. • En el ítem 3, las y los estudiantes pueden realizar incorrectamente los pasos para determinar el valor de la incógnita. Es conveniente recordar cómo resolver ecuaciones

•

con un ejemplo concreto y sencillo. Se les solicita la justificación de cada procedimiento; es aconsejable que pida continuamente que expliquen sus pasos. En el ítem 4, la dificultad está en plantear la ecuación correcta, o bien en los procedimientos para su resolución. Es recomendable que exponga ejemplos sencillos en la pizarra para recordar el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. En el ítem 5, es posible que no recuerden los porcentajes. Si es necesario, recuerde cómo calcular el tanto por ciento de una cantidad dada y cómo determinar qué porcentaje es una cantidad de otra. En el ítem 6, pídales a sus estudiantes que revisen las soluciones con sus compañeros o compañeras. Si surgen estrategias diversas para un problema, solicíteles que las compartan y expliquen al resto del curso. Es importante que después realice una revisión individual de cada evaluación con el fin de detectar las debilidades y fortalezas de cada estudiante. Del mismo modo, es conveniente resolver en conjunto la evaluación en la pizarra para que conozcan las respuestas y procedimientos correctos, y puedan detectar y corregir sus errores. Así podrá detectar las áreas más débiles de sus estudiantes y podrá preparar un plan para corregirlas.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para diagnosticar a sus estudiantes. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Representa correctamente todas las frases en lenguaje algebraico.

Representa correctamente siete frases en lenguaje algebraico.

Representa erróneamente cuatro o menos frases en lenguaje algebraico.

Representa erróneamente más de cuatro frases en lenguaje algebraico.

Representa correctamente todas las áreas y perímetros.

Representa correctamente las áreas y perímetros, confundiendo solo una de ellas.

Representa erróneamente dos o tres áreas o perímetros.

Representa erróneamente todas las áreas y perímetros.

Calcula correctamente el valor de las incógnitas, justificando cada uno de sus pasos.

Calcula correctamente el valor de las Calcula erróneamente uno o dos incógnitas; no justifica todos sus pasos. valores de las incógnitas sin justificar sus pasos.

Calcula erróneamente más de dos valores de las incógnitas sin justificar sus pasos.

Formula correctamente las ecuaciones Formula correctamente las ecuaciones y calcula los números, justificando cada y calcula los números; no justifica uno de sus pasos. todos sus pasos.

Formula, erróneamente una o dos ecuaciones, confundiendo los resultados en estos casos.

Analiza y calcula correctamente la cantidad de estudiantes, justificando cada uno de sus pasos.

Analiza y calcula correctamente la cantidad de estudiantes; no justifica todos sus pasos.

Analiza y calcula erróneamente uno Analiza y calcula erróneamente todos de los problemas, confundiendo el los problemas, confundiendo el cálculo cálculo de porcentaje; justifica algunos de porcentajes; no justifica sus pasos. de sus pasos.

Resuelve correctamente cada uno de los problemas, justificando cada uno de sus pasos.

Resuelve correctamente cada uno de los problemas, justificando algunos de sus pasos.

Resuelve erróneamente uno de los problemas, justificando algunos de sus pasos.

289

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Formula erróneamente todas las ecuaciones, confundiendo los resultados en estos casos.

Resuelve erróneamente dos o tres problemas sin justificar sus pasos.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 168 Y 169

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Planteamiento de ecuaciones que representan la relación entre dos variables en situaciones o fenómenos de la vida cotidiana y análisis del comportamiento de dichos fenómenos a través de tablas y gráficos.

Para discutir

Actividades

Ítem 1: calcular. Ítem 2: formular. Ítem 3: calcular y justificar. Ítem 4: representar y justificar.

Ítem 1: formular y calcular.

290

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDAD INICIAL

sintética y global del fenómeno observado y de las relaciones entre sus diversas características o variables.

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio, y tienen por objetivo que los alumnos y alumnas analicen una actividad que representa una relación entre dos variables, planteen una ecuación y sean capaces de construir y analizar la situación mediante tablas y gráficos. Es importante que los alumnos y alumnas manejen el lenguaje algebraico previamente, así como también la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita.

• Un gráfico se refiriere generalmente a las representaciones numéricas mediante su equivalencia en relaciones en el plano o espacio. Entre las funciones que cumple un gráfico están: hacer más visibles los datos, evidenciar las relaciones entre dos o más variables y aclarar y complementar las tablas. En el caso de esta Unidad, se utilizarán gráficos como una forma de representar diversas funciones.

Para complementar el tema y la información presentada en el Texto, así como también iniciar a sus alumnos y alumnas en el reconocimiento y representación de funciones, plantee preguntas como las siguientes:

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

• ¿Cuánto costarán 15 kg de mandarinas?, ¿y 26 kg?

1. Plantea las ecuaciones y resuélvelas.

• ¿Es posible encontrar una expresión algebraica que permita determinar el precio (y) de x kg de mandarinas?, ¿cuál?

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Antes de desarrollar el ítem 1, si es necesario, escriba en la pizarra una tabla con dos columnas en que aparezcan expresiones escritas en lenguaje natural en una columna y en la otra la expresión algebraica. Además, podría incluir expresiones que involucren el planteo de ecuaciones sencillas que los y las estudiantes completen en sus cuadernos. Por ejemplo: Frase

El triple de un número más cinco.

Expresión algebraica

3x + 5

De refuerzo

a) En un bolsillo, Mariana guarda p cantidad de dinero y en el otro, el doble. Si en total tiene $ 45 000, ¿cuánto dinero hay en cada bolsillo? b) Isidora compró una caja de bombones por $ 3800 y 4 bebidas en lata. El valor total de la compra es $ 6400. ¿Cuál fue el costo de cada bebida? c) En un rectángulo, el largo mide el triple del ancho. Si el perímetro es 64 cm, ¿cuánto mide cada lado?, ¿y su área? d) Un bus viaja de norte a sur a velocidad constante. Si en seis horas recorre 510 km, ¿a qué velocidad viaja? e) En un triángulo isósceles, la medida de los lados no basales es el triple de la base, cada uno. Si el perímetro es 35 cm, ¿cuánto mide cada lado?

La suma de dos números consecutivos es 70.

a + (a + 1) = 70

Cinco pasajes de bus desde Santiago a San Antonio tienen un costo de $17 500.

f) Un grupo de 14 amigos compró entradas para un concierto de rock chileno, que se realizará en una ciudad del sur del país. Si en total gastaron $ 95 200, y todas las entradas tenían el mismo valor, ¿cuánto les costó cada entrada?

5 • x = 17 500

(Habilidades que desarrolla: analizar, formular y calcular).

• Si sus alumnos y alumnas tienen dificultades relacionadas con las expresiones algebraicas, sería conveniente que recuerde qué es un término algebraico y, luego, presente términos semejantes para reducirlas, considerando la eliminación de paréntesis y las propiedades de las operaciones.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Es fundamental que sus estudiantes recuerden y comprendan qué es una tabla y qué es un gráfico. • Una tabla es un cuadro que organiza la información en filas y columnas. Las tablas sistematizan los resultados cuantitativos y ofrecen una visión numérica, 291

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 170 Y 171

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

Actividades

292

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Ítems 2 y 3: analizar, formular, representar y calcular.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En los ítems 2 y 3, es conveniente que sugiera a sus estudiantes hacer una segunda tabla con los valores de x (segundos y cantidad de claveles, respectivamente) que aparecen en el eje de las abscisas, para que puedan construirlas de manera más sencilla. • Los planes de compañías de teléfonos celulares considerados en el ítem 2 corresponden a los de dos compañías chilenas, con fecha diciembre de 2009.

(Habilidades que desarrolla: analizar, formular, representar y calcular). De profundización

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Carmen es una escritora de cuentos infantiles que redacta en su computador, en promedio, una página cada cuatro minutos. Cantidad de páginas

b) ¿Cuánto obtiene, en promedio, en cinco horas y media?, ¿cuál es la ecuación que permite encontrar la solución? c) ¿Cuántas horas necesita trabajar para ganar $ 24 750? d) Construye el gráfico que relaciona la cantidad de horas que trabaja Luis con el dinero que obtiene.

Minutos

1 2 7 10

1. Esteban compra los siguientes útiles escolares: 8 cuadernos a $ 800 cada uno, una témpera a $ 1200, una acuarela a $ 600, y 4 cajas de lápices de colores iguales, gastando un total de $12 000. a) ¿Cuánto cuesta cada caja de lápices de colores?, ¿cuál es la ecuación que permite encontrar la solución? b) ¿Cuánto gastaría si solo comprara 6 cuadernos, 2 témperas, una acuarela y 6 cajas de lápices de colores iguales? c) Construye una tabla y un gráfico que relacionen la cantidad de cuadernos comprados y su precio. (Habilidades que desarrolla: analizar, calcular, representar y formular).

26 101 a) Completa la siguiente tabla que relaciona cantidad de páginas con los minutos. b) ¿Cuántos minutos se demora en escribir 13 páginas?, ¿cuál es la ecuación que permite encontrar la solución? c) ¿Cuántas páginas redacta en 68 minutos?, ¿cómo lo supiste? d) Construye el gráfico que relaciona la cantidad de páginas con los minutos. 2. Luis es un taxista que en promedio gana $ 2750 por hora. a) Completa la siguiente tabla que relaciona la cantidad de horas que trabaja Luis con el dinero que gana. Horas

293

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Dinero ($)

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 172 Y 173

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Reconocimiento de funciones en diversos contextos, […] uso e interpretación de la notación de funciones.

Para discutir

Actividades

Ítems 1 y 3: calcular y justificar. Ítem 2: representar y formular. Ítem 4: analizar, calcular y justificar.

Ítem 1: representar. Ítem 2: analizar, evaluar y justificar. Ítem 3: analizar, calcular y representar.

294

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDAD INICIAL

Ejemplo:

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio, y tienen por objetivo que los alumnos y alumnas analicen una situación que presente la relación entre dos variables, de manera que a cada valor de x (cantidad de automóviles vendidos) le corresponde un único valor de y (sueldo recibido), es decir, esta relación es una función. Dada esta función, los alumnos y alumnas pueden representarla y analizarla por medio de tablas o gráficos, los que facilitan su comprensión y análisis.

Sean: A = {1,3,4}, B = {a,b}, entonces: A x B = {(1,a), (1,b), (3,a), (3,b), (4,a), (4,b)} Definición: sean A, B conjuntos no vacíos. Un conjunto R se dice que es una relación de A en B si R es subconjunto de A x B. Es decir:

Para complementar el tema y la información del Texto, plantee preguntas como las siguientes:

• Si el par (x,y) pertenece a una relación R, se dice que x está en relación R con y. Se escribe x R y ; es decir: (x,y) ∈R ⇔ x R y

• ¿Cuánto ganará Miguel si no vende automóviles en un mes?, ¿por qué? • ¿Cuántos automóviles vendió si su sueldo fue de $ 985 000?, ¿cómo lo calculaste?

Funciones

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

Definición: Dados dos conjuntos A y B no vacíos, una relación f ⊆ A x B se dice que es una función de A en B, si y solo si:

• Antes de comenzar el ítem 1, es conveniente destacarles a sus estudiantes que una función puede ser representada mediante diversos registros, en nuestro caso, estudiamos la representación algebraica, la tabla y el gráfico. Si sus estudiantes tienen dificultades para construir el gráfico, solicíteles que agreguen filas a la tabla de la página 170. Podría preguntar lo siguiente: ¿qué forma tiene el gráfico?, ¿qué características observas en él? • En el ítem 2 es importante que los alumnos y alumnas comprendan que en una función la relación entre las variables x e y se da de tal manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Por ejemplo, la relación b) no es función, pues puede ocurrir que una persona tenga más de un sabor preferido de helado. • En el ítem 3 sería conveniente solicitarles a sus estudiantes que construyan en un mismo gráfico las funciones correspodientes a cada plan y, luego, que las comparen y analicen. Podrían utilizar colores distintos para que las diferencien.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Es importante que comprenda que una función no es sino un tipo especial de relación. Además, destaque que para expresar funciones podemos usar otros nombres, distintos de f, como g, h. Por ejemplo, la función g(x) = 2x + 5. A continuación, presentamos algunos conceptos importantes relacionados, que permiten ampliar el concepto de función. Producto cartesiano El conjunto producto cartesiano de A y B se denota A x B, y está constituido por: A x B = {(x,y) / x ∈A ∧ y ∈B}

R ⊆ A x B⇔ R

es relación de A en B

(i) Dom f = A (ii) ∀ x ∈A, ∀ y ∈B (x f y ∧ x f z ⇒ y = z) Por ejemplo: La relación f(x) = ± x , donde x ≥ 0, no es una función, pues f (9) = 3 y f (9) = –3, es decir, x = 9 tiene dos imágenes diferentes, 3 y –3. Fuente: Orellana A. (1998). Apuntes Álgebra I. (p. 35, 36 y 56). Santiago: Universidad de Santiago de Chile.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Felipe compara las promociones de una pizza napolitana individual en diferentes lugares. Pizzería

Valor pizza napolitana ($)

Valor ingrediente adicional ($)

3590

540

3990

450

4490

400

a) ¿Cuánto costarán 3 pizzas en cada lugar?, ¿y 7 pizzas? b) ¿Cuál es la función que modela el precio de x pizzas para cada lugar? c) Si se quieren incluir 3 ingredientes adicionales, ¿cuánto costarán 5 pizzas en cada lugar?, ¿dónde es más conveniente? d) ¿Cuál es la función que representa el precio con 3 ingredientes incluidos de x pizzas para cada lugar? (Habilidades que desarrolla: analizar, representar y calcular).

295

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 174 Y 175

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Reconocimiento de funciones en diversos contextos, distinción entre variables dependientes e independientes en ellas [...], uso e interpretación de la notación de funciones.

Para discutir

Actividades

Ítem 1: calcular y justificar. Ítem 2: representar y formular. Ítem 3: representar y justificar. Ítem 4: analizar.

Ítem 1: identificar.

296

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDAD INICIAL

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio, y tienen por objetivo que los y las estudiantes analicen información presentada en una tabla y, luego, diferencien entre una variable independiente y dependiente de dicha situación, las que son representadas por medio de una función que relaciona la cantidad de empanadas y el precio. En esta actividad, asocian sus conocimientos previos y los estudiados recientemente. La idea es que conecten lo aprendido con estos conceptos nuevos y que completar la tabla y analizarla contribuya a la comprensión de los conceptos en cuestión.

De refuerzo

Podría ayudar a sus estudiantes con más dificultad para identificar la función que modela la situación, pidiéndoles que agreguen más filas a la tabla de la página 176 y, luego, las completen. Para reforzar el concepto de función, podría preguntar: • Si una persona gasta $ 19 550 en empanadas, ¿cuántas compró?, ¿cómo lo supiste?

1. Determina en cada función las variables dependiente e independiente. a) b) c) d)

Un número y su antecesor. El número de lados de un polígono y la cantidad de ángulos interiores. Un número y su triple. Los kilogramos de pan comprados diariamente y el valor total de la semana.

2. Eduardo compra x empanadas de pino y la misma cantidad de empanadas de queso. Las empanadas de pino tienen un costo de $ 860 cada una y las de queso $ 750. ¿Cuál es la función que permite determinar el precio final al comprar x empanadas de pino y de queso?, ¿cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente en este caso? (Habilidades que desarrolla: identificar, representar, formular y analizar).

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, si sus alumnos y alumnas tienen dificultades para identificar las variables dependiente e independiente, pídales que escriban las funciones asociadas. Esto les permitirá reconocer las variables x e y.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Para ampliar los conceptos estudiados en el Texto para el Estudiante es importante tener en consideración lo siguiente: • Evaluar una función y = f(x) es obtener el valor que la función le asocia a un valor determinado de x. Podría pedirles a sus estudiantes que evalúen algunas funciones en casos particulares. Puede escribir en la pizarra una función como f(x) = 2x + 2, y explicar que al evaluar la función en x = 3, resulta: f (3) = 2 • 3 + 2 = 6 + 2 = 8. Luego, f (3) = 8. • En una función, la imagen de un número equivale al resultado de evaluar el número en la función. • La preimagen de un número es el valor que se evaluó en la función para obtener dicho número.

297

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

De profundización 1. Determina en cada caso la función que modela la situación y, luego, identifica las variables dependiente e independiente. a) b) c) d) e) f)

El área total de un cubo y su arista. Un número y su inverso aditivo. El número de lados de un polígono regular y la cantidad de diagonales. La cantidad de kilogramos de pan y el total a pagar (a $ 760 el kg). La longitud del radio de una circunferencia y la longitud de la circunferencia. Un número y la suma de este con su sucesor.

(Habilidades que desarrolla: identificar, representar y formular).

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 176 Y 177

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS • Reconocimiento de funciones en diversos contextos, distinción entre variables dependientes e independientes en ellas […], uso e interpretación de la notación de funciones.

298

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN: Actividades Ítem 2: calcular, representar e identificar. Ítem 3: calcular, saber e identificar. Ítem 4: formular, identificar y representar. Ítem 5: identificar, representar, calcular y saber. Ítem 6: calcular, formular, identificar y representar. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

En equipo Analizar, representar e identificar.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 2, si es necesario, agregue valores adicionales a la tabla para que sea más sencillo graficar. Al finalizar esta actividad, pregunte a sus estudiantes: ¿cómo es el gráfico construido?, ¿qué forma tiene?, ¿qué sucedería con el gráfico si las entradas bajaran a mitad de precio? • En el ítem 3, si tienen dificultades para determinar cuál es la variable dependiente y cuál es la independiente, podría preguntarles: ¿de qué depende que el perímetro del triángulo aumente o disminuya? Además, para continuar trabajando con este ejercicio, pregunte: ¿qué sucede con la función que permite determinar el perímetro si la figura es un rectángulo donde el largo mide el doble del ancho?, ¿cuál será? Responde las preguntas b y c para este caso. • En el ítem 4, puede que sus estudiantes confundan la expresión que modela esta situación, pues a diferencia de la anterior, esta considera un valor fijo ($ 6800) que se suma al valor de los metros cuadrados pintados, es decir, la expresión algebraica que representa el costo del trabajo completo al pintar x metros cuadrados pintados es: f(x) = 5000x + 6800. Si es necesario, pídales que grafiquen la función en sus cuadernos y, luego, la comparen con el gráfico del ítem 5. • En el ítem 5, para determinar con mayor facilidad la expresión que modela esta situación, pídales que hagan una tabla similar a la del ítem 3, y que además comparen este gráfico con el del ítem anterior. Esta es una buena instancia para referirse a las funciones lineal y afín. • En el ítem 6, para completar, podría preguntarles qué técnica o estrategia utilizaron. Además, pídales que revisen con dos compañeros o compañeras sus resultados obtenidos, pues de este modo pueden corregir errores si los tuvieran. • En la actividad EN EQUIPO, supervice que todos dispongan de los materiales necesarios para trabajar. Si no cuentan con ellos, pueden dibujar, en sus cuadernos, los triángulos que se forman con los palitos de fósforo.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Determina, en cada función, las variables dependiente e independiente. a) b) c) d)

El número de lados de un polígono y la cantidad de ángulos exteriores. Un número y su mitad. La cantidad de boletos de bus comprados y su costo. Un número y su quinta parte.

2. En una botillería se venden a $ 1200 las bebidas desechables de 3 litros. a) Completa la siguiente tabla. Cantidad de bebidas

Costo ($)

b) c) d) e) f)

¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente? ¿Cuál es el precio de 9 litros?, ¿de 18 litros?, ¿y de 5 bebidas? ¿Cuál es la función que modela esta situación? ¿Cuántas botellas se pueden comprar con $ 8400?, ¿a cuántos litros corresponde? Construye en tu cuaderno el gráfico que representa esta situación.

(Habilidades que desarrolla: identificar, calcular, analizar, representar y formular). De profundización 1. En una panadería se vende diariamente cierta cantidad de pan. Completa la siguiente tabla que representa la relación entre los kilogramos de pan y su costo. Kilogramos de pan Precio ($)

a) b) c) d) e)

24 8160

20 400

¿Cuál es el precio de un kilogramo de pan?, ¿cómo lo supiste? ¿Cuál es la expresión algebraica que modela esta situación? ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente? ¿Cuántos kilogramos de pan se pueden comprar con $ 10 880? Construye en tu cuaderno el gráfico que representa esta situación.

(Habilidades que desarrolla: identificar, analizar, calcular, representar y formular).

299

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 178 Y 179

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Reconocimiento de funciones en diversos contextos, […] identificación de sus elementos constituyentes: dominio, recorrido, uso e interpretación de la notación de funciones.

Para discutir

300

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Ítem 1: analizar, calcular y justificar. Ítem 2: representar y formular. Ítem 3: identificar y justificar. Ítem 4: analizar y justificar. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Actividades

• Por definición de recorrido de una función se tiene:

Ítem 1: calcular, representar e identificar. Ítems 2 y 3: calcular, identificar, formular y representar. Ítem 4: analizar, identificar, representar y justificar.

Rec (f) = {y ∈B / ∃ x ∈A : y = f(x)} Fuente: Orellana A. (1998). Apuntes Álgebra I. (p. 35, 36 y 56). Santiago: Universidad de Santiago de Chile.

ACTIVIDAD INICIAL Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio, y tienen por objetivo que los alumnos y alumnas analicen la información presentada en una tabla, la que les permite comprender qué es el dominio y recorrido de una función. Si sus alumnos y alumnas presentan dificultades para comprender estos conceptos, plantee otras funciones contextualizadas; por ejemplo: el valor de una bebida en lata es $ 600, la función que representa el valor (y) de una cierta cantidad de bebidas (x) es: y = 600x, o bien f(x) = 600x, donde Dom (f) = 0 y Rec (f) = {600 • n / n ∈ 0}.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, si es necesario, pídales a sus estudiantes que confeccionen una tabla para facilitar la identificación del dominio y recorrido de la función. • En los ítems 2 y 3, es fundamental que hayan comprendido lo de las páginas anteriores sobre funciones, pues se solicita determinar la función, identificar la variable dependiente y la independiente, además del dominio y recorrido. Al finalizar estas actividades, es conveniente que las revisen en conjunto para detectar y corregir posibles errores. • En el ítem 4, si sus estudiantes tienen dificultades para responder, pídales que comiencen por construir la tabla que representa la situación, pues al observar los valores puede resultarles más sencillo analizar y responder las preguntas.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Una abuelita repartirá 120 caramelos entre los nietos que vayan a verla el sábado a su casa. Todos recibirán la misma cantidad de caramelos. a) Si la visitan tres de sus nietos, ¿cuántos caramelos les toca cada uno? b) Determina la expresión algebraica que modela esta situación. c) Determina el dominio y recorrido de esta función. 2. Roberto quiere repartir sus 150 cartas de mitos entre sus amigos presentes. Cuando las reparte, decide que todos recibirán la misma cantidad. a) b) c) d)

¿Cuántas cartas les toca a cada uno si son 10 sus amigos presentes? ¿Cuál es la función que determina esta situación? ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué? Determina el dominio y recorrido de esta función.

(Habilidades que desarrolla: identificar, calcular, representar y formular). De profundización 1. Observa la función que representa el área de un cuadrado dado su lado. Área (cm2)

Para ampliar los conceptos estudiados en el Texto para el Estudiante es importante tener en consideración lo siguiente: • En una función de A en B, cada elemento de A tiene una y solo una imagen en B. Por comprensión, lo anterior se escribe: ∀ x ∈A, ∃! y ∈B / f(x) = y • Si f es una función de A en B, entonces f describe un proceso en donde los elementos de A se transforman en elementos del conjunto B. Luego, la expresión f : A → B traduce dicha idea. Además, y = f(x) significa que y es el resultado de “procesar” al elemento x mediante la función f. • Por definición de dominio de una función se tiene: Dom (f) = {x ∈A / ∃ y ∈B : y = f(x)}

Lado (cm)

a) ¿Qué valor toma la variable y si la variable x es 3 cm?, ¿y si x es 7 cm? b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa a esta función? c) ¿Cuál es su dominio?, ¿y el recorrido? (Habilidades que desarrolla: interpretar, identificar, representar y formular).

301

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 180 Y 181

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Reconocimiento de funciones en diversos contextos, distinción entre variables dependientes e independientes en ellas e identificación de sus elementos constituyentes: dominio, recorrido, uso e interpretación de la notación de funciones.

Herramientas tecnológicas

302

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Usar herramientas, identificar, formular, representar, calcular y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

EVALUACIÓN FORMATIVA

• Para realizar las actividades con sus estudiantes, es conveniente que realice todas las actividades propuestas previamente. Además, es fundamental que identifique las funciones que se solicitan, pues no todas las representaciones gráficas son una recta. Por ejemplo, la primera función es f(x) = 2x, donde x ∈ , la segunda es g(x) = x2, donde x ∈ ; y la tercera función es p(x) = 40x, donde x ∈ . • Durante el desarrollo de la actividad, supervise permanentemente a sus alumnos y alumnas, pues podrían aparecer diversas dificultades que requieran de su ayuda y orientación. • Es conveniente que una vez que terminen la actividad, discutan y comenten los resultados obtenidos para hacer una puesta en común.

Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad se presenta la evaluación formativa MI PROGRESO.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

• En los ítems 1 y 2, los alumnos y alumnas deben marcar la alternativa correcta, lo que dificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es conveniente que les pida que realicen los pasos al lado de cada pregunta, ya que si hay errores en el desarrollo, será más sencillo detectarlos y corregirlos. • En el ítem 1, si sus estudiantes tienen dificultades para identificar la función correcta, pídales que reconozcan primero las variables dependiente e independiente. • En el ítem 2 es importante que les solicite que justifiquen aquellas afirmaciones que consideran incorrectas; es decir, mencionar por qué cierta afirmación es falsa. • En el ítem 3, cada pregunta está orientada a recordar y aplicar lo aprendido hasta ahora, es por ello que debe monitorear las soluciones obtenidas, pues podrá detectar a aquellos alumnos y alumnas que tienen más dificultades. Se sugiere que revisen en la pizarra el desarrollo de las preguntas. • En el ítem 4, si sus alumnos y alumnas tienen dificultad para reconocer la función que representa la situación, pídales que sigan completando la tabla, a fin de reconocer la regularidad.

De refuerzo 1. Resuelve los mismos problemas de la actividad HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS en tu cuaderno, graficando las funciones de forma manual. Luego, justifica cada uno de tus pasos. (Habilidad que desarrolla: usar herramientas, formular, calcular, justificar y representar). De profundización 1. Utiliza una planilla de cálculo para graficar el problema 2 de la página 181, indicando cada uno de los pasos. (Habilidad que desarrolla: usar herramientas, conectar, recordar, formular, representar y justificar).

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: Mi progreso Ítem 1: analizar, representar y formular. Ítem 2: analizar y distinguir. Ítem 3: analizar, calcular, identificar, representar y justificar. Ítem 4: analizar y formular.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES

En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podrá plantearles a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 3 y 4. Ítem 3

303

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Responde correctamente cada una de las preguntas, justificando sus pasos.

Responde correctamente cada una de las preguntas sin justificar todos sus pasos.

Responde erróneamente una o dos preguntas; no justifica todos sus pasos.

Responde erróneamente más de dos preguntas; no justifica sus pasos.

Formula correctamente la función asociada de forma mental.

Formula correctamente la función asociada, recurriendo a la visualización de algún diagrama para obtenerla.

Identifica el comportamiento de la función, pero no identifica la expresión algebraica asociada.

No identifica el comportamiento de la función ni la expresión algebraica asociada.

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

3. Observa el siguiente gráfico, completa la tabla y responde.

De refuerzo

1. Claudio recorre en su bicicleta un tramo de 45 km, desde su casa al parque, a una velocidad promedio de 10 km/h.

y = f(x)

1 2

a) ¿Cuánto demora aproximadamente en recorrer dicha distancia si no se detiene en ningún momento?, ¿por qué?

2,5

b) Después de 3 horas, ¿qué distancia recorre aproximadamente si no se detiene y mantiene el ritmo?, ¿alcanza a llegar al parque?

3,5

3 4

c) ¿Qué expresión algebraica representa la distancia recorrida (y) por hora (x) transcurrida? d) ¿Cuál es la variable independiente?, ¿y la dependiente?, ¿por qué? e) Si Claudio recorrió 62,5 km sin realizar detenciones y a velocidad constante, ¿cuánto tiempo tardó? f) ¿Cuál es el dominio de esta función?, ¿y el recorrido? Explica cómo lo determinaste.

a) ¿Qué expresión algebraica representan el gráfico y la tabla anteriores?

g) Construye en tu cuaderno el gráfico que representa esta situación.

b) ¿Cuál es el dominio de la función?, ¿y el recorrido? c) Si x = 4, ¿cuál es el valor de y?

2. Una persona, en promedio, quema 130 calorías por bailar durante media hora (sin parar). Minutos Calorías quemadas a) Completa la tabla. 30 60 90 120 150 180 b) ¿Cuántas calorías quema si baila una hora y media?, ¿y dos horas con quince minutos? c) ¿Cuál es la función que permite calcular la cantidad de calorías quemadas por hora? d) ¿Cuál es la variable independiente?, ¿y la dependiente?, ¿por qué? e) Si una persona quema 325 calorías bailando, ¿cuántos minutos bailó?

304

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

4. En un kiosco se venden diferentes revistas de “ciencias”, las que traen diversas fichas anexas. a) Completa la siguiente tabla con los valores que se pagarían por cada revista, según si traen 4, 5 ó 6 fichas. Revista

Precio unitario ($) Valor por ficha adicional ($)

2890

1000

3690

900

4790

500

Revista

A B C b) ¿Qué revista conviene (por precio) si se compran 4, 5 ó 6 fichas? c) ¿Qué funciones representan el precio de cada revista si se compran x fichas?

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

De profundización

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 304 Y 305 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

1. Andrea compra una blusa en $ 5400, la que estaba rebajada en 60%.

De refuerzo

a) ¿Cuánto costaba la blusa inicialmente?, ¿cuál es la ecuación que permite encontrar la solución? b) Completa la siguiente tabla y el gráfico que relaciona la cantidad de blusas, con descuento incluido, con el gasto asociado. N° de blusas

Precio ($)

5400

1. a) b) c) d) e) f)

2. a)

2 3 4 7 9 Precio ($)

4 h 30 min 30 km y = 10x Variable independiente: horas; variable dependiente: distancia recorrida. 6 h 15 min El Dom (f) son los números positivos ( +) y el Rec (f) son los números positivos ( +).

Minutos 30 60 90 120 150 180

Calorías quemadas 130 260 390 520 650 780

b) 390 calorías y 585 calorías, respectivamente. c) f(x) = 260x d) Variable independiente: horas; variable dependiente: calorías quemadas. e) 1 h 15 min

55 000

3. a) f(x) = x b) El Dom (f) son todos los números positivos y negativos, incluido el cero ( ), y el Rec (f) = . c) y = 4

50 000 45 000 40 000 35 000 30 000

4. a) Revista A B C

25 000 20 000 15 000 10 000

9 10 11 12 Cantidad de blusas

1. a) $ 13 500, x = b)

2. La función y = 3790x representa el dinero que se recauda en un día, según la cantidad de pollos asados vendidos en un local de comida rápida.

305

5 7890 8190 7290

6 8890 9090 7790

b) La revista C. c) A: f(x) = 2890 + 1000x B: g(x) = 3690 + 900x C: p(x) = 4790 + 500x

De profundización

5000

a) b) c) d)

4 6890 7290 6790

Si un día contabilizaron $ 49 270, ¿cuántos pollos asados vendieron? ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué? ¿Cuál es el dominio de la función?, ¿y el recorrido? Explica cómo lo determinaste. Construye en tu cuaderno el gráfico de esta función.

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

5400 • 100 40

N° de blusas 1 2 3 4 7 9 11

Precio ($) 5400 10 800 16 200 21 600 37 800 48 600 59 400

2. a) 13 b) Variable independiente: cantidad de pollos; variable dependiente: dinero recaudado. c) Dom (f) = 0 y Rec (f) = {3790 • n / n ∈ 0}.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 182 Y 183

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN:

• […] Comparación con variables relacionadas en forma no proporcional y argumentación acerca de la diferencia con el caso proporcional.

Para discutir

• Resolución de problemas en diversos contextos que implican el uso de la relación de proporcionalidad como modelo matemático. 306

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Ítem 1: calcular. Ítem 2: identificar y justificar. Ítem 3: analizar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Actividades Ítem 1: usar herramientas, analizar e identificar. Ítem 2: analizar, calcular y justificar. Ítem 3: identificar, analizar, representar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio, y tienen por objetivo que los alumnos y alumnas analicen una situación de la vida diaria en la que una de las fotografías está distorsionada con respecto a la original. Esto permite relacionar directamente la Matemática con actividades que realizamos habitualmente y que muchas veces pasamos por alto.

• Los términos a y d se denominan téminos extremos, y c y d, términos medios. • Teorema fundamental de las proporciones: En toda proporción, el producto de los términos medios es igual al producto de los términos extremos. Es decir: c a = ⇔ a • d = b • c, con b ≠ 0, d ≠ 0 d b Demostración: Sean a, b, c, d ∈ y b ≠ 0, d ≠ 0, y tenemos que

Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por “bd”, es decir: c a = d b

Esta instancia es propicia para que comente sobre los dibujos a escala, que representan la realidad en un mapa o plano, es decir, relaciona las dimensiones reales y las del dibujo; por ejemplo, la escala 1 : 5000 significa que 1 cm del plano equivale a 50 m en la realidad, pues el primer término (antecedente) indica el valor del plano, mientras que el segundo término (consecuente) señala el valor de la realidad.

a b

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Es conveniente recordar y profundizar respecto de los conceptos de razón y proporción: • Se llama razón a la comparación por cociente entre dos cantidades a y b cualesquiera. Una razón se puede expresar como: a a : b, o , ∀ a, b ∈ , b ≠ 0 b Se lee “a es a b”. Toda razón tiene asociado un cociente llamado valor de la razón. Así: a = k, k ∈ donde k es el valor de la razón. b • Se llama proporción a la igualdad entre dos razones. Dada una proporción c a a : b = c : d, o bien = , donde a, b, c, d ∈ y b ≠ 0, d ≠ 0. d b

•

bd =

c d

/ • bd •

/ simplificando

a•d=c•b

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE PROBLEMAS • En el ítem 1, solicíteles a sus estudiantes que midan con regla y anoten las medidas respectivas al lado del largo o ancho, según corresponda. Además, para determinar si son proporcionales, monitoree que calculen el valor de la razón que corresponde, sin invertir los valores. • En los ítems 2 y 3, pídales que justifiquen su decisión con ejemplos concretos. Mencione que para refutar una idea o afirmación, basta con dar un contraejemplo, mostrando que si no se cumple en uno de los casos, la afirmación no es cierta. De lo contrario, se debe probar si son verdaderas.

c a = . d b

∴ a • d = c • b ∀ a, b, c, d ∈ y b ≠ 0, d ≠ 0

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Don Manuel es un comerciante y vende juguetes en temporada de Navidad. Desde el 15 de diciembre, sus ventas aumentan en 4 juguetes más por cada día transcurrido, es decir, si un día normal vende 20, al otro, 24 y al siguiente, 28, etcétera. a) Completa la siguiente tabla y responde: Días del mes de diciembre

Juguetes vendidos

¿Los días del mes de diciembre y los juguetes vendidos son proporcionales a medida que transcurren los días?, ¿por qué? b) ¿Cuánto vendió el día 22 de diciembre? c) ¿Cuántos vendió en total hasta el 24 de diciembre? (Habilidades que desarrolla: analizar, justificar, representar y calcular).

Se lee “a es a b como c es a d”. 307

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 184 Y 185

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN:

• Reconocimiento y representación como una función de las relaciones de proporcionalidad directa e inversa entre dos variables, en contextos significativos. […]. • Resolución de problemas en diversos contextos que implican el uso de la relación de proporcionalidad como modelo matemático.

Para discutir

308

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Ítem 1: calcular. Ítem 2: representar. Ítem 3: identificar. Ítem 4: calcular y analizar. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDAD INICIAL

Ejemplo:

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio, y tienen por objetivo que los alumnos y alumnas analicen una situación de su entorno que se relaciona con actividades cotidianas. Además, sus conocimientos y experiencias previas les facilitarán la comprensión y asimilación de los nuevos conceptos involucrados y de los modelos matemáticos que les permitirán solucionar diversos problemas, como el que se les presenta en esta página.

Un niño da un paseo en bicicleta a velocidad constante y, así, recorre 8 kilómetros en una hora.

Para complementar las preguntas de esta sección, podría plantear lo siguiente:

En este caso la constante de proporcionalidad es 8; por lo tanto, la gráfica que representa esta situación está dada por y = 8x.

• En esta función, ¿la variable independiente puede tomar valores decimales?, ¿por qué? • ¿Qué sucede si el boleto aumenta en $ 20?, ¿cómo representarías la función en este caso? • ¿Qué ocurre ahora con la razón entre el total que se debe pagar y la cantidad de boletos vendidos?

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

• En el ítem 1, si sus estudiantes tienen dificultades para identificar que las variables se relacionan de manera directamente proporcional, pídales que les asignen valores en cada caso y completen una tabla para así analizar y calcular si la razón entre ellos es constante. Por ejemplo, para la actividad f, “la longitud del lado de un triángulo equilátero y su perímetro”, podemos darles los siguientes valores:

De refuerzo

Longitud del lado (cm)

Perímetro (cm)

1. Indica si las siguientes variables se relacionan de manera directamente proporcional. Justifica tu respuesta. a) Lo que lee diariamente Carlos de un libro y lo que le falta para terminarlo. b) El tiempo de encendido de un televisor y la energía que gasta. c) La cantidad de harina que se necesita para hacer un número determinado de panes. d) El total de artículos vendidos en una tienda y las ganancias adquiridas. (Habilidades que desarrolla: analizar, identificar y justificar).

Comprobamos que el valor de la razón entre las variables en este caso es cons6 12 30 tante = = = 3 . Por lo tanto, sí se relacionan de manera directamente 2 4 10 proporcional.

冢

冣

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Es importante profundizar respecto de la representación gráfica de una relación de proporcionalidad directa: Dadas dos variables, x e y, directamente proporcionales, con constante de proporcionalidad k, se tiene que su gráfica está dada por y = k • x, es decir, el gráfico es una línea recta que pasa por el origen.

De profundización 1. Indica si las siguientes variables se relacionan de manera directamente proporcional. Determina la constante de proporcionalidad directa en los casos que lo sean. a)

144

180

500

600

200

(Habilidades que desarrolla: analizar e identificar).

309

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 186 Y 187

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Reconocimiento y representación como una función de las relaciones de proporcionalidad directa e inversa entre dos variables, en contextos significativos. […].

Actividades

• Resolución de problemas en diversos contextos que implican el uso de la relación de proporcionalidad como modelo matemático. 310

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Ítems 2 y 3: analizar, identificar, calcular, representar y justificar. Ítem 4: analizar, interpretar, calcular, identificar, formular y justificar.

En equipo Conectar y calcular. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

De profundización

• En el ítem 2, para facilitar el desarrollo de la actividad, es conveniente que sus estudiantes comiencen por llenar la tabla, para luego responder las preguntas. Una vez identificada la expresión algebraica que modela la situación, es aconsejable que hagan el gráfico. • En el ítem 3, si tienen dificultades para responder, pídales que le agreguen más valores a la tabla para que observen el comportamiento de la función más ampliamente. • En el ítem 4, es importante que analicen la información entregada en la representación gráfica para completar la tabla correctamente, lo que facilitará la obtención de las respuestas a las preguntas planteadas sin mayores dificultadades ni errores.x • En la actividad EN EQUIPO es necesario que sus estudiantes cuenten con un computador con conexión a Internet para encontrar la información requerida.

1. Una empresa de turismo aventura formó dos grupos por edades (A: niños, B: adultos) para efectuar un paseo. Para el grupo A, se asignan 2 kg de alimento por persona; y para el grupo B, se asignan 3 kg de alimento por persona. a) Grafica los kilogramos de alimento de los dos grupos de turistas, A y B, según el número de personas. kg de alimento 20 18 16 14

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

De refuerzo

1. En cada sobre de jugo en polvo de una marca cualquiera hay 5 gramos de azúcar. Completa la siguiente tabla y responde: 1

Sobre de jugo

Gramos de azúcar

8 6 4 2 0

a) ¿Cuál es la razón entre los gramos de azúcar y los sobres de jugo?, ¿cuál es el valor de la razón?, ¿es constante?, ¿por qué? b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominio?, ¿y su recorrido? c) ¿Cuántos gramos de azúcar tendrán 20 sobres?, ¿y 45 sobres? d) Completa el gráfico de esta función.

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Número de personas

a) ¿Cuántos kilogramos de alimento en total se necesitan para 25 personas del grupo A y 12 del grupo B? b) ¿Cuál es la razón que se mantiene constante para el grupo A?, ¿y para el grupo B? c) ¿Cuántos turistas del grupo A necesitan 80 kilos?, ¿cómo lo supiste?

Gramos de azúcar

d) ¿Cuál es la función que representa los kilogramos de alimento del grupo A?, ¿y del grupo B?

(Habilidades que desarrolla: analizar, calcular, representar y formular).

60 50 40 30 20 10 2

10 12 14 16

Sobres de jugo

(Habilidades que desarrolla: analizar, representar, identificar, formular y calcular). 311

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 188 Y 189

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

Actividades

Para discutir

Ítem 1: calcular. Ítem 2: analizar y calcular. Ítem 3: representar e identificar.

Ítem 1: analizar, identificar y justificar.

312

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDAD INICIAL

Ejemplo:

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio, y tienen por objetivo que los alumnos y alumnas analicen una situación de su entorno que se relaciona con su diario vivir. Además, sus conocimientos y experiencias previas les facilitarán la comprensión y asimilación de los nuevos conceptos involucrados y de los modelos matemáticos que les permitirán solucionar diversos problemas como el que se les presenta en esta página.

En una fábrica de alimentos envasados se embala una producción mensual (que es constante) de aceitunas en 3000 cajas que pueden contener 24 latas cada una.

Para complementar las preguntas de esta sección, podría plantear lo siguiente:

Se quiere variar el tamaño de las cajas para que su capacidad sea de: 8 latas, 12 latas, 48 latas y 72 latas.

• En esta función, ¿la variable independiente puede tomar valores decimales?, ¿por qué? • ¿Qué sucede con la cantidad de días que tardan si el número de obreros es 40?, ¿y si es 60?

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, si sus estudiantes tienen dificultades para identificar que las variables se relacionan de manera inversamente proporcional, pídales que les asignen valores en cada caso y completen una tabla para así analizar y calcular si la razón entre ellos es constante. Por ejemplo, la actividad k) “la rapidez con la que se recorre un camino y el tiempo en que se recorre” podemos darles los siguientes valores, considerando que se recorre a rapidez constante una distancia de 450 km: Rapidez (km/h)

Tiempo (horas)

150

Así comprobamos que el valor de la razón entre las variables en este caso es constante (50 • 90 = 90 • 5 = 150 • 3 = 450). Por lo tanto, sí se relacionan de manera inversamente proporcional.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Es importante profundizar respecto de la representación gráfica de una relación de proporcionalidad inversa: Dadas dos variables, x e y, inversamente proporcionales con constante de propork o x • y = k; es decir, el cionalidad k, su gráfica está dada por la expresión y = x gráfico es una curva llamada hipérbola.

Como las variables se relacionan de manera inversamente proporcional, la constante de proporcionalidad se obtiene por el producto de sus variables, que es 72 000 72 000. Luego, la gráfica está dada por la función y = . x

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Indica si las siguientes variables se relacionan de manera inversamente proporcional. Justifica tu respuesta. a) b) c) d)

La cantidad de lados de un polígono y la medida de sus ángulos interiores. El número de albañiles y el tiempo que demoran en terminar una obra. Los litros de bencina en el estanque de un automóvil y los kilómetros recorridos. La rapidez con que Carolina camina a su colegio y el tiempo que demora.

(Habilidades que desarrolla: analizar, identificar y justificar). De profundización 1. Indica si las siguientes variables se relacionan de manera inversamente proporcional. Determina la constante de proporcionalidad inversa en los casos que lo sean. a)

12 20

120

(Habilidades que desarrolla: analizar e identificar). 313

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 190 Y 191

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

Actividades

314

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Ítems 2 y 3: analizar, identificar, calcular, representar, formular y justificar. Ítems 4 y 5: analizar, identificar, calcular y formular.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

De profundización

• En el ítem 2, es conveniente completar la tabla previamente para identificar la función, pues una vez planteada, es más sencillo construir el gráfico. • En el ítem 3, si sus estudiantes tienen dificultades para completar las tablas, permítales trabajar con otro compañero o compañera, ya que así pueden discutir e intercambiar ideas. Al finalizar esta actividad, pregunte por los resultados obtenidos y guíelos para que lleguen a una puesta en común. • En el ítem 4, es conveniente recordar y comparar las relaciones de proporcionalidad directa e inversa; por ejemplo, identificar cómo se relacionan las variables en cada caso al aumentar o disminuir, y, también, analizar la constante de proporcionalidad. • En el ítem 5, es conveniente promover la lectura de los problemas planteados y crear un clima de concentración y discusión constructivo. Además, pídales que anoten en sus cuadernos la estrategia de solución. De este modo, al revisarlas en la pizarra pueden analizarlas y mostrarlas al resto del curso.

1. En una empresa de agua mineral se envasan 200 litros diariamente. Para ello disponen de botellas con capacidad de medio litro, un litro, dos litros y 2,5 litros. a) ¿Cuántas botellas de medio litro se necesitarían al día?, ¿y de 2,5 litros? b) ¿Cuál es la variable dependiente (y)?, ¿y la independiente (x)?, ¿por qué? c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cómo la obtuviste? d) ¿Cuál es la función que modela esta situación? e) Construye una tabla con los datos dados. f) Construye en tu cuaderno el gráfico de esta función. 2. Las siguientes tablas muestran valores de x e y, que representan relaciones de proporcionalidad inversa. Determina los valores desconocidos de cada tabla.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

De refuerzo

1. Seis obreros cavan en dos horas una zanja. Completa la siguiente tabla y responde:

Número de obreros

Tiempo que demoran (horas)

1 18

2 60 20

9 24

90 30

12 20

(Habilidades que desarrolla: analizar, calcular, identificar, representar y formular).

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cómo la obtuviste? b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominio? c) ¿Cuánto tiempo demoran tres obreros trabajando en las mismas condiciones?, ¿y nueve obreros? d) Completa el gráfico de esta función. Tiempo (horas) 12 10 8 6 4 2 0

Número de obreros

(Habilidades que desarrolla: analizar, representar, identificar, formular y calcular). 315

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 192 Y 193

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Análisis de diversas situaciones que representan tanto magnitudes proporcionales como no proporcionales, mediante el uso de software gráfico.

Herramientas tecnológicas

316

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Usar herramientas, identificar, formular, representar, calcular y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

EVALUACIÓN FORMATIVA

• Para efectuar la actividad con sus estudiantes, es conveniente que realicen todos los ejercicios propuestos previamente. Además, es fundamental que identifiquen las funciones que se solicitan, pues son de proporcionalidad directa e inversa. Por ejemplo, la primera función es f(x) = 3x, donde Dom(f) = , la segunda es 12 , donde g(x) = x + 1, donde Dom(g) = ; y la tercera es p(x) = x Dom(p) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.

Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad, se presenta la evaluación formativa MI PROGRESO.

• Es importante que les indique a sus estudiantes que las funciones que aparecen en los ítems a y b se deben graficar usando la planilla de cálculo y siguiendo los pasos señalados en el Texto. • Durante el desarrollo de la actividad, supervise permanentemente a sus alumnos y alumnas, pues podrían aparecer diversas dificultades que requieran de su ayuda y orientación. • Es conveniente que una vez que terminen la actividad, discutan y comenten los resultados obtenidos para hacer una puesta en común.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Resuelve los mismos problemas de la actividad HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS en tu cuaderno, graficando las funciones de forma manual. Luego, justifica cada uno de tus pasos. (Habilidad que desarrolla: usar herramientas, formular, calcular, justificar y representar). De profundización 1. Utiliza una planilla de cálculo para graficar los problemas del ítem 5 de la página 191. Indica cada uno de los pasos.

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: Mi progreso Ítem 1: analizar e identificar. Ítem 2: distinguir y calcular. Ítem 3: analizar e identificar. Ítem 4: analizar, representar, formular y calcular.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En el ítem 1, es posible que los y las estudiantes identifiquen de manera incorrecta la afirmación que es falsa. Por ello, se recomienda analizar comprensivamente dichas afirmaciones utilizando, si es necesario, casos particulares. • En el ítem 2, es posible que los y las estudiantes expresen la solución en horas y minutos, sin convertir la parte decimal a minutos. Por ello es conveniente recordar la conversión de horas a minutos, y viceversa. Por ejemplo, si el resultado es 3,6 horas, podemos multiplicar 0,6 • 60 = 36. Entonces, el resultado se puede escribir como 3 h y 36 min. • En el ítem 3, es posible que los y las estudiantes confundan el tipo de proporcionalidad. Por ello, si es necesario, recuérdeles las relaciones de proporcionalidad estudiadas en esta Unidad. • En el ítem 4, se sugiere que guíe a sus estudiantes para que lean y analicen cada pregunta de forma individual. Además, pídales que anoten las soluciones y los gráficos en sus cuadernos, pues si cometen errores, es más fácil detectarlos y corregirlos. En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podrá plantearles a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.

(Habilidad que desarrolla: usar herramientas, conectar, recordar, formular, representar y justificar).

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en el ítem 4. Ítem

Completamente logrado

Representa, formula y calcula correctamente cada una de las preguntas, justificando cada uno de sus pasos.

317

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Logrado

Medianamente logrado

Representa, formula y calcula correc- Representa, formula y calcula erróneatamente cada una de las preguntas mente una de las preguntas y no justifica sin justificar todos sus pasos. todos sus pasos.

Por lograr Representa, formula y calcula erróneamente dos o tres preguntas y no justifica sus pasos.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

b) Relación de proporcionalidad

De refuerzo 1. Completa cada una de las situaciones según si corresponden o no a una relación proporcional.

¿Es proporcional? ¿Por qué?

Situaciones

La edad y la altura de las personas. La cantidad de horas extras trabajadas y el pago de ellas.

La cantidad de llaves abiertas y el tiempo que demora en llenarse un estanque.

f(x) =

La cantidad de naranjas y su peso. c) Relación de proporcionalidad

Los metros cuadrados de una sala y la altura de los muros.

La cantidad de litros de bencina y su precio. La cantidad de dólares y su equivalente en moneda nacional. La altura de una persona y la sombra que proyecta a una determinada hora.

28 8

La estatura y el peso de las personas.

La cantidad de CD de un cantante y el precio de ellos. X

La velocidad de un vehículo y el tiempo que demora en recorrer una distancia.

2. Completa las tablas que representan funciones de proporcionalidad directa o inversa. En cada caso, anota el valor de la constante de proporcionalidad (k) donde corresponda. Luego, escribe la función que modele los datos de la tabla y construye el gráfico que representa dicha tabla. a) Relación de proporcionalidad x

d) Relación de proporcionalidad x

14 7

18 6

f(x) =

k= 318

f(x) =

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

De profundización

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 318 Y 319 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

1. Un libro tiene 75 páginas de 40 líneas cada una. Se quiere hacer una nueva edición del libro, con otra cantidad de páginas. Para ello se realizó el siguiente análisis:

De refuerzo

Nº de páginas

100

Nº de líneas por páginas

Sí

2. a) Relación de proporcionalidad directa.

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cómo la obtuviste? k=6 f(x) = 6x

b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominio y recorrido? c) ¿Cuántas páginas tendrá un libro con 75 líneas por página? d) Completa el gráfico de esta función.

50 45

f(x) =

40 35

144 x

Sí

k = 144

Sí

c) Relación de proporcionalidad directa. k=4 f(x) = 4x

b) Relación de proporcionalidad inversa.

Nº de líneas por página

Sí

d) Relación de proporcionalidad inversa. k = 42 f(x) =

42 x

25 20

De profundización

15 10

5 20

100

120

140

Nº de páginas

100

Nº de líneas por páginas

Nº de páginas

a) k = 3000 3000 , el dominio y recorrido de la función son todos los números x naturales divisores de 3000.

b) f(x) =

c) 40 páginas.

319

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 194 Y 195

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Resolución de problemas en diversos contextos que implican el uso de la relación de proporcionalidad como modelo matemático.

Buscando estrategias

320

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Ítem 1: analizar, identificar, formular, aplicar y calcular. Ítems 2 y 3: analizar, seleccionar, formular y calcular.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. En una tienda de mascotas se venden alimentos al por menor y al por mayor. Hasta 3 paquetes se venden al por menor, y si se compran más, al por mayor, con una rebaja de acuerdo al producto. Si el alimento para perros tiene un costo de $ 2500 y al por mayor el primero cuesta $ 2400; el segundo, $ 50 menos que el anterior; el tercero, $ 50 menos que el anterior, y así sucesivamente, con un límite de 20 paquetes: a) ¿Cuánto paga Leticia por el último paquete si compra 20? b) ¿Cuánto paga Fernanda en total si compra 7 paquetes? (Habilidades que desarrolla: aplicar, verificar y calcular).

/ propiedad distributiva / sumando se obtiene

De profundización

Entonces, evaluamos la función f(x) = 5100 – 100x, en x = 20. Esto es: f (20) = 5100 – 100 • 20 = 5100 – 2000 = 3100. Finalmente, se obtiene el mismo resultado para la vigésima caja ($ 3100).

1. Inventen un problema que involucre a uno o más de los contenidos de la Unidad. Intercámbienlo con algún compañero o compañera y resuélvanlo utilizando las estrategias para la resolución de problemas que conozcan u otra. (Habilidades que desarrolla: formular, seleccionar, aplicar y verificar).

Comprensión del problema o situación

Comprensión de conceptos

En proceso, logro parcial

No comprende

• Puede expresar en sus propias palabras e interpretar coherentemente el problema. • Identifica la información necesaria. • Tiene una idea acerca de la respuesta.

• Copia el problema.

• No entiende el problema.

• Identifica palabras clave.

• Entiende mal el problema.

• Puede que interprete mal parte del problema.

• Como rutina pide explicaciones.

• Aplica correctamente reglas o algoritmos cuando usa símbolos.

• Conecta cómo y por qué. • Aplica el concepto a problemas o a situaciones nuevas. • Hace y explica conexiones. • Realiza lo pedido y va más allá.

• Puede que tenga alguna idea acerca de la respuesta.

• No modela los conceptos rutinarios correctamente. • No puede explicar el concepto. • No intenta resolver el problema. • No hace conexiones.

• No revisa cálculos ni procedimientos. • No reconoce si su respuesta es o no razonable.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm

321

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 196 Y 197

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN: Conexiones

Síntesis Recordar y conectar.

Conectar, analizar, formular y aplicar.

322

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

INFORMACIÓN RESPECTO DEL CONTENIDO

TÉCNICAS DE ESTUDIO

La actividad de la sección CONEXIONES tiene como propósito relacionar las funciones con una enfermedad muy común por estos días, el tabaquismo, pues afecta a una gran parte de la población, produciendo graves enfermedades.

La lectura comprensiva es otra técnica de estudio que les puede enseñar a sus alumnos y alumnas. Para hacer una lectura eficiente es importante:

El tabaquismo es el cuarto factor de riesgo más importante en el mundo. Chile presenta uno de los índices de consumo más altos de Latinoamérica, con un promedio de 1150 cigarrillos anuales por cada adulto del país. Los estudios de CONACE muestran que el 43% de la población chilena de 12 a 64 años es fumadora, siendo mayor la prevalencia en este grupo etario en los hombres (47,8%) que en las mujeres (39,6%), a diferencia del grupo de escolares entre 8° Básico y 4° Medio, donde las mujeres superan a los hombres (45% versus 38,7%). Es necesario recordar que el tabaco es una droga de inicio y suele ser la puerta de entrada al consumo de otras drogas. El tabaquismo es una enfermedad crónica, y constituye uno de los problemas de salud que se presentan con mayor frecuencia en la Atención Primaria. Información relevante sobre el consumo de tabaco y cómo este afecta nuestra salud puede encontrar en el sitio web: www.redsalud.gov.cl/portal/url/page/minsalcl/g_proteccion/g_tabaco/prev_tabaco.html

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. En relación con el tabaquismo y cómo esta enfermedad afecta nuestra salud: a) ¿Qué enfermedades están asociadas a su consumo?, ¿cómo se pueden prevenir? b) Comenta con tus compañeros o compañeras. ¿Qué actividades o programas implementarían para evitarlo? c) ¿Existen programas y acciones para proteger a la población de la exposición al humo de tabaco?, ¿cuáles? (Habilidades que desarrolla: reconocer, conectar y justificar).

SUGERENCIAS RESPECTO DE LA SÍNTESIS DE LA UNIDAD

• Leer por frases y no palabra a palabra. • Distinguir los párrafos importantes, pues no todo lo que leemos tiene la misma trascendencia. • Colocar mayor atención en los puntos más relevantes. • Subrayar las ideas principales de un párrafo. Para diferenciar niveles de importancia o temas se pueden utilizar lápices de distintos colores. • Si al leer hay un párrafo que no se entiende, no continuar, hasta comprenderlo. • Es necesario aumentar la velocidad de lectura, sin dejar de lado la comprensión. • Variar la forma de leer: voz alta, en silencio, sentado, de pie, etc. De esta manera el estudio no será tan aburrido.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Piensa y responde. a) ¿En qué situaciones cotidianas podemos encontrar funciones proporcionales?, ¿y no proporcionales? b) ¿Qué aprendiste sobre funciones en esta Unidad?, ¿y sobre las relaciones de proporcionalidad directa e inversa? c) ¿Cómo determinas el dominio de una función?, ¿es siempre el mismo?, ¿por qué? d) ¿Cómo determinas el recorrido de una función?, ¿es siempre el mismo?, ¿por qué? e) ¿En qué se diferencian las relaciones de proporcionalidad directa e inversa? f) ¿En qué se diferencian los gráficos de una relación directamente proporcional de los de una inversamente proporcional? Da un ejemplo de cada una. g) ¿Qué caracteriza a las variables dependientes?, ¿y a las independientes? h) ¿Has escuchado hablar de funciones distintas a las estudiadas en esta Unidad?, ¿cuáles? (Habilidades que desarrolla: recordar, conectar y justificar).

323

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 198 Y 199

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: ¿Qué aprendí? Ítems 1 y 2: analizar y formular. Ítems 2 y 5: analizar y distinguir. Ítems 3 y 8: calcular. 324

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Ítems 4 y 6: analizar e identificar. Ítems 9 y 10: calcular, analizar, representar y formular.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

EVALUACIÓN SUMATIVA En estas páginas se presenta una evaluación sumativa bajo el nombre de ¿QUÉ APRENDÍ? Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la Unidad de Funciones y relaciones proporcionales, y con esta información, seguir determinadas líneas de acción. Por ejemplo, volver a enseñar un contenido o realizar una actividad adicional para que aprendan los contenidos de esta Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere: Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente seis preguntas. Por lograr, si contesta correctamente menos de seis preguntas.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En los ítems 1 a 8, la información que entrega la respuesta de los alumnos y alumnas es limitada, ya que sin desarrollo es difícil saber cuáles son los errores que cometen, que pueden ser por falta de conocimiento o por equivocación al marcar la alternativa, entre otras. Para evitar este inconveniente en los ítems de selección múltiple se sugiere que realicen algún tipo de desarrollo para cada pregunta, ya que así podrá detectar en qué se están equivocando y ayudarlos a alcanzar los aprendizajes que se espera que logren.

• En el ítem 9, es posible que los y las estudiantes completen erróneamente la tabla al aplicar equivocadamente procedimientos de proporcionalidad inversa. Es imprescindible que analicen la tabla y establezcan la constante de proporcionalidad (k = 5), la que les permitirá determinar la función que representa la situación (y = 5x), y que completen la tabla. Con esta información, podrán construir el gráfico. • En el ítem 10, es posible que los y las estudiantes confundan el gráfico correspondiente a una proporcionalidad inversa, o bien no interpreten correctamente la información que en él aparece, lo que les llevará a determinar erróneamente la constante de proporcionalidad (k = 120) y la expresión algebraica que modela 120 esta situación (y = ). Es por ello que se recomienda analizar el gráfico y, si es x necesario, construir una tabla que permita analizar la información mediante otro registro para facilitar la solución del ítem. A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzar o profundizar los contenidos trabajados en la Unidad. Usted podrá plantearles las actividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtengan en la evaluación sumativa, según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.

La siguiente rúbrica se puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 9 y 10. Ítem

325

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Calcula, formula y representa correcta- Calcula, formula y representa correcta- Calcula, formula y representa mente cada una de las preguntas, mente cada una de las preguntas, erróneamente una de las preguntas, justificando cada uno de sus pasos. sin justificar todos sus pasos. sin justificar todos sus pasos.

Calcula, formula y representa erróneamente dos o más preguntas, sin justificar sus pasos.

Analiza, formula y representa correcta- Analiza, formula y representa correcta- Analiza, formula y representa mente cada una de las preguntas, mente cada una de las preguntas, sin erróneamente una de las preguntas, justificando cada uno de sus pasos. justificar todos sus pasos. sin justificar todos sus pasos.

Analiza, conecta, formula y representa erróneamente todas las preguntas, confundiendo la proporcionalidad que representa el gráfico y con ello la función asociada, la constante de proporcionalidad y la expresión algebraica.

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

8. En una tienda de artículos de oficina, el precio de un archivador es de $ 1200. La función que relaciona la cantidad de archivadores y su costo es:

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo

1200 x

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8.

A. y = 1200 + x

C. y =

1. Una modista confecciona 6 blusas en 8 horas. ¿Cuántas horas tardará en confeccionar 24 blusas?

B. y = 1200 – x

D. y = 1200x

A. 144

B. 32

C. 4

D. 3

2 Cinco llaves llenan un estanque en 4 horas. ¿En cuánto tiempo lo llenarían 8 llaves? A. 2 h y 30 min. B. 2 h y 5 min.

C. 2 h y 50 min. D. 25 horas.

3. La sombra de una persona que mide 1,60 m es de 40 cm a una hora determinada. ¿De cuánto será la sombra a la misma hora de una persona que mide 1,80 m? A. 45 cm

B. 50 cm

C. 35 cm

D. 60 cm

4. Alejandra necesita comprar 15 metros de elástico. En la tienda venden a $ 400 los 6 metros. ¿Cuánto deberá pagar por los 15 metros de elástico? A. $ 1600

B. $ 500

C. $ 800

D. $ 1000

5. Para terminar una ampliación en 15 días, se necesitan 4 obreros. Si solo se pueden contratar a 3 obreros, ¿cuántos días se demorarán? A. 10

B. 11

C. 20

D. 12

6. En una relación de proporcionalidad inversa: A. el gráfico es siempre una línea recta. B. el cociente entre las variables no es constante. k C. se puede representar como una función de la forma y = , donde k es la x constante de proporcionalidad. D. si una de las variables aumenta, la otra aumenta en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, la otra disminuye en un mismo factor. 7. En un plano aparece la plaza de la ciudad, con un largo de 16 cm y un ancho de 10 cm; en la realidad la plaza mide 120 m de largo. ¿cuál sería el ancho? A. 192 m

B. 384 m

C. 150 m

D. 75 m

9. En una excursión, las provisiones para 12 personas durarán 6 días. Si la cantidad de personas varía y la cantidad de alimentos es la misma, completa la tabla y responde. Número de personas

Días

a) b) c) d) e)

¿Cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cómo lo obtuviste? ¿Cuál es la variable dependiente y la independiente? ¿Cuál es la función que modela esta situación? ¿Para cuántos días alcanza la provisión si son 9 personas?, ¿ y 24? Construye el gráfico de esta función.

10. Para fabricar 30 kg de chocolate se necesitan 10 kg de cacao. Completa la tabla y responde. Cacao (kg)

130

150

Chocolate (kg)

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cómo lo obtuviste? b) ¿Cuál es la variable dependiente y la independiente? c) ¿Cuál es la función que modela esta situación? d) ¿Cuánto chocolate tendré con 70 kg de cacao? ¿y con 110? e) Construye el gráfico de esta función. De profundización Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 6. 1. Si x e y son variables directamente proporcionales, entonces podemos afirmar que: y A. la constante de proporcionalidad es k = . x B. la constante de proporcionalidad es k = xy. C. la constante de proporcionalidad cambia según los valores de las variables. D. es siempre un valor entero positivo.

326

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales – Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

2. Dado el siguiente gráfico podemos afirmar que:

5. Si x e y son variables inversamente proporcionales, entonces el valor que falta en la tabla es: A. 6 B. 24 C. 12 D. 4

3,5 6

6. El dominio de una función corresponde a: A. todos los valores que puede tomar la variable independiente. B. todos los valores que toman las variables dependientes o independientes, según corresponda. I. Representa una relación de proporcionalidad inversa. II. Mientras más llaves estén abiertas más tiempo tarda en llenarse el estanque. III.Se puede representar como y = 12x.

140 ? x

A. En un kiosco cada lápiz cuesta $ 140. B. Una piscina con veinte llaves se llena en 7 horas. C. En un almacén, cada paquete de papas fritas cuesta $ 140. D. Un ciclista recorre 140 m a 40 km/hr. 4. La sombra de un edificio que mide “a” metros es de “b” metros a una hora determinada. ¿De cuántos metros será la sombra de un poste que mide “c” metros a la misma hora? ba A. c B. abc C.

bc a

D. Ninguna de las anteriores.

327

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

D. todos los valores que toman las variables. 7. Observa la siguiente tabla, complétala y responde.

A. Solo I B. Solo II C. I y II D. I y III 3. ¿Cuál de las siguientes situaciones representa a la función f(x) =

C. todos los valores que puede tomar la variable dependiente.

Cantidad de zapatos

Precio ($)

37 680

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? b) ¿Cuál es la función que representa a esta situación? c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente? d) ¿Cuál es el dominio de la función?, ¿y su recorrido? e) Construye el gráfico que representa a esta función. 8. Los valores de x e y de la tabla son inversamente proporcionales. Completa la tabla con los datos que faltan y responde. x y

6 72

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? b) ¿Cuál es la función que modela esta situación? c) ¿Cuál es el valor de y si x = 4?, ¿y si x = 18? d) Construye el gráfico que representa a esta función.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 326 Y 327 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

De profundización

De refuerzo

1. A

1. B

2. A

3. A

9. Número de personas Días

4. D

5. C

6. C

7. D

8. D

2. A

3. B

4. C

5. C

6. A

Cantidad de zapatos

Precio ($)

37 680

62 800

100 480

163 280

238 640

a) k = 12 560 a) k = 72

b) y = 12 560x

b) Variable independiente: Nº de personas. Variable dependiente: Días.

c) Variable independiente: cantidad de zapatos. Variable dependiente: precio.

72 c) f(x) = x

d) Dom (f) = 0, Rec (f) = {12 560 • n / n ∈ 0}. 8.

d) 8 y 3 personas, respectivamente. 10.

Cacao (kg)

130

150

Chocolate (kg)

180

270

390

450

108

a) k = 216 216 x

a) k = 3

b) f(x) =

b) Variable independiente: kg de cacao. Variable dependiente: kg de chocolate.

c) 54 y 12, respectivamente.

c) y = 3x d) 210 kg y 330 kg, respectivamente.

328

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

EVALUACIÓN FINAL En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiar y utilizar como evaluación sumativa de la Unidad. Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la Unidad de Funciones y relaciones proporcionales. El tiempo estimado para la realización de la prueba es de 40 minutos, que puede ser modificado según las características de sus estudiantes. Para que la evaluación le permita calificar a sus alumnos y alumnas, se sugiere utilizar la siguiente pauta: Ítem

Habilidades que se evalúan

Calcular, analizar, reconocer, identificar y formular

Analizar, calcular, formular y representar

Puntaje

Total

2 puntos cada una

16 puntos

10 puntos cada una

30 puntos

Puntaje total de la evaluación: 46 puntos. Los ejercicios y problemas presentados permiten evaluar los aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere: Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.

• En el ítem 10, es posible que los y las estudiantes confundan el gráfico correspondiente a una proporcionalidad inversa, lo que les llevará a determinar erróneamente la constante de proporcionalidad y la expresión algebraica. Es por ello que se recomienda analizar el gráfico detalladamente y, luego, responder las preguntas. • En el ítem 11, es posible que los y las estudiantes confundan el tipo de proporcionalidad de las variables y por ello completen erróneamente la tabla y todos los demás aspectos. Es necesario que analicen la tabla y observen qué relación es la que se mantiene según los datos que entrega y lo que significan, para definir el tipo de proporcionalidad y sus características. Después de que conozca los resultados obtenidos por sus estudiantes en esta evaluación se recomienda que revise junto con ellos cada una de las preguntas presentadas, con el fin de detectar los errores que cometieron y aclarar las dudas que tengan. Luego, puede utilizar como evaluación sumativa final la que le presentamos en las páginas 332 a 335 de esta Guía.

SOLUCIONARIO DE LA EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE DE LAS PÁGINAS 330 Y 331 I. 1. B

2. B

3. D

4. C

5. C

6. B

7. B

8. C

Logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente seis preguntas. Por lograr, si contesta correctamente menos de seis preguntas.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En los ítems 1 a 8, se sugiere pedirles a sus estudiantes que realicen algún tipo de desarrollo en cada pregunta, pues de este modo se podrá detectar en qué se están equivocando y ayudarlos a alcanzar los aprendizajes que se espera que logren. • En el ítem 9, es posible que los y las estudiantes completen erróneamente la tabla. Es importante que analicen la tabla y establezcan la constante de proporcionalidad que les permitirá determinar de forma correcta los elementos desconocidos de la tabla, así como la representación algebraica y con ello la construcción adecuada del gráfico según la tabla.

II. 9. a) k = 1,5 b) Variable independiente: comedores. Variable dependiente: días. c) y = 1,5x. Dom (f) = 0, Rec (f) = {1,5 • n / n ∈ 0}. d) 21 y 24 días, respectivamente. 10. b) k = 450

d) f(x) =

c) Variable independiente: rapidez. Variable dependiente: tiempo. 11. a) Proporcionalidad inversa.

450 x

e) 4 h y 30 min; 3 h y 36 min.

b) k = 288

c) f(x) =

288 x

d) x = 2,4

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus alumnos y alumnas en el ítem II. Ítem

329

Completamente logrado Analiza, calcula, formula y representa correctamente cada una de las preguntas, justificando cada uno de sus pasos. Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Logrado Analiza, calcula, formula y representa correctamente cada una de las preguntas, sin justificar todos sus pasos.

Medianamente logrado Analiza, calcula, formula y representa erróneamente cuatro o menos de las preguntas, sin justificar todos sus pasos.

Por lograr Analiza, conecta, formula y representa erróneamente más de cuatro preguntas y no justifica sus pasos.

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EVALUACIÓN Funciones y relaciones proporcionales Nombre:

Curso: 8º Puntaje:

Fecha: Nota:

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. Realiza el desarrollo al lado de cada pregunta. 1. En un día, Macarena bebe tres vasos de leche. ¿Cuántos vasos de leche se toma en 8 días? A. B. C. D.

11 24 12 5

2. Para preparar en 8 horas las tortas para una fiesta hacen falta 6 cocineros. ¿Cuántos cocineros se necesitan para prepararlas en 4 horas, si trabajan al mismo ritmo? A. B. C. D.

4. Un conductor de maquinaria pesada traslada 60 toneladas de ripio en 8 viajes. Si debe transportar 180 toneladas, ¿cuántos viajes debe realizar?

3 12 6 8

A. B. C. D.

18 32 24 28

5. En una construcción, 12 trabajadores terminan una obra en 10 días. Para concluirla en 6 días menos, ¿cuántos trabajadores más se necesitarán? A. B. C. D.

18 32 30 48

6. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa la relación entre dos variables inversamente proporcionales? A.

3. Un automóvil gasta 30 litros de bencina para recorrer 450 kilómetros. ¿Cuántos litros gastará al recorrer 960 kilómetros? A. B. C. D.

330

32 24 36 64

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

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7. Un vendedor de calzado tiene un sueldo fijo mensual de $ 180 000 más un bono de $ 1500 por par de calzado vendido. ¿Cuál es la función que representa el sueldo del vendedor? A. B. C. D.

10. Observa el siguiente gráfico que relaciona la rapidez y el tiempo que un automóvil tarda en llegar a un determinado lugar; luego, responde. Tiempo (min)

y = + 180 000 y = 1500x + 180 000 y = 181 500 + x y = 181 500x

50 45

8. Dada la siguiente tabla, podemos afirmar que: Cantidad de libros

Precio ($)

39 000

59 500

69 990

18 15

A. cada libro cuesta $ 6800. B. la cantidad de libros corresponde a la variable independiente, y el precio a la dependiente. C. las variables no se relacionan proporcionalmente. D. las variables son inversamente proporcionales.

10 9

20 25 30

Rapidez (km/h)

a) Construye la tabla correspondiente al gráfico. II. Resuelve los siguientes ejercicios, anotando los pasos de resolución, en cada caso. 9. En una empresa de muebles, al solicitar 4 comedores se demoran 6 días. Completa la tabla que relaciona los días que tarda la empresa en fabricar comedores y, luego, responde. Comedores

Días

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

c) ¿Cuál es la variable dependiente y la independiente? d) ¿Cuál es la función que modela esta situación? e) ¿Cuánto tiempo demorará a 100 km/h?, ¿y a 125 km/h? 11. Los valores de x e y de la tabla tienen un relación de proporcionalidad. Completa la tabla con los valores que faltan y responde. x y

96 9

b) ¿Cuál es la variable dependiente y la independiente?

a) ¿Qué relación de proporcionalidad tienen las variables?

c) ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominio?, ¿y su recorrido?

b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

d) ¿Cuántos días se demorarán en hacer 14 comedores?, ¿y 16? e) Construye el gráfico que representa esta función.

331

b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

c) ¿Cuál es la función que modela esta situación? d) ¿Cuál es el valor de x si y = 120?

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EVALUACIÓN FINAL

Unidad 2: Potencias

Nombre:

Curso: 8º

Fecha:

Puntaje:

A. –144

Nota:

Marca la opción correcta en las siguientes preguntas.

La expresión [(–2) + (–10)]2 es igual a: B. 144

C. 64

D. –64

En la expresión (–6) = –216 el valor de x es: A. 3

B. –3

C. 2

D. 6

Unidad 1: Números enteros 1.

La adición (–4) + (–4) + (–4) + (–4) + (–4) se puede expresar como:

B. 4 • (–4) D. (–5) • (–4)

B. –88

C. –19

D. –11

En la expresión x • 4 = –20, el factor x es: A. 5

B. –4

C. –80

D. –5

El resultado de (–12) • (–6) es: A. 72

A. 118

C. –368

B. –118

D. 368

B. –72

11. La solución de (–7)12 : (–7)9 es: A. 343

C. –49

B. –343

D. 49

12. La solución de (–2)7 • 57 es: A. 10 000 000

C. –18

D. 18

B. –10 000 000 C. –100 000 000

D. –70 000 000

El resultado de (–55) : 5 es: A. –11

B. –275

C. 11

D. –60

B. –22

C. 22

13. La expresión ((0,2)2) es igual a: A. 0,00032

El resultado de (–2) • [(–45) : 9 + 6] es igual a: A. 2

D. –2

B. 0,00064 C. 0,000064 D. 64

332

C. (–2)7

El resultado de (–8) • 11 es: A. 88

B. (–2)8

10. La solución de (–5)2 • (–5) – (–3)2 • (–3)3 es:

C. 5 • (–4)

La expresión (–2) • (–2)2 • (–2) • (–2)5 escrita como una sola potencia es: A. 29

A. 5 • 4

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

D. (–2)9

19. El área pintada es (considera π = 3,14):

Unidad 3: Geometría y medición

A. 7,74 cm2

14. El número π es igual a: A. La razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. B. La razón entre el diámetro de una circunferencia y su longitud. C. La razón entre la longitud de una circunferencia y su radio.

B. 19,26 cm2

3 cm

C. 28,26 cm2 D. 64,26 cm2

D. La razón entre la longitud de una circunferencia y el área del círculo. Unidad 4: Movimientos en el plano 15. Si la longitud de una circunferencia es 59,66 cm, entonces, su diámetro mide: (considera π = 3,14) A. 9,5 cm

B. 19 cm

C. 38 cm

D. 4,75 cm

20. ¿Cuál de las siguientes opciones representa la rotación del triángulo ABC en 180º con centro en el vértice A? B

B C

16. El área de un círculo cuyo radio mide 3,5 cm es: (considera π = 3,14)

A. 21,98 cm

C’

B. 10,99 cm2 C. 19,23 cm2

B’ 2

D. 38,465 cm

B’

C’

17. El volumen de un cono cuyo radio de la base mide 60 cm y su generatriz mide 100 cm, es: (considera π = 3,14)

A. 904 320 cm3

B. 452 160 cm

C. 301 440 cm3

B’

D. 376 800 cm3

21. ¿En cuál de las siguientes opciones las figuras corresponden a una traslación?

18. El área total del cilindro de la figura es (considera π = 3,14): 2

A. R y S

B. S y T

18 cm

C. 2260,8 cm2

12 cm

A. 8138,88 cm

B. 1582,56 cm2

C’

D. 1808,64 cm2

333

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C. R y T

D. V y R

22. ¿Con cuál de las siguientes figuras es posible teselar el plano? A. Círculo

Unidad 5: Datos y azar 25. La siguiente tabla muestra el número de tíos que tienen los alumnos y alumnas de Primero Medio de un colegio de Arica. Complétala.

B. Pentágono regular C. Hexágono regular

N° de tíos

D. Octágono regular 23. ¿Con cuál de las siguientes combinaciones de polígonos regulares es posible teselar el plano? A. Hexágono y triángulo B. Hexágono y cuadrado

Marca de clase

1-5 6 - 10 11 - 15 16 - 20 21 - 25 26 - 30

Frecuencia absoluta

Frecuencia absoluta acumulada

Frecuencia relativa

5 12 23 21 16 11

C. Pentágono y triángulo ¿Qué porcentaje de estudiantes tiene menos de 16 tíos?

D. Octágono y cuadrado

A. 26%

B. 14%

C. 69%

D. 45%

24. ¿Cuál de las siguientes teselaciones es semirregular? A.

26. De la situación anterior, la frecuencia absoluta acumulada en el intervalo 21 - 25 corresponde a: A. 61

B. 77

C. 16

D. 27

27. De la tabla del ítem 25, el valor aproximado de la media aritmética corresponde a: A. 16 B.

B. 14,4

C. 16,6

D. 13,5

28. De la tabla del ítem 25, el valor aproximado de la moda corresponde a: A. 14,4

B. 16,6

C. 13

D. 23

29. De la tabla del ítem 25, ¿cuántos estudiantes tienen 21 tíos o más? A. 27

B. 16

C. 11

D. 61

30. La cardinalidad del espacio muestral del experimento “lanzar un dado y una moneda simultáneamente” es: A. 8 334

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

B. 12

C. 24

D. 6

31. En una urna hay 12 bolitas rojas, 10 blancas y 15 azules. Si se extrae una bolita, sin mirar, la probabilidad de que no sea roja es: A.

12 37

10 37

25 37

15 37

35. La función que relaciona el tiempo (x) y la rapidez (y) en la pregunta anterior es: A. y = B. y =

240 x x

240

Unidad 6: Funciones y relaciones proporcionales

C. y = 240x

32. En una tienda, el precio de cada polera es de $ 4560. Si x representa la cantidad de poleras e y su costo, ¿cuál es la función que representa el precio de una cantidad de poleras?

D. y = 80x

A. y = 4560 B. y = 4560 + x 4560 C. y = x D. y = 4560x 33. Del ítem anterior, ¿cuál es el dominio? A. Dom ( f ) = B. Dom ( f ) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} C. Dom ( f ) = {4560, 9120, 13 680, 18 240 , …} D. Dom ( f ) = 0 34. Luis demoró tres horas en llegar a la playa con una rapidez constante de 80 km/h. ¿Con qué rapidez tendría que viajar para llegar en 4 horas?

36. Los pasajes para viajar desde Santiago a Valparaíso en una línea de buses tienen un costo de $ 5600. ¿Cuántos pasajes se pueden comprar con $ 128 800? A. 20 B. 21 C. 23 D. 25 37. Del ítem anterior, la función que permite determinar el costo de x pasajes es: A. f(x) = 5600 + x B. f(x) = 5600x C. f(x) =

5600 x

D. f(x) = 5600x + x

A. 32 km/h B. 120 km/h C. 70 km/h D. 60 km/h

335

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Solucionario 1. C

5. A

9. D

13. C

17. C

21. B

25. D

29. A

33. D

2. B

6. D

10. A

14. A

18. C

22. C

26. B

30. B

34. D

3. D

7. B

11. B

15. B

19. A

23. A

27. C

31. C

35. A

4. A

8. A

12. B

16. D

20. A

24. B

28. A

32. D

36. C

37. B

TEXTO DEL ESTUDIANTE 200 Y 201

336

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TEXTO DEL ESTUDIANTE 202 Y 203

337

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 204 Y 205

338

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

TEXTO DEL ESTUDIANTE 206 Y 207

339

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TEXTO DEL ESTUDIANTE 208 Y 209

340

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TEXTO DEL ESTUDIANTE 210 Y 211

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TEXTO DEL ESTUDIANTE 212 Y 213

342

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TEXTO DEL ESTUDIANTE 214 Y 215

343

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TEXTO DEL ESTUDIANTE 216 Y 217

344

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TEXTO DEL ESTUDIANTE 218 Y 219

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TEXTO DEL ESTUDIANTE 220 Y 221

346

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TEXTO DEL ESTUDIANTE 222 Y 223

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TEXTO DEL ESTUDIANTE 224

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