sexto_unidad fracciones

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UNIDAD 3: FRACCIONES Contenidos: Fracción de una región; fracción de una cantidad; amplificación y simplificación de fracciones; fracciones equivalentes; adición y sustracción de fracciones; multiplicación y división de fracciones; resolución de problemas

Fracciones equivalentes Dos o más fracciones son equivalentes si representan una misma cantidad.

Ejemplo:

3 de 32 = 24 4

6 de 32 = 24 8

3 4

6 8

Las regiones sombreadas son iguales, es decir

Ubica en la recta numérica las fracciones

3 6 es equivalente a .

4 8

3 6 y 4 8

1 2

0

Dos fracciones son equivalentes si: _______________________________________________

Ejemplo: 7 21 = 8 24

⇔ 7 x 24 = 8 x 21

1

34

En general podemos decir que: a c E ⇔ axd = cxd b d

ACTIVIDAD: Encuentra 5 fracciones equivalentes a: 7 = 8

12 = 17

2 = 9

9 = 7

5 = 6

1 = 5

Orden de fracciones La fracciones podemos ordenarlas y a su vez compararlas.

Si tomamos el ejemplo: ¿ Cual es mayor

3 5 o ?

4 8

Si representamos gráficamente estas fracciones, podremos darnos cuenta que 3 5 es mayor que .

4 8

0

1 1 2

Lo denotamos como

5 8

3 4

3 5 > > 4 8

Hay que tomar en cuenta que para estos efectos debemos trabajar con fracciones de igual denominador, para el ejemplo anterior vemos que esto no sucede, por tanto transformaremos estas fracciones que poseen distinto denominador las transformaremos a fracciones de igual denominador.

Aquí viene la utilidad del cálculo del M.C.M. entre los denominadores 3 y 8.

El M.C.M. entre 3 y 8 es 24.Por tanto podemos transformar las fracciones 3 4

y

5 8

a

18 15 y 24 24

luego podemos decir que

16 15 3 5 > , luego > 24 24 4 8

Podemos también resolver de la forma mediante la utilización de productos cruzados

35

3 5 > 4 8

⇔ 3x8>4x5

En general podemos decir que: a c > ⇔ axd > bxc b d

Coloca el signo > o < según corresponda: 2 7 ____ 3 9

1 1 _____ 2 3

3 5 _____ 5 8

4 3 ______ 3 4

Amplificación de fracciones Amplificar una fracción corresponde multiplicar el numerador y el denominador por un mismo número. El Valor de la fracción no varía, pues, al amplificar una fracción se está multiplicado por 1 Recuerda que el 1 = {

1 2 3 4 ; ; ; ;…………..} 1 2 3 4

Entonces si amplificamos

2 2 x5 10 por 5 resulta: = 3 3 x5 15

La fracción resultante es equivalente a

La expresión

2 3

10 15

se puede simplificar por 5, pues este es un divisor común a 10 y a 15; entonces el 10 lo escribimos como 2 x 5 y el 15 como 3 x 15 10 5x2 5 2 2 2 = = x =1x = 15 5 x3 5 3 3 3

este proceso se reduce a: 10 = 15

5x2 2 = 5 x3 3

Amplifica por 6 las siguientes fracciones: 2 = 5

12 = 19

7 = 3

8 = 9

Simplificación de fracciones:

36

La fracción

6 podemos simplificarla de la siguiente manera: 8

a) Ubicamos el máximo común divisor entre 6 y 8. En este caso corresponde al 2.

Por tanto descomponemos esto número de la siguiente manera: 6 2 x3 2 3 = ; si descomponemos esto, nos queda: x 8 2 x4 2 4

pero sabemos que 1 =

1 2 3 4 ; ; ; .......

2 2 3 4

también sabemos que el 1 es un neutro multiplicativo, por tanto, la fracción 6 3 = 8 4

Del mismo modo simplifica las siguientes fracciones: 12 = 15 6 = 30

20 = 25 72 = 81

49 = 21

8 = 40

10 = 100

50 = 120

Fracción irreductible corresponde a aquella que no se puede seguir simplificando Ej. La fracción

7 es una fracción irreductible.

8

Ordena las siguientes fracciones en forma decreciente: 7 9 1 ; ; = 9 8 2

1 1 ;2; = 2; 3

3 1 7 ; ; = 8 6 8 2 3 7 ; ; = 3 4 6

Adición y sustracción de fracciones de igual y distinto denominador.

Problema: Anselmo va a la feria a comprar

3 1 kgr. de papas; kgr. de queso y 4 2

2,5 kgr. de espárragos. ¿ Cuánto peso trae en total?

37

Sabemos que solamente podemos sumar o restar fracciones de igual denominador, por tanto transformamos a un común denominador, debemos tener presente también que la expresión decimal 2,5 corresponde a: 2,5 =

25 5 = 10 2

entonces nuestra operación se limita a sumar: 3 1 5 + + = en este caso el mínimo común denominador corresponde a 4 4 2 2

3 2 10 15 3 + + = =3 4 4 4 4 4

Calcula: 7 1 1 + + = 8 6 8

1 4 5 + + = 9 3 6

2 1 7 − +2 = 3 6 8 2−

2

8 2 + +4 = 9 3

7 = 9

140 −

3 1 3 +5 −2 = 4 6 8

8−

1 = 7

3 1 5 − +4 = 4 9 18

3 1 + = 8 6

3 7 2 +( − ) = 4 9 3

Encuentra el perímetro de un triángulo equilátero de lado: a)

7 m.

8

b)

3 4

b=1

Si a =

5 m.

6

2 3

c) 3

c = 0,4 y d =

3 m.

4

3 8

Hallar el valor de las siguientes expresiones: a+b=

b-c=

c+d=

b-a-d=

d+a=

b-c+a=

38

2.- En un Colegio hay 150 alumnos internos y 270 externos¿ Qué parte del alumnado son internos?; ¿ Qué parte externo?

3.- Expresar en horas ( fracción irreductible ) a) 10 minutos y 30 segundos b) 13 minutos y 20 segundos Reduce previamente el tiempo a segundo

4.- Amplifica la fracción

7 por 2, 3, 4, 6, 8 ¿ Cuál de todas estas fracciones es 9

mayor?

2 de la 5 3 superficie del país y las dos provincias del extremo sur ocupan los 10

5.- Las cuatro provincias del norte ocupan aproximadamente los

aproximadamente. ¿Qué fracción del territorio ocupan las restantes provincias?. ¿ Cuántas provincias conforman nuestro país? ¿ Cuál es la provincia con mayor superficie? ¿ Cuál es la región con mayor superficie? ¿ Cuál es la superficie de nuestro país? Que parte aproximadamente es nuestra provincia de Osorno con respecto a la Décima Región y a nuestro país?

6.- Un agricultor vende la sexta parte y después las cinco octavas partes de su cosecha de trigo, quedándole aún 480 sacos. ¿ Cuánto trigo cosechó y cuánto vendió cada vez?

7.- Un tambor tenía hasta un quinto de su capacidad. Agregándole 63 litros llegó hasta la mitad. ¿ Cuál es la capacidad del tambor?

8.- El perímetro de un sitio es 120 metros y el ancho es dos tercios del largo.

Encuentra el largo y el ancho.

9.- Escribe con tres nueve un número que sea igual a 10.

10.- Si en música tomamos como unidad el tiempo de una blanca. ¿ Qué fracción de tiempo representan las demás notas?

11.- El yeso se vende en bolsas de un tercio de quintal. ¿Cuántas bolsas se obtienen en 7 quintales?

12.- Por un kilogramo de miel me cobraron $ 1400. ¿ A cómo resulta los tres cuartos de kilogramo?

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13.- La mitad de un curso son 22 alumnos. ¿ Cuál es la cuarta parte del curso?

14.- ¿Cuál es la mitad de un medio? ¿ Cuántos octavos tiene un cuarto?; ¿ Cuántos octavos tiene un medio?

15.- ¿Cuál es el doble de un medio? ¿El doble de un cuarto? ¿ La mitad de un cuarto?

16.- ¿Qué parte de una hora son 71 segundos? ¿ 36 segundos ¿ 17.- ¿Cuántos paquetes de té de tres octavos de kilogramo se pueden obtener con 6 kilogramos de té?

18.- Un balde que estaba lleno hasta los

7 de su capacidad se terminó de llenar 8

con 2 litros. ¿ Cuál es la capacidad del balde?

19.- ¿Cuántas tazas de un cuarto de litro se pueden llenar con 5 litros de leche?

21.- En un curso se sabe que: • Al 50 % le gusta practicar fútbol.

• A la cuarta parte del curso le gusta practicar voleibol.

• A los 8 alumnos restantes no les gusta ningún deporte ¿ A qué porcentaje del curso le gusta algún deporte? ¿ Cuántos alumnos tiene el curso?

22.- En una escuela mixta han decidido que todos los primeros básicos tengan 50 % de hombres y 50 % de mujeres. Este año se formaron cuatro primeros básicos: 1º A; 1 ºB; 1º C y 1º D. a) Si en el Primero A hay 18 mujeres: ¿ Se podría afirmar que hay 18 hombres en ese curso?. Explica por qué. b) Para una clase especial se juntaron 56 niñas. 19 eran del Primero B; 17 eran del Primero C y las demás pertenecían al Primero D. ¿ Cuántos niños hay en cada uno de los primeros?

Explica como lo determinaste.

1.- Amplifica por 8 las siguientes fracciones: 3 = 7

8 = 9

4 = 11

7 = 12

2.- Simplifica cada fracción hasta llegar a una fracción irreductible: 12 = 15

24 = 36

28 = 36

54 = 108

40

26 = 32

9 = 27

45 = 36

60 = 108

3-

9 = 45

6 = 9

120 = 136

50 = 60

Coloca el signo < o > según corresponda:

7 1 ____ 8 2

5 7 _____ 6 9

1 1 _______ 2 10

1 1 ______ 10 100

4.- Ordena en forma decreciente: 3 5 1 2 ; ; ; 4 6 2 3

7 7 7 7 ; ; ; 9 8 12 5

4.- Encuentra 10 fracciones equivalentes a: 7 = 10 4 = 7

8 = 15

7 = 12

5.-Hallar el 20% de: a) 20=

b) 44 =

c) 72=

d) 36 =

6.- Encuentra el 75% de: a) 150 =

b) 200 =

c) 75 =

d) 24 =

6.- Encuentra la fracción decimal de: a) 40 % =

b) 72 % =

c) 60 % =

d) 85 %

7.- Completa: Fracción común

Fracción decimal

Número decimal

porcentaje

41

1 4

20 % 6 100 3 4

3 5

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES Contexto: Debo calcular el área de una mesa de 4

3 2 metros de largo y 3 metros 4 5

de ancho para poder barnizarla con un tarro que rinde 20 m2. ¿Como debo hacerlo? Escribe tus sugerencias

AYUDA: a) Primeramente debo calcular el área de la mesa, para ello deberé multiplicar el largo por el ancho de la mesa. b) Para hacer esta multiplicación deberé transformar estos números mixtos en fracciones impropias. c) Multiplico las fracciones.

Ahora veamos como hacerlo y tengamos algunos conceptos en cuenta.

Recuerda que la multiplicación es una adición de sumando iguales, es decir, si tu realizas la suma de: 34 +34 +34 + 34 + 34 , es lo mismo que multipliques 34 por 5. En ambas circunstancias produce 170.

Bajo esta perspectiva, entones al multiplicar una fracción por un cardinal, el cardinal indica las veces que la fracción deberá sumarse consigo misma.

Veamos un ejemplo: 7 7 7 7 7 7 7 + + + + + es lo mismo que x6 8 8 8 8 8 8 8

esto produce

42 1 , que simplificado y transformado a número mixto son 5 8 4

42

Entonces, podemos establecer, que para multiplicar fracciones por un cardinal, multiplicamos el numerador por el cardinal y conservamos el denominador.

Esto, de conservar el denominador, en realidad corresponde a multiplicar el denominador por 1 ( neutro multiplicativo )

Básicamente cuando multiplicamos

7 7 6 x 6 es lo mismo que x 8 8 1

Podemos concluir entonces: a c ac x = b d bd

ciertamente con los denominadores distintos del elemento cero.

Volviendo a nuestro contexto de barnizar la mesa 4

3 2 19 17 323 3 x 3 = x = = 16 4 5 4 5 20 20

Como el tarro de barniz cubre 20 m2 aún me sobrará un resto de barniz.

Veamos algunos ejercicios, resuélvelos y tus dudas acláralas de inmediato 7 1 x = 9 6

6

2 1 x5 = 3 2

4 7 x = 5 8

12

3 x 18 = 5

Recuerda siempre que cada vez que tu puedas simplificar una fracción hazlo, pues reduce la multiplicación a dígitos más simples.

Veamos un caso: 4 1 3 x x = 5 6 5

Simplifiquemos primeramente y luego resolvemos.

1.- Resuelve las siguientes multiplicaciones de fracciones y simplifica: 3 7 1 x x = 5 8 6 7 3 5 3 x x x = 9 4 12 5

7 x6= 8

4

5 x8= 6

43

2.- Resuelve los ejercicios que se plantean: 3

3 9 1 + x = 10 4 6

2 1 x = 5 9 7 3 5 1 x + = 8 4 8 6

(

8 2 2 1 +4 )x = 3 9 5 3

3.- Encuentra el valor que falta: 3 12 x _____ = 15 30 18 x _____ = 1 30 2 4 1 x = x ______ 3 9 2 8 x ______ = 1 9 1 x _______ = 0 2

Completa el siguiente cuadro: A

B

C

3 5 2 3

1 2 1 3 2 3 3 6 9

3 4 6 3 2 5 1 2 7 8 3 3 8

4 7 8 4 5 7 9

Problemas

1 2

AXB

1

AXC

2A+3

A+BXC

44

La bencina tenía un costo de $ 350 el litro. Tuvo un alza del 25 % de 12 %. ¿ Cual es el valor actual de la bencina?

¿ Cuál es el perímetro de un triángulo equilátero de lado

¿ Cuál es el área de un cuadrado de

7 metro ?

8

2 metro ?

5

AUTOEVALUACION Fecha:____________________________________Puntaje:___________ Resuelve en forma personal y a posterior compara desarrollo y resultados con un compañero. ( se presentará el desarrollo también en el pizarrón ) a) Una persona camina el lunes

7 2 5 km.; el martes Km.; y el jueves Km. 8 3 12

¿ Cuánto camina esos tres días? ( 4 puntos )

b) Dispongo de $ 7.500 y gasto

1 del dinero. ¿ Cuánto dinero me queda? ( 3 3

puntos )

c) ¿ Cuántos metros cuadrados posee un rectángulo de lados

5 5 Km. y Km.?

8 6

( 3 puntos )

d) Compré

5 3 litros de aceite y a posterior litros de aceite, pagando $ 900. ¿ A 8 4

cómo resulta un litro de aceite? ( 4 puntos )

e) Encuentra el perímetro de un triángulo equilátero de lado ( 2 puntos )

5 dm.

8

45

f) La temperatura máxima de un día en Los Andes fue de 34 y la mínima de 7

1 grados Celcius 2

9 . ¿ Cuál fue la diferencia de grados ese día? ( 3 puntos ) 10

g) Dispongo de $ 7.500 y gasto

1 del dinero. ¿ Cuánto dinero me queda?

3

Resuelve los siguientes ejercicios: 3 5

a) 2 +

1 − 0,5 = 4

b) 10,78 - ( 4,56 - 2,08 ) =

c)

3 4 18 + + = 10 100 1000

d) (

3 5 3 + − ) + 0,7 = 5 6 8

5 4 + = e) 8 2 5 3

h) El valor de la UF es de $17.465 2.400 UF

4 5

Encuentra el valor en pesos de una casa de