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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE ENGENHARIA CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

Resistência dos Materiais I- EM Notas de Aula

Profa. Maria Regina Costa Leggerini

Resistência dos Materiais I - EM – CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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CAPÍTULO I REVISÃO DE MECÂNICA GERAL – CONCEITOS BÁSICOS I . FORÇA A. CONCEITO: Força é toda a grandeza capaz de provocar movimento, alterar o estado de movimento ou provocar deformação em um corpo. É uma grandeza vetorial cuja intensidade pode ser obtida pela expressão da física:

r F = m.a onde: F = força m = massa do corpo a = aceleração provocada Sendo força um elemento vetorial somente se caracteriza se forem conhecidos: • direção • sentido • módulo ou intensidade • ponto de aplicação Exemplo 1: Força provocando movimento

r F

Exemplo 2: Força provocando deformação

r F

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Exemplo 3: PESO DOS CORPOS: O peso dos corpos é uma força de origem gravitacional que apresenta características especiais:

r

r

Módulo: P = m.g Direção: Vertical Sentido: de cima para abaixo Ponto de aplicação: centro de gravidade do corpo

P B. UNIDADES

Existem muitas unidades representando forças sendo as mais comuns: N - Newton 1 kgf = 10 N

kN - kiloNewton 1 kN = 103 N

kgf - kilograma força 1 kN = 102 kgf

1 kN = 103 N = 102 kgf C. CARACTERÍSTICAS DAS FORÇAS

1. Princípio de ação e reação: Quando dois corpos se encontram, toda a ação exercida por um dos corpos cobre o outro corresponde uma reação do segundo sobre o primeiro de mesmo módulo e direção, mas com sentidos contrários, que é a 3ª lei de Newton.

Pode-se observar que estas duas forças têm pontos de aplicação diferentes e, portanto causam efeitos diferentes, cada uma atuando no seu ponto de aplicação.

2. Princípio da transmissibilidade de uma força, Quando se aplica uma força em um corpo sólido a mesma se transmite com seu módulo, direção e sentido em toda a sua reta suporte ao longo deste corpo.

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3. Decomposição das forças.

Qualquer força no espaço pode ser decomposta segundo três direções que desejarmos.

Normalmente, usam-se como referência três direções ortogonais entre si, escolhidas de acordo com a conveniência do problema. y

Fx

Fy

r F=

Fy

F Fx x

Fz

Fz z

r Nestes casos pode-se usar a resultante F ou suas componentes Fx, Fy e Fz para obter o efeito desejado.

Qualquer força contida em um plano também pode ser decomposta segundo duas direções.

Normalmente são usadas duas direções perpendiculares entre si, também escolhidas de acordo com a conveniência do problema.

No caso plano que é o mais usual: Exemplo: r F - força a ser decomposta

y F

x e y – direções ortogonais de referência

Fy

α Fx

x

A decomposição é feita por trigonometria: r r r r Fx = F. cos α Fy = F sen α

α - ângulo formado por F em relação à x r r Fx, Fy- componentes da força nas direções x e y

r r Fy/ Fx = tg α

r A força F decomposta r r também pode ser chamada de resultante da soma vetorial de suas componentes Fx e Fy.

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Nos problemas pode-se utilizar para cálculos apenas a força resultante, ou as suas componentes, o que se tornar mais fácil. Isto pode se constituir em uma das ferramentas mais úteis no trabalho com as forças.

Observe que soma vetorial ou geométrica não corresponde à soma algébrica.

D. CLASSIFICAÇÃO DAS FORÇAS As forças podem ser classificadas de acordo com a sua origem, modo de se comportar, etc. como, por exemplo, as forças de contato (ex: locomotivas, musculares, etc..) e as de ação à distância (ex: elétricas, gravitacionais, magnéticas, etc.)

Em análise estrutural as forças são divididas conforme esquema abaixo:

FORÇAS EXTERNAS: atuam na parte externa na estrutura, e são o motivo de sua existência. Podem ser:

ações : São forças independentes que podem atuar em qualquer ponto de uma estrutura .

Correspondem às cargas as quais a estrutura está submetida, normalmente conhecidas ou avaliadas. Ex: peso do pedestre em uma passarela, peso próprio das estruturas, etc...

reações: São forças que surgem em determinados pontos de uma estrutura (vínculos ou apoios), sendo conseqüência das ações, portanto não são independentes, devendo ser calculadas para se equivalerem as ações e assim preservarem o equilíbrio do sistema.

FORÇAS INTERNAS: são aquelas que mantêm unidos os pontos materiais que formam o corpo sólido de nossa estrutura (solicitações internas). Se o corpo é estruturalmente composto de diversas partes, as forças que mantém estas partes unidas também são chamadas de forças internas (forças desenvolvidas em rótulas).

II. MOMENTO DE UMA FORÇA

A. CONCEITO: O momento de uma força é a medida da tendência que tem a força de produzir giro em um corpo rígido. Este giro pode se dar em torno de um ponto (momento polar ) ou em torno de um eixo (momento axial).

B. MOMENTO POLAR (momento de uma força em relação a um ponto) r Chama-se de momento de uma força F em relação a um ponto "0", o produto vetorial do r r vetor OA pela força F, sendo "A" um ponto qualquer situado sobre a reta suporte da força r F. Logo também é um vetor, e para a sua caracterização é preciso determinar o seu módulo, direção e sentido.

Representa fisicamente a grandeza da tendência de giro em torno deste ponto que esta força impõe ao corpo.

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π

Mo Mo

F A

O d

r r Mo = F ∧ OA O efeito do vetor momento é o de provocar um giro com determinado sentido em relação ao ponto ‘o’ considerado. O vetor momento apresenta as seguintes características:

• direção: perpendicular ao plano formado pela força e pelo vetor OA • sentido: regra da mão direita

r • módulo: produto do módulo da força F pela menor distância do ponto "0" a reta suporte da força.

• ponto de aplicação: ponto "O" em relação ao qual se calculou o momento.

r r Mo = F .OA . sen α

ou

r r Mo = F . d

A distância d que representa o módulo do vetor OA é também chamada de braço de alavanca. Ela é a menor distância entre a reta suporte da força e o ponto em relação ao qual se calcula o momento, isto é, pode ser obtida pela perpendicular à reta que passa pelo ponto.

Isto simplifica em muito o calculo do momento polar de uma força.

M = F.d Resistência dos Materiais I - EM – CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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Regra da mão direita: A regra da mão direita consiste em se posicionar os dedos da mão direita no sentido da rotação provocada pela força em torno do ponto O. Neste caso o polegar indica o sentido do momento.

Convencionam-se sinais + escolha.

ou - para cada um dos sentidos, de acordo com a nossa

Exemplo 1: Determine o peso que devemos colocar na extremidade direita da gangorra a fim de que ela permaneça em equilíbrio estático.

P1 = 30 kN a= 2m b= 4m

Exemplo 2: Determine a força desenvolvida no tirante da estrutura, a fim de que ela permaneça em equilíbrio, sabendo-se que a barra pesa 5 kN. A barra é presa a uma parede por meio de um pino O.

G = 5 kN L=3m

α= 15º T= ?

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C. MOMENTO AXIAL Momento axial é o valor algébrico da projeção ortogonal sobre o eixo do momento polar produzido pela força em relação a um ponto qualquer do eixo. Pode ser representado por uma grandeza escalar quando se adota uma convenção para a orientação do eixo.

Exemplo 1: Força perpendicular ao plano do eixo

Mx = F . d

Exemplo 2 : Força inclinada em relação ao plano do eixo

Mx = Fz . d Fz = F . sen α

Exemplo 3 : Força no espaço (direção qualquer) F=F1+F2+F3 Mx = 0 F1 My =.0 Mz = -4 . F 1 F2

Mx = 0 My=0 Mz = - 1 . F 2

F3

Mx = + 4 . F 3 My = - 1 . F 3 Mz = 0

OBSERVAÇÃO: O momento de uma força em relação à um eixo é nulo sempre que a força e o eixo forem coplanares (concorrentes ou paralelos).

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C. UNIDADE DE MOMENTO Sendo o momento produto de uma força por uma distância, a unidade desta grandeza é o produto de uma unidade de força por uma unidade de distância.

Exemplos: kgf.m , kN.m , N.m , kN.cm , etc III. SISTEMA DE FORÇAS

A. DEFINIÇÃO: É o conjunto de forças que atuam simultaneamente em um corpo rígido ou em um ponto material.

B. RESULTANTE DE VÁRIAS FORÇAS CONCORRENTES: A resultante de várias forças que concorrem em um ponto é a soma geométrica a partir do ponto, de forças eqüipolentes às que constituem o sistema, formando um polígono.

Obs: Forças eqüipolentes são aquelas que têm mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido.

Lembrando que uma força pode ser decomposta segundo eixos de referência, pode-se determinar a resultante de uma forma mais simples, obtendo-se cada componente pela soma algébrica das projeções de todas as forças sobre este eixo.

Exemplo 1: Soma geométrica

r R=0 OBSERVAÇÃO: Se o polígono formado pelas forças for fechado a resultante é nula.

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Exemplo 2: Forças concorrentes em um ponto de um plano A resultante de forças concorrentes em um ponto de um plano também pode ser calculada através da decomposição destas forças em relação a duas direções ortogonais escolhidas.

F1x = F1 cos α F1y = F1sen α

F2x = F2 cos β F2y = F2 sen β Fx = F1x + F2x Fy = F1y + F2y

R = Σ(Fx ) 2 + Σ(Fy ) 2

PITÁGORAS

IV. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS

" O efeito produzido por um conjunto de forças atuando simultaneamente em um corpo é igual à soma do efeito produzido por cada uma das forças atuando isolada" Deve-se fazer a ressalva de que a validade deste princípio se resume a casos em que o efeito produzido pela força seja diretamente proporcional a mesma. Isto acontece na maioria dos casos estudados.

A partir deste princípio pode-se dizer que: - O momento polar resultante de um sistema de forças é a soma algébrica dos momentos polares, produzidos em relação ao mesmo ponto, por cada uma das forças atuando isolada.

- O momento axial produzido por um sistema de forças atuando simultaneamente em um corpo é igual à soma algébrica dos momentos axiais, produzidos em relação ao mesmo eixo, de cada uma das forças atuando isolada.

V. BINÁRIO OU PAR DE FORÇAS

A. CONCEITO Denomina-se binário a um sistema constituído por um par de forças paralelas, de módulos iguais e sentidos opostos. A resultante em termo de forças é nula, entretanto há um momento polar resultante de módulo igual ao produto da força pela distância entre as duas direções paralelas.

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Exemplo 1:

F= a= b= c= d=

MA =

MD =

ME =

O binário ou momento é um vetor livre, pois seu efeito independe do ponto de aplicação, sendo que para qualquer ponto do plano o binário tem o mesmo valor.

B. SITUAÇÕES REPRESENTATIVAS

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VI. TRANSLAÇÃO DE FORÇAS

Transladar uma força (como artifício de cálculo) é transportá-la de sua direção para outra direção paralela. Isto implica no acréscimo de um momento devido à translação, cujo módulo é igual ao produto da força pela distância de translação.

VII. REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS A UM PONTO

Qualquer sistema de forças pode ser reduzido a um sistema vetor-par, onde o vetor é a resultante das forças, localizada a partir de um ponto arbitrariamente escolhido e o par é o momento polar resultante do sistema em relação ao mesmo ponto.

Exemplo 1: Reduzir o sistema de forças da figura ao ponto B indicado.

Exemplo 2: Reduzir o sistema acima ao ponto A. R:

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VII. EQUIVALÊNCIA DE UM SISTEMA DE FORÇAS

Dois sistemas de forças são equivalentes quando tem resultantes iguais e momentos polares em relação ao mesmo ponto também iguais.

Exemplo: F=

α= Fx = Fy = a= b= F - sistema inicial Fx, Fy - sistema equivalente MA (sistema inicial) = MA (sistema equivalente) = O uso de sistemas equivalentes é um artifício de cálculo muito útil. Pode-se, de acordo com a conveniência, substituir uma força, ou um sistema de forças por sistemas equivalentes mais adequados ao nosso uso.

VIII. EQUILÍBRIO ESTÁTICO DOS CORPOS RÍGIDOS

A. EQUILÍBRIO NO ESPAÇO. Existem diversas possibilidades de movimento em um corpo livre no espaço.

Tomando 3 eixos ortogonais como referencia de espaço, e isto se faz necessário por uma questão de classificação e organização de método, pode-se dizer que um corpo no espaço tem 6 possibilidades de movimento ou 6 graus de liberdade.

Nestes casos o corpo possui 6 graus de liberdade, pois pode apresentar 3 translações (na direção dos 3 eixos) e 3 rotações (em torno dos 3 eixos). y

My Fy

Fx Fz

x Mx Mz

z Resistência dos Materiais I - EM – CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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Um corpo está em equilíbrio estático quando as forças atuantes formam entre si um sistema equivalente a zero, isto é, sua resultante e o seu momento polar em relação a qualquer ponto são nulos.

R =0

Mp = 0

Como se costuma trabalhar com as forças e momentos referenciados a um sistema triortogonal de eixos, desta maneira o equilíbrio se verifica se as 6 equações abaixo são satisfeitas:

∑ Fx = 0

∑ Mx = 0

∑ Fy = 0

∑ My = 0

∑ Fz = 0

∑ Mz = 0

B. EQUILÍBRIO NO PLANO Quando o corpo está submetido a forças atuantes em um só plano, devemos prever o seu equilíbrio neste plano.

Supondo um corpo com cargas em apenas um plano, por exemplo, x, y.

Neste caso o corpo possui apenas 3 graus de liberdade, pois pode apresentar 2 translações (na direção dos dois eixos) e 1 rotação(em torno do eixo perpendicular ao plano que contém as forças externas).

Exemplo: y Fy Fx

x

z

Mz

Diante de um caso de carregamento plano, e, portanto apresentando 3 graus de liberdade, as condições de equilíbrio se reduzem apenas às equações:

ΣFx = 0

Σ Fy = 0

Σ Mz = 0

Estas equações de equilíbrio são chamadas de equações fundamentais da estática.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 1. Suponha um plano formado pelos eixos x e y, conforme desenho, onde atuam as cargas F1 e F2.

Calcule: a. Momentos desenvolvidos por F1 em relação aos pontos A , B e C. b. Momentos desenvolvidos por F2 em relação aos pontos A , B e C. c. Momento da resultante do sistema em relação aos pontos A , B e C . d. Resultante do sistema na direção x e. Resultante do sistema na direção y Convencione o giro no sentido horário positivo.

F1 = 20 kN F2 = 30 kN

R: a) M1A = 0

M1B = 69,28 kN.m

b) M2A = 120 kN.m c) MA = 120 kN.m

M1C = 109,28 kN.m

M2B= 120 kN.m M2C = 0 MB = 189,28 kN.m MC = 109,28 kN.m

d) Fx = + 17,32 kN

e) Fy = - 20 kN

2. Suponha as forças indicadas no desenho atuando perpendicularmente ao eixo x. O sistema 1 representa um binário e o sistema 2 representa outro. Convencione o sentido anti horário positivo. a. Quanto vale o binário 1 b. Quanto vale o binário 2 c. São equivalentes? Por quê? d. Quanto vale o momento polar do sistema 1 em relação aos pontos A , C e E. e. Quanto vale o momento polar do sistema 2 em relação aos pontos B , D e E. f. Quanto vale o momento polar resultante destes dois sistemas em relação aos pontos A,B,C D e E.

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R: a) + 20 kN.m

b) + 20 kN.m

e) M2B=M2D=M2E = + 20 kN.m

c)sim

d) M1A = M1B=M1E = + 20 kN.m

f) MA = MB = .....=ME = + 40 kN.m

3. Suponha forças como as do exercício 3 perpendiculares ao eixo formando 2 binários.

Responda as perguntas do exercício 2 usando a mesma convenção.

R: a)- 60 kN.m

b) + 60 kN.m

e) M2B=M2D=M2E = + 60 kN.m

c) não

d) M1A=M1C=M1E = - 60 kN.m

f) MA =MB = .....= ME = 0

4. Qual a força horizontal que atua nos parafusos 1 e 2 da ligação abaixo, considerando o momento provocado pelo peso na ponta da haste

R: P1 = 100 kgf

P2 = 100 kgf

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5. Suponha as estruturas planas representadas abaixo. Determine, se necessário usando sistemas equivalentes Σ Fx ,ΣFy, ΣMA, ΣMB e ΣMC a.

R: ΣFx = 25,98 kN 65 kN

ΣFy =

ΣMA = 138,04 kN.m ΣMB = 70 kN.m ΣMC = 330 kN.m

b.

R: ΣFx =16,64 kN

ΣFy = -4,96kN

ΣMA = -36 kN.m ΣMB = -84 kN.m ΣMC = -98,96 kN.m

6. Reduzir no ponto A o sistema de forças da figura:

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CAPÍTULO II INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS SÓLIDOS – EQUILÍBRIO EXTERNO I. OBJETIVO PRINCIPAL DA MECÂNICA DOS SÓLIDOS

O principal objetivo de um curso de mecânica dos sólidos é o desenvolvimento de relações entre as cargas aplicadas a um corpo e as forças internas e deformações nele originadas.

Estas relações são obtidas através de métodos matemáticos ou experimentais, que permitam a análise destes fenômenos.

Normalmente buscamos a solução de três tipos de problemas:

→ Projetos – Definição de materiais, forma e dimensões da peça estudada. → Verificações – Diagnosticar a adequação e condições de segurança de um projeto conhecido. → Avaliação de capacidade – Determinação da carga máxima que pode ser suportada com segurança.

As principais ferramentas adotadas neste processo são as equações de equilíbrio da estática, amplamente utilizadas.

II. GRAUS DE LIBERDADE (GL)

Grau de liberdade é o número de movimentos rígidos possíveis e independentes que um corpo pode executar.

A. CASO ESPACIAL Caso dos corpos submetidos a forças em todas as direções do espaço.

No espaço estas forças podem ser reduzidas a três direções ortogonais entre si (x, y, z), escolhidas como referência.

Nestes casos o corpo possui 6 graus de liberdade, pois pode apresentar três translações (na direção dos três eixos) e três rotações (em torno dos três eixos).

Exemplo: y

My Fy

Fx Fz

x Mx Mz

z

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B. CASO PLANO Ocorre nos corpos submetidos a forças atuantes em um só plano, por exemplo, x, y.

Neste caso possuem três graus de liberdade, pois os corpos podem apresentar duas translações (na direção dos dois eixos) e uma rotação (em torno do eixo perpendicular ao plano que contém as forças externas).

Exemplo: y Fy Fx

x

z

Mz

III. EQUILÍBRIO

Sempre que se deseja trabalhar com uma peça componente de uma estrutura ou máquina, devemos observar e garantir o seu equilíbrio externo e interno.

A. EQUILÍBRIO EXTERNO Para que o equilíbrio externo seja mantido se considera a peça monolítica e indeformável.

Dize-se que um corpo está em equilíbrio estático quando as forças atuantes formam entre si um sistema equivalente à zero, isto é, sua resultante e o seu momento polar em relação a qualquer ponto são nulos.

R=0

Mp = 0

Como se costuma trabalhar com as forças e momentos referenciados a um sistema triortogonal de eixos, desta maneira o equilíbrio se verifica se as seis equações abaixo são satisfeitas:

ΣFx = 0

Σ Mx = 0

Σ Fy = 0

Σ My = 0

Σ Fz = 0

Σ Mz = 0

Diante de um caso de carregamento plano, e, portanto apresentando 3 graus de liberdade, as condições de equilíbrio se reduzem apenas às equações:

ΣFx = 0

Σ Fy = 0

Σ Mz = 0

Observe que as equações de equilíbrio adotadas devem ser apropriadas ao sistema de forças em questão, e se constituem nas equações fundamentais da estática.

B. EQUILÍBRIO INTERNO De uma maneira geral podemos dizer que o equilíbrio externo não leva em conta o modo como o corpo transmite as cargas para os vínculos.

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O corpo quando recebe cargas vai gradativamente deformando-se até atingir o equilíbrio, onde as deformações param de aumentar (são impedidas internamente), gerando solicitações internas. Estas solicitações internas são responsáveis pelo equilíbrio interno do corpo.

O equilíbrio ocorre na configuração deformada, que admitimos ser bem próxima da inicial (campo das pequenas deformações).

IV.

DIAGRAMA DE CORPO LIVRE

O objetivo principal de um diagrama de corpo livre é mostrar as forças que atuam em um corpo de forma clara, lógica e organizada.

Consiste em separar-se o nosso “corpo de interesse” de todos os corpos do sistema com o qual ele interage.

Neste corpo isolado são representadas todas as forças que nele atuam, assim como as forças de interação ou de contato.

A palavra livre enfatiza a idéia de que todos os corpos adjacentes ao estudado são removidos e substituídos pelas forças que nele que exercem.

Lembre-se que sempre que há o contato entre dois corpos surge o princípio da ação e reação.

O diagrama do corpo livre define claramente que corpo ou que parte do corpo está em estudo, assim como identifica quais as forças que devem ser incluídas nas equações de equilíbrio.

V. VÍNCULOS

A. DEFINIÇÃO É todo o elemento de ligação entre as partes de uma estrutura ou entre a estrutura e o meio externo, cuja finalidade é restringir um ou mais graus de liberdade de um corpo.

A fim de que um vínculo possa cumprir esta função, surgem no mesmo, reações exclusivamente na direção do movimento impedido.

→ Um vínculo não precisa restringir todos os graus de liberdade de uma estrutura, quem o fará será o conjunto de vínculos. → As reações desenvolvidas pelos vínculos formam o sistema de cargas externas reativas. → Somente haverá reação se houver ação, sendo as cargas externas reativas dependentes das ativas, devendo ser calculadas.

B. CLASSIFICAÇÃO Os vínculos podem ligar elementos de uma estrutura entre si ou ligar a estrutura ao meio externo e, portanto, se classificam em vínculos internos e externos.

B.1 Vínculos externos: São vínculos que unem os elementos de uma estrutura ao meio externo e se classificam quanto ao número de graus de liberdade restringidos.

No caso espacial os vínculos externos podem restringir até 6 graus de liberdade (GL) e, portanto podem ser classificados em seis espécies.

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No caso plano o vínculo pode restringir até 3 graus de liberdade (GL) e, portanto se classifica em três espécies.

Exemplos:

B.2 Vínculos internos São aqueles que unem partes componentes de uma estrutura.

No caso plano os vínculos podem ser de 2a e 3a espécie, como exemplificado na ligação de duas barras:

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Vínculo de 3ª espécie ( solda )

Vínculo de 2a espécie (pinos, parafusos ou rótulas).

Vista Superior

Representação estrutural

Corte Longitudinal VI. CARGAS ATUANTES EM UMA ESTRUTURA

Quando se trabalha com uma peça de uma estrutura, devemos ter em mente a sua finalidade e, portanto, devemos avaliar a quantidade de carga que ela deve ser capaz de suportar.

Ao conjunto destas cargas damos o nome de CARGAS EXTERNAS ATIVAS. Para que o equilíbrio desta peça seja garantido, devemos vinculá-la, ou seja, restringirmos as possibilidades de movimento da mesma. Em cada vínculo acrescido, surgem as reações na direção do movimento restringido. Estas reações são chamadas de CARGAS EXTERNAS REATIVAS. O conjunto destas cargas, ativas e reativas, se constitui no carregamento externo da peça em estudo.

A. CARGAS EXTERNAS ATIVAS As cargas aplicadas em uma peça de estrutura se classificam quanto ao modo de distribuição em:

Concentradas - São aquelas que atuam em áreas muito reduzidas em relação às dimensões da estrutura. Neste caso ela é considerada concentrada no centro de gravidade da área de atuação.

Cargas momento ou conjugados - momentos aplicados em determinados pontos de uma estrutura (fixos). Podem se originar de um par de forças, cargas excêntricas ou eixos de transmissão.

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cargas distribuídas - São aquelas que atuam em uma área com dimensões na mesma ordem de grandeza da estrutura.

As cargas também se classificam quanto ao tempo de duração em:

Permanentes - Atuam durante toda ou quase toda a vida útil de uma estrutura

Acidentais ou sobrecarga - Podem estar ou não atuando , sendo fornecidas por normas (NBR - 6.120/80), catálogos ou avaliadas em cada caso.

A classificação quanto ao ponto de aplicação fica:

Fixas – atuam sempre em um ponto ou uma região.

Móveis – percorrem a estrutura podendo atuar em vários dos seus pontos.

VII - EQUILÍBRIO EXTERNO EM DUAS DIMENSÕES

Ocorre quando as cargas que atuam na estrutura estão contidas em um mesmo plano, o que acontece na maior parte dos casos que iremos estudar.

Nestes problemas, é conhecido o sistema de cargas ativas que atua na estrutura e devemos calcular as cargas reativas capazes de manter o corpo em equilíbrio, neste plano.

Reações externas ou vinculares são os esforços que os vínculos devem desenvolver para manter em equilíbrio estático uma estrutura, considerada como um corpo rígido e indeformável.

Os vínculos são classificados de acordo com o número de graus de liberdade restringidos e só podemos restringir um GL mediante a aplicação de um esforço (força ou momento) na direção deste movimento.

A determinação das reações vinculares de uma estrutura é feita por intermédio de um sistema de equações algébricas.

Sendo o plano das cargas x y, e sabendo-se que a estrutura possui três graus de liberdade (translação nas direções x e y e rotação em torno do eixo z), o número de equações a serem satisfeitas é três e o equilíbrio se dá quando:

ΣFx = 0

Σ Fy = 0

Σ Mz = 0

Convém salientar que neste caso do carregamento plano, os vínculos podem ser de três espécies, simbolizados por: 1a espécie - restringe uma translação 2a espécie - restringe duas translações 3a espécie - restringe duas translações e uma rotação Desta maneira, cada movimento restringido corresponde a uma reação vincular (incógnita), que deve ser determinada.

Para serem restritos três graus de liberdade, as reações devem ser em número de três.

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Como se dispõe de três equações a serem satisfeitas, a aplicação destas equações leva à determinação das reações (incógnitas) desejadas.

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: A eficácia vincular deve ser previamente analisada, pois muitas vezes o número de restrições é suficiente, mas a sua disposição não é eficiente.

VIII - PROCEDIMENTO DE CÁLCULO:

A. Transforma-se a estrutura dada num corpo livre, substituindo-se todos os vínculos externos pelas reações vinculares que o mesmo pode desenvolver, arbitrando-se um sentido para cada esforço.

B. Para que o equilíbrio externo seja mantido é necessário que as três equações da estática sejam satisfeitas.

Σ Fx = 0

Σ Fy = 0

Σ Mz = 0

C. As cargas distribuídas devem ser substituídas por suas respectivas resultantes (este artifício é válido somente para o cálculo das reações externas).

D. Como escolhemos direções de referência (x e y), as cargas que não estiverem nestas direções devem ser decompostas, ou seja, substituídas por um sistema equivalente.

E. Resolvido o sistema de equações, reação negativa deve ter o seu sentido invertido.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 1. Observe-se na figura abaixo, três cargas aplicadas a uma viga. A viga é apoiada em um rolete em A e em uma articulação em B. Desprezando o peso próprio da viga, determine as reações em A e B quando Q = 75 kN.

R: VA = 30 kN ( ↑ ) VB = 105 kN ( ↑ ) HB = 0 2. Um vagonete está em repouso sobre os trilhos que formam um ângulo de 25º com a vertical. O peso bruto do vagonete e sua carga são de 27,5 kN e está aplicado em um ponto a 0,75 m dos trilhos e igual distância aos eixos das rodas. O vagonete é seguro por um cabo atado a 0,60 m dos trilhos. Determinar a tração no cabo e a reação em cada par de rodas.

R: T = 24,9 kN ( ) R1 = 2,81 kN ( ) R2 = 8,79 kN ( ) 3. A estrutura da figura suporta parte do telhado de um pequeno edifício. Sabendo que a tração no cabo é de 150 kN, determine a reação no extremo fixo E.

R:

HE = 90 kN (←)

VE = 200 kN ( ↑ )

ME = 180 kN.m ( anti-horário)

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4. Uma empilhadeira de 2500 kgf é utilizada para levantar uma caixa de 1200 kgf.

Determine a reação em cada par de rodas: (a) dianteiras e (b) traseiras.

R:

RA = 2566 kN RB = 1134 kN

5. Um carrinho de mão é utilizado para transportar um cilindro de ar comprimido.

Sabendo-se que o peso total do carrinho e do cilindro é de 900 N, determine: (a) a força vertical P que deve ser aplicada ao braço do carrinho para manter o sistema na posição ilustrada. (b) a reação correspondente em cada umA das rodas.

R: (a ) 117 N ( ↑ ) (b) 392 N ( ↑ ) 6. Um guindaste montado em um caminhão é utilizado para erguer um compressor de 3000 N. O peso da lança AB e do caminhão estão indicados, e o ângulo que a lança faz com a horizontal α é de 45º. Determine a reação em cada uma das rodas: (a) traseiras C, (b) dianteiras D.

R: RC = 19645 kN RD = 9605 kN

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7. Uma treliça pode ser apoiada de duas maneiras, conforme figura. Determine as reações nos apoios nos dois casos.

R: (a) RA = 4,27 kN ( 20,6º) RB = 4,5 kN ( ↑ ) (b) RA = 1,50 kN ( ↑ ) ; RB = 6,02 kN ( 48,4º) 8. Determine as reações em A e B quando: (a) α = 0º (b) α = 90º (c) α = 30º

9. Um homem levanta uma viga de 10 kg e 10 m de comprimento puxando uma corda.

Encontrar a força de tração T na corda e a reação em A. Suponha a aceleração da gravidade igual a 9,81 m/s2.

R: T = 81,9 N R = 148 N (

58,6 º)

10. Uma carga P á aplicada a rotula C da treliça abaixo. Determine as reações em A e B com: (a) α = 0º e (b) α = 45º.

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R: α = 0o α = 45o

VA = -P VA = 0

HA = P HA = 0,7 P

VB = P VB = 0,7 P

11. Calcule as reações externas das estruturas abaixo: a.

R: VA = VB 27,5 KN HA = 25,98 KN b.

VA = - 5 kN VB = 95 kN HA = 0

c.

R: VA = - 8,75 kN VB = 8,75 kN HA = 0 d.

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R: VA = 60 kN VB = 0 HA = 0 e.

VA = 27,5 kN VB = 62,5 kN HB = 0

f.

R : VA = 40 kN HA = 0 MA = 75 kN.M (anti-horário)

g.

R: VA = 70 kN HA = 0 MA = 140 kN.m (anti-horário) h.

R: VA = 73,4 kN HA = 25 kN (←) Resistência dos Materiais I - EM – CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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MA = 68,3 kN (anti-horário) i.

RA = 40,81 kN VB= 102,8 kN VC = 52,14 kN j.

R: VA = VB = 25 kN HA = 0

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CAPÍTULO III EQUILÍBRIO INTERNO – SOLICITAÇÕES INTERNAS

I. EQUILÍBRIO INTERNO No capítulo 3 a atenção foi centrada no equilíbrio externo dos corpos, ou seja, não foi considerada a possibilidade de deformação dos corpos, considerando-os como rígidos.

Nestes problemas, é conhecido o sistema de cargas ativas que atua na estrutura e deve-se calcular as cargas reativas capazes de manter o corpo em equilíbrio. As cargas reativas ou reações vinculares são determinadas com a aplicação das equações fundamentais da estática.

Observe que o número de equações de equilíbrio deve ser no mínimo igual ao número de reações a serem calculadas. O estudo vai abordar os casos estaticamente determinados ou ISOSTÁTICOS, estruturas em que as equações da estática são necessárias e suficientes para a definição do equilíbrio.

Diante de uma estrutura com carregamento plano, as equações da estática se resumem em:

ΣFx = 0

ΣFy = 0

Σ Mz = 0

De uma maneira geral diz-se que: 1. O equilíbrio não leva em conta o modo como o corpo transmite as cargas para os apoios.

2. O corpo quando recebe carregamento vai gradativamente deformando-se até atingir o equilíbrio, onde as deformações param de aumentar (são impedidas internamente), gerando solicitações internas.

3. O equilíbrio ocorre na configuração deformada, que admitimos ser bem próxima da inicial (campo das pequenas deformações).

A analise será feita para a determinação de quais os efeito que a transmissão deste sistema de cargas externas aos apoios provoca nas diversas seções que constituem o corpo em equilíbrio.

Para tanto, supõe-se o corpo em equilíbrio, sob efeito de um carregamento qualquer. Ao cortar este corpo por um plano qualquer (a-a), rompe-se o equilíbrio, pois sua cadeia molecular é destruida na seção "S" de interseção do plano com o corpo.

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Para que as partes isoladas pelo corte permaneçam em equilíbrio, deve-se aplicar , por exemplo, sobre a parte da direita exercia sobre ela ou seja, r da esquerda, a ação que a parte r resultante de força ( R ) e resultante de momento ( M ). O mesmo deve ser feito com a parte da esquerda cujas resultantes estão também representadas. r R - Resultante de forças da parte retirada r M - Resultante de momentos da parte retirada, que surge devido a translação da força resultantr para o centro de gravidade da seção.

M

M

As resultantes nas seções de corte de ambos os lados devem ser tais que reproduzam a situação original quando as duas partes forem ligadas novamente, ou seja, pelo princípio da ação e reação devem ser de mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos. r r R e M são as resultantes das solicitações internas referidas ao centro de gravidade da seção de corte da barra.

Quando se quer os esforços em uma seção S de uma peça, deve-se cortar a peça na seção desejada, isolar um dos lados do corte (qualquer um ). No centro de gravidade desta seção devem aparecer esforços internos (resultante de força e de momento) que mantém o corpo isolado em equilíbrio.

Estes esforços representam a ação da parte retirada do corpo. Em isostática a seção de referência adotada será a seção transversal das peças em estudo e estes esforços internos devidamente classificados se constituem nas solicitações internas.

II. CLASSIFICAÇÃO DAS SOLICITAÇÕES Para que se facilite a observação e sua determinação, os esforços internos estão associados às deformações que provocam e se classificam de acordo com elas.

Um vetor no espaço pode ser decomposto segundo 3 direções e adotam-se 3 direções perpendiculares entre si no espaço (x,y,z). r r Decompondo os vetores resultantes R e M segundo estas direções escolhidas, tem-se:

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Qy Qx

N Mz

My Mt

Observe que foram escolhidas 3 direções perpendiculares entre si com a seguinte característica: 2 direções contidas pela seção de corte e a terceira perpendicular à seção de corte.

As componentes são assim denominadas:

N - Esforço Normal

Q - Esforço Cortante

M - (Mz e My) - Momento Fletor

Mt – (Mz) - Momento Torsor

Cada solicitação tem associada a si uma deformação: A. ESFORÇO NORMAL (N) : O esforço normal em uma seção de corte é a soma algébrica das componentes de todas as forças externas na direção perpendicular à referida seção (seção transversal), de um dos lados isolado pelo corte na direção do eixo x.

N = Σ Fx ext O efeito do esforço normal será de provocar uma variação da distância que separa as seções, que permanecem planas e paralelas.

As fibras longitudinais que constituem estas seções também permanecem paralelas entre si, porém com seus comprimentos alterados (sofrem alongamentos ou encurtamentos)

O esforço normal será considerado positivo quando alonga a fibra longitdinal e negativo no caso de encurtamento.

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B. ESFORÇO CORTANTE (Q) : O esforço cortante em uma seção de referência é a soma vetorial das componentes do sistema de forças de um dos lados do corte (referência), sobre o plano da seção considerada.

Não é usual trabalhar-se com a soma vetorial e sim com suas componentes segundo dois eixos de referência contidos pela seção. Resultam em 2 esforços (Qy e Qz) obtidos pela soma algébrica das componentes das forças do sistema nestas direções.

Qy = Σ Fyext

Qz = ΣFzext

O efeito do esforço cortante é o de provocar o deslizamento linear, no sentido do esforço, de uma seção sobre a outra infinitamente próxima, acarretando o corte ou cisalhamento da mesma.

Os esforços cortantes (Qy,Qz) serão positivos, quando calculados pelo somatório das forças situadas à esquerda seguem o sentido arbitrado para os eixos e quando calculados pelo somatório das forças à direita forem contrários aos eixos.

C. MOMENTO FLETOR (M) : O momento fletor em uma seção é a soma vetorial dos momentos provocados pelas forças externas de um dos lados da seção (tomada como referência), em relação aos eixos nela contidos (eixos y e z).

Não é usual entretanto trabalhar-se com a soma vetorial optando-se pelo cálculo separado dos momentos em relação aos eixos y e z, transformando a soma em algébrica.

My = Σmyext

Mz = Σ mzext

O efeito do momento fletor é o de provocar o giro da seção, em torno de um eixo contido pela própria seção.

As fibras de uma extremidade são tracionadas enquanto que na outra são comprimidas (as seções giram em torno do eixo na qual se desenvolve o momento, mas permanecem planas).

O momento fletor Mz é considerado positivo quando traciona as fibras de baixo da estrutura e My é positivo quando traciona as fibras internas (no caso da esquerda) da estrutura.

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D. MOMENTO TORSOR : O momento torsor de uma seção é a soma algébrica das componentes dos momentos das forças externas de um dos lados da referência, em relação ao eixo longitudinal da peça (eixo x).

Mt = Σ mxext O Momento torsor provoca o giro da seção em torno do seu baricentro, ou de todas as seções em torno do eixo longitudinal da peça.

(a)Antes da deformação

Círculos permanecem circulares Linhas longitudinais transforman-se em hélices de pequeníssima curvatura

Linhas radiais permanecem retas (b) Depois da deformação

A convenção de sinais adotadas para o momento torsor é análoga à do esforço normal, ou seja, o momento torsor é considerado positivo quando sua seta representativa está saindo da seção de referência (regra da mão direita).

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III. SOLICITAÇÕES EM ESTRUTURAS COM CARREGAMENTO ESPACIAL E PLANO. A. ESTRUTURAS COM CARREGAMENTO ESPACIAL (caso geral).

Nestes casos as cargas estão se desenvolvendo em todas as direções do espaço, portanto pode–se tem componentes de força e momento em todas as direções também. y My

Fy Fx Fz

x Mx Mz

z

Esforços desenvolvidos:

B. ESTRUTURA COM CARREGAMENTO PLANO As cargas estão contidas em um único plano, por exemplo, plano x , y . É o caso mais comum e ao qual vai-se estudar. y Fy Fx

x

z

Mz

Esforços desenvolvidos: N - Esforço Normal M - Mz – Momento Fletor

R Q (Qy) – Esforço cortante

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IV. CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES INTERNAS EM CARREGAMENTO PLANO – MÉTODO DAS SEÇÕES

SISTEMAS

COM

Conforme foi visto, ao se cortar uma estrutura por uma seção, nesta seção devem aparecer esforços que equilibrem o sistema isolado. Estes esforços são chamados de Solicitações Internas.

Iniciando por estruturas sujeitas à carregamento plano, onde os esforços desenvolvidos são o esforço normal N (ΣFx), o esforço cortante Qy (ΣFy) ou simplesmente Q e o momento fletor Mz ou simplesmente M. Com o fim de se uniformizar a representação são adotadas convenções para o sentido positivo destas solicitações.

O “MÉTODO DAS SEÇÕES” consiste em: 1. Cortar a peça na seção desejada e isolar um dos lados do corte (qualquer um), com todos os esforços externos atuando.

2. Na seção cortada devem ser desenvolvidas solicitações que mantém o sistema isolado em equilíbrio. Arbitramos as solicitações possíveis de serem desenvolvidas (N, Q e M) com suas orientações positivas. Estas solicitações são os valores que devemos determinar.

3. Aplicando as equações de equilíbrio, por exemplo, em relação à seção cortada, determinamos os valores procurados. Observe-se que as solicitações a serem determinadas são em número de 3 e dispomos também de 3 equações de equilíbrio, podendo-se então formar um sistema de 3 equações com 3 incógnitas.

Exemplo: Calcule as solicitações desenvolvidas na seção intermediária da viga abaixo.

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VA = VB =

q.l 2

Cortando e isolando um dos lados do corte: Aplicando as equações de equilíbrio, teremos:

ΣFx = 0

∴

N=0

Σ Fy = 0

∴

Q−

Σ MS = 0

Ms =

∴

q.l q.l + =0 ∴ Q=0 2 2

 q.l l   q.l l  M + . − .  = 0  2 4  2 2

q.l 2 8

EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 1. Uma barra está carregada e apoiada como mostra a figura. Determine as forças axiais transmitidas pelas seções transversais nos intervalos AB, BC e CD da barra:

40 kN 10 kN 50 kN 40 kN R: NAB = - 60 kN NBC = + 60 kN NCD = + 10 kN 2. Três cargas axiais estão aplicadas a uma barra de aço como mostra a figura.

Determine os esforços normais desenvolvidos nas seções AB, BC e CD da barra.

R : NAB = - 25 kN NBC = +50 kN NCD = - 50 kN

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3. Determine as solicitações internas desenvolvidas na seção a-a’ da barra da figura abaixo: 500 kN 300 kN

8 cm

16 cm

12 cm

R: N = 300 kN Q = - 500 kN M = -3600 kN.cm

4. Determine as solicitações internas na seção a-a’ da barra ABC da estrutura composta pelas 3 barras mostradas na figura:

5. Determine as solicitações na seção a-a’ da barra abaixo:

R : N = 225 N Q = -139,71 N (↓) M = + 95,91 N.m (hor)

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6. Para a viga da figura abaixo determine as reações externas de vínculo e as solicitações internas transmitidas por uma seção transversal `a 75 cm do apoio A.

32 kN 10 kN/m

4m

1,5 m

7. Para a viga abaixo, determine as reações de apoio e as solicitações internas em uma seção à 2 m do apoio esquerdo.

R: VA = 21 kN (↑) VB = 9 kN (↑) N= 0 Q = 11 kN (↑) M = 14 kN.m (anti) 8.

Determine as solicitações internas transmitidas pela seção a-a da barra em L mostrada abaixo:

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CAPÍTULO IV TRELIÇAS ISOSTÁTICAS I. DEFINIÇÃO:

Treliça ideal é um sistema reticulado indeformável cujas barras possuem todas as suas extremidades rotuladas e cujas cargas estão aplicadas nestas rótulas.

Exemplo:

OBSERVAÇÕES:

Qualquer polígono que constitua um sistema reticulado, quando articulado em seus vértices é deformável (hipostático) com exceção dos casos abaixo:

As treliças surgiram como um sistema mais econômico que as vigas para vencerem vãos maiores ou suportar cargas maiores.

Embora o caso mais geral seja o de treliças espaciais, o mais frequente é o de treliças planas, que será o estudado em nosso curso.

Imaginamos as barras rotuladas em suas extremidades (isto é, sendo livre sua rotação relativa nos nós), conforme figura (a). Não é frequente, no entanto, a união destas barras nesta forma, sendo mais comum ligar as barras nos nós atravéz de chapas auxiliares, nas quais rebitamos, soldamos ou parafusamos as barras neles concorrentes (fig. b)

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Estas ligações criarão sempre pequenas restrições à livre rotação relativa das barras nos nós, com o aparecimento de pequenos momentos nas barras.

Estudos realizados demonstram que, desde que todas as barras tenham seus eixos no mesmo plano e que estes eixos se encontrem em um único ponto em cada nó, os resultados reais diferem muito pouco dos resultados obtidos pela teoria desenvolvida, sendo ela válida do ponto de vista prático.

II. TRELIÇAS PLANAS A. SOLICITAÇÕES INTERNAS Podemos facilmente demonstrar que as barras de uma treliça por terem suas extremidades rotuladas (rótulas não absorvem momento), desenvolvem apenas esforços normais constantes ao longo de suas barras.

Isto pode ser visualizado isolando-se uma barra de uma treliça.

Sabe-se que uma rótula não transmite momento, apenas esforços na direção do eixo e perpendiculares a ele. Por outro lado, as cargas externas só estão aplicadas nos nós.

A análise do equilíbrio nos mostra que nas extremidades das barras de uma treliça só existem esforços na direção do eixo longitudinal da mesma e que são de mesmo módulo, porém sentidos contrários. A existência de esforços perpendiculares ao eixo da barra (esforço cortante) é descartada pois as barras não são carregadas ao longo de seu eixo, e tem nas suas extremidades momentos nulos.

Conclusão: A única solicitação interna desenvolvida é um Esforço Normal constante ao longo da mesma.

Como o esforço normal é constante ao longo da barra podemos calcular o seu valor em uma seção qualquer, da barra que se deseja.

B. RÓTULAS Vínculo interno é todo o elemento que une as partes componentes de uma estrutura.

No caso plano podem ser de 2a e 3a espécie.

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1. Vínculo interno de 3a espécie Sejam duas barras livres no espaço com carregamento plano: Cada barra tem 3 GL ,portanto, juntas somam 6 GL. Unindo-as rígidamente ,por exemplo, atravéz de uma solda, o número de GL do conjunto passa a ser 3,portanto 3 GL restringidos.

Se chamarmos de RT o número de movimentos restringidos de um sistema teremos neste caso RT = 3 (vínculo de 3a espécie) 2. Vínculo de 2a espécie (PINOS OU RÓTULAS)

Representação Estrutural : São vínculos que podem desenvolver reações internas verticais e horizontais podendo transmitir forças nestas direções que se anulam internamente. Permitem apenas o giro relativo entre as barras por ela unidas.

Rótulas são vínculos internos de segunda espécie Para que as rótulas de uma estrutura estejam em equilíbrio é necessário que o momento polar das cargas externas em relação à elas seja nulo.

C. CLASSIFICAÇÃO DA ESTATICIDADE DE UMA TRELIÇA Sejam: b - número de barras

n - número de nós ou rótulas

r - número de reações externas As incógnitas do problema serão em número de b + r, ou seja, o número de reações e a solicitação de esforço normal em cada barra.

O número de equações será de 2n, pois em cada nó se aplicam as equações de equilíbrio de um ponto material (Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 ).

Então, se r+b〈2n

treliça hipostática

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r+b=2n sem em

Sugere tratar- se de uma treliça isostática, o que não pode ser confirmado antes analisarmos os apoios externos e a lei de formação interna da treliça questão.

r + b > 2 n Sugere tratar- se de uma treliça hiperestática, sendo válidas as observações feitas no caso anterior.

D. CLASSIFICAÇÃO DA TRELIÇA QUANTO À LEI DE FORMAÇÃO Quanto a formação as treliças podem ser :

1. Simples : A treliça será simples se puder ser obtida a partir de configurações indeformáveis pela adição de duas a duas barras partindo nós já existentes para novos nós (um novo nó para cada duas novas barras).

Exemplo:

2. Composta A treliça é isostática e composta quando for formada por duas treliças simples ligadas por 3 barras não simultaneamente concorrentes ou paralelas, ou por um nó e uma barra sendo que esta barra não concorre no nó citado.

A resolução de uma treliça composta pode recair no caso de duas treliças simples, mediante o cálculo prévio dos esforços nos elementos de ligação, o que permitirá isolá-las para fins de cálculo estático.

Exemplo:

3. Complexa: Uma treliça complexa é classificada por exclusão, ou seja, quando não é simples e nem composta. Observe que não podemos afirmar se ela é isostática pela simples análise de b + r = 2 n que é uma condição necessária, mas não suficiente para garantir a isostaticidade.

O reconhecimento de sua real classificação é feito pelo método de Henneberg.

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Exemplo:

III. MÉTODO DE RESOLUÇÃO DAS TRELIÇAS ISOSTÁTICAS SIMPLES

O cálculo dos esforços normais nas barras de uma treliça isostática simples pode ser feito de várias maneiras:

Método dos nós

Método de Ritter ou das seções

Método de Cremona

Métodos Informatizados

No curso vamos nos ater ao primeiro método , já que o método de Cremona, por ser um método gráfico está em desuso com a aplicação da mecanização dos cálculos (informática).

A. MÉTODO DOS NÓS. É o método natural de resolução que consiste em se estudar o equilíbrio de cada nó isolado.

Deve-se INICIAR E PROSSEGUIR pelos nós que possuam apenas duas incógnitas à determinar (esforço normal de 2 barras).

Aplicamos as equações de equilíbrio estático: Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Note-se que se o nó tiver mais de duas barras à serem determinadas (2 incógnitas), 2 equações não bastam para a solução do sistema.

ROTEIRO: 1 - Cálculo das reações externas (se necessário) 2 - Escolha do 1º nó à ser examinado 3 - Aplicação das equações de equilíbrio no nó escolhido 4 - Resolvido o primeiro nó, passamos ao segundo sempre com o cuidado de verificar se ela ter apenas duas incógnitas (2 barras à serem determinadas) OBS: Este método apresenta o problema de acumular os erros de cálculos que por acaso forem cometidos.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 1.

VA = - 40 kN

HA = 20 kN (← )

VB = 60 kN

R:Esforços normais: NAB = 0 NAC = + 20 kN NAD = + 28,28 kN NBD = - 60 kN NCD = - 20 kN NCE = 0 NCF = + 28,28 KN NEF = - 20 kN NDF = - 40 kN

2.

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Respostas:

VA = 40 kN VB = 40 kN NAC = NCD = - 136,4 kN NAF = 132,3 kN NFG = + 89 kN NCF = + 20 Kn

NFD = + 47,6 kN NDG = 0

3.

4.

Respostas: VA = 50 kN

HA = 60 KN(←)

NAH = - 70,7 kN NID = - 10 kN

VB = 50 Kn

NAC = +110 kN

NIJ = - 160 kN

NCD = +160 kN

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CAPÍTULO V SOLICITAÇÕES INTERNAS EM ESTRUTURAS DE BARRA I. CONVENÇÕES: Conforme foi visto, cortada uma estrutura por uma seção, nesta seção devem aparecer esforços que equilibrem o sistema isolado (solicitações internas).

Em estruturas sujeitas à carregamento plano onde os esforços desenvolvidos são o esforço normal N (ΣFx), o esforço cortante Qy (ΣFy) ou simplesmente Q e o momento fletor Mz ou simplesmente M. Com a finalidade de uniformizar a representação, serão mostradas graficamente as convenções para o sentido positivo destas solicitações.

A. CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES EM UMA SEÇÃO ARBITRÁRIA No calculo da solicitação desenvolvida em uma seção qualquer de uma peça carregada, usase o método das seções: Corta-se a peça na seção desejada, isolando um dos lados do corte (qualquer um).

Na seção cortada devem ser desenvolvidas solicitações que mantém o sistema isolado em equilíbrio.

Exemplo 1: Calcule as solicitações desenvolvidas na seção intermediária da viga abaixo.

VA = VB =

q.l 2

Cortando e isolando um dos lados do corte:

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Aplicando as equações de equilíbrio, teremos: ΣFx = 0

∴

N=0

Σ Fy = 0

∴

Q−

Σ MS = 0 Ms =

∴

q.l q.l + =0 ∴ Q=0 2 2

 q.l l   q.l l  M + . − .  = 0  2 4  2 2

q.l 2 8

B. METODO DAS EQUAÇÕES Supondo que se queira as solicitações desenvolvidas em diversas seções da viga, deveria se repetir o procedimento acima exemplificado, em quantas seções quantas pretendidas.

Ao se efetuar esta sucessão de cortes, observa-se que as equações de equilíbrio formadas são as mesmas, com mudança apenas na distancia da seção cortada a referência.

Pode-se generalizar este procedimento criando uma variável, por exemplo "x", que represente esta distância de uma forma genérica.

onde 0 ≤ x ≤ l (limites de validade da variável x).

Então: Σ Fx = 0

N=0

Σ Fy = 0

Q−

Σ MS = 0

x q.l M + q.x. − .x 2 2

q.l q.l + q.x = 0 ∴ Q = −q.x + 2 2 q.l q.x 2 x M = .x − 2 2

Esta representação se constitui o que se chama de método das equações

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C. PONTOS DE TRANSIÇÃO Inicia-se com um exemplo, calculando as solicitações desenvolvidas nas seções S1 e S2 da viga abaixo:

VA = Pb/l 0 ≤ x1 ≤ a

S1:

Σ Fx = 0

N=0

Σ Fy = 0

Q-Pb/l = 0

ΣM=0

M - Pb/l .x1 = 0

S2 :

VB = Pa/l

Q = Pb/l M = Pb/l . x1

a ≤ x2 ≤ l Σ Fx = 0

N=0

Σ Fy = 0

Q + P - Pb/l = 0

ΣM=0

Q = Pb/l - P

M + P (x2 - a) - Pb/l . x2= 0

M = Pb/l . x2 - P(x2 - a) Constata-se que x1e x2 nunca podem se sobrepor, pois dão origem a equações diferentes (na 2ª não entra a carga P). Matematicamente pode-se chama-lo genericamente de x e trabalhar no domínio da função.

1o trecho 2o trecho 0≤x≤a equações válidas para o primeiro trecho:

a≤x≤l equações válidas para o segundo trecho:

Q(x) = Pb/l

Q(x) = Pb/l - P = -Pa/l

M(x) = Pb/l.x

M(x) = Pb/l.x - P(x-a)

No exemplo acima intuitivamente foi identificado um ponto de transição, que seria o ponto de aplicação da carga P, a partir do qual há a mudança na equação.

Conforme foi visto há a necessidade de analisar um trecho antes e outro depois deste ponto de transição.

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Generalisando o acima, sempre que houver um ponto de transição deve-se proceder desta maneira.

De maneira análoga, ponto de transição é todo aquele ponto em que há alteração no carregamento:

Ponto de força aplicada

Ponto de momento aplicado

Ponto de troca da taxa de carregamento.

De acordo com o que foi vistocalculam-se as solicitações como funções da variável x, com trecho de validade pré-estabelecido, obtendo-se equações gerais, com validade nos diversos trechos vistos.

Quando se quer o valor da solicitação em uma seção em especial, de ordenada x conhecida, basta substituir-se nas equações o valor de x pela ordenada numérica desejada.

Em geral o valor máximo das solicitações em toda a estrutura deve ser conhecido e não apenas em pontos específicos da mesma. Lembrando cálculo diferencial o máximo de uma função ocorre quando a sua primeira derivada é nula.

D. PROCEDIMENTO DE CÁLCULO Este procedimento de cálculo poderia ser sintetizado em um roteiro simples.

Dado o esquema estrutural da peça (vínculos, cargas ativas e vãos): 1. Cálculo das reações externas 2. Identificação dos pontos de transição criando trechos pré-estabelecidos 3. Usar o método de corte de seções em cada um destes trechos, adotando como genérica desta seção a variável x, que valerá dentro dos limites dos trechos.

posição

4. Supõe-se em cada seção cortada o aparecimento das solicitações previstas, que devem ser arbitradas com o sentido convencionado positivo.

5. Aplicam-se as equações de equilíbrio estático em cada um dos cortes, obtendo-se então as equações desejadas.

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6. Representação destas equações sob a forma de um diagrama, conforme convenção abaixo:

N

Q

x

x

M

x

OBS: As cargas distribuídas não mais podem ser substituídas por suas resultantes totais, mas sim por resultantes parciais nos trechos considerados.

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TRAÇADO DO DIAGRAMA DAS SOLICITAÇÕES INTERNAS 1.

2.

3.

4.

.

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53

5.

6.

7.

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CAPÍTULO VI GRELHAS ISOSTÁTICAS I . ASPECTOS GERAIS

Um sistema de forças em equilíbrio no espaço obedece as seis equações fundamentais da estática: Σ Fx = 0

Σ Fy = 0

Σ Fz = 0

Σ Mx = 0

Σ My = 0

Σ Mz = 0

Em um caso particular de um sistema de forças no espaço paralelas entre si:

Sendo todas as forças paralelas ao eixo z, verificamos que as equações da estática : Σ Fx = 0

Σ Fy = 0

Σ Mz = 0

se transformam em meras identidades, pois se todas as forças são paralelas à z elas não terão componentes na direção x , y e nem formarão momentos em torno do eixo z, por lhe serem paralelas.

Permanecerão válidas como equações de equilíbrio apenas as tres restantes, isto é: Σ Fz = 0

Σ Mx = 0

Σ My = 0

Pode-se afirmar que um sistema de forças paralelas no espaço é regido por tres equações da estática, sendo duas de momentos nulos em relação a dois eixos situados no plano perpendicular ao das cargas e a terceira de força nula em relação ao eixo paralelo as cargas.

II . DEFINIÇÃO

Uma grelha é uma estrutura plana submetida a um carregamento perpendicular a seu plano, regida pelas equações: Σ Fz = 0

Σ Mx = 0

Σ My = 0

Observando o funcionamento de uma grelha pode-se afirmar que suas barras, em uma seção genérica qualquer, podem estar sujeitas a tres esforços simples: Resistência dos Materiais I - EM – CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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Esforço Cortante (Q), Momento Fletor (M) e Momento Torsor (Mt), que devem ser calculados e expressos sob a forma de um diagrama. convenção de sinais:

O Esforço Cortante é soma de todas as cargas que atuam perpendiculares a eixo da barra em estudo.

O Momento Fletor é a soma de todos os momentos que provocam o giro da seção em torno de um eixo contido pela seção tranversal da barra em estudo.

O Momento Torsor é o momento que provoca o giro da seção em torno do seu eixo longitudinal.

A. REAÇÕES VINCULARES Uma grelha será isostática quando tivermos apenas tres incógnitas a serem determinadas, pois dispomos de tres equações de equilíbrio para esta determinação.

Exemplos:

1.

Neste caso, observa-se uma grelha engastada e livre, cujas reações de engaste são VD , MD e MtD , obtidas pelas equações disponíveis: Σ Fz = 0

Σ Mx = 0

Σ My = 0

É conveninte nos casos de grelhas engastadas que se localize a referência junto ao engaste.

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2.

Neste segundo caso, observa-se uma grelha triapoiada, cujas reações de apoio também podem ser determinadas pelas equações da estática que regem este tipo de estrutura.

Pode-se usar o artifício de deslocar os eixos x e y de referência, fazendo-os coincidir com barras convenientes da grelha.

Neste caso pode-se iniciar fazendo a barra AB coincidir com o eixo x e dizer que: Σ MAB = 0 Com a aplicação desta equação de equilíbrio, determinamos VD. A seguir o eixo y será coincidente com a barras BD e aplicando a equação Σ MBD = 0 o que nos fornecerá VA .

Finalmente por Σ Fz = 0 , calculamos VB. B. APLICAÇÕES Para se obter os diagramas solicitantes para a grelha, cujas barras formam em todos os nós angulos retos, devem ser analizadas as barras, levando-se em consideração os seus pontos de transição. Cada nó deve ser considerado um ponto de transição e portanto a adequação das solicitações devido a mudança de direção.

O momento fletor que atua em uma determinada barra, fará o efeito de torsor em uma barra perpendicular a citada e vice-versa.

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Exemplo 1:

Em uma grelha engastada e livre, não é necessário o cálculo prévio das reações vinculares, pois os diagramas solicitantes podem ser obtidos à partir da parte livre (Balanço) até o engaste.

O estudo é feito barra por barra, iniciando-se, no caso pela barra AB que funcionará como uma viga engastada em B e livre em A. Os demais passos serão como nos demais casos, percorrendo a estrutura toda, passando por todas as barras.

A partir dos esquemas vistos pode-se obter facilmente os diagramas dos esforços solicitantes para a grelha.

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Exemplo 2: Grelha triapoiada

Cálculo das reações de apoio: Σ MBC = 0 10 x 4 + 30 x 4 + 40 x 2 - 4 VE = 0

∴

Σ MCE = 0 2 VB + 30 x 2 - 10 x 2 - 40 x 2 = 0

∴

ΣFV = 0 VC + VB + VE - 40 - 10 - 30 = 0 VC = 80 - VB - VE ou

VE = 60 kN

VB = 20 kN

VC = 0

Diagramas de Solicitações:

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CAPÍTULO VII PÓRTICOS PLANOS I . ASPECTOS GERAIS

Pórtico são estruturas formadas por barras, que formam quadros entre si.

Existem quatro tipos fundamentais de quadros isostáticos planos, que associados entre si, da mesma forma com que associamos vigas simples para formar vigas compostas (GERBER), formam os chamados quadros compostos.

São eles:

II. CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES:

O estudo de suas reações externas já foi realizado anteriormente, portanto, pode-se passar ao estudo dos diagramas solicitantes.

Em estruturas lineares horizontais (vigas) foi adotada uma convenção para as solicitações, baseadas nos conceitos de à esquerda e à direita da seção em estudo.

No estudo dos pórticos, utiliza-se uma nova notação, visto a existência de barras verticais, horizontais e inclinadas, onde definem-se os lados externos e internos das barras que constituem a estrutura.

Identifica-se os lados internos das barras com a parte inferior de uma estrutura linear horizontal, baseados no artifício de linearizar a estrutura, ficando desta forma possível utilizar-se as convenções já adotadas.

Costuma-se tracejar o lado interno das barras, bem como a parte inferior das vigas, identificando-se fàcilmente as convenções.

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Linearizar a estrutura é apenas um artifício usado para a adaptação das convenções já estabelecidas, porém não é válida para o cálculo das solicitações, pois estaria-se alterando, com a mudança de direção das barras, o funcionamento da estrutura.

Deve-se ressaltar o fato de que o eixo longitudinal (x) de cada barra, continua sendo o eixo que passa pelo centro de gravidade das seções transversais, e os eixos y e z, perpendiculares à este e contidos pela seção de corte (eixos principais centrais de inércia).

O método das equações torna o estudo dos pórticos muito demorado, pois além de cortarmos a estrutura por uma seção antes e outra depois dos pontos de transição já definidos, quando há mudança de barra também deve ser interrompida a equação, pois uma carga que produz esforço normal em uma barra vertical, produz esforço cortante na barra horizontal perpendicular e ela, e vice-versa.

Deve-se encarar esta mudança de direção como um novo ponto de transição, examinando seções antes e depois deles.

No pórtico ao lado, existem seis seções a serem analisadas.

Deve-se salientar o fato de que ao se considerar a seção de uma barra qualquer de um pórtico, devem ser consideradas todas as cargas externas aplicadas à direita ou à esquerda da seção, inclusive as cargas que atuam em outras barras que não a em estudo.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 1.

.

VA = 70 kN VB = 0 HB = 10 kN (← )

DIAGRAMAS:

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2.

VA = 25,13 Kn

VB = 46,87 kN

HB = 6 kN (←)

DIAGRAMAS:

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3.

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4.

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5.

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6.

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CAPÍTULO VIII INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I. OBJETIVO FUNDAMENTAL

A Resistência dos Materiais se preocupa fundamentalmente com o comportamento das diversas partes de um corpo quando sob a ação de solicitações.

Ao estudar-se o equilíbrio interno de um corpo, as solicitações internas fundamentais (M, Q, N e Mt) são determinadas. Se está penetrando no interior da estrutura, para analisar-se, em suas diversas seções, a existência e a grandeza dos esforços que a solicitam.

A avaliação destes esforços foi objeto de estudo na disciplina de Estruturas Isostáticas que deve preceder a Resistência dos Materiais.

Consideram-se corpos reais, isótropos e contínuos constituídos de pequenas partículas ligadas entre si por forças de atração. Com a aplicação de esforços externos supõe-se que as partículas destes corpos se desloquem e que isto prossiga até que se atinja uma situação de equilíbrio entre os esforços externos aplicados e os esforços internos resistentes. Este equilíbrio se verifica nos diversos pontos do corpo citado e se manifesta sob a forma de deformações (mudança da forma original), dando origem à tensões internas.

Observe-se que o equilíbrio se dá na configuração deformada do corpo, que admitiremos como igual a configuração inicial pois em estruturas estaremos sempre no campo das pequenas deformações.

Resumindo, em um corpo que suporta cargas ocorre: 1. Um fenômeno geométrico que é a mudança da sua forma original: Isto é deformação.

2. Um fenômeno mecânico que é a difusão dos esforços para as diversas partes do corpo: Isto é tensão. É claro que se entende que a capacidade que um material tem de resistir as solicitações que lhe são impostas é limitada, pois pode ocorrer a ruptura do corpo quando o carregamento for excessivo. É necessário conhecer esta capacidade para que se projete com segurança.

Pode-se resumir um problema de Resistência dos Materiais conforme fluxograma abaixo:

Cargas Externas Ativas Estrutura

Tensões Solicitações

Cargas Externas Reativas

Limite Resistente do Material

Critério de Resistência (Coeficiente de Segurança)

Deformaçõe

PROJETO

VERIFICAÇÃO

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II. TENSÕES

Conforme se citou, as tensões que se desenvolvem nas partículas de um corpo são consequência dos esforços (força ou momento) desenvolvidos. Como os esforços são elementos vetoriais (módulo, direção e sentido) a tensão como consequência também o será.

Lembra-se do método das seções visto em Isostática: Supõe-se um corpo carregado e em equilíbrio estático. Ao se cortar este corpo por um plano qualquer e isolando-se uma das partes, pode-se dizer que na seção cortada devem se desenvolver esforços que se equivalham aos esforços da parte retirada, para que assim o sistema permaneça em equilíbrio. Estes esforços são decompostos e se constituem nas solicitações internas fundamentais. O isolamento de qualquer uma das partes deve levar ao mesmo resultado.

As resultantes nas seções de corte de ambos os lados devem ser tais que reproduzam a situação original quando as duas partes forem ligadas novamente, ou seja, pelo princípio da ação e reação devem ser de mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos. r r R e M são as resultantes das solicitações internas referidas ao centro de gravidade da seção de corte da barra.

Partindo-se deste raciocínio pode-se afirmar que em cada elemento de área que constitui a seção cortada, está sendo desenvolvido um elemento de força, cujo somatório (integral) ao longo da área mantém o equilíbrio do corpo isolado. r R = ∫ ρ.dA A

O Momento M resultante se deve à translação das diversas forças para o centro de gravidade da seção.

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r A tensão média ( ρ m) desenvolvida no elemento de área citado nada mais é do que a distribuição do efeito da força pela área de atuação da mesma.

∆Α

∆F

Sejam: ∆A r → Elemento genérico de área ∆Α ∆ F → Elemento de força que atua em ∆Α r ρ m → tensão média

r r ∆F ρm = ∆A

Como a tensão é um elemento vetorial se pode representá-la aplicada em um ponto determinado, que obtem-se fazendo o elemento de área tender ao ponto (∆A→0), e então:

r ρ = Tensão atuante em um ponto ou tensão resultante em um ponto r r r ∆F dF ρ = lim = ∆A → 0 ∆A dA

ou gráficamente:

ρ

Ainda por ser um elemento vetorial ela pode, como qualquer vetor, ser decomposta no espaço segundo três direções ortogonais que se queira, portanto escolhe-se como referência duas direções contidas pelo plano da seção de referência "S" (x,y) e a terceira perpendicular à este plano (n).

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y x

τy τx σ

z

Isto permite dividir as componentes da tensão do ponto em duas categorias: 1. Tensões Tangenciais ou de Cisalhamento (τ) - contidas pela seção de referência 2. Tensão Normal (σ) - perpendicular à seção de referência Costuma-se em Resistência dos Materiais diferenciar estas duas tensões pelos efeitos diferentes que elas produzem (deformações) e se pode adiantar que normalmente trabalhamse com estas componentes ao invés da resultante.

Também se pode convencionar como seção de referência a seção transversal da peça em estudo. Cabe observar-se entretanto que mudada a referência mudam também as componentes.

S

τx ρ τy σ

S'

τx' ρτy' σ'

Existem casos em que a seção transversal não é a de maior interesse, como será demonstrado oportunamente nas solicitações compostas. Nestes casos o procedimento será alterado.

A. TENSÕES NORMAIS (σ) A tensão normal tem a direção perpendicular à seção de referência e o seu efeito é o de provocar alongamento ou encurtamento das fibras longitudinais do corpo, mantendo-as paralelas.

Costuma-se medir a deformação de peças sujeitas a tensão normal pela deformação específica longitudinal (ε).

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1. Conceito: É a relação que existe entre a deformação medida em um corpo e o seu comprimento inicial, sendo as medidas feitas na direção da tensão.

σ

σ

li lf li → comprimento inicial da barra lf → comprimento final da barra ∆l →deformação total ∆l = l f - l i ε= Observe que no exemplo dado ∆ l > 0

∆l li

portanto

ε > 0 (alongamento)

Pode-se mostrar um outro exemplo onde ∆ l < 0 conseqüentemente ε < 0 (encurtamento)

σ

σ

li lf Neste exemplo ∆ l 〈 0

portanto

ε〈0

2. Sinal: (+) alongamento→ Corresponde à uma tensão de tração que também será positiva (-) encurtamento → Corresponde à uma tensão de compressão que também será negativa

3. Unidade: - adimensional quando tomarmos para ∆l a mesma unidade que para li -Taxa milesimal (o/oo) - Nestes casos medimos ∆l em mm e li em m(metros).

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B. TENSÕES TANGENCIAIS (

τ)

É a tensão desenvolvida no plano da seção de referência tendo o efeito de provocar corte ou cisalhamento nesta seção.

1. Lei da Reciprocidade das tensões tangenciais Esta lei representa uma propriedade especial das tensões tangenciais. Pode-se provar a sua existência a partir das equações de equilíbrio estático. Pode-se enunciá-la de forma simples e aplicá-la.

Suponha duas seções perpendiculares entre si formando um diedro retangulo. Se em uma das faces deste diedro existir uma tensão tangencial normal a aresta de perpendicularidade das faces, então, obrigatóriamente na outra face, existirá a mesma tensão tangencial normal a aresta. Ambas terão o mesmo módulo e ambas se aproximam ou se afastam da aresta de perpendicularidade. São chamadas de tensões recíprocas."

Para facilitar a compreensão, pode-se representa-la gráficamente:

(c)

A figura (c) demonstra o desenvolvimento das tensões de cisalhamento longitudinais, recíprocas às tensões de cisalhamento desenvolvidas pelo esforço cortante.

2. Distorção Específica ( γ ) Medida de deformação de corpos submetidos a tensões tangenciais.

Supõe-se um bloco com arestas A, B, C e D, submetido a tensões tangenciais em suas faces.

Para melhor ser visualisar a deformação considera-se fixa a face compreendida pelas arestas A e B.

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C’

C

τ

τ

γ

D

D’

τ

A

B

τ

tg γ =

CC' DD' = CA DB

Como em estruturas trabalha-se sempre no campo das pequenas deformações e então γ <<< 1 rad, então arco e tangente se confundem : γ≅

CC' DD' = CA DB

2.1 Conceito: Distorção específica é a relação entre o deslocamento observado e a distância respectiva, medida perpendicular ao deslocamento. Representa fisicamente a variação que sofre o ângulo reto de um corpo submetido a tensões de cisalhamento.

2.2 Unidade: As observações quanto a unidade da distorção seguem as da deformação específica longitudinal: adimensional ou taxa milesimal, ressalvando-se que quando adimensional representa um arco expresso em radianos.

III. DEFORMAÇÕES E ELASTICIDADE

Deformação é a alteração da forma de um corpo devido ao movimentos das partículas que o constituem.

A tendência dos corpos de voltarem a forma original devido a força de atração entre as partículas representa a elasticidade do material. Quanto mais um corpo tende a voltar a sua forma original, mais elástico é seu material, ou seja, quanto mais ele resiste a ser deformado maior é a sua elasticidade.

Pode-se diferenciar os tipos de deformações observando um ensaio simples, de uma mola presa a uma superfície fixa e submetida sucessivamente a cargas cada vez maiores até a sua ruptura.

A. DEFORMAÇÕES ELÁSTICAS Uma deformação é elástica quando cessado o efeito do carregamento o corpo volta a sua forma original.

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Exemplo:

No exemplo acima, se medidas numéricamente as grandezas vamos ver que:

P1 P2 P = = ..... = n = k (constante elástica da mola) d1 d 2 dn Conclui-se que as duas propriedades que caracterizam uma deformação elástica são: 1. Deformações reversíveis 2. Proporcionalidade entre carga e deformação.

B. DEFORMAÇÕES PLÁSTICAS: Se fosse aumentada a carga sobre esta mola ela chegaria a uma situação em que terminaria a proporcionalidade e apesar da tendência do corpo em assumir sua forma original, sempre restariam as chamadas deformações residuais.

Considera-se então terminado o regime elástico e o corpo passa a atuar em regime plástico.

Note-se que no regime plástico termina a proporcionalidade e a reversibilidade das deformações.

Se fosse aumentada ainda mais a carga, o próximo limite seria a ruptura.

IV. CORPO DE DOUTRINA DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Em Resistência dos Materiais trabalha-se com corpos que apresentam determinadas características: A. CONTINUIDADE: Um corpo é considerado contínuo quando qualquer de suas amostras trabalha de maneira idêntica as demais. Não havendo descontinuidade, as tensões e as deformações não variam bruscamente entre dois pontos vizinhos no interior deste corpo carregado.

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Nestes casos tanto as tensões como as deformações podem ser expressas por funções contínuas em relação as ordenadas dos pontos que constituem o corpo.

Observe-se que a continuidade não implica em homogeneidade pois podemos ter corpos com material não homogêneo e no entanto eles trabalham de maneira contínua (exemplo : concreto).

B. HIPÓTESE DE BERNOULLI (SEÇÕES PLANAS) Bernoulli observou a seguinte característica no funcionamento dos corpos sujeitos à solicitações: "Uma seção plana e perpendicular ao eixo longitudinal de uma peça, continuará plana e perpendicular ao eixo da mesma durante e após sua deformação.

Eixo longitudinal

Linha Elástica

C. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS O efeito produzido por um conjunto de cargas atuando simultaneamente em um corpo é igual a soma dos efeitos produzidos por cada uma das cargas atuando isolada.

Este princípio pode ser generalizado, mas só é válido quando causa e efeito forem diretamente proporcionais o que se aplica a grande maioria dos casos em Resistência dos Materiais. Somente em casos de peças submetidas a flambagem (desequilíbrio elastogeométrico do sistema) ou no Trabalho de Deformação este princípio não será válido devido a inexistência de proporcionalidade entre causa e efeito, o que será oportunamente demonstrado.

Observe-se que este princípio já foi utilizado em outras disciplinas, como por exemplo, no cálculo das reações de apoio em uma estrutura isostática.

=

+

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V. LEI DE HOOKE

A maioria dos projetos de peças serão tratados no regime elástico do material, sendo os casos mais sofisticados trabalhados em regime plástico e se constituindo no que há de mais moderno e ainda em estudo no campo da Resistência dos Materiais.

Robert Hooke em 1678 enunciou a lei que leva o seu nome e que é a base de funcionamento dos corpos em regime elástico.

As tensões desenvolvidas e suas deformações específicas consequentes são proporcionais enquanto não se ultrapassa o limite elástico do material.

A Lei de Hooke pode ser representada pelas expressões analíticas: σ = E (mod . de elasticidade longitudinal) ε τ = G (mod .de elasticidade transversal) γ Estes módulos de elasticidade são constantes elásticas de um material, e são determinados experimentalmente.

VI. LEI DE POISSON ( DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA TRANSVERSAL)

notação : εt Poisson determinou experimentalmente a deformação que as peças sofrem nas direções perpendiculares a da aplicação da tensão normal.

σ

σ

li lf

D D+∆D

. CONCEITO: Deformação específica transversal é a relação entre a deformação apresentada e o seu comprimento respectivo, ambos medidos em direção perpendicular à da tensão. εt =

∆D D

Os estudos de Poisson sobre a deformação transversal levam as seguintes conclusões: 1.

ε e εt tem sempre sinais contrários

2. As deformações específicas longitudinais e transversais são proporcionais em um mesmo material Resistência dos Materiais I - EM – CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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εt = −µ ε O coeficiente de Poisson é a terceira constante elástica de um material, também determinada experimentalmente.

3. Em uma mesma seção a deformação específica transversal é constante para qualquer direção perpendicular ao eixo.

σ

σ

li

b

b+∆b

a a+∆a

lf

∆a ∆b = = ε t = cons tan te a b As constantes elásticas de um mesmo material se relacionam pela expressão: G=

E 2(1 + µ)

Resumindo:

εx =

σx E

σx −µ E σ ε z = −µ x E

ε y = −µ

µ = Coeficiente de Poisson

VII. LEI DE HOOKE GENERALIZADA

Hooke enunciou a sua lei tomando como exemplo corpos submetidos a tensão em uma só direção. Na prática os corpos podem estar sujeitos a tensão em todas as direções, o que pode ser simplificado reduzindo-as a três direções ortogonais tomadas como referência.

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A figura a seguir mostra um prisma elementar submetido a tensões normais com resultante nas três direções tomadas como referência no espaço : x, y, e z. y

σy σz σx

σx

x

σz

σy

z

Poisson observou que uma tensão provoca deformação em sua direção e em direções perpendiculares a sua também.

Poisson: εt = −µ ε

∴

εt = - µ

σ E

ε t = -µ

σ E

Hooke: σ =ε E

∴

O efeito da tensão σx seria: σx E

na direção x :

εx =

na direção y :

ε t − y = −µ

σx E

na direção z:

ε t − z = −µ

σx E

Pode-se fazer este raciocínio com as demais tensões.

Para determinação da deformação resultante em uma direção, por exemplo x: σx E

efeito de σx

εx =

efeito de σy

ε t − x = −µ

σy E

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efeito de σz

ε t − x = −µ

σz E

Adotando-se o princípio da superposição de efeitos teríamos:

εx =

σy   σx  σ  +  − µ  +  − µ z  E  E   E

Esta expressão simplificada algébricamente fica:

εx =

[

(

1 σ x − µ σ y + σz E

)]

análogamente εy =

[

]

1 σ y − µ(σ x + σz ) E

e

εz =

[

(

1 σz − µ σ x + σ y E

)]

Estas expressões se constituem na LEI DE HOOKE GENERALIZADA Observações: 1. Tensão em uma só direção não implica em deformação em uma só direção.

2. Para a dedução das expressões anteriores as tensões normais foram representadas de tração e portanto positivas. Se alguma delas for de compressão deverá figurar nas fórmulas com o sinal negativo convencionado.

3. Resultados positivos para a deformação específica indicam alongamentos enquanto que resultados negativos significarão encurtamentos.

VIII . PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS

Para serem determinadas as características mecânicas dos materiais são realizados em laboratório ensaios com amostras do material, que são chamadas de corpos de prova.

No Brasil estes ensaios são realizados empregando-se métodos padronizados e regulamentados pela ABNT. O ensaio mais costumeiro é o de tração simples, onde determinam-se as TENSÕES LIMITES dos diversos materiais, que indica a tensão máxima alcançada pelo material, em laboratório, sem que se inicie o seu processo de ruptura.

Com a realização destes ensaios pode-se classificar os materiais em dois grupos: materiais dúteis  materiais frageis

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80

A. MATERIAIS DÚTEIS : São considerados materiais dúteis aqueles que sofrem grandes deformações antes da ruptura.

Dentre os materiais dúteis ainda temos duas categorias:

1.

Dútil com escoamento real:

exemplo: aço comum Num ensaio de tração axial simples costuma-se demonstrar os resultados atravéz de um diagrama tensão x deformação específica (σ x ε ).

No caso de material dútil com escoamento real a forma deste diagrama segue o seguinte modelo:

reta OA - Indica a proporcionalidade entre σ x ε , portanto o período em que o material trabalha em regime elástico (lei de Hooke). Deformações reversíveis. σp - Tensão de proporcionalidade Representa o limite do regime elástico. curva AB - A curvatura indica o fim da proporcionalidade, caracterizando o regime plástico do material. Podemos notar que as deformações crescem mais rapidamente do que as tensões e cessado o ensaio já aparecem as deformações residuais, que graficamente podemos calcular traçando pelo ponto de interesse uma reta paralela à do regime elástico. Notamos que neste trecho as deformações residuais são ainda pequenas mas irreversíveis. σe - Tensão de escoamento Quando é atingida a tensão de escoamento o material se desorganiza internamente (a nível molecular) e sem que se aumente a tensão ao qual ele é submetido, aumenta grandemente a deformação que ele apresenta. trecho BC - Chamado de patamar de escoamento. Durante este período começam a aparecer falhas no material (estricções), ficando o mesmo invalidado para a função resistente.

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81

curva CD - Após uma reorganização interna o material continua a resistir a tensão em regime plástico, porém agora com grandes e visíveis deformações residuais. As estricções são agora perceptíveis nítidamente. Não se admitem estruturas com esta ordem de grandeza para as deformações residuais. σR - Tensão de ruptura Conforme se pode analisar no ensaio acima, o material pode ser aproveitado até o escoamento, portanto sua TENSÃO LIMITE será a TENSÃO DE ESCOAMENTO.

2.

Dútil com escoamento convencional

Exemplo: aços duros Se comporta de maneira semelhante ao anterior, mas não apresenta patamar de escoamento.

Como em estruturas não se admitem grandes deformações residuais se convenciona este limite, ficando a tensão correspondente convencionada como TENSÃO DE ESCOAMENTO, que é também a TENSÃO LIMITE do material.

OBSERVAÇÕES: Os materiais dúteis de uma maneira geral são classificados como aqueles que apresentam grandes deformações antes da ruptura, podendo também ser utilizados em regime plástico com pequenas deformações residuais.

Apresentam uma propriedade importantíssima que é resistirem igualmente a tração e a compressão. Isto quer dizer que o escoamento serve como limite de tração e de compressão.

B. MATERIAIS FRÁGEIS Exemplo : concreto São materiais que se caracterizam por pequenas deformações anteriores a ruptura. O diagrama σ x ε é quase linear sendo quase global a aplicação da lei de Hooke.

Nestes casos a tensão limite é a tensão de ruptura.

Ao contrário dos materiais dúteis, eles resistem diferentemente a tração e a compressão, sendo necessário ambos os ensaios e obtendo-se assim dois limites:

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82

σT = Limite de ruptura a tração σC = Limite ruptura a compressão Em geral estes materiais resistem melhor a compressão do que a tração.

IX. CRITÉRIO DE RESISTÊNCIA - COEFICIENTE DE SEGURANÇA

Em termos gerais um projeto está sempre ligado ao binômio economia x segurança. Deve-se aotar um índice que otimize este binômio.

Pode-se dizer também que mesmo sendo determinada em laboratório a utilização da tensão limite em projetos é arriscada, pois os valores são trabalhados com diversos fatôres de incerteza.

Em vista do que foi exposto adota-se o seguinte critério: A tensão limite é reduzida divindo-a por um número que se chama coeficiente de segurança (s). Para que este número reduza o módulo da tensão limite, ele deve ser maior do que a unidade. Então, para que haja segurança:

s ≥1 As tensões assim reduzidas, que são as que realmente se pode utilizar. São chamadas de tensões admissíveis ou tensões de projeto. Para serem diferenciadas das tensões limites são assinaladas com uma barra ( σ ).

σ adm =

σ lim s

Resumindo analíticamente o critério de segurança conforme abaixo, para os diversos casos:

MATERIAIS DÚTEIS

σmáxt =

σe = σe s

(tensão de escoamento

MATERIAIS FRÁGEIS

σmáxt =

σT = σT (tensão de tração admissível) s

admissível) σmáxc =

σe = σe (tensão de escoamento s admIssível)

σmáxc =

σc s

= σc

(tensão de compressão admissível)

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83

EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 1. Uma barra de latão de seção circular de diametro 3 cm está tracionada com uma força axial de 50 kN. Determinar a diminuição de seu diametro. São dados do material o módulo de elastcidade logitudinal de 1,08 . 104 kN/cm2 e o seu coeficiente de Poisson 0,3.

R: 5,89 . 10-4 cm 2. Uma barra de aço de 25 cm de comprimento e seção quadrada de lado 5 cm suporta uma força axial de tração de 200 kN. Sendo E = 2,4 . 104 kN/cm2 e µ = 0,3 , qual a variação unitária do seu volume ?

R: 0,000133 3. Suponha a barra do problema anterior sumetida à uma força axial de tração.

Experimentalmente determinou-se o módulo de sua deformação específica longitudinal 0,001. Sabendo-se que o seu coeficiente de Poisson é de 0,33, pergunta-se qual o volume final desta barra?

R: 625,212 cm3 4. Uma barra de alumínio de seção circular de diametro 30 mm está sujeita à uma força de tração de 50 kN. Determine: a.

Tensão normal.

b. Deformação específica longitudinal. c. Alongamento em uma distância padrão de 200 mm. d. Variação do diâmetro. e. Variação da área da seção. f. Variação de volume em um comprimento padrão de 200 mm.

Admite-se E = 0,8 . 106 kgf/cm2 µ = 0,25 5. A placa da figura é submetida a tensões normais de compressão na direção z de módulo 10 kN/cm2 . Sabe-se que a deformação é impedida na direção x devido à presença de elementos fixos A e B. Pede-se : a. Deformação específica na direção y b. Deformação total na direção y Dados do material : E = 105 kN/cm2

µ = 0.86

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σz z y x

σz σz z

z

A

B y

x 6 cm

σz

σz 10 cm

2 cm R: (a) 1,59 . 10-4 (b) 0,000636 cm

6. A figura abaixo mostra um prisma submetido à força P =30 kN e Q = 32 kN. As peças A e B são fixas. Pede-se a deformação específica longitudinal na direção y e a deformação total na direção z.

E = 103 kN/cm2 µ= 0,2

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85

z Q

P

x

y P

Q

P

z

A x

B

4 cm

B

2 cm

P 4 cm

Q A

z x

Q R: εy = - 4,08 . 10-3 ∆lz = 5,64 . 10-3 cm 7. Considere um ensaio cuidadosamente conduzido no qual uma barra de alumínio de 50 mm de diâmetro é solicitada em uma máquina de ensaio. Em certo instante a força aplicada é de 100 kN e o alongamento medido na direção do eixo da barra 0,219 mm em uma distancia padrão de 300 mm. O diâmetro sofreu uma diminuição de 0,0125 mm.

Calcule o coeficiente de Poisson do material e o seu módulo de elasticidade longitudinal.

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86

CAPÍTULO VIII TRAÇÃO OU COMPRESSÃO AXIAL (SIMPLES) I. CONCEITO:

Quando um corpo que está sob ação de forças externas, na direção do seu eixo longitudinal, origina-se Esforços Normal no seu interior, mesmo sendo de equilíbrio a situação.

Assim como todo o corpo está em equilíbrio, qualquer parte sua também estará.

Adotando-se o método nas seções, e seccionando o corpo, na seção de corte de área A, deve aparecer uma força equivalente ao esforço normal N, capaz de manter o equilíbrio das partes do corpo isoladas pelo corte (fig b e c). Observe que se as partes isoladas forem novamente unidas, voltamos a situação precedente ao corte.

Neste caso, apenas a solicitação de esforço normal N, atuando no centro de gravidade da seção de corte é necessária para manter o equilíbrio.

Na prática, vistas isométricas do corpo são raramente empregadas, sendo a visualização simplificada por vistas laterais.

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87

P

P

P

σ

N N

σ

P P

P

Σ FV = 0

∴

N-P=0

N=P Admite-se que este esforço normal se distribui uniformemente na área em que atua (A), ficando a tensão definida pela expressão: sendo:

σ=

N A

N → Esforço Normal desenvolvido A→ Área da seção transversal

A tração ou Compressão axial simples pode ser observada, por exemplo, em tirantes, pilares e treliças.

A convenção adotada para o esforço normal (N) + tração Normal N - compressão Nas tensões normais, adota-se a mesma convenção.

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88

As deformações desenvolvidas podem ser calculadas diretamente pela lei de Hooke: P

P

l l + ∆l ε=

∆l l

ε=

σ =

N=P

∆l σ = l E

σ E

N A

∆l N = l EA

∴

∆l =

ou :

N.l E.A

II. VALIDADE DA DISTRIBUIÇÃO UNIFORME

Ao adotar-se as equações acima, deve-se ter em mente que o comportamento do material é idealizado, pois todas as partículas do corpo são consideradas com contribuição igual para o equilíbrio da força N. Pode-se calcular a resultante de força N aplicada no centróide da seção forem somadas todas as resultantes de força que atuam em todos os elementos de área que constituem a seção transversal.

N = ∫ σ.dA A

No caso de adotar-se a distribuição uniforne, em todos os elementos de área atua a mesma

N = σ. A tensão. Decorre daí que: Nos materiais reais esta premissa não se verifica exatamente. Por exemplo, os metais consistem em grande número de grãos e as madeiras são fibrosas. Sendo assim, algumas partículas contribuirão mais para a resistência de que outras, e o diagrama verdadeiro de distribuição de tensões varia em cada caso particular e é bastante irregular.

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89

Os métodos de obtenção desta distribuição exata de tensões são tratados na teoria matemática da elasticidade e mesmo assim apenas casos simples podem ser resolvidos.

Exemplo:

Neste caso observa-se que quanto mais perto da carga aplicada estiver a seção em estudo, maior será o pico de tensões normais.

Em termos práticos porém, os cálculos pela equação da tensão uniforme são considerados corretos.

Dois fatores de concentração de tensões, onde a distribuição uniforme não é válida, são mostrados abaixo, e representam peças com variações bruscas de seção.

Deve-se ter um cuidado adicional para com as peças comprimidas, pois peças esbeltas devem ser verificadas a flambagem.

A flambagem representa uma situação de desequilíbrio elasto-geométrico do sistema e pode provocar o colapso sem que se atinja o esmagamento.

III. PESO PRÓPRIO DAS PEÇAS

O peso próprio das peças constitui-se em uma das cargas externas ativas que devem ser resistidas. Pode-se observar como se dá a ação do peso próprio:

Peças de eixo vertical

Peças de eixo horizontal Resistência dos Materiais I - EM – CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

G

90

pp

Nota-se que nas peças horizontais o peso próprio constitui-se em uma carga transversal ao eixo, desenvolvendo Momento Fletor e Esforço Cortante.

No caso das peças verticais o peso próprio (G), atua na direção do eixo longitudinal da peça e provoca Esforço Normal, que pode ter um efeito diferenciado dependendo da sua vinculação: Nas peças suspensas (tirantes) o efeito do peso é de tração e nas apoiadas (pilares) este efeito é de compressão.

O peso próprio de uma peça (G) pode ser calculado, multiplicando-se o volume da mesma pelo peso específico do material:

G = A.γ.l Sendo: A - área da seção transversal da peça l - comprimento γ – peso específico do material Na tração ou compressão axial a não consideração do peso próprio é o caso mais simples.

A não consideração do peso próprio se dá em peças construídas em materiais de elevada resistência, quando a mesma é capaz de resistir a grandes esforços externos com pequenas dimensões de seção transversal, ficando portanto o seu peso próprio um valor desprezível em presença da carga externa. Nestes casos é comum desprezar-se o peso próprio da peça.

Exemplo: Treliças e tirantes.

A. ESFORÇOS, TENSÕES E DEFORMAÇÕES Considere uma barra sujeita a uma carga externa P e ao seu próprio peso, conforme figura abaixo:

Sejam: G

A - área de seção transversal da peça γ - peso específico do material l - comprimento da peça

P P - carga externa atuante na peça Pode ser feita a determinação de uma expressão genérica para o cálculo das tensões normais desenvolvidas ao longo da barra e a deformação total conseqüente.

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Usando o método das seções a barra é cortada por uma seção S qualquer e isolado um dos lados do corte.

Separar-se em duas partes um corpo. Sendo uma delas extremidade livre, é conveniente que esta parte seja isolada pois evita o cálculo das reações vinculares.

Como o peso do material deve ser considerado, na seção cortada deve aparecer um esforço normal que equilibre a carga externa e também o peso próprio do material isolado.

Isto indica que a posição da seção de corte tem agora importância, pois ela determina o peso da peça isolado pelo corte.

De acordo com esta conclusão deve-se criar uma variável que nos indique a posição da seção de corte desejada.

Fazendo x ser uma ordenada genérica da posição da seção à ser analizada e como a barra tem um comprimento L: N(x)

0≤x≤L

S x

g(x) P

Aplica-se a equação de equilíbrio pertinente: Σ Fy = 0

N-P-g=0

N = P + g(x) onde g(x) é o peso parcial da barra isolada pelo corte Para que seja avaliado o peso de um corpo, multiplica-se o seu volume por seu peso específico V = A.x

∴

gx = A . γ . x N=P+A.γ .x

Observe que o esforço normal varia linearmente em função da ordenada x da seção de referência.

Como x=0 x=l

0 ≤ x ≤ L pode-se calcular os valores extremos do esforço normal N=P Nmáx = P + A . γ . L

Chamando de G o peso total da barra

G = A.γ.l Resistência dos Materiais I - EM – CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

92

Pode-se escrever de outra forma o máximo esforço normal: Nmáx = P + G A descrição da variação do esforço normal pode ser expressa de forma gráfica:

Assim como se desenvolveram as expressões analíticas para o esforço normal, pode-se desenvolver a expressão para as tensões normais: σ (x) =

Sabendo que Como

N A

N(x) = P + A . γ . x σ (x) =

então:

σ(x) =

P + A.γ.x A

ou

P + γ.x A

Substituindo x por seus valores extremos tem-se: x=0

x=L

σ=

P A

σmáx =

P + γ .l A

Com modificações algébricas pode-se expressar o valor da tensão máxima em função do peso total da barra, colocando A como denominador comum às parcelas: σmáx =

P + A.γ.l A

ou

σ máx

=

P+G A

Para a determinação da deformação total ( ∆ l ) sofrida por uma barra sujeita à uma carga externa (P) e ao seu peso próprio (G), e utiliza-se o método das seções. Isola-se um trecho desta barra cortando-a por duas seções transversais S e S' infinitamente próximas, formando Resistência dos Materiais I - EM – CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

93

um prisma de comprimento elementar dx que se alongará apresentando um comprimento dx + ∆dx.

N+∆N S S

dx

l

dx +∆dx

dx S’

S’

N x

P ε=

σ=

σx E

∆ dx dx

∴

∴

∆ dx =

∆ dx = ε . dx

σx . dx (alongamento do trecho de comprimento dx) E

como visto anteriormente σx =

P + γ.x A

então: ∆dx =

P γ. x dx + dx EA E

Como se quer o alongamento da barra toda deve-se fazer o somatório dos diversos trechos de comprimento dx que compõem a barra, ou seja:

 P   γ.x  ∆l = ∫  .dx  .dx +  EA   E  0 l

Efetuando as integrais:

P.l γ. l 2 ∆l= + E.A 2.E Pode-se expressar a equação da deformação total em função do peso total G da peça, fazendo algumas modificações algébricas:

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94

∆l =

l  G P +  EA  2

Observações: 1. Nas expressões acima deduzidas a carga P das primeiras parcelas representa esforços externos à peça em estudo ficando as segundas parcelas com o efeito do peso próprio.

2. Tanto o esforço normal máximo como a tensão normal máxima foram expressos em duas equações, uma em função do peso específico do material e outra em função do peso total da peça. A utilização de uma ou outra equação depende da conveniência do problema.

3. Como foi utilizado na dedução destas expressões, um exemplo em que tanto a carga externa como o peso próprio são esforços de tração, ambas as parcelas são positivas.

No caso de haver qualquer um destes efeitos negativo (compressão) deve-se mudar o sinal da parcela correspondente.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 1. Uma barra de seção transversal retangular de 3 x 1 cm tem comprimento de 3 m.

Determinar o alongamento produzido por uma carga axial de tração de 60 kN, sabendo-se que o módulo de elasticidade longitudinal do material é de 2 . 104 kN/cm2.

R: 0,3 cm 2. Determine as tensões normais desenvolvidas no pilar abaixo indicado nas seções de topo, meia altura e base. O material com que ela é construída tem peso específico 30 kN/m3.

Vista Frontal

90 kN

Vista Lateral

90 kN

60 m

30 m

2m

3. Uma barra de aço e outra de alumínio tem as dimensões indicadas na figura.Determine a carga "P" que provocará um encurtamento total de 0,25 mm no comprimento do sistema. Admitimos que as barras são impedidas de flambar lateralmente, e despreza-se o peso próprio das barras.

Dados: Eaço = 2 . 104 kN/cm2 EAl = 0,7 . 104 kN/cm2 OBS : medidas em cm

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P

Aço Seção 50 x 50

Alumínio Seção 100 x 100

300 cm

500 cm

R : P ≅ 1.900 kN 4. A treliça da figura suporta uma força de 54 tf. Determine a área das seções transversais das barras BD, CE e DE sabendo-se que a tensão admissível de escoamento do material é de l.400 Kgf/cm2. Determine também o alongamento da barra DE sendo E= 2,1 . 104kN/cm2.

R: ADE = 38,57 cm2 ∆lDE = 0,133 cm ACE =28,92 cm2 ABD = 14,46 cm2 5. Um cilindro sólido de 50 mm de diametro e 900 mm de comprimento acha-se sujeito à uma força axial de tração de 120 kN. Uma parte deste cilindro de comprimento L1 é de aço e a outra parte unida ao aço é de alumínio e tem comprimento L2. a. Determinar os comprimentos L1 e L2 de modo que os dois materiais apresentem o mesmo alongamento. b. Qual o alongamento total do cilindro.

Dados: Eaço = 2 . 104 kN/cm2

EAl = 0,7 . 104 kN/cm2

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R: (a) L1 = 66,5 cm L2 = 23,33 cm (b) ∆l = 0,04 cm

6. Um pilar de tijolos recebe uma carga axial de 70 kN. Dimensione-o com seção quadrada de lado “a” levando em conta que a tensão admissível de compressão para esta alvenaria é de 0,08 kN/cm2. Dimensione também o seu bloco de fundação, com seção igualmente quadrada e lado “b”, sabendo que o solo onde o sistema assenta tem uma tensão de compressão admissível de 0,025 kN/cm2.

(DICA: O peso próprio dos materiais deve ser considerado).

Dados : γalvenaria= 15 kN/m3. γconcreto= 25 kN/m3.

70 kN

‘a

‘a

4m

2m

‘ b’

‘ b’

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7. A carga P aplicada à um pino de aço é transmitida por um suporte de madeira por intermédio de uma arruela de diametro interno 25 mm e de diametro externo "d".

Sabendo-se que a tensão normal axial no pino de aço não deve ultrapassar 35 MPa e que a tensão de esmagamento média entre a peça de madeira e a arruela não deve exceder 5MPa, calcule o diametro "d" necessário para a arruela.

R: 6,32 cm

8. Aplica-se à extremidade C da barrade aço ABC uma carga de 66,7 kN. Sabe-se que Eaço é de 2,1.104 kN/cm2. Determinar o diametro "d" da parte BC para a qual o deslocamento do ponto C seja de 1,3 mm.

R: 21,8 mm 9. Usando o desenho do problema anterior, suponha as duas partes da barra de alumínio com módulo de elasticidade longitudinal de 0,7 . 104kN/cm2. O diametro da parte BC é de 28 mm. Determinar a máxima força que pode ser aplicada na extremidade C sabendose que o seu deslocamento não pode ultrapassar 3,8 mm. Sabe-se que a tensão de escoamento admissível para o alumínio é de 16,5 kN/cm2.

R: P ≅ 84 kN 10. O fio de aço CD de 2 mm de diametro tem seu comprimento ajustado para que sem nenhum carregamento exista uma distancia média de 1,5 mm entre a extremidade B da viga rígida ABC e o ponto de contato E. Pede-se determinar em que ponto deve ser colocado o bloco de 20 kgf sobre a viga de modo a causar contato entre B e E. Dados do aço: E = 2 . 104 kN/cm2.

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R: x = 10 cm 11. Uma barra de aço tem seção transversal de 10 cm2 e está solicitada pelas forças axiais indicadas. Determinar as tensões desenvolvidas nos diversos trechos da barra.

100 kN

30 kN

2m

90 kN

20 kN

3m

4m R: trecho 1 : 10 kN /cm2 trecho 2 : 7 kN/cm2 trecho 3 : 9 kN/cm2

12. Uma barra de aço colocada na horizontal mede 5 m. Calcular o seu alongamento quando suspensa verticalmente por uma extremidade. Dados do aço: E = 2,1 . 104 kN/cm2 γ = 80 kN/m3 R: 0,004763 mm 13. Um pilar de tijolos comuns deve receber uma carga oriunda de um telhado de 32 kN. Dimensione-o com seção quadrada sabendo que a alvenaria apresenta peso específico de 19 kN/m3 e tem uma tensão de compressão admissível de 6 kgf/cm2.

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R: a ≥ 24,2 cm 14. Duas barras prismáticas rígidamente ligadas entre si suportam uma carga axial de 45 kN como se indica a figura. A barra superior é de aço, tem 10 m de comprimento e seçãotransversal com 65 cm2 de área; a barra inferior é de latão, tem 6 m de comprimento e seção transversal com 52 cm2de área. Pedem-se as máximas tensões de cada material e o alongamento do sistema.

Dados:

aço E = 2,1 . 104 kN/cm2 γ = 78 kN/m3

latão E = 0,9 . 104 kN/cm2 γ = 83 kN/m3

aço 10 m

latão

6m

45 kN R: σmáx aço =0,81 kN/cm2 σmáx latão = 0,91 kN/cm2 ∆ l = 0,096 cm

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101

15. Para a peça do problema anterior, supondo toda ela de latão, qual a área necessária para a parte de cima para que se tenha a mesma tensão máxima desenvolvida na parte de baixo.Neste caso qual é o alongamento sofrido.

R: Anec ≥ 57,54 cm2 ∆ l = 0,1558 cm 16. Determine as dimensões 'a', 'b' e 'c' dos pilares abaixo com seção circular que recebemuma carga axial de 3.000 kN. Determine também a percentagem de material economizado quando se adota a segunda distribuição. Dados do material: γ = 90 kN/m3 σ = 0.5 kN/cm2 e

R: a ≥ 165.17 cm b ≥ 109.25 cm c ≥ 136.56 cm econ ≅ 44 %

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102

CAPÍTULO IX CISALHAMENTO CONVENCIONAL I.

ASPECTOS GERAIS

O cisalhamento convencional é adotado em casos especiais, que é a ligação de peças de espessura pequena.

Consida-se inicialmente um sistema formado por duas chapas de espessura "t" ligadas entre si por um pino de diametro "d", conforme esquematizado abaixo: A largura destas chapas é representada por "l" e a ligação está sujeita à uma carga de tração "P". t - Espessura das chapas l - Largura das chapas

Considerando-se o método das seções, e cortando a estrutura por uma seção "S", perpendicular ao eixo do pino e justamente no encontro das duas chapas, nesta seção de pino cortada devem ser desenvolvidos esforços que equilibrem o sistema isolado pelo corte.

Então:

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103

Aplicando as equações de equilíbrio: Σ Fx = 0

Q - P = 0 Q=P ∴ Σ MS = 0

M - P.t/2 =0 ∴

M = P.

t 2

As solicitações que se desenvolvem na seção de corte do pino são de Momento Fletor e Esforço Cortante, com os valores acima calculados.

II. CISALHAMENTO CONVENCIONAL

Conforme os cálculos acima efetuados, pode-se notar que o valor do momento é pequeno já que se trabalha com a união de chapas que, por definição, tem a sua espessura pequena em presença de suas demais dimensões.

Nestes casos, pode-se fazer uma aproximação, desprezando o efeito do momento fletor em presença do efeito do esforço cortante.

Isto facilitaria o desenvolvimento matemático do problema, mas teóricamente não é exato pois sabemos que momento e cortante são grandezas interligadas: Q=

dM dx

Em casos de ligações de peças de pequena espessura, como normalmente aparecem em ligações rebitadas, soldadas, parafusadas, pregadas e cavilhas, esta solução simplificada leva a resultados práticos bastante bons. É nestes casos que se adota o cisalhamento aproximado, também chamado de cisalhamento convencional.

O cisalhamento convencional é uma aproximação do cisalhamento real, onde o efeito do momento é desprezado.

Tem-se apenas uma área sujeita à uma força contida em seu plano e passando pelo seu centro de gravidade. Para o cálculo das tensões desenvolvidas é adotado o da distribuição uniforme, dividindo o valor da força atuante pela área de atuação da mesma. Esta seção é chamada de ÁREA RESISTENTE, que deverá ser o objeto de análise.

A distribuição uniforme diz que em cada ponto desta área a tensão tangencial tem o mesmo valor dada por: τ

Q

τ=

Q Aresist

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104

A lei exata da distribuição de tensões deve ser posteriormente estudada para os outros casos em que o cisalhamento convencional não é adotado.

III. LIGAÇÕES SOLDADAS

A. TIPOS DE SOLDA DE TOPO

SOLDA POR CORDÕES

Pode-se observar que na solda de topo, há o desenvolvimento de tensão normal, o que já foi visto e foge do proposto neste capítulo.

B. SOLDA POR CORDÕES Consideram-se duas chapas de espessura t1 e t2, ligadas entre si por cordões de solda conforme a figura abaixo:

Sejam: g - comprimento de trespasse entre as chapas h - largura da chapa à ser soldada t1 - espessura da chapa à ser soldada Pode-se, intuitivamente, notar que o efeito da força se faz sentir ao longo do comprimento do cordão de solda, sendo lógico se atribuir uma relação direta entre a área resistente de solda e o comprimento do cordão.

Nas ligações soldadas, consideramos a área resistente de solda ao produto da menor dimensão transversal do cordão por seu comprimento respectivo.

Na ligação acima e vê que a chapa de espessura t1está ligada à chapa de espessura t2 por meio de um cordão de solda. Vamos ver ampliada uma seção transversal desta solda:

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105

É costume desprezar-se a parte boleada da seção de solda pois é onde prováveis falhas se localizam(bolhas de ar, etc) "d" é a menor dimensão da seção resistente deste cordão e que pode ser calculada como a altura do triangulo retangulo de catetos iguais à t1 .

Observação: O diâmetro do cordão de solda é escolhido de acôrdo com a espessura da chapa à ser soldada. d = t1 . sen 45°

d = 0,7 t1

A resis = 0,7 t . l cordão Observe-se que t corresponde à espessura da chapa que está sendo soldada e lcordão seria o comprimento do cordão de solda.

Para o caso especial do exemplo citado ficaria: lc = 2.g + h

Aresist = d . lc Aresist = 0,7 t (2.g + h)

Para calcula-se a tensão tangencial desenvolvida tem-se: τ=

P 0,7 t (2.g + h)

A avaliação da área resistente deve ser estudada em cada caso, pois partindo da conclusão que ela deva ser igual ao comprimento do cordão multiplicado pela menor dimensão da seção da solda, pode-e ter casos em que a expressão analítica aparece um tanto diferente:

Neste caso temos a chapa de cima sendo fixada na de baixo mas aproveitando o comprimento disponível do trespasse inferior também fixamos atravéz de solda a chapa de baixo na de cima.

Aresist = 0,7 . t1(2.g + h) + 0,7 t2.h

A condição de segurança de uma ligação soldada será então:

P ≤ τ cordão de solda 0,7 t (2.g + h)

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106

IV. LIGAÇÕES REBITADAS

A. TIPOS DE LIGAÇÕES REBITADAS 1. Superposição

2. De topo com cobrejunta simples

3. De topo com cobrejunta duplo

B. CONSIDERAÇÕES GERAIS Em qualquer ligação rebitada, além de se levar em conta o cisalhamento nos rebites, outros fatores também devem ser examinados. Sempre que se projeta ou verifica uma ligação rebitada deve-se analisar os seguintes itens: 1. Cisalhamento nos rebites.

2. Compressão nas paredes dos furos.

3. Tração nas chapas enfraquecidas.

4. Espaçamento mínimo entre rebites.

Para que a ligação tenha segurança todos estes fatores devem estar bem dimensionados.

C. FATÔRES A SEREM CONSIDERADOS

1 Cisalhamento dos rebites O fator cisalhamento nos rebites previne o corte das seções dos rebites entre duas chapas.

Estas seriam as seções chamadas de seções de corte ou seções resistentes.

Sendo: n - número de rebites que resiste à carga P m - número de seções resistentes por rebite. d - diametro dos rebites Resistência dos Materiais I - EM – CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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A força P é resistida por "n" rebites com "m" seções resistentes cada um. Então a área resistente total nos casos de uma ligação rebitada é: Aresist . = m . n.

π d2 4

Sendo τreb a tensão admissível ao cisalhamento do material do rebite, a tensão tangencial desenvolvida não pode ultrapassar a admitida.

A condição de segurança para o cisalhamneto nos rebites expressa de uma forma analítica seria:

P ≤ τreb π d2 m.n.

4 Observando os tipos de ligações rebitadas nos exemplos vistos anteriormante ve-se que: Superposição

Cobrej. simples

Cobrej. duplo

m=1

m=1

m=2

n=4

n=4

n=4

2. Compressão nas paredes dos furos A força exercida nas chapas, e estando a ligação em equilíbrio estático, cria uma zona comprimida entre as paredes dos furos dos rebites e o próprio rebite.

Esta compressão pode ser tão grande a ponto de esmagar as paredes dos furos e colocar em risco toda a ligação rebitada.

Deve-se portanto descartar esta possibilidade.

Sejam duas chapas ligadas entre si por um rebite de diametro "d",conforme figura:

Observam-se zonas comprimidas nas duas chapas devido à ação do rebite sobre elas, sendo na vista de cima, representada a ação do rebite na chapa superior. À fim de facilitar-se o cálculo destas compressões substitui-se a àrea semi cilindrica, da parede do furo, por sua projeção, que seria uma área equivalente ou simplificada ficando:

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Aresist = Asimpl = d.t F=P

σ=

F Aresist σC =

P d.t

Como nos casos de ligações rebitadas existem n rebites, podemos generalizar a expressão:: σ=

P n.d.t

Sendo σ Cchapa a tensão de compressão admissível para o material da chapa ou dos cobrejuntas, então para que o projeto funcione com segurança, a condição expressa analíticamente ficaria:

P ≤ σCchapa n.d.t As tensões de compressão não se distribuem de maneira exatamente uniforme, entretanto assim se admite.

3. Tração nas chapas enfraquecidas Quando se perfura as chapas para a colocação de rebites elas são enfraquecidas em sua seção transversal. Quanto maior for o número de furos em uma mesma seção transversal, mais enfraquecida ficará a chapa nesta seção, pois sua área resistente à tração fica reduzida.

Antes da furação a seção transversal da chapa que resistia à tração era:

σT =

P t.l

Supondo que se façam dois furos em uma mesma seção transversal de chapa para a colocação de rebites. A nova área resistente será:

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A nova tensão de tração desenvolvida será: σ=

P t(l - 2.d)

Para generalizar criamos uma grandeza, n1 que reprezenta o número de rebites colocados em uma mesma seção transversal; σ=

P t (l - n1.d)

A condição de segurança expressa analíticamente será:

P ≤ σΤ t (l - n1.d) onde σ Τ representa a tensão de tração admissível para o material das chapas ou cobrejuntas Observações: 1. Em casos de projetos de ligações rebitadas sempre interessa a pior situação do sistema, que muitas vêzes é determinada com a simples observação. Nos dois itens anteriores (compressão nos furos e tração nas chapas enfraquecidas) pode-se tirar as seguintes conclusões: a. Nas ligações por superposição e cobrejunta simples, sempre estará em pior situação a peça de menor espessura, pois ambas recebem a mesma carga. Resta apenas observar que para a tração nas chapas enfraquecidas, a seção transversal com maior número de rebites colocados é a em pior situação (n1 máximo).

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b.Nas ligações com cobrejunta duplo seria conveniente a análise das chapas e dos cobrejuntas já que a espessura dos mesmos é diferente e a carga ao qual eles estão submetidos também o é.

Cobrejunta:

Chapas:

P/2 , t1

P, t2

4. Espaçamento mínimo entre rebites Com a finalidade de limitar a proximidade entre rebites e entre rebites e bordas livres, as normas fixaram um espaçamento mínimo que deve ser preservado.

Isto evita zonas de extrema fragilidade entre dois furos em uma chapa e evita também que o funcionamento de um rebite interfira nos rebites vizinhos, o que poderia provocar acúmulos de tensões nestas áreas comuns .

NB - 14 ( Estruturas Metálicas)

Recomendações da Norma: 3 d - distâcia mínima entre os centros de 2 rebites 2 d - distância mínima entre centro de rebite e borda livre perpendicular à ação da força 1,5 d - distância mínima entre centro de rebite e borda livre paralela à ação da força onde "d" é o diâmetro do rebite.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 1. Uma guilhotina para cortes de chapas tem mesa com 2 metros de largura de corte e 450 kN de capacidade. Determinar as espessuras máximas de corte em toda a largura para as chapas : a. Aço ( τ = 220 MPa ) b. Cobre ( τ = 130 MPa ) c. Alumínio ( τ = 70 MPa )

R: (a) 0.10 cm (b) 0.17 cm (c) 0.32 cm

2. As chapas soldadas abaixo na figura tem espessura de 5/8". Qual o valor de 'P' se na solda usada a tensão admissível ao cisalhamento é de 8 kN/cm2. Determine também o menor trespasse possível adotando-se todas as possibilidades de solda.

R: P ≤ 356.16 kN g ≥ 14 cm 3. Considere-se o pino de 12.5 mm de diametro da junta da figura. A força "P" igual à 37.50 kN. Admita a distribuição de tensões de cisalhamento uniforme. Qual o valor destas tensões nos planos a-a' e b-b'.

R: 1.528 Kgf/cm2 4. De acôrdo com a figura, a força P tende a fazer com que a peça superior (1) deslize sobre a inferior (2). Sendo P = 4.000 Kgf, qual a tensão desenvolvida no plano de contato entre as duas peças?

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R: 4,71 kgf/cm2 5. O aço de baixo teor de carbono usado em estruturas tem limite de resistência ao cisalhamento de 31 kN/cm2 . Pede-se a força P necessária para se fazer um furo de 2.5 cm de diametro, em uma chapa deste aço com 3/8" de espessura.

R: 231,91 kN

6. Considere-se o corpo de prova da figura, de seção transversal retangular 2.5 x 5 cm, usado para testar a resistência a tração da madeira. Sendo para a peroba de 1,3 kN/cm2 a tensão de ruptura ao cisalhamento, pede-se determinar comprimento mínimo "a" indicado, para que a ruptura se de por tração e não por cisalhamento nos encaixes do corpo de prova. Sabe-se que a carga de ruptura do corpo por tração é de 10,4 kN.

Corpo de prova

Vista Lateral

Seção do corpo de prova

R: a ≥ 0.8 cm

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7. Considere-se um pino de aço de 3/8" de diametro sujeito à força axial de tração de 10 kN. Calcular a tensão de cisalhamento na cabeça do pino, admitindo que a superfície resistente seja de um cilindro de mesmo diametro do pino, como se indica em tracejado.

R: 1,05 kN/cm2 8. As peças de madeira A e B são ligadas por cobrejuntas de madeira que são colados nas superfície de contato com as peças. Deixa-se uma folga de 8 mm entre as extremidades de A e B . Determine o valor do comprimento "L"para que a tensão de cisalhamento nas superfícies coladas não ultrapasse 0,8 kN/cm2.

R: 308 mm 9. Ao se aplicar a força indicada, a peça de madeira se rompe por corte ao longo da superfície tracejada. Determine a tensão de cisalhamento média na superfície de ruptura.

R: 6 MPa 10. Sabendo que a tensão de ruptura ao cisalhamento de uma chapa de aço é de 330 MPa, determine: Resistência dos Materiais I - EM – CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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a. A força necessária para produzir por punção um furo de 30 mm de diametro em uma chapa com 9 mm de espessura. b. A tensão normal correspondente no furador.

R: (a) 279,91 kN

(b) 39,59 kN/cm2

11. A placa indicada na figura é presa à base por meio de 3 parafusos de aço. A tensão de cisalhamento última do aço é de 331 MPa. Utilizando-se um coeficiente de segurança de 3,5 determine o diametro do parafuso à ser usado.

R: 22 mm 12. A ligação AB está sujeita à uma força de tração de 27 kN. Determine: a. O diametro "d"do pino no qual a tensão média permitida é de 100 MPa. b. A dimensão "b"da barra para a qual a máxima tensão normal será de 120 MPa.

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R: (a) 1,85 cm

(b) 3,75 cm

13. Quais as distancias "a" e "b" necessárias para os entalhes na peça horizontal da treliça indicada? Todas as peças tem seção transversal de 0,20 x 0,20 m. Admitir a tensão de cisalhamento da madeira de 3,5 MPa e utilizar coeficiente de segurança 5.

R : a ≅ b ≅24 cm 14. Verificar a ligação rebitada da figura, sendo dados Rebites τ = 100 MPa d = 1/2" = 1,27 cm

Chapas σ T = 150 MPa σ C = 250 MPa

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R: Não há segurança (tração nas chapas) 15. Determine a máxima carga P que se pode aplicar à ligação rebitada abaixo sendo dados: Rebites d = 1/2" = 1.27 cm τ = 100 MPa OBS: medidas em mm

Chapas e Cobrejuntas σ T = 150 MPa

16. Verificar a ligação rebitada abaixo sendo dados: Rebites d = 1/2" = 1,27 cm τ = 110 MPa

Chapas e Cobrejuntas σ e = 220 MPa

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R: Não há segurança 17. A junta longitudinal de uma caldeira é de topo com cobrejunta duplo. O diametro interno da caldeira é de 1,3 m , a espessura de sua chapa de 15 mm e as chapas de recobrimento (cobrejuntas) de 10 mm. Sabe-se que os rebites são colocados longitudinalmente a cada 8 cm. Determinar a pressão interna que esta caldeira pode suportar e também a eficiência da ligação rebitada. Os rebites usados tem 12 mm de diâmetro e são dados dos materiais: Rebites: d = 12 mm τ = 310 MPa Deve-se adotar segurança 5.

Chapas e Cobrejuntas: σ T = 387 MPa σ C = 670 MPa

R:

pi ≤ 2,7 Kgf/cm2 eficiência ≅ 15%

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18. Dimensionar um eixo de uma roldana fixa que deve suportar a elevação de uma carga de 100 kN. Sabe-se que o material do eixo apresenta tensão admisível ao cisalhamento de 120 MPa.

R: 3,25 cm

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FORMULĂ RIO PADRĂ&#x192;O INTRODUĂ&#x2021;Ă&#x192;O Ă&#x20AC; RESISTĂ&#x160;NCIA DOS MATERIAIS:

Ď&#x192; ou Ď&#x201E; =

Îľ = Âľ Îľ

F Aresist

Îľ=

Ď&#x192; Î&#x2022;

Îľt =

(lei de Poisson)

Îľ=

(lei deHooke)

â&#x2C6;&#x2020;

â&#x2C6;&#x2020;

Lei de Hooke generalizada

1 [Ď&#x192; x â&#x2C6;&#x2019; Âľ(Ď&#x192; y + Ď&#x192; z )] E 1 Îľ z = [Ď&#x192; z â&#x2C6;&#x2019; Âľ(Ď&#x192; x + Ď&#x192; y )] E Îľx =

1 [Ď&#x192; y â&#x2C6;&#x2019; Âľ(Ď&#x192; x + Ď&#x192; z )] E

Îľy =

TRAĂ&#x2021;Ă&#x192;O OU COMPRESSĂ&#x192;O AXIAL SEM CONSIDERAĂ&#x2021;Ă&#x192;O DO PESO PRĂ&#x201C;PRIO

N A

Ď&#x192;=

N.L E.A

â&#x2C6;&#x2020;L =

TRAĂ&#x2021;Ă&#x192;O OU COMPRESSĂ&#x192;O AXIAL COM CONSIDERAĂ&#x2021;Ă&#x192;O DO PESO PRĂ&#x201C;PRIO

Ď&#x192; mĂĄx =

P +Îł A

â&#x2C6;&#x2020;

(P +

P+G A

Ď&#x192; mĂĄx =

G ) 2

â&#x2C6;&#x2020;

+

G = A.Îł.l

Îł

2

MATERIAIS DIFERENTES

n=

E1 E2

Ď&#x192;

Ď&#x192;2

Ď&#x192;2 =

N1= Ď&#x192;1..A1

N2 = Ď&#x192; 2.A2

LIGAĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES REBITADAS 1. cisalhamento nos rebites

P â&#x2030;¤ Ď&#x201E; reb Ď&#x20AC;.d 2 m.n.

4

â&#x2030;¤Ď&#x192;

P = N1 + N2

2. compressĂŁo nas paredes dos furos

P â&#x2030;¤ Ď&#x192; C ( chapa sec obr .) n.d.t

3. tração nas chapas enfraquecidas

P t (l â&#x2C6;&#x2019;

4. espaçamento mínimo entre rebites

ResistĂŞncia dos Materiais I - EM â&#x20AC;&#x201C; CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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BIBLIOGRAFIA BÁSICA HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais LTC Editora – Rio de Janeiro – 3ª Edição ISBN - 85-216-1228-1 GERE, James M. Mecânica dos Materiais Pioneira Thomson Learning , 2003 São Paulo – ISBN – 85-221-0313-5 ROY R. CRAIG, JR – Mecânica dos Materiais – LTC Editora – Rio de Janeiro ISBN – 85-216-1332-6 RILEY William F. STURGES Leroy D. MORRIS Don H. - LTC Editora – Rio de Janeiro – ISBN – 85-216-1362-8 TIMOSHENKO,S,P. -Resistência dos Materiais 2 volumes. Ed. Ao Livro Técnico S.A. Rio de Janeiro.

BEER, Ferdinand P & JOHNSTON, E Russel. Resistência dos Materiais Editora Mc Graw Hill do Brasil. São Paulo.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR: GOMES, Sérgio C. - Resistência dos Materiais - Livraria Kosmos FEODOSSIEV, V. I. - Resistência dos Materiais - Editora Mir - Moscou NASH, W.A. - Resistência dos Materiais - Editora Mc Graw Hill do Brasil.

São Paulo POPOV,E.P. - Resistência dos Materiais - Editora Prentice-Hall do Brasil DI BLASI, Célio G. - Resistência dos Materiais - Editora Interamericana Ltda.

Rio de Janeiro – ISBN – 85-201-0189-5 SCHIEL Frederico Introdução à Resistência dos Materiais Harper & Row do Brasil – São Paulo

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