Aplicación de las Derivadas

Autor: Armando González 04/07/2014

La derivada de una función en un punto surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x, y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales.

Índice CÁLCULO DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN DE UN OBJETO QUE SE MUEVE EN LÍNEA RECTA ................................................ 2 DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS............................................................................................................................ 3 RAZÓN DE CAMBIO ......................................................................................................................................................... 5 DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR: DEFINICIÓN ....................................................................................................................... 8 FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE ................................................................................................................................. 8 CRITERIO DE LA CONCAVIDAD ........................................................................................................................................ 9 FORMAS INDETERMINADAS ................................................................................................................................................. 10 CHISTES ............................................................................................................................................................................. 11 CURIOSIDAD .................................................................................................................................................................. 12

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Un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado, de modo que su posición satisface .

Donde mide en centímetros y en segundos con . Determine la velocidad del objeto cuando y cuando ¿En que momento la velocidad es cero? ¿Cuándo es positiva?

Solución Si utilizamos el símbolo

para la velocidad en el instante , entonces

Así, Centímetros por segundo Centímetros por segundo

La velocidad es cero cuando

, esto es,

La velocidad es positiva cuando

O cuando

Por supuesto, el objeto esta moviendose a lo largo del eje , no sobre la trayectoria señalada. Pero la trayectoria señalada muestra lo que le sucede al objeto. Entre y la velocidad es negativa; el objeto se mueve hacia la izquierda (regresando). En el instante se ha frenado a una velocidad cero.

Despues inicia a moverse hacia la derecha conforme su velocidad se vuelve positiva. Asi, velocidad negativa corresponde al movimiento en la direccion que disminuye ; velocidad negativa corresponde a moverse en la direccion que aumenta .

2

La primera derivada de la velocidad, así mide la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo, la cual tiene el nombre de aceleración si se denota por medio de a, entonces

Así

Esto significa que la velocidad esta aumentando a una razón constante de 4 centímetros por segundo cada segundo, que podemos escribir como 4 centímetros por segundo por segundo, o .

En la ecuación

Una función real de variable real es implícita cuando en su regla de correspondencia ninguna variable está despejada en términos de la otra. La derivada de una función implícita se puede determinar con respecto a la variable independiente x o con respecto a la variable dependiente y mediante el proceso denominado derivación implícita. Al derivar funciones implícitas, es común aplicar la regla de la cadena.

1) Mediante derivación implícita, obtenga la derivada con respecto a x de la función

Derivando con respecto a x

Aquí se debe tener en cuenta que para derivar los términos la derivada de un producto.

y

se debe aplicar el teorema de

Calculando las derivadas y representando por y ´ la derivada de y con respecto a x.

3

Reordenando y como se desea obtener el valor de y´, los términos que contiene a y´ se agrupan en el primer miembro, factorizando los términos

Despejando y’, se tiene la derivada de la función con respecto a x.

2) Derive implícitamente con respecto a x las siguientes funciones

Derivando con respecto a x

Aquí se debe tener en cuenta que para derivar el término de un producto.

se debe aplicar el teorema de la derivada

Calculando las derivadas y representando por y ´ la derivada de y con respecto a x.

Reordenando y como se desea obtener el valor de y´, los términos que contiene a y´ se agrupan en el primer miembro, factorizando los términos

Despejando y’, se tiene la derivada de la función con respecto a x.

4

Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo

 El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)  La cantidad de dinero en una cuenta en un banco  El volumen de un globo mientras se infla  La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje

El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+∆t, es el incremento

Q

f (t

t)

f (t )

La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio ∆Q en Q con respecto del cambio ∆t en t, por lo que es el cociente

Q t

f (t

t) t

f (t )

Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio cuando ∆t→0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es

lim t

0

Q t

lim t

0

f (t

t) t

f (t )

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Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f(t) es la derivada

dQ dt

f ´(t )

La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la función Q=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo de la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.

También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así Q es creciente en el instante t si

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Q es decreciente en el instante t si

La derivada de cualquier función, no solamente una función del tiempo, puede interpretarse como una razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente. Si y=f(x), entonces la razón de cambio promedio de y (por un cambio unitario en x) en el intervalo [x,x+∆x] es el cociente

y x

f(x

x) x

f(x)

La razón de cambio instantánea de y con respecto de x es el límite, cuando ∆x→0, de la razón de cambio promedio. Así, la razón de cambio instantánea de y con respecto de x es

7

lim x

0

y x

dy dx

f ´( x )

La operación de derivación toma una función y produce una nueva función . Si ahora derivamos , producimos otra función denotada por y denominada segunda derivada de . A su vez, puede derivarse, y de ahí puede producir , que se denomina tercera derivada de , y así sucesivamente. La cuarta derivada se denota con, la quinta derivada se denota con , etcétera…

Ejemplo

Entonces

Como la derivada de la funcion cero es cero, la cuarta derivada y todas las derivadas de orden superior de Serán cero.

Las tres notaciones para la derivada (ahora también llamada la primera derivada) de

Son

Denominadas, respectivamente, notación prima notación D y notación Leibniz. Hay una variación de la notación prima, . Todas estas notaciones tienen extensiones para derivadas de orden superior. En especial la notación de Leibniz, aunque complicada le pareció más apropiada y natural ser escrita así.

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Se dice que una función

es creciente sobre un intervalo si Siempre que

Se dice que es decreciente sobre si Siempre que En la definición de función creciente es importante darse cuenta que se debe satisfacer la desigualdad

Para toda parejas de números

La función

es decreciente sobre el intervalo

con

y creciente sobre el intervalo

.

Se f una función para la cual f’’ existe en Para todo x en Para todo x en

, entonces la grafica de , entonces la grafica de

es cóncava hacia arriba en es cóncava hacia abajo en

Criterio de la segunda derivada Si es un valor critico de digamos, entonces la grafica de es cóncava hacia arriba en cierto intervalo que contiene a . Entonces es, necesariamente, un mínimo relativo. De manera semejante, en un valor crítico implica que es un máximo relativo, esto se llama criterio de la segunda derivada.

9

y

Punto de inflexión Máximo relativo

Mínimo relativo

x

Se f una función para la cual f’’ existe en entonces Entonces

que contiene el numero critico

, es un mínimo relativo , es un máximo relativo

Un límite de una función toma una forma indeterminada en si al evaluar mediante las leyes de los límites, (ley de la suma, del cociente, etc.), se obtiene una de las siguientes expresiones:

Estas expresiones se llaman formas indeterminadas.

Así, 1.

tiene la forma indeterminada en

2.

tiene la forma indeterminada

3.

4.

en

tiene la forma indeterminada tiene la forma indeterminada

. . en

.

en x=0.

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Gottfried W. Leibnitz, inventó el sistema binario (base 2) usado hoy en los ordenadores.

Leibnitz vio en este sistema la imagen de la Creación; se imaginó que la unidad (1) representaba a Dios y el cero (0) la nada, e inventó un sistema filosófico basado en esas premisas.

Las dos rayas = que indican igualdad las empezó a utilizar un matemático inglés llamado Robert Recorde que vivió hace más de cuatrocientos años. En uno de sus libros cuenta que eligió ese signo porque “dos cosas no pueden ser más iguales que dos rectas paralelas”

En una prueba desarrollada en el Museo de Ciencias de Londres, el atleta matemático calculó la raíz decimotercera de un número de 200 dígitos con sólo el poder de su cerebro en apenas 70,2 segundos, quebrando su récord anterior de 72,4 segundos.

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Las derivadas son una útil herramienta para examinar las gráficas de funciones. En particular, los puntos en el interior de un dominio de una función de valores reales que llevan a dicha función a un extremo local tendrán una primera derivada de cero. Sin embargo, no todos los puntos críticos son extremos locales. Por ejemplo, f(x)=x³ tiene un punto crítico en x=0, pero en ese punto no hay un máximo ni un mínimo. La prueba de la primera derivada y la prueba de la segunda derivada permiten determinar si los puntos críticos son máximos, mínimos o ninguno.

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