1er año geometría

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

GEOMETRÍA 1er Año I SEMESTRE

1er Año

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GEOMETRÍA

Índice 1)

Conceptos Básicos………………………………………..…………….1

2) Geometría……………………………………………..…………………….8 3) Líneas………………………………………………………………………..14 4) Posiciones Relativas de dos Rectas…………………………..…….….21 5) Puntos de Corte entre Rectas…………………………………….……..27 6) Operaciones con Segmentos I……………………………………………39 7) Operaciones con Segmentos II…………………………………………..44 8) Repaso……………………………………………………………………....49 9) Ángulos………………………………………………………………..……53 10)

Sistema Sexagesimal Angular……………………………………58

11)

Repaso………………………………………………………….……..62

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GEOMETRÍA

La existencia de una gran mujer fue truncada bárbaramente a pedradas?

Ella fue hija del filósofo y matemático Teón,

nació en Alejandría, funda una escuela donde enseña las doctrinas de Platón y Aristóteles y

se distingue por sus comentarios de Apolonio y Diofanto.

El nombre de ésta gran mujer es : Hypatia

1

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GEOMETRÍA

1er Año

CONCEPTOS BÁSICOS Los alumnos del primer año del Colegio Trilce, se proponen construir un campo deportivo de forma rectangular, luego de planificar y trabajar cuidadosamente obtienen el siguiente modelo.

A

B

D

C

Queridos amigos, si observamos el gráfico detenidamente; podemos notar lo siguiente : 1.

Pequeñas marcas nombradas con las letras mayúsculas A, B, C y D a éstas marcas las llamaremos puntos, estás marcas nos dan idea de los que son los puntos, de manera que si queremos representar a un punto lo haremos con una pequeña marca asignándole a esta una letra mayúscula, ejemplo : A punto A

Q punto Q

Al punto también lo podemos mencionar de la siguiente manera : I.

Es la idea que tenemos de algo muy pequeño

II. A ésta idea la representamos mediante una pequeña marca III.A está marca le asignamos una letra mayúscula.

2.

Cada lado del rectángulo representa a una porción de recta decimos porción debido a que la recta es ilimitada, otra manera de conseguir la idea de una recta es al estirar un hilo muy grande y delgado. Invito pues amigos a sacar sus ovillos de hilo con la finalidad de conseguir porciones de recta, cabe recalcar que a la porción de una recta se le llama segmento de recta o simplemente segmento, que mas adelante lo estudiaremos LA RECTA .- ....................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................

A una recta se le representa nombrando dos puntos distintos de ella, si la figura siguiente nos representa a una recta.

A

B

2

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GEOMETRÍA

Entonces la denotaremos como

1er Año



AB que quiere decir recta AB, las cabecitas de flecha nos indica la

continuidad de su longitud en ambos sentidos.

3.

El campo deportivo del modelo, una hoja de papel, la superficie de un lago muy tranquilo, nos dan la idea de un plano, debemos mencionar, también que el plano es ilimitado.

EL PLANO .- ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................................

Debemos tener presente que los conceptos primarios de punto recta y plano son muy importantes en el curso de geometría, pues nos servirá de base para definiciones posteriores.

FIGURAS GEOMÉTRICAS Una figura geométrica es una representación que se hace mediante un conjunto de puntos, así por ejemplo si queremos representar al cuadrado, al triángulo y a la circunferencia lo hacemos mediante los siguientes conjuntos de puntos (contornos) o figuras.

Cuadrado

Triángulo

Circunferencia

Hay que saber diferenciar entre un triángulo y una región triangular o entre un cuadrado y una región cuadrangular, hablar de un triángulo o un cuadrado implica hablar del contorno o el conjunto de puntos del contorno, que no es mas que una unión de segmentos.

Pero si hablamos de una región triangular o una cuadrangular significa que estamos hablando del conjunto de puntos del contorno mas el conjunto de puntos de su parte interior, observe los siguientes ejemplos.

Región Cuadrangular



Región Triangular

Región Circular

FIGURAS GEOMÉTRICAS CONVEXAS Y NO CONVEXAS

Se dice que una figura geométrica es convexa, si para cualquier par de puntos de ella se forma un segmento de modo que éste pertenezca en su totalidad a la figura, en caso contrario se dice que la figura geométrica es no convexa. Vea los siguientes ejemplos :

3

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1er Año

P A

R

B

S

M

D

C

N Q II

III

Fig. No Convexa

Fig. No Convexa

I Fig. Convexa

IV Fig. Convexa

Observemos las dos primeros figuras, la primera es una región triangular que comprende los puntos del contorno y su interior, los puntos A y B pertenecen a la figura y el segmento formado por éstos puntos pertenece en su totalidad a esta región triangular; mientras que la segunda es un triángulo que comprende solamente los puntos del contorno mas no de su interior, los puntos C y D pertenecen al triángulo y vemos que el segmento formado por estos puntos no pertenece en su totalidad al triángulo tales como los puntos R y S. Vayamos a la parte práctica, haciendo uso de sus tijeras y los trozos de cartulina, se pide construir figuras geométricas convexas y no convexas, escriba sus datos en la cartulina indicando si la figura es o no convexa, luego entréguelo al profesor. 

FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS

Son aquellas figuras donde todos sus puntos pertenecen a un mismo plano. Ejemplo : Un triángulo, una región triangular, un cuadrado etc. las figuras geométricas que a continuación mostramos son figuras planas.



FIGURAS GEOMÉTRICAS SÓLIDAS

Las figuras sólidas o del espacio, son aquellas cuyos puntos no pertenecen todos a un mismo plano sino al espacio tridimensional. Por ejemplo el prisma, la pirámide, el cono, la esfera, etc.

Prisma

Pirámide

Cono

4

Esfera

Cilindro

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

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1er Año

FIGURAS GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES .-

Si dos superficies tienen la misma área no importando la forma que tengan entonces se dicen que son equivalentes y si dos sólidos tienen el mismo volumen cualesquiera que sean sus formas entonces son equivalentes, ejemplos :

5m2

12m3

12m3

5m2

Superficies Equivalentes

Sólidos Equivalentes

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1.

Dibuje o represente al punto, la recta y al plano y coloque su notación correctamente.

2.

Indicar verdadero o falso las afirmaciones siguientes: -

3.

La “Longitud” de una recta se puede medir. ( ) En una recta existen infinitos puntos. ( ) La superficie del plano es lisa e ilimitada. ( ) La notación de un punto se hace con letras minúsculas. ( )

Relacione correctamente los datos de ambas columnas. a)

A

Plano P

(

5.

)

Indicar verdadero enunciados.

-



b) AB

Fig. no convexa

(

)

c)

Recta AB

(

)

P

-

d) 4.

Punto A

(

) 6.

Utilice trozos de cartulina y pegue en los recuadros de la primera columna figuras geométricas convexas y en la segunda, figuras no convexas.

5

o

falso

los

siguientes

Una recta es un conjunto convexo. ( ) Un plano es un conjunto no convexo. ( ) Un triángulo es un conjunto convexo. ( ) Una región triangular es un conjunto convexo. ( ) La superficie de un cilindro es un conjunto no convexo. ( )

Completar de manera adecuada las expresiones siguientes :

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-

GEOMETRÍA

El triángulo es una figura geométrica plana

a) b) c)

y el cubo es un ……………………………………………… geométrico.

-

La superficie de un cilindro es un conjunto.

d) e) f)

…………………………………………………………..

Un terreno rectangular tiene un área de 250m2. ¿Cuántos m2 tendrá otro terreno equivalente y de forma triangular?

7.

a) 250 cm2 d) 230 m3 8.

b) 500 m e) 250 m2

50 000 cm3 50 000 lt 250 m3

9.

c) 250 m

-

d) 50 000 mm3 e) N.A.

200dm

IV

3

B

G Circunferencia

III

D

II C

c) tres

Región Triangular

Es un plano Tiene dos puntos

( (

-

AB pertenece en su totalidad a la figura Es un conjunto no convexo

V

F

) )

( (

) )

(

)

(

)

(

)

(

)

14. Se dice que Thales de Mileto, calculó, mas no midió la altura de una de las pirámides de Egipto, indique la diferencia entre medir y calcular.

E

15. Escriba el significado de los siguientes símbolos matemáticos.

Rectángulo VI

H

-

-

F

E

Región Circular V

IV

) ) ) ) )

B

VI d) Todas e) Ninguna

Triangulo

b) Dos e) ninguno.

A

2

10. Observa las figuras e indique con una “C” lo correcto y con una “I” lo incorrecto.

A

( ( ( ( (

13. La figura representa una superficie, entonces podemos decir que:

200cm

V

a) I, II, III y IV, V b) I y III, IV y V c) I, II y IV, V, VI

I

) ) ) )

III

II

200 lt

La figura I es convexa Las figuras II, V, VI son convexas Las figuras I, III y V son no convexas Todas las figuras son convexas Ninguna figura es convexa

a) Solo uno d) infinitos

150m2

150m3

150m2

) )

12. ¿Cuántos puntos contiene una recta .

Indique usted las figuras equivalentes.

I

A y B pertenecen al triángulo. ( G no pertenece a la circunferencia ( C pertenece a la región y D no pertenece ( H no pertenece a la región ( I pertenece a la región ( E pertenece al rectángulo. (

11. Del problema anterior indique verdadero (V) o falso (F) lo que se enuncia a continuación :

Una piscina se llena con 50 000 lt, de agua. ¿Con cuántos litros de este elemento se llenará un tanque de volumen equivalente?. a) b) c)

1er Año

I Región Rectangular

6







∼





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1er Año

TAREA DOMICILIARIA Nº 1 1.

¿Cuál de las correctas?.

notaciones

●A

(Punto A)

III. ● b

(Punto b)

IV.

(Recta CD)

I. II.

AB 

CD

a) I y IV d) Todas 2.

siguientes

son

-

7.

(Recta AB)

b) I, II y III e) Ninguna

a) 10cm2 d) 10m

c) I y III 8.

Indicar verdadero o falso las siguientes afirmaciones: - La recta es ilimitada ( ) - En una recta existen dos ( ) puntos solamente - La notación de un punto se ( ) hace con letras mayúsculas - La superficie del plano es ( ) rugosa y limitada

3.

9.

para todo

(

)

b) ∀

si y solo si

(

)

pertenece a

(

)

d) ⇔

congruente a

(

)

c) ≅ 4.

Construya con trozos de cartulina tres figuras geométricas convexas y tres no convexas y péguelas en sus cuadernos.

5.

6.

Una superficie esférica es un conjunto convexo Un sólido cilíndrico es un Conjunto convexo El triángulo es un conjunto no convexo El círculo es un conjunto no convexo La circunferencia es un conjunto convexo

-

3lt.

Indique usted las figuras equivalentes. a)

I y II

b)

I y III

c)

II y III

d)

I, II y III

e)

N.A.

II

I

)

b)

I,III y II, IV

(

)

c)

I,IV y II,III

d)

II,I y III,IV

e)

II,IV y I,III

) ) )

Complete de manera adecuada las expresiones siguientes: -

3m3 3m 3lt 5lt 8lt

(

( ( (

c) 100m

15m2

5m2 III

15m2

10. Agrupe las figuras planas y los sólidos, en ese orden.

II I a) I,II y III, IV

Indicar verdadero (V) o falso (F) los siguientes enunciados.

-

b) 10m2 e) N.A.

Los sólidos que se muestran son equivalentes, si el cubo se llena con 3lt. de agua. ¿Con cuántos litros de éste elemento se llenará el cilindro?. a) b) c) d) e)

Relacione correctamente los datos de ambas columnas. a) ∊

Si dos figuras tienen la misma forma pero diferente tamaño, entonces son figuras ……………………………………………………

Una superficie triangular tiene un área de 10m2. ¿Cuántos m2 de área tendrá otra figura equivalente?.

Dos superficies de diferente forma e igual área se dicen que son ………………………………………………………………………………

El triángulo es una figura ………………………………… y la región triangular es ………………………………..

Si dos figuras tienen la misma forma y el mismo tamaño entonces son figuras ………………………………………………………………………..

7

III

IV

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GEOMETRÍA

1er Año

Cuenta la historia que Thales de Mileto, el gran matemático griego, en uno de sus viajes se dirigió a Egipto, donde quedó maravillado del esplendor y grandeza de las pirámides y lejos de medir la altura de una de ellas optó por un mejor camino, el cálculo, gracias a la sombra que proyectaba esta gigantesca construcción, la ayuda de un bastón que portaba y los conocimientos de geometría que tenía, pudo lograr su ansiado objetivo.

8

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GEOMETRÍA

1er Año

LA GEOMETRÍA

Queridos Amigos, incursionamos

a un curso importante y fascinante, LA GEOMETRÍA, importante por sus

múltiples aplicaciones en nuestras vidas y fascinante porqué nos permitirá de manera paulatina conocer lo que hoy desconocemos y responder lo que hoy nos intriga, de manera que con dedicación y perseverancia tendremos la satisfacción de descubrir las múltiples relaciones que en ésta ciencia se dan. LA GEOMETRÍA es parte de las matemáticas y etimológicamente, proviene de dos palabras griegas, GEO : tierra y METRIA : medida, es una ciencia que estudia el tamaño y forma de las llamadas figuras geométricas; estudiar el tamaño implica medir y calcular, éstas mediciones y cálculos pueden ser lineales, superficiales o volumétricas y para que estas operaciones sean posibles utiliza como herramientas imprescindibles la aritmética y el álgebra.

ORÍGENES Los habitantes en la antigüedad, tales como los egipcios, los sumerios, los incas, los mayas, los chinos, etc.

Tenían la predilección de ubicar sus terrenos de cultivos en los valles de los ríos con la finalidad de aprovechar el vital elemento que es el agua, pero ... ¿Qué sucedía cuando el caudal de las aguas crecían?, los terrenos eran inundados, las marcas puestas en estos eran borradas, ante estos acontecimientos, los habitantes de entonces tenían la imperiosa necesidad de recuperar sus terrenos, pero recuperarlos en su real dimensión, de manera ingeniosa y práctica utilizaron cuerdas, trozos de madera y otros elementos como instrumentos de medición con la finalidad de recuperar en tamaño y tal vez en forma lo que habían perdido, diremos entonces que el hombre se inicia en la geometría por necesidad, necesidad de construir, reconstruir y edificar.

El afán del hombre de medir, de construir, de conocer, lo encaminaron cada vez mas y mas en la geometría, pues en un principio fue una herramienta empírica, constituyéndose luego en una verdadera ciencia. Los personajes que a continuación se mencionan son los principales forjadores de la geometría como ciencia.

EVOLUCIÓN HISTÓRICA 

Thales De Mileto (640 a.C.) : Ilustre matemático y filósofo griego fundador de la “Escuela Jónica”. Su mas importante contribución es el teorema que lleva su nombre.

Si : L1 // L2 // L3

A

AB BC



DE

B

D

L1 E

L2

EF C

9

F

L3

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1er Año

Pitágoras de Samos (569 – 500 a.C.) .- Fue el discípulo más sobresaliente de la Escuela Jónica,



fundador de la famosa escuela Pitagórica, cuyo lema era :” Los números rigen el mundo” su contribución más importante es el teorema aplicado a los triángulos rectángulos.

c

a 2  b2  c 2

a

b

Aristóteles (384 – 322 a.C.) .- Su contribución en el progreso de la geometría fue de orientación a los



investigadores de la ciencia matemática, facilitando el descubrimiento de los errores científicos.

Euclides (384 – 322 a.C). Famoso matemático griego, es realmente con él que la geometría alcanza la



jerarquía de una verdadera ciencia, fue quién recopiló y ordenó de manera secuencial y lógica los conocimientos geométricos de su época, incorporando también nuevos aportes a ésta ciencia en su inmortal obra “Los elementos”. Euclides perteneció a la época de oro de la Escuela de de Alejandría, ciudad donde pasó la mayor parte de su vida.

Gran parte del contenido de su obra proviene sobre todo de las pitagóricos y de Eudoxio, Euclides sistematizó todas las propiedades geométricas en forma tan completa y lógica, que los tratados de geometría hasta muchos siglos después estuvieron basados en él.

La geometría que se estudia en secundaria es la geometría euclidiana, y el concienzudo estudio de ella nos servirá de Pilar para el estudio de otras geometrías.

DIVISIÓN .Para un mejor estudio a la geometría se la divide en : Geometría Plana y Geometría del Espacio.

a

Geometría Plana .- Estudia las figuras planas, por ejemplo : el triángulo, círculo, etc.

C

B

B

R O A

C

D

A

10

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b

GEOMETRÍA

Geometría del Espacio .-

1er Año

Estudia a los sólidos geométricos. Por Ejemplo : La pirámide, el prisma, la esfera etc.

A

B

B

E

C D O

D

A’

B’

E’ A

R

C’

C

D’

APLICACIONES Las aplicaciones de la geometría son múltiples, sobre todo en la ingeniería, nos permite calcular áreas de terrenos, volúmenes de materiales, todo lo que nos rodea tiene que ver de alguna manera con el tamaño y forma esto; esto implica la participación de la geometría, si queremos calcular volúmenes de dispositivos de forma esférica, cilíndrica, prismática o tal vez piramidal lo podemos hacer gracias a ésta ciencia. La geometría también sirve como base para el estudio de otras ramas de las matemáticas, tales como la trigonometría, la geometría analítica etc.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN Los alumnos serán divididos en grupos, cada fila puede representar uno o dos grupos, cada grupo

3

Aristóteles

leerá las biografías resumidas de los siguientes personajes, luego el profesor hará un breve comentario.

1

Thales de Mileto

4 Euclides

5 Arquímedes

2 Pitágoras de Samos

6

11

Herón el joven

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7

GEOMETRÍA

Complete de manera adecuada lo siguiente:

11

1er Año De acuerdo al teorema de Thales, indique el valor de “x”. (L1 // L2 // L3)

a)

El famoso ………………………………. De Pitágoras es

aplicado

en

triángulos

…………………………………. b)

Gran

parte

del

…………………………….

contenido

Proviene

de

de los

pitagóricos y de Eudoxio. c)

“Los números rigen el Mundo” fue el lema

12

de la ……………………………………. Pitagórica.

8

siguientes enunciados : “Los elementos” fue escrito por Pitágoras. ( b)

Thales

de

( Mileto

fue

Pitágoras. d)

b)

5

c)

6

d)

7

e)

N.A

D

A 1 B

3 E x

2

F

C

Del problema anterior.

-

EF es el doble de DE

(

)

-

EF es la mitad de DE

(

)

-

Si : BC es el triple de AB, entonces EF es

-

)

el triple de DE

(

)

El Valor de “x” es 4

(

)

Euclides paso gran parte de su Vida en Alejandría.

c)

3

Indica si es verdadero o falso, los siguientes

Indique si es verdadero (V) o falso (F) los

a)

a)

discípulo (

)

13

de

valor de “x”

)

Pitágoras fue discípulo de Thales de Mileto.

(

De acuerdo al teorema de Pitágoras, calcular el

a) 3

)

b) 4

x

3

c) 5

9 Relacione de manera adecuada las dos columnas.

d) 6

( a)

Arquímedes

(

) Elementos

( b)

Thales

(

) Tierra

( c)

Geo

(

) Eureka

( d)

Euclides

(

) Mileto

14 Completa de manera adecuada lo siguiente.

-

La hipotenusa de un triángulo rectángulo siempre es mayor que los ………………………………

10 Escriba el significado de los siguientes

-

símbolos matemáticos.

Si los catetos de un triángulo rectángulo miden

∈:

⊃:

∉:

∪:

⊂:

∩:

4

e) 8

3

y

4

,

la

hipotenusa

mide

……………………………………………….

-

La hipotenusa siempre se opone a un ángulo …………………………………………

15 Escriba en símbolos lo que a continuación se menciona.

12

Diferente a :

igual a :

Semejante a :

paralelo a :

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GEOMETRÍA

1er Año

TAREA DOMICILIARIA Nº 1 1.

Completar de manera adecuada lo siguiente : a)

b)

Thales

de

……………………………….

6.

Fundó

símbolo.

la

escuela de matemática y filosofía llamada

:

:

la escuela ………………………………………

:

:

Pitágoras de ………………………………………….. fue

∈:

:

el discípulo mas ilustre de la escuela ………………………………………… , fundo la escuela

7.

……………………………………….. c)

……………………………………

matemático

Indicar si es verdadero (V) o falso (F) lo siguiente : a)

La

planimetría

estudia

las

8.

Mencione y dibuje tres sólidos geométricos.

9.

Mencione tres aplicaciones de la geometría

10. Ordene en forma cronológica a los siguientes

figuras

personajes.

geométricas en el plano. b)

La

estereometría

estudia

los

sólidos

geométricos. c)

En Roma se inicia la geometría como ciencia.

d)

3.

Pitágoras fundó la Escuela Jónica.

a) VFFV

b) VVFF

d) FVVV

e) FFFF

Escriba

el

significado

c) VVVF

de

cada

c) Pitágoras

b) Thales

d) Euler

a) abcd

b) bcad

d) bdac

e) N.A:

c) dcba

Escriba el significado de las siguientes palabras.

=

≠

≅

∼

-

Axioma

- Corolario

>

<

-

Postulado

- Escolio

-

Teorema

- Problema

-

Lema

- Hipótesis

En

la

siguiente

lista,

escriba

usted

sus

respectivas símbolos: Mayor o igual que : Menor o igual que : Por lo tanto Existe: No existe: 5.

a) Euclides

VOCABULARIO GEOMÉTRICO

símbolo

matemático.

4.

Mencione y dibuje tres figuras geométricas planas.

famoso

griego que escribió. “Los Elementos”.

2.

Escriba los nombres correspondientes a cada

Escriba los símbolo de las siguientes letras del alfabeto griego.

Pi

Fi

Rho

Psi

Sigma

Omega

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1er Año

Al gran matemático griego Arquímedes, el rey del

territorio donde vivía, le encargó a determinar la pureza con

respecto

confeccionar

a

al

oro

un

de

un

joyero,

anillo

estando

que

mandó

Arquímedes

bañándose desnudo en un manantial observó que su cuerpo flotaba y desalojaba cierta cantidad de líquido por acción del empuje del agua.

Pensó el : Sumergiendo cantidades iguales de un mismo material, estos deben desalojar volúmenes iguales de

agua, lleno de alegría salió gritando desnudo por la ciudad, pronunciado la celebre palabra : ¡EUREKA, EUREKA! Esto es: ¡LO ENCONTRÉ, LO ENCONTRÉ!

14

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GEOMETRÍA

1er Año

LÍNEAS En el tema anterior, se estudió a las figuras geométricas diremos ahora que éstas figuras o conjunto de puntos pueden ser líneas superficies y/o sólidos, en esta oportunidad estudiaremos a las líneas y podemos mencionarlas como una formación de puntos y dependiendo de la dirección que sigan éstos, tendremos los siguientes tipos de líneas.

LÍNEA RECTA .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. ..............................................................................................................................................................................................................

Ejemplos :

LÍNEA QUEBRADA .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. ..............................................................................................................................................................................................................

Ejemplos :

LÍNEA CURVA .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. ..............................................................................................................................................................................................................

Ejemplos :

15

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1er Año

LÍNEA MIXTA .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. ..............................................................................................................................................................................................................

Ejemplos :

A la medida de una porción de línea se le conoce con el nombre de longitud y es un número positivo y único, son unidades de longitud (metros, centímetros, milímetros, pies, pulgadas, etc). Entre las principales líneas rectas tenemos a la recta que ya la estudiamos, al rayo, a la semirrecta y al segmento.

RAYO .- .......................................................................................................................................................................................... ..............................................................................................................................................................................................................

Al rayo se le representa mediante una flecha indicando su origen mediante un pequeño círculo.

O

P

; OP que se lee rayo OP

SEMIRECTA .- ............................................................................................................................................................................ ..............................................................................................................................................................................................................

A la semirrecta se le representa de la siguiente manera : A

B



; AB que se lee semi-recta AB

SEGMENTO .- .............................................................................................................................................................................. ..............................................................................................................................................................................................................

Al segmento lo representamos de la siguiente manera : A

B

; AB que se lee segmento AB o segmento BA

16

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GEOMETRÍA

1er Año

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Completar

de

manera

adecuada

lo

que

a

continuación se menciona.

-

Una línea recta es aquella en la que todos sus ……………………….. siguen una misma………………

-

Una línea ………………………………. Es el conjunto de dos o más líneas rectas consecutivas de diferentes direcciones.

-

6. A un hilo bien estirado de 7m. de longitud, se le

En una línea curva no existen ……………………….

dobla en forma de “S”. ¿Cuál es la longitud de la

Puntos formados con la misma dirección.

línea curva?.

A la combinación de alguna línea curva y una línea

recta

se

le

conoce

como

…………………………..

2. relacione

de

manera

conveniente

ambas

columnas. a)

(

)

línea mixta

a) 7m2

b) 7m3

d) 7cm

e) 14m

c) 7m

7. Del problema anterior indicar verdadero o falso (V) ó (F), lo que a continuación se menciona.

b)

(

)

línea quebrada

c)

(

)

línea recta

d)

(

)

línea curva

-

longitud de la línea recta.

-

-

d) 2cm

e) 8m

perímetro.

d) 12m

e) N.A.

(

)

La longitud de la línea en forma de “S” es de (

)

hipotenusa utilizando el teorema de Pitágoras.

triángulo de ……………………………………………………………. de

b) 24m

)

8. En la siguiente figura, calcule la longitud, de la

c) 2m

4. Con una cuerda de 12m, se puede construir un

a) 12 cm

(

La longitud de la línea curva es menor que la

7m.

2 m.

)

La línea recta y la línea curva tienen la misma

línea recta.

está podemos formar un cuadrado de lado igual a

b) 2 cm

(

longitud.

-

3. Mencione la longitud de una línea quebrada, si con

a) 2m2

La longitud de la línea curva es mayor que la

c) 7m

a)

5m2

b)

5m3

c)

5cm

d)

5m

e)

7m

3m

4m

9. Del problema anterior. ¿Cuánto medirá el borde de un aro, si tiene la misma longitud de la

5. Escriba el nombre que corresponde a las líneas

hipotenusa?.

resaltadas con negrita.

17

a) 5m2

b) 5m3

d) 5m

e) 7m

c) 5cm

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GEOMETRÍA

10. Calcular la longitud del segmento EF, si en la

1er Año

I.

figura es aplicable el teorema de Thales.

Carlitos es más veloz que Danielito.

II. Danielito escogió el camino mas corto.

III. Carlitos y Danielito tienen la misma velocidad.

a)

3m2

b)

3m3

c)

3m

d)

4m

e)

5m

A

C

Danielito una lína mixta.

1,5m E

1m

B

IV. El camino de Carlitos es una línea recta y la de

D

2m

F

a) VFVV

b) VFVF

d) VVVV

e) VVFF

14. Relacione de manera adecuada ambas columnas.

11. Indicar verdadero (V) o falso (F) Es una línea curva Es una línea mixta

(

I)

)

(

II)

)

Es una línea mixta

(

)

Es una línea curva

(

)

III)

V)

llegar a su casa en menos tiempo.

S

A

B

M

N

) Recta

(

) Rayo

(

) Semi-recta

(

) Línea quebrada

(

) Segmento

Al rayo también se le conoce como vector. (

II

-

III

IV

e) II

R

(

continuación se mencione: -

d) IV

P

15. Indicar verdadero (V) o falso (F) lo que a I

b) I y II

O

IV)

12. Indicar el camino que sigue una hormiga para

a) I

c) FFFF

-

c) III

13. Si Carlitos y Danielito parten al mismo tiempo de su casa y llegan al mismo tiempo al colegio, siguiendo caminos diferentes, entonces podemos decir : Carlitos

TRILCE Casa

Danielito

18

)

En la semi-recta se considera al origen. (

)

(

)

(

)

(

)

AB Y AB indican lo mismo

m AB y AB indican lo mismo El rayo tiene origen

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

1er Año

TAREA DOMICILIARIA Nº 3 1.

Completar de manera adecuada lo que a

6.

A un cable bien estirado de 50m. de longitud se

continuación se menciona.

le da la forma de una serpiente, menciona la longitud de ésta última.

-

La longitud de una línea es un número …………………………………………………………………………….

-

El camino mas corto entre dos puntos es una línea…………………………………………………………………….

a) 50m3

b) 50m2

A la porción de una recta limitada por dos

d) 25m

e) 12m

c) 50m

puntos se le llama ……………………………………………

-

7.

m AB indica la …………………………………………de un

Del problema anterior, indicar verdadero (V) o falso (F) lo que a continuación se menciona.

segmento.

2.

Relacione

de

manera

conveniente

-

ambas

(

columnas.

3.

-

a)

(

)

Línea mixta.

b)

(

)

Línea quebrada

c)

(

)

Línea recta

d)

(

)

Línea Curva

-

3m

Si

b)

4m

c)

5m

d)

6m

e)

8m

formada

a

partir

de

a) 12m2

b) 24m

d) 4cm

e) N.A.

una

c) 12m

Con un alambre serpentino de 16cm de longitud

9.

)

(

)

h

8m

Del problema anterior. ¿Cuánto medirá el lado de un cuadrado cuyo perímetro es igual a la

de lado.

altura del rectángulo.

a) 16cm

b) 16 cm

d) 4cm

e) N.A.

Dibuje

(

Utilizando el teorema de Pitágoras. Calcule la

a)

es

)

altura del rectángulo.

se construye un cuadrado de ……………………….. cm

5.

La línea curva mide 50m.

Mencione usted la longitud de una línea mixta. está

(

Ambas líneas tienen la misma longitud.

8.

)

El cable no estirado representa una línea curva.

circunferencia de 12m.

4.

El cable estirado representa una línea mixta.

las

líneas

que

2

a

c) 4m

continuación

se

a) 6m

b) 2m

d) 1,5,m

e) 2,5

c) 1m

10. Calcular la longitud del segmento EF, si en la

mencionan :

figura es aplicable el teorema de Thales.

Línea Quebrada : Línea Mixta : Línea Recta : Línea Curva :

19

a)

5m

b)

4m

c)

3m

d)

2m

e)

F.D.

A 3m B 3m B

D 4m E F

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

11. Indicar verdadero (V) o falso (F)

1er Año

lo que se



Recta



Línea mixta



Línea curva



Línea quebrada

menciona.

-

A una recta se le puede medir

(

)

-

A un rayo se le puede medir

(

)

-

A un segmento se le puede medir

(

)

-

Una semirecta tiene longitud

(

)

12. Dibuje lo que a continuación se menciona. 





Rayo :

Semirrecta :

Segmento

VOCABULARIO GEOMÉTRICO Escriba el significado de las palabras que a continuación se dan: ♫

Equilátero

♫

Horizontal

♫

Equiángulo

♫

Perpendicular

♫

Vertical

♫

Semejante

♫

Hipotenusa

♫

Cateto

20

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

1er Año

A fines del siglo VII nace en Persia el célebre matemático Al-Khuwarizmi, en su obra “Aritmética” difunde las cifras hindúes y el cero, su obra sobre el cálculo mediante la restauración y la reducción.

Es considerado el Primer tratado sobre el álgebra herramientas fundamentales para el desarrollo de la geometría.

21

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

1er Año

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS Veamos con la siguiente narración, el comportamiento de dos rectas en el plano.

Los pequeños Carlitos y Danielito deciden caminar exactamente por el borde de veredas opuestas de una gran avenida recta y del mismo ancho. ¿Llegarán a encontrarse en algún momento, si los niños continúan caminando tal como lo decidieron?.

Si la recta L1 es paralela a la recta L2 la denotamos como: L1 // L2 que quiere decir : L1 es paralela a L2.

Como ambas rectas (L1, L2) no tienen ningún punto en común, se dice que su intersección es nula, esto es: L1  L2 = 

L1 L2 L1 // L2 L1  L2 = 

Evidentemente que no, diremos entonces que ambos niños han caminado sobre líneas rectas y paralelas, éstas son rectas que nunca se encuentran o nunca se intersecan.

En cambio que sucederá si los niños en mención caminan por líneas tal como indica la figura.

RECTAS SECANTES. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. .................................................................................................

Si la recta L3 es secante a la recta L4, entonces se intersecan en un punto, sea A el punto de intersección, entonces : L3  L4 = A

A

L3

Vemos pues, que ambos se encontrarán en el punto A, esto significa que tanto Carlitos como Danielito han caminado sobre líneas rectas que se encuentran, cortan o intersecan, a estas líneas se las conoce como rectas secantes, siendo el punto A el punto de encuentro o punto de intersección. Ahora estamos preparados para definir ambos tipos de rectas.

L3  L4

= A

A L4 A las rectas secantes la podemos posicionar de dos maneras diferentes tomando en cuenta la inclinación de una con respecto a la otra.

RECTAS PARALELAS. .................................................................................................. .................................................................................................. .................................................................................................. .................................................................................................. .................................................................................................. ..................................................................................................

22

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

Veamos las figuras:

Región Izquierda

1er Año

3. Si dos rectas tienen la misma inclinación con respecto a otra, entonces dichas rectas son paralelas.

L2

Región Derecha

L2

L1



L1



M

L3

FIGURA I

Si :  =   L1 // L3 Si la inclinación “” de L1 es igual a la inclinación “” de L2 entonces las rectas L1 y L2 son paralelas. Como consecuencia de lo anterior, se cumple que: si dos rectas son perpendiculares a una tercera, entonces dichas rectas son paralelas entre sí.

L2 Región Derecha

Región Izquierda Q

L1

L2

L1

FIGURA II

En la figura I observamos que la recta L2 no esta inclinada hacia ninguna de las regiones, ni a la de la izquierda ni a la de la derecha, cuando esto ocurre se dice que las rectas L1 y L2 son perpendiculares y se le denota como: L1 L2 que quiere decir L1 es perpendicular a L2. En caso contrario si la recta L2 está inclinada hacia alguna de las regiones se dice que las rectas son oblicuas, tal como observamos en la figura II. Al punto de intersección, de dos rectas perpendiculares se le llama pie de la perpendicular tal como el punto M de la figura I, y al punto de intersección de dos rectas oblicuas se le llama pie de la oblicua, , tal como el punto Q de la figura II.

L3

Si : (L1, L2)

1. Reflexiva .- Si una recta L1 es paralela a otra recta L2 entonces la recta L2 es paralela a la recta L1 .

L1 // L2



L1 // L2

Solo la propiedad reflexiva es aplicable a las rectas secantes, más no la propiedad transitiva.

PROPIEDADES DE PARALELISMO

Si :

L3

 L2 // L1

2. Transitiva .- Si una recta L1 es paralela a una recta L2 y ésta es paralela a otra recta L3, entonces la primera recta L1 es paralela a la tercera recta L3.

Si : : L1 // L2  L2 // L3  L1 // L3

23

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Completar de manera adecuada lo que a continuación se menciona.

1er Año I.

AB y CD

(

)

Rectas secantes

II.

BC y CD

(

)

Rectas paralelas

III. AB  CD

(

)

M

IV.

(

)



BC  AM

5. Relacionar correctamente los datos de ambas columnas.

a) Dos rectas que se intersecan, se llaman rectas.

1)

(

) Rectas Perpendiculares

2)

(

) Pie de la Perpendicular

recta ……………………………… es paralela a la recta L1.

3)

(

) Rectas oblicuas

2. En el rectángulo ABCD, señale verdadero (V) o falso (F) lo que a continuación se menciona.

4)

(

) Rectas paralelas

............................................................................................... b) Dos rectas secantes son aquellas que se ………………… ……………………………………………. en un punto. c) Si la recta L1 es paralela a la recta L2, entonces la

B

C

A

D

I.

BC es paralelo a AD

II.

AB es paralela a CD

6. Complete correctamente lo que a continuación se menciona.

- El punto de intersección de dos rectas oblicuas, se llama pie de la ……………………………………

- El punto de intersección de dos rectas perpendiculares se llama …………………………………….. de la perpendicular.

- Dos rectas secantes pueden ser rectas oblicuas o rectas ………………………………………………….

7. Las huellas dejadas por las llantas de un auto que viaja en línea recta, nos dan idea de:

III. AB es secante con BC IV.

CD es paralela a BC

a) b) c) d) e)

3. De acuerdo a la pregunta anterior, indicar verdadero (V) o falso (F) lo siguiente: I. II.

Existe solo un par de segmentos paralelos. ( ) Existen dos pares de segmentos paralelos ( )

a) Recta L1 perpendicular a la recta L2 b) Recta L3 es paralela a la recta L4 c) Punto “B” es la intersección de las rectas L5 y L6

IV. “C” es punto común de BC y CD (

)

9. Escribir el significado de las siguientes representaciones.

4. De acuerdo a la figura, relacionar correctamente las informaciones de ambas columnas.

A

M

Rectas oblicuas Rectas perpendiculares Rectas paralelas Rectas cruzadas N.A.

8. Representa con símbolos lo que se menciona a continuación.

III. AB y BC tienen un solo punto de intersección. ( )

B

A

a) L3 L4 b) L1  L2 =  c) L2 // L3

C

10. De la figura, L1 // L2  L2 // L3 ¿Cuántos pares de rectas paralelas y cuántos pares de rectas secantes hay?.

D

24

Colegio Lobachevsky a) b) c) d) e) 11.

GEOMETRÍA L4

2y1 2y2 2y3 3y3 3y2

L1

TAREA DOMICILIARIA Nº4

L2

1.

L3

En la figura;   , indique verdadero (V) o falso (F) lo que a continuación se menciona.

L2

L1



L3





12.

L1 y L2 son paralelas L1 , L2 , L3 son paralelas L2 y L3 son paralelas L2 y L3 son no paralelas

( ( ( (

2.

) ) ) )

que

a

L2

L1

L3

L4

a) b) c) d)

Si todos los puntos de una recta pertenecen a otra recta, entonces dichas rectas son: d) coincidentes e) N.A.

3.

Indique la relación correcta.

L1



De acuerdo a la pregunta anterior, verdadero (V) o falso (F), lo siguiente:

L3

4.

) ) ) )

indicar

De acuerdo a la figura, relacionar correctamente las informaciones de ambas columnas. 

C

B



 D

A

Del problema anterior, si : L1 // L2, entonces: a)    d)  = 

( ( ( (

I) Existe, solo un par de rectas paralelas. ( ) II) Existen dos pares de rectas perpendiculares ( ) III) L1 y L2 son rectas secantes ( ) IV)L4 y L1 se intersecan ( )

L2



L3 es paralela a L4 L2 es paralela a L1 L2 es perpendicular a L3 L1 es perpendicular a L4

a) Si :  =   L1 L2 b) Si :     L1 // L2 c) Si : L1 // L2     d) Si :  =   L1 // L2 e) L1 , L2 y L3 son paralelas.

15.

lo

De la siguiente figura, señale verdadero (V) o falso (F) lo que a continuación se menciona.

d) oblicuas e) N.A.

a) paralelas b) perpendiculares c) oblicuas 14.

adecuada

Si dos rectas son perpendiculares a una tercera, entonces las rectas en mención son: a) paralelas b) secantes c) perpendiculares

13.

Completar de manera continuación se menciona.

a) Dos rectas cuya intersección es nula, son rectas ………………………………………………. b) Si dos rectas se cortan en un solo punto, se llaman rectas ………………………………….. c) Si la recta L1 es perpendicular a la recta L2 y esta es perpendicular a L3, entonces L1 es ………………………………….. a L3.

L4

-

1er Año

b)  = 2 c)  = 2 e) todas son correctas

25

I. AB y CD

(

)

Rectas secantes

II. BC y CD

(

)

Rectas paralelas

III. BC  AD

(

)

c

IV. BC  CD

(

)



Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

5. Relacione correctamente los datos de ambas columnas.

1) Rectas paralelas

(

)

10. En la figura. ¿Cuántos pares de rectas paralelas y cuántos pares de rectas secantes hay?. a) b) c) d) e)

A

L2

2) Rectas oblicuas

(

)

3) Pie de la perpendicular (

1er Año

2y1 1y2 2y2 3y3 2y3







11. Indique la relación correcta:

)

L1

4) Rectas perpendiculares (

) 



L3

6. Completa correctamente, lo que a continuación se menciona:

a) b) c) d) e)

- Se llama pie de la oblicua al …………………………………….. de intersección de dos rectas oblicuas.

- Se llama pie de la perpendicular al punto de intersección de dos ………………………………………………..

- Dos rectas perpendiculares o dos rectas oblicuas son rectas. ……………………………………………….

12. Del problema anterior, si L1 // L2, entonces se cumple:

7. Si la cuerda L1 es paralela la cuerda L2 y esta es paralela a la cuerda L3 , entonces.

L1

A

B

a) L1 L2 d) L1  L2 = 

L2

a)    d)  -  = 0

b) L2 // L3 e) N.A.

c) L2

L3

8. Represente con símbolos lo que se menciona a continuación: - Si la recta L1 es paralela a la recta L2, entonces la recta L2 es paralela a la recta L1.

- El segmento AB es paralelo al segmento CD - La intersección de los segmentos AB y BC es el punto B.

a) OM

OP

de

b) 2 =  e) N.A.

c)  = 2

L3

C

9. Escriba el significado representaciones:

L1 , L2 , L3 son perpendiculares entre sí.

Si :  =   L1 // L2 Si : L1 L2  L1 // L2 Si : L1 // L2     Si :  =   L1 // L3

las

siguientes

b) AB // CD

c) PQ  RS = A

26

 Ángulo

 Bisectriz

 Bisecar

 Complementarios

 Cuadrilongo

 Suplementarios

 Losange

 Diagonal

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

En tiempo de Ptolomeo I, el gran matemático griego Euclides fundó una escuela en Alejandría (siglo IV a.C.) y creó la geometría que lleva su nombre, cuyos principios han servido de base durante dos mil años a la geometría.

27

1er Año

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

1er Año

PUNTO DE CORTE ENTRE RECTAS

En un día de paseo al campo, los alumnos del primer año del colegio “TRILCE” observaron una gran cantidad de fibras rectas y delgadas de hilo de una telaraña, uno de ellos exclamó ¡Averigüemos la cantidad de fibras! Y todos con gran entusiasmos y cuidado empezaron a contarlos, uno, dos, tres, … 499, 500 quinientas fibras; luego de un breve silencio Jaime el mas inquieto del grupo hace la siguiente pregunta: Si la araña cruza todas las fibras. ¿Cuántos puntos de cruce como mínimo y cuántos como máximo obtendrán?. … Al instante respondieron todos, como mínimo se obtendrá un punto de cruce y como máximo, la respuesta fue variada, unos decían 500 otros 800 y otros 1000 y hubo más números diferentes como respuesta. Al no ponerse de acuerdo acudieron al profesor de geometría y le platearon el problema. El profesor pidió silencio para resolver el dilema y dijo lo siguiente: Si cada fibra nos representa una recta entonces tendremos 500 rectas secantes. Resolvamos el problema de manera gradual.

1

2 rectas 1



3 2

1 4 6



Podemos escribirlo como

se cortan en 3 puntos



Podemos escribirlo como

se cortan en 6 puntos



Podemos escribirlo como

2

3 rectas

4 rectas

se cortan en 1 punto

3

2x1 2

3x2 2 4x3 2

5

1

3

6







500 x 499

500 rectas

2

 124 750

¡Que cantidad tan grande! Exclamaron, contentos los alumnos por la acertada respuesta de su profesor , siguieron indagando mas casos. Veamos uno de ellos.

Si se tiene 3 rectas secantes y 4 rectas paralelas ¿Cuántos puntos de corte como máximo se obtendrán?.

Sin mayores esfuerzos los alumnos dicen: 1 recta secante corta a las 4 paralelas en 4 puntos esto quiere decir que 3 rectas secantes cortarán a las 4 paralelas en 3 x 4 = 12 puntos Las 3 rectas secantes se cortarán entre si en :

3x 2 2

 3 puntos

 El número de puntos de corte será : 12 + 3 = 15

28

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

1er Año

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Hallar, el número máximo de puntos de corte de 3 rectas secantes. a) 3 d) 6

b) 4 e) 2

a) b) c) d) e)

c) 5

2. Hallar el número máximo de puntos de corte de 4 rectas secantes. a) 2 d) 8

b) 4 e) 3

c) 6

b) 6 e) 12

a) b) c) d) e)

c) 8

b) 19 e) 180

d)

n 2

n

b) 2

2

c)

2

c) 12 d) 13 e) 15 11. Calcular el número máximo de puntos de corte entre 2 rectas paralelas y 3 rectas secantes. a) 6 d) 4

n(n  1) 2

1 2 3 4 5

a) 6 d) 9

L1

2 4 6 8 10

c) 5

b) 7 e) 10

c) 8

13. Hallar el máximo número de puntos de corte entre 3 rectas secantes y 3 rectas paralelas.

L2 L3

a) 10 d) 15

7. En cuántos puntos cortarán dos rectas secantes a las 3 paralelas mostradas. a) b) c) d) e)

b) 7 e) 3

12. Hallar el máximo número de puntos de corte entre 3 rectas secantes y dos rectas paralelas.

e) N.A.

6. En cuántos puntos cortará una recta secante a las 3 paralelas mostradas. a) b) c) d) e)

10 11 20 13 N.A.

b) 10

c) 190

n(n  1)

L3

a) 8

5. Hallar el máximo número de puntos de corte de “n” rectas secantes. a)

L2

10. ¿Cuántos puntos de corte hay?.

4. Hallar el máximo número de puntos de corte de 20 rectas secantes. a) 170 d) 17

L1

9. En la figura, indique el número de puntos de corte.

3. Hallar el número máximo de puntos de corte de 5 rectas secantes. a) 4 d) 10

3 6 8 12 15

b) 12 e) 18

c) 9

14. ¿En cuántos puntos cortará una secante a diez rectas paralelas?.

L1

a) 8 d) 12

L2 L3

b) 10 e) N.A.

c) 11

15. Hallar el mínimo número de puntos de corte entre seis rectas secantes.

8. En cuántos puntos cortarán 3 rectas secantes a las 3 paralelas mostradas.

a) 6 d) 2

29

b) 5 e) 1

c) 3

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

1er Año

TAREA DOMICILIARIA Nº 5 1. Hallar el número máximo de puntos de corte de seis recta secantes. a) 12 d) 17

b) 13 e) 6

9. Hallar el máximo número de puntos de corte entre seis rectas secantes y dos paralelas.

c) 15

a) 19 d) 25

2. Hallar el número máximo de puntos de corte de siete rectas secantes. a) 19 d) 25

b) 21 e) 17

b) 28 e) 64

c) 23

10. Hallar el máximo número de puntos de corte entre 5 rectas secantes y 5 paralelas.

c) 23

a) 35 d) 39

3. Halle el máximo número de puntos de 8 rectas secantes. a) 4 d) 27

b) 21 e) 27

b) 37 e) 31

c) 33

11. ¿En cuántos puntos cortará una recta secante a “P” rectas paralelas.

c) 82

a) p d) p/2

4. Indicar el número de puntos de corte. a) 4

b) p – 1 e) N.A.

c) p + 1

12. Hallar el mínimo número de puntos de corte entre dos rectas secantes y tres rectas paralelas.

b) 6 c) 8

a) 7 d) 5

d) 10

b) 8 e) 4

c) 6

e) 11 5. Indicar el número de puntos de corte a) b) c) d) e)

10 11 12 13 9

Escriba el significado de las siguientes

6. En cuántos puntos de corte cortará una recta secante a las cuatro paralelas mostradas. a) b) c) d) e)

palabras.

3 4 5 6 1

7. En cuántos puntos de corte, cortarán dos rectas secantes a las cuatro paralelas mostradas. a) b) c) d) e)

8 6 4 3 10

8. En cuántos puntos de corte cortarán cuatro rectas paralelas a tres rectas secantes. a) 10 d) 16

b) 12 e) N.A.

c) 14

30

 Vértice

 intersección

 radio

 medir

 romboide

 calcular

 diámetro

 hipotenusa

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

Euclides en el libro más famoso de la Historia de las Matemáticas recoge gran parte de los conocimientos Pitagóricos sobre los números y define los números primos y compuestos de forma geométrica: un número entero es compuesto cuando tiene divisores distintos de él mismo y de la unidad, es decir cuando se puede dibujar como un rectángulo numérico.

Edición Griega de los Elementos

39

1er Año

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

1er Año

OPERACIONES CON SEGMENTOS Queridos amigos, operar con segmentos es fácil y sencillo, de manera que no tendremos dificultad en resolver problemas referentes a este tema, dos son las operaciones básicas que trataremos; la suma de segmentos y la resta de segmentos, estos se basan en un principio sencillo llamado el postulado de la reunión y que se menciona de la manera siguiente: “El total es igual a la suma de las partes”. Este postulado podemos explicarlo con el siguiente ejemplo. Carlitos se dirige a la casa de Fabiola distante a 5km., para luego enrumbarse 3km más hacia la casa de Danielito, tal como indica la figura.

5Km

3Km

C

D

F

Carlitos recorrió entonces: 5km + 3km = 8km Pero notemos que:

5km es la longitud de CF

Entonces :

3km es la longitud de FD

CF + FD = CD

8 km es la longitud de CD Notamos pues que la suma de las partes (CF y FD) es igual al total (CD) De manera similar e intuitiva notamos que si a CD le quitamos o restamos FD nos quedamos con CF, esto es: CD – FD = CF

Practiquemos un poco, tomando en cuenta la siguiente figura:

3km

2km

A

AB + BC =

AC

B

7km

=

5Km

AC + CD =

......................

=

..........................

BC + CD

=

......................

=

..........................

AC – BC

=

=

3Km

AB

AD – CD =

......................

=

..........................

BD – CD

......................

=

..........................

=

D

C

¡QUÉ FACIL!

40

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

1er Año

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 

tienen la misma longitud.

¡Ponle empeño a



los siguientes



2.

De acuerdo a la figura, indicar si es verdadero (V)

C

7.

d) 0,5

e) 1,5

BD = 9

b) AB  BC = AC

(

)

a) 5

c) AB  BC = B

(

)

d) AB + BC = AC

(

)

b) 4 c) 6

d) 8

8.

Halle el valor de “x”. Si : PR = 30 a) 8 b) 20

A

C

B

x

c) 10

D

P

d) 15

x + 10 R

Q

e) 6

Hallar m BC . Si : AB = 10, BD = 24 y ¿“C” es punto

9.

Calcule el valor de “” en la siguiente figura,

medio de AD ?

Si : AB = 12

a) 2

a) 2 b) 4

b) 3 A

B

C

D

c) 6

d) 7

d) 8

e) 8

B

M

a) 12 A

B

C

b) 2

D

c) 6

d) 4

d) 3

e) 5 Relacione

A

Si : AD = 21

a) 1 c) 3



10. Halle el valor del menor segmento determinado,

es punto medio de AD . b) 2



e) 10

Halle el valor de m BC . Si : AB = 14, BD = 18 y “C”

A

x+5

x+4

x+3 B

C

D

e) 4 de

manera

adecuada

lo

que

a

continuación se menciona 

D

C

e) 7

e) 10

c) 5

B

A

d) 8

De acuerdo a la figura. Calcule “BC”. AD = 10,

c) 6

c) 3

Halle el valor de “BC”. Si AD = 12, AC = 10 y

)

b) 4

5.

b) 2

(

a) 2

4.

a) 1

a) AB  BC = AC

AC = 8 y BD = 6

3.

Si: A, B, C y D son puntos colineales. Halle el valor de “BC” cuando AC = BD = 3 y AD = 5

o falso (F) lo que a continuación se menciona.

B

Si : AB  PQ, entonces la expresión, AB  PQ es mayor que ……………………………………

6.

A

La mínima distancia entre ……………………............es la longitud del segmento que los une.

ejercicios!

1.

Dos segmentos son …………………………………….. si

11. Del problema anterior, halle el valor de: CD – BC

El postulado de la reunión, indica que el

a) 1

b) 2

……………

d) 4

e) N.A.

es

igual

a

la

suma

de

las

……………………………………………………..

41

c) 3

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

12. De la figura, encuentre el valor de : QR – PQ

2.

a) 5

De la figura, indique el valor de “BC” 12

a) 3

b) 10

x

c) 15

b) 5

x + 10

P

d) 20

Q

c) 7

R

A

10 15

e) 4

13. Relacione de manera adecuada los datos de ambas

3.

columnas.

De la figura, halle la longitud del menor segmento.

Si : AC = 10

(

A

M

M a

MB – MA = 5

a) 2 b) 2,5

a

A

)

B

a+1

A

D

C

B

d) 9

e) F.D.

a)

1er Año

B

a+5 M

B

(

)

AM = MB

(

)

AM  MB

c) 3

A

d) 3,5

4.

Halle el valor de la longitud del menor segmento.

Si : AD = 27

x-1

b) 8

d) 0

c) 7

x50

x50 + 10

d) 6

A

B

C

C

a) 9

a) 5 c) x50

B

e) 4

14. De acuerdo a la figura. Halle el valor de : BC – AB

b) 10

x+3

x

A

x+1

x B

D

C

e) 5

e) F.D.

5.

Calcule la mínima distancia entre los puntos “A” y “D”.

15. Del problema anterior, indique si es verdadero (V) o falso (F), lo que se menciona:

a) 5 CB  BA

(

)

CB  BA

(

)

CB – BA = 10

(

)

CB = BA

(

)

b) 10 c) 7 d) 8

2+x

3+x A

B

5 – 2x C

D

e) Imposible 6.

TAREA DOMICILIARIA Nº2

De acuerdo a la figura. Halle el valor de : AB + BD a) 10

1.

b) 15

De acuerdo a la figura indicar. Si es verdadero

c) 5

(V) o falso (F) lo que a continuación se menciona.

d) 20

x+3 A

x+5 B

7 - 2x C

D

e) 12 Q

P

R

PQ + QR = PR

(

)

PR – QR = PQ

(

)

PQ  QR = PR

(

)

PR  PQ = PQ

(

7.

Del problema anterior, indique si es verdadero (V) o falso (F) lo que a continuación se menciona.

)

42

AB = BC

(

)

BC – AB = 2

(

)

AD = 15

(

)

AD  BC = BC

(

)

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

1er Año

13. Halle el valor de AB – BC.

Comprueba lo fácil y

a) 9

divertido resolviendo

b) 12

tu tarea.

c) 15 d) 3

12 + x

3 +x B

A

C

e) 5 8.

Encuentre el valor de : AB – BC

14. Halle el valor de BC

a) 0 b) 5

x+7

c) 7

A

d) 2

a) 10

x B

c) 30

C

De acuerdo a la figura relacione correctamente

x + 10

x+5 B

A

)

12

b) AB – BM

(

)

5

c) AB

(

)

2

d) BM  MC

(

)

BC

D

C

d) 4 e) 5 11. Halle el valor del mayor segmento, determinado por los puntos A, B y C. a) 2

x+2

b) 8

8-x B

A

c) 10

C

d) 6 e) imposible 12. Calcular “BC”, Si : AD = 12, AC = 9 y BD = 10 a) 5 b) 6 A

B

b) 20

d) 13

e) 12

15c)

palabras.

a) 1 B

a) 10

A continuación escriba el significado de las siguientes

medio de AD.

d) 8

30

Vocabulario Geométrico

10. Calcular “BC”, si : AB = 10, BD = 16 y “C” es punto

A

C

C

M (

c) 7

B

15. Del problema anterior. Hallar mAC – mBC.

9-x

a) x

c) 3

2P2

e) 50

los datos de ambas columnas.

b) 2

A

d) 40

e) F.D. 9.

P2

b) 20

C

D

e) 4

43

 Ceviana

 Longitud

 Diagonal

 Circunferencia Mayor

 Arista

 Diedro

 Simétrico

 Parábola

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

1er Año

Desde el tercer milenio antes de Cristo los pueblos que habitaron entre los ríos Tigris y Eúfrates nos han dejado miles de tablillas de arcilla. Una de ellas es sobre sus conocimientos sobre el teorema de Pitágoras.

Tablilla con motivos geométricos - De ellos hemos heredado la división de la circunferencia en 360 grados y la de cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Y la patente de nuestra manera de contar el tiempo también es suya.

APORTACIONES A LA GEOMETRÍA Áreas de figuras planas Volumen del tronco de cono o de la pirámide Triángulos rectángulos La altura de un triángulo isósceles divide a la base en dos partes iguales Obtención del apotema a partir de la cuerda y el radio de la circunferencia

44

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

1er Año

OPERACIONES CON SEGMENTOS II

PRODUCTO DE UN ESCALAR Y LA LONGITUD DE UN SEGMENTO. Como la longitud de un segmento es un número positivo, entonces al multiplicar éste por un escalar, (Número). El resultado es simplemente el producto de dos números. Pero veamos como afecta esta operación en la longitud de un segmento. Si: “a” es la longitud de un segmento AB, entonces “K a” es la longitud de otro segmento mayor u otro segmento menor, dependiendo del valor del escalar “K”, si : “K” es mayor que uno, entonces “K a” nos representa a la longitud de un segmento mayor, en caso contrario “K a” nos representa a la longitud de un segmento menor, veamos gráficamente.

Ka

K1 D

C Fracció n E

a

Ka

A

B K 1 múltipl o

AMIGUITO: Pon bastante atención

F

Entonces decimos que la longitud de CD es una fracción de la longitud del segmento AB, y la longitud de EF es un múltiplo de la longitud del segmento AB.

EJERCICOS DE APLICACIÓN

1.

Calcule la longitud de AB , si es cuatro veces la longitud de CD .

2.

B

a) 12

a) 2m

d) 16m

21

b) 6

b) 4m c) 8m

Si : m CD = 2m AC . Halle m CD

2m A

C

c) 7 d) 14

D

e) N.A.

e) 3m

45

A

C

D

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA 8.

3.

5(BD) – AB = 60

a) 19

a) 10

7+x

c) 24

12 - x

b) 20

B

A

c) 30

C

d) 10

d) 5

e) 38

e) 15 9.

Calcule la longitud de AB, si es la tercera parte de la longitud de CD .

b) 5m

15m

B

(

)

AC

b) AB  BC

(

)

CD

(

)

AC

(

)

10

AC 5

C

AB BC



2

10. BC = 3AB, también : 3AM – MC = 8. Hallar “BM”.

Y AC = 20

3

Calcule el valor de:

1 4

a) 1

AB

b) 3 c) 7

B

A

d) 4

a) 1

M

C

e) 2

b) 2 c) 3

A

d) 4

B

C

11. En la figura se cumple: AC – AB = 12, si “M” es

e) 5

punto medio de BC , halle m BC .

Si : PQ = 2QR, Halle el valor de

1 8

a) 9

PQ

b) 12 c) 5

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 7.

a) BC

d) 5CD

e) N.A.

6.

D

De acuerdo al problema anterior, relacione de

c)

d) 1m

Si :

C

D

A

c) 2m

B

A

manera adecuada los datos de ambas columnas.

a) 3m

5.

En el gráfico, calcule: BC, si : AC = 5(CD) y

De la figura, halle el valor de : 2(AC)

b) 14

4.

1er Año

d) 8

12

A

M

B

C

e) 6 Q

P

R

12. De acuerdo al problema anterior, indique el valor 1 de: BC 2

De la figura mostrada, indique si es verdadero (V) o falso (F) lo que a continuación se menciona.

k

2k B

A

CD 3

3

AC + 2AB = 12 1 3

CD 

1 2

BC  9

b) 4

d) 3,5

e) 3

c) 2,5

3k C

13. Si : AC + AB = 16 , Halle : “BC”

D

18

BC = 6

a) 6

a) 12 (

)

(

)

(

)

(

)

10

b) 6 c) 24 d) 4 e) N.A.

46

A

B

C

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

14. Calcule el valor de « x ». Si : AB = 12 a) 2

x

b) 4 A

d) 8

B

C

e) 10 15. Calcule el valor de “x”.

6.

Si : AD = 11 a) 6 b) 11

x

c) 12

B

A

d) 24

x

x

2

3

x

x

C

Si :

AB BC



1 2

Y AC = 21

Halle el valor de la séptima parte de la longitud BC a) 1 b) 2 c) 3 B C A d) 4 e) 7

x

2

c) 6

5.

1er Año

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

D

e) 3

7.

4

18

A

C

B

De la figura mostrada indique si es verdadero (V) o falso (V) lo que a continuación se menciona.

2k

TAREA DOMICILIARIA Nº3

AB

Si : AB = 2BC, Halle el valor de :

A

3k

5k

B

C

D

20

1.

Calcule la longitud de PQ , si es cinco veces la longitud de MN a) 3m b) 4m c) 10m d) 15m e) 25m

2.

P

Q

16 Q

P

R

9.

De la figura, halle el valor de : 3AC x A

C

a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 7

AC  CD

(

)

BD = 4AB

(

)

M

a

De la figura, halle el valor de “x”.

Si : AB + AD = 40 2x B

A

a

D

De acuerdo al problema anterior, relacione de manera adecuada los datos de ambas columnas. ( ( ( (

) ) ) )

BD 10 20 MD lo

que

a

Si un punto biseca a un segmento entonces lo ………………………………….. en partes iguales.

U

Dos segmentos se intersecan en …………………… punto.

14m M

)

10. Completa de manera adecuada continuación se menciona.

Calcule la longitud de MN , si es la séptima parte de TU .

)

(

a) x b) AM c) BM d) 2MD

7-x B

(

AD + BC = 26

a) 5 b) 20 c) 10 d) 8 e) 16

Si : m QR = 3m PQ , Halle la medida de QR

a) 12 b) 21 c) 15 d) 7 e) 14 4.

N

8.

a) 10 b) 6 c) 12 d) 4 e) 5 3.

3m

M

BC = 6

N T

47

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

1er Año

El camino más corto entre …………………………….

Es la longitud del segmento que los une.

Vocabulario Geométrico

11. En la figura: AC – AB = 6. Si “M” es punto medio de BC . Halle m BC . a) 6 b) 3 c) 12 d) 24 e) 4

Escriba el significado de las siguientes palabras.

A

M

B

C

 Polígono  Poligonal  Ortocentro

12. Señale el camino más corto que toma Carlitos (C) para encontrar a Danielito (D)

 Generatriz  Apotema

C

D

C

D

C

D

(

)

(

)

(

 Circuncentro

“Los animales son buenos amigos no hacen preguntas ni tampoco critican”

)

13. Calcular : m AC a) 15 b) 12 c) 3 d) 36 e) 18

12+x3

3-x3 B

A

GEORGE ELIOT C

14. Del problema anterior, si : x = 1 Hallar : AC - BC a) 12 b) 13 c) 15 d) 11 e) 10 15. Relacione correctamente ambas columnas a)

(

) vector

b)

(

) línea quebrada

c)

(

) línea curva

d)

(

) segmento

48

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

Según Herodoto los egipcios son los padres de la Geometría, pero gracias a sus monumentos y sus papiros también sabemos hoy que disponían de un sistema de numeración adicional que les permitía trabajar con fracciones de una forma muy especial ya que el numerador siempre era la unidad. El papiro egipcio es menos resistente al paso del tiempo que las tablillas babilónicas. Sin embargo alguno ha llegado hasta nosotros. Los más populares el papiro de Rhind y el de Moscú. En ellos aparece una colección de más de 100 problemas que nos brindan una valiosa información de las matemáticas egipcias.

Papiro de Rhind Los egipcios, como los babilonios, también trabajaban con fracciones, con partes de la unidad. Pero lo curioso es que sólo utilizaban fracciones con numerador la unidad, es decir de la forma: 1/2, 1/3, 1/4, 1/7, 1/15, 1/47... Cualquier parte de la unidad la expresaban como suma de fracciones de este tipo. El papiro de Rhind contiene una tabla de conversión de partes de la unidad a estas fracciones. Es el equivalente con más de 3.000 años de antigüedad de nuestras tablas de multiplicar, sólo que para trabajar con fracciones.

SU GEOMETRÍA La pirámide de Keops tiene esta extraña propiedad, según recoge Herodoto: - El cuadrado de la altura coincide con el área de una de sus caras.

- Este hecho implica la presencia ¿casual? del número de oro

49

1er Año

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

1er Año

REPASO

6. Calcular “MN”, Si: AC + BD = 80.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN a A

1. Calcular “BC”, Si AD = 20, AC = 19 y BD = 12

A

C

B

a) 9

d) 12

b) 10

e) 13

¡Practiquemos juntos!

D

a M

C

B

a) 10

b) 20

d) 40

e) 50

b D

M

c) 30

7. Calcular “BM”.

Si: “M” punto medio de BC - AB = 12.

c) 11

A

2. Calcular “x” si AC = 30 x

b) 10 e) 30

b) 4 e) 10

C

c) 6

y con la ayuda de un transportador compare las

c) 15

medidas de los ángulos PAB y PBA. Señale su conclusión.

3. Del problema anterior, calcular el valor de: BC – AB a) 5 d) 20

M

8. Trace la mediatriz de AB , tome un punto P de ella

C

B

a) 5 d) 20

B

a) 2 d) 8

2x

A

b

b) 10 e) 30

c) 15

A

4. Trace la mediatriz del segmento AB, escoja un punto “P” de ella; compare con un compás las longitudes de PA y PB . Indique su conclusión.

A

B

ˆB a) m PBˆA m PA

ˆB d) m PBˆA > m PA

ˆB b) m PBˆA = 2m PA

ˆB e) m PBˆA = m PA

ˆB c) m PBˆA < m PA

B

a) PA = PB

b) PA > PB

d) PA = 2PB

e) PB = 2PA

9. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos: A, B, C y D; tal que: AC + BD = 40 y BC = 10.

Calcular “AD”.

c) PA < PB



5. Trace la mediatriz conclusión:

L

a la cuerda MN, indique su

a) 60 d) 40

M

0

L

a) pasa por el centro

c)

b) no pasa por el centro

e) a y c

c)

L

c) 30

10. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) lo que a continuación se menciona:

N

Al rayo también se le conoce como semi-recta.

Los vectores que forman un ángulo se llaman lados del ángulo.

El vértice de un ángulo es un segmento.

El segmento tiene punto medio.





b) 50 e) 20

// MN

MN

50

(

)

(

)

(

)

(

)

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

11. Calcular “BC”, Si: AB = 10; BD = 24 y “C” es punto

14. Calcule la medida del mayor segmento determinado por los puntos A, B y C.

medio de AD .

A

B

a) 2 d) 7

1er Año

7+x

D

C

b) 3 e) 8

5-x

A

C

B

c) 5 a) 7 d) 15

b) 5 e) imposible

c) 12

12. Del problema anterior encuentre el valor de: 2BC 15. Del problema anterior, indique el valor entero más a) 4 d) 14

b) 6 e) 16

grande que puede tomar “x”.

c) 10

a) 5 d) 12

13. Relacione de manera los datos de ambas columnas a)

(

) Segmento

b)

(

) Semi-recta

c)

(

) Recta

d)

(

) Vector

b) 6 e) 4

c) 7

¡Demuestra tu habilidad!

TAREA DOMICILIARIA Nº 4 1. Calcular “BC”, Si AD = 12, AC = BD = 7 A A

B

a) 5 d) 2

C

b) 4 e) 1

D

c) 3

B

a) PA  PB

b) PA = 2PB

d) PB < PA

e) PA = PB

c) PA < PB

5. Usando la regla y el compás, trace las mediatrices

2. Calcular BC, Si: AD = 10, AC = 7, BD = 8.

de AB, BC y AC , señale su conclusión.

B

A

B

C

a) 6

b) 5

d) 3

e) 2

D

c) 4

3. Calcular “BC”, Si AB = 14, BD = 18 y “C” es punto

A

medio de AD .

a) Se cortan entre si en 2 puntos.

A

B

C

a) 4

b) 3

d) 1

e) 2

D

b) Se cortan entre si en 3 puntos.

c) 5

c) Se cortan entre si en un punto. d) No se cortan. e) N.A.

4. Ubique un punto “P” de la mediatriz trazada a AB , mediante la regla y el compás. Compare las longitudes de PA y PB . Señale su conclusión.

51

C

Colegio Lobachevsky GEOMETRÍA 1er Año 6. Ubique el punto medio del segmento PQ, utilizando 12. Calcular “BC”. Si: AD = 12, AC = 10 y BD = 9. la regla y el compás.

A P

Q

a) 7 d) 6

7. Si “P” es punto medio de AB, hallar m AP .

8-x A

a) 8 d) 6

b) 5 e) 8

c) 4

12 + x M

b) 12 e) 10

c) 4

b) 24 e) 8

a) 25m d) 50m²

b) 25m³ e) 80m²

c) 20

12 - x A

El segmento es una porción de

(

)

El rayo no tiene origen.

(

)

La semirrecta tiene origen.

(

)

El vector tiene origen.

(

)

c) 25m²

14. Si: AB = BC. Halle el valor de “x”.

4+x B

a) 4 d) 16

continuación se menciona.

C

b) 10 e) 12

c) 14

15. Del problema anterior, calcular m AC .

recta limitada por dos puntos.

a) 8 d) 16

b) 10 e) 12

c) 14

Vocabulario Geométrico

10. Relacione de manera adecuada los datos de ambas columnas.

Escriba el significado de las siguientes palabras.

a)

(

) Triángulo

b)

(

) Línea Curva

c)

(

) Figura Convexa

d)

(

) Figura no Convexa

11. Indique el máximo número de puntos de corte entre 5 rectas secantes: b) 20 e) 5

25m²

x

B

p

9. Indique si es verdadero (V) o falso (F) lo que a

a) 10 d) 40

D

C

13. Las regiones que se muestran son equivalentes, halle el valor de “x”.

8. Del problema anterior indique el valor de: 2m PB . a) 16 d) 10

B

c) 30

52

 Vector

 Mediana

 Bisectriz

 Ceviana

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

Símbolos

1er Año

Año

Autor

1228

Fibonacci

1464

Regiomontano

1489

Widmann

2+3=5

1557

Recorde

30º

1571

Reinhold

decimales

1585

Stevin

2,17

1617

Naiper

Log 27

1624

Naiper

1629

Girard

1631

Harriot

1637

Descartes

1675

Leibniz

F(x)

1734

Euler



1736

Euler

e

1739

Euler

Sen, cos

1753

Euler



1755

Euler

i

1777

Euler

Ángulos 

1816

Crelle

3·4 3+4 4–3

3<4 4 >3 25

53

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

1er Año

EL ÁNGULO DEFINICION Es la figura geométrica formada por la unión de dos rayos mediante un origen común llamado VÉRTICE DEL ÁNGULO, los rayos son los lados del ángulo.

A

O

ELEMENTOS

º

A

Lados :

.......................................

Vértice :

.......................................

Notación

.......................................

m∢AOB

.......................................

MEDICIÓN ANGULAR Para poder diferenciar a los ángulos de acuerdo a su abertura se crearon diferentes sistemas de medición angular, tales como: El Sistema Sexagesimal o Sistema Inglés. El sistema centesimal o Sistema Francés y el sistema radial o circular o sistema internacional. El sistema que estudiaremos es el SISTEMA SEXAGESIMAL o SISTEMA INGLÉS Sus creadores tomaron como base a una circunferencia dividiéndola a ésta en 360 partes iguales y a cada parte la llamaron un grado sexagesimal, además a cada grado también lo dividieron pero en 60 partes siendo cada parte un minuto sexagesimal, a este minuto lo dividieron en 60 partes, siendo cada parte un segundo sexagesimal.

En este capítulo haremos uso del transportador como instrumento de medición, para ello observa con bastante atención, pues la figura muestra el uso de un transportador para medir ángulos.

C B 90º

D

60º

 m∢AOB = 55º ; m AOC = 90º ; m∠AOD = 150º

50º

150º

 m AOE = 180º 0º

180º E

A

O

ÁNGULOS CONGRUENTES Se dice que dos ángulos son congruentes si tienen igual medida.

A

Si el ángulo ABC es congruente con el ángulo

E

EOF, entonces escribiremos: 



ABC ≅ EOF

B

C

O

También: F

54

 m ABC





m EOF

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

1er Año

5. El ángulo mostrado mide 45º, halle el valor de “”.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN B

a) 45º b) 60º

1. De acuerdo a la figura, relacione correctamente los datos de ambas columnas.

c) 30º d) 15º

B

O

º + 30º

e) 20º

O

A

  6. En la figura, AOB y COD son congruentes, halle el valor de “x”



A B

a) OA

(

)

notación del ángulo

b) O

(

)

Medida del ángulo

c) 





Lado del ángulo

(

)

Vértice del ángulo



d) AOB

O

2. Indique si es verdadero (V) o falso (F) lo que a continuación se menciona.

D

30º

O

A

a) 10º

b) 20º

d) 40º

e) 50º

2x - 10º C

c) 30º

7. Haciendo uso del transportador, dibuje un ángulo de 30º

 La notación de un ángulo se hace con letras minúsculas. ( )  Los rayos que forman al ángulo son sus lados. ( )  La medida de un ángulo geométrico es un número negativo. ( )  El ángulo es formado por la unión de dos semirrectas. ( )

180º

3. Si dos ángulos tienen la misma medida, se dicen que son:

O

0º

8. Haciendo uso del transportador obtenga un ángulo de 90º

a) Agudos b) Suplementarios c) Complementarios d) Congruentes e) N.A. 4. Si el ángulo mostrado tiene como medida 60º. Halle el valor de “x”.

180º

B

a) 30

O

0º

9. Con ayuda del transportador, dibuja un ángulo de 120º

b) 20 c) 60 d) 12 e) 5

3xº O

A

180º

55

O

0º

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

1er Año

10.Haciendo uso del transportador mide los ángulos: AOB y COD Indique su conclusión a) 

C

B

b) 



c) 

1.



O

d) 2 e) N.A.

TAREA DOMICILIARIA Nº 5 De acuerdo a la figura, indicar verdadero (V) o falso (F) lo que a continuación se menciona.

B

D

A

O



11. La figura muestra una circunferencia, obtenga con el transportador la medida de una semicircunferencia (O : centro)

A

a) 120º b) 130º c) 180º O

d) 90º e) 45º

12.Del problema anterior, indique la medida angular de la cuarta parte de la circunferencia. a) 45º d) 120º

b) 90º e) 360º

2.



“” es la medida del ángulo

(

)



ABO es la notación del ángulo.

(

)



OA y OB son los lados del ángulo

(

)



A y B son los vértices del ángulo

(

)



De acuerdo a la figura los ángulos son:

13.De la figura y con ayuda del transportador, encuentre la relación entre “” y “”.

c) 3.



e) 2

A

a) Complementarios b) Suplementarios c) Semejantes

b)  d) 

40º

40º O



a) 

Q

B

c) 180º

e) 45º

d) 30 e) N.A.

 4. 



b) 

e) 

A

El ángulo mostrado mide 60º, Halle el valor de “” B

b) 4 c) 6 d) 8 e) N.A.



c)  d) 

3xº=60º O

a) 2

15.Haciendo uso del transportador obtenga una relación entre “” “” a) 

B

c) 18

c) 270º d) 360º

d) Congruentes e) Diferentes

b) 15

14.Con la ayuda del transportador, encuentre aproximadamente el valor de : .

b) 180º

C

De la figura mostrada, encuentre el valor de “x” a) 20

a) 90º

P



56

6º+27 O

A

Colegio Lobachevsky 5.

GEOMETRÍA

Los ángulos mostrados son congruentes, indique el valor de “”

1er Año

11. Haciendo uso del transportador relación entre “” y “”

obtenga

la



a)  = 2 b)  >  c)  < 

3 - 60º

+ 30º

d)  =  e)  = 2

a) 45º d) 12º 6.

b) 30º e) 24º

c) 75º



12. Con la ayuda de un transportador, indique la relación correcta.

Haciendo uso del transportador dibuje un ángulo de 45º

a) x =  

b) x =  c) x =  d) x = 

180º

7.

0º

O

13. Con la ayuda del transportador, indique el valor de “x”

Con la ayuda del transportado, determine la medida del ángulo

a) 45º

a) 20º

x

b) 60º

b) 120º

c) 90º

c) 180º

O

d) 70º

d) 90º

e) 12º

e) 13º 8.

x



e) x = 180º

14. De acuerdo a la figura y con ayuda transportador, indique la relación correcta.

Con ayuda del transportador dibuje un ángulo de 150º.

a)  = 2

del



b) = c)  180º

9.

d) 

0º

O

e)=

Utilizando un transportador indique el valor de :  a) 12º

15. Con la ayuda del transportador, indique la relación correcta.



b) 130º

a) = b) =2 c) = d)  e) N.A.

c) 15º d) 90º e) 60º



10. De la figura y con la ayuda de un transportador encuentre la relación entre “” y “” a) º = º b)º > º

º

c) º < º d) º  º



º

e) N.A.

57

 o



Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

Sin duda Pitágoras es el matemático más conocido del gran público. Todo el mundo recuerda su famoso teorema. Pero las Matemáticas le deben a Pitágoras y a los pitagóricos mucho más. Ellos son los que pusieron las primeras piedras científicas no solo de la Geometría sino también de la Aritmética, de la Astronomía y de la Música.

Pero antes de Pitágoras otras dos culturas habían desarrollado unas matemáticas prácticas muy potentes: los babilonios y los egipcios. Exploraremos sus aportaciones tanto en el terreno de los sistemas de numeración que empleaban, como de sus habilidades astronómicas y geométricas. Del sistema sexagesimal de los babilonios hemos heredado tanto la división de la circunferencia en 360 grados como la forma actual de medir el tiempo en horas, minutos y segundos.

Sus tablillas nos reservan unas cuantas sorpresas matemáticas. Quizás la más importante, la tablilla Plimpton, nos desvela el hecho sorprendente de que conocían las ternas pitagóricas mil años antes de que Pitagoras viera la luz.

Disfrutaremos de alguna de las demostraciones gráficas más llamativas del famoso teorema, el que cuenta con un mayor número de demostraciones distintas a lo largo de la historia.

58

1er Año

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

1er Año

SISTEMA SEXAGESIMAL ANGULAR

UNIDAD La unidad del sistema sexagesimal angular, es el grado sexagesimal que viene a ser la 360ava. parte de la circunferencia y equivale a 60 minutos sexagesimales, a la vez el minuto equivale a 60 segundos sexagesimales, así:

1º < > 60’

1’ <> 60’’

1º <> 3,600’’

En este capítulo aprenderemos a operar con medidas angulares de este sistema.

Ejemplos: 1)

Escriba expresiones equivalentes a las mostradas.

78’’



.................................

7º21’





12º 70’ 80’’





º''





 2)

Sumar: 30º 27’ 18º 40’

3)

Restar 39º 20’ 16º 30’

59

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

1er Año

8. Indique el valor de “E”.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

E=

1. Complete de manera adecuada lo que a continuación se muestra.

a) 60 d) 3

Un ________________ es equivalente a 60 minutos.

Un minuto es equivalente a ____________ segundos.

La medida angular de una circunferencia es _____________________ grados.

Un grado es equivalente a _______________ segundos.

(........... )

1º 360''

(........... )

1’ 60º

(........... )

1’ 60’’

(........... )

a) 6 d) 15

b) 9 e) N.A.

ab

e) 32º18’

O

a) 60 d) 2

a) 2º16’ d) 2º16’

 = 30º68’ A

c) 14º

b) 120 e) 3

45º=

a) 50º4’ d) 49º5’

c) 180

b) 3 e) 9

a) 1º58’ d) 3’

c) 5

c) 33’16’’

245’= 

b) 290º e) 285’

c) 295’’

b) 1º2’ e) N.A.

c) 2’

15. Restar : 60º53’ a 70º, indique el resultado.

7. Indique la medida angular equivalente, del ángulo mostrado.

a) 8º7’ d) 9º7’

B

O

c) 3º16’

14. Si :  = 300’ y  = 4º58’ Halle el valor de: 

6. ¿Cuántos grados hay en 120’?

a) 2º15’ b) 1º15’ c) 3º30’ d) 4º30’ e) 3º15’

c) 1

13. De la figura, indique el valor de:  + 

5. ¿Cuántos minutos hay en 3º?

a) 2 d) 7

b) 1º16’ e) F.D.

12. Si :  = 20º36’ y  = 12º40’ Calcule el valor de  a) 36º16’’ b) 32º76’’ d) 33º16’’ e) 33º16’

b) 17º e) N.A.

a) 60 d) 90

b) 45 e) imposible

11. Exprese 136’ en otro valor equivalente.

4. Si la medida de un ángulo es 15º120’ , indique su equivalencia. a) 16º d) 16º30’

º

ab'

c) 31º8’ d) 31º18’

c) 12

10. De acuerdo al problema anterior, indique el valor de:

B

b) 31º

c) 3º

9. Si : abº = 45º, encuentre el valor de : a + b

3. Indique el valor equivalente de “” a) 32º

3'

b) 61 e) 120

2. Indique si es verdadero (V) o falso (F) cada relación mostrada.

1º 60’

3º3'

195’ A

60

b) 9º3’ e) N.A.

c) 10º7’

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA a) 119 d) 122

TAREA DOMICILIARIA Nº 6 1. Complete de manera continuación se muestra.

adecuada

lo

que

)

1º < > 60’’

(

)

1’ < > 60’’

(

)

1º < > 60’

(

)

c) 121

º

a) 3 d) 9

b) 4 e) 18

ab . c) 5

10. De acuerdo al problema anterior, indique el valor ab

de:

º

' ab

a) 30 d) 180

b) 60 e) F.D.

c) 90

11. Exprese el valor equivalente de 200’.

2. Indique si es verdadero (V) o falso (F) cada relación mostrada. (

b) 120 e) 123

9. Si: ab = 81º, encuentra el valor de

a

Un __________ es equivalente a 3600 segundos. _____________ segundos equivalen a un minuto.

La medida angular de un ángulo recto es __________ grados.

45 grados es equivalente a la _____________ parte de la circunferencia.

2º < > 120’’

1er Año

a) 3º10’ d) 4º20’ 12. Si:

c) 3º

 = 30º40’ y  = 2º50’.

a) 33º40’ d) 32º30’

3. Indique el valor equivalente de “”

b) 3º20’ e) 2º2’

Halle el valor de:  +  b) 33º50’ e) 34º30’

c) 33º30’

13. De la figura, hallar el valor de:  + .

a) 12º71’ b) 121º10’ c) 120º 10’ d) 119º 10’

= 120º 70’

59º

e) 122º 10’

a) 60º2’ d) 59º12’

4. La medida de un ángulo es: 29º60’, indique su medida equivalente. a) 29º30’ d) 30º

b) 30’ e) 31º

14. Si:

c) 30º

5. ¿Cuántos minutos hay en 5º? a) 30 b) 300 d) 600 e) 150 6. ¿Cuántos grados hay en 180’? a) 130 b) 30 d) 33 e) 12

c) 3

a) 2º15’ b) 1º15’ c) 3º30’ 42º190’

e) 3º15’ 8. Hallar el valor de “A”:

A=

c) 59º2’

Halle el valor de:  - 

a) 1º12’

b) 1º10’

d) 12’’

e) 12’

c) 2º12’

15. Reste 18º53’ a 20º.

7. Indique la medida angular equivalente, del ángulo mostrado.

d) 4º30’

b) 60º12’ e) N.A.

 = 360’ y  = 5º48’

c) 150

62’

4 º 4' 2º2'  4' 2'

61

a) 2º7’

b) 1º7’

d) 2º

e) no se puede.

c) 3º7’

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

Si las matemáticas tienen algún número emblemático ese es PI: 3,141592… La figura de Ramanujan, un joven indio sin formación universitaria está intimamente ligada al número pi. A principio de siglo descubrió nuevas series infinitas para obtener valores aproximados de pi. Las mismas que utilizan los grandes ordenadores para obtener millones de cifras de este familiar y extraño número.

Pero el verdadero padre de pi es un matemático griego de hace 2.300 años, Arquímedes. Él descubrió la famosa fórmula del área del círculo: A r2 . Y también el volumen y el área de la esfera. De paso invento el primer método para obtener valores aproximados de pi aproximando el círculo mediante polígonos de un número creciente de lados. Pero pi no sólo aparece en matemáticas cuando se habla de círculos o esferas, su presencia en relaciones numéricas, en el cálculo de probabilidades y hasta en estudios estadísticos la confieren una omnipresencia casi mágica.

62

1er Año

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

1er Año ¡Trabajemos juntos!

REPASO 5. Haciendo uso del transportador, encuentra el valor de “”.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN



a) 15º 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) lo que a continuación se menciona.





b) 60º

0

c) 180º d) 90º

34º70’

< > 35º10’

(

)

76’’

< > 1º16’

(

)

29.5º

< > 29º30’

(

)

80º

< > 1º20’

(

)

e) 45º 6. Con ayuda del transportador, halle el valor de “”.

b) 45º c) 30º

b) 4º42’

d) 5º42’

e) N.A.

e) 37º

c) 3º42’

7. Haciendo uso del transportador, halle los valores de:  y  + . Indique la relación correcta. a)  =  +  b)  = 2( + ) c)  = 15 d)  =  +  e) N.A.

3. Los ángulos mostrados son congruentes. Hallar el valor de “”.

 + 30º b) 15’

d) 15º

e) 12º

c) x = 2y

x

y

d) y = 2x e) x = y

“ + ”.

9. Usando el correcta.



b) 30º

a)  <  b)  <  c)  =  d)  = 2 e)  = 2

c) 60º d) 90º





a) x > y A b) x < y

c) 15’’

4. Haciendo uso del transportador, indique el valor de

a) 15º



8. Con ayuda del transportador, encuentre los valores de “x” e “y”. Indique la relación correcta.

45º

a) 30º

0

d) 53º

2. Calcular la diferencia entre: 30º12’ y 25º30’. a) 4º42’’



a) 90º



e) 180º

63

transportador,



indique



la

relación

Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA a) 5 d) 8

10. Mida con el transportador e indique el valor de: ++ º

b) 6 e) 9

14. Completar

a) 180º

de

manera

c) 12

adecuada

lo

que

a

continuación se muestra.

b) 200º c) 90º

El punto de intersección de dos rectas oblicuas

º

d) 360º e) 45º

1er Año

se llama ……………………. de la oblicua..

º

El

AB BC  y mAB  4 11. Hallar m AC - m BC . Si: 2 3

punto

de

intersección

de

dos

rectas

perpendiculares se llama pie de la ……………….

Dos rectas ………………………… nunca se intersecan.

A

B

a) 2 d) 8

C

b) 4 e) 10

c) 6

15. La figura muestra un triángulo, indicar verdadero (V) o falso (F), lo que a continuación se menciona.

B

12. Del problema anterior, calcular AC. a) 6 d) 8

b) 10 e) 4

c) 12 A

13. En la figura: AC – AB = 12, Si: M es punto medio de BC . Hallar BC .

A

B

M

Q

P

C

PABC

(

)

QABC

(

)

PABC

(

)

El triángulo mostrado Es una figura convexa.

(

)

C

¡Ahora hazlo tú!

TAREA DOMICILIARIA Nº 7

1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) lo que a

3. Los ángulos mostrados son congruentes. Hallar el

continuación se menciona.

valor de “”.

1º < > 60’’

(

)

1’ < > 60º

(

)

1º75’ < > 2º15’

(

)

12.5º < > 12º30’

(

xº + 15º 45º

) 4.

2. Calcular la diferencia entre: 12º25’ y 9º30’. a) 1º45’

b) 2º45’

d) 1º55’

e) N.A.

a) 45º

b) 30’

d) 30º

e) N.A.

c) 15º

Con ayuda del transportador encuentre el valor de:  + . a) 90º b) 30º

c) 2º55’



c) 80º d) 70º e) 120º

64



Colegio Lobachevsky

GEOMETRÍA

5. Mida con el transportador el ángulo de medida “”

1er Año

11. En la figura AB = BC = CD. Calcular: BD. Si: AB=1

a) 18º

A

b) 36º



c) 72º e) 108º 6. Con

ayuda

D

b) 2 e) 5

c) 3

12. Del problema anterior, hallar AC- BD del

transportador,

valores de “” y “”.

encuentre

los

a) 0 d) 3



a)  = 2

0

b)  = 2

b) 1 e) 4

c) 2

13. Calcular m AC .



c)  =  d)  > 

6+x

e) b y d

A

a) 60º b) 80º c) 90º d) 20º e) 30º

3-x C

B

a) 6 d) 12

7. Usando el transportador encuentre el valor de: “x”

b) 3 e) 15

c) 9

14. Calcular: m BC  m AB 0

6+x A

8. Con ayuda del transportador, encuentre el valor de:

C

a) 1 d) 4

0

d) 90º

B

12+x B

a) 6 d) 12

x y

b) 8 e) N.A.

C

c) 5

15. La figura es una región triángular, indique si es

a) 0 b) 1

verdadero (V) o falso (F), lo que a continuación se

x

c) 2

muestra.

y

d) 3 e) 4

M

9. Al comparar con un transportador los valores de “” y “”, se concluye: 

a)  =  b)  >  c)  <  d)  +  =180º e)  = 2



L1

M pertenece a la región La región es no convexa La región es convexa M no pertenece a la región

L2

10. Indique la relación correcta. Use el transportador. n

a) Ɣ = m+n b) Ɣ = m c) m = Ɣ + n d) n = m -Ɣ

m

Ɣ

e) N.A.

65

( ( ( (

) ) ) )