FISICA

Escola Estadual de Ensino Fundamental e Médio José Bronzeado Sobrinho EEEFMJBS

Sumรกrio

MOVIMENTO

A idĂŠia de movimento ĂŠ bastante relativa, pois depende de um referencial.

MOVIMENTO ďƒź Oscilar ĂŠ mover-se de um lado para o outro, movimentar-se alternadamente em sentidos opostos.

MOVIMENTO  Periódico é movimenta-se em intervalos de tempos iguais, de forma idêntica.

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) É um movimento periódico linear em torno de uma posição de equilíbrio.

-A

A, -A: amplitude do MHS 0 é a posição de equilíbrio.

0

A

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)  Consideremos o sistema massa mola:

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) A força restauradora é função apenas da deformação

x Assumindo que F(x) possui derivadas contínuas de todas as ordens, podemos expandi-las em uma Série de Taylor:

Considerando os deslocamentos muito pequenos, temos

 

dF  x =x dx

0

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) Sendo que

dF =−k dx Portanto

 x =−kx Lembrando que o sinal negativo é por ser uma força restauradora.

A força restauradora é uma força linear e portanto obedecem a Lei de Hooke.

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) A equação do MHS, segundo as leis de Newton é:

Chegando a ou

+ωx= 0

Esta equação é uma equação diferencial, ordinária de segunda ordem, linear e homogênea, onde se define ω como sendo a freqüência angular, que é uma função da massa e da constante elástica.

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) Este tipo de equação possui as seguintes propriedades:

Combinando tais propriedades, podemos dizer que

x  t =C 1 x 1  t +C 2 x 2  t  onde C1 e C2 são constantes. Vamos encontrar uma equação que tenha esse tipo.

Como x é função do tempo, devemos encontrar um função que, sua derivada segunda seja proporcional à própria função. Uma função exponencial é deste tipo.

x  t =e

λt

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) logo

derivando, encontramos que λ=±iω logo a solução geral da equação diferencial geral fica

x  t =C 1 e iωt +C 2 e−iωt Lembrando que

e

±iωt

=cos ωt ±isen  ωt

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) Depois de algumas manipulações matemáticas, temos.

x  t =Asen α  cos  ωt +iAcos  α sen  ωt 

fazendo

C 1 +C 2 =Asenα C 1 +C 2 =Acos α

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) Portanto a solução para o sistema massa mola e conseqüentemente do MHS são:

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)

x  t =A. cos  ω. t+φ 

1 f= T ω= 2.π . f 2π ω= T



K ω= m



m T= 2π K

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)

v  t =−ω . A. sen ω. t+φ 

1 f= T ω= 2.π . f 2π ω= T



K ω= m



m T= 2π K

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)

2

2

a  t =−ω . A. cos ω. t+φ =−ω . x t 

1 f= T ω= 2.π . f 2π ω= T ω=



K m



m T= 2π K

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) Onde A é a amplitude de oscilação e α e ϕ são constantes de fase ou ângulos de fase que diferem o movimento.

Termooscilatório fase  Am sen   kx−ωt  δ  

Amplitude

y  x,t  =  Deslocamento

const . fase

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) A AMPLITUDE (A) – módulo máximo do vetor deslocamento do corpo a partir da posição de equilíbrio, isto é, o valor máximo de |x|. CICLO – é uma oscilação completa.  PERÍODO (T) – é o tempo correspondente a um ciclo. Ele é sempre positivo, sua unidade no SI é o segundo (s).  FREQUÊNCIA ANGULAR (W) – é a taxa de variação temporal de algum ângulo. No SI a unidade é o rad/s.

x  t =Asen ωt+α 

Função periódica de ω0t de período 2π.

ω= 2π/T

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)  FREQUENCIA – é o número de ciclos na unidade de tempo. Ela sempre positiva e no SI é o HERTZ. 1 Hertz. = 1 Hz = 1 Ciclo/s = 1s-1

1 ω f= = T 2π f é chamada de freqüência natural de ressonância do sistema.

Portanto podemos escrever a freqüência angular em função da freqüência

ω= 2πf

MOVIMENTO Quando o movimento varia apenas nas proximidades de um ponto (referencial), dizemos que temos uma oscilação.

Movimento Vibrat贸rio e Ondulat贸rio

Movimento Vibratório e Ondulatório

Definição: Movimento Ondulatório é o Movimento Vibratório que se propaga em meios elásticos.

Por meio elástico entendemos aquele que, deformado, volta ao seu estado primitivo, logo que cessa a causa deformadora. Ex.: gases, líquidos e sólidos.

Movimento Vibratório e Ondulatório

Abalo ou perturbação: se um ponto de um meio elástico contínuo recebe uma modificação qualquer em suas condições físicas (por ex. um movimento, um impulso, uma vibração) diz-se que houve uma ‘perturbação’ ou um ‘abalo’.

Movimento Vibratório e Ondulatório A energia da perturbação se propaga através desse meio em forma de ondas, em todas as direções. Eis alguns exemplos de perturbação em meios elásticos: Ao tocarmos a corda de um violão, causamos um abalo, que se propaga por toda a corda;

Movimento Vibratório e Ondulatório

Ao jogarmos uma pedra na superfície da água, a perturbação (em forma de ondas circulares) se propaga por toda superfície;

Movimento Vibratório e Ondulatório Numa explosão no ar, as ondas sonoras se propagam em todas as direções.

Movimento Vibrat贸rio e Ondulat贸rio

Propaga莽茫o Transversal:

Movimento Vibrat贸rio e Ondulat贸rio

Propaga莽茫o Longitudinal:

Movimento Vibratório e Ondulatório Propriedades da propagação: batimento: É o fenômeno resultante da sobreposição de dois trens de ondas com freqüências muito próximas, se propagando na mesma direção. O trem de onda resultante assume, periodicamente, amplitudes máximas e mínimas, podendo estas serem nulas quando a amplitude dos dois movimentos forem iguais.

Movimento Vibrat贸rio e Ondulat贸rio Propriedades da propaga莽茫o: batimento:

Movimento Vibratório e Ondulatório Propriedades da propagação: Ressonância:

É o fenômeno pelo qual um corpo em movimento vibratório induz outros corpos, nas proximidades, a vibrarem em concordância com ele.

Esta concordância corresponde a freqüência e fase.

VELOCIDADE E ACELERAÇÃO MHS A VELOCIDADE do movimento harmônico simples é: dx  t  d = [ A cos  ωt+ϕ  ] dt dt v  t =− Aωsen  ωt+ϕ  v  t =

a grandeza ωA é chamada de AMPLITUDE DE VELOCIDADE (Vm). A velocidade da partícula oscila de ωA até – ωA.

VELOCIDADE E ACELERAÇÃO MHS A ACELERAÇÃO do movimento harmônico simples é:

dv t  d a  t = = [ −Asen ωt+ϕ  ] dt dt a  t =−Aω 2 cos ωt+ϕ =−ω 2 x  t 

a grandeza ω2A é chamada de AMPLITUDE DA ACELERAÇÃO (am). A velocidade da partícula oscila de ω2A até – ω2A.

VELOCIDADE E ACELERAÇÃO MHS

VELOCIDADE E ACELERAÇÃO MHS Quando estendemos uma mola e soltamos o bloco, ele ganha velocidade à medida que se move para posição de equilíbrio, sua aceleração é positiva.  Substituindo a aceleração na 2 lei de Newton.

F=ma=m−ω 2 x =−kx que é a lei de Hooke, para k = mω2.

Ponte Pontede de Tacoma Tacoma

Ponte PonteRio Rio Niter贸i Niter贸i

O QUE É UMA ONDA? Denomina-se ONDA o movimento causado por uma perturbação que se propaga através de um meio.

PROPRIEDADE IMPORTANTE! Na onda há propagação de energia de um ponto para a outro, sem que haja transporte de matéria.

CLASSIFICAÇÃO DAS ONDAS 

QUANTO À NATUREZA

1)

Mecânica

2)

Eletromagnética

CLASSIFICAÇÃO DAS ONDAS 

QUANTO À DIREÇÃO DE PROPAGAÇÃO

1)

UNIDIMENSIONAIS

2)

BIDIMENSIONAIS

3)

TRIDIMENSIONAIS

CLASSIFICAÇÃO DAS ONDAS 

QUANTO À DIREÇÃO DE VIBRAÇÃO

1)

TRANSVERSAL

2)

LONGITUDINAL

Oscilações Harmônicas Simples: Exemplo Tudo ao nosso redor oscila!!!

Vamos tratar as oscilações mais simples regidas pela lei de Hook.

Principais formas de oscilação Massa-mola

O Pêndulo.

Ondas.

Ondas de superfície.

Modos de Oscilação Modo Antissimétrico Torção

Modo Simétrico

Oscilação

Generalidades das oscilaçþes Livres.

Oscilações Harmônicas Simples: Exemplo Sistemas que possuem uma posição de equilíbrio executam um movimento harmônico simples, em torno desta posição (para deslocamentos pequenos).

Oscilações Harmônicas Simples: Exemplo

 Sistemas que tem grandes acelerações, são osciladores nãoharmônicos, ou seja, as forças de retorno não são mais proporcionais ao deslocamento. Neste caso o período (T) depende da amplitude (A).

Oscilações Harmônicas Simples: Exemplo

Veremos alguns simples:

exemplos

Pêndulo Simples  Pêndulo

Físico

Pêndulo de torção

de movimento harmônico

PÊNDULO SIMPLES

PÊNDULO SIMPLES Um pêndulo simples é um sistema ideal que consiste de uma partícula suspensa por um fio inextensível e leve.

Quando afastado de sua posição de equilíbrio e solto, o pêndulo oscilará em um plano vertical sob à ação da gravidade.

O movimento é periódico e chama-se período de oscilação (T) ao tempo gasto para uma oscilação completa (ida e volta).

PÊNDULO SIMPLES  Consideremos um pêndulo simples, como sendo um corpo de massa m suspensa por um fio ou haste de comprimento l e massa desprezível.  A força restauradora é a componente tangencial da força resultante:

F θ =−mgsenθ  para pequenos deslocamentos senθ=θ

logo

mg F θ =−mgθ=− x L

A força restauradora é proporcional a coordenada para pequenos deslocamentos e k = mg/L.

PÊNDULO SIMPLES  A freqüência angular (ω) de um pêndulo simples com amplitude pequena será

 



k mg / L g ω= = = m m L  A freqüência (f) e o período (T) correspondente são:



ω 1 g f= = 2π 2π L 2π 1 L T= = =2π ω f g



PÊNDULO SIMPLES Leis do pêndulo simples

1 O período de oscilação não depende da amplitude (para pequenas amplitudes)

2

3

O período de O período de oscilação não oscilação é diretamente depende da proporcional à massa pendular. raiz quadrada do comprimento.

PÊNDULO SIMPLES Leis do pêndulo simples

4 O período de oscilação é inversamente proporcional à raiz quadrada aceleração da gravidade.

5 O plano de oscilação de um pêndulo simples permanece constante.

PÊNDULO FÍSICO  O pêndulo físico é qualquer pêndulo real, que usa um corpo de volume finito.

τ z =− mg  hsenθ   Para pequenas oscilações, o movimento é aproximadamente harmônico simples.

τ z =− mghθ  A equação do movimento 2

dθ − mgh θ=Iα z =I 2 dt dθ 2 mgh 2 =− θ −ω θ 2 I dt

∑ τ z =Iα z

Comprovação do movimento de rotação da Terra

Em 1600, Giordano Bruno foi condenado à fogueira pela Inquisição porque acreditava que a Terra se movia em torno do seu eixo e em torno do Sol. Trinta e três anos depois, Galileu Galilei só não teve o mesmo destino porque renunciou à sua convicção científica.

A dificuldade em confirmar a rotação da Terra reside no fato de que se trata de uma rotação muito lenta (0,0007 rotações por minuto).

Comprovação do movimento de rotação da Terra Em 1851, o astrônomo francês Foucault realizou uma bela e simples experiência capaz de demonstrar a rotação da Terra.

Com uma corda de 67 metros, fixa no teto do Panteon de Paris, ele suspendeu uma esfera de ferro de 28 kg e imprimiulhe um movimento pendular.

Comprovação do movimento de rotação da Terra

Na seqüência, o plano do pêndulo passou a apresentar uma lenta rotação no sentido horário. Este movimento foi facilmente explicado a partir da suposição de que a Terra gira em torno de seu eixo.

Comprovação do movimento de rotação da Terra Comportamento do pêndulo de Foucault No Pólo Norte o pêndulo dá uma volta completa a cada 24 horas Em Paris o pêndulo completa uma volta a cada 31 horas e 47 min No Equador não se percebe movimento de rotação

Jean Bernard Leon Foucault (1819-1868)

Em 1851, eu demonstrei o movimento de rotação da Terra.

Determinação da aceleração da gravidade

Para se determinar a aceleração da gravidade em um ponto qualquer da Terra basta dispor de um pêndulo simples, um cronômetro e uma régua (ou trena).

Determinação da aceleração da gravidade Com a régua (ou trena) mede-se o comprimento do pêndulo  L Com o cronômetro mede-se o período de oscilação do pêndulo  T

T = 2.π.

L g

isolando g

L g = 4. π T2 2

Determinação da aceleração da gravidade Determinaremos a aceleração da gravidade onde um pêndulo de 1 metro oscila com um período de 2 segundos.

T = 2.π.

L g

2 = 2.π.

1 g

g = π2 g = 3,142 g = 9,86 m/s2

PÊNDULO FÍSICO

PÊNDULO FÍSICO  A freqüência angular (ω) de um pêndulo físico com amplitude pequena será



mgh ω= I  A freqüência (f) e o período (T) correspondente são:



ω 1 mgh f= = 2π 2π I 2π 1 I T= = =2π ω f mgh



PÊNDULO TORÇÃO

Movimento Harm么nico Simples- ANGULAR

Movimento Harmônico Simples- ANGULAR  Um tipo de MHS é o MOVIMENTO CIRCULAR.  O movimento circular é caracterizado pelo raio A da circunferência, e possui uma velocidade angular ω0.  Em t = 0, a fase inicial α = 0. Com o movimento no sentido anti-horário, o ângulo será:

θ=ω0 t+α

xt  COSθ= A

θ=ω0 t+α

Movimento Harmônico Singular- ANGULAR  O deslocamento no movimento circular é

x  t =ACOS  ω0 t+α   conhecendo o deslocamento, podemos encontrar

Movimento Harm么nico Singular- ANGULAR

Enquanto uma partícula descreve um MCU, sua projeção descreve um MHS.

EQUAÇÃO HORÁRIA DA POSIÇÃO NO MHS

x cos θ= A

y

x=A. cos θ

A θ x

x

Mas: Θ=ω.t

x=A. cos  ω. t+θ 0  ω é a velocidade angular Θ0 é a fase inicial.

EQUAÇÃO HORÁRIA DA VELOCIDADE NO MHS

V=−ω . Asen ω. t+θ 0  EQUAÇÃO HORÁRIA DA ACELERAÇÃO NO MHS

2

a=−ω . A cos  ω. t+θ 0 

VALORES MÁXIMOS DE x, V e a x=A. cos  ω . t+θ 0  v=−ω . Asen  ω . t+θ 0 

a=−ω 2 . Acos  ω . t+θ 0  {}{} {}

x=− A v= 0 a=ω 2 . A {}{} {}

-A

x= 0 v=∓ω . A a= 0 {}{} {} 0

x=A v= 0 a=−ω 2 . A {}{} {}

A

ENERGIA NO MHS  A energia potencial é obtida calculando o trabalho necessário para movimentar a partícula a uma distância x.

dW=− Fdx=kxdx  integrando

1 2 dW= kx =U 2

 substituindo x(t)

1 2 2 U= kA sen  ωt+ϕ  2  Que é a energia potencial do meu sistema.

ENERGIA NO MHS  A energia total do oscilador harmônico será

E=K+U 1 E= mω2 A2 [ sen 2  ωt+ϕ cos 2  ωt+ϕ  ] 2 1 2 2 E= mω A =const 2  E independe do tempo, logo a energia total se conserva, portanto o oscilador harmônico simples é um sistema conservativo.

ENERGIA NO MHS  Energias num MHS

ENERGIA NO MHS Energia mecânica total do MHS é proporcional ao quadrado da amplitude. dx d 2x −kx −b =m 2 dt dt

ENERGIAS NO MHS Considere um sistema massa-mola, de constante elรกstica k.

-A

0

+A

ENERGIAS NO MHS

F=−k . x Aplicando a 2ª lei de Newton (F=m.a) :

2

k . A cos Θ=mω . A cos θ



k ω= m

ENERGIAS NO MHS 2

m.v E c= 2 2 k.x E P= 2

E M =E c +E p

k.A EM= 2

2

ENERGIAS NO MHS E c =0

k . A2 E P= 2 k . A2 EM= 2 {}{} {}

-A

m. v2 E c= 2 E P =0

k . A2 EM= 2 {}{} {}

0

E c =0

k . A2 E P= 2 2 k.A EM= 2 {}{} {}

A

A IMPORTÂNCIA DO MHS PARA A FÍSICA

BIBLIOGRAFIA

Universidade Federal Rural do Semiarido – UFERSA-Jusciane da Costa e Silva PROF. RENATO NUNES-Ondulatória Dr. João Candido Fernandes-Unesp-Campus de Bauru-LABORATÓRIO DE ACÚSTICA E VIBRAÇÃO

http://ww2.unime.it/dipart/i_fismed/wbt/ita/pendolo/pendolo_ita.htm